Anàlisi complexa. Apunts

LLICENCIATURA DE MATEMÁTIQUES ANÁLISI COMPLEXA Albert Compta UNIVERSITAT P0LITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca l lllli 111 III� 1111111 lill lil 11� 111111111 1400327062 FACULTAT DE MATEMÁTIQUES I ESTADÍSTICA ' ANALISI COMPLEXA Títol: Analisi complexa. Autor: Albert Compta. it Legal: B-42.604-1998 ,res per: Álll.,ENS Sor Eulalia d'Anzizu, s/n 08034 Barcelona Albert Compta • e •• Facu �it d� Mate1nat1ques I Est0�fstJca -Bfbtio1eca O. COMPLEXOS 2. Dcsni,-iu els c-onjunls (aJ I= + il < ti. (bJ l2i-:I = 1=+ 1 +:1¡¡_ (c)2> Re::>-:J. (d) He [(:J --'li):] > O. (e) (lm :)2 S Re:. (f) 2 Re: < \:\2. 3. (11)Si11.óEC lal<l 1=j�l<I lbl < 1 J 1 -'"' • (b)Sia.bEC - \a\< l } �-j_,, -i, 1-- l. lbl = 1 , 1 -/;., 4. <11,/12.<1:i E C. D,·11wstrcu <¡lll' sú11 .-Is \·i-rll'XS d"u11 lrianglf' 1·quili,1,•r si. i 11u111i'·s si (a1#111#a�) 5. Trobeu les condicioHs per tal que a:+ u':+ e= O tingui una soln sol11ció i 1 rolJl'u-la. 6. Prm·eu la ldentitat de Lagrange essent 11,. b; E C. 7. Pera quins valors de a, a'. b i b' les rect.es coincideixen "? == 11 + bt :: = ,l' +b't a.b.a'.b' E C. b,b' # O, t E IR. D«·111 , .. tn>n que· 1�� di<1g n;ils d\111 l'vlul,.. �ú11 rtog,umils. 9. Si,,.; és un generador ele les arrels 11-esimes de la unil;i\ (.._,n =Ji.,.,"'-=/ L si rn < 11). proveu que 1 + .,.;h + ...,,21, + .. , + "'-'(n-ljf, := Q. Sent /, E Z, /, # i1. 2 Anillisi Complexa 98-!!9 10. P<'r a qui11s ,alors de"·/, i c. a=+ /J'; + r = O. és llllfl re<:ta'! 11. Pro,ierció e.<tereografica. Sigui S = {( r1• r1. r�) E IR3: .rf + -d + .r� = l} i .Y = (O. o. 1 ). l'Oll�iclrrem l"aplic-arió 8 - { .\'} _::_,, C <¡lle a rada punt P E S - { N} li a,sig11a ,·1 «lll1plex de compon<'nls les d11f's pri111crrs coordC'1iad<>s de la intersecció d<· la 1rr la \'P amb cl pin .r� = O. i,1.I Trol1<'11 1·cxprcssi<'> c_l<' ,;-1. ,;. (1,) l),•111"slrc•11 r¡11<• PI, «•1clr•s q1H' p,1s,1•11 l"'I' .\ slÍ11 r•11 ,01n·spo11d<-1wia hi,ie('li,·a anili 1,•s rertes de C. 1, 1 )k11 1osl 11•11 qu<> els, 1•1, ),,, <pi<' no 1""'"'11 pc•1 .\' són <'11 c·orrr·sponcl<-n,ia bijr•cl i1 a a111b r)� c<'1dc� dc C. En <'I ca111p complc-x l'r,fn,1 S <'S conrix rn111 /'es/i·rn de R.icmn11n i �f' J'identifica a111h iC = ,CU {:X:}. 011 X ,;, c),.•fineix t'OIII la inrntg<" dr .\', (d) Si clefi11i111 la distancia enlrc dos p11nts ele C com la distancia Pntre els seus ronrsponc11ts a S. lrolwu d(:.:'). si:.:' E C i d(:,·x). si: E C. (P\ Dr111os1 rr•11 que soh1r C. r/ dríineix la malei:-.a topología quP la norma. Quines són ].,, lio)r•s renl rnrlrs en x .' IÍ! DP1nostr""11 que si : i :' corr<>�ponen a punls dia111Plrnl111rnt oposats en S. :';' = -1 12. "/ú11i.,/iJ1 /llnrio11s /iuca/, a C. Ril<Í r rr•11;H/;1 rf,. 1 p1111ls. -Ls rll'fi1l<.'ÍX trn11síorn1ació li11eal 7 cu111 a u: �1, T= = --- sent 1: -d S1)11 l,ij1•1 1 j\('S, ,,,/J.c.d E <C crr/ -be-=/- O Dona!, 11,•s pnnts :1.::1• ::3 E C. f'Xisteix 1111á ünic� transformació linC'al S que rl, aplir,1 PI] l. o. X. J'<'S)H'f'IÍ\'ñlllf'lll. 001ml 1111 ¡rnnt = E e difc-•r<'nl r_lp =1- =1- ::1 f'S dPfi1wix raó Cl'f'llñda (=. :,. =1- =�) 1 0111 lil i111;1l_L!,l' JH'I ..... el,· : -· 1 :, -.: .... C'o11q110,·a els ef,•ri<'� el<' Ir•,; prr11111lario11 s sobrP la 111ó n<'11aclíl. ·¡ ¡][) = lK <==} 3rr.li.<.d E�. qn<' cldi1wixc•11 T. (i = !RU {x}). :'l.nidisi C'un,p\,..:,¡¡¡ 7 lin,•;,J aplica f. c11 un --cP1Tle·· (cP1rJi, o 1ecla). (:·1-=1-=1•=<) E ÍiÍ: = :, sr,n cl,·1 n1a1rix .. c,·1rl,.-·. T li11eal l ransform;, "c<'rdes .. en --u·1 ( \¡,,;''. Si ( · <'-, u11 ··cercle" i 7'1 ( · ¡ = R. "'' ddin<'iX ,i111/,\ ríe di' 1 l"S]W< ti' de ( ·. ('0n1p1cJ1a c¡u,· ,:, u11a buna ckli11i,ió (no d,·p�11 de T). i: =· · =1 •: 2, ::, 1 = (:, .: 1 · .: l· ::ii. ,('111 � 1, : 2· :,,. E / , . Principi de simetría '/ li11<';,I I (( ·11 = 1 < ·1.<.', ,,·1ck, }='/ 'l ilil 'f' li1Jc•¡iJ_ .t11rlJ F(( '1) = ( '.!. q1wcl.i d«·lt'llllill111l;-1 JH'I. ii1 i111iil�_1' d"1111 ¡,1111! .¡, 1 1 111, d,· ru, e,. 13. Ti;11,.,¡;,rliliH Ít1/!.' li1wi1/, ;¡ ( ·,u: 1, T.:: = e'": -�o sen! 1111 .:o # O . .: -.:u Analisi C'()ll1Jll,:,xa !JS-9!J l. FUNCIONS HOLOMORFES l. Si g(..:) i _/'(.:;) só11 holomorfr·,. clemoslreu que (g o .f)(.:;) és holomorfa. 2. ( 'ompro,·eu les <'quacions ele C'auclw-Hiemann pera les Íllncions .:;2 i .::3 . 3. T1obeu rl poli110111i hn1111i111ic 1111;, p;<'ll<'I al ¡J,. In forma ,, ,·'3 + /i.r2y + ry1 + d.1/. DP- 1,•11ni11,·11 I;, í111l!'ÍÓ ro11i11g;11I;, lrnrn1i111i, a 111•1 i11lr·gn11·i,í i p,·1 111i·1od,· ío1111al. 5. l),•111osl1r11 q111• /(.::) i ./(.::1 s,í11 si11111lli111i;1111<'11I l1olo11101í,·s,·11 :ni .::11 l'<'S\H'<'li,a11w111. 6. D,•111osl1r11 qur 11(.::) i 11(�) ,011 si111ul1�11iamr111 lrnrmoniques. 7. Dr111ost1<·11 <¡11r "PS l1or111irnir¡¡ = _ .. _=O. 8. Sig11i L,,?•'"".:: a1nb nidi el,, ro11\l'l'.t\i·111·i;1 J. ]lf'linim }(.::) = I::,,?0o,.:" pe1 !:I < l. (n) lk111os1JPII <¡llP -t rt lf(r(;,;)12dll = L"c'." ¡{l,.12,-1,;. Ü :S /'<l. (hl Si/,;,_ i11j,•rtirn. _.\rc;i [f¡/l,iíll)l = :.I::,,,:o"I", l2r2'. O<,. < 1. l11dinició: 1 ·seu el 1eorrma del lifll\ i dP 1·¡¡riable. 9. (;i) D1•111osl)'('II que li111, , .. '.�, = 11 = L .. ?""":·" 1r 1adi R. (b) La si:-rie Ln?I � 1r 1ndi ele rn11,c•rg0ucin l. EstudiPu-la en el� p11nts {.:;: 1.::1 = 1}. l'Olll'('lgf:'ix (e) 0Pmos1rru que ln(l - :) = -í::,,:::1 � JH'l !:·! < 1 1 O. D,·srm·ol 11 pr11 (") ( 1 - :· )-"'. 111 E N ,·u poi i·1_1, ¡,., el,· .:: (b) 1.:,� en potencies de.:: -J. l11diq11r11 rls radis clP co11u•1g/ncia. l'''I' (l < /) < '2;, Analisi (\,ntplexa 9S-99 5 1 l. Trobeu els I adis de convergencia de L 11"::", L S, L 11!.:". La"'=" ( ial < 1 ). L ="' 12. Si el rndi de' con,ergi�ncia ele Liln.:" és H. quin és el raeli ele L",,.:1" i I::a;,:" 1 13. Si L 11,,:" i L /),,:'' tenen radis de conw·rg<>11ria R, i Ri respect i,·ament. L r, ,,ú,, .:" tr radi clP co1l\"ergi·11ria � R1R¡. 14 l'e•1 c1 e¡uins \'alor, <'S <011,rro·<.·111"' (_:_)"·> •o L..,,:,:u 1+., · 15. T101Je11 (a) sin i. cos i. tan( l + iJ. (h) Re (ros.:) (11,eu lt•s fórnHile, el,· I« suma) (e) Si sinh.: = ''-;-, i cosh.: = '-� - . l robeu les fó1nrnles ec¡niHdPnl s a Je,, dr le·, funcion, tri¡,onuinctrique•s rn,: 1 ,i11 :. 16. T,ol"'n (a¡ ,-r.,/J_ log(-1). logi. log(l +:?i;. (h) i'. :?'. 17. (il) l),,mo,11t'l1 <pw no l,i ha cñp de1,,r111inaei_-, co111í11ua del loga1itn1<.' ni de• r�1rc•l l(-1·,i111<1 e11 /7¡¡ (0) -{O}. (l>J Si r·xislf>Í;; 11na clete•rn,inació ele•! loµ,a1il111,· ('11 (: - {.: ., + !) Ulln. O}. de111<·11-1,c• 18. Sigui /: IR1-¡ IR::' clife1'eJ1ciablc- en :0 (en sc111i1 Ie';,IJ. Sigui S ={=E C: exi,t"ix :,, -t .:0 ami, lim,, /lc'.,l=:'"'·1 = :}. Dr-n1osl1c·u que-· �· és 1111 pnul o una n1rt1111- ... -t.} fe1 é11cia. 19. (a) D,·1110slr<·11 q,I<' pe·, "cad,, r, E C. 11 f ±1. l'e·quaci<Í 1,111( :) = 11 1,· i1dini1e•, arrels. Pera a= ±i. Lan(.:) = r, no té solut·i,,. lnclicació: Escri\'iu en 1ermes del logaritme una fórmula per elesc1iurP les solu cions dt' tan.: = <t. . ..\c¡ttl"sts \'alors reben f'l nom de arcla11 (o). (bi Si ll"llilll clu<'s deierrninariu11s rnntí1111<-•s elP aicta11 (.:) en 1111 con11rx /:', dif<'lf'i Xt'II en un mlÍltiple ele rr. (e) Done u la cleterminació el"" are tan (.:) que corres pon a la prinripal dPI logaritmP. 20. Sigui J difeH.'nc-iohle. en PI sentit l'<'�I. 1•11 :u. S11posc•111 que li111, __ "' ¡ti·;.::�'.-'! exis leix. IJemosl reu que ./ o / és holomorl'it 1·11 :0 (i 21 ._. ((_·) __ { ,0,xp (-:L,-) , IJ.!111 prr Jlí'I' 7" o =0 Den10,1 re11 <Jll<' Íil) r Snli,l"i, 1,,, f'qlln( i,,11, d(' (';,11, ln-íli<'1n;11111 a![_ ih) r ,;, holo11101fa f'll C- {O} i 110 ,;,_ ,011l111u;, f'll o. 22. (<11 Dc1110,l1<'u r¡ue Ir., co1111>onent, ,ru11a f11nrió holomo1fa só11 hnr111imiqt1<", ih) lk-1110,11,·11 'JllP 1/ =,-•¡,.,in¡¡ - .1/(()S.1/I rs h,11111r,11i,a i trobr11 llllil f1111,ió ,. l;il q1w " .L ri :-;i!,!.Hi c111ali1i,;L l:\p1•·� ... ,·11 / :=.: 11 + ir <'ll l1111ci1'> de• 23. l l,111,1,l,1 / ( r. !! ) = (2,r( 1 - 11) + ,\ ,., -¡111'. '2.11 -1/ + n¡ + ., 2). lkl rn11i11<'11 ,\ i ¡, 1w1r¡i1;, ..:i!..!.11i l11Jlr111101 L1 i <'\])lr•.,_,(•11-L-1 ('11 !11111 i1) d(' 24. (,1\ Qui11 illlJ.!I<· ÍOl'IJH'll ks ,oil"'' ll,· :1 = 1 Jl,, ," = l111 lh) Si 11· = 1/:. dibui:-;,-,11 les rn1hr, i111,1tg,· ele 1:\ = ,onslant arg • 10111pto\c'11 rplf' :--1)11 0110_!.!,.<111rd.,. ,onstant (<i Si 1r = /le) É's l,ol,,11101l,1. JHOl<'II 'I'"' Ir, corlws !{,, 11· = '"'"l,1JJ! i 111111· con-.:li-1111 :--()11 nrlc>g_1)11<1l� ,r1111,1r· c¡11e (! :·i =f- O 1'1l PI p1111t i11lt-•1�rrricJ. .-\11idisi C'u111pl<'Xil <)S-!)<J 23. Demostreu que les funcions t'. sin z i cos = tenen una singularitat essenrial f'll x. 24. l'rn,·<'11 qne• 111m singuhnilat ,t"illachi ,;, e•1·italile si. i només �i. He f(=) o lm /(=I ,;, ,H'ol ,1di1 supe•¡ io1 o i11fe1 iornw11t. 25. 26. \il) 27. ta 1 28. l,.1!!_.I' ju+x ----d 1 ,., - 11" .r. ( 1,) 1/" d, a.b > O. a.rº + b. +� )�,� .,- - r• + IO.r2 + <J .,.,. le¡:--'-''. .....,.,-, 1111 > l. u (I ......_ ,11,• I (1,¡ (bJ 1)• -'"'-:1.1 ,, ,1- l ,u�:l.l' e e,,, 1 �r/.r. d,, l ,1, J/·' lug,1 I -i- .,· 1-- IU <" < 'll J 1- (1,) fu+x ./ 1 -11 1 si11 .l' ----- "' _,.1 + "1 .r · 1 29. D,•s,'1l\·oli1peu --- en po1i·11ries de•: - "· (a E IR'.¡. Trobeu ,·I nwfiric·nl µ;c•n,·1al 1 -l- .- si "= 1 rf'duú1-I,, ,, l., J'orn10 111.;, :;illlpl<' pos,il,Jc,. 30. Els poli11u111is el,· l.,·µ,c·11dn• ,., clc·li111•ixe·11 C\,111 ,.¡, ,rn·lie i<'llls /' .. (111 e·11 c·I d""'lll<il11- pfllllt'III 32. [Is 1101J1b1es de Fibo11a((i ,óu definits per <:u= O. c1 = l, c.,= e,,-,+ r·,,_2• De111ostn:u <Jll" són f•)s co<'füir•nts clC'is clesf'nvolupalll<'J1t d\111¡¡ funrió l'i\C'Ío11al i 110- beu J 'exprcssi(Í ele e,.. 33. Desenrnlupeu log (5¡� =) fin, el ter!lle =li a !'origen. 34. (a) Df•mostreu q1w el cl<'senrnlupa111C'!ll ele Lamenl de a 1'01ig<"11 ..,, d<' lii f' - 1 forllla � _ � + ¿J-])"-l�=2n -l = 'l .. ;,:1 ('111 )! 1,11 )<. 11.,11il>1,·" ()" ,ci11 co1wgu1s c·o111 ,,1, lloml.r,•, dt• l11•1no11illi. (';;lcule-•11 /:J1 B, i 83. (b) Fent servir J'apartal anterio1. cakuleu els clesenrnlupame11ts clr C'Ol tan= log(cos :;). 11 .\lliilisi ( '0111pl<'Xn ' 35. l111,·.o,1<•11 ----col ;;:. s<'11I 11 'f_ 2. ,,,l_ll<' J¡¡ íro11tr1a del q1rncln11 de ,·i>rt<"xs (; -111' ( \ + �)1±1 :i: i) .. \'E[�. i pr,·11e11I ,·I lí1nil. cil'111ost1Pu cp1P :1: - 1 JI. - :!1 t;1l ft -.: '· ! < l. 1 I,¡ <' ::! < ·) l< 1 ·l <!::<X 3í. l)o11a,l;i / 1;) 1:+:! 1. ~ ,¡, ¡I,) ·) < 1: < :\. 1,) ¡:' > :1. f ,1 --t- lt) 2 1'1·11 ,·I 111¡¡1 ,,¡" 1¡111.· 1·11 l',•);PI, i( i anl ,., io1 1·11 38. c;¡!!.lli / l1olu1111,¡[a <'11 (): Ti1il: 1, ,·-;1,•¡111·,·11 1111 1101nh1<' li11i1 d,· pols si111plr-s ,ol,,, .• ('(O: 11 -.;¡=,.,,a.,:",-., ,·1 "'" ,1,.,,,111,,Ji;¡,,11111•111 ,¡,. J;nl .. 1 1'11 /)(0: IJ. d,,,110,11<•11 q1lf' {fl,.}.,i::· 1··:---,1cotacl::1. 4. APROXIMACIÓ I DENSITAT l. Cakuleu¿ ( 2" ) �- 11 'i" u�U 1 ;j ( ',1_ ) ( lndicació: l_" sant el ol,·,e1ll'olupament a 1'01 i, n de ( 1 + .:-)". exprrsse11 h corn un residu i. per lant. ,·om una intt>gral ele líni�.) 2. tsant el Teorema ele Taylm aplicat a uua determiuació de log (1 + t) 1Jrm•t•11 qiw li111 (1 + -,.:-,)" = l n--;+x uniformement sobre eJs compactes. 3. Dernoslreu que la sf'rie e(.:-)= I::�'1 ,,-= rnnn·1geix unifornw111P11I ,ubr<· ,.¡, ,0111- pac\cs pe, a J{,. .:-> l. i 1epresc·11l<'t1 In st01a eleri1adn <'11 forma ,le-si·1ie. 4. D,·111osln·11 <plC' 1111<1 í1111ció lllC'IOlllOIÍn H (: i•s 1;irio11al 5. Sigui fl = {.:-: J.:-J < I.J'2.:--lJ > l} i ./ E 11(!1) (a) Exisl<'ÍX 1111a successió el,, polinomis qu<' co,w,·q!pix unil"ot111C'111<·11\ a f so\J1e n1d,1 subroujuu\ rn111pacle de íl'? (b) l�xist,·ix u11a sucn·ssió ck poli110111is que rnnverg<'ix unifor1u1•11w11t a J sobre fl! (e) Si JE H(ll'). 11' oberl. H'::; IT. És certa la prc:gunta (hj? 6. Dernostreu que existeix una surcessió (p,. ),, de poli11omis tal que: (a) (p,.),, convergeix a O uniformement sobre qualsernJ compacle que 110 lalli l'eix real. (b) Jim,1¡1,.(;r) = x. V.r E IR. 7. Demostreu que exisleix una successió (p,, ),, de polinomis tal que 8. EJ nu,tcix per a { O si 1 i,1,n /l ( .:-) = 1 si Jimp,.(.:-) = J ,, 1 O s, lrn .:-= O s, lm =>O -1 s1 lm.:-<Ü 1 (i li111¡1., l:)=fl. :±0 ¡1. 1 O i = 1. ·,· 11 .:: N ():3-')') 10. ¡;,) �igui11" h > O i 11 _ [<l. D,·1110,11<·11 que· f'.\Ísl,•ix 1111 pnli110111i ¡>,, t;1I <111<• ¡,, .. ! : 11 <'I / /1. 1111 -< (1 () 1111 >(/ 11 ¡,,. 1: ¡l 2: 11 �¡ :- ' < 11 1111 -= /, - (1,) ll<--1110,11,·11 (jllP Pxi,1,·ix 1111a s11cc<'ssió ,1,, pnli11nrni- ;1111h limil ];, í1111iccí O. ¡w1b ,,11,· "'' ,0111Prgrix 1111il'n1111c·11w11l ,·11 ca¡, clise olwrl q11,· 1;iJJi J¡¡ rrcl;i 1r;il, .-\ni.lisi C'omplr:rn !)8-9!J lí 5. APLICACIONS CONFORMES l. Si f é, analítica e11 /J(0: l). ro11tí1111<1 en D(0: ]) l,f(::-)\ � 1 per \::-\<l. 11111·01, \.!'(::-) <_I_ il-\{r:¡¡11-l-!:!1 2. Si ./ ,·., c111;,lí1 i," i l111 : > ll i11q,li,·;, 1111 ./ (: ¡ ;:: O ,·s, 1H11plei:-; !{í,: ·' - f (:u) • -"• ill=l -/1:uJI -· -:.,¡ / • - ll J --- <-- '"' ,, :) - 1111 ::- 3. JJ,·111os1 rru qu,· l,·s 1 r111,,kmt1,1< ions rn11k,rnws ele] s,·mipla ,,-+ = {: : 1111 .: > O} í'JI PI clise 11llit;,1 /)(0: l J ,,i11 dP l<t l'or111<1 Sf'lll :11 E ,,-+ i O� O< '2:r. ,,;.: - .:u ll'=C - : - -11 4. f holo1norl'¡¡ <'11 D¡ll: 1) a111h il r il:, � l. Si 1•:,.;Ísl<'ÍX<"ll ,1.b E /J¡0: 1 ). "# 1,. \als <¡ti<' f111) = 11 i f[/,J = /,. drn1u,11<·11 'I'"' /(:)=:.V: E /)fO: 1). (,1) \,., = {::o<¡¡¡�: < 2} ( 1,) /.J., = {: : U < l 11\ ::: < 11}. ,·, > U. 6.Oe111osl1ett qne .f(:) = ½ (= + ;) apli<a ruuím11w111cm (a) D(O: J) -{O} f'II IC - [-J. lj. (l,J ;;+ -V(0: l) f'II ;;+, 7. Demostreu que .f (;) = (: �:) i aplieo ronformenH'11I D( O: l) n ;;+ en ;r+. Indicc1ció: esl udieu prel'iament la transformació t1· = �- 8. Trobeu una transformació conforme de C - {: : Im : =O/\ {Re::-)2 � ¼} en D{O. l ). 11-t·-"I'- fl-·•·1- · · · · 9. Demostreu que.,:,,,(::-) = (JJ.,"¡,.,..11 __ .,1, es uua tra11sformacio confornH' clc•I spclor {::-:0<arg:::<;;/\\.:1<1} •11/)111,I¡. 10. Transformeu conformement D(-1: ./2) n D(I; -/2) en el disc uuitat D(O: 1 ). 1 l. Aplicant Sd1w11rz-Christoffel. transformeu conformement rr+ en {.:: lm =>O/\ \Re =I < a}. Analisi <', 111pkxa 98-9!1 6. FUNCIONS HARMONIQUES l. Snposrm que II i ¡• són f11nrio11� lrnn11011iq11p,- i 1eals f'll 1111 domini del pla !1. Sota cp1i11c•:,. í'Ollrlicin11, f':-. ,,,. hru1ni>11ia 1'11 n? Pr<1\"Pl1 q1w ,,· 2 IH) c'·s li.1nni,11ica ;\ n j,\ lll('I)�-:,,; 1¡11,· 11 ,ig11i < <>llsl ,111 1. 1'1•1 a <plÍIJC.'S l111JC iu11s liulu11101 fr·s / E H/l!) ,,, ro111pl,•ix <¡ll<' 1 (1 ,;, J1;1J'IJl<llli1·;1·> 2. S1q,ost'lll qm· / ,;, lllln 1'1111ic', C'Olllpl,•x;1 1'11 llll oln111i11i f! j 'l'IC' ;1 !!. l'ICo\<'11 c¡ll<' ./ <Í ./ S<ÍII l1ul<>11101f,•, ;1 l!. 3. Signi J' = 11 + i ,. 1111,1 Íllll<'Í<Í amilíl ¡, ;1 ni disc nrn. /1' 1 i «>111 Í1111;1 "' olisc· 1 ;111< ;1!. l'rm ('11 q111• /(:1= :¡: l,t11(R,····¡i;: .. -,/li-1-i,·(llJ. flr /'r · 1 4. l'rn1<•11 'I"'' si./ c'·s lllln fu1JC'iÓ a11ali1i,a n 101 ,e i lirn,-+x --- = O. ;,lrshon's f {,, ,.,11,1;111I. l11cli, '" ió: 1·1ili1z,·11 ¡·,•xc•rci,i :1, { r/1, 5. Si\!11i 11 1111;: f1111< i,í h,11111i,11ic;, a !! i I' 1111 e i, 1 .. n !!. ¡· ~ O, P10, "" <¡llf' -jr/:; = O . • I' ,/, 6. l'r111C'II <¡IJc• ,¡ "1 j 112 siÍII f1111c ion, l1;1r111b11iq11,·, n 1111 do111i11i n. ,1lc,lio1c·s li 11;,-1,,l _ 11jdct1 = /J. Jl<'l ;, tot ,¡, ,,. ]' ~ Ü <'11 n. 7. �Í!..!.IJi n 1111 d,J111i11i si111pl1·111e11I C'llllllí''.\ O 1111,, '1111< ¡,·, li.i1111()1Ji<c1 rl n. ,·1 e. y) = { .... , -111( ,. 1 ),/., -i-,,.,, ,. 1 )c/1 ,·., 111m ha1111i111i, ;1 ro11j11g,1dn. , .. •,.- _.! Íllll<'Í<Í l1a1 lll;H1ic ;1 ronj11g,1<\;, el,· 111 r. ¡¡'I = J 1¡ ;1 101 rl pla. 8. Sit!11i 11 = 111 .: 1 = ctl'. /)) 1111;1 f1111, ji', '1;11111i111i, ;1 ('JI ,,, ,li"· /Ji:,,. ,,L r/1.11 !�-ct( /', 0),//1 fH'J' ;1 lol;, 1 < f' ,, J'JC)\<'11 <¡IJC' :\n�lisi Complexa !18-lJ!J Examen 24-5-95 (a) Definiu si11gularitat Ps:;enrinl i do1wu '.! <'X<>mpl<•s (esseucialnwnl dií<•re111s). (bJ Enunrieu i pro\'("'ll el t.eor<-'ma d<' C11,oro1ti \\'i>ie1strass. (r) [nu11cieu i pr01eu el 1eorema dP I.io111·ille. 2. (:2.5 Pl._\'TS) i') Els prtlinomis de Legt•11d1e P,.(1 ). 11 = O. l. :2, :3 .... es defineix<'11 pe1 les fó1 mul<'� de Rodríguez 1 d" P,,(t) =- 1- 1 (/ 1 - J 1" '.! 11.<I" (a)Pron•u qui> si C és una coi ba tanrncla rn111e11i111 el punt: = / i 1al que 11( ( ·• f) = 1. al ,hores: p _ l l [ (:1 - l ¡n ,l· ,,(i) - -::¡::::.¡ .. /,. (_- - /¡·,;+l _,., - . ( (b) Pro\'(�u que Siµ;11i f E //<J/i /J(II. 1) -{O}) ;11111, 1111 pul .,i11q,h• 1•11 = O i '"i'""'lll q11,· (a) 1 l1111at ..... E C. \ .... ·\ > l. pro,eu CJllt' ,·xisteix r prou petil lnl que 111/ oC,. . ..,,;) = -] i n(foC1_, ..... ·) = O. 011 (' = DD¡0.1¡) orif'lll<1da posili- 1·amenl (b)Deduú1 (]Uf' f(f!) =>{.,:E IC: J..,,;\> l}. 4. (:2.5 Pl'XTS) Siguin O< <to< <ti< ... < <t,; nombn•s reals i sigui p(:) = a0 + a1: +··•+o,,:" (a) P1on·u que (J - :)p(:) té n + l arrel� en D(O. l ). (h)De111os\wu <¡11<' 1•(:) no (I; cap arre! a ;-J/i(O. J Ji ¡wr ltt111. p(: 1 1,· 11 ill'wh ,·11 I J\ IJ. l ). lndicació: Sigui u .• :¡ ...•• �·,; E C. aleshores J ... •1 + ... + ,.,:,. 1 = \ ... ·1 \ + · · + \ .• :,, ¡ � 7, E JH:+. Vi.j = 1.. ... n. :!(J Examen 22-6-95 /;1) J:111111,i,·11 i lll0\'<•11,•I p1i11,1111 ,1,· 1·,11�1111w11I. 1'11l\<II 1¡11,·c·I 1,·,i<l11 ,I,· /'// ;1 1111 1,I•1u di· (·,..._ 1"01d1c· dc•I i'('lt> 111) D..fi11i 11 l',1111íli;, 1101111,il i l"'"'''J 1111 ,,:,;,•1npl,·. /,) l·�111111<ic·11ip10,,•111·l l1•01c•11¡¡.1 ,lc· l'r1 pli1;11·itloh1•rl;1 JH'I �, 11111, itJ11-.: l1nln11101Íi·,. Si,l.!.IIÍ /(: 1 1111;1 l1111<'ÍÓ ;,11,1l11i,·;, i 11<> <1>11,l;,111 ,.,1,1,· ,·1 ,¡¡." ::1::..: //. 1,11 '11"' Jlil) = ll: 1,1!!111 11//_1,•I 111�:--i111 d,· H,· /t:·1 ,0IJ1,• l,1 ,i1,,11nl',·1i•1J<i,1 i:. = // '·,1) 'i. "1 ' JI 1 ,1/I: 1 = .' IIFII-/' ]ll'O\f'll q1w :_,¡!:I: '.: 1/f ,¡ 1:\ < lí. 1·1 nh,·11 );, 1 rn wl'o1 Jllil( ic', '>)11 r,11 1 JI" / ,J,, /l ( �: �) -/) ( 1: t) ''ll ,.J di�, ll 11 i l ;,I f)I ll: 1 \ , al q11,· / U) = ll i f' rn > O. 1 l11rli, ,1, i,í: ·11<111,fornw11 ,,J c011j11111 r11 1111;, J_,,111d,1.1 /·+. u \cine,,• ----rl, ,'· + j Examen 7-9-95 ( ;, 1 En 1111, i,011 i p1ov,•11 el i<'llln d,· S.-\11\·nrz. 1 b ¡ Carncleritzeu lols ('\,; ;,ut.om01 lisme, ,1<,1 di,c. i, , Em111cieu i pn.i,·<'u la fórmula integr;,\ de ( 'a 11, li\·. (';,h ui<•u 2�; fe q .... =�c:i ,;'�·, si f E //u/(0} i C == rJD(0.11) C fl. 2. (2º:, Pr'.\TSi Cakuleu 1·x ., ,·o�rd.1·. ú 21 (al U,·wnrnlupeu la funció arcta11 = a l"orige11 i cakuleu el radi dt' rn11,·ergencia <I<' la �t•rie. (b) Estudieu la comergencia de la serie a la frontera del disc ck w1J\"ergencia. (r\ F:11 q11ins �<'rlo1s t:ancals la con,·ergen,in "' l111ifo1me"? (d¡ lJeniosl1e11 <¡11<:' ¡ == Lu?::u 11 :.�; • Siy;11i f liol(JIIIOJ'ra <'11 iJ(tl: 1) lnl <¡11<' f(U) == /'(O) O< 1:1 � l. Posem r == min{lf(=}I: 1=1 == 1}. O, .("(O)"" O i /(.:) f. O,¡ (a) Qu,rnt.es solucions té l'equació f(=) == 11·. lwl < r. a 1.::1 < l ·1 (b) Definim pera lu•I < 1· y(w) == -1. f U'(E.) d{ 2rr1 11(1=1 f(O - w Quina relació hi ha e11lre y(II') i _r-1(w)? Es 9 analít.ica"! 22 .-\ nalisi Complexa 98-99 Examen 29-4-96 1. l::111111,i<"u i d,·mostreu k, <lr<ig,t1<1llnts d.-, ( ·aucl�- i donC'll una nplicació. 2. (,1¡ D,-•111osl r,·u q11c> 1111a l 1a11,formalÍÓ li11ral de C' P11 C" <JllC' aplicn <>I s<"mipla 11: + 1, Tr:)= -- 1:+,/ a111b "· "· <, r/ E JR j "" -hr > n. j I f'(Íp10«\11l('lll. ih) lk111ostn•11 que <'I, ¡,11111, fi:rns d'u11a t1a11sform<1rió lin<'al que a plim éiD(O. l) r·11 ii( O. 1) c•sl illl soh1 <' i) /)( íl. 1) o sú11 si 111,·I I its ( ll'SJH',l r O /J( O. 1)). 3. Si!-',IIÍ / '= 'H(()'¡ i �· 11!1 ,,1,,-n tal qll<' ¡,. ·= n e',, co111p;ic t,•, Dl'moslt'C'll que SI lop; 1 / 1 '.S ni'·'' "" a�- JWI ;i]�1111a <j E }-{( n I a!Psho1<'- lo.e; 1 r¡ '.S HP .f/ Pll -.,.:. 4. Sig,11i / lllli1 fun,i,í lw\011101 Í.i e11 t'i S<'lllÍplil \111 � > O I al q111-' <'�isl<'Í� 1111 s.'µ;111<'111 d,, ¡·,,¡� d,• \c•s 1 _r¡ 1111<1 11\! 1<'rl1i"1I d 1111 su\ ¡,11111. /. d,, l"ul IIIH CJII<' li111 /!� i =O. (.--+: JH'I i1 tul � E /. 1111 � > o. PtO\"('l\ (¡U(' r = O. Examen 7-7-98 1-:1 l1•111,·111a ,1,.,1, ll·,id11,. \pli,·;u io11,. S11,, ,•ssio11, de fu 11cio11, l1olo1110rr,,,. U 1 <'01<•111<1 d,· 11111·" ir ;1,. l. la) Trolll'll 111/il llnll,rorr11;11i,i 1011rl)IIIII' d,·1 d11111i11i n= {:; E IC. 1111:; > 0}-]0. i]. Pll ,., S('lllipli1 s11¡w1ior. lndic ,irió: 1 robe11 p1 inw1 1111a I ra11,forniac ió ,!,,] s,·rnip111 superior <'ll 2. \nl,·111 n c·I disr unir HI. Si.u11i / : T5 ----; iC 1111,1 f111wió 110 e 011,1 ,mi. ron1 í1111¡¡ l1olü111orfo a n. Suposi·111 q11,· ,., "''' ili," !f!:1 i = 1 . 'i:; E iW. 3. Sil.'11Í !l ,:: ,C 1111 do111i11i ,i11q,l,·111<'11I , •>11111•:-; i ;u ol ;il. Sil!,11i II E !! i ,:., : IT ---t T5 llllil 11'1"''"'111,HÍ<J co11fo111w de• f1 ('11 c·l ,ljs, 1111il;,I /) 'I"" ,·,,,1c'•11 a la fro11IPJ<1. i l<11 <¡<H' ,.·,(a)= O. C'o11�idr1r11 lit f1111ri,, 1 r;.,¡:;) = lnp:---. :�· .r: 11 (a) l{ao11<•11 q1w G., ,;, 1111a lurrció ,011tí111rn a IT - a. i <¡11<' és zero ,obr<' la von-, de n. 1 I, 1 P1m·,·11 ,11w hi lr,1 1111,1 í111wio h:,i11ni>111,1 li drl111icln " f! 111' 1¡1rr 1 (,'0(:;) = logl -- 1 + h.,f:;) : - (I \Jl'I a 1 ol :; E fl - o