Propuesta didáctica sobre las transformaciones geométricas inducidas por la perspectiva. Aplicaciones a la vida real utilizando la fotografía digital

Departamento de ´ Algebra, An´alisis Matem´atico, Geometr´ıa y Topolog´ıa. Propuesta did´ actica sobre las transformaciones geom´ etricas inducidas por la perspectiva. Aplicaciones a la vida real utilizando la fotograf ´ ıa digital. Trabajo Final del M´aster Universitario de Profesor en Educaci´on Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formaci´on Profesional y Ense˜nanza de Idiomas. Especialidad de Matem´aticas. Alumno: Rub´en Prieto Montes Tutor: Jose Mar´ıa Cano Torres Valladolid, junio de 2022 i Resumen En el curr´ıculo de bachillerato se inicia el estudio la geometr´ıa af´ın y eucl´ıdea tanto del plano como del espacio. Sin embargo, si tomamos una fotograf´ıa de un mismo objeto desde dos posiciones diferentes, la transformaci´on que env´ıa puntos hom´ologos no se corresponde con una transformaci´on af´ın del plano. Para poder deducir propiedades del objeto fotografiado es necesario conocer el grupo de transformaciones que act´ua en este caso: el grupo de las transformaciones proyectivas. El objetivo de este trabajo es desarrollar un proyecto did´actico de unos temas complementarios al curr´ıculo de bachillerato conducentes a introducir las nociones b´asicas necesarias de geometr´ıa proyectiva en el plano para poder resolver problemas reales utilizando la fotograf´ıa digital. Abstract In the resume of high school, study of the affine and euclidean geometry is started. However, if we take a picture of the same object from different perspectives, the transformation which sends homologous points does not correspond with an affine transformation. In order to deduce the properties of the object in the picture, it is necessary to know the group of transformations wich acts in this case: the group of the projective transformations. The main objective of this study is to develop a didactic project which would be complementary to the resume of high school stage and with the aim of introducing the basical notions about projective geometry in the plane which are necessary in order to solve real problems using the digital photo. ´ Indice 1. Introducci´on 4 1.1. Experienciaenpr´acticas.................................... 4 2. Geometr´ıa Eucl´ıdea y Af´ın 6 2.1. Isometr´ıas............................................ 11 2.1.1. Isometr´ıasdelplano .................................. 14 2.2. Transformacionesafines .................................... 17 2.2.1. Afinidades........................................ 19 2.2.2. Movimientos ...................................... 23 2.2.3. Proyecciones paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Geometr´ıa proyectiva 35 3.1. Puntos, coordenadas homog´eneas y l´ıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Transformaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1. Teorema Fundamental de la Geometr´ıa Proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2. Raz´oncruzada ..................................... 43 3.3. C´amaraDigital......................................... 44 3.3.1. C´amaraestenopeica .................................. 44 3.3.2. Espacioimagendigital................................. 46 3.3.3. Puntos y L´ıneas en el Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Unidad did´actica 52 4.1. Introducci´on........................................... 52 4.2. Objetivos ............................................ 53 4.3. Contenidos, Est´andares de Aprendizaje y Criterios de Evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . 53 4.4. Perfil Competencial de la Unidad Did´actica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5. Elementostransversales .................................... 59 4.6. Metodolog´ıadid´actica ..................................... 60 4.6.1. Metodolog´ıageneral .................................. 61 4.6.2. Materiales y recursos did´acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.7. Atenci´onaladiversidad.................................... 62 4.7.1. Medidasordinarias................................... 63 4.7.2. Medidasespec´ıficas................................... 64 4.8. Criteriosdecalificaci´on .................................... 64 4.8.1. Evaluaci´on del proceso de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.8.2. Evaluaci´on de la pr´actica docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.9. Organizaci´on del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.10. Secuenciaci´on de actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5. Conclusi´on 95 Referencias 96 2 ´ Indice de figuras 1. Proyecci´on paralela de planos π1yπ2paralelos........................ 30 2. Recta transformada por una afinidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Modelo sencillo del funcionamiento de una c´amara: modelo de c´amara estenopeica. Hata andSavarese(2022) ...................................... 45 4. Construcci´on formal del modelo de c´amara estenopeica. Hata and Savarese (2022) . . . 45 5. Coordenadashomog´eneas. .................................. 47 6. Proyectividad. Alrededores de la localidad de Villal´on de Campos. . . . . . . . . . . . . 51 7. Criterios de Evaluaci´on y Est´andares de Aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8. Representaci´on de una funci´on como relaci´on entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . 67 9. Giro de centro O= (0,0). ................................... 70 10. Simetr´ıa de centro O= (0,0).................................. 71 11. Simetr´ıaaxial. ......................................... 72 12. Translaci´on de vector t. .................................... 74 13. Escalamiento de factor s=  sx sy  ............................... 75 14. PerspectivaPertuz(2020).................................... 76 15. Proyecci´on perspectiva. Pertuz (2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 16. Tri´angulo de referencia del modelo de c´amara. Pertuz (2020) . . . . . . . . . . . . . . . 77 17. Plano imagen de la c´amara Pertuz (2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 18. punto proyecta sobre el plano imagen de la c´amara Pertuz (2020) . . . . . . . . . . . . . 80 19. punto Pproyectado sobre distintos planos imagen de la c´amara resultando p1, p2Pertuz (2020) .............................................. 80 20. Simetr´ıa axial respecto del eje X................................ 84 21. Perspectiva 1 de la Facultad de Ciencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 22. Perspectiva 2 de la Facultad de Ciencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 23. Catedral Nueva de Salamanca perspectiva 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 24. Catedral Nueva de Salamanca perspectiva 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3 1 Introducci´on 1. Introducci´on Las matrices son objetos matem´aticos que permiten organizar informaci´on num´erica de un modo sencillo. La idea consiste en disponer n´umeros en forma de tabla, con una estructura de filas y columnas, de manera que cada elemento de la tabla puede ser identificado mediante su posici´on: la fila y la columna en las que est´a situado el elemento. Las matrices, cuando son presentadas por primera vez a los alumnos en 2ºde Bachillerato no parecen un “gran invento”, sin embargo su aplicaci´on y utilidad han contribuido no solo a la representaci´on y desarrollo de distintas ramas de las matem´aticas, sino tambi´en al de otras ciencias tanto naturales como sociales: En ciencias como F´ısica se usa en una multitud de campos, destacando la mec´anica cu´antica o la teor´ıa de la relatividad. En estad´ıstica,criptograf´ıa o la mayor´ıa de ingenier´ıas tienen un papel muy importante. En las ciencias sociales como econom´ıa o urbanismo tambi´en permiten simplificar enormemente los c´alculos. Sin embargo, ´estas son introducidas en 2ºde Bachillerato como elementos abstractos que solo organizan n´umeros y con los cuales hay que aprender a realizar una serie de operaciones: Se definen la suma de matrices, el producto, el rango, la inversa de una matriz y el determinante; se dan una serie de propiedades y resultados sobre estas definiciones; y finalmente se enlaza con la representaci´on matricial de sistemas de ecuaciones. Es por ello que la mayor´ıa de alumnos adquieren la idea de que las matrices son un invento artificial y que no tiene una explicaci´on racional clara. Esto, unido a la presencia de las pruebas de acceso a la universidad hace imposible a los alumnos hacerse una idea de lo que realmente puede representar una matriz. Con el objetivo de que los alumnos adquieran una idea y aplicaci´on real de ´estas como transformaciones geom´etricas del plano y aplicado en ´ultimo lugar a la fotograf´ıa digital (por ello enmarcado dentro del contenido “Aplicaci´on de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resoluci´on de problemas extra´ıdos de contextos reales, aplicaci´on a la resoluci´on de problemas.” del curr´ıculo de 2ºde Bachillerato de matem´aticas II. Consejer´ıa de Educaci´on (2015)) , se propone este trabajo el cual consiste de dos partes fundamentales: una primera parte te´orica en la que se exponen y estudian diferentes conceptos matem´aticos sobre las transformaciones geom´etricas, para luego pasar a una segunda parte, en la que se desarrolla una Unidad Did´actica, y en la que se especifica la forma en la que se introducir´ıan estos conceptos a los alumnos de Bachillerato, explicando que metodolog´ıa se usar´ıa, tareas propuestas, formas de organizar el contenido y evaluar, entre muchos otros aspectos. 1.1. Experiencia en pr´acticas Entre los d´ıas 16/2/2022 y 6/4/2022, se tuvo la oportunidad de llevar a cabo las pr´acticas del m´aster de secundaria en la especialidad de matem´aticas en el IES Jorge Guill´en, en la localidad de Villal´on de 4 1.1 Experiencia en pr´acticas Campos. Durante esas fechas, uno de los cursos en los que se imparti´o clase fue en 2ºde Bachillerato CIT. Durante ese tiempo, tuve la oportunidad de impartir todo el bloque de N´umeros y ´ Algebra, cuyos contenidos est´an especificados en el BOCYL en la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on.. Consejer´ıa de Educaci´on (2015). La presi´on por la presencia de la EBAU, as´ı como el curr´ıculo extenso, hac´ıan bastante dif´ıcil que se pudieran exponer a los alumnos aplicaciones reales de las matrices para que se pudieran hacer una idea y conectasen esos elementos abstractos con la realidad y con distintos ´ambitos que pudieran interesarles estudiar en el futuro en la universidad. Esta conexi´on de las matem´aticas con la realidad es fundamental para la correcta comprensi´on de los contenidos que se imparten y para poder desarrollar las competencias clave de forma ´optima Alagia et al. (2005). Esta es la raz´on principal que motiva la creaci´on de este trabajo. Elaborar una Unidad Did´actica complementaria al curr´ıculo de Bachillerato con ese objetivo. 5 2 Geometr´ıa Eucl´ıdea y Af´ın 2. Geometr´ıa Eucl´ıdea y Af´ın Las matrices son una de las formas m´as comunes que se emplean para representar aplicaciones lineales. ´ Estas tienen una interpretaci´on geom´etrica que enlaza con contenidos que se empiezan a introducir ya en 3ºde ESO como es el de transformaciones geom´etricas del plano. Como ocurre con otros contenidos en matem´aticas, el uso de matrices no es necesario para entender las transformaciones geom´etricas en el plano. Sin embargo, el uso de ´estas va a simplificar de forma significativa la descripci´on de las ecuaciones de las transformaciones geom´etricas. Adem´as, va a servir de motivaci´on a los alumnos de 2ºde Bachillerato, al dedicar una parte importante del curso a su estudio. Es por ello que, se realiza en primer lugar un estudio de las afinidades y movimientos que sentar´an las bases para, posteriormente, establecer un primer contacto con las transformaciones proyectivas y aplic´andolas en ´ultimo lugar a la fotograf´ıa digital, que tan presente est´a hoy en d´ıa en las redes sociales, en el cine y en los videojuegos, por ejemplo. El objetivo del marco te´orico de este trabajo es exponer la teor´ıa matem´atica de la que se van a extraer los contenidos de la propuesta did´actica, pero, al ser el objetivo final del trabajo la elaboraci´on de una propuesta did´actica, la teor´ıa no es excesivamente rigurosa de modo que no se incluyen todas demostraciones y definiciones fundamentales, pero si se pretende que se adquiera una idea adecuada de los contenidos que se tratan. As´ı pues, para dar comienzo a este trabajo, se podr´ıa definir una aplicaci´on lineal y enunciar la demostraci´on que corrobora que las matrices son una de las formas m´as comunes que se emplean para representar aplicaciones lineales, de forma que se establezca ya, una interpretaci´on real de las mismas. Las aplicaciones lineales, tambi´en llamadas homomorfismos de espacios vectoriales se definen de la siguiente forma: Definici´on: Sean VyWdos K−espacios vectoriales, y f:V−→ Wuna aplicaci´on. Se dice que f es un homomorfismo de espacios vectoriales o una aplicaci´on lineal si se verifica la siguiente condici´on cualesquiera que sean los elementos a1, a2∈Kyv1, v2∈V: f(a1v1+a2v2) = a1f(v1) + a2f(v2). Cuando V=W, la aplicaci´on lineal recibe el nombre de endomorfismo de V. El objetivo ahora es estudiar las relaciones existentes entre las coordenadas de un vector y las coordenadas de su imagen por una aplicaci´on lineal, una vez que se han fijado sendas bases en los espacios inicial y final de la aplicaci´on considerada. Esto permitir´a asociar, de forma natural una matriz a la aplicaci´on lineal. Previamente a establecer estas relaciones, hay que establecer bajo qu´e condiciones queda determinada 6 2 Geometr´ıa Eucl´ıdea y Af´ın una aplicaci´on lineal. Estas condiciones van a ser las siguientes: Si f:V−→ Wes una aplicaci´on lineal y{v1, ..., vr}es un sistema de generadores de V, en cuanto se conocen los vectores f(vi) para i= 1, ..., r, se puede conocer la imagen de cualquier vector de V. El rec´ıproco va a ser cierto bajo las condiciones impuestas en la siguiente proposici´on de abajo: en el caso de asociar elementos de Wa una base V, queda determinada un´ıvocamente una aplicaci´on lineal f:V−→ Wque verifica las condiciones impuestas. Proposici´on: Si VyWson espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, y B={v1, ..., vn}una base de V, se verifica que para toda familia de vectores {w1, ..., wn}de W, existe un ´unico homomorfismo f:V−→ Wtal que: f(v1) = w1, f(v2) = w2, ..., f(vn) = wn. Si se desea que la aplicaci´on a construir sea lineal y f(vi) = wipara i= 1,2, ..., n, es necesario que f(v) sea a1w1+a2w2+...+anwnsi v=a1v1+...+anvn. Es f´acil as´ı ver que la aplicaci´on fas´ı definida es lineal. Sean VyWdos K-espacio vectoriales, y Bv={v1, v2, ..., vn}yBw={w1, w2, ..., wm}bases de Vy de Wrespectivamente, y f:V−→ Wuna aplicaci´on lineal. Sean (x1, x2, ..., xn) las coordenadas de v∈Vrespecto de la base Bvy (y1, y2, ..., ym) las coordenadas de f(v)∈Wrespecto de la base Bw. La relaci´on existente entre (x1, x2, ..., xn) y (y1, y2, ..., ym) se obtiene mediante los siguientes argumentos: Por un lado se tiene f(v) = y1w1+... +ymwm Por otro lado f(v) = f(x1v1+... +xnvn) = x1f(v1) + ... +xnf(vn) al ser aplicaci´on lineal. Si f(vi) para 0 ≥i≥nse escribe en funci´on de Bwse tendr´a: f(vi) = a1iw1 + ... +amiwm. Tras llevar el ´ultimo resultado a la primera igualdad y agrupar t´erminos en los que aparece el mismo vector wjse llega a las siguientes ecuaciones: y1=a11x1+a12x2+... +a1nxn, ym=am1x1+am2x2+... +amnxn, conocidas como ecuaciones de frespecto de las bases BvyBw. El sistema de ecuaciones se puede escribir de forma matricial como: 7 2.1 Isometr´ıas 2.1.1. Isometr´ıas del plano Con el objetivo de intentar averiguar que forma matricial van a presentar las isometr´ıas, se toma un espacio vectorial Vde dimensi´on 2, y una base ortonormal {u1, u2}. En esa base ortonormal, la aplicaci´on ϕtiene matriz M=  x y z t , y anteriormente se lleg´o a la conclusi´on de que si ϕera isometr´ıa, su matriz Mser´ıa orotogonal de forma que MtM=Id2. Empleando esta condici´on se tendr´a que:   x y z t   x z y t =  1 0 0 1 , de donde se extrae que:          x2+y2= 1 t2+z2= 1 xz +yt = 0 De la primera condici´on, se puede deducir que para cierto ´angulo α,x= cos αyy= sin α. De la segunda condici´on, de la misma forma, habr´a un ´angulo βde forma que: t= cos βy z= sin β. Por ´ultimo de la tercera condici´on , sustituyendo los dos puntos anteriores: xz +yt = 0 ⇔cos αsin β+ sin αcos β= sin(α+β)=0. Lo anterior va a ocurrir en dos ocasiones: tanto para (α+β) = 0 como (α+β) = π. De la primera, β=−α, y esto va a implicar que cos(β) = cos(α) y sin(β) = −sin(α). De la segunda β=π−αde modo que cos(β) = −cos(α) y sin(β) = sin(α). Una vez llegado este punto, se pueden construir dos tipos de isometr´ıas con matrices: Sα=  cos αsin α sin α−cos α , la cual cambian la orientaci´on debido a que al calcular el determinante: |Sα|=−cos(α)2−sin(α)2=−1. 14 2.1 Isometr´ıas El segundo tipo de isometr´ıas ser´ıan: Gα=  cos α−sin α sin αcos α , las cuales si conservan la orientaci´on ya que: |Gα|= cos(α)2+ sin(α)2= +1. Calculando valores y vectores propios de Sαse obtiene: El vector propio asociado al autovalor λ= +1 es proporcional a (cos α 2,sin α 2). El vector propio asociado al autovalor λ=−1 es proporcional a (−sin α 2,cos α 2). Ambos vectores son ortonormales por lo que, llamando a L1el subespacio generado por (cos α 2,sin α 2) y aL2el subespacio generado por (−sin α 2,cos α 2),se va a tener que todo vector vse puede descomponer como v=v1+v2, donde v1∈L1yv2∈L2. As´ı se cumple que: ϕ(v) = v, ∀v∈L1, ϕ(v) = −v, ∀v∈L2. La aplicaci´on ϕera una isometr´ıa de matriz Sαa la que se va a llamar simetr´ıa ortogonal de eje L1. Ahora, en el caso de Gα, no va a tener valores propios reales a excepci´on de los casos en los que α={0, π}, por lo que con el objetivo de averiguar la acci´on de la isometr´ıa ϕcuando su expresi´on matricial es la de la segunda matriz Gα, se toma un vector vsobre el cual se hace actuar la isometr´ıa. Calculando el |v|y< v, ϕ(v)>, se llega a la conclusi´on de que el m´odulo se conserva mientras que gira un ´angulo α, por lo que la isometr´ıa de matriz Gαse denomina giro de ´angulo α. Para estudiar de forma general las transformaciones anteriores (simetr´ıas ortogonales y giros), se considera un espacio vectorial V, de dimensi´on nsobre un cuerpo K. Si L1yL2son subespacios complementarios de V(lo cual significa que la intersecci´on de ambos es el vac´ıo, y su suma es V), entonces ∀v∈V, se puede escribir v=v1+v2, con v1∈L1, y con v2∈L2. De forma que, una simetr´ıa vectorial de eje L1en la direcci´on de L2es una aplicaci´on lineal de la forma: s(v) = v1−v2, v1∈L1, v2∈L2. Es decir, partiendo de una base B1={u1, ..., us}de L1, y una base B2={us+1, ..., un}de L2, la aplicaci´on lineal s:V−→ Ves de la forma: s(ui) = ui,1≤i≤s;s(ui) = −ui, s + 1 ≤i≤n, 15 2.1 Isometr´ıas cuya representaci´on matricial en las bases B1, B2viene dada por: S=                            1 0 . . . 0 0 . . 0 0 1 . . . 0 0 . . 0 . . . 0 0 . . 0 . . . 0 0 . . 0 . . . 0 0 . . 0 000001 0 . . 0 000000−1. . 0 . . . . . . . . 0 . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1                            . Ahora, partiendo de un espacio vectorial real Vcon un producto escalar <, >, al ser <, > definido positivo, se va a tener que ∀subespacio Lde V,L⊥es complementario de Lde modo que SLL⊥se conoce como simetr´ıa ortogonal respecto de Lcumpli´endose que: ∀v∈V, v =v1+v2, v1∈L1, v2∈L⊥, sL=v1−v2. Para el caso de los giros vectoriales, se considera un subespacio Sde dimensi´on n−2 de un espacio vectorial Vde dimensi´on njuntos al producto escalar <, >. En esta situaci´on, el subespacio S⊥tendr´a dimensi´on 2 de forma que S⊥ser´a un plano en el que tendr´a lugar el giro descrito anteriormente de ´angulo α: gα:S⊥−→ S⊥. De esta forma, el eje de giro ser´a el subespacio S. De forma general, para v=v1+v2con v1∈Sy v2∈S⊥se tiene que: gα:V−→ V, gSα(v) = v1+gα(v2). Si se selecciona una base ortonormal tanto de S,{u1, ..., un−2}; como de S⊥,{un−1, un},{u1, ..., un−1, un−1, un} ser´a base ortonormal de Vde forma que al hacer actuar la aplicaci´on lineal gSα, los vectores {u1, ..., un−2} quedan invariantes, y a la vez, {un−1, un}se transforman de forma que: {un−1}se convertir´a en un−1cos α+unsin α {un}se convertir´a en −un−1sin α+uncos α La matriz en la base ortonormal seleccionada ser´ıa: 16 2.2 Transformaciones afines =                      1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 cos α−sin α 0 0 ... 0 sin αcos α                      . Al pasar al caso en 3 dimensiones, que ser´a de gran importancia en el estudio realizado en este trabajo, se proponen los siguientes ejemplos que consisten en giros respecto de los 3 ejes coordenados en R3: Giro de ´angulo αalrededor del eje Z: Gz(α) =      cos α−sin α0 sin αcos α0 0 0 1      .(2) Giro alrededor del eje Xde ´angulo γ: Gx(γ) =      1 0 0 0 cos γ−sin γ 0 sin γcos γ      .(3) Giro alrededor del eje Yde ´angulo β: Gy(β) =      cos β0 sin β 0 1 0 −sin β0 cos β      .(4) La rotaci´on realizada tras girar alrededor del eje Z, posteriormente eje Y, y posteriormente eje Xviene representada por el producto de matrices GxGyGz. 2.2. Transformaciones afines Un espacio af´ın sobre un cuerpo Kse define de manera formal como un par A= (C, V ), donde Ces un conjunto y Ves un K-espacio vectorial. Los elementos contenidos en Cvan a ser puntos mientras que los elementos de Vvan a ser vectores. El espacio vectorial Vva a tener una acci´on sobre Cque es transitiva y que se denota de la siguiente 17 2.2 Transformaciones afines forma: C×V−→ C, (P, v)−→ P+v, y que tiene las siguientes propiedades: 1. P+ 0 = P, ∀P∈C. 2. (P+v1) + v2=P+ (v1+v2),∀P∈C, ∀v1, v2∈V. 3. ∀P, Q ∈C, ∃v∈Vcumpliendo P+v=Q´unico. Ese vector tomar´a la forma  PQ:P+ PQ =Q. Los puntos van a ser los elementos que forman el espacio af´ın y los vectores, van a tener la funci´on de operadores que transforman puntos en puntos. Referencia de un espacio af´ın. A partir de un espacio af´ın A= (C, V ), siendo Vun espacio vectorial, la referencia de ese espacio af´ın ser´a: R={O;v1, v2, ..., vn}, donde el punto Oser´a considerado el origen de esa referencia, y {v1, v2, ..., vn}ser´a una base del espacio vectorial V. A partir de una referencia R={O;v1, v2, ..., vn}, se puede asociar a cada punto P∈Clo siguiente: P determina el vector −−→ OP al mismo tiempo que {v1, ..., vn}es base del espacio vectorial Vde forma que: −−→ OP =a1v1+...+anvn. Al punto Pse le va a asociar la matriz (a1, .., an)tcuyos elementos se conocer´an como las coordenadas de Prespecto de la referencia R. Dada la referencia R={O;v1, v2, ..., vn}, un punto Qcon coordenadas (q1, ..., qn)ty un vector wque est´a en Vcon coordenadas (a1, ..., an)ten la base de {v1, ..., vn}, se va a cumplir lo siguiente: −−−−−−→ O(Q+w) = −−→ OQ +w= n X i=1 qivi+ n X i=1 aivi= n X i=1 (qi+ai)vi. En consecuencia Q+wtiene coordenadas (q1+a1, ..., qn+an)t. Cambio de referencia. El objetivo ahora es averiguar que forma va a tener la matriz de cambio de referencia. De esta forma, se puede averiguar la forma que una transformaci´on va a tomar en una referencia que sea conveniente, y a partir de ah´ı, obtener la transformaci´on en cualquier otra referencia. Esto permite simplificar enormemente los c´alculos. Por ello, se consideran dos referencias R1={O1;v1, ..., vn}yR2={O2;w1, ..., wn}y un punto Q, cuyas coordenadas en la primera referencia R1son (x1, ..., xn) y en la segunda R2son (y1, ..., yn). Se va a 18 2.2 Transformaciones afines cumplir que: O2Q=−−−→ O2O1+−−→ O1Q=⇒ n X i=1 yiwi=−−−→ O2O1+ n X j=1 xjvj.(5) Si adem´as se sabe que (b1, ..., bn) son las coordenadas del origen de la primera referencia O1en la segunda referencia R2, y se tiene que los vectores de la primera referencia {v1, ..., vn}escritos en funci´on de los de la segunda {w1, ..., wn}son de la forma vj=Pn i=1 aijwi,∀j, 1≤j≤n, Llevando todo lo anterior a la ecuaci´on 5, se tiene ahora que: n X i=1 yiwi= n X i=1 biwi+ n X j=1 xj n X i=1 aijwi= n X i=1 biwi+ n X i=1 ( n X j=1 xjaij)wi= n X i=1 (bi+ n X j=1 xjaij)wi. En consecuencia, se tiene que las coordenadas de Qen la referencia R2en funci´on de las coordenadas en la referencia R1son de la forma: yi=bi+ n X j=1 xjaij, para todo i, 1 ≤i≤n. Lo anterior escrito en forma matricial va a permitir obtener la representaci´on matricial de cambio de referencia:               y1 . . . yn 1               =               a11 . . . a1nb1 . . . . . . . . . an1. . . ann bn 0... 0 1                             x1 . . . xn 1               .(6) De forma reducida, se puede reescribir de la siguiente forma:   yt 1 =  A bt 0 1    xt 1 . 2.2.1. Afinidades Se conoce como afinidad de Aa toda aplicaci´on f:A−→ Ade forma que : fes biyectiva. La aplicaci´on ftiene como automorfismo a φ∈Vtal que ∀A, B ∈A,−−−−−−→ f(A)f(B) = φ(−−→ AB). La aplicaci´on φrecibe el nombre de automorfismo asociado a la afinidad f. Este automorfismo φdepende exclusivamente de f. Se va a tener que: dado un punto Ay un vector v, si se define Bcomo B=A+v,−−→ AB =vy −−−−−−→ f(A)f(B) = φ(−−→ AB) = φ(v)⇒f(B) = f(A) + φ(v). 19 2.2 Transformaciones afines Basta con conocer el automorfismo asociado a f,φy la imagen de un punto Apor f,f(A) para conocer f. En efecto, ∀B∈A, f(B) = f(A) + φ( AB). Las afinidades de Avan a formar un grupo que se denotar´a como A(Rn). Para ver que el enunciado anterior es correcto, se toman las afinidades fyg, con automorfismos asociados φ,ψrespectivamente. Como fygson biyeciones, gf tambi´en va a ser una biyecci´on, y adem´as se tiene que: −−−−−−−−−−−→ (gf)(A)(gf)(B) = −−−−−−−−−−−→ g(f(A))g(f(B)) = ψ(f(A)f(B)) = ψφ(−−→ AB), por lo que φψ es el automorfismo asociado a gf. En la misma l´ınea, si fes afinidad con automorfismo asociado φ,f−1es afinidad de automorfismo asociado φ−1. Para simplificar se restringe el estudio a 2 dimensiones. Ecuaciones de una afinidad Anteriormente se expuso que una afinidad fqueda determinada por la imagen de un punto y su automorfismo asociado, lo cual significa que, a partir de una referencia R={O;v1, ..., vn}en el espacio af´ın A, una afinidad fde automorfismo asociado φ, queda determinado un´ıvocamente a partir de f(O) y {φ(v1), ..., φ(vn)}. Siguiendo lo anterior, con el objetivo de obtener las ecuaciones de la afinidad, se parte de un punto Xde coordenadas (x1, ..., xn)ten R,f(X) tendr´a unas coordenadas (y1, .., yn)t, y a partir de conocer f(O)=(α1, ..., αn)ty todos los φ(vi) = Pn i=1 aijuj, se tendr´a: f(X) = f(O) + φ(−−→ OX), de forma que se tiene:            y1 . . . yn            =            α1 . . . αn            +            a11 . . . a1n . . . . . . an1. . . ann                       x1 . . . xn            , lo cual es una ecuaci´on matricial equivalente a: y1=α1+a11x1+... +a1nxn, yn=αn+an1x1+... +annxn. 20 2.2 Transformaciones afines Lo m´as com´un es escribir esta transformaci´on en una sola matriz:               y1 . . . yn 1               =               a11 . . . a1nα1 . . . . . . . . . an1. . . ann αn 0... 0 1                             x1 . . . xn 1               , y de forma abreviada:   yt 1 =  M αt 0 1    xt 1 . A modo de ejemplo, se exponen las siguientes afinidades: Translaciones Se conoce como translaci´on de un vector vfijado en un espacio vectorial Va la aplicaci´on: tv:A−→ A, definida como: tv(P) = P+v, ∀P∈A. La aplicaci´on tves una afinidad ya que ∀A, B ∈A, se tiene: −−−−−−−→ tv(A)tv(B) = −−−−−−−−−→ A+v, B +v=−−→ AB +v−v=−−→ AB = 1V(−−→ AB), de forma que el automorfismo asociado a esta afinidad es la indentidad de V. Escogiendo como referencia a R={O;u1, ..., un}yv∈Vcon coordenadas (α1, ..., αn)t, al aplicar la translaci´on al origen O,tv(O) = O+vtiene como coordenadas a (α1, ..., αn)t, y debido a que el automorfismo asociado a la aplicaci´on tves la identidad, la matriz de esta translaci´on adquirir´a la siguiente forma:               1...0α1 . . . . . . . . . 0...1αn 0...0 1               con ecuaciones: y1=x1+α1, 21 2.2 Transformaciones afines yn=xn+αn. Homotecias Se tiene A∈Aun punto y α∈K∗un escalar, no nulos. Se conoce como homotecia de centro Ayraz´on αa la aplicaci´on hAα :A−→ Aque adquiere la siguiente forma: hαA(P) = A+α−−→ AB. De nuevo se puede comprobar, al igual que con las translaciones, que las homotecias son afinidades ya que es una aplicaci´on y ∀P, Q ∈Ase tiene que: −−−−−−−−−−→ hAα(P)hAα(Q) = −−−−−−−−−−−−−−→ A+α−→ AP, A +α−→ AQ =−→ AA +α−→ AQ −α−→ AP =α(−→ AQ −−→ AP) = α−−→ PQ, y de ah´ı se obtiene el automorfismo φα:V−→ Vasociado a la afinidad, que toma la forma: φ:α(v) = α−−→ PQ. Con el objetivo de obtener su representaci´on matricial, se selecciona una referencia R, de modo que el punto Ade la homotecia en esa referencia tenga coordenadas (α1, ..., αn)t. Como hAα(O) = A+α AO lo cual es igual a A−α (OA), hαA(O) tiene en dicha referencia Rlas coordenadas ((1−α)α1, ..., (1−α)αn)t Una vez se tiene las coordenadas del origen Oy la forma del automorfismo asociado, la representaci´on matricial tomar´ıa la forma:               α . . . 0 (1 −α)α1 . . . . . . . . . 0. . . α (1 −α)αn 0...0 1               con ecuaciones: y1= (1 −α)α1+αx1, yn= (1 −α)αn+αxn. En el caso de que el punto Ade la homotecia sea el origen de coordenadas, los resultados se simplifican considerablemente, obteni´endose de forma matricial: 22 2.2 Transformaciones afines               α . . . 0 0 . . . . . . . . . 0. . . α 0 0...0 1               con ecuaciones y1=αx1, yn=αxn. 2.2.2. Movimientos Si se tiene un espacio eucl´ıdeo Econ espacio vectorial asociado Vy producto escalar <, >. Se define como movimiento en Ea toda afinidad fcuyo automorfismo asociado es una isometr´ıa. De forma m´as concreta, fes un movimiento si: f:E−→ Ees una aplicaci´on. Existe φ, una isometr´ıa, de forma que ∀A, B ∈E,−−−−−−−→ f(A), f(B) = φ( AB). Un movimiento queda, al igual que las afinidades, determinado por la imagen de un punto y su isometr´ıa asociada de forma que su expresi´on resulta ser siempre: f(X) = f(P) + φ( PX). Se puede dar otra definici´on de movimiento, relacionada con las propiedades de las isometr´ıas: Caracterizaci´on de los movimientos: Una aplicaci´on f:E−→ Ees un movimiento si y solo si ∀A, B ∈E,d(A, B) = d(f(A), f(B)). Con el objetivo de deducir las ecuaciones que va a presentar un movimiento, se considera una referencia R={O;u1, ..., un}, y un movimiento fcuya isometr´ıa asociada φviene determinado por la imagen del origen f(O), y por φ(u1), ..., φ(un), que como la referencia es m´etrica, debe de constituir una base ortonormal del espacio vectorial V. Las ecuaciones de un movimiento, al igual que las afinidades, ser´an: y1=α1+a11x1+... +a1nxn, yn=αn+an1x1+... +annxn, 23 2.2 Transformaciones afines Figura 1: Proyecci´on paralela de planos π1yπ2paralelos. y vector −−→ PP′son paralelas. Se tiene entonces un paralelogramo P, Q, Q′, P ′siendo las distancias de los segmentos PP′yQQ′iguales y paralelas, y al ser PQ paralelo a P′Q′, su distancia tambi´en va a ser la misma. En conclusi´on, se conservan las distancias y por ello es isometr´ıa. Mientras que las distancias d(x, y) = ∥x−y∥se conservan bajo isometr´ıas, bajo las proyecciones paralelas ´este no va a ser el caso general. Sin embargo, si que hay algunas propiedades que se conservan, entre las que se encuentran las expuestas a continuaci´on. Propiedades b´asicas de las Proyecciones Paralelas 1. Transforma l´ıneas rectas en l´ıneas rectas. 2. Transforma rectas paralelas en rectas paralelas. 3. Conserva las proporciones de longitudes en una recta dada. Demostraci´on. 1. El conjunto de rectas que pasan a lo largo de una l´ınea l∈π1forman un plano Σ ∈R3. Este plano interseca a π2en la l´ınea l′∈π2que coincide con la imagen f(l). 2. Considerar l1, l2∈π1dos l´ıneas paralelas. Las rectas a trav´es de liforman un plano Σi∈R3. Ahora considerar l′ i=f(li)=Σi∩π2. Si l′ 1∩l′ 2=P∈π2, entonces f−1(P)∈π1estar´ıa en ambos planos 30 2.2 Transformaciones afines Σ1,Σ2y en consecuencia, en l1∩l2. Sin embargo l1∩l2=∅, debido al hecho de que ambas l´ıneas son paralelas. con esta contradicci´on se concluye que l′ 1∩l′ 2=∅. 3. Considerar tres puntos diferentes A, B, C localizados en una recta len π1, y A′=f(A), B′= f(B), C′=f(C) sus im´agenes en π2. Por las propiedades anteriores, se puede afirmar que A′, B′, C′se encuentran en una recta l′=f(l) localizada en π2. Hay que demostrar que d(A, B) d(A, C)=d(A′, B′) d(A′, C′)(7) Si ambos planos π1, π2son paralelos, entonces fes una isometr´ıa y en consecuencia no ser´ıa necesario demostrar nada. Por lo tanto, se parte de que ambos planos no son paralelos. Transladando π2se puede asumir que Acoincide con A′en R3. Entonces las dos rectas l, l′⊂R3, se cortan en A=A′. Si las rectas coinciden, no habr´ıa nada que demostrar, por lo que se asume que no coinciden y que A=A′es su punto de intersecci´on. Entonces l, l′⊂R3pueden formar un plano, que se denotar´a por Σ. El plano Σ contiene los seis puntos A, B, C, A′, B′, C′as´ı como a las l´ıneas l, l′. Como los puntos B, B′yC, C′ pueden ser conectados por dos segmentos paralelos en Σ (debido a que son las im´agenes de puntos que vienen dadas por rectas paralelas), los tri´angulos △ABB′y△ACC′=△A′CC′son similares, lo que quiere decir que un tri´angulo es, debido a la congruencia, una imagen reescalada del otro. Esto implica la igualdad de la ecuaci´on 7. Proposici´on: Todas las proyecciones paralelas f:π1−→ π2son transformaciones afines. Sin embargo, no todas las afines son proyecciones paralelas. Demostraci´on: Para demostrar la anterior proposici´on se van a considerar la proyecci´on paralela f: π1−→ π2en dos casos: Caso 1: π1∩π2=∅. En este caso se va a considerar que el origen de la referencia O∈π1∩π2. Tambi´en se va a tomar un punto P∈π1y un vector v1que es un vector que est´a contenido en la variedad de direcci´on de π1y en la de π2llamadas L1yL2respectivamente. Ahora se toma una referencia de π1formada por: Rπ1={O;{v1, v2}} siendo {v1, v2}linealmente independientes y contenidos en L1por lo que forman base de L1. De la misma forma se coge la referencia Rπ2={O;{v1, v3}} siendo {v1, v3}base de L2. En tercer lugar, se coge una referencia global R={O;{v1, v2, v3}}. Tomando el punto P∈π1, sus coordenadas van a ser las siguientes: •[P]R=     p1 p2 p3      =     p1 p2 0      . De modo que P=O+p1v1+p2v2+p3v3, con v3= 0 al cumplirse que p∈π1. 31 2.2 Transformaciones afines •[P]Rπ1=  p1 p2  , con P=O+p1v1+p2v2. Calculando la recta que pasa por Pcon variedad de direcci´on −→ vcon coordenadas en la base B={v1, v2, v3}[v]B=     α1 α2 α3      .Luego la recta tendr´a ecuaciones:              x=p1+λα1 y=p2+λα2 z= 0 + λα3 Ahora se quiere ver que la recta anterior pertenezca al plano π2, cuyas ecuaciones en la referencia global Rson y= 0, con lo que p2+λα2=0=⇒λ=−p2 α2 . As´ı se va a tener que un punto de la recta Qtenga en la referencia global las siguientes coordenadas: [Q]R=       p1−p2 α2 α1 0 −p2 α2 α3       . En la referencia Rπ2las coordenadas de Qser´an: [Q]Rπ2=   p1−p2 α2 α1 −p2 α2 α3   =  1−α1 α2 0−α3 α2  ·  p1 p2  =A·  p1 p2  , por lo que una proyecci´on paralela es una afinidad con matriz A. Caso 2: π1∥π2. Al ser paralelos, −→ v /∈L1=L2(L1yL2en este caso son el mismo plano vectorial). Se toma el origen O∈π1cuya imagen por la proyecci´on paralela es f(O) = O′∈π2 y una base de L1=L2={w1, w2}. Una base Bde R3es {v1, w1, w2}por lo que se toma la referencia R={O, {v1, w1, w2}}. Tambi´en se van a considerar las referencias Rπ1={O, {w1, w2}} yRπ2={O′,{w1, w2}}. Si se coge un punto P∈π1cuyas coordenadas son: [P]Rπ1=  p1 p2  ,y[P]R=     0 p1 p2      ,con P=O+p1w1+p2w2. A su vez, la ecuaci´on de π1en Res x= 0 y la de π2en Res x=d1. 32 2.2 Transformaciones afines Con esta situaci´on, la recta que pasa por Pcon vector director −→ vcon [v]B=     1 0 0      tiene ecuaciones:              x= 0 + λ y=p1 z=p2 Si ahora se coge un punto Q=f(P), sus coordenadas ser´an: [Q]R=     d1 p1 p2      . A su vez, en la referencia Rπ2ser´an: Rπ2=  p1 p2  =  1 0 0 1 ·  p1 p2  . Con lo que se prueba, al igual que en el caso 1, que la proyecci´on paralela es una afinidad y adem´as se prueba que es isometr´ıa cuando los planos son paralelos ya que, si la matriz de un endomorfismo en una base ortonormal es ortogonal, ese endomorfismo es una isometr´ıa. Proposici´on: Todas las afinidades se pueden obtener como la composici´on de dos proyecciones paralelas. La anterior proposici´on posee una demostraci´on bastante extensa, sin embargo va a permitir enunciar las siguientes propiedades de las transformaciones afines: Observaci´on: Sea f(x) = Ax +b, con Auna matriz invertible 2x2 y b∈R2, una afinidad. Entonces: 1. ftransforma l´ıneas rectas en l´ıneas rectas. 2. ftransforma rectas paralelas en rectas paralelas. 3. fconserva las proporciones de longitudes en una recta dada. Para ver a modo de ejemplo, la propiedad (1), se parte de una recta lque pasa por un punto Py con variedad de direcci´on v, luego un punto Q∈les de la forma Q=P+λ−→ v. Entonces se tiene que f(Q) = f(P) + φ(λv) = f(P) + λφ(v).Esto significa que f(Q) pertenece a la recta que pasa por f(P) y con variedad de direcci´on φ(v). 33 2.2 Transformaciones afines Figura 2: Recta transformada por una afinidad. Para ver la propiedad (3), se parte de una afinidad f:R2−→ R2de la forma:   x y =A  x′ y′ +  α1 α2  , y se consideran dos rectas l1,l2, como las de la Fig. 2, en las cuales se encuentran los puntos A, B, C ∈l1 y sus im´agenes por f A′, B′, C′∈l2. Si φes el automorfismo asociado a f, de la definici´on de afinidad se tiene que φ(−−→ A, C) = −−−−−−−→ f(A), f(C) = −−−→ A′, C′por lo que se va a cumplir que: si −−→ A, C =α·−−→ A, B, entonces −−−→ A′, C′=φ(−−→ A, C) = αφ(A, B) = α−−−→ A′, B′, de donde se concluye que: −−→ A, C =α−−→ A, B =⇒−−−→ A′, C′=α·−−−→ A′, B′, comprob´andose la veracidad de la tercera propiedad. Como se vio anteriormente: La geometr´ıa Eucl´ıdea est´a basada en el espacio Rncon el grupo de transformaciones E(Rn) de movimientos. De la misma forma la geometr´ıa af´ın, el tema principal de esta secci´on, est´a basada en el espacio Rncon el grupo de transformaciones A(Rn) de afinidades: A(Rn) := {f(x) = Ax +b|A invertible, b ∈Rn}. De modo que E(Rn)⊂A(Rn) de forma que toda transformaci´on Eucl´ıdea de Rnes una transformaci´on 34 3 Geometr´ıa proyectiva af´ın de Rndebido a que toda matriz ortogonal es invertible. Es por ello que todas las propiedades de figuras que se conservan bajo transformaciones afines, tambi´en lo har´an bajo transformaciones Eucl´ıdeas. 3. Geometr´ıa proyectiva 3.1. Puntos, coordenadas homog´eneas y l´ıneas La geometr´ıa proyectiva fue descubierta gracias a los intentos de los artistas en capturar el mundo tridimensional y representarlo en 2 dimensiones. Ya en la Edad Media, los artistas empezaron a producir reproducciones muy precisas del mundo tridimensional empleando m´etodos de perspectiva. Destacan artistas como el alem´an Albrecht D¨urer (1471-1528), que estudi´o las bases matem´aticas de este problema. La idea fundamental es dibujar rectas desde un punto de referencia p(que es la posici´on del ojo del artista) a puntos qdel objeto tridimensional detr´as de la pantalla π∼ =R2. Estas rectas intersecan la pantalla en los puntos imagen f(q)∈π. De aqu´ı se deduce que los objetos que est´an muy alejados detr´as de la pantalla tienen una imagen m´as peque˜na en la pantalla que aquellos objetos situados m´as pr´oximos. Se puede ver a fcomo una proyecci´on central de R3desde el centro pa la pantalla π. Cualquier punto q∈R3est´a unido a la pantalla πmediante la extensi´on de una l´ınea recta lpq, defini´endose as´ı fde la siguiente manera: f(q) = lpq ∩π. Sin embargo los puntos en el plano E, plano que pasa a trav´es de py es paralelo a π, no tienen imagen en π, de forma que: f:R3\E, f(q) := lpq ∩π. Esto lleva a que se puede establecer una relaci´on entre todas las rectas la trav´es de p∈R3con sus correspondientes puntos en la pantalla π∼ =R2con la excepci´on de las rectas contenidas en el plano E(||πy que pasa a trav´es de p). Se puede considerar que estas l´ıneas se corresponden a puntos los cuales est´an en el infinito en la pantalla πy llamarlos puntos ideales. El plano proyectivo RP2se obtiene a partir de elegir como punto de referencia p= 0 ∈R3, deshaci´endose de la pantalla πy viendo las rectas a trav´es de pcomo Puntos en RP2. Como los Puntos en RP2 son realmente rectas en R3, se puede emplear la letra en may´usculas ‘P’ para enfatizar esta distinci´on. Por lo tanto, los elementos de RP2son puntos proyectivos oPuntos. Estos Puntos se convierten en puntos ordinarios cuando se elije la pantalla π, pero mediante esa elecci´on siempre se perder´an los Puntos paralelos a la pantalla, a los cuales se les conoce como Puntos ideales respecto a la pantalla π. El espacio en el que se encuentran todos los Puntos se llamar´a espacio proyectivo. 35 3.1 Puntos, coordenadas homog´eneas y l´ıneas Una de las diferencias fundamentales entre el espacio af´ın y el espacio proyectivo viene del hecho de que en el espacio bidimensional af´ın, dos rectas distintas no tienen por qu´e intersecar en un mismo punto, como por ejemplo, dos rectas paralelas. Esto no va a suceder en el espacio proyectivo. De hecho, la noci´on de paralelismo no existe en este espacio, teniendo todas las rectas un punto de intersecci´on. Cada v= (v1, v2, v3)∈R3\{0}define una l´ınea recta:      v1 v2 v3      := R·v∈RP2. Definici´on: La expresi´on [v1, v2, v3]t, en la cual los elementos v1, v2, v3no son todos nulos, representa un Punto Pen RP2que consiste en una l´ınea en R3que pasa a trav´es de (0,0,0)ty (v1, v2, v3)t. Se denomina a [v1, v2, v3]tcomo coordenadas homog´eneas (las cuales se estudian m´as profundamente en la secci´on de la c´amara y para resaltarlas se emplean corchetes en vez de par´entesis) y se tiene que:      v1 v2 v3      =     w1 w2 w3     ←→ ∃λ∈R\{0}:v=λw. Definici´on: Una L´ınea l⊂RP2(cabe resaltar que L´ınea va con ‘L’ may´uscula debido a que es una l´ınea proyectiva, de forma similar a como se se˜nal´o antes con Puntos), est´a asociada a un plano El⊂R3 que pasa a trav´es del origen p: todos los Puntos en lson rectas de R3que pasan a trav´es del origen y se encuentran en el plano El. Sea l⊂RP2una L´ınea. Si se elije una pantalla π⊂R3la cual no es paralela a El, entonces los Puntos de lque cruzan a πforman una l´ınea en π, llamada π∩El. Pero lcontiene un Punto a mayores que no tiene imagen en π, que consiste en la l´ınea a trav´es del origen en Elque es paralela a π. Este Punto es ideal respecto a la pantalla π. Como una L´ınea en RP2es un plano en R3que pasa por el origen, ´este debe de estar formado por el conjunto de puntos Eucl´ıdeos (x, y, z) que satisfacen una ecuaci´on de la forma: ax +by +cz = 0, donde a, b, c ∈Ry son no nulos. Se dice que dos Puntos son colineales si ´estos descansan en una misma L´ınea. Esta propiedad se va a dar en RP2, ya que cada par de Puntos distintos de RP2se encuentran en una ´unica L´ınea. Un m´etodo 36 3.1 Puntos, coordenadas homog´eneas y l´ıneas para encontrar la ecuaci´on de esta l´ınea se especifica a continuaci´on: Proposici´on: Sea [v],[w]∈RP2dos Puntos diferentes en coordenadas homog´eneas. Entonces la L´ınea l que pasa a trav´es de [v], [w] viene dada por: [z]∈RP2/det      v1w1z1 v2w2z2 v3w3z3      = 0. Demostraci´on: [v],[w] son dos Puntos distintos si v= (v1, v2, v3)tyw= (w1, w2, w3)tson dos vectores linealmente independientes de R3. El plano El⊂R3que pasa por el origen asociado a la L´ınea les el que viene dado por v, w. Cualquier vector no nulo zen este plano define el Punto [z] en ly viceversa. Un vector no nulo zest´a en el plano Elsi solo si ´este es una combinaci´on lineal de v, w lo cual es equivalente a:  v1w1z1 v2w2z2 v3w3z3  = 0. Ejemplo. La L´ınea l que pasa a trav´es [1,0,5]ty[2,6,0]tviene dada por los Puntos [z1, z2, z3]ty satisface:      1 2 z1 0 6 z2 5 0 z3      = 0. Esto se transforma en: 6z3+ 10z2−30z1= 0, de forma que resulta: l= [z]∈RP2/3z3+ 5z2−15z1= 0. De lo anterior se puede deducir que para determinar si 3 Puntos [v1, v2, v3],[w1, w2, w3],[z1, z2, z3] son colineales, hay que efectuar el siguiente determinante:  v1w1z1 v2w2z2 v3w3z3  . 37 3.1 Puntos, coordenadas homog´eneas y l´ıneas Un valor nulo del mismo implicar´ıa que los 3 Puntos descansan en la misma L´ınea, siguiendo la demostraci´on anterior. A continuaci´on se demuestra que dos L´ıneas distintas necesariamente se cruzan en un ´unico Punto: Proposici´on: Propiedad de concurrencia: Cualquier par de L´ıneas diferentes l1, l2⊂RP2se cruzan en un ´unico Punto. Demostraci´on: La intersecci´on de los planos correspondientes El1, El2⊂R3es no nula, por ejemplo, el origen. Por lo tanto, ambos planos deben de tener intersecci´on no nula, que ser´a una recta que pasa por el origen. Esta recta de R3tiene imagen en el plano proyectivo RP2que se corresponde con la intersecci´on Punto de l1yl2en RP2. Se puede determinar el Punto de intersecci´on de dos L´ıneas de la siguiente forma: Ejemplo: Determinar el Punto de intersecci´on de las L´ıneas en RP2con ecuaciones: z1+ 6z2−5z3= 0 yz1−2z2+z3= 0. En el Punto de intersecci´on [z1, z2, z3] de las dos L´ıneas se tiene que: z1+ 6z2−5z3= 0. z1−2z2+z3= 0. Resolviendo el sistema por Gauss, la segunda ecuaci´on se convierte en: 8z2−5z3= 0,de forma que z2=3 4z3. sustituyendo en la primera se tiene que z1=1 2z3. De modo que, el Punto de intersecci´on tiene coordenadas homog´eneas:      1 2z3 3 4z3 z3      . Anteriormente se estudi´o que, a partir de la elecci´on de una pantalla π, todos los Puntos de RP2tie- nen imagen en π, excepto aquellas rectas que pasan a trav´es del origen y que son paralelas a π. Esas rectas descansan en un plano Eparalelo a πy por lo tanto definen una L´ınea en RP2. Uno se puede referir a esta L´ınea como L´ınea ideal con respecto a la pantalla π. Se puede pensar en RP2como lo que se tiene tras completar π∼ =R2con esta L´ınea ideal de Puntos. Esto proceso lleva el hecho de que cualquier par de L´ıneas diferentes intersecan. Si estas L´ıneas est´an representadas como l´ıneas paralelas en π, su Punto intersecci´on es ideal respecto a π, si no fuera as´ı, su Punto de intersecci´on estar´ıa en π. La intersecci´on de una L´ınea ideal con cualquier otra L´ınea no ideal les precisamente el Punto ideal de l. 38 3.2 Transformaciones proyectivas 3.2. Transformaciones proyectivas Una vez introducidas las nociones b´asicas del espacio proyectivo, se procede a introducir las transformaciones proyectivas. Dando coordenadas (z1, z2, z3)ta un punto en R3con respecto a la base est´andar de R3, las coordenadas del Punto correspondiente [z] en RP2(que representa los puntos {λz :λ∈R}) son [λz1, λz2, λz3]tpara λ= 0. Como los Puntos en RP2son rectas a trav´es del origen de R3, es necesario un grupo de transformaciones que establezcan una correspondencia entre rectas que pasan a trav´es del origen de R3y rectas que pasen a trav´es del origen de R3. Transformaciones en R3que lleven a cabo esto son las transformaciones lineales invertibles. Si Aes la matriz de esa transformaci´on lineal invertible de R3en R3, la transformaci´on establece una correspondencia entre puntos z= (z1, z2, z3)tde R3y puntos Az de R3; por lo que la transformaci´on proyectiva de matriz Alleva Puntos [z] de RP2a Puntos [Az] de RP2. Esto lleva a definir las transformaciones proyectivas de la siguiente forma: Definici´on: Una transformaci´on proyectiva de RP2es una funci´on f:RP2−→ RP2de la forma: f: [z]−→ [Az],(8) donde Aes una matriz invertible 3 ×3. El conjunto de todas las transformaciones proyectivas de RP2 se denota como P(RP2). Dos de las principales propiedades que se van a mantener invariantes bajo estas transformaciones son la colinealidad y concurrencia. Una L´ınea en RP2es un plano en R3que pasa a trav´es del origen. Es decir, una L´ınea consiste en un conjunto de puntos de R3que satisfacen una ecuaci´on de la forma: az1+bz2+cz3= 0, donde a, b, c = 0. Esta condici´on se puede escribir de la forma Lz = 0, donde Les la matriz fila (a, b, c) yz= (z1, z2, z3)t. Consider´andose la transformaci´on proyectiva f: [z]−→ [Az], donde Aes una matriz invertible 3 ×3, y sea [z] un Punto arbitrario de la L´ınea Lz = 0. La imagen de [z] bajo la transformaci´on fes un Punto [z′] donde z′=Az. Como zsatisface la ecuaci´on Lz = 0, z′cumplir´a la ecuaci´on L(A−1z′) = 0 o (LA−1)z′= 0. De esta forma se ha comprobado que la imagen de una L´ınea Lz = 0 bajo fes una L´ınea de ecuaci´on: (LA−1)z= 0. 39 3.3 C´amara Digital Se puede definir un nuevo sistema de coordenadas [i, j, k] centradas en Ode forma que el eje kes perpendicular al plano imagen. Este sistema de coordenadas es normalmente conocido como sistema referencia de la c´amara. La l´ınea definida por C′yOse llama eje ´optico del sistema de la c´amara. El tri´angulo P′C′Oes congruente al tri´angulo formado por P, O y (0,0, z)t, de modo que se tiene que: P′= (x′, y′)t= (fx z, f y z)t. A lo largo de todo este desarrollo se ha asumido que la apertura es un ´unico punto. De no ser as´ı, cuanto mayor sea la apertura, m´as rayos de luz pasar´an, difuminando la imagen. 3.3.2. Espacio imagen digital En esta secci´on se intentar´a exponer los detalles param´etricos que se deben tener en cuenta a la hora de proyectar desde el espacio tridimensional a las im´agenes digitales. Todos los resultados derivados emplear´an el modelo de c´amara estenopeica. Como se expuso anteriormente, un punto Pen el espacio tridimensional puede proyectarse en un punto P′en el plano imagen Π′(2 dimensiones). Esta aplicaci´on de R3−→ R2consiste en el paso al espacio proyectivo RP2estudiada a lo largo de la secci´on 3.1. El funcionamiento del modelo de c´amara propuesto se puede modelar como una matriz en la cual aparecen representados una serie de par´ametros importantes que afectan a c´omo un punto real Pest´a correspondido con las coordenadas en la imagen P′. Los primeros par´ametros que hay que considerar, cxycy, describen en qu´e cantidad pueden diferir las coordenadas del plano imagen y de la imagen digital en una translaci´on. Las coordenadas del plano imagen tienen su origen C′en el centro de la imagen donde el eje kinterseca el plano imagen. Por otro lado, las coordenadas de la imagen digital normalmente tienen su origen en la esquina superiorizquierda en la imagen. As´ı, los puntos 2D en el plano imagen y los puntos 2D en la imagen digital est´an transladados por un vector [cx, cy]t. Para ajustar este cambio del sistema de coordenadas, la correspondencia se convierte en: P′=  x′ y′ =  fx z+cx fy z+cy  . El segundo efecto que hay que tener en cuenta es que los puntos en las im´agenes digitales son expresados en p´ıxeles, mientras que los del plano imagen son expresados en unidades f´ısicas. Con el objetivo de ajustar este cambio de unidades, se introducen dos nuevos par´ametros kyl. Estos par´ametros, tendr´an unidades pixeles cm . En consecuencia, la anterior correspondencia ahora se convierte en: 46 3.3 C´amara Digital P′=  x′ y′ =  fkx z+cx fly z+cy  =  αx z+cx βy z+cy  . La pregunta que surge ahora es si habr´ıa alguna forma mejor de representar la proyecci´on de P−→ P′. Si esta proyecci´on es una transformaci´on lineal, entonces puede representarse como ´unicamente produc- to de matrices y un vector de entrada (ser´ıa en este caso P). Sin embargo en la ecuaci´on anterior, se puede observar que esta proyecci´on P−→ P′no es lineal, debido a que la operaci´on divide uno de los par´ametros de entrada (a z). Si se pudiera representar esta proyecci´on como un producto matriz×vector, har´ıa m´as f´acil el c´alculo de futuros estudios. Una forma de conseguir esto ser´ıa empleando coordenadas homog´eneas. Coordenadas homog´eneas Para solucionar el problema anterior, se puede hacer un cambio de coordenadas. Por ejemplo, se introduce una nueva coordenada de forma que cualquier punto P′= (x′, y′)tse convierta en [x′, y′,1]t. De forma similar, cualquier punto P= (x, y, z)tse convierte en [x, y, z, 1]t. Este espacio aumentado es conocido como Sistema de coordenadas homog´eneas. Un vector solo es equivalente a sus coordenadas homog´eneas cuando la ´ultima coordenada es 1. Por lo tanto, cuando se hace el cambio de coordenadas inverso, es decir desde las homog´eneas (v1, ..., vn, w)t, se obtienen las coordenadas Eucl´ıdeas (v1 w, ..., vn w)t. Figura 5: Coordenadas homog´eneas. 47 3.3 C´amara Digital Considerar la Fig. 5 y las referencias Rπ={Oπ;{e1, e2}} yR={O;{e1, e2, e3}}. El plano πen la Fig. 5, tiene coordenadas π≡z= 1.El punto Qest´a en el plano π, y tiene las siguientes coordenadas en cada referencia son: [Q]Rπ=  x y [Q]R=     x y 1      . Se va a conocer como coordenadas homog´eneas de Qen la referencia Rπa: [[Q]]Rπ=     x y 1      ,pero cualquier otra va a valer de modo que las coordenadas homog´eneas de Qson [[Q]]Rπ=     λx λy λz      ;λ∈R∗. As´ı las coordenadas homog´eneas de Q∈πson las coordenadas de cualquier punto Pque est´a en la recta O, Q. Para cualquier punto R∈π, se le har´a corresponder unas coordenadas homog´eneas cuyo ´ultimo elemento es no nulo. Usando coordenadas homog´eneas se puede formular: P′ h=     αx +cxz βy +cyz z      =     α0cx0 0β cy0 0 0 1 0              x y z 1         =     α0cx0 0β cy0 0 0 1 0      Ph.(9) De este punto en adelante se trabajar´a en homog´eneas de forma que se quita el sub´ındice h. Viendo la Ecuaci´on 9, se puede representar la relaci´on entre un punto en el espacio tridimensional real y sus coordenadas en el plano imagen mediante un producto matriz×vector: P′=     x′ y′ z      =     α0cx0 0β cy0 0 0 1 0              x y z 1         =     α0cx0 0β cy0 0 0 1 0      P=MP. Esta transformaci´on se puede descomponer de forma que: P′=MP =     α0cx 0β cy 0 0 1     hI0iP=KhI0iP. (10) 48 3.3 C´amara Digital La matriz Kse conoce como matriz de la c´amara. Par´ametros externos Hasta ahora se ha descrito la correspondencia entre un punto Pen el sistema de referencia de la c´amara 3D, y un punto P′en el plano imagen 2D usando los par´ametros intr´ınsecos de la c´amara descritos en forma de matriz. Pero si la informaci´on sobre el mundo 3D estuviese disponible en otro sistema de referencia, habr´ıa que introducir una transformaci´on adicional que relaciona puntos de sistema de referencia del mundo al de la c´amara. Esta transformaci´on viene dada por una rotaci´on Ry una translaci´on T. Por lo tanto, dado un punto en el sistema de referencia del mundo 3D Pw, se puede calcular sus coordenadas en el sistema de la c´amara como P=  R T 0 1 Pw. Sustituyendo lo anterior en la ecuaci´on 10 y simplificando se obtiene: P′=KhR TiPw=MPw. Estos par´ametros RyTson conocidos como par´ametros extr´ınsecos porque son externos y no dependen de la c´amara. 3.3.3. Puntos y L´ıneas en el Infinito De forma general una l´ınea lse define como l=habci. As´ı se tiene: ∀p=  x y ∈l, habci     x y 1      = 0.(11) En general, dos l´ıneas l,l′, se cruzan en un punto x. Este punto es definido como l×l′. Demostraci´on: Dadas dos l´ıneas lyl′, la intersecci´on debe de estar contenida en ambas l´ıneas lyl′. En consecuencia, lxt= 0 y l′xt= 0. Si se calcula el punto de intersecci´on x=l×l′, va a ser ortogonal a l yl′, de modo que por la definici´on de ortogonalidad, lxt= 0 y l′xt= 0,satisfaciendo as´ı la condici´on de punto de intersecci´on de dos l´ıneas. Sin embargo, cuando lyl′son paralelas, la intersecci´on entre ambas no existe. Esta definici´on podr´ıa cambiarse por decir que su intersecci´on se encuentra en el ∞. En coordenadas homog´eneas un punto en el ∞se escribe como hx y 0it.Pasando a coordenadas eucl´ıdeas (dividiendo los dos primeros elementos por la ´ultima componente), se obtienen coordenadas (∞,∞). En consecuencia, las coordenadas homog´eneas van a permitir escribir la intersecci´on entre dos l´ıneas paralelas de la siguiente forma: 49 3.3 C´amara Digital Cuando dos l´ıneas lyl′son paralelas, se va a cumplir en la ecuaci´on 11 que a b=a′ b′. Calculando su punto de intersecci´on empleando coordenadas homog´eneas, se verifica que: l×l′∝     b −a 0      =xt ∞. De esta forma se comprueba que dos l´ıneas paralelas intersecan en el infinito. Este punto de intersecci´on de dos l´ıneas paralelas se llama punto ideal. Una propiedad interesante en el infinito es que todas las l´ıneas paralelas con pendiente −a bpasan por el punto ideal como se muestra a continuaci´on: lxt ∞=habci     b −a 0      = 0. Este concepto de puntos en el infinito se puede extender a l´ıneas en el infinito: Considerando dos o m´as pares de l´ıneas paralelas, las cuales van a intersecar en puntos en el infinito {x∞,1, ..., x∞,n}. La l´ınea l∞que pasa a trav´es de todos estos puntos debe satisfacer que lt ∞x∞,i = 0, ∀i. Esto significa que l∞=h0 0 cit. Como ces un valor arbitrario, se puede definir l∞=h001it. Recordando la definici´on de transformaci´on proyectiva 8, una transformaci´on proyectiva tiene como matriz asociada una matriz 3 ×3 de modo que, empleando coordenadas homog´eneas, lleva los puntos      x y 1      en      x′ y′ 1      . Si se aplica una transformaci´on proyectiva Ha un punto en el infinito p∞: p′=Hp∞=     a d g b e h c f i           1 1 0      =     p′ x p′ y p′ z      . El ´ultimo elemento de p′ya no es nulo, por lo que una transformaci´on proyectiva puede enviar puntos que estaban en el infinito a puntos que ya no est´an en el infinito. Esto no ocurr´ıa con transformaciones afines ya que: p′=Ap∞=  A t 0 1        1 1 0      =     p′ x p′ y 0      . 50 3.3 C´amara Digital Figura 6: Proyectividad. Alrededores de la localidad de Villal´on de Campos. En la Fig. 6, tomada en la localidad de Villal´on de Campos, se pueden observar algunos de los conceptos estudiados en la geometr´ıa proyectiva y en la c´amara digital: Las roderas que se pueden observar en la tierra llenas de agua, son paralelas en el plano R3. Sin embargo, en la foto RP2, ´estas convergen en un Punto (Punto ideal), perdi´endose la noci´on de paralelismo. Al ser paralelas en el espacio R3, su intersecci´on se encuentra en el ∞, mientras que en la proyecci´on se encuentran en la imagen. Tambi´en se puede corroborar que los objetos cercanos aparecen en un tama˜no mucho mayor que los lejanos, como puede observarse en el pivot de riego, cuyo tama˜no en el espacio R3es similar en cada estructura, pero en la imagen disminuye conforme se aleja. Adem´as en cuanto a las coordenadas homog´eneas, tambi´en se puede observar que en esta Fig. 6 la L´ınea ideal que separaba la tierra del cielo se corresponde a puntos en el infinito, que en la imagen son puntos que, gracias al empleo de coordenadas homog´eneas, y de la proyectividad, se pueden representar. 51 4 Unidad did´actica 4. Unidad did´actica 4.1. Introducci´on Seg´un establece la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on, las matem´aticas ocupan un lugar importante en la historia del pensamiento y como fuerza conductora de la cultura y las civilizaciones, ya que, adem´as de tener un car´acter instrumental para la adquisici´on de nuevos conocimientos en otras disciplinas, favorecen la interpretaci´on del mundo que nos rodea, con precisi´on, y contribuyen de manera especial al desarrollo del pensamiento y razonamiento, en particular, del pensamiento l´ogico-deductivo y algor´ıtmico, del pensamiento geom´etrico-espacial y de la creatividad. Las matem´aticas deben ayudar a adquirir un h´abito de pensamiento que le permita al alumno afrontar y resolver los problemas de la vida cotidiana. El curr´ıculo b´asico de Matem´aticas se conforma en cinco bloques, de los cuales el que resulta de mayor inter´es en este trabajo es el de “N´umeros y ´ Algebra”, en concreto los sistemas lineales (con la introducci´on de matrices y determinantes) . El objetivo final de este trabajo es proponer una Unidad Did´actica que permita desarrollar estos conocimientos un paso m´as all´a, de forma que los alumnos adquieran una idea real de la importancia y utilidad de las matrices en el campo de las transformaciones geom´etricas del plano y del espacio. La normativa vigente que se tiene en cuenta a la hora de elaborar esta Unidad Did´actica se divide seg´un el car´acter estatal o auton´omico de la siguiente forma: Legislaci´on de car´acter estatal. La principal normativa com´un para todas las Comunidades Aut´onomas es la siguiente: •Ley Org´anica 8/2013 de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa (LOMCE). •Ley Org´anica 2/2006, de 3 de mayo, de Educaci´on (LOE). •Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el curr´ıculo b´asico de la Educaci´on Secundaria Obligatoria y Bachillerato. •Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de evaluaci´on de la educaci´on primaria, la educaci´on secundaria obligatoria y el bachillerato. Legislaci´on de car´acter auton´omico. El conjunto de ´ordenes, decretos y leyes de car´acter educativo propias de Castilla y Le´on son: •ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on. 52 4.2 Objetivos 4.2. Objetivos En el Art´ıculo 2. Finalidad, objetivos y principios generales de la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on, se indica que los objetivos de esta etapa ser´an los establecidos en el art´ıculo 33 de la Ley Org´anica 2/2006, de 3 de mayo, y en el art´ıculo 25 del Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre. Consejer´ıa de Educaci´on (2015) M´as concretamente, con esta Unidad Did´actica se pretende que los alumnos adquieran o mejoren en las siguientes capacidades: Comprender y utilizar de forma b´asica el lenguaje matem´atico. Conocer, entender, utilizar y aplicar las herramientas matriciales, los determinantes, los sistemas de ecuaciones lineales. Conocer, entender, utilizar y aplicar distintos tipos de aplicaciones lineales. Entender la matriz como una nueva forma de organizaci´on de informaci´on con la que poder resolver problemas que puedan plantearse en la vida cotidiana. Encontrar una explicaci´on y un sentido a las operaciones y propiedades que cumplen estos objetos matem´aticos. 4.3. Contenidos, Est´andares de Aprendizaje y Criterios de Evaluaci´on Para la materia de matem´aticas, acad´emicas, 2ºcurso de Bachillerato los contenidos quedan definidos a trav´es de la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on.Consejer´ıa de Educaci´on (2015) Vienen organizados en 5 bloques (Procesos, m´etodos y actitudes en matem´aticas, n´umeros y ´algebra, an´alisis, geometr´ıa y estad´ıstica y probabilidad). Dentro del bloque de n´umeros y ´algebra, se especifican los siguientes contenidos: Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Clasificaci´on de matrices. Operaciones. Aplicaci´on de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resoluci´on de problemas extra´ıdos de contextos reales Determinantes. Propiedades elementales. Menor complementario y matriz adjunta. Rango de una matriz. Matriz inversa. 53 4.3 Contenidos, Est´andares de Aprendizaje y Criterios de Evaluaci´on Ecuaciones matriciales Representaci´on matricial de un sistema: discusi´on y resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, posiblemente dependientes de un par´ametro. M´etodo de Gauss. Teorema de Rouch´e-Frobenius. Regla de Cramer. Aplicaci´on a la resoluci´on de problemas. En base a estos contenidos, en esta Unidad Did´actica se proponen unos conocimientos complementarios que consigan los objetivos especificados en esta Unidad Did´actica: El concepto de funci´on. Introducci´on a las transformaciones geom´etricas en el plano. Translaciones, escalamientos, giros y simetr´ıas. Introducci´on a las isometr´ıas. Deducci´on de las ecuaciones de las principales transformaciones en el plano. Representaci´on de las transformaciones del plano en forma matricial. Operaciones con las transformaciones en el plano a partir de su representaci´on matricial. Puntos y rectas invariantes. Proceso de formaci´on de la imagen en c´amaras digitales y utilizaci´on de las matrices en la fotograf´ıa digital. Perspectividades e introducci´on a las transformaciones proyectivas. Tambi´en se pretende, a parte de integrar la adquisici´on de los conocimientos matem´aticos, profundizar en el desarrollo de las capacidades cognitivas, sociales, afectivas y morales. Para ello ser´a necesario personalizar la acci´on del docente para el grupo al que vaya destinada la Unidad Did´actica. Por ello aparecen dos ejes principales: la adquisici´on de una base te´orica y la capacidad para aplicar esa teor´ıa a situaciones pr´acticas reales. Para conseguir todo esto, es necesario tratar los contenidos de forma que se diferencien tres procesos: despertar inicialmente una motivaci´on (“¿por qu´e el alumno necesita saber esto?”), formalizar ese contenido de forma clara y precisa, y por ´ultimo sintetizar y aplicar esos contenidos. Con todo ello se pretende estimular el pensamiento formal del alumno. A lo largo de la unidad did´actica se proponen actividades especiales para promover esa motivaci´on y la adquisici´on de las competencias. La temporalizaci´on a la hora de impartir los contenidos de esta Unidad Did´actica ha de ser flexible y adaptarse tanto al inter´es y circunstancias de los alumnos, como a los distintos imprevistos que puedan 54 4.3 Contenidos, Est´andares de Aprendizaje y Criterios de Evaluaci´on surgir. Los criterios de evaluaci´on son el referente para evaluar el aprendizaje del alumnado. Describen aquello que se quiere valorar y que el alumnado debe lograr, tanto en conocimientos como en competencias y responden a lo que se pretende conseguir en una propuesta did´actica determinada. Los est´andares de aprendizaje evaluables, son especificaciones de los criterios de evaluaci´on que permiten definir los resultados de aprendizaje, concretan lo que el alumno debe saber, comprender y saber hacer en una propuesta did´actica determinada. Los criterios de evaluaci´on y los est´andares de aprendizaje son los referentes para determinar la consecuci´on del aprendizaje expresado en los objetivos y de la adquisici´on de las competencias clave. En la siguiente tabla, se especifican ambos junto a los contenidos: 55 4.7 Atenci´on a la diversidad Se especificar´a la escala en la secci´on de Secuenciaci´on de Actividades. El ambiente en la clase ser´a tal que se favorezca la interacci´on profesor-alumno en el aula, tanto una relaci´on formal de transmisi´on del conocimiento como una relaci´on socio-afectiva. El di´alogo y el debate de ideas ser´a uno de los ejes fundamentales. Una de la claves fundamentales va a consistir en el error, el cual se fomentar´a como m´etodo de aprendizaje. El aprendizaje mediante el error permite modificar los esquemas de pensamiento y esto no se produce si no se es consciente del error. El error pasa a ser as´ı una fuente de aprendizaje, no una situaci´on de fracaso. Brice˜no (2009). Las sesiones se llevar´an a cabo en el aula habitual y en el aula de Tecnolog´ıa e Inform´atica. 4.6.2. Materiales y recursos did´acticos La forma en la que los alumnos ven los contenidos de la materia pueden resultar m´as o menos atractivos en funci´on de los medios y soportes que se usen en su desarrollo. En primer lugar, estar´ıan los apuntes que ser´a un material de referencia a lo largo de la Unidad Did´actica. Pero aparte de los apuntes en s´ı, tambi´en pueden emplearse libros, documentos, p´aginas web o v´ıdeos de car´acter divulgativo y motivacional que ayudar´an a trabajar algunos contenidos as´ı como a aumentar el inter´es por la Unidad. Por otro lado se van a encontrar los recursos audiovisuales cuyo soporte es tecnol´ogico y por ello requiere un ordenador y un proyector o pizarra. Se podr´an realizar tanto actividades en clase como en casa, favoreciendo la competencia digital. En esta Unidad se propone el programa geogebra. En tercer lugar estar´ıan los recursos inform´aticos frente a los cuales la actitud del alumno ha de ser m´as activa que frente a los audiovisuales. Aqu´ı entrar´ıan de nuevo programas como GeoGebra y GIMP. En cuanto a recursos de instalaciones ser´ıan necesario dos aulas en los que se imparten clase: aula habitual y aula de Tecnolog´ıa e Inform´atica. Ambas estar´ıan equipadas con proyector y altavoz, ordenador, pizarra y tiza y con capacidad suficiente para los alumnos. Por ´ultimo, tambi´en ser´a necesario una calculadora. 4.7. Atenci´on a la diversidad Esta secci´on se puede comenzar mencion´andose, en primer lugar, lo establecido en los art´ıculos 26 al 29 del CAP´ ITULO III Alumnado, orientaci´on y atenci´on a la diversidad de la ORDEN 62 4.7 Atenci´on a la diversidad EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on. En el Art´ıculo 26 se recogen la Finalidad y principios generales de actuaci´on. En el Art´ıculo 27 se recoge el Plan de atenci´on a la diversidad. En el Art´ıculo 28 se recogen las medidas generales u ordinarias de atenci´on a la diversidad. En el Art´ıculo 29 se recogen las medidas especializadas y extraordinarias de atenci´on a la diversidad. La atenci´on a la diversidad debe de ser considerada como una de las bases de actuaci´on de cualquier docente. Cada alumno es una realidad completamente distinta, y es por ello que, a parte del ritmo que lleva la clase de media, hay que atender a las distintas velocidades a las que evoluciona cada alumno. En las ense˜nanzas medias esta diversidad debe ser atendida para facilitar la consecuci´on de los objetivos a todos los alumnos. Cuando el progreso de un alumno no responda a los objetivos programados, se deben de adoptar las medidas oportunas de refuerzo educativo y adaptaci´on curricular. Todas las medidas que se pueden adoptar, especificadas en la ley y adaptadas a cada centro, se dividen en: Medidas de atenci´on a la diversidad desde el centro. En la Programaci´on General Anual se recoge el acuerdo sobre la adaptaci´on del curr´ıculo a las caracter´ısticas y necesidades espec´ıficas del alumnado de un centro y entorno espec´ıficos. En concreto, esto se recoge en el Plan General de Atenci´on a la Diversidad en el cual se concretan medidas organizativas y curriculares. Por otro lado, est´an las medidas de atenci´on a la diversidad desde la programaci´on did´actica. 4.7.1. Medidas ordinarias Evaluaci´on inicial, la cual se realiza al principio de la Unidad Did´actica y se puede emplear para determinar el nivel de competencias del alumnado. Refuerzo individual en el grupo a cargo del profesor, lo cual incluye medidas como: •Animar a los alumnos a aclarar sus dudas en el aula. •Prestar el apoyo individualizado pertinente. •Control regular de las tareas realizadas en clase y en casa. En la Unidad did´actica se incluir´an: •Actividades de refuerzo las cuales consisten en aplicar los mismos conocimientos a otras situaciones, de modo que se adquiera el mismo conocimiento desde distintos puntos de vista y se obtenga una visi´on m´as completa de los conceptos. 63 4.8 Criterios de calificaci´on •Actividades iniciales, que se presentan al principio de la unidad, con el objetivo de motivar e introducir los conocimientos previos necesarios para afrontar con mayor seguridad esa Unidad Did´actica. •Actividades de ampliaci´on, para aquellos que ya hayan interiorizado los conceptos matem´aticos y sientan inter´es a la vez que se vean capaces de afrontar nuevos retos. Estas actividades se clasificar´an como actividades de nivel 4 ‘Hacer matem´aticas’. 4.7.2. Medidas espec´ıficas Las medidas de este apartado que se exponen a continuaci´on se pondr´ıan en marcha en el caso de que en el grupo haya alumnos que necesiten una atenci´on mucho m´as individualizada, a pesar de que esta Unidad Did´actica en un principio va dirigida a alumnos avanzados que hayan superado el Bachillerato. Sin embargo se puede dar el caso. En esta situaci´on se podr´ıa realizar una adaptaci´on de la unidad Did´actica a sus capacidades y se pondr´ıan en marcha medidas como: Adoptar estrategias que aumenten su atenci´on. Planificarle los tiempos m´as detalladamente. Fomentar su inclusividad, como uno m´as del grupo. Impulsar estrategias de planificaci´on, organizaci´on, etc. El profesor tendr´a que hacer un seguimiento m´as exhaustivo de este alumno, centrando m´as la atenci´on en ´el, corrigiendo sus cuadernos de notas, etc. 4.8. Criterios de calificaci´on 4.8.1. Evaluaci´on del proceso de aprendizaje Para determinar la calificaci´on de esta Unidad Did´actica, se proceder´a del modo siguiente, en el que hay que tener en cuenta 3 componentes: 1. La calificaci´on de la actitud, trabajo y comportamiento del alumno (Natc) durante la evaluaci´on y que representar´a el 30 % de la calificaci´on. Se corresponde con los Est´andares de Aprendizaje Evaluables 10.1., 10.2. y 10.3., del Bloque 1. Procesos, m´etodos y actitudes en matem´aticas. 2. Realizaci´on de una prueba escrita (Npe) que consistir´a en un 20 % de la calificaci´on final en la que se eval´uen los Est´andares de Aprendizaje Evaluables de la propia Unidad Did´actica. La prueba consistir´a en responder de forma breve a algunas cuestiones sencillas en las que se preguntan conceptos muy generales sobre la propuesta did´actica para comprobar que idea final han obtenido. 3. Resoluci´on de actividad grupal y exposici´on oral (Neo) , lo cual formar´a el 50 % restante de la calificaci´on. Se corresponde a lo Est´andares de Aprendizaje Evaluables 1.1., 4.1., 4.2., 7.3., 7.5., 14.1. y 14.2. del Bloque 1. Procesos, m´etodos y actitudes en matem´aticas. 64 4.9 Organizaci´on del contenido De modo que la calificaci´on final de la Unidad Did´actica viene dada por: Nud = 0,2Npe + 0,3Natc + 0,5Neo 4.8.2. Evaluaci´on de la pr´actica docente Seg´un el Art´ıculo 31. Evaluaci´on del proceso de ense˜nanza de la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y Le´on, se recoge que: 1. De acuerdo con lo establecido en el art´ıculo 30 del Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, el profesorado evaluar´a tanto los aprendizajes del alumnado como los procesos de ense˜nanza y su propia pr´actica docente. A estos efectos se tendr´a en cuenta los indicadores de logro establecidos en las programaciones did´acticas a los que se refiere el art´ıculo 21 de esta orden. 2. El plan de evaluaci´on del proceso de ense˜nanza y de la pr´actica docente se incorporar´a al proyecto educativo e incluir´a los momentos en los que ha de realizarse la evaluaci´on y los instrumentos para realizarla. Para dar cumplimiento a las indicaciones anteriores, y con el objetivo de analizar la labor docente, se realizar´a una encuesta de autoevaluaci´on al final de la Unidad Did´actica centrada en 3 aspectos: la planificaci´on, el desarrollo y la evaluaci´on de la labor docente. 4.9. Organizaci´on del contenido Este apartado est´a dedicado a explicar c´omo se expondr´ıan los contenidos de esta Unidad Did´actica, especificados anteriormente, a los alumnos. 1. Activar conceptos previos. Para dar un inicio a esta Unidad Did´actica, se hace un repaso por distintos conceptos y operaciones que son necesarios controlar para poder interiorizar la Unidad Did´actica de forma satisfactoria. Aparte de los ya aprendidos en la asignatura en 2ºde Bachillerato, se introducir´ıan: Distancia en el espacio m´etrico |x|:Dados dos puntos AyBse llama distancia entre los dos puntos A,Ba: d(A, B) = |−−→ AB| Coordenadas homog´eneas: Con el objetivo de que los alumnos se hagan una idea de lo que son las coordenadas homog´eneas, se puede comenzar por pensar en un plano. En este plano, de ejes coordenados X, Y un punto Qtendr´a unas coordenadas Q(x, y) determinadas como se puede ver la 5. Ahora este plano se introduce en R3de modo que sea el plano correspondiente a Z= 1. 65 4.9 Organizaci´on del contenido El punto Qde coordenadas Q=  x y , va a tener coordenadas homog´eneas Qh=     x y 1      . ´ Estas no van a ser las ´unicas coordenadas homog´eneas, sino que las coordenadas homog´eneas de Qser´an: Qh=     λx λy λ      , λ ∈R∗. Para no confundir, al emplear coordenadas homog´eneas, se introducen los elementos entre corchetes, mientras que si son coordenadas vectoriales (las que se han usado normalmente hasta ahora), se emplean par´entesis. Colineales: Tres puntos se consideraban colineales si se encuentran situados sobre la misma l´ınea recta. Uno de los m´etodos para determinar la l´ınea que pasa a trav´es de dos puntos v1= [a, b, c], v2= [d, e, f] (en coordenadas homog´eneas) consiste en efectuar el determinante siguiente:  x y z a b c d e f  = 0, donde [x, y, z] son las coordenadas homog´eneas de un punto que se encuentre sobre dicha l´ınea recta. Esto se deduce de las propiedades de los determinantes, ya que si el determinante es cero, una fila necesariamente es proporcional a las otras dos. Traspuesta: Puede haber ambig¨uedad respecto a este tema, por lo que se asume desde el principio que todos los vectores son vectores columna. Esta es la raz´on por la que al escribir las coordenadas en fila, se emplea la notaci´on de traspuesta. Ejemplo: Las coordenadas de v1son (2,1,3)t. Tambi´en se propone la visualizaci´on del siguiente v´ıdeo en clase con el objetivo de aumentar la motivaci´on en los alumnos: The Beauty and Power of Mathematics Tavernetti (2016). 2. El concepto de funci´on. En primer lugar, ser´a necesario introducir el concepto de funci´on desde otro punto de vista, activando en primer lugar sus conocimientos previos de lo que ellos entienden por funci´on. Al igual que la evoluci´on hist´orica, el concepto de funci´on ha evolucionado desde una concepci´on puramente geom´etrica, en la que se considera que una funci´on se identifica con una curva, hasta una concepci´on l´ogica, en la que se define funci´on como una correspondencia entre conjuntos, pasando por una concepci´on algebraica, en la que una funci´on se expresa mediante una f´ormula. Ellos est´an acostumbrados a que una magnitud (variable) es funci´on de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo: el ´area Ade un c´ırculo es funci´on de su radio: se puede calcular sabiendo el valor de su radio r, que como ellos saben es A=πr2. En un ejercicio, a la variable que se quiere calcular se la denomina variable dependiente (y), y la 66 4.9 Organizaci´on del contenido variable de la que depende es la variable independiente (x). La expresi´on “estar en funci´on de” se puede entender como “ser dependiente de”. Hay una regla clara para calcular el valor de Y sabiendo el valor de xen y=f(x) (no todas las funciones son de este tipo pero s´ı la mayor´ıa de las que se usan de forma natural). Estas reglas funcionales operan como una m´aquina programada para que si t´u introduces el valor de x, la m´aquina, capaz de hacer c´alculos, te da en la salida el valor de y. Formalmente, se conoce como funci´on o correspondencia de un conjunto Aen un conjunto Ba todo subconjunto de A×B. Si f⊂A×Bes una correspondencia, (a, b)∈fy en este caso se va a denotar como f(a) = b. Una aplicaci´on es una correspondencia de forma que cumple: Para todo elemento a∈A, existe un elemento b∈Bque cumpla que f(a) = b. f(a) = b1,f(a) = b2=⇒b1=b2. Se puede comprobar como ejemplo que las condiciones anteriores se cumplen en la Fig. 8. Figura 8: Representaci´on de una funci´on como relaci´on entre conjuntos. Se pueden introducir los conceptos de sobreyectividad e inyectividad: Funci´on inyectiva: Elementos distintos del espacio de salida Avan a parar a elementos distintos del espacio de llegada B. En el caso en el que en la Fig. 8 los elementos 1 y 3 fueran a parar a 2, entonces fno ser´ıa inyectiva. Es decir: ∀a1, a2∈A, f(a1) = f(a2)⇐⇒ a1=a2. Funci´on sobreyectiva: Cada elemento del espacio de llegada Bproviene de un elemento de A. En el caso de que, por ejemplo, el elemento 5 en la Fig. 8 no viniese ni de el 4 ni de 3 ni de 1, entonces fno ser´ıa sobreyectiva. Hasta este momento ellos han visto que los espacios de salida y de llegada son Ro a lo sumo R2, con la introducci´on de los vectores en el curr´ıculo de 4ºde la ESO. Es decir, cada (x, y) contenido 67 4.9 Organizaci´on del contenido en el espacio de salida A, tras aplicar f, va a parar a un (x′, y′) de B. Puede resultar necesario incidir en que ambos t´erminos x, y yx′, y′son dependientes unos de otros, ya que ellos est´an acostumbrados a que x′dependiese solo de xy que y′dependiese solo de y. Ejemplo 1: Sea f:R−→ Rcon f(x) = x Ejemplo 2: Sea f:R2−→ R2con f(x, y)=(x′, y′) = (y, x) Ejemplo 3: Sea f:R2−→ R2con f(x, y)=(x′, y′) = (3x, x −y) 3. Matriz de una transformaci´on lineal Con el prop´osito de representar las aplicaciones lineales mediante matrices, paso muy importante en este trabajo, se proponen varios ejemplos de modo que sea algo visual y no tan te´orico. Consiste en partir de la escritura de cada una de las coordenadas del espacio de llegada en funci´on de las coordenadas del espacio de salir. De este modo, por ejemplo: Ejemplo1: Sea f:R2−→ R2con f(x, y)=(x′, y′)=(y, x). La primera coordenada, x′es igual ay. Es decir, escribiendo esta primera coordenada del espacio de llegada x′en funci´on de las coordenadas del espacio de salida, se tiene que x′= 0x+ 1y. Del mismo modo, y′= 1x+ 0y. Esto es equivalente a la siguiente ecuaci´on matricial:   x′ y′ =  0 1 1 0   x y  En consecuencia, se tiene que la aplicaci´on fse puede representar matricialmente por: A=  0 1 1 0  Ejemplo 2. Sea f:R3−→ R3la aplicaci´on que viene dada por f(x, y, z)=(x′, y′, z′)=(x+y+ z, y, x + 2y+z). Dar la matriz de la transformaci´on f: De la misma forma que anteriormente, se obtendr´ıa que: x′=x+y+z,y′=yy que z′=x+ 2y+z, de modo que la matriz Ade la transformaci´on ser´ıa:      x′ y′ z′      =     1 1 1 0 1 0 1 2 1           x y z      , con A =     111 010 121      4. Transformaciones geom´etricas. Una vez se ha introducido a los alumnos la forma en la que se pueden transformar las coordenadas, y la representaci´on matricial de las mismas, se procede al siguiente paso, que consiste en estudiar 68 4.9 Organizaci´on del contenido ejemplos concretos de estas transformaciones que servir´an como base, con el objetivo final de dar una introducci´on a las transformaciones proyectivas, a la vez que permitir´an al alumno conocer distintos tipos de matrices que representan transformaciones del plano y del espacio. Ejemplos de transformaciones lineales en R2: Isometr´ıas Partiendo de las transformaciones fde la forma f:R2−→ R2 v=  x y −→ A  x y . Se podr´a definir isometr´ıa, de forma coloquial, para que adquieran una idea del concepto, como una aplicaci´on fque va a conservar las distancias, es decir |x|=|f(x)|. Intentando esquivar el concepto de base, ya que podr´ıa ser algo de un nivel un poco elevado, se les expondr´ıa que en general, cuando una aplicaci´on es una isometr´ıa, la matriz asociada a esa aplicaci´on ser´a ortogonal, cumpliendo que: At·A=Id. Una demostraci´on de lo anterior si se les puede introducir, de modo que corroboren la ecuaci´on matricial anterior, entendiendo que tiene una explicaci´on y no es una condici´on que deba ser aprendida de memoria. Demostraci´on: Se tienen dos puntos x,y∈R2, de modo que su producto escalar: < x, y >=x1x2  y1 y2  .(12) Aplicando la transformaci´on anterior f, se tiene que f(x) = Axtyf(y) = Ayt, y se calcula de nuevo el producto escalar: < f(x), f(y)>=x1x2AtA  y1 y2  ,∀(x1, x2),(y1, y2)∈R2.(13) Como lo anterior es una isometr´ıa, que ha de conservar las distancias, las ecuaciones 12 y 13 han de ser iguales, de forma que: AtA=Id2×2. 69 4.9 Organizaci´on del contenido Ejemplo 1: Se tiene una aplicaci´on f:R2−→ R2cuya matriz asociada es: A=  0 1 −1 0 . La forma de comprobar que esta aplicaci´on es isometr´ıa ser´ıa efectuando los siguientes c´alculos: A·At=  0 1 −1 0   0−1 1 0  =  1 0 0 1 =Id2×2 At·A=  0−1 1 0    0 1 −1 0 =  1 0 0 1 =Id2×2 Como cumple las condiciones, fes una isometr´ıa. Ejemplos: Con el objetivo de exponer ejemplos, mecanismo fundamental en la ense˜nanza de las matem´aticas Janvier (1981), se presentan los giros y las simetr´ıas. Giros o rotaciones. Realizar un giro de los elementos contenidos en un plano va a ser una de las transformaciones que van a considerarse isometr´ıas. Estos giros G(O, α) rotan los elementos un ´angulo αalrededor de un punto fijo llamado centro O. Figura 9: Giro de centro O= (0,0). Las coordenadas   x′ y′ que se van a obtener tras aplicar la aplicaci´on Ga las coordenadas iniciales del eje cartesiano   x y van a tomar la siguiente forma: x′= cos(α)x−sin(α)y, y′= sin(α)x+ cos(α)y. 70 4.9 Organizaci´on del contenido De esta forma la matriz asociada a la aplicaci´on G:R2−→ R2toma la forma:   cos(α)−sin(α) sin(α) cos(α) . Simetr´ıa de centro O=  0 0 . Figura 10: Simetr´ıa de centro O= (0,0). Una simetr´ıa SO:R2−→ R2como la de la Fig. 10 consiste en una aplicaci´on Gen la que un punto Pcon coordenadas   x y se transforma en un punto P′=  x′ y′ de modo que x′=−x, y′=−y. En consecuencia, la matriz asociada a la transformaci´on anterior tendr´a la forma:  −1 0 0−1  Simetr´ıa respecto de una recta. La Fig. 11 representa una simetr´ıa Saxial :R2−→ R2respecto del eje Yde las coordenadas cartesianas, de modo que se tiene: x′=−x, y′=y. 71 4.9 Organizaci´on del contenido Cse denomina distancia focal f. La altura del tri´angulo grande es a la base como la altura del tri´angulo peque˜no es a su base (Teorema de Tales, el cual aparece en el curr´ıculo de 2ºy 3ºde la ESO). Con ello se obtiene que: Y Z=y f=⇒y=fY Z.La focal fdepende de la potencia de la c´amara. Este mismo resultado aplica tambi´en a la coordenada x=fX Z. Es decir, en la proyecci´on anterior empleando coordenadas homog´eneas, se tiene la siguiente transformaci´on de coordenadas:         X Y Z 1         −→      fX Z fY Z 1      . Al final, lo que se est´a consiguiendo es llevar todas los puntos del mundo que nos rodea (tridimensional) a un plano de dos dimensiones. Esta transformaci´on se puede representar mediante la siguiente transformaci´on de escalamiento estudiada previamente, la cual no conserva las distancias por lo que no era un movimiento, sino que se clasific´o como un tipo de transformaci´on menos restrictivo llamado afinidad:      f0 0 0 0f0 0 0 0 1 0      ,(19) que transforma las coordenadas         X Y Z 1         en      fX fY Z      (observando que se ha multiplicado a todas las coordenadas del vector resultante por Zde modo que queda un vector equivalente.) Dividiendo por el factor de escala Za todas las componentes, se obtienen las coordenadas deseadas. Sin embargo se va a trabajar con el vector multiplicado por Zpor comodidad en los c´alculos. Una vez se tiene capturado el mundo tridimensional por una c´amara (imagen plana bidimensional) lo cual es representado mediante la matriz en 19, se procede a explicar las transformaciones que tienen lugar dentro de las c´amaras de los puntos que se han obtenido      fX fY Z      =pc. Lo que sucede ahora con pces que, al estar en unidades m´etricas (m, cm, etc. ya que proviene de un punto tridimensional), no encaja con las unidades del plano de proyecci´on que suele ser p´ıxeles, por lo que en el punto pchay que hacer una conversi´on de unidades. Se emplear´an las constantes: kupixel metro ykvpixel metro . Al multiplicar pcpor estas unidades, que se formular´a con una matriz de 78 4.9 Organizaci´on del contenido Figura 17: Plano imagen de la c´amara Pertuz (2020) escalamiento, se conseguir´a eliminar los metros: ku·X=⇒pixel metro ·metro 1=pixel y de la misma forma: kv·Y=⇒pixel metro ·metro 1=pixel. La matriz equivalente ser´a:      ku0 0 0kv0 0 0 1      (20) Otro factor a tener en cuenta es que el centro de proyecci´on Cde la c´amara, se encuentra en el centro del plano imagen de la Fig. 17. Sin embargo, en la c´amara, el origen de coordenadas est´a en el extremo superior izquierdo, por lo que hay que hacer una nueva transformaci´on. Esta transformaci´on va a ser una translaci´on, ya estudiada anteriormente. Esta translaci´on del centro del plano al extremo izquierdo se denotar´a por   u0 v0  y teniendo en cuenta la ecuaci´on 17 se tiene:      1 0 u0 0 1 v0 0 0 1      .(21) El punto final ptras la translaci´on 21 y escalamiento 20 anteriores aplicados al punto pcy la proyecci´on aplicada a Pinicial que vino dada por la ecuaci´on 19 resulta ser p=     1 0 u0 0 1 v0 0 0 1           ku0 0 0kv0 0 0 1           f0 0 0f0 0 0 1      P=     fku0u0 0fkvv0 0 0 1      P=KP. (22) 79 4.9 Organizaci´on del contenido La matriz Kse denomina matriz de la c´amara y lleva cualquier punto Pdel espacio tridimensional que nos rodea al punto pdel plano imagen. Hay que tener en cuenta que el sistema de referencia del punto Py del resto de puntos del espacio tridimensional real tienen coordenadas cuyo origen (el O= (0,0,0)t) esta en el centro de proyecci´on de la c´amara C. 6. Transformaciones proyectivas Figura 18: punto proyecta sobre el plano imagen de la c´amara Pertuz (2020) La Fig. 18 es similar al montaje del apartado anterior, pero visto desde arriba, donde la l´ınea amarilla sigue representando el plano imagen de la c´amara. Sin embargo, si la c´amara se rota, cambiando la perspectiva desde la que se fotograf´ıa al mismo punto P, el plano imagen tambi´en cambiar´a, de forma que ahora la imagen del punto real Pse forma en p2. En la siguiente figura Fig. 19 se puede observar ese cambio de perspectiva, y c´omo influye en el plano imagen, incidiendo en que p1yp2son la transformaci´on del mismo punto P. Figura 19: punto Pproyectado sobre distintos planos imagen de la c´amara resultando p1, p2Pertuz (2020) 80 4.10 Secuenciaci´on de actividades Lo que resulta ahora de inter´es es determinar la transformaci´on entre el punto p1yp2, lo que se conoce como transformaci´on proyectiva. Este problema es uno de los que hay que resolver a la hora de tomar fotos panor´amicas desde un m´ovil. Recuperando la ecuaci´on 22, el punto p1se sabe que se obtiene de p1=KP . Por otro lado, p2se obtiene de rotar la c´amara (de forma que ha cambiado la perspectiva de la c´amara), y posteriormente de nuevo multiplicar por la matriz de la c´amara K. La rotaci´on se puede representar por una matriz Rcomo se estudi´o anteriormente llegando a la ecuaci´on 15 de modo que p2=KRP . De la primera ecuaci´on p1=KP se puede despejar el par´ametro Pmultiplicando por K−1de forma que P=K−1p1y llevando este resultado a p2=KRP se obtiene que: p2=KRK−1p1 En consecuencia, la matriz de esta transformaci´on va a ser KRK−1=Hque env´ıa puntos de un plano imagen a otro a partir de un cambio de perspectiva, es decir, un cambio en la posici´on de la c´amara. Un ejercicio que puede resultar interesante y que se propone en la secuenciaci´on de actividades podr´ıa ser calcular la dimensi´on de esta matriz H. El resultado que se obtiene es que es una matriz 3 ×3, de modo que, se tiene una matriz Hde dimensi´on 3 ×3 que env´ıa puntos de un plano a otro. De forma m´as formal se puede definir la siguiente aplicaci´on: f:P2−→ P2 [p]−→ [Hp] donde P2es el plano imagen de la c´amara. Como se estudi´o en el apartado 3.2.1 de este trabajo, es necesario establecer una correspondencia entre 4 puntos del espacio de salida con otros 4 puntos del espacio de llegada para poder definir una trasformaci´on proyectiva. El ejemplo que se expuso en aquel apartado fue: Encontrar una transformaci´on proyectiva fque una los Puntos [1,0,0]t,[0,1,0]t,[0,0,1]t,[1,1,1]tcon los Puntos no colineales [1,−1,1]t,[1,−2,2]t,[−1,2,−1]t,[0,1,2]trespectivamente. Se puede explicar como se desarrollar´ıa el ejemplo a los alumnos para que comprenda el mecanismo. Tambi´en se puede observar en el ejemplo anterior que, frente a la matriz 14, que manten´ıa invariante el tercer elemento de los puntos en coordenadas homog´eneas, ahora los t´erminos a31, a32 ya no son nulos, de modo que si van a transformarse esos elementos. 4.10. Secuenciaci´on de actividades A la hora de seleccionar actividades, se hacen siguiendo uno de los criterios m´as extendidos que asigna un nivel a las actividades en funci´on de la demanda cognitiva que requiera del alumno. El criterio que 81 4.10 Secuenciaci´on de actividades se va a seguir va a ser el propuesto por Stein y Smith que agrupa las actividades en 4 niveles Smith and Stein (1998). Nivel 1: Memorizaci´on: Involucra actividades que ´unicamente requieren haber memorizado los conceptos y permite asimilarlos. Nivel 2: Procedimiento sin conexi´on Hasta aqu´ı quedar´ıan involucrados los ejercicios cuya demanda cognitiva es baja. Nivel 3: Procedimientos con conexi´on Nivel 4: Hacer matem´aticas Estos dos ´ultimos niveles son de alta demanda cognitiva, siendo el 4ºnivel aquel que clasifica a aquellas actividades que requieren un entendimiento completo de los conceptos matem´aticos en cuesti´on. A continuaci´on se especifican las actividades que se propondr´ıan, para cada una de la secciones en las que se dividir´ıan los contenidos de la Unidad Did´actica. Algunas de estas actividades son de elaboraci´on propia y otras han sido extra´ıdas de los libros Merino Gonzalez and Santos Alaez (2021), Aroca Hern´andez-Ros et al. (2004) Conceptos previos La actividad propuesta en este apartado es de nivel 1 siguiendo la escala propuesta Smith and Stein (1998), al consistir ´unicamente ejercicios de aplicaci´on directa para activar conceptos previos. En el caso indicado, es de nivel 2 al requerir una demanda cognitiva mayor, que va m´as all´a de tan solo aplicar las definiciones. Colinealidad: Para practicar y recordar este concepto, se proponen estos ejercicios: Determinar si los siguientes puntos en coordenadas homog´eneas son colineales : •[1,2,3]t, [1,1,−2]t, [2,1,−9]t •[1,2,−1], [2,1,0]t, [0,−1,3] •De nivel 2, al presentar 4 Puntos de los cuales hay que concluir que solo 3 pueden ser colineales: [1,0,0]t, [0,1,0]t, [0,0,1]t, [1,1,1]t. El concepto de funci´on. En un inicio, para aplicar los conceptos aprendidos en teor´ıa, se propondr´ıan actividades del siguiente tipo que se podr´ıan clasificar como ejercicios de Nivel 2 siguiendo la clasificaci´on propuesta, ya que es necesario entender el concepto de funci´on, pero no requiere una conexi´on con otros conceptos. Ejercicio 1: Considerando la aplicaci´on f:R−→ Rcon f(x) = x, dar la imagen por fde 1∈R,5∈R. 82 4.10 Secuenciaci´on de actividades Ejercicio 2: Considerando la aplicaci´on f:R2−→ R2con f(x, y) = (x′, y′) = (y, x), dar la imagen por fde (1,2) y de (3,5). Ejercicio 3: Sea f:R2−→ R2con f(x, y) = (x′, y′) = (3x, x −y), dar la imagen por fde (1,2) y de (3,5). Posteriormente se propondr´ıan los siguientes ejercicios que requieren un salto en cuanto a demanda cognitiva, a parte de que se incluye una notaci´on algo m´as avanzada, de modo que podr´ıan clasificarse como Nivel 3: Ejercicio 4: Sea f:R3−→ R3la aplicaci´on que viene dada por f(x, y, z) = (x+y+z, y, x + 2y+z). Dar la imagen de v1= (1,0,0)t,v2= (0,1,0)t,v2= (0,0,1)tyv4= (1,1,1)t.A modo de curiosidad, el conjuntos de vectores {v1, v2, v3}forman lo que se denomina base can´onica o est´andar de R3. De la misma forma a e1= (1,0)t, e2= (0,1)tforman la base est´andar de R2 Ejercicio 5: Sea f:R3−→ R2la aplicaci´on que viene dada por f(x, y, z) = (2x+y, x −z). Dar la imagen de v1= (1,0,0)t,v2= (0,1,0)t,v2= (0,0,1)tyv4= (1,1,1)t. En este ´ultimo ejercicio, las dimensiones del espacio de salida y de llegada no son las mismas, lo que requiere un grado mayor de comprensi´on. Matriz de una transformaci´on lineal Con el objetivo de que los alumnos se familiaricen con la representaci´on de aplicaciones mediante matrices, se proponen los siguientes ejemplos de ejercicios que se les podr´ıan impartir. La primera parte de actividades de nivel 2, ser´ıan las siguientes: Ejercicio 1: Sea f:R2−→ R2definida como: f(x, y) = (3x, x −y). Dar la matriz asociada a la aplicaci´on anterior. Ejercicio 2: sea f:R−→ Rdefinida como f(x) = x. Dar la matriz asociada a la aplicaci´on anterior. Actividades de nivel 3, que ya requieren una conexi´on con otros procesos ya que el alumno ha de entender y dar interpretaci´on al hecho de que la matriz que va a obtener ya no va a ser cuadrada, al ser la dimensi´on del espacio de salida y llegada distinta. A su vez hay un cambio de notaci´on.y un grado de demanda cognitiva mayor. Ejercicio 3: Sea T:R2−→ R3la aplicaci´on que viene dada por T(x, y) = (x+ 2y, x −y, y). Dar la matriz asociada a la aplicaci´on anterior. Ejercicio 4: Sea R:R3−→ R2la aplicaci´on que viene dada por R(x, y, z)=(x+ 2z, −y). Dar la matriz asociada a la aplicaci´on anterior. Isometr´ıas en R2 83 4.10 Secuenciaci´on de actividades En primer lugar, ejercicios de nivel 2 que requerir´ıan aplicar los conceptos vistos en este apartado y alguno del apartado anterior podr´ıan consistir en: Ejercicio 1: Comprobar que la aplicaci´on G:R2−→ R2cuya matriz asociada es   cos(α)−sin(α) sin(α) cos(α) , es una isometr´ıa. De nivel 3, se considerar´ıan las siguientes actividades: Ejercicio 2: Dar la matriz de una simetr´ıa axial Srespecto de la recta Xcorrespondiente a la primera coordenada cartesiana. Figura 20: Simetr´ıa axial respecto del eje X. Soluci´on: Las ecuaciones en este caso tomar´ıan la forma: x′=x,y′=−ydejando invariante la primera coordenada y ‘girando 180º’ la segunda respecto del punto (x, 0)t, de modo que la matriz adquirir´ıa la forma:   1 0 0−1 . De nivel 4, que requerir´ıan una demanda cognitiva bastante elevada, podr´ıan ser los siguientes: Ejercicio 3: Calcular los putos fijos del giro G(O, α). Ayuda: Para calcular los puntos fijos del giro G:R2−→ R2cuya matriz asociada es   cos(α)−sin(α) sin(α) cos(α) , hay que ver que puntos se quedan invariantes al efectuar esa aplicaci´on, lo cual es equivalente a:   cos(α)−sin(α) sin(α) cos(α)   x y =  x y . Esto es:   cos(α)−1−sin(α) sin(α) cos(α)−1   x y =  0 0 . 84 4.10 Secuenciaci´on de actividades Efectuando el determinante  cos(α)−1−sin(α) sin(α) cos(α)−1 = 0,se obtiene que la ´unica soluci´on es que α= 0, por lo que no habr´a vectores fijos. Ejercicio 4: Calcular los puntos fijos en la simetr´ıa axial respecto del eje X. Soluci´on: La matriz correspondiente, hallada en uno de los anteriores ejercicios es   1 0 0−1 ,de modo que para hallar los puntos invariantes bajo esa aplicaci´on, hay que efectuar las operaciones   1 0 0−1   x y =  x y . De modo similar al ejercicio anterior, quedan las ecuaciones 0x+ 0y= 0,y 0x−2y= 0. De la segunda ecuaci´on se extrae que y= 0 quedando libre el par´ametro xcon x=xpor lo que los puntos fijos vienen dados por todo el eje X, como inicialmente planteaba el ejercicio. Ejercicio 5: Comprobar que la siguiente matriz representa una isometr´ıa y hallar a qu´e tipo de las estudiadas se corresponde. Rotaci´on de ´angulo 3π 2.   0−1 −1 0  . Ejercicio 6: Comprobar que la siguiente isometr´ıa es realmente una isometr´ıa y hallar a qu´e tipo de las isometr´ıas estudiadas se corresponde. Simetr´ıa respecto de la recta x=y   0 1 1 0 . De nivel 4, con un grado de demanda cognitiva bastante m´as elevado, se proponen los siguientes ejercicios: Ejercicio 7: Calcular la matriz asociada a un giro G:R2−→ R2, respecto a un punto P(p1, p2). Soluci´on: Recordando la matriz asociada a un giro en coordenadas homog´eneas ten´ıa la forma dada en la ecuaci´on 15, el objetivo ahora va a ser fijar [t1, t2]tde forma que, el centro P(p1, p2) quede invariante bajo la transformaci´on. Esto es:      cos(α)−sin(α)t1 sin(α) cos(α)t2 0 0 1           p1 p2 1      =     p1 p2 1      85 4.10 Secuenciaci´on de actividades Desarrollando las ecuaciones anteriores, cos(α)p1−sin(α)p2+t1=p1, sin(α)p1+ cos(α)p2+t2=p2, de donde se pueden despejar los valores de t1, t2, con lo que se tendr´ıa resuelto el problema. Ejercicio 8: Calcular la matriz asociada a una simetr´ıa S:R2−→ R2, respecto a un punto P(p1, p2). Ayuda: De forma similar al ejercicio anterior, hay que imponer en 16 [t1, t2]t, de modo que el centro que el punto P(p1, p2) quede invariante bajo la simetr´ıa, lo que se traduce en:      −1 0 t1 0−1t2 0 0 1           p1 p2 1      =     p1 p2 1      . Transformaciones proyectivas: Para comenzar, se proponen ejercicios para familiarizarse con los conceptos b´asicos necesarios de la secci´on, para lo cual solo hace falta aplicar lo memorizado, por lo que se considerar´ıan ejercicios de nivel 1. Ejercicio 1: Determinar las coordenadas homog´eneas en la forma [a, b, 1]tde los siguientes Puntos: [2,−1,4]t, [4,2,8] y [2π, −π, 4π]. El caso de [2,−1,4]tconsistir´ıa en 1 2,−1 4,1]t Ser´ıa ´util incidir en que el primer y tercer punto son en realidad el mismo, lo cual se ve m´as claro al pasarlo a coordenadas homog´eneas. Ejercicio 2: Calcular la dimensi´on de la matriz H, matriz de la transformaci´on proyectiva que lleva la imagen p1de un mismo punto Pa otra imagen p2del mismo punto tras cambiar la perspectiva de la c´amara. De nivel 2, requiriendo aplicar los conceptos aprendidos pero sin conectar con otros conceptos, se proponen actividades del tipo: Ejercicio 3: Encontrar la matriz Aasociada a la transformaci´on proyectiva f:P2−→ P2 que une los Puntos [1,0,0]t, [0,1,0]t,[0,0,1]t,[1,1,1]ta los Puntos [−1,0,0]t,[−3,2,0]t,[2,0,4]t,[1,2,−5]t. Resulta interesante plantear el ejercicio inverso, es decir, encontrar la transformaci´on proyectiva que una los Puntos [−1,0,0]t,[−3,2,0]t,[2,0,4]t,[1,2,−5]ta los Puntos [1,0,0]t, [0,1,0]t,[0,0,1]t,[1,1,1]t. La matriz asociada a esta transformaci´on f−1:P2−→ P2es la inversa, es decir A−1. 86 4.10 Secuenciaci´on de actividades Figura 21: Perspectiva 1 de la Facultad de Ciencias. Para consolidar y aplicar los conceptos aprendidos sobre el funcionamiento de la c´amara y las transformaciones proyectivas, se proponen las siguientes actividades cuya demanda podr´ıa clasificarse en el nivel 3-4 de la escala empleada a lo largo de todo este apartado, con una aplicaci´on real y conexi´on con otros conceptos matem´aticos. Ejercicio 4: El objetivo de este ejercicio consiste en aplicar las transformaciones proyectivas a im´agenes reales. De la parte te´orica y de resultados de anteriores ejercicios, el alumno ha llegado a la conclusi´on de que estas transformaciones f:P2−→ P2, entre dos planos imagen, necesitan de 4 Puntos los cuales son no colineales 3 a 3, para poderlas llevar a cabo. La matriz asociada a estas transformaciones es de dimensi´on 3 ×3. Una vez se tienen estos 4 Puntos en ambas im´agenes, se puede obtener la matriz de la transformaci´on aplicando 3.2.1 que se estudi´o en la parte te´orica y se aplic´o en el ejercicio 3. En este ejemplo, se considera una imagen digital tomada desde dos perspectivas diferentes de la fachada de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid, como se puede observar en la Fig. 21 y en la Fig 22. Los cuatro Puntos seleccionados se encuentran situados sobre el mismo plano en el edificio. Los 4 puntos que se han elegido en Fig. 21 se corresponden a los mismos 4 puntos en la Fig. 22. En conclusi´on, se tienen 4 puntos en la imagen seleccionados, y sus 4 puntos hom´ologos en la imagen transformada proyectivamente mediante un cambio de perspectiva. Aplicando un proceso similar a 3.2.1, se puede obtener la matriz Ade la transformaci´on proyectiva f:P2−→ P2que 87 4.10 Secuenciaci´on de actividades Realizando la transformaci´on: w′ 2=Av2=     820 458 1      . 94 5 Conclusi´on 5. Conclusi´on El objetivo final del presente Trabajo Fin de M´aster consist´ıa en tomar uno de los contenidos de Bachillerato, las matrices, y acompa˜nar a su estructura algebraica propia, la cual se ense˜na en los institutos, de una contextualizaci´on con el fin de que se aproveche todo su potencial como instrumento de las propias matem´aticas y de representaci´on de fen´omenos reales que ocurren en el d´ıa a d´ıa. No son pocos los alumnos que, al finalizar la etapa de Bachillerato, no han adquirido una idea de lo que realmente puede llegar a representar o permitir hacer una matriz. Tan solo han aprendido a realizar una serie de operaciones con ellas, y la mayor´ıa de ellos, salvo los que elijan realizar una carrera como matem´aticas o f´ısica, no se les presentar´a la oportunidad de poder saber lo que se puede llegar a hacer con este objeto matem´atico, despu´es de haberle dedicado tantas sesiones en el Bachillerato (junto a sistemas de ecuaciones forman uno de los cuatro bloques en los que se dividen todos los contenidos de 2ºBachillerato CIT). De lo anterior surgi´o la motivaci´on para realizar esta propuesta did´actica que, de forma m´as concreta, se centra en el estudio de las matrices como transformaciones geom´etricas del plano y sobre todo, como transformaciones proyectivas vistas de forma experimental como la transformaci´on de puntos en sus hom´ologos en la fotograf´ıa digital tras realizar un cambio de perspectiva. A partir de ese momento, se busc´o hacer en primer lugar un estudio del marco te´orico, para luego elaborar la unidad did´actica a impartir en clase, fij´andose unos objetivos iniciales, para los cuales se establecieron unos contenidos a impartir junto a sus est´andares y criterios de evaluaci´on que especifican estos contenidos, unas actividades, formas de evaluar el aprendizaje y dem´as puntos que son necesarios para dar una forma espec´ıfica a la Unidad Did´actica. Una vez elaborada la propuesta, la cual es novedosa al incluir nuevos contenidos que no vienen incluidos en el curr´ıculo, e impartirlos desde otro punto de vista, ser´ıa necesaria su puesta en marcha para comprobar su funcionamiento y ver todas las modificaciones que habr´ıa que realizar para mejorarla con el fin de conseguir los objetivos fijados. 95 REFERENCIAS REFERENCIAS Referencias Alagia, H., Bressan, A. M., and Sadovsky, P. (2005). Reflexiones te´oricas para la Educaci´on Matem´atica, volume 5. Libros del Zorzal. 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