Investigación en educación matemática XVIII

Investigación en Educación Matemática XVIII Investigación en Educación Matemática XVIII Mª T eresa González, Myriam Codes, David Arnau, Tom ás Ortega (Ed s.) Sociedad Española de Investigación en E ducación Matemática Salamanca, 4, 5 y 6 d e septiembre de 2014 Investigación en Educación Matemática XVIII Edita Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). Facultad de Ciencias de la Educ aci ón, Universida d d e Granada, Campus de Cartuja s/n, 18071 Granada (Espa ñ a ) Mª Teresa González Myria m Codes David Arnau Tomás Ortega Comité científico Dr. David Ar n a u Vera (Coordinador) Dr. Tomás Ortega del Rincón (Coordinador) Dra. Marta Molina González Dra. Ainhoa Berciano Alca raz Dra. Teresa F ernández Blanco Dra. Nur i a Plana s Raig © de los textos: los autores Cítese como: M. T. González, M. Codes, D. Arnau y T. Ort e ga (Eds.). (2014). Investigación e n Educación Matemática XVIII . Salama nca: SE I EM. La s comunicaciones aquí publicadas h a n sido so metidas a evaluación y selección po r parte de investigadores miembros de la Soci eda d Esp añola de Investigación en Educación Ma t e mática (SE I EM). Diseño de la portada : Alberto Díez Almaraz Depósito legal : S.289-2014 ISSN: 1888-0762 ISBN: 978-84-697-0819-4 ÍNDICE PRESENTAC I ÓN .............................................................................................................................. 13 SEMINARIO I INTRODUCCIÓN SEMI NAR I O DE I NVEST I GAC I ÓN I : D I DÁCT I CA DE L ANÁ LI S I S MATEMÁTICO EN EL CON TEXTO DE AULA M. Mar Moreno ...................................................................................................................................................... 17 MARCO TEÓRICO Y METO DOLÓGICO PARA EL ESTUDIO DEL LÍ M I TE Francisco Javier Claros, María Teresa Sánchez, Moisés Coriat .............................................................. 19 RÉP L ICA A LA PONENCIA “MARCO TEÓRICO Y METODOLÓGI CO PAR A EL ESTUD I O DEL LÍ M ITE” Myria m Codes ........................................................................................................................................................ 33 ADOPTANDO DIFERENTES PERSPECTI VAS DE I NVESTIGACIÓN SOBRE EL CONCEPTO DE DERIVADA Gloria Sánche z-Matamo ros ................................................................................................................................ 41 RÉP L ICA A LA PONENCIA “ADOPTANDO DIF ERENTES PERS PECTI VAS DE INVESTIGA C I ÓN SOBR E EL CONCEPTO DE DERI VADA” Carmen Azcárate ................................................................................................................................................... 55 SEMINARIO II SEMINA R I O DE INVESTIGA C I Ó N: L A FORMAC I Ó N I NICIAL DEL MAESTRO COMO FUTURO PROFESOR DE MATEMÁTICAS. RESUL TADOS DEL ESTUD I O TEDS -M DE LA IEA Luis Rico .................................................................................................................................................................. 61 EL ESTUDIO TEDS-M DE LA IEA EN EL MARCO DEL INST I TUTO NACIONAL DE EVALUACIÓN EDUCATIVA (INEE) Ismael Sanz, Ruth Martín ................................................................................................................................... 67 ASPECTOS CURRICULARES DE L A FORMA CI ÓN M ATEMÁTI CA Y D I DÁCT I CA EN EL PLAN DE ESTUDIOS DE MAGISTERIO 1991-2010 María C. Cañada s, L uis Rico ............................................................................................................................. 83 RÉP L ICA A ‘ASPECTOS CURR I CULARES DE L A FORMAC I ÓN MATEMÁT I C A Y DIDÁCTICA EN EL P LAN DE ESTUDIOS DE MAGI STER I O 1991-20 10’ Núria Planas ............................................................................................................................................................ 93 CONOCI M I ENTO MATEMÁTICO Y CONOCIMIENTO DIDÁCTICO DEL FUTURO PROFESOR ESPAÑOL DE PR I MAR I A. R ESULTADOS DEL ESTUDI O TEDS-M Pedro Gómez, Araceli Gutiérrez-Gutiérrez ................................................................................................... 99 EL CONOCI M I ENTO DE L OS ESTUD I ANTES P ARA MAESTRO ( TEDS -M ESPAÑA) DESDE LA PERSPECTI VA DE SU ESPECI A LIZACI ÓN José Carrillo ......................................................................................................................................................... 115 COMUNICACIONES RESPUESTAS DE ESTUDIANTES DE SECUNDARIA A TAREA S DE S ENTI DO NUMÉRICO Rut Almeida, Alicia Bruno .............................................................................................................................. 127 ¿CÓMO TRANSCRIBEN LOS ALUMNOS EN SUS CUADERNOS LAS REGL AS Y TÉCNI CAS DE DER I VAC I Ó N? UN ESTUD I O EN TRES AU L AS DE BACHILL ERATO Matías Arce , La ura Conejo, Tomás Ortega ................................................................................................ 137 LA ACTIVI DAD DOCE NTE DE UN PROFESOR: GEO METRÍ A, TECNOLOGÍA Y GRUPOS DE RI ESGO Alberto Arna l -Ba ilera, Núria Planas ............................................................................................................. 147 PROMOVI E ND O LA CRE ATIVI DAD MATEMÁT I C A A TRAVÉS DEL D I SE ÑO COLABORATI VO DE C -UNIDA DES Berta Barquero, Andrea Richter, Ma rio Barajas, Vicenç Font ............................................................. 157 AL TERN ATI VA METODO L ÓGICA PARA EL DESARROLLO I NTEGR AL DE L SENT I DO NUMÉRI CO EN N I ÑOS Y NIÑAS DE PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN PRIMARI A Rafael Bracho-López, Natividad Adamuz-Povedano, Mª del Carmen Gallego-Espejo, Noelia Jiménez-Fanjul .................................................................................................................................................... 167 COMPRENSIÓN DEL S I STEMA DE NUMERAC I ÓN DEC I MAL DE UNA A L UMNA CON SÍND ROME DE D OWN Alicia Bruno, Aur elia Noda ............................................................................................................................ 177 APRENDI ENDO A RE CONOCER EVI DENCIAS DEL PROCESO DE GENERALIZACIÓN DE LOS ESTUDI ANTES A TRAVÉS DE U N DEBATE V I RTUA L María Luz Callejo, Ceneida F ernández, Gloria Sánchez-Matamoros, J ulia Va lls .......................... 187 MEDIACIÓN SEMI ÓT ICA Y CONSTRUCCI ÓN DE S I GNIFICADO DEL RAYO A TRAVÉS DE SU USO Le ono r Ca margo, Patricia Perry, Carmen Samper, Óscar Molina ....................................................... 197 MEDIDAS DE ASOCIACI ÓN EN TAB L AS 2X2 : EVALUA C I ÓN DE UNA EXPERIENCIA D E ENSEÑANZA CON ESTUDIANTES UNIVERSI TAR I OS Gustavo R. Cañadas, Carmen Ba tanero, Pedro Art e aga, María M. Gea ............................................ 207 INDICIOS VERBALES EN LOS PAEV ADI T I VOS P L ANTEADOS POR ESTUDI ANTES PARA MAESTRO Angela Castro, Núr i a Gorg orió, Montserrat Prat ................................................................ ...................... 217 CONOCI M I ENTO MATEMÁTICO FUNDAMENTAL PARA EL GRADO DE EDUCACIÓN PR I MARIA: INICIO DE UNA LÍNEA DE INVESTIGA C I Ó N Ángela Castro, Elena Mengua l, Montse rr at Prat, Lluís Albarracín, Núria Gorgorió ..................... 227 LA ENSEÑANZA INI C IAL DEL CON CEPTO D E F RACC I ÓN: UN EST UDI O CON MAESTROS EN FORMACI ÓN Elena Castro, Luis Rico, Pedro Góme z ....................................................................................................... 237 RELACI ÓN ENTRE E L CONOCI M IENTO DE GEOMETRIA Y EL “T RUNCAMIENTO” DEL RAZONAMIENTO CONFI GURA L Francisco Clemente, Salvador Llinare s ....................................................................................................... 247 JUSTIFICACIÓN DE LAS REGL AS DE DERIVACIÓN EN LIBROS DE TEXTO DE CUATRO EDITORIAL ES DESDE L GE HASTA LOE La u ra Conejo, Matías Arce, Tomás Ortega ................................................................................................ 257 CONOCI M I ENTO MATEMÁTICO SOBRE CU AD R IL ÁTEROS EN ES TUDI ANTES PARA MAESTRO Ana Escudero-Domínguez, José Carrillo .................................................................................................... 267 LA COMBINATORIA EN LIB ROS DE TEXTO DE MA TEMÁTICA DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN ESPAÑA Jonathan Espinoza, Rafael Roa ...................................................................................................................... 277 RELACI ÓN ENTRE RE PRESENTACI ONES GRÁFICAS Y S I MBÓLICAS DE L CONCEPTO DE LÍMITE FI N I TO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO José Antonio Fernández-Plaza, Juan Francisco Ruiz-Hidalgo, Luis Rico, Enrique Castro ......... 287 MODOS DE ACTUACIÓN E INTERACCIÓN Y G ENERACIÓN DE OPORTUN I DADES DE APRENDIZAJE MATEMÁTI CO Miquel Ferrer, Josep M. Fortuny, Núr ia Planas, K a outhar Boukafri .................................................. 297 AVANCES EN LA CALI DAD DE L AS R ESPUESTAS A PREGUNTAS DE PROBABILIDAD DESPUÉS DE UNA ACTIVIDAD DE APRENDI ZAJE CON TECNO L O GÍA Blanca F lor e s, J a ime I. Garc ía, Ernesto Sánchez ...................................................................................... 307 UNIDADES ELEMENTALES EN PROBLEMAS DE L UGAR GEOMÉ TRI C O EN LOS CUADROS GEOMÉTRICO Y ALGEBRAI C O Cecilia Gaita, Tomá s Ortega ........................................................................................................................... 317 IMPLEMENTACIÓN DE TAREAS DE MODELI ZAC I ÓN ABIERTAS EN EL AULA DE SECUNDARIA, ANÁLIS I S PREV I O César Ga lla rt, I rene Ferrando, L luís M. García-Ra ffi ................................................................ .............. 327 CONEXIONES EN EL C ON OC I M I ENTO MATEMÁTI C O D EL PROFESOR: P RO PUESTA DE UN MODELO DE ANÁLI S I S Genaro de Ga mbo a, L ourdes Figueiras ....................................................................................................... 337 RAZONAMIENTO INFERENCI AL I NFORMAL: EL CASO DE LA PRUEBA DE SIGNIFI C ACI ÓN CON ESTUD I ANTES DE B ACH I LLERATO Víctor N. García, Ernesto A. Sánchez .......................................................................................................... 345 INDAGANDO SOBRE EL PAPE L DE L A TECNOLOGÍA EN EL AULA José-María Gavilán-I zqu ierdo ................................................................ ........................................................ 355 Moreno, M. M. (20 14 ). Introducción semi n ario de investiga ción I : Didác tica del Análisis Mate m ático en el conte x to de aula. En M. T . González, M. Cod es, D. Arnau y T . Ortega (Eds.), In vestigación en Educación Matemática XVII I (pp. 17 - 18 ). Salamanca: SEIEM. INTRODUCCI ÓN SEMINARIO DE INVE STIGACIÓN I: DIDÁCTICA DE L ANÁLISIS MA TEMÁTICO EN EL CONTEXTO DE AULA M. Mar Moreno Universidad de Lleida La SEIEM ha dedicado varios seminarios a las investiga ciones sobre Didáctica del Análisis, abordando cuestiones muy concretas, como en sus inicios, sobre el p a pel d e las gráfic as cartesianas en el estudio de las funciones (Laca sta, 1998) ha sta otras de carácter más genérico y d e revisión como la de Camacho (2011) en la qu e se ofrece u na panorámica de las inv estig aciones en didáctica de las matemática s en los niveles de bachillera to y universidad en los últ i mos 20 años, y se centra principalmente e n tr a bajos relacionados con conceptos del Análisis Matemático. En esta ocasión el seminario y posterior debate se centra en las investi ga ciones relacionadas con la didáctica del análisis en el contexto de l aula. Aunque los trabajos son muy difere ntes hemos intentado que cada ponente y los correspondientes replicantes, d e s de sus exp erie ncias de investigac ión, fueran capaces de pon er sob re la mesa aspectos críticos de estas investigaciones: ¿para hablar de investi g ación en el aula es imprescindible la int e rvención? , ¿cuáles son las dificultades de la implementación de secuencias didác tica s? , ¿cuáles son las metodologías más adecuadas de rec ogid a de datos?, ¿ cuá l es el papel del profesor y el del investigador?, etc. El primer trabajo que se presenta es el de Clar os, S á nchez y C or iat so br e el estudio de límite s finitos, tanto de sucesion es como de una función en un punto. Se trata de investigaciones re alizadas con alumnos de bachillerato (16 - 20 a ños) en tres institutos de Madrid. En la pon enc ia que presentan, los autores h an decidido resaltar dos aspectos qu e, para ellos resultan claves e n su trabajo: la elección del/de los marcos teóricos, y las decisiones sobr e el marco metodoló g ico. El enfoque que propu g na el trabajo es el de considerar la ens e ñanza del límite a partir de los fenómenos or g anizados por las definiciones, superando las li mitaciones de las propuestas didácticas de investigaciones ya ex istentes. El trabajo de Sánchez-M a tamoros versa sobre e l aprendizaje de l c oncepto de derivada de los futuros profesores de matemáticas de educación secundaria, en términos de lo que se consider a el conocimiento adecuado para la enseñ a nza de dicho concepto en un contex to de bachillerato. El contexto de la formac ión de prof esores ha g enerado una lí ne a de investig ación centrada en cómo los profesores en formación aprenden los conocimien tos matemáticos y cómo son capaces de utilizarlos en las sit uac iones de e nseña nza, en definitiva, cómo se desarrolla “una mirada profesional” (profesional noticing). Desde nuestro punto de vista, un elemento clave de esta investig ación radica en e l uso de resultados d e otras investigaciones sobre la comprensión del conc epto de deriva da para diseñar tar e as profesionales, que son usadas con un doble valor: aprendizaje de los profesores en formación y c omo instru mento de r ecogida de datos en la investigación en marcha. En las réplicas contamos con las reflexiones de las doctoras Codes y Azc ára te. La doctora Codes replica la ponencia de Claros et al., y si guiendo la estructura de la pon e ncia, reflexiona sobre los tres pilares teóricos que estructuran dicho trabajo: la fenom enolog ía del concepto límite finito, los sistemas de repre s e ntación y el pensamiento matemático avanzado. Asimismo, discute y re fle xiona sobre las connotaciones e impli c aciones de las expresiones “investigación en el aula” e “investigación para e l aul a ”, a portando elementos mu y int e resantes para el debate. En la réplica de la doctora Azcárate hace una retrospectiva de la tra y e ctoria investigadora de la ponente desde los primeros trabajos sobre el estudio de la derivada como o bjeto de aprendizaje con Moreno, M. M. 18 alumnos de bachillerato y universidad, y reciente mente , la deriva como objeto de enseñanza y el diseño de tareas en pro gr amas de formación de futuros profesores de s ecundaria . El otro aspecto que se resalta en la réplica es el de l as aportaciones de los estudios sobre la derivada al ma rco teórico APOE, y en particular, la aplicación al contexto de la formac ión de prof esores de secundaria y ba c hillerato. Deseamos que e l se minario cumpla con las ex pe ctativas gene radas por los asistentes, suscite un rico debate sobr e las investigaciones en didáctica d e l Análisis Matemático en el contex to del aula y surjan ideas que nos ayuden a continuar profundiz ando en diferentes aspectos d e los temas abordados e n e ste seminario. Claros, J ., Sánchez, M. T., Coriat, M. (2 014 ). Marco teórico y metod ológico para el estudio del lí m i te . En M. T. González, M. C odes, D. Arnau y T . Ortega (Eds.), Investiga ción en Edu c ación Matemática XVII I ( pp. 19 - 32 ). Salamanca: SEIEM. MARCO TEÓRI CO Y METO DOLÓGICO PA RA EL ESTUDIO DEL LÍMIT E Theoretica l and methodolog ical fram ework for the study of the lim it Francisco Javier Claros a , María Tere sa Sánchez b , Moi sé s Coriat c a Universidad Complutense de Mad rid, b Universidad de Málaga, c Universidad de Granada Resumen Nuestras investigaciones dan cabida, con los mismos métodos, a diferentes nociones del límite , como límite finito de una sucesión o lí mite finito de una función en un punto. C onsideramos tres elementos relacionados: fenomenología, sis tem as de representación y pensa miento matemático avanzado. En la primera parte lo explicamos y presentamos ideas de otros marcos teóricos. Hemos usado las mismas her ramientas metodológicas para des c ubrir y estudiar los fenómenos organizados por tres casos de límite finito y para reconocer esos fenómenos en libros de texto. Además, hemos desarrollado instrumentos para mo strar los fenómenos que emplean alumnos y profesores. En la segund a parte de scribimos los métodos usados para extraer información de li bros de texto y alumnos. Palabras clave : marco teórico, límite, fenómenos, libros de texto y alumno s. Abstract Our research covers, w ith the same methods, several notions of limits, as the finit e limit of a sequence or the finite li mit of a function in a point. W e consider three related el ements: phenomenology, repres entation systems, and advanc ed mathematical thinking. In the first part we explain this and w e also present ideas from other theoretical frameworks. We have b een using th e same methodological tools to uncover and study phenome na organized by t hree c ases of finit e limit and to recognize these phenomena in textbooks. Besides this we hav e developed tools to show those phenomena us ed by students and teachers. In t he second part we describe the methods us ed t o extract information from textbooks and students. Keywords : theoretical framework, limit, phenomena, textbooks and students PRIMERA PAR TE: MARCO S TEÓRICOS Diferentes per spectivas Nuestra investigac ión s e apo y a en la fenomenología, los sistemas de re presentación y el pensamiento matemático avanzado. Hablamos de fenomenología en el sentido de Fre ud e nthal (1983); establecemos fenómenos que son organizados por una definición de límite de una sucesión y de un a función; de momento trabajamos el límite finito. La descripción detallada d e esto s fenómenos no pu ede hacerse sin usar algún sistema de representac ión y usamos esta expresión en el sentido de Janvier (1987). Nuestro estudio del lí mite delimita, de un modo que somo s capaces de precisar , entre pensamiento matemático eleme nt a l (PME) y pensamiento matemático avanzado (PMA), en las caracter iza ciones que describen Claros (2010) y Sánchez (2012). Los detalles de todo lo anterior pueden vers e en Claros, Sánche z y Coriat (2006) y Claros, Sánchez y Coriat (2013 ) En estas investigaciones, además, se ti e nen en cuenta aportaciones y opiniones de los usuarios de la comunidad educativa sin entrar aún en la interacción educativa. El desarrollo de actividades para los alumnos y de o rie ntaciones para los profesores también está entre nuestros objeti vos; hasta e l Claros, J., Sán chez, M. T ., Coriat, M. 20 momento, la parte pr incipal de nuestra investig ación corresponde, esencialmente, a la fenomenología de l análisis y no a la fe nomenología didáctica de éste 1 En la enseñanza-aprendizaje del análisis se vienen usando, hasta donde conocemos, el P MA , únicamente (Plaza, Ruiz y Rico, 2012) o la teo ría APOS (Aldana y G onzález Astudi l lo, 2010; Varga s, González Astudillo y Llinares, 2011 ; Badillo y Azcárate, 2011). De la amplia documentación mencionamos a Tall (1991), para la primera , y, sobre la segunda, el li bro de Arnon, Cottril, Dubinsky , Okt ac, Roa, Triguero y Weller (2014), que seguiremos para referirnos a dich a teoría en la breve rese ñ a que sigue . Sobre PMA v é ase más abajo. El acrónimo APOS d e signa: Acciones, P rocesos, Objetos y Esquemas. S e prese nta como t eoría constructivista basada en trabajos de Piaget e introducida por Dubinsky en 1984. La teoría APOS pone el foco en los modelos que describirían la mente de un individuo cuando está intentand o aprender conceptos matemáticos y en el uso de estos modelos para di seña r mate riales par a la instrucción o evaluar el éxito de un concepto o los errores en di cho concepto . Además, se ocupa de describir l a construcción de estructuras menta les apelando a términos como interiorización, encapsulación, coordinación, inversión y d esencapsula ción y tematización. Estos términos van asentándose t ras discusio nes de los p rincipale s d esarr olladores de la teorí a. También se discutió la idea de t ransformar a Es quema un Objeto, el cu a l podría actuar como otro Esquema (estas id ea s fueron citad a s por Dubinsk y a prin c ipios de los años ochenta). Por otra p arte , las diferencias entre Esquema y concepto imagen fueron ilustradas por Vinner (1991) y Dreyfus (1990) La descomposición ge nética constituirá un posi ble punto de conexión con nuestr a investigación cuando ésta la o rie ntemos definitivamente hacia la enseñanza-aprendiz a je. De hecho, este camino lo hemos iniciado a través de una secuencia didáctica sobre la enseñanza del límite finito de una suc esión (libro homenaje a Alfonso Ortiz, pendiente de publicación) que comparamos con la descomposición ge nética en 6 pasos propuesta por Cottrill (1996), ver tabla 1. Algunos estudios que usan la teoría APOS parecen relacionados con la fenomenología en el sentido de Freudenthal, aunqu e los autores correspondientes se refieren a categorías. Un ejemplo es el estudio de Dubinsky so bre la composición de f unc iones reseñado por Arnon, Cott ril, Dubinsky, Oktac, Roa, Tri g uero y Weller (2014) del li br o “ APOS Theor y ” (p. 23 ). Si f=g oh, Dubinsk y e xpli ca con de talle las diferencias de actuación re lacionad a s con la búsqueda de una de estas tre s funciones, dadas las otras dos; el autor describe y puntualiza sobre las diferentes actuaciones . S in contradecir su estudio, pensamos que tales actuac ion e s difere ntes se explican también considerando que l a definición de composición de funciones pone en juego fenómenos diferentes según que di rijamos nuestro interés a la deter minación de f, de g o de h, conocidas las otras dos, pues se refiere a acciones matemática s, no a a cciones individuales. Tabla 1: Com paración Co ttril (1996) y Cla ros, Sánche z y Coriat (pendiente de p ublicac ión). Descomposición gené tica 2 de Cottrill Secuencia propuesta 3 Paso 1. L a acción de evaluar la función en varios puntos, cada ve z más pró ximos a “a”. Fenómenos de aproximación intuitiva Fenómeno a.s.i.c. 4 Paso 2. Interiorización de la acción del paso 1 a un único proceso en el cual f(x) se aproxim a a L cuando x se aproxima a “a”. Paso 3. Encapsulación d el proce so d e l paso 2. El límite se convierte en un objeto en el cual las acciones pueden ser aplicadas. Fenómenos de aproximación intuitiva Fenómeno a.s.i. Marco teó rico y m eto dológico para el estu dio d el lím ite 21 Paso 4. Reconstrucción del proce so del paso 2 en términos de intervalos e inecuaciones. Fenómenos de retroalimentac ión Fenómeno i.v.s. Paso 5. Aplicación de un esquema de cuantificación que con ecte el proceso descrito en 4 con la definición formal Paso 6. Aplicación de la de finición épsilon-delta Aplicación de la d e finición épsilon -de lta Si se me permite la especulación, un conocedor d e la teoría APOS ciertamente encontrará también préstamos a la fenomen olog ía didáctica de las int era cciones asociadas a las Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas. Por ello aventura mos la necesidad de estudiar transfe rencias mutuas entre las fenomenologías mencionadas por Freudenthal y la teoría APOS. Ésta aporta nuev a s organiz a ciones de los pasos a seguir en la e ns e ñanza de un concepto, los cuales están graduados en orden de dificultad. Nuestro enfoque p ropugna que, en la enseñ a nza del límite se conside re n lo s fenómenos o rg anizados por las respectivas definiciones, fenómenos qu e n o habían sido tenidos en cuenta en las p ropue stas didácticas correspondientes. Esta es quiz á s nuestra concreta y ori g inal ap ortac ión: la introducción de fenómenos relevant es para la enseña nza del límite. Estos fenómenos son organizados por la definición y deben estar por tanto en los pasos pa ra usar correctamente dicha definición, así como en el estudio de los errores que se observen. Resaltamos la conveniencia de que se realicen estudios comparativos para delimitar correctamente los mut uos préstamos qu e se veng an dando entre nuestra investigación fenomenológ ica y la teoría APOS. Fe no me nología . F enó menos organizados por u na definición d e límite Presento aquí el marco teórico de nuestras investigaciones. Freudenthal (1983) analizó los contenidos mat emáticos con a y uda de un método que ll a mó fenomenología , porque p arte de la contraposición establecida entre “fenómeno” y “noúmeno” . Un análisis fenomenológ ico de un concepto u objeto matemático es una descripción de su relación o relaciones con aquello para lo que es medio de organización. Lo s conceptos matemáticos no caen fuera del campo de nuestra ex pe riencia, ni están en un mundo distinto del mundo de los fenómenos que orga nizan. Un concepto matemático que es el medio de organización de un fenómeno (o más de uno), pasa a formar parte de un campo de fenómenos que son organizados por otro nuevo concepto matemático. Hemos usado la fenomenología para describir los fenómenos organizados p or la definición de límite finito de una sucesión, la definición d e sucesión de Cauch y y la definición de límite finito de una función. L os fenómenos observados y or g anizados por las definiciones correspondientes se clasifican en fe nómenos de aproxim a ción intuitiva y de retroalimentación. En e l texto de las definiciones de límite que hemos estudiado encontramos dos ámbitos, uno intuitivo y otro formal y en cada ámbito hallamos un fenómeno, como explicamos a continuación siguiendo a Claros, S á n c hez y Co ria t (2006, 20 07, 2009a, 2009b, 2013) y l as tesis doctorales d e Claros (2010) y Sánc h e z (2012). Ver Figura 1. Claros, J., Sán chez, M. T ., Coriat, M. 22 Figura 1. Fenóm enos y ámbitos  El ámbito intuitivo Cuando se declara el límite como número real, la definición suele comenzar así: “decimos que L es el límite de la suce sión " (respectivamente: fun ción). Al conside rar una sucesión (por e jemplo 1/n) o una función (por ejemplo f(x) = 1/x ), si queremos aplica r la definición lo primero que n ece sitamos es un candidato a límite. S i digo que el límite de la sucesión anterior es 2 o que el límite de la función anterior e n x 0 = 1 es 1, estoy conjeturando. Con un fenómeno del ámbito intuitivo afirmamos algo sobre una propie da d de la sucesión o de la función pero no lo demostramos; simplemente, avanzamos en el cono c i miento de es a sucesión o función. En el caso de la sucesión, el fenómeno lo llamamos “aproximación sim ple intuitiva” (a.s.i): analizando términos de orden ca d a vez ma y or, so mos ca paces de proponer un candidato a límite. En el caso de la función en un punto, el fenó meno lo llamamos “ap roximación doble int uitiv a” (A.D.I). Cuando la vari a ble independiente se acerca de cualquier mod o a un v a lor p re- fijado, conjeturamos que los correspondie ntes valores de la función se a cerca n a un valor que e s el candidato a lími te de la función en ese valor pre -fijado. La intuición de la continuidad de la rec ta explica que hay a diferentes maneras de acercar los valores de la variable independiente a un valo r pre-fijado y esto da los modos de acercamiento que han sido estudiados en Sánchez (2012 , pp. 108 - 110) No siempre declaramos e l lím ite, c omo ocurre en la definición de s ucesión de Cauchy. En este caso, el fenómeno correspondiente al ámbito intuit ivo lo llamamos “aproximación simple intuitiva de Cauchy ” ( a .s.i.c) ; an alizamos parejas de t érminos de órde nes cada vez mayores y conjetur a mos que la diferencia de valor es de esos términos se va a anular. Conviene observar que, en la definición de sucesión de Cauchy, el ámb ito intuitivo no está ex plícito, sin embarg o su rg e al decidir que se va a estudiar esto. Por lo general, se comienza observando que los términos de la sucesión se aproximan entre sí. Lo s estudios preliminares del límite finito de una función en el infinito no son aún conclu y ent e s , pero exigen considerar varios modos de alejamiento de la variable independiente en el marco de un eje numérico cu y a continuidad se intu y e (véase las consideraciones de Sánchez (2012) sobre la intuición de la continuidad ). FENÓMENOS NOUMENOS Ámbito Intuitivo Ámbito Formal SUCES I ÓN FUNCIÓN DEFINICIÓN ɛ - N 0 ɛ - δ APROXIMACIÓN a.s.i A.D.I RETROALIMENTACIÓN i.v.s I. V .F Marco teó rico y m eto dológico para el estu dio d el lím ite 23  El ámbito formal El fenómeno corre spon diente permite validar la conjetura elaborada en el otro ámbito. Hemos utilizado el término “proceso” p a ra referirnos a cada una de las etapas su ce sivas del fenómeno, al que llamamos, genéricamente, retroalimentación o ida -vuelta en sucesiones (i.v.s), en su ce siones de Cauchy (i.v.s.c) o e n funciones (I.V.F). Cuando se declara el lími te, la “id a ” remite al p roceso d e constru c ción arbitraria d e un entorno del límite y al hallazgo de un natural ( e n sucesiones ) o de un entorno de x 0 (en func iones), mientras qu e la “vuelta” garantiza que a partir de ese natural o en el entorno de x 0 todos los valores de la suce sión o de la función están incluidos en el entorno del límite que construimos arbitrariamente. Cuando no se d e clara el lími te (como ocurre en la sucesión de Cauchy), un primer pro ce so determina el valor d e N fijado un épsilon y el se g undo proceso v erifica qu e para los valo res mayores que este N, se cumple que las diferencias entre los términos de la sucesión son menores que el épsilon fijado. Éste último proceso podría explicarse afir mando que los valore s que toman las diferencias entre los términos de la sucesión, a partir de un N d e terminado, perma n e cen en u n entorno de centro 0 y ra dio épsil on (p refijado). No se deben confundir estos pares de procesos, q ue son de carácter mate mático, con los de la teoría APOS, que son de carác t er pe rsonal. Además de las definiciones de límite finito de una sucesión, límite finito de una función en un punto y sucesión de Cauch y , hemos trabajado la caracterización por sucesiones del lími te finito de una función en un punto. Actualmente estamos estudiando también fenómenos organizados por la definición de límite finito de una f unción en el inf inito.  Definiciones estudiadas Hemos estudiado los fenómenos orga nizados por varias definiciones d e lími te finito , c omo se resume en la tabla sig ui ente. Tabla 2. Def iniciones, ám bi tos y fenómenos Definición Fenómenos Ámbito intuitivo Ámbito formal Sea x n una sucesión en R, decimos que x n conve rge a un número real x ( o tiene como límite el real x y escribimos lim x n = x) si para cada  >0, existe un número natural N tal que si n > N se cumple que |x n -x| <  ( Spivak, 1991, p. 615.) a.s.i i.v.s Una sucesión {a n } es un a sucesión de Cauchy si para  >0 existe un número natural N tal que, para todo m y n, si m,n> N, entonces |a n -a m | <  . (Esta condición se escribe generalmente lim m,n →∞ |a n - a m |=0) . (Spiva k, 1991, p. 624.) a.s.i.c i.v.s.c La función f tiende haci a el lí mite L en a signi fica: para todo 0   existe algún 0   tal que, para todo x, si     a x 0 , entonces      L x f . Spivak (1991, p. 118). ADI IVF En el caso de las sucesiones se manejar on seis definiciones más. En cinco de ellas observamos el fenómeno a.s.i y el f e nómeno i.v.s. En l a otra definición (sucesión de C a uch y ) observamos el Claros, J., Sán chez, M. T ., Coriat, M. 24 fenómeno a.s.i.c y el fenómeno i.v.s.c. Má s detalles sobre los fenómenos organizados por estas definiciones se dan en Claros (2010, pp.186-188). En el caso d e las fun c i ones se manejaron tamb ién otras cinco definiciones más. En todas ellas, excepto en la llamada "carac terización por sucesiones" se observaron el fenómeno AD I y el fenómeno IVF. Más d etalles sobre los fenómenos organizados por estas definiciones se dan en Sánchez (2012, pp. 125-128).  Equivalencia fenome nológica entre definiciones Al encontra r fenómenos diferentes en definiciones matemáticamente equivalentes, durante estos años de tr aba jo hemos llegado a preguntarnos acerca de la equivalencia fenomenológica de las definiciones. Hemos obt enido dos resultados: hay equivalencia fenomenológica ente l a definición de límite finito de una sucesión y la de finición de sucesión de Cauchy, por una parte (Claros, Sánchez y Coriat, 2013 ) y también la ha y entre la definición de límite finito de una función en un punto y la caracterización del límite de una func ión por sucesiones ( Sánchez, 2012). Hemos establecido, mediante d os criterios, cuándo dos definiciones matemáticamente equivalent e s son fenomenológica ment e equivalentes. Criterio 1. Dos fenómenos son equivalentes fenomenológicamente si corresponden al mismo contexto (intuitivo o formal) y la verificación de un fenómeno va irremediablemente unida a la verificación del otro y v i c eversa. Si los fenómenos son equivalentes y las definiciones son matemáticamente equivalentes , manejamos el sig ui e nte criterio. Criterio 2. Dos definiciones son equivalent e s fenomenológicamente si los fenómenos organizados por cada una de ellas son fenomenológicamente equivalentes. De talles de cómo s e ll ega a la equivalencia fenomenológica pu eden verse en Claros (2010), Sánchez (2012) y Claros, Sánchez y Coriat (2013) . Sistem as de r epresentación y fenóme nos Blázquez y Ortega (2001): (1) C onsidera n los sistemas de representación verbal, numérico, gráfico y algebraico. (2) Anotan dificultades que entr aña l a asociación d e l tér mino lími te con su significado en el lenguaje habitual. (3) P re sentan el límite fini to como apr oxim ac ión ópti ma sin re ducir el límite a una sim ple aproximación. Con esta definición de límite la r e presentación privilegiada e s numéri ca (tabular). Cualquier definición de lí mite debe expresarse usando alguna representa ción de las ideas. En l a enseñanza, no siempre s e comienza por la representación sim bólica . En Claros, Sánchez y Coria t (2006) y en Cla ros (201 0) hemos ex pr esado la conveniencia d e conside rar todos los sis temas de repre s e ntación (verbal, gráfico, simbólico y tabular o numérico) en la enseñanza del límite. Con ay ud a de los sistemas de representación, se ex pr esan y observan los fenómenos organizados por una definición de lími te. En la enseñanza, el límite no siempre es d e finido, también es ejemplificado; por eso considera mos lo que hemos llamado "formato ejemplo" y "formato definición". S e deduce fácilmente que para cada fenómeno hay, e n principio 8 posi bilidade s (4 representac ion e s y 2 formatos). La tabl a 3 muestra algunas de ellas, tomadas de Claros (2010) o Sánchez (2012). Tabla 3. E jemplos de fenó menos observ ados en libros de texto. Ejemplo 1. Fenómeno a .s.i en el sistema de repre s e ntación gráfic o y formato ejemplo. Ejemplo 2: Fenómeno i.v.s. en sistema de repr ese ntación gráfico y formato definición Marco teó rico y m eto dológico para el estu dio d el lím ite 25 Se obser va gráficamente cómo los tér minos de la sucesión, a partir de un cier to lu g ar, quedan d e ntro del intervalo centrado en el lí mite; se usa el sistema de rep re sentación gráfico y s e presenta como una def inición. Obsé rve se cómo el autor "tacha" la gráfica continua para d a r a entender una secuenc i a discreta Ejemplo 3: Fenómeno A DI en sistema de repre s e ntación gráfic o y formato ejemplo Ejemplo 4: Fenómeno IVF en sistema d e representación simbólico y formato de finición Fuentes: Bescos y Pena, 2002, p. 90; Vizma nos, Anzola y Primo, 1981, p. 159; Vizmanos, Anzola y Pri mo, 1981, p. 159; Primo, 1987, p. 217. Pe nsa m iento m atemático avanzado y f enóm enos En 1985, en el seno del PME, se c re ó un grup o de trabajo (D rey fus, 1 990; Tall, 1991) que se denominó “pensamiento matemático avanzado”. Reorientaron la problemática del apr e ndizaje e n términos de procesos cognitivos; las investigaciones abordaron tópicos que por su natura l eza y complejidad se situarían d entro de la llamada “ma temátic a escolar superior” (límite, derivada, entre otros). C re emos que hay bastante acuerdo en considerar que los procesos de abstracc ión y de ge n e ralización juegan un papel clave en el pensamiento matemático avanzado. Tall (1985; 1991) afirma que el paso del Pensamiento Matemático Elemental (PME) al Pensamiento Matemático Avanzado (PMA) implica una transi ción significativa que requiere una reconstrucción cog nitiva. Esta reconstrucción implica pasar, por un lado, de “des cribir” a “definir” y, por otro, de “convencer” a “demostr ar” . Esta transición la sitúa en la fr a nja de los 1 6-20 años y corresponde, aproximadamente, en España, a los dos cursos del B achillerato y a lo s dos primeros años de Universidad. Tall (1991) s eñala que el conce pto de límite se s itúa dentro d e l PMA por los procesos cognitivos que son necesarios pa ra su manejo. También lo sitúa ahí Cornu (1991), pues los considera pi e za fundamental en la teoría de las aproximaciones, continuidad, derivabilidad e int e g ración. Edwards, Dubinsky y McDonald ( 2005) indican, sin embarg o, que el límite estará sit ua do en el pensamiento matemático elemental o avanzado dependiendo d el trabajo que se realice con él. Si solamente se trabaja cálculo de lí mites, no se requier e el pe nsamiento matemático avanzado para realizar esta operac ión. En Claros, Sánchez y Co ria t (2006) hemos propuesto un criterio para discriminar entre PME y PMA basado en los fenóm enos descritos para las sucesiones con límite (a.s.i e i.v.s) y las funciones co n Claros, J., Sán chez, M. T ., Coriat, M. 32 Vargas, González y Llinares (2011). Atlas.ti como herramie nta d e análisis de l a práctica docente: el caso de la f u nción exponenc ial. En M. Moreno y N. Cli m ent Rodriguez (Eds.), Investigación en Educación Matemática, X IV , 187- 200. Vinner, S. ( 199 1) . T h e r o le of defi nitions in t he t he aching and learning of m athem at ics. En D. Tall (Ed.) , Advanced math ematical th inking (pp. 65- 81) . D ordrecht, Holanda : Kluwer. Vizm anos, José R., Anz ola, M. y Primo Martí nez A. (1981). Funciones-2 Matem áticas 2º B.U.P. Teoría y Problemas . M adrid: Edito rial S.M. 1 Ver Freudent hal (1983) o Claros ( 2010), pp. 81- 82 . 2 Una desco mposición genética es un hipotético modelo que describ e la estr uctu ra me ntal y los mecanismos que un estudiante pod ría necesitar constr u ir par a aprender un espec íf ico concep to matemátic o (véase A rnon, Cottrill, Dubinsky, Oktac, Roa, T rigu eros y Welle r (2014)) 3 Solamente hemos elabo rado un a secuenc ia para suces ione s con límite finito. P osiblemente, la s funciones e xijan otra estructura. 4 Sobre las abreviaturas a.s.i.c, a.s.i e i.v.s, véa s e el á m bito intuitivo y formal. 5 Ejemplo: Si el alumno contesta que la sucesión 0,9 , 0,99, 0,999... tiende a 0,99999 . ..=0, 9  , y no a 1, ha calculado incorrecta m e nte el límite y manej a un a idea d e infin ito potencial.) Codes, M. (20 1 4 ). Réplica a la ponencia “Marco teórico y metodológico para el estudio d el límite” . En M. T . González, M. Codes, D. A rnau y T. Ortega ( Eds.), Inve stigación en Educación Matemá tica XVII I (pp. 33 - 40 ). Salam anca : SEIEM. RÉPLICA A LA PONENCIA “M ARCO TEÓRICO Y METODOLÓGI CO PAR A EL ESTUDIO DEL LÍ MITE” Answer to “ Theoretical and m eth odo logical fram ework for the stud y of the lim it ” Myria m Codes Universidad Pontificia de Salamanca Resumen La lectura de la ponencia del Dr. Claros ha inspirado dos ideas princ ipales sobre las que reflexionar. Por un la do, la caracterización de pensamiento matemático avanzado frente a pensamiento matemático elemental que propo ne. Por otro, el doble papel del aula en la s investigaciones en didáctica del Análisis Matemático: como elemento clave por ser el ambiente tradicional donde se desarroll a la enseñanza y el aprendizaje escolar, y como receptora de los resultados de las investigaciones. Con este doble papel como telón de fondo, se proponen dos líneas de debate sobre la investigación en didáctica del Análisis Matemátic o en con tex tos de aula: la investigación en el aula y la inve stigación para el aula. Palabras clave : Análisis Matemático, pensamiento matemático avanzado, investigación en el aula y para el aula. Abstract Reading Dr. Claros lecture suggests two ideas to think about. On one hand, the charac terization of advanced mathematical t hinking versus elementa ry mathematical thinking propos ed . On the other hand, the dual role of the classroom in the research about didactics mathematical analysis: as a key element of th e traditional contex t where teaching and learning are developed, and as a place whe re research results may be applied. With this dual role as background, two discussing ideas related to didactics on classrooms contexts research are proposed: classroom research and classroo m oriented research. Keywords : M athematical Analysis, advanced mathematical thi nk ing, classroom research and classroom oriented research. INTRODUCCIÓN El Análisis Matemático y a ha sido protagonista de los seminarios de la SEI EM en años anteriores: en el seg undo simposio (Pamplona, 1998) L acasta disertó sobre el papel de los gráficos cartesianos en el estudio de las funciones; el siguiente año en Valladol id, Azcára te, Camacho y Sierra hicieron un recorrido sobre las in vestig aciones en didáctica del Análisis Matemático; un año más tarde en Almería, Contreras planteó la enseñanza del Anál isis Matemático en el ba c hillerato y primer curso de universidad desd e la teoría de los obstáculos epist e mológicos y los actos de comprensión. En el 2003 González y Sierra nos presentaron el método de investiga ción histórico en la didáctica del Análisis Matemático a través de un ejemplo con el concepto de lími te en manuales, y en 2005 la profesora Azcárate diri g ió un seminario sobre la investigación en didáctica del Análisis Matemático en el que Moreno, Font y Camacho abordaron tres nuevos aspectos: concepc iones de prof e sores universitarios, una aprox imación ontos e miótica a la didáctica de la derivada y el uso de herra mient a s de cálculo sim bólico e n la enseñanza y el aprendizaje, respectivamente. Hac e tres años en C iudad Real, en otro seminario dirigido por la profesora Moreno sobre la investigación en didáctica de las matem áticas por nivel es educativos, Camacho nos o fr eció una r evisión sobre las Codes, M. 34 investigac ion e s que se h abían rea lizado en los últimos 20 años, en España y a nivel internacional, en didáctica de las mate mática s en el bachillerato y primeros cursos de u niver sidad; g ran parte de los trabajos en estos niveles educa tivos tratan sob re conceptos del Análisis Matemático. En el seno del Grupo de Investigación en Didáctica d el Análisis Matemático (GIDAM) d e la SEIEM, se han abordado los principales con ce ptos propios de este área de conocimiento (límite, infinito, series y su cesiones, función, derivada, i nteg ral) d esde distintos modelos teóricos (APOS, enfoque ontosemiótico), emple ando múltiples metodologías, técnicas e instrume ntos de recogida de datos (cualitativa, interpretativa; análisis de manuales, entrevistas estr uc turadas, cu e stionarios, videograbaciones en el aula) y fo ca lizando el objeto de estudio en los distintos protag onistas de la enseñanza y el aprendizaje (profesores, alumnos, currículo, li br os de texto). Aunque el principal escenario donde se llevan a cabo la enseñanza y el aprendizaje sobre los que investigamos es el aula, este c ont e x to poca s veces está presente en nuestras investigac iones. Normalmente se accede al aula p a ra recoger info rma ción a través de un c uestionario en el que no queda registro de las interacciones que se producen en el aula, las cuales tienen un pap e l decisivo en la construcción d el conocimiento, tanto por las interacciones entr e i guales como por l as que se producen entre el profesor y los alumno (Planas, 2006). Para recoger esta información es necesario el empleo de las grabaciones de video cuyo contenido facilita el aná lisis de la manifestación externa del pensamiento de los alumnos a partir de gestos, habla y acciones (Planas, 2006; Powe ll, Francisco y Maher, 2003). Si e l ac ceso al aula para pasar cuestionarios result a complicado por la obtención de los permisos del centro y la disposición del profesor para realizar este tipo de actividades, pretender grabar en la clase para obtener información sobre cómo se produce la enseñanza y e l a prendizaje en un ambiente natural, puede resultar imposi ble. En general, la búsqueda, coordinación e implicación de l profesorado o de los centros es un a labor compleja: “Es mu y difícil controlar a la p erfecci ón estas variables, básicam e nte, porque la rea lidad la impone el profesorado que est á dispuesto a participar, el cual está integrado en un c e ntro d e terminado y con unos alumnos con c retos que condicionan l a experiencia. Ha y aspectos que pueden controlarse, pero no todos .” (Bruno, 2002). Una vez en el aula, la recogida d e datos ti ene que lidiar con los imprevistos del día a día que reperc uten en la validez de los datos: que un alumno de la muestra no acuda a clase, que por un error en la reserva de un aula no se pueda utili zar un aula de ordenadore s, o que se pierda un episodio interesante porque el profe sor se sienta presionado por cumplir un progra ma o llegue la hora de que entre otro profesor en el aula . La afirmación anterior sobre la poca presencia del au la en nu estra s invest ig aciones no pretende ser una crítica. La s dificultades asociadas a la obtención de datos justifican sobradamente que nuestras preguntas de inv estig aci ón no se planteen p ara ser respondidas con una incursión en el aula. Sin embargo, a pesar de que en muchas investigaciones el aula no está presente ex plícitamente , en la mayor í a de ellas se arr oj an resultados aplicables a la mi sma (en relación a l a figura del profesor, del currículo o del alumno). Este es el caso de las inv estig aciones qu e nos p resenta el profesor C lar os, si bien no se han llevado a cabo en el aula, cumplirá con su aplicabilidad a la misma cuando completen el objetivo d e “desarrollo d e actividades pa ra los alumnos y o rientac ion e s para los profesores” ba s a dos en los resulta dos que nos ha pre sentado. SOBRE LA PONENCIA DEL PROFESOR CLAROS El profesor Claros nos ha expuesto un resumen de las tesis que han defe n dido él mismo y la D ra . Mª Tere sa Sánchez en las que comparten la base sobre la que se asientan, lo que él llama los “t res pilares” (fenomenología, sis tema s de representación y pens amiento matemático avanzado). El matiz que diferencia ambas investigaciones es el objeto matemático sobre el que trabajan: el límite finito de una sucesión y sucesión de Cauchy, en el caso de Cl aros (Claros, 2010) y el lími te finito de una función en un punto, en el caso de Sánchez (Sánchez, 2012). Réplica a la p onen cia “ Marco teórico y metodológico p ara el estu dio d el lím ite” 35 Claros comienza su disc urso marcando la necesidad de encontrar un ma rco teórico que aglutine las investigac ion e s que s e lleva a cabo en á rea del Análi sis Mate mático, más concretamente en relación al concepto de lí mite, y una metodolo g ía d e investigación con la que se puedan abarcar tanto l as investigac ion e s que estu dian distintos ámbitos de la didáctica como son el profesor, los alumnos o los libros de tex to, com o las investi ga ciones qu e tratan dist intos concep tos propios del Análisis Matemático. En la comunicación describe el m arco teórico y la metodología que h a n empleado en las tesis y que continúa n empleando extendiendo el objeto de estudio al límite infini to de una función en el infinito. En relación al mar c o teórico, nos pr e senta l os tres pilares sobre l os que se apo y an sus investigac ion e s: la fenomenología del concepto de lí mi te finito (de sucesión y de función en un punto) y de sucesión d e Cauchy, los sistemas de representación y el pensamiento matemático avanzado. Del análisis fenomenológico d eriva los dos fenómenos que h an encontrado para los tres casos, lo que d enominan fenómenos de aproximación intuitiva (a.s.i; a .s.i.c.; A.D . I ) y fenómenos de retroalimentac ión o de ida y vuelta (i.v.s; i.v.s.c; I .V.F) y li g a estos fen ómenos con el pilar del pensamiento matemático avanzado. L os f e nómenos de aproxim a ción están relacionados con la intuición; requiere n procesos cognitivos que se engloban en lo que se conoce como pensamiento matemático elemental. Los fenómenos d e retroalimentación pertenecen a un ámbito formal y su cog ni ción requiere un pensamiento matemático avanzado. En cuanto a los sistemas d e repre s e ntación, distinguen dos formas en las que aparece el límite en la enseñanza, como ejemplo o en una definición, que se combinan con los cuatro registros que consideran convenientes para repre s e ntar el límite: verba l, gráfic o, simbólico y tabular o numérico. Para llevar a cabo este tra bajo han empleado una combinación de métodos se g ún el fo c o de atención: análisis de libros de tex to, cuestionario para a lumno s o prof esores y entrevist as semiestruc turadas a profesores. Pe nsa m iento Mate m áti co Elem ental vs Pe nsa m iento Mat emático Av anzado La investigación en Did ác tica d el Análisis Mate mático deriva del grupo de trabajo que se cr e ó e n 1985 en el seno del congreso Ps y cholo gy of Mathematics Educa tion , cu y a principal preocupación fue estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la M atemátic a en niveles de enseñanza superior (bachillerato y primeros cursos de universidad) (Azcárate, 1998 ; Azcárate y C a macho, 2003). Ex iste un consenso en la dificultad par a determinar la lí ne a di visoria de los modos d e pensamiento “elemental” y “ a vanzado”, pero a pesar de que el paso de un modo eleme ntal de trabajar con los con c eptos matemáticos a otro avanzado o superior no se d a en fo rma de s a lto, sino como una transición en la que la actividad matemática requiere cada ve z modos de pensamiento más sofisticados, distintos investi g adores continúan buscando una caracterización entre ambos modos de pensamiento que contribuya a mejorar los proc esos de enseñanza y aprendizaje (Selde n y Selden, 2005). Existe un consenso táci to con D rey fus (1990) en que no se puede disti ng uir el pensa miento matemático elemental (PME) del pensamiento matemático avanzado (PMA) porque se pon g an en juego procesos mentales como “analizar, categoriza, conjeturar, definir, formalizar, generalizar , probar o sint e tizar”, ya q ue cuando un niño pequ e ño realiza ta reas matemáticas sencillas desde un punto de vista matemático también pone en jue g o alguno d e estos procesos, incluido la abstracción; sin embarg o, es cierto que las matemáticas as ociada s a conceptos matemáticos más complejos requieren con más ve he menc ia de estos procesos mentales (p. 114). Debemos diferenciar entre dos acepciones del adjetivo “advanced” relacionadas con el objeto al cual adjetiva: el concepto mate mático con el que se trabaja o el ti po de pensamiento que un individuo pone en juego cuando r ealiza tar ea s matemáticas. En el primer caso, el adj e tivo hace referenc i a a la complejid a d del concepto que se considera “no básico” por que se basa en otros sin cuy a c omprensión no s e puede abordar; en el segundo, el adjetivo c a racteriza la d emanda d e procesos mental e s como abstraer y demostrar q ue normalmente se ll e van a cabo en los últimos Codes, M. 36 cursos de se c undaria y en la universidad. Ambos están forzosamente relacionados porque u n concepto elemental desde el punto de vist a matemático, normalmente requerirá un modo de pensamiento más sencill o que otro c u y a complejidad precise poner en juego no solo la comp re nsión de otros conceptos relacionados con él, sino otras habilidades cognitivas más complicadas (Dre y fus, 1990; Selden y Selden, 2005). De las distintas ca racterizaciones que se han propuesto sobre el PMA (Edwards, Dubinsk y y McDonald, 2005; Hare l y Sowd er, 2005; Rasmussen, Zandieh, King y Teppo, 2005; Robert y Schwarzenberger, 1991; Tall, 1991), Claros y su equipo se apo y an en l a postura de Edwards, y otros (2005) y R a smusse n, y otros (2005) que consideran que la distinción entre PME y PMA no debe centrarse en el contenido sino “en la naturaleza de la actividad matemática en la que particip a el alumno” ( Rasmussen, y otros, 2005). En este sentido, a pesar de q ue el conce pto de lí mite se ha considerado tradicionalmente propio del PMA (Cornu, 1991, Dre y fus, 1991), Claros y su equi po proponen cent ra r la atención en el tipo de fenómenos que describen (a.s.i, i.v.s,…) pa ra decidir si la actividad que lleva a cabo el alumno en relación al conc epto de límite se considera de ntro d e l PME o del PMA. Siendo así, los fenómenos a.s.i/A.D.I que se desarrollan en lo que llaman un ámbito intuitivo (para el caso de la sucesión se ev alúan términos de la sucesión para valores de n cada vez mayores y se comprueba que s e obtienen valores que están cerca de un valor fijo, el límite) son propios del PME mientras que los que se de sarroll a n en el ámbito formal pertenecen al PMA. Esta caracterización parece otorgarle a la int uición un papel decisivo para distinguir el P MA del PME, cuando para Ta ll (1995) es precisamente la intuición un elemento facilitador del “pensamiento creativo y la investi ga ción” propios de los “matemáticos profesionales y sus alumnos” que alcanzan niveles superiores de P MA. Cabría entonces pr e guntarse si realmente la actividad matemática qu e se desarrolla en el ámbito intuitivo es la característica del P ME frente al PMA, para los casos de límite finito de sucesión y de función en un punto o, por el contrario, la intuición de lo que ocurrirá cuando el proceso it e rativo consistente en e valuar términos de la sucesión continua un número de veces lo suficientemente grande, es un rasgo d e pensamiento avanzado. S ig uiendo el p ara lelismo que propone Claros con la teoría APO S, l o que él declara como conjetura acerca de una propiedad de la sucesión (o función), es decir, l a intuición del ca ndid ato al límite, para Brown, McDonald y Weller (2008) se cor re sponde con una concepción pro ce so de proceso it e rativo infinito que va más allá del pensamiento matemático elemental. D ado que n o queda claro el pap e l de la intuición como característica de un modo de pensamiento elemental, quizá hay a que preguntarse si realmente se puede considera r que interviene la intuición en la acción de comprobar e l resultado de eva luar una función en varios puntos (según el ca so sucesivos valores de n o sucesivos valores de x cercanos a un v alor fijo); esto parece más bie n un acto descriptivo que intuitivo, lo cual encaja con la caracterización de Tall (1991): “ el paso de la matemática elemental al pensamiento matemático avanzado invol uc ra una transición: de la descripción a la definición, de l convencimiento a la demostrac ión lógica basada en las definiciones ” (p. 20 ). INVESTIGACIÓN EN EL AULA VERS US INVESTIG ACI ÓN PARA EL AULA: LA TRANSFERENCIA DE LOS RE SULTADOS. El título del seminario (Inve stigación en Didáctica del Análisis en contexto s de aula) sugiere algú n comentario en el que esté presente e l aula, bien por su papel en las pre guntas de investigación, bien por su papel en los resultados más o menos a plicables de las investigaciones. En el primer c aso me refiero al aula como elem ento imprescindible en la investigación porque sea este el ambiente en el que se desarrolle la actividad o se obse rve el objeto que van a se r investigados. Se ha comentado las dificultade s operativas que supone acceder a un aula para recoger información, y la trascen de ncia que tiene esta limitación en las preguntas de investigación que se pueden re spond e r accediendo al trabajo del aula. Réplica a la p onen cia “ Marco teórico y metodológico p ara el estu dio d el lím ite” 37 En el segundo c a so, el aula es el escenario al que directa o indirectamente se vierten los resultados de las investigaciones. En relación al aula d e sec undaria obli g atoria, Font (2011) distinguió o c ho preguntas o necesidades del sistema educativo, representado en su persona como profesor de secundaria, a las que en may o r o menor medi da dan respuesta algunas investigaciones c u y os resultados se han presentado en comunicaciones y ponencias presentadas a los Simposios SEIEM entre 1998 y 2010. No ocurre lo mismo en secundaria no obli g atori a (bachillerato) y nivel universitario en los que, según Camacho (2011), los resultados de las in vestigaciones llevadas a cabo en el seno de la SEI EM no son lo suficientemente visibles en la práctica del aul a . Para solventarlo, propone qu e los avances derivados d e las investi ga ciones se plasmen en la pr ác tica d e la enseñanza a partir de l a elaboración de materiales curriculares. González (2007) añade otro frente al que deben derivar los resultados de las investiga ciones, señalando la formación de profesores como uno de los objetivos de las ag endas de investi g a ción. En este campo merece la p e na destacar el trab ajo pionero que recientemente están llevando a cabo investigadores de l a Uni versida d de S e villa y de Alicante en el que se han utiliz a do los resultados obtenidos en la investi ga ción de Sánchez -Matamoros (2004) en relación a la comprensión de los estudiantes del concepto de derivada, p a ra diseñar módul os de enseñanza orientados a la formación de profesores d e secundaria; sobre esta investigación versa la apo rta ción de la profesora Sánchez - Matamoros a este seminario. También Font (2011, p. 166) señala la utilidad de un constructo del enfoque ontosemiótico para el diseño de un ciclo formativo en el máster de Profesor de S ecund aria de Matemática s d e la Universidad de Barcelona. Por el momento, parece que el punto fuerte de la transferencia de los resultados de las investigac ion e s en didáctica del Análisis Matemático a l a sociedad se está produciendo en las aulas universitarias con un perfil de alumno que no es el que mayoritariamente ocupa nuestras investigac ion e s (alumnos de secundaria o primeros cursos de universidad), sino el del futuro profesor de secundaria. Teniendo en cuenta qu e los investig adores que han llevado a cab o esta transferencia están de algún modo vinculados a los cursos de formación del profesorado, cabe preguntarse cuál es el alc a nce de la capacidad de acceso al aula por parte de los investig adores. UN EJEMP LO DE IN VESTIGACIÓN EN EL AULA Y PARA EL AULA El trabajo que r ea licé para obtener el título de doctor por la Univ ersidad de Salamanca (Codes, 2010) tuvo su origen en mi inquietud como profesora por los problemas de comprensión que año tras año obs e rvaba en mis alumnos. L a relativa facilidad que tuve pa ra gra b a r en vídeo tanto el trabajo de mis alumnos como el mío propio en las sesiones habituales de clase, fue uno de los motivos por los cuales los datos de la investig ación se obtuvieron ínteg ramente del aula. Sin entrar en detalles de la investigación que no vienen al caso en este seminario, comentaré b re vemente algunos a sp e ctos que considero relevantes en relación a la investigación en el aula. El uso del adj e tivo “relat iva” para referirme a la oportunidad que s e me brindó para a cc eder al aula porque en su momento n o hubo trabas institucionales, quiere de stacar que la dific ultad de investigar en el aula no se debe sol o al tema de los permisos y la buena disposición del profesor que abre las puertas de su clase a l a cámara, sino a otras cuestiones anejas que directa o indirectamente repercuten e n los resulta dos. Sin pretende r una lista exhaustiva, enumero algunas de ellas:  Para que los datos den cuenta de la realida d del aula, es nece sario que los protag onistas se sientan cómodos y actúen con naturalidad. P a r a ell o, además de contar con la participación voluntaria de los alumno s, comenzamos a gra bar unos días antes del comienzo de las clases que requería la investi gac ión. Así, además de solventar algunos problemas técnicos, se normalizó la presencia de las c ámaras en el aula.  En una clase habitual priman los intereses do c entes frente a los d e la i nvestig ación, de modo que hay situaciones en las que se pueden perder datos, por ejemplo, por la hora de Codes, M. 38 finalización de la clase: si ocurre un episodio interesante ci nc o minutos antes d e que finalice la clase, probablemente no dé tiempo a que conclu y a antes de tener que dejar de grabar, bien porque otro profesor entre en el aula o porque el alumno o el profesor tengan que acudir a otra clase.  Es primordial disponer de herramientas adecuadas para realizar y almacenar las grabaciones del aula y el soporte téc nico que r equiere el uso de las mismas. En nuestro caso fuimos pioneros en reco g er información del traba jo del alumno con el ordenador utilizando un software que graba lo qu e acontece en la pantalla con independencia de la herra mient a que se esté utilizando para la resolver la tarea (Codes, S ier ra y Raboso, 2007).  Hay que asumir los contratiempos del día a d ía, como la aus e ncia de un determinado alumno a clase o la dis ponibilidad de un aula. Estas situaciones reflejan u na realidad de la enseñanza que no siempre está visible. En relación a la transferencia d e los resultados d e la inv estig ación, las acti vidade s que diseñé han seguido formando part e del material que empleo en mis cl ase s y me apo y o continuamente en el análisis teórico que realicé en la investi g ación para que mi discurso ayude a que mis alumnos establezcan conexiones entre los elementos matemáticos pertinentes. Ade más, el visionado de las grabac ion e s me ha descubierto la relevancia que tienen los aspec tos socioc ultura les en los procesos de construcción del conocimiento. Esta transfere n c ia emergerá en futuros trabajos. En cuanto a los datos obtenidos, una g ran parte no se utilizaron en la tesis pero han dado su fruto en investigac ion e s posteriores (Codes, Delgado, González y Monterrubio, 2013; Delgado, González, Monterrubio y Codes, 2013). CUESTIONES PARA EL DEBATE Propongo dos líneas de debate sobre la investigación en didáctica del Análisis Matemático e n contextos de aula. En relación a la investigación para el aula, ¿cómo podemos, desde nuestra posición de profesores e investigadores, f ac ilitar la trans fe rencia de los re sultados de nuest ra s inv e stigaciones en didáctica del Análisis Matemático al aula?, ¿es un hándi cap el que algunos investigadores en este área desarrolle n principalmente su labor do ce nte en c ur sos en los que no se tr a bajan tem as de Análisis Matemático?, ¿o simplemente e s que no sabemos vender nuestros productos? Cuando miramos qué p asa con el Análisis Matemático dentro del aula, foc alizando en cualquiera de los protag onistas: profesor, alumno o currículo, ¿a qué se enfrenta el investigador cuando decide recoger datos de l tra baj o que se lleva a cabo en el ambiente tradicional del a ula lejos de u n ambiente de labo ratorio (creado de forma artific i al)?, ¿ qué preguntas de investigación promueve el aula?, ¿hay marcos teóri c os que se acomoden mejor que otros para obtener resultados útiles? , ¿se pueden obviar los enfoques socioculturales cuando cruzamos la puerta del aula para entrar en ella? Referencias Azcárate, C. (1998). Acerc a de los proces os del pens amiento m atemático avanzado. La Gaceta d e la Real Sociedad Mat emática Espa ñola, 1 (2), 235- 240. Azcárate, C., C amacho, M. (2003). Sobre la investiga ci ón e n didáctic a del Análisis Matem ático. B oletín de la Asociación Matemá tica Venezolana, 10 (2), 135- 149. Brown, A., McDonald, M., Weller, K. (2008). Step by step: iterativ e processes and actual infinity. Conference Board of the Mathema tical Science s (CBM S), Is sues in Mathema tics Educat ion , 5 , 117 - 144. Cam acho, M. 2011. Investigación en didá ctica de l a s matem áticas en el Bachil lerato y pri m eros cursos d e Universidad. En M. Marín , G. Fernández , L. J. Blanco, y M. Pal a rea (Eds.), Invest igación en Educació n Matemática XV (pp. 195- 223). Bilbao: SEI EM. Réplica a la p onen cia “ Marco teórico y metodológico p ara el estu dio d el lím ite” 39 Codes, M. 2010. Anál isis de la comprensión de los conceptos de serie numérica y su conve rgencia en estudiante s de primer curso de universidad utilizando un entorno computa cional . Tesis Doctoral . Universidad de Salamanca. http://gredo s.usal.es/jspu i/bitstream / 10366 /76452/1 /DDMCE_CodesVa lcarceM_ ComprensionConc eptos EntornoCom put aci onal.pdf Codes, M., Delgado, M. L., G onzález, M. T ., Monterru bio, M. C. (2013) Com pr en sión del concepto de serie num érica a través de l modelo de P irie y Kieren. Enseñ anza de las Cien cias, 31 (3), 135- 154. Codes, M., Sie rra, M., Raboso, M. (2007). I nnovación en l a recogida de datos para una investigación de carácter cualitativo. Un ejem plo con alum nos uni v ersitarios en un ento rno com putacional. En M. Cam acho, P. Flores, y P. Bolea (Eds.), I n vestigaci ón en Educac ión Matemática XI (pp. 261 - 271). San Cristóbal de La Laguna: SE IEM. Cornu, B. (1991). Lim its. En D. T a ll (Ed.), Advanced M a t hema t i cal Thinking (pp. 153- 166). Dordrec ht: Kluwer Academ ic Publishers. Delgado, M. L., González, M. T., Monterrubio, M. C., Codes, M. (2013). El mecanism o collecting para la comprensión del concepto de serie num érica. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Cli m ent (Eds.), Inves tigación en E ducación Matemática XV II (pp. 245- 252). Bilbao: SEI EM. Dreyfus, T. (1990). A dvan ced Math ematical Thinking. In P. Nesher & J. K ilpatrick (Eds.), Mathema tics an d Cognition: A Research Synthesis by th e Interna tional Group for th e Psych ology o f Ma thematics Education (pp. 1 13- 134). Cambridge: Cam bri dg e University Pre ss. Dreyfus, T . (1991). Advan ced mathem atical thinking processes. En D. Tall ( Ed. ) , Advanced Mathemat ical Thinking (pp.25- 41). Dordrecht: Kluwer Academ ic Publishers. Edwards, B. S., Dubinsk y, E. y Mc D onald, M. (2005). Advanced mathem atical think ing. Mathematica l Thinking and Lea rni n g, 7 (1), 15-25 Font, V . (2011 ). I n v estigación en didác tica de las matem áticas en la educación secundaria obligatoria . En M. Marín, G. Fern ández, L. J. Blanco, y M . Palarea (Eds.), Investigación en Educación Matemá tica XV (pp. 165- 194). Bilbao: SEI EM Go nzález, M. T. (2007). R éplica a la ponencia “el papel de la didáctica en la enseñ anza del cálculo: evolución, estado actual y ret o s futur os” de la profes ora Mar M o reno. En M. C amacho, P. Flor e s, y P. Bolea (Eds.), I nve stigación en Educac ión Matemática XI (pp. 405- 414) . San Cristóbal de La Laguna: SEIEM. Harel, G., Sowder, L. (2005). Advanced mathem ati ca l- thinking at Any Age: Its N ature and Its Developm ent. Mathematica l Thinking and Learning, 7 (1), 27-50 Planas, N. (2006). M odelo de análisis d e videos para e l es tudio de proce sos de construcción de conocimiento m atemático. Educación Ma temática, 18 (1), 37- 72. Powell, A. B., Francisco , J., Maher, C. A. (2003). An anal y tical m odel for st udying the development of learners’m athematica l ideas and rea soning using v ideotape data. Math ematical behavio r, 22 , 405- 435. Rasm ussen, C., Zandie h, M., King, K., Teppo, A. (2005). Advancing mathem at ical activity: A v iew of advanced m athematical think ing. Mathematical Think ing and Learni ng, 7 (1), 51-73. Robert, A., Schwarzenberg er , R. (1991). Research in t ea ching and learning mathematics at an advanced level. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematica l Thinking (pp. 127-139). Dordr echt: Kluwer Academ ic Publishers. Sánchez, M. T. (2012). Lím ite finito de una f unc ión en un punt o: fenómenos qu e organiza . Granad a: UGR. Sánchez- Ma tam oros, G. (2004). Análisis de la compre nsión en los alumnos de Ba chill e rato y primer año de la Universidad sobre la noción matemát ica de derivada (desa rrollo del concepto) . T es is Doctoral. Universidad de Sevilla. Esp aña. Publicado en 2010 por Edición Dig ital @ tre s, S.L.L. Selden, A., Selden, J. (200 5). Perspectives on advanc ed mathem atical thinking. Mathematica l Thinking and Learning, 7 (1), 1-13. Codes, M. 40 Tall, D. (1991). T h e psychology of Advanced Mathem atical T hinking . En D. T a ll (Ed.), Advance d Mathematica l Thinking (pp . 3-21). D ordrecht: Kluwer Academ ic Publishers. Tall, D. ( 199 5). Cogni tive Growth in Elem entary and Adv anced Mathemati cal Thinking. En L. Meira y D. Carrahar ( Eds. ) , Proceed ings of the 19th Interna tional Conference for the Psychology of Mathema tics Education, 1 , 61- 75. Sánchez-Mata m o ros, G. ( 2014). Adoptando d if erentes pers pectivas de investigación sob re el concepto de der iv ada . E n M. T. González, M. Codes, D. Arnau y T. Ortega (Eds.), In vestigación en Educación Matemática XVII I (pp. 41 - 53 ). Salamanca: SEIEM. ADOPTANDO DIFERENTES PE RSPECTIVAS DE INVESTIGACIÓ N SOBRE EL C O NCEPTO DE DERIVADA Different pers pectives re search about de ri v ative concept Gloria Sánche z - Matamor os Universidad de Sevilla Resumen En este trabajo se aborda una trayectoria de investigaciones considerando el concepto de derivada. En primer lugar, se presentan investigaciones sobre el d e sarrollo de la comprensión del concepto y, posteriormente, investigaciones c entradas en el aprendizaje de estudiantes para profesor de matemáticas de lo que se considera conocimiento adecuado par a la ense ñanza de dicho concepto. Esto conllev a, en cierto modo cierta transferenc ia del conocimiento en el sentido de que dichas investigaciones aport an información para el diseño de módulos de formación, permitiendo realizar investigaciones en e l contexto de aula sobre el aprendizaje de los futuros profesores. Palabras claves : derivada, desarrollo de la co mprensión, formación de profesores, competenci a docente, mirar profesionalmente. Abstract In this paper various inv estigations on the concept of derivative is addressed. Research about the development of understanding of the concept are present ed first, and later research focused on learning of mathe matics prospective tea c hers what is considered proper knowledge to learning and teaching that concept. This leads, in a way, trans fer of knowledge in the sense that these investigations provide information for the design of training modules, and allows conduct research in the classroom context. Key w ords: derivativ e, development of unders tanding, prospective teacher training, teaching competence, professional noticing . INTRODUCCIÓN El desarr ollo de las investigaciones sobre la e nseñanza y el apre ndizaje de los conceptos del cálculo diferencial e int eg ral y m i ex pe riencia como profesora de Educación Secundaria, me h a n pe rmitido comprobar la enorm e dificultad de la enseñanza y el aprendizaje de estos c onc eptos y , en particular, del concepto de Derivada. Artigue (1995) indica a que aunque se puede enseñar a los estudiantes a realizar, de manera más o menos mecánica, algunos cálculos de derivadas y a resolver al g uno s problemas estándar , los estudiantes tienen dificul tades en comprender de manera satisfa ctoria este concepto. Mi trabajo como investigadora relacionada con el concepto de derivada tiene dos etapas: - Una primera e tapa centra da en describir la comprensión de la idea de derivada, y - Una segunda centrada en el apre ndizaje de los estudiantes para profesor de lo que empezábamos a considerar como conocimiento pertinente para la enseñanz a-aprendizaje de la deriva da generado por las investi ga ciones. Esta segunda etapa se apo y a en la información ge n e rada en las investigaciones realizadas en la primera etap a y conlleva aspectos de transferencia del conocimiento al aportar información para el diseño de módulos de formación y al mismo t iempo permite desarrollar investi g a ciones en el contexto de aul a mediante el desarrollo de experimentos de enseñanza. Sánchez-Mata m oros, G. 48 de futuros profesores de matemáticas que no han recibido inst ruc ció n específica sobre la comprensión de la derivada de los estudiantes de Bachillerato, estos resultados ponen de mani fiesto la especificidad del conocimiento sobre el a pre ndizaje de las mat emáticas , que no d eriva necesariamente del conocimiento de matemática s. Es dec ir, este tipo de in vestig ación lo que aporta son evidenc ias sobre el hecho de que el conocimiento de matemática s es necesario pero no suficiente para ser profesor de matemáticas, ya qu e se necesita cono c imiento especifico sobre cómo los conceptos matemáticos (y en particular el conce pto de derivada) ll e gan a ser compre ndidos (Sánchez-Matamoros et al., 2012). INVESTIGACIÓN S OBRE EL DES ARROLLO DE LA COMPETENCIA DOCENTE “MIRAR PROFESIONALMENTE” EN EL CONTE XTO DE UN PROGRAMA DE FORMACIÓN Un segundo fo c o de atención en las investi g acion e s desarr olladas sobre la competencia doc e nte ha sido determinar rasgos de su desarrollo vinculado a contextos de f or mación de profesores específicos (Sánchez-Matamoros, Fernánd e z, Llinares & V alls, 2013 ; Sánchez-Matamoros et al. , 2014). Este foco d e atención pone de relieve la r elac ión entre los experimentos de enseñanza y l a investigac ión e n el aula (Llinares, 2014-a). En con c reto, nuestra pregunta de investigación es : ¿En qué medida los es tudiantes para profesor de mate máticas identifican e int erpre t a n la comprensión de los estudiantes de Bac hillerato después de participar en un entorno de aprendizaje diseña do a d hoc? Estas investigaciones s e apo y an en el diseño de situaciones de enseñanza dirigidas a apo y ar el desarrol lo de la competencia do ce nte “mirar profesionalmente” ( F ortun y & Rodríguez, 2012; Llinares, 2012). Un ejemplo de diseño de estas situaciones de enseñanza, que vinculan propuestas de innovación doc ente con la investigación sobre cómo los futuros profesores aprenden en el caso de la deriva d a , se describe a continuación. En nuestro diseño de enseñanza, en la prime ra y ú ltima sesión, los estudiantes rea lizaron tareas que tenían como objetivo obtener información sobr e su capacidad d e reco noc er evidencias de la comprensión de los estudiantes de bachillerato cuando observ a ban las resoluciones de problemas realizadas por di chos est udiante s. Estas tareas tenían la misma estructura que las tareas usadas en los cuestionarios descritos en la sección anterior . L as otras cinco sesiones tenían como objetivo presentar información relativa a la demanda cognitiva de las tarea s y sobre las cara cterísticas de la comprensión del concept o de derivada en estudiantes de b a chillerato. En cada una de estas sesiones los EPP con el apo y o de información teórica resolvían en parejas ta re as c entrada s en identificar los elementos matemáticos del concepto de derivada y la demanda co g nitiva de diferentes problemas e identificar características de la comprensión de la derivada. Al final de cada s esión había un a discusión en gran grupo donde se de batía sobre la tarea realizada (Fi g ura 4 ). Figura 4. Esquem a del d ise ño del módulo de de rivada (Sánchez- Matamoros et al., 2013) Adoptando diferente s perspectivas de investigac ión s ob re el concepto de derivada 49 La s actividades iniciales y finales consistían en las respuestas de estudiante s de Bachillerato (16-18 años) a p roblemas de derivada e n un punto , acompañadas de un extracto de entre vista en las qu e los estudiantes expli c aban cómo los habían resuelto y l a s tres mi smas preguntas de la sección anterior. La s respuestas de los estudiantes reflejaban diferentes aspectos d e la comprensión sobre l a derivada proporcionados por inv estigaciones previas en relación al desarrollo de la compr e nsión de l a derivada (Figura 5). Figura 5. Part e de la activ idad final en el m odul o d e form aci ón: Resp uestas de un e studiante de Bach illerato a dos prob lemas Después del módulo, los estudiantes para profesor se apo y aron en ma y or medida en los elementos matemáticos que habían identificado para interpretar la comprens ión de los estudiantes. Este hecho parece su g erir que el d esarr ollo de esta competencia docente está vin culado a los elementos matemáticos de la noc ión de derivada que los estudiantes para profesor son capaces de considerar al describir, identificar e in terpretar evidencias de l a comprensión de la derivada en las respuestas de los estudiantes. Es decir, a centrar la mirada sobre aspectos que puedan mostrar información relevante de la manera de proceder de los estudiantes de Bachillerato. L a capac idad de mir ar con más detalle las respuestas de los estudiantes y de reconocer lo que es relevante diferenciándolo de lo que es irr e levante pa ra el ap re ndizaje se convierte en indicadore s de esta c omp e tencia. E n particular esta mejora en la competen c ia doc e nte est á vinculad a a l a manera en la que los estudiantes para pro fe sor identificaban como relevante pa ra interp re tar la comprensión e n la manera Sánchez-Mata m oros, G. 50 en la que los estudiantes de Bachillerato usaban las siguientes relaciones en la resolución de los problemas: - L a r e lación entre el límite del cociente incremental y el si gnific ado de la derivada como pendiente de la rec t a tangente - L a relación entre la derivabilidad de la función y s u c ontinuidad, y - L a man era en la que se u sa ba la informac ión obte nida desde la función o l a función derivada alrededor de los puntos de inflex ión y el punt o cúspide (entendido como la mane ra de interpretar el comportamiento de la función derivada para inferir información sobre el comportamiento de la f u nc ión). En la sección anterior, coment ába mos la especificidad del conocimiento sobre el aprendizaje de las matemáticas, y que no deriva necesariamente del conocimiento de matemáticas. Este hecho se evidencia al caracter izar los gra dos de d e sarrollo . En este sentido, el diseño de sit ua ciones de enseñanza específicas p ermitió a los futuros p rofesore s de mat e máticas identificar e int e rpretar aspectos de la enseña nz a de las matemática s (en el concepto de de rivada) para ex plica r el aprendizaje matemático de los estudiantes (mirada pro fe sional). L os procesos de identificar e interpretar d e sarrollados por los EP P permiti eron rea lizar suposiciones má s detalladas acerca de la comprensión de los estudiantes y darse cuenta de diferentes signos de la c ompre nsión del con c epto de derivada. DISCUSIÓN En este trabajo hemos caracterizado una t rayectoria de investigación que ti ene como foco central de atención el concepto de derivada. Esta tra y ectoria se inicia con las investigaciones centradas en el desarrollo de la comprensión de dicho concepto y, ha continuado con el diseño de experimentos de enseñanza y realizando investigac ión en las aul as de los programas de formac ión de prof e sores centrándose en el aprendiz a je de estudiantes para profesor de matemáticas de lo que consideramos conocimiento adecuado para la enseñanza del co nc epto de derivada. Esto conlleva, en cierto modo, una manera de entend e r la transferencia del conocimiento en el sentido de que dichas investigac ion e s aportan información para el diseño de módul os de formación, además de permitir realizar investigac iones en el conte xto de aula (Llinares, 2014-b). La primera etapa de la s investigaciones estuvo centrada en caracteriz ar diferentes niveles de desarrollo d e la comprensión del concepto de derivada considerando diferentes elementos t anto desde el punto de vista d e la co g nición, como de la propia naturaleza del concepto. Los resultados obtenidos en esta primera etapa nos han per mitido hacer un diseño de tareas profesionales, centradas en el aprendizaje de los estudiantes para profesor, pa ra ser us adas en los programas de formación. Con las diferentes tareas diseñadas se creaban situaciones profesionales en las que los estudiante s para profesor podían comparar las resp ue stas de un estudiante a d ife rentes problemas con caracter ísticas dife re ntes en cuanto a la propia naturaleza del concepto (aproximación al límite, modos de represe ntación, el carácter local o global) y , por el otro, podrían comparar las respuestas dadas a cada problem a por dist intos estudiantes que mostraban diferentes desarrollo de la comprensión de la derivada (mecanismos de construcción del conocimiento, triada). Estas tareas nos han permiti do a y udar a los futuros profesores a d esa rrollar l a comp etenc ia docente de mirar profesionalmente el pensamiento matemático de sus estudiantes y a observar cómo los futuros profesores e ra n capaces de identificar e int e rpretar la comprensión pu esta de m anifiesto por los estudiantes. Mason (2002) considera que el pro fe sor d ebe ser consciente de cómo interpreta las situaciones de enseñanza y a p re ndizaje mediante la adopción de una visión estructurada d e lo que es relevante para Adoptando diferente s perspectivas de investigac ión s ob re el concepto de derivada 51 los objetivos de aprendizaje de sus estudiantes. En este sentido, el uso explícito de los elementos matemáticos por parte d e los futuros prof e sores para analizar situaciones d e enseñanza aprendizaje son evidencias del desarrollo de la competencia docente “mirar p rofe sionalmente”. Ad emás, la capacidad de mirar con más detalle las respuestas de los estudiantes y de reconocer lo que es relevante dife re nciándolo de lo que es irrelev ante pa ra el a p re ndizaje se convierte en indicadores de esta competencia. La importancia de esta comp e tencia docente viene dada porque diferencia a un profesor de matemáticas de alguien que no es profesor y vi ene carac ter izada por el uso del conocimiento de matemáticas y de didáctica de la matemática en determinadas situaciones. Los resultados de las in vestigaciones de est a segunda etapa, nos han pr oporc ionado información para caracterizar niveles de desarrollo de la competencia docente “mir ar profesionalm ente” . E s decir, caracterizar el desarrollo de la c a pacidad de interpretar el aprendizaje matemático de los estudiantes en un dominio de contenido específico, la derivad a. En la última etapa de las investigac ion e s sobre la competenc ia doc ente un objetivo h a sido determinar rasgos de su desarrollo vinculado a contextos de formación de prof e sores específicos lo que ha puesto de m a nifiesto la relación entre los experimentos de enseñanza y la investigación en el aula. L a creación de módulo s de enseñanza específico, con situaciones d e enseñanza diri g idas a apoy ar el d esarrollo de la competencia docente “m ira r prof e sionalmente” la s evidencias de la comprensión del concepto de derivada en los estudiantes de bachillerato, a y udó a los futuros profesores a identificar e interpretar diferentes si g nos de la comprensión del concepto de derivada puestas de manifiesto por los estudiantes de bachillerato. Esta mejora en la com pe tencia docente estuvo vinculada a la manera en la que los EP P identificaban como relevante cómo los estudiantes de bachillerato usab an determinada s relaciones en la resolución de los problemas . En concreto, las relacion es entre el límite del cociente incremental y el significado d e la d eriva da como p endiente de la r ec ta tange nte, entre la d erivabilidad y l a continuidad de la función, y la m ane ra en la que se usaba la informació n obtenida desd e la función o la función derivada alrededor de los puntos de inflexión y el punto cúspide. De esta manera, hemos obtenido información para caracterizar niveles de desarr ollo de l a competencia “ mirar profesionalmente” en el dominio de contenido de la derivada . Aunque aquí sólo hemos mencionado los resultados obtenidos, el tipo de i nvestigaciones llevadas cabo en esta s egunda etapa, investigacione s de aula, nos permite consi dera r posi bilidades muy variadas en cuanto a recogida de d atos, pudiendo realizarse además, en distint os momentos del proceso de enseñanza aprendizaje y de distintas formas: cuestionarios individuales, tareas grupales, foros de discusión…, que pueden a y udar a generar nuevo conocimiento sobre cómo los estudiantes para profesor apre nden a usar el conocimiento de matemáticas y de didáctica de las matemáticas. Reconocimientos. Esta investig ación ha recibido el apoy o del P roy ecto I+D+i EDU 2011-27288 del Ministerio de Ciencia e Innovac ión. España. Referencias Artigue, M. ( 19 95) . La enseñanza de los principios del cálculo: problem as epistemológ icos, cogni tivos y didácticos. En P. Góm ez (Ed.) Ingenie ría d i dác tica en educa ción matemática (un esquema para la investigación y la i nno vación en la enseñanza y el aprendizaje d e las matemá ticas. México D.C. : Grupo editorial I ber oam ér ica, 9 7-140. Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E. & Schwing endorf, K . (1997). The developm ent of st uden ts´ graphica l understanding of the deriv ate. Jo urnal o f Mathematica l Behavior, 16 , 399-431. Badillo, E., Azcarate, C. & Font, V . (2011) . Análisis de los niv eles de comprensión de los objetos f ´(a) y f ´(x) en pr ofesores de Ma tem átic as. En señanza de la s Ciencias , 29 (2 ), 191-206. Baker, B., Cooley, L. & Trigueros, M. (2000). A cal culus graphing schema. The Journal f or R esearch in Mathematics Education, 31 , 557 – 578. Sánchez-Mata m oros, G. 52 Cooley, L., Trigueros, M. & B aker, B. (2 007). Scheme them atization: A f ram ework and a n example. Journal for Research in Mathemat ics Educat ion, 38 (4), 370 – 392. Ferrini-Mundy , J. & Graham , K. (1994). Research in calculus learning . Under standing limits, derivates and integrals. In J . Kaput & E. Dubinsky (Eds.), Research issues in underg raduate mathematics learning, MAA notes 3 3 (pp. 31-45). Wash ington, DC: Mathematical As sociation of A merica. Fortuny , J .M. & Rodríg uez, R. (2012). A prender a m irar con sentido : facilitar la interpretac ión de las interacciones en el aula. AI EM. Avances de I nvestigaci ón en Educac ión matemátic a, nº 1, 23-37. García, M., Llinares, S. & Sánchez-m atamoros, G. (2011). Characterizing t hem at iz ed derivative schem a by the underlying em ergent structures . International Journal of Science and Mathem atics Educat ion, 9 ( 5 ) , 1023- 1045 Habre, S. & Abboud, M. (2006). Student’s conceptual understanding of a function and its deriv ative in an experim ental calculus cour se. The Journa l of Mathemat ical Behavio r , 25 , 57-72. Llinares, S. (2012). Con strucción de conoc imiento y desarrollo de una mirada profesional pa ra la práctica d e enseñar m at em át ica s en e ntornos en línea. AIEM. Avan ce s de Investiga ción en Educación Matemática, nº 2, 53- 70. Llinares, S. (2014-a). Expe rimentos de e nseñanza e investigación . Una dualida d en la prác tica del form ador de profesore s de matem áticas. Educación M atemática, nº extraord inario XXV-aniversar io , 13- 34 Llinares, S. (2014-b). De la investigació n a l a I nnovación y la práctica en la enseñanz a del Análisis Matem ático. E n Monográfi co – Grupo DAM -SEI EM Mason, J . (2002). Res earching your own pract ice. The disc ipline of not icing. Lond on: Routledg e - Falmer. Pino-Fan, L.R., Godino, J.D., Cast ro, W.F. & Font, V . (2012). C onocim iento didáct ico - matemático de profesores en formación : Explorando el conocim iento es pe cializ ado sobre la der ivada. En A. Estepa, Á. Contreras, J . Deulofeu, M. C. Penal v a, F. J. García y L. Ordóñez (Eds.), Investigac ión en Educac ión Matemática XV I (pp. 427 - 434). Jaén: SEI EM. Salazar, Cl., Díaz, H. & Ballen, M.B. (2009). Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada. Tecn é, Episteme y Didaxis, 26 , 62- 82 Sánchez- Ma tam oros, G. (2004). Análisis de la comprensión en los alumnos de Bachillerato y pr im er año de la Univer sidad sobre l a noción m atemática de derivada (desarrol lo del concepto). Tesis Doctoral. Universidad de Sevilla. Es paña. Pub licado en 201 0 por Edic ión Digital @ t res, S.L .L. Sánchez- Ma tam oros, G., Fernán dez, C., Val ls, J., García, M. & Llinares, S. (201 2). Cómo est ud iantes para profesor interpretan el pensam ient o m atemático de l o s estudiantes de bachiller ato. La derivada de una función en un punto. En A. Estepa, Á. Contre ras, J. Deulofeu, M. C. Penalv a, F. J . García y L. Ordóñez (Eds.), I nvestigación en E ducación Matem ática XVI (pp. 497 - 508). J a én: SEI EM Sánchez- Ma tam oros, G., Fernández, C., Llinares, S. & Valls, J. (2013). El d esarrollo de la competencia de estudiantes par a prof esor de matem ática s de educación se cund aria en i de ntificar la comprensión de la derivada en estudiante s de Bachillerato. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Cli m ent (Eds.) , I nvestigación en Educac ión Matem át ica X VII (pp. 501- 509). Bilbao: SEIEM Sánchez- M atam oros, G., Fernández , C. y Lli na res, S. (2014) Developing pre - serv ice teachers’ not icing of students’ understanding of t he der ivative concept. Intern ational Journal of Science and M at hematics Education , DOI : 10.1007/s10763- 014 - 9544 - y Sánchez- Ma tam oros, G., García, M. & Llinares, S. (2006). El desarrollo del esquema de derivada [The developm ent of derivativ e schema] . Enseñanza d e las C iencias, 24( 1), 85- 98. Sánchez- Ma t am or os, G., García, M. & Lli nares, S. ( 2 008) . La com pr ensión de la derivada como objeto de investig ación en Didáctica de l a Matemática [The understanding of derivative as an research t o pic in Mathem atics Education]. RELIME -Revista La tinoamericana de Investiga ción en M at emática Educativa, 11 (2), 267- 296. Adoptando diferente s perspectivas de investigac ión s ob re el concepto de derivada 53 Sánchez- Ma tam oros, G., Garc ía, M. & Llinares, S. (2013). Algunos indicado res del desa rrollo del esquem a de derivada d e una función. BOLEMA, 27 (45), 281-302. Sherin, M., J a cobs, V. & Philipp, R. (Ed) (2010). Mathema tics t ea cher noti cing: Seeing through teachers ’ eyes. New Y ork: Routledge . Van Es, E. & Sher i n, M. (2002). Learning t o notice: scaffolding new teachers’ interpreta tions of classroom interactions. Journal of T echnology and T eacher Edu cation, 10, 571- 596. Zandieth, M . (2000). A theoreti cal fram ework for analyz ing student understanding of th e concept of derivative. I n E. Dubi nsk y, A.H. Shoenfeld & J. Kaput (Eds.), Research i n Collegiate Math ematics Education I V CBMS Issues in Mathematics Education ( vol. 8, 103-127) . Prov idence, USA: American Mathem atical Society. Azcárate, C. (20 14). Réplica a la po n encia “Adoptando diferentes perspectiva s de investigación sobre el co ncepto de derivada” . En M. T. González , M. Codes, D. Ar n a u y T . Or teg a (Eds.), I nvestigación en Educa ción Matemá tica XVII I (pp. 55 - 58 ). Salamanca: SEIEM. RÉPLICA A LA PONENCIA “ADOPTAND O DIFE RENTES PERSPECTIVAS DE INVESTIGA CIÓN SOBRE EL CO NCEPTO DE DERIVADA” Answer to “Different perspe ctives re search ab out derivati ve concept” Carmen Azcárate Universitat Autònoma de Barce lona Resumen En esta réplica a la ponencia presentada por la profesora Sánchez- Matamoros, y después de una s consideraciones p ersonales, se destaca su trayec toria investigadora centrada en anali zar l a comprensión d e l concepto de d erivada abarcando los ámbitos de aprendi zaje (en alumnos de secundaria) y d e enseñan za (en futuros prof e sores de matemáticas). Se se ñalan sus aportaciones e n el marco de la teoría AP OE reflejadas en numerosas publicaciones y su apli c ación al campo de la formación de profesores. Palabras claves : derivada, desarrollo de la comprensión, formación de profesores, competencia docente, mirar profesionalmente . Abstract In this answer to the paper of Gloria Sánchez-Matamoros, and after some personal considerations, I will unde rline her res earch trajec tor y which is centred on th e analysis of the understanding of the derivative concept focused on learning (secondary pupils ) and teachin g (mathe matics teach e rs training). I w ill point out her contributions to the APOS theory refle c ted on several publications and their applications to the area of teac hers train ing. Key w or ds : derivative, development of understanding, prospective teacher training, professiona l competence, professional noticing . APUNTES PERSONALES En octubre se me acaba el emeritaje qu e he disfrutado durante 4 años, el plazo máximo que da la universidad a este tipo de contrato. En ese momento dicen que dejaré de ser profesora universita ria. Bien es verdad que me h e ido dist a nciando poco a poco de mis funciones en el departamento, p ero he mantenido mi fidelidad a la SE I EM, entre otra s cosas por formar pa rte del equipo que ha puesto en marcha l a revista A I E M. No os vais a librar de mí; son buenas y muchas las amistades que ten g o aquí y que no quiero perder de vista. La derivada de una función, otro tema pe rsona l. En 1990 presenté mi tesi s doctoral "La velocidad: introducción a la d eriva da". A los escépticos y de sc reidos respecto a la investigación en Didáctica de las Matemáticas, les invit a ría a revisar y comparar mi tesis y los últi mos trabajos de Gloria: el paso dado es gigantesco y para mí es un motivo de satisfa c ción, no dudo que compartido por nuestra comunidad. Solo quiero hacer un poc o de historia que viene al caso. Cuando empecé a interesarme por el tema de la enseñanza de la der ivada , junto con el Grup Zero de Barce lon a y con el apo y o de un mate ria l de Claude Janvier, introducir la derivada antes de estudiar lí mites y , por tanto, prescindiendo de la fórmula típica, era totalmente innovador e incluso mu y mal visto por la comunidad docente. Con el material del Grup Zero se empezaba a ens e ñar la derivada con un en foque de pre -cá l c ulo donde se profundiza en los conceptos de pendiente de una recta, tangente a un a curva y cálculo de la pendiente de la tan g ent e por aproximación, a partir de las p endientes de las seca ntes. Así es cómo Azcárate, C. 56 aparece en alguno de los problemas pres e ntados p or Gloria a sus estudiantes para profesor. Un tema interesante s e ría saber cómo esos estudiantes aprendieron el concepto d e derivada cuando eran alumnos preuniversitarios y cómo han vivido el proceso de plantearse ot ro modo de enseñar. IDEAS RELEVANTES DE LA PONENCIA DE GLORIA SÁNCHEZ-MATAMOROS El objeto de investigación La trayectoria investigadora de Gloria se centra en analizar la comprensión de la derivada de una función, un concepto complejo asociado al cálculo diferencial. L o primero que s a lta a la vista es l a riqueza y a mplitud de su enfoque que abarca los dos ámbitos de la problemática: (1) la derivada c omo obj eto de a prendizaje (alumnos de bachillerato y universi da d); (2) la derivada c omo obj eto de e nseñanza (futuros profesores de matemáticas de sec undaria). Este doble objetivo le ha llevado a profundizar en los dos aspectos basándose en los resultados de las líneas de investiga ción sobre análisis matemático que se han desarrollado en los últimos años tanto en nuestra comunid ad como int e rnacionalmente. Podemos visualizar este doble enfoque en el esquema siguiente que pone de manifiesto cómo, a partir de un análisis matemático, hist ór ico y epistemológico de la comp lejidad del concepto de derivada y d e l estudio de las dificultades de su comprensión en alumnos de bachillerato, se inve stig a la comprensión de su enseñanza en futuros profesores de matemá tica s en f ormación. Aportaciones teóricas Destaco el ri g or y la exhaustividad teórica en su forma de abo rda r los problemas de investigación en cada etapa o momento de su tra y ectoria investigadora. De igual manera, e s especialmente interesante el hecho de situarse muy claramente en una perspectiva teórica, el modelo APOE, y enriquecerla con los resultados de sus investi g aci one s. Esto se refleja en numerosas publi c aciones en revistas de reconocido prestig io internacional que están en las bases de datos especializadas del Complejidad Comprensión de su aprendizaje Comprensión de su enseñanza Comprensión conceptual Análisis matemático/ histórico/ epistemológ ico Comprensión de las dificultades/ potencialidades de los alumnos Comprensión de las potencialidades y dificultades de los futuros profesores Articula dos marcos: APOE “Mirada profesional” ( professional noticing ) Réplica a la p onen cia “A dop tando diferentes perspecti v as de inv esti gación sobre el concepto de derivada” 57 área , qu e aparecen en el portal Web of Knowledge (WOK)/ Web of Science (WOS) y tien e n índice de impacto J CR en el área Edu c ation and Edu cational Research. Entre otras: En señanza de las Ciencias , Relime , Bolema e International Journal of Science and Mathematics Education . No obstante, su coherencia en el uso de la pe rspectiva teórica adoptada (APOE) no le impide articularla y complementarla con perspectiva s centradas en el desarrollo de competencias profesionales en los pro fe sores. Con c retamente, el desarrollo de la competencia docente “mirad a profesional” en las situaciones de enseñanza -aprendizaje de las matemáticas ( professional noticing ). Esta apr oxim a ción le ha permitido ampliar y enr i que cer los resultados de sus estudios previos sobre el desa rrollo del esquema de la derivada basados en APOE, con su aplicación a un contexto distinto como es la formación de futuros profe so re s de secundaria. Sus investigaciones contribu y en, en los dos ámbitos descritos anter iormente, a compre nder constructos teóricos desarrollados en la teoría APOE que no estaban suficientemente definidos o ejemplificados. Así, ha profundizado en la compr ensión de los niveles d e desarr ollo del esquema d e derivada, enriqueciendo la propuesta de APOE, basada en l a tríada intra , int e r y trans de Pia g et y García, con e videncias d e que este desarrollo: (1) está vinculado con la coordinación de los elementos del concepto durante la resolución de problemas; (2) está influe n c iado por los modos de representación a la hora de establecer relaciones. Y, sobre todo, ha inves tig ado la compr e nsión de los meca nismos de abstracción reflexiva, en particular el mecanismo de TEMAT I ZAC I ÓN, vinculados a la comprensión del desarrollo del esquema de la deriva d a . Pr incipales apli c aciones Considero que las aportaciones de sus estudios a la línea de investigación sobre el análisis matemático, en g eneral, y sobre e l cálculo dif erencial, en particular, no sólo contribu y en a la investigac ión, sino que sus resultados tienen un importante grado d e transf e rencia a la transformación de las prácticas de aula tanto en secundaria como en la formación de prof e sores. Esto queda evidenciado en el uso de los resultados de sus primera s inve stiga ciones para generar tareas form ativas que ayuden al desarrollo de la competencia profesional (mirar con sentido) en contextos formativos del máster de secundaria, tal y como lo refl e jan sus más recientes publicaciones: Actas de l a SEIM (2012 y 2013 ); I nternational Journal of Science and Mathe matics Eductacion (2014). Pr oy e cciones Su pro y ección y crecimiento profesional están ligados a un grupo de investigación que h a introducido una tendencia metodológica en el análisis de datos de investigación, propia de la teoría adoptada, APOE: - análisis matemático r i g uroso por parte del equipo de investigación, - diseño y v a lidación de instrumentos entre sus miembros, - difusión de los resultados con miembros de l equipo de investigación. Esta dinámica de investi g ación se manifiesta en sus publicaciones en rev istas y sus aportaciones a congresos con diferentes miembros del equipo. Esto es coherente con la tendencia actual de investigar y publicar en red de investigadores (equipos de la Universidad de Sevilla y de la Universidad de Alicante). Luis Rico 64 desconfianza por motivos imprecisos o inapropiados. Quizás debido a la fa lta de los rec ursos materiales y personales nece sarios para llevar a ca bo e stos trabajos, quizás por el desconocimiento o la falta de dominio de las técnicas cuantitativas de análisis apropiadas para estos estudios o, posiblemente, por un cierto distanciamiento hacia metodolo g ías de orientac ión positivista, posiblemente por una combinación de todos estos motivos, la realidad es que son mu y escasas la s investigac ion e s hechas sobre rendimiento matemático escolar por los es pe cialista s españoles en educación matemática. Finalmente suel e n ser instituciones de la administ ra ción educativa y especialistas de otras d isciplinas quienes asumen el liderazgo en este tema, por dej ade z o desconocimiento de lo s ex pertos en didáctica de la matemáti ca. Se desaprovechan los planteamientos teóricos considerableme nte útiles para el diseño de los cuestionarios y el análisis de los datos, se descuida la puesta en práctica de los marcos interpre t a tivos de gran potencialidad para explicar y entender los res ultados, se desaprovecha toda la informa c ión genera da por estos estudios para la formación de jóvenes investigadores, que en la mayoría de países están encomendados a los especialistas en educación matemática. Se d esaprovec ha, en fin, la fuerz a y vigor de estos estudios, de un conjunto sugerente de datos, para incidir en la práctica escolar, en el aprendizaje d e los escolares y en la docencia de sus profesores. En definitiva, nos excluimos de un campo de estudio en el que participan e x pertos en e ducación y de muchas otras ciencias soc iales Estudios internacionales en las actas de la SEIEM Muestra de las refle x iones anteriores son las escasas producciones de nuestra comunidad de investigadores sobre estos temas. Los trabajos localizados en las Actas de la SE I EM hacen escasa mención a las investi g aciones que sustentan o que se derivan de los e studios internacionales. En las actas de los XVII encuentros celebr ados hasta la fecha, solo hemos localizado tres comunicaciones sobre esta temática:  Rico, L. (2004 ). Ev aluación de competencias matemáticas, Pro y ecto P I SA /OCDE 2003. En E. Castro, E y E. De la Torre : Investigación en educación matemática. Octavo simposi o de la Sociedad Española de Investigación en Edu cación Matemática , pp 89- 102. A C or uña: Universidade da Coruña.  Rico, L, Gómez, P. y Cañadas, M. C. (2009). Estudio TEDS -M: Estudio internacional sobre la formación inicial de p rof esores de matemáticas. En M. J. González; M. T. González y J . Murillo: Inve stigación en Educac ión Matemática. XIII Simposio de la SE IEM, pp 425 - 434. Santander: Univer sidad de Cantabria.  Gutiérrez, A.; Gómez, P. y Rico, L. (2012). Conocimientos en didác tica de la matemátic a de estudiantes españoles de Mag isterio en TEDS -M. En A. Estepa, A. Contreras, J , Deulofeu et al. Investigación en Educación Matemática. XVI , pp 341- 351. Jaén: Univer sidad de Jaén. Estos trabajos son insuficientes como muestra de la actividad de un grupo cualificado de experto s como el nuestro. TEDS-M es un ejemplo. Pr opuesta Con la organización de este seminario d e i nve stigación se quiere impulsa r el cono c imiento de un campo de tr aba jo es c asamente explorado entre nosotros. Las tres ponen cias abordan tres de sus face t a s importantes: lo s documentos y fuentes primarias obt e nidas, la caracterización del conocimiento del contenido y del conocimiento didáctico del profesor de matem á ticas y la estructura de los planes de formación inicial. Se quiere así mostrar la puj a nza y el interés d e este tipo de estudios. Se quiere da r a conocer e l trabajo de sistematiz a ción de r esultado s y promoción de nuevos estudios llevado a cabo por el INEE desde hace mas de dos décadas; se quieren difundir las bases de datos, las fuentes documentales y los lo gros y a conseguidos. Las demandas sociales para encontrar respu e sta profesionales, maduras y fundadas, a las deficiencias del conocimiento matemático de nu estros conciudada nos son ur gentes. S e quieren debatir los datos obtenidos sobre Seminario de investi gación: La f or m ac ión i n icial del maestro co m o fu turo profesor de matemáticas. Resultados del estu dio T EDS-M d e la IEA 65 formación inicial de profesores españoles de matemáticas y compararlos con los reflejados por los de otros países. El debate sobre el rendimiento matemático en la población escolar esp añola está teni endo lugar; como especialistas y profesionales no debe mos qu e dar al margen. Sanz, I ., Martín, R. (20 14) . El estudio T EDS-M de la IE A en el marco del Instituto Nacional de Evaluación E ducativa (INEE) . En M. T. González, M. Codes, D. Arnau y T . Ortega (Ed s .), Investigación e n Educa ción Matemáti ca XVIII ( pp. 67 - 81 ). Salamanca: SEIEM. EL ESTUDIO TEDS- M DE LA IE A EN EL MARC O DEL INSTITUTO NA CIONAL DE EV ALUACIÓN ED UCATIVA (INEE) The iea-TEDS-M study in the fr amework of the spa n ish nationa l institute of educational a s sessment (INEE) Ismael Sanz, Ruth Martín Instituto Nac ion a l de Evaluación Educativa ( I NEE ) Resumen El INEE es el organismo del Ministerio de Educac ión, Cult ura y Deporte encargado de la evaluación del sistema educativo español. Entre los estudios que coordin a se encuentra TEDS -M , el primer estudio comparativo a nivel internacio nal a g ran escala sobre educación superior. Su objetivo ha sido evalua r la formación inicial del profesorado de Matemáticas en Educación Primaria y Se cundaria O bligatoria. Analiza las políticas educativas y e l currículo de formación del profesorado de matemá ticas, además del conocimiento en Matemáticas y Didáctica de las Matemáticas de los futuros maestros. Participaron 17 países, entre ellos España, que evaluó a más de mil estudiantes de último curso de Magisterio en Educ ac ión Primaria, de 48 inst ituciones. El presente artículo resume las principales característi c as y conclusiones del estudio cuyo informe de resultados se publicó en 2012, seguido de un segundo volumen c on análisis secundarios en 2013. Palabras clave : INEE, T EDS- M, formación y evaluación del profesorado, matemáticas. Abstract The INEE ( National Institute for Educational Assessme nt ) is the institution within the Ministr y of Education, Culture and Sport in charge of the evaluation of the Spanish Education System. Among other studi e s, the INEE coordinates TEDS-M, the first large -sc ale comparative international stud y on Highe r Education. Its main aim has bee n t o ev aluate the initial training for Mathematics teachers in Primary and Secondary Edu cation. T EDS-M analyzes the education poli c ies and the curric ulum of Mathema tics Education. It also examine s t eache r’s mathematics knowledge and pedagogy. Seventeen co untries part icipated, Spain among them. More than one thousand Spanish students were assessed. They belonged to 48 inst itutions in the final academic y e ar of “Magist e rio en Educación Primaria” (Primary Teacher Educati on) . This paper summarizes the main features and conclusions of the study w hose report was published in 2012, followed up by a second volume on further research in 2013. Keywords : INEE, TEDS-M, teac her traini ng, teac her assessment, mathematics. EL INSTITUTO NACIONAL DE EVALUACIÓN EDUCATIVA El I nsti tuto Nacional de Evaluación Educativa ( I N EE), dependi e nte de la Dirección General de Evaluación y Cooperación Territorial, es el organismo del Minis terio de Educación, Cult ur a y Deporte en ca rgado de la evaluación del sistema educ ativo español . Las func iones que tiene encomenda d a s son: • La coordinación de las políticas de evaluación general del sistema educati vo y la realización, en colabora c ión con los or g anismos correspondientes de las administraciones educativas, de las evaluac ion es nac ionales. • La c oordinación de la participación del Estado español en las evaluaciones internacionales. Sanz, I., Martín, R. 68 • La pa rticipa ción en la elaboración d e los indic adores internacionales de la educación, así como el seguimiento de las a ctuaciones de la Unión Europea en este ámbito. • La elaboración del Sistema Estatal de I ndicado re s de la Educac ión, y la realización de investigac ion e s y estudios de evaluación del sis tema ed uca tivo y la difusión de la información que ofrezcan ambas ac tu a ciones. En la actualidad el INEE tiene también adscrita la Revista de Educación, una publicación científica del MECD fundada en 1940 y editada por l a Subdirección General de Documentación y Pu blicaciones del MECD. El INEE presta especial atención a la tare a de difusión que ti e ne encomenda d a a trav és d e la publicación de informes, boletines inform ativos y otros materiales con el objetivo principal de s er útiles para los miembr os de la comunidad educativa y en particular a los investigadores en e ducac ión. La s p rinc ipales organizaciones internacionales que promueven este tipo de evaluaciones son: 1. O C DE (Organización para la Cooperac ión y Desarrol lo Económ icos) E sta organizaci ón está formada por 34 estado s, entre ellos España, y su objetivo es la coordinac ión de sus políticas econ óm icas y sociales. Organiz a las sig uientes evalua ciones:  PISA (Pro gra ma Internacional pa ra la Eval uac ión de Estudiantes . Programme for International Student Assessment ) Este estudio se realiza cíclicamente cada tres años desde 2000 . Evalúa, con carácter muestral, la comprensión lectora y l as competencias mat emática y científica d e los alumnos que cumplen 16 años en el año en que se realiza la prueba (en España 4º de ESO y 2º o 3º de ESO si no se está escolarizado en el curso correspondiente a la edad). La última edición ha tenido lugar en 2012. En esta ocasión se h a evaluado también en papel la compete ncia en finanzas para la vida. Ha contado además con un a prueba e n formato d igital, Computer Based Assessment (C B A) sobr e matemáticas, lectura y resolución de problemas. Los resultados del bloque de competenc ias c lásicas se publicaron en diciembre de 2013. En esta edición se profundiza más en el área d e matemáticas por se r la principal. En 2014 se publicaron los correspondientes a las competencias de resolución d e problemas y finanzas para la vida .  TALIS (Estudio Inter n a cional de Enseñanza y Apr e ndizaje. Teaching and Learning International Survey ) La última edición de este estudio se ha realizado en 20 13. Sus resultados se han public ado en junio de 2014. Ofrece informa c ión sobre los procesos e duca tivos a través d e encuestas a los profesores y a los directores de Educación Secundaria. En diciembre de 2014 se publi c arán los resultados de un a nueva opción, en la que ha participado España, e n la que los profesores de la muestra pertenecen a los centros seleccionados en la muestra de PI SA.  PIAAC (Programa para la Evaluación I ntern a cional de las Competencias de Adultos. Programme for the International Assessment of Adult Competences ) Este estudio se ha rea lizado entre 2011 y 2012 y se pretende que tenga un carácter cíclico cada 1 0 años. S u objetivo es co noc er el nivel d e conocimientos y destrezas (lectura y matemática) de la población adulta (personas adultas de 16 a 65 años). Tiene carácter muest ral y la recogida de d a to s se realiza mediante pru eba s e fe ctuadas a domicilio. Sus resultados se publicaron en octubre de 2013. 2. Unión Europea (UE) La Unión Europe a ha promov ido el primer Estudio Eur opeo de Com petencia Lingüística ( European Survey Lan guage Compete nce ) con el objetivo de conocer el ni v el de com petencia en la primera y segunda lenguas europeas extranjera s (inglés, franc és, alemán, español e italiano) en los países de la UE. El estudi o principa l El estudio T EDS-M de la IEA en el m arco d el Instituto Nac ional de Evaluació n Educativa (INEE) 69 ha teni do lugar en 2011. Los alumnos evaluados en E spaña estaban en 4 º curso d e ESO. Los inform es de resultado s (internac ional y español ) se publicaron en junio de 2012. 3. IEA ( Internat ional Association for the Evaluat ion of Educati onal Achievement ) La IEA es una asociación independiente, cuy os miem bros son universidades, institu tos o agencias m inist e riales dedicad as a la investigación sobre ev aluación educat iva. El I nstituto Nacional de Evaluación Educativa es miem bro de la I EA. Organiza l as si g uien te s evaluacione s:  PIRLS (Estudio I nt e rnacional de Progreso en Comprensión L ecto ra . Progress in International Reading Literacy Study ) Este estudio evalúa la comprensión lectora en 4º de Educación Primaria. Se r ea liza con un a periodicidad d e cinco años. Es de carácter muestral. España h a participado en 1990, 2006 y 2011. Recoge también información sobre el contexto educativo a través de cuestionarios de alumnos/as, padres y pro fe sores/as. E l últ imo estudio principal tuvo lugar en 2011. Los informes de result ados (internac ion al y español) se publicaron en diciembre de 2012. En esta última ocasión ha coincidido con el estudio TIMSS.  TIMSS (Estudio I nternacional de Matemáticas y Ciencias. Trends in International Mathematics and Science Study ) Con carácter muestral, e valúa los conocimientos de matemáticas y ciencias de los alumnos/as en 4º de Educación Primaria. (Existe la opción de 8º grado en la que participó España en 1995). Recoge también información sobre el contexto educativo a través de cu e stionarios de alu mnos/as, padres y profesores/as. El último estudio principal ha tenido lugar en 2011. En esta ocasión ha coincidido con el estudio P I R L S. Los informes de resultados (internacional y español) se publicaron en diciembre de 2012. Figura 1. Dist ribución de las ev aluaciones e xternas nac ionales e inte rnacional es en el sistem a educativo español  ICCS (Estudio Inter naci ona l sobre Educación C ívica y Ciudadana . International Civic and Citizenship Education Study ) Este estudio se rea lizó en 2009 y evaluó la competencia cívica y ciudadana con muestras de alumnos/as de 2º curso de ESO represe ntativas a nivel nacional.  TEDS-M ( Estudio I nternac ion a l sobre la Formación Inicial del Profesorado de Matemáticas. Teac her E ducation and De velopment St udy in Mathematics ) A este estudio se dedica este s emina rio monográfico, por lo que más adelante se describirán sus caracter ísticas y resultados. Sanz, I., Martín, R. 70 Otros estudios promovidos por esta organiz a ción , en cuyas próx imas ediciones participará Españ a, son T I MSS-Advanced es un e studio cu y a pr i mera edición se r e alizó e n 2008, si bien Espa ña participará por p rimera vez en 2015. Evalúa los conocimientos y comp etencias adquiridas por los alumnos que van a acceder a estudios universi tar ios (en Españ a, los de 2º de Bachillerato) en matemáticas avanzadas y en física. Su objetivo es ana liz a r el nivel de preparación de los alumno s que van a comenzar a c ur sar carreras universitarias científic a s, tecnológicas, de in g eniería o de matemáticas. Por último, ECES ( Early Chil dh ood Education Study ) se dedicará al análisis y evaluac ión d e la e ducación infantil. Todo e l conjunto d e e valuaciones descritas c on anterioridad dibujan el mapa d e evaluaciones internacionale s d e la Figura 1. IMP ORTA NC IA DE L A C ALIDAD DEL P ROFESORADO. EL E S TUDIO TEDS -M Numerosas investigaciones recientes han pu e sto d e manifiesto l a eno rme i mportanc ia d e la calidad de los profesores en los resultados de sus alumnos (Eur y dice, 2006; Eu ry dice, 2013; Hanushek, 2004; Hattie, 2008; OCDE, 2005). El estudio PI SA destaca que, entre los paí ses con economías desarrolla d a s, los que priorizan la inversión en formación de los profesore s frente a otros conceptos (por ejemplo, nuevas t ecnologías o la reducción del tamaño d e la clase) suelen tener mejore s resultados. Dentro de los ce ntros educa tivo s, el profesorado constitu y e el f ac tor más im porta nte que influye en el aprendizaje de los estudiantes. Los profesores son los p rinc ipales encargados de involucrar a los alumnos en las tar eas escolares y promover su aprendizaje. En el reciente estudio de Chetty, R . et al. (2011) s e muestra, a d e más, que l a eficacia del pro fe sorad o no se muestra solo en el resultado de las prueb a s acadé micas, sino que tiene un impacto a largo plazo en el crecimiento económico. Este estudio estima el valor añadido por el profesor, a partir de los resultados de sus alumnos, y lo relaciona con los datos fiscales de sus familias y con la carrera profesional qu e los estudiantes desarr ollaron post e riormente. A partir del estudio longitudinal de dos mill one s y medio de alumnos de edu c ación primaria y primer ciclo de educación se cunda ria obli g atoria, obtenidos desde 1989 hasta 2009, se aportan evidencias de q ue un buen profesor c ons ig ue, entre otros efectos positivos, que sus alumnos falten menos a clase, ganen sala rios más altos en su vida profesional, vivan en su vida adulta en barrios con mejor entorno socioe c onómico o ahorren más para su jubilación. En el Volumen II del Inf orme Español de TEDS -M (INEE, 20 13), Montalvo y Go rge ls profundizan en este a sp ecto a pa rtir de los datos de TE DS - M. La enseña nza d e las matemática s en educación pr imaria y s ecundaria, a tendiendo de forma efectiva a todo el alumnado, ind ependiente mente de sus condiciones socioeconó mica s y culturales y sus diversas capacidades y motivaciones, etc. es una tare a cada vez más complicada. A medida que los países de todo el mundo van desarrollando currícul os de matemáticas cada vez más complejos, lo s legisladores en mat e ria educativa y los propios ed uca dores n e cesitan da tos válidos y fia bl e s sobre la efec tividad d e la forma c ión de los profesores. Esto es particularmente cierto en las matemáticas d e la educación se c undaria, para la que el conjunto de candidatos con la cualificación ade c uada tiende a ser más p e queño que para otras materias. La formación inicial del pr ofe sora do es uno de los factores que p arece n ten er influencia en la calida d del mismo y que a fe cta a los resultados de los estudiantes L a organiz a ción de la formac ión de los docentes es, en este c ontexto, un reto de máxima actualidad. P ara abordar cualquier reforma con ci erta s garantías de éxito, es necesario disponer de una evidenc i a e mpírica sobre las medidas que son realmente efectivas. La literatura ex istente ha identificado cin co fuentes de variación principales entre países en la formación del pr o fe sorado y e n re lación con el aprendiz a je y enseñanza de l a s matemáticas. 4. Los resul tados de l o s alumnos. Diver sos e studios de evaluación exte rna, por ej em plo T I MSS y PISA en sus distintas ediciones, han mostrado una gran amplitud en las puntuacion es obtenidas po r los países. El estudio T EDS-M de la IEA en el m arco d el Instituto Nac ional de Evaluació n Educativa (INEE) 71 5. El currículo de matem áticas. Los currículos de matemáticas en los niveles 4º, 8º y 10º analizados no tienen grandes discrepanc ias ent re países (Tatoo, Lerman y Nov otná, 2009). Sin embarg o, del análisis de los libr o s de texto de países part icipante s en la evaluación TIMSS se concl uye que en algunos países s e tratan temas más com pl e jos que en otros (Valverdem Bianchi, Schmidt, McKnight y Wolfe, 2002 ). También se observan diferencias en los acierto s a l os dist intos tipos de ítems propuestos en estas e v aluacione s entre los alum nos de distintos pa íses. 6. La calidad de las cl ases de m at em át icas. 7. La natural eza y el tipo de program as de form ación del pro fesorado. Por ejempl o, en algunos países las universid ades son l os ún icos centros de form ación inicial del pr o f eso rado, sin embarg o, en otros existen agencias exte rnas al sistem a educativo superior que proporcionan también for m aci ón a los profesores. E xiste también v ariación en cuanto a la fo rmación en pedagogía. En algunos paí ses la form aci ón en contenidos de la m ateria o asignatura que el estudian te va a impartir se realiza a la vez que el aprendi zaje de pedagog ía. En otros, este a prendiza j e es posterior a la form ación 8. Los contenidos de los program as de f orm ac ió n del profesorado. No existe un consenso sobre la totalidad de contenido s que debería cubrir un prog rama de formación. Los pr ofesores deben tener una sólida form aci ón en las materias que van a enseñar, pero es neces ario tener otros conocimien tos d e di d ác t ica o p edagog ía que per m it an al pro fesor transm i t ir el conocim iento y hacerlo co m prensi bl e a los estudi antes. Algunos estudios muestran que el c onocimiento de matemáticas de lo s alumnos de educación primaria y secundaria, e n muchos países, no es lo suficientemente preciso y d ebería mejorarse. Estos pobres resultados pueden deberse a que el conocimiento de contenidos y p edag ogía que aprende el profesorado no es el más adecuado y útil para enseñar matem á ticas. Las reformas que afec t a n directame nte a la formac ión del profesora do y al c urrículo que se debería enseñ a r s e guían a veces por normativas desarrolladas con una escasa ba se empíric a , he cho que, en ocasiones, conduce a sistemas de formación del profesorado que no responden a las n ec esidades e fe ctivas del alumnado. Se produce además una cierta desorienta ción entre el pro fe sorado de mat emática s que necesita dispone r de h err amientas úti les que le a y ude a fo rmarse p ara pod e r e nseñar las matemáticas de fo rma eficaz. La c a si totalidad de los estudios int e rnacionales de evaluación (PIRLS, TIMSS, P I S A), como se h a vist o, tienen como fo c o d e atención los conocimientos, competencias, actitudes y otras capacidades de los estudiantes de ed uc ación obligatoria. S in embargo, estos estudios no han prestado suficie nte atención a la formación del profesora do. La singularida d del estudio TEDS - M ha consistido en ser el primer estudio promovido por la ( I E A) sobre edu ca ción superior y sobr e formación inicial de profesores de matemáticas de educación primaria y educación sec unda ria obli g atoria que uti liza muestras re presentativa s a nivel de país. H a sido el primer estudio comparativo a nivel internacional y a gran escala, sobre edu ca ción sup erior, centrado e n la for mación inicial de los profesore s de matemáticas de educación primaria y primeros cursos de educación secundaria. Disponer de datos comparativos con otros países era sin duda una buena oportunidad por la que se decidió la participación española en este estudio . En el momento de la realización de TEDS-M, el sistema educativo español se encontraba en una etapa crucial dond e confluy en la pu esta en m arc ha de las nuevas titulaciones universitarias de g rado y de mást e r, junto con el desarrollo de l a normativa reguladora de los planes para la formación ini c ial del p rof esorado de e ducación primaria y de educación secundaria. En esos años, que transcurren entre 2007 y 2009, la pa rticipación española en el e studio TEDS -M se consideró una e xcelente oportunidad p ara obtener info rmac ión contrastada sobre los planes de formación de p rofe sorado vi g entes hasta esa fecha . Los resultados del estudio permitirían d etec tar fortalezas y debilidades de estos planes y realizar una valoración de los mi smos útil para la tom a racional de de c isiones en el diseño de los nuevos programas d e formación. La participación española se limitó a los progra mas de formación inicial para maestros de educación primaria. El rigor y s erie dad de los e studios e informes de la Sanz, I., Martín, R. 72 IEA, junto con el marco internacional y comp ara tivo del estudio r e forzaron el interés por la participación. EL MARCO DE TEDS- M TEDS-M (traducido al e spañol como Estudio internacional sobre formación inicial en matemáticas de los ma estros,) e laboró, a partir d e un en foque comprensivo, un marco para estudiar y e ntender la formación inicial de profesores, que incluye u na propuesta p ara conocer cómo l as políticas nacionales y l as prá c ticas inst itucionale s influyen en la calidad de los profesores en formación. Se trata del primer pro y ecto centrado en a naliz a r cómo las instituciones universitarias o de otro tipo , en los distint o s países, preparan para enseñar mat e máticas en educación pr imaria y en educació n secundaria obligatoria, investigando qu é conocimientos tienen y qué saben hacer los futuros profesores en formación. El estudio TEDS-M se desarroll ó entre 2006 y 2012. P a rticiparon 17 países: Alemania, Botsuana, Canadá ( c uatro pro vincia s), Chile, China Taipéi, España (Educación Primaria), Estados Unid os (instituciones públicas, rutas concurrentes y c onsec utivas únicamente), Filipinas, Georgia, Malasia, Noruega, Om á n (E duc ación Secundaria), P ol onia, Rusia, S ing apur, Suiza (cantones de habla alemana) y Tailandi a. Contempló en su dise ño tres componentes interrelacionados:  El primero, a nivel nacional, estudia las políticas generales de formación del profesorado, el sistema educativo y los contexto s sociales. Para r e coger inform a ción, los países participantes respondieron un cue stionario sobre el marco legislativo que reg ula la formación del profesorado y sobre las caracter ísticas de los principales prog ramas de formación. Además, cada país elaboró un informe sobre el contexto y l a organización de la formación del profesorado, las políti c as y re quisitos para aseg urar la calidad de esa formación, y los recursos y las refor mas que se ha n implementado e n esa área.  El seg undo componente se centró en l as instituciones de formación del profesorado. Contempla las rutas, centros, programas, est á ndares y expectativas sobre la formación de profesores. El obj e tivo de este segundo sub -estudio consistió en ex a minar el currículo de formación del profesorado de matemáticas (el d ec larado oficialmente y el aplicado) y los contenidos que ofrece di c ho currículo.  Por últ imo, el terc ero se refirió a los resultados de la formación . Estudia l os conocimientos matemáticos y de ens eñanza de la materia adquiridos por los futuro s profesores de matemáticas de educaci ón primaria y educación secundaria obligatoria. En particular, se estudió el cono c imiento matemático y en did áctica de la m a temática que los futuros profesores han adquirido c omo resultado de su formación y la profundidad de su comprensión, adem á s de otras características que ayudan a expli c ar su dominio de esos conocimientos y l as cr e encias e ideas que tienen los futuros profesores sobre la naturaleza de las matemática s, su a prendizaje y e nseñanza. L a participación d e España en el estudio TED S-M quedó limitada a la formación inicial de l profesorado de educación primaria. El Real Decreto 1440/1991 establecía las directrices para la obtención del título de Maestro en España. TE DS-M España se centró en el plan de formación de maestros en educación primaria, por ser este el programa dirigido a la formación de los futuro s profesores de matemáticas en ese nivel educativo. Diversas razones aco nseja ron no aplicar este estudio al futuro prof esorado de educación secundaria, entre otras, los distintos calendarios y modalidades del C ur so de Aptit ud Pedagógica (C AP) que imposibilitaban llevar a cabo el estudio de campo en las fechas previstas El estudio TEDS-M d e finió un esquema de muestreo aleatorio, dep e ndiente del tamaño (TEDS-M, Thecnical Re port , 2013). En el caso de España, sirvió para selecc io nar 50 instituciones de formación sobre un tot a l de 73 que o frecían formación inicial a futuros profesores de Edu cación El estudio T EDS-M de la IEA en el m arco d el Instituto Nac ional de Evaluació n Educativa (INEE) 73 Primaria. De nt ro de cada institución se sele cc ionó, al azar, a 30 estudiantes de ma g ist erio de últ imo curso. Todos los profesores formadores respondieron un cuestionario. La Tabla 1 muestra las tasas de participación españolas, que cumplió con creces los requisitos exigidos. Tabla 1. Tasas de la part icipación española Participantes Tamaño muestra Tasa de participación Instituciones 48 50 96.0% Futuros profesores 1093 (de 4 7 instituciones) 1263 77.9% For m ad ores 533 (de 4 8 instituciones) 574 85.6% POLÍTICAS DE F OR M ACIÓN, FORMADORES Y FUTUROS PROFESORES El objetivo del primer sub-estudio de TEDS - M fue examinar las políticas de formación diri g idas a los profe sores de matemáticas, inclu y endo su preparac ión, certificación, selección y contratación, y su contexto cultural y social. Se proponía describir cómo las políticas educativas estructuran y organizan los pro gr amas de formación de prof e sores , examinar las condiciones socio -laborales y profesionales que regulan el empleo de los profesores y conseguir info rmación sobre las normas nacionales qu e as eg uran la calida d d e la formación de profesores. El resumen de esta información se puede e n c ontrar en TEDS - M Encyclopedia , 2013. Entre los países p a rticipantes en TEDS - M, incluso dentro de algunos de ellos, ha y gran diversidad de programas de formación inicial de profesore s de matemáticas que se a pre cia en las políticas que estructuran los programas, en sus objetivos y or g anización así como en las características de los profesores universitarios encargados de l a formación y de los estudiantes que la reciben. Esta complejidad llevó a org aniz ar la s comparaciones entre países entre programas similares. En TEDS-M se analizan las in stit uciones de f or mación de profesores , escuela, fac ultad o universidad que ofrece a los futuros profesores oportunidades estructuradas para aprender a travé s de una ruta de formación. Las instituciones ofrecen titul a ciones p ara formar futuros profesores y capacitarles en el ejercicio de la profesión docente. Una titulación es un grado acad é mico reglado que atiende a unas dir ec trices formativas según ciclos y especialidades. Las instituciones de formación de profesores de c a da país ti e nen un ámbito de autonomía que se concreta en sus planes de estudios. Un plan de estudios es un itinerario a c adémico de forma c ión que desarrolla una institución, que se ajusta a las dir e ctrices d e una titul a ción. Requiere que los e studiantes c ursen un as asigna tu ra s y lleven a cabo una serie de ex perie ncias, a cuyo término obtendrán una certificación o diploma que les capacitará para el ejercicio profesional como profesores según la titulación cursada. Con el fin de org aniz ar la varie dad de titulaciones y planes de estudios y hacer comp araciones entre ellos, TEDS-M utili za la noción de programa, un curso d e fo rma ción reglada que condu c e a la obtención de un título en una institución académica. L os programas de un mismo tipo desarrollan una única titulación y comparten determinadas características estructurales, entre las que destacan e l tipo de institución en la que se ofrece n, los propósitos y las carac t e rísticas estructurales de los planes de estudio, el grado de especialización que los futuros pro fe sores reciben en diferentes materias, los cursos en que los futuros profesores podrán impa rtir docencia, la ubicació n de l a s práctica s, su du ra ción, etc. Un programa de formación puede ofrec er una cualificación especializada o generalista . En la mayor í a de los países participantes en TEDS -M, los planes de estudio que forman a futuros profesores de educación primaria eran programas generalistas, mientras que los que prepara ba n para dar clase en los últimos cursos de e ducación secun da ria formaban esp e cialistas en matemáticas. Sanz, I., Martín, R. 80 producido cambios im porta ntes en el sistema educativo, en los planes de estudios universitarios españoles, así como en los de otros países que participaron en el es tudio TEDS- M. Algunas conclusiones sobre los planes de f o rma ción españoles analizados son:  Los p rog ramas de formación de los maestros eran programas generalistas en edu cación primaria que combinaban formación teórica y prá c tica. Los profe so re s formados en esos pro g ramas pueden im pa rtir hasta 6º cur so de Educación Primaria. El 18% de los alumnos accedían a Magisterio con notas inf erior es a l as de los com pa ñeros d e promoción. Solo el 21% lo h ac ía con notas superiores a la media. El nivel superio r de matemáticas exigido era el de Educ a ción Secundaria Obligatoria. Los alumnos que habían cursado m a temáticas en Bachillerato obtuvieron puntuaciones signifi c ativamente superiores a la m edia. L os resultados de los que cur saron la opc ió n científico-tec noló g ic a fu eron aún m e jores. Los planes de estudios no trataban de forma equilibr a da todos los domin ios de c onocimiento. L a formación en matemáticas era escasa e insuficiente, tratada en un bajo porcentaje de materia s, presentada de un modo globa l y sin dife re nciar las componentes de los conocimientos matemáticos y d e su ense ñ a nz a y aprendiz a je.  España es el país de su grupo que más horas dedicaba a las asi g natu ras de humanidades y uno de los países que menor peso otorgaba a la super ación de un ex amen final. El nivel de exigencia en los proc edimientos establecidos para garantizar la calidad de los pro gr amas d e formación e ra m edio/bajo. Ex istían gra ndes dif erenc ias en la or ga nizaci ón del prácticum en las distintas instit uc iones. La práctica totalida d de los estudiantes lo aprobaba n. Existe poca variabilidad entre los resultados obtenidos por los estudiantes de las distintas escuelas y universidades españolas. Los resultados obtenidos y analizados en este estudio coordina do por el INEE podrán servir d e base para guiar la política educativa destinada al diseñ o de planes de formación para futuros profesores que elaboran la Secretar ia General de Universida de s y las propias Univer sidade s. Atendiendo a la s conclusiones del estudio, par e ce recomendable e x plorar vías para h a cer más atractiva la profesión a estudiantes que, además de mostrar interés por la docenc ia, sean c apaces de seguir un programa más exigente en contenidos matemáticos y en su didáctica. Convend ría también reflex ionar sobre el diseño y criterios de ev aluación del p rác ticum, para que los futuros profesores conoz can en mayor profundidad las dinámicas del proc eso de enseñanz a-apre ndizaje. Referencias Brese, F. y Tatto, M.T. (20 12). TEDS- M 2008 User Guide for the I nternational Database. Am sterdam, I EA. Cañadas, M.C. ( 2014 ) . Formación matem át ica y didáctica en el plan de estudios de Magisterio 199 1 - 2010. Aspectos culturales y currícu lo común. En xxxxxxxx (Eds.), I nvestigación en Educación Matem ática XVIII , pp-pp, Lug ar, SEIEM. Carnoy, M., Betei lle, T., B rodziak, I . et al. (2009). T E DS - M, Do Count ries P aying T eac hers Hig her Rel ative Salaries Hav e Higher Student M athem atics A chievem ent ? Am sterdam , IEA Chetty, R. Friedman, J.N. y Rockoff, J.E. ( 2 011). The Long - Term Impacts of Teachers: Teacher Valua - Ad ded and Student Ou t com es in Ad ulthood. NB ER W orking Papers. Góm ez, P. y Gutiérrez, A. (2014). Conoc i m i ento m atem ático y conocimien to didáctico del futuro pro fesor español de primaria. Resultados del estudio T ED S-M. En M. T . González, M. Codes, D. Arnau y T . Ortega (Eds.), Investigació n en Educación M atemátic a XVIII (pp. 83-92). Salam anca: SE IEM. INEE (2010). ICC S, Estudio I nternacional de Civism o y Ciudadanía. I nforme Español. Mad rid, MECD. INEE (2012a). EECL, E studio Europeo de Com pet enc ia Ling üística. Vol umen I . Informe Español. Madrid, MECD. INEE (2012b). TEDS- M, E studio I n t er nacional sobre l a formació n inicial en ma temáticas de los maestros. Informe Espa ñol . Madrid, MECD. El estudio T EDS-M de la IEA en el m arco d el Instituto Nac ional de Evaluació n Educativa (INEE) 81 INEE (2013a). PIAAC, Programa internacional para la evaluac ión de las competen cias de la pobla ción adulta. Volum en I: Informe es paño l . Madrid, MECD . INEE (2013b). PIRLS 2011 . Estudio Internacional de progreso en comprensión l ectora. Volume n I: Info rme español . Madr id, MECD. INEE (2013c). TIMSS 2 011. Estudio Internacional de tendencias de las matemáticas y cien cias. Volumen I: Informe españo l . Madrid, MECD. INEE (2013d). TEDS- M, E studio I n t er nacional sobre l a formació n inicial en ma temáticas de los maestros. Informe Espa ñol. Volumen I I. Aná lisis secunda rio . Madrid, MECD . INEE (2014a). PISA 2012: Programa para la evaluación i n ternacional de los alumnos. Informe español. Volumen I: R esultados y contexto . Madrid, MECD. INEE (2014b). PISA 2012 Resolución de prob lemas de la vida real. Resu ltados de matemát icas y lectura po r ordenador . Madrid, MECD . INEE (2014c). TALIS, Estu dio Internaciona l de Enseñ anza y Aprend izaje . Madrid , Autor. I ngvarson, L., Schwille, J ., Tatto, M.T., et al (2013). An Analysis of Tea cher Educat ion Context , Structu re, and Quality-As surance Arr angements in TEDS-M Countr ies . A msterdam , I EA. I na V.S., Mullis y Michae l O. Martin, Eds. ( 2014 ) . TI MSS Advanced 2015. Assessment Framew orks , IEA OECD (2010). PISA 2009 Results: W hat Makes a School Successful? – Resources, Policies and Practices . Volumen IV . [Re curso elect rónico] disponible en: http:/ /dx.doi.org /10.1787/97892 64091559- en OECD (2005). Teachers m atter: Attractin g, developin g and retaining e ffective teachers. Paris, Auto r Real Decreto por el que se establece el título univ ersitario oficial de Maestro, en sus diversas e specialidade s y las directrices g enerales propias de los plan es de estudios conduce ntes a su obtención (1440/1991, de 3 0 de agosto). Bol etín Ofic ial de Em pl eo, 244, 1 1 de octubre d e 1991, 33003-33018. Real De creto por el que se establece la es tructura del bachillerat o y se f i jan sus enseñanzas mínim as (1467/2007, de 2 d e noviem bre). Boletín Oficial de E mpleo, 266, 6 de nov . 2007, 45381-45447. Schwille, J., Ingv arson, L. y Holdgreve-Resendez, R. (2013). TEDS-M Encyclo pedi a, a Guide to Teach er Education Con text, Structu re, and Quality A ssurance i n 17 Countries . Amsterdam , I EA. Tatto, M.T. (2013 ). TEDS-M, Polic y, Practice, an d Readiness to Teac h Primary a nd Secondary Mathematic s in 17 Countr ies. Technical Report. Am sterdam, I EA. Tatto, M.T., Peck, R., Schwille, J . et al. (2012). Pol icy, Practice, and Readine ss to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries. Am sterdam, IEA . Tatto, M.T., Lerm an, S. y Nov otná, J. (2009). Overview of teacher education systems across t he world. En Even, R. y Ball, D.L. (Eds.), The professional educat ion and developmen t of teachers of mathemat ics: The 15 th ICMI S tudy, 15-23. N ueva York, Spring er. Tatto, M. T ., Sc hwille, J., Senk, S., et al. (2008). T E DS - M, Policy, practice, and readiness to teach p rimary and seconda ry m athe m ati cs. Conc eptual f r amework . East Lansing, MI: Teacher Edu cation and Developm ent I nter nat ional Study C enter, College of Education, Michig an State Univ ersity. Valverde, G.A., Bianch i, L.J., Schmidt, W.H., et al. (2002). According to the book: Using TIMSS t o investigate the trans l at ion of policy into practice in the world of textbo oks. Do rdrecht, Kluwer Aca demic Publichers. Cañadas, M. C., Rico, L . (20 14 ). As pecto s curriculares de la formación m ate m ática y didáctica en el plan de es tudios de magisterio 1991 - 2010 . En M. T. González, M. Cod es, D. A r n au y T. Ortega ( Eds.), Investigació n en Educación Matemática XVIII (pp. 83 - 92 ). Salamanca: SEIEM. ASPECTOS CU RRICULARES D E LA FORMACIÓN MATEMÁTICA Y DIDÁCTICA EN EL PL AN DE EST UDIOS DE MAGISTERI O 1 991-2010 1 Curricular a spects of the m athematical and didactic train ing in the pr ograms of primary te achers tr aining 19 91 -2 010 María C. Cañada s, L uis R ico Universidad de Granada Resumen En este seminario presentamos algunos result ad os que proceden d e los datos recogidos en TEDS - M España. Describimos la estructura, y la formación matemática y d idáctica de los fut uros maestros de edu c ación primaria en el plan de estudios de magisterio que estuvo vigente en el período 1991-2010 en España. Basamos esta descripción en el análi sis de los documentos curriculares que se corresponden con los tres niveles de análisis que se establecen en TEDS -M: nacional, inst itucional y formador. Finalmente, presentamos los contenidos de los documentos curriculares que p ermiten determinar el currículo común del plan de e studios. Los resultados evidenc ian la necesidad de prestar mayor atención a los contenidos de Matemáticas y de Didáctica de las Matemática en la formación inicial de maestros de primaria. Palabras clav e : análi sis de documentos curriculares, didáctica de l a ma temática, programas de formación de maestros, TEDS-M Abstract In this seminar, we present some results that come from the data collect e d in TEDS -M Spain. We describe the structure, and the mathematical and didactic training of future primary teachers i n the teacher education program into effect in the period 1991 -2010 in Spain. We base this desc ription in the analysis of curric ular documents that respond to the three levels established in TEDS - M: national, institutional, and educator. Finally, we presen t the contents of the curricular documents that allow to determinate the c ore curriculum in the teacher education program. The results evidence the need to pay more att e ntion to contents related to mathematics and didactics of mathematics in the primary teache r training in Spai n. Keywords : didactics of mathematics, mathematics teacher training programs, syllabi analysis, TEDS-M INTRODUCCIÓN El estudio TEDS-M se centra en tre s componentes :  Estudios de la política de formación de prof e sores, escolarización y co ntextos sociales a nivel nacional.  Estudios de los it iner arios de formación pa ra profesores de matemáticas de educación primaria y secund a ria, d e las instituciones, de los pro g ramas, de los estánda res y de las expectativas sobre su aprendizaje.  Estudios sobre las matemáticas y los conocimientos para su enseñanza de los futuros profesores de matemá tica s. (Rico, Gómez y Ca ñadas , 2014, p. 37) Cañadas, M. C., Rico, L. 84 TEDS-M España optó por participar en el est udio relativo a la formación de profesores de educación primaria , por lo que esas tres compon entes se atuvieron a este nivel educativo. En este trabajo nos centramos en las oportunidad e s de ap re ndizaje en rel a ción con la segunda componente mencionada. La s oportunidades de apr e ndizaje s e definen usualmente como el contenido qu e se enseña, la im porta n c ia relativa que se da a dive rsos aspectos de matem á ticas y los lo g ros de lo s estudiantes relativos a esas pr ioridades y contenidos (Travers y Westbury, 1989). Existen evidencias del impacto que producen l a s oportuni da des de aprendiza je sobre los resultados de los planes de formación de maestros de matemáticas (Boyd, Grossman, Lankford, Loeb & Wyckoff, 2009; C oc hran-Smith & Zeichner, 2005). Por tanto, la descripc ión de los programas de formación es cruc i al par a expli c ar las oportunidades de aprendiz a je que se brindan a los futuros maestros. En general, la literatura sobre an á lisis de progra mas de formación de pro fe sores es escasa (Eberly, Newton y Wiggins, 2001). En España, diferentes autores destacan que la presencia de matemáticas en los programas d e formación de maestros de matemáticas es escasa, mientras que las discipli na s pedagógica s son un t e ma predominante y l a Did ác tica de la Matemática no se trata de un modo diferenciado y esp ec ífico (Rico, 1994; R ico y Sierra, 1996). L a revisi ón de los prog ramas de formación de profesores de matemáticas era una cuestión postergada hasta hace unos años (Rico, 2004). Nuestra p articipa ción en este seminario tiene como objetivo describir la estructura , y l a formación matemática y didáctica de los futuros maestros de educación primaria en el plan de estudios de magisterio que estuvo vigente en el período 1991 -2010 en España. Con base en esta descripción, especificamos el currículo común, entendido como aquel constituido por los contenidos que se enseñan en más del 50% de las instituciones que forman mae stros de educación primaria en España (Cañadas, Gómez y Ric o, 2014, p. 880). Abordamos estos propósitos a través del an á lisis de los documentos curric ul a res que constitu y en este plan de formación. DOCUMENTOS CURRICULARES QUE REGULAN LOS PLANES DE FORM ACIÓN INICIAL DE MAESTROS DE E DU CACIÓN PRIMARIA EN ESPAÑA 1991-2010 TEDS-M considera v arios niveles pa ra el análisis de los documentos curriculares en los países participantes. En Españ a, estos niveles se concretan en tre s: (a) nivel nacional, (b) nivel institucional y (c) nivel f ormador . La s direc t ric es n ac ionales para la formación de maestros de educación primaria (Ministerio de Educación y Ciencia, 1991) regulan la formación básica que deben recibir los futuros maestros que se forman en cualquier institución universitaria española, públi c a o privada. Las directrices establece n el currículo a nivel na c ional. Este doc umento prescribe la obligatoriedad de cursar 120 créditos, del total de los 180 necesarios que conducen al título de Maestro-Especialidad de Educación Primaria, créd itos que vienen organizados a través de 14 asignaturas troncales, ca d a una definida mediante unos descriptore s (C a stro y Flores, 2008). Cada universidad con c re ta sus planes de estudi o a partir de l as directrices nacionale s. Estos planes de estudio d an oportuni dad para que cada universidad añada des criptores propios a las materias troncales establecidas en el nivel nacion al, e intr oduzca asi g naturas obli ga torias (que d e ben cursar todos los futuros maestr os de esa universidad), o ptativas o de libre elec ción por un mínimo de 60 créditos. Esto hace que las universidades españolas tengan autonomía par a el diseño de sus planes de estudio y , al mismo tiempo, cumplan lo establecido a nivel na cional. L os planes de estudio de cada universidad constituy en los documentos curricular es en el nivel institucional. Los dep arta mentos univ ersitarios se encarga n de desarrollar o ampliar los prog ramas de las asigna tu ra s establecidos en las directrices n acionales y en los planes de estudio institucionales. L os programas de las asignaturas, acordados en cada departamento, consti tuy en los documentos curriculares en el nivel formador. Aspectos curriculare s de la formación matemática y did áctica en el plan de estudios de m agisterio 19 91 - 2010 85 METODOLOGÍA DE TEDS -M PARA E L ANÁLISIS DE DOCUMENTOS CURRICULARES El análisis de los documentos curriculares se organiz ó tenie ndo en cuenta las características de estos documentos en los tres niveles descritos. Muestra La muestr a la constituyen los documentos curriculare s de los tres nivel es. Las directrices están publicadas en un único documento, que fue el q ue considera mos para su análisis (Ministerio de Educación y Cienc i a , 1991). Para los niveles inst itucional y formador, realizamos una selección de la s instituciones españolas que for man maestros d e educación primaria en España y una selecc ión de programas de asignaturas de los progra m a s de f or mación en l as inst ituciones elegidas. El diseño de la recogida de información estuvo asesorado y coordinado, para todos los países participantes en TEDS -M, d esde la International Association for the Evaluation of Educational Achievement (I E A) . En el caso d e las inst ituciones, aplicamos un muestreo de probabilidad pro porc ional al tamaño 2 de las instituciones, seleccionando a 50 de las 83 instituciones que en 2008 impartían la titulac ión de Maestro de Primaria. D ado que dos d e las inst ituciones seleccionada s declinaron la invitación, contamos con 48 instituciones. Recopilamos los planes de estudio de estas 48 inst ituciones (documentos curriculares del nivel inst itucional ) y los program as de las asignatura s (troncales, obligatoria s y optativas) relacionadas con matemáticas, didáctica de la matemática y pedagogía ge n e ral en cada una de esas instituciones (documentos curriculares del nivel formador). La fase de rec o g ida de documentos cu rr i culares del estudio en España se realizó en el c urso académico 2007-2008. En total, el equipo espa ñol de TE DS-M r e copiló unos 1800 do cumentos curriculares. Codificación de los docume ntos c urriculares Realizamos la codificac ión de los documentos de la mues tra siguiendo las instrucciones de TEDS - M (2008a). Para los niveles na c ional e inst itucional, el estudio distingue seis campos: ( a ) matemáticas escolares, (b) matemáticas avanzadas, (c) pedagogía, (d) di dác tica de la matemática, (e) prácticum y (f) otros. La codificación en estos dos niveles consistió en asignar las asignaturas a los diferentes campos. Para el nivel formador, el estudio considera cuatro dominios de conocimiento : (a) matemáticas escolares, (b) matemáticas a vanzadas, (c) pedagogía y (d ) didáctica de la matemática. Para cada uno de estos dominios de conocimiento, se definen una serie de temas y , dentr o de ca da tema, una serie de apartados 3 . Consideramos que cuando un apartado se aborda en una asignatura, también se aborda el tema en el qu e está contenido. Los temas y apartados permiten describir los p rog ramas atendiendo a dos tipos o niveles de análisis. P or ejemplo, aspec tos d e la habilidad y el pensamiento matemático, métodos para presentar los principales conceptos matemáticos o conocimiento del currículo de matemáticas y estándares son algunos de los temas incluidos en el dominio de conocimiento de Didáctica de la matemática. Desarrollar conceptos matemáticos; razonamiento, argumentac ión y prue ba; abstracción y generalización son aparta dos d el tema relativo a aspec tos de la habilidad y el pensamiento matemático. Siguiendo las inst rucciones de TEDS -M (2008b), dividimos el contenido de los programas en bloques y , a cada bloque, asignamos temas y apartados. Tras la asistenc i a a un p rograma de entrenamiento para investigadores d e los países participantes en TEDS-M centrado en el proceso de codificación, tre s investigadoras realizamos el pr oceso de codificac ión. Una de ellas es experta en Matemáticas y Didáctica de la matemática; y dos son expertas en Pedagogía. Cañadas, M. C., Rico, L. 86 Análisis de datos En el nivel nacional, calculamos los porcentajes de créditos de ca da un o de los cua tro campos considerados en este ni vel dentro d e los 120 c ré ditos que establecen las directrices, de los 180 requeridos para que los futuros maestros obtengan su título como Maestros de Educación Primaria. En el nivel institucional, calculamos los porcentajes de cré ditos para cada uno de los seis campos considerados en el total de cré ditos de las asig n a t ur as analizadas en los planes de estudi o de las 48 instituciones. En el nivel formador , establece mos el porcent aje de temas y apartados que se tratan en las asigna tu ra s de un porcentaje determinado de instituciones. RESULTADOS Organizamos los resultados con base en las diferencias pr esentadas p ara los niveles na c ional, institucional y formador. Dados los objetivos de este semina rio, nos c e n tra mos en la formación matemática y didác tica q ue los futuros maestros reciben a través de los planes de for mación. Nivel nacional En términos de asigna tur as troncales contempladas en las directrice s de la titulación de Maestro de Educación Primaria, l a materia “Matemáticas y su Didáctica” es la única relativa a mat e máticas y didáctica de l a matemática. Por tanto, en esta primera aproxim ac ión, destaca mos que en las directrices no se establece distinción entre los campos de las matemática s escolares, las matemáticas av anzada s y la didáctica de la matemática. En la fi g ura 1 pres entamos los porcentajes de créditos que las dir ectrice s establecen para los campos c onsiderados en TEDS -M, teniendo en cuenta matemáticas escolares, mate máticas avanzadas y didáctica d e la matemática como un campo único. Figura 1. Porcen tajes de cré ditos según cam pos en el nivel naciona l El 6,6% de los créditos dedicados a matemáticas se corresponde con l a única asignatura de la s directrices que aborda contenidos relativos a matemáticas y didá c tica de la matemática. Ha y un 26,7% de créditos dedicados a asignaturas r elativas a la Pedagogía y otr o tanto para el Pr ácticum. En España, el campo Otr os incluye asignaturas re lac ionadas con la educa ción como son la historia, la sociología o la filosofí a, didácticas de mat eria s específicas diferentes de matemáticas y aspectos relacionados con las necesidades educativas especiales. Aspectos curriculare s de la formación matemática y did áctica en el plan de estudios de m agisterio 19 91 - 2010 87 Nivel institucional En la figura 2 recogemos los porcentajes de cr é dit os en los planes d e est udio de las instituciones españolas participantes en el estudio seg ún los campos considerados par a este nivel. En el nivel institucional se observa la dis tinción entre lo s campos Matemáticas escolares, avanzadas y Didáctica de la matemática. Sin embargo, estos campos representan los porcentaje s más bajos d e créditos. En particular, destacamos el casi nulo porcentaje de créditos dedicados a Matemáticas escolares o Matemáticas ava nzadas. Figura 2. Porcen tajes de cré ditos según cam pos en el nivel instituc ional La autonomía qu e tienen las instituciones españolas en el diseño de sus planes d e estudio ha c e posible que existan difere ncias entre los porce n taje s de c réditos según ca mpos de los nivel es institucional y na cional. Obse rvamos que se m antiene el por ce ntaje de cré ditos e n el caso d e Matemáticas y Didáctica de la matemática, apreciamos una disminución de los porcentajes de créditos de Pedagogía y P rá cticum en el nivel institucional así como un aumento de los cré ditos del campo Otros. Nivel formador En el nivel formador , p resentamos los re sultados según los temas y los apartados. Por temas En la tabla 1, presenta mos el porcentaje de te mas que se tratan en un porcentaje concreto d e instituciones españolas, según los dominios de conocimiento considerados para este nivel. La primera columna de esta tabla muestra los cuartiles de las institucion es. P or ejemplo, el 37,5% de los apartados d e matem átic as escolares se trat an en un rango entr e el 75 y el 100% de las instituciones. Tabla 1. Porcen t a jes de temas tra tados en un por centaje de instituciones Porcentaje instituciones Matemáticas escolares Matemáticas avanzadas Pedag o g í a Didáctica de la matemática [0, 25) 25,0% 95,0% 0,0% 7,7% [25, 50) 25,0% 5,0% 8,3% 30,8% 0,4 0,2 17,8 6,5 8,7 66,3 0 10 20 30 40 50 60 70 Matemát icas escolares Matemáticas avanzadas Pedagogía Did áctica de la matemática Prácticum Otros Cañadas, M. C., Rico, L. 88 [50, 75) 0,0% 0,0% 16,7% 23,1% [75, 100) 37,5% 0,0% 41,7% 30,8% 100 12,5% 0,0% 33,3% 7,7% Según la definición de c ur rículum común considerada , las tres últim a s filas rec ogen los temas que constituye n el currículo común de España. Destacamos que el 91,7% de los temas de Pedagogía, 61,6% de los temas de Didáctica de la matemática y el 50% de los temas de Matemáticas escolare s forman parte del currícu lo común. No hay temas de matemáticas avanzadas que formen parte del currículo común, mientras que sí los hay de los otros dominios de conocimiento. Por tanto, el núcleo ce nt ral de los temas que forman parte del currículo co mún son de Pe dagogía. Por apartados En la tabla 2, presentamos el porcentaje d e apartados que se tratan en un porcentaje concreto de instituciones españolas, según los dominios de conocimiento considerados para este nivel. D a do que no hay apartados definidos para el domino de conocimiento de Matemáticas avanzadas, n o incluimos este tema. La primera columna de esta tabla muestra los cuartiles de las instituciones. Por ejemplo, el 20% de los apartados de P e dagogía se tr atan en entre u n 25 y un 50% d e las instituciones españolas objeto de a nálisis. La s tres últimas filas arrojan información sob re l os porcentajes de apartados que form a n parte del currículo común español. Destacamos que un 41,8% de los apartados de Pedagogía, un 30,8% de apartados de matemáticas escolare s y un 15,4% de Didáctica de la mate mática forman p a rte del currículo común. Obs ervamos que los porcentajes de apartados que forman pa rte del currícul o común en los tres dominios de conocimiento son menores al 50%. S e sigue manteniendo el predominio de la Pedag o g ía. Tabla 2. Porcen t a jes de apa rtados tratad os en un porce ntaje de inst ituciones Porcentaje instituciones Matemáticas escolares Pedag o g í a Didáctica de la matemática [0, 25) 53,8% 38,2% 59,0% [25, 50) 15,4% 20,0% 25,6% [50, 75) 30,8% 10,9% 7,7% [75, 100) 0,0% 20,0% 7,7% 100 0,0% 10,9% 0,0% Los resultados por apartados permiten conocer los contenidos tratados con un mayor nivel d e detalle. Podemos observar que las diferencias en tre las Matemáticas escolares y la Pedagogía son menores que por temas. TEMAS Y APARTADOS EN E L CURR ÍCULO COMÚN Hay once temas de Pedagogía que forman parte del currículo común español: (a) psicología de la educación; (b) sociología de la educación; (c) intr oduc ción a la educación o teorías educativas; (d) conocimiento prác tico de la enseñanza; (e) principi os de instru cción; (f) medios en la instrucción; (g) hist oria de la edu c ación y sistemas educativos; (h) evaluación y t eor ía de la medida; (i) métodos de investigac ión en educación; (j) ge stión del aula; y (k ) filosofía de la educación. Los pr e sentamos Aspectos curriculare s de la formación matemática y did áctica en el plan de estudios de m agisterio 19 91 - 2010 89 según o rde n descendiente del porcentaje de instituciones e n las que se encuentran, de forma qu e los cuatro primeros t emas se rec ogen en el 100% de las instituciones. A continuación presentamos los 23 apartados de Pedagogía incluidos en el c urrículo común e spañol: (a) t eo rías del desarrollo psicológico, desa rr ollo cognitivo e inteligencia; (b) organización de l os actuales sistemas educativos; ( c ) or g aniz ación y cultura de la escolariz a ción y d e la escuela; (d) r e laciones de la educación y otros apartados; (e) papel del prof esor; (f) teo ría del currículo y teoría del desarrollo curricular; (g) condiciones sociales, cambio social, desarrollo social y recursos sociales, y educación escolar; (h) de sarr ollo profe sional del profesor; (i) métodos y modelos de enseñanza; (j) uso de las te c nologías de la información y d e l a comunicación y otros métodos para apo y ar l a instrucción; (k) diversi da d (indí g enas, cultural, lengua, género y necesidades especiales); (l) políticas educativas, reforma y asp ec tos educativos actuales; (m) teorías de aprendizaje; (n) conocimiento de cómo tratar con estudiantes c on diferencias lingüísticas, culturales y recursos económicos, y necesidades educativas especiales; (o) cooperación entre p rof esores; (p) relaciones profesor-estudiante; (q) gestión de la co municación en clase y entornos de aprendizaje; (r ) desarrollo de sesiones de clase ; (s) objetivos de la institución escolar; (t) evaluación de la clase; (u) propósito y fun ción de l a educación en la socied a d; (v) desarrollo de habilidades para el diseño de medios; y (w) ética de la educación y educación moral. Los seis primeros apartados pr ese ntados están incluidos en todas las instituciones españolas. A continuac ión present amos los ocho temas que Didáctica de la m atemática que pertenecen al currículo común: (a) Aspectos de la habilidad y el pensamiento matemático; (b) inst ruc ción matemática; (c) métodos para pr ese ntar los pri ncipales conceptos matemáticos; (d) problemas matemáticos; (e) conocimiento del currículo de matemática s y estándares; (f) contex tos de la Educación Matemática; (g) fundamentos de las matemáticas; y (h) naturaleza y d e sarrollo de la habilidad y el pensamiento matemático. El primero de los temas se inclu y e en todas las instituciones. Y los seis a partados de Didáctica de la matemática que pertenecen al currículo común español son: (a) utilización de materiales m anipulativos; (b) desa rrollo de pro ce dimientos; (c) resolución de problemas ; (d) dificultades de los estudiantes; (e) hist or ia de la matemática y de la educación matemática; y (f) números. No hay apartados de Matemáticas escolares ni de Didáctica de la matemática que se i nc lu y an en todas las instituciones. En lo relativo a las Matemáticas escolares, hay tres temas que forman p arte del currículo común español: (a) número; (b ) medida; (c ) geometr ía; y (d) representación d e datos, pr obabilidad y estadística. El primero de ellos se trata en el 100% de las instituciones. L os ocho apartados de Matemáticas escolares q ue forman parte del currículo común son: (a) f rac ciones y d ecimales; (b) enteros, racionales y nú meros reales; (c) otros números, conceptos numé ricos y teoría de número s; (d) geometría euclídea; (e) geometr í a de las tra nsfor maciones; (f) geom etría tridimensional; (g) repre s e ntación y análisis de datos (inclu y endo muestreo, inferen c ias y correlaciones); y (h ) incertidumbre y probabilidad. CONCLUSIONES Hemos analizado documentos curriculares que dan muestra de la formació n matemática y didá c tica del plan de estudios de magisterio vigentes en el período 1991-2010. En el contexto del estudio internacional TEDS-M, consideramos tres nivele s en este análisis: (a) nacional, (b) institucional y (c) formador. En el nivel nacional s e observ a una tendencia clara hacia el pre domi nio de los contenidos pedagógicos genera les, dado que la ma y or parte de las asignaturas troncales pertenecen a este campo. Destacamos el hecho de que no se distingue entre contenidos d e Matemática s (escolares y avanzadas) y contenidos de Didáctica de la mat emática . Únic a mente exist e una asig n a tura q u e combina descriptores de estos c ontenidos: Matemáticas y su Didác tica. Esto apunta hacia una formación de maestros genera lista. Planas, N. 96 trabajar en la didáctica d e esa disciplina. L a cercanía entre Pedagogía y Didáctica de la Matemática no debe buscarse en p untos de intersección referidos a una supuesta Didáctica General. L a superac ión del sesgo pedagógico requiere que a cada cienci a se le atribuya su espac io y potencial formador, sin recurrir a arg umentaciones falaces sobre principios y cien c ias enfrentadas. EL FENÓMENO DE LA INSUFICIENTE SINGULARIZACIÓN DIDÁCTICA En Rico, Gómez y Cañadas (2014, p. 57) se pone de relieve “la déb il pr esencia de la Didáctica de la M atemática” en los programas españoles examinados de formación inicial de maestros. Del mismo modo que ocurre con el fenómeno de l sesgo peda g ógico, los avances del pr oyecto TED S -M España han servido para docum entar un fenómeno, el de la insuficiente singulariz a ción didáctica en los programas de e studio, sobre el cual no se había llevado a cabo antes una identificación metódica. En la Figura 2 del tex to que replico, Cañadas y Rico ilustran e l b a jo porcentaje de créditos dedicados a la Didáctica de la Matemática (un 6.5%) según el vaciado de 48 planes de estudio particularizados a nivel institucional. En las Tablas 1 y 2 s e observa que, en el nivel formador dado por los temas y apartados que los distint os equ ipos docentes uni versitarios elaboran, el núcleo central está constituido por temas y a p a rtados principalmente de Pedagogía. Si atendemos al total de apartados d e l cu rr ículo común, en el s entido d efinido por el equipo de TEDS -M Españ a , el porcentaje de ap a rtados de Didáctic a de la Matemática es de un 15.4%. En general, estos y otros índices proporcionados por Cañadas y Rico dan cuenta de la insuficiente s ingular ización didáctica en la formación del mae s tro de primaria que habrá de enseñar matemáticas. A fin de ejemplificar qué se requiere para la s ing ularización de contenidos de Didáctica de la Matemática, y a la luz del análisis de Cañadas, Rico y el resto de investigadores del equipo, tom o uno de los 23 apartados de Pedagogía incluidos en el currículo común español, el de ‘teorías de aprendizaje’ y uno de l os seis apartados de Di dá ctica de la M atemática, el de ‘dificultades de aprendizaje’. Si bien es cierto que todo estudiante para maestro debe tener conocimientos sobre qué es el aprendizaje y cómo se apre nde, estos conocim ientos generales no bastan a la hor a de interpretar el aprendizaje de contenidos matem áticos específicos. Los contenidos sobre por qué existen teorías diversas y qué las ca racteriza son un marco de referencia p ara ubicar los contenido s sobre por qué ha y conceptos matemáticos elementales cuyo aprendizaje es especialmente costoso a lo largo de la escol a rización del alumno de primaria. Pero se requieren marcos teóri cos con c retos sobre la gestión de un a enseñanza de m atemáticas que no agrave dificultades inherentes a l desarrollo de conceptos del currículo de matemáticas. Es primordial que el estudiante para maestr o sepa que hay marcos teóricos sobre las dific ultades habituales en e l aprendi zaje de las fracciones, de las isometrías, de la probabilidad … y que su conocimiento debe informar a la prác tica docente. Sigo con otro ejemplo s obre la sin g ularización d idáctica que se requiere en la formación inicial de maestros que habrán de enseñar matemáticas. Las teorías constructivistas del aprendizaje, por citar el enfoque dominante en la actualidad, apuntan a la promoción de ambientes de comunicación e interacc ión entre alumnos. Ahora bien, cuando se enseñan contenidos de geometr ía euclídea y transformaciones, no deben obviarse los r e cursos tecnológicos para la c omuni ca ción matemática que se han probado como facilitadores de procesos de visualización y de formulación de conjeturas (Arnal-Ba ile ra y Planas, 2014; ver ac tas d e este S imposio). L os beneficios del uso de programas de ge om etría dinámica en la enseñanza y el aprendi zaje de la geometría es un conocimiento didá c tico singular que modifica l os modos de entender la comunicación e interacción en el trabajo de ge om etría en el aula de p rimar ia. En este sentido, otro de los aparta dos de Pedag ogía, el de ‘uso de las tec n olo g ías de la info rma ción y de la comunicación y otros métodos para apo y ar la inst rucción’, enseña las bondades del uso de las tecnologías en clase, pero desde la perspectiva de la Didáctica de la Matemática lo que se esper a que el futuro ma estro aprenda es que hay artefactos tecnológicos y usos con efectos beneficiosos en el pensamiento geométrico de los alumnos. Así, las teorías constructivistas dan cu enta del valor de la comu nica ción, de la interacción, de la combinación d e Réplica a ‘Aspec tos curriculares de la for m ación mate mática y didáctica en el p lan de estudios de magisterio 1991 - 2010’ 97 recur sos en la enseñanza…, per o es la Didáctica de la Matemática la que informa sobre form a s de comunicación, tipos de interacción, recursos… idóneos en el desarrollo de unos u otros contenidos. Análogamente a lo que he discutido para el fenómeno del sesgo pe d ag ógico, conviene menciona r de nuevo la complementariedad entre contenidos didácticos, matemáticos y p e dagógicos. El problema de la insuficiente sing ulariz a ción didáctica no se resuelve banalizando la relevancia de la formac ión pedagógica de los futuros maestros, ni otorg ando a la Pedag o g í a un papel que no le atañe. Enseñar las teorías del aprendizaje, e l papel de la comunicación en clase y el d e las tecnologías al servicio de la educación es solo una parte de lo que s e nece sita para lograr que los estudiantes para maestro avancen en la comprensión de la tarea particular de enseñar ma temáticas en la escuela. REFLEXIONES SOBRE P O SIBILIDADES DE CAMBIO Los r e sultados discutidos aler tan sobre un escenario insatisfactorio qu e requiere cambios. De acuerdo con el hilo argumental de esta rép lica , el propósito que oriente los ca mbios tiene que ver con la mejora de las opo rtunidades de aprendizaje que se ofrecen a los estudiantes para maestro, en concre to de las relativas a la superación d el sesgo pedagógico y al logr o de una sin gular ización didáctica. Además del compromiso incuestionable de los investigadores en el área, cabe pensar que se cuenta con el compr omiso de las autoridade s, dada la p re ocupación manifestada a r aíz de la diseminación de datos y resultados d el equipo d e TEDS -M España, y d e la colaboración en este Seminario de un repre sentante de la Secretaría d e Estado de Educación, Formación Profesional y Universidades. Dicho esto, paso a centrar estas reflexiones finales en el nivel formador . En Cañadas, Gómez y Rico (2013, p. 891) s e l ee la si g uiente afirmación que traduzco d el in g lés: “Incluso cuando diferentes educadores enseñan el mismo curso en la misma institución, se pueden observar diferencias en términos de las m ater ias y de los contenidos”. Esta conclusión ll e va a pensar en los form adores de formadores como agentes involucrados en la activación de cambios para la mejora de la for mac ión didáctica en mat emática s d e l futuro maestro. Aun habiendo le y es y directrices que deben aplicarse po r i gua l en todas las titulaciones d e grado pa ra la formación de maestros en España, los equipos docentes en Didáctica de la Matemática tienen un elevado grado de libertad durante la pre p a ración e implementación de su enseñanza en el aula universitaria. Por otra parte y a pesar de que el escenario gen eral es insatisfactorio, estamos ante datos promedios tomados para 48 institu c iones, con la evaluación indirecta de hasta 48 equipos docentes cu y o encarg o h a sido/es enseñar mate rias con/de Didáctica de la Matemátic a . D esc onozco si se ha notad o una variabilidad si g nifi c ativa en los d a tos sobre conocimientos de los futuros maestros ent re instituciones, y si ha habido algún caso donde la profundización en conocimientos de Didáctica de la Matemática se ha y a pr oba do mejor en comparación con los cono c imientos de estudiantes de otras universidades. Si así fuera, convendría examinar el detalle de los niveles institucional y formador. La s posibil idade s d e cambio adquirirían fuerza si se contara con la referencia d e un modelo de “éxito”; el estudio de las característ icas d e un nivel formador que h aya sido experimentado con logros ef e ctivos de los futuros maestros respecto a conocimientos didácti cos en matemáticas, es un punto de partida. Esto y convencida de que dispo nemos de alg ún modelo de éxito en al menos una institución del territorio español. De manera adicional, pueden bus carse o tros modelos de éxito en instituciones de los 16 países restante s con partici pa ción en el proyecto TEDS - M. Referencias Adler, J., Ball, D., Krainer, K., Lin, F.-L. y Novotná, J. (2005). Reflection on an em erging fi e ld: Researching m athematics teacher educ ation. Educationa l Studies in Mathematics, 60 (3), 3 59-381. Arnal-B ailera, A. y Planas, N. (2014). La act ividad docente de u n profesor: Geom etrí a, tecnología y grupos de riesgo. En M. T. González , D. Arnau y T. Ortega ( Eds.) , Investigación en Educación M a temática XVIII . Salam anc a: SEI EM. Planas, N. 98 Boyd, D., Grossman, P., Lankford, H., Loeb, S. y Wyck off, J. (2009 ). T e acher preparation and student achievem ent . Educat ional Evaluati on and Policy An alysis, 31 (4), 4 16-440. Cañadas, M. C ., Gómez , P. y Rico, L. (2013 ). Structu re of prim ar y mathem ati cs teacher educa tion program s in Spain. Int ernational Jou rnal of Scie nce a nd Mathe matics Educ ation, 11 (4), 87 9-894. Ferrer, M., Fortuny, J . M., Planas, N. y Boukafri, K. (2014). Modos de actuación e interacción y generació n de oportunid ades de apr e ndizaje matem ático. En M. T . Gonzál ez, D. Arnau y T . Ortega ( Eds. ) , Investigación en Educación Matemática XV I II . Sa lamanca: SEI EM. Giroux, H. A. y McLaren, P. (1986). Teacher education and the politics of engagement: T he case for democratic s chooling. Harv ard Educationa l Review, 53 (3), 213- 238. Planas, N. (2014 ). One speaker, two lang uages: Learning opportunities in the mathem atics class room . Educational S tudies in Mathematics, DOI : 10.1 007/s1 0649-014-9553-3 . Popkewitz , T. S. (1988). I nsti tutiona l iss u es in the study of s chool m at hem at i cs: Curriculum research . Educational S tudies in Mat hematics, 19 (2), 221- 249. Popkewitz , T . S. (Ed.) (1990). Formación del profesorado. Tradición. Teoría. Práctica . Valenc ia: Universita t de València ( tr a ducción del o riginal en ing lés de 1987). Rico, L., Góm ez, P. y Cañadas, M . C. (20 14). F or m ación in i cial en educación m atemática de lo s maestros de Primaria en Esp aña, 1991- 2010. Revista de E ducación , 363 , 35- 59. Travers, K. J . y Westbury, I. (1989). The IEA study of mathematics I: Analysi s of mathema tics curricula . Oxford, Reino Un i do : Perg amon. Gó m ez, P ., Gutiérrez-Gutiérrez , A. (201 4). Conocimiento m ate m ático y co n oci m ie n to didác tico d el futuro profesor español de primaria. Res u ltad os del estudio TE DS-M. En M. T . González, M. Codes, D. Arnau y T . Ortega (Eds.), Investigació n en Educación Matemática XVII I (pp. 99 - 114 ). Salamanca: SEIEM. CONOCIMIENT O M ATEMÁTICO Y CONOCIMIENT O DIDÁCTICO DEL FUTURO PR OFESOR ESPAÑ OL DE PRIMARIA. RES ULTADOS DEL ESTUDIO TEDS -M 1 Spanish pr eservice prim a ry school te achers’ mathem a tic s content k now ledg e and m athematics pe dagogical c ontent knowled ge . Result s from TED S-M Pedro Gómez a , Arac eli Guti é rrez-Gutiérrez b a Universidad de los Andes, b Universidad de Granada Resumen En este documento, profundizamos en el estu dio del conocimiento matemático y didáctico manifestado por los futuros profesores españoles que participaron en el estudio TEDS -M . Para ello, describimos el marco teórico propuesto por T EDS-M y proponemos una aproximación alternativa a la conceptualización del conocimiento didáctico del futuro profesor. Describimos el procedimiento metodológico, con el que analizamos las preguntas del cuestionario, que nos permitió caracterizar y detallar los result ados e spañole s y compararlos con los resultados de los países con programas de formación similares al español. Ejemplificamos est os resultados para el subdominio de números y operaciones y hacemos un análisis crítico del diseño de la prueba. Palabras clave : conocimiento didáctico del contenido, Didáctica de la Matemática, formación inicial de profesores, contenido Números, educac i ón primaria, TEDS- M. Abstract In this paper, w e delve in the study of the content and pedagogical content knowledge exhibited by the Spanish future tea c h e rs that participated in the TEDS -M study. We describe the theoretical framework proposed by T EDS-M and propose an alternative approach to the conceptualization of the pedagogical content knowledge of the future teacher. We describe the method we used for analysing the survey ite ms that allowed us to characterize and detail the Spanish results and compare them with the r esults of the countries that have teacher education programs simi lar to the Spanish one. We exemplify these results for the su bdomain of numbers and operations and present a critical analysis of the survey design. Keywords : mathematics pedagogy; pedagogical content knowledge ; preservice teacher edu cation; primary education; TEDS-M. ESTUDIO TEDS-M El estudio TEDS-M (Teacher Educationand Development Stud y in Mat hematics) fue el primer estudio internacional comparativo sobre los planes de formación inicial y sobre los conocimientos de los futuros profesores de primaria y secundaria obligatoria al final de su preparación como profesores de mate m á ticas. El estudio se r ealizó durante los a ños 2006-2010. El informe internacional (Tatto, Sharon, S e nk, Ingvarson y Rowley, 2012) y el informe español ( I NEE, 2012) se publicaron en 2012. TEDS-M fue patrocinado por la Asociación I ntern acional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA, por s us siglas e n inglés). España participó en el estudio para — entre otros objetivos — analizar y caracterizar, sobre una sólida base empírica, cómo era l a formación inicial del pr ofesorado d e primaria de matemáticas en España; establec er re laciones e ntre ese conocimiento y las características del plan de estudios en el que habían recibido su formación (1991-2010); y poder realizar compara ciones internacionales ( INEE , 2012). Gó m ez, P., Gutiérrez - Gutiérrez , A . 100 Los r esultados españoles sobre el conocimiento matemático y didáctico que se presentaron en el informe internacional de TEDS-M (Tatto et al., 20 12, p. 143) y en el informe nac ion a l (INEE, 2012, p. 85) son g lobales. Desde la perspectiva de l os conocimientos e valuados, e stos resultados se restringen a la media obtenida por los futuros profesores de primaria españoles — mae stros, como se les denomina habitualmente en España — en el conocimiento matemático (481) y did á ctico del contenido (492), en relación con una media internacional de 500. Por consi g uiente, es necesari o caracter izar y describir co n mayor detalle el conocimiento manifestado por los futuros profesore s de primaria españo l e s y ubicarlo a nivel internacional. En este documento p rofundizamos en esta cuestión. P a ra ello, describimos y ex tende mos el marco teórico propuesto por T EDS-M para los dos tipos de conocimiento. En particular, abordamos l a caracter ización del cono cimiento didáctico con base en el modelo del a nálisis didáctico (Rico, Lupiáñez y Molina, 2013). Proponemos un procedimiento de an á lisis de las preguntas del cuestionario que nos permi te delimitar el conoci miento evaluado y d esc ribir, de manera det allada, los resultados obtenidos por los futuros p rof esores de prima ria de matemáticas. Ejemplificamos estos resultados con el s ubdominio de números y operaciones para el caso de Es paña. Finalmente, hacemos un a n á lisis crítico del cuestionario y de sus guías de corrección. MARCO TEÓRICO TEDS-M parte de la pr emisa de que no ex iste un acuerdo entre los expertos y los responsables políticos sobre cómo d eter minar y medir los apartados qu e s e r e qui ere n par a ens e ñar bien matemáticas ( B all, Lubienski, y Mewborn, 2001). Para ello, sería ne c esario llegar a a cuerdos sobre, entre otras c osas, la im porta ncia de la m ater ia objeto de conocimiento y su didáctica , la rel ac ión entre la teo ría y la pr á ctica , lo que los profesores aprenden d e la ex pe riencia , las ex pec tativas de aprendizaje de los programas de formación de profesores, y la relevancia del conocimiento previo de los futuros profesores (Schwill e y Dembélé, 2007; Tatto, 2007). TEDS -M, siguiendo las ideas de Shulman (1987), consid eró que el conocimiento para la ens eñanza de las matemáticas tien e dos componentes: el conocimi e nto matemático y el conocimiento didáctico de l contenido. TEDS- M estableció su marco conceptual sobre esta premisa y diseñó un cuestionario que aborda ba estos dos tipos de conocimientos por separado (Ta tto, Schw ille, Senk, I n g varson, Peck y Rowle y , 2008). Conocimiento matemático Para evaluar el conocimiento matemático, TEDS-M se basó en el marco conceptual elaborado para TI MSS 2007 ( Estudio Internacional de Tenden cias en Matemáticas y Ciencias ) (Mullis, Martin, Ruddock, O’Sullivan, Arora , y E rbe rber, 2007 ). El objetivo de la evaluación fue el conocimiento de los futuros profesores de primaria sobre el contenido de las matemáticas escolares. De la mi sm a forma que se realiza en TIMSS, el conocimiento matemático de los futur os profesores se evaluó atendiendo a una dimensión conce ptual estructurada en cuatro su bdominios — números y operac ion e s, g eometría y medida, álgebra y func iones , y da tos y azar — y a una dimensión cognitiva compuesta por tre s subdo minios — conocimiento, aplica ción y r azonamiento — (INEE, 2012) . Conocimiento didáctico La evaluación del conocimiento didáctico no partió de un mar co conceptual previamente establecido. TEDS-M or g anizó este conocimiento en tres subdominios, prestando atención a la dimensión temporal del proceso de enseñanza aprendizaje — curricular, planific a ción de la enseñanza e implementación de la enseña nza — . La versión inicial del ma rco conce ptu a l caracter izó cada subdominio en términos de unos temas (Tatto et al., 2008, p. 39) que presentamos en la tabla 1. Conocimiento m atemático y c onocimiento didáctico d el f utur o profesor español d e prim aria. Resu ltad os del estudio T EDS-M 101 Tabla 1. Conoc imiento did áctico de l c o ntenido m at em á tico en TEDS- M Currículo Planificación Imple ment a ción • Establecer objetivos de apre ndizaje apropiados • Conocer diferentes formatos de evaluac ión • Establecer itinerarios y con e xiones dentro del currículo • I d e ntificar ideas clave en los programas de aprendizaje • Conocer el currículo de matemática s • Planificar o seleccionar actividades apropiada s • Elegir formas de evaluación • Predecir respuesta s típi ca s de los estudiantes, incluidas las concepciones errónea s • Planificar métodos apr opiados para la representación de ideas matemáticas • Vincular los m étodos didácticos y los diseños de instrucción • I d e ntificar los diferentes enfoques para resolver lo s problemas matemáticos • Planificar la e ns e ñanza matemática • Analizar o evaluar las soluciones o los arg um e ntos matemáticos de los estudiantes • Analiza r el contenido de las preguntas de los estudia n tes • Diag nostic a r las respuestas típicas de los estudiantes, incluidas las concepciones erróneas • Explicar o repre sent a r los conceptos matemá ticos o los procedimientos • Generar preguntas f ruct ífera s • Resp onder a inespera do s problemas matemáticos • Realizar una re troalimentación adecuada Fuente: Ta tto et a l. (2008 , p. 39) Cuatro años más tarde, TEDS -M, en su informe internacional, consideró que los temas que se presentan e n la tabla 1 eran solame nte ejemplos del subdominio cor respon diente (Tatto et al., 2012, p. 131). Por consiguiente , estos listados de temas no proporcionan una caracterización completa de los subdominios estable cidos y c a racterizan de manera parcial el cono cimiento didáctico de un futuro pro fe sor de matemáticas. Por otra p arte , y como v ere mos m ás adelante, los subdomini os propuestos implican una distinción entre la planificación y la im pleme ntación que resulta difícil de establecer cuando se e v a lúa, con un cuestionario, el c onocimiento didáctico de futuros profesores. La s razones anteriores nos indujeron a abordar la caracterización del conocimiento didáctico de los futuros profesores desde otro marco conceptual. Para ello, seleccionamos el modelo del análisis didáctico, como conc e pt ua lización de las actividades nec e sarias para diseñar, llevar a la práctica y evaluar unidades didácticas pa ra un tema de l as ma temá ticas escolares. El modelo del análisis didáctico permite caracterizar el conocimiento didáctico de un profesor de matemáticas (Gómez, 2006). Se org aniz a e n torno a cua tro análisis (de contenido, cog nitivo, de instrucción y d e actuac ión) que siguen las dimensiones del curríc ulo (conceptual, cogniti va , formativa y social). Cada análisis se configura a lrededor de nociones de la Educación Matem á tica que denominamos organizadores del currículo . Un organizador del currículo ( a ) es un a noción que forma p a rte del conocimiento disciplinar de la educación matemática y (b) permite analizar un tema de las matemáticas escolares con el propósito d e prod uc ir información sobr e e l tema que sea úti l en el diseño, implementación y ev a luación de unidades didácticas (Rico, 1997, pp. 45 -46). Con el propósito de mantener l a terminología utili zada en el informe intern a cional de TEDS-M en los apartados rel ativos a la evaluación de los conocimientos, en este traba jo, establecemos los subdominios del conocimiento didáctico en térmi nos de los cuatro análisis del análisis didáctico : contenido, cognitivo, instrucción y evaluación. Cada subdominio se caracteriza e n términos de unos temas que corresponden a los organizadores del c urríc ulo. El subdom inio conceptual se compone de tres tema s: los conce ptos y procedimientos y las r elac iones entre ellos que caracterizan el contenido estudiado (estructura conceptual), l as formas de representar ese conteni do y l as relaciones entr e ellas (sistemas de representación) y la or g anización de los fenóm e nos que le dan sentido (fenomenología) . El subdominio cognitivo está compuesto por tres temas: las expectativas de aprendizaje, las limitaci ones de aprendizaje y las oportunidade s o hipó tesis de aprendizaje. El Gó m ez, P., Gutiérrez - Gutiérrez , A . 102 subdominio de instrucción incluye las nociones de tarea ( c on sus divers a s componentes — met as, enunciado, mat eria les y recursos, a g rupamiento e interac ción — ) y de secuencias de tareas (con los procedimientos para est a blecer su adecuación a las expectativas y limitaciones de aprendizaje). Finalmente, el subdominio de evaluación inclu y e los inst rume ntos y proc e dimientos que permiten evaluar el conocimiento del escolar y l a ac tuación del prof esor. Nos basaremos, cuando presentemos el método, en esta estructura de su bdominios y temas para establecer el conocimiento didáctico que evalúan las pre g untas del cuestionario de TE DS -M. Por ejemplo, las limitaciones de aprendizaje es uno de los temas del subdominio cognitivo. El cuestionario de TEDS-M incluy e varias pre g untas de este tema que se refieren específicamente a la capacidad del futuro profesor para reconocer los errores en los que incurren los alumnos . Como ejemplificare mos m ás ad e lante, el análisis de esta s pre g untas dio lugar a un apartado de este tema que hemos caracterizado como “r econocer la dificultad y/o describir el tipo de error en el que incurren los alumnos al realizar una actividad o sus concepciones erróneas sobre un concepto o procedimiento d e terminado ”. Codificamos estas preguntas con este apartado. Re alizamos este análisis para tod a s las preguntas que s e refieren al conoc imiento didác tico. De esta for ma, p ara cada subdominio, identificamos los apartados que se evalúan en los temas que lo caracter izan. OBJETIVO Y MÉTODO DE LA INVESTIGACIÓN El objetivo de este estudio es describir y caracterizar el conocimiento matemático y didáctico manifestado por los futuros maestros de pr imaria españoles que participaro n en el estudio TEDS-M . Se trata, por tanto, de una investigación descriptiva c uantitativa a partir de los datos proc edentes del cuestionario TEDS-M, de las guías de co rr ección diseñadas pa ra la c orrección de las preguntas y de las respuestas de los futuros profe sores participantes al cue stionario. Muestra España fue uno de los 17 países que participaron en el estudio. El trabajo de campo siguió el diseño establecido en Tatto et al. (2008). En cada país, s e seleccionaron, de manera aleatoria, muestras repre s e ntativas de las instituciones que ofrec ían formación a la población diana de futuros profesores que se estaban preparando para enseñar matemática s y que s e encontraban en su último año de formación. Se seleccionó una mu estra a l eatoria de 30 futuros profesores de cada institución. Participaron un total de 483 instituciones con sus respe ctivos programas de formación y 13871 futuros profesores de primaria de matemática s de esas inst ituciones (Tatto et al., 2012). La muestra de instituciones españolas estuvo compuesta por 48 instit uc iones que ofrecían formación ini c ial a futuros maestros de primaria y 1093 futuros maestros que seguían el progra ma de formación establecido po r el Real Decreto 1440/1991 (MEC, 1991), an te rior a l actual título de Gr ado. Da da la diversidad de progra mas de formac ión, y para facili tar las comparaciones internacionales, el equipo de TEDS- M identificó rasgos distint ivos que disti ng uen los pro gr amas de formación inicial de profesores de primaria de los países participantes y ubi có cada pro grama en uno de los cua tro grupos establecidos. Los programas de formación de España quedaron incluidos en el grupo 2, junto con programas de formación de China-Tai pé i, Singapur, Suiza, Estados Unidos y Filipinas. Estos países coinciden en impartir progra mas generalistas y preparar a los futuros profesore s para dar clase a alumnos de hasta 12 años (INEE, 2012). A continuación, y con base en el marco teór ico que presentamos ant e riormente, describimos el procedimi ento que se g ui mos para caracterizar el conocimiento matemático y e l conoc imiento didá c tico evaluado por las preguntas del cuestionario. Caracterización del conocim i e nto m at em ático En este apartado, sintetizamos los pasos del procedimiento que utili zamos p ara caracterizar el conocimiento matemático manifestado por los futuros maestros espa ñoles en el subdominio conceptual d e números en TEDS-M (Gutiérrez -Gutiér rez, Gómez y Rico, en prensa) y lo ejemplificamos con e l análisis de una pregunta de ese subdominio . Conocimiento m atemático y c onocimiento didáctico d el f utur o profesor español d e prim aria. Resu ltad os del estudio T EDS-M 103 En primer lu g ar, sele ccionamos y analizamos las preguntas que evalúan el conocimiento matemático en el subdominio de números y operaciones. Este análisis nos permitió determinar, para cada pregunta, el ti po de problema numérico que plantea, los conce p tos matemáticos que se trabajan y los conocimie ntos y capacidades matemáticos implicados en las respuestas correctas e incorrectas de los futuros profesores. En el segundo p aso, caracterizamos cad a pregunta según el tipo de subdominio de la dim e nsión cog nitiva — razonamiento, aplicación y conoc i miento — que evalúa y el nivel curricular del contenido mate mático al que se refiere . Para ello, atendimos a la normativa vigente en España en el momento del estudio para primaria y secundaria (MEC, 2007; MECD, 2004) y c aracter izamos los niveles curriculares de l os contenidos según los siguiente s criterios . Ubicamos en el nivel básico aquellos contenidos previstos en el curríc ulo español de primaria. En el nive l intermedio, incluimos aquellos contenidos previstos en los t res primeros cursos de secundaria. El nivel avanzado incluye los contenidos previstos a partir de l c uarto curso de secundaria. Finalmente, y con base en la caracter ización de los conocimientos evaluados en las preguntas — qu e surge de los pasos anteriores — , interpretamos los resultados de los futuros maestros españoles, con el propósito de describir y c arac terizar el conoc im iento matemático que ellos pusieron de manifiesto en las preguntas que eva l ua ban el conocimiento sobre números y op erac iones. Ejemplo de análisis de una pregunta de conocimiento matemático Presentamos a continuación, como ejemplo del método, el análisis de una pregunta del subdominio conceptual de números y operaciones que describimos en detalle en Gutiérre z -Gutiérrez, Gómez y Rico (en prensa). La figura 1 prese nt a la formulación de la pregunta t al y como aparece en el cuestionario de TEDS- M. Una máquina consume 2,4 litros de combustible c ada 30 hora s de funcionamiento. ¿Cuántos litros de combustible consumirá la máquina e n 100 horas si sigue c onsumiendo combustible al mismo ritmo? Marque la opción que crea correcta. A. 7,2 B. 8,0 C. 8,4 D. 9,6 Figura 1. P regunta sobre pr oporcionalidad d irecta TEDS-M clasificó la pregunta de la fi g ura 1 dent ro del subdomini o d e apli ca ción de la dimensión cog nitiva. La pregunta de la figura 1 propone un problema de proporcionalidad directa entre magnitudes en un contex to de la vida cotidiana. Este contenido matem ático se contempla en el primer curso de secund aria en el bloque de a ritmética y ál g eb ra . Es de respuesta múlti ple y l a solución correcta e s la op c ión B. Para responder correctamente a esta pregunta, el futuro profesor deb ería tener el conocimient o matemático para reconocer que se tr a ta de un problema de propo rc ionalidad directa entre magnitudes, en el que ha y qu e averiguar una c a nt idad desconocida qu e forma proporción con otras tres ca ntidades conocidas, así como saber qué operaciones son ne c esarias para resolverlo y realizarlas correctamente. En este c a so, solo se valora el resultado concreto del problem a ; no se valoran los procedimientos ll e vados a cabo para lo g rar este r esultado. Con los datos qu e proporciona la codificación de las respuesta, no podemos saber si los futuros profesores que contestaron d e forma incorrecta manif estar on reconocer o no el p roblema como un problema de proporcionalidad dir ec ta entre magnitudes. No obstante, sí podemos identificar, dependiendo de la Gó m ez, P., Gutiérrez - Gutiérrez , A . 104 opción de respuesta elegida, qué tipo de cálculos hicieron y con qué datos del problema traba jaron. De esta forma, pode mos comproba r que los cálculos realizados no coinciden con los necesarios para resolver el problema. E n la tabla 2, presentamos, a manera de ejemplo, la caracterizaci ón del conocimiento manifestado por los futuros mae stros españoles en esta pr egunta con bas e en el análisis anterior. Tabla 2. Carac terización de l conocim iento matem ático m anifestado en el problem a de la figura 1 % Respuesta Conocimientos 77,4 % Correcta (B) Reconoció el problema de proporcionalidad directa entre magnitudes y supo resolver lo Operó correctamente con números decima les s e ncillos 15,7% Incorrectas (A y D) No realizó los cálculos adecua dos para resolver el problema Solo utilizó uno de los datos que ofre ce el problema 6,9% Incorrecta (C) El resultado no procede de los datos dados por e l p roble ma Los resultados de la tabla 2 indican que el 77,4% de los futuros maestros manifestó saber resolver el problema de proporcionalidad directa entre ma g ni tudes, mientra s que un 22,6% no supo resolverlo, y a sea porque no realizó los cálculos adec uados, no uti li zó los datos proporcionados o el resultado no procede d e esos datos. El anter ior, es un ejemplo de la forma como analizamos las preguntas e interpretamos los datos que se obti e nen de ese análisis. Nuestro objetivo consiste en caracterizar el conocimiento matemático de los futuros profesore s españoles con base en el análisis de todas las preguntas. Caracterización del conocim i e nto did áctic o TEDS-M elaboró la mayoría de las pre g untas que evaluaban el conocimiento didáctico del contenido matemático. El resto de p reg untas provenían de otros estudi os como Learning Mathematics for T e aching Projects (Hill y Ba l l, 2004) y Mathematics Teaching for the 21st Century Project (Schmidt, Blömeke y Tatto, 2011). Sint e tizamos a continuación el procedimiento que utiliz a mos para ca racterizar el conocimiento didáctico de las matemáticas escol a res manifestado por los futuros maestros españoles y su compar ación con los resultados de los futuros profesores de los países de su grupo que participa ron en TEDS -M. Este procedimiento c onsta de los siguientes pasos. En primer lugar, seleccionamos, analizamos y clasificamos las 22 preguntas que evalúan el conocimiento didáctico de las matemática s escolares. P a ra ello, establ ec imos el conocimiento didáctico concreto evaluado por cada una de ellas de acuerdo con lo s subdominios, temas y aspectos establecidos en el marco conceptual. Pre se ntaremos más adelante un ej emplo del análisis de una pregunta y la tabla resumen con la clasificación de las preguntas. En segundo lugar, establecimos unos criterios de valoración de las respuestas de los futur os profesores. Para ello, valoramos las respuestas de los futuros pro fe sores a c ada pre g unta atendiendo a los distintos ti pos de respuesta. Por ejempl o, si la pregunta era d e respuesta abie rta , asi g n amos el valor 1 si el futuro profesor contestó c orrectamente, 0 si contestó de forma incorrecta y 0,5 si contestó d e forma parcialmente ; si la pregunta era de respuesta múltiple compuesta, asignamos el valor 1 si el futuro profesor contestó correct a mente todas las opciones de re spuesta, 0,5 si contestó cor rectamente todas menos una y 0 para el resto de los casos (Gutiérrez-Gutiérrez, Gómez y Ric o, 2014). Como último paso, resumimos los datos obtenidos de la valoración anterior a partir del cálculo de parámetro s que nos permitieron rea lizar diversas comparaciones. Tuvimos en cuenta los siguientes parámetro s: (a) la media y la desviación típica de cada uno de los países, (b) la media y la Conocimiento m atemático y c onocimiento didáctico d el f utur o profesor español d e prim aria. Resu ltad os del estudio T EDS-M 105 desviación típica del tot a l de países participantes en TEDS -M, y (c) la media y la desviación típica del conjunto de países que forman parte de l gr upo 2. Ejemplo de análisis de una pregunta de conocimiento didáctico En la fig ura 2, presentam os la formulación de una preg unta que evalúa el c onocimiento didáctico de los futuros prof esores. Ejemplifica mos, para e sta pregunta, el procedimiento de análisis que describimos en el aparta d o a nterior. Jeremy se da cuenta de que cu ando introduc e 0,2 x 6 e n la calculadora el resultado es menor que 6, y que cuando introduce 6 : 0,2 tiene un resultado ma y or que 6. Él está perplejo por e sto, y le pide a su profesor ¡una nueva calculadora! ¿Cuál es la concepc ión e rrónea más probable de Jerem y ? Figura 2. P regunta sobre nú meros decim ales El análisis que realizamos a continuación de la pregunta de la figura 2 nos permitió determinar que la pregunta evalúa el conocimiento didáctico del futuro maestro acerca d el subdom inio co g nitivo, del tema limi tac iones de apr endizaje y para el apartado “ describir el tipo de err or en el que incurren los alumnos al realizar una actividad o sus concepciones erróneas sobre un conc epto o procedimiento determinado ”. En primer lugar comp robamos que, en la pregunta de la fig ura 2, se estudia el conocimiento didáctico de los profesores de primaria en fo rmac ión sobre el cont enido matemático de la multiplicación y división con números dec imales. A partir del análisis del enunciado de la pregunta y de la guía de correcció n que de scribimos en detalle en Gutiérrez-Gutiérrez, Gómez y R ico (2014) , consideramos que TEDS - M busca evalu a r si los f uturos maestros conocen una de las conce pciones erróneas más frecuentes que tienen los alumnos de primaria sobre mul ti plicación y división con números decimales: muchos niños extienden su conocimiento de los naturales y lo aplican de manera equivoca d a a las operaciones con decimales (Castro, 2001, p. 335). En la tabla 3, presentamos los resultados de los futuros maestros españoles con base en el análisis que hemos hecho d e esta pregunta. En la primera columna de la tabla aparece el porcentaje de futuros maestros españoles que corresponde a cada tipo de respuesta — segunda columna — . En la tercera columna, describ imos estos resultados en té rminos de los conocimientos que los futuros maestros españoles pudieron poner e n jue g o. Tabla 3. Conoc imientos m ani fe stados por los futuros m aestr os españoles en la preg unta de la figura 2 % Respuesta Conocimientos 22,1% Correcta Reconoció el error en el que incurre el alumno 7% Parcialmente Correcta Manifestó un conocimiento didác tico parcial: solo re conoc ió el tipo de e rr or con númer os decimales bien en la multi plica ción o bien en la división pero no en ambas 0,7% Otras parcialmente correctas Manifestó cier to conocimiento didáctico sobre los números decimales al expresar otro error frecuente entre los alumnos de primaria como es la falta de comprensión de la notación decimal, en este caso sería ig norar e l 0 que ha y antes de la coma 35,5% Incorrectas No reconoció el error e n el que incurre el alumno Gó m ez, P., Gutiérrez - Gutiérrez , A . 112 se exige un conocimiento en la guía de corrección que no se especifica en el enunciado de l a pregunta. Esto ocurre, por ejemplo, en una de las p reguntas de geometría, en la que se pide a l futuro maestro que propon g a u na práctica de enseñanz a para que el alumno supere la dificultad de no reconocer como triángulo rectángulo el que se muestra en la figura 3. La preg unt a se refiere a un triángulo específico. No obstante, la guía de corrección codifica como correctas aquellas respuestas que sean generales y sirvan para el todos los t riáng ulos o al menos p ara todos los triángulos rectáng ulos. Y codifica c omo parcialmente correctas aquellas respuestas que se refieren a prácticas de enseña nza que solo trabajen con el triángulo del enunciado. En este c aso, la guía de corrección no profundiza en las dificultades que pue d e n explicar por qué los alumnos no re conocen el triángulo como rectángulo y no caracteriza las posibles respuestas del futuro profesor en términos de es a caracter ización y de las estrategias de enseñanza que podrían abordarla. Figura 3. E jemplo de trián gulo propuesto La s reflexiones anteriore s identifican algunas de las limitaciones del cuest ionario de TEDS-M que podrían abordarse en est udios futuros sobre el conocimiento del futuro profesor. En particular, la información de la t abla 4 pone de manifiesto un desequilibrio en los subdominios y temas evaluado s y en el número de pr eguntas con las que se evalúan estos subdominios y t emas. En este sentido, es posible concebir el diseñ o de un cuesti onario que, con el mismo número de preguntas, aborde d e manera más uniforme los subdominios y temas que caracter izan el conocimiento didáctico de un futuro profe so r de matemáticas. Referencias Ball, D. L., Lubiensk i, S. T ., y Mewborn, D. S. (2001). Research on teaching mathematics: The unsolved problem of teacher’s m athematical knowledge. In V. Richards on (Ed.), Handbook of research on teaching (4 th ed., pp. 433 – 453). Washing ton, DC: Am erican Educa tional Researc h Association. Castro, E. (2001). Núm eros decimales. En E. Castro (Ed.) Didáctica de la Matemática en la educ a ción primaria (pp. 31 5- 345). Madrid, España: S íntesis. Döhrm ann, M., Kaiser, G. y Blöm eke, S. (2014). The conceptualisa tion of m athem atics com pet enc ies i n the internationa l teacher educa tion study T ED S-M. En S. Blömeke, F. J . Hsieh, G. Kaiser y W. H. Schmidt (Eds.), International Persp ectives on Teacher Knowledg e, Beli e fs and Opportun ities to Learn (pp. 431 - 456). Drodrech t , Pa íses Bajos: Sp ringer. Góm ez, P. ( 2006). Análisis didáct ico en l a formación inicial de profeso res de matemáticas de secundar ia. En P. Bolea, M. J. González y M. Moren o (Eds.), X Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (pp. 15-35). Huesca, E spaña: I nstituto de Estu dios Aragone ses. Gutiérrez , A., Góm ez, P. y R ico, L. (2012). Conocim i ento s manifestados p or lo s futuros m aestros de m a g isterio sobre Didáctica de l a Matem ática en el estudio T EDS- M. Ej em plo del análisis de una pregunta . Seminario de Invest igación de los Grupos de Pensamient o Numéri c o y Algebraico (de la Universidad d e Granada) e Histor ia de la Educaci ón Matemática (de la Un iversidad de Va lencia) . Valencia, Españ a, Marzo 2 012. Gutiérrez- Gutiérrez, A. Góm e z, P., Rico, L. ( 2014). Conocimien to didác tico de los estudiant es españo les de m a g isterio s obre números: result ados en T ED S-M. Cultura y Educac ión. (Publicación previs ta e n j u lio de 2014) P á g i n a 2 8 18. S e l e s p r o p o r c i o n ó e l s i g u i e n t e d i a g r a m a a a l u m n o s d e 6 º d e p r i m a r i a . S e l e s p i d i ó q u e c a l c u l a r a n e l á r e a d e l t r i á n g u l o . P a b l o d i j o q u e n o s e p u e d e h a l l a r e l á r e a p o r q u e n o s e d a l a a l t u r a d e l t r i á n g u l o . ( a ) ¿ P o r q u é c r e e u s t e d q u e d i j o e s o ? ( b ) D é u n e j e m p l o b r e v e d e b u e n a p r á c t i c a d e e n s e ñ a n z a q u e q u i z á s p u e d a r e d u c i r e l e r r o r c o n c e p t u a l d e P a b l o . M F C 1 0 5 A M F C 1 0 5 B Conocimiento m atemático y c onocimiento didáctico d el f utur o profesor español d e prim aria. Resu ltad os del estudio T EDS-M 113 Gutiérrez- Gutiérrez, A., Góm e z, P. y Rico, L. (En prensa). Conoc imiento matem ático sobre núm er os y operaciones d e los estudian tes de m agisterio. Edu cación XX1 . Gutiérrez- Gutiérrez, A., Rico, L. y Gó m ez P. (En pren sa). Caracteriza ción del conocimient o didác tico sobre números y operacion es manifestado por los futuros maestros en TEDS-M. Metodología para una comparación internaciona l . Seminario de I nvestigación de lo s Grupos de P ensamiento Num ér i co y Algebraico (de la Univer sidad de Granada) e Historia de la Educ ación Matem ática (de la Universidad de Valencia). M álaga, Febrero 2014. Hill, H., Schilling, S. y B all, D. ( 20 04) . Developing m easures of teachers ’ mathematical knowledg e for teaching. Elem entary Scho ol Journal, 105 (1) , 11 – 30. I nstit uto Nac ional de Evaluación Educat iva ( I NEE) (2012). TEDS-M. Estudi o int e rnacional sobre la formación ini cial en matem áticas de los maes tros. Info rme español . Madrid, Esp aña: Autor. Krauss, S ., Brunn er, M., Kunter, M., Baum ert, J., B lum , W., N eubrand, M., y Jordan, A.(2008). Pedag ogical content knowledg e and content knowledg e of se c ondary m athematics teachers. Jo urnal of Educa tional Psychology, 100 (3), 716 – 725. Ministerio d e Educación y Ciencia ( MEC ) (1991). Re al Decreto 1440/1991, de 30 de agosto, por el que s e establece el título universitario oficial de Maestros en sus di v ersas especialidades y las directric es generales p ropias de los p lanes de es tudios conduc entes a su obtención. BOE, 244 , 33004-33008. Ministerio de Educación y Ciencia (MEC) (2007). Orden ECI/2211/2007, de 12 de j u lio, por la que se establece el c urrículo y se reg ula la ordenación d e la Educac i ón p rimaria. BOE, 1 73 , 31487-31566. Ministerio de Educac ión, Cultura y Deport e (MECD ) (2004). Real Decreto 116/2 004, de 23 de enero, por el que se desarrolla la ordena ción y se establ ece el currí culo de la Educac ión Secu ndaria Obligatoria. BOE, 35 , 5712- 5791. Mullis, I. V. S., Mar tin, M. O., Ruddo ck, G. J ., O’Sul livan, C. Y., Aro ra, A., y Erberber, E. (2007). TIMSS 2007 assessment framewor ks . Chestnut Hill, MA: Bos ton College. Rico, L. (1997). Los organizadores del cu rrículo de m atemáticas. En L. Rico (Ed.), La Educació n Matemática en la enseñanz a secundaria (pp. 39- 59). Barcelon a, España : ICE-Horsori. Rico, L., Lupiáñez, J . L. y Mol i na, M. (Eds.). (2013). Anális is Didáctic o en Educación Matemática. Metodología de Investigación, Innovac ión C urricu lar y Formación de Profes ores . Granada, España: Com ares. Schilling, S., Blunk , M., y Hil l, H. (2007).Test validation and the MKT m easures: Generaliz ations and conclusions. Measurement: Interdiscipl inary Research and Perspectives, 5 (2 – 3), 118 – 127. Schm idt, W. H., Blömeke, S., y Tatto, M. T. ( Ed s.) . (2011). Teacher educa tion matters: A study of midd le school math ematics teache r prepa ration in six coun t ri es . New York, NY : Teachers C ollege Press. Schwille, J., & Dembélé, M. (2007). Global perspect ives on teacher learning: Improvin g policy and practice (Fundamenta ls of Educational Planning , No. 84). Paris, Francia: I nternational Institute for Educat ional Planning, U NESCO . Shulman, L. S. (1987) . Knowledge and t e aching: foundations of the new reform . H arvard Educationa l Review , 57 (1 ), 1-22. Tatto, M. T. (Ed. ) . ( 2007). Reform ing teaching globally. Oxfo rd, Reino Unido: Sy mposium Books. Tatto, M. T ., Schwi lle, J., Senk, S., Ingv arson, L., Peck, R. y Rowle y, G. ( 2008 ) . Teacher Education and Development Study In Mathematics (TEDS-M): policy, practice , and readines s to t ea ch primary and secondary mathemat ics. Conceptual framework. East Lansing, MI : T each er Education and Develo pm ent I nternat i onal Study Center, College o f Education, Michig an State Univ ersity. Tatto, M. T., Sharon, J. S., Senk, L., I ngvarson, L. y Rowley, G. (2012). Policy, Practice, and Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries. Find ings from the IEA Teacher Ed ucatio n and Developmen t Study i n Mathematics (TE DS - M) . Amsterdam, Paí ses Ba jos: Internat ional Associat ion for the Evalu ation of Edu cational Ac hievem ent (IEA). Gó m ez, P., Gutiérrez - Gutiérrez , A . 114 1 Agradec imientos: Este trab a jo ha sido apoyado p o r el Pro y ec to de Excelencia de la Junta de Andalucía P07 - FQM032 44 “TEDS - M E spaña” y par cialm ente subvencio nado po r el proyecto EDU2 009 -10454 del Ministerio de Ciencia e I n novación. T am bi én se ha realizad o en el marco del proyecto P r ocesos de apren dizaje del profesor de matemática s en fo rmación , EDU201 2-33030 del MEC. Los r esu ltados d e este trabaj o forman p arte de la tesis d octoral titulada: Evalua ción de los maestros en formación en ma te máticas . Estud io TEDS -M en Españ a q ue lleva a ca bo A. Gutiérrez-Gutiér rez, bajo la d i rección de lo s doctores L. Rico y P. Gó m ez. Carrillo, J. (20 14). El conocimie n to de lo s estudiantes p ara maestro (T EDS -M Espa ña) desde la p erspectiva de su especialización. En M. T. González, M. Codes, D. Arnau y T. Ortega (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVII I (pp. 115 -123). Salamanca: SE IEM. EL CONOCIM IENTO DE LOS E STUDIANTES P ARA MAEST RO (TEDS-M ESPA ÑA) DESDE L A PERSPECT IVA DE SU ESPECIALI Z ACIÓN 1 Student prim a ry te achers’ k nowledge (T EDS -M Spain) from the perspective of their spec ialization José Carrillo Universidad de Huelva Resumen Se extraen algunas ideas de Gómez y Gutiérrez -Gutiérrez (2014) para contextualizar este artículo. A continuación se pr esenta una perspectiva s obre lo que va a entenderse por cono c imiento profesional en la que destaca su amplitud y utilidad, y el modelo d e l conocimiento especializado del profesor de matemáticas (M TSK ) , que permitirá interpretar el contenido del artículo de los autores mencionados. S e subrayan las limitaciones de los futuros maestros en el conocimiento del tema y de la estructura matemática en relaci ón con números y operaciones, así como las limitaciones propias de los estudios basados en cuestionarios. Asimismo, se analiza la propuesta de temas de TEDS-M desde el mode lo MTSK y s e presenta una tabla que relaciona el análisis didáctico del contenido con este modelo, lo que permite mirar los resultados desde otra perspectiva, estableciendo algunas conclusiones en relación con el conocimiento didáctico del contenido. Palabras clave : conocimiento matemático, conoci mie nto didáctico de l contenido, formación inicial de maestros, TEDS-M, números Abstract Some ideas from Gómez y Gutiérrez-Gutiérrez (2014) are included to contextuali ze this paper. It follows, on the one hand, the persp e ctive we are u sing to understand professional knowledge, which emphasi zes wideness and usefulness, and, on the other hand, the mathematics teacher’s specialized knowledge (M TSK ) , that w ill allo w interpret the content of the aboveme nti oned authors’ pape r. One highlights limitations of pre-service primary teac he rs concerning knowl edge of topics and of the structure of mathematics with respect to numbe rs and operations, as well a s limitations owed to th e questionnaire-based stud ies in general. Likewise one analyses TEDS -M proposal of themes using the MTSK model, and one presents a table wit h the relationsh ip between t he didactical analyses of content and this model ; it allows look at the results from another perspective, and establish some conclusions about the pedagogical content knowledge domain. Keywords : mathematical knowledge, pedagogica l content knowledge, pre -service primary teacher education, TEDS-M, numbers ESTUDIO TEDS-M La participación de España e n el estudio TEDS -M tuvo el propósito de e stablecer relaciones entre la formación inicial de nuestros maestros (entendiendo formación como conocimiento) y l a s caracter ísticas d e l plan de estudios correspondiente a dicha formació n inicial, así como situar a esta en una perspectiva int e rnacional (Gómez y Gutiérrez -Gutiérrez, 2014). Los resultados glob a les colocan el conocimiento matemático de nuestros f uturos maestros en 481 p untos, y el conocimiento didáctico del contenido matemático en 492, en relación con la media internacional de 500. El Carrillo, J . 116 análisis efe ctuado y lo s resultados obtenidos proporcionan d escriptores y categorías de esa formación y de l c onocim iento de los futuros maestros. El análisis presentado por Gómez y Gutié rr ez -Gutiérrez (2014) supone u na profundización en los resultados del estudio TEDS -M en relación con contenidos de números y op e raciones. P ara ello, han nece sitado elegir un marco conce ptual diferente del utilizado en TEDS -M respecto al análisis del conocimiento didá ctico del c ontenido: e l marco del a nálisis didáctico (Rico, L upiáñ ez y Molina, 2013). Los autores an a lizan críti c amente aspectos m etodológ icos y conceptuales de TE DS -M, como el diseño del cuestionario y las guías d e corrección, y la deficitaria caracter ización de los dos dominios estudiados (el conocimiento matemátic o y el cono cimiento didáctico del contenido), lo que conlleva la dificultad de justificar la interpr etación de a lgunos resultados. Expresan asimismo la duda de si algunas r e spu e stas incorrect a s a pr eg u ntas sobre conocimiento didáctico d el contenido pueden ex plica rse por la falta de conocimiento matemático, debido a la necesidad d e ambos conocimientos para re sponder a dichas preguntas. PERSPECTIVA TEÓRICA No existe un acuerdo general sobre cuál debería se r e l contenido de la f ormación inicial del profesor para la enseñanza de la matemática , ni sobre có mo determinar los niveles de logro en relación con el conocimiento construido en dicha formación. Sin embargo, parece que h ay consenso en cuanto a la necesidad de que esos niveles d e logro informen del conocimiento como produ cto y com o proceso (inc lu y endo, por tanto, su construcción y s us dimensiones). Caracterizaciones amplias de conocimiento, como la de L linares o la de Pajares, a y udan a establecer cierto gra do de acuerdo sobre aquello a lo que nos referimos cuando hablamos de conocimiento. Mientras que Pajares (1992) habla del conocimiento como una amplia red de conceptos, imágenes y habilidade s, Llinares (1998) afirma que el conocimiento (profesi onal) “ incluye no sólo la inf ormac ión específica sobre datos y métodos de com probación de resolución de problemas, sino también la información necesaria para definir y compr ender los problemas con los que debe enfrentarse el profesional ” (p. 55) . O bsérve se que la ca rac teriz a ción de Pajares inclu y e las habilidade s, lo que es c oherente con la formulación de los temas que s e consideran en el estudio TEDS-M, como se verá más ad e lante. Por s u parte, Llinares nos habla de la utilidad del conocimiento, se trata de un conocimiento con una orientación clara. Al enfrentar la elaboración de los instrumentos de recogida de información y d e análisis de d atos, la diferenciación clásica de Shulm a n (1987) entre conocimiento matemático y conocimiento didáctico del contenido se impone. Varios modelos han emergido con base en la pro pue sta de S hulman; entre otros: - Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) (Ball, Thames y Phelps, 2008), con la inclusión del subdominio del conocimiento es pec ializado del conteni do dentro del dominio del conocimiento matemático; - Knowledge Quartet (KQ) (Rowland, Turner, Thwaites y Huckstep, 2009 ), con la consideración de una di mensión para las conex i ones entre contenidos y otra para las situaciones de continge n c ia; - Conocimiento Didáctico-Matemático (C DM) (Godino, 2009), que propone un refinamiento de los sub dominios del MKT a pa rtir de la consideración de las facetas epistemológica , cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y e cológ ica, con corre spondient e s niveles de análisis y consignas para su ev a luación. Con base en el MKT fundamentalmente, y en las conexiones del KQ desd e el enfoque de M artínez, Giné, Fernández, Figueiras y Deulo fe u (2011) (con la dif ere nci ac ión entre conexiones El conoci m ie nto de los estudiantes par a m ae stro (T EDS-M España) desde la perspectiva de su especialización 117 intraconce ptu a les, interconceptuales y tempor a les), en la Unive rsidad de Huelv a hemos desarrolla do el modelo de Conocimiento Especializ ado del P rof esor de Matemáticas (MTSK por sus siglas en ing lés - Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge ) (Carrillo, C l iment, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013). El MTSK (ver fi g ura 1) int e nta trascender la diferenciación entr e el conocimiento c omún y el espec ializado, y su pera r las dificultades de delimitación entre los subdominios del conocimiento especializado, del horizonte matemático y del conocimiento de l contenido y los estudiant es del modelo MKT (Carrillo, Flo re s y Contrer a s, 2013). Para ello, los subdominios del conocimiento matemático se definen desde una persp e ctiva interna a la matemática y e n función de las nec esidades del p rofe sor, sin interesarle si ese conoci miento es com partido por otros colectivos (como ocurre en el MKT): - Conocimiento de los Temas (K oT): inclu y e, entre otros, aspe c tos fenomenológicos, significa dos, de finiciones, y ejemplos que caracterice n asp e ctos del tema abordado, además de referirse al contenido disciplinar de las mate máticas qu e figura e n manuales y textos matemáticos. - Conocimiento de la Estructura Matemática (KSM): sistema int eg rado de conexiones que permita al profesor comprender y desarrollar conceptos avanzados desde una perspectiva elemental y conceptos elementales mediante una visión avanzada. - Conocimiento de la Práctica Matemática (KPM): incluy e el conocimiento de las formas de conocer, crear o producir en mat e máticas, conocimiento de aspectos de la comunicación matem ática, del razonamiento y l a prueba. Saber, por ejemplo, qué es definir y cómo usar definiciones. Por otra parte, los subd ominios del conocimiento didáctico del contenido se enfocan d esde la matemática, de modo que esta condiciona su carac terización, no es intersec ción entre matemát ica y enseñanza o a p re ndizaje. - Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT): incluye conocer distint a s estrategias qu e permitan al prof e sor fomenta r un desarrollo de l as capacidades matemáticas p roc edimentales o conceptuales. Conocer la potenci alida d de recursos, ejemplos o modos de re presentación para hacer comprensible un contenido determinado. Conocer elementos teóricos sobre enseñanza de la matemática. - Conocimiento de las Características del Aprendizaje de las Matemáti c as ( KFL M): conocimiento de las características del proceso de comprensión de los estudiantes sobre los distintos contenidos, del lenguaje asociado a cada concepto, así como de errores, dificultades u obstáculos posibles. C onoc er elementos teóricos sobr e aprendizaje de la matemátic a. - Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje de las Matemátic a s (KMLS): conocimiento acerca de lo que el estudiante debe/puede alcanzar en un curso escol a r determinado. Además de lo prescrito en el currículo institucional, este conocimiento puede prove n ir de las investigaciones y de las opiniones de profesores expertos. Se añade en el MTSK el estudio de las creencias del profesor sobre la matemática y sob re s u enseñanza y aprendizaje. Todo esto significa co nsider ar la espec i a lización del conocimiento de l profesor en el modelo en su conjunto, sin restringirla al dominio matemático. No se supon e que el futuro maestro sea un especialista en el contenido matemático, sino que el conocimiento que posee en relación con la e ns e ñanza de las matemáticas tiene un c a rácter especializado 2 . Carrillo, J . 118 Figura 1. Dom i nios del Conocim i ent o Especial izado del Profe sor de Matem áti ca s (Carrillo et al ., 2013). La p e rspectiva del MTSK me ayudará a interpretar el contenido de Gómez y Gutiérrez-Gutiérrez (2014). Naturalmente, solo aborda ré aquellos puntos que, a mi entender, pueden enriquecerse o complementarse a l mirarlos de otro modo. ANÁLISIS Conocimiento matemático Gómez y Gutiérrez-Guti érr ez (2014) analiz a n el conocimiento matemático teniendo en cuenta el tipo de problema num érico que plantea, los conceptos matemáticos que s e trabajan y los conocimientos y capacidades matemáticos implicados en las respuestas . Asimismo, cara cteriza n cada pregunta según el tipo de subdominio de la dimensión cog nitiva — razonamiento, aplicación y co nocimiento — que evalúa y el nivel curricular d e l contenido matemático al que se refiere. Como es frecue nte en los estudios basados en cuestionarios, y los mismos autores señalan, hemos de se r mu y cautos en la i nterpr etación de los resultados y su (plausibl e) procedencia 3 . En la sección Objetivo y método de la investigación , presentan el análisis de la pregunta que se enuncia en la figura 2 como ejemplo de aná lisis del conocimiento matemático. Una máquina consume 2,4 litros de combustible cada 30 horas de fu ncionamiento. ¿ Cuánt os litros de combustible consumirá la máquina en 100 horas si sigue consumiendo combustible al mismo ritmo? Marque la opción que c r e a correcta. A. 7,2 B. 8,0 C. 8,4 D. 9,6 Figura 2. P regunta sobre proporc ionalidad direc ta El conoci m ie nto de los estudiantes par a m ae stro (T EDS-M España) desde la perspectiva de su especialización 119 Los autores caracterizan el conoc imiento matemático correspondiente a las respuestas incorrectas A y D como realización de cálculos inadecuados y utili zación de solo uno de los datos del enunciado. Entiendo que pueden darse estas soluciones empleando todos los datos, pero aplicand o indebidamente una aproxim a ción, considerando 100/3=3 o bien 100/3=4. Para la opción A también puede decirse que, como en 90 ho ra s consume 7,2 litros y con el siguiente múltiplo de 30 se pasa, la respuesta es 7,2 por corresponder al menor mú ltiplo posible (90). De un modo similar, puede decirse en D que la respuesta corresponde al si guiente múl tiplo de 30, y a que con 90 no se llega. Análogamente, la p roc edencia del error en la respuesta C no tiene por qué ser que no s e usen los datos, también puede deberse al hecho de con sider ar 100/3=3,5, medi a de las a proximaciones anteriore s. Dicho de otr a forma, como en 90 horas se consumen 7,2 li tros y en 120 hor a s s e consumen 2,4 litros más, al estar 100 entre 90 y 120, se suma a 7,2 la mitad de 2,4. En los resultados globales (sobre números y operaciones), los autores afirman que los futuros maestros españoles mostraron tener el conocimiento matemático correspondiente a los contenidos de primaria, que manifestaron limitaciones para los contenidos del primer ciclo de s ecundaria, y que evidenciar on carencias con respecto a los contenidos corre spondientes al nivel avanzado. Estos resultados confirman el estudio de Muñoz -Catalán y Carrillo (2007), en el que s e abordaron contenidos conceptuales relativos a fracciones y decimales, divisibilidad, y uso de la calculadora para la obten c ión de cifras ocultas. Estas carencias y limi tac iones son un indicio, no solo de la imposibilidad de poseer un conocimiento fundamentado del tema (KoT), sino de las lagunas en el conocimiento de la estructura de la matemática (KSM): establece r relaciones interconce ptu ales supone una sutileza en el conoc imiento de los con tenidos que parece difícil de desarrollarse sin un conocimiento en profundidad de los núcleos conceptuales; la estructura conceptu al (foco de interés del análisis didáctico e n relación con el análisis de contenido) se resiente. Conocimiento didáctico del contenido Tatto, Schwille, Senk, I ngvarson, Peck y R owley (2008) (en Gómez y Gutiérrez-Gutiérrez, 2014) consideran los subdominios currículo, planificación de la enseñanza e implementación para organizar el conocimiento didáctico del contenido, e inclu y en unos temas en cada subdomini o. La tabla 1 de Gómez y Gutiérrez -Gutiérre z (2014 ) p re senta la caracterización de estos subdominios a partir de un listado de temas (a modo de descriptores) qu e en s u formulación parecen corre spond e rse más con el conoc imiento matemático que con el co nocimiento didáctico del contenido, y en su ma yoría aluden a acciones, competencias o habilidades para las c uales se necesita la inter vención d e ambos dominios del conocimiento. Por ejemplo, dentro del subdominio del currículo, para el tema establecer itinerarios y con e xiones dentro de l currículo , el maestro de berá poseer conocimiento de los e stánda res de aprend izaje matemático (KMLS) y conocimiento de l a e struc tura d e la matemática (KSM), el primero perteneciente al dominio del conocimiento didáctico del contenido, y el segundo al dominio del conocimiento matemático del modelo MTSK. Lo mismo sucede en relación c on el tema id entificar ideas clave en los programas de aprendizaje , donde, además de referir a una competencia que habrá de poseer el maestro para organizar su enseña nza , necesita del conocimiento de las grandes ideas (como la de i g ualdad/semejanza/congruencia) de sde un punto de vista matemático ( Kuntze, Murphy, Lerman, Kurz- Mi lck e, Siller y Winbourne, 2011 ) , el cual situamos en el conocimiento de la estructura de la matemática . El conocimiento de los temas (KoT) surge en el subdomini o de la pl a nificación a l referirse a identificar los diferentes enfoques para resolver los probl e mas matemáticos . P ue de considerarse la participación del conoci miento de las características del aprendizaje matemático (K FL M), pero es evidente la n ec esidad de disponer de un conoci miento sobre las dist intas formas de abordar los problemas en c u e stión. Carrillo, J . 120 Del mi smo modo, en el subdominio de la implementación, respecto a analizar o ev aluar las soluciones o los argum entos matemáticos de los estudiantes , es necesario que el ma estro posea conocimiento del tema e incluso, si se trata de analizar la coherencia argumentativa, conocimiento de la práctica matemática (KPM). O si considera mos el tema respond er a inesperados problemas matemáticos , que alude a la c a pacidad del maest ro para enfrentars e a situaciones de contingencia, una de las dimensiones del Knowledge Quartet ( Contingenc y ), en la cual conflu y en conocimientos pertenecientes a todos los subdominios del MTSK, al menos conocimiento de los temas y los tres subdominios del conocimiento didá c tico del contenido (conocimiento de la enseñanza de las matemáticas – KMT -, conocimiento de las caracter ísticas del apr endizaje matemático y conocimiento de los estándares de apr endizaje matemático). Encontramos otros temas para los que, a pesar de venir f ormulados como acciones o competencias, como antes se ha indicado, y a pesar de que, por lo general, se pueden asoc iar descriptore s de varios subdominios del MTSK, existe un subdominio del conocimiento didáctico del contenido que podríamos considera r como su vinculación natural. Ta l es el caso de planificar la enseña nza matemática , vinculado al subdominio del conocimiento de la enseñanza de las matemáticas, o el de predecir respuestas típicas de los estudiantes, incluidas las concepciones erróneas , que pued e asociarse a l conocimiento de las características del aprendizaje matemático. Más tarde, Tatto, Sharon, Senk, I ngvarson y R owley (2012) (en Gómez y Gutiérre z -Gutié rr ez, 2014) afirman que la caracterización del conocimiento didáctico del contenido es parci al, lo que, unido a la dificultad de difere n c iar plani fic ación e implementación en el análisis del TEDS -M, ll e va a Gómez y Guti é rrez-Gutiérrez a caracter izar el conocimiento didáctico del contenido usando el modelo del análisis didáctico (Gómez, 2006; Rico et al , 2013), lo que supone la considerac ión de los subdominios de análisis de contenido, cognitivo, de instrucc ión y de evaluación. En la tesis de Nielka Rojas (Rojas, Flores y Carril lo, en pre ns a ) s e relacionan los temas del análisis didáctico (en lo relativo al análisis de cont enido, cognitivo y de inst ruc ción) con los subdominios del MTSK (tabla 1). Tabla 1. Relac ión entre los com ponentes del análisis didáctico y lo s dominios de c onocimiento especializado del profes or de m atemática Dominios de conocimiento Análisis Didác tico Conocimiento del co ntenido Conocimiento didá ctico del contenido KoT KSM KPM KMT KFLM KMLS Análisis de con t enid o Análisis concept ual X X X X X X Análisis fenom e nológic o X X X Sistemas de r e pres e ntación X X X Análisis cognitiv o Expectativas de ap rendizaje X X Limitaciones d e apre n dizaje X X Oportunidades de aprendizaje X X Análisis de ins t rucci ón Tareas y secuencia s de tareas X X X X Materiales y r e cursos X X X La tabla 1 permite r einterpretar la tabla 6 de Gómez y Gutiérrez -Gutiérrez (2014) en los términos que aparecen en la figura 2. S e han calculado medias aproximadas con los datos de la tabla 6 mencionada. No consta información sobre los subdomini os del conocimiento de la práctica m a temática y del conocimiento de los estándare s de ap re ndizaje de las matemáticas. Salvo en el subdominio del El conoci m ie nto de los estudiantes par a m ae stro (T EDS-M España) desde la perspectiva de su especialización 121 conocimiento de la estructura de la mate mática (KSM ), de l que se tiene l a informac ión asociada a la estructura con c eptual, las medias deben entenders e al lado de desviaciones típicas altas, sobre todo en el subdominio del conocimiento de las cara c terísticas del aprendizaje matemático (KFLM), con porcentaje s extremos de 12,6 y 80,4. El conocimiento de los temas de números y operaciones, particularme nte sobre or dena ción de fracciones, algor itmo de la resta, r eprese ntación de números decimales y si gnific ado gráfico de la división de fracciones, queda reflejado en un porcentaje d el 28,4, que asciende al 32 % cuando nos referimos al estable cimi ento d e relaciones entre conceptos y procedimientos ( c onocimi e nto de la estructura de la matemática). Su posible plasmación en e l proceso de enseñanza desciende al 25% (conocimiento de la enseñanza de la matemática). Finalmente, la identificación de elementos de di ficultad en probl emas aritméticos y problemas d e proporcionalidad directa (80,4% y 59%, respectivamente) contrasta con el reconocimiento de errores en el trabajo con números mixtos y en la s operaciones con núme ros decimales (12,6% y 22,1%, respectivamente), descriptores del subdo minio del conocimiento de las carac terísti c as del aprendizaje matemá tico. Figura 2. Po rcentaje de r espuestas cor rectas de núm eros y opera ciones según sub dominios del MTS K REFLEXIÓN FINAL La s relaciones de la tabla 1 da n sentido a la interpre tación del análisis y d e los resultados de TEDS - M desde la perspectiva d el modelo MTS K, p articularmente d e los r esultados reporta dos en Gómez y Gutiérrez-Gutiérrez (2014) sobre TEDS-M España, en concreto respecto al bloque de números y operac ion e s. Cuando estos autores asocian, en una de l as pr eg untas del cu e stionario, l a falta de reconocimient o de errores de los alumnos a una carencia en el conocimiento didáctico del contenido, podríamos preguntarnos si cabría la posibilidad de deberse a una carencia en el conocimiento del tema ( KoT), como ellos mi smos afirman de manera general en la s ección Discusión, reconoc i e ndo una limitación del estudio TEDS -M. Poseer un buen nivel en el do minio del c onoc imiento matemático no garantiza un buen desempeño docente, e n particular no g arantiza un buen nivel en e l dominio del conocimiento didáctico del contenido, pero parece evidente que la ca re ncia de conocimiento matemático supone care n c ia de conocimiento didáctico del contenido. Coincido con Gómez y Gutiérrez -Gutiérrez (2014) al subrayar la esca sa releva ncia en el cuestionario de la ar g umentación y la prueba. R ealmente, se da poca imp ortancia globalmente al conocimiento de la práctica matemática (KPM), como refleja la figura 2. La comparación internacional con el grupo de países que comparten siste ma for mativo de maestros sitúa a España por debajo de la media, en general. Más allá de esta comparación, los resultados españoles ponen de re lieve u n conocimiento de lo s futuros maestros que dista mucho de ser a quella KoT 28,4 % KSM 32 % KMT 25 % KFLM 43,5% Almeida, R., Br u no, A . 128 La s componentes del sentido numérico no son independientes, están relacionadas y pueden utilizarse varia s de ellas en la resolución de una mi sma tarea. S ig uiendo la cl asificac ión de McIntosh, Re y s, y R ey s, (1992) las componentes de la 1 a la 8 anteriormente enumera d a s implican conocer y tener habilidades numéricas, mientras que las tres últimas se refieren a la aplicación dicho conocimiento y h abilidade s. Este trabajo se centra especialmente en la obs ervación de las componentes SN3, SN4 y SN11 que describimos a continuación. SN3. Usar puntos de referencia Se refiere a la habilidad para usar apropiadamente puntos de refere ncia numéricos para resolver problemas sobre mediciones de objetos c omunes, para comparar números y realizar cálculos. Los puntos de refe rencia son g eneralmente valore s con los que una persona se siente cómoda haciendo comparaciones o cálculos. Por ejemplo, múltiplos de potencias de 10, números como ½, 50% o cualquier referente numérico personal. Mc Intosh et al. (1992) sugiere que “así como un compás es una herramienta básica para la nave g ación, los puntos de r efere ncia son referentes mentales esenciale s p a ra pensar sobre los números”. SN4. Usar representaciones de los números y las operaciones Significa ser capaz de uti lizar de manera flexible repre sentaciones (manipulativas, pictóricas o simbólicas) para r esolver probl emas numéricos. Por ejemplo, representar números en la recta numérica p ara comparar o para estimar el resultado de una o p e ración, expresar una multiplicación de dos números como el cálculo de un área para estimar el resultado, comparar dos fracciones con una representación par te todo, etc. SN11. Reconoce r c uándo el resultado obtenido es razonable Implica d e terminar si el resultado de una tarea numérica está en el ra ngo d e posibilidades esperable o si la respuesta tiene sentido en función del contexto y los números implicados. Por ejemplo, la operac ión 600 × 0. 245 es aprox imada mente 600 × 0. 25 = 600 × 1/4 , por lo que e l resultado final, no debe alejarse de 150. Un estudiante qu e evalúa si un resultado es razonable, no debe dar por válida una respuesta que sea mu y lejan a a este valor. Indica Mc Intosh et al. (1992) que la reacción de muchos estudiantes cuando se les pid e valorar si un r esultado es razonable es volver a calcular lo que se ha h e cho, antes que reflexionar sobre el resultado. Los investi g adores que han evaluado el sentido numérico de estudiantes de edu c ación primaria y secundaria han concluido que la ma y oría de lo s estudiant es tienen un apego a las re g las y los algor itmos, y estos últim os predominan sobre l a s estrategias propias del sentido numérico ( Sen g ul y Gulbagci, 2012; Y a n g , 2 005; Yang, Li, y L in, 2008; Veloo, 2010) . Hay estudiantes que tien e n altos niveles de competencia al realiz a r al g oritmos, pero muestran una pobre comprensión en l a s tareas de sentido numérico (Mohamed y J ohnny , 2010). Es decir, qu e las alta s habilidades en cálculo escrito, sin comprensión, son poco útiles en contex tos en los que se nec esita al g o más que los algor itmos. Diferentes t rabajos han comparado l a dificultad entre determinadas componentes del sentido numérico, concluyendo que entend e r el efecto relativo de las operaciones y reconocer si u n resultado es razonable son las componentes más compleja para los estudiantes entre las analizadas (Mohamed y Johnny, 2010; Yang , L i, y L in, 2008 ). En España se han realizado investigaciones que se sitúan en el sentido numér ico, las principales relacionadas con la estimación de cantidades, de medidas y de ope ra ciones , así como de cálcul o mental (Albarracín y Go rg o río, 2013; Castillo -Mate o, Segovia, Castro y Molina, 2012; De C a stro, Castro, y Seg ovia, 2004, Goméz, 1995). La adquisición del s entido numérico es gradual y empieza de sde los primeros años d e l a escolaridad. Indica McIntosh et al. (1992) que al comienzo del aprendizaje numérico ha y niños que demuestran estrategias creativas y eficientes p a ra operar con los núme ros, pero la atención que se Respuestas de est udiantes de secundaria a tareas de sentido numérico 129 pone en los algoritmos formales, muchas veces hace detener el uso de métodos informales. Los métodos numéricos tradicionales se convierten en estrate g ias más apreciadas a medida que lo s estudiantes avanzan en su apre ndizaje numérico. L os estudiantes van creando la idea de qu e estos métodos son los válidos para la resolución de problemas en un contexto académico. Por esa razón los investigadore s proponen cambios en la metodología de enseñanza de los números, ya que una instrucción adecuada que fome nte sentido numérico produce aprendizajes más significa tivos que las metodologías tra di cionale s (Veloo, 2010). El trabajo que present amos se sit úa en esta últi ma línea y forma parte de un estudio más amplio cuy o objetivo es analizar el sentido numérico d e estudiantes de secundaria en un contexto de aula, en España. En concreto se estudia la evolución del conocimiento numérico d e los estudiantes cuando se d esa rrollan t areas en el aula que fome ntan el sentido numérico. L o que presentamos en este trabajo corresponde a cuatro tareas de la prueba inici a l de dicho estudi o, en las que se pide a los estudiantes buscar métodos alterna tivos a los tradicionales en tareas numéricas. OBJETIVO Y METODOLOG ÍA El objetivo del trabajo que se presenta es el análisis de las estrateg ias que utiliz an estudiantes de 2 º de E.S.O en la resolución de tareas que admiten ser resueltas con componentes del sentido numérico. Dado que el s e ntido numérico es mu y amplio, focalizamos nuestro análisis en las t res componentes antes d esc ritas: SN3. Usar puntos de referencia; SN4. Usar representaciones d e los números y las op eraciones ; y SN11. Reconocer cuándo el resultado obtenido es razonable . Se realizó una prueba escrita en dos grupos de estudi a ntes de 2º de E.S.O. de un centro público de Tenerife (Esp aña ), con 22 y 25 estudiantes cad a uno. Dicha pru eba consta de 12 ítems o t areas, diseñados por las investi g adoras o modi fic adas d e Re y s (1991). Las ta re as abarcaron la estimación de magnitudes, orden de fracciones, representación gráfica estimada de la suma y producto de fracciones, estimación y representación gráfica de porcentajes, fracciones, decimales y n atura les, estimación de un produc to de decimales y la val ora ción de l a validez de una colección de d atos numéricos a situac iones c ontextualiz ada s. Cada tarea se presentó en hojas separadas; tuvi e ron 3 minutos para resolv er cada uno; se les indicó que no realizaran cálc ulos o algoritmos para llegar al resultado exacto, sino que utiliz a ran estimaciones o sus ideas sobre los núme ros o la s operaciones; se l e s pidi ó que escribiesen cómo habían ll eg ado al resultado o el razonamiento utiliz ado. Estas instrucciones estaban es critas en la primera pág in a de la prueba y el investigador las leyó en alto antes de que comenzaran a responder. Para la presentación d e este trabajo se han escogido 4 tareas d e la prueb a, para most ra r el análisis que hemos realizado. Se han sel ecc ionado ejemplos de las estrategias de los estudiantes para su resolución. L a el ec ción de las 4 tareas se h a hecho teniendo en cuenta que presentaran caracter ísticas diferentes en cuanto: a los tipos de números (n atura les, fracciones y decimales); al concepto matemático (ordenar, sumar fr a cciones, estimar magnitudes de cantidades y de medida); al tipo de enunciado (con gráfic o y sin gráfic o). En la corrección de la prue ba se tuvo e n cuenta si las re spuestas eran correctas y el tipo de razonamiento utiliz ado. Los razonamientos se clasificaron en las siguie ntes categorías: Sentido numérico, SN (distinguiendo las compon e ntes descritas en la introduc c ión de SN1 a SN11); Parcialmente s entido nu mérico, PSN, la justificación combina el uso de componentes del sentido numérico con el uso de reglas memorizadas y/o alg oritmo s (distinguiendo las componente s descritas en la introducción de SN1 a SN11) ; No sentido numérico (NSN ), utilizan estrategias que no incluyen el uso de componentes de sentido numérico como el uso ex c lusivo de reglas o algor itmos; Otros (Otros), no proporcionan sufi ciente s argumentos para identificar qué razones les llevan a su respuesta o no presentan justificación; Blanco (B), no r e sponden a la pregunta. Por otra Almeida, R., Br u no, A . 130 parte, las r e spuestas en las que se hiz o uso de Sentido Numérico, fu eron codificadas con l a componente a la que se estaba usan do. RESULTADOS A continuación, se mu estra el uso que hacen los est udiantes d e las componentes de s entido numérico, en las 4 tarea s se leccionadas, así como otros tipos de estrategias. Tarea 1 Ordenar los siguientes números de me nor a mayo r: 9 20 , 8 5 , 3 10 Explica tu respuesta. La tarea 1 se plante a c on el objetivo de o bservar si los estudiantes hacen uso del concepto de fracción, a trav é s de los puntos de refe rencia o representaciones gráfica s. Ambas estrateg ias de SN surgen en un 31,91%, au nque no son tan frecuentes como las pertenecientes a la categoría de N SN que fue de un 46,81% (ver Tabla 1) . Solo un 14,89% de los estudiantes siguen un SN correcto. Tabla 1. Resu ltados de la tarea 1 ( %) Correcto Incorrecto Total Tipo de razonamiento SN 14,89 17,02 31,91 NSN 31,92 14,89 46,81 Otros 2,13 19,15 21,28 Total 48,94 51,06 Tabla 2. Com ponent e s de s entido numérico u tilizadas en la tarea 1 ( %) Correcto Incorrecto SN2 4,25 12,76 SN3 4,25 - SN2 y SN3 - 2,13 SN 4 6,39 2,13 En la tabla 2 se mu estran las diferentes componentes de SN objeto de estudio y de las que se muestran ejemplos a c ont inuac ión. SN3. Usar puntos de referenc ia. Figura 1. Uso de componen te SN3 en la tarea 1 Respuestas de est udiantes de secundaria a tareas de sentido numérico 131 SN 4. Usar r epresentaciones gráficas de los números. Figura 2. Uso de componen te SN4 en la tarea 1 En la Figur a 1 aparece la estrategia para ordenar fracc ion e s haciendo uso de puntos de refere ncia, 1 y ½, sin realizar cálculos (SN3), mientras que en la Figura 2 se ejemplifica el uso de la repre s e ntación gráfica d e fracciones como part e todo (SN4). En ambos casos los estudiantes muestran un dominio del concepto de fracción q ue les lleva a no usar d e re g las memoriz ada s o algor itmos. También se encontraron estrategias en las qu e no hicieron uso del sentido numérico (NSN), por ejemplo, calcular el mí nimo común múltiplo para ex pr esar las fracciones con un denominador común, o expresar la fra cción en forma decimal, mediante el alg oritmo de la división. Este tipo de estrategias en las que s e aplica una regla o algoritmo, en muchas ocasiones, dio lugar a respuestas incorrectas debidas a error es de cálculo. En la explicación no se obse rva que evaluaran si el resultado obtenido era razonable, y normalme nte la aplicación de re g las no va acompañada justificaciones del proceso o de la compre nsión d el conce pto d e fracción. Tarea 2 Aproximadamente, ¿cuántos triángulos hay en la figura? a) 50 b) 100 c) 200 d) 300 e) 400 Explica tu respuesta. En la tarea 2 se les pres e ntó una situación gráfica en la que d e bían decid ir, aproximadamente, el número de triángulos contenidos en la im ag en. Para ello los estudiantes escog ían una de l a s opciones que se les facilitaba reconociendo qué resultado era más razonable (componente SN11). Encontramos en esta t area un alto porcentaje de estrategias de SN , aunq ue no siempre de forma correcta ( v e r Tabla 3 y 4 ). Más de la mitad de los estudiantes hicieron uso d e estrate g ias correctas de sentido numérico tanto de las componentes SN3 (ver Figura 3), como S N4. En la respuesta d e la Fig u ra 4 se r elac iona un a repre s e ntación gráfica con un área y con el producto de dos números (SN4). Almeida, R., Br u no, A . 132 Tabla 3. Resu ltados de la t area 2 Correcto Incorrecto Total Tipo de razonamiento SN 63,83 17,02 80,85 PSN 4,25 0 4,25 NSN 10,64 0 10,64 Otro 2,13 0 2,13 B 0 2,13 2,13 Total 80,85 19,15 Tabla 4. Com ponent e s de s entido numérico u tilizadas en la tarea 2 ( %) Correcto Incorrecto SN3 55,32 17,02 SN4 8,51 - PSN4 4,25 - La s respuestas incorrectas de SN ( 17,02%) se deben a que cometen algún error de estimación de cálculo o de elección del punto de referencia. Ad emás, encontramos estudiantes que hicieron uso de estrategias similares a SN2, pero que no estima ron el producto, sino que rea lizaron un cálculo exacto mediante el algoritmo de la multi plica ción. En estos casos se clasificó como parcialmente sentido numérico. SN 3. Usar pun tos de referencia. Figura 3. Uso de componen te SN3 en la tarea 2 SN 4. Usar r epresentaciones gráficas de las operaciones. Figura 4. Uso de componen te SN4 en la tarea 2 Respuestas de est udiantes de secundaria a tareas de sentido numérico 133 En esta tarea encontramos también estrategias en la categoría de NSN , a unque menos numerosas que en la tarea 1. En esta ocasión todas respondieron de la misma manera, lle g aron el númer o exacto de triángulos, contándolos todos. Tarea 3 Si hacemos una fila acostados en el suelo con todos los estudiantes de tu clase, ¿qué longitud conseguiríamos aproximadamente ? a) 500 cm b) 5.000 cm c) 50.000 cm d) 500.000c Expli c a tu respuesta En esta tarea los estudiantes debían estimar una mag nitud, en con cre to u na longitud, escogiendo entre una serie de opcio nes que se les proporcionaba. Si analizamos las opciones del enunciado observamos que dist a n entre sí lo suficiente como para decidir qué sólo 5000 cm es la respuesta razonable. En este caso entra e n juego el uso de la componente SN3, r e conocer cuándo el resultado obtenido es razonable . Dada la n atura leza d e la tarea, l a necesidad de realiz a r la estimación de u na ma g nitud lleva al uso del sentido numérico, al menos parcialmente, es decir, todas aquellas estrategias que surgieron se eng lob an en las categorías que hacen uso del m ismo ( sentido numérico o parcialmente sentido numérico ) (ver Tabla 5 y 6) . Tabla 5. Resu ltados de la tarea 3 ( %) Respuesta tarea 3 Correcto Incorrecto Total Tipo de razonamiento SN 27,66 6,38 34,04 PSN 21,28 8,51 29,79 Otro 21,28 12,76 34,04 B 0 2,13 2,13 Total 70,22 29,78 Tabla 6. Com ponent e s de s entido numérico u tilizadas en la tarea 3 ( %) Correcto Incorrecto SN3 25,53 6,38 SN11 2,13 - PSN3 21,28 8,51 La s estr a tegias que encontramos fueron análo g as a las de la Figura 5, en la que s e us an puntos d e referenc i a , SN3, aunque difieren en los puntos tomados. Aquellas que tomaron ma g nitudes razonables y realizaron una buena estimación escogieron una respuesta correcta . En cambio las respuestas incorrectas se de bieron a malas e stimaciones, por tomar puntos de r eferenc ia incorrectos, o bien a err ores en el cambio de unidad. Este tipo de dificultades se rec o g en extensamente en D e Castro, Castro y Segovia (2004). También se encontraron ejemplos de respuesta en las que se evalúa lo razonable de la e lección, SN11 (F igura 6). En los casos en los que los estudiantes utilizaron el alg oritmo de la multiplicación p ara calcular la lon g it u d e xacta a partir de los dos referentes tom a dos (estatura y número de estudiantes) se clasificó c om o parcialmente se ntido numérico (PSN3). SN 3. Usar pun tos de referencia. Almeida, R., Br u no, A . 134 Fi gura 5. Uso de la compon ente SN3 en la tarea 3 SN 11. Reconoc er cuándo el resultado obtenido es razonable. Fi gura 6. Uso de la compon ente SN11 en la tarea 3 Tarea 4 Carlos tiene dos pizzas. Su padre se come un tercio de una pizza, su hermana se come m edia pizza y su madre un cuarto de una pizza. ¿C uán ta pizza le queda a Carlos? A. Más de una pizza. B. Menos de una pizza. C. Exactame nte una pizza. D. No le queda pizza. E. No sé decidir sin realizar el cálculo ex a c to. En la tarea 4 se present ó una situación contextualizada en la que el estudiante debía utiliz ar una estrategia apropiada pa ra aproximar la suma de fracciones, para ello se le proporciona la repre s e ntación gráfica de las pizz as, con el objetivo de promove r repuestas basadas en SN2. En la Tabla 7 se observ a que e l ma y or porcentaje de respuestas d e esta tarea se encuentra en la categoría de sentido numérico, aunque en su mayoría incor recta. Tabla 7. Resu ltados de la tarea 4 ( %) Correcto Incorrecto Total Tipo de razonamiento SN 27,67 53,19 80,86 NSN 2,13 2,13 4,26 Otro 4,25 6,38 10,63 B 0 4,25 4,25 Total 34,05 65,95 Tabla 8. Com ponent e s de s entido numérico u tilizadas en la tarea 4 ( %) Correcto Incorrecto SN4 27,67 53,19 Como se muestra en la tabla 8, la única estrategia de sentido numérico que sur g ió fue estimar el resultado usando la representación gráfica del enu nciado (SN4), como se e j e mplifica en la Fi g ura 7, aunque no siempre fu e correcta. Entre los errores (53,19%) encontramos dos tipos: los estud iantes Respuestas de est udiantes de secundaria a tareas de sentido numérico 135 que no representaron correctame nt e las fracciones (en su mayoría por di ficultades para representa r 1/3) y los que, a pesar de rea lizar una representación correcta de l a situación, no fue ron capaces d e interpretar el resultado obtenido. Las r espuesta s en la categoría no sentido numérico , aunque poco frec u e ntes (4,26%) p re sentaba el algoritmo de la suma de fracciones , calculando el mínimo común múltiplo para expresarlas con denominador c omún. SN4. Usar represe nt a ciones gr áficas de las operaciones. Fi gura 7. Uso de la com p on ente SN4 en la tarea 4 DISCUSIÓN FINAL En las re spuestas de los estudiantes a las 4 tareas ex puestas encontra mos diferenc i a s en el éxito y en las estrategias utilizadas para respond e r cada una de ellas. S e observa qu e surgen las componentes de sentido numérico esperadas a priori , SN3 y SN 4, sin embarg o, e n algunas las tareas encontramos baja frecuencia en el uso de las mi smas, estando el rango del S N entre un 31,91% - 80,85%. También observamos un escaso uso de la componente SN11, y a que en l a s justificaciones de los estudiantes hay e scasas alusi one s a si es un resultado razonable o no. En el caso de la tarea 1 se da un alto uso de estrategias clasificadas como de no sentido numérico, con un 46,81%, en oposic ión a los otros tareas en los que sí pre domina el uso del sentido numér ico . Aunque esto se muestra en las 4 tareas sele c cionadas, ocurre lo mismo con el resto de las tareas de la prueba. Es d ec ir, existe una influencia d e l tipo de concepto matemático y de enun ciado para elegir la estrategia correcta de s e ntido numérico. P or ejemplo, la tarea 1 pide ordenar fracciones, pero utilizando estrateg ias que no implique hacer cálculos escritos o algoritmos de la división. E l bajo sentido numérico observado puede deberse a que es un enunciado estándar que los alumnos asocian con seguir un procedimiento mec anizado, que les da se g uridad, o bien, que la enseñanza n o les ha llevado a us a r métodos alternativos par a ordenar fracciones. Destaca n los estudiantes que escogen un procedimi ento propio del sentido numérico, pero la falta de dominio de conc e ptos les lleva a una respuesta incorrecta. Esta situación es predominante en la tarea 4, en el que un 53,1 9% de los es tudiantes reali zaron una representación gráfica d e la sit uación para estimar un a suma de fracciones, pero cometen errores en la propia r epr esentación o interpretación de la misma ; o en la tarea 3, en la que muchos estudiantes tienen dificultades con las unidades de medida. En conclusión, aunque encontramos que un po rc entaje de estudiantes de este estudio hiz o uso correcto de las compon e ntes del sentido numérico analizadas, es en la may oría de l as tareas insuficiente para el nivel académico que c u rsa ban . Esto refleja la necesidad de trabajar en el a ula de manera explí c ita este tipo de estrategias. Por otr a parte, sería d e interés analizar si el d esa rrollo de estrategias de sentido numérico en secundaria ll e varía a r e tomar y mejor ar aspectos conceptuales n o superados de la educación primaria. Agradecimientos Este trabajo forma parte del pro y ecto EDU2 011-29324: Modelos de competencia formal y cog nitiva en pensamiento numérico y al ge braico de estudiantes de primaria, de s ec undaria y d e profesorado de primaria en formación. Ministerio de Ciencias e Innovación, Madrid. Almeida, R., Br u no, A . 136 Referencias Albarracín, LL & Gorg orió, N. (2013). Problem as de estimació n de grandes cantidades: Modelizaci ón e influencia de l contexto. Rel ime, 16(3), 289- 315. Castillo- Mateo, J . J., S egovia, I ., Castr o, E. & Molina, M. (2012). Categorización de errores en la estimación de can tidades de l ong itud y superficie. En D. Arnau, J. L. Lupiáñez , y A. Maz (Eds.), I nvestigacion es en Pensamiento Num ér ico y Alg ebraico e Historia de la Matemática y Educació n Matemática (pp. 63-74). Valencia: Depa rtam ento de Didáctica de l a Matem ática de la Universi tat de València y SE IEM. De Castro, C., Castro, E. & Seg ovia, I . (2004). E rrores en el ajuste del valor posicional en t a reas de estim ación: Estudio con maestros en form ación. En E. Castro y E. de la T or re (eds.) Actas del VIII Simposio de la SEIEM, pp. 183-194. A Coruña: Univ ersidad da Co ruña. Góm ez, B. (1995). Tipología de erro res en el cálcul o mental. Un estudio en el contexto edu cativo. Enseña nza de las Cienc ias, 13(3), 313- 325. McIntosh, A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1992). A proposed framework for examining basi c number sense. For the learning of mathem at i cs, 12 (3), 2- 8. Mohamed, M. & Johnny, J . (2010). I nvestigating Num ber Sense Among Stude nts. P rocedia Social and Behavioral Sc iences , 8 , 317 -324. Reys, B. J. (1991). Develo ping number sense: Adde nda series, grades 5 -8 . Rest on, VA: National Counc il of Teachers of M athem atics. Reys, B.J. & Y ang, D.C. (1998). Re lationship between computational performanc e and num ber se ns e among sixth and eighth grad e students i n Taiwan. Journal for Research in Mathematics Education , 29 (2), 225- 237. Sengul, S. & Gulbag ci, H. (2012). An i nv estigation of 5th grade Turkish studen ts’ perfo rmance in number sense on the topic of decim al num bers. Procedia Social and Be havioral Sc iences , 46 , 2289-2293. Sowder, J. ( 1992 ) . Estimation and number sense. En Grouw s, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning , pp. 245- 275. MacMillan Publishi ng Com pany. New Y ork. Veloo, P.K. (2 0 10). The development of number sense and mental computation prof iciencies: A n intervention study with secondary one students in Brunei Daruss alam . Doc tor Ph. University of Otago, Dunedin. New Z ealand. Yang, D .C., Li, M.N. & Lin, C.I . (2008). A study of the performance of 5th graders in num ber sense and its relationship t o achiev ement in m athematics. Internat ional Jou rnal of Science and Mathemat ics Education , 6 , 789- 807. Yang, D. C. ( 2005 ). Number sense strategies used by 6th grade st u dents in Taiwan. Educa tional Studies , 31 (3), 317- 333. Arce, M., Conejo, L., Ortega, T. (2014) . ¿Cómo tran scriben los alu m nos en sus cuade rnos las reglas y técnica s d e derivación? Un estudio en tres aulas d e bachillerato . En M. T. González, M. Codes, D. Ar n au y T . Ortega (E ds.), Investigació n en Educación Matemática XVII I (pp. 137- 146 ). Salamanca: SEIEM. ¿CÓMO TRANS CRIBEN LOS ALUM NOS EN SUS CUADERN OS LAS REGLAS Y TÉCNICAS DE DERIVACIÓN? UN ESTU DIO EN TRES AULAS D E BACHILLERA TO How do the stud ents write out deri vative rule s and technique s in your student notebook s? A study in three classr ooms of high sch ool students Matías Arce , La ura Conejo , Tomás Or tega Universidad de Valladolid Resumen En este trabajo presentamos un estudio exploratorio de tipo descriptivo -interpretativo, llevado a cabo en tres aulas de 1º de Bachillerato. En él se hace un análisis de las transcripciones realizadas por los alumnos en sus cuadernos en la presentación del tópico de reglas y técnicas d e derivación por parte de los docent e s. El marco uti lizado es el análisis de cont enido (Bardin, 1996; Rico, Marín, Lupiáñez y Góm ez, 2008 ) . Hemos dete c t ado diferentes comporta mie ntos en el alumnado, destacando varios perfiles de alumnos selectivos al tomar las reglas de derivación y sus ejemplos ilustrativos. Además, los porcentajes de transcrip ción de estos elem entos han sido mucho mayores cuando el enfoque del profesor se ha centrado, ex c lusivamente, en la aplicación práctica de re glas; siendo más variables cuando este enfoque se c omparte con la fundamentación de las mismas. Palabras clave : Reglas de derivación, cuadernos de los alumnos, análisis de contenido, Bachillerato. Abstract In this paper we present an exploratory and int e rpretati v e descriptive stud y that was carried out in three classrooms of high school students (16-17 years). We analyzed the transcrip tions that the students have registere d in t heir student notebooks from the theoretical content presented by teachers in the topic of derivative rules and techniques. The framework was the content analysis (Bardin, 1996; Rico, Marín, Lupiáñez y Gómez, 2008 ) . W e detected diff e rent behaviors in the students: there were some profiles of selective students in the transcription of derivative rules and their illust ra tive examples. Besides, the percentage of transcription of these elements has been much greater when the focus of the teac her was, exclusively, the pra ctical application of rules. This percentage has been more variable when this focus is shared with the proof of the rules. Keywords : Derivative rules, student notebooks, content analysis, hi gh sc hool students. INTRODUCCIÓN. ANTECEDENTE S Este estudio se enmarca en un proyecto de inve sti g ación que se está desarrollando en la Universidad de Valladolid sobre los cuadernos de matemáticas (de ahora en adelante, CM) de los alumnos en 1º de Bachillerato, entendidos como el medio en el cual el alumno toma notas o apuntes durante el desarrollo d e las c lases, recopila material y recoge actividades, bien sean intentadas por él o transcritas de su corrección en el aula. P a rtiendo de un trabajo ini c ial, que puede lee rse en Ar c e (2013, 2014), la investi g ación está centrada en varios de los tópicos de Análisis Matemático d e Bac hille ra to (funciones, l ímites y derivadas) y sus objetivos principales so n la detección de perfiles de elaboración y uti lización del CM en el alu mnado participante y sus p osibles relaciones con el rendimiento académico en la asignatura. En el trabajo que aquí pres e ntamos nos centramos específicamente en la detección de perfiles de elaboración del CM e n uno de los tópicos en concre to, la derivada, y , e n particular, en las reglas y técnicas de derivación. Arce, M., Conej o, L., Ortega, T. 144  Alumnos selectivos al ejemplificar , que toman uno o alg unos de los ejemplos asociados a las reglas, pero no todos: A10, A11, A14, A23 y A26 (5 alumnos).  Alumnos que transcriben la regla sin ejemplos , que de forma ma y oritaria no toman ninguno de los ejemplos asociados a las reg las que se han ilust ra do: A8, A9 y A21 (3 alumnos).  Alumnos que transcriben los ejemplos sin la regla , que en varios casos tra nscr iben al menos uno de los ejemplos ilustra tivos de una regla sin tomar ésta: A1, A2 y A4 (3 alumnos).  Alumnos que no transcriben ni reglas ni ejemplos ilustrativos : A6 y A7 (2 alumnos). Como vemos en la tabla 2, en las dos aulas (P rofesores 2 y 3) en las que e l desarrollo de los profesores se centró más en la a plicación práctica de reglas ( y no e n su funda mentación) los porcentaje s de transcripción de enunciados y ej e mplos son mucho más a lto s y homogéneos, f re nte a una transcr ipción más variable en los alumnos del Profesor 1. La ma y o ría de alumnos que hemos considerado como exha ustivos (total o ma y orit aria mente) pertenecen a las dos últimas aulas, encontrando tan sólo u n alumno de este tipo en el aula del Profesor 1 (A5), aula en que se concentran los tres últimos perfiles que hemos reseñado, asociados a mayor incompletitud. El porce ntaje más alto se da e n los alumnos del Profesor 3, el que más claramente había ce ntrado el desarrollo de este foco conceptual en la aplicació n práctica de las re g las. Este hecho, ju nto con la realización mayoritaria de tan sólo un ejemplo ilustrativo por regla, pueden haber provocado la transcripción casi total de estos elementos, existiendo además en varios alumnos algunas aclaraciones o a y udas qu e indican explí c itamente la regla ap licada en el ejemplo o las derivadas de las funciones por separado al ejemplificar las reglas para derivar operaciones con funciones. El mayor núme ro de ejemplos por re gla desarrollados por el Profesor 2 y la presenc ia detectada en este aula de varios alumnos selectivos al ejemplificar (A10, A11 y A14) hace que el porcentaje aquí se a algo meno r (aunque todos estos alumnos toman siempre, al menos, un ejemplo por regla). Las reglas dictadas por el Profesor 2 son transcritas en su totalidad por los alumnos. De he c ho, lo s alumnos transcriben toda s las reg las, salvo, quiz á, los “casos particulares” de la composición, cu y a transcripción e s v a riable en el alumnado (A11 y A14 no los transcriben, A16 las transcribe todas). Ante las justificaciones, los alumnos del Profesor 2 han tenido un comportamiento más o menos homogéneo, frente a la ma y o r variabilidad de los alumnos del Profesor 1 (A5 y A9 toman casi todas las justificac iones, total o parc ialmente; otros tienen un porcentaje mu y bajo de trans c ripción, como A8, que parece considerar su CM como un repositorio de reglas, casi sin ejemplos ilustrativos ni justificaciones). Las justificaciones han tenido, en esas dos aulas, un porcentaje bajo de transcripción (alrededor del 30% de TC), con bastantes transcripciones par ciales (demostraciones incompletas: sólo toman algunos pasos). Establecemos tres ca usas posibles para estos hechos:  La s justificaciones están fuera de las e x pectativas de aprendizaje (Rico, Marín, Lupiáñez y Gómez, 2008) que fijar on los docentes para sus alumnos en e ste fo co conceptual (indicación explícita del Profesor 1: “no e s necesario que las aprendáis, si acaso, entenderlas”).  La s justificaciones precisan may o r aten c ión del a l umnado, por los proc esos y rel a ciones que involucran, para su com pre nsión y seguimiento, lo que dificulta combinar el seguimiento con su transcr ip c ión, dando lugar a transcripciones parciales, o a no transcripciones.  Ibañes y Ortega (2003) ya detectaron las difi c ultades, en e ste nivel educa ti vo, pa ra distinguir los procesos asociados a la justificación: si no las identifiquen como tales, ni su propósito, pueden optar por no tomarlas, frente a elementos más fácilmente identi fic ables, como los enunciados y los ejemplos. El dictado verbal de los elementos que hemos c onsiderado como c omentarios por parte del Profesor 2 provoca una transcripc ión total de éstos, fre nte a su transcripción ca si nula en las otras dos aulas. ¿Cómo transcrib en los al umn o s en sus cuadernos las re glas y técnicas de der iv ación? Un es tu dio en tres au las de bac h illerato 145 De todos los comentarios, únicamente al g uno de los hechos por los Profesores 1 y 3 han he c ho explícitas relaciones ent re reglas o la posibilidad de aplicar vari as reglas distint a s para derivar una función. Estos comentarios apenas han sido recogidos por los alumn os, que no parecen dar importancia a la transcr ip c ión de estas relaciones. Si nos fijamos en los sistemas de representación, el sistema de representación simbólico es predominante en los CM de los alumnos, transcr ibiendo, no siempre correctame nte, el simbolismo utilizado en la pizarra. Tan sólo dos alumno s (A5 y A9 ) tienen algún tipo de representación gráfi c a en sus cuadernos (algunas de las desarrolladas por el Profesor 1). En relación al sistema de repre s e ntación verbal, los siete alumnos A10 a A16 toman las tres reglas que e l profesor dictó en el aula, no apreciándose n ing ún otro caso (salvo parc ialmente en una regla en el alumno A21 ). Además de los alumnos del Profesor 2 (debido al dictado en al g unas partes), tan solo tres alumnos (A8, A19 y A21) indican verbalmente en varios casos los tipos de funciones u operaciones cuya derivada prese ntan, si e nd o e sporádico o nulo este comportamiento en el resto de alumnos. CONCLUSIONES Este estudio en tres aulas con profesores de metodología relativamente similar, ha puesto de manifiesto la existencia de diferentes en foque s en el profesorado al planificar y desarrollar en el aula las reglas y técnicas de derivación, así como diferentes comportamientos en el alumnado al transcribir estos contenidos en sus CM. Hemos detectado cómo la transcripción de enunciados d e las reglas y ejemplos ha sido mucho may or en l as aulas cu y os pro fesores han tenido un enfoque centrado en la aplicación práctica de l as reglas, frente a un enfoque compartido entre la aplicación práctica y la fundamentación de las reglas, donde la transcripción ha sido mucho más varia bl e entre diferentes alumnos. La s justificaciones han tenido un porc entaje relativamente bajo de transcripción en las dos aulas donde ha habido, estableciendo varias causas par a ello en el punto anterior. Este hecho, unido al uso de la justificación como descubrimiento de la regla por parte del Profesor 1, puede ser otr a explicación posible para la mayor variabilidad en la trans cripc ión de las reglas por parte de sus alumnos. Un estudio detallado de la transcripción que realizan los alumnos de las reglas enunciadas y sus ejemplos ilustrativos nos ha permitido detectar siete perfiles en el alumnado en este sentido . Destaca mos l a presencia de varios tipos de alum nos selectivos al transcribir estos contenidos, de diferente naturaleza: he m os encontrado alumnos selectivos al ejemplificar , que optan po r tomar uno o algunos (pero no todos) los ejemplos que ilustran una regla, alumnos que transcriben la regla sin ejemplos , obviando la componente fenomenológica y de aplicac ión de dichas reg las y alumnos que, sorprendentemente y en va rias oc asiones, tr anscriben los ejemplos sin la regla , lo que puede dificultar su asimilación de la misma, o la necesidad de recurrir a otros medios para encontrarla. En la trans cripc ión d e los alumnos predo mina el sistema de representación sim bólico, transcribiendo los elementos de la pizarra fre nt e al discurso oral d e la explicación (salvo cuando es dictada). Aparición escasa del sistema gráfic o y el verbal, sólo en un grupo reducido de alumnos. La diversidad de comportamientos detectada en e l alumnado en este estudio pone de manifiesto la necesidad d e seguir prof undizando en las diferentes formas que tienen los alumnos de elaborar y utilizar el CM para su estudio y aprendizaje de la materia, así como el papel y la influencia que puede ejercer e l pro fe sor en ellas. El trabajo global de investigación del que forma parte este estudio exploratorio busca aumentar nuestro conocimiento en estas líneas de investi ga ción, insuficientemente tra t a das en didáctica de la matemática. Agradecimientos El primer autor de este trabajo cuent a con la a y uda y financiación de u na beca FPU (R eferenc i a AP2012-2241) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Arce, M., Conej o, L., Ortega, T. 146 Referencias Arce, M. (2 013). Análisis d e los cuadernos de un g r up o de alum nos (1). SUMA, 74 , 45-53. Arce, M. (2 014). Anális is de los cuadern os de un g rupo de alum nos ( y 2). SUMA, 75, 51- 59. Badillo, E., Az cárate, C. y Font, V. (2011). Anál isis de los niveles de com prensión de los ob jet o s f’(a) y f’(x ) en profesore s de matem áticas. Enseñanza de las Cienci as, 29(2), 191- 206. Bardin, L. (1996). Análisis de contenido . Mad rid: Editorial Ak al ( 2ª ed.). Colera, J. y G arcía, R. (200 8a). Matemáticas I. 1 º de B achillerato. Madrid : Editorial Anay a. Colera, J. y García, R. (2008b). Matemáticas apl icadas a las C i en cias Sociales I. 1º de Bach ill e rato. Madrid: Editorial An aya. Clark, J . M., Corde ro, F., C ot t rill, J., Czarnocha, B ., DeVries, D. J., St . John, D., Tolias, G. & V idakovic, D. (1997). Constructing a Sche m a: The Case of the Chain Rule? Journal of Mathe matical Behavior, 16(4), 345- 364. Cohen, L., Manion, L. & M orrison, K. (201 1). Re searc h methods in educ ation . Londres: Rou tledge. Courant, R. y Robbins, H. ( 1964). ¿Qué es la Matemática? Mad rid: Ed. Aguil ar (4ª edición). de Vi lliers, M . (1993). El pape l y la función de la dem ost rac ión en m atemáticas. Épsilon , 26, 15-30. Traducción, doc um ento original de 1990. Fonseca, C. y Gascón, J . ( 2002 ). Organiz ación m atemática en torno a las técnic as de derivac ión en la Enseñanza Se cundaria. En J . Mu ri llo, P. M. Arnal, R. Escolano, J. M. Gai rín y L. B lanco (Eds.), Actas del VI Simposio de la SEIEM ( pp. 205- 223). Logroño, La R ioja: SEIEM. Fon t, V . ( 2 000). Repre sentaciones ostensivas que pueden ser activada s en el cálculo d e f’(x). El caso d e la función seno. UN O, 25 , 21 -40. Font, V. (2005). Una aprox imación ontosemiót ica a la di dác tica de la deriv ada. En A. Maz, B. Gó m e z y M. Torralbo (Eds.) , Investigación en Educación Matemática. Noveno si mpo si o de la SEIEM (pp. 111- 128). Córdoba: SEI EM. Godino, J . D., Contreras, A. y Font, V. (2006). Análisis de procesos de instrucción basado en el enfoq ue ontológico- se m iót ico de la cognición matem ática. Recherches en Didactiqu e des Mathéma tiques , 26(1), 39- 88. I bañes, M. y Ortega, T. (2003). Reconoc imiento de procesos m atemáticos en alum nos de primer curso de bachillerato. E nseñanza de las ciencias, 21 (1), 49-64. Picado, M. y R ico, L. (201 1). Análisis de contenido e n textos histó ricos de mate máticas. PN A, 6(1), 11- 27. Rico, L. (2012 ). Aproxim ación a la investigación en Didáctica de la Matem ática. A IEM , 1, 39- 63. Rico, L., Lupiáñez, J. L. y Mol in a, M. (2013). Análisis didác tico en Educa ción Matemática . Granada : Com ares. Rico, L., Marín, A., Lupiáñez, J. L. y Gómez, P. ( 2008). Plan ificación de las m atemáticas escolares en secundaria. E l caso de lo s núm eros naturales. SUMA , 58, 7- 23. Sánchez- Ma tam oros, G., García, M. y Llinares, S. (2008). La comprensión d e la derivada como obj e to de investig ación en Didáctic a de la Ma temática. RELIME , 11 (2 ), 267-296. 1 Entendemos por función recíp roca la función simé trica para la composición de funcione s (función tal que su composición con la función in icial es el elemento ne utro para la co m p osición); en contrapo sición con la función i nversa (simétrica para el producto). No ob s tante, es usual n o m b rar la primera como l a se gunda, lo cual es m otivo d e confusión. 2 En toda la co m unicación util izaremos el genérico m a sculino para profesores y al umnos, sin hacer referencia al sexo concreto d e los participantes. Arnal-Bailera , A., Planas, N. (2 014). La actividad docente de un p rofesor: geometría, tecno logía y gr u pos de riesgo . En M. T . González, M. Codes, D. A r n au y T. Ortega (Eds.), Investiga ción en E ducación Matemática XVI II (pp. 147- 155 ). Salamanca: SEIEM. LA ACTIVIDAD DOCENTE DE UN PROFESO R: GEOMETRÍA, TECNOLO G ÍA Y GRUPOS DE RIESGO The teachin g activit y of a teacher: Geom etry , techno logy and groups at risk Alberto Arna l -Baile ra a , Núria Planas b a Universidad de Z aragoza, b Universidad Autónoma de Barcelona Resumen En este informe se presentan algunos de los resultados de una investigación de tesis doctoral (Arnal, 2013) sobr e el diseño, la implementación y la evaluación de una situación escolar de enseñanza y aprendizaje de la Geometría en un entorno tecnológico con alumnado de secundaria. En un informe anterior (Arnal y Planas, 2013) se docume ntaron dos resultados sobre aprendizaje derivados de la construcción del caso de un alum no. Ahora documentamos dos resultados sobre la actividad docente de un profesor. Por un lado, indicamos el efecto del uso de un programa de geometría dinámica en la superación parcial d e perc e pciones limitado ras sobre la capacidad matemática de una alumna. Por otro, señalamos la s reticenc ias ante el aprovechamiento del entorno tecnológico en e l apoyo de la participación matemática de los alumnos. Palabras clave : actividad docente, Geometría, u so de tecnología, alumnado en riesgo, estudio de caso. Abstract In this report we pres ent results from a doctoral diss e rtation ( Arnal, 2013) on the design, implementation and evaluation of a school situ ation of teaching and learning Ge ometry in a technological environment with secondary students. In a previous report (Arnal & Planas, 2013 ), two results about learning coming from the construction of the case of a student were documented. Now we doc ument two results about the teaching activity of a teacher. On the one hand, we point to the effect of the use of dynamic geo me try soft ware on the partial overcoming of limiting perception s of a student’s mathematical ability. On the othe r, we indicate the reservation conce rning the exploitation of the technological env ironment in the support of the students’ participation. Keywords : teaching activ ity, Geometry, use of technology, at-risk students, case study. INTRODUCCIÓN En el trabajo de tesis doctoral Arnal (2013) se constru y eron casos de alumno y d e profesor a fin de examinar relaciones entre enseñanza y aprendiz a je de la Geo metría en aulas de secundaria con alumnado en sit ua ción de riesg o social. En Arnal y Planas (2013 ) se expuso parte del caso de un alumno para ilustra r r esultados sobre su p articipación matemática en un entorno d e clase caracter izado por el uso de artefacto s tecnológicos y discusiones en gran grupo. Se probó que la tecnolog í a había influido notablemente en la generación d e oportunidades de aprendizaje matemático en el aula y, en particular, en las formas de hacer matemáticas del alumno en interacc ión con sus compañeros y con el profesor. En este informe, d e modo complementario, presentamos resultados derivados de la elaboración del caso de un pro fesor sobre la actividad de enseñanza e n un mismo tipo de entorno didáctico -pedagógico pero en otra aula del centro escolar. Para la construcción d e casos de profesor y d e modo similar a lo que se re a lizó con los casos de alumno, se recurrió a dos dim e nsiones cu y o análisis se corresponde respec tivamente con l a consecuc ión d e los siguientes objetivos científicos: Arnal-Bailera, A., Planas, N. 148  Objetivo 1 (dimensión instrumental). Ide ntificar progresos y dificultades relativos al uso directo o indirec to de tecnología en la enseñanz a de la Geometría.  Objetivo 2 (dimensión afectiva). Identificar actitudes y emociones relativas a la introducción de un entorno tecnológ i c o en dicha enseñanza. Hay una dimensión, la discursiva, que está pr esente a lo largo de nuestra investigación y se cruza con la instrumental y la afectiva. Tomamos co mo supuesto que cada i nterve nción d e alumno o profesor influ y e en la producción de los significados que acaban siendo realizables (en el se ntido de discutidos) mediante acciones concretas de habla en el aula. En la articulación conjunta de actividades de enseñanza y aprendizaje, asumimos que las intervenciones locales del a lumno tienen un impacto observable en las intervenciones locales del prof e sor, y viceversa. No h ay, por otra parte, discursos o int e rvenciones “individuales” que sean explicables según características d e una única persona. Cualquier apreciación de un profe sor sobre, po r ejemplo, las posi bilidade s de rendimiento matemático en una clase con alumnado en riesgo social, es el resultado de l a integración de varios y distint os discursos con impacto en el cont exto escolar. Esto implica que los contenidos de cualquiera de los estudios de c a so in for man sobre el caso esp ec ífico y , a su vez, sobre el resto de casos potenc ialm e nte configurables en torno a otros participantes del aula. En lo que sigue, resumi mos el enfoque teórico aplicado al an álisis de las dimensiones i nstrumenta l y afectiva. Luego relatamos el experimento didáctico para la toma de datos y el p roc edimiento de análisis aplicado al desarrollo de casos de profesor. Continuamos con la eje mplificación parcial del caso de Josean y la síntesis de dos r e sultados obtenidos durante su construcción. Acabamos con una breve discusión que apunta a acciones futuras de investigación. RELEVANCIA DE LA DIMENSIÓN INSTRUMENTAL En las aulas del ce ntro escolar d e nuestr a investi g ación, la ma y oría del alumnado vive p roce sos d e exclusión social de dist inta índole, mientras que una parte importante del profesorado men c iona la necesidad de diseñar dinámicas d e clase que lo g ren más motivación e implicac ión en el aprendizaje. En este escenario surge el proy ecto de innovación, ba sado en la utilización de ordenadores, pizarras digitales y un programa de geometría dinámica, cu y a implementación es el punto de partida de l estudio. No hay , pues, un interés intrínseco e inici al por la dimensión instrumenta l, sino que se llega a ella desde el interés por identificar r e cursos ped a gógicos y didácticos qu e contribuya n al logro de cambios positivos en las tray ectorias de participación matemática del alumnado. Siguiendo a Morera (201 3) , por dimensión instru menta l nos referimos al conjunto de procesos qu e intervienen en la gestión de situaciones de en seña nza y aprendizaje de las matemáticas con presenc i a y uso significati vo de herramientas tec nológ icas. Dispon e mo s de trabajos c erca nos que adaptan el análisis de esta dimensión a la caracterización de entornos de enseñanza de Geometrí a , entre los que destaca el de Ferrer, Mor era y Fortun y (2014). En el ámbito int e rnacional M a riotti (2000) explora la actividad docent e del profesor en el desarrollo de procesos de géne si s instrumental en clase, co n énfasis en la gestión d el grupo y del pro gr ama de geometría dinámic a durante la r e solución de problemas. Esta autora señala que d ebe ser ex plora do hasta qué punto y cómo la p re sencia de ordenadores y programas específicos “perturba” , en el sentido de cuestionar y modificar, el contexto pedagógico y didáctico del profesor. Hohenwarter, Hohenwart e r y Lavizca (2010) en s u trabajo con profesores de secundaria usando el programa GeoGebra, relatan dificultades de domi nio e int e gración de la tecnolo g ía en cl a se de matemáticas. Respe c to a estas dificultades Laborde, Kynigos, Holleb ra nds y Strässer (2006) destacan los r e tos de manejar distinta s dinámicas en clase, combinar nu evas tecnol ogías con lápiz y papel, y adecuar convenientemente los objetivos de la enseñanza. En un esfue rzo por im ag inar práctica s de aula que faciliten la actividad matemá tica con tecnología, Drijvers y sus colega s (2010) formulan seis tipos de orquestación instrumental. De estos tipos, dada la importancia que damos a la La actividad docente de un pr of esor: geo m etría, tecnología y grupos de riesg o 149 dimensión discursiva, tomamos los de ‘demostración técnica’ y ‘ex plica ción de pantalla’ para el trabajo indi vidual y en parejas con el programa de geometría dinámica en los portátiles , y los de ‘discusión de pa ntalla ’ y ‘trabajo del sherpa’ p ara la discusión en g ran g rupo con la visualización e n la pantalla dig ital interactiva de produc c iones de alumnos. La ‘demostración técnica’ es un tipo de orquest a ción consistente en el uso y ejemplific a ción d e instrumentos técnicos a cargo del p rofe sor. Cuando el profesor prioriza el contenido matemático ante el grupo clase guiado por lo que ocurre en la pantalla del ordenador, el tipo es ‘expli c ación de la pantalla’. Por otro lado, el tipo ‘disc usión de pant alla’ consiste en la par ticipac ión del grupo clase en una discusión sobre lo que el profe sor muestra en la pantalla mediante video -proy ección, con el objetivo de impulsar la gé nesis instrumental colectiva. El cuarto ti po en nuestro estudio es el de ‘trabajo del sherpa’, don de un estudiante denomi nado sherpa us a la tecnología para presentar su trabajo y realizar las acciones que el profesor le solicite. RELEVANCIA DE LA DIMENSIÓN AFECTIVA Así como el inte ré s po r la dimensión instrumental se o rig ina al p e ns a r en recursos d e cl ase motivadores para grupos en situación de ries go, el interé s por la dimensión afectiva sur ge al identificar obstác ulos al logro de cambios en las tray ectorias de participación matemática del alumnado. Nos re ferimos a la identificación de una percepción ge n e ralizada entre el profesora do de matemáticas del centro del estudio acerca de la di fic ultad de mejorar el ren dimiento en clase de sus alumnos. De a hí asumimos que en el análisis de l a implementación de l a p ropue sta didáctica que se elabora como parte del p roy ecto de innovación, se deberán tener en cuenta aspectos afectivos que puedan estar influ y endo en la tom a de de c isiones y en el desarrollo u omisión de a cc iones concretas en la gestión de l a actividad docente. Dentro d e los aspectos a fe ctivos, por tanto, sit uamos l as perce p c iones como fundamentales en la generación e interpretación de prácticas (Arnal, 2010). Siguiendo a Bl a nco (2012), por dimensión afecti va entendemos el conj unto de experiencias qu e provocan dist intas re a cciones emoc ionales que influy en en la formación de creencias, en el comportamiento y en el rendimiento en las situaciones de enseñanz a y aprendizaje de las matemáticas. El trabajo de Casas, L uengo y M aldonado (2012), junt o con el de Hidalg o, Maroto, Ortega y Palacios (2012), son ejemplos de la atención prestada al estudio de este ti po de experiencias por equipos de investi g ación del país . L os primeros se c entran en las emo ciones de l profesorado respecto al trabajo con ordenadores y los segundos en la c arac terización d el dominio afec tivo. Unos y otros apuntan a la im porta ncia de ex amina r cómo las ex pe riencias interiorizadas por el profesorado se expresan mediante actitudes y emociones que condicionan las acciones orientadas al desarr ollo d e estrategias y dinámicas de clase. En nuestra investig ación, profesores y alumnos tienen que regular sus experie ncias emocionales en un entorno de trabajo tecnológico y colaborativo de reciente introducción y, por tanto, sometido a un sistema de normas p oco desarrollado. Al respecto y a pesar de que uno de los objetivos es identificar cambios en la dimensión afectiva asociados a l uso de tecnología en clase de matemáticas, no debe obviarse que también se está ex pe rimentando una situación d e establecimiento y ajuste a normas sobre cómo ge stionar y p articipar en las discusiones en grupo acerca de l a resolución d e las tareas. Estas consideraciones sobr e las no rma s contribu y en a poner d e relieve el carácter social de los procesos de construcción de la dim e nsión afe ctiva; y en particula r, señalan la especial complejidad de las ex perie ncias emocionales por hallarse profe so re s y alumnos en un esce n a rio didáctico -pe dagógico distinto al habitual. DISEÑO EXPERIMENTAL Y MÉTODOS En primavera de 2010 se empezó a trabajar con tres profesores de matemáticas que impartían clase en aulas d e un centro d e secund a ria en Huesca, ubicadas dentro de los denominados pro g ramas Arnal-Bailera, A., Planas, N. 150 institucionales de apo y o . L os tres profesores aceptar on implementar una secuencia didáctica de Geometría que se les proporc ionó y comentó con antelación. En el diseño de la se cuencia se tuvo e n cuenta la inclusi ón de problemas cuy os enun ciados evocaran contextos extra -matemáticos cercanos a los alumnos, c omo el que se ejemplifica en la Figura 1. Otro aspecto que se tra tó con los profesores fue el de considerar el uso d e l software dinámico en la pres e ntación de los distint os problemas y en la fase de acercamiento durante las e x plica ciones iniciales diri g idas a la familiarización con la doble situación matemá tica y extra-mat emática sugerida por el enunci a do. La secuencia didá c tica estuvo compuesta por cin co sesiones de clase que, a su vez, incluían varias tareas. Para cada sesión, se elaboró un guión que se suministró a los profesores a fin de conc retar opciones de configuración didáctica y modos d e explotación de las tareas (T rouc he, 2004). La segunda sesión, de l a q ue tomamos datos p ara este informe, tr ató las nociones de mediatriz y circuncentro y su construcción como lugares geo métric os. En las primeras tare as de la sesión y de acuerdo con el guión, se proponía una apr oxim a ción con lápiz y papel, seguida de una construcción punto a punto de la mediatriz como lugar ge ométrico donde concurren los puntos que equidistan de los extremos de un segmento repre sentados por dos amigos en u n parque. Luego se proponía un a tarea de profundización sobre qué ocurrir ía si hubi era tres amigos y se busca ra un punto a la misma distancia de los tres, pidiendo relacionar esto c on las mediatrices consideradas (ver Fig . 1). Se sugería busca r la solución por parejas con a y uda de los portátiles. Además de las rec omendaciones para los modos de explotación, para todas las tare a s el guión del profesor describía la solución. Por ejemplo, en la parte desti nada a la tarea de profun dización, se indicaba la sufici encia de l a solución con la intersección de solo dos mediatrices (ver f ot og rafía de la derecha en Fig. 1). Abdel, Blanca y Conrad están en los puntos blanc os. Quere mos situarnos en un lugar que esté a la misma distancia de los tres. Buscad un lugar que cumpla esta condición. Figura 1. Enu nciado y solu ción propues ta de una ta rea La s s esiones se grabaron en video, con una cámara enfo c ada en la pizarra y otr as dos en los alumnos; con esto bastó para obtene r el registro de las acciones del profesor. En c ada guión del profesor, se inclu y eron preguntas para id entificar actitudes y emociones , entre ellas: “¿Cómo te encuentras ahora, antes de empezar a tr aba jar con los alumnos? Da un par d e calificativos qu e expresen c ómo te siente s ” . Hubo cuestiones inter caladas para identificar progresos y dificultades en el desarrollo de la enseñanza, además d e posibles cambios en actitudes y emociones, entr e ellas: “Comenta: Ho y mis alumnos están más implicados que otra s veces en la actividad ” y “Comenta : La tecnolog í a ha hecho más fácil desarrollar mi s expli c aciones”. T ra s cada sesión y durante el mismo día lectivo, se llevó a cabo una entrevista con el profesor. La s cinco entrevistas con un profesor se organizaron según las respuestas escritas que este hubiera dado en los gu iones de sesión. Si, por ejemplo, el profesor había escrito sobre la dificultad de mantener la atención de los alumnos en las actividades en la pizarr a, se le leía su fr ase e x a cta y se le pe día que la comentara. Videos, guiones y entrevistas fueron la f u e n te primaria en la construcción de cada caso. Los métodos de análisis fue ron esencialmente c ualitativos e int e rpretativos , con adecuación al principio de comparación constante, vuelta en repetidas ocasiones a datos y a revisados y a grupa ción La actividad docente de un pr of esor: geo m etría, tecnología y grupos de riesg o 151 de datos comparables en torno a aspectos afectivos e instrumentales. Respecto al primer obj etivo, para identificar pro g reso s y dificultades en la enseñanza se buscaron y contrastaron episodios que evidenciaran progresos o dificultades en la enseñanza de un concepto o procedimiento matemático. Respecto al segundo ob jetivo, para identifica r (cambios en) actitudes y emociones se asi g naron valores positivos, negativos y no conclu y entes a datos donde hubiera manifestaciones explícitas de afec to (e. g ., “ Felicita a un alumno, mientras se ríe, satisfecho de su trabajo” –valor positivo; “Me fui desesperando según avanzaba la sesión” –valor negativo; “ (La secuencia) resulta interesante, pero se pasa mu y r ápido el tiempo” – valor no conclu y ente). Estos valores se compil a ron y luego se compararon. El total de (ca mbi os en) actitudes y emociones y el total de progresos y dificultades son los resultados principales involucr ados en la construcción de cada c aso de profesor. CONSTRUCCIÓN DEL CASO DE JOSEAN Pasamos a explicar dos resultados obtenidos en la elaboración d el ca so de Josean. El primer resultado alude a la dim e nsión afectiva, por lo que contribu y e a la consecución del objetivo sobre identificación de cambios en actitudes y emocio nes del profesor durante su gestión d el entorno tecnológ i co. El segundo resultado alude a la dimensión instrumental, por lo que contribu y e a l a consecuc ión del objetivo sobre identificación de progresos y dificult ades en la enseñanza d e Geometría durante la re solución de problemas. Hemos selec cionado estos resultados porque señ alan dos temas de especial relevancia, que son respectivamente: la percepción genera lizada en el profesorado acerca de la baja ca pacidad matemática del alumnado en riesgo de ex c lusión socia l y la naturaleza pr obl emática de la transición de la enseñanza de las matemáticas sin tecnología y centrada en la prác tica magistral a la enseñanza con tecnología y discusión guiada por el profesor. Superación parcial de per cepciones limitadoras sobre los alumnos En la segunda sesión d e clase, al comenzar la discusión de la tarea s obre la construcción del circuncentro como lugar geométrico (ver Fig. 1), Josean d a va lo r a las realizaciones matemáticas de Stefani, que ha sido la pr imera en terminar y qu e ha utilizado de modo efectivo aunque incompleto el programa de geometría dinámica (i.e., loc a lización del triángulo con vé rtice s en los tr e s ami g os; repre s e ntación d e solo d os mediatrices; comprob ación de l a intersección de dos mediatrices en un punto). El profesor anima a esta alumna a ex p l icar su proceso de resolución a Ikr am, quien h a manifestado dificultade s tal c omo se lee en el siguiente episodio: Josean: Ahora tenemos tres p ersonas, Abdel , Blanca y C onrad, y l a pregunta que os hace e s si hay algún punto que esté a la m isma distanc ia de los tres y si lo sabéis encont rar. Ik ra m : [en su m esa] Josean, ¡no sa le! Josean: A ver quién es el p rimero que con sigue encont rar el pu nto . Stefani: [en su mesa, al lado de Ik ram] ¡Es que no hay mediatri z! Josean: Ya casi lo has sac ado, a ver cóm o lo has h echo, es ta es la m ediatriz de B y A y esta… se cortan en un pun to… ¿Sabe s cómo saca r el punto donde se c ortan dos r ectas? Cua ndo lo hagas puedes m edi r la di stancia a A o B, a ver qué pasa. Stefani: [t r anscurridos uno s instante s] Josean, ¡y a m e ha salido! ¡M ira ! Josean: ¡Muy bien! Stefani: Ocho, ocho y ocho, este es este , este es este… Josean: Los tres son cero com a ochenta y ocho. Muy bi en. Stefani ha enc ontrado el punto que es tá a la m is m a di stanci a, en concre to le sale cero com a ochenta y ocho a los t res puntos. A demás lo ha hecho por el p roceso corr ecto. Así que com éntaselo a Ik ram y explícale el proceso. Arnal-Bailera, A., Planas, N. 152 Argumentamos que J osean aprovecha la construcción parcial d e l ci rc uncentro de S tef ani con dos mediatrices para animarla públicamente, explicarle cómo const ruir el punto de corte y pedirle que compruebe la solución con la herramienta de GeoGebra “distancia/longitud” (lo cual qu eda claro en los datos de video). Posteriormente pone en valor la realización de la alumna, hac iendo hin c apié en la validez matemática d el proceso se g uido. Profundiz a en ello cuando le pide que ex plique la resolución a Ikram. Josean se refiere a Ikram en varias de las entrevistas como la de m ejor rendimiento matemático en clase, mientras que habla de Stefani como la de peor rendimien to. De nuestro análisis se infiere que el pro fe sor supera puntualmente sus percepciones sobre la capacidad de Stefa ni para explicar matemáticas a una compañera. El episodio de la s ec ción que si g ue a esta s e ha seleccionado pa ra ilustrar otro tipo de result ado, pero en él también s e observa una actuación docente que fa cilita la participación matemática de Stefani. La informa c ión recabada en otr as sesiones nos obliga a matizar el g rado de validac ión pública de la capacidad matem ática de los alumnos y de S tefan i en particul a r. En la qui nta sesión, por ejemplo, cuando el profesor pregunta por la interpretación geométr ica de la expresión algebraica d el Teorema d e Pitágoras, tr as varias respuestas e rr óneas de alumnos , Stefani responde “a y b suman l o que c” (a, b y c son los nombres dados a los segmentos del trián g ulo rectángulo que ha y en la pizarra). J osean, sin embargo, no indag a en la res pue sta de Stefani; en su lugar r e sponde: “¿Cómo que a y b suman lo de c? N o me convence e s a ex plicac ión, al g uien qu e me lo se pa decir mejor”. No hay , por tanto, una actuación docente que reafirm e la superación de percepciones limitadoras sobre la capacidad matemática de Stefani. A pesar de ello, entendemos que lo q ue ocurre en el episodio reproduc ido es paradigmático de un inici o d e cambio en los modos de considerar las posibilidades de participación matemática de los alumnos. Entendemos, además, que est e inicio de cambio en l a actuac ión do c ente (que podrá o no consolidarse) viene propiciado por los cambios didáctico - pedagógicos en l a cultura del aula qu e ll e van a c a mbios en las formas de participac ión de alumnos que antes del uso de l programa de geometría dinámica apenas intervenían. Retice ncias ant e la explotación compartida del entorno tecnológico En la se g unda sesión, s e verifica la opción de construir el lugar geométrico de los puntos qu e equidistan de dos amigos. Tras la exploración con lápiz y papel y l a construcción punto a punto co n ordenador, los alumnos conclu y en qu e estos pu ntos forman una recta y utiliza n la herramient a “mediatriz” que dibuja e l objeto. GeoGe bra interpreta la mediatriz como lugar geométrico ya que la construy e a pa rtir de do s puntos, no a p artir del segmento que los une, y po r tanto no aplica la definición de rec t a perpendicular por el punto medio del segmento. En discusión conjunta s e ve que los puntos que equidistan de tres amigos son construibles con el programa de g eometría dinámica y que forman un a recta que cumple las condiciones de mediatriz . De ahí y tal como se le e en el siguiente e pisodio, los alumnos se enfrentan a la utilizac ión reiterada de la func ionalidad del programa que construye l a mediatriz de dos puntos : Stefani: [en la pizarra digi tal] Ah, sale un cí rculo, claro… Josean: Pasa por los tres pun tos, porque todos están a la mism a distancia del punto que has hallado. Bueno, expl ícaselo a tus c om pañeros. Chicos, ate ndedla, que o s va a expli car cómo ha r esuelto ella el problem a. Stefani: ¿Cómo que lo expli que? Josean: Lo que has hecho. Stefani: He sacado la m ediatriz, he hallado el punto dond e se cortaban… Josean : Has sacado dos m ediatrices… Esta que es el con j u nto de todos los puntos que están a la m is m a di stanci a de A y de C y esta que es el con j u nto de todos los puntos que están a la m is m a di stanci a de A y de B. ¿D e acuerdo? Y estas do s rec tas se cortan en un punto. Y es e punto es espec ial. ¿Por qué ? La actividad docente de un pr of esor: geo m etría, tecnología y grupos de riesg o 153 Stefani: Porque la distancia de los tres pun tos... Josean: Porque este punto está a la m is m a distancia… Stefani: De los tres. Josean: …de los tres. ¿D e acuerdo? Todos los puntos de aquí están a la m isma distancia d e A y de B, todos los pun tos de aquí e stán a la m isma distancia de A y de C. Pero hay un punt o especial, que es donde se cortan las dos rectas, qu e está a la mism a distancia de los tres. Y solam ente ese punto, ¿de acuerdo? D e hecho has trazado l ueg o una circun ferencia con c entro en es e punto, y que p asaba por un o de los tres pun tos, y hem os visto que p asaba por los tres, porque estaba a la m isma dis tancia ese punto d e los tres pun tos. Está a cero com a ochenta y ocho, luego si traz amos una circu nferencia de cen tro el punto que hem os hallado y rad io cer o coma ochenta y ocho, tiene que p asar obligato riamente por los tres punto s … [sigue el profe sor] . Del conjunto de datos, i nferimos la exist enc ia de reticenc i a s del profesor ante el aprov e c hamiento de la intervención de S tef ani en el entorno tecnológico. Josean no incorpora en la discusión el descubrimiento de la me diatriz como línea rec ta. A pesar de haber interact ua do explí c itamente con la alumna, no aprove c ha el resultado para proseguir l a ex plica ción o pa ra que Ste fani r e flexione algo más, por ejemplo mediante la funcionalidad de GeoGebra de construi r la línea recta que pasa por dos puntos y comprobar que contiene todos los puntos dibujados. Más tarde pide a la alumna salir a la pizarra a explicar la construcción del circuncentro como lu g ar ge om étrico de los puntos que equidistan de los tres amig os, pero poc o después la interrumpe sin revisar lo expli ca do ni clarificar un a imprecisión matemática. Josean devalúa el valor de la participación d e los alumnos al anticiparse y ser él quien termina resolviendo la tarea, aún cu a ndo esto suponga modificar los ti po s de orquestación planificados sobre todo en lo r especta al ‘trabajo del sherpa’. Josean concibe la utilida d de la tecnología desde la perspectiva de l a actuación docente po r delante de la participación de lo s alumnos. Entendemos que este profesor no facilita ciertas oportunidad es de aprendizaje en torno a la construcción y p ropiedades de l a bisectriz y del circ uncentro, en part e por las restricciones que im pone a l a participación de Stefani en la piz arr a digital, y de otros alumnos en otras s esiones. La interrupción de las explicaciones matemáticas de un alumno ante el grupo clase provoca qu e quede minimiz a do el impacto de su participación e n los procesos de aprendizaje del re sto de alumnos. En g eneral, se incorpora la pizarra digital int e ractiva como recur so en el aula pero n o se le da a este re curso un papel transformador de los modos de actuación docente centrados e n el c ontrol y la explic ac ión matemática a ca rgo del pro fe sor. Por el m ero hecho de introducir el uso de l a pizarra digital se produc e una mejora en las condiciones de participación matemática y de discusi ón en grupo. Esta mejo ra, sin embargo, es gestionada de un modo que repercute dé bilmente e n el incremento de la participación matemática de los alumnos. DISCUSIÓN FINAL Y ACCIONES FUTURAS El caso de Josean proporciona conocimiento acerca de cómo este profe so r g estiona su actividad de enseñanza p a ra facilitar en el alumnado formas de participación en clases de matemáticas caracter izadas por el us o de l a te c nología (piza rr a digital interactiva y programa d e geometría dinámica) y la discusión en grupo. Se ha presentado un primer r e sultado sobre la supe ra ción parcial de percepciones limitadoras respecto a la capacidad matemática de los alumnos por hallar propiedades geométricas de se g mentos y t riá ngul os. La documentación de un segundo resultado ha puesto de manifiesto las reticencias del profesor ante la explotación compartida y equilibrada con los alumnos de la actividad matemá tica producida en el entorno tecnológico. Convendrá ex a minar hasta qué punto los modos de actuación e inte ra cción del profesor qu edan determinados por el uso matemáticamente significativo y peda g ó gicamente compar tido de artefactos tecnoló g icos en clase. Si bien abundan en el área las investigaciones sobre modos de actuac ión docente ante el uso de programas de geometría dinámica, no c onoc emos investigaciones Clemente, F., Llinares, S. 256 Referencias Battista, M. T . (2007). T h e Development o f Geometri c and Spa tial T hi nking. In F. K. Le ster (Ed. ), Second Handbook of Resear ch on Mathematics Teachin g and Learning (pp. 843-908). Charl ot te, N.C.: In formation Ag e Publishing . NCTM. Battista, M. T. (2008). Representations and cognit ive objects in modern school geom et ry . I n M. Kathleen & G. W. Blum e (Eds.), Research on Technolog y and the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 341 - 362). Charlot te: I AG. Chinnappan, M. (1998). Schem as and mental m odels in geom et ry pr oblem sol v ing. Educational Studies in Mathematics , 36 , 201- 217. Clemente, F. y Llinares, S. (2013). Conocimiento de geom etr ía especia lizado para l a enseñanza en Educación Prim aria. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Climent (Eds.), In vestigac ión en Educación ma temática XV II (pp. 229- 236). Bilbao: SEI EM . Duv al, R. (1995). Geom et r ical pictures: Kinds of representation and specific process es. In Sutherland, R. & Mason, J. (Eds.), Exploitin g Mental Imagery with Co mputers in Mathematical Education (pp. 142-157). Berlín, Germ any: Springer. Duv al, R. (2007) . Cognitiv e functioning and the un derstand ing of mathem atical processes of proof. I n P. Boero (ed.), Theor ems i n School. From His tory, Ep istemology and Cogn ition t o Classroom Practice , (pp. 137- 162). Rotterdam, N etherland: Sense Pub l is hers. Fischbein, E. (1 993). The theory of fig ural concep ts. E ducational S tudies in Math ematics, 24, 139-162. Gal, H. & Linchev ski, L. (2010). To see or not to see: a nalyzing diff i culties in g eometry from the perspective of visual pe rception. Educa tional Stud ies in Mathemat ics, 74 (2), 163- 183. Herbst, P.; Chen, Ch.; We i ss, M.; Gonza lez, G.; Nachliel i, T.; Hamlin, M. & Brach, Ch. (2009). “Doing Proofs” i n Geom etr y cl ass rooms. En D. Stylianou, M.L. Blanton, & E. J . K n uth (eds). Teaching and Learning Pro of Across the Grades. A K-16 Pe rspectives (pp.250- 268). New York: Routledge. Lin, F.L. & Yang, K . (2 007). The reading com prehension o f geom et ric proofs: T he contribut ion of know ledge and reasoning . International Jou rnal of Science a nd Mathemat ics Edu cation, 5 , 729- 754. Llinares, S. & Clemente, F. ( 2014). Characteris tics of pre- service prim ary school t e achers’ configur al reasoning. Math ematical T hinking and Lear ning, 16 (3 ). Mesquita, A.L. ( 19 98) . On conceptual obstacles linked wit h external repre sentation in geom et ry . Journal o f Mathematica l Behavior, 17 (2), 1 83-195. Prior, J. & Torregrosa, G. (2013). Razonamiento configura l y procedim ientos de verificac ión en contex to geom étri c o. [Configur al reasoning and verification procedures in geom etric context]. RELIME. Revis ta Latinoamer icana de Invest igación en Matemática E ducativa, 16 (3), 339- 368. Torregrosa, G., & Que sada, H. (2007) . Coo rdinación de proce sos cogni tivos en Geometría [Coo rdination of cognitive proc esses in geom et ry ]. RELIME. Revista Lati n oamericana de Investigac ión en Matemática Educativa, 10 (2 ), 275- 300. Torregrosa, G., Ques ada, H., & Penalv a, M.C. (201 0). Razonam i ent o configural com o coordinación de procesos de visualización [Configural reasoning as coordinat ion of visual isation process]. Enseñanz a de las Ciencias, 28 (3), 327- 340. Yang, K. y Lin, F. ( 2008). A model of Reading comprehension of geom et ry proof . Educa tional Studies in Mathematics , 67 (1), 59- 76. [Document text truncated for crawler view.]