Aplicación de diagramas de interacción axil-momento (NM) al cálculo plástico de pórticos 2D de barras esbeltas

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ESCUELA DE INGENIERIAS INDUSTRIALES Grado en Ingeniería Mecánica Aplicación de diagramas de interacción axil-momento (NM) al cálculo plástico de pórticos 2D de barras esbeltas Autor: Bello de Val, Daniel Tutor: Cacho Pérez, Mariano Valladolid, julio de 2021 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 2 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 3 Resumen Durante el desarrollo de este trabajo de fin de grado, se busca una resolución lo más simplificada posible de los problemas clásicos de rótulas plásticas con la diferencia de que se tendrá en cuenta el esfuerzo axil producido en las estructuras, realizando a su vez, una continua comparación entre el problema completo y simplificado, con el fin de reflejar la importancia de este tipo de esfuerzos, y el claro error que se comete en los casos en los que no se tienen en cuenta. Palabras clave Rótulas plásticas. Esfuerzos axiles. Método directo. Momento plástico reducido. Carga de colapso. Abstract During the development of this final degree project, a solution is sought as simplified as possible of the classic problems of plastic joints with the difference that the axial force produced in the structures will be taken into account, making a continuous comparison between the complete problem and the simplified problem, in order to reflect the importance of this type of effort, and the big error that is made in the cases where they are not taken into account. Keywords Plastic joints. Axial force. Direct method. Reduced plastic moment. Colapse load. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 4 Agradecimientos Antes de comenzar la redacción del documento, me gustaría realizar un inciso, recordando a aquellas personas que han sido imprescindibles para mí en este periodo. En primer lugar, a mis padres y hermana, sin los cuales cualquier objetivo cumplido hubiera resultado simplemente imposible. En segundo lugar, a Mariano Cacho, mi tutor, por haber confiado en mí y haberme dado esta oportunidad de desarrollar este interesante proyecto. En tercer lugar, a mis amigos, incansables compañeros de batalla en los buenos y malos momentos. Por último, a Elena, esa persona que estuvo a mi lado diariamente, levantando mi moral en todo instante. Muchas gracias a todos por esta ayuda tan imprescindible. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 5 Índice Resumen ..................................................................................................................................... 3 Palabras clave ............................................................................................................................. 3 Abstract....................................................................................................................................... 3 Keywords .................................................................................................................................... 3 Agradecimientos ......................................................................................................................... 4 Índice de figuras.......................................................................................................................... 8 Índice de ecuaciones .................................................................................................................. 9 Índice de tablas ......................................................................................................................... 10 CAPÍTULO 1: Introducción ........................................................................................................ 11 Introducción.............................................................................................................................. 12 Motivación del trabajo ............................................................................................................. 12 Objetivos ................................................................................................................................... 12 Estructura del documento ........................................................................................................ 13 Contexto histórico .................................................................................................................... 13 CAPÍTULO 2: Metodología y recursos de trabajo ..................................................................... 15 Cálculo plástico y elástico ......................................................................................................... 16 Ensayo de tracción. Diagrama tensión deformación ............................................................ 16 Comportamiento plástico y elástico ..................................................................................... 17 Tipos de estructuras ................................................................................................................. 18 Grado de Hiperestaticidad .................................................................................................... 18 Estructuras isostáticas .......................................................................................................... 19 Estructuras hiperestáticas .................................................................................................... 19 Mecanismos .......................................................................................................................... 20 Formulación y base teórica....................................................................................................... 21 Momento plástico reducido en sección rectangular maciza ................................................ 22 Momento plástico reducido en sección en doble T ............................................................. 23 Teoremas y métodos de resolución de problemas .................................................................. 29 Teorema del límite superior. Método cinemático................................................................ 29 Teorema del Límite inferior. Método estático ..................................................................... 29 Método directo ......................................................................................................................... 30 CAPÍTULO 3: Ejemplos de validación ........................................................................................ 35 Ejemplo 1: Pórtico biempotrado con cargas puntuales. .......................................................... 36 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 6 Ejemplo 1.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico ..................... 37 Ejemplo 1.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico .... 43 Ejemplo 1.3: Comparación de resultados ................................................................................. 48 Ejemplo 2: Pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales. ............................................... 49 Ejemplo 2.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico. ................ 50 Ejemplo 2.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico, ............................................................................................................................................... 55 Ejemplo 2.3: Comparación de resultados ............................................................................. 60 Ejemplo 3: Pórtico biempotrado con carga distribuida. ........................................................... 61 Ejemplo 3.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico. ................ 62 Ejemplo 3.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico. ............................................................................................................................................... 68 Ejemplo 3.3: Comparación de resultados. ............................................................................ 75 Ejemplo 3.4: Ventajas e inconvenientes del método. ........................................................... 76 CAPÍTULO 4: Problema de aplicación ........................................................................................ 77 Problema de aplicación 1: Pórtico a dos aguas capaz de soportar la acción lateral del viento y la carga superior del peso de un sólido equivalente a la nieve. ............................................... 78 Problema de aplicación 1.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico. ................................................................................................................................. 80 Problema de aplicación 1.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico. ................................................................................................................ 86 Problema de aplicación 1.3: Comparación de resultados. .................................................... 90 CAPÍTULO 5: Conclusiones y líneas futuras ............................................................................... 91 Conclusiones ............................................................................................................................. 92 Líneas futuras ............................................................................................................................ 93 CAPÍTULO 6: Estudio económico del proyecto ......................................................................... 95 CAPÍTULO 7: Bibliografía ........................................................................................................... 97 Bibliografía ................................................................................................................................ 98 CAPÍTULO 8: Anexos ................................................................................................................ 101 Anexo 1. Códigos generados en Wolfram Mathematica. ....................................................... 102 Anexo 1.1. Ejemplo 1........................................................................................................... 103 ............................................................................................................................................. 104 Anexo 1.2. Ejemplo 2........................................................................................................... 106 Anexo 1.3. Ejemplo 3........................................................................................................... 109 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 7 Anexo 1.4. Problema de aplicación .................................................................................... 113 ............................................................................................................................................ 113 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 8 Índice de figuras Figura 1 Diagrama Tensión-Deformación ................................................................................. 16 Figura 2 Ejemplos de estructuras isostáticas ............................................................................ 19 Figura 3 Ejemplo de estructura hiperestática ........................................................................... 19 Figura 4 Ejemplo de mecanismo ............................................................................................... 20 Figura 5 Distribución de tensiones en sección rectangular maciza .......................................... 22 Figura 6 Distribución de tensiones normales en perfil en doble T ........................................... 23 Figura 7 Vista en corte de perfil en doble T .............................................................................. 23 Figura 8 Evolución real del axil plástico frente al momento flector plástico en sección rectangular maciza .................................................................................................................... 26 Figura 9 Evolución del axil plástico frente al momento flector plástico según normas EC3 y EAE ............................................................................................................................................ 27 Figura 10 Comparación gráfico real con el de las normas EC3 y EAE ....................................... 27 Figura 11 Comparación zonas de incidencia del momento plástico reducido en alma y alas .. 28 Figura 12 Pórtico biempotrado con cargas puntuales .............................................................. 36 Figura 13 EQ1 para pórtico biempotrado con cargas puntuales .............................................. 38 Figura 14 EQ2 para pórtico biempotrado con cargas puntuales .............................................. 38 Figura 15 Cargas de colapso en pórtico biempotrado con cargas puntuales ........................... 39 Figura 16 Comprobación de seguridad del mecanismo de colapso en pórtico biempotrado con cargas puntuales ....................................................................................................................... 39 Figura 17 Mecanismo combinado en pórtico biempotrado con cargas puntuales .................. 40 Figura 18 Pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales .................................................. 49 Figura 19 EQ1 pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales .......................................... 51 Figura 20 EQ2 pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales .......................................... 51 Figura 21 Cargas de colapso pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales .................... 52 Figura 22 Comprobación de seguridad pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales ... 52 Figura 23 Pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo ........................ 61 Figura 24 EQ1 pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo ................. 63 Figura 25 EQ2 pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo ................. 63 Figura 26 Cargas de colapso pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo.................................................................................................................................... 64 Figura 27 Comprobación de seguridad pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo ........................................................................................................................... 64 Figura 28 Combinación de mecanismos pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo ........................................................................................................................... 65 Figura 29 Nave industrial .......................................................................................................... 78 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 15 CAPÍTULO 2: Metodología y recursos de trabajo Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 16 Cálculo plástico y elástico Ensayo de tracción. Diagrama tensión deformación Para iniciarnos en el tema, es importante describir la diferencia entre ambos conceptos, lo que será determinante para entender la posterior explicación. Como hipótesis, trabajaremos con materiales dúctiles, como por ejemplo el acero, ya que son los materiales capaces de soportar cargas una vez superado el límite elástico. Para ello, acudiremos al diagrama tensión-deformación de los materiales, generado tras un ensayo de tracción sobre una probeta determinada. El resultado del ensayo genera la gráfica que mostramos a continuación. Figura 1 Diagrama Tensión-Deformación En él, podemos observar las diferentes etapas de comportamiento que va sufriendo el material, y que describiremos brevemente a continuación: 1. Etapa elástica lineal. En esta etapa, observamos el comportamiento lineal del material, donde vemos cómo el material sigue manteniendo su forma a medida que se va aumentando el valor de la tensión aplicada. Se observa cómo el material resiste y tiene una absoluta recuperación. Decimos que se sigue manteniendo la llamada Ley de Hooke: 𝝐=∆𝑳 𝑳𝟎=𝑭 𝑨∗𝑬 La proporcionalidad exacta dura desde el punto de partida hasta el punto 1, el llamado límite de proporcionalidad. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 17 La segunda etapa llega desde el límite de proporcionalidad (punto 1), hasta el llamado límite elástico (punto 2). En esta zona, la proporcionalidad ya no es exacta, aunque se producen esfuerzos que provocan una deformación unitaria nunca superior al 0,2%. 2. Etapa viscoelástica. Esta es la parte en la que comienza la transición de material plástico a elástico. Comienza en el límite elástico y finaliza en el límite de fluencia. Comienzan las primeras deformaciones permanentes, dejándose de cumplir la Ley de Hooke. 3. Etapa de fluencia. En esta zona, el comportamiento del material ya es plástico, pues se producen grandes variaciones de longitud para esfuerzos relativamente bajos. Las deformaciones en esta zona son totalmente permanentes. Algunos materiales no sufren esta etapa. 4. Etapa de acritud. En esta etapa, el material sufre un endurecimiento en frío, donde el material genera una resistencia a sufrir nuevas dislocaciones, la cual provoca un endurecimiento del material. Esta zona finaliza en el límite de rotura (punto 5). 5. Etapa de estricción. Es la etapa final del ensayo de tracción, y en ella se considera que el material ya está roto a efectos de resistencia. Se observa cómo se produce un aumento de la deformación sin aplicar esfuerzo. Este alargamiento se conoce como alargamiento de rotura. Comportamiento plástico y elástico Con esta documentación, pretendemos diferenciar las dos zonas de estudio: • Comportamiento plástico. Se trata de una zona en la cual, el material genera una respuesta lineal al aumento de la tensión. Se inicia cuando la tensión aplicada es nula, y finaliza en el llamado límite elástico. La característica principal de esta zona es la completa, o prácticamente completa (99,8 %) recuperación del material ante la aplicación de una determinada fuerza. • Comportamiento plástico. En esta etapa, no existe la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación, ya que se ha superado el límite elástico del material. Se observa cómo el material sufre deformaciones permanentes. Como ya hemos comentado anteriormente, algunos materiales no soportan cargas una vez superado el límite elástico, motivo por el cual, trabajaremos con materiales siempre dúctiles, ya que sabemos que estos son capaces de resistirlos. Es importante destacar cómo las estructuras hiperestáticas soportan mayor carga que las isostáticas. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 18 Tipos de estructuras En función del número de libertades que tenga un sistema podemos diferenciar tres tipos: estructuras isostáticas, hiperestáticas y mecanismos. Grado de Hiperestaticidad Se conoce como grado de Hiperestaticidad de una estructura determinada al número de fuerzas que cuyo valor se desconoce y que no puede ser determinado mediante ecuaciones de equilibrio. Para calcular este valor, se suele acudir a la siguiente expresión que indicaremos para el caso de una estructura longitudinal o para pórticos: a. Estructura longitudinal. En el caso de una estructura longitudinal, la expresión se reduce a la siguiente: 𝑮𝑯=𝑹−(𝟐+𝑳) b. Pórtico Si la estructura en cuestión es un pórtico, la expresión pasa a ser: 𝑮𝑯=𝑹−(𝟑+𝑳) Siendo en ambos casos: o R: número de reacciones totales que aparecen en la estructura, sabiendo que: o Empotramientos: 3 reacciones (longitudinal, perpendicular y momento). o Apoyo fijo: 2 reacciones (longitudinal y perpendicular a la barra). o Apoyo móvil: 1 reacción (longitudinal a la barra). El resultado de esa expresión determina el tipo de estructura con la que pasaremos a trabajar, siendo: • Estructura isostática si GH=0. • Estructura hiperestática si GH>0. • Mecanismo si GH<0. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 19 Estructuras isostáticas Este tipo de estructuras se producen cuando es grado de Hiperestaticidad es nulo, por lo cual podemos considerar que todos sus nudos son articulados o que funcionan como tal. Esto indica que podemos calcular por equilibrio todas las incógnitas de fuerzas existentes. Mostraremos a continuación, varios ejemplos de este tipo de estructuras: Vemos como todas ellas podrían resolverse únicamente mediante el equilibrio. Estructuras hiperestáticas En este caso, el grado de Hiperestaticidad es superior a 0, lo cual indica que tenemos que obtener alguna ecuación extra, o alguna incógnita añadida para resolver el problema en cuestión. El sistema resultante sería indeterminado, lo cual indica que existirán infinitas combinaciones estáticamente admisibles para resolver las incógnitas planteadas. A continuación, mostramos un ejemplo: Figura 2 Ejemplos de estructuras isostáticas Figura 3 Ejemplo de estructura hiperestática Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 20 Mecanismos Se trata del último caso posible, y en este, el valor de GH es negativo, lo que indica que existen menos incógnitas que ecuaciones. La estructura será, por tanto, inestable. Mostramos un ejemplo de este caso: Figura 4 Ejemplo de mecanismo Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 21 Formulación y base teórica En este apartado hablaremos sobre el momento plástico reducido y cómo puede ir variando este, teniendo en cuenta el efecto y la deformación asociados al efecto axil aplicado. Para comenzar a trabajar es necesario conocer el valor del límite plástico en cada una de las secciones: Para el cálculo del momento plástico: 𝑴𝒑=𝑾𝒑𝒍∗𝝈𝒚=𝟐∗𝒎∗𝝈𝒚 Ecuación 1 Momento plástico de una sección Si nos dan el factor de forma: 𝝀=𝑴𝒑 𝑴𝒆 Ecuación 2 Factor de forma 𝑴𝒑=𝑾𝒁∗𝝈𝒚=𝑰𝒛 𝒉 𝟐∗𝝈𝒚 Ecuación 3 Momento elástico de una sección Para el cálculo del axil plástico: 𝑵𝒑=𝑨∗𝝈𝒚 Ecuación 4 Axil plástico de una sección Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 22 Momento plástico reducido en sección rectangular maciza Comenzaremos hablando del caso particular de las secciones rectangulares macizas, las cuales son las más sencillas y ayudarán a la comprensión del método. Podemos observar la estructura y distribución de tensiones de una sección rectangular maciza, así como los valores de su axil y flector plástico. Si atendemos a la gráfica mostrada en la figura 5, podremos, por lo tanto, podremos despejar el valor de Mpn, teniendo el resto de sus variables conocidas: 𝑀𝑝𝑛 =𝑀𝑝+[1−(𝑁 𝑁𝑝)2] Ecuación 5 Momento plástico reducido en sección rectangular maciza Figura 5 Distribución de tensiones en sección rectangular maciza Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 23 Momento plástico reducido en sección en doble T Para la resolución de nuestros casos, utilizaremos frecuentemente el perfil en doble T, ya que es el más adecuado para casos de pórticos, los cuales serán los más habituales en la experimentación. Mostramos a continuación su geometría y la correspondiente distribución de tensiones normales: Siendo “c” el valor en el eje y que va desde el centro de gravedad en sentido positivo del eje vertical, podemos definir: 𝐴=𝑏∗ℎ−(ℎ−2𝑒1)∗(𝑏−𝑒) Ecuación 6 Área de una sección Con ello, podemos definir el axil plástico: 𝑁𝑝=𝐴∗𝜎𝐹=[𝑏∗ℎ−(ℎ−2𝑒1)∗(𝑏−𝑒)]∗𝜎𝐹 Ecuación 7 Axil plástico en una sección Figura 7 Vista en corte de perfil en doble T Figura 6 Distribución de tensiones normales en perfil en doble T Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 24 Para el momento estático: 𝑚=ℎ 2∗𝑏∗ℎ 4−1 2(ℎ−2𝑒1)∗(𝑏−𝑒) Ecuación 8 Momento estático en una sección Sabiendo que Obtenemos el valor del momento plástico acudiendo a la expresión de la ecuación (1). Para obtener el valor del axil, estudiaremos el perfil en dos zonas (las dos alas y el alma) • Alas (superior e inferior tienen ecuaciones idénticas) 𝑁𝑋1 =[𝑏∗𝑒1+(ℎ−2𝑒1)𝑒+𝑏∗(𝑐−(ℎ 2−𝑒1))+𝑏∗(ℎ 2−𝑐)]∗𝜎𝐹 Ecuación 9 Axil en las alas de una sección en doble T 𝑀𝑍1 ={2𝑏∗(ℎ 2−𝑐)∗(1 2∗[ℎ 2−𝑐]+𝑐)}∗𝜎𝐹 Ecuación 10 Momento flector en las alas de una sección en doble T Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 31 2) Cálculo del Grado de Hiperestaticidad (GH) de la estructura. Ya explicado anteriormente. En nuestro caso siempre vamos a trabajar con pórticos, por tanto, la expresión será la siguiente: 𝑮𝑯=𝑹−(𝟑+𝑳) Ecuación 19 Grado de Hiperestaticidad 3) Cálculo del Número Posible de Rótulas Plásticas (NPR). Para calcular este valor, debemos conocer las secciones candidatas: • Empotramientos. • Zonas con cargas puntuales aplicadas. • Zonas con cambios de dirección de las barras. • Zonas de intersección con cargas distribuidas. 4) Cálculo del número de ecuaciones de equilibrio (EQ). La expresión en este caso es muy trivial: 𝑬𝑸=𝑵𝑷𝑹−𝑮𝑯 Ecuación 20 Ecuaciones de equilibrio Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 32 5) Cálculo de esfuerzos axiles (en el caso de tener en cuenta su efecto). Se trata de calcular los esfuerzos axiles para cada una de las barras realizando un equilibrio general a toda la estructura (si es isostática), o aplicando los métodos de cálculo de esfuerzos ya conocido, como pudiera ser el MDR. 6) Comprobación de que el mecanismo de colapso es seguro. Determinaremos si el mecanismo de colapso determinado es seguro. Para ello, se debe cumplir que el momento plástico de la o las rótulas que no llegarían a formarse es menor, en valor absoluto al valor del comento plástico límite. |𝑴𝒊|<𝑴𝒑𝒏 Ecuación 21 Comprobación de la seguridad del mecanismo Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 33 7) Plantear y resolver la tabla. Una vez recopilada esa serie de datos, se pasa a resolver la siguiente tabla: Sección 1 2 3 4 … … n Mi Ni Θi EC1 EC2 … … ECN Tabla 1 Planteamiento general de problemas de rótulas plásticas En ella, se plantean tantas ECs como número de GH se obtenga, y tanto número de secciones como zonas candidatas a rótulas plásticas existan. 8) Planteamiento de las diferentes ECs. Se plantean tantas ECs como valor numérico tiene el GH. Para calcular estas aplicamos la siguiente expresión: 𝐿 6𝐸𝐼∗(𝑚𝑖∗(2𝑀𝑖+𝑀𝑖+1)+𝑚𝑖+1∗(2𝑀𝑖+1+𝑀𝑖))+𝑚𝑖∗𝜃1+𝑚𝑖+1∗𝜃𝑖+1 =0 Ecuación 22 Cálculo de ECs 9) Resolución final de las incógnitas generadas. Finalmente, resolvemos las ecuaciones, sabiendo que uno de los giros debe ser nulo, y ese será la última rótula plástica. Es muy importante destacar que el signo de cada giro debe coincidir con el de su momento plástico en el instante de fallo. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 34 10) Cálculo del coeficiente de seguridad. Pasamos, finalmente a calcular el coeficiente de seguridad de la estructura. Definimos el coeficiente de seguridad como: 𝝀𝒄=𝑷𝒄 𝑷𝒆 Ecuación 23 Coeficiente de seguridad Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 35 CAPÍTULO 3: Ejemplos de validación Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 36 Ejemplo 1: Pórtico biempotrado con cargas puntuales. Se procederá a la resolución de un problema simple formado por un pórtico empotrado en ambos extremos al que se le aplican dos cargas de valor “P”, una en el centro del dintel, hacia abajo, mientras que la otra en la esquina superior derecha, hacia la derecha. El paso previo para comenzar será elegir el tipo de perfil con el que trabajar. Se trata de una estructura de un pórtico, con lo cual, elegiremos un perfil en doble T, el más adecuado en estos casos. El perfil elegido es un IPE 300. De este tipo de perfil conocemos los siguientes datos: o h = 0.3 m o b = 0.15 m o e = 7.1*10-3 m o e1 = 1.07*10-3 m o E = 2.1*1011 Pa o Iz = 8360-10-8 m4 Tomaremos un material S275, lo que nos indica que 𝜎𝑒=275 MPa. Por último, la longitud L=5 m. Figura 12 Pórtico biempotrado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 37 Ejemplo 1.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico 1. Cálculo del momento plástico para cada sección Para el caso concreto del IPE 300: 𝑆=2∗(𝑏∗ℎ 8−(𝑏−𝑒) 8∗(−2𝑒1+ℎ)2) Ecuación 24 Sección en IPE 300 Para calcular el momento plástico, acudimos a la ecuación (1) 𝑀𝑝=𝑆∗𝜎𝑒=165577,05 𝑁𝑚 2. Calculo el GH de la estructura en cuestión: Ecuación (19) 𝐺𝐻=𝑅−(3+𝐿) En este caso tenemos que: • R=6 (3 reacciones en los empotramientos “a” y “e”). • L=0 (no existe ninguna rótula u otro elemento que proporcione libertad). Con lo cual, es elemental descifrar que GH=3. 3. Calculo el número posible de rótulas plásticas: En este caso son 5 (existe una posible rótula plástica en los puntos “a”, “b”, “c”, “d” y “e”). 4. Cálculo de EQ: Ecuación (20): 𝐸𝑄=𝑁𝑃𝑅−𝐺𝐻=2 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 38 5. Plantear diferentes mecanismos de colapso posibles y las ecuaciones de los mecanismos posibles: A continuación, se muestran los dos mecanismos de fallo con sus respectivas ecuaciones: ▪ Mecanismo de colapso 1: 𝐸𝑄1→ 𝑃𝐿=− 𝑀𝑏+2𝑀𝑐−𝑀𝑑 ▪ Mecanismo de colapso 2: 𝐸𝑄2→ 𝑃𝐿=−𝑀𝑎+ 𝑀𝑏+𝑀𝑑+𝑀𝑒 Figura 13 EQ1 para pórtico biempotrado con cargas puntuales Figura 14 EQ2 para pórtico biempotrado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 39 Realizaremos un pequeño inciso sobre el criterio seguido para decretar el signo de cada uno de los giros acumulados. Si nos situamos en el interior de la estructura, el pórtico, en este caso: a) Si el giro acumulado viene hacia nuestra posición, se considera negativo b) Si, por el contrario, el giro se aleja de nuestra posición se considerará positivo. 6. Cálculo de la carga de colapso límite para cada mecanismo y determinación de la carga de colapso límite. 𝑃𝑐1 =4𝑀𝑝 𝐿 𝑃𝑐2 =4𝑀𝑝 𝐿 7. Comprobación de que el mecanismo de colapso es seguro: 𝐸𝑄2 → |𝑀𝑎|<𝑀𝑝 𝐸𝑄2 → |𝑀𝑒|<𝑀𝑝 𝐸𝑄1 → |𝑀𝑐|<𝑀𝑝 Se comprueba que ninguno de los dos mecanismos es seguro por sí solo. Figura 15 Cargas de colapso en pórtico biempotrado con cargas puntuales Figura 16 Comprobación de seguridad del mecanismo de colapso en pórtico biempotrado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 40 Pasamos a comprobar si la combinación de ambas proporcionaría seguridad al mecanismo. Vemos que la combinación es segura. Este sería por tanto el mecanismo de colapso. Obtendríamos, por tanto, los valores de los momentos y la carga en el instante de colapso: ➢ 𝑀𝑎=−𝑀𝑝=−165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑏=0 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑐=𝑀𝑝=165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑑=−𝑀𝑝=−165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑒=𝑀𝑝=165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑃𝑐=3∗𝑀𝑝 𝐿=99346.23 𝑁 Figura 17 Mecanismo combinado en pórtico biempotrado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 47 Como el mecanismo es completo, la estructura alcanza el fallo plástico con GH+1 rótulas, por tanto, con 4. Decimos entonces que la rótula b no llega a formarse. Con estos datos pasamos a la resolución final, donde igualaremos cada momento al valor del momento máximo en cada sección. En este caso, al tener toda la sección el mismo perfil, sabemos que el límite plástico va a aparecer en las alas, por tanto: 𝑀𝑎=− 𝑀𝑋1 𝑀𝑐=𝑀𝑋1 𝑀𝑑=−𝑀𝑋1 𝑀𝑒=𝑀𝑋1 Sustituyendo los valores y despejando, obtengo los valores finales de momentos, giros y carga crítica en el instante de colapso: 𝑃𝑐=22834,8𝑁 𝜃𝑎=0 𝑟𝑎𝑑 (ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) 𝜃𝑏 (𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟𝑠𝑒) 𝜃𝑐=3.30838∗10−4 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝑑=−9.41147∗10−3 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝑒=4.50589∗10−3 𝑟𝑎𝑑 𝑀𝑎=−62411,6 𝑁𝑚 𝑀𝑏=8032,42 𝑁𝑚 𝑀𝑐=50169,9 𝑁𝑚 𝑀𝑑=−21865,4 𝑁𝑚 𝑀𝑒=21865,4 𝑁𝑚 Se puede comprobar cómo coinciden los signos de giros y momentos, lo que nos indica que la resolución es compatible y, por lo tanto, es la solución del problema plástico. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 48 Ejemplo 1.3: Comparación de resultados Realizados los problemas, pasamos a realizar la comparación entre ambos métodos: Sin considerar el efecto reductor del axil Considerando efecto reductor del axil Reducción de la carga de colapso por el efecto del axil (%) Pc 99346,23 22834,8 77,01 θa 0 0 - θb 0 0 - θc 0,00786 0,000330838 95,79 θd -0,01179 -0,00941147 20,17 θe 0,00393 0,00450589 14,65 Ma -165577,05 -62411,6 62,3 Mb 0 8031,42 - Mc 165577,05 50169,9 69,7 Md -165577,05 -21865,4 86,79 Me 165577,05 21865,4 86,79 Tabla 4 Comparación de resultados en pórtico biempotrado con cargas puntuales Como se puede observar, en este primer ejemplo, aparecen unas reducciones del efecto axil notoriamente considerables, siendo muy destacable la reducción de la carga crítica. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 49 Ejemplo 2: Pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales. Se procederá a la resolución de un problema formado por un pórtico empotrado en su extremo izquierdo, mientras que tiene un apoyo fijo en el derecho. Se le aplican dos cargas: una de valor “P” en el centro del dintel, hacia abajo, mientras que la otra en la esquina superior derecha, hacia la derecha y de valor P/6. A continuación, se muestra una ilustración del problema: El perfil con el que trabajar será nuevamente un IPE 300. De este tipo de perfil conocemos los siguientes datos: o h = 0.3 m o b = 0.15 m o e = 7.1*10-3 m o e1 = 1.07*10-3 m o E = 2.1*1011 Pa o Iz = 8360-10-8 m4 Tomaremos un material S275, lo que nos indica que 𝜎𝑒=275 MPa. Por último, L=5 m. Figura 18 Pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 50 Ejemplo 2.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico. 1. Cálculo del momento plástico para cada sección Para el caso del IPE 300, ecuación (24): 𝑆=2∗(𝑏∗ℎ 8−(𝑏−𝑒) 8∗(−2𝑒1+ℎ)2) Ecuación (1): 𝑀𝑝=𝑆∗𝜎𝑒=165577,05 𝑁𝑚 2. Calculo el GH de la estructura en cuestión: Ecuación (19): 𝐺𝐻=𝑅−(3+𝐿)=2 3. Calculo el número posible de rótulas plásticas: En este caso son 4 (existe una posible rótula plástica en los puntos “a”, “b”, “c” y “d”). En el punto “e” tenemos un apoyo móvil, que nunca ofrece momento alguno, lo cual hace que funcione como una rótula elástica, impidiendo así la existencia de rótula plástica alguna. Con ese dato sabemos también que Me=0. 4. Cálculo de EQ: Ecuación (20): 𝐸𝑄=𝑁𝑃𝑅−𝐺𝐻=2 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 51 5. Plantear diferentes mecanismos de colapso posibles y las ecuaciones de los mecanismos posibles: A continuación, se muestran los dos mecanismos de fallo con sus respectivas ecuaciones: ▪ Mecanismo de colapso 1: 𝐸𝑄1→𝑃𝐿=−𝑀𝑏+2𝑀𝑐−𝑀𝑑 ▪ Mecanismo de colapso 2: 𝐸𝑄2→𝑃𝐿 6=−𝑀𝑎+𝑀𝑏−𝑀𝑑 Figura 19 EQ1 pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales Figura 20 EQ2 pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 52 6. Cálculo de la carga de colapso límite para cada mecanismo y determinación de la carga de colapso límite. 𝑃𝑐1 =4𝑀𝑝 𝐿 𝑃𝑐2 =18𝑀𝑝 𝐿 7. Comprobación de que el mecanismo de colapso es seguro: 𝑀𝑎=−2𝑀𝑝 3→|𝑀𝑎|<𝑀𝑝 Se comprueba que el primer mecanismo es seguro por sí solo. Podemos determinar, por tanto, que EC1 es el mecanismo en el instante de colapso. Figura 21 Cargas de colapso pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales Figura 22 Comprobación de seguridad pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 53 Obtendríamos, por tanto, los valores de los momentos y la carga en el instante de colapso: ➢ 𝑀𝑎=−2𝑀𝑝 3=−110384,7 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑏=−𝑀𝑝=−165577,05𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑐=𝑀𝑝=165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑑=−𝑀𝑝=−165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑒=0 𝑁𝑚 ➢ 𝑃𝑐=4∗𝑀𝑝 𝐿=132461,64 𝑁 8. Plantear tabla Con los resultados obtenidos podemos desarrollar la tabla, que resultará como se muestra a continuación: Sección a b c d e Mi - (2Mp) /3 -Mp Mp -Mp 0 Θi 0 Θb Θc Θd 0 EC1 1 1 0.5 0 0 EC2 0 1 1 1 0 Tabla 5 Planteamiento general pórtico empotrado-apoyado con cargas puntuales sin considerar el efecto reductor del esfuerzo axil 9. Planteamiento de las ECs Con los datos de la tabla, planteamos las 3 ECs: 𝐿 6𝐸𝐼∗(𝑚𝑖∗(2𝑀𝑖+𝑀𝑖+1)+𝑚𝑖+1∗(2𝑀𝑖+1+𝑀𝑖))+𝑚𝑖∗𝜃1+𝑚𝑖+1∗𝜃𝑖+1 =0 ▪ EC1 (ma=1; mb=1; mc=0.5; md=0; me=0) −5𝑀𝑝𝐿 𝐸𝐼 +𝜃𝑏+0,5𝜃𝑐=0 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 54 ▪ EC2 (ma=0; mb=1; mc=1; md=1; me=0) −14𝑀𝑝𝐿 3𝐸𝐼 +𝜃𝑏+𝜃𝑐+𝜃𝑑=0 10. Resolución de ecuaciones Resolviendo las ecuaciones anteriores, y teniendo en cuenta la restricción de que el signo de cada giro debe coincidir con el de su momento plástico en el instante de fallo, obtenemos los resultados finales: o 𝜃𝑎=0 𝑟𝑎𝑑(𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟𝑠𝑒) o 𝜃𝑏=0 𝑟𝑎𝑑 (ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) o 𝜃𝑐=10𝑀𝑝𝐿 𝐸𝐼 =0,4716 𝑟𝑎𝑑 o 𝜃𝑑=−16𝑀𝑝𝐿 3𝐸𝐼 =−0,2515 𝑟𝑎𝑑 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 55 Ejemplo 2.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico, En esta segunda forma de resolver el problema, realizaremos operaciones adicionales, y otras muchas ya indicadas previamente, que sólo serán indicadas. 1. Cálculo del momento plástico, axil plástico, momento plástico reducido y axil para cada una de las secciones. Ecuaciones (25) y (4): 𝐴=((𝑏ℎ−(𝑏−𝑒)∗(2𝑒1+ℎ))𝜎𝑒=5,188∗10−3𝑚2 𝑁𝑝=𝐴∗𝜎𝑒=1426716,5 𝑁 El axil para cada tramo (perfil IPE 300), ya explicado anteriormente: Ecuaciones (9), (10), (11) y (12): 𝑁𝑋1 =[𝑏∗𝑒1+(ℎ−2𝑒1)𝑒+𝑏∗(𝑐−(ℎ 2−𝑒1))+𝑏∗(ℎ 2−𝑐)]∗𝜎𝐹 𝑀𝑍1 ={2𝑏∗(ℎ 2−𝑐)∗(1 2∗[ℎ 2−𝑐]+𝑐)}∗𝜎𝐹 𝑁𝑋2 =[𝑒∗(ℎ 2−𝑒1+𝑐)−𝑒∗(ℎ 2−𝑒1−𝑐)]∗𝜎𝐹 𝑀𝑍2 ={𝑒(ℎ 2−𝑒1−𝑐)(1 2[ℎ 2−𝑒1−𝑐]+𝑐)+𝑏𝑒1∗(1 2∗(ℎ−𝑒1))}∗𝜎𝐹 2. GH=2 3. NPR=4 4. EQ=2 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 56 5. Cálculo de esfuerzos axiles de toda la estructura. Figura (18): En este apartado, sólo tenemos que realizar equilibrio, tanto en el dintel BD, como en el pilar AB, obteniendo: • Equilibrio dintel BD: ∑𝑀𝑏=0→𝑀𝑏+𝑀𝑑+2𝐿∗𝑅𝑦𝑒 ∑𝐹𝑣=0→𝑅𝑦𝑎 =𝑃−𝑅𝑦𝑒 Despejando obtengo: 𝑅𝑦𝑒 =1 2𝐿∗(𝑃𝐿−𝑀𝑏−𝑀𝑑) 𝑅𝑦𝑎 =𝑃−𝑅𝑦𝑒 • Equilibrio pilar AB: ∑𝑀𝑏=0→𝑀𝑎+𝑀𝑏+𝑅𝑥𝑎∗𝐿 Despejando obtenemos: 𝑅𝑥𝑎=−1 𝐿∗(𝑀𝑎+𝑀𝑏) Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 63 5. Plantear diferentes mecanismos de colapso posibles y las ecuaciones de los mecanismos posibles: A continuación, se muestran los dos mecanismos de fallo con sus respectivas ecuaciones. Nos valdría con el primer mecanismo, pero, como comprobaremos posteriormente, ninguno de los dos es seguro por sí mismo, con lo que procederemos a realizar el cálculo de ambos ▪ Mecanismo de colapso 1: Figura 24 EQ1 pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo 𝐸𝑄1: 𝑞∗𝐿𝑝 2 2=−𝑀𝑎+𝑀𝑐−𝑀𝑑+𝑀𝑒 ▪ Mecanismo de colapso 2: Figura 25 EQ2 pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo 𝑞 2∗[𝑥(𝐿−𝑥)+(𝐿−𝑥)2]=−𝑀𝑎+𝐿 𝑥 𝑀𝑏−𝐿−𝑥 𝑥 𝑀𝑐 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 64 6. Cálculo de la carga de colapso límite para cada mecanismo y determinación de la carga de colapso límite. 𝑞𝑐1 =8𝑀𝑝 𝐿𝑝 2 𝑞𝑐2 =4𝑀𝑝 (𝐿−𝑥)∗𝑥→𝜕𝑞𝑐2 𝜕𝑥 =0→𝑥=𝐿 2 𝑞𝑐2 =16𝑀𝑝 𝐿𝑝 2 7. Comprobación de que el mecanismo de colapso es seguro: Figura 27 Comprobación de seguridad pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo Se comprueba que el mecanismo no es seguro por sí mismo. Figura 26 Cargas de colapso pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 65 Pasamos a comprobar si la combinación de ambas proporcionaría seguridad al mecanismo. Figura 28 Combinación de mecanismos pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo 𝑀𝑐=𝑞𝐿2 2−3𝑀𝑝→𝑞𝑐3 =4𝑀𝑝∗(2𝐿−𝑥) 𝐿(𝐿2−𝑥2) 𝜕𝑞𝑐3 𝜕𝑥 =0→𝑀𝑐=(√3−1)𝑀𝑝<𝑀𝑝 𝑞𝑐3 =2∗(2+√3) 𝐿𝑝 2∗𝑀𝑝 Vemos que la combinación es segura. Este sería por tanto el mecanismo de colapso. Obtendríamos, por tanto, los valores de los momentos y la carga en el instante de colapso: ➢ 𝑀𝑎=−𝑀𝑝=−165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑏=𝑀𝑎=165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑐=(√3−1)𝑀𝑝=121211𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑑=−𝑀𝑝=−165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑒=𝑀𝑝=165577,05 𝑁𝑚 ➢ 𝑞𝑐= 2∗ (2+√3) 𝐿𝑝 2∗𝑀𝑝=49435,4 𝑁/𝑚 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 66 8. Plantear tabla Con los resultados obtenidos podemos desarrollar la tabla, que resultará como se muestra a continuación: Sección a b c d e Mi -Mp 0 (√3−1)𝑀𝑝 -Mp Mp Θi Θa Θb 0 Θd Θe EC1 1 mb(x) 1 0 0 EC2 0 mb(x) 0 1 1 EC3 1 mb(x) 0 0 1 Tabla 8 Planteamiento general pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo sin considerar el efecto reductor del esfuerzo axil Como dijimos anteriormente, la expresión de mb es dependiente de los valores de ma y mc, y su distribución es del tipo lineal y será la siguiente: 𝑚𝑏(𝑥)𝑚𝑐−𝑚𝑎 𝐿𝑝∗𝑥+𝑚𝑎 9. Planteamiento de las ECs Con los datos de la tabla, planteamos las 3 ECs: 𝐿 6𝐸𝐼∗(𝑚𝑖∗(2𝑀𝑖+𝑀𝑖+1)+𝑚𝑖+1∗(2𝑀𝑖+1+𝑀𝑖))+𝑚𝑖∗𝜃1+𝑚𝑖+1∗𝜃𝑖+1=0 ▪ EC1 (ma=1; mb= mb(x); mc=1; md=0; me=0) 𝐿𝑑 6𝐸𝐼∗[2𝑀𝑐+𝑀𝑑]+𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[3𝑀𝑎+3𝑀𝑐+𝐿𝑝 2𝑞 2]+𝜃𝑎+𝜃𝑏+𝜃𝑐=0 ▪ EC2 (ma=0; mb= mb(x); mc=0; md=1; me=1) 𝐿𝑑 6𝐸𝐼∗[𝑀𝑐+𝑀𝑑]+𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[3𝑀𝑑+𝑀𝑒]+𝜃𝑑+𝜃𝑒=0 ▪ EC3 (ma=1; mb= mb(x); mc=0; md=0; me=1) 𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[2𝑀𝑎+𝑀𝑐+𝑀𝑑+2𝑀𝑒+𝐿𝑝 2𝑞 4]+𝜃𝑎+(1− 𝑥 𝐿𝑝)𝜃𝑏+𝜃𝑒=0 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 67 10. Resolución de ecuaciones Resolviendo las ecuaciones anteriores, y teniendo en cuenta la restricción de que el signo de cada giro debe coincidir con el de su momento plástico en el instante de fallo, obtenemos los resultados finales: o 𝜃𝑎=−5,78451∗10−5 𝑟𝑎𝑑 o 𝜃𝑏= 2,0406∗10−5 𝑟𝑎𝑑 o 𝜃𝑐= 0 𝑟𝑎𝑑 (𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟𝑠𝑒) o 𝜃𝑑= 0 𝑟𝑎𝑑 (ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) o 𝜃𝑒=3,98616∗10−5 𝑟𝑎𝑑 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 68 Ejemplo 3.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico. En esta segunda forma de resolver el problema, realizaremos operaciones adicionales, y otras muchas ya indicadas previamente, que sólo serán indicadas. 1. Cálculo del momento plástico, axil plástico, momento plástico reducido y axil para cada una de las secciones. Ecuaciones (25) y (4): 𝐴=((𝑏ℎ−(𝑏−𝑒)∗(2𝑒1+ℎ))𝜎𝑒=5,188∗10−3𝑚2 𝑁𝑝=𝐴∗𝜎𝑒=1426716,5 𝑁 El axil para cada tramo (perfil IPE 300), ya explicado anteriormente, ecuaciones (9), (10), (11) y (12): 𝑁𝑋1 =[𝑏∗𝑒1+(ℎ−2𝑒1)𝑒+𝑏∗(𝑐−(ℎ 2−𝑒1))+𝑏∗(ℎ 2−𝑐)]∗𝜎𝐹 𝑀𝑍1 ={2𝑏∗(ℎ 2−𝑐)∗(1 2∗[ℎ 2−𝑐]+𝑐)}∗𝜎𝐹 𝑁𝑋2 =[𝑒∗(ℎ 2−𝑒1+𝑐)−𝑒∗(ℎ 2−𝑒1−𝑐)]∗𝜎𝐹 𝑀𝑍2 ={𝑒(ℎ 2−𝑒1−𝑐)(1 2[ℎ 2−𝑒1−𝑐]+𝑐)+𝑏𝑒1∗(1 2∗(ℎ−𝑒1))}∗𝜎𝐹 2. GH=3 3. NPR=4 4. EQ=1 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 69 5. Cálculo de esfuerzos axiles de toda la estructura. A continuación, mostramos de nuevo la estructura del problema: Figura 29 Pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo En este apartado, sólo tenemos que realizar equilibrio, tanto en el dintel BD, como en el pilar AB, obteniendo: • Equilibrio del pórtico completo: ∑𝑀𝑎=0→𝑀𝑎+𝑀𝑒+𝐿𝑑∗𝑅𝑦𝑒 =𝑞𝐿𝑝 2 2 ∑𝐹𝑣=0→𝑅𝑦𝑎 =−𝑅𝑦𝑒 ∑𝐹ℎ=0→𝑅𝑥𝑒 =−𝑅𝑥𝑎−𝑞𝐿𝑝 Despejando obtengo: 𝑅𝑦𝑒 =− 1 𝐿𝑑∗(𝑀𝑎+𝑀𝑒−𝑞𝐿𝑝 2 2) 𝑅𝑦𝑎 =−𝑅𝑦𝑒 Ld Lp Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 70 • Equilibrio pilar AC: ∑𝑀𝑎=0→𝑀𝑎+𝑀𝑐+𝑅𝑥𝑎∗𝐿𝑝+𝑞𝐿𝑝 2 2 Despejando obtenemos: 𝑅𝑥𝑎=−1 𝐿𝑝∗(𝑀𝑎+𝑀𝑐+𝑞𝐿𝑝 2 2) 𝑅𝑥𝑒 =−𝑅𝑥𝑎−𝑞𝐿𝑝 Calcularemos también el cortante de la barra AC, ya que de él dependerá el axil del dintel: 𝑉𝑎𝑐 =𝑅𝑥𝑎+𝑞∗𝐿𝑝 Por último, definimos el valor de los tres esfuerzos axiles: 𝑁𝑎𝑐 =−𝑅𝑦𝑎 𝑁𝑐𝑑 =−𝑉𝑎𝑐 𝑁𝑑𝑒 =−𝑅𝑦𝑒 6. EQs: Como ya sabemos, solo hay una en este caso: 𝐸𝑄1→𝑞𝐿𝑝 2 2=−𝑀𝑎+𝑀𝑐−𝑀𝑑+𝑀𝑒 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 71 7. Planteo tabla Sección a b c d e Mi Ma Mb Mc Md Me Ni -Rya -Rya -Vac -Rye -Rye Θi Θa Θb Θc Θd Θe EC1 1 mb(x) 1 0 0 EC2 0 mb(x) 0 1 1 EC3 1 mb(x) 0 0 1 Tabla 9 Planteamiento general pórtico biempotrado con carga distribuida sobre el pilar izquierdo considerando el efecto reductor del esfuerzo axil Sabemos que, en este caso, el valor de mb es lineal, y dependiente de los momentos en a y c y del valor de la distancia, x, recorrida. La expresión resultante será: 𝑚𝑏(𝑥)=𝑚𝑐−𝑚𝑎 3𝐿 𝑥+𝑚𝑎 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 72 8. Planteo Ecs ▪ EC1 (ma=1; mb= mb(x); mc=1; md=0; me=0) 𝐿𝑑 6𝐸𝐼∗[2𝑀𝑐+𝑀𝑑]+𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[3𝑀𝑎+3𝑀𝑐+𝐿𝑝 2𝑞 2]+𝜃𝑎+𝜃𝑏+𝜃𝑐=0 ▪ EC2 (ma=0; mb= mb(x); mc=0; md=1; me=1) 𝐿𝑑 6𝐸𝐼∗[𝑀𝑐+𝑀𝑑]+𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[3𝑀𝑑+𝑀𝑒]+𝜃𝑑+𝜃𝑒=0 ▪ EC3 (ma=1; mb= mb(x); mc=0; md=0; me=1) 𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[2𝑀𝑎+𝑀𝑐+𝑀𝑑+2𝑀𝑒+𝐿𝑝 2𝑞 4]+𝜃𝑎+(1− 𝑥 𝐿𝑝)𝜃𝑏+𝜃𝑒=0 9. Resolución de las ecuaciones Previamente, necesitamos conocer el orden de formación, con lo que planteamos un sistema formado por las EQ y las 3 ECs, asumiendo nulos los valores de los 5 giros. Sabemos que Mb será nulo en este caso Es importante destacar que estos valores no son los definitivos, ya que esta estimación solo nos indica el orden de formación de las propias rótulas. Planteamos y resolvemos por tanto este sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas: 𝐸𝑄1→𝑞𝐿𝑝 2 2=−𝑀𝑎+𝑀𝑐−𝑀𝑑+𝑀𝑒 𝐸𝐶1:𝐿𝑑 6𝐸𝐼∗[2𝑀𝑐+𝑀𝑑]+𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[3𝑀𝑎+3𝑀𝑐+𝐿𝑝 2𝑞 2]+𝜃𝑎+𝜃𝑏+𝜃𝑐=0 𝐸𝐶2: 𝐿𝑑 6𝐸𝐼∗[𝑀𝑐+𝑀𝑑]+𝐿𝑝 6𝐸𝐼∗[3𝑀𝑑+𝑀𝑒]+𝜃𝑑+𝜃𝑒=0 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 79 El resto de los datos de interés serán: • Lp = 5 m. • Ld = 10 m. • H = 7 m. • qn= 2000 N/m (nieve). • q = 5000 N/m (viento). Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 80 Problema de aplicación 1.1: Resolución sin el efecto reductor del axil en el momento plástico. 1. Cálculo del momento plástico para cada sección Para el caso concreto del IPE 300, ecuación (1): 𝑀𝑝=𝑆∗𝜎𝑒=172700 𝑁𝑚 2. Calculo el GH de la estructura en cuestión: Ecuación (19): 𝐺𝐻=𝑅−(3+𝐿)=3 3. Calculo el número posible de rótulas plásticas: En este caso son 5 (existe una posible rótula plástica en los puntos “a”, “b”, “c”, “d” y “e”). 4. Cálculo de EQ: Ecuación (20): 𝐸𝑄=𝑁𝑃𝑅−𝐺𝐻=2 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 81 5. Plantear diferentes mecanismos de colapso posibles y las ecuaciones de los mecanismos posibles: A continuación, se muestran los dos mecanismos de fallo con sus respectivas ecuaciones: ▪ Mecanismo de colapso 1: En este caso, el mecanismo de colapso lo forman las rótulas “a”, “b”, “d” y “e”. 𝐸𝑄1: − 𝑀𝑎+𝑀𝑏−𝑀𝑑+𝑀𝑒=𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2 ▪ Mecanismo de colapso 2: En este caso, el mecanismo de colapso lo forman las rótulas “a”, “b”, “c” y “d”. Antes, definimos tanto la relación entre la carga lateral y la del viento, como el valor de la longitud “bc”. 𝑞𝑛=2,5𝑞𝑣 Ecuación 26 Relación entre carga lateral y carga superior en nave industrial 𝐿𝑏𝑐 =𝐿𝑑 cos𝛽 Ecuación 27 Valor de la longitud BC en nave industrial 𝐸𝑄2: − 𝑀𝑎+2,25𝑀𝑏−2,5𝑀𝑐+1,25𝑀𝑑=𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2−12,5𝐿𝑑∗𝑞𝑣 cos𝛽 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 82 6. Cálculo de la carga de colapso límite para cada mecanismo y determinación de la carga de colapso límite. MC1: 𝑀𝑎=−𝑀𝑝 𝑀𝑏=𝑀𝑝 𝑀𝑑=−𝑀𝑝 𝑀𝑒=𝑀𝑝 𝑞𝐶1 =4𝑀𝑝 𝐿𝑝 2 MC2: 𝑀𝑎=−𝑀𝑝 𝑀𝑏=𝑀𝑝 𝑀𝑐=−𝑀𝑝 𝑀𝑑=𝑀𝑝 𝑞𝐶2 =7𝑀𝑝 𝐿𝑝 2−12,5 𝐿𝑑 cos𝛽 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 83 7. Comprobación de que el mecanismo de colapso es seguro: En este caso, el mecanismo de colapso parecería ser el segundo, donde fallarían “a”, “b”, “c” y “d”. Sin embargo, la existencia de múltiples cargas distribuidas obliga a estudiar las posibles rótulas implícitas, en las zonas internas de las respectivas barras, ya que el momento plástico en ellas podría alcanzarse antes que en alguna de las rótulas explícitas. Estos momentos implícitos resultarían: 𝑀𝑓=𝑀𝑎+(−2𝑀𝑎+2𝑀𝑏+𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2) 4+(−𝑀𝑎+𝑀𝑏)(−2𝑀𝑎+2𝑀𝑏+𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2) 2𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2−(−2𝑀𝑎+2𝑀𝑏+𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2)2 8𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2 𝑀𝑔=𝑀𝑏+(2cos𝛽(𝑀𝑐−𝑀𝑏)+𝑞𝑣∗𝐿𝑑 2) 4cos𝛽+(−𝑀𝑏+𝑀𝑐)(2cos𝛽(𝑀𝑐−𝑀𝑏)+𝑞𝑣∗𝐿𝑑 2) 2𝑞𝑣∗𝐿𝑑 2 −(2cos𝛽(𝑀𝑐−𝑀𝑏)+𝑞𝑣∗𝐿𝑑 2)2 8𝑞𝑣∗𝐿𝑑 2cos𝛽 Mh y Mi serán idénticas a Mg y Mf respectivamente, cambiando sus puntos de origen y destino. Obtendríamos, por tanto, los valores de los momentos y la carga en el instante de colapso: ➢ 𝑀𝑎=−59443,3 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑏=−𝑀𝑝= −172700 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑐=𝑀𝑝=162621 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑑=−𝑀𝑝=−172700 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑒=𝑀𝑝=172700 𝑁𝑚 ➢ 𝑞𝑐=9285,73 𝑁/𝑚 En cuanto a las posibles rótulas plásticas en las zonas intermedias: ➢ 𝑀𝑓 (𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑏) = −59426,3 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑔 (𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙 𝑏𝑐)=𝑀𝑝= 172700𝑁𝑚 ➢ 𝑀ℎ (𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙 𝑐𝑑)=𝑀𝑝= 172700 𝑁𝑚 ➢ 𝑀𝑖 (𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒) =285974 𝑁𝑚 Podemos comprobar cómo, en nuestro caso, la plastificación se produce en 5 puntos, de los cuales 3 son explícitos (b, d y e) y dos son implícitos (g y h). El mecanismo de colapso quedará definido entonces por esos 5 puntos. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 84 8. Plantear tabla Con los resultados obtenidos podemos desarrollar la tabla, que resultará como se muestra a continuación: Sección a b c d e Mi -Ma -Mp Mp -Mp Me Θi Θa Θb Θc Θd Θe EC1 ma mb mc md me EC2 ma mb mc md me EC3 ma mb mc md me Tabla 11 Planteamiento general nave industrial sin considerar el efecto reductor del esfuerzo axil Debemos, además definir las rótulas que se definen de manera implícita, en función del valor de los puntos situados a sus extremos: 𝑚𝑓=𝑚𝑏−𝑚𝑎 𝐿𝑃∗𝑥1+𝑚𝑎 𝑚𝑔=𝑚𝑐−𝑚𝑏 𝐿𝑏𝑐 ∗𝑥2+𝑚𝑏 𝑚ℎ=𝑚𝑑−𝑚𝑐 𝐿𝑏𝑐 ∗𝑥3+𝑚𝑐 𝑚𝑖=𝑚𝑒−𝑚𝑑 𝐿𝑃∗𝑥4+𝑚𝑑 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 85 9. Resolución de ecuaciones Resolviendo las ecuaciones anteriores, y teniendo en cuenta la restricción de que el signo de cada giro debe coincidir con el de su momento plástico en el instante de fallo, obtenemos los resultados finales: o 𝜃𝑎=0 𝑟𝑎𝑑 (𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟𝑠𝑒) o 𝜃𝑏=−15,3646∗10−3 𝑟𝑎𝑑 o 𝜃𝑐=0 𝑟𝑎𝑑 (ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑟ó𝑡𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) o 𝜃𝑑=−78,7063∗10−3 𝑟𝑎𝑑 o 𝜃𝑒=30,2842∗10−3 𝑟𝑎𝑑 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 86 Problema de aplicación 1.2: Resolución considerando el efecto reductor del axil en el momento plástico. En esta segunda forma de resolver el problema, realizaremos operaciones adicionales, y otras muchas ya indicadas previamente, que sólo serán indicadas. 1. Cálculo del momento plástico, axil plástico, momento plástico reducido y axil para cada una de las secciones. Ecuaciones (25) y (4): 𝐴=((𝑏ℎ−(𝑏−𝑒)∗(2𝑒1+ℎ))𝜎𝑒=5,188∗10−3𝑚2 𝑁𝑝=𝐴∗𝜎𝑒=1426716,5 𝑁 El axil para cada tramo (perfil IPE 300), ya explicado anteriormente, ecuaciones (9), (10), (11) y (12): 𝑁𝑋1 =[𝑏∗𝑒1+(ℎ−2𝑒1)𝑒+𝑏∗(𝑐−(ℎ 2−𝑒1))+𝑏∗(ℎ 2−𝑐)]∗𝜎𝐹 𝑀𝑍1 ={2𝑏∗(ℎ 2−𝑐)∗(1 2∗[ℎ 2−𝑐]+𝑐)}∗𝜎𝐹 𝑁𝑋2 =[𝑒∗(ℎ 2−𝑒1+𝑐)−𝑒∗(ℎ 2−𝑒1−𝑐)]∗𝜎𝐹 𝑀𝑍2 ={𝑒(ℎ 2−𝑒1−𝑐)(1 2[ℎ 2−𝑒1−𝑐]+𝑐)+𝑏𝑒1∗(1 2∗(ℎ−𝑒1))}∗𝜎𝐹 2. GH=3 3. NPR=5 4. EQ=2 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 87 5. Cálculo de esfuerzos axiles de toda la estructura. • Equilibrio estructura: ∑𝑀𝑎=0→𝑀𝑎+𝑀𝑒+2𝐿𝑑∗𝑅𝑦𝑒−2𝑞𝑣𝐿𝑃 2 2−𝑞𝑣(2𝐿𝑑)2 2 ∑𝐹𝑣=0→𝑅𝑦𝑎 =2𝑞𝑣𝐿𝐷−𝑅𝑦𝑒 Despejando obtengo: 𝑅𝑦𝑒 =− 1 2𝐿𝑑∗(𝑀𝑎+𝑀𝑒−2𝑞𝑣𝐿𝑃 2 2−𝑞𝑣(2𝐿𝑑)2 2) 𝑅𝑦𝑎 =2𝑞𝑣𝐿𝐷−𝑅𝑦𝑒 • Equilibrio pilar AB: 𝑅𝑥𝑎 =−1 𝐿𝑝∗(𝑀𝑎+𝑀𝑏+𝑞𝐿𝑝 2 2) • Equilibrio pilar DE: 𝑅𝑥𝑒 =−1 𝐿𝑝∗(𝑀𝑑+𝑀𝑒+𝑞𝐿𝑝 2 2) • Cortantes: 𝑉𝑏=𝑅𝑥𝑎+𝑞𝐿𝑝 𝑉𝑑=𝑅𝑥𝑒+𝑞𝐿𝑝 • Axiles: 𝑁𝑎𝑏 =−𝑅𝑦𝑎 𝑁𝑏𝑐 =−𝑅𝑦𝑎sin𝛽−𝑉𝑏cos𝛽+𝑞𝑣sin𝛽∗𝑥 𝑁𝑐𝑑 =−𝑅𝑦𝑒sin𝛽−𝑉𝑑cos𝛽+𝑞𝑣sin𝛽∗(𝐿𝑏𝑐−𝑥) 𝑁𝑑𝑒 =−𝑅𝑦𝑒 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 88 6. EQs: 𝐸𝑄1: − 𝑀𝑎+𝑀𝑏−𝑀𝑑+𝑀𝑒=𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2 𝐸𝑄2: − 𝑀𝑎+2,25𝑀𝑏−2,5𝑀𝑐+1,25𝑀𝑑=𝑞𝑣∗𝐿𝑝 2−12,5𝐿𝑑∗𝑞𝑣 cos𝛽 7. Planteo tabla Sección a b c d e Mi Ma Mb Mc Md Me Ni Na Nb Nc Nd Ne Θi Θa Θb Θc Θd Θe EC1 ma mb mc md me EC2 ma mb mc md me EC3 ma mb mc md me Tabla 12 Planteamiento general nave industrial considerando el efecto reductor del esfuerzo axil Debemos, además definir las rótulas que se definen de manera implícita, en función del valor de los puntos situados a sus extremos: 𝑚𝑓=𝑚𝑏−𝑚𝑎 𝐿𝑝∗𝑥1+𝑚𝑎 𝑚𝑔=𝑚𝑐−𝑚𝑏 𝐿𝑏𝑐 ∗𝑥2+𝑚𝑏 𝑚ℎ=𝑚𝑑−𝑚𝑐 𝐿𝑏𝑐 ∗𝑥3+𝑚𝑐 𝑚𝑖=𝑚𝑒−𝑚𝑑 𝐿𝑝∗𝑥4+𝑚𝑑 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 95 CAPÍTULO 6: Estudio económico del proyecto Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 96 En este apartado, nos centraremos en realizar un presupuesto estimado del Trabajo de Fin de Grado realizado. En nuestro caso, el proyecto está basado en la experimentación individual, el diseño del proyecto y el trabajo individual con el que realizar el proyecto. A la hora de realizar los cálculos, tenemos en cuenta el trabajo total en horas realizado en cada uno de los tres apartados anteriormente descritos, desglosando el valor económico estimado en cada uno de ellos. Para estimar los costes, se ha buscado la máxima objetividad posible ya que, en el día de la elaboración de este documento no poseo la titulación de ingeniero, he decidido tomar como salario el SMI (Salario Mínimo Interprofesional) que, a día de elaboración de este era de 7,28 €/hora. A continuación, pasamos a mostrar el presupuesto del proyecto realizado. Número de horas Precio por hora (€) Total (€) Investigación 125 7,28 910 Diseño de proyecto 45 7,28 327,6 Trabajo personal 100 7,28 728 Presupuesto final 1945,6 Concluimos, por tanto, que el presupuesto final del proyecto elaborado será de 1.945,60 € Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 97 CAPÍTULO 7: Bibliografía Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 98 Bibliografía [1] Barcelonatech, U. P. (Febrero de 2021). Proyecto de una nueva pista de ensayos de ruido exterior en el Centro Técnico de SEAT, S.A. Obtenido de https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/17004/Anexo%2 0I%20- %20COSTE%20DEL%20PROYECTO.pdf?sequence=10&isAllowed=y#:~:text =Se%20considera%20que%20el%20un,ingeniero%20junior%2030%20%E 2%82%AC%2Fhora. [2] Basset, L. (Febrero de 2021). Clasificación estática de las estructuras. Obtenido de https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/16447/Clasificaci%C3%B 3n%20est%C3%A1tica%20de%20las%20estructuras.pdf?sequence=1#:~:t ext=El%20grado%20de%20indeterminaci%C3%B3n%20est%C3%A1tica%2 0(GIE)%20o%20grado%20de%20hiperestaticidad,de%20inc%C3%B3gnitas %2 [3] Ingemecanica. (Marzo de 2021). Prontuario de perfiles metálicos. Obtenido de https://ingemecanica.com/tutoriales/prontuariodeperfiles.html#inicio [4] Ingenieros, T. U. (Abril de 2021). Resistencia de las secciones Flexión y esfuerzo axial combinados. [5] Nordeste, U. N. (Marzo de 2021). Estabilidad II. Obtenido de Capítulo VII. Tensiones de corte en la flexión: http://ing.unne.edu.ar/pub/Capitulo07- A05.pdf [6] Rus Carlborg, G. (Marzo de 2021). Cálculo plástico de Estructuras de Barras. Tercera edición. Obtenido de https://www.ugr.es/~grus/docencia/ae/download/libro_plasticidad.pdf [7] Universidad de Valladolid, & Área de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. (Febrero de 2021). Apuntes para una breve introducción a la Resistencia de Materiales y temas relacionados. [8] Universidad de Valladolid, & Estructuras y Construcciones Idustriales. (Mayo de 2021). Análisis límite de estructuras de barras. Cálculo plástico. [9] Vortize arquitectos. (Marzo de 2021). Diagrama Tensión-Deformación. Obtenido de http://www.vortize.com/blog/diagrama-tension-deformacion/ Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 99 [10] Wikipedia. (Abril de 2021). Ley de elasticidad de Hooke. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 100 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 101 CAPÍTULO 8: Anexos Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 102 Anexo 1. Códigos generados en Wolfram Mathematica. Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 103 Anexo 1.1. Ejemplo 1 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 104 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 111 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 112 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 113 Anexo 1.4. Problema de aplicación Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 114 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 115 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 116 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 117 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 118 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 119 Daniel Bello de Val Universidad de Valladolid 120