Inestabilidad de placas plegadas prismáticas por el método de bandas finitas

INESTABILIDAD DE PLACAS PLEGADAS PRISMATICAS POR EL METODO DE BANDAS FINITAS LUIS A. GODOY Y CARLOS A. PRATO Departamento de Estructuras, F. C.E. F. y N., Universidad Nacional de Córdoba Casilla de Correo 916 - 5000 Córdoba, Argentina RESUMEN El método de bandas finitas se emplea para determinar cargas de bifurcacióri de laminas plegadas prismáticas apoyadas en diafragmas en sus extremos. La formulación de estabilidad es de tipo energético y permite tratar tanto cargas sólidas como líquidas, incluyendo la influencia del movimiento de un líquido en modos de inestabilidad torsional. Se presentan ejemplos numéricos para evaluar convergencia de la solución y aplicaciones a problemas de inestabilidad torsional de vigas de pared delgada. Estudios paramétricos realizados sobre un ejemplo permiten comparar distintas formas de sección transversal en su comportamiento en pandeo. SUMMARY The finite strip method is used to evaluate bifurcation loads in prismatic plate assemblies supborted on end diaphragms. The stability formulation is based on an energy principle and can take into account solid and liqiiid-type loading, including the influence of the movement of a liquid in torsional instability modes. Numerical examples are presented to evaluate convergence of the solution, and applications to problems of torsional instability of thin-walled beams are discussed. For a particular example, parametric studies are carried out to compare the buckling behaviour of different beam cross sections. INTRODUCCION En el contexto del presente trabajo, la denominación de placas plegadas prismáticas se aplica a todo conjunto o ensamblaje de elementos planos cuya superficie media es prismática y cuyo espesor es pequeño frente a las dimensiones generales. Esta designación incluye aquellos casos en que por las proporciones entre las dimensiones geométricas de la sección y la longitud total podrían ser tratadas por la teoría de vigas de pared delgada, pero que serán aqui analizadas por el método más general de bandas finitas? La determinación de cargas críticas de inestabilidad de placas plegadas prismáticas es de sumo interés en múltiples situaciones de diseño, tanto para el estudio de fenómenos globales como localizados de inestabilidad, y será formulado siguiendo las líneas generales formulados en '. Como es característico del método de bandas finitas, las funciones de aproximación cubren la totalidad del dominio en el sentido de las aristas del prisma, mientras que en la dirección transversal sólo cubren el ancho de la banda considerada, constituyendo una forma de combinación de las modalidades locales y globales del método de Ritz. La formulación variacional que se desarrolla Recibido : Enero 1986 O Universitat Politecnica de Catalunya (Espaiia) ISSN 0213-1315 * Versión corregida del artfculo publicado en el volumen 2, nP 3 (1986). 7 8 L. A. GODOY Y C. A. PRATO permite la identificación de modos locales y globales de inestabilidad, y la diferencia entre ellos no proviene del procedimiento de análisis usado sino de la forma misma del modo crítico. Una reseña reciente de las aplicaciones de bandas finitas en problemas de inestabilidad puede encontrarse en '. Las primeras aplicaciones del método para determinar cargas de bifurcación bajo cargas laterales se deben a Graves Smith y Sridharan3, quienes consideraron inestabilidad en modos flexionales. La inestabilidad en modos torsionales bajo cargas laterales, empleando el método de bandas finitas, fue tratado originalmente por los autores en4. 5, en donde el problema está tratado por medio de una condensación. A partir de una formulación general, en el presente trabajo se investiga el fenómeno de inestabilidad torsional de placas plegadas bajo cargas gravitatorias de tipo sólido y líquido, poniéndose de manifiesto la significativa diferencia en cargas críticas entre ambos casos. En los ejemplos numéricos que se desarrollan en este trabajo se utilizó sólo la primera componente armónica de las funciones de interpolación, de manera que se limita la posibilidad de detectar modos locales que podrían surgir del acoplamiento entre los distintos armónicos en el sentido longitudinal. Sin embargo, esta restricción no limita la validez de los resultados obtenidos debido a que el acoplamiento de los diversos armónicos no modifica significativamente el modo crítico estudiado. FORMULACION DEL PROBLEMA DE ESTABILIDAD Se considerará una estructura de paredes delgadas constituida por K láminas delgadas, como se ilustra en la Figura 1. Los ejes globales coordenados se designan por X, (r= 1,3), mientras que para cada lámina componente se adoptarán ejes locales'x,. En particular, el análisis considerará estructuras cuya sección según el plano X2 X3 no varía en sentido Xl ; y apoyadas en los extremos Xl = O y Xl = L. / Figura 1 .- Ejes coordenados y dimensiones consideradas. (a) En una estructura típica. (b) En una banda finita. El cambio de energía potencial total n entre un estado sin tensiones ni deformaciones, y un estado arbitrario deformado, puede escribirse como i, j= 1,2 (1) donde nij, mij representan los esfuerzos y momentos result?ntes en el espesor t de la lámina; eij y xij las deformaciones y cambios de curvatura; ui, u3 los desplazamientos; pi, p, las componentes de cargas distribuidas; y.Pl las' .cargas axia1e:s aplicadas en los extremos xl = O y xl = L. Las cargas lineales de arista'pueden ser incluidas en la ecuación (1 ) sin dificultades. Para describir deformaciones de las láminas se distinguirá entre las componentes lineales y no lineales en desplazamientos, resultando: e.. = e!. + e!! 11 11 11 (2) Sin embargo, no todos los términos en el\ son significativos en estructuras largas. Er. efecto, los términos no lineales asociados a ul son despreciables, y términos no lineales que contribuyen significativamente son = L (o- o-) 2 ax1 ax, Los cambios de curvatura se describen a través de relaciones lineales de los desplazamientos en la forma donde P, es el giro de la normal a la superficie media. Para un material elástico, isótropo y homogéneo, las ecuacioní:~ constitutivas se escriben como 80 L. A. GODOY Y C. A. PRATO para 1 = 1, 2, en donde E es el modulo elástico o es el coeficiente de Poisson del material, y 6u es la delta de Kroenecker. Supóngase conocida una trayectoria fundamental de equilibrio de la estructura, y las variables asociadas a la misma identificadas con el superíndice ( )f. En la vecindad de un estado de bifurcación a partir de la trayectoria fundamental, los desplazamientos en la trayectoria secundaria, identificados con el superindice ( )', podrán escribirse como: donde y, u3 son desplazamientos incrementales, medidos a partir del estado ,fundamental. Si la trayectoria fundamental de equilibrio se considera lineal en uf (lo que es una muy buena aproximación en muchas casos), pero .la trayectoria secundaria se supone no lineal en desplazamientos incrementales, las deformaciones y esfuerzos en la trayectoria secundaria resultan El parámetro de carga, X, empleando en las ecuaciones (10-13) permite distinguir entre distintos niveles de carga sobre la trayectoria fundamental. Se supone que las cargas actuantes se incrementan a través de un único parámetro Xpara toda la estructura. Para el caso en que las fuerzas no dependen de las deformaciones, pueden expresarse en la forma pi = hp:' (14) P3 = P3 Reemplazando las (9 - 14) en la (l), se puede reescribir la energía potencial tal como donde 7ro representa la ecuación de energía potencial total (1) escrita en el estado fundamental. Los términos que ,dependen linealmente de desplazamientos incrementales se agrupan en r,, que resulta Debido a que los esfuerzos y cargas en el estado fundamental se encuentran en equilibrio, la expresión de nl deberá ser nula para cualquier estado incrementado que sea cinemáticamente admisible, resultando Los términos que son cuadráticos en desplazamientos incrementales se agrupan en n2, y puede escribirse en la forma .rr3 y n4 contienen los términos que dependen en forma cúbica y cuártica de,desplazamientos incrementales. En la vecindad de un punto de bifurcación, los desplazamientos incrementales pueden considerarse arbitrariamente pequeños, despreciándose los términos de orden superior. Equilibrio de la trayectoria secundaria en el punto de bifurcación puede obtenerse de la expresión Nótese que en base a la hipótesis que las cargas exteriores son independientes de los desplazamientos asociados al modo crítico (ui, u3), el funcional n2 de la ecuación (1 8) no contiene términos provenientes de las cargas exteriores, salvo aquéllas del tipo Xnfij Q y w; E:. Cuando la carga exterior proviene del peso de un liquido contenido en la sección, como se indica en la Figura 2, el giro de la sección debida al modo critico de deforma- Figura 2.- Influencia de una carga de líquido. 82 L. A. GODOY Y C.A. PRATO ción produce un cambio en la intensidad de la presión hidrostática en cada punto de la misma. La ecuación (1 4) puede ser escrita ahora en la forma El cambio de presión hidrostática en cada punto está dada por donde Y, es el peso específico del líquido, 6h es el cambio de altura del líquido debido a la rotación & de la lámina alrededor del eje global X,. El cambio de presión p3 origina un término adicional en el potencial ?r2 de la forma El factor 112 en la (22) corresponde al hecho que p3 varía linealmente con u3, y por lo tanto su energía potencial deberá ser expresada en función del valor total de desplazamiento UJ. La integración de la (22) se extiende a la parte de la estructura sobre la que presiona el líquido; por lo tanto los límites de las integrales dependen del nivel de carga h. Una forma más simple de la (22) puede logarse si se incluye la hipótesis adicional que el desplazamiento incremental u3 proviene de un giro 8 de la sección transversal sin cambio de forma. En este caso, se obtiene U3 = 8 x2 . COS o! en donde o! es el ángulo de inclinación de la lámina, como se indica en la Figura 3. Remplazando las (23) en la (22) se obtiene Para secciones transversales prismáticas, integrando en el intervalo X2 = [-b/2,b/2] donde b es el ancho de la sección del líquido indicado en la Figura 2, se tiene La variación 612 da origen al término especial dado en las ecuaciones (8) y (1 1) de 4. INESTABILIDAD DE PLACAS PLEGADAS PRISMATICAS 83 Figura 3.- Inestabilidad de una sección ángulo bajo carga tipo peso propio. (a) Dimensiones de la estructura. (b) Momento crítico para distintos valores de a D = ~t~/12 (1-v2). DISCRETIZACION POR BANDAS FINITAS Los aspectos básicos de la formulación del método de bandas finitas para determinar cargas críticas en láminas plegadas bajo cargas axiales o transversales fueron presentados por Graves Smith y Sridharan en 19783 El campo de desplazamientos incrementales en cada banda usado en y en el presente trabajo es el denominado LO2 por Cheungl, y definido por la expresiones M AX1 u2 = Z 6 sen m - m=l L M =x1 u3 = .Z 63 sen m - m=l L 84 L. A. GODOY Y C. A. PRATO en donde las funciones polinómicas cjm están dadas por siendo En xl = 0.y xl = L, se satisfacen las condiciones de borde mientras que en las uniones entre placas se satisface la condición de compatibilidad entre desplazamientos. Los grados de libertad del.elemento en el sistema coordenado local resultan amplitudes de desplazamientos y rotaciones de la normal sobre los lados del elemento, y para cada modo m considerado. Reemplazando las (26) en la (19) se expresa la condición de bifurcación como un problema de vectores y valores propios. Si. la carga aplicada es tipo peso propio, el sistema resulta donde K es la matriz de rigidez de la estructura (primer término de la ecuación 18); y KG es la matriz de carga - geometría (segundo término de la 18). Las integrales necesarias para obtener las matrices se han efectuado en forma numérica, pero podrían .explicitarse sin demasiado esfuerzo analítico. Para inestabilidad lateral-torsional bajo carga de liquido que aumenta, el problema de autovalores es en general no lineal y de la forma INESTABILIDAD DE PLACAS PLEGADAS PRISMATICAS 85 donde Kw es una matriz asociada al efecto desestabilizante del líquido, obtenida de la integral (22). La ecuación (33) presenta la particularidad que el término del líquido depende de manera no explícita del parámetro h. Sin embargo, el problema puede ser transformado en una ecuación lineal de autovalores sujeta a una restiricción. En efecto, consideremos una estimación h1 a los efectos de evaluar Kw; la ecuación (33) resulta de la cual se obtiene el valor mínimo de h. La restricción en este caso es que vale decir que la carga critica mfnima h debe coincidir con la supuesta para evaluar Kw. Los resultados que se presentan en la sección siguiente estan basados en las ecuaciones (34 - 3 5) para carga líquida. RESULTADOS NUMERICOS Con el fin de ilustrar el empleo de las técnicas descritas en las secciones anteriores se presentan a continuación varios ejemplos, comparando resultados cuando es posible con otras soluciones teóricas y experimentales. Inestabilidad de una sección ángulo bajo carga tipo peso propio Como primer ejemplo, se determinarán cargas criticas para un caso para el que existen soluciones analíticas aproximadas en la literatura. La Figura 3.a muestra las características de una viga de pared delgada de sección ángulo, bajo la acción de una carga tipo peso propio. El momento crítico de la sección central se ha dibujadlo en la Figura 3.b para distintos valores del ángulo a de las placas respecto de la horizontal; y se comparan los resultados numéricos obtenidos empleando 1 modo y 7 elementos en la presente formulación, con los analíticos dados por Meck? La comparación resulta satisfactoria, Y la diferencia entre ambas soluciones está asociada a la naturaleza distinta de las cargas consideradas (la solución de Meck es para un estado con momento constante en X1), y con las simplificaciones introducidas en ' que no fueron realizadas en la presente formulación. Tal como lo menciona Meck, existe un rango importante de estructuras para el que el momento crítico es independiente de la longitud de la viga. Por ejemplo, si se reduce la longitud en un 40%, el momento crítico sólo aumenta en 6%. Inestabilidad de una sección trapezoidal bajo carga de liquido Para este problema no existen resultados en la literatura aparte de los obtenidos por los autores, y será estudiado en detalle en esta sección. Considérese, en primer lugar, el estado fundamental de tensiones para el problema de la Figura 4. La Tabla 1 muestra los valores de esfuerzos resultantes en la placa inferior, obtenidos para distintos estados de carga (peso propio, carga uniforme sobre la placa inferior, y peso propio más carga hidrostática) cuya resultante en la sección transversal es unitaria. Las diferencias que se observan en esfuerzos ni, son de 0,2%, mientras que ni, presenta diferencias mayores, pero su valor es mucho menor que nil. Dos conclusiones importantes pueden obtenerse