Diseño, implementación y validación experimental de un AMD para la mitigación de vibraciones en estructuras esbeltas utilizando un procesador de bajo coste

Má ster en Ingeniería Industrial MASTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE VALLADOLID TRABAJO FIN DE MÁSTER Diseño, implementación y validación experimental de un AMD para la mitigación de vibraciones en estructuras esbeltas utilizando un procesador de bajo coste Autor: D. César Peláez Rodríguez Tutores: D. Antolín Lorenzana Ibán D. Álvaro Magdaleno González D. Juan José Villacorta Calvo Valladolid, Mayo, 2021 Má ster en Ingeniería Industrial MASTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE VALLADOLID TRABAJO FIN DE MÁSTER Diseño, implementación y validación experimental de un AMD para la mitigación de vibraciones en estructuras esbeltas utilizando un procesador de bajo coste Autor: D. César Peláez Rodríguez Tutores: D. Antolín Lorenzana Ibán D. Álvaro Magdaleno González D. Juan José Villacorta Calvo Valladolid, Mayo, 2021 RESUMEN El presente Trabajo Fin de M´aster se enmarca dentro de la l´ınea de investigaci´on sobre mitigaci´on de vibraciones en estructuras esbeltas dirigida por el doctor Antol´ın Lorenzana. Concretamente el trabajo se centra en el desarrollo, dise˜no e implementaci´on de un sistema AMD (de sus siglas en ingl´es, Active Mass Damper, literalmente Amortiguador Inercial Activo) para la mitigaci´on de vibraciones en pasarelas peatonales empleando un actuador est´andar (APS 400) comandado por un procesador de bajo coste (NI myRIO-1900). La ley de control se ha validado experimentalmente sobre una pasarela de 13.5 m a escala de laboratorio y ha sido formulada asumiendo un modelo mec´anico reducido de la estructura considerando ´unicamente su primer modo. Tras la identificaci´on din´amica del actuador, el procedimiento consisti´o en la caracterizaci´on e identificaci´on experimental de las propiedades modales de la estructura (frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento) asociadas a su primer modo. Una vez obtenido el sistema de espacio de estados equivalente de la estructura, se desarroll´o el dise˜no de la ley de control, basada en la realimentaci´on del estado, y se despleg´o en el controlador de bajo coste. Finalmente, el sistema fue implementado en la estructura y se llev´o a cabo su validaci´on experimental. Se ha evaluado el rendimiento del sistema utilizando diferentes indicadores tanto en el dominio frecuencial como en el temporal y ante diferentes situaciones de carga, incluyendo tr´ansitos peatonales para demostrar la viabilidad y robustez del sistema propuesto. Por ´ultimo, tambi´en se ha incluido la posibilidad de recalibrar el sistema de control para que funcione de forma optimizada ante posibles cambios o modificaciones de la estructura. ABSTRACT This Master Thesis is framed within the research line focused on vibration mitigation in slender structures directed by Dr. Antol´ın Lorenzana. Precisely, the work is aimed at the development, design and implementation of an active mass damper (AMD) for vibration mitigation in footbridges using a standard actuator (APS 400) commanded by a low-cost processor (NI myRIO-1900). The control law has been experimentally validated on a 13.5-meter footbridge at laboratory scale and has been formulated assuming a reduced mechanical model of the structure just considering its first mode. After the dynamic identification of the actuator, the procedure consisted in the experimental characterization and identification of the modal properties of the structure (natural frequency and damping ratio) associated to its first mode. Once the equivalent state space system of the structure was obtained, the control law design, based on state feedback, was developed and deployed in the low-cost controller. Finally, the system was implemented on the structure and its experimental validation tests were carried out. The system performance has been evaluated using different indicators both in the frequency and time domain and under different loads scenarios, including pedestrian transits to demonstrate the feasibility and robustness of the proposed system. Finally, the possibility of recalibrating the control system has also been included in order to optimize its performance under possible structural modifications. PALABRAS CLAVE: Control activo, Mitigaci´on de vibraciones, Amortiguador de masa activa, Procesador de bajo coste, Pasarela peatonal. KEY WORDS: Active control, Vibration mitigation, Active Mass Damper, Low-Cost processor, Footbridge. ´ Indice de contenidos 1. INTRODUCCI´ ON 1 1.1. Antecedentes y ´ambito del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Objetivosyalcance........................................ 3 2. MARCO TE´ ORICO 5 2.1. An´alisis Din´amico Estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Modelizaci´on de estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2. Modelof´ısico ....................................... 6 2.1.3. An´alisismodal ...................................... 7 2.1.4. An´alisis de sistemas de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.5. An´alisis del sistema en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.6. Funci´on de Respuesta en Frecuencia (FRF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.7. Modelado del sistema en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Cancelaci´on activa de vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Estructuras de control mediante realimentaci´on de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1. Dise˜no de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 a) M´etodo de la localizaci´on de los polos en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 15 b) Empleo de algoritmos de optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2. Estimadordelestado................................... 16 a)Dise˜nodelestimador ................................. 16 b) Implementaci´on del estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. MODELADO 19 3.1. Instrumentaci´onnecesaria.................................... 19 3.2. Modelizaci´on de la plataforma como un sistema de 1 grado de libertad . . . . . . . . . . . 20 3.2.1. Caracterizaci´on experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2. An´alisis modal experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 a)Estimaci´onFRFs ................................... 24 b) Obtenci´on de las propiedades modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.3. Representaci´on del sistema en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 a) Validaci´on en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Modeladodelactuador...................................... 29 3.3.1. Obtenci´on experimental de las FRFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2. C´alculo de los coeficientes de la funci´on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. DISE ˜ NO DEL CONTROLADOR 35 4.1. Control por realimentaci´on de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2. Dise˜no e implementaci´on del estimador de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.1. Sintonizaci´on de las ganancias del estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2. Validaci´on en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2.3. Comportamiento del estimador en un rango de frecuencias superior al de dise˜no . . 47 4.2.4. Implementaci´on del estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.5. Validaci´on en el sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3. Implementaci´on del actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1. Optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 a) Limitaciones asociadas al actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.2. Implementaci´on del saturador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4. Validaci´on del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.1. Comprobaci´on de la estabilidad del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.2. Validaci´on del sistema en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5. IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL 69 5.1. Obtenci´on y discretizaci´on de la funci´on de transferencia (aceleraci´on-voltaje) . . . . . . . 69 5.2. Programaci´on en Labview + myRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2.1. Estructura de programaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 a)Main .......................................... 72 b)Lectura......................................... 73 c) Funci´on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 d)Escritura........................................ 77 5.2.2. Retraso de la se˜nal de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.3. Dise˜nodelfiltro...................................... 78 5.3. Conexi´on e implementaci´on en el sistema real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6. VALIDACI´ ON DEL SISTEMA FINAL 81 6.1. Validaci´on en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1.1. Comparaci´on con el sistema sin controlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1.2. Comparaci´on del comportamiento obtenido con el simulado . . . . . . . . . . . . . 83 6.2. Validaci´on en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3. Validaci´onentr´ansitos...................................... 85 7. RESPUESTA DEL SISTEMA ANTE MODIFICACIONES DE LA ESTRUCTURA 87 8. CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS 89 8.1. Conclusiones ........................................... 89 8.2. Presupuesto............................................ 92 8.2.1. Consideraciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.3. L´ıneasfuturas........................................... 95 ANEXOS A. Uso de ´algebra compleja para describir vibraciones arm´onicas 97 B. Optimizaci´on num´erica. Algoritmos gen´eticos 99 C. Filtrado digital de se˜nales 101 C.1.FiltrosFIR ............................................ 101 C.2.FiltrosIIR............................................. 102 Referencias 105 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Por otro lado, es habitual no disponer de una descripci´on fiable de la estructura en propiedades f´ısicas (como sucede en el sistema que se estudia en este trabajo). En este caso, es posible realizar el proceso de an´alisis estructural partiendo de la respuesta experimental del sistema ante excitaciones conocidas. Este proceso es el indicado en la Figura 4 y consiste en realizar un an´alisis modal experimental sobre la estructura para extraer sus propiedades modales y, a partir de ellas, obtener un modelo de respuesta nuevo o bien actualizar un modelo ya existente. Respuesta del sistema Modos de vibración Modelo estructural Análisis Modal Experimental Figura 4: Proceso experimental del an´alisis din´amico de estructuras 2.1.1. Modelizaci´on de estructuras El an´alisis del comportamiento mec´anico de una estructura se lleva a cabo mediante modelos de ´esta, entendiendo por modelo una idealizaci´on de algunos aspectos de la realidad f´ısica y funcional de la estructura. La descripci´on completa de una estructura a efectos de su modelizaci´on y an´alisis implicar´ıa la consideraci´on de todos los aspectos definitorios de la realidad f´ısica de la misma. Esto no solamente dar´ıa lugar a un gran volumen de informaci´on de dif´ıcil manejo, sino que no es garant´ıa de una mayor calidad en las conclusiones asociadas al an´alisis del modelo. De esta manera, para poder obtener un modelo que represente fielmente a la estructura que se quiere analizar, pero sin ser demasiado complejo e inaccesible, ser´a necesario utilizar una serie de hip´otesis simplificadoras con el objetivo de abstraer de la realidad aquellos aspectos que condicionan el comportamiento que se quiere analizar, en lugar de buscar una descripci´on completa de la realidad f´ısica y funcional de la estructura. En el caso de la estructura que se estudia en este trabajo se buscar´a un modelo que permita conocer y prever la posici´on, velocidad y aceleraci´on de la estructura ante excitaciones externas. Para ello, en primer lugar se buscar´a un modelo f´ısico en el que, conocidas las propiedades f´ısicas de la estructura (masa, rigidez y amortiguamiento), se pueda definir el comportamiento de la misma. 2.1.2. Modelo f´ısico Como se ha comentado, las variables f´ısicas que se quieren conocer ser´an los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de los diferentes puntos materiales de la estructura. Cuando estas magnitudes se multiplican por la rigidez, el amortiguamiento y la masa respectivamente, dan lugar a tres tipos de fuerzas: fuerzas el´asticas, fuerzas de amortiguamiento y fuerzas de inercia respectivamente [8]. Este trabajo se centra en modelos discretos de masas puntuales, de forma que los elementos b´asicos que los conforman y que relacionan las tres magnitudes comentadas son los que se indican a continuaci´on: 1. Muelles, que relacionan fuerzas con el desplazamiento y que representan la rigidez del sistema, esto es, su resistencia a ser deformado. 2. Amortiguadores, que relacionan fuerzas con velocidades, que representan la capacidad de disipaci´on de energ´ıa. 3. Masas, que relacionan fuerzas con las aceleraciones y representan la inercia del sistema, es decir, la resistencia a experimentar aceleraciones. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 6 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Estos tres elementos, junto con las excitaciones exteriores, ser´an los ingredientes b´asicos del modelo f´ısico, y permitir´an obtener la ecuaci´on de movimiento (Ec. 1) del sistema din´amico, donde M,Cy Krepresentan las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez del sistema (respectivamente) y f(t) el vector fuerzas generalizadas que representan las fuerzas exteriores aplicadas sobre el sistema. De tal modo que este modelo permitir´a conocer la posici´on (u(t)), velocidad ( ˙u(t)) y aceleraci´on (¨u(t)) en cada instante de cualquier punto material de la estructura conocidos los valores de M,C,Kyf(t). M¨u+C˙u+Ku =f(t) (1) 2.1.3. An´alisis modal El modelo f´ısico descrito anteriormente representa fielmente el comportamiento del sistema siempre y cuando se conozcan con exactitud los valores de las propiedades f´ısicas de la estructura. Desgraciadamente esto no suele ser lo habitual, siendo necesario buscar m´etodos alternativos de modelizar un sistema sin necesidad de conocer los valores de la masa, rigidez y amortiguamiento del mismo. Para ello se utilizan las propiedades modales, que estar´an estrechamente ligadas a las propiedades f´ısicas del sistema y que, como aquellas, definen el comportamiento de la estructura ante una excitaci´on dada. Estas propiedades modales son las siguientes, donde el sub´ındice ‘r’ indica el n´umero de modo, con (r= 1,··· , N) siendo Nel n´umero de grados de libertad del sistema: 1. Frecuencias propias (fr,ωr)1, se definen como las frecuencias de una excitaci´on arm´onica ante la cual la estructura responde con amplitud m´axima. Se denominan frecuencias propias (o naturales) porque su valor depende ´unicamente de las caracter´ısticas propias del sistema (masa y rigidez), y no de la forma en la que se excite el sistema ni de las condiciones iniciales. 2. Modos propios (φr), definen la forma de oscilar (en amplitud y fase) que tiene la estructura cuando es excitada arm´onicamente a cada una de sus frecuencias propias. 3. Factores de amortiguamiento modal (ξr), hacen referencia al amortiguamiento espec´ıfico de cada modo propio, de forma que afecta atenuando ´unicamente la contribuci´on de dicho modo. Existen diversas t´ecnicas para obtener las propiedades modales de una estructura de forma experimental, es decir, sin necesidad de conocer las propiedades f´ısicas del sistema. En este trabajo nos centraremos en t´ecnicas de An´alisis Modal Experimental (EMA), que nos permitir´an obtener las propiedades modales de la estructura a partir de su respuesta ante una excitaci´on conocida. 2.1.4. An´alisis de sistemas de un grado de libertad Como parte del proceso de simplificaci´on, antes comentado, del sistema real que es inevitable llevar a cabo al realizar una modelizaci´on, en este trabajo se plantea un sistema de un grado de libertad que modelizar´a la estructura real bajo estudio. El an´alisis din´amico de la estructura mediante un sistema de un grado de libertad conllevar´a intr´ınsecamente una aproximaci´on, ya que el sistema real tendr´a infinitos grados de libertad. Sin embargo, en casos en los que las frecuencias propias de los diferentes modos est´en suficiente desacoplados y no se afecten unos a otros de forma significativa se puede abordar el an´alisis din´amico mediante la superposici´on del estudio de sistemas de un grado de libertad. De manera que se utilizan m´etodos mucho m´as directos y simplificados que no involucran una manipulaci´on matem´atica compleja de los datos. Asumiendo esta hip´otesis, se modelizar´a la estructura en un rango de frecuencias que abarque su primer modo y se supondr´a que el comportamiento de la estructura en ese rango de frecuencias no est´a influenciado por ninguno de los modos adyacentes. 1Se emplear´a f para la frecuencia en hercios y ωpara rad/s Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 7 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez De esta forma, en la ecuaci´on de movimiento del sistema (Ec. 2) los valores de masa, amortiguamiento y rigidez ya no vendr´an dados por matrices sino por valores num´ericos, simplificando notablemente los c´alculos. m¨u+c˙u+ku =f(t) (2) Al dividir ambos t´erminos de la ecuaci´on de movimiento del sistema de 1 gdl (Ec. 2) por la masa del propio sistema, tendremos la siguiente ecuaci´on (Ec. 3): ¨u+c m˙u+k mu=1 mf(t) (3) Donde podemos sustituir por las expresiones de las propiedades modales (frecuencia natural (Ec. 4) y factor de amortiguamiento (Ec. 5), que para sistemas de un grado de libertad no requerir´an de c´alculo matricial). En sistemas de un solo grado de libertad se utiliza el sub´ındice 0 para referirnos a su ´unico modo. Frecuencia natural →ω0=rk m(4) Factor de amortiguamiento →ξ0=c 2·√k·m(5) De forma que se obtiene la ecuaci´on del movimiento en funci´on de las propiedades modales (Ec. 6), siendo (m) equivalente a la masa generalizada en sistemas de 1 grado de libertad. De modo que conociendo las propiedades modales del sistema, que se podr´an calcular por t´ecnicas experimentales de an´alisis modal que se comentar´an m´as adelante, se podr´a predecir el comportamiento del sistema (posici´on, velocidad y aceleraci´on del punto medido de la estructura) en funci´on de las excitaciones externas. ¨u+ 2ξ0ω0˙u+ω2 0u=1 mf(t) (6) 2.1.5. An´alisis del sistema en el dominio de la frecuencia Una de las formas de excitaci´on frecuentes en la pr´actica y ampliamente utilizada en los ensayos de caracterizaci´on de estructuras es la carga arm´onica. Se trata de una ley sinusoidal de fuerza, definida por su amplitud, su frecuencia y su fase. Su importancia en el an´alisis din´amico es muy grande debido a que es un tipo de excitaci´on que se presenta frecuentemente en estructuras reales, adem´as puede ocasionar importantes amplificaciones de la vibraci´on si se produce el fen´omeno de resonancia entre la estructura y la excitaci´on. Esto sucede cuando la excitaci´on se produce a una de las frecuencias naturales de la estructura o cuando estas frecuencias naturales son m´ultiplos enteros de la frecuencia de excitaci´on, ya que teniendo en cuenta el desarrollo en serie de Fourier (DSF), cualquier excitaci´on de tipo peri´odico se puede descomponer como suma de acciones arm´onicas. Por tanto, el principal objetivo del an´alisis de la respuesta en frecuencia ser´a obtener la respuesta estacionaria a una excitaci´on arm´onica. Partiendo de la ecuaci´on de movimiento de un sistema de un grado de libertad en funci´on de sus propiedades f´ısicas (Ec. 2), al cambiar del dominio temporal al dominio de la frecuencia, pasamos a considerar la excitaci´on como (Ec. 7) y asumimos una soluci´on de la respuesta estacionaria de la forma (Ec. 8), donde FyUson variables complejas que contienen la informaci´on de amplitud y fase de estas Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 8 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez vibraciones arm´onicas. En el ap´endice A (Uso de ´algebra compleja para describir vibraciones arm´onicas) se detalla el uso de estas variables complejas para la descripci´on de vibraciones arm´onicas. f(t) = Feiwt (7) u(t) = Ueiwt (8) De modo que la ecuaci´on de movimiento en funci´on de las propiedades f´ısicas en el dominio de la frecuencia ser´a de la forma (Ec. 9), que tambi´en podemos expresar en funci´on de las propiedades modales del sistema (Ec. 10). (−mω2+icω +k)U eiwt =F eiwt (9) (−ω2+i2ξ0ω0ω+ω2 0)Ueiwt =1 mFeiwt (10) 2.1.6. Funci´on de Respuesta en Frecuencia (FRF) Se define la funci´on de respuesta en frecuencia (FRF) como el cociente entre la amplitud de respuesta estacionaria y la amplitud de excitaci´on, o funci´on compleja de respuesta en frecuencia (FCRF) si expresamos tanto la excitaci´on como la respuesta mediante n´umeros complejos. Com´unmente se designa mediante la notaci´on ¯ H(ω) y se define como (Ec. 11): FRF =¯ H(ω) = Amplitud compleja de la respuesta Amplitud (compleja)de la excitaci´on (11) Al tratarse de un n´umero complejo, expresa tanto la amplitud como la fase de la respuesta del sistema para una excitaci´on unidad, en funci´on de la frecuencia de excitaci´on (ω). En el caso de la estructura que se estudia en este trabajo, volviendo a las ecuaciones de movimiento en el dominio de la frecuencia (Ec. 9 y 10), se expresan a continuaci´on como el cociente entre la respuesta estacionaria (U) y la excitaci´on (F), para obtener la expresi´on de la FRF en funci´on de las propiedades f´ısicas (Ec. 12) y de las propiedades modales (Ec. 13): ¯ H(ω) = U F=1 −mω2+icω +k(12) ¯ H(ω) = U F=1/m −ω2+i2ξ0ω0ω+ω2 0 (13) Esta expresi´on ( ¯ H(ω)), expresa el cociente entre la respuesta del sistema expresada como desplazamientos y la excitaci´on expresada como fuerzas. Pero no son las ´unicas formas de representar la respuesta (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, ...) o la excitaci´on (fuerzas aplicadas directamente, por movimiento de la base, ...). De forma que pueden definirse numerosas FRF, las m´as importantes desde un punto de vista pr´actico se resumen en la Tabla 1. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 9 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Par´ametro de respuesta Tipo de excitaci´on FRF directa FRF inversa Desplazamiento Fuerza Receptancia: U F=¯ H(ω)Rigidez din´amica: F U=1 ¯ H(ω) Velocidad Fuerza Movilidad: V F=iω ·¯ H(ω)Impedancia mec´anica: F V=1 iω·¯ H(ω) Aceleraci´on Fuerza Acelerancia: A F=−ω2·¯ H(ω)Masa aparente: F A=1 −ω2·¯ H(ω) Tabla 1: Definiciones m´as habituales de Funciones de Respuesta en Frecuencia para fuerzas directamente aplicadas. 2.1.7. Modelado del sistema en espacio de estados Una vez hemos obtenido el modelo matem´atico de la estructura en funci´on de las propiedades modales, se buscar´a la representaci´on de este modelo en espacio de estados. Esto implicar´a establecer el modelo matem´atico como una caja negra en la que no interesar´a la naturaleza del sistema sino la relaci´on existente entre las acciones de control que se le aplican a las entradas y las salidas que se obtienen de este [19]. Estas t´ecnicas de control basadas en la representaci´on interna del sistema consisten en t´ecnicas algebraicas en el dominio temporal, donde las dimensiones de las matrices que componen el modelo del sistema nos proporcionan informaci´on sobre el n´umero de entradas y salidas. Antes de continuar es importante definir los siguientes conceptos sobre la representaci´on de sistemas mediante espacio de estados. Estado: se define como el conjunto m´as reducido de variables tal que su conocimiento en t=t0, junto con la entrada aplicada sobre el sistema, determina totalmente el comportamiento del mismo para ∀t≥t0. Variable de estado: son cada una de las variables que proporcionan el estado del sistema. Se definen como x, y son necesarias tantas variables como sea el orden del sistema. De esta forma, si se considera que el proceso es un sistema de orden n, el sistema tendr´a n variables de estado, que forman lo que se conoce como vector de estado x(t) para sistemas continuos o x(k) para sistemas discretos o muestreados (Ec. 14). x(t) =          x1(t) x2(t) . . . xn(t)          x(k) =          x1(k) x2(k) . . . xn(k)          (14) Las variables de estado son las variables en funci´on de las cuales se puede expresar la energ´ıa almacenada en el sistema. Esta energ´ıa se puede expresar de diversas formas, por lo que en general no se tiene un ´unico modo de definirlas, sino que habr´a distintas combinaciones posibles de variables de estados para definir un ´unico sistema. Bastar´a con que las variables escogidas sean capaces de almacenar la evoluci´on del estado y de la salida hasta ese instante. Adem´as estas variables de estado no tienen por qu´e tener significado f´ısico (es decir, no se corresponden con ninguna magnitud f´ısica medible), aunque tambi´en puede ocurrir que s´ı tengan significado f´ısico y que alguna de ellas coincida con la salida del sistema. Espacio de estados: a partir de las variables de estado se puede formar un espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas corresponden a las n variables de estado. De esta forma, un punto en el espacio de estado representa el valor del estado del sistema en ese instante. Ecuaci´on de estado y ecuaci´on de salida: son las dos ecuaciones matriciales necesarias para expresar la representaci´on interna del sistema. Para ello, en primer lugar, se supone que el comportamiento din´amico de un sistema se puede expresar como una ecuaci´on diferencial de orden n que establece la relaci´on entre la entrada fy la salida ydel sistema (Ec. 15). y(n)(t) + an−1y(n−1) +···+a1y(1)(t) + a0y(t) = b0f(t) + ···+bmf(m)(t) (15) Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 10 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Las t´ecnicas de la representaci´on en el espacio de estado se basan en la propiedad que cumplen los sistemas y procesos seg´un la cual siempre es posible utilizar un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden para representar un sistema de orden mayor. De esta forma, en vez de tener una ecuaci´on diferencial de n-´esimo orden, se van a tener necuaciones diferenciales de primer orden de la forma (Ec. 16): dxi(t) dt = ˙xi(t) = n X j=1 αijxj(t) + m X j=1 βijfj(t) (16) Se pueden expresar estas necuaciones diferenciales mediante una ´unica ecuaci´on matricial (Ec. 17), a la que se define como ecuaci´on de estado del sistema. Esta ecuaci´on fija cual es la evoluci´on del estado en funci´on del valor actual de dicho estado y de la aportaci´on de la entrada.            dx1(t) dt dx2(t) dt . . . dxi(t) dt            =         ˙x1(t) ˙x2(t) . . . ˙xn(t)          =     α11 α12 ··· α1n α21 α22 ··· α2n . . .. . ..... . . αn1αn2··· αnn     ·         x1(t) x2(t) . . . xn(t)          +     β11 β12 ··· β1m β21 β22 ··· β2m . . .. . ..... . . βn1βn2··· βnm     ·f(t) (17) Por otro lado, se tiene que las salidas del sistema van a depender de las variables de estado y de las propias entradas del sistema (Ec. 18). Se puede expresar esta ecuaci´on de forma matricial (Ec. 19) y es la que se define como ecuaci´on de salida. yi(t) = n X j=1 cjxj(t) + m X j=1 dijfj(t) (18) y(t) =      c11 c12 ··· c1n c21 c22 ··· c2n . . .. . ..... . . cp1cp2··· cpn     ·         x1(t) x2(t) . . . xn(t)          +     d11 d12 ··· d1m d21 d22 ··· d2m . . .. . ..... . . dp1dp2··· dpm     ·f(t) (19) Las ecuaciones anteriores pueden expresarse de una forma m´as compacta (Ec. 20 y 21). Ecuaci´on de estado →˙x(t) = Assx(t) + Bssf(t) (20) Ecuaci´on de salida →y(t) = Cssx(t) + Dssf(t) (21) Donde: •Ass:matriz de estados (n×n) •Bss:matriz de entradas (n×m) •Css:matriz de salidas desde los estados (p×n) •Dss:matriz de salidas desde las entradas (p×m) Con: •nss:n´umero de variables de estado •mss:n´umero de entradas •pss:n´umero de salidas A continuaci´on, a partir de estos conceptos, se busca representar el modelo matem´atico de la estructura (Ec. 6) en un sistema de espacio de estados. Para ello, en primer lugar se definen cuales ser´an las variables de estado, as´ı como el n´umero de entradas y salidas del sistema. Lo m´as habitual a la hora de representar un sistema mec´anico mediante un modelo de espacio de estados es utilizar como variables Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 11 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez de estado una asociada a los desplazamientos (relacionada con la energ´ıa potencial del sistema) y otra a las velocidades (relacionada con la energ´ıa cin´etica). De forma que se representa el sistema de un grado de libertad mediante dos variables de estado, desplazamiento y velocidad del punto de la estructura modelizado (Ec. 22). Como entradas al sistema se tendr´a la fuerza aplicada sobre la estructura, y como salidas se podr´a tener el desplazamiento, la velocidad o la aceleraci´on del punto considerado, seg´un interese. Con esta informaci´on se conoce el tama˜no de las matrices Ass (2 ×2), Bss (2 ×1), Css (3 ×2) y Dss (3 ×1) del sistema en espacio de estados (en caso de necesitar una ´unica salida del sistema en lugar de las 3, el n´umero de filas de las matrices Css yDss se reducir´ıan en consecuencia). x1(t) = u(t) x2(t) = ˙u(t)(22) Se buscan los coeficientes de estas matrices para que satisfagan la ecuaci´on del movimiento de la estructura seg´un sus propiedades modales (Ec. 6). Sustituyendo se obtienen las ecuaciones en forma matricial de estado (Ec. 23) y de salida (Ec. 24) del modelo en espacio de estados. Donde las matrices Ass,Bss,Css yDss quedan definidas en (Ec. 25). du dt ˙u dt =˙u ¨u=0 1 −ω2 0−2ξ0ω0·u ˙u+0 1 m·f(t) (23)    y(t) ˙y(t) ¨y(t)    =  1 0 0 1 −ω2 0−2ξ0ω0  ·u ˙u+  0 0 1 m  ·f(t) (24) Ass =0 1 −ω2 0−2ξ0ω0 Bss =0 1 m Css =  1 0 0 1 −ω2 0−2ξ0ω0   Dss =  0 0 1 m   (25) 2.2. Cancelaci´on activa de vibraciones Una vez que se ha sido capaz de identificar la estructura y de obtener y calibrar modelos que representan de forma fiable su comportamiento, el siguiente paso ser´a ofrecer soluciones para todos aquellos casos en los que no se cumplan los estados l´ımites de servicio en vibraciones o simplemente para alargar la vida ´util de la estructura reduciendo su nivel tensional. Debe tenerse en cuenta que la vibraci´on esta asociada a los ciclos de fatiga y disminuir estos es alargar la vida de las estructuras reduciendo sus costes de mantenimiento o reposici´on. En el cap´ıtulo introductorio se han comentado diversas tecnolog´ıas habituales en la cancelaci´on de vibraciones estructurales. Este trabajo se centra en tecnolog´ıas de cancelaci´on activa, concretamente se implementar´a un sistema AMD (“Active Mass Damper” o “Disipador de Masa Activa”), consistente en utilizar como actuador un generador electrodin´amico de fuerza inercial, que funciona acelerando una masa de forma directamente proporcional al valor instant´aneo de la corriente que se le aplica, dando como resultado una fuerza inercial de la forma que se requiera. Este actuador funcionar´a como disipador de vibraciones, atenuando la respuesta de la estructura ante excitaciones externas en el rango de frecuencias para el que se haya sintonizado. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 12 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Este sistema de control activo, si bien es muy eficiente, tiene el inconveniente de requerir aportaci´on de energ´ıa para acelerar la masa inercial que contrarresta el movimiento de la estructura. Adem´as, requiere de un sistema de control en tiempo real que tambi´en es necesario dise˜nar cuidadosamente para, por un lado conseguir un dispositivo de banda ancha y robusto, y por otro, evitar que el sistema se desestabilice. Su utilizaci´on est´a m´as destinada a ambientes controlados (lugares con equipo de alta sensibilidad que requieren un control de la vibraci´on externa, como algunos quir´ofanos o talleres de electr´onica especializados) o a aplicaciones donde se requiera un gran eficacia con mucha menor masa inercial que en el caso de amortiguadores pasivos como los TMD [14]. Este trabajo se centrar´a ´unicamente en atenuar la vibraci´on producida por el primer modo de la estructura, de forma que el control se optimizar´a para minimizar la respuesta de la estructura en ese rango de frecuencias. En la Figura 5 se muestra el esquema de funcionamiento del sistema de control activo empleado. El objetivo ser´a atenuar el movimiento de la estructura (en el rango de frecuencias establecido) ante perturbaciones externas, para ello mediante aceler´ometros se medir´a el nivel de respuesta de la estructura y, utilizando esta se˜nal de realimentaci´on, el controlador enviar´a al actuador una corriente proporcional a la fuerza inercial necesaria para contrarrestar el movimiento de la estructura. Controlador Señal de perturbación Señal de control Estructura Señal de realimentación Actuador Sensor Figura 5: Diagrama de funcionamiento de un sistema de control activo. 2.3. Estructuras de control mediante realimentaci´on de estados Como se ha visto, una parte importante del sistema de cancelaci´on activa de vibraciones es el controlador, que recibir´a como entrada una se˜nal de realimentaci´on con la aceleraci´on de la estructura y emitir´a como salida una se˜nal de control hacia el actuador. En este apartado se comentar´a de forma detallada la estructura de control que se llevar´a a cabo. En primer lugar, se parte de la representaci´on del sistema en espacio de estados que ya se ha definido anteriormente. Se puede expresar esta representaci´on mediante un diagrama de bloques (Figura 6), donde las entradas al sistema ser´an las excitaciones en unidades de fuerza a las que se somete la estructura y la salida ser´a la aceleraci´on que la estructura experimenta como respuesta a las excitaciones externas (como en este caso de estudio solo se necesita la aceleraci´on como salida, las matrices Css yDss tendr´an ´unicamente una fila, la correspondiente a la aceleraci´on, es decir, la tercera fila de las matrices Css yDss definidas en (Ec. 25)). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 13 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Bss 1/s Dss Ass Css +++ + f(t) x(t) y(t) Figura 6: Sistema en espacio de estados representado como diagrama de bloques. 2.3.1. Dise˜no de la ley de control Se utilizar´a un sistema de control por realimentaci´on del estado, cuyo objetivo ser´a regular la salida del sistema tal que sea igual a cero a´un en presencia de perturbaciones no controladas. El primer paso en el dise˜no de estos controladores ser´a definir la ley de control. Para ello, en primer lugar se supondr´a que se puede acceder en todo momento a los valores de las variables de estado del sistema, aunque por lo general, esto no va a ser posible. En el caso de estudio este supuesto implicar´ıa conocer en todo momento los desplazamientos y las velocidades (variables de estado escogidas) del punto de medida de la estructura. De forma que el diagrama de bloques del sistema de control quedar´ıa representado en la Figura 7, que ayudar´a a comprender la forma de proceder para dise˜nar la ley de control. Bss 1/s Dss Ass Css +++ + f(t) x(t) y(t) Kr v(t) r(t) + + Figura 7: Diagrama de bloques del sistema de control por realimentaci´on del estado, asumiendo que se puede acceder a los valores de las variables de estado, x(t). La realimentaci´on del bucle de control del sistema, r(t), va a ser una combinaci´on lineal de todas las variables de estado de la forma (Ec. 26): r(t) = Krx(t) (26) Donde Kr∈ <m×nes una matriz constante que se denominar´a ganancia de realimentaci´on. Como en el sistema se tiene una entrada (mss) y dos variables de estado (nss) se tendr´a una matriz de la forma (Ec. 27), de tal manera que el proceso de dise˜no del controlador consistir´a en la elecci´on de los par´ametros Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 14 2 MARCO TE´ ORICO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez de esta matriz para que el sistema en lazo cerrado cumpla con las prestaciones deseadas. Kr=Kr1Kr2(27) Existen numerosos criterios para seleccionar los valores de la ganancia de realimentaci´on, en este trabajo se emplear´an dos m´etodos diferentes, en primer lugar se har´a mediante la localizaci´on de los polos en lazo cerrado [21] y el segundo m´etodo consistir´a en el empleo de algoritmos de optimizaci´on para obtener los valores de la ganancia de realimentaci´on que optimicen el comportamiento del sistema en lazo cerrado en el rango de frecuencias para el que se est´a dise˜nando el control. a) M´etodo de la localizaci´on de los polos en lazo cerrado Para calcular los polos del sistema en lazo cerrado se comienza obteniendo la ecuaci´on de estado del sistema en lazo cerrado (Ec. 28), cuya ecuaci´on caracter´ıstica est´a definida en (Ec. 29). De modo que se elegir´an los valores de Kr1yKr2que hagan que las ra´ıces de esta ecuaci´on caracter´ıstica se encuentren en una posici´on ´optima del plano complejo. Es decir, en funci´on de la posici´on deseada de los polos del sistema en lazo cerrado (s1,s2). ˙x(t)=[Ass +BssKr]x(t) + Bssf(t) (28) det(sIn−Ass +BssKr) = 0 (29) Una vez se han escogido los polos deseados, se tiene el polinomio caracter´ıstico en lazo cerrado (Ec. 30). El objetivo ser´a escoger los valores de la ganancia Krque satisfagan (Ec. 31). αc(s)=(s−s1)(s−s2) = s2+α1s+α0(30) det(sIn−Ass +BssKr) = s2+α1s+α0(31) En el caso de estudio, conociendo las matrices Ass yBss (Ec. 25), se conocer´a la representaci´on del sistema en lazo cerrado (Ec. 32) y su ecuaci´on caracter´ıstica (Ec. 33) y se podr´an expresar los polos del sistema en lazo cerrado en funci´on de los valores de Kr1yKr2(Ec. 34). [Ass +BssKr] = 0 1 a1a2=0 1 −ω2 0+1 mKr1−2ξ0ω0+1 mKr2(32) det(sIn−Ass +BssKr) = s2−a2s−a1=s2+ (2ξ0ω0−1 mKr2)s+ω2 0−1 mKr1(33) s2−a2s−a1= 0 →s1,2=a2±pa2 2+ 4a1 2(34) Para que el sistema sea estable ser´a necesario que la parte real de los polos en lazo cerrado (Ec. 35) sea negativa, esto proporciona el valor l´ımite de Kr2a partir del cual el sistema se har´a inestable (Ec. 36). Adem´as, el sistema se amortiguar´a de forma m´as r´apida cuanto mayor sea esta parte real en valor absoluto, es decir cuanto mayor sea Kr2en valor absoluto (siempre que Kr2< Kr2L´ımite). Tambi´en Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 15 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez (a) Primer modo de flexi´on. (b) Segundo modo de flexi´on. (c) Tercer modo de flexi´on. Figura 13: Modos propios te´oricos de flexi´on de la pasarela extra´ıdos de su modelo en SAP2000. El modelo empleado constar´a de un solo grado de libertad y se centrar´a en representar el comportamiento del punto medio de la estructura alrededor de su primera frecuencia natural. Se ha escogido este primer modo por dos razones principales: en primer lugar, se trata del modo que presenta una mayor amplitud de respuesta, por lo que se tratar´a de aplicar el sistema de cancelaci´on activa de vibraciones en la situaci´on m´as desfavorable; adem´as, esta primera frecuencia natural se va a encontrar en torno a los 2 Hz, que cae dentro del rango de frecuencias excitables al andar (entre 1.5 y 2.5 Hz) [13]. Del mismo modo, se escoge el punto medio de la estructura como grado de libertad por ser el m´as desfavorable, adem´as, al coincidir con un nodo del modo 2, la hip´otesis del an´alisis modal de suponer que la respuesta del sistema en torno a la frecuencia natural de un modo se debe ´unicamente a la influencia de ese modo tendr´a un menor error asociado, ya que en ese punto medio el modo 2 no se manifestar´a, haciendo que el modo m´as pr´oximo al que se est´a estudiando est´e lo suficientemente alejado como para que se pueda considerar la hip´otesis como correcta. Por otro lado, al utilizar un modelo de un grado de libertad, se tendr´a que asumir la hip´otesis de que la pasarela se comportar´a como una viga, es decir, no se podr´a cuantificar la torsi´on de la misma al ´unicamente medir la aceleraci´on de un punto. De esta manera, y para evitar la manifestaci´on de estos modos de torsi´on, se aplicar´an las cargas sobre la estructuras sobre su l´ınea media. 3.2.1. Caracterizaci´on experimental Una vez se ha definido la estructura y la instrumentaci´on necesaria para realizar su caracterizaci´on, lo siguiente ser´a precisar la disposici´on de dicha instrumentaci´on en la plataforma para el proceso experimental. En la Figura 14 se ilustra el set-up experimental utilizado para la identificaci´on de la plataforma. Se ha utilizado el excitador de masa inercial para inducir fuerzas en la estructura. Para medir estas fuerzas y poder establecer su relaci´on con la respuesta de la plataforma, se ha colocado un aceler´ometro en la masa m´ovil del excitador, de forma que, como su masa m´ovil es conocida, se puede conocer la fuerza que se est´a aplicando en todo momento en la plataforma (F uerza =Masa ×Aceleraci´on). Del mismo modo, se coloca otro aceler´ometro en la estructura para medir su respuesta. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 22 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Acelerómetro excitador Acelerómetro estructura Figura 14: Set-up experimental utilizado para la identificaci´on de la pasarela. Se ha controlado el excitador aliment´andolo con una se˜nal senoidal con amplitud de ±2 voltios comandada a trav´es del software implementado en la myRio (programado en NI LabView 2019), para inducir fuerzas inerciales en la estructura entre una frecuencia comprendida entre 0 y 30 Hz. Por otro lado, la configuraci´on del software de adquisici´on de datos consiste en indicar qu´e canales se van a emplear para leer los aceler´ometros, de qu´e naturaleza son e introducir el valor de la sensibilidad del sensor (dado por el fabricante) que depender´a del aceler´ometro usado. La adquisici´on de datos se realizar´a a una frecuencia de muestreo de fs= 1000 Hz, esto es, 1000 muestras por segundo (S/s, Samples per second). Cada ciclo de subida de 0 a 30 Hz del excitador constar´a de 60000 muestras y cada ciclo de bajada de 30 a 0 Hz de otras 60000 muestras, es decir que cada ciclo completo (subida y bajada) constar´a de 120000 muestras, que requerir´a un tiempo de 120 segundos. Repetiremos este proceso 5 veces, de forma que el tiempo total de adquisici´on ser´a de 10 minutos. Es importante definir el tama˜no de las ventanas utilizadas para el c´alculo de las FRFs, pues escoger un tama˜no que coincida con los ciclos del excitador puede generar diversos problemas. Tambi´en influir´a en la resoluci´on en frecuencia obtenida. Se ha optado por utilizar unas ventanas de 150000 puntos, que coincidir´an con 1.25 ciclos completos (subida y bajada) del excitador (N= 150000) (Ta= 150 s), realizando 4 promedios. La resoluci´on en el eje de la frecuencia de las FRFs estimadas quedar´a determinada por el tiempo de adquisici´on Taseg´un la ecuaci´on 42. df =1 Ta =fs N= 0.00667 Hz (42) De esta manera, con las caracter´ısticas se˜naladas, se lleva a cabo el registro de las entradas y salidas del sistema para obtener sus propiedades. 3.2.2. An´alisis modal experimental El objetivo de este an´alisis modal ser´a la obtenci´on de los par´ametros modales del sistema a partir de los registros temporales de las se˜nales de excitaci´on y de respuesta. En este caso ´unicamente ser´a Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 23 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez necesario calcular las frecuencias propias y los coeficientes de amortiguamiento, pues al trabajar con un sistema de un grado de libertad no habr´a modos propios, de igual forma se calcular´a tambi´en la masa generalizada del sistema. a) Estimaci´on FRFs Como paso previo al c´alculo de los par´ametros modales ser´a necesario post-procesar los registros temporales con el fin de estimar las funciones de respuesta en frecuencia (FRF) entre la entrada (en unidades de fuerza) y la salida (en unidades de aceleraci´on) del sistema. Se realiza esta estimaci´on utilizando la funci´on tfestimate de Matlab, utilizando los siguientes par´ametros: –x: Se utiliza como entrada del sistema la se˜nal temporal de fuerza aplicada sobre la plataforma. –y: Se utiliza como se˜nal de salida del sistema la aceleraci´on que experimenta la plataforma como respuesta ante la excitaci´on. –window: Las ventanas son funciones matem´aticas usadas con frecuencia en el an´alisis y el procesamiento de se˜nales para evitar las discontinuidades al principio y al final de los bloques analizados cuando el an´alisis se centra en una se˜nal de longitud voluntariamente limitada. Se emplea una ventana Blackman (Figura 15) con un n´umero de puntos igual al valor de N= 150000. –noverlap: Representa la superposici´on entre segmentos adyacentes de datos. En el caso de estudio se quiere tratar cada segmentos de datos como un proceso independiente por lo que ser´a igual a 0. –nfft: Se corresponde con el n´umero total de puntos de cada promedio, que ya se ha definido como N= 150000. –f: Se corresponde con la frecuencia de muestreo, que se fija en fs= 1000. –Estimator: En un entorno ideal, en el que las se˜nales de entrada y salida estuvieran exentas de perturbaciones de ning´un tipo, ser´ıa posible calcular la FRF a partir de las transformaciones de las se˜nales al dominio de la frecuencia. Sin embargo, existir´a ruido de diversa naturaleza, que har´a que las se˜nales dejen de cumplir la condici´on de Dirichlet y no puedan ser transformadas de esta forma. De forma que es necesario emplear estimadores basados en conceptos estad´ısticos. Estos estimadores ser´an: ·H1: Si el ruido proviene ´unicamente de la se˜nal de entrada. ·H2: Si el ruido proviene ´unicamente de la se˜nal de salida. En este caso, como ambas se˜nales tendr´an un cierto nivel de ruido, se calcular´an las FRF con cada estimador y se tomar´a como FRF final la media geom´etrica de ambas (Ec. 43). FRF =¯ H(ω) = q¯ HH1(ω)·¯ HH2(ω) (43) Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 24 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Figura 15: Ventana Blackman para el procesado de se˜nales. Se ejecuta esta funci´on y se representa (en escala logar´ıtmica) en la Figura 16(a). Se puede observar como los picos de esta FRF est´an suficientemente separados, especialmente el primero, de mayor relevancia, que se encuentra a unos 10 Hz del siguiente, como para considerar la hip´otesis comentada de que el comportamiento de la estructura en un rango de frecuencias pr´oximo a su primera frecuencia natural estar´a determinado ´unicamente por este primer modo de la estructura. De tal forma que el sistema de un grado de libertad en que va a consistir el modelo se corresponder´a con el primer modo de la plataforma, que aislamos y representamos en la Figura 16(b) y ser´an las propiedades modales de este modo las que interese obtener en el apartado siguiente. 5 10 15 20 25 Frecuencia (Hz) 10-4 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) Acelerancia (1-25 Hz) (a) Acelerancia de la estructura en un rango de frecuencia de 0 a 30 Hz. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) Acelerancia (1.5-4 Hz) (b) Acelerancia de la estructura en un rango de frecuencia de 1 a 4 Hz. Figura 16: Acelerancia de la estructura. b) Obtenci´on de las propiedades modales En la literatura se describen diversos m´etodos para la obtenci´on de los par´ametros modales a partir de las funciones de respuesta en frecuencia experimentales. Entre ellos los m´as comunes son el m´etodo Peak-Amplitude (que consiste en analizar la amplitud del pico) y el m´etodo Circle-Fit (que analiza el gr´afico de Nyquist de las propiedades de la FRF) [7]. Tras probar ambos m´etodos, y observar sus errores asociados, especialmente en el c´alculo de los Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 25 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez coeficientes de amortiguamiento y de las masas generalizadas, se ha optado por emplear un algoritmo de optimizaci´on para el ajuste de curvas (Curve-Fitting). De forma que se minimiza, en el rango de frecuencias que se est´a estudiando, el error asociado entre la FRF experimental y la FRF anal´ıtica asociada al sistema con los par´ametros modales que se tratan de optimizar en cada iteraci´on (Ec. 13). En primer lugar, se calcula la frecuencia natural del sistema de un grado de libertad obteniendo el m´aximo de la FRF experimental, que representa la frecuencia a la que la respuesta del sistema ser´a mayor. En base a la FRF experimental, obtenemos una frecuencia natural de ω0= 2.147 Hz, que representamos en la Figura 17. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) Figura 17: Frecuencia natural del sistema de un grado de libertad. A continuaci´on, se utilizar´a como ya se ha comentado un algoritmo de optimizaci´on para obtener el coeficiente de amortiguamiento del primer modo de la plataforma, as´ı como su masa generalizada, de forma que el error entre la FRF asociada a estas propiedades modales con respecto a la FRF experimental sea lo menor posible. Se ha optado por utilizar un algoritmo gen´etico para realizar esta tarea, ya que aunque su tiempo de ejecuci´on puede ser elevado si se utiliza un n´umero grande de generaciones y de individuos por generaci´on, su convergencia y los resultados obtenidos son satisfactorios. En el ap´endice B (Optimizaci´on num´erica. Algoritmos gen´eticos) se muestra de forma detallada el funcionamiento de estos algoritmos. Se define la funci´on objetivo de la siguiente manera: las entradas a la funci´on ser´an el coeficiente de amortiguamiento y la masa generalizada de cada iteraci´on, con esos par´ametros, junto con la frecuencia natural obtenida anteriormente, se calcular´a la representaci´on en espacio de estados del sistema a partir de las matrices que se muestran en (Ec. 44). Una vez se tiene este modelo en espacio de estados se calcula su funci´on de respuesta en frecuencia utilizando el comando freqresp de Matlab, donde los argumentos ser´an el modelo en espacio de estados definido y el vector de frecuencias en el que se quiere calcular la FRF. De esta forma se obtiene la FRF simulada del modelo de cada individuo del algoritmo gen´etico; la salida de la funci´on objetivo del algoritmo ser´a el error cuadr´atico medio entre la FRF simulada y la FRF experimental (Ec. 45), donde nser´a la longitud del vector de frecuencias en los que vamos a tener Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 26 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez las funciones de respuesta en frecuencia. Ass =0 1 −ω2 0−2ξ0ω0 Bss =0 1 m Css =−ω2 0−2ξ0ω0 Dss =1 m (44) Error Cuadr´atico Medio =1 n· n X i=1 (ˆ Yi−Yi)2(45) Se ejecuta el algoritmo gen´etico con esta funci´on objetivo, definiendo el n´umero de variables a optimizar en 2 (coeficiente de amortiguamiento y masa generalizada), el n´umero m´aximo de generaciones en 50 y el n´umero de individuos por generaci´on en 100, y establecemos los l´ımites superiores e inferiores para ambas variables (1000 y 300 para la masa generalizada y 1 y 0.001 para el coeficiente de amortiguamiento). Se obtienen los valores de las propiedades modales que se indica en (Ec. 46). Frecuencia natural →ω0= 2.147 Hz Coeficiente de amortiguamiento →ξ0= 0.00406 = 0.406 % Masa generalizada →mgn = 520.879 kg (46) 3.2.3. Representaci´on del sistema en espacio de estados A continuaci´on, y como la ´ultima etapa del modelado de la plataforma como un sistema de un grado de libertad, se obtiene la representaci´on del sistema en espacio de estados a partir de las propiedades modales obtenidas. Las matrices de este espacio de estados ser´an las que ya se han indicado en (Ec. 44). Una vez se tiene el modelo representado en espacio de estados, se calcula su funci´on de respuesta en frecuencia entre 1 y 4 Hz (utilizando el comando freqresp) y la comparamos con la FRF obtenida experimentalmente, mostramos esta comparaci´on en la Figura 18. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 27 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) FRF Simulada FRF Experimental Figura 18: Comparaci´on entre las funciones de respuesta en frecuencia simuladas y experimentales del sistema de un grado de libertad. a) Validaci´on en el dominio temporal A continuaci´on se lleva a cabo la validaci´on de este modelo en el dominio temporal midiendo la respuesta de la plataforma ante una excitaci´on en la frecuencia entre 1 y 4 Hz. En la Figura 19 se muestra la comparaci´on de la respuesta medida de la plataforma ante esta excitaci´on y la respuesta simulada que se obtiene al aplicar al modelo esta misma entrada (utilizando el comando lsim de Matlab). Se observa como el ajuste entre ambas se˜nales es suficientemente bueno. 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 Tiempo (s) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Aceleración (m/s2) Salida real Salida simulada Figura 19: Comparaci´on temporal de la respuesta medida y simulada del sistema ante una misma entrada. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 28 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 3.3. Modelado del actuador En este apartado el objetivo ser´a la obtenci´on de un modelo que describa el comportamiento y las din´amicas del excitador de masa inercial que se utilizar´a para realimentar fuerza al sistema y de esta forma poder cancelar de forma activa las vibraciones de la plataforma derivadas de su primer modo. Como ya se ha comentado en la secci´on de instrumentaci´on, se emplear´a como actuador del control activo el mismo excitador que se us´o en la identificaci´on de la estructura, el modelo en concreto que se va a utilizar ser´a un APS 400 ELECTRO-SEIS. Se trata de un actuador inercial, que funciona generando fuerzas inerciales en la estrucutura sobre la que se coloca sin necesidad de una referencia fija. El excitador consiste en una masa de reacci´on m´ovil (31.2 kg) unida a una bobina de corriente que se mueve en un campo magn´etico creado por un conjunto de imanes permanentes. La masa m´ovil est´a conectada al bastidor mediante un sistema de suspensi´on. Este excitador se alimenta por una se˜nal el´ectrica que var´ıa en voltaje entre ±2 V, adem´as cuenta con un amplificador que permite cambiar la ganancia que le llega al sistema mediante un control manual. En la Figura 20(a) se muestra una imagen del actuador detallando sus diferentes partes, as´ı como de su amplificador 20(b). Acelerómetro Masa móvil Masa fija (a) Actuador de masa inercial APS 400 ELECTRO-SEIS Control manual de la ganancia Interruptor encendido/apagado (b) Amplificador del actuador y control manual de su ganancia Figura 20: Componentes del actuador de masa inercial. La din´amica de un actuador de masa inercial se puede describir [4] seg´un la funci´on de transferencia de tercer orden que se indica en la ecuaci´on 47. Donde KAser´a la constante del transductor (en N/A), ωAser´a la frecuencia natural asociada al sistema de masa m´ovil suspendida, ξArepresenta el coeficiente de amortiguamiento y el polo en εrefleja la propiedad de estos instrumentos como filtro de paso bajo, absorbiendo las frecuencias m´as altas de la frecuencia de corte fA(en Hz), tal que ε= 2π·fA. GA(s) = KAs2 s2+ 2ξAωAs+ω2 A·1 s+ε(47) De forma que el proceso de identificaci´on de este instrumento consistir´a en la obtenci´on de los coeficientes de esta funci´on de transferencia entre la fuerza de inercia aplicada a la estructura y la tensi´on de entrada. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 29 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 3.3.1. Obtenci´on experimental de las FRFs Para el proceso experimental de identificaci´on del excitador se utilizar´a un aceler´ometro piezoel´ectrico, que se coloca en la masa m´ovil como se muestra en la Figura 20(a), y se monitoriza tanto esta aceleraci´on como la se˜nal de voltaje que enviamos desde la MyRio hasta el actuador. Esta se˜nal consistir´a en un patr´on chirp de amplitud ±2 V entre 0 y 30 Hz, de manera que cada ciclo de subida y de bajada conste de 60000 muestras, enviadas con una frecuencia de 1 kHz, por lo que cada ciclo completo requerir´a un tiempo de 120 segundos. Mediante la tarjeta de adquisici´on de datos se tomar´an 1000 muestras por segundo (fs= 1000 Hz). Se calcular´an las FRFs, igual que en la identificaci´on de la pasarela, utilizando el comando tfestimate de Matlab, calculando cada promedio con 90000 puntos (N= 900000) (Ta= 90 s), de forma que no coincida con los ciclos de subida o bajada del excitador. La estimaci´on de las FRFs se realizar´a promediando 3 ciclos completos (subida y bajada) del excitador, que equivaldr´an a 4 promedios de 90000 datos, el tiempo total de adquisici´on ser´a de 6 minutos. Se emplear´a una ventana Blackman para el procesado de las se˜nales con N= 900000. As´ı mismo como la ganancia de la se˜nal que alimenta al excitador se puede controlar de forma manual, se identificar´a al actuador para distintas posiciones de esta ganancia, de forma que se podr´a usar en el control activo la que m´as interese. Se utilizar´an tres posiciones diferentes, que se sit´uan entre la posici´on de ganancia m´ınima donde la respuesta del excitador con respecto al voltaje es nula hasta la posici´on de ganancia m´axima donde la masa m´ovil llega al final de carrera. De forma que las tres posiciones elegidas son funcionales y el sistema funciona sin riesgo de da˜nar al instrumento o a la estructura. Por tanto, se procede como se ha comentado, obteniendo las FRFs experimentales que se muestran en la Figura 21 para las tres posiciones escogidas. 5 10 15 20 25 30 Frecuencia (Hz) 100 101 102 103 Amplitud (N/V) Ganancia mínima Ganancia intermedia Ganancia máxima Figura 21: Funciones de respuesta en frecuencia experimentales del excitador para distintas posiciones de la ganancia establecida manualmente. 3.3.2. C´alculo de los coeficientes de la funci´on de transferencia Para obtener las funciones de transferencia definidas en la ecuaci´on 47 para las tres posiciones de la ganancia se procede, igual que en el caso de la estructura, utilizando un algoritmo gen´etico con el objetivo de hacer una optimizaci´on de tipo curve fitting entre los datos experimentales y los estimados. En este caso se tienen cuatro par´ametros a optimizar, la constante del transductor (KA), el coeficiente de amortiguamiento (ξA), la frecuencia natural (ωA) y la frecuencia de corte en rad/s (ε), la funci´on objetivo del algoritmo consistir´a en calcular la funci´on de transferencia (47) con los par´ametros Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 30 3 MODELADO C´esar Pel´aez Rodr´ıguez de cada iteraci´on y comparar su FRF (obtenida mediante el comando freqresp de Matlab) con la FRF experimental que se ha obtenido anteriormente para cada posici´on de la ganancia, de tal manera que esta funci´on objetivo devolver´a el error cuadr´atico medio existente entre las dos funciones de respuesta en frecuencia, siendo este valor el que buscaremos minimizar. Los par´ametros que se utilizar´an en los algoritmos gen´eticos de cada posici´on son: N´umero de generaciones m´aximo: 100 N´umero de individuos por generaci´on: 500 L´ımites superiores de los par´ametros a optimizar (KA,ξA,ωA,ε): 50000, 1, 20, 200 L´ımites inferiores de los par´ametros a optimizar (KA,ξA,ωA,ε): 0, 0, 10, 50 Ejecutando los algoritmos se obtienen los siguientes valores para los par´ametros optimizados en las distintas posiciones de la ganancia (m´ınima, intermedia, m´axima)(Ec. 48), con los que se calculan las tres funciones de transferencia para las tres posiciones de la ganancia que relacionan el voltaje de entrada con la fuerza inercial de salida (Ec. 49). KA= (3159.22,7196.64,9348.52) ξA= (0.24,0.26,0.26) ωA= (14.33,13.59,13.69) ε= (85.64,76.61,78.23) (48) GAGmin (s) = 3159.22s2 s3+ 92.39 ·s2+ 783.6·s+ 17580 GAGint (s) = 7195.64s2 s3+ 83.81 ·s2+ 736.3·s+ 14150 GAGmax (s) = 9348.52s2 s3+ 85.44 ·s2+ 751.8·s+ 14660 (49) En la Figura 22 se muestra la comparaci´on de las funciones de respuesta en frecuencia obtenidas a partir de estas funciones de transferencia (comando freqresp de Matlab) con las correspondientes funciones de respuesta en frecuencia experimentales para cada posici´on de la ganancia. Se puede observar como el error cometido al modelizar el excitador para las distintas posiciones identificadas es m´ınimo. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 31 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) Kr2=-100 FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado (a) Kr2=−100. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) Kr2=-1000 FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado (b) Kr2=−1000. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) Kr2=-104 FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado (c) Kr2=−104. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 Amplitud (m/s2 N) Kr2=-106 FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado (d) Kr2=−106. Figura 28: Comparaci´on de las funciones de respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto con respecto a los sistemas en lazo cerrado para distintos valores de la ganancia de realimentaci´on. (a) Kr2=−100. Los polos se sit´uan en -0.15 ±13.49i. (b) Kr2=−1000. Los polos se sit´uan en - 1.02 ±13.45i. (c) Kr2=−104. Los polos se sit´uan en -9.65 ±9.42i. (d) Kr2=−106. Los polos se sit´uan en - 1919.85 y -0.095 Figura 29: Mapas de polos y ceros de los sistemas en lazo cerrados para los distintos valores de la ganancia de realimentaci´on. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 38 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Es evidente que el sistema realimentado de cancelaci´on activa de vibraciones funcionar´a mejor cuanto mayor sea el valor de la ganancia, pues mayor ser´a el amortiguamiento del sistema, llegando a un punto en el que se conseguir´a que la aceleraci´on experimentada por la plataforma sea nula. Esto se traduce en que el sistema ser´a m´as eficiente cuanto mayor sea la fuerza inducida en la realimentaci´on. En la Figura 30 se muestra la comparaci´on de esta fuerza de realimentaci´on con la perturbaci´on que experimenta la estructura en newtons y cuya respuesta se quiere minimizar. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tiempo (s) -150 -100 -50 0 50 100 150 Fuerza (N) Kr2=-100 Entrada del sistema (Newtons) Realimentación (Newtons) (a) Kr2=−100. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tiempo (s) -150 -100 -50 0 50 100 150 Fuerza (N) Kr2=-1000 Entrada del sistema (Newtons) Realimentación (Newtons) (b) Kr2=−1000. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tiempo (s) -150 -100 -50 0 50 100 150 Fuerza (N) Kr2=-104 Entrada del sistema (Newtons) Realimentación (Newtons) (c) Kr2=−104. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tiempo (s) -150 -100 -50 0 50 100 150 Fuerza (N) Kr2=-106 Entrada del sistema (Newtons) Realimentación (Newtons) (d) Kr2=−106. Figura 30: Representa la fuerza que act´ua como perturbaci´on del sistema con respecto a la fuerza aplicada como realimentaci´on. El sistema funcionar´a de forma ideal (con aceleraci´on de respuesta nula) cuando se consiga aplicar a la estructura la misma fuerza realimentada que la fuerza que se aplica sobre ella, pero de signo opuesto (Figura 31). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 39 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 Tiempo (s) -150 -100 -50 0 50 100 150 Fuerza (N) Kr2=-106 Entrada del sistema Realimentación Figura 31: Representaci´on en el dominio temporal de la realimentaci´on del sistema en lazo cerrado con una ganancia Kr2=−106frente a la entrada del sistema. Para conseguir que el sistema funcione manteniendo la aceleraci´on de respuesta nula es necesario que el sistema sea suficientemente r´apido, es decir, que el tiempo entre la entrada al sistema y la realimentaci´on de signo opuesto sea lo menor posible. Se puede estudiar este tiempo para los distintos valores de la ganancia; para ello, se calcula el tiempo de subida (rise time) de los sistemas en lazo cerrado. Se define este tiempo de subida como el tiempo que transcurre desde que empieza a evolucionar la salida del sistema (en unidades de aceleraci´on) hasta que alcanza por primera vez su valor de r´egimen estacionario (aceleraci´on nula), y se calcula mediante el comando stepinfo de Matlab, definiendo los l´ımites del tiempo de subida en 0 y 1 (Figura 32). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 40 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez (a) Kr2=−100. (b) Kr2=−1000. (c) Kr2=−104. (d) Kr2=−106. Figura 32: Respuesta ante una entrada de tipo escal´on de los sistemas en lazo cerrado para los distintos valores de Kr2. Se observa como los tres primeros sistemas son subamortiguados mientras que el ´ultimo es sobreamortiguado. A partir de estas gr´aficas se calcula el tiempo de subida de cada sistema. En la Tabla 2 se muestran los valores en segundo de los tiempos de subida obtenidos para los distintos valores de la ganancia de realimentaci´on. Kr2Tiempo de subida (s) −100 0.1156 −1000 0.1113 −1040.0821 −1060.0052 Tabla 2: Tiempo de subida de los sistemas en lazo cerrado para distintos valores de la ganancia de realimentaci´on. Para poder entender mejor c´omo afectar´an estos tiempos al comportamiento del sistema, se representa la fuerza de realimentaci´on de los sistemas en lazo cerrado ante una se˜nal escal´on de 1 N de amplitud (Figura 33) cuando el sistema parte del reposo. Se observa c´omo el tiempo de subida se corresponder´a con el tiempo de retardo desde que se produce un cambio en la perturbaci´on del sistema (entrada) hasta que la realimentaci´on alcanza su valor m´aximo. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 41 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 0123456 Tiempo (s) -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 Fuerza (N) Kr2=-100 Entrada del sistema Realimentación X 0.116 Y -0.01399 (a) Tiempo de subida = 0.1156 segundos. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Tiempo (s) -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Fuerza (N) Kr2=-1000 Entrada del sistema Realimentación X 0.111 Y -0.1272 (b) Tiempo de subida = 0.1113 segundos. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tiempo (s) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fuerza (N) Kr2=-104 Entrada del sistema Realimentación X 0.082 Y -0.6445 (c) Tiempo de subida = 0.0821 segundos. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tiempo (s) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Fuerza (N) Kr2=-106 Entrada del sistema Realimentación X 0.005 Y -0.9993 (d) Tiempo de subida = 0.0052 segundos. Figura 33: Tiempo de subida de los sistemas en lazo cerrado para los distintos valores de las ganancias. Los tres primeros sistemas son subamortiguados, mientras que el cuarto es sobreamortiguado. Est´a claro que para que el sistema de cancelaci´on de vibraciones funcione correctamente, el sistema en lazo cerrado deber´a actuar con gran velocidad para conseguir contrarrestar de forma r´apida las perturbaciones del sistema. Para minimizar el retardo en la se˜nal de realimentaci´on con respecto a la entrada del sistema, se deber´a buscar una ganancia que haga que el tiempo de subida del sistema en lazo cerrado sea lo menor posible, siendo este l´ımite el marcado por la frecuencia a la que estemos muestreando. Es decir, se buscar´a una ganancia para la cual el tiempo de subida del sistema en lazo cerrado sea menor que el tiempo de muestreo, de forma que solo haya un retraso de una unidad de tiempo con respecto a la entrada. En la Figura 34 se muestra la comparaci´on de la realimentaci´on del sistema ante la misma entrada con dos ganancias distintas, siendo para la segunda de ellas el tiempo de subida del sistema igual al tiempo de muestreo. En esta situaci´on el sistema actuar´a minimizando lo m´aximo posible el retardo entre la entrada y la se˜nal de realimentaci´on para la frecuencia de muestreo escogida. En la Figura 35 se representa la respuesta temporal del sistema con la ganancia Kr2=−4·106ante la misma entrada que ten´ıamos en la Figura 27, se ve como para esta ganancia la salida es pr´acticamente nula (ECM = 1.2928 ·10−6), mientras que con la ganancia de Kr2=−106se obten´ıa un error de 1.35 ·10−5. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 42 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 0123456 Tiempo (s) 10-3 -1.02 -1 -0.98 -0.96 -0.94 -0.92 -0.9 -0.88 -0.86 Fuerza (N) Kr2=-106 Entrada del sistema Realimentación (a) Retardo entre entrada y realimentaci´on = 0.005 segundos. 0.5 1 1.5 2 Tiempo (s) 10-3 -1.02 -1 -0.98 -0.96 -0.94 -0.92 -0.9 -0.88 -0.86 Fuerza (N) Kr2=-4x106 Entrada del sistema Realimentación (b) Retardo entre entrada y realimentaci´on = 0.001 segundos. Figura 34: Tiempo que tarda la se˜nal de realimentaci´on en alcanzar su valor m´aximo ante un cambio en la entrada del sistema para dos valores de la ganancia de realimentaci´on. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tiempo (s) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Aceleración (m/s2) Kr2=-4x106 Salida real sin realimentación Salida simulada con realimentación Figura 35: Respuesta temporal del sistema en lazo cerrado con una ganancia Kr2=−4·106ante una entrada que var´ıa entre los 1 y los 4 Hz. A partir de este valor de Kr2el retardo comentado ser´a el mismo, pues ya no depender´a de la ganancia de realimentaci´on sino del tiempo en el que se est´e muestreando. Si se sigue aumentando el valor de la ganancia (en valor absoluto) aumentar´a el valor de la realimentaci´on para que sea igual al valor de la perturbaci´on en newtons. En la Figura 33(d) se ve como la realimentaci´on no llega a 1 N, que es el valor de la entrada, e inmediatamente comienza a descender; aumentando la ganancia se conseguir´ıa llegar a 1 y mantenerlo hasta que cambie el valor de la entrada (Figura 36), mejorando la respuesta del sistema cuanto m´as aumentemos la ganancia (con una ganancia de Kr2=−4·109se obtiene un error cuadr´atico medio en la salida de 1.43 ·10−12, ante la misma entrada que ten´ıamos anteriormente). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 43 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 012345 Tiempo (s) -1.015 -1.01 -1.005 -1 -0.995 -0.99 -0.985 -0.98 Fuerza (N) Kr2=-4x109 Entrada del sistema Realimentación X 0.001 Y -1 Figura 36: Realimentaci´on del sistema en lazo cerrado con una ganancia de Kr2=−4·106cuando la entrada se corresponde con 1 N en el instante 0. El sistema tarda 0.001 s (una unidad temporal de muestreo) en alcanzar el valor de realimentaci´on que se corresponde con la entrada cambiada de signo, y se mantiene as´ı hasta que la entrada cambia de valor. Se ha llevado a cabo un estudio de la influencia del valor de la ganancia de realimentaci´on en la respuesta del sistema y se puede concluir que cuanto mayor sea esta (en valor absoluto), m´as negativos ser´an los polos del sistema en lazo cerrado y, por tanto, m´as r´apido actuar´a el sistema, disminuyendo las vibraciones de la estructura hasta ser pr´acticamente nulas. De forma que el sistema funcionar´a mejor cuanto m´as cerca en valor absoluto est´e la se˜nal de realimentaci´on de la entrada del sistema (con signo opuesto), y cuanto menos tiempo transcurra entre ambas se˜nales. Sin embargo, en el sistema real aparecer´an una serie de factores a tener en cuenta que supondr´an una limitaci´on, no pudiendo aumentar la ganancia ni evitar los retardos de forma indefinida. Estas limitaciones se pueden resumir en los siguientes puntos. 1. ´ Unicamente se podr´a medir la aceleraci´on del sistema, por lo que ser´a necesario estimar la variables de estado (desplazamiento y velocidad). 2. Existir´a una limitaci´on debida al actuador que se utilice, pues, adem´as de tener un m´aximo en la fuerza que puede aplicar, se trata de un sistema f´ısico con sus propias din´amicas, por lo que tendr´a asociado ciertos retrasos. 3. A la hora de la implementaci´on del sistema de control, tanto los sistemas de medida como de adquisici´on y env´ıo de datos conllevar´an ciertos retrasos que aumentar´an el tiempo entre la perturbaci´on y la realimentaci´on del sistema para contrarrestarla. A continuaci´on se resuelven estos factores comentados de forma que se pueda llevar este sistema de control a uno aplicable al sistema real. 4.2. Dise˜no e implementaci´on del estimador de variables de estado En la secci´on 2.3.2 (Estimador del estado) se ha comentado el modelo de estimador de espacio de estados que se va a utilizar en este trabajo. En la Figura 37 se representa este modelo en Simulink, Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 44 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez donde las constantes KeyKcson las ganancias que se deber´an optimizar para que el comportamiento del estimador sea el adecuado. Las matrices Ass,Bss,Css yDss se corresponden con las matrices de la representaci´on en espacio de estados del sistema, la se˜nal yrepresenta la aceleraci´on medida de la estructura, yest es la estimaci´on de esta aceleraci´on, xest representa el vector de variables de estado (desplazamiento y velocidad) estimadas y urepresenta la estimaci´on de la se˜nal en unidades de fuerza que est´a excitando la estructura para que se mueva con la aceleraci´on y. Figura 37: Estimador del estado representado en Simulink. 4.2.1. Sintonizaci´on de las ganancias del estimador Se elegir´an los valores de KeyKccon el objetivo de que el error entre la aceleraci´on estimada y la aceleraci´on medida sea lo menor posible. Para ello, se representa al estimador como un sistema en espacio de estados donde la entrada ser´a la aceleraci´on medida (y) y la salida la aceleraci´on estimada (yest) (Ec. 38). Para que el estimador funcione de forma correcta la salida del sistema deber´a coincidir con la entrada, es decir, la funci´on de respuesta en frecuencia de este sistema deber´a de ser una recta horizontal de valor 1 en el rango de frecuencias estudiado. Para optimizar los valores de las ganancias se utilizar´a un algoritmo gen´etico cuya funci´on objetivo a minimizar ser´a el error cuadr´atico medio entre la funci´on de respuesta en frecuencia del sistema para los distintos valores de KeyKcestudiados y la recta horizontal de valor 1 en el rango de frecuencias para el que se est´a dise˜nando el controlador (1.5-4 Hz). Los par´ametros de este algoritmo ser´an: N´umero de variables = 4 →Kc1,Kc2,Ke1yKe2tal que Kc= [Kc1Kc2] y Ke=Ke1 Ke2 L´ımites superiores = [0.0001 0.0001 -100 -100] L´ımites inferiores = [100 100 -0.0001 -0.0001] N´umero m´aximo de generaciones = 100 Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 45 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Individuos por generaci´on = 200 De tal forma que se buscar´an que los coeficientes de Kcsean distintos de cero y positivos y los de Ke sean distintos de cero y negativos. Adem´as, se incluir´a en la funci´on objetivo la condici´on de que los polos y ceros del sistema en espacio de estados del estimador sean negativos, para garantizar su estabilidad. De forma que si en una iteraci´on una ra´ız es positiva, la funci´on objetivo devolver´a un valor elevado (se ha fijado en 5000) para descartar los valores de esa iteraci´on. Se ejecuta el algoritmo con estos par´ametros y se obtienen los siguientes valores optimizados para las ganancias (Ec. 53). Kc=0.0001 10.7464 Ke=−8.8555 −0.0001(53) En la Figura 45(a) se muestra la funci´on de respuesta en frecuencia del estimador en el rango de frecuencias para el que se han optimizado los valores de las ganancias. Se representa tambi´en la funci´on de respuesta en frecuencia objetivo, siendo el error cuadr´atico medio entre ambas funciones de 2.18 ·10−10. En la Figura 45(d) se representa la ubicaci´on de los polos y ceros del estimador, obteniendo que los polos se sit´uan en -1610.994 y en -0.154, y el cero en -1.542 ·10−5, de forma que queda garantizada la estabilidad de este sistema. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 0.99996 0.99997 0.99998 0.99999 1 1.00001 1.00002 Amplitud (m/s2 N) FRF Estimador FRF Estimador FRF Objetivo (a) FRF del estimador comparada con la FRF objetivo para la que se optimizan las ganancias del estimador. (b) Mapa de polos y ceros del estimador. Se obtienen los polos en -1610.994 y en -0.154 y el cero en -1.542 ·10−5. Figura 38: FRF y localizaci´on de los polos y ceros del estimador. 4.2.2. Validaci´on en el dominio temporal A continuaci´on, se procede a validar el estimador dise˜nado calculando el error cometido entre la aceleraci´on medida de la plataforma (que se introduce como entrada del estimador) y la aceleraci´on estimada (salida del estimador), cuando se excita la plataforma con una frecuencia oscilante entre los 1.5 y los 4 Hz. En la Figure 39 se muestra la comparaci´on de ambas se˜nales, as´ı como la del error del estimador (que viene de la resta de ambas aceleraciones). Se calcula el error cuadr´atico medio en el conjunto de la se˜nal temporal (73 s) y se obtiene un error de 2.18 ·10−5, que se puede considerar como aceptable. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 46 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 Tiempo (segundos) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Aceleración (m/s2) Aceleración medida Aceleración estimada Error del estimador Figura 39: Muestra la comparaci´on de la aceleraci´on medida con respecto a la estimada ante una excitaci´on de la plataforma que var´ıa entre los 1.5 y los 4 Hz. Tambi´en se representa el error entre ambas aceleraciones. 4.2.3. Comportamiento del estimador en un rango de frecuencias superior al de dise˜no Se ha comprobado como, en el rango de frecuencias para el que se est´a dise˜nando el sistema de control, la FRF del estimador se asemeja de manera muy aceptable a la funci´on objetivo (Figura 45(a)), y la estimaci´on en ese rango de frecuencias tiene un error muy peque˜no. Ahora se quiere comprobar c´omo se comportar´a el estimador en un rango de frecuencias mayor, ya que aunque el sistema de control est´e dise˜nado para funcionar entre los 1.5 y los 4 Hz, es importante que en las frecuencias adyacentes se comporte de manera estable y ´optima, aunque no sea tan preciso como en las frecuencias pr´oximas al modo uno de la estructura. En la Figura 40, se muestra la funci´on de respuesta en frecuencia del estimador desde los 0 a los 30 Hz, y se compara con la funci´on objetivo. Vemos c´omo a partir de los 0.5 Hz y hasta los 10 Hz el error cometido entre estas funciones seguir´a siendo m´ınimo, y a partir de los 15 Hz ir´a aumentando de forma lenta y controlada. Por lo que si se da el caso de tener alguna entrada en la estructura a una frecuencia superior a la dise˜nada el estimador seguir´a funcionando de forma aceptable, aunque el error cometido ser´a mayor cuanto mayor sea la frecuencia. Si interesara centrarnos en otro modo de la estructura adem´as del primero se podr´ıa cambiar la optimizaci´on de las ganancias del estimador para que satisfagan y optimicen el comportamiento de este en el rango de frecuencias deseado. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 47 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 4.3. Implementaci´on del actuador Hasta ahora se ha dise˜nado de forma te´orica un sistema de control que funciona cancelando las vibraciones en un grado de libertad de la estructura. Sin embargo, para implementar este sistema en el modelo real se necesitar´a un actuador que induzca a la estructura la fuerza de realimentaci´on. Para ello se emplear´a el excitador de masa inercial que se ha caracterizado previamente en la secci´on 3.3 (Modelado del actuador). Ya se ha visto como este excitador poseer´a sus propias din´amicas, de las que se depender´a a la hora de realimentar el sistema, es decir, en el sistema real no se podr´an aplicar las fuerzas de realimentaci´on de forma inmediata e independiente como se hac´ıa en el sistema de control te´orico, si no que el actuador tendr´a ciertos retrasos y limitaciones intr´ınsecas, que se deber´an de tener en cuenta en el dise˜no del controlador para que el funcionamiento del sistema en lazo cerrado sea lo m´as ´optimo posible. En la Figura 47 se muestra el diagrama de bloques de Simulink con el modelo del actuador que se utilizar´a en el sistema de control. Este se implementar´a mediante la funci´on de transferencia obtenida en su caracterizaci´on (Ec. 49), utilizando la posici´on de ganancia m´axima para que la fuerza de excitaci´on sea la m´axima posible, haciendo que el sistema de control act´ue con la mayor velocidad que permita el actuador. Figura 47: Diagrama de bloques del sistema de control en lazo cerrado. El lazo de realimentaci´on consiste en el estimador de variables de estado, en la ganancia de realimentaci´on y en la funci´on de transferencia del estimador. De forma que en el bucle de realimentaci´on, la salida del estimador de variables de estado (que ser´a una matriz 2 ×1 con la estimaci´on de la posici´on y la velocidad de la estructura) se multiplicar´a por la ganancia de realimentaci´on (una matriz 1 ×2), de manera que la se˜nal obtenida ser´a la referencia en voltios con que se alimentar´a al actuador para que la fuerza inducida sea la adecuada para cancelar las vibraciones del sistema real. El proceso de dise˜no de este sistema de control con actuador va a consistir en la obtenci´on de los par´ametros de esta ganancia de realimentaci´on para que el sistema funcione de la forma m´as ´optima posible. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 54 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 4.3.1. Optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on Previamente se ha empleado el m´etodo de la localizaci´on de los polos en lazo cerrado para seleccionar las ganancias de realimentaci´on. Este m´etodo permite realizar un an´alisis del comportamiento del sistema en funci´on de los valores de la ganancia, pudiendo establecer en qu´e l´ımites el sistema se har´a inestable o a partir de qu´e valores los polos ser´an complejos o reales (Figura 25). Se ha podido realizar este an´alisis porque el sistema en lazo cerrado del modelo sin actuador y sin estimador se trataba de un sistema de orden 2, donde se puede obtener f´acilmente el valor de los polos en lazo cerrado en funci´on de los valores de la ganancia (Ec. 34). Sin embargo, el sistema resultante tras implementar el actuador (Figura 47) se trata de un sistema de orden 9, ya que el estimador es una matriz (2×1) donde cada elemento es una funci´on de transferencia (FT) de orden 2, de forma que al multiplicarla por la ganancia (matriz 1 ×2) se tiene una FT de orden 4, que multiplica a la FT del actuador (orden 3), obteniendo una FT de orden 7 en el lazo de realimentaci´on. Al calcular la FT del lazo cerrado, donde la FT en lazo abierto es de orden 2, obtenemos una funci´on de orden 9. Con un sistema de orden tan alto no va a ser inmediato ni sencillo obtener una relaci´on entre los valores de la ganancia y la ubicaci´on de los polos, por lo que se emplear´a un m´etodo de selecci´on de los valores de la ganancia basado en un algoritmo de optimizaci´on que haga que el sistema en lazo cerrado se comporte de la manera m´as ´optima. Por tanto el proceso se centrar´a en definir los criterios con los que se pueda determinar y cuantificar el funcionamiento ´optimo del sistema. De tal manera que dichos criterios conformar´an la funci´on objetivo del algoritmo de optimizaci´on. A˜nadiendo siempre la condici´on de estabilidad del sistema, ubicando los polos y ceros del sistema en lazo cerrado en el semiplano negativo. Criterio 1: Minimizaci´on del valor m´aximo de la funci´on de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado. Criterio 2: Minimizaci´on del ´area bajo la curva de la funci´on de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado. Criterio 3: Minimizaci´on de la parte real del polo del sistema en lazo cerrado de valor m´as alto. Criterio 4: Minimizaci´on del producto de los valores absolutos de los polos del sistema en lazo cerrado. Criterio 5: Minimizaci´on de la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado ante una entrada chirp oscilante entre 1.5 y 4 Hz. En consecuencia con los m´etodos de optimizaci´on empleados en este trabajo se utilizar´a un algoritmo gen´etico. Los par´ametros de este algoritmo ser´an dos variables (los dos par´ametros de la ganancia de realimentaci´on), donde los valores m´ınimos y m´aximos ser´an ±1000 para el primer par´ametros y ±10 para el segundo. El n´umero m´aximo de generaciones lo fijamos en 100, y el de individuos por generaci´on en 300. En la ecuaci´on 55 se muestra el resultado de este algoritmo de optimizaci´on para los distintos criterios fijados en la funci´on objetivo. En la Figura 48 se representa la comparaci´on de las funciones de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado para los distintos criterios utilizados en la optimizaci´on. Criterio 1 : K= [−213.14 −5.02] Criterio 2 : K= [−634.41 −25.12] Criterio 3 : K= [−227.10 −14.40] Criterio 4 : K= [−52.44 0.77] Criterio 5 : K= [−277.91 −4.57] (55) Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 55 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 Amplitud (m/s2 N) FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado Criterio 1 FRF Lazo Cerrado Criterio 2 FRF Lazo Cerrado Criterio 3 FRF Lazo Cerrado Criterio 4 FRF Lazo Cerrado Criterio 5 Figura 48: Comparaci´on de las funciones de respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado optimizando la ganancia de realimentaci´on para los distintos criterios definidos. Se observa c´omo la funci´on de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado pasa a tener dos picos, debido a la influencia de la propia din´amica del actuador. En la Figura 49 se observan estas mismas FRF con un rango de frecuencias m´as amplio, se aprecia como cuanto menor es el valor del m´ınimo de la FRF en lazo cerrado (antiresonancia), mayor ser´an los valores de los picos. Es decir, se podr´a escoger el criterio que mejor se ajuste a los objetivos del AMD, pero sabiendo que no hay una soluci´on perfecta, pues cuanto menor sea la respuesta del sistema en un cierto rango de frecuencias, mayor ser´a el pico asociado a la frecuencia de resonancia del sistema en lazo cerrado. Se podr´a optar por un sistema m´as equilibrado en todo el rango de frecuencias (criterio 1 y 5) o bien por evitar la resonancia asociada al modo uno de la plataforma desplaz´andola a una frecuencia m´as elevada (criterio 2), esto podr´ıa ser interesante en casos donde la frecuencia a la que se excitar´a la estructura sea de valor poco cambiante, por ejemplo, si se trata de una plataforma por la que circulan personas, ser´a dif´ıcil que la excitaci´on se produzca a 6 Hz, por lo que podr´ıa interesar disminuir lo m´aximo posible la respuesta de la estructura entre 1.5 y 3 Hz. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 56 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 12345678 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 100 Amplitud (m/s2 N) FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado Criterio 1 FRF Lazo Cerrado Criterio 2 FRF Lazo Cerrado Criterio 3 FRF Lazo Cerrado Criterio 4 FRF Lazo Cerrado Criterio 5 Figura 49: Representa la comparaci´on de las funciones de respuesta en frecuencia en un rango de frecuencias entre 0.5 y 8 Hz, para el sistema en lazo abierto y en lazo cerrado optimizando la ganancia de realimentaci´on seg´un diferentes criterios. Para seguir con el an´alisis se seleccionar´an tres posibles criterios que se estudiar´an en profundidad: el Criterio 1 y el Criterio 5, ya que son los que proporcionan una respuesta m´as equilibrada y estable en todo el rango de frecuencias, y se introducir´a un nuevo criterio intermedio entre el 1 y el 2, que se denominar´a Criterio 6, y que consistir´a en una ponderaci´on entre ambos criterios para minimizar la respuesta del sistema en las frecuencias pr´oximas al modo uno pero evitando un pico elevado a una frecuencia mayor, pues podr´ıa ser peligroso para la estructura. Despu´es de distintas pruebas, se ha elegido una ponderaci´on seg´un la ecuaci´on (f= 100f1+ 1f2), donde f1es el valor m´aximo de la FRF entre 0 y 30 Hz, y f2es el resultado de la integral de la FRF entre 0 y 4 Hz. Se obtiene un valor de K=[−421.05 −16.75]. La nueva funci´on de respuesta en frecuencia para este nuevo criterio se muestra en la Figura 50. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 57 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 12345678 Frecuencia (Hz) 10-3 10-2 10-1 100 Amplitud (m/s2 N) FRF Lazo abierto FRF Lazo Cerrado Criterio 1 FRF Lazo Cerrado Criterio 2 FRF Lazo Cerrado Criterio 6 Figura 50: Comparaci´on de la FRF del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado con la elecci´on de la ganancia de realimentaci´on seg´un los criterios 1, 2 y 6. A continuaci´on (Figura 51) se representa la respuesta ante una entrada escal´on de los sistemas en lazo cerrado utilizando estos tres criterios para la optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on, con el objetivo de estudiar el comportamiento de estos sistemas. Aqu´ı se observa c´omo el sistema que act´ua m´as r´apido es aquel optimizado con el Criterio 6, esto se puede cuantificar mediante los tiempos de subida de cada sistema (Tabla 5), definidos entre el 10 % y el 90 % de la respuesta del sistema. Sin embargo, el Criterio 6 proporciona un tiempo de establecimiento (definido como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar un error estacionario menor del 2 %) muy elevado con respecto a los otros dos criterios, lo que puede producir un funcionamiento no ´optimo del sistema. Con respecto al Criterio 1 y al Criterio 5, se ve como el 5 presenta mejores propiedades, ya que tanto su tiempo de subida como el de establecimiento es menor. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Tiempo (s) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Amplitud (m/s2) 10-3 Criterio 1 Criterio 5 Criterio 6 Figura 51: Representa la respuesta ante una entrada escal´on de amplitud 1 Newton de los sistemas en lazo cerrado con los criterios 1, 5 y 6 de optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 58 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Criterio de optimizaci´on Tiempo de subida (s) Tiempo de estabilizaci´on (s) Criterio 1 0.043 3.327 Criterio 5 0.036 2.853 Criterio 6 0.024 6.359 Tabla 4: Tiempos de subida y estabilizaci´on de los sistemas en lazo cerrado para los distintos criterios de optimizaci´on. Ahora se simula la respuesta temporal de los sistemas. En la Figura 52 se utiliza una se˜nal chirp de amplitud 5 N y frecuencia oscilante entre 1.5 y 3 Hz, que coincide con el primer modo de la estructura, como entrada del sistema. Y en la Figura 53 la misma amplitud de la se˜nal de entrada pero desde 0 hasta 8 Hz. Se representan las respuestas obtenidas de los sistemas utilizando distintos criterios para la obtenci´on de las ganancias de realimentaci´on. Se cuantifica el rendimiento de cada sistema calculando el error cuadr´atico medio de la aceleraci´on de salida de la estructura, donde la referencia ser´a una aceleraci´on nula. En la Tabla 5 se muestran estos errores para cada criterio y en funci´on de la frecuencia a la que se excite la plataforma. Los resultados son coherentes con las FRFs representadas en la Figuras 49 y 50, el Criterio 1 presenta una respuesta m´as estable en todo el rango de frecuencias pero un peor rendimiento en el modo 1 de la estructura, mientras que el Criterio 6 funciona justo al rev´es, presenta el menor error entre 1.5 y 3 Hz, pero este valor aumenta notablemente en un rango de frecuencias mayor. Por ´ultimo, el Criterio 5 presenta un comportamiento intermedio, consiguiendo un funcionamiento adecuado en el modo 1 de la estructura sin aumentar demasiado el error al aumentar la frecuencia. El objetivo del sistema de control es precisamente mitigar la vibraci´on de la estructura en torno a su primera frecuencia de resonancia, aunque no es conveniente que su respuesta aumente demasiado en las proximidades de esta frecuencia. Es por esto, y porque presenta el menor tiempo de estabilizaci´on (Tabla 5) que se escoger´a el Criterio 5 como criterio de optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on, pues es el que va a ofrecer un comportamiento del sistema m´as ´optimo. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 59 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s) -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Aceleración (m/s2) Criterio 1 (1.5-3 Hz) Salida sin realimentación Salida con realimentación (a) Criterio 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s) -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Aceleración (m/s2) Criterio 5 (1.5-3 Hz) Salida sin realimentación Salida con realimentación (b) Criterio 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s) -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Aceleración (m/s2) Criterio 6 (1.5-3 Hz) Salida sin realimentación Salida con realimentación (c) Criterio 6 Figura 52: Comparaci´on de la respuesta temporal del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado ante una entrada chirp de amplitud 5 N y de frecuencia oscilante entre 1.5 y 3 Hz. Se comparan adem´as los distintos criterios empleados para la optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on del sistema en lazo cerrado. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 60 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s) -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Aceleración (m/s2) Criterio 1 (0-8 Hz) Salida sin realimentación Salida con realimentación (a) Criterio 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s) -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Aceleración (m/s2) Criterio 5 (0-8 Hz) Salida sin realimentación Salida con realimentación (b) Criterio 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (s) -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Aceleración (m/s2) Criterio 6 (0-8 Hz) Salida sin realimentación Salida con realimentación (c) Criterio 6 Figura 53: Comparaci´on de la respuesta temporal del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado ante una entrada chirp de amplitud 5 N y de frecuencia oscilante entre 0 y 8 Hz. Se comparan adem´as los distintos criterios empleados para la optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on del sistema en lazo cerrado. Criterio de optimizaci´on ECM 1.5-3 Hz ECM 0-8 Hz Criterio 1 2.72·10−41.82·10−4 Criterio 5 1.96·10−42.31·10−4 Criterio 6 1.63·10−43.50·10−4 Tabla 5: Errores cuadr´aticos medios de los sistemas en lazo cerrado optimizados con distintos criterios y para excitaciones a diferentes rangos de frecuencias. Se contin´ua analizando la realimentaci´on del sistema en lazo cerrado con el criterio de optimizaci´on de la ganancia escogido. En la Figura 54(a) se muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado ante una entrada escal´on de amplitud 1 N, se puede observar como el sistema tarda en reaccionar 0.027 s, que coincide con el tiempo de subida del actuador (Figura 54(b)), obtenido realizando un step a la funci´on de transferencia del mismo. Es decir, la velocidad a la que podr´a actuar el sistema en lazo cerrado va a estar limitada inevitablemente por la velocidad de respuesta del actuador utilizado. Adem´as se puede observar en la Figura 54(a) como en este caso, ante una entrada positiva el primer impulso de la realimentaci´on es generar una fuerza del mismo sentido para posteriormente generar una fuerza de mayor amplitud y signo opuesto, de tal manera que se llega a este valor m´aximo de la realimentaci´on en un tiempo de 0.14 s. Esto se debe a la din´amica asociada al actuador, y al recorrido que necesita la masa m´ovil de este para alcanzar la aceleraci´on necesaria que genera la fuerza de realimentaci´on que el sistema en lazo cerrado solicita. El actuador necesita subir la masa hasta una determinada posici´on Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 61 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez para posteriormente generar una fuerza de amplitud suficiente y sentido opuesto a la entrada del sistema. Sin embargo, el sistema en lazo cerrado se comporta mejor ante se˜nales senoidales, pues el actuador no necesita ese primer impulso para conseguir tener m´as recorrido, pues ya no parte de la posici´on central. En la Figura 55 se muestra este comportamiento, se aprecia como la realimentaci´on tiene un signo opuesto a la entrada y una amplitud similar, presentando un retraso medio de 0.03 s, unas cinco veces inferior al de 0.14 s que se ve´ıa en la Figura 54(a). Es decir, que el retraso de la se˜nal de realimentaci´on con respecto a la entrada estar´a limitado por el tiempo de reacci´on del propio actuador, que es de 0.027 s. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tiempo (s) -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fuerza (N) Respuesta del sistema en lazo cerrado Entrada del sistema Realimentación X 0.14 Y -0.4357 X 0.028 Y 0.3006 (a) Respuesta del sistema realimentado (b) Respuesta del actuador Figura 54: Representa la respuesta ante una entrada escal´on del sistema en lazo cerrado con actuador y del propio modelo del actuador. 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 Tiempo (s) -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Fuerza (N) Respuesta del sistema en lazo cerrado Entrada del sistema Realimentación X 7.321 Y 87.78 X 7.295 Y -76.95 Figura 55: Realimentaci´on del sistema en lazo cerrado frente a una entrada senoidal. a) Limitaciones asociadas al actuador Se ha visto como en la Figura 49 las funciones de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado al incluir el actuador presentan dos picos, esto se debe a que el actuador tendr´a su propia frecuencia natural y esta afectar´a a la de la estructura. Adem´as, se da el caso de que ambas frecuencias naturales, la del actuador y la de la estructura, est´an muy pr´oximas una de otra, 2.178 y 2.147 Hz, respectivamente. Esto hace que la interacci´on entre Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 62 4 DISE˜ NO DEL CONTROLADOR C´esar Pel´aez Rodr´ıguez ambas resonancias sea mayor. En este apartado se plantea como funcionar´ıa el sistema de control en lazo cerrado si el actuador tuviera su frecuencia natural m´as alejada de la de la estructura, para ello, se simula el comportamiento del sistema cambiando la funci´on de transferencia del actuador, de forma que se mantienen los par´ametros de la posici´on de ganancia m´axima (Ec. 48) disminuyendo el valor de la frecuencia a la mitad (1.089 Hz), de manera que la nueva funci´on de transferencia del actuador estar´a definida seg´un la ecuaci´on 56. En la Figura 56 se muestra la comparaci´on de las FRF de ambos modelos del actuador. GOriginal(s) = 9348.52s2 s3+ 85.44 ·s2+ 751.8·s+ 14660 GModificada(s) = 9348.52s2 s3+ 81.79 ·s2+ 325.3·s+ 3665 (56) 0 5 10 15 20 25 30 Frecuencia (Hz) 100 101 102 103 Amplitud (N/V) Modelo original Modelo con la mitad de frecuencia Figura 56: Muestra las funciones de respuesta en frecuencia del modelo original del actuador con respecto a la del modelo del actuador modificando su frecuencia natural a la mitad de la original. A continuaci´on se repite el proceso de optimizaci´on de la ganancia de realimentaci´on del sistema en lazo cerrado empleando el mismo criterio utilizado que con el modelo original del actuador (Criterio 5). En la Figura 57(a) se representa la funci´on de respuesta en frecuencia obtenida para este nuevo actuador con respecto a la FRF del sistema en lazo abierto y en lazo cerrado con el actuador original. Se observa como, a pesar de que el m´ınimo alcanzado en la nueva FRF es mayor que en el sistema con el actuador original, el m´aximo alcanzado va a ser notablemente inferior, estabiliz´andose a partir de la frecuencia natural de la estructura. En esta figura se aprecia claramente como, al estar las frecuencias naturales del actuador y de la plataforma m´as separadas, los picos de la FRF en lazo cerrado se mantienen en esos valores de las frecuencias, en lugar de desplazarse como pasaba en el caso anterior, cuando las frecuencias estaban muy pr´oximas entre s´ı. Por ´ultimo, en la Figura 57(b) se muestra la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado con este nuevo actuador al excitar la estructura con la misma se˜nal chirp que se utilizaba en la Figura 53. Se observa como en este caso, aunque el m´ınimo alcanzado es mayor que en los casos anteriores para los diferentes criterios, el m´aximo nivel de respuesta de la estructura tambi´en es muy inferior al que se experimentaba anteriormente. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 63 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Figura 62: Modelo en Simulink con la implementaci´on de la funci´on de transferencia aceleraci´on-voltaje. Ahora se representa la respuesta temporal de esta funci´on de transferencia ante una entrada senoidal (Figura 63), esta salida ser´a el resultado de multiplicar a la aceleraci´on medida por la funci´on de transferencia del estimador, cuya salida es una matriz (2 ×1) con las variables de estado estimadas del sistema, y por la ganancia de realimentaci´on. Se aprecia como la salida de esta funci´on de transferencia tambi´en ser´a una se˜nal senoidal en voltios adelantada sobre la aceleraci´on, esto se debe a que el sistema en lazo cerrado tiene en cuenta el retraso que producir´a el actuador, para que la realimentaci´on del sistema sea lo m´as r´apida posible con respecto a la perturbaci´on del sistema. 29 29.5 30 30.5 31 31.5 32 Tiempo (s) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Amplitud (m/s2) Entrada (aceleración) Salida (voltaje) Figura 63: Respuesta temporal de la funci´on de transferencia aceleraci´on-voltaje ante una entrada senoidal. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 70 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez El siguiente paso ser´a la discretizaci´on de esta funci´on de transferencia, pues el sistema implementado en LabView funcionar´a a un determinado tiempo de muestreo, que fijaremos en 1 milisegundo. Para ello se utiliza el comando c2d de Matlab, indicando un tiempo de muestreo de 0.001 s y un m´etodo de discretizaci´on First-Order Hold, este m´etodo se basa en una aproximaci´on triangular que supone que la se˜nal de control son lineales durante el tiempo de muestreo. La funci´on de transferencia discreta obtenida se muestra en la ecuaci´on 58. F T discretaAcelerac´on−V oltaje =0.7679z4−1.238z3+ 0.07964z2+ 0.4815z−0.09068 z4−2.399z3+ 1.838z2−0.479z+ 0.03986 (58) A continuaci´on se representa la respuesta de estas funciones de transferencia, continua y discreta, ante una entrada escal´on (Figura 64), en la figura de detalle (Figura 64(b)) se ve como funciona el m´etodo de discretizaci´on escogido. (a) Respuesta ante una entrada escal´on. (b) Respuesta ante una entrada escal´on. Figura 64: Respuesta de las funciones de transferencia de aceleraci´on a voltaje ante una entrada escal´on. Se comparan los sistemas continuos y discretos. De forma que ser´a esta funci´on de transferencia discreta la que se implementar´a en el controlador para obtener la se˜nal de alimentaci´on del actuador en funci´on de la aceleraci´on que experimente la plataforma medida con un aceler´ometro. 5.2. Programaci´on en Labview +myRIO En este apartado se comentar´a y detallar´a la programaci´on realizada en LabView que se volcar´a en la myRIO de forma que funcione como controlador del sistema de mitigaci´on activo de vibraciones, recibiendo la se˜nal de un aceler´ometro situado en la estructura y emitiendo la se˜nal de entrada al excitador. Se utilizar´an un aceler´ometro digital MEMS para medir la aceleraci´on de la plataforma, estos aceler´ometros ya han sido utilizados en uno de los proyectos de investigaci´on del laboratorio en el que se embarca este trabajo de fin de m´aster, de forma que para realizar el c´odigo en Labview se partir´a de una myRIO con la FPGA configurada de forma que sea capaz de leer los valores de estos aceler´ometros en los tres ejes y de sacar una salida anal´ogica. Adem´as se incluyen las siguientes rutinas que se utilizar´an al realizar el c´odigo (Figura 65). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 71 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Figura 65: Rutinas implementadas en la FPGA de la myRio, se utilizan para iniciar y terminar la FPGA, para cambiar la iluminaci´on de los LEDs, para iniciar, configurar, leer y parar los aceler´ometros, y para escribir la salida anal´ogica. 5.2.1. Estructura de programaci´on A continuaci´on, se comenta la estructura del c´odigo elaborado, que consta de cuatro VIs (Virtual Instruments, se corresponden con ficheros de c´odigo en Labview) principales: Main, que se corresponde con el VI principal. Lectura, que se encarga de configurar y recibir la lectura del aceler´ometro. Funci´on de transferencia, que obtiene la se˜nal de salida a partir de la aceleraci´on le´ıda. Escritura, que escribe el voltaje de salida en la salida anal´ogica. Adem´as de estos VIs, se utilizar´an varias variables compartidas (Shared Variables) para gestionar las comunicaciones entre las distintas partes del c´odigo. En los siguientes apartados se detalla cada uno de estos VIs. a) Main Esta parte del c´odigo tendr´a como principal funci´on iniciar el sistema, y realizar la configuraci´on inicial de la FPGA y de los aceler´ometros para que el programa funcione correctamente. Del mismo modo, una vez se ha terminado de utilizar el controlador, se encargar´a de parar los aceler´ometros y de salir de la FPGA. En la Figura 66(a) se muestra el diagrama de bloques de esta funci´on. Antes de entrar en el bucle while se inicia la FPGA y se inicializan los valores de las variables compartidas. Una vez dentro del bucle principal, el sistema entrar´a en otro bucle while en el que no se har´a nada hasta que el usuario pulse el bot´on de Stop para salir del programa o el de Ejecutar para iniciarlo. De aqu´ı se pasar´a a la configuraci´on del aceler´ometros con los par´ametros que el usuario haya seleccionado en el panel frontal (Figura 66(b)) y se iniciar´an las funciones de lectura y escritura, que correr´an en paralelo; cuando, o bien se salga de estas funciones pulsando Stop en el panel frontal de cada una de ellas, pasando Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 72 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez a parar el aceler´ometro, o bien se pulse el bot´on Stop del main, el sistema finalizar´a el bucle principal y saldr´a de la FPGA. (a) Diagrama de bloques. (b) Panel frontal. Figura 66: C´odigo correspondiente a la funci´on main.vi del programa desarrollado en Labview. b) Lectura En esta funci´on se lleva a cabo la lectura del aceler´ometro y el c´alculo de la salida en voltios con que se alimentar´a el actuador. En la Figura 67(a) se muestra el diagrama de bloques que se ha elaborado, en este caso se utiliza un bucle temporizado (Timed Loop), que se ejecutar´a 1000 veces por segundo, para cada iteraci´on de este bucle, el sistema leer´a el valor del aceler´ometro para el eje indicado por el usuario (Figura 67(b)), y se lo mandar´a a la funci´on de transferencia, esta funci´on le devolver´a el valor de la se˜nal de voltaje, y este valor se escribir´a en la variable compartida (SalidaFT), que leer´a el VI de escritura. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 73 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez (a) Diagrama de bloques del VI de lectura. (b) Panel frontal del VI de lectura Figura 67: C´odigo correspondiente a la funci´on read.vi del programa desarrollado en Labview. c) Funci´on de transferencia Este VI tendr´a como funci´on la implementaci´on de la funci´on de transferencia discreta que tiene como entrada la aceleraci´on de la plataforma y como salida la se˜nal de voltaje al actuador y que ha sido obtenida anteriormente en Matlab (Ec. 58). En la Figura 68(a) se muestra el diagrama de bloques de este VI, es importante comentar que es necesario incluir un filtrado de paso bajo en la se˜nal de entrada de la funci´on de transferencia, ya que el modelo de la estructura simplifica el sistema real a uno de un ´unico grado de libertad, por tanto no se est´a teniendo en cuenta lo que pueda pasar en un rango de frecuencias diferente al estudiado, es por eso que es necesario incluir un filtrado de esta se˜nal para evitar inestabilidades del sistema, qued´andose solo con las frecuencias inferiores a 10 Hz. En la Figura 69(a) se detallan las caracter´ısticas del filtro elegido, que se trata de un filtro IIR (Infinite Impulse Response) de tipo Butterworth de orden 5. En la Figura 69(b) se introducen los coeficientes de la funci´on de transferencia discreta, y a la salida de esta funci´on se la multiplica por -1 y se la hace saturar entre ±2 V. Por ´ultimo, se muestra en la Figura 68(b), el panel frontal de este VI, donde se indica la aceleraci´on Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 74 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez medida en cada instante y la se˜nal anal´ogica de salida. (a) Diagrama de bloques del VI de la funci´on de transferencia. (b) Panel frontal del VI de la funci´on de transferencia. Figura 68: C´odigo correspondiente a la funci´on FT.vi del programa desarrollado en Labview. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 75 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez (a) Par´ametros utilizados en el filtro de paso bajo (b) Coeficientes de la funci´on de transferencia discreta. Figura 69: Configuraciones correspondientes al filtro de paso bajo y a la funci´on de transferencia discreta utilizados. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 76 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez d) Escritura En esta parte del c´odigo se llevar´a a cabo la escritura del voltaje en la salida anal´ogica. En la Figura 70 se observa el diagrama de bloques de este VI, donde se utiliza un bucle temporizado (Timed Loop) que se ejecuta 1000 veces por segundo, en ese bucle, se realiza la lectura de la variable compartida (SalidaFT) escrita por el VI de lectura, y se escribir´a el valor de esta variable en la salida anal´ogica utilizando las rutinas de la FPGA correspondientes. Figura 70: Diagrama de bloques del VI de escritura. 5.2.2. Retraso de la se˜nal de salida El c´odigo que se ha comentado se ha estructurado de esta manera debido al retraso asociado al filtro de paso bajo implementado, este filtrado de se˜nales hace que el proceso de obtenci´on de la se˜nal de voltaje a partir de la medida de la aceleraci´on no se ejecute en el tiempo de muestreo seleccionado, produciendo un retraso que convierte al sistema en inestable, pues cuando el sistema quiere actuar la referencia enviada al actuador no se va a corresponder con la aceleraci´on actual de la estructura. Por este motivo se ha utilizado la variable compartida (SalidaFT) y se ha dividido el c´odigo en dos VIs diferentes, uno para la lectura y otro para la escritura, de forma que el retraso ´unicamente est´e presente en la funci´on de lectura, es decir, el sistema leer´a el valor del aceler´ometro y calcular´a la salida escribi´endola en la variable compartida, esto tendr´a cierto retraso asociado al filtro de paso bajo, por lo que esta variable no se actualizar´a cada milisegundo, sin embargo, la funci´on de escritura no tendr´a ning´un retraso, por lo que escribir´a en la salida anal´ogica el valor de esta variable compartida 1000 veces por segundo, de manera que escribir´a el mismo valor hasta que la funci´on de lectura lo actualice. En la Figura 71 se muestra la salida anal´ogica de voltaje, se ve como la forma de esta salida es de tipo escal´on, es decir, se repite el mismo valor de salida hasta que se actualiza la variable compartida (SalidaFT). Esto permite que el sistema funcione de forma estable, pues aunque la salida no es todo lo r´apida que deber´ıa respecto a la aceleraci´on medida, se escribe la salida de referencia al actuador cada milisegundo. Mientras que si no dividi´eramos el c´odigo en un VI de lectura y otro de escritura, solo se escribir´ıa un punto por cada vez que se actualizara la variable (SalidaFT). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 77 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez (a) Se˜nal de voltaje de referencia al actuador. (b) Se˜nal de voltaje de referencia al actuador. Figura 71: Salida anal´ogica del controlador MyRio medida con el software de adquisici´on de datos Dewesoft. 5.2.3. Dise˜no del filtro El siguiente paso ha sido cambiar el filtro de paso bajo utilizado. En lugar de utilizar un bloque de funci´on Express de Labview (figura 69(a)), que funciona calculando los coeficientes del filtro una vez cada iteraci´on con el consiguiente retraso generado, se va a utilizar un filtro FIR (Finite Impulse Response) de punto por punto, que se dise˜nar´a en un nuevo VI (Dise˜naFiltro). Este VI se ejecutar´a en el PC en lugar de en la myRIO, y ´unicamente se har´a una vez para obtener los coeficientes del filtro, que se copian en el VI de la Funci´on de transferencia (Figura 72). En el ap´endice C (Filtrado digital de se˜nales) se analizan los diferentes tipos de filtros digitales utilizados. El dise˜no del filtro se hace en el VI (Dise˜naFiltro) (Figura 73), en el que se selecciona la frecuencia de corte (Low Cutoff Freq), el n´umero de puntos anteriores de la se˜nal necesarios para realizar el filtrado (Taps) y el tipo de ventana (Welsch). Posteriormente se representa la transformada r´apida de Fourier de la salida de este filtro para observar su comportamiento en el dominio de la frecuencia. Modificando estos par´ametros se selecciona un filtro que no modifique la se˜nal original hasta pasados los 4 Hz, donde la influencia del modo uno de la estructura comienza a ser m´ınima, a partir de esta frecuencia se quiere que el filtrado de la se˜nal sea cada vez mayor, para evitar inestabilidades generadas por la respuesta de la estructura a altas frecuencias. Se deber´a de optimizar de este modo para obtener el mejor filtrado posible utilizando el menor n´umero de puntos, ya que ese n´umero de puntos necesarios va a indicar el retraso asociado al filtro, es decir, si el filtro necesita 50 puntos anteriores para filtrar la se˜nal, la salida del filtro estar´a retrasada 50 puntos con respecto a la entrada. Se ha optado por escoger una ventana Welsch, con una frecuencia de corte de 24 Hz y un n´umero de 50 puntos, que muestreando a 1 KHz supondr´a un retraso de 0.05 s (50 puntos ×0.001 s por punto = 0.05 s). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 78 5 IMPLEMENTACI´ ON DEL SISTEMA DE CONTROL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Figura 72: Diagrama de bloques del VI de la funci´on de transferencia implementando el nuevo filtrado FIR de la se˜nal. Figura 73: Dise˜no del filtro FIR punto por punto de paso bajo. En la Figura 74 se observa como, a diferencia de en la Figura 71, la salida en voltaje aplicando este nuevo filtro FIR ya no es de tipo escal´on, debido a que el valor de salida se actualiza cada milisegundos, eliminando parte del retraso. Ahora seguir´a habiendo cierto retardo entre la se˜nal de entrada y la de salida, pero ser´a fijo (los 50 ms debidos al filtro y el tiempo que le lleve a la myRIO llevar a cabo las multiplicaciones de la funci´on de transferencia, que ser´a constante en cada iteraci´on). Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 79 6 VALIDACI´ ON DEL SISTEMA FINAL C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Tiempo (s) -6 -4 -2 0 2 4 6 Aceleración (m/s2) Tránsito sistema sin controlar (MTVV=2.412 m/s2) Aceleración 1 s RMS (a) Sistema sin controlar 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tiempo (s) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Aceleración (m/s2) Tránsito control activo (MTVV=0.8183 m/s2) Aceleración 1 s RMS (b) Sistema con control activo Figura 82: Aceleraci´on experimentada por los sistemas sin y con control ante el tr´ansito de una persona sobre la pasarela. Se muestra la media m´ovil del valor absoluto de la se˜nal para cada segundo. Para comprobar si los valores obtenidos con el sistema en lazo cerrado son aceptables o no, se han buscado en la normativa los valores de referencia para el estado l´ımite de vibraciones en pasarelas peatonales (Tabla 7.2 de la disposici´on 16559 del BOE n´um. 254 de 2011 [6]), y se han representado estos valores en la Tabla 6. Se observa c´omo el sistema sin controlar estar´ıa dentro del rango de confort m´ınimo presentando un MTVV de 2.412 m/s2, con el sistema de control se obtiene un rango de confort medio con un MTVV de 0.8183 m/s2. De esta forma, se puede dar por validado el comportamiento del sistema ante el tr´ansito de una persona, siendo conscientes de la limitaci´on comentada anteriormente que supone reducir la estructura a un sistema de un grado de libertad. Grado de Rango de aceleraciones confort Verticales Laterales M´aximo <0.50 m/s2<0.10 m/s2 Medio 0.50 a 1.00 m/s20.10 a 0.30 m/s2 M´ınimo 1.00 a 2.50 m/s20.30 a 0.80 m/s2 No aceptable >2.50 m/s2>0.80 m/s2 Tabla 6: Valores de referencia de aceleraciones para el confort de los peatones en pasarelas peatonales. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 86 7 RESPUESTA DEL SISTEMA ANTE MODIFICACIONES C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 7. RESPUESTA DEL SISTEMA ANTE MODIFICACIONES DE LA ESTRUCTURA Las condiciones a las que se puede ver sometida la estructura sobre la que se aplique el sistema de mitigaci´on activo de vibraciones dise˜nado van a tener una cierta variabilidad, ya que por un lado la fuente de la excitaci´on puede variar (el peso que soporte la estructura no ser´a el mismo dependiendo del n´umero de personas que caminen sobre ella) y por otro las propiedades de la estructura pueden verse modificadas (las propiedades f´ısicas de la madera var´ıan con respecto a la temperatura, humedad, etc). A parte de variaciones originadas por desperfectos en los materiales o p´erdida de funcionamiento ´optimo. Es por esto que para garantizar el buen comportamiento del sistema de control activo ser´a conveniente llevar a cabo una calibraci´on peri´odica de este sistema, obteniendo los coeficientes m´as ´optimos de la funci´on de transferencia discreta entre aceleraci´on medida y voltaje enviado al actuador en funci´on de las condiciones que la plataforma tenga en ese momento. Esto es lo que se trata de conseguir en este apartado del trabajo: un sistema que permita realizar esta recalibraci´on de la plataforma de forma sencilla, intuitiva y lo m´as autom´atica posible. Para ello, se implementa en el c´odigo de Labview un nuevo VI denominado Recalibracion (Figura 83(a)), cuya funci´on ser´a comandar al excitador de masa inercial para que ejecute un barrido entre las frecuencias seleccionadas y con las caracter´ısticas definidas por el usuario (n´umero de barridos, puntos por barrido y amplitud de la se˜nal en voltaje). Se ubica este VI en el c´odigo principal (main) de forma que el usuario pueda elegir antes de pulsar el bot´on de ejecutar si realizar o no la calibraci´on de la plataforma (Figura 83(b)), de forma que si no se elige esta opci´on se ejecuta directamente la opci´on la funci´on de lectura y escritura para llevar a cabo el sistema de control. En la Figura 83(c) se muestra el diagrama de bloques del VI main con la implementaci´on del nuevo VI Recalibracion. Con la implementaci´on de este c´odigo ´unicamente se tendr´a capacidad de comandar con la myRIO al excitador de masa inercial, sin embargo, se seguir´an necesitando dos aceler´ometros piezoel´ectricos (uno para medir la excitaci´on y otro para medir la respuesta de la plataforma) y el sistema de adquisici´on de datos Dewesoft, de forma que se exportar´an los datos generados y se introducir´an como entrada en un script de Matlab donde a partir de estos datos temporales se obtendr´an los coeficientes de la funci´on de transferencia discreta, que se tendr´an que llevar de nuevo al c´odigo de Labview. Se incluye como l´ınea futura el hacer este proceso exclusivamente en la myRIO, de forma que se excite la estructura de forma controlada, se tomen los datos, se haga el an´alisis modal de la misma, y se ejecuten los algoritmos de optimizaci´on para la obtenci´on de los coeficientes de la funci´on de transferencia, todo ello de forma aut´onoma cuando el usuario pulse el bot´on de Recalibraci´on. Sin embargo para este proceso es necesario modificar la FPGA implementada actualmente en la myRIO, pues ´unicamente est´a preparada para leer un aceler´ometro, y para el c´alculo de las FRFs ser´a necesario la lectura de dos, debido a esto y a la complejidad asociada a este c´odigo se propone continuar este trabajo como l´ınea futura. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 87 7 RESPUESTA DEL SISTEMA ANTE MODIFICACIONES C´esar Pel´aez Rodr´ıguez (a) Diagrama de bloques correspondiente al VI de recalibracion. (b) Panel frontal correspondiente al VI main tras la implementaci´on de la recalibraci´on. (c) Diagrama de bloques correspondiente al VI main tras la implementaci´on de la recalibraci´on. Figura 83: C´odigo correspondiente a la recalibraci´on de la plataforma. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 88 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 8. CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS 8.1. Conclusiones Una vez concluido el presente documento, y tras haber validado el sistema dise˜nado y comprobado su comportamiento ante distintas situaciones de carga, se pueden extraer las siguientes conclusiones. En primer lugar, se ha conseguido modelizar mediante un sistema en espacio de estados de un grado de libertad el comportamiento de la estructura en un rango de frecuencias pr´oximo a su primer modo (entre 1.5 y 4 Hz). De tal forma que se puede predecir como se comportar´a el punto medio de la estructura ante distintas situaciones de carga de forma precisa. Esto es imprescindible para poder desarrollar de forma correcta un sistema de mitigaci´on de vibraciones. Para poder llevar este proceso de modelizado a cabo, se ha requerido realizar un an´alisis modal experimental (EMA), de forma que se han obtenido tanto los conocimientos te´oricos acerca del an´alisis modal de estructuras como la solvencia necesaria con los m´etodos experimentales, incluyendo los procesos de preparaci´on del set-up (colocaci´on de los aceler´ometros y del excitador), de experimentaci´on, de manejo del software de adquisici´on de datos y del posterior procesado de estos datos para obtener las propiedades modales de la estructura. Otro punto importante ha sido la aplicaci´on de sistemas de control por realimentaci´on del estado, se ha podido llevar a cabo un an´alisis exhaustivo (de forma te´orica) de la influencia del valor de la ganancia de realimentaci´on en la respuesta del sistema, tanto en su estabilidad como en su velocidad de respuesta. As´ı mismo, se han podido comprobar las limitaciones que sufre el sistema te´orico al llevarlo a la pr´actica, de forma que cada etapa a˜nadida (la inclusi´on del estimador de variables de estado, la implementaci´on del modelo del actuador, el filtrado de la se˜nal de medida de los aceler´ometros) significa un aumento del error cometido con su consiguiente disminuci´on de la efectividad del sistema. Una de las fases del trabajo que ha supuesto un volumen m´as importante de tiempo, y que ha requerido la adquisici´on de nuevos conocimientos ha sido la implementaci´on del sistema final en el controlador, ha supuesto el aprendizaje de un nuevo lenguaje de programaci´on como ha sido Labview, as´ı como el solventar los diferentes problemas que fueron surgiendo hasta conseguir que el sistema real fuera estable. Para ello, fue necesario la inclusi´on de un filtro de paso bajo para evitar que el sistema de control actuara ante perturbaciones que se encontraran en un rango de frecuencias fuera del que ha sido dise˜nado, pues esto supon´ıa la inestabilidad del sistema. Otra fuente de inestabilidades fue la ubicaci´on del propio actuador, pues al modelizar la pasarela como un sistema de un grado de libertad, se simplifica su comportamiento igual´andolo al de una viga biapoyada, de tal forma que las secciones perpendiculares al eje longitudinal de 13.5 m van a experimentar la misma aceleraci´on en todos sus puntos, no contemplando as´ı la torsi´on de la plataforma. Esto puede suponer un problema si no se coloca el actuador sobre la l´ınea media de la estructura, pues al inducir fuerzas a ciertas frecuencias s´ı que provocar´an la torsi´on de la plataforma, generando entradas al sistema de control para las que no ha sido dise˜nado, y generando de esta forma inestabilidades en el sistema. Por tanto, la soluci´on a este problema fue la correcta ubicaci´on del actuador en la plataforma. Adem´as, al implementar el filtro de paso bajo, se produc´ıan retardos en el sistema que lo convert´ıan en inestable, se opt´o por modificar la estructura del c´odigo de forma que el sistema lanzara cada milisegundo una salida al actuador aunque el tiempo de procesado de cada entrada fuera superior. Con este cambio se logr´o que el sistema se comportara de forma estable. Posteriormente se consigui´o emplear otro tipo de filtro que evitaba el retardo en el tiempo de procesado de cada valor de entrada, haciendo funcionar al sistema de forma m´as ´optima. En el trabajo se han mantenido las explicaciones de ambos c´odigos para poder observar la evoluci´on llevada a cabo para la obtenci´on del sistema final, pues este proceso no ha sido inmediato y ha llevado un cierto volumen de trabajo. Es importante volver a recalcar que no se dispon´ıa de experiencia previa con este software, por lo que ciertas soluciones adoptadas, aunque funcionales, puede que no sean las empleadas por un experto en el programa. Tambi´en cabe rese˜nar el proceso de validaci´on experimental llevado a cabo, donde se ha podido analizar el comportamiento del sistema ante diferentes situaciones de carga, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. En el dominio temporal, se han podido obtener comparaciones cuantitativas Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 89 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez entre el sistema controlado y el original sin controlar, viendo como aplicando el sistema de control activo el sistema tarda un 96.54 % menos de tiempo en alcanzar una aceleraci´on inferior al 2 % de la inicial tras una excitaci´on de tipo escal´on. Adem´as se ha calculado el MTTV (valor m´aximo de vibraci´on transitoria) para ambos sistemas, observando una reducci´on del 66.07 % en el sistema con control. En el dominio de la frecuencia, al calcular las funciones de respuesta en frecuencia de los sistemas sin controlar y controlado, se puede observar como, a pesar de utilizar un sistema de un grado de libertad, dise˜nando el sistema de control para funcionar en el rango de frecuencias comprendido entre 1.5 y 4 Hz, que coincide con el primer modo de la estructura, el comportamiento del sistema controlado es aceptable en todo el rango de frecuencias (de 0 a 30 Hz), reduciendo la cantidad de vibraciones del sistema en su tercer modo, aunque no de forma tan ´optima como en el primer modo para el que ha sido dise˜nado. Adem´as en estas FRFs se puede observar c´omo mejora el comportamiento del sistema al aplicar el filtro FIR que evita retrasos en la salida del sistema tras el procesado de la se˜nal de entrada. Del mismo modo se ha comprobado como el sistema experimental implementado presenta un comportamiento peor que el simulado, esto se debe a las limitaciones inherentes a los medios utilizados, pues el controlador tendr´a siempre ciertos retrasos que empeorar´an la respuesta del sistema en lazo cerrado, estos retrasos se podr´ıan reducir realizando el c´alculo de la salida del sistema a partir de la aceleraci´on medida en la propia FPGA de la MyRio, en lugar de utilizar la FPGA ´unicamente para la lectura y escritura de las se˜nales. Se incluye esto como l´ınea futura del trabajo. Por ´ultimo, se ha incluido en el c´odigo la opci´on de recalibrar la estructura sobre la que se implementa el sistema de control. Esto puede ser interesante en estructuras reales, donde las condiciones ambientales pueden suponer modificaciones en las propiedades estructurales de los componentes de las estructuras, especialmente trat´andose de madera, donde estas propiedades son muy sensibles a las condiciones de temperatura y humedad. De forma que al aplicar este sistema en una pasarela real ser´ıa conveniente realizar este proceso de recalibraci´on con cierta frecuencia para que el sistema de control funcione de forma lo m´as ´optima posible. Por otro lado, adem´as de cambios en las propiedades de la estructura debidos a modificaciones de las condiciones ambientales, estos cambios se pueden deber al deterioro de la propia estructura, de tal forma que realizar este proceso de recalibraci´on podr´ıa ser una manera interesante de detectar estos deterioros, pudiendo establecer l´ımites en estas propiedades modales que indiquen deterioros graves de la estructura para los que har´an falta reparaciones o cambios importantes. Si los cambios en los valores de las propiedades modales no indican deterioros graves, este proceso de reacalibraci´on en el sistema de control har´a que su comportamiento siga siendo ´optimo, de manera que los deterioros de la estructura no aumenten la cantidad de vibraciones de la misma, manteni´endose estos dentro de los estados l´ımites de servicio. En definitiva, se ha logrado obtener un sistema de cancelaci´on activa de vibraciones en torno al modo uno de la plataforma, con las consecuentes limitaciones debidas a la reducci´on del sistema a un modelo de un grado de libertad. La realizaci´on de este trabajo ha supuesto la aplicaci´on de los conocimientos adquiridos sobre tecnolog´ıa de control y sobre la modelizaci´on de sistemas en espacio de estados, adem´as de requerir el estudio y aprendizaje de nuevas ´areas como el an´alisis din´amico estructural o de nuevos lenguajes de programaci´on y manejo de software como Dewesoft o LabView. Como Trabajo de Fin del M´aster en Ingenier´ıa Industrial se han combinado los conocimientos adquiridos sobre las ´areas de estructuras y de tecnolog´ıa de control, aplicando adem´as conceptos aprendidos en este m´aster como la aplicaci´on de algoritmos gen´eticos para la resoluci´on de problemas de optimizaci´on. Por otro lado, los estudios de grado y de m´aster llevados a cabo han permitido desarrollar una capacidad cr´ıtica de resoluci´on de problemas basada en la b´usqueda de informaci´on, el estudio de los conocimientos te´oricos y la aplicaci´on de dichos conocimientos sobre m´etodos pr´acticos y experimentales. Para la realizaci´on de este trabajo se ha seguido esta secuencia, partiendo en primer lugar del planteamiento del problema: controlar de forma activa las vibraciones del primer modo de la plataforma, y a partir de ´el se sigui´o un proceso de estudio de material te´orico sobre din´amica de estructuras, cuyos conocimientos no se hab´ıan tratado en las titulaciones cursadas, y de b´usqueda de art´ıculos cient´ıficos donde se hab´ıan resuelto problemas similares. A partir de ese punto se marc´o un itinerario a seguir y se fueron solventando las distintas limitaciones y problem´aticas que fueron surgiendo hasta la obtenci´on del sistema final implementado en la plataforma. La realizaci´on de este trabajo formando parte del grupo de investigaci´on que dirige el doctor Antol´ın Lorenzana y del que forma parte el doctor ´ Alvaro Magdaleno ha supuesto unos meses de trabajo muy estimulantes en los que me he podido desarrollar como ingeniero mejorando mis capacidades de an´alisis Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 90 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez y resoluci´on de problemas, pudiendo trabajar de forma aut´onoma, pero recibiendo la ayuda y la gu´ıa necesaria por parte de ambos, en dos temas que me han resultado muy interesantes y sobre los que me gustar´ıa seguir aprendiendo como son los sistemas de control y el an´alisis de vibraciones. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 91 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 8.2. Presupuesto Uno de los principales atractivos de este trabajo y que lo diferencia de otros sistemas similares de cancelaci´on activa de vibraciones es que su implementaci´on se realiza con dispositivos de bajo coste, en este apartado se realizar´a una estimaci´on de la diferencia econ´omica de este sistema de control creado con medios low-cost con relaci´on a otros controladores utilizados habitualmente en la industria. Tambi´en se estimar´a el coste que ha tenido no solo la implementaci´on si no todo el proceso de an´alisis modal experimental, modelado y dise˜no del controlador, con las consecuentes horas de ingenier´ıa que han sido necesarias. Se comienza comparando los medios utilizados para la implementaci´on del sistema de control con respecto a los medios tradicionales que se han utilizado en instalaciones similares. En la Tabla 7 se muestra el coste de los tres dispositivos necesarios para cada sistema (sistema de medida, controlador y actuador). Cabe destacar que como actuador no se ha podido utilizar un dispositivo de bajo coste, pues el sistema de control activo dise˜nado requiere un sistema lo suficientemente potente y r´apido como para que sus fuerzas sean representativas en la estructura y pueda ser controlado con el menor retardo posible. Sistema tradicional Sistema de bajo coste Aceler´ometro Piezoel´ectrico KS76C10 360 eMEMS ADXL355BEZ 44 e Controlador CompactRIO-9030 3677 eMyRIO-1900 608 e Actuador APS 400 ELECTRO-SEIS 25000 eAPS 400 ELECTRO-SEIS 25000 e Total 29037 e25652 e Tabla 7: Comparaci´on del presupuesto para la implementaci´on del sistema de control de un sistema tradicional con uno de bajo coste como el que se presenta en este trabajo. Se observa como el sistema de bajo coste supone un ahorro del 11.66 % con respecto a la implementaci´on del sistema tradicional. Esto puede no parecer sorprendente, sin embargo, si se realiza este c´alculo excluyendo el actuador (que supone la mayor parte del coste y que es el mismo para ambos sistemas) se observa como el sistema de bajo coste supone un ahorro del 83.85 % teniendo en cuenta el dispositivo de medida y el actuador (652 econtra 4037 e). A continuaci´on se muestra una estimaci´on del coste que ha supuesto cada fase de este proyecto, incluyendo tanto los costes de los dispositivos empleados como las horas de ingenier´ıa que se han dedicado. Para la realizaci´on de este trabajo se ha disfrutado de un contrato como investigador en formaci´on, por lo que es sencillo calcular el coste supuesto por cada hora invertida, siendo este de 9.12 epor hora. Por otro lado, es importante remarcar que no se ha comprado para la realizaci´on de este trabajo ning´un dispositivo de los utilizados, si no que se han empleado los medios existentes en el laboratorio, y que se van a poder seguir utilizando con otros fines de investigaci´on tras la finalizaci´on de este proyecto. En primer lugar se muestra en la Tabla 8 los recursos necesarios para la fase de an´alisis modal experimental. Se utilizaron los dispositivos indicados en el apartado 3.1 (Instrumentaci´on necesaria). Con respecto a las horas de ingenier´ıa, se dedicaron un total de cuatro semanas dedicando cuatro horas diarias, incluyendo el estudio y lectura de documentaci´on sobre din´amica y an´alisis modal, la programaci´on del controlador para el control del excitador, la toma experimental de datos y el procesado de estos en Matlab para obtener sus propiedades modales. An´alisis modal experimental Sistema de adquisici´on de datos SIRIUS Dewesoft 8000 e Aceler´ometros Piezoel´ectricos KS76C10 2 ×360 e Controlador MyRIO-1900 608 e Excitador APS 400 ELECTRO-SEIS 25000 e Mano de obra 80 horas de ingenier´ıa 729.6 e Total 35057.6 e Tabla 8: Estimaci´on del coste empleado en el proceso de an´alisis modal experimental de la plataforma. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 92 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez A continuaci´on, en la Tabla 9 se muestra el coste de la siguiente etapa del trabajo. En este caso todo el proceso de modelado y dise˜no del controlador fue a nivel de programaci´on en Matlab y Simulink. Fueron necesarias otras cuatro semanas de trabajo dedicando cuatro horas diarias. Modelado y dise˜no del controlador Mano de obra 80 horas de ingenier´ıa 729.6 e Total 729.6 e Tabla 9: Estimaci´on del coste empleado en el proceso de modelado y dise˜no del controlador. Con respecto a los medios empleados en la fase de implementaci´on del sistema de control en la estructura, se muestran en la Tabla 10. En esta fase tambi´en se incluye la programaci´on del programa en LabView, con el consiguiente proceso de aprendizaje de este software. Para llevar esta fase a cabo fueron necesarias cinco semanas, trabajando cuatro horas diarias. Implementaci´on Aceler´ometro MEMS ADXL355BEZ 44 e Controlador MyRIO-1900 608 e Actuador APS 400 ELECTRO-SEIS 25000 e Mano de obra 100 horas de ingenier´ıa 912 e Total 26564 e Tabla 10: Estimaci´on del coste empleado en el proceso de implementaci´on del sistema de control. En la Tabla 11 se estima el coste requerido para la validaci´on del sistema final. Para este proceso fue necesaria una semana de trabajo a tiempo completo (ocho horas diarias). Validaci´on Aceler´ometro Piezoel´ectricos KS76C10 360 e C´elula de carga Mutronic 500 Kg 260 e Mano de obra 40 horas de ingenier´ıa 364.8 e Total 984.8 e Tabla 11: Estimaci´on del coste empleado en el proceso de validaci´on del sistema de control. Por ´ultimo, se incluye en la Tabla 12 el tiempo destinado en la redacci´on de este tomo y en la preparaci´on de la presentaci´on, este ha constado de seis semanas de trabajo a tiempo completo. Redacci´on del tomo y preparaci´on de la presentaci´on Mano de obra 240 horas de ingenier´ıa 2188.8 e Total 2188.8 e Tabla 12: Estimaci´on del coste empleado en la fase de redacci´on del tomo y de preparaci´on de la presentaci´on. En la Tabla 13 se resume el coste total requerido para la elaboraci´on de este trabajo. No se incluyen los costes de licencia de software de Matlab, Dewesoft ni LabView. Hay que recordar que no se ha comprado ning´un dispositivo de forma exclusiva para este TFM, sino que todos los productos estaban disponibles en el laboratorio de estructuras y lo van a seguir estando despu´es de este trabajo para futuros trabajos de fin de grado o m´aster, o para fines docentes o de investigaci´on. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 93 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Total Sistema de adquisici´on de datos SIRIUS Dewesoft 8000 e Aceler´ometros anal´ogicos Piezoel´ectricos KS76C10 2 ×360 e Aceler´ometro digital MEMS ADXL355BEZ 44 e Controlador MyRIO-1900 608 e Actuador APS 400 ELECTRO-SEIS 25000 e C´elula de carga Mutronic 500 Kg 260 e Mano de obra 540 horas de ingenier´ıa 4924.8 e Total 39556.8 e Tabla 13: Estimaci´on del presupuesto total empleado para la realizaci´on de este trabajo de fin de m´aster. 8.2.1. Consideraciones adicionales Con respecto al proceso de elaboraci´on de este Trabajo de Fin de M´aster, es importante destacar que no se ha empleado ning´un material peligroso ni se ha contaminado el medio ambiente durante la realizaci´on de este. El ´unico impacto ambiental que se podr´ıa considerar se producir´a en la finalizaci´on del ciclo de vida de los distintos dispositivos utilizados, aunque como ya se ha comentado, todos estos utensilios quedan a disposici´on de futuros proyectos de docencia o de investigaci´on tras la finalizaci´on de este trabajo. Adem´as, cabe mencionar que ninguno de estos dispositivos ha sido comprado expresamente para la elaboraci´on de este TFM, si no que se han aprovechado los distintos medios que se dispon´ıan en el laboratorio de Estructuras de la Escuela de Ingenier´ıas Industriales de la Universidad de Valladolid donde se ha realizado todo el proceso de instrumentaci´on y experimentaci´on del TFM. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 94 8 CONCLUSIONES, PRESUPUESTO Y L´ INEAS FUTURAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez 8.3. L´ıneas futuras Tal y como se ha ido indicando a lo largo del trabajo, el sistema de control dise˜nado tiene impl´ıcitas una serie de limitaciones que disminuyen su rendimiento potencial, en este apartado se exponen algunas posibles soluciones para estas limitaciones que se podr´ıan aplicar en un futuro. Utilizaci´on de un modelo de m´ultiples grados de libertad. Esto complicar´ıa ligeramente la fase de an´alisis modal y de modelado de la plataforma, sin embargo, permitir´ıa conocer el comportamiento previsto de m´as puntos de la estructura, en lugar de ´unicamente su punto medio, de forma que se podr´ıan establecer las leyes de control conociendo como afectar´a la realimentaci´on a la estructura global, y eliminando las inestabilidades debidas a la torsi´on de la plataforma o a las altas frecuencias, pues ahora estar´ıan contempladas en el sistema de control, de forma que se podr´ıan eliminar el filtro de paso bajo con la consiguiente reducci´on en el tiempo de procesado de los datos para la salida del sistema. Disminuir la frecuencia natural del actuador. Ya se ha comprobado en la secci´on 4.3.1 c´omo el rendimiento del sistema en lazo cerrado mejorar´ıa notablemente utilizando un actuador cuya frecuencia natural no estuviera tan cercana a la de la propia estructura. Un forma de mejorar el rendimiento del sistema de control ser´a disminuir la frecuencia natural del actuador de masa inercial, para llevarla a un valor lo m´as bajo posible. Para ello se deber´a aumentar su masa o bien disminuir su rigidez (ω0=qk m). Como se est´a usando como actuador un excitador de masa inercial comercial, cuya masa m´axima es la que se est´a utilizando se deber´ıa tratar de disminuir su rigidez para variar su frecuencia natural y obtener un sistema de control m´as eficiente. Implementaci´on de la funci´on de transferencia (aceleraci´on medida-salida de voltaje al actuador) en la FPGA del controlador MyRio. Una de las principales limitaciones en el proceso de implementaci´on es debida al tiempo que tarda el controlador en calcular la se˜nal de referencia al actuador en funci´on del valor medido de la aceleraci´on, ya se ha observado como al disminuir este tiempo cambiando el filtro de paso bajo utilizado mejora notablemente el resultado del sistema de control (Figura 78). El siguiente paso ser´ıa realizar este c´alculo de la se˜nal de salida directamente en la FPGA de la MyRio, en lugar de hacerlo en el software que se le vuelca como se ha hecho en este trabajo. Actualmente ´unicamente se utiliza la FPGA para llevar a cabo los protocolos de lectura de la se˜nal digital de los aceler´ometros y de la salida anal´ogica de voltaje. Programando en la FPGA las operaciones de filtrado y multiplicaci´on por los coeficientes de la funci´on de transferencia discreta de la se˜nal de entrada se conseguir´a reducir este tiempo de procesado para obtener la salida, pudiendo emplear un menor tiempo de muestreo del que se est´a usando (un microsegundo), de forma que el sistema act´ue antes ante determinadas perturbaciones. Esto no se ha hecho antes debido al elevado conocimiento de programaci´on en este software que requiere entrar en la FPGA, por lo que se plantea como l´ınea futura para mejorar el rendimiento del sistema en lazo cerrado. Implementaci´on del proceso de recalibraci´on en la MyRio para su ejecuci´on de forma aut´onoma. Al explicar el bucle de recalibraci´on implementado ya se ha comentado que actualmente la FPGA solo est´a programada para la lectura simult´anea de un s´olo aceler´ometro, por lo que el registro de los datos para llevar a cabo la recalibraci´on del sistema de control y su procesado para extraer la nueva funci´on de transferencia se realiza utilizando la tarjeta de adquisici´on de datos de Dewesoft y el software Matlab, respectivamente. Ser´ıa interesante poder realizar este proceso completo de forma aut´onoma mediante la MyRio, pudiendo fijar la frecuencia con la que se desea recalibrar el sistema para que ´el mismo inicie el proceso de excitaci´on controlada de la estructura, de toma de datos, y del procesado de estos datos realizando el an´alisis modal de la estructura y obteniendo los coeficientes de la funci´on de transferencia del sistema de control. De este modo se asegurar´ıa que el sistema de control estuviera siempre optimizado para las caracter´ısticas cambiantes de la estructura. Se ha dejado este punto como l´ınea futura debido a la complejidad de programaci´on en LabView y al tiempo requerido para llevarlo a cabo. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 95 C FILTRADO DIGITAL DE SE˜ NALES C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son siempre estables. Los ceros se presentan en pares de rec´ıprocos si el filtro se dise˜na para tener fase lineal. Con respecto al dise˜no de estos filtros hay varios m´etodos, en este trabajo se ha utilizado el m´etodo de las ventanas, indicando en la funci´on de LabView correspondiente el tipo de filtro (paso bajo), el tipo de ventana (Welsh), la frecuencia de corte (24 Hz) y el n´umero de puntos (50). C.2. Filtros IIR Un filtro IIR es aquel que tiene una respuesta infinita al impulso y que se caracterizan por tener una retroalimentaci´on de la se˜nal de salida. En los filtros IIR, la salida es funci´on no s´olo de la entrada actual y de las precedentes, sino tambi´en de las salidas anteriores. Es decir, se trata de filtros recursivos (poseen realimentaci´on), y por tanto se espera que (en general) posean una respuesta impulsional infinita. Su ecuaci´on en diferencias puede expresarse seg´un la expresi´on 68. yn=b0·xn+b1·xn−1+···+bN·xn−N−a1·yn−1−a2·yn−2−···−aM·yn−M(68) Donde anybnrepresenta los coeficientes del filtro (hacia adelante y hacia atr´as, respectivamente). El orden del filtro es el m´aximo entre los valores de MyN, que son los t´erminos que determinan la cantidad de polos y ceros en la funci´on de transferencia. En base a esta ecuaci´on, se define la funci´on de transferencia de los filtros IIR seg´un la expresi´on 68. H(z) = PN k=0 bk·z−k 1 + PM k=0 ak·z−k(69) En la Figura 86 se muestra la estructura b´asica de estos filtros. En este tipo de filtros la estabilidad del sistema depende de la ubicaci´on de sus polos y ceros, pudiendo hacerse inestable si presenta alg´un polo fuera de la circunferencia unidad. Figura 86: Estructura b´asica de un filtro IIR. Fuente: Wikipedia Las principales diferencias entre ambos tipos de filtros digitales en cuanto a rendimiento radican en que los filtros IIR pueden cumplir las mismas exigencias que los FIR utilizando un menor orden de filtro, lo que implicar´a una menor carga computacional al implementar el filtro, sin embargo los filtros IIR pueden ser inestables si no si dise˜nan de la forma adecuada, mientras que los filtros FIR son siempre Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 102 C FILTRADO DIGITAL DE SE˜ NALES C´esar Pel´aez Rodr´ıguez estables. En este trabajo, el retraso supuesto por el filtro FIR de orden 50 implementado era inferior a la frecuencia de muestreo a la que funciona el sistema de control, por lo que no se ha considerado necesario implementar un filtro IIR que como se ha visto deber´ıa de funcionar con menor retardo. Con respecto al filtro express IIR implementado inicialmente, el problema es que ese tipo de bloques Express de Labview calculan los coeficientes del filtro en cada iteraci´on, lo que s´ı supone un elevado retraso que hace perder mucha efectividad al sistema en lazo cerrado. Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 103 C FILTRADO DIGITAL DE SE˜ NALES C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Dise˜no, implementaci´on y validaci´on de un AMD para la mitigaci´on de vibraciones. 104 REFERENCIAS C´esar Pel´aez Rodr´ıguez Referencias [1] H. Bachmann. “Case studies of structures with man-induced vibrations.” En: Journal of Structural Engineering 118 (1992), p´ags. 631-647. 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