Un curioso ejemplo: anillos no isomorfos con anillos de polinomios isomorfos

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Un Curioso Ejemplo: Anillos no Isomorfos con Anillos de Polinomios Isomorfos Autor: Laura Esteban Sanz Tutor: Manuel Carnicer Arribas Índice general Índice General I Introducción II 1. Primeras nociones 1 1.1. Anillos no conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Anillos graduados y módulos graduados. . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Álgebras. ............................... 8 1.4. Sucesiones exactas y Lema de escisión. . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Producto Tensorial de Módulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Exactitud del Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Producto Tensorial de Álgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Álgebra Tensorial y Simétrica 22 2.1. Álgebra Tensorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Propiedades funtoriales del Álgebra Tensorial. . . . . . . . 24 2.2. Álgebra Simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Propiedades funtoriales del Álgebra Simétrica. . . . . . . 27 2.2.2. Álgebra Simétrica de una suma directa. . . . . . . . . . . 29 3. Teorema de Poincaré 31 3.1. NocionesPrevias............................ 31 3.2. Teorema de Gauss-Bonnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3. Singularidades de campos de vectores sobre superficies. . . . . . . 43 4. Un curioso ejemplo. 46 4.1. El isomorfismo en polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2. Generadores de E. .......................... 49 4.3. Isomorfismo de A-álgebras. ..................... 51 4.4. Conclusión. .............................. 57 Bibliografía 60 I Introducción En 1972, la Sociedad Americana de Matemáticas (AMS) publica el artículo “NONUNIQUENESS OF COEFFICIENT RINGS IN A POLYNOMIAL RING”, del matemático neoyorkino Melvin Hochster. En esta publicación se presenta un curioso ejemplo de dos anillos conmutativos y unitarios ByCtales que, siendo ByCno isomorfos, al considerar una indeterminada t, resulta que B[t]∼ =C[t]. El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es desarrollar la teoría que servirá de base para el resultado citado en el artículo. Por un lado, al probar un isomorfismo entre dos anillos de polinomios sobre distintos anillos de coeficientes, se realiza un estudio de algunas construcciones sobre módulos, habituales del álgebra conmutativa: Producto Tensorial, Álgebra Tensorial, Álgebra Simétrica, y sucesiones exactas escindidas. De la misma forma, para probar que los anillos de coeficientes de partida no son isomorfos debemos introducir nuevos conceptos matemáticos: automorfismos del cuerpo de los números reales, construcciones de pre-órdenes, e incluso se introduce un teorema geométrico conocido como Teorema de Poincaré. El trabajo está estructurado en cuatro capítulos. En el primer capítulo, debemos empezar por unas nociones básicas de álgebra. Se darán por conocidos los conceptos y resultados sobre Anillos y Módulos conmutativos del primer capítulo y las cuatro primeras secciones del segundo capítulo del libro [1]. Como podemos observar, este libro se centra en el álgebra Conmutativa. Sin embargo, habrá ocasiones en las que no consideremos necesariamente un anillo conmutativo. El primer paso será, por tanto, construir la teoría sobre anillos no conmutativos y sus respectivos ideales bilaterales. Continuaremos con la definición y resultados sobre anillos graduados y módulos graduados. Después, la definición del Producto Tensorial de módulos y de álgebras. En el segundo se quiere llegar a la construcción del Álgebra Simétrica. Con los resultados del primer capítulo, podemos así construir el Álgebra Tensorial. Después, definiremos el Álgebra Simétrica y veremos sus propiedades de funtorialidad, que nos serán de utilidad en el capítulo 4. Además, como nuestro objetivo es el ejemplo que aparece en el artículo, se prestará especial atención al Álgebra Simétrica de una suma directa de módulos. II El tercer capítulo está destinado a la presentación del teorema geométrico conocido como Teorema de Poincaré. Continuando con la asginatura de “Geometría de Curvas y Superficies” se enuncia el Teorema de Gauss-Bonnet, primero en su versión local y depués en su versión más general para regiones regulares. Como una aplicación de este último a los campos de vectores sobre superficies obtenemos el Teorema de Poincaré que enuncia que: Todos los campos de vectores con singularidades aisladas de una superficie homeomorfa a la esfera S2 deben cumplir que la suma de sus índices sea igual a la característica de Euler de la esfera. Para este capítulo seguiremos la notación y terminología del libro [5]. Finalmente, en el Capítulo 4 desarrollaremos el ejemplo del artículo basándonos en los resultados previamente estudiados. Los resultados sobre Álgebra Simétrica vistos en el capítulo 2 nos permitirán establecer el isomorfismo entre los A-módulos B[t] = A[P, Q, t]yC[t] = S(E)[t], donde Aserá el anillo A=R[X, Y, Z]/(X2+Y2+Z2−1), y Ees el núcleo del homomorfismo Φ:A3→ A definido por Φ(a, b, c) = ax+by+zc para (a, b, c)∈ A3. El Teorema de Poincaré nos permitirá demostrar que Edebe tener, al menos, 3 generadores. Este resultado nos llevará a una contradicción por la que finalmente concluiremos que ByCno son isomorfos. En el camino para obtener esta contradicción necesitaremos trabajar con sucesiones escindidas, así como con los automorfismos de Ry la construcción de pre-órdenes. III Capítulo 1 Primeras nociones En este capítulo se darán por conocidos los conceptos y resultados sobre Anillos y Módulos conmutativos del primer capítulo y las cuatro primeras secciones del segundo capítulo del libro [1]. 1.1. Anillos no conmutativos Definición 1.1.1. Un anillo (A, +,·)es un conjunto Adotado de dos operaciones internas, suma (x, y)7→ x+y, y multiplicación (x, y)7→ x·y, que cumplen las siguientes propiedades: 1. Para la suma, Aes un grupo conmutativo. 2. La multiplicación cumple la propiedad de asociatividad. 3. La multiplicación es distributiva con respecto de la suma. 4. Si la multiplicación tiene la propiedad conmutativa, el anillo Aes un anillo conmutativo. 5. Si la multiplicación posée elemento neutro, es decir, existe un único elemento 1∈Atal que x1=1x=xpara todo x∈A, el anillo Aes un anillo unitario. Denotaremos el elemento neutro como 1Ao1si no hay lugar a confusión. Nota De aquí en adelante consideraremos todos los anillos unitarios. Recordemos también que el elemento neutro es único. Definición 1.1.2. El conjunto Adotado solamente de la adición es un grupo conmutativo que se denomina grupo aditivo de A. Definición 1.1.3. Sea Aun anillo unitario. Llamaremos elemento unidad de Aa un a∈Atal que ay =ya = 1 para algún y∈A. A este elemento yle llamaremos inverso de ay lo denotaremos por a−1. 1 Proposición 1.1.1. Dado un anillo Ay un elemento unidad a∈A. El inverso de a es único. Demostración. Supongamos b∈Aotro inverso de A. Entonces, b=b1 = b(aa−1)=(ba)a−1= 1a−1=a−1 Definición 1.1.4. Dados dos anillos AyB, se define un homomorfismo de anillos fcomo una aplicación f:A→Btal que i.f(x+y) = f(x) + f(y)para x, y ∈A. ii.f(xy) = f(x)f(y)para x, y ∈A. iii.f(1A)=1B. Definición 1.1.5. Sea A un anillo. Se define un ideal por la izquierda (resp. por la derecha) como un subgrupo del grupo aditivo de A tal que si a∈Ay x∈Ise tiene que ax ∈I(resp. xa ∈I). Si un ideal es a la vez un ideal por la derecha y por la izquierda de A, se denominará ideal bilátero o bilateral de A. Aunque tenemos una nueva definicón de ideal bilateral para el caso de anillos no conmutativos, las propiedades de ideales se conservan: Proposición 1.1.2. Sea A un anillo. La intersección de ideales biláteros de A es un ideal bilateral de A Demostración. Sea (Ij)una colección de ideales biláteros de A. Es claro que la interseción es un subgrupo aditivo. Por otro lado, si x∈Aya∈ ∩Ijse tiene que xa ∈Ijyax ∈Ijpara cada jpor ser ideales biláteros. Y por tanto, xa ∈ ∩Ij yax ∈ ∩Ij. Entonces, la intersección es un ideal bilateral. Definición 1.1.6. Dado un anillo Ay un subconjunto S⊂A. Se define el ideal bilateral generado por el conjunto Scomo la intersección de todos los ideales bilaterales de Aque contienen a S. Proposición 1.1.3. Dado un anillo Ay un subconjunto S⊂A. El conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de Scon coeficientes en A, este es hSi={Pn j=1 ajxjbj|aj, bj∈A, xj∈S}, es el ideal bilátero generado por S. Demostración. Sea hSi={Pn j=1 ajxjbj|aj, bj∈A, xj∈S}. Veamos, en primer lugar, que hSies un ideal bilateral. Tenemos 0 = 0x0para cualquier x∈S, luego 0∈ hSi. Tomando dos elementos s1=Pajxjbjy s2=Pa0 ix0 ib0 i∈ hSi, veamos que su resta está en hSi. s1−s2=Xaixibi−Xajxjbj=Xaixibi+X(−aj)xjbj 2 que es una suma finita de las que pertenecen a hSi, luego es un subgrupo aditivo de A. Además, si multiplicamos por un elemento calquiera a∈Aun elemento s=Pajxjbjde hSise tiene as =a(Pajxjbj) = P(aaj)xjbjque está en hSiporque el elemento aajestá en A. Y si tomamos un elemento s=Pajxjbjde hSimultiplicado por un elemento cualquiera a∈Aentonces se tiene (Pajxjbj)a=Pajxj(bja)que está en hSipor ser Aun anillo. Por tanto, hSies un ideal. Además, todo ideal bilatero que contenga a Sdebe contener a las combinaciones lineales de elementos de S. Veamos que hSies el menor de todos los ideales de A que contienen a S. Todo elemento x∈Ses de la forma x= 1x1con 1∈A, luego S⊂ hSi. Sea ahora Iun ideal bilátero de Atal que S⊂I,a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈Ayx1, . . . , xn∈S. Por ser Iun ideal, ajxjbjestá en I, luego Pajxjbjestá en Iy se tiene hSi ⊂ I. Definición 1.1.7. Sea Aun anillo. Si Ies un ideal bilateral de A, se dice que dos elementos xeyde Ason congruentes módulo Iy se denota x≡y(mod I), si x−y∈I. Proposición 1.1.4. Sea Aun anillo e Iun ideal bilátero de este, con la congruencia módulo Idefinida anteriormente se obtiene una relación de equivalencia en A. Demostración. Veamos que se cumplen las tres propiedades de una relación de equivalencia: Reflexiva. ∀x∈A,x−x= 0 ∈Ipor ser Iideal bilateral, luego x≡x (mod I). Simétrica. ∀x, y ∈Atal que x≡y(mod I), x−y∈Iy−(x−y) = y−x∈I por ser Iideal bilateral. Luego y≡x(mod I). Transitiva. ∀x, y, z ∈Atal que x≡y(mod I) e y≡z(mod I) entonces x−y∈Iyy−z∈I. Por ser Iideal bilateral (x−y)+(y−z) = x−z∈I. Luego x≡z(mod I). Proposición 1.1.5. Sea A un anillo e Iun ideal bilateral de A, el conjunto cociente de A por la relación de equivalencia x≡y(mod I) dotado de la suma y de la multiplicación, denotado por A/I, es un anillo. Demostración. Denotamos por (x+I)la clase de equivalencia del elemento x∈Aen A/I. Para la suma, definida por (x+I)+(x0+I)=(x+x0) + I 3 1.4. Sucesiones exactas y Lema de escisión. Definición 1.4.1. Dada una sucesión finita o infinita de A-homomorfismos. ··· −→ Mi+1 fi+1 −→ Mi fi −→ Mi−1−→ . . . Diremos que la sucesión es exacta en Misi Im(fi+1) = Ker(fi). Se denomirá sucesión exacta si la sucesión es exacta en cada Mi. Lema 1.4.1. Una sucesión 0→M0f →Mg →M00 →0es exacta si y sólo si fes inyectiva, ges sobreyectiva e Im(f) = Ker(g). Además, en este caso, finduce un isomorfismo M0∼ =f(M0), y ginduce otro isomorfismo M00 ∼ =M/f(M0). Demostración. La demostración es inmediata por la definición. Los dos isomorfismos se obtienen del Teorema de Isomorfía. El inducido por fporque Ker(f) = (0) yM0/(0) = M0⇒M0/Ker(f)∼ =f(M0). El inducido por gporque Im(g) = M00 yf(M0) = Im(f) = Ker(g)⇒M/f(M0)∼ =M00. Proposición 1.4.1. Dada una sucesión de A-módulos y homomorfismos M0f →Mg →M00 →0 esta es exacta si y sólo si, para cualquier A-módulo N, la sucesión 0→Hom(M00, N)g∗ →Hom(M, N)f∗ →Hom(M0, N) es exacta. Demostración. ⇐ Supongamos la sucesión 0→Hom(M00, N)g∗ →Hom(M, N)f∗ →Hom(M0, N) exacta para todo N. Como g∗es inyectiva, entonces ges sobreyectiva. Además, la composición f∗◦g∗= 0 y para cualquier homomorfismo v:M00 →Nse tiene g◦f◦v= 0. Tomando N=M00 yvla aplicación identidad, se tiene g◦f= 0 de donde Im(f)⊆Ker(g). Ahora, tomando N=M/Im(f)y sea ϕ:M→Nla proyección, ϕ∈Ker(f∗), existe un homomorfismo ψ:M00 →Ntal que ϕ=ψ◦g=g∗(ψ). De aquí, Im(f) = Ker(ϕ)⊇Ker(g). ⇒. Supongamos la sucesión M0f →Mg →M00 →0exacta. Si u:M00 →Nes un A-homomorfismo, su imagen en HomA(M, N)se obtiene componiendo ucon la aplicación g, que es sobreyectiva. Si u◦g= 0, entonces u= 0 porque ges sobreyectiva, lo que muestra que g∗es inyectiva, es decir, Ker(g∗) = {0}. Como g◦f= 0, se sigue que 0=(g◦f)∗=f∗◦g∗ y entonces Im(g∗)⊆Ker(f∗). De igual forma, al considerar un homomorfismo v:M→Ntal que la composición v◦f= 0, entonces vse anula en Im(f). Ahora, como ges sobre, se tiene un isomorfismo 10 φ:M00 →M/Im(f)y se puede factorizar ua través de M00. De este modo se ve que Ker(f∗)⊆Im(g∗). Proposición 1.4.2 (Lema de escisión).Sea una sucesión exacta de A-homomor- fismos de la forma 0→M0f →Mg →M00 →0 las condiciones siguientes son equivalentes: 1. Existe s∈HomA(M, M0)tal que s◦f= 1M0. 2. Existe t∈HomA(M00, M)tal que g◦t= 1M00 . 3. Existen s∈HomA(M, M0)yt∈HomA(M00, M)tales que s◦f= 1M0, g◦t= 1M00 , y f◦s+t◦g= 1M. Si una de estas condiciones se cumplen, entonces M=f(M0)⊕t(M00)∼ =M0⊕M00 Demostración. 1.⇒2. Sea h:M00 →M/Ker(g) = M/Im(f)la inversa del isomorfismo inducido por gtal que M/Ker(g)→M00. Esto quiere decir que la aplicación de paso al cociente M→M/Im(f)se puede escribir como h◦g. Suponiendo s∈HomA(M, M0)tal que s◦f= 1M0, se considera el homomorfismo ϕ= 1M−f◦s∈HomA(M, M). Entonces, ϕ◦f= (1M−f◦s)◦f=f−f= 0. Por lo tanto, ϕse factoriza via M/Im(f)proporcionando un homomorfismo ϕ0:M/Im(f)→Mtal que ϕ=ϕ0◦h◦g. Denotamos t=ϕ0◦h∈HomA(M00, M), y se tiene t◦g=ϕ= 1M−f◦s. Entonces, g◦t◦g=g−g◦f◦s=g−0=1M00 ◦g. Como ges sobreyectiva, entonces g◦t= 1M00 . 2.⇒3. Supongamos t∈HomA(M00, M)tal que g◦t= 1M00 y se considera el homomorfismo 1M−t◦g∈HomA(M, M). Entonces se tiene que g◦(1M−t◦g) = g−g= 0 lo que implica que Im(1M−t◦g)⊆Ker(g) = f(M0). Sea s∈HomA(M, M0) la composión de 1M−t◦gcon la inversa del isomorfismo f:M0→f(M0). Entonces f◦s= 1M−t◦gy por tanto, f◦s+t◦g= 1M. Esto implica que f◦s◦f=f−t◦g◦f=f−0 = f◦1M0. Como fes inyectiva, se tiene s◦f= 1M0. 3.⇒1.Inmediato. Falta comprobar que M=f(M0)⊕t(M00)∼ =M0⊕M00. Si consideramos las aplicaciones t∈HomA(M00, M)tal que g◦t= 1M00 ysconstruida como anteriormente en la demostración 2.⇒3., recordemos que f◦s+t◦g= 1M 11 de donde M=f(s(M)) + t(g(M)) y como ges sobreyectiva y s:f(M0)→M0 es sobreyectiva, M=f(M0) + t(M00). Ahora, para ver que se trata de la suma directa supongamos dos elementos x0∈M0yx00 ∈M00 de forma que se cumple f(x0) + t(x00)=0y apliquemos ga esta igualdad: g(f(x0)) + g(t(x00)) = g(0) Como Im(f) = Ker(g)⇒g(f(x0)) = 0 y como g◦t= 1M00 ⇒g(t(x00)) = x00 y entonces, 0 + x00 = 0 ⇒x00 = 0. De aquí, f(x0) + t(x00) = f(x0) + 0 = 0 luego f(x0)=0y como fes inyectiva, x0= 0, luego M=f(M0)⊕t(M00). Por otro lado, por el Teorema de isomorfía, como fes inyectiva Ker(f)=0y entonces M0/Ker(f) = M0∼ =f(M0). Por último, la igualdad g◦t= 1M00 implica que t es inyectiva y también t(M00)∼ =M00. Por tanto, M=f(M0)⊕t(M00)∼ =M0⊕M00 Definición 1.4.2. Una sucesión exacta se llama escindida si cumple alguna de las condiciones equivalentes anteriores. Lema 1.4.2. La sucesión exacta 0→M0f →Mg →M00 →0es escindida si, y sólo si, existe un submódulo Nde Mtal que M=Im(f)⊕N, y en este caso, Nes isomorfo a M00. Demostración. ⇒. Si suponemos la sucesión exacta y escindida, entonces es claro que se tiene M=f(M0)⊕t(M00), donde t∈HomA(M00, M)y entonces t(M00)es un submódulo de Misomorfo a M00. ⇐. Ahora, suponemos que existe un submódulo Nde Mtal que podemos escribir Mcomo la suma directa M=Im(f)⊕N. Vamos a ver que la restricción g|N:N→M00 es un isomorfismo. Si tomamos x∈Ntal que g(x)=0entonces x∈Ker(g) = Im(f), pero Im(f)∩N= 0, luego x= 0 yg|Nes inyectiva. Para ver que es sobreyectiva, supongamos y∈M00 y sabemos que existe x∈Mtal que g(x) = y(por ser gsobreyectiva). Ahora, M=Im(f)⊕N. Supongamos x∈Im(f) = Ker(g)y entonces g(x)=0, luego debe ser x∈N. Tomando t= (g|N)−1se tiene g◦t= 1M y la sucesión es, por tanto, escindida. 1.5. Producto Tensorial de Módulos. Definición 1.5.1. Dado un anillo conmutativo A, consideremos M,NyTtres A-módulos. Una aplicación f:M×N→Tse dice que es A-bilineal si para cada x∈Mla aplicación y7→ f(x, y)de Nen Tes A-lineal, y para cada y∈N la aplicación x7→ f(x, y)de Men Tes A-lineal. 12 Teorema 1.5.1 (Propiedad Universal del Producto Tensorial).Sean M y N A-módulos. Entonces, existe un par (T, g) formado por un A-módulo Ty una aplicación A-bilineal g:M×N→Tcon la siguiente propiedad: Para cada A-módulo Py cualquier aplicación A-bilineal f:M×N→P, existe una aplicación A-lineal única f0:T→Ptal que f=f0◦g(es decir, cada aplicación bilineal sobre M×Nse factoriza a través de T). Además, si (T, g) y (T’, g’) son dos pares con esta propiedad, entonces existe un isomorfismo único j:T−→ T0tal que j◦g=g0. Demostración. Unicidad. Suponemos (T0, g0)otro par cumpliendo la propiedad Universal. Reemplazando (P, f)por (T0, g0)se tiene una aplicación única j:T→T0tal que g0=j◦g. Ahora, intercambiando TyT0en jse tiene otra aplicación única j0:T0→Ttal que g=j0◦g0, y tenemos los siguiente diagramas que deben ser conmutativos. M×Ng −→ T g↓ g0 & ↑j0 Tj −→ T0 M×Ng0 −→ T0 g0↓ g & ↑j T0j0 −→ T En particular, para cada par (T, g)y(T0, g0)también se cumple la propiedad universal: existen aplicaciones únicas k:T→Tyk0:T0→T0 tales que g=k◦gyg0=k0◦g0. La aplicación identidad cumple estas dos condiciones, y como las aplicaciones kyk0son únicas, entonces k= 1T yk0= 1T0. Por tanto, por los diagramas, cada una de las composiciones j◦j0,j0◦jdebe ser la aplicación identidad, y jyj0son inversas una de la otra. Las condiciones g0=j◦gyg=j0◦g0nos dicen que el isomorfismo es único. Existencia. Dados MyNdos A-módulos. Se construye el A-submódulo libre C={a1(x1, y1) + ... +at(xt, yt)|ai∈A, xi∈M, yi∈N}. Los elementos de Cson combinaciones lineales de elementos de M×Ncon coeficientes en A(Si x∈M,y∈Nse entiende (x, y)∈Cidentificando (x, y)con 1(x, y)). Sea Del submódulo generado por todos los elementos de Cde los siguientes tipos: (x1+x2, y1)−(x1, y1)−(x2, y1) (x1, y1+y2)−(x1, y1)−(x1, y2) (ax, y)−a(x, y) (x, ay)−a(x, y) x, x1, x2∈M y, y1, y2∈N a∈A 13 Sea T=C/D. Para cada elemento (x, y)de la base de C, se indica por x⊗ysu clase en T. Entonces, T está generado por los elementos de la forma x⊗yque por definición cumplen: 1. (x1+x2)⊗y−(x1⊗y+x2⊗y)=0,∀x1, x2∈M, y ∈N 2. x⊗(y1+y2)−(x⊗y1+x⊗y2)=0,∀x∈M, y1, y2∈N 3. ax ⊗y=x⊗ay =a(x⊗y),∀x∈M, y ∈N, a ∈A La aplicación g:M×N→Tdefinida por g(x, y) = x⊗yes A-bilineal. Para toda aplicación fde M×Nen un A-módulo Pse tiene la extensión mediante linealidad en un homomorfismo de A-módulos F:C→P. Supongamos en particular que fes A-bilineal. Entonces, por las definiciones de los generadores de D,F:C→Pse anula en los generadores de D, y por tanto se anula en todo D, lo que induce un homomorfismo f0de T=C/D en Ptal que f0(x⊗y) = f(x, y)(es decir, f=f0◦g). Como Cestá generado por M×Ny se tiene la aplicación sobreyectiva C→T, entonces Testá generado por g(M×N). Por lo tanto, un homomorfimo T→Pestá determinado por su restricción a g(M×N). De aquí se tiene la unicidad de f0. Este homomorfismo f0está bien definido y es el único con esta condición, lo que implica que el par (T, g)satisface las condiciones de la proposición. Definición 1.5.2. Se define el Producto Tensorial de MyNy se denota por M⊗AN(si no existe confusión sobre el anillo lo denotaremos M⊗N) el módulo T anterioremente construido, que está generado como A-módulo por los productos x⊗y. Si (xi)i∈I,(yj)j∈Json generadores de MyNrespectivamente, M⊗AN está generado por los elementos {xi⊗yj}i∈I,j∈J. Nota. La notación x⊗yes ambigua a menos que se especifique el producto tensorial al que pertenece. Sean M0,N0dos submódulos de MyNrespectivamente y tomamos x∈M0ey∈N0. Puede suceder que x⊗ysea cero como elemento de M⊗N, aunque como elemento de M0⊗N0no sea nulo. Por ejemplo, en el caso en el que A=Z,M=ZyN=Z/2Zconsideramos el submódulo M0 de Migual a 2ZyN0=N. Sea y0el elemento no nulo de N, es decir y0=− 1 y se considera el producto 2⊗y0. Como elemento de M⊗Nes cero ya que 2⊗y0= 1 ⊗2y0= 1 ⊗0 = 0. Sin embargo, si lo consideramos como elemento de M0⊗N0, no puede ser un elemento nulo ya que por el apartado 3 de la Proposición 1.5.1 que veremos más adelante, M0⊗N0=Z⊗Z/2Z=Z/2Z. Y si 2⊗y0= 0, entonces Z/2Z={0}y es una contradicción. Definición 1.5.3. Sea Aun anillo conmutativo y {Mn}n≥0una familia finita de A-módulos y Potro A-módulo. Se define una aplicación A-multilineal f:M1×···Mn→Pcomo una aplicación que es A-lineal para cada variable. 14 Teorema 1.5.2 (Prop. Universal del Producto Tensorial de n A-módulos). Sean M1,···,Mn,n≤0A-módulos. Entonces, existe un par (T, g)formado por un A-módulo Ty una aplicación A-multilineal g:M1×···×Mn→Tcon la siguiente propiedad: Para cada A-módulo Py una aplicación A-multilineal f:M1×···×Mn→T, existe un homomorfismo de A-módulos único f0:T→Ptal que f=f0◦g. Además, si (T, g) y (T’, g’) son dos pares con esta propiedad, entonces existe un isomorfismo único j:T−→ T0tal que j◦g=g0. Demostración. La prueba es análoga a la del Teorema anterior pero aplicada a nA-módulos. Definición 1.5.4. Se define el producto tensorial de n A-módulos como el producto T=M1⊗···⊗Mngenerado por los elementos de la forma x1⊗···⊗xn cuando xi∈Mi,1≤i≤n. De forma general, para todo entero n≥0, el A-modulo Producto Tensorial de n modulos iguales que Mse denota Tn(M), considerando T1(M) = MyT0(M) = A. Proposición 1.5.1. Dados un anillo conmutativo Ay tres A-módulos M,N, yP, existen: 1. Isomorfismos de asociatividad únicos (M⊗N)⊗P→M⊗(N⊗P)→M⊗N⊗P tales que (x⊗y)⊗z7→ x⊗(y⊗z)7→ x⊗y⊗z 2. Un isomorfismo de distributividad respecto a la suma directa (M⊕N)⊗P→(M⊗P)⊕(N⊗P) tal que (x, y)⊗z7→ (x⊗z, y ⊗z) para x∈M,y∈Nyz∈P. 3. Un isomorfismo A⊗M→M tal que a⊗x7→ ax para a∈Ayx∈M. Demostración. 1. Veamos si las aplicaciones del enunciado están bien definidas. Se construyen los homomorfismos (M⊗N)⊗Pf →M⊗N⊗Pg →(M⊗N)⊗P 15 tales que f((x⊗y)⊗z) = x⊗y⊗zyg(x⊗y⊗z) = (x⊗y)⊗zpara x∈M,y∈Nyz∈P. Para construir f, se fija el elemento z∈P. La aplicación (x, y)7→ x⊗y⊗z es bilineal en xy en ypor lo que para cada z, induce un homomorfismo fz:M⊗N→M⊗N⊗Ptal que fz(x⊗y) = x⊗y⊗z. Ahora se considera la aplicación (t, z)7→ fz(t)que va de (M⊗N)×Pen M⊗N⊗P. Esta aplicación es bilineal en tyzpor lo que induce un homomorfismo f: (M⊗N)⊗P→M⊗N⊗P tal que f((x⊗y)⊗z) = x⊗y⊗z. Para construir g, se considera la aplicación (x, y, z)7→ (x⊗y)⊗zde M×N×Pen (M⊗N)⊗P. Esta aplicación es lineal en cada variable lo que induce un homomorfismo g:M⊗N⊗P→(M⊗N)⊗P tal que g(x⊗y⊗z)=(x⊗y)⊗z. Necesariamente las composiciones g◦f yf◦gson la identidad, puesto que son la identidad en un sistema de generadores, por lo que gyfson isomorfismos. La prueba de la segunda parte se realiza de forma análoga construyendo los homomorfismos M⊗(N⊗P)f →M⊗N⊗Pg →M⊗(N⊗P) tales que f(x⊗(y⊗z)) = x⊗y⊗zyg(x⊗y⊗z) = x⊗(y⊗z)para x∈M,y∈Nyz∈P. 2. De forma similar provamos que, para x∈M,y∈Nyz∈P, el morfismo (M⊕N)⊗P→(M⊗P)⊕(N⊗P)dado por (x, y)⊗z7→ (x⊗z, y ⊗z)y su morfismo inverso (M⊗P)⊕(N⊗P)→(M⊕N)⊗Pque viene dado por (x⊗z, y ⊗z)7→ (x, 0) ⊗z+ (0, y)⊗zestán bien definidos. 3. De forma similar. Proposición 1.5.2. El isomorfismo de asociatividad se puede extender para familias finitas de A-módulos. (M1⊗···⊗Md)⊗(Md+1 ⊗···⊗Mn)∼ =M1⊗···⊗Mn Demostración. Solamente hace falta razonar por recurrencia sobre dynaplicando el punto 1. de la Proposición anterior. 16 1.6. Exactitud del Producto Tensorial Dado un anillo conmutativo Ay dados dos A-homomorfismos f:M→M0 yg:N→N0, podemos definir la aplicación bilineal (f, g) : M×N→M0⊗N0, con (f, g)(x, y) = f(x)⊗f(y). Esta aplicación induce un A-homomorfismo h:M⊗N→M0⊗N0 dado por h(x⊗y) = f(x)⊗g(y)para x∈M,y∈N. Definición 1.6.1. Dado un anillo conmutativo Ay dados dos A-homomorfismos f:M→M0yg:N→N0. Se define el producto tensorial de fyg, y se denota por f⊗g, como el A-homomorfismo hanterior: f⊗g:M⊗N→M0⊗N0, dado por (f⊗g)(x⊗y) = f(x)⊗g(y)para x∈M,y∈N. Nota. En las condiciones de la definción anterior, si f0:M0→M00 yg0:N0→N00 son otros dos A-homomorfismos, se cumple la igualdad (f0◦f)⊗(g0◦g)=(f0⊗g0)◦(f⊗g) ya que ambos homomorfismos coinciden en los generadores de M⊗Nque son los elementos de la forma x⊗y. Teorema 1.6.1. Dado un anillo conmutativo Ay dados tres A-módulos M,N yP, existe un isomorfismo canónico Hom(M⊗N, P)∼ →Hom(M, Hom(N, P)) Demostración. Sea f:M×N→Puna aplicación A-bilineal. Para cada x∈M la aplicación y7→ f(x, y)que va de Nen Pes A-lineal, luego induce una aplicación M→Hom(N, P)que es A-lineal por ser flineal en la variable x. Ahora, dado un A-homomorfismo g:M→Hom(N, P)podemos definir una aplicación bilineal dada por (x, y)7→ g(x)(y). Es decir, el conjunto de todas las aplicaciones A-bilineares de M×Nen Pestá en correspondencia con Hom(M, Hom(N, P)). Además, por la Propiedad Universal del Producto Tensorial, también está en correspondencia con Hom(M⊗N, P ). En definitiva, se tiene Hom(M⊗N, P)∼ →Hom(M, Hom(N, P)) Proposición 1.6.1. Dada una sucesión exacta de A-módulos y homomorfismos M0f →Mg →M00 →0, y sea Notro A-módulo, entonces la sucesión M0⊗Nf⊗1N −→ M⊗Ng⊗1N −→ M00 ⊗N→0 es exacta. 17 Demostración. Por la Proposición 1.4.1, como M0f →Mg →M00 →0es exacta, para cualquier A-módulo Ptambién lo es 0→Hom(M00, Hom(N, P)) g∗ →Hom(M, Hom(N, P)) f∗ →Hom(M0, Hom(N, P)) Por el isomorfismo del Teorema 1.6.1, se tiene que 0→Hom(M00 ⊗N, P)→Hom(M⊗N, P )→Hom(M0⊗N, P) es una sucesión exacta y volviendo a aplicar la otra implicación de la Proposición 1.4.1, tendremos que también es exacta la sucesión M0⊗Nf⊗1N −→ M⊗Ng⊗1N −→ M00 ⊗N→0 Corolario 1.6.1. Dada una sucesión exacta de A-módulos y homomorfismos M0f →Mg →M00 →0, y sea Notro A-módulo, entonces la sucesión N⊗M01N⊗f −→ N⊗M1N⊗g −→ N⊗M00 →0 es exacta. Demostración. Podemos establecer un isomorfismo h:M⊗N→N⊗Mdado por h(x⊗y) = y⊗x. Aplicando la Proposición 1.6.1 se tiene la demostración. Proposición 1.6.2. Sea Aun anillo conmutativo. Dadas las sucesiones exactas de A-módulos: M0f →Mg →M00 →0 N0s →Nt →N00 →0 el A-homomorfismo producto tensorial de gyt,g⊗t:M⊗N→M00 ⊗N00 es sobreyectivo y su núcleo es Im(f⊗1N)⊕Im(1M⊗s) Demostración. Por la fórmula de la Nota de la Definición 1.6.1, podemos escribir g⊗tcomo la descomposición g⊗t= (g◦1M)⊗(1N00 ◦t) = (g⊗1N00 )◦(1M⊗t) Por la Proposición 1.6.1 y su Corolario, cada unos de los homomorfismos cuya composición es g⊗tes sobreyevtivo, luego g⊗tes sobreyectivo por ser composición de dos homomorfismos sobreyectivos. Por otra parte, tomamos z∈M⊗Ny para ver que zestá en Ker(g⊗t) es necesario y suficiente que (1M⊗t)(z)pertenezca al núcleo de g⊗1N00 debido a la descomposición de g⊗t. Pero por la Proposición 1.6.1 se tiene 18 Ker(g⊗1N00 ) = Im(f⊗1N00 )yf⊗1N00 :M0⊗N00 →M⊗N00, luego z∈Ker(g⊗1N00 )⇔z∈Im(f⊗1N00 ). Además, como el homomorfismo t:N→N00 es sobreyectivo, también es cierto para 1M0⊗t:M0⊗N→M0⊗N00. Entonces, la condición para zse reduce a la existencia de un a∈M0⊗Ntal que (1M⊗t)(z)=(f⊗t)(a). Tomando b=z−(f⊗1N)(a), se tendrá (1M⊗t)(b) = (1M⊗t)(z)−(1M⊗t)◦(f⊗1N)(a) = = (1M⊗t)(z)−(f⊗t)(a) = (1M⊗t)(z)−(1M⊗t)(z)=0 y como la sucesión M0⊗Nf⊗1N −→ M⊗Ng⊗1N −→ M00 ⊗N→0es exacta, bpertenece aIm(1M⊗s). Proposición 1.6.3. Dadas dos familias de A-módulos {Mi}i∈Iy{Nj}j∈Jde A-módulos. Existe un isomorfismo de distributividad (⊕ i∈IMi)⊗(⊕ j∈JNj)∼ =⊕ i,j(Mi⊗Nj) Demostración. Denotando M=⊕ i∈IMiyN=⊕ j∈JNj, veamos que la aplicación g:M⊗N→ ⊕ i,j(Mi⊗Nj) tal que para m=P i∈I miyn=P j∈J njestá dada por g(m⊗n) = P i,j (mi⊗nj)es biyectiva. Para ello, sean qi:Mi→Mypj:Nj→Nlas respectivas inclusiones canónicas, se define un aplicación lineal hi,j :Mi×Nj→M⊗N dada por hi,j =qi⊗pj, y de esta se obtiene el homomorfimo h:⊕ i,j(Mi⊗Nj)→M⊗N X i,j (mi⊗nj)7−→ X i qi(mi)⊗X j pj(nj) Entonces, la composición h◦ges la aplicación identidad en los elementos que engendran el A-módulo M⊗Nque son los de la forma (P i∈I mi)⊗(P j∈J nj). Y, también se tiene que la composición g◦hes la identidad para los elementos de la forma P i,j (mi⊗nj), que engendran el A-módulo ⊕ i,j(Mi⊗Nj), ya que para cada (i, j), los productos mi⊗njengendran los A-módulos Mi⊗Nj. 19 De nuevo por recurrencia sobre n, tendremos que el núcleo Knde cada Tn(u) es el submódulo de Tn(M)engendrado por los productos x1⊗x2⊗ ··· ⊗ xn con al menos uno de los xiperteneciente a P=Ker(u). Por tanto, el núcleo K=⊕n≥1Knde T(u)es el ideal bilatero de T(M)engendrado por P. 2.2. Álgebra Simétrica. Sea Aun anillo conmutativo y sea Mun A-módulo. Se considera el ideal bilateral Jgenerado por el conjunto S={x⊗y−y⊗x|x, y ∈M}de T(M). Definición 2.2.1. Sea Aun anillo conmutativo y Mun A-módulo. Se define el Álgebra Simétrica de Mcomo el par (S(M), ϕM)donde se denota por S(M) el álgebra sobre Aque es el cociente del álgebra tensorial T(M) por el ideal bilateral J. Denotaremos por ϕM:M→S(M)a la composición Mϕ →T(M)→S(M). S(M)está generado como A-álgebra por ϕM(M). Nota. Como está generado por elementos homogéneos de grado 2, el ideal bilateral J es homogéneo. Denotamos Jn=J∩Tn(M). Por lo tanto, el álgebra S(M) es un álgebra graduada si consideramos la siguiente graduación, a la que llamaremos graduación canónica. S(M) = M n≥0 Sn(M) = M n≥0 Tn(M)/Jn Así, J0=J1= 0 y, canónicamente se tiene S0(M) = AyS1(M) = T1(M) = M. De igual manera, se tiene una propiedad universal para el álgebra simétrica. Teorema 2.2.1. (Propiedad Universal del Álgebra Simétrica) El álgebra simétrica S(M) es una A-álgebra conmutativa y el par (S(M), ϕM) cumple la siguiente propiedad universal: Para todo par (B,f) donde B es una A-álgebra conmutativa y f:M−→ B un homomorfismo de A-módulos, existe un único homomorfismo de A-álgebras h:S(M)−→ B tal que f=h◦ϕM. Demostración. Como x⊗y−y⊗x∈J, por definición se tiene ϕM(x)ϕM(y) = ϕM(y)ϕM(x) para todo x, y ∈M. Por lo tanto, la propiedad de conmutatividad de la multiplicación en S(M) se deduce del hecho de que S(M) está generada como A-álgebra por ϕM(M). La unicidad de hes de nuevo derivada de este mismo hecho. Para probar la existencia de h tomaremos el homomorfismo de A-álgebras g1:T(M)−→ Bque existe por el Teorema 2.1.1 tal que f=g1◦ϕ. Por lo que faltaría ver que g1se anula en el ideal J. Si p:T(M)→S(M) = T(M)/J 26 es el homomorfismo canónico, entonces g1=h◦pdónde h:S(M)→Bes un homomorfismo de álgebras. Entonces, g1(x⊗y−y⊗x) = g1(xy −yx) = g1(x)g1(y)−g1(y)g1(x)=0 porque Bes conmutativa. Finalmente, g1(J)=0. Nota. 1. En el caso en el que Bsea una A-álgera graduada cuya graduación sea B=L n≥0 Bny suponemos además que la aplicación lineal fque cumple f(x)f(y) = f(y)f(x)es tal que f(M)⊂B1 Por la relación h(x1x2. . . xp) = f(x1)f(x2). . . f(xp)para xi∈Mse tiene que h(Sp(M)) ⊂Bp. 2. Los elementos de S(M)son sumas de productos de la forma x1x2. . . xn, con xi∈Mdonde identificamos la clase de x1⊗x2⊗···⊗xnen Sn(M) por x1x2. . . xn, y por ·la multiplicación en S(M). 2.2.1. Propiedades funtoriales del Álgebra Simétrica. Proposición 2.2.1. Sea A un anillo conmutativo, M y N dos A-módulos, y u:M→N una aplicación A-lineal. Existe un homomorfismo único de A-álgebras u0:S(M)→S(N), tal que el siguiente diagrama es conmutativo: Mu −→ N ϕM↓ ↓ϕN S(M)u0 −→ S(N) Además, u0es homomorfismo de álgebras graduadas. Demostración. La existencia y unicidad de u0se deducen de Teorema 2.2.1 aplicado al álgebra conmutativa S(N)y a f=ϕN◦u:M→S(N). Como f(M)⊂S1(N), de la relacción u0(x1x2...xt) = f(x1)f(x2)...f(xt)para xi∈Mse deduce el hecho de que u0sea un homormorfismo de álgebras graduadas. Nota. El homomorfismo u0de la proposición anterior se denotará S(u). 27 Proposición 2.2.2. En las condiciones de la proposición anterior. Si Pes un A-módulo y v:N→Pes una aplicación A-lineal, se tiene S(v◦u) = S(v)◦S(u) Demostración. Razonando de igual forma que en la demostración de la Proposición 2.1.2 se llega a que el único homomorfismo de álgebras que hace conmutativo el diagrama Mv◦u −→ P ϕM↓ ↓ϕP S(M)S(v◦u) −→ S(P) es la composición S(v)◦S(u). Nota. Como S(M)contiene a M=S1(M), llamaremos a S(u)la prolongación canónica de uen S(M). La restricción Sn(u) : Sn(M)→Sn(N)es aquella tal que Sn(u)(x1x2. . . xn) = u(x1)u(x2). . . u(xn) para xi∈Mya que S(u)es un homomorfismo de álgebras y S1(u) = u. La restricción S0(u)en Aes la aplicación identidad. Proposición 2.2.3. Si u:M→Nes una aplicación lineal sobreyectiva, el homomorfismo S(u) : S(M)→S(N)es sobreyectivo y su núcleo es el ideal de S(M)engendrado por el núcleo P⊂M⊂S(M)de u, es decir, hPi. Demostración. Se tiene la aplicación T(u) : T(M)→T(N)y que es sobreyectiva por la Proposición 2.1.3. Entonces, si JMyJNson los ideales bilaterales de T(M)yT(N)respectivamente tales que S(M) = T(M)/JMy S(N) = T(N)/JN, se tiene que T(u)(JM) = JN. Si R=Ker(T(u)), al calcular la imagen inversa de JNpor T(u),T(u)−1(JN) = JM+R. Ahora bien, la aplicación S(u) : T(M)/JM→T(N)/JNse obtiene del paso al cociente de T(u), luego es un homomorfismo sobreyectivo cuyo núcleo es R0= (JM+R)/JM. Como R=hPi,R0también está generado por P. Proposición 2.2.4. Dado un A-módulo My un A-submódulo Nde este, se cumple S(M/N) = S(M)/hNi donde hNies el S(M)-submódulo generado por N⊂S(M), es decir, donde hNi=NS(M). 28 Demostración. Como la sucesión 0→Ni →Mu →M/N →0 es exacta, la aplicación u:M→M/N es sobreyectiva y se tiene que su núcleo será Ker(u) = N. Aplicando directamente la Proposición 2.2.3, se tiene que el homomorfismo S(u) : S(M)→S(M/N)es sobreyectivo, y su núcleo es el ideal engendrado por Ker(u), es decir, el ideal hNi. Entonces, se da el isomorfismo S(M/N)∼ =S(M)/Ker(S(u)) = S(M)/hNi 2.2.2. Álgebra Simétrica de una suma directa. Es interesante comentar el caso del Álgebra Simétrica de una suma directa. Proposición 2.2.5. Dado un anillo conmutativo Ay dos A-módulos M1yM2, existe un isomorfismo S(M1⊕M2)∼ →S(M1)⊗S(M2) Demostración. Sea ϕi=ϕMi:Mi→S(Mi),i= 1,2y denotamos por ϕa la aplicación ϕ=ϕM1⊕M2: (M1⊕M2)→S(M1⊕M2). Definimos la aplicación f: (M1⊕M2)→S(M1)⊗S(M2) f(x+y) = ϕ1(x)⊗1+1⊗ϕ2(y) para x∈M1,y∈M2. Sean x, x0∈M1,y, y0∈M2, veamos que fes un A-homomorfismo: f((x+y)+(x0+y0)) = f((x+x0)+(y+y0)) = ϕ1(x+x0)⊗1+1⊗ϕ2(y+y0) = =ϕ1(x)⊗1 + ϕ1(x0)⊗1+1⊗ϕ2(y)+1⊗ϕ2(y0) = =ϕ1(x)⊗1+1⊗ϕ2(y) + ϕ1(x0)⊗1+1⊗ϕ2(y0) = f(x+y) + f(x0+y0) y para a∈A, f(a(x+y)) = f(ax +ay) = ϕ1(ax)⊗1+1⊗ϕ2(ay) = =aϕ1(x)⊗1+1⊗aϕ2(y) = a(ϕ1(x)⊗1) + a(1 ⊗ϕ2(y)) = =af(x+y) Por tanto, por la Propiedad Universal del álgebra simétrica S(M1⊕M2), existe un homomorfismo de A-álgebras g:S(M1⊕M2)→S(M1)⊗S(M2)tal que f=g◦ϕ. Por otra parte, se tiene la inclusión canónica Mi,→M1⊕M2que induce un homomorfismo de A-álgebras hi:S(Mi)→S(M1⊕M2),i= 1,2. Se puede definir una aplicación bilineal h:S(M1)×S(M2)→S(M1⊕M2)dado por 29 h(a, b) = h1(a)h2(b)y por la Propiedad Universal del producto tensorial de álgebras, se tiene un homomorfismo de A-álgebras h:S(M1)⊗S(M2)→S(M1⊕M2) h(a⊗b) = h1(a)h2(b) para a∈S(M1)yb∈S(M2). Las composiciones g◦hyh◦gson la identidad, por lo que ges un isomorfismo. Corolario 2.2.1. Sea Aun anillo conmutativo. Si Mes un A-módulo libre de rango rentonces S(M)es el álgebra de polinomios en rvariables sobre A. Concretamente, si Mes un módulo libre con base (e1, . . . , er)entonces el A- morfismo f:A[X1, . . . , Xr]→S(M)dado por f(Xi) = eipara 1≤i≤res un isomorfismo de álgebras graduadas. Demostración. Como Mes libre con base (e1, . . . , er), se tiene un A-homomorfismo g:M→A[X1, . . . , Xr]tal que g(ei) = Xipara 1≤i≤r. Por la propiedad universal de S(M), el A-homomorfismo ginduce un homomorfismo de A-álgebras h:S(M)→A[X1, . . . , Xr]. Ambos homomorfismos hyfson graduados. Además, su composición es la identidad en los generadores, luego fes un isomorfismo. 30 Capítulo 3 Teorema de Poincaré En este capítulo se presentará el Teorema de Gauss-Bonnet, uno de los resultados principales de la Geometría Diferencial de superficies, y una de sus aplicaciones más importantes, el Teorema de Poincaré. Veremos como se relacionan el concepto geométrico de la Curvatura de Gauss y la característica de Euler, un invariante topológico de superficies. Como consecuencia de este último teorema, obtendremos un interesante resultado: Ninguna superficie homeomorfa aS2puede tener un campo de vectores diferenciable sin puntos singulares. Este resultado es conocido como “Teorema de la Bola Peluda”. 3.1. Nociones Previas. Comenzaremos con algunas definiciones y resultados, que presentaremos sin demostraciones, vistos en la materia del “Grado en Matemáticas”, que necesitaremos recordar para poder desarrollar la teoría de las secciones 3.2 y 3.3. Se utilizarán conceptos de la asignatura “Geometría de Curvas y Superficies” y “Análisis Matemático”. Además, se seguirá la notación y definiciones de [5]. Definición 3.1.1. Un subconjunto S∈R3es una superficie regular si para cada p∈Sexiste un abierto Ven R3con p∈Vy una aplicación, que llamaremos parametrización de S, x:U→V∩S donde Ues un abierto de R2tales que: 1. xes diferenciable. 2. xes homeomorfismo. 3. ∀q∈U, la diferencial dx|q:R2→R3es inyectiva. Esta condición de regularidad equivale a decir que xu(q)yxv(q)son linealmente independientes. 31 Definición 3.1.2. Sea p∈S⊂R3, con Ssuperficie regular. Un vector tangente aSen pes un vector v∈R3tal que existe una curva parametrizada de Sde la forma c: (−ε, ε)→Scon c(0) = pyc0(0) = v. Al conjunto de todos los vectores tangentes a Sen el punto pse le denomina plano tangente a Sen py se le representa por TpS⊂R3. Definición 3.1.3. Dado un punto pde una superficie regular S⊂R3. Llamaremos recta normal a Sen pa la recta que pasa por py es perpendicular al plano tangente TpS. Llamaremos vector normal a Sen pa cualquier vector unitario que genere la recta vectorial (TpS)⊥. Denotaremos por Npal vector unitario normal a Sen pde la forma: Np=xu(u0, v0)∧xv(u0, v0) ||xu(u0, v0)∧xv(u0, v0)|| donde xes una parametrización con p∈x(U)tal que p=x(u0, v0). Definición 3.1.4. Sea S⊂R3una superficie regular y p∈S. Llamamos primera forma fundamental de Sen py la representamos por Ip, a la forma bilineal que la métrica usual de R3induce en el espacio vectorial TpS: Ip:TpS×TpS→R (u, v)7→ Ip(u, v) =< u, v > Nota. Dada una paremetrización x:U→Stal que p∈x(U)con p=x(u, , v), una base de TpSviene dada por {xu(u, v), xv(u, v)}. En esta base, la matriz de la forma bilineal es E F F G  con E(u, v) =< xu, xu>=||xu||2 F(u, v) =< xu, xv> G(u, v) =< xv, xv>=||xv||2 Definición 3.1.5. Diremos que una parametrización x:U→Sde una superficie regular S⊂R3es ortogonal si el ángulo que forman las rectas coordenadas en todo punto es recto. Nota. Como para p=x(u0, v0)el ángulo viene dado por cos(ϕ) = F(u0,v0) √E(u0,v0)con ϕ∈[0, π],xes ortogonal si y solo si F≡0. 32 Ejemplo. Consideramos la esfera de radio 1y centrada en el origen en R3, S2={(x, y, z)∈R3/x2+y2+z2= 1} Podemos dar una parametrización de la esfera de la siguiente forma: x: (0, π)×(0,2π)→S2 x(u, v)=(sin(u)cos(v), sin(u)sin(v), cos(u)) Entonces, xu(u, v)=(cos(u)cos(v), cos(u)sin(v),−sin(u)) xv(u, v)=(−sin(u)sin(v), sin(v)cos(v),0) El plano tangente en el punto p= (0,0,1) ∈S2a la esfera es TpS2={(x, y, z)∈R3/z = 0} visto como plano vectorial. En la parametrización x, las entradas de la matriz de la primera forma fundamental son E= 1,F= 0,G=sin(u)2, luego la parametrización xes ortogonal. Definición 3.1.6. Llamaremos superficie orientada a una superficie regular orientable S⊂R3junto con un campo de vectores diferenciable N:S→R3 que es normal y unitario al que llamaremos orientación de S. Definición 3.1.7. Sea S⊂R3una superficie regular orientada (con un campo de vectores diferenciable N:S→R3normal y unitario) y sea la aplicación Ap:TpS→TpSel endomorfismo de Weingarten (recordemos,Ap=−dN|p donde Nes la aplicación de Gauss de la superficie S). Llamamos segunda forma fundamental de Sen pa la forma bilineal dada por IIp(u, v) = Ip(Ap(u), v) Nota. La matriz de la segunda forma fundamental en la base {xu(u0, v0), xv(u0, v0)} de TpSviene dada por e f f g  con e(u0, v0) = IIp(xu(u0, v0), xu(u0, v0)) = |xu, xv, xuu| √EG −F2 f(u0, v0) = IIp(xu(u0, v0), xv(u0, v0)) = |xu, xv, xuv| √EG −F2 g(u0, v0) = IIp(xv(u0, v0), xv(u0, v0)) = |xu, xv, xvv| √EG −F2 33 Definición 3.1.8. Se define por curvatura normal de S⊂R3en pen la dirección de val valor kn(v, p) = IIp(v, v) =<−dN|p(v), v > La curvatura normal máxima k1y la curvatura normal mínima k2se denominan curvaturas principales. Definición 3.1.9. Sea S⊂R3una superficie regular orientada con un campo de vectores normal N. Se denomina curvatura de Gauss de Sen el punto pal valor K(p) = det(Ap) = k1(p)k2(p) Nota. Podemos dar la curvatura de Gauss de la superficie Sen el punto pen función de la parametrización relaccionándola con los coeficientes de las matrices de las formas fundamentales: K(p) = eg −f2 EG −F2 Definición 3.1.10. Sea S⊂R3una superficie regular y orientada con aplicación normal Ny sea x:U→Suna parametrización positivamente orientada. Definimos como símbolos de Christofell de la parametrización a las funciones diferenciables Γk ij :U→R,i, j, k = 1,2,Γk 12 = Γk 21, tales que se cumplen las siguientes igualdades. xuu = Γ1 11xu+ Γ2 11xv+eN xuv = Γ1 12xu+ Γ2 12xv+fN xvu = Γ1 21xu+ Γ2 21xv+fN xvv = Γ1 22xu+ Γ2 22xv+gN Nota. Los símbolos de Christofell de la parametrización se pueden obtener a partir de los coeficientes de la primera forma fundamental y sus derivadas parciales: Γ1 11 Γ1 12 Γ1 22 Γ2 11 Γ2 12 Γ2 22 =1 EG −F2G−F −F E  1 2Eu1 2EvFv−1 2Gu Fu−1 2Ev1 2Gu1 2Gu De estas igualdades se obtiene la conocida como Fórmula de Gauss: Γ1 11Γ2 12 + (Γ2 11)v+ Γ2 11Γ2 22 −Γ1 12Γ2 11 −(Γ2 12)u−Γ2 12Γ2 12 =EK Definición 3.1.11. Una curva en una superficie S⊂R3con parametrización α:I⊂R→S⊂R3se denomina curva geodésica si el vector α00 es normal a S. Si es así, ||α0|| =constante. 34 Definición 3.1.12. Llamaremos curvatura geodésica de una curva regular parametrizada por α(s)en p∈Sal valor kg(s) = |Dα0(s) ds | que representa la variación en el cambio del ángulo que la tangente a la curva forma con una dirección paralela a través de la curva. Nota. Las curvas geodésicas están caracterizadas por tener curvatura geodésica igual a cero. En el caso en el que la parametrización elegida sea ortogonal (F= 0), podemos expresar la curvatura geodésica en función de los coeficientes de la primera forma fundamental y sus derivadas: kg(s) = 1 2√EG{Gu dv ds −Ev du ds }+dϕ ds donde ϕ(t)es el ángulo orientado de xuen α0. 3.2. Teorema de Gauss-Bonnet. Definición 3.2.1. Sea [0, l]⊂Ry una superficie regular S⊂Rn. Se define como curva paramétrica, cerrada, simple y regular a trozos a una aplicación continua α: [0, l]→Scumpliendo 1. α(0) = α(l). 2. t16=t2,t1, t2∈[0, l)⇒α(t1)6=α(t2). 3. Existe una partición 0 = t0< t1< . . . < tk< tk+1 =lde [0, l]tal que α es diferenciable y regular en cada intervalo [ti, ti+1],i= 0, . . . , k. Definición 3.2.2. Con la notación de la definición anterior, los puntos α(ti), i= 0, . . . , k se denominarán los vértices de α. Las trazas α([ti, ti+1]) se llaman los arcos regulares de α. Al hablar de curva cerrada regular a trozos nos referiremos a la traza α([0, l]) de α. Nota. Supongamos una superficie orientada S∈Rny una curva parametrizada, cerrada, simple y regular a trozos α: [0, l]→S. Entonces, en cada vértice α(ti) podemos calcular los siguientes límites: para t < ti: l´ım t→ti α0(ti) = α0(t− i)6= 0 para t > ti: l´ım t→ti α0(ti) = α0(t+ i)6= 0 35 Denominaremos ángulos interiores del triángulo Tja los dados por ϕjk =π−θjk. Entonces, F,3 X j,k θj,k = F,3 X j,k (π−ϕjk) = F,3 X j,k π− F,3 X j,k ϕjk = 3Fπ − F,3 X j,k ϕjk Utilizaremos, a partir de ahora, la siguiente notación: el índice ien Ei, Vise refiere a las componentes interiores de T(contenidas en Rsalvo a lo sumo, en el caso de los lados, por sus extremos) y el índice een Ee, Vea las exteriores (contenidas en ∂R). El número de lados de la triangulación Tserá E=Ei+Ee. Al estar ∂R parametrizado por un número finito de curvas simples, se tiene la igualdad Ee=p. Además, cada lado interior está en dos triángulos y cada lada exterior sólo en uno. Entonces, cuando multiplicamos el número de triángulos por 3lados que tiene cada triángulo para calcular el número total de lados, estamos contando dos veces cada lado interior. Por lo tanto se cumple 3F= 2Ei+Ee. Sustituyendo, F,3 X j,k θj,k = 2πEi+πEe− F,3 X j,k ϕjk Si distinguimos los vértices externos que son vértices de alguna curva Ci(Vec) de los vértices externos que introducimos al hacer la triangulación (Vet), entonces el número total de vértices externos será Ve=Vec +Vet. Como la suma de ángulos alrededor de cada vértice interno es 2π, se tiene F,3 X j,k θjk = 2πEi+πEe−2πVi−πVet − p X l (π−θl) Sumando y restando πEe, y teniendo en cuenta que por ser cada Ciuna curva cerrada se tiene Ee=Ve, F,3 X j,k ϕjk = 2πEi+2πEe−2πVi−πVe−πVet −πVec + p X l θl= 2πE −2πV + p X l θl Reuniendo todos los resultados obtenidos, n X i=1 ZCi kg(s)ds +ZZR KdA + p X l=1 θl= 2π(F−E+V)=2πχ(R) Presentaremos el siguiente corolario que es resultado directo del Teorema de Gauss-Bonnet si se tiene en cuenta que una superficie compacta puede considerarse como una región con borde vacio. 42 Corolario 3.2.1 (Teoremas de Gauss-Bonnet para superficies compactas).Sea Suna superficie compacta, conexa y orientable. Entonces, su curvatura integral viene dada por ZZS KdA = 2πχ(S) 3.3. Singularidades de campos de vectores sobre superficies. Veamos una de las aplicaciones más interesantes de este Teorema que relaciona el concepto geométrico de campos de vectores, y la noción topológica de característica de Euler. Definición 3.3.1. Un campo de vectores ven un abierto Ude una superficie regular Ses una aplicación v:S→R3que a cada punto p∈Ule asigna un vector v(p)∈Tp(S). Definición 3.3.2. Diremos que el campo de vectores ves diferenciable en psi, dada una parametrización x(u, v)en p, las funciones a(u, v)yb(u, v)dadas por v(p) = a(u, v)xu(u, v) + b(u, v)xv(u, v)son funciones diferenciables en p. Esta definición no depende de la parametrización. Definición 3.3.3. Sea vun campo de vectores diferenciable de una superficie orientada S. Diremos que un punto p∈Ses un punto singular de vsi v(p)=0. El punto singular pes aislado si existe un entorno Vde pen Stal que vno tiene más puntos singulares que pen V. Nota. A cada punto aislado pde un campo vectorial ven Sse le puede asociar un entero. Sea x:U→Suna parametrización ortogonal en el punto p=x(0,0) compatible con la orientación de S, y sea α: [0, l]→Suna curva parametrizada simple, cerrada y diferenciable a trozos tal que α([0, l]) ⊂x(U)es el borde de una región simple que tiene a pcomo su único punto singular. Definición 3.3.4. Se denomina índice de ven pal número Ind(v, p)que representa el número de giros orientados que realiza el campo de vectores val restringirse a la curva αsi se considera esta con orientación positiva. Nota. Sea v=v(t),t∈[0, l]la restricción de vsobre α, y sea ϕ=ϕ(t)una determinación diferenciable del ángulo orientado de xuav(t). Entonces, 2πInd(v, p) = ϕ(l)−ϕ(0) = Zl 0 dϕ dt dt 43 Proposición 3.3.1. El Ind(v, p)no depende ni de la parametrización x, ni de la curva αelegidas. Demostración. Por la interpretación de Ken términos del transporte paralelo que se puede encontrar en el cap. 4.5 del M. do Carmo,Differential Geometry of Curves and Surfaces, el ángulo de rotación resultante φdepende de la curvatura integral de la siguiente forma ∆φ=φ(l)−φ(0) = ZZR KdA Restando la ecuación anterior con la ecuación de la definición de índice tenemos ZZR KdA −2πInd(v, p)=(φ−ϕ)(l)−(φ−ϕ)(0) = ∆(φ−ϕ) Como φ−ϕno depende de xu, el índice es independiente de la parametrización así como de la curva α. Tomaremos ahora S⊂R3, una superficie orientada y compacta, y vun campo de vectores diferenciable con solo puntos singulares aislados. Se supondrá además que hay un número finito de ellos al que denotaremos n. Sea {xλ}una familia de parametrizaciones ortogonales compatibles con la orientación de S. Se considera una triangulación Tde Stal que: 1. Todo triángulo t∈Testá contenido en algún entorno coordenado de la familia {xλ}. 2. Todo t∈Tcontiene a lo sumo un punto singular. 3. El borde de cada t∈Tno contiene puntos singulares y está orientado de forma positiva. Si aplicamos la versión local del Teorema de Gauss-Bonnet a cada triangulo t∈T, sumamos los resultados y se tiene en cuenta que el borde de cada t∈T aparece dos veces con orientaciones opuestas, entonces se obtiene ZZS KdA −2π n X i=1 Ind(v, pi)=0 Y, junto con el Teorema de Gauss Bonnet para superficies compactas, se tiene n X i=1 Ind(v, pi) = 1 2πZZS KdA =χ(S) De esta igualdad se obtiene el llamado “Teorema de Poincaré”: 44 Teorema 3.3.1 (Teorema de Poincaré).La suma de los índices de un campo de vectores diferenciable vcon puntos singulares aislados en una superficie compacta Ses igual a la característica de Euler-Poincaré de S. Nota. El Teorema de Poincaré implica que la suma de los índices no depende de v, si no que solamente depende de la topología de la superficie S. En el caso de una superficie homeomorfa a la esfera S2, la suma de los índices de todo campo de vectores que tenga singularidades aisladas debe ser igual a χ(S2) = 2. En particular, S2no puede tener un campo de vectores diferenciables sin puntos singulares. Si se considera la parametrización de la esfera de radio ry centro en el origen x(θ, ϕ)=(rsin(θ)cos(ϕ), rsin(θ)sin(ϕ), rcos(θ)) para 0< θ < π y0<ϕ<2π, se obtiene el campo de vectores xϕ(θ, ϕ) = rsin(θ)(−sin(ϕ) + cos(ϕ)) que puede ser extendido a un campo de vectores sobre la esfera de radio r > 0 con dos singularidades de índice 1 que se obtienen para θ= 0 yθ=πes decir, en los polos de coordenadas (0,0, r)y(0,0,−r). El Teorema de Poincaré es conocido popularmente como “Teorema de la Bola Peluda” y nos dice que siempre que queramos peinar una bola de forma que alisamos los pelos sobre la superficie de esta sin que el peinado tenga raya o ninguno de los pelos cambie bruscamente de dirección, siempre habrá algún remolino o algún pelo “tieso”. 45 Capítulo 4 Un curioso ejemplo. Sean ByCdos anillos conmutativos, y sea t una indeterminada. En este capítulo se plantea la siguiente cuestión: Si B[t]∼ =C[t], ¿esto implica que B∼ =C?. El objetivo de este capítulo será encontrar un contraejemplo que muestre que la implicación no se tiene porqué dar. 4.1. El isomorfismo en polinomios. Sea Rel cuerpo de los números reales y supongamos P,Q,t,U,V,W, X,Y,Zvariables indeterminadas. Se construye el anillo de polinomios en tres variables con coeficientes reales R[X, Y, Z]que es también un R-módulo. Definición 4.1.1. A partir de ahora, se define el anillo Acomo el anillo cociente A=R[X, Y, Z]/(X2+Y2+Z2−1) = R[x, y, z] donde se entiende x=X+ (X2+Y2+Z2−1) y=Y+ (X2+Y2+Z2−1) z=Z+ (X2+Y2+Z2−1) al tomar las clases de equivalencia y por tanto, x2+y2+z2= 1. Definición 4.1.2. Construimos el módulo libre A3=A⊕A⊕Aque es de rango 3 y se define la aplicación Φ:A3→ A definida por Φ(a, b, c) = ax +by +zc para (a, b, c)∈ A3. Esta aplicación es un homomorfismo de A-módulos. 46 Lema 4.1.1. La sucesión 0→Ker(Φ),→ A3Φ → A → 0es escindida. Demostración. El homomorfismo Φes sobreyectivo ya que, como se tiene la relación x2+y2+z2= 1, todo elemento a∈ A es imagen del elemento (ax, ay, az)∈ A3(Φ(ax, ay, az) = ax2+ay2+az2=a). Por tanto, Φinduce la siguiente sucesión exacta: 0→Ker(Φ),→ A3Φ →A→0 Necesitamos definir un A-homomorfismo t:A → A3tal que Φ◦t= 1A. Sea a∈ A, mandaremos a7→ (ax, ay, az) = a(x, y, z). Ahora, Φ◦t(a) = Φ(ax, ay, az) = ax2+ay2+az2=a(x2+y2+z2) = a y se tiene Φ◦t= 1A. Por tanto, la sucesión 0→Ker(Φ)→ A3Φ → A → 0es exacta y escindida. Definición 4.1.3. Denotamos por Eal núcleo del homomorfismo Φ, es decir, E=Ker(Φ). Nota. Con esta notación, por el Lema de Escisión 1.4.2 se puede escibir A3como la suma directa A3∼ =E⊕A Definición 4.1.4. Para nuestro contraejemplo definiremos los A-módulos B=A[P, Q]yC=A[U, V, W]/(xU +yV +zW). Teorema 4.1.1. Los A-módulos B[t]yC[t]son isomorfos. Demostración. Consideramos el paso al álgebra simétrica S(A3), y obtendremos los siguientes isomorfismos: 1. Por el Corolario 2.2.1, el álgebra simétrica del A-módulo libre A3de rango 3 es el álgebra de polinomios sobre Aen tres variables, luego S(A3)∼ =A[P, Q, t] 2. Por el isomorfismo de la Proposición 2.2.5 se tiene S(A3)∼ =S(E⊕A)∼ =S(E)⊗S(A) 3. De nuevo, por el resultado del Corolario 2.2.1 se cumple que S(A)∼ =A[t] y entonces S(E)⊗S(A)∼ =S(E)⊗A[t] 4. Por último, por el Corolario 1.7.1, se muestra que S(E)⊕A[t]∼ =S(E)[t] 47 Es decir, tenemos la siguiente cadena de isomorfismos: A[P, Q, t]∼ =S(A3)∼ =S(E)⊗S(A)∼ =S(E)⊗A[t]∼ =S(E)[t] Además, por la escisión de Φse cumple también que A3∼ =Ker(Φ)⊕t(A) = Ker(Φ)⊕(x, y, z)A y por ser Ker(Φ)un submódulo de A3, al considerar la sucesión 0→ A t → A3π → A3/t(A)→0 donde πes la aplicación de paso al cociente, la sucesión es exacta y, además, es escindida porque si tomamos φ∈HomA(A3,A)se tiene Φ◦t= 1A. Por el segundo teorema de isomorfía, que recordemos dice L/(L∩N)∼ =(L+N)/N, aplicado a L=EyN=t(A)(E∩t(A)=0) se tiene que E∼ =A3/(x, y, z)A. Ahora, tomando la base {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}de A3, por el Corolario 2.2.1, se tiene el siguiente isomorfismo S(A3)∼ → A[U, V, W ] (1,0,0) 7→ U (0,1,0) 7→ V (0,0,1) 7→ W con (x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1), y el S(A3)-submódulo generado por A(x, y, z)⊂S(A3)será hA(x, y, z)i=h(x, y, z)i= (x, y, z)·S(A3)=(xU +yV +zW ) Por la proposición 2.2.4, se tiene el isomorfismo S(E)∼ =A[U, V, W ]/(xU +yV +zW) = C La anterior cadena de isomorfismos muestra que B[t] = A[P, Q, t]∼ =S(E)[t] = C[t] Definición 4.1.5. Denotaremos por ρal isomorfismo de A-álgebras B[t]→ C[t]. Este isomorfismo respeta A, es decir, deja los elementos del anillo Afijos. 48 4.2. Generadores de E. Estudiaremos algunas propiedades de E. Definición 4.2.1. Dado α∈ A tal que α=P(X, Y, Z)+(X2+Y2+Z2−1), su función polinómica asociada es Fα:S2→Rcon Fα(a1, a2, a3) = P(a1, a2, a3). Nota. Sea α=P(X, Y, Z)+(X2+Y2+Z2−1), la función polinómica Fαestá bien definida ya que no depende de la elección del polinomio P. Si tomamos otro polinomio Qtal que α=Q(X, Y, Z)+(X2+Y2+Z2−1), entonces P(X, Y, Z)+(X2+Y2+Z2−1) = Q(X, Y, Z)+(X2+Y2+Z2−1) ⇒ ⇒P(X, Y, Z)−Q(X, Y, Z) = H(X, Y, Z)(X2+Y2+Z2−1) y para todo (a1, a2, a3)∈S2, Fα(a1, a2, a3) = P(a1, a2, a3)Fα(a1, a2, a3) = Q(a1, a2, a3) pero, como por ser un punto de S2cumple que a2 1+a2 2+a2 3= 1, P(a1, a2, a3)−Q(a1, a2, a3) = H(a1, a2, a3)(a2 1+a2 2+a2 3−1) = 0 Definición 4.2.2. Se define un campo de vectores polinomial tangente a la esfera como una aplicación X:S2→R3tal que 1. Existen tres polinomios P1, P2, P3∈ A tales que, para todo p∈S2, X(p)=(FP1(p), FP2(p), FP3(p)) 2. X(p)∈TpS2, para todo p∈S2. Nota. Recordemos que dado un punto p= (x, y, z)∈S2, la condición de que un vector (A, B, C)en R3pertenezca a TpS2significa que se cumple (x, y, z)·(A, B, C) = xA +yB +zC = 0 Proposición 4.2.1. Cada elemento de Edefine un campo de vectores polinomial tangente a la esfera. Demostración. Sea h∈E=Ker(Φ) = A3/(x, y, z)A. Entonces hes de la forma h= (a, b, c)con ax +by +cz = 0. Ahora, hinduce una aplicación de la esfera en R3: Xh:S2→R3 (a1, a2, a3)7→ (Fa(a1, a2, a3), Fb(a1, a2, a3), Fc(a1, a2, a3)) denotando por Fa,FbyFclas funciones polinómicas asociadas a los elementos a,bycrespectivamente. Si la función polinómica asociada a ax +by +cz es 49 Fax+by+cz =xFa+yFb+zFc, como ax +by +cz = 0, esta función es la idénticamente nula: Fax+by+cz ≡0. Entonces, a1Fa(a1, a2, a3) + a2Fb(a1, a2, a3) + a3Fc(a1, a2, a3) = Fax+by+cz(a1, a2, a3)=0 Lo que significa que hdefine un campo de vectores polinomial tangente a la esfera porque para cada punto p= (a1, a2, a3)∈S2, se tiene (a1, a2, a3)·(Fa(p), Fb(p), Fc(p)) = Fax+by+cz(a1, a2, a3)=0 y por tanto, Xh(p)=(Fa(p), Fb(p), Fc(p)) ∈TpS2. Vamos a ver que se puede construir un campo de vectores en S2dado un vector tangente cualquiera: Lema 4.2.1. Fijado un punto p= (a1, a2, a3)∈S2, para todo vector ven el plano tangente v= (v1, v2, v3)∈TpS2, existe un campo de vectores polinomial tangente a la esfera X:S2→R3tal que X(p) = v. Demostración. Podemos suponer a3distinto de 0ya que una de las tres componentes del punto pdebe ser no nula porque el punto (0,0,0) no está en S2. Entonces, solo debemos tomar P1=zv1 a3 yP2=zv2 a3 . Ahora, como el vector es tangente , despejamos v3de la igualdad a1v1+a2v2+a3v3= 0 y se tiene v3=−v1a1 a3−v2a2 a3 . De aquí, el polinomio P3debe ser P3=−xv1 a3−yv2 a3 y xP1+yP2+zP3=x(zv1 a3 ) + y(zv2 a3 ) + z(−xv1 a3−yv2 a3 )=0 Proposición 4.2.2. Ees un A-módulo que no puede tener dos generadores. Demostración. Supongamos que Etiene dos generadores y llegaremos a una contradicción. Si Etuviera dos generadores {b1, b2}, para todo h∈Ese podría escribir h=αb1+βb2con α, β ∈ A. Sea p0= (a1, a2, a3)el punto en el que el campo de vectores tangete asociado a b1se anula, Xb1(a1, a2, a3) = (0,0,0), que sabemos que existe por el Teorema 3.3.1. Ahora, elegiremos un vector al que denotaremos v0= (v1, v2, v3)∈Tp0S2tal que v0/∈ hXb2(p0)i. Por el Lema 4.2.1 existe un elemento h0∈Ecumpliendo Xh0(p0) = v0. De esta forma, tomando los elementos α0, β0∈ A tales que h0=α0b1+β0b2se tendrá v0=Xh0(p0) = Fα(p0)Xb1(p0) + Fβ(p0)Xb2(p0) = Fβ(p0)Xb2(p0) pero el vector v0no está generado por b2, luego tenemos una contradicción. Por tanto, Erequiere al menos 3 generadores. 50 4.3. Isomorfismo de A-álgebras. Probaremos ahora que ByCno son isomorfos. Para ello supondremos que existe un isomorfismo η:B∼ → C. El objetivo de este apartado es ver que si existe η, entonces tiene que ser un morfismo de A-álgebras. Lema 4.3.1. Tanto Bcomo Cson A-subálgebras del anillo de polinomios sobre A B[t] = A[P, Q, t]. Demostración. El hecho de que Bes A-subálgebra de B[t]es claro. Junto con el isomorfismo ρ:C[t]→ B[t](que es inyectivo), su restricción a Csigue siendo inyectiva y entonces Ces una A-subálgebra de B[t]. Veremos un resultado que utilizaremos más adelante. Proposición 4.3.1. Sea Dun dominio y P(t)∈D[t],P(t)6= 0 con grado de P(t)igual a n. Entonces no pueden existir α1, α2, . . . , αm∈Dcon m>ntales que P(αi)=0. Demostración. Si α∈Des una raíz del polinomio P(t)con multiplicidad l, entonces (t−α)divide a P(t)y se escribirá P(t) = (t−α)lPn−l(t)donde el grado de Pn−les n−l. Ahora, si existieran raíces α1, α2, . . . , αm∈Dcon m>n entonces se escribiría P(t)=(t−α1). . . (t−αm) pero grado(P) = ny el grado de la parte derecha de la igualdad es my se tenía m>n. Luego el polinomio P(t)no puede tener un número de raíces (contando su multiplicidad) mayor que su grado na menos que sea el polinomio nulo, P(t)=0∈R. Proposición 4.3.2. Los únicos elementos invertibles de Ason los números reales no nulos. Demostración. Supongamos αuna unidad en A. Entonces, αes de la forma α=P(X, Y, Z)+(X2+Y2+Z2) = P(x, y, z) con P(X, Y, Z)∈R[X, Y, Z]. Recordemos que x,yyzson las clases en Ade los elementos X,YyZrespectivamente cumpliendo x2+y2+z2= 1. De aquí se tiene x2=−y2−z2+1 y puedo elegir un polinomio Q(X, Y, Z)∈R[X, Y, Z]de la forma: Q(X, Y, Z) = Q0(Y, Z) + XQ1(Y, Z) con Q0(Y, Z), Q1(Y, Z)∈R[Y, Z]tal que Q(x, y, z) = α, es decir, Q(X, Y, Z) está en la misma clase que P(X, Y, Z). Consideramos ahora otro polinomio 51 los elementos η(P)yη(Q). Si se denotan por c=η(P)yc0=η(Q), entonces C=A[c, c0]y teniendo en cuenta la descomposición homogénea de cada uno de ellos, c=c0+c1+. . . cn c0=c0 0+c0 1+. . . c0 s Ahora, se consideran los elementos x=c−c0yx0=c0−c0 0, y dado un elemento γ∈ C, se tiene γ=X i,j ai,jcic0j=X i,j ai,j(x+c0)i(x0+c0 0)j= =a10x+a10c0+a01x0+a01c0 0+a11xx0+a11c0 0x+a11c0x0+a11c0c0 0+ +a21x2x0+ 2a21c0xx0+a21c2 0x0+a21c0 0x2+ 2a21c0c0 0x+a21c2 0c0 0+ +a12xx02+ 2a12c0 0xx0+a12c02 0x+a12c0x02+ 2a12c0c0 0x0+a12c0c02 0+. . . y si denotamos por bij a la suma de los coeficientes de los monomios de grado i en xy grado jen x0, se puede escribir γ=X i,j bi,jxix0j Entonces, podemos suponer el álgebra Cgenerado por los elementos x=c−c0 yx0=c0−c0 0que no tienen componente homogénea de grado cero, es decir, C=A[x, x0]. De modo que, para un elemento γ∈ C tenemos, por un lado su descomposición homogénea γ=P l≥0 γl, y por otro, γ=X i,j bi,jxix0j=X i,j bi,j(c1+c2+···+cn)i(c0 1+c0 2+···+c0 s)j y comparando en ambas igualdades obtenemos que la componente homogénea de grado uno de γse escribe como γ1=b10c1+b01c0 1 de donde se deduce que la componente de Cde grado uno C1está generada como A-módulo por los elementos c1yc0 1. Por último, tenemos el resultado que dará respuesta a la pregunta planteada al principio del capítulo. 58 Teorema 4.4.1. ByCno son isomorfos. Demostración. Recordemos que C=A[U, V, W]/(xU +yV +zW ). Entonces la componente de grado 1 será C1= (A[U, V, W ])1/(xU +yV +zW)1por cómo se construye la graduación en un cociente. No obstante, los elementos de (A[U, V, W ])1son los polinomios de grado 1, dicho de otra manera, el conjunto {aU +bV +cW/a, b, c ∈ A} y este conjunto es isomorfo a A3. Por otro lado, (xU +yV +zW)1={α(xU +yV +zW )/α ∈ A} = (x, y, z)A. En consecuencia, C1= (A[U, V, W ])1/(xU +yV +zW)1∼ =A3/(x, y, z)A∼ =E de donde se obtiene una contradicción ya que E=Ker(Φ)hemos visto no podía estar generado por dos generadores. De aquí se concluye que no existe el isomorfismo η:B∼ → C que se había supuesto en un principio, y por tanto, By Cno son isomorfos. 59 Bibliografía [1] M.F.ATIYAH and I.G. MACDONALD.Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Company,1969. [2] BOURBAKI, N.Éléments de Mathématique. ÁLGEBRE. Chapitres 1 à 3. 2ème ed. Réimpression inchangée de lédition originale de 1970. N.Bourbaki et Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2007. [3] SINGH, B.Basic Commutative Algebra. World Scientific Punblishing Co. Pte. Ltd, 2011. [4] HIDEYUKI MATSUMURA.Commutative Algebra. The Benjamin/Cummings Publishin Company, 1980. [5] MANFREDO P. DO CARMO.Differential Geometry of curves and Surfaces. [6] JOSE ANGEL HERMIDA ALONSO, MARIA LUISA CARRILLO DE ALBORNOZ, JUAN GABRIEL TENA AYUSO.Álgebra Local. 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