Propuesta didáctica para el estudio de las transformaciones geométricas del plano en Secundaria

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Dpto. Matemática Aplicada Propuesta didáctica para el estudio de las transformaciones geométricas del plano en Secundaria Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Jennifer Da Costa Cortés Tutor: M.ª Encarnación Reyes Iglesias Valladolid, junio 2023 RESUMEN En el currículo de Educación Secundaria Obligatoria se encuentra el tema de transformaciones geométricas que incluye giros, traslaciones y simetrías en situaciones diversas utilizando herramientas tecnológicas o manipulativas y considera las relaciones geométricas en entornos matemáticos y no matemáticos como el arte, la naturaleza o la arquitectura. En este trabajo de fin de máster se desarrollará una propuesta didáctica en la que, mediante diversas representaciones de estas transformaciones geométricas se podrá comprobar su utilización en la vida diaria y así, fomentar el acercamiento de los estudiantes a estos conceptos. ABSTRACT The Compulsory Secondary Education curriculum includes the subject of geometric transformations, considering rotations, translations and symmetries in diverse situations using technological or manipulative tools, as well as geometric relationships in mathematical and non-mathematical contexts such as nature, art or architecture. In this master's thesis, a didactic proposal will be developed in which, by means of different representations of these geometric transformations, we can check their use in daily life and thus encourage the approach of students to these concepts. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 1 2. MARCO NORMATIVO ......................................................................................................................... 2 2.1. Objetivos generales de etapa ............................................................................................................. 2 2.2. Objetivos didácticos del área de matemáticas de 3º de ESO ............................................................. 3 2.3. Contenidos didácticos de la situación de aprendizaje: Transformaciones geométricas en el plano .. 8 3. ANÁLISIS DIDÁCTICO ...................................................................................................................... 10 3.1. Análisis de contenido....................................................................................................................... 10 3.1.1. Movimientos del plano ........................................................................................................ 10 3.1.2. Descripción de los movimientos del plano .......................................................................... 10 3.1.3. Grupo de simetría de una figura plana ................................................................................. 14 3.1.4. Teoría de mosaicos .............................................................................................................. 17 3.1.5. Arabescos en la Alhambra de Granada ................................................................................ 19 3.1.6. Mosaicos de Escher ............................................................................................................. 23 3.2. Análisis cognitivo ............................................................................................................................ 24 3.2.1. Expectativas de aprendizaje ................................................................................................. 25 3.2.2. Limitaciones y errores en el aprendizaje ............................................................................. 26 3.2.3. Oportunidades de aprendizaje ............................................................................................. 28 3.3. Análisis de instrucción..................................................................................................................... 32 3.3.1. Contenido matemático ......................................................................................................... 33 3.3.2. Actividades contextualizadas y cercanas a la vida real ....................................................... 34 3.3.3. Demanda cognitiva .............................................................................................................. 34 3.4. Análisis libro de texto ...................................................................................................................... 38 3.4.1. Contenidos y Adecuación de Objetivos ............................................................................... 41 3.4.1. Conclusiones ........................................................................................................................ 41 4. PROPUESTA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE ............................................................................. 42 4.1. Contextualización ............................................................................................................................ 43 4.2. Fundamentación curricular .............................................................................................................. 43 4.3. Metodología ..................................................................................................................................... 46 4.4. Planificación de actividades ............................................................................................................ 52 4.5. Atención a las diferencias individuales ........................................................................................... 60 4.6. Proceso de evaluación ..................................................................................................................... 60 4.7. Valoración de la situación de aprendizaje ....................................................................................... 66 5. CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 73 5.1. Aportación del presente Trabajo Fin de Máster a la Enseñanza ...................................................... 73 5.2. Aportación de las asignaturas del Máster a la consecución del presente Trabajo Fin de Máster .... 74 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................ 76 ANEXOS ........................................................................................................................................................ 78 Anexo I. Rúbrica autoevaluación ................................................................................................................ 78 Anexo II. Rúbrica para evaluar a mis compañeros (Coevaluación) ............................................................ 79 Anexo III. Rúbrica para evaluar la resolución de problemas ...................................................................... 80 Anexo IV. Rúbrica para evaluar la exposición oral ..................................................................................... 82 Anexo V. Rúbrica para evaluar la presentación de la investigación ........................................................... 83 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Ejemplo Traslación Hexágono (AulaFacil, 2013) .......................................................................... 11 Figura 2. Ejemplo de Traslación en un Friso (Makarov, 2021). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) ........ 12 Figura 3. Ejemplo de Rotación Triangulo G-90º (AulaFacil, 2013) ................................................................. 12 Figura 4. Ejemplo Laberinto Alcázar de Segovia G-45º (García, 2015). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) ......................................................................................................................................................................... 13 Figura 5. Ejemplo de Simetría Axial de un Triángulo (AulaFacil, 2013) ....................................................... 13 Figura 6. A la Izquierda Ermita de Nuestra Señora de la Anunciada. Urueña (Valladolid). Siglo XI (Simetria, 2022) y a la Derecha Mariposa Monarca con Simetría Axial casi perfecta (Mariposa naranja en flores de cosmos Foto de stock 350754023, s.f.). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) ............................................... 13 Figura 7. Ejemplo de Simetría Central de un Triángulo................................................................................. 14 Figura 8. Algunos Naipes presentan Simetría Central. Se ven igual desde arriba y desde abajo) (Da Costa Cortés, 2023). .................................................................................................................................................. 14 Figura 9. Grupo de Simetría Triángulo Equilátero. ....................................................................................... 15 Figura 10. Grupo de Simetría Cuadrado. ....................................................................................................... 16 Figura 11. En notación Schläfli serían 36 (6 triángulos por vértice), 44(4 cuadrados por vértice) y 63 (3 hexágonos por vértice), (Blasco, 2021). .......................................................................................................... 18 Figura 12. Los ocho Mosaicos Semirregulares posibles (Blasco, 2021) ........................................................ 19 Figura 13. Polígonos Nazaríes (Fernández Benito & Reyes Iglesias, 2003) .................................................. 20 Figura 14. Cómo construir el Clavo Nazarí (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023) ................................................................................................................................................................ 20 Figura 15. Recubrimiento del Plano mediante Traslaciones del Clavo Nazarí (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023) ................................................................................................. 21 Figura 16. Como construir el Hueso Nazarí y recubrir el Plano mediante Traslaciones (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023) .................................................................................. 21 Figura 17. Como construir la Pajarita Nazarí y recubrir el Plano mediante Traslaciones (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023) .................................................................................. 22 Figura 18. Como construir el Pétalo Nazarí y recubrir el Plano mediante Traslaciones (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023) .................................................................................. 22 Figura 19. Grabado titulado «Reptiles» (1943), a partir de un Hexágono y Recubrimiento del Plano mediante Traslaciones (Blasco, 2021) ............................................................................................................................ 23 Figura 20. Recubrimiento del Plano mediante Traslaciones del Grabado Titulado «Chinese boy» (1936), de Escher a partir de un Rombo (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023) ......... 23 Figura 21. Mapa Conceptual. Transformaciones Geométricas (Colera Jiménez, Gaztelu Alberto, & et al, 2022). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) ................................................................................................... 24 Figura 22. Chibi del Personaje Luffy de la Serie de Animación One Piece (KindPNG.com, s.f.) Modificada (Da Costa Cortés, 2023) .................................................................................................................................. 30 Figura 23. Mosaico Alfombra de Vinilo (Alfombra de vinilo cocina patrón flores, 2022). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) ................................................................................................................................................... 32 Figura 24. Logotipo de la Franquicia de Alimentación McDonald’s (1000marcas, 2023)............................ 34 Figura 25. Estrella de mar (Fernández Roldán, 2019), llanta coche y rosetón (Da Costa Cortés, 2023). .... 56 Figura 26. Pikachu personaje de la Franquicia Pokemon (140 Dibujos de Pikachu fáciles de hacer para COLOREAR , 2019). Modificada (Da Costa Cortés, 2023). ........................................................................... 58 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Composición de movimientos de un Triángulo Equilátero (Calcerrada Zamora, 2010). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) .................................................................................................................................. 16 Tabla 2. Cálculo del Ángulo Interior de Polígonos Regulares (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023). .......................................................................................................................... 17 Tabla 3. Expectativas de Aprendizaje. ............................................................................................................ 25 Tabla 4. Relación Dificultades y Errores con los Objetivos de Aprendizaje. ................................................. 28 Tabla 5. Asociación Competencia Específica con Actividades, Criterios de Evaluación y Descriptores Operativos. ...................................................................................................................................................... 45 Tabla 6. Descriptores Operativos con las Competencias Especifica de la Materia (BOCYL-D-30092022-3 Decreto 39/2022, de 29 de septiembre, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León., 2022) ............................................................ 62 Tabla 7. Calificación Actividades ................................................................................................................... 64 Tabla 8. Calificación Criterios de Evaluación Ponderados ........................................................................... 65 1 1. INTRODUCCIÓN Este trabajo se concibió como una sugerencia pedagógica para la enseñanza de las “Transformaciones geométricas del plano”, que forma parte de la asignatura “Matemáticas”, del curso 3º de ESO. La razón de ser de la elección de esta propuesta fue una inquietud personal por comprender, de manera más profunda, algunas de las tareas que realizan los docentes en la enseñanza: detallar el aprendizaje, seleccionar materiales y recursos adicionales, desarrollar métodos de enseñanza de acuerdo con las necesidades de cada individuo, fomentar actividades motivadoras y, en consecuencia, permitir que los estudiantes aprendan más significativamente. Mi creencia, al igual que mi objetivo personal, es que el aprendizaje se mejora a través de la variabilidad perceptiva y de la contextualización de las situaciones en el mundo real. Se pretende acercar a los estudiantes a través de los diferentes usos que se han ido manifestando en campos como el arte, la naturaleza o la arquitectura, a los temas de "Transformaciones Geométricas en el Plano”. En primer lugar, con la nueva legislación actual LOMLOE desaparecen las Unidades Didácticas y son sustituidas por Situaciones de Aprendizaje, tanto para Educación Secundaria como para Bachillerato, donde se pretende desarrollar competencias a través del aprendizaje de los contenidos y estas competencias serán las que deben evaluarse. Una vez identificada la normativa a cumplir, se profundiza en el análisis pedagógico de la enseñanza de las “Transformaciones Geométricas en el Plano”, examinando los contenidos matemáticos y su aplicación en diferentes áreas, así como las habilidades cognitivas de los estudiantes tal como se manifiestan en el currículo de Educación Secundaria. Lo que se persigue es motivar y acercar estos conceptos a través de la Situación de Aprendizaje para demostrar a los alumnos la utilidad del estudio de las "Transformaciones Geométricas en el Plano” a través de ejemplos reales del arte, la arquitectura, la naturaleza, la industria o la publicidad. Como conclusión, se establece en qué grado este Máster cumple con el objetivo de preparar a los futuros docentes en el ámbito de la educación y si se llegan a desarrollar las competencias que deberían adquirirse. 2 2. MARCO NORMATIVO Con el nuevo Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo (BOE-A-2022-4975 Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria, 2022), por el que se establece la ordenación y el currículo de la educación secundaria obligatoria y el Decreto 39/2022, de 29 de septiembre (BOCYL-D-30092022-3 Decreto 39/2022, de 29 de septiembre, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León., 2022) que concreta su regulación en la Comunidad de Castilla y León, se va a redactar la propuesta de una Situación de Aprendizaje. En esta Situación de Aprendizaje se trabajará los contenidos de Sentido Espacial, movimientos y transformaciones en el plano, que se imparte en la asignatura de matemáticas del curso 3º de ESO. A continuación, se detallan los objetivos y contenidos mínimos en la etapa de la ESO. 2.1. Objetivos generales de etapa Según el Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo se pretende que los estudiantes desarrollen capacidades que les permitan: a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a las demás personas, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con las demás personas, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Desarrollar las competencias tecnológicas básicas y avanzar en una reflexión ética sobre su funcionamiento y utilización. f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia. 9 - Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación. - Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas. - Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje. 2. Trabajo en equipo y toma de decisiones - Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático. - Conductas empáticas y estrategias de gestión de conflictos. 3. Inclusión, respeto y diversidad - Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad. - La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde diferentes perspectivas (de género, de sostenibilidad, de consumo responsable...). Estos están estrechamente ligados a los contenidos previos vistos en el segundo curso de la ESO que son: c. Sentido espacial 1. Figuras geométricas de tres dimensiones - Figuras geométricas tridimensionales: descripción y clasificación en función de sus propiedades o características. - Relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras tridimensionales: identificación y aplicación. - Construcción de figuras geométricas tridimensionales con herramientas manipulativas y digitales (programas de geometría dinámica, realidad aumentada …). 2. Localización y sistemas de representación - Relaciones espaciales: localización y descripción mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de representación. - Visualización, razonamiento y modelización geométrica. - Modelización geométrica: relaciones numéricas y algebraicas en la resolución de problemas. 10 3. ANÁLISIS DIDÁCTICO En este trabajo se detalla una propuesta didáctica para la enseñanza de las “Transformaciones Geométricas del Plano”, en particular los movimientos, haciendo hincapié en aquellos que incluye el currículo de Secundaria. Se pretende alcanzar una mejora significativa en el aprendizaje de las transformaciones geométricas para lo cual desarrollaremos un análisis del contenido a impartir, un análisis cognitivo y un análisis del tipo de actividades que se van a plantear para mejorar la actitud hacia los temas planteados a través del uso de elementos de la vida cotidiana. 3.1. Análisis de contenido A continuación, se definirá el grupo de simetría de una figura plana, estableciendo como modelo la tabla del grupo de simetría. Se finalizará con una breve introducción a los mosaicos regulares, semirregulares y por deformación, aportando algunos modelos geométricos de las losetas generadoras de estos últimos. 3.1.1. Movimientos del plano En el plano afín euclídeo R², un movimiento f: R²→R² es una transformación del plano en sí mismo que se caracteriza por mantener la distancia entre sus puntos, es decir: d[f(A),f(B)]= d(A,B), para todos A, B Є R² siendo d la distancia euclídea. d(A,B)= 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 AB Los movimientos en el plano R² son por tanto isometrías (conservan distancias) del plano en sí mismo; la palabra isometría proviene del griego y significa “igual medida”. Algunos de los movimientos del plano son las traslaciones, los giros y las simetrías axiales. Estos tipos de movimientos son los que recogen los currículos de Secundaria. 3.1.2. Descripción de los movimientos del plano Denotaremos por GM(R²) el conjunto de movimientos del plano R², que con la composición de aplicaciones tiene estructura de Grupo. Diremos que un punto A del plano es fijo por un movimiento f si f(A)=A. El conjunto de los puntos fijos por f, es una variedad afín y la denotaremos por F(f). Para describir todos los movimientos del plano, tenemos en cuenta que F(f) puede ser todo el plano R², una recta, un punto o el conjunto vacío. 11 Así, la transformación identidad deja todos los puntos sin variación, por lo que es el elemento neutro del grupo, y se la denota como Id, Id(A) = A, para todo punto A de R². Una simetría de eje e, tiene una recta de puntos fijos, precisamente el eje e. Un giro de centro el punto C y ángulo dado, solo tiene un punto fijo que es el centro C de la rotación, mientras que las traslaciones y las simetrías deslizantes carecen de puntos fijos. Así pues, atendiendo a los puntos fijos, los movimientos del plano se clasifican en: identidad, simetría, giro, traslación y simetría deslizante. Cada movimiento tiene a su vez otro asociado que es su inverso. Para el caso de la simetría Sr, su movimiento inverso es el mismo, mientras que para el giro 𝐺𝐶,α su inverso es 𝐺𝐶,−α o 𝐺𝐶,2𝜋−α y para la traslación 𝑇𝑢 su inverso es 𝑇−𝑢. Aplicando la composición de cada movimiento con su inverso dará la identidad. (𝑆𝑟 ∘𝑆𝑟)(A) = Id(A) = A (𝐺𝐶,α∘𝐺𝐶,−α)(A) = Id(A) = A (𝑇𝑢∘𝑇−𝑢)(A) = Id(A) = A A partir de aquí ilustraremos y detallaremos los movimientos que se imparten en el nivel de Secundaria: a) Traslación La traslación de vector U es una isometría que realiza un cambio de posición de un punto P, a una distancia, dirección y sentido determinados por el vector U. Este vector guía U traslada cada punto de una figura plana a otra posición del plano de la tal forma que tanto la figura inicial como la final son geométricamente congruentes. Por ejemplo, si aplicamos un vector U a los vértices del siguiente hexágono tenemos que al vértice A le corresponde un vértice A', a B un B' y así sucesivamente de tal forma que: d(A,A′)= d(B,B′)= d(C,C′)= d(D,D′)= d(E,E′)= d(F,F′)=|𝑈| Figura 1. Ejemplo Traslación Hexágono (AulaFacil, 2013) 12 Figura 2. Ejemplo de Traslación en un Friso (Makarov, 2021). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) b) Giro La rotación o giro en torno a un punto C y ángulo dado α implica un cambio de posición de un punto P del plano, de tal forma que cada punto transformado P' se mantiene a la misma distancia respecto del centro de la rotación que el punto inicial P, es decir, 𝐶𝑃     =𝐶𝑃´      y, además 𝑃𝐶𝑃´ = 𝛼. Se considera que el giro en el sentido de las agujas del reloj es negativo y el giro en sentido contrario es positivo. Si se toma un triángulo de vértices A, B y C y un centro de rotación O y se efectúa un giro por ejemplo de 90°, se puede apreciar como sus vértices A, B y C recorren sendos arcos hasta obtener A', B' y C' respectivamente. Aplicando un G-360º los vértices A, B y C trazan tres circunferencias de radios OA, OB y OC respectivamente. Figura 3. Ejemplo de Rotación Triangulo G-90º (AulaFacil, 2013) 13 Figura 4. Ejemplo Laberinto Alcázar de Segovia G-45º (García, 2015). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) c) Simetría Axial Una simetría axial de eje e es el movimiento que aplica a todo punto P del plano un punto P' tal que el eje e es la mediatriz del segmento que une el punto P con su imagen P'. En el ejemplo que sigue, el eje e es la mediatriz de los segmentos AA', BB' y CC', equivalentemente: d(A,e)= d(A′,e); d(B,e)= d(B′,e); d(C,e)= d(C′,e) Figura 5. Ejemplo de Simetría Axial de un Triángulo (AulaFacil, 2013) z Figura 6. A la Izquierda Ermita de Nuestra Señora de la Anunciada. Urueña (Valladolid). Siglo XI (Simetria, 2022) y a la Derecha Mariposa Monarca con Simetría Axial casi perfecta (Mariposa naranja en flores de cosmos Foto de stock 350754023, s.f.). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) 14 d) Simetría central Se llama simetría central de centro O al giro de centro O y ángulo 180°. Por este movimiento, todos los puntos de una figura plana y sus respectivas imágenes están a la misma distancia del centro de simetría O, tras haber realizado la rotación de 180°. Por ejemplo, en la siguiente figura los puntos A, A'; B, B' y C, C' son simétricos respecto de O y por tanto sus distancias cumplen que: d(A,O)= d(A′,O); d(B,O)= d(B′,O); d(C,O)= d(C′,O) Figura 7. Ejemplo de Simetría Central de un Triángulo. Figura 8. Algunos Naipes presentan Simetría Central. Se ven igual desde arriba y desde abajo) (Da Costa Cortés, 2023). 3.1.3. Grupo de simetría de una figura plana En geometría plana, el grupo de simetría de una figura F es el conjunto de movimientos del plano que la dejan invariante. 15 Los grupos de simetría de una figura también se conocen como grupos de isometría, ya que mantienen las distancias y las relaciones angulares entre los puntos de la figura invariante. La operación de estos grupos es la composición de isometrías. La simetría es un concepto fundamental en la geometría, y los grupos de simetría son una herramienta primordial para entender la simetría de las figuras planas. Así, si consideramos las isometrías del plano f: R2→R2 que conservan una figura F, es decir, f(P)=P, para todo P de F, estas tienen estructura de grupo respecto a la composición y lo denotamos por GF. G𝐹={𝑓 ∈ 𝐺𝑀(𝑅2)|𝑓(𝐹) = 𝐹} El grupo de simetría de una figura completamente irregular está constituido solo por la identidad. G𝐹={𝐼𝑑} A continuación, veremos algunos ejemplos. Las isometrías que mantienen invariable el triángulo equilátero son la identidad, las rotaciones de 120º y 240º y las reflexiones respecto de los tres ejes que pasan por su baricentro y cada uno de los tres vértices. Estas isometrías forman un grupo llamado el Grupo de Simetría del triángulo equilátero y lo denotaremos por GF. G𝐹={𝐼𝑑,𝐺120°, 𝐺240° ,𝑆𝑒1,𝑆𝑒2,𝑆𝑒3} Figura 9. Grupo de Simetría Triángulo Equilátero. Así pues, el grupo GF, o grupo de simetría del triángulo, está formado por los siguientes movimientos: Los giros de centro O y ángulos 120º y 240º, las simetrías de ejes e1, e2 y e3 y la identidad Id que coincide con el giro de centro O y ángulo 360º. 16 Tabla Modelo de composición de los movimientos para el triángulo equilátero vistos anteriormente, que muestra su estructura de grupo. O Id G120° G240° S01 S02 S03 Id Id G120° G240° S01 S02 S03 G120° G120° G240° Id S02 S03 S01 G240° G240° Id G120 S03 S01 S02 S01 S01 S03 S02 Id G240° G120° S02 S02 S01 S03 G120° Id G240° S03 S03 S02 S01 G240° G120° Id Tabla 1. Composición de movimientos de un Triángulo Equilátero (Calcerrada Zamora, 2010). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) Otro ejemplo: el Grupo de Simetría de un cuadrado incluye rotaciones de 90º, 180º y 270º, dos reflexiones respecto a las rectas que pasan por su centro geométrico y por los puntos medios de sus lados, dos reflexiones respecto a rectas que contienen a las diagonales y la identidad (sin transformación). G𝐹={𝐼𝑑, 𝐺90°,𝐺180°, 𝐺270°,𝑆𝑒1,𝑆𝑒2,𝑆𝑒3 ,𝑆𝑒4} Figura 10. Grupo de Simetría Cuadrado. 17 Así, GF, grupo de simetría del cuadrado, está formado por los siguientes movimientos: Los giros de centro O y ángulos 90º, 180º, 270°, las simetrías de ejes e1, e2, e3 y e4 y la identidad Id que coincide con el giro de centro O y ángulo 360º. 3.1.4. Teoría de mosaicos Un mosaico es un recubrimiento del plano que se genera con la repetición, en dos direcciones distintas, de un módulo que cumple ciertas características de acoplamiento y regularidad. Las piezas (teselas) que componen un mosaico encajan, sin dejar huecos y sin solaparse, recubriendo el plano. Los mosaicos con polígonos regulares se clasifican en dos tipos: regulares y semirregulares: • Mosaicos regulares: aquellos en los que en cada vértice del mosaico concurre una única clase de polígono regular y, además, cada vértice del mosaico es también vértice de todos los polígonos que concurren en él. Los mosaicos regulares son los -geométricamente- más sencillos. Cada mosaico regular está formado por polígonos regulares y congruentes. Para recubrir el plano con polígonos regulares necesitamos que los ángulos interiores de los polígonos concurrentes en cada vértice del mosaico sumen 360º. Tabla 2. Cálculo del Ángulo Interior de Polígonos Regulares (Reyes Iglesias, Modelos matemáticos en educación secundaria, 2023). Solo existen tres tipos de mosaicos regulares: los construidos a partir de un único hexágono regular, los generados a partir de un cuadrado y los formados con triángulos equiláteros congruentes. 18 Figura 11. En notación Schläfli serían 36 (6 triángulos por vértice), 44(4 cuadrados por vértice) y 63 (3 hexágonos por vértice), (Blasco, 2021). Este resultado se demuestra teniendo en cuenta el ángulo interior de un polígono regular y el número k de polígonos concurrentes en un vértice. Este número k ha de ser mayor que 2, porque si k =2, cada polígono aportaría 180° de ángulo interior (imposible) y menor que 7, porque en otro caso significaría que existirían polígonos con ángulo interno menor de 60°, lo cual es imposible. Así, tiene que verificarse la siguiente igualdad: 𝑘𝑛−2 𝑛180° =360° → 𝑘 𝑛−2 𝑛= 2 Siendo n el número de lados del polígono regular. Dando valores a k desde 3 hasta 6 se tiene: - Si k=3, 3n-6=2n, es decir n=6. Concurren 3 polígonos regulares de 6 lados, o sea tres hexágonos congruentes. - Si k=4, 4n-8=2n, es decir n=4. Concurren 4 polígonos regulares de 4 lados, o sea cuatro cuadrados congruentes. - Si k=5, 5n-10=2n, es decir 3n=10. Imposible. - Si k=6, 6n-12=2n, es decir n=3. Concurren 6 polígonos regulares de 3 lados, o sea seis triángulos equiláteros congruentes. • Mosaico semirregular: constituido con combinaciones de polígonos regulares con la condición de que en todos los vértices del mosaico la disposición de polígonos sea la misma. En consecuencia, las figuras en los vértices siempre coinciden, es decir, en cada vértice confluyen los mismos polígonos y en el mismo orden. Solo existen ocho tipos de mosaicos semirregulares, cuyas representaciones se muestran en la figura siguiente: 25 3.2.1. Expectativas de aprendizaje En este apartado vamos a desarrollar una tabla con los conocimientos y algunas destrezas y actitudes encaminadas a la consecución de un aprendizaje significativo de este tema de transformaciones geométricas. Pretendemos que los estudiantes sean capaces de identificar y representar los movimientos del plano que se han presentado hasta entonces. OBJETIVOS Caracterización y Representación de Isometrías. La Simetría 1. Reconocer figuras congruentes. 13. Construir la figura congruente obtenida al aplicar un eje de simetría sobre una figura. 2. Identificar y justificar las isometrías entre figuras congruentes. 14. Razonar y justificar que el eje de simetría es invariante en la simetría axial. 3. Distinguir y clasificar las isometrías: Traslación, Giro y Simetría. 15. Dadas dos figuras congruentes por simetría, hallar el eje de simetría axial que las relaciona. 4. Identificar para cada isometría los elementos invariantes. 16. Construir la figura congruente obtenida al aplicar una simetría central, de centro definido a una figura. 5. Aplicar diferentes isometrías o composiciones de estas a una figura utilizando GeoGebra o representación gráfica o creación manual. 17. Razonar y justificar que toda recta que pasa por el centro de una simetría central es invariante. 6. Ser capaces de reconocer y encontrar las diferentes isometrías presentes en elementos del mundo real. 18. Dadas dos figuras congruentes, hallar el centro de la simetría central que las relaciona. Traslaciones y Giros. Composición de Movimientos 7. Construir la figura congruente obtenida al aplicar un vector de traslación dado sobre una figura. 19. Aplicar una composición de movimientos en una figura. 8. Razonar y justificar si son invariantes las rectas paralelas al vector de la traslación. 20. Ser capaces de reconocer los movimientos utilizados en una composición aplicada a una figura. 9. Dadas dos figuras congruentes por traslación, hallar el vector de traslación que las relaciona. Mosaicos 10. Construir la figura congruente obtenida al aplicar un giro de centro y ángulo definidos sobre una figura dada. 21. Ser capaz de construir un mosaico, a partir del elemento base y dos vectores de traslación linealmente independientes. 11. Razonar y justificar que no hay rectas invariantes al aplicar un giro. 22. Dado un mosaico, reconocer el elemento base y dos vectores de traslación que lo generan. 12. Dadas dos figuras congruentes por giro, hallar el centro y ángulo aplicado de dicho giro. 23. Identificar mosaicos en elementos de la vida real. Tabla 3. Expectativas de Aprendizaje. 26 3.2.2. Limitaciones y errores en el aprendizaje Durante todo el proceso de enseñanza el docente ha de ser consciente de las posibles limitaciones y errores que pueden aparecer. Cuanto antes detectemos y analicemos estas situaciones mejor será nuestra intervención como educadores y, por ende, antes podremos solventar estos problemas, evitar que se produzcan. A continuación, se detallan ciertas dificultades y algunos errores que pueden aparecer en el aprendizaje del tema que nos atañe. Dificultades: - D.1. Identificar las componentes horizontales y verticales de una traslación en posición oblicua (vector no paralelo a los ejes coordenados). - D.2. Identificar en un giro el centro y/o ángulo aplicado que relaciona una figura y su transformada. - D.3. Reconocer en función del ángulo aplicado si el giro es positivo o negativo. - D.4. Diferenciar entre los dos tipos de simetrías explicadas. - D.5. Identificar el eje de simetría que relaciona dos figuras congruentes por simetría. - D.6. Identificar el centro de simetría central que relaciona una figura y su simétrica. - D.7. Ser capaces de reconocer los movimientos utilizados en una composición aplicada a una figura. Errores: - E.1. Reconocer una homotecia como un movimiento. E.1. Error Movimiento Solución E.1. La homotecia de razón distinta de ±1 es una transformación geométrica que no un movimiento ya que no conserva el tamaño. Cuando la razón es +1 la trasformada es la identidad y cuando es -1 es un giro o simetría central. - E.2. Aplicar incorrectamente un vector de traslación, asociándolo a puntos diferentes entre la figura y su trasformada. E.2. Error Movimiento de Traslación Solución E.2. Cambio de posición de un punto, a una distancia, dirección y sentido determinados por el vector U 27 - E.3. Aplicar incorrectamente un giro al tomar centro y/o sentido de giro erróneos. E.3. Error. Aplicación de una traslación, en vez de giro. Solución E.3. Giro positivo sentido antihorario de ángulo α y centro O. - E.4. Aplicar una simetría sin tener en cuenta que el eje de simetría tiene que ser la mediatriz del segmento que relaciona los puntos homólogos de la figura y su trasformada. E.4. Error. Solución E.4. - E.5. Identificar como simétricas dos figuras que no lo son. E.5. Error. Solución E.5. - E.6. Confundir el orden de aplicación de una composición de movimientos. E.6. Error. 𝑇: 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 ሬ S: Simetría e S o T 28 Solución E.6. 𝑇: 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 ሬ S: Simetría e S o T Estas dificultades y errores se relacionan directamente con algunos de nuestros objetivos de aprendizaje de la manera siguiente: D.1 D.2 D.3 D.4 D.5 D.6 D.7 E.1 E.2 E.3 E.4 E.5 E.6 1. 2. X X X 3. X X 4. X X X 5. X X X X X 6. 7. X 8. 9. 10. X X X 11. X 12. X 13. X X X X X 14. X X 15. X X 16. X X 17. X X 18. X X X 19. X X X X X X 20. X X X X X X X 21. 22. X X 23. Tabla 4. Relación Dificultades y Errores con los Objetivos de Aprendizaje. 3.2.3. Oportunidades de aprendizaje Las actividades que generan oportunidades de aprendizaje son aquellas que están diseñadas específicamente para permitir a los estudiantes adquirir nuevos conocimientos, habilidades y comprensiones. Estas actividades pueden ser de diversos tipos, tales como: - Actividades prácticas: estas actividades implican la aplicación de conocimientos teóricos en situaciones prácticas. Por ejemplo, se puede pedir a los estudiantes que dibujen figuras en el plano y que las trasladen, roten o reflejen. Los estudiantes pueden utilizar papel cuadriculado y coordenadas 29 para medir y describir los movimientos. Otra actividad consistiría en utilizar un programa de geometría dinámica, como GeoGebra, para construir figuras y experimentar con transformaciones geométricas. - Actividades de discusión: estas actividades permiten a los estudiantes interactuar entre sí y compartir ideas y perspectivas. Las discusiones pueden ser guiadas por un facilitador o pueden ser más abiertas y espontáneas. Por ejemplo, Los estudiantes pueden participar en una discusión en grupo sobre los diferentes tipos de movimientos en el plano, sus propiedades y cómo se relacionan entre sí. También pueden discutir cómo aplicar estos movimientos a problemas prácticos. - Actividades de investigación: estas actividades involucran a los estudiantes en la búsqueda de información y la exploración de un tema específico. Esto puede incluir la realización de investigaciones en línea, la revisión de documentos y la realización de entrevistas. Por ejemplo, Se puede pedir a los estudiantes que investiguen sobre los diferentes tipos de movimientos en el plano, sus aplicaciones en la vida real y las diferentes formas en que se pueden representar y describir. También pueden buscar ejemplos de figuras que mantienen su forma y tamaño después de aplicar un movimiento en particular. - Actividades creativas: estas actividades permiten a los estudiantes explorar su creatividad y expresarse de manera artística. Por ejemplo, se puede desafiar a los estudiantes a crear una obra de arte o un diseño utilizando exclusivamente traslaciones, rotaciones y reflexiones. Otra actividad consistirá en pedir a los estudiantes que por grupos inventen un juego que implique el uso de transformaciones geométricas, donde los jugadores deban aplicar movimientos para alcanzar objetivos específicos. - Actividades de resolución de problemas: estas actividades desafían a los estudiantes a encontrar soluciones a problemas específicos. Pueden implicar trabajar en equipo para resolver un problema complejo o encontrar una solución creativa a un problema práctico. Por ejemplo, se les puede pedir que encuentren el punto de intersección entre dos figuras después de aplicar diferentes movimientos en ellas. En general, cualquier actividad que involucre a los estudiantes activamente en el proceso de aprendizaje, y les permita aplicar, explorar, interactuar y reflexionar sobre el contenido, puede generar oportunidades valiosas para el aprendizaje. Si además de eso, garantizamos el éxito en las etapas iniciales, aumentaremos la motivación del alumnado, para después ir aumentado la dificultad. Para ilustrar esta argumentación a continuación se desarrollar algunos ejemplos de posibles actividades donde se trabaja el área de investigación, la creatividad y la resolución de problemas. 30 Actividad 1: Sobre las siguientes figuras responde a las siguientes cuestiones que se plantean: Figura 22. Chibi del Personaje Luffy de la Serie de Animación One Piece (KindPNG.com, s.f.) Modificada (Da Costa Cortés, 2023) 1. Si tomamos la figura con los puntos señalados A y B ¿Cuál es el ángulo de giro qué debemos aplicar en sentido antihorario para obtener su trasformada? a) 90º b) 270º c) Ninguna de las anteriores. 2. Si tomamos la figura con los puntos señalados A y B ¿Cuál es el ángulo de giro qué debemos aplicar en sentido horario para obtener su trasformada? a) 90º b) 270º c) Ninguna de las anteriores. 3. ¿Qué datos necesito saber para averiguar cuál es la figura original y cuál es su trasformada? a) Solo el ángulo. b) El ángulo y sentido de giro. c) El ángulo, el sentido de giro y el centro del giro. d) No puedo saberlo. Actividad 1: Elaboración propia. 31 Objetivos de aprendizaje que se persiguen: - 1. Reconocer figuras congruentes. - 2. Identificar y justificar las isometrías entre figuras congruentes. - 3. Distinguir y clasificar las isometrías: Traslación, Giro y Simetría. - 12. Dadas dos figuras congruentes por giro, hallar el centro y ángulo aplicado que las relaciona. Dificultades y errores frecuentes: - D.2. Identificar en un giro el centro y/o ángulo aplicado. - D.3. Reconocer en función del ángulo aplicado si el giro es positivo o negativo. - E.3. Aplicar incorrectamente un giro al tomar centro y/o sentido de giro erróneos. Soluciones Actividad 1: 1. Si tomamos la figura de puntos A y B ¿Cuál es el ángulo de giro qué debemos aplicar en sentido antihorario para obtener su trasformada? a) 90º 2. Si tomamos la figura de puntos A y B ¿Cuál es el ángulo de giro qué debemos aplicar en sentido horario para obtener su trasformada? b) 270º 3. ¿Qué datos necesito saber para averiguar cuál es la figura original y cuál es su trasformada? c) El ángulo, el sentido de giro y el centro del giro. Actividad 2: Como hemos comentado un mosaico es un recubrimiento del plano, que se genera con la repetición, en dos direcciones distintas, de un módulo que cumple ciertas características de acoplamiento y regularidad. Estos han ido evolucionando en diversas formas, estilos y usos. Como por ejemplo esta alfombra de vinilo para recubrimiento de cocinas. 32 Figura 23. Mosaico Alfombra de Vinilo (Alfombra de vinilo cocina patrón flores, 2022). Modificada (Da Costa Cortés, 2023) Como puedes apreciar, este patrón esta creado a partir de una flor que se repite en dos direcciones. Busca al menos dos elementos distintos de la vida real que se comporten de la misma manera. Objetivos de aprendizaje que se persiguen: - 1. Reconocer figuras congruentes. - 2. Identificar y justificar las isometrías entre figuras congruentes. - 9. Dado dos figuras congruentes, hallar el vector de traslación que las relaciona. - 22. Dado un mosaico reconocer el elemento base y dos vectores de traslación que lo generan. - 23. Identificar mosaicos en elementos de la vida real. Dificultades y errores frecuentes: - D.1. Identificar las componentes horizontal y vertical de una traslación oblicua. - E.2. Aplicar incorrectamente un vector de traslación, asociándolo a puntos diferentes entre la figura y su trasformada. Actividad 2: Elaboración propia. 3.3. Análisis de instrucción En las Situaciones de Aprendizaje las actividades y tareas creadas para trabajar los contenidos de cada etapa deben contribuir a la adquisición y desarrollo de las competencias. Estas a su vez tienen que ser estimulantes y motivadoras, que sean significativas en cuanto a su relación con conocimientos previos y contextualizadas con elementos de la vida real (personal, social y profesional). A continuación, se van a mostrar tres elementos que deben ser tenidos en cuenta en estas actividades. 33 3.3.1. Contenido matemático Cuando pensamos en la creación de nuestras actividades debemos tener muy claros los contenidos que vamos a impartir. En nuestro caso hablaremos de transformaciones geométricas del plano, como identificarlas, describirlas, ser capaces de crearlas y encontrarlas en el mundo que nos rodea. Todo esto no se puede realizar de manera independiente, sino que debe favorecer el aprendizaje significativo, según el cual, el alumno es capaz de relacionar los nuevos conocimientos con los ya adquiridos. Como ejemplo, en la siguiente actividad se necesita saber manejarse en el plano cartesiano, R2, utilizando los conocimientos que se han adquirido anteriormente. Actividad 3: Se ha trasladado el pentágono de vértices ABCDE a través de la aplicación del vector de traslación (6,-2). Identifica el trasformado de este pentágono y las coordenadas A' y B', siendo A= (-5,6) y B= (-6,4). El trasformado, es el pentágono y sus coordenadas son: A'= ( , ), B'= ( , ). Soluciones Actividad 3: El trasformado, es el pentágono 2 y sus coordenadas son: A'= (1,4), B'= (0,2). Actividad 3: Elaboración propia. 34 3.3.2. Actividades contextualizadas y cercanas a la vida real No hay mayor motivación para los alumnos que ver la aplicabilidad y la cercanía de lo que estudia en elementos que forman parte de su día a día. Para ello, mostraremos una actividad basada en un logotipo de una marca conocida por todos. Actividad 4: Los movimientos en el plano se utilizan en la vida real de distintas maneras. A continuación, se te pide identificar y describir el tipo de simetría utilizada en la creación del logotipo de McDonald´s. Dibuja su eje o centro de simetría según corresponda. Figura 24. Logotipo de la Franquicia de Alimentación McDonald’s (1000marcas, 2023). Solución: Figura 25. Logotipo de la Franquicia de Alimentación McDonald’s. Modificada (Da Costa Cortés, 2023) Actividad 4: Elaboración propia. 3.3.3. Demanda cognitiva Si queremos desarrollar las competencias clave de manera adecuada, debemos elaborar actividades con diferentes niveles de demanda cognitiva que favorezcan la evolución en el aprendizaje. La demanda cognitiva se puede dividir en cuatro niveles (Smith & Stein, 1998): e 41 Autoevaluación En una sola página se recogen diversos ejercicios y problemas sobre todo lo tratado durante esta unidad, donde los estudiantes podrán verificar si han comprendido los conocimientos explicados. 3.4.1. Contenidos y Adecuación de Objetivos Los contenidos tratados cumplen con lo solicitado en el BOCYL Decreto 39/2022, de 29 de septiembre que concreta la Comunidad de Castilla y León. En cuanto a la adecuación con los objetivos de esta ley, podemos observar cómo cumple estrictamente con la contextualización en la mayoría de sus ejercicios y problemas con referencias a la vida real, involucrándose activamente con elementos históricos y artísticos. Por otro lado, facilita una serie de ejercicios de refuerzo con distintos niveles cognitivos, para fomentar el éxito en muchos de ellos y sigue la premisa de que antes de dar una definición formal realizar una explicación más verbal e ilustrada para favorecer el aprendizaje significativo. También trabaja con la variabilidad perceptiva desarrollando ejercicios que pueden ser resueltos por razonamiento y con recursos como lápiz y papel o resueltos mediante materiales manipulativos recortando figuras y obteniendo el resultado. Así mismo, fomenta el autoaprendizaje y la curiosidad con los aparatados “Infórmate” o el de “Autoevaluación”, donde tendrán que gestionar sus creencias, actitudes y emociones. 3.4.1. Conclusiones Siendo un libro realmente completo, no debemos olvidar que tener libros de otras editoriales facilita mantener una variedad de problemas alternativos a los del libro con el que se está impartiendo clase y a su vez tener otras opciones de presentar los conceptos. Por eso, los departamentos mantienen los libros de años anteriores y los libros ofrecidos para análisis de las editoriales. Debido a lo precipitado que ha sido la aplicación de esta nueva ley, muchas editoriales no han podido ofertar sus libros para este curso 2022-2023 por lo que solo he podido tener acceso al libro de Anaya. Todo esto me hace tener la incertidumbre de si este libro, de entre los futuros que habrá de otras editoriales, será una de las mejores opciones. 42 4. PROPUESTA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE En el Anexo II. C del BOCYL (Decreto 39/2022, de 29 de septiembre), aparecen las orientaciones necesarias para el diseño y desarrollo de situaciones de aprendizaje. A través de estas directrices trabajaremos la unidad de “Transformaciones geométricas en el plano”. En esta propuesta se pretende trabajar tareas de creciente complejidad que permitan en sus etapas iniciales el éxito de los alumnos, con ello generaremos un nivel socioafectivo positivo hacia las matemáticas y un aumento de la motivación para emprender la resolución de problemas más complejos. Intentaremos aunar los contenidos con diversa variabilidad perceptiva, con contextos reales y el trabajo autónomo. Con todo esto, no solo lograremos que entiendan los conceptos tratados, sino que asimilen e interioricen que las matemáticas no son solo números y cuentas, sino que son la cara oculta del mundo que nos rodea, que no son algo extrañas y que conviven con nosotros sin a veces percibirlo. Antes de detallar los puntos de la situación de aprendizaje debe tenerse en cuenta que se ha decidido dividir los contenidos de la materia de Matemáticas de 3º ESO en catorce unidades de trabajo, con la siguiente distribución secuencial y temporal, y que solo se va a desarrollar la parte anteriormente mencionada. Como consecuencia, a la hora de evaluar, esa nota se ponderaría proporcionalmente según su peso en el conjunto del temario general. Primer trimestre 1. Conjuntos numéricos (14 sesiones) 2. Potencias y raíces (8 sesiones) 3. Sucesiones y progresiones (12 sesiones) 4. El lenguaje algebraico: polinomios (14 sesiones) Segundo trimestre 5. Ecuaciones de 1º y 2º grado (8 sesiones) 6. Sistemas de ecuaciones lineales (10 sesiones) 7. Introducción a las funciones (4 sesiones) 8. Funciones lineales y cuadráticas (10 sesiones) 9. Sistemas de representación y transformaciones en el plano (6 sesiones) 43 Tercer trimestre 10. Geometría en el plano (8 sesiones) 11. Geometría en el espacio (8 sesiones) 12. Introducción a la estadística (4 sesiones) 13. Estadística descriptiva (12 sesiones) 14. Estadística inferencial (8 sesiones) 4.1. Contextualización Esta situación de aprendizaje está orientada al curso de 3º de ESO en el IES José Jiménez Lozano, el cual es un centro público ubicado en el barrio de Parquesol, Valladolid. El aula en la que se llevará a cabo la Situación de Aprendizaje está formada por un grupo de veinticuatro alumnos. En líneas generales el nivel sociocultural y económico del alumnado es medio alto, el contexto familiar es biparental, donde al menos uno de sus progenitores tiene estudios superiores, y pertenecen a la región de Parquesol y Arroyo de la Encomienda. La mayoría de los alumnos que llegan a este centro proceden del colegio Francisco Pino y del IESO Margarita Salas. Con todo esto se aprecia la posibilidad de que los progenitores apoyen a sus hijos en casa hasta 3º o 4º ESO sin ninguna dificultad y si consideran que necesitan refuerzo, apuntarlos a una academia o a clases particulares. 4.2. Fundamentación curricular Las matemáticas desempeñan un papel fundamental en el desarrollo y la adquisición de competencias clave del perfil de salida del alumno. A continuación, se presentan algunas de las contribuciones de las matemáticas a la consecución de estas competencias clave: - Competencia en comunicación lingüística (CCL): Puesto que el lenguaje es el vehículo para comprender las situaciones que se matematizan, argumentar y expresar las soluciones y sus implicaciones, interactuar en tareas grupales y definir con precisión conceptos propios de las matemáticas. - Competencia plurilingüe (CP): Las matemáticas son un lenguaje universal que requiere adquirir destrezas de transferencia con el lenguaje habitual y facilita el intercambio de información con distintas lenguas y culturas. - Competencia matemática y competencia en ciencia, tecnología e ingeniería (STEM): Es a la que más contribuyen las matemáticas porque es la base del pensamiento científico, proporcionando herramientas como el razonamiento, la representación y el lenguaje matemático. 44 - Competencia digital (CD): al incluir métodos de análisis de datos y herramientas para el pensamiento computacional y crítico, vinculado a la resolución de problemas. - Competencia personal, social y aprender a aprender (CPSAA): Los procesos de resolución de problemas que vertebran las matemáticas están directamente relacionados con esta competencia puesto que fomentan procesos metacognitivos de reflexión y evaluación del aprendizaje y ponen en práctica estrategias de aceptación del error como parte del proceso de aprendizaje. - Competencia ciudadana (CC): Supone una reflexión crítica sobre los problemas sociales, a los que la materia Matemáticas contribuye con las herramientas de análisis e interpretación de datos, así como la comprensión de los conceptos y estructuras económicos, íntimamente relacionados con las matemáticas. - Competencia emprendedora (CE): La resolución de problemas y tareas complejas lleva consigo la planificación, el desarrollo de ideas creativas, la toma de decisiones razonadas, la gestión de tiempos y herramientas relacionadas con esta competencia. - Competencia en conciencia y expresión culturales (CCEC): A través del sentido espacial y la geometría, instrumentos para conocer e interpretar el patrimonio cultural y artístico y para expresar ideas de forma artística. Las competencias clave anteriormente mencionadas están divididas en diversos descriptores operativos que concretan y contextualizan la adquisición de cada competencia clave. El objetivo de esta Situación de Aprendizaje es que desarrollen diversas competencias específicas de la materia, con las que se logrará adquirir en cierta medida estos descriptores operativos a través de la realización de actividades. Recuérdese que todas las asignaturas del currículum contribuyen a la adquisición de estos descriptores operativos ligados a las competencias claves. Las competencias específicas se trabajarán a través de la impartición de los siguientes contenidos, destrezas y actitudes: - Contenidos: o Movimientos y transformaciones • Elementos básicos de las transformaciones: vectores, rectas, puntos y ángulos de giro. • Transformaciones elementales como giros, traslaciones y simetrías en situaciones diversas utilizando herramientas tecnológicas o manipulativas. o Visualización, razonamiento y modelización geométrica • Relaciones geométricas en contextos matemáticos y no matemáticos (arte, ciencia, vida diaria…). 45 - Destrezas y actitudes: o Esfuerzo y motivación: reconocimiento de su importancia en el aprendizaje de las matemáticas. o Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación. o Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas. o Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje. o Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático. o Conductas empáticas y estrategias de gestión de conflictos. o Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad. o La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde diferentes perspectivas (de género, de sostenibilidad, de consumo responsable...). A continuación, se muestra una tabla con las competencias específicas que se desea trabajar a través de las actividades, y sus descriptores operativos y criterios de evaluación. Cabe destacar que, aunque en una actividad se desarrollen varias competencias específicas, estas no tienen por qué ser evaluadas. Pues pueden haber sido trabajadas de una manera más concreta en otras Situaciones de Aprendizaje. Competencias Específicas Actividades Criterios de Evaluación Descriptores Operativos 1 2, 5 y 6 1.1 CCL1, CCL2, CCL3, STEM1, STEM2, STEM3, STEM4 2 y 4 1.2 STEM1, STEM2, STEM3, STEM4, CPSAA5, CE3 2 4, 6 y 7 2.1 CCL2, STEM1, STEM4 3 3 y 8 3.3 STEM1, CD2 6 5 y 8 6.2 STEM2, CD3, CE3 7 3 y 7 7.1 STEM3, CD1, CD2 8 3 y 9 8.1 CCL1, CP1, STEM2, STEM4, CD2 9 8.2 CCL1, CCL3, CP1, STEM2, STEM4 9 3 y 9 9.1 STEM5, CPSAA1 9 9.2 CPSAA1, CPSAA5 10 3 10.1 CCL5, CP3, STEM3, CPSAA3, CC2, CC3 3 10.2 CP3, STEM3, CPSAA3 Tabla 5. Asociación Competencia Específica con Actividades, Criterios de Evaluación y Descriptores Operativos. 46 4.3. Metodología Las metodologías docentes son enfoques, estrategias y técnicas utilizadas por los educadores para impartir conocimientos y facilitar el aprendizaje de los estudiantes. Estas metodologías buscan establecer una estructura y un marco de trabajo que permita organizar y dirigir el proceso educativo de manera efectiva. Existen diversas metodologías docentes, y cada una tiene sus propias características y enfoques. Las metodologías que se van a utilizar en esta situación de aprendizaje son: - Clase magistral o Método expositivo: El docente presenta la información de manera verbal o escrita, y los estudiantes la reciben de forma pasiva. Es un enfoque tradicional en el que el profesor tiene un papel central y transmite los conocimientos. - Aprendizaje basado en resolución de problemas (ABRP): Se centra específicamente en desarrollar habilidades de resolución de problemas en los estudiantes. En este enfoque, los estudiantes se enfrentan a problemas desafiantes que requieren de un proceso de análisis, identificación de estrategias y toma de decisiones para llegar a una solución. A través de la resolución de problemas, los estudiantes mejoran su capacidad para analizar situaciones, buscar información relevante, generar ideas, evaluar alternativas y tomar decisiones fundamentadas. - Aprendizaje cooperativo: Los estudiantes trabajan en grupos pequeños para alcanzar un objetivo común. Se promueve la colaboración, la interacción y el apoyo mutuo entre los estudiantes. - Aprendizaje activo: Los estudiantes participan activamente en el proceso de aprendizaje a través de actividades de tipo práctica, debates, resolución de problemas, experimentos, entre otros. Se persigue que los estudiantes sean constructores activos de su propio conocimiento. - Flipped Classroom (clase invertida): Los estudiantes estudian el material de aprendizaje de forma independiente en casa, a través de recursos como videos o lecturas, y luego utilizan el tiempo en el aula para actividades prácticas, discusiones y aclaración de dudas. Estas son solo algunas de las metodologías docentes más utilizadas, y es importante destacar que los educadores suelen combinar y adaptar diferentes enfoques según las necesidades y características de sus estudiantes. El objetivo principal es crear un entorno de aprendizaje efectivo que promueva la participación, la motivación y el desarrollo integral de los estudiantes. Como complemento a alguna de las anteriores metodologías se utilizará la técnica de la pregunta. La técnica de la pregunta en la docencia es una estrategia pedagógica que implica hacer preguntas a los estudiantes durante el proceso de enseñanza y aprendizaje para fomentar la reflexión, la participación activa y la construcción de conocimiento. 47 Esta técnica tiene como objetivo principal promover el pensamiento crítico, la resolución de problemas y la participación activa de los estudiantes en el aula. Al formular preguntas, el profesor busca despertar el interés, generar debate y permitir que los estudiantes expresen sus ideas y opiniones. Existen diferentes tipos de preguntas que se pueden utilizar en la docencia, entre las cuales se encuentran: - Preguntas de conocimiento: Son preguntas que buscan verificar la comprensión de conceptos básicos. Ejemplo: ¿Qué es una simetría axial? y ¿una simetría central? - Preguntas de comprensión: Se utilizan para asegurarse de que los estudiantes comprendan la información presentada. Ejemplo: Explica cómo se realiza una traslación utilizando un vector de desplazamiento. - Preguntas de aplicación: Buscan que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos a situaciones prácticas. Ejemplo: Si tienes un triángulo y aplicas una traslación de vector orientado hacia la derecha, ¿cómo cambian las coordenadas de sus vértices? - Preguntas de análisis: Fomentan la capacidad de descomponer la información en sus componentes y examinar las relaciones entre ellos. Ejemplo: Descompón una figura teselada en distintas partes hasta obtener la tesela generadora o el motivo mínimo y analiza las traslaciones y simetrías presentes en ellos. - Preguntas de síntesis: Se enfocan en la capacidad de combinar ideas y generar nuevas conclusiones. Ejemplo: Propón una estrategia para construir un rosetón utilizando rotaciones y simetrías. - Preguntas de evaluación: Permiten a los estudiantes evaluar y emitir juicios sobre la información o argumentos presentados. Ejemplo: ¿Cuál es la importancia de comprender y aplicar las traslaciones, rotaciones, simetrías, mosaicos, frisos y rosetones en el campo de la geometría y el arte?, ¿Cómo se pueden aplicar estos conceptos matemáticos en el diseño de patrones, decoraciones o estructuras arquitectónicas? y ¿Cuál es tu opinión sobre la utilidad y la estética de las simetrías y las transformaciones geométricas en la vida cotidiana? Al utilizar la técnica de la pregunta en la docencia, se fomenta la participación activa de los estudiantes, se estimula el pensamiento crítico y se promueve un ambiente de aprendizaje interactivo y enriquecedor. Además, ayuda a los profesores a evaluar el nivel de comprensión y el progreso de los estudiantes. En cuanto a los modos de agrupamiento los trabajos individuales y por parejas son dos enfoques comunes utilizados en la docencia para organizar y realizar actividades de aprendizaje, y excepcionalmente se realizarán grupos de tres alumnos. Cada uno tiene sus propias características y ventajas, que pueden adaptarse a diferentes objetivos educativos y necesidades de los estudiantes. A continuación, se proporciona una descripción de cada enfoque y sus ventajas: 48 - Trabajos individuales: Los trabajos individuales implican que cada estudiante trabaje de forma independiente en una tarea o proyecto. En este caso, los estudiantes asumen la responsabilidad total de completar la tarea por sí mismos. Algunas ventajas de los trabajos individuales son: o Enfoque personalizado: Los trabajos individuales permiten adaptar las tareas al nivel de cada estudiante y a sus intereses particulares, lo que puede facilitar un aprendizaje más personalizado y centrado en las necesidades individuales. o Reflexión y autoevaluación: Los estudiantes pueden reflexionar sobre su propio trabajo, identificar fortalezas y áreas de mejora, y evaluar su propio progreso. Esto fomenta la autorreflexión y el desarrollo de habilidades metacognitivas. o Fomento de la concentración: Al trabajar de forma individual, los estudiantes pueden concentrarse en la tarea sin distracciones externas, lo que puede facilitar un mayor enfoque y atención en el trabajo realizado. - Trabajos por parejas: Los trabajos por parejas implican que dos estudiantes participen juntos en una tarea o proyecto. Los estudiantes colaboran, comparten ideas y responsabilidades para alcanzar un objetivo común. Algunas ventajas de los trabajos por parejas son: o Colaboración y comunicación: Los estudiantes aprenden a trabajar en equipo, a comunicarse efectivamente y a desarrollar habilidades de colaboración, como el respeto mutuo, la escucha activa y el intercambio de ideas. o Aprendizaje interactivo: La interacción entre los estudiantes promueve el intercambio de conocimientos, la discusión y la construcción conjunta de significado. Pueden ofrecerse apoyo mutuo y generar un ambiente de aprendizaje cooperativo. o Desarrollo de habilidades sociales: Trabajar en pareja implica la negociación, el compromiso y el respeto hacia las ideas y perspectivas del otro. Esto contribuye al desarrollo de habilidades sociales, como la empatía, la tolerancia y la cooperación. o Retroalimentación inmediata: Los estudiantes pueden proporcionarse retroalimentación continua y apoyarse mutuamente en el proceso de aprendizaje. Esto facilita la identificación de errores, el intercambio de ideas y la mejora constante. - Trabajo en grupo: Presenta varias ventajas que pueden ser beneficiosas en diferentes contextos. A continuación, se enumeran algunas de las ventajas clave del trabajo en grupo: o Sinergia y creatividad: El trabajo en grupo fomenta la sinergia, lo que significa que el resultado del trabajo conjunto es mayor que la suma de las contribuciones individuales. La interacción y la combinación de diferentes perspectivas, habilidades y conocimientos pueden generar ideas más innovadoras y soluciones creativas a los problemas. o Distribución de tareas: En un grupo, las responsabilidades y tareas pueden ser distribuidas entre los miembros según sus habilidades y fortalezas individuales. Esto permite una mayor eficiencia y productividad, ya que cada miembro puede enfocarse en lo que hacen mejor. 49 Además, la distribución equitativa de tareas puede reducir la carga de trabajo individual y el estrés asociado. o Aprendizaje colaborativo: Trabajar en grupo fomenta el aprendizaje colaborativo, donde los miembros del equipo pueden enseñarse mutuamente, compartir conocimientos y brindar retroalimentación constructiva. Esto promueve un ambiente de aprendizaje activo, donde los miembros pueden beneficiarse del conocimiento y la experiencia de los demás, lo que conduce a un aprendizaje más profundo y significativo. o Desarrollo de habilidades sociales y comunicativas: El trabajo en grupo proporciona oportunidades para mejorar las habilidades de comunicación, negociación y trabajo en equipo. Los miembros del grupo deben aprender a expresar sus ideas, escuchar activamente a los demás, resolver conflictos y llegar a acuerdos. Estas habilidades sociales son valiosas en el entorno laboral y en la vida cotidiana. o Motivación y apoyo mutuo: El trabajo en grupo puede ser motivador, ya que los miembros se apoyan mutuamente, establecen metas comunes y se sienten responsables ante el grupo. La interacción y la colaboración pueden generar un ambiente de apoyo y camaradería, lo que puede aumentar la motivación, la participación y el compromiso de los miembros del equipo. o Mejora la resolución de problemas: En un grupo, los miembros pueden abordar problemas y desafíos desde diferentes perspectivas, lo que puede facilitar la identificación de soluciones más completas y efectivas. La diversidad de ideas y enfoques puede enriquecer el proceso de resolución de problemas y evitar sesgos o limitaciones individuales. Es importante considerar que la elección entre trabajos individuales, por parejas o por grupos de tres o más alumnos dependerá del objetivo de la actividad, de las características de los estudiantes y del contexto educativo. Estos enfoques tienen beneficios significativos y pueden ser utilizados de manera complementaria para promover un aprendizaje efectivo y enriquecedor. Para finalizar mostraremos un cronograma con la distribución de las sesiones para esta Situación de Aprendizaje. Sesión 1 Cronograma Tiempo (min) Metodología Organización Alumnos Espacio Recursos Introducción y explicación teórica: “Qué es una transformación geométrica, punto invariante y qué es un movimiento en el plano y su clasificación en movimientos directos e inversos” 13 Clase magistral +Técnica de la pregunta Individual Aula habitual Pizarra Vileda, rotuladores de distintos colores 50 Actividad 1 – Trabajo manipulativo con espejos 10 Resolución de Problemas Parejas Espejos y fichas Explicación Teórica: “Concepto de vector” y “Concepto de traslación como movimiento directo y elementos dobles invariantes de una traslación” 13 Clase magistral +Técnica de la pregunta Individual Pizarra Vileda y rotuladores de distintos colores Actividad 2 – Práctica de traslación con materiales manipulativos 12 Resolución de problemas Individual Papel milimetrado y cartón fino Actividad 3 – Trabajo movimientos en el plano 2 Aprendizaje cooperativo Individual Información en TEAMS El alumno deberá aportar el siguiente material: Libro o apuntes, cuaderno, bolígrafos, regla, compas y transportador de ángulos. Sesión 2 Cronograma Tiempo (min) Metodología Organización Alumnos Espacio Recursos Explicación Teórica: “Concepto de giro como movimiento directo, elementos dobles en un giro y figuras con centro de giro” y “Concepto de simetría axial, figura con movimiento inverso, elementos dobles de la simetría y figuras con ejes de simetría” 30 Clase magistral +Técnica de la pregunta Individual Aula habitual Pizarra Vileda, rotuladores de distintos colores Actividad 4 – Giros en la naturaleza, la industria y la arquitectura 20 Resolución de problemas Hoja actividad Actividad 5 – Giros y posición de poleas. Contenido trasversal con tecnología Actividad 6 – La simetría en el alfabeto (Deberes) - Casa Material aportado por el alumno: Libro o apuntes, cuaderno, bolígrafos, regla, compas y transportador de ángulos. 57 Actividad 6: Las simetrías en el alfabeto (Actividad para hacer en casa) En el alfabeto podemos encontrar letras que puedes crearse a través de algún tipo de simetría o giro. Dibuja sobre la letra correspondiente los ejes de simetría o los centros de giro si los hubiera. Actividad 6: Elaboración propia. Sesión 3 – Trabajo por parejas - Duración: 50 minutos – Aula de informática. - Recogida de actividad 6. - Explicación del programa GeoGebra en el aula de informática y aplicación de los conceptos tratados en el aula – Duración 15 minutos En esta actividad trabajaremos con los alumnos los contenidos de traslaciones, giros y simetrías a través del programa GeoGebra. Dispondremos a los alumnos por parejas en cada ordenador y repasaremos el funcionamiento básico del programa para que después, y junto con el profesor, apliquen los diferentes movimientos en una figura cualquiera. El objetivo de esta actividad es que los alumnos aprendan a usar el programa tanto para diseñar, como para comprobar resultados y entiendan las posibilidades que la informática nos brinda ante la representación y movimientos de figuras geométricas. Al trabajar en equipos de dos, trabajaremos también la responsabilidad y la cooperación. - Actividad – Duración 35 minutos Actividad 7: Distintos movimientos aplicados a la imagen de Pikachu, personaje de la serie Pokemon. A la figura original, que contiene los puntos A y B, se le han aplicado cinco isometrías. Analiza y descríbelas. También deberás anotar las coordenadas de todos los puntos desde los puntos A y B hasta los puntos A4 y B4. Finalmente, con el archivo de GeoGebra que se os ha dado con la figura original aplica las isometrías y 58 comprueba tus resultados. Recuerda que deberás entregar tanto la hoja como el archivo de GeoGebra que has modificado. Figura 26. Pikachu personaje de la Franquicia Pokemon (140 Dibujos de Pikachu fáciles de hacer para COLOREAR , 2019). Modificada (Da Costa Cortés, 2023). Actividad 7: Elaboración propia. - Actividades para casa Cada alumno deberá realizar una coevaluación del trabajo de su compañero en la sesión anterior. Esta estará disponible en TEAMS para su descarga y deberá ser enviada al profesor por privado. La actividad está basada en la metodología Flipped Classroom, donde el alumno será el responsable de su aprendizaje. Al finalizar la clase se les indicará que en TEAMS figuran varios enlaces a Videos y Webs de internet donde se explican algunos conceptos sobre mosaicos, frisos y rosetones. Como, por ejemplo: o Frisos y Mosaicos. (2022, 19 febrero). [Vídeo]. YouTube. Recuperado 20 de mayo de 2023, de https://www.youtube.com/watch?v=hywoEwqHrGg o Mora Sánchez, J. A. (s. f.). José Antonio Mora Sánchez – Resources. GeoGebra. Recuperado 8 de junio de 2023, de https://www.geogebra.org/u/jamora 59 o Arranz, J. M. (s. f.). José Manuel Arranz – Resources. GeoGebra. Recuperado 8 de junio de 2023, de https://www.geogebra.org/u/arranz o Sada Allo, M. (2007, 22 diciembre). Webs interactivas de Matemáticas. Recuperado 8 de junio de 2023, de http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm Deberán visualizar los videos y realizar la siguiente tarea. Actividad 8: Descubriendo los mosaicos, frisos y rosetones. Accede a la plataforma TEAMS y visualiza los videos sobre “Mosaicos, frisos y rosetones”. A continuación, deberás buscar/hacer dos fotografías o capturas de creaciones propias con el programa GeoGebra en las que aparezcan estos elementos. Primará la originalidad, por lo que no sirven las fotografías que aparecen en el libro. Deberás subirlas a la carpeta con tu nombre seguido de las iniciales de tus apellidos sin espacios. Nota: Ponte de acuerdo con tus compañeros de la Actividad 3: Presentación por grupos e incluid dos de vuestras fotos en el trabajo. Actividad 8: Elaboración propia. - Aviso: último día para subir la presentación de la actividad 11 Sesiones 4 y 5 – Trabajo grupo - Duración: 100 minutos – Aula de informática. - Entrega de la Actividad 7 corregida. - Actividad – Duración 100 minutos Actividad 9: Aprender a aprender. El profesor irá proyectando la presentación de PowerPoint de la Actividad 3; en cada presentación se indicará a los alumnos de cada grupo y el orden en que deberán exponer. El profesor se reserva la posibilidad de hacerles alguna pregunta o de ofrecer al resto de compañeros de clase que realicen alguna pregunta, cuestión o duda. Actividad 9: Elaboración propia. Sesión 6 – Trabajo individual - Duración: 50 minutos – Aula habitual de la clase. - Repaso de los contenidos tratados hasta el momento. Se realizará un repaso de los conceptos considerados en clase y se responderán dudas sobre los ejercicios hechos en clase y de otros ejercicios solicitados por los alumnos. 60 4.5. Atención a las diferencias individuales La atención a la diversidad no es sólo tratar alumnos que puedan tener dificultades específicas, TEA, TDAH, altas capacidades, etc. Hay que tener en cuenta que todos los alumnos van a tener algún tipo de diferencia individual y que tienen diferentes circunstancias y distintos ritmos de aprendizaje. Nuestros alumnos con NEE podrán realizar las mismas actividades que sus compañeros adaptando los materiales. Toda la clase se distribuirá en grupos, de tal forma que alumnos con peores habilidades matemáticas estarán con alumnos con competencia media o alta. Se pretende buscar la cooperación y favorecer la comunicación. A su vez tendrán que resolver problemas contextualizados en temas para adolescentes que son prácticamente conocidos por todos, los cuales también implicarán el uso del razonamiento y la abstracción y no se percibirán tan ligados a las matemáticas, lo que favorecerá la implicación de los alumnos, aunque tengan una actitud más negativa hacia estas. Con todo ello se busca que todos puedan participar en la actividad, que no se frustren por no resolver un problema individualmente, sino que se sientan apoyados ya que son dos compañeros, que vean que los problemas que se plantean podrían ocurrir realmente, que desarrollen una actitud positiva hacia la resolución de problemas al plantearlo como actividad de grupo y que practiquen el razonamiento a la hora de resolver cuestiones que no son estrictamente un “problema”. Además, muchas de las actividades se plantean de tal forma que conduzcan al éxito, para que así al final de la actividad, tengan una sensación positiva respecto a su esfuerzo e implicación. Así mismo, al pasar por las mesas, si observamos que alguna pareja se ha estancado con sus problemas, podremos darles indicaciones sobre si van por buen camino o no, sin llegar a resolverles el problema, lo que se conocen como “pistas”. Por supuesto, siempre respetando el principio de equidad y justicia de que se hará con todas las parejas indiscriminadamente. 4.6. Proceso de evaluación En un proceso de evaluación es importante tener en cuenta diversos aspectos para asegurar una evaluación completa y significativa del aprendizaje de los estudiantes. A continuación, se muestran algunos aspectos clave a considerar: - Objetivos de aprendizaje: Revisar los objetivos establecidos al inicio de la Situación de Aprendizaje para evaluar en qué medida se han logrado. Los objetivos deben ser claros, medibles y alineados con los contenidos y competencias desarrollados durante la situación de aprendizaje. 61 - Criterios de evaluación: Definir criterios claros y específicos que permitan valorar el nivel de logro de los estudiantes. Estos criterios deben ser comprensibles para los estudiantes y servir como referencia durante el proceso de evaluación. - Diversidad de evidencias: Utilizar diferentes tipos de evidencias de aprendizaje, como pruebas escritas, proyectos, presentaciones orales, trabajos prácticos, entre otros. Esto proporciona una visión más completa del progreso y las habilidades de los estudiantes. - Coherencia y secuencia: Evaluar cómo se han desarrollado los contenidos y las actividades a lo largo de la Situación de Aprendizaje, asegurando una progresión lógica y coherente en la adquisición de conocimientos y competencias. - Participación y colaboración: Considerar la participación activa de los estudiantes en las actividades, su nivel de colaboración y contribución en el trabajo en equipo, debates o proyectos grupales. - Proceso y producto: Evaluar tanto el proceso de aprendizaje como los productos finales. Valorar no solo los resultados finales, sino también el esfuerzo, la reflexión, el proceso de resolución de problemas y la mejora continua de los estudiantes. - Retroalimentación formativa: Proporcionar retroalimentación continua y constructiva a los estudiantes, identificando sus fortalezas y áreas de mejora. La retroalimentación debe ser clara, específica y orientada hacia el desarrollo de competencias y el logro de los objetivos. - Evaluación auténtica: Utilizar situaciones y contextos reales que permitan a los estudiantes aplicar los conocimientos y habilidades adquiridos de manera auténtica. Esto implica diseñar actividades y tareas que reflejen situaciones de la vida real y desafíos del mundo actual. - Equidad y diversidad: Considerar las diferentes necesidades, estilos de aprendizaje y diversidad cultural de los estudiantes en el momento de evaluar. Garantizar una evaluación justa y sin sesgos, adaptando las estrategias de evaluación según las características individuales de los estudiantes. - Autoevaluación y coevaluación: Fomentar la participación de los estudiantes en su propio proceso de evaluación, invitándolos a reflexionar sobre su aprendizaje, establecer metas y evaluar su propio progreso. Además, promover la coevaluación, donde los estudiantes se evalúan entre sí, favoreciendo la responsabilidad y la autorregulación. Al considerar estos aspectos, se puede realizar una evaluación integral que brinde una visión completa del aprendizaje de los estudiantes y que sea justa, significativa y orientada al desarrollo de competencias. En el Decreto 39/2022, de 29 de septiembre (BOCYL-D-30092022-3 Decreto 39/2022, de 29 de septiembre, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León., 2022), se indican los descriptores operativos de las competencias que se relacionan con las competencias específicas de nuestra materia y donde estas últimas deben ser trabajadas durante todo el curso en diversas situaciones de aprendizaje. 62 Tabla 6. Descriptores Operativos con las Competencias Especifica de la Materia (BOCYL-D-30092022-3 Decreto 39/2022, de 29 de septiembre, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León., 2022) Debemos considerar que la evaluación de esta Situación de Aprendizaje se corresponde según carga semanal con el 17%, por lo que las notas deberán ser ponderadas con respecto a la carga semanal del trimestre completo. La nota se dividirá en: - Participación en clase y comportamiento: 30%, que se realizará mediante un anecdotario. Un anecdotario de profesor es un registro en el que se anotan anécdotas, observaciones o incidentes relevantes relacionados con la participación en clase y el comportamiento de los estudiantes. Estará formado por la siguiente estructura: o Fecha: Registra la fecha en la que se produjo la anécdota o incidente. o Nombre del estudiante: Anota el nombre del estudiante involucrado en la situación. o Descripción de la situación: Describe de manera objetiva y concisa la situación específica que deseas registrar. Puedes incluir detalles relevantes como el contexto, el tipo de participación o comportamiento y cómo impactó en la dinámica de la clase. o Reflexión o análisis: Escribe las reflexiones del profesor sobre la situación. Análisis de la causa del comportamiento o la razón detrás de la participación del estudiante. También se 63 puede destacar el impacto que tuvo en el aprendizaje de los demás estudiantes o en el ambiente de la clase. o Acciones tomadas: Registra cualquier acción tomada como resultado de la situación. Por ejemplo, si se habló con el estudiante después de clase, si se aplicó algún tipo de consecuencia o si se tomaron medidas para fomentar la participación positiva en el futuro. o Seguimiento: Si es necesario, anotar cualquier seguimiento u observación posterior que se precise hacer con respecto a la situación. Por ejemplo, si se planea hablar con los padres del estudiante, si se necesita consultar con otros profesores o si se planea monitorear el comportamiento o la participación del estudiante a lo largo del tiempo. Recuérdese que el anecdotario de profesor es una herramienta para tener un registro objetivo y sistemático de las situaciones de participación y comportamiento en clase. Debe ser confidencial y utilizado como una herramienta de reflexión y seguimiento para el desarrollo del estudiante. - Entrega de tareas y exposición: 70%. La evaluación se realizará mediante el uso de diversas rúbricas donde la calificación de cada actividad estará ponderada por su carga de trabajo (trabajo en clase y expectativas de trabajo personal). Las rúbricas que se utilizarán serán las que se hallan en los Anexos que se detallan a continuación para cada actividad. o Anexo I. Rúbrica autoevaluación: Sin aplicación. o Anexo II. Rúbrica para evaluar a mis compañeros (Coevaluación): Actividad 3. o Anexo III. Rúbrica para evaluar la resolución de problemas: Actividades 2, 4, 5, 6, 7 y 8. o Anexo IV. Rúbrica para evaluar la exposición oral: Actividad 9. o Anexo V. Rúbrica para evaluar la presentación de la investigación: Actividad 3. Otros puntos para tener en cuenta y para clarificar las tablas con los criterios de evaluación y las actividades son: o En rúbricas donde aparezca evaluado un mismo criterio desde distintos puntos de vista, la nota de ese criterio en esa rúbrica será la media aritmética de estas. o La valoración del criterio de evaluación obtenido de cada actividad a través de la rúbrica se realizará en tanto por diez y su resultado final se mostrará en la columna de la derecha, “Nota sobre 10”. o A la hora de calcular el valor obtenido de cada criterio, este deberá ser ponderado en función del tiempo empleado en cada actividad. 64 En esta tabla se muestra la ponderación que deberá realizarse sobre las calificaciones obtenidas a través de la rúbrica para la obtención de la nota de cada actividad. C.Esp.1 C.Esp.2 C.Esp.3 C.Esp.4 C.Esp.5 C.Esp.6 C.Esp.7 C.Esp.8 C.Esp.9 C.Esp.10 Actividad 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3 7.1 7.2 8.1 8.2 9.1 9.2 10.1 10.2 Calificación 1 2 2,5 7,5 3 2 4 1,5 0,5 1 1 4 7 3 5 5 5 6 5 5 7 5 5 8 7 3 9 3 3 2 2 Tabla 7. Calificación Actividades 65 En esta tabla se muestra la calificación final obtenida en cada criterio de evaluación de la rúbrica calculada a través de la ponderación en tanto por ciento del tiempo empleado en cada actividad. C.Esp.1 C.Esp.2 C.Esp.3 C.Esp.4 C.Esp.5 C.Esp.6 C.Esp.7 C.Esp.8 C.Esp.9 C.Esp.10 Actividad Ponderación (Tiempo) 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3 7.1 7.2 8.1 8.2 9.1 9.2 10.1 10.2 1 10 2 30 40 75 3 40 22,5 44,5 33,3 20 100 100 4 10 25 23 5 15 20 62,5 6 30 40 38,5 7 30 38,5 55,5 8 15 77,5 37,5 9 8 66,7 100 80 100 Calificación por criterios Tabla 8. Calificación Criterios de Evaluación Ponderados 66 4.7. Valoración de la situación de aprendizaje Una vez llevada a cabo una Situación de Aprendizaje es necesario realizar una valoración donde se evalúa su efectividad y calidad en términos de logro de objetivos educativos, adecuación de los contenidos, estrategias de enseñanza utilizadas, evaluación del aprendizaje de los estudiantes y otros aspectos relevantes. Aquí se presenta un proceso básico para llevar a cabo esta valoración por parte del profesor: - Revisión de los objetivos: Analizar los objetivos planteados en la Situación de Aprendizaje para asegurarse de que son claros, específicos y alineados con los contenidos y las competencias que se pretenden desarrollar. - Análisis de los contenidos: Examinar los contenidos propuestos en la Situación de Aprendizaje y evaluar si son apropiados para el nivel y las características de los estudiantes. Considerar si se abordan los conceptos clave, si hay suficiente profundidad y si se presentan de manera organizada y secuencial. - Evaluación de las estrategias de enseñanza: Examinar las estrategias utilizadas por el profesor para enseñar los contenidos. Evaluar si se emplean métodos variados y adecuados para promover la participación activa de los estudiantes, si se fomenta el pensamiento crítico y la resolución de problemas, y si se utilizan recursos didácticos apropiados. - Revisión de la evaluación del aprendizaje: Analizar cómo se ha llevado a cabo la evaluación del aprendizaje de los estudiantes. Considerar si se utilizan diferentes instrumentos de evaluación, como pruebas, trabajos prácticos, proyectos, etc. Evaluar si los criterios de evaluación son claros y justos, y si la retroalimentación proporcionada es adecuada y constructiva. - Reflexión sobre el clima de clase y la gestión del tiempo: Observar el clima de clase durante la implementación de la Situación de Aprendizaje. Evaluar si el ambiente promueve la participación, el respeto y la colaboración entre los estudiantes. Además, considerar si el tiempo se ha administrado de manera eficiente y si se han cumplido los plazos establecidos. - Recopilación de datos: Obtener información relevante a través de diferentes fuentes, como observaciones en clase, análisis de trabajos y proyectos de los estudiantes, entrevistas o encuestas a los alumnos, entre otros métodos de recolección de datos. - Análisis de datos y elaboración de conclusiones: Analizar los datos recopilados y evaluar la eficacia de la Situación de Aprendizaje en relación con los aspectos mencionados anteriormente. Identificar fortalezas y áreas de mejora, y elaborar conclusiones basadas en la evidencia recopilada. - Propuestas de mejora: Sugerir acciones concretas para mejorar la Situación de Aprendizaje, como ajustes en los objetivos, revisión de los contenidos, implementación de estrategias de enseñanza alternativas o modificación de los métodos de evaluación. 73 5. CONCLUSIONES 5.1. Aportación del presente Trabajo Fin de Máster a la Enseñanza En el presente TFM se ha desarrollado una propuesta didáctica motivadora para el estudio de las transformaciones geométricas del plano en el nivel de secundaria. A través de la incorporación de actividades manipulativas, el uso de herramientas tecnológicas y la inclusión de contextos relevantes, se ha buscado acercar este tema de manera efectiva a los estudiantes de tercer curso de la ESO. La revisión de los objetivos ha permitido establecer metas claras y específicas, alineadas con los contenidos y competencias que se pretendían desarrollar. Los objetivos planteados buscaban impulsar el aprendizaje significativo y la comprensión profunda de las transformaciones geométricas. En relación con el análisis de los contenidos propuestos, se ha realizado una selección cuidadosa de los conceptos clave y se ha buscado presentarlos de manera organizada y secuencial. Se ha considerado la importancia de abordar los contenidos de manera adecuada al nivel y las características de los estudiantes. Las estrategias de enseñanza propuestas, que incluyen actividades manipulativas y el uso de herramientas tecnológicas como GeoGebra, presentan un enfoque innovador y prometedor para fomentar la participación activa y el pensamiento crítico de los estudiantes. Estas estrategias ofrecen oportunidades para la experimentación y la visualización de las transformaciones geométricas. En cuanto a la evaluación del aprendizaje, se ha estimado un sistema integral que incluye diferentes instrumentos de evaluación para medir las competencias adquiridas por los estudiantes. Se han considerado criterios de evaluación claros y justos. Durante la reflexión sobre el clima de clase y la gestión del tiempo, se ha considerado la importancia de crear un ambiente propicio para la participación, el respeto y la colaboración entre los estudiantes. Asimismo, se ha destacado la necesidad de una administración eficiente del tiempo para asegurar el cumplimiento de los plazos establecidos. A pesar de que esta propuesta didáctica no se llevará a cabo en la práctica, el proceso de recopilación y análisis de datos ha permitido obtener una visión completa de los aspectos teóricos y metodológicos involucrados. A través de la recopilación de información de diferentes fuentes, se ha obtenido una perspectiva enriquecedora sobre el tema de las transformaciones geométricas y su enseñanza en el nivel de secundaria. En resumen, este TFM ha presentado una propuesta didáctica interesante y novedosa para el estudio de las transformaciones geométricas del plano en secundaria. Aunque no se pondrá en práctica, la elaboración de esta propuesta ha permitido reflexionar sobre aspectos fundamentales de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como explorar enfoques innovadores para acercar este tema a los estudiantes. 74 5.2. Aportación de las asignaturas del Máster a la consecución del presente Trabajo Fin de Máster En cuanto a la relación de las asignaturas del Máster, el Trabajo Fin de Máster se presenta como una integración de todas las enseñanzas recibidas, incluyendo las competencias adquiridas en cada una de las asignaturas. En este caso, el enfoque se centra en la elaboración de una Propuesta Didáctica para el estudio de las Transformaciones Geométricas del plano en Secundaria. A lo largo del desarrollo del TFM, se evidencia la contribución de las diferentes asignaturas del Máster en la elaboración de esta propuesta. En primer lugar, la asignatura de Diseño Curricular en Matemáticas proporcionó las bases para conocer los contenidos mínimos establecidos en los documentos institucionales y los objetivos específicos de la educación secundaria en general y del tema en particular. Además, se analizó el sistema educativo y el modelo de competencias requerido por la legislación, que sirvió como guía para la realización de la propuesta didáctica. Por otro lado, la asignatura de Complementos de Matemáticas brindó conocimientos de nivel superior, necesarios para transmitir con confianza los conceptos matemáticos y abordar situaciones especiales, como la atención a estudiantes con altas capacidades o la enseñanza en bachilleratos de excelencia. Esto asegura que los futuros docentes adquieran un nivel académico adecuado. La asignatura de Didáctica de la Matemática fue fundamental para planificar la enseñanza de manera efectiva, teniendo en cuenta las mejores formas de transmitir los conocimientos y promover un aprendizaje significativo. Además, la asignatura de Modelos Matemáticos en Educación Secundaria proporcionó ejemplos y situaciones que ayudaron a desarrollar diversas actividades para que los estudiantes puedan realizar deducciones y estrategias propias en la resolución de problemas. La asignatura de Metodología y Evaluación en Matemáticas fue esencial para seleccionar las metodologías adecuadas que se alineen con los objetivos y competencias planteados. Además, se consideraron las pautas estudiadas para desarrollar un sistema de evaluación eficiente. La asignatura de Innovación Docente en Matemáticas analizó la importancia de introducir enfoques innovadores en la enseñanza, así como el uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en el aula. Estos aspectos se tuvieron en cuenta al diseñar actividades motivadoras e incluir herramientas informáticas en la propuesta didáctica. La asignatura de Iniciación a la Investigación Educativa en Matemáticas contribuyó a comprender la importancia de la investigación en la educación y proporcionó estrategias para el análisis didáctico de contenidos e instrucción, así como para el estudio de libros de texto. 75 La asignatura Ideas y Conceptos Matemáticos a través de la Historia fue importante, ya que el enfoque histórico de la propuesta didáctica requería comprender la evolución de los movimientos en el plano y las manifestaciones culturales y artísticas relacionadas con los conceptos matemáticos. Finalmente, las Prácticas Externas en un centro de educación secundaria permitieron observar las dificultades y la falta de interés de los estudiantes. Estas observaciones influyeron en la elaboración de actividades atractivas y motivadoras que utilizaran materiales diversos, manipulación de instrumentos y programas informáticos. En resumen, el Máster se convierte en una herramienta fundamental para desarrollar el TFM y, en consecuencia, para planificar la docencia en el futuro. La formación recibida en cada asignatura contribuye al desarrollo y preparación de diferentes proyectos docentes y ayuda a los futuros docentes para afrontar los desafíos de la educación secundaria y bachillerato. 76 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1000marcas. (2023). Recuperado el 15 de mayo de 2023, de McDonalds Logo: https://1000marcas.net/logomcdonalds/ 140 Dibujos de Pikachu fáciles de hacer para COLOREAR . (2019). Recuperado el 21 de mayo de 2023, de dibujosaparacolorear.blogspot.com: https://dibujosaparacolorear.blogspot.com/2019/08/140-dibujos- de-pikachu-faciles-de-hacer.html Alfombra de vinilo cocina patrón flores. (2022). Recuperado el 27 de mayo de 2023, de TenVinilo: https://www.tenvinilo.com/alfombras-vinilicas/alfombra-vinilo-cocina-patron-flores-R2322 AulaFacil. (2013). 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Rúbrica para evaluar a mis compañeros (Coevaluación) RÚBRICA PARA EVALUAR A MIS COMPAÑEROS Nombre del alumno/a que evalúa: ______________________________________________________ ASPECTOS 4 EXCELENTE 3 SATISFACTORIO 2 MEJORABLE 1 INSUFICIENTE Es responsable con la tarea asignada (Criterio 10.2) Sí. Ha hecho todo lo que tenía que hacer. Ha hecho el 70/80 % del trabajo que tenía que hacer. Ha terminado un poco más de la mitad de la tarea asignada. No ha hecho casi nada o como máximo algo menos de la mitad de la tarea. Acepta las opiniones de los otros compañeros del grupo (Criterio 10.1) Escucha y acepta los comentarios, sugerencias y opiniones de otros y los usa para mejorar su trabajo. Escucha los comentarios, sugerencias y opiniones de otros, pero no los usa para mejorar su trabajo. Escucha los comentarios y sugerencias de los otros. No obstante, no siempre les presta atención ni los acepta positivamente No escucha al resto de compañeros del equipo. Es respetuoso y favorece el trabajo del grupo (Criterio 9.1) Respeta a todos los compañeros. Anima al grupo y a todos sus componentes para mejorar. Hace propuestas para que el trabajo y los resultados mejoren. Respeta a todos los compañeros. Anima al grupo y a todos sus componentes para mejorar. Respeta a todos los compañeros. No anima al grupo o solo anima a algunos de sus componentes para mejorar el trabajo. No es respetuoso con los compañeros del grupo. Nombre del alumno/a evaluado: ______________________________________________________ Puntuación Nombre del alumno/a evaluado: ______________________________________________________ Puntuación 80 Anexo III. Rúbrica para evaluar la resolución de problemas RÚBRICA PARA EVALUAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ASPECTOS 4 EXCELENTE 3 SATISFACTORIO 2 MEJORABLE 1 INSUFICIENTE Comprensión del problema (Criterio 1.1) Analiza, reconoce e interpreta perfectamente los datos, identificando con certeza lo que se busca y demostrando una absoluta comprensión del problema. Analiza, reconoce e interpreta los datos, identificando con claridad lo que se busca y demostrando una alta comprensión del problema. Reconoce los datos e interpreta la relación entre los mismos, demostrando una comprensión elemental del problema. No reconoce los datos, sus relaciones ni el contexto del problema, mostrando poca comprensión de este. Estrategia (Criterio 1.2) Siempre utiliza estrategias eficientes que contribuyen a la resolución de problemas. Acostumbra a usar estrategias eficientes que contribuyen a la resolución de problemas. Algunas veces usa estrategias eficientes que contribuyen a la resolución de problemas. En contadas ocasiones usa estrategias eficientes que contribuyen a la resolución de problemas. Se detecta incoherencia. Planteamiento razonado (Criterio 4.1) Detalla los pasos seguidos, organiza los datos y descompone el problema aplicando en grado óptimo los conceptos matemáticos necesarios que facilitan su interpretación. Detalla los pasos seguidos y aplica correctamente los conceptos matemáticos necesarios. Detalla los pasos seguidos y muestra un aceptable conocimiento de los conceptos matemáticos. No detalla los pasos seguidos y se aprecia desconocimiento en los conceptos matemáticos necesarios. Solución del problema (Criterio 2.1) Aporta correctamente la solución del problema, analiza y discute sobre su unicidad y reflexiona y valora sobre su fiabilidad. Revisa el proceso, detecta si hay errores y procede a su rectificación. Aporta correctamente la solución del problema, analiza y discute sobre su unicidad y reflexiona y valora sobre su fiabilidad. Aporta la solución correcta pero no reflexiona sobre su fiabilidad. No aporta la solución correcta. 81 ASPECTOS 4 EXCELENTE 3 SATISFACTORIO 2 MEJORABLE 1 INSUFICIENTE Empleo de herramientas tecnológicas para investigación (Criterio 3.3) Accede a los enlaces y aporta la información significativa y de gran calidad solicitada, sobre el tema en cuestión. Accede a los enlaces y aporta la información solicitada sobre el tema en cuestión. Accede a los enlaces y aporta algo de información sobre el tema en cuestión. No accede o accede a los enlaces suministrados, pero la información aportada es errónea. Contextualización (Criterio 6.2) Habilidad excepcional para identificar conexiones coherentes y significativas entre matemáticas y otras materias. Capacidad avanzada para resolver problemas contextualizados con un alto nivel de competencia. Comprende de manera profunda cómo aplicar conceptos matemáticos en diferentes contextos. Habilidad sólida para identificar conexiones coherentes entre matemáticas y otras materias. Capacidad adecuada para resolver problemas contextualizados con una buena comprensión. Comprende cómo aplicar conceptos matemáticos en diferentes contextos. Habilidad básica para identificar conexiones entre matemáticas y otras materias. Capacidad adecuada para resolver problemas contextualizados, pero con espacio para mejorar. Comprende de manera básica cómo aplicar conceptos matemáticos en diferentes contextos. Dificultad para identificar conexiones entre matemáticas y otras materias. Capacidad limitada para resolver problemas contextualizados. Comprende de manera limitada cómo aplicar conceptos matemáticos en diferentes contextos. 82 Anexo IV. Rúbrica para evaluar la exposición oral RÚBRICA PARA EVALUAR UNA EXPOSICIÓN ORAL CATEGORÍA 4 EXCELENTE 3 SATISFACTORIO 2 MEJORABLE 1 INSUFICIENTE Vocabulario (Criterio 8.1) Usa vocabulario apropiado para la audiencia. Aumenta el vocabulario de la audiencia definiendo las palabras que podrían ser nuevas para ésta. Usa vocabulario apropiado para la audiencia. Incluye 1-2 palabras que podrían ser nuevas para la mayor parte de la audiencia, pero no las define. Usa vocabulario apropiado para la audiencia. No incluye vocabulario que podría ser nuevo para la audiencia. Usa varias (5 o más) palabras o frases que no son entendidas por la audiencia. Contenido (Criterio 8.2) Demuestra un completo entendimiento del tema que expone. Demuestra un buen entendimiento del tema que expone. Demuestra un buen entendimiento de partes del tema que expone. No parece entender muy bien el tema que expone. Habla (Criterio 9.1) Habla despacio y con gran claridad. La mayoría del tiempo habla despacio y con claridad. Unas veces habla despacio y con claridad, pero otras se acelera y se le entiende mal. Habla rápido o se detiene demasiado a la hora de hablar. Además, su pronunciación no es buena. Volumen (Criterio 9.1) El volumen es lo suficientemente alto para ser escuchado por todos los miembros de la audiencia a través de toda la presentación. El volumen es lo suficientemente alto para ser escuchado por todos los miembros de la audiencia al menos 90% del tiempo. El volumen es lo suficientemente alto para ser escuchado por todos los miembros de la audiencia al menos el 80% del tiempo. El volumen con frecuencia es muy débil para ser escuchado por todos los miembros de la audiencia. Comprensión (Criterio 8.1) El estudiante puede con precisión contestar casi todas las preguntas planteadas sobre el tema por sus compañeros de clase. El estudiante puede contestar con precisión la mayoría de las preguntas planteadas sobre el tema por sus compañeros de clase. El estudiante puede con precisión contestar unas pocas preguntas planteadas sobre el tema por sus compañeros de clase. El estudiante no puede contestar las preguntas planteadas sobre el tema por sus compañeros de clase. Postura del cuerpo y contacto visual (Criterio 9.2) A la hora de hablar la postura y el gesto son muy adecuados. Mira a todos los compañeros con total naturalidad. La mayoría del tiempo la postura y el gesto son adecuados y casi siempre mira a los compañeros mientras habla. Algunas veces, mantiene la postura y el gesto adecuados, y otras no. En ocasiones mira a sus compañeros. No mantiene la postura y gesto propios de una exposición oral y, la mayoría de las veces no mira a sus compañeros.