Aplicación de metodologías diversas en la programación de la asignatura Matemáticas I de Bachillerato

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Dpto. Matemática Aplicada Aplicación de metodologías diversas en la programación de la asignatura Matemáticas I de Bachillerato Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Claudia María González Iglesias Tutores: Isaías Alonso Mallo Cesáreo Jesús González Fernández Valladolid, junio 2021 1 Índice Preámbulo ................................................................................................................... 3 Programación Didáctica ................................................................................................. 5 Introducción contextual .............................................................................................. 6 Competencias clave ................................................................................................. 11 Historia de las competencias clave.......................................................................... 11 Competencias clave y las matemáticas .................................................................... 12 Objetivos ............................................................................................................... 16 Objetivos generales de todas las modalidades del Bachillerato .................................... 16 Objetivos específicos de la asignatura Matemáticas I ................................................. 17 Contenidos ............................................................................................................. 20 Metodología ........................................................................................................... 26 Distribuciones temporales y secuenciación de contenidos .............................................. 38 Sesiones de clase ................................................................................................. 38 Contenidos ......................................................................................................... 38 Elementos transversales............................................................................................ 44 Programa de actividades extraescolares y complementarias............................................ 46 Actividades complementarias ................................................................................ 46 Actividades extraescolares .................................................................................... 47 Evaluación ............................................................................................................. 49 Evaluación del proceso de enseñanza ...................................................................... 49 Evaluación del proceso de aprendizaje .................................................................... 49 Atención a la diversidad ........................................................................................... 61 Unidad Didáctica 9: Lugares geométricos. Cónicas .......................................................... 64 Introducción ........................................................................................................... 65 Objetivos didácticos ................................................................................................ 65 Contenidos ............................................................................................................. 67 Metodología ........................................................................................................... 68 Recursos ................................................................................................................ 70 2 Actividades de aprendizaje y enseñanza ...................................................................... 71 Distribución de espacios y tiempos............................................................................. 77 Competencias clave ................................................................................................. 79 Evaluación ............................................................................................................. 81 Atención a la diversidad ........................................................................................... 82 Evaluación de la Unidad Didáctica y conclusiones........................................................ 82 Conclusiones.............................................................................................................. 85 Anexos...................................................................................................................... 87 Anexo I. Actividad entrega de esquemas ..................................................................... 88 Anexo II. Actividad entrega de problemas ................................................................... 89 Anexo III. Prueba intermedia .................................................................................... 92 Bibliografía................................................................................................................ 93 3 Preámbulo Este trabajo corresponde al Trabajo de Fin de Máster del Máster en Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas Especialidad en Matemáticas y su Didáctica. Es una asignatura que se incluye dentro del mismo módulo que la asignatura Prácticum. Este trabajo surge con la idea de mejorar la práctica docente desde un enfoque metodológico; la sociedad ha ido evolucionando, por lo que el proceso de enseñanza-aprendizaje se tiene que adaptar a las necesidades del alumnado. Es necesario utilizar metodologías novedosas para motivarle. Por ello, este trabajo elabora una Programación Didáctica en la que se incluyen diferentes metodologías activas. En primer lugar, el trabajo contiene una elaboración de una Programación Didáctica centrada en la asignatura Matemáticas I que es una asignatura troncal de modalidad para los estudiantes de 1º de bachillerato. Posteriormente, se desarrolla una Unidad Didáctica de esa asignatura. Por último, se incluye una conclusión del trabajo donde se reflexiona sobre las metodologías utilizadas en los apartados anteriores. Dentro de la Programación Didáctica se van a incluir los siguientes apartados: introducción, competencias clave, objetivos, contenidos, metodología, distribuciones temporales y secuenciación de contenidos, elementos transversales, programas de actividades extraescolares y complementarias, evaluación y atención a la diversidad. En la Unidad Didáctica trabajaremos los mismos apartados que antes, salvo el de elementos transversales y el de actividades extraescolares y complementarias; profundizando en los contenidos del tema, además, se añadirá un apartado de actividades de enseñanza y aprendizaje, que estará relacionado con las metodologías, y el apartado de recursos. Para la elaboración del trabajo se ha utilizado información sobre lo estudiado en el resto de las asignaturas del máster. Módulo genérico Las aportaciones de las asignaturas del módulo genérico son: ❖ Aprendizaje y Desarrollo de la Personalidad. Se incluirá la teoría de las inteligencias múltiples para justificar la importancia que tienen las metodologías en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, se mencionarán las estrategias de aprendizaje y, durante la Unidad Didáctica, se recomendará a los estudiantes la utilización de esquemas que es una estrategia de aprendizaje de organización de la información. 4 ❖ Procesos y Contextos Educativos. De esta asignatura se tomará todo lo relacionado con las leyes que rigen el sistema educativo español y, particularmente, las que hay que tener en cuenta a la hora de impartir docencia en centros de Castilla y León. ❖ Sociedad, Familia y Educación. Se utilizará para analizar cuál es la situación sociocultural del estudiante y poder elegir las metodologías más adecuadas para ellos. Módulo específico. Matemáticas y su Didáctica ❖ Diseño Curricular en Matemáticas. Se utilizará para elaborar el índice de lo que se va a explicar durante el trabajo. ❖ Didáctica de la Matemática. Esta asignatura se tendrá en cuenta a la hora de elegir las metodologías y las actividades. Por ejemplo, se tendrán en cuenta los niveles de demanda cognitiva que pueden tener las tareas según Smith y Stein. ❖ Metodología y Evaluación. Las aportaciones de esta asignatura al trabajo se observarán en los apartados de “Metodología” y “Evaluación”. ❖ Innovación Docente en Matemáticas. Las aportaciones se observarán cuando se hagan actividades relacionadas con GeoGebra y con la utilización del cono de Apolonio. ❖ Iniciación a la Investigación Educativa en Matemáticas. Se incluyen en el trabajo páginas web en las que el docente pueda investigar sobre diferentes metodologías. ❖ Modelos Matemáticos en Educación Secundaria e Ideas y Conceptos Matemáticos a través de la Historia. Se utilizará para enfocar las actividades hacia los temas que más motiven a los estudiantes. Módulo prácticum y trabajo fin de máster Durante mi experiencia en las prácticas del máster he trabajado con alumnado de 1º de Bachillerato y he tenido la oportunidad de impartir la Unidad Didáctica relacionada con las cónicas durante varias sesiones lectivas. Me di cuenta de que suele ser un temario que no motiva ni a al profesorado ni al alumnado, posiblemente porque se estudian contenidos que no se vuelven a ver en 2º de Bachillerato y no se les suele dar importancia. Por este motivo decidí centrarme en este curso y en esta Unidad Didáctica para mejorar el proceso de enseñanza del docente y el proceso de aprendizaje del estudiante utilizando diferentes actividades basadas en metodologías activas. 5 Programación Didáctica 6 Introducción contextual El INSTITUTO El IES Julián Marías es uno de los tres institutos de titularidad pública dependiente de la Junta de Castilla y León que hay en el barrio de Parquesol de Valladolid. En este centro encontramos los siguientes niveles educativos: ❖ Educación Secundaria Obligatoria correspondiente al 1º, 2º, 3º y 4º cursos de la ESO. Ofrece el plan bilingüe en todos los cursos de la ESO. ❖ Bachillerato de las modalidades de Ciencias y Humanidades y Ciencias Sociales. ❖ Ciclo Formativo de Grado Básico de Electricidad y Electrónica de la Familia Profesional de Electricidad/Electrónica. ❖ Ciclos Formativos de Grado Medio, Instalaciones Eléctricas y Automáticas de la Familia Profesional de Electricidad/Electrónica y Cuidados Auxiliares de Enfermería de la Familia Profesional de Sanidad. ❖ Ciclos Formativos de Grado Superior, Sistemas Electrónicos y Automatizados y Automatización y Robótica Industrial, de la Familia Profesional de Electricidad/Electrónica, Desarrollo de la Aplicaciones Multiplataforma y Administración de Sistemas Informáticos en Red (presencial y a distancia), de la Familia Profesional de Informática, e Higiene Bucodental y Dietética, de la Familia Profesional de Sanidad. Hay que destacar que el IES Julián Marías es uno de los pocos de Valladolid que ofertan la asignatura de Alemán como segunda lengua extranjera. Su régimen de escolarización es diurno, con jornada matutina, verpertina y a distancia. El número total de alumnos matriculados en el instituto es de 1.252, repartidos de la siguiente manera: Tabla 1 Alumnado. IES Julián Marías Educación Secundaria Obligatoria 463 36.98% Bachillerato 186 14.85% Ciclos Formativos 603 48.16% Nota. Programación General Anual (Curso 2020-2021) 7 El horario de clase para los alumnos de Secundaria es de 8:15-14:10 organizado en 6 sesiones de clase de 50 minutos y un recreo de 30 minutos. El centro educativo está formado por 92 profesores especialistas, 1 Jefe de Secretaría, 2 Auxiliares Administrativos, 4 conserjes. De la limpieza del centro se encarga una empresa externa. En cuanto a su distribución, el edificio principal dispone de un vestíbulo de entrada, 28 aulas de uso convencional, 2 aulas de Informática para los cursos de la ESO y Bachillerato, 1 aula de Dibujo y 1 de Plástica, 2 Talleres de Tecnología, 2 aulas de Música, 2 laboratorios de Física y Química y 1 de Ciencias Naturales, 2 aulas de desdobles, salas de DEAC y alumnos y, con respecto al edificio de los Ciclos Formativos de Electricidad, el IES cuenta con 4 aulas específicas de Electricidad-Electrónica, 2 aulas polivalentes, 1 aula de Informática, 1 almacén, 1 despacho de Jefatura de Estudios de Ciclos. En el edificio de Sanidad e Informática hay 3 aulas específicas de Sanidad y 2 de Informática, 1 aula polivalente. El Centro cuenta también con el despacho del director, los Departamentos Didácticos, 1 sala de profesores, 3 despachos de Jefatura de Estudios, conserjería, secretaría, 1 cafetería, 1 Biblioteca, 4 pistas deportivas, un patio cubierto y un pabellón deportivo. Es importante destacar que en años anteriores había aulas temáticas, es decir, el alumnado cambiaba de aula en todas las horas, sin embargo, este año se han convertido en aulas grupo para minimizar el movimiento de los estudiantes y así prevenir la propagación de la COVID-19. La mayoría del alumnado del IES Julián Marías ha estudiado en los Colegios Públicos CEIP Marina Escobar y CEIP Profesor Tierno Galván. Los estudiantes del instituto vienen principalmente del barrio de Parquesol, Arroyo de la Encomienda, La Flecha y La Vega. Parquesol es un barrio de Valladolid relativamente moderno, que nació en la década de 1980. Tiene una importante tasa de empleo en relación con la ciudad a la que pertenece. Está formado, principalmente, por familias que se han desplazado de otros barrios de la ciudad como Pajarillos, Delicias y Rondilla. La población de Parquesol está formada en su mayoría por ciudadanos jóvenes y adultos y un grupo reducido, aunque en aumento, de ancianos, por tanto, tiene una tendencia a reducir su natalidad. La perspectiva para los años venideros contempla una caída de la escolarización procedente del entorno más cercano. El barrio cuenta con dos institutos más, el IES Parquesol y el IES José Jiménez Lozano, ambos con escolarización en ESO y Bachillerato, pero sin Ciclos Formativos. Además de los dos centros de educación primaria citados anteriormente, hay otros dos colegios públicos en Parquesol; CEIP Martín Baró y CEIP Francisco Pino. 14 Aprender a aprender La ley educativa española otorga el derecho a todos los ciudadanos a formarse a lo largo de su vida y esta competencia es fundamental para ello pues proporciona a los estudiantes la habilidad para iniciar, organizar y persistir en el aprendizaje. Para ello es muy importante la motivación, que el alumno o alumna se sepan motivar a la hora de iniciar su proceso de aprendizaje. En la asignatura Matemáticas I se trabajará esta competencia cuando los estudiantes utilicen las calculadoras gráficas citadas anteriormente y con el uso de las estrategias de aprendizaje que el docente va a introducir, por ejemplo, la realización de esquemas. Competencias sociales y cívicas Con esta competencia se pretende formar ciudadanos que tengan interés por profundizar y garantizar la participación en el funcionamiento democrático de la sociedad. Además, también se trabaja la capacidad de comunicarse de una manera constructiva en distintos entornos sociales y culturales. Asimismo, esta competencia favorece la seguridad en uno mismo, la integridad y la honestidad. Durante las sesiones de clase se van a realizar algunas actividades grupales y se va a trabajar esta competencia pues los estudiantes van a tener que explicar sus ideas y van a respetar las de los demás. La nota de estos trabajos va a ser grupal, por lo tanto, las actitudes de cada miembro van a repercutir en el resto del grupo. Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor La Orden ECD/65/2015 define esta competencia como “la competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor implica la capacidad de transformar las ideas en actos. Ello significa adquirir conciencia de la situación a intervenir o resolver, y saber elegir, planificar y gestionar los conocimientos” (p. 14) Para desarrollar esta competencia en las clases de matemáticas va a resultar necesario abordar la capacidad creadora y de innovación, la capacidad proactiva, la capacidad de gestión de riesgos, las cualidades de liderazgo y trabajo individual y en equipo y el sentido crítico y de responsabilidad de los estudiantes. Conciencia y expresiones culturales Con esta competencia se pretende apreciar y valorar, siempre desde el respeto, las diferentes manifestaciones artísticas y culturales. Es bien conocido que las matemáticas aparecen tanto en la Arquitectura como en las obras de arte, por ejemplo, en La escuela de Atenas (Rafael Sanzio), la cúpula es elíptica. Además, las 15 sucesiones numéricas las encontramos en la geometría fractal, muy importante en nuestros tiempos, por ejemplo, se utiliza la estructura de la Alfombra de Sierpinski para las antenas (emisoras-receptoras) ocultas en el interior de un teléfono. 16 Objetivos Teniendo en cuenta el Real Decreto 1105/2014 por el que se estable el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, se pueden definir los objetivos como metas a las que el alumnado debe llegar al finalizar la etapa, fruto de las experiencias de enseñanzaaprendizaje. En este apartado vamos a incluir dos clases de objetivos, los primeros van a ser los objetivos que todo estudiante de Bachillerato debe alcanzar y, después, consideraremos los objetivos de la asignatura de Matemáticas I de 1º de Bachillerato. Objetivos generales de todas las modalidades del Bachillerato Los objetivos que aparecen a continuación están expresados en forma de capacidades y ayudan al estudiante a aprender por sí mismo, a trabajar en grupo y fomentan la utilización de métodos de investigación apropiados. Para la elaboración de este apartado nos hemos apoyado en el Artículo 25 del Real Decreto 1105/2014. ❖ Ejercer la ciudadanía democrática respetando los derechos humanos e inspirada por los valores de la Constitución española. ❖ Fortalecer la madurez de cada individuo para que pueda actuar de manera responsable y autónoma y desarrollar el espíritu crítico. ❖ Promover la igualdad de derechos entre hombres y mujeres, así como valorar críticamente las desigualdades y discriminaciones existentes en nuestra sociedad. ❖ Afianzar los hábitos de estudio para mejorar la eficacia del proceso de aprendizaje. ❖ Dominar la expresión oral y escrita en lengua castellana, con el fin de favorecer la integración en la sociedad de personas procedentes de otros países. ❖ Poder expresarse con fluidez en al menos una lengua extranjera. ❖ Utilizar de manera responsable las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC). ❖ Conocer y valorar críticamente las realidades de la sociedad actual, su historia y su evolución. ❖ Acceder a los conocimientos científicos básicos. ❖ Comprender los elementos y procedimientos de la investigación. Afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente, especialmente en las zonas consideradas como reserva de la naturaleza. ❖ Fomentar la iniciativa, flexibilidad y trabajo en equipo para consolidar el espíritu emprendedor. 17 ❖ Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural. ❖ Incorporar la actividad física en la vida cotidiana para favorecer el desarrollo personal y social. ❖ Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial. Es importante tener en cuenta que estos objetivos de etapa deben ser flexibles y adaptar a las características del alumnado. Objetivos específicos de la asignatura Matemáticas I A continuación, se presentan los objetivos propios de la asignatura Matemáticas I que los estudiantes, que cursen esta materia, deben alcanzar al finalizar el curso. Se concretan teniendo en cuenta los objetivos de etapa, las competencias básicas, los contenidos, los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables. Este apartado se ha redactado teniendo en cuenta la Orden EDU 363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y León. Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en las matemáticas ❖ Utilizar el lenguaje matemático junto a razonamientos explícitos y coherentes a la hora de analizar y demostrar enunciados y resolver problemas. ❖ Conocer y planificar la estructura que debe tener una investigación matemática. ❖ Encontrar conexiones entre las matemáticas y el mundo en el que vivimos. ❖ Conocer fuentes fiables de información. ❖ Reconocer situaciones problemáticas de la vida diaria y elaborar un modelo matemático para resolverlo. ❖ Discutir las conclusiones obtenidas de los problemas. ❖ Desarrollar buenos hábitos para el estudio de las matemáticas. ❖ Usar la tecnología para elaborar representaciones gráficas de funciones y extraer de ellas información cualitativa y cuantitativa y para elaborar documentos digitales propios. ❖ Realizar exposiciones orales en el aula utilizando el lenguaje matemático apropiado. Bloque 2. Números y Álgebra ❖ Distinguir los números complejos y reales, representarlos gráficamente, realizar operaciones con ellos y resolver problemas en los que intervengan. Utilizar la fórmula de De Moivre. Calcular algoritmos en función de otros conocidos. 18 ❖ Calcular cotas de error y estimar cálculos. ❖ Manejar el concepto de valor absoluto que, posteriormente, se va a utilizar para calcular distancias y manejar desigualdades. ❖ Obtener el término general de las progresiones geométricas y aritméticas. ❖ Plantear sistemas de ecuaciones lineales para poder resolver problemas de la vida diaria y utilizar el método de Gauss para resolverlo. ❖ Determinar analizar las soluciones de sistemas de ecuaciones, algebraicas y no algebraicas, e inecuaciones de primer y segundo grado. Bloque 3. Análisis ❖ Manejar las funciones reales de variable real elementales. ❖ Sacar información relevante de la representación gráfica y estudio analítico de las funciones. ❖ Estudiar las propiedades globales y locales de las funciones. ❖ Resolver límites y a partir de ellos estudiar la continuidad de una función. ❖ Representar funciones en un entorno de los puntos de discontinuidad. ❖ Calcular la derivada de una función y utilizar la regla de la cadena. ❖ Estudiar y representar gráficamente una función. Bloque 4. Geometría ❖ Dominar los conceptos de Trigonometría. ❖ Aplicar los teoremas del seno, coseno y tangente para resolver problemas del mundo natural. ❖ Manejar la definición y consecuencias del producto escalar. Normalizar vectores. Estudiar ortogonalidad de vectores. ❖ Calcular distancias entre los diferentes elementos del plano y calcular el ángulo entre dos rectas. ❖ Manejar y calcular las ecuaciones de una recta y determinar la posición relativa de dos rectas. ❖ Conocer el significado de lugar geométrico identificando los lugares más usuales de la geometría plana, así como sus características. ❖ Realizar investigaciones utilizando programas informáticos específicos en las que hay que seleccionar, estudiar posiciones relativas y realizar intersecciones entre rectas y las distintas cónicas estudiadas Bloque 5. Estadística y Probabilidad 19 ❖ Trabajar con la estadística bidimensional, de variables discretas o continuas, y determinar la dependencia o independencia de las variables. ❖ Usar herramientas tecnológicas para organizar y analizar los datos. ❖ Utilizar la representación de la nube de puntos para sacar conclusiones de las variables. ❖ Manejar y analizar la fiabilidad de las predicciones obtenidas a partir de rectas de regresión. Además, en cada Unidad Didáctica se deben concretar otro conjunto de objetivos a los que llamaremos “Objetivos didácticos en el aula” y en los que se especifican los objetivos propios del tema teniendo en cuenta los objetivos anteriores. Es importante tener en cuenta, como ya hemos anunciado antes, que los objetivos son las metas a las que los estudiantes deben llegar y son consecuencia directa del proceso de aprendizaje del alumno y el proceso de enseñanza del docente. Por este motivo, los profesores deben tener en cuenta el tipo de alumnado para concretar los objetivos a alcanzar y para elegir las metodologías y actividades que se van a utilizar durante el curso y que ayuden a la consecución de dichos objetivos. 20 Contenidos Los contenidos que se muestran a continuación son los que aparecen en la Orden EDU 363/2015, de 4 de mayo. Además, el currículo que rige el sistema educativo español es de tipo espiral, es decir, los contenidos que se dan un curso académico son los que se dieron el curso anterior con alguna ampliación. Por este motivo, se van a relacionar los contenidos que se dan en la asignatura Matemáticas I de 1º de Bachillerato con los contenidos que se dieron en las asignaturas de matemáticas de la ESO. Se usa la ORDEN EDU/362/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo de la educación secundaria obligatoria en la Comunidad de Castilla y León. Se van a relacionar los contenidos con las competencias clave que los estudiantes deben desarrollar. Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en las matemáticas 1. Planificación del proceso de resolución de problemas. 2. Estrategias y procedimientos puestos en práctica: relación con otros problemas conocidos, modificación de variables, suponer el problema resuelto 3. Soluciones y/o resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la situación, revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución, problemas parecidos, generalizaciones y particularizaciones interesantes. 4. Iniciación a la demostración en Matemáticas: métodos, razonamientos, lenguaje… 5. Métodos de demostración: reducción al absurdo, método de inducción, contraejemplos, razonamientos encadenados… 6. Razonamiento deductivo e inductivo. Lenguaje gráfico, algebraico, otras formas de representación de argumentos. 7. Elaboración y presentación oral y/o escrita de informes científicos sobre el proceso seguido sobre la resolución de problemas o en la demostración de un resultado matemático. 8. Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo de las matemáticas. 9. Elaboración y presentación de un informe científico sobre el proceso, resultados y conclusiones del proceso de la investigación desarrollada. 10. Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos. 11. Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico. 12. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para: 12.1. La recogida ordenada y la organización de los datos; 21 12.2. La elaboración e interpretación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos; 12.3. Facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico; 12.4. El diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas; 12.5. La elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos. 12.6. Comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas. Relación con los cursos anteriores Los contenidos que aparecen en este bloque ya han sido trabajados durante los cursos de la ESO. Enfoque competencial La competencia lingüística está presente de forma transversal en todo el bloque, pues los estudiantes tienen que saber expresarse de forma oral y escrita. Es claro que la competencia matemática y competencia básicas en ciencia y tecnología están presentes en todos los contenidos. El punto 12 favorece el desarrollo de la competencia digital pues permite a los estudiantes utilizar herramientas digitales para realizar diferentes tareas. Además, la realización de los informes científicos que refleja el punto 9 se pueden hacer en grupos y, por lo tanto, se desarrollan las competencias sociales y cívicas. Bloque 2. Números y Álgebra 1. Números reales: necesidad de su estudio para la comprensión de la realidad. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos. Aproximación y errores. Notación científica. 2. Números complejos. Forma binómica, trigonométrica y polar. Representaciones gráficas. Operaciones elementales. Conjugación. Potencias y raíces. Interpretación geométrica de las operaciones. Fórmula de De Moivre. Fórmula del binomio de Newton. 3. Sucesiones numéricas: término general, monotonía y acotación. Idea intuitiva de limite finito e infinito. El número e. 4. Logaritmo en base arbitraria, decimales y neperianos. Propiedades y cambio de base. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. 22 5. Planteamiento y resolución de problemas de la vida cotidiana mediante ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Interpretación gráfica. 6. Resolución de ecuaciones no algebraicas. 7. Método de Gauss para la resolución e interpretación de sistemas de ecuaciones lineales. Relación con los cursos anteriores Los contenidos relacionados con los números reales, logaritmos, resolución de problemas en la vida cotidiana mediante ecuaciones y sistemas, las inecuaciones de primer y segundo grado y los sistemas de inecuaciones de primer grado se han visto en la asignatura Matemáticas de Enseñanzas Académicas de 4º ESO. Además, las sucesiones numéricas se introdujeron en la asignatura de Matemáticas de Enseñanzas Académicas de 3º ESO. Los contenidos de este bloque que resultan más novedosos para los estudiantes son los relacionados con los números complejos, pues se ven por primera vez en la asignatura Matemáticas I de 1º bachillerato. Enfoque competencial La competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología están presentes en todos los contenidos del bloque. Cuando se trabaje con los logaritmos los estudiantes tendrán que ver un video que relacione los logaritmos con los terremotos y de esta manera se trabajará la competencia conciencia y expresiones culturales. En las explicaciones de los contenidos del punto 7 se va a trabajar con el programa Matlab y, por lo tanto, se desarrollará la competencia digital. Bloque 3. Análisis 1. Funciones reales de variable real. 2. Funciones básicas: polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, funciones con radicales, trigonométricas y sus inversas, exponenciales, logarítmicas. Funciones definidas a trozos y funciones periódicas. 3. Operaciones y composición de funciones. Función inversa. Funciones de oferta y demanda. 4. Concepto de límite de una función en un punto y en el infinito. Cálculo de límites. Límites laterales. Indeterminaciones. Comportamiento asintótico de una función: asíntotas y ramas infinitas. 5. Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades. 6. Derivada de una función en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica de la derivada de la función en un punto. Recta tangente y normal. 23 7. Función derivada. Cálculo de derivadas. Regla de la cadena. 8. Representación gráfica de funciones: dominio, recorrido, simetrías, monotonía, extremos relativos y absolutos, curvatura, puntos de inflexión, asíntotas y periodicidad. Relación con los cursos anteriores En la asignatura Matemáticas de Enseñanzas Académicas ya se han visto las funciones trigonométricas y definidas a trozos. En este bloque muchos contenidos nuevos como el concepto de límite, derivadas o la representación gráfica de funciones. Se van a retomar en la asignatura Matemáticas II de 2º de Bachillerato. Enfoque competencial La competencia lingüística se va a desarrollar en las interacciones entre alumnoalumno y alumno-profesor y la competencia matemática está presente a lo largo de todo el bloque. Además, dado que se pueden utilizar programas para estudiar el comportamiento de funciones también se trabajará con la competencia digital. En el apartado 6 y 7 se trabaja con derivadas y se pueden establecer los lazos que hay entre la Física y las Matemáticas, fomentando el desarrollo de la competencia aprender a aprender pues para llevar a cabo un buen proceso de aprendizaje es necesario que los estudiantes sean capaces de relacionar conceptos de diferentes ámbitos. Bloque 4. Geometría 1. Medida de un ángulo en radianes. 2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Razones trigonométricas de los ángulos suma, diferencia de otros dos, doble y mitad. Fórmulas de transformaciones trigonométricas. Razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos, y reducción al primer cuadrante. 3. Resolución de ecuaciones trigonométricas. 4. Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos. Resolución de problemas geométricos diversos. 5. Vectores libres del plano. Operaciones con vectores. 6. Producto escalar. Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores. 7. Bases ortogonales y ortonormales. 8. Geometría métrica plana. Ecuaciones de la recta. Paralelismo y perpendicularidad. Distancias y ángulos. Resolución de problemas. 9. Lugares geométricos del plano. 30 Es conveniente que se haga una presentación en público del proyecto final (equipo directivo, profesorado del centro, el barrio…), este hecho puede motivar más a los estudiantes y se les da reconocimiento. Esta metodología intenta inculcar a los alumnos el pensamiento de que el trabajo de calidad en el mundo real no sale a la primera, sino que es fruto de una continua revisión, por lo tanto, los estudiantes deben ver el error como una oportunidad de mejora y no como un fracaso. La metodología de aprendizaje basado en proyectos pertenece al ámbito del “aprendizaje activo”. Permite a los alumnos trabajar con las competencias clave que, normalmente, no se desarrollan con otras metodologías. Según la Formación en Red del INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías y de Formación Profesional) hay ocho elementos que debe incluir un buen proyecto: ❖ Contenido significativo. El docente debe seleccionar el tema sobre el que va a tratar el proyecto y esta elección se debe hacer teniendo en cuenta tanto los estándares de aprendizaje que aparecen en el currículo como los intereses propios de los estudiantes. ❖ Necesidad de saber. Es necesario que el docente introduzca el proyecto con un vídeo o una explicación que haga surgir preguntas por parte del alumnado hacia el profesor. ❖ Una pregunta que dirija la investigación. La pregunta va a ser el alma del proyecto y tiene que procurar que los estudiantes perciban el proyecto como un reto. ❖ Voz y voto para los alumnos. Es necesario dar autonomía a los estudiantes, por ejemplo, pidiéndoles que propongan una idea de proyecto en el que ellos mismo se repartan responsabilidades y ajusten tiempos. ❖ Competencias del siglo XXI. Los estudiantes van a desarrollar los siguientes aspectos: expresión del pensamiento crítico, comunicación afectiva, uso de las tecnologías y trabajo en equipo. ❖ Investigación lleva a innovación. En objetivo del proyecto final no es que busquen información y la peguen en un documento, sino que los estudiantes deben investigar siguiendo un hilo que los lleve a más preguntas. ❖ Evaluación, retroalimentación y revisión. Este apartado hace referencia a la observación que el docente debe hacer a sus estudiantes para evaluar el proceso de elaboración del proyecto. ❖ Presentación del producto final ante una audiencia. Está comprobado que para el alumnado tiene más sentido trabajar para una audiencia que para un profesor concreto o el examen. Por eso es tan importante que el proyecto final se presente ante un público amplio. 31 Las principales ventajas de esta metodología son: mejora de la motivación del alumnado, favorece el desarrollo de las competencias, prepara a los estudiantes para el mundo laboral, aumenta el empoderamiento (los estudiantes se enorgullecen al conseguir algo que tenga valor fuera del aula) y utilizan las tecnologías. Por último, uno de los principales inconvenientes del aprendizaje basado en proyectos es que requiere mucho tiempo por parte del estudiante y del docente. Resolución de problemas Vivimos en una sociedad en la que continuamente tenemos la necesidad de resolver problemas y esta metodología es la que se encarga de enseñar cuáles son los pasos a seguir cuando nos enfrentamos a un problema. El docente va a proporcionar a los alumnos diferentes métodos para resolver problemas, los métodos más famosos son: Pólya, Mason-Burton-Stacey, Schoenfeld, Miguel de Guzmán. Sin embargo, en clase se va a trabajar únicamente con el método de Pólya. Método de Pólya George Pólya fue un matemático húngaro que en su libro Cómo plantear y resolver problemas presentó un método de cuatro pasos para afrontar la resolución de problemas. Tabla 2 Pasos y preguntas del método de Pólya PASOS PREGUNTAS Entender el problema ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?, ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? Configurar un plan ¿Te has enfrentado previamente a un problema similar?, ¿Conoces algún problema relacionado con este?, ¿Se puede enunciar el problema de otra forma?, ¿Has empleado todos los datos? Ejecutar el plan ¿Se puede demostrar que los pasos que das son correctos? Mirar hacia atrás ¿Es posible verificar el resultado?, ¿Se puede resolver mediante otra forma?, ¿Es posible utilizar el resultado o el método en algún otro problema? 32 Por lo general, es una metodología individual en la que el profesor puede guiar al estudiante en algún momento concreto, pero la resolución del problema la debe llevar a cabo el alumno. Se incluye dentro del aprendizaje por descubrimiento. Las principales ventajas que ofrece esta metodología son: los alumnos aprenden más rápido a resolver problemas, los alumnos adquieren destrezas para afrontar los problemas de manera eficaz y ordenada. Aprendizaje Basado en Problemas El aprendizaje basado en problemas tiene sus orígenes en la Universidad de McMaster (Canadá). Barrows (1986) define esta metodología como “un método de aprendizaje basado en el principio de usar problemas como punto de partida para la adquisición e integración de los nuevos conocimientos”. Esta metodología ofrece un cambio de mentalidad, tradicionalmente pensamos que el profesor debe explicar los contenidos, después el alumno los estudia y, por último, se hacen problemas. Sin embargo, con la metodología de Aprendizaje Basado en Problemas se genera el siguiente proceso cíclico: Figura 1 Aprendizaje basado en problemas Siguiendo esta línea podemos plantear tres vías diferentes para trabajar con problemas: Presentación de un nuevo problema. Identificación de lo que se quiere aprender. Busqueda de información. Organización. Resolución del problema. Busqueda de nuevos problemas para aplicar lo aprendido. 33 1. Enseñanza para la resolución de problemas. Se estudian unos contenidos y, a continuación, se hacen problemas. 2. Enseñanza sobre la resolución de problemas. Se estudian métodos para resolver problemas. 3. Enseñanza vía resolución de problemas. La primera vía hace referencia al método tradicional de trabajar con problemas, la segunda consiste en la metodología de resolución de problemas y la última se apoya en la metodología de Aprendizaje Basado en Problemas. Algunas de las ventajas que nos ofrece esta metodología son: mejora la habilidad de resolución de problemas, mejora la capacidad de tomar decisiones, mejora la capacidad de trabajar en equipo, mejora las habilidades comunicativas, mejora el pensamiento crítico. Los principales inconvenientes que tiene el aprendizaje basado en problemas son: requieren mucho tiempo y esfuerzo por parte del docente y del estudiante, muchos docentes no están preparados para este cambio metodológico, no todos los contenidos pueden explicarse con esta metodología. Puede que, a simple vista, la metodología de Aprendizaje Basado en Proyectos y la de Aprendizaje Basado en Problemas parezcan la misma, es más, algunos autores consideran que la segunda es un caso particular de la primera. Estas dos metodologías presentan múltiples similitudes. Algunas de las diferencias son las siguientes: Tabla 3 Diferencias entre aprendizaje basado en problemas y aprendizaje basado en proyectos Aprendizaje basado en proyectos Aprendizaje basado en problemas El proyecto final debe estar relacionado con el mundo real. El problema puede implicar situaciones ficticias. Es necesaria la presentación del proyecto final. No es necesario la presentación del producto final. Grupos de trabajo pequeños Grupos de trabajo grandes. Pueden existir más de un foco. Se centran en un único aspecto. Requieren más tiempo. Requieren menos tiempo. Aspecto central: organización y planificación del grupo. Aspecto central: contraste de opiniones. 34 Gamificación La palabra gamificación viene del inglés gamification y algunos autores la traducen como ludificación. Según Carpena, Cataldi y Muñiz (2012) “la Gamificación consiste en introducir estrategias y dinámicas propias de los videojuegos en contextos ajenos o no lúdicos a fin de modificar conductas, comportamientos y habilidades de las personas.” Figura 2 Gamificación Fuente: Gamificación educativa (atavist.com) El término tiene sus orígenes a principios de siglo y se lleva a cabo sobre todo en la enseñanza anglosajona. Sin embargo, la gamificación no es nueva, la mayoría de las personas han realizado desde niños tareas gamificadas. 35 Es una metodología que se utiliza para mejorar el comportamiento, aumentar la motivación y favorecer la participación de los estudiantes. Existen dos autores que reflexionan sobre los distintos elementos que intervienen en la gamificación. ❖ Herranz (2013): dinámicas, mecánicas y los componentes de juego. ❖ Clara Cordero (2018): mecánicas, dinámica y estética. Vamos a centrarnos en los elementos que describe Clara Cordero. Dinámicas. Hace referencia a las emociones, actitudes y comportamientos que tienen los estudiantes hacia el juego. La Pirámide de las Necesidades Humanas de Maslow ayuda a orientar las dinámicas. En la base de la pirámide encontramos las necesidades más importantes de las personas (respiración, alimentación…) y en la cúspide están las necesidades de autorrealización. Mecánicas. Son el conjunto de reglas que dirigen el aprendizaje. Es un elemento muy importante dentro de la gamificación, pues va a ser el encargado de generar un juego que enganche a los estudiantes. Algunas de las mecánicas señaladas por Morillas, C (2016): “puntos, clasificaciones, insignias y trofeos y niveles. Relación entre estos dos elementos: las dinámicas son la actitud del alumno respecto de las mecánicas.” Estética. En todo juego hay que generar un entorno espaciotemporal que proporcione al jugador una experiencia única, adaptada a sus necesidades y en la que él es el protagonista. Debe ser un entorno seguro en el que el error forme parte del aprendizaje. La estética, como elemento de la gamificación, es la respuesta emocional del estudiante ante sus interacciones con el terreno de juego, por lo tanto, está muy relacionado con las dinámicas. Algunos de los beneficios que nos ofrece la gamificación son: la alfabetización tecnológica, mentalidad multitarea, trabajo en equipo, planificación a largo plazo, instrucción personalizada. Y el principal inconveniente es que requiere una gran cantidad de tiempo. Demostración Esta metodología se lleva a cabo cuando el docente realiza en el aula una prueba o muestra un proceso que el estudiante va a tener que repetir en otras ocasiones. Según terminen los profesores de realizar los procedimientos, los estudiantes tendrán que repetir los pasos para comprobar que se ha entendido correctamente. Es habitual que esta metodología se utilice a la vez que otras como la clase magistral. 36 Es aconsejable utilizar esta metodología cuando se quiere que los estudiantes aprendan habilidades y conductas determinadas. El docente puede manejar recursos tecnológicos para llevar a cabo esta metodología. El principal beneficio de la demostración es que enseña a los estudiantes métodos, procedimientos y habilidades para realizar ciertas tareas. Uno de los inconvenientes que tiene es que en clases muy numerosas la repetición de la demostración del docente por parte de los estudiantes puede llevar demasiado tiempo. Justificación de por qué se utilizan estas metodologías con este grupo de alumnos en la asignatura Matemáticas I Hay algunos aspectos que todo docente debe tener en cuenta a la hora de elegir las metodologías con las que va a trabajar: ❖ El temario que tiene que explicar: extensión, dificultad, cómo se va a evaluar… ❖ Los objetivos que se persiguen. ❖ Las competencias clave que los estudiantes deben desarrollar. ❖ El grupo de estudiantes a los que va a enseñar: los gustos, las características socioeconómicas… Método expositivo o lección magistral. Esta metodología se va a llevar a cabo principalmente porque el currículo de la asignatura de Matemáticas I que marca la ORDEN EDU 363/2015, de 4 de mayo, es muy amplio y esta metodología nos permitía aumentar el ritmo de las sesiones de clase. Además, hay conceptos muy importantes y es necesario que los estudiantes reciban una explicación rigurosa y detallada de ellos, por ejemplo, el concepto de límite. Aprendizaje cooperativo. Es una metodología que se puede utilizar en cualquier contenido del currículo de la asignatura y favorece el desarrollo de las competencias sociales y cívicas, comunicación lingüística, competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Aprendizaje Basado en Proyectos. Se utiliza para conseguir algunos objetivos del curso como: planificar adecuadamente el proceso de investigación, consultar las fuentes de información de manera adecuada, usar argumentos, justificaciones y razonamientos coherentes, emplear herramientas tecnológicas adecuadas, establecer relaciones entre problemas del mundo real y el mundo matemático y realizar exposiciones orales en el aula utilizando el lenguaje matemático apropiado. Además, la mayoría de los alumnos con los que vamos a trabajar son estudiantes que van a continuar sus estudios por el ámbito sanitario y, generalmente, este tipo de alumnado no 37 suelen estar motivados a la hora de estudiar matemáticas, pues no ven la relación de estas con la vida cotidiana. Con esta metodología se pretende acercar las matemáticas a los estudiantes y así mejorar su motivación proponiendo proyectos relacionados con la sanidad. Esta metodología favorece el desarrollo de las competencias de comunicación lingüística, competencia matemática, competencia digital (en la elaboración del proyecto final), competencias sociales y cívicas (al tener que hacer los proyectos en grupos), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. Resolución de problemas. Es una metodología que deberían aplicar todos los profesores de matemáticas independientemente del curso académico. Es una manera de formar ciudadanos capaces de enfrentarse a los diferentes problemas que van a tener que resolver a lo largo de su vida. Además, uno de los objetivos que buscamos es reflexionar sobre el proceso de resolución de problemas. Aprendizaje Basado en Problemas. Esta metodología contribuye en la adquisición de algunos objetivos citados anteriormente como utilizar el lenguaje matemático, encontrar conexiones entre las matemáticas y el mundo en el que vivimos y reconocer situaciones problemáticas de la vida diaria y elaborar un modelo matemático para resolverlo. Además, los estudiantes van a poder desarrollar la competencia matemática, lingüística y sociales y cívicas. Gamificación. Esta metodología hace que los estudiantes utilicen las nuevas tecnologías fomentando de esta manera la competencia digital y permite a los docentes presentar los contenidos curriculares de forma más atractiva y motivadora. Se va a utilizar esta metodología para introducir algunos conceptos del Bloque 5. Estadística y Probabilidad, por ejemplo, el estudio de la dependencia de variables estadísticas. Demostración. Es muy importante llevar a cabo esta metodología en todas las asignaturas de Matemáticas. Puede resultar muy positiva en nuestro grupo, pues recordemos que está formado por estudiantes que quieren continuar sus estudios con titulaciones relacionadas con las ciencias de la salud y, por lo general, son estudiantes que no entienden en profundidad las relaciones lógicas que rigen las matemáticas. Esta metodología se utilizará en el Bloque 4. Geometría, para demostrar la fórmula de la distancia de un punto a una recta. 38 Distribuciones temporales y secuenciación de contenidos Sesiones de clase Las sesiones de clase en Bachillerato son de 50 minutos. Teniendo en cuenta el currículo y las peculiaridades de los estudiantes, se ha decidido que las horas lectivas se distribuyan de la siguiente manera: 1) Resumen en voz alta y por parte del profesor de los contenidos vistos el día anterior en clase. Tiempo estimado 5 minutos. 2) Corrección de los ejercicios propuestos como deberes. En principio se hará de manera oral y los resolverán los estudiantes, sin embargo, en el caso de que algún estudiante tenga dudas en algún ejercicio se resolverá en la pizarra. Tiempo estimado 10-15 minutos. 3) Utilizando la metodología de Clase magistral, Demostración y Aprendizaje Basado en Problemas, el docente va a explicar los nuevos contenidos. Durante la explicación los estudiantes van a poder preguntar dudas al docente y este les va a preguntar algunas cuestiones para hacerle partícipe de su proceso de aprendizaje. Al terminar la explicación se proponen los deberes que, generalmente, no serán más de cuatro ejercicios. Tiempo estimado 2025 minutos. 4) Se realizarán ejercicios relacionados con lo que se acaba de explicar. Tiempo estimado 5-15 minutos. a) En primer lugar, los ejercicios los realizará el docente en la pizarra siguiendo las indicaciones de los estudiantes. b) Los siguientes ejercicios los harán los estudiantes y el docente les dejará tiempo para pensarlos. c) Si sobra tiempo los estudiantes pueden empezar a hacer los deberes en clase. Hay que tener en cuenta que cuando se empiece un bloque nuevo los dos primeros pasos van a desaparecer y en su lugar aparecerá el siguiente: 1*) Se presentará el tema de una manera atractiva y motivadora utilizando las metodologías de Aprendizaje Basado en Problemas. Una vez obtenida la atención de los estudiantes se hará un esquema general del bloque en la pizarra donde quede claro cuáles son los objetivos que se desean alcanzar y cuáles van a ser los pasos que deben seguir para alcanzarlos. Contenidos Los cursos pertenecientes a la Educación Secundaria se dividen en tres trimestres. Para elaborar este apartado, debemos tener en cuenta el calendario escolar de Castilla y León para el curso 2020-2021 en el que se detalla que los alumnos del primer curso de bachillerato en régimen ordinario empiezan las clases el 14/09/2020 y las terminan el 23/06/2021. 39 Además, el horario de la clase en la que vamos a impartir docencia muestra que solo hay clase de Matemáticas I los lunes, miércoles, jueves y viernes. Es decir, vamos a tener 140 sesiones de 50 minutos cada una durante el curso académico. Figura 3 Calendario escolar Fuente: https://www.educa.jcyl.es/es/informacion/calendario-escolar-2020-2021 46 Programa de actividades extraescolares y complementarias A pesar de tener un currículo muy extenso, en la asignatura de Matemáticas I es necesario realizar un plan de actividades complementarias y extraescolares para mantener la atención del estudiante y que la asignatura no resulte monótona. Antes de enunciar las actividades veamos cuáles son las diferencias entre actividades complementarias y actividades extraescolares. Tabla 7 Actividades complementarias y extraescolares Actividades complementarias Actividades extraescolares Se realizan durante el horario escolar. Se realizan fuera del horario lectivo. Asistencia obligatoria. Son voluntarias para el alumnado y el profesorado. Se encargan de afianzar los contenidos del currículo. Formación integral del alumnado en aspectos referidos a la ampliación de su horizonte cultural, la preparación para su inserción en la sociedad o el uso del tiempo libre. Todas las actividades han de ser aprobadas por los miembros del Departamento de Matemáticas. Actividades complementarias 1. Sesiones informativas para elaborar una presentación. Dado que se va a utilizar la metodología de Aprendizaje Basado en Proyectos, los estudiantes van a tener que elaborar en grupos unos proyectos y, posteriormente, van a tener que defenderlo ante un público amplio (equipo directivo, profesorado del centro, vecinos del barrio…). Dos de los objetivos buscados en estos proyectos son: a. Correcta expresión escrita. Se les dará a los alumnos unas sesiones en las que se les explique cómo redactar los razonamientos matemáticos de manera correcta. b. Correcta expresión oral. Se dedicarán algunas sesiones para explicar a los alumnos cómo hacer una correcta presentación oral. 2. Iniciación a la Programación Matemática. Se harán algunas charlas para iniciar a los estudiantes en el mundo de la programación y en ellas se usará el programa Matlab. Estas actividades están pensadas para realizarse en la Unidad Didáctica 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 3. Talleres con materiales manipulativos. Estas actividades se llevarán a cabo en la Unidad Didáctica 4: Trigonometría. Hay dos talleres preparados: 47 a. Demostración de las igualdades usando origami 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑏) 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑏)− 𝑠𝑒𝑛(𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑏) Figura 4 Trigonometría 1 Fuente: https://marielmatesblog.files.wordpress.com/2021/02/demos-cos-y-sen-ab-2.pdf b. Razones trigonométricas en el círculo. Figura 5 Trigonometría 2 Fuente: https://marielmatesblog.files.wordpress.com/2021/02/razones-trigonometricascirculos.pdf Actividades extraescolares Se escogen las actividades extraescolares que contribuyan a la consecución de los siguientes objetivos: 48 ❖ Proporcionar experiencias de aprendizaje activo y creativo. ❖ Fomentar una actitud positiva hacia el mundo matemático. ❖ Aumentar el interés de los estudiantes hacia las matemáticas y estimularlos para el estudio. ❖ Difundir la utilización de las matemáticas en el mundo cotidiano. ❖ Visualizar las aplicaciones de las ciencias en la vida real. Las actividades extraescolares pensadas son las siguientes: 1. Concurso Canguro Matemático. Es un concurso anual creado en 1991 en Francia y que se ha ido extendiendo a varios países. España participa en él desde 2011. El concurso consta de varios problemas matemáticos en forma de opción múltiple y pueden participar alumnos de todos los niveles escolares. 2. Olimpiada Matemática. Es un concurso entre jóvenes estudiantes y consta de tres fases: fase de distrito, fase nacional y fase internacional. Los estudiantes también van a poder participar en la Olimpiada Iberoamericana y la Olimpiada Femenina Europea. 3. Visita al Museo de la Ciencia de Valladolid. Es uno de los pocos museos que tienen una sala dedicada a las matemáticas “Malditas matemáticas… ¿o no?”. Esta actividad se puede llevar a cabo al finalizar la Unidad Didáctica 1: Números reales, dado que en este tema se va a estudiar el binomio de Newton y en la sala del museo hay una actividad relacionada con el Triángulo de Tartaglia. También es un buen momento para hablar a los alumnos de los problemas abiertos en Matemáticas, por ejemplo, los problemas del Milenio o la lista de 23 problemas de Hilbert. En la sala del museo hay una actividad relacionada con el teorema de los cuatro colores, demostrado por Apple y Haken en 1977. 49 Evaluación La evaluación es uno de los aspectos más importantes del proceso de enseñanza-aprendizaje. Según Santos, M. A: La evaluación es un fenómeno educativo que condiciona todo el proceso de enseñanza aprendizaje. No se trata de un fenómeno esencialmente técnico sino de un fenómeno ético. Por consiguiente, resulta indispensable preguntarse a quién beneficia cuándo se hace y a quién perjudica; a qué valores sirve y a qué valores destruye. En todo proceso tenemos que evaluar dos aspectos fundamentales: proceso de enseñanza, proceso de aprendizaje. Evaluación del proceso de enseñanza Se van a evaluar los siguientes logros de la Programación Didáctica: Tabla 8 Evaluación de la Programación De la planificación De la práctica docente o Coherencia de la Programación con el modelo pedagógico. o Utilidad de los objetivos establecidos. o Utilización e integración de las TIC. o Interrelación de los elementos de la programación. o Adecuación de las metodologías propuestas. o Adecuación de la temporalización y secuenciación de contenidos. o Grado de satisfacción del alumnado. o Grado de adaptación de los recursos a las necesidades. o Coordinación de los diferentes miembros de la comunidad educativa. o Adecuación de las actividades planteadas al contexto e intereses del alumnado Al finalizar cada Unidad Didáctica se enviará a cada estudiante un cuestionario relacionado con la práctica docente cuyo fin es promover la reflexión docente y establecer estrategias de mejora. Evaluación del proceso de aprendizaje Para realizar la evaluación del proceso de aprendizaje se deben tener en cuenta los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluable, además, estos últimos se deben relacionar con las competencias tal y como dice el Artículo 5 de la ORDEN ECD/65/2015, de 21 de enero. A continuación, se describen los criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables: Tabla 9 Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables. Perfil competencial 50 Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en las matemáticas 1. Razonar verbalmente los procedimientos utilizados en la resolución de problemas. 1.1. Razona verbalmente con rigor y precisión el procedimiento utilizado en la resolución de un problema. CCL CMCT 2. Usar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos y las comprobaciones necesarias de las soluciones obtenidas. 2.1. Hace un análisis para comprender el enunciado a resolver o demostrar (datos, relaciones entre los datos, condiciones, hipótesis, conocimientos matemáticos necesarios, etc.) CCL CMCT CCAA 2.2. Evalúa la información de los enunciados de los problemas y la relaciona con su número de soluciones. CMCT CD 2.3. Estima y realiza conjeturas sobre los resultados de los problemas propuestos y evaluar su utilidad y eficacia. CMCT CCSIEE CCAA 2.4. Usa estrategias heurísticas y diferentes razonamientos a la hora de resolver problemas. CMTC 2.5. Analiza los procedimientos para resolver problemas. CMCT CCAA 3. Demostrar propiedades o teoremas relativos a contenidos algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos propios del curso. 3.1. Maneja diferentes métodos de demostración y los escoge en función del contexto matemático. CMCT CCAA 3.2. Realiza reflexiones sobre los diferentes métodos de demostración conocidos (estructura, método, lenguaje y símbolos, pasos clave, etc.). CMCT CCAA 4. Escribir informes científicos en los que se detallen y compartan ideas matemáticas que sirvan para resolver un problema o realizar una demostración, con el rigor y la precisión adecuados. 4.1. Escoge el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación de cada momento. CCL CMCT 4.2. Argumenta, justifica, explica y razona de manera explícita y coherente. CCL CMCT 4.3. Utiliza herramientas tecnológicas apropiadas con al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o teorema a demostrar, tanto para buscar resultados como para mejorar la eficacia en la transmisión de las ideas matematicas. CMCT CD 5. Organizar de manera adecuada el proceso de investigación, valorando el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación que se pretende resolver. 5.1. Identifica la estructura que debe tener una investigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc. CMCT CCAA CSYC 5.2. Organiza adecuadamente el proceso de investigación, valorando el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación que se desea resolver. CMCT 51 5.3. Formula nuevas cuestiones, generaliza resultados o situaciones para reflexionar en la resolución de ciertos problemas. CMCT CCAA CCSIEE 6. Reflexionar y utilizar estrategias para generar investigaciones matemáticas, a partir de: a) la resolución de un problema y la profundización posterior; b) la generalización de propiedades y reglas matemáticas; c) la utilización en algún momento de la historia de las matemáticas; concretando todo ello en contextos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos. 6.1. Trabaja para generalizar y demostrar propiedades de contextos matemáticos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos. CMCT CCAA 6.2. Conecta el mundo matemático con el mundo de la vida cotidiana relacionando la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; tecnologías y matemáticas, ciencias experimentales y matemáticas, economía y matemáticas, etc. Relaciona contextos matemáticos; numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, geométricos y probabilísticos, discretos y continuos, finitos e infinitos, etc.. CMCT CEC 7. Realizar informes científicos de manera escrita que recoja el proceso de investigación realizado, con el rigor y la precisión adecuados. 7.1. Sabe acudir y escoger las fuentes de información adecuadas al problema de investigación. CCL CMCT CD CCAA CSYC 7.2. Utiliza el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de investigación. CCL CMCT 7.3. Argumenta, justifica, explica y razona de manera explícita y coherente. CCL CMCT 7.4. Utiliza herramientas tecnológicas apropiadas con al tipo de problema de investigación. CMCT CD 7.5. Comunica sus ideas de manera segura y con certeza y domina en su totalidad el tema de la investigación CMCT CEC 7.6. Saca conclusiones sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolución del problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posibles continuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitas sus impresiones personales sobre la experiencia CMCT CCAA CSIEE 8. Profundizar en los procesos de matematización relacionados con contextos de la realidad diaria (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o 8.1. Sabe identificar situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés. CSYC 8.2. Conecta el mundo matemático con CMCT 52 probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones de la realidad. el mundo de la vida cotidiana relacionando la historia de la humanidad identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticos necesarios. CSYC CEC 8.3. Utiliza y construye modelos matemáticos adecuados que permitan resolver problemas dentro del campo de las matemáticas. CMCT CCAA CCSIEE 8.4. Saca conclusiones sobre las soluciones de problemas matemáticos en el contexto de la realidad. CMCT CCAA 8.5. Elabora simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia. CMCT CCAA CCSIEE 9. Examinar la modelización matemática como un recurso fiable para resolver problemas de la realidad diaria, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos utilizados o construidos. 9.1. Saca conclusiones sobre el proceso y obtiene evalúa los logros conseguidos, resultados que se pueden mejor, impresiones personales del proceso, etc. CMCT CCAA CCSIEE 10. Desarrollar y fomentar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático. 10.1. Desarrolla buenas actitudes para un trabajo adecuado en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad para la aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustración, autoanálisis continuo, autocrítica constante, etc. CMCT CCAA CCSIEE 10.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación. CMCT CCAA CCSIEE 10.3. Desarrolla habilidades de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas; ser críticos con los resultados encontrados; etc. CMCT CCAA CCSIEE 11. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. 11.1. Toma decisiones en la resolución de problemas, de investigación y de matematización o de modelización analizando la sencillez, utilidad y las consecuencias de las mismas. CMCT CCA CCSIE 12. Analizar las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares a las que se puede enfrentar en un futuro. 12.1. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando la potencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situaciones futuras; etc. CMCT CEC 53 13. Usar diferentes herramientas tecnológicas, de manera autónoma, para realizar cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas. Todo ello teniendo en cuenta el curso. 13.1. Elige las herramientas tecnológicas que mejor se adapten a cada situación y utilizarlas para realizar cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente. CMCT CD 13.2. Usa diferentes medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas complejas y obtener información de ellas. CMCT CD 13.3. Elabora, utilizando herramientas tecnológicas, las representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas. CMCT CD 13.4. Simula entornos y objetos geométricos mediante herramientas tecnológicas interactivas para mostrar, analizar y comprender propiedades de las figuras geométricas. CMCT CD CEC 14. Usar tecnologías de la información y la comunicación (TIC) de manera habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información que sea fiable y relevante perteneciente a Internet o a otras fuentes, haciendo informes propios, elaborando exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción. 14.1. Realiza búsqueda de información, analiza dicha información y selecciona la más relevante, posteriormente, elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido,…), como resultado del proceso de búsqueda. CMCT CD CCSIEE 14.2. Usa los diferentes recursos creados como pilares de una exposición oral de su investigación. CCL CMCT CD CSYC 14.3. Utiliza de manera adecuada la tecnología para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando los beneficios e inconvenientes de su proceso académico y estableciendo propuestas para mejorar. CCL CMCT CD CCAA Bloque 2. Números y álgebra 1. Manejar las operaciones y propiedades de los números reales y de esta manera ser capaces de recoger, transformar e intercambiar información, estimando, valorando y representando los resultados obtenidos de distintos problemas. 1.1. Distingue los números complejos de los números reales y los usa a la hora de representar e interpretar adecuadamente información. CMCT 1.2. Ejecuta operaciones numéricas con fluidez, utilizando tanto el cálculo mental como algoritmos de lápiz y papel, calculadoras gráficas o distintas herramientas informáticas. CMCT CD 1.3. Usa la notación numérica más recomendable en cada situación y justifica su idoneidad. CMCT 1.4. Calcula cotas de error y estimaciones en los cálculos CMCT 54 aproximados que realiza. Realiza valoraciones y justifica la necesidad utilizar de estrategias adecuadas para minimizarlas dichas cotas. 1.5. Maneja el concepto de valor absoluto y lo utiliza para calcular distancias y usar desigualdades. CMCT 1.6. Resuelve problemas en los que se requiere un manejo eficaz de las operaciones y propiedades de los números reales, así como su representación e interpretación en la recta real. CMCT 2. Considerar los números complejos como una extensión de los números reales. Utilizarlos para obtener soluciones de algunas ecuaciones algebraicas. 2.1. Considera los números complejos como una ampliación de los números reales y verlos como solución de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales sin solución real. CMCT 2.2. Maneja con fluidez las propiedades de los números complejos, así como representarlos gráficamente, y usa de manera adecuada la fórmula de Moivre. CMCT 3. Saber las aplicaciones que tiene el número “e” y la relación con los logaritmos. Usar sus propiedades para ser capaces de resolver distintos problemas extraídos de situaciones de la vida cotidiana. 3.1. Utiliza de la mejor manera correcta las propiedades para calcular logaritmos sencillos teniendo en cuenta otros conocidos. CMCT 3.2. Utiliza las matemáticas, en particular los logaritmos y sus propiedades, para resolver problemas asociados a otras ciencias como la física, la biología o la economía. CMCT CCYC CEC 4. Usar recursos y propiedades algebraicas de las ecuaciones, inecuaciones y sistemas para analizar, transformar al lenguaje matemático y resolver problemas planteados de la vida cotidiana, y hacer una crítica de los resultados obtenidos. 4.1. Transforma situaciones de la vida cotidiana al lenguaje algebraico. Estudia y clasifica un sistema de ecuaciones lineales y, utilizando el método de Gauss los resuelve (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas). Utiliza esta técnica para resolver los problemas de la realidad. CMCT 4.2. Resuelve problemas en los que se necesita plantear y estudiar ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas y no algebraicas e inecuaciones (primer y segundo grado), así como interpreta los resultados obtenidos teniendo en el contexto del problema CMCT CSYC Bloque 3. Análisis 1. Clasificar e identificar funciones elementales, a partir de enunciados, tablas o expresiones algebraicas, que 1.1. Maneja las propiedades fundamentales de las funciones reales de variable real elementales, las reconoce y las representa analítica y gráficamente. CMCT CD 55 describan una situación real, y analizar todas las propiedades de las funciones, para realizar una representación gráfica aproximada y extraer información relevante que ayude a estudiar el fenómeno del que parten. 1.2. Elige de manera adecuada y razonada ejes, unidades, dominio y escalas, y reconoce e identifica los errores de interpretación derivados de una mala elección. CMCT 1.3. Interpreta las propiedades globales y locales de las funciones. Utiliza medios tecnológicos para analizar resultados de problemas contextualizados. CMCT CD CEC 1.4. Obtiene información y saca conclusiones tras realizar un estudio y análisis de funciones en contextos reales. CMCT CE 2. Manejar los conceptos relacionados con las funciones como el concepto de límite y el de continuidad. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo mediante el cálculo de límites. 2.1. Maneja el concepto de límite y realiza con ellos operaciones elementales. Utiliza diferentes métodos o procesos para resolver indeterminaciones. CMCT 2.2. Utiliza el estudio de límites y del valor de una función para determinar la continuidad de dicha función en un punto y, de esta manera sacar conclusiones en situaciones reales. CMCT CEC 2.3. Maneja las propiedades de las funciones continuas, y es capaz de hacer una representación de las funciones en entornos de los puntos de discontinuidad. CMCT 3. Utilizar en problemas de geometría o en fenómenos naturales, sociales o tecnológicos el concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica y el cálculo de derivadas. 3.1. Usa los medios adecuados para calcular derivadas y las utiliza para resolver problemas de vida cotidiana. CMCT CEC 3.2. Utiliza la regla de la cadena para calcular derivadas de funciones que son composición de otras más simples. CMCT 3.3. Estudia la derivabilidad y la continuidad de funciones en función de parámetros. CMCT 4. Saber sacar propiedades locales y globales de las funciones a partir de un estudio profundo, incluyendo la realización de representaciones gráficas, de las funciones. 4.1. Realiza un estudio completo de las funciones usando herramientas básicas del análisis y, posteriormente, representa gráficamente dichas funciones. CMCT 4.2. Sabe usar herramientas tecnológicas adecuados para realizar un análisis completo de las funciones, estudiando el comportamiento local y global de las mismas. CMCT CD Bloque 4. Geometría 1. Manejar los ángulos en radianes y saber aplicar con soltura las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble y mitad, así como las transformaciones trigonométricas usuales. 1.1. Conoce y sabe usar las razones trigonométricas de un ángulo, su doble y mitad, así como las del ángulo suma y diferencia de otros dos. CMCT 62 ❖ Una vez sabido el Ciclo Formativo de Grado Medio que quiere hacer, se buscará información sobre la asignatura de Matemáticas de dicho curso. Se elaborarán hojas de teoría y problemas relacionadas con esa asignatura y se le entregarán al estudiante. Es importante tener en cuenta que el alumno no está obligado a estudiar y hacer ejercicios de las hojas ni va a contar para su calificación final del curso, sin embargo, le va a servir para llevar una buena base de Matemáticas el curso siguiente. Todas estas medidas se han diseñado para mejorar la motivación del estudiante. Como es evidente que no está motivado con las asignaturas del Bachillerato, hay que mejorar su motivación con el Ciclo Formativo de Grado Medio que va a cursar el año siguiente. El segundo estudiante tiene un déficit visual parcial, es un estudiante que ha superado todos los cursos de la ESO sin tener que repetir ningún año, por lo que su rendimiento académico es bueno. Estas son las medidas que se utilizarán atendiendo a las indicaciones que da la ONCE: ❖ La mesa del estudiante va a estar situada en primera fila y en la columna central del aula, de esta manera se procura que el estudiante tenga una buena visión de todas las partes de la pizarra. ❖ Escribir en la pizarra con letra de tamaño medio-grande y hacer un trazo grueso con la tiza. ❖ La comunicación verbal con el profesor. Es importante que el docente describa verbalmente lo que pone en la pizarra, PowerPoint, gráficos… ❖ Transcribir los libros de texto a Braille o a formato electrónico. ❖ Utilización de instrumentos auxiliares para optimizar la funcionalidad visual. La ONCE afirma que para ello hace falta ampliar las imágenes en la retina y hay cuatro maneras de hacerlo: ampliando el tamaño del objeto, disminuyendo la distancia para ver el objeto, mediante la ampliación angular, la ampliación por proyección. Las herramientas que se van a utilizar para llevar a cabo la última indicación serán las siguientes: Gafas de alto poder dióptrico. Son lentes que se incorporan a una montura y que son útiles cuando se va a realizar una lectura prolongada. Son más cómodas que las lupas pues permiten tener las manos libres. Circuitos cerrados de televisión (CCTV) – Lupas televisión. Permiten aumentar el tamaño de la imagen utilizando medios electrónicos y el mayor inconveniente de esta herramienta es el elevado costo. 63 Además, debemos tener en cuenta que la crisis sanitaria que estamos viviendo puede dar lugar a que algún estudiante no pueda asistir a clase por ser contacto estrecho de algún caso positivo o por ser positivo, por lo tanto, debemos diseñar unas medidas para atender a estos alumnos. ❖ Se creará un equipo de Teams formado por todos los estudiantes de 1º de Bachillerato E y cuyo coordinador será el profesor de Matemáticas I. ❖ Se subirán hojas de problemas y ejercicios de repaso y de ampliación con las soluciones para que los estudiantes puedan practicar. ❖ Se adjuntarán enlaces de GeoGebra y Wiris para que los alumnos trabajen con calculadoras gráficas. ❖ Se adjuntarán enlaces de vídeos y páginas web que estén relacionados con los contenidos del currículo. ❖ Durante las sesiones de clase en las que falte algún estudiante por motivos de la pandemia, se colocará una cámara enfocando a la pizarra y un micrófono y se conectará con los estudiantes que no estén en clase vía Teams. En el equipo de Teams los estudiantes también van a poder preguntar dudas sobre la asignatura y el resto de sus compañeros pueden contestarles, todo ello bajo la supervisión del docente. Es importante tener en cuenta las indicaciones del Departamento de Orientación y de la coordinadora Covid-19. 64 Unidad Didáctica 9: Lugares geométricos. Cónicas 65 Introducción Según la secuenciación que hemos realizado en la primera parte del trabajo, esta Unidad Didáctica se va a desarrollar durante el segundo trimestre y va a constar de 9 sesiones de clase de 50 minutos cada una. Los contenidos que se van a explicar a lo largo de esta Unidad Didáctica forman parte de los contenidos del Bloque 4. Geometría de la Orden EDU 363/2015, de 4 de mayo. El alumnado ya sabe lo que es la Geometría, pues en la ESO ha tenido que estudiar algunos conceptos básicos de esta rama de las Matemáticas. Sin embargo, las cónicas no se dan en ninguna asignatura de matemáticas de la ESO y, dado que no está dentro de los contenidos curriculares de la asignatura Matemáticas II no se suele otorgar a las cónicas la importancia que estas tienen. Se ha diseñado esta Unidad Didáctica con el objetivo de que los estudiantes observen el amplio abanico de aplicaciones que tienen las cónicas en nuestro día a día y, para ello, se van a utilizar diferentes metodologías y actividades. Todo ello va a provocar que se desarrollen la mayoría de las competencias descritas en la primera parte del trabajo. Es claro que va a estar presente la competencia matemática y competencias básicas en ciencias y tecnología y la competencia lingüística, pero también se va a trabajar con la competencia expresiones culturales al hacer referencia a la cantidad de obras de arte y monumentos que contienen cónicas. También se va a hacer énfasis en la aplicación que tiene las cónicas en la Física, por ejemplo ❖ En los problemas ópticos las curvas cónicas se utilizan para concentrar la onda luminosa en un foco. ❖ En los problemas fuerzas centrales dependientes del inverso de la distancia al cuadrado, las órbitas que siguen los cuerpos son curvas cónicas. Estos contenidos se explican en la asignatura de Física de 2º de bachillerato, sin embargo, se pueden introducir de manera superficial en esta Unidad Didáctica. Además, estas aplicaciones a la Física nos van a dar la posibilidad de acercar las cónicas al ámbito sanitario ya que, recordemos, la mayoría de los estudiantes a los que nos estamos refiriendo desean continuar sus estudios por esa vía. Objetivos didácticos A continuación, veamos cuáles van a ser los objetivos didácticos de la Unidad Didáctica. Se van a incluir tres tipos de objetivos, los primeros son los objetivos de etapa que todo estudiante debe 66 conseguir al terminar el Bachillerato, los segundos son los objetivos de la asignatura Matemáticas I relacionados con la Unidad Didáctica y los últimos son los objetivos didácticos en el aula a desarrollar en esta Unidad Didáctica. Objetivos de etapa Estos objetivos están descritos en la sección de “Objetivos” de la primera parte del trabajo. Objetivos comunes del curso en relación con la Unidad Didáctica 1. Utilizar el lenguaje matemático junto a razonamientos explícitos y coherentes a la hora de analizar y demostrar enunciados y resolver problemas. 2. Conocer y planificar la estructura que debe tener una investigación matemática. 3. Encontrar conexiones entre las matemáticas y el mundo en el que vivimos. 4. Conocer fuentes fiables de información. 5. Reconocer situaciones problemáticas de la vida diaria y elaborar un modelo matemático para resolverlo. 6. Discutir las conclusiones obtenidas de los problemas. 7. Desarrollar buenos hábitos para el estudio de las matemáticas. 8. Usar la tecnología para; elaborar representaciones gráficas y extraer de ellas información cualitativa y cuantitativa y para elaborar documentos digitales propios. 9. Realizar exposiciones orales en el aula utilizando el lenguaje matemático. 10. Conocer el significado de lugar geométrico, identificando los lugares más usuales en geometría plana, así como sus características. 11. Realizar investigaciones utilizando programas informáticos específicos en las que hay que seleccionar, estudiar posiciones relativas y realizar intersecciones entre rectas y las distintas cónicas estudiadas. Objetivos didácticos en el aula 1. Interpretar la ecuación reducida de una circunferencia. 2. Saber discutir la posición relativa de una circunferencia y un punto. 3. Conocer la definición y elementos de las cónicas. 4. Deducir las ecuaciones reducidas de las cónicas. 5. Distinguir el tipo de cónica a partir de su expresión gráfica. 6. Distinguir el tipo de cónica a partir de su ecuación. 7. Pasar de la ecuación reducida a la ecuación general de una cónica. 8. Clasificar el tipo de cónica dependiendo de su excentricidad. 9. Discutir la posición de una recta respecto de una cónicas cualquiera. 67 10. Ser consciente de que la Geometría ayuda a las personas en los problemas de la vida cotidiana Contenidos Los contenidos marcados por Orden EDU 363/2015, de 4 de mayo son los siguientes: 1. Lugares geométricos del plano. 2. Cónicas. Ecuación y elementos. a. Circunferencia. b. Elipse. c. Hipérbola. d. Parábola. Es importante tener en cuenta que los conocimientos previos que los estudiantes tienen de las cónicas son los que estudiaron en las asignaturas de Educación Plástica y Visual de 3º y 4º de la ESO. Los objetivos a los que los estudiantes han tendido que llegar durante los cursos de la ESO según la Orden EDU/362/2015, de 4 de mayo, son: Tabla 10 Contenidos previos CURSO OBJETIVO 3º ESO Explicar, verbalmente o por escrito, los ejemplos más comunes de lugares geométricos (mediatriz, bisectriz, circunferencia, esfera, restas paralelas, planos paralelos…) 4º ESO Construir geométricamente y resolver problemas relacionados con las curvas cónicas. A continuación, se va a detallar cuáles son los contenidos que se van a dar durante el transcurso de la Unidad Didáctica: 1. Estudio analítico de los lugares geométricos. Resolución de problemas de lugares geométricos, identificando la figura resultante. 2. Circunferencia. a. Obtención de la ecuación de la circunferencia. b. Obtención del centro y del radio de una circunferencia a partir de su ecuación. c. Estudio de la posición relativa de una recta y una circunferencia. d. Rectas tangente y normal a una circunferencia. 68 e. Potencia de un punto a una circunferencia. 3. Estudio analítico de las cónicas como lugares geométricos, de cada una de ellas hay que estudiar: a. Elementos característicos: ejes, focos, excentricidad. b. Ecuaciones reducidas. c. Obtención de la ecuación reducida de una cónica. d. Identificación del tipo de cónica y sus elementos a partir de su ecuación reducida. e. Estudio de la posición relativa de una recta y una cónica. f. Propiedades ópticas de las cónicas. Los contenidos mínimos que todos los estudiantes deben comprender para superar esta Unidad Didáctica son los siguientes: ❖ Resolución de problemas de lugares geométricos. ❖ Identificación del tipo de cónica y sus elementos a partir de la ecuación reducida. La prueba intermedia que se va a realizar al acabar la Unidad Didáctica va a tener al menos 5 puntos relacionados con estos contenidos. Metodología Se han escogido algunas metodologías de las descritas en la primera parte del trabajo teniendo en cuenta los contenidos y los objetivos que perseguimos en esta Unidad Didáctica. Además, estas metodologías nos van a permitir trabajar y desarrollar las competencias clave y los elementos transversales. Lección magistral Esta metodología se ha escogido porque los contenidos a estudiar, como hemos podido observar en el apartado anterior, son nuevos para los estudiantes y la lección magistral nos va a permitir introducir el tema al alumnado y presentar los objetivos que se desean alcanzar. Se va a utilizar de una manera activa, es decir, el docente explicará ciertos contenidos con esta metodología, pero siempre va a estar observando al alumnado e interactuando con él. Además, las explicaciones van a ir acompañadas con anotaciones en la pizarra. La lección magistral se va a utilizar durante las primeras sesiones de la Unidad Didáctica combinándola con otras metodologías. 69 Los objetivos que se van a trabajar son: utilizar el lenguaje matemático junto a razonamientos explícitos, utilizar la tecnología para elaborar representaciones gráficas. Aprendizaje cooperativo Se usará cuando los estudiantes sepan los objetivos y los contenidos que se pretenden alcanzar. Con esta metodología los estudiantes van a estudiar por sí mismos, bajo la tutela del docente, la hipérbola. La técnica de aprendizaje cooperativo que se va a utilizar en esta Unidad Didáctica y que se desarrollará en profundidad en el apartado de “Actividades” es la técnica del rompecabezas o técnica del puzle. Los objetivos que se pretende trabajar con esta metodología son: utilizar el lenguaje matemático junto a razonamientos explícitos, conocer fuentes fiables de información, discutir conclusiones obtenidas de los problemas y realizar exposiciones orales en el aula utilizando el lenguaje matemático apropiado. Aprendizaje Basado en Proyectos Se utilizará esta metodología con el objetivo de mejorar la motivación del alumnado, recordemos que un alumno motivado es aquel que aspira a realizar tareas de relativa dificultad, lleva a cabo un trabajo persistente, incluso en metas a largo plazo, responde positivamente a la competición, tiene un nivel alto de esfuerzo y busca un aprendizaje excelente. Por lo tanto, para llevar a cabo un buen proceso de aprendizaje es necesario que los estudiantes estén motivados. Dado que los estudiantes de 1º Bachillerato E tienen las optativas de Biología y Anatomía se propone realizar un proyecto relacionado con la sanidad y que involucre las propiedades ópticas de las cónicas. Este proyecto se detallará en la sección de “Actividades”. Los objetivos que se trabajarán con esta metodología son: utilizar el lenguaje matemático junto a razonamientos explícitos, conocer y planificar la estructura que debe tener una investigación matemática, encontrar conexiones entre las Matemáticas y el mundo en el que vivimos, conocer fuentes fiables de información, usar la tecnología para elaborar representaciones gráficas. Demostración Se utilizará en determinadas ocasiones durante las lecciones magistrales para que los estudiantes comprendan los razonamientos lógicos que hay detrás de los conceptos matemáticos. Podemos utilizar esta metodología porque estamos en un grupo de 17 estudiantes. Recordemos que esta metodología consiste en que el profesor hace una demostración a los estudiantes y, a continuación, los estudiantes deben repetir el procedimiento. 70 Los objetivos que se trabajan son: utilizar el lenguaje matemático junto a razonamientos explícitos y coherentes a la hora de analizar y demostrar enunciados y resolver problemas. Recursos A lo largo de la Unidad Didáctica se van a utilizar los siguientes recursos ambientales y materiales. Recursos ambientales El aula en la que se darán las sesiones de clase es pequeña con aforo de 21 personas y está situada en la planta inferior del edificio. Las mesas de los estudiantes estarán separadas a metro y medio unas de otras y las ventanas deberán permanecer abiertas durante toda la sesión de clase por motivos de prevención de la pandemia. Sin embargo, para la realización de las actividades grupales los estudiantes podrán juntarse bajo la supervisión del docente. Recursos materiales ❖ Libro de texto del estudiante. Será el libro de Matemáticas 1º Bachillerato de la editorial Edelvives. El ejemplar está formado por dos tomos, uno teórico y el otro práctico. Los contenidos que presenta son muy similares a los que se desean explicar en este tema. Tabla 11 Contenidos libro Contenidos que están en el libro, pero no son contenidos de la Unidad Didáctica Contenidos que se deben dar en la Unidad Didáctica pero que no están en el libro Posición relativa de dos circunferencias. Posición relativa de recta y cónica. Rectas tangentes y normales a la elipse, hipérbola y parábola. ❖ Calculadora. Se usará en las sesiones prácticas. ❖ Ordenador con proyector. Se utilizará para presentar los proyectos. ❖ Dos pizarras verdes de tiza. Para explicar los contenidos y aclarar dudas. ❖ Plataformas digitales y aulas virtuales en Teams. ❖ Páginas web con contenidos de repaso, autoevaluaciones y resúmenes como www.masmate.com, www.divulgamat.net/ y www.villamates.wordpress.com, https://www.geogebra.org/classic/anasmexg, https://www.geogebra.org/classic/kyzcaaqr. 71 ❖ Páginas web en las que se puedan encontrar lecturas interesantes y divulgativas como www.divulgamat.net, www.geogebra.org y www.wiris.com. ❖ Cono de Apolonio. Para que vean visualmente los cortes (cono con plano) de donde salen las cónicas. Figura 6 Cono de Apolonio Fuente: https://www.rolscience.net/2017/08/cono-de-apolonio-conicas.html Actividades de aprendizaje y enseñanza En este apartado se describen las actividades que se van a realizar durante la Unidad Didáctica y que han sido diseñadas teniendo en cuenta los objetivos y los contenidos. Este apartado está íntimamente relacionado con el apartado de metodologías, puesto que a través de las actividades se justifican. También se van a añadir las aportaciones que las actividades hacen al desarrollo de las competencias clave y los elementos transversales. 1. Proyecto de investigación Es la primera actividad que vamos a llevar a cabo en el aula y va a estar relacionada con la metodología Aprendizaje Basado en Proyectos. Tal y como habíamos anunciado en la primera parte del trabajo esta metodología se caracterizaba por la elaboración, por parte de los estudiantes, de un proyecto de investigación y posteriormente deberán exponer el trabajo ante el resto de sus compañeros. Es obligación del docente encontrar un tema que sea motivador para los estudiantes y, dado que son estudiantes que van por la rama sanitaria, se ha escogido un tema que tenga que ver con la medicina. Los pasos que se van a seguir a lo largo de esta actividad son los siguientes: a) El docente presenta el tema a los estudiantes. Les va a poner un vídeo animado en el que un hombre con un dolor fuerte en la espalda acude al médico para contarle lo que le pasa. El médico le confirma que tiene piedras en el riñón y, por lo tanto, se las tiene que quitar utilizando una máquina llamada litotriptor. Sin embargo, el paciente es una persona muy 78 Sesión Contenidos Sesión 1 Clase magistral. Lugar geométrico. • Se dará la definición de circunferencia como lugar geométrico. Sesión 2 Clase magistral. • Estudio de la circunferencia. • Recta tangente y normal a una circunferencia. • Potencia de un punto con respecto a una circunferencia. Demostración. • Deducir la ecuación (𝑥 − 𝑐1)2+ (𝑥 − 𝑐2)2= 𝑟2 Sesión 3 Clase magistral y Demostración. • Explicación de la elipse. Definición, elementos, excentricidad, deducción de ecuación reducida, posiciones de la elipse. Se da la información para que empiecen a hacer la actividad “Proyecto de investigación” y “Rompecabezas”. Sesión 4 Clase magistral. • Explicación de la parábola. Definición, elementos, excentricidad, deducción de ecuación reducida, posiciones de la parábola. Se reúnen los expertos de la actividad “Rompecabezas”. Sesión 5 Se termina la actividad “Rompecabezas” y queda explicada la hipérbola. El docente resuelve dudas sobre la actividad “Proyecto de investigación”. Sesión 6 Defensa de los proyectos finales de la actividad “Proyecto de investigación.” Se les informa que deben elaborar unos 79 esquemas. Sesión 7 Clase magistral. • Propiedades ópticas de las cónicas. Clase práctica. Se hacen ejercicios y problemas relacionados con todos los contenidos de la Unidad Didáctica. Se recogen los esquemas. Sesión 8 Se devuelven los esquemas a los estudiantes. Actividad “GeoGebra”. Se resuelven dudas y se siguen haciendo ejercicios. Sesión 9 Prueba intermedia. El docente proporciona a los estudiantes los problemas a entregar. Durante la explicación de la elipse, parábola e hipérbola el docente va a poner ejemplos en los que podemos encontrar estas cónicas en la vida cotidiana. Se utilizará el cono de Apolonio cuando se introduzcan las cónicas y los estudiantes podrán usarlo siempre y cuando se cumplan las medidas higiénico-sanitarias. Competencias clave Como ya se ha anunciado en el apartado de “Actividades de aprendizaje y enseñanza” en esta Unidad Didáctica se van a trabajar la competencia lingüística, la competencia matemática, la competencia digital, las competencias sociales y cívicas y la competencia de aprender a aprender. También se va a trabajar la competencia de conciencia y expresiones culturales pues el docente va a poner ejemplos de las cónicas en la naturaleza, por ejemplo: 1. Elipse. a. Órbitas de los planetas. b. La cúpula que aparece en La escuela de Atenas, una de las obras más destacadas de Rafael Sanzio. Figura 8 Órbitas de los planetas 80 Fuente: https://www.portalastronomico.com/las-leyes-de-kepler/ Figura 9 La escuela de Atenas Fuente: http://www.epsilones.com/paginas/artes/artes-019-escuela-atenas.html 2. Hipérbola. Los cortes de planos verticales con las torres de refrigeración de las centrales nucleares. Figura 10 Torres de refrigeración Fuente: https://refineering.wordpress.com/2012/11/20/central-nuclear-o-torre-de-refrigeracion/ 3. Parábolas. La trayectoria de cualquier objeto cuando se lanza en un lugar con gravedad. 81 Figura 11 Fuente de Zorrilla Fuente: https://fotosdevalladolid.com/2005/04/la-nueva-fuente-de-la-plaza-zorrilla/ Evaluación En este apartado se va a evaluar el proceso de aprendizaje del alumno. Tal y como se ha indicado en el apartado de “Distribución temporal y secuenciación de contenidos” al finalizar las explicaciones de los contenidos se va a realizar una prueba intermedia y se hará durante los 50 minutos de la sesión 9. En dicha prueba solo se preguntarán los conceptos propios de la Unidad Didáctica 9. Se elaborará teniendo en cuenta la Tabla 9. Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables. Perfil competencial. Una posible prueba es la que aparece en el Anexo III. Los problemas y ejercicios de la prueba van a ser muy similares a los vistos en clase. Los estudiantes tendrán que resolver 5 preguntas. Una de ellas relacionada con la elipse, otra con la parábola, otra con la hipérbola y otra estará relacionada con la circunferencia. En la última pregunta habrá dos ecuaciones reducidas y los estudiantes deberán justificar cuál es y deberán estudiar sus elementos. La aportación a la nota de la evaluación de esta prueba y de las actividades realizadas durante la Unidad Didáctica están detallada en la primera parte del trabajo en la sección de “Evaluación”. 82 Atención a la diversidad Con el estudiante que no quiere seguir con sus estudios de Bachillerato se va a actuar como se detalla en la primera parte del trabajo en el apartado “Atención a la diversidad”. Las medidas que se van a tomar con respecto al estudiante que tiene problemas visuales son: 1) Medidas propuestas por la ONCE y explicadas en la primera parte del trabajo. 2) Utilización de tizas de colores para explicar gráficamente los elementos de las cónicas. 3) El alumno se sentará en frente del ordenador durante la presentación de los proyectos finales de sus compañeros y durante la actividad de GeoGebra. Las imágenes se ven mejor en la pantalla del ordenador que en el proyector. 4) Antes de dar las sesiones de clase se proporcionará al alumno unas hojas en las que aparezcan los elementos de las cónicas en colores y esos colores van a ser los mismo que el docente va a usar en la pizarra. Por ejemplo, si en las hojas del estudiante el eje mayor de la elipse está en rojo y el eje menor en verde, el docente utilizará la tiza roja para dibujar en la pizarra el eje mayor y la tiza verde para dibujar el eje menor. Evaluación de la Unidad Didáctica y conclusiones Evaluación del proceso de enseñanza del docente y de la Unidad Didáctica Para llevar a cabo una buena evaluación de la práctica docente y de la Unidad Didáctica se tiene que utilizar los siguientes instrumentos: ❖ La evaluación del proceso de enseñanza por parte del estudiante. ❖ La evaluación del proceso de enseñanza por parte del docente, autoevaluación. ❖ Evaluación externa llevada a cabo por compañeros o por la Inspección Educativa. En esta Unidad Didáctica se trabaja con varias metodologías activas novedosas para el alumnado, es necesario, por lo tanto, evaluar no solo la práctica docente sino también la Unidad Didáctica. Se pretende, como objetivo principal, mejorar el funcionamiento de la práctica docente realizando una reflexión sobre lo aprendido y cómo se ha aprendido y sobre lo enseñado y cómo se ha enseñado. Al finalizar todas las sesiones del tema se va a pasar a los estudiantes un cuestionario en el que aparezcan preguntas relacionadas con la práctica docente durante las sesiones del tema. 83 Tabla 13 Evaluación Unidad Didáctica por el alumnado Evaluación de la Unidad Didáctica y la práctica docente. Alumnado ¿Te has sentido cómodo al trabajar esta Unidad Didáctica? Nada cómodo/Muy cómodo 0 1 2 3 4 5 ¿Tenías conocimientos previos de la Unidad Didáctica? Ninguno/Todos 0 1 2 3 4 5 ¿Cuánto crees que has aprendido? Nada/Mucho 0 1 2 3 4 5 ¿Te han gustado las actividades que has realizado durante la Unidad Didáctica? Nada/Mucho 0 1 2 3 4 5 Las actividades y la prueba te han resultado fáciles/difíciles 0 1 2 3 4 5 La corrección de los trabajos te ha parecido mala/muy buena 0 1 2 3 4 5 ¿Te ha ayudado trabajar en grupo? Nada/Mucho 0 1 2 3 4 5 ¿Qué es lo que más te ha gustado de la Unidad Didáctica? ¿Qué es lo que menos te ha gustado de la Unidad Didáctica? El docente también debe realizar una reflexión sobre su actuación en el aula y para ello se utilizará la siguiente ficha de autoevaluación. Tabla 14 Evaluación de la Unidad Didáctica pro el profesor Evaluación de la Unidad Didáctica y la práctica docente. Profesor Aspectos Valoración Propuestas Se ha establecido una relación entre los contenidos, objetivos, criterios de evaluación y actividades. La distribución temporal de la Unidad Didáctica ha sido la adecuada. Las actividades elegidas han ayudado a conseguir los objetivos. Se ha contemplado la evolución del proceso de aprendizaje de los estudiantes. Los estudiantes han aprendido de sus errores durante el proceso de evaluación. La práctica docente ha sido flexible y se ha adaptado a las características de los estudiantes. 84 Se han realizado actividades de atención a la diversidad de acuerdo con las necesidades de los estudiantes. Conclusiones Una vez realizada la evaluación del alumno y del proceso de enseñanza, el docente debe realizar una reflexión final con el objetivo de mejorar su práctica docente. Hay que tener en cuenta que lo que ha resultado útil en esta Unidad Didáctica puede que no funcione en otra, por lo tanto, el docente debe cambiar la metodología y la mecánica de las actividades en las sucesivas Unidades Didácticas. Para ello el docente puede acudir a páginas web como Web Of Science o Scopus en los que podrán encontrar investigaciones educativas y conocer diferentes tipos de metodologías para utilizar en sus sesiones de clase. 85 Conclusiones Los docentes tienen que conseguir que sus estudiantes al terminar el curso obtengan todos los objetivos propuestos. Para ello el profesorado debe utilizar diferentes metodologías y diferentes actividades, pues las actividades son la manera que tiene el docente de llevar a cabo las metodologías. El trabajo presenta distintas metodologías para utilizar durante un curso académico y se han elegido teniendo en cuenta los contenidos, criterios de evaluación, estándares de aprendizaje evaluables y los objetivos perseguidos. También se han tenido en cuenta las características de los estudiantes: nivel sociocultural, rendimiento académico en cursos anteriores, inquietudes… Hay que tener en cuenta que el apartado de “Metodología” es un apartado abierto, es decir, que podemos añadir o modificar metodologías a lo largo del curso académico por distintos motivos, por ejemplo, si cambian los intereses de los estudiantes, si la metodología no es atractiva para el alumnado, si se necesita reforzar algún contenido… Además, es conveniente que se utilicen metodologías y actividades diferentes en cada Unidad Didáctica porque uno de los principales objetivos que tiene el docente es mantener la motivación del alumno, si siempre usamos las mismas técnicas es probable que los estudiantes se cansen y pierdan interés. Lo conocido aburre y lo nuevo atrae. En el desarrollo de la Unidad Didáctica 9: Lugares geométricos. Cónicas se utilizan algunas de las metodologías previamente descritas en la Programación Didáctica. En la Unidad Didáctica relacionada con los lugares geométricos se ha escogido la técnica del rompecabezas en la hipérbola porque antes de hacer esta actividad se ha explicado la elipse y estas dos cónicas siguen un esquema muy similar. Por lo tanto, los estudiantes tienen que seguir los mismos pasos que siguió el docente durante la explicación de la elipse y modificarlos ligeramente. Además, durante esta unidad se presenta a los estudiantes las estrategias de aprendizaje con el fin de mejorar su estudio. Las actividades grupales que se realizan durante esta Unidad Didáctica son fundamentales para conseguir algunos de los objetivos de etapa y el desarrollo de la mayoría de las competencias clave. La fecha de entre de problemas se fija después de la prueba de evaluación para que los estudiantes puedan reforzar los contenidos antes del examen de evaluación. 86 Es necesario que se realice una evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje para poder sacar conclusiones significativas sobre las metodologías y actividades usadas en la Unidad Didáctica. El principal beneficio de la Programación Didáctica que se acaba de presentar es que permite a los estudiantes trabajar con metodologías activas en el aula y, con ellas, se pueden conseguir de una manera más eficaz los objetivos y competencias clave. 87 Anexos 94 Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la educación primaria, la educación secundaria obligatoria y el bachillerato. (2015). Orden EDU 363/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y León. (2015). Orden EDU/362/2015, de 4 de mayo, por la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo de la educación secundaria obligatoria en la Comunidad de Castilla y León. (2015). Pujolàs Maset, P. (2009). Aprendizaje cooperativo y educación inclusiva: una forma práctica de aprender juntos alumnos diferentes. Obtenido de Universidad de Vic: https://www.educacionyfp.gob.es/dam/jcr:f6f4805e-4e37-4e53-bfeacdd34361bde2/2009-ponencia-20-pere-pujolas-pdf.pdf Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. (2014). Recomendación del parlamento europeo y del consejo de 18 de diciembre de 2006 sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente. (2006).