La integral de Henstock-Kurzweil

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas La integral de Henstock-Kurzweil Autor: Laura Carreras Fernández Tutor: Jorge Mozo Fernández ´ Indice general Introducci´on 3 1. Integral de Cauchy 5 1.1. Construcci´on ........................... 5 1.2. TeoremadeCauchy........................ 6 1.3. Teoremas fundamentales del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Teorema de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Integral de Riemann 11 2.1. Construcci´on ........................... 11 2.2. Integrabilidad........................... 12 2.3. Teoremas fundamentales del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Teorema de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5. Integral de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Integral de Lebesgue 25 3.1. Teor´ıa de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Construcci´on de la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Integrabilidad........................... 31 3.5. Teoremas fundamentales del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . 32 4. Integral de Henstock-Kurzweil 37 4.1. Construcci´on ........................... 37 4.2. Propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3. Primer teorema fundamental del c´alculo . . . . . . . . . . . . 46 4.4. Integrabilidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5. LemadeHenstock ........................ 51 4.6. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.7. Relaci´on con la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 56 4.8. Segundo teorema fundamental del c´alculo . . . . . . . . . . . . 59 1 4.9. Extensi´on a un intervalo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . 61 Bibliograf´ıa 65 2 Introducci´on El objetivo fundamental de este trabajo es presentar la integral de HenstockKurzweil en el caso de funciones de una variable real, dando su construcci´on, propiedades b´asicas, y las versiones correspondientes de los teoremas de convergencia y teoremas fundamentales del c´alculo. A lo largo de la historia se han dado diferentes introducciones al concepto de integral de una funci´on f: [a, b]→R, normalmente ligadas al concepto de ´area. Por ello, antes de tratar la integral de Henstock-Kurzweil se hace una breve introducci´on de las integrales anteriores, las de Cauchy, Riemann y Lebesgue con el fin de motivar el desarrollo de la nueva integral y de mostrar las principales diferencias y mejoras de unas respecto a otras. A.L. Cauchy en 1823 propone una integra que funciona adecuadamente para las funciones continuas, o eventualmente con un n´umero finito de discontinuidades de salto. B. Riemann propone una definici´on de integral que resulta ´util para estudiar funciones acotadas, incluso con una cantidad numerable de discontinuidades. Sin embargo esta construcci´on sigue siendo ineficaz para tratar algunas funciones problem´aticas, como por ejemplo, la funci´on de Dirichlet, f(x) = 1 si x∈Q 0 si x /∈Q Uno de los resultados m´as destacados en la integral de Riemann es el TFC, el cual, en una de sus versiones, afirma que si f: [a, b]→Res una funci´on derivable cuya derivada es continua entonces f0(x) es integrable Riemann y RZb a f0(x) = f(b)−f(a) (1) Hay, no obstante, ejemplos de funciones derivables f(x) tales que f0(x) no es ni siquiera acotada y por tanto no es integrable Riemann. En 1902, H. Lebesgue desarrolla una nueva noci´on de integral con una construcci´on diferente ya que es vez de hacer particiones en el dominio de la funci´on lo hace en su rango, lo que hace necesaria la noci´on de medida que 3 ´el mismo construye. Esto supone una gran mejora ya que muchas funciones que no eran integrables en sentido Riemann s´ı lo ser´an en sentido Lebesgue, como por ejemplo, la funci´on de Dirichlet definida antes. Sin embargo siguen existiendo funciones derivables f(x) con derivada no integrable Lebesgue y en las que por tanto no se puede aplicar la expresi´on 1. La nueva integral, cuyo nombre hace referencia a los matem´aticos Ralph Henstock (Reino Unido, 1923) y Jaroslav Kurzweil (Chequia, 1926) que, trabajando de forma independiente, desarrollaron la integral de Riemann generalizada en 1961 y 1957 respectivamente permite salvar alguno de los problemas de las integrales anteriores. La construcci´on se basa en tomar sumas de Riemann sustituyendo el di´ametro δde una partici´on del intervalo de partida por un di´ametro variable δ(t)>0, llamado ((gauge)). Esta construcci´on tiene en cuenta el posible car´acter variable de una funci´on. La principal ventaja de esta integral y su principal raz´on de desarrollo es la aplicaci´on general del Teorema Fundamental del C´alculo, lo que quiere decir que la integral de Henstock-Kurzweil integra todas las funciones derivables, por lo que la f´ormula 1, es siempre v´alida. Otra diferencia con respecto a la integral de Lebesgue se observa al tratar la integrabilidad absoluta. Si f(x) es integrable Lebesgue, |f(x)|tambi´en lo es. Por tanto, funciones como g(x) = sin(x) xsi x > 0 1 si x= 0 no son integrables Lebesgue en [0,∞), ya que |g(x)|no lo es. La integral de Henstock-Kurzweil recupera el car´acter integrable de estas funciones. En este TFG se pretende desarrollar la noci´on de integral de HenstockKurzweil en el caso de funciones reales de una variable real, a la cual se dedica el cap´ıtulo 4. De manera previa, se revisan otras nociones de integrales, Cauchy, Riemann y Lebesgue, las cuales ya han sido desarrolladas con detalle en las asignaturas de C´alculo infinitesimal y de An´alisis Matem´atico. Las pruebas del cap´ıtulo 4 est´an detalladas pero no todas las de cap´ıtulos anteriores, las cuales s´olo est´an esbozadas u omitidas, por estimar que se trata de material desarrollado y utilizado a lo largo del Grado en Matem´aticas. 4 Cap´ıtulo 1 Integral de Cauchy 1.1. Construcci´on Cauchy fue el primero en dar un proceso constructivo para el c´alculo de integrales, investigando las caracter´ısticas que deb´ıa poseer una funci´on para ser integrable. La construcci´on que dio Cauchy es la siguiente: Dada una funci´on acotada fen el intervalo [a, b], se divide [a, b] en un n´umero finito de subintervalos contiguos [xk−1, xk] con a=x0< x1< . . . < xn< b. Se usar´a la siguiente terminolog´ıa: La colecci´on de intervalos contiguos {[x0, x1],[x1, x2],...,[xn−1, xn]}se define como partici´on de [a, b] y se denota por P. Los puntos x0, x1, . . . , xnse definen como los puntos de divisi´on de P. Tambi´en se puede identificar Pcomo P={x0, x1, . . . , xn}. La colecci´on de puntos {xk}n−1 k=0 d´onde xk∈[xk, xk+1] se definen como las etiquetas de P. Se denota por ∆xka la longitud de cada subintervalo [xk−1, xk],1≤ k≤ny por ||P|| al di´ametro de la partici´on, definido como: ||P|| = m´ax 1≤k≤n∆xk Se define la suma de Cauchy de la siguiente manera: n X k=1 f(xk−1)(xk−xk−1) = X P f∆x 5 El l´ımite de las sumas, existente por ser facotada, cuando la longitud de los intervalos tiende a cero, es la denominada integral de Cauchy de fen [a, b] que denotaremos como CRb af(x)dx. Definici´on 1.1. Dada una funci´on acotada fen el intervalo [a, b]se dice que es integrable Cauchy en [a, b]ointegrable en el sentido de Cauchy en [a, b]en [a, b]si existe un n´umero Atal que para cada  > 0 existe una constante positiva δtal que para cualquier partici´on Pde [a, b] cuyos subintervalos sean de longitud menor que δse cumple: X P f∆x−A< . Se escribe CRb af(x)dx =A. 1.2. Teorema de Cauchy Una vez dado un proceso constructivo de la integral, se buscan ahora condiciones suficientes sobre las funciones para garantizar la existencia de su integral en el sentido de Cauchy. Definici´on 1.2. Dadas dos particiones PyQde un intervalo [a, b]se dice que Qes un refinamiento de Psi los puntos de divisi´on de Pest´an incluidos en los puntos de divisi´on de Q, es decir cada subintervalo de Qest´a contenido en uno de P. Teorema 1.3. Si fes continua en el intervalo [a, b], entonces fes integrable en sentido de Cauchy en [a, b]y adem´as el valor de la integral en ´unico. Demostraci´on. Veremos que considerando diferentes particiones cuyos di´ametros tienden a cero, sus sumas de Cauchy forman una sucesi´on de Cauchy, estas por converger siempre nos dar´an el valor buscado de la integral de Cauchy. Considerando que: 1. Las funciones continuas definidas en intervalos cerrados y acotados son uniformemente continuas. 2. Se recurre a las sucesiones de Cauchy cuando no es posible calcular el l´ımite, en este caso el n´umero A de la definici´on de integral de Cauchy. Utilizando estas ideas se demostrar´a que las sumas de Cauchy PPf∆x, convergen a un l´ımite A y que este l´ımite en ´unico ya que no depende de una 6 elecci´on concreta de la partici´on siempre que se cumpla que la longitud de los subintervalos tienda a cero. Comparamos las sumas de Cauchy de dos particiones cualesquiera. Tomamos una partici´on Py un refinamiento b Pobtenido al a˜nadir un n´umero finito de puntos a la partici´on P. Sean a=x0< x1< . . . < xn=blos puntos de divisi´on de Pcon: x0=y10, y11, y12, . . . , y1i1=x1 x1=y20, y21, y22, . . . , y1i2=x2 . . . xn−1=yn0, yn1, yn2, . . . , ynin=xnlos puntos de divisi´on de b P. Entonces, X P f∆x−X b P f∆y= n X k=1 f(xk−1)(xk−xk−1)− n X k=1 ik X j=1 f(ykj−1)(ykj −ykj−1) = n X k=1 ik X j=1 [f(xk−1)−f(ykj−1)](ykj −ykj−1). Aplicando que la funci´on fes uniformemente continua en el intervalo [a, b], es decir, dado un  > 0 existe δtal que |f(x)−f(y)|<  con xeypuntos cualesquiera del intervalo [a, b] cumpliendo |x−y|< δ. Basta tomar los subintervalos de Pcon longitud menor que δpara concluir que X P f∆x−X b P f∆y< (b−a). Volviendo al problema original, dadas P1yP2dos particiones cualesquiera del intervalo [a, b] cuyos subintervalos tengan longitud menor que δse construye P1∪P2, un refinamiento de cada una de las particiones iniciales, cuyos subintervalos vuelven a tener longitud menor que δ. Por tanto las sumas asociadas, PP1f∆xyPP2f∆xest´an a una distancia menor que (b−a) de PP1∪P2f∆x, veamos a que distancia est´an una de otra utilizando la desigualdad triangular: X P1 f∆x−X P2 f∆x=X P1 f∆x−X P1∪P2 f∆x+X P1∪P2 f∆x−X P2 f∆x≤ X P1 f∆x−X P1∪P2 f∆x+X P1∪P2 f∆x−X P2 f∆x<2(b−a) 7 +|X QR f∆x−X Pn,L f∆x|+|X Pn,L f∆x−A <2(b−a) +  Dado que es arbitrario se concluye que fes integrable y que RRb af=A. Teorema 2.4. Si fes acotada y tiene un n´umero finito de discontinuidades en [a, b]entonces fes integrable Riemann en [a, b]. Demostraci´on. Supongamos que fes continua en todo [a, b] salvo en x=a. Como fes acotada, existe un valor Btal que |f|< B para todo x∈[a, b]. Por el teorema precedente la integral sn=RRb a+1 n fest´a bien definida cuando n > 1 b−aya que fes continua en ese intervalo. Entonces cuando m > n: |sm−sn|= RZa+1 n a+1 m f≤RZa+1 n a+1 m|f| ≤RZa+1 n a+1 m B=B1 n+1 m<B n por tanto {sn}=nRRb a+1 n foes una sucesi´on de Cauchy. Sea A= l´ımn→∞ sn. Sea  > 0 y elegimos n0tal que |sn0−A|< /6,1 n0< /3B, y n0>1 b−a. Definimos a0=a+1 n0. Como fes integrable en [a0, b] se puede encontrar un δtal que |PPf∆x−sn0|< /6 para cualquier partici´on etiquetada Pde [a0, b] de di´ametro menor que δ. Sea δ0= m´ın δ,  6By supongamos que Pes una partici´on etiquetada de [a, b] de di´ametro menor que δ0. Si a0no es un punto de divisi´on de P, se toma una nueva partici´on etiquetada P∗a˜nadiendo a0como punto de divisi´on y usando los extremos izquierdos de los subintervalos como las etiquetas de la nueva partici´on. Observemos que PyP∗coinciden salvo en los subintervalos que contienen a a0. Dado que los valores de fen cualquier par de etiquetas de un intervalo dado puede diferir como m´aximo 2Bse tiene que: X P f∆x−X P∗ f∆x≤2Bδ < /3. Si a0es un punto de divisi´on de Pentonces se toma P∗=Py por tanto la diferencia de las sumas de Riemann es cero. Se divide P∗en dos particiones etiquetadas P∗ 1yP∗ 2de [a, a+1 n0] y [a+1 n0, b] respectivamente. Entonces: X P∗ 1 f∆x≤X P∗ 1 B∆x=B1 n0 < /3 14 y como el di´ametro de P∗ 2es menor que δ X P∗ 2 f∆x−A≤X P∗ 2 f∆x−sn0+|sn0−A|< /3 Por tanto; X P f∆x−A ≤X P f∆x−X P∗ f∆x+X P∗ f∆x−A ≤X P f∆x−X P∗ f∆x+X P∗ 1 f∆x+X P∗ 2 f∆x−A<  Por lo que se concluye que fes integrable en [a, b]. Para un n´umero finito de discontinuidades se razona de la misma forma dividiendo la integral en el intervalo inicial en diferentes subintervalos. 2.3. Teoremas fundamentales del c´alculo Como en el caso de Cauchy nos preguntamos si es posible recuperar una funci´on partiendo de su integral de Riemann y viceversa. Teorema 2.5. (TFC-1) Si Fes diferenciable en el intervalo [a, b], y F0es continua en [a, b], entonces, 1. F0es Riemann integrable en [a, b]. 2. RRx aF0(t)dt =F(x)−F(a)para cada xdel intervalo [a, b]. Demostraci´on. El primer apartado se deduce directamente del teorema 2.3. Para la segunda parte tomamos una partici´on cualquiera del intervalo [a, x], P={[xi−1, xi]}n i=1. Aplicando el teorema del valor medio a Fen cada subintervalo [xi−1, xi], se pueden seleccionar etiquetas {ti}n i=1 tales que F0(ti)(xi− xi−1) = F(xi)−F(xi−1). Entonces la suma asociada a F0y a la partici´on Ptiene forma telesc´opica y se llega a: n X k=1 F0(tk)(xk−xk−1) = n X k=1 (F(xk)−F(xk−1)) = F(x)−F(a). 15 Es decir, para cualquier  > 0 se tiene que: X P F0∆x−F(x) + F(a)= 0 <  Y por la definici´on 2.1 de integral de Riemann se concluye que: RZx a F0(t)dt =F(x)−F(a) Sin embargo este resultado no es todo lo fuerte que se desear´ıa ya que falla al recuperar alguna funci´on a partir de su derivada como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Se define f: [0,1] →Rcomo f(x) = x2cos( π x2) si 0 < x ≤1 0 si x= 0 Entonces, fes diferenciable en [0,1] con derivada f(x) = 2xcos( π x2) + 2π xsin( π x2) si 0 < x ≤1 0 si x= 0 Como f0no es acotada en [0,1], f0no es integrable en [0,1]. Teorema 2.6. (TFC-2) Dada fintegrable Riemann en el intervalo [a, b], se define Fen [a, b]como F(x) =RRx af, entonces: 1. Fes continua en [a, b]. 2. Si fes continua en x0∈(a, b), entonces Fes diferenciable en x0y F0(x0) = f(x0). Demostraci´on. Por ser integrable Riemann fes acotada, sea B su cota, dados x, y ∈[a, b] tales que x<yse tiene que: |F(y)−F(x)|=RZy x f≤RZy x B=B(x−y) Por lo que dado  > 0 basta tomar δ= (x−y) = B/ para cumplir la definici´on de continuidad y por tanto se concluye la continuidad de F. Sea fcontinua en x0. Dado cualquier  > 0 se puede encontrar δ > 0 tal que 16 f(x0)− < f(x)< f(x0) + para cualquier x∈[x0−δ, x0+δ]∩[a, b]. Por la monoton´ıa de la integral se tiene que: RZx x0 (f(x0)−)≤RZx x0 f≤RZx x0 (f(x0) + ) por lo que se tiene que: (f(x0)−)(x−x0)≤F(x)−F(x0)≤(f(x0) + )(x−x0) Operando en ambas desigualdades se llega a: −≤F(x)−F(x0) x−x0−f(x0)≤ Por lo que se concluye que F0(x0) = f(x0). 2.4. Teorema de convergencia Nos preguntamos ahora como interact´ua la integral de Riemann con los l´ımites. Teorema 2.7. Sea una sucesi´on {fn}de funciones Riemann integrables en [a, b]y que convergen uniformemente en [a, b]hacia f. Entonces fes Riemann integrable en [a, b]y se tiene que: RZb a l´ım n→∞ fn=RZb a f= l´ım n→∞ RZb a f Demostraci´on. Por ser fnRiemann integrable en [a, b], fnes acotada en [a, b]. Por la convergencia uniforme de {fn}existe un valor Btal que |fn(x)|< B para todo x∈[a, b] y para todo n∈N. Llev´andolo a la integral se tiene que: −B(b−a)≤RZb a fn≤B(b−a) Por tanto, nRRb afnoes una sucesi´on acotada que debe tener un punto de acumulaci´on A. Veremos que fes integrable y RRb af=A. Sea  > 0, tomamos ntal que RRb afn−A< /3 y |fn(x)−f(x)|< /3(b− a) para todo x∈[a, b], este nexiste por la convergencia uniforme de fn. Entonces para cualquier partici´on etiquetada P={(tk,[xk−1, xk])}m k=1, X P f∆x−X P fn∆x= m X k=1 (f(tk)−fn(tk))∆x 17 ≤ m X k=1  3(b−a)∆x=/3 Como fnes integrable en [a, b], se puede encontrar δ > 0 tal que PPfn∆x−RRb afn< /3 para cualquier partici´on Pde [a, b] con di´ametro kPk < δ. Entonces para cualquier partici´on etiquetada de [a, b] X P f∆x−A≤X P f∆x−X P fn∆x +X P fn∆x−RZb a fn+RZb a fn−A<  Por lo que se concluye que fes integrable en [a, b] con RRb af=A= l´ımn→∞ RRb afn. Para terminar la demostraci´on ´unicamente falta verificar que nRRb afnoconverge hacia A. Por la unicidad de la integral la sucesi´on solamente puede tener un punto de acumulaci´on por lo que debe converger hacia Ay se concluye. 2.5. Integral de Darboux Diecis´eis a˜nos despu´es de la publicaci´on del trabajo de Riemann, Darboux da una nueva definici´on de integral que hace m´as sencilla la demostraci´on de algunas propiedades y teoremas, aqu´ı s´olo veremos su definici´on y su equivalencia con la integral de Riemann. Definici´on 2.8. Sea funa funci´on acotada definida en [a, b]y sea P={[xk−1, xk]}n k=1 ={Ik}una partici´on de [a, b]. La suma inferior de Darboux y la suma superior de Darboux de fsobre Pson respectivamente; SD(f, P) = n X i=1 ´ınf [xi−1,xi]f(xi−xi−1) = X P ´ınf Ik f∆xk y SD(f, P) = n X i=1 sup [xi−1,xi] f(xi−xi−1) = X P sup Ik f∆xk La integral inferior de Darboux y la integral superior de Darboux de fsobre [a, b]son: DZb a f= sup P SD(f, P) 18 y DZb a f= ´ınf PSD(f, P) Si DRb af=DRb afentonces fes Darboux integrable en [a, b]y la integral de Darboux de fen [a, b]es: DZb a f=DZb a f=DZb a f Teorema 2.9. Sea funa funci´on en [a, b]. Entonces fes Riemann integrable si y s´olo si fes Darboux integrable. Adem´as RRb af=DRb af. Es decir, la integral de Riemann y de Darboux son equivalentes. Demostraci´on. Primero supongamos que fes Riemann integrable. Para demostrar que fes Darboux integrable necesitamos controlar las sumas superiores e inferiores de Darboux usando particiones etiquetadas. Tomamos  > 0 y elegimos δ > 0 tal que RRb af−PPf∆x<  para cualquier partici´on etiquetada Pde [a, b] con di´ametro menor que δ. Se fija una partici´on concreta P0={Ik}con di´ametro menor que δy se seleccionan etiquetas {sk}y{tk}tales que: f(sk)− < ´ınf Ik f≤sup Ik f < f(tk) + . Denotamos por PsyPta las correspondientes particiones etiquetadas, entonces, SD(f, P0)−SD(f, P0) = X P sup Ik f∆xk−X P ´ınf Ik f∆xk <X P (f(tk) + )∆xk−X P (f(sk)−)∆xk =SR(f, Pt)−SR(f, Ps)+2(b−a). Ahora SR(f, Pt) y SR(f, Ps) est´an ambas a una distancia de RRb afpor lo que est´an a una distancia 2la una de la otra. Por tanto, SD(f, P0)−SD(f, P0)<2+ 2(b−a). Por tanto las sumas superiores e inferiores de Darboux est´an a una distancia menor que un valor dependiente de por lo que se concluye que fes Darboux integrable. Supongamos ahora que fes Darboux integrable, tomamos  > 0. Como fes 19 Darboux integrable, fest´a acotada por alg´un valor By se puede encontrar una partici´on P0tal que SD(f, P0)−SD(f, P0)< /2. Denotamos por Nel n´umero de puntos de divisi´on de P0. Supongamos que Pes una partici´on etiquetada cualquiera de [a, b] con di´ametro menor que δ, determinaremos δ m´as adelante, y sea Q=P0∪P , se tiene que: SD(f, Q)−SD(f, Q)≤SD(f, P0)−SD(f, P0)< /2 y por tanto, SD(f, Q)≤DZb a f≤SD(f, Q), y se concluye tambi´en que DRb af−SD(f, Q)< /2. Utilizando esto tenemos que: 0≤DZb a f−SD(f, P) ≤DZb a f−SD(f, Q)+|SD(f, Q)−SD(f, P)| < /2+2BN kPk. Tomando kPk < δ = 4BN , la ´ultima expresi´on es menor que y se concluye que: DZb a f− < SD(f, P). Razonando de forma similar se llega a que: SD(f, P)<DZb a f+. Por tanto: DZb a f− < SD(f, P)≤SR(f, P)≤SD(f, P)<DZb a f+ lo que implica que: SR(f, P)−DZb a f< . Por tanto fes integrable Riemann con RRb af=DRb af Veamos ahora una condici´on suficiente y necesaria para que una funci´on sea integrable Riemann. Para ello necesitamos un lema que enunciaremos sin demostraci´on y tres elementos que definimos a continuaci´on: 20 Definici´on 2.10. Sea f: [a, b]→Runa funci´on acotada y sea Sun subconjunto no vac´ıo de [a, b]. La oscilaci´on de fen Sse define como: w(f, S) = sup {f(t) : t∈S}−´ınf {f(t) : t∈S} Sea x∈[a, b]y para δ > 0, sea Uδ(x) = {t∈[a, b] : |t−x|< δ}. La oscilaci´on de fen xse define como w(f, x) = l´ım δ→0+w(f, Uδ) Definici´on 2.11. Sea P={x0, x1, . . . , xn}una partici´on del intervalo [a, b], sea Sun subconjunto del mismo intervalo y sea J(S, P)la suma de las longitudes de los intervalos cerrados [xi−1, xi]que contienen puntos de la adherencia de S. El contenido exterior de Jordan de S, denotado como c(S), es definido como el ´ınfimo de J(S, P)para cierta partici´on Pdel intervalo [a, b]. La funci´on cas´ı definida es mon´otona y subaditiva. Definici´on 2.12. Para cierto  > 0, se define el conjunto D(f)como sigue, D(f) = {x∈[a, b] : w(f, x)≥} Lema 2.13. Supongamos que w(f, x)<  para todo x∈[a, b]. Entonces, existe una partici´on P=x0, x1, . . . , xnde [a, b]tal que w(f, [xi−1, xi]) <  para i= 1, . . . , n Teorema 2.14. Sea f: [a, b]→R. Entonces, fes Riemann integrable en [a, b]si y s´olo si, f es acotada y para cada  > 0, el conjunto D(f)tiene contenido exterior de Jordan cero. Demostraci´on. Supongamos primero que fes acotada y que para cada  > 0 el conjunto D(f) tiene contenido exterior de Jordan cero. Elegimos M > 0 tal que |f(t)| ≤ Mpara a≤t≤b. Sea  > 0 y sea Puna partici´on de [a, b] tal que la suma de las longitudes de los subintervalos determinados por Pque contienen puntos de D/2(b−a)es menor que  4M. Etiquetamos estos subintervalos como {I1, I2, . . . , Ik}y el resto de subintervalos de Pcomo {J1, J2, . . . , Jl}. Aplicando el lema previo a cada Jjse tiene que w(f, Jj)<  2(b−a)para j= 1, . . . , l. Entonces se tiene: SD(f, P)−SD(f, P)≤ k X i=1 w(f, Ii)l(Ii) + l X j=1 w(f, Jj)l(Jj) <2M 4M+ 2(b−a)(b−a) =  21 por lo que f es integrable Darboux y por tanto tambi´en integrable Riemann. Para la segunda parte utilizaremos el contrarrec´ıproco, supongamos que existe un  > 0 tal que c(D(f)) = c > 0. Veremos que fno es Darboux integrable y por tanto tampoco Riemann integrable. Sea P={x0, x1, . . . , xn}una partici´on de [a, b] y sea Iel conjunto de todos los ´ındices itales que la intersecci´on de [xi−1, xi] y D(f) es no vac´ıa. Sea I0⊂Iel conjunto ´ındices itales que (xi−1, xi)∩D(f)6=∅. Se tiene que para i∈I0, w(f, [xi−1, xi]) ≥. Sea η > 0. Supongamos que i∈I\I0. Entonces, al menos uno de los extremos de [xi−1, xi] est´a en D(f). Se hace un refinamiento de Pa˜nadiendo yi, y0 i∈(xi−1, xi) tales que yi< y0 i,|yi−xi−1|<η 2n y|y0 i−xi|<η 2n. Para i∈I\I0, se etiquetan los intervalos [xi−1, yi]y[y0 i, xi] por J1, . . . , Jmdonde m≤2n. N´otese que [yi, y0 i]∩D(f) = ∅as´ı que c≤X i∈I0 (xi−xi−1) + m X k=1 l(Jk) ≤X i∈I0 (xi−xi−1)+2nη 2n=X i∈I0 (xi−xi−1) + η. Dado que η > 0 es arbitrario, se tiene que c≤X i∈I0 (xi−xi−1). Por tanto, SD(f, P)−SD(f, P) = n X i=1 w(f, [xi−1, xi])(xi−xi−1) ≥X i∈I0 w(f, [xi−1, xi])(xi−xi−1)≥c. Como esto es cierto para cualquier partici´on se concluye que f no es Darboux integrable y por tanto tampoco es Riemann integrable. Por tanto hemos visto que la integral de Riemann funciona bien para funciones continuas y funciones que son continuas salvo es un conjunto, que es de alguna forma, peque˜no. Sin embargo si una funci´on tiene muchas discontinuidades la integral de Riemann no existe como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Se define la funci´on de Dirichlet f: [0,1] →Rcomo f(x) = 1 si x∈Q 0 si x /∈Q 22 Sea P={x0, x1, . . . , xn}una partici´on de [0,1]. En cada subintervalo [xi−1, xi] hay un n´umero racional riy uno irracional qi, por tanto tomando las particiones etiquetadas Pr, donde las etiquetas son n´umeros racionales y Pqdonde las etiquetas son n´umeros irracionales se tiene que SR(f, Pr) = n X i=1 f(ri)(xi−xi−1) = n X i=1 (xi−xi−1) = 1 mientras que SR(f, Pq) = n X i=1 f(qi)(xi−xi−1) = n X i=1 0 = 0. Por tanto, independientemente de lo fina que sea una partici´on siempre se puede tomar un conjunto de etiquetas tal que la suma de Riemann asociada es cero y otro conjunto de etiquetas tal que la suma de Riemann asociada es uno. Ahora, supongamos que fes integrable Riemann con integral igual aA. Tomamos  < 1/2 y se toma el correspondiente δ. Si PryPqson las partici´on con di´ametro menor que δy etiquetas racionales e irracionales respectivamente, entonces 1 = |SR(f, Pq)−SR(f, Pr)| ≤ |SR(f, Pq)−A|+|A−SR(f, Pr)|<  + < 1. Lo que es una contradicci´on y se concluye que fno es integrable Riemann. 23 Haciendo a→1, vemos que l´ımkLREfk≥LREϕ. Dado que es v´alido para todas las funciones simples ϕ≤f, se llega a que l´ım k→∞ LZE fk≥LZE f Lema 3.29. (Lema de Fatou) Sea E∈ M yfk:E→[0,∞]medible para todo k. Entonces, LZE l´ım k→∞´ınf fk≤l´ım k→∞´ınf LZE fk Demostraci´on. Sea hk(x) = ´ınfj≥kfj(x), se tiene que hkes positiva y medible, adem´as {hk}∞ k=1 crece hacia l´ımk→∞ ´ınf fk. Por el teorema de la convergencia mon´otona, LZE l´ım k→∞ fk= l´ım k→∞ LZE hk. Como hk≤fkpara todo x∈E, l´ım k→∞ LZE hk≤l´ım k→∞´ınf LZE fk. Hasta ahora s´olo hemos tratado con funciones medibles positivas, veamos c´omo tratar las funciones medibles reales. Definici´on 3.30. Sea f:E→Rmedible. fes integrable si LREf+<∞yLREf−<∞. En este caso se define la integral de Lebesgue de fcomo LZf=LZE f+−LZE f−∈R Teorema 3.31. Sea f:E→Runa funci´on medible, fes integrable si y s´olo si |f|es integrable. Demostraci´on. Si fes integrable se tiene que f+yf−son integrables y como |f|=f++f−,|f|tambi´en es integrable. Si |f|es integrable se tiene que LRE|f|=LREf++LREf−<∞por lo que se tiene que LREf+<∞yLREf−<∞y se concluye que fes integrable. Teorema 3.32. (Teorema de la convergencia dominada) Sea {fk}∞ k=1 una sucesi´on de funciones medibles definidas en un conjunto medible E, tales que {fk}∞ k=1 converge puntualmente hacia fcasi siempre. Si existe una funci´on integrable Lebesgue gtal que |fk(x)| ≤ g(x)para todo ky casi todo x∈E. Entonces, 30 1. fes integrable Lebesgue. 2. l´ımk→∞ LRE|f−fk|= 0. 3. LREf= l´ımk→∞ LREfk. Para esta demostraci´on se usar´a el corolario siguiente que se enunciar´a sin demostraci´on, su demostraci´on se puede encontrar en [4]. Corolario 3.33. Sea E∈ M yfk, g :E→Rfunciones medibles cumpliendo fk≤gpara todo k. Si ges integrable Lebesgue en E, entonces, LZE l´ım sup k→∞ fk≥l´ım sup k→∞ LZE fk Demostraci´on. Por hip´otesis se tiene que −g≤fk≤gc.s., as´ı que se puede aplicar el corolario enunciado previamente y el lema de Fatou. Dado que {fk}∞ k=1 converge hacia fpuntualmente casi siempre, l´ım sup k→∞ LZE fk≤LZE l´ım sup k→∞ fk=LZE f=LZE l´ım inf k→∞ fk≤l´ım inf k→∞ LZE fk Por tanto, LREf= l´ım LREfk. Para terminar la prueba, n´otese que |f−fk|converge a 0 puntualmente c.s. y|f(x)−fk(x)| ≤ g(x) para todo ky casi todo x. Por tanto, por la primera parte del teorema, l´ım LRE|f(x)−fk(x)|= 0 y se concluye. 3.4. Integrabilidad Veamos que la integrabilidad en el sentido de Riemann implica la integrabilidad en el sentido de Lebesgue gracias a la funci´on de Dirichlet ya vimos que el rec´ıproco no es cierto. Teorema 3.34. Si fes integrable Riemann en [a, b], entonces fes tambi´en integrable Lebesgue en [a, b]y se cumple LRb af=RRb af. Demostraci´on. Ya vimos que ser Riemann integrable era equivalente a ser Darboux integrable, teorema 2.9, usaremos la integral inferior y superior de Darboux, definici´on 2.8, en esta demostraci´on. Sea {Qk}∞ k=1 una sucesi´on de particiones del intervalo [a, b] tal que: 1. l´ımk→∞ µ(Qk) = 0; 2. l´ımk→∞ SD(f, Qk) =DRb af; 31 3. l´ımk→∞ SD(f, Qk) =DRb af. Se definen Pk=∪k j=1Qj, entonces {Pk}∞ k=1 es una sucesi´on de particiones encajadas, es decir, Pk⊂ Pk+1, que satisfacen las condiciones 1,2 y 3. Se fija ky se supone que Pk=x0, x1, . . . , xj. Sea mi= ´ınf {f(t) : xi−1≤t≤xi} yMi= sup {f(t) : xi−1≤t≤xi}, y se definen las funciones simples lkyuk como lk(x) = j−1 X i=1 miχ[xi−1,xi)(x) + mjχ[xj−1,xj](x) y uk(x) = j−1 X i=1 Miχ[xi−1,xi)(x) + Mjχ[xj−1,xj](x), donde χ(A)(x) es la funci´on indicatriz del conjunto A. Se tiene que LR[a,b]lk=SD(f, Pk) y LR[a,b]uk=SD(f, Pk). Dado que las particiones est´an encajadas, se tiene que lk≤f≤uky la sucesi´on {lk}∞ k=1 crece y {uk}∞ k=1 decrece. Se definen lyucomo l(x) = l´ımk→∞ lk(x) y u(x) = l´ımk→∞ uk(x). Por el teorema de la convergencia mon´otona, LZb a l= l´ım k→∞ LZb a lk= l´ım k→∞ SD(f, Pk) =DZb a f y LZb a u= l´ım k→∞ LZb a uk= l´ım k→∞ SD(f, Pk) =DZb a f Como f es Riemann integrable, se tiene que, DRb af=DRb af, as´ı que LZb a l=LZb a u Por tanto, como l≤f≤u,l=f=uc.s. en [a, b], fes integrable Lebesgue en [a, b] y LZb a f=RZb a f 3.5. Teoremas fundamentales del c´alculo Teorema 3.35. (TFC-1) Si Fes una funci´on diferenciable con derivada acotada en [a, b], entonces F0es integrable Lebesgue en [a, b]y LZx a F0=F(x)−F(a) 32 para todo x∈[a, b]. Demostraci´on. Primero n´otese que Fes medible por ser continua. Se extiende Fa [a, b + 1] mediante F(x) = F(b) + F0(b)(x−b) para x∈[b, b + 1]. Se define fnde la siguiente manera, fn(x) = nFx+1 n−F(x), x ∈[a, b] estas funciones son medibles con {fn}convergiendo punto a punto hacia F0en [a, b]. Entonces F0es medible y acotada por hip´otesis por lo que es integrable Lebesgue. Por el teorema del valor medio, dado t∈[a, b] y n∈N, existe un valor c∈t, t +1 ntal que nFt+1 n−F(t)=F0(c). Como F0es acotada, se tiene que {fn}es uniformemente acotada. Por tanto usando el teorema de la convergencia acotada, la continuidad de Fy el teorema fundamental del c´alculo para la integral de Riemann, teorema 2.6, se concluye que, LZx a F0=LZx a l´ım nnFt+1 n−F(t)dt = l´ım nn·LZx aFt+1 n−F(t)dt = l´ım nn·LZx a Ft+1 ndt −LZx a F(t)dt = l´ım nn·"LZx+1 n a+1 n F(t)dt −LZx a F(t)dt# = l´ım n"n·LZx+1 n x F−nLZa+1 n a F# = l´ım nn·RZx+1 n x F−l´ım nnRZa+1 n a F =F(x)−F(a). 33 Observemos que a diferencia del primer teorema fundamental del c´alculo para la integral de Riemann donde se ped´ıa la continuidad de la derivada, en la versi´on para la integral de Lebesgue se pide la acotaci´on de la derivada, una condici´on menos fuerte. Veamos con el siguiente ejemplo como una funci´on que no era integrable Riemann pero s´ı es integrable Lebesgue. Ejemplo: Recordemos que la funci´on de Dirichlet, f: [0,1] →R, se define como f(x) = 1 si x∈Q 0 si x /∈Q Ya vimos que esta funci´on no era integrable Riemann, ejemplo de la p´agina 23 pero s´ı es integrable Lebesgue ya que coincide casi siempre con una funci´on constante que es integrable Lebesgue. Sin embargo sigue habiendo funciones derivables cuya derivada no es integrable Lebesgue por lo que no se puede aplicar la f´ormula del TFC-1. Veamos un ejemplo. Ejemplo Sea f: [0,1] →Rla funci´on definida por f(x) = x2cos(π/x2) si x > 0 y f(0) = 0 si x= 0. Entonces fes derivable en [0,1] con: f0(x) = 0 si x= 0 2xcos( π x2) + 2π xsin( π x2) si x > 0 Veamos que |f0|no es integrable Lebesgue en [0,1] lo que implicar´a que f tampoco lo es. Tomemos αk=r2 4k+ 1 yβk=r1 2k. Se tiene que LRβk αkf0= 1/2k. Como los segmentos [αk, βk] son disjuntos se tiene que LZ1 0|f0| ≥ ∞ X k=1 LZβk αk|f0| ≥ ∞ X k=1 1 2k=∞ Por lo que |f0|no es integrable y por tanto ftampoco. Para la demostraci´on de la segunda versi´on del teorema fundamental del c´alculo necesitaremos la noci´on de continuidad absoluta y una serie de lemas que enunciaremos a continuaci´on sin demostraci´on, las demostraciones se pueden encontrar en el libro [3]. 34 Lema 3.36. Sea fintegrable en [a, b]. Entonces, dado cualquier  > 0, existe un δ > 0tal que LRE|f|<  para cualquier subconjunto Ede [a, b]tal que µ(E)< δ. Lema 3.37. Sea fintegrable Lebesgue en [a, b]. Si F(x) = LRx af= 0 para todo x∈[a, b]entonces f= 0 c.s. en [a, b]. Lema 3.38. Si fes creciente en [a, b]entonces fes diferenciable c.s. en [a, b]. Teorema 3.39. (TFC-2) Sea funa funci´on integrable Lebesgue en [a, b], se define F(x) = LRx afen [a, b]. Entonces Fes absolutamente continua en [a, b]yF0=fc.s. en [a, b]. Demostraci´on. Veamos primero que Fes absolutamente continua. Se toma  > 0. Como fes integrable Lebesgue por el lema 3.37 se tiene que existe un δ > 0 tal que LRA|f|<  cuando Aes un conjunto medible tal que µ(A)< δ. Sea {(xk, yk)}una colecci´on finita de subintervalos disjuntos de [a, b] tales que Pk|xk−yk|< δ. Tomando A=∪k(xk, yk) se tiene que µ(A) = Pk|xk−yk|< δ as´ı que X k|F(xk)−F(yk)|=X kLZyk xk f ≤X k LZyk xk|f|=LZA|f|<  Por tanto Fes absolutamente continua y consecuentemente diferenciable casi siempre. Primero probaremos que F0=fc.s. bajo la condici´on adicional de que |f|< B. Se extiende Fa [a, b + 1] mediante F(x) = F(b) para x∈[b, b + 1]. Entonces l´ımn→nFx+1 n−F(x)=F0(x) para los x∈(a, b) donde Fes diferenciable. Se tiene entonces que, nFx+1 n−F(x)=n LZx+1 n x f≤n·LZx+1 n x|f| ≤ B, procediendo de la misma forma que en la demostraci´on del teorema 3.35 usando el teorema de la convergencia acotada se concluye que LZx a F0=LZx a l´ım nnFt+1 n−F(t) =F(x)−F(a) = F(x) 35 Esto implica que LZx a (F0−f) = LZx a F0−F(x)=0 para todo x∈[a, b]. Por tanto por el lema 3.38, F0=fc.s en [a, b]. Si fno es acotada, no se cumple la suposici´on hecha en la parte precedente, supongamos primero que f≥0. Razonamos de igual forma que en la parte precedente pero usando en esta ocasi´on el lema de Fatou, lema 3.29, en lugar del teorema de la convergencia acotada para concluir que, para los x∈(a, b) para los que Fes diferenciable, LZx a F0=LZx a l´ım nnFt+1 n−F(t) ≤l´ım inf n LZx a nFt+1 n−F(t) =F(x)−F(a) = F(x). Por tanto, LZx a (F0−f) = LZx a F0−F(x)≤0. Para la otra desigualdad, se define fn(x) = f(x), f(x)≤n n, f(x)> n yFn(x) = LRx afnpara x∈[a, b]. Entonces F−Fnes no negativa y creciente en [a, b] as´ı que por el lema 3.39, (F−Fn)0existe y es no negativa casi siempre en [a, b]. Adem´as, F0 n=fnc.s. en [a, b]. Recordemos que estamos suponiendo que fen no negativa y por tanto fntambi´en es no negativa, 0≤(F−Fn)0=F0−F0 n=F0−fn≤F0c.s Por tanto, LZx a (F0−fn)≥0. Como la desigualdad se cumple para todos los valores de n, LZx a (F0−f)≥0 por el teorema de la convergencia dominada. Por tanto, cuando fes no negativa, F0=fc.s. Para el caso general basta considerar f=f+−f−. 36 Cap´ıtulo 4 Integral de Henstock-Kurzweil Este nuevo tipo de integral surge al querer dar con un proceso de integraci´on que garantice que todas las funciones obtenidas al derivar puedan ser reconstruidas a partir de su derivada, es decir, que sean integrables. Recordemos que vimos ejemplos donde una funci´on con derivada acotada no era integrable Riemann, esto nos llev´o a introducir la integral de Lebesgue con la que s´ı se pod´ıa garantizar la integrabilidad si se ten´ıa la acotaci´on de la derivada. Con la integral de Henstock-Kurzweil se podr´a prescindir de la acotaci´on para garantizar que una funci´on es integrable. Esta integral fue desarrollada en 1957 por Jaroslav Kurzweil utilizando una generalizaci´on de la integral de Riemann, independientemente en 1961 Ralph Henstock hizo un profundo estudio de la generalizaci´on de la integral de Riemann. En este texto nos referiremos a esta integral cono la integral de Henstock-Kurzweil aunque en otros textos se puede encontrar como la integral de gauge, haciendo referencia a su construcci´on. La palabra inglesa gauge puede ser traducida como calibre o calibrador y su versi´on francesa, jauge, como medidor, debido a la falta de textos en castellano que hagan referencia a este t´ermino en este texto se mantendr´a el uso de gauge. 4.1. Construcci´on Recordemos que al construir la integral de Riemann se eleg´ıan particiones cuyo di´ametro fuera menor que cierto δprefijado, es decir nos fij´abamos en la longitud del mayor subintervalo, esta forma de proceder no tiene en cuenta el comportamiento local de la funci´on a integrar. En la integral de HenstockKurzweil el valor de δpodr´a variar con el fin de ajustarse al comportamiento local de la funci´on, si la funci´on no var´ıa en torno a un punto se tomar´a un 37 δmayor, mientras que si sufre oscilaciones el valor de δser´a menor. El valor variable de δes la idea clave en la nueva integral, veamos los elementos necesarios para la construcci´on de la nueva integral. Lema 4.1. Sea f: [a, b]→Runa funci´on diferenciable en y∈[a, b]. Para cada  > 0, existe un δ > 0, dependiente de y, tal que |f(v)−f(u)−f0(y)(v−u)| ≤ (v−u) cuando u, v ∈[a, b]yy−δ < u ≤y≤v < y +δ. Demostraci´on. Sea  > 0 y sea y∈[a, b]. Como fes diferenciable n y, existe un δ(y)>0 tal que si x∈[a, b] y 0 <|x−y|< δ(y) entonces  f(x)−f(y) x−y−f0(y)< . Multiplicando cada t´ermino por |x−y|, se tiene que |f(x)−f(y)−f0(y)(x−y)| ≤ |x−y|, lo que tambi´en es v´alido para x=y. Ahora tomemos u, v ∈[a, b] y y−δ(y)< u ≤y≤v < y +δ(y). Entonces, |f(v)−f(u)−f0(y)(v−u)| |{f(v)−f(y)−f0(y)(v−y)}+{f(y)−f(u)−f0(y)(y−u)}| ≤ |f(v)−f(y)−f0(y)(v−y)|+|f(y)−f(u)−f0(y)(y−u)| ≤(v−y) + (y−u) = (v−u) Con lo que se concluye. Definici´on 4.2. Sea E⊂R. Un δ−gauge en Ees una funci´on positiva δ:E→R+. Donde R+denota los n´umeros reales estrictamente positivos. Definici´on 4.3. Dado un δ-gauge, una partici´on etiquetada P={(tk,[xk−1, xk])}n k=1 se dice que es δ−buena si tk−δ(tk)< xk−1≤tk≤xk< tk+δ(tk), donde 1≤k≤n. Definici´on 4.4. Sea E⊂R, un γ−gauge es una funci´on de Ea intervalos abiertos de Rtal que γ(t)=(t−δ(t), t +δ(t)), donde δ(t)es un δ−gauge. Definici´on 4.5. Dado un γ-gauge, una partici´on etiquetada P={(tk, Ik)}n k=1 de [a, b]se dice que es γ−buena si para todo k= 1,2, . . . , n se tiene que Ik⊂γ(tk) 38 Observemos que dada una partici´on e P={x0, x1, . . . , xn}de [a, b] con di´ametro menor que δse puede tomar un conjunto de etiquetas {yk}n k=1 tales que yi∈[xi−1, xi]. Si γ(t) = (t−δ, t +δ) para todo t∈[a, b], entonces [xk−1, xk]⊂γ(yk) por lo que la partici´on etiquetada P={(yk, Ik)}n k=1 es una partici´on γ-buena de [a, b]. Este es el gauge usado en la integral de Riemann, por tanto las construcciones hechas en la integral de Riemann son compatibles con los gauges. Veamos un resultado relativo a γ-gauges e intervalos que nos ser´a de utilidad en futuras demostraciones. Lema 4.6. Sea I⊂Run intervalo cerrado y acotado y sea E⊂Ino vac´ıo. Sea γun γ-gauge en I. Entonces, existe una familia numerable {(tk, Jk) : k∈σ} tal que los intervalos {Jk:k∈σ}son subintervalos disjuntos y cerrados de I,tk∈Jk∩E,Jk⊂γ(tk), y E⊂ ∪k∈σJk⊂I. Demostraci´on. Sea Dkel conjunto de subintervalos de Iobtenidos al dividir Ien 2ksubintervalos iguales. Se tiene que ∪∞ k=1Dkes un conjunto numerable y si J0∈ DkyJ00 ∈ Dl, entonces o bien J0yJ00 son disjuntos o bien uno est´a contenido en el otro. Sea E1el conjunto que contiene a los elementos J∈ D1para los cuales existe un t∈E∩Jtal que J⊂γ(t). Sea E2el conjunto que contiene a los elementos J∈ D2para los cuales existe un t∈E∩Jtal que J⊂γ(t) y Jno est´a contenido en ning´un elemento de E1, se contin´ua el proceso para el resto de Dk. De esta forma se ha obtenido una colecci´on de intervalos cerrados de I,{Ek}∞ k=1, alguno de los cuales puede ser vac´ıo. El conjunto E=∪∞ k=1Ek es una colecci´on numerable de intervalos cerrados disjuntos contenidos en I. Por construcci´on, si J∈ E, entonces existe un t∈E∩Jtal que J⊂γ(t). Falta ver que E⊂ ∪J∈E J. Sea t∈E. Entonces, existe un entero Ktal que para k≥K, si Jk(t)∈ Dk es el subintervalo que contiene a t, entonces Jk(t)⊂γ(t). Entonces o bien Jk∈ EKo bien existe un J∈ ∪K−1 k=1 Ektal que JK⊂J. Por tanto, t∈ ∪J∈E J. Definici´on 4.7. Sea f: [a, b]→R. Se dice que la funci´on fes integrable Henstock-Kurweil en [a, b]si existe A∈Rtal que para todo  > 0existe un gauge γen [a, b]tal que para toda partici´on etiquetada Pγ-buena de [a, b], |SR(f, P)−A|< . Donde SR(f, P) = Pn k=1 f(tk)(xk−xk−1) = PPf∆xes la suma de Riemann vista en el segundo cap´ıtulo. 39 Teorema 4.17. Sea f: [a, b]→Ry sea {Ij}m j=1 un conjunto de intervalos cerrados con interiores disjuntos tales que [a, b] = ∪m j=1Ij. Si fes integrable Henstock-Kurzweil en cada Ij, entonces fes integrable Henstock-Kurzweil en [a, b]y H-K Zb a f= m X j=1 H-K ZIj f Demostraci´on. Supongamos primero que [a, b] est´a dividido en dos subintervalos, I1= [a, c] e I2= [c, b], y que fes integrable Henstock-Kurzweil en ambos intervalos. Se toma  > 0 y para i= 1,2 se toma un gauge γien Iital que Pes una partici´on etiquetada γi-buena de Ii, entonces SR(f, P)−H-K RIif< 2. Si x < c, el mayor intervalo centrado en xque no contiene a ces (x−|x−c|, x +|x−c|) = (x−|x−c|, c), de igual manera si x > c el mayor subintervalo centrado en xque no contiene a ces (c, x −|x−c|). Definimos un gauge en [a, b] de la siguiente manera: γ(x) =    γ1(x)∩(x−|x−c|, c) si x∈[a, c) γ2(x)∩(c, x −|x−c|) si x∈(c, b] γ1(c)∩γ2(c) si x=c Como c∈γ(x) si y solo si x=c,ces una etiqueta para toda partici´on etiquetada γ-buena. Dado que Pes una partici´on etiquetada γ-buena de [a, b]. Si (c, J)∈ P yJtiene intersecci´on no vac´ıa con I1eI2, se divide Jen dos intervalos Ji=J∩Ii, con Ji⊂γi(c), i = 1,2. Entonces, f(c)l(J) = f(c)l(J1) + f(c)l(J2). Escribimos Pcomo P1∪ P2, donde Pi={(x, J)∈ P :J∈Ii}. Por la construcci´on de γ,Pies una partici´on etiquetada γi-buena de Ii. Despu´es de dividir el intervalo asociado a la etiqueta c, si fuera necesario, se tendr´ıa que SR(f, P) = SR(f, P1) + SR(f, P2). Por tanto, SR(f, P)−H-K ZI1 f+H-K ZI2 f≤SR(f, P1)−H-K ZI1 f+ SR(f, P2)−H-K ZI2 f< 2+ 2=. Por tanto, fes integrable Henstock-Kurzweil en [a, b] y H-K Rb af=H-K RI1f+ H-K RI2f. Razonando por inducci´on se concluye el resultado. 4.3. Primer teorema fundamental del c´alculo Veamos ahora los teoremas fundamentales del c´alculo para la integral de Henstock-Kurzweil que como comentamos al principio del cap´ıtulo fue la 46 mejora de estos teoremas lo que motiv´o su desarrollo y es su principal mejora respecto a las integrales anteriores. Teorema 4.18. Sean F, f : [a, b]→R. Sea Fcontinua y tal que F0=f salvo tal vez en un conjunto numerable de puntos de [a, b], Entonces, fes integrable Henstock-Kurzweil en [a, b]y H-K Zb a f=F(b)−F(a). Demostraci´on. Sea C={cn}n∈Nla colecci´on de puntos donde o bien F0no existe o bien F0existe pero no es igual a f. Sea  > 0. Si t∈[a, b]\C, se elige δ(t)>0 para este utilizando el lema 4.1. Si t∈C, entonces t=ck para cierto k. Se toma δ(t) = δ(ck)>0 as´ı que |x−ck|< δ(ck) implica que: 1. |F(x)−F(ck)|< 2−(k+3) 2. |f(ck)||x−ck|< 2−(k+3) δest´a bien definido ya que Fes continua en [a, b] y |x−ck|se puede hacer tan peque˜no como se desee, basta con tomar xlo suficientemente pr´oximo a ck. Se define el gauge γ(t)=(t−δ(t), t +δ(t)) para todo t∈[a, b]. Sea P={(ti, Ii) : i= 1, . . . , m}una partici´on etiquetada γ-buena de [a, b], donde Ii= [ai, bi] para cada i. N´otese que si ai6=a, entonces existe un j tal que ai=bj, de forma similar se tiene que bi6=b. Sea P1el conjunto de elementos de Pcon etiquetas en [a, b]\CyP2el conjunto de elementos de Pcon etiquetas en C. Por el lema 4.1, X (ti,Ii)∈P1|F(bi)−F(ai)−f(ti)(bi−ai)| ≤ X (ti,Ii)∈P1 (bi−ai)≤(b−a). Si ti=ckpara cierto k, por (1) y (2) |F(bi)−F(ai)−f(ti)(bi−ai)| ≤ |F(bi)−F(ck)|+|F(ck)−F(ai)|+|f(ck)(bi−ai)| < 2k+3 + 2k+3 + 2k+3 < 2k+1 . Por tanto, X (ti,Ii)∈P2|F(bi)−F(ai)−f(ti)(bi−ai)|<2 ∞ X k=1  2k+1 = 47 ya que cada ckpuede ser una etiqueta de como m´aximo dos subintervalos de P. Gracias a que cada punto de divisi´on, diferente de ayb, es a la vez extremo derecho e izquierdo de los subintervalos, se llega a que |SR(f, P)−[F(b)−F(a)]|=X (ti,Ii)∈P {F(bi)−F(ai)−f(ti)(bi−ai)} ≤(b−a) + = (1 + b−a), con lo que se concluye. Obs´ervese que en este caso no se pide ni la continuidad de F0como se hac´ıa para la integral de Riemann ni la acotaci´on de F0como se hac´ıa para la de Lebesgue. M´as adelante veremos un ejemplo de una funci´on integrable Henstock-Kurzweil pero no integrable Lebesgue. 4.4. Integrabilidad absoluta A diferencia de la integral de Lebesgue en la que la integrabilidad de una funci´on medible fes equivalente a la integrabilidad de |f|como vimos en el teorema 3.31, en la integral de Henstock-Kurzweil esto no sucede. Veamos un ejemplo de ello. Ejemplo Sea f: [0,1] →Rla funci´on definida por f(x) = x2cos(π/x2) si x > 0 y f(0) = 0 si x= 0. Entonces fes derivable en [0,1] con: f0(x) = 0 si x= 0 2xcos( π x2) + 2π xsin( π x2) si x > 0 Por el primer teorema fundamental del c´alculo, teorema 4.18, f0es integrable Henstock-Kurzweil en [0,1] y H-K R1 0f0=−1. Sin embargo, |f0|no es integrable Henstock-Kurzweil en [0,1]. Razonamos de igual forma que en el ejemplo de la secci´on 3.5, tomando αk=r2 4k+ 1 yβk=r1 2k. Los segmentos [αk, βk] son disjuntos y |f0|es continua y por tanto integrable Henstock-Kurzweil sobre cada uno de ellos. Adem´as, si x∈[αk, βk], se tiene que 2kπ ≤π x2≤(4k+ 1)π 2. 48 Por tanto, H-K Zβk αk|f0|=H-K Zβk αk f0=f(βk)−f(αk) = 1 2k. y H-K Z1 0|f0| ≥ ∞ X k=1 H-K Zβk αk|f0| ≥ ∞ X k=1 1 2k=∞ Por lo que |f0|no es integrable Henstock-Kurzweil. Nos preguntamos por tanto que relaci´on existe entre la integrabilidad en sentido Henstock-Kurzweil de una funci´on y su valor absoluto. Introducimos un nuevo concepto relativo a los δ-gauges que ser´a de utilidad en esta secci´on. Definici´on 4.19. Un δ-gauge, δen [a, b]se dice que es -adaptado af: [a, b]→Rsi fes integrable, el valor de su integral es A, y si |S(P, f)−A| ≤ para toda partici´on δ-buena, P, de [a, b]. Definici´on 4.20. Una funci´on f: [a, b]→Res absolutamente integrable Henstock-Kurzweil en [a, b]si fy|f|son ambas integrables HenstockKurzweil en [a, b]. Proposici´on 4.21. Una funci´on f: [a, b]→Res absolutamente integrable Henstock-Kurzweil en [a, b]si y s´olo si, f+yf−son integrables HenstockKurzweil en [a, b]. Demostraci´on. Si fy|f|son ambas integrables Henstock-Kurzweil, entonces f+=1 2(|f|+f) y f−=1 2(|f| − f) son integrables Henstock-Kurzweil por linealidad. Si f+yf−son integrables Henstock-Kurzweil, entonces f=f+−f−y |f|=f+−f−tambi´en son integrables Henstock-Kurzweil por linealidad. Proposici´on 4.22. Si f: [a, b]→Res absolutamente integrable HenstockKurzweil, entonces,  H-K Zb a f≤H-K Zb a|f|. Demostraci´on. Se tiene la cadena de desigualdades −H-K Zb a|f|≤−H-K Zb a f−≤H-K Zb a f= H-K Zb a f+−H-K Zb a f−≤H-K Zb a f+≤H-K Zb a|f| con lo que se concluye. 49 Proposici´on 4.23. Si fygson integrables Henstock-Kurzweil en [a, b]y |f| ≤ g, entonces fes absolutamente integrable Henstock-Kurzweil en [a, b]. Demostraci´on. Sea a1< a2< . . . < aN+1 una subdivisi´on de un segmento [a1, aN+1]⊂[a, b], entonces se tiene que PN k=1 H-K Rak+1 akf≤PN k=1 H-K Rak+1 akg≤ H-K Rb ag < ∞Se define S= sup a1<a2<...<aN+1∈[a,b] N X k=1  H-K Zak+1 ak f<∞ Veremos que fes integrable y su integral es igual a S. Sea  > 0 y consideramos puntos a1< a2< . . . < aN+1 de [a, b], tales que N X k=1  H-K Zak+1 ak f≥S−. Sea δun δ-gauge -adaptado a fen [a, b] tal que δ(x)≤m´ın(|x−a1|,|x−a2|,...,|x−aN+1|). Sea [α, β] un segmento contenido en [a, b] y sea Puna partici´on δ-buena de un segmento contenido en [a, b] y que contiene a [a1, aN+1]. Se toma a0=α yaN+2 =β. Entonces, se tiene SR(|f|,P) = PN+1 k=0 SR(|f|,Pk) donde Pkes una partici´on δ-buena de [ak, ak+1]. Se definen las subdivisiones parciales δ-buenas de [a, b] siguientes J+ k=(J, x)∈ Pk|l(J)·f(x)−H-K ZJ f≥0, J− k=(J, x)∈ Pk|l(J)·f(x)−H-K ZJ f < 0, J+=∪N+1 k=0 J+ kyJ−=∪N+1 k=0 J− k. Si u−v≥0, se tiene que −(u−v)≤ |u|−|v| ≤ u−v, y por tanto por el lema de Henstock −≤ − X (J,x)∈J +l(J)·f(x)−H-K ZJ f ≤X (J,x)∈J +l(J)·|f(x)|− H-K ZJ f≤X (J,x)∈J +l(J)·f(x)−H-K ZJ f≤. 50 Por tanto, −≤SR(|f|,J+)−P(J,x)∈J +H-K RJf≤. Y de igual manera −≤SR(|f|,J−)−P(J,x)∈J +H-K RJf≤, por tanto, −2≤SR(|f|,P)− P(J,x)∈J +∪J −|H-K RJf| ≤ 2. Como cada intervalo de J+∪J−est´a contenido en un [ak, ak+1], se tiene que S−≤ N+1 X k=0  H-K Zak+1 ak f≤X (J,x)∈J +∪J − H-K ZJ f≤S. Finalmente se tiene que S−3≤SR(|f|,P)≤S+ 2, y como es arbitrario se concluye que |f|es integrable en [a, b] de integral igual a S. Proposici´on 4.24. Sean f,gyhfunciones integrables Henstock-Kurzweil en [a, b]y tales que h≤fyh≤g, entonces las funciones m´ın(f, g)y m´ax(f, g)son integrables en [a, b]. Demostraci´on. Se tiene que las funciones positivas f−hyg−hson integrables Henstock-Kurzweil. Adem´as la funci´on f−gtambi´en es integrable Henstock-Kurzweil y |f−g| ≤ (f−h)+(g−h). Por tanto, por la proposici´on precedente se tiene que f−ges absolutamente integrable. Para concluir basta observar que m´ın(f, g) = 1 2((f−g)−|f−g|) y m´ax(f, g) = 1 2((f−g) + |f−g|). 4.5. Lema de Henstock A continuaci´on veremos un resultado que nos ser´a ´util para las demostraciones de los teoremas de convergencia. Lema 4.25. (Henstock) Sea funa funci´on integrable Henstock-Kurzweil en [a, b], y para  > 0sea δ un δ-gauge en [a, b]por tanto para cualquier partici´on etiquetada δ-buena de [a, b]se tiene que  I X i=1 f(ti)(xi−xi−1)−H-K Zb a f< . 51 Sea F1, F2, . . . , FJuna colecci´on de subintervalos cerrados y disjuntos de [a, b], con yj∈FJ⊂(yj−δ(yj), yj+δ(yj)), donde 1≤j≤J. Entonces,  J X j=1 (f(yj)l(Fj)−H-K ZFj f(x))≤ y J X j=1 f(yj)l(Fj)−H-K ZFj f(x)≤2, donde l(Fj)indica la longitud del subintervalo Fj. Demostraci´on. El conjunto [a, b]− ∪J j=1Fjes una colecci´on finita de intervalos abiertos. A˜nadimos a cada uno sus extremos obteniendo una colecci´on finita de subintervalos cerrados K1, K2, . . . , KNde [a, b] donde fes integrable Henstock-Kurzweil por el teorema 4.15. Se toma un δ-gauge δn< δtal que para η > 0 y una partici´on etiquetada δ-buena de Kn, que denotamos K(Pn) se tiene que X K(Pn) f(xi)(xi−xi−1) −H-K ZKn f(x)<η N. Las particiones K(P1), K(P2),...,PNjunto con F1, F2, . . . , FJforman una partici´on etiquetada δ-buena de [a, b] Entonces,  J X j=1 (f(yj)l(Fj)−H-K ZFj f(x)) =|[f(y1)l(F1) + f(y2)l(F2) + . . . +f(yJ)l(FJ) +X K(P1) f(x)∆x+X K(P2) f(x)∆x+. . . +X K(PN) f(x)∆x  −H-K ZF1 f(x) +H-K ZF2 f(x) + . . . +H-K ZFJ f(x) +H-K ZK1 f(x) +H-K ZK2 f(x) + . . . +H-K ZKN f(x) 52 + N X n=1 H-K ZKn f(x)− N X n=1  X K(PN) f(x)∆x  <  + N X n=1  H-K ZKn f(x)−X K(Pn) f(x)<  +Nη N=+η. Como ηes arbitrario, la segunda desigualdad es v´alida. Para la primera desigualdad, de los subintervalos F1, F2, . . . , FJse toman aquellos que cumplen f(yj)l(Fj)−H-K RFjf(x)≥0. Por tanto, 0≤Xf(yj)l(Fj)−H-K ZFJ f(x)≤. Si se tuviera, f(yj)l(Fj)−H-K RFjf(x)<0 se cumplir´ıa −Xf(yj)l(Fj) + H-K ZFJ f(x)≤. Juntando ambas partes se llega a que, Xf(yj)l(Fj)−H-K ZFj≤2. 4.6. Teoremas de convergencia Teorema 4.26. (Convergencia mon´otona) Sea {fk}una sucesi´on mon´otona de funciones integrables Henstock-Kurzweil en [a, b]que convergen puntualmente hacia fen [a, b]. Entonces, fes integrable Henstock-Kurzweil en [a, b] si y solo si la sucesi´on nH-K Rb afk(x)oes acotada en [a, b]. En este caso, H-K Zb a f(x) = l´ım k→∞ H-K Zb a fk(x). Demostraci´on. Supongamos que la serie {fk}es mon´otona creciente, f1≤ f2. . . ≤fk≤fk+1 ≤fen [a, b]. Si fes integrable Henstock-Kurzweil, entonces, H-K Rb afk(x)≤H-K Rb af(x) para todo k, y la sucesi´on mon´otona creciente nH-K Rb afkoal estar acotada por H-K Rb afes convergente. 53 Rec´ıprocamente, supongamos que Aes el l´ımite de la sucesi´on nH-K Rb afko. Veremos que fes integrable Henstock-Kurzweil en [a, b] y que H-K Rb af=A. Se toma  > 0. Para k≥K, se tiene que 0 ≤A−H-K Rb afk(x)< . Como las funciones fkson integrables Henstock-Kurzweil, se tiene un δk -gauge para fk tal que SR(fk,P)−H-K Zb a fk(x)< 2k para cada partici´on etiquetada, P,δk -buena de [a, b]. Sea x∈[a, b]. Como l´ımk→∞ fk(x) = f(x), existe n(x)∈Ntal que |f(x)−fk(x)|< cuando k≥n(x)≥K. La funci´on δ(x) = δn(x) es un gauge en [a, b]. Sea Puna partici´on etiquetada δ-buena de [a, b]. Recordemos que la suma de Riemann tambi´en pod´ıa expresarse como SR(f, P) = PI i=1 f(ti)∆xientonces se tiene que, |SR(f, P)−A| ≤  I X i=1 f(ti)∆xi− I X i=1 fn(ti)(ti)∆xi + I X i=1 fn(ti)(ti)∆xi−H-K Z∆xi fn(ti)(x) + I X i=1 H-K Z∆xi fn(ti)(x)−A Veamos c´omo se acotan cada uno de los t´erminos de la derecha de la ´ultima desigualdad. El primer t´ermino est´a dominado por PI i=1 f(ti)−fn(ti)(ti)∆xi< (b−a). Para el tercer t´ermino, teniendo en cuenta que la serie {fk}es mon´otona creciente, que los subintervalos de la partici´on Pson disjuntos y que los n´umeros naturales n(t1), n(t2), . . . , n(tI) son todos mayores o iguales que K se tiene que H-K Zb a fK(x) = I X i=1 H-K Z∆xi fK(x)≤ I X i=1 H-K Z∆xi fn(ti)(x), entonces, 0≤A− I X i=1 H-K Z∆xi fn(ti)(x)≤A−H-K Zb a fK(x)< . 54 Veamos por ´ultimo c´omo acotar el segundo t´ermino, los n´umeros naturales n(c1), n(c2), . . . , n(cI) pueden no ser todos distintos. Aquellos que son iguales corresponden a la misma partici´on y usando el lema de Henstock se tiene que  l X k=1 fn(cik)∆xik−H-K Z∆xik fn(cik)≤ 2n(cik). Siendo n(ci1) = n(ci2) = . . . =n(cil). El segundo t´ermino est´a dominado por P/2k=. Hemos visto por tanto que para esta partici´on etiquetada δ-buena de [a, b] la diferencia entre la suma de Riemann asociada a fy el valor Ade la integral est´a acotado por (b−a) + +. Esta es la definici´on de ser integrable Henstock-Kurzweil en [a, b] y que el valor de la integral sea A, por tanto H-K Zb a f(x) = l´ım k→∞ H-K Zb a fk(x). El argumento en el caso de que f1≥. . . fk≥fk+1 ≥. . . f es similar. Teorema 4.27. (Convergencia encajada) Sea fn: [a, b]→Runa serie de funciones integrables Henstock-Kurzweil en [a, b]que convergente puntualmente hacia f: [a, b]→R. Si existen dos funciones integrables HenstockKurzweil g: [a, b]→Ryh: [a, b]→Rtales que para todo nse tiene que g≤fn≤h. Entonces fes integrable y l´ım k→∞ H-K Zb a fn=H-K Zb a f. Demostraci´on. Dados dos enteros myntales que m≥n, consideramos la funci´on Fm,n definida por Fm,n = m´ınk∈[n,m]fk. Por la proposici´on 4.23 se tiene que para todo m≥n,Fm,n es integrable. Adem´as, la serie (Gm=Fm,n)m≥n es decreciente, acotada inferiormente por gy tiene como l´ımite a Fn= ´ınfk≥nfk. Como H-K Rb aGm≥H-K Rb ag, por el teorema de la convergencia mon´otona se tiene que Fnes integrable y que H-K Rb aFn≤´ınfk≥nH-K Rb afk≤ H-K Rb ah. La serie (Fn) es creciente y converge hacia f. Volviendo a aplicar el teorema de la convergencia mon´otona se tiene que fes integrable y que H-K Zb a f= l´ım k→∞ H-K Zb a Fn≤l´ım k→∞´ınf H-K Zb a fn. Razonando de igual manera se tiene que l´ımk→∞ sup H-K Rb afn≤H-K Rb afn. Por lo que se concluye el resultado l´ımk→∞ H-K Rb afn=H-K Rb af. 55 Se tiene entonces que este l´ımite es igual a la integral de fen I. Primero veamos un lema previo que usaremos en la demostraci´on del teorema. Lema 4.35. Si I0⊂Ison dos intervalos con los mismos extremos, una funci´on f:I→Res integrable en Isi y s´olo si, es integrable en I0. En este caso, H-K ZI f=H-K ZI0 f . Demostraci´on. Veremos el caso en que I= (a, b], donde a∈R∪ {−∞} e I0= (a, b). Los otros casos se demuestran de manera similar. Trabajaremos con δ-gauges tales que δ(x)≤/(1 + |f(x)|) para todo x∈I. Por tanto los t´erminos de las sumas de Riemann estar´an acotados superiormente por δ(x)·|f(x)| ≤ . Si fes integrable en (a, b]ysi(δ, [α, b]) es una pareja -adaptada a fen (a, b], entonces (δ, [α, b −δ(b)]) es una pareja -adaptada a fen (a, b). De hecho, toda partici´on Pde un intervalo que contenga a [α, b −δ(b)] se puede completar a˜nadiendo ([b−δ(b), b]) para obtener P0una partici´on δ-buena de un segmento que contiene a [α, β]. Entonces, SR(f, P)−H-K Z(a,b] f≤δ(b)·|f(b)|+SR(f, P0)−H-K Z(a,b] f≤2. Por tanto, fes integrable en (a, b) y H-K R(a,b)f=H-K R(a,b]f. Rec´ıprocamente, supongamos que fes integrable en (a, b). Sea (δ, [α, β]) una pareja -adaptada a fen (a, b) donde β≥b−δ(b) con δ(b) = /(1+|f(b)|). Si P= ([ak, ak+1], xk)1≤k≤Nes una partici´on etiquetada δ-buena de un segmento que contiene a [α, b], entonces P0= ([ak, ak+1], xk)1≤k≤N−1es una partici´on δ-buena de un segmento que contiene a [α, β] y SR(f, P)−H-K Z(a,b) f≤δ(xN)·|f(xN)|+SR(f, P0)−H-K Z(a,b) f≤2. Por tanto, fes integrable en (a, b] y H-K R(a,b]f=H-K R(a,b)f. Ahora ya estamos en disposici´on de demostrar el teorema. Demostraci´on. Empecemos viendo que si fes una funci´on integrable en Iy que si a= ´ınf(I)∈R∪ −∞ yb= sup(I)∈R∪ ∞, entonces, H-K RIf= l´ımc→a+ d→b− H-K Rd cf. 62 Por el lema precedente podemos suponer sin p´erdida de generalidad que I= (a, b). Por el teorema 4.16, tenemos la primera condici´on. Para ver que se cumple la segunda, sea  > 0 y sea (δ, [α, β]) una pareja -adaptada a f en I. Si [c, d] contiene a [α, β] y si Pes una partici´on δ-buena de [c, d], se tiene que SR(f, P)−H-K RIf≤. Como la integral de fen [c, d] puede ser aproximada por tales sumas de Riemann SR(f, P), se deduce que para todo segmento [c, d] contenido en Iy que contiene a [α, β], se tiene que H-K Rd cf−H-K RIf≤. Por tanto H-K RIf= l´ımc→a+ d→b− H-K Rd cf. Veamos el rec´ıproco. Suponemos que I= [a, b) sin p´erdida de generalidad por el lema previo, veamos que si l´ımd→b− H-K Rd af=A∈Rentonces fes integrable en Iy su integral es A. Sea  > 0, se toma una sucesi´on estrictamente creciente (dk) de l´ımite btal que H-K Rdk af−A≤ 2k. Se toma a continuaci´on para todo kun δ-gauge δken [dk, dk+1] que es /2k-adaptado a fen estos intervalos. Se define entonces un δ-gauge en [a, b] de la siguiente manera δ(x) =    δ0(a) si x=a m´ın(δk(x), x −dk, dk+1 −x) si x∈(dk, dk+1) m´ın(δk(dk), δk−1(dk)) si x=dk, k ≥1 Entonces toda partici´on Pδ-buena de [a, d] con dk≤d < dk+1 se puede dividir en particiones Pjde [dj, dj+1] para 0 ≤< k, y de [dk, d] para j=k. Se tiene por tanto ∀j < k, SR(f, Pj)−H-K Zdj+1 dj f≤ 2jySR(f, Pk)−H-K Zd dk f≤ 2k. Para la segunda acotaci´on se ha utilizado el teorema 4.16. Se tiene que SR(f, P) = Pk j=0 SR(f, Pj) , por lo que |SR(f, P)−A| ≤ SR(f, P)−H-K Zd a f+ H-K Zd a f−A≤ k X j=0  2j+ 2k= 2 para toda partici´on δ-buena Pde un segmento que contiene a [a, d1]. Veamos c´omo este resultado nos permite calcular la integral de HenstockKurzweil de la funci´on f: [1,∞)→R,f(x) = sin(x) xque no es integrable Lebesgue por no ser integrable su valor absoluto. Ejemplo: Sea f: [1,∞)→Rdefinida como f(x) = sin(x) x.fes continua 63 en [1,∞) por lo que es integrable en cada segmento [c, d]⊂[1,∞). Haciendo una integraci´on por partes se obtiene que para todo c∈(1,∞): H-K Zc 1 f=−cos(x) xc 1−H-K Zc 1 cos(x) x2. Por una parte se tiene que l´ımc→∞(cos(c)/c) = 0, para el segundo t´ermino se tiene que las funciones x→(cos(x))/x2yx→ |(cos(x))/x2|son continuas en [1,∞) y |(cos(x))/x2| ≤ 1/x2. La integral H-K R∞ 1 1 x2es convergente, por tanto la integral H-K Rc 1 cos(x) x2tiene un l´ımite finito cuando ctiende a ∞lo que permite concluir que la integral H-K R∞ 1 sin(x) xes convergente. 64 Bibliograf´ıa [1] Apuntes de la asignatura de An´alisis matem´atico impartida por Manuel N´u˜nez Jim´enez [2] Cl´ ement Kesselmark yLaurent Moonens,Les th´eor`emes fondamentaux de calcul int´egral, Gazette-SMF (141), 49-67, 2014. [3] C. Ray Rosentrater,Varieties of Integration, Mathematical Association of America, 2015. [4] Douglas S. Kurtz yCharles W. Swartz,Theories of Integration, WORLD SCIENTIFIC, 2004. [5] Frank E. Burk,A Garden of Integrals, Mathematical Association of America, 2007. [6] Jean-Pierre Ramis yAndr´ e Warusfel (directores), Math´ematiques. Tout-en-un pour la Licence, DUNOD, 2007. 65