Estudio de la relación entre la respuesta estática y la primera frecuencia propia de elementos estructurales sencillos

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ESCUELA DE INGENIERIAS INDUSTRIALES Grado en Ingeniería Mecánica Estudio de la relación entre la respuesta estática y la primera frecuencia propia de elementos estructurales sencillos Autor: Higuera Pérez, Gonzalo Tutores: Magdaleno González, Álvaro Lorenzana Iban, Antolín Departamento C.A., I.T., M.M.C. y Teoría de Estructuras Valladolid, junio 2023 2 3 AGRADECIMIENTOS Tras la realización del presente trabajo, el cual es indicativo de la finalización de mis estudios universitarios, quería dedicar una pequeña sección para mostrar una serie de agradecimientos. En primer lugar, agradecer al departamento de estructuras, y en concreto a Álvaro y Antolín, el haberme permitido realizar con ellos este TFG y continuar aprendiendo un poco más sobre este campo de la ingeniería, el cual considero uno de los más importantes y esenciales. Agradecer también a mi familia haberme dado la oportunidad de realizar estudios universitarios, así como el apoyo que siempre me han dado. No me puedo olvidar de los compañeros que he tenido estos años con los que he ido realizando la mayoría de las asignaturas, trabajos, etc. Y, por último, mis amigos, gracias por animarme y apoyarme en todo momento. Estoy seguro de que todo trabajo tiene su recompensa. Gracias a todos. 4 5 RESUMEN Y PALABRAS CLAVE En la vida real, la mayoría de las estructuras, ya sean simple o complejas, son excitadas con distintos tipos de cargas que producen desplazamientos variables en el tiempo. El estudio y análisis de estos movimientos es una labor propia de la dinámica de estructuras, que se diferencia con la estática, encargada de estudiar respuestas estructurales cuya variación temporal es despreciable. En este trabajo, se realiza una relación entre las respuestas estáticas y dinámicas (abordado desde el estudio de frecuencias propias), se desarrollan expresiones matemáticas de interés y se observa cómo afectan distintas configuraciones de cargas y apoyos a un mismo elemento o sistema estructural. Además, se establece también una relación entre el análisis teórico, el experimental y el de elementos finitos. Se ha encontrado que las expresiones conseguidas y el uso del software de elementos finitos otorgan muy buenos resultados, casi idénticos a los experimentales. Palabras clave: estructuras, análisis estático, análisis dinámico, frecuencias propias, elementos finitos ABSTRACT AND KEYWORDS In real life, most of structures, that are simples or complex, are excited in different types of movement that produce variable displacements in time. The study and analysis of some of these movements is an own work of structures dynamic, what is difference with static, responsible for studying structural responses whose temporal variation is negligible. In this work, we make a relation between the static and dynamic response (tackled from the study of own frequency), it develops some interesting mathematical expressions, it looks how different configurations of charges and supports affect to a same element or structural system. What’s more, it set up a relation between the theoretical and experimental analysis and finite element. 6 Has been found that theorical expressions and use of finite element method give good results, almost identical to experimental ones. Keywords: structures, static analysis, dynamic analysis, own frequency, finite elements. 7 Índice de contenidos 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................13 1.1 Contextualización y justificación ................................................................................. 13 1.2 Objetivos .................................................................................................................... 14 1.3 Organización ............................................................................................................... 14 2. DINÁMICA ESTRUCTURAL. MARCO TEÓRICO .....................................................................17 2.1 Conceptos básicos: ecuación general del movimiento ............................................... 17 2.2 Vibración libre: sistema masa-resorte ........................................................................ 19 2.3 Vibración libre viscosamente amortiguada ................................................................ 21 2.4 Expresiones para el cálculo de frecuencias naturales ................................................ 24 3. EXPERIMENTACIÓN Y DESARROLLO ....................................................................................27 3.1 Planteamiento ............................................................................................................ 27 3.2 Casos de análisis ......................................................................................................... 27 3.3 Metodología de ensayo .............................................................................................. 28 3.4 Adquisición de datos .................................................................................................. 30 3.5 Montaje en laboratorio .............................................................................................. 34 3.6 Resultados prácticos, cálculos teóricos y comparación .............................................. 41 4. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: SAP 2000 .....................................................................57 4.1 Análisis de los sistemas viga ....................................................................................... 57 4.2 Análisis del sistema placa ........................................................................................... 64 5. CONCLUSIONES ..................................................................................................................71 5.1 Líneas futuras ............................................................................................................. 72 5.2 Otras consideraciones ................................................................................................ 72 8 9 Índice de figuras Figura 1. Idealización física de una estructura simple [3] ................................................ 17 Figura 2. Vibración libre en una estructura ideal [3]........................................................ 17 Figura 3. Vibración libre en una estructura real [3] ......................................................... 18 Figura 4. Sistema estructural amortiguado de 1 gdl [3] ................................................... 18 Figura 5. Sistema masa-resorte de 1 gdl [2] .................................................................... 20 Figura 6. Gráfica de una estructura sometida a m.a.s. [4] ............................................... 20 Figura 7. Vibración de sistemas con diferentes niveles de amortiguamiento [2]............. 22 Figura 8. Tipos de amortiguamiento en vibración libre [5] .............................................. 23 Figura 9. Efectos del amortiguamiento en vibración libre ............................................... 23 Figura 10. Barra con masa puntual centrada [1] .............................................................. 24 Figura 11. Barra con masa puntual no centrada [1] ......................................................... 25 Figura 12. Pletinas de acero para uso como cargas puntuales ........................................ 29 Figura 13. Discos de acero para uso como cargas puntuales ........................................... 29 Figura 14. Amplificador de señal Dewesoft ..................................................................... 30 Figura 15. Captura de la interfaz del software ................................................................. 31 Figura 16. Captura de los canales activas en el software ................................................ 31 Figura 17. Vibrómetro ..................................................................................................... 32 Figura 18. Gráfica puntos tensión-distancia .................................................................... 33 Figura 19. Captura de la interfaz donde se aprecian valores de las constantes ............... 34 Figura 20. Sistema masa-resorte ..................................................................................... 35 Figura 21. Sistema masa-resorte cargado ........................................................................ 35 Figura 22. Montaje sistema y vibrómetro ........................................................................ 36 Figura 23. Incidencia del láser sobre el sistema............................................................... 36 Figura 24. Viga metálica bi-apoyada ................................................................................ 37 Figura 25. Vibrómetro bajo punto central de la viga ....................................................... 37 Figura 26. Incidencia del láser sobre la viga .................................................................... 38 Figura 27. Placa sobre 4 puntos de apoyo y cargada lateralmente ................................. 39 Figura 28. Posición del vibrómetro bajo carga ................................................................. 39 Figura 29. Placa sobre 3 apoyos y carga central .............................................................. 40 Figura 30. Incidencia láser sobre la placa ........................................................................ 40 Figura 31. Apoyo de las masas sobre la tuerca ................................................................ 41 Figura 32. Valor del peso en el punto de apoyo 1 ............................................................ 45 Figura 33. Valor del peso en el punto de apoyo 2 ............................................................ 46 Figura 34. Parámetros de una viga con carga con no centrada [6] .................................. 49 Figura 35. Cadenas distribuidas sobre la viga de estudio ................................................ 52 Figura 36. Vibrómetro bajo el punto medio de la viga con carga distribuida................... 53 Figura 37. Parámetros geométricos y material del perfil de estudio ............................... 58 Figura 38. Momento de inercia ....................................................................................... 58 Figura 39. Visualización de la viga bi-apoyada en SAP 2000 ............................................ 58 Figura 40. Reacción vertical en uno de los extremos de apoyo ....................................... 59 Figura 41. Tramo inicial de la viga dividida en 32 elementos ........................................... 60 Figura 42. Asignación de masa al nodo central para el cálculo de frecuencias ................ 62 Figura 43. Asignación de carga en N al nodo central para el cálculo de desplazamientos 62 Figura 44. Ejemplo de distribución de masas (en kg/m) para el cálculo de frecuencias .. 64 Figura 45. Ejemplo de fuerza distribuida (en N/m) para el cálculo de desplazamientos . 64 Figura 46. Vista en planta de la placa con un mallado de 38x12 elementos .................... 65 16 17 2. DINÁMICA ESTRUCTURAL. MARCO TEÓRICO 2.1 Conceptos básicos: ecuación general del movimiento La forma más simple de definir una estructura es mediante una masa m concentrada o agrupada, la cual es sostenida por una estructura sin masa, y que aporta una rigidez k. La masa se considera totalmente rígida, y la flexibilidad en dirección lateral es aportada por los elementos que ejercen de columna vertical. Esta idealización se puede ver en la Figura 1. Figura 1. Idealización física de una estructura simple [2] Esta estructura tiene un único movimiento permitido en la dirección de u, es decir, se considera que posee un único grado de libertad. Si desde una posición de equilibrio o inicial, se da a la estructura un movimiento en dicha dirección u, se obtiene una oscilación en torno a la posición de equilibrio. Como se trata de un sistema ideal, este movimiento se reproducirá de forma infinita, dándose un movimiento vibratorio de amplitud constante como se representa en la Figura 2. Figura 2. Vibración libre en una estructura ideal [2] Si esta oscilación es llevada a la realidad, lo que se visualizará es que, a medida que pasa el tiempo, la amplitud del desplazamiento se irá reduciendo hasta llegar a la posición inicial o de reposo (Figura 3). Este fenómeno se define como amortiguamiento, y es debido generalmente a fricciones físicas entre los propios 18 elementos estructurales o entre estos con otros no estructurales. Este freno del movimiento es debido a una pérdida de energía cinética y de energía de deformación. Figura 3. Vibración libre en una estructura real [2] La forma más fácil de reproducir físicamente este movimiento es mediante una estructura de un nivel, la cual tiene una masa m en su nivel superior, y a la que se le incorpora un amortiguador viscoso lineal. Mientras que para el análisis estático se necesita al menos considerar los tres grados de libertad en cada uno de los nodos de una estructura, en el análisis dinámico solo se trabaja con uno, como se ve en la Figura 4. Cabe recordar, que físicamente, este movimiento en la dirección del único grado de libertad puede ser debido a una fuerza externa (la cual puede variar con el tiempo) o un movimiento del terreno o sismo (también variable en el tiempo). Figura 4. Sistema estructural amortiguado de 1 gdl [2] Cuando se produce el movimiento u, existe una fuerza denominada fuerza recuperadora, y que es debida al movimiento elástico lineal. Se calcula como: 𝑭𝑺=−𝒌𝒖 (1) De igual manera, existe otra relación para la fuerza de amortiguamiento que sufre la estructura debida al amortiguador viscoso lineal, y viene dada de la siguiente forma: 19 𝑭𝑫=−𝒄𝒖󰇗 (2) donde c es el coeficiente de amortiguamiento, y 𝑢󰇗 es la velocidad del movimiento. Este coeficiente c solo es posible determinarlo mediante experimentos de vibración en estructuras reales. Aplicando la 2ª Ley de Newton, y teniendo en cuanta las fuerzas externas que sufre la estructura, las cuales son variables en el tiempo y que definimos como f(t), la ecuación que rige el movimiento de una estructura con un único grado de libertad es: 𝒎𝒖󰇘+𝒄𝒖󰇗+𝒌𝒖=𝒇(𝒕) (3) Para esta ecuación se pueden producir 3 escenarios. El primero, el de vibración libre no amortiguada, en el cual los términos de disipación viscosa (𝑐𝑢󰇗) y fuerzas externas (𝑓(𝑡)) son nulos; el segundo, el de vibración libre viscosamente amortiguada, donde solo es nulo el término de fuerzas externas f(t) y, por último, el de vibración forzada viscosamente amortiguada, que sería el definido mediante la Ecuación 3 al completo. Cualquier estructura puede ser sometida de forma ideal a vibración libre. Una de las más simples de estudiar es el sistema masa-resorte, que se verá en el siguiente apartado. Además, será una de nuestras estructuras de estudio en el apartado de experimentación. 2.2 Vibración libre: sistema masa-resorte Para este tipo de sistemas, al igual que para cualquier otro, el inicio de la vibración libre se produce cuando se altera la posición de equilibrio impartiendo cierto desplazamiento (𝑢= 𝑢(0)) y cierta velocidad (𝑢󰇗 = 𝑢󰇗(0)). Como se ha mencionado, la ecuación que rige este tipo de movimiento es: 𝒎𝒖󰇘+𝒌𝒖=𝟎 (4) En la siguiente figura se observa la representación física de un sistema masaresorte. Es prácticamente idéntico a la ejemplificación de un sistema estructural ideal que se ha visto anteriormente, considerando una dirección distinta de u. 20 Figura 5. Sistema masa-resorte de 1 gdl [2] La ecuación 4 se trata de una ecuación diferencial homogénea, cuya solución es del tipo: 𝒖(𝒕)=𝒖(𝟎)𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒏𝒕 + 𝒖󰇗(𝟎) 𝒘𝒏𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒏𝒕 (5) El movimiento que describe esta ecuación se conoce como movimiento armónico simple (m.a.s.). En este tipo de movimiento, cualquier estado de posición y velocidad en dos instantes t y t + 2π/wn son idénticos (ver Figura 6). Se define por lo tanto el periodo natural de vibración del sistema estructural: 𝑻𝒏= 𝟐𝝅 𝒘𝒏 (6) Figura 6. Gráfica de una estructura sometida a m.a.s. [2] El término wn se conoce como frecuencia cíclica de vibración, y tiene unidades de radianes por segundo (rad/s). En relación con este, obtenemos el término de 21 frecuencia natural de vibración (inversa del período Tn), también conocida como frecuencia propia, cuyas unidades son el Hz o ciclos por segundo. 𝒇𝒏=𝒘𝒏 𝟐𝝅 = 𝟏 𝟐𝝅√𝒌 𝒎 ( 7) Generalmente, los medios continuos poseen infinitas frecuencias naturales. Sin embargo, cuando modelamos los sistemas estructurales con un número finito de masas puntuales y elementos elásticos sin masa, existen tantas frecuencias propias como masas haya en el modelo. En el caso del presente estudio, únicamente será de interés la primera frecuencia natural o propia. 2.3 Vibración libre viscosamente amortiguada Con el fin de entender mejor el funcionamiento real del movimiento estructural, en este apartado se trata el movimiento de vibración viscosamente amortiguada, aunque de una forma un tanto superficial. Se determinarán que tipos existen, se mencionará alguna expresión matemática de interés, algún ejemplo real, etc. Bajo la premisa de cargas exteriores nulas, es decir p(t) = 0 en la ecuación general (ecuación 3), la ecuación que rige este movimiento es: 𝒎𝒖󰇘+𝒄𝒖󰇗+𝒌𝒖=𝟎 (8) El segundo término en el sumando es el que introduce el amortiguamiento del sistema, donde el parámetro c ya mencionamos que era el coeficiente de amortiguamiento. Dicho coeficiente es una medida de la energía disipada en un ciclo de vibración libre o también, en un ciclo de vibración forzada armónica. Esta última forma de movimiento tan solo se menciona como dato de interés. Si en la ecuación se divide entre m y se tiene en cuenta que 𝑤𝑛=√𝑘/𝑚 : 𝒖󰇘+𝟐𝜻𝒘𝒏𝒖󰇗+𝒘𝒏 𝟐𝒖=𝟎 (9) Se define así la fracción de amortiguamiento crítico como: 𝜻= 𝒄 𝟐𝒎𝒘𝒏=𝒄 𝒄𝒓 (10) Esta relación, la cual es una medida adimensional, es una propiedad del sistema que depende tanto de su masa como de su rigidez y amortiguamiento. A mayor 22 valor, más rápido se produce el decaimiento de las oscilaciones. En la Figura 7 se ven algunos ejemplos de distinto valores de esta relación en tanto por ciento: Figura 7. Vibración de sistemas con diferentes niveles de amortiguamiento [2] El coeficiente cr se conoce como coeficiente de amortiguamiento crítico. Representa el valor crítico a partir del cual desaparecen las oscilaciones, es decir, es la línea divisoria entre el movimiento oscilatorio y el no oscilatorio. En función de los valores de ζ o de cr se obtienen 3 tipos de movimiento: 1) Vibración libre de sistema subamortiguado: para este tipo se tiene que ζ < 1 o que cr > c. El sistema oscilará alrededor de su posición de equilibrio con una amplitud que disminuirá de forma progresiva. 2) Vibración libre de sistema críticamente amortiguado: esta vibración se da cuando c = cr o ζ = 1. El sistema no sufre oscilación y regresará de forma inmediata a su posición original . 3) Vibración libre de sistema sobreamortiguado: c > cr o ζ >1. Ocurrirá lo mismo que en el críticamente amortiguado, pero con el matiz de que su regreso a la posición inicial será de forma mucho más lenta. En la Figura 8 se pueden apreciar los tres tipos de vibraciones. 23 Figura 8. Tipos de amortiguamiento en vibración libre [2] La diferencia de amplitudes a medida que pasa el tiempo no es el único ejemplo de diferencia entre vibración libre y vibración amortiguada. Observando las frecuencias naturales, el amortiguamiento tiende a una reducción de estas y, por lo tanto, un pequeño crecimiento del período natural. En término numéricos, esta diferencia es prácticamente nula, por lo que gráficamente también es apenas apreciable (ver Figura 9). Figura 9. Efectos del amortiguamiento en vibración libre [2] Cabe mencionar que la mayoría de las infraestructuras para obra civil (edificios, puentes, presas, centrales nucleares…) pertenecen al caso de sistemas subamortiguados, siendo por lo general el % de amortiguamiento crítico menor a 0,10. Este valor se ve alterado también por el propio amortiguamiento del hormigón, que suele variar entre el 2% y el 5%, aunque en función de los materiales usado puede llegar hasta el 7%. El amortiguamiento propio del acero utilizado también es un factor para tener en cuenta. 24 Para el caso de amortiguamiento crítico y de sobreamortiguamiento, algunos ejemplos son: - Mecanismo de retroceso de puerta automática: sistema sobreamortiguado. - Báscula de medición de peso muerto: sistema con amortiguamiento crítico. - Sistemas de absorción de choques: caso intermedio entre subamortiguado y amortiguamiento crítico. Suele tener una relación ζ del orden de 0,5. 2.4 Expresiones para el cálculo de frecuencias naturales En el subcapítulo 2.2 se ha podido ver como determinar la expresión que determina la frecuencia natural en el sistema masa-resorte. Se trata de un procedimiento simple, pero que no es igual de sencillo para el resto de las estructuras. Con el objetivo de ahorrar tiempo de operación y poder acotar el objetivo del trabajo, se ha recurrido a bibliografía externa en la que obtener las expresiones matemáticas útiles en el presente estudio. En concreto, todas y cada una de las fórmulas descritas a continuación se han obtenido del texto “Robert D. Blevins Ph.D, Formulas for natural frecuency and mode shape, Krieger”, donde se pueden consultar detalles de su deducción y desarrollo. - Barra con masa puntual en el punto medio La ecuación que permite el cálculo de la primera frecuencia natural es: 𝒇=𝟐 𝝅[𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑(𝑴+𝟎,𝟒𝟗𝑴𝒃)]𝟏 𝟐 (11) En esta expresión, M representa la masa que se sitúa en el punto medio, Mb la masa de la barra, E el módulo de elasticidad de la viga, I la inercia de la viga y L la longitud efectiva de la viga. Figura 10. Barra con masa puntual centrada [1] 25 - Barra con masa puntual no centrada Para este tipo de casos, donde hay una masa puntual no centrada, es decir que se encuentre a distancias diferentes de cada uno de los extremos, la ecuación que permite calcular su frecuencia natural o propia es: 𝒇𝒏= 𝟏 𝟐𝝅√𝟑𝑬𝑰𝑳 𝒂𝟐𝒃𝟐(𝑴+(𝜶+𝜷)𝑴𝒃) (12) Para esta expresión M es la masa puntual sobre la barra, Mb es la masa de la barra y los parámetros α y β vienen definidos por las siguientes expresiones: 𝜶= 𝒂 𝒂+𝒃((𝟐𝒃+𝒂)𝟐 𝟏𝟐𝒃𝟐+𝒂𝟐 𝟐𝟖𝒃𝟐−𝒂(𝟐𝒃+𝒂) 𝟏𝟎𝒃𝟐) (13) 𝜷= 𝒃 𝒂+𝒃((𝟐𝒂+𝒃)𝟐 𝟏𝟐𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟐𝟖𝒂𝟐−𝒃(𝟐𝒂+𝒃) 𝟏𝟎𝒂𝟐) (14) Los parámetros a y b son los valores correspondientes a las distancias respecto a los extremos tal y como vienen definidos en la siguiente figura: Figura 11. Barra con masa puntual no centrada [1] - Barra con masa distribuida Partiendo de la expresión de cálculo de las i frecuencias naturales de una barra simplemente apoyada: 𝒇𝒏= 𝝀𝒊𝟐 𝟐𝝅𝑳𝟐√𝑬𝑰 𝒎+ 𝒎𝒄 (15) En esta expresión λi hace referencia a las i frecuencias naturales que puede poseer una barra. Solo es de interés la primera, y para una viga apoyada se tiene que λi = iπ, luego λ1 = π. Sustituyendo en la ecuación, se obtiene que la primera frecuencia natural se calcula como: 32 utilizando uno, pues únicamente tenemos un instrumento de medición, solo hay señal en el primero de ellos. En cuanto al instrumento de medición, se ha utilizado un medidor de vibraciones láser (vibrómetro) marca Panasonic, el cual posee un rango de tensiones de entre 0 y 10 V (lo que equivale a una distancia de entre 6 y 18 cm respectivamente). Figura 17. Vibrómetro Un valor de distancia al vibrómetro es transformado en un valor de tensión. Conociendo esto, podemos realizar un calibrado del aparato tomando varios datos de distancia-tensión y, representando posteriormente estos, obtener una ecuación característica del aparato. Con la ayuda de una pletina metálica y sobre una mesa, se realizan cuatro mediciones a una distancia de entre 6 y 18 cm del vibrómetro, asegurando siempre que el haz láser del aparato está incidiendo sobre la pletina. El valor de las distancias entre aparato y pletina se ha comprobado manualmente con una cinta métrica. Se ha obtenido así: 33 Tabla 1. Valores tensión-distancia experimentales Llevado a una gráfica y aplicando mínimos cuadrados, obtenemos la ecuación de la recta que interpola a estos puntos. Figura 18. Gráfica puntos tensión-distancia La pendiente de la recta, en unidades de m/V, es un parámetro solicitador por el software previo a su uso, y que será el mismo para todos los casos de experimentación. La ordenada en el origen representa el offset, un valor interesante si las mediciones fueran realizadas desde un punto establecido o referencia, sin embargo, solo se medirán incrementos de distancia. Debido a esto, se deja a cero este valor de offset en el programa. En la siguiente captura, se ven los valores introducidos de k y del offset: y = 0,0121x + 0,0641 R² = 1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 1 2 3 4 5 6 Distancia (m) Tensión (V) Calibración 34 Figura 19. Captura de la interfaz donde se aprecian valores de las constantes 3.5 Montaje en laboratorio Uno de los factores más importantes para que cualquier ensayo se realice con éxito, es reproducir fielmente en laboratorio las configuraciones reales. En este subcapítulo veremos las configuraciones establecidas, además de la posición del vibrómetro para cada sistema estructural. 1- Sistema resorte En un resorte, por su propia forma, es imposible conseguir únicamente un grado de libertad. En su movimiento, aparte del movimiento en la dirección vertical, va a tener también ciertas oscilaciones como si de un péndulo se tratara. Para evitar este problema, se ha fabricado con pletinas metálicas una serie de cuadriláteros articulados, los cuales, unidos entre sí y con uno de los laterales fijados a un soporte vertical, se comportan como un sistema masa-resorte con un grado de libertad. 35 Figura 20. Sistema masa-resorte Figura 21. Sistema masa-resorte cargado 36 Figura 22. Montaje sistema y vibrómetro Figura 23. Incidencia del láser sobre el sistema 2- Sistema viga metálica bi-apoyada Para esta configuración se ha optado por el análisis de un perfil rectangular de aluminio apoyado sobre dos caballetes metálicos. Sobre este, se estudiarán las diferentes disposiciones de cargas (centrada, desplazada L/4 de un extremo, distribuida), situando el medidor o vibrómetro en diferentes posiciones (centro y bajo cargas). 37 Figura 24. Viga metálica bi-apoyada Figura 25. Vibrómetro bajo punto central de la viga 38 Figura 26. Incidencia del láser sobre la viga 3- Sistema placa En este caso de análisis se han realizado dos tipos de montaje distintos. El primero de ellos, con la placa situada sobre tres puntos de apoyo; el segundo, con esta situada sobre cuatro puntos. Además, en cada situación se han realizado las cargas sobre dos puntos: en el centro de la placa y en un lateral de esta, estando este último en el eje que separa la placa en dos mitades idénticas. Las masas utilizadas no reproducen fielmente una carga puntual, pues por su tamaño, ocupan cierta superficie de la placa. Este hecho no era de importancia en los casos anteriores de estudio ya que en el caso del sistema resorte no tiene importancia, y para las vigas, la superficie de las masas es despreciable frente a la longitud que poseen estas. En este modelo sí que puede influir en las frecuencias de vibración. Para solucionarlo, se han puntualizado las cargas utilizando una tuerca (cuya masa es despreciable) a modo de apoyo. En las imágenes adjuntas se ven algunas de las distintas configuraciones de apoyo y de carga. 39 Figura 27. Placa sobre 4 puntos de apoyo y cargada lateralmente Figura 28. Posición del vibrómetro bajo carga 40 Figura 29. Placa sobre 3 apoyos y carga central Figura 30. Incidencia láser sobre la placa 41 Figura 31. Apoyo de las masas sobre la tuerca 3.6 Resultados prácticos, cálculos teóricos y comparación En este subcapítulo se tratan cada uno de los resultados experimentales obtenidos, los resultados matemáticos fruto del cálculo teórico y una comparación en base a errores relativos entre estos, de tal forma que se dará una conclusión acerca de la relación entre lo teórico y lo práctico. Además, se establecen las expresiones finales obtenidas que nos permiten el cálculo de desplazamientos a partir del conocimiento de las frecuencias propias. - Sistema resorte Realizamos el proceso tal y como se ha explicado en el apartado de metodología, obteniendo para cada incremento de carga, unos valores de frecuencias y distancia. 48 Tras realizar el análisis, los datos que se han obtenido son: Tabla 10. Resultados mediciones viga con cargas con centrales Para hacer la comparación teórico-experimental debemos recurrir a las ecuaciones 12, 13 y 14. En estas, para la obtención de valores, tendremos que a = L/4 = 1482 mm, b = 3L/4 = 4446 mm (a + b = 5928 mm), α = 0,09497 y β = 0,67857. Con los datos conocidas, haciendo uso de la ecuación 12, se tiene: Tabla 11. Comparación frecuencias teóricas y experimentales en el caso de carga no centrada Nos encontramos con errores a priori elevados, pero si se tiene en cuenta que la fórmula dada es una aproximación, se pueden dar por buenos estos errores y decir que los valores obtenidos se aproximan con cierta precisión a la realidad. Siguiendo el mismo proceso que en el caso anterior, hay que buscar una expresión que nos permita el cálculo de desplazamientos teóricos. Para este caso de cargas, hay expresiones distintas para el cálculo de la flecha máxima y para el cálculo de la flecha en diferentes puntos. Partiendo de la siguiente configuración: 49 Figura 34. Parámetros de una viga con carga con no centrada [3] Existe una diferencia de parámetros respecto a la ecuación 12, ya que los valores de a y b están cambiados, por lo que se debe tener mucho cuidado. Sólo para el caso del cálculo de flechas, se tiene que a = 4446 mm y b = 1482 mm. Teniendo en cuenta esto, las expresiones matemáticas de interés son: 𝒖𝒎𝒂𝒙 =𝑭𝒃 𝟗𝑬𝑰𝑳√𝟑(𝑳𝟐−𝒃𝟐)𝟑/𝟐 𝒆𝒏 𝒙= √𝑳𝟐−𝒃𝟐 𝟑 (22) 𝒖𝑨𝑪 =𝑭𝑳𝒃𝒙 𝟔𝑬𝑰 (𝟏−𝒃𝟐 𝑳𝟐−𝒙𝟐 𝑳𝟐) (23) El punto donde se produce la flecha máxima es en x = 3,314 m. Está por lo tanto entre el puno de aplicación de la carga y el punto de medio de esta. Calculando las flechas máximas y comparando con las obtenidas experimentalmente en función de las cargas: Tabla 12. Comparación flecha máxima teórica y experimental en cada punto de medición Como primera observación, todos los desplazamientos o flechas son inferiores a la máxima teórica, lo que es buen indicativo en una primera comparación tóricoexperimental. 50 El siguiente paso, es comparar los resultados de flechas experimentales y los calculados con las expresiones teóricas, donde se diferencia en función del punto de medida. - Vibrómetro situado en L/2 Tabla 13. Comparación flechas experimentales y teóricas en el punto medio de la viga F (N) u teórico (m) u exp. (m) Err. Rel. (%) 0 0 0,00000 0 3,56103 0,00133 0,00130 2,18 7,12206 0,00266 0,00260 2,18 10,68309 0,00399 0,00390 2,18 Errores en torno al 2%, lo que muestra un buen resultado y validez de la expresión ya que, cuando se trabaja con diferencias de décimas de milímetro para mediciones de metros, incluso errores de hasta un 15% pueden interpretarse como correctos. - Vibrómetro situado bajo el punto de carga Tabla 14. Comparación flechas experimentales y teóricas bajo el punto de carga F (N) u teórico (m) u exp. (m) Err. Rel (%) 0 0 0 0 3,56103 0,0010 0,0011 1,16 7,12206 0,0022 0,0021 3,44 10,68309 0,0033 0,0032 1,91 Errores por debajo del 2%, con solo un valor en el entorno del 3% (ha podido haber algún error en la toma de datos previa). Se puede dar por buena la comparación y los resultados obtenidos, ya que sucede lo mismo que lo comentado en el anterior caso. Tenemos diferencias de décimas de milímetro para una viga de varios metros de longitud. El último paso, como ya conocemos, es dar la expresión para el cálculo de desplazamientos en función de la frecuencia. Empezamos despejando la rigidez de la ecuación 12: 𝑬𝑰 = 𝟏 𝟑𝑳[(𝟐𝝅𝒇)𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐(𝑴+(𝜶+𝜷)𝑴𝒃] (24) 51 Con esta expresión, introduciéndola en la utilizada para el cálculo de flechas se tiene: 𝒖= 𝟑𝒈𝑳𝟐𝒃𝒙 𝟔(𝟐𝝅𝒇)𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐(𝟏+(𝜶+𝜷)𝝁)(𝟏−𝒃𝟐 𝑳𝟐−𝒙𝟐 𝑳𝟐) (25) Debemos tener en cuenta que en las expresiones usadas los valores de a y b estaban cambiados, ya que el punto de referencia era distinto. Como en la expresión de la rigidez estos valores están como producto y elevados ambos al cuadrado, va a ser indiferente esta característica. Usaremos los valores de a y b utilizados en el cálculo de flechas. Evaluando en los diferentes puntos de estudio y comparando se tiene: - x = L/2 Tabla 15.Comparación flechas experimentales y teóricas para medición bajo el punto medio - x = 3L/4 Tabla 16. Comparación flecha experimental y teórica con medición bajo el punto de carga Los errores obtenidos pueden parecer elevados en comparación con los que se han obtenido en los experimentos anteriores, sin embargo, teniendo en cuenta que se parten de expresiones teóricas las cuales ya dan cierto error, conectarlas entre sí va a suponer que el error final obtenido sea elevado. También se suma a todo esto el error humano de medición, cálculo, aproximaciones, etc. Como el error está sobre todo en las décimas de milímetro para una viga de varios metros de longitud, se pueden dar por satisfactorios los resultados. 52 - Sistema viga con masa distribuida Con esta experimentación el objetivo es simular un incremento en la densidad de la viga, es decir, un crecimiento de su masa (el resto de las propiedades no cambian). Para simular este hecho, se utilizan unas cadenas de acero colocadas de forma longitudinal sobre nuestra viga, cuyo montaje podemos ver en las figuras que siguen. Surge así un nuevo parámetro llamado densidad lineal, cuyas unidades son de Kg/m, y que denominaremos como λ. Figura 35. Cadenas distribuidas sobre la viga de estudio 53 Figura 36. Vibrómetro bajo el punto medio de la viga con carga distribuida Todas las cadenas utilizadas son iguales: Lc = 2 m, Mc = 2,54 kg y densidad lineal λc = Mc/Lc = 1,27 kg/m. Los datos obtenidos de la experimentación en base a la masa total situada sobre la viga son: Tabla 17. Resultados experimentales para viga con masa distribuida Haciendo uso de la ecuación 15, se puede calcular la frecuencia teórica y realizar la comparación: Tabla 18. Comparación frecuencias teóricas y experimentales para el caso de viga con carga distribuida Los errores están por debajo del 2 %, luego damos por satisfactorios los resultados. 54 En la primera carga se han utilizado tres cadenas y en la segunda seis. No se ha podido realizar ninguna carga más porque, observando la distancia al vibrómetro, era muy probable salirse del rango de medida óptimo. Además, ya no se cumpliría la hipótesis de pequeños desplazamientos. Para vigas con carga distribuida, su flecha máxima se produce en el centro. La expresión que nos da el valor de esta flecha en función de su carga q es: 𝒖𝒎𝒂𝒙 =𝟓𝒒𝑳𝟒 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑰 (26) Calculando los valores teóricos y comparando con los experimentales se obtiene: Tabla 19. Comparación flechas teóricas y experimentales para el caso de viga con carga distribuida En la segunda medida el error ha crecido en cuatro puntos porcentuales. Este motivo, como se ha mencionado anteriormente, puede ser debido a que, al estar acercándonos al límite de rango del aparato, las medidas dadas no sean del todo correctas posibles, y exista mayor diferencia con el valor teórico. Otro efecto a tener en cuenta es que empiezan a aparecer efectos de no linealidad. Por último, despejando la rigidez en la ecuación 26 y llevando el resultado a la ecuación 15, se obtiene la fórmula objetivo: 𝒖= 𝟓𝒒𝑳𝟒𝝅𝟐 𝟑𝟖𝟒(𝟐𝒇𝑳)𝟐(𝝀+𝝀𝒄) (27) Introduciendo en esta los sucesivos valores de estudio y comparación tendremos: 55 Tabla 20. Comparación flechas experimentales y teóricas para el caso de viga con carga distribuida Los errores obtenidos son admisibles, luego la expresión objetivo otorga resultados satisfactorios. - Sistema placa Debido a la complejidad de las expresiones teóricas para este tipo de sistemas estructurales, y al reducido tiempo que se tiene para el desarrollo del presente trabajo, se ha decidido no abordar el cálculo teórico de este tipo de estructuras. Los resultados experimentales serán analizados en el siguiente apartado, donde se realiza una comparación con el estudio por elementos finitos. Aun así, se presentan a continuación los resultados de las mediciones para cada caso de estudio. - Placa sobre tres puntos de apoyo Para conseguir los tres puntos de apoyo, se ha girado uno de los caballetes de tal forma que el punto medio del apoyo coincida con el punto medio del lateral, comprobando esto con una cinta métrica. Además, se ha asegurado que la tabla estuviera completamente asentada en los tres puntos. Tabla 21. Resultados experimentales del caso placa trípode Medido en punto central Medido en punto lateral M (kg) f (Hz) u (m) f (Hz) u (m) 0 13,28 0,0000 13,8 0,0000 3,051 10,48 0,0010 8,85 0,0023 6,102 8,97 0,0019 6,93 0,0046 9,132 7,95 0,0029 5,94 0,0074 56 - Placa sobre cuatro puntos de apoyo En este caso de estudio se han utilizado los dos caballetes con la disposición que se ha podido ver en el apartado de montaje en laboratorio. Como ocurre en numerosas ocasiones, apoyar un objeto en cuatro puntos no garantiza que el asentamiento sea correcto. Para evitar esto, se ha calzado en uno de los apoyos con varias arandelas hasta conseguir que la placa no tuviera desplazamientos no deseados. Tabla 22. Resultados experimentales del caso placa tetrápode 57 4. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: SAP 2000 Una de las vías posibles para el análisis de sistemas estructurales es mediante el uso de programas informáticos especializados en el cálculo de estructuras. Uno de los más utilizados en la ingeniería de estructuras es SAP 2000, cuya base es el uso del método de los elementos finitos, también conocido como MEF. Partiendo de una geometría determinada, como pueda ser una barra, se realiza una subdivisión de esta en una serie de elementos de mucho menor tamaño que la configuración inicial. De esta forma, la computadora resolverá el problema para una serie de puntos discretos del modelo (nodos) en lugar de obtener una solución general, lo que va a permitir un ahorro del tiempo de operación y otorgar soluciones más exactas que la del problema de partida. Cada uno de los elementos están conectados entre sí por lo que se conoce como nodos, formando en conjunto el mallado de la geometría. A mayor número de elementos, mejor solución se obtendrá en el análisis del problema de frecuencias propias. Para la resolución de problemas de tipo estático, con un solo elemento (es decir el problema original), ya se obtienen soluciones exactas. El motivo por el que se ha utilizado este tipo de software es que se ahorra mucho tiempo de trabajo con las expresiones teóricas y otorga soluciones igual de válidas. Además, en los trabajos actuales, la mayor parte de estudios se realiza con este tipo de software, por lo que de esta manera se realiza una conexión entre la base teórica aprendida en el grado y el modo de trabajo real. 4.1 Análisis de los sistemas viga Para conseguir los resultados más parecidos a la realidad y al estudio experimental, lo más importante es reproducir fielmente la viga en SAP. Para ello, debemos asegurarnos de que tenemos una inercia lo más parecida posible a la calculada experimentalmente, que las dimensiones (longitud, ancho, canto y espesor de pared) sean lo más idénticas a las medidas manualmente y que su peso sea el correcto. Por defecto, el programa ya tiene introducido el material de la viga (aluminio) con todas sus propiedades mecánicas características, tanto en módulo de elasticidad 64 Los bajos valores en los errores nos hacen ver que los resultados que otorga SAP para este caso de análisis también son válidos y similares a los experimentales. Figura 44. Ejemplo de distribución de masas (en kg/m) para el cálculo de frecuencias Figura 45. Ejemplo de fuerza distribuida (en N/m) para el cálculo de desplazamientos 4.2 Análisis del sistema placa El primer paso por realizar es el modelado de la placa en SAP 2000. Como este programa considera siempre el eje z como eje vertical, se han introducido 2 líneas de rejilla en el eje x y otras 2 en el eje y. El espaciado en el eje x corresponde al lado de mayor longitud (1525 mm), y en el eje y al de menor longitud ( 498 mm ). Una vez está definida la rejilla y los 4 nodos que delimitarán a la placa de estudio, hay que definir el área de esta. Para ello, con la opción de “Draw Rectangular Area”, se define este área, así como el material y sección. A priori, todas las propiedades mecánicas de importancia (peso por unidad de volumen y módulo E) son desconocidas; se van definiendo a medida que se va aproximando el modelo de SAP al real del laboratorio. Variando estas propiedades en el programa, iremos aproximándolas hasta conseguir las frecuencias conseguidas en la experimentación. Tras esto, se realiza una comparación con la respuesta estática. 65 Antes de abordar el conocimiento de estas propiedades, un paso importante es el mallado de la placa ya que, para este caso, tanto la respuesta estática como la dinámica se ven afectadas por este. Los puntos de apoyo de los caballetes van a definir de forma aproximada el tamaño que van a tener los elementos de la malla. Como se vio en el apartado de la viga, estos puntos de apoyo tenían un ancho de 39,5 mm. Dividiendo el largo de la placa por este valor se obtienen 38,6 elementos, y dividiendo el ancho se obtienen 12,6 elementos. Con el fin de simplificar el estudio, en el largo introduciremos 38 elementos y 12 en el ancho. El mallado obtenido se puede apreciar en las figuras siguientes. Figura 46. Vista en planta de la placa con un mallado de 38x12 elementos Figura 47. Vista en 3D de la placa con un mallado de 38x12 elementos 66 En el laboratorio, apoyando la placa sobre dos puntos, y siendo uno de estos puntos de apoyo una báscula, se ha podido obtener el peso de la placa. La báscula marcaba 4,597 kg, lo que hace un peso total de la placa de 9,194 kg. Figura 48. Peso de la placa en uno de los apoyos Si en SAP 2000 se realiza un análisis del caso DEAD, obtenemos las reacciones verticales en los 4 apoyos introducidos de tal forma que, el valor que tiene que tomar cada una de estas, ha de ser de 22,54 N aproximadamente. Tras introducir varios valores de peso por unidad de volumen, el que mejor aproxima es el de 6950 N/m3. Figura 49. Reacción vertical en uno de los 4 apoyos de la placa El siguiente paso es buscar un valor acertado del módulo de elasticidad. Para ello, se sabe que la placa sin cargas sobre cuatro puntos de apoyo tiene una primera frecuencia natural de 13,47 Hz, y que la madera suele tener un módulo de 67 elasticidad de entre 7000 y 12000 MPa. Variando estos datos, y realizando pruebaerror en el programa, se ha obtenido una frecuencia de 13,472 para un módulo de 10590 MPa. Figura 50. Propiedades mecánicas de la placa de análisis en SAP - Placa con 4 puntos de apoyo Este caso es el de la figura 47 donde hay dos apoyos fijos y 2 apoyos móviles, estando cada uno de estos en las 4 esquinas o nodos límite. Los distintos casos de carga son en el lateral de la placa (sobre su nodo central) y en el nodo central, obteniéndose los resultados de frecuencias y desplazamientos que podemos ver en las siguientes tablas. Tabla 30. Resultados y comparación de frecuencias para el caso de placa tetrápode Medido en punto lateral Medido en punto central m (kg) f exp. (Hz) f SAP (Hz) Err. Rel. (%) f exp (Hz) f SAP (Hz) Err. Rel. (%) 0 13,47 13,47 0,00 13,47 13,47 0 3,051 10,07 10,17 0,99 10,59 10,501 0,84 6,102 8,75 8,42 3,77 8,97 8,875 1,06 9,132 7 7,33 4,71 7,92 7,83 1,14 68 Tabla 31. Resultados y comparación de desplazamientos para el caso de placa tetrápode Medido en punto lateral Medido en punto central m (kg) u exp. (m) u SAP (m) Err. Rel (%) u exp. (m) u SAP (m) Err. Rel (%) 0 0 0 0 0 0 0 3,051 0,00154 0,00114 25,97 0,00095 0,0009 5,26 6,102 0,0031 0,0024 22,58 0,00194 0,0018 7,22 9,132 0,0046 0,0035 23,91 0,00294 0,0027 8,16 Como primera observación de los resultados, se tiene que las medidas en el centro otorgan menor error (tanto en frecuencias como en desplazamientos) que en el lateral. En cuanto a frecuencias los errores en ambos casos son mínimos y los valores prácticamente similares. Sin embargo, para el caso de carga lateral, la diferencia entre los resultados experimentales y los de SAP es más notoria, aunque son diferencias de en torno a 1 mm, valor no muy elevado comparando con el tamaño de la placa y las cargas utilizadas. Además, curiosamente, los resultados de desplazamientos de SAP 2000 son siempre menores. Esto puede ser indicativo de que nuestro modelo es algo más rígido que el real. Quizás, para afinar más los resultados, hay que cambiar algunos parámetros de la experimentación o intentar reducir la rigidez del modelo en SAP 2000. - Placa con 3 puntos de apoyo En este caso de estudio existe una mayor inestabilidad del sistema, y las mediciones serán más irregulares y con mayores errores como comprobaremos a continuación, sobre todo en el caso de carga lateral. En SAP, este caso se ha modelado como una placa con dos apoyos fijos en 2 de sus esquinas y un apoyo móvil en el centro de la arista opuesta. Los resultados obtenidos los podemos ver en las tablas siguientes: Tabla 32. Resultados y comparación de frecuencias para placa sobre 3 puntos de apoyo Medido en punto lateral Medido en punto central m (kg) f exp. (Hz) f SAP (Hz) Err. Rel. (%) f exp. (Hz) f SAP (Hz) Err. Rel. (%) 0 13,8 13,4 2,90 13,28 13,4 0,90 3,051 8,85 9,8 10,73 10,48 10,43 0,48 6,102 6,93 8 15,44 8,97 8,83 1,56 9,132 5,94 6,9 16,16 7,95 7,8 1,89 69 Tabla 33. Resultados y comparación de desplazamientos para placa sobre 3 puntos de apoyo Medido en punto lateral Medido en punto central m (kg) u exp. (m) u SAP (m) Err. Rel (%) u exp. (m) u SAP (m) Err. Rel (%) 0 0 0 0 0 0 0 3,051 0,0023 0,0014 37,78 0,00095 0,0009 4,21 6,102 0,0046 0,0030 34,78 0,00194 0,0018 6,19 9,132 0,0074 0,0041 44,44 0,00294 0,0027 8,16 Para la carga en el punto central, viendo los valores experimentales y de SAP para frecuencias y para desplazamientos, se puede dar por buena la aproximación. Sin embargo, cuando llevamos la carga al punto central de uno de sus lados, existen errores muy elevados y que no cuadran apenas unos con otros. Puede deberse a una mala toma de datos o incluso a que, debido a la excesiva deformación que existía en el laboratorio para este caso de análisis, los resultados de SAP no son capaces de reproducir un escenario real de este tipo. Otro de los fenómenos posibles es que, por el propio comportamiento no lineal del sistema, existía un tiempo determinado de deformación y asentamiento de cargas, el cual era mucho más notorio y apreciable en este caso de estudio que en los otros realizados. Esto ha podido hacer que los valores anotados no hayan sido los correctos, siendo el primer valor dado por el software el que se debiera haber tomado. 70 71 5. CONCLUSIONES Tal y como se mencionó en la introducción, se ha buscado relacionar la respuesta estática de una estructura con su respuesta dinámica a través de la vía de las frecuencias propias. Aunque los sistemas estructuras de estudio son muy sencillos, permiten entender muy bien cómo afectan distintos estados de carga a su dinámica. Algunas de las ideas o conclusiones que se han podido obtener son: - Un aumento del valor de las masas hace que la frecuencia de oscilación de cualquier sistema disminuya, es decir, el número de oscilaciones por segundo será mucho menor. En contraposición crecerá la amplitud del movimiento. - Acercar cargas a puntos de mayor rigidez (por ejemplo, apoyos) va a suponer un aumento del valor de las frecuencias. Este resultado es notorio en el sistema viga, donde se han estudiado dos situaciones de cargas distintas. - Aumentar el número de apoyos, como en el sistema placa, provoca un aumento en el valor de las frecuencias, ya que crece la estabilidad del sistema. La situación física de las cargas hará que este fenómeno sea más o menos notorio al comparar cada caso. - Existe una relación directa entre el incremento de rigidez y el aumento de las frecuencias de oscilación. Otro de los objetivos del trabajo que se ha cumplido satisfactoriamente es encontrar una serie de expresiones que nos permitan el cálculo de desplazamientos desde el punto de vista dinámico. Los errores obtenidos a la hora de comparar resultados han probado la validez y corrección de estas expresiones desarrolladas. De igual manera, se ha probado que el análisis con SAP 2000 utilizando el MEF proporciona resultados válidos y muy similares a los reales. Interpretar los valores obtenidos y determinar su validez es una tarea para realizar por el profesional encargado del estudio. Se demuestra así que es una muy buena alternativa a otros métodos de estudio pero que en función del caso de análisis puede ser mejor o 72 peor herramienta. Para vigas arroja muy buenos resultados, pero para placas hay que tener mucha mayor precaución con la información que proporciona. 5.1 Líneas futuras Como ya se ha mencionado en la introducción, este trabajo es también una base para introducir aspectos de la dinámica de estructuras aplicada a casos sencillos. Seguir trabajando en la misma línea para estructuras de mayor complejidad puede ser algo a considerar. Por ejemplo, podemos simular el caso placa utilizando dos placas situadas una encima de otra a cierta distancia, de tal forma que simulamos un edifico de dos plantas en el que se pueden incorporar numerosas situaciones de carga. Otro caso interesante es construir vigas en celosía (metálicas o de madera) y realizar también un análisis dinámico. Además, una propuesta interesante es ver que ha sucedido en el caso de placa sobre tres apoyos y carga lateral, donde se pueda intentar jugar con todos los parámetros que estén fallando y buscar soluciones más aproximadas (cambio de apoyos, observar cómo afecta la no linealidad, etc.). 5.2 Otras consideraciones Para el desarrollo de un TFG con carácter experimental es esencial tener clara la base teórica que va a estar presente en él, siendo sobre todo de mayor importancia todos aquellos conocimientos adquiridos en el grado. Pese a las numerosas asignaturas vistas, aquellas que conforman en mayor medida los conocimientos aplicados son Física I, Resistencia de Materiales, y Estructuras y Construcciones Industriales. Se ha conseguido así profundizar en la aplicación práctica de estas asignaturas. Una muy buena consideración para tener en cuenta es intentar simular un presupuesto del trabajo realizado. No hay que olvidar que un TFG representa en cierta manera un trabajo más realista que los realizados en el grado, supone un ejercicio de profesionalidad para el alumno y como todos aquellos que se realizan profesionalmente, tienen un coste. El trabajo está considerado para realizarse en 300h y además ha supuesto el uso de unas instalaciones, cierto material 73 característico y de software profesional. Por lo general, un salario mínimo de un ingeniero becario puede estar en 7 €/h, lo cual sumado al resto de consideraciones, podrían acarrear un gasto de hasta 2500 € para alguien que haya encargado un trabajo de este tipo a nivel profesional. Evidentemente, el contenido del presente trabajo tiene mayor importancia a nivel didáctico.