Òrbites periòdiques en glàxies barrades no centrades

TREBALL FINAL DE GRAU TÍTOL: Òrbites periòdiques en glàxies barrades no centrades TITULACIÓ: Grau en Enginyeria de Sistemes Aeroespacials AUTOR: Biel Gómez Crespo DIRECTORS: Patricia Sánchez Martín i Josep Joaquim Masdemont Soler DATA DIPÒSIT: 21/10/2024 TÍTOL: Òrbites periòdiques en glàxies barrades no centrades TITULACIÓ: Grau en Enginyeria de Sistemes Aeroespacials AUTOR: Biel Gómez Crespo DIRECTORS: Patricia Sánchez Martín i Josep Joaquim Masdemont Soler DATA DIPÒSIT: 21/10/2024 Resum A l'univers hi ha diversos tipus de galàxies, entre les quals n'hi ha que presenten una barra amb una alta densitat d'estels. De fet, la gran majoria presenten aquest tipus d'estructura. En estudis previs, s'ha demostrat que en el cas en què els diferents elements del conjunt del sistema galàctic (barra, bulb, disc i halo), estan disposats de manera simètrica, respecte d'un sistema de coordenades rotatori alineat amb la barra, les òrbites periòdiques que es formen al voltant del punt d'equilibri central són les responsables de donar forma a la barra. Aquest fet provoca que la barra pugui perdurar al llarg del temps. Aquest fet fa que la barra pugui ser considerada com un sòlid-rígid. Tot això s'ha demostrat per una disposició simètrica, però hi ha moltes galàxies que no segueixen aquest model. Per això, en aquest projecte s'estudien les òrbites periòdiques al voltant del punt d'equilibri central del sistema galàctic per a casos on hi ha algun tipus d'asimetria. D'aquesta manera s'aconsegueix una primera aproximació sobre el comportament en aquests casos per ser comparats amb el cas prèviament estudiat. Per dur a terme tot aquest estudi, s'estudia un sistema dinàmic que permet descriure el conjunt dels elements del sistema galàctic i que determina quina és la seva dinàmica. Es fan servir diferents distribucions de densitats i potencials proposats per diferents models, els quals ja han estat emprats en l'estudi del cas simètric. Amb ells, es pot definir el camp vectorial del sistema galàctic que permet calcular la distribució dels punts d'equilibri, la qual varia en funció de les asimetries introduïdes. Llavors, prenent la ubicació trobada del punt d'equilibri central per a cadascun dels casos asimètrics, es pot desenvolupar el càlcul de les òrbites periòdiques, primer a les seves proximitats i després, emprant un mètode de continuació, es poden trobar més òrbites periòdiques de la mateixa família. Fent els càlculs, per a una distribució on la barra de la galàxia està desplaçada verticalment del centre del sistema de referència, però el bulb es manté al centre de la barra, s'observa un resultat asimètric quant als punts d'equilibri, però amb òrbites amb la mateixa forma que en el cas simètric. Per tant, en aquesta situació, les òrbites periòdiques continuen donant forma a la barra de la mateixa manera. En canvi, si l'element que provoca l'asimetria és el bulb, desplaçat horitzontalment al llarg de la barra, els resultats, a part de mostrar l'asimetria en els punts d'equilibri, també apareixen òrbites amb una forma diferents que faran que el moviment dels estels a l'interior sigui diferent, podent generar concentracions d'estels en determinades regions de la barra. Finalment, també es combinen ambdós desplaçaments (bulb i barra), i el resultat obtingut determina que el desplaçament dels punts d'equilibri té contribucions d'ambdues asimetries, però que en termes de forma, és el desplaçament del bulb el que té més influència. TITLE: Periodic orbits in non-centered barred galaxies DEGREE: Bachelor's Degree in Aerospace Systems Engineering AUTHOR: Biel Gómez Crespo DIRECTORS: Patricia Sánchez Martín and Josep Joaquim Masdemont Soler SUBMISSION DATE: 21/10/2024 Abstract In the universe, there are various types of galaxies, some of which feature a bar with a high density of stars. Previous studies have demonstrated that, when the different elements of the galactic system (bar, bulge, disk, and halo) are arranged symmetrically with respect to a rotating coordinate system aligned with the bar, the periodic orbits that form around the central equilibrium point are responsible for shaping the bar. This phenomenon allows the bar to persist over time. Additionally, when studying galactic dynamics, the entire bar can be considered as a rigid body. All of this has been demonstrated for a symmetric arrangement, but many galaxies do not follow this model. Therefore, this project studies the periodic orbits around the central equilibrium point of the galactic system in cases where some form of asymmetry is present. This provides a preliminary understanding of the behavior in these cases, which can then be compared with the previously studied symmetric case. To carry out this study, a dynamic system model is studied that allows to describe the system's elements and determine its dynamics. Different density distributions and potentials, proposed by various models previously used in the study of the symmetric case, are employed. Using these, the vector field of the galactic system can be defined, allowing to calculate the equilibrium point distribution, which varies depending on the introduced asymmetries. Then, by identifying the central equilibrium point for each asymmetric case, the calculation of periodic orbits can be developed, first in its vicinity and then, using a continuation method, more periodic orbits of the same family can be found. From the calculations, for a distribution where the galaxy's bar is vertically displaced from the reference system's center, but the bulge remains at the center of the bar, an asymmetric result is observed in terms of the equilibrium points, although the orbits have the same shape as in the symmetric case. Therefore, in this scenario, the periodic orbits continue shaping the bar in the same way. However, if the element causing the asymmetry is the bulge, displaced horizontally along the bar, the results show not only asymmetry in the equilibrium points, but also orbits with different shapes, which would cause the motion of stars inside to differ, potentially leading to concentrations of stars in certain regions of the bar. Finally, both displacements (bulge and bar) are combined, and the results show that the displacement of the equilibrium points is influenced by both asymmetries, but in terms of orbit shape, the bulge displacement has the greatest influence. A tothom que m’ha acompanyat durant aquests cinc anys. Especialment als meus companys de l’EETAC, la meva fam´ ılia i els meus amics. Moltes gr` acies a tots. ´ INDEX Introducci ´ o..................................... 1 CAP´ ITOL 1. Descripci´ o del model gal` actic ............... 5 1.1. Model ...................................... 5 1.2. Potencials gal` actics .............................. 7 1.3. Equacions del moviment ............................ 7 1.4. M` etodes num` erics per resoldre les equacions de moviment . . . . . . . . 9 1.4.1. M` etodes num` erics d’un pas expl´ ıcits . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. M` etodes de Runge-Kutta cl` assics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 CAP´ ITOL 2. Punts d’equilibri i ` orbites peri` odiques . . . . . . . . . 17 2.1. C` alcul dels punts d’equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Estabilitat dels punts d’equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Valors propis per als diferents Li................... 18 2.3. Model linealitzat ................................. 19 2.4. Punt d’equilibri central i c` alcul d’` orbites peri` odiques . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1. Obtenci´ o de la primera ` orbita peri` odica . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2. Obtenci´ o de la fam´ ılia d’` orbites peri` odiques . . . . . . . . . . . . . . 22 CAP´ ITOL 3. Resultats ............................. 25 3.1. Definici´ o de les diferents configuracions a estudiar . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Definici´ o dels par` ametres establerts per als diferents elements del sistema gal` actic ................................... 25 3.3. ` Orbita propera al punt d’equilibri central per als diferents models . . . . . 27 3.3.1. Barra i bulb centrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.2. Barra centrada i bulb desplac¸at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.3. Barra desplac¸ada i bulb centrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.4. Barra i bulb desplac¸ats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. Cerca de la fam´ılia d’` orbites peri` odiques ................... 31 3.4.1. Modificaci´ o de l’energia a l’aproximaci´ o lineal . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.2. Continuaci´ o d’` orbites peri` odiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 CAP´ ITOL 4. Sostenibilitat i comprom´ıs social . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Sostenibilitat .................................. 43 4.1.1. Consum energ` etic de les eines usades . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1.2. Altres fonts de despesa energ` etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2. Comprom´ıs social ............................... 44 Resum i conclusions .............................. 45 Bibliografia ..................................... 47 ´ INDEX DE FIGURES 1 Imatge de la gal` axia Pinwheel capturada pel telescopi Hubble. Font: [1] . . . . 1 2 Esquema de la classificaci´ o de gal` axies segons la seva forma observable elaborat per Hubble. Font: [2] ............................ 1 3 Quatre gal` axies amb 8 anells dobles. La fila superior correspon a les imatges originals de, a: NGC 7098, b: UGC12646, c: NGC 2665, d: SDSS J015701.50- 001644.4. La fila inferior correspon a simulacions impreses sobre les imatges originals. e: NGC 7098, Euler (25,65,25); f: UGC12646, Euler (8,59,0); g: NGC2665, Euler (35,35,0); h: SDSS J015701.50-001644.4, Euler (-22,-55,45). Font: [3]...................................... 2 1.1 Esquema de les parts de la Via L` actia. Font: [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Diverses gr` afiques de l´ ınies equipotencials per a diferents posicions dels elements del sistema gal` actic, juntament amb els respectius punts d’equilibri. . . . 17 2.2 Diverses gr` afiques de l´ ınies d’isodensitat per a diferents posicions dels elements del sistema gal` actic, juntament amb els respectius punts d’equilibri. . . . . . . 18 2.3 Esquema del funcionament de la t` ecnica del tir paral·lel per refinar aproximacions d’` orbites peri` odiques. Font: [5]........................ 23 3.1 Exemples de diferents gal` axies amb diferents caracter´ ıstiques morfol` ogiques. . 26 3.2 ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3en el pla XY per a una barra i un bulb centrats. . 27 3.3 ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3(assenyalat amb un * a les gr` afiques) per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 2,5 kpc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 ` Orbites peri` odiques pr` oximes a L3per a una barra centrada i un bulb desplac¸at. 28 3.5 Comparativa de tots els desplac¸aments del bulb amb el cas sim` etric. (Eixos amb diferent escala per tal d’encabir totes les ` orbites de manera visible). . . . . 29 3.6 ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3per a una barra desplac¸ada i un bulb centrat. . . 30 3.7 ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3per a una barra desplac¸ada (yd halo =−4) i un bulb desplac¸at (xd=2,5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.8 Primeres ` orbites peri` odiques al voltant de L3per a una barra i un bulb desplac¸ats. 31 3.9 Comparativa de les ` orbites inicials trobades per una barra desplac¸ada (yd halo = −4) i diferents desplac¸aments del bulb respecte del cas en qu` e nom´ es la barra est` a desplac¸ada. (Eixos amb diferent escala per tal d’encabir totes les ` orbites de manera visible). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.10Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per a la configuraci´ o sim` etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.11Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 2,5 kpc i la barra centrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.12Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 3,5 kpc i la barra centrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.13Resultats de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 4,5 kpc i la barra centrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.14Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 4,5 kpc i la barra centrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.15Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb centrat i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.16Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 2,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.17Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 3,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.18Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 4,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.19Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 5,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.20Resultats de la continuaci´ o per al cas sim` etric. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.21Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 2,5 kpc sobre l’eix x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.22Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 3,5 kpc sobre l’eix x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.23Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 4,5 kpc sobre l’eix x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.24Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 5,5 kpc sobre l’eix x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.25Resultats de la continuaci´ o per al cas de la barra desplac¸ada (yd halo =−4) sobre l’eix yi el bulb centrat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 CAP´ ITOL 1. DESCRIPCI ´ O DEL MODEL GAL ` ACTIC El primer pas per dur a terme l’estudi ´ es fer una descripci´ o de quines s´ on les eines matem` atiques utilitzades per descriure el sistema gal` actic amb el qual es treballar` a per tal de trobar les diferents ` orbites peri` odiques. 1.1. Model Es defineix un model matem` atic per descriure el comportament del sistema. En aquest cas, s’utilitza el mateix model matem` atic emprat a [11], on es demostra l’aparici´ o dels brac¸os espirals als extrems de les gal` axies barrades. Aqu´ ı es fa servir el mateix model, per` o amb l’objectiu de trobar ` orbites peri` odiques dins de la barra per casos on els elements de la gal` axia no estan disposats de manera sim` etrica. Aquest model consisteix en la descomposici´ o de la gal` axia en els seus elements b` asics, els quals s´ on el bulb central, la barra, el disc i l’halo. D’aquesta manera s’aconsegueix dividir la gal` axia agrupant les diferents densitats i distribucions de massa que es troben en ella, segons la seva lluminositat observada des de la Terra. Un exemple d’aquesta divisi´ o en el cas de la nostra gal` axia, la Via L` actia, ´ es el que es troba a la figura 1.1, on apareixen les diferents parts esmentades excepte la barra. Figura 1.1: Esquema de les parts de la Via L` actia. Font: [4] Tal com es menciona a [7], la modelitzaci´ o del bulb central, del disc i de l’halo es fan mitjanc¸ant distribucions de massa axisim` etriques, metre que en el cas de la barra s’utilitza un model semblant a un el·lipsoide, on un dels eixos ´ es m´ es allargat que la resta. Les distribucions de densitat per a cadascuna de les parts segmentades es pot descriure amb expressions que ja han estat derivades per altres estudis sobre aquest tema. 5 6` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades Comenc¸ant pel bulb central juntament amb l’halo estel·lar, la distribuci´ o que s’empra per a aquest conjunt ´ es la de l’equaci´ o1.1, que es correspon al “Model de Plummer”, on r correspon a la dist` ancia al centre, ρs´ es la densitat al centre del cos i rsdefineix el factor d’escala. ”Esferoides amb una concentraci´ o alta tindran valors alts de ρsi valors petits de rs, mentre que el contrari passa en el cas d’esferoides amb una concentraci´ o baixa.” [7]. ρh(r) = ρs1+r2 r2 s−3 2 .(1.1) En el cas del disc, existeixen dos models per definir la distribuci´ o de densitat. El primer d’ells ´ es el model de Kuz’min/Toomre (Kuz’min [12], Toomre [13]), el qual treballa amb la distribuci´ o de densitat superficial. Aquest ´ es el definit a l’equaci´ o1.2. En ell apareixen els par` ametres r,rdiVd, els quals corresponen a la dist` ancia al centre del disc i als factors d’escala per al radi i la velocitat, respectivament. σd(r) = V2 d 2πrd1+r2 r2 d−3 2 .(1.2) L’altre model ´ es el de Miyamoto-Nagai [14], el qual proposa directament el potencial del disc. Aquest model s’analitzar` a m´ es en profunditat a la secci´ o1.2., ja que es el que es fa servir en aquest estudi. En ´ ultim lloc, per modelar la distribuci´ o de densitat a la barra, es fa servir un model lleugerament diferent, per tal d’incloure el fet que aquest component del model gal` actic no ´ es axisim` etric, com s´ ı que ho s´ on els anteriors. Aquest s’anomena model de Ferrers [15], el qual ´ es un dels m´ es utilitzats per definir la distribuci´ o de densitat dins de la barra d’una gal` axia. La seva expressi´ o matem` atica ´ es la que es troba a 1.3, on m2=x2/a+y2/b2+z2/c2, sent ael semieix major i bicels semieixos menors de l’el·lipsoide. El par` ametre ncorrespon al grau de concentraci´ o de la barra i ρ0a la seva concentraci´ o central. ρb=(ρ0(1−m2)n,si m≤1 0,si m>1(1.3) De fet, el par` ametre ρ0de 1.3 t´ e relaci´ o amb el valor de massa de la barra, seguint l’expressi´ o1.4, on apareix la funci´ o d’Euler (Γ) [16]. Mb=22n+3πab2ρ0Γ(n+1)Γ(n+2)/Γ(2n+4).(1.4) Pel cas prec´ ıs en el qual n´ es 2, aleshores ρ0es correspon amb el valor de 1.5. ρ0=150 32π GMb abc .(1.5) Amb la distribuci´ o de densitat obtinguda, ´ es possible calcular el potencial fent ´ us de l’equaci´ o de Poisson, que apareix a 1.6, on els diferents par` ametres s´ on ρ(la distribuci´ o de densitat), G(la constant de gravitaci´ o universal) i Φ(el potencial desitjat). Descripci´ o del model gal` actic 7 ∇2Φ=4πGρ.(1.6) 1.2. Potencials gal` actics Els potencials que s’utilitzen posteriorment en el c` alcul del sistema gal` actic inclouen el model de Miyamoto-Nagai, pr` eviament introdu¨ ıt, per al potencial del disc. L’equaci´ o matem` atica 1.7,´ es la proposada per al potencial del disc (Φd). En ella apareixen els par` ametres G(la constant de gravitaci´ o universal), Md(la massa del disc), ad(longitud d’escala radial del disc) i bd(longitud d’escala vertical del disc). Φd(R,z) = −G Md R2+had+ (z2+b2 d)1 2i21 2 .(1.7) A l’equaci´ o1.7,R2=x2+y2. El potencial de l’halo i del bulb (ΦhiΦbl) s’obt´ e de l’equaci´ o de Poisson 1.6, juntament amb la distribuci´ o de densitat descrita a l’apartat 1.1.. En el cas de la barra, aplicant l’equaci´ o1.6, s’obt´ e el resultat de l’expressi´ o1.8 [17]. Φb=−πG abc ρ0 n+1Z∞ λ du p∆(u)(1−m2(u))n+1.(1.8) A l’equaci´ o1.8,Gcorrespon a la constant de gravitaci´ o universal, ∆(u)=(a2+u)(b2+ u)(c2+u)λ´ es el valor de l’´ unica soluci´ o positiva de l’expressi´ om2(λ) = 0en cas que m≤1. En cas contrari, el valor de λ´ es 0. Amb els potencials obtinguts per a les diferents parts de la segmentaci´ o realitzada sobre el sistema gal` actic sobre el qual es vol fer l’estudi, se superposen per obtenir finalment el potencial total del model del sistema complet. Per fer-ho, nom´ es cal sumar els resultats obtinguts per a cada part, tal com es fa a l’equaci´ o1.9 Φ=Φh+Φbl +Φd+Φb.(1.9) 1.3. Equacions del moviment Un cop trobat el potencial total del sistema gal` actic, cal definir les equacions del moviment dins d’aquest per poder fer l’an` alisi sobre el moviment dels estels que hi ha l’interior. Per fer-ho, es parteix de l’equaci´ o1.10, la qual es correspon a la d’un sistema de refer` encia en rotaci´ o. ¨r=−∇Φ−2(Ωp×˙r)−Ωp×(Ωp×r).(1.10) 8` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades A1.10 apareixen el vector posici´ or= (x,y,z)d’un estel dins del sistema gal` actic, el potencial total Φ, el qual est` a definit a 1.9 per a aquest estudi, i la velocitat angular. Aquesta correspon a la suma de la velocitat angular del sistema de refer` encia juntament amb la del cos en moviment, combinades de la manera que es mostra a 1.11, on Ω´ es el m` odul de Ωp(Ω=∥Ωp∥). Ωp=  0 Ω 0 .(1.11) Tornant a 1.10, com que es tracta de l’equaci´ o del moviment referida a un sistema de refer` encia no inercial, ´ es a dir, en moviment (en aquest cas seguint el moviment de la barra), es veu com apareixen els termes associats a l’efecte Coriolis i de la forc¸a centr´ ıfuga. Aquests s´ on el segon i el tercer terme del costat dret de la igualtat, respectivament. Considerant l’an` alisi de [17] i el cas actual en qu` e no es vol precessi´ o de la barra (ε=0), descomponent l’equaci´ o vectorial 1.10 en les seves components, s’obt´ e el sistema de 1.12, on els par` ametres que hi apareixen ja han estat definits pr` eviament.    ¨x=2Ω˙y+Ω2x−Φx, ¨y=−2Ω˙x+Ω2y−Φy, ¨z=−Φz. (1.12) Aleshores, per tal d’obtenir un sistema d’equacions diferencials ordinaries (EDOs) de primer ordre en comptes de tenir-ne un de segon, es poden reescriure el conjunt de variables com a 1.13, quedant el sistema d’equacions 1.12 tal com apareix a 1.14. (x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (x,y,z,˙x,˙y,˙z),(1.13)                ˙x1=x4, ˙x2=x5, ˙x3=x6, ˙x4=2Ωx5+Ω2x1−Φx1, ˙x5=−2Ωx4+Ω2x2−Φx2, ˙x6=−Φx3. (1.14) Amb aquestes equacions del moviment, es pot calcular la constant de Jacobi tal com apareix a l’equaci´ o1.15 [17]. Aquest par` ametre ´ es una constant al nostre sistema a causa del seu car` acter Hamiltoni` a. El seu valor correspon a la suma de l’energia de l’` orbita en un sistema de coordenades no rotatori m´ es l’energia potencial corresponent a la forc¸a centr´ ıfuga del sistema de refer` encia no inercial [5]. Aleshores, es pot definir un potencial efectiu, com el de l’equaci´ o1.16, per incloure en el potencial real la contribuci´ o de l’energia potencial deguda a la forc¸a centr´ ıfuga del sistema no inercial. CJ(x1,x2,x3,x4,x5,x6) = −(x2 4+x2 5+x2 6) + Ω2x2 1+Ω2x2 2−2Φ,(1.15) Φe f f =Φ−1 2Ω2x2 1+x2 2.(1.16) Descripci´ o del model gal` actic 9 1.4. M` etodes num` erics per resoldre les equacions de moviment Amb el sistema d’equacions de moviment per al sistema gal` actic d’aquest estudi, cal proposar un m` etode num` eric per poder obtenir les solucions. Els m` etodes num` erics s´ on eines matem` atiques que proporcionen una soluci´ o aproximada del sistema d’equacions a resoldre, ´ es a dir, no donen la soluci´ o exacta. Tot i aix` o, s´ on capac¸os de donar una aproximaci´ o prou bona. T´ ıpicament, aquest tipus de m` etodes requereixen l’aplicaci´ o d’un algorisme iteratiu per tractar d’aproximar al m` axim la soluci´ o donada al valor exacte, fet que els fa molt convenients a l’hora d’implementar-los en “software”. 1.4.1. M` etodes num` erics d’un pas expl´ıcits Dins dels m` etodes num` erics, existeixen diferents tipus. Un d’ells s´ on tots els m` etodes num` erics d’un pas. Aquests s´ on m` etodes que discretitzen els dominis de les diferents variables i que, per trobar el valor de la soluci´ o en un punt, nom´ es fan servir la informaci´ o del punt immediatament anterior. ´ Es per aquest motiu que, en aquests casos, cal definir unes condicions inicials. El fet que nom´ es s’utilitzi la informaci´ o del pas anterior fa que aquest tipus de m` etodes siguin molt m´ es simples en termes d’implementaci´ o que d’altres que facin servir m´ es d’un pas. Tot i aix` o, per a determinades situacions, el fet que aquest tipus de m` etodes siguin m´ es simples fa que, per assolir una determinada precisi´ o, calgui dur a terme una discretitzaci´ o, o mallat, m´ es fi (aplicar un pas m´ es petit) que amb altres m` etodes m´ es sofisticats, fet que augmenta substancialment el cost de computaci´ o. Per aquest motiu, cal determinar en cada cas quin tipus de m` etode conv´ e. Per a aquest estudi, on el sistema d’EDOs ´ es de primer ordre, un m` etode num` eric d’un pas ´ es adient per trobar les solucions desitjades. Quant a la definici´ o matem` atica dels m` etodes num` erics d’un pas, parteixen d’un problema de valors inicials per a EDO seguint l’expressi´ o gen` erica de 1.17. d y(t) dt =f(t,y(t)),t0≤t≤T, y(t0) = y0.(1.17) Sobre aquest, es defineix un pas h=T−t0 Namb el qual es poden trobar els punts de la discretitzaci´ o en la variable ttals que tn=t0+nh, i les solucions en aquests punts com yn+1=yn+h·φ(tn,yn;h)per a n=0,1,...,N−1, on φ´ es la funci´ o d’increment del m` etode concret, la qual se suposa com a cont´ ınua dins del domini D= [t0,T]×R×[0,h0][18]. 1.4.1.1. Definicions i teoremes Existeixen diferents definicions i teoremes, recollides a [18], que s´ on importants a l’hora d’analitzar un m` etode num` eric. En primer lloc, quant a les definicions, apareixen les seg¨ uents: •Error de truncament local: ´ Es l’error que es comet en assumir que la soluci´ o del 10 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades pas anterior (tn)´ es exacte, quan realment no ´ es cert, i es troba la soluci´ o al seg¨ uent punt fent les operacions de manera exacta. [18]. dn+1=y(tn+1)−y(tn)−hφ(tn,y(tn);h). •Consist` encia: Un m` etode num` eric ´ es consistent amb el problema que intenta resoldre quan: lim h→0max 0≤n≤N−1 |dn+1| h=0,´ es a dir,dn+1=o(h). •Zero estabilitat: El m` etode num` eric d’un pas gen` eric ´ es zero estable si, donades dues successions {yn},{zn}tals que: yn+1=yn+hφ(tn,yn;h),n=0,1,...,N−1, y0, izn+1=zn+h(φ(tn,zn;h) + εn),n=0,1,...,N−1, z0, existeixen unes constants, anomenades M1iM2que satisfan el seg¨ uent: max 0≤n≤N|yn−zn|=M1|y0−z0|+M2max 0≤n≤N−1|εn|. •Error de truncament global: Aquest error en el punt tnes defineix com en= y(tn)−yn, suposant que les operacions per trobar yns’han fet de manera exacta. •Converg` encia: La converg` encia d’un m` etode es dona quan es compleix el seg¨ uent: max 0≤n≤N|en|=o(1),´ es a dir,lim h→0 max 0≤n≤N|en|=0. •Ordre d’un m` etode: ”Es diu que el m` etode d’un pas ´ unic expl´ ıcit ´ es d’ordre p∈Z+ si” [18]: dn+1=O(hp+1),n=0,1,...,N−1. Quant als teoremes recollits a [18], els que hi apareixen s´ on: •Teorema de la converg` encia: Si el m` etode num` eric d’un pas expl´ ıcit ´ es consistent i zero estable, aleshores es pot demostrar que el m` etode ´ es convergent. •Condici´ o necess` aria i suficient per a la consist` encia: Una condici´ o necess` aria i suficient per a la consist` encia del m` etode num` eric de pas ´ unic expl´ ıcit amb el problema de 1.17 ´ es: φ(t,y(t);0) = f(t,y(t))∀t∈[t0,T]. •Condici´ o suficient per a la zero estabilitat: Si la funci´ o d’increment del m` etode num` eric ´ es Lipschitzian a i per tot (t,y;h), (t,z;h) ∈D, aleshores el m` etode ´ es zero estable. |φ(t,y;h)−φ(t,z;h)| ≤ M|y−z| ∀ (t,y;h),(t,z;h)∈D. Descripci´ o del model gal` actic 11 •Teorema d’equival` encia: Si la funci´ o d’increment del m` etode (φ)´ es Lipschitziana, aleshores si el m` etode ´ es convergent per a un determinat problema, tamb´ e ser` a consistent, i viceversa. •Teorema de caracteritzaci ´ o de l’ordre: ”Si les derivades parcials φ,∂φ ∂h,... , ∂pφ ∂hp s´ on cont´ ınues al domini Damb fprou regular, aleshores una condici´ o necess` aria i suficient perqu` e el m` etode sigui d’ordre p´ es” [18]: ∂kφ ∂hk(t,y;0) = 1 k+1fk(t,y),k=0,1,..., p−1,(t,y)∈[t0,T]×R. 1.4.2. M` etodes de Runge-Kutta cl` assics Dins dels m` etodes num` erics d’un pas, els m´ es utilitzats s´ on els m` etodes de Runge-Kutta cl` assics, els quals es defineixen per a un determinat ordre Rcom a 1.18.              yn+1=yn+h·Φ(tn,yn;h), Φ(t,y;h) = ∑R r=1crkr, k1=f(t,y), kr=ft+har,y+h∑r−1 s=1brsks,r=2,3,...,R, ar=∑r−1 s=1brs,r=2,3,...,R. (1.18) “Un m` etode de Runge-Kutta cl` assic utilitza una mitjana ponderada de les pendents ( f) de la soluci´ o calculada en punts propers s’utilitza per determinar la soluci´ o a tn+1a partir de la soluci´ o en tn.” [19]. Aix` o implica que s’hagi de complir que ∑R r=1cr=1. L’objectiu, com a qualsevol m` etode num` eric, ´ es trobar una aproximaci´ o prou bona a la soluci´ o real de l’EDO en un determinat punt. Aleshores, per tal de triar correctament les diferents constants que apareixen al Runge-Kutta, s’ha de tenir present quina seria la soluci´ o real. Per fer-ho, es fa una expansi´ o de Taylor sobre la funci´ o increment (Φ), ja que el pas que s’utilitza (h) se suposa que ´ es prou petit. Com a exemple, a continuaci´ o es detalla com trobar les constants per a un m` etode Runge- Kutta d’ordre 2. 1.4.2.1. Determinar les constants d’un Runge-Kutta d’ordre 2 En primer lloc, s’han de definir les equacions concretes per a un ordre 2 utilitzant 1.18,´ es a dir, imposar en elles que R=2, quedant les equacions de 1.19.            yn+1=yn+h·Φ(tn,yn;h), Φ(t,y;h) = ∑2 r=1cr·kr=c1k1+c2·k2, k1=f(t,y), k2=f(t+h·a2,y+h·∑2−1 s=1brsks) = f(t+h·a2,y+h·b21 ·f(t,y)), a2=∑2−1 s=1brs =b21. (1.19) A1.19, veiem que a2=b21, fet que permet reescriure l’expressi´ o de k2com k2=f(t+ h·a2,y+h·a2·f(t,y)). 12 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades Seguidament, el que s’ha de trobar ´ es l’expansi´ o de Taylor de dues variables de la funci´ o d’increment (ΦT) fins a l’ordre que desitja. En aquest cas ´ es ordre dos. La f´ ormula general per trobar una expansi´ o de Taylor d’una funci´ o de dues variables ´ es la que apareix a 1.20. f(x,y) = f(x0,y0) + maxOrder ∑ n=11 n!h(x−x0)∂ ∂x+ (y−y0)∂ ∂yin f(x0,y0)+Error. (1.20) Si s’adapta pel cas actual en qu` e es vol una expansi´ o de Taylor d’ordre 2, l’expressi´ o general seria la de 1.21. Aquesta arriba fins a un ordre d’error 3, ja que aquest es reduir` a un cop obtinguem el Taylor de la funci´ o increment (ΦT). f(x,y) = f(x0,y0) + ∂f ∂x(x0,y0) (x−x0) + ∂f ∂y(x0,y0) (y−y0) + +1 2∂2f ∂x2(x−x0)2+2∂f ∂x∂y(x−x0)(y−y0) + ∂2f ∂y2(y−y0)2+ +1 6∂3f ∂x3(x−x0)3+3∂2f ∂x2(x−x0)2∂f ∂y(y−y0) + +3∂f ∂x(x−x0)∂2f ∂y2(y−y0)2+∂3f ∂y3(y−y0)3+O(h4). (1.21) Seguidament, es defineix a 1.22 l’expansi´ o de Taylor que permet trobar la soluci´ o exacta en el nostre problema inicial, amb l’acotaci´ o d’error inclosa, d’on es pot extreure l’expressi´ o exacta per la funci´ o d’increment (Φ), tal com es mostra a 1.23. y(t+h) = y(t) + dy dt h+1 2 d2y dt2h2+1 6 d3y dt3h3+O(h4).(1.22) h·ΦT(t,y) = hdy dt +1 2h2d2y dt2+1 6h3d3y dt3+O(h4). ΦT(t,y) = dy dt +1 2hd2y dt2+1 6h2d3y dt3+O(h3) = =f(t,y) + 1 2hd f (t,y) dt +1 6h2d2f(t,y) dt2+O(h3). (1.23) Per resoldre la derivada total respecte d’una variable d’una funci´ o de dues variables, com la que apareix a l’´ ultima expressi´ o de 1.23, s’ha d’usar l’expressi´ o general que hi ha a 1.24. d f (x,y) dx =∂f ∂x dx dx +∂f ∂y dy dx =∂f ∂x+∂f ∂y dy dx.(1.24) Per fer m´ es f` acil l’escriptura de les diferents expressions trobades adaptades al problema d’aquest projecte, es fa servir la notaci´ o definida a 1.25. Descripci´ o del model gal` actic 13 ft=∂f ∂t,fy=∂f ∂y,ftt =∂2f ∂t2,fty =∂f ∂t∂y, ..., F=ft+f fy;G=ftt +2f fty +f2fyy. (1.25) Amb la notaci´ o de 1.25, l’equaci´ o gen` erica de 1.24 i sabent que f(t,y) = f, l’expressi´ o de 1.23 queda com a 1.27, utilitzant tamb´ e el cas de segona derivada total per a aquest problema, el qual es troba a 1.26. d f dt =∂f ∂t+∂f ∂y dy dt =ft+fyf=F. d2f dt2=dF dt =d dt ∂f ∂t+∂f ∂yf=d dt ∂f ∂t+d dt (∂f ∂yf) = =∂2f ∂t2+∂f ∂t∂yf+∂f ∂t∂yf+∂2f ∂y2f2+∂f ∂y d f dt = =ftt +2f fty +f2fyy +fyF=G+fyF, (1.26) ΦT(t,y) = f+1 2hF +1 6h2(G+fyF)+ O(h3).(1.27) Pel cas del m` etode Runge-Kutta d’ordre 2, l’expressi´ o per trobar Φ´ es la detallada a la segona equaci´ ode1.19, i aquesta s’haur` a d’aproximar al m` axim a ΦTper obtenir una bona aproximaci´ o de la soluci´ o de la EDO. Concretament, tamb´ e es pot fer l’expansi´ o de Taylor per a k2i obtenir aix´ ı una expressi´ o amb qu` e, juntament amb c1,c2i k1, permetr` a comparar Φamb ΦTi aix´ ı establir quins s´ on els valors adients per a les constants. L’expansi´ o de Taylor de k2´ es la que es troba a 1.28. k2=f(t+ha2,y+ha2f) = f+∂f ∂ta2h+∂f ∂ya2h f + +1 2∂2f dt2a2 2h2+2∂f ∂t∂ya2 2h2f+∂2f ∂y2a2 2h2f2= =f+a2h(ft+f fy) + 1 2a2 2h2(ftt +2fty f+f2fyy) = =f+a2hF +1 2a2 2h2G. (1.28) Un cop definides les expressions de k1ik2del m` etode Runge-Kutta d’ordre 2, es pot construir la de Φ, tal com es fa a 1.29. Φ(t,y) = c1k1+c2k2=c1f+c2f+a2hF +1 2a2 2h2G+O(h3) = = (c1+c2)f+c2a2hF +1 2c2a2 2h2G+O(h3). (1.29) Comparant 1.27 i1.29, es pot concloure que l’aproximaci´ o tindr` a un error m´ ınim quan es compleixin les condicions esmentades a 1.30, tenint en compte que l’ordre desitjat ´ es 2 a l’equaci´ o del m` etode yn+1=yn+hΦ. 14 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades c1+c2=1, c2a2=1 2.(1.30) Aleshores, pel cas en que c1=0,c2=1ia2=1 2s’obt´ e el que es coneix com el m` etode d’Euler modificat (vegeu 1.31) [18]. yn+1=yn+h f tn+1 2h,yn+1 2h f (tn,yn).(1.31) Una altra possibilitat ´ es definir les constants com c1=1 2,c2=1 2ia2=1. En aquesta situaci´ o estar´ ıem davant el m` etode d’Euler millorat (vegeu 1.32) [18]. yn+1=yn+h[f(tn,yn) + f(tn+h,yn+h f (tn,yn))].(1.32) 1.4.2.2. Determinaci´ o de les constants per a un m` etode d’ordre superior En el cas del problema d’aquest projecte, un m` etode Runge-Kutta d’ordre 2 fa curt quant a precisi´ o en l’aproximaci´ o a la soluci´ o real. ´ Es per aquest motiu que per als c` alculs posteriors s’ha d’implementar un m` etode Runge-Kutta d’ordre superior. Aquest fet implica que s’incrementi la complexitat de trobar les diferents constants i que ja sigui forc¸a inviable trobar-les de manera manual, com s’ha fet en la secci´ o1.4.2.1.. 1.4.2.3. M` etode de Runge-Kutta-Fehlberg El m` etode Runge-Kutta-Fehlberg (RKF) ´ es una t` ecnica num` erica per resoldre equacions diferencials ordin` aries (EDOs) de manera adaptativa, ´ es a dir, ajustant la mida del pas d’integraci´ o per obtenir m´ es precisi´ o o reduir el temps de c` alcul. Aquest m` etode ´ es una variant del m` etode de Runge-Kutta cl` assic, per` o amb una estimaci´ o incorporada de l’error per controlar la mida del pas de manera autom` atica. Les caracter´ ıstiques principals d’aquest m` etode s´ on: •Control adaptatiu del pas d’integraci ´ o: La clau d’aquest m` etode ´ es que utilitza dues aproximacions de diferent ordre en cada pas d’integraci´ o. La difer` encia entre aquestes dues aproximacions s’utilitza per estimar l’error com` es en aquest pas. •Ajust din` amic del pas: Si l’error estimat ´ es m´ es gran que un valor predeterminat, el m` etode redueix la mida del pas. Si l’error ´ es petit, pot augmentar el pas, cosa que millora l’efici` encia del m` etode. •Aplicaci´ o t´ıpica: ´ Es ` ampliament utilitzat quan cal resoldre equacions diferencials ordin` aries amb precisi´ o controlada, especialment quan la soluci´ o t´ e canvis r` apids en alguna regi´ o del domini, cosa que requereix passos m´ es petits, i variacions suaus en altres, cosa que permet passos m´ es grans. En el cas de la implementaci´ o d’aquest m` etode en el context del projecte, els ordres que es fan servir s´ on 7 i 8, per obtenir un grau de precisi´ o suficient en els processos d’integraci´ o per trobar les ` orbites peri` odiques. Punts d’equilibri i ` orbites peri` odiques 21 coordenades (eix x), per simetria es pot afirmar que ∂2Φe f f ∂x∂y=0[5]. Tal com s’ha fet anteriorment, aquest sistema es pot convertir a ordre 1 aplicant el canvi de variables (x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (x,y,z,˙x,˙y,˙z), quedant el sistema de 2.5.                ˙x1=x4, ˙x2=x5, ˙x3=x6, ˙x4=2Ωx5−Φxxx1, ˙x5=−2Ωx4−Φyyx2, ˙x6=−Φzzx3. (2.5) Per simplicitat, el sistema que s’empra per trobar la primera ` orbita peri` odica al voltant del punt d’equilibri central ´ es el del c` alcul d’una aproximaci´ o lineal de la soluci´ o, a la que posteriorment se li aplica un proc´ es de refinament. 2.4.1.1. C` alcul de l’aproximaci´ o lineal Fent servir el model linealitzat esmentat a la secci´ o2.3., es pot trobar una primera aproximaci´ o per a la primera ` orbita peri` odica al voltant de L3. Per fer-ho, es busquen els valors propis de la matriu A(vegeu 2.2), els quals s´ on imaginaris purs, ja que el punt d’equilibri L3´ es estable [5]. Aleshores, cada valor propi obtingut correspon a una fam´ ılia d’` orbites peri` odiques. Amb el valor propi seleccionat, es poden calcular els par` ametres Q3iS3amb les equacions de 2.6, on apareixen les variables definides a les expressions 2.3 ixw, que correspon a la part imagin` aria del valor propi. Utilitzant Q3,S3ixw, juntament amb el par` ametre per controlar l’energia (xkk), es poden calcular les solucions de l’aproximaci´ o lineal utilitzant el sistema d’equacions 2.7, on xpeq, ypeq izpeq s´ on les coordenades del punt d’equilibri central. El sistema d’equacions s’aplica tantes vegades com punts de segmentaci´ o es desitgen. Es defineixen tants valors de t equidistants com punts de segmentaci´ o, per tal de comenc¸ar en t=0i d’arribar al valor de t=T(sent Tel per´ ıode de l’` orbita peri` odica). Q3=−(−ν2+x2 wλ+λφ+x4 w+φx2 w) xwδν+αφ+αx2 w, S3=−(δλ+αν+δx2 w) δν+αφ+αx2 w, (2.6)                x1=xpeq +xkk cos(xwt), x2=ypeq +xkkQ3sin(xwt), x3=zpeq +xkkS3cos(xwt), x4=−xwxkk sin(xwt), x5=xwQ3xkk cos(xwt), x6=−xwS3xkk sin(xwt). (2.7) 22 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades 2.4.1.2. Refinament de l’aproximaci´ o lineal Un cop s’obt´ e l’aproximaci´ o lineal de l’` orbita, ´ es a dir, els diferents punts de segmentaci´ o al llarg d’aquesta, el que s’ha de fer ´ es refinar aquest resultat per trobar una soluci´ o real del sistema inicial (l’esmentat a 1.14). Per fer aquest refinament, en primer lloc, s’ha d’establir una superf´ ıcie de Poincar´ e [22] des del punt inicial establert per a l’` orbita, que servir` a per determinar quan, despr´ es d’integrar les condicions inicials en el camp vectorial del sistema gal` actic en estudi, l’` orbita torna a la posici´ o inicial i, per tant, es confirma que es tracta d’una ` orbita peri` odica de per´ ıode T. Tal com es defineix a [5], la descripci´ o matem` atica d’aquesta superf´ ıcie ´ es S={x∈R6|g(x) = 0}, que juntament amb la definici´ o de T(x)com el temps necessari per intersecar la superf´ ıcie Scomenc¸ant en x, permeten generar el sistema d’equacions necessari per dur a terme la refinaci´ o de l’aproximaci´ o lineal, el qual es correspon amb el de 2.8.        φτ/m(xi)−xi+1=0,i=1,...,m, φT(xm)(xm)−x1=0, H(x1)−h=0, T(xm)−τ m=0. (2.8) Al sistema 2.8, tal com s’esmenta a [5], tamb´ e apareix H(x), que ´ es la funci´ o d’energia de Jacobi, amb el camp vectorial XH(x)i flux φt(x), on x∈R6, complint-se que d dt φt(x) = XH(φt(x)). Hi ha tamb´ e les variables τih, les quals es corresponen amb el per´ ıode i l’energia de l’` orbita refinada, respectivament, essent ambd´ os nombres reals (τ,h∈R). La primera expressi´ o del sistema 2.8 es correspon amb les equacions introdu¨ ıdes en el cas que s’implementi la segmentaci´ o de l’` orbita, tamb´ e anomenada tir paral·lel. En el cas que no fos aix´ ı, el valor de mseria 1, quedant nom´ es les tres ´ ultimes equacions, amb un total de 8 inc` ognites (x1,... ,x6,h,τ). En el cas general, “aquest sistema t´ e un total de 6m+2equacions i 6m+2incognites: x1,...,xm∈R6iτ,h∈R” [5]. Quant a la manera de resoldre aquest sistema, com que es tracta d’un sistema de rang complet, no quadrat i lineal, una soluci´ o seria aplicar un “Single Value Decomposition (SVD)” o una factoritzaci´ o QR [5]. 2.4.1.3. Tir paral·lel Tal com s’ha mencionat anteriorment, hi ha la possibilitat de segmentar l’aproximaci´ o lineal per fer el refinament en diferents segments, facilitant aix´ ı la converg` encia en els casos on sigui molt dif´ ıcil trobar amb una ´ unica integraci´ o una ` orbita peri` odica per una determinada condici´ o inicial. Una il·lustraci´ o gr` afica del funcionament de la t` ecnica del tir paral·lel ´ es la que apareix a la figura 2.3. 2.4.2. Obtenci´ o de la fam´ılia d’ ` orbites peri` odiques Un cop obtinguda una ` orbita peri` odica amb el refinament de l’aproximaci´ o lineal, ´ es interessant poder trobar-ne m´ es per veure com es distribueixen al llarg de tota la barra i poder determinar si aquestes ` orbites poden ser les causants de la perduraci´ o en el temps Punts d’equilibri i ` orbites peri` odiques 23 Figura 2.3: Esquema del funcionament de la t` ecnica del tir paral·lel per refinar aproximacions d’` orbites peri` odiques. Font: [5] de l’esmentada barra en un determinat sistema gal` actic no sim` etric o no, tal com succeeix en els casos on s´ ı que existeix simetria [10]. Hi ha diverses maneres de fer una cerca d’` orbites peri` odiques en un determinat sistema. En primer lloc, la manera m´ es simple de fer-ho ´ es variant el valor de xkk (vegeu la seva contribuci´ o al sistema a 2.7). Aquest par` ametre est` a relacionat amb l’energia de l’` orbita peri` odica que s’est` a cercant, ja que controla la separaci´ o de l’` orbita respecte del punt d’equilibri. En aquest cas, doncs, el que es fa ´ es calcular diferents ` orbites de la fam´ ılia central de la barra directament variant l’energia, sense utilitzar cap m` etode de predicci´ o a partir de l’` orbita trobada pr` eviament. Una altra manera d’obtenir noves ` orbites peri` odiques ´ es aplicant el m` etode de continuaci´ o, esmentat a [5]. Aquest m` etode consisteix a eliminar una de les dues ´ ultimes equacions del sistema 2.8, corresponent a les equacions que fixen el per´ ıode i l’energia de l’` orbita peri` odica, per guanyar un grau de llibertat que permet cercar noves ` orbites modificant ja sigui l’energia o el per´ ıode, en funci´ o de l’equaci´ o eliminada. Si es mant´ e l’equaci´ o H(x1)−h=0, es pot modificar l’energia (h), mentre que si es mant´ eT(xm)−τ m=0, el per´ ıode (τ)´ es el par` ametre que es pot anar modificant. El que succeeix quan es modifica un d’aquests dos par` ametres ´ es que s’obt´ e una ` orbita pertorbada, a la qual se li pot aplicar un proc´ es de refinament i obtenir aix´ ı una nova ` orbita peri` odica de la mateixa fam´ ılia que la inicial. Aquest proc´ es es pot fer iteratiu prenent sempre l’´ ultima ` orbita peri` odica trobada i aplicant-li una pertorbaci´ o i un proc´ es de refinat per trobar-ne una de nova. El sistema d’equacions, un cop s’ha eliminat una de les equacions, es pot descriure com F(X) = 0. Dins de la t` ecnica de continuaci´ o s’ha de definir com es realitza la pertorbaci´ o esmentada. Una manera de fer-ho ´ es utilitzant la direcci´ o de pertorbaci´ o tangent a l’espai, donada per KerDF(X)[5]. La manera d’aplicar-ho seria fent servir l’expressi´ o de 2.9, on V(k)∈ KerDF(X(k)),δ∈R´ es un factor d’escala i kla dimensi´ o dels vectors. Y(k)=X(k)+δV(k).(2.9) CAP´ ITOL 3. RESULTATS Un cop definit el proc´ es a seguir per obtenir els punts d’equilibri del sistema gal` actic, juntament amb una ` orbita peri` odica al voltant del punt d’equilibri central, aquest es pot dur a terme fent servir una implementaci´ o en MATLAB [23]. El kiloparsec (kpc) ´ es la unitat de totes les gr` afiques del cap´ ıtol, el qual equival a 3262 anys llum. En primer lloc, s’estudien les diferents ` orbites peri` odiques m´ es pr` oximes L3, per a diferents configuracions dels elements de la gal` axia. Un cop fet aix` o, es pot comenc¸ar a trobar les diferents fam´ ılies d’` orbites peri` odiques. 3.1. Definici´ o de les diferents configuracions a estudiar El fet que hi hagi moltes gal` axies amb diverses formes i distribucions de mat` eria, fa que siguin necess` aries diferents configuracions dels elements del model del sistema gal` actic (barra, bulb, ...) per poder recrear fidelment els comportaments que s’hi donen a cadascuna d’elles. En primer lloc, hi ha gal` axies que mostren una estructura molt sim` etrica, com per exemple la gal` axia NGC 3583 (vegeu figura 3.1(a)). En aquests casos la col·locaci´ o del bulb i la barra al centre del sistema de refer` encia ´ es la millor opci´ o. D’altra banda, hi ha gal` axies que presenten una asimetria en els brac¸os espirals, on es veu clarament que n’hi ha un que ´ es molt m´ es gran i brillant que l’altre (vegeu figura 3.1(b)). La millor manera de modelar aquesta situaci´ o´ es desplac¸ant horitzontalment, al llarg de la barra, la posici´ o del bulb, descentrant-lo de l’origen del sistema de refer` encia [11]. Una altra casu´ ıstica que es dona a les gal` axies observades ´ es que la barra pot no apar` eixer al centre. Un exemple d’aix` o´ es el Gran N´ uvol de Magalh˜ aes, el qual presenta una distribuci´ o de densitat molt heterog` enia dins de la seva barra (vegeu figura 3.1(c)). Diversos estudis apunten al fet que aquesta gal` axia presenta una aparent barra desplac¸ada verticalment [24], tot i que encara no est` a confirmat. Considerant els casos anteriors, una altra possible configuraci´ o d’estudi pot ser una en qu` e tant del bulb com de la barra estiguin desplac¸ats, per modelar gal` axies que presentin asimetria tant en els brac¸os espirals com a la posici´ o de la barra. Amb tot aix` o es poden construir diferents configuracions dels elements que model el sistema gal` actic, que corresponen amb diferents descripcions de gal` axies reals. 3.2. Definici´ o dels par` ametres establerts per als diferents elements del sistema gal` actic Per fer l’an` alisi del comportament de les ` orbites peri` odiques dins dels sistemes gal` actics definits a la secci´ o3.1., es defineixen els diferents par` ametres inicials dels elements del sistema gal` actic (barra, disc, bulb i halo). Aquests s´ on els mateixos independentment de la seva disposici´ o dins el sistema de refer` encia. 25 26 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades (a) Gal` axia NGC 3583 (sim` etrica). Font: [25] (b) “Imatges d’algunes gal` axies fortament barrades mostrant els patrons asim` etrics dels brac¸os espirals en el filtre R del Digitized Sky Survey del STScI. A la fila superior, es mostren les gal` axies PGC 05849 (NGC 0613) i PGC 12412 (NGC 1300) i a la fila inferi- or, PGC 15941 (NGC 1672) i PGC 54849 (NGC 5921)”. Font: [11] (c) Gran N´ uvol de Magalh˜ aes amb forc¸a heterogene¨ ıtat a la distribuci´ o de densitat a la barra. Font: [26] Figura 3.1: Exemples de diferents gal` axies amb diferents caracter´ ıstiques morfol` ogiques. El valor dels par` ametres de massa dels diferents elements (GM) s’estableix de manera que el total de la suma de tots ells sigui unitari. Els valors emprats per a cadascun dels par` ametres de massa s´ on els que apareixen a la segona columna de la taula 3.1. Els valors establerts per definir les dimensions dels diferents elements (corresponents als semieixos a, b, c) s´ on valors t´ ıpics per fer aquest tipus d’estudis, i es corresponen amb els valors que apareixen a les columnes 3, 4 i 5 de la taula 3.1. En el cas del disc, nom´ es apareixen els semieixos en l’eix xiy, mentre que en els casos del bulb i l’halo, com que el model que s’utilitza ´ es el de Plummer, la forma geom` etrica emprada ´ es una esfera, la qual nom´ es necessita la definici´ o d’un semieix. A m´ es, en el cas de la barra, tamb´ e cal definir la seva velocitat de rotaci´ o, la qual apareix a la columna 6 de la taula 3.1. El par` ametre establert fa que el valor del per´ ıode de rotaci´ o de la barra sigui 115 1 2Myr . Element GM a b c Ω Barra 0,22 6,0000 1,5000 0,4000 0,05 Disc 0,34 3,0 1,0 - - Bulb 0,04 - 1 - - Halo 0,4 - 100 - - Taula 3.1: Constants definides per als diferents elements del sistema gal` actic. Resultats 27 3.3. ` Orbita propera al punt d’equilibri central per als diferents models Recollint les diferents configuracions extretes de la secci´ o3.1., podem resumir els casos d’estudi en els seg¨ uents: •Barra i bulb centrats (situaci´ o sim` etrica ja coneguda i analitzada). •Barra centrada i bulb desplac¸at horitzontalment (direcci´ o de l’eix x). •Bulb centrat i barra desplac¸ada verticalment (direcci´ o de l’eix y). •Barra desplac¸ada verticalment (direcci´ o de l’eix y) i bulb desplac¸at horitzontalment (direcci´ o de l’eix x). 3.3.1. Barra i bulb centrats La primera situaci´ o que s’analitza ´ es amb una configuraci´ o completament sim` etrica dels elements del sistema gal` actic, amb una barra i un bulb centrats a l’origen de coordenades. Amb aquesta situaci´ o, establint com a par` ametre xkk =10−2per trobar els resultats del model linealitzat (el qual apareix a 2.7), l’` orbita peri` odica inicial refinada trobada ´ es la de la figura 3.2. En aquesta figura es pot veure com, quan es compara l’` orbita trobada amb la mida de la barra i del bulb (vegeu figura 3.2(b)), l’` orbita ´ es completament imperceptible a causa de la gran difer` encia amb l’ordre de magnitud de les dimensions de la barra i el bulb. (a) ` Orbita peri` odica (b) ` Orbita peri` odica de 3.2(a) respecte de la barra i el bulb Figura 3.2: ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3en el pla XY per a una barra i un bulb centrats. 3.3.2. Barra centrada i bulb desplac¸at Per al cas en qu` e la barra es mant´ e en la mateixa posici´ o que en la configuraci´ o descrita anteriorment, per` o el bulb es desplac¸a al llarg de l’eix x, s’obtenen els resultats que es 28 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades comenten en aquest apartat. El par` ametre que es defineix per traslladar el centre del bulb respecte de l’origen del sistema de coordenades s’anomena xd. Si es modifica el par` ametre xd=2,5per introduir el desplac¸ament horitzontal del bulb, els resultats obtinguts s´ on els de la figura 3.3, on es torna a observar que la primera ` orbita trobada per a aquesta configuraci´ o encara ´ es molt m´ es petita que la barra i el bulb. A la figura 3.3(a), a difer` encia de la figura 3.2(a), es pot observar que l’` orbita ja no est` a centrada al 0 sobre l’eix x, mentre que s´ ı que ho est` a sobre l’eix y. (a) ` Orbita peri` odica (b) ` Orbita peri` odica de 3.3(a) respecte de la barra i el bulb Figura 3.3: ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3(assenyalat amb un * a les gr` afiques) per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 2,5 kpc. Si es duen a terme m´ es desplac¸aments del bulb sobre l’eix x, s’obtenen els resultats de la figura 3.4. En ella s’observa que hi ha un comportament diferent entre els tres casos que s’hi mostren i el cas de la figura 3.3(a). A aquesta ´ ultima, el fet de desplac¸ar el bulb 2,5 kpc fa que el centre de l’` orbita peri` odica es desplaci en el mateix sentit que el bulb. En canvi, en el cas de fer desplac¸aments m´ es pronunciats, el centre de l’` orbita peri` odica es mou en sentit contrari, separant-se del centre del sistema de coordenades a mesura que augmenta el valor de xd. A m´ es, tant en els casos de la figura 3.4 com en el de la figura 3.3(a), s’observa que la forma de l’` orbita varia de la situaci´ o sim` etrica (vegeu figura 3.2(a)), esdevenint una ` orbita m´ es exc` entrica, amb el semieix major al llarg de l’eix x, on s’ha fet el desplac¸ament del bulb. (a) Bulb desplac¸at 3,5 kpc (b) Bulb desplac¸at 4,5 kpc (c) Bulb desplac¸at 5,5 kpc Figura 3.4: ` Orbites peri` odiques pr` oximes a L3per a una barra centrada i un bulb desplac¸at. Resultats 29 A la figura 3.5, es mostra la comparativa de l’` orbita peri` odica inicial amb tots els diferents desplac¸aments del bulb realitzats. En ella es veu m´ es clarament tot el comentat anteriorment. Figura 3.5: Comparativa de tots els desplac¸aments del bulb amb el cas sim` etric. (Eixos amb diferent escala per tal d’encabir totes les ` orbites de manera visible). 3.3.3. Barra desplac¸ada i bulb centrat Una altra possibilitat ´ es que l’element desplac¸at sigui la barra en comptes del bulb. En aquesta configuraci´ o el bulb es mant´ e al centre de coordenades, mentre que la barra es desplac¸a verticalment (al llarg de l’eix y). Per fer-ho s’utilitza el par` ametre yd halo, el qual genera un desplac¸ament vertical de l’halo, que provoca que la barra tamb´ e es desplaci, per` o en sentit oposat. Un primer exemple de desplac¸ament vertical de la barra ´ es el que dona els resultats de la figura 3.6, on s’aplica un desplac¸ament de l’halo de 4 kpc en el sentit negatiu de l’eix y. En aquest cas, es veu com la barra es desplac¸a verticalment cap amunt, fet que provoca que el centre de l’` orbita peri` odica trobada tamb´ e es desplaci en la mateixa direcci´ o i sentit, quedant igualment al centre de la barra. Quant a la forma de l’` orbita, es veu com no hi ha canvis significatius de l’excentricitat comparant-la amb la del cas sim` etric (vegeu 3.2(a)), com s´ ı que es donen quan es fa un desplac¸ament del bulb sobre l’eix x. Per tant, el fet de desplac¸ar la barra verticalment, no provoca cap alteraci´ o significativa sobre les ` orbites pr` oximes al punt d’equilibri. 30 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades (a) ` Orbita peri` odica (b) ` Orbita peri` odica de 3.6(a) respecte de la barra i el bulb Figura 3.6: ` Orbita peri` odica pr` oxima a L3per a una barra desplac¸ada i un bulb centrat. 3.3.4. Barra i bulb desplac¸ats Si en comptes de desplac¸ar nom´ es la barra o el bulb es desplacen ambd´ os amb diferents combinacions, un exemple dels resultats que s’obtenen per a les ` orbites peri` odiques al voltant de L3s´ on els de la figura 3.7. En ella es pot observar com el fet de desplac¸ar tant horitzontalment com verticalment fa que el centre de l’` orbita peri` odica es mogui tamb´ e en ambdues direccions. De fet, comparant la figura 3.7(a) amb les figures 3.3(a) i3.6(a), s’observa com els desplac¸aments en cadascun dels eixos venen determinats nom´ es per la variable de desplac¸ament en ells, ´ es a dir, el desplac¸ament sobre l’eix xnom´ es ´ es determinat pel desplac¸ament del bulb, i sobre l’eix ypel desplac¸ament de la barra. D’altra banda, a la figura 3.7, es veu com la forma de l’` orbita ve marcada per la deformaci´ o introdu¨ ıda pel desplac¸ament del bulb, ja que aquesta ´ es molt m´ es exc` entrica que en el cas de l’` orbita de la figura 3.6(a). Per aix` o, cal analitzar altres configuracions on es produeixen desplac¸aments m´ es pronunciats del bulb. Aleshores, generant altres combinacions de desplac¸aments de la barra i el bulb, s’obtenen els resultats de la figura 3.8. Als resultats de la figura 3.8 s’observa com el comportament ´ es gaireb´ e el mateix que en el cas de la figura 3.7(a), on els moviments en els diferents eixos traslladen el centre de l’` orbita peri` odica de manera independent, sense afectar-se. L’´ unica difer` encia que s’observa ´ es la localitzaci´ o del punt d’equilibri. La resta de comportaments segueixen els mateixos patrons descrits anteriorment, ´ es a dir, tots els canvis significatius en les formes de les ` orbites s´ on causats pel desplac¸ament del bulb. A la figura 3.9, es fa una comparativa de les diferents situacions en qu` e la barra est` a desplac¸ada verticalment. Com que s’ha observat pr` eviament que el comportament no varia substancialment respecte del cas sim` etric quan s’aplica un desplac¸ament de la barra ´ unicament, es pren el resultat d’aquest cas com a refer` encia. Analitzant els resultats de la figura 3.9, s’observa una difer` encia destacable amb la figura 3.5. En aquest cas, hi ha una petita desviaci´ o en la coordenada ydel punt d’equilibri, i per tant de la ubicaci´ o de l’` orbita peri` odica, dels casos on el bulb est` a desplac¸at respecte Resultats 37 (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites peri` odiques respecte de la mida de la barra i el bulb Figura 3.15: Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb centrat i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). lloc respecte a la posici´ o de la barra. Aquest fet permet afirmar que si la barra es mou verticalment sobre l’eix y, no apareixen canvis significatius a les ` orbites peri` odiques que s’originen al voltant del punt d’equilibri L3. Per tant, es pot continuar afirmant que en una situaci´ o en qu` e la configuraci´ o dels elements de la gal` axia sigui com aquesta, la barra es pot continuar considerant com un s` olid-r´ ıgid per a l’estudi de la din` amica gal` actica. A m´ es, tamb´ e es pot dir que en aquest cas la barra perdurar` a en el temps, ja que hi ha un transport intern de mat` eria que permet mantenir-ne la forma. 38 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites peri` odiques respecte de la mida de la barra i el bulb Figura 3.16: Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 2,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites peri` odiques respecte de la mida de la barra i el bulb Figura 3.17: Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 3,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). Resultats 39 (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites peri` odiques respecte de la mida de la barra i el bulb Figura 3.18: Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 4,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites peri` odiques respecte de la mida de la barra i el bulb Figura 3.19: Resultats sobre el pla XY de la modificaci´ o del valor de xkk per al bulb desplac¸at 5,5 kpc i la barra desplac¸ada (yd halo =−4). 40 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) Zoom de les ` orbites trobades Figura 3.20: Resultats de la continuaci´ o per al cas sim` etric. (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites de la figura 3.21(a) respecte de les dimensions de la barra i el bulb Figura 3.21: Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 2,5 kpc sobre l’eix x. (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites de la figura 3.22(a) respecte de les dimensions de la barra i el bulb Figura 3.22: Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 3,5 kpc sobre l’eix x. Resultats 41 (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites de la figura 3.23(a) respecte de les dimensions de la barra i el bulb Figura 3.23: Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 4,5 kpc sobre l’eix x. (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) ` Orbites de la figura 3.24(a) respecte de les dimensions de la barra i el bulb Figura 3.24: Resultats de la continuaci´ o per a una barra centrada i un bulb desplac¸at 5,5 kpc sobre l’eix x. 42 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades (a) ` Orbites peri` odiques trobades (b) Zoom de les ` orbites trobades Figura 3.25: Resultats de la continuaci´ o per al cas de la barra desplac¸ada (yd halo =−4) sobre l’eix yi el bulb centrat. CAP´ ITOL 4. SOSTENIBILITAT I COMPROM´ IS SOCIAL Un cop obtinguts els resultats desitjats en aquest projecte, s’analitza quin ha estat tant el cost mediambiental que ha suposat dur-lo a terme, com els beneficis socials que aporta. 4.1. Sostenibilitat En primer lloc, en termes de sostenibilitat, es fa l’estudi de l’impacte mediambiental que ha suposat la realitzaci´ o d’aquest projecte, en termes de consum energ` etic. Despr´ es s’analitzen altres fonts de despesa energ` etica indirecta. 4.1.1. Consum energ` etic de les eines usades La totalitat del projecte s’ha dut a terme utilitzant un ordinador port` atil, el qual consumeix una pot` encia de 40 W, segons especifica el fabricant (HP). Amb aquesta dada, juntament amb el temps dedicat a elaborar aquest treball, es pot obtenir tota l’energia consumida durant tot el proc´ es. Totes les dades inicials es troben recopilades a la taula 4.1. Amb aquestes, es duen a terme els c` alculs que apareixen a 4.1,4.2 i4.3, i s’obt´ e el consum energ` etic que apareix a la taula 4.2. Tipus de dada Valor Pot` encia consumida 40 W Pes del projecte 18 ECTS Equival` encia ECTS 1 ECTS = 30 h Taula 4.1: Dades inicials per al c` alcul del consum energ` etic. ttreball =nECTS ·30 h 1ECTS =18 ECT S ·30 h 1ECTS =540 h(4.1) Econs =Pcons ·ttreball =40 W·540 h=21600 Wh =21,6kWh (4.2) Econs =21600 Wh =21600 J sh·3600 s 1h=7,776 ·107J=77,76 MJ (4.3) Econs 21,6kW h 77,76 MJ Taula 4.2: Consum d’energia necessari per elaborar aquest projecte. Un cop calculat el consum total que ´ es necessari per dur a terme el projecte, es pot calcular quin seria l’impacte si nom´ es es fessin servir fonts d’energia renovable de Catalunya. Tal com queda recollit a l’informe del sistema el` ectric del 2023 de “Red El´ ectrica” [28], 43 44 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades la pot` encia instal·lada per a les diferents energies renovables a Catalunya ´ es la que es mostra a la taula 4.3. Tipus d’energia Pot` encia instal·lada Solar 309 MW Hidr` aulica 1922 MW E` olica 1376 MW Taula 4.3: Dades de Red El´ ectrica sobre la pot` encia instal·lada a Catalunya a 31/12/2023 per diferents tipus d’energies renovables. Amb aquestes dades, ´ es possible calcular el temps necessari per satisfer les necessitats energ` etiques calculades si tota la producci´ o de Catalunya en algun tipus d’energia renovable es dediqu´ es a aix` o. Els c` alculs per trobar els resultats s´ on els de 4.4,4.5 i4.6. tsol =Econs Esol =Econs Psol ·1h=21,6kWh 309 ·103kW h/h=6,99 ·10−5h=0,252 s(4.4) thidr =Econs Ehidr =Econs Phidr ·1h=21,6kWh 1922 ·103kW h/h=1,12 ·10−5h=0,0405 s(4.5) teol =Econs Eeol =Econs Peol ·1h=21,6kWh 1376 ·103kW h/h=1,57 ·10−5h=0,0565 s(4.6) Dels resultats de 4.4,4.5 i4.6, es veu que el cas m´ es cr´ ıtic ´ es el de l’energia solar, on es necessita m´ es d’un quart de segon de la producci´ o solar de tota Catalunya per satisfer el cost energ` etic de tot el treball. 4.1.2. Altres fonts de despesa energ` etica L’altra font principal de despesa energ` etica ´ es la causada pels desplac¸aments que han estat necessaris per a la realitzaci´ o del projecte. En aquest cas, per` o, una gran part del treball s’ha fet de forma remota, sense la necessitat de dur a terme desplac¸aments expl´ ıcits. Del total de reunions, la gran majoria s’han realitzat per videoconfer` encia. ´ Es per aquest motiu que aquesta font de despesa indirecta es pot considerar completament negligible en aquest cas. 4.2. Comprom´ıs social L’` ambit principal d’aquest treball ´ es la recerca sobre l’univers. En principi, l’impacte directe sobre la societat ´ es bastant redu¨ ıt. Tot i aix` o, el fet d’investigar en aquest ` ambit fa m´ es accessible aquest tipus de coneixement a persones interessades a aprendre. Aix` o´ es possible gr` acies a la plataforma que la UPC ofereix per compartir els treballs de fi d’estudis amb la comunitat, la qual permet crear una comunitat de coneixement p´ ublica on tothom pot accedir i cercar sobre una gran varietat de temes. RESUM I CONCLUSIONS L’estudi presentat s’ha basat en un marc te` oric robust que ha perm` es desenvolupar una comprensi´ o detallada dels sistemes gal` actics i les seves propietats din` amiques. S’ha explorat com es pot construir un sistema gal` actic tenint en compte els diferents elements que el constitueixen, com ara la barra, el bulb, el disc i l’halo, cadascun amb models espec´ ıfics per descriure la distribuci´ o de densitat i el potencial gravitatori que exerceixen. Aquests models s´ on fonamentals per representar de manera precisa el comportament global del sistema gal` actic, proporcionant una base s` olida per entendre les forces que actuen en ell. En segon lloc, s’ha fet ´ us de m` etodes num` erics, concretament els m` etodes de Runge- Kutta, per poder resoldre les equacions de moviment que governen el sistema. Aquests m` etodes permeten aproximar amb precisi´ o les solucions d’aquestes equacions no lineals, cosa que ´ es essencial per descriure la din` amica d’objectes dins del camp gravitatori generat pel sistema gal` actic. La utilitzaci´ o d’aquests m` etodes ha estat clau per garantir una simulaci´ o acurada del moviment dels estels i per a la predicci´ o de les seves traject` ories. Despr´ es, dins d’aquest marc, s’ha dut a terme el c` alcul dels punts d’equilibri del sistema. Aquests punts s´ on d’especial inter` es perqu` e al seu voltant s’han determinat les ` orbites peri` odiques estudiades en aquesta recerca. Els punts d’equilibri no nom´ es proporcionen una visi´ o profunda sobre les estructures estacion` aries en la din` amica gal` actica, sin´ o que tamb´ e actuen com a punts de partida per a l’exploraci´ o d’` orbites peri` odiques i els seus comportaments associats, una q¨ uesti´ o crucial per a comprendre l’estabilitat i l’evoluci´ o de les gal` axies. Amb tot aix` o, s’han usat diferents m` etodes per trobar ` orbites peri` odiques al voltant del punt d’equilibri central, per a diferents configuracions asim` etriques dels elements de la gal` axia. Els resultats obtinguts han perm` es arribar a diverses conclusions sobre la din` amica interna d’aquestes estructures gal` actiques i la seva influ` encia sobre les ` orbites peri` odiques. En el cas d’un desplac¸ament de la barra respecte al centre de la gal` axia, s’ha observat que, tot i obtenir ` orbites peri` odiques asim` etriques, aquestes continuen donant forma a la barra. Aix` o indica que, fins i tot quan la barra est` a desplac¸ada, pot ser tractada com una estructura de s` olid-r´ ıgid en termes din` amics, sense que aix` o comporti grans variacions en les propietats globals del sistema. D’altra banda, en el cas d’un desplac¸ament del bulb gal` actic, els resultats mostren una difer` encia m´ es notable en les ` orbites peri` odiques, respecte del cas sim` etric. Aquest desplac¸ament introdueix una distorsi´ o en la din` amica que fa que el conjunt d’` orbites trobades siguin encara m´ es asim` etriques. En un dels casos, per a un desplac¸ament del bulb de 2,5 kpc respecte el centre de la barra, encara ´ es m´ es evident la difer` encia en la forma de les ` orbites peri` odiques respecte del cas sim` etric. Aquest resultat fa pensar que el fet que el centre del bulb se situi prop del focus de l’el·lipsoide de la barra, t´ e una gran influ` encia sobre el moviment de les estrelles a l’interior de la gal` axia i sobre la perduraci´ o de la barra al llarg del temps. En resum, aquest estudi ens permet concloure que mentre que la posici´ o no sim` etrica de la barra no altera substancialment les propietats din` amiques generals del sistema, el desplac¸ament del bulb s´ ı que genera una asimetria que afecta la din` amica de les ` orbites peri` odiques. Aquest fet suggereix que, per a futures investigacions, ser` a necessari apro- 45 46 ` Orbites peri` odiques en gl` axies barrades no centrades fundir en models m´ es detallats que considerin aquestes asimetries per tal de comprendre millor les gal` axies barrades no centrades i els seus efectes sobre l’estructura global gal` actica.