Diseño de una programación dinámica para impartir matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Departamento de Matemática Aplicada DISEÑO DE UNA PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA IMPARTIR MATEMÁTICAS EN BACHILLERATO CON EL DESARROLLO DE DIVERSAS METODOLOGÍAS Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Eduardo de Nicolás Gutiérrez Tutor: Cesáreo Jesús González Fernández Valladolid, junio 2022. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 2 Índice. 1. JUSTIFICACIÓN DEL TFM. .............................................................................................. 4 2. INTRODUCCIÓN CONTEXTUAL. ................................................................................... 6 2. SEGUNDO CURSO DE BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES. ........................ 9 2.1. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO ...................................................... 9 2.2. OBJETIVOS GENERALES PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES.............................................................................................. 11 2.3. CONTENIDOS, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE. ..................................................................................................................... 15 2.3.1. Contenidos. ............................................................................................................... 15 2.3.2. Criterios de evaluación. ............................................................................................ 19 2.3.3. Estándares de aprendizaje evaluables. ................................................................. 22 2.4. CÓMO CONTRIBUYE LA MATERIA A LA CONSECUCIÓN DE LAS COMPETENCIAS. ................................................................................................................. 29 2.5. TEMPORALIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS. ..................................................... 40 2.6. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN. ............................................................................ 41 2.7. RECURSOS NECESARIOS. ......................................................................................... 43 4. BLOQUE Y UNIDADES DIDÁCTICAS DE APLICACIÓN. .............................................. 44 5. METODOLOGÍAS Y ACTIVIDADES. ................................................................................ 46 5.1. UNIDAD DIDÁCTICA 1: AZAR Y PROBABILIDAD. ............................................... 48 5.1.1. Descripción. .............................................................................................................. 48 5.1.2. Contenidos, criterios de evaluación, estándares de aprendizaje y competencias clave. ............................................................................................................................................ 49 5.1.3. Descriptores y desempeños. ..................................................................................... 51 5.1.4. Desarrollo de la UD para el alumnado general. ........................................................ 52 Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 3 5.1.5. Desarrollo de la UD para el alumnado con el objetivo de alta nota en la EBAU. .... 62 5.2. UNIDAD DIDÁCTICA 2: MUESTRAS ESTADÍSTICAS. .......................................... 66 5.2.1. Descripción. .............................................................................................................. 66 5.2.2. Contenidos, criterios de evaluación, estándares de aprendizaje y competencias clave. ............................................................................................................................................ 67 5.2.3. Descriptores y desempeños. ..................................................................................... 68 5.2.4. Desarrollo de la UD para el alumnado general. ........................................................ 69 5.2.5. Desarrollo de la UD para el alumnado con el objetivo de alta nota en la EBAU. .... 73 5.3. AUTOEVALUACION. ................................................................................................... 75 6. CONCLUSIONES. ................................................................................................................. 78 7. BIBLIOGRAFÍA. .................................................................................................................... 80 Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 4 1. JUSTIFICACIÓN DEL TFM. Este Trabajo Fin de Máster tiene como objetivo realizar una programación didáctica, con especial atención a la metodología, a partir de los conocimientos adquiridos durante el Máster en Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. La programación será dinámica, y partirá de un contexto específico, relacionado con el periodo del Practicum, para diseñar una serie de metodologías y actividades destinadas a estos alumnos de manera concreta. Con esta metodología adaptada se busca mejorar en la medida de lo posible el aprendizaje de las matemáticas de este alumnado. El objetivo no será la mera enseñanza de los contenidos que refleja la ley, si no que a través del fomento del interés y la motivación este aprendizaje sea significativo. Para la elaboración de este trabajo son necesarios conocimientos adquiridos durante las siguientes asignaturas del máster: • Aprendizaje y desarrollo de la personalidad: el diseño de esta programación depende de la naturaleza del alumnado, y la habilidad del docente se pone a prueba en la adaptación de las metodologías y actividades al contexto determinado. • Procesos y contextos educativos: el conocimiento de todos los procedimientos educativos es fundamental para el diseño de este documento y la consecución de los objetivos. • Sociedad, familia y educación: la adaptación al contexto social y cultural del alumnado es la premisa fundamental de este proyecto. • Complementos de matemáticas: es necesario conocer la materia, en este caso la relacionada con la probabilidad y la estadística, para poder diseñar los mecanismos de aprendizaje. • Didáctica de las matemáticas: se utilizan las herramientas didácticas aprendidas en la enseñanza de la materia. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 5 • Diseño curricular en matemáticas: base para la planificación del proceso de enseñanza dentro del marco legal actual. • Metodología y evaluación en matemáticas: las diversas metodologías aplicadas al contexto planteado se tratan en profundidad en esta asignatura. • Prácticum: este trabajo está relacionado con el prácticum al servir este centro de contexto de aplicación. Además, sin conocer los diversos tipos de alumnado durante este periodo no se podrían adaptar con éxito las distintas metodologías. El resto de asignaturas también han contribuido a la formación como profesor de matemáticas, y han sido de gran ayuda, aunque no contribuyan tan directamente a la realización de este documento. La asignatura Ideas y conceptos matemáticos a través de la historia sirve de inspiración para el trabajo de investigación acerca de la aportación más importante del matemático Thomas Bayes. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 6 2. INTRODUCCIÓN CONTEXTUAL. Dicha programación didáctica para 2º de Bachillerado de Ciencias Sociales del curso 2022/2023, se ajusta a lo dispuesto en la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y León. Las variaciones que vayan surgiendo a lo largo del curso en los diferentes grupos de alumnos, se irán anotando en las reuniones de departamento y si son significativas se harán constar en la memoria final de curso. Esta programación es dinámica, por tanto, estará condicionada completamente por el contexto del centro educativo, siendo descrito con detalle a continuación. El centro es el IES María Moliner situado en Laguna de Duero, un municipio con una pequeña superficie, 29,75 km², pero con alta densidad de población (776,29 hab./km²), lo que le convierte en uno de los más poblados de la provincia de Valladolid, con 22.756 habitantes (datos de 2021). El instituto se crea en 1998 como consecuencia directa del espectacular crecimiento demográfico de la localidad, que anteriormente contaba con un único centro de educación secundaria. Entre los recursos materiales e infraestructuras del centro destacan: • 31 aulas ordinarias, cuatro de ellas son prefabricadas para generar espacios en aplicación de las normas higiénico-sanitarias del protocolo COVID-19. • Dos aulas de Música con dotación de instrumentos diversos. • Dos aulas de plástica. • Dos aulas-taller de tecnología, con mesas de trabajo y ordenadores en red. • Aula Taller de Domótica y Automatismos y aula taller de Instalaciones de Baja Tensión. • Un aula digital de informática con ordenadores, instalación en red y acceso a Internet. • Laboratorios de Biología y Geología, y otro de Física y Química que puede ser utilizado como aula de desdoble. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 7 • Pabellón polideportivo y pista de deportes. • Biblioteca desmontada para das clases y desdobles. Se imparte toda la ESO y el programa de Mejora del Aprendizaje y el Rendimiento (PMAR) y dos modalidades de Bachillerato: Ciencias y Tecnología y Ciencias Sociales. Además, existe el Ciclo Formativo de Grado Medio: Instalaciones Eléctricas y Automáticas. Durante el curso 2022/23, el alumnado se situará en torno a los 600 alumnos y se imparte ESO (5 grupos de 1º, 5 grupos de 2º ESO, 5 grupos de 3º ESO, dos grupos de PMAR, y 4 grupos de 4º ESO.), Bachillerato (tres grupos de 1º y 2º de bachillerato) y los CFGM de instalaciones eléctrica y automáticas (dos grupos). En horario de 08:30 a 14:20. Entre el alumnado nos encontramos alumnos de diversas características, desde los inmigrantes escolarizados y minorías étnicas, aproximadamente un 4 %, que en general no presentan un desfase escolar muy acusado, hasta otro tipo de alumnado que, sin ser de minorías ni tampoco inmigrante, tiene serias dificultades de adaptación escolar y problemas de aprendizaje. También hay alumnos que manifiestan necesidades educativas especiales por discapacidades y que están recibiendo el apoyo del profesorado especialista en Pedagogía Terapéutica. Sin embargo, el grueso del alumnado no necesitará ninguna medida de atención a la diversidad. En este curso 2022/2023 el departamento de matemáticas dispondrá de las siguientes horas de clase semanales (en total 140): • 5 grupos de Matemáticas de 1º de ESO: 20 h. • 5 grupos de Matemáticas de 2º de ESO: 20 h. • 4 grupos de Matemáticas de 3º de ESO Académicas: 16 h. • 1 grupo de Matemáticas de 3º de ESO Aplicadas: 4 h. • 3 grupos de Matemáticas de 4º de ESO Académicas: 12 h. • 1 grupo de Matemáticas de 4º de ESO Aplicadas: 4 h. • 2 grupos de Matemáticas-I de 1º Bach: 8 h. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 8 • 2 grupos de Matemáticas aplicadas a las CCSS de 1º Bach: 8 h. • 2 grupo de Matemáticas-II de 2º Bach: 8 h. • 1 grupo de Matemáticas aplicadas a las CCSS de 2º Bach: 4 h. • 2 grupos de CDM de 1º ESO: 8 h. • 1 grupos de CDM de 2º ESO: 4 h. • 1 grupo de CYLM de 4º ESO: 1 h. Este documento estará centrado en las 4 horas del segundo curso de Bachillerato de Ciencias Sociales y la programación se diseña de acuerdo a la aplicación en un contexto concreto, y las metodologías y actividades estarán desarrolladas de manera específica para este alumnado, por ello se describe la naturaleza de este alumnado concreto. La clase de 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales está compuesta por 22 alumnos, los cuales presentan una motivación baja por las matemáticas. Los objetivos generales son aprobar las pruebas de la EBAU para acceder en la universidad a una carrera con poca relación con las ciencias o pasar el Bachillerado para acceder a un Ciclo Formativo de Grado Superior en la Formación Profesional. En general, son alumnos con no demasiada base matemática y que descartaron el Bachillerato de Ciencias para orientarse más hacia materias sociales, sin embargo, hay tres alumnos con altas capacidades y que quieren acceder a carreras universitarias con alta nota de corte, por lo que necesitarán otras metodologías y actividades que completen la preparación de la materia para las pruebas de acceso a la universidad. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 9 2. SEGUNDO CURSO DE BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES. 2.1. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO El Bachillerato tiene como finalidad proporcionar al alumnado formación, madurez intelectual y humana, conocimientos y habilidades que les permitan desarrollar funciones sociales e incorporarse a la vida activa con responsabilidad y competencia. Asimismo, capacitará al alumnado para acceder a la educación superior. Según indica el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, reflejado en el BOE del 3 de enero de 2015, el Bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que les permitan: a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española, así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa. b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales. c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades y discriminaciones existentes, y en particular la violencia contra la mujer e impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas por cualquier condición o circunstancia personal o social, con atención especial a las personas con discapacidad. d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal. e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 16 • Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad. • Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico. • Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para: a) la recogida ordenada y la organización de datos. b) la elaboración e interpretación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos. c) facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico. d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas. e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidas. f) comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas. BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA • Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas. Clasificación de matrices. • Operaciones con matrices. • Rango de una matriz. Matriz inversa. • Método de Gauss. Determinantes hasta orden 3. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 17 • Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales. • Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro). Método de Gauss. • Resolución de problemas de las ciencias sociales y de la economía. • Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Resolución gráfica y algebraica. • Programación lineal bidimensional. Región factible. Determinación e interpretación de las soluciones óptimas. • Aplicación de la programación lineal a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. BLOQUE 3. ANÁLISIS • Concepto de función. Dominio de definición y recorrido. • Aproximación al concepto de límite. Técnicas elementales de cálculo de límites en un punto y en el infinito. • Continuidad. Tipos de discontinuidad. Estudio de la continuidad en funciones elementales y definidas a trozos. Asíntotas y comportamiento asintótico de una función. • Derivada de una función en un punto. Recta tangente en un punto. Reglas de derivación. • Aplicaciones de las derivadas al estudio de las propiedades locales (monotonía, extremos, concavidad y puntos de inflexión) de funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas. • Problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 18 • Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, definidas a trozos, valor absoluto, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas sencillas a partir de sus propiedades locales y globales. • Concepto de primitiva. Cálculo de primitivas: Propiedades básicas. Integrales inmediatas. • Cálculo de áreas. La integral definida. Regla de Barrow. BLOQUE 4. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD • Profundización en la Teoría de la Probabilidad. Axiomática de Kolmogorov. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa. • Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos. • Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Probabilidades iniciales (a priori) y finales (a posteriori) y verosimilitud de un suceso. • Población y muestra. Métodos de selección de una muestra. Tamaño y representatividad de una muestra. • Estadística paramétrica. Parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de una muestra. • Estimación puntual. Media y desviación típica de la media muestral y de la proporción muestral. • Teorema central del límite. • Distribución de probabilidad de la media muestral en una población normal. • Distribución de probabilidad de la media muestral y de la proporción muestral en el caso de muestras grandes. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 19 • Estimación por intervalos de confianza. Relación entre nivel de confianza, error máximo admisible y tamaño muestral. • Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida. • Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución de modelo desconocido y para la proporción en el caso de muestras grandes. 2.3.2. Criterios de evaluación. BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS 1. Expresar verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema. 2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas. 3. Elaborar un informe científico escrito que sirva para comunicar las ideas matemáticas surgidas en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados. 4. Planificar adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado. 5. Practicar estrategias para la generación de investigaciones matemáticas, a partir de: a) La resolución de un problema y la profundización posterior. b) La generalización de propiedades y leyes matemáticas. c) La profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; concretando todo ello en contextos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 20 6. Elaborar un informe científico escrito que recoja el proceso de investigación realizado, con el rigor y la precisión adecuados. 7. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad. 8. Valorar la modelización matemática como un recurso para resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos utilizados o construidos. 9. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático. 10. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. 11. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ello para situaciones similares futuras. 12. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas. 13. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 21 BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA 1. Organizar información procedente de situaciones del ámbito social utilizando el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de dicha información. Aplicar el método de Gauss para resolver sistemas lineales y calcular la matriz inversa. 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, sistemas de ecuaciones, inecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. BLOQUE 3. ANÁLISIS 1. Analizar e interpretar fenómenos habituales de las ciencias sociales de manera objetiva traduciendo la información al lenguaje de las funciones y describiéndolo mediante el estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características. 2. Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función, para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social y extraer conclusiones del fenómeno analizado. 3. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables utilizando técnicas de integración inmediata. BLOQUE 4. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos, utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes técnicas de recuento personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia, la axiomática de la probabilidad, el teorema de la probabilidad total y aplica el teorema de Bayes para modificar la Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 22 probabilidad asignada a un suceso (probabilidad inicial) a partir de la información obtenida mediante la experimentación (probabilidad final), empleando los resultados numéricos obtenidos en la toma de decisiones en contextos relacionados con las ciencias sociales. 2. Describir procedimientos estadísticos que permiten estimar parámetros desconocidos de una población con una fiabilidad o un error prefijados, calculando el tamaño muestral necesario y construyendo el intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida y para la media y proporción poblacional cuando el tamaño muestral es suficientemente grande. 3. Presentar de forma ordenada información estadística utilizando vocabulario, notación y representaciones adecuadas y analizar de forma crítica y argumentada informes estadísticos presentes en los medios de comunicación, publicidad y otros ámbitos, prestando especial atención a su ficha técnica, detectando posibles errores y manipulaciones en su presentación y conclusiones. 2.3.3. Estándares de aprendizaje evaluables. BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS 1.1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados. 2.1. Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios, etc.). 2.2. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, contrastando su validez y valorando su utilidad y eficacia. 2.3. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas, reflexionando sobre el proceso seguido. 3.1. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 23 3.2. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. 3.3. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o teorema a demostrar. 4.1. Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc. 4.2. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado. 5.1. Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados, etc. 5.2. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.). 6.1. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación. 6.2. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación. 6.3. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. 6.4. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en la búsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas. 6.5. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema de investigación. 6.6. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 24 a) resolución del problema de investigación. b) consecución de objetivos. 7.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés. 7.2. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando del problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios. 7.3. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o problemas dentro del campo de las matemáticas. 7.4. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad. 7.5. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia. 8.1. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejorables, impresiones personales del proceso, etc. 9.1. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisis continuo, etc. 9.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación. 9.3. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc. 10.1. Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, de matematización o de modelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez y utilidad. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 25 11.1. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc. 12.1. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente. 12.2. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas. 12.3. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de medios tecnológicos 12.4. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades geométricas. 13.1. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido…), como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión. 13.2. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula. 13.3. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 32 4.1 Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc. X X X X 4.2 Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado. X X X 5.1 Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados, etc. X X 5.2 Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas, etc.). X X x X 6.1 Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación. X X X 6.2 Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación. x X X 6.3 Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. X X X 6.4 Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en la búsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas. X x X X 6.5 Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema de investigación. X X X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 33 6.6 Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolución del problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posibles continuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitas sus impresiones personales sobre la experiencia. X X 7.1 Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés. X X X X 7.2 Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando del problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios. X X 7.3 Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problema o problemas dentro del campo de las matemáticas. X X X 7.4 Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad. X X X 7.5 Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia. X X X 8.1 Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejorables, impresiones personales del proceso, etc. X x X 9.1 Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisis continuo, etc. X X X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 34 9.2 Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación. X x X 9.3 Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc. X X 10.1 Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, de matematización o de modelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez y utilidad. X X X X 11.1 Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc. X X 12.1 Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente. X X X 12.2 Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas. X x X X 12.3 Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de medios tecnológicos X X X 12.4 Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades geométricas. X X X X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 35 13.1 Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido,…), como resultado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tecnológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión. X X X 13.2 Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula. X X X X 13.3 Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora. X X X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 36 BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA Nº ES T ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES C L CMCT CD AA CSY C SIE P CE C Estándares básicos de aprendizaje 1.1 Dispone en forma de matriz información procedente del ámbito social para poder resolver problemas con mayor eficacia. X X 1.2 Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuaciones lineales. X X X 1.3 Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, de forma manual y con el apoyo de medios tecnológicos. X x X 2.1 Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, el sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas en contextos reales. x X 2.2 Aplica las técnicas gráficas de programación lineal bidimensional para resolver problemas de optimización de funciones lineales que están sujetas a restricciones e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema. X x X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 37 BLOQUE 3. ANÁLISIS Nº ES T ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES C L CMCT CD AA CSY C SIE P CE C Estándares básicos de aprendizaje 1.1 Modeliza con ayuda de funciones problemas planteados en las ciencias sociales y los describe mediante el estudio de la continuidad, tendencias, ramas infinitas, corte con los ejes, etc. X X 1.2 Calcula las asíntotas de funciones racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas. X X 1.3 Estudia la continuidad en un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando el concepto de límite. X X 2.1 Representa funciones y obtiene la expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o globales y extrae conclusiones en problemas derivados de situaciones reales. X x X 2.2 Plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto. X x X 3.1 Aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas de funciones elementales inmediatas. X X 3.2 Aplica el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados por una o dos curvas. X X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 38 BLOQUE 4. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Nº ES T ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES C L CMCT CD AA CSY C SIE P CE C Estándares básicos de aprendizaje 1.1 Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento. X X 1.2 Calcula probabilidades de sucesos a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral. X x X 1.3 Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes. X X 1.4 Resuelve una situación relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en función de la probabilidad de las distintas opciones. X X 2.1 Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección. X x X 2.2 Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales, y lo aplica a problemas reales. X x X 2.3 Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y de la proporción muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situaciones reales. X x X 2.4 Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida. X x X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 39 2.5 Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional y para la proporción en el caso de muestras grandes. X x X 2.6 Relaciona el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cada uno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situaciones reales. X x X 3.1 Utiliza las herramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población y presentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas. x X X 3.2 Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo. X X 3.3 Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios de comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana. x x x X Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 40 2.5. TEMPORALIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS. Se refleja en este apartado la planificación de los tiempos de cada bloque de materia. Estará sujeta a pequeños cambios que respondan a los posibles imprevistos que se produzcan durante el curso. 1ª EVALUACIÓN • Sistemas de ecuaciones lineales (4 semanas). • Matrices y determinantes (4 semanas). • Programación lineal (3 semanas). 2ª EVALUACIÓN • Límites de funciones. Continuidad (4 semanas). • Derivadas de funciones. Propiedades locales de las funciones (5 semanas). • Optimización (2 semanas). • Integrales (3 semanas). 3ª EVALUACIÓN • Azar y Probabilidades (4 semanas). • Muestras estadísticas (2 semanas). • Inferencia estadística. Muestreo (4 semanas). Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 41 2.6. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN. Esta programación solo reflejará la metodología y actividades de una parte de la evaluación, sin embargo, se refleja cómo se obtendrá la valoración de la nota final al término de cada evaluación: • Pruebas escritas u orales, cuyo peso será de un 90% de la nota final. La nota de estas pruebas obtenida al final de cada evaluación será la nota media ponderada de todas las pruebas realizadas en la evaluación. El profesor dispondrá libremente el peso asignado a cada prueba. Se deberán realizar al menos dos exámenes por evaluación. • Trabajo diario, cuyo peso será del 10% de la nota final. En este apartado se tendrán en cuenta los siguientes aspectos: - Participación en clase: exposición de un ejercicio en la pizarra, formulación de preguntas al profesor, comentarios acerca de otras posibles soluciones ante un ejercicio, problema o método de resolución. - Actitud en el aula ante el profesor y el resto de compañeros. - Resolución de ejercicios de forma individual que serán corregidos comprobando las soluciones. El profesor dispondrá libremente el peso que asigna a cada uno de los aspectos anteriores dentro del 10% establecido. Para superar una evaluación se exigirá que la nota media ponderada en cada prueba sea superior a 3 puntos. En caso de ser inferior, la calificación de le evaluación será de suspenso independientemente de las calificaciones obtenidas en el resto de las pruebas. Para aquellos alumnos que no hayan aprobado la evaluación correspondiente se llevará a cabo la siguiente recuperación: prueba escrita. Para poder optar a superar la asignatura sin necesidad de realizar el examen final, se exigirá una puntuación mínima de 4 puntos en la nota media ponderada entre este control y el trabajo diario durante toda la evaluación. Se considerará una evaluación como recuperada si la nota media ponderada entre este control y el trabajo diario durante toda la evaluación es mayor o igual a 5 puntos. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 48 5.1. UNIDAD DIDÁCTICA 1: AZAR Y PROBABILIDAD. 5.1.1. Descripción. Esta unidad contiene todo lo que se aprenderá sobre probabilidad en la educación oficial no universitaria, el alumnado ya debe tener conocimientos previos de años anteriores, pero aun así las explicaciones serán lo suficientemente concisas como para poder dominar la materia con lo explicado y realizado en las semanas que dure la unidad en este curso. Es importante que los alumnos de este nivel sepan que la probabilidad real de un suceso solo se puede averiguar mediante experimentación. La ley de Laplace (o la generalización de la misma que se realiza en la resolución de un problema) es solo aplicable a casos ideales. Cuando la aplicamos a dados, monedas, naipes, urnas, estamos suponiendo que son correctos, es decir, ideales. En los primeros apartados se fundamenta teóricamente el cálculo de probabilidades: álgebra de sucesos y estudio de las leyes de la probabilidad inspiradas en las propiedades de las frecuencias relativas. La probabilidad condicionada, con su aplicación a las tablas de contingencia, sucesos dependientes e independientes, la fórmula de la probabilidad total y la fórmula de Bayes completan el recorrido teórico de esta unidad. Lo más importante de la misma es la resolución de problemas de probabilidad por el método que sea, con tal de que se haga de manera comprensiva. Para ello, se ofrecerá una gran cantidad de problemas resueltos y propuestos, tanto a lo largo del desarrollo teórico como al final de este. Hay muchos problemas de probabilidad, de apariencia muy compleja, que quedan notablemente simplificados si la experiencia global se considera descompuesta en una secuencia de experiencias sencillas cuyas probabilidades son muy fáciles de obtener. Para ello, resulta muy útil el diagrama en árbol, cuyo uso permite resolver con facilidad problemas que, en principio, parecen muy complicados. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 49 De este modo se llega a plantear el problema de una manera muy visual y clara, pudiendo plantear a partir de este diagrama la fórmula de Bayes. Y tras sustituir los datos extraídos del enunciado obtener la solución. El objetivo último de esta unidad será conocer los conceptos de probabilidad condicionada, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y probabilidad «a posteriori» y utilizarlos para calcular probabilidades. 5.1.2. Contenidos, criterios de evaluación, estándares de aprendizaje y competencias clave. En cuanto a los contenidos desarrollados, relacionados con los criterios de evaluación, los estándares de aprendizaje y las competencias son resumidos en la tabla reflejada a continuación. El formato es el oficial recogido en los documentos oficiales y las siglas de las competencias clave tienen la siguiente correspondencia con las mismas: Comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC). Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC\T Sucesos - Operaciones y propiedades. - Reconocimiento y obtención de sucesos complementarios incompatibles, unión de sucesos, intersección de sucesos... - Propiedades de las operaciones con sucesos. Leyes de Morgan. 1. Conocer y aplicar el lenguaje de los sucesos y la probabilidad asociada a ellos así como sus operaciones y propiedades. 1.1. Expresa mediante operaciones con sucesos un enunciado. CCL, CAA, CMCT, CD 1.2. Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros. 2. Conocer los conceptos de probabilidad condicionada, 2.1. Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia de sucesos CCL, CAA, CMCT, Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 50 Ley de los grandes números - Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso. - Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números. - Propiedades de la probabilidad. - Justificación de las propiedades de la probabilidad. Ley de Laplace - Aplicación de la ley de Laplace para el cálculo de probabilidades sencillas. - Reconocimiento de experiencias en las que no se puede aplicar la ley de Laplace. Probabilidad condicionada - Dependencia e independencia de dos sucesos. - Cálculo de probabilidades condicionadas. Fórmula de la probabilidad total - Cálculo de probabilidades totales. Fórmula de Bayes - Cálculo de probabilidades «a posteriori». Tablas de contingencia - Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y probabilidad «a posteriori» y utilizarlos para calcular probabilidades. para hallar relaciones teóricas entre ellos. CD 2.2. Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia. 2.3. Calcula probabilidades totales o «a posteriori» utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 51 relaciones probabilísticos: tablas de contingencia. - Manejo e interpretación de las tablas de contingencia para plantear y resolver algunos tipos de problemas de probabilidad. Diagrama en árbol - Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos. - Utilización del diagrama en árbol para describir el proceso de resolución de problemas con experiencias compuestas. Cálculo de probabilidades totales y probabilidades «a posteriori». 5.1.3. Descriptores y desempeños. Se muestran en la siguiente tabla los descriptores y desempeños en relación a las competencias clave: Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Manejar los conocimientos sobre ciencia y tecnología para solucionar problemas, comprender lo que ocurre a nuestro alrededor y responder preguntas. - Define de manera crítica y argumentada su visión personal sobre el azar y el cálculo de probabilidades aplicado a contextos reales, pone ejemplos y da razones para apoyar sus argumentos. Competencia en comunicación lingüística Comprender el sentido de los textos escritos y orales. - Reformula los enunciados de los problemas con sus propias palabras mostrando comprenderlos. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 52 Competencia digital Aplicar criterios éticos en el uso de las tecnologías. - Muestra tener criterio para el uso adecuado de las herramientas tecnológicas al servicio de la resolución de problemas de probabilidad. Conciencia y expresiones culturales Mostrar respeto hacia el patrimonio cultural mundial en sus distintas vertientes (artístico-literaria, etnográfica, científico-técnica…), y hacia las personas que han contribuido a su desarrollo. - Conoce los autores más relevantes en la historia del cálculo de probabilidades, sus aportaciones y motivaciones para trabajar esta disciplina. Competencias sociales y cívicas Evidenciar preocupación por los más desfavorecidos y respeto a los distintos ritmos y potencialidades. - Muestra una actitud respetuosa ante los distintos ritmos de aprendizaje y trabajo que se dan en la clase. Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Asumir riesgos en el desarrollo de las tareas o los proyectos. - Afronta los problemas de probabilidad como un reto asumiendo riesgos a la hora de inicar los procesos de resolución, utilizando estrategias divergentes o ideas propias. Competencia para aprender a aprender Tomar conciencia de los procesos de aprendizaje. - Verbaliza sus logros y bloqueos en la resolución de ejercicios, problemas y en la comprensión de contenidos de probabilidad. 5.1.4. Desarrollo de la UD para el alumnado general. El desarrollo de las metodologías que se indican en este apartado es común para los dos tipos de alumnado a no ser que se especifique expresamente. Las principales diferencias con los alumnos con mayores capacidades vendrán desarrolladas en el siguiente apartado dedicado a este objetivo. La probabilidad es una materia que rompe con todo lo visto en el curso hasta este momento del año. Quizás sea la rama de las matemáticas más distinta a las demás y a la hora de enseñar a los alumnos supone un cambio en la manera en que se asimilan los conceptos. Por ello, el primer riesgo es la desconexión de parte de la clase en las primeras sesiones, para intentar evitarlo, a la Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 53 vez que se incrementa la motivación de toda la clase, se comenzará a impartir esta Unidad Didáctica con un “Estudio de Caso”. METODOLOGÍA “ESTUDIO DE CASOS”. Es una metodología docente con origen en la Universidad de Harvard que comienza con el planteamiento de un caso como base para la reflexión y el aprendizaje, el objetivo es que los alumnos participen en su análisis, logren involucrarse y comprometerse tanto en la discusión del caso como en el proceso grupal para su reflexión. Una vez hecho el debate el profesor puede descubrir la solución (si es que la tiene). Con el estudio de casos los estudiantes se deben enfrentar a situaciones reales y tendrán que tomar decisiones o valorar actuaciones, argumentando sus opiniones. Esto fomenta el aprendizaje por descubrimiento, ya que el motor en esta metodología es la motivación y la curiosidad del estudiante. En primer lugar, el docente debe plantear un contexto y el reto que debe afrontarse, sin proporcionar solución alguna, para que después la clase reflexione, analice y discuta las posibles soluciones. Lo ideal es plantear situaciones controvertidas, en las que puedan encontrarse distintas posturas y opiniones y se genere la discusión argumentada. Una vez comenzado el debate, el profesor debe formular las preguntas necesarias para ayudar a reflexionar a los estudiantes y así construyan mejor su argumentario. También hará de moderador concediendo los turnos de palabra, evitará expresar sus propias opiniones y reformulará los buenos argumentos para que queden lo más claros posibles. Un estudio de casos correctamente realizado puede generar numerosos beneficios, se fomenta el pensamiento crítico y la reflexión, la competencia de aprender a aprender, la creatividad, el trabajo en grupo, la actitud de cooperación, la conexión de la materia con la realidad, las habilidades de comunicación y el proceso de toma de decisiones. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 54 SESIÓN 1: ESTUDIO DE CASO: DILEMA DE MONTY HALL. Para nuestra materia se expondrá el “Dilema de Monty Hall”, perfecto para la reflexión sobre probabilidades, y que se solucionará de manera lógica al final de la sesión para dejar indicado que se llegará a la solución matemática una vez vistos los conceptos probabilísticos necesarios, en los días posteriores. En esta situación particular que nos ocupa comenzaremos por plantear el problema de probabilidades dando el contexto histórico en el que surgió el dilema, para después pasar a exponerlo (se refleja en letra cursiva el guión que se seguirá durante las sesiones): En 1990, Marilyn vos Savant, la persona con el C.I. más alto registrado hasta la fecha propone en su columna semanal de la revista Parade un problema que se conoce hoy como la paradoja de Monty Hall. Imagina que estás en un concurso y tienes que elegir entre tres puertas, detrás de una de ellas hay un coche, en las otras dos una cabra, tras elegir una puerta el presentador (que sabe lo que hay tras cada una) abre una de las puertas que contiene una cabra y te da la opción de cambiar de puerta. ¿Qué harías tú, te quedarías con la que elegiste inicialmente o cambiarías? Tras este planteamiento se debe organizar un debate organizado en clase, el docente debe formular preguntas para estimular la reflexión. Se podrá ayudar la comprensión con un diagrama sencillo en la pizarra que represente las tres puertas, y con un ejemplo concreto de problema, por ejemplo: Imagina que eliges la puerta uno, el presentador abre la dos y hay una cabra, ¿cambias a la tres o te quedas con la uno? Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 55 Con este planteamiento, la clase con casi total seguridad se decantará por la opción de quedarse con la primera puerta o afirmar que el cambio es irrelevante a nivel probabilístico (de ahí el dilema). Cuando estemos seguros de que todos han comprendido bien el dilema, y encontremos algún alumno que pueda incluso acercarse a la solución la expondremos en clase. Otra vez dando contexto histórico para generar relevancia en el estudio de la probabilidad. Tras el planteamiento del dilema, multitud de matemáticos estadounidenses afirmaron que vos Savant estaba en un horror. Para los que pensáis que da igual, que la probabilidad de cambiar hace que tus opciones de ganar sean las mismas, bienvenido, estás dentro del 95% de las personas que caen en este engaño. La solución que daba vos Savant era la correcta: en realidad tus opciones de ganar se duplican si cambias de puerta. El sentido común nos dice que si al principio las probabilidades que tengo de ganar son un tercio, cuando el presentador abre una de las puertas pasará a haber dos opciones, por lo que las probabilidades pasan a ser del 50% entre las dos. Aunque este razonamiento suene lógico es erróneo, es muy sutil el error, pero el presentador cuando está abriendo una de las puertas sabe el contenido de lo que hay detrás, no abre las puertas al azar, abre una donde él sabe que hay una cabra y por lo tanto con este acto está dando una información que está actualizando las probabilidades. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 56 Se utilizará este ejemplo para mostrar como la intuición y el sentido común no nos ayudan a la hora de analizar problemas de probabilidad, por lo que deberán aprender a analizar cada situación de manera fría y puramente matemática. Tras la explicación anterior obviamente no quedará muy claro que tenemos el doble de probabilidades de acertar cambiando de puerta, por eso lo explicaremos de varias formas: 1. Por lógica simple. Vamos con la forma más simple de todas, cuando tú eliges una puerta de entre las tres sabes que tus probabilidades de ganar son un tercio, por lo tanto, la probabilidad de que esté en las otras dos es dos tercios. Cuando el presentador abre una de las dos otras puertas no cambia la probabilidad de ganar con la primera puerta, sigue siendo de un tercio por lo que la otra puerta que resta acumula una probabilidad de dos tercios, precisamente el doble. 2. Por conteo. Esta estrategia es más directa, pongamos que elijo la puerta 1, eligiendo cualquier otra puerta el razonamiento va a ser el mismo. Si el coche está en la puerta 1 y el presentador abre la 2, si decido cambiar pierdo y si decido quedarme con mi puerta gano (Caso A), si el coche está en la puerta 2 el presentador abrirá necesariamente la 3, decido cambiar gano (Caso B) y si el coche esta en la puerta 3 el presentador abrirá necesariamente la 2, si decido cambiar gano (Caso C). Solo existen estos tres escenarios por lo que con la estrategia de cambiar siempre ganamos dos de cada tres veces. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 57 3. Por exageración. Si esto ayuda a aclarar las cosas, llevemos las cosas al límite para ver qué pasa, ahora tenemos 100 puertas con un coche y 99 cabras, elegimos una cualquiera por ejemplo la primera, hay una probabilidad de 1 entre 100 de acertar mientras que en el resto de puertas hay 99 entre 100 de que esté ahí. Si el presentador abre 98 puertas detrás de las cuales hay una cabra quedarán dos puertas una de ellas la que elegiste sigue con la misma probabilidad 1 entre 100 la otra puerta ha absorbido la probabilidad del resto de puertas del juego tiene 99 entre 100 Este razonamiento se hace especialmente visual con una baraja de cartas, se llevará a clase y se hará el experimento: un alumno cogerá una carta, sin mostrarla ni verla, y se le preguntará qué probabilidad hay de que sea el as de corazones de entre las 56 cartas. Tras ello, se irán descartando cartas de la baraja restante, quedando claro, que el poseedor de la baraja (en este caso el profesor) elige cada carta que quita sabiendo que no es el as de corazones. Cuando quede una sola se preguntará si quiere cambiar o no. Por último, se dejará claro que, si se simula el juego a través de programación informática, después de cierto tiempo la estrategia de cambiar de puerta triunfa dos de cada tres veces. Tras dejar un turno de preguntas y asegurarnos de que todos los alumnos tengan clara que la solución a este caso es cerrada y que la estrategia correcta es cambiar de puerta, se terminará la sesión diciendo que en los próximos días estudiaremos el teorema necesario (Bayes) con el que obtendremos la solución irrefutable, la matemática, y resolveremos de esta forma el dilema. SIGUIENTES SESIONES: CLASES MAGISTRALES, EJERCICIOS EN CLASE Y COMO TAREA. Una vez habiendo tomado contacto con la Probabilidad en la primera sesión, los alumnos están preparados para atender a la explicación de los primeros conceptos fundamentales. Se utilizará una combinación de metodologías utilizando las clases magistrales y los ejercicios y problemas, tanto en clase como para tareas. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 64 Prob.1: En un polígono industrial se almacenan 30000 latas de refresco procedentes de las fábricas A, B y C a partes iguales. Se sabe que en 2016 caducan 1800 latas de la fábrica A, 2400 procedentes de la B y 3000 que proceden de la fábrica C. a) Calcúlese la probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 2016. b) Se ha elegido una lata de refresco aleatoriamente y caduca en 2016, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la fábrica A? Con estas tareas empezamos trabajando los conceptos con el nivel de la EBAU desde el primer momento. De la misma manera, trabajamos el Teorema de Bayes con el nivel exigido para el acceso a la universidad, un ejemplo podría ser el siguiente problema, de junio del año 2016 en la Comunidad de Madrid, opción B: Prob.2: Una conocida orquesta sinfónica está compuesta por un 55 % de varones y un 45% de mujeres. En la orquesta un 30 % de los instrumentos son de cuerda. Un 25 % de las mujeres de la orquesta interpreta un instrumento de cuerda. Calcúlese la probabilidad de que un intérprete de dicha orquesta elegido al azar: a) Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda. b) Sea intérprete de un instrumento de cuerda y sea varón. En la selección de los problemas, se plantearán algunos de complejidad algo superior para desarrollar mejor el aprendizaje y convertirlo en significativo, un ejemplo de este tipo de problemas puede ser el siguiente: Prob.3: Gema y Pascual juegan al tiro al plato. Gema acierta 1 de cada 3 disparos y Pascual, 1 de cada 2. Al lanzar un plato al aire, se oyen dos disparos consecutivos; que de forma equiprobable fueron hechos ambos por Gema, ambos por Pascual, o uno por cada uno. Observamos que el plato no ha sido alcanzado. a) ¿Qué probabilidad hay de que haya sido Gema la que hizo los dos disparos? ¿Y de que fuera Pascual? b) ¿Y de que haya hecho un disparo cada uno de los dos? Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 65 De esta manera este grupo de alumnos recibirá la enseñanza combinada por las dos metodologías, construyendo un aprendizaje significativo que asegure el buen resultado en la EBAU, cumpliendo así los objetivos marcados. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 66 5.2. UNIDAD DIDÁCTICA 2: MUESTRAS ESTADÍSTICAS. 5.2.1. Descripción. En esta unidad se aproxima al alumnado al papel que juegan las muestras en el proceso de inferencia estadística. Hay un primer acercamiento, de tipo conceptual, en el que, con ejemplos y situaciones concretas, se propicia la comprensión de las características de las muestras: • El papel que desempeñan las muestras como «indicios» de lo que ocurre en la población. • Por qué es interesante (y con frecuencia imprescindible) recurrir a una muestra para tener información de la población. • Es posible conseguir una notable calidad de información sobre la población a partir de una muestra, con tal de que sea representativa. • Importancia de la aleatoriedad en la elección de los elementos de la muestra. Distintos tipos de muestreo aleatorio. Uso de la calculadora (tecla RAN) para «sortear» números. A continuación, se procede a un tratamiento más sistemático y procedimental sobre el muestreo y sus tipos: • Muestreo aleatorio simple. • Muestreo aleatorio sistemático. • Muestreo aleatorio estratificado. Se pretende que los estudiantes diseñen muestreos en situaciones concretas, valiéndose de la calculadora (o el ordenador) para sortear números. El objetivo didáctico será conocer el papel de las muestras, su tratamiento y el tipo de conclusiones que de ellas pueden obtenerse para la población. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 67 5.2.2. Contenidos, criterios de evaluación, estándares de aprendizaje y competencias clave. Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC\T Población y muestra - El papel de las muestras. - Por qué se recurre a las muestras: identificación, en cada caso, de los motivos por los que un estudio se analiza a partir de una muestra en vez de sobre la población al completo. Características relevantes de una muestra - Tamaño. Constatación del papel que juega el tamaño de la muestra. - Aleatoriedad. Distinción de muestras aleatorias de otras que no lo son. Muestreo. Tipos de muestreo aleatorio - Muestreo aleatorio simple. - Muestreo aleatorio sistemático. - Muestreo aleatorio estratificado. - Utilización de los números aleatorios para obtener al azar un número de entre N. 1. Conocer el papel de las muestras, sus características, el proceso del muestreo y algunos de los distintos modos de obtener muestras aleatorias (sorteo, sistemático, estratificado). 1.1. Identifica cuándo un colectivo es población o es muestra, razona por qué se debe recurrir a una muestra en una circunstancia concreta, comprende que una muestra ha de ser aleatoria y de un tamaño adecuado a las circunstancias de la experiencia. CCL, CMCT, CAA 1.2. Describe, calculando los elementos básicos, el proceso para realizar un muestreo por sorteo, sistemático o estratificado. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 68 5.2.3. Descriptores y desempeños. Competencia Descriptor Desempeño Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Manejar los conocimientos sobre ciencia y tecnología para solucionar problemas, comprender lo que ocurre a nuestro alrededor y responder preguntas. - Utiliza de manera argumentada los conocimientos sobre muestras estadísticas para realizar críticas sobre procesos estadísticos reales. Competencia en comunicación lingüística Expresarse oralmente con corrección, adecuación y coherencia. - Utiliza el lenguaje con precisión y corrección lingüística para responder a los ejercicios propuestos. Competencia digital Actualizar el uso de las nuevas tecnologías para mejorar el trabajo y facilitar la vida diaria. - Busca y maneja recursos digitales por iniciativa propia que faciliten el proceso estadístico. Conciencia y expresiones culturales Mostrar respeto hacia el patrimonio cultural mundial en sus distintas vertientes (artístico-literaria, etnográfica, científicotécnica…), y hacia las personas que han contribuido a su desarrollo. - Percibe la importancia de la estadística en el contexto actual y las aportaciones a la ciencia en su evolución histórica. Competencias sociales y cívicas Conocer las actividades humanas, adquirir una idea de la realidad histórica a partir de distintas fuentes, e identificar las implicaciones que tiene vivir en un Estado social y democrático de derecho refrendado por una constitución. - Aplica los conocimientos estadísticos a la comprensión y análisis de los procesos de participación democrática. Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor Generar nuevas y divergentes posibilidades desde conocimientos previos de un tema. - Realiza aportaciones sobre los ejercicios y contenidos de manera original y con propuestas creativas. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 69 Competencia para aprender a aprender Tomar conciencia de los procesos de aprendizaje. - Se muestra consciente de sus conocimientos adquiridos y de los no adquiridos en relación con la unidad. 5.2.4. Desarrollo de la UD para el alumnado general. METODOLOGÍA TIPO PUZZLE. En la pasada unidad didáctica hemos tenido un buen número de clases magistrales, la razón fue que los conceptos a explicar eran moderadamente complejos y requerían de una explicación reflexionada y minuciosa. En este caso nos encontramos con una materia distinta, de comprensión más sencilla. Por ello, y con el objetivo de evitar la monotonía y un descenso en la motivación del alumnado, para el aprendizaje de los conceptos teóricos se utilizará una metodología tipo puzzle. La metodología puzzle, rompecabezas o jigsaw es una técnica de aprendizaje colaborativo que busca que los estudiantes compartan gran cantidad de información trabajando en grupos. Es una estrategia desarrollada por primera vez por Elliot Aronson en 1971 como un medio para ayudar a los estudiantes a superar las brechas de aprendizaje en las escuelas recientemente segregadas en Austin (Texas), durante los últimos 50 años los profesores han estado utilizando este método y sus diversos componentes para promover la integración y la cooperación del alumnado en el aula. Así como un rompecabezas es una colección de varias piezas que se unen para hacer una imagen completa, el método de enseñanza rompecabezas es una colección de temas que los alumnos desarrollarán completamente antes de reunirse para hacer una idea completa. Este tipo de estrategia de aprendizaje cooperativo permite que los individuos o grupos pequeños se hagan responsables de una subcategoría de un tema más amplio. Después de investigar y desarrollar su idea cada grupo tiene la responsabilidad de enseñarla al resto de la clase. Hay muchos beneficios al utilizar el método del puzzle en el aula, para empezar en la mayoría de los casos, los estudiantes que se hacen responsables de su propio aprendizaje comprenderán mejor el material como aprendices activos, los alumnos estarán directamente inmersos en la información y el material, lo que promueve una comprensión más profunda de ese material en concreto. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 70 Cuando los estudiantes tienen la oportunidad de contribuir a un grupo también aprenden competencias como la comunicación y el trabajo en equipo. Este método también promueve la colaboración y la discusión, así como las estrategias de aprendizaje automotivadas, los estudiantes que trabajan juntos aprenden a hacer preguntas para aclarar su comprensión y proporcionar comentarios críticos de manera adecuada. Además, el método del rompecabezas produce efectivamente ganancias académicas en la resolución y el análisis de problemas, dos habilidades cognitivas muy importantes en matemáticas. Se puede utilizar en este para enseñar subcategorías de una lección general específica, cada grupo puede ser responsable de una sección del capítulo de un libro de texto. Lo primero que debe hacer el docente es crear grupos base y proponer un tema a trabajar después el profesor dividirá la lección en tantas subcategorías como miembros tengan los grupos, es decir, si los grupos base están conformados por cuatro miembros deberemos hacer que el tema en cuestión se divida en cuatro subtemas. Cada miembro del grupo será responsable de un concepto de la lección, a continuación, cada uno de ellos deberá investigar sobre su categoría a través de libros de texto, las tecnologías de la información y la comunicación o material facilitado por el docente. Una vez que los alumnos hayan investigado su propia subcategoría se reunirán con las personas de los otros grupos pequeños con el mismo tema para desarrollar mejor su comprensión y convertirse en expertos del concepto o conceptos que les ha tocado. Luego cada estudiante regresaría a su grupo original y enseñaría su subcategoría al resto del grupo. Los estudiantes dentro del grupo toman notas o completan una guía de estudio para comprender completamente todas las subcategorías. Para nuestro caso, utilizaremos esta metodología, además de para la enseñanza de los conceptos iniciales de esta unidad, para repasar una serie de conceptos estadísticos imprescindibles para la comprensión de este tema y los siguientes. Estos conceptos serán las tablas de frecuencias, la media, la mediana, la moda, la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación. Que se unirán a las definiciones de población, muestra y muestreo aleatorio (simple, sistemático y estratificado), conceptos propuestos en este tema. La razón del repaso de estos conceptos fundamentales es la necesidad de conocimientos previos de los alumnos para conseguir el éxito educativo en estas unidades didácticas, y la ausencia de los mismo, ya sea por la falta de aprendizaje significativo en los años anteriores o por ser el bloque Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 71 de probabilidad y estadística el último de la materia y en ocasiones no se llega o se imparta a demasiada velocidad. Se cual sea la causa estamos seguros de un mal resulta en un posible examen de conocimientos previos al comienzo de la unidad. De esta manera, esta unidad se convierte en la materia de preparación para las siguientes, de mayor complejidad. Formando los cimientos necesarios para la comprensión de la estadística. SESIONES CON METODOLOGÍA PUZZLE. La primera sesión se hará en el aula digital del instituto, ya que los alumnos necesitarán de ordenador para realizar el trabajo de investigación. En primer lugar, se dividirá a la clase en grupos de cuatro alumnos y a cada estudiante del grupo se le asignará un número: 1, 2, 3 y 4. Los alumnos señalados con el número 1 deberán investigar y recopilar información hasta dominar los conceptos de población, muestra y tabla de frecuencias. Los del número 2, media, mediana y moda. Aquellos con el número 3, varianza, desviación típica y coeficiente de variación y los estudiantes con el 4 investigarán acerca del muestreo aleatorio simple, el muestreo aleatorio sistemático y el muestreo aleatorio estratificado. Estos alumnos recopilarán e interiorizarán información individualmente a través de los ordenadores del aula y pasado un tiempo marcado se reunirán con aquellos alumnos que tengan el mismo número que ellos, de esta manera pondrán en común lo aprendido y se convertirán en “expertos” en estos conceptos. Tras ello volverán al grupo original para explicar la materia ya interiorizada, mientras el resto del grupo toma apuntes de lo que explican sus compañeros. Para que el docente, que servirá de guía durante toda la sesión, pueda hacer correcciones o ampliar la explicación, la siguiente sesión (ya en el aula habitual del grupo) comenzará con una reunión de los alumnos con el mismo número en la que tendrán que preparar una breve exposición para el resto de la clase. Tras la reunión se harán estas exposiciones que el profesor interrumpirá para hacer todo tipo de indicaciones o aclaraciones. Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 72 SESIONES DEDICADAS A EJERCICIOS. En las siguientes sesiones se realizarán ejercicios, guiados en clase y como tarea, para fijar los conceptos trabajados durante las sesiones tipo puzzle. Los siguientes ejercicios sirven de ejemplo para mostrar los que se propondrán en clase. Con este ejercicio se repasan varios conceptos estadísticos fundamentales: Ej. 1: A partir de los datos, construye la tabla de frecuencias, y calcula e interpreta las medidas de centralización (media, moda y mediana): 23 10 25 12 13 24 17 22 16 20 26 23 22 13 21 18 16 19 14 17 11 17 15 26 Con el siguiente vemos ejemplificados varios de los conceptos fundamentales de esta unidad: Ej. 2: Una ganadería tiene 3000 vacas. Se quiere extraer una muestra de 120. Explica cómo se obtiene dicha muestra: a) Mediante muestreo aleatorio simple. b) Mediante muestreo aleatorio sistemático. Trabajamos de la misma manera con el siguiente ejercicio: Ej. 3: Una ganadería tiene 2000 vacas. Son de distintas razas: 853 de A, 512 de B, 321 de C, 204 de D y 110 de E. Queremos extraer una muestra de 120: a) ¿Cuántas hay que elegir de cada raza para que el muestreo sea estratificado con reparto proporcional? b) ¿Cómo ha de ser la elección dentro de cada estrato? Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 73 SESIÓN DE CLASE MAGISTRAL Para terminar la materia impartida en esta unidad, se explicarán técnicas para obtener una muestra aleatoria de una población finita. Ayudándonos de la calculadora científica, tras una breve explicación teórica dada por el profesor, todos los alumnos trabajarán individualmente para aprender estas técnicas. Después de esta clase en la que los alumnos ya habrán practicado con ejercicios sencillos hechos y corregidos en clase, podrán hacer como tarea ejercicios del siguiente tipo, que se corregirán en la siguiente sesión: Ej.4: De una población de N = 856 elementos, deseamos extraer una muestra de tamaño n = 10. Usando números aleatorios, designa cuáles son los 10 individuos que componen la muestra. Una vez afianzados estos conceptos estadísticos básicos, los alumnos tendrán los conocimientos previos que serán la base para construir un aprendizaje significativo sobre inferencia estadística, tratada en las siguientes unidades. 5.2.5. Desarrollo de la UD para el alumnado con el objetivo de alta nota en la EBAU. Esta unidad es principalmente teórica y, como se ha comentado, trata acerca de conceptos de poca dificultad, algunos ya vistos en años anteriores. Por ello, la diferencia entre los dos tipos de alumnado y la orientación de las metodologías y actividades será menor que en la unidad anterior sobre probabilidad. Este tipo de alumnado acudirá a las sesiones como los demás alumnos y solo deberán hacer como tarea algún problema de dificultad algo superior a los realizados por el resto de la clase. También, para trabajar otras competencias que no sean únicamente la matemática, se les encargará buscar ejemplo de los conceptos tratados en clase en otros ámbitos de la vida, como puede ser la prensa. Un ejemplo de estos problemas de mayor complejidad es el siguiente: Diseño de una Programación Dinámica para impartir Matemáticas en Bachillerato con el desarrollo de diversas metodologías. 80 7. BIBLIOGRAFÍA. Barcenilla, R. F. (2021/2022). Programación Departamento de Matemáticas IES María Moliner. Laguna de Duero. Gundín Pérez, L. (2021). Método Expositivo o Lección Magistral. Valladolid. IES María Moliner. (2021/2022). Proyecto Educativo de Centro. Laguna de Duero. Junta de Castilla y León. (Viernes, 8 de mayo de 2015). (BOCYL) Boletín Oficial de Castilla y León. ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo. Martínez Celda, B. (2021). El Estudio de Casos. Valladolid. Pérez Martín, R. (2021). El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP). Valladolid. Pérez, L. G. (2021). Método Expositivo o Lección Magistral. Valladolid. Selectividad Intergranada. Matemáticas II CCSS. (2022). Obtenido de https://selectividad.intergranada.com/mate2ccss.html Solucionario Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Bachillerato. (2021/2022). ANAYA.