Física de película: Invisibilidad

Facultad de Ciencias TRABAJO FIN DE GRADO FÍSICA DE PELÍCULA: INVISIBILIDAD Departamento de Electricidad y Electrónica Autor: JOSÉ MANUEL ÁLVAREZ IZQUIERDO Dirigido por: ANA CRISTINA LÓPEZ CABECEIRA ISMAEL BARBA GARCÍA 13 DE DICIEMBRE DE 2019 Resumen En este trabajo se aborda el fenómeno de la invisibilidad enfocado en primer lugar desde un punto de vista teórico, repasando conceptos de propagación de ondas electromagnéticas en medios materiales, para a continuación hacer un análisis detallado de las formas en que se consigue. De este modo, podemos distinguir en el documento dos partes diferenciadas. En la primera de ellas, se realiza un estudio teórico necesario para entender la respuesta de los medios materiales a campos electromagnéticos para comprender fenómenos como polarización o magnetización (3.1, 3.2, 3.3), relacionados directamente con las susceptibilidades y propiedades electromagnéticas de los medios dieléctricos. Se verá por qué estas propiedades son cantidades complejas y su relación directa con este trabajo. Posteriormente, se presentan los metamateriales y, para entender su respuesta a las ondas electromagnéticas, se introducen los modelos de Lorentz y Drude (3.4, 3.5, 3.6). En la segunda parte, se clasifican los diversos métodos para conseguir la invisibilidad, diferenciando dos conceptos básicos: que no se produzca reflexión de ondas electromagnéticas (4.1) y que estas atraviesen o doblen los objetos para ‘ver lo que hay detrás’ (4.2). En esta parte se abordan las formas de ocultarse que se han visto en el cine, y cómo en muchos de los casos han imitado a la propia naturaleza. Índice 1. Introducción ........................................................................................................................................................... 2 2. Ondas electromagnéticas ....................................................................................................................................... 3 2.1. La naturaleza electromagnética de la luz ................................................................................................................ 3 2.2. Ecuación de ondas................................................................................................................................................... 3 2.3. Ondas monocromáticas planas ............................................................................................................................... 4 2.4. Espectro electromagnético ...................................................................................................................................... 6 3. Medios materiales .................................................................................................................................................. 7 3.1. Polarización y magnetización ................................................................................................................................. 7 3.2. Ecuaciones de Maxwell en medios materiales ........................................................................................................ 9 3.3. Respuesta lineal ..................................................................................................................................................... 10 3.4. Modelos de la materia ........................................................................................................................................... 12 3.4.1. Modelo de Lorentz ......................................................................................................................................... 13 3.4.2. Modelo de Drude ........................................................................................................................................... 14 3.5. Clasificación de los medios dieléctricos isótropos ................................................................................................ 15 3.6. Metamateriales ...................................................................................................................................................... 15 3.6.1. Introducción a los metamateriales ................................................................................................................ 15 3.6.2. Estructura de los metamateriales .................................................................................................................. 16 4. Invisibilidad y casos en el cine ...............................................................................................................................18 4.1. Lo que no vemos .................................................................................................................................................... 19 4.2. Lo que vemos detrás .............................................................................................................................................. 25 4.2.1. Camuflaje ....................................................................................................................................................... 25 Camuflaje Animal: Cripsis .................................................................................................................................... 26 Mimesis ............................................................................................................................................................... 32 Movimiento deslumbrante .................................................................................................................................. 32 Camuflaje óptico .................................................................................................................................................. 33 4.2.2. Transparencia ................................................................................................................................................. 34 Medusas .............................................................................................................................................................. 35 El hombre invisible .............................................................................................................................................. 35 Trucos de magia ................................................................................................................................................... 36 4.2.3. Desvío de la luz alrededor del objeto............................................................................................................. 37 Espejos y Lentes ................................................................................................................................................... 37 Curvatura del espacio y campos de fuerza .......................................................................................................... 39 Doblando la luz .................................................................................................................................................... 40 Transformación del espacio ................................................................................................................................. 42 Medios de transformación .................................................................................................................................. 44 Capa de invisibilidad: metamateriales ................................................................................................................. 45 Conclusiones..............................................................................................................................................................50 Anexos.......................................................................................................................................................................51 Índice de Figuras ........................................................................................................................................................61 Índice de siglas ..........................................................................................................................................................64 Bibliografía ................................................................................................................................................................65 Sea un buen trabajo o no, este TFG para mí representa mucho, representa una carrera muy difícil que me ha dado grandes momentos y momentos muy malos. He sufrido mucho con ella y he tenido ganas de abandonar muchas veces, pero he llegado aquí, y salga como salga esto, a la primera o a la segunda o a la tercera conseguiré lo que una vez me propuse alcanzar: ser físico. Al final la vida va de eso, de caerse y levantarse. Esta es una de las lecciones más importantes que me ha enseñado esta carrera, me ha enseñado a pensar y a no rendirme ante ninguna dificultad. Si algo no sé no es porque sea incapaz o no valga para ello, es porque aún no he dado mi máximo esfuerzo. También me ha enseñado mucha física, pero acabamos estudiando para aprobar y no con la ilusión de aprender con la que entramos el primer año. Ahora que he terminado es cuando me apetece disfrutar de todas las cosas que nos han enseñado, con tiempo y sin exámenes. No tenía pensado poner agradecimientos en mi trabajo, pero creo que no podría haber seguido delante de no ser por las personas que tengo a mi lado. Es por eso que este trabajo quiero dedicárselo en primer lugar a mis padres y mi hermano, que me han dado todo cuanto necesitaba a lo largo de toda mi formación, con amor, paciencia y fe, aun sin ponérselo fácil. Quiero dedicárselo a mis tutores, que han sido muy majos siempre y sin su ayuda este trabajo no habría salido adelante, es agradable saber que contamos con profesores cercanos que saben cómo nos sentimos y nos dan a veces ese empujón que necesitamos. Por supuesto se lo dedico a mis compañeros y amigos de la carrera, que me han salvado de muchos líos y me han brindado momentos inolvidables, porque estar en Física no es sólo un camino amargo. No voy a olvidarme de mis mejores amigos Pablo, Wilmer, y Lex, que han estado ahí en los momentos más difíciles, así como en los buenos, recordándome que no estoy solo. Y en este grupo quiero incluir a mi gran amigo Moi, que conocí este año en un momento muy malo de mi vida y supo estar cada día a mi lado dándome una fuerza que ni él se imagina, como si fuese el más cercano de mis amigos. Por no terminar sin acordarme de mí y de lo que he sido y soy, quiero agradecerme haber tenido el valor y la cabezonería para seguir día a día hasta terminar, estoy muy orgulloso de mí mismo. Estos últimos años no me he querido mucho y el amor a uno mismo es el más importante y el que nunca debemos dejar de lado nadie. Quiero terminar con dos frases de unas películas (para así introducir bien este trabajo) que me han dado mucha fuerza en este camino: Why do we fall Bruce? So that we can learn to pick ourselves up. - Thomas Wayne The night is Darkest just before the dawn. And I promise you, the dawn is coming. - Harvey Dent. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 2 1. Introducción La ciencia y el cine han ido de la mano durante más de cien años desde el nacimiento del género ‘cienciaficción’. Utilizando representaciones de fenómenos reales o imaginarios a modo divulgativo, parece que pretendían desde un primer momento enseñar ciencia, pero en la gran mayoría de casos violaban sus leyes básicas. A medida que pasaban los años, estas representaciones iban mejorando evidentemente de manera gradual, pero seguía sin ser grande el empeño en explicar bien los fenómenos. En la actualidad ya empiezan a cuidar más este tipo de cine, contratando físicos que dan una visión crítica de cuanto sucede en las películas (Kip Thorne [1], Sean Carrol, James Hartle, etc.). La ciencia que encontramos en este género posee un rango temático muy amplio, como fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. En relación con la física, que es uno de los campos de la ciencia más recurrentes, podemos encontrar entre otros, casos de física relativista y cosmología, termodinámica y mecánica de fluidos, o electromagnetismo y óptica. Al fin y al cabo, se necesitan conocimientos de física para mostrar de forma crítica y realista (en la medida de lo posible y si ese es el objetivo), cualquier suceso o fenómeno que se quiera representar en las películas. En este trabajo se ha elegido un tema que vemos de manera habitual en la gran pantalla: la invisibilidad. Esta atractiva cualidad con la que nos embaucó Wells [2], pero que ya había aparecido mucho antes en la Ilíada [3], la leyenda del anillo de Giges (380 a. C) [4], o el Cantar de los nibelungos (s. XIII) [5], sigue apareciendo en películas de superhéroes, alienígenas y magos. En muchos casos será efectivamente cosa de magia, pero en otros tantos, se puede explicar mediante la óptica y el electromagnetismo. Se empezará haciendo una breve introducción teórica sobre las ondas electromagnéticas y su propagación. Se hablará de los medios materiales por los que pueden propagarse y sus propiedades más destacables. Veremos que la respuesta electromagnética de un material dieléctrico, visto desde una perspectiva macroscópica, se puede describir básicamente mediante dos parámetros: la permitividad eléctrica (ε) y la permeabilidad magnética (μ). Pero esto no es más que una aproximación limitada por la frecuencia: cuando la longitud de onda es comparable al tamaño de las partículas que componen el medio material, el estudio de dicha respuesta no es tan sencillo (como se verá en el apartado dedicado a los metamateriales). Tras hacer esta introducción teórica, se hará hincapié en la ciencia de estos metamateriales, cuya utilidad más sonada en el entorno científico es la posibilidad de ocultar objetos haciendo que sean indetectables en cierto rango de frecuencias. Para ello se explicará cómo empezaron a estudiarse y crearse, y sus propiedades más interesantes. Con todo el fundamento previo explicado, se hablará de las diversas maneras en que se ha manifestado el fenómeno de la invisibilidad en la industria del cine, incluso en la naturaleza, y su posible explicación física. De este modo, se verán desde técnicas de camuflaje basadas en la naturaleza, espejismos, e ilusiones ópticas creadas por magos, hasta capas de invisibilidad o cuerpos alienígenas con tecnologías cercanas a los metamateriales y las transformaciones ópticas. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 9 𝛁×𝑯=𝑱𝑓≡∮𝑯·𝑑𝒍=𝐼𝑓𝑒𝑛𝑐 ( 29) Los campos D y H se denominan campos auxiliares. Tanto las fuentes libres como las ligadas deben cumplir la ecuación de continuidad 8 : 𝜕𝜌 𝜕𝑡=−𝜵·𝑱 ( 30) 3.2. Ecuaciones de Maxwell en medios materiales Las ecuaciones de Maxwell en la forma ( 1) son completas y correctas como están. Sin embargo, cuando trabajas con materiales sujetos a polarizaciones eléctricas y magnéticas hay una manera más conveniente de escribirlas. Hemos visto para el caso estático que una polarización P produce una densidad de carga: 𝜌𝑏= −𝛁·𝑷 ( 31) De igual forma, una polarización magnética (o magnetización) M produce una corriente ligada: 𝑱𝑏=𝛁×𝑴 ( 32) Hay solo una nueva característica a considerar en el caso no estático: cualquier cambio en la polarización eléctrica implica un flujo de carga (ligada) que debe ser incluido en la corriente total: 𝑱𝑝=𝜕𝑷 𝜕𝑡 ( 33) Esta corriente de polarización no tiene nada que ver con la corriente ligada 𝑱𝑏. Este último está asociado con la magnetización del material e implica el movimiento de spin y orbital de los electrones. La corriente de polarización en cambio, es el resultado del movimiento lineal de carga cuando cambia la polarización eléctrica. Si P apunta hacia la derecha y está aumentando, entonces cada carga positiva se mueve un poco a la derecha y cada carga negativa lo hace hacia la izquierda; el efecto acumulado es la corriente de polarización 𝑱𝑝 [6]. Con esto, debemos comprobar que la ecuación ( 33) es coherente con la ecuación de continuidad ( 30): 𝛁·𝑱𝑝=𝛁·𝜕𝑷 𝜕𝑡=𝜕 𝜕𝑡(𝛁·𝑷)=−𝜕𝜌𝑏 𝜕𝑡 ( 34) La ecuación de continuidad se cumple y de hecho, 𝑱𝑝 es esencial a tener en cuenta para la conservación de la carga ligada. En vista de todo esto, la densidad de carga total puede separarse en dos partes como vimos en el apartado anterior: 𝜌= 𝜌𝑏+𝜌𝑓=𝜌𝑓−𝛁·𝑷 ( 35) y la densidad de corriente en tres partes: 𝑱=𝑱𝑓+𝑱𝑏+𝑱𝑝=𝑱𝑓+𝛁×𝑴+𝜕𝑷 𝜕𝑡 ( 36) 8 La ecuación de continuidad expresa la conservación de la carga eléctrica local de un modo matemáticamente equivalente a la conservación de la masa en un fluido [6]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 10 La ley de Gauss puede ser escrita ahora como 𝛁·𝑬=1 𝜀0(𝜌𝑓−𝛁·𝑷)≡𝛁·𝐃=𝜌𝑓 ( 37) donde D viene dado por la ecuación ( 22) como en el caso estático. Mientras tanto, la ley de Ampère se puede escribir ahora como: 𝛁×𝑩=𝜇0(𝑱𝑓+𝛁×𝑴+𝜕𝑷 𝜕𝑡)+𝜇0𝜀0𝜕𝑬 𝜕𝑡≡𝛁×𝑯=𝑱𝑓+𝜕𝑫 𝜕𝑡 ( 38) donde H viene dado por la ecuación ( 28). La ley de Faraday y 𝛁·𝑩=0 no se ven afectados por esta separación de cargas y corrientes en partes libres y ligadas ya que no involucran ρ o J. Por tanto, en términos de densidad de cargas y corrientes libres podemos reescribir las Ecuaciones de Maxwell ( 1) como: 𝜵·𝑫=𝜌𝑓 𝛁·𝑩=0 𝛁×𝑬=−𝜕𝑩 𝜕𝑡 𝛁×𝑯=𝑱𝑓+𝜕𝑫 𝜕𝑡 ( 39) Que son conocidas como Ecuaciones de Maxwell generales. El campo electromagnético depende de la respuesta del medio, caracterizada por la polarización y la magnetización. 3.3. Respuesta lineal La respuesta de un medio material a un campo electromagnético externo puede ser descrita como una polarización y una magnetización del medio [8]. Si consideramos los campos externos aplicados al medio como impulsos a los que les corresponde dicha respuesta, y suponemos que existe una relación lineal entre impulso y respuesta, su expresión podría tomar la siguiente forma: 𝑷(𝒓,𝑡)=𝜀0∫ 𝜒𝑒 ∞ −∞ (𝒓,𝑡−𝑡′)𝑬(𝒓,𝑡′)𝑑𝑡′ ( 40) 𝑴(𝒓,𝑡)=1 𝜇0∫ 𝜒𝑚 ∞ −∞ (𝒓,𝑡−𝑡′)𝑯(𝒓,𝑡′)𝑑𝑡′ ( 41) Las funciones χe y χm corresponden a las susceptibilidades eléctrica y magnética, respectivamente, y caracterizan el modo en que cada material responde a los campos externos. Como dependen de r, distintos puntos del medio material pueden responder de maneras diferentes. Las integrales de ( 40) y ( 41) nos indican que la respuesta del medio es una superposición de impulsos tomados en cada tiempo 𝑡′ por las funciones 𝜒𝑒 y 𝜒𝑚. Esta operación es conocida como convolución. La dependencia 𝑡−𝑡′ nos asegura que el sistema responderá a un impulso en 𝑡′=𝑡0 del mismo modo que lo haría para un impulso en 𝑡′=𝑡0+𝜏, solo que un tiempo τ posterior. Adicionalmente a esto, se espera que la susceptibilidad cumpla con que 𝜒(𝑡−𝑡′)→0 cuando 𝑡−𝑡′→∞, ya que el efecto de un impulso debe disminuir conforme pasa el tiempo. Físicamente, esta no-localidad en el tiempo nos indica que la respuesta no es instantánea (inercia) y que tiende a un estado estacionario tras un período transitorio. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 11 Es importante notar que hemos integrado hasta infinito en ( 40) y ( 41), a pesar de que para un tiempo t, la respuesta no puede depender de impulsos futuros. Esto lo corregimos de la manera siguiente: 𝜒(𝒓,𝑡−𝑡′)=0 si 𝑡′>𝑡 ( 42) Este requerimiento es conocido como causalidad, y nos asegurará que sólo impulsos anteriores a t afecten a la respuesta en el mismo tiempo t. Integrar hasta infinito nos dará la posibilidad de simplificar considerablemente las ecuaciones ( 40) y ( 41), al permitirnos escribirla como un producto en el espacio de frecuencias. Ahora veamos qué pasa si expresamos esta relación de términos de polarización y magnetización en el espacio de frecuencias. La polarización como función de la frecuencia es la transformada de Fourier de P(r, t): 𝑷(𝒓,𝜔)=∫ 𝑷(𝒓,𝑡) ∞ −∞ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 ( 43) Y su transformada inversa devuelve la función polarización en el dominio del tiempo: 𝑷(𝒓,𝑡)=1 2𝜋∫ 𝑷(𝒓,𝜔) ∞ −∞ 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔 ( 44) Pero si sustituimos el modelo lineal ( 40) en ( 43): 𝑷(𝒓,𝜔)=𝜀0∫ [∫ 𝜒𝑒(𝒓,𝑡−𝑡′)𝑬(𝒓,𝑡′)𝑑𝑡′ ∞ −∞ ]𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡= ∞ −∞ =𝜀0∫ [∫ 𝜒𝑒(𝒓,𝑡−𝑡′)𝑒𝑖𝜔(𝑡−𝑡′)𝑑(𝑡−𝑡′) ∞ −∞ ]𝑬(𝒓,𝑡′)𝑒𝑖𝜔𝑡′𝑑𝑡′= ∞ −∞ =𝜀0𝜒𝑒(𝒓,𝜔)𝑬(𝒓,𝜔) ( 45) De donde, la susceptibilidad eléctrica y el campo eléctrico en función de la frecuencia, vienen dados por las transformadas de Fourier: 𝜒𝑒(𝒓,𝜔)=∫ 𝜒𝑒(𝒓,𝑡−𝑡′)𝑒𝑖𝜔(𝑡−𝑡′)𝑑(𝑡−𝑡′) ∞ −∞ ( 46) 𝑬(𝒓,𝜔)=∫ 𝑬(𝒓,𝑡′)𝑒𝑖𝜔𝑡′𝑑𝑡′ ∞ −∞ ( 47) Procediendo de la misma forma para la transformada de Fourier de la magnetización 𝑴(𝒓,𝑡), tendríamos una expresión análoga para el campo 𝑯 (𝒓,𝜔) y la respuesta magnética en el espacio de frecuencias. Por lo tanto, como función de la frecuencia, la relación entre los campos y la respuesta del medio 9 es una proporcionalidad dada por: 𝑷(𝒓,𝜔)=𝜀0𝜒𝑒𝑬(𝒓,𝜔) ( 48) 𝑴 (𝒓,𝜔)=𝜒𝑚𝑯 (𝒓,𝜔) ( 49) Ahora bien, como la Transformada de Fourier es un operador lineal, podemos obtener los campos auxiliares ( 22) y ( 28) en función de la frecuencia: 9 Las susceptibilidades 𝜒𝑒 y 𝜒𝑚 son complejas. Si sólo tienen parte real, 𝑷 y 𝑴  estarán sincronizados con 𝑬 y 𝑯  (respuesta instantánea). Si por el contrario, también tienen parte imaginaria, 𝑷 y 𝑴  estarán retrasados respecto a 𝑬 y 𝑯 . Esto implica también una absorción de energía por parte del material (ver Anexo I). José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 12 𝑫 (𝒓,𝜔)=𝜀0𝑬+𝑷=𝜀0(1+𝜒𝑒)𝑬=𝜀𝑬 ( 50) 𝑯 (𝒓,𝜔)=1 µ0𝑩−𝑴 =𝑩 µ0−𝜒𝑚𝑯  ( 51) o visto de otro modo, 𝑯 (1+𝜒𝑚)=𝑩 µ0 ⇒ 𝑯 =𝑩 µ0(1+𝜒𝑚)=𝑩µ ( 52) Donde estaríamos introduciendo las llamadas propiedades de un medio material: permitividad eléctrica del medio (ε) y permeabilidad magnética del medio (µ). 𝜀(𝒓,𝜔)=𝜀0(1+𝜒𝑒(𝒓,𝜔)) ( 53) µ(𝒓,𝜔)=µ0(1+𝜒𝑚(𝒓,𝜔)) ( 54) Como hemos visto, los campos como función de la frecuencia son cantidades complejas. Por lo tanto, la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética pueden describirse como una suma de partes real e imaginaria. Las partes imaginarias de estas propiedades (ε’’ y µ’’) son denominadas pérdidas eléctricas y magnéticas, respectivamente, y representan la absorción o disipación de energía (Anexo I). A partir de esto, si el material está en equilibrio termodinámico en ausencia del campo externo, la expresión ( 78) del Anexo I implica que 𝜀’’,µ’’>0 ya que, por la ley de crecimiento de la entropía, la disipación de energía va acompañada de liberación de calor, por lo tanto, este calor cedido al medio ha de ser siempre positivo [9]. Como consecuencia de la expresión ( 73) del Anexo I, tendremos un material perfectamente transparente si y sólo si: 𝜀(𝜔)’’=0 ,µ(𝜔)’’=0 ( 55) es decir, si las propiedades materiales son cantidades reales. Pero un material con estas características es necesariamente un material idealizado, pues los medios materiales verdaderos siempre presentan pérdidas de energía, ya que cualquier proceso no estacionario en la materia real es siempre, en mayor o menor grado, termodinámicamente irreversible [9]. Por ello las pérdidas eléctricas y magnéticas en un campo electromagnético variable existen siempre, aunque pueden ser muy pequeñas. En otras palabras, la condición ( 55) no se cumple rigurosamente para ningún valor de la frecuencia diferente de cero, salvo que permitividad (𝜀) y permeabilidad (µ) sean constantes (independientes de la frecuencia). Pero lo que sí puede ocurrir es que las pérdidas energéticas sean muy pequeñas (comparadas con 𝜀′ y 𝜇′) y que la condición sea aproximadamente cierta. Esto se puede suponer en los intervalos de frecuencia conocidos como regiones de transparencia [9]. 3.4. Modelos de la materia Físicamente la dependencia con la frecuencia en las expresiones ( 53) y ( 54), es debido a que, a escala microscópica, la redistribución de cargas tiene cierta inercia que hace que su respuesta a las fuerzas electromagnéticas dependa de la frecuencia. Además, una combinación de efectos de inercia y atenuación puede provocar una diferencia de la fase entre la fuerza aplicada y la respuesta del sistema. Esta dependencia es la razón de que algunos materiales sean opacos a frecuencias del visible pero no a otras frecuencias, y viceversa 10 . 10 Esto dificulta la invisibilidad a cualquier frecuencia, visible o no. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 13 Los materiales cuyas propiedades electromagnéticas dependen de la frecuencia reciben el nombre de materiales dispersivos. En este apartado veremos que existen varios modelos que dan cuenta de esta dispersión [10]. La respuesta del medio al campo magnético suele ser muy débil y su permeabilidad se aproxima a la del vacío (𝜇≈𝜇0). Por ello, sólo vamos a describir el efecto del campo eléctrico sobre el movimiento del electrón en presencia del núcleo, y de ahí la influencia del campo sobre los dipolos moleculares. Con esto, se establece un modelo para la susceptibilidad y la permitividad eléctrica. Pero también existen materiales en los que la respuesta al campo magnético es dominante. En estos, se procede de manera análoga, pero teniendo en cuenta que los dipolos magnéticos aparecen a partir de ciclos de corriente (corrientes de Ampere). 3.4.1. Modelo de Lorentz Este modelo se basa en que los electrones que forman los átomos están sometidos a una fuerza restauradora similar a la de un oscilador armónico. El movimiento, por tanto, puede considerarse armónico a primer orden de aproximación. Consideraremos el dieléctrico como un conjunto de osciladores de una frecuencia propia ω0, y para simplificar, se considerará que las cargas pueden moverse en la misma dirección que el campo eléctrico. Así pues, la ecuación que determina la evolución del vector polarización derivada a partir de la suposición de un movimiento oscilatorio armónico forzado y amortiguado para el electrón, es la ecuación de segundo orden [10], 𝑑2 𝑑𝑡2𝑃𝑖+Γ𝐿𝑑 𝑑𝑡𝑃𝑖+𝜔02𝑃𝑖=𝜀0𝜒𝐿𝐸𝑖 ( 56) donde el primer término da cuenta de la aceleración de las cargas, el segundo de la amortiguación o disipación (donde Γ𝐿 es el coeficiente de amortiguamiento), y el tercero de la fuerza restauradora, cuya frecuencia característica es de 𝑓0=𝜔02𝜋 ⁄. El término que fuerza el oscilador tiene un coeficiente 𝜒𝐿. La respuesta en el dominio de la frecuencia está dada por 𝑃𝑖(𝜔)=𝜒𝐿 −𝜔2+𝑗Γ𝐿𝜔+𝜔02𝜀0𝐸𝑖(𝜔) ( 57) Con pequeñas pérdidas, Γ𝐿𝜔0 ⁄≪1, se obtiene una respuesta claramente resonante para la frecuencia natural 𝑓0. Para materiales lineales, homogéneos e isótropos, la susceptibilidad eléctrica relaciona la polarización y el campo eléctrico mediante una relación de proporcionalidad ( 48), lo que nos permite escribir 𝜒𝑒,𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧(𝜔)=𝑃𝑖(𝜔) 𝜀0𝐸𝑖(𝜔)=𝜒𝐿 −𝜔2+𝑗Γ𝐿𝜔+𝜔02 ( 58) Como se ha mencionado anteriormente ( 53), la permitividad se obtiene inmediatamente como 𝜀𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧(𝜔)= 𝜀0(1+𝜒𝑒,𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧(𝜔)). Representando ε en función de la frecuencia, podemos apreciar cómo la permitividad se mantiene en valores positivos cuando la amortiguación es alta (izquierda) y cómo aparecen valores negativos cuando toma valores más bajos [11]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 14 3.4.2. Modelo de Drude Un caso particular del modelo de Lorentz ( 56), cuando la frecuencia característica del material es mucho menor que la frecuencia de la onda que se propaga en este (𝜔0≪𝜔), es el modelo de Drude. Este describe los casos en que la fuerza restauradora es despreciable [10]: 𝑑2 𝑑𝑡2𝑃𝑖+Γ𝐷𝑑 𝑑𝑡𝑃𝑖=𝜀0𝜒𝐷𝐸𝑖 ( 59) y resolviendo, la susceptibilidad quedaría 𝜒𝑒,𝐷𝑟𝑢𝑑𝑒(𝜔)=𝜒𝐷 −𝜔2+𝑗Γ𝐷𝜔 ( 60) donde el coeficiente de acoplamiento se representa normalmente mediante la frecuencia del plasma 11 : 𝜒𝐷= 𝜔𝑝2. En la Figura 6, podemos ver cómo en la gráfica de la izquierda la absorción es pequeña y se pueden dar valores negativos de la permitividad. En la gráfica de la derecha sin embargo, la absorción es tan grande que todos los valores de la permitividad son positivos a cualquier frecuencia [11]. 11 En un plasma en equilibrio, los centros de masas de los electrones y del núcleo ionizado coinciden, y los campos eléctricos de ambos se cancelan mutuamente. Al sacar al sistema de este estado, los centros de masas dejan de coincidir y como consecuencia aparece una fuerza restauradora que trata de devolverlos a su posición de equilibrio, comenzando así un movimiento oscilatorio alrededor de ese punto. La frecuencia de resonancia de estas oscilaciones se denomina frecuencia del plasma [101]. Figura 5. Parte real de ε según el modelo de Lorentz. Figura 6. Gráfica de la parte real de ε según el modelo de Drude. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 15 3.5. Clasificación de los medios dieléctricos isótropos Como hemos visto, la respuesta de un sistema a la presencia de un campo electromagnético viene determinada en gran medida por las propiedades de los materiales involucrados. La definición de las propiedades ε y μ nos permite hacer una clasificación del medio según su signo [10] (Figura 7). Los medios dieléctricos más conocidos son los que se encuentran con mayor facilidad en la naturaleza y son los que tienen tanto 𝜀>0 como 𝜇>0. Se denominan medios doblemente positivos (double-positive, DPS), o materiales diestros (right-handed, RH). A pesar de que los modelos de Lorentz y Drude permiten la posibilidad de que ε y μ sean negativos, las pérdidas normalmente impiden que se de esta situación. Los medios con 𝜀<0 y 𝜇>0 son menos comunes y se denominan medios épsilon negativos (epsilon-negative, ENG). Este tipo de comportamiento en materiales sí se ha encontrado de forma natural, en la mayoría de los plasmas a ciertas frecuencias, y en metales y semiconductores en frecuencias ópticas e infrarrojas (metales nobles como el oro o la plata). Los medios con 𝜀>0 y 𝜇<0 se denominan mu-negativos (mu-negative, MNG) y se han encontrado a frecuencias determinadas, a pesar de que este tipo de medio es mucho menos común ya que las interacciones magnéticas de la mayoría de los sólidos son muy débiles. Aparecen en algunos materiales girotrópicos y en materiales ferrimagnéticos (en alta frecuencia). Tanto este caso como el anterior se denominan conjuntamente medios simplemente negativos (SNG) y en estos no se propagan las ondas electromagnéticas como en los otros casos, sino que se produce un campo atenuado exponencialmente a medida que la onda penetra en ellos [12]. El único comportamiento que no se ha encontrado en la naturaleza hasta el momento es el de los llamados materiales doblemente negativos (double-negative, DNG), materiales zurdos (left-handed, LH), o de índice de refracción negativo (NRI). Sin embargo, sí se han conseguido fabricar de manera artificial medios de los cuatro tipos, incluidos estos últimos. La única forma que existe de tener un material con estas características sin que la energía total sea negativa es que el material sea dispersivo [13], como lo son los demás tipos de medio. 3.6. Metamateriales Los metamateriales son una clase de medios artificiales que presentan propiedades electromagnéticas que no encontramos en la naturaleza. Su comportamiento es una propiedad de la estructura en sí, más que de sus constituyentes. Si analizamos el nombre de estos desde un punto de vista etimológico, el prefijo “meta” es una palabra de origen griego que significa “más allá”, por lo que podría interpretarse que son medios cuyas propiedades van más allá de los materiales que los forman. 3.6.1. Introducción a los metamateriales El origen de los metamateriales se remonta a 1968, cuando Victor Veselago, un físico de la antigua Unión Soviética, examinó las características de la propagación de ondas electromagnéticas en un medio material teórico que presentaba, de forma simultánea, permitividad eléctrica ε y permeabilidad magnética μ negativas [13]. Siendo consciente de que tales medios no se habían encontrado en la naturaleza, planteó la posibilidad Figura 7. Diagrama μ-ε con distintas propiedades de propagación [12]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 16 de realizarlos físicamente teniendo en cuenta que el comportamiento de la permitividad y la permeabilidad varía con la frecuencia (dispersión 12 ), pudiendo alcanzar valores negativos en algunos rangos de frecuencia. Su trabajo derivaba, entre otros resultados, en una velocidad de fase negativa (sentido contrario a la propagación de la energía ( 71), acorde con el principio de causalidad) y un índice de refracción negativo (ley de Snell). 3.6.2. Estructura de los metamateriales Más de treinta años después, en el año 2000, David Smith y colaboradores de la Universidad de California, propusieron una estructura periódica de “resonadores de anillo-partido” (split-ring resonators, SRRs) y alambres delgados, cuyo comportamiento efectivo fue el que Veselago había predicho [14] (Figura 8). Este trabajo fue posible gracias al previo estudio de Sir John Pendry, del Imperial College de Londres, que se basaba en estructuras metálicas con permitividades o permeabilidades negativas en algún intervalo de frecuencias [15] [16]. La idea subyacente era imitar la naturaleza y la forma en que ésta construye su estructura macroscópica a base de celdas elementales, para conseguir determinadas propiedades (Figura 9). La estructura interna de estos medios posee un tamaño que, aunque sea de escala superior a la escala atómica, debe ser inferior a la longitud de la onda electromagnética que interacciona con el material, de manera que se pueda modelar como una estructura homogénea con unas propiedades efectivas (ε, μ, n). De este modo, si el medio se trata con luz visible, la estructura interna tendrá que tener un tamaño de hasta cientos de nanómetros, pero si se trata con microondas, podrá tener un tamaño del orden de milímetros o incluso centímetros. Las estructuras internas de los metamateriales, que son resonantes, interaccionan con las ondas electromagnéticas de forma que el efecto total de todas ellas repetidas periódicamente determina unas propiedades u otras. Mientras que un material convencional tiene una respuesta electromagnética dada por su estructura atómica, la respuesta de un metamaterial la proporciona la estructura interna diseñada artificialmente. Cuando una onda incide sobre un material, a escala atómica, se produce el fenómeno conocido como scattering (dispersión) cuando la onda alcanza uno de sus átomos. Pero no interesa la respuesta de un solo átomo sino la suma de todas las dispersiones que se producen en el material; la respuesta macroscópica. Esto mismo ocurre en un metamaterial. Sus estructuras repetidas periódicamente producen la dispersión de las ondas incidentes, y de ellas depende la respuesta del material (que se ajusta a los modelos de Lorentz y Drude, apartado 3.4), por lo que, un cambio en la forma, el tamaño, o la disposición geométrica de los elementos constituyentes de las “metapartículas”, significará una respuesta u otra, y por consiguiente permitividades y permeabilidades efectivas (dependientes de la frecuencia) de un valor u otro. 12 Nótese que este término se refiere al fenómeno de dispersión en frecuencia, conocido como el fenómeno de separación de las ondas de distinta frecuencia al atravesar un material debido a su diferente velocidad de propagación. Un concepto diferente al homónimo conocido en inglés como scattering, que se verá más adelante. Figura 8. Primer metamaterial propuesto por Smith et al. basado en una estructura periódica de SRRs y alambres metálicos [106]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 17 Si estas estructuras no cumplen la condición mencionada anteriormente de ser de menor tamaño que la longitud de onda de la radiación, las propiedades de los componentes atómicos de estas estructuras comenzarán a adquirir importancia ya que la respuesta electromagnética vendrá dada por la dispersión de la onda en los átomos y no en la estructura en sí. En el caso de que la longitud de onda sea comparable al tamaño de las estructuras, la difracción y la dispersión serán complejas, y habría que estudiarlas de manera local [17]. Teniendo en cuenta esta condición, el espacio de diseño para los metamateriales es infinitamente largo, lo que nos permite obtener materiales con las propiedades que queramos exactamente y con una precisión sin precedentes, ya que, incluso partiendo de un único diseño, uno puede abarcar una enorme gama de propiedades simplemente haciendo pequeños ajustes a unos pocos parámetros geométricos. Además, al ajustar la escala general del elemento, la respuesta deseada se puede establecer en cualquier lugar del espectro electromagnético. Figura 9. Concepto de metamaterial y “metapartícula”. Los tamaños de este tipo de partícula son del orden de la longitud de onda y pueden contener diversos elementos que conceden a la estructura sus propiedades macroscópicas [12]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 18 4. Invisibilidad y casos en el cine Si hacemos caso a una primera definición de la RAE, podríamos decir que ‘ver’ es “percibir con los ojos algo mediante la acción de la luz”. Pero ¿qué es lo que puede un físico aportar a esta definición? Nosotros vemos los objetos porque están siendo iluminados, ya sea con ondas electromagnéticas del espectro visible o de otro rango de frecuencias. Para éstas últimas sería necesario un detector, ya que nuestros ojos no podrían apreciarlas, pero el proceso es similar. Cuando una onda electromagnética alcanza un objeto, éste interacciona con la onda con una dependencia en frecuencia que es función de su forma, su tamaño y del material del que esté fabricado. Por un lado, el objeto refleja parte de esas ondas con las que interacciona y las dispersa a su alrededor (fenómeno de reflexión difusa 13 , desarrollado más adelante en el apartado 4.2.1), de manera que alguna de ellas llegue hasta nuestros ojos, lo que permite que nuestro cerebro construya la imagen de dicho objeto. Por otro lado, parte de ese espectro de onda ha sido absorbido por el objeto, dejando detrás una “sombra” mediante la cual éste también puede ser detectado (Figura 10). Si se pudiese cancelar esa interacción de la onda con los objetos, el objeto se haría invisible desde todos los ángulos. No sólo no reflejaría radiación electromagnética como haría un material antireflejante, sino que se eliminaría incluso la sombra, ya que los rayos saldrían por detrás del objeto como si este no hubiera existido. Desde mucho tiempo atrás el ser humano ha soñado con la capacidad sobrehumana de ser invisible, y así lo hemos ido viendo reflejado en la literatura y posteriormente el cine. Encontramos referencias desde la antigua Grecia, en la Ilíada [3] o en la leyenda del anillo de Giges (380 a. C) [4] . En ésta última se relataba como el pastor Giges encontró un anillo mágico que portaba un cuerpo sin vida en el fondo de un abismo. Descubriendo que podía volverse invisible con él, lo usó para seducir a su reina, matar al rey, y arrebatarle su reino. Después de Cristo, en la mitología nórdica, también se describe un artilugio mágico que concede la invisibilidad. Se trata del manto mágico de Sigfrido (s.XIII) [5], con el que ayuda a Gunter, el hermano mayor de Krimilda (esposa de Sigfrido), en su lucha contra la reina Brunilda para poder casarse con ella. Como podemos apreciar, el anillo de Tolkien [18] y la capa de invisibilidad de J.K.Rowling [19] tienen predecesores mucho más antiguos. En muchos más casos de la literatura o el cine hay que resignarse a una sola posible explicación: magia. Pero hay otros tipos de invisibilidad basada en magia que tienen una buena explicación física, y otros tipos, basados en ideas originalmente ficticias, que no están muy lejos de la realidad. En este capítulo se tratará de explicar algunos casos vistos en espectáculos, literatura, o cine. Quizás, una buena forma de empezar a clasificar los casos de invisibilidad es basarse en las dos ideas fundamentales necesarias para conseguir ésta: que la luz no se refleje y que veamos lo que hay detrás. 13 Es la reflexión de la luz desde una superficie, de tal forma que un rayo incidente es reflejado en muchos ángulos, en lugar de únicamente un solo ángulo, como en el caso de la reflexión especular (el rayo incidente es igual al rayo reflejado, Anexo II, Anexo IV). Figura 10. Detección de un objeto a partir de su reflexión o transmisión en un rango del espectro electromagnético [100]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 25 4.2. Lo que vemos detrás Siguiendo la línea de explicación del punto anterior, para ser invisibles por la noche, o bien en un lugar a oscuras, hemos visto que basta como vestirse de negro. Pero, ¿qué ocurre cuando es de día o nos encontramos en un entorno iluminado? En este caso ya no vale la solución del color negro porque “no vemos” lo que hay detrás. Por ello, para conseguir “ver” lo que hay detrás existen varias formas: camuflarse con el entorno, ser transparente, o desviar la luz alrededor de nuestro cuerpo, o del cuerpo u objeto que queremos hacer invisible. 4.2.1. Camuflaje El camuflaje consiste en el uso de cualquier combinación de materiales, coloración o iluminación para el ocultamiento de organismos u objetos (de interés militar sobre todo), haciendo que sean difíciles de ver (cripsis 20 ) o disfrazándolos como algo más del entorno (mimesis). Esto incluye el pelaje de los leopardos, los uniformes de los soldados, o los fásmidos (insectos palo u hoja). Habría un tercer enfoque, conocido como ‘movimiento deslumbrante’, que hace que el observador tenga una percepción errónea del tamaño o la velocidad del organismo u objeto, debido a un patrón específico en su coloración (es el caso de las cebras). La mayoría de los métodos de camuflaje apuntan a la cripsis, a menudo a través de una semejanza general con el fondo, coloración disruptiva de alto contraste 21 , eliminación de sombras y contracoloración. Algunos animales, como los camaleones y los pulpos, son capaces de cambiar activamente el patrón y los colores de su piel para camuflarse. En el mar abierto los principales métodos de camuflaje son la transparencia y el plateado [45] (véase la condición de transparencia al final del apartado 3.3). Estos métodos de camuflaje encontrados en la naturaleza son fuente de inspiración para el camuflaje militar, que fue estimulado por el aumento del alcance y la precisión de las armas de fuego en el siglo XIX. En particular, el reemplazo del mosquete por el rifle convirtió el ocultamiento en la batalla en una habilidad de supervivencia [46], [47]. En el siglo XX, el camuflaje militar se desarrolló rápidamente, especialmente durante la Primera Guerra Mundial [48], [49]. En el mar, los barcos mercantes y los portaaviones estaban pintados con patrones deslumbrantes que eran muy visibles, pero diseñados para confundir a los submarinos enemigos en cuanto a la velocidad, el alcance y el rumbo del objetivo [50], [51]. Durante y después de la Segunda Guerra Mundial, se utilizaron diversos esquemas de camuflaje para aviones y vehículos terrestres [52], pero el uso del radar desde mediados del siglo XX hizo que este tipo de camuflaje quedase obsoleto. 20 La cripsis es un fenómeno por el que un organismo presenta adaptaciones que lo hacen pasar inadvertido a los sentidos de otros animales [54]. 21 La coloración disruptiva de alto contraste o patrón disruptivo es un tipo de camuflaje que oculta el contorno corporal de un animal, un soldado o un vehículo militar, gracias a su contrastante patrón de colores. El fenómeno contrario se denomina aposematismo, y es el uso de patrones que enfatizan en lugar de interrumpir sus contornos. Este último es usado por animales venenosos como advertencia [53]. Figura 21. ¿Puedes encontrar al leopardo? José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 26 Camuflaje Animal: Cripsis Como hemos visto, el camuflaje se puede lograr mediante diversos métodos. La mayoría de ellos contribuyen a la cripsis, ayudando a los animales a protegerse, escondiéndose o pasando desapercibidos en un entorno. Pero la mimesis y el movimiento deslumbrante los protegen sin la necesidad de esconderse. En esta sección, se van a definir todos los tipos de camuflaje que encontramos en el reino animal, entendiendo la forma en que consiguen desaparecer a la vista de sus depredadores o presas. Basándose en ello, el ser humano ha imitado estos métodos para fines militares o simplemente como inspiración a la hora de crear personajes y situaciones en la literatura o el cine. Semejanza con el entorno Los colores y patrones de algunos animales se asemejan a entornos presentes en muchos ecosistemas. Por ejemplo, los periquitos que viven en los árboles son principalmente verdes; la chocha perdiz, que habita en los bosques, es marrón y moteada; y los avetoros, que viven entre carrizales y juncos, tienen rayas marrones en su pelaje. En cada caso, la coloración del animal coincide con su hábitat [53], [54]. Del mismo modo, los animales del desierto son casi todos de color desierto en tonos de arena, pulido, ocre y gris parduzco, ya sean mamíferos como el zorro del desierto, aves como la alondra del desierto, o reptiles como la víbora cornuda [53]. Los uniformes militares están creados basándose en esto mismo. Por ejemplo, los uniformes de color caqui son de color turbio o polvoriento, originalmente elegidos para el servicio en el sur de Asia [55]. Otro fenómeno interesante es el del melanismo industrial 22 , que muestran muchas polillas, entre ellas la polilla de los abedules [56]. La coloración de estos insectos evolucionó entre 1860 y 1940 para coincidir con el color cambiante de los troncos de los árboles en los que descansan, desde pálidos y moteados hasta casi negros en áreas contaminadas (volviendo a los tonos pálidos al desaparecer estas). Esto es tomado por los zoólogos como evidencia de que el camuflaje está influenciado por la selección natural, y cambia cuando lo hace el propio entorno. Coloración disruptiva Los patrones disruptivos usan marcas muy contrastantes y no repetitivas como manchas o rayas para romper los contornos de un animal o vehículo militar [57], o para ocultar características reveladoras, especialmente los ojos, como hace la rana común [53]. Los patrones disruptivos pueden usar más de un método para vencer a los sistemas visuales como la detección de bordes [58]. Algunos depredadores como el leopardo usan el camuflaje disruptivo para acercarse a su presa, mientras que presas potenciales como el chotacabras egipcio, lo usan para evitar ser detectados por los depredadores [59]. Los patrones disruptivos también son comunes en el uso militar, tanto para uniformes como para vehículos [60]. La presencia de marcas negras en la piel de un animal no es prueba en sí misma de que este se base en el camuflaje, ya que eso depende de su comportamiento. Por ejemplo, aunque las jirafas tienen un patrón de alto contraste que podría ser una coloración disruptiva, las adultas son muy visibles cuando están al aire libre. 22 El melanismo industrial es un proceso observado en muchas especies de lepidópteros (mariposas y polillas) de zonas urbanas, por el que las alas adquieren una tonalidad oscura. En particular, el melanismo industrial de la ‘mariposa de los abedules’ que confirma la teoría de Charles Darwin ha sido muy importante en el desarrollo de la genética de poblaciones y de la evolución en general, considerándose uno de los mejores ejemplos de cambio por selección natural [108]. Figura 22. Polilla de los abedules (Biston betularia). Figura 23. Leopardo camuflado por coloración disruptiva. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 27 Algunos autores han argumentado que las jirafas adultas son crípticas, ya que cuando están paradas entre árboles y arbustos son difíciles de ver incluso a unos pocos metros de distancia [61]. Eliminación de sombra Algunos animales, como los lagartos cornudos de América del Norte, han desarrollado medidas elaboradas para eliminar su sombra. Su cuerpo, que habitualmente presionan contra el suelo, es aplanado en forma oval, con una hilera de escamas blancas rodeando los costados, que ocultan e interrumpen cualquier área de sombra restante que pueda haber debajo de los bordes de su cuerpo. La teoría de que la forma del cuerpo de estos lagartos está adaptada para minimizar la sombra, es respaldada por una especie que carece de escamas marginales, el lagarto cornudo de cola redonda, que vive en zonas rocosas y se asemeja a una roca (reflexión difusa). Cuando esta especie se ve amenazada, se parece tanto a una roca como sea posible al curvar su espalda, enfatizando su forma tridimensional [62]. Algunas especies de mariposas, como la mariposa de los muros (Pararge aegeria), minimizan su sombra cuando se posan, cerrando las alas, alineando sus cuerpos con el sol e inclinándose hacia un lado, de modo que la sombra se convierte en una línea delgada y discreta. La eliminación de la sombra se identificó como un principio de camuflaje militar durante la Segunda Guerra Mundial [63]. Distracción Muchas presas tienen marcas de distracción de alto contraste que paradójicamente atraen la mirada del depredador. Estas marcas sirven como camuflaje al distraer la atención del depredador para que no reconozca a la presa en su conjunto, o, por ejemplo, para evitar que identifique su contorno [64]. Estas marcas también se usan con fines militares para engañar la cognición del observador. Figura 24. Lagarto cornudo de cola plana ocultando su sombra. Figura 26. Antílope jeroglífico con marcas de distracción. La reflexión difusa es la reflexión de la luz u otro tipo de radiación desde una superficie rugosa generalmente, de manera que la onda incidente en dicha superficie se dispersa en muchos ángulos en lugar de solo en uno (como en la reflexión especular). La visibilidad de los objetos, excluyendo los emisores de luz, es causada principalmente por la reflexión difusa de la luz: es la luz difusamente dispersa la que forma la imagen del objeto en el ojo del observador. REFLEXIÓN DIFUSA Figura 25. Tipo de reflexión según la superficie. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 28 Auto-decoración Algunos animales buscan esconderse activamente al decorarse con materiales como ramas, arena o conchas de su entorno, para romper sus contornos, ocultar las características de sus cuerpos y que estos coincidan con lo que tienen a su alrededor. Por ejemplo, las larvas de los tricópteros construyen cajas decoradas y viven casi por completo dentro de ella; y los cangrejos decoradores cubren su espalda con algas, esponjas y piedras [54]. La ninfa del insecto enmascarado (depredador de pulgas) usa sus patas traseras para decorar su cuerpo con arena o polvo. Este camuflaje puede ocultarla tanto de los depredadores como de las presas [65]. Se pueden aplicar principios similares para fines militares, por ejemplo, cuando un francotirador usa un traje ghillie 23 diseñado para camuflarse mediante la decoración con materiales como mechones de hierba de su entorno inmediato [54]. Este camuflaje funciona gracias al fenómeno de reflexión difusa. Comportamiento críptico El movimiento llama la atención tanto de los depredadores que intentan cazar a sus presas, como de estas que intentan que no las cacen. Por tanto, la mayoría de métodos de cripsis también requieren un comportamiento críptico adecuado, como acostarse y mantenerse quieto para evitar ser detectados, o en el caso de depredadores como el tigre, avanzar con sigilo extremo sin dejar de observar a su presa [53]. Anteriormente mencionamos el comportamiento críptico de los lagartos cornudos de cola plana, que combinaban su forma y coloración con una presión de su cuerpo contra el suelo, para ser invisibles a sus depredadores. En el océano, otro comportamiento similar lo protagoniza el dragón de mar foliáceo, que se balancea imitando las algas entre las que descansa, como si fuese movido por las corrientes. Es este caso, se incluye la variación con el tiempo del comportamiento electromagnético del entorno a reproducir mediante una modificación continua de la reflexión y la refracción de la luz hasta llegar al observador. Cambio de coloración: camuflaje dinámico De este tipo de cripsis se benefician animales como el camaleón, la rana, el lenguado tropical, o cefalópodos como el calamar, la sepia o el pulpo. Cambiando activamente sus patrones y colores de piel mediante sus células cromatóforos 24 , consiguen un camuflaje casi perfecto. La mayoría de camaleones usan estos 23 Un traje ghillie o yowie es un tipo de prenda empleada para camuflarse en un entorno específico, asemejándose a un denso follaje. Es utilizado comúnmente por francotiradores, cazadores y observadores de animales, particularmente aves. 24 Los cromatóforos son células con pigmentos en su interior que reflejan la luz. Pueden encontrarse en diversos seres vivos como los anfibios, los peces, ciertos crustáceos y algunos cefalópodos. a b c Figura 27. a) Ninfa de cazador enmascarado camuflado con granos de arena, b) Francotirador con traje ghillie, c) Tanques soviéticos decorados con redes de vegetación (1938). Figura 28. Dragón de mar foliáceo. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 29 cromatóforos para señalizar 25 [54], pero algunos, como el camaleón enano de Smith, usan el cambio de coloración activo para el camuflaje [66]. Ajustando el grado de compactación y la red de cristales, el camaleón logra modular los colores que refleja (véase la física del color en el apartado 4.1) y, por tanto, que se detectan al observarlo (Figura 32). En la literatura y el cine encontramos personajes que han sido creados a partir de estos reptiles, como Kevin Sydney (Changeling) de los X-Men [67], que tiene capacidades metamórficas o el villano de Spiderman, Camaleón [68]. Cada cromatóforo contiene pigmentos de un solo color. En peces y ranas, el cambio de color está mediado por un tipo de cromatóforo conocido como melanóforos, que contienen pigmento oscuro. Un melanóforo tiene forma de estrella y contiene muchos pequeños orgánulos pigmentados que pueden dispersarse por toda la célula o agregarse cerca de su centro. Cuando los orgánulos pigmentados se dispersan, la célula hace que un parche de la piel del animal parezca oscuro; Cuando se agrupan, la mayor parte de la célula y la piel del animal toman un color claro. En las ranas, el cambio se controla de manera relativamente lenta, principalmente por las hormonas. En los peces, el cerebro controla el cambio, que envía señales directamente a los cromatóforos y produce hormonas [69]. Las pieles de los cefalópodos, como el pulpo, contienen unidades complejas, cada una de las cuales consiste en un cromatóforo con células musculares y nerviosas circundantes [53]. El cromatóforo del cefalópodo tiene todos sus granos de pigmento en un pequeño saco elástico, que se puede estirar o relajar bajo el control del cerebro para variar su opacidad. Al controlar los cromatóforos de diferentes colores, los cefalópodos pueden cambiar rápidamente sus patrones y colores de piel [70]. Además, al analizar la piel de los cefalópodos, se ha revelado que contiene genes activos que codifican la opsina 26 , una macromolécula sensible a la luz. Esto podría indicar que la piel está dotada de sensores de luz que ayudan a controlar el camuflaje [71]. Pero, ¿cómo imitan los colores los cefalópodos si su visión es monocromática? Pues bien, según el estudio realizado por Christopher y Alexander Stubbs [72], estos moluscos perciben el color gracias a una pupila sin eje y un fenómeno conocido como aberración cromática 27 , por el que captarían información espectral de su entorno (longitudes de onda reflejadas por los objetos) mediante el ajuste de la distancia focal de sus ojos. Este sistema para captar el color, totalmente diferente al de los pigmentos visuales multicolor común en los seres humanos, representaría una evolución del ojo complejo totalmente diferente al de los vertebrados. 25 En biología evolutiva, la teoría de señales o de señalización es un cuerpo de trabajo teórico que examina la comunicación entre individuos. 26 Las opsinas son proteínas fotosensibles de las membranas de células fotoreceptoras como los conos y los bastones, que tienen variadas propiedades de absorción de luz. 27 Capacidad de una lente para reunir en un mismo foco rayos de diferentes longitudes de onda (cromatismo). Figura 29. Lenguado tropical haciendo coincidir su coloración con su entorno. Figura 30. Comportamiento de un melanóforo. Figura 31. Sepia camuflada en el fondo marino. Figura 32. Nanocristales de guanina en los iridióforos de un camaleón excitado (arriba) y en reposo (abajo) [109]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 30 Para cambiar de color poseen una serie de órganos que actúan en conjunto. Como hemos mencionado antes, en la capa más externa, justo bajo la piel, encontramos los cromatóforos, que poseen en su interior un compartimento (saco citoelástico), lleno de pigmentos, al cual van unidos entre 15 y 25 músculos. Cuando los músculos se contraen, estiran el compartimento con los pigmentos, de modo que ocupan una mayor superficie y crean parches con los que fabrican distintos patrones. Estas contracciones son controladas por medio del sistema nervioso. En la capa inferior a los cromatóforos se encuentran los iridióforos, que son apilamientos de láminas de aspecto metálico (nanocristales, Figura 32), con las que se obtienen colores plateados y dorados, así como verdes y azules metálicos a base de reflejar la luz (ver Anexo II). Este tipo de células poseen por lo tanto reflectores, mediante los cuales, cefalópodos como las sepias pueden emitir señales polarizadas, además de ver los patrones de polarización de la luz (poseen la visión polarizada más aguda del reino animal). Estas señales les permiten avisar de la presencia de un depredador sin ser descubiertos. La claridad de la señal no varía con el movimiento, por lo que se pueden camuflar, balancearse, y enviar señales secretas al mismo tiempo. Por último, debajo de los iridióforos se encuentran los leucóforos, que son células aplanadas y alargadas que dispersan y reflejan la luz, reflejando la longitud de onda predominante en cada situación. Reflejar el infrarrojo les permite regular la temperatura. Este sistema de camuflaje ha inspirado a científicos de la Universidad de California en Irvine [73], que estudian una tecnología de combate que permitirá que los soldados eviten la detección por infrarrojos. En el cine, encontramos un sistema de camuflaje adaptativo similar al de los cefalópodos en las películas “Terminator 2: Judgment Day” (1991) y “Terminator Genisys” (2015). En estas dos entregas de la Saga Terminator, toma protagonismo el androide prototipo T-1000, creado por Skynet con el fin de matar al joven John Connor y evitar que empiece la guerra. Este modelo está compuesto por una “polialeación mimética” de metal líquido, que puede cambiar de forma reordenando su composición molecular. Puede imitar cualquier objeto o persona que toque, adaptándose a su forma y textura, controlando la luz que refleja (Figura 35). Figura 34. Imágenes de un calamar cambiando de apariencia. Figura 35. Prototipo T-1000 camuflado con el suelo en “Terminator 2: Judgment Day” (1991). Fenómeno óptico asociado al cambio de color de la luz reflejada en función del ángulo de incidencia. A menudo es causado por múltiples reflexiones de dos o más superficies semitransparentes (ver condiciones de transparencia en el apartado 3.3) en las que el cambio de fase y la interferencia de las reflexiones modulan la luz incidente (al amplificar o atenuar algunas frecuencias más que otras) [110], [111]. En este contexto, al variar la densidad de los nanocristales mediante la tensión de la piel o su estiramiento, los camaleones y cefalópodos ajustan las capas de iridióforos y, por tanto, cambian de color. Otros ejemplos pueden verse en las pompas de jabón, alas de mariposa, conchas marinas, y ciertos minerales como la pirita. IRIDISCENCIA Figura 33. Pirita iridiscente. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 31 Cabe mencionar que existe un camuflaje por cambio de color adaptado a zonas de nieve. Animales como la liebre ártica, el zorro ártico, el armiño, y la perdiz nival tienen esta homocromía 28 estacional que les permite camuflarse en su hábitat cambiante. Modifican el color de su pelaje (mudando y haciendo crecer nuevas pieles o plumas) de marrón o gris en verano, a blanco en invierno (el color blanco refleja todas las longitudes de onda, mientras que el negro las absorbe todas, como vimos en la física del color en el apartado 4.1). Este mismo principio tiene aplicaciones militares. El camuflaje activo o adaptativo podría en teoría hacer uso tanto del cambio dinámico de color como de la contrailuminación. Desde la Segunda Guerra Mundial se han utilizado métodos simples como cambiar los uniformes y volver a pintar vehículos para el invierno. En 2011, BAE Systems anunció su tecnología de camuflaje infrarrojo Adaptiv. Utiliza alrededor de 1000 paneles hexagonales para cubrir los lados de un tanque. Los paneles de placa Peltier se calientan y enfrían para que coincidan con los alrededores del vehículo (criptis) o con un objeto como un automóvil (mimesis), cuando se ven en infrarrojo [74], [75]. El camuflaje ártico o de nieve es muy recurrente en el cine, y es que resulta evidente que para infiltrarse bien en una base enemiga en la nieve lo más lógico es vestirse de blanco, justo al contrario de lo que vimos al principio de este capítulo. Por ello, tampoco se le podía escapar este detalle ni en el tercer nivel de sueño, al equipo de Dom Cobb en “Inception” (2010), en la que se hacía un claro guiño a otra de las muchas películas de James Bond, “On Her Majesty’s Secret Service” (1969), que por supuesto no es la única con escenas en la nieve. En esta misma línea seguro que muchos se acuerdan de la batalla de Hoth en “Star Wars: Episode V - The Empire Strikes Back” (1980), y si no recuerdan los uniformes blancos al menos recordarán los icónicos transportes AT-AT. Plateado Otra solución para una estructura opaca es que imite la transparencia, y esto se puede hacer con el plateado. A profundidades medias en el mar (entre 200 y 1000 metros de profundidad), la luz proviene del sol, por lo que un espejo orientado verticalmente será invisible desde todos los ángulos de visión, excepto inmediatamente por encima y por debajo. Esto se debe a que el entorno de la luz es simétrico respecto al eje vertical. Un animal solo tiene que convertirse en un espejo vertical y también será invisible desde un lado. Así es como la mayoría de los peces en el océano superior, como la sardina y el arenque, se camuflan [76]. 28 Característica que permite a un animal pasar desapercibido por la semejanza de su color con el del medio. Figura 36. El camuflaje Adaptiv permite hacer invisible un tanque o cualquier vehículo militar, enmascarando su firma infrarroja, inutilizando los sistemas hostiles de imágenes térmicas. Adaptiv es capaz de proteger grandes piezas de equipo militar contra la detección al permitir que los vehículos imiten la temperatura de sus alrededores para adaptarse a diferentes terrenos. También puede hacer que un tanque se parezca a otros objetos, como una vaca o un automóvil, o arbustos y rocas [75]. Figura 37. Cobb y Eames con camuflaje de nieve en “Inception” (2010). José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 32 El pez hacha se encuentra entre los mejores ejemplos de este tipo de camuflaje. Estos peces están tan aplanados lateralmente que sus flancos son verticales en el agua, sus cuerpos tienen solo unos pocos milímetros de grosor y su altura es aproximadamente la misma que su longitud. Todo el flanco está ampliamente plateado, de modo que tienen el aspecto de un espejo de papel de aluminio. El plateado se logra mediante pequeños cristales reflectantes de guanina 29 dispuestos con precisión paralelos a la superficie con una orientación y espaciado definidos. La interferencia constructiva producida por solo 5-10 capas separadas un cuarto de longitud de onda (ver Anexo III) de un material que alterna alto y bajo índice de refracción (en este caso guanina y citoplasma), puede producir casi el 100% de reflexión de la luz incidente. Por lo tanto, un apilamiento en el que cada capa tiene un espesor óptico de 125 nm refleja más eficientemente la luz azul de 500 nm con una incidencia normal. Es un reflector de cuarto de longitud de onda "ideal" (véase Anexo III) porque se produce una interferencia constructiva entre los reflejos en cada interfaz [76]. El plateado se encuentra también en otros animales marinos. Los cefalópodos, por ejemplo, tienen espejos multicapa hechos de proteínas en lugar de guanina. Mimesis En la mimesis, el objeto camuflado se parece a otra cosa que no es de especial interés para el observador. La mimesis es común en insectos, por ejemplo, cuando una oruga de la polilla de los abedules imita una ramita, o un saltamontes imita una hoja seca [54]. También se encuentra en estructuras de nidos, como en los de algunas avispas eusociales 30 , que los construyen en patrones que imitan las hojas que rodean el nido [77]. La mimesis también es empleada por algunos depredadores y parásitos para atraer a sus presas. Por ejemplo, una mantis floral imita un tipo particular de flor, como una orquídea [54]. Esta táctica se ha utilizado ocasionalmente en la guerra, por ejemplo, con buques- Q (navíos señuelo) fuertemente armados disfrazados de buques mercantes [78]. Movimiento deslumbrante 29 La guanina es una de las cinco bases nitrogenadas que forman parte de los ácidos nucleicos (ADN y ARN). 30 La eusocialidad es el nivel más alto de organización social que se da en ciertas especies de insectos, crustáceos y mamíferos. Figura 38. Arenques en el océano. Figura 39. Los reflectores del arenque son casi verticales para el camuflaje lateral. Figura 41. Oruga de polilla de los abedules imitando ramas de arbustos o árboles. Figura 40. Tanque de la segunda guerra mundial oculto en la Operación Bertram, imitando un camión. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 33 La mayoría de las formas de camuflaje se vuelven ineficaces por el movimiento: un ciervo o un saltamontes pueden ser muy crípticos cuando están inmóviles, pero se ven instantáneamente cuando se mueven. El movimiento deslumbrante puede degradar la capacidad de los depredadores para estimar la velocidad y la dirección de la presa con precisión, lo que le da a la presa una mejor oportunidad de escapar [79]. El movimiento deslumbrante distorsiona la percepción de velocidad y es más efectivo a altas velocidades. Las rayas negras de algunos animales como las cebras, también pueden distorsionar la percepción del tamaño (y, por lo tanto, el rango percibido hacia el objetivo). Dado que los patrones de movimiento deslumbrante harían a los animales más difíciles de localizar en movimiento, pero más fáciles de ver cuando están estacionarios, habría una compensación evolutiva entre el camuflaje deslumbrante y la cripsis [79]. En el ámbito militar, las armadas de ambas guerras mundiales en el siglo XX pintaron sus buques de guerra con patrones geométricos de alto contraste: el llamado "camuflaje deslumbrante". En lugar de intentar ocultar unidades individuales, se afirmó que este patrón interrumpiría la percepción de su alcance, rumbo, tamaño, forma y velocidad, y por lo tanto reduciría las pérdidas de, en particular, los ataques con torpedos de los submarinos [80]. Camuflaje óptico No podemos cerrar el capítulo sin hablar de la invisibilidad de la Mayor Motoko Kusanagi en el manga y anime “Ghost in the Shell”, que con un traje termo-óptico consigue ser invisible en cualquier entorno. Este camuflaje termo-óptico, también conocido como camuflaje activo, permite tanto a los miembros de la Sección 9 como a los tanques “Tachikoma”, mezclarse con su entorno a la perfección. Lo curioso de este método es que ya se ha investigado en la vida real y hay estudios que lo prueban. El camuflaje activo es la tecnología stealth que hace que los objetos sean invisibles mediante el uso de paneles o recubrimientos capaces de alternar su apariencia, color, luminosidad, y propiedades reflectantes [81]. Según este artículo, el camuflaje térmico utiliza pinturas de baja emisividad y capas térmicas que tienen forma y color para proporcionar un patrón de camuflaje y reducir la temperatura de superficie para que las cámaras infrarrojas no puedan detectarlo. Figura 42. El patrón de rayas negras de la cebra puede inducir deslumbramiento en los observadores. Figura 43. Buque HMAS Yarra, con patrones de camuflaje deslumbrante en la Segunda Guerra Mundial Figura 44. Configuración del sistema de camuflaje óptico [82]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 34 Pero lo que nos interesa a nosotros es saber cómo funciona el camuflaje óptico que hemos visto en algunas películas y que ya han reproducido en la vida real. Esta tecnología, llamada proyección retrorreflexiva (Retro-reflective Projection Technology, RPT) usa cámaras para grabar las imágenes del fondo (“lo que tenemos detrás”), y proyecta estas imágenes en el objeto que queremos ocultar o en nosotros mismos mediante algún traje o capa de “invisibilidad”. Así, cuando el observador mira el objeto en cuestión, verá lo que hay detrás de él, percibiéndolo como un objeto transparente. Este sistema ha sido estudiado y desarrollado por investigadores de la Universidad de Tokio [82]. Por ahora la ficción supera a la realidad, pero eso no es nada nuevo. Otro ejemplo de esta tecnología aparece en la película “Die Another Day” (2002) de James Bond. Se trata del Aston Martin V12 Vanquish, cuya tecnología de camuflaje posee cámaras diminutas que proyectan las imágenes de lo que tiene detrás, sobre una piel de polímero que emite luz en el lado opuesto, volviéndolo prácticamente invisible. Antes de acabar el capítulo de camuflaje, resulta interesante mencionar que dentro de la infinitud de ejemplos de invisibilidad que existen tanto en literatura como en cine, los que están basados en este sistema concreto del camuflaje son también muy recurrentes en la industria del videojuego. De este modo, sagas de videojuegos como Metal Gear, Tom Clancy’s Splinter Cell o Deus Ex entre otras muchas, son importantes de mencionar, ya que en su sistema de juego añaden trajes de camuflaje para evadir a los enemigos. Por destacar uno de muchos, el “Metal Gear Solid 4: Guns of the patriots” (2008) tenía un sistema propio de camuflaje llamado Octocamo, que permitía camuflarse con el entorno mediante la copia del color del terreno y sus texturas. Aplicaba tecnología térmica para regular la temperatura del sujeto disfrazado, para una mejor mezcla con el entorno y evadir las imágenes térmicas. Fue inspirado por las habilidades de imitación del pulpo, y de ahí su nombre. 4.2.2. Transparencia Sabemos que cuando una onda electromagnética incide sobre un material, puede interactuar con él de maneras diferentes que dependen de la longitud de onda de la radiación y de las propiedades del material. Esta onda interactúa con un objeto mediante una combinación de reflexión, absorción y transmisión. Pero hay casos en los que la onda es transmitida casi por completo y no se produce reflexión o ésta es mínima. Tales materiales son llamados electromagnéticamente transparentes. Figura 45. Camuflaje óptico [82]. Figura 46. a) Mayor Kusanagi con su traje termo-óptico en “Ghost in the Shell”, b) James Bond en “Die Another Day” (2002). a b Figura 47. Snake con el camuflaje Octocamo en “Metal Gear Solid 4: Guns of the patriots” (2008). José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 41 Vamos a empezar este apartado describiendo un ejemplo claro en la propia naturaleza de cambios en la trayectoria de la luz. Veamos pues cómo funcionan los espejismos. Los espejismos se producen por refracción atmosférica 35 de la luz y se ven principalmente en entornos donde hay grandes variaciones en la temperatura del aire, como en los desiertos o sobre cuerpos de agua fríos. La refracción que se produce cerca de la superficie de la Tierra se debe principalmente a los gradientes de temperatura donde los rayos de luz se doblarán hacia el lado más frío de una interfaz determinada. Resulta exactamente el mismo efecto que al introducir un lápiz en un vaso de agua. La refracción, por tanto, conduce a la flexión de los rayos de luz hacia el medio más lento al pasar la interfaz. Tenderá a doblarse hacia el área de temperatura más baja, ya que la velocidad de la luz será ligeramente menor [94]. En la Figura 60 vemos como la refracción desvía los rayos de luz desde la superficie caliente hacia el cielo brillante, produciendo un espejismo que tiene la apariencia de una superficie húmeda. La luz de los vehículos que avanzan hacia la superficie caliente se refracta hacia arriba, produciendo imágenes de espejismos debajo de los vehículos (Figura 61). Este fenómeno es consecuencia de un gradiente de temperatura en el aire sobre la carretera. La carretera se calienta por la radiación que llega del sol, y el aire cercano a la superficie de esta pasa a tener una temperatura más alta que el aire más lejano. A su vez, la densidad del aire es menor cerca de la superficie y va aumentando con la altura conforme el aire es más frío. Como el índice de refracción es proporcional a la densidad (de forma intuitiva, a menor densidad, la luz viaja más fácil), 𝑛(𝑟 ) también será menor cerca de la superficie e incrementará con la altura (Figura 60) [94]. Este espejismo se llama espejismo inferior y se produce cuando los rayos de luz de un objeto se acercan a una región más caliente y se refractan lejos del área caliente. Si esos rayos ascendentes son interceptados por el ojo del observador, verá la imagen de un espejismo que aparece debajo del objeto real. En este caso, puede haber un cierto nivel en el objeto a partir del cual todos los rayos de puntos por debajo de ese nivel se refractarán por encima de la posición del observador. Este nivel se llama “línea de fuga” y los puntos por debajo de una línea como esta en el objeto no serán vistos por el observador. Este puede ver tanto el objeto por encima de la línea de fuga como los puntos correspondientes de un espejismo inferior por debajo de ese nivel. Con una distancia mayor, la línea de fuga se elevará y se verá menos objeto [94]. 35 El índice de refracción varía con la temperatura y la presión. Figura 61. Ejemplo de espejismo inferior. ↑∇ 󰇍 󰇍 𝑛,↑∇ 󰇍 󰇍 𝑃,↓∇ 󰇍 󰇍 𝑇 Figura 60. Explicación de un espejismo inferior común en carreteras del desierto. Figura 62. Concepto de línea de fuga en un espejismo. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 42 Otro tipo de espejismo del que podemos hablar es el superior, que se produce cuando existe aire caliente sobre agua fría. Se ven típicamente a grandes distancias en la región ártica cuando el aire es ligeramente más cálido que el agua. Este tipo de espejismo se suele llamar “vislumbramiento” o “fata morgana” (Figura 63). Transformación del espacio Con esto hemos visto cómo la naturaleza puede “doblar la luz”, pero la cuestión es lo que nos interesa a nosotros. ¿Cómo podemos doblar la luz? Hemos visto ya que podemos desviar la luz por medio de lentes, pero es un método con inconvenientes, ya que es muy difícil hacer que un objeto parezca realmente invisible, independientemente de donde se encuentren el observador y la fuente de luz. Suponiendo que no podemos cambiar las propiedades ópticas del objeto que estamos tratando de ocultar, debemos tratar de crear una imagen que envuelva el objeto con algún tipo de capa que haga invisible tanto al objeto oculto como a sí misma, como si la luz hubiera pasado a través del espacio sin toparse con nada. Esto es lo que viene siendo una capa de invisibilidad, o al menos lo más cercano a esa “reliquia de la muerte” (“Harry Potter”, 2001-2011) que todos habríamos querido tener y que nos hemos tenido que resignar a ver cómo hacen de ella un uso no tan productivo como el que nos habría gustado hacer a muchos de nosotros. En este apartado vamos a ver que el proceso de diseño conceptual de una capa de invisibilidad resulta ser bastante más simple de lo que se podía uno imaginar [88]. Primero, es necesario una forma de visualizar el espacio vacío. Podemos hacer esto imaginando un conjunto de puntos fijos en el espacio, que conectamos por líneas para formar una cuadrícula. El espacio, por supuesto, es continuo, de modo que hay un número infinito de puntos que se pueden especificar en coordenadas cartesianas por (x, y, z). Pero visualizamos el espacio trazando líneas de x a lo largo de intervalos de y, y viceversa como vemos en la Figura 65. Dado que la luz viaja en línea recta, podemos representar fácilmente la trayectoria de un rayo de luz en el espacio simplemente trazando una línea (línea azul en la Figura 65). A menudo pensamos en los rayos cuando pensamos en la luz, pero sabemos que la luz es una onda electromagnética que varía en todo el espacio. En la Figura 65 la onda es una variación sinusoidal simple, con a b Figura 63. [94] a) Dependencia con la temperatura del espejismo superior, b) Distorsión en el aire y respuesta no instantánea debido a los transitorios como vimos en el apartado 3.3, lo que provoca un espejismo superior. ↓∇ 󰇍 󰇍 𝑛,↑∇ 󰇍 󰇍 𝑇 Figura 64. Capa de invisibilidad de Harry Potter en “Harry Potter and the Sorcerer’s Stone” (2001). José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 43 una longitud de onda que es el doble de la distancia entre las líneas blancas. Este tipo de representación de una onda es más común en frecuencias más bajas [88]. Aunque tiene mucho sentido visualizar el espacio vacío con una cuadrícula simple como esta, no tenemos que hacerlo de esa manera. Podemos crear una transformación de coordenadas de cualquier tipo, y hacer el mismo tipo de cuadrícula utilizando las nuevas variables transformadas. Inicialmente se crea una función que transforma nuestras coordenadas habituales (x,y) en un nuevo conjunto de coordenadas (x’,y’). Podemos escribir cualquier transformación que queramos que nos permita calcular 𝑥′(𝑥,𝑦) e 𝑦′(𝑥,𝑦). Si queremos crear una capa, es importante que las coordenadas transformadas se vuelvan idénticas a las coordenadas originales en algún momento, de lo contrario, tenemos que transformar todo el espacio. Un tipo común de transformación es una transformación radial, que empuja todo el espacio dentro de alguna región circular dentro de un caparazón. La transformación se puede visualizar trazando las mismas líneas de constantes x o y, pero esta vez en (𝑥′,𝑦′). A veces es útil escribir la transformación como una ecuación matricial que relaciona las nuevas coordenadas con las antiguas, como 𝑥′=𝛬𝑥. El resultado de este cambio de coordenadas es la gráfica que se muestra a continuación. Únicamente estamos viendo el espacio de una manera diferente pero muy interesante. En primer lugar, no hay líneas de cuadrícula en el núcleo del espacio (Figura 66a). Eso significa que si las líneas de la cuadrícula representaran caminos que la luz puede tomar, aparentemente la luz no puede alcanzar una porción del espacio. Es como si creáramos un agujero en el espacio. Pero, de nuevo, esto es solo la ilusión de trazar el espacio en un conjunto diferente de coordenadas. Como podemos apreciar, el rayo de luz azul en la imagen se dobla rodeando la región central, por lo que podríamos hacer un objeto invisible si lo colocáramos en dicha región. Y lo mismo para ondas electromagnéticas de diferente longitud de onda. Si trazamos la onda sinusoidal en las nuevas coordenadas, obtenemos el tipo de imagen que se muestra en la Figura 66b. Aquí, los frentes de onda planos que ingresan a la región de transformación se doblan lejos del núcleo, y luego se restauran a medida que salen del otro lado. b a Figura 65. a) Representación de la trayectoria de un rayo de luz en el espacio vacío, b) Oscilaciones de una onda electromagnética en el espacio [88]. Figura 66. a) Representación de lo que sucedería si pudiéramos deformar el espacio físicamente, b) Todas las ondas electromagnéticas que ingresaran en la región transformada se alejarían del centro, por lo que cualquier objeto colocado dentro de la región central sería invisible [88]. b a José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 44 Al comparar estas visualizaciones del espacio deformado con la analogía de las lentes y los espejos de la que hablamos anteriormente, podemos ver que hemos logrado la invisibilidad, al menos en principio. Los rayos de luz se redirigen alrededor del objeto o región a ocultar, en este caso abriendo un agujero en el espacio y empujando todo el espacio desde una región circular hacia un caparazón. Fuera del caparazón, el espacio no se ve afectado (esto recuerda a la transformación del espacio de Star Trek y Alcubierre). Además, debido a que solo estamos transformando el espacio, hemos creado un caparazón que no dispersa luz u ondas, nada se refleja desde el caparazón, y la luz que atraviesa regresa a su trayectoria como si hubiera atravesado el espacio vacío. A diferencia de los magos que se acercan a la invisibilidad mediante espejos, esta capa de invisibilidad potencial funciona sin importar dónde esté el observador y sin importar de dónde vengan las ondas electromagnéticas. Esta capa de invisibilidad propuesta por el grupo de investigación del Doctor David R. Smith [88] es un dispositivo intrigante, pero sufre un importante problema de implementación: no se puede deformar el espacio (al menos no sin las reacciones de materia-antimateria de Star Trek). Pero en ella hay implícita una manera interesante de explotar las transformaciones y unos medios muy elegantes de manejar la luz. Medios de transformación Las ecuaciones de Maxwell ( 1) o dicho de otro modo, las ecuaciones que rigen la propagación de la luz y otras ondas electromagnéticas, se pueden escribir para tener la misma forma en cualquier conjunto de coordenadas. El truco es que la presencia de un medio entra en las ecuaciones de Maxwell como un par de parámetros (ε y μ) que describen su respuesta eléctrica ( 53) y su respuesta magnética ( 54). Cuando transformamos nuestro sistema de coordenadas, podemos aplicar la transformación a estos parámetros de modo que el resto de las ecuaciones se vean igual que antes de la transformación. Pero, ¿qué pasa cuando aplicamos la transformación a estos parámetros? Que se diseña un nuevo material con especificaciones muy particulares. Con esto consiguieron que la luz se comportara exactamente como si se hubiese deformado el espacio a través del gradiente de índice de refracción (∇𝑛), como en los espejismos. En realidad, es un resultado sorprendente y da como resultado una receta extraordinariamente simple. Si nuestra transformación de coordenadas se expresa como 𝑥′=𝛬𝑥, entonces los parámetros de material (ε y μ) necesarios para implementar realmente la transformación están especificados por [88]: 𝜀′=𝛬𝜀𝛬𝑇 |𝛬| 𝜇′=𝛬𝜇𝛬𝑇 |𝛬| ( 61) A partir de estas ecuaciones relativamente simples podemos obtener el diseño de un material que hará que la luz se propague como si hubiéramos deformado el espacio. Ahora es justo preguntar, ¿cuál es el problema? El problema es que el material requerido generalmente debe ser anisotrópico (con diferentes propiedades en diferentes direcciones) y debe tener una respuesta eléctrica y magnética. Además, esas propiedades deben variar en todo el espacio, o al menos en la región transformada. Por lo tanto, una solución de óptica de transformación requiere un medio muy complicado (con valores de ε y μ nulos o incluso negativos [95], véase materiales zurdos en apartado 3.4), o lo que podríamos llamar un medio de transformación, para lograr la gestión deseada de la luz. Intentar lograr un medio óptico de transformación general con materiales convencionales sería una tarea difícil, si no imposible. Sin embargo, no estamos obligados a utilizar materiales convencionales cuando creamos un medio de transformación. Los materiales artificiales modernos (llamados metamateriales, como hemos visto en el apartado 3.6) nos han proporcionado suficientes capacidades nuevas con las que podemos lograr a menudo propiedades ópticas de transformación increíblemente exigentes. De este modo, los metamateriales, combinados con el enfoque de transformación del diseño óptico, nos han proporcionado una nueva ruta hacia la invisibilidad. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 45 Capa de invisibilidad: metamateriales Para la creación de la capa de metamaterial lo primero que se necesita es saber cómo queremos que se propaguen los campos electromagnéticos dentro de ella o cómo se comportan los frentes de onda y, para ello, el grupo de Smith tuvo que buscar la forma de “mirar dentro” del material, y lo hizo a frecuencias de microondas. Idearon un sistema que contenía el material de estudio entre dos placas metálicas, así la radiación de microondas que inciden entre ellas se propagan en el plano bidimensional [88]. Al hacer un pequeño agujero en una de las placas e insertar una sonda, es posible medir el campo en ese punto sin alterar el patrón del campo. Al escanear la sonda sobre un área, se puede crear una imagen de la onda que interactúa con el material. La Figura 67 muestra un par de ilustraciones de la cámara de mapeo de campo, junto con una fotografía de la cámara real. El material gris oscuro moteado que forma un círculo dentado alrededor de los bordes es un material especial que absorbe las microondas (espuma RAM vista en el apartado 4.1 y en el Anexo III) y se utiliza para crear la abertura en la que incidir el haz de microondas, y para reducir la reflexión de las microondas que se dispersan desde el objeto bajo prueba. De este modo, la muestra con la que decidieron trabajar necesitaba funcionar con frecuencias de microondas y tener una forma plana circular con un orificio en el centro para ocultar un objeto a esta radiación. Con estas restricciones diseñaron el material. Debido a estas condiciones de contorno, el disco metamaterial plano se aproxima a un cilindro infinito. Eso significaba que debían hacer uso de una transformación bidimensional, por ello decidieron usar una transformación simétrica y radial que podría escribirse fácilmente en el sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z) de la siguiente manera [96]: 𝜌′={𝜌𝑅2−𝑅1 𝑅2+𝑅1 𝜌<𝑅2 𝜌 𝜌≥𝑅2 ( 62) R1 es el radio interno de la capa y R2 el externo, mientras que el ángulo transformado permanece igual en ambos sistemas de coordenadas. Para hacer uso de esta transformación, primero debemos transformar y luego volver a las coordenadas cartesianas, pero realizar el material no es tan sencillo como hacer una transformación de coordenadas pues esto, evidentemente, no modificaría las propiedades puntuales del medio. Aquí señalaremos únicamente que los parámetros constitutivos de la capa se pueden escribir en función de ρ y ρ′ como: 𝜀ρ=𝜇ρ=𝜕ρ′ 𝜕ρρ ρ′, 𝜀φ=𝜇φ=𝜕ρ 𝜕ρ′ρ′ ρ, 𝜀z=𝜇z=𝜕ρ 𝜕ρ′ρ ρ′ ( 63) que conduce a los siguientes parámetros constitutivos para la capa: Figura 67. Diseño de la cámara de mapeo utilizada por el grupo de Smith para ‘ver’ a través de la capa de metamaterial [88]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 46 𝜀ρ′=𝜇ρ′=ρ′−𝑅1 ρ′ 𝜀φ′=𝜇φ′=ρ′ ρ′−𝑅1 𝜀z′=𝜇z′=( 𝑅2 𝑅2−𝑅1)2ρ′−𝑅1 ρ′ ( 64) La guía de ondas de placas paralelas (Figura 67) obliga al campo eléctrico a ser perpendicular a estas placas a lo largo de la dirección z, con el campo magnético en el plano paralelo a estas (según los vectores de propagación). Al tener sólo tres componentes de campo, se puede reducir estos seis parámetros constitutivos de la capa a tres: 𝜀𝑧,𝜇𝜌,𝑦 𝜇𝜑. Y aun con esas, controlar estos tres parámetros les supuso un desafío ya que todos variaban en función del radio de la capa y alguno tomaba valores extremos (de cero a infinito). Una gráfica de los parámetros ópticos de transformación requeridos revela cuán exigente era la condición del material que requería la capa. Los tres parámetros variaban ampliamente en toda la capa. Pero antes de empezar a construir un material que según los valores de sus propiedades constitutivas prometía un trabajo bastante complicado, decidieron simular por computadora la estructura y los campos electromagnéticos en presencia de este material. La Figura 69 muestra un ejemplo de simulación de la capa ideal que se realizó utilizando el software de simulación de fenómenos físicos COMSOL Multiphysics®. Como predijo el enfoque óptico de transformación, la simulación electromagnética completa revela el comportamiento de ocultamiento esperado [97]. Esta simulación confirma las predicciones de la óptica de transformación. Y para fabricarlo sabían que los anillos (condensadores e inductores) partidos pueden proporcionar una respuesta magnética [98], y otras estructuras como los cables cortos pueden proporcionar una respuesta eléctrica (ver Figura 8). También sabían que los parámetros constitutivos solo varían en función del radio, no en función del ángulo. Entonces, la estructura que idearon consistía en capas concéntricas de meta-células, que contenían elementos metamateriales para controlar 𝜀𝑧,𝜇𝜌,𝑦 𝜇𝜑 [88]. Esto requiere una precisión de fabricación sin precedentes y un largo proceso, por lo que el resultado sería una solución exacta para la invisibilidad, al menos a una frecuencia, eliminando tanto el reflejo como cualquier sombra. Entonces, ¿qué pasaría si tuviéramos que alejarnos de los parámetros ideales, renunciando a un rendimiento de ocultamiento para llegar a una estructura más simple? La idea que se le ocurrió a Smith fue considerar una capa que funcionara para la óptica de rayos. En óptica, la respuesta magnética es a menudo tan pequeña que se obvia, y el material se caracteriza solo por su índice de refracción 36 . Al centrarse solo en el índice de refracción, podría encontrar más flexibilidad en los parámetros de ocultamiento. 36 El índice de refracción se puede utilizar para predecir la propagación de rayos a través de un medio. Figura 68. Valores de las propiedades del medio material diseñado por Smith y su grupo. Vemos que dos de ellos se acercan a cero en el radio interno de la capa y otro hacia el infinito [88]. Figura 69. Simulación de la capa ideal de invisibilidad del grupo de Smith, realizada por Steve Cummer en Duke, en 2006 [88]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 47 Para la orientación descrita del campo eléctrico y el campo magnético dentro de la guía de ondas de placas paralelas, el índice de refracción es anisotrópico con dos componentes 37 : 𝑛𝜌2(𝜌)=𝜀𝑧(𝜌)𝜇𝜌(𝜌)=(𝜌−𝑅1 𝜌)2(𝑅2 𝑅2−𝑅1)2 𝑛𝜑 2(𝜌)=𝜀𝑧(𝜌)𝜇𝜑(𝜌)=( 𝑅2 𝑅2−𝑅1)2 (65) Si solo nos preocupamos por estas componentes del índice de refracción, entonces solo resultan importantes los productos de la componente correspondiente de la permeabilidad y la componente z de la permitividad. Por lo tanto, somos libres de elegir los parámetros como queramos, siempre que los índices (65) sean correctos. Entonces: 𝜇𝜌(𝜌)=(𝜌−𝑅1 𝜌)2 𝜇𝜑(𝜌)=1 𝜀𝑧(𝜌)=( 𝑅2 𝑅2−𝑅1)2 (66) Estos parámetros proporcionan los mismos valores para los componentes del índice, pero dos de los parámetros son constantes. De hecho, 𝜇𝜑(𝜌) es igual a la unidad, por lo que podemos olvidarlo por completo. Lograr un conjunto de parámetros como estos es una tarea mucho más fácil, que posiblemente requiera el diseño de un solo elemento. Esta capa de parámetros reducidos podría no funcionar perfectamente, pero mostraría el mecanismo óptico de transformación, con ondas dirigidas alrededor de una región central envuelta. Por esa misma razón fue la capa que Smith y su grupo decidieron construir [88]. A continuación, se muestra una gráfica de los parámetros reducidos. En comparación con la capa de parámetros completa, la capa de parámetros reducida es una estructura mucho más alcanzable, que requiere que solo uno de los parámetros del material posea un gradiente en la dirección radial. La permitividad se mantiene en un valor constante de 4, un valor similar a muchos materiales aislantes. Todos los parámetros están delimitados, es decir, ninguno de los parámetros tiende al infinito como en el caso ideal anterior (Figura 68). ¿Qué podemos esperar entonces de una capa de parámetros reducidos? Como hicieron con la capa ideal, simularon los parámetros del material con COMSOL y observaron lo que sucedía cuando una onda interactuaba con la estructura. El resultado obtenido se muestra en la Figura 71. Como se esperaba, hay una distorsión en la onda incidente, con ambas reflexiones observadas hacia la fuente de la onda, y una sombra observada en el lado opuesto. Pero, también como se esperaba, las ondas se curvan alrededor de la capa de una manera muy similar a lo que sucedería en una capa de parámetros completos (también denominada capa ideal). Esto ocurre porque las trayectorias de las ondas están controladas predominantemente por el índice de refracción anisotrópico. La capa incluso parece restaurar los frentes de onda después de que hayan pasado a través de la estructura, aunque no completamente. 37 Permitividad y permeabilidad en un medio anisotrópico son magnitudes tensoriales, por eso tiene sentido hablar de componentes. En un medio lineal homogéneo son magnitudes escalares. Figura 70. Valores de los parámetros constitutivos reducidos de la segunda capa ideada por el grupo de Smith de la universidad de Duke [88]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 48 Por lo tanto, la capa de parámetros reducida simplifica enormemente el diseño metamaterial potencial, pero conserva el comportamiento básico esperado del diseño óptico de transformación. A pesar del buen resultado que obtuvieron en la simulación y posterior fabricación de esta capa de parámetros reducidos (Figura 71), estos sistemas suponen muchos retos para el futuro de su investigación. Por mencionar alguno, conseguir los parámetros (de los que hemos hablado en este capítulo) obliga a que las permitividades y permeabilidades tengan parte imaginaria y, por tanto, pérdidas de energía, como vimos en el apartado 3.3. Eso hace que sea imposible hacer una capa perfecta con materiales pasivos (condensadores e inductores en el caso de los SRRs, [98]). Por otro lado, como vimos en el apartado 3.6.2, la respuesta del metamaterial depende de la dispersión de las ondas incidentes y es por este motivo que es difícil hacer que las capas de invisibilidad funcionen con varios colores a la vez. Es difícil construir materiales en banda ancha (a todos los colores del arcoíris a la vez, véase física del color en el apartado 4.1) si las propiedades cambian de una frecuencia a otra. Y una vez visto cómo se diseñaron las primeras capas de invisibilidad, es posible hacerse una idea de las películas en las que podrían haber aparecido estos dispositivos de haberse ideado antes de que estas se escribieran. Pero como ocurre la mayoría de las veces, la imaginación humana y, por consiguiente, la literatura y el cine (de su creación), han ido bastante por delante del avance tecnológico de la época. Una saga cinematográfica que se adapta muy bien a esta forma de invisibilidad sería “Predator” (1987) y sus secuelas. En ella, las criaturas alienígenas denominadas Yautja se caracterizan por ser una raza cazadora, y sus presas suelen ser humanos y posteriormente aliens. Estos Yautja poseen una tecnología muy avanzada, con todo tipo de armas y sistemas como una máscara que les proporciona distintos modos de visión (“Bio-helmet”), cañones de plasma de gran precisión y un dispositivo de camuflaje mediante el cual adoptan una invisibilidad casi completa. Por lo que podemos ver en las películas su tecnología de camuflaje es capaz de doblar la luz alrededor de ellos de un modo muy similar al que ocurre en las transformaciones ópticas que acabamos de ver. Cuando el predator se mueve se ve una distorsión en el aire que, dependiendo del entorno, puede ser perceptible. Esta distorsión se debe a los transitorios, puesto que la respuesta de la luz no es instantánea como vimos en el apartado 3.3. Por ello, los Yautja prefieren biomas de selva, que ayudan a enmascarar la distorsión de su sistema de invisibilidad. En otros entornos, como cerca del fuego, son más fáciles de detectar por el cambio de índice de refracción del aire (véase también los gradientes de índice de refracción y temperatura en Doblando la luz). A partir del descubrimiento y estudio de estas capas de metamateriales son muchas las referencias en la ciencia ficción. En la nueva serie “The boys” (2019) basada en el cómic homónimo, el personaje Translucent explica, en una entrevista al estilo Jimmy Fallon, que sus poderes residen en que su piel se convierte en un metamaterial Figura 71. Simulación de la capa de parámetros reducidos del grupo de Smith, realizada por Steve Cummer en la Universidad de Duke, en 2006 [88] Figura 72. Yautja “Jungle Hunter” en la película “Predator” (1987). José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 49 de carbono que dobla la luz, como una capa de invisibilidad. Otro ejemplo de capa de invisibilidad con metamateriales es la que usa Sterben en la saga “Sword Art Online Alternative: Gun Gale Online” (2018) del anime “Sword Art Online” (2012-2019). La misma tecnología aparece en las naves de la serie “The Expanse” (2015), y se podrían mencionar muchos ejemplos más. Existen objeciones al hecho de que los personajes (humanos o basados en modelos humanos) invisibles de la ciencia ficción puedan ver con normalidad, pero ¿en qué consisten? De manera general, para poder ver, hay que interactuar con la luz. En los dos casos que se van a diferenciar, los personajes serían ciegos (al menos a la luz visible). Si el personaje es transparente, la luz pasa sin interactuar (no hay absorción): La invisibilidad de “El Hombre Invisible” se basaba en que todas las partes de su cuerpo (entre ellas los ojos) se hicieron transparentes y adquirieron un índice de refracción igual al del aire. Las partes transparentes del ojo como el cristalino (véase 4.2.2) refractan la luz de tal forma que sobre la retina se obtiene la imagen de los objetos sobre los que la luz se refleja. Si todas las partes del ojo y el aire tuviesen el mismo índice de refracción, desaparecería el origen de la refracción y la luz no cambiaría de dirección, por lo que no convergería en ningún punto. Si la invisibilidad la provee una capa o “piel metamaterial”, la luz rodea el cuerpo sin atravesarlo (estamos “a oscuras”): En las diferentes películas de “Predator” se ha visto que esta raza de cazadores puede hacerse invisible a frecuencias del espectro visible (véase apartado 2.4), pero no por ello son ciegos, al menos no a todas las frecuencias. Provistos de una tecnología llamada “Bio-helmet”, pueden acceder a varias frecuencias diferentes, entre las que destaca la infrarroja, efectiva para detectar a los humanos con imágenes térmicas (“Predator”, 1987). Pero Dutch (Schwarzenegger) consigue la invisibilidad a estas frecuencias cubriéndose de barro frío, ocultando así su imagen térmica, lo que lo ayuda en la batalla final. También poseen un modo de visión ultravioleta (“Predator 2”, 1990), y lo que parece ser un generador de campo electromagnético, que se usa en “Alien vs. Predator” (2004) para ver y cazar Xenomorphs, ya que el infrarrojo es inútil puesto que los aliens no emiten ningún calor. ¿CÓMO VE EL HOMBRE INVISIBLE? Figura 73. “Predator” (1987) José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 50 Conclusiones En este trabajo hemos estudiado el fenómeno de la invisibilidad desde un punto de vista físico, viendo primero qué entendemos por ver, y por tanto, que tenemos que hacer para que no nos vean. Para ello hemos hecho un repaso de la propagación de las ondas electromagnéticas y hemos visto diferentes aproximaciones vistas en la naturaleza, en ámbitos militares, y en la ciencia ficción. También hemos visto la interacción de estas ondas con la materia y los distintos tipos de materiales dieléctricos que existen según sus las propiedades electromagnéticas que los caracterizan. En el grueso del trabajo hemos visto los diversos métodos utilizados en el cine para conseguir la invisibilidad, entendiendo que hay algunos que son más fáciles de conseguir que otros. En adición se han estudiado los materiales absorbentes de radar como una aplicación muy utilizada desde la Segunda Guerra Mundial hasta la fecha, con propósitos militares o científicos. Por último, se ha visto que el método más conseguido y que tendrá mayores investigaciones en el futuro es el de las capas de invisibilidad fabricadas con metamateriales, que hasta el momento sólo han conseguido la invisibilidad a frecuencias electromagnéticas. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 57 Cámaras Anecoicas Si pensamos en un medio cuya impedancia intrínseca varía gradualmente a lo largo del recubrimiento, desde la impedancia del medio izquierdo hasta la del medio a la derecha, podemos pensar en una estructura piramidal como la de la Figura 76, que lleva la impedancia de campo desde el valor del aire al valor del material de la pirámide. Este tipo de estructuras se usan en las “cámaras anecoicas”. En muchas aplicaciones es necesario probar equipos que emiten radiación electromagnética como si se hallaran muy lejos de cualquier objeto que pudiera dispersar la radiación y causar interferencias que modifiquen el comportamiento del equipo bajo ensayo. Estas pruebas son esenciales para determinar el diagrama espacial de radiación de antenas, las emisiones de equipos electrónicos que podrían causar interferencia, etc. Para ello se usan cámaras cuyas paredes absorben completamente la radiación que les llega, sin producir ecos (reflexión), por los que se las llama anecoicas. En la Figura 77 se muestra el interior de una cámara anecoica con las paredes tapizadas con pirámides absorbentes. Estas cámaras son diseñadas con tamaños diferentes y con distintos tipos de material absorbente para responder a las distintas normas de prueba para diferentes tipos de radiación (existen también cámaras anecoicas para sonido, que permite evaluar las propiedades acústicas de sistemas de audio). Para no generar ecos (reflexión nula, 4.1) cuando la radiación incide sobre las paredes de la cámara, dichas paredes deben ser absorbentes. Por ello, es que se impregna el material de las pirámides con un material conductor para producir pérdidas por efecto Joule. Otra forma de lograr el mismo efecto es usar un material cuya impedancia intrínseca tenga parte real igual a la del vacío (véase adaptación de impedancias) y parte imaginaria no nula, lo que implica pérdidas de Joule, o sea, absorción (ver Anexo I). Este tipo de material absorbente tiene una buena respuesta en frecuencia y se usa también en cámaras anecoicas en forma de mosaico, aportando una mayor resistencia mecánica y mayor facilidad constructiva que los paneles de pirámides. Figura 76. Estructura piramidal. Figura 77. Cámara apantallada anecoica para ensayos de compatibilidad electromagnética (EMC) del INTA. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 58 Anexo IV. Incidencia Oblicua [99] Cuando el vector de propagación k de una onda electromagnética incidente no es normal a la interfase plana entre dos medios de impedancia intrínseca diferentes hablamos de incidencia oblicua. El plano formado por la normal n a la interfase y el vector de incidencia ki es el plano de incidencia (xz). El ángulo de incidencia es θi. Debido a la desadaptación de impedancias entre ambos medios habrá generalmente una onda reflejada, definida por su ángulo de reflexión θr y el vector kr y una onda transmitida (o refractada, en la jerga de la óptica), definida por el ángulo de refracción θt y el vector kt (supuesto real en esta sección). Desde el punto de vista de la potencia que propagan las ondas, se ve que hay una potencia transmitida 〈𝑃𝑡〉 en el medio de transmisión, mientras que en el medio de incidencia hay potencia que se propaga en dirección paralela a la interfase y potencia que se propaga en dirección normal a la interfase. Las componentes de los campos normales al plano de incidencia son transversales a las direcciones de propagación de potencia. La onda plana incidente tendrá sus campos polarizados en un plano perpendicular a ki. Suponemos por simplicidad ondas linealmente polarizadas. En tal caso, cualquier dirección de polarización de los campos se puede resolver en dos componentes: una con E contenido en el plano de incidencia y otra con E normal al plano de incidencia. Las condiciones de contorno de los campos sobre la interfase son diferentes para estos dos casos, por lo que vamos a estudiarlos por separado. Los campos resultantes se pueden superponer en un caso de polarización lineal cualquiera. Para cualquier dirección de polarización de la onda incidente podemos escribir que: 𝑬𝑖(𝒓,𝑡)=𝑬0𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑖𝑟) 𝑯𝑖(𝒓,𝑡)=𝒌𝑖×𝑬𝑖(𝒓,𝑡) 𝜔𝜇1 𝑬𝑟(𝒓,𝑡)=𝑬0𝑟𝑒𝑖(𝜔′𝑡−𝑘𝑟′𝑟) 𝑯𝑟(𝒓,𝑡)=𝒌𝑟′×𝑬𝑟(𝒓,𝑡) 𝜔′𝜇1 𝑬𝑡(𝒓,𝑡)=𝑬0𝑡𝑒𝑖(𝜔"𝑡−𝑘𝑡"𝑟) 𝑯𝑡(𝒓,𝑡)=𝒌𝑡"×𝑬𝑡(𝒓,𝑡) 𝜔"𝜇2 ( 90) donde 𝒌𝑟′=𝒌𝑟(𝜔′), 𝒌𝑡"=𝒌𝑡(𝜔"), suponiendo diferentes frecuencias. Estos campos deben satisfacer las condiciones de contorno sobre la interfase z = 0: (𝑬𝑖+𝑬𝑟−𝑬𝑡)×𝒏=0 (𝑯𝑖+𝑯𝑟−𝑯𝑡)×𝒏=0 ( 91) que es la expresión matemática de conversión de las componentes tangenciales. Estas ecuaciones de conservación implican que la fase de las ondas debe ser la misma sobre el plano interfase por la ortogonalidad de las exponenciales complejas. Nuevamente, como en el caso de la incidencia normal, la frecuencia de las ondas debe ser la misma: ω = ω’ = ω” ⇒ 𝒌𝑟′=𝒌𝑟=𝒌𝑟(𝜔), 𝒌𝑡"=𝒌𝑡=𝒌𝑡(𝜔) ( 92) para que estas condiciones se cumplan para todo instante de tiempo, y además: Figura 78. Incidencia oblicua. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 59 𝑘𝑖𝑥𝑥=𝑘𝑟𝑥𝑥=𝑘𝑡𝑥𝑥 ⇒ 𝑘𝑖𝑥=𝑘𝑟𝑥=𝑘𝑡𝑥 ( 93) para que se cumpla para todo punto (x, z = 0) sobre la interfase. Entonces las componentes tangenciales de los vectores de onda deben ser iguales y tenemos: 𝑘𝑖𝑥=𝑘𝑟𝑥⇒ 𝑘𝑖sin𝜃𝑖=𝑘𝑟sin𝜃𝑟⇒ sin𝜃𝑖=sin𝜃𝑟⇒ 𝜃𝑖=𝜃𝑟 𝑘𝑖𝑥=𝑘𝑡𝑥⇒ 𝑘𝑖sin𝜃𝑖=𝑘𝑡sin𝜃𝑡⇒sin𝜃𝑖 sin𝜃𝑡=𝑘𝑡 𝑘𝑖=𝜇2𝜂1 𝜇1𝜂2 ( 94) Estas relaciones entre los ángulos de las direcciones de propagación y la normal a la interfase se conocen como leyes de Snell de la óptica geométrica (son válidas independientemente de la polarización de la onda incidente). Si ambos medios son dieléctricos (μ1 = μ2 ≈ μ0): sin𝜃𝑖 sin𝜃𝑡=𝜇2𝜂1 𝜇1𝜂2=√𝜀2 𝜀1=𝑛2 𝑛1 ( 95) donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios. Se observa que en la incidencia desde un medio ópticamente menos denso a otro más denso (n2 > n1) el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia, es decir, la dirección de propagación se acerca a la normal, mientras que ocurre lo opuesto en el caso contrario (n2 < n1). El cálculo de los campos es más complicado y se simplifica, en parte, tratando por separado el caso en que el campo incidente está linealmente polarizado normal al plano de incidencia (caso transversal eléctrico, TE) del caso en que se halla paralelo al plano de incidencia (caso transversal magnético, TM). La aplicación de las condiciones de contorno lleva a las expresiones que definen los coeficientes de reflexión y transmisión en la incidencia oblicua. 𝜌𝑇𝐸=𝜂2cos𝜃𝑖−𝜂1cos𝜃𝑡 𝜂2cos𝜃𝑖+𝜂1cos𝜃𝑡 𝜏𝑇𝐸=2𝜂2cos𝜃𝑖 𝜂2cos𝜃𝑖+𝜂1cos𝜃𝑡 ( 96) 𝜌𝑇𝑀=𝜂2cos𝜃𝑡−𝜂1cos𝜃𝑖 𝜂2cos𝜃𝑡+𝜂1cos𝜃𝑖 𝜏𝑇𝑀=2𝜂22 𝜂1cos𝜃𝑡 𝜂2cos𝜃𝑡+𝜂1cos𝜃𝑖 ( 97) Del análisis de estas expresiones surge: 1. Si ambos medios son dieléctricos y la propagación se da desde el medio más denso al menos denso (n2 < n1), existe un ángulo crítico de incidencia por encima del cual no hay transmisión (reflexión total): 𝜃𝑖𝐶=sin−1√𝜀2𝜀1 ⁄ ( 98) 2. En el medio de transmisión se presentan campos evanescentes que no se propagan. Este efecto es la base del guiado de energía electromagnética por guías dieléctricas. 3. Antes vimos que para que no hubiese reflexión bastaba con que las impedancias fueran iguales (𝜂1=𝜂2), pero ahora con esa condición sí se da la reflexión. En la incidencia TM, solamente existe un ángulo (ángulo de Brewster) donde no hay reflexión: tan𝜃𝐵=𝜂1𝜂2=√𝜀1𝜀2 ⁄=𝜂2𝜂1 ⁄⁄ ( 99) José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 60 José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 61 Índice de Figuras Figura 1. Propagación de una onda plana. ......................................................................................................... 4 Figura 2. Propagación de una onda plana monocromática. ............................................................................... 5 Figura 3. Producto escalar k·r. .......................................................................................................................... 5 Figura 4. Espectro electromagnético. ................................................................................................................ 6 Figura 5. Parte real de ε según el modelo de Lorentz. ..................................................................................... 14 Figura 6. Gráfica de la parte real de ε según el modelo de Drude. .................................................................. 14 Figura 7. Diagrama μ-ε con distintas propiedades de propagación. ................................................................ 15 Figura 8. Primer metamaterial propuesto por Smith et al. ............................................................................... 16 Figura 9. Concepto de metamaterial y “metapartícula”. .................................................................................. 17 Figura 10. Detección de un objeto a partir de su reflexión o transmisión. ...................................................... 18 Figura 12. Reflectividad de varias estructuras basadas en nanotubos de carbono. ......................................... 19 Figura 12. Muestra del material “Vantablack”. ............................................................................................... 19 Figura 13. Bruce Wayne pintando de negro su traje. ...................................................................................... 20 Figura 14. Batman ocultándose en la oscuridad en la película “Batman Begins”. .......................................... 20 Figura 15. Ejemplos de trajes negros en el cine. ............................................................................................. 20 Figura 16. Diagrama típico de sección transversal de radar (RCS) ................................................................. 21 Figura 17. Vista superior de un F-117 y elementos que reducen su sección radar (RCS)............................... 21 Figura 18. Into The Jaws Of... A.I.M. !. .......................................................................................................... 24 Figura 19. Barco Stealth propiedad de Elliot Carver en “Tomorrow Never Dies” . ....................................... 24 Figura 20. ¿Puedes encontrar al leopardo? ...................................................................................................... 25 Figura 21. Polilla de los abedules. ................................................................................................................... 26 Figura 22. Leopardo camuflado por coloración disruptiva. ............................................................................ 26 Figura 23. Lagarto cornudo de cola plana ocultando su sombra. .................................................................... 27 Figura 24. Tipo de reflexión según la superficie. ............................................................................................ 27 Figura 25. Antílope jeroglífico con marcas de distracción. ............................................................................. 27 Figura 26. Camuflaje decorativo. .................................................................................................................... 28 Figura 27. Dragón de mar foliáceo. ................................................................................................................. 28 Figura 28. Lenguado tropical haciendo coincidir su coloración con su entorno. ............................................ 29 Figura 29. Comportamiento de un melanóforo................................................................................................ 29 Figura 30. Sepia camuflada en el fondo marino. ............................................................................................. 29 Figura 31. Nanocristales de guanina en los iridióforos. .................................................................................. 29 Figura 32. Pirita iridiscente. ............................................................................................................................ 30 Figura 33. Imágenes de un calamar cambiando de apariencia. ....................................................................... 30 Figura 34. Prototipo T-1000 camuflado con el suelo en “Terminator 2: Judgment Day”. .............................. 30 Figura 35. El camuflaje Adaptiv. ..................................................................................................................... 31 Figura 36. Camuflaje de nieve en “Inception”. ............................................................................................... 31 Figura 37. Arenques en el océano. .................................................................................................................. 32 Figura 38. Los reflectores del arenque son casi verticales para el camuflaje lateral. ...................................... 32 Figura 39. Tanque de la segunda guerra mundial oculto en la Operación Bertram, imitando un camión. ...... 32 Figura 40. Oruga de polilla de los abedules imitando ramas de arbustos o árboles. ....................................... 32 Figura 41. Patrón de rayas negras de la cebra. ................................................................................................ 33 Figura 42. Patrones de camuflaje deslumbrante en la Segunda Guerra Mundial ............................................ 33 Figura 43. Configuración del sistema de camuflaje óptico. ............................................................................ 33 Figura 44. Camuflaje óptico. ........................................................................................................................... 34 Figura 45. Traje termo-óptico en “Ghost in the Shell” y James Bond en “Die Another Day”........................ 34 Figura 46. Camuflaje Octocamo en “Metal Gear Solid 4: Guns of the patriots”. ........................................... 34 Figura 47. Las ranas de vidrio usan una transparencia parcial para camuflarse. ............................................. 35 Figura 48. Medusa Aurelia Labiata. ................................................................................................................ 35 Figura 49. Rodney Skinner (Griffin) en “The League of Extraordinary Gentlemen”. .................................... 36 Figura 50. Dynamo andando sobre el Támesis. ............................................................................................... 36 Figura 51. Truco del vidrio invisible. .............................................................................................................. 37 Figura 52. Truco de ocultamiento con un sistema de espejos. ........................................................................ 37 Figura 53. Así desapareció la Estatua de la Libertad (Nueva York). .............................................................. 38 Figura 54. Técnica de ilusionismo “Pepper’s Ghost”. . ................................................................................... 38 José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 62 Figura 55. Nave sarcófago klingon en Star Trek. ............................................................................................ 39 Figura 56. Curvatura de la luz cerca de cuerpos masivos como el Sol. ........................................................... 39 Figura 57. Deformación del espacio alrededor de una burbuja que rodea la nave USS Enterprise. ............... 40 Figura 58. Campo deflector de Wakanda en “Black Panther”. ....................................................................... 40 Figura 59. Ejemplo de espejismo inferior. ...................................................................................................... 41 Figura 60. Explicación de un espejismo inferior común en carreteras del desierto. ....................................... 41 Figura 61. Concepto de línea de fuga en un espejismo. .................................................................................. 41 Figura 62. Dependencia con la temperatura del espejismo. ............................................................................ 42 Figura 63. Capa de invisibilidad de Harry Potter. ........................................................................................... 42 Figura 64. Representación de la trayectoria de un rayo de luz en el espacio vacío. ........................................ 43 Figura 65. Representación de lo que sucedería si pudiéramos deformar el espacio físicamente. ................... 43 Figura 66. Diseño de la cámara de mapeo utilizada por el grupo de Smith. ................................................... 45 Figura 67. Valores de las propiedades del medio material diseñado por Smith y su grupo. ........................... 46 Figura 68. Simulación de la capa ideal de invisibilidad del grupo de Smith. .................................................. 46 Figura 69. Valores de los parámetros constitutivos reducidos. ....................................................................... 47 Figura 70. Simulación de la capa de parámetros reducidos del grupo de Smith ............................................. 48 Figura 71. Yautja “Jungle Hunter” en la película “Predator”. ......................................................................... 48 Figura 72. “Predator” ....................................................................................................................................... 49 Figura 73. Incidencia normal sobre una interfase. ........................................................................................... 54 Figura 74. Recubrimiento de cuarto de onda. .................................................................................................. 56 Figura 75. Estructura piramidal. ...................................................................................................................... 57 Figura 76. Cámara apantallada anecoica del INTA. ........................................................................................ 57 Figura 77. Incidencia oblicua. ......................................................................................................................... 58 José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 63 José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 64 Índice de siglas ADN: Ácido desoxirribonucleico. ................................................................................................................... 32 ARN: Ácido ribonucleico. ............................................................................................................................... 32 BAE: British Aerospace. ................................................................................................................................. 31 CGI: Computer-generated imagery - Imágenes generadas por computadora. ................................................. 39 CTR: Corte transversal de radar. ............................................................................................................... 21, 22 DNG: Double-negative - Medios doblemente negativos. ................................................................................ 15 DPS: Double-positive - Medios doblemente positivos. ................................................................................... 15 ENG: Epsilon-negative - Medios epsilon negativos. ....................................................................................... 15 LH: Left-handed - Materiales zurdos. .............................................................................................................. 15 MNG: Mu-negative - Medios mu-negativos. ................................................................................................... 15 MWNTs: Multi-wall nanotubes - Nanotubos de pared múltiple. .................................................................... 24 NRI: Negative refraction index - Medios de índice de refracción negativo. ................................................... 16 PMMA: Polymethyl methacrylate - Polimetilmetacrilato. ........................................................................ 36, 37 RAE: Real academia española. ........................................................................................................................ 18 RAM: Radar-absorbing-materials - Materialesabsorbentes al radar. .............................................22, 23, 24, 45 RCS: Radar cross-section - Sección equivalente de radar. ................................................................. 21, 22, 24 RH: Right-handed - Materiales diestros. ......................................................................................................... 15 RPT: Retro-reflective projection technology - Proyección retroreflexiva. ...................................................... 34 SNG: Simple-negative - Medios simplemente negativos. ............................................................................... 15 SRR: Split-ring resonators - Resonadores de anillo-partido. ............................................................... 16, 23, 24 TE: Transversal eléctrico. ................................................................................................................................ 58 TM: Transversal magnético. ............................................................................................................................ 58 José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 65 Bibliografía [1] K. Thorne, The Science of Interstellar, New york, United States: W. W. Norton & Company, 2014. [2] H. G. Wells, The Invisible Man, Londres: C. Arthur Pearson Limited, 1897. [3] Homero, La Ilíada, Madrid: Ediciones Akal, S. A., 1998. [4] Platón, La República, II, 359a - 360d., Madrid: Ediciones Akal, S. A., 2008. [5] Anónimo, Cantar de los Nibelungos, Madrid: Ediciones Cátedra, 2005. [6] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics 3rd Ed., Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 1999. [7] J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy, Foundations of Electromagnetic Theory (4th Edition), Boston, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1960. [8] E. M. Cortés, Óptica de Transformación y Metamateriales, Ciudad de México: Tesis, Universidad Nacional Autónoma de México, 2012. [9] L. D. Lifshitz y E. M. Landau, Electrodinámica de los medios continuos, Barcelona: Editorial Reverté, S. A., 1981. [10] R. W. Z. N. Engheta, Metamaterials: Physics and Engineering Explorations, Piscataway, New Jersey: John Wiley & Sons & IEEE Press, 2006. [11] I. Sánchez Valiente, Estudio numérico de la propagación de ondas electromagnéticas en materiales doblemente negativos, Valladolid: TFG, Universidad de Valladolid, 2018. [12] J. Represa, A. Grande, I. Barba y A. C. López, «Metamateriales con índice de refracción negativo: una nueva frontera en Electromagnetismo,» Revista de Ciencias, UVA, vol. 1, pp. 15-20, Marzo 2013. [13] V. G. Veselago, «The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and μ,» Usp. Fiz. Nauk., vol. 92, pp. 517-526, 1967. [14] D. R. Smith, «Composite medium with simultaneously negative permeability and permitivity,» Phys. Rev. Lett., vol. 84, nº 18, pp. 4184-4187, May 2000. [15] J. B. Pendry, A. J. Holden, D. J. Robbins y W. J. Stewart, «Low frequency plasmons in thin wire structures,» J. Phys.: Condens. Matter., vol. 10, pp. 4785-4809, 1998. [16] J. B. Pendry, A. J. Holden, D. J. Robbins y W. J. Stewart, «Magnetism drom conductors and enhanced nonlinear phenomena,» IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 47, nº 11, pp. 2075-2081, Nov 1999. [17] M. Lapine y S. Tretyakov, «Contemporary notes on metamaterials,» IET Microw. Antennas Propag, vol. 1, pp. 3-11, 2007. [18] J. R. R. Tolkien, The Lord of the Rings, Londres: George Allen & Unwin, 1954. [19] J. K. Rowling, Harry Potter and the Philosopher's Stone, Londres: Bloomsbury Publishing, 1997. [20] E. Theocharous, R. Deshpande, A. Dillon y J. Lehman, «Evaluation of a pyroelectric detector with a carbon multiwalled nanotube,» Applied Optics, vol. 45, nº 6, pp. 1093-1097, March 2006. [21] K. Cui y B. L. Wardle, «Breakdown of Native Oxide Enables Multifunctional, Free-Form Carbon Nanotube- Metal Hierarchical Architectures,» ACS Applied Materials & Interfaces, vol. 38, nº 11, pp. 35212-35220, Septiembre 2019. [22] S. NanoSystems, «SURREY NANOSYSTEMS,» [En línea]. Available: www.surreynanosystems.com. [Último acceso: 13 Nov. 2019]. [23] F. Miller, «Batman: Year One,» de Batman, DCComics, 1987. [24] B. Kane y B. Finger, «The Case of the Chemical Syndicate,» Detective Comics, nº 27, 1939. [25] G. Johns y D. Finch, «Forever Evil,» vol. 4, DC Comics, 2013. [26] G. Johns, «Green Lantern,» vol. 4, DC Comics, 2006. [27] Micromag. [En línea]. Available: http://www.micromag.es/es/pinturas-absorbentes-radar/. [Último acceso: 19 Nov. 2019]. [28] P. Grining, «Situation Awareness in Air Combat,» [En línea]. Available: http://www.users.globalnet.co.uk/~dheb/2300/Articles/PG/PGSA.htm. [Último acceso: 19 Nov. 2019]. José Manuel Álvarez Izquierdo. Física de película: Invisibilidad Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias. Grado en Física 66 [29] R. Grant, Radar Game: Understanding Stealth and Aircraft Survivability, Arlington, Virginia: IRIS Independent Research, 1998. [30] G. Hepcke, The Radar War, 1930-1945. [31] F. Simonis y S. Schilthuizen, Nanotechnology: Innovation Opportunities for Tomorrow's Defence, La Haya, Países Bajos: TNO Science and Industry, 2006. [32] J. M. Cole, «Taiwanese military reportedly develops ‘stealth’ coating,» Taipei Times, p. 1, 05 Julio 2011. [33] J. Segura, R. Sanchís, J. Amarashi, E. A. Navarro, M. Regalado, J. Navasquillo y A. García, «Condiciones acústicas de la cámara anecóica electromagnética de la Universitat de València,» Revista de Acústica, vol. 32, nº 3, 4, 2001. [34] todoradares.com, «FRECUENCIAS RADARES DE TRÁFICO (BANDAS),» [En línea]. Available: https://www.todoradares.com/bandas-de-frecuencias-de-radares-de-trafico/. [Último acceso: 28 Nov. 2019]. [35] E. F. Knott, J. F. Shaeffer y M. T. Tulley, Radar Cross Section (Electromagnetics and Radar), Raleigh, USA: Scitech Publishing, 2004. [36] H. A. Schade, «Schornsteinfeger,» U.S. Tech. Mission to Europe, Tech, pp. 90-45, 1945. [37] O. Halpern y J. M. J. Johnson, «Radar: summary report and Harp Project,» National Defense Research Committee, Division 14, vol. 1, nº 9-12, 1946. [38] A. V. Vorst, A. Rosen y Y. Kotsuka, «EM Wave Absorbers Protecting Biological and Medical Environment,» de RF/Microwave Interaction with Biological Tissues, New Jersey, John Wiley & Sons, Inc, 2006. [39] W. H. Emerson, «Electromagnetic wave absorber and anechoic chambers through the years,» IEEE Trans. Antennas Propag, vol. 21, nº 4, pp. 484-490, 1973. [40] M. A. Abdalla, «Experimental verification of a triple band thin radar absorber metamaterial for oblique incidence applications,» Progress In Electromagnetics Research Letters, vol. 39, pp. 63-72, 2013. [41] H. Shi, J. G. Ok, H. W. Baac y L. J. Guo, «Low density carbon nanotube forest as an index-matched and near perfect absorption coating,» Applied Physics Letters, vol. 99, nº 21, 2011. [42] H. Wang, «Double layered radar absorbing structures of Silicon Carbide fibers/polyimide composites,» Synthetic Metals, vol. 246, 2018. [43] S. Lee, J. Kirby y J. Sinnott, «Captain America - Into The Jaws Of... A.I.M. !,» Tales of Suspense, vol. 1, nº 93, 1967. [44] T. DeMichael, James Bond FAQ: All That's Left to Know About Everyone's Favorite Superspy, Applause Theatre Cinema Books, 2012. [45] G. H. Thayer y A. H. Thayer, Concealing-Coloration in the Animal Kingdom, New York: Macmillan Publishers, 1909. [46] P. Haythornthwaite, British Rifleman 1797–1815, Oxford, UK: Osprey Publishing, 2002. [47] Lumsden y Hodson, «Khaki Uniform 1848-49: First Introduction,» Journal of the Society for Army Historical Research, vol. 82, p. 341–347, 2004. [48] P. Wright, «Cubist Slugs,» London Review of Books, vol. 7, nº 12, 2005. [49] L.-V. G. d. Scévola, «Souvenir de Camouflage (1914-1918),» Revue des Deux Mondes, nº 12, p. 720, 1949. [50] N. Wilkinson, «Obituary: Mr Norman Wilkinson, Inventor of 'dazzle' painting,» The Times, p. 12, 1971. [51] N. Wilkinson, A Brush with Life, London: Seeley Service & Co, 1969. [52] R. L. Shaw, Fighter Combat: Tactics and Maneuvering, Annapolis, Maryland: Naval Institute Press, 1985. [53] H. B. Cott, Adaptive Coloration in Animals, Frome, UK: Methuen Publishing, 1940. [54] P. Forbes, Dazzled and Deceived: Mimicry and Camouflage, New Haven, Connecticut: Yale University Press, 2009. [55] T. Newark, Camouflage, London: Thames & Hudson, 2007. [56] J. Still, Collins Wild Guide: Butterflies and Moths, New York: HarperCollins, 1996. [57] A. Barbosa, L. M. Mathger, K. C. Buresch, J. Kelly, C. Chubb, C. Chiao y H. R. T., «Cuttlefish camouflage: The effects of substrate contrast and size in evoking uniform, mottle or disruptive body patterns,» Vision Research, vol. 48, nº 10, p. 1242–1253, 2008.