Scratch para fomentar el razonamiento matemático

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID DPTO. ÁLGEBRA, ANÁLISIS MATEMÁTICO, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA. SCRATCH para fomentar el razonamiento matemático Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Pablo Martín San José Tutor: Philippe Thierry Giménez Martín Valladolid, Junio de 2022 ´ Indice general Introducci´on 1 1. El programa Scratch 5 1.1. Historia .................................. 5 1.2. Funcionamiento.............................. 7 1.2.1. Eleditor.............................. 7 1.2.2. Losbloques ............................ 10 1.2.3. Compartir nuestros proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Posibilidades ............................... 18 2. Scratch en el ´ambito educativo 21 2.1. Scratch como herramienta did´actica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Scratch en la Did´actica de la Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Contribuci´on a las competencias clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Actividades basadas en Scratch para la ESO 31 3.1. Actividad 1: Los cofres de Porcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Contenidos ............................ 32 3.1.2. El proyecto de Scratch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3. Planteamiento........................... 43 3.1.4. Metodolog´ıa............................ 44 3.1.5. Temporalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.6. Evaluaci´on............................. 45 3.2. Actividad 2: Geometr´ıa con Scratch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1. Contenidos ............................ 47 i ii ´ INDICE GENERAL 3.2.2. El proyecto de Scratch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3. Planteamiento........................... 54 3.2.4. Metodolog´ıa............................ 55 3.2.5. Temporalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.6. Evaluaci´on............................. 57 3.3. Actividad 3: N´umeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1. Contenidos ............................ 58 3.3.2. El proyecto de Scratch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3. Planteamiento........................... 64 3.3.4. Metodolog´ıa............................ 64 3.3.5. Temporalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.6. Evaluaci´on............................. 68 4. Conclusiones 69 Bibliograf´ıa 71 Introducci´on Las matem´aticas son una disciplina centrada en la deducci´on y el razonamiento sobre temas abstractos. Una manera pr´actica de acercarnos a esto es la programaci´on inform´atica. En este trabajo proponemos distintas formas de hacerlo a un nivel de la ESO, utilizando para ello Scratch como herramienta did´actica. Veremos actividades centradas en varios cursos de la ESO, y aplicadas a la geometr´ıa, a la aritm´etica de los n´umeros enteros, y al m´as puro razonamiento presente en la l´ogica proposicional, tratando siempre de hacerlo de una manera que sea accesible y motivante para los alumnos. No es nada nuevo que para muchos alumnos las matem´aticas no son m´as que una asignatura aburrida, y que adem´as no entienden, lo cual hace que les guste a´un menos. Esto provoca una retroalimentaci´on negativa, puesto que cuanto menor sea la motivaci´on de un alumno en una materia, menor empe˜no pondr´a en aprenderla y mayor ser´a la frustraci´on ante posibles resultados negativos, lo cual disminuye a´un m´as la motivaci´on por la materia. Es posible que esto se deba al car´acter “mec´anico” que tienen las matem´aticas que se ven en la ESO, centradas en la repetici´on de algoritmos de c´alculo cuya ´unica aplicaci´on, en muchos casos, es el de poder realizar nuevos algoritmos de c´alculo a partir de ellos. Una soluci´on posible a este problema podr´ıa ser acercar a los estudiantes a las matem´aticas “de verdad”, al razonamiento matem´atico, una habilidad que no solo es ´util en matem´aticas, sino en otros muchos aspectos tanto de la vida acad´emica como profesional y personal de los alumnos. Para conseguir este objetivo, tratamos de fomentar el razonamiento matem´atico en 1 2INTRODUCCI ´ ON la ESO mediante Scratch, una herramienta did´actica dirigida a ni˜nos de entre 8 y 16 a˜nos que pretende ser una manera sencilla y accesible de acercar a los alumnos a la programaci´on, disponiendo de un entorno en el que pueden desarrollar tanto su creatividad como su capacidad anal´ıtica. En el primer cap´ıtulo hablaremos sobre Scratch en general, tratando desde su historia y la filosof´ıa de sus creadores, hasta el funcionamiento del programa en s´ı y las posibilidades que ofrece. En el segundo cap´ıtulo tratamos m´as en concreto el uso de Scratch en el ´ambito educativo, estudiando investigaciones que se han hecho al respecto. Primero hablaremos sobre Scratch como una herramienta did´actica general, en distintas ´areas de la educaci´on. Despu´es nos centramos en nuestro ´area particular, hablando de la importancia de Scratch en la Did´actica de la Matem´atica. Por ´ultimo, discutiremos la contribuci´on de Scratch como herramienta did´actica a las competencias clave establecidas en el Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenaci´on y las ense˜nanzas m´ınimas de la Educaci´on Secundaria Obligatoria. El tercer cap´ıtulo es d´onde se sit´ua el grueso del TFM. En ´el desarrollamos tres actividades distintas centradas en Scratch dise˜nadas para fomentar el razonamiento matem´atico. La primera est´a planteada en cuarto de la ESO (en la asignatura de Matem´aticas Orientadas a las Ense˜nanzas Acad´emicas), y consiste en la resoluci´on de una serie de acertijos l´ogicos, para los que los alumnos tendr´an que inferir conclusiones a partir de unas hip´otesis que reciben. La segunda es una actividad para primero de la ESO en la que los alumnos deben dibujar ciertas figuras geom´etricas en Scratch, para estudiar algunas de sus propiedades. En la tercera y ´ultima actividad, destinada a una clase de segundo de ESO, los estudiantes se enfrentan a un reto de programaci´on: escribir un algoritmo (en Scratch, por supuesto) que permita comprobar si un n´umero natural dado es primo o no. INTRODUCCI ´ ON 3 Por ´ultimo, en el cuarto cap´ıtulo reflexionamos sobre las conclusiones del trabajo, discutiendo si creemos que se trata de una buena herramienta did´actica para fomentar el razonamiento matem´atico en la ESO o no. En la elaboraci´on de este trabajo hemos juntado los distintos conocimientos aprendidos en las asignaturas cursadas a lo largo del a˜no de M´aster, especialmente en aquellas pertenecientes al m´odulo espec´ıfico. Destacamos, entre estas, las asignaturas de “Did´actica de la Matem´atica”, “Dise˜no Curricular en Matem´aticas” y “Metodolog´ıa y Evaluaci´on en Matem´aticas”, que constituyen el n´ucleo a partir del cual hemos dise˜nado las actividades del tercer cap´ıtulo. 4INTRODUCCI ´ ON Cap´ıtulo 1 El programa Scratch 1.1. Historia Scratch es un lenguaje de programaci´on dise˜nado como una herramienta dirigida a ni˜nos de entre 8 y 16 a˜nos que permite crear una gran variedad de animaciones, juegos, historias interactivas y algoritmos de una manera extremadamente sencilla. El programa inicia su desarrollo en el a˜no 2003 por el grupo “Lifelong Kindergarten”del Media Lab del MIT, con la idea de crear un recurso educativo con las caracter´ısticas descritas, puesto que por aquel entonces no hab´ıa ninguna herramienta que tuviera estas posibilidades y fuera accesible. La primera versi´on que fue lanzada al p´ublico vio la luz en 2007 y, aunque era un programa con muchas menos caracter´ısticas que la versi´on actual, tuvo bastante ´exito y poco a poco fue aumentando su popularidad, as´ı como las caracter´ısticas de la aplicaci´on y la p´agina web. El 9 de mayo de 2013 Scratch recibi´o una importante actualizaci´on, y la versi´on 2.0 fue lanzada, incluyendo por primera vez un editor online, y una interfaz de usuario completamente nueva. Para entonces, Scratch ya ten´ıa millones de usuarios, pero sigui´o creciendo hasta alcanzar los 30 millones de usuarios en 2018. La ´ultima gran actualizaci´on que ha recibido es la versi´on 3.0, lanzada el 2 de enero de 2019. El lema de Scratch es “Imagina, Programa, Comparte”, y nos da una clara idea sobre la filosof´ıa de sus creadores: el objetivo es que los usuarios de Scratch compartan sus proyectos en la p´agina web para que puedan ser utilizados y modificados (“rein- 5 12 CAP´ ITULO 1. EL PROGRAMA SCRATCH La categor´ıa de movimiento aparece asociada a todos los objetos salvo al escenario, y nos permite cambiar la posici´on y orientaci´on de los mismos. Podemos observar que en los tres ´ultimos bloques (las c´apsulas relativas a posici´on en x, posici´on en y, y direcci´on) hay una casilla. Si la seleccionamos, el valor de esa variable se mostrar´a en el escenario en todo momento. 2. Apariencia: Los bloques de la secci´on de apariencia permiten que los objetos tengan cuadros de di´alogo con mensajes de texto, que cambien su aspecto y tama˜no, y tambi´en decidir si se muestran o no, y en cual de las capas. En caso de que dos objetos se solapen, el que este en la capa de m´as adelante ser´a el que prevalezca. 1.2. FUNCIONAMIENTO 13 3. Sonido: En la categor´ıa de “Sonido” encontramos bloques que reproducen (o detienen la reproducci´on de) sonidos asociados a un objeto, o que nos permiten poner efectos a los sonidos: mayor o menor volumen, y mayor o menor frecuencia. 4. Eventos: La categor´ıa “Eventos” es de las m´as importantes. En ella se encuentran casi 14 CAP´ ITULO 1. EL PROGRAMA SCRATCH todos los bloques que inician algoritmos, as´ı como los bloques que permiten que los objetos se comuniquen entre s´ı: los referentes a los mensajes. Cuando un objeto env´ıa un mensaje, cualquier otro objeto puede iniciar un algoritmo en consecuencia. 5. Control: Desde el punto de vista de la programaci´on, la categor´ıa de control tambi´en es imprescindible, pues contiene bloques que permiten realizar bucles y condicionales. Tambi´en contiene a los ´unicos dos bloques que pueden finalizar un algoritmo. Sobre los bloques relativos a los clones, mencionaremos que lo que hacen es crear un objeto de aspecto id´entico al que contiene al algoritmo, y que mediante los bloques de esta categor´ıa le podemos asociar otro comportamiento distinto al objeto original (o el mismo). 1.2. FUNCIONAMIENTO 15 6. Sensores: Esta categor´ıa incluye una gran variedad de condiciones booleanas, as´ı como maneras de registrar distintas entradas por parte del usuario. 7. Operadores: Los operadores son muy ´utiles desde el punto de vista matem´atico, y Scratch 16 CAP´ ITULO 1. EL PROGRAMA SCRATCH incluye una gran variedad de funciones conocidas implementadas, lo cual es ´util para poder programar algunos algoritmos de manera sencilla. 8. Variables: En esta categor´ıa podemos definir nuevas variables y modificar sus valores. Hay dos tipos de variables: las que pueden tomar un valor num´erico o de cadena de caracteres y las listas. Las listas son muy vers´atiles: incluyen una cantidad finita de elementos de cualquier tipo de manera ordenada, y podemos acceder a estos elementos mediante su posici´on y el nombre de la lista. Constituyen una implementaci´on sencilla e intuitiva de los vectores que est´an presentes en algunos lenguajes de programaci´on como C o Matlab. 9. Mis bloques: Esta categor´ıa esta vac´ıa por defecto, pero nos permite crear bloques personalizados, que se correspondan a algoritmos creados por nosotros, y de esa manera podremos insertar trozos de c´odigo que se repitan de una manera limpia, as´ı como mantener los programas m´as compactos. Este es un ejemplo de un bloque personalizado, que sirve para inicializar la posici´on, orientaci´on y tama˜no de un objeto de manera c´omoda: 1.2. FUNCIONAMIENTO 17 Despu´es de definir este bloque personalizado, podemos insertar el bloque “Inicio”donde queramos para realizar esa secuencia de acciones, sin tener que insertar los 4 bloques correspondientes cada vez. 1.2.3. Compartir nuestros proyectos Desde la p´agina principal de Scratch tenemos acceso a la pesta˜na “explorar”, donde podemos encontrar todos los proyectos compartidos por la comunidad, y filtrarlos seg´un el g´enero, la popularidad que tengan, o la fecha en que se hayan publicado. Si estamos registrados en Scratch, nosotros tambi´en podremos compartir nuestros proyectos, como podemos ver aqu´ı: Podemos cambiar el nombre de nuestro proyecto, compartirlo, o visitar la p´agina web asociada a nuestro proyecto, donde todo el mundo puede consultar y “reinventar” nuestro c´odigo. Nosotros compartiremos todos los proyectos asociados a este TFM, para que as´ı cualquier docente que desee aprovecharlos para sus clases pueda hacerlo de manera sencilla. 18 CAP´ ITULO 1. EL PROGRAMA SCRATCH 1.3. Posibilidades No debemos dejar que la apariencia sencilla y funcionamiento por bloques de Scratch nos haga pensar que solo es una herramienta que ayuda a adolescentes a crear algunas animaciones, o historias interactivas y videojuegos. Scratch es un lenguaje de programaci´on de verdad, con la mayor´ıa de (si no todas) las caracter´ısticas de los lenguajes de programaci´on que se usan de manera profesional: bucles, condicionales, scripts, funciones, listas... Podr´ıamos decir que la ´unica diferencia real entre Scratch y otros lenguajes de programaci´on es la manera de escribir c´odigo. O, mejor dicho, el hecho de que en Scratch no escribimos el c´odigo, introducimos las instrucciones mediante los bloques. Esto no es algo negativo, desde luego, sino todo lo contrario, pues hace que mientras estamos teniendo nuestro primer contacto con la programaci´on podamos centrarnos solo en los algoritmos, dejando la sintaxis de lado. Esto es muy similar a la idea detr´as de los diagramas de flujo, que se utilizan para tener una idea de lo que debe hacer un programa, antes de escribirlo en un lenguaje real. De hecho, a modo de curiosidad, mencionamos que Scratch es un sistema Turing completo. Es decir, es capaz de simular a una m´aquina de Turing (un modelo matem´atico de un ordenador). Esto quiere decir que, te´oricamente, podemos programar cualquier algoritmo que pueda ejecutar un ordenador en Scratch. Aqu´ı tenemos, por ejemplo, una implementaci´on sencilla del algoritmo que comprueba si un n´umero es primo o no: 1.3. POSIBILIDADES 19 https://scratch.mit.edu/projects/699474244 M´as adelante utilizaremos este programa para una de nuestras actividades. 20 CAP´ ITULO 1. EL PROGRAMA SCRATCH Cap´ıtulo 2 Scratch en el ´ambito educativo 2.1. Scratch como herramienta did´actica Entendemos como herramienta did´actica un elemento, recurso o material que puede utilizar un docente para ense˜nar, favoreciendo el aprendizaje de los alumnos. Como veremos, hay diversos estudios que consideran que Scratch tiene muchos beneficios en la ense˜nanza, y es por eso que consideraremos que Scratch es una herramienta did´actica. Podemos encontrar ejemplos de aplicaciones de Scratch en la educaci´on desde practicamente sus or´ıgenes. Por ejemplo, Calder y Taylor (2010) tienen una investigaci´on en la que un grupo de 26 alumnos de sexto de primaria deben dise˜nar un juego de matem´aticas que ayude a sus compa˜neros de primero de primaria a entender los n´umeros. Encontraron que Scratch proporciona un ambiente de programaci´on motivante para explorar algunas ideas matem´aticas. L´opez-Escribano y S´anchez Montoya (2015) proporcionan varios ejemplos de uso de Scratch en alumnos con necesidades educativas especiales, e insisten sobre las ventajas de su utilizaci´on, puesto que es una experiencia l´udica y divertida, beneficiosa para todos los alumnos. Sobre las habilidades que se desarrollan en los alumnos mediante el uso de Scratch podemos destacar la creatividad, lo cual es de esperar, puesto que crear un proyec- to de Scratch involucra una amplia variedad de decisiones de dise˜no, que pueden 21 28 CAP´ ITULO 2. SCRATCH EN EL ´ AMBITO EDUCATIVO Es evidente que las actividades que se presentar´an en este TFM est´an pensadas, principalmente, para fortalecer la competencia matem´atica, como indica el t´ıtulo del mismo. Se intentar´a que los alumnos desarrollen su capacidad anal´ıtica: para resolver un problema de matem´aticas hay que tener una visi´on global de este, y realizar procesos inductivos y deductivos para conocer nueva informaci´on a partir de las hip´otesis hasta llegar a la soluci´on. En todo este proceso es crucial la competencia matem´atica. 4. Competencia digital: Al ser Scratch una herramienta did´actica completamente basada en las Tecnolog´ıas de la Informaci´on y la Comunicaci´on, se trabaja constantemente la competencia digital. Los alumnos est´an en contacto con un software inform´atico en un entorno web, y deben familiarizarse con sus controles b´asicos: crear un nuevo proyecto, guardarlo en su cuenta personal, compartirlo con la comunidad, buscar y reinventar un proyecto que ya est´e hecho, etc. 5. Competencia personal, social y de aprender a aprender: Para conseguir potenciar esta competencia incentivaremos que los alumnos tengan un cierto nivel de trabajo personal a la hora de desarrollar los proyectos de Scratch por su cuenta. Con esto crearemos un h´abito y disciplina de trabajo, los alumnos ser´an capaces de reflexionar sobre su forma de trabajo, y adaptarla de la mejor manera posible a sus caracter´ısticas personales para obtener buenos resultados. 6. Competencia ciudadana: Fomentamos la competencia ciudadana en una clase de Secundaria en todo momento, realmente, porque los alumnos conviven entre s´ı, y con los profesores, por lo que frecuentemente se deben resolver conflictos que surjan, y trabajar por los intereses de todo el mundo. En nuestras actividades de Scratch, en concreto, se propondr´an metodolog´ıas colaborativas, en las que los alumnos deban cooperar y trabajar en grupo para conseguir sus objetivos, dando lugar a situaciones en las que se trabaje la competencia ciudadana. 7. Competencia emprendedora: Por un lado es fundamental que los alumnos sean 2.3. CONTRIBUCI ´ ON A LAS COMPETENCIAS CLAVE 29 capaces de tomar la iniciativa a la hora de resolver un problema de matem´aticas: tomar los recursos que tengan a mano y hacer el mejor uso posible de los mismos para dar con la soluci´on. Por otra parte, Scratch es un entorno muy orientado a colaborar con otros miembros de la comunidad, compartiendo proyectos, trabajando en conjunto con m´as usuarios, etc. Motivando a los alumnos a tener un cierto gusto por la comunidad de Scratch, estamos tambi´en incit´andolos a que participen en estos proyectos comunitarios: por ejemplo, un alumno realmente apasionado sobre Scratch podr´ıa crear su propio estudio y publicar regularmente sus proyectos personales. 8. Competencia en conciencia y expresi´on culturales: Para justificar la consecuci´on de esta competencia aludimos al hecho de que Scratch es un medio donde los alumnos pueden expresar su creatividad, por ejemplo mediante la creaci´on de historias, y conociendo las creaciones de otros usuarios. Es de esta manera, mediante el intercambio de elementos culturales, que los alumnos pueden conocer diversos contextos e ideas del resto de sus compa˜neros de clase, desarrollando as´ı “conciencia y expresi´on culturales”. 30 CAP´ ITULO 2. SCRATCH EN EL ´ AMBITO EDUCATIVO Cap´ıtulo 3 Actividades basadas en Scratch para la ESO Nos hemos adaptado al curr´ıculo de matem´aticas de la ESO que se presenta en la ORDEN EDU/362/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el curr´ıculo y se regula la implantaci´on, evaluaci´on y desarrollo de la educaci´on secundaria obligatoria en la Comunidad de Castilla y Le´on (2015), que aparece en el BOCyL n´um. 86, de 08/05/2015. 3.1. Actividad 1: Los cofres de Porcia Esta actividad es una adaptaci´on del quinto cap´ıtulo del libro de Smullyan (2008), un libro con m´as de 200 acertijos l´ogicos y problemas adecuados para todas las edades, que van desde simples razonamientos de una linea hasta las m´as profundas paradojas de la teor´ıa de conjuntos y la l´ogica matem´atica, explorando temas como la paradoja de Russell o el teorema de incompletitud de G¨odel. Este cap´ıtulo nos cuenta la historia de Porcia, un personaje de la obra “El mercader de Venecia”, de Shakeaspeare. En ella, los pretendientes de Porcia deb´ıan elegir entre tres cofres, uno de oro, uno de plata, y uno de plomo, en uno de los cuales se encontraba el retrato de Porcia. Si el pretendiente eleg´ıa el cofre correcto, pod´ıa casarse con Porcia. Raymond Smullyan le da un giro a este concepto, y propone algunos acertijos partiendo de la misma idea de los cofres, pero a˜nadiendo el hecho 31 32 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO de que cada cofre tiene una inscripci´on con informaci´on sobre d´onde se encuentra el retrato. Con estas inscripciones, junto con cierta informaci´on sobre la veracidad de las mismas (por ejemplo, una pista podr´ıa ser “Solo hay una inscripci´on verdadera”) se puede deducir donde se encuentra el retrato, y de esta manera Porcia puede elegir con qu´e pretendiente se va a casar en funci´on de su inteligencia. En nuestra actividad hemos incluido solamente los siete primeros acertijos de este cap´ıtulo. Los dos ´ultimos no se adaptan tan bien a lo que tratamos de ense˜nar, pues en ellos, Porcia deliberadamente no da informaci´on a los pretendientes sobre las inscripciones, lo que hace que siempre elijan el cofre incorrecto. Esta actividad est´a pensada como una primera introducci´on a la l´ogica proposicional, uno de los sistemas formales m´as sencillos que se pueden estudiar, pero que cuenta con una gran utilidad. Consideramos que, a pesar de que este tema no se trata casi nunca en la asignatura de matem´aticas, puede aportar grandes progresos al razonamiento l´ogico de unos alumnos de cuarto curso de la ESO, situados en la asignatura de Matem´aticas Orientadas a las Ense˜nanzas Acad´emicas. 3.1.1. Contenidos Los contenidos del curr´ıculo que desarrollamos con esta actividad son, principalmente, los correspondientes al Bloque 1, de contenidos comunes. Por citar algunos: Planificaci´on del proceso de resoluci´on de problemas: an´alisis de la situaci´on, selecci´on y relaci´on entre los datos, selecci´on y aplicaci´on de las estrategias de resoluci´on adecuadas, an´alisis de las soluciones y, en su caso, ampliaci´on del problema inicial. En los siete acertijos a resolver, los alumnos deben ser capaces de analizar correctamente las premisas de las que disponen, y reflexionar sobre sus consecuencias l´ogicas, para as´ı poder dar con la soluci´on correcta. Reflexi´on sobre los resultados: revisi´on de las operaciones utilizadas, asignaci´on de unidades a los resultados, comprobaci´on e interpretaci´on de las soluciones en el contexto de la situaci´on, b´usqueda de otras formas de resoluci´on, etc. 3.1. ACTIVIDAD 1: LOS COFRES DE PORCIA 33 Como veremos m´as adelante, se va a premiar a los alumnos que no hagan respuestas incorrectas a los acertijos, incentivando as´ı la revisi´on de la respuesta y del razonamiento detr´as de ella. De esta manera, los alumnos est´an obligados a asegurarse de que su soluci´on sea correcta antes de introducirla en la aplicaci´on. Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo cient´ıfico. Por un lado, el disponer de una mayor capacidad de razonamiento l´ogico aporta confianza en las capacidades propias del alumnado a la hora de resolver nuevos problemas que se les presenten. Por otro lado, es raro que los estudiantes no se queden atascados en alg´un acertijo. Esto es importante porque la capacidad de lidiar con la frustraci´on y seguir intent´andolo sin rendirse es una habilidad muy importante en el trabajo cient´ıfico. Aparte de los contenidos que aparecen expl´ıcitamente en el curr´ıculo presente en el BOCyL, vamos a desarrollar otros que no est´an presentes, referidos a la l´ogica proposicional como tal, que reunimos aqu´ı: Definici´on. Una proposici´on l´ogica es una afirmaci´on referida a objetos conocidos, y para la cual podemos determinar sin lugar a dudas que es lo que significa que sea cierta o falsa. Ejemplo. Ahora incluimos algunos ejemplos en los que podremos distinguir entre qu´e tipos de oraciones se corresponden con proposiciones y cuales no: La oraci´on “Uno m´as uno es igual a dos” es una proposici´on l´ogica, puesto que sabemos que lo que afirma es exactamente la igualdad entre dos n´umeros naturales (el 1+1 y el 2), unos objetos que nos son conocidos, y nosotros sabemos sin lugar a dudas lo que significa que dos n´umeros naturales sean iguales o no. Un matem´atico habitualmente escribir´ıa esta proposici´on como “1 + 1 = 2”. En este caso estamos ante una proposici´on verdadera. La afirmaci´on “1 + 1 = 7”, a pesar de ser falsa, tambi´en es una proposici´on, por el mismo motivo que lo era la anterior. 34 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO La frase “El n´umero 14” no es una proposici´on, no porque los objetos que involucra no nos sean conocidos, sino porque no es una afirmaci´on, en ella no afirmamos nada sobre lo que podamos juzgar su veracidad o falsedad. La afirmaci´on “La Did´actica de la Matem´atica es aburrida” no es una proposici´on, porque aunque afirma algo que podr´ıamos juzgar si es cierto o falso, no podemos hacerlo de manera inequ´ıvoca, puesto que el t´ermino “aburrido” es subjetivo: para unas personas significa una cosa, y para otras personas otra. La oraci´on “Esta oraci´on es falsa” no es una proposici´on. Esto es debido a que incluye un t´ermino (falsa) para el que no conocemos una definici´on universal, y que nos impide comprender cual ser´ıa el significado de que esta frase fuera cierta o falsa. Si fuera cierta ser´ıa falsa, y si fuera falsa ser´ıa cierta, eso quiere decir que no tenemos un concepto claro y bien definido de “cierta” o “falsa”, si lo tuvi´eramos nos dar´ıa lugar a una paradoja. La ventaja de la l´ogica proposicional es que nos permite construir proposiciones compuestas a partir de otras m´as simples que ya conozcamos. Por ejemplo, si P y Q son dos proposiciones conocidas, entonces la oraci´on “P es cierta y Q tambi´en es cierta” tambi´en es una proposici´on. En efecto, como P y Q son proposiciones, sabemos que significa que sean ciertas (o falsas). Que nuestra nueva proposici´on sea cierta significa exactamente que tanto P como Q sean ciertas, y que sea falsa quiere decir exactamente que al menos una de las dos es falsa. Lo que acabamos de hacer, indirectamente, es definir un conector l´ogico. Vamos a detallar esto: Definici´on. Si nes un numero natural positivo, un conector l´ogico n−ario C es una regla bien definida que nos permite conectar nproposiciones conocidas P1, P2, ..., Pn para formar una nueva proposici´on C(P1, P2, ..., Pn). Cuando hablamos de una regla “bien definida” nos referimos a que a partir de los valores de verdad de las proposiciones P1, P2, ..., Pndebemos ser capaces de conocer el valor de verdad de C(P1, P2, ..., Pn). Para hacer esto habitualmente definimos los conectores l´ogicos mediante lo que se conoce como su tabla de verdad. Para entender mejor lo que significa esto vamos a dar algunos ejemplos de conectores l´ogicos: 3.1. ACTIVIDAD 1: LOS COFRES DE PORCIA 35 Ejemplo. Estos son algunos de los conectores l´ogicos m´as importantes en la l´ogica proposicional: Dijimos anteriormente que hab´ıamos definido un conector l´ogico de manera impl´ıcita. No es otro que el conector l´ogico “y”, tambi´en llamado “conjunci´on l´ogica”, un conector binario con la siguiente tabla de verdad: P Q P y Q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Falso Falso Falso Falso En cada columna recogemos los valores de verdad de cada proposici´on. El valor de verdad de la columna de la derecha (el de “P y Q”) depende de los valores de verdad del resto de columnas. Si incluimos todas las combinaciones posibles de valores de verdad de P y de Q, estamos definiendo sin lugar a errores el valor de verdad de P y Q en funci´on de los valores de verdad de P y de Q. Este es exactamente el requisito que pusimos para que un conector l´ogico estuviera bien definido, as´ı que vemos que las tablas de verdad son suficientes para definir correctamente un conector l´ogico. Podemos generalizar el conector “y” a un conector n−ario, que sea cierto cuando todos sus argumentos sean ciertos, y falso en caso contrario. Ahora vamos a introducir un conector unario muy importante, conocido como “negaci´on”. A partir de una proposici´on P, construimos una proposici´on “no P”, cuyo valor de verdad es siempre el opuesto del de P. Esto lo podemos recoger en una tabla de verdad: P no P Verdadero Falso Falso Verdadero Otro conector l´ogico binario muy importante es la disyunci´on l´ogica, o conector 36 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO “o”, que recogemos en la siguiente tabla de verdad: P Q P o Q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Al igual que hicimos con la conjunci´on, podemos generalizarlo a un conector n−ario, que sea falso cuando todos sus argumentos sean falsos, y cierto en caso contrario. A pesar de que en el lenguaje corriente el conector “o” se utiliza con un significado excluyente (es decir, si una persona dice “voy a ir al cine o al teatro”, no considera la posibilidad de ir a ambos sitios), en l´ogica proposicional esto no es as´ı. Sin embargo, si que existe ese conector l´ogico, que se conoce como “o exclusivo”, y tiene la siguiente tabla de verdad: P Q o bien P o bien Q Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Es decir, “o bien P o bien Q” es cierto cuando entre las proposiciones P y Q hay exactamente una que es verdadera. El ´ultimo conector l´ogico que vamos a introducir es el de implicaci´on, que recoge la idea de consecuencia l´ogica: P Q P implica Q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Verdadero Falso Falso Verdadero 3.1. ACTIVIDAD 1: LOS COFRES DE PORCIA 37 Hay que tener cuidado con la idea de “consecuencia l´ogica”, pues puede chocar con la intuici´on. Seg´un esta tabla de verdad una proposici´on falsa implica cualquier otra, algo bastante aceptado y comprendido entre los matem´aticos, pero un poco contraintuitivo. Por ejemplo, si la proposici´on P es “hoy ha llovido” y la proposici´on Q es “yo soy el Papa”, entonces (si suponemos que hoy no ha llovido) la proposici´on “P implica Q” es cierta. Traduciendo las proposiciones y conectores los l´ogicos al lenguaje coloquial, estamos afirmando que la oraci´on “Si hoy ha llovido, entonces yo soy el Papa” es cierta, lo cual suena absurdo, aunque en realidad no lo es. Podr´ıamos definir de manera expl´ıcita conectores n−arios para n > 2 mediante tablas de verdad, pero no es necesario, puesto que cualquiera de ellos se puede expresar como combinaci´on de los conectores que ya hemos definido. Un ejemplo de c´omo se podr´ıa hacer esto ser´ıa definir el conector cuaternario Cdiciendo que la proposici´on C(P, Q, R, S) es cierta exactamente cuando sea cierta la proposici´on “(P o Q) implica (R y S)”, cuyo valor de verdad podemos conocer a partir de las tablas de verdad de los conectores l´ogicos que ya hemos definido. 3.1.2. El proyecto de Scratch Al igual que en el resto de actividades, el proyecto de Scratch correspondiente a esta actividad est´a compartido en la p´agina de Scratch, para que sea accesible por todo el mundo. Adem´as, existe la posibilidad de tomar el proyecto y reinventarlo, haciendo muy sencillo incluir nuevos acertijos, u otros distintos. El enlace es https: //scratch.mit.edu/projects/702700836/. El funcionamiento del programa es relativamente sencillo, simplemente contiene unas instrucciones de uso y va recorriendo los siete acertijos en orden, registrando las respuestas que el alumno da a cada una, permitiendo varios intentos hasta que se acierte, y anotando el n´umero de fallos en el proceso. Ahora vamos a mostrar los siete acertijos, comentando el enunciado, la respuesta, y los conceptos que se trabajan en cada caso: 44 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO conceptos b´asicos sobre la l´ogica proposicional, y se acostumbren un poco a las inferencias m´as cl´asicas, para que puedan extraer conclusiones de unas hip´otesis que reciban. Despu´es de esto estar´an preparados para dedicar una sesi´on de clase en el aula de inform´atica resolviendo los acertijos, separados en peque˜nos grupos, para aumentar la motivaci´on, introduciendo una peque˜na competici´on entre la clase. 3.1.4. Metodolog´ıa En el desarrollo de esta actividad utilizaremos principalmente tres metodolog´ıas: Lecci´on magistral participativa. Para exponer de una manera r´apida y efectiva los contenidos sobre l´ogica proposicional, esta actividad comenzar´a con una sesi´on de clase en la que se utilizar´a el m´etodo expositivo. Esto tiene como ventaja que podremos detectar y resolver de manera inmediata las dudas que tengan los alumnos sobre la materia. La idea es dedicar el m´ınimo tiempo posible a definir formalmente los conceptos a estudiar, para disponer del mayor tiempo posible para resolver problemas e interiorizar los conceptos m´as importantes. Aprendizaje cooperativo. Para resolver los siete acertijos en el aula de inform´atica, el profesor dividir´a a los alumnos en grupos de tres personas, adapt´andolos a las necesidades de los alumnos. El trabajo cooperativo permite un intercambio de ideas m´as rico que el pensamiento individual, y adem´as hace m´as dif´ıcil perder la motivaci´on al quedarse atascado en un problema, es m´as dif´ıcil quedarse atascado entre tres personas que uno solo. A mayores, podemos mencionar que es m´as sencillo detectar errores en razonamientos ajenos que en los propios, por lo que de esta manera los alumnos pueden ayudarse comprobando si sus respuestas son correctas de una manera m´as efectiva que si estuvieran solos. La resoluci´on de problemas. Tanto en la clase de l´ogica como en el aula de inform´atica el profesor debe tener un rol activo en la resoluci´on de problemas, 3.1. ACTIVIDAD 1: LOS COFRES DE PORCIA 45 ya que son la parte central de esta actividad. La labor del docente no es simplemente la de plantear los problemas y observar a los alumnos, ni tampoco la de resolverlos ´el mismo mientras los alumnos “miran y aprenden”, sino que su papel es el de un apoyo, debe hacerle a los alumnos las preguntas adecuadas para que puedan progresar adecuadamente en la resoluci´on de los acertijos. 3.1.5. Temporalizaci´on Como ya se ha comentado, la actividad se desarrollar´a a lo largo de dos sesiones de clase, que se suponen de la duraci´on t´ıpica en la ESO: 50 minutos. Por otro lado, tambi´en hemos comentado que, al estar relacionada con el bloque de contenidos comunes, su colocaci´on al lo largo del curso no es crucial, puede funcionar bien como nexo de uni´on entre dos unidades did´acticas, o al inicio o final de una evaluaci´on. 3.1.6. Evaluaci´on Para evaluar esta actividad utilizaremos distintos instrumentos: 1. La observaci´on: Es importante que los alumnos muestren un alto nivel de participaci´on en la actividad, tanto en la lecci´on magistral como, sobretodo, en la realizaci´on de los acertijos en grupo. Se valorar´a no solo el nivel de atenci´on y desempe˜no de los alumnos a lo largo de las dos sesiones, sino tambi´en el nivel de progreso que sean capaces de alcanzar, la colaboraci´on con sus compa˜neros a la hora de trabajar en grupo, y el hecho de que tengan un comportamiento que favorezca un buen clima de aula. 2. El desempe˜no en los acertijos: Se busca que los alumnos lleguen a la respuesta adecuada mediante un proceso adecuado, as´ı que no valoraremos tan solo la puntuaci´on que obtengan (es decir, el n´umero de acertijos resueltos y errores cometidos), se tendr´a en cuenta el razonamiento seguido por los alumnos para decidir que cofre abrir. Para conseguir esto se puede recurrir a dos m´etodos distintos, en funci´on del tiempo que se disponga y la velocidad a la que est´en resolviendo los alumnos los 46 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO acertijos. Si los grupos van bien de tiempo se les puede pedir que despu´es de contestar correctamente a un acertijo un miembro del equipo se encargue de poner por escrito el razonamiento que han seguido para deducir la respuesta. Si el tiempo es algo m´as ajustado, el profesor puede preguntarles a los alumnos que le expliquen de palabra alguno de los razonamientos seguidos. 3.2. Actividad 2: Geometr´ıa con Scratch En esta actividad vamos a hacer uso de una extensi´on de Scratch para dibujar y estudiar las figuras planas a un nivel de primero de la ESO. Como ya mencionamos anteriormente, las extensiones de Scratch nos a˜naden bloques que incluyen nuevas funcionalidades. En el caso del l´apiz, nos a˜nade la posibilidad de dibujar el “rastro” que deja la trayectoria de un objeto. Estos son los nuevos bloques que podremos utilizar: La idea es que cada objeto tiene asociado un l´apiz, y cuando este baja, dibuja una l´ınea que pasa por donde pase nuestro objeto. Tambi´en podemos utilizar la opci´on de “sellar” para dejar marcado un dibujo de nuestro objeto en un momento espec´ıfico, 3.2. ACTIVIDAD 2: GEOMETR´ IA CON SCRATCH 47 captando su posici´on, direcci´on y tama˜no. Se pueden modificar ciertas propiedades del l´apiz, como el color, grosor, transparencia, saturaci´on y brillo. Podemos aprovechar esta extensi´on para dibujar una gran variedad de figuras planas, si sabemos c´omo hacer que un objeto se mueva describiendo una cierta trayectoria. Por ejemplo, si queremos dibujar un tri´angulo equil´atero de lado 10 lo podemos hacer con tan solo 6 comandos: bajar el l´apiz, avanzar 10 pasos, girar 120◦, avanzar 10 pasos, girar 120◦, avanzar 10 pasos. De una manera similar se pueden representar otros pol´ıgonos regulares, y con t´ecnicas algo m´as complejas se pueden representar todos los pol´ıgonos que queramos. Nuestro objetivo es aprovechar estas funcionalidades para crear una actividad para una clase de matem´aticas de primero de la ESO en la que se repasen los conceptos relativos a la unidad did´actica sobre figuras planas de una manera visual y divertida. 3.2.1. Contenidos En este unidad nos centramos principalmente en los contenidos relativos al Bloque 3, de Geometr´ıa, como por ejemplo: ´ Angulos y sus relaciones. Trabajaremos el concepto de ´angulo al hablar de los ´angulos interiores y exteriores de un pol´ıgono, as´ı como el concepto de ´angulo suplementario, a la hora de relacionar el ´angulo interior de un pol´ıgono y el ´angulo que debe girar nuestro objeto para dibujar el pol´ıgono en Scratch. Figuras planas elementales: tri´angulo, cuadrado, figuras poligonales. En esta actividad se trabajar´a con todos estos pol´ıgonos, junto con sus propiedades m´as importantes. Clasificaci´on de tri´angulos. Rectas y puntos notables del tri´angulo. Uso de medios inform´aticos para analizarlos y construirlos. Medida y c´alculo de ´angulos de figuras planas. C´alculo de ´areas y per´ımetros de figuras planas. C´alculo de ´areas por descomposici´on en figuras simples. Tanto en la demostraci´on de la f´ormula genera del ´area de un pol´ıgono regular, 48 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO como en el c´alculo de la suma de ´angulos interiores de un pol´ıgono convexo, se debe realizar una descomposici´on de la figura en tri´angulos. Uso de herramientas inform´aticas para estudiar formas, configuraciones y relaciones geom´etricas. Este es el objetivo principal de la actividad, el uso de medios inform´aticos para trabajar con propiedades geom´etricas de las figuras planas. Al igual que en la actividad anterior, tambi´en nos centramos en los contenidos comunes del Bloque 1: Utilizaci´on de medios tecnol´ogicos en el proceso de aprendizaje para facilitar la comprensi´on de propiedades geom´etricas o funcionales y la realizaci´on de c´alculos de tipo num´erico, algebraico o estad´ıstico. Ahora incluimos un desarrollo te´orico de los contenidos principales que vamos a tratar, para el que nos hemos apoyado en los apuntes de Marea Verde (2022): Definici´on. Un punto es una figura geom´etrica sin dimensi´on (no tiene longitud, altura ni anchura) que determina una posici´on en el plano. Una recta es una l´ınea que se extiende infinitamente en una misma direcci´on, abarcando todos los (infinitos) puntos que hay en esta. Una semirrecta es la porci´on de una recta que queda a un lado de un punto de ´esta. A este punto se le llama “origen de la semirrecta”. Un segmento es el conjunto de puntos de una recta comprendido entre dos puntos que est´en en ella. Los segmentos son la intersecci´on de dos semirrectas. Si tenemos dos puntos A, B de una misma recta, designamos por AB al segmento que definen, y lo llamaremos “segmento de extremos AyB”. Definici´on. Un ´angulo es una regi´on del plano que queda limitada por dos semirrectas con un origen com´un. Si estas dos semirrectas son la misma, entonces lo llamamos ´angulo completo, y decimos que mide 360◦. Si las dos semirrectas forman una recta, entonces el ´angulo que forman es de la mitad que un ´angulo completo, 180◦, y lo llamamos ´angulo llano. 3.2. ACTIVIDAD 2: GEOMETR´ IA CON SCRATCH 49 Al ´angulo que es la mitad de un ´angulo llano, 90◦, lo llamamos ´angulo recto. Las dos semirrectas que limitan un ´angulo se llaman lados, y el origen com´un a las dos semirrectas se llama v´ertice. Si tenemos dos semirrectas A, B con un origen com´un O, entonces podemos denotar al ´angulo que determinan por Aˆ OB. Definici´on. Podemos clasificar los ´angulos seg´un su amplitud. Un ´angulo mayor que uno llano se dice c´oncavo, y uno que es menor es convexo. A su vez, podemos clasificar los ´angulos convexos en agudos (menores que un ´angulo recto), rectos, y obtusos (mayores que un ´angulo recto). Llamamos ´angulos consecutivos a dos ´angulos con un mismo v´ertice y un lado com´un. Si tenemos dos ´angulos consecutivos en los que los lados no comunes forman un ´angulo llano, decimos que son ´angulos adyacentes o suplementarios. Si forman un ´angulo recto decimos que son ´angulos complementarios. Dos ´angulos son opuestos por el v´ertice si tienen el mismo v´ertice y los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. Definici´on. Definimos una l´ınea poligonal como una sucesi´on finita de segmentos (en la cual dos segmentos consecutivos no est´an alineados), donde dos segmentos distintos tienen intersecci´on vac´ıa o coinciden en un ´unico punto, que es un extremo de cada uno de los segmentos. Una l´ınea poligonal es cerrada si su ´ultimo segmento interseca con el primero, y abierta en caso contrario Un pol´ıgono es una regi´on del plano acotada que queda delimitada por una linea poligonal cerrada. Los lados de un pol´ıgono son los segmentos que forman la l´ınea poligonal que lo delimita. Sus v´ertices son los puntos que obtenemos al intersecar dos lados consecutivos. Las diagonales son los segmentos que unen v´ertices no consecutivos (dos v´ertices son consecutivos si est´an unidos por un lado). Llamamos ´angulo interior de un pol´ıgono al ´angulo formado por dos lados consecutivos, y ´angulo exterior a su ´angulo suplementario. Podemos clasificar a los pol´ıgonos en funci´on de sus ´angulos interiores: si un pol´ıgono tiene todos sus ´angulos interiores convexos, decimos que es un pol´ıgono convexo, y si alguno de ellos es c´oncavo, entonces es un pol´ıgono c´oncavo. 50 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO Ejemplo. Tambi´en podemos clasificar a los pol´ıgonos por su n´umero de lados: El menor n´umero de lados que puede tener un pol´ıgono es 3. Y en ese caso diremos que es un tri´angulo. Los pol´ıgonos de cuatro lados se llaman cuadril´ateros. Los de cinco pent´agonos Los de seis hex´agonos Y as´ı sucesivamente, uno de siete es un hept´agono, de ocho un oct´ogono, etc. En la siguiente imagen podemos ver un tri´angulo, un cuadril´atero, un pent´agono y un hex´agono, dibujados en Scratch: Los pol´ıgonos de la imagen anterior no eran pol´ıgonos cualesquiera, tienen una propiedad muy interesante que capturamos en la siguiente definici´on: Definici´on. Si un pol´ıgono tiene todos sus lados iguales se dice que es equil´atero. Un pol´ıgono cuyos ´angulos interiores son iguales decimos que es equi´angulo. Los pol´ıgonos que son equil´ateros y equi´angulos son los pol´ıgonos regulares. Un pol´ıgono que no es regular decimos que es irregular. Los pol´ıgonos regulares tienen propiedades especiales, que nos permiten definir los siguientes conceptos, que tienen validez solo para pol´ıgonos regulares: El centro es el punto que equidista de todos los v´ertices. Los radios son los segmentos que unen el centro con los v´ertices del pol´ıgono. 3.2. ACTIVIDAD 2: GEOMETR´ IA CON SCRATCH 51 Los ´angulos centrales son los ´angulos determinados por dos radios consecutivos y el centro del pol´ıgono. Una apotema es un segmento que une el centro del pol´ıgono con el punto medio de uno de los lados. Teorema. El ´area de un pol´ıgono regular de nlados de longitud ly apotema de longitud Ap es de nlAp 2. Al n´umero nl tambi´en se le llama per´ımetro, es la suma de las longitudes de los segmentos que componen al pol´ıgono. Si lo denotamos por p, podemos reescribir el valor del ´area como pAp 2. Teorema. La suma de todos los ´angulos interiores de un pol´ıgono convexo de n lados es de (n−2)180◦. En particular, la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es de 180◦, un resultado muy conocido. Corolario. En un pol´ıgono regular de nlados, los ´angulos interiores miden n−2 n180◦. Demostraci´on. La suma de todos los ´angulos interiores de un pol´ıgono de nlados es, por el teorema anterior, (n−2)180◦, y como hay nde ellos y son todos iguales, cada uno debe medir n−2 n180◦. 3.2.2. El proyecto de Scratch En este caso, a diferencia de la actividad anterior, no habr´a un ´unico proyecto de Scratch que deban resolver todos los alumnos, sino que el objetivo es que sean ellos quienes programen algunos algoritmos para dibujar figuras geom´etricas. Presentaremos ahora el aspecto que podr´ıan tener algunos de estos programas, junto con el dibujo que nos sacan por pantalla. Hemos compartido estos algoritmos en un proyecto de Scratch, que se puede visitar en https://scratch.mit.edu/projects/ 704207913/. Aqu´ı podemos ver uno de los programas m´as sencillos, que es el que nos permite dibujar algunos pol´ıgonos regulares. Para ello solo tenemos que movernos una cierta distancia (la longitud de nuestro lado), y girar cierto ´angulo (el ´angulo exterior de 52 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO nuestro pol´ıgono). Despu´es, repetimos esta sentencia tantas veces como lados tenga nuestro pol´ıgono y obtenemos la figura que quer´ıamos. Debajo vemos el aspecto que tiene el algoritmo para un tri´angulo y un hex´agono: No es dif´ıcil, a partir de los algoritmos anteriores, deducir como es uno que puede dibujar un pol´ıgono gen´erico, de cualquier numero de lados: A partir de este podemos dibujar un pol´ıgono con un gran n´umero de lados, para que los alumnos vean como se aproxima a una circunferencia. Mediante el siguiente algoritmo podemos dibujar cualquier paralelogramo (un cuadril´atero con lados opuestos paralelos), tomando como argumentos las medidas de los lados y los ´angulos interiores: 3.2. ACTIVIDAD 2: GEOMETR´ IA CON SCRATCH 53 Es conocida la construcci´on de un hex´agono regular a partir de 6 tri´angulos regulares. Como vemos, no es dif´ıcil de hacer, los alumnos podr´ıan llegar a desarrollar este algoritmo por ellos mismos: A modo de curiosidad, nosotros podemos generalizar este algoritmo para obtener uno que nos dibuje un n-´agono regular a partir de n tri´angulos is´osceles id´enticos: En la imagen podemos ver c´omo dibuja pol´ıgonos de siete, cinco, diecisete y cuatro lados mediante una malla de tri´angulos apropiada. Si bien no est´a al alcance de los alumnos programar este algoritmo por su cuenta, nosotros podemos utilizarlo para mostrarles una visualizaci´on de la f´ormula general del ´area de un pol´ıgono regular, 60 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO De esta manera, los n´umeros primos son los “bloques” primarios con los que construimos los n´umeros naturales, utilizando el producto. Los n´umeros compuestos son los que tienen m´as de una “pieza” al construirles de esta manera. Esta idea se expresa de manera m´as precisa en el siguiente teorema: Teorema. Todo n´umero natural nmayor que 1 se puede expresar (de manera esencialmente ´unica) como producto de n´umeros primos. A esta expresi´on se le conoce como descomposici´on de nen factores primos. Proposici´on. Si queremos determinar cu´ales son los n´umeros primos menores o iguales que un cierto natural n, podemos proceder mediante un algoritmo que se conoce como la criba de Erat´ostenes. Empezamos escribiendo una lista con los n´umeros desde el 2 hasta el n. Despu´es, empezando por 2, tachamos todos los m´ultiplos (propios) de 2. Sabemos que estos no pueden ser n´umeros primos. Continuamos en nuestra lista hasta que lleguemos a un n´umero que no est´e tachado (en este primer paso ser´a el 3), y tachamos de la lista todos sus m´ultiplos propios. Repetimos este paso hasta que lleguemos al n´umero n. Los n´umeros que sobreviven en la lista sin ser tachados son exactamente los n´umeros primos menores o iguales que n. 3.3.2. El proyecto de Scratch Ya mostramos anteriormente un programa de Scratch que comprueba si un n´umero natural es primo o no, que se encuentra compartido en https://scratch.mit.edu/ projects/699474244. Nuestro objetivo ser´ıa que los alumnos acabaran desarrollando un programa en Scratch que funcione de la misma manera. Ahora vamos a proceder a analizar su funcionamiento, as´ı como su relaci´on con los contenidos que vamos a tratar: 3.3. ACTIVIDAD 3: N ´ UMEROS PRIMOS 61 Lo primero que hace el programa es pedirnos el n´umero que vamos a comprobar si es primo o no por la pantalla. Una vez introducimos el n´umero por el teclado, comienza el algoritmo propiamente dicho. En el c´odigo contamos con una constante (“respuesta”) que es un n´umero entero, la respuesta que introducimos por el teclado, que corresponde al n´umero que estamos comprobando, y a partir de ahora llamaremos n, para abreviar. Tenemos dos variables de tipo num´erico. Una de ellas, “esprimo” la utilizamos como una comprobaci´on de que no hayamos encontrado ning´un divisor de n. Por defecto toma el valor 1, como indicaci´on de que al principio del algoritmo a´un no tenemos 62 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO ning´un divisor propio de n, por lo que, con la informaci´on de la que disponemos, n podr´ıa ser primo. La segunda (“contador”), que llamaremos ia partir de ahora, es una variable que utilizamos como un indicador de que n´umero estamos comprobando si divide a nen cada momento. La variable se inicializa con el valor 2, que es el menor n´umero que debemos comprobar. El programa tiene dos componentes principales que hacen que la comprobaci´on sea correcta: un bucle “mientras”, y un condicional a la salida de este bucle: 1. En el bucle nuestra condici´on de entrada es que se cumplan dos condiciones: que no hayamos agotado todos nuestros candidatos a divisores (es decir, que sea i≤n/2), y que no hayamos encontrado ning´un divisor real de n(o sea, que esprimo valga 1). Si se cumplen ambas condiciones, entramos en el bucle, y hacemos lo siguiente: primero comprobamos si ies un divisor de n, y en caso de que lo sea cambiamos el valor de esprimo a 0 (pues ya tenemos informaci´on suficiente para deducir que nno es primo). Despu´es de eso, aumentamos en 1 el valor de i. 2. Una vez hemos salido del bucle tenemos un condicional, que, en funci´on del valor de la variable esprimo es capaz de detectar el motivo por el cual hemos salido del bucle: Si esprimo = 1, significa que hemos agotado todos los candidatos a divisores de n, y ninguno de ellos lo era. Por lo tanto, nes un n´umero primo. Si, por lo contrario, esprimo = 0, significa que a lo largo del camino hemos encontrado un n´umero entero (que no es 1 ni n) que divide a n, por lo que nno es un n´umero primo. Este programa es bastante b´asico, en el sentido de que no est´a muy optimizado, hace m´as comprobaciones de las que son estrictamente necesarias para poder asegurar que un n´umero es primo. En el proyecto https://scratch.mit.edu/projects/ 706658868/ hemos recogido dos posibles optimizaciones que le podemos hacer a nuestro c´odigo para que tarde menos en comprobar si un n´umero es primo o no: 3.3. ACTIVIDAD 3: N ´ UMEROS PRIMOS 63 1. La primera optimizaci´on, y la m´as sencilla de explicar a nuestros alumnos, es que estamos comprobando el doble de los n´umeros necesarios, en muchos casos. Esto es debido a que si nuestro n´umero no es m´ultiplo de 2, tampoco lo ser´a de 4, ni de 6,8, .... Podemos solventar esto inicializando nuestra variable icon el valor 3, y aumentando su valor de 2 en 2 en cada iteraci´on. Para que el programa funcione correctamente de esta manera, debemos hacer la comprobaci´on de si nes par antes de entrar al bucle. 2. La segunda se basa en el hecho de que los divisores de un n´umero “vienen” por parejas. Si mes un divisor de n, entonces n mes un n´umero entero que tambi´en es divisor de n. Esto nos proporciona una biyecci´on entre los divisores de n que son menores o iguales que √ny los que son mayores o iguales que √n. Por lo tanto, si hemos comprobado que nno tiene ning´un divisor (propio) menor o igual que √n, no tiene ninguno en general. Para comprobar la eficiencia de estas modificaciones, en el proyecto anteriormente mencionado, hago correr el programa que comprueba la primalidad de un n´umero natural en un bucle, comprobando los n´umeros naturales de uno en uno, y parando cuando hayan pasado 10 segundos. Los resultados dejan clara la diferencia en eficiencia: El programa original comprueba hasta el n´umero 8167. Cuando dejamos de buscar divisores pares llegamos hasta el 11987. Vemos una enorme diferencia cuando solo comprobamos divisores hasta √n, y llegamos hasta el 58985. Por ´ultimo, si juntamos las dos modificaciones nuestro programa comprueba hasta el n´umero 95629. Mencionar que estos resultados no son siempre iguales, cada vez que ejecutamos el programa durante 10 segundos obtenemos un resultado distinto, pero dentro de un cierto margen de error, que nos permite ver que la diferencia entre la eficiencia de los cuatro algoritmos es notable. 64 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO Por ´ultimo, en relaci´on a esta actividad, hemos implementado en Scratch un algoritmo que realiza la criba de Erat´ostenes, utilizando para ello las listas de elementos. El programa, si bien no es excesivamente complicado, es algo largo, as´ı que no incluimos una imagen del c´odigo, pero se puede consultar en la p´agina del proyecto, que hemos compartido en la comunidad: https://scratch.mit.edu/projects/706665816/. Si bien las modificaciones a nuestro algoritmo para aumentar su eficiencia solo requieren hacer peque˜nos cambios en el c´odigo original, el algoritmo de la criba de Erat´ostenes es un algoritmo completamente distinto, y realizar este programa requerir´ıa por parte de los alumnos algo m´as de soltura en la programaci´on. A pesar de ello, puede ser una actividad adecuada en las circunstancias correctas, como por ejemplo, como un proyecto a desarrollar en casa, o una actividad de atenci´on a la diversidad, para alumnos de altas capacidades. 3.3.3. Planteamiento Hemos pensado esta actividad para una clase de matem´aticas de segundo de la ESO. Temporalmente, cu´ando m´as sentido tiene es tras finalizar la unidad did´actica correspondiente a los contenidos sobre divisibilidad. Antes de proceder con la actividad como tal, los alumnos deber´ıan aprender los conceptos b´asicos de programaci´on en Scratch: los bloques, variables, y los bucles y condicionales, con ejemplos pr´acticos, pues en caso contrario no ser´ıan capaces de desarrollar el algoritmo por su propia cuenta. Esta introducci´on se realizar´ıa de manera individual en una sesi´on en un aula de inform´atica. Despu´es de esto prevemos una duraci´on de dos sesiones m´as para que los alumnos programen los distintos algoritmos propuestos, trabajando por parejas. 3.3.4. Metodolog´ıa Las metodolog´ıas que hemos decidido utilizar en esta actividad son: Flipped Classroom, o Aula Invertida. En esta metodolog´ıa, se le da la vuelta al funcionamiento usual de la docencia, es el alumnado quien debe trabajar ciertos conceptos fuera de clase, y esta se dedica a realizar actividades m´as 3.3. ACTIVIDAD 3: N ´ UMEROS PRIMOS 65 pr´acticas, para potenciar los conocimientos. Se pretende usar esta metodolog´ıa para la primera sesi´on de clase, en la que los alumnos estar´an aprendiendo el manejo de Scratch. Para ello, el profesor proporcionar´a a los alumnos un v´ıdeo explicativo sobre la programaci´on en Scratch, que deber´an ver por su propia cuenta el d´ıa anterior a la sesi´on de clase correspondiente. Despu´es, en dicha sesi´on, los alumnos pueden hacer una primera toma de contacto real con el lenguaje, teniendo ya una base te´orica y disponiendo del profesor como una gu´ıa en este proceso. Trabajo por parejas. Hemos pensado que durante las sesiones dedicadas a la elaboraci´on de los distintos programas de Scratch, los alumnos pueden organizarse en parejas elegidas por el docente. De esta manera, ambos alumnos pueden trabajar conjuntamente para buscar la soluci´on, ayud´andose mutuamente. Creemos que esta metodolog´ıa es adecuada, puesto que el profesor puede elegir las parejas de modo que los dos miembros se complementen de la mejor manera posible, permitiendo as´ı que siempre dispongan de varias formas de comprender un algoritmo, o de entender un bloque de programaci´on de Scratch. 3.3.5. Temporalizaci´on La actividad est´a pensada para tener una duraci´on de tres sesiones de 50 minutos, situadas en un aula de inform´atica, o alternativamente disponiendo de al menos un tel´efono o tablet para cada alumno, para que tengan todos ellos acceso a Scratch. 1. En la primera de estas sesiones se corresponde con el aula invertida que hemos descrito en la secci´on anterior. Se presupone que los alumnos han hecho un cierto trabajo personal en su casa, viendo los v´ıdeos explicativos proporcionados por el profesor sobre la programaci´on en Scratch. El objetivo de esta sesi´on es realizar tareas que trabajen: Las variables en Scratch. Los estudiantes deben comprender el funcionamiento que tienen las variables en Scratch: c´omo definirlas, inicializarlas 66 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO con un valor, cambiar este valor, variables num´ericas o cadenas de caracteres, etc. Como Scratch permite ejecutar sentencias separadamente, y que el valor de las variables se muestre en tiempo real por la pantalla, esto es sencillo de hacer, los alumnos pueden simplemente probar lo que hacen todos los bloques relativos al bloque de las variables y comprobar el efecto que tienen sobre estas. Los bloques relativos a operaciones. El orden de operaciones es importante en Scratch, cada vez que queramos hacer una operaci´on compleja hay que concatenar los bloques de manera correcta. Adem´as, es importante conocer los operadores booleanos. Una buena pr´actica para conseguir este objetivo es tratar de traducir un polinomio a un bloque en Scratch. Como se presupone que los alumnos ya manejan las variables, pueden darle un valor a una variable, tratar de operar con ella de acuerdo a un polinomio, y comprobar si el valor que obtienen es el mismo que con l´apiz y papel. Los bloques condicionales. Una vez comprendidos los bloques correspondientes a operaciones booleanas, hay que trabajar sobre su aplicaci´on m´as importante: los bloques condicionales. Se puede estudiar estos conceptos tratando de elaborar un programa que compruebe si un a˜no es bisiesto o no, o escribiendo un algoritmo que tome como entrada el nombre de un mes y de como respuesta el n´umero de d´ıas de ese mes (de esta manera, el alumno debe encadenar varios bloques condicionales, o varios bloques “o” para crear una condici´on booleana adecuada). Los bucles. En Scratch no tenemos bloques espec´ıficos correspondientes a los tres tipos de bucles m´as conocidos (bucle “para”, bucle “mientras” y bloque “repetir”), pero se pueden programar de manera sencilla a partir de bloques existentes. Para realizar el programa de los n´umeros primos, es suficiente con conocer el bucle “mientras”, por lo que centramos nuestra atenci´on en este esquema. Una primera aplicaci´on es la implementaci´on de un bucle “para” con este esquema, es decir, repetir una cierta sentencia un n´umero determinado de veces, utilizando una variable como contador de ese n´umero de veces. Se podr´ıa, por ejemplo, hacer un algoritmo que 3.3. ACTIVIDAD 3: N ´ UMEROS PRIMOS 67 mostrar´a por la pantalla los 50 primeros n´umeros naturales. Otra aplicaci´on del bucle “mientras” con la que podr´ıan practicar nuestros alumnos es un algoritmo que lea una entrada por pantalla hasta obtener un cierto tipo de dato. Por ejemplo, se podr´ıa pedir al usuario que introduzca un n´umero positivo, y repetir la lectura del dato hasta que el dato proporcionado sea realmente un n´umero positivo. 2. En las dos sesiones siguientes se proceder´a al trabajo por parejas, en el que los alumnos por fin tendr´an que desarrollar el programa que comprueba si un n´umero natural es primo o no. Ya presentamos en la secci´on sobre el proyecto de Scratch un primer algoritmo b´asico que consigue este cometido, junto con dos posibles optimizaciones del programa, y una actividad adicional sobre la criba de Erat´ostenes. Nuestro objetivo es que todos los alumnos lleguen a realizar el primer algoritmo de una manera u otra , aunque la implementaci´on concreta puede variar, y tambi´en ser´ıa posible que alg´un alumno implementara una de las optimizaciones directamente, si se le ocurre la idea. Como cada pareja de alumnos trabajar´a a un ritmo distinto, los alumnos que terminen el programa antes de que finalicen las dos sesiones pueden continuar con el resto de actividades, primero optimizando el programa original para que sea m´as eficiente (para esto, el profesor les proporcionar´ıa el c´odigo del algoritmo que comprueba primalidad durante 10 segundos), hasta que lleguen a deducir, con pistas del docente, las dos optimizaciones que comentamos anteriormente. Si alguna pareja llegara a completar todos los programas en las dos sesiones, el profesor les explicar´ıa como funcionan las listas en Scratch, y les retar´ıa a escribir un programa que realice la criba de Erat´ostenes (suponemos que ese algoritmo se ha trabajado ya en clase). Realizando la actividad de esta manera estamos atendiendo a la diversidad, puesto que cada par de alumnos aprender´a a un ritmo distinto, y es importante que todos tengan la oportunidad de desarrollar al m´aximo sus capacidades. Como ya hemos comentado, la actividad se presenta de forma natural al finalizar la unidad did´actica correspondiente a la divisibilidad, una vez los alumnos tienen 68 CAP´ ITULO 3. ACTIVIDADES BASADAS EN SCRATCH PARA LA ESO ciertos conocimientos sobre los n´umeros primos, y saben perfectamente como determinar si un n´umero natural dado es primo o no. 3.3.6. Evaluaci´on La forma de evaluar es an´aloga a la de las actividades anteriores, estaremos utilizando la observaci´on para medir el nivel de participaci´on y esfuerzo de los estudiantes en la actividad, y de la misma manera valoraremos su desempe˜no en la tarea. Para conseguir esto ´ultimo, recogeremos el proyecto de Scratch de cada pareja de alumnos, y valoraremos la creatividad, la limpieza del c´odigo (presencia de comentarios con explicaciones, organizaci´on de los bloques, etc) y la proporci´on de algoritmos propuestos que hayan sido capaces de programar. Cap´ıtulo 4 Conclusiones Para concluir este trabajo nos preguntamos c´omo de bueno es Scratch como herramienta did´actica en las matem´aticas de la ESO, si buscamos fomentar el razonamien- to matem´atico. A la vista de lo expuesto, creemos que se trata de una herramienta did´actica bastante buena si tenemos ese objetivo en mente. Scratch puede ser muy motivante para los alumnos, y hemos mostrado que tiene amplias posibilidades de ser implementado en un aula de la ESO, donde promete ser un recurso divertido, y que desarrolla en los estudiantes habilidades en programaci´on inform´atica y razonamiento matem´atico. Tambi´en queda claro que es una herramienta adecuada para los docentes, puesto que permite tanto la posibilidad de tomar actividades hechas por la comunidad (como las expuestas en este trabajo), como la de que cada docente cree por su cuenta una actividad que se adapte a sus necesidades espec´ıficas. Si bien es obvio que no sugerimos una educaci´on basada ´unicamente en actividades de Scratch (ninguna metodolog´ıa es adecuada para ser utilizada de manera exclusiva), hemos demostrado que en todos los cursos de la ESO podemos encontrar un lugar en el que dedicar algunas sesiones a actividades basadas en Scratch, dentro de la programaci´on habitual del curso. Claramente hay una relaci´on bilateral entre matem´aticas e inform´atica: por un lado la inform´atica surge inicialmente como una rama de la computaci´on, algo hist´oricamente muy anterior al primer ordenador; y por otro lado diversas ramas de las 69