La noción de determinante de una matriz y sus propiedades y otros resultados que casi siempre aparecen sin demostración en los librosde texto de Secundaria

1 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología LA NOCIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Y SUS PROPIEDADES Y OTROS RESULTADOS QUE CASI SIEMPRE APARECEN SIN DEMOSTRACIÓN EN LOS LIBROS DE TEXTO DE SECUNDARIA Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: FERNANDO PADILLA GARCÍA Tutor: JOSE MARÍA CANO TORRES Valladolid, junio de 2022 2 3 Índice 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 4 2. ANÁLISIS NORMATIVO ............................................................................................................... 5 3. ANÁLISIS DE CONTENIDO ........................................................................................................ 12 3.1 PERSPECTIVA HISTÓRICA .................................................................................................... 12 3.1.1 HISTORIA DEL ÁLGEBRA ............................................................................................... 12 3.1.2 HISTORIA DEL DETERMINANTE ................................................................................... 14 3.2 PERMUTACIONES Y TRANSPOSICIONES ............................................................................ 16 3.2.1 PERMUTACIONES ............................................................................................................ 16 3.2.2 TRANSPOSICIONES. ÍNDICE DE UNA PERMUTACIÓN ............................................... 18 3.2.3 CICLOS. DESCOMPOSICIÓN DE UNA PERMUTACIÓN EN CICLOS ........................... 21 3.3 MOTIVACIÓN DEL DETERMINANTE ................................................................................... 26 3.3.1 DETERMINANTE DE ORDEN DOS ................................................................................. 26 3.3.2 DETERMINANTE DE ORDEN TRES ................................................................................ 28 3.3.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ................................................................... 30 3.3 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE ........................................................................................ 34 3.4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DETERMINANTE ................................................. 42 3.4.1 ÁREA Y DETERMINANTE ............................................................................................... 42 3.4.2 VOLUMEN Y DETERMINANTE ...................................................................................... 54 3.5 MARCO TECNOLÓGICO. MAXIMA ....................................................................................... 55 4. ANÁLISIS DE LIBROS DE TEXTO ............................................................................................. 62 4.1 LIBROS DE TEXTO .................................................................................................................. 62 4.2 CONTENIDO Y ORGANIZACIÓN ........................................................................................... 63 4.3 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LIBROS DE TEXTO ............................................................. 69 5. PROPUESTA DIDÁCTICA ........................................................................................................... 73 5.1 INTRODUCCIÓN CONTEXTUAL ........................................................................................... 74 5.2 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ...................................................................................................... 75 5.3 COMPETENCIAS CLAVE ........................................................................................................ 76 5.5 METODOLOGÍA....................................................................................................................... 81 5.6 RECURSOS ............................................................................................................................... 82 5.7 TEMPORALIZACIÓN............................................................................................................... 83 5.8 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA.............................................................. 87 5.9 PLANES COMPLEMENTARIOS .............................................................................................. 98 5.10 EVALUACIÓN ........................................................................................................................ 98 5.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD ......................................................................................... 102 5.12 AUTOEVALUACIÓN DIDÁCTICA ..................................................................................... 103 6. CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 104 7. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................... 106 4 1. INTRODUCCIÓN A lo largo de este trabajo vamos a centrarnos en estudiar la definición de determinante de una matriz cuadrada y sus propiedades, donde para ello vamos a desarrollar otros resultados que desde nuestro punto de vista aparecen en los libros de texto de secundaria sin demostraciones y con una mínima justificación que produce un aprendizaje en el aula donde los alumnos no comprenden de manera adecuada los contenidos estudiados. Además, en este trabajo desarrollaremos una propuesta didáctica que suplan estas deficiencias en el proceso de enseñanza-aprendizaje demostrando que todas las nociones que vamos a desarrollar pueden tratarse de forma rigurosa a nivel de secundaria. Para lograr todo esto, vamos a estructurar este trabajo principalmente en cuatro grandes bloques que nos van a permitir desarrollar un desarrollo óptimo del estudio del determinante en la etapa de bachillerato. En primer lugar, se llevará a cabo un análisis de los contenidos estudiados dentro de las unidades correspondientes al estudio de las matrices en el segundo curso de bachillerato, comparando los contenidos correspondientes a las dos modalidades de bachillerato donde se introducen por primera vez el estudio de las matrices. Estableceremos las principales diferencias entre ambos cursos junto con los objetivos generales establecidos para la etapa académica de bachillerato y los objetivos didácticos marcados para la asignatura en la que vamos a llevar a cabo la propuesta didáctica, desarrollando aquellos objetivos en los cuáles nuestra propuesta va a estar más enfocada, justificando la importancia que tiene su cumplimiento. Después, se realiza un estudio exhaustivo de todo el contenido que vamos a abordar en la propuesta didáctica. Comenzamos con un desarrollo de la historia del Álgebra y el determinante, centrándonos en los personajes que son considerados los más influyentes dentro de la historia del Álgebra y la noción del determinante de una matriz cuadrada, como por ejemplo Leibniz o Gauss. Después, desarrollaremos los principales conceptos y resultados que nos van a permitir poder definir el determinante y demostrar sus propiedades, donde finalmente vamos a describir de forma rigurosa la interpretación geométrica del determinante, estableciendo la relación existente entre el área y el volumen generado por vectores. Por último, vamos a centrarnos en el programa Maxima, describiendo las principales funciones y comandos que nos permiten manejar las matrices, apreciando así la importancia que tiene el desarrollo de las nuevas tecnologías en el aula. En el tercer bloque, vamos a realizar un análisis comparativo de algunos de libros de texto de bachillerato de matemáticas en los que se estudian las matrices y el determinante, centrándonos 5 en la estructura de cada libro, la forma de abordar todos los contenidos relativos a las unidades correspondientes a las matrices y las demostraciones y justificaciones de cada uno. En el cuarto bloque elaboramos la propuesta didáctica para la enseñanza de las matrices y el determinante en el aula, donde vamos a desarrollar todas las diferentes partes que constituyen una unidad didáctica, centrándonos en cubrir las deficiencias que desde nuestro punto de vista se producen en el aula con la enseñanza la definición de determinante. Vamos a exponer todos los conocimientos necesarios que se requieren para su impartición y su relación con los cursos posteriores, que en este caso corresponde con la etapa universitaria donde la importancia de las matrices es fundamental, así como el uso de Maxima que permitirá observar a los alumnos la importancia que tienen las matemáticas en las nuevas tecnologías y en la comodidad que representa el uso de la informática para poder operar con matrices. 2. ANÁLISIS NORMATIVO Para llevar a cabo la realización de una propuesta didáctica, vamos a realizar un análisis normativo del estudio de las matrices en secundaria y un desarrollo del contenido establecido desde la Institución Pública de la educación. El contenido de matrices se ubica dentro del bloque de Números y Álgebra junto con la resolución de ecuaciones de sistemas lineales en las asignaturas de Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II en el segundo curso de Bachillerato dentro de las modalidades del ámbito Científico-Tecnológico y de Ciencias Sociales. Primero vamos a establecer los Objetivos Generales de la etapa de Bachillerato y después vamos a describir los contenidos marcados en las unidades correspondientes al estudio de matrices de las dos materias mencionadas anteriormente. Objetivos Generales de Bachillerato Para la etapa de Bachillerato se han concretado una serie de objetivos generales que se pueden extender a todos los cursos y todas las materias correspondientes a la etapa académica de los cursos de Bachillerato. Los Objetivos Generales de la etapa de Bachillerato que establece el BOE (Real Decreto 1105/2014 de 26 de diciembre), se expresan a continuación: a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española, así como por los 6 derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa. b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales. c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades y discriminaciones existentes, y en particular la violencia contra la mujer e impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas por cualquier condición o circunstancia personal o social, con atención especial a las personas con discapacidad. d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal. e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma f) Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras. g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación. h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus antecedentes históricos y los principales factores de su evolución. Participar de forma solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social. i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida. j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente. k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico. l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural. m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social. n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial. Análisis de contenidos de las matrices en Bachillerato En este apartado vamos a exponer los contenidos y criterios de evaluación que se establece en el BOCyL (ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo) del bloque II de Números y Álgebra para las 7 asignaturas de Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II donde se desarrolla el contenido correspondiente a matrices. Los contenidos y criterios de evaluación establecidos dentro del Bloque II de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II son los siguientes: Contenido  Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas. Clasificación de matrices. Operaciones con matrices. Rango de una matriz. Matriz inversa. Método de Gauss.  Determinantes hasta orden 3.  Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales.  Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro). Método de Gauss.  Resolución de problemas de las ciencias sociales y de la economía. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Resolución gráfica y algebraica.  Programación lineal bidimensional. Región factible. Determinación e interpretación de las soluciones óptimas. Aplicación de la programación lineal a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos Criterios de evaluación 1. Organizar información procedente de situaciones del ámbito social utilizando el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de dicha información. Aplicar el método de Gauss para resolver sistemas lineales y calcular la matriz inversa. 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, sistemas de ecuaciones, inecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. 8 Los contenidos y criterios de evaluación establecidos dentro del Bloque II de Matemáticas II son los siguientes: Contenido  Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos.  Clasificación de matrices. Operaciones. Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales.  Determinantes. Propiedades elementales. Menor complementario y matriz adjunta. Rango de una matriz. Matriz inversa.  Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos.  Clasificación de matrices. Operaciones. Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales  Ecuaciones matriciales. Representación matricial de un sistema: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, posiblemente dependientes de un parámetro.  Método de Gauss. Teorema de Rouché-Frobenius. Regla de Cramer.  Aplicación a la resolución de problemas. Criterios de evaluación 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices para describir e interpretar datos y relaciones en la resolución de problemas diversos. 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones), interpretando críticamente el significado de las soluciones. Resolver ecuaciones matriciales sencillas. Obtener el rango de una matriz y la matriz inversa (esta última hasta orden 3), tanto por el método de Gauss como usando determinantes. En los contenidos y los criterios una de las principales diferencias entre las dos asignaturas se encuentra en el estudio de los determinantes. En la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II aparece definido el estudio del determinante y sus aplicaciones hasta las 9 matrices cuadradas de orden tres sin definir el determinante de una matriz de orden 𝑛, mientras que en los contenidos de Matemáticas II se estudia el determinante de orden 𝑛, definiendo el menor complementario y la matriz adjunta de un elemento de una matriz, así como el cálculo del rango usando determinantes, el teorema de Rouché-Frobenius, el método de Cramer y el cálculo de la inversa utilizando determinantes hasta matrices de orden tres. El teorema de Rouché- Frobenius y el método de Cramer son dos resultados fundamentales para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, donde se permite discutir y resolver sistemas usando determinantes, lo que supone una ampliación del método de Gauss. El método de Cramer tiene la particularidad de presentar la solución de un sistema de ecuaciones lineales como una fórmula cerrada y no mediante un proceso o algoritmo que ha de llevarse a cabo Otra de las diferencias que se pueden apreciar es el estudio de la programación lineal bidimensional y el estudio de regiones factibles que aparecen descritos en los contenidos de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, ya que está enfocado al estudio de las matemáticas aplicadas en el ámbito de la economía, mientras que el contenido de Matemáticas II está más “relacionado” al estudio de las matrices dentro del ámbito científico-tecnológico. Más adelante, desarrollaremos un análisis comparativo de una selección de libros de texto utilizados en ambas asignaturas donde vamos a poder apreciar estas diferencias de una manera mucho más exhaustiva. Como nuestra propuesta didáctica va a estar enfocada al estudio exhaustivo de la definición rigurosa de determinante y sus propiedades analíticas y geométricas, vamos a desarrollar esta propuesta didáctica para un curso de segundo de bachillerato dentro del ámbito científicotecnológico, y para ello vamos a enumerar los objetivos didácticos planteados dentro del bloque de contenidos comunes de la asignatura de Matemáticas II. Objetivos didácticos del área de Matemáticas II de 𝟐𝒐 de Bachillerato Los objetivos didácticos establecidos por el BOCyL (ORDEN EDU/362/2015 del 4 de mayo de 2015) para el bloque de contenidos comunes son los siguientes: 1. Expresar verbalmente de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema. 2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas. 3. Realizar demostraciones sencillas de propiedades o teoremas relativos a contenidos algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos. 16 3.2 PERMUTACIONES Y TRANSPOSICIONES En este apartado del trabajo vamos a exponer de forma rigurosa todos los principales resultados y propiedades de las permutaciones y las transposiciones, demostrando en todo momento las proposiciones, teoremas y corolarios que vamos a desarrollar y justificando en cada momento los razonamientos y los pasos seguidos. 3.2.1 PERMUTACIONES Dado un conjunto 𝑋 no vacío, definimos 𝑆𝑋 como el conjunto formado por todas las aplicaciones biyectivas de 𝑋 en 𝑋 y junto con la operación “composición de aplicaciones” 𝑆𝑋 es un grupo, decir, verifica las siguientes propiedades: 1. La composición de dos aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva. 2. La composición de aplicaciones es una operación asociativa. 3. La aplicación identidad en 𝑋, que representaremos por 𝐼𝑑𝑋, es biyectiva. 4. Todas las aplicaciones biyectivas tienen inversa. A partir de todas estas propiedades vamos a poder realizar un desarrollo justificado de todo el contenido y desarrollo de las permutaciones y el cálculo del índice de una permutación. Por ejemplo, si consideramos el conjunto 𝑋={1,2,3} la siguiente biyección 𝜎: 𝑋 ⟶ X 𝜎: 𝑋 ⟶𝑋 1 ⟶1 2 ⟶3 3 ⟶2 es una permutación del grupo simétrico 𝑆3, donde 𝜎(1)=1, 𝜎(2)=3 y 𝜎(3)=2. Como ejemplo de permutaciones, vamos a escribir todas las permutaciones del grupo simétrico 𝑆3: 𝜎1: 𝜎1(1)=1, 𝜎1(2)=2, 𝜎1(3)=3 𝜎2: 𝜎2(1)=1, 𝜎2(2)=3, 𝜎2(3)=2 𝜎3: 𝜎3(1)=2, 𝜎3(2)=1, 𝜎3(3)=3 𝜎4: 𝜎4(1)=2, 𝜎4(2)=3, 𝜎4(2)=1 𝜎5: 𝜎5(1)=3, 𝜎5(2)=1, 𝜎5(3)=2 𝜎6: 𝜎6(1)=3, 𝜎6(2)=2, 𝜎6(3)=1 Definición Llamaremos grupo simétrico de orden 𝑛 al grupo de las biyecciones del conjunto {1,2,…,𝑛} y lo denotaremos por 𝑆𝑛 y a sus elementos permutaciones (de 𝑛 elementos). |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| 1) El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| 17 A partir de la construcción de todos los elementos del grupo 𝑆3, podemos observar que tiene un total de 6 elementos. Entonces podemos preguntarnos si es posible conocer el número de elementos del grupo 𝑆𝑛, por lo que la respuesta es afirmativa y para ello vamos a demostrar el siguiente resultado: Demostración Una permutación 𝜎∈𝑆𝑛 puede aplicar el elemento 1 en cualquiera de los números 1,2,…,𝑛. Una vez elegida la imagen del elemento 1, el 2 se puede aplicar en cualquiera de los 𝑛−1 números restantes. Después, al igual que con el elemento 2, el 3 se puede aplicar en los 𝑛−2 números restantes. Podemos seguir sucesivamente hasta que las imágenes de los elementos 1,2,…,𝑛−1 hayan sido elegidas. El último elemento no seleccionado es la imagen de 𝑛, por lo que se obtiene que existen un total de 𝑛(𝑛−1)…1=𝑛! elementos de 𝑆𝑛. Hasta ahora ya hemos definido el concepto de permutación y demostrado que el número de biyecciones del grupo 𝑆𝑛 es 𝑛!, por lo que el siguiente paso que vamos a exponer es la representación de una permutación que nos pueda facilitar una manera más intuitiva para poder visualizar mejor las imágenes de una permutación. Sea 𝜎∈𝑆𝑛 una permutación, una manera de poder representarla es mediante una representación matricial de la forma (1 2 … 𝑛 𝜎(1)𝜎(2)… 𝜎(𝑛)) Por ejemplo, si tomamos la permutación 𝜎3∈𝑆3 del ejemplo anterior, podemos expresarla como 𝜎3=(1 2 3 2 1 3) donde se cumple que 𝜎3(1)=2, 𝜎2(2)=1 y 𝜎3(3)=3. Con estas notaciones, es fácil calcular la composición y la inversa de trasposiciones, ya que si tenemos las trasposiciones 𝜎1,𝜎2∈𝑆5 dadas por 𝜎1=(1 2 3 4 5 2 3 5 1 4) y 𝜎2=(1 2 3 4 5 4 5 1 2 3) las trasposiciones inversas y la composición 𝜎2𝑜𝜎1 vienen dadas por 𝜎1−1=(1 2 3 4 5 4 1 2 5 3) y 𝜎2−1=(12345 34512) 𝜎2𝑜𝜎1=(1 2 3 4 5 2 3 5 1 4)𝑜(1 2 3 4 5 4 5 1 2 3)=(1 2 3 4 5 5 1 3 4 2) Lema El grupo 𝑆𝑛 es finito de orden 𝑛! 2) El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| 18 3.2.2 TRANSPOSICIONES. ÍNDICE DE UNA PERMUTACIÓN Demostración Esta demostración la vamos a realizar por inducción. Para 𝑛=2, una permutación es 𝑆2 es una transposición, por lo que se verifica lo anterior. Supongamos que para 𝑛−1 toda permutación se descompone en un producto de transposiciones y vamos a demostrarlo para 𝑛. Sea 𝜎∈𝑆𝑛 una permutación, donde vamos a suponer los siguientes casos:  Si 𝜎(𝑛)=𝑛, entonces 𝜎|{1,…,𝑛−1}∈𝑆𝑛−1, por lo que como para 𝑛−1 se verifica lo anterior, entonces 𝜎=𝜎1…𝜎𝑟 donde 𝜎𝑖 son transposiciones para 1≤𝑖≤𝑟  Si 𝜎(𝑛)≠𝑛, denotamos 𝛼=𝜎(𝑛) y vamos a definir la siguiente permutación 𝛽=(𝛼,𝑛)𝜎. En esta nueva permutación tenemos que 𝛽(𝑛)=𝑛, así que podemos descomponer 𝛽=(𝛼,𝑛)𝜎=𝜏1…𝜏𝑟 siendo 𝜏𝑖 transposiciones para 1≤𝑖≤𝑟. Entonces 𝜎=(𝛼,𝑛)𝜏1…𝜏𝑟, por lo que 𝜎 se puede descomponer como un producto de transposiciones. Como ejemplo, si consideramos la permutación 𝜎∈𝑆7 definida de la siguiente manera 𝜎=(1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 7 6 2 1) vamos a realizar su descomposición en un producto de transposiciones. (1,7)𝜎=(1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 1 6 2 7) (2,6)(1,7)σ=(1234567 3541267) (2,5)(2,6)(1,7)σ=(1234567 3241567) Definición Se define una transposición como un ciclo de longitud 2. En forma matricial queda definida como (𝑖,𝑗)=(1 2 … 𝑖−1 𝑖 𝑖+1 … 𝑗−1 𝑗 𝑗+1 … 𝑛 1 2 … 𝑖−1 𝑗 𝑖+1 … 𝑗−1 𝑖 𝑗+1 … 𝑛) intercambiándose los términos 𝑖 y 𝑗, permaneciendo los demás elementos invariantes. Proposición Toda permutación 𝜎∈𝑆𝑛 se puede descomponer como un producto de transposiciones. 19 (1,4)(2,5)(2,6)(1,7)σ=(1234567 3214567) (1,3)(1,4)(2,5)(2,6)(1,7)σ=(1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7) Finalmente hemos obtenido que σ=(1,3)(1,4)(2,5)(2,6)(1,7). Demostración Si 𝑟=2, entonces el resultado está probado. Por lo tanto, vamos a suponer que 𝑟>2 y aplicaremos inducción. El producto de las dos primeras transposiciones 𝜎1𝜎2 podemos expresarlas de una de las siguientes maneras: (𝑎,𝑏)(𝑏,𝑎)=𝐼𝑑 (𝑎,𝑏)(𝑎,𝑐)=(𝑏,𝑐)(𝑎,𝑏) (𝑎,𝑏)(𝑐,𝑑)=(𝑐,𝑑)(𝑎,𝑏) (𝑎,𝑏)(𝑏,𝑐)=(𝑏,𝑐)(𝑎,𝑐) Si nos encontramos en el primer caso, obtenemos que 𝐼𝑑=𝜎3…𝜎𝑟 y por la hipótesis de inducción 𝑟−2 es par. En los otros tres casos restantes, se sustituye el producto de 𝜎1𝜎2 de la izquierda por su igualdad en la parte de la derecha obteniendo un nuevo producto de 𝑟 transposiciones que sigue dando como resultado la identidad, pero la primera aparición del número 𝑎 está en la segunda transposición del producto. Seguidamente podemos repetir el mismo procedimiento para el producto 𝜎2𝜎3, y como antes obtenemos un producto de 𝑟−2 transposiciones que es igual a la identidad o un producto de 𝑟 transposiciones donde la primera aparición de 𝑎 se encuentra en la tercera transposición. Continuando sucesivamente con el mismo procedimiento o bien obtenemos un producto de 𝑟−2 transposiciones que es igual a la identidad o bien obtenemos un producto igual a la identidad en la que la primera aparición del elemento 𝑎 se encuentra en la última transposición, por lo que entonces no fija el elemento 𝑎, lo que contradice que dicho producto sea igual a la identidad. Finalmente, por inducción se tiene que 𝑟−2 es par y por lo tanto 𝑟 es par. A partir de este resultado, vamos a demostrar un resultado clave que nos va a permitir dar una definición que nos va a resultar clave a lo largo de todo este trabajo. Proposición Si 𝐼𝑑=𝜎1𝜎2…𝜎𝑟 donde todos los 𝜎𝑖 son transposiciones para 𝑖∈{1,2,…,𝑟}, entonces 𝑟 es par. 20 Demostración Como 𝐼𝑑=𝜎𝜎−1=𝛼1…𝛼𝑟(𝛽1…𝛽𝑠)−1=𝛼1…𝛼𝑟𝛽𝑠−1…𝛽1−1=𝛼1…𝛼𝑟𝛽𝑠…𝛽1, entonces por el resultado anterior tenemos que 𝑟+𝑠 es par o lo que es los mismo (−1)𝑟=(−1)𝑠. Como ejemplo, si consideramos la permutación 𝜎∈𝑆7 del ejemplo anterior definida como 𝜎=(1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 7 6 2 1) Como ya realizamos anteriormente, esta permutación se podía descomponer de la forma σ=(1,3)(1,4)(2,5)(2,6)(1,7), por lo que el índice de 𝜎 es (−1)5=−1, siendo 𝜎 una transposición impar. A partir de aquí, vamos a probar un resultado que nos va a permitir calcular el índice del producto de dos permutaciones, lo que nos va a ser de mucha utilidad después. Demostración Supongamos que 𝛼=𝛼1…𝛼𝑟 y 𝛽=𝛽1…𝛽𝑠 siendo 𝛼𝑖 y 𝛽𝑗 transposiciones, entonces tenemos que 𝛼𝛽=𝛼1…𝛼𝑟𝛽1…𝛽𝑠. Por tanto, 𝑖𝑛𝑑(𝛼𝛽)=(−1)𝑟+𝑠=(−1)𝑟(−1)𝑠=𝑖𝑛𝑑(𝛼)𝑖𝑛𝑑(𝛽). A continuación, vamos a definir el concepto de ciclo y realizar la descomposición de una permutación en ciclos, lo que nos va a ayudar a poder representar una permutación de una forma más “cómoda” y va a facilitar un método más práctico para el cálculo del índice de una permutación. Teorema Sea 𝜎∈𝑆𝑛 y supongamos que 𝜎=𝛼1𝛼2…𝛼𝑟=𝛽1𝛽2…𝛽𝑠 siendo 𝛼1,…,𝛼𝑟,𝛽1,…,𝛽𝑠 transposiciones. Entonces se verifica que (−1)𝑟=(−1)𝑠. Definición Dada una permutación 𝜎∈𝑆𝑛 con 𝜎=𝜎1…𝜎𝑟 siendo 𝜎1,…,𝜎𝑟 transposiciones, se define el índice de 𝜎 como 𝐼𝑛𝑑(𝜎)=(−1)𝑟, pudiendo tomar únicamente los valores 1 o −1. Decimos que 𝜎 es par si se puede expresar como un producto de un número par de transposiciones e impar en el caso contrario. Teorema Sean 𝛼,𝛽∈𝑆𝑛 dos permutaciones, entonces tenemos que 𝑖𝑛𝑑(𝛼𝛽)=𝑖𝑛𝑑(𝛼)𝑖𝑛𝑑(𝛽). 21 3.2.3 CICLOS. DESCOMPOSICIÓN DE UNA PERMUTACIÓN EN CICLOS Una buena manera de poder representar un ciclo es la siguiente 𝜎=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛) . A partir de esta definición, una manera más intuitiva de representar un ciclo es 𝜎=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟) Por ejemplo, la permutación 𝛼∈𝑆4 definida como 𝛼=(1 2 3 4 2 4 3 1) es un ciclo de longitud 3 y se puede escribir como 𝛼=(1 2 4). Un ejemplo de permutación no cíclica es la siguiente: 𝛼=(1 2 3 4 5 2 1 5 3 4) Aunque 𝛼∈𝑆5 no sea cíclica, podemos descomponerla como producto (composición) de dos ciclos disjuntos que podemos expresar de la siguiente manera: 𝛼=(12345 21534)=(1 2)(3 5 4) Entonces nos podemos preguntar si podemos descomponer una permutación de la forma anterior, pero para ello vamos a dar unos conceptos y resultados previos que nos van a permitir dar una respuesta a esta cuestión. Definición Una permutación 𝜎∈𝑆𝑛 se dice que es un ciclo de longitud 𝑟, donde 𝑟≤𝑛, si existe una sucesión {𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟}∈{1,2,…,𝑛} de números distintos tales que 1) 𝜎 fija todo elemento distinto de 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟 2) 𝜎(𝑎1)=𝑎2, 𝜎(𝑎2)=𝑎3, …, 𝜎(𝑎𝑟−1)=𝑎𝑟 , 𝜎(𝑎𝑟)=𝑎1 |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| Proposición Ciclos disjuntos conmutan. Definición Diremos que dos ciclos 𝛼=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟) y 𝛽=(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚) de 𝑆𝑛 son disjuntos si para todos 𝑖,𝑗,1≤𝑖≤𝑟, 1≤𝑗≤𝑚, 𝑎𝑖≠𝑏𝑗. Es decir, cuando el conjunto de elementos que se mueven por 𝛼 y el conjunto de elementos que se mueven por 𝛽 son disjuntos. 22 Demostración Sean 𝛼,𝛽∈𝑆𝑛 dos ciclos disjuntos que vienen definidos como 𝛼=(𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑟) y 𝛽=(𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑠) Entonces podemos hacer el producto de los dos ciclos anteriores de las dos formas: 1) 𝛼(𝛽(𝑖))=𝑖=𝛽(𝛼(𝑖)) si 𝑖 no pertenece al conjunto {𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟,𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑠} 2) 𝛼(𝛽(𝑎𝑘))=𝑎𝑘+1=𝛽(𝛼(𝑎𝑘)) para 1≤𝑘≤𝑟 3) 𝛼(𝛽(𝑏𝑘))=𝑏𝑘+1=𝛽(𝛼(𝑏𝑘)) para 1≤𝑘≤𝑠 donde hemos tenido en cuenta que 𝑎𝑟+1=𝑎1 y 𝑏𝑠+1=𝑏1, por lo que el producto de ciclos disjuntos es conmutativo. Demostración Consideramos un elemento 𝑏1∈{1,2,…,𝑛} tal que 𝜎(𝑏1)≠𝑏1 y vamos a considerar la sucesión 𝑏1,𝑏2=𝜎(𝑏1),𝑏3=𝜎2(𝑏1),𝑏4=𝜎3(𝑏1),… hasta que volvamos a conseguir un número 𝑏𝑖 de la sucesión anterior en, por ejemplo, 𝑚 pasos, es decir, 𝜎𝑚(𝑏1)=𝑏𝑖 siendo 𝑏𝑖 un término repetido de la sucesión anterior. Entonces se tiene 𝜎𝑚(𝑏1)=𝜎𝑟(𝑏1) con 𝑟≤𝑚 y como la permutación 𝜎 es biyectiva se tiene que 𝜎𝑚−𝑟(𝑏1)=𝑏1 y al ser 𝜎𝑚(𝑏1) el primer término repetido entonces tenemos que 𝑟=0. Entonces, el ciclo (𝑏1,𝜎(𝑏1),…,𝜎𝑚−1(𝑏1))=(𝑏1,𝑏2,⋯,𝑏𝑚) describe una parte de la permutación. Si en el resto de elementos del conjunto {1,2,…,𝑛} permanece invariante entonces 𝜎 es un ciclo y el resultado está demostrado. En caso contrario, si encontramos otro elemento que no permanece invariante, repetimos el proceso anterior y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos se obtiene la descomposición. Ejemplo Sea 𝜎=(1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 7 6 2 1) una permutación de 𝑆7, vemos que la permutación verifica 𝜎(1)=3,𝜎(3)=4,𝜎(4)=7,𝜎(7)=1 y que 𝜎(2)=5,𝜎(5)=6,𝜎(6)=2 Proposición Toda permutación de 𝑆𝑛 se puede escribir como producto de ciclos disjuntos. Además, esta descomposición es única. 23 y por tanto se puede expresar como 𝜎=(1,3,4,7)(2,5,6) descomponiéndose como un producto de ciclos disjuntos. Por ejemplo, en la permutación 𝜎=(1,3,4,7)(2,5,6) del ejemplo anterior, el orden de 𝜎 es 12 y verifica 𝜎12(𝑎𝑖)=𝑎𝑖 para todo 𝑎𝑖∈{1,2,…,12}. La siguiente pregunta que nos podemos hacer es como calcular el orden de una permutación, donde para ello vamos a demostrar el siguiente resultado que nos va poder dar un criterio para poder calcularlo, demostrando primero el orden de un ciclo y después el orden de una permutación, y para ello vamos a usar la descomposición de una permutación en ciclos disjuntos que hemos demostrado anteriormente. Demostración a) Sea 𝜎=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟)∈𝑆𝑛 un ciclo, entonces 𝜎(𝑖)=𝑖 para todo 𝑖 que no pertenezca al conjunto {𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟} y 𝜎(𝑎𝑖)=𝜎(𝑎𝑖+1) para 𝑖<𝑟 y 𝜎𝑟=𝑎1. Por tanto, 𝜎𝑟(𝑖)=𝑖 para todo 𝑖 no perteneciente al conjunto {𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟}. Además, se verifica que 𝜎(𝑎1)=𝑎2 𝜎2(𝑎1)=𝜎(𝑎2)=𝑎3 ⋮ 𝜎𝑟(𝑎1)=𝜎(𝑎𝑟)=𝑎1 Lo mismo ocurre con todos los elementos del conjunto {𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟}, por lo que el orden del ciclo es 𝑟. Definición Sea 𝜎∈𝑆𝑛, se define el orden de 𝜎 como el menor entero positivo 𝑚 tal que 𝜎𝑚(𝑎𝑖)=𝑎𝑖 para todo 𝑎𝑖∈{1,2,…,𝑛}. Proposición a) El orden de un ciclo 𝜎 es la longitud del ciclo. b) Sea 𝜎=𝜎1𝜎2…𝜎𝑟 su descomposición en ciclos disjuntos. Entonces el orden de 𝜎 es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos 𝜎𝑖 para todo 𝑖∈ {1,2,…,𝑟 } 24 b) Supongamos que el orden de una permutación 𝜎∈𝑆𝑛 es 𝑚, 𝜎=𝜎1𝜎2…𝜎𝑟 es su descomposición en producto de ciclos disjuntos y 𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟 es el orden de cada ciclo. Como 𝜎𝑚=𝐼𝑑, entonces 𝜎1𝑚𝜎2𝑚…𝜎𝑟𝑚=𝐼𝑑 ya que el producto de ciclos disjuntos conmuta. Como son permutaciones disjuntas, tenemos que 𝜎𝑖𝑚 deja los elementos fijos para 𝑖=1,…,𝑟, por lo que 𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟 dividen a 𝑚, luego el mínimo común múltiplo de 𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟 divide a 𝑚. Ya que 𝜎1𝑚1,𝜎2𝑚2,…,𝜎𝑟𝑚𝑟 dejan todos sus elementos fijos, tenemos que 𝜎𝑚.𝑐.𝑚(𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟)=𝐼𝑑 y 𝜎𝑖𝑚.𝑐.𝑚(𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟) deja todos sus elementos fijos de donde (𝜎1𝜎2…𝜎𝑟)𝑚.𝑐.𝑚(𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟)=𝜎1𝑚.𝑐.𝑚(𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟)…𝜎𝑟𝑚.𝑐.𝑚(𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟)=𝐼𝑑 Por lo tanto, 𝑚 divide al mínimo común múltiplo de 𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟, lo que demuestra que 𝑚=𝑚.𝑐.𝑚(𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑟). Antes de seguir continuando, vamos a realizar una pequeña observación que nos va a ayudar a comprender mejor la descomposición de permutaciones en producto de ciclos y transposiciones. Por ejemplo, si consideramos el ciclo (1,2,3,…,𝑘) podemos realizar la siguiente descomposición: (1,2,3,…,𝑘)=(1,𝑘)(1,𝑘−1)…(1,3)(1,2) ya que si expresamos el producto de las transposiciones en forma matricial tenemos que (1,2)=(1 2 3 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘 2 1 3 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘) (1,3)(1,2)=(1 2 3 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘 2 3 1 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘) De manera inductiva, si continuamos sucesivamente hasta 𝑘 llegamos al siguiente resultado (1,𝑘−2)…(1,3)(1,2)=(1 2 3 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘 2 3 4 … 1 𝑘−1 𝑘) (1,𝑘−1)(1,𝑘−2)…(1,3)(1,2)=(1 2 3 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘 2 3 4 … 𝑘−1 1 𝑘) (1,𝑘)(1,𝑘−1)…(1,3)(1,2)=(1 2 3 … 𝑘−2 𝑘−1 𝑘 2 3 4 … 𝑘−1 𝑘 1)=(1,2,…,𝑘) Sin embargo, esta descomposición no tiene por qué ser única, ya que por ejemplo en 𝑆4 tenemos que (1,3)=(4,1)(4,3)(4,1)=(2,1)(2,3)(2,1). A partir de este ejemplo vamos a demostrar uno de los resultados que nos va a permitir más adelante poder definir el concepto de determinante. 25 Demostración Sea 𝜎=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟) un ciclo del grupo simétrico 𝑆𝑛, entonces podemos realizar la siguiente descomposición: (𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑟)=(𝑎1,𝑎𝑟)(𝑎1,𝑎𝑟−1)…(𝑎1,𝑎2) Sin embargo, la descomposición de un ciclo en producto de transposiciones no tiene por qué ser única, ya que por ejemplo en 𝑆4 tenemos que (1,3)=(4,1)(4,3)(4,1)=(2,1)(2,3)(2,1). Hemos demostrado que toda permutación se puede descomponer en productos de ciclos disjuntos y a su vez que un ciclo se puede descomponer en un producto de transposiciones, así que si unimos los dos resultados tenemos que una permutación se puede descomponer en un producto de transposiciones, (resultado que demostramos anteriormente sin utilizar ciclos), lo que nos va a permitir poder expresar cualquier permutación como un producto de transposiciones (resultado que demostramos anteriormente sin utilizar ciclos). Sin embargo, como se ha indicado en el ejemplo anterior, esta descomposición no tiene por qué ser única. Como ejemplo, si consideramos una permutación 𝛼∈𝑆7 dada por 𝛼=(1,3,5,6,2) siendo 𝛼 un ciclo, entonces por los ejemplos anteriores podemos expresar 𝛼 como un producto de transposiciones de la siguiente forma: 𝛼=(1,2)(1,6)(1,5)(1,3) por lo que el índice de 𝛼 es (−1)4=1 siendo además par, por lo que además es fácil comprobar que el índice de un ciclo es igual a su longitud menos uno. Demostración Sean 𝛼 y 𝛽 dos permutaciones con índice par. Entonces podemos expresar las dos permutaciones como producto de transposiciones de la siguiente forma: 𝛼=𝛼1𝛼2…𝛼𝑟 y 𝛽=𝛽1𝛽2…𝛽𝑠 donde 𝛼1,…,𝛼𝑟 y 𝛽1,…,𝛽𝑠 son transposiciones y 𝑟 y 𝑠 son números pares. Entonces tenemos que el producto 𝛼𝛽=𝛼1…𝛼𝑟𝛽1…𝛽𝑠 es una descomposición del producto en un número par de transposiciones, por lo que obtenemos que la aplicación composición es Proposición Todo ciclo se puede descomponer como producto de transposiciones Proposición Sea 𝐴𝑛 el conjunto de todas las permutaciones de 𝑆𝑛 de índice par. Entonces el conjunto 𝐴𝑛 es un grupo con la operación composición y tiene un total de 𝑛!/2 elementos. 32 |𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 000|=𝑎11𝑎22∗0+𝑎21𝑎13∗0+𝑎12𝑎23∗0−𝑎22𝑎13∗0 − −𝑎23𝑎11∗0−𝑎21𝑎12∗0=0 Demostración Para el caso de matrices de orden dos, en este caso vamos a probar el resultado en el caso de intercambiar las dos filas. |𝑎21 𝑎22 𝑎11 𝑎12|=𝑎21𝑎12−𝑎11𝑎22=−(𝑎11𝑎22−𝑎21𝑎12)=−|𝐴| Para el caso de orden tres, vamos a suponer que intercambiamos la primera y la tercera columna y vamos a calcular su determinante. |𝑎13 𝑎12 𝑎11 𝑎23 𝑎22 𝑎21 𝑎33 𝑎32 𝑎31|=𝑎13𝑎22𝑎31+𝑎23𝑎32𝑎11+𝑎33𝑎12𝑎21−𝑎33𝑎22𝑎11− −𝑎32𝑎21𝑎13−𝑎31𝑎12𝑎23=−𝑎11𝑎22𝑎33−𝑎21𝑎32𝑎13−𝑎31𝑎12𝑎23+𝑎31𝑎22𝑎13+ +𝑎32𝑎23𝑎11+𝑎33𝑎12𝑎21=−|𝐴| Demostración Sea 𝐴=(𝑎1𝑎2 𝑎1𝑎2) una matriz de orden 2 con las dos filas iguales, entonces tenemos que |𝐴|=𝑎1𝑎2−𝑎1𝑎2=0 Para el caso de una matriz de orden tres vamos a suponer que las segunda y tercera columna son iguales y vamos a calcular su determinante. |𝑎11 𝑎 𝑎 𝑎21 𝑏 𝑏 𝑎31 𝑐 𝑐|=𝑎11𝑏𝑐+𝑎21𝑐𝑎+𝑎31𝑎𝑏−−𝑎31𝑏𝑎−𝑐𝑏𝑎11−𝑎𝑐𝑎21=0 Demostración Para el caso de una matriz de orden tres fácil vamos a suponer que la segunda columna es combinación lineal de las otras dos, es decir |𝑎11 𝑟𝑎11+𝑠𝑎13 𝑎13 𝑎21 𝑟𝑎21+𝑠𝑎23 𝑎23 𝑎31 𝑟𝑎13+𝑠𝑎33 𝑎33|=|𝑎11 𝑟𝑎11 𝑎13 𝑎21 𝑟𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑟𝑎13 𝑎33|+|𝑎11 𝑠𝑎11 𝑎13 𝑎21 𝑠𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑠𝑎13 𝑎33|= =𝑟|𝑎11 𝑎11 𝑎13 𝑎21 𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑎13 𝑎33|+𝑠|𝑎11 𝑠𝑎11 𝑎13 𝑎21 𝑠𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑠𝑎13 𝑎33|=0 5) Si se intercambian dos filas o dos columnas entonces el determinante cambia de signo 6) Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, entonces su determinante es nulo. 7) Si los elementos de una fila o columna de una matriz son combinación lineal de las otras dos filas o columnas, entonces su determinante es nulo. 33 Demostración Para el caso de orden dos tenemos que |𝑎11+𝑟𝑎12 𝑎12 𝑎21+𝑟𝑎22 𝑎22|=|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|+|𝑟𝑎12 𝑎12 𝑟𝑎22 𝑎22|=|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|+𝑟|𝑎12 𝑎12 𝑎22 𝑎22|= =|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22| En el caso de las matrices de orden tres, el razonamiento es análogo. |𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21+𝑟𝑎11+𝑠𝑎31 𝑎22+𝑟𝑎12+𝑠𝑎32 𝑎23+𝑟𝑎13+𝑠𝑎33 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |= =|𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21+𝑟𝑎11 𝑎22+𝑟𝑎12 𝑎23+𝑟𝑎13 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |+|𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑠𝑎31 𝑠𝑎32 𝑠𝑎33 𝑎31 𝑎32 𝑎33|= =|𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33|+𝑟|𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎31 𝑎32 𝑎33|+𝑠|𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎31 𝑎32 𝑎33|=|𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33| Demostración En esta ocasión solo lo vamos a demostrar para el caso de matrices de orden dos, ya que en el caso de matrices de tercer orden el razonamiento es análogo y las operaciones son más extensas. Sean 𝐴=(𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22) y 𝐵=(𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏22) dos matrices cuadradas de segundo orden, entonces tenemos que 𝐴∗𝐵=(𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12+𝑎12𝑏22 𝑎21𝑏11+𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22) |𝐴∗𝐵|=|𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12+𝑎12𝑏22 𝑎21𝑏11+𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22| Por la propiedad de la suma tenemos que |𝐴∗𝐵|=|𝑎11𝑏11 𝑎11𝑏12+𝑎12𝑏22 𝑎21𝑏11 𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22|+|𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12+𝑎12𝑏22 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12+𝑎22𝑏22|= =|𝑎11𝑏11 𝑎11𝑏12 𝑎21𝑏11 𝑎21𝑏12|+|𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21 𝑎12𝑏22 𝑎21𝑏11+𝑎22𝑏21 𝑎22𝑏22| +|𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12|+|𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏21 𝑎12𝑏22 𝑎21𝑏11+𝑎22𝑏21 𝑎22𝑏22| 8) Si a los elementos de una fila o columna le sumamos una combinación lineal de las otras dos filas o columnas, entonces el determinante no varía. 9) El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| 3) El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| 4) El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. |𝐴∗𝐵|=|𝐴|∗|𝐵| 34 Vamos a extraer todos los factores comunes que se puedan. |𝐴∗𝐵|=𝑏11𝑏12|𝑎11 𝑎11 𝑎21 𝑎21|+𝑏11𝑏22|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|+𝑏21𝑏12|𝑎12 𝑎11 𝑎22 𝑎21| +𝑏21𝑏12|𝑎12 𝑎12 𝑎22 𝑎22|=𝑏11𝑏22|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|+𝑏21𝑏12|𝑎12 𝑎11 𝑎22 𝑎21| Por la propiedad número cinco, como en la matriz |𝑎12 𝑎11 𝑎22 𝑎21| tiene las dos columnas intercambiadas, entonces su determinante cambia de signo, luego finalmente nos queda que |𝐴∗𝐵|=𝑏11𝑏22|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|−𝑏21𝑏12|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|=|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|(𝑏11𝑏22−𝑏21𝑏12)= =|𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22||𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏22| El desarrollo de la definición de determinante puede recordarse fácilmente con el siguiente diagrama conocido como regla de Sarrus, que describe de forma gráfica los términos positivos y negativos del determinante de orden tres. + - 3.3 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE Anteriormente, para una matriz cualquiera de orden tres dada de la siguiente forma 𝐴=(𝑎1𝑎2𝑎3 𝑏1𝑏2𝑏3 𝑐1𝑐2𝑐3) hemos definido su determinante como |𝐴|=𝑎1𝑏2𝑐3+𝑏1𝑐2𝑎3+𝑐1𝑎2𝑏3−𝑐1𝑏2𝑎3−𝑐2𝑏3𝑎1−𝑐3𝑎2𝑏1 35 Si nos fijamos en los diferentes términos del determinante, aparecen todas las diferentes formas de escoger un elemento de cada fila sin que haya dos de ellos en la misma columna. A partir de aquí nos damos cuenta de que aparecen todos los términos correspondientes a las biyecciones del conjunto {1,2,3}, es decir, todas las permutaciones del grupo 𝑆3 dadas por (1 2 3 1 2 3),(1 2 3 2 1 3),(1 2 3 1 3 2),(123 312),(123 231),(1 2 3 3 2 1) También podemos observar que el signo que aparece afectando a cada término del determinante es precisamente el índice de la permutación correspondiente. Por consiguiente, usando las propiedades de las permutaciones podemos dar una primera definición del determinante de una matriz de orden tres |𝐴|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎𝜎(1)𝑏𝜎(2)𝑐𝜎(3) 𝜎∈𝑆3 También si nos fijamos cuidadosamente, podemos escribir el determinante de la matriz 𝐴 como |𝐴|=𝑎1(𝑏2𝑐3−𝑐2𝑏3)−𝑏1(𝑎2𝑐3−𝑐2𝑎3)+𝑐1(𝑎2𝑏3−𝑏2𝑎3) Estableciendo una relación entre el determinante de una matriz de orden dos y los elementos de una fila o una columna, por lo que más adelante daremos una definición inductiva del determinante de una matriz de cualquier orden. A continuación, vamos a proceder a dar nuestra primera definición del determinante de una matriz general de orden 𝑛 donde vamos a usar las permutaciones Esta fue la primera definición de determinante que fue utilizada por Leibniz, por lo que su importancia ha sido muy importante a lo largo de toda la teoría de los determinantes. Definición Dada una matriz 𝐴 de orden 𝑛 de la siguiente manera 𝐴=(𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛) definimos el determinante de la matriz 𝐴 como |𝐴|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛 36 A continuación, vamos a pasar a demostrar las propiedades elementales que demostramos anteriormente para el determinante de orden dos y tres para una matriz cuadrada de orden 𝑛. PROPIEDADES 1) Sea 𝐴∈𝑀𝑛(𝑅) una matriz cuadrada de orden 𝑛, entonces se verifica que |𝐴|=|𝐴𝑡| Demostración Sea la matriz 𝐴 expresada como 𝐴=(𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛) Entonces su matriz traspuesta es de la forma 𝐴=(𝑎11 ⋯ 𝑎𝑛1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎𝑛𝑛) por lo que tenemos que |𝐴𝑡|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎𝜎(1)1𝑎𝜎(2)2…𝑎𝜎(𝑛)𝑛𝜎∈𝑆𝑛 y si aplicamos la igualdad 𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑛𝜎(𝑛)=𝑎𝜎−1(1)1𝑎𝜎−1(2)2…𝑎𝜎−1(𝑛)𝑛 reordenando los factores obtenemos que |𝐴𝑡|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎−1(1)𝑎2𝜎−1(2)…𝑎𝑛𝜎−1(𝑛)= 𝜎∈𝑆𝑛 =∑𝑖𝑛𝑑(𝜎−1)𝑎1𝜎−1(1)𝑎2𝜎−1(2)…𝑎𝑛𝜎−1(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛= =∑𝑖𝑛𝑑(𝜏)𝑎1𝜏(1)𝑎2𝜏(2)…𝑎𝑛𝜏(𝑛) 𝜏−1∈𝑆𝑛=∑𝑖𝑛𝑑(𝜏)𝑎1𝜏(1)𝑎2𝜏(2)…𝑎𝑛𝜏(𝑛) 𝜏∈𝑆𝑛=|𝐴| donde hemos usado que 𝑖𝑛𝑑(𝜎)=𝑖𝑛𝑑(𝜎−1) para toda permutación 𝜎∈𝑆𝑛, hemos realizado la sustitución 𝜏=𝜎−1. 2) Si a una matriz 𝐴 se multiplica una fila (o una columna) por una constante 𝑟, entonces su determinante queda multiplicado por 𝑟. Demostración Sea 𝐵 la matriz que se obtiene al multiplicar la fila 𝑖-ésima de 𝐴, se tiene que 𝐵= ( 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑟𝑎𝑖1 𝑟𝑎𝑖2 … 𝑟𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 ) |𝐵|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…𝑟𝑎𝑖𝜎(𝑖)…𝑎𝑛𝜎(𝑛)= 𝜎∈𝑆𝑛𝑟∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…𝑎𝑖𝜎(𝑖)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛= =𝑟|𝐵| 37 A partir de esta propiedad se obtiene también que si multiplicas una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 por una constante 𝑟, entonces se verifica que |𝑟𝐴|=𝑟𝑛|𝐴|. 3) El determinante es multilineal en filas y columnas, es decir, |𝑎11 … 𝑎𝑎1𝑖+𝑏𝑏1𝑖 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 … 𝑎𝑎𝑛𝑖+𝑏𝑏𝑛𝑖 … 𝑎𝑛𝑛|= =𝑎|𝑎11 … 𝑎1𝑖 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑖 … 𝑎𝑛𝑛|+𝑏|𝑎11 … 𝑏1𝑖 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 … 𝑏𝑛𝑖 … 𝑎𝑛𝑛| y lo mismo sería para las filas. Demostración Sea 𝐴∈𝑀𝑛(𝑅) una matriz cuadrada de la forma 𝐴= ( 𝑎11 … 𝑎𝑎1𝑖+𝑏𝑏1𝑖 ⋮ ⋮ 𝑎𝑎𝑖1+𝑏𝑏𝑖1 … 𝑎𝑎𝑖𝑛+𝑏𝑏𝑖𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛 ) |𝐴|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…(𝑎𝑎𝑖𝜎(𝑖)+𝑏𝑏𝑖𝜎(𝑖))…𝑎𝑛𝜎(𝑛)= 𝜎∈𝑆𝑛 =𝑎∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…𝑎𝑖𝜎(𝑖)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛+𝑏∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…𝑏𝑖𝜎(𝑖)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛 por lo que se verifica que el determinante es multilineal. 4) Si a una matriz 𝐴 cuadrada de orden 𝑛 se le permutan dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Demostración Sea 𝐵 la matriz que se obtiene de 𝐴 intercambiando las filas 𝑖-ésima y 𝑗-ésima con 𝑖<𝑗 tenemos que 𝐵= ( 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 … 𝑎𝑗𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 ) 38 |𝐵|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑏1𝜎(1)…𝑏𝑖𝜎(𝑖) 𝜎∈𝑆𝑛…𝑏𝑗𝜎(𝑗)…𝑏𝑛𝜎(𝑛)= =∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…𝑎𝑗𝜎(𝑖) 𝜎∈𝑆𝑛…𝑎𝑖𝜎(𝑗)…𝑎𝑛𝜎(𝑛)= =∑𝑖𝑛𝑑( 1 … 𝑖 … 𝑗 … 𝑛 𝜎(1)… 𝜎(𝑗)… 𝜎(𝑖)… 𝜎(𝑛))𝑎1𝜎(1)…𝑎𝑗𝜎(𝑖) 𝜎∈𝑆𝑛…𝑎𝑖𝜎(𝑗)…𝑎𝑛𝜎(𝑛) Si definimos la transposición 𝜏=(1 … 𝑖 … 𝑗 … 𝑛 1 … 𝑗 … 𝑖 … 𝑛) , entonces 𝜋=𝜎 𝑜 𝜏 es una permutación. Además, también se tiene que 𝑖𝑛𝑑(𝜋)=−𝑖𝑛𝑑(𝜎𝑜𝜏)=𝑖𝑛𝑑(𝜎). Entonces |𝐴|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜋)𝑎1𝜋(1)…𝑎𝑖𝜋(𝑖)…𝑎𝑗𝜋(𝑗)…𝑎𝑛𝜋(𝑛)= 𝜋∈𝑆𝑛 =−∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)…𝑎𝑗𝜎(𝑖)…𝑎𝑖𝜎(𝑗)…𝑎𝑛𝑛 𝜎∈𝑆𝑛=−|𝐵| 5) Si 𝐴 es una matriz triangular superior o inferior, entonces su determinante es el producto de los elementos de su diagonal. Demostración Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛 triangular superior de la forma 𝐴= ( 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1(𝑛−1)𝑎1𝑛 0 𝑎22 … 𝑎2(𝑛−1)𝑎2𝑛 0 0 … 𝑎3(𝑛−1)𝑎3𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 0 𝑎𝑛𝑛 ) |𝐴|=∑𝑖𝑛𝑑(𝜎)𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)…𝑎𝑛𝜎(𝑛)=𝑎11𝑎22…𝑎𝑛𝑛 𝜎∈𝑆𝑛 6) Si una matriz tiene una fila o una columna de ceros, entonces su determinante es nulo. Demostración Sea la matriz 𝐴 una matriz cuadrada con la fila 𝑖-ésima nula, es decir 𝐴= ( 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎(𝑖−1)1𝑎(𝑖−1)2… 𝑎(𝑖−1)𝑛 0 0 … 0 𝑎(𝑖+1)1𝑎(𝑖+1)2… 𝑎(𝑖+1)𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 ) Si multiplicamos la fila 𝑖-ésima por una constante cualquiera 𝑟 entonces se tiene que 39 |𝐴|=𝑟|𝐴|, por lo que se obtiene que |𝐴|=0 7) Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, entonces su determinante es nulo. Demostración Supongamos que tenemos una matriz cuadrada 𝐴 que tienen la fila 𝑖-ésima y la columna 𝑗-ésima iguales, siendo 1≤𝑖≤𝑗≤𝑛, entonces si intercambiamos las dos filas, tenemos que la matriz 𝐴 no varía y su determinante cambia de signo, es decir |𝐴|=−|𝐴|. Entonces su determinante es nulo. 8) Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales, entonces su determinante es nulo. Demostración Sea 𝐴 una matriz con las filas 𝑖 y 𝑗 proporcionales, es decir, que la matriz es de la forma 𝐴= ( 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑟𝑎𝑖1 𝑟𝑎𝑖2 … 𝑟𝑎𝑖𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 ) Entonces la matriz 𝐴 se obtiene al a multiplicar la fila 𝑗-ésima por una constante 𝑟 por una matriz que tiene la fila 𝑖-ésima y la fila 𝑗-ésima, luego su determinante es nulo. 9) Si a una matriz cuadrada le sumamos a una fila una combinación lineal de otras filas, entonces su determinante no varía. Demostración Si expresamos la matriz 𝐴 de la forma 𝐴=(𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛) siendo 𝐴𝑖 vectores de dimensiones 𝑛𝑥1 y definimos la matriz 𝐵=(𝐴1+∑𝑎𝑖𝐴𝑖 𝑛𝑖=2 |𝐴2|…|𝐴𝑛), entonces se tiene que |𝐵|=|𝐴|+∑ |(𝐴𝑖|𝐴2|…|𝐴𝑖|…|𝐴𝑛)|=|𝐴| 𝑛𝑖=2 . Hasta ahora hemos dado una definición de determinante usando permutaciones, pero el cálculo usando esa definición no es conveniente para calcular determinantes de mayor orden. A continuación, vamos a proceder describir la definición de determinante establecida por Laplace que nos va a permitir calcular determinantes de forma inductiva. Para ello, vamos a establecer un par de definiciones previas. 40 Como ejemplo, si consideramos la matriz 𝐴=(1 4 6 2 3 2 1 3 1 8 7 5 5 6 2 1) El complementario del elemento 𝑎22=2 es el determinante de la matriz 𝐶=(1 6 2 1 7 3 5 2 1) cuyo determinante es |𝐶|=19. Demostración Vamos a denotar a la matriz 𝐴 como 𝐴=(𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛) donde 𝐴𝑖 representa la columna 𝑖-ésima para 1≤𝑖≤𝑛. Consideramos la columna 𝐴𝑗=(𝑎1𝑗,…,𝑎𝑛𝑗)𝑡 que podemos expresar como 𝐴𝑗=∑𝑎𝑖𝑗𝑒𝑖𝑡 𝑛 𝑖=1 Definición Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛, definimos el menor complementario de un elemento 𝑎𝑖𝑗 con 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 al determinante que se obtiene quitando la fila 𝑖-ésima y la columna 𝑗-ésima. Al menor complementario de 𝑎𝑖𝑗 lo vamos a denotar por 𝛼𝑖𝑗. Definición Se denomina adjunto del elemento 𝑎𝑖𝑗 de una matriz cuadrada de orden 𝑛 como el escalar (−1)𝑖+𝑗𝛼𝑖𝑗 y los vamos a denotar por 𝐴𝑖𝑗 Desarrollo del determinante por columnas Dada una matriz 𝐴 de orden 𝑛 expresada de la siguiente manera 𝐴=(𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ⋯𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛) se puede desarrollar el determinante de 𝐴 como |𝐴|=𝑎1𝑖|𝐴1𝑖|+𝑎2𝑖|𝐴2𝑖|+⋯+𝑎𝑛𝑖|𝐴𝑛𝑖| donde 𝐴𝑗𝑖 es una matriz adjunta de 𝐴 para 𝑗=1,2,…,𝑛 . 41 Por la linealidad del determinante (demostrada anteriormente) se tiene que |𝐴|=𝑎1𝑗|(𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝑒1𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛)|+𝑎2𝑗|(𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝑒2𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛)|+ +⋯+𝑎𝑛𝑗|(𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝑒𝑛𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛)|=∑𝑎𝑖𝑗|(𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝑒𝑖𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛)| 𝑛 𝑖=1 Tenemos que demostrar que |(𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝑒𝑖𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛)|=𝐴𝑖𝑗 para 1≤𝑖≤𝑛, siendo 𝐴𝑖𝑗 el adjunto del elemento 𝑎𝑖𝑗. Para demostrarlo, trasladamos la columna 𝑗-ésima a la última columna de la matriz intercambiando la columna 𝑗 - ésima con la columna (𝑗+1)- ésima, después la columna (𝑗+1)- ésima por la columna (𝑗+2) – ésima y así sucesivamente hasta cambiar la columna (𝑛−1)- ésima por la columna 𝑛 -ésima. Así podemos desarrollar el determinante de la siguiente forma: |(𝐴1,…,𝐴𝑗,𝑒𝑖𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛)|=(−1)𝑛−𝑗|(𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛,𝑒𝑖𝑡)| Ahora llevamos la fila 𝑖 -ésima a la última fila, intercambiando la fila 𝑖ésima por la fila (𝑖+1)- ésima y así sucesivamente hasta intercambiar la fila (𝑛−1) -ésima por la fila 𝑛 -ésima. Así se obtiene que el determinante de la matriz (𝐴1,…,𝐴𝑗−1,𝑒𝑖𝑡,𝐴𝑗+1,…,𝐴𝑛) es igual a (−1)𝑛−𝑗(−1)𝑛−𝑖|(𝐴𝑖𝑗 ′0𝑡 𝑎 1)|=(−1)𝑖+𝑗|(𝐴𝑖𝑗 ′0𝑡 𝑎 1)| donde 𝐴𝑖𝑗 ′ es la matriz obtenida de 𝐴 al eliminar la fila 𝑖 -ésima y la columna 𝑗 -ésima, por lo que se tiene que demostrar (𝐴𝑖𝑗 ′0𝑡 𝑎 1)= ( 𝑎11 … 𝑎1(𝑗−)1𝑎1(𝑗+1)… 𝑎1𝑛 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎(𝑖−1)1… 𝑎(𝑖−1)(𝑗−1)𝑎(𝑖+1)(𝑗+1)… 𝑎(𝑖−1)𝑛0 𝑎(𝑖+1)1… 𝑎(𝑖+1)(𝑗−1)𝑎(𝑖+1)(𝑗+1)… 𝑎(𝑖+1)𝑛0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛(𝑗−1)𝑎𝑛(𝑗+1)… 𝑎𝑛𝑛 0 𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖(𝑗−1)𝑎𝑖(𝑗+1)… 𝑎𝑖𝑛 1 ) Por lo que hay que demostrar que |𝐴𝑖𝑗 ′|=|(𝐴𝑖𝑗 ′0𝑡 𝑎 1)| Si tomamos una matriz 𝑀 de la forma 𝑀= ( 𝑚11 … 𝑚1(𝑛−1)0 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑚(𝑛−1)1… 𝑚(𝑛−1)(𝑛−1)0 𝑚𝑛1 … 𝑚𝑛(𝑛−1)1 ) De la definición del determinante de una matriz 48 Demostración Por la primera propiedad, se verifica que 𝐴(𝑎+λb,b)=A(b,a+λb). Por la segunda propiedad tenemos que 𝐴(𝑏,𝑎+λb)=A(b,a)=A(a,b), por lo que hemos demostrado que 𝐴(𝑎+λb,b)=A(b,a)=A(a,b) A partir de estas dos últimas propiedades tenemos que se verifica 𝐴(𝛼𝑎,𝛽𝑏)=|𝛼||𝛽|𝐴(𝑎,𝑏) siendo 𝑎 y 𝑏 vectores del plano y 𝛼,𝛽 números reales. Como resumen, hemos demostrado las siguientes propiedades: Podemos observar que el área cumple las transformaciones elementales excepto en la cuarta propiedad que al multiplicarlo por un escalar el área queda multiplicada por el valor absoluto del escalar. Entonces, A continuación, vamos a calcular el módulo de 𝑏′′, donde para ello vamos a desarrollar su producto escalar descomponiendo 𝑏′′ en la forma 𝑏′′=𝑏−𝛽𝑎 con 𝛽=<𝑎,𝑏> |𝑎|2 |𝑏′′|2=<𝑏−𝛽𝑎,𝑏−𝛽𝑎> = <𝑏,𝑏> − 𝛽<𝑏,𝑎> − 𝛽<𝑎,𝑏>+𝛽2<𝑎,𝑎> = =<𝑏,𝑏> − 2𝛽<𝑎,𝑏>+𝛽2<𝑎,𝑎> = <𝑏,𝑏> −2 <𝑎,𝑏> <𝑎,𝑎><𝑎,𝑏>+ +<𝑎,𝑏>2 <𝑎,𝑎>2<𝑎,𝑎> = <𝑎,𝑎><𝑏,𝑏>−<𝑎,𝑏>2 <𝑎,𝑎> A partir de este desarrollo vamos a calcular el área de paralelogramo formado por ambos vectores. 5) Sean 𝑎 y 𝑏 dos vectores del plano, se verifica que 𝐴(𝑎+λb,b)=A(a,b) para todo número real λ. <𝑏′′,𝑏′′>=<𝑎,𝑎>−<𝑎,𝑏>2 <𝑎,𝑎> 1) 𝑨(𝒂,𝒃)=𝑨(𝒃,𝒂) 2) 𝑨(𝒂,𝒃+𝜶𝒂)=𝑨(𝒂,𝒃) 3) 𝑨(𝒂+𝜶𝒃,𝒃)=𝑨(𝒂,𝒃) 4) 𝑨(𝜶𝒂,𝜷𝒃)=|𝜶||𝜷|𝑨(𝒂,𝒃) 49 (𝐴(𝑎,𝑏))2=<𝑎,𝑎><𝑏′′,𝑏′′≥<𝑎,𝑎><𝑎,𝑎><𝑏,𝑏>−<𝑎,𝑏>2 <𝑎,𝑎> = =<𝑎,𝑎><𝑏,𝑏>−<𝑎,𝑏>2 <𝑎,𝑎> <𝑏,𝑏> − <𝑎,𝑏>2 = |<𝑎,𝑎> <𝑎,𝑏> <𝑎,𝑏> <𝑏,𝑏>|=|(𝑎1𝑎2 𝑏1𝑏2)(𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2)|= =|𝐴𝑡𝐴| donde 𝐴 es la matriz definida por 𝐴=(𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2) Por las propiedades de los determinantes, |𝐴𝑡𝐴|=|𝐴𝑡||𝐴|=|𝐴||𝐴|=|𝐴|2, donde finalmente hemos demostrado que es decir, el valor absoluto del determinante de la matriz 𝐴. A partir de las propiedades anteriores y la definición del área, podemos establecer la siguiente afirmación: El determinante como área tiene el mismo comportamiento respecto a las transformaciones elementales excepto en la cuarta propiedad que establece que 𝐴(𝛼𝑎,𝛽𝑏)=|𝛼||𝛽|𝐴(𝑎,𝑏), donde la igualdad se mantiene, pero no el signo. Por ejemplo, si consideramos los vectores 𝑢=(3,1) y 𝑣=(−1,−2), vamos a calcular su determinante y su área. 𝐴=(3 −1 1 −2) Realizamos la operación elemental 𝐹2−13𝐹1 donde el determinante de los vectores 𝑢 y 𝑣 ni el área varían (3 −1 0−5 3) Ahora aplicamos la operación elemental 𝐹1 + 35𝐹2 obtenemos la matriz (3 0 0−5 3) determinante = área + signo 𝐴(𝑎,𝑏)=|𝑑𝑒𝑡(𝐴)| 50 Aquí obtenemos que 𝑑𝑒𝑡(𝑢,𝑣)=3∗−5 3=−5 y 𝐴(𝑢,𝑣)=|3||−5 3|=5, pudiendo observar la diferencia que existe entre el determinante y el signo. Otra manera más intuitiva de poder demostrar el área generada por dos vectores puede realizarse de forma geométrica, que puede ser más adaptada a los alumnos de los cursos de secundaria donde podrán apreciar de una forma más ilustrativa el cálculo del área y su relación con el determinante. Demostración Si representamos gráficamente el paralelogramo formado por los vectores, podemos realizar la siguiente descomposición: Ilustración 6 Los triángulos 1 y 2 de la imagen son semejantes, donde sus los lados de ambos triángulos tienen la misma longitud, por lo que el área de cada triángulo es igual a 𝒄𝒅𝟐 ⁄ Los triángulos 3 y 4 también son semejantes y tienen los lados de ambos la misma longitud, por lo que el área de cada triángulo viene es igual a 𝒂𝒃𝟐 ⁄ y el área de los rectángulos 5 y 6 es igual a 𝒃𝒄. A continuación, vamos a calcular el área del rectángulo mayor. 𝐴(𝑅)=(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) Sean 𝑢=(𝑎,𝑏) y 𝑣=(𝑐,𝑑) dos vectores del plano, entonces el área del paralelogramo formado por ambos vectores es el determinante de la matriz (𝑎 𝑐 𝑏 𝑑) 51 𝐴(𝑅)=𝐴(1)+𝐴(2)+𝐴(3)+𝐴(4)+𝐴(5)+𝐴(6)+𝐴(𝑃)=𝑐𝑑+𝑎𝑏+2𝑏𝑐+𝐴(𝑃) Si igualamos ambas igualdades, tenemos que (𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=𝑐𝑑+𝑎𝑏+2𝑏𝑐+𝐴(𝑃) 𝑎𝑏+𝑎𝑑+𝑐𝑏+𝑐𝑑=𝑐𝑑+𝑎𝑏+2𝑏𝑐+𝐴(𝑃) 𝐴(𝑃)=𝑎𝑑+𝑏𝑐−2𝑏𝑐=𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝐴(𝑃)=𝑑𝑒𝑡(𝑎 𝑐 𝑏 𝑑) Cuando los puntos están en otro cuadrante la fórmula que se acaba de obtener dará el negativo del área del paralelogramo. Así para el paralelogramo formado por dos puntos (𝑎,𝑏) y (𝑐,𝑑) su área viene dada por |𝑑𝑒𝑡(𝑎 𝑐 𝑏 𝑑)| Demostración Al igual que antes, vamos a realizar la siguiente descomposición: Ilustración 7 Los triángulos 1 y 2 son semejantes y sus lados tienen la misma longitud, luego son semejantes y cumple que 𝐴(1)=𝐴(2)=(𝑐+μ𝑎)(𝑑+μ𝑏) 2 Sean 𝑢=(𝑎,𝑏) y 𝑣=(𝑐,𝑑) dos vectores del plano, entonces el área del paralelogramo formado por los vectores 𝑢 y 𝑣+μ𝑢 es igual al área del paralelogramo formado por 𝑢 y 𝑣. 52 Los triángulos 3 y 4 son semejantes y sus lados también tienen la misma longitud, por lo que son semejantes y verifican que 𝐴(3)=𝐴(4)=𝑎𝑏 2 Los rectángulos 5 y 6 son semejantes y tienen la misma área que viene dado por 𝐴(5)=𝐴(6)=(𝑐+μ𝑎)𝑏 El área del rectángulo grande es igual a (𝑏+𝑑+μ𝑏)(𝑎+𝑐+μ𝑎), por lo que se tiene que (𝑏+𝑑+μ𝑏)(𝑎+𝑐+μ𝑎)=𝐴(1)+𝐴(2)+𝐴(3)+𝐴(4)+𝐴(5)+𝐴(6)+𝐴(𝑃) (𝑏+𝑑+μ𝑏)(𝑎+𝑐+μ𝑎)=(𝑐+μ𝑎)(𝑑+μ𝑏)+𝑎𝑏+2(𝑐+μ𝑎)𝑏+𝐴(𝑃) 𝑎𝑏+𝑏(𝑐+μ𝑎)+𝑎(𝑑+μ𝑏)+(𝑑+μ𝑏)(𝑐+μ𝑎)= =(𝑑+μ𝑏)(𝑐+μ𝑎)+𝑎𝑏+2(𝑐+μ𝑎)𝑏+𝐴(𝑃) 𝑏(𝑐+μ𝑎)+𝑎(𝑑+μ𝑏)=2(𝑐+μ𝑎)𝑏+𝐴(𝑃) 𝑎(𝑑+μ𝑏)−(𝑐+μ𝑎)𝑏=𝐴(𝑃) 𝑎𝑑−𝑐𝑑=𝐴(𝑃) De la misma manera, se puede demostrar que se verifican las mismas propiedades que demostramos en el caso anterior, por lo que el área cumple las propiedades de las operaciones elementales. Demostración Ilustración 8 Dado un triángulo definido por tres vértices 𝐴=(𝑥1,𝑦1), 𝐵=(𝑥2,𝑦2) y 𝐶=(𝑥3,𝑦3), el área del triángulo es igual a 12𝑑𝑒𝑡(𝑥1𝑦11 𝑥2𝑦21 𝑥3𝑦31) 53 Se puede calcular el área de este triángulo de la siguiente manera: 𝐴(𝐴𝐵𝐶)=𝐴(𝑃1𝐴𝐵𝑃2) + 𝐴(𝑃2𝐵𝐶𝑃3)−𝐴(𝑃1𝐴𝐶𝑃3) El área de un trapecio rectángulo es 12 ⁄ de la distancia entre los lados paralelos por la suma de las longitudes de los lados paralelos. 𝐴(𝑃1𝐴𝐵𝑃2)=12(𝑥2−𝑥1)(𝑦1+𝑦2) 𝐴(𝑃2𝐵𝐶𝑃3)=12(𝑥3−𝑥2)(𝑦2+𝑦3) 𝐴(𝑃1𝐴𝐶𝑃3)=12(𝑥3−𝑥1)(𝑦1+𝑦3) 𝐴(𝐴𝐵𝐶)=12(𝑥2−𝑥1)(𝑦1+𝑦2)+12(𝑥3−𝑥2)(𝑦2+𝑦3)−12(𝑥3−𝑥1)(𝑦1+𝑦3)= =12𝑥2𝑦1−12𝑥1𝑦2+12𝑥3𝑦2−12𝑥2𝑦3−12𝑥3𝑦1+12𝑥1𝑦3= =12(𝑥2𝑦1−𝑥1𝑦2+𝑥3𝑦2−𝑥2𝑦3−𝑥3𝑦1+𝑥1𝑦3) Esta expresión es igual a 12𝑑𝑒𝑡(𝑥1𝑦11 𝑥2𝑦21 𝑥3𝑦31) Cuando los puntos están en otro cuadrante o se etiquetan en orden diferente, la fórmula que se acaba de obtener dará el negativo del área del triángulo. Así, para un triángulo de vértices (𝑥1,𝑦1) (𝑥2,𝑦2) y (𝑥3,𝑦3) tenemos que el área del triángulo viene dada por |12𝑑𝑒𝑡(𝑥1𝑦11 𝑥2𝑦21 𝑥3𝑦31)| Ahora supongamos que tenemos un paralelogramo formado por cuatro puntos 𝐴,𝐵,𝐶 y 𝐷 como se muestra en la siguiente figura: Ilustración 9 54 Como la diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales, entonces su área es igual a |𝑑𝑒𝑡(𝑥1𝑦11 𝑥2𝑦21 𝑥3𝑦31)| 3.4.2 VOLUMEN Y DETERMINANTE Para el caso de espacio 𝑅𝟛, para definir el volumen de tres vectores, vamos a dar una definición previa. De la misma manera que definimos el área de dos vectores en el plano, vamos a definir el volumen que genera tres vectores en el espacio. Al igual que ocurre con el área en el caso del plano, en el espacio se verifica que el volumen verifica las mismas propiedades que verificaba el área, como por ejemplo la siguiente propiedad: Definición Definimos el paralepípedo formado por tres vectores 𝑢,𝑣 y 𝑤 en el espacio como el conjunto definido como 𝐻(𝑢,𝑣,𝑤)={𝛼𝑢+𝛽𝑣+𝜇𝑤: 0≤𝛼,𝛽,𝜇≤1} Definición Sean 𝑢,𝑣 y 𝑤 tres vectores del espacio, definimos el volumen del paralepípedo generado por los tres vectores como 𝑉(𝑢,𝑣,𝑤)=𝑉𝑜𝑙(𝐻(𝑢,𝑣,𝑤))=Á𝑟𝑒𝑎(𝑢,𝑣)∗|𝑤′′| Siendo 𝑤′′ la componente vertical de 𝑤 respecto de los vectores 𝑢 y 𝑤. Ilustración 10 55 En esta ilustración se puede observar que al tomar tres vectores 𝑢, 𝑣 y 𝑤, el volumen del paralepípedo formado por los vectores 𝑢, 𝑣 y 𝛼𝑢+𝛽𝑣 no varía. Finalmente, al igual que ocurría con el área, el volumen generado por tres vectores es igual al valor absoluto del determinante de la matriz formada por los vectores salvo el signo, por lo que queda reflejado 3.5 MARCO TECNOLÓGICO. MAXIMA Maxima es un sistema informático diseñado para la manipulación de expresiones simbólicas y algebraicas, incluyendo diferenciación, integración, desarrollos en series de Taylor, transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales ordinarias, resolución de sistemas de ecuaciones lineales, matrices, tensores... Maxima puede también realizar gráficas utilizando funciones matemáticas o tablas de datos en dos y tres dimensiones Maxima es un programa para trabajar en modo consola (o línea de comandos). Existen, sin embargo, varios interfaces gráficos (GUI) para trabajar de forma más amigable; actualmente los de uso más extendido son xMaxima, wxMaxima, pero hay muchos más. Maxima se puede descargar de forma gratuita y permite manejar de forma adecuada el manejo de expresiones algebraicas, resolución de ecuaciones lineales y el manejo de matrices, por lo que supone una “herramienta” adecuada para que los alumnos de bachillerato aprendan a manejar Sean 𝑢, 𝑣 y 𝑤 tres vectores, entonces si a un vector se le suma una combinación lineal de los otros dos, el volumen no varía. Ilustración 11 56 matrices utilizando varias funciones que nos van a permitir calcular determinantes, resolver ecuaciones lineales, reducir expresiones algebraicas, calcular el rango de una matriz y otros muchos resultados que son fundamentales dentro de la programación didáctica que vamos a desarrollar posteriormente. Para introducir Maxima en nuestra propuesta didáctica, vamos a introducir las principales funciones y comandos de Maxima que nos van a permitir manejar matrices y realizar todos los cálculos y operaciones matriciales estudiadas dentro de los cursos de secundaria. Como primer paso, para introducir una matriz en Maxima existen varias formas que permiten definir una matriz. Como primer ejemplo, vamos a definir una matriz a partir de los elementos de sus filas; para ello, mediante la instrucción A: matrix([1, 2,4], [4, 3, x], [3, 1, 2]); se obtiene una matriz de la forma (1 2 4 4 3 𝑥 3 1 2) Ilustración 12 En este caso cada una de las filas de la matriz corresponde con los tres vectores introducidos en el comando anterior, por lo que para poder introducir una matriz se tendrá que identificar cada una de las filas e implementarlas dentro del comando. Para ello, introducimos la función matrix antes de expresar los elementos de la matriz y separamos cada elemento de las filas dentro de los corchetes con una coma, al igual que ocurre al cerrar cada corchete. También es posible definir una matriz cuando el valor de un elemento (𝑖,𝑗)-ésimo de la matriz está definida en función de su posición en la matriz. Como ejemplo, para una matriz de dimensión 4×3 se puede escribir de la siguiente manera: 57 a[i, j]:=i^2+3*j; genmatrix(a, 4, 3); generando una matriz de la forma (4 7 10 710 13 12 15 18 19 22 23) En este caso los elementos de esta matriz verifican la expresión 𝑖2+3𝑗. Por ejemplo, el elemento de la segunda fila y la segunda columna es igual a 22+3∗2=10 También es posible extraer submatrices de una matriz con la función submatriz en la que podemos eliminar los elementos de las filas y columnas que se indican. Un ejemplo que vamos a ilustrar es el siguiente: A: matrix([1, 4, 2], [2, 1, 3], [2, 5, 2]); submatrix(1, A, 3); A partir de aquí se obtiene la siguiente matriz (2 1 2 5) Para ello, dentro de la función submatrix, al escribir la matriz 𝐴, se ha indicado previamente las filas que se desean “eliminar” y después las columnas que al igual que en el caso de las filas se desean “quitar”. En este ejemplo se ha obtenido de la matriz 𝐴 definida anteriormente al “eliminar” la primera fila y la segunda columna. Otro ejemplo sería el siguiente: submatrix(1, 2, A, 3); (2 5) en la que se ha eliminado las dos primeras filas y la tercera columna. Ilustración 13 64 ilustración gráfica usando grafos y por último se describe el método de Cramer junto con unos ejemplos resueltos en matrices de orden tres. Apartado 3: Determinantes de orden 𝑛 (1 página) Aquí se expone la definición general del determinante de una matriz de orden 𝑛 por su desarrollo a través de la primera columna y la fórmula de Cramer para un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales y 𝑛 incógnitas. Apartado 4: Propiedades de los determinantes (1 página) Aparecen enunciadas seis de las propiedades principales del determinante, así como un ejemplo de su aplicación en cada uno de ellas. Apartado 5: Cálculo de la matriz inversa aplicando los determinantes (2 páginas) Aparece la definición de matriz adjunta de una matriz cuadrada de orden 𝑛, así como la relación entre el determinante y la inversa de una matriz y el cálculo de la inversa usando determinantes. Apartado 6: Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes (3 páginas) Se recuerda la definición de rango de una matriz como el número de filas o columnas linealmente independientes. A continuación, se define el menor de orden 𝑘 de una matriz 𝐴 de dimensiones 𝑚×𝑛, así como una nueva definición del rango de una matriz: 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 Por último, se describe el proceso del cálculo del rango mediante el uso del determinante mediante un ejemplo extendido y detallado. Apartado 7: Teorema de Rouché-Fröbenius (5 páginas) Se enuncia de manera rigurosa junto con un ejemplo el teorema de Rouché-Fröbenius, estableciendo la relación entre el rango de la matriz de coeficientes, el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas del sistema, así como un ejercicio resuelto de un problema de discusión de un sistema de ecuaciones a partir del valor de un parámetro desconocido. En todos los apartados vienen ejercicios y ejemplos resueltos bastantes completos e ilustrativos del temario de cada apartado, con pequeñas observaciones que aparecen remarcadas en cada ejemplo y una o dos actividades planteadas para que sean realizadas por los alumnos. Al final de esta unidad aparecen un total de diez ejercicios resueltos con explicaciones de los pasos realizados, una lista de 48 ejercicios y problemas distribuidos en cuatro páginas donde el 65 alumno podrá poner en práctica todo el temario de esta unidad y una pequeña autoevaluación donde hay un total de siete ejercicios a realizar para poder evaluar los principales objetivos de esta unidad. El contenido de esta unidad está perfectamente ajustada a los contenidos fijados en el BOCyL (ORDEN EDU/362/2015 del 4 de mayo de 2015) y tiene breves anotaciones históricas y complementarias al lado de todas las explicaciones teóricas que ayudan a entender el temario de las unidades. Todos los temas están muy bien presentados con ejercicios resueltos y una lista de ejercicios propuestos para el alumno. LIBRO DE TEXTO EDITORIAL ANAYA Este libro de texto de la asignatura de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de 2𝑜 de Bachillerato está compuesto por un total de trece unidades estructuradas en un total de tres bloques:  Álgebra  Análisis  Estadística y probabilidad En esta especialidad de matemáticas el bloque de geometría no se encuentra presente. Por tanto, los determinantes están enfocados a la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones, por lo que el enfoque dado con respecto a los otros dos libros es ligeramente diferente. Antes de empezar la primera unidad, encontramos un tema introductorio titulado Resolución de Problemas (al igual que ocurría con el libro de la editorial Oxford, con la diferencia de que en el de Oxford aparecía en el último tema) donde se presentan pautas y consejos que hay que seguir a la hora de afrontar un problema. Aparecen descritas las diferentes formas de resolver un problema, como por ejemplo el método inductivo, las equivalencias entre dos o más proposiciones, el método de reducción al absurdo… Aparecen descritas las diferentes formas de poder resolver problemas y demostrar proposiciones y teoremas debido a que a menudo se desconocen muchos de estos métodos para poder afrontar las demostraciones en el ámbito universitario. En este libro el bloque de Álgebra queda estructurada en un total de cuatro temas correspondientes a los cuatro primeros temas del libro:  Tema 1: Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss.  Tema 2: Álgebra de matrices.  Tema 3: Resolución de sistemas mediante determinantes.  Tema 4: Programación lineal. 66 A continuación, vamos a realizar un análisis del contenido y la estructura de tema tres correspondiente a la unidad de determinantes. Esta unidad empieza con una introducción histórica del determinante de una matriz detallada, cuenta con un total de diez apartados, una lista de ejercicios y problemas y una pequeña autoevaluación. APARTADOS Apartado 1: Determinante de orden dos (1 página) Se presenta la fórmula del determinante de una matriz de orden dos junto con una pequeña observación para poder recordar mejor su fórmula. Apartado 2: Determinante de orden tres (3 páginas) Describe la fórmula del determinante de una matriz de orden tres junto con una breve descripción de la regla de Sarrus y aparecen enumeradas las propiedades fundamentales del determinante. Apartado 3: Menor complementario y adjunto (1 página) Aparece definido el “menor” de orden 𝑟 de una matriz, el menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada y su adjunto. Apartado 4: Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea (1 página) Se explica el desarrollo de un determinante de una fila o una columna usando adjuntos. Apartado 5: El rango de una matriz a partir de sus menores (1 página) Se recuerda la definición del rango de una matriz como el número de filas o columnas linealmente independientes y se vuelve a definir como el máximo orden de sus menores no nulos. Apartado 6: Criterio para saber si un sistema es compatible (1 página) Se enuncia la condición que aparece definida en el teorema de Rouché para saber si un sistema es compatible usando el rango (en este caso la intención es calcular el rango con el determinante). Apartado 7: Regla de Cramer (2 páginas) Aparece enunciada la regla de Cramer para un sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas y su aplicación en otro tipo de sistemas. Apartado 8: Sistemas homogéneos (1 página) Se define qué es un sistema homogéneo y se enuncia el criterio para saber si tiene soluciones utilizando el rango. Apartado 9: Discusión de sistemas mediante determinantes (2 páginas) En este apartado hay un total de cuatro ejercicios resueltos sobre la discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes. 67 Apartado 10: Cálculo de la inversa de una matriz (1 página) Aparece descrito el proceso para calcular la inversa de una matriz de orden tres utilizando determinantes. En cada uno de los diez apartados aparecen siempre varios ejemplos de ejercicios resueltos y una pequeña lista de ejercicio propuestos muy parecidos a los que aparecen resueltos. A lo último de la unidad hay una lista de ejercicios y problemas resueltos muy detallados con todo el contenido de la unidad y una lista de 56 ejercicios y problemas propuestos muy completos. El contenido de esta unidad se ajusta perfectamente al establecido en el BOCyL (ORDEN EDU/362/2015 del 4 de mayo de 2015), notando diferencias notables con respecto al contenido que se estudia dentro de la asignatura Matemáticas II. Tiene una buena estructura sabiendo presentar todos los contenidos con ejercicios resueltos que facilita mucho los procedimientos para saber aplicar bien el determinante en las matrices. Sin embargo, desde nuestro punto de vista, el contenido teórico está presentado a lo largo de toda la unidad con “pocas” justificaciones o demostraciones del contenido desarrollado lo que reduce todo este temario a la aplicación de un pensamiento “algorítmico”. LIBRO DE TEXTO EDITORIAL EDELVIVES Este libro de texto cuenta con un total de doce unidades estructuradas en los bloques correspondientes en esta materia. El bloque de Álgebra está dividido en dos unidades:  Tema 1: Matrices y determinantes  Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales En este apartado nos vamos a centrar en el primer tema ya que es donde aparece definido el determinante y sus propiedades. Esta unidad está estructurada en un total de siete apartados y una página al final con ejercicios y problemas propuestos. APARTADOS Apartado 1: Definición de matriz (2 páginas) Se define el concepto de matriz, la dimensión de una matriz y las principales matrices elementales, como por ejemplo la matriz nula y la matriz identidad. Apartado 2: Operaciones con matrices (4 páginas) Se describen las principales operaciones básicas de matrices con diversos ejemplos ilustrados. 68 Apartado 3: Determinantes (2 páginas) Aparecen descritas la fórmula del determinante para matrices de orden dos y orden tres, se define el menor complementario y el adjunto de un elemento de una matriz cuadrada y la fórmula general del determinante de una matriz cuadrada. Apartado 4: Propiedades de los determinantes (4 páginas) Se enumeran las propiedades de los determinantes con ejemplos de su aplicación en una matriz de orden tres. Apartado 5: Rango de una matriz (4 páginas) Se define el concepto de rango y su cálculo a partir de su definición o aplicando determinantes. Apartado 6: Matriz inversa (4 páginas) Se define la inversa de una matriz y se detalla los diferentes métodos para calcularla, ya sea a partir de su definición o usando determinantes. Apartado 7: Ecuaciones y sistemas matriciales (2 páginas) Aquí aparecen varios ejemplos de ecuaciones matriciales resueltos donde se utilizan las propiedades de las operaciones elementales de matrices y la inversa de una matriz. Después de todos estos apartados hay una página con un total de diecinueve ejercicios y problemas propuestos. Los ejercicios propuestos están planteados de forma apropiada para desarrollar y aplicar correctamente los contenidos de esta unidad. El contenido de esta unidad se ajusta perfectamente al establecido en el BOCyL (ORDEN EDU/362/2015 del 4 de mayo de 2015). Presenta una estructura adecuada y una división del contenido adaptado, pero la cantidad de ejercicios resueltos es más escasa respecto a los de los dos libros de texto anteriores. Además, desde nuestro punto de vista no se puede apreciar razonamientos analíticos o geométricos en el concepto de determinante y sus propiedades. El hecho de estar presente esta unidad antes de haber estudiado el tema correspondiente al estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales provoca que no se pueda explicar con mucha claridad conceptos como el rango, el determinante, la inversa de una matriz… 69 4.3 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LIBROS DE TEXTO A lo largo de este aparado, las comparaciones y los comentarios realizados están dados desde nuestro punto de vista, pudiendo no coincidir con la opinión de otros lectores que puedan no compartir el desarrollo que vamos a exponer a continuación. Al comparar los tres libros podemos afirmar que se ajustan perfectamente a los contenidos establecidos dentro del BOCyL (ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo de 2015) estando estructurados de una forma apropiada todo el contenido desarrollado. La inclusión de temas históricos es apropiada en todos los libros de texto, pero he de destacar en este aspecto el libro de la editorial Anaya, donde al comienzo de cada unidad hay anotaciones y aclaraciones bastante detalladas sobre inclusiones históricas relacionadas con el contenido de cada unidad que incentivan la curiosidad del lector. En lo que respecta a la presentación, los tres libros tienen buenos esquemas, con recuadros correctamente marcados y divisiones de las explicaciones, pero en este caso voy a destacar los libros de la editorial Anaya y la editorial Edelvives, los cuáles permiten diferenciar de forma visual las explicaciones teóricas y los ejercicios resueltos En el análisis, la cantidad y la rigurosidad de las justificaciones y demostraciones de los procesos realizados he de mencionar el libro de Oxford. A lo largo de todas las unidades las explicaciones y los razonamientos seguidos en la resolución de los problemas están bien definidas, con ilustraciones que complementan de forma adecuada las explicaciones y comentarios sobre la importancia de las resoluciones en algunos problemas. En las unidades correspondientes al bloque de geometría hay ilustraciones en cada explicación que ayudan a entender de una manera más intuitiva las operaciones con vectores en el plano y en el espacio y las superficies como la esfera, el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas... Los libros de Anaya y Oxford tienen una cantidad razonable de ejercicios y problemas propuestos en los que hay que aplicar todos los contenidos de cada unidad y relacionan muy bien todo el temario aplicando los resultados y razonamientos que se deben de adquirir en cada unidad. El libro de la Editorial Anaya resalto su manera de introducir contextos y aclaraciones históricas que sirven como una introducción muy adecuada en cada unidad. El libro de la editorial Edelvives destaca por su buena presentación al igual que ocurre con el libro de Anaya y el libro de Oxford por su análisis exhaustivo de los problemas y el contenido. 70 OXFORD ANAYA EDELVIVES - Contenidos y ejercicios bien justificados. - Ajustada correctamente a los contenidos establecidos. - Ilustraciones e imágenes muy visuales. - Problemas y ejercicios propuestos. -Adaptación de los problemas en nuestro entorno. - Buena estructura de los temas. - Ajustada a los contenidos establecidos. - Tema introductorio de resolución de problemas. - Temas históricos - Esquematización excelente -Ejercicios y ejemplos resueltos. - Problemas adaptados a nuestro entorno. - Buena estructuración. -Ejemplos y ejercicios resueltos -Muy ajustada a los contenidos establecidos. - Esquematización buena. Como en la asignatura de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II no aparece el determinante de orden 𝑛 ya que en el BOCyL (ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo de 2015) solo se indica el estudio de determinante en matrices cuadradas de orden dos y orden tres, nos vamos a centrar en los libros de las editoriales de Oxford y Edelvives, donde vamos a establecer una comparación sobre la unidad correspondiente a los determinantes. En el libro de Oxford, para el determinante de orden dos, se realiza una discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y demuestra el determinante de orden dos de la manera en la que los demostramos anteriormente. Define el determinante de orden dos y demuestra la fórmula de Cramer en el caso de 𝑛=2. Como ejemplo, aparece resuelto el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando las fórmulas de Cramer (5 2 1 1)(𝑥𝑦)=(1 −1) y después hay dos actividades propuestas idénticas al ejemplo. Para el determinante de orden tres, aunque no se demuestra su definición discutiendo un sistema, si deja indicado que se deduciría el determinante de la misma manera que en el caso de matrices de orden dos. Se describe la relación que hay entre la fórmula del determinante de orden tres y la de orden dos, definiendo en esta parte el menor complementario y el adjunto de un elemento de una matriz, al igual que se formula el método de Cramer para orden tres. 71 Como ejemplos, aparecen varios ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas utilizando el método de Cramer. Para el determinante de una matriz de orden 𝑛, mediante la descripción general de un sistema de ecuaciones lineales aparece definido el determinante de orden 𝑛 y el método de Cramer para un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas. Para las propiedades de los determinantes, en este caso aparecen enunciadas las principales propiedades con un ejemplo en cada caso, pero no justifica su demostración. En general, desde nuestro punto de vista en el libro de Oxford el concepto de determinante y sus propiedades aparecen muy buenas justificaciones y te indica qué es el determinante. Sin embargo, no está definido el determinante utilizando permutaciones, lo que hace “pensar” en la existencia de una definición formal del determinante. En el caso del libro de la editorial Edelvives, se exponen las fórmulas del determinante para matrices cuadradas del orden dos y orden tres sin ninguna mención ni justificación de la obtención de dichas fórmulas y se define el determinante de forma general definiendo el menor complementario y el adjunto de un elemento. Después hay un ejemplo del cálculo de un determinante de orden poco detallado Todo esto aparece explicado en dos páginas, por lo que no se establece ninguna reflexión o relación alguna del cálculo de alguna de las fórmulas con la resolución de un sistema de ecuaciones. Las propiedades de los determinantes vienen enunciadas sin ninguna demostración o justificación, pero el análisis realizado sobre su aplicación para poder calcular el determinante a partir de las propiedades es más exhaustivo. Por ejemplo, cuando aparece la siguiente propiedad enunciada de la siguiente manera: Si a una de las “líneas” de un determinante se le suma o resta una combinación lineal de las “líneas” paralelas, el valor del determinante no varía. Como ejemplo aplicando esta propiedad, aparece resuelto el cálculo del determinante de la matriz 𝐴=(2 1 1 1 1 −3 2 −3 1 2 0 1 2 2 −1 3) junto con los siguientes consejos: 72  Se escoge una línea que contenga a un 1 o un −1 o, en su defecto, una en la que todos los elementos sean múltiplos.  Si el determinante es de orden 𝑛, se hacen ceros 𝑛−1 elementos de la “línea” escogida.  Para hacer ceros en una fila, se combinan columnas, y para hacerlo se combinan filas.  Hay que usar combinaciones sencillas del tipo: 𝑖= “línea” 𝑖±𝑘 “línea” 𝑗.  Nunca se ha de multiplicar por ningún número la “línea” que va a ser modificada. Ambos libros se ajustan perfectamente a los objetivos marcados dentro del BOCyL (ORDEN EDU/362/2015 del 4 de mayo de 2015), se aprecia un respeto hacia el lector y sabe utilizar un lenguaje matemático apropiado en todo momento. Sin embargo, desde mi punto de vista, el temario es más detallado en el libro de Oxford, donde la rigurosidad y las justificaciones de las definiciones y las demostraciones de los resultados estudiados es más “profunda”. Comparando los dos libros en la parte correspondiente a determinantes, mientras que el libro de Oxford está muy encaminado a entender bien los procesos y definiciones, el libro de Edelvives está muy enfocado a realizar ejercicios presentando sus resoluciones como “pasos”, sin entender bien que se está resolviendo. Ambos libros están perfectamente adaptados a una correcta enseñanza del correspondiente curso de Bachillerato, pero desde mi punto de vista el libro de Oxford es más analítico y presenta numerosos problemas y ejercicios resueltos, mientras que el libro de Edelvives cuenta con un número menor de problemas propuestos, por lo que el alumno no va a poder poner en práctica todos los conocimientos adquiridos en esta unidad de una manera tan detallada que en el libro de la editorial Oxford. 73 5. PROPUESTA DIDÁCTICA En este apartado del trabajo se expone una propuesta didáctica centrada en el desarrollo del determinante en secundaria. Esta propuesta didáctica va a estar enfocada a suplir las deficiencias que desde nuestro punto de vista aparecen establecidas en secundaria, en las que a menudo aparecen las definiciones de determinante y sus propiedades de forma poco “justificada” en la que se nota un cierto pensamiento “algorítmico” que como hemos comprobado en el análisis realizado de los libros de texto anteriores, las propiedades aparecen sin demostraciones con solo ejemplos resueltos en los que se “aplica” cada propiedad. Para su realización se ha tenido en cuenta todo el contenido desarrollado anteriormente, como el estudio de la interpretación geométrica del determinante que no aparece mencionada en los libros de texto. Para todo ello, el profesor se adaptará al nivel académico de cada uno de los alumnos, estableciendo una serie de objetivos claros que permitan un aprendizaje significativo el cuál permita desarrollar las capacidades necesarias para afrontar los problemas y los contenidos desarrollados en esta unidad. El apoyo en los recursos TIC va a suponer un aspecto clave en esta propuesta didáctica que va a permitir un gran avance en el cálculo de todas las operaciones algebraicas y matriciales. En esta unidad nos centraremos en el uso de los programas Geogebra y Maxima, que nos van a ayudar a mostrar las propiedades geométricas y realizar todos los cálculos necesarios para desarrollar los determinantes y resolver sistemas de ecuaciones lineales. La siguiente propuesta didáctica está estructurada en los siguientes apartados:  Introducción contextual.  Objetivos didácticos.  Competencias clave.  Contenidos.  Metodología.  Recursos.  Temporalización.  Actividades de aprendizaje y enseñanza.  Planes complementarios.  Evaluación.  Atención a la diversidad.  Autoevaluación didáctica. 80 2. Contenidos procedimentales. (Aportación de herramientas para realizar creaciones propias) Se explicará cada uno de los pasos a seguir para que el alumno pueda adquirir habilidades en el manejo de las matrices y los determinantes en varios contextos. - Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. - Usar el determinante para resolver sistemas de ecuaciones lineales. - Identificar correctamente los términos en el desarrollo de las fórmulas de los determinantes. - Aplicar las propiedades del determinante para calcular determinantes de mayor orden. - Aprender a usar algunos programas informáticos relacionados con el cálculo de matrices. - Manejar el concepto de función biyectiva y permutación. - Saber utilizar las permutaciones y el índice para calcular el determinante. - Comprender la relación existente entre el volumen de vectores y el determinante. - Calcular el volumen formado por varios vectores. 3. Contenidos actitudinales. (Aportaciones para un desarrollo de educación en valores) A través de los siguientes contenidos, se inculca ciertas formas de conducta y educación en valores. - Limpieza y orden a la hora de plantear los problemas. - Razonamiento analítico y geométrico en las demostraciones. - Gusto e interés por entender los conceptos relacionados con matrices. - Buena presentación. - Confianza en las capacidades de uno mismo para afrontar los problemas y expresar las soluciones. - Manejo apropiado de las nuevas tecnologías para el estudio de las matemáticas. - Saber reflexionar sobre los errores cometidos. - Respeto y confianza con los compañeros. 81 5.5 METODOLOGÍA La metodología se puede definir como el conjunto de normas y decisiones que se aplican en un aula para lograr los objetivos planteados en la unidad y poder contribuir de manera adecuada al desarrollo de las competencias clave. El profesor tiene que adaptarse al tiempo y el espacio necesario en cada unidad, valiéndose de los recursos y los diferentes medios que permitan un desarrollo óptimo de las clases. En esta propuesta didáctica, la metodología que se va a emplear será una combinación de exposición magistral participativa, donde el alumno podrá participar de forma activa en la clase tras la asimilación de conceptos y de aprendizaje cooperativo donde los alumnos se apoyarán entre ellos para un correcto aprendizaje que permita un mayor acercamiento entre los compañeros y aprender a trabajar de forma grupal, un aspecto fundamental a la hora de poder desempeñar un empleo en el mundo laboral. Lección magistral participativa La lección magistral participativa consiste en exponer y explicar los diferentes contenidos y conocimientos que se describen en la unidad, donde se pueden resolver dudas o plantear problemas permitiendo las intervenciones de los alumnos en todo momento para poder exponer sus dudas o propuestas y reflexiones sobre el contenido o la resolución de problemas. El profesor irá utilizando los recursos disponibles (pizarra, pizarra digital, proyector…) y los alumnos podrán ir tomando los apuntes y las anotaciones necesarias. Esta es una de las metodologías más empleada en el aula y es importante tener en cuenta numerosos aspectos a la hora de explicar y plantear las ideas oportunas, como por ejemplo no resolver un problema directamente, sino ir desarrollándolos por pasos y preguntar o sugerir a los alumnos diferentes “razonamientos” que se pueden desarrollar y hacerles reflexionar sobre los fallos cometidos. Para ello, se pedirá a los alumnos que expongan todos los razonamientos que han desarrollado en los problemas, explicando y justificando todos los pasos que han realizado para que ellos mismos se den cuentan de sus propios errores. Sus compañeros podrán intervenir y resolverles las dudas que les hayan podido surgir, fomentando así la capacidad crítica de cada alumno y un correcto desarrollo de apoyo y comprensión entre todos los compañeros de la clase. En esta unidad, esta metodología es imprescindible ya que el desarrollo de las explicaciones y las demostraciones de las propiedades del determinante, su interpretación geométrica y la resolución de problemas que desde nuestro punto de vista van a estar encaminadas a desarrollar un 82 razonamiento un poco apartado del pensamiento “algorítmico” que se desarrolla a lo largo de muchas unidades impartidas en secundaria. Aprendizaje cooperativo El aprendizaje y el trabajo cooperativo es un enfoque que trata de organizar las actividades en el aula para poder convertirlas en una experiencia social y académica de aprendizaje para poder fortalecer en los alumnos el trabajo grupal y el desarrollo del compañerismo en el aula. Para ello, en algunas de las sesiones de la unidad se realizarán grupos heterogéneos con diversos niveles de competencia, donde se va a crear una identidad de grupo y se desarrollará unas relaciones de apoyo mutuo que incentivará la resolución de problemas y una mejor asimilación de los contenidos explicados en clase. Para ello, en las sesiones dedicadas al estudio de las permutaciones y los ciclos, como es un contenido bastante aplicable al aula donde se pueden emplear diversos recursos didácticos, se podrá incentivar un mejor aprendizaje de la definición de aplicación biyectiva, el concepto de permutación y su descomposición en ciclos y transposiciones, aspectos muy importantes para poder introducir la definición rigurosa de determinante. A cada grupo se le repartirá una serie de actividades donde no solo tendrán que resolver los problemas, sino que con la ayuda del profesor irán reflexionando no solo sobre su aplicación, sino también sobre su importancia dentro del álgebra y sus aplicaciones en otras áreas. Para otro aprendizaje cooperativo, las sesiones dedicadas al aula de informática, se realizan grupos para poder manejar los diferentes programas y herramientas informáticas que nos permitirán manejar matrices de una manera mucho más eficiente. Para poder desempeñar ambas metodologías, el profesor tendrá que realizar apuntes de apoyo, investigar sobre las dudas que pueden plantearse en clase y saber gestionar el tiempo empleado y los recursos existentes. 5.6 RECURSOS Los recursos didácticos necesario para poder desarrollar esta Unidad Didáctica deben de favorecer un aprendizaje óptimo del alumnado, poniendo en práctica todos los conocimientos adquiridos esta unidad. • Libro de texto donde los alumnos podrán repasar los conceptos estudiados, hacer problemas, repasar dudas, analizar ejercicios resueltos… • Fotocopias de apoyo con contenido complementario con ejercicios resueltos y actividades y problemas planteados a los estudiantes. 83 • Pizarra para poder desarrollar el contenido teórico de la unidad, realizar esquemas y anotaciones, resolver ejercicios y problemas planteados donde los alumnos podrán tomar anotaciones… • Cuaderno del alumno para poder tomar todas las anotaciones y apuntes necesarios ya sea del contenido explicado en pizarra, las fotocopias de apoyo o cualquier otro recurso. Podrán utilizarlo también para resolver problemas y plantear dudas que el profesor podrá corregir, además de ser un punto de apoyo clave para poder estudiar. • Bolígrafo, lápiz goma y otros utensilios que servirán para escribir en el cuaderno o folios. • Folios donde al igual que el cuaderno podrán tomar apuntes. • Ordenadores y otros recursos TIC que servirán como un punto de apoyo bastante efectivo para comprender los conceptos y realizar cálculos utilizando herramientas informáticas. • Enlaces de páginas web complementarias para esta unidad. 5.7 TEMPORALIZACIÓN SESIÓN 1 Para comenzar, se explicará la definición rigurosa de función biyectiva y permutación con varios ejemplos de permutaciones expresados en forma matricial y la definición de transposición e índice de una permutación. Después se definirá el concepto de ciclo, la descomposición de una permutación en ciclos y el cálculo del índice de una permutación utilizando ciclos. Para ello, se expondrán ejemplos en la pizarra de permutaciones y su descomposición en ciclos y permutaciones. (35 minutos) Como un ejemplo se les puede descomponer la siguiente permutación en ciclos. (123456 345126) En esta permutación, a partir de la “imagen” del uno, después la imagen del tres y así sucesivamente, su representación en ciclos es la siguiente: (1 3 5 2 4) manteniéndose el seis fijo ya que su imagen corresponde con coincide. Realizamos su descomposición en trasposiciones: (1 4)(1 2)(1 5)(1 3) y observamos que su índice es par. 84 Después, se realizarán grupos de tres o cuatro personas donde resolverán actividades que fomentarán el trabajo en equipo y el desarrollo social de cada alumno. En esta sesión, el concepto de permutación y el cálculo del índice serán los objetivos fundamentales que nos van a permitir definir el determinante e identificar cada uno de los términos en el desarrollo de la fórmula del determinante. Al final de la sesión se entregarán apuntes de apoyo con actividades resueltas sobre el cálculo del índice utilizando ciclos y la representación matricial de las permutaciones. SESIÓN 2 En esta segunda sesión, se expondrá la definición de determinante de las matrices de segundo y tercer orden mediante la discusión de un sistema de ecuaciones lineales y el método de Cramer al igual que en el desarrollo que realizamos en el punto [3.3 Motivación del determinante]. Para ello, el profesor podrá hacer uso del programa Maxima que en el caso del determinante de orden tres los cálculos podrán ser más visibles a los alumnos. (35 minutos) Esta sesión se realizará de forma magistral en la pizarra, donde el objetivo principal va a ser que el alumno comprenda la relación existente entre la resolución de un sistema de ecuaciones lineales y la justificación de las fórmulas del determinante sin que sean presentadas al alumno de forma “mágica” sin ningún razonamiento o justificación. Resolución en pizarra de algún problema sobre el cálculo del determinante de matrices cuadradas y el método de Cramer en sistemas de ecuaciones lineales. (15 minutos). Al final de la clase se mandarán un par de actividades para hacer junto con apuntes de apoyo de temas anteriores de otros cursos que van a ser necesarios en esta unidad. SESIÓN 3 En esta sesión se corregirán las actividades del día anterior. Se pedirá que un alumno salga a la pizarra de forma voluntaria a resolver algún problema (10 minutos) Después se demostrarán las propiedades principales de los determinantes que desarrollamos anteriormente en el caso de matrices de orden dos y orden tres, prestando especial atención a los razonamientos seguidos y sus aplicaciones a la hora de calcular un determinante. Algunas de las propiedades se mandarán como actividad para que los alumnos los demuestren como actividad. (25 minutos) Se resolverán ejercicios en pizarra por parte del profesor y se mandarán un par de actividades sobre el cálculo de determinantes aplicando sus propiedades sin necesidad de tener que desarrollar la fórmula del determinante. 85 SESIÓN 4 En esta sesión se expondrá la interpretación geométrica del determinante tomando a su vez anotaciones en la pizarra y los cálculos que se realizan. Para ello, se realizará un breve repaso sobre las operaciones con vectores en el plano y la definición de producto escalar y sus propiedades. Se definirá el área de dos vectores 𝑎 y 𝑏 en el plano utilizando productos escalares como realizamos anteriormente, demostrando la descomposición de un vector de la forma 𝑏=𝑏′+𝑏′′ como demostramos anteriormente. Para las propiedades que describimos anteriormente, demostraremos únicamente la propiedad que establecía que 𝐴(𝑎,𝑏+𝛽𝑎)=𝐴(𝑎,𝑏), dejando las demás propiedades enunciadas junto con algunas indicaciones que pueden servir a los alumnos a poder demostrarlas ellos. Es importante hacerles entender que el área tiene las mismas propiedades que las operaciones fundamentales a la hora de resolver un sistema (excepto en la propiedad 𝐴(𝛼𝑎,𝛽𝑏)= |𝛼||𝛽|𝐴(𝑎,𝑏)), dejando entrever su relación con el determinante. Para el caso del volumen en el espacio, de forma análoga se les deja indicado que se puede demostrar que el volumen del paralelogramo formado por tres vectores en el espacio es igual al determinante de la matriz formada por los tres vectores. Esta parte es importante ya que es donde se aprecia la relación entre la definición del determinante y el volumen de vectores junto con sus propiedades. SESIÓN 5 En esta sesión calcularemos el área de dos vectores usando productos escalares, llegando a la igualdad que establecimos anteriormente que nos “definió” el área como el valor absoluto del determinante de ambos vectores. Para una visualización más intuitiva, con la descomposición que realizamos anteriormente, al descomponer la suma de dos vectores de la siguiente forma: Ilustración 18 86 Para el caso del volumen en el espacio, de forma análoga se les deja indicado que se puede demostrar que el volumen del paralelogramo formado por tres vectores en el espacio es igual al determinante de la matriz formada por los tres vectores. A lo largo de estas dos últimas sesiones se dejará indicado la relación existente entre el volumen y el determinante, siendo interpretado el determinante como determinante = área + signo SESIÓN 6 Al comienzo de esta sesión se expondrá la definición rigurosa de determinante usando permutaciones e índices, identificando cada término de las fórmulas del determinante con la permutación y su índice correspondiente. Se realizarán dos ejemplos sobre el cálculo del determinante de orden dos y de orden tres, así como explicar el cálculo del determinante por su desarrollo por columnas, pudiendo así comparar ambos métodos de cálculo. (30 minutos) Durante el resto de la clase, se realizará un esquema de todo el contenido visto hasta el momento con algunos ejercicios resueltos durante y se mandarán actividades para el día siguiente. (20 minutos) SESIÓN 7 Se empezará la clase explicando el cálculo del rango de una matriz y su inversa mediante determinantes con varios ejemplos. (20 minutos) Se mandará hacer un par de ejercicios durante el resto de la clase y saldrán voluntarios para resolverlos en pizarra. Al final se mandarán problemas y ejercicios para la siguiente sesión. SESIÓN 8 Durante esta sesión se van a realizar ejercicios y problemas sobre todo el contenido visto a lo largo de todas las sesiones anteriores. Se pedirán a los alumnos resolver ejercicios en la pizarra mandados en la sesión anterior y después el profesor resolverá ejercicios y problemas. SESIÓN 9 En esta octava sesión, se irá al aula de informática. Se usarán algunos el programa Maxima que permite manejar el cálculo matricial y la resolución de sistemas. Se explicarán como implementar los siguientes aspectos: - Implementar una matriz en Maxima. - Manejar las operaciones elementales con matrices. - Calcular el determinante con la función determinant. - Calcular la traspuesta e inversa de una matriz. - Resolver un sistema de ecuaciones lineales (linsolve_by_lu) - … 87 Esta sesión servirá para realizar una pequeña introducción en el manejo de las matrices dentro del programa Maxima, pudiendo comprobar la importancia de las nuevas tecnologías dentro de las matemáticas. SESIÓN 10 En esta novena sesión se realizarán grupos de tres o cuatro personas atendiendo al número de alumnos de la clase. Cada grupo tendrá que resolver con la ayuda del programa Maxima una serie de actividades planteadas. Para ello, el profesor irá resolviendo las dudas que puedan ir surgiendo a los diferentes grupos realizados. SESIÓN 11 Se realizará un repaso de todo el temario visto a lo largo de toda la unidad y se realizarán en clase ejercicios y problemas que permitan resolver todas las dudas y preguntas planteadas de cara al examen. SESIÓN 12 En esta sesión se realizará un examen sobre el contenido de esta unidad. SESIÓN 13 Se resolverá el examen del día anterior y las dudas planteadas por los alumnos. 5.8 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA Las actividades de aprendizaje y enseñanza se irán realizando a lo largo de la unidad didáctica y se basarán en el temario desarrollado en las sesiones. Estas actividades llevarán un tiempo asignado, por lo que se adaptará al nivel y el tiempo asignado de los alumnos y las sesiones y tendrán que adecuarse al desarrollo progresivo del contenido de la unidad. Parte de las actividades propuestas han sido tomadas de algunos libros de texto mencionados anteriormente que están perfectamente ajustadas al aula. Algunas de las actividades aparecerán descritas junto con su solución para que el lector pueda comparar las formas de resolver las actividades y contemplar los razonamientos seguidos en su resolución. 88 1. Actividades sobre la definición de determinante y sus propiedades (orden 2 y 3) Actividad 1: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcula sus soluciones a través del método de Gauss y el método de Cramer. (2 −1 1 1 1 1 1 −2 2)(𝑥𝑦𝑧)=(929) Solución: Como primer paso para resolver por el método de Gauss, intercambiamos la primera y la tercera fila: (1 −2 2 1 1 1 2 −1 1)(𝑥𝑦𝑧)=(929) Ahora, si denotamos 𝐹1,𝐹2 y 𝐹3 a las tres filas, realizamos las operaciones 𝐹1,𝐹2−𝐹1 y 𝐹3−2𝐹1 respectivamente en la primera, segunda y tercera fila, lo que es equivalente a (1 −2 2 0 3 −1 0 3 −3)(𝑥𝑦𝑧)=(9 −7 −9) A continuación, realizamos las operaciones elementales 𝐹1,𝐹2 y 𝐹3−𝐹2 (1 −2 2 0 3 −1 0 0 −2)(𝑥𝑦𝑧)=(9 −7 −2) A partir de aquí tenemos que 𝑧=1, 𝑦=−2 y 𝑥=3. Con el método de Cramer, si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes y el determinante de las matrices formadas al aplicar el método de Cramer obtenemos que 𝑥=|9 −1 1 2 1 1 9 −2 2| 6=18 6=3, 𝑦=|2 9 1 1 2 1 1 9 2| 6=−12 6=−2, 𝑧=|2 −1 9 1 1 2 1 2 9| 6=66=1 Este primer problema te permite poder comparar ambos métodos de resolución de problemas, recordando los pasos seguidos en la demostración del cálculo del determinante y la aplicación que tiene su uso en la resolución de sistemas. Como objetivo también se encuentra el manejo de las operaciones elementales, donde al haber estudiado el método de Gauss en el curso anterior y el cálculo de los determinantes, donde pueden aplicar la fórmula del determinante en un método de resolución de ecuaciones. 89 Actividad 2: Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y el método de Cramer 𝑎) (814 3 −5)(𝑥𝑦)=(2 11) 𝑏) (1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1)(𝑥𝑦𝑧)=(111) 𝑐) (3 −1 0 2 1 1 0 3 2)(𝑥𝑦𝑧)=(20 −1) 𝑑) (2 1 1 1 −2 −3 −1 −1 1)(𝑥𝑦𝑧)=(−2 1 −3) Estos dos ejercicios te permiten poder comparar ambos métodos de resolución de problemas, recordando los pasos seguidos en la demostración del cálculo del determinante y la aplicación que tiene su uso en la resolución de sistemas. Para este problema, la condición impuesta es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Actividad 3: Si consideramos la siguiente matriz cuadrada de orden tres 𝑃=(𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧) donde se tiene que |𝑃|=7, calcula el determinante de las siguientes matrices sin desarrollarlos. 𝐴=(𝑐 𝑎 𝑏 𝑟 𝑝 𝑞 𝑧 𝑥 𝑦), 𝐵=(3𝑎 3𝑏 3𝑐 𝑎+𝑝 𝑏+𝑞 𝑐+𝑟 −𝑥+𝑎 −𝑦+𝑏 −𝑧+𝑐), 𝐶=(𝑎+2𝑥 𝑏+2𝑦 𝑐+2𝑥 𝑝 𝑞 𝑟 2𝑥+𝑝 2𝑦+𝑞 2𝑥+𝑟) 𝐷=(−𝑏 𝑐+𝑏 5𝑎 −𝑞 𝑟+𝑞 5𝑝 −𝑦 𝑥+𝑦 5𝑥) Solución: Esta actividad está centrada en aplicar las propiedades de los determinantes sin necesidad de tener que calcular el determinante. En la matriz 𝐴, hemos intercambiado la primera y la tercera columna y después la primera y la segunda. |𝑃|=|𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧|=−|𝑐 𝑏 𝑎 𝑟 𝑞 𝑝 𝑧 𝑟 𝑥|=|𝑏 𝑐 𝑎 𝑞 𝑟 𝑝 𝑟 𝑧 𝑥|=|𝐴|=7 En la matriz B, se desarrollan los siguientes pasos |𝐵|=|3𝑎 3𝑏 3𝑐 𝑎+𝑝 𝑏+𝑞 𝑐+𝑟 −𝑥+𝑎 −𝑦+𝑏 −𝑧+𝑐|=3|𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑝 𝑏+𝑞 𝑐+𝑟 −𝑥+𝑎 −𝑦+𝑏 −𝑧+𝑐| =3|𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 −𝑥+𝑎 −𝑦+𝑏 −𝑧+𝑐|==3|𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 −𝑥 −𝑦 −𝑧|=−3|𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧| =−3|𝑃|=−21 96 Solución: Para resolver este ejercicio con Maxima, lo primero que se le planteará al alumno será resolver el problema en pasos, donde para ello primero deberemos implementar las matrices. A: matrix([2, 1, 3], [1, 2, 4], [3, 4, 6]); B: matrix([3], [1], [4]); Ax: matrix([3, 1, 3], [1, 2, 4], [4, 4, 6]); x: determinant(Ax)/determinant(A); Az: matrix([2, 1, 3], [1, 2, 1], [3, 4, 4]); z: determinant(Az)/determinant(A); dando como resultado 𝑋= ( 74 ⁄ −18 ⁄ −18 ⁄ ) También si implementamos el siguiente código A: matrix([2, 1, 3], [1, 2, 4], [3, 4, 6]); B: matrix([3], [1], [4]); linsolve_by_lu(A,B); se obtiene el mismo resultado. Ilustración 20 Actividad 3: Dada la siguiente matriz 𝐴=(2 1 𝑥+4 9 𝑥 2 6 3 𝑥+2) Calcula el rango de la matriz en función de los valores del parámetro 𝑥 usando determinantes. 97 Solución: Para resolver este problema, primero calculamos el determinante de la matriz A por lo que vamos a obtener una ecuación de segundo grado. Ilustración 21 Mediante el comando solve como en el caso anterior resolvemos la expresión anterior obteniendo las soluciones 𝑥1=92 y 𝑥2=−5. Para todos los valores distintos se tiene que el rango de la matriz es igual a tres. Para 𝑥=92, vamos a introducir el comando B: matrix([2, 1, 9/2+4], [9, 9/2, 2], [6, 3, 9/2+2]); C: submatrix(1, B, 1); determinant(submatrix(1, B, 1)); Ilustración 22 A partir de aquí se obtiene que el determinante de la submatriz es distinto de cero, luego el rango es igual a dos. Para el caso de 𝑥=−5 se procede de la misma manera. 98 Ilustración 23 5.9 PLANES COMPLEMENTARIOS Como planes complementarios participaremos en actividades sugeridas por el Departamento, el centro o cualquier otra entidad pública o privada. Se realizarán ofertas a los alumnos para participar en olimpiadas matemáticas, gymkanas matemáticas, actividades interactivas no solo relacionadas con las matrices, sino también perspectivas históricas sobre su importancia y visitas guiadas a la universidad para que los alumnos vayan conociendo el entorno al que se van a enfrentar el curso próximo. Como ejemplo de prueba de gymkana se puede proponer varios problemas relacionados con grafos que permitan relacionar problemas ya conocidos, como poder dibujar la estrella del pentágono sin “levantar el lápiz”, proponer rutas y saber establecer los diferentes caminos a través de matrices… 5.10 EVALUACIÓN La evaluación nos permite obtener información sobre el aprendizaje adquirido por los alumnos y comprobar el grado de adquisición de los objetivos didácticos planteados. De esta manera vamos a poder comprobar si los recursos didácticos empleados han favorecido la impartición de la unidad, si la metodología ha estado perfectamente ajustada y otros muchos aspectos que vamos a evaluar. Criterios de Evaluación, Estándares de Aprendizaje evaluables y Competencias básicas Los Criterios de Evaluación vienen establecidos por el cumplimiento que se plantean en los objetivos marcados dentro de esta propuesta didáctica. Los Criterios de Evaluación propuestos están vinculados a unos Estándares de Aprendizaje Evaluables, es decir, a las capacidades que debe adquirir el alumno con los contenidos de la unidad. 99 A continuación, vamos a desarrollar una tabla en la que vamos a especificar los criterios de evaluación, los estándares de aprendizaje evaluables vinculados y las competencias que se desarrollan en cada caso. Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias 1. Utilizar el lenguaje matricial para representar transposiciones y calcular el índice de una permutación. 1.1 Expresa correctamente la composición de permutaciones manejando correctamente su interpretación matricial. CM, CL, AA, CSV 1.2 Comprende la relación entre las transposiciones y el índice de una permutación. CM, CL, AA, CSC 1.3 Descompone permutaciones en producto de ciclos disjuntos estableciendo una composición adecuada de las imágenes de cada elemento. CM, CL, AA, CSC 1.4 Calcula el índice de una permutación a partir de su descomposición en ciclos. CM, CL, AA, CSC 2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales y calcular la fórmula de determinante hasta orden tres mediante la resolución de un sistema e interpretar su significado 2.1 Aplica correctamente el método de Gauss a un sistema de ecuaciones lineales. CM, CL, AA, SIEE 2.2 Justifica razonadamente el cálculo del determinante en matrices cuadradas. CM, CL, AA, SIEE 2.3 Calcula determinantes de matrices cuadradas hasta orden tres. CM, CL, AA 2.4 Resuelve sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer. CM, CL, AA 3. Realizar demostraciones sencillas relativas a las 3.1 Utiliza adecuadamente el desarrollo de los determinantes en matrices CM, CL, AA, SIEE 100 propiedades de los determinantes en el caso de matrices hasta orden tres. cuadradas de orden dos y orden tres para demostrar sus propiedades. 3.2 Relaciona de forma adecuada las implicaciones que se establecen entre algunas de las demostraciones. CM, CL, AA, SIEE 3.3 Calcula determinantes de algunas matrices usando las propiedades, analizando los elementos que constituyen la matriz. CM, CL, AA, SIEE 4. Utilizar los productos escalares entre vectores para calcular el área de dos vectores y el volumen de tres vectores y su relación con el determinante. 4.1 Maneja adecuadamente el producto escalar de dos vectores y maneja adecuadamente las propiedades del producto escalar. CM, CL, AA, SIEE 4.2 Define adecuadamente el área de dos vectores en el plano y comprende las propiedades del área. CM, CL, AA, SIEE 4.3 Calcula el área de dos vectores en el plano, identificando la fórmula del determinante. CM, CL, AA, SIEE 4.4 Calcula el volumen de tres vectores y establece la relación con el determinante CM, CL, AA, SIEE 5. Calcular el determinante de una matriz a partir de las permutaciones y el desarrollo de los determinantes por columnas. 5.1 Definir correctamente la definición de determinante usando permutaciones, estableciendo la relación entre cada término del determinante con la permutación y su índice correspondiente. CM, CL, AA, SIEE 5.2 Calcula el determinante de una matriz a través de su desarrollo por filas o columnas. CM, CL, AA, SIEE 6. Obtener el rango de una matriz y la matriz inversa (esta última hasta orden 3), tanto por el método 6.1 Determina el rango de una matriz, hasta orden cuatro, aplicando el método de Gauss o determinantes. CM, CL, AA, SIEE 101 de Gauss como usando determinantes. 6.2 Determina las condiciones para que una matriz tenga inversa y la calcula empleando el método más adecuado. CM, CL, AA, SIEE 7. Uso habitual de las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de aprendizaje. 7.1 Utiliza adecuadamente el programa Maxima para realizar las principales operaciones matriciales básicas. CM, CL, AA, CD, SIEE, CSC 7.2 Calcula la traspuesta de una matriz, el determinante y la inversa de una matriz cuadrada y resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando Maxima. CM, CL, AA, CD, SIEE, CSC 8. Expresar verbalmente el proceso seguido en la resolución de un problema. 8.1 Utiliza el lenguaje matemático de forma adecuada en el proceso de la resolución de un problema. CM, CL, AA, SIEE, CSC, CD 8.2 Aplica los contenidos teóricos de forma adecuada para resolver un problema CM, CL, AA, SIEE, CSC, CD Instrumentos de evaluación Prueba escrita Al final de la unidad, los alumnos realizarán un examen donde pondrán a prueba todos los conocimientos adquiridos. La prueba escrita estará compuesta por una serie de ejercicios y problemas parecidos a los que se han realizado en clase. Trabajos cooperativos En esta unidad se valorará las actividades y problemas grupales que se han realizado en clase. Para ello, se valorará no solo la coordinación del grupo, también se observará la aportación y esfuerzo de cada miembro. Actitud y participación en clase Se valorará el comportamiento de cada alumno en clase y la participación activa que se puede evaluar cuando por ejemplo se resuelven dudas cuando el profesor propone un dilema, hacer los ejercicios y problemas mandados en pizarra… Cuaderno de clase 102 Se tendrá en cuenta los apuntes tomados en clase, la presentación de las actividades realizadas, la limpieza, la presencia de los problemas resueltos. Es necesario también notar los errores cometidos anotaciones propias apuntadas en el cuaderno. Participación en actividades complementarias La participación en actividades complementarias es una parte importante ya que es donde se manifiesta el interés del alumno en la materia. Todos los instrumentos mencionados van a suponer un punto de apoyo para establecer la nota del alumno, donde se van a tener en cuenta todo lo mencionado anteriormente. Criterios de calificación Los criterios de calificación que vamos a emplear en esta unidad didáctica son los siguientes:  70 % prueba escrita realizada al final de la unidad.  20 % basado en la participación, el esfuerzo y dedicación mostrados.  10% comportamiento y actitud en clase. Para la calificación de la unidad didáctica, se hará la media aritmética teniendo en cuenta los porcentajes mostrados, donde el alumno tendrá que sacar un 5 o más de media para poder aprobar y para poder realizar la media deberá de obtener una calificación en la prueba escrita igual o mayor que un 4,5. Para los alumnos que no hayan alcanzado la nota requerida, se les dará material de apoyo y actividades de recuperación que deberán de entregar al profesor al final. Si al final se obtiene una calificación negativa, tendrán que recuperar el temario correspondiente a esta unidad al final del trimestre mediante la realización de una prueba escrita que supondrá el 100% de la calificación de esta unidad. 5.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD La diversidad entre los alumnos de secundaria y bachillerato está presente a la hora de impartir clases en un centro escolar. No todos los alumnos tienen las mismas capacidades ni el mismo interés por la materia. El ritmo de aprendizaje de cada estudiante es diferente, donde se pueden presentar alumnos con un grado menor de comprensión o alumnos con altas capacidades, por lo que el profesor tiene que saber adaptarse a todos los alumnos. Por todo esto, es conveniente dar respuesta a la diversidad de intereses, motivaciones, capacidades y estilos de aprendizajes que los alumnos manifiestan. 103 Por todo esto, es necesario conocer las circunstancias personales de los alumnos, el rendimiento académico de los años anteriores, prestar una atención especial a cada alumno fijándose si desarrollan las tareas, si se comporta adecuadamente con los compañeros de clase… Entre las medidas de atención a la diversidad se encuentran medidas de apoyo para alumnos con necesidades educativas especiales como adaptaciones curriculares significativas, adaptar el contenido a las personas con sobredotación intelectual con fotocopias de apoyo con el contenido más explicado o mandar actividades adaptadas a su nivel. Para todo esto vamos a llevar a cabo las siguientes medidas para poder dar respuesta a todos los alumnos. a) Fichas de refuerzo para los alumnos que presenten dificultades y repaso de los contenidos explicados para que puedan comprenderlos mejor. b) Actividades de refuerzo para poder repasar los problemas y el temario de la unidad. c) Atención personalizada para alumnos con sobredotación intelectual con fichas de apoyo con un cierto grado de dificultad, proponerles libros, páginas web o cualquier otro recurso donde se pueda encontrar el temario más detallado… d) Reuniones con los padres de los alumnos para conocer las circunstancias personales de cada alumno e) Reuniones de los tutores de los diferentes cursos para comentar el avance de los cursos del centro. f) Reuniones del departamento correspondiente para prefijar exámenes, horarios, programar el contenido adaptándolo al nivel de la clase… g) Evaluaciones por parte del equipo orientativo del centro. 5.12 AUTOEVALUACIÓN DIDÁCTICA Tras finalizar la impartición de la unidad didáctica, el profesor hará una reflexión crítica y analizará todos aquellos aspectos que considere oportunos y permitan valorar los criterios establecidos durante el desarrollo de la unidad. Para ello, al final de la unidad el profesor realizará una autoevaluación donde se tendrá en cuenta las notas obtenidas por los alumnos, los objetivos propuestos al comienzo de la unidad, las dificultades planteadas por los alumnos, la metodología llevada a cabo… 104 Como ejemplo de algunas de las preguntas que realizaríamos en el cuestionario y la forma de poder ir contestándolo sería el siguiente. Buena Mala Regular Comportamiento del docente en el aula. Claridad en las explicaciones y la resolución de problemas. Metodología empleada. Temporalización utilizada en el aula Dificultad planteada en las actividades y los exámenes. Esquematización del contenido de la unidad Desarrollo adecuado de las clases Interés mostrado por el profesor en el aula Preocupación del profesor de que los alumnos entiendan el temario Respeto del profesor hacia los alumnos. En la autoevaluación pueden incluirse más preguntas, ya que la mejora de la docencia siempre está y cada día hay que descubrir nuevas formas de poder acercarse un poco más al aula y saber transmitir al alumno no solo los conocimientos de la materia, sino la importancia de la comunicación entre los grupos de la clase, aportar visiones más positivas en los alumnos que presenten un menor rendimiento académico… Mediante esta autoevaluación el profesor analizará las respuestas dadas por los alumnos y a través de ellas no solo podrá ver su propia autoevaluación, sino el punto de vista de cada alumno y la percepción que tiene la clase sobre el docente. 6. CONCLUSIONES Durante el desarrollo de este trabajo de fin de máster he podido analizar de una manera más “profunda” la importancia de las matrices y el determinante en la etapa de bachillerato y los diferentes conocimientos y objetivos clave planteados en la propuesta didáctica. Durante el desarrollo de este trabajo hemos expuesto todos los resultados principales que nos han permitido poder definir el determinante mediante permutaciones que como detallamos en este trabajo, esta definición de determinante no aparece reflejado en los libros de texto de secundaria, 105 donde generalmente solo aparece la definición de determinante de una matriz cuadrada a través del desarrollo por filas o columnas. En la propuesta didáctica realizada, hemos incluido contenidos que no aparecen reflejados en los libros de texto de secundaria pero que son aplicables a un curso de bachillerato y como hemos comentado a lo largo del trabajo nos han ayudado a poder desarrollar el determinante de una forma más intuitiva que no se basa en “aplicar” una fórmula “mágica”. Para ello, uno de los objetivos principales de esta propuesta ha sido la demostración y justificación de los resultados, centrándonos sobre todo en las propiedades y la interpretación geométrica del determinante, apreciando la relación entre el área y el volumen con el determinante. La importancia de las nuevas tecnologías en el aula también ha estado presente, ya que durante la realización del presente trabajo he podido apreciar la importancia que tienen programas informáticos para el manejo de las matrices, y en este caso Maxima, aunque existen otros programas como MatLab y Octave que también nos permiten manejar no solo matrices, sino también otras muchas funciones que facilitan el cálculo. Gracias a la elaboración de este trabajo de fin de máster he podido comprobar la gran importancia que tiene la demostración de los resultados en el aula, ya que al igual que ocurre con el determinante y todos los resultados que hemos desarrollado en este trabajo, hay muchos resultados que desde mi punto de vista pueden ser demostrados en el aula. Por tanto, a la hora de desarrollar una unidad didáctica no debemos centrarnos únicamente en los contenidos que hemos establecido, sino también en las maneras en las que queremos enseñarlos y los objetivos que hemos fijado. Debemos ser capaces de transmitir los contenidos no como conocimientos aislados, sino ser capaces de enlazarlas con sus aplicaciones y establecer conexiones con otras materias, no solo con las que a priori puedan parecer más afines, sino con todas. `