Localización de robots móviles en entornos cerrados mediante características de audio

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Programa de Doctorat: AUTOMÀTICA, ROBÒTICA I VISIÓ Tesi Doctoral LOCALIZACIÓN DE ROBOTS MÓVILES EN ENTORNOS CERRADOS MEDIANTE CARACTERÍSTICAS DE AUDIO Manuel Andrés Manzanares Brotons Director: Antoni Grau i Saldes Octubre de 2015 Agradecimientos. Me gustaría expresar mi agradecimiento a todas las personas que me han permitido realizar este trabajo. En primer lugar me gustaría mostrar mi agradecimiento a todos los miembros de mi familia, por su comprensión y apoyo en muchos aspectos y etapas de mi vida, que han permitido, de una forma directa, como mi padre o mi hermano Paco, o de una forma menos directa pero no menos importante, como mi madre y mi hermano Andrés, la realización de esta tesis, y de forma especial a mi esposa María. También me gustaría agradecer la labor de todos los profesores que han intervenido en mi formación, en especial a los excelentes profesores que tuve en la E.U.E.T.I.B., entre los que merecen una mención especial Rafael Pindado y Antonio Salazar, por la calidad e importancia de sus enseñanzas en mi formación, Joan Domingo, por la constante motivación que ha ejercido para la continuación de mis estudios, y José María Huerta, por su ejemplo de profesionalidad, entre otros. A mi director de tesis, Antoni Grau, y a Yolanda Bolea, por la ayuda y apoyo ofrecido por ambos en la realización de este trabajo. Y para finalizar me gustaría mostrar también mi agradecimiento a mis compañeros de trabajo, y en especial a mi compañero de despacho, Alfonso Conesa, por su inestimable ayuda y consejos. A mi familia I ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN. 1.1. Antecedentes y estado del arte……………………………………………………………………………….. 3 1.2. Objetivos de la tesis…………………………………………………………………………………………………. 7 1.3. Estructura de la tesis……………………………………………………………………………………………….. 9 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE AUDIO. 2.1. Introducción………………………………………………………………………………………………………….. 15 2.2. Niveles de medida y parámetros acústicos básicos……………………………………………….. 15 2.2.1. Nivel de presión sonora………………………………………………………………………………….. 15 2.2.2. Nivel de potencia sonora………………………………………………………………………………… 15 2.2.3. Nivel de intensidad sonora……………………………………………………………………………… 16 2.2.4. Impedancia acústica……………………………………………………………………………………….. 16 2.2.5. Tiempo de reverberación……………………………………………………………………………….. 17 2.3. Fuentes de sonido. ………………………………………………………………………………………………… 18 2.4. Sonido producido por máquinas industriales…………………………………………………………. 22 2.5. Propagación del sonido en el interior de un recinto………………………………………………. 23 3. MODELOS ACÚSTICOS DE LOS RECINTOS CERRADOS. 3.1. Introducción…………………………………………………………………………………………………………..29 3.2. Modelos acústicos de los recintos cerrados……………………………………………………………29 3.3. Limitaciones y rangos de aplicación de los modelos……………………………………………… 31 3.4. El modelo ondulatorio: la ecuación de onda…………………………………………………………. 33 3.5. Función de transferencia de un recinto cerrado……………………………………………………. 41 4. MODELO TEÓRICO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. 4.1. Introducción al modelo propuesto……………………………………………………………………….. 47 4.2. Acotación del orden del modelo: filtrado……………..……………………………………………… 52 4.2.1. Frecuencia de Schroeder………………………………………………………………………….…… 52 4.2.2. Objetivo del filtrado……………………………………………………………………………………… 54 4.3. Cálculo teórico de la ganancia media del recinto………………………………………………….57 4.4. Cálculo teórico del factor de ganancia medio………………………………………………………. 63 4.5. Función del factor de ganancia…………………………………………………………………………….. 66 5. MODELOS DE IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICOS. 5.1. Introducción a los modelos paramétricos…………………………………………………………………… 71 5.2. Modelos paramétricos en audio…………………………………………………………………………………. 73 5.3. Modelo ARX y modelo simplificado LPV propuesto……………………………………………………..75 5.4. Efecto del filtrado en la reducción del orden del modelo…………………………………………….80 II 6. SISTEMAS DE AUTOLOCALIZACIÓN DEL ROBOT. 6.1. Sistema de adquisición de la señal……………………………………………………………………………… 87 6.2. Sistema de orientación del micrófono del robot……………………………………………………….. 88 6.3. Filtrado de ruido no estacionario……………………………………………………………………………….. 89 6.4. Sistema de localización en base al modelo teórico…………………………………………………….. 91 6.4.1. Sistema de localización………………………………………………………………………………….. 91 6.4.2. Incertidumbre……………………………………………………………………………………………….. 95 6.5. Sistema de localización en base a los modelos paramétricos……………………………………… 98 6.5.1. Introducción…………………………………………………………………………………………………. 98 6.5.2. Espacio de características……………………………………………………………………………… 99 6.5.3. Función de transformación e incertidumbre……………………………………………….100 6.5.4. Determinación de las coordenadas del robot……………………………………………… 104 7. RESULTADOS EXPERIMENTALES. 7.1. Recinto de experimentación y fuentes de sonido………………………………………………………111 7.2. Posiciones de las muestras y del robot analizadas……………………………………………………. 115 7.3. Caracterización acústica del recinto…………………………………………………………………………. 118 7.4. Adquisición, filtrado de las señales y selección de los modos…………………………………... 120 7.5. Modelo teórico de función de transferencia…………………………………………………………….. 128 7.5.1. Fuente de sonido: insoladora PCB………………………………………………………………. 128 7.5.1.1. Cálculo del factor de ganancia de los modos…………………………………. 128 7.5.1.2. Función del factor de ganancia……………………………………………………… 130 7.5.1.3. Determinación de las posiciones del robot……………………………………. 133 7.5.2. Fuente de sonido: cámara climática…………………………………………………………… 138 7.5.2.1. Cálculo del factor de ganancia de los modos………………………………… 138 7.5.2.2. Función del factor de ganancia……………………………………………………. 140 7.5.2.3. Determinación de las posiciones del robot…………………………………... 143 7.5.3. Comparación de los resultados obtenidos con ambas fuentes………………….. 145 7.6. Modelos paramétricos.………………………………………………………………….………………………… 146 7.6.1. Introducción………………………………………………………………………………………………. 146 7.6.2. Fuente de sonido: máquina CNC……………………………………………………………….. 147 7.6.2.1. Recinto de experimentación y fuente de sonido………………………….. 147 7.6.2.2. Función de transformación y resultados………………………………………. 148 7.6.3. Fuente de sonido: cámara climática…………………………………………………………. 150 7.6.3.1. Identificación del modelo…………………………………………………………….. 150 7.6.3.2. Función de transformación e incertidumbre…………………………………. 152 7.6.3.3. Determinación de las posiciones del robot…………………………………… 154 7.6.4. Fuente de sonido: insoladora…………………………………………………………………….. 160 7.6.4.1. Identificación del modelo……………………………………………………………… 160 7.6.4.2. Función de transformación e incertidumbre…………………………………. 162 7.6.4.3. Determinación de las posiciones del robot…………………………………… 165 7.6.5. Comparación de los resultados obtenidos con ambas fuentes…………………… 167 7.7. Comparación de los resultados obtenidos con ambos modelos………………………… 169 III 8. CONCLUSIONES. 8.1. Conclusiones generales…………………………………………………………………………………….. 175 8.2. Aportaciones realizadas…………………………………………………………………………………….. 178 8.3. Publicaciones derivadas del desarrollo de la tesis………………………………………………. 179 8.4. Líneas futuras de investigación…………………………………………………………………………… 180 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………………………………..183 1. Introducción - 7 - 1.2. Objetivos de la tesis. Como hemos señalado anteriormente, es significativa la poca utilización de sensores de señales de audiofrecuencia en las distintas técnicas utilizadas en el campo de la autolocalización de robots móviles, y un objetivo de esta tesis es el intentar realizar una aportación que ayude a cubrir este vacío existente Por tanto, el objetivo principal de esta tesis es el de proponer e investigar modelos acústicos que permitan su integración en varios sistemas de autolocalización propuestos para robots móviles que trabajen en entornos cerrados. En el desarrollo de la tesis se realizará, además de la propuesta de los diferentes modelos, una primera aproximación experimental con objeto de comprobar su validez mediante la realización de diversos ensayos. El entorno de trabajo más típico de los robots en recintos cerrados, son las plantas de tipo industrial, y es en este tipo de recintos donde centraremos la mayor parte del trabajo realizado en la tesis, aunque la aplicación de los modelos y de los sistemas de autolocalización propuestos son válidos para su aplicación en otros tipos de recintos, con la única condición de la presencia de una fuente de sonido estacionaria en el recinto por donde se desplazará el robot. Aunque la tesis se centrará en la problemática de la localización de robots, es interesante destacar el aspecto referente a que dichos modelos plantean soluciones que pueden servir también como una primera aproximación al estudio de sistemas de localización de personas en recintos cerrados. Los modelos propuestos intentarán optimizar la cantidad de recursos computacionales necesarios para su aplicación en los sistemas de localización presentados en comparación con otros modelos ya existentes definidos para otras aplicaciones, y que requieren de una descripción muy completa de la respuesta acústica de los recintos, pero lógicamente deben ser lo suficientemente eficientes desde el punto de vista de su aplicación práctica. Este último aspecto nos hará contemplar la posibilidad de plantear sus futuras posibles aplicaciones en la resolución de la problemática de la localización y el establecimiento simultáneo del mapa del entorno de trabajo del robot (SLAM), ya que como veremos, los modelos que proponemos requerirán de unas pocas muestras del recinto para establecer el mapa acústico de la zona de trabajo del robot. Aunque la única condición que requeriremos para la fuente de sonido del recinto es que emita una señal estacionaria, y que podríamos implementar mediante la utilización de una fuente estructurada dedicada que emitiera el tipo de señal que mejor se adaptara a nuestros sistemas, intentaremos aprovechar las propias fuentes de sonido presentes en los recintos con objeto de no contaminar acústicamente el entorno de trabajo del robot. Por ejemplo, muchos tipos de máquinas eléctricas rotativas típicas en los equipos utilizados en las plantas industriales emiten señales de sonido que permiten un tratamiento aproximado al que se realiza al tratar señales de tipo estacionario, y serán estas señales emitidas por este tipo de máquinas las que utilizaremos como señales de entrada a los modelos propuestos en los ensayos experimentales, con objeto de no contaminar las 1. Introducción - 8 - condiciones acústicas usuales del recinto con la utilización de fuentes de sonido adicionales dedicadas específicamente al sistema de localización. Respecto a este aspecto, y aunque no sea un punto de estudio principal de nuestra tesis, hemos trabajado también en [BOL08] una variante para un sistema de localización que integra un modelo paramétrico MAX, modelo concebido para trabajar con fuentes de sonido que emiten sonidos de tipo no estacionario y propuesto en [BOLO3]. La variante que propondremos permitirá dotar de mayor robustez al sistema propuesto en [BOLO3], como veremos en el desarrollo de la tesis. Desde el punto de vista del sistema de localización, y relacionado directamente con su sensibilidad cuando se aplique en recintos de grandes superficies, es más robusta su implementación en plantas en las que trabajen máquinas que generen un nivel de potencia sonora elevado, pero lógicamente y por motivos de seguridad e higiene en el trabajo, el nivel de ruido en las zonas de trabajo de los operarios está limitado tal como señalan las numerosas normas existentes al respecto, y no es de esperar en estos recintos la presencia de operarios. Por este motivo, los modelos propuestos estarán concebidos inicialmente para su aplicación en plantas o recintos en las que existan máquinas que generen un nivel de potencia sonora suficiente, y en el caso de las plantas industriales, sin la presencia de operarios, en las que queda justificada la conveniencia de la utilización de robots para la realización de diferentes tareas. No obstante, hemos trabajado también en un sistema de filtrado para señales provenientes de máquinas que vengan acompañadas de ruido de tipo no estacionario, como las señales procedentes del habla o la presencia de posible ruido de fondo que pudieran enmascarar la señal de interés emitida por la máquina, como podemos ver en [GRA07]. En el desarrollo de esta tesis se han propuesto e investigado varios modelos, un modelo teórico que permite la autolocalización del robot en base a la determinación de las ganancias de las diferentes funciones de transferencia en las diferentes posiciones del robot en el recinto, un modelo paramétrico de función de transferencia con una estructura ARX que permite la autolocalización del robot mediante el estudio de la variación de sus parámetros y la posterior aplicación de una función de transformación, y finalmente, en base a los estudios realizados con este último modelo, también se ha realizado la propuesta de la estructura de un modelo LPV (Linear Parameter Varying) que deriva directamente del modelo LTI (Lineal Time- Invariant) paramétrico. El modelo teórico no paramétrico que proponemos se basa en la solución que proporciona el modelo ondulatorio de la respuesta acústica de recintos rectangulares, ya que la mayoría de recintos cerrados, como por ejemplo las plantas industriales, presentan una forma bastante aproximada a la de un recinto rectangular, aunque para facilitar su aplicación práctica y para cuantificar algunos de sus parámetros nos serviremos de algunas de las soluciones que nos ofrecen los modelos estadísticos. Para ello trabajaremos en un rango del espectro sonoro próximo a la frecuencia de cruce de Schroeder, en una región donde podemos contemplar que los modos están lo suficientemente separados como para poder considerar que solamente un modo o unos pocos modos han sido excitados significativamente por la fuente de sonido, y que no esté muy alejada de la zona del espectro donde establecen sus soluciones los modelos estadísticos. 1. Introducción - 9 - El espectro sonoro de las fuentes de sonido típicas presentes en las plantas industriales, como por ejemplo las máquinas eléctricas rotativas, es lo suficientemente rico en el rango de las bajas frecuencias como para poder seleccionar, mediante el correspondiente filtrado de la señal, una componente frecuencial del sonido emitido por la fuente que esté situada en nuestra zona de interés. No obstante, para los casos en que la fuente de sonido de la planta no trabajara de forma continua en los periodos de trabajo del robot, o las características de la señal impidieran su tratamiento aproximado al de una señal estacionaria, se podría considerar la utilización de una fuente de sonido estructurada, como hemos señalado anteriormente, que con la simple emisión de un tono de frecuencia fija permitiría la aplicación de nuestro modelo para el sistema de localización. Por otro lado, a pesar de las ventajas que pueden proporcionar las señales de audio para desarrollar los sistemas de localización de un robot en un recinto en comparación con los sistemas de localización basados en la visión robótica, y que hemos expuesto anteriormente, hay que considerar las numerosas fuentes de incertidumbre que encontraremos en el tratamiento de estas señales. En nuestro caso, además de la problemática de la incertidumbre en las medidas acústicas a efectuar en el propio recinto y que han sido puestas de manifiesto por numerosos autores, como por ejemplo por Mašovi en [MAS12], tenemos que tener en cuenta las fuentes de incertidumbre que afectan directamente a la exactitud de las soluciones que pueden ofrecer nuestros modelos, como veremos en el desarrollo de la tesis. Realizar teóricamente la cuantificación de las múltiples fuentes de incertidumbre que afectan a los modelos de audio en la práctica presenta dificultades evidentes, y justifica la necesidad de realizar un muestreo previo del recinto, como veremos también en el desarrollo de la tesis. No obstante, como veremos en el capítulo de resultados experimentales, la modelización de la incertidumbre a partir de la información suministrada por las muestras etiquetadas del recinto nos permitirá mantener acotado el margen de error de nuestros sistemas de localización, permitiendo su aplicación de una forma eficiente. 1.3. Estructura de la tesis. La tesis se ha organizado en ocho capítulos, cuyo contenido se expone a continuación: El capítulo 2 está dedicado a definir algunos conceptos de acústica básicos importantes para el seguimiento del desarrollo de la tesis. Entre estos conceptos veremos los correspondientes a las definiciones del nivel de presión y de potencia sonora, y otros conceptos más ligados propiamente al estudio de la respuesta acústica de los recintos cerrados, como son la impedancia acústica y una primera presentación del parámetro correspondiente al tiempo de reverberación de un recinto. En el capítulo se realiza también un estudio introductorio de las fuentes de sonido y del proceso de propagación del sonido generado por dichas fuentes en los recintos, así como una introducción a los sonidos producidos por las máquinas industriales y de algunas técnicas del tratamiento del ruido típico presente en este tipo de plantas, para finalizar presentaremos el campo sonoro estacionario que se establece transcurrido un cierto tiempo desde la puesta en marcha de la fuente de sonido. 1. Introducción - 10 - En el capítulo 3 realizaremos una breve descripción de los modelos utilizados en el estudio de la respuesta acústica en los recintos, analizando sus ventajas e inconvenientes y sus rangos de aplicación, así como las limitaciones que presentan. Prestaremos especial atención en este capítulo al modelo ondulatorio, dado que será el modelo que utilizaremos como base, junto al modelo estadístico, para definir los modelos que propondremos en los capítulos posteriores. En concreto nos centraremos en el estudio de la función de Green, dado que esta función es la base a partir de la cual se definen las funciones de transferencia acústica propuestas por numerosos autores. En el capítulo 4 presentaremos un nuevo modelo teórico LTI de la función de transferencia acústica de la presión sonora de los recintos cerrados, modelo en el que la mayoría de sus parámetros se calcularán off-line a partir de las expresiones obtenidas que describen el comportamiento físico de la propagación del sonido y de diferentes características del recinto, como son sus dimensiones y la cantidad y el tipo de material absorbente presente en el mismo. Para la definición del modelo nos basaremos en las soluciones proporcionadas por el modelo estadístico y las proporcionadas por el modelo ondulatorio, como veremos con detalle en el desarrollo del capítulo. En este capítulo se presenta también la propuesta del tipo de filtrado a aplicar a las distintas señales de audio captadas por el robot en el recinto, filtrado de tipo pasabanda centrado en las proximidades de la frecuencia de Schroeder. Este filtrado permite acotar el número de modos de propagación del recinto a considerar y permite una reducción importante de la complejidad del modelo propuesto. En el capítulo 5 realizaremos nuestra propuesta de diversos modelos de identificación paramétricos. Iniciaremos el capítulo con un primer estudio de diversos modelos propuestos por diferentes autores para posteriormente pasar a definir un nuevo modelo con una estructura ARX que presentará algunos puntos en común con el modelo teórico propuesto en al capítulo 4, como es la aplicación de un filtrado de las señales captadas con objeto de simplificar el orden y la estructura del modelo, y derivado del estudio realizado con el modelo ARX, propondremos la estructura de un nuevo modelo LPV. Finalizaremos el capítulo con un estudio experimental sobre el efecto del filtrado en la reducción del orden del modelo ARX, con objeto de determinar un orden reducido del modelo pero que a su vez permita describir la respuesta acústica del recinto con la suficiente fidelidad en nuestra zona de interés. Dedicaremos el capítulo 6 al estudio de la integración de nuestros modelos en los sistemas de localización propuestos y a la descripción de dichos sistemas. Iniciaremos el capítulo con la descripción del sistema de adquisición de la señal y con un breve estudio sobre el filtrado de la señal para el caso de que la misma pudiera venir acompañada de ruido de tipo no estacionario. Pasaremos posteriormente a presentar los sistemas de localización en base a los distintos modelos estudiados, el modelo teórico no paramétrico y los modelos paramétricos, 1. Introducción - 11 - detallando el importante aspecto referido al tratamiento de la incertidumbre de los parámetros de los modelos. El capítulo 7 lo dedicaremos a exponer los ensayos experimentales que hemos realizado con objeto de comprobar la validez de nuestros modelos y la de los sistemas de localización propuestos. Iniciaremos el capítulo con una detallada descripción del recinto de experimentación que es un laboratorio docente de electrónica ubicado en la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Barcelona. Detallaremos en el capítulo el proceso de filtrado de las señales y de la selección de los modos de propagación a analizar del recinto, principalmente para las dos fuentes de sonido más utilizadas, una cámara climática dedicada a la realización de ensayos climáticos de equipos y componentes electrónicos, y una insoladora de placas de circuitos impresos electrónicos, ubicadas en distintas zonas del laboratorio. Realizaremos un estudio detallado de los resultados obtenidos con cada modelo y con cada fuente de sonido, y finalizaremos el capítulo con un estudio comparativo de los resultados obtenidos con ambos modelos. Finalmente en el capítulo 8 se presentan las conclusiones obtenidas en el desarrollo de la tesis, evaluándose en primer lugar las ventajas e inconvenientes que presentan los modelos y sistemas de localización estudiados. Pasaremos posteriormente a enumerar las aportaciones de la tesis que consideramos más importantes así como las posibles líneas futuras de investigación que se derivan del trabajo realizado. CAPÍTULO 2: Fundamentos teóricos de audio. 2. Fundamentos teóricos de audio - 15 - 2.1. Introducción. Como hemos señalado anteriormente, en este capítulo definiremos algunos conceptos de acústica básicos importantes para el seguimiento del desarrollo de esta tesis, la profundización sobre estos conceptos la podemos encontrar en la bibliografía especializada, como por ejemplo en [KUT09] o [KIN95]. Entre los conceptos más básicos se encuentran los correspondientes a las definiciones del nivel de presión y de potencia sonora, y otros conceptos más ligados propiamente al estudio de la respuesta acústica de los recintos cerrados, como son la impedancia acústica y una primera presentación del parámetro correspondiente al tiempo de reverberación de un recinto. En el capítulo se realiza también un estudio introductorio de las fuentes de sonido y del proceso de propagación del sonido generado por dichas fuentes en los recintos, así como una introducción a los sonidos producidos por las máquinas industriales y de algunas técnicas del tratamiento del ruido típico presente en este tipo de plantas. Finalizaremos el capítulo presentando el campo sonoro estacionario que se establece transcurrido un cierto tiempo desde la puesta en marcha de la fuente, y que será objeto de un estudio más profundo en el desarrollo de la tesis. 2.2. Niveles de medida y parámetros acústicos básicos. En la práctica, las medidas acústicas que se realizan en los recintos para su caracterización son las correspondientes al nivel de presión sonora y al tiempo de reverberación del recinto. En este capítulo, definiremos estos parámetros así como algunos otros muy utilizados en el campo de la acústica. 2.2.1. Nivel de presión sonora. Este parámetro es básico para definir el tiempo de reverberación de un recinto, que es otro parámetro muy importante para el estudio y caracterización de la respuesta acústica de los recintos cerrados. En la bibliografía especializada viene referido como SPL, Lp o NPS, y se define a partir de la expresión: Siendo P la presión acústica eficaz medida y P0 la presión acústica eficaz de referencia, siendo este valor el umbral de audición a una frecuencia de 1 kHz que corresponde a 2·10-5 (Pa), es decir, a 20 μPa. La conveniencia de trabajar en decibelios queda justificada si consideramos que nuestra respuesta auditiva es de tipo logarítmico, y que el margen de audición humano es muy amplio y comprende desde el umbral de sensibilidad de 20 μPa al umbral de dolor de 100 Pa. 2.2.2. Nivel de potencia sonora. Aunque este parámetro no se utiliza para caracterizar la respuesta acústica de un recinto, sino que se utiliza para caracterizar las fuentes de sonido, lo trataremos brevemente 2. Fundamentos teóricos de audio - 16 - en este capítulo, dada su importante aplicación en el campo de las medidas acústicas. El nivel de potencia sonora de una fuente acústica, en la bibliografía especializada viene referido como SWL o LW, y viene definido por la expresión: Siendo W la potencia acústica radiada por la fuente de sonido y W0 la potencia acústica de referencia, que se toma de 1·10-12 W, es decir, 1 pW. 2.2.3. Nivel de intensidad sonora. Al igual que el parámetro anterior, este parámetro también tiene una importante aplicación en el campo de las medidas acústicas. La intensidad sonora es la potencia acústica transferida por la onda sonora por unidad de área normal a la dirección de propagación, su unidad es el (W/m2). El nivel de intensidad de un sonido, en la bibliografía especializada viene referido como SIL o LI, y viene definido por la expresión: Siendo I la intensidad sonora medida e I0 el nivel de intensidad de referencia de 1·10-12 (W/m2), aproximadamente igual al umbral de audición humano, estando situado el umbral de dolor en 1 (W/m2). 2.2.4. Impedancia acústica. Las propiedades acústicas de los límites de un recinto, paredes, suelo y techo se pueden describir desde un punto de vista físico basándose en la componente normal de la velocidad de las partículas en la superficie de dichos límites, definiéndose la impedancia acústica como el siguiente cociente complejo: Donde p es la presión acústica en la superficie. En su forma general su expresión viene dada por: Z = a + jb (2.5) Donde a es la componente activa y b la componente reactiva de la impedancia, la componente reactiva pone en evidencia que la presión acústica y la velocidad de las partículas no están en fase. Frecuentemente la impedancia acústica se expresa en función de la impedancia característica del aire, y la cantidad resultante se denomina impedancia acústica específica: 2. Fundamentos teóricos de audio - 23 - Es de destacar que el estudio del espectro de sonido emitido por este tipo de máquinas se utiliza como parte de las labores del mantenimiento preventivo de las mismas, ya que pueden revelar defectos en los cojinetes, engranajes deteriorados, desalineamientos y desequilibrios del eje, falta de engrase y posible presencia de sobrecargas, entre otros fallos. Máquinas industriales o máquinas que se pueden encontrar típicamente en un recinto y que pueden actuar como fuentes de sonido adecuadas para nuestra aplicación serían por ejemplo ventiladores que giren a una velocidad constante, así como bombas hidráulicas, no siendo adecuados por ejemplo los compresores, por la elevada diferencia del nivel de presión sonora que generan entre los periodos de carga y los de régimen. No obstante, para los casos en que la fuente de sonido de la planta no trabajara de forma continuada en los periodos de trabajo del robot, o las características de la señal impidieran su tratamiento aproximado al de una señal estacionaria, se podría considerar como hemos comentado la utilización de una fuente de sonido estructurada, que con la simple emisión de un tono de frecuencia fija permitiría la aplicación de nuestros modelos para los sistemas de localización propuestos. 2.5. Propagación del sonido en el interior de un recinto. Si se activa una fuente de sonido monofrecuencial en el interior de un recinto, el sonido se propaga desde la fuente hacia sus límites, produciéndose una disminución de la energía debida al proceso de absorción en el medio de propagación y a la que se produce en los diversos objetos que encuentra en su camino. En recintos de no muy grandes dimensiones, la absorción en el medio es despreciable. Este sonido que se transmite directamente desde el emisor al receptor acústico se conoce como sonido directo, a diferencia del denominado sonido indirecto que es el que llega al receptor acústico después de reflejarse en las distintas superficies del recinto. A su vez en el sonido indirecto se definen lo que se conocen como reflexiones tempranas, que engloban al sonido proveniente de la primera reflexión y al proveniente de las primeras reflexiones que alcanzan al receptor acústico, y las reflexiones tardías, que son las que producen el sonido que llega al receptor acústico después de haber sufrido múltiples reflexiones y forman lo que se conoce como la cola reverberante del sonido. En la figura 2.2 se representa un ejemplo de la respuesta impulsional de la presión sonora en un recinto para una determinada posición de la fuente y el receptor acústico. 2. Fundamentos teóricos de audio - 24 - Fig.2.2. Respuesta impulsional de un recinto. Si la fuente de sonido opera de forma continuada, las ondas acústicas sufren diversas reflexiones en los límites y objetos del recinto, la absorción en el aire y la que se produce en las distintas superficies impide que la amplitud de la energía acústica tome valores infinitamente grandes, de forma que la energía absorbida por las distintas superficies se iguala a la generada por la fuente de sonido y la distribución de la densidad de energía acústica en el recinto pasa a ser constante, alcanzándose un estado estacionario. Dada la importancia del proceso de reflexión de la onda sonora en las distintas superficies del recinto para caracterizar su respuesta acústica, lo estudiaremos con detalle. Si consideramos inicialmente una onda plana que se desplaza en una dirección perpendicular a la superficie reflectante, podemos definir la onda de presión reflejada por la siguiente expresión: Siendo R el coeficiente de reflexión de la pared o del obstáculo que encuentra la onda sonora en su camino. El módulo del coeficiente de reflexión está relacionado con el coeficiente de absorción por la expresión: Dado que la impedancia de la superficie reflectante o pared presenta una parte real, que es la responsable de las pérdidas de energía, y una parte imaginaria, que es la responsable de la generación del desfase en la onda reflejada, hay que considerar que el coeficiente de reflexión también presentará una parte real y una parte imaginaria. La impedancia que presentan las paredes está relacionada con el coeficiente de reflexión por la expresión siguiente: Y con la impedancia específica z de las paredes del recinto, por la expresión: 2. Fundamentos teóricos de audio - 25 - La relación entre el coeficiente de absorción y la impedancia específica de las paredes viene dada por: En el caso más general en que el ángulo θ de incidencia de la onda sobre la superficie reflectante tome un valor comprendido entre 0 y 90o, la impedancia de la pared pasa a ser: La relación, en este caso, con la impedancia específica de las paredes vendrá dada por: El coeficiente de absorción y la impedancia específica de las paredes están relacionados por la siguiente expresión: La combinación de la onda incidente y la onda reflejada forma la onda estacionaria, presenta un valor máximo: Y un valor mínimo: Si la pared presenta irregularidades o rugosidades de unas dimensiones comparables a la longitud de onda de la señal, las reflexiones dejan de ser especulares y se produce una reflexión difusa o dispersión (scattering), en la que la onda se refleja en todas direcciones. Este efecto es más acusado lógicamente en señales de alta frecuencia pero también puede ser producido por paredes que presenten una impedancia no uniforme. Otro efecto acústico que se produce en la propagación de las ondas sonoras es la difracción que sufren las ondas cuando encuentran un obstáculo de dimensiones comparables a su longitud de onda, ya que según el principio de Huygens, los distintos puntos del frente de onda se comportan como focos emisores generadores de ondas que permiten rodear el obstáculo, aunque no obstante se pueden producir zonas de sombra acústica importantes en sus inmediaciones. Una vez alcanzado el régimen permanente, el campo sonoro que se establece en el recinto se puede dividir en varias zonas en función de la distancia a la que nos encontremos de la fuente de sonido, una de estas zonas es la denominada zona de campo próximo. La zona de campo próximo es la más cercana a la fuente, y en ella los efectos de direccionalidad y de falta de linealidad se hacen más evidentes, produciéndose grandes 2. Fundamentos teóricos de audio - 26 - variaciones de presión sonora para pequeños desplazamientos del receptor acústico, y por tanto es una zona de difícil caracterización en la que no se recomienda efectuar medidas de la presión sonora. Por otro lado, en la división del campo sonoro del recinto se establecen dos zonas bien diferenciadas, la zona de campo directo y en la zona de campo reverberado: - Zona de campo directo: en ella los efectos de las reflexiones de las ondas en el recinto son muy poco perceptibles, y la respuesta acústica es similar a la que encontraríamos al aire libre, reduciéndose el nivel de presión sonora en 6 dB al duplicarse la distancia a la fuente, para el caso de fuentes puntuales, y en 3 dB para el caso de fuentes lineales. - Zona de campo reverberado: al alejarnos de la fuente, alcanzamos a una distancia a partir de la cual la influencia de las reflexiones de las ondas genera una presión equivalente a la producida en el campo directo, y por tanto el efecto de atenuación en función de la distancia se hace mucho menos acusado y puede llegar a mantenerse la presión sonora a un nivel aproximadamente constante, como se observa en la figura 2.3. A la distancia a la que el nivel de presión sonora producido por el campo directo se encuentra 3 dB por encima del nivel de presión sonora producida por el campo reverberado se le conoce con el nombre de distancia crítica, tal como se indica en la figura 2.3 [ANT88], en la que se representa el nivel relativo de presión sonora expresado en dB respecto a la relación existente entre la distancia a la fuente de sonido y la distancia crítica. El valor de la distancia crítica depende fuertemente del coeficiente de absorción de las superficies del recinto. Fig.2.3. División del campo sonoro de un recinto Finalmente señalar que si se quiere caracterizar una fuente de sonido en condiciones similares a las que obtendríamos en el campo libre, se utilizan cámaras anecoicas, en que la absorción sonora de las paredes que la forman es muy grande evitando cualquier reflexión en ellas, y cuyo comportamiento por tanto es totalmente opuesto al de las cámaras reverberantes, que son cámaras que se utilizan para cuantificar el coeficiente de absorción de los distintos materiales. CAPÍTULO 3: Modelos acústicos de los recintos cerrados 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 29 - 3.1.- Introducción. En este capítulo realizaremos una breve descripción de los modelos utilizados en el estudio de la respuesta acústica en los recintos, analizando sus ventajas e inconvenientes y sus rangos de aplicación, así como las limitaciones que presentan. En particular prestaremos especial atención al modelo ondulatorio, dado que será el modelo que utilizaremos como base, junto al modelo estadístico, para definir nuestro modelo teórico no paramétrico que propondremos en los capítulos posteriores. En concreto nos centraremos en la función de Green, dado que esta función es la base a partir de la cual se definen las funciones de transferencia acústica propuestas por numerosos autores. 3.2. Modelos acústicos de los recintos cerrados. El estudio de la respuesta acústica de los recintos cerrados ha sido abordado con diferentes enfoques, como son los enfoques proporcionados por el modelo geométrico, por el uso de métodos estadísticos, por la aproximación psicoacústica, por el modelo ondulatorio establecido en base a la ecuación de onda, por los modelos de función de transferencia (Room Transfer Function) y los por los métodos computacionales. El modelo acústico geométrico se basa en aplicar las leyes de la óptica geométrica a la propagación del sonido, modelizando las ondas sonoras como rayos que cumplen con las leyes básicas de la óptica, como por ejemplo las leyes de reflexión y la ley de Snell de la refracción cuando la onda sonora cambia de medio de propagación. Este modelo es muy útil, sobretodo en el rango de las medias y altas frecuencias, y se aplica para estudiar la distribución en un recinto del campo sonoro directo y el comportamiento de las primeras reflexiones del sonido en el recinto, así como para el estudio de la focalización del sonido producido por la forma de determinadas superficies de las salas, como por ejemplo las bóvedas. El precursor de los modelos estadísticos fue W. C. Sabine [SAB64], que fundó el campo de la acústica arquitectónica, que se basa en la determinación de un parámetro muy importante y ampliamente utilizado en la caracterización del comportamiento sonoro de un recinto, que es el tiempo de reverberación, ya presentado previamente en el capítulo de introducción. Sabine estableció una fórmula que relaciona este tiempo de reverberación con las dimensiones y la cantidad de material absorbente que contiene el recinto, conocida como la ecuación de Sabine, y que se fundamenta en la suposición del establecimiento de un campo sonoro homogéneo e isótropo, denominado campo difuso. El modelo psicoacústico contempla el estudio de la característica de la respuesta de nuestro sistema auditivo, incluyendo la relación entre la magnitud de la sensación subjetiva producida por el sonido con respecto a sus propiedades físicas, englobando los conceptos y efectos relacionados con el proceso de la percepción del sonido, como son la sonoridad, la tonalidad y el enmascaramiento, entre otros. Este modelo no entra dentro del marco de estudio de esta tesis. El modelo acústico geométrico y los modelos estadísticos presentan limitaciones que no proporcionan una teoría completa del sonido en los recintos. Un modelo más completo 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 30 - debe basarse directamente en la teoría ondulatoria. La solución de la ecuación de onda para recintos de geometría simple es una herramienta muy potente para la obtención de la respuesta acústica completa de los recintos, aunque se presentan mayores dificultades para la obtención de dicha respuesta en recintos irregulares o que presentan condiciones poco ideales. La función de transferencia de un recinto cerrado (Room Transfer Function) que deriva de la función de onda, y que estudiaremos en los capítulos siguientes, se muestra también como otra importante herramienta de estudio. Las elevadas dificultades que encontramos en la práctica para establecer la RTF de un recinto han provocado la investigación de numerosos modelos paramétricos, ya que a pesar de que en algunos casos no presentan una relación directa con la interpretación física del proceso que modelizan, permiten abordar con éxito muchas de las problemáticas que se nos plantean en el tema que nos ocupa, como por ejemplo la problemática que surge a la hora de seleccionar el orden del modelo del sistema acústico o la aplicación de la técnica de zoom espectral que se propone para resolver casos en que los modos se encuentran muy próximos en clusters que contienen una alta densidad de modos, como señalan M. Karjalainen et al. en [KAR02b]. Se han propuesto modelos paramétricos como por ejemplo el AR o el ARMA, cuyos coeficientes se corresponden con la respuesta impulsional de la RTF en el dominio del tiempo, o como por ejemplo el modelo CAPZ (common-acoustical-pole and zero) propuesto por Haneda et al. en [HAN99]. Este modelo tiene una más directa interpretación física, en la que las frecuencias de resonancia  n y sus coeficientes de amortiguamiento asociados  n son independientes de la posición del emisor y el receptor acústico. Dado que sólo los ceros dependen de la posición del emisor y el receptor, este modelo requerirá menos parámetros para expresar las variaciones de la RTF que los modelos convencionales AR y ARMAX, no obstante, es bastante complejo expresar las variaciones de los ceros como funciones explícitas. Para minimizar estas dificultades se proponen también en [HAN99] modelos que contemplan los polos y sus residuos para expresar las variaciones de la RTF con funciones más simples. Los métodos computacionales y su detallada descripción de efectos de difícil modelización, como por ejemplo la reflexión difusa o la respuesta acústica en el rango de las bajas frecuencias, hacen que sean una herramienta muy útil para estudiar y predecir la respuesta acústica de un recinto y son ampliamente utilizados. La difícil determinación de la distribución de las autofunciones en recintos poco ideales y en recintos con geometrías complicadas requieren la aplicación del cálculo numérico. El método de los elementos finitos (FEM) que podemos ver aplicado en [EAS95] y el método de los elementos de frontera o contorno (BEM) que podemos ver aplicado en [BRE84] son métodos muy utilizados para encontrar formas aproximadas de las autofunciones. Los métodos computacionales utilizan frecuentemente modelos geométricos, como el de la fuente imagen, que se basa en suponer que en los límites del recinto se pueden cumplir las condiciones de contorno por el establecimiento de otra fuente de sonido imaginaria idéntica a la real y situada simétricamente en la parte posterior de las paredes que forman sus límites, como se propone en [ALL79], aunque hay que considerar que en algunos recintos el 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 31 - número de posibles fuentes imagen crece exponencialmente con el orden de la reflexión, y por tanto este método puede presentar problemas en algunas de sus aplicaciones. Otro modelo acústico geométrico que se utiliza también como método computacional es el de trazado de rayos, como podemos ver en [KRO68], en el que se utiliza un elevado número de partículas que son emitidas en varias direcciones desde una fuente de sonido puntual. Las partículas se desplazan alrededor del recinto perdiendo energía en cada reflexión según el coeficiente de absorción de las superficies y son reflejadas suponiendo reflexiones especulares en una dirección determinada por la ley de Snell, ley ampliamente utilizada en la óptica geométrica. La búsqueda de la combinación de las ventajas que presentan estos dos métodos geométricos clásicos ha provocado la aparición de los modelos híbridos que podemos encontrar por ejemplo en [VOR89], [NAY92] y [NAY93]. La idea básica es que una forma eficiente para determinar fuentes imagen que tengan altas probabilidades de ser válidas es trazar rayos desde las fuentes y considerar solo aquellas superficies que proporcionan resultados válidos, al ser finito el número de rayos no se consideran todas las posibles fuentes imagen, y es necesario utilizar otros métodos, generalmente estadísticos, para obtener la respuesta completa. Estos modelos se basan en el principio de que los rayos crean fuentes imagen para las reflexiones tempranas y fuentes imaginarias secundarias situadas en las paredes del recinto para las reflexiones tardías. 3.3.-Limitaciones y rango de aplicación de los modelos acústicos. Los diferentes modelos aplicados a la descripción acústica del sonido en los recintos cerrados tienen su rango de aplicación, y para poder realizar su aplicación práctica se adoptan además una serie de simplificaciones que afectan a la precisión de las soluciones que aportan, y que pasaremos a comentar a continuación. Entre los modelos geométricos más importantes se encuentran el de trazado de rayos [KRO68] y el de la imagen [ALL79] ya comentados y muy utilizados como métodos computacionales, que proporcionan resultados con una elevada precisión, sin embargo, su aplicación se limita al rango de las frecuencias medias y altas (sobre cuatro veces por encima de la frecuencia de cruce de Schroeder que definiremos más adelante) y requieren de un elevado tiempo de computación para obtener una precisión aceptable, al tener que procesar las trayectorias de un número de rayos muy elevado, factor este último que juega en contra de nuestra aplicación que está pensada para trabajar en tiempo real. No obstante, la aparición de los modelos híbridos ha significado una importante mejora en este aspecto. Entre las hipótesis simplificativas que contemplan algunos de estos modelos se encuentra la de suponer reflexiones especulares, no difusas, en todas las superficies presentes en el recinto, y por tanto que las dimensiones de los obstáculos presentes en el recinto son mucho mayores que la longitud de onda de la de la señal emitida por la fuente de sonido, condición esta que en ocasiones no se cumple en la práctica si trabajamos en el margen inferior de las frecuencias contempladas por los modelos. También pueden presentar el problema de que en simulaciones de grandes recintos y con recintos adyacentes acoplados algunas de las trayectorias previstas importantes de los rayos pueden llegar a perderse. 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 32 - La mayor ventaja que presentan los modelos estadísticos radica en su gran potencial a la hora de facilitar su aplicación práctica, y actualmente son muy importantes y ampliamente utilizados en la acústica arquitectónica. Su rango de aplicación óptimo se sitúa en el margen de las frecuencias medias y altas, pero se basan en la hipótesis de que en el recinto se produce un campo sonoro difuso, cuyo establecimiento requiere de condiciones que no se cumplen en su totalidad en muchas aplicaciones prácticas. La distribución no uniforme de las superficies absorbentes en el recinto, la presencia de techos abovedados que puedan tender a concentrar el campo sonoro en algunas zonas, la posible presencia de ventanas abiertas de ventilación del recinto y las formas simétricas de los recintos son algunos factores típicos que se oponen a la generación de un campo sonoro difuso. El tiempo de reverberación en la práctica, debido a estos y otros factores, no adopta un valor constante en todo el recinto, y eso justifica el establecimiento de normas, como la ISO 3382 [IS009], que establecen unos procedimientos con el fin de obtener un tiempo de reverberación promediado a partir de su medida en diferentes localizaciones de la sala, en posiciones que se pueden considerar estadísticamente independientes. J. Ducourneau et al. en [DUC03] realizan un estudio de los errores que se producen en la determinación del tiempo de reverberación obtenido con diferentes modelos estadísticos, simulando recintos con límites heterogéneos formados con materiales de diferentes coeficientes de absorción como los que presentan las plantas industriales, utilizando para ello paneles absorbentes ubicados en distintas zonas del recinto. Los mejores resultados con los modelos estadísticos típicos proporcionan un error relativo que se sitúa por debajo del 20 %, pero en algunos casos los errores máximos pueden llegar a superar el 40 %. Los autores proponen un modelo de absorción acústico basado en el ángulo sólido que representa el área equivalente de los paneles vistos desde la fuente de sonido, validado en recintos industriales, que aumenta la precisión de los modelos. Si consideramos que los modelos de la acústica estadística nos proporcionan un valor constante del tiempo de reverberación para todo el recinto, y por tanto que no depende de la posición analizada del recinto, vemos que este es un factor que juega en contra en nuestra aplicación, ya que el tiempo de reverberación no nos podrá suministrar directamente información sobre la posición del robot. En el rango de las frecuencias bajas, por debajo de la frecuencia de cruce de Schroeder, las limitaciones de los modelos anteriores son evidentes, y el modelo que permite el análisis en este rango de frecuencias y que más precisión aporta en la descripción del campo acústico reverberante es el modelo ondulatorio. Como hemos señalado anteriormente, la solución práctica de la función de onda se limita a recintos de geometría simple, y para recintos de geometría más compleja se realizan aproximaciones a formas similares de recintos más simples. Derivadas directamente de la función de onda son ampliamente utilizadas las funciones de transferencia de un recinto cerrado, que se definen como la respuesta impulsional asociada a las dos posiciones espaciales de la fuente de sonido y del receptor acústico en el recinto. 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 39 - a) Modo (0,1,2) b) Modo (1,1,2) c) Modo (2,1,2) d) Modo (0,2,2) e) Modo (1,2,2) f) Modo (2,3,2) Fig. 3.1. Respuestas ideales del recinto de experimentación para diferentes modos de propagación Los modos de propagación se pueden clasificar como hemos visto por el conjunto de enteros (nx, ny y nz). Si dos enteros son cero, el modo de propagación se denomina axial, debido a que el vector de propagación es paralelo a uno de los ejes, si uno de los enteros es cero, el modo se denomina tangencial, debido a que el vector de propagación es paralelo a un par de superficies, y si ningún entero es cero, el modo se denomina oblicuo. Las autofunciones definidas en (3.27) nos indican que podremos obtener la máxima amplitud de la onda estacionaria si situamos el receptor acústico en las esquinas del recinto, y de la misma forma, nos indican que la fuente de sonido producirá la máxima respuesta acústica cuando la situemos en ellos. Por otro lado hay que considerar que estas autofunciones están definidas para el caso en que los límites del recinto fuesen ideales, es decir, para el caso de que la densidad de energía sonora de la onda acústica se conserve 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 40 -       tj nnn zzyyxxn ezkykxkCtrp zyx       0,, .cos.cos.cos.),( después de haber sufrido las correspondientes reflexiones en ellos si despreciamos la atenuación que se puede producir en el medio de propagación.. Para el caso en que la onda incidente se refleje en una superficie no ideal, la energía de la onda reflejada será menor que la de la onda incidente, y este hecho provoca modificaciones importantes en las autofunciones anteriormente definidas, como por ejemplo señala Kinsler en [KIN95]. En primer lugar, los modos normales decrecerán con el tiempo, y cada frecuencia natural ωn deberá ser reemplazada por una cantidad compleja : Otra consecuencia es que la onda estacionaria mostrará amortiguamiento espacial, y el vector de propagación k, y por tanto todas sus componentes, deben reemplazarse por una k compleja, que si la expresamos en función de una dimensión genérica u (u = x, y, z) quedará definida como: (3.33) Donde Lu es la dimensión del eje u considerado del recinto y  u corresponde al coeficiente de absorción de los materiales que conforman los límites del recinto. Para este segundo caso,, las autofunciones definidas en (3.27) pueden expresarse como: (3.34) Si sustituimos esta expresión en la ecuación de onda sin pérdidas, se observa que: Los valores de los parámetros k, φ y α de las expresiones anteriores se obtienen aplicando las condiciones de contorno que describen a las paredes con pérdidas, que también determinan el coeficiente de absorción temporal β de cada uno de los modos normales. Los modos normales y sus frecuencias naturales son función fundamentalmente de la forma y tamaño del recinto, mientras que la rapidez de amortiguamiento depende de las impedancias acústicas específicas de los límites del recinto. Si consideramos este hecho de que la onda reflejada no tiene la misma energía que la onda incidente, no existirá ningún punto del recinto en que la onda reflejada anule por completo a la onda incidente, y no encontraremos por tanto en el recinto puntos con presión nula. Este aspecto queda reflejado en la figura 3.2, para un caso simplificado unidimensional donde se representa el módulo de la presión |P| de la onda estacionaria en función de la u u u uj L n k    3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 41 - longitud Lx del recinto para el caso de que las paredes presentaran una impedancia reactiva pura, es decir, que no provocaran pérdidas de energía. Fig. 3.2. Amplitud de la presión de la onda estacionaria en función de la posición para el caso unidimensional. Como observamos en la figura, la evolución de la onda estacionaria mostraría un cierto desfase respecto al caso en que los límites del recinto fueran totalmente ideales. 3.5. Función de transferencia de un recinto cerrado. Como hemos señalado, una forma de abordar el estudio de la respuesta acústica de un recinto es a partir de la función de transferencia acústica, que se define como la respuesta impulsional asociada a las dos posiciones espaciales de la fuente de sonido y del receptor acústico en el recinto, y dependerá de la geometría y de los coeficientes de absorción de los materiales que forman los límites del recinto, entre otros factores. La obtención de la RTF de un recinto es importante en muchas aplicaciones de audio, como por ejemplo para el procesado de la señal acústica y para el control del campo sonoro de un recinto cerrado. Se utilizan en canceladores de resonancias acústicas para eliminar el eco en los recintos como podemos ver en [FUR91] o en [MAK93], controladores activos del ruido como podemos ver en [WID85] o en [MIY88] y sistemas de control de sonido MIMO, entre otras aplicaciones. Diversos autores proponen diferentes formas para expresar la función de Green definida en (3.19) en forma de función de transferencia acústica en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo Haneda et al. en [HAN99] proponen una expresión que se establece entre la localización de la fuente de sonido rs y la localización del receptor acústico rm en el recinto, siendo r=(x,y,z) las coordenadas respectivas correspondientes en las tres dimensiones del recinto, que si se acota a un cierto número finito de modos a considerar L, podemos expresar como:    L nnnnn snmn sm j jrr CrrH 1222 2 )()( ),,(    (3.36) En esta RTF se considera la presión que genera una fuente puntual que emite a una determinada frecuencia angular  y  n es el coeficiente de amortiguamiento asociado al modo 3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 42 -                   L nn nn Q m r nn K m rp 122 1 )( )(      considerado.  n(rm) y  n(rs) son las autofunciones correspondientes a las distintas frecuencias de resonancia del recinto, de valor  n, y C es el factor de ganancia. Las autofunciones que vienen definidas en las posiciones de la fuente de sonido y del micrófono, las podemos expresar para recintos rectangulares, de una forma simplificada como: Lz zn L yn L xn zyx Lz zn L yn L xn zyx mz y my x mx mmmn sz y sy x sx sssn         coscoscos),,( coscoscos),,(   (3.37) Expresiones definidas por la tripleta de valores (nx,ny,nz) del modo n considerado, donde nx ,ny ,nz N y donde (xs,ys ,zs) y (xm,ym,zm) son las coordenadas cartesianas de la posición de la fuente de sonido y la posición del receptor acústico respectivamente: La solución formal de la ecuación de onda también puede expresarse como una función de transferencia acústica según la siguiente expresión propuesta por Gustaffson et al. en [GUS00], donde s = jω ya que consideramos la respuesta estacionaria del recinto: (3.38) Otros autores proponen diferentes expresiones que proporcionan una solución aproximada a la función de Green, como la propuesta por Kinsler en [KIN95] que se basa en la similitud que presenta el comportamiento acústico de un recinto al comportamiento de un oscilador armónico subamortiguado. La expresión (3.39) modeliza el comportamiento del recinto cuando es excitado por una fuente monofrecuencial que emite en una posición fija a una determinada frecuencia  . La presión que tendremos en un punto del recinto para un determinado modo de propagación n vendrá dada en este caso por la expresión siguiente: (3.39) Siendo Qn el factor de calidad del recinto para el modo considerado. El valor de Kn para el modo considerado dependerá de la posición y configuración de la fuente de sonido. También encontramos en la bibliografía propuestas de la definición de la función de transferencia en el dominio del tiempo, es decir, la respuesta impulsional del sistema. Dado    L nnnn mnsn oo s ms ss rr c ssU srrP 122 2 2 )()( )( ),,(    3. Modelos acústicos de los recintos cerrados - 43 - que la respuesta impulsional de los sistemas resonantes muestra una o más sinusoides que decrecen de forma exponencial, por ejemplo en [KAR02a] se propone la expresión siguiente: (3.40) Donde An es el nivel de respuesta inicial, u(t-to) es la función escalón con un cierto retardo to provocado por el tiempo de retardo de la propagación del sonido,  es la constante de tiempo de decrecimiento del sonido,  n la frecuencia angular del modo n considerado y  la fase inicial de la respuesta. Si consideramos un solo modo, la ecuación (3.40) puede interpretarse como la respuesta impulsional de un filtro de segundo orden, por tanto, de forma generalizada, podemos afirmar que la respuesta a una combinación de L modos puede interpretarse como la respuesta de un filtro de orden 2L.       L no ttu o tt n tt e n Ath n 1 )()(sin )( )( 0   CAPÍTULO 4: Modelo teórico de función de transferencia 4. Modelo teórico de función de transferencia - 47 - 4.1. Introducción al modelo propuesto. El modelo que presentaremos en este capítulo es un modelo LTI de la función de transferencia acústica de la presión en el recinto, en el que la mayoría de sus parámetros se calcularán off-line a partir de las expresiones que describen el comportamiento físico de la propagación del sonido en recintos cerrados, aunque no es un modelo que podamos definir como estrictamente teórico, dado que requeriremos de la medida de la presión sonora en algunas posiciones de la zona de trabajo del robot para su completa definición, como veremos más adelante. En el capítulo anterior hemos visto diversas expresiones de la función de transferencia acústica derivadas directamente de la función de Green, así como otras expresiones basadas en la similitud de la respuesta acústica que modeliza la función de Green con la respuesta de un oscilador armónico subamortiguado o con la respuesta que presentaría una asociación de filtros de segundo orden sintonizados a la frecuencia de resonancia correspondiente al modo considerado. También hemos visto en el capítulo anterior expresiones de las RTF definidas con modelos paramétricos, como las propuestas por Haneda et al. en [HAN99] o por Gustaffson et al. en [GUS00], que trabajan con un número finito de modos y proponen la determinación de los distintos parámetros de las RTF a partir del tratamiento de los datos experimentales trabajando con las expresiones de las RTF en tiempo discreto en el dominio de z. La función de transferencia que proponemos presenta las siguientes particularidades: - Trabajaremos con ella en el dominio de la frecuencia, permitiendo un ahorro del tiempo de computación apreciable respecto al que necesitaríamos si trabajáramos con su expresión en tiempo discreto en el dominio de z. - La determinación de la mayoría de sus parámetros se obtendrá a partir de expresiones basadas en la descripción del comportamiento físico de la propagación del sonido en un recinto, y por tanto la mayoría de los valores de los parámetros se podrán determinar, aunque con un cierto grado de incertidumbre, sin la necesidad de realizar medidas experimentales previas en el recinto. - No se requerirá un estudio previo del recinto tan detallado como el que requieren otros modelos acústicos. - Trabajaremos con un único modo, que denominaremos modo principal, para describir la respuesta acústica de la zona del recinto de interés, a diferencia de otros modelos que requieren trabajar con un número de modos que puede llegar a ser muy elevado. Como hemos comentado anteriormente, Karjalainen et al. en [KAR02a] y [KAR02b] establece la equivalencia de la respuesta acústica generada por L modos excitados por una fuente de sonido en un recinto, con la respuesta de un filtro pasabanda de orden 2L. En base a esta última similitud propuesta, podemos considerar que la respuesta de un recinto se asemeja a la respuesta de un sistema formado por una asociación de filtros 4. Modelo teórico de función de transferencia - 48 - pasabanda de segundo orden, sintonizados a la frecuencia ωn correspondiente a las frecuencias de resonancia de los distintos modos considerados, y cuyas ganancias dependen de la posición del emisor y del receptor en el recinto y de la frecuencia de la señal aplicada, entre otros factores. Es decir, el módulo de la presión |P| para un modo determinado y para una posición determinada presentará un máximo cuando la frecuencia de la fuente de sonido se sitúe en la frecuencia de resonancia del modo, tal como muestra la figura 4.1. Fig. 4.1. Respuesta en frecuencia del módulo de la presión para un modo en una posición determinada En base a este comportamiento descrito, La expresión de la RTF que proponemos para nuestro sistema de localización presenta una estructura similar a la de la RTF propuesta por Gustaffson et al. en [GUS00], pero reducida a un único modo n, y viene dada por la expresión (4.1): Siendo  n y  n el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia del modo n considerado respectivamente, y siendo una función que modelizará las variaciones espaciales que se producen en el factor de ganancia medio del modo y que denominaremos función del factor de ganancia. Por otro lado, si comparamos esta expresión con las expresiones (3.36) y (3.38) propuestas por otros autores, podemos observar que no aparece la autofunción correspondiente a la posición de la fuente de sonido, hecho que justificaremos a continuación al detallar la definición de nuestra RTF. Para definir nuestro modelo podríamos haber considerado la respuesta acústica formada por el sumatorio de las respuestas de todos los modos que consideraremos inicialmente, y que seleccionaremos en un proceso de filtrado que detallaremos más adelante, y buscar qué combinación de modos proporcionan una respuesta más aproximada a la presión acústica de la señal recibida por el robot en cada posición analizada. El problema de esta solución es el elevado tiempo de computación que se requeriría para el análisis de todas las combinaciones posibles, aunque hayamos limitado el número de modos en el proceso de filtrado, y la difícil estimación teórica de la energía contenida en cada 4. Modelo teórico de función de transferencia - 55 - [KHE12] y en ella se indica la zona de resonancias individuales, situada por debajo de la frecuencia de cruce, y la zona de superposición modal, situada por encima de la frecuencia de cruce, de un recinto típico. Se señala también en la figura la zona situada a partir de una frecuencia cuatro veces superior a la frecuencia de cruce en la que las reflexiones que se producen en la mayoría de los límites y objetos del recinto son de tipo especular. Fig. 4.4. Distribución de las zonas de resonancias individuales y de superposición modal En las proximidades de la frecuencia de cruce podemos admitir como hipótesis de trabajo, que existirá un cierto grado de convergencia entre las soluciones que proporcionan los modelos estadísticos y las soluciones que proporciona el modelo ondulatorio, con objeto de poder establecer nuestra RTF de una forma eficiente desde el punto de vista de su aplicación práctica, para poder implementar nuestro sistema de localización. El espectro sonoro de la señal que emiten las máquinas rotativas típicas presentes en las plantas industriales es muy rico en componentes de baja frecuencia, como ya hemos comentado, en la figura 4.5 podemos ver como ejemplo la señal discretizada correspondiente a la presión captada por el micrófono en las proximidades de una cámara climática que se utiliza como fuente de sonido en el recinto de experimentación, y en la figura 4.6 se muestra el espectro correspondiente de la señal, en el que se indica el valor eficaz y la frecuencia de las diferentes componentes frecuenciales.y donde podemos observar que las componentes del espectro con una amplitud significativa se sitúan mayoritariamente en el rango de las bajas frecuencias. Por otro lado, considerando que el sistema que tratamos es un sistema lineal, podemos plantear el realizar el filtrado de la señal que emite la fuente de sonido y aplicar el mismo filtrado a la señal que recibe el micrófono del robot sin afectar la relación entradasalida del sistema acústico que se establece en la banda de paso del filtro, y sin perder la información que necesitamos de la respuesta acústica del recinto para realizar la localización acústica del robot mediante nuestro sistema. El objeto de realizar este filtrado es el de situarnos alrededor de unas frecuencias próximas a la frecuencia de cruce, como hemos señalado, a través de la aplicación de un filtro pasabanda, que seleccionará la componente del espectro de la señal emitida por la fuente de 4. Modelo teórico de función de transferencia - 56 - sonido que se sitúe en ese margen, y donde podamos contemplar la convergencia de las soluciones proporcionadas por el modelo ondulatorio y por los modelos estadísticos. Figura 4.5. Señal emitida por la cámara climática. Figura 4.6. Espectro de la señal emitida por la cámara climática. La realización de este filtrado de las señales nos permitirá considerar uno o unos pocos modos del conjunto de modos excitados por las diferentes componentes frecuenciales del espectro de la señal acústica emitida por la fuente de sonido, con el fin de simplificar nuestro modelo a aplicar a nuestro sistema de localización. Estudios sobre la relación entre el ancho de banda del filtro y la disminución de la complejidad de los modelos han sido realizados por [MAN14] como veremos posteriormente. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 time(s) 0100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 frecuency (Hz) 4. Modelo teórico de función de transferencia - 57 - Por tanto, para implementar nuestro sistema, el primer paso será seleccionar el rango de frecuencias de interés a partir de un análisis previo del espectro de la señal de audio emitida por la fuente de sonido. La componente frecuencial del espectro que presente una potencia acústica significativa y que se sitúe a una frecuencia próxima a la frecuencia de cruce será la que condicionará la zona del espectro en la que apliquemos nuestro filtrado de tipo pasabanda. Finalmente señalar que la realización de este tipo de filtro presentará la ventaja añadida de que en el caso de que tengamos en el recinto la presencia de algún ruido de tipo estacionario, el filtro atenuará de forma significativa todas las componentes que se sitúen fuera del ancho de banda del filtro. 4.3. Cálculo teórico de la ganancia media del recinto. Para la determinación de la expresión que nos permitirá realizar el cálculo teórico de la ganancia media del recinto nos basaremos inicialmente en el modelo estadístico, que aunque simplifica el comportamiento real del sonido en un recinto, proporciona resultados válidos para muchas aplicaciones y en el desarrollo de la tesis veremos su gran utilidad para complementar nuestro modelo, facilitando en gran medida su aplicación práctica. A través de numerosos estudios experimentales, Wallace Clement Sabine, como podemos ver en [SAB64] estableció una relación empírica entre las características de reverberación de un recinto, sus dimensiones y la cantidad de material absorbente que contiene, definiendo el tiempo de reverberación como el tiempo requerido para que la presión acústica se atenúe 60 dB una vez ha cesado la emisión de la fuente sonora. La ecuación de Sabine viene dada por la conocida expresión siguiente: Si consideramos la velocidad del sonido c0 de 343 m/s a una temperatura de 20 oC, la expresión toma una forma más comúnmente utilizada: Esta expresión relaciona el tiempo de reverberación Tr de un recinto, con su volumen V y A es un parámetro que define la absorción sonora total del recinto, y viene dada en metros cuadrados (Sabines métricos). Sabine adoptó la suposición de que la absorción sonora total es la suma de las absorciones Ai de las superficies individuales, como indica la expresión (4.13): Donde ai es el coeficiente de absorción de la superficie i-ésima. Se define el coeficiente de absorción medio como: 4. Modelo teórico de función de transferencia - 58 - Existen tablas con los coeficientes de absorción de los distintos materiales más usuales, determinados experimentalmente en cámaras reverberantes, que son cámaras en cuyo interior se establece un campo sonoro que se aproxima a un campo sonoro difuso ideal, con objeto de que sobre el material sometido a estudio el número de ángulos de incidencia de las ondas sonoras que inciden sobre él sea el mayor posible. En estas cámaras se evitan los paralelismos de cualquier superficie con las demás para evitar de esta forma la aparición de modos propios de gran intensidad, y se utilizan difusores repartidos de forma aleatoria por el recinto. Los coeficientes de difusión de los materiales están definidos a diferentes frecuencias separadas en bandas de octava, que proporcionan la suficiente exactitud muchas aplicaciones de ingeniería y de arquitectura. La expresión (4.11) propone un valor del tiempo de reverberación constante en todo el recinto ya que supone que en el mismo se establece un campo sonoro difuso ideal. Existen varias causas que se oponen a la generación de un campo difuso ideal en un recinto o en una planta industrial, y entre ellas podemos señalar: - Formas no ideales del techo, como por ejemplo la que presenta un techo abovedado y que puede producir una distribución no uniforme de la energía, y que juega en contra de la generación de un campo sonoro difuso ideal. - Posible presencia de grandes ventanales de ventilación en el recinto, que presentan un coeficiente de absorción unitario y también provocan una distribución de la energía no uniforme en sus proximidades. - Variación en la distribución energética del campo reverberado, según nos situemos en la proximidad o en la lejanía de los límites del recinto. - La distribución no uniforme de los obstáculos, que pueden presentar diferentes coeficientes de absorción o cuyas dimensiones sean del mismo orden o de un orden superior al de la longitud de onda de la señal, que provocan zonas importantes de sombra acústica. En la práctica, para la determinación experimental del tiempo de reverberación de un recinto, se realiza la medida del tiempo de reverberación en diferentes puntos del mismo, y se realiza un promediado espacial de los tiempos medidos en las distintas posiciones, con objeto de determinar el tiempo de reverberación que lo caracteriza. Las normas ISO 3382 [ISO09] definen las condiciones de medida comúnmente adoptadas, estableciendo que se debe utilizar una fuente omnidireccional y que se harán como mínimo 3 mediciones en 3 posiciones fijas distribuidas uniformemente a lo largo de todo el recinto, y que estén separadas como mínimo una distancia equivalente a media longitud de onda, con objeto de asegurar su independencia estadística. La distancia mínima de una posición del micrófono a cualquier superficie reflectante (incluyendo el suelo), debe ser como mínimo de 1/4 de la longitud de onda. Por otro lado, la fuente de sonido debe generar un nivel de presión sonora situado al menos 45 dB por encima del nivel de ruido de fondo en la banda de frecuencia considerada. 4. Modelo teórico de función de transferencia - 59 - El establecimiento de estas y otras normas queda justificada por la importancia que presenta este parámetro para definir la calidad acústica de una sala, y su predicción es una herramienta de gran importancia en la acústica arquitectónica. Es importante remarcar que la ecuación de Sabine se puede completar teniendo en cuenta la absorción del sonido en el medio, que disminuye el tiempo de reverberación, según la expresión (4.15): Siendo m una constante de atenuación de energía debida al medio de propagación, en nuestro caso el aire, y expresada en m-1. La importancia de la absorción del aire puede ser importante a frecuencias elevadas y en recintos de gran volumen en que se presenten humedades relativas bajas. Para humedades relativas h entre el 20 % y el 70 % y frecuencias entre 1,5 y 10 kHz podemos utilizar para el cálculo del coeficiente m la expresión propuesta por Kinsler en [KIN95]: En que f es la frecuencia de la señal acústica. A partir de la fórmula propuesta por Sabine para determinar el tiempo de reverberación de un recinto, han ido apareciendo nuevos modelos estadísticos que también se aplican en la industria, y que contemplan diferentes aproximaciones y condiciones para su cálculo, como los modelos de Eyring [EYR30], Millington [MIL32], Kuttruff [KUT09], Arau- Puchades [ARA88] y Fitzroy [FIT59] entre otros, aunque la fórmula de Sabine sigue siendo ampliamente utilizada y es la que utilizaremos para determinar la expresión de la ganancia media del recinto. Por otro lado, tal como hemos señalado anteriormente, diversos autores como Kinsler en [KIN95] establecen en base a la similitud de la respuesta acústica impulsional de un recinto con la respuesta impulsional de un sistema de segundo orden como la que presenta un oscilador mecánico subamortiguado, la expresión que proporciona la evolución de la presión, que viene dada por: Siendo ωd la frecuencia amortiguada del sistema, definida por: (4.18) Expresión en la que ωn es la frecuencia natural no amortiguada, y ξn es el coeficiente de amortiguamiento, que consideraremos en este caso el correspondiente a un determinado modo de propagación del recinto. La relación entre el coeficiente de amortiguamiento y la constante de tiempo τE viene dada por: 4. Modelo teórico de función de transferencia - 60 - Siendo el producto ξnωn la constante de amortiguamiento σ del sistema. Si consideramos ahora la definición del tiempo de reverberación como el intervalo de tiempo transcurrido para que el nivel de presión sonora decrezca 60 dB a partir de la desconexión de la fuente, podemos expresar el coeficiente de amortiguamiento en función del tiempo de reverberación como: Es decir, un modo excitado que provoca un tiempo de reverberación alto en el recinto, viene asociado a una respuesta acústica con un bajo coeficiente de amortiguamiento, presentando su respuesta frecuencial un pico de resonancia acentuado. Como ya hemos comentado, para el estudio del comportamiento de una fuente que emite un sonido continuo en un recinto se diferencian diferentes zonas del espacio en función de la distancia del punto considerado a la fuente de sonido, que son, de forma genérica, la zona de campo próximo y la zona de campo lejano. A su vez, el campo lejano se divide en dos zonas, que son el campo sonoro directo y el campo reverberante, el campo directo es el que produciría la fuente al aire libre. La expresión de la potencia sonora producida por una fuente puntual omnidireccional en el campo directo la podemos encontrar en la bibliografía especializada, como en [KIN95] y viene dada por la expresión (4.21): Siendo Pd la presión acústica eficaz en el campo directo a una cierta distancia radial r expresada en metros del centro efectivo de la fuente sonora, la densidad del aire expresada en (Kg/m3), c la velocidad de propagación del sonido expresada en (m/s) y Ws la potencia acústica radiada por la fuente sonora. De la misma forma, la potencia sonora en el campo reverberante en régimen estacionario, viene dada por la expresión: La potencia sonora total vendrá dada por la suma de ambas potencias como: Esta expresión muestra que para posiciones cercanas a la fuente, es decir, en las que se cumpla que: Es decir, cuando la distancia r del receptor acústico a la fuente de sonido cumpla la condición: 4. Modelo teórico de función de transferencia - 61 - La influencia del recinto empezará a tener poca importancia en los niveles de la presión acústica captada. En nuestros modelos fijaremos la atención en el campo reverberante, que ocupa un volumen mucho mayor que el campo directo para las dimensiones usuales de los recintos que consideraremos, como por ejemplo las plantas industriales, y en el que se desplazará principalmente el robot. En el modelo ondulatorio de la RTF que hemos propuesto y con objeto de simplificar la determinación teórica de sus parámetros y facilitar su aplicación práctica en nuestro sistema de localización, nos serviremos del modelo estadístico, considerando que en las condiciones en que lo aplicaremos, comentadas anteriormente, el módulo de nuestra RTF promediado espacialmente puede aproximarse al valor del módulo obtenido a través del modelo estadístico Con objeto de determinar el módulo de la RTF obtenido con el modelo estadístico, consideraremos la potencia sonora en el campo reverberante dada por la expresión (4.22), y la expresión del tiempo de reverberación definida en (4.11), con lo que podremos expresar la potencia sonora en función del tiempo de reverberación como: Si consideramos que la potencia que emite una fuente de sonido puntual se puede determinar a partir de la presión captada en el campo directo a una distancia r de la fuente, que denominaremos P(r), como hemos visto en la expresión (4.21), podemos determinar la potencia radiada con la siguiente expresión: Es importante considerar que la potencia de la fuente tiene un valor constante que no depende de la distancia r, no siendo así para la presión captada que disminuye al alejarnos de la fuente. Sustituyendo la expresión (4.27) en la expresión (4.26) obtenemos: Esta expresión, la podemos escribir en forma de función de transferencia de presión acústica, relacionando la presión acústica captada por el receptor acústico con la generada por la fuente de sonido, según la expresión: 4. Modelo teórico de función de transferencia - 62 - Al cociente entre el valor de la presión captada en el campo directo generado por la fuente de sonido a una cierta distancia r de la fuente y la presión generada por la propia fuente de sonido lo denominaremos constante de la fuente de sonido: Dado que la presión medida a una cierta distancia de la fuente será igual o menor que la presión generada por la propia fuente, el valor máximo que teóricamente podrá adoptar esta constante será la unidad para valores de r muy próximos a la fuente. La determinación de esta constante presenta grandes dificultades debidas a que la medida de la presión generada por la fuente de sonido Ps se debe efectuar dentro de los límites del campo próximo de la fuente. El campo próximo presenta la particularidad de ser fuertemente direccional y en él la presión y la velocidad de las partículas no están en fase, presentándose por tanto efectos de almacenamiento de energía, además de presentar alinealidades muy acusadas adicionales en la evolución de la atenuación del sonido en función de la distancia. Diversos autores remarcan que las medidas experimentales de la presión dentro del campo cercano no son aconsejables como ya hemos señalado. Por tanto nos encontraremos con el mismo problema a la hora de calcular la ganancia experimental en las distintas posiciones del robot en el recinto, dado que está referida a la presión Ps generada por la fuente de sonido. Para paliar estas dificultades y a efectos simplificativos adoptaremos un valor unitario para la constante de la fuente, estableciendo una función de transferencia de presión que nos relacionará la presión captada en el campo reverberado en las distintas posiciones del recinto con la presión captada a una cierta distancia de la fuente medida en el campo directo y fuera de los límites del campo cercano, tal como indica la expresión siguiente. La adopción de un valor unitario para la constante de la fuente equivale a decir que la presión se mantiene constante desde la posición de la fuente hasta el punto situado a una cierta distancia r de la fuente, donde efectuaremos la captación del sonido emitido por la misma, por lo que la aplicación del modelo no será válida para posiciones del recinto que se encuentren por debajo de esa distancia. Por tanto, la expresión que proponemos finalmente para calcular el módulo de la función de transferencia acústica del recinto en base al modelo estadístico quedará finalmente definida como: 4. Modelo teórico de función de transferencia - 63 - La distancia r a la que efectuamos la medida de la presión radiada por la fuente de sonido se ha de situar dentro del campo directo pero lo suficientemente alejada de la fuente como para evitar una influencia excesiva del campo próximo generado por ella como hemos comentado. Su valor afectará directamente al valor de la ganancia teórica y a todos los valores de la ganancia experimental que se calculan tomando como referencia esta presión. La relación entre nuestra RTF referida a la presión P(r) respecto a la que habíamos definido inicialmente en la expresión (4.4) referida a PS vendrá dada por: Y como hemos tomado la simplificación de adoptar un valor de la constante Kf unitario admitiremos a efectos simplificativos la igualdad de ambas funciones de transferencia. Esta simplificación queda justificada porque aunque nuestra RTF al estar referida a la presión captada a una cierta distancia r de la fuente, de un valor menor que la presión generada en la propia posición de la fuente de sonido, presentará una ganancia mayor que la RTF definida respecto a , no obstante conservará el carácter ondulatorio proporcionado por la autofunción definida en las distintas posiciones del micrófono, como vemos en la expresión siguiente: Por lo que nuestra nueva RTF seguirá presentando la misma utilidad a la hora de modelizar las variaciones de la presión captada por el robot en función de las distintas posiciones que ocupe en el recinto. Es de destacar finalmente, como hemos comentado anteriormente, el hecho de que el tiempo de reverberación teórico se calcula en base a los coeficientes de absorción de los distintos materiales presentes en el recinto, y definidos típicamente a las siguientes frecuencias separadas en bandas de octava: 63, 125, 250, 500, 1000, 2000 y 4000 Hz, por lo que la expresión (4.32) la aplicaremos considerando el valor de los coeficientes de absorción que presenten los objetos y los materiales que conformen los límites del recinto en las inmediaciones de la frecuencia de trabajo que hayamos seleccionado. 4.4. Cálculo teórico del factor de ganancia medio. La primera aproximación al modelo que habíamos propuesto para nuestra RTF está definido para un cierto número de modos N del total de modos excitados por la fuente de sonido en el recinto, que obtenemos en el proceso de filtrado al efectuarlo alrededor de una componente frecuencial situada en las proximidades de la frecuencia de cruce vendrá dado por la expresión (4.2) vista anteriormente, ya que hemos adoptado un valor para la constante de la fuente de sonido igual a la unidad: 4. Modelo teórico de función de transferencia - 64 - El valor del módulo de la función de transferencia de la presión del modelo estadístico proporcionado por la expresión (4.32) se puede interpretar como el valor medio obtenido al promediar los valores de la presión captada en las diferentes posiciones del recinto, tal como proponen las diferentes normas utilizadas en la acústica arquitectónica para la determinación del tiempo de reverberación. Las variaciones espaciales del valor de la presión acústica que encontramos en la práctica quedan muy bien reflejadas por el modelo ondulatorio, y serán el resultado de la interacción de los distintos modos que han sido excitados apreciablemente por la fuente de sonido en las distintas posiciones del recinto, como hemos señalado también en apartados anteriores. Para el cálculo teórico del factor de ganancia medio de los modos considerados, necesario para definir nuestra RTF, nos basaremos en la hipótesis establecida referente a la convergencia de las soluciones proporcionadas por el modelo ondulatorio y por el modelo estadístico en las proximidades de la frecuencia de cruce o de Schroeder. Para ello consideraremos en primer lugar la expresión del módulo de la respuesta frecuencial de la expresión (4.4), definido para una determinada posición del receptor acústico rm, y para un determinado modo n, que viene dada por: Siendo ω la frecuencia de la señal que emitiría una fuente de sonido monofrecuencial, o en nuestro caso, la correspondiente a la componente frecuencial del espectro de la señal emitida por la fuente de sonido y seleccionada en el proceso de filtrado, que presente una amplitud apreciable y se sitúe alrededor de la frecuencia de cruce. Nos interesa ahora la expresión del valor medio del módulo de la presión para este modo considerado, que obtendríamos si promediáramos el valor del módulo de la presión calculado en las distintas posiciones correspondientes a las muestras etiquetadas del recinto, de forma similar a la que se realiza en el modelo estadístico para la determinación experimental del tiempo de reverberación, con objeto de poder igualar los resultados proporcionados por ambos modelos a partir de los resultados experimentales obtenidos en unas determinadas posiciones del recinto. La expresión que obtendremos al promediar espacialmente los distintos valores de presión proporcionados por la expresión (4.36) para este modo n, vendrá dado por: Siendo M el número de posiciones consideradas, que en nuestro caso serán las posiciones de las muestras etiquetadas que tomemos en el recinto. Si tenemos en cuenta que que para un modo de propagación determinado los únicos términos que no presentarán un valor constante en las distintas posiciones en la expresión 5. Modelos de identificación paramétricos - 71 - 5.1. Introducción a los modelos paramétricos. Como ya hemos comentado anteriormente, los modelos paramétricos son ampliamente utilizados debido a las ventajas que presentan, ya que aunque en algunos casos no presenten una relación directa con la interpretación física del proceso que modelizan, permiten abordar con éxito muchas de las problemáticas que se presentan en la modelización de sistemas. Un esquema que describe la estructura general de los modelos lineales paramétricos es el que muestra la figura 5.1, en el que la salida y(t) del sistema se ve afectada tanto por los valores de la entrada u(t), como por los valores de e(t), que es una señal de ruido. La función de transferencia G(q) modeliza la dinámica del sistema o parte determinista del sistema, y la función de transferencia H(q) modeliza las perturbaciones o parte estocástica del sistema. Fig. 5.1. Estructura general de los modelos paramétricos. La salida del sistema puede ser definida por la siguiente expresión: )()()()()( 11 teqHtuqGty   (5.1) Donde q-1 es el operador retardo definido como: q-1u(t)=u(t-1) y donde: (5.2) Y (5.3) En muchos casos es impracticable definir las funciones G(q), H(q) y fe(x), la función de probabilidad de e(t), con secuencias infinitas, y se trabaja con estructuras que permitan la      0 1)()( k k qkgqG      0 1)(1)( k k qkhqH 5. Modelos de identificación paramétricos - 72 - especificación de G y H con secuencias finitas, como las funciones racionales, y se describe fe(x) no como una función, si no en términos de unas pocas características numéricas, típicamente su media y su varianza, y se acepta comúnmente la hipótesis de que presenta una distribución Gaussiana. Esto nos permite definir la expresión (5.1) en términos de un número finito de coeficientes, que se representan por un vector  , y que vendría dada por: )(),()(),(),( teqHtuqGty   (5.4) Siendo fe(x,  ). la función de probabilidad de e(t), un ruido blanco (Gaussiano con media nula, varianza constante y que no presenta autocorrelación). Como perturbaciones que afectan al sistema se engloba tanto el ruido como las entradas exógenas al sistema y se utiliza como vemos un marco probabilístico para modelizarlas. La función H(q) modeliza la respuesta del sistema a las perturbaciones y se asume que es causal y estable. Se han definido un gran número de modelos paramétricos para modelizar diferentes sistemas, que pueden ser establecidos a partir de la siguiente expresión de la estructura generalizada de un modelo: )( )( )( )( )( )( )()( 1 1 1 1 1te qD qC tu qF qB tyqA      (5.5) Donde A(q-1) es el polinomio autoregresivo que indica la dependencia de la salida con las observaciones anteriores. Una clasificación general de los modelos paramétricos se puede establecer por la forma de modelizar la respuesta del sistema a las perturbaciones, en función de que H(q) adopte o no adopte un valor unitario. Algunos de estos modelos se relacionan en la tabla 5.1, donde se indican los polinomios utilizados en los mismos [LJU87]: Polinomios Nombre de la estructura del modelo B(q) AR A(q)B(q) ARX A(q)B(q)C(q) ARMAX A(q)C(q) ARMA A(q)B(q)D(q) ARARX A(q)B(q)C(q)D(q) ARARMAX B(q)F(q) OE (output error) B(q)F(q)C(q)D(q) BJ (Box-Jenkins) Tabla 5.1. Polinomios utilizados en algunos modelos paramétricos. 5. Modelos de identificación paramétricos - 73 - Finalmente señalar que también existen modelos paramétricos no lineales, como por ejemplo el modelo NARMAX (Nonlinear Auto-Regressive Moving Average with eXogenous inputs) que es una generalización de la series de Volterra. 5.2. Modelos paramétricos en audio. Ya hemos comentado anteriormente que diversos autores señalan la elevada complejidad que se plantea a la hora de modelizar la respuesta acústica de un recinto a partir de sus modos de resonancia asumiendo un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI), incluso en el rango de las bajas frecuencias en que la densidad de modos no es tan elevada, ya que como señala por ejemplo Karjalainen et al. en [KAR02b], estos modos pueden exhibir complicados comportamientos muy difíciles de parametrizar. Esta elevada complejidad ha provocado el estudio y la propuesta de diferentes modelos paramétricos concebidos para diferentes aplicaciones, como por ejemplo los propuestos por M. Karjalainen et al. en [KAR02b], Haneda et al. en [HAN99], Gustaffson et al. en [MAL93] o por J. Mourjopoulus et al. en [MOU91]. Dado que la respuesta impulsional acústica de un recinto se puede expresar en forma discreta por una secuencia h(t) estable y causal, la RTF puede expresarse por una función racional en función de la posición de la fuente de sonido y del receptor acústico , en el dominio de z, de la forma: Donde Cz es una constante de ganancia y donde ai y bi son los ceros y los polos de la RTF respectivamente. Esta expresión se corresponde a un modelo ARMA y ha sido estudiado en el rango de las bajas frecuencias por Haneda et al. en [HAN94], proporcionando un orden del modelo menor para modelizar la respuesta acústica de un recinto que el que presentan algunos otros modelos. A partir de esta expresión general de polos y ceros de la RTF se pueden derivar también otros diferentes modelos que han sido estudiados por diferentes autores, por ejemplo un modelo que presenta una muy directa relación con la interpretación física de la propagación del sonido en los recintos es el modelo CAPZ (common acoustical pole and zero) propuesto también por Haneda et al. en [HAN92] y [HAN99], y que viene dado por la expresión: En el que se considera el hecho de que las frecuencias de resonancia del recinto y sus coeficientes de amortiguamiento no dependen de la posición del emisor y del receptor acústico, tal como se indica en la expresión en los coeficientes correspondientes a los polos. Este modelo requerirá menos parámetros para expresar las variaciones de la RTF que el modelo convencional ARMA, no obstante, es bastante complejo expresar las variaciones de los 5. Modelos de identificación paramétricos - 74 - ceros como funciones explícitas. Para minimizar estas dificultades se proponen también en [HAN92] y [HAN99] modelos que contemplan los polos y sus residuos para expresar las variaciones de la RTF con funciones más simples. Otros autores han propuesto otros modelos que aunque no presentan una relación tan directa con el comportamiento físico de la propagación del sonido, pueden proporcionar buenos resultados. Un ejemplo de estos modelos es el modelo todo-polos (all-pole model) propuesto por J. Mourjopoulus et al. en [MOU91], que se corresponde a un filtro del tipo IIR y que viene dado por la expresión: O como por ejemplo el modelo AR del tipo todo-ceros (all-zero model), que se corresponde a un filtro de tipo FIR y que viene dado por la expresión: También J. Mourjopoulus et al. en [MOU91] aplican estos modelos con objeto de anular la reverberación de las señales en recintos, llegando a la conclusión de que los modelos del tipo todo-polos presentan la ventaja de requerir de un orden mucho menor para definir las funciones de transferencia en las distintas posiciones del recinto que los modelos del tipo todo-ceros (de un orden 40 veces menor), aunque presentan la desventaja de ser menos sensibles que los modelos del tipo todo-ceros. Los modelos anteriores no están concebidos para su aplicación específica en funciones de navegación robótica. En [BOL03] encontramos sin embargo un modelo acústico pensado específicamente para la navegación de robots en recintos cerrados trabajando con una fuente de sonido no estacionaria, a este trabajo nos referiremos también en el próximo capítulo cuando estudiemos los sistemas de localización propuestos. Los autores proponen trabajar con la transformada wavelet, dado que una característica distintiva que presenta la transformada wavelet es su capacidad de multirresolución, característica que es muy adecuado para el procesamiento de señales no estacionarias. La transformada wavelet puede descomponer el espacio L2(R) en una combinación lineal de un conjunto de subespacios ortogonales que dividen el conjunto de bandas de frecuencia en una serie de subbandas, desde la baja hasta la alta frecuencia, representando las características de multiresolución de la señal original. Por tanto, la idea de la transformación de la señal es la de separar la señal entrante en bandas de frecuencia. Esta función tanto puede ser efectuada con el uso de banco de filtros o con la transformada wavelet. Los autores proponen la implementación de estas bandas con un árbol diádico de cuatro niveles. 5. Modelos de identificación paramétricos - 75 - Se selecciona una frecuencia de muestreo de 8 kHz, las frecuencias del árbol diádico correspondiente son 0-250 Hz, 250-500 Hz, 500-1000 Hz, 1000-2000 Hz, 1000-200 0Hz y 2000- 4000 Hz. Cada señal de entrada se descompone en 4 niveles, es decir, si llamamos Si a la señal de audio, la señal se descompone como: Si = A4i +D4i + D3i +D2i + D1i, donde A4i es la aproximación de la señal original Si y Dj (j = 1,4) son las señales de detalle de Si. Los autores utilizan un modelo MAX (Moving Averaging Exogenous) que viene dado por la expresión: En el que y(n) es la salida del sistema, u(n) es la entrada observable y e(n) es la señal de ruido. En este modelo los coeficientes se obtienen con la transformada wavelet de Daubechies y sólo se seleccionan para modelizar el sistema aquellos coeficientes que presenten un mayor poder de discriminación en las distintas señales de audio captadas. 5.3. Modelo ARX y modelo LPV propuesto. Para proponer la estructura de un nuevo modelo para nuestro sistema de localización, propondremos un modelo de RTF que nos permita seleccionar un modelo paramétrico con una estructura sencilla y que no requiera de un orden excesivamente elevado para modelizar la respuesta acústica del recinto en la zona de trabajo del robot. Si suponemos a efectos simplificativos que trabajamos en una zona del espectro en que los modos se encuentran lo suficientemente separados y establecemos la similitud de la respuesta acústica de un recinto con la de un filtro pasabanda que hemos comentado en capítulos anteriores, podemos expresar la RTF del recinto para un modo de propagación determinado por la expresión: En esta función de transferencia, el valor del módulo de la ganancia para una posición determinada del receptor acústico determinada vendrá dado por:     2 2 22 2 )( ),(    nnn mn mn rK rjH   (5.12) El valor del módulo de la ganancia máxima que se producirá si la fuente de sonido monfrecuencial emite a la frecuencia de resonancia, vendrá dado por: Si forzamos en esta función de transferencia acústica a que el producto obtenido al multiplicar el factor de ganancia por la autofunción correspondiente a las diversas posiciones 5. Modelos de identificación paramétricos - 76 - del receptor acústico en el recinto adopte un valor constante para todas las posiciones, tal como indica la expresión siguiente: La función de transferencia acústica la podemos expresar como: En la que las variaciones que se producen en el valor de la ganancia de la función de transferencia en las distintas posiciones del receptor acústico serían provocadas en este caso por las variaciones que sufriría el factor de amortiguamiento, por lo que podemos escribir la expresión del módulo de la ganancia como:     2 2 22 ][2 ),(    nmnn mn r k rjH   (5.16) En este caso, el valor del módulo de la ganancia máxima que se producirá si la fuente de sonido monfrecuencial emite a la frecuencia de resonancia, vendrá dado por: La función de transferencia presentaría un par de polos conjugados que vendrían dados por: (5.18a) (5.18b) Dado que la variación real de la ganancia máxima en las distintas posiciones vendría dada por el carácter sinusoidal de la autofunción , al focalizar estas variaciones en el valor de los polos en esta función de transferencia, es de esperar que la función que describa la evolución de los polos en las distintas posiciones siga este mismo patrón. Si extrapolamos este comportamiento a un cierto número de modos y lo expresamos en el dominio de z, cada modo de resonancia de la función de transferencia del recinto aparecerá como un par de polos complejos conjugados ( en el diagrama de polos y ceros o plano complejo z, y es de esperar que las variaciones de su posición en dicho plano complejo presentaran un patrón de tipo sinusoidal. En la selección de la estructura del modelo paramétrico correspondiente a nuestro modelo, nos hemos decantado por un modelo ARX (AutoRegresivo con variables eXógenas) [LJU87] dado que presenta una estructura sencilla, que corresponde a la de un filtro de tipo IIR, y en el que focalizaremos las diferentes posiciones del robot en el recinto en la determinación de los parámetros correspondientes a los polos del modelo, lo que nos permitirá proponer una función de transformación entre el espacio de medidas y el espacio de características de forma más sencilla que la que nos proporcionan otros modelos, y que nos 5. Modelos de identificación paramétricos - 77 - permitirá modelizar el retardo entre la señal de entrada y la señal recibida en las distintas posiciones del robot. Para la calibración de los parámetros del modelo con un método de estimación se utilizará el método de los mínimos cuadrados (LSE) por su simplicidad y porque no presenta problemas de convergencia. Una vez elegido el modelo comprobaremos que su aplicación en el sistema de localización de la posición del robot proporcione buenos resultados. Este modelo es básicamente una expresión geométrica de la RTF, pero también presenta una cierta relación con el modelo de comportamiento físico de la respuesta acústica de un recinto cerrado, reflejada en la posición de los polos, como veremos posteriormente. Aunque el modelo ARMAX permite una descripción más precisa de las perturbaciones al describir la ecuación del error como un promediado móvil del ruido (MA), y necesita usualmente de un número menor de parámetros, hay que tener en cuenta que en algunos casos el seguimiento de las variaciones de los polos y los ceros es compleja, porque no son independientes unas de otras, un ejemplo se presenta cuando se producen cancelaciones de polos y ceros en muchas configuraciones del emisor y el receptor acústico, y este hecho nos dificultaría la obtención de una función de transformación entre el espacio de características y el espacio de medidas. El modelo ARX presenta la estructura de la figura 5.2: Fig. 5.2. Diagrama de bloques del modelo ARX. Este modelo viene definido por la siguiente expresión: (5.19) Donde es la salida del sistema, es la entrada observable del sistema que será la señal emitida por la fuente de sonido y captada en sus inmediaciones, nk es el retardo de la entrada respecto a la salida y es una señal de ruido blanco. Siendo la parte determinista: Y la parte estocástica: El polinomio es un polinomio autoregresivo de orden na: 5. Modelos de identificación paramétricos - 78 - (5.22) Como vemos en las expresiones anteriores, el ruido que se adiciona a la salida es un ruido blanco filtrado por un filtro autoregresivo con polos iguales a los del proceso. La validez de este modelo para aplicaciones en autolocalización de robots móviles se ha comprobado experimentalmente en [MAN09a], como veremos en el capítulo de resultados experimentales, mediante la señal emitida por una cámara climática en el recinto de experimentación, un laboratorio docente de ensayos de componentes y circuitos electrónicos. Las distintas señales utilizadas en los ensayos, correspondientes a la señal emitida por la fuente de sonido, las señales captadas en las posiciones de las muestras y las señales captadas en las posiciones del robot se someten al mismo tipo de filtrado que para el modelo teórico propuesto en el capítulo anterior. El modelo de identificación ARX seleccionado en el recinto de experimentación tiene un número de polos na = 10, un número de ceros nb = 4 y un retardo nk = 2 y ha sido obtenido a partir de las señales captadas en 5 posiciones del recinto situadas alrededor de la trayectoria del robot en una etapa de muestreo previo del recinto. Para calibrar estos 5 modelos,, se utiliza el criterio FPE (Function Prediction Error) y el criterio MSE (Mean Square Error), proporcionando valores de alrededor del orden de 10-10 y del 3% respectivamente. Además, para el conjunto estimado de los modelos se analiza la autocorrelación de los residuos y la correlación cruzada entre las entradas y los residuos y no muestran correlación, indicando la bondad de los modelos. El diagrama de polos y ceros de los modelos obtenidos se indica en la figura 5.3, en la que podemos observar la sensibilidad que muestran los polos a la hora de indicar las variaciones de las posiciones correspondientes a la señal captada en el recinto. Fig. 5.3. Posición de los polos y los ceros en cinco posiciones de las muestras del recinto de experimentación (Cámara climática) En [MAN10] se amplía el estudio realizado mediante el ensayo de una segunda fuente de sonido en el mismo recinto, una insoladora de placas de circuitos impresos electrónicos, seleccionándose un modelo ARX con un número de polos na = 10, un número de ceros nb = 2 y un retardo nk = 4. 5. Modelos de identificación paramétricos - 79 - El diagrama de polos y ceros obtenidos se muestra en la figura 5.4: Fig. 5.4. Posición de los polos y los ceros en cinco posiciones de las muestras del recinto de experimentación (Insoladora PCB) En esta figura 5.4 se observa también la elevada sensibilidad de los polos para indicar las diferentes posiciones en las que ha sido captada la señal. Esta interpretación de la función de transferencia no tiene una correspondencia directa con la descripción física de la propagación del sonido en el recinto, pero proporciona buenos resultados a la hora de obtener un modelo de orden reducido para modelizar la evolución de la ganancia acústica del recinto en las distintas posiciones. También se expone una interpretación geométrica simplificada de este comportamiento de los polos en el plano complejo z en [MAN09b]. Un sistema lineal de parámetros variables LPV (Linear Parameter Varying) depende de un vector de parámetros que varía en el tiempo, y se describe en el espacio de estados por las ecuaciones: Donde x(t) es el vector de estado, u(t) es el vector de control, A es la matriz de estado y B es la matriz de entrada. Estos parámetros se encuentran confinados dentro de un conjunto conocido, es decir, el vector de parámetros satisface en cualquier instante la condición: Donde son conocidas las cotas inferior y superior y del parámetro . Los sistemas LPV pueden interpretarse de dos formas, pueden interpretarse como sistemas lineales sujetos a incertidumbres o como una familia de sistemas lineales provenientes de mediciones en tiempo real del vector de parámetros. La primera interpretación da lugar a un enfoque de control robusto y la segunda a una estrategia de control del tipo programación de ganancias. En la literatura encontramos muchos trabajos de 5. Modelos de identificación paramétricos - 80 - modelización y control de sistemas con modelos LPV, como por ejemplo en [BEL05], [BIA97] o [GUI06]. En el modelo que hemos expuesto anteriormente podríamos plantear un enfoque alternativo que permitiera plantear el modelo como un modelo LPV, posibilidad que ha sido propuesta en [MAN10] y [MAN11]. En [MAN12] se propone además una mejora del modelo anteriormente propuesto introduciendo un factor de atenuación que intenta modelizar el amortiguamiento espacial que presentan los modos. El modelo anteriormente propuesto para el que seleccionábamos una estructura de modelo paramétrico ARX, venía definido por la siguiente RTF: En la que las variaciones que se producen en el valor máximo de la ganancia de la función de transferencia en las distintas posiciones del receptor acústico son provocadas por las variaciones que sufriría el factor de amortiguamiento. Si consideramos que el robot, desde el instante de tiempo en que inicia su recorrido en el recinto desde, por ejemplo, la puerta de entrada del mismo hasta su punto de destino, va encontrando al desplazarse una respuesta acústica equivalente a la de un sistema resonante cuyo parámetro correspondiente al factor de amortiguamiento va variando en función del tiempo , podemos plantear que el sistema se englobe dentro de la familia de los sistemas de tipo LPV. El modelo vendría dado entonces por la expresión: El valor del módulo de la ganancia vendría dado en este modelo por la expresión:     2 2 22 ][2 ),(    nnn nt k tjH   (5.27) Dado que las variaciones del módulo de la ganancia son provocadas por la autofunción correspondiente a las diversas posiciones del receptor acústico en el recinto, y que dichas variaciones las focalizamos en el factor de amortiguamiento, podemos esperar que la trayectoria que siga este parámetro tenga un patrón de tipo sinusoidal, de forma similar al que presentan las autofunciones. 5.4. Efecto del filtrado en la reducción del orden del modelo. Para la aplicación de estos modelos paramétricos, se propone la realización de un filtrado a las distintas señales captadas, al igual que propusimos para el modelo teórico con objeto de simplificar los modelos. 6. Sistemas de autolocalización del robot 87 6.1. Sistema de adquisición de la señal. Para la adquisición de la señal en el robot se propone la utilización de un micrófono preferiblemente con un diagrama de directividad de tipo cardioide, con objeto de que queden atenuados los posibles ruidos de fondo que pudieran aparecer en la sala. El micrófono se debe ubicar en la parte superior del robot, para evitar la posible atenuación de la señal que pudiera producir la propia estructura del robot y la que podría provocar la presencia de sombras acústicas provocadas por los diferentes obstáculos presentes en el recinto, siendo preferible si es posible que esté situado a una altura igual o mayor que la de la altura máxima que presenten. Para el sistema de localización propuesto en base al modelo teórico, la señal captada por el micrófono se rectifica en onda completa, tal como muestra la figura 6.1, con el fin de ganar sensibilidad, dado que al calcular el cociente de presiones para obtener el módulo de la función de transferencia de presión, el resultado del cociente no se verá afectado por este hecho. El sistema completo se muestra esquemáticamente en la figura siguiente: Fig.6.1. Diagrama de bloques del sistema de adquisición de la señal. Para los sistemas de localización propuestos en base a los modelos paramétricos, se elimina la etapa rectificadora del diagrama de bloques de la figura 6.1, con objeto de no afectar a las distintas señales captadas utilizadas para la identificación de los parámetros de las distintas funciones de transferencia. De la misma forma para estos sistemas de localización, el sistema ubicado en el robot, debe recibir la señal emitida por la fuente de sonido además de la señal captada en su posición, con objeto de realizar el proceso de identificación de los parámetros de las distintas funciones de transferencia. Para ello se propone la utilización de un sistema de transmisión y recepción por radiofrecuencia, en el que el transmisor de la señal de radio y el micrófono que capta la señal emitida por la fuente de sonido se encuentra ubicado en las proximidades de la fuente, y el receptor de la señal de radiofrecuencia se encuentra ubicado en el propio robot. El micrófono de recepción de la señal del robot en las distintas posiciones, estará ubicado en una plataforma giratoria en todos los sistemas de localización propuestos, como veremos en el próximo apartado. 6. Sistemas de autolocalización del robot 88 6.2. Sistema de orientación del micrófono del robot. El sistema propuesto está pensado inicialmente para trabajar con una única máquina o fuente de sonido en el recinto, y con objeto de tener la máxima intensidad de la señal captada en las distintas posiciones del robot, orientaremos el micrófono en la dirección en que se reciba la máxima intensidad de sonido mediante una plataforma giratoria donde estará ubicado el micrófono. Para los sistemas de localización paramétricos propuestos, deberemos conocer el ángulo que forma la plataforma giratoria respecto a la fuente de sonido, como veremos posteriormente con detalle, y por tanto deberemos asegurar que la plataforma giratoria oriente el micrófono de captación de la señal en dirección a la fuente de sonido. Por otra parte, la orientación del micrófono hacia la fuente de sonido evitará las variaciones que nos provocaría en el nivel de la señal captada el diagrama de directividad del micrófono, variaciones que se acentuarían en las proximidades del campo sonoro cercano, manteniendo su sensibilidad en un valor máximo aproximadamente constante para cualquier orientación del robot. Para ello, nos serviremos de dos micrófonos de tipo cardioide situados en los extremos de una plataforma giratoria, plataforma en la que estará también ubicado en su parte central el micrófono encargado de captar la señal a tratar por el sistema de localización, tal como muestra la figura 6.2. Fig. 6.2. Plataforma giratoria con los micrófonos. Existen numerosos trabajos realizados que proponen técnicas de localización de fuentes de sonido, por ejemplo en [BRAN97] y otros trabajos similares se propone la utilización de un array de micrófonos ubicados en el receptor acústico para la detección de la posición de la fuente de sonido. La utilización de una plataforma giratoria nos permitirá simplificar el número de micrófonos a utilizar, pudiendo realizar la orientación de la plataforma hacia la fuente de sonido analizando la señal diferencial obtenida por los dos micrófonos, dado que la señal diferencial presentará un valor mínimo cuando la plataforma esté orientada hacia la fuente de sonido. Para este sistema de orientación de la plataforma móvil en base a los dos micrófonos, utilizamos un sistema independiente al de captación de la señal utilizado para el sistema de 6. Sistemas de autolocalización del robot 89 autolocalización indicado anteriormente. El sistema de orientación se realiza en base a un microcontrolador dedicado a esta función, tal como se indica en la figura 6.3. Fig. 6.3. Diagrama de bloques del sistema de orientación Del micrófono. La utilización de micrófonos direccionales de tipo cardioide nos permitirá reducir significativamente la influencia del ruido de fondo respecto a la utilización de micrófonos omnidireccionales, al igual que ocurre con el micrófono dedicado a la adquisición de la señal, además de permitirnos aprovechar la directividad que presentan para orientar correctamente la plataforma. Idealmente, en la posición inicial de trabajo del robot la plataforma deberá estar orientada hacia la fuente de sonido, evitando así el error que podría generar la posible presencia de máximos producidos por las reflexiones de la señal y que no sean producidos directamente por la influencia del campo directo generado por la fuente de sonido. Hay que considerar que a distancias elevadas de la fuente de sonido, este efecto se irá incrementando. 6.3. Filtrado de ruido no estacionario. Aunque en nuestra tesis nos centraremos primordialmente en fuentes sonoras que producen un sonido de carácter estacionario y que operan en recintos en los que no sea habitual la presencia de operarios, hemos realizado previamente trabajos, como en [GRA07], que tienen también como objetivo el filtrar señales típicas de estos entornos industriales que son usualmente de carácter no estacionario, como por ejemplo las señales de voz o la posible presencia de ruido de fondo que pueden enmascarar la señal de interés emitida por la máquina. En estos casos la señal generada por la máquina puede resultar difícil de identificar utilizando técnicas de análisis en el dominio frecuencial, como la transformada de Fourier propuesta en [MOR96], o utilizando técnicas estadísticas como el Análisis de Componentes Independientes (ICA) propuesto en [ROB01]. La transformada wavelet es muy utilizada por su capacidad en la extracción de características de las señales como podemos ver en [MAL93], y en la eliminación de ruido [DON99]. En algunos tipos de señales, el método de Donoho resulta poco efectivo. No obstante, cuando se combinan el método de Donoho con las características del sonido, y se añade un método de eliminación del ruido basado en la wavelet de Morlet, la metodología resulta muy efectiva para identificar sonidos producidos por máquinas industriales, como se analiza en [LIN01]. 6. Sistemas de autolocalización del robot 90 Como ejemplo de aplicación de la transformada wavelet en el filtrado de señales que vienen acompañadas de ruido no estacionario y en la extracción de características describiremos brevemente la metodología que propusimos en [GRA07]. En dicho trabajo se utilizan dos señales producidas por máquinas y contaminadas con un ruido de fondo correspondiente al generado por el habla de un conjunto de personas El método propuesto consta de los siguientes pasos: 1) Filtrado inicial de la señal con la transformada de Morlet, despreciándose los coeficientes wavelets que no superen un cierto umbral. 2) Obtención del espectro frecuencial de la señal filtrada. 3) Selección de las características que se utilizarán como base para identificar las señales producidas por las máquinas. Los resultados obtenidos al realizar el filtrado de una señal generada por una máquina mediante la wavelet de Morlet se muestran en la figura 6.4. En esta figura se representa el espectro de la señal original s1(t), el espectro de la señal con un ruido de fondo añadido y el espectro de la señal filtrada. Fig.6.4. Espectros de la señal original, señal con ruido y señal filtrada. En la figura podemos observar la similitud del espectro de la señal filtrada respecto al espectro de la señal original, pudiendo comprobar el efecto del filtrado realizado con la wavelet de Morlet. 6. Sistemas de autolocalización del robot 91 Para evaluar la robustez del método, en los ensayos se incrementa progresivamente el nivel de la señal de ruido comprobándose que aunque la relación señal-ruido (SNR) sea muy baja no se pierde la capacidad de identificación de las señales afectadas por el ruido. Estos y otros métodos de filtrado propuestos por diferentes investigadores podrían ser utilizados como refuerzo de nuestro sistema de localización para el caso de que la señal emitida por la máquina pudiera ser enmascarada por la presencia de ruidos de tipo no estacionario. 6.4. Sistema de localización en base al modelo teórico. 6.4.1. Sistema de localización. El sistema de localización se basará en el cálculo teórico de la ganancia del modo principal n considerado definido por nuestro modelo, que viene dada por la expresión: Siendo el valor de la autofunción definido en la posición del robot, que podemos expresar en coordenadas polares en función del ángulo formado respecto al eje de abscisas adoptado, según la expresión: Y siendo la función del factor de ganancia, que también podemos expresar en coordenadas polares como: La variable a determinar será la distancia rm existente entre la posición del robot y el origen de coordenadas del recinto, ya que dotaremos al robot de un sistema que será capaz de determinar el ángulo de orientación que forma la posición del micrófono del robot respecto a dicho origen de coordenadas y el eje de abscisas adoptado. Para poder realizar esta función será necesario situar una baliza luminosa en la esquina del recinto donde se ubica el origen de coordenadas adoptado en nuestro modelo, preferiblemente a una altura suficientemente elevada, y dotar al robot de una brújula electrónica y una cámara hemiesférica que permitirá mediante el procesado de la imagen, determinar el ángulo buscado. Nuestro sistema de localización tendrá como variables de entrada la presión acústica captada por el micrófono Pm y el ángulo de orientación que forma el micrófono respecto al origen de coordenadas y el eje de abscisas adoptado, y como salida las coordenadas (x,y) de la posición del robot, tal como muestra la figura 6.5 siguiente. 6. Sistemas de autolocalización del robot 92 Fig. 6.5. Diagrama de bloques del sistema de localización. El algoritmo de localización determinará el valor de la distancia rm que será aquel valor que iguale el módulo de la ganancia calculado con la expresión (6.1) con el modulo de la ganancia obtenido experimentalmente en la posición del robot, tal como muestra por ejemplo la figura 6.6, donde se representa la función de la ganancia teórica y el valor de la ganancia experimental obtenida en el recinto de experimentación en la posición del robot que hemos denominado R2, junto con el intervalo de soluciones posibles considerando la última posición del robot, para el caso en que se ha utilizado como fuente de sonido una insoladora de placas de circuito impreso, como veremos en el capítulo de resultados experimentales. Figura 6.6. Ganancias teóricas y experimental en la posición del robot R2. Una vez determinada dicha distancia rm existente entre la posición del robot y el origen de coordenadas, el cálculo de las coordenadas cartesianas del robot vendrá dada por las expresiones: Dado el carácter periódico de la autofunción de la posición del micrófono, obtendremos más de una posible solución para la determinación de la distancia rm, por lo que tendremos 0200 400 600 800 1000 1200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r(cm) |H(r)| 6. Sistemas de autolocalización del robot 93 que tener en cuenta la velocidad de desplazamiento del robot y considerar la posición anterior del robot para la determinación de su posición actual y poder acotar el conjunto de soluciones posibles. Este conjunto de posibles soluciones viene definido por el intervalo delimitado por las líneas discontinuas que se indica en la misma figura 6.6 En los primeros ensayos experimentales realizados para comprobar los resultados de nuestros sistemas de localización, el robot partirá desde una posición inicial conocida con exactitud e intentará mantener siempre un sentido de avance que tienda a reducir la distancia existente entre su posición actual y el origen de coordenadas, en cuyas proximidades se situará el punto de destino del robot, como veremos también en el capítulo de resultados experimentales. Para efectuar la determinación de su posición actual el robot se detendrá en la posición a determinar. Una manera de reducir el número de soluciones posibles que queden contenidas en el intervalo considerado, es asegurar que el robot no recorra una distancia superior a la del periodo más pequeño de la función de ganancia del modelo sin que haya efectuado el cálculo de su posición. No obstante, si reducimos en exceso la distancia máxima que permitimos recorrer al robot entre el cálculo de dos posiciones consecutivas, podemos alargar en exceso el intervalo de tiempo necesario para que el robot se desplace desde la posición inicial hasta su destino, por lo que deberemos adoptar una solución de compromiso, como veremos posterioemente. Otro aspecto que juega en contra de adoptar una distancia excesivamente pequeña entre el cálculo de dos posiciones consecutivas está relacionado con la incertidumbre de nuestro modelo, ya que debemos permitir que el robot recorra una distancia lo suficientemente grande respecto al intervalo de incertidumbre como para dotar a nuestro sistema de localización de una resolución suficiente frente al intervalo de posibles soluciones considerado, como por ejemplo se indica en la figura 6.7, en la que se representa el valor de la ganancia experimental y la evolución de la función de ganancia con la incertidumbre adoptada junto con el intervalo de posibles soluciones considerado, para la posición del robot que hemos denominado R3 y utilizando como fuente de sonido una insoladora de placas de circuito impreso. Por tanto, buscaremos una solución de compromiso entre la disminución del tiempo máximo que dejaremos transcurrir para efectuar el cálculo de las coordenadas entre dos posiciones contiguas, la incertidumbre adoptada y el valor del intervalo de tiempo máximo que el robot deberá utilizar para desplazarse desde su punto de origen hasta su destino. Otro aspecto importante a considerar es que aunque restrinjamos mucho la máxima distancia que puede recorrer el robot sin calcular su nueva posición, siempre encontraremos posiciones del robot, para valores relativamente grandes o relativamente pequeños de la ganancia, en las que nuestro modelo, a partir de la determinación de la ganancia calculada en su posición, proporcionará como mínimo dos soluciones posibles para computar su posición, tal como podemos deducir de la inspección de las funciones de ganancia representadas en las figuras 6.6. 6. Sistemas de autolocalización del robot 94 Figura 6.7. Ganancias teórica y experimental en la posición del robot R3. En estos casos, y dado que desconoceremos la trayectoria que seguirá el robot entre dos posiciones contiguas, podríamos otorgar la máxima probabilidad al conjunto de posibles soluciones que se encuentren más alejadas de la última posición calculada, como se indica por ejemplo en el conjunto de puntos señalados en la figura 6.7, considerando el objetivo del robot de mantener siempre un sentido de avance que tienda a reducir la distancia existente entre su posición actual y el origen de coordenadas, y siempre que el número de obstáculos a bordear en sus posibles trayectorias no sea muy elevado. No obstante, esta solución presenta muchas restricciones, y pensamos que una forma mucho más adecuada para reducir la incertidumbre del sistema de localización producida por estas situaciones dotando al robot de un sistema de odometría, que pudiera estimar la distancia recorrida desde la última posición computada. Este sistema auxiliar lo podríamos reforzar comprobando si se ha producido un incremento apreciable en el ángulo de giro de la plataforma giratoria de los micrófonos, que al orientarse hacia la fuente de sonido, mostrará una variación apreciable para los casos en que el robot no se desplace en la misma dirección hacia la fuente de sonido entre dos posiciones analizadas consecutivas. La misma función la podríamos obtener mediante un análisis de la imagen captada por la cámara hemiesférica, que podría indicar el avance del robot desde la última posición y nos permitiría determinar en cuál de los dos intervalos de incertidumbre se encuentra la solución correcta correspondiente a la distancia existente entre el robot y el origen de coordenadas, aunque esta última solución requeriría de unos recursos computacionales más elevados. Finalmente señalar que el algoritmo de localización tomará como solución para estimar la posición del robot, la obtenida al promediar las soluciones extremas del intervalo de incertidumbre. 780 800 820 840 860 880 900 920 940 0 0.5 1 1.5 2 2.5 r(cm) |H(r)| 6. Sistemas de autolocalización del robot 95 6.4.2. Incertidumbre. Como hemos visto, la función que describe la evolución de la ganancia en el recinto proporcionada por nuestro modelo para el modo principal seleccionado viene dada por la expresión: En la que el coeficiente de amortiguamiento viene dado por: Y la función del factor de ganancia por la expresión: Para un modo de tipo axial o tangencial, con o igual a cero, el valor máximo de la función del factor de ganancia está relacionado con el valor del factor de ganancia medio del modo principal seleccionado, por la expresión: Y para un modo tangencial u oblicuo con y distintos de cero por la expresión: El valor teórico del factor de ganancia medio del modo principal se obtiene a partir de la expresión ya presentada anteriormente: Donde el valor teórico del tiempo de reverberación lo determinaremos mediante la ecuación de Sabine: Independientemente de la incertidumbre que encontramos al no conocer con exactitud el grado de aproximación entre el valor medio de la ganancia proporcionado por el modelo estadístico y el valor medio de la ganancia proporcionado por el modelo ondulatorio, y la incertidumbre generada al efectuar la modelización del comportamiento acústico del recinto en la banda de frecuencias de interés con el modo principal, existen otras causas de incertidumbre que afectan a los resultados que obtenemos al manejar las expresiones anteriores que definen nuestro modelo, y que son, entre otras: 6. Sistemas de autolocalización del robot 96 - Las posibles variaciones que se pueden producir en la velocidad de propagación del sonido debidas a posibles variaciones de temperatura, que provocarán variaciones en el tiempo de reverberación del recinto - Las formas geométricas que presentan las plantas industriales o los recintos cerrados se pueden alejar en mayor o menor medida de la forma rectangular ideal adoptada para obtener las soluciones proporcionadas por el modelo ondulatorio. - Aunque acotemos el espectro de la señal emitida por la fuente de sonido, la zona del espectro considerada puede contener más de un armónico de importancia emitido por la fuente de sonido que aleje su comportamiento del de una fuente de sonido ideal monofrecuencial. Estas fuentes de incertidumbre afectarán principalmente al cálculo del factor de ganancia medio del modo principal, y por tanto, al valor máximo de la función del factor de ganancia propuesta. Otras fuentes de incertidumbre que afectan al modelo son debidas a que los modos de propagación en un recinto real presentan un cierto desfase, una pérdida de amplitud y un amortiguamiento espacial, dado que las superficies de los límites del recinto no son idealmente rígidas, tal como muestra como ejemplo la figura 6.8, en la que se representa el módulo de la presión |P| en función de la coordenada x del robot en el recinto para un modo de tipo axial con nx distinto de cero. Fig. 6.8. Amplitud de la presión de la onda estacionaria en función de la posición para un modo axial considerando pérdidas. En la figura 6.8 podemos observar que el ángulo de desfase del modo en los límites del recinto presenta signos opuestos, debido a que las ondas reflejadas en cada pared tienen la misma dirección pero sentidos opuestos. En la misma figura podemos observar también que no encontraremos en un recinto puntos con presión nula, dado que la onda reflejada no tiene la misma energía que la onda incidente, y por tanto no existirá ningún punto del recinto en que la onda reflejada anule por completo a la onda incidente. Las variaciones de presión que se producen en un recinto real debidas al desfase que se produce en los modos de propagación, las modelizaremos en nuestra función de ganancia mediante la expresión (6.11): 6. Sistemas de autolocalización del robot 103 de transformación que contemplan la incertidumbre en la determinación de su periodo y en el ángulo de desfase, como veremos en el capítulo de resultados experimentales, siendo por ejemplo la función de transformación propuesta al utilizar la cámara climática como fuente de sonido, la indicada en la expresión (6.20) No obstante, esta forma de reflejar la incertidumbre en la función de transformación presenta la limitación de que no podemos aplicarla en aquellos casos en que nos proporcione soluciones que se correspondan a distancias relativamente elevadas en el dominio del espacio, ya que la incertidumbre aumenta de forma muy acusada con el valor de la distancia que consideremos en dicho dominio. Una estructura genérica de la función de transformación que evita este problema al mantener el valor de la incertidumbre constante e independiente de la distancia que consideremos en el dominio del espacio, viene dada por la expresión (6.21). En la que es el ángulo de desfase de la función, es la distancia en el dominio del espacio entre las posiciones analizadas y modeliza la incertidumbre asociada a esta distancia, ambas distancias las expresaremos usualmente en cm. Para determinar los parámetros que definen a la función de transformación nominal, nos basaremos en un proceso iterativo con el criterio de la minimización del MSE a partir de las muestras etiquetadas, pero podremos tener en cuenta las siguientes consideraciones para facilitar su estimación y confirmar su validez, y que provienen del estudio realizado en el modelo teórico: - Dado que como hemos visto anteriormente en el modelo teórico, la variación del módulo de la ganancia de las funciones de transferencia del recinto presentaban una variación periódica definida principalmente por el periodo de la función de ganancia del modo principal, esperamos que el periodo de la función de transformación presente un valor próximo al obtenido con el modo principal en el modelo teórico. .- Partiremos de la hipótesis de que el valor de la incertidumbre máxima del parámetro correspondiente a la distancia en el dominio del espacio entre dos posiciones analizadas, y que es provocado por los diferentes desfases que se producen en los modos debido a los diferentes coeficientes de absorción que presentan los límites y los distintos objetos del recinto, presentará un valor aproximadamente igual al que hemos obtenido en la función de ganancia del modo principal del modelo teórico. Por otro lado, dado que nos encontramos en el mismo caso que nos encontrábamos para estimar la incertidumbre de los ángulos de desfase del modo principal del modelo teórico, para la estimación de la incertidumbre de estos parámetros supondremos también una distribución de la función de probabilidad uniforme, y recurriremos al intercambio de 6. Sistemas de autolocalización del robot 104 información entre el modelo teórico de la función y las medidas experimentales realizadas en las muestras etiquetadas del recinto para su determinación. 6.5.4. Determinación de las coordenadas del robot. En [BOL03] la metodología que se propone para determinar la posición de una muestra no etiquetada es elegir las tres muestras etiquetadas más próximas en el espacio de características y se determina la distancia entre ellas y la muestra no etiquetada en el dominio del espacio a través de la función de transformación. Idealmente la consideración de estas distancias nos debería proporcionar una única solución, pero debido a las múltiples causas de incertidumbre que afectan al sistema, obtendremos varios puntos posibles como soluciones de la posición del robot, que se corresponderán con los puntos de intersección de los tres circunferencias trazadas con centro en la posición de cada muestra considerada y con radio igual al de la distancia computada entre el robot y la muestra etiquetada proporcionada por la función de transformación. La solución que se adopta finalmente es la obtenida al calcular el centroide formado por el conjunto de puntos que forman las soluciones posibles. En [BOL08] proponemos una aportación a esta metodología, como hemos señalado anteriormente, a través de la consideración del ángulo de giro de la plataforma, dado que al estar orientada hacia la fuente de sonido nos permitirá reducir el número de soluciones posibles a analizar para determinar la posición del robot. Por ejemplo, si Si y Sj son dos muestras etiquetadas, y ri y rj son las distancias existentes en el dominio del espacio a la muestra no etiquetada Sk, la intersección de las dos círcunferencias que se muestra en la figura 6.11 proporcionará dos soluciones posibles. Para discriminar la solución correcta se considerará el ángulo formado por la plataforma giratoria y la fuente de sonido x y SjSp rj rp Sk Possible solutions Fig. 6.11. representación geométrica de la intersección de dos circunferencias para determinar la posición de la muestra no etiquetada SK La figura 6.12 muestra esta situación de una forma más detallada. Dado que el robot computa el ángulo formado entre él y la fuente de sonido, el problema radica en identificar el punto correcto de la intersección de las dos círcunferencias I1 e I2, y para cada uno de ellos se computa el ángulo teórico formado respecto a la fuente de sonido (α1 y α2), y este cálculo se puede realizar ya que la posición de la fuente de sonido, es decir sus coordenadas (xs,ys) son conocidas. 6. Sistemas de autolocalización del robot 105 x Source (xs,ys) Sk SjSp rj rp NF α- 1FN α 2FN α 1 α 2 α y (I2, ) 2 α (I1, ) 1 α N Fig. 6.12. Computación de los ángulos a considerar para la determinación de la posición de la muestra no etiquetada SK Los ángulos α1 y α2 se determinarán mediante las expresiones: - - = 1 1 1sI sI xx yy arctgα (6.22a) - - = 2 2 2sI sI xx yy arctgα (6.22b) Estos ángulos deben ser corregidos respecto al norte con objeto de tener el mismo offset que el ángulo computado a bordo del robot, mediante las expresiones: FN1 = 1 - F-N (6.23a) FN2 = 2 - F-N (6.23b) Siendo F-N el ángulo formado por el recinto respecto al norte magnético. Finalmente, para determinar la solución correcta, sólo es necesario encontrar el ángulo teórico que proporcione un valor más próximo al ángulo computado por la plataforma del robot. Por tanto, para la determinación de la posición del robot en el recinto, utilizaremos la siguiente metodología: 1) El robot capta la señal de audio en su posición actual y realiza el proceso de identificación tomando como señal de entrada al sistema la señal filtrada de la fuente de sonido y como señal de salida la señal captada y filtrada en su posición. Los parámetros correspondientes a los polos obtenidos en este proceso de identificación serán los que se utilizarán como vector de características para las etapas siguientes. 2) Se determinan las distancias euclideas en el espacio de características entre este vector de características y los vectores de características de las distintas muestras etiquetadas. 6. Sistemas de autolocalización del robot 106 3) Se eligen las dos muestras más próximas al robot en el espacio de características y se determina la distancia entre ellas y el robot en el dominio del espacio a través de la función de transformación, esto nos proporciona dos posibles soluciones que vienen dadas por la intersección de las dos circunferencias en el dominio del espacio. 4) Dichos puntos de intersección formarán unos ángulos teóricos de orientación del robot respecto a la fuente de sonido que se compararán con el ángulo real obtenido por la plataforma giratoria de los micrófonos, tomando como solución el punto de intersección teórico en el que más se aproxime el ángulo calculado al ángulo medido proporcionado por la plataforma. En los trabajos realizados en [MAN09a], [MAN10], [MAN11], [MAN12] y [MAN14] los pasos 3 y 4 se realizan con todas las muestras etiquetadas, dado que aunque aumente el número de posibles soluciones a considerar para determinar la posición del robot, se escogerá la solución que proporcione una mejor aproximación al ángulo medido proporcionado por la plataforma, mejorando la exactitud del sistema de localización, como veremos en el capítulo de resultados experimentales. En la figura 6.13 se muestra el diagrama funcional del sistema de localización, que incluye el bloque de filtrado, la extracción de los coeficientes de los modelos, el cálculo de las distancias en el espacio de características y el bloque de reconocimiento de la posición. Fig. 6.13. Diagrama funcional del sistema de localización. Para la determinación de una posición concreta del robot, el algoritmo de localización determinará las soluciones proporcionadas por la función de transformación nominal y por los valores extremos del intervalo de incertidumbre, de forma que obtendremos seis soluciones posibles en el espacio de medidas al interseccionar las circunferencias correspondientes a las distancias calculadas existentes entre la posición del robot analizada y las dos muestras etiquetadas consideradas. La incertidumbre teórica máxima se produciría en el caso de que las intersecciones entre las circunferencias fueran perpendiculares, tal como muestra como ejemplo la figura 6.14, dado que las posibles soluciones presentarían una distancia máxima de separación entre ellas, la selección de la solución que adoptaremos como correcta de las seis posiciones posibles será aquella que forme un ángulo respecto a la fuente de sonido que se aproxime más al ángulo real indicado por la plataforma. dfs1 Filtering block S1 Sn Model 1 Model n . . . . . . Feature extraction Spatial Recognition (x1,y1) Sn filtered model n coeff. dfsn . . . . . . model 1 coeff. Environmental properties angle between robot and sound source previous robot position fT robot speed (xn,yn) S1 filtered 6. Sistemas de autolocalización del robot 107 Fig. 6.14. Ejemplo del conjunto de posibles soluciones proporcionadas por el sistema de localización para una posición del robot. Una nueva fuente de incertidumbre la encontraríamos si tres o más de las posibles soluciones se encontrarán alineadas aproximadamente en la misma dirección que la que indica el ángulo de orientación de la plataforma, como por ejemplo se indica en la figura 6.14, y la posición real del robot se ubicara en una posición muy próxima a la posición de alguna de las soluciones extremas, tal como se indica también en la figura, en la que el máximo error se produciría en la determinación de la coordenada x. Una situación similar encontraríamos al plantearnos el máximo error que se produciría en la determinación de la coordenada y. En estos casos, en el que encontramos más de una solución teórica posible considerando el ángulo de orientación de la plataforma, el algoritmo de localización tomará como solución el resultado de realizar el promedio de las posibles soluciones. CAPÍTULO 7: Resultados experimentales 7. Resultados experimentales - 111 - 7.1.- Recinto de experimentación y fuentes de sonido. La vista en planta del recinto donde se realizaron la mayoría de los ensayos experimentales es la que se muestra esquemáticamente en la figura 7.1 en la que se señala también la ubicación de las dos fuentes de sonido utilizadas en los ensayos. El recinto es un laboratorio docente de ensayos de componentes y circuitos electrónicos que también se dedica a la fabricación de placas de circuitos impresos, por lo que dispone de una sala interna aislada para la manipulación de los productos químicos necesarios para su fabricación. Fig. 7.1 Vista en planta del recinto de experimentación. El laboratorio contiene 9 mesas, una de ellas con una longitud casi doble a la del resto de mesas y con una anchura aproximadamente igual que ellas, 18 taburetes que se ubican debajo de las mesas cuando el laboratorio no está ocupado, una cámara climática dedicada a la realización de ensayos climáticos de componentes y equipos electrónicos, una insoladora para la realización de placas de circuitos impresos (PCB). así como un armario metálico. Aunque la forma que presenta el recinto es aproximadamente rectangular, es de destacar que presenta un tipo de techo abovedado. Las dimensiones del recinto son las siguientes: - Altura máxima del arco: 5 m - Altura mínima del arco: 3,8 m - Anchura máxima: 5,05 m - Anchura mínima: 3,12 m - Longitud máxima: 10,54 m - Longitud mínima: 8,35 m 7. Resultados experimentales - 112 - - Superficie total: 222,72 m2 - Volumen calculado a partir de la altura media del recinto y descontando el volumen de la sala de manipulación de productos químicos: 215,6 m3 Es importante destacar que la pared lateral contigua a la sala interna de manipulación de productos químicos no llega hasta el techo del recinto, y tiene una altura de 2,5 metros, lo que provoca la presencia de una apertura a lo largo de toda su longitud. En la figura 7.2 se muestra una panorámica del recinto de experimentación. En esta figura podemos observar la presencia de los numerosos objetos, como por ejemplo las mesas de trabajo del laboratorio, que complican la modelización acústica del recinto. Fig. 7.2. Recinto de experimentación. En la figura 7.3 se muestra la sala interna para la manipulación de los productos químicos ubicada en el interior del recinto. 7. Resultados experimentales - 119 - Por otro lado, la distancia a la fuente a partir de la que empieza a ejercer influencia el campo directo será: - Ganancia teórica media: La ganancia teórica media del recinto calculada a una temperatura ambiente de 20 oC y a la frecuencia de 125 Hz, viene dada por la expresión (7.5) presentada anteriormente: Como hemos comentado en capítulos anteriores, la distancia r a la que efectuamos la medida de la presión radiada por la fuente de sonido se ha de situar dentro del campo directo, es decir, a una distancia menor de 0,9811 cm, pero a una distancia prudencial de la fuente como para evitar una influencia excesiva del campo próximo generado por ella. La señal emitida por la insoladora adoptada como señal de referencia para nuestra RTF se capta a una distancia de 0,7 metros del centro de la cara frontal de la fuente, dentro del campo cercano y evitando además la saturación del sistema electrónico de captación, presentando un nivel de presión sonora a esta distancia de 79,2094 dB. La ganancia media teórica toma el siguiente valor: La señal emitida por la cámara adoptada como señal de referencia se capta a una distancia de 0,65 metros del centro de la cara frontal de la fuente, presentando un nivel de presión sonora de 73,5521 dB a esta distancia. La ganancia media teórica toma el siguiente valor: - Frecuencia de cruce de Schroeder. La frecuencia de cruce viene dada por la expresión (7.6): 7. Resultados experimentales - 120 - Que aplicada a nuestro recinto nos proporciona el siguiente resultado: 7.4. Adquisición, filtrado de las señales y selección de los modos. Para todos los ensayos experimentales salvo los correspondientes al modelo paramétrico MAX, la altura a la que se posiciona el micrófono del robot es de 70 cm, el micrófono utilizado es de tipo cardioide de uso general y de tipo capacitivo, con una sensibilidad de 2 mV/Pa (-54 dB). El micrófono como hemos señalado se orienta hacia la dirección en que la intensidad del sonido es máxima y la captura de la señal se realiza a una frecuencia de muestreo de 44,1 kHz. La señal emitida por la insoladora y captada a una distancia de 0,7 metros es la que se muestra en la figura siguiente: Figura 7.10 Señal emitida por la insoladora. El espectro de la señal discretizada emitida por la insoladora se muestra en la figura 7.11, en la que se indica el valor eficaz de las diferentes componentes frecuenciales de la onda de presión: 7. Resultados experimentales - 121 - Figura 7.11. Espectro de la señal emitida por la insoladora. Seleccionaremos la componente espectral cuya frecuencia sea más próxima a la frecuencia de cruce, y no muy alejada de ella, con objeto de no perder sensibilidad para la determinación del modo o de los modos más significativos, esta componente se encuentra en 93,2 Hz. Para la selección de la estructura del filtro nos decantamos por un filtro digital de Cauer (elíptico), ya que este tipo de filtros presentan una zona de transición entre la banda de paso y la banda atenuada muy estrecha, y requieren de un orden menor que el que requerirían otras estructuras para cumplir con las especificaciones, como las estructuras de Chevyshev o Butterworth, optimizando así el tiempo de computación, aunque estos filtros tengan la desventaja de presentar una fase no lineal. Por tanto, aplicaremos un filtrado de tipo pasabanda, que realizamos con un filtro digital de Cauer con una atenuación máxima en la banda de paso de 0,5 dB, de forma que para implementarlo no requeriremos de un orden del filtro excesivamente elevado. El filtro requerido para unas frecuencias de corte situadas en 85,2 Hz y en 99,7 Hz (ancho de banda de 14,5 Hz) será de sexto orden, y el filtrado se aplica con objeto de que la fuente pueda ser tratada por nuestro modelo con un comportamiento similar a la de una fuente monofrecuencial y para reducir el número de modos a considerar por el modelo. Los coeficientes de absorción que presentaran los distintos materiales a la frecuencia de 93,2 Hz se encontrarán muy próximos a los suministrados por las tablas existentes a una frecuencia de 125 Hz, dado que la variación de los coeficientes de absorción de los materiales en el rango de las bajas frecuencias es muy pequeña. En las figuras siguientes se muestran las señales captadas y las señales filtradas en las distintas posiciones de las muestras M1, M2, M3, M4 y M5. 7. Resultados experimentales - 122 - a) Señal captada muestra 1 a) Señal filtrada muestra 1 a) Señal captada muestra 2 b) Señal filtrada muestra 2 c) Señal captada muestra 3 d) Señal filtrada muestra 3 e) Señal captada muestra 4 f) Señal filtrada muestra 4 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 7. Resultados experimentales - 123 - g) Señal captada muestra 5 f) Señal filtrada muestra 5 Fig. 7.12. Señales captadas (izquierda) y señales filtradas (derecha) de la insoladora. A la frecuencia seleccionada de 93,2 Hz le corresponde a una longitud de onda para la señal a 20 oC de: La frecuencia propia de los modos posibles que tenemos en el recinto vienen dados por la expresión (5) ya presentada anteriormente: 2 2 2 222                            z z y y x x nnn L cn L cn L cn fzyx (7.8) Tal como hemos comentado, esta fórmula proporciona las soluciones para un recinto rectangular ideal. Nosotros la tomaremos como una solución aproximada para nuestro recinto considerando una altura igual a la altura media del recinto de 4.4 m, una longitud igual a la longitud máxima del recinto de 10,54 m y una anchura igual a la anchura máxima de 5,05 m. Los modos a considerar dentro de este margen de frecuencias serán los indicados en la tabla 7.3: nx ny nz fn 1 1 2 86,57 5 1 0 88,16 5 0 1 90,21 2 1 2 91,05 3 0 2 91,98 3 2 1 92,28 4 2 0 94,07 5 1 1 96,39 6 0 0 97,63 3 1 2 98,05 Tabla 7.3. Modos considerados para la insoladora. 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 7. Resultados experimentales - 124 - La señal emitida por la segunda fuente de sonido, la cámara climática, y captada a una distancia de 0,65 metros es la que se muestra en la figura siguiente: Figura 7.13. Señal emitida por la cámara climática. El espectro de la señal discretizada se muestra en la figura 7.14, en la que se indica el valor eficaz de las diferentes componentes frecuenciales: Figura 7.14. Espectro de la señal emitida por la cámara climática. La frecuencia de la componente del espectro más próxima a la frecuencia de cruce de Schroeder se encuentra en este caso en 99,97 Hz, y aplicaremos también un filtrado 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 time(s) 7. Resultados experimentales - 125 - pasabanda alrededor de esta frecuencia realizado con el mismo filtro digital de Cauer que el utilizado con la anterior fuente de sonido, buscando el atenuar la componente de 89 Hz próxima a nuestra frecuencia de interés, componente que se puede observar con más detalle en la figura 7.15, con objeto de aproximar lo más posible el comportamiento de la fuente al comportamiento de una fuente monofrecuencial. Figura 7.15. Detalle del espectro de la señal emitida por la cámara climática. En las figura siguiente 7.16 se muestran las señales captadas y las señales filtradas en las distintas posiciones de las muestras M1, M2, M3, M4 y M5. A la frecuencia seleccionada de 99,97 Hz le corresponde a una longitud de onda para la señal a 20 oC de: 7. Resultados experimentales - 126 - a) Señal captada muestra 1 a) Señal filtrada muestra 1 a) Señal captada muestra 2 b) Señal filtrada muestra 2 c) Señal captada muestra 3 d) Señal filtrada muestra 3 e) Señal captada muestra 4 f) Señal filtrada muestra 4 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 7. Resultados experimentales - 127 - g) Señal captada muestra 5 f) Señal filtrada muestra 5 Fig. 7.16. Señales captadas (izquierda) y señales filtradas (derecha) de la cámara climática. Los modos a considerar dentro de este margen de frecuencias serán los indicados en la tabla 7.4: nx ny nz fn 4 0 2 101,55 4 2 1 101,83 0 3 0 101,88 1 3 0 103,17 6 1 0 103,37 0 2 2 103,39 1 2 2 104,67 6 0 1 105,12 5 2 0 105,98 2 3 0 106,95 4 1 2 107,08 2 2 2 108,39 0 3 1 109,08 1 3 1 110,29 6 1 1 110,47 5 0 2 112,68 5 2 1 112,92 3 3 0 112,97 2 3 1 113,83 7 0 0 113,90 3 2 2 114,34 Tabla 7.4. Modos considerados para la cámara climática. 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 x 104 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples 7. Resultados experimentales - 128 - 7.5. Modelo teórico de función de transferencia. En los apartados siguientes expondremos el estudio experimental realizado del sistema de localización para ambas fuentes de sonido en base al modelo teórico. 7.5.1. Fuente de sonido: insoladora PCB. 7.5.1.1. Cálculo del factor de ganancia de los modos. A continuación realizaremos el cálculo teórico del factor de ganancia medio de los modos con las expresiones (4.40), (4.41) y (4.42), considerando las coordenadas de las muestras y el valor de la ganancia teórica media calculada con la expresión (7.5). Esto nos permitirá calcular el módulo de la ganancia teórico en las posiciones de las muestras para cada modo dado por la expresión (4.36), y lo compararemos con los valores experimentales de la ganancia obtenidos en dichas posiciones, con objeto de seleccionar el modo principal que definirá nuestro modelo. En primer lugar, indicaremos en la tabla 7.5, para cada modo seleccionado en el proceso de filtrado, el factor de ganancia medio teórico y el módulo de la ganancia teórica calculados con nuestro modelo en las distintas posiciones de las muestras: nx ny nz fn G(M1) G(M2) G(M3) G(M4) G(M5) 1 1 2 86,57 601,1515 2,6850 0,5876 0,2501 0,0089 0,0363 5 1 0 88,16 158,0804 1,9598 0,8996 0,6735 0,024 0,011 5 0 1 90,21 59,7845 0,9197 0,9325 0,6982 0,6982 0,3193 2 1 2 91,05 339,2645 0,6372 1,2401 1,6217 0,0579 0,011 3 0 2 91,98 85,4740 0,5647 1,012 0,5093 0,5093 0,9725 3 2 1 92,28 62,7249 0,5919 0,7702 0,3876 0,6249 1,1932 4 2 0 94,07 46,3662 0,9322 0,0406 0,5793 0,9339 1,0817 5 1 1 96,39 139,0081 1,9598 0,8996 0,6735 0,024 0,011 6 0 0 97,63 87,0788 0,6177 0,8160 0,7387 0,7387 0,6568 3 1 2 98,05 439,7771 1,5773 1,2797 0,6441 0,0230 0,0439 Tabla 7.5. Cálculo teórico del factor de ganancia medio Con objeto de identificar el modo principal en las distintas posiciones de las muestras, calcularemos el error relativo y el error cuadrático medio (MSE) para cada modo. El error relativo, lo calcularemos mediante la expresión: Donde es el valor de ganancia teórico calculado con nuestro modelo en la muestra i, y es el valor de ganancia obtenido experimentalmente en el recinto en la muestra i. 7. Resultados experimentales - 135 - Posición K experimental K mínima K máxima R1 190,4329 0 116,6601 R2 106,3849 0 116,6601 R3 154,2364 0 155,4998 R4 74,6216 18,5176 167,5461 R5 35,8863 18,5176 167,5461 R6 87,9096 5,0553 163,3635 R7 48,4426 0 158,2002 Tabla 7.12. Valores experimentales y valores extremos teóricos de la función de ganancia. Como vemos, la única posición del robot que sale fuera de los límites de incertidumbre establecidos para nuestro modelo es la posición del robot R1. Entre las hipótesis que podemos establecer para justificar este hecho para esta posición en concreto, se encuentran los factores ya comentados que pueden afectar localmente al desfase del modo considerado, como la distribución no uniforme de los materiales absorbentes y la posible influencia en la respuesta acústica de la sala interna de manipulación de productos químicos que no ha sido modelizada en nuestra función. Por otro lado, un muestreo previo del recinto más exhaustivo en esa zona podría haber evitado que se produjera esta situación, por lo que una de las primeras conclusiones que podemos extraer de nuestro trabajo es la conveniencia de efectuar un muestreo más detallado en las zonas del recinto que puedan presentar una respuesta acústica más compleja. Para el cálculo de la ganancia teórica proporcionada por nuestro modelo en función de la distancia al origen en una posición concreta del robot en el recinto, nos es necesario conocer el ángulo formado entre esa posición del robot y el origen de coordenadas respecto al eje de abscisas que hemos adoptado, para ello utilizamos una baliza luminosa ubicada en la esquina del recinto donde se sitúa el origen de coordenadas y una cámara hemiesférica ubicada en el propio robot, como hemos señalado anteriormente. El robot, a partir de la imagen obtenida con la cámara y mediante una brújula electrónica instalada en el propio robot determinará el ángulo que forma su posición respecto al origen de coordenadas y el eje de abscisas adoptado en nuestro modelo, con una incertidumbre máxima de ± 0.367O, como hemos comentado anteriormente. La metodología utilizada para la determinación de la ganancia experimental y el cálculo de la posición del robot mediante los algoritmos de localización es la de detener al robot en las posiciones indicadas y efectuar la captación de la señal cuando la plataforma se encuentra orientada hacia la máxima intensidad del sonido procedente de la fuente de sonido. Debido a que la expresión de la ganancia teórica de nuestro modelo para un ángulo determinado corresponde a una función periódica, tendremos más de una solución posible a la hora de determinar la distancia r del robot al origen de coordenadas al determinar el punto de corte de esta función con el valor de la ganancia experimental calculada a partir de la señal captada, como hemos comentado también anteriormente. 7. Resultados experimentales - 136 - Considerando que el periodo de la función nominal de la ganancia proporcionado por nuestro modelo, sin considerar la incertidumbre, tiene un valor de: Buscaremos acotar el número de soluciones posibles considerando que el máximo desplazamiento que pueda efectuar el robot entre dos posiciones contiguas en las que determina sus coordenadas no sea mayor que ese valor, y considerando que la incertidumbre de nuestro modelo es de ±33,2 cm, tomaremos una distancia lo suficientemente grande como para dotar a nuestro sistema de localización de una resolución suficiente frente al intervalo considerado. Por tanto buscaremos una solución de compromiso, en la que considerando que la velocidad de desplazamiento del robot es de 15 cm/s, el robot deberá calcular su posición con un intervalo de tiempo máximo de 11 segundos, por lo que habrá podido recorrer entre posiciones una distancia máxima de 165 cm, algo menor que el periodo de la función de ganancia. Como hemos señalado al explicar el sistema de localización, otorgaremos la máxima probabilidad al conjunto de soluciones ofrecidas por el intervalo de incertidumbre que englobe a la distancia recorrida desde la última posición estimada del robot que indicaría el sistema odométrico auxiliar instalado en el robot. Finalmente señalar que el algoritmo de determinación de la posición del robot en nuestra aplicación calculará las funciones de ganancia extremas obtenidas con la incertidumbre máxima producida por el desfase del modo principal, de ±16,1 cm, a la que sumaremos la incertidumbre máxima producida en la determinación de la posición de las muestras por el robot, de ±17,1 cm, recogidas en la función del factor de ganancia. La consideración del máximo error generado por el sistema de la cámara y la brújula electrónica en la determinación del ángulo que forma el robot respecto al origen de coordenadas, se realizará específicamente para cada posición en la que el robot tiene que calcular sus coordenadas, considerando el ángulo medido θ en esa posición y el error máximo de ± 0.367O, para obtener las funciones de ganancia. En la figura 7.21 se muestran las funciones de ganancia para la posición del robot R3 graficadas respecto a la distancia r al origen de coordenadas expresada en cm, obtenidas con los valores extremos del error generado por el sistema de la cámara y la brújula electrónica en la determinación del ángulo, y la evolución de la función de ganancia nominal hasta el límite de los intervalos de incertidumbre máximos considerados. En la figuras también se indica el valor de la ganancia experimental y los límites del intervalo de soluciones posibles considerando la velocidad de avance del robot y su última posición. En dicha figura 7.21 también podemos observar que un efecto que se produce en la función de ganancia teórica de nuestro modelo al aplicar la incertidumbre a la función del factor de ganancia, es una disminución de su valor medio. Por tanto la incertidumbre generada 7. Resultados experimentales - 137 - por el desfase del modo también refleja una incertidumbre en la determinación del valor medio o del valor máximo del modo principal. Figura 7.21. Ganancias teóricas y experimental en la posición del robot R3. El algoritmo de localización tomará como solución para calcular la posición del robot la obtenida al promediar las soluciones extremas del intervalo de soluciones posibles generado por las incertidumbres adoptadas En la tabla 7.13 se indican los resultados del cálculo de la posición del robot y los errores absolutos y relativos en cada posición del robot analizada, salvo para la posición del robot R1, ya que hemos comprobado anteriormente que se sale de los límites de incertidumbre adoptados para el modelo y por tanto el modelo proporcionará resultados erróneos para esta posición. Como vemos en la tabla, y dada la definición de nuestro modo principal, la incertidumbre en el cálculo de la coordenada x se mantiene aproximadamente constante con un valor de ±15,6 cm, que se corresponde a la mitad del intervalo de incertidumbre considerado para la función del factor de ganancia. 0200 400 600 800 1000 1200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r(cm) |H(r)| 7. Resultados experimentales - 138 - Coordenadas Calculadas (cm) Error Absoluto (cm) Error Relativo % Incertidumbre coordenadas (cm) POS X Y X Y X Y X Y R1 - - - - - - - - R2 990,0 330,4 16,0 5,4 1,64 1,66 ±15,6 ±12,6 R3 835,4 260,2 16,4 5,1 2,00 2,02 ±15,6 ±11,1 R4 650,9 253,9 -3,1 -1,1 -0,47 -0,43 ±15,6 ±11,3 R5 642,1 103,2 -12,0 -1,8 -1,83 -1,71 ±15,6 ±6,9 R6 476,4 105,6 2,4 0,6 0,50 0,57 ±15,6 ±6,9 R7 291,5 104,2 -2,5 -0,8 -0,85 -0,76 ±15,6 ±8,0 Error medio: 4,11 1,24 0,16 0,22 Tabla 7.13. Resultados obtenidos con la insoladora. Los valores de la incertidumbre en el cálculo de la coordenada y serán más elevados en las posiciones más alejadas del origen de coordenadas del recinto y para ángulos elevados, debido también a la definición de nuestro modo principal. Respecto a este aspecto hay que señalar la limitación del modelo para trabajar con ángulos próximos a 90 grados respecto al origen de coordenadas, ya que nuestro modelo no encontraría solución en la determinación de las coordenadas del robot. No obstante, hay que señalar la consideración inicial que realizamos para distribuir las muestras etiquetadas del recinto, que las sitúan alrededor de las zonas de trabajo posibles del robot, y al no repartirse en las zonas del recinto en las que no trabajará el robot, no permiten la modelización de dichas zonas con el modo principal seleccionado. Si quisiéramos modelizar zonas de trabajo del recinto más amplias, este hecho provocara la selección de un modo principal diferente, seguramente de tipo tangencial u oblicuo, que aumentaría lógicamente la complejidad del modelo. 7.5.2. Fuente de sonido: cámara climática. 7.5.2.1. Cálculo del factor de ganancia de los modos. A continuación realizaremos el cálculo teórico del factor de ganancia de los modos al igual que hemos realizado con la fuente de sonido anterior, con objeto de seleccionar el modo más significativo principal y los modos más significativos secundarios que definirán nuestro modelo. En la tabla 7.14 indicaremos el valor de ganancia experimental obtenido en las muestras etiquetadas del recinto: Muestra M1 M2 M3 M4 M5 Ganancia 0,2763 1,1804 0,5831 0,3300 0,4590 Tabla 7.14. Valor de la ganancia en las posiciones de las muestras. 7. Resultados experimentales - 139 - En la tabla 7.15, indicaremos para cada modo analizado, el factor de ganancia medio teórico y la ganancia teórica obtenida mediante nuestro modelo en las distintas posiciones de las muestras: nx ny nz fn G(M1) G(M2) G(M3) G(M4) G(M5) 4 0 2 101,55 74,9520 0,8804 0,0529 0,7535 0,7535 0,8727 4 2 1 101,83 55,3231 0,8657 0,0377 0,5380 0,8673 1,0045 0 3 0 101,88 55,2625 0,8276 1,1860 1,1860 0,0567 0,0567 1 3 0 103,17 173,4132 1,6091 1,1146 0,4745 0,0227 0,0922 6 1 0 103,37 188,1800 1,5225 0,9106 0,8423 0,0294 0,0262 0 2 2 103,39 87,2170 0,6912 0,5019 0,5019 0,8091 0,8091 1 2 2 104,67 247,2431 1,2175 0,4273 0,1819 0,2933 1,1930 6 0 1 105,12 102,7935 0,5736 0,7578 0,6859 0,6859 0,6099 5 2 0 105,98 100,4798 0,9428 0,6808 0,5098 0,8218 0,3579 2 3 0 106,95 180,9160 0,2114 1,3021 1,7028 0,0813 0,0155 4 1 2 107,08 468,3732 2,2936 0,0623 0,8887 0,0317 0,0367 2 2 2 108,39 309,1516 0,2066 0,6449 0,8434 1,3596 0,2586 0 3 1 109,08 174,0220 0,8277 1,1860 1,1860 0,0567 0,0567 1 3 1 110,29 498,7364 1,6091 1,1146 0,4745 0,0227 0,0922 6 1 1 110,47 532,2204 1,5526 0,9107 0,8243 0,0294 0,0262 5 0 2 112,68 294,0740 0,8541 0,8659 0,6483 0,6483 0,2965 5 2 1 112,92 234,1093 0,9248 0,6808 0,5098 0,8218 0,3759 3 3 0 112,97 339,7435 0,6574 1,6881 0,8496 0,0406 0,0775 2 3 1 113,83 397,5732 0,2114 1,3021 1,7028 0,0813 0,0155 7 0 0 113,9 184,1959 0,1827 0,4550 0,8613 0,8613 0,9529 3 2 2 114,34 464,3542 0,5496 0,7152 0,3600 0,5803 1,1080 Tabla 7.15. Cálculo teórico del factor de ganancia medio y del módulo de la ganancia. Al igual que lo realizado con la otra fuente de sonido y con objeto de identificar el modo o modos excitados más significativos en cada posición, calcularemos el error relativo y el error cuadrático medio (MSE) para cada modo en las posiciones de las muestras. Los resultados se indican en la tabla 7.16, en la que se destacan también los errores relativos mínimos obtenidos en las distintas posiciones. Como vemos en la tabla 7.16, el modo principal es el (6,0,1), que modeliza una respuesta acústica de la zona del recinto, si consideramos que la altura del micrófono del robot es constante, idéntica a la respuesta obtenida con el modo (6,0,0) con la anterior fuente de sonido. Las posibilidades de que ocurriera este hecho eran elevadas si consideramos la proximidad de las frecuencias emitidas por las fuentes de sonido seleccionadas en el proceso de filtrado al estar ubicadas en el mismo recinto. 7. Resultados experimentales - 140 - nx ny nz (M1) (M2) (M3) (M4) (M5) MSE 4 0 2 2,19 -0,96 0,29 1,28 0,90 0,6349 4 2 1 2,13 -0,97 -0,08 1,63 1,19 0,6695 0 3 0 2,00 0,00 1,03 -0,83 -0,88 0,4252 1 3 0 4,82 -0,06 -0,19 -0,93 -0,80 0,6358 6 1 0 4,51 -0,23 0,44 -0,91 -0,94 0,6278 0 2 2 1,50 -0,57 -0,14 1,45 0,76 0,4452 1 2 2 3,41 -0,64 -0,69 -0,11 1,60 0,6564 6 0 1 1,08 -0,36 0,18 1,08 0,33 0,2922 5 2 0 2,41 -0,42 -0,13 1,49 -0,22 0,4362 2 3 0 -0,23 0,10 1,92 -0,75 -0,97 0,5534 4 1 2 7,30 -0,95 0,52 -0,90 -0,92 1,0659 2 2 2 -0,25 -0,45 0,45 3,12 -0,44 0,5403 0 3 1 2,00 0,00 1,03 -0,83 -0,88 0,4252 1 3 1 4,82 -0,06 -0,19 -0,93 -0,80 0,6358 6 1 1 4,62 -0,23 0,41 -0,91 -0,94 0,6384 5 0 2 2,09 -0,27 0,11 0,96 -0,35 0,3361 5 2 1 2,35 -0,42 -0,13 1,49 -0,18 0,4300 3 3 0 1,38 0,43 0,46 -0,88 -0,83 0,3751 2 3 1 -0,23 0,10 1,92 -0,75 -0,97 0,5534 7 0 0 -0,34 -0,61 0,48 1,61 1,08 0,4772 3 2 2 0,99 -0,39 -0,38 0,76 1,41 0,4061 Tabla 7.16. Errores en el módulo de la ganancia de los modos en las posiciones de las muestras. Por otro lado observamos que el error generado por el modelo sin considerar la función del factor de ganancia es mayor para esta fuente de sonido que para la insoladora de PCB estudiada anteriormente. Este hecho se puede justificar si consideramos la ubicación de la cámara climática, que al estar situada en las proximidades de las esquinas del recinto, excitará a muchos más modos que en el caso de la anterior fuente de sonido, afectando de forma mucho más acusada al modo principal. 7.5.2.2. Función del factor de ganancia. La función del factor de ganancia para este modo principal seleccionado vendría dada por la expresión (7.18), que al ser un modo axial con ny igual a cero, quedaría reducida a: El valor teórico máximo vendría dado por la expresión (7.19), y se calcularía a partir del valor ya conocido del factor de ganancia medio: 7. Resultados experimentales - 141 - Quedando finalmente la función del factor de ganancia, como: Trabajaremos con esta expresión expresando la coordenada del micrófono y la longitud del recinto en centímetros. Para la determinación del ángulo de desfase del modo nos ayudaremos de las medidas experimentales realizadas en las posiciones de las muestras en el recinto, que nos permiten calcular el valor del factor de ganancia experimental que anula el error de nuestro modo principal en dichas posiciones, y que se recoge en la tabla siguiente, tal como hemos realizado con la anterior fuente de sonido: Muestra M1 M2 M3 M4 M5 K(x,y) 49,5162 160,1280 87,3881 49,4565 77,3585 Tabla 7.17. Valores experimentales del factor de ganancia en las posiciones de las muestras. Si graficamos estos valores junto con nuestra función del factor de ganancia considerando un desfase nulo, obtenemos la figura 7.22 en la que se puede apreciar, al igual que con la fuente de sonido anterior, que el desfase que presenta nuestra función nominal respecto a los valores experimentales no es muy elevado. Si expresamos este ángulo de desfase en función del parámetro , que cuantifica el desfase de la función respecto a la coordenada x expresado en centímetros, obtenemos la siguiente expresión: Los valores de xd que anulan el error entre los valores teóricos y los valores experimentales en las distintas posiciones de las muestras son los siguientes: Muestra M1 M2 M3 M4 M5 Desfase (cm) -14,9 10,8 -10,3 - 21,2 -9,0 Tabla 7.18. Valores de xd de la función teórica del factor de ganancia que anulan el error. Si observamos los máximos valores del desfase producido vemos que se producen en las posiciones de la muestra 1 y de la muestra 4. El producido en la muestra 1 pensamos que es debido, al igual que ocurría con la fuente de sonido anterior, a la presencia de la sala interna de manipulación de productos químicos. Por contra, el desfase producido en la muestra 4 pensamos que puede producirse por la influencia del campo cercano de la fuente, en el que se puede empezar a hacer patente el efecto del diagrama de directividad de la fuente de sonido. 7. Resultados experimentales - 142 - Figura 7.22. Función teórica del factor de ganancia y valores experimentales. El criterio que adoptaremos para modelizar la incertidumbre de este parámetro será al igual que con la fuente de sonido anterior, el de suponer una distribución de probabilidad uniforme, considerando para establecer su valor máximo el que se produce en el peor caso, es decir, en la posición de la muestra 4, por lo que la función del factor de ganancia presentará una incertidumbre máxima de ±21,2 cm, a la que añadiremos la incertidumbre en la determinación de la posición de las muestras por el robot, de ±17,1 cm. Por tanto, la semianchura máxima de la distribución de probabilidad será de 38,3 cm con una desviación típica de 22,1 cm. Finalmente nuestro modelo que modeliza la RTF de la ganancia en la zona de trabajo del robot quedará definido por la expresión: Siendo : Expresando la coordenada xm del robot en centímetros. 0200 400 600 800 1000 1200 0 50 100 150 200 250 x(cm) K 7. Resultados experimentales - 143 - 7.5.2.3. Determinación de las posiciones del robot. Los valores de la ganancia experimental obtenidos a partir de la señal captada por el robot en su recorrido por el recinto en las distintas posiciones analizadas son los indicados en la tabla 7.19 siguiente: Posición R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 Ganancia 0,0881 0,2664 0,7071 0,6631 0,3172 0,9737 1,1051 Tabla 7.19. Ganancia experimental obtenida en las posiciones del robot. En la figura siguiente se grafican los valores experimentales del factor de ganancia en las posiciones del robot y la función del factor de ganancia, con la incertidumbre correspondiente al desfase del modo que hemos adoptado: Figura 7.23. Función teórica del factor de ganancia y valores experimentales. Pasaremos a comprobar a continuación, igual que hemos hecho con la anterior fuente de sonido, que la función del factor de ganancia con la incertidumbre adoptada engloba a los valores del factor de ganancia que anulan el error producido entre los valores teóricos y los valores experimentales en las posiciones del robot. Para ello consideramos todas las fuentes de incertidumbre que afectan a nuestro modelo, las producidas en la determinación experimental de las coordenadas de las posiciones de las muestras por el robot y las producidas en el desfase del modo, tal como hemos realizado en la fuente anterior. Los valores experimentales de la función de ganancia que anulan el error de nuestra función en las posiciones del robot y los valores extremos de la función de ganancia teórica obtenidos al considerar la incertidumbre se indican en la tabla 7.20 siguiente: 0200 400 600 800 1000 1200 0 50 100 150 200 250 x(cm) K 7. Resultados experimentales - 144 - Posición K experimental K mínima K máxima R1 55,1687 0 151,0191 R2 166,8212 0 151,0191 R3 126,7207 0 191,9131 R4 89,9533 3,1863 202,0639 R5 43,0300 3,1863 202,0639 R6 145,9266 0 198,5235 R7 186,2503 0 193,7914 Tabla 7.20. Valores experimentales y valores extremos de la función de ganancia. Como vemos en la tabla, la posición del robot que se sale fuera de los límites de incertidumbre establecidos en nuestro modelo es la posición R2. Esta posición se encuentra muy próxima a la posición R1 que salía fuera de los límites de incertidumbre con la anterior fuente de sonido, por lo que podemos deducir que dichas posiciones se encuentran en una zona del recinto de más difícil modelización debido a la posible influencia de la sala interna de manipulación de productos químicos que no ha sido modelizada con detalle en nuestra función, como hemos comentado anteriormente. Por otro lado hay que considerar que si las ganancias toman valores muy bajos o muy altos el modelo no nos permitirá discernir los dos márgenes de incertidumbre correspondientes a la mínima y máxima distancia recorrida por el robot desde la última posición computada, al solaparse, como casi ocurre en la posición del robot R1, en que podemos ver que nos acercamos al límite inferior señalado, tal como muestra la figura 7.24. Figura 7.24. Ganancias teórica y experimental en la posición del robot R1. 0200 400 600 800 1000 1200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 r(cm) |H(r)|