Jugar con las matemáticas

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología Jugar con las matemáticas Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Sergio Matilla Mayo Tutor: Philippe Thierry Gimenez Valladolid, junio 2022 II ´ Indice general Introducci´ on 1 1. Marco te´ orico 5 1.1. Definici´ on y clasificaci´ ondejuegos ................ 5 1.2. Efectos del uso de juegos en el aula vistos en las investigaciones realizadas .............................. 7 1.3. Relaci´ on de los juegos con el curr´ ıculo de secundaria . . . . . . . 9 1.4. Implementaci´ onenelaula ..................... 12 1.4.1. Metodolog´ ıa ........................ 12 1.4.2. Temporalizaci´ on ...................... 13 1.4.3. Evaluaci´ on ......................... 14 2. Juegos 17 2.1. Juegos de estrategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Quitafichas ......................... 18 2.1.2. Lamargarita ........................ 21 2.1.3. C´ ırculos y cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4. Partiendo tabletas de chocolate . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.5. Llegar el primero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.6. Fichas en cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.7. Uniendo puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.8. El juego del Nim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III IV ´ INDICE GENERAL 2.2. Juegos probabil´ ısticos........................ 36 2.2.1. Caeralagua......................... 37 2.2.2. El problema de Monty Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. El juego de Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3. Tangram............................... 42 2.4. Sudokus............................... 44 2.4.1. SudokuKiller........................ 44 2.4.2. Ken-Ken .......................... 46 2.5. Grafos................................ 47 2.5.1. El problema de los siete puentes . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.2. ¿Eres capaz de dibujarlo sin levantar el l´ apiz? . . . . . . . 48 2.5.3. Personas que se conocen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Juegos con recursos TIC 53 3.1. WordleyNerdle........................... 53 3.2. ElBuscaminas ........................... 57 3.3. Mathigon .............................. 59 4. Experiencia en Dinamat 63 Bibliograf´ ıa 71 Introducci´ on ¿Qu´ e son para ti las matem´ aticas? Si hici´ esemos esa pregunta a cien personas diferentes, probablemente obtendr´ ıamos una gran variedad de respuestas. Muchas de las respuestas seguir´ ıan el camino de que son un instrumento imprescindible para el d´ ıa a d´ ıa, una asignatura del instituto, etc. Si esta misma pregunta se le hace a personas que est´ an, o han estado, estudiando matem´ aticas la respuesta var´ ıa un poco y es usual que la palabra juego aparezca en ellas. Por ejemplo, para mi, un problema matem´ atico no dista mucho de un Sudoku o un acertijo de los que tanto nos gustan cuando somos peque˜ nos. En cambio, si hacemos esta misma pregunta en institutos, a nadie nos sorprende escuchar respuestas como las matem´ aticas son una obligaci´ on, la asignatura m´ as aburrida, etc Aunque a muchos les pueda resultar sorprendente, la realidad es que las matem´ aticas y el juego no son polos opuestos. De hecho, Guzm´ an [1984] nos recuerda que las matem´ aticas han tenido un fuerte componente l´ udico desde sus inicios: “La historia antigua no ha sido inclinada a preservar sino los elementos solemnes de la actividad cient´ ıfica, pero uno no puede menos de sospechar que muchas de las profundas cavilaciones de los pitag´ oricos, por ejemplo alrededor de los n´ umeros, tuvieron lugar jugando con configuraciones diferentes que formaban con las piedras. El llamado problema bovino de Arqu´ ımedes, ´ algebra hecha con procedimientos rudimentarios, tiene un cierto sabor l´ udico, as´ ı como otras muchas de sus creaciones matem´ aticas originales. Euclides fue, al parecer, no s´ olo el primer gran pedagogo que supo utilizar, en una obra perdida llamada Pseudaria (Libro 1 2INTRODUCCI ´ ON de Enga˜ nos), el gran valor did´ actico en matem´ atica de la sorpresa producida por la falacia y la apor´ ıa”. Es m´ as, Guzm´ an [1984] relaciona fuertemente el juego con las matem´ aticas: “El juego bueno, el que no depende de la fuerza o ma˜ na f´ ısicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de an´ alisis intelectual cuyas caracter´ ısticas son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matem´ atico”. ”Por una parte son muchos los juegos con un contenido matem´ atico profundo y sugerente y por otra parte una gran porci´ on de la matem´ atica de todos los tiempos tiene un sabor l´ udico que la asimila extraordinariamente al juego”. Adem´ as, Guzm´ an [1984] defiende el juego como recurso educativo: “Lo que sobre todo deber´ ıamos proporcionar a nuestros alumnos a trav´ es de las matem´ aticas es la posibilidad de hacerse con h´ abitos de pensamiento adecuados para la resoluci´ on de problemas, matem´ aticos y no matem´ aticos. ¿De qu´ e les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos all´ ı herm´ eticamente emparedados? A la resoluci´ on de problemas se le ha llamado, con raz´ on el coraz´ on de las matem´ aticas, pues ah´ ı es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atra´ ıdo y atrae a los matem´ aticos de todas las ´ epocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, h´ abitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matem´ aticas. Muchos de esos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matem´ aticos”. En el cap´ ıtulo 1 se mostrar´ an investigaciones que avalar´ an el uso del juego matem´ atico como recurso did´ actico en el aula. Adem´ as, se propondr´ a una metodolog´ ıa con la que llevar el juego al aula. A mayores, se har´ an unos comentarios INTRODUCCI ´ ON 3 sobre la temporalizaci´ on y la evaluaci´ on de estas sesiones. Por ´ ultimo, se analizar´ a el primer bloque del curr´ ıculo de la Comunidad de Castilla y Le´ on (BOCYL n.º 86 8-mayo-2015 (jcyl.es)), desarrollando cada uno de los ´ ıtems y por qu´ e se pueden trabajar con los juegos que se proponen en cap´ ıtulos posteriores. El cap´ ıtulo central de este trabajo es el 2. En ´ el se desarrollar´ an diferentes juegos matem´ aticos, cu´ al es su relaci´ on con las matem´ aticas y los contenidos espec´ ıficos del curr´ ıculo que se trabajan. El cap´ ıtulo 3 seguir´ a la misma filosof´ ıa que el anterior. En ´ el se mostrar´ an varios juegos pero esta vez utilizando recursos digitales. Adem´ as, se mostrar´ a una p´ agina web que cuenta, no solo con una adaptaci´ on digital de muchos juegos, si no tambi´ en con una gran cantidad de herramientas muy ´ utiles para el aula de matem´ aticas. Por ´ ultimo, en el cap´ ıtulo 4, se explicar´ a mi experiencia personal dando conferencias sobre juegos de estrategias, gracias a formar parte estos a˜ nos del grupo de innovaci´ on docente Dinamat. 4INTRODUCCI ´ ON Cap´ ıtulo 1 Marco te´ orico Para este cap´ ıtulo se va a seguir el art´ ıculo Gonz´ alez Peralta et al [2014]. En ´ el se hace una revisi´ on de bibliograf´ ıa en investigaciones de matem´ atica educativa cuyo principal objetivo es el juego como recurso did´ actico. En el art´ ıculo tratan tres temas fundamentales: 1. Definiciones y clasificaciones de juegos usadas en la literatura. 2. Tipo de investigaciones que se han realizado sobre juegos, tipo de juegos estudiados y caracter´ ısticas de las muestras consideradas. 3. Efectos del uso de juegos. 1.1. Definici´ on y clasificaci´ on de juegos La palabra juego es polis´ emica y tiene muchos significados diferentes. Por ejemplo, juego puede ser cualquier actividad que nos resulte atractiva, juego puede referirse a los materiales que se usan, por ejemplo, cuando hablamos de juegos de mesa. Sin embargo, todas estas definiciones no son la que se buscan. La definici´ on que buscamos debe tener como pilar fundamental el fin que perseguimos con los juegos: el educativo. 5 12 MARCO TE ´ ORICO s´ ı mismos son los que mejores resultados alcanzan con estas experiencias. De este modo, conseguimos aumentar la confianza de los alumnos en s´ ı mismos. Es usual que haya alumnos que al inicio de la sesi´ on no se crean capaces de resolver los juegos. Estos mismos alumnos van cambiando su percepci´ on en el transcurso de la sesi´ on y, al finalizar, estos mismos alumnos piden que les propongas m´ as juegos para poder realizarlos en casa. Por tanto, los juegos pueden ser la llave con la que se empiece a mejorar el autoconcepto de los alumnos. 1.4. Implementaci´ on en el aula En esta secci´ on se va a hacer una propuesta para llevar al aula los juegos que se van a explicar en el cap´ ıtulo 2. El motivo por el cual se propone esta metodolog´ ıa es la experiencia propia, gracias a formar parte del grupo Dinamat, como se explicar´ a en el cap´ ıtulo 4. 1.4.1. Metodolog´ ıa La metodolog´ ıa que se propone es, en todo momento, una metodolog´ ıa activa. Uno de nuestros objetivos principales al introducir los juegos en el aula es conseguir motivar a los alumnos y ense˜ narles una visi´ on diferente de las matem´ aticas. Los juegos que se proponen en este trabajo se prestan al uso de estas metodolog´ ıas, es beneficioso, por no decir imprescindible, el di´ alogo constante alumno-profesor y alumno-alumno. Con esto conseguiremos romper la rutina y, desde el primer momento, llamaremos m´ as la atenci´ on de los alumnos. Adem´ as de que favorecen la motivaci´ on, estaremos conseguiendo que los alumnos consigan expresar sus ideas, sentimientos, inquietudes, etc, haciendo uso de un lenguaje mat´ ematico. Tambi´ en, de esta manera incentivamos a los alumnos con m´ as dificultades a la hora de participar en las actividades. A mayores, se propone plantear las sesiones como un aprendizaje basado en problemas. El docente plantea el problema, en nuestro caso un juego y, a trav´ es del 1.4 Implementaci´ on en el aula 13 di´ alogo la clase, como grupo, consiga resolver el problema. El rol del docente en esta metodolog´ ıa es el de gu´ ıa del aprendizaje, debe dejar libertad a los alumnos, que sean ellos los que vayan deduciendo los resultados. De esta manera estamos favoreciendo la independencia de los alumnos, motiv´ andoles y haci´ endoles ver que son capaces de resolver problemas sin la ayuda constante de un profesor. Con todo esto, se propone la siguiente forma de organizar las sesiones dedicadas a los juegos. Debido a que muchos de los juegos son por parejas y, aunque haya juegos que no lo sean, favoreceremos de esta manera el di´ alogo y el trabajo en equipo, as´ ı que dividiremos a los alumnos por parejas. Explicaremos el juego que queremos plantear y cu´ al es el objetivo del juego, por ejemplo, en los juegos de estrategia, debemos dejar claro que el objetivo es encontrar la manera de ganar siempre. Despu´ es de esto pediremos que jueguen entre ellos, para que experimenten el juego y empiecen a construir sus propias conjeturas. El docente deber´ a ir escuchando las propuestas de los alumnos, refut´ andolas en el caso que sean incorrectas pero nunca dando la soluci´ on. Como se ver´ a en cap´ ıtulos posteriores, la forma de refutar los razonamientos err´ oneos es muy sencilla en los juegos. Adem´ as, no provoca una frustraci´ on por parte del alumno, si no todo lo contrario, provoca una motivaci´ on extra gracias a que un objetivo para el alumno es vencer al profesor. 1.4.2. Temporalizaci´ on Es conocido que, debido al vasto curr´ ıculo que hay que abarcar, el tiempo no juega a nuestro favor a la hora de dar clase. Las actividades que se plantean en este trabajo se pueden usar en momentos puntuales, para introducir un tema, para reforzar algunos contenidos o para romper con la monoton´ ıa de la clase. Hay suficiente material como para poder dedicar una gran cantidad de sesiones a estas actividades, por tanto, el n´ umero de sesiones que se dediquen a estas actividades depender´ a del contexto particular, siendo normalmente un n´ umero inferior al que 14 MARCO TE ´ ORICO nos gustar´ ıa. Otro aspecto que debemos plantear es como organizar las sesiones, es decir, responder a la pregunta: ¿cu´ anto tiempo dejamos en cada juego?. Desde mi experiencia, la respuesta es que no nos deber´ ıa preocupar. El objetivo de estas sesiones no es hacer un gran n´ umero de problemas, si no motivar a los alumnos y hacer que los alumnos razonen. Es decir, puede ocurrir que haya grupos en los que resuelvan un juego en muy poco tiempo y grupos en los que tarden una hora. Esto no significa que en una clase hayamos perdido el tiempo, por lo que yo he podido comprobar, aunque se tarde mucho en resolver un juego, los alumnos siguen razonando y dando sus propias soluciones. Por tanto, se propone que no haya un n´ umero de juegos a resolver fijado a priori, si no preparar suficientes juegos e ir plante´ andoselos a los alumnos a la velocidad que ellos vayan marcando. No obstante, el docente tambi´ en deber´ a dar pistas o ayudar en el momento en el que note que los alumnos est´ an atascados o se empiezan a cansar del juego. Esto entra dentro del rol de gu´ ıa del aprendizaje que debe adoptar. Desde mi experiencia, cuando hago una sesi´ on de juegos de estrategia, en una sesi´ on de una hora suele dar tiempo a hacer dos o tres juegos. 1.4.3. Evaluaci´ on Para entender la propuesta que se va a hacer es necesario tener presente c´ omo se est´ an proponiendo estas sesiones y cu´ al es su objetivo. Son sesiones complementarias en las que vamos a intentar motivar a los alumnos. Por tanto, la evaluaci´ on tambi´ en debe ir en consonancia con esto. Debido a que son sesiones muy puntuales, el peso que deber´ ıan tener en la evaluaci´ on ser´ ıa ´ ınfimo. Desde mi punto de vista, creo que no es necesario evaluar estas actividades. De esta manera quitaremos presi´ on a los alumnos y podr´ an disfrutar en mayor medida de estas experiencias. De esta manera crearemos un am- 1.4 Implementaci´ on en el aula 15 biente m´ as relajado en el aula, lo que beneficiar´ a a nuestros objetivos. Adem´ as, he podido comprobar que, aunque estas sesiones no se eval´ uen, los alumnos siguen participando de manera activa. En el caso de que se quieran evaluar estas sesiones, mi propuesta es que la evaluaci´ on sea siempre positiva. En ning´ un caso deber´ a perjudicar a los alumnos. El motivo de esto es que los alumnos est´ en relajados en la sesi´ on y expongan sus razonamientos sin ninguna cohibici´ on. En el momento en el que sea posible una evaluaci´ on negativa, los alumnos pueden dejar de expresarse por el miedo a que perjudique en su nota. Tampoco creo que sea oportuno valorar la lucidez o la velocidad en los razonamientos, ya que esto tambi´ en podr´ ıa provocar una p´ erdida de motivaci´ on en algunos alumnos o una competici´ on insana en el aula. Se podr´ ıan valorar aspectos como participaci´ on, comportamiento, grado de implicaci´ on, etc. 16 MARCO TE ´ ORICO Cap´ ıtulo 2 Juegos En este cap´ ıtulo se presentar´ an diversos juegos, explicando su trasfondo matem´ atico. Todos los juegos trabajan los contenidos del primer bloque del curr´ ıculo de secundaria, analizado en 1.3. A mayores, algunos de estos juegos trabajan contenidos espec´ ıficos de los dem´ as bloques del curr´ ıculo. 2.1. Juegos de estrategia Son juegos en los que no interviene el azar y son de informaci´ on completa, es decir, cada jugador sabe en todo momento las jugadas que se pueden hacer y cu´ ales son sus consecuencias. Son juegos por parejas en los que hay un ganador. La peculiaridad de este tipo de juegos es que hay una peque˜ na trampa: hay una forma de ganar siempre. Es decir, existe un algoritmo para el jugador que empieza o para el que va en segundo lugar que, si juegas de la manera indicada, no importa lo que haga el rival, siempre vas a acabar siendo el ganador del juego. A este algortimo ganador se le llama estrategia ganadora. La tarea que deben realizar los alumnos es descubrir la estrategia ganadora. En el proceso de descubrir tal estrategia van a tener que aplicar muchos, sino to- 17 18 JUEGOS dos, los contenidos vistos en 1.3. A mayores, en algunos juegos, se van a necesitar otras nociones b´ asicas sobre matem´ aticas, que tambi´ en forman parte del curr´ ıculo. Adem´ as, se pueden plantear juegos en los que la estrategia no consista en un algoritmo a realizar por uno de los jugadores, sino que el ganador del juego est´ a determinado por las condiciones iniciales. De esta manera tenemos m´ as variedad de juegos y se consigue que los alumnos no caigan en la repetici´ on. Por ´ ultimo, la mayor´ ıa de estos juegos que, aunque en un primer instante se planteen para un caso particular, veremos que se prestan a una generalizaci´ on y, por tanto, a intruducir la abstracci´ on y la demostraci´ on de una manera divertida en el aula. 2.1.1. Quitafichas En un primer momento el juego se plantea de la siguiente manera: hay diez fichas en un tablero. Cada jugador, en su turno, puede quitar una o dos fichas a su elecci´ on. Hay dos modalidades de juego: gana el que consigue coger la ´ ultima ficha del tablero o pierde el que se lleve la ´ ultima ficha del tablero. La clave para resolver este problema es empezar a razonar por el final, una estrategia f´ acilmente extrapolable no solo a problemas matem´ aticos, sino a problemas de cualquier ´ ındole. Figura 2.1: Ejemplo con diez fichas. Si estamos en el caso de que gana el jugador que se lleva la ´ ultima ficha, empezando a razonar por el final, para poder ganar es necesario que tengas una o dos fichas en tu ´ ultimo turno. ¿C´ omo nos aseguramos de que esto ocurra siempre? El 2.1 Juegos de estrategia 19 rival tiene que tener tres fichas en su turno anterior, de este modo, si quita una, nosotros tendremos dos y, si quita dos, nosotros tendremos una y habremos ganado. En este punto, hemos conseguido simplificar el problema a otro m´ as sencillo: en el problema inicial ten´ ıamos que pensar con las diez fichas para poder llevarnos la ´ ultima, ahora, solo tenemos que pensar con las siete primeras. Volviendo a razonar por el final, para que el rival tenga tres fichas, nosotros tenemos que haber tenido cuatro o cinco en el turno anterior. ¿C´ omo nos aseguramos de que esto ocurra siempre? Con el mismo razonamiento de antes, el rival debe tener seis fichas en su turno anterior: se ha vuelto a simplificar el problema. Volviendo a iterar esto, se llega a la conclusi´ on de que el rival tiene que tener nueve fichas en un turno. Por tanto, si empezamos nosotros y quitamos una ficha, dejamos al rival con nueve, luego somos capaces de dejarle con seis, m´ as tarde con tres y habremos ganado, independientemente de los movimientos que haga el rival. De manera similar, si pierde el jugador que se lleve la ´ ultima ficha, razonando por el final, se llega a la conclusi´ on de que gana el segundo jugador. Lo que debe hacer es dejar al rival con siete fichas (esto siempre lo puede hacer el segundo jugador), luego con cuatro y al final le dejar´ a una ficha en el tablero, oblig´ andole a llev´ arsela. Ya resuelto el caso particular, podemos plantear la generalizaci´ on del problema: ¿qu´ e pasa si tenemos mfichas y podemos quitar de 1anfichas en nuestro turno? Ahora, la estrategia de empezar a razonar por el final no funciona, pero en la resoluci´ on de los casos particulares se aprecia cu´ al es el camino a seguir. Si gana el jugador que se lleva la ´ ultima ficha, en el caso particular de que haya 10 fichas y se puedan quitar 1o2, vimos que hab´ ıa que dejar al rival en la sucesi´ on de fichas 9,6,3. En el caso general, se si pueden quitar de 1anfichas, tenemos que dejar al rival en la sucesi´ on de los m´ ultiplos de n+ 1. Con los mismos razonamientos que en el caso particular, si el rival tiene k(n+ 1) fichas en un turno, 20 JUEGOS siendo kun n´ umero natural, si el rival quita p<nfichas, nosotros podemos quitar n+ 1 −ppara dejarle en el siguiente m´ ultiplo de la sucesi´ on. ¿Esto siempre lo podremos hacer empezando primeros? La respuesta es s´ ı, salvo en el caso de que m, el n´ umero de fichas, sea m´ ultiplo de n+1 ya que de esta manera, el primer jugador ya est´ a en la sucesi´ on perdedora. De esta manera, tambi´ en se han introducido las excepciones y la necesidad de analizar todos los casos. De manera similar, si pierde el jugador que se lleve la ´ ultima ficha, tenemos que dejar al rival en la sucesi´ on k(n+1)+1, siendo kun n´ umero natural. Esto siempre lo puede conseguir el primer jugador , salvo si m, el n´ umero de fichas, es de la forma k(n+1)+1, con knatural (esto es lo que ocurre en el caso particular). A mayores de los contenidos del bloque com´ un analizados en 1.3, con este juego se pueden trabajar los siguientes contenidos del curr´ ıculo de secundaria. M´ ultiplos y divisores comunes a varios n´ umeros. M´ aximo com´ un divisor y m´ ınimo com´ un m´ ultiplo de dos o m´ as n´ umeros naturales. Traducci´ on de expresiones del lenguaje cotidiano, que representen situaciones reales, al algebraico y viceversa. Valoraci´ on del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas de la vida cotidiana. El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtenci´ on de f´ ormulas y t´ erminos generales basada en la observaci´ on de pautas y regularidades. Sucesiones num´ ericas. Sucesiones recurrentes. Progresiones aritm´ eticas y geom´ etricas. Investigaci´ on de regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de n´ umeros. 2.1 Juegos de estrategia 21 2.1.2. La margarita El juego es el siguiente: tenemos una margarita con once p´ etalos, cada jugador en su turno puede quitar de la margarita uno o dos p´ etalos, a su elecci´ on, pero si dedice quitar dos p´ etalos, estos deben de estar juntos. Es decir, en tu turno se pueden quitar p´ etalos de cualquier parte de la margarita, pero si son dos, deben de estar juntos. Gana el jugador que se lleva el ´ ultimo p´ etalo. Figura 2.2: Ejemplo con once p´ etalos. En un primer momento puede parecer un juego exactamente igual que el quitafichas, pero esto no es as´ ı. La raz´ on fundamental de que estos juegos son diferentes es la siguiente: en el quitafichas, en el modo de que gana el jugador que se lleva la ´ ultima ficha, si quedaban dos fichas las pod´ ıa coger siempre y ganar, en cambio, en este juego, si quedan dos p´ etalos solamente los puedes coger si est´ an juntos. Es decir, si en tu turno solo quedan dos p´ etalos separados, solamente puedes coger uno y el rival se llevar´ a el ´ ultimo, ganando. La idea para resolver este juego es darse cuenta que hay que intentar dejar al rival con p´ etalos separados. La clave para poder hacer esto de manera correcta es 28 JUEGOS La generalizaci´ on de este juego se puede hacer en dos sentidos: ampliar el tablero o restringir la cantidad de casillas que nos podemos mover. El primer caso tiene poco inter´ es ya que simplemente hay que seguir el razonamiento del caso particular. En el caso que se solo se pueda mover un n´ umero determinado de casillas en una direcci´ on es un poco m´ as interesante, aunque el razonamiento para hallar la soluci´ on es el mismo. Con este juego, al igual que con el de la margarita, estamos trabajando el concepto de simetr´ ıa. En este caso, las casillas ganadoras son sim´ etricas respecto de la diagonal del tablero. Adem´ as, este juego permite introducir la noci´ on de coordenadas cartesianas, contenido del curr´ ıculo de secundaria, de una manera entretenida y muy natural. 2.1.6. Fichas en cuadrado En este juego hay nueve fichas colocadas en un tablero 3×3. Cada jugador, en su turno, puede quitar tantas fichas como quiera, con la condici´ on de que sean de una misma fila o columna y que no haya hueco entre ellas. Como en el quitafichas, se puede jugar en dos modalidades: gana el que se lleva la ´ ultima o pierde el que se lleva la ´ ultima. Figura 2.9: Ejemplo de partida. 2.1 Juegos de estrategia 29 Para hallar la soluci´ on de este juego se utilizan varias de las l´ ıneas de razonamiento que hemos usado en los juegos anteriores. En concreto, la simetr´ ıa y razonamientos con n´ umeros pares e impares. En ambas modalidades de juego, la estrategia ganadora es para el jugador que comienza. El comienzo del juego en ambas modalidades es el mismo: el primer jugador debe quitar la ficha central o toda la fila central. Si gana el que se lleva la ´ ultima, en los turnos siguientes el primer jugador deber´ a repetir lo que haga el rival para dejar una posici´ on sim´ etrica y, como ocurr´ ıa con la margarita, conseguir´ a llevarse la ´ ultima ficha. Si pierde el que se lleva la ´ ultima, en los turnos siguientes el primer jugador no debe permitir dejar un n´ umero par de fichas separadas, lo que debe conseguir es dejar un n´ umero impar de fichas separadas, de este modo, el segundo jugador deber´ a llevarse la ´ ultima. Para conseguir esto, se puede seguir la estrategia de ir dejando un tablero sim´ etrico y romper la simetr´ ıa en los turnos finales para dejar un n´ umero impar de fichas separadas. Este juego, aunque su dificultad es bastante m´ as elevada que la de los juegos anteriores, tambi´ en resulta muy interesante por las mismas razones que se han comentado anteriormente en otros juegos. Nos permite hacer ver a los alumnos que para resolver un problema de matem´ aticas no solo se necesita usar un concepto, a veces, es necesario usar m´ as de uno. Adem´ as, con este juego ense˜ namos a los alumnos una herramienta muy ´ util a la hora de resolver problemas: analizar problemas similares que se hayan resuelto anteriormente para poder aplicar algunos de los razonamientos de esos problemas m´ as sencillos. 2.1.7. Uniendo puntos El siguiente juego ha sido obtenido de Sadornil Renedo [2021]. Consiste en lo siguiente: en una circunferencia colocamos un n´ umero de puntos arbitrario. Por turnos, cada jugador une dos puntos cualesquiera por un segmento interior a la circunferencia. Pueden unirse puntos con la condici´ on de que no est´ en unidos ya 30 JUEGOS y el segmento que los une no corte a ninguno de los hechos anteriormente. Por ejemplo, con nueve puntos: Figura 2.10: Ejemplo de partida con nueve puntos. Y, por ejemplo, uno de los resultados de esta partida ser´ ıa el siguiente: Figura 2.11: Posible resultado de una partida. Este es otro ejemplo de juego en el que el ganador no depende de como sea el transcurso de la partida. De hecho, este juego ni siquiera depende de las condiciones iniciales, siempre gana el primer jugador. Lo primero, el n´ umero de segmentos que se pueden trazar no depende de la posici´ on de los puntos, simplemente depen- 2.1 Juegos de estrategia 31 de del n´ umero de ellos. Adem´ as, las condiciones del juego implican que lo que realmente se haga es triangular el pol´ ıgono con v´ ertices los puntos. Es conocido que para triangular un pol´ ıgono de nv´ ertices, se necesitan n−3 diagonales (segmentos azules en 2.11). Como en este juego tambi´ en permitimos los segmentos que unen dos v´ ertices consecutivos (segmentos rojos en 2.11), en total tenemos n−3 + n= 2n−3segmentos. Volviendo a argumentos de juegos anteriores, como este n´ umero es impar, el primer jugador siempre podr´ a hacer el ´ ultimo segmento y, por tanto, ganar el juego. Aunque pueda parecer un juego mon´ otono ya que siempre gana el primer jugador, en la realidad esto no es as´ ı. La raz´ on de que no ocurra es que la cantidad de configuraciones distintas que se obtienen tras una partida es un n´ umero muy alto, por tanto, queda encubierto que el resultado siempre sea el mismo. De hecho, el n´ umero de configuraciones posibles es el n´ umero de triangulaciones posibles de un pol´ ıgono de nlados. Es conocido que este n´ umero coincide con el (n−2)-´ esimo n´ umero de Catalan, Cn−2=1 n−12n−4 n−2. A mayores de los contenidos del primer bloque del curr´ ıculo, analizados en 1.3, con este juego se pueden trabajar los siguientes contenidos del curr´ ıculo de secundaria. Figuras planas elementales: tri´ angulo, cuadrado, figuras poligonales. Circunferencia, c´ ırculo, arcos y sectores circulares. C´ alculo de ´ areas por descomposici´ on en figuras simples. Por ´ ultimo, de una forma sencilla, en este juego hemos introducido el concepto de triangular un pol´ ıgono de nlados. Esto nos abre las puertas a poder hacer alguna peque˜ na demostraci´ on o explicar algo m´ as sobre la triangulaci´ on de pol´ ıgonos. Por ejemplo, podemos demostrar de manera sencilla la f´ ormula para la suma de los ´ angulos interiores de un pol´ ıgono de nlados. 32 JUEGOS 2.1.8. El juego del Nim La versi´ on cl´ asica del juego es la siguiente, tenemos tres filas con palos: una con tres, otra con cinco y otra con siete palos. Por turnos, cada jugador quita todos los palos que quiera pero con la condici´ on de que sean de la misma fila, y como m´ ınimo debe de quitar un palo. Hay dos modalidades: gana el jugador que se lleva el ´ ultimo palo o pierde el jugador que se lleva el ´ ultimo palo. En Losada Liste [s.f], est´ a implementado este juego en la plataforma GeoGebra para poder visualizar mejor las explicaciones que se van a dar, un recurso fant´ astico si queremos explicar este juego en el aula. Figura 2.12: Ejemplo de partida con tres, cinco y siete palos. La soluci´ on de este juego es algo m´ as complicada que la de los anteriores, pero se van a necesitar muchos de los conceptos vistos en los juegos previos. En particular, la simetr´ ıa yempezar por casos m´ as sencillos. Si en vez de tres montones de palos, solo hubiese un mont´ on, siempre gana el primer jugador. En la modalidad de que gana el jugador que se lleva la ´ ultima, debe retirar todos los palos. En la modalidad de que pierde el jugador que se lleva 2.1 Juegos de estrategia 33 el ´ ultimo palo, tiene que retirar todos los palos salvo uno. Si suponemos que tenemos dos montones de palos, uno con npalos y otro con m≤npalos. Si m=n, es decir, m<n, entonces gana el primer jugador. Lo que debe hacer es tirar del mont´ on de n−mpalos del mont´ on de npalos. De esta forma ha igualado los montones, provocando una simetr´ ıa. En la modalidad de que gana el jugador que se lleva el ´ ultimo palo, el primer jugador gana si en el resto de movimientos repite lo que haga el rival en el mont´ on contrario. Para la otra modalidad, debe hacer lo mismo pero romper la simetr´ ıa cuando uno de los dos montones se reduzca a uno o ning´ un palo. En el caso n=mes claro que gana el segundo jugador ya que ya est´ an en posici´ on sim´ etrica. La idea para resolver el ejercicio con tres montones es intentar replicar el razonamiento para dos montones. ¿C´ omo provocar la simetr´ ıa si hay m´ as de dos montones? Para ello, vamos a usar el Teorema fundamental de la numeraci´ on, que nos permite descomponer, de manera ´ unica, cada n´ umero como suma de potencias de dos (esto es, escribir el n´ umero en binario). Se van a descomponer el n´ umero de palos que hay en cada fila, en nuestro ejemplo: 7=20+ 21+ 22, 5=20+ 22, 3=20+ 21. Por tanto, cada mont´ on de palos lo hemos dividido en varios montones. La ventaja de hacer esto es que ahora todos nuestros montones tienen el mismo n´ umero de palos: mont´ on con 4palos (correspondiente al t´ ermino 22), mont´ on con 2palos (correspondiente al t´ ermino 21) y mont´ on con un palo (correspondiente al t´ ermino 20). 34 JUEGOS Para poder visualizarlo mejor, escribimos los n´ umeros en su notaci´ on binaria: 7 = 111, 5 = 101, 3 = 011. Esto nos indica que, por ejemplo, 5tiene un mont´ on de un palo y otro de cuatro palos, pero no tiene el mont´ on de dos palos. Con esta representaci´ on ya podemos dar una soluci´ on a nuestro problema. Ya podemos afirmar que si los montones iniciales son de siete, cinco y tres palos, gana el primer jugador en ambas modalidades. Lo que debe hacer es conseguir que haya una cantidad par de montones de un palo, una cantidad par de montones de dos palos, etc (es decir, una cantidad par de unos en cada columna). Por tanto, se observa que con siete, cinco y tres hay una cantidad par de montones de cuatro y dos palos, pero una cantidad impar de montones de un palo. Luego si el primer jugador quita un palo de la segunda fila, ya habr´ ıa una cantidad par en todos los montones. En los siguientes movimientos el primer jugador, en funci´ on de lo que haga su rival, debe ir quitando palos de filas para mantener la paridad de los montones. En la modalidad de gana el que se lleva el ´ ultimo palo, simplemente tiene que ir haciendo lo arriba mencionado. Para la otra modalidad, debe hacer esos movimientos hasta el final, donde romper´ a la simetr´ ıa. Por ejemplo, si cambiamos las condiciones iniciales y suponemos que hay tres filas: una de seis, otra de cinco y otra de tres. Al pasar estos n´ umeros a binario nos damos cuenta que desde el principio los montones son pares y, por tanto, el jugador que empiece ya est´ a en una posici´ on perdedora para ambas modalidades. Existen variantes del Nim en las que el sistema de numeraci´ on que debemos usar no es el binario. Por ejemplo, tenemos treinta monedas en una mesa. El primer jugador puede retirar todas las monedas que quiera con la condici´ on de que al 2.1 Juegos de estrategia 35 menos debe dejar una. El segundo jugador tambi´ en puede retirar todas las monedas que quiera, con la condici´ on de que no pueden superar el doble de las que retir´ o el rival. El juego contin´ ua, cada jugador en su turno retira todas las que quiera, siempre y cuando no superen el doble de las que retir´ o su rival en el turno anterior. Gana el jugador que retire la ´ ultima moneda. Este juego se llama Nim de Fibonacci. Para su soluci´ on debemos usar el resultado que dice que todo natural se puede expresar, de forma ´ unica, como suma de n´ umeros de Fibonacci. De este modo, 30 = 21 + 8 + 1. El primer jugador gana siempre, lo ´ unico que tiene que hacer es, en cada paso, expresar el n´ umero de monedas que haya en la mesa como suma de n´ umeros de Fibonacci y retirar la cantidad que indique el menor de lo sumandos. Por ejemplo, en el primer paso debe retirar una moneda. Con este juego, a mayores de los contenidos analizados en 1.3, se pueden trabajar los siguientes contenidos del curr´ ıculo de secundaria. Traducci´ on de expresiones del lenguaje cotidiano, que representen situaciones reales, al algebraico y viceversa. Valoraci´ on del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas de la vida cotidiana. El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtenci´ on de f´ ormulas y t´ erminos generales basada en la observaci´ on de pautas y regularidades. Sucesiones num´ ericas. Sucesiones recurrentes. Progresiones aritm´ eticas y geom´ etricas. Adem´ as, aunque no aparezca en el curr´ ıculo de secundaria de matem´ aticas, se trabajan los sistemas de numeraci´ on y, en particular, el sistema binario. Esto tiene mucha utilidad, por ejemplo, en las asignaturas de inform´ atica y tecnolog´ ıa. 36 JUEGOS 2.2. Juegos probabil´ ısticos En los juegos de estrategia hab´ ıa una estrategia ganadora, es decir, un algoritmo para poder ganar siempre al juego, aunque a veces esta estrategia depend´ ıa de colocar las condiciones iniciales de manera correcta. En esta secci´ on se van a explicar un tipo de juegos en los que hay elecciones que nos hacen tener m´ as probabilidad de ganar, aunque no sea una forma de ganar siempre. En los juegos de estrategia el objetivo principal era que los alumnos descubriesen la estrategia ganadora. En los juegos probabil´ ısticos el objetivo principal es acercar la probabilidad a los alumnos de una manera divertida. Adem´ as, estos juegos servir´ an para ense˜ nar a los alumnos cu´ ales son los razonamientos que se suelen seguir a la hora de afrontar problemas de probabilidad. A mayores de los contenidos analizados en 1.3, con estos juegos se pueden trabajar los siguientes contenidos del curr´ ıculo de secundaria. Poblaci´ on e individuo. Muestra. Variables estad´ ısticas. Variables cualitativas y cuantitativas discretas. Organizaci´ on en tablas de datos recogidos en una experiencia. Fen´ omenos deterministas y aleatorios. Formulaci´ on de conjeturas sobre el comportamiento de fen´ omenos aleatorios sencillos y dise˜ no de experiencias para su comprobaci´ on. Frecuencia relativa de un suceso y su aproximaci´ on a la probabilidad mediante la simulaci´ on o experimentaci´ on. Sucesos elementales equiprobables y no equiprobables. Experiencias aleatorias simples y compuestas en casos sencillos. Sucesos y espacio muestral. 2.2 Juegos probabil´ ısticos 37 C´ alculo de probabilidades mediante la regla de Laplace y otras t´ ecnicas de recuento. Diagramas de ´ arbol sencillos y tablas. Regla del producto para contar casos. Utilizaci´ on de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos. Sucesos dependientes e independientes. 2.2.1. Caer al agua Es un juego sencillo, pero puede servir para introducir a los alumnos lo que es un juego probabil´ ıstico y cu´ al es el objetivo y la forma de trabajar con este tipo de actividades. Adem´ as, tambi´ en se ver´ a muy clara la diferencia de estos juegos probabil´ ısticos con los juegos de estrategia, aqu´ ı hay una posici´ on mejor que las dem´ as pero no nos asegura la victoria. Es un juego para dos jugadores, cada uno dispone de cinco fichas que debe colocar a su antojo en las casillas numeradas en las orillas. Los jugadores lanzan, alternativamente, un par de dados y su suma indica la casilla de la que hay que tomar una ficha (en el caso que la haya) y lanzarla al agua. Gana el primer jugador que consiga lanzar al agua todas sus fichas. Figura 2.13: Posible tablero de juego. 44 JUEGOS Con estas actividades, a mayores de los contenidos vistos en 1.3, se trabajan los siguientes contenidos del curr´ ıculo de secundaria. Figuras planas elementales: tri´ angulo, cuadrado, figuras poligonales. Figuras planas elementales: tri´ angulo, cuadrado, figuras poligonales. C´ alculo de ´ areas y per´ ımetros de figuras planas. C´ alculo de ´ areas por descomposici´ on en figuras simples. Tri´ angulos rect´ angulos. El teorema de Pit´ agoras. 2.4. Sudokus El Sudoku es un juego cl´ asico conocido por todo el mundo. Consiste en una cuadr´ ıcula, por ejemplo de 9×9, subdividida a su vez en cuadr´ ıculas m´ as peque˜ nas, por ejemplo de 3×3. El juego consiste en que en cada cuadr´ ıcula de 3×3 debes poner los n´ umeros del 1al 9, pero con la condici´ on de que si nos fijamos en la cuadr´ ıcula grande, no pueden aparecer n´ umeros repetidos en la misma fila o columna. En la cuadr´ ıcula grande hay varios n´ umeros puestos como parte del problema y hay que completar el resto de la cuadr´ ıcula. Este Sudoku tiene inter´ es matem´ atico por s´ ı mismo, permite trabajar el razonamiento en los alumnos. En esta secci´ on se va a hacer hincapi´ e en variantes del Sudoku con m´ as trasfondo matem´ atico. No obstante, a la hora de plantear esta actividad en el aula, es recomendable empezar con Sudokus cl´ asicos antes de entrar a las variantes m´ as complicadas. 2.4.1. Sudoku Killer La base es la misma que el Sudoku cl´ asico, empezamos con un un tablero 9×9 subdividido a su vez en cuadr´ ıculas de 3×3. El objetivo es completar todo el tablero con las condiciones del Sudoku cl´ asico. A estas reglas se le a˜ naden dos m´ as, que hacen que el juego sea mucho m´ as interesante matem´ aticamente hablando: 2.4 Sudokus 45 1. En las casillas rodeadas por l´ ıneas discontinuas tampoco se pueden repetir los n´ umeros. 2. La suma de los n´ umeros en el interior de las lineas discontinuas debe ser el n´ umero que aparece en la esquina. En la p´ agina web Killer Sudoku online [s.f] se pueden encontrar sudokus de este estilo de diferentes niveles. Por ejemplo: Figura 2.16: Ejemplo de partida. Con este juego es posible introducir varios conceptos matem´ aticos de forma natural ya que servir´ an para poder resolver el Sudoku Killer. Uno de estos conceptos es el de suma ´ unica: siguiendo el ejemplo de arriba, como solo se pueden poner n´ umeros del 1al 9, existen n´ umeros que solo se pueden descomponer como suma de otros de manera ´ unica. Por ejemplo, si dos n´ umeros deben sumar 3, estos deben ser 1y2. Otro concepto que se presta con este juego es el de la suma de los n primeros n´ umeros naturales. Este concepto puede surgir, por ejemplo, preguntando a nuestros alumnos cuanto debe sumar una fila o una columna sabiendo que tienen que estar los n´ umeros del 1al 9. Esta f´ ormula se puede explicar la forma en la que Gauss se di´ o cuenta. Es una an´ ecdota que, tras mi experiencia haciendo pr´ acticas en 46 JUEGOS ESTALMAT, le resulta curiosa a los alumnos. De esta manera, estamos volviendo a introducir la demostraci´ on en el aula de una manera natural y entretenida. 2.4.2. Ken-Ken El Ken-Ken es una versi´ on m´ as complicada del Sudoku Killer. La idea de este juego sigue siendo la misma que la del Sudoku original, pero a las reglas del Sudoku original se le a˜ naden la siguiente: los n´ umeros interiores a las zonas rodeadas deben cumplir la operaci´ on aritm´ etica marcada. La diferencia fundamental con el Sudoku Killer es que en este solamente hab´ ıa sumas, en cambio, en el Ken-Ken est´ an todas las operaciones. En la p´ agina oficial de este juego, KenKen Puzzle Official Site [s. f.], se pueden encontrar una gran variedad de estos puzzles. Por ejemplo: Figura 2.17: Ejemplo de partida. Una posible actividad en el aula ser´ ıa que cada alumno crease un Sudoku killer o un Ken-Ken para luego intercambi´ arselos y resolverlos. De esta manera, estaremos proponiendo actividades de los diferentes niveles de demanda cognitiva de acuerdo con la clasificaci´ on de Smith & Stein [1998]. 2.5 Grafos 47 Con estos juegos, a mayores de los contenidos del primer bloque analizados en 1.3, se pueden trabajar los siguientes contenidos del curr´ ıculo de secundaria. N´ umeros naturales. Sistema de numeraci´ on decimal. Divisibilidad de los n´ umeros naturales. Criterios de divisibilidad. N´ umeros primos y compuestos. Descomposici´ on de un n´ umero en factores primos. C´ alculo mental para descomponer factorialmente n´ umeros peque˜ nos. Elaboraci´ on y utilizaci´ on de estrategias para el c´ alculo mental. 2.5. Grafos En esta secci´ on se presentar´ an varios juegos cuya soluci´ on est´ a relacionada con teor´ ıa de grafos. Aunque exista esta relaci´ on, a la hora de resolver estos juegos en el aula no es necesario hablar de teor´ ıa de grafos. Para resolver estos juegos tampoco es necesario tener ning´ un conocimiento previo sobre dicha teor´ ıa. De hecho, en esta secci´ on se van a mostrar tres juegos con dificultad creciente, de modo que si se sigue el orden, los razonamientos necesarios para los juegos m´ as dif´ ıciles se adquieren en los juegos previos. 2.5.1. El problema de los siete puentes El problema es el siguiente: una ciudad est´ a atravesa por un r´ ıo, divi´ endola en cuatro regiones: A, B, C y D. Para que las personas de la ciudad se puedan mover libremente, se han construido siete puentes conectando las cuatro regiones. La pregunta que se hace es la siguiente: comenzando en una de las cuatro regiones y pasando una ´ unica vez por cada uno de los puentes, ¿se pueden visitar todas las regiones de la ciudad y regresar a la de partida? 48 JUEGOS Figura 2.18: Representaci´ on gr´ afica del enunciado. La clave para resolver este problema es darse cuenta que en las regiones intermedias del recorrido es necesario que haya un n´ umero par de puentes. La raz´ on de esto es la siguiente: si llegamos a una regi´ on por un puente, tendremos que salir de ella por otro puente diferente. Por tanto, cada vez que pasemos por una regi´ on, tendremos que usar dos puentes diferentes. Las ´ unicas regiones que pueden tener un n´ umero impar de puentes son las de partida y las de llegada ya que son las ´ unicas de las que no tenemos que entrar y salir obligatoriamente. Sin embargo, como queremos que el punto de partida y de llegada sea el mismo, tambi´ en obliga a que tenga un n´ umero par de puentes. En nuestro caso esto no ocurre: en la regi´ on A salen cinco puentes y en las dem´ as tres. Por tanto, la soluci´ on del problema es que es imposible hacer un recorrido con esas caracter´ ısticas. 2.5.2. ¿Eres capaz de dibujarlo sin levantar el l´ apiz? Un juego cl´ asico es el de conseguir dibujar una casita con una cruz sin levantar el l´ apiz. Es un juego que todos los alumnos lo conocen. La siguiente actividad pretende relacionar este tipo de juegos con los conceptos aprendidos en la actividad 2.5 Grafos 49 anterior: nos permitir´ a saber si podemos dibujar una figura sin levantar el l´ apiz o no. De las cuatro figuras siguientes, ¿cu´ ales se pueden dibujar sin levantar el l´ apiz y recorriendo cada una de las aristas una ´ unica vez? Figura 2.19: Figuras del enunciado. Como en la actividad anterior, la figura se podr´ a dibujar sin levantar el l´ apiz siempre y cuando de cada v´ ertice (entendido como los puntos de intersecci´ on de l´ ıneas) salgan un n´ umero par de aristas (entendidas como l´ ıneas que unen v´ ertices), excepto del v´ ertice de origen y de llegada, que se puede permitir que haya un n´ umero impar. En las dos figuras superiores, de cada v´ ertice salen un n´ umero par de aristas, luego s´ ı que es posible dibujarlas con las condiciones del enunciado. En cambio, en las dos figuras inferiores hay m´ as de dos v´ ertices de los cuales salen un n´ umero impar de aristas, de hecho, en la circular de todos los v´ ertices salen un n´ umero impar de aristas, luego en las dos inferiores no es posible dibujarlas con las condiciones del enunciado. 50 JUEGOS 2.5.3. Personas que se conocen Este problema, aunque no sea un juego, permite ver una aplicaci´ on bastante sorprendente de los dos juegos anteriores. Adem´ as, este problema tambi´ en servir´ a para acercar la demostraci´ on a los alumnos. Se plantea lo siguiente: probar que en una reuni´ on de seis personas siempre hay tres que se conocen entre s´ ı o tres que no se conocen entre s´ ı. Este problema es un conocido resultado de teor´ ıa de grafos. Para resolver este problema vamos a hacer uso del principio del palomar: si un conjunto Pde pelementos se divide en una familia Nde nsubconjuntos disjuntos, y p>n, entonces hay al menos un conjunto de Nque contiene al menos dos elementos de P. Si p > nq, entonces hay al menos un subconjunto de Nque contiene al menos q+ 1 elementos de P. Para formular este principio a nuestros alumnos podemos formul´ arselo de la forma cl´ asica, de este modo tambi´ en entender´ an el por qu´ e del nombre: si queremos distribuir npalomas entre mpalomares, si n>m, es decir, hay m´ as palomas que palomares, entonces al menos hay un palomar con dos palomas. Volviendo al problema que nos ocupa, elegimos una persona Pdel conjunto de las seis personas. A las cinco personas restantes las dividimos en dos conjuntos: C1={personas que conocen a P}y C2={personas que no conocen a P}. Aplicando el principio del palomar, como queremos dividir cinco personas en dos grupos, al menos uno de ellos debe tener tres personas. Supongamos que esas tres personas est´ an en C1, si est´ an en C2el razonamiento es an´ alogo. Pueden ocurrir tres casos: 1. Las tres personas no se conocen entre s´ ı. En este caso ya tenemos el problema resuelto. 2. Dos de las tres personas se conocen entre s´ ı. Como estas dos personas a su 2.5 Grafos 51 vez conocen a P, ya tenemos el problema resuelto. 3. Las tres personas se conocen entre s´ ı. Tambi´ en tenemos el problema resuelto. Este problema se puede formular en t´ erminos de teor´ ıa de grafos y se llama el teorema de la amistad, una versi´ on particular del teorema de Ramsey. Un grafo completo de nv´ ertices, denotado Kn, es un grafo con nv´ ertices y cada v´ ertice est´ a unido a los dem´ as mediante una arista. Si coloreamos la arista de rojo, implicar´ a que los dos v´ ertices (entendidos como personas) no se conocen, en cambio, si la arista es de color azul, significar´ a que s´ ı se conocen. En t´ erminos de teor´ ıa de grafos, el resultado es el siguiente: independientemente de como se hayan coloreado las aristas de K6, no se puede evitar que se forme un tri´ angulo rojo o un tri´ angulo azul. La demostraci´ on en t´ erminos de grafos se puede hacer de la siguiente manera. Fijamos un v´ ertice de K6,P. Del v´ ertice Psalen 5aristas que, en virtud del principio del palomar, al menos 3tienen que ser del mismo color, digamos rojas. Y denotaremos por A, B yClos otros v´ ertices extremos de estas tres aristas. Figura 2.20: Caso particular de la demostraci´ on. Si alguna de las aristas AB, BC oAC es del mismo color, es decir, rojas, 52 JUEGOS entonces el tri´ angulo que se forma con el v´ ertice Pya es de un solo color, rojo en nuestro caso. En cambio, si todas las aristas AB, BC oAC son de color distinto, es decir, azul, tambi´ en formamos el tri´ angulo ABC, que es de un solo color, azul en nuestro caso. Figura 2.21: Caso particular de la demostraci´ on. Para terminar este apartado se puede explicar que esto no ocurre en un grupo de 8personas, no tiene que ocurrir que necesariamente haya cuatro que se conozcan entre s´ ı o cuatro que no se conozcan entre s´ ı. Para que esto ocurriese, en uno de los grafos siguientes deber´ ıa aparecer un cuadril´ atero con sus dos diagonales dibujadas, cosa que no ocurre. Figura 2.22: Contraejemplo con ocho personas. Cap´ ıtulo 3 Juegos con recursos TIC En este cap´ ıtulo se pretende mostrar algunos juegos matem´ aticos, siguiendo la l´ ınea de los anteriores, con recursos TIC. En el cap´ ıtulo 2 ya se han visto algunos recursos online. Por ejemplo, para el juego del Nim 2.1.8, hemos visto que con la plataforma GeoGebra, en particular en Losada Liste [s.f] c´ omo se pod´ ıa pr´ acticar el Nim de manera online. Hay innumerables recursos digitales para poder trabajar los juegos vistos en el cap´ ıtulo 2, sin embargo, en este cap´ ıtulo nos vamos a centrar en otro tipo de juegos. Estos juegos no ser´ an un recurso digital para apoyar la explicaci´ on de otro juego, sino que ser´ an juegos totalmente asociados al mundo de las TIC. 3.1. Wordle y Nerdle EL Wordle,Wardle [s.f], es un juego online que se ha hecho popular recientemente. El juego consiste en lo siguiente: cada d´ ıa tenemos que adivinar una palabra diferente en seis intentos. Para adivnar la palabra debemos de ir probando palabras con la longitud adecuada. Si probamos una palabra nos van a marcar tres tipos diferentes de letras: si la letra de la palabra aparece en gris, significa que esa letra no forma parte de la palabra que buscamos; si la letra est´ a en amarillo, significa que esa letra pertence a la palabra que buscamos pero no est´ a en esa posici´ on; por 53 60 JUEGOS CON RECURSOS TIC mos una gran cantidad de recuros manipualtivos. Por ejemplo, tenemos regletas, pol´ ıgonos, pentomin´ os, el tangram, fichas con expresiones algebraicas, balanzas para trabajar ecuaciones, etc. Todos estos recursos se pueden utilizar para guiar a los alumnos con el material manipulativo o, en caso de no disponer de dicho material, se pueden plantear actividades en la sala de inform´ atica para que los alumnos trabajen con recursos manipulativos de manera online. A mayores de esta herramienta, esta p´ agina cuenta con una gran cantidad de cursos muy interesantes sobre diversos temas relacionados con matem´ aticas. Por ejemplo, geometr´ ıa eucl´ ıdea, simetr´ ıas, trigonometr´ ıa, sucesiones, etc. Todos estos cursos est´ an explicados de manera entretenida para hacerlo llamativo ante los ojos de los estudiantes. Por ´ ultimo, el motivo por el que se incluye esta p´ agina web en este trabajo es porque tiene una gran cantidad de juegos para poder poner en pr´ actica muchos contenidos del curr´ ıculo. Por ejemplo, en esta p´ agina est´ a implementado el famoso juego de mesa The Genius Star. Este juego consiste en tener que rellenar una estrella con unas piezas de diferentes tama˜ nos, habiendo bloqueado unas casillas en funci´ on de los resultados de unos dados. Con este juego se puede trabajar de una manera divertida la visi´ on espacial. Tambi´ en hay implementados juegos para trabajar fracciones, coordenadas cartesianas, geometr´ ıa, etc. A mayores de todos estos juegos, en la p´ agina tambi´ en hay actividades l´ udicas que se pueden llevar al aula. Por ejemplo, en una de estas actividades, nos ense˜ nan a crear los s´ olidos plat´ onicos y arquimedianos con origami, explicando cu´ ales son los dobleces que hay que realizar y dando la opci´ on de descargar plantilla, en el caso que se necesite. Otra actividad est´ a preparada para poder crear una gymkana matem´ atica en el instituto con la tem´ atica de b´ usqueda del tesoro. En esta gymkana hay juegos de criptograf´ ıa, teor´ ıa de grafos, juegos combinatorios, etc. En resumen, Mathigon es una p´ agina web con una gran cantidad de recursos 3.3 Mathigon 61 digitales que se pueden usar en aula, nos permite usar materiales manipulativos de manera online en el caso de que no tengamos el material en f´ ısico y, por ´ ultimo, tiene una gran cantidad de juegos matem´ aticos con los que trabajar contenidos del curr´ ıculo de manera divertida. 62 JUEGOS CON RECURSOS TIC Cap´ ıtulo 4 Experiencia en el Grupo de Innovaci´ on Docente de la UVa “Dinamizaci´ on de la Comunidad Matem´ atica en el Entorno de la UVa” Este proyecto tiene varias iniciativas activas. La primera es la mejora de los estudios mediante la integraci´ on de los alumnos del grado en matem´ aticas a trav´ es de un programa de tutores personalizado. La otra iniciativa es la de conseguir una coordinaci´ on con profesores de secundaria y egresados de matem´ aticas. El objetivo que persiguen estas iniciativas es com´ un: dar visibilidad a las matem´ aticas en el entorno de la UVa y conseguir una mejora docente, tanto en los centros de educaci´ on secundaria como en la universidad. Dentro de este programa se ofrecen conferencias de diversos temas, todos ellos relacionados con las matem´ aticas, para que los centros de educaci´ on secundaria 63 64 EXPERIENCIA EN DINAMAT puedan solicitarlas. Mi contribucci´ on en este grupo es ofertar una de estas conferencias. La conferencia que yo oferto trata sobre Juegos de estrategia y ya es el segundo a˜ no que se ofrece. En este cap´ ıtulo se explicar´ a cu´ al es la experiencia personal en el uso de estos juegos en el aula. Las conferencias tienen una duraci´ on de una sesi´ on, una hora aproximadamente. Los alumnos a los que va dirigida son alumnos de educaci´ on secundaria, de segundo a cuarto de la ESO. Debido a la corta duraci´ on, la conferencia suele consistir en lo siguiente: una breve introducci´ on sobre lo que son los juegos de estrategia y los siguientes juegos: el quitafichas,la margarita yc´ ırculos y cuadrados . No obstante, esto var´ ıa dependiendo de la edad y el grupo de alumnos, en ocasiones no se consigue llegar a todos estos juegos pero, en cambio, en otras ocasiones da tiempo a dejar planteado alg´ un juego m´ as. En esta ´ ultima situaci´ on, el juego que se plantea es fichas en cuadrado. Figura 4.1: Juego c´ ırculos y cuadrados en una conferencia. 65 Los criterios para haber seleccionado estos juegos son la dificultad y, sobretodo, la variedad. Con estos tres juegos se pueden ense˜ nar tres estrategias diferentes a la hora de afrontar un juego, o como se ha visto en este trabajo, como poder afrontar un problema matem´ atico, gracias a la gran relaci´ on que guardan. Con el quitafichas los alumnos aprenden la estrategia de empezar el problema por el final, con la margarita los alumnos aprenden el uso de las simetr´ ıas y con c´ ırculos y cuadrados los alumnos relacionan elementos de la vida cotidiana con las matem´ aticas, a la vez que se pone un ejemplo de juego en el que solo importan las condiciones iniciales. La metodolog´ ıa que se usa en esta conferencia es la de aprendizaje basado en problemas. Los alumnos est´ an sentados por parejas, debido a que los juegos son para dos jugadores y de esta manera se fomenta el aprendizaje colaborativo. En un primer momento se le explica al alumno el juego, las reglas y c´ omo se gana. Se deja tiempo para que los alumnos jueguen y vayan descubriendo, de forma aut´ onoma las estrategias ganadoras. La estrategia ganadora no se descubre de repente, se necesitan varios pasos previos en los razonamientos, como hemos visto en el cap´ ıtulo 2. Una vez la mayor´ ıa de los alumnos han conseguido descubrir uno de estos pasos, se le explica a toda la clase cu´ al es este paso y cu´ al ha sido el razonamiento que se ha seguido para llegar a ´ el. De esta forma se pretende que ning´ un alumno se pierda en la sesi´ on y todos puedan participar. El rol del docente en esta conferencia es el de gu´ ıa del aprendizaje. Una vez se han explicado los juegos, el docente se acerca a las parejas, resolvi´ endo las dudas que les puedan surgir y refutando o avalando los razonamientos de los alumnos. La forma en la que se refutan los argumentos de los alumnos es mediante retos. La raz´ on es que el alumno sabe que si ha llegado a la estrategia ganadora deber´ ıa ganar. En el caso de que su estrategia no sea la correcta, el docente conseguir´ a ganar al alumno, haciendo que se de cuenta por s´ ı mismo de que su razonamiento es incorrecto. 66 EXPERIENCIA EN DINAMAT Otra ventaja de que el docente use los retos con los alumnos es que aumenta la motivaci´ on del alumno y fomenta el trabajo en equipo. En un primer momento, los alumnos que componen una pareja se ven como rivales. Tras los primeros retos del docente, la pareja se convierte en un equipo cuyo objetivo es vencer al docente. Notar que este objetivo siempre es muy motivador para los alumnos. Adem´ as, llegados a este punto, nosotros como docentes ya hemos conseguido nuestro objetivo: para que los alumnos consigan vencernos necesitan llegar a razonar la estrategia ganadora. Todo esto hace que los alumnos est´ en motivados y muestren mucho inter´ es por estos juegos. De hecho, es com´ un ver alumnos reticentes al inicio de la sesi´ on y al terminar, se acercan y piden alg´ un juego para poder hacerlo en casa o hacen comentarios como: “prep´ arate, la pr´ oxima vez que vengas te pienso ganar en todo”. Tambi´ en es usual encontrar alumnos desmotivados con las matem´ aticas, estos alumnos al comienzo de la conferencia se muestran desanimados y est´ an totalmente seguros de que no van a conseguir hacer nada. En numerosas ocasiones, estos alumnos son los que mejor resuelven los juegos. Al final de la sesi´ on estos alumnos tienen mucha m´ as confianza en si mismos, consiguiendo romper, aunque sea por un momento, la ansiedad matem´ atica que sufren. Dependiendo del grupo y de la edad de los alumnos a veces es necesario dar pistas o guiar a los alumnos en el camino a seguir. Las pistas m´ as comunes son las siguientes: Al retar a los alumnos, estos ven la forma en la que juega el docente, lo que les ayuda a pensar cu´ al es la estrategia que se esta siguiendo. Esta pista sirve para todos los juegos. En el quitafichas lo com´ un es que los alumnos descubran r´ apidamente que si dejas al rival con tres fichas has ganado, en la modalidad de que gana el que se lleva la ´ ultima. En este punto muchos alumnos se atascan y no saben 67 continuar el problema. La pista que se da es hacer ver a los alumnos que lo han hecho es razonar por el final y que deben seguir haci´ endolo, ¿cu´ al es el paso previo a dejar tres fichas? ¿cu´ antas fichas tienes que tener en t´ u turno para poder dejar tres?. En la margarita los alumnos descubren que la idea es dejar al rival con p´ etalos separados, aunque no saben c´ omo hacerlo. La pista consiste en hacer ver a los alumnos que si dejan al rival una margarita sim´ etrica en casos sencillos has ganado, por ejemplo, dos p´ etalos separados, cuatro p´ etalos separados, etc. Tras esto, se les dice que si dejas al rival una margarita sim´ etrica con cuatro p´ etalos juntos a cada lado has ganado y se le pide descubrir c´ omo se tiene que jugar para ganar en esta situaci´ on. En c´ ırculos y cuadrados la pista que se les da es la identificaci´ on que se di´ o: el c´ ırculo como signo positivo y el cuadrado como signo negativo. Cada alumno, o pareja de alumnos, siguen unas l´ ıneas de razonamiento diferentes. Si analizamos los errores que cometen los alumnos, vemos que muchos de estos errores se repiten en muchos de los grupos, independientemente de la edad. Lo interesante es analizar el por qu´ e de estos errores, intentando averiguar cu´ al es la causa que los provocan. Algunos de ellos son los siguientes: En el quitafichas en la modalidad de que gana el jugador que se lleva la ´ ultima ficha, es com´ un que las primeras soluciones que proponen los alumnos sean del estilo: “hay que dejar impares al rival”. Al preguntarles por qu´ e opinan esto, el argumento principal es porque ya han descubierto que si dejas tres fichas al rival, ganas. El error que se comete es pasar directamente a la generalizaci´ on: como tres es impar, hay que conseguir dejar impares. Una forma para hacer ver a los alumnos que este razonamiento es err´ oneo es la siguiente: si a mi me dejas cinco fichas, quito dos y te dejo a ti con tres y, como me acabas de decir, has perdido. 68 EXPERIENCIA EN DINAMAT Tambi´ en en el quitafichas es com´ un ver que a los alumnos se le ocurren estrategias como hacer lo mismo o lo contrario que el rival. Realmente en el ejemplo de diez fichas y poder quitar una o dos, esto no est´ a tan lejos de la soluci´ on. Quitando el primer movimiento, el resto del juego se puede entender as´ ı. Para hacer ver a los alumnos que estos razonamientos son err´ oneos, se les puede retar y comenzar nosotros, en este punto, ya vimos en 2.1.1 que siempre gan´ abamos, independientemente si hacen lo mismo o lo contrario que nosotros. Esto sirve si gana el que se lleva la ´ ultima, en la otra modalidad simplemente tenemos que dejar empezar a los alumnos. El juego de la margarita se plantea despu´ es del quitafichas, lo que provoca el siguiente error. En ambos juegos hay que quitar p´ etalos o fichas con el objetivo de quitar la ´ ultima. Es com´ un comentarios como: “pues lo mismo pero con once p´ etalos en vez de diez”. La forma de que los alumnos entiendan la diferencia es con el siguiente ejemplo: en el quitafichas, si quedan dos fichas siempre las puedes coger y ganar. En cambio, en la margarita si quedan dos p´ etalos separados, solamente puedes coger uno y el rival se llevar´ a el ´ ultimo, ganando. De esta manera, a mayores de estar corrigiendo ese error, estamos haciendo ver a los alumnos la importancia de tener p´ etalos juntos o separados. Otro error com´ un en la margarita, una vez que los alumnos han descubierto que la clave es intentar dejar p´ etalos separados, es que la estrategia ganadora es la siguiente: cuando el rival quite alg´ un p´ etalo, dejas un p´ etalo separado sin quitar y quitas p´ etalos ah´ ı. Como se puede ver, la idea est´ a bien encaminada: dejar p´ etalos separados. La forma de explicarles que esta estrategia no funciona es que aunque tu dejes un p´ etalo en medio sin quitar, ¿qu´ e ocurre si el rival quita ese p´ etalo?. En c´ ırculos y cuadrados los errores vienen de que el ganador del juego solamente depende de las condiciones iniciales, entonces, cualquier estrategia 69 que se les ocurra a los alumnos funciona si no cambian las condiciones iniciales. Por ejemplo, alguna de estas estrategias es: quitar todos los cuadrados al principio, quitar siempre figuras iguales, etc. La forma de hacer ver que estas estrategias no funcionan es simple, si el alumno quiere empezar, creas una configuraci´ on de juego que siempre gane el segundo y viceversa. Figura 4.2: Hojas de alumnos tras una sesi´ on. Por ´ ultimo, aunque no est´ e relacionado con estas conferencias, en el periodo de pr´ acticas del m´ aster, se hicieron actividades con Wordle y Nerdle, vistos en 3.1. Estas actividades se plantearon en d´ ıas se˜ nalados en los que faltaban muchos alumnos por diversas razones. Se planteaban como una competici´ on en la que se jugaban en todas las modalidades de Wordle y en varias del Nerdle. En la pizarra digital del aula se proyectaba una hoja de c´ alculo con las puntuaciones de los alumnos en tiempo real. De esta manera, hacemos ver a los alumnos la utilidad que pueden