Estudio de una metasuperficie reflectante con control de polarización circular

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Física Estudio de una metasuperficie reflectante con control de polarización circular Autor: Carlos Navas Merlo Tutor/es: Ismael Barba García ÍNDICE GENERAL RESUMEN .................................................................................................................................................. 1 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 2 1.1. MOTIVACIÓN ............................................................................................................................... 2 1.2. MATERIALES CON PROPIEDADES ÓPTICAS ESTRUCTURALES ........................................................ 2 1.3. METAMATERIALES ...................................................................................................................... 5 1.3.1. Primeros pasos en metamateriales ..................................................................................... 5 1.3.2. Metamateriales en la actualidad ........................................................................................ 8 1.4. METAMATERIALES QUIRALES ...................................................................................................... 9 2. METODOLOGÍA ............................................................................................................................ 14 3. CST STUDIO SUITE ...................................................................................................................... 15 3.1. SIMULACIÓN CON CST .............................................................................................................. 15 4. ESTUDIO DEL ACOPLO DIPOLAR ENTRE SRRS CONCÉNTRICOS................................ 18 4.1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS.......................................................................................................... 19 4.2. ANÁLISIS NUMÉRICO.................................................................................................................. 22 4.2.1. Estudio del parámetro-S en los SRRs para ondas en el modo TE y TM........................... 24 4.2.2. Estudio de las corrientes superficiales y campos electromagnéticos en un SRR ............. 26 4.2.3. Estudio del acoplo entre dos SRRs concéntricos.............................................................. 29 5. ESTUDIO NUMÉRICO DE LA ESTRUCTURA PROPUESTA ............................................... 52 5.1. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA ESTRUCTURA PROPUESTA .......................................................... 58 6. CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 60 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 62 INDICE DE FIGURAS ............................................................................................................................ 65 1 RESUMEN En este trabajo se propone un patrón para la construcción de un espejo quiral. Estos metamateriales tienen la propiedad de conservar una o ambas polarizaciones de una onda circularmente polarizada tras su reflejo. El patrón propuesto tiene por nombre “Twisted Split Ring Resonators”, y consiste en dos anillos con cortes (SRR; por sus siglas en inglés) colocados a 90º uno respecto del otro, impresos sobre un dieléctrico colocado delante de una lámina metálica. El estudio de esta estructura se llevará a cabo mediante una breve introducción a los metamateriales, y en particular a los metamateriales planos. Seguidamente, se dará una explicación al funcionamiento de la estructura, mediante la teoría de la interacción dipolar. Exponiendo los fundamentos teóricos de dicha teoría y su demostración mediante simulaciones con el programa CST STUDIO SUITE®. Por último, se presenta el resultado final de la estructura propuesta frente a incidencia de luz circularmente polarizada, y se estudiará como se ve afectado este resultado cuando variamos algunos de los parámetros más importantes de la estructura, véase por ejemplo, el ángulo de incidencia, el espesor del sustrato o el espacio entre anillos. 2 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Motivación Con el desarrollo tecnológico, el control y manipulación de las ondas electromagnéticas tiene una importancia fundamental en tecnologías como el almacenamiento óptico, internet, imagen y visualización, y sobre todo en las telecomunicaciones. Un ejemplo de esto último, lo tenemos con los más de dos mil satélites en órbita para su uso en las comunicaciones. Debido al excesivo coste que supone la puesta en órbita de todos estos satélites, la reducción del mismo será siempre bienvenida. Cuando se transmite información, se reparte entre diferentes valores de frecuencia, y lo óptimo es enviar el mayor volumen de información en estas bandas. Una manera de conseguir esto, es a través de la transmisión de la información mediante ondas linealmente polarizadas ortogonales entre sí, ya que las ondas linealmente polarizadas son fáciles de entender y producir. Sabiendo que, para conseguir una onda linealmente polarizada ortogonal a la anterior basta con rotar el transmisor 90º. Uno de problemas que existen en la transmisión de ondas electromagnéticas linealmente polarizadas, es que el receptor tiene que estar orientado en la misma dirección que el transmisor para maximizar la recepción de información. Si tenemos en cuenta la dificultad de mantener el satélite alineado constantemente, este tipo de polarización no es la ideal. Otro problema, puede encontrarse cuando las ondas electromagnéticas atraviesan la ionosfera, debido a que en esta se producen rotaciones del plano de polarización de las ondas electromagnéticas, como consecuencia al efecto Faraday, aumentando la desalineación entre el transmisor y el receptor [1]. Si se tiene en cuenta lo anterior, se prefiere la polarización circular, ya que no exige una alineación entre el transmisor y el receptor, además, se producen menos perdidas en el trayecto. El único requerimiento es que simplemente el receptor y el transmisor estén diseñados para una polarización a derechas o a izquierdas de una onda circularmente polarizada. Una solución a esta necesidad son los espejos quirales. Éstos no solo permiten la conservación de la polarización a derechas o a izquierdas de una onda circularmente polarizada tras ser reflejada, sino que en un rango determinado de frecuencias (frecuencias de resonancia), permiten la absorción de la onda incidente con una polarización bien sea a derechas o a izquierdas, y la reflexión total de la otra polarización. Por esta última propiedad, es por lo que se están invirtiendo muchos recursos en la investigación de estos tipos de metamateriales para su uso en satélites [2]. 1.2. Materiales con propiedades ópticas estructurales En la naturaleza son comunes los materiales con propiedades ópticas estructurales. Un ejemplo de ello es el ópalo, el cual consiste en esferas de sílice dispuestas en forma de estructuras empaquetadas, ver Figura 1.1. Éstas actúan como rejillas de difracción, las cuales, según su orientación, el ángulo de incidencia de la luz y el tamaño de las esferas, hace que aparezcan placas que cambian de color: de violeta a rojo, de violeta a verde o azul. No obstante, existen estructuras mucho más complejas en los animales, como las mariposas, polillas, pájaros, escarabajos, peces y plantas producidos por la evolución [3]. 3 Figura 1.1: Materiales con propiedades ópticas en la naturaleza. (a) Ópalo está formado por nanoesferas de sílice [4]. (b) Microestructura de cada una de las escamas de las mariposas Morpho rhodopteron. [5] (c) El escarabajo Chrysina gloriosa tiene diferente color bajo luz circularmente polarizada a izquierda o a derecha, debido a la estructura quiral de su exoesqueleto. [6] Un ejemplo bien conocido es la interferencia de la luz en las escamas que componen las alas iridiscentes de las mariposas Morpho rhodopteron [5]. Otro ejemplo, serían los ojos de las polillas que tienen microestructuras anti-reflectantes, que reducen el brillo de los ojos haciéndolas menos visibles a los depredadores [7]. O la estructura quiral del exoesqueleto de los escarabajos Chrysina gloriosa, que hace que éstos se vean de diferente color según sea la polarización de la luz [6]. La humanidad lleva usando materiales con propiedades ópticas estructurales desde mucho antes de que se entendiese la física que hay tras ellos. Ya los romanos usaban nanopartículas de metal para colorear el cristal. Un ejemplo especialmente interesante es la copa de Licurgo, la cual tiene nanopartículas de oro y plata que hace que se vea de color verde cuando se ilumina desde fuera y rojo cuando se ilumina desde dentro [8] , vea Figura 1.2. La comprensión que tenemos de la relación entre los materiales y sus propiedades ópticas estructurales, fue posible gracias a la invención de Joseph von Fraunhofer de la red de difracción, la cual transformó la espectroscopia [9], los fundamentos teóricos del electromagnetismo desarrollados por James C. Maxwell [10], y el estudio de capas superpuestas de dieléctrico de Lord Rayleigh y Jagadis C.Bose. desarrollando lo que hoy se conoce como espejos de Bragg. Rayleigh entendió como las estructuras periódicas pueden producir reflexión total de una longitud de onda [11]. Este trabajo, permitió descubrir que la iridiscencia de algunos materiales era el resultado de la interferencia debido a la periodicidad de la estructura del material. 4 Figura 1.2: Copa de Licurgo contiene nanopartículas de oro y plata, viéndose así verde debido a la reflexión (izquierda) y rojo en la transmisión (derecha). [8] Figura 1.3: Control de la polarización usando medios compuestos: Ejemplo del trabajo de Bose con ondas milimétricas. (a) polarizador lineal que consiste en la intercalación de láminas metal entre las hojas de un libro. (b) Fardo de trenzado de hilos de yute el cual rota el estado de polarización. [12] Bose usó ondas milimétricas para estudiar la relación entre la estructura y las propiedades electromagnéticas de un medio compuesto, encontrando por ejemplo que incluso un simple libro tiene propiedades polarizadoras, las cuales se ven aumentadas intercalando láminas de metal entre páginas, véase Figura 1.3. Con la realización de experimentos con fardos de hilos de yute trenzados, observó, que estructuras artificiales 3D-quirales tienen el poder de rotar el estado de polarización de las ondas electromagnéticas [13] . Los materiales con propiedades ópticas artificiales son un campo de investigación que está creciendo a gran velocidad, debido principalmente a dos factores. En primer lugar, las técnicas de nanoestructuración, como la litografía por haz de electrones y la laminación por haz de iones focalizado, han hecho posible la creación de patrones a nanoescala, lo que es necesario para las nuevas funcionalidades en la zona óptica de frecuencias. En segundo lugar, el nuevo campo de los metamateriales ha abierto un amplio abanico de nuevas funcionalidades. 5 1.3. Metamateriales Los metamateriales se definen, en un sentido amplio, como estructuras artificiales, homogéneas desde el punto de vista electromagnético, que exhiben propiedades físicas insólitas no presentes en la naturaleza. Según el Instituto Europeo Virtual para Materiales Electromagnéticos Artificiales y Metamateriales «son una disposición artificial de elementos estructurales, diseñada para conseguir propiedades electromagnéticas ventajosas e inusuales». Sólo se pueden obtener artificialmente en laboratorios por medio de una serie de métodos de fabricación y se caracterizan por tener unas propiedades macroscópicas distintas a las de sus materiales constituyentes básicos. Los metamateriales tienen dichas propiedades gracias a sus constituyentes básicos, conocidos como metamoleculas (o meta-átomos), véase Figura 1.4, que se construyen en una escala de sublongitud de onda a partir de materiales constituyentes comunes como metales y dieléctricos. Debido a su estructura de sublongitud de onda, los metamateriales no difractan la luz y, por lo tanto, son muy diferentes de los cristales fotónicos, actuando como un medio uniforme que, en principio, puede atribuirse a un índice de refracción efectivo. [14] Figura 1.4 Ejemplo de patrones en metamateriales [14]. Una onda electromagnética que incide en el metamaterial induce corrientes eléctricas oscilantes j en los elementos conductores de cada metamolécula, que luego dispersan (es decir, vuelven a radiar) las ondas electromagnéticas secundarias que dan lugar a las propiedades macroscópicas del metamaterial. La radiación dispersada hacia atrás se entiende como la reflexión del metamaterial, mientras que la radiación dispersada hacia delante contribuye a la transmisión [14]. La respuesta resonante de una metamolécula está determinada por la inductancia L y la capacitancia C de su patrón metálico, que puede ser visto, en primera aproximación, como un circuito eléctrico excitado externamente por los campos de la onda incidente. Cuando el tamaño total de la metamolécula es más pequeño que λ0/20, tal circuito puede describirse como una red de componentes eléctricos agrupados con la frecuencia de resonancia dada por la conocida expresión 𝜔𝜔0= 2𝜋𝜋𝑓𝑓0= 1/√𝐿𝐿𝐿𝐿. [14] 1.3.1. Primeros pasos en metamateriales Dieléctricos Artificiales En 1948, Winston Kock sugirió crear una lente dieléctrica más ligera remplazando los materiales refractantes con alta permitividad por pequeñas bolas de metal mucho menos pesadas [15]. 6 El material dieléctrico artificial se definió en ese trabajo, como un compuesto que reproduce, a una escala mucho mayor, los procesos que ocurren en las moléculas de un dieléctrico natural. Esto se consiguió mediante la disposición de elementos metálicos en un arreglo tridimensional (3D) o estructura de red, para simular las redes cristalinas de los materiales dieléctricos, véase Figura 1.5. Tal arreglo responde a las ondas de radio, así como una red molecular responde a las ondas de luz: Los electrones libres en los elementos metálicos fluyen de un lado a otro bajo la acción del campo eléctrico alterno. Los elementos metálicos llamados también como partículas de la red se convierten en dipolos oscilantes similares a los dipolos moleculares oscilantes de un dieléctrico natural. Este concepto, sin embargo, probablemente fue sugerido por primera vez por Lord Rayleigh en su trabajo [16]. Rayleigh consideró una red de pequeños dispersores (moléculas modeladas por esferas), cuyo periodo era mucho más pequeño comparado con la longitud de onda, formando un medio continuo. Kock reprodujo este concepto con cadenas de esferas de metal. Posteriormente este concepto se desarrolló en el trabajo realizado por M. M. Kharadly y W. Jackson [17]. Éstos calcularon la permitividad en dieléctricos artificiales formados por elipsoides, discos o varillas asumiendo que la frecuencia de operación era suficientemente pequeña y que las condiciones cuasi-estáticas de Rayleigh se mantenían. Figura 1.5 Dielectrico de W.E. Kock. Izquierda: Red de esferas formando una lente convexa. Derecha: Red de esferas sobre un sustrato [15]. Magnetismo artificial Se podría decir, que el desarrollo más importante en el campo de los metamateriales fue la demostración del conocido magnetismo artificial, un fenómeno caracterizado por la aparente fuerte respuesta magnética, sobre todo a frecuencias ópticas de compuestos no magnéticos. El desarrollo de estos materiales permitirá la creación de materiales con índice de refración negativo. El conocimiento de la obtención de magnetismo sin componentes magnéticos se conoce desde 1940 gracias a los trabajos de S. A. Schelkunoff y H. T. Friis los cuales sugirieron los conocidos Split-ring resonators (SRRs) [18]. La idea del magnetismo artificial fue concebida en 1999 por Pendry et al., quien propuso un análogo magnético de un conductor eléctrico con propiedades electromagnéticas controlables [19]. Los materiales que exhiben magnetismo artificial fueron también sugeridos como una solución práctica para manipular los campos magnéticos secundarios de radiofrecuencia (RF) en un entorno de resonancia magnética (RM), donde el uso de materiales magnéticos convencionales perturbaría el patrón del campo magnético cuasiestático primario [20]. Sobre todo, el interés en el magnetismo artificial se debió al hecho de que el fuerte magnetismo natural (exhibido por materiales ferromagnéticos) es virtualmente inexistente a frecuencias de terahercios y superiores [14], donde las interacciones luz-materia están mediadas exclusivamente por la componente eléctrica de la luz (permitividad magnética µ≈1). 7 La existencia de un fuerte magnetismo en la naturaleza está asegurada por los espines de electrones no apareados en los átomos, que parecen estar alineados localmente a través de la interacción de intercambio entre sí, formando dominios microscópicos de magnetización espontánea uniforme (ferromagnetismo). A nivel macroscópico, la respuesta magnética, resulta de la reorientación en paralelo de todos estos dominios con un campo magnético aplicado externamente [14]. La reorientación, sin embargo, tarda una fracción de microsegundo en completarse, lo que significa que a frecuencias de terahercios y superiores, las variaciones del campo aplicado son demasiado rápidas para la reordenación de los dominios, y por lo tanto la respuesta ferromagnética se desvanece. El único mecanismo que podría dar lugar a magnetismo en frecuencias ópticas es el diamagnetismo. Clásicamente hablando, el diamagnetismo es la manifestación de la ley de Lenz sobre la escala atómica: cuando un campo magnético externo se acopla a los electrones, fuerza a un átomo a precesar (precesión de Larmor) e induce así corrientes orbitales adicionales, que generan un campo magnético que se opone al externo [14]. El enfoque que se da a los metamateriales, permite la imitación de corrientes orbitales con lazos de corrientes de conducción que son inducidas magnéticamente en las metamoléculas por inducción de Faraday, véase Figura 1.6. Figura 1.6 Metamoleculas magnéticas. Las corrientes orbitales en átomos y moléculas son imitadas mediante SRRs (a), (b), varillas (c), o pilares (c), donde la corriente inducida j, da lugar a un momento dipolar magnético m. [14] Dado que cada metamolécula funciona como un circuito LC, las corrientes de conducción inducidas serán amplificadas, produciendo una respuesta magnética artificial que es varios órdenes de magnitud más fuerte que la que se encuentra en los materiales naturales. Está respuesta magnética se producirán a una determinada frecuencia de resonancia. Frecuencia que se puede adaptar a nuestro interés, variando las capacidades e inductancias del patrón, mediante las diferentes disposiciones de los elementos de la estructura. Materiales con índice de refracción negativo-Materiales zurdos La primera publicación de como las ondas electromagnéticas se comportarían en un medio zurdo fueron los apuntes del profesor L.I. Mandelshtam [21] (1879-1944), aunque las ondas que se propagan por un medio con velocidad de grupo negativo ya había discutido en 1904 por Lamb y en 1905 por H.Poclington [22]. La idea de Mandelshtam era simple. En un medio isótropo, el 14 2. METODOLOGÍA En este trabajo se propone como patrón para el metamaterial dos SRRs concéntricos, con distinta orientación, de tal forma que los gaps de ambos SRRs sean perpendiculares entre ellos. Esto nos permitirá conseguir, gracias a las diferencias en la transmisión y reflexión de ondas linealmente polarizadas en los modos TE y TM que existen entre los dos anillos, resonancias entre ellos, que tendrá como resultado, unos valores en la transmisión y reflexión de ondas circularmente polarizadas, diferente para las ondas polarizadas a derechas y a izquierdas. En primer lugar, se analizarán visualmente las corrientes y campos electromagnéticos que se producen en un SRR, cuando sobre él inciden ondas linealmente polarizadas con el campo eléctrico paralelo al gap de los anillos y cuando éste es perpendicular a dicho gap, lo que nos permitirá entender por qué un SRR se puede entender como un circuito LC. En un segundo apartado, se procederá al análisis de la transmisión y reflexión mediante el parámetro-S o parámetro de dispersión, lo cual nos permitirá observar las diferentes frecuencias de resonancia, donde existirá transmisión total de una determinada polarización y reflexión nula y viceversa, de ambos SRR por separado. A continuación, se analiza el parámetro-S con los SRRs juntos, y con la ayuda del análisis de los SRRs por separado interpretaremos las frecuencias de resonancia que se dan en la estructura y se explicará el fundamento físico de éstas. En la explicación del fundamento físico de las frecuencias de resonancia que se dan en el apartado anterior, se llegará a la conclusión de que estas resonancias son debidas al acoplo entre dichos SRRs, pero no podremos obtener información de cómo funciona este acoplo. Explicar esto último es el propósito de este tercer apartado en el análisis de la estructura. En éste se explicará, haciendo uso de la teoría de interacción dipolar, la posición de las frecuencias de resonancia, junto con el ancho de banda de éstas. Con todo este análisis previo, se tendrán las herramientas suficientes para entender las dos estructuras finales que se exponen en este cuarto apartado, donde analizaremos el parámetro-S para la reflexión de ondas circularmente polarizadas a izquierdas y a derechas. Aquí se observarán distintos comportamientos en la copolarización y en la polarización cruzada para las distintas polarizaciones de las ondas circularmente polarizadas. En este mismo apartado se estudiará también, la estabilidad angular del metamaterial. La cual es una característica de gran importancia en aplicaciones técnicas de los metamateriales, como por ejemplo los satélites. En este análisis se estudiará cómo afecta los diferentes ángulos de incidencia de la onda, a la frecuencia de resonancia, y así, poder extraer de estas gráficas, cual es el máximo ángulo de incidencia en el que la estructura de estudio mantiene sus propiedades ópticas. Por último, se hará un estudio de los efectos que tienen en la frecuencia de resonancia el cambio de los diferentes parámetros de la estructura, como el espaciado entre anillos y anchura de estos, espesor del sustrato, distancia espejo-sustrato, permitividad, permeabilidad y tangente de pérdidas del sustrato. Acompañado todo ello, de una explicación con el fundamento teórico de estos cambios en la frecuencia. 15 3. CST STUDIO SUITE® Para el diseño y simulación de la estructura en este trabajo se ha utilizado el programa Computer Simulation Technology (CST) Microwave Studio Suite, el cual es un programa de simulación electromagnética de alto rendimiento. Comprende herramientas para el diseño y la optimización de dispositivos que operan en una amplia gama de frecuencias, desde estáticas hasta óptica. El programa puede proporcionar análisis EM de diversos tipos. Los más comunes incluyen, el estudio del rendimiento y la eficiencia de antenas y filtros, compatibilidad electromagnética e interferencia (CEM/IEM), exposición del cuerpo humano a campos EM, efectos electromecánicos en motores y generadores, y efectos térmicos en dispositivos de alta potencia. La técnica de integración finita (FIT) se utiliza como técnica básica de CST, que es la forma integral de las ecuaciones de Maxwell. La solución de las ecuaciones requiere que la estructura esté subdividida en pequeñas celdas tanto para la simulación en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. CST ofrece dos modos de simulación: simulación en el dominio del tiempo y simulación en el dominio de la frecuencia. La simulación en el dominio del tiempo se utiliza para estructuras no resonantes y la simulación en el dominio de frecuencia contiene alternativas para estructuras altamente resonantes. Además, el simulador en el dominio de la frecuencia tiene la opción de utilizar una malla tetraédrica que no está disponible dentro del simulador en el dominio del tiempo. Y puesto que la estructura que se estudia en este trabajo es una superficie 2D, se podrá discretizar mucho mejor usando la malla tetraédrica. Por último, el simulador en el dominio de la frecuencia nos permite analizar la estructura para diferentes ángulos de incidencia, al contrario de lo que ocurre en el simulador en el dominio del tiempo. Permitiéndose analizar la estabilidad angular de la estructura. Por todo ello, para este trabajo se usará la simulación en el dominio de la frecuencia. Por otra parte, un metamaterial puede considerarse como una estructura periódica infinita. Por lo tanto, basándonos en el teorema de Floquet [38] y las condiciones de contorno periódicas, solo será necesario analizar una sola celda unidad. 3.1. Simulación con CST En CST Microwave Studio, la plantilla “FSS, Metamaterial-Unit cell”, nos facilita la creación de una estructura periódica, únicamente eligiendo las condiciones de contorno de la celda unidad. Como se ve en la Figura 3.1.1, en los apartados del trabajo donde simulemos la transmisión y reflexión, los valores mínimos y máximos en las direcciones x- e yse dejan con valor “unit cell”, lo que creará una estructura periódica en esas direcciones, y en la dirección zse elegirá “open (add space)”, lo que nos permitirá simular el vacío en esa dirección. Los ángulos de incidencia theta y phi determinan el plano y el ángulo de incidencia. Variando theta y phi se consigue una onda plana con diferentes ángulos de incidencia, opciones que se usarán cuando queramos estudiar la estabilidad angular de la estructura, esto es, para qué ángulos de incidencia nuestra estructura sigue teniendo el comportamiento deseado. 16 Figura 3.1.1 Configuración de las condiciones de contorno de la celda unidad. En las simulaciones a lo largo del trabajo se utilizarán dos modos de Floquet, modo 1 y modo 2, véase Figura 3.1.2. Los modos 1 y 2 indican la polarización de la señal: onda plana con polarización lineal y orientada con 𝐸𝐸 �  =𝐸𝐸𝑦𝑦 o 𝐸𝐸 �  =𝐸𝐸𝑥𝑥 ( TE o TM), o bien con polarización circular a derechas o izquierdas (RCP o LCP, respecto al eje z). Los modos superiores (3,4,5,6,…) representan ondas estacionarias que resonarían transversalmente (en x, y). Ambos pares de modos (TE y TM o LCP y RCP), se elegirán para los puertos Zmin y Zmax. Estos puertos modelan, para una onda con incidencia normal, una señal que llega desde Zmin o desde Zmax. Figura 3.1.2 Configuración de los puertos y los modos de la simulación. Una vez construida la estructura, se seleccionará el módulo de solución en el dominio de la frecuencia. Esta simulación tendrá como resultado el parámetro-S, que nos da la transmisión y reflexión como una combinación de SZmax(1), Zmax(1), Zmax(2), SZmax(2), SZmin(1), SZmin(2). Algunos ejemplos de estas combinaciones para la polarización lineal, serán: 17 SZmax(1),Zmax(1): representaría el coeficiente de reflexión “ en copolarización” para una onda que incide desde Zmax con el modo 1 (que porción de esa onda se refleja hacia Zmax con el mismo modo). SZmax(2),Zmax(1): representaría el coeficiente de reflexión “polarización cruzada” para una onda que incide desde Zmax con el modo 1 (que porción de esa onda se refleja hacia Zmax con el modo 2). SZmin(1),Zmax(1): representaría el coeficiente de transmisión “en copolarización” para una onda que incide desde Zmax con el modo 1 (que porción de esa onda se transmite hacia Zmin con el mismo modo). SZmin(2),Zmax(1): representaría el coeficiente de transmisión “ en polarización cruzada” para una onda que incide desde Zmax con el modo 1 (que porción de esa onda se transmite hacia Zmin con el modo 2) En el caso de que la incidencia sea desde la cara opuesta de la estructura, en el parámetro-S aparecerá también las componentes Zmin(1), Zmin(2) que son los equivalentes a Zmax(1), Zmax(2), para la incidencia desde la cara opuesta, y cuya combinación sigue la misma estructura que la explicada antes. Si únicamente queremos conocer la reflexión, pondremos como valor de Zmin “electric (Et=0)”, como se muestra en la Figura 3.1.3, y el parámetro-S vendrá dado como una combinación de SZmax(1), Zmax(1), Zmax(2), SZmax(2). Figura 3.1.3 Configuración de las condiciones de contorno para la celda unidad, para reflexión. Junto con los resultados 1D, los 2D/3D nos permiten, gracias a los monitores de campo, el estudio del campo eléctrico, campo magnético y las corrientes superficiales en la estructura, para una frecuencia dada. Además, CST nos facilita poder hacer una simulación del comportamiento de la estructura, frente a cambios de uno de sus parámetros, con la opción “parameter sweep”, véase Figura 3.1.4 Figura 3.1.4 Barra de herramientas, con monitores de campo y muestreo de parámetros. 18 4. ESTUDIO DEL ACOPLO DIPOLAR ENTRE SRRs CONCÉNTRICOS Cuando sobre un único SRR incide normalmente una onda plana, véase Figura 4.1, con el campo eléctrico paralelo a su gap, se inducirá en este un momento dipolar eléctrico variable en el gap del SRR. Esta variación del momento dipolar eléctrico, producirá una corriente eléctrica que circulará por todo el anillo, y se formará un momento dipolar magnético, asociado a esta corriente. El SRR exhibirá varias frecuencias de resonancia en la trasmisión de la onda incidente. Estas frecuencias de resonancia vendrán determinadas por la geometría del SRR, que en el caso de la frecuencia de resonancia menor se puede considerar como un circuito LC. Donde la capacidad se debe a la separación de cargas en el SRR y la inductancia a la corriente que circula por este, véase Figura 4.1. Por el contrario, a la primera frecuencia de resonancia del modo TM (onda linealmente polarizada normalmente incidente, que tiene el campo eléctrico perpendicular al gap del SRR), se formarán dos corrientes con el mismo sentido en ambos lados del SRR, teniendo como resultado un momento dipolar magnético nulo. En este apartado se pretende dar explicación a los valores de las frecuencias de resonancia que aparecen cuando sobre el sistema de los dos anillos incide una onda plana, junto con la anchura de estas resonancias y de sus desplazamientos respecto de las resonancias de los anillos aislados. Todo ello se realizará con la ayuda de la teoría de interacción dipolar estudiando la estabilidad del sistema mediante la energía de interacción, y el acoplo dipolo-radiación. En primer lugar, se expondrán las bases teóricas sobre el acoplo dipolar, y las aproximaciones que se tomarán. Posteriormente se estudiarán las frecuencias de resonancia de ambos SRRs (anillo grande y pequeño) mediante los coeficientes de transmisión y reflexión (parámetro-S), y se simularán los campos electromagnéticos y corrientes producidos en el anillo pequeño, para la primera frecuencia de resonancia de esté. Con la intención de demostrar, que efectivamente, a esta frecuencia, cuando se incide normalmente con una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al gap, el anillo es equivalente a un circuito LC, y que se forman acumulaciones de carga en el gap. Y demostrar también que, con incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico perpendicular al gap, en la primera frecuencia de resonancia, se producen dos corrientes paralelas en los laterales del anillo. Por último, se comprobará, la teoría de interacción dipolar en los SRRs, para ello se rotará el anillo pequeño respecto a un eje perpendicular al plano de la estructura 0º, 90º y 180º. Para ello se analizará, si la teoría de interacción dipolar explica adecuadamente los cambios en las frecuencias de resonancia que se producirán al realizar estos cambios en la posición. 19 Figura 4.1 Dipolo eléctrico (rojo), magnético (azul) y corriente superficial (flecha cortada) inducidos. El momento dipolar eléctrico estará localizado en cerca del gap, donde la concentración de carga es máxima, mientras que el momento dipolar magnético pasará cerca del centro del SRR debido a la circulación de corriente por este [39]. Circuito equivalente del SRR, a la menor frecuencia de resonancia. 4.1. Fundamentos teóricos En la aproximación cuasiestática, la energía de interacción eléctrica se puede escribir como un desarrollo de Taylor entorno a un origen determinado (desarrollo multipolar). Siendo este desarrollo [40] 𝑊𝑊=𝑞𝑞𝑞𝑞(0)−𝑝𝑝∙𝐸𝐸 �  (0)−1 6��𝑄𝑄 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖(0) 𝑖𝑖𝑖𝑖 +⋯ ( 3 ) Donde 𝑞𝑞 es la carga total, 𝑝𝑝 el momento dipolar de la distribución, 𝐸𝐸 �  el campo eléctrico y 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖 es el termino cuadrupolar. Puesto que la carga total es 0, y que trabajaremos con la menor frecuencia de resonancia nos quedamos con el segundo término de la expresión anterior (para frecuencias superiores habría que considerar órdenes superiores en el desarrollo). Expresión que nos da la interacción dipolo-dipolo. Tomando como origen uno de los dipolos Figura 4.1.1, el campo eléctrico producido por este viene dado por [40]: 𝐸𝐸(𝑟𝑟)=3𝑟𝑟(𝑝𝑝1∙𝑟𝑟)−𝑝𝑝1 � � � �  4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑟𝑟3 ( 4 ) 20 Figura 4.1.1 Representación esquemática de dos dipolos eléctricos. Luego la energía de interacción eléctrica dipolo-dipolo será 𝑊𝑊12 =𝑝𝑝1 � � � �  ∙𝑝𝑝2 � � � �  −3(𝑝𝑝1∙𝑟𝑟)(𝑝𝑝2∙𝑟𝑟) 4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑟𝑟3 ( 5 ) Para obtener la interacción entre dos dipolos magnéticos, tenemos en cuenta que el campo producido por un dipolo magnético viene dado por: 𝐵𝐵(𝑟𝑟)=𝜇𝜇03𝑟𝑟(𝑚𝑚 � �  1∙𝑟𝑟)−𝑚𝑚1 � � � � �  4𝜋𝜋𝑟𝑟3 ( 6 ) La energía de interacción de un dipolo magnético con un campo magnético tiene como expresión 𝑊𝑊=−𝑚𝑚 � �  ∙𝐵𝐵 �  ( 7 ) Luego 𝑊𝑊12 =𝜇𝜇0𝑚𝑚1 � � � � �  ∙𝑚𝑚2 � � � � �  −3(𝑚𝑚 � �  1∙𝑟𝑟)(𝑚𝑚 � �  2∙𝑟𝑟) 4𝜋𝜋𝑟𝑟3 ( 8 ) Figura 4.1.2 Representación esquemática de dos dipolos magnéticos. La energía de interacción en el modo longitudinal, esto es, cuando 𝜃𝜃1 y 𝜃𝜃2 toman los valores 0 y 𝜋𝜋, será Para los dipolos eléctricos: 𝑊𝑊12 =−𝑝𝑝1𝑝𝑝2 2𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑟𝑟3 ( 9 ) Cuando están alineados, 21 𝑊𝑊 12 =𝑝𝑝1𝑝𝑝2 2𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑟𝑟3 ( 10 ) Cuando están antialineados, y 𝑊𝑊12 = 0 cuando uno es perpendicular al otro. Para los dipolos magnéticos: 𝑊𝑊12 =−𝜇𝜇0𝑚𝑚1𝑚𝑚2 2𝜋𝜋𝑟𝑟3 ( 11 ) Cuando están alineados, 𝑊𝑊12 =𝜇𝜇0𝑚𝑚1𝑚𝑚2 2𝜋𝜋𝑟𝑟3 ( 12 ) Cuando están antialineados, y 𝑊𝑊12 = 0 cuando uno es perpendicular al otro. La energía de interacción para el acoplo transversal, esto es, para los que los ángulos 𝜃𝜃1 y 𝜃𝜃2 toman los valores 𝜋𝜋/2 y −𝜋𝜋/2, será Para los dipolos eléctricos: 𝑊𝑊12 =𝑝𝑝1𝑝𝑝2 4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑟𝑟3 ( 13 ) Cuando los dipolos están alineados, 𝑊𝑊12 =−𝑝𝑝1𝑝𝑝2 4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑟𝑟3 ( 14 ) Cuando están antialineados, y 𝑊𝑊12 = 0 cuando uno es perpendicular al otro. Para los dipolos magnéticos: 𝑊𝑊12 =𝜇𝜇0𝑚𝑚1𝑚𝑚2 4𝜋𝜋𝑟𝑟3 ( 15 ) Cuando están alineados, 𝑊𝑊12 =−𝜇𝜇0𝑚𝑚1𝑚𝑚2 4𝜋𝜋𝑟𝑟3 ( 16 ) Cuando están antialineados, y 𝑊𝑊12 = 0 cuando uno es perpendicular al otro. Figura 4.1.3 Esquema de la energía de interacción para algunos de los casos explicados anteriormente. 22 Por la geometría del sistema, los dipolos electricos se acoplarán transversalmente (salvo en el caso de los anillos colocados a 90º uno del otro), pues estos como se verá posteriormente, se sitúan cerca del gap de los anillos. Los momentos dipolares magnéticos, por el contrario, se acoplarán longitudinalmente, pues estos se sitúan cerca del centro del anillo. En el caso del acoplo transversal de los dipolos eléctricos, el acoplo lateral antisimetrico, tendrá una energía de interacción menor, lo que hará el sistema dipolo-dipolo más estable, esta estabilidad hará que el acoplo dipolo-radiación sea más debil, disminuyendo así la frecuencia de resonancia [41]. Para ver este último punto, basta con analizar la distribución de cargas en la Figura 4.1.3, donde se puede apreciar que en el modo transversal antisimetrico, la carga de un dipolo está enfrentado con la carga opuesta del otro, aumentando la fuerza de atracción entre las cargas. Esto produce que se necesite más fuerza para hacer oscilar las cargas dentro de los anillos, teniendo como consecuencia una menor frecuencia de resonancia. Por el contrario, cuando están alineados habrá entre las cargas una fuerza de repulsión (energia de interacción positiva-sistema inestable), y consecuentemente, se necesitará una menor fuerza para hacerlas oscilar, aumentando asi la frecuencia de resonancia y el acoplo dipolo-radiación [41]. En el caso longitudinal ocurre lo contrario al caso transversal, cuando los dipolos están alineados existirá una atraccion entre los diferentes polos (o cargas) y por lo tanto una disminución de la frecuencia de resonancia. Y por otro lado, cuando están antialineados, la repulsion entre los dos polos norte y los dos sur (cargas positiva-positiva, negativa-negativa), se traducirá en una mayor frecuencia de resonancia. Hay que hacer notar, que el acoplo longitudinal dará frecuencias mayores o menores que sus equivalentes en el acoplo transversal, debido a que la energía de interacción son mayores y menores, respectivamente. Fijándose en la Figura 4.1.3 , y con lo explicado en el parrafo anterior, el esquema de frecuencias de resonancias quedará de la forma mostrada en la Figura 4.1.4. Figura 4.1.4 Esquema de la división de frecuencias de resonancia. [39] 4.2. Análisis numérico El estudio numérico está divido en tres apartados. Los primeros apartados 4.2.1 y 4.2.2 tienen como propósito el sentar las bases en la interpretación de las gráficas de los campos, corrientes y los coeficientes de transmisión y reflexión (parámetro-S), para facilitar el estudio en el último apartado sobre el acoplo entre anillos. En todo el análisis se incidirá normalmente con luz linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1) y paralelo al eje x (modo TM/modo 2). 23 En el apartado 4.2.1 se presentan las gráficas con los coeficientes de transmisión y reflexión copolarizada y con polarización cruzada para los modos TE/modo 1 y TM/modo 2. Sobre estas se analizarán cuáles son las frecuencias de resonancia para cada modo, y cuáles de estas frecuencias nos servirán para un posterior análisis. En el apartado 4.2.2 se mostrarán los campos y corrientes superficiales que se producen en un anillo cuando se inciden sobre él con ondas en los modos TE y TM, a la primera frecuencia de resonancia. En este último apartado, el estudio se hará únicamente sobre el anillo pequeño puesto que el análisis del anillo grande sería equivalente, lo único que cambiaría es la frecuencia a la que deberíamos trabajar. Por último, en el apartado 4.2.3 se estudiará el acoplo entre los anillos. En este apartado se verá como al incidir normalmente con una onda en el modo TE, sobre los anillos concéntricos, aparecen dos frecuencias de resonancia que corresponderán a las primeras frecuencias de resonancias de los anillos individuales (estudiadas en el apartado 4.2.1), aunque desplazadas y con diferente ancho de banda. Son estos dos últimos fenómenos a los que se intenta dar explicación en este apartado, mediante la teoría de interacción dipolar. Las especificaciones de los dos anillos que se estudiarán son: Figura 4.2.1 Especificaciones del anillo pequeño de cobre (puro) impreso en dieléctrico FR-4 (con pérdidas). Figura 4.2.2 Especificaciones del anillo grande de cobre (puro) impreso en dieléctrico FR-4 (con pérdidas). 30 frecuencias de resonancia. En esta únicamente se representará la reflexión copolarizada (incide modo TE y se refleja modo TE) y la transmisión copolarizada (incide modo TE y se transmite modo TE). 3. Representación esquemática de las posibles posiciones de los dipolos eléctrico y magnéticos, que explican dichas frecuencias de resonancias. A su vez, para cada frecuencia de resonancia en cada posición de los anillos, se adjuntarán seis imágenes: 1. Figura con las corrientes superficiales producidas en los anillos a esa frecuencia de resonancia. En estas se podrá comprobar si las corrientes son paralelas o antiparalelas, y tener una idea de la orientación de los dipolos. 2. Figura con los vectores del campo eléctrico. Esta se tomará en un plano paralelo al plano de la estructura a mitad de altura de los anillos (ambos anillos tienen la misma altura). En estas podremos observar donde se concentran los vectores de campo y ver si los dipolos eléctricos están alineados o antialineados en los anillos. 3. Figura con la componente z del campo eléctrico en la superficie de los anillos. En esta se representa en una escala logarítmica donde entran los vectores de campo (azul) y donde salen (rojo). Esta gráfica nos permitirá ver con mayor exactitud la dirección de los momentos dipolares eléctricos. 4. Figura con los vectores de campo magnético. Esta se tomará en un plano paralelo al plano de la estructura a mitad de altura de los anillos (ambos anillos tienen la misma altura). En estas podremos observar donde se concentran los vectores de campo y saber la dirección de los momentos magnéticos de los anillos. 5. Figura con la componente z del campo magnético en la superficie de los anillos. En esta se representa en una escala logarítmica donde entran los vectores de campo (azul) y donde salen (rojo). Esta gráfica nos permitirá ver con mayor exactitud la dirección de los momentos dipolares magnéticos producidos por las corrientes en los anillos. 6. Circuito equivalente de los anillos en esa posición y a esa frecuencia de resonancia. Esta figura nos ayudara a entender de forma más visual, porque se producen las corrientes en un determinado sentido en los anillos. Por último, para la posición de 90º, puesto que es la posición que nos interesa para un posterior estudio, se incluirán también, las corrientes y campos que se producen, cuando se incide sobre la estructura con una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (perpendicular al gap del anillo grande, en nuestro caso), es decir con el modo TM/modo 2. Junto con los coeficientes de transmisión y reflexión (parámetro-S) con polarización cruzada, para analizar si existe diferentes comportamientos de la estructura para ambas polarizaciones de la onda incidente. Resultados en la transmisión y reflexión al incidir normalmente con una onda plana, con el campo eléctrico polarizado paralelo al gap de los SRRs aislados. Se presentan en este apartado, las dos frecuencias de resonancia que se utilizarán para el estudio del acoplo dipolar entre anillos. Ambos resultados, se mostraron en el apartado 4.2.1, donde se estudió los diferentes resultados del parámetro-S para ambos anillos aislados. En estas gráficas del parámetro-S, se muestran los coeficientes de la reflexión copolarizada, incide modo TE y se refleja modo TE (SZmax(1),Zmax(1)) y la transmisión copolarizada, incide modo TE y se transmite modo TE (SZmin(1),Zmax(1)). 31 Figura 4.2.3.1 Transmisión y reflexión del el SRR externo, cuando sobre él incide una onda plana en el modo TE (campo eléctrico paralelo al gap del anillo). Se puede observar que la frecuencia de resonancia está sobre los 1.68 GHz. Figura 4.2.3.2 Transmisión y reflexión del el SRR interno, cuando sobre él incide una onda plana en el modo TE (campo eléctrico paralelo al gap del anillo). Se puede observar que la frecuencia de resonancia está sobre los 2.59 GHz. Estudio de las frecuencias de resonancia, corrientes superficiales y campos electromagnéticos, para las diferentes posiciones de los SRRs. • Estudio con ángulo entre SRRs igual a 0°. 32 Figura 4.2.3.3 Representación de los SRRs a 0°. En esta posición de los SRRs se podrán dar dos casos, véase Figura 4.2.3.4. Un primer caso, en el que los dipolos eléctricos de ambos SRRs están alineados, lo que debería de producir en ambos anillos corrientes en el mismo sentido, y unos momentos dipolares magnéticos alineados longitudinalmente, producto de estas corrientes. En el segundo caso, tanto los dipolos eléctricos, están antialineados, lo que debería producir corrientes en sentidos opuestos, en los SRRs, dando lugar estas corrientes a dipolos magnéticos antialineados. Puesto que la energía de interacción total (eléctrica más magnética) es mayor en el segundo caso, debería ser este al que le corresponda la mayor frecuencia de resonancia. Además, por lo explicado anteriormente sobre el acoplo dipolo-radiación, deberíamos de esperar que el segundo caso, donde los dipolos eléctricos están antialineados, el ancho de banda sea más estrecho que en el primer caso, donde están alineados. Figura 4.2.3.4 Esquema de la polarización de los dipolos eléctricos (Azul) y magnéticos (Rojo). El esquema no representa la dirección real de los dipolos. 33 Figura 4.2.3.5 Transmisión y reflexión copolarizada para los SRRs concéntricos, a 0°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Como se observa en la Figura 4.2.3.5, aparecen las dos frecuencias de resonancia, la menor de ellas en 1.63 GHz, que corresponde al SRR externo, y donde el acoplo dipolo eléctrico-eléctrico, magnético-magnético de los SRRs es lineal. Y una segunda frecuencia de resonancia en los 2.59 GHz que corresponde al SRR interno. Se puede observar que estás frecuencias varían respecto de los SRR aislados, lo que demuestra la importancia del acoplo dipolar. Además, la frecuencia de resonancia mayor, tiene una menor anchura, como se había anticipado (dipolos eléctricos antialineados). A continuación, se adjuntan las corrientes superficiales, además de los campos eléctrico y magnético producido en los SRRs. Donde se comprueba lo dicho anteriormente. • Frecuencia de resonancia 1.63 GHz Figura 4.2.3.6 Corriente superficial en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). 34 Figura 4.2.3.7 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Figura 4.2.3.8 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Como se puede observar en la Figura 4.2.3.6, se producen dos corrientes en el mismo sentidos, debido a que los dipolos eléctricos están alineados a esta frecuencia de resonancia, siendo mucho más intensa la del anillo grande debido a que estamos cerca de su primera frecuencia de resonancia. Los momentos dipolares magnéticos perpendiculares a los dipolos eléctricos, tienen dirección perpendicular al plano (entrando a este), en ambos SRRs. A esta frecuencia los SRRs se puedem representar por un circuito equivalente de la forma que se muestra en la Figura 4.2.3.9. 35 Figura 4.2.3.9 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 0°, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Donde tanto la corriente del circuito 1 (SRR externo) y la del circuito 2 (SRR interno) circulan en el mismo sentido. Para dar cuenta interacción mutua entro los dos SRRs, se introduce la inductancia mutua 𝑀𝑀, de forma que se añade al circuito una fuente de tensión dependiente. • Frecuencia de resonancia 2.59 GHz Figura 4.2.3.10 Corriente superficial en los SRRs a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). 36 Figura 4.2.3.11 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Figura 4.2.3.12 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Como se puede observar en la Figura 4.2.3.10, se producen dos corrientes en sentidos contrarios, debido a la antilinelidad de los dipolos eléctricos a esta frecuencia de resonancia. Además, a esta frecuencia la intensidad de corriente es mayor en el anillo pequeño, pues estamos en su primera frecuencia de resonancia. Los momentos dipolares magnéticos, ambos con dirección perpendicular al plano, están antialineados debido al sentido de las corrientes. A esta frecuencia los SRRs se pueden representar por un circuito equivalente de la forma que se muestra en la Figura 4.2.3.13. 37 Figura 4.2.3.13 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 0°, a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). • Estudio con ángulo entre SRRs igual a 180°. Figura 4.2.3.14 Representación de los SRRs a 180°. En esta posición de los SRRs se podrán dar dos casos, véase Figura 4.2.3.15. Un primer caso, en el que los dipolos eléctricos de ambos SRRs están alineados, lo que debería de producir en ambos anillos corrientes en sentidos opuestos, y unos momentos dipolares magnéticos antialineados, producto de estas corrientes. En el segundo caso, los dipolos eléctricos están antialineados, lo que debería producir en los SRRs, corrientes en el mismo sentido. Dando lugar estas corrientes, a dipolos magnéticos alineados. Puesto que la energía de interacción total (eléctrica más magnética) es mayor en el primer caso, debería ser este al que le corresponda la mayor frecuencia de resonancia. Además, por lo explicado anteriormente sobre el acoplo dipolo-radiación, se debería obtener para la menor frecuencia de resonancia, un ancho de banda más estrecho, pues esta corresponde con los dipolos eléctricos antialineados. 38 Figura 4.2.3.15 Esquema de la polarización de los dipolos eléctricos (Azul) y magnéticos (Rojo). El esquema no representa la dirección real de los dipolos. Figura 4.2.3.16 Transmisión y reflexión para los SRRs concéntricos, a 180°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se observan dos frecuencias de resonancia, la primera a 1.54 GHz y una mayor a 2.72 GHz. Como se había anticipado, obtenemos dos frecuencias desplazadas hacia una frecuencia menor la que corresponde al anillo grande y hacia una frecuencia mayor la que corresponde al anillo pequeño. Esto es debido a que, en esta posición de los SRRs, coincide el acoplo alineado de los momentos dipolares eléctricos con el acoplo antilineal de los momentos dipolares magnéticos, y viceversa. Dando lugar a valores máximos y mínimos de la energía de interacción (estabilidad de los dipolos/dificultad de hacer oscilar las cargas) respectivamente. Se observa también, que efectivamente la anchura de banda de la frecuencia de resonancia (1.54 GHz) es menor que el de la frecuencia de resonancia más alta (2.72 GHz). 39 • Frecuencia de resonancia 1.54 GHz Figura 4.2.3.17 Corriente superficial en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.54 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se observa como a esta frecuencia la intensidad de corriente en el anillo grande es mayor puesto que estamos cerca de su primera frecuencia de resonancia. Figura 4.2.3.18 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.54 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). 46 Figura 4.2.3.34 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Figura 4.2.3.35 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 90°, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Como se puede observar, en ambos casos, aunque el campo eléctrico no excite directamente al SRR pequeño, se producen en este unas corrientes, que tienen como resultado diferentes frecuencias de resonancia. Este tipo de acoplo es inductivo, en donde anillo grande es excitado por el campo eléctrico, y transmite esta excitación al anillo pequeño, teniendo como consecuencia que aparezca la primera frecuencia de resonancia del anillo pequeño, aunque no se le esté excitando directamente, como se puede apreciar en las imágenes de la componente z del campo eléctrico en las Figura 4.2.3.30 y Figura 4.2.3.35. Por lo dicho anteriormente, se deduce que existirá polarización cruzada para esta orientación, a diferencia de lo que ocurría con las posiciones a 0º y 180º. Todo esto se representa en su forma circuital en la Figura 4.2.3.29 y Figura 4.2.3.35, donde se puede apreciar que el circuito que hace referencia al SRR pequeño, no tiene fuente de tensión propia. Corrientes y campos electromagnéticos en los SRRs a 90º, incidencia del modo TM/modo 2 (𝑬𝑬 � �  =𝑬𝑬𝒙𝒙 � �  ), para las frecuencias de resonancias del modo TE/modo 1 para esta misma posición. Se presenta a continuación el comportamiento de la estructura, con el anillo pequeño girado a 90º respecto del grande, cuando sobre ellos incide normalmente una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x, para las frecuencias de resonancia de la estructura para el modo TE (𝐸𝐸 �  =𝐸𝐸𝑦𝑦). 47 Figura 4.2.3.36 Transmisión y reflexión para los SRRs concéntricos, a 90°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se aprecian dos frecuencias de resonancia a 1.59 GHz y 2.46 GHz. • Frecuencia de resonancia 1.59 GHz Figura 4.2.3.37 Corriente superficial en los SRRs a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). 48 Figura 4.2.3.38 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). Figura 4.2.3.39 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). 49 • Frecuencia de resonancia 2.46 GHz Figura 4.2.3.40 Corriente superficial en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). Figura 4.2.3.41 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). Figura 4.2.3.42 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). 50 Se puede observar como a ambas frecuencias, se forman en el anillo grande dos corrientes en los laterales en el mismo sentido, Figura 4.2.3.37 y Figura 4.2.3.40. Por otro lado, a la frecuencia de 1.59 GHz en el anillo pequeño apenas existen corrientes, y sin embargo a la frecuencia de 2.46 GHz la corriente que circula por el anillo pequeño es mucho más intensa, al igual que la intensidad de los campos. Esto es debido a que el modo TM tiene, para esta posición de los anillos, el campo eléctrico es paralelo al gap del anillo pequeño, y como se vio en un apartado anterior, en este caso, la frecuencia de resonancia de este anillo era 2.59 GHz. Es por ello que a la frecuencia de 2.46 GHz el anillo pequeño se encuentre cerca de la resonancia. Coeficientes de transmisión y reflexión (parámetro-S) para el modo TE/modo 1 y TM/modo 2 Se adjunta a continuación los coeficientes de transmisión y reflexión copolarizada y de polarización cruzada. Figura 4.2.3.43 Parámetro-S para incidencia normal de una onda plana en los modos TE (modo 1) y TM (modo 2), sobre los SRRs concéntricos a 90º. Figura 4.2.3.44 Coeficientes de transmisión cruzada para incidencia normal de una onda plana en los modos TE (modo 1) y TM (modo 2), sobre los SRRs concéntricos. Como se observan en las Figura 4.2.3.43 y Figura 4.2.3.44, se obtiene diferentes valores para el coeficiente de reflexión copolarizada para el modo TM (campo eléctrico perpendicular al gap del 51 anillo grande), SZmax(2),Zmax(2), y para el modo TE (campo eléctrico paralelo al gap del anillo grande), SZmax(1),Zmax(1), siendo este último menor. Por otro lado, se observa unos valores para la transmisión copolarizada, idénticos para ambos modos, Szmin(1),Zmax(1) para el modo TE y Szmin(2),Zmax(2) para el modo TM. Esto último ocurre para la reflexión con polarización cruzada. Para una incidencia del modo TE y reflejo en el modo TM (SZmax(2),Zmax(1)) se tiene el mismo valor que para una incidencia en el modo TM y reflejo en el modo TE (SZmax(1),Zmax(2)). Lo mismo ocurre para la transmisión con polarización cruzada, Figura 4.2.3.44. Para una incidencia del modo TE y salida en el modo TM (SZmin(2),Zmax(1)), se obtiene el mismo valor que para una incidencia del modo TM y salida en el modo TE (Szmin(1),Zmax(2)). Por todo lo anterior, podemos concluir que la estructura se comporta de forma diferente cuando la onda que incide normalmente al plano de la estructura tiene el campo eléctrico paralelo al gap del anillo grande (modo TE/modo 1), que cuando tiene el campo eléctrico perpendicular al gap del anillo grande (modo TM/modo 2). Puesto que la reflexión copolarizada, que es donde existe diferencia de comportamiento entre los dos modos, es mayor para el modo TM (SZmax(2),Zmax(2)). Esto último, junto con las componentes de polarización cruzada a los 2.5GHz, son los responsables de que la estructura presente dicroísmo de conversión circular, ya que una onda polarizada linealmente es una combinación de ondas circularmente polarizadas a izquierdas y a derechas. 52 5. ESTUDIO NUMÉRICO DE LA ESTRUCTURA PROPUESTA En este partado se analizará el comportamiento de la estructura final propuesta frente a luz incidente circularmente polarizada a izquierdas y a derechas. En esta primera parte se comprobara si nuestra estructura presenta dicroismo de conversión circular. Para ello se hará incidir sobre la estructura sin espejo ondas circularmente polarizada a izquierdas (-) y a derechas (+) desde ambas caras del material. Esto nos dará los coeficientes de reflexión y transmisión (parametro-S) para ambos sentidos de incidencia y con estos analizar si efectivamente existe un comportamiento diferente dependiendo de que cara de la estructura incida la onda. Para ayudar a enterder las gráficas con los coeficientes de reflexion y transmisión (parametro-S), se resumen los coeficientes y su significado: • Incidencia de la onda circularmente polarizada con sentido negativo del eje z, ver Figura 5.1: - SZmax(1),Zmax(1): incidente a derechas, reflejada a izquierdas. R-+ - SZmax(2),Zmax(1): incidente a derechas, reflejada a derechas. R++ - SZmax(2),Zmax(2): incidente a izquierdas, reflejada a derechas. R+- - SZmax(1),Zmax(2): incidente a izquierdas, reflejada a izquierdas. R-- - SZmin(1),Zmax(1): incidente a derechas, transmitida a derechas. T++ - SZmin(2),Zmax(1): incidente a derechas, transmitida a izquierdas. T-+ - SZmin(2),Zmax(2): incidente a izquierdas, transmitida a izquierdas. T-- - SZmin(1),Zmax(2): incidente a izquierdas, transmitida a derechas. T+- • Incidendia de la onda circularmente polarizada con sentido positivo del eje z, ver Figura 5.1: - SZmin(1),Zmin(1): incidente a izquierdas, reflejada a derechas. r+- - SZmin(2),Zmin(1): incidente a izquierdas, reflejada a izquierdas. r-- - SZmin(2),Zmin(2): incidente a derechas, reflejada a izquierdas. r-+ - SZmin(1),Zmin(2): incidente a derechas, reflejada a derechas. r++ - SZmax(1),Zmin(1): incidente a izquierdas, transmitida a izquierdas. t-- - SZmax(2),Zmin(1): incidente a izquierdas, transmitida a derechas. t+- - SZmax(2),Zmin(2): incidente a derechas, transmitida a derechas. t++ - SZmax(1),Zmin(2): incidente a derechas, transmitida a izquierdas. t-+ 53 Figura 5.1 Orientación de la estructura analizada Figura 5.2 Reflexión y transmisión para ondas circularmente polarizadas que se dirigen en sentido negativo del eje z. Figura 5.3 Reflexión y transmisión para ondas circularmente polarizadas que se dirigen en sentido positivo del eje z. 54 Figura 5.4 Zoom para los valores de reflexión con incidencia en sentido negativo del eje z. Figura 5.5 Zoom para los valores de reflexión con incidencia en sentido negativo del eje z. Figura 5.6 Zoom para los valores de la transmisión con incidencia en sentido negativo del eje z. 55 Figura 5.7 Zoom para los valores de la transmisión con incidencia en sentido positivo del eje z. Como como podemos observar en las gráficas Figura 5.4 y Figura 5.5 obtenemos valores diferentes para la reflexión, dependiendo en el sentido en el que incida la onda. Por ejemplo, la reflexión cuando se incide en sentido negativo del eje z, 𝑅𝑅++ (Szmax(2),Zmax(1)), es distinto de cuando se incide en sentido positivo del eje z, 𝑟𝑟++ (Szmin(1),Zmin(2)). Lo mismo ocurre si nos fijamos en las Figura 5.6 y Figura 5.7, para la transmisión. Por ejemplo, la transmisión de derechas a izquierdas cuando se incide en sentido negativo del eje z, 𝑇𝑇−+ (Szmin(2),Zmax(1)), es distinto de cuando se incide en sentido positivo del eje z, 𝑡𝑡−+ (Szmax(1),Zmin(2)). Luego podemos concluir que nuestra estructura presenta “Circular conversion dichroism”, como era de esperar, al ser una estructura 2D-quiral. • Estudio del parámetro-S para la estructura final con espejo. A continuación, se estudian los coeficientes de reflexión copolarizada y con polarización cruzada de la estructura con espejo.  Reflexión copolarizada: - SZmax(2),Zmax(1): incidente a derechas, reflejada a derechas. R++ - SZmax(1),Zmax(2): incidente a izquierdas, reflejada a izquierdas. R—  Reflexión con polarización cruzada: - SZmax(1),Zmax(1): incidente a derechas, reflejada a izquierdas. R-+ - SZmax(2),Zmax(2): incidente a izquierdas, reflejada a derechas. R+- 62 BIBLIOGRAFÍA [1] W.A.Imbriale, S.S.Gao y L.Boccia, Space Antenna Handbook, John Wiley & Sons, 2012. 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(b) Microestructura de cada una de las escamas de las mariposas Morpho rhodopteron. [5] (c) El escarabajo Chrysina gloriosa tiene diferente color bajo luz circularmente polarizada a izquierda o a derecha, debido a la estructura quiral de su exoesqueleto. [6] ........................ 3 Figura 1.2: Copa de Licurgo contiene nanopartículas de oro y plata, viéndose así verde debido a la reflexión (izquierda) y rojo en la transmisión (derecha). [8] ....................................................................... 4 Figura 1.3: Control de la polarización usando medios compuestos: Ejemplo del trabajo de Bose con ondas milimétricas. (a) polarizador lineal que consiste en la intercalación de láminas metal entre las hojas de un libro. (b) Fardo de trenzado de hilos de yute el cual rota el estado de polarización. [12] ...... 4 Figura 1.4 Ejemplo de patrones en metamateriales [14]. ........................................................................... 5 Figura 1.5 Dielectrico de W.E. Kock. Izquierda: Red de esferas formando una lente convexa. Derecha: Red de esferas sobre un sustrato [15]. ......................................................................................................... 6 Figura 1.6 Metamoleculas magnéticas. Las corrientes orbitales en átomos y moléculas son imitadas mediante SRRs (a), (b), varillas (c), o pilares (c), donde la corriente inducida j, da lugar a un momento dipolar magnético m. [14] ............................................................................................................................ 7 Figura 1.7 Primer metamaterial que presenta índice de refracción negativo. Los SRRs presentan permeabilidad magnética negativa 𝜇𝜇< 0 y los hilos permitividad eléctrica negativa 𝜀𝜀< 0 [24]. ............. 8 Figura 1.8 Geometría de una superficie FSS [26]. ...................................................................................... 9 Figura 1.4.1 Efectos en la polarización producidos por la quiralidad-3D [28]. ...................................... 10 Figura 1.4.2 Ejemplo de patrones quirales. Espiral de Arquímedes y estructura fishnet modificada [31] [32]. ............................................................................................................................................................ 10 Figura 1.4.3 Dicroísmo de conversión circular. Propiedad de los metamateriales 2D-quirales, en los que la transmisión y reflexión varía dependiendo en la cara que incida la onda circularmente polarizada. [35]. ............................................................................................................................................................ 11 Figura 1.4.4 Espejos. (a) En un espejo convencional al incidir sobre él una onda circularmente polarizada cambia la polarización de esta, de izquierda a derecha y viceversa, al ser reflejada. (b) En un espejo que conserva la polarización, al incidir sobre él una onda circularmente polarizada, mantiene la polarización a izquierdas o derechas de esta, pero no distingue entre estás polarizaciones. (c) Un absorbente perfecto, absorbe toda la radiación que incide sobre él. (d) Un espejo RCP conserva la polarización de una onda incidente circularmente polarizada a derechas, al ser reflejada y absorbe las ondas incidentes circularmente polarizadas a izquierdas. (e) Un espejo LCP conserva la polarización de una onda incidente circularmente polarizada a izquierdas, al ser reflejada y absorbe las ondas incidentes circularmente polarizadas a derechas. [36] .............................................................................................. 12 Figura 1.4.5 Patrón con forma de G. Este metamaterial presenta dos frecuencias de resonancia donde los coeficientes de reflexión con polarización cruzada, incide una onda con polarización circular a derechas y se refleja a izquierdas y viceversa (rLR y rRL ) y reflexión copolarizada a izquierdas (rLL), incide una onda con polarización circular a izquierdas y se refleja a izquierdas, tienen un mínimo, mientras que la reflexión copolarizada a derechas(rRR) tiene un máximo [40]. ........................................ 12 Figura 1.4.6 Anillos resonadores con corte asimétrico. En este metamaterial se observa dos comportamientos diferentes dependiendo del ángulo del corte. Por un lado, el espejo RCP presenta una conservación de la polarización a derechas (R++), incide una onda con polarización circular a derechas y se refleja a derechas, mientras se anula el coeficiente de reflexión copolarizada a izquierdas (R--), incide una onda con polarización circular a izquierdas y se refleja a izquierdas. Teniendo el espejo LCP un comportamiento opuesto al anterior [37]. ............................................................................................ 13 Figura 3.1.1 Configuración de las condiciones de contorno de la celda unidad. ..................................... 16 Figura 3.1.2 Configuración de los puertos y los modos de la simulación. ................................................ 16 Figura 3.1.3 Configuración de las condiciones de contorno para la celda unidad, para reflexión. ......... 17 Figura 3.1.4 Barra de herramientas, con monitores de campo y muestreo de parámetros. ...................... 17 66 Figura 4.1 Dipolo eléctrico (rojo), magnético (azul) y corriente superficial (flecha cortada) inducidos. El momento dipolar eléctrico estará localizado en cerca del gap, donde la concentración de carga es máxima, mientras que el momento dipolar magnético pasará cerca del centro del SRR debido a la circulación de corriente por este [39]. Circuito equivalente del SRR, a la menor frecuencia de resonancia. ................................................................................................................................................. 19 Figura 4.1.1 Representación esquemática de dos dipolos eléctricos......................................................... 20 Figura 4.1.2 Representación esquemática de dos dipolos magnéticos. ..................................................... 20 Figura 4.1.3 Esquema de la energía de interacción para algunos de los casos explicados anteriormente. .................................................................................................................................................................... 21 Figura 4.1.4 Esquema de la división de frecuencias de resonancia. [39] ................................................. 22 Figura 4.2.1.1 Dirección del campo eléctrico en el modo TE (imagen derecha), y en el modo TM (imagen izquierda). Para esta simulación ambos anillos tienen la misma orientación ........................................... 24 Figura 4.2.1.2 Parámetro-S para incidencia normal de una onda plana en los modos TE (1) y TM (2), sobre el SRR grande. .................................................................................................................................. 25 Figura 4.2.1.3 Parámetro-S para incidencia normal de una onda plana en los modos TE (1) y TM (2) sobre el SRR pequeño. ................................................................................................................................ 25 Figura 4.2.2.1 Corriente superficial sobre el SRR, cuando sobre él incide una onda en el modo TE/modo 1 (Campo eléctrico paralelo al eje y), a la frecuencia de resonancia 2.59 GHz. ....................................... 27 Figura 4.2.2.2 Vectores de campo del campo eléctrico a mitad de altura del SRR (derecha). Componente z del campo eléctrico en la superficie del anillo (izquierda) a la frecuencia de resonancia 2.59GHz, donde se observa que los vectores de campo entran en la parte inferior del anillo (Azul), y salen de la parte superior (Rojo). Formándose así un dipolo eléctrico en el gap del SRR, que tiene sentido positivo del eje y............................................................................................................................. 27 Figura 4.2.2.3 Vectores de campo del campo magnético a mitad de altura del SRR (derecha). Componente z del campo mágnetico en la superficie del anillo (izquierda) a la frecuencia de resonancia 2.59 GHz. Se observa la formación de un momento dipolar magnético, en este caso, en dirección negativa del eje z. Debido a las corrientes producidas en el SRRs. ........................................... 27 Figura 4.2.2.4 Corriente superficial sobre el SRR, cuando sobre él incide una onda en el modo TM/modo 2 (Campo eléctrico paralelo al eje x), a la frecuencia de resonancia 2.59 GHz. Se puede observar dos corrientes paralelas en ambos laterales del SRR. ................................................................ 28 Figura 4.2.2.5 Vectores de campo del campo eléctrico a mitad de altura del SRR (derecha). Componente z del campo eléctrico en la superficie del anillo (izquierda) a la frecuencia de resonancia 2.59GHz. Se observa un dipolo eléctrico que va desde el gap (Azul) hacia el otro extremo del SRR. ...... 28 Figura 4.2.2.6 Vectores de campo del campo magnético a mitad de altura del SRR (derecha). Componente z del campo magnético en la superficie del anillo (izquierda) a la frecuencia de resonancia 2.59 GHz. Se observa que no se produce un momento dipolar magnético, debido a las corrientes paralelas en el mismo sentido producidas en el SRR. ............................................................... 29 Figura 4.2.3.1 Transmisión y reflexión del el SRR externo, cuando sobre él incide una onda plana en el modo TE (campo eléctrico paralelo al gap del anillo). Se puede observar que la frecuencia de resonancia está sobre los 1.68 GHz. ............................................................................................................................. 31 Figura 4.2.3.2 Transmisión y reflexión del el SRR interno, cuando sobre él incide una onda plana en el modo TE (campo eléctrico paralelo al gap del anillo). Se puede observar que la frecuencia de resonancia está sobre los 2.59 GHz. ............................................................................................................................. 31 Figura 4.2.3.3 Representación de los SRRs a 0°. ...................................................................................... 32 Figura 4.2.3.4 Esquema de la polarización de los dipolos eléctricos (Azul) y magnéticos (Rojo). El esquema no representa la dirección real de los dipolos. ........................................................................... 32 Figura 4.2.3.5 Transmisión y reflexión copolarizada para los SRRs concéntricos, a 0°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). .................................................................................................................................................................... 33 67 Figura 4.2.3.6 Corriente superficial en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ................................................................................................................................................ 33 Figura 4.2.3.7 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 34 Figura 4.2.3.8 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 34 Figura 4.2.3.9 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 0°, a la menor frecuencia de resonancia (1.63 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 35 Figura 4.2.3.10 Corriente superficial en los SRRs a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ................................................................................................................................................ 35 Figura 4.2.3.11 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 36 Figura 4.2.3.12 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 36 Figura 4.2.3.13 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 0°, a la mayor frecuencia de resonancia (2.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 37 Figura 4.2.3.14 Representación de los SRRs a 180°.................................................................................. 37 Figura 4.2.3.15 Esquema de la polarización de los dipolos eléctricos (Azul) y magnéticos (Rojo). El esquema no representa la dirección real de los dipolos. ........................................................................... 38 Figura 4.2.3.16 Transmisión y reflexión para los SRRs concéntricos, a 180°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se observan dos frecuencias de resonancia, la primera a 1.54 GHz y una mayor a 2.72 GHz. ..................... 38 Figura 4.2.3.17 Corriente superficial en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.54 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se observa como a esta frecuencia la intensidad de corriente en el anillo grande es mayor puesto que estamos cerca de su primera frecuencia de resonancia. .......................................................... 39 Figura 4.2.3.18 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.54 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 39 Figura 4.2.3. 19 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.54 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 40 Figura 4.2.3.20 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 180°, a la menor frecuencia de resonancia (1.54 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 40 Figura 4.2.3.21 Corriente superficial en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.72 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se observa como la intensidad de corriente en el anillo pequeño es mayor, puesto que estamos cerca de su primera frecuencia de resonancia. ............................................................................ 40 Figura 4.2.3.22 Vectores y componente z del campo eléctrico en los anillos, a la mayor frecuencia de resonancia 2.72 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 41 Figura 4.2.3.23 Vectores y componente z del campo magnético en los anillos, a la mayor frecuencia de resonancia (2.72 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 41 Figura 4.2.3.24 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 180°, a la mayor frecuencia de resonancia (2.72 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 41 68 Figura 4.2.3.25 Representación de los SRRs a 90°. .................................................................................. 42 Figura 4.2.3.26 Esquema de la polarización de los dipolos eléctricos (Azul) y magnéticos (Rojo). El esquema no representa la dirección real de los dipolos. ........................................................................... 43 Figura 4.2.3.27 Transmisión y reflexión para los SRRs concéntricos, a 90°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se aprecian dos frecuencias de resonancia a 1.59 GHz y 2.46 GHz. ............................................................................ 43 Figura 4.2.3.28 Corriente superficial en los SRRs a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ................................................................................................................................................ 43 Figura 4.2.3.29 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 90°, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 44 Figura 4.2.3.30 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 44 Figura 4.2.3.31 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 44 Figura 4.2.3.32 Corriente superficial en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ..................................................................................................................................... 45 Figura 4.2.3.33 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 45 Figura 4.2.3.34 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 46 Figura 4.2.3.35 Circuito equivalente de los SRRs formando un ángulo de 90°, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). ........................................................................................... 46 Figura 4.2.3.36 Transmisión y reflexión para los SRRs concéntricos, a 90°, para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje y (modo TE/modo 1). Se aprecian dos frecuencias de resonancia a 1.59 GHz y 2.46 GHz. ............................................................................ 47 Figura 4.2.3.37 Corriente superficial en los SRRs a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). .................................................. 47 Figura 4.2.3.38 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). .............. 48 Figura 4.2.3.39 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la menor frecuencia de resonancia (1.59 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). .............. 48 Figura 4.2.3.40 Corriente superficial en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). .................................................. 49 Figura 4.2.3.41 Vectores y componente z del campo eléctrico en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). .............. 49 Figura 4.2.3.42 Vectores y componente z del campo magnético en los SRRs, a la mayor frecuencia de resonancia (2.46 GHz) del modo TE (campo eléctrico paralelo al eje y), para la incidencia normal de una onda linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo al eje x (modo TM/modo 2). .............. 49 Figura 4.2.3.43 Parámetro-S para incidencia normal de una onda plana en los modos TE (modo 1) y TM (modo 2), sobre los SRRs concéntricos a 90º. ............................................................................................ 50 Figura 4.2.3.44 Coeficientes de transmisión cruzada para incidencia normal de una onda plana en los modos TE (modo 1) y TM (modo 2), sobre los SRRs concéntricos. ............................................................ 50 69 Figura 5.1 Orientación de la estructura analizada ................................................................................... 53 Figura 5.2 Reflexión y transmisión para ondas circularmente polarizadas que se dirigen en sentido negativo del eje z. ....................................................................................................................................... 53 Figura 5.3 Reflexión y transmisión para ondas circularmente polarizadas que se dirigen en sentido positivo del eje z. ........................................................................................................................................ 53 Figura 5.4 Zoom para los valores de reflexión con incidencia en sentido negativo del eje z. ................... 54 Figura 5.5 Zoom para los valores de reflexión con incidencia en sentido negativo del eje z. ................... 54 Figura 5.6 Zoom para los valores de la transmisión con incidencia en sentido negativo del eje z. .......... 54 Figura 5.7 Zoom para los valores de la transmisión con incidencia en sentido positivo del eje z. ........... 55 Figura 5.8 Estructura propuesta junto con la descripción de los parámetros óptimos, para una máxima amplitud de resonancia. ............................................................................................................................. 56 Figura 5.9 Representación de los valores de la reflexión para metamaterial espejo, que preserva la polarización a izquierda, en la frecuencia de resonancia de 2.5 GHz. ...................................................... 56 Figura 5.10 Representación del valor para 𝑅𝑅+ +, para distintos valores del ángulo de incidencia. ...... 57 Figura 5.11 Representación del parámetro-S para el máximo ángulo donde la estructura es estable. .... 57 Figura 5.1.1 Representación del valor para 𝑅𝑅+ +, para distintos valores de la distancia sustrato-espejo. .................................................................................................................................................................... 58 Figura 5.1.2 Representación del valor para 𝑅𝑅+ +, para distintos valores de la distancia entre anillos. 59 Figura 5.1.3 Representación del valor para 𝑅𝑅+ +, para distintos valores de la permitividad eléctrica del sustrato ....................................................................................................................................................... 59