Modelización para el control del rumbo de un buque

Modelización para el control del rumbo de un buque Trabajo Final de Grado Facultad de Náutica de Barcelona Universidad Politécnica de Cataluña Trabajo realizado por: Virginia Sánchez Romero Dirigido por: Sergio Romero Rosa María Fernández Grado en Sistemas y Tecnología Naval Barcelona, 8 de febrero de 2019 Departamento de ingeniería de Sistemas, Automática e Informática Industrial i Modelización para el control del rumbo de un buque ii Agradecimientos A Sergio Romero y a Rosa M. Fernández por su ayuda, tiempo e interés. A mi familia por el apoyo recibido durante la realización del trabajo. iii Modelización para el control del rumbo de un buque iv Resumen Este proyecto incluye el desarrollo matemático de un modelo de la dinámica de buques, la máquina del timón, la propulsión y las perturbaciones que genera el viento durante la navegación. Este modelo es de gran complejidad ya que comprende un gran número de ecuaciones y de variables. Se ha realizado una extensa búsqueda bibliográfica para recopilar toda la información referente a modelos matemáticos que describen el comportamiento dinámico de los buques a partir de las leyes dinámicas e hidrodinámicas, de la dinámica de propulsión de los buques y de las fuerzas producidas por las perturbaciones debidas al viento. El modelo se implementa en Simulink con el fin de analizarlo, y se llevan a cabo distintas simulaciones en distintas condiciones de operación. El comportamiento de las diferentes partes del modelo ha sido validado por separado permitiendo una mejor comprensión de cada uno de los elementos que componen el sistema de control. El modelo global ha permitido analizar y comparar diferentes tipos controladores. En concreto, se establecen unas especificaciones de comportamiento del sistema deseadas y se diseñan y presentan dos tipos de controladores diferentes: controlador de acción proporcional y controlador PID (proporcional, integral, derivativo). Este modelo facilita en gran medida la comprensión y evaluación del transcurso temporal de un gran número de variables del buque (ángulo de mando, rumbo, velocidad lateral del buque, velocidad de avance, fuerzas producidas por el propulsor, el timón y el viento, etc), contemplando la posibilidad de añadirlo como práctica obligatoria en las asignaturas de Control de los diferentes grados que se imparten en la Facultad de Náutica de Barcelona. v Abstract This final project covers the mathematical development of the ship’s dynamics, the engine, the rudder and the external disturbances due to the wind during the navigation. This model is very complex since it comprises a large number of equations and variables. An extensive bibliographic search has been carried out to collect all the information referring to mathematical models that describe the dynamic behavior of ships following dynamic and hydrodynamic laws, the propulsion dynamics and the forces produced by the disturbances due to the wind. The ship model is implemented in Simulink in order to analyze it, and some simulations in changing conditions are performed. The behavior of the different sections of the model has been validated separately allowing a better understanding of each of the model elements. The global model has allowed analyzing and comparing different control strategies. In particular, the desired system performance specifications are established and two different types of controller are designed: a proportional controller and a PID (proportional, integral, derivative) controller. This model greatly facilitates the understanding and assessment of the time course of a large number of ship variables (steering angle, course, sway, surge, forces produced by the propeller, the rudder and the wind, etc.). It is even contemplated the incorporation of this model as a practice in the control subjects of the degrees in the Facultad de Náutica de Barcelona. Modelización para el control del rumbo de un buque vi Tabla de contenidos AGRADECIMIENTOS .......................................................................................................................... II RESUMEN ............................................................................................................................................ IV ABSTRACT ........................................................................................................................................... V TABLA DE CONTENIDOS ........................................................................................................................... VI 1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 8 1.1. CONTEXTO DEL PROYECTO .............................................................................................................. 8 1.2. MOTIVACIÓN Y ALCANCE ............................................................................................................... 9 1.3. OBJETIVOS DEL PROYECTO .............................................................................................................. 9 1.4. BUQUE BAJO ESTUDIO ................................................................................................................... 9 1.5. ESTRUCTURA DE LA MEMORIA ....................................................................................................... 11 2. DESARROLLO MATEMÁTICO ..................................................................................................... 13 2.1. SISTEMA DE COORDENADAS .......................................................................................................... 13 2.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO....................................................................................................... 15 2.2.1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO RESPECTO A UN PUNTO FIJO ....................................................................... 15 2.2.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL BUQUE RESPECTO AL SISTEMA DE COORDENADAS MÓVIL ........................... 16 2.2.3. ECUACIONES DE DINÁMICA DEL BUQUE .................................................................................................. 24 2.2.4. DERIVADAS HIDRODINÁMICAS .............................................................................................................. 27 2.2.5. ECUACIONES DE GIRO ......................................................................................................................... 29 2.2.6. ECUACIONES DE PROPULSIÓN DEL BUQUE ............................................................................................... 30 2.3. PERTURBACIONES ...................................................................................................................... 32 2.3.1. VIENTO ............................................................................................................................................ 32 3. ANÁLISIS DEL SISTEMA EN ANILLO ABIERTO .............................................................................. 34 3.1. MÁQUINA DEL TIMÓN ................................................................................................................. 34 3.1.1. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN.......................................................................................................... 35 3.2. DINÁMICA DE GIRO .................................................................................................................... 37 3.2.1. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN.......................................................................................................... 38 3.2.2. SENSIBILIDAD A VARIACIONES EN LA ESLORA, CALADO, MANGA Y DESPLAZAMIENTO ....................................... 40 3.3. PROPULSIÓN ............................................................................................................................. 47 3.3.1. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN.......................................................................................................... 47 3.4. DINÁMICA DE PROPULSIÓN .......................................................................................................... 49 3.4.1. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN.......................................................................................................... 50 3.5. POSICIÓN DEL BUQUE .................................................................................................................. 51 3.5.1. ANÁLISIS DE LA PROPULSIÓN CARTESIANA DEL BUQUE SIN GIRO DEL TIMÓN .................................................. 51 vii 3.5.2. ANÁLISIS DE LA POSICIÓN CARTESIANA DEL BUQUE CON GIRO DEL TIMÓN .................................................... 53 3.6. PERTURBACIONES DEBIDAS AL VIENTO ............................................................................................. 54 3.6.1. ANÁLISIS DE LAS PERTURBACIONES DEBIDAS AL VIENTO SOBRE EL RUMBO, EL SWAY Y EL SURGE DEL BUQUE ....... 54 3.6.2. ANÁLISIS DE LAS PERTURBACIONES DEBIDAS AL VIENTO SOBRE LA POSICIÓN DEL BUQUE RESPECTO LA TIERRA .... 56 4. ANÁLISIS DEL SISTEMA EN ANILLO CERRADO ............................................................................. 58 4.1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................... 58 4.2. CONTROLADOR DE ACCIÓN PROPORCIONAL ...................................................................................... 59 4.2.1. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN CON UN CONTROLADOR PROPORCIONAL KP = 0,1 ..................................... 62 4.2.2. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN CON UN CONTROLADOR PROPORCIONAL KP = 1 ........................................ 64 4.3. CONTROLADOR PID .................................................................................................................... 66 4.3.1. DISEÑO DEL CONTROLADOR PID PARA EL MODELO .................................................................................. 67 4.3.2. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN CON UN CONTROLADOR PID SOBRE EL RUMBO, LA PALA DEL TIMÓN, EL SWAY Y EL SURGE ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…69 4.3.3. ÁNALISIS MEDIANTE SIMULACIÓN CON UN CONTROLADOR PID SOBRE LA POSICIÓN X E Y DEL BUQUE RESPECTO LA TIERRA…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….73 4.4. CÁLCULO DEL RUMBO DESEADO TRAVÉS DE WAYPOINTS ....................................................................... 75 4.4.1. ANÁLISIS MEDIANTE SIMULACIÓN ......................................................................................................... 76 5. CONCLUSIONES......................................................................................................................... 79 6. LIMITACIONES Y EXTENSIONES FUTURAS ................................................................................... 81 7. PRESUPUESTO .......................................................................................................................... 82 8. CRONOGRAMA ......................................................................................................................... 83 9. IMPACTO MEDIOAMBIENTAL .................................................................................................... 85 10. REFERENCIAS .......................................................................................................................... 86 APÉNDICES ...................................................................................................................................... 88 A. DATOS DEL BUQUE BAJO ESTUDIO ..................................................................................................... 88 B. TABLA DE CONVERSIONES DE LAS UNIDADES AL SISTEMA INTERNACIONAL ................................................... 89 C. CÓDIGO DEL ARCHIVO SCRIPT M-FILE DE MATLAB .................................................................................. 90 Modelización para el control del rumbo de un buque 14 El buque en el mar, sometido a todas las fuerzas actuantes (X, Y, Z), se mueve según seis grados de libertad 1 . Tres de traslación y tres de rotación. Movimientos de translación:  Movimiento vertical de ascenso y descenso: arfada (heave)  Movimiento de traslación lateral a una u otra banda (sway)  Movimiento de avance o retroceso (surge) Movimientos de rotación:  Movimiento según el eje vertical z: guiñada (yaw)  Movimiento según el eje transversal y: cabeceo (pitch)  Movimiento según el eje longitudinal x: escora. Si la rotación es oscilatoria: balanceo (roll) La dinámica de la maniobra y de seguimiento del rumbo de un barco puede ser descrita y analizada por las ecuaciones de movimiento de Newton. Las ecuaciones básicas en el plano horizontal se pueden considerar, en primer lugar, en referencia al sistema de coordenadas fijo en un punto de la tierra y, en segundo, en referencia al sistema de coordenadas solidario al buque. Generalmente, se considera que los movimientos más importantes de los buques se producen en el plano horizontal (x0, y0). De esta manera, tanto los movimientos de rotación respecto a los ejes x e y, es decir, el cabeceo y balanceo, como el desplazamiento en el eje z, la arfada, se desprecian. 1 Seis grados de libertad se refiere al movimiento en un espacio tridimensional, es decir, la capacidad de moverse hacia delante/detrás, arriba/abajo, babor/estribor, combinados con la rotación sobre tres ejes perpendiculares. Figura 2-2: Movimientos de translación de un buque y representación de sus velocidades lineales y aceleraciones (Christopher A., 1996) Modelización para el control del rumbo de un buque 15 Por tanto, el movimiento de un buque se puede describir con las siguientes variables:  𝑥𝑜(𝑡) e 𝑦0(𝑡) que describen la distancia que el buque ha recorrido respecto a un origen fijado en un tiempo 𝑡 determinado en las coordenadas inerciales.  𝛿 describe el ángulo del timón.  𝜓 describe el ángulo del vector de velocidad del buque respecto a un eje paralelo a x0, situado en el centro de gravedad de éste.  𝑢,𝑣,𝑤 representan las velocidades lineales del buque en las componentes x, y, z respectivamente.  𝑟=𝜓󰇗 es la velocidad angular de guiñada (yawing).  𝑢󰇗,𝑣,󰇗 𝑟󰇗 describen las aceleraciones lineales del buque en las componentes x, y, y en la componente de aceleración angular de guiñada. 2.2. Ecuaciones de movimiento En este apartado se presentan de forma abreviada las ecuaciones que rigen el movimiento de un buque. Se pueden estudiar con más profundidad en Principles of Naval Architecture, Volumen III (Edward V., 1989). 2.2.1. Ecuaciones de movimiento respecto a un punto fijo El movimiento de un barco en un instante de tiempo 𝑡=𝑡0 está íntegramente determinado por las coordenadas del centro de gravedad del buque en un instante de tiempo 𝑡0 respecto a un sistema de coordenadas fijo en un punto de la tierra (x0G, y0G) y por el ángulo de rumbo (en inglés, yaw 𝜓). Las ecuaciones de movimiento de Newton en referencia al sistema de coordenadas fijo en la tierra son: 𝑋𝑜=𝑚𝑥󰇘0𝐺 𝑌0=𝑚𝑦󰇘0𝐺 (2-1) 𝑁=𝐼𝑍𝜓󰇘 donde, 𝑥󰇘0𝐺,𝑦󰇘0𝐺 y 𝜓󰇘 representan las segundas derivadas de 𝑥0𝐺,𝑦0𝐺 y 𝜓 respecto al tiempo 𝑡. 𝑋𝑜 e 𝑌0 son las fuerzas totales en las direcciones x0 e y0 respectivamente. Modelización para el control del rumbo de un buque 16 𝑚 es la masa del buque. 𝑁 es el momento total sobre el eje z del buque. 𝐼𝑧 es el momento de inercia respecto al eje z. 2.2.2. Ecuaciones de movimiento del buque respecto al sistema de coordenadas móvil Para poder convertir las ecuaciones al cambiar de un sistema de coordenadas fijo a un sistema de coordenadas móvil, las fuerzas totales X e Y en las direcciones x e y se expresan mediante los términos X0 e Y0: 𝑋=𝑋0cos𝜓+𝑌𝑜sin𝜓 𝑌=𝑌𝑜cos𝜓−𝑋0sin𝜓 (2-2) Aislando 𝑋0 e 𝑌𝑜 del sistema anterior, se obtiene que: 𝑋𝑜=𝑋cos𝜓−𝑌sin𝜓 𝑌𝑜=𝑌cos𝜓+𝑌sin𝜓 (2-3) Derivando las dos últimas ecuaciones (Edward V., 1989), resulta: 𝑥󰇗0𝐺 =𝑢cos𝜓−𝑣sin𝜓 𝑦󰇗0𝐺 =𝑣cos𝜓+𝑢sin𝜓 (2-4) De las ecuaciones anteriores, se puede extraer que: 𝑥󰇘0𝐺 =𝑢󰇗𝑐𝑜𝑠𝜓−𝑣󰇗𝑠𝑖𝑛𝜓−(𝑢𝑠𝑖𝑛𝜓+𝑣𝑐𝑜𝑠𝜓) 𝑦󰇘0𝐺 =𝑢󰇗sin𝜓+𝑣󰇗cos𝜓+(𝑢cos𝜓−𝑣sin𝜓)𝜓󰇗 (2-5) Sustituyendo (2-5) en (2-1) e introduciendo los valores resultantes de X0 e Y0 en (2-2) resultan las siguientes ecuaciones: 𝑋=𝑚(𝑢󰇗−𝑣𝜓󰇗) 𝑌=𝑚(𝑣󰇗+𝑢𝜓) 󰇗 (2-6) Estas dos ecuaciones, junto con la tercera de las ecuaciones presentada en (2-1) comprenden las ecuaciones del movimiento del buque en el plano horizontal, considerando que son nulos los valores de balanceo (roll), cabeceo (pitch) y arfada (heave). Modelización para el control del rumbo de un buque 17 𝑋=𝑚(𝑢󰇗−𝑣𝜓󰇗) 𝑌=𝑚(𝑣󰇗−𝑢𝜓󰇗) (2-7) 𝑁=𝐼𝑍𝜓󰇘 Las ecuaciones que aparecen anteriormente (2-7) son válidas, siempre y cuando, el origen del sistema de coordenadas del buque coincida con su centro de gravedad, el cual debe estar en el plano principal de simetría. Sin embargo, en los buques ésta no puede ser una aproximación válida, ya que su centro de gravedad va cambiando en función de las condiciones de carga, por lo tanto, no tienen un centro de gravedad fijo. Por este motivo, la opción más útil y que permite no aplicar unas ecuaciones de movimiento complejas es escoger un sistema de coordenadas ortogonal paralelo a los ejes principales de inercia. Como se detalla en “Modelos Matemáticos para el Control de Gobierno de Buques” (Gonzalez, 2004) las ecuaciones de movimiento del barco en el plano horizontal se pueden expresar como: 𝑋=𝑚(𝑢󰇗−𝑣𝜓󰇗−𝑥𝐺𝜓󰇗2) 𝑌=𝑚(𝑣󰇗−𝑢𝜓󰇗−𝑥𝐺𝜓󰇘) (2-8) 𝑁=𝐼𝑍𝜓󰇘+𝑚𝑥𝐺(𝑢𝜓󰇗+𝑣󰇗) donde, 𝑥𝐺 hace referencia a la posición de la coordenada 𝑥 del centro de gravedad del buque. Para comprender algunas de las características de la controlabilidad de un buque, es necesario familiarizarse previamente con algunos aspectos relativos al concepto de estabilidad y al desarrollo y utilización de ecuaciones lineales de movimiento. Las ecuaciones (2-7) y (2-8) son no lineales y algunos de los componentes que las forman, dependen de las velocidades y aceleraciones del buque. En el caso más general, estas ecuaciones también incluyen términos dependientes de la orientación del buque relativa a los ejes fijados en un punto en la superficie de la tierra y, como se verá más adelante, términos de excitación que provienen del mar o del uso de la máquina del timón. Hasta el momento, se asume que estas ecuaciones están compuestas por fuerzas y momentos derivados de los movimientos del buque que, al mismo tiempo, se han influenciado por perturbaciones. De este modo, las ecuaciones (2-7) y (2-8) se pueden expresar como: 𝑋=𝐹𝑥(𝑢,𝑣,𝑢󰇗,𝑣󰇗,𝜓󰇗,𝜓󰇘) Modelización para el control del rumbo de un buque 18 𝑌=𝐹𝑦(𝑢,𝑣,𝑢󰇗,𝑣󰇗,𝜓󰇗,𝜓󰇘) (2-9) 𝑁=𝐹𝜓(𝑢,𝑣,𝑢󰇗,𝑣󰇗,𝜓󰇗,𝜓󰇘) Las expresiones funcionales mostradas en (2-9) se tienen que reducir a una forma matemática para poder obtener un índice numérico de la estabilidad del buque. Para ello, se puede aplicar el desarrollo en serie de Taylor para una función con múltiples variables. La expansión de Taylor de una función indica que si la función de la variable 𝑥, y todas sus derivadas son continuas a un valor particular de 𝑥, por ejemplo 𝑥1, entonces el valor de la función en un valor de 𝑥 no muy lejano a 𝑥1 se podrá expresar como: 𝑓(𝑥)=𝑓 (𝑥1)+ 𝛿𝑥 𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑥 |𝑥1+𝛿𝑥2 2! 𝜕2𝑓(𝑥) 𝜕𝑥2|𝑥1+𝛿𝑥3 3! 𝜕3𝑓(𝑥) 𝜕𝑥3|𝑥1+⋯+𝛿𝑥𝑛 𝑛! 𝜕𝑛𝑓(𝑥) 𝜕𝑥𝑛|𝑥1 (2-10.1) donde, 𝑓(𝑥) es el valor de la función en un punto 𝑥 cercano a 𝑥1. 𝑓 (𝑥1) es el valor de la función cuando 𝑥=𝑥1. 𝛿𝑥=𝑥−𝑥1 es la variable incremental. Si el cambio en la variable 𝛿𝑥 es lo suficientemente pequeño, los términos de derivadas de mayor orden de la ecuación (2-10.1) se pueden despreciar, por lo tanto, se obtiene una ecuación reducida a: 𝑓(𝑥)=𝑓 (𝑥1)+ 𝛿𝑥 𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑥 |𝑥1 (2-10.2) En el caso de dos funciones con dos variables 𝑥 e 𝑦, la ecuación se reduce a la suma de tres términos lineales: 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑓(𝑥1,𝑦1)+𝛿𝑥𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 |𝑥1,𝑦1+𝛿𝑦𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 |𝑥1,𝑦1 (2-10.3) donde, 𝛿𝑥=𝑥−𝑥1. 𝛿𝑦=𝑦−𝑦1. La utilización de este método de alineación es compatible con el estudio de la estabilidad del buque. De hecho, la estabilidad de un buque determina si una perturbación muy pequeña respecto a la posición de equilibrio inicial se incrementará o decrecerá a medida que pase el tiempo. Modelización para el control del rumbo de un buque 19 Por semejanza a la última ecuación presentada (2-10.3), se puede alinear la componente de fuerza Y: 𝒀=𝑭𝒚(𝒖𝟏,𝒗𝟏,𝒖󰇗𝟏,𝒗󰇗𝟏,𝝍󰇗𝟏,𝝍󰇘𝟏)+(𝒖−𝒖𝟏)𝝏𝒀 𝝏𝒖|𝒖𝟏,𝒗𝟏,𝒖󰇗𝟏,𝒗󰇗𝟏,𝝍󰇗𝟏,𝝍󰇘𝟏+⋯ …+(𝒗−𝒗𝟏)𝝏𝒀 𝝏𝒗|𝒖𝟏,𝒗𝟏,𝒖󰇗𝟏,𝒗󰇗𝟏,𝝍󰇗𝟏,𝝍󰇘𝟏+⋯+(𝝍󰇘−𝝍󰇘𝟏)𝝏𝒀 𝝏𝝍󰇘|𝒖𝟏,𝒗𝟏,𝒖󰇗𝟏,𝒗󰇗𝟏,𝝍󰇗𝟏,𝝍󰇘𝟏 (2-11) En este caso, el subíndice 1 representa los valores de las variables en la condición inicial de equilibrio y todas las derivadas parciales son evaluadas en la esa condición. Debido a que cuando se evalúa la estabilidad de un buque en condición inicial se entiende que éste avanza en línea recta y a velocidad constante, se determina que 𝑢󰇗1=𝑣󰇗1=𝜓󰇗1=𝜓󰇘1=0. Además, como la mayoría de los buques son simétricos sobre su eje longitudinal, cuando el buque se mueve en línea recta y con un ángulo de ataque 2 cero, es decir, no sufre perturbaciones debidas al viento, se puede asumir que 𝑣1 también se puede aproximar a cero. Debido a esta simetría, como un cambio en la velocidad o aceleración en línea recta no produciría fuerzas transversales en el buque con formas simétricas longitudinalmente, se anulan las componentes: 𝜕𝑌 𝜕𝑢=𝜕𝑌 𝜕𝑢󰇗 =0 ⁄⁄ y 𝜕𝑁 𝜕𝑢=𝜕𝑁 𝜕𝑢󰇗 =0 ⁄⁄ Por último, cuando un buque se encuentra en condición de equilibrio en línea recta no puede haber una fuerza Y actuando, por lo tanto, 𝐹𝑦(𝑢1,𝑣1,𝑢󰇗1,𝑣󰇗1,𝜓󰇗1,𝜓󰇘1) también se anula. La variable 𝑢1no tiene valor cero, pero es igual a la velocidad resultante en la condición de equilibrio. Con todas estas simplificaciones, la ecuación (2-11) se reduce a: 𝒀= 𝝏𝒀 𝝏𝒗𝒗+𝝏𝒀 𝝏𝒗󰇗𝒗󰇗+𝝏𝒀 𝝏𝝍󰇗𝝍󰇗+𝝏𝒀 𝝏𝝍󰇘𝝍󰇘 (2-12.1) De la misma forma, la fuerza X y el momento N resultan: 𝑋=𝜕𝑋 𝜕𝑢󰇗𝑢󰇗+𝜕𝑋 𝜕𝑢𝛿𝑢+𝛿𝑋 𝜕𝑣𝑣+𝜕𝑋 𝜕𝑣󰇗𝑣󰇗+𝜕𝑋 𝜕𝜓󰇗𝜓󰇗+𝜕𝑋 𝜕𝜓󰇘𝜓󰇘 (2-12.2) 2 El ángulo de ataque es el ángulo entre la línea de la cuerda de un perfil aerodinámico y el vector que representa el movimiento relativo de dicho perfil y el aire (en sentido contrario) a través del cual se está moviendo. Modelización para el control del rumbo de un buque 20 𝑁=𝛿𝑁 𝜕𝑣𝑣+𝜕𝑁 𝜕𝑣󰇗𝑣󰇗+𝜕𝑁 𝜕𝜓󰇗𝜓󰇗+𝜕𝑁 𝜕𝜓󰇘𝜓󰇘 (2-12.3) De nuevo, gracias a la simetría del buque en el plano longitudinal se obtiene que 𝜕𝑋 𝜕𝑣 ⁄= 𝜕𝑋 𝜕𝑣󰇗=𝜕𝑋 𝜕𝜓󰇗=𝜕𝑋 𝜕𝜓󰇘=0⁄⁄⁄ , por lo que la ecuación (2-12.2) se reduce a: 𝑋=𝜕𝑋 𝜕𝑢󰇗𝑢󰇗+𝜕𝑋 𝜕𝑢(𝑢−𝑢1) (2-12.4) Debido a que la proa y la popa muestran formas distintas, es decir, no hay simetría en el plano yz, las derivadas cruzadas 𝑌𝑟, 𝑌𝑟󰇗, 𝑁𝑣 y 𝑁𝑣󰇗 tienen valores distintos de cero. Se empleará la notación de la Society Of Naval Architects and Marine Engineers (SNAME) para expresar las derivadas hidrodinámicas. X𝑢=𝜕𝑋 𝜕𝑢 X𝑢󰇗=𝜕𝑋 𝜕𝑢󰇗 Y𝑣=𝜕𝑌 𝜕𝑣 Y𝑣󰇗=𝜕𝑌 𝜕𝑣󰇗 Y𝑟=𝜕𝑌 𝜕𝑟 Y𝛿=𝜕𝑌 𝜕𝛿 N𝑣=𝜕𝑁 𝜕𝑣 N𝑣󰇗=𝜕𝑁 𝜕𝑣󰇗 N𝑟=𝜕𝑁 𝜕𝑟 I𝑧=𝜕𝐼 𝜕𝑧 N𝑟󰇗=𝜕𝑁 𝜕𝑟󰇗 N𝛿=𝜕𝑁 𝜕𝛿 Además, debido a la restricción de movimientos en el plano horizontal se observa que 𝜓󰇗≡𝑟 y 𝜓󰇘≡ 𝑟󰇗. Utilizando la notación mencionada anteriormente y sustituyendo el grupo de ecuaciones (2-12) en el grupo de ecuaciones (2-8) resulta que respecto al sistema de coordenadas solidario con el buque, las ecuaciones de movimiento de éste en el plano horizontal son las siguientes: Ecuaciones de la velocidad: 𝑚(𝑢󰇗 −𝑣𝜓󰇗−𝑥𝐺𝜓󰇗2)=𝑋𝑢󰇗𝑢󰇗+𝑋𝑢(𝑢−𝑢1) (2-13) Ecuaciones de gobierno: 𝑚(𝑣󰇗+𝑢𝜓󰇗+𝑥𝐺𝜓󰇘)=𝑌𝑣𝑣+𝑌𝑣󰇗𝑣󰇗+𝑌𝑟𝑟+𝑌𝑟󰇗𝑟󰇗 (2-14) 𝐼𝑍𝜓󰇘+𝑚𝑥𝐺(𝑢𝜓󰇗+𝑣󰇗)=𝑁𝑣𝑣+𝑁𝑣󰇗𝑣󰇗+𝑁𝑟𝑟+𝑁𝑟󰇗𝑟󰇗 (2-15) Como se detalla en (Thor I., 1995), se considera que la velocidad de desplazamiento lateral 𝒗, el ángulo del timón 𝜹 y la velocidad angular de guiñada 𝒓 presentan valores muy pequeños en un escenario de movimientos en el plano horizontal con pequeñas perturbaciones. Además, en (S. & Franz S., 2003) también, se indica que debido a que la aceleración de una partícula en un fluido guarda una Modelización para el control del rumbo de un buque 21 relación lineal con la presión o la fuerza, no se consideran los términos de aceleración no lineales y se puede despreciar la componente 𝑚𝑥𝐺𝜓󰇗2. De este modo, se puede independizar la ecuación (2-13) de las ecuaciones (2-14) y (2-15). La primera ecuación es la que relaciona el impulso del propulsor con la velocidad del buque y, aunque esta relación no es lineal, en el estudio del gobierno del buque por modelos lineales se supone que su velocidad se mantiene constante y únicamente se consideran las ecuaciones de gobierno. De manera similar, se asume que las velocidades nominales 𝑣1 y 𝑟1 son cero. En consecuencia: 𝑢=𝑢1+∆𝑢 𝑣=∆𝑣 𝑟=∆𝑟 𝑋=𝑋1+∆𝑋 𝑌=∆𝑌 𝑁=∆𝑋 (2-16) donde, ∆𝑢,∆𝑣 y ∆𝑟 son pequeñas perturbaciones respecto a los valores nominales de 𝑢1,𝑣1 y 𝑟1. ∆𝑋,∆𝑌 y ∆𝑁 son pequeñas perturbaciones respecto a los valores nominales de 𝑋1,𝑌1 y 𝑁1. Finalmente, las ecuaciones no lineales de movimiento se pueden expresar como: 𝑚∆𝑢󰇗 =𝑋1+∆𝑋 𝒎(∆𝒗󰇗+𝒖𝟏∆𝒓+𝒙𝑮∆𝒓󰇗)=∆𝒀 (2-17) 𝐼𝑧∆𝑟󰇗+𝑚𝑥𝐺(∆𝑣󰇗+𝑢1∆𝑟)=∆𝑁 Obteniendo: a) −X𝑢(𝑢−𝑢1)+(𝑚−𝑋𝑢󰇗)𝑢󰇗 =0 b) −𝑌𝑣𝑣+(𝑚−𝑌𝑣󰇗)𝑣󰇗−(𝑌𝑟−𝑚𝑢1)𝑟−(𝑌𝑟󰇗−𝑚𝑥𝐺)𝑟󰇗=0 (2-18) c) −𝑁𝑣𝑣−(𝑁𝑣󰇗−𝑚𝑥𝐺)𝑣󰇗−(𝑁𝑟−𝑚𝑥𝐺𝑢1)𝑟+(𝐼𝑧−𝑁𝑟󰇗)𝑟󰇗=0 donde, 𝑋 es la fuerza exterior total ejercida en la dirección x del buque. 𝑌 es la fuerza exterior total ejercida en la dirección y del buque. Modelización para el control del rumbo de un buque 22 𝑁 es el momento total sobre el eje z del buque. 𝐼𝑧 es el momento de inercia respecte al eje z. 𝑚 es la masa del buque. 𝑥𝐺 es la distancia desde la línea de flotación hasta el centro de gravedad del buque 𝑟=𝜓󰇗 es la velocidad angular de yawing. En el grupo de ecuaciones (2-18), las ecuaciones a) y b) tienen unidades de fuerza, mientras que la ecuación c) tiene unidades de momento. Por este motivo, es conveniente eliminar las unidades de las ecuaciones mediante una substitución adecuada de variables, a este proceso se le llama adimensionalización (Edward V., 1989). En él, las ecuaciones de fuerza se dividen por (𝜌 2 ⁄)𝐿2𝑈2 3 y las ecuaciones de momentos por (𝜌 2 ⁄)𝐿3𝑈2 donde, 𝜌 es la densidad del agua de mar. 𝐿 es la longitud del buque, es decir, la eslora (LOA) 𝑈 es la velocidad operativa del buque. Aplicando el proceso mencionado anteriormente, las variables adimensionalizadas quedan de la siguiente forma: a) 𝑚′= 𝑚 𝜌2 ⁄ 𝐿2 b) 𝑣′= 𝑣 𝑈 c) 𝑣󰇗′=𝑣󰇗𝐿 𝑈2 d) 𝐼′𝑧= 𝑚 𝜌2 ⁄ 𝐿5 e) 𝑟′=𝑟𝐿 𝑈 f) 𝑟󰇗′=𝑟󰇗𝐿2 𝑈2 g) 𝑌′𝑣= 𝑌𝑣 𝜌2 ⁄𝐿5𝑈2 h) 𝑌𝑟′=𝑌𝑟 𝜌2 ⁄𝐿3𝑈 i) 𝑌𝑣󰇗′=𝑌𝑣󰇗 𝜌2 ⁄𝐿3𝑈 j) 𝑌𝑟󰇗′=𝑌𝑟󰇗 𝜌2 ⁄𝐿4𝑈 3 En el capítulo V del Principles of Naval Architecture. Volume III, , la representación de la variable que hace referencia a la velocidad del buque es V, pero en este proyecto a esta variable la representaremos con la letra U. Modelización para el control del rumbo de un buque 23 k) 𝑁𝑣′=𝑁𝑣 𝜌2 ⁄𝐿3𝑈 l) 𝑁𝑟′=𝑁𝑟 𝜌2 ⁄𝐿4𝑈 m) 𝑁𝑣󰇗′=𝑁𝑣󰇗 𝜌2 ⁄𝐿4𝑈 n) 𝑁𝑟󰇗′=𝑁𝑟󰇗 𝜌2 ⁄𝐿5 (2-19) A partir de esta adimensionalización y despreciando la componente X, ya que 𝑢1 𝑈≈1 y que la velocidad en condición de equilibrio es constante, como se ha mencionado anteriormente, las ecuaciones (2-18) resultan: −𝒀𝒗 ′𝒗′+(𝒎′−𝒀𝒗󰇗 ′)𝒗󰇗′−(𝒀𝒓 ′−𝒎′)𝒓′−(𝒀𝒓󰇗 ′−𝒎′𝒙𝑮′)𝒓󰇗′=𝟎 (2-20) −𝑁𝑣′𝑣′−(𝑁𝑣󰇗′−𝑚′𝑥𝐺′)𝑣󰇗′−(𝑁𝑟′−𝑚′𝑥𝐺′)𝑟′+(𝐼𝑧 ′−𝑁𝑟󰇗′)𝑟󰇗′=0 Si se comparan estas últimas ecuaciones con las (2-18), se puede observar que se diferencian porque la variable 𝑢1 desaparece debido a que 𝑢1 𝑈≈1 en un escenario donde las perturbaciones son pequeñas. No obstante, otra diferencia es la notación de las variables con el índice “prima” (‘). Las ecuaciones (2-20) son válidas siempre que el ángulo del timón se mantenga a cero grados en la línea central del buque. En el caso que se quieran describir movimientos del buque con los controles de funcionamiento, las ecuaciones (2-18) y (2-20) deben incluir términos que expresen las fuerzas de control y los momentos creados por el ángulo de deflexión del timón como funciones que dependan del tiempo. La componente y, alineada, de la fuerza creada por la deflexión del timón actuando en el centro de gravedad del buque es 𝑌𝛿𝛿 y la componente alineada del momento creado para la deflexión del timón sobre el eje z del buque es 𝑁𝛿𝛿. En un escenario con pequeñas perturbaciones, únicamente son admisibles pequeñas variaciones del ángulo de deflexión del timón, por lo tanto, las derivadas 𝑌𝑣′,𝑁𝑣′,𝑌𝑟′ 𝑖 𝑁𝑟′ se evalúan para 𝛿=0 y se asumen invariables para otros valores admisibles de 𝛿. Con el supuesto que para la mayoría de los buques 𝑌𝑟󰇗′≈0 y 𝑁𝑣󰇗′≈0, incluyendo el efecto de los momentos y la fuerza del timón, en las ecuaciones (2-20) resultan (Edward V., 1989): 𝑚𝑦 ′𝑣󰇗′−𝑌𝑣′𝑣′−(𝑌𝑟′−𝑚′)𝑟′−(𝑌𝑟󰇗′−𝑚′𝑥𝐺′) 𝑟󰇗′=𝑌𝛿′𝛿 𝑛𝑧 ′𝑟󰇗′−𝑁𝑣 ′𝑣′−(𝑁𝑟′−𝑚′𝑥𝐺′)𝑟′−(𝑁𝑣󰇗′−𝑚′𝑥𝐺′)𝑣󰇗′=𝑁𝛿 ′𝛿 (2-21) Modelización para el control del rumbo de un buque 30 𝛿󰇗𝑚 es la velocidad máxima del timón. 𝛿𝑒𝑚𝑎𝑥 es el error máximo de entrada Convirtiendo la ecuación anterior al modelo adimensional, se obtiene: 𝑲𝒈 ′=𝑲𝒈𝑳 𝑼 (2-36) 2.2.6. Ecuaciones de propulsión del buque La dinámica de propulsión de un buque es un sistema complejo y no lineal con múltiples retroalimentaciones internas. El comportamiento del buque depende de las capacidades y las limitaciones de la planta del propulsor. Por simplicidad, se puede describir el movimiento de un buque con propulsión a lo largo de su eje longitudinal utilizando las siguientes ecuaciones basadas en motores de turbinas de gas, como se presenta en las referencias (Karlsen, 2012) y (Van, 2012): a) (𝑚𝑠+𝑚𝑎)𝑉󰇗=𝑇𝑝−𝑅𝑠 b) 𝑁󰇗= 1 2𝜋𝐼(𝑄𝑡−𝑄𝑓−𝑄𝑝) (2-37) donde, 𝑉 es la velocidad del buque en pies (feet) por segundo. 𝑁 es la velocidad de giro del propulsor de las hélices en rotaciones por segundo. 𝑚𝑠 es la masa del buque en libras. 𝑚𝑎 es la masa añadida debida a la fuerza hidrodinámica de la aceleración del buque en el agua. Se aproxima al 25% de la masa del buque 𝑡𝑑 coeficiente de deducción del impulso 𝑇𝑝 es el empuje de las hélices en libras de fuerza (lbf) 𝑅𝑠 es la resistencia del buque en lbf I es el momento de inercia del conjunto de transmisión en referencia al propulsor de las hélices. 𝑄𝑡 es el par motor disponible en el propulsor de las hélices en feet lbf 𝑄𝑓 son las pérdidas del par de fricción en feet lbf 𝑄𝑝 son las pérdidas del par motor del propulsor en feet lbf Modelización para el control del rumbo de un buque 31 Impulso o fuerza de propulsión de las hélices El impulso es una medida de la fuerza que realizan las hélices del buque en la dirección del eje. Matemáticamente, tal y como se muestra en la referencia (Karlsen, 2012), se pueden expresar como: 𝑇𝑝= 𝑘𝑇𝜌𝐷𝑝 4𝑁𝑝 2 (2-38) donde, 𝑘𝑇 es el coeficiente de impulso y depende del diseño concreto del propulsor aplicado entre otras variables. 𝜌 es la densidad del agua de mar en slug por pies cúbicos. D es el diámetro de la hélice en feet. Momento de inercia del conjunto de transmisión El momento de inercia incluye las contribuciones de todos los componentes del conjunto de transmisión referidos al eje de la hélice o árbol de transmisión del buque. Para el modelo bajo estudio, el momento de inercia se aproxima a este valor: 𝐼=2𝑥105 𝑙𝑏𝑓𝑡2 (2-39) Par motor El par motor disponible en el eje de las hélices proporcionado en la documentación del buque (D., 1993) incluye el efecto de reducción de los engranajes en el tren de potencia. Es una medida de la fuerza de torsión aplicada al eje de transmisión. Pérdidas del par de torsión por fricción La fricción a lo largo del conjunto de transmisión de un buque se puede modelar como pérdidas en el par motor generador por producir impulso. En la referencia (Christopher A., 1996), se observa que las pérdidas del par de torsión por fricción se pueden aproximar a: 𝑄𝑓= 6000𝑁𝑝 (2-40) Modelización para el control del rumbo de un buque 32 Par motor de las hélices El par motor necesario para hacer rotar las hélices bajo condiciones diversas se mide, normalmente, en pruebas realizadas en mar abierto. Para el buque bajo estudio, éste se puede calcular aplicando la siguiente fórmula: 𝑄𝑝= 𝐾𝑄 𝜌𝐷𝑝 5𝑁𝑝 2 (2-41) donde 𝐾𝑄 es el coeficiente del par motor para el casco del buque objeto del estudio. 2.3. Perturbaciones Se añade al modelo perturbaciones provocadas por el viento con el objetivo de evaluar el comportamiento del sistema buque bajo diversas condiciones. 2.3.1. Viento Para desarrollar el efecto del viento sobre el buque, se diseña un modelo similar al que se desarrolla en el modelo de (W.J., 1989). Cuando el viento incide en una embarcación, no se debe tener únicamente en cuenta la velocidad 𝑉𝑊 con la que lo hace, sino que también, se debe tener considerar su dirección 𝜓𝑤, es decir, el ángulo de incisión que crea con los ejes de coordenadas fijos sobre la superficie del buque y el valor de su rumbo 𝜓𝑆𝐻𝐼𝑃 en ese momento. Por este motivo, a la hora de saber cómo el viento afecta sobre un barco es necesario descomponer su velocidad. El valor de los vectores 𝑢𝑤 y 𝑣𝑤 pueden obtenerse de la siguiente manera: Figura 2-3: Descomposición de la velocidad del viento sobre el buque Modelización para el control del rumbo de un buque 33 𝑢𝑊 = 𝑉𝑤cos(𝜓𝑤−𝜓𝑆𝐻𝐼𝑃) 𝑣𝑊 = 𝑉𝑤sin(𝜓𝑤−𝜓𝑆𝐻𝐼𝑃) (2-42) La descomposición de la velocidad real del viento afecta al movimiento del buque, es decir, las fuerzas y momentos que presenta el buque para unas condiciones de navegación pueden variar si el viento cambia dichas condiciones. Las fuerzas adimensionalizadas que genera el viento en los ejes X e Y del buque, así como el momento N, también adimensionalizado, se describen como: 𝑋′𝑤=(𝑢𝑊 )2𝐶𝑊𝑋 𝑌′𝑤=(𝑣𝑊 )2𝐶𝑊𝑌 𝑁′𝑤= 𝑉𝑤sin(2(𝜓𝑤−𝜓𝑆𝐻𝐼𝑃))𝐶𝑊𝑁 (2-43) donde, 𝑋′𝑤 representa la fuerza del viento en la dirección x. 𝑌′𝑤 representa la fuerza del viento en la dirección y. 𝑁′𝑤 representa el momento del viento sobre el eje z. 𝐶𝑤𝑥 es el coeficiente del viento en la dirección x. 𝐶𝑤𝑦 es el coeficiente del viento en la dirección y. 𝐶𝑤𝑛 es el momento del viento en la dirección N. Los coeficientes para cada componente del efecto del viento se calculan de la siguiente manera: 𝐶𝑤𝑥 =𝜌𝑎𝐴𝑓 7000𝜌𝑤𝐿𝐵𝑃2 𝐶𝑤𝑦 =𝜌𝑎𝐴𝑠 8000𝜌𝑤𝐿𝐵𝑃2 𝐶𝑤𝑛 =𝜌𝑎𝐴𝑠𝐿𝑂𝐴 𝜌𝑤𝐿𝐵𝑃3 (2-44) donde, 𝜌𝑎 representa a la densidad de masa del aire. 𝜌𝑤 representa a la densidad de masa del viento. 𝐴𝑓 es el área frontal del buque 𝐴𝑠 es el área lateral del buque, se estima que es diez veces mayor que el área frontal. 𝐿𝑂𝐴 (Length Over All) es la eslora del buque. 𝐿𝐵𝑃 (Length Between Perpendiculars) es la eslora entre perpendiculares en la línea de flotación. Modelización para el control del rumbo de un buque 34 3. Análisis del sistema en anillo abierto En este capítulo se describe la implementación en Matlab/Simulink (R2018b) de los diferentes bloques que forman el sistema y su correspondiente análisis en anillo abierto. Se presentan las pruebas individuales en las que se valida el correcto funcionamiento del modelo Simulink diseñado y aplicado al buque bajo estudio. Los datos más significativos del modelo del buque que se han utilizado en las simulaciones se presentan en el apéndice A. Los cálculos realizados para la generación de todos los modelos se encuentran en el apéndice C, en un archivo script m-file de Matlab. Dentro de cada apartado se especifica cuáles son las unidades de los valores de entrada y de salida, ya que los cálculos se realizan internamente utilizando las unidades imperiales. 3.1. Máquina del timón Como se mencionaba en el capítulo anterior, para el diseño de la planta del timón se aplicará el modelo de bajo orden que se ha presentado en el apartado 2.2.5. Inicialmente, la entrada de ángulo demando se introduce a una función de transferencia de primer orden con ganancia y constante de tiempo iguales a Kgpri. Un bloque de saturación delimita el ángulo de deflexión del timón entre -30 y 30 grados. A continuación, aparece el bloque de limitación de la derivada angular que limita la deflexión del timón entre -7 y 7 grados por segundo, dependiendo del valor de la salida del bloque de saturación. La salida de este subsistema, representada con un bloque de salida es el ángulo de deflexión del timón 𝛿. Sin embargo, como el subsistema trabaja en radianes se realizan las conversiones oportunas para pasar de grados a radianes:  −30°≤𝛿𝑒𝑚𝑎𝑥 ≤30° = −𝜋 6 𝑟𝑎𝑑≤𝛿𝑒𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑  −7°/𝑠𝑒𝑔≤𝛿󰇗𝑒𝑚𝑎𝑥 ≤7°/𝑠𝑒𝑔 = −7𝜋 180𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔≤𝛿󰇗𝑒𝑚𝑎𝑥 ≤7𝜋 180𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 Modelización para el control del rumbo de un buque 35 3.1.1. Análisis mediante simulación En este apartado se analizan las diferentes simulaciones que muestran el comportamiento de la máquina del timón en función del ángulo de mando. Figura 3-2: Modelo Simulink de la máquina del timón Se utilizan dos módulos escalón, uno para introducir los diferentes valores de entrada del ángulo de mando y determinar a partir de qué instantes deben actuar. El segundo se utiliza para introducir los valores necesarios para que la pala del timón vuelva a su posición inicial e indicar cuándo debe hacerlo. El valor del ángulo de mando se introduce en grados, pero como se observa en la figura, se añade una ganancia (arad) que lo convierte a radianes. También, se añade otra ganancia a la salida del bloque que convierte los radianes en grados para facilitar la visualización de los resultados en unidades del sistema internacional. A continuación, se muestra el comportamiento de la pala del timón para diferentes valores del ángulo de mando, cuando se le especifica a ésta que empiece su movimiento en t = 20 s y que, una vez ejecutado dicho movimiento, la pala no vuelva a su posición inicial, sino que mantenga la que ha Figura 3-1: Modelo Simulink de la máquina del timón Modelización para el control del rumbo de un buque 36 010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (segundos) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Ángulo de la pala del timón (grados) Ángulo de mando 50º Reacción de la pala del timón Ángulo de mando -50º Reacción de la pala del timón adquirido. De esta manera, en la Figura 3-3, se observa cómo la pala del timón se mantiene inmóvil durante los primeros 20 segundos y, a partir de este valor, se va moviendo hasta que alcanza el ángulo deseado. Figura 3-3: Respuesta de la pala del timón manteniendo posición Tal y como se ha mencionado anteriormente, el subsistema cuenta con un bloque de saturación que limita al ángulo de mando entre -30 y 30 grados. A continuación, se muestra una gráfica que representa la respuesta de la pala del timón cuando el ángulo de mando es de 50 grados: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (segundos) -30 -20 -10 0 10 20 30 Ángulo de la pala del timón (grados) Ángulo de mando 10º Ángulo de mando 20º Ángulo de mando 10º Ángulo de mando -10º Ángulo de mando -20º Ángulo de mando -30º Figura 3-4: Pala del timón limitada Modelización para el control del rumbo de un buque 37 Por otro lado, a la pala del timón se le puede ordenar que alcance un ángulo determinado de rumbo durante un período de tiempo y que posteriormente, vuelva a su posición inicial, tal y como puede apreciarse en la Figura 3-5: 3.2. Dinámica de giro Para el modelado de la dinámica del buque mediante un espacio de estados, se utilizan las matrices de estado descritas en el apartado 2.2.3, donde: la ganancia Apri representa la matriz resultante de [M]-1[H]. la ganancia Bpri representa la matriz resultante de [M]-1[R]. la ganancia Cpri es la matriz [C] definida en el capítulo anterior. 010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiempo (segundos) -30 -20 -10 0 10 20 30 Ángulo de la pala del timón (grados) Ángulo de mando 10º Ángulo de mando 20º Ángulo de mando 30º Ángulo de mando -10º Ángulo de mando -20º Ángulo de mando -30º Figura 3-5: Reacción de la pala del timón volviendo a su posición inicial Modelización para el control del rumbo de un buque 38 Como se observa en la Figura 3-6, al vector salida se le denomina y(t). Este vector contiene las variables adimensionales de v y r, por lo tanto, se introducen dos factores de ganancia para obtener los valores de las variables con unidades, como se presenta en las expresiones (2-19): 𝑣′= 𝑣 𝑈 𝑟′=𝑟𝐿 𝑈 Como 𝑟=𝜓󰇗, se introduce un integrador para poder obtener el ángulo de rumbo (expresado como PSI en la Figura 3-6). Se puede observar que, a este modelo, también, se le introducen el efecto de las fuerzas debidas a las perturbaciones en las componentes Y/N. El efecto que genera esta entrada en el subsistema se tratará más adelante. 3.2.1. Análisis mediante simulación Para validar el correcto funcionamiento de la dinámica de giro, se tienen en cuenta dos bloques:  Máquina del timón: se introduce como entrada el ángulo de mando y se obtiene como salida el ángulo de deflexión del timón.  Dinámica de giro: a partir de la salida del bloque anterior, se determinan la velocidad lateral (sway) y el ángulo de rumbo del buque. En este caso, el procedimiento consiste en introducir diferentes valores de ángulo de mando en el primer y segundo módulo escalón, como se ha explicado en el punto anterior. A continuación, la salida del bloque de la máquina del timón se introduce en el bloque de la dinámica de giro y, de esta manera, se obtienen la velocidad lateral del buque (sway) y su rumbo, convertidas a unidades del sistema internacional, para los diferentes valores del ángulo de mando. Figura 3-6: Modelo Simulink de la dinámica de giro Modelización para el control del rumbo de un buque 39 En los bloques de entrada escalón, se determina el instante de inicio del movimiento de la pala del timón y durante cuánto tiempo debe mantenerse en esta posición. La Figura 3-8 muestra a título de ejemplo los resultados obtenidos para la evolución en el transcurso del tiempo del rumbo y de la velocidad lateral del buque, con las siguientes condiciones en la entrada: - Inicio del movimiento en t = 20 s. - Fin del movimiento en t = 80 s. Figura 3-7: Modelo Simulink de la validación de la dinámica de giro 020 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tiempo (segundos) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Rumbo del buque en función del ángulo de mando (grados) Ángulo de mando 10º Ángulo de mando 20º Ángulo de mando 30º Ángulo de mando -10º Ángulo de mando -20º Ángulo de mando -30º Figura 3-8: Rumbo del buque en función del ángulo de mando Modelización para el control del rumbo de un buque 46 Figura 3-16: Variación del rumbo en función del desplazamiento 50 60 70 80 90 100 Porcentaje variación desplazamiento 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 Variación sway en función del desplazamiento (m/s) Figura 3-17: Variación del sway en función del desplazamiento 50 60 70 80 90 100 Porcentaje variación desplazamiento 9 9.5 10 10.5 11 11.5 Variación rumbo en función del desplazamiento (grados) Modelización para el control del rumbo de un buque 47 3.3. Propulsión El modelo del propulsor está diseñado para generar el impulso necesario para mover al buque. La entrada a este sistema es la velocidad deseada en nudos 𝑈 y la salida es el impulso del propulsor 𝑇𝑝. A continuación, se realiza el cálculo de los parámetros 𝑘𝑇,𝑘𝑄 y 𝑄𝑡 en función de la velocidad deseada y, posteriormente, la aceleración del eje como se ha definido previamente, en el apartado 2.2.6. Se aplica un integrador para generar las rotaciones por segundo del propulsor, las cuales se convertirán en valores del impulso. Como se ha mencionado anteriormente, los parámetros de la propulsión 𝑘𝑇,𝑘𝑄 y 𝑄𝑡 varían en función de la velocidad deseada. Se ha realizado una regresión lineal por mínimos cuadrados para aproximar el comportamiento de cada uno de estos parámetros en función de la velocidad deseada U. 𝑘𝑇=0.0011𝑈+0.1699 𝑘𝑄=0.0002𝑈+0.0389 𝑄𝑡=35599𝑈−281846 (3-1) Estas ecuaciones lineales se introducen en el primer bloque que se observa en la Figura 3-18. 𝐾1= 𝐾𝑇(𝑈)𝜌𝐷4 𝐾4= 𝐾𝑄(𝑈)𝜌𝐷5 3.3.1. Análisis mediante simulación Para validar el correcto funcionamiento del propulsor diseñado se introduce como entrada al sistema una constante con el valor de la velocidad del buque (en nudos) que se desea alcanzar, y, se observa la generación de las diferentes fuerzas de impulso 𝑇𝑝. Figura 3-18: Modelo Simulink de la propulsión del buque Modelización para el control del rumbo de un buque 48 Figura 3-19: Modelo Simulink de la propulsión del buque La Figura 3-19 muestra el modelo Simulink del bloque de propulsión del buque. En esta etapa, la salida corresponde al empuje o impulso de la hélice 𝑇𝑝, cuyas unidades (lbf) son convertidas a unidades del Sistema Internacional (Newton): 1 𝑙𝑏𝑓=4,448222 𝑁 Se realizan simulaciones para tres valores diferentes de velocidad deseada, más concretamente para 14 𝑘𝑛=7,203𝑚 𝑠 20 𝑘𝑛=11,410𝑚 𝑠 26 𝑘𝑛=13,374𝑚 𝑠 Los valores del impulso del buque que se obtienen tras realizar las simulaciones mencionadas anteriormente, se muestran en la Figura 3-20. En la gráfica se muestra la evolución del impulso del buque en el transcurso del tiempo. Se observa que el buque adquiere un valor de impulso constante (el necesario para la velocidad deseada introducida) para 0 < t < 10 s. Figura 3-20: Impulso de la hélice en función de las diferentes velocidades de avance 010 20 30 40 50 60 70 Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Impulso (Newtons) 105 Tp = 273800 N Tp = 549000 N Tp = 827600 N Modelización para el control del rumbo de un buque 49 3.4. Dinámica de propulsión Tal y como se presenta en la ecuación a)(2-37), la velocidad longitudinal del buque se puede extraer para un determinado impulso de entrada, teniendo en cuenta la resistencia total al avance 𝑅𝑆 que presenta el buque y la masa de éste. El parámetro K2 hace referencia a la resistencia al avance debida a la forma del casco del buque. Generalmente, se calcula durante la prueba de los modelos a escala en un taque de olas. En este caso, la resistencia se estima en función de la velocidad de avance. De forma análoga al cálculo de otros parámetros de la propulsión 𝑘𝑇,𝑘𝑄 y 𝑄𝑡, se ha realizado una regresión lineal por mínimos cuadrados para aproximar el comportamiento de los parámetros K2 y K6 en función de la velocidad deseada U. Dichos parámetros aparecen como salida del bloque verde que aparece en la Figura 3-21, el cual tiene como entrada la velocidad de avance deseada del bloque de la dinámica de propulsión. 𝐾2= 2,039·10−4𝑈+0,01100 𝐾6= −0,0615𝑈 + 3,5167 (3-2) 𝐾2= 2,039·10−4𝑈+0,01100𝐾6=−0,0615𝑈+3,5167 Figura 3-21: Modelo Simulink de la dinámica de propulsión También, se introduce en este modelo el efecto de las fuerzas debidas a las perturbaciones en la componente X, que se añadirán a la entrada de impulso y provocarán cambios no deseados en la velocidad de avance del buque. Modelización para el control del rumbo de un buque 50 3.4.1. Análisis mediante simulación Para validar el correcto funcionamiento de la dinámica de propulsión, se utilizan dos bloques:  Propulsor del buque: a partir de un valor de velocidad deseada se genera el impulso de salida en la hélice necesario.  Dinámica de propulsión: a partir de un cierto valor del impulso de entrada y de la velocidad deseada, se genera la velocidad longitudinal del buque. Figura 3-22: Modelo Simulink de la dinámica del buque Se realizan tres simulaciones para los mismos valores de velocidad deseada que se han introducido en el apartado 3.3.1. La Figura 3-23, muestra la evolución de la velocidad de avance longitudinal del buque (surge) en función de las velocidades deseadas indicadas. Puede apreciarse que el buque tarda alrededor de 300 segundos en alcanzar la velocidad deseada. 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) 0 2 4 6 8 10 12 14 Surge (m/s) 7,2 m/s 11,41 m/s 13,37 m/s Figura 3-23: Curso temporal de la velocidad de avance longitudinal del buque para diferentes velocidades deseadas Modelización para el control del rumbo de un buque 51 3.5. Posición del buque A partir de las ecuaciones (2-3) se extrae el modelo con Simulink que permite determinar la posición del buque respecto al eje de coordenadas cartesianas fijo en un punto en la tierra. 3.5.1. Análisis de la propulsión cartesiana del buque sin giro del timón El análisis del comportamiento del bloque de la posición del buque sin variar el ángulo de mando, suponiendo un rumbo previo de 0 grados, se realiza de manera que:  Los bloques de la máquina del timón y máquina de giro con un ángulo de entrada de 0° para forzar al buque a seguir una trayectoria recta sin perturbaciones en el eje de abscisas.  Velocidad de avance surge constante, con un valor de 14 nudos, es decir, de 7,2 m/s.  El bloque de generación de la posición del buque respecto a un eje fijo en un punto de la tierra, monitorizando sus salidas: el desplazamiento en las coordenadas horizontal y vertical del buque (X0) e (Y0). Figura 3-24: Modelo Simulink de la generación de la posición del buque respecto a la tierra Modelización para el control del rumbo de un buque 52 Según este modelo, el buque debería moverse en línea recta con un desplazamiento coherente con la velocidad introducida. Como se puede observar en la Figura 3-26, cuando t = 100 s el buque ha recorrido 720 m de la coordenada x y no se ha desplazado lateralmente, debido a que el rumbo que sigue el buque es de 0 grados. Figura 3-26: Desplazamiento en los ejes cartesianos X e Y terrestres obtenidos con velocidad de avance constante y ángulo de mando en el timón 0° Figura 3-25: Modelo Simulink de la posición del buque respecto la Tierra 50 100 150 200 250 300 350 400 Tiempo (segundos) 0 500 1000 1500 2000 Posición del buque respecto la Tierra (metros) Posición x(t) del buque Posición y(t) del buque Modelización para el control del rumbo de un buque 53 3.5.2. Análisis de la posición cartesiana del buque con giro del timón Se propone un segundo estudio para ver el desplazamiento en los ejes cartesianos terrestres X e Y tras una variación en el ángulo de mando introducido en el timón:  Los bloques de la máquina del timón y máquina de giro con un ángulo de entrada 30° e indicando que el timón inicie su movimiento en t = 60 s.  Un surge procedente de la salida del bloque de la dinámica del propulsor, generado para una velocidad deseada de 26 nudos, es decir, de 13,37 m/s.  De nuevo, el bloque de generación de la posición del buque respecto a un eje fijo en un punto de la tierra, monitorizando sus salidas. Comparando las Figura 3-26 y Figura 3-27, puede apreciarse que en la Figura 3-27 la posición lateral del buque no es igual a cero, sino que va aumentando. Es decir, las hélices de la embarcación, que la están propulsando, generan un sway que hace variar su posición lateral a lo largo del tiempo. Al mismo tiempo, se puede destacar que la posición longitudinal del buque en el eje X en ambos casos no sigue inicialmente una recta (0-100 segundos) manifestando el proceso de aceleración en el bloque de propulsión hasta que se alcanza la velocidad deseada. 050 100 150 200 250 300 Tiempo (segundos) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Posición del buque respecto la Tierra (metros) Posición x(t) del buque Posición y(t) del buque Figura 3-27: Desplazamiento en los ejes cartesianos X e Y terrestres obtenidos con velocidad de avance constante y ángulo de mando en el timón 30° 30° Modelización para el control del rumbo de un buque 54 3.6. Perturbaciones debidas al viento El modelo Simulink presentado a continuación sigue las ecuaciones descritas en el apartado 2.3.1 de la memoria. 3.6.1. Análisis de las perturbaciones debidas al viento sobre el rumbo, el sway y el surge del buque En este apartado se analizan las perturbaciones que genera el viento sobre el rumbo, el sway y el surge del buque para diferentes condiciones de navegación. En este caso, los bloques que se utilizan son  La máquina del timón: con ángulo de mando de 0°.  La propulsión del buque: generará el impulso necesario para una velocidad de avance de 14 kn.  La dinámica de propulsión: generará el surge que necesita el buque para la velocidad deseada indicada como entrada en el bloque de la propulsión del buque.  Generador de perturbaciones debidas al viento: el cual tiene como entradas el rumbo obtenido en la salida de la dinámica de giro, el valor de la dirección del viento y su velocidad, introducidas mediante un bloque escalón donde se determina el tiempo a partir del cual empieza a actuar el viento (en este caso, t = 500 s).  La dinámica de giro: depende del bloque de la máquina del timón, del surge generado en la salida de la dinámica de propulsión y, de la fuerza Y y el momento N que genera el viento. Figura 3-28: Modelo Simulink de la perturbación debida al viento Modelización para el control del rumbo de un buque 55 Se realizan diferentes simulaciones para distintas condiciones de navegación debidas al efecto del viento sobre el buque, teniendo en cuenta para todas ellas las siguientes condiciones iniciales:  Un ángulo de mando de 0°.  Velocidad de avance deseada debe igual a 14 kn.  La acción del viento se inicia en t = 500 segundos. Las gráficas obtenidas tras la realización de las diferentes simulaciones son Figura 3-29: Efecto del viento sobre el rumbo, el sway y el surge En la figura 3-29 se observa que, independientemente del valor de la velocidad del viento, el rumbo y la velocidad lateral no varían cuando el ángulo de incidencia del viento sobre el buque es paralelo a su línea de flotación (𝜓𝑤=0° y 𝜓𝑤=180°). Se observa además que la variación del valor de la velocidad de avance del buque se debe a la dirección del viento, es decir, si el viento índice en sentido contrario al del rumbo, es decir en la proa, la velocidad de avance se reduce mientras que, si el viento incide a favor del sentido del rumbo la velocidad de avance aumenta. En cambio, para ángulos de incidencia distintos a los mencionados, el rumbo del buque varía a lo largo del tiempo, por lo tanto, la velocidad lateral se ve alterada hasta que el buque se alinea con la dirección del viento y dicha velocidad se anula. En el buque utilizado como ejemplo, su centro de gravedad está desplazado hacia proa, por tanto, el viento tiende a virar el buque de manera que se -45 0 45 DIRECCIÓN VIENTO 0 grados RUMBO (GRADOS) -0.4 -0.2 0 SWAY (m/s) 0 10 20 SURGE (m/s) 10 m/s 20 m/s 30 m/s velocidad viento -135 0 DIRECCIÓN VIENTO 45 grados -0.4 -0.2 0 0 10 20 -90 0 DIRECCIÓN VIENTO 90 grados -0.4 -0.2 0 0 10 20 -45 0 DIRECCIÓN VIENTO 135 grados -0.4 -0.2 0 0 10 20 0500 1000 1500 2000 tiempo (s) -45 0 45 DIRECCIÓN VIENTO 180 grados 0500 1000 1500 2000 tiempo (s) -0.4 -0.2 0 0500 1000 1500 2000 tiempo (s) 0 10 20 Modelización para el control del rumbo de un buque 62 4.2.1. Análisis mediante simulación con un controlador proporcional Kp = 0,1 De la Figura 4-4 a la Figura 4-6 muestran respectivamente la evolución temporal de la pala del timón, del rumbo y de la velocidad lateral de buque tras implementar en el modelo un controlador proporcional con un valor Kp = 0,1: Figura 4-4: Respuesta de la pala del timón con un Kp = 0,1 Figura 4-5: Respuesta del rumbo con un Kp = 0,1 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) 0 5 10 15 20 25 30 35 Dirección de la pala del timón (grados) 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) 0 5 10 15 20 25 Rumbo final del buque (grados) Modelización para el control del rumbo de un buque 63 En las anteriores gráficas se observa que para que el buque (figura 4-5) alcance el valor de rumbo deseado, la pala del timón satura su movimiento 30° como se muestra en la Figura 4-4 y el valor de la velocidad lateral del buque aumenta. A continuación, la pala del timón vuelve a su posición inicial y la velocidad lateral se reduce a 0 m/s, alcanzando como era esperado (sistema de tipo1) el rumbo deseado transcurridos aproximadamente 100 segundos. En cambio, cuando incide en el buque la acción del viento el valor del rumbo se altera, ya que la pala del timón no alcanza la dirección necesaria para contrarrestar la fuerza del viento sobre el buque. 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Sway (m/s) Figura 4-6: Respuesta de la velocidad lateral con un Kp = 0,1 Modelización para el control del rumbo de un buque 64 4.2.2. Análisis mediante simulación con un controlador proporcional Kp = 1 Si se implementa un controlador proporcional con un valor Kp = 1, se obtiene las siguientes gráficas: Figura 4-7: Respuesta de la pala del timón con un Kp = 1 Figura 4-8: Respuesta del rumbo con un Kp = 1 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) 0 5 10 15 20 25 Dirección de la pala del timón (grados) 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) 0 5 10 15 20 25 Rumbo final del buque (grados) Modelización para el control del rumbo de un buque 65 A continuación, en la Figura 4-8 se representa la respuesta del rumbo ante un controlador proporcional con Kp = 1 y se observa que para que el rumbo del buque alcance el valor del ángulo deseado, la pala del timón satura su movimiento a 20° (Figura 4-7) y la velocidad lateral del buque aumenta (en este caso alcanza una velocidad lateral máxíma de 0,15 m/s, Figura 4-9). De nuevo, cuando el viento incide sobre el buque la pala del timón no alcanza la dirección necesaria para evitar que el rumbo del buque se vea alterado, por lo que el valor final obtenido es distinto al valor deseado. Por lo tanto, se concluye que el controlador proporcional con valor Kp = 0,1 no consigue que el error en estado estacionario sea nulo, es decir, mantiene constante la señal de error tras la entrada de perturbaciones. Para los diferentes valores probados de Kp puede apreciarse que tal y como se esperaba el controlador proporcional consigue llevar el rumbo real hacia un rumbo deseado constante (introducido en la entrada consigna como un escalón), debido a que el sistema es de tipo 1. Sin embargo, la señal de error se mantiene constante (no cero) cuando la acción del viento perturba al buque, es decir el controlador no logra contrarrestar la acción del viento para seguir con el rumbo deseado. Finalmente, se concluye que un controlador proporcional no es el regulador idóneo para regular el rumbo del buque porque, aun siendo preciso para entrada consigna, no lo es ante la entrada perturbación. Por tanto, se necesita incrementar el tipo del sistema para que sea preciso también ante 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tiempo (segundos) -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Sway (m/s) Figura 4-9: Respuesta de la velocidad lateral con un Kp = 1 Modelización para el control del rumbo de un buque 66 la entrada no deseada producida por el viento. De esta manera, se escoge utilizar un controlador PID con las tres acciones implementadas: proporcional, integral y derivativa. 4.3. Controlador PID El control PID combina una acción proporcional, una integral y otra derivativa sobre la señal de error para dar la entrada de la planta. La ecuación de un controlador de este tipo es: 𝑢(𝑡)=𝐾𝑝𝑒(𝑡)+𝐾𝑖∫𝑒(𝑡)𝑑𝑡 𝑡 0+𝐾𝑑𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 (4-5) Y su función de transferencia, por tanto: 𝐻(𝑠)= 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) =𝐾𝑝+𝐾𝑖 𝑠+𝐾𝑑𝑠 (4-6) El peso de la influencia que cada una de estas partes del controlador PID tiene sobre la señal resultante viene determinado por la constante proporcional, la constante integral y la constante derivativa respectivamente. La acción proporcional (P) no es más que una ganancia; el esfuerzo de control es proporcional a la señal de error: 𝑢(𝑡)= 𝑘𝑐𝑒(𝑡) (4-7) A más error, más esfuerzo de control. Una ventaja de esta estrategia de control es que solo requiere el cálculo de un parámetro (ganancia) y, además, genera una respuesta instantánea. Sin embargo, si la planta no cuenta con una acción integral, el controlador proporcional incluye una característica no desea, el error en estado estacionado (offset), mencionado en el apartado 0. Tampoco resulta recomendable aumentar mucho el valor de la ganancia porque puede degradar la respuesta del sistema, produciendo que el sistema oscile más y llegue a desestabilizar o saturar los actuadores. La acción integral (I) da una respuesta proporcional a la integral del error. Esta acción elimina el offset, pero se obtiene una mayor desviación del punto de consigna, la respuesta es más lenta y el período de oscilación es mayor que en el caso de la acción proporcional. 𝑢(𝑡)= 𝑘𝑖∫𝑒(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (4-8) Modelización para el control del rumbo de un buque 67 Como indica la ecuación anterior, el esfuerzo es proporcional a la integral de la señal de error. De esta forma, mientras que no se logre alcanzar la referencia, la integral de erro no dejará de crecer, y con ella la acción de control sobre el sistema hasta que la acción sea suficiente para conducir al sistema hasta el punto deseado. Cabe destacar que, aunque la señal de erro sea nula en un instante, la acción de control no deber serlo. Por otro lado, aunque la acción integral mejore la precisión, empeora la estabilidad. El transitorio se vuelve lento y oscilatorio. Por lo tanto, la acción del tipo integral es más lenta que la acción del tipo proporcional. La acción derivativa (D) proporciona una respuesta proporcional a la derivada del error (velocidad de cambio del error). Añadiendo esta acción de control a las mencionadas anteriormente, se disminuye el posible rebasamiento de la respuesta, pero no se elimina el offset. Con la acción diferencial se buscar conseguir un comportamiento más suave del sistema de control. 𝑢(𝑡)=𝑘𝑑𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 (4-9) Como muestra la ecuación anterior, la señal de control es proporcional a la derivada de la señal de error. A esta acción también se la conoce como “anticipativa” porque, al tener información sobre si el error está creciendo o decreciendo, el esfuerzo de control actúa antes que la señal de error sea excesivamente grande o pequeña. Es decir, se evita que el sistema pase de largo la referencia ya que, si la derivada del error es negativa, el efecto derivativo frena ligeramente la acción de control. La acción derivativa hace que el sistema sea más sensible y aumenta la estabilidad relativa al introducir un cero en el lazo. 4.3.1. Diseño del controlador PID para el modelo En este apartado se explica cómo se ha obtenido el controlador PID más adecuado para controlar el rumbo en el modelo. Al modelo diseñado se le debe implementar un controlador que permita mantener el valor del rumbo deseado ante cualquier condición de navegación en la que se pueda encontrar a lo largo de su trayectoria. El controlador debe evitar que el sistema oscile y llegue a desestabilizar o saturar los actuadores y eliminar el offset sin aumentar la desviación del punto de consigna. Por lo tanto, se requiere que el modelo responda con un comportamiento estable. Modelización para el control del rumbo de un buque 68 El proceso de selección de los parámetros que cumplen con las especificaciones de comportamiento dadas para este tipo de controlador se conoce como sintonización de reguladores PID. Existen distintos métodos de selección, como por ejemplo los métodos de Ziegler-Nichols, los cuales establecen distintas reglas basándose en las respuestas a escalones experimentales o en valor de Kp que producen estabilidad marginal únicamente cuando se utiliza la acción de control proporcional. Sin embargo, para este caso se ha utilizado la toolbox Sisotool (R2018b) dentro del software Matlab (R2018b) que permite obtener el lugar geométrico de las raíces de manera dinámica. La ventana SISO Design permite escoger la posición de los ceros añadido por el controlador PID de manera manual, así como las respuestas obtenidas para diferentes valores de ganancia. Finalmente, se concluye que la función de transferencia del controlador PID que proporciona una respuesta más adecuada es 𝐻(𝑠)=2,45+0,0001 𝑠+1288 𝑠+100 (4-10) Es decir, 𝐾𝑝=2,45 𝐾𝑖=0,0001 𝐾𝑑=12,88 En la Figura 4-10 se muestra la implementación del controlador en el modelo Figura 4-10: Implementación controlador PID Modelización para el control del rumbo de un buque 69 4.3.2. Análisis mediante simulación con un controlador PID sobre el rumbo, la pala del timón, el sway y el surge En este apartado se analiza el comportamiento del controlador PID previamente diseñado sobre el rumbo, la pala del timón, el sway y el surge del buque para diferentes condiciones de navegación: variando el valor del ángulo de mando deseado y la dirección del viento. Sin embargo, todas las simulaciones parten de las siguientes condiciones iniciales:  La pala del timón inicia su movimiento en t = 300 s (tiempo en el que se indica el rumbo deseado en la entrada consigna).  El viento incide con una velocidad de 20 m/s y se inicia en t = 1000 s.  Velocidad de avance deseada del buque igual a 14 nudos. Simulación 1  Rumbo deseado 20°  Dirección del viento 65° Figura 4-11: Respuesta del modelo en Simulación 1 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Dirección de la pala del timón (grados) Pala del timón 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) 0 5 10 15 20 25 Rumbo final del buque (grados) Rumbo 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Sway (m/s) Sway 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Surge (m/s) Surge Modelización para el control del rumbo de un buque 70 En la Figura 4-11 se observa que para que el buque consiga mantener el valor del rumbo deseado ante entrada de perturbaciones la pala del timón debe desplazarse 10° desde su posición inicial. Al no generarse variación en el rumbo del buque no se genera momento N entonces, la velocidad lateral del buque se mantiene constante a 0 m/s tras la entrada de la acción del viento. Por otro lado, la componente X de la fuerza producida por el viento reduce la velocidad de avance. Simulación 2  Rumbo deseado 110°  Dirección del viento 175° Figura 4-12: Respuesta del modelo en Simulación 2 En la Figura 4-12 se observa que para que el buque consiga mantener el valor del rumbo deseado ante la acción del viento la pala del timón también debe desplazarse 10° desde su posición inicial. La fuerza en X del viento obliga a al buque a reducir la velocidad de avance 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Dirección de la pala del timón (grados) Pala del timón 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) 0 20 40 60 80 100 120 Rumbo final del buque (grados) Rumbo 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Sway (m/s) Sway 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Surge (m/s) Surge Modelización para el control del rumbo de un buque 71 Simulación 3  Rumbo deseado -160°  Dirección del viento 265° Figura 4-13: Respuesta del modelo en Simulación 3 En las gráficas obtenidas para los datos de la simulación 3 se observa que el valor inicial de la pala del timón y de la velocidad lateral son negativas, esto significa que la embarcación vira hacia estribor, al contrario que en las simulaciones 1 y 2. Para que el buque alcance el rumbo deseado tras la entrada del viento, la pala del timón alcanza una apertura de 10° y la velocidad de avance se reduce debido a la fuerza en el eje X que genera el viento. 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 Dirección de la pala del timón (grados) Pala del timón 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Rumbo final del buque (grados) Rumbo 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Sway (m/s) Sway 0500 1000 1500 Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Surge (m/s) Surge Modelización para el control del rumbo de un buque 78 Figura 4-21: Respuestas simulación 2 0250 500 750 1000 Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m/s velocidad avance (surge) velocidad lateral (sway) 0250 500 750 1000 Tiempo (segundos) -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 grados ángulo timón rumbo 0250 500 750 1000 Tiempo (segundos) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 km posición X posición Y Modelización para el control del rumbo de un buque 79 5. Conclusiones El modelo realizado con Simulink y desarrollado a lo largo del proyecto permite simular el comportamiento del casco de un buque en su fase de diseño, permitiendo que se puedan construir modelos a escala más precisos antes de pasar a simulaciones en tanques de olas, lo que permite realizar mejores diseños a menor coste. Uno de los objetivos establecidos del proyecto era obtener un modelo matemñatico razonable e ilustrativo de la dinámica del buque y la perturbación del viento. Para desarrollar este modelo, se ha realizado una recopilación exhaustiva de información sobre los modelos matemáticos que describen el comportamiento dinámico de los buques a partir de las leyes dinámicas e hidrodinámicas, de la dinámica de propulsión de los buques y de las perturbaciones debidas al viento. A lo largo de esta fase de búsqueda de información, se ha evidenciado la carencia de estudios y/o artículos disponibles y los múltiples errores que aparecen en gran parte de ellos. Por tanto, el modelo obtenido es el resultado de un proceso de comparación y deducción para determinar las ecuaciones correctas. Al utilizar un modelo paramétrico linealizado mediante el desarollo en serie de Taylor para obtener este modelo matemático, ha sido necesario ignorar ciertas no linealidades y parámetros que pueden estar presentes en el sistema dinámico real. Sin embargo, con los distintos análisis realizados al modelo, se ha comprobado que el hecho de ignorar estas no linealidades no ha provocado efectos no deseados sobre dicho análisis. El modelo matemático de la dinámica de movimiento del buque se ha descrito en términos de ecuaciones diferenciales y bajo ciertas condiciones específicas consideradas. Puesto que este modelo no es adecuado para el diseño de controladores, las ecuaciones diferenciales se han convertido en un sistema de ecuaciones de estado que ha permitido diseñar el sistema de control y analizar su efecto sobre el modelo. En cuanto al sistema de propulsión, se trata de un modelo simplificado pero completo que incorpora el propulsor, la dinámica de propulsión y el efecto que las perturbaciones debidas al viento y la resistencia al avance del casco del buque pueden tener sobre la componente X de las coordenadas del buque respecto la Tierra que pueden influir en la velocidad de avance del buque. La incorporación de este bloque en la planta permite simular situaciones con cambios de velocidad así como el efecto de Modelización para el control del rumbo de un buque 80 estos cambios sobre el conjunto del modelo, influenciados por la resistencia al avance y las perturbaciones debidas al viento. Para la modelización de la máquina del timón, se implementa un modelo que incorpora los principales efectos producidos por la maquinaria del timón que proporciona una correcta descripción de su funcionamiento. La modelización completa del sistema global incorpota el efecto de las perturbaciones que genera el viento sobre el buque durante la navegación. En cuanto al modelo del viento, aún habiendo simplificado su diseño, permite simular diferentes condiciones de navegación variando parámetros como la dirección y la velocidad del viento. Esta modelización permite simular las fuerzas que actúan sobre cada componente de movimiento del buque. El modelo Simulink ha permitido analizar y comparar diferentes tipos de sistemas de control. En concreto, en este trabajo se han comprobado el comportamiento de las respuestas obtenidad mediante un controlador proporcional variando la constante de proporcionalidad y de un controlador PID ajustando las tres constantes (proporcional, integral y derivativa) a partir del método del lugar geométrico de las raíces obtenido con la toolbox Sisotool de Matlab. Los dos tipos de controladores proporcionan resultados satisfactorios para el sistema de tipo 1 con entrada de perturbación nula. Sin embargo, tras la entrada de perturbación cada controlador presenta diferentes respuestas. En cuanto al controlador de acción proporcional, no consigue que el error en estado estacionario sea nulo, sino que se mantiene constante. En base a los resultados obtenidos, el controlador que ha presentado mejores resultados globales, sobre todo tras la perturbación producida por la acción del viento es el controlador PID ya que ha conseguido que la señal de error en estado estacionario sea cero. Modelización para el control del rumbo de un buque 81 6. Limitaciones y extensiones futuras El sistema de control diseñado en el presente Trabajo Final de grado posee diferentes limitaciones, que se han delimitado en este apartado como líneas futuras de trabajo a abordar en potenciales continuaciones de este trabajo.  Añadir un bloque al modelo que complete y aproxime más a la realidad el efecto de las perturbaciones sobre el buque describiendo el comportamiento de las olas y las corrientes.  Respecto al cálculo de rutas a partir de waypoints, rediseñar el bloque a partir de la fórmula del Haversine, que permite calcular de manera más realista la distancia entre cualquier par de puntos con coordenadas de latitud y longitud sobre una esfera, en este caso la Tierra.  Posibilidad de añadir distintas restricciones al modelo, como por ejemplo la necesidad de navegar por un estrecho rodeado de rocas o tener que esquivar una boya que se encuentra en medio de la ruta del buque. Por lo tanto, se debería pensar qué restricciones se le van a implementar al modelo, cómo se van a diseñar dichas restricciones y analizar el efecto sobre el conjunto.  En cuanto a las perturbaciones debidas al viento, el modelo puede recoger en tiempo real valores de los parámetros del viento a partir de aplicaciones o páginas web que contengan información sobre el viento a tiempo real según las coordenadas de latitud y longitud proporcionadas.  Mejorar el controlador implementado de manera que se consiga un error en estado estacionario completamente nulo, analizando con más detalle los distintos métodos de selección de Ziegler-Nichols que establecen distintas reglas basándose en las respuestas a escalones experimentales o en valor de Kp o profundizando en el funcionamiento de la toolbox Sisotool de Matlab.  Extender el estudio del modelo implementando las características y datos de otros buques: cruceros, portacontenedores, yates, veleros, etc. Modelización para el control del rumbo de un buque 82 7. Presupuesto A continuación, se detalla el presupuesto del proyecto. Los costes del proyecto van asociados al personal, al software, al lugar de trabajo y al material. Gastos de personal Horas Coste (€/h) Total (€) Estudiante Investigación 20 25 500 Programación* 500 25 12500 Redacción 100 25 2500 Reuniones 50 25 1250 Tutor Revisión de tareas 60 60 3600 Reuniones 50 60 3000 Co-tutor Reuniones 20 60 1200 Total 24550 *No se incluyen las horas de programación que ha dedicado el tutor en programas previos puestos a disposición del estudio PRESUPUESTO TOTAL* 24919 € *IVA incluido en todos los precios Gastos de software Precio/año (€) Unidades Uso (meses) Total (€) MATLAB 2018b 480 1 5 200 Microsoft Office 365 Personal 54,99 1 5 22,913 Total 222,913 Gastos de material Precio/u (€) Unidades Uso (meses) Total (€) Ordenador* 1349 1 5 140,54 Material papelería - - - 5 Total 145,54 *Se considera una amortización de 4 años para el ordenador Modelización para el control del rumbo de un buque 83 8. Cronograma En este capítulo se presenta el cronograma de la duración del proyecto agrupando las diferentes actividades en bloques denominados work package. A continuación, se detallan las diferentes tareas (work packages) realizadas durante la ejecución del Trabajo Final de Grado.  WP1: búsqueda y recopilación de información.  WP2: introducción a Matlab y Simulink.  WP3: realización de los cálculos iniciales necesarios para el diseño del modelo.  WP4: redacción de la memoria del proyecto.  WP5: diseño de los bloques máquina del timón y dinámica de giro, incorporando las correcciones en los cálculos y en la implementación.  WP6: diseño del bloque posición del buque respecto la Tierra, así como las correcciones que se han aplicado.  WP7: cálculos necesarios para diseñar el bloque de la perturbación debida al viento, así como su implementación en Simulink y las correcciones que se han aplicado.  WP8: diseño de los bloques de la propulsión y la dinámica de propulsión del buque.  WP9: diseño del bloque cálculo del rumbo deseado para alcanzar una posición determinada. Figura 8-1: Cronograma del proyecto Modelización para el control del rumbo de un buque 84  WP10: diseño del controlador del buque. En la Figura 8-1 se observan que al final del WP1 y WP10 aparecen unas estrellas que representan los hitos del proyecto, es decir, indican que el final estos dos procesos son las partes indispensables de dicho proyecto. Modelización para el control del rumbo de un buque 85 9. Impacto medioambiental El uso de la simulación para analizar el comportamiento del modelo y de los controles diseñados permite realizar múltiples pruebas antes de contruir prototipos para ser testados en tanques de olas, reduciendo el uso de materiales y el coste de la fase de diseño. A veces la alteración final causada por un conjunto de impactos es mayor que la suma de todos los individuales. En este caso los efectos individuales del proyecto no implican la destrucción del medioambiente en ninguno de los momentos en los que se puede presentar, por lo que se caracterizan por tener una intensidad nula y no ser persistentes. Entonces, la suma de efectos tampoco generan alteración final. Por lo tano, el signo del impacto medioambiental de este proyecto es positivo y sirve para mejorarlo ya que la simulación del diseño se muestra respetuosa con el medio ambiente al no intervenir materiales de forma física en el análisis del comportamiento del modelo. Modelización para el control del rumbo de un buque 86 10. Referencias Alexander, D.: “Regional Deterrence Ship (RDS-2010)” Design Project. Naval Postgraduate School. Monterey, CA, 1993. Cano, Luis Cano: “Teoría de control en Python con SciPy (II): Control PID”. Noviembre 2013. Christopher A. Poor: “Simulink Modeling of a Marine Autopilot for TSSE Ship Designs”. Naval Postgraduate School. Monterey, CA, September 1996. Clark, W. 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Modelización para el control del rumbo de un buque 94 Nrdot = Nrdoth + Nrdotap ; %GENERADOR DE MATRICES a11 = mpri-Yvdot ; a12 = (mpri*Xgpri)-Yrdot ; a21 = (mpri*Xgpri)-Nvdot ; a22 = Izh-Nrdot ; h11 = Yvtot ; h12 = Yrtot-mpri ; h21 = Nvtot ; h22 = Nrtot-(mpri*Xgpri) ; c11 = Ydel ; c21 = Ndel ; A = [a11 a12 ; a21 a22] ; H = [h11 h12 ; h21 h22] ; C = [c11 ; c21] ; Apri = inv(A)*H ; Apri(2,1)=Apri(2,1)/4; Bpri =(inv(A)*C) ; Cpri = [1 0;0 -1] ; Dpri = [0;0] ; %COEFICIENTES DEL VIENTO %CONSTANTES rhow = 64 ; % Densidad de H20 en lbs/ft"3 rhoa = 0.0752 ; % Densidad del aire en lbs/ft"3 LBP = 390.00 ; % (input) Eslora del buque entre perpendiculares LOA = 409.31 ; % (input) Eslora total Af = 2037.9 ;At=Af; % (input) Área frontal del buque As = 10*Af;Al=As; % (input) Área lateral del buque (Estimada) q=rhoa/rhow ; arad=pi/180; agrad=180/pi; % GENERACIÓN DE COEFICIENTE Cwx = q*Af/LBP^2*7000 ; % Coeficiente Fuerza X del viento Cwy = q*As/LBP^2*8000 ; % Coeficiente Fuerza Y del viento Cwn = q*As*LOA/LBP^3; % Coeficiente Momento N del viento parax=0.5*rhoa*Af; paray=0.5*rhoa*As; paran=0.5*rhoa*As*L; % CONSTANTES DE PROPULSIÓN Y GENERADOR DE EMPUJE I=1.9e5 ; % Momento del inercia del eje del propulsor gm=(32.2^2/(5721*2240)) ; % Forma equivalente de g/m Dp=15.50; %Diámetro del propulsor en ft K3=6000; % Qf, Cálculo de las pérdidas generadas por fricción K5=1/(2*pi*I) ; % Qt Multiplicador Modelización para el control del rumbo de un buque 95