Una aproximación al análisis exploratorio de datos

. Facultad de Ciencias Económicas yEmpresariales Trabajo de Fin de Grado Grado en Marketing e Investigación de Mercados UNA APROXIMACIÓN AL ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Presentado por: Natalia Ruiz Fuentes Tutelado por: Jose Antonio Sanz Gómez Valladolid, 1 de Abril de 2022 RESUMEN Las técnicas de análisis gráfico del AED propuestas por Tukey (1977) permiten identificar la distribución de los datos y explorar si las variables objeto de estudio cumplen los requisitos de normalidad, simetría y unimodalidad. Se aplican seis técnicas principales a cuatro conjuntos de datos cuantitativos: PIB per cápita, PIB provincial, edad media y esperanza de vida de países de la OMS. Los resultados muestran que la utilización de las técnicas ha de hacerse siguiendo un orden: un análisis inicial haciendo uso del diagrama de tallo y hojas junto con el histograma para observar la normalidad, seguido del diagrama de caja y bigotes y ver tanto la simetría como los valores atípicos. Por último, el diagrama de dispersión ofrece una idea de las relaciones existentes entre las variables y su ajuste. PALABRAS CLAVE: AED, Tukey, Análisis gráfico ABSTRACT EDA graphical tools developed by Tukey (1977) let identify and explore data distribution and the nature of variables in terms of normality, symmetry and unimodality. Graphical tools are applied to four datasets: GDP, provincial GDP, average age and life expectancy (OMS countries). Results show that in order to apply these techniques a proper order should be used; thus, an initial exploration making use of stem-and-leaf diagram and histogram to observe normality, followed by a box-and-whisker plot to determine symmetry and outliers; lastly, a dispersion analysis to conclude existential relations between variables and their adjustment. KEY WORDS: EDA, Tukey, Graphic analysis Códigos de clasificación del JEL: C10, 181, 182 2 ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………… 5 2. MARCO TEÓRICO……………………………………………………………… 6 2.1. Estadística robusta………………………………………………………… 6 3. ESTUDIO DE POBLACIONES INDIVIDUALES……………………………… 7 3.1. Diagrama de Tallo y Hojas (DTH).......................................................... 8 3.2. Histograma (H)...................................................................................... 10 3.3. Gráfico de Caja y Bigotes (GCB).......................................................... 15 3.4. Gráfico de Simetría (GS)...................................................................... 19 3.5. Gráfico de Normalidad (GN)................................................................ . 22 3.6. Gráfico de Dispersión (GD).................................................................. 26 4. CONCLUSIONES……………………………………………………………… 29 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………………. 30 6. Anexos …………………………………………………………………………… 32 ÍNDICE DE TABLAS Y FIGURAS PAGINADOS Tabla 1: Tabla que muestra la relación entre histograma y diagrama de tallo y hojas……………………………………………………………………………………….. 8 Tabla 2: Cálculos para el diagrama de tallo y hojas…………………………………... 9 Figura 1. Diagrama de tallo y hojas. Método de análisis de una variable para el PIB per cápita provincial. Unidad = 1000,0……………………………………………………9 Figura 2: Representación gráfica de un histograma………………………………….. 11 Figura 3: Representación gráfica de los tipos de asimetría en histogramas………. 12 Figura 4: 4 histogramas realizados con unos datos procedentes de una distribución normal estándar pero variando la cantidad de datos…………………………………. 13 Tabla 3: Cálculos para decidir las clases de un histograma………………………… 13 Figura 5: Histograma obtenido mediante el método de análisis de una variable en STATGRAPHICS para la variable esperanza de vida de los países de la OMS…. 14 Tabla 4: Características de distribución para la Figura 5.……………………………..14 Figura 6: Ajuste de la distribución para el histograma de esperanza de vida…….. 14 Figura 7: Representación gráfica de los estadísticos de posición presentes en un diagrama de caja y bigotes para un eje de coordenadas (X,Y)............................... 15 Tabla 5 : Cálculos para el diagrama de tallo y hojas................................................ 15 Figura 8: Representación del diagrama de caja y bigotes para el PIB per cápita provincial, siguiendo el esquema de la Figura .................................................... .... 16 Tabla 6: Cálculos para el diagrama de caja y bigotes.............................................. 16 Figura 9: Ventana de salida para el análisis de una variable para el PIB per cápita (miles de €).............................................................................................................. 17 Figura 10: Ventana de salida para el análisis de una variable para el PIB (miles de €)............................................................................................................................... 18 3 Figura 11: Representación gráfica de los tipos de simetría en un gráfico de simetría.................................................................................................................... 19 Figura 12: Gráfico de simetría . Método análisis de una variable para el PIB per cápita (miles de €)................................................................................................... 20 Figura 13: Gráfico de simetría. Método análisis de una variable para la esperanza de vida de los países de la OMS.................................................................................. 21 Figura 14: Representación que muestra la equivalencia en diferentes tipos de gráficos de representar una población normal......................................................... 21 Figura 15: Gráfico de probabilidad normal. Método de análisis de una variable para el PIB per cápita en miles de euros......................................................................... 23 Figura 16: Curva de densidad y ajuste de la distribución para el histograma para el análisis del PIB per cápita en miles de euros......................................................... 24 Figura 17: Gráfico de probabilidad normal para el análisis de la variable países de la OMS por edad media.............................................................................................. 25 Figura 18: Curva de densidad, ajuste de la distribución y gráfico de cuantil para el análisis de la variable países de la OMS por edad media...................................... 25 Figura 19: Gráfico de dispersión e histograma para el análisis de la variable esperanza de vida.................................................................................................. 27 Figura 20: Gráfico de dispersión para la variable esperanza de vida..................... 27 ÍNDICE DE ANEXOS Anexo 1: Provincias de España por PIB.................................................................. 31 Anexo 2: Países de la OMS por edad media y por esperanza de vida................... 33 4 1. INTRODUCCIÓN El trabajo presente busca estudiar y extraer conclusiones de varios conjuntos de datos mediante el uso técnicas propias del Análisis Exploratorio de Datos,AED. Como su propio nombre indica, se considera exploratorio al ser uno de los primeros pasos que se realizan antes de lanzarse a trabajar con los datos. Dicha exploración se realiza esencialmente a través de técnicas que suponen herramientas visuales, gráficas y semi gráficas, y el uso de las mismas ayudan al investigador a: ● Conocer la estructura y distribución de los datos previamente a aplicar cualquier técnica estadística. ● Estudiar la relación entre variables explicativas. ● Dar con posibles errores y puntos extremos como anomalías. ● Refinar nuestras hipótesis. De esta forma, se buscará dar respuesta a preguntas como: ● ¿Existe algún tipo de estructura (normalidad, multimodalidad, asimetría, homogeneidad entre grupos) en los datos que voy a analizar? ● ¿Cómo se sintetiza y presenta la información contenida en un conjunto de datos? ● ¿Existen datos atípicos? ¿Cuáles son? ¿Hay datos ausentes? ¿Tienen algún patrón sistemático? Las técnicas propias del A.E.D., han sido utilizadas extensamente desde la publicación por primera vez de las mismas, en 1977, por John W. Tuckey, quién ensalzó la fase necesaria en cualquier investigación, la fase exploratoria de los datos. Sin embargo, una gran mayoría de los estudios e investigaciones comienza directamente el análisis de sus conjuntos de datos aplicando técnicas propias de la estadística descriptiva clásica, a través de los resúmenes descriptivos; Se tiene constancia de diversos autores que previamente han querido destacar la importancia de esta fase exploratoria y de su diferenciación de la fase de estadística descriptiva. Algunos trabajos destacables y de referencia son los de Monterde y Perea Lara, M (1991). 5 2. MARCO TEÓRICO En ciencias sociales, en lo relativo a la ciencia estadística, existen multitud de técnicas estadísticas que se han ido empleado a lo largo del tiempo. Tukey (1977) propone un nuevo enfoque en su libro pionero Exploratory Data Analysis, lleno de nuevos procedimientos estadísticos y retoma otros. J. W. Tuckey nace en 1915 (Massachusetts) y fallece en 2000 (Nueva Jersey). Doctor en matemáticas con intereses en el ámbito estadístico, con fascinación por problemas y técnicas relativas al análisis de datos. Se le conoce por ser el pionero de este análisis pero también hizo contribuciones en el campo de la estadística en el análisis de la varianza, regresión y en un amplio rango de aplicaciones. En cierta manera él entendió que para enfrentarse a cualquier problema en el área de las matemáticas, tendría que entender de qué estaban compuestos los conjuntos de datos de los que partían sus investigaciones. 2.2. Estadística robusta en Análisis Exploratorio de Datos. El A.E.D. presupone una actitud activa del investigador hacia el análisis como un medio para sugerir nuevas hipótesis de trabajo. Difiere de la Estadística Descriptiva clásica, con el fin de optimizar la cantidad de información de los datos recogidos, a través del uso de novedosas representaciones gráficas, a base de reducir la influencia de las puntuaciones extremas de los estadísticos a través del empleo de estadísticos resistentes. Depende de lo que vayamos encontrando, la experiencia y el conocimiento específico se utilizaran unas técnicas u otras para las que existen herramientas específicas, básicamente gráficas y no presupone normalidad (no considera de interés la media, varianza, regresión o correlación). En su lugar, además de los gráficos, usa mediana, recorrido intercuartílico. El uso de estadísticos robustos (resistentes) es muy aconsejable cuando los datos no se ajustan a una distribución normal. Estos estadísticos son los que se ven poco afectados por valores atípicos. Suelen estar basados en la mediana y en los cuartiles y son de fácil cálculo. Fruto del análisis exploratorio, a veces es necesario transformar las variables. (Pérez López, 2004). 6 3. ESTUDIO DE POBLACIONES INDIVIDUALES El objetivo de este capítulo es estudiar por separado cada una las herramientas específicas del A.E.D. Para proceder con el análisis las variables objeto de estudio están compuestas por un conjunto de datos de carácter cuantitativo. Se abordarán todas ellas comenzando por una previa descripción de qué son y cómo se construyen, para, posteriormente, analizarlas utilizando el software STATGRAPHICS y ver particularidades pertinentes a cada una de ellas. Las representaciones gráficas propuestas por Tukey (1977) proporcionan la información visual necesaria para obtener los estadísticos que ofrecen un resumen acerca de cómo se distribuyen los datos. Estos estadísticos se estudiarán en cada uno de los apartados siguientes para caracterizar las distribuciones y se pueden clasificar en cuanto a: 1. Características de posición o tendencia central: la mediana (en algún caso la moda). Es el valor alrededor del cual se agrupan los datos. 2. Características de dispersión: recorrido intercuartílico. Nos proporciona una medida de la desviación de los datos con respecto a la tendencia central. 3. Características de forma: simetría y asimetría. Nos proporcionan una medida de la forma gráfica de la distribución. Las técnicas propias del AED suponen mirar y analizar el conjunto de datos de una forma peculiar que difiere de las técnicas de la estadística clásica convencional. Este enfoque permite mirar al conjunto de datos de tal manera que se pueda no sólo caracterizar la distribución en base a los estadísticos mencionados, sino que ofrece la ventaja de explorar esos datos en profundidad remarcando diferentes “problemas” que presenta dicha distribución para, posteriormente en la fase confirmatoria, aplicar las técnicas y estrategias pertinentes para solventarlos. Estos problemas que se observan en las representaciones visuales de la fase exploratoria son: puntos atípicos, asimetría de la distribución, agujeros y picos múltiples. 7 3.1. Diagrama de Tallo y Hojas (DTH). Es la representación semi-gráfica de una variable en forma de Tabla (líneas y columnas), donde se muestra el rango y la distribución de los datos, la simetría y los candidatos a valores atípicos. Su uso es recomendable siempre que el número de datos no sea muy grande (alrededor de 50 observaciones). A diferencia de las otras técnicas, el DTH permite organizar gráfica y numéricamente a los valores para conseguir una inspección visual detallada de su distribución (Emerson, J. D., Hoaglin, D. C., 1983). Se podría decir que el DTH es la versión “mejorada” del histograma, ya que volcado en su costado no sólo conforma un histograma y mantiene las mismas características observables respecto al intervalo y la densidad, sino que además añade información relativa a cada una de las observaciones. Tabla 1: Tabla que muestra la relación entre histograma y diagrama de tallo y hojas. Histograma Diagrama de tallo y hojas No se pueden conocer los datos originales. Preserva los valores de los datos: al observar el gráfico pueden ubicarse los diferentes valores de las observaciones y con ello reconstruir la Tabla de datos Estimador de la densidad Optimizar representación gráfica de los datos Representación de intervalos. Representación de: intervalos, gráfica de cada valor, profundidades, mediana, valores mínimos y máximos, recorrido intercuartílico. Complejo de construir Fácil de construir No se puede calcular Permite cálculo de la mediana y el recorrido intercuartílico Fuente: realización propia. Para construir el diagrama de tallo y hojas, con el fin de estudiar el PIB per cápita provincial en miles de euros, en España, se recogen las columnas correspondientes a las provincias y al PIB per cápita del Anexo 1: Provincias de España por PIB, y se ordenan las observaciones (52) de menor a mayor. A continuación hay que realizar los cálculos presentados en la siguiente Tabla: 8 Tabla 2: Cálculos para el diagrama de tallo y hojas. Decisiones Cálculo Ejemplo: PIB per cápita (miles €) Unidad a expresar1 Su cálculo no es una ecuación concreta. Dependerá del conjunto de datos y de la decisión del investigador. En este caso, con valores expresados en miles de € sin decimales, se eligen los dos primeros dígitos: Valladolid, 26.901 (miles€). Se elige representarlo con dos dígitos para 26.000 (miles€), resultando una unidad de 26.000/26=1000,0. Rango de los datos 𝑅 = 𝑀á𝑥𝑥 – 𝑀í𝑛𝑥 𝑅 = 36. 404 − 18. 050 =18. 354 Número máximo de filas o intervalos =10*log520=27,1600 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 10*𝑙𝑜𝑔10𝑁 Amplitud máxima del intervalo 𝑎 = (𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑/𝐹𝑚𝑎𝑥)*10𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑗𝑎𝑠 1000 27,160 × 101 = 3681,885 Fuente: realización propia. A continuación se presenta el diagrama de tallo y hojas para el PIB per cápita provincial (Anexo 1) obtenido mediante STATGRAPHICS: Figura 1. Diagrama de tallo y hojas. Método de análisis de una variable para el PIB per cápita provincial. Unidad = 1000,0. Fuente: obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). El diagrama de la Figura 1 muestra que el rango de los datos ha sido dividido en 10 intervalos (tallos), cada uno de ellos representado por una línea de la Tabla. Los tallos se han decidido usando un dígito proveniente de los valores del conjunto de datos. En cada línea se representan los valores individuales del conjunto de datos con un dígito (hoja) a la derecha de la línea vertical (tronco). El DTH de la Figura 1 permite afirmar que la variable PIB per cápita provincial en miles de euros varía entre 18 y 36, y que el 50% central (mediana) de las provincias cuentan con un PIB 1Se divide cualquiera de los datos por el valor resultante de no tener en cuenta los decimales o bien la representación gráfica que vayamos a hacer de dicho valor en la gráfica (Monterde y Perea Lara, M.,1991). Una vez que tenemos varios datos a los que mirar, normalmente ayuda hacer el conjunto de datos lo más entendible posible respecto a de lo que partimos. Por ejemplo, una población descrita como 201 millones, o 201.2, proporciona más claridad a la hora de observar el dato que si se diese como 201,234,567 (Tukey, 1977). 9 Recorrido Intercuartílico 𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 𝑅𝐼 = 27.870 − 20.251 = 7619 Anchura de los bigotes 𝑎 = 1,5 × 𝑅𝐼 𝑎 = 1,5 × 7619 = 11.428, 5 Valores atípicos 𝑓1=𝑄1−1,5𝑅𝐼 𝑓3 =𝑄3+1,5𝑅𝐼 𝑓1 =20.251−1,5× 7619=8.822, 5 𝑓3 =27870 + 1,5× 7619 =16.441,5 Fuente: realización propia. Según los valores determinados, el gráfico de caja y bigotes se representa en un eje de coordenadas (X,Y) de la siguiente forma: Figura 8: Representación del diagrama de caja y bigotes para el PIB per cápita provincial, siguiendo el esquema de la Figura 7. Fuente: Realización propia. En la Figura 8 se observan diversas características. La caja es rectangular y sus extremos equivalen a los cuartiles Q1 Y Q3, conteniendo la mitad del conjunto de datos. La línea central dentro de la caja muestra el valor que toma la mediana. Los bigotes se construyen tomando 1.5 veces RI (recorrido intercuartílico), a la izquierda y derecha de la caja, y se limitan por el último valor incluido en dichos intervalos. Los valores no incluidos ni en la caja ni en los bigotes se representan individualmente mediante un punto, y se consideran datos atípicos. Tanto la escala (el tamaño del diagrama) como la altura de la caja se deciden arbitrariamente. Tabla 6: Cálculos para el diagrama de caja y bigotes. Tamaño de la caja (con respecto al resto del gráfico) Nos informa de la variabilidad o dispersión Caja Contiene el 50% de los valores. Punto mínimo y máximo El valor más pequeño y el más grande del conjunto de datos sin 16 tener en cuenta valores atípicos. Puntos fuera Valores atípicos. Posición de la mediana Dónde se localizan los valores centrales en el interior de la caja, hacia la izquierda o la derecha, y de la simetría de la distribución. Posición de la media El valor que identifica la media de la distribución Fuente: realización propia. En el siguiente ejemplo, se analiza el PIB per cápita provincial (columna PIBpc (miles de €), Anexo 1) obtenido mediante STATGRAPHICS: Figura 9: Ventana de salida para el análisis de una variable para el PIB per cápita (miles de €). Fuente: obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). El diagrama de la Figura 9 muestra la variable representada en el eje de abscisas, conteniendo los dos dígitos principales del PIB per cápita provincial (unidad 1000,0). El rango de los datos ha sido calculado y representado de extremo a extremo de los bigotes, dónde no ha aparecido ningún valor atípico y por lo tanto no se observan puntos fuera de los mismos. La caja se ha representado de tal forma que contiene el 50% de los datos contenidos en la variable, y su división corresponde a la posición de la mediana. Analizando el diagrama anterior se puede afirmar que la variable PIB per cápita en miles de euros para las provincias españolas varía entre 18 y 36, y que el 50% central de estas provincias tiene un PIB per cápita entre 20 (Q1) y 28(Q3), sin 17 presentar ningún valor atípico, ya que no aparecen puntos fuera de los bigotes. La distribución de X para las provincias es asimétrica hacia la derecha, ya que la zona de la derecha en el área central de la Figura es mayor que la de la izquierda, y la mediana corresponde aproximadamente al valor 22,5 de X, siendo la media 24 aproximadamente. A continuación, se presenta el DCB para el PIB provincial (columna PIB (miles €), Anexo 1) obtenido mediante STATGRAPHICS: Figura 10: Ventana de salida para el análisis de una variable para el PIB (miles de €). Fuente: Obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). La Figura 10 muestra la variable representada en el eje de abscisas, conteniendo los dos dígitos principales del PIB provincial en millones de euros. El rango de los datos ha sido calculado y representado de extremo a extremo de los bigotes (desde 1 millón hasta 231 millones), dónde han aparecido tres valores atípicos que se observan por los cuadrados fuera de los mismos (PIB provincial en millones de euros para Barcelona (171), Madrid (231) y Valencia (59). La caja se ha representado de tal forma que contiene el 50% de los datos contenidos en la variable (entre 7 y 23 millones de euros) que corresponden al cuartil 1 y cuartil 3, y su división corresponde a la posición de la mediana (13 millones de euros). La media aparece representada con una cruz roja, casi coincidente con el Q3 (23 millones de euros). 18 Se puede afirmar por tanto que el PIB provincial comprendido entre el 50% y el 75% cuentan con un PIB más disperso que el comprendido entre el 25% y el 50% ya que la caja es mayor a la derecha de la mediana. El bigote de la izquierda es más corto que el de la derecha, por ello el 25% de la población con un PIB provincial más bajo presenta mayor concentración que el 25% de los que tienen un PIB más alto. 3.4. Gráfico de Simetría (GS). En estadística, un gráfico de simetría es una representación gráfica de una variable que se utiliza para visualizar si los datos de la muestra provienen de una distribución simétrica. Una distribución será simétrica si los datos en ambos lados de la mediana están distribuidos de la misma manera (si las colas de la distribución son imágenes exactamente iguales). La Figura 11 representa las tres posibilidades de simetría que puede seguir una distribución: Figura 11: Representación gráfica de los tipos de simetría en un gráfico de simetría Fuente: Realización propia. ● Datos asimétricos(derecha): más valores distintos a la derecha de la media. ● Datos simétricos: los datos se distribuyen normalmente. ● Datos asimétricos(izquierda): más valores distintos a la izquierda. Para su construcción, se ilustra la distancia superior de la mediana en el eje X versus la distancia inferior hasta la mediana en el eje Y, para cada uno de los puntos 19 de datos. Se coloca un punto en el gráfico que muestra su situación y respectiva distancia de la mediana. La línea de referencia en la gráfica es la bisectriz del primer cuadrante, que representa un conjunto de datos perfectamente simétricos. La Figura 12 presenta el gráfico de simetría para el PIB per cápita provincial en miles de euros (Anexo 1) obtenido mediante STATGRAPHICS. El diagrama se ha construido cogiendo los datos correspondientes y se han expresado con una unidad de 1000,0. El diagrama muestra una distribución que no es simétrica, ya que los puntos no están situados cercanos a la línea recta de referencia (bisectriz del primer cuadrante) o sobre ella, que indicaría que los datos se distribuyen normalmente. Los puntos se encuentran alejándose de ésta hacia la izquierda, conformando una distribución asimétrica a la izquierda. Implica que hay asimetría negativa, es decir, hay más valores distintos a la izquierda de la mediana. Figura 12: Gráfico de simetría. Método análisis de una variable para el PIB per cápita (miles de €). Fuente: Obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). La Figura 13 muestra un ejemplo de asimetría hacia la derecha. Se presenta el diagrama de simetría para la esperanza de vida de los países de la OMS (Anexo 2: países de la OMS por esperanza de vida) obtenido mediante STATGRAPHICS. 20 Figura 13: Gráfico de simetría. Método análisis de una variable para la esperanza de vida de los países de la OMS. Fuente: Obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). La distribución está caracterizada por estar compuesta por datos asimétricos hacia la derecha, lo cual implica asimetría positiva, es decir, se encuentran más valores distintos a la derecha de la mediana. Simetría, probabilidad e histograma para una población normal Una población normal se ajusta a la forma de una campana de Gauss, conteniendo el 50% de los datos a la izquierda y derecha de la media. En un gráfico de simetría se observa cuando los puntos se ajustan a la línea de referencia como se ha mencionado anteriormente. Figura 14: Representación que muestra la equivalencia en diferentes tipos de gráficos de representar una población normal. Fuente: Realización propia. En la Figura 14 se muestra el gráfico de simetría con los puntos situados sobre el eje, dónde se observa el equivalente a representar una población que se distribuye 21 normalmente. A su vez, se muestra el gráfico que muestra la probabilidad bajo la cual el 50% de los datos se contienen entre las líneas respectivas, gráfico que emula la campana de Gauss. Además, a la derecha se presenta un histograma con una distribución normal. 3.5. Gráfico de Normalidad (GN). El Gráfico de Probabilidad Normal se usa para ayudar a juzgar si una muestra de datos numéricos proviene o no de una distribución normal. De no ser el caso, frecuentemente se puede determinar el tipo de alejamiento de la normalidad examinando la forma en la que los datos se desvían de la línea de referencia normal. Es un caso particular de gráficos Cuantil-Cuantil (“Q-Q Plots”). El gráfico probabilístico normal nos permite comparar la distribución empírica de un conjunto de datos con la distribución normal. Por tanto, dicho gráfico se puede considerar como una técnica gráfica para la prueba de normalidad de un conjunto de datos. La construcción del gráfico de probabilidad normal se realizará a través de los cuantiles de la normal estándar, de forma que aceptaremos la hipótesis de normalidad de los datos, siempre que los puntos en el gráfico tengan un comportamiento “suficientemente rectilíneo” (Castillo, S. y Lozano, E 2007). Para construir el gráfico de probabilidad normal para un conjunto de datos se representan en el eje vertical los valores ordenados de los datos y en el eje horizontal el valor esperado del i-ésimo estadístico de orden de una distribución normal. A continuación se presenta el gráfico de normalidad para el PIB per cápita en miles de euros de las provincias españolas (Anexo 1: provincias por PIB per cápita) obtenido mediante STATGRAPHICS: 22 Figura 15: Gráfico de probabilidad normal. Método de análisis de una variable para el PIB per cápita en miles de euros. Fuente. Obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). En la Figura 15 se observan las siguientes características de nuestra distribución: ● Si los datos vienen de una distribución normal, los puntos deberían de recaer aproximadamente a lo largo de la línea recta. Ésta recta se sitúa para ayudar a juzgar cómo de cerca se sitúan estos puntos, la cual ha sido determinada por la media y la desviación estándar de los residuos. ● Del gráfico se deduce que sigue una distribución asimétrica hacia la izquierda,la distribución en esta parte está más alejada de la línea, se desvía de ésta para abajo. ● Un extra, para comprobar la normalidad de la distribución, es seleccionar en STATGRAPHICS el ajuste de la distribución. Este panel muestra los resultados del test llevado a cabo para determinar si el PIB per cápita en miles de euros puede ser adecuadamente modelo por una distribución normal. Para juzgar si un conjunto de datos se distribuye normalmente, se puede utilizar la representación visual del histograma y graficar en él tanto el diagrama de densidad cómo la curva de distribución normal para ver el ajuste que éste último tiene sobre el Histograma. A continuación, en la figura 16 se muestra el histograma con la correspondiente curva de distribución normal en azul (el histograma se describe en el siguiente apartado). 23 Figura 16: Ajuste de la distribución para el histograma para el análisis del PIB per cápita en miles de euros. Fuente: Obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). En la Figura 16 se observa que la distribución del PIB per cápita en miles de euros no sigue una distribución normal. De este gráfico se puede observar que los datos no se distribuyen normalmente, ya que la gráfica de la distribución normal no sigue la forma de una campana, también conocida como la campana de Gauss. Las características de este gráfico son las contrarias: ● Presenta asimetría hacia la izquierda. ● No es asintótica, los valores no tienden a infinito ● En el centro de la curva no se encuentran ni la media, ni la mediana ni la moda. ● Los elementos centrales del modelo no son ni la media ni la varianza. A continuación se presenta el gráfico de normalidad para la edad media de los países de la OMS (Anexo 2: países OMS por edad media) obtenido mediante STATGRAPHICS: 24 Figura 17: Gráfico de probabilidad normal para el análisis de la variable países de la OMS por edad media. Fuente: Obtenido mediante STATGRAPHICS (Versión 19). Del análisis para la variable edad media mediante el gráfico de probabilidad normal se puede observar que los datos se ajustan en cierta medida a la línea de referencia, lo que podría significar que la distribución se distribuye normalmente. A diferencia del anterior análisis para el PIB per cápita, hay un claro ajuste en la mayoría de los datos que antes no se percibía. Como se comentó antes, hay otras técnicas que permiten juzgar con mayor claridad si los datos se distribuyen de manera normal. Con el objetivo de establecer un mejor juicio y a su vez comparar éstas otras técnicas con el gráfico de probabilidad normal, se presentan los gráficos obtenidos mediante STATGRAPHICS para el histograma con el ajuste de la distribución, la curva de densidad y el gráfico del cuantil del análisis de la variable edad media de los países de la OMS: Figura 18: Curva de densidad, ajuste de la distribución y gráfico de cuantil para el análisis de la variable países de la OMS por edad media. 25 6. ANEXO Los datos del Anexo 1 han sido recogidos de las siguientes fuentes: - Instituto Nacional de Estadística: https://www.ine.es/ - Eurostat: https://ec.europa.eu/eurostat - Data at WHO: https://www.who.int/data/ - Datos Mundial: www.datosmundial.com - Nuestro mundo en datos: www.ourworldindata.com - Datos Macro: www.datosmacro.expansion.com - Inex Mundi: www.inexmundi.com Anexo 1: Provincias de España por PIB Lista de provincias de España ordenadas por producto interior bruto per cápita (PIBpc) (según datos del INE del 2018). [Consultado 18/10/2021 Anexo:Provincias de España por PIB - Wikipedia, la enciclopedia libre]. Id Provincia CCAA PIB (miles de €) PIB per cápita(miles de €) 1 Cádiz Andalucía 22.535.246 18.050 2 Granada Andalucía 16.687.601 18.181 3 Badajoz Extremadura 12.423.261 18.453 4 Córdoba Andalucía 14.534.325 18.525 5 Toledo Castilla-La Mancha 12.814.575 18.617 6 Jaén Andalucía 11.808.429 18.628 7 Melilla Melilla 1.582.540 18.700 8 Málaga Andalucía 31.023.255 18.801 9 Cáceres Extremadura 7.664.977 19.464 10 Alicante Comunidad Valenciana 36.521.398 19.757 11 Zamora Castilla y León 3.459.100 19.813 12 Almería Andalucía 13.979.829 19.919 13 Ceuta Ceuta 1.720.295 20.251 14 Huelva Andalucía 10.607.333 20.273 15 Sevilla Andalucía 39.535.345 20.314 16 Guadalajara Castilla-La Mancha 5.245.815 20.415 17 Ávila Castilla y León 3.252.395 20.423 18 Las Palmas Islas Canarias 23.553.372 20.813 19 Santa Cruz de Tenerife Islas Canarias 22.269.949 21.076 20 Murcia Región de Murcia 31.198.376 21.094 21 Albacete Castilla-La Mancha 8.235.408 21.153 22 Salamanca Castilla y León 7.048.640 21.187 23 Ciudad Real Castilla-La Mancha 10.689.033 21.563 24 León Castilla y León 10.006.588 21.579 32 25 Orense Galicia 6.813.831 22.120 26 Segovia Castilla y León 3.418.981 22.212 27 Pontevedra Galicia 21.247.944 22.586 28 Cuenca Castilla-La Mancha 4.536.392 22.691 29 Asturias Asturias 23.258.673 22.709 30 Lugo Galicia 7.692.177 23.320 31 Valencia Comunidad Valenciana 59.123.107 23.363 32 Cantabria Cantabria 13.737.756 23.646 33 Zaragoza Aragón 27.348.811 23.816 34 Teruel Aragón 3.367.236 25.262 35 Soria Castilla y León 2.380.731 26.626 36 Valladolid Castilla y León 13.998.460 26.901 37 Palencia Castilla y León 4.407.310 27.346 38 La Rioja La Rioja 8.593.185 27.482 39 Islas Baleares Islas Baleares 32.767.619 27.870 40 Huesca Aragón 6.134.249 28.015 41 Gerona Cataluña 21.202.782 28.184 42 Castellón Comunidad Valenciana 16.149.473 28.367 43 La Coruña Galicia 26.682.181 28.386 44 Lérida Cataluña 12.218.853 28.456 45 Burgos Castilla y León 10.505.020 29.571 46 Tarragona Cataluña 24.567.640 30.810 47 Barcelona Cataluña 171.350.447 30.947 48 Navarra Navarra 20.047.454 31.026 49 Vizcaya País Vasco 36.085.689 31.792 50 Guipúzcoa País Vasco 24.060.930 33.112 51 Madrid Madrid 231.133.592 35.091 52 Álava País Vasco 11.882.941 36.404 Anexo 2: Países de la Organización Mundial de la Salud por edad media y por Esperanza de Vida. Lista de países por edad media y por esperanza de vida. Estimación del CIA World Factbook 2018.4 Id Países Edad Media Esperanza de Vida 1 Afganistán 18 64,49 2 Albania 32 78,9 3 Argelia 38 76,69 4 Samoa Americana 25 - 4https://es.wikicore.net/wiki/List_of_countries_by_median_age 33 5 Andorra 44 - 6 Angola 15 60,78 7 Anguila 34 - 8 Antigua y Barbuda 31 76,89 9 Argentina 31 76,52 10 Armenia 35 76,7 11 Aruba 39 - 12 Australia 38 82,75 13 Austria 44 81,8 14 Azerbaiyán 32 76 15 Las Bahamas 32 73,75 16 Bahréin 32 77,16 17 Bangladesh 26 72,32 18 Barbados 38 79,08 19 Bielorrusia 40 74,5 20 Bélgica 41 81,7 21 Belice 22 74,5 22 Benin 18 61,47 23 islas Bermudas 43 - 24 Bután 27 71,46 25 Bolivia 24 71,24 26 Bosnia y Herzegovina 42 77,26 27 Botswana 24 69,28 28 Brasil 34 75,67 29 Islas Vírgenes Británicas 36 30 Brunei 30 75,72 31 Bulgaria 42 75 32 Burkina Faso 17 61,17 33 Birmania 28 66,87 34 Burundi 17 61,25 35 Cabo Verde 25 72,78 36 Camboya 25 69,57 37 Camerún 18 58,92 38 Canadá 42 82,05 39 Islas Caimán 40 - 40 República Centroafricana 19 52,81 41 Chad 17 53,98 42 Chile 34 80,04 43 porcelana 37 - 44 Colombia 30 77,11 34 45 Comoras 19 64,12 46 República Democrática del Congo 18 60,37 47 República del Congo 19 64,29 48 Islas Cook 36 - 49 Costa Rica 31 80,1 50 Costa de Marfil 20 57,42 51 Croacia 43 78,2 52 Cuba 41 78,73 53 Curacao 36 - 54 Chipre 36 82,9 55 Republica checa 42 79,1 56 Dinamarca 42 81 57 Djibouti 23 66,58 58 Dominica 33 76,6 59 República Dominicana 28 73,89 60 Ecuador 27 76,8 61 Egipto 23 71,83 62 El Salvador 27 73,1 63 Guinea Ecuatorial 19 58,4 64 Eritrea 19 65,94 65 Estonia 42 78,5 66 Eswatini (Swazilandia) 21 - 67 Etiopía 17 66,24 68 UE 42 - 69 Islas Faroe 37 - 70 Fiyi 28 67,34 71 Finlandia 42 81,8 72 Francia 41 82,8 73 Polinesia francés 31 - 74 Gabón 18 66,19 75 Gambia 21 61,74 76 Palestina (Franja de Gaza) 17 - 77 Georgia 38 74 78 Alemania 47 81 79 Ghana 21 63,78 80 Gibraltar 34 - 81 Grecia 44 81,9 82 Granada 31 72,38 35 83 Guam 29 - 84 Guatemala 22 74,06 85 Guernsey 43 - 86 Guinea-Bissau 20 58 87 Guinea 18 61,19 88 Guayana 26 69,77 89 Haití 23 63,66 90 Honduras 23 75,09 91 Hong Kong 44 84,93 92 Hungría 42 76,2 93 Islandia 36 - 94 India 28 69,42 95 Indonesia 30 71,51 96 Iran 30 76,48 97 Irak 20 70,45 98 Irlanda 36 82,2 99 Isla del hombre 44 - 100 Israel 29 82,8 101 Italia 45 83,4 102 Jamaica 26 74,37 103 Japón 47 84,21 104 Jersey 38 - 105 Jordán 33 - 106 Kazajstán 30 73,15 107 Kenia 19 66,34 108 Kiribati 24 68,12 109 Corea del Norte 34 72,1 110 Corea del Sur 41 82,63 111 Kosovo 29 - 112 Kuwait 29 75,4 113 Kirguistán 26 71,4 114 Laos 23 67,61 115 Letonia 43 75,1 116 Líbano 30 78,88 117 Lesoto 24 53,71 118 Liberia 17 63,73 119 Libia 28 72,72 120 Liechtenstein 43 83,1 121 Lituania 43 76 122 Luxemburgo 39 82,3 123 Macao 39 - 36 124 Macedonia del Norte 37 76,7 125 Madagascar 19 66,68 126 Malawi 16 63,8 127 Malasia 28 76 128 Maldivas 28 78,63 129 Mali 15 58,89 130 Malta 41 82,5 131 Islas Marshall 22 65,24 132 Mauritania 20 64,7 133 Mauricio 35 74,42 134 México 28 74,99 135 Estados Federados de Micronesia 25 67,76 136 Moldavia 36 71,81 137 Mónaco 53 138 Mongolia 28 69,69 139 Montenegro 40 76,9 140 Montserrat 33 - 141 Marruecos 29 76,45 142 Mozambique 17 - 143 Namibia 21 63,37 144 Nauru 26 - 145 Nepal 24 70,48 146 Países Bajos 42 81,9 147 Nueva Caledonia 32 - 148 Nueva Zelanda 37 81,86 149 Nicaragua 25 74,28 150 Nigeria 18 54,33 151 Níger 15 62,02 152 Islas Marianas del Norte 33 - 153 Noruega 39 82,8 154 Omán 25 77,63 155 Pakistán 23 67,11 156 Palau 33 69,13 157 Panamá 29 78,33 158 Papúa Nueva Guinea 23 64,26 159 Paraguay 28 74,13 160 Perú 28 76,52 161 Filipinas 23 71,1 162 Polonia 40 77,7 37 163 Portugal 42 81,5 164 Puerto Rico 41 - 165 Katar 33 80,1 166 Rumania 41 75,3 167 Rusia 39 72,66 168 Ruanda 19 68,7 169 San Bartolomé 44 - 170 Santa Elena, Ascensión y Tristán da Cunha 41 - 171 Saint Kitts y Nevis 35 - 172 Santa Lucía 34 76,06 173 San Martín 32 - 174 San Pedro y Miquelón 46 - 175 San Vicente y las Granadinas 33 72,42 176 Samoa 24 73,19 177 San Marino 44 85,6 178 Santo Tomé y Príncipe 18 70,17 179 Arabia Saudita 27 75 180 Senegal 18 67,67 181 Serbia 42 75,9 182 Seychelles 35 72,84 183 Sierra Leona 19 54,31 184 Singapur 34 83,3 185 Sint Maarten 41 - 186 Eslovaquia 40 77,4 187 Eslovenia 44 81,5 188 Islas Salomón 22 72,84 189 Somalia 18 57,07 190 Sudáfrica 27 63,86 191 Sudán del Sur 17 57,6 192 España 42 83,5 193 Sri Lanka 32 76,81 194 Sudán 19 65,1 195 Surinam 29 71,57 196 Suecia 41 82,6 197 Suiza 42 83,8 198 Siria 24 71,78 199 Taiwán 40 - 200 Tayikistán 24 70,88 38 201 Tanzania 17 65,02 202 Tailandia 37 76,93 203 Timor Oriental 18 69,26 204 Para llevar 19 - 205 Tonga 23 70,8 206 Trinidad y Tobago 36 73,38 207 Túnez 31 76,51 208 pavo 30 - 209 Turkmenistán 27 68,07 210 Islas Turcas y Caicos 33 - 211 Tuvalu 25 - 212 Uganda 15 62,97 213 Ucrania 40 73,2 214 Emiratos Árabes Unidos 30 77,81 215 Reino Unido 40 81,3 216 Estados Unidos 38 78,64 217 Uruguay 35 77,77 218 Uzbekistán 28 71,57 219 Vanuatu 22 70,32 220 Venezuela 28 72,13 221 Vietnam 30 75,32 222 Islas Virgenes 41 - 223 Wallis y Futuna 32 - 224 Palestina (Cisjordania) 21 73,9 225 Sahara Occidental 21 - 227 Yemen 19 66,1 228 Zambia 16 63,51 229 Zimbabue 20 61,2 230 China [+] - 76,7 231 Jordania [+] - 74,41 232 San Cristóbal y Nieves [+] - 71,34 233 Suazilandia [+] - 59,4 234 Togo [+] - 60,76 39