Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos
Abstract
Departamento de Ingeniería Energética y Fluidomecánica
Full text
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ESCUELA DE INGENIERIAS INDUSTRIALES GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA MODELADO DE ANEURISMAS ABDOMINALES MEDIANTE DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL. ESTIMACIÓN RÁPIDA DE PARÁMETROS HEMODINÁMICOS. Autor: Hernanz Rodríguez, Guillermo Tutor: Sierra Pallares, José Valladolid, Diciembre 2019
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 1 Resumen En este trabajo se pretende explicar de qué manera algunos parámetros geométricos pueden afectar al desarrollo y peligrosidad de un aneurisma de aorta abdominal (AAA). Para ello se plantea una simulación en bloque de un AAA que varía su geometría de forma aleatoria dentro de un intervalo de viabilidad. A partir de esta simulación (mediante Computational Fluid Dinamics), se construirá un modelo de orden reducido (ROM) que permitirá obtener los parámetros de salida con un mínimo coste computacional. Palabras Clave: CFD, Aneursima, ROM, AAA. Abstract The aim os this study is to evalute the influence of some geometric parameters on the developement and risk level of an Abodminal Aortic Aneurysm (AAA). In order to achieve this goal, a parametric random group simulation (Computational Fluid Dinamics) is run within the limits of the biological reality of aneurysms. The results of this simulation will help to build a reduced order model (ROM) capable of extracting output parameters without the need of high computational power. Key words: CFD, Aneurysm, ROM, AAA.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 2
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 3 Índice Índice de Figuras .................................................................................................... 4 Índice de Ecuaciones ............................................................................................. 4 Resumen ................................................................................................................. 1 1. Introducción y objetivos ..................................................................................... 9 1.1. La arteria Aorta Abdominal. ....................................................................... 9 1.2. Aneurisma. Tipos y AAA Sacular............................................................... 12 1.3. Repaso histórico de tratamientos. .......................................................... 14 1.4. Estudio hemodinámico mediante CFD. ................................................... 16 1.5. Aplicación de CFD en aneurismas, antecedentes. ................................. 17 1.6. Justificación del Trabajo de Fin de Grado. (Temporal) ........................... 18 2. Desarrollo del TFG ........................................................................................... 19 2.1 Metodología ............................................................................................... 19 2.1.1 Ecuaciones de transporte .................................................................. 19 2.1.2 Método de resolución y discretización .............................................. 21 2.1.3. Mallado ............................................................................................... 25 2.1.4. Flujo Pulsátil transitorio ..................................................................... 26 2.1.5. Parámetros de influencia y estudio .................................................. 27 2.2. Casos de estudio ...................................................................................... 31 2.2.1. Condiciones de contorno ................................................................... 31 2.2.2 Mallado ................................................................................................ 34 2.2.2. Validación ........................................................................................... 36 2.2.3. Geometrías y parametrización .......................................................... 45 2.2.4. Diseño y análisis de experimentos ................................................... 52 2.3. Resultados ................................................................................................ 56 2.3.1. Regresión: Bondad de ajuste ............................................................ 56 2.3.3. Contornos de Presión y velocidad .................................................... 58 2.3.2. TAWSS y OSI ....................................................................................... 69 2.3.4. ROM (Reduced Order Model) ............................................................ 77 2.4. Estudio económico ................................................................................... 78 3. Conclusiones .................................................................................................... 81 3.1. Propuestas de futuro ................................................................................ 81
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 4 Bibliografía ............................................................................................................ 83 Índice de Figuras Figura 1 .anatomía de la aorta abdominal (Netter 2018) ................................... 9 Figura 2. Sección de un vaso sanguíneo. (Richard E Klabunde 2012)............ 10 Figura 3. Localización de un aneurisma ............................................................. 12 Figura 4. Tipología de los aneurismas ................................................................ 14 Figura 5. Técnica de Dubost con prótesis .......................................................... 15 Figura 6. Técnica EVAR ........................................................................................ 16 Figura 7. Discretización SIMPLE ......................................................................... 21 Figura 8. Diagrama del proceso de cálculo mediante CFD ............................... 22 Figura 9. Vectores sobre los que el gradiente es definido ................................ 23 Figura 10. Velocidad media en la entrada ......................................................... 33 Figura 11. Presión media a la salida .................................................................. 34 Figura 12. Refinado de malla .............................................................................. 34 Figura 13. Mallado de la entrada al aneurisma ................................................ 35 Figura 14. Mallado de la transición al aneurisma ............................................. 36 Figura 15. Perfiles de velocidad para x=0 metros ............................................. 37 Figura 16. Perfiles de velocidad para x=0,125 metros ..................................... 38 Figura 17. Perfiles de velocidad para x=0,250 metros ..................................... 38 Figura 18. Influencia de la presión de salida en el perfil de velocidad para T=0.72 segundos ................................................................................................. 39 Figura 19. Perfiles de velocidad para x=0,240 metros ..................................... 40 Figura 21. Perfiles de velocidad para x=0 metros, sin condición de presión. 41 Figura 22. Perfiles de velocidad para x=0,125 metros, sin condición de presión. 41 Figura 23. Perfiles de velocidad para x=0 metros, sin condición de presión. 42 Figura 24. Degradación de la condición de entrada sin condición de salida. . 42 Figura 25. Perfiles de velocidad para distintos radios de aorta ....................... 43 Figura 26. Modelo para el caso standard .......................................................... 44
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 5 Figura 27. OSI medio para distintos Le .............................................................. 44 Figura 28. Contornos del OSI para diferentes coeficientes de dilatación (Kruchten 2015). ................................................................................................. 45 Figura 29. definición de parámteros geométricos.fusiforme. .......................... 47 Figura 30. definición de parámetros geométricos. Sacular. ............................. 49 Figura 31. mallado para modelo sacular ........................................................... 51 Figura 32. superficie de respuesta.(E.P.Box y R. Draper 2007) ....................... 55 Figura 33. Regresión no paramétrica.(ANSYS, s. f.) .......................................... 56 Figura 34. Bondad de ajuste de la regresión no paramétrica .......................... 57 Figura 35. fusiforme. Velocidad. T=0 seg ......................................................... 59 Figura 36. fusiforme. Velocidad. T=0,08 seg .................................................... 59 Figura 37. fusiforme. Velocidad. T=0,16 seg .................................................... 59 Figura 38. fusiforme. Velocidad. T=0,24 seg .................................................... 59 Figura 39. fusiforme. Velocidad. T=0,32 seg .................................................... 59 Figura 40. fusiforme. Velocidad. T=0,40 seg .................................................... 59 Figura 41. fusiforme. Velocidad. T=0,48 seg ..................................................... 60 Figura 42. fusiforme. Velocidad. T=0,56 seg ..................................................... 60 Figura 43. fusiforme. Velocidad. T=0,64 seg .................................................... 60 Figura 44. fusiforme. Velocidad. T=0,72 seg .................................................... 60 Figura 45. sacular. Velocidad. T=0 seg ............................................................. 61 Figura 46. sacular. Velocidad. T=0,08 seg ....................................................... 61 Figura 47. sacular. Velocidad. T=0,16 seg ....................................................... 61 Figura 48. sacular. Velocidad. T=0,24 seg ....................................................... 61 Figura 49. sacular. Velocidad. T=0,32 seg ....................................................... 61 Figura 50. sacular. Velocidad. T=0,40 seg ....................................................... 61 Figura 51. sacular. Velocidad. T=0,48 seg ....................................................... 62 Figura 52. sacular. Velocidad. T=0,56 seg ........................................................ 62 Figura 53. sacular. Velocidad. T=0,64 seg ....................................................... 62 Figura 54. sacular. Velocidad. T=0,72 seg ....................................................... 62 Figura 55. Fusiforme. Corriente. T=0 seg ........................................................... 64 Figura 56. Fusiforme. Corriente. T=0,08 seg ..................................................... 64 Figura 57. Fusiforme. Corriente. T=0,16 seg ..................................................... 64 Figura 58. Fusiforme. Corriente. T=0,24 seg ..................................................... 64
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 6 Figura 59. Fusiforme. Corriente. T=0,32 seg ..................................................... 64 Figura 60. Fusiforme. Corriente. T=0,40 seg ..................................................... 64 Figura 61. Fusiforme. Corriente. T=0,48 seg ..................................................... 65 Figura 62. Fusiforme. Corriente. T=0,56 seg ..................................................... 65 Figura 63. Fusiforme. Corriente. T=0,64 seg ..................................................... 65 Figura 64. Fusiforme. Corriente. T=0,72 seg ..................................................... 65 Figura 65. Sacular. Corriente. T=0 seg ............................................................... 66 Figura 66. Sacular. Corriente. T=0,08 seg ......................................................... 66 Figura 67. Sacular. Corriente. T=0,16 seg ......................................................... 66 Figura 68. Sacular. Corriente. T=0,24 seg ......................................................... 67 Figura 69. Sacular. Corriente. T=0,32 seg ......................................................... 67 Figura 70. Sacular. Corriente. T=0,40 seg ......................................................... 67 Figura 71. Sacular. Corriente. T=0,48 seg ......................................................... 67 Figura 72. Sacular. Corriente. T=0,56 seg ......................................................... 67 Figura 73. Sacular. Corriente. T=0,64 seg ......................................................... 67 Figura 74. Sacular. Corriente. T=0,72 seg ......................................................... 68 Figura 75. Superficie de respuesta TAWSS Fusiforme ...................................... 70 Figura 76. Correlación esfuerzo fusiforme 1 ..................................................... 70 Figura 77. Correlación esfuerzo fusiforme 2 ..................................................... 71 Figura 78. Superficie de respuesta TAWSS sacular .......................................... 72 Figura 79. Correlación esfuerzo sacular 1 ......................................................... 72 Figura 80. Correlación esfuerzo sacular 2 ......................................................... 73 Figura 81. Superficie de respuesta OSI fusiforme ............................................. 74 Figura 82. Correlación OSI fusiforme 1 .............................................................. 74 Figura 83. Correlación OSI fusiforme 2 .............................................................. 75 Figura 84. Superficie de respuesta OSI sacular. ............................................... 75 Figura 85. Correlación OSI sacular 1 .................................................................. 76 Figura 86. Correlación OSI sacular 2 .................................................................. 76 Figura 87. resultados obtenidos de la superficie de respuesta ....................... 77
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 7 Índice de Ecuaciones Ecuación 1. Ecuación de transporte de reynolds. ............................................. 19 Ecuación 2. Término fuente ................................................................................ 20 Ecuación 3. Término convectivo ......................................................................... 20 Ecuación 4. Expresión generalizada de la ecuación general de transporte .... 20 Ecuación 5.Conservación de masa ..................................................................... 20 Ecuación 6.Conservación de cantidad de movimiento ..................................... 20 Ecuación 7.Conservación de la energía ............................................................. 20 Ecuación 8.Cálculo de presión SOU .................................................................... 23 Ecuación 9. formulación implícta de primier orden ........................................... 24 Ecuación 10.calidad ortogonal (1) ...................................................................... 25 Ecuación 11. calidad ortogonal (2) ..................................................................... 25 Ecuación 12. Esfuerzo cortante en la pared ...................................................... 29 Ecuación 13. Esfuerzo cortante medio en el tiempo......................................... 29 Ecuación 14. OSI .................................................................................................. 29 Ecuación 15. Perfil de velocidad de entrada ..................................................... 31 Ecuación 16. Velocidad máxima en función del caudal .................................... 32
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 8
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 15 FIGURA 5. TÉCNICA DE DUBOST CON PRÓTESIS En 1991 Juan Parodi revolucionó el tratamiento con una solución quirúrgica endovascular poco invasiva. La tecnología permite introducir la prótesis sin necesidad de cortar el torrente a través de catéteres. Estos introducen el stent y lo posicionan para que más tarde se expanda ajustándose a la pared arterial y aislando el aneurisma. Desde entonces el llamado EVAR (Endovascular Aneurysm Repair) ha ido ganando terreno a la cirugía abierta, superando la cifra del 70% de las operaciones realizadas en 2016 por este método.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 16 FIGURA 6. TÉCNICA EVAR 1.4. Estudio hemodinámico mediante CFD. En este apartado se enunciarán algunas de las variables que influyen en la simulación de flujos sanguíneos. Para empezar, se puede hacer una distinción entre los fluidos newtonianos y no newtonianos. Si consideramos el segundo, su viscosidad se verá alterada con la temperatura y el esfuerzo cortante que se esté aplicando sobre él, mientras que, si consideramos nuestro fluido newtoniano, la viscosidad permanecerá constante. Otro parámetro importante en una simulación son sus condiciones de contorno. Se puede realizar una determinación personalizada por paciente, o bien se puede intentar realizar una aproximación sin la necesidad de realizar un estudio hemodinámico en quirófano. Continuando en esta línea, el perfil de velocidades tiene gran influencia en el resultado final, pues se trata de flujo laminar. Así se presentan varias opciones, que se adoptarán en función de la capacidad computacional y de la precisión que se requiera. La primera opción es tomar una velocidad uniforme a la entrada, como la media de la velocidad real, o la velocidad en el centro del lumen. Otra opción es suponer una entrada parabólica que, si bien sabemos que no representa la realidad fielmente, supone una aproximación generalizada válida en algunos casos. Por último, cabe destacar el estudio de Womersley (Hale, Mcdonald, y Womersley 1955), quien desarrolló un perfil mucho más fiel a la realidad, teniendo en cuenta la variación de la presión en el tiempo, aunque con un coste computacional mayor. Así se puede diferenciar la presión máxima durante el periodo de sístole o contracción cardiaca, y la presión mínima o diástole al final del periodo de expansión cardiaca. Para finalizar, es muy importante la interacción fluido-sólido para entender cómo cambia el flujo en función de las condiciones del paciente. De esta forma, las propiedades mecánicas que pueda ofrecer la arteria son claves en el modelado individualizado por paciente del vaso, teniendo en cuenta su estructura interna y enfermedades asociadas como la arterosclerosis. Éste es el campo de estudio computacional que ha tenido mayor relevancia recientemente, pues la capacidad computacional es mayor y más accesible. Además, es de especial interés tras la puesta en práctica de métodos como el EVAR, cuyo éxito depende de la facilidad con la que el stent se mantenga en su
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 17 posición dentro del vaso aneurismático. Sin embargo, no se estudiará este campo en el presente TFG, por falta de tiempo y recursos computacionales. 1.5. Aplicación de CFD en aneurismas, antecedentes. A continuación se presenta un repaso histórico de alguno de los estudios más importantes en el campo de investigación que aborda este proyecto (MA 2013). Shahcheragh (2002) estudió un modelo de flujo pulsátil tridimensional en la arteria aorta. Los resultados, tras introducir un flujo de velocidad de entrada uniforme, confirmaron que el modelo de Womersley de 1995 se ajustaba más al perfil de velocidad y al esfuerzo en la pared aguas abajo, que la clásica forma parabólica. En el mismo año, Morris también estudio un modelo parecido al anterior, pero con diferentes intenciones. El estudio contemplaba ambos flujos uniformes y variables, resultando en la presencia de flujos reversos durante la deceleración máxima. Concluyó con que flujos uniformes no eran capaces de estimar estas recirculaciones con precisión. Finol y Amon, en el año 2001, estudiaron un modelo 2D axilsimétrico que consistía en un flujo pulsátil de perfil de velocidades no uniforme, y en condiciones newtonianas con objeto de estudiar el esfuerzo cortante de pared (WSS). Situaron los puntos de mayor WSS en la entrada y salida del aneurisma, y en el tiempo de máxima presión sistólica. Dos años más tarde ampliaron el estudio en un modelo 3D real, simplificando la entrada a un flujo uniforme. Afirmaron que el máximo WSS se encontraría aguas arriba del final del aneurisma y es 64 veces mayor que el habitual de la aorta. Kose en 2006 desarrolló un método para personalizar las condiciones de contorno a cada paciente, obteniendo mejores aproximaciones que las usadas anteriormente. Sin embargo, esta técnica necesita imágenes por resonancia magnética encareciendo mucho la simulación. Raghavan y Wedster en 1998 destacaron la influencia de la asimetría de los aneurismas en el WSS, así como la posibilidad de una cierta independencia del diámetro del aneurisma y la probabilidad de ruptura. Fillinger en 2002, además de llegar a conclusiones parecidas a las de Finol y Amon, estudió la relación entre el diámetro del aneurisma y el riesgo de ruptura de la misma, quitando importancia al factor geométrico y destacando el WSS como principal factor de ruptura. De esta forma propusieron un análisis no invasivo del WSS para cada paciente como diagnóstico fiable de riesgo.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 18 Como conclusión, Reeps en 2010 quiso comprobar la validez de los modelos simplificados frente a los personalizados por paciente. Tras comprobar la aparición de picos imprevisibles de esfuerzos en los modelos simplificados, acabó redundando en la importancia del modelado por resonancia magnética, aunque siendo consciente del coste monetario y computacional que eso conlleva. Se han llevado a cabo otros estudios de gran relevancia en la última década, pero han centrado su atención en los stent y la interacción solido-fluido en el análisis, algo que no es objeto de estudio en este trabajo. 1.6. Justificación del Trabajo de Fin de Grado. Objetivos. La simulación mediante CFD ha sido objeto de estudio desde la época de los 90 en su aplicación a la medicina, desde las primeras simulaciones de Womersley, al estudio del stent mediante la interacción sólido-fluido más actual. En este proyecto se pretende sentar las bases para una herramienta rápida de diagnóstico de aneurismas de aorta abdominal que evite la operación prematura, o la ruptura evitable. Para ello, se abordarán los siguientes objetivos: I. Creación de modelos parametrizados de aneurismas de aorta abdominales. II. Simulación CFD de aneurismas de aorta abdominales. III. Análisis de resultados.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 19 2. Desarrollo del TFG En este apartado se expone el trabajo realizado, comenzando con un repaso de la técnica detrás de las simulaciones CFD, concretando en las simulaciones del flujo sanguíneo. Mas adelante se presentarán los casos de estudio, explicando cómo y por qué se diseñaron los modelos. Por último, se pasará a analizar los datos resultantes de las simulaciones en bloque, si estos encajan o no con lo esperado y las conclusiones que podemos extraer sobre los resultados. 2.1 Metodología Las simulaciones CFD se basan en la discretización del espacio de trabajo en divisiones llamadas celdas, en las que se evaluarán las ecuaciones que rigen el comportamiento de los fluidos. Para poder comprender el funcionamiento de estas simulaciones es, por lo tanto, necesario conocer las fórmulas y los métodos de discretización que se han utilizado. 2.1.1 Ecuaciones de transporte Partimos de la ecuación general de transporte de Reynolds aplicada a un volumen de control, que en este caso será cada una de las celdas del mallado de nuestra arteria, que se mostrará más adelante. ECUACIÓN 1. ECUACIÓN DE TRANSPORTE DE REYNOLDS. Si bien en CFD es útil generalizar el transporte de una cierta propiedad como el aporte de un término fuente o de generación intrínseca al volumen de control, más el aporte de un término convectivo. Ambos términos se pueden escribir de manera generalizada:
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 20 ECUACIÓN 2. TÉRMINO FUENTE ECUACIÓN 3. TÉRMINO CONVECTIVO Donde : • Φ es equivalente a β. • ΓΦ representa la forma de transporte convectivo de la propiedad Φ. • SΦ representa la generación de la propiedad por unidad de volumen. Igualando la ecuación general de transporte a la suma de los dos términos expuestos en el párrafo anterior, y transformando las integrales de superficie en integrales de volumen con la aplicación del teorema de gauss, resulta una expresión generalizada de esta forma: ECUACIÓN 4. EXPRESIÓN GENERALIZADA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE Si particularizamos esta expresión con distintos propósitos, obtenemos las ecuaciones que resolveremos tras haber sido discretizadas en cada celda: ECUACIÓN 5.CONSERVACIÓN DE MASA ECUACIÓN 6.CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ECUACIÓN 7.CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 21 Entre estas tres cabe destacar la importancia de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en un fluido viscoso como la sangre, y a fin de estudiar el esfuerzo cortante en la pared arterial que en última instancia será determinante para la evolución del aneurisma. 2.1.2 Método de resolución y discretización Se utilizará el método de volúmenes finitos. Este método evalúa cada una de las ecuaciones previamente linealizadas, en cada una de las celdas en las que se ha dividido el volumen sujeto a estudio. De entre las formas de resolución disponibles en Fluent, se ha elegido el calculador basado en la presión, o PBS (Pressure-Based Solver). Este modelo, resuelve el sistema de ecuaciones de cantidad de movimiento y masa de forma acoplada, resolviendo de forma secuencial el resto de ecuaciones de interés (energía, especies…). Por otra parte, para poder realizar un correcto acoplamiento de propiedades complementarias como son la presión y la velocidad es necesario un desplazamiento de la identidad de las celdas. De esta forma, los centros de las caras de una celda conformaran los centros de las celdas donde se evaluará la presión en una misma posición. FIGURA 7. DISCRETIZACIÓN SIMPLE
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 22 Este esquema de discretización (Figura 7) para el acoplamiento presión velocidad se denomina SIMPLE, es el más utilizado por su adaptabilidad a un gran número de situaciones, y sigue el siguiente esquema: FIGURA 8. DIAGRAMA DEL PROCESO DE CÁLCULO MEDIANTE CFD En una primera aproximación se utilizó el algoritmo de acoplamiento SIMPLE, puesto que es más ligero y de convergencia más directa. Una vez que se comprobó que el sistema convergía sin problemas, se implantó el que sería el método definitivo: Coupled. Esquemas segregados (como el SIMPLE) resuelven las ecuaciones de momento y las de corrección de presión por separado, resultando en un método de lenta convergencia, especialmente en sistemas transitorios como el que estamos tratando. Por otra parte, el esquema acoplado (Coupled) resuelve las ecuaciones de momento y de continuidad en un solo paso, definiendo los gradientes de presión de manera implícita en las ecuaciones de momento, y
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 23 generando también una discretización implícita del flujo másico por cara. Con esto, y ajustando los parámetros de discretización espacial que se detallarán a continuación se consiguió reducir los residuales hasta 10^-3 y aumentar también la velocidad de ejecución y convergencia, incluso con time steps muy grandes. • Discretización espacial (ANSYS, s. f.) o Gradiente: Mínimos cuadrados basado en la celda. Este método define el gradiente de una propiedad, a lo largo del vector que une los centros de dos celdas colindantes, de la siguiente forma: FIGURA 9. VECTORES SOBRE LOS QUE EL GRADIENTE ES DEFINIDO De esta forma la geometría de ambas celdas es muy importante para definir el gradiente, puesto que modificará el laplaciano del vector ri. Si bien es cierto que no suele ser el modelo más recomendado para mallas tetraédricas-triangulares como la utilizada aquí, ha demostrado ser estable, y asegura una mayor precisión que otros métodos más sólidos, pero más aproximados basados en valores nodales únicamente. o Presión: Segundo orden. Los valores de la presión se calcularán a través de la siguiente expresión: ECUACIÓN 8.CÁLCULO DE PRESIÓN SOU
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 24 Donde “𝞍” es valor de la presión en el centro de la celda, y su gradiente está referido a la celda aguas arriba de la actual. “r” es el vector que une la celda aguas arriba y la celda actual. (SOU= Second Order Upwind) o Momento: Segundo orden. Calculado de la misma manera que la presión. • Formulación del transitorio: o Implícita de primer orden. Para poder calcular el valor de todas las variables es necesario integrar estas en el tiempo durante el transitorio. Para ello se define una función que describirá la evolución temporal de una variable cualquiera (incluyendo su discretización espacial). La metodología implícita, relaciona el valor futuro de una cierta variable con los valores futuros de todas las celdas colindantes a la celda que se estudia, a través de la función descrita al comienzo del párrafo: ECUACIÓN 9. FORMULACIÓN IMPLÍCITA DE PRIMER ORDEN Como es lógico, este modelo se sustenta en la creación de un mallado lo más uniforme posible y con la precisión suficiente como para captar los fenómenos que ocurren en esquinas y cambios de dirección. Además, más adelante se estudiarán parámetros relacionados con el efecto cortante de la pared, haciendo necesario que la malla sea refinada manteniendo su calidad en esas zonas.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 31 2.2. Casos de estudio En este apartado se realizará una introducción a la construcción de los modelos que se simularán, mencionando sus condiciones de contorno, el mallado, la validación del modelo y las diferentes geometrías paramétricas bajo análisis. 2.2.1. Condiciones de contorno Para definir por completo la simulación es necesario acotar los límites del modelo con condiciones que impongan cómo se comporta el fluido en esos puntos. Perfil de velocidad de entrada Distinguimos 3 superficies con distintas condiciones. Por una parte, la pared vascular sigue la condición de “No Slip” o no deslizamiento, es decir, la velocidad del fluido que está en contacto con la pared es nulo. Es por ello que no es necesario definir la rugosidad de la pared. Por otro lado, existen condicionantes de entrada y salida al modelo. En la superficie de entrada se ha impuesto un perfil dependiente del espacio y del tiempo y se ha adjuntado a la simulación mediante UDF (User Defenied Function) programado en c. El primer paso para obtener el perfil, es calcular el caudal de sangre en m^3/s a través de la transformada rápida de Fourier de 14 harmónicos (Afkari 2015). Con el resultado instantáneo del caudal, que es función solo del tiempo y que además es independiente del radio de la aorta, se calcula la velocidad máxima. Para ello es necesario conocer antes la definición del perfil: 𝑢(𝑟,𝑡)=𝑈𝑚𝑎𝑥(𝑡)∗(1−𝑟10 𝑅10) ECUACIÓN 15. PERFIL DE VELOCIDAD DE ENTRADA Perfil que genera una función aplanada en el centro y que cae rápidamente en las paredes, algo parecido, aunque más simplificado, a lo que propuso Womersley años atrás.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 32 Si podemos definir Umedia como el caudal dividido por el Área, y a su vez el caudal como la integral de superficie del perfil de velocidad en la superficie de entrada, nos queda: 𝑄=∬𝑈𝑚𝑎𝑥(𝑡)∗(1−𝑟10 𝑅10)∗𝑟∗𝑑𝑟∗𝑑𝜃=𝑈𝑚𝑎𝑥∗5𝑅2 12 𝑈𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎=𝑄 𝐴=𝑈𝑚𝑎𝑥∗56 𝑈𝑚𝑎𝑥=𝑄 𝐴∗65 ECUACIÓN 16. VELOCIDAD MÁXIMA EN FUNCIÓN DEL CAUDAL Ahora que conocemos Umax ya podemos definir el perfil de velocidad que, en este caso sí, dependerá del tiempo y del radio, siendo variable a medida que se suceden las geometrías en la simulación. Técnicamente, para poder lograr este efecto de adaptación a la geometría, y porque Fluent no deja usar variables geométricas en sus UDF de contorno, ha sido necesario crear una nueva variable interna y referenciarla al parámetro de radio de la aorta. Además, se ha adimensionalizado para que no existieran problemas de incompatibilidad en la lectura. Este paso es indispensable para, al igual que con la parametrización de las geometrías, permitir que el conjunto de simulaciones se ejecute sin problemas de una tirada. A continuación, se muestra en la figura 10 el perfil de velocidad del primer y segundo ciclo de una simulación sobre el modelo fusiforme a razón de 0.01 segundos por time step y 160 time steps para dar un periodo de 0.8 segundos en el ciclo cardiaco.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 33 FIGURA 10. VELOCIDAD MEDIA EN LA ENTRADA Perfil de presión de salida Se ha decidido imponer un perfil de presión a la salida. En este caso se compone de 14 harmónicos que generan un perfil centrado en 13360 Pa (aproximadamente 100 mm Hg) y con máximo aproximado de 120 mm Hg y mínimo de 80 mm Hg. Reflejando así un caso de presión arterial saludable. El perfil de presión a la entrada no será otro que la respuesta que da el sistema a las dos condiciones de entrada y salida expuestas, siendo la presión de entrada mayor que de salida cuando el flujo se acelera y, al contrario. Sin embargo, sería posible referenciar el UDF con un parámetro del sistema, al igual que se hizo con el perfil de velocidad, para incluir en los parámetros de entrada valores mínimo y máximo de la presión arterial intentando simular situaciones de hiper o hipotensión. A continuación, se muestra en la figura 11 el perfil de presión del primer y segundo ciclo de una simulación sobre el modelo fusiforme con los mismos ajustes que el gráfico anterior. Destacar que solo se está imponiendo el perfil de salida. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 80 100 120 140 160 180 200 220 240 Velocidad (m/s) Time Step (Ts=0,01s)
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 34 FIGURA 11. PRESIÓN MEDIA A LA SALIDA 2.2.2 Mallado Se ha comenzado con mallas más bastas hasta llegar a la malla definitiva de 0.001 m por lado de celda, esencialmente con geometría de cuadriláteros, aunque también triangular en zonas donde la adaptación es más complicada. A continuación, en la figura 12, se grafica la velocidad en la superficie de control del resultado de una simulación estacionaria con condición de entrada de velocidad fija sobre las diferentes mallas, para comprobar la independencia del resultado con el mallado. (El eje no está centrado en la superficie de entrada) FIGURA 12. REFINADO DE MALLA 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 80 130 180 230 Presión (Pa) Time Step Presion Entrada Presion Salida 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01 Velocidad (m/s) Eje (metros) 0,01 m 0,005 m 0,001 m
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 35 En cuanto a la calidad de este mallado, se ha obtenido una calidad ortogonal media de 0.984, siendo la máxima de 1 y la mínima de 0. 752. Por otro lado, se han obtenido relaciones de aspecto medias de 1.07 con máximos de 1.86 y mínimos de 1. Estos datos han sido extraídos de la malla fusiforme, pero son muy similares a los del mallado sacular. Estos datos de calidad son aproximadamente iguales en todos los casos geométricos que se enumerarán en el caso de estudio. Sin embargo, hablar de numero de celdas y nodos no tiene sentido si tenemos en cuenta que la superficie a mallar cambia con el caso de estudio. Por último, para mejorar la precisión en zonas comprometidas y de gran interés como la entrada y salida del aneurisma y las proximidades de la pared, se ha refinado la malla haciendo 3 veces más pequeño el tamaño de celda, y realizando la transición entre diferentes tamaños con celdas triangulares. FIGURA 13. MALLADO DE LA ENTRADA AL ANEURISMA
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 36 FIGURA 14. MALLADO DE LA TRANSICIÓN AL ANEURISMA 2.2.2. Validación Con el fin de validar la representación del modelo, y habiendo ya comprobado el correcto funcionamiento del modelo estrictamente geométrico, se ha planteado un nuevo problema que servirá para aislar las condiciones de contorno y poder realizar un análisis más detallado. Con ese objetivo, se han sustituido las geometrías del aneurisma por un tubo recto de 250 milímetros de largo y un radio que oscilará entre los límites del radio de aorta especificado en el DOE (7,5-12,5). El resto de parámetros como condiciones de contorno y propiedades del fluido se han dejado intactos. Perfil de entrada Volviendo atrás a la introducción teórica, la condición de contorno de entrada no era otra que un perfil de velocidad sobre el área de entrada a nuestro volumen de control, que variaba en el tiempo (para satisfacer las necesidades de caudal definidas por una transformada rápida de Fourier de 14 harmónicos) y en el espacio, para adecuarse al radio de aorta de los diferentes casos que se simularan en bloque.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 37 A continuación, se detalla la validación de estas dos propiedades que debe cumplir la condición de entrada y que corrobora el correcto funcionamiento del UDF acoplado al sistema. Variación temporal Se graficarán los perfiles de velocidad para x=0 mm, x=125 mm y x=250 mm. El objetivo es, por una parte, comprobar que efectivamente el perfil de velocidad genera una velocidad media (directamente relacionada con el caudal por el área) que se adopta a lo esperado, y por otra observar cómo se transforma el perfil impuesto en la entrada a través del cilindro. Sería óptimo que el perfil introducido llegara tal cual, al aneurisma, pero este se transformará a medida que recorre el cilindro recto. Además, y con la mirada puesta en el último apartado de la validación, se pretende estudiar la influencia de la condición de salida sobre la morfología de este perfil a lo largo del tubo. De esta forma se graficarán resultados con la condición de salida impuesta y sin ella. Con Presión FIGURA 15. PERFILES DE VELOCIDAD PARA X=0 METROS 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 Radio (m) Velocidad(m/s) 0,072 0,064 0,056 0,048 0,04 0,032 0,024 0,016 0,008 0
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 38 FIGURA 16. PERFILES DE VELOCIDAD PARA X=0,125 METROS FIGURA 17. PERFILES DE VELOCIDAD PARA X=0,250 METROS 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 Radio (m) Velocidad (m/s) 0,072 0,064 0,056 0,048 0,04 0,032 0,024 0,016 0,008 0 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0 0,02 0,04 0,06 0,08 Radio(m) Velocidad(m/s) 0,072 0,064 0,056 0,048 0,04 0,032 0,024 0,016 0,008 0
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 39 Para empezar, se puede observar que el perfil impuesto se justa correctamente en el tiempo, mostrándose en la figura 15 los perfiles para x=0 y habiendo divido el ciclo cardiaco (que es de 0,8 segundos) en 10 intervalos de tiempo iguales . En la figura 16, como era de esperar, se puede ver como los perfiles se degradan hacia una tipología más parecida a la propuesta por Womersley. Por último, nos encontramos con unos perfiles muy perturbados para la sección de salida. Se tenían sospechas de que la presión podría desestabilizar demasiado los perfiles de velocidad desde x=125 mm a x=250 mm y que esto podría falsear los resultados obtenidos en la simulación con el aneurisma. Por ello se reprodujo la gráfica para un x=240 mm (figura 19) obteniéndose un resultado casi idéntico al de 125 mm, asegurando así la estabilidad del perfil en todo el intervalo donde podría estudiarse el aneurisma. Para ahondar algo más en la cuestión, se representaron los perfiles de velocidad para un mismo instante de tiempo (t=0,72 s) de los últimos 10 mm de tubo en 10 partes iguales. El resultado de la figura 18 muestra como tan solo a partir de x=247mm el perfil comienza a desestabilizarse. FIGURA 18. INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE SALIDA EN EL PERFIL DE VELOCIDAD PARA T=0.72 SEGUNDOS 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 Radio(m/s) Velocidad(m/s) x=240 x=241 x=242 x=243 x=244 x=245 x=246 x=247 x=248 x=249
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 40 FIGURA 19. PERFILES DE VELOCIDAD PARA X=0,240 METROS En la figura 20 vemos por un lado como la velocidad media se adapta perfectamente a la forma esperada para un ciclo cardiaco a lo largo de todo el cilindro (a pesar de que el perfil cambie, el flujo no pierde energía), y por otro como afecta la presión al perfil de salida, pero como ya hemos dicho este es un fenómeno local que no interfiere en la simulación. FIGURA 20. DEGRADACIÓN DE LA CONDICIÓN DE ENTRADA CON CONDICIÓN DE SALIDA. 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 Radio(m) Velocidad(m/s) 0,072 0,064 0,056 0,048 0,04 0,032 0,024 0,016 0,008 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 velocidad media Tiempo Degradación de la condición de entrada CON condición de salida 0 125 250
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 47 Fusiforme Este perfil se conforma por dos líneas paralelas al eje, una de ellas separada una distancia “d/2” siendo “d” el diámetro de la aorta. La otra estará separada una distancia “D/2” siendo “D” el diámetro del aneurisma. La conexión entre la pared vascular y la aneurismática, la realizan dos arcos tangentes entre sí y a las dos rectas, de forma que nunca se rompa la continuidad del perfil, y que además deben tener el mismo radio, que no se encuentra definido, si no que cambia en función a los parámetros de entrada y a las condiciones aquí expuestas. De la figura 29 las acotaciones verdes son variables y son los parámetros de entrada al modelo para cada simulación. La acotación en color rojo, es una distancia fija que en este caso se ha considerado de 125 mm por ser suficiente para que el perfil de velocidad en la entrada, puede desarrollarse a un perfil más perturbado y aún más parecido al flujo real. Además, se ha impuesto como condición que el aneurisma siempre este centrado dentro de la longitud de la arteria, marcado por el eje de simetría amarillo de la figura 29. Por último, la acotación en naranja, adoptará las medidas necesarias para que el resto de medidas sean compatibles y que las condiciones impuestas se cumplan. A continuación, se presentan dos ejemplos de modelos en casos muy distintos para demostrar la adaptabilidad del modelo. La imagen de la izquierda R R Longitud Aorta Radio Aneu. Longitud Aneurisma Radio Aorta FIGURA 29. DEFINICIÓN DE PARÁMTEROS GEOMÉTRICOS.FUSIFORME.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 48 representa un caso con D=60 mm y L=90mm, mientras que la imagen de la derecha D=40 mm y L=130mm. En ambos se puede observar de la misma forma como el mallado se adapta sin problema.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 49 Sacular Este perfil se conforma por una línea paralela al eje que delimitará la arteria aorta, y un arco de tres puntos centrado en el eje de simetría (acotación amarilla), que hará las funciones de pared aneurismática. Como conexión se ha establecido un arco de acuerdo de 5 mm de valor constante, tangente a la paralela al eje y al propio arco. El arco que conforma el aneurisma brinda una mayor flexibilidad de la geometría ante situaciones más extremas, pudiendo ser posible formar aneurismas eminentemente saculares, si no fuera porque se sigue manteniendo la condición de simetría axial. Si bien se simulará con los mismos parámetros en las dos geometrías, cabe destacar la utilidad que podría tener este modelo para el estudio de aneurismas saculares corrigiendo con coeficientes de simetría muy bajos. El “Radio aneurisma” fijará el primer punto del arco, que además debe estar centrado en toda la longitud del aneurisma, también de 250 mm en este caso. La “Longitud aneurisma” y el “Radio Aorta” marcarán el segundo punto del arco, y el tercer punto se obtendrá por simetría. El enlace entre el segundo punto del arco y la recta se realiza a través del radio de acuerdo tangente. Las acotaciones en rojo toman valores fijos, mientras que las verdes serán variables a medida que se simulen los diferentes casos. En la imagen de la izquierda se muestra un modelo con D=60 mm y L =90 mm, mientras que en la derecha con D=40mm y L=130m. R Radio Radio Longitud aneurisma Longitud Arteria FIGURA 30. DEFINICIÓN DE PARÁMETROS GEOMÉTRICOS. SACULAR.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 50
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 51 En ambos se puede observar de la misma forma como el mallado se adapta sin problema. Por último, se muestra un caso extremo que se acerca más a un sacular real: (Longitud y radio del aneurisma de 20 mm. Radio de acuerdo de 3 mm) FIGURA 31. MALLADO PARA MODELO SACULAR Si bien la geometría del modelo fusiforme se aproxima más cuando se trata de aneurismas muy desarrollados, el sacular puede ser de gran utilidad cuando el aneurisma es más pequeño, se está empezando a desarrollar, o simplemente la forma se asemeja más a este. Y es que los aneurismas reales tienen formas muy complejas, poco reproducibles por modelos tan genéricos como estos, y que solo pueden atender a modelos específicos por pacientes. Sin embargo, aquí se está intentando aislar algunos de los parámetros geométricos que intervienen en uno real para observar cómo influyen en la peligrosidad y el posible desarrollo del aneurisma.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 52 2.2.4. Diseño y análisis de experimentos Se propone crear un sistema virtual simplificado que sustituya a la simulación pero que pueda responder a los mismos estímulos que servirían de parámetros de entrada en una simulación. La gran ventaja de tener un sistema con estas características es que puede darnos resultados parecidos a los de una simulación que podría tardar horas o días en sucederse, en apenas segundos. Para ello, es necesario simular nuestro modelo en diferentes situaciones, para así tener una serie de casos que relacionen las entradas con las salidas del sistema. Así, podemos dividir el trabajo en el diseño de los experimentos (DOE) que no son otros que las simulaciones que se van a correr, y en el análisis de los datos de salida mediante una superficie de respuesta. DOE El Design Of Experiments (C.Montgomery 2013) o diseño de experimentos en español, es una etapa decisiva en la correcta aproximación del sistema a la simulación real. Consiste en escoger ciertos valores de cada uno de los parámetros de entrada para que en el mínimo número de casos den una representación total e independiente del sistema. Obviamente, este factor es inseparable del método de interpolación que se utilice en el postprocesado a la hora de crear las superficies de respuesta, pero eso se abordará más adelante. Entre los posibles métodos que existen para ordenar los casos de manera aleatoria, se ha escogido el Latin Hypercube Sampling Method (LHS). Es un método que lleva utilizándose desde finales de los 90 y, aunque ya se ha visto superado por el avance de la tecnología y la velocidad de los nuevos sistemas de simulación, es una muy buena opción cuando se opera en sistemas relativamente lentos como es el CFD. El primer paso para implementar el método es definir los intervalos de cada parámetro. Como en nuestro caso los valores de los parámetros de entrada tienen límites físicos por lo que representan, no se pueden dar valores demasiado extremos y se ha recurrido a los intervalos propuestos en el artículo de investigación realizado con el Hospital universitario de Valladolid” Estudio paramétrico de tensiones hemodinámicas en modelos de aneurismas de aorta abdominal” (Soudah et al. 2015) así, como en el artículo de investigación de la Uva: ”Predicción de riesgo de ruptura de Aneurismas de aorta Abdominal”(Vilalta-alonso et al. 2015).
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 53 Longitud del aneurisma (mm) (90-130) Radio del Aneurisma (mm) (20-40) Radio Aorta (mm) (7,5-12,5) A continuación, el método consiste en dividir estos intervalos en un numero n de “dimensiones” o subintervalos equiespaciados dentro del intervalo original. En nuestro caso, se ha decidido que n=30. Así si existiera un parámetro cuyo intervalo fuera (0-30), el primer subintervalo sería 0-1, el segundo 1-2, etc. Una vez se han definido todos los subintervalos se escoge un valor aleatorio en ellos. Esto resultará en una columna de 30 valores para cada uno de los 3 parámetros. Por último, se definen los experimentos agrupando de manera aleatoria los valores obtenidos en la columna. Este ha sido el DOE utilizado para el modelo Fusiforme: LongitudAneurisma (mm) RadioArteria (mm) RadioAneurisma (mm) 1 108 10,75 20,33 2 114,67 11,08 29,67 3 90,67 9,42 31 4 110,67 11,75 36,33 5 93,33 8,75 25 6 126,67 7,5 39,67 7 109,33 12,08 27,67 8 125,33 11,92 37,67 9 100 9,92 25,67 10 97,33 12,42 35 11 102,67 9,75 33 12 96 9,08 23 13 106,67 10,08 37 14 117,33 7,75 26,33 15 101,33 11,58 30,33 16 122,67 9,58 29 17 121,33 11,42 23,67 18 113,33 9,25 22,33 19 94,67 8,58 28,33 20 92 8,42 35,67 21 105,33 7,92 39 22 124 10,42 34,33 23 128 11,25 27
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 54 24 98,67 10,58 32,33 25 118,67 8,08 38,33 26 112 8,92 21 27 120 10,92 31,67 28 116 10,25 24,33 29 129,33 8,25 21,67 30 104 12,25 33,67 ROM Un ROM (Reduced Order Model) es entendido como una simplificación matemática de un sistema complejo que puede operar en un tiempo mucho menor al sistema original(Lassila et al. 2014). Si bien el ROM puede operar prácticamente a tiempo real, no hay que olvidar que el proceso de creación es costoso computacionalmente, pues requiere de numerosos pares entrada-salida o estímulo-respuesta. Es muy útil cuando los algoritmos clásicos de regresión no consiguen adaptarse a todas las condiciones del sistema, pero hay que destacar que generalmente la robustez del ROM no es demasiado elevada y es muy sensible a variaciones en el intervalo definido en el DOE. De esta manera, en ocasiones se interpolan ROM de intervalos pequeños para poder asegurar que el sistema es fiel y robusto. Se ha escogido este recurso porque no es necesario recrear campos de variables como pueden ser velocidad, presión, esfuerzo cortante, etc., solo nos interesa obtener ciertos valores discretos como el esfuerzo cortante acumulado en el ciclo o el OSI en la pared aneurismática. Un ROM también se puede definir como una superficie de respuesta, que es una correlación de variables de entrada con otras de salida en n dimensiones, donde n es la cantidad de parámetros de entrada y salida. De esta manera, una superficie de respuesta será graficable con hasta 3 parámetros (resultando 3 dimensiones) pero a partir de ahí se formula matemáticamente sin representación posible. A continuación, se muestra un ejemplo de la curva de respuesta y la superficie de respuesta, siendo parámetros de entrada la temperatura y la presión de una reacción y la de salida la producción de ácido sulfúrico (yield).
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 55 FIGURA 32. SUPERFICIE DE RESPUESTA.(E.P.BOX Y R. DRAPER 2007) Como es lógico, es necesario implantar un método de interpolación para que la superficie de respuesta pueda aproximar mediante curvas los conjuntos de puntos discretos resultantes del DOE(E.P.Box y R. Draper 2007). En este trabajo se ha escogido la regresión no paramétrica. La regresión no paramétrica es un sistema que se adapta muy bien al posible ruido en los resultados, debido a la creación de una franja de error, que funciona como tolerancia, dentro de la cual se incluyen la gran mayoría de los resultados. Como su nombre indica, la regresión no tiene parámetros predefinidos que se adaptarán al modelo, sino que es el mismo modelo el que genera los parámetros. Es por ello que necesita de un numero grande de muestras para ser fiel a los resultados.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 56 FIGURA 33. REGRESIÓN NO PARAMÉTRICA.(ANSYS, S. F.) 2.3. Resultados Se muestran a continuación los resultados obtenido de la simulación del DOE, y el tratamiento posterior de esos datos. 2.3.1. Regresión: Bondad de ajuste La fidelidad del ajuste se puede estimar a través de parámetros estadísticos. A continuación, se enuncia el que se considera más relevantes, y el valor que toma para el modelo fusiforme. Coeficiente de determinación: también conocido como el error R2, estima la bondad de la representación de la variabilidad de los parámetros de salida, cuanto más próximo a 1, más fiel. Debido al tamaño relativamente reducido de nuestro bloque de experimentos, se tomará como referencia para este apartado el coeficiente de determinación ajustado al número de experimentos, que en nuestro caso son 30. Los valores de bondad de ajuste obtenidos sobre los resultados de la simulación fusiforme con una regresión no paramétrica son los siguientes (se han tomado dos valores de salida cualesquiera): OSI medio TAWSS R2 (Puntos de aprendizaje) 0,9903 0,99853
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 63 Presión y líneas de corriente A continuación, se muestran los contornos de presión estática superpuestos con las líneas de corriente. Los valores de presión estática estarán comprendidos entra 80 mm Hg y 120 mm Hg, aunque los colores aquí representan una escala local, de ese instante en particular, que nos muestra si el gradiente de presión es favorable o no al sentido de flujo y cómo influye eso en los patrones de movimiento del fluido. Podemos ver que durante el pico sistólico el flujo es muy ordenado (Figuras 56 y 66), mientras que en las zonas de transición el flujo se desordena y la vorticidad aumenta (Figuras 60 y 70). Al entrar el aneurisma, el flujo se expande dentro de este, aunque el caudal en la zona central es muy superior al de la zona próxima a las paredes, y al salir el flujo se acelera y ordena. (Figura 58)
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 64 FIGURA 55. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0 SEG FIGURA 56. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,08 SEG FIGURA 57. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,16 SEG FIGURA 58. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,24 SEG FIGURA 59. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,32 SEG FIGURA 60. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,40 SEG
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 65 FIGURA 61. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,48 SEG FIGURA 62. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,56 SEG FIGURA 63. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,64 SEG FIGURA 64. FUSIFORME. CORRIENTE. T=0,72 SEG
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 66 La mayor diferencia entre los dos modelos es que en el sacular, incluso en el instante de mayor caudal, aparecen dos zonas de remolinos pegadas a las paredes en la entrada (Figura 67), que en la geometría fusiforme simplemente no existían. En algunos instantes, por tanto, coexistirán el reflujo con estos dos vórtices a la entrada (Figura 71). Al contrario que en el caso anterior, a la salida se observan remolinos, y es que el flujo reverso pegado a la pared es también divergente y por tanto es favorable a que aumente la vorticidad (Figura 68). FIGURA 65. SACULAR. CORRIENTE. T=0 SEG FIGURA 66. SACULAR. CORRIENTE. T=0,08 SEG FIGURA 67. SACULAR. CORRIENTE. T=0,16 SEG
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 67 FIGURA 68. SACULAR. CORRIENTE. T=0,24 SEG FIGURA 69. SACULAR. CORRIENTE. T=0,32 SEG FIGURA 70. SACULAR. CORRIENTE. T=0,40 SEG FIGURA 71. SACULAR. CORRIENTE. T=0,48 SEG FIGURA 72. SACULAR. CORRIENTE. T=0,56 SEG FIGURA 73. SACULAR. CORRIENTE. T=0,64 SEG
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 68 FIGURA 74. SACULAR. CORRIENTE. T=0,72 SEG
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 69 2.3.2. TAWSS y OSI En este apartado se quiere analizar los parámetros de salida que se presentaron al comienzo del proyecto. Es importante destacar que, aunque se muestren representaciones en 2D o en 3D, nuestro modelo tiene hasta 3 parámetros de entrada, lo que implica que sólo se podrá dar estimación valida del valor de los parámetros de salida, concretando todos los parámetros de entrada. Aun así, sí que son relevantes y nos dan una idea de la importancia que tienen en la creación y desarrollo del aneurisma las representaciones gráficas parciales de algún parámetro de salida con uno o varios de entrada. A continuación, se enseñan los casos más evidentes de correlación entre la entrada y la salida. TAWSS (Time Avareged Wall Shear Stress) El estudio del esfuerzo cortante en la pared es de gran importancia pues es clave para predecir la evolución y el estado del aneurisma. A continuación, se analizan los resultados que se han considerado más relevantes. Para los casos de representaciones 3D se ha mantenido un radio de la arteria fijo de 10 mm. Fusiforme En la Figura 75 se representa el esfuerzo cortante medio acumulado en el tiempo en la pared aneurismática, frente al radio del aneurisma y la longitud del aneurisma. Podemos deducir que el radio del aneursima es crítico, puesto que para valores altos de este, solo se obtienen valores altos del esfuerzo, algo que no ocurre con la longitud, donde tambien existen valores de esfuerzo bajos para longitud alta. Esto tambien se ve reflejado en la figura 77 donde se grafica el TAWSS frente al Índice de dilatación, con una ligera tendencia a crecer según lo hace el indice de dilatación, pero que no supone ningun resultado concluyente.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 70 Por otra parte, se ha representado el TAWSS contra la tasa de deformación, en busca de una correlación directa con un parámetro adimensional (Figura 76) . En este caso se puede extraer una correlación entre TAWSS con el radio y la longitud del aneurisma: cuanto mas ancho y corto es el aneurisma, mayor será el TAWSS y por lo tanto mayor probabilidad tendrá de crecer. FIGURA 75. SUPERFICIE DE RESPUESTA TAWSS FUSIFORME FIGURA 76. CORRELACIÓN ESFUERZO FUSIFORME 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0123456 TAWSS (Pa) Tasa de Deformación
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 71 FIGURA 77. CORRELACIÓN ESFUERZO FUSIFORME 2 Sacular El caso sacular es parecido, aunque no es tan concluyente como el anterior. También se da un pico de TAWSS para valores altos del radio y de la longitud del aneurisma (Figura 78), pero esta vez hay más variabilidad de los dos parámetros. Es decir, para grandes radios hay valores altos y bajos de TAWSS, y de igual manera ocurre para la longitud del aneurisma. Sin embargo, si graficamos como en el apartado anterior el esfuerzo frente a los números adimensionales, encontramos una relación que pone orden a esos valores de TAWSS. Para índices de dilatación bajos, el TAWSS será mayor (Figura 79). No parece concluyente que ocurra de la misma manera para la tasa de deformación pues existe mucha variabilidad (Figura 80). 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 TAWSS (Pa) Índice de dilatación
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 72 FIGURA 78. SUPERFICIE DE RESPUESTA TAWSS SACULAR FIGURA 79. CORRELACIÓN ESFUERZO SACULAR 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 TAWSS(Pa) Índice de dilatación
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 79 En cuanto al desglose de los costes asociados y los honorarios recibidos por un ingeniero junior: Salario en bruto anual 17.500 € Seguridad social 6.125 € Reconocimiento médico 100 € Cursos de prevención de riesgos 200 € TOTAL 23.925 € Teniendo en cuenta que un ingeniero trabaja de media 223 días, con jornada laboral completa de 8 horas, resulta en 1784 horas anuales. Es decir, 13,41 €/hora. De esta manera se puede calcular el gasto asociado a personal como: Investigación Repaso de literatura y definición de objetivos 50 horas Diseño de la simulación Planteamiento: Geometría, mallados, y condiciones de contorno 100 horas Ejecución Validación y simulación del bloque 100 horas Postprocesado Extracción de resultados: Surpeficies de respuesta y analisis de parámetros 50 horas Redacción Redacción y revisión del documento. 100 horas TOTAL 400 horas
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 80 13.41€/hora x 400 horas= 5364,35 € Si sumamos costes de material y costes de personal, obtendremos los costes directos totales del proyecto, que ascienden a doce mil cuatrocientos noventa y cuatro con treinta y cinco euros. Costes indirectos Se consideran indirectos los costes que no influyen directamente en la simulación, y no pueden ser directamente relacionados con ninguna actividad en concreto. Uso de instalaciones 200€ Tutoría de proyecto (20 horas) 400 € Transporte 100 € TOTAL 700 € Costes totales Es sencillo calcular los costes totales como la suma de los dos anteriores, resultando: trece mil ciento noventa y cuatro con treinta y cinco euros.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 81 3. Conclusiones Tras haber finalizado este trabajo, se puede concluir que: I. Los dos modelos planteados, tanto el fusiforme como el sacular, han sido capaces de adaptarse a todos los casos propuestos. Lo han hecho modificando su geometría, mallado, y condiciones de contorno para adaptarse a las exigencias de los parámetros geométricos de entrada, de forma que no es necesario abrir Fluent para modificar su comportamiento. II. La simulación CFD ha corrido sin incidencias, en un tiempo aproximado de 16 horas por cada diseño de experimentos, y completando los 4 ciclos cardiacos por modelo que se exigían sin fallo. Esto ha sido posible hacerlo sin necesidad de modificar en ningún instante de la simulación los modelos de forma manual, y simulando y guardando los resultados de manera automatizada. III. Los casos simulados en bloque han ofrecido suficientes datos para construir un modelo de orden reducido fiable mediante una superficie de repuesta. Este ROM, es capaz de dar un resultado muy similar al que se obtendría al simular un modelo con los mismos parámetros de entrada en un tiempo muy inferior. A pesar de la sencillez de los modelos aquí propuestos, y la inviabilidad de su puesta en práctica tal y como se presentan en este trabajo, se han plantado las bases para la creación de una herramienta útil, sencilla y económica de diagnóstico, que podría ser de gran ayuda a medida que la complejidad del modelo crezca, aumentando también el número de parámetros de entrada, y acercándose así cada vez más a la realidad del paciente. 3.1. Propuestas de futuro Como ya se ha dicho, este trabajo no pretende dar una herramienta válida y funcional, pero sí mostrar cómo se ha de proceder y dar una solución posible a los problemas pueden surgir al abordar este tipo de proyecto. De la misma manera, en este apartado se pretende dar posibilidades de desarrollo para poder alcanzar ese nivel de adecuación a la realidad del paciente que antes se ha mencionado. Aquí se mencionan algunas ideas: Modelos capaces de representar asimetría: Bien a través de modelado 3D (esto supondría un gasto computacional mucho mayor a la hora de generar el ROM), o a través de coeficientes de asimetría sobre modelos 2D axilsimétricos.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 82 Variación de las condiciones de contorno: Al igual que el código que rige los perfiles de presión y velocidad es dependiente del radio de la arteria, siendo este variable, también es posible modificar el perfil con un parámetro externo. Esto podría ser especialmente útil para pacientes que sufren de hipertensión o una insuficiencia cardíaca, siendo tratados de cara al ROM de igual manera que se han tratado los parámetros geométricos en este proyecto. Propiedades del fluido: En este trabajo se ha aproximado la sangre a un fluido newtoniano, pero esto no es del todo cierto. Se podría ajustar la viscosidad de la sangre anclando tablas en función del esfuerzo en Fluent. Además, e incidiendo una vez más en la parametrización por paciente, la sangre puede tener diferentes viscosidades y densidades (asociadas a patologías o simplemente a la edad del paciente) datos fácilmente obtenibles a través de pruebas de laboratorio. Esta viscosidad es crítica si, además, no se tiene en cuenta la condición de no deslizamiento en las paredes del vaso para calcular el esfuerzo cortante en la pared, como se ha hecho en este trabajo. Interacción sólido fluido (FSI): Este campo escapa del área de conocimiento desde el que parte este trabajo, pero las técnicas de simulación acopladas cada vez son más potentes, y podrían ser de gran ayuda en pacientes con paredes vasculares anormales por patologías como la arterosclresósis. Parametrizando la rigidez de las paredes de forma que para el personal sanitario sea igual de sencillo modificar este parámetro como cualquier otro anteriormente mencionado. Desarrollo de una aplicación: Si se pretende que sea utilizado por personas completamente ajenas al mundo de la informática y la simulación por ordenador, es necesario crear una interfaz sencilla que permita personalizar los parámetros a tener en cuenta, mostrar y analizar los resultados obtenidos y almacenarlos como parte del historial médico del paciente. Estas son tan sólo algunas propuestas de mejora que han surgido a lo largo de este TFG pero que nos hemos visto obligados a rechazar por falta de tiempo y recursos. Una simulación en bloque capaz de ser representativa de un aneurisma real supondría un gasto computacional altísimo que no podemos asumir a un nivel académico, pero que, llegando a ser una realidad, daría aún mas valor a la potencia y rapidez del modelo de orden reducido.
Modelado de aneurismas abdominales mediante dinámica de fluidos computacional. Estimación rápida de parámetros hemodinámicos. 83 Bibliografía Afkari, Damon. 2015. «Pulsatile blood flow interaction with arterial walls of aorta : autoregulation and impedance pressure boundary condition and its biomedical applications». Universidad Politéncica de Madrid. ANSYS. s. f. «Fluent Theory Guide». C.Montgomery, Douglas. 2013. Design and Analysis of Experminets. Eight. Arizona State University: D esign and Analysisof Experiments Eighth Edition DOUGLAS C. MONTGOMERY Arizona State University John Wiley & Sons,Inc. E.P.Box, George, y Norman R. Draper. 2007. Response Surfaces, Mixtures, and Ridge Analyses. Second. Madison,Wisconsin: John Wiley & Sons, Inc. Hale, B Y J F, D A Mcdonald, y J R Womersley. 1955. «Velocity profiles of oscillating arterial flow, with some calculations of viscous drag and the reynolds number.» Department of Physiology, St Bartholomew’s Hospital Medical College, London, n.o 23: 629-40. Kruchten, Tim Van. 2015. «CFD Modeling of Abdominal Aortic Aneurysms». Delft University of Technology. Lassila, Toni, Andrea Manzoni, Alfio Quarteroni, y Gianluigi Rozza. 2014. Model Order Reduction in Fluid Dynamics: Challenges and Perspectives. Reduced Order Methods for Modeling and Computational Reduction. https://doi.org/10.1007/978-3-319-02090-7_9. MA, Jieyan. 2013. «Development of Numerical Tools for Hemodynamics and Fluid Structure Interactions». University of Manchester. Martin, David M., Eoin A. Murphy, y Fergal J. Boyle. 2014. «Computational fluid dynamics analysis of balloon-expandable coronary stents: Influence of stent and vessel deformation». Medical Engineering and Physics 36 (8): 1047-56. https://doi.org/10.1016/j.medengphy.2014.05.011. MUSC. 2019. «Aneursimas». Medical University of South Carolina. 2019. Netter, Frank H. 2018. Atlas of Huan Anatomy. Richard E Klabunde. 2012. Cardiovascular Phisiology Concepts. Second. Ohio University College: Lippincott Williams & Wilkins. Schanzer, Andres, y Louis Messina. 2012. «Two Decades of Endovascular Abdominal Aortic Aneurysm Repair: Enormous Progress With Serious Lessons Learned». Journal of the American Heart Association 1 (3): 1-6. https://doi.org/10.1161/jaha.111.000075. Soudah, E, G Vilalta, M Bordone, F Nieto, J A Vilalta, y C Vaquero. 2015. «Estudio paramétrico de tensiones hemodinámicas en modelos de aneurismas de aorta abdominal». Revista Internacional de Mètodos Numèricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 31 (2): 106-12.
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