Valoraciones, cuerpos de Hardy y estructuras o-minimales

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Valoraciones, Cuerpos de Hardy y Estructuras o-minimales Autor: Antonio Casares Santos Tutor: Fernando Sanz Sánchez ´ Indice general Introducci´on 1 1. Valoraciones de cuerpos 7 1.1. Gruposordenados ........................ 7 1.1.1. Grupos arquimedianos y orden lexicogr´afico . . . . . . 10 1.1.2. Rango y clases arquimedianas de un grupo ordenado . 12 1.1.3. Rango racional de un grupo ordenado . . . . . . . . . 16 1.1.4. Teorema de la Inmersi´on de Hahn . . . . . . . . . . . 17 1.2. Valoraciones............................ 19 1.2.1. Definiciones y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . 19 1.2.2. Anillo de valoraci´on. Cuerpo residual . . . . . . . . . . 22 1.2.3. Ejemplos caracter´ısticos de valoraciones . . . . . . . . 24 1.2.4. Construcci´on de valoraciones con rango y rango racionalarbitrario....................... 29 2. Cuerpos de Hardy 31 2.1. Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Extensiones de cuerpos de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2. Extensiones por soluciones de EDOs . . . . . . . . . . 42 2.3. L-funciones de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4. Relaciones de comparaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . 46 2.5. Valoraci´on de un cuerpo de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1. Valoraci´on de l’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.2. Rango y rango racional . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6. El teorema de Borel-Van den Dries . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Estructuras o-minimales 63 3.1. Conjuntos semi-algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Generalidades de las estructuras o-minimales . . . . . . . . . 67 3.3. Cuerpo de Hardy de una estructura o-minimal . . . . . . . . 72 Bibliograf´ıa 76 I II ´ INDICE GENERAL Introducci´on En este Trabajo Fin de Grado se presenta una introducci´on a la teor´ıa de cuerpos de Hardy, que son cuerpos de g´ermenes de funciones estables por derivaci´on. Estas estructuras proporcionan un marco perfecto para tratar la condici´on de no oscilaci´on, y la valoraci´on asociada a ellos permite formalizar y cuantificar la idea de orden de infinitud de una funci´on. Las estructuras o-minimales, introducidas en el ´ultimo cap´ıtulo, permiten realizar una “geometr´ıa moderada” posibilitando el estudio de la no-oscilaci´on en dimensi´on superior. Es por ello que a partir de las funciones de una estructura o-minimal vamos a poder crear nuevos cuerpos de Hardy con propiedades especialmente buenas. A lo largo de este trabajo se har´a un recorrido por diversos temas en los que se aplican y ampl´ıan los contenidos vistos en distintas asignaturas del Grado (´algebra, an´alisis en una y varias variables, variable compleja, ecuaciones diferenciales...). Adem´as, el estudio de las estructuras o-minimales y temas relacionados ha sido una ocasi´on para empezar a conocer los lenguajes l´ogicos y ver c´omo la l´ogica puede aplicarse a otras ramas de las matem´aticas. Todo ello ha sido una oportunidad para ilustrar c´omo se pueden relacionar todas estas ´areas de las matem´aticas en un tema transversal como es la teor´ıa de cuerpos de Hardy. Aunque el t´ermino y su definici´on actual no se acu˜n´o hasta mucho m´as tarde, se puede decir que el estudio de los cuerpos de Hardy surgi´o a finales del siglo XIX a partir de los trabajos de Paul du Bois-Reymond sobre ´ordenes de infinitud de funciones de una variable real [Bou07, Har10]. En ellos se defin´ıan formas de comparar el crecimiento asint´otico de funciones, siendo ´este uno de los primeros sistemas en el que la propiedad arquimediana no era v´alida. Tambi´en se exhib´ıa la dificultad que entra˜naba esta cuesti´on, con la existencia de ejemplos patol´ogicos de funciones que no se pueden comparar de forma adecuada entre ellas. Este tema suscit´o el inter´es de numerosos matem´aticos de la ´epoca como Borel, Hadamard, Lindel¨of, etc. (Inter´es que se enmarca en la procupaci´on existente por entender los conceptos de infinito y de l´ımite). Es destacable el influyente art´ıculo Orders of Infinity de G.H. Hardy, [Har10], en el que revisa y dota de rigor las ideas de du Bois-Reymond. En ´el define las L-funciones (que surgen al componer logaritmos, exponenciales y funciones racionales); estudia el comportamiento de 1 2INTRODUCCI ´ ON las relaciones de comparaci´on por derivaci´on e integraci´on y estudia patolog´ıas surgidas en muchos casos de alg´un tipo de oscilaci´on de las funciones. Por ejemplo, muestra c´omo la funci´on f(x) = (xγ+δcos2x+xγ−δsin2x)exρ (para valores convenientes de γ, δ y ρ) es mon´otona, al igual que todas sus derivadas, pero a pesar de ello oscila entre las funciones xγ+δexρyxγ−δexρ, impidiendo su comparaci´on adecuada con las L-funciones (figura 1). 1 2 3 4 5 6 101 102 103 104 105 106 107 108 Figura 1: Gr´afica de la funci´on (xcos2x+ sin x)ex1,6oscilando entre ex1,6y xex1,6(en escala logar´ıtmica). Fue Bourbaki (en la primera edici´on de 1951 de [Bou07]) quien utiliz´o por primera vez el t´ermino cuerpo de Hardy, defini´endolo como un cuerpo de g´ermenes de funciones cerrado por derivaci´on. Este concepto generaliza las L-funciones de Hardy, y nos proporciona una estructura en la que las propiedades deseadas de no oscilaci´on son satisfechas (y que de hecho, permiten precisar el concepto de no oscilaci´on buscado por Hardy). El avance en la teor´ıa de cuerpos de Hardy fue propulsado notablemente por Rosenlicht y Boshernitzan en los a˜nos ochenta. Desde entonces, numerosos resultados y aplicaciones han sido hallados, y han dado lugar a una activa ´area de investigaci´on. En estos trabajos tiene gran relevancia la valoraci´on que se define en un cuerpo de Hardy a partir de las relaciones de comparaci´on de funciones, permitiendo cuantificar los ´ordenes de infinitud y trabajar con ellos, aplicando los conocimientos ya existentes sobre la teor´ıa de las valoraciones. Esta valoraci´on fue propuesta por primera vez por Lightstone y Robinson en 1975 (seg´un [Ros83a]), sorprendentemente tarde teniendo en cuenta que se encuentra en gran medida presente de forma impl´ıcita en los trabajos de Hardy y Borel en sus intentos por representar ´ordenes de infinito con s´ımbolos [Har10, p´ag. 34] [Bor99, p´ag. 17]. Adem´as, le regla de INTRODUCCI ´ ON 3 l’Hˆopital para l´ımites de funciones se traduce en propiedades de esta valoraci´on, d´andonos una interpretaci´on m´as clara de este teorema en t´erminos de los ´ordenes de crecimientos de funciones y sus derivadas. Como un ejemplo de la utilidad de estas propiedades se presentar´a en este trabajo (secci´on 2.6) la demostraci´on de un resultado conjeturado por Borel en 1899 [Bor99] en el que se afirma, dicho de forma algo imprecisa, que las soluciones no oscilantes de ecuaciones diferenciales algebraicas de orden ntienen un crecimiento asint´otico acotado por ncomposiciones de exponenciales. Nos hemos basado en una prueba dada por L. van den Dries en un trabajo manuscrito, [Dri82], que parece no haber sido publicado. Hemos querido transcribir y completar aqu´ı todos los detalles de esta prueba para familiarizarnos con las t´ecnicas vinculadas a las valoraciones de l’Hˆopital, polinomios diferenciales y comportamiento de la funci´on exponencial en t´erminos de esta valoraci´on. En este sentido, el subapartado 2.6 contiene, junto con el 2.2, la parte m´as t´ecnica de este TFG. En este otro apartado mencionado, el 2.2, se probar´a que las extensiones de un cuerpo de Hardy por una funci´on fque satisface una ecuaci´on algebraica o diferencial de primer orden y primer grado sigue siendo de Hardy. Para ello se combinar´an diversos resultados vistos en el grado (haciendo un notable uso del teorema de las funciones impl´ıcitas, adem´as de varios resultados de ´algebra). Antes de adentrarnos en el estudio de los cuerpos de Hardy, se dedicar´a el primer cap´ıtulo a la teor´ıa de valoraciones. Las primeras ideas que suscitaron la noci´on de valoraci´on tienen su origen en los trabajos de Dedekind y Weber sobre lugares en 1882, y en aquellos de Hensel sobre los n´umeros p- ´adicos (1897) [Bou06]. En estos trabajos se buscaba aplicar procedimientos m´as propios del an´alisis, como el desarrollo en serie de potencias, a la teor´ıa de n´umeros y al ´algebra. Una abstracci´on de los conceptos all´ı utilizados dieron lugar al concepto de valor absoluto (K¨urschak, 1913), que a su vez dio lugar al de valoraci´on, introducido por primera vez por Krull en 1931. El lenguaje de las valoraciones es especialmente ´util para expresar y cuantificar cuestiones relativas a la divisibilidad en anillos, utilizando para ello los grupos ordenados. Esta teor´ıa tiene importantes aplicaciones en ´areas como geometr´ıa algebraica (concretamente, pero no ´unicamente, en resoluci´on de singularidades) o teor´ıa de n´umeros. Es un tema muy amplio, y en este trabajo nos centraremos ´unicamente en los aspectos que ser´an m´as relevantes en su aplicaci´on posterior a los cuerpos de Hardy (como el estudio de valoraciones con rangos superiores a 1), sin discutir, por ejemplo, las valoraciones discretas. A lo largo de esta memoria se encuentran numerosos ejemplos que pretenden ilustrar y aclarar las ideas presentadas. Asimismo, se ha realizado un esfuerzo por motivar los conceptos que surgen en el desarrollo de la teor´ıa, 4INTRODUCCI ´ ON y por resaltar la importancia o utilidad de los resultados demostrados en relaci´on con la tem´atica general de los cuerpos de Hardy y sus aplicaciones. Al principio de los cap´ıtulos 1 y 3 se mencionar´an los libros o art´ıculos en los que est´an basados de forma predominante. En el segundo cap´ıtulo esta anotaci´on se har´a al principio de cada secci´on, debido a la mayor variabilidad en la bibliograf´ıa utilizada. Se proporcionar´an referencias concretas para las afirmaciones de las que no se incluya una demostraci´on detallada. La teor´ıa de cuerpos de Hardy tiene aplicaciones que van mucho m´as all´a de lo mostrado en esta memoria. Algunas de ellas tienen relaci´on con el estudio cuantitativo de soluciones de ecuaciones diferenciales y curvas integrales de campos de vectores; desarrollos asint´oticos de funciones en distintas escalas o con las transseries y el an´alisis no est´andar. Este trabajo ha sido una buena oportunidad para introducirse a los fundamentos de estos temas y atisbar las m´ultiples v´ıas de continuaci´on en su estudio. Finalmente, quer´ıa agradecer al profesor Fernando Sanz el haber aceptado dirigir este trabajo a pesar de que yo no me haya encontrado en Valladolid este a˜no. Sus explicaciones y correcciones han sido de gran valor, y me ha permitido conocer diversas l´ıneas actuales de investigaci´on en matem´aticas. Notaci´on En este trabajo todos los anillos y cuerpos se considerar´an conmutativos y unitarios. Para los grupos abelianos se usar´a notaci´on aditiva (la operaci´on de grupo se denotar´a por + y el elemento neutro por 0). La clase de un elemento a∈Aen un cociente A/B se denotar´a por [a], pudiento omitirse los corchetes si no hay lugar a confusi´on. R0denota el conjunto {0}. Para una funci´on f:Rm→Rse denotar´a la derivada parcial respecto a la componente i-´esima en x0por ∂xif(x0), siendo xiel s´ımbolo elegido para nombrar a esta componente. NN´umeros naturales, sin incluir el 0 ZN´umeros enteros QN´umeros racionales RN´umeros reales CN´umeros complejos Z≥0N´umeros enteros no negativos R>0N´umeros reales extrictamente positivos R R ∪{−∞,∞} (Recta completada) A\BDiferencia conjuntista de AyB AcComplementario de A(en un conjunto ambiente determinado) A∗Grupo de unidades del anillo A Frac(A) Cuerpo de fracciones del dominio de integridad A FqCuerpo finito con qelementos Ck(I) Conjunto de funciones de clase Cken el intervalo I ˚ AInterior del conjunto A AClausura del conjunto A ∂A Frontera del conjunto A 5 12 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS Se tiene que si n > 1, y los Γison no triviales, el grupo n Q k=1 Γkes noarquimediano, pues (α1,0,...,0) > n(0, α2,...,0) ∀n∈N, con α1, α2>0. Esto permite ver, por ejemplo, Zn,Rn´o Z×Q×Rcomo grupos ordenados no-arquimedianos. Orden lexicogr´afico en productos infinitos La definici´on anterior se puede extender a productos de la forma ∞ Q k=1 Γk. Con m´as generalidad, si Ies un conjunto de ´ındices bien ordenado, se puede dotar a Q k∈I Γkde un orden total compatible con la suma. (Recordemos que Q k∈I Γkes un grupo con la suma definida por componentes y que un conjunto (I, ≤) se dice bien ordenado si todo subconjunto no vac´ıo de Itiene un elemento m´ınimo). Definimos: (ai)i∈I<(bi)i∈I⇔am< bmsiendo m= m´ın{j∈I|aj6=bj}(1.2) (El ´ındice mde (1.2) est´a bien definido por ser Ibien ordenado, y este orden es compatible con la suma.) Con este orden se pueden considerar, por ejemplo, ZNyRNcomo grupos ordenados. Exactamente de la misma forma se puede ver como un grupo ordenado la suma directa de grupos L k∈I Γk:= {(ai)i∈I|ai∈Γiyai= 0 ∀i∈Iexcepto para un n´umero finito de ´ındices}. Adem´as, si Ies bien ordenado L k∈I Γk es un subgrupo de Q k∈I Γk, y el orden definido como en (1.2) coincide con el orden inducido como subgrupo. Pero lo m´as interesante en este caso es que no se necesita que Iest´e bien ordenado. El hecho de que s´olo un n´umero finito de componentes sean distintas de 0 permite comparar cualquier par de elementos como en (1.2), pues msigue estando bien definido. Es inmediato que es compatible con la suma. En lo que sigue, siempre que aparezca un grupo producto de grupos ordenados se considerar´a ordenado por el orden lexicogr´afico, a no ser que se indique lo contrario. 1.1.2. Rango y clases arquimedianas de un grupo ordenado Se ha visto que los productos del tipo Rnson grupos ordenados con el orden lexicogr´afico. Se puede ver Rcomo un subgrupo de Rnde nformas 1.1. GRUPOS ORDENADOS 13 distintas, qued´andose con la i-´esima componente, 1 ≤i≤n. M´as en general, hemos visto que en varios ejemplos se puede ver un grupo ordenado como un producto de grupos arquimedianos. El objetivo de esta secci´on es formalizar c´omo contar el n´umero de componentes arquimedianas de un grupo ordenado cualquiera, a lo que se denominar´a el rango del grupo. Definici´on 1.10. Se llama un subgrupo aislado de un grupo ordenado (Γ,≤) a un subgrupo A≤Γ propio (i.e. distinto del total) tal que para todos a∈A, b∈Γ, |b|≤|a|implica b∈A. Observaci´on. Para ver que un subgrupo Aes aislado basta comprobar que si a∈A,b∈Γ, y 0 ≤b≤aentonces b∈A. Esto es as´ı puesto que en un subgrupo A,α∈A⇔ −α∈A. Proposici´on 1.11. El conjunto de subgrupos aislados de un grupo ordenado est´a totalmente ordenado por inclusi´on. Demostraci´on. Sean AyBsubgrupos aislados de un grupo ordenado Γ. Si ninguno estuviese contenido en el otro, existir´ıan a∈A,b∈Btales que a /∈B,b /∈A. Ahora bien, si |b| ≤ |a|, entonces b∈A, y si |a|≤|b|, entonces a∈B. En cualquier caso tenemos una contradicci´on. Definici´on 1.12. Se define el rango de un grupo ordenado Γ como el n´umero de subgrupos aislados de Γ, en caso de que ´este sea finito, y se dir´a que es infinito en caso contrario. Se denotar´a por rg(Γ). Nota. Se puede hacer una diferenciaci´on m´as precisa en el caso de que un grupo tenga infinitos grupos aislados, definiendo el rango como el tipo de ordinal del conjunto de grupos aislados (bien definido pues este conjunto est´a bien ordenado). Esta es la definici´on que se encuentra en [ZS76], pero que no ser´a pertinente en este trabajo. Definici´on 1.13. Dos elementos no nulos a, b de un grupo ordenado Γ se dicen arquimedianamente equivalentes si existen n1, n2∈Ntales que |a| ≤ n1|b|y|b| ≤ n2|a| Esta relaci´on es de equivalencia en Γ \ {0}y las clases de equivalencia se denominar´an clases arquimedianas. El conjunto de estas clases se denotar´a por ∆(Γ). Proposici´on 1.14. Sea Γun grupo ordenado. El conjunto ∆(Γ) est´a totalmente ordenado por [a]≤[b]⇔[a]=[b]o[a]6= [b]y|a|<|b| 14 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS Demostraci´on. En primer lugar, esta definici´on no depende de los representantes elegidos, pues si [a]6= [b] y |a|<|b|, entonces |a|< n|b| ∀n∈N. Si [a1]=[a] y [b2]=[b], entonces |b|< m|b2|para un m∈Ny m|a1|< N|a|<|b|< m|b2|para un N∈N De acuerdo con la propiedad ii) de 1.2, |a1|<|b2|. Es transitiva y antisim´etrica por serlo el orden de Γ. Proposici´on 1.15. Sea Γun grupo ordenado. Si rg(Γ) es finito, coincide con el cardinal de ∆(Γ), y de ser infinito, tambi´en lo es el cardinal de ∆(Γ). Demostraci´on. Vamos a dar una correspondencia entre los elementos de ∆(Γ) y los subgrupos aislados de Γ. Dado [b]∈∆(Γ) definimos G[b]=[ [a]<[b] [a] El conjunto G[b]es un subgrupo de Γ, pues si a1, a2∈G[b],|a1| ≥ |a2|, entonces |a1−a2|<|b|, pues en caso contrario |b| ≤ |a1−a2| ≤ 2|a1|, contradiciendo que [a1]<[b] en ∆(Γ). Adem´as, este subgrupo es aislado, pues si a∈G[b], c ∈Γy0≤c≤a, entonces [c]<[b], luego c∈G[b], y G[b] no es el total, pues b /∈G[b]. La aplicaci´on de ∆(Γ) en los subgrupos aislados de Γ as´ı definida es inyectiva por ser el orden definido en ∆(Γ) total. Por tanto, si rg(Γ) es finito, tambi´en lo ser´a el cardinal de ∆(Γ). Por otro lado, dada una cadena de subgrupos aislados A0(A1(. . . , se pueden tomar elementos ai∈Ai\Ai−1para i= 1,2, . . . . Estos elementos cumplen que [ai]<[ai+1], por lo que G[ai](G[ai+1].´ Esto prueba que si rg(Γ) es infinito, el cardinal de ∆(Γ) tambi´en lo es, y tambi´en prueba el enunciado en el caso finito, pues en ese caso el conjunto de subconjuntos aislados es una cadena finita. Ejemplos 1.16. El ´unico grupo ordenado de rango 0 es el grupo trivial (que no tiene subgrupos propios). En todo otro grupo, {0}forma un subgrupo aislado. rg(Z) = rg(R)=1 rg(Zn) = rg(Z[√2]n) = rg(Rn) = n. Las clases arquimedianas de uno de estos grupos son los conjuntos formados por los elementos cuya primera coordenada no nula es la m-´esima, m= 1, . . . , n. RN´o ∞ L k=1 Zson de rango infinito. 1.1. GRUPOS ORDENADOS 15 Proposici´on 1.17. Un grupo ordenado no trivial es arquimediano si y s´olo si es de rango 1. Demostraci´on. Sea Γ un grupo arquimediano, A≤Γ un subgrupo aislado no trivial y sea a∈A+. Para todo m∈Z, ma ∈A, y por ser Γ arquimediano, para todo b∈Γ existe m∈Ntal que 0 ≤ |b| ≤ ma. Por definici´on de grupo aislado, todo elemento de Γ pertenecer´a a A, que no ser´a propio. Luego el ´unico subgrupo aislado es el trivial, y Γ es de rango 1. Rec´ıprocamente, si Γ es de rango 1, dado un elemento a∈Γ+consideramos el conjunto A={b∈Γ| ∃n∈Ntal que |b|< na} Aes un subgrupo de Γ, pues dados b, c ∈ A, existen n1yn2tales que |b|< n1a , |c|< n2ay se cumple |b−c|≤|b|+|c| ≤ n1a+n2a= (n1+n2)a, por lo que b−c∈ A. Tambi´en apertenece a A, pues a < 2a, y por lo tanto A 6={0}. Adem´as, si Ano fuese el total ser´ıa un grupo aislado, pues dados c∈Γ, b∈ A tales que |c|<|b|, se cumple |c|<|b|< na ycpertenecer´ıa a A. Como Γ es de rango 1, no tiene grupos aislados no triviales y por tanto Γ = A, por lo que cumple la propiedad arquimediana por construcci´on. Para los grupos ordenados de rango superior conviene tener en mente un ejemplo como Rn. En ´el, el subgrupo formado por las m´ultimas componentes (0 ≤m<n) es aislado, y estos son todos sus subgrupos aislados, claramente ordenados por inclusi´on. Si se realiza el cociente del subgrupo de las m+ 1 ´ultimas componentes por el de las m´ultimas, obtenemos un grupo isomorfo aR, que consiste en ver las coordenadas de la posici´on n−(m+ 1). A continuaci´on se muestran tres enunciados que formalizan estas ideas para productos m´as generales. No incluimos sus demostraciones, que se pueden encontrar en [ZS76, P´ags. 48,49],[Bou06, P´ags. 108-111]. Proposici´on 1.18. Si Aes un subgrupo aislado de Γ,Γ/A es un grupo ordenado con el orden inducido por el paso al cociente. Adem´as, Γ/A se puede ver como un subgrupo de Γ, y el orden anterior coincide con el de subgrupo. En particular, hay una correspondencia entre los subgrupos aislados de Γ/A y los de Γque contienen a A. Corolario 1.19. Si {0}=A0⊆A1⊆ ··· ⊆ An−1son todos los subgrupos aislados de Γ = An, entonces Γi=Ai/Ai−1, i = 1, . . . , n son grupos arquimedianos y Γes isomorfo a n Q i=1 Γk. Corolario 1.20. Si Γ1,Γ2son dos grupos ordenados, rg(Γ1×Γ2) = rg(Γ1) + rg(Γ2) 16 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS 1.1.3. Rango racional de un grupo ordenado Adem´as de contar el n´umero de subgrupos aislados de un grupo ordenado, nos vamos a interesar por otra medida de su tama˜no: el rango racional. Esta noci´on no es exclusiva de grupos ordenados, sino que puede establecerse para cualquier grupo abeliano. La idea es sencilla, transformar un grupo abeliano (un Z-m´odulo) en un Q-espacio vectorial y mirar su dimensi´on [Bou06]. Definici´on 1.21. Se define el rango racional de un grupo abeliano Γ, que se denotar´a por rt.rg(Γ), como la dimensi´on del Q-espacio vectorial ΓQ= Γ ⊗ZQ Al igual que con el rango, en caso de no ser finito s´olo se indicar´a que es de rango racional infinito. Se dice que ΓQse ha obtenido por extensi´on de escalares, y es, intuitivamente, el menor Q-e.v. que contiene a Γ (se ha permitido multiplicar por n´umeros racionales). Observaci´on. Algunos grupos ya forman un Q-espacio vectorial (Qn,Rn...), y ΓQ= Γ para ellos. Concretamente, para los grupos sin torsi´on (como es el caso de los grupos ordenados), aquellos que son Q-espacios vectoriales son exactamente los grupos divisibles. Un grupo Γ se dice divisible si para todo n∈Zy todo a∈Γ existe un b∈Γ tal que n·b=a. Se puede dar una definici´on equivalente de una forma algo m´as expl´ıcita utilizando la noci´on de dependencia racional [ZS76]. Definici´on 1.22. Sea Γ un grupo abeliano. Se dice que un subconjunto A⊂Γ es racionalmente dependiente si existen elementos a1, a2, . . . , am∈A y n´umeros enteros n1, n2...,nm, no todos nulos, tales que n1a1+n2a2+ ···+nmam= 0. En caso contrario, se dir´a que Aes racionalmente independiente, o que sus elementos son racionalmente independientes. Proposici´on 1.23. El rango racional de un grupo abeliano Γes el mayor cardinal de un subconjunto racionalmente independiente de Γ. Demostraci´on. La dimensi´on de un espacio vectorial es el cardinal del mayor conjunto linealmente independiente. Basta ver por tanto que las condiciones de dependencia lineal en ΓQy la de dependencia racional en Γ son equivalentes. En primer lugar, notemos que todo elemento de Γ⊗ZQse puede expresar como un tensor puro, pues a1⊗p1 q1+a2⊗p2 q2=q2p1(a1⊗1 q1q2)+q1p2(a2⊗1 q1q2) = (q2p1a1+q1p2a2)⊗1 q1q2. Si se considera una combinaci´on lineal de los elementos a1⊗q1, a2⊗q2, . . . , am⊗qm∈ΓQ(sobre Q) que sea igual a 0, 1.1. GRUPOS ORDENADOS 17 se pueden quitar los denominadores de los escalares y los elementos qi. De este modo, s´olo aparecen n´umeros enteros en la expresi´on, que se podr´an considerar multiplicando a los elementos del grupo Γ. De esta forma se ha visto que la independencia lineal de un conjunto en ΓQes equivalente a la de independencia racional. Proposici´on 1.24 (Rango racional de un producto).Sean Γ1yΓ2dos grupos abelianos de rango racional finito. Se cumple que rt.rg(Γ1×Γ2) = rt.rg(Γ1) + rt.rg(Γ2) Demostraci´on. Basta se˜nalar que Γ1×Γ2= Γ1⊕Γ2como Z-m´odulos y que (Γ1⊕Γ2)⊗ZQ≃(Γ1⊗ZQ)⊕(Γ2⊗ZQ). Ejemplos 1.25. ZyQtienen rango racional 1. (Z⊗ZQ≃Q). Zntiene rango racional n, pero el de Z[√2]nes 2n. (Resaltemos que Z[√2] ⊆Res isomorfo a Z×Zcomo grupo, ¡pero no como grupo ordenado si a Z×Zse le dota del orden lexicogr´afico!) Rtiene rango racional infinito. Proposici´on 1.26. Sea Γun grupo ordenado. Entonces se tiene rg(Γ) ≤rt.rg(Γ) Demostraci´on. Para demostrar este hecho vamos a ver que si Γ tiene nsubgrupos aislados distintos Γ0,Γ1,...,Γn−1, con Γ0(Γ1(Γ2··· (Γn−1( Γn= Γ podemos encontrar nelementos racionalmente independientes en Γ. Sean a1, a2, . . . , an∈Γ tales que ai∈Γi\Γi−1(en particular todos ellos distintos y no nulos). Supongamos que existiese una combinaci´on m1a1+···+ mnan= 0 , con m1, . . . , mn∈Zno todos nulos, y sea kel mayor sub´ındice tal que mk6= 0. Se tiene que mkak=−m1a1−m2a2− ··· − mk−1ak−1. Todos los elementos del lado de la derecha pertenecen a Γk−1, y por lo tanto tambi´en mkak, lo que nos lleva al absurdo de que ak∈Γk−1, pues es un subgrupo aislado y 0 ≤ |ak|≤|mkak|. 1.1.4. Teorema de la Inmersi´on de Hahn En la secci´on 1.1.1 se prob´o que todo grupo arquimediano es subgrupo de R, y se dieron ejemplos de distintos grupos no-arquimedianos. Pero, ¿se pueden describir todos los grupos ordenados como subgrupo de alg´un grupo modelo? ¿Son los ejemplos presentados todos los posibles? La respuesta a la primera pregunta es afirmativa, y tal descripci´on la proporciona el llamado Teorema de la Inmersi´on de Hahn, demostrado por 18 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS Hans Hahn en 1907 [Ehr95]. Concretamente, afirma que todo grupo ordenado es isomorfo (como grupo ordenado) a un subgrupo de un “Producto de Hahn” de copias de R. Este producto de Hahn generaliza el orden lexicogr´afico cuando el conjunto Ique indexa un producto no es necesariamente bien ordenado. Adem´as, nos permite construir grupos con un conjunto ∆ de clases de comparabilidad (totalmente ordenado) cualquiera. Presentamos a continuaci´on esta construcci´on y el enunciado del teorema, del que se puede encontrar una demostraci´on en [Gra56]. En [Ehr95] se encuentra una detallada explicaci´on de la interpretaci´on de este resultado junto a una interesante digresi´on hist´orica. Sea ∆ un conjunto totalmente ordenado. Definimos: W(∆) = (ai)∈Y i∈∆ R{i∈∆|ai6= 0}est´a bien ordenado  Dotamos a este conjunto con una estructura de grupo ordenado con la suma definida por componentes y el orden dado por (1.2) (bien definido por habernos restringido a los subconjuntos bien ordenados de ∆). Son destacables otras formas de representar este grupo. Recordemos que el producto Q i∈∆ R es el conjunto de aplicaciones de ∆ en R. Por tanto, un elemento de W(∆) se puede representar como lo que se llama una serie de Hahn: X i∈∆ aiXi, ai∈R;{i∈∆|ai6= 0}bien ordenado Enunciemos finalmente las propiedades del grupo W(∆). Proposici´on 1.27. W(∆) es un grupo divisible, y su conjunto de clases arquimedianas es ∆. Teorema 1.28 (Teorema de la Inmersi´on de Hahn).Sea Γun grupo ordenado y ∆(Γ) su conjunto de clases arquimedianas. Entonces Γes isomorfo a un subgrupo de W(∆(Γ)). Teorema 1.29 (Teorema de Completitud de Hahn).No existe una extensi´on propia de W(∆) que tenga a ∆como conjunto de clases arquimedianas. (Se dice que W(∆) es arquimediano-completo). Los grupos ordenados con los que nos encontraremos en los ejemplos propuestos a lo largo de este trabajo ser´an fundamentalmente productos cartesianos, o sumas directas. Sin embargo, tambi´en nos encontraremos con grupos de los que no sabremos dar una descripci´on expl´ıcita. Este teorema nos permite tener constancia de que todos los grupos ordenados “se comportan de forma similar” a los ejemplos dados, y que el estudio de estos ejemplos proporciona una buena idea de la generalidad de la teor´ıa. 1.2. VALORACIONES 19 Estos resultados han sido ampliamente generalizados (a grupos parcialmente ordenados, cuerpos ordenados... Ver [Ehr95]). 1.2. Valoraciones 1.2.1. Definiciones y propiedades b´asicas Dado un grupo ordenado Γ, se denotar´a por Γ∞al conjunto Γ ∪ {∞} (siendo ∞un elemento que no pertenezca a Γ). Se extiende a ´el el orden total de Γ por a < ∞ ∀ a∈Γ, y se define la operaci´on ∞+a=∞ ∀ a∈Γ∞. De este modo + sigue siendo compatible con este orden en Γ∞. Definici´on 1.30 (Valoraci´on).Sea Kun cuerpo. Una valoraci´on sobre Kes una aplicaci´on sobreyectiva v:K\{0} → Γ, donde Γ es un grupo ordenado, que verifica: (V1) v(xy) = v(x) + v(y) (V2) Si x6=−y,v(x+y)≥m´ın{v(x), v(y)}. Una tal aplicaci´on se extiende a todo Kdefiniendo v(0) = ∞, extendiendo el dominio de llegada a Γ∞. Al par (K, v) le llamaremos cuerpo valuado. Observaciones. La condici´on (V1) indica que ves un homomorfismo del grupo multiplicativo (K∗,·) en (Γ,+). El grupo imagen Γ se llama grupo de la valoraci´on, o grupo de valores de v. La desigualdad (V2) se denomina desigualdad ultram´etrica. En cualquier cuerpo K, la aplicaci´on definida por v(x) = 0 si x6= 0, v(0) = ∞es una valoraci´on, que se denomina valoraci´on trivial o impropia. Si el grupo de valores de ves Z, se dice que ves una valoraci´on discreta. La restricci´on de una valoraci´on v:K→Γ∞a un subcuerpo de K, L⊆K, es una valoraci´on de L. Directamente de la definici´on de valoraci´on se pueden deducir algunas primeras propiedades: Propiedades 1.31. Sea (K, v) un cuerpo valuado con grupo de valores Γ. i) v(1) = 0 ii) v(w) = 0 para todo w∈Kra´ız de la unidad. (Es decir, si existe n∈N, n > 0 tal que wn= 1) 20 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS iii) v(−x) = v(x)∀x∈K iv) v(x−y)≥m´ın{v(x), v(y)} ∀x, y ∈K v) v(1 x) = −v(x)∀x∈K, x 6= 0 vi) v(y x) = v(y)−v(x)∀x, y ∈K, x 6= 0 vii) v(Pn i=1 xi)≥m´ın{v(xi) : i= 1 . . . n} Demostraci´on. i) v(1) = v(1 ·1) = v(1) + v(1) por (V1). Luego debe cumplirse v(1) = 0. ii) Si wn= 1 se debe cumplir, (por (V1)), que v(wn) = nv(w) = v(1) = 0. Por ser Γ sin torsi´on, v(w) = 0. iii) v(−x) = v(−1) + v(x) = 0 + v(x). iv) v(x−y) = v(x+ (−y)) ≥m´ın{v(x), v(−y)}= m´ın{v(x), v(y)}. v) 0 = v(1) = v(x·1 x) = v(x) + v(1 x), por lo que v(1 x) = −v(x). vi) v(y x) = v(y) + v(1 x). vii) Basta aplicar inducci´on. Para n= 1 ´o n= 2 se cumple por definici´on, y suponi´endolo cierto para n−1, v(Pn i=1 xi) = v(Pn−1 i=1 xi+xn)≥ v(m´ın{v(xi) : i= 1 . . . n−1}+xn), que a su vez, por (V2), es mayor o igual que m´ın{m´ın{v(xi) : i= 1 . . . n −1}, v(xn)}= m´ın{v(xi) : i= 1 . . . n}. Proposici´on 1.32. Sea (K, v)un cuerpo valuado. Si para un conjunto de elementos x1, . . . , xn∈Kel minimo de los valores v(xi)es alcanzado por uno s´olo de ellos, entonces v( n X i=1 xi) = m´ın{v(xi) : i= 1 . . . n}(1.3) En particular v(x+y) = v(x)si v(x)< v(y) (1.4) Demostraci´on. Sin p´erdida de generalidad se puede suponer que v(x1)< v(xi)∀i= 2, . . . , n. Por un lado se tiene que v(x1+···+xn)≥m´ın{v(xi) : i= 1 . . . n}=v(x1). Si se cumpliese v(x1+···+xn)> v(x1), se tendr´ıa que v(x1) = v((x1+···+xn)−(x2+···+xn)) ≥m´ın{v(x1+···+xn), v(x2+ ···+xn)}> v(x1), pues v(x2+···+xn)> v(x1) por hip´otesis, llegando as´ı a una contradicci´on. Observaci´on. Una familia importante de valoraciones son aquellas cuyo grupo de valores es un subgrupo de R(llamadas valoraciones reales). Este hecho permite, entre otras cosas, trasladar la topolog´ıa de Ral cuerpo K considerado, definir una noci´on de “sucesi´on de Cauchy” en ´el y construir el “completado de K” para esa valoraci´on de una forma an´aloga a como se construye Ra partir de Q. Un estudio detallado de esta construcci´on y la teor´ıa a la que da lugar este tipo de valoraciones se puede encontrar en [Rib99]. 1.2. VALORACIONES 21 Definici´on 1.33 (Valoraciones equivalentes).Dadas dos valoraciones del cuerpo K,v1:K→Γ1 ∞yv2:K→Γ2 ∞, se dir´a que son equivalentes si exite un isomorfismo de grupos ordenados, ϕ: Γ1→Γ2tal que para todo x∈K∗,v2(x) = ϕ(v1(x)). Ejemplo 1.34. Si Γ es un subgrupo no trivial de R(es decir, de rango 1), la aplicaci´on ϕc: Γ →Rdada por ϕc(a) = c·a, con c∈R>0, induce un ismorfismo ordenado con su imagen (pues si a<b,ca < cb por ser c > 0). Por tanto, dada una valoraci´on con llegada en un subgrupo de R, se pueden construir valoraciones equivalentes multiplicando sus valores por una constante positiva. De igual forma, si Γ es un subrupo de Rn(´o RN), se pueden construir valoraciones equivalentes multiplicando cada componente por una constante positiva. Es decir, fijando c1, . . . , cn∈R>0y definiendo la aplicaci´on ϕc1,...,cn: Γ →Rn, ϕc1,...,cn(a1, . . . , an) = (c1·a1, . . . , cn·an) En [Rib99, P´ags. 10,11] se encuentra una demostraci´on del hecho de que para las valoraciones reales, toda valoraci´on equivalente es de la forma explicada en este ejemplo. Proposici´on 1.35. Si Kes un cuerpo finito, su ´unica valoraci´on es la trivial. Demostraci´on. Supongamos que Ktiene qelementos (K≃Fq), y sea v: K→Γ∞una valoraci´on suya. Dado a∈K∗, se cumple que aq−1= 1, y por la propiedad ii) v(a) = 0. Nota. En [Rib99, P´ag. 112] se demuestra que los ´unicos cuerpos que s´olo admiten una valoraci´on son las extensiones algebraicas de Fp. Definici´on 1.36 (Rango y rango racional).Sea v:K→Γ∞una valoraci´on del cuerpo K. Se define el rango de v, denotado por rg(v), como el rango de su grupo de valores, Γ. Del mismo modo, se define su rango racional, rt.rg(v), como el rango racional de Γ. En muchos casos, una forma pr´actica de definir valoraciones en un cuerpo Kes definirlas en un subanillo Atal que Ksea (isomorfo a) su cuerpo de fracciones y extenderla usando la propiedad vi). Este hecho se detalla en la siguiente proposici´on: Proposici´on 1.37. Sea Aun dominio de integridad, Ksu cuerpo de fracciones, Γun grupo ordenado y v:A\{0} → Γuna aplicaci´on cumpliendo las propiedades (V1) y (V2) de la definici´on 1.30. Entonces la aplicaci´on ˜v:K→Γ∞definida por    ˜v(a b) = v(a)−v(b), si a, b ∈A∗ ˜v(x) = ∞, si x= 0 (1.5) 28 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS es una valoraci´on. En efecto, al multiplicar dos series el menor exponente es la suma de los dos ´ordenes y al sumar dos series nunca va a aparecer un t´ermino de orden m´as negativo que los que ya hab´ıa. Observaci´on. N´otese que la restricci´on de esta valoraci´on al anillo de polinomios K[x] es la valoraci´on de orden en 0 (y por tanto tambi´en al restringirla al cuerpo K(x), que se puede ver como un subcuerpo de K((x))). Para la valoraci´on wse tiene que Aw={∞ X n=n0 anxn|n0≥0}=K[[x]] mw={∞ X n=n0 anxn|n0>0}={s∈K[[x]] |sno tiene t´ermino independiente} Es claro que κw≃K, pues el t´ermino independiente de un elemento s∈K[[x]] determina su clase de equivalencia en Aw/mw. Concretamente, el morfismo ϕ:Aw→K,ϕ(s) = s(0) es sobreyectivo y su n´ucleo es mw. Intersecci´on de curvas algebraicas Mostramos ahora un ejemplo de valoraci´on para medir “la cantidad de contacto” entre dos curvas planas en un punto (por ejemplo, O= (0,0) ∈ C2). ´ Este ser´a el primer ejemplo en el que necesitaremos m´as de un valor para cuantificar una propiedad, en concreto, ser´a una valoraci´on de rango 2. Para las definiciones y resultados sobre la multiplicidad de intersecci´on se ha consultado [Ful08, cap. 3]. Dado un polinomio irreducible f(x, y)∈C[x, y], todo otro polinomio g(x, y)∈C[x, y] se escribe de forma ´unica como g=fr˜g;f-˜g El exponente rse denomina la multiplicidad de la componente fen g. De este modo fy ˜gson curvas sin componentes comunes, pero siguen pudiendo tener contacto en el punto O= (0,0), medido por su multiplicidad de intersecci´on en O. Definimos vf:C[x, y]→Z×Zpor vf(g) = (r, m), con rel exponente en la descomposici´on g=fr˜g , f -˜gymla multiplicidad de intersecci´on de fy ˜g. Se considera Z×Zordenado por el orden lexicogr´afico, lo que corresponde con la idea de que tener una multiplicidad de componente mayor corresponde a un mayor contacto que cualquier multiplicidad de intersecci´on arbitraria. Las propiedades necesarias para verificar que cumple (V1) y (V2) se pueden consultar en [Ful08]. Por tanto, vfse extiende al cuerpo de fracciones C(x, y). 1.2. VALORACIONES 29 1.2.4. Construcci´on de valoraciones con rango y rango racional arbitrario En la secci´on 1.1 hemos podido dar numerosos ejemplos de grupos ordenados con distintos rangos y rangos racionales. Sin embargo, no es tan sencillo definir valoraciones de forma que sus grupos de valores sean los grupos de esos ejemplos. De hecho, la ´unica valoraci´on presentada hasta ahora cuyo grupo de valores no es Zes la ´ultima expuesta (con grupo Z×Z). A continuaci´on nos disponemos a presentar una clase de ejemplos que permiten construir valoraciones de cualquier combinaci´on de rango y rango racional. Nos basamos en las referencias [ZS76, P´ags. 100-103] y [Bou06, P´ags. 102103]. En primer lugar, veamos que para cualquier n, m ∈Ndados se puede construir un grupo ordenado de rango ny rango racional n+mdefiniendo en Zn+mun orden adecuado. En el caso m= 0, basta tomar el orden lexicogr´afico, y para n= 1, m > 0 se pueden tomar melementos α1= 1, α2...,αm∈ R,algebraicamente independientes (por ejemplo αi=√ni, siendo niel i- ´esimo natural que no es un cuadrado perfecto) y dotar a Z[α1, . . . , αm]⊆R del orden inducido como subgrupo. Para el resto de casos se puede tomar una combinaci´on de ambos Γ = Z×···×Z×Z[α1, . . . , αm]. Un orden as´ı definido induce un orden monomial en el anillo K[x1, . . . , xn+m] (esto es, un buen orden en el conjunto de los monomios de este anillo compatible con las operaciones, similar al visto en la asignatura de Ecuaciones Algebraicas para tratar la divisi´on de polinomios). Dado un polinomio p(x1, . . . , xn+m)∈K[x1, . . . , xn+m], llamaremos monomio l´ıder al mayor monomio de ppara el orden considerado. Se define el grado de un polinomio pcomo el elemento de Zn+mcorrespondiente al exponente del monomio l´ıder de py se denotar´a por deg(p). Se define la aplicaci´on v:K[x1, . . . , xn+m]\{0} → Γ v(p(x1, . . . , xn+m)) = −deg(p) Veamos que cumple los axiomas de una valoraci´on. El monomio l´ıder del producto de dos polinomios pyqser´a el producto de sus monomios l´ıderes, y sus exponentes se sumar´an, por lo que v(p·q) = v(p) + v(q), verificando (V1). Por otro lado, al sumar dos polinomios no puede aparecer ning´un t´ermino de grado mayor que m´ax{deg(p), deg(q)}, (al igual que en el caso de una variable), por lo que se cumple (V2). La aplicaci´on es sobreyectiva pues los exponentes de los monomios se corresponden con los elementos de Zn+m. Por la proposici´on 1.37, queda definida una valoraci´on en el cuerpo K(x1, . . . , xn+m). Debido a haber elegido el grupo Γ de esta forma, esta valoraci´on tendr´a rango ny rango racional n+m. 30 CAP´ ITULO 1. VALORACIONES DE CUERPOS Se puede realizar una construcci´on exactamente igual para polinomios en infinitas variables, K(xi|i∈I), haciendo la correspondencia de los exponentes con un orden en L k∈I Z. En el siguiente cap´ıtulo encontraremos otras valoraciones con rangos superiores a 1. Como se ver´a, muchas de ellas ser´an similares a las presentadas en este ejemplo en el sentido de que ser´an valoraciones de una extensi´on de Kpor un conjunto de elementos comparables entre ellos, siendo algunos infinitamente mayores a los otros. Otra forma de construir valoraciones con rangos arbitrarios es utilizando las series de Hahn presentadas en la secci´on 1.1.4. Si Γ es un grupo ordenado, se puede definir una multiplicaci´on en el conjunto K[XΓ] = {s(X) = X i∈Γ aiXiai∈K , {i∈Γ|ai6= 0}bien ordenado } que hace de ´el un cuerpo [Ehr95, P´ag. 185]. La aplicaci´on v:K[XΓ]→ Γ, v(s) = m´ın{i∈Γ|s(i)6= 0}es una valoraci´on con grupo de valores Γ. Estas series son una generalizaci´on de las series de Puiseux, contenidas en el cuerpo de las series de Hahn para Γ = Q. Las series de Puiseux tienen gran importancia por su utilidad para parametrizar curvas algebraicas y por formar un cuerpo algebraicamente cerrado. Adem´as, un teorema de Kaplansky (cf. [Ehr95, P´ag. 192]) nos indica que todo cuerpo valuado (con algunas condici´ones adicionales si es de caracter´ıstica p > 0) es isomorfo a un subcuerpo de R[XΓ], y la valoraci´on inducida por este isomorfismo en R[XΓ] es equivalente a la dada anteriormente. Cap´ıtulo 2 Cuerpos de Hardy En este segundo cap´ıtulo, que constituye el grueso del trabajo, se definir´an y estudiar´an los cuerpos de Hardy. El objetivo que se persigue introduciendo estas estructuras es el de obtener un marco adecuado para estudiar las propiedades del crecimiento asint´otico de funciones no oscilantes. Se comenzar´a mostrando las primeras propiedades de estos cuerpos, que permiten dotarlos de una rica estructura de cuerpo diferencial ordenado (no arquimediano en muchos casos). En la segunda secci´on se demostrar´a que la extensi´on de un cuerpo de Hardy por un elemento algebraico sobre ´el es un cuerpo de Hardy; y que la extensi´on por un elemento que satisface una ecuaci´on diferencial algebraica de primer orden adecuada tambi´en es de Hardy. Para llegar a demostrar este segundo teorema tendremos que definir el concepto de cuerpo real-cerrado y ver que el conjunto de funciones algebraicas sobre un cuerpo de Hardy es un cuerpo de Hardy real-cerrado. Con estos resultados podremos construir formalmente el cuerpo de las L-funciones de Hardy en la secci´on 2.3. A continuaci´on se definir´an las relaciones de comparaci´on de g´ermenes de funciones con la notaci´on introducida por du Bois-Reymond, que se ha vuelto est´andar en el ´area tras su uso por Hardy y Bourbaki. Se mostrar´an ejemplos de su uso, los l´ımites de su aplicaci´on y la conveniencia de los cuerpos de Hardy para su empleo. Estas relaciones de comparaci´on llevan a la definici´on de una valoraci´on en un cuerpo de Hardy, que “mide” el orden de infinitud de las funciones. La conocida regla de l’Hˆopital permite obtener importantes propiedades de esta valoraci´on. Al final de la secci´on se analizan las nociones de rango y rango racional en esta valoraci´on, viendo algunos ejemplos y conclusiones que se pueden obtener. Finalmente, se aplicar´a todo lo visto a lo largo del cap´ıtulo en la demostraci´on del teorema de Borel-Van den Dries, un ejemplo de c´omo las 31 32 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY herramientas aqu´ı introducidas permiten obtener resultados que de otra forma ser´ıan mucho m´as d´ıficiles de demostrar. 2.1. Definici´on y propiedades Para esta secci´on seguiremos principalmente el ap´endice del cap´ıtulo V de [Bou07]. Queremos estudiar el crecimiento de funciones de variable real con llegada en Ren los entornos de un punto a∈R=R∪{−∞,∞}. Notemos en primer lugar que podremos restingir nuestro estudio al crecimiento asint´otico de funciones en entornos de ∞. En efecto, si se quieren estudiar las funciones cerca de un punto a∈R, basta hacer el cambio de variable x7→ 1 x−a, y para las funciones definidas en un entorno de −∞, el cambio x7→ −x. Sea Hel conjunto de funciones a valores reales definidas en un entorno de infinito, es decir, H={f: [a, ∞)→R|a∈R∪{−∞}} Se denotar´a Df⊆Ral dominio de definici´on de una funci´on f:Df→R. Definimos una relaci´on en Hcomo: f∼g⇔ ∃b∈Df∩Dgtal que f(x) = g(x)∀x≥b Es decir, dos funciones de Hest´an relacionadas si existe un intervalo [b, ∞) en el que ambas est´an definidas y sus restricciones a ´el coinciden. Esta relaci´on es de equivalencia. Sea H∞=H∼el conjunto de clases de equivalencia por esta relaci´on. La clase de una funci´on fen H∞se denominar´a su germen en el infinito. La construcci´on de este conjunto H∞nos permite varias cosas. Por un lado, centramos nuestra atenci´on en los valores de la funci´on “cerca de ∞”. Se dir´a que una propiedad en Hes local si es compatible con esta relaci´on de equivalencia (es decir, si no depende del representante). Son precisamente estas propiedades las que estamos interesados en estudiar (son propiedades locales, por ejemplo, ser derivable o tener un signo constante para x>a para alg´un a∈R). Por otro lado, el conjunto H∞tiene una estructura de R-´algebra (es un anillo y un R-espacio vectorial). En efecto, definimos la suma (resp. multiplicaci´on) de dos g´ermenes de funciones como la suma (resp. multiplicaci´on) usual de la restricci´on de dos representantes al dominio de definici´on com´un. El elemento neutro para la suma es el germen de la funci´on id´enticamente nula, y para el producto el germen de la funci´on constante de 2.1. DEFINICI ´ ON Y PROPIEDADES 33 valor 1. Mientras no haya lugar a confusi´on se denotar´a igual una funci´on y su germen. Siempre que se diga que un germen ˜ f∈ H∞tiene una propiedad P, ser´a equivalente a decir que para todo representante fde ˜ fexiste un valor M∈Rtal que fcumple Pen [M, ∞]. Tambi´en se dir´a (haciendo un uso incorrecto pero pr´actico de esta palabra) que fcumple Peventualmente, o en el infinito. Diremos que una funci´on f: [a, ∞)→Rse anula indefinidamente si existe una sucesi´on (xn)∞ n=1 ⊆R,xn→ ∞ tal que f(xn) = 0 ∀n∈N. Todas las propiedades que se van a estudiar son claramente locales, y en la mayor´ıa de los casos no haremos menci´on expresa de este hecho. Nota. En este trabajo nos centraremos ´unicamente en el estudio de funciones definidas en subconjuntos de Rcon llegada en R. Esto se puede generalizar, por un lado a funciones definidas en un conjunto filtrado cualquiera (en nuestro caso la base del filtro son los intervalos [a, ∞)), y por otro lado a aplicaciones con llegada en un espacio vectorial normado (sobre Ro incluso sobre un cuerpo valuado cualquiera). De esta forma se podr´ıan definir cuerpos de Hardy sobre conjuntos m´as generales. Una presentaci´on detallada de estas definiciones se encuentra en [Bou07]. Observaci´on (Composici´on de g´ermenes).Es relevante comentar que en general no est´a definida la composici´on de g´ermenes de funciones. Sin embargo, si una funci´on ftiende a infinito cuando x→ ∞, todos los representantes de su germen tendr´an este comportamiento, y para todo germen ˜g∈ H∞, la composici´on ˜g◦˜ fest´a bien definida tomando el germen de la composici´on de representantes. Tambi´en es posible hacer referencia al concepto distinto de la composici´on de un germen ˜ fde H∞con una funci´on g∈ H que tenga por dominio Dg=I, si todo representante de ˜ ftoma eventualmente valores en I. La composici´on g◦˜ fes en este caso un elemento bien definido de H∞, que tiene por representante g◦f, siendo fun representante cualquiera de ˜ f. Definici´on 2.1 (Cuerpo de Hardy).Un cuerpo de Hardy kes un subanillo de g´ermenes de funciones de H∞que cumple: (H1) Es un cuerpo. (H2) Es estable por derivaci´on. Es decir, si ˜ f∈k, existe un entorno de infinito, [a, ∞), en el que un representante fes derivable, y (el germen de) su derivada pertenece a k. Una funci´on fde un cuerpo de Hardy debe cumplir que para cada n≥0, su derivada n-´esima f(n)existe eventualmente y es continua. Una funci´on que cumpla esta condici´on se dir´a que es infinitamente derivable en infinito. 34 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY Una funci´on f: (a, ∞)→Rque sea de clase C∞en un intervalo (a0,∞) es infinitamente derivable en infinito, pero el rec´ıproco es falso. Se podr´ıa considerar una funci´on que fuese obteniendo m´as regularidad a medida que x creciese (por ejemplo que fuesen de clase Cnpero no Cn+1 en cada intervalo [n, n + 1)). As´ı pues, no podemos concluir de la definici´on que los elementos de un cuerpo de Hardy admitan representantes de clase C∞. No obstante, en todos los ejemplos que vamos a tratar en esta memoria, los elementos admiten representantes de clase C∞(incluso, en la mayor parte de los casos, anal´ıticos). La noci´on de cuerpo de Hardy, pese a su aparente simplicidad, impone condiciones restrictivas a sus elementos, y van a restringir nuestro estudio a una clase de funciones que tendr´an un comportamiento muy conveniente para comparar su crecimiento asint´otico. La condici´on (H1) indica que todo germen fde kno id´enticamente nulo debe ser invertible. Esta condici´on se cumple si y s´olo si un representante de fno toma el valor 0 en un intervalo de la forma [a, ∞). Como fdebe ser continua, ser´a estrictamente positiva o negativa a partir de un momento (ftendr´a un signo bien definido). De acuerdo con la condici´on (H2), este hecho se aplica igualmente a su derivada f0, por lo que fser´a estrictamente creciente, decreciente o constante. Y se aplicar´a tambi´en a sus derivadas de cualquier orden, lo que hace que tenga un “crecimiento muy regular” y la definici´on de cuerpo de Hardy impone una condici´on de no oscilaci´on sobre sus elementos. Sin embargo, la condici´on de no oscilaci´on dada por que una funci´on fpueda pertenecer a un cuerpo de Hardy es m´as restrictiva que el hecho de que fy todas sus derivadas tengan un signo constante en infinito. En efecto, hay funciones tales que tanto ella como todas sus derivadas tienen un signo constante en infinito, y sin embargo no pueden formar parte de ning´un cuerpo de Hardy. Un ejemplo sencillo es la funci´on f(x) = ex+ sin(x), que cumple que f(n)(x)>0∀n∈N∀x≥1. Sin embargo, fno puede formar parte de ning´un cuerpo de Hardy, pues f−f0= sin(x)−cos(x), se anula en todo x=π/4 + mπ , m ∈Z, es decir, estas funciones oscilan entre ellas (figura 2.1). A continuaci´on se resumen las propiedades ya comentadas: Propiedades 2.2. Sea kun cuerpo de Hardy y f∈k. i) Cualquier representante de ftoma valores ´unicamente estrictamente positivos, estrictamente negativos o nulos para xsuperiores a un valor a∈R. Escribiremos f > 0, f < 0 ´o f= 0 respectivamente. ii) Cualquier representante de fes eventualmente estrictamente creciente, 2.1. DEFINICI ´ ON Y PROPIEDADES 35 01234567 10 20 30 Figura 2.1: Funciones ex/2+ sin xyex/2+ cos xoscilando entre ellas. estrictamente decreciente, o constante. iii) Para cualquier representante de fexiste l´ım x→∞f(x) en R. iv) La relaci´on definida en kpor f≤g⇔f−g≤0 dota a kde un orden total tal que (k, +) es un grupo ordenado y ∀f, g, h ∈k, h ≥0f≤g⇒f·h≤g·h. Un cuerpo con un orden que satisface estas propiedades es llamado cuerpo ordenado. Demostraci´on. Como ya se ha dicho, i) y ii) se siguen de la existencia de inversa de fyf0y de su continuidad. La propiedad iii), se deduce del hecho de que fsea creciente, decreciente o constante en un entorno de infinito. iv): Es claro que esta relaci´on es un orden, y es total pues si f, g ∈k,f−g∈k y cumple i). La compatibilidad con la suma y el producto son propiedades b´asicas de las funciones. Observaci´on. Todo cuerpo ordenado (k, ≤) debe ser de caracter´ıstica 0 (pues el grupo (k, +) es sin torsi´on, de acuerdo con la proposici´on 1.6). Se dice que un cuerpo ordenado es arquimediano si lo es su grupo aditivo (k, +), siendo esto equivalente a que Qsea denso en k[Pre84, Prop. 1.19]. La mayor´ıa de cuerpos de Hardy no ser´an arquimedianos. Adem´as, en un cuerpo de Hardy podemos tomar la derivada de cualquier elemento, obteni´endose as´ı lo que se denomina un cuerpo diferencial (en el sentido algebraico). En general, un cuerpo diferencial es simplemente un cuerpo dotado de una operaci´on unaria que se comporta de forma similar 36 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY a la derivaci´on de funciones (que cumpla la regla de Leibniz). En t´erminos precisos: Definici´on 2.3 (Cuerpo diferencial. Cuerpo de constantes).Llamaremos cuerpo diferencial a un cuerpo kjunto con una aplicaci´on d:k→kque cumpla 1. d(f+g) = d(f)+d(g)∀f, g ∈k(es homomorfismo del grupo (k, +)). 2. d(f·g) = d(f)·g+f·d(g)∀f, g ∈k. El subconjunto de un cuerpo diferencial C={f∈k|d(f) = 0}es un subcuerpo denominado cuerpo de constantes de k. Resumiendo, si k⊆ H∞es un cuerpo de Hardy, entonces (k , ≤,0) es un cuerpo ordenado diferencial. En las secciones siguientes vamos a ver que tambi´en podemos dotar a kde una valoraci´on natural que “mide” el orden de magnitud de los valores que toma un elemento cuando el argumento x es suficientemente grande y analizaremos la relaci´on que existe entre las estructuras de orden, diferencial y valorada de un cuerpo de Hardy. Ejemplos 2.4. Son cuerpos de Hardy: Q´o R, identificando cada n´umero con el germen de la funci´on constante que toma ese valor. En general, cualquier subcuerpo de Rlo ser´a, y ´estos son los ´unicos arquimedianos. Todo cuerpo de Hardy ktiene a Qcomo subcuerpo, y su cuerpo de constantes ser´a el mayor subcuerpo de Rcontenido en k. El cuerpo R(x) de funciones racionales con coeficientes en R. (Basta comprobar que la derivada de una funci´on racional es una funci´on racional). R(xα|α∈Q) ´o R(xα|α∈R) R(x, ex,log(x)), como se demostrar´a en la siguiente secci´on. En todos estos ejemplos se podr´ıa sustituir Rpor un subcuerpo suyo. En lo que sigue consideraremos principalmente cuerpos de Hardy que contengan aR. Adem´as, gracias a la siguiente proposici´on, podremos suponerlo en nuestros argumentos cuando sea necesario. Proposici´on 2.5. Si kes un cuerpo de Hardy, el cuerpo k(R)(menor extensi´on de kque contiene todas las constantes reales) es de Hardy. Demostraci´on. Admitamos por ahora que para todo α∈R, el cuerpo k(α) es de Hardy. Consideremos el conjunto K={g∈ H∞| ∃ α1, . . . , αn∈ 2.2. EXTENSIONES DE CUERPOS DE HARDY 37 Rtales que g∈k(α1, . . . , αn)}. Aplicando un n´umero finito de veces el hecho de que ˜ k(α) es de Hardy para un ˜ kde Hardy cualquiera, la extensi´on k(α1, . . . , αn) tambi´en lo es. Por tanto para toda g∈K,g−1yg0pertenecen aK. Adem´as, si g, h ∈K, existen α1, . . . , αn, β1, . . . , βm∈Rpara los que g, h ∈K(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm). Por ello, g−hygh est´an en K, y por tanto Kes un cuerpo de Hardy. Kest´a claramente contenido en k(R), de donde se deduce que k(R) = Kes de Hardy. Para demostrar que k(α) es de Hardy para todo α∈R, podemos razonar viendo que para todo polinomio P(T)∈k[T], P(α) es una funci´on diferenciable que no se anula indefinidamente. (Por inducci´on en el grado de P, por ejemplo, dividiendo por el coeficiente dominante se obtiene un polinomio de un grado menor que toma el mismo valor indefinidamente). Este resultado ser´a tambi´en una consecuencia inmediata de los teoremas de la pr´oxima secci´on. 2.2. Extensiones de cuerpos de Hardy Se busca ahora poder construir nuevos cuerpos de Hardy a partir de los ya conocidos. En concreto, los resultados presentados en esta secci´on permiten dar condiciones sobre una funci´on f∈ H∞y un cuerpo de Hardy kpara que se pueda construir un nuevo cuerpo de Hardy a˜nadiendo fak. Usualmente, la funci´on fque queremos a˜nadir al cuerpo de Hardy suele no ser expl´ıcita, pero sabemos que es soluci´on de alg´un problema natural en t´erminos del cuerpo base k. Aqu´ı nos ce˜nimos a las dos situaciones m´as comunes: si fes algebraica sobre k, o si fes soluci´on de una ecuaci´on diferencial de primer orden adecuada. Se presentan estos resultados siguiendo a [Ros83a]. Para el estudio de cuerpos reales-cerrados se ha consultado [Lan05, cap. 11] y [Pre84, caps. 1,2,3]. 2.2.1. Extensiones algebraicas Teorema 2.6 (Extensi´on algebraica de un cuerpo de Hardy).Sea kun cuerpo de Hardy y f∈ H∞un germen de una funci´on continua tal que existe un polinomio P(T)∈k[T]con coeficientes en ktal que P(f)=0(es decir, falgebraico sobre k). Entonces el anillo k[f]⊆ H∞es un cuerpo de Hardy. Nota. Si fperteneciese a una extensi´on de cuerpos de k(o simplemente a un dominio de integridad), el hecho de que k[f] es igual a su cuerpo de fracciones ser´ıa conocido. Sin embargo, en principio con nuestras hip´otesis no podemos asegurar que esto ocurra. La particularidad del anillo H∞(de poder evaluar las funciones en puntos) nos permitir´a remitirnos al caso conocido. Demostraci´on. Probemos en primer lugar que k[f] es un cuerpo. Si se pudiese tomar un polinomio anulador de f,P(T), que fuese irreducible en k[T], 44 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY primitiva de f, soluci´on de la ecuaci´on y0=f, por lo que k(F) es un cuerpo de Hardy. Las extensiones k(log |f|) y k(ef) son cuerpos de Hardy, pues log |f| yefsatisfacen las ecuaciones y0=f0 fyy0=f0yrespectivamente. En particular esto prueba que R(ex), R(log x), R(x, ex,log x), etc... Son cuerpos de Hardy. Si α∈Rpertenece a k,k(|f|α) es un cuerpo de Hardy, pues |f|α satisface y0=αf0y f. Con un argumento similar al de la demostraci´on de la proposici´on 2.5 se prueba que si R⊆k, entonces k(|f|α|α∈R) es un cuerpo de Hardy. Observaci´on. En el teorema 2.10 s´olo se han considerado ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado (es decir, una ecuaci´on de la forma F(y, y0) donde F∈k[y, y0] y de grado 1 en la variable y0). El resultado no es necesariamente cierto para ecuaciones diferenciales algebraicas de primer orden y grado cualquiera. Sin embargo, exiten varios trabajos que establecen condiciones para que las extensiones de kpor soluciones de esas ecuaciones sean cuerpos de Hardy, y tambi´en para extender cuerpos de Hardy por soluciones de ecuaciones de ´ordenes superiores (ver [Ros83a]). Ejemplo 2.12 (Funci´on Gamma).Tambi´en pueden formar parte de un cuerpo de Hardy funciones que no son soluciones de ecuaciones diferenciales, pero que surgen de forma natural al tratar de resolver alg´un problema en matem´aticas. Este es el caso de la funci´on Gamma de Euler, definida en R>0como Γ(x) = R∞ 0tx−1e−tdt. El cuerpo de funciones meromorfas reales R((Γ(x))) es de Hardy, aunque Γ(x) no es soluci´on de ninguna ecuaci´on diferencial algebraica con coeficientes en R(x) (teorema de H¨older). Una demostraci´on de ambas afirmaciones se encuentra en [Ros83b]. 2.3. L-funciones de Hardy Nos disponemos a continuaci´on a presentar el cuerpo de Hardy en el que est´an incluidas las funciones elementales que surgen de forma habitual al operar con exponenciales y logaritmos. Queremos que este cuerpo contenga funciones del tipo exe3x5+1+x3/4+x √log xloglogx3+ 2ex, etc... Esta clase de funciones fueron estudiadas por Hardy en [Har10]. De forma un poco m´as general probamos el siguiente resultado que se encuentra en [Bou07, V. 41]: Proposici´on 2.13. Si kes un cuerpo de Hardy, existe un cuerpo de Hardy H(k)que contiene a k, y tal que para toda funci´on f∈H(k)no nula, efy log |f|pertenecen a H(k). 2.3. L-FUNCIONES DE HARDY 45 Demostraci´on. Se ha visto que las extensiones k(ef) y k(log |f|), con f∈k∗, son cuerpos de Hardy. Vamos a considerar el conjunto de todas las funciones de H∞que est´an en una torre de extensiones de kpor exponenciales y logaritmos. Este conjunto ser´a el cuerpo de Hardy deseado. M´as formalmente, sea H(k) el subconjunto formado por las f∈ H∞tales que existe una sucesi´on de cuerpos de Hardy k0, k1, . . . , kntales que f∈kn, k0=k, y para i= 1, . . . , n ki=ki−1(ui), donde ui=ehi´o ui= log |hi|, para alg´un elemento hi∈ki. Se dir´a que las u1, . . . , unforman una sucesi´on de definici´on de fdesde k. Notemos que kn=k(u1, . . . , un). Con esta definici´on, para cada f∈H(k), fpertenece a un cuerpo de Hardy k(u1, . . . , un) contenido en H(k), por lo que su inversa 1/f y su derivada f0tambi´en pertenecen a H(k). Por otro lado, dada otra funci´on g∈H(k), existe una sucesi´on de definici´on de g,v1, . . . , vm. Concatenando las dos sucesiones de definici´on, es claro que se obtiene una nueva sucesi´on de definici´on para ambas funciones fyg. Por lo tanto f, g ∈k(u1, . . . , un, v1, . . . , vm)⊆H(k), por lo que H(k) es en efecto un cuerpo de Hardy. Este cuerpo es cerrado al tomar logaritmos y exponenciales, pues por definici´on efo log |f|tendr´an una sucesi´on de definici´on de una unidad mayor de longitud que la funci´on f. Observaci´on. El cuerpo H(k) construido en esta demostracci´on es adem´as el m´ınimo cuerpo de Hardy con las propiedades del enunciado. Ser´a por tanto tambi´en igual a la intersecci´on de todos los cuerpos de Hardy que verifican que son cerrados por exponenciales y logaritmos y que contienen a k. Notaci´on. Se denotar´a por en(x) y ln(x) a la composici´on de nfunciones exponenciales y logar´ıtmicas respectivamente, es decir: e0(f) = f , en(f) = een−1(f)para n≥1 l0(f) = f , ln(f) = log(ln−1(|f|)) para n≥1 Dado un cuerpo de Hardy k, y una funci´on fen H(k), se define el orden de frespecto a H(k)|kcomo la longitud m´ınima de una sucesi´on de definici´on de fdesde k. Definici´on 2.14 (Cuerpo de las L-funciones).Llamaremos cuerpo de Lfunciones, que ser´a denotado por L, al cuerpo de Hardy H(R(x)). El orden de una L-funci´on ser´a su orden respecto a L|R(x). Una propiedad interesante del cuerpo de L-funciones, aparte de ser estable para exponenciales y logaritmos, es que es estable por composici´on. Precisamente: Proposici´on 2.15. Si f, g ∈Lson L-funciones tales que fx→∞ −−−→ ∞, entonces la composici´on g◦fpertenece a L. 46 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY Demostraci´on. Se demostrar´a por inducci´on sobre el orden de g. Si este orden es 0, gpertenece a R(x), y g(x) = P(x) Q(x), siendo PyQpolinomios de variable real. Al ser Lun cuerpo, P(f), Q(f) y g◦f=P(f)/Q(f) estar´an en L. Supongamos ahora que gtiene una sucesi´on de definici´on u1, . . . , un. Sea k=R(x, u1,...un−1) y g∈k(un), siendo un= log |h|´o un=ehpara un elemento h∈k. Por hip´ostesis de inducci´on h◦f∈L, pues htiene un orden menor que g, pero Les cerrado por logaritmos y exponenciaci´on, por lo que un◦f= log |h◦f|(´o un◦f=eh◦f) tambi´en pertenece a L. Tambi´en, por la misma raz´on, para cada v∈kse tiene v◦f∈L. Finalmente, La funci´on g es suma, multiplicaci´on y cocientes de las funciones x, u1,...un, por lo que al ser Lun cuerpo, y estar la composici´on de fcon cada una de ellas en L, g◦ftambi´en pertenece a L. 2.4. Relaciones de comparaci´on de funciones En esta secci´on se formalizar´a la comparaci´on del orden de crecimiento de g´ermenes de funciones en un entorno de ∞. Estas nociones son conocidas desde comienzos del grado, donde se presentan mediante las notaciones de la O de Landau. Aqu´ı se repasar´an estas definiciones, introduciendo la notaci´on usada en [Har10], y haciendo especial hincapi´e en su relaci´on con los cuerpos de Hardy y en las propiedades que nos permitir´an definir y estudiar la valoraci´on asociada a uno de estos cuerpos en la secci´on 2.5. Se seguir´a principalmente [Bou07, cap. 5]. Definici´on 2.16 (Relaciones de comparaci´on d´ebiles).Sean f, g ∈ H∞dos g´ermenes de funciones. Se dir´a que fes menor o igual que gy se escribir´a f≤gsi existe un intervalo I= [a, ∞) en el que dos representantes suyos est´an definidos yf(x)≤g(x)∀x∈I. Sean f, g ∈ H∞. Se dir´a que gdomina a fy se escribir´a fgsi existe una constante M∈R>0tal que |f| ≤ M|g|. Si se cumple fgygf, se dir´a que fygson similares y se denotar´a por fg. Se dice que dos funciones fygson d´ebilmente comparables si fg´o gf. Nota. Remarquemos que la negaci´on de f≤gno implica que f > g. Observaciones. La relaci´on ≤extiende la definida para los elementos de un cuerpo de Hardy a todo H∞. Al igual que en ese caso, es compatible con las 2.4. RELACIONES DE COMPARACI ´ ON DE FUNCIONES 47 operaciones de suma y multiplicaci´on. Sin embargo, aqu´ı la estructura de orden es ´unicamente parcial (por ejemplo las funciones 0 y sin xno son comparables por esta relaci´on de orden). La relaci´on es reflexiva y transitiva, pero no es un orden, pues fg ygfs´olo implica que fygson similares (no es antisim´etrica). Una relaci´on con estas propiedades se denomina un preorden. Para todo preorden la relaci´on definida como es de equivalencia, y el preorden induce un orden (parcial) en el conjunto cociente por esta relaci´on. Ejemplos 2.17. Para todo λ6= 0, fgsi y s´olo si fλg. N´otese que no se est´a comparando el signo que toman las funciones, ´unicamente sus valores. Por ejemplo, x −x2. Si p(x) = anxn+···+a0yq(x) = bmxm+···+b0son polinomios, pqsi y s´olo si el grado de pes menor o igual al de q(n≤m). Si pyqson funciones racionales esto sigue siendo cierto, definiendo su grado como el del numerador menos el del denominador. log xp(x)expara toda funci´on polin´omica pno constante. f1 si y s´olo si fest´a acotada. f1 equivale a que existen ε, A > 0 tales que ε≤ |f| ≤ Aen el infinito. Esto equivale a su vez que la funci´on log |f|est´e acotada en el infinito. El conjunto de ceros de dos funciones similares fygdebe ser el mismo para alg´un entorno de infinito (si no fuese as´ı y gse anulase en una sucesi´on xn→ ∞ mientras que fno, se tendr´ıa que 0<|f(xn)| ≤ M|g(xn)|= 0). Esta condici´on no es suficiente para que fgni siquiera cuando estas funciones se anulan indefinidametne. Por ejemplo, las funciones sin xy sin2xcomparten el conjunto de ceros, pero no se puede tener sin x≤Msin2xpara ning´un M > 0. Se cumple ´unicamente sin2xsin x. Las funci´on constante 1 y xsin xno son d´ebilmente comparables. En efecto, xsin xse anula indefinidamente, por lo que 1 Mx sin xpara ning´un M > 0, pero no es acotada, por lo que xsin x1. Con respecto al comportamiento de las relaciones de comparaci´on d´ebiles frente a las operaciones de suma y multiplicaci´on de g´ermenes se tienen las siguientes propiedades: Propiedades 2.18. (i) Sean f1, f2, g ∈ H∞tales que f1gyf2g. Entonces f1+f2g. 48 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY (ii) Sean f1, f2, g1, g2∈ H∞tales que f1g1yf2g2. Entonces f1f2 g1g2. En particular si f1g1yf2g2, entonces f1f2g1g2. Demostraci´on. Sea I= [a, ∞) un intervalo en el que todos los representantes considerados est´en definidos y cumplan las desigualdades de la definici´on 2.16. Las hip´otesis de (i) indican que existen M1yM2positivos tales que |f1| ≤ M1|g|y|f2| ≤ M2|g|en I. En virtud de la desigualdad triangular |f1+f2|≤|f1|+|f2| ≤ (M1+M2)|g|en I. Para demostrar (ii) basta observar que |f1||f2|=|f1f2| ≤ M1M2|g1g2|. Observemos que no se tiene una propiedad similar a (ii) para la suma, pues se puede producir cancelaci´on de t´erminos. Por ejemplo, xx2+ 1, x −x2+ 1, pero 2x2. Lo que nunca se va a conseguir es que la suma de dos funciones domine estrictamente a la que crezca m´as r´apido entre ellas. Este comportamiento, estudiado en el primer cap´ıtulo para funciones polin´omicas, recuerda a las propiedades de una valoraci´on. Definici´on 2.19 (Relaciones de comparaci´on fuertes).Dadas dos funciones f, g ∈ H∞, se dir´a que fes despreciable frente a g(o que ges preponderante sobre f) y se escribir´a f Î gsi para todo ε > 0 se tiene que |f| ≤ ε|g|. Esta relaci´on vuelve a ser transitiva, pero no es reflexiva. Es m´as, f Î f⇒f= 0. Adem´as tenemos las siguientes propiedades: Propiedades 2.20. (i) Si f Î gygh, entonces f Î h. (ii) Si fgyg Î h, entonces f Î h. (iii) Si f1 Î g,f2 Î g, entonces f1+f2 Î g. (iv) f1 Î g1yf2g2implica f1f2 Î g1g2. Demostraci´on. (i). Existe M > 0 tal que g≤M|h|. Para todo ε > 0 se cumple que |f| ≤ ε M|g| ≤ ε|h|. (ii) se demuestra de forma similar. (iii). Para todo ε > 0, |f1+f2| ≤ 1 2ε|g|+1 2ε|g|=ε|g|. (iv). Existe M > 0 tal que |f2| ≤ M|g2|. Por tanto, para todo ε > 0, |f1f2| ≤ ε M|g1|M|g2|=ε|g1g2|. Observaci´on (Relaci´on entre comparaci´on d´ebil y fuerte).Es claro que f Î gimplica fg. El rec´ıproco, en cambio, no es cierto, (por ejemplo, ff, pero f Î fs´olo si f= 0). M´as generalmente, si f Î gygf, entonces f=g= 0. Este hecho nos hace imaginar que una interpretaci´on de f Î gpuede ser: fg“pero no de una forma ce˜nida”. Sin embargo, no es cierto que fg⇒f Î g´o fg. Por ejemplo, 2.4. RELACIONES DE COMPARACI ´ ON DE FUNCIONES 49 sin x1, pero ni 1 sin xni sin x Î 1. Lo mismo sucede con las funciones g(x) = xyf(x) = xcos2x(figura 2.4). Estos ejemplos est´an propiciados por la oscilaci´on de las funciones, y, como se ver´a m´as adelante, no pueden darse en el contexto de los cuerpos de Hardy. 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 x f(x) = xcos2x Figura 2.2: Gr´afica de la funci´on xcos2x Proposici´on y Definici´on 2.21. Se define en H∞la relaci´on f∼g⇔f−g Î g Esta relaci´on es de equivalencia, y se dir´a que fygson equivalentes si f∼g. En ese caso, adem´as fg. Demostraci´on. A primera vista puede parecer que esta definici´on no es sim´etrica respecto a los papeles que juegan fygen ella. Veamos que s´ı lo es, y que f−g Î gsi y s´olo si f−g Î f. Si f−g Î g, para todo ε > 0|f−g| ≤ ε|g|. De acuerdo con la desigualdad triangular inversa, |g|−|f|≤|f−g| ≤ ε|g|, por lo que (1 −ε)|g|≤|f|. Para valores de εentre 0 y 1, 1 1−ε>0, y por tanto gf. (Remarcar que no se tiene g Î f). La propiedad (ii) de 2.20 nos permite concluir que f−g Î g. Se ha visto adem´as que fg. Con esta propiedad, es f´acil ver que ∼es sim´etrica, pues f−g Î g⇔ f−g Î f⇔g−f Î f. Probemos su transitividad. Si f−g Î gy g−h Î h, entonces g−h Î gy de acuerdo con la propiedad (iii) de 2.20 (f−g)+(g−h) = f−h Î gh, por lo que f−h Î hyf∼h. La reflexividad es clara, pues toda funci´on fcumple 0 Î f, por lo que queda probado que ∼es una relaci´on de equivalencia. 50 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY Ejemplo 2.22. Heur´ısticamente, el hecho de que dos funciones f, g sean equivalentes en este sentido quiere decir que son similares y “que sus t´erminos dominantes tienen el mismo coeficiente” (aunque esto ´ultimo no est´a definido en general, es precisamente lo que se intenta definir). Esto permite que se produzca su cancelaci´on al restar. Por ejemplo, x3+x2∼x3+ 1 yx2ex∼x2ex+ log x, pero 3x3+x22x3+ 1 y x2ex−x2ex+ log x. En particular, en esta relaci´on s´ı se tiene en cuenta el signo que toman las funciones. Lema 2.23. Si f, g ∈ H∞cumplen que f∼gygtiene signo constante en infinito, entonces ftambi´en tiene signo constante, que coincide con el de g. Demostraci´on. Supongamos sin p´erdida de generalidad que g > 0. Como f∼g,f−g Î g, y para todo ε > 0 exite un intervalo I= [a, ∞) (en el que podemos suponer que ges positiva), tal que |f(x)−g(x)|< ε|g(x)|. Si existiese un x∈Ital que f(x)≤0, se tendr´ıa que |f(x)−g(x)|= |f(x)|+|g(x)|≥|g(x)|, lo que contradice nuestra hip´otesis. Definici´on 2.24. Se dir´a que dos g´ermenes fygen H∞son fuertemente comparables (o simplemente comparables) si se cumple f Î g,g Î f´o f∼αg para alg´un α∈R, α 6= 0. Ejemplo 2.25. Si dos funciones f, g son fuertemente comparables, tambi´en lo ser´an d´ebilmente, pues f Î g⇒fg, y si f∼αg se tiene que f−αg g, y como αg g, al sumar se obtiene fg. Sin embargo, el rec´ıproco es falso. Por ejemplo, tomando f(x) = sin x,g(x) = 1, se cumple sin x1, pero estas funciones no son fuertemente comparables, pues |sin x|1 2·1, 1 |sin x|y tampoco se tiene f∼αg, pues para todo α6= 0, |sin x−α||α|·1. En la siguiente proposici´on se caracterizan las relaciones de comparaci´on en t´erminos del l´ımite del cociente de representantes de los g´ermenes. Proposici´on 2.26. Sean f, g ∈ H∞tales que no se anulen eventualmente, y denotemos por las mismas letras dos respectivos representantes suyos. Entonces se cumple: (I) fg⇔f ges acotada ⇔ ∃ ε > 0para el que |g f|> ε. (II) f Î g⇔l´ım x→∞ f g(x) = 0 ⇔l´ım x→∞|g f|=∞. (III) fg⇔log |f g|es acotada. Adem´as, si el l´ımite l´ım x→∞f/g existe, entonces fg⇔l´ım x→∞ f g∈R∗ (IV) f∼g⇔l´ım x→∞ f g= 1 2.4. RELACIONES DE COMPARACI ´ ON DE FUNCIONES 51 (V) Si fygtienen signo constante en infinito, entonces son fuertemente comparables si y s´olo si l´ım x→∞ f gexiste (pudiendo ser ±∞). Demostraci´on. Claramente |f| ≤ A|g|⇔|f g| ≤ A⇔1 A≤ |g f|, de donde se deducen (I) y (II). Para probar (III) basta notar que log |h|es acotada si y s´olo si |h|toma valores en un intervalo de la forma [ε, M] y aplicar la primera propiedad. (IV) Si f∼g,f−g Î g, y de acuerdo con la propiedad (II) l´ım x→∞ f−g g= l´ım x→∞ f g−1 = 0. Rec´ıprocamente, si l´ım x→∞ f g= 1, entonces l´ım x→∞ f g−g g= 0, y se tiene que f∼g. Finalmente, para (V), se ha visto que las relaciones f Î gyf∼αg son equivalentes a que el l´ımite l´ım x→∞ f gsea respectivamente 0 ´o α. Al ser ambas de signo constante, g Î fes equivalente a que l´ım x→∞ f g=±∞. Lema 2.27. Sean f, g ∈ H∞g´ermenes con un signo constante en infinito. fygson fuertemente comparables si y s´olo si para todo t∈R, salvo quiz´as uno, la funci´on f−tg tiene un signo constante en infinito. Demostraci´on. Veamos que la condici´on es necesaria. Si fygson fuertemente comparables, o bien f Î g, o existe α6= 0 tal que f∼αg. En el primer caso f−tg ∼ −tg para todo t6= 0, y de acuerdo con el lema 2.23, f−tg tiene el mismo signo que −tg (constante). En el segundo caso f−αg Î αg, y para todo t6=αse cumple f−tg ∼(α−t)g, por lo que f−tg tiene signo constante. Supongamos ahora que f−tg tiene signo constante para todo t∈R salvo quiz´as un valor. Por la proposici´on precedente sabemos que fygson comparables si y s´olo si el cociente f gtiene l´ımite en R. Toda funci´on htiene al menos un punto de acumulaci´on en R(si hno est´a acotada +∞´o −∞ ser´an puntos de acumulaci´on por definici´on, y si lo est´a, su imagen estar´a contenida en un compacto de R). Adem´as, una funci´on tiene l´ımite en Rsi y s´olo si tiene un ´unico punto de acumulaci´on. Supongamos que f gtiene al menos dos valores de adherencia distintos α1< α2. Para todo tentre ellos, existir´ıan puntos x1, x2arbitrariamente grandes tales que α1<f g(x1)<t< f g(x2)< α2, por lo que f−tg oscilar´ıa indefinidamente para todos estos (infinitos) valores de t. Nota. Puede darse el caso en el que f−αg oscile, siendo fygfuertemente comparables, si ese valor de αprovoca que los t´erminos dominantes de las funciones se cancelen, dejando a la luz la parte oscilatoria de las funciones cuyo comportamiento asint´otico estaba enmascarado. Por ejemplo, las funciones f(x) = x+ sin xyg(x)=3x+ cos xson comparables, pero f−1 3g 52 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY oscila. Esto tampoco puede suceder en el contexto de cuerpos de Hardy. Corolario 2.28. En un cuerpo de Hardy ktodas las funciones son fuertemente comparables, y por lo tanto, tambi´en lo ser´an d´ebilmente. Demostraci´on. Podemos suponer que kcontiene a R, pues k(R) es de Hardy. Por tanto, para todo par de funciones f, g ∈ky todo t∈R,f−tg ∈k(R) debe tener signo constante en el infinito. Corolario 2.29. Si fygson g´ermenes con signo constante y son fuertemente comparables, entonces fgimplica f Î g´o fg. Demostraci´on. Sean f, g ∈ H∞de signo constante tales que fg. Por ser de signo constante, si son comparables tambi´en lo ser´an |f|y|g|. Si no se cumple f Î g, significa que existe un ε0>0 tal que para todo A > 0 existe un x > A tal que |f(x)|> ε0|g(x)|. Esta desigualdad se cumplir´a tambi´en para todo ε∈(0, ε] (hay infinitas opciones). De acuerdo con el lema 2.27, |f|−ε|g|tiene signo constante, que debe ser positivo si ε∈(0, ε], por lo que |g| ≤ 1 ε|f|ygf. 2.5. Valoraci´on de un cuerpo de Hardy Nos disponemos a continuaci´on a definir la valoraci´on asociada a un cuerpo de Hardy. Esta valoraci´on es una forma de cuantificar el orden de crecimiento de una funci´on en infinito. Es una ´util herramienta tanto para reinterpretar resultados ya conocidos, como la regla de l’Hˆopital, como para facilitar la demostraci´on de otras propiedades. En esta secci´on se seguir´a principalmente [Ros83a] y [Ros83b]. Sea kun cuerpo de Hardy. Se ha definido en ´el la relaci´on que es de equivalencia. Podemos considerar por tanto el conjunto Γ = k∗. Denotaremos por v(f) la clase de una funci´on f∈k, es decir, v:k∗→Γ ser´a la aplicaci´on de paso al cociente. En este conjunto se puede definir una operaci´on de suma de la forma siguiente: v(f) + v(g) = v(f·g) Tambi´en se define en Γ un orden dado por: v(f)≤v(g)⇔gf Gracias a la propiedad (ii) de 2.18 la operaci´on de suma est´a bien definida y es compatible con este orden. Adem´as, debido a que en un cuerpo de Hardy todo par de funciones son comparables, el orden as´ı definido es total. Por 2.5. VALORACI ´ ON DE UN CUERPO DE HARDY 53 tanto, (Γ,+,≤) es un grupo ordenado, que se denominar´a el grupo de valores de k(y se denotar´a Γkcuando se quiera resaltar el cuerpo ken el que se est´a trabajando). Proposici´on y Definici´on 2.30. La aplicaci´on v:k∗→Γes una valoraci´on sobre k. A esta valoraci´on se le denominar´a valoraci´on can´onica de ky para cada f∈k∗se dir´a que v(f)es su valor. Demostraci´on. Por construcci´on se cumple que v(fg) = v(f)+v(g) para todo f, g ∈k∗. S´olo falta comprobar por tanto que v(f+g)≥m´ın{v(f), v(g)}. Supongamos que v(f)≤v(g), i.e., gf. Como ff, la propiedad (i) de 2.18 nos indica que f+gf, y por tanto v(f+g)≥v(f). El elemento neutro del grupo Γ es la clase de funciones de kasint´oticas a una constante no nula (pues si l´ım x→∞f=c6= 0, se cumple fg g∀g∈k∗). Se escribir´a por tanto v(f) = 0 en este caso. Esta valoraci´on mide el orden de crecimiento de las funciones de k. Una funci´on f∈ktendr´a un valor m´as positivo cuanto “m´as r´apido tienda a 0”, y m´as negativo cuanto “m´as r´apido tienda a ∞”. Al igual que en el cap´ıtulo 1 extenderemos va todo kdenotando v(0) = ∞, lo que resulta acorde con esta interpretaci´on. Todo ello se resume en las siguientes propiedades: Propiedades 2.31. Sean fygg´ermenes de funciones pertenecientes a un cuerpo de Hardy k. Entonces i) 0 ≤v(f)⇔l´ım x→∞f∈R⇔f1 ii) v(f)>0⇔l´ım x→∞f= 0 ; v(f)<0⇔l´ım x→∞|f|=∞ iii) v(f)< v(g)⇔l´ım x→∞ g f= 0 ⇔g Î f iv) Para todo α∈R>0,v(f) tiene el mismo signo que v(fα). (Pues 1f⇔1αfαal ser la funci´on x7→ xαmon´otona). Es importante remarcar que si se tiene una extensi´on de cuerpos de Hardy k⊆K, con Γky ΓKsus respectivos grupos de valores, entonces Γkse puede identificar de una forma natural como un subgrupo de ΓK. En efecto, la aplicaci´on i: Γk,→ΓKdada por i(v(f)) = v(f) est´a bien definida y es un homomorfismo inyectivo de grupos, pues la relaci´on de similitud no depende del cuerpo en el que se consideren las funciones. Por tanto, la valoraci´on can´onica de Kes una extensi´on de la valoraci´on de k. 60 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY Lema 2.47. Sea funa funci´on en un cuerpo de Hardy y sea g=f0/f su derivada logar´ıtmica. Entonces, para todo i≥1se tiene que f(i)/f =Pi(g, g0, . . . , g(i−1)) para un polinomio Pi∈Z[T0, T1, . . . , Ti−1]en ivariables con coeficientes enteros. Demostraci´on. Procederemos por inducci´on. Para i= 1 basta tomar P1(T) = T. Supongamos el resultado cierto para i. Entonces (f(i)/f)0=f(i+1)f−f0f(i) f2=f(i+1) f−f0 f f(i) f Por lo tanto se tiene que f(i+1)/f =Pi(g, g0, . . . , g(i−1))0+g·Pi(g, g0, . . . , g(i−1)) siendo la parte derecha de esta expresi´on la evaluaci´on en (g, g0, . . . , g(i)) de un polinomio en i+ 1 variables con coeficientes enteros, de acuerdo con la regla de la cadena. Demostraci´on del teorema de Borel-Van den Dries: Nos disponemos a demostrar finalmente el teorema 2.44. Para ello demostraremos un enunciado algo m´as fuerte Sea kun cuerpo de Hardy que contiene R(x) y sea yen una extensi´on de Hardy Kde k. Entonces Si |P(y, y0,...y(n))|< g para un polinomio P∈k[T]dde orden ≤n y una funci´on g∈k, entonces |y|< en(f)para alguna f∈k. (An) Demostremos esta afirmaci´on por inducci´on sobre n. Si n= 0 entonces |P(y)|=|fkyk+···+f0|< g,fi∈k, y podremos suponer este polinomio m´onico dividiendo esta relaci´on por fk. Aplicando la desigualdad triangular inversa tenemos: |y|k<|yk−1fk−1|+···+|f0|+|g| Tomando f= 1 + |fk|+···+|f0|+|g|se cumple |y|< f =e0(f). En efecto, si esto no fuese cierto se cumplir´ıa que |y| ≥ 1 y por tanto |y|k≥ |yk−1|(1+|fk−1|+···+|f0|+|g|)≥ |yk−1|+|yk−1fk−1|+···+|f0|+|g| contradiciendo lo obtenido anteriormente. Por tanto, se cumple (A0). Supongamos ahora n≥1, (An−1) cierto y que |P(y, y0,...y(n))|< g. Si |y|< ex2el resultado es cierto, por lo que supondremos |y| ≥ ex2. 2.6. EL TEOREMA DE BOREL-VAN DEN DRIES 61 Sea d > 0 el grado total de este polinomio, y sea Qsu parte homog´enea de grado d. Escribamos P=Q+R, con Rde grado < d. Remarquemos que todo monomio de Res de la forma m=f·yr0(y0)r1···(y(n))rncon f∈ky r0+···+rn< d. Si se divide este monomio por una potencia de y,yρcon ρ>d−1, se cumple que |m/yρ| ≤ |f|. En efecto, escribamos m/yρ=f(y0 y)r0···(y(n) y)rn·1 yρ−(r0+···+rn) El lema 2.45 afirma que |y(i)/y|<|y|εi∀εi>0. Tomando εi= 1/(n+ 1)ri para los ri6= 0 se obtiene el resultado. Por tanto |R(y, y0, . . . , y(n))/yρ|< h con h∈ksi ρ>d−1 (*) siendo hla suma de los valores absolutos de los coeficientes de los monomios de R. Trataremos dos casos separadamente: a) Si ning´un y(i)con i > 0 aparece en Q. Entonces se tiene que |fdyd+R(y, y0, . . . , y(n))|< g Si se divide esta relaci´on por yd−1 2y se aplica la desigualdad triangular inversa se obtiene |fd|·|y1/2|< g +|R(y, y0, . . . , y(n))/yd−1 2| Teniendo en cuenta (*) obtenemos |y|<(g+h)2|fd|−2, finalizando la prueba en este caso. b) En caso contrario dividamos entre |y|dla relaci´on |P(y, y0, . . . , y(n))|=|Q(y, y0, . . . , y(n)) + R(y, y0, . . . , y(n))|< g obteniendo |Q(1, y0/y, . . . , y(n)/y +R(y, y0, . . . , y(n))/yd|< g/|y|d Al igual que en el caso anterior, aplicando (*) y la desigualdad triangular inversa, tenemos que |Q(1, y0/y, . . . , y(n)/y +|< h para un h∈k Realizando el cambio z=y0/y ∈Ky aplicando el lema 2.47 se tiene que para cada i≥1y(i)/y =Qi(z, z0, . . . , z(i−1)) para un Qi∈ Z[T0, . . . , Ti−1]. Sustituyendo estos valores en el polinomio Q, se obtiene un nuevo polinomio e Qcon coeficientes en ktal que |e Q(z, z0, . . . , z(n−1)|< h 62 CAP´ ITULO 2. CUERPOS DE HARDY Usando la hip´otesis de inducci´on, existe una f∈ktal que |y0/y|= |z|< en−1(f). Podemos suponer que f≥x2, y por tanto el lema 2.46 nos permite afirmar que |y|< en(f) (´o |y|< eMxf si n= 1) finalizando la demostraci´on del teorema. Observaciones. El cuerpo de Hardy ken el que es usual tomar los coeficientes es R(x). En este caso se puede simplificar la conclusi´on del teorema diciendo que la soluci´on yverifica |y|< en(xm) para algunos n, m ∈N. Para k=R(x) este resultado es ´optimo en el sentido de que para todo n∈Nse puede construir una ecuaci´on diferencial algebraica de orden npara la que la funci´on en(x) es soluci´on. Por ejemplo, para e2(x) una tal ecuaci´on es y00y−y0y−y0= 0 Este resultado no es necesariamente cierto si la soluci´on de la ecuaci´on diferencial oscila (no pertenece a un cuerpo de Hardy), existiendo ejemplos de estas soluciones que crecen arbitrariamente r´apido. Algunos de ellos fueron exhibidos ya por Borel en [Bor99, Nota 2, P´ag. 47], y, m´as recientemente A. Rubel exhibi´o en [Rub81] una ecuaci´on diferencial algebraica con coeficientes enteros (de orden 4 y grado 7) cuyas soluciones de clase C∞son densas en C0((−∞,∞)). Cap´ıtulo 3 Estructuras o-minimales En este ´ultimo cap´ıtulo se har´a una breve presentaci´on de las estructuras o-minimales. El desarrollo ser´a m´as escueto que en los cap´ıtulos anteriores y no se incluir´an las demostraciones de todos los enunciados, permitiendo dar una visi´on m´as amplia de la teor´ıa sin sobrecargar esta memoria. Comenzaremos con una motivaci´on dada por los conjuntos semi-algebraicos. La teor´ıa de las estructuras o-minimales puede verse como una axiomatizaci´on de esta ´ultima, y compartir´an numerosas buenas propiedades, como la finitud de componentes conexas de sus conjuntos. Seg´un van den Dries [Dri98], la teor´ıa as´ı surgida se adec´ua perfectamente al marco buscado por A. Grothendiek en su Esquisse d’un Programme (secci´on 5: Haro sur la topologie dite “g´en´erale”, et r´eflexions heuristiques vers une topologie dite “mod´er´ee” [Gro84], en el que se reclama la necesidad de una nueva geometr´ıa “moderada” que se adapte a nuestras intuiciones y en la que no sean compatibles ejemplos “salvajes” como curvas que llenen el plano. En efecto, en el contexto de las estructuras o-minimales no se podr´an dar estos ejemplos, ni tampoco otros como el conjunto {(x, sin(1/x)) |x∈(0, π)}∪({0}×[−1,1]), ejemplo cl´asico de conjunto conexo pero no conexo por caminos. Por estas razones, las funciones de una estructura o-minimal no pueden tener un comportamiento oscilatorio y sus g´ermenes formar´an un cuerpo de Hardy con propiedades especialmente adecuadas. Este hecho se estudiar´a en la tercera y ´ultima secci´on. Aunque en este trabajo motivamos el estudio de las estructuras o-minimales desde un punto de vista geom´etrico, ´estas surgieron en un primer momento desde la l´ogica y la teor´ıa de modelos. No entraremos en los detalles necesarios para desarrollar rigurosamente esta otra definici´on, pero s´ı se indicar´a en varios comentarios c´omo se pueden relacionar las distintas perspectivas. Para este cap´ıtulo se han utilizado fundamentalmente las referencias 63 64 CAP´ ITULO 3. ESTRUCTURAS O-MINIMALES [Dri98], [Cos00] y, para la secci´on 3.3, [Mil12]. 3.1. Conjuntos semi-algebraicos En el grado en matem´aticas se estudian en asignaturas como Curvas Algebraicas los conjuntos definidos por sistemas de ecuaciones polinomiales. Trabajando en el cuerpo R(y en un cuerpo real en general), se dispone de la relaci´on de orden, por lo que es natural considerar tambi´en los conjuntos dados por inecuaciones con polinomios. La geometr´ıa as´ı surgida tiene importantes aplicaciones (en optimizaci´on, geometr´ıa computacional, rob´otica...), y aparece de forma notable en el problema 17 de Hilbert. Definici´on 3.1. Un conjunto semialgebraico de Rnes una uni´on finita de conjuntos de la forma A={x∈Rm|f(x) = 0 , g1(x)>0, . . . , gk(x)>0}(3.1) donde f, g1,...gk∈R[X1, . . . , Xm]. Una funci´on f:A→Rn,A⊆Rm, se dir´a semi-algebraica si su grafo Γ(f) = {(x,y)∈Rn+m|y=f(x)}es semi-algebraico. Se denotar´a por Anel conjunto de subconjuntos semialgebraicos de Rn. Nota. No se excluye que aparezcan varios polinomios igualados a 0, pues f1(x) = f2(x) = ··· =fr(x)=0 ⇔(f1(x))2+(f2(x))2+···+(fr(x))2= 0 No se puede suponer lo mismo para las desigualdades, y c´omo reducir su n´umero es un ´area de investigaci´on actual. Tambi´en notar que se permiten las relaciones ≥,<,≤y6= sin m´as que multiplicar por −1 y combinar las ya incluidas. Directamente de la definici´on se deducen algunas propiedades de estabilidad por distintas operaciones. Propiedades 3.2. 1. Anes estable al tomar uniones e interseciones finitas y por complementarios. Es decir, Anes un ´algebra de Boole. 2. El producto cartesiano de conjuntos semialgebraicos A∈ An, B ∈ Am es un conjunto semialgebraico A×B∈ An+m. 3. Los conjuntos semialgebraicos de Rson exactamente las uniones finitas de puntos e intervalos. 3.1. CONJUNTOS SEMI-ALGEBRAICOS 65 Demostraci´on. 1. Las uni´on de dos conjuntos de la forma (3.1) es semialgebraica por definici´on; para la intersecci´on basta unir las restricciones impuestas y Acviene determinado al sustituir “=” por “6=” y “>” por “≤”. 2. Todo polinomio f∈R[X1, . . . , Xn] se puede considerar como un polinomio en n+mvariables. Para definir el conjunto A×Bbasta unir las restricciones que definen AyB, las primeras expresadas sobre las mprimeras variables x1, . . . , xmy las segundas sobre las n´ultimas xm+1, . . . , xn. 3. Cada polinomio en una variable tiene un n´umero finito de ra´ıces. Las relaciones f(x) = 0 determinan un n´umero finito de puntos y g(x)>0 una uni´on finita de intervalos (como m´aximo uno m´as que ra´ıces tenga g). Cualquier union finita de puntos e intervalos es un conjunto de A1. Una propiedad mucho m´as dif´ıcil de demostrar es la estabilidad por proyecciones. Este hecho, conocido como el Teorema de Tarski-Seidenberg y enunciado a continuaci´on, es la piedra angular en esta teor´ıa, de la que se deducen importantes propiedades. Teorema 3.3 (Tarski-Seidenberg).Sea π:Rn+m→Rnla proyecci´on en las nprimeras coordenadas. Si A⊆Rn+mes un conjunto semialgebraico, entonces tambi´en lo es π(A). Nota. Una demostraci´on de este teorema se puede encontrar en [ Loj65, p´ag.110]. En ella se utiliza la estratificaci´on de un conjunto semialgebraico (partici´on finita en conjuntos homeomorfos a alg´un Rk). Esta idea es clave para generalizar las propiedades de los conjuntos semi-algebraicos a las estructuras o-minimales, y se hablar´a de su versi´on generalizada m´as adelante. Es destacable que para los conjuntos ´unicamente algebraicos no se tiene la propiedad anterior. Por ejemplo, la proyecci´on de la curva y2=xen el eje xes el intervalo [0,∞), que no es un conjunto algebraico. Observaci´on (L´ogica y geometr´ıa).Aunque en este cap´ıtulo no sigamos el tratamiento dado por la teor´ıa de modelos, s´ı es relevante detenerse a se˜nalar la relaci´on con este otro punto de vista. Esto, adem´as de mostrar la interrelaci´on entre estas ´areas de las matem´aticas, clarificar´a el porqu´e de la terminolog´ıa presentada m´as adelante. Al considerar un conjunto A⊆Rn, concretizamos qu´e elementos pertenecen a ´el imponiendo propiedades que deben cumplir. Estas propiedades se expresan con diferentes s´ımbolos, entre ellos los s´ımbolos l´ogicos “∨”, “∧”, “¬” y cuantificadores “∃”, “∀”. En el caso de los conjuntos semialgebraicos tambi´en aparecen “+”,“−”,“·”,“=”, “<” y los n´umeros reales. Se dice que los conjuntos algebraicos son definibles con par´ametros en el cuerpo ordenado R. 66 CAP´ ITULO 3. ESTRUCTURAS O-MINIMALES Si dos conjuntos A, B ∈Rnvienen descritos por las f´ormulas φ(x) y ψ(x) respectivamente, su union est´a definida por φ(x)∨ψ(x), su intersecci´on por φ(x)∧ψ(x) y Acpor ¬φ(x). M´as interesante es la relaci´on con los cuantificadores ∃y∀. Como ejemplo, sea A⊆R3definido por φ(x, y, z) y consideremos A1={(x, y)∈R2| ∃z∈Rφ(x, y, z)}, A2={(x, y)∈R2| ∀z∈Rφ(x, y, z)} A1es exactamente la proyecci´on sobre las dos primeras coordenadas de A, π(A). A2es (π(Ac))c(siempre se pueden transformar los cuantificadores ∀ en ∃modificando las apariciones de “∀z” por “¬∃z¬”). Con estos comentarios podemos entender otras formas de interpretar el teorema de Tarski-Seidenberg: “El cuerpo ordenado Radmite eliminaci´on de cuantificadores” o tambi´en “Los conjuntos semialgebraicos son exactamente los conjuntos definibles con par´ametros en el cuerpo ordenado R”. Esto quiere decir que los conjuntos definidos con cuantificadores l´ogicos variando en conjuntos semi-algebraicos tambi´en ser´an semi-algebraicos. En particular, todos los conjuntos definidos por la notaci´on ε−δson semi-algebraicos. Como aplicaci´on de estas ideas mostraremos c´omo se pueden demostrar las siguientes propiedades: Proposici´on 3.4. 1. Si f, g son funciones semi-algebraicas, tambi´en lo es m´ax(f, g). 2. Si A⊆Rmes semi-algebraico, tambi´en lo son ˚ AyA. 3. Si f: (a, b)→Res una funci´on semi-algebraica, el conjunto Dde puntos de (a, b)donde fes derivable es semi-algebraico, y la derivada f0:D→Rtambi´en lo es. Demostraci´on. El grafo de m´ax(f, g) se puede caracterizar por: Γ(m´ax(f, g)) = {(x, y)∈R2|(y=f(x)∨y=g(x)) ∧y≥f(x)} La adherencia e interior de Ase pueden caracterizar por: A={x∈Rm| ∃ε∈(0,∞),∀a∈A , m X i=1 (xi−ai)2< ε};˚ A= (Ac)c El conjunto Dy el grafo de f0vienen dados por: D=x∈(a, b)| ∃d∈R,∀ε > 0∃δ > 00< t2< δ ⇒(f(x+t)−f(x) t−d2< ε Γ(f0) = (x, y)∈R2|x∈(a, b),∀ε > 0∃δ > 00< t2< δ ⇒((f(x+t)−f(x) t−y)2< ε 3.2. GENERALIDADES DE LAS ESTRUCTURAS O-MINIMALES 67 A continuaci´on se presentan algunas de las buenas propiedades topol´ogicas de los conjuntos semialgebraicos. Este buen comportamiento ser´a el que se buscar´a generalizar con las estructuras o-minimales y est´a ´ıntimamente ligado con la imposibilidad de que una funci´on oscile infinitamente, posibilitando relacionar estas estructuras con los cuerpos de Hardy. Proposici´on 3.5. Todo conjunto semi-algebraico A⊆Rmtiene un n´umero finito de componentes conexas, y cada una de ellas es semi-algebraica. Proposici´on 3.6. Un conjunto semialgebraico A⊆Rnes localmente conexo, y es conexo si y s´olo si es conexo por caminos. No presentamos la demostraci´on de estas proposiciones, que se puede encontrar en [ Loj65, p´ags.76,110]. Ejemplos 3.7. La funci´on sin xno es semi-algebraica. En efecto, si se interseca su grafo con el eje y= 0 se obtiene el conjunto {(2πk, 0) |k∈Z}, con infinitas componentes conexas. La funci´on extampoco es semi-algebraica, a pesar de que realizando operaciones con su grafo no se contradicen las proposiciones 3.5 y 3.6. En este caso, se puede probar que toda funci´on semi-algebraica f:R→Rtiene un crecimiento acotado por xnpara alg´un n∈N [Mil12]. 3.2. Generalidades de las estructuras o-minimales Es natural querer extender el estudio anterior a otras clases de conjuntos a los que poder aplicar las operaciones de uni´on, intersecci´on, proyecciones... Sin embargo, es f´acil que tras sucesivas aplicaciones de estas operaciones a algunos conjuntos de partida se creen conjuntos demasiado “ca´oticos”, que es lo que se busca evitar. Aqu´ı entra en juego el axioma de o-minimalidad, que forzar´a a que las estructuras que lo cumplan tengan un comportamiento “moderado”. Definici´on 3.8. Se define una estructura en Rcomo una sucesi´on de colecciones de subconjuntos de Rm,S= (Sm)∞ m=0 tales que: (S1) Smes un ´algebra de Boole de subconjuntos de Rm(i.e., ∅,Rm∈ Sm, es cerrado para uniones e intersecciones finitas y complementarios). (S2) Si A∈ SmyB∈ Sn, entonces A×B∈ Sm+n. (S3) Las diagonales ∆i,j ={(x1, . . . , xm)∈Rm|xi=xj}pertenecen a Sm. (S4) Si A∈ Sm+1, entonces su proyecci´on en las primeras mcomponentes, π(A), pertenece a Sm. 68 CAP´ ITULO 3. ESTRUCTURAS O-MINIMALES Se dir´a que la estructura Ses o-minimal si adem´as cumple: (O1) {(x, y)∈R2|x<y} ∈ S2. (O2) Los conjuntos de S1son exactamente las uniones finitas de puntos e intervalos. Si un conjunto A⊆Rmpertenece a Smse dir´a que Apertenece a S(o que es definible en S). Una funci´on f:A→Rm,A⊆Rn, se dir´a que pertenece a S(o que es definible en S), si su grafo Γ(f) pertenece a Sn+m. Observaciones. Recordemos que una funci´on fse define de forma conjuntista exactamente como el conjunto que determina su grafo, por lo que esta definici´on es la m´as natural posible. De igual forma se puede decir que una estructura Scontiene una relaci´on de Rm1,···Rmrsi contiene el subconjunto del producto cartesiano que la define. En particular la condici´on (O1) indica que Scontiene la relaci´on de orden. De forma m´as general se puede dar la definici´on de estructura sobre un conjunto Rcualquiera, y la de estructura o-minimal sobre un conjunto totalmente ordenado con un orden denso y sin extremos (R, <). Concretamente, tienen gran relevancia las estructuras o-minimales sobre cuerpos reales-cerrados, pues si una estructura o-minimal Scontiene dos operaciones + y ·que hacen de Run anillo ordenado, ´este debe ser un cuerpo real-cerrado [Dri98, P´ag. 21, Prop 4.6]. El t´ermino o-minimal hace referencia a la relaci´on de orden que aparece en estas estructuras y a la condici´on que reduce los conjuntos de S1a los m´ınimos posibles (si se impone (O1) y que los conjuntos unipuntuales sean definibles, todos los intervalos son definibles). Es precisamente la relaci´on de orden la que permite hablar de propiedades topol´ogicas de los conjuntos definibles sobre una estructura o-minimal (recordemos que la topolog´ıa de Rcoincide con la topolog´ıa del orden). Propiedades 3.9 (Propiedades de conjuntos definibles). Sea Suna estructura: i) Los conjuntos definidos por permutaci´on de variables de un conjunto A∈ Smson definibles en S. Es decir, si σes una permutaci´on de {1, . . . , m}entonces Aσ={(x1, . . . , xm)∈Rm|(xσ(1), . . . , xσ(m))∈A}∈Sm 3.2. GENERALIDADES DE LAS ESTRUCTURAS O-MINIMALES 69 ii) Si πi1,...,in:Rm−→ Rnes la proyecci´on en las componentes i1, . . . , in yA∈ Sm, entonces πi1,...,in(A)∈ Sn. Demostraci´on. i) Consideramos el conjunto siguiente (definible por (S1), (S2) y (S3)) A= m \ j=1 (Rm×A)∩∆σ(j),m+j Lo que se ha conseguido es que en las mcomponentes izquierdas se “copien” los valores reorden´andolos como indica σ. Tomando mproyecciones sucesivas de A(aplicar (S4)) se obtiene el conjunto Aσ. ii) Basta reordenar las componentes para dejarlas en las nprimeras posiciones y aplicar m−nveces (S4). Propiedades 3.10 (Propiedades de funciones definibles). Sea Suna estructura, D⊆Rmyf:D→Rnuna funci´on definible en S. Entonces: i) D∈ Smy para todo A⊆Ddefinible en S,f(A)∈ Sny la restricci´on f|Atambi´en es definible. ii) Si B∈ Sn, entonces f−1(B)∈ Sm. iii) Si fes inyectiva, f−1(definida en f(D)) es definible. iv) Si f(D)⊆E⊆Rnyg:E→Rpes definible, entonces la composici´on g◦fes definible. Demostraci´on. Los conjuntos de los enunciado se pueden escribir como: i)D=π1,..,m(Γ(f)) , f(A) = πm+1,..,m+nΓ(f)∩(A×Rn), Γ(f|A) = Γ(f)∩(A×Rn), ii)f−1(B) = π1,..,mΓ(f)∩(Rm×B), iii) Γ(f−1) = {(f(x),x)|x∈D}= Γ(f)σ,(σla permutaci´on adecuada). iv) Por simplicidad supondremos fygde una variable Γ(g◦f) = {(x, z)∈R2|y=f(x), z =g(y)}=π1,4(Γ(f)×Γ(g)) ∩∆1,3 Proposici´on 3.11. Dada una colecci´on de estructuras (Sα)α∈Λse puede definir su intersecci´on Stomando para cada m≥0: Sm=\ α∈ΛSα m La colecci´on S= (Sm)∞ m=0 es una estructura. Adem´as, si cada Sαes ominimal, tambi´en lo ser´a S. 76 BIBLIOGRAF´ IA [Lan05] S. Lang. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2005. [ Loj65] S. Lojasiewicz. 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