Método matricial de análisis de estructuras de barras esbeltas. Efecto de tensiones iniciales y/o deformaciones iniciales. Formulación general

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ESCUELA DE INGENIERIAS INDUSTRIALES Grado en Ingeniería Mecánica MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS.EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL Autor: Escribano Salgado, Melany Tutor: CACHO PÉREZ, MARIANO Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno y Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. Valladolid, julio 2021. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 2 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 3 AGRADECIMIENTOS En primer lugar, quiero agradecer a mi tutor Mariano Cacho Pérez por su tiempo, dedicación y orientación a lo largo del desarrollo de este proyecto. En este tiempo he podido aplicar conocimientos adquiridos durante estos años de carrera, aprender más profundamente aspectos del área temática de análisis estructural y adquirir una base en el manejo del programa WolframMathematica. Agradecer tanto a mis padres Juan Carlos y Marimar, como a mi hermano Juan Carlos por todo su apoyo y ayuda emocional, sufriendo mis suspensos como suyos y animándome a no tirar la toalla e intentar superarme día a día. A mi pareja Álvaro por tener fe en mí incluso cuando ni yo misma la tenía. Y a mi gran familia por creer en mí a pesar de todos los años que me ha llevado conseguirlo. A mis amigos y compañeros con los que he compartido vivencias, alegrías y pesares durante esta dura carrera. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 4 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 5 Resumen Estudio de la existencia de tensiones iniciales: distribución de tensiones normales de manera general, tensiones residuales, etc., y de deformaciones iniciales: barra doblada, falta de ajuste, carga térmica y distribución de deformaciones normales con formulación general y aplicado a pórticos de barras 2D esbeltas. Metodología y formulación general para su consideración de forma sistemática en el Método Directo de Rigidez (MDR) de análisis de estructuras de barras. Palabras Clave Tensiones iniciales, deformaciones generales, barras esbeltas, pórtico 2D, formulación general. Abstract Study of the existence of initial stresses: general normal stress distribution, residual stresses, etc., and ofinitia ldeformations: bent bar, lack of adjustment, thermal load and normal deformation distribution in its general formulation, applied to 2D frames of slenderbars .Methodology and general formulation for systematic consideration in the Direct Stiffness Method (DSM) for the analysis of bar structures. Keywords Initial stresses, initial deformations, slenderbars, 2D frames, general formulation MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 6 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 7 Índice 1 Introducción y Objetivos ..................................................................... 13 1.1 Introducción ................................................................................ 13 1.2 Objetivos ..................................................................................... 13 2 Formulación ........................................................................................ 17 2.1 Barra a tracción-compresión ....................................................... 17 2.2 Barra esbelta a flexión. ............................................................... 18 2.3 Desplazamientos.Funciones de forma ........................................ 19 2.4 Deformaciones ............................................................................ 20 2.4.1 Matriz de rigidez (aplicación del PDV) .................................... 20 2.5 Fuerzas equivalentes. Carga distribuida uniforme. .................... 22 3 Metodología ........................................................................................ 27 3.1 Deformaciones iniciales .............................................................. 27 3.1.1 Barra doblada .......................................................................... 27 3.1.2 Falta de ajuste ......................................................................... 28 3.1.3 Carga térmica .......................................................................... 29 3.1.4 Deformación inicial. Caso general. .......................................... 32 3.2 Tensiones iníciales ...................................................................... 35 3.2.1 Tensiones iníciales. Caso general. ........................................... 35 3.2.2 Tensiones residuales ............................................................... 37 4 Aplicaciones Prácticas ......................................................................... 43 4.1 Pórtico con cargas distribuidas. .................................................. 45 4.2 Deformación inicial pilar izquierdo. ............................................ 53 4.3 Deformación inicial dintel izquierdo. .......................................... 58 4.4 Tensión inicial pilar izquierdo ..................................................... 62 4.5 Tensión inicial dintel izquierdo ................................................... 66 5 Conclusiones y líneas de futuro .......................................................... 75 5.1 Conclusiones ............................................................................... 75 5.2 Líneas futuras .............................................................................. 75 6 Presupuesto- Estudio Económico ....................................................... 79 6.1 Introducción ................................................................................ 79 6.2 Costes directos ............................................................................ 79 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 8 6.2.1 Mano de obra .......................................................................... 79 6.2.2 Material amortizable ............................................................... 81 6.2.3 Material no amortizable ......................................................... 81 6.2.4 Costes directos totales ............................................................ 82 6.3 Costes indirectos ......................................................................... 82 6.4 Costes totales .............................................................................. 82 Bibliografía ................................................................................................. 85 Webgrafía ................................................................................................... 85 Anexo 1: Cálculos metodología de los ejemplos ........................................ 87 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 9 Índice de Ilustraciones Ilustración 1: Barra cargada a tracción por una fuerza N. .............. 17 Ilustración 2: Distribución de tensiones internas uniforme N. ...... 18 Ilustración 3: Ejemplo de flexión mecánica. ................................... 18 Ilustración 4: Barra con carga distribuida uniforme. ...................... 22 Ilustración 5: Reacciones en los apoyos. ........................................ 23 Ilustración 6: Deformación debido a la temperatura. .................... 30 Ilustración 7: Perfil IPE300. ............................................................ 33 Ilustración 8: Perfil de tensiones laminado en caliente. ................ 38 Ilustración 9: Pórtico de estudio. ................................................... 43 Ilustración 10: Pórtico con cargas distribuidas uniforme. .............. 46 Ilustración11: Matriz de rigidez de la estructura. .......................... 47 Ilustración 12: Diagrama de axiles, NX(x)........................................ 52 Ilustración 13: Diagrama de cortantes, Vy(x). ................................. 52 Ilustración 14: Diagrama de momento flector, Mz(x). ................... 52 Ilustración 15: Diagrama de la deformada (x 100). ........................ 53 Ilustración 16: Diagrama de axiles, Nx(x). ....................................... 56 Ilustración 17: Diagrama de cortantes, Vy(x). ................................. 57 Ilustración 18: Diagrama de momento flector, Mz(x). ................... 57 Ilustración19: Diagrama de la deformada (x 1000). ....................... 57 Ilustración 20: Diagrama de axil, Nx(x). .......................................... 61 Ilustración 21: Diagrama de cortantes, Vy(x). ................................. 61 Ilustración 22: Diagrama del momento flector, Mz(x). ................... 61 Ilustración23: Diagrama de la deformada (x 200). ......................... 62 Ilustración 24: Diagrama de axil, Nx(x). .......................................... 65 Ilustración 25: Diagrama de cortante, Vy(x). .................................. 65 Ilustración 26: Diagrama de momento flector, Mz(x). ................... 66 Ilustración27: Diagrama de la deformada (x 2500). ...................... 66 Ilustración 28: Diagrama de axil, Nx(x). .......................................... 69 Ilustración 29: Diagrama de cortantes, Vy(x). ................................ 69 Ilustración 30: Diagrama de momento flector, Mz(x). ................... 70 Ilustración31: Diagrama de la deformada (x 2500). ...................... 70 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 16 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 17 2 Formulación 2.1 Barra a tracción-compresión Consideraremos una barra (cilíndrica o prismática) en la que aplicaremos dos fuerzas en la dirección perpendicular a la sección, en la dirección del eje longitudinal de la barra por ello se denominan cargas axiales de mismo valor pero sentido opuesto. Por ello, dicha barra experimentará una deformación que será: • Esfuerzo axil de tracción si la fuerza es hacia fuera de la barra o exterior de la sección. La deformación axil provocara un alargamiento longitudinal de la barra[8]. • Esfuerzo axil de compresión si dicha fuerza tiene un sentido hacia el interior de la barra [8]. Por ello la deformación axil en este caso provocara un acortamiento longitudinal de la barra. Ilustración 1: Barra cargada a tracción por una fuerza N. Estas tensiones las podemos llamar de tracción o compresión y sus unidades son N m2 o Pa. Por regla general se consideran positivas a las tensiones de tracción y negativas a las de compresión. La deformación debe ser idéntica en ambos lados de la sección debido a la simetría del problema. Otro aspecto importante es que las secciones rectas deben seguir siendo rectas después de la tensión aplicada. Esto quiere decir que todas las fibras deben sufrir el mismo alargamiento y la misma deformación. Como conclusión, si aplicamos la ley de Hooke obtenemos que la distribución de las tensiones internas sea uniforme en cada sección. También podemos destacar que en el caso de tracción-compresión la tensión máxima admisible se alcanza en MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 18 todos sus puntos, por ello empleamos el material en la plenitud de sus posibilidades. Ilustración 2: Distribución de tensiones internas uniforme N. 2.2 Barra esbelta a flexión. Empezaremos definiendo lo que es la flexión, denominamos flexión a la deformación que experimenta una pieza alargada en la dirección perpendicular al eje longitudinal. Cuando decimos alargado nos referimos a que una dimensión es mucho mayor que las otras, un ejemplo claro son las vigas, diseñadas para trabajar principalmente a flexión [6]. Otro aspecto importante de la flexión es la denominada línea neutra, que forma una superficie curva en el material deformado por flexión, y separa la zona comprimida y la traccionada. En la línea neutra consideraremos que y=0 y x=0. Ilustración 3: Ejemplo de flexión mecánica. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 19 Nos basaremos en la hipótesis de Navier-Bernoulli se basa en que la deformación de una pieza recta sometida a flexión pura, las secciones rectas permanecen planas y normales a la deformada de la directriz. Este enunciado lo podemos reducir a que la proporcionalidad entre las deformaciones longitudinales de la viga con la curvatura, variando linealmente con la distancia a la línea neutra. En conclusión, las tensiones normales de la viga originadas por flexión (flexión pura) varían linealmente con la distancia a la línea neutra, produciéndose los máximos alargamientos en las fibras más alejadas de la línea neutra. Lo mismo ocurre con las tensiones, siendo las máximas en las zonas más alejadas de dicha línea neutra. 2.3 Desplazamientos. Funciones de forma Aproximación del desplazamiento longitudinal para la barra trabajando a tracción y compresión: 𝑁𝑢={ 1 2(1-ξ), 1 2(1+ξ)} (1) (1) El comportamiento mecánico de la barra a flexión se describe mediante polinomios de Hermite: 𝑁𝑢={ 1 2𝑁𝑣={ 1 4 (2-3ξ+ξ3), 1 4(2+3ξ-ξ3)} (2) 𝑁ѳ={1 8(1-ξ-ξ2+ξ3),1 8(-1-ξ+ξ2+ξ3)} (3) Donde se ha empleado la coordenada normalizadaξ, por lo que se debe tener en cuenta el jacobiano de la transformación a la hora de evaluar las integrales: 𝐽=𝑑𝑥 𝑑𝜉=𝐿 2 (4) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 20 2.4 Deformaciones En el problema de barras esbeltas trabajando a tracción/compresión-flexión las deformaciones normales se calculan mediante la matriz de transformación deformacionesdesplazamientos. Dicho tensor es un tensor simétrico empleado en la mecánica de sólidos deformables que caracteriza el cambio de volumen y forma de un cuerpo. Las deformaciones de cada elemento las obtenemos derivando los desplazamientos de los elementos (Nu, Nv, Nѳ) con respecto a las coordenadas x, y, z. En nuestro estudio empleamos la coordenada normalizada por lo que debemos tener cuidado a la hora de realizar las derivadas al ser necesario multiplicar por el jacobiano de la transformación para tenerlo en las coordenadas de estudio. 𝐵=[𝑑𝑁𝑢 𝑑𝜉 1 𝐽𝑦𝑑𝑁𝑣 𝑑𝜉21 𝐽2𝑦𝑑𝑁𝜃 𝑑𝜉21 𝐽2] (5) 2.4.1 Matriz de rigidez (aplicación del PDV) Continuamos con las funciones anteriormente descritas para calcular el campo de desplazamiento, de tal manera que el Principio de los Desplazamientos Virtuales (PDV)nos quedaría: ∫(δε)TσdV= ∫(δε)TBTEBdV= VV ∑(δui)TFi N i=1 +∫(δu)TqdV V (6) siendo: 𝛿𝑢(𝜉)=𝑁𝛿𝑢 (7) Sustituyendo obtendremos: 𝐾𝑖=𝐹+𝑓; [k11 k12 k21 k22]*[u1 u2]=[F1 F2]+[f1 f2] (8) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 21 Donde deberemos sustituir los siguientes valores: 𝐾𝑖=𝐹+𝑓; [k11 k12 k21 k22]*[u1 u2]=[F1 F2]+[f1 f2] (9) donde: Кii=∫(Bi)TEBjdV V fi=∑(δui)TFi N i=1 A=∫dA A 𝐼𝑧=∫y2dA A dV=Adx=AJdξ (10) Obteniendo así una matriz de rigidez: К= [ ΕΑ L0 0 - ΕΑ L0 0 012ΕIz L3 6ΕIz L20 - 12ΕIz L3 6ΕIz L2 06ΕIz L2 4ΕIz L0 - 6ΕIz L2 2ΕIz L -ΕΑ L0 0 ΕΑ L0 0 0 - 12ΕIz L3-6ΕIz L2012ΕIz L3-6ΕIz L2 06ΕIz L2 2ΕIz L0 - 6ΕIz L2 4ΕIz L ] (11) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 22 2.5 Fuerzas equivalentes. Carga distribuida uniforme. El caso particular de carga distribuida uniforme es muy frecuente al ser una aproximación a la realidad que nos simplifica los cálculos, tiene como función el valor de la contaste que llamaremos “q”. Ilustración 4: Barra con carga distribuida uniforme. Cuya resultante la podemos calcular de la siguiente manera: 𝑅=∫𝑞𝑑𝑥=𝑞𝐿 𝐿 0 (12) Y el punto en el actúa la resultante lo calcularemos mediante: 𝑥𝑅=∫𝑞𝑑𝑥 𝐿 0𝑞𝐿 =𝑞𝐿2 2 𝑞𝐿 =𝐿 2 (13) Para calcular las reacciones en los extremos consideraremos una barra bi-empotadrada en la que actúa la carga distribuida uniforme y mediante las ecuaciones equilibrio de sumatorio de fuerzas y momentos obtendremos los axiles, cortantes y momentos. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 23 Ilustración 5: Reacciones en los apoyos. Obteniendo así un vector de fuerzas equivalentes: Feq= ( 0 qL 2 qL2 12 0 qL 2 -qL2 12 ) (14) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 24 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 25 Capítulo 3 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 32 𝐹𝑒𝑞_𝐵 = ( 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑢2 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑣2 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕ѳ2 ) (29) Asegurando el equilibrio en la barra obtendremos los vectores en el nodo [A], mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, obteniendo finalmente el vector de fuerzas equivalentes debido a carga térmica en la barra: 𝐹𝑒𝑞 = ( 1 2(𝛢𝑇1+𝑇2)𝛦𝛼 0 −𝐼𝑧(−𝑇1+𝑇2)𝛦𝛼 ℎ 1 2𝛢(𝑇1+𝑇2)𝛦𝛼 0 𝐼𝑧(−𝑇1+𝑇2)𝛦𝛼 ℎ ) (30) 3.1.4 Deformación inicial. Caso general. Para acabar este apartado, calcularemos las deformaciones iniciales de una barra. Para ello comenzaremos de la misma manera que el caso de carga térmica, definiendo los vectores de desplazamiento, considerándolos en el eje x positivo y en el eje z e y negativo as suponer T1 >T2 : 𝑢=𝑁𝑢{0,𝛿𝑢𝐵} 𝑣=𝑁𝑣{0,−𝛿𝑣𝐵}+𝑁ѳ{0,−𝛿ѳ𝐵} (31) Definimos la ecuación de deformaciones virtuales mediante las derivadas del desplazamiento longitudinal y la derivada segunda del desplazamiento transversal como se puede ver en la ecuación(24). MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 33 La temperatura total la consideraremos dato y se regirá por una ecuación elegida en especial para nuestro estudio y que será la siguiente: 𝑇=106𝑇0𝑥2𝑦𝑧2 𝐿5(𝐶º) (32) Continuamos con los cálculos en nuestra sección de los momentos de inercia, en nuestro caso para un perfil IPE 300 [3], cuyos parámetros muestro a continuación: Ilustración 7: Perfil IPE300. ℎ=300 𝑚𝑚 𝑏=150 𝑚𝑚 𝑒=7.1 𝑚𝑚 𝑒1=10.7 𝑚𝑚 Realizamos los cálculos, para ello dividimos el perfil en tres triángulos rectángulos, que serían el ala superior (1), ala inferior (3) y en el alma (2). Calculamos las características de cada barra de manera independiente. Obteniendo así la magnitud estática de la sección como la suma los tres momentos anteriores. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 34 { 𝐼1=∫ ∫ 𝑦2𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑏 2 −𝑏 2 ℎ 2 ℎ 2−𝑒1 𝐼2=∫ ∫ 𝑦2𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑒 2 −𝑒 2 ℎ 2−𝑒1 −(ℎ 2−𝑒1) 𝐼3=∫ ∫ 𝑦2𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑏 2 −𝑏 2 −(ℎ 2−𝑒1) −ℎ 2 𝐼=𝐼1+𝐼2+𝐼3=1.26𝑥10−7 [𝑚6] (33) Por último, calculamos la energía de deformación mediante un PTV, con la integral de tensiones y deformaciones reales en el volumen. En nuestro caso al ser un problema lineal, haremos la integral en el área, para calcularlo debemos hacer la integral de la ecuación de deformaciones virtuales, como el producto del número de Young por las deformaciones virtuales y las deformaciones iníciales, para ξ entre los valores(-1,+1), obteniendo una energía de deformación: 𝐸𝑑𝑒𝑓 =∫ 𝐸𝛿𝜀𝐽𝜀0𝑑𝜉= 1 −1 =1 27𝐿431250[(2𝑒1−ℎ)3+2𝑏3𝑒1(4𝑒12−6𝑒1ℎ+3ℎ2)]∗ ∗𝑇0𝐸𝛼(6𝛿𝑣2−5𝐿𝛿ѳ2) (34) Una vez calculada la energía de deformación, podemos obtener los vectores fuerzas equivalentes en el nodo [B] derivando la energía de deformación con respecto a los desplazamientos y giro en dicho nodo. 𝐹𝑒𝑞_𝐵 = ( 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑢𝐵 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑣𝐵 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕ѳ𝐵 ) (35) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 35 Realizamos el equilibrio en la barra para obtener el vector de fuerzas en el nodo [A], mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, obteniendo finalmente el vector de fuerzas equivalentes debido a carga térmica en la barra: 𝐹𝑒𝑞 = ( 0 −4901.76 −4901.76 0 4901.76 −24508.80 ) (36) 3.2 Tensiones iníciales 3.2.1 Tensiones iníciales. Caso general. Para el caso de tensiones iníciales, empleamos el modelo de barras en el que consideramos que las tensiones en el eje z e y son muy pequeñas y despreciables en comparación a las del eje x. 𝜎𝑦=𝜎𝑧=0 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜎𝑥 (37) También empleamos la teoría de la elasticidad lineal considerando barras esbeltas. Comenzamos los cálculos de la misma manera que los apartados anteriores, definimos los vectores de desplazamiento y el de deformaciones virtuales. La tensión inicial la debemos considerar dato, por ello he elegido la siguiente función: 𝜎0=𝑓𝑦𝑥2𝑦𝑧2 0.1𝐿5=25000𝑥2𝑦𝑧2 𝐿3(𝑃𝑎) (38) La energía de deformación la calculamos mediante un PTV, para ello realizamos la integral de longitud a lo largo de la barra del producto de las deformaciones virtuales y la tensión inicial. Pero antes necesitamos calcular los parámetros característicos de la barra por los que multiplicamos la energía de deformación, siendo "1" el factor que multiplica a la derivada del desplazamiento longitudinal y el parámetro “y” el que multiplica al transversal, pero que no debemos de confundir con las inercias al tener las mismas unidades. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 36 Estos parámetros se deben calcular para las alas superior (1) e inferior (3), ambas iguales, y para el alma (2) siendo el parámetro final la suma de las tres. En nuestro caso, al hacer las cuentas observamos que “x0” el cual multiplica por factor 1 (parámetro empleado en Mathematica para agrupar términos) nos da cero, pero no es lo general, es debido a la distribución de tensiones iniciales elegida, por lo que en la integral sustituiremos "𝑥0" por cero. 𝐴1=∫ ∫ 𝑦𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑏 2 −𝑏 2 ℎ 2 ℎ 2−𝑒1 𝐴2=∫ ∫ 𝑦𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑒 2 −𝑒 2 ℎ 2−𝑒1 −(ℎ 2−𝑒1) 𝐴3=𝐴1 𝑥0=𝐴1+𝐴2+𝐴3=0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 (39) El cálculo del otro parámetro también lo realizamos en las tres zonas en las que dividimos la sección: ala superior (1), alma (2)y ala inferior (3). En este caso nos da un valor diferente de cero y por el cual sustituiremos “y” en el PTV. 𝐼1=∫ ∫ 𝑦2𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑏 2 −𝑏 2 ℎ 2 ℎ 2−𝑒1 𝐼2=∫ ∫ 𝑦2𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑒 2 −𝑒 2 ℎ 2−𝑒1 −(ℎ 2−𝑒1) 𝐼3=∫ ∫ 𝑦2𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑏 2 −𝑏 2 −(ℎ 2−𝑒1) −ℎ 2 𝑦=𝐼1+𝐼2+𝐼3=1.26𝑥10−7[𝑚6] (40) Para calcular la energía de deformación debemos realizar la integral de longitud al ser un problema lineal del producto de la energía de deformación y la tensión inicial a lo largo de la coordenada generalizada: 𝐸𝑑𝑒𝑓 =∫ 𝛿𝜀𝐽𝜎0𝑑𝜉 1 −1 𝐸𝑑𝑒𝑓 =[−𝑒3(2𝑒1−ℎ)+ 2𝑏3 𝑒1(4𝑒12−6𝑒1ℎ+3ℎ2)]𝛿ѳ𝐵 (41) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 37 Una vez conocida la energía de deformación podemos calcular las resultantes en los extremos, realizando la derivada de dicha energía con respecto al desplazamiento longitudinal, transversal y giro del extremo de la derecha, obteniendo así el vector de fuerzas equivalentes de dicho extremo. Mediante equilibrio en la barra obtendremos el vector de fuerzas equivalentes en el otro extremo al tener un sistema de ecuaciones. 𝐹𝑒𝑞_𝐵 = ( 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑢𝐵 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑣𝐵 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕ѳ𝐵 ) (42) Finalmente, obtendremos el vector de fuerzas equivalentes en dicha barra en coordenadas locales. 𝐹𝑒𝑞 = ( 0 −2674.57 −2674.57 0 2674.57 −13372.90 ) (43) 3.2.2 Tensiones residuales Comenzaremos definiendo las tensiones residuales, como aquellas tensiones que permanecen después de ser causadas por fuerzas externas, en las piezas metálicas se producen como respuesta a los procesos de deformación plástica. Son auto equilibradas, es decir, si en un punto son de compresión en otro son de tracción, así mantiene el equilibrio mecánico. En este apartado estudiaremos las tensiones residuales debidas al proceso de fabricación de las vigas IPE 300. Dicha fabricación se lleva a cabo mediante el proceso de laminado en caliente con enfriamiento al aire. Estas tensiones se producen al enfriarse más rápido las alas que el alma al tener más aire alrededor. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 38 Comenzamos los cálculos definiendo lo mismo que en los casos anteriores, vectores de desplazamientos y deformaciones virtuales. El siguiente paso sería definir la distribución de tensiones en el ala superior considerando el valor máximo 0.2·fy, dándose en los extremos y en la mitad del ala, siendo negativo en los extremos como podemos ver en la siguiente figura [1]: Ilustración 8: Perfil de tensiones laminado en caliente. Obteniendo la siguiente distribución de tensiones en el ala superior e inferior al ser idénticas por simetría: 𝑓(𝑧)=0.2−0.8𝑧 𝑏 (44) Al realizar el cálculo del parámetro característico que multiplicará a la energía de deformación nos vuelve a ocurrir que sale cero tanto en las alas como en el alma. Lo debemos de calcular de manera independiente en cada zona y después sumarlos para obtener1", que en nuestro caso nos saldrá cero. El cálculo en el ala seria la integral de área de la distribución anteriormente obtenida y poniendo los límites de integración para los ejes z e y considerando la mitad del ala y multiplicando por dos el valor obtenido: 𝐴1=2∫ ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧=0 𝑏 2 0 ℎ 2 ℎ 2−𝑒1 𝐴3=𝐴1=0 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 (45) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 39 Nos faltaría calcularlo en el alma, considerando también media barra, desde el origen de coordenadas que el centro y el extremo de arriba: 𝐴2=2∫ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧=0 𝑒 2 −𝑒 2 ℎ 2−𝑒1 0 𝑥0=𝐴1+𝐴2+𝐴3=0 (46) A continuación repetiremos los calculo pero en el alma siendo de nuevo el valor máximo de la tensión 0.2·fy. En este caso las condiciones de contorno son el valor máximo con signo positivo en los extremos del alma y negativo en el centro, considerando el centro como el origen de coordenadas (véase en la figura anterior). La distribución de tensiones obtenida es: 𝑓(𝑦)=0.2− 0.8𝑦 𝑒1−0.5ℎ (47) Calculamos el parámetro “y” como el caso anterior pero usando la tensión de distribución nueva, como la suma de los parámetros de manera independiente de las alas y alma. Este parámetro lo emplearemos en la integral para la obtención de la energía de deformación que realizamos a continuación: 𝐼1=2∫ ∫𝑦𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧=0 𝑏 2 0 ℎ 2 ℎ 2−𝑒1 𝐼3=𝐼1=0 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝐼2=2∫ ∫ 𝑦𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧=9.18479 𝑥 10−6[𝑚4] 𝑒 2 −𝑒 2 ℎ 2−𝑒1 0 𝑦= 𝐼1+𝐼2+𝐼3= 9.18479 𝑥 10−6[𝑚4] (48) Continuamos con la distribución de tensiones en el eje x para después multiplicarlas por el límite elástico y así obtener las tensiones iniciales. Para ello definimos un polinomio de segundo grado y damos como condiciones de contorno que en los extremos la tensión sea cero al no ejercer esfuerzo sobre la barra ninguna fuerza externa y en el centro consideramos la tensión máxima y de valor igual a 1, obteniendo una distribución: 𝑓(𝑥)=2(1+𝜉)+(1−𝜉)2 (49) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 40 Por lo tanto la tensión inicial la podemos definir de manera general como: 𝜎0=𝑓(𝑥)𝑓𝑦 (50) Realizamos el PTV para el cálculo de la energía de deformación haciendo la integral de longitud del producto de las deformaciones virtuales y las tensiones iniciales, sustituyendo los parámetros por los valores calculados anteriormente, y obtenemos la siguiente energía de deformación: 𝐸𝑑𝑒𝑓 =∫ 𝛿𝜀𝜎0𝑑𝜉 1 −1 𝐸𝑑=𝑒𝑓𝑦[−0.04444𝑒12+ 0.04444𝑒1ℎ−0.01111ℎ2]𝛿ѳ𝐵 (51) Para finalizar calculamos el vector de fuerzas equivalentes en el extremo de la derecha con las derivadas de la energía de deformación con respecto los desplazamientos y el giro de dicho extremo: 𝐹𝑒𝑞_𝐵 = ( 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑢𝐵 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕𝑣𝐵 𝜕𝐸𝑑𝑒𝑓 𝜕ѳ𝐵 ) (52) Mediante equilibrio en la barra conseguiremos las fuerzas equivalentes del otro extremo. Nos quedaría entonces el siguiente vector fuerzas equivalentes de la barra en coordenadas locales: 𝐹𝑒𝑞= ( 0 0 1683.88 0 0 −1683.88 ) (53) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 41 Capítulo 4 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 48 𝐹𝑒𝑞_1=𝑇∗𝐹𝑒𝑚𝑝_1=𝑇∗ ( 0 𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 12 0 𝑞𝐿 2 −𝑞𝐿2 12 ) = ( 0 2.5 2.083 0 2.5 −2.083 ) • Elemento 2: el ángulo formado por los ejes locales y globales es α2=11.3º 𝐹𝑒𝑞_2=𝑇∗𝐹𝑒𝑚𝑝_2=𝑇∗ ( 0 𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 12 0 𝑞𝐿 2 −𝑞𝐿2 12 ) = ( 1. 5 8.498 1 5 −8.498 ) • Elemento 3: el ángulo formado por los ejes locales y globales es α3=90º 𝐹𝑒𝑞_3=𝑇∗𝐹𝑒𝑚𝑝_3=𝑇∗ ( 0 𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 12 0 𝑞𝐿 2 −𝑞𝐿2 12 ) = ( 0 2.5 2.083 0 2.5 −2.083 ) • Elemento 4: el ángulo formado por los ejes locales y globales es α4=-11.3º MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 49 𝐹𝑒𝑞2=𝑇∗𝐹𝑒𝑚𝑝2=𝑇∗ ( 0 𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 12 0 𝑞𝐿 2 −𝑞𝐿2 12 ) = ( 1. −5 −8.498 1 −5 8.498 ) Obteniendo un vector fuerzas equivalentes de la estructura ensamblando todos los anteriores: 𝐹𝑒𝑞 = ( 2.5 0 −2.083 2.5 −5.099 −6.415 0 −10.198 0 2.5 −5.099 10.581 2.5 0 −2.083 ) Continuamos los cálculos definiendo el vector desplazamiento (uest ) y el de las fuerzas en los nodos (Fest). Para el caso del vector desplazamiento sabemos que los nodos “a” y “e” están empotrados, por lo cual sus desplazamientos y giros serán nulos, siendo la incógnita el resto de nodos: MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 50 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 𝑢𝑏 𝑣𝑏 ѳ𝑏 𝑢𝑐 𝑣𝑐 ѳ𝑐 𝑢𝑑 𝑣𝑑 ѳ𝑑 0 0 0 ) Para la definición del vector de las fuerzas en los nodos será al contrario, solo tendremos en cuenta las fuerzas en los nodos empotrados al ser las únicas reacciones existentes por el empotramiento anteriormente definido: 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 𝐹𝑥1 𝐹𝑦1 𝑀1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐹𝑥2 𝐹𝑥2 𝑀2 ) Con estos vectores definimos nuestras condiciones de contorno, pudiendo así emplear la ecuación matricial para resolver nuestro sistema: 𝐹𝑒𝑠𝑡+𝐹𝑒𝑞 =𝐾𝑒𝑠𝑡+𝑢𝑒𝑠𝑡 Para su resolución seleccionamos las ecuaciones en las que son incógnita los desplazamientos, en nuestro caso serian MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 51 la 4,5,6,7,8,9,10,11 y 12, y al ser las únicas incógnitas en el sistema de ecuaciones obtendríamos que los desplazamientos son (m): 𝑢𝑒𝑠𝑡= ( 0 0 0 −0.001056 −0.000044 −0.001077 0.002684 −0.01919 0.000239 0.006424 −0.000046 0.000116 0 0 0 ) Realizamos el siguiente sistema de ecuaciones pero esta vez seleccionado únicamente las ecuaciones en las que la incógnita son las fuerzas de los nodos, serian las ecuaciones 1, 2, 3, 13, 14 y 15, obteniendo así dichas fuerzas (N): 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 3.819 9.950 −9.933 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −13.819 10.446 29.973 ) Continuamos realizando los diagramas de axiles, cortantes y momentos flectores para que los cálculos sean más visuales y ver donde se dan los máximos en la estructura. Los cálculos estarán en la parte de Anexos como código del programa empleado en los cálculos, Wolfram Mathematica, MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 52 a continuación mostraremos los diagramas de esfuerzos y la deformada de la estructura: • Axil Ilustración 12: Diagrama de axiles, NX(x). • Cortante Ilustración 13: Diagrama de cortantes, Vy(x). • Momento flector Ilustración 14: Diagrama de momento flector, Mz(x). El máximo momento flector se da en la barra 3 (pilar de la derecha) y tiene un valor de Mmáx=29.973 (kNm). Para finalizar los cálculos dibujaremos la deformada de la estructura para las cargas distribuidas que afectan a la estructura y así poder ver el punto que sufre el máximo MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 53 desplazamiento. Como se puede ver el máximo desplazamiento ocurre en la segunda barra (dintel de la izquierda) para la coordenada x=9.76 (m) y tiene un valor de δ=0.019 (m). Ilustración 15: Diagrama de la deformada (x 100). 4.2 Deformación inicial pilar izquierdo. El siguiente caso de aplicación práctica corresponde con que él en pilar izquierdo de la estructura tenemos una deformación inicial. Seguiremos la metodología de resolución del punto anterior, empezando por el cálculo de la matriz de rigidez. Como podemos observar en la definición general de la matriz de rigidez, solo depende del área, la inercia y la longitud de las barras y del módulo de Young (A, Iz, L, E). Esto quiere decir que con respecto al caso práctico anterior la matriz de rigidez tanto elemental como la de la estructura no varía. Las fuerzas de empotramiento para deformación inicial están calculadas y demostradas en el apartado de deformaciones iníciales, Debemos tener en cuenta de la deformación inicial solo se tendrá en cuenta en el pilar de la izquierda, barra a-b, por ello solo esa barra tendrá fuerzas de empotramiento y tendrán un valor de: 𝐹𝑒𝑚𝑝𝑎−𝑏 = ( 0 2.6351 2.1959 0 −2.63519 10.98 ) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 54 Calculamos las fuerzas equivalentes con las fuerzas de empotramiento anteriores y la matriz de giro. De la misma manera que ocurre con las de empotramiento, estas fuerzas equivalentes solo existirán en la barra a-b. 𝐹𝑒𝑞𝑎−𝑏 = ( 2.6351 0 −2.1959 −2.6351 0 −10.98 ) El vector fuerzas equivalente de la estructura nos quedará: 𝐹𝑒𝑞 = ( 2.6351 0 −2.1959 −2.6351 0 −10.98 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Definimos de la misma manera el vector desplazamiento y fuerzas de la estructura, siendo las incógnitas de nuestro problema: MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 55 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 𝑢𝑏 𝑣𝑏 ѳ𝑏 𝑢𝑐 𝑣𝑐 ѳ𝑐 𝑢𝑑 𝑣𝑑 ѳ𝑑 0 0 0 ) 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 𝐹𝑥1 𝐹𝑦1 𝑀1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐹𝑥2 𝐹𝑥2 𝑀2 ) Con los vectores anteriores quedarían definidas nuestras condiciones. Aplicamos la ecuación matricial en la resolución de nuestro sistema. 𝐹𝑒𝑠𝑡+𝐹𝑒𝑞 =𝐾𝑒𝑠𝑡∗𝑢𝑒𝑠𝑡 Para la resolución diferenciamos dos sistemas de ecuaciones. El primero el que formarían las ecuaciones en las que los desplazamientos son incógnitas, serán las ecuaciones 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 del sistema. Obteniendo así los siguientes desplazamientos: 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 −0.000377 0.000057 −0.000526 −0.000148 −0.001154 0.000126 0.000079 −0.000057 0.000020 0 0 0 ) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 56 Repetimos la operación, pero esta vez con las ecuaciones en las que las incógnitas son las fuerzas de la estructura, ecuaciones 1, 2, 3, 13, 14 y 15. El vector fuerzas de la estructura nos quedara: 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 0.219 −0.130 −3.091 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.219 0.130 0.477 ) Para continuar con el estudio realizaremos los diagramas de axiles, cortantes y momentos flectores. Con ellos poder visualizar los puntos donde son máximos y en los cálculos realizados con Mathematica se verá el valor exacto, estos códigos estarán en el apartado Anexos. • Axil Ilustración 16: Diagrama de axiles, Nx(x). MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 57 • Cortante Ilustración 17: Diagrama de cortantes, Vy(x). • Momento flector Ilustración 18: Diagrama de momento flector, Mz(x). Como se puede observar el momento máximo se da en el pilar donde actúa la deformación inicial, barra a-b. El valor del momento máximo será Mmáx=3.0916 (kNm) y se da en el nodo a. La aparición de deformación inicial en el pilar supone un incremento del 10.31% del momento flector con respecto al caso de cargas distribuidas uniformes. Finalizando con el estudio, dibujaremos la deformada de la estructura bajo el efecto de tensión inicial en el pilar izquierdo. Podremos ver qué punto sufre el mayor desplazamiento y como en el caso de los diagramas, mediante el programa Mathematica obtendremos de forma numérica el punto y el valor de desplazamiento que sufre: Ilustración19: Diagrama de la deformada (x 1000). MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 64 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 𝑢𝑏 𝑣𝑏 ѳ𝑏 𝑢𝑐 𝑣𝑐 ѳ𝑐 𝑢𝑑 𝑣𝑑 ѳ𝑑 0 0 0 ) 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 𝐹𝑥1 𝐹𝑦1 𝑀1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐹𝑥2 𝐹𝑥2 𝑀2 ) Aplicamos la ecuación matricial para resolver nuestro sistema. Para la resolución lo volvemos a dividir en dos sistemas, diferenciando las ecuaciones con incógnitas en desplazamientos y el otro con las fuerzas. Nuestro primer sistema constara de las ecuaciones 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Obtendremos los siguientes desplazamientos de la estructura al resolver el sistema: 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 0.000238 2.21𝑥10−7 −0.000137 0.000242 −0.000030 0.000048 0.000247 −2.21𝑥10−7 −0.000056 0 0 0 ) De la misma manera agrupamos las ecuaciones 1, 2, 3, 13, 14 y 15. Obteniendo las siguientes fuerzas de la estructura: MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 65 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 0.179 −0.050 −1.648 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.179 0.050 0.646 ) Seguidamente, realizamos los diagramas de axil, cortante y momento flector. Únicamente expondremos los diagramas, los cálculos estarán en los códigos de Mathematica disponibles en Anexos. • Axil Ilustración 24: Diagrama de axil, Nx(x). • Cortante Ilustración 25: Diagrama de cortante, Vy(x). MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 66 • Momento flector Ilustración 26: Diagrama de momento flector, Mz(x). El momento máximo ocurrirá en la barra donde actúa la tensión inicial, (barra a-b), exactamente en el nodo a. El momento máximo será Mmáx=57.157 (kNm), Este valor es mucho mayor comparándolo el caso de deformación en el pilar.La aparición de tensión inicial en el pilar supone un incremento del 52.43% del momento flector con respecto del caso de carga distribuida uniforme. Finalizamos el estudio con la deformada de la estructura bajo la acción de tensión residual en el pilar izquierdo (barra ab). En este diagrama podemos ver el punto de máximo desplazamiento y el comportamiento de la estructura: Ilustración27: Diagrama de la deformada (x 2500). Como se puede observar, el punto de máximo desplazamiento se encuentra en la barra b-c, en la coordenada x=4.227 (m) y tiene un valor de δ=0.000255 (m). 4.5 Tensión inicial dintel izquierdo Nuestra última aplicación práctica se tendremos tensión inicial en el dintel izquierdo, barra b-c. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 67 La estructura sigue siendo la misma que en los casos anteriores, por ello la matriz rigidez tanto de cada barra como rigidez no variara. En relación a las fuerzas de empotramiento, únicamente las tendremos en la barra donde actúa la tensión inicial y por consiguiente las fuerzas equivalentes serán: 𝐹𝑒𝑞𝑏−𝑐 = ( 0 0 −1.683 0 0 1.683 ) 𝐹𝑒𝑞 = ( 0 0 0 0 0 1.683 0 0 −1.683 0 0 0 0 0 0 ) Definimos los vectores desplazamiento y fuerzas en la estructura y aplicamos nuestras condiciones de contorno. Estas condiciones son apoyos empotrados y como únicas fuerzas las reacciones y momentos en dichos apoyos (a, d) siendo nuestras incógnitas las siguientes: MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 68 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 𝑢𝑏 𝑣𝑏 ѳ𝑏 𝑢𝑐 𝑣𝑐 ѳ𝑐 𝑢𝑑 𝑣𝑑 ѳ𝑑 0 0 0 ) 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( 𝐹𝑥1 𝐹𝑦1 𝑀1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐹𝑥2 𝐹𝑥2 𝑀2 ) Agrupamos las ecuaciones en las que las incógnitas son desplazamientos (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12) formando el sistema del que obtendremos los desplazamientos: 𝑢𝑒𝑠𝑡 = ( 0 0 0 −0.000359 2.26𝑥10−7 0.000186 −0.000363 0.000030 −0.00019 −0.00036 −2.26𝑥10−7 0.000104 0 0 0 ) El sistema del que obtendremos las fuerzas lo formaran las ecuaciones 1, 2, 3, 13, 14 y 15. Las fuerzas serán las siguientes: MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 69 𝐹𝑒𝑠𝑡 = ( −0.179 −0.051 −0.205 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.179 0.051 −0.816 ) Realizaremos los diagramas de axil, cortante y momento flector para ver el comportamiento de la estructura en estas condiciones. • Axil Ilustración 28: Diagrama de axil, Nx(x). • Cortante Ilustración 29: Diagrama de cortantes, Vy(x). • Momento flector MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 70 Ilustración 30: Diagrama de momento flector, Mz(x). Como se puede comprobar en los cálculos el máximo momento flector ocurre en la barra donde actúa la tensión inicial (barra b-c) en el nodo b. Este momento máximo tiene un valor de Mmax=56.8443 (kNm).La aparición de tensión inicial en el dintel supone un incremento del 52.72% del momento flector con respecto al caso de carga distribuida uniforme. Para finalizar el estudio realizaremos el diagrama de la deformada y así se podrá comprobar el punto que sufre el mayor desplazamiento. Ilustración31: Diagrama de la deformada (x 2500). El máximo desplazamiento se da en la barra b-c, donde tenemos la tensión inicial, en la coordenada x=5.278 (m) y tiene un valor de δ=0.000492 (m). Compararemos los esfuerzos y los desplazamientos de los casos con tensión inicial en pilar y dintel. Como se puede observar en los diagramas de esfuerzos axil y cortante no podemos decir que haya una diferencia significativa. En el caso del diagrama de momento flector la diferencia vuelve a ser entre las barras en las que tenemos tensión principalmente. En el caso con tensión inicial en el pilar el momento máximo ocurre en la barra afectada y tiene un valor de Mmáx=57.157 (kNm). En la estructura en la que la tensión afecta MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 71 al dintel, el momento máximo aparece en dicho dintel y tiene un valor de Mmáx=56.8443 (kNm). Como podemos ver los valores son muy similares y mucho mayores que en los casos que tenemos deformación inicial. Realizando la comparativa de los desplazamientos máximos a través de la deformada, podemos decir que es mayor en el caso de tensión inicial en el dintel, siendo casi el doble que cuando afecta al pilar con un valor de δ=0.000495 (m) y cuando afecta al pilar es δ=0.000255 (m) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 72 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 73 Capítulo 5 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 80 horas diarias. El ingeniero trabaja un total de 1776 horas anuales. Días totales en un año 365 Fines de semana 104 Días festivos reconocidos 11 Días laborales de vacaciones 22 Días de asuntos personales 6 Total días útiles de trabajo 22 A razón de 8 horas diarias 1776 horas/año La siguiente tabla mostrara los costes anules que supone tener un trabajador: Salario bruto 32000€/año Prestación a la seguridad social (30%) 96000€/año Formación en riesgos laborales 150€/año Total 41750€/año Coste de mano de obra por hora 23.50€/hora Distribuimos el tiempo empleado para la realización de nuestro estudio y las actividades realizadas. Para ello diferenciamos las horas de equipo empleadas para calcular los costes del material amortizable y las horas empleadas por el ingeniero: fase Horas ingeniero Horas equipo Análisis previo 50 - Estudios preliminares 85 60 Familiarización Wolfram Mathematica 15 30 Análisis general del programa 30 80 Escritura del programa 100 350 Puesta a punto y correcciones 30 80 Validación de resultados 30 60 Preparación de la documentación 75 75 Nº total de horas 400 735 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 81 Por todo lo expuesto anteriormente, el coste de que ujn ingeniero trabaje 400 con un sueldo de 23.50€/hora, supone un coste de mano de obra de 9400€. 6.2.2 Material amortizable Estos costes están asociados a las licencias software y al equipo informático empleado en el proyecto. Suponemos una amortización lineal media de 3 años. Para nuestro estudio el material amortizable empleado seria: ▪ Ordenador portátil Asus GL553VD-DM064T ▪ Licencia de software Wolfram Mathematica La estimación de vida útil de los materiales amortizables adquiridos la consideramos de 3 años, que son 1776 horas laborales por año, los equipos y licencias tendrán un uso de vida útil de 5328 horas. Desglosamos el desembolso inicial del material, la utilización y el coste de amortización de cada uno: Material Desembolso inicial Coste/hora Horas empleadas Coste de amortización Ordenador portátil 945 0.177€/hora 735 130.09€ Wólfram Mathematica 8300 1.55€/hora 600 930€ Total 1060.09€ Los costes totales del material amortizable son mil sesenta euros con nueve céntimos. 6.2.3 Material no amortizable Este coste lo formarían los gastos derivados de la realización del estudio: Material de representación grafica 140€ Encuadernación 80€ Total 220€ MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 82 Por lo tanto, los gastos del material no amortizable serian de ciento cincuenta euros. 6.2.4 Costes directos totales Los costes directos totales que nos supondría la realización del estudio serian: Los costes directos totales ascenderán a un valor de diez mil seiscientos ochenta euros con nueve céntimos. 6.3 Costes indirectos Los costes indirectos englobarían los gastos de las actividades de la empresa que no se pueden atribuir a ninguna actividad específica. Los dividimos en costes administrativos y de explotación (electricidad, internet, telefonía,…): Costes administrativos 200€ Costes de explotación 500€ Total 700€ Los costes indirectos ascenderían a seiscientos euros. 6.4 Costes totales Para concluir el estudio económico del proyecto fin de carrera, mostraremos en la siguiente tabla los costes directos e Mano de obra 9400€ Material amortizable 1060.09€ Material no amortizable 220€ Total 10680.09€ MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 83 indirectos, obteniendo así los costes totales de la realización del estudio: Costes directos 10680.09€ Costes indirectos 700€ Costes totales 11380.09€ +21% IVA 13769.09€ Los costes totales del proyecto, aplicando el 21% de IVA, asciende a trece mil setecientos sesenta y nueve euros con nueve céntimos. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 84 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 85 Bibliografía y webgrafía Bibliografía [1] Valladares Valdivieso, Rolando Daniel. Alivio de tensiones mediante vibraciones subarmónicas en uniones soldadas de acero al carbono, 2017. [2] Cacho Pérez, Mariano. Magdaleno González, Álvaro. Del Caño Sánchez, Juan Carlos. Modelado numérico de sistemas sólidos. ISBN: 978-84-1320-126-9 [3] Catalogo técnico vigas de acero- BEKAERT [4] Lozano Mondragón, Francisco A. Ramírez Camacho, Jessica.Durante Ramírez, Abraham. Manual. Introducción a la programación en Mathematica. [5] Jarcia Rodero, Gorka. Trabajo Fin de Máster en Ingeniería de Materiales y Fabricación. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales y Telecomunicación [6] De Justo Moscardó, Enrique. Delgado Trujillo, Antonio. Fernández Serrano, Antonia. Bacón Hurtado, María Concepción. Tema 8: Deformaciones Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del terreno.E.T.S de Arquitectura. Universidad de Sevilla. [7] García Rodero, Gorka. Alivio de tensiones residuales: Tratamiento térmico vs Vibración. Trabajo Fin de Máster en Ingeniería de Materiales y Fabricación. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones. Septiembre 2014 Webgrafía [8] DPM04. Resistencia de materiales Traccióncompresión. https://ikastaroak.birt.eus/edu/argitalpen/backupa/20200331/1920k/es/D FM/DPM/DPM04/es_DFM_DPM04_Contenidos/website_21_traccincompre sin.html (fecha de última consulta: julio de 2021) [9]Matriz de transformación deformaciones-desplazamientos B. https://www.thefinitelement.com/matriz-deformaciones-desplazamientos- b (fecha de última consulta: julio de 2021) MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 86 MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 87 Anexos Anexo 1: Cálculos metodología de los ejemplos En este anexo mostraremos los cálculos realizados con el programa Wolfram Mathematica de la metodología necesaria para el estudio, para comprobar que los resultados sean correctos. A continuación se dispondrán imágenes de los códigos de los cálculos. • Matriz de rigidez MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 88 • Carga distribuida Continuamos con los códigos de Mathematica en el estudio de las deformaciones iníciales. MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 89 • Barra doblada MÉTODO MATRICIAL DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ESBELTAS. EFECTO DE TENSIONES INICIALES Y/ODEFORMACIONES INICIALES. FORMULACION GENERAL 96 Para finalizar los cálculos faltaría mostrar los códigos de los casos prácticos en los que sobre el pórtico actúan tensiones y/o deformaciones: carga distribuida, deformación inicial en el pilar y dintel izquierdo, tensión inicial en el pilar y dintel derecho. Estos códigos se adjuntarán junto a los anteriores mostrados en una carpeta debido a que al ser extensos alargarían el informe de nuestro estudio.