Ideales tóricos asociados a grafos

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Máster Máster en Matemáticas Ideales tóricos asociados a grafos Autor: Sergio Matilla Mayo Tutor/es: Phillipe Gimenez ii ´ Indice general Introducci´on 1 1. Preliminares algebraicos 3 1.1. Conceptos b´asicos sobre resoluciones libres graduadas . . . . . 3 1.2. Mappingcone........................... 8 2. Ideales t´oricos 15 2.1. Definici´on y primeros resultados generales . . . . . . . . . . . 15 2.2. Ideales t´oricos asociados a grafos . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Escisi´on de ideales t´oricos 45 3.1. Primeros resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Aplicaci´on a ideales t´oricos asociados a grafos . . . . . . . . . 56 Bibliograf´ıa 67 iii iv ´ INDICE GENERAL Introducci´on El objeto de estudio de este trabajo son los ideales t´oricos, que, como se ver´a a lo largo del trabajo, hablar de ellos es equivalente a hablar de ideales binomiales primos. No solo se estudiar´an algunas de las propiedades principales de ellos, sino que tambi´en se ver´a c´omo se puede asociar un ideal t´orico a un grafo. Esto nos permitir´a estudiar propiedades del grafo en funci´on de propiedades del ideal y viceversa. Tambi´en, se pretende estudiar algunos casos en los que se puede expresar un ideal t´orico como suma de otros ideales t´oricos. El objetivo de hacer esta descomposi´on es poder estudiar propiedades del ideal t´orico como, por ejemplo, los n´umeros de Betti, en funci´on de los ideales que forman la descomposici´on, con la esperanza de que estos ´ultimos sean m´as sencillos que el original. Adem´as, esto permitir´a, en ciertos casos, estudiar propiedades de ideales t´oricos de manera recursiva. De manera general, los contenidos que incluye cada cap´ıtulo del trabajo son los siguientes. En el cap´ıtulo 1 se introducir´an algunos conceptos b´asicos sobre resoluciones libres graduadas y se introducir´a el concepto del mapping cone. Ambos conceptos ser´an necesarios para los siguientes cap´ıtulos del trabajo. A mayores, en estos cap´ıtulos se introducir´a la notaci´on que se seguir´a a lo largo de todo el trabajo. En el cap´ıtulo 2 se dar´a la definici´on de ideal t´orico y se demostrar´an los primeros resultados generales sobre ellos. Tambi´en se ver´a como se puede asociar un ideal t´orico a un grafo. Este cap´ıtulo finalizar´a con el teorema 2.2.31 que nos relacionar´a propiedades del grafo con propiedades del ideal t´orico asociado. En la primera parte del cap´ıtulo 3 se dar´an algunos casos particulares en los que podremos expresar un ideal t´orico como suma de otros ideales 1 2INTRODUCCI ´ ON t´oricos. En la segunda parte de este cap´ıtulo se ver´a a qu´e situaci´on sobre grafos corresponden los resultados vistos en la primera parte del cap´ıtulo, permitiendo hablar de escisi´on y fusi´on de grafos. Adem´as, a lo largo de este cap´ıtulo se ir´an dando resultados que muestran que los n´umeros de Betti de los ideales t´oricos est´an muy relacionados con los n´umeros de Betti de los ideales t´oricos que forman su escisi´on. Cap´ıtulo 1 Preliminares algebraicos En este cap´ıtulo se introducir´an algunos conceptos que se usar´an en el resto del trabajo. En la secci´on 1.1 se dar´an definiciones y resultados vistos en la asignatura de ´ Algebra combinatoria del M´aster de Matem´aticas, necesarios para la teor´ıa del trabajo. En la secci´on 1.2 se dar´a la construcci´on del mapping cone, que se usar´a en alguno de los resultados de este trabajo. 1.1. Conceptos b´asicos sobre resoluciones libres graduadas El objetivo de esta secci´on, como se ha comentado previamente, es definir alguno de los conceptos vistos en la asignatura de ´ Algebra combinatoria del M´aster de Matem´aticas ya que se consideran b´asicos para este trabajo. Adem´as, otro objetivo que se persigue es introducir una notaci´on que se seguir´a a lo largo de todo el trabajo. Definici´on 1.1.1. Sea Aun anillo y (Mi)i∈Iuna familia de A-m´odulos, no necesariamente finita. Sean (ϕi)i∈Iuna familia de homomorfismos de Am´odulos, ϕi:Mi→Mi−1. Se considera la siguiente sucesi´on: · · · ϕi+2 −−→ Mi+1 ϕi+1 −−→ Mi ϕi −→ Mi−1 ϕi−1 −−→ · · · 1. Diremos que la sucesi´on es exacta en Misi Im(ϕi+1) = ker(ϕi). 2. Diremos que la sucesi´on es exacta si lo es para cada Mique no est´e al principio o al final de la sucesi´on. Sea Aun anillo, Mun A-m´odulo finitamente generado y {f1, . . . , ft}un sistema de generadores de M. Esta informaci´on es equivalente a tener un 3 4PRELIMINARES ALGEBRAICOS homomorfismo sobreyectivo ϕ:At→M, dado por, si {ei, . . . , et}es la base est´andar en At, entonces ϕ(ei) = fi. Esto es equivalente a tener una sucesi´on exacta Atϕ −→ M→0, donde el ´ultimo homomorfismo es la aplicaci´on nula. Definici´on 1.1.2. En esta situaci´on, llamaremos primer m´odulo de sizigias de {f1, . . . , ft}al n´ucleo de la aplicaci´on ϕ. Lo denotaremos por Syz (f1, . . . , ft). Supongamos que el anillo Aes noetheriano, entonces Syz (f1, . . . , ft)⊆At es un A-m´odulo finitamente generado y supongamos que tenemos un sistema de generadores formado por selementos. Siguiendo el procedimiento previo a la definci´on, esto es equivalente a tener un homomorismo sobreyectivo ψ:As→Syz (f1, . . . , ft) = ker(ϕ). Es decir, tenemos la siguiente sucesi´on exacta: Asψ −→ Atϕ −→ M→0. De la misma manera que antes, nos podemos preguntar por el primer m´odulo de sizigias de Syz (f1, . . . , ft), es decir, ker(ψ). A este m´odulo lo llamaremos el segundo m´odulo de sizigias de {f1, . . . , ft}. Hacer esta consideraci´on nos permite extender, sin perder la exactitud, la sucesi´on exacta anterior a la siguiente sucesi´on: Arα −→ Asψ −→ Atϕ −→ M→0. Definici´on 1.1.3. Sea Mun A-m´odulo. Una resoluci´on libre de Mes una sucesi´on exacta de la forma · · · ϕ3 −→ F2 ϕ2 −→ F1 ϕ1 −→ F0 ϕ0 −→ M→0, donde cada Fi≃Aβies un m´odulo libre de rango βi. Si existe rtal que Fr= 0 y Fl= 0 para l > r, entonces diremos que la resoluci´on es finita de longitud ry la escribiremos como 0→Fr ϕr −→ · · · F1 ϕ1 −→ F0 ϕ0 −→ M→0, donde el primer homomorfismo es el que env´ıa el 0 en el 0 de Fr. Notaci´on 1.1.4.Los homomorfismos ϕireciben el nombre de diferenciales. Que el anillo Asea noetheriano no basta para asegurar que dado un A-m´odulo Mpodemos encontrar una resoluci´on libre finita. El siguiente resultado es el que nos va a permitir, en un caso concreto, asegurar esto. 1.1 Conceptos b´asicos sobre resoluciones libres graduadas 5 Teorema 1.1.5 (Teorema de las sizigias de Hilbert).Sea A=K[x1, . . . , xn] con Kun cuerpo. Entonces, todo A-m´odulo finitamente generado admite una resoluci´on libre de longitud a lo sumo n. La demostraci´on de este teorema se puede encontrar en [4, Th. 2.1]. Calculando los sucesivos m´odulos de sizigias del A-m´odulo Mpodemos construir una resoluci´on libre de M. Sin embargo, esta resoluci´on no es ´unica y depende del sistema de generadores que hayamos fijado tanto en Mcomo en cada m´odulo de sizigias. Para intentar solucionar esto, se considera M un A-m´odulo graduado y se introduce lo que se llama una resoluci´on libre minimal graduada. Veamos primero lo que es una resoluci´on libre graduada. Definici´on 1.1.6. Sean Aun anillo graduado y M, N dos A-m´odulos graduados, A=M t∈Z At, M =M t∈Z Mt, N =M t∈Z Nt, yφ:M→Nun homomorfismo. Diremos que φes un homomorfismo graduado de grado dsi, ∀t∈Z, φ(Mt)⊆Nt+d. Diremos que φes graduado si es graduado de grado 0. Definici´on 1.1.7. Sea Mun A-m´odulo graduado, M=Lt∈ZMty sea d∈Z. Denotaremos por M(d) al A-m´odulo Mcon la graduaci´on M(d) = M t∈Z (M(d))t, donde definimos (M(d))t:= Md+t. Tambi´en, aunque la teor´ıa es m´as general, a partir de ahora nos centraremos en el caso en el que A=K[x1, . . . , xn]. Volviendo al hilo de las resoluciones libres graduadas, supongamos que Mes un A-m´odulo finitamente generado y {f1, . . . , fm}es un sistema de generadores de Mcon cada fihomog´eneo de grado di. Si pensamos en el homomorfismo ϕ:Am→Mdado por ϕ(ei) = fi, si a cada eile damos el peso di:= deg fi, entonces ϕ:A(−d1)⊕ · · · ⊕ A(−dm)→M, es un homomorfismo graduado. 12 PRELIMINARES ALGEBRAICOS Supongamos ahora que tenemos definidas φ0, . . . , φi−1y definamos φi: Ui di −→ Ui−1 di−1 −−→ Ui−2 ↓φi↓φi−1 U′ i d′ i −→ U′ i−1 d′ i−1 −−→ U′ i−2. (1.5) Dado x∈Ui,φi(x) debe cumplir que d′ i(φi(x)) = φi−1(di(x)), por tanto, debemos definir φi(x) como la preimagen de φi−1(di(x)) por d′ i. Esto es posible ya que d′ i−1(φi−1(di(x))) = φi−2(di−1(di(x))) = 0, luego φi−1(di(x)) ∈ker(d′ i−1) = Im(d′ i). En esta situaci´on, la construcci´on del mapping cone de φnos da una sucesi´on exacta entre los m´odulos de homolog´ıa. Adem´as, como UyU′son resoluciones libres (entonces Hi(U) = Hi(U′) = 0 para todo i≥1), se tiene que Hi(W) = 0 para todo i≥2. Por tanto, la ecuaci´on (1.3) se simplifica en la sucesi´on exacta 0→H1(W)→H0(U) = Vφ −→ H0(U′) = V′→H0(W)→0. Como φes inyectiva se tiene que H1(W) = 0. Adem´as, H0(W)≃V′/φ(V) gracias al teorema de isomorf´ıa. Es decir, el mapping cone de φ:V→V′ nos da una resoluci´on libre de V′/φ(V). De hecho, si adem´as suponemos que φes un homomorfismo graduado (graduado de grado 0) y las resoluciones son gradudas, tenemos que el mapping cone de φnos da una resoluci´on libre graduada sin m´as que ver (1.2). Ejemplo 1.2.7. Sea A=K[x, y] para alg´un cuerpo K. Y sean UyU′los m´odulos U=A/(x, y2) y U′=A/(x2, y3). Consideramos φla aplicaci´on multiplicaci´on por xy. Adem´as, para que φsea un homomorfismo graduado vamos a desplazar U=A/(x, y2) por el multigrado (1,1), luego U=A (x,y2)(−(1,1)). Se tiene que la resoluci´on libre minimal multigraduada de Ues 0→A(−(2,3))   y2 −x   −−−−→ A(−(2,1)) ⊕A(−(1,3)) x y2 −−−−−→ A(−(1,1)) → →A (x, y2)(−(1,1)) →0. 1.2 Mapping cone 13 La resoluci´on libre minimal multigraduada de U′es 0→A(−(2,3))   y3 −x2  −−−−−→ A(−(2,0))⊕A(−(0,3)) x2y3 −−−−−−→ A→A (x2, y3)→0. Extendamos ahora el homomorfismo φa un homomorfismo entre comlejos siguiendo los pasos introducidos en (1.4). En primer lugar, necesitamos definir φ0:A(−(1,1)) →A. Teniendo en cuenta que los ´ultimos homomorfisos de las resoluciones son los homomorfismos de paso al cociente, se define φ0como la aplicaci´on multiplicaci´on por xy. Para definir φ1:A(−(2,1)) ⊕A(−(1,3)) →A(−(2,0)) ⊕A(−(0,3)) seguimos los pasos introducios en (1.5). Si escribimos φ1=a b c d, entonces debe cumplirse que dados f g∈A(−(2,1)) ⊕A(−(1,3)), xy ·x y2f g=x2y3a b c df g. Es decir, fx2y+gxy3=afx2+bgx2+cfy3+dgy3. Por tanto, necesariamente b=c= 0, a=y,d=x, luego φ1=y0 0x. Siguiendo este mismo razonamiento se define φ2:A(−(2,3)) →A(−(2,3)) como la aplicaci´on identidad. El mapping cone de φes el complejo (W, ∂), donde W0=U′ 0=A, W1=U0⊕U′ 1=A(−(1,1)) ⊕A(−(2,0)) ⊕A(−(0,3)), W2=U1⊕U′ 2=A(−(2,1)) ⊕A(−(1,3)) ⊕A(−(2,3)), W3=U2=A(−(2,3)). Veamos ahora como son los homomorfismos del complejo. En primer lugar, dado f∈U0yg1 g2∈U′ 1, ∂1(  f g1 g2 ) = d′ 1(g1 g2) + φ0(f) = x2y3g1 g2+xyf =x2g1+y3g2+xyf. 14 PRELIMINARES ALGEBRAICOS Es decir, ∂1es la matriz xy x2y3. Para ∂2, dado g1 g2∈U1yf∈U′ 2, ∂2(  g1 g2 f ) =     −d1(g1 g2) d′ 2(f) + φ1(g1 g2)     =    −x y2g1 g2 y3 −x2f+y0 0xg1 g2    =  −xg1−y2g2 y3f+xg1 −x2f+xg2 . Por tanto, ∂2es la matriz   −x−y20 x0y3 0x−x2 . Por ´ultimo, si repetimos este proceso obtenemos que ∂3es la matriz   1 −y2 x . Cap´ıtulo 2 Ideales t´oricos En la secci´on 2.1 de este cap´ıtulo se dar´a la definici´on de ideal t´orico y alguna de sus propiedades principales. En la secci´on 2.2 veremos como se pueden aplicar las definiciones y conceptos de la secci´on 2.1 al caso de grafos simples finitos. 2.1. Definici´on y primeros resultados generales Denotaremos por Md×n(Z) al conjunto de las matrices de tama˜no d×ncon coeficientes enteros. Dada una matriz A= (aij)∈Md×n(Z), para 1 ≤j≤n denotaremos por ajla columna j-´esima de la matriz A, es decir, aj=     a1j a2j . . . adj      . Definici´on 2.1.1. Como de costumbre, para dos vectores a= (a1, . . . , ad) y b= (b1, . . . , bd) se define el producto escalar de aybcomo a·b= d X i=1 aibi. Definici´on 2.1.2. Dada una matriz A∈Md×n(Z), diremos que es una matriz de configuraci´on si existe c∈Qdtal que aj·c= 1,1≤j≤n. 15 16 IDEALES T ´ ORICOS Ejemplo 2.1.3. La matriz A=1 3 2 0 2 1es una matriz de configuraci´on ya que si tomamos c= (1,−1)t∈Q2cumple la condici´on de la definici´on. Ejemplo 2.1.4. Tambi´en se tiene que (a1, . . . , an)∈M1×n(Z) es una matriz de configuraci´on si y solo si a1=· · · =an= 0. La implicaci´on de derecha a izquierda es clara y, rec´ıprocamente, si es de configuraci´on, existe c∈Q con aic= 1 para todo 1 ≤i≤n, lo que implica que ning´un aies nulo. Despejando en la primera igualdad, c= 1/a1y, llevando esta informaci´on a las dem´as igualdades, se tiene que todos los aison iguales. Sea Kun cuerpo y denotaremos por K[t±1 1, . . . , t±1 d] al anillo de polinomios de Laurent sobre K. Sea A∈Md×n(Z) (no necesariamente de configuraci´on) y definimos el homomorfismo de K-´algebras π:K[x1, . . . , xn]−→ K[t±1 1, . . . , t±1 d],(2.1) dado por π(xj) = taj=ta1j 1· · · tadj d. Definici´on 2.1.5. A la imagen de πla llamaremos el anillo t´orico de Ay la denotaremos por K[A]. Al n´ucleo de la aplicaci´on πlo llamaremos el ideal t´orico de Ay lo denotaremos por IA. Nota 2.1.6.Notar que K[A] es la sub´algebra K[ta1, . . . , tan] de K[t±1 1, . . . , t±1 d]. Nota 2.1.7.IAes un ideal primo ya que K[A] es un dominio de integridad y, por el teorema de isomorf´ıa, K[x1, . . . , xn]/IAes isomorfo a K[A]. Ejemplo 2.1.8. Volviendo al ejemplo anterior, si A=1 3 2 0 2 1, entonces πes la aplicaci´on π:K[x1, x2, x3]−→ K[t±1 1, t±1 2], definida por π(x1) = t1,π(x2) = t3 1t2 2yπ(x3) = t2 1t2. Por tanto, IA= ker(π) = (x1x2−x2 3). Proposici´on 2.1.9. Sea A∈Md×n(Z). Entonces, dim K[A] = rang A. Demostraci´on. Sea K(A) el cuerpo de fracciones de K[A]. Gracias al teorema [3, Th. A.16], se tiene que la dimensi´on de Krull de K[A] es igual al grado de trascendencia de K(A) sobre K. Denotamos por G⊆Zdel subgrupo de Zdgenerado por ajpara 1 ≤ j≤n.Ges un grupo abeliano libre con rango igual a r= rang(A) y sean g1,...,gruna base de G. Por tanto, K(A) = K(tg1, . . . , tgr). Si vemos que 2.1 Definici´on y primeros resultados generales 17 los elementos tg1, . . . , tgrson algebraicamente independientes sobre K, tendremos que el grado de trascendencia de K(A) sobre Kes r= rang(A), probando la proposici´on. Sea F∈K[y1, . . . , yr] un polinomio con F(tg1, . . . , tgr) = 0. Si F= Pjλjyα1 1· · · yαr r, entonces X j λjtα1g1+···+αrgr= 0. Como los gison linealmente independientes, los t´erminos α1g1+· · · +αrgr son diferentes dos a dos, por tanto, no hay cancelaci´on y se tiene que λj= 0 para todo j, es decir, F= 0, probando que tg1, . . . , tgrson algebraicamente independientes sobre K. Definici´on 2.1.10. Un binomio de K[x1, . . . , xn] es un polinomio fen K[x1, . . . , xn] de la forma f=u−v, con uyvmonomios de K[x1, . . . , xn]. Vamos a introducir una notaci´on que usaremos de manera frecuente a lo largo de este trabajo. Dado un vector columna b=     b1 b2 . . . bn      , con bi∈Zpara todo 1 ≤i≤n, definimos el binomio fb∈K[x1, . . . , xn] como fb=Y bi>0 xbi i−Y bj<0 x−bj j. Notaci´on 2.1.11.Cada vector b∈Znlo podemos escribir como b=b+−b−, donde b+yb−son vectores en Nncuyos elementos son b+ i=bisi bi≥0, 0 si bi<0, b− i=−bisi bi≤0, 0 si bi>0. Con esta notaci´on, fb=xb+−xb−. Nota 2.1.12.Para cada binomio f∈K[x1, . . . , xn] existe un ´unico monomio gy un ´unico vector b∈Zncon f=gfb. Para ver esto, supongamos que f=u−v, con uyvmonomios en K[x1, . . . , xn]. Si uyvno comparten 18 IDEALES T ´ ORICOS variables, es decir, el soporte de uyves disjunto, el comentario es claro. En cambio, si comparten variables, por facilitar la notaci´on supongamos que comparten x1, . . . , xjcon j≤n, y si escribimos u=xα1 1· · · xαj j· · · xαn n, v=xλ1 1· · · xλj j· · · xλn n. Entonces, f=u−v= ( j Y i=1 xmin(αi, λi) i)(xµ1 1· · · xµj j· · · xαn n−xδ1 1· · · xδj j· · · xλn n), donde µk=αk−min(αk, λk) y δk=λk−min(αk, λk) para 1 ≤k≤j. Ya estamos en el caso favorable, tenemos un monomio multiplicando a otros dos que no comparten variables. Teorema 2.1.13. Todo ideal t´orico es un ideal binomial. M´as a´un, dada una matriz A∈Md×n(Z),IAest´a generado por los bimonomios fbcon b∈Zn tal que Ab= 0, es decir, b∈ker(A). Demostraci´on. Veamos primero que IAes un ideal binomial. Dado f∈IA no nulo, si f=Pjλjuj, con ujmonomios en K[x1, . . . , xn] y λj∈Ky recordamos que IA= ker(π), entonces 0 = π(f) = X j λjπ(uj) = X c (X j/π(uj)=tc λj)tc. Por tanto, Pj/π(uj)=tcλj= 0, para todo cque aparezca en la expresi´on de arriba. Veamos que podemos escribir fcomo una combinaci´on lineal de binomios. Si definimos el polinomio f(c)como f(c)=X j/π(uj)=tc λjuj, podemos reordenar los monomios de fy escribir fcomo f=Pcf(c). Ahora, para cada ccon f(c)= 0 y dado uun monomio en el soporte de f(c), como 0 = Pj/π(uj)=tcλj, se tiene que f(c)=X j/π(uj)=tc λjuj−(X j/π(uj)=tc λj)u=X j/π(uj)=tc λj(uj−u), 2.1 Definici´on y primeros resultados generales 19 probando que fse puede poner como combinaci´on de binomios, es decir, IA es un ideal binomial. Por la nota previa al teorema, todos los binomios son de la forma gfb para alg´un b∈Zny para alg´un monomio g, luego solo queda probar que fb∈IAsi y solo si Ab= 0. Como IA= ker(π), fb∈IAsi y solo si 0 = π(fb) = π(xb+)−π(xb−) = tAb+−tAb−. Es decir, si y solo si Ab+=Ab−. Lo que, teniendo en cuenta que b=b+−b−, ocurre si y solo si Ab= 0. Ejemplo 2.1.14. Siguiendo el ejemplo 2.1.8 con la matriz A=1 3 2 0 2 1, se tiene que ker(A) = {(t, t, −2t), t ∈Z}. Por tanto, IAest´a generado por los binomios de la forma xt 1xt 2−x2t 3, es decir, IA= (x1x2−x2 3), como vimos en el ejemplo 2.1.8. Ya hemos visto que todo ideal t´orico es un ideal binomial primo, el siguiente teorema nos da la afirmaci´on rec´ıproca. Teorema 2.1.15. Sea I⊆K[x1, . . . , xn]un ideal binomial primo. Entonces, Ies un ideal t´orico. Demostraci´on. Veamos primero que si definimos L={b∈Zn/fb∈I}, entonces Les un subgrupo de Zn. Para ello, si tenemos dos binomios fby fc, entonces fbfc=ufb+c−xb−fc−xc−fb, para alg´un monomio u. Ahora, como Ies un ideal primo, si fbyfcpertenecen aI, entonces fb+c∈I. Por ´ultimo, f−b=−fb∈I, probando que Les un subgrupo de Zn. Si vemos que Zn/L es libre de torsi´on, entonces existe una inmersi´on f, de Zn/L en Zdpara alg´un d. Sean e1,...,enla base can´onica de Zny sean ai∈Zdla imagen de cada ei+L. Se tiene que Pn i=1 biai= 0 si y solo si b= (b1, . . . , bn)t∈L. Esto es cierto ya que n X i=1 biai= n X i=1 bif(ei+L) = n X i=1 f(biei+L) = f( n X i=1 (biei+L) = f(b+L). Por tanto, si definimos la matriz Acomo la matriz cuyas columnas son ai, entonces b∈Lsi y solo si b∈ker(A). Por tanto, Ies el ideal t´orico IAy se termina la prueba. 20 IDEALES T ´ ORICOS Veamos que Zn/L es libre de torsi´on: tenemos que ver que dado b∈Zn, si existe m∈Z,m > 1 con mb∈L, entonces b∈L. Primero, como mb∈L, entonces fmb∈I. Diferenciamos dos casos: 1. Si char(K) = 0, descomponemos fmb=fbg, donde g=x(m−1)b++x(m−2)b+xb−+· · · +xb+x(m−2)b−+x(m−1)b−. Si sustituimos cada xipor 1, gno es nulo con esta sustituci´on. En cambio, haciendo esta sustituci´on cualquier binomio se anula, luego es imposible que g∈I. Para terminar, como Ies un ideal primo y fmb∈I, necesariamente fb∈I, luego b∈L. 2. Si char(K) = p >0, escribimos m=pem′, con e≥0, m′≥1 enteros tales que pno divide a m′. Descomponemos fmb=fpe bg′, donde g′=x(m′−1)peb++· · · +xpeb++xpeb−+· · · +x(m′−1)peb−. De nuevo, si sustituimos cada xipor 1, g′no se anula y, por tanto, g /∈I. Como Ies primo y fmb∈I, necesariamente fpe b∈Ique, como Ies primo, implica que fb∈I. La siguiente proposici´on nos proporcionar´a un criterio para determinar cuando un ideal t´orico es homog´eneo. Proposici´on 2.1.16. Sea A∈Md×n(Z), son equivalentes: 1. Aes una matriz de configuraci´on. 2. Para todo b= (b1, . . . , bn)t∈Zncon Ab= 0, se tiene que Pn i=1 bi= 0. 3. IAes un ideal homog´eneo. Demostraci´on. (1 ⇒2) Como Aes una matriz de configuraci´on, existe c∈ Qdtal que cA= (1,...,1) ∈Zn. Sea b= (b1, . . . , bn)t∈Zncon Ab= 0. Entonces, 0 = c(Ab) = (cA)b= (1,...,1)(b1, . . . , bn)t= n X i=1 bi, cumpli´endose la condici´on 2. 2.1 Definici´on y primeros resultados generales 21 (2 ⇒1) Sea U⊆Qnel subespacio generado por las filas de la matriz A. Sea V⊆Qnel subespacio generado por las filas de la matriz Ay el vector (1,...,1) ∈Qn. Como U⊆V, se tiene que V⊥⊂U⊥, donde U⊥={w∈Qn/u·w= 0,∀u∈U}, V⊥={w∈Qn/v·w= 0,∀v∈V}. Adem´as, si w∈U⊥, entonces Awt= 0, lo que, gracias a la condici´on 2, implica que 0 = Pn i=1 wi=w·(1,...,1), es decir, w∈V⊥. Por tanto, U⊥=V⊥y, entonces, U= (U⊥)⊥= (V⊥)⊥=V. Para concluir, como UyVson finitamente generados, (1,...,1) es una combinaci´on lineal de las filas de A. Si denotamos por A1,...,Adlas filas de A, existen c1, . . . , cd∈Qtales que c1A1+· · · +cdAd= (1,...,1). Para c= (c1, . . . , cd) tenemos la condici´on de que Asea una matriz de configuraci´on. (2 ⇔3) Gracias al teorema 2.1.13, los monomios fbcon Ab= 0 generan IA. Por definici´on, IAes un ideal homog´eneo si y solo si sus generadores, fb, son homog´eneos. Por ´ultimo, es claro que esto ocurre si y solo si 2. Para concluir la secci´on daremos un resultado que nos indicar´a c´omo se puede calcular el ideal t´orico de una matriz A∈Md×n(Z) usando eliminaci´on de variables. Ver [10]. Definimos S[t±] = K[x1, . . . , xn, t± 1, . . . , t± d]. Si Atiene como columnas a1,...,an, definimos el ideal JA⊆S[t±] como JA=⟨x1−ta1, . . . , xn−tan⟩. Antes de la proposici´on, probaremos el siguiente lema que nos ser´a de utilidad. Lema 2.1.17. Si Ces un anillo conmutativo y c1, . . . , ct, c′ 1, . . . , c′ t∈C, entonces c1· · · ct−c′ 1· · · c′ t∈ ⟨c1−c′ 1, . . . , ct−c′ t⟩. 28 IDEALES T ´ ORICOS Veamos ahora que est´a generado por caminos cerrados pares primitivos. Sea ωun camino cerrado par que no es primitivo y sea 2qla longitud de ω. Como no es primitivo, existe otro camino cerrado par ω′, de longitud menor que 2qy tal que si escribimos fω=f+ ω−f− ω, entonces f+ ω′divide a f+ ωy f− ω′divide a f− ω. El binomio g=f+ ω/f+ ω′−f− ω/f− ω′pertenece a IGya que corresponde a un camino cerrado par. Podemos descomponer fω=gf+ ω′+fω′ f− ω f− ω′ =f+ ω−f+ ω′f− ω f− ω′ +f+ ω′f− ω f− ω′ −f− ω=f+ ω−f− ω=fω. Ahora, tanto gcomo fω′corresponden a caminos cerrados pares que, o son primitivos, o est´an formados por una cantidad menor de aristas que ω. Repitiendo este proceso, podemos expresar fωcomo una combinaci´on lineal de binomios que corresponden a caminos cerrados pares primitivos. Vamos a dar unos resultados previos que son necesarios para poder demostrar el teorema 2.2.31. M´as concretamente, estos resultados nos permitir´an demostrar el corolario 2.2.30, que es una de las implicaciones del teorema. El siguiente lema nos dir´a c´omo son los caminos cerrados pares primitivos en un grafo. Lema 2.2.18. Sea Gun grafo simple finito. Un camino par cerrado primitivo ωde Ges de uno de los siguientes tipos: 1. ωes un ciclo par de G. 2. ωes una concatenaci´on de dos ciclos impares. Es decir, ω= (C1, C2) donde C1yC2son ciclos impares con exactamente un v´ertice en com´un. 3. (Ver figura 2.3) ω= (C1, ω1, C2, ω2), donde C1yC2son ciclos impares de Gtal que V(C1)∩V(C2) = ∅y donde ω1yω2son caminos de Gde la forma ω1= (ei1, . . . , eir),ω2= (e′ i1, . . . , e′ ir′)cumpliendo que si x1es el ´unico v´ertice de ei1∩e′ ir′∩V(C1)yx2el ´unico v´ertice de eir∩e′ i1∩V(C2), entonces (V(C1)∪V(C2)) ∩(ei1\ {x1}) = ∅, (V(C1)∪V(C2)) ∩eij=∅,para 2≤j≤r−1, (V(C1)∪V(C2)) ∩(eir\ {x2}) = ∅, (V(C1)∪V(C2)) ∩(e′ i1\ {x2}) = ∅, (V(C1)∪V(C2)) ∩e′ ij′=∅,para 2≤j′≤r′−1, (V(C1)∪V(C2)) ∩(e′ ir′\ {x1}) = ∅. 2.2 Ideales t´oricos asociados a grafos 29 Demostraci´on. Sea ω= (ei1, . . . , ei2q) = ({xj0, xj1},{xj1xj2},...,{xj2q−1, xj0}) un camino cerrado par primitivo de G. Si jk=jlsi k=l, entonces ωes un ciclo par de G, teni´endose 1. Si ωno es un ciclo, sea 0 ≤r≤2q−1 tal que jk=jk′para todos 0≤k < k′< r ≤2q−1. Sea 0 ≤k′′ < r tal que jk′′ =jr. Entonces, ω= (C1, ω′) donde C1es el siguiente ciclo de G C1= ({xjk′′ , xjk′′+1 },{xjk′′+1 , xjk′′+2 },...,{xjr−1, xjr}), yω′es el siguiente camino cerrado de G ω′= ({xjr, xjr+1 },...,{xj2q−1, xj0},{xj0, xj1},...,{xjk′′−1, xjk′′ }). Como ωes primitivo, necesariamente tanto C1como ω′deben tener longitud impar. Para simplificar la notaci´on escribiremos C1= ({xj0, xj1},{xj1, xj2},...,{xjr−1, xj0}), ω′= ({xj0, xjr+1 },{xjr+1 , xjr+2 },...,{xj2q−1, xj0}). Veamos ahora que C1yω′solo tienen xj0como v´ertice en com´un. Por reducci´on al absurdo, supongamos que existe 1 ≤ja≤r−1, ja=j0con xja∈V(C1)∩V(ω′). Adem´as, como xja∈ω′, existe r+ 1 ≤jb≤2q−1 con xja=xjb. Sean ω1yω2los caminos ω1= ({xj0, xj1},{xj1, xj2},...,{xja−1, xja}), ω2= ({xja, xja+1 },{xj1, xj2},...,{xjr−1, xj0}). Como C1tiene longitud impar y C1= (ω1, ω2), necesariamente uno (y solo uno) de los dos caminos tiene longitud impar. De la misma manera, sean ω3 yω4los siguientes caminos ω3= ({xj0, xjr+1 },{xjr+1 , xjr+2 },...,{xjb−1, xjb}), ω3= ({xjb, xjb+1 },{xjb+1 , xjb+2 },...,{xj2q−1, xj0}). Como ω′tiene longitud impar y ω′= (ω3, ω4), necesariamente uno (y solo uno) de los dos caminos tiene longitud impar. Esto implica que si consideramos los caminos cerrados (ω1, ω3), (ω1, ω4), (ω2, ω3) o (ω2, ω4), alguno de ellos tiene longitud par. Esto es una contradicci´on con que ωsea un camino primitivo. Es decir, acabamos de probar que V(C1)∩V(ω′) = {xj0}. Si ω′es un ciclo de G, entonces estamos en la condici´on 2 del enunciado. 30 IDEALES T ´ ORICOS Supongamos que ω′no es un ciclo y veamos que para todo r+ 2 ≤c≤ 2q−2 se tiene que j0=jc. Por reducci´on al absurdo supongamos que existe r+ 2 ≤c≤2q−2 con j0=jc. Sean ω5yω6los siguientes caminos ω5= ({xj0, xjr+1 },{xjr+1 , xjr+2 },...,{xjc−1, xjc}), ω6= ({xjc, xjc+1 },{xjc+1 , xjc+2 },...,{xj2q−1, xj0}). Como ω′tiene longitud impar y ω′= (ω5, ω6), necesariamente uno (y solo uno) de los dos caminos tiene longitud impar. Por tanto, como C1tambi´en tiene longitud impar, uno de los caminos cerrados (C1, ω5) o (C1, ω6) tiene longitud par, contradiciendo que ωsea primitivo. Por tanto, para todo r+2 ≤ c≤2q−2 se tiene que j0=jc. Teniendo en cuenta que ω′no es un ciclo y que acabamos de probar que no se repite el primer v´ertice de ω′, necesariamente ω′= (ω7, ω8, ω9) donde ω7es un camino de Gcon xj0∈ω7,ω8es un camino cerrado de G yω9es un camino de Gcon xj0∈ω9. Como ωes primitivo necesariamete ω8tiene longitud impar. Si ω8es un ciclo de Gestamos en la condici´on 3 del enunciado. Si no, repitiendo este proceso con ω8y teniendo en cuenta que la concatenaci´on de caminos es un camino, llegaremos a la situaci´on ω′= (α, β, γ), con αyγdos caminos de Gcon xj0∈α,xj0∈γyβun ciclo de longitud impar de G, es decir, la situaci´on 3 del enunciado. Figura 2.3: Ejemplo de la construcci´on del paso 3 del lema 2.2.18 Nota 2.2.19.Los caminos ω1yω2de la construcci´on del paso 3 del lema anterior pueden ser el mismo camino pero recorridos en sentido contrario. Adem´as, notar que la paridad de los caminos ω1yω2debe de ser la misma para que se cumpla que el camino ωes par. Corolario 2.2.20. Si Ges un grafo bipartito entonces todos los caminos cerrados pares primitivos son ciclos pares. En particular, IGest´a generado por binomios fC, donde Ces un ciclo par de G. 2.2 Ideales t´oricos asociados a grafos 31 Demostraci´on. Gracias a la proposici´on 2.2.12, en un grafo bipartito no puede haber ciclos impares. Por tanto, todos los caminos cerrados pares primitivos son ciclos pares gracias al lema anterior. Gracias al teorema 2.2.17 se tiene la segunda parte del enunciado. Definici´on 2.2.21. Diremos que un camino cerrado par ωde Ges fundamental si para todo camino cerrado par ω′con V(ω′)⊆V(ω) con fω′= 0 se cumple que fω=fω′ofω=−fω′. Nota 2.2.22.Notar que si un camino cerrado par es fundamental entonces tambi´en es primitivo. Lema 2.2.23. Sea ωun camino cerrado par fundamental de Gy supongamos que el ideal IGest´a generado por {fω1, . . . , fωs}, donde cada fωies un camino cerrado par de G. Entonces, existe un 1≤i≤scon fω=fωiofω=−fωi. Demostraci´on. Como fω∈IGexiste 1 ≤i≤stal que f+ ωidivide a f+ ωo a f− ω. Por tanto, V(ωi)⊆V(ω) y se cumple el resultado. Definici´on 2.2.24. Sean CyC′dos ciclos de Gtales que V(C)∩V(C′) = ∅. Un puente entre CyC′es una arista e={xi, xj}tal que xi∈V(C) y xj∈V(C′). Definici´on 2.2.25. Sea Cun ciclo de G. Una cuerda de Ces una arista e={xi, xj} ∈ E(G) tal que eno forma parte del ciclo pero xiyxjforman parte del ciclo. Diremos que un ciclo es minimal (o inducido) si no tiene ninguna cuerda. Definici´on 2.2.26. Sea C= ({x1, x2},{x2, x3},...,{x2q−1, x1}) un ciclo par de Gye={xi, xj}con 1 ≤i < j ≤2q−1 una cuerda de C. Diremos que e es una cuerda par si j−ies impar y diremos que es una cuerda impar si j−ies par. Figura 2.4: Ejemplo de una cuerda impar (rojo) y una cuerda par (verde). 32 IDEALES T ´ ORICOS Nota 2.2.27.Dicho de otra forma, una cuerda es par cuando divide al ciclo en dos ciclos pares y es impar cuando divide al ciclo en dos ciclos impares. Definici´on 2.2.28. Sea C= ({x1, x2},{x2, x3},...,{xq, x1}) un ciclo (no necesariamente par) de Gy sean e={xi, xj}ye′={xi′, xj′}dos cuerdas de Ccon 1 ≤i<j≤q−1 y 1 ≤i′< j′≤q−1. Diremos que eye′se cortan en Csi se cumple que i′=i+ 1 y j′=j+ 1 o si se cumple que i′=j+ 1 y j′=i+ 1 (teniendo en cuenta que xq+1 =x1). Figura 2.5: Ejemplo de cuerdas que se cortan. El siguiente teorema dar´a un criterio basado en propiedades del grafo para decidir cuando el ideal IGest´a generado por binomios cuadr´aticos. Teorema 2.2.29. Sea Gun grafo simple conexo. Entonces, el ideal t´orico IG est´a generado por binomios cuadr´aticos si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Si Ces un ciclo par de Gde longitud mayor o igual que 6, entonces C tiene una cuerda par o tiene tres cuerdas impares tales que al menos dos de ellas se cortan. Figura 2.6: Representaci´on del caso de tres cuadres impares tales que al menos dos de ellas se cortan. 2.2 Ideales t´oricos asociados a grafos 33 2. Si C1yC2son dos ciclos impares minimales con exactamente un v´ertice en com´un, entonces existe una arista {xi, xj}/∈E(C1)∪E(C2)con xi∈V(C1)yxj∈V(C2). Figura 2.7: Representaci´on de la condici´on 2. 3. Si C1yC2son dos ciclos impares minimales con V(C1)∩V(C2) = ∅, entonces existen al menos dos puentes entre C1yC2. Figura 2.8: Representaci´on de la condici´on 3. Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que IGest´a generado por binomios cuadr´aticos. Como IGest´a generado por binomios asociados a caminos cerrados pares primitivos y gracias al lema 2.2.18, necesariamente IGest´a generado por binomios asociados a ciclos pares de longitud 4. Veamos que se cumplen las tres condiciones del enunciado. 1. Sea Cun ciclo par de Gde longitud mayor o igual que 6. Como fC∈IG, existen dos binomios cuadr´aticos fC1yfC2en IGcon C1yC2ciclos de longitud 4 tales que f+ C1divide a f+ Cyf− C2divide a f− C. Entonces, tanto C1como C2dan lugar a una o dos cuerdas pares cada uno y, por tanto, se cumple el resultado o cada uno da lugar a dos cuerdas impares que se cortan. Veamos esto para C1, siendo de manera similar para C2: 34 IDEALES T ´ ORICOS Si C1={ei1, ei2, ei3, ei4}donde eij={xij, xij+1}para j=i1yj=i3. Se tiene que ei1yei3son aristas de C. Adem´as, ei1yei3son aristas de Ccon ´ındice impar. Si ei2∈E(C), necesariamente ei4/∈E(C) y es una arista que une xi1con xi4. Por tanto, es una cuerda par ya que i4=i3+ 1 es par y i1es impar. Si ei2/∈E(C), entonces tanto ei2 como ei4son cuerdas de C. Adem´as, se tiene que ei2es alguna de las siguientes aristas: {xi1, xi3},{xi1, xi4},{xi2, xi3}o{xi2, xi4}. Una vez fijado ei2,ei4es una cuerda que une los v´ertices que faltan, obteni´endose dos cuerdas pares o dos cuerdas impares que se cortan. Por ejemplo, si ei2={xi1, xi3}una cuerda impar, entonces ei4={xi2, xi4}es otra cuerda impar que se corta con ei2. Supongamos por tanto que C1yC2producen dos cuerdas impares cada uno. Denotamos por e, e′las dos cuerdas que se obtienen de C1y por e′′, e′′′ las dos cuerdas que se obtienen de C2. Como C1=C2entonces oe′′ /∈ {e, e′}oe′′′ /∈ {e, e′}. Por tanto, Ctiene al menos tres cuerdas impares tales que al menos dos de ellas se cortan. 2. Sean C1yC2dos ciclos impares minimales de Gcon exactamente un v´ertice en com´un. Razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que no existe ninguna arista {xi, xj}/∈E(C1)∪E(C2) con xi∈V(C1) yxj∈V(C2). El camino cerrado ω= (C1, C2) tiene longitud mayor o igual que 6 y es fundamental ya que el ´unico camino cerrado par contenido en ωes ´el mismo. Llegamos a contradicci´on aplicando el lema 2.2.23 ya que fωno es un binomio cuadr´atico. 3. Sean C1yC2dos ciclos impares minimales con V(C1)∩V(C2) = ∅y supongamos que no existe ning´un puente entre ellos. Como Ges conexo existe un camino ω1={ei1, . . . , eit}con t≥2 que une un v´ertice de C1con otro de C2. Para ahorrar notaci´on denotamos ω1={e1, . . . , et} yei={xi, xi+1}. Adem´as, supongamos que tes la longitud m´ınima que tienen los caminos que unen un v´ertice de C1con un v´ertice de C2. Consideramos el camino cerrado par ω= (C1, ω1, C2,−ω1), donde −ω1={−et,...,−e1}, siendo −ei={xi+1, xi}. Si el grafo inducido por V(ω) en G(las aristas de Gcon v´ertices en V(ω)) es igual a ω, entonces ωes fundamental de longitud mayor que 2t+ 6 (por tanto fω tiene grado mayor que t+ 3), lo que por el lema 2.2.23 no puede ser. Por tanto, el grafo inducido por V(ω) es distinto de ω, es decir, existe e∈E(G) con e /∈E(ω) y tal que si e={a, b}, entonces a, b ∈V(ω). Como C1yC2son ciclos impares minimales, estamos suponiendo que 2.2 Ideales t´oricos asociados a grafos 35 no hay ning´un puente entre ellos y tes la longitud m´ınima que tienen los caminos que unen C1con C2, necesariamente e={a, x2}con a∈V(C1) oe={xt, b}con b∈V(C2). Supongamos que estamos en el primer caso, el otro se demuestra de manera similar. Se puede construir un ciclo impar C3distinto de C1con E(C3)⊆E(C1)∪ {e, e1}. Sea C4un ciclo impar minimal con V(C4)⊆V(C3). Un ejemplo de esto podr´ıa ser la siguiente imagen, donde el ciclo C3=C4= (e, e1,{a5, a4}). Figura 2.9: Ejemplo para la demostraci´on. Como C1es minimal necesiariamente x1∈V(C4). Sea ω′el camino cerrado par ω′= (C4, ω2, C2,−ω2), donde ω2={e2, . . . , et}. Razonando de la misma manera que antes, como ω′tiene longitud mayor que 2t+ 4 y aplicando el lema 2.2.23, el grafo inducido por V(ω′) es distinto de ω′, es decir, existe e′={c, d} ∈ E(G) con e′/∈E(ω′) y tal que c, d ∈V(ω′). De la misma manera que antes, necesariamente e′= {xt, b}con b∈V(C2). Repitiendo el proceso, se puede construir un ciclo impar C5distinto de C2con E(C5)⊆E(C2)∪ {e′, et}y se puede elegir un ciclo impar minimal C6con V(C6)⊆V(C5). Como C2es minimal, necesariamente xt∈C6. Sea ω′′ el camino cerrado par ω′′ = (C4, ω3, C6,−ω3), donde ω3= (e2, . . . , et−1) (si t= 2, entonces ω3=∅). Ahora, el grafo inducido por V(ω′′) s´ı que es igual a ω′′ (si no lo fuera, existir´ıa una arista uniendo un v´ertice de ω3con un v´ertice de C4oC6, contradiciendo que tes la longitud m´ınima) luego ω′′ es fundamental. Adem´as, ω′′ tiene lontidud mayor que 2t+ 2, lo que aplicando el lema 2.2.23 es una contradicci´on. Por tanto, s´ı que existe alg´un puente entre C1yC2. Veamos que al menos existen dos puentes. Por reducci´on al absurdo, supongamos que solo existe un puente b∈E(G) entre C1yC2. El 36 IDEALES T ´ ORICOS camino cerrado par α= (C1, b, C2, b) es fundamental ya que su grafo inducido coincide con ´el (si hubiese otra arista uniendo un v´ertice de C1con otro de C2ser´ıa otro puente). Como αtiene longitud mayor o igual que 8, aplicando otra vez el lema 2.2.23 llegamos a contradicci´on, por tanto, al menos hay dos puentes entre C1yC2. Para la implicaci´on contraria, gracias al teorema 2.2.17 tenemos que probar que dado un camino primitivo par ωde Gde longitud 2q≥6, entonces el binomio fω∈(IG)<q, donde (IG)<q es el ideal generado por los binomios de grado estrictamente menor de qque pertenecen a IG, es decir, por binomios asociados a caminos cerrados pares primitivos de longitud estrictamente menor de 2q. De esta manera, por recursividad se prueba que IGest´a generado por los caminos cerrados pares primitivos de longitud 4, es decir, est´a generado por binomios cuadr´aticos. Probaremos esto para cada uno de los tres tipos que nos proporciona el lema 2.2.18: 1. Sea ωun ciclo par de Gde longitud 2q≥6. Denotamos ω={e1, . . . , e2q} con ei={xi, xi+1}ye2q={x2q, x1}. Por hip´otesis del teorema, ωtiene una cuerda par o tres cuerdas impares tales que dos de ellas se cortan. Si ωtiene una cuerda par e={xi, xj}, es decir, j−iimpar. Reordenando las aristas de ωpodemos suponer que e={x1, x2t}con 2 ≤t < q. Sea C1el ciclo par C1= (e, e2t, . . . , e2q). Sea C2el ciclo par C2= (e, e2t−1, . . . , e1). Entonces, fω=gfC1−hfC2∈(IG)<q, donde g=f− C2/e yh=f− C1/e. Notar que las aristas que est´an en f+ C1son ey las aristas impares de ω cuyo ´ındice es mayor o igual que 2t. Las aristas que est´an en f− C1son las aristas pares de ωcon ´ındice mayor o igual que 2t. De manera similar para fC2. Si ωno tiene una cuerda par entonces tiene tres cuerdas impares e, e′y e′′ tal que eye′se cortan en ω. Reordenando las aristas de ωpodemos suponer que e={x1, xt}ye′={x2, xt+1}con 3 ≤t≤2q−1 y timpar. Sea γel camino par γ= (et−1, et−2, . . . , e2). Sea γ′el camino par γ′= (et+1, et+2, . . . , e2q). 2.2 Ideales t´oricos asociados a grafos 37 Sean C1= (e, γ, e′, γ′) y C2= (e, et, e′, e1) dos ciclos pares. Como f+ C2= ee′,f− C2=ete1,f+ C1=f+ ωee′ ete1yf− C1=f− ω, entonces, fω=fC1−hfC2, con h=f+ C1/ee′. El binomio fC2es cuadr´atico y el binomio fC1tiene grado q. Veamos que fC1∈(IG)<q. Si e′′ ={xi, xj}consideramos los conjuntos S={x1, xt+1, xt+2, . . . , x2q}, T={x2, x3, . . . , xt}. Si suponemos que xi∈Syxj∈T, como e′′ es una cuerda impar de ωentonces e′′ es una cuerda par de C1, por tanto, fC1∈(IG)<q ya que hemos probado que esto es cierto para ciclos pares que tienen una cuerda par. Supongamos ahora que xi, xj∈Tcon 2 ≤i < j ≤t. Sea C3un ciclo impar minimal con V(C3)⊆S∪ {xt}yC4un ciclo impar minimal con V(C4)⊆S∪ {x2}. Supongamos que ωno tiene ninguna cuerda {xi′, xj′}con 2 ≤i′< j′≤ty tal que i′= 2 o j′=t. Notar que el caso i′= 2 y j′=tdar´ıa lugar a una cuerda par de ω, lo que no es posible porque estamos suponiendo que ωno tiene cuerdas pares. Sea C5un ciclo minimal impar con V(C5)⊆ {xi, xi+1, . . . , xj}. Como C3yC5son dos ciclos impares minimales y V(C3)∩V(C5) = ∅, por hip´otesis existe un puente b={xk, xl}que une C3con C5. Como ωno tiene cuerdas pares, necesariamente bes una cuerda impar de ωcon xk∈Syxl∈T, por tanto, en este caso queda probado que fC1∈(IG)<q. Si no ocurre esto ´ultimo, es decir, supongamos que ωtiene una cuerda {xi′, xj′}con 2 ≤i′< j′≤ty tal que i′= 2 o j′=t. Supongamos que la cuerda es de la forma {x2, xj′}con 2 < j′< t, el otro caso es similar. Adem´as, elejimos j′de forma que ωno tenga ninguna otra cuerda de la forma {x2, xj′′ }con 2 < j′′ < j′< t. Sea C6un ciclo impar minimal con V(C6)⊆ {x2, x3, . . . , xj′}. Si V(C4)∩V(C6) = {x2}, por hip´otesis existe un puente b={xk′, xl′}con xk′∈V(C4) y xl′∈V(C6). Por el mismo razonamiento que antes, bes una cuerda impar de ωcon xk′∈Sy xl′∈T, por tanto, fC1∈(IG)<q. Si por el contrario V(C4)∩V(C6) = ∅, por hip´otesis existen al menos dos puentes entre C4yC6. Adem´as, al menos uno de ellos (el que no tenga el v´ertice x2, si es que hay alguno que lo tiene) es de la forma b={xk, xl}con xk∈Syxl∈T. Por tanto, queda probado en todos los casos que fC1∈(IG)<q. 2. Supongamos ahora que ωes una concatenaci´on de dos ciclos impares, es decir, ω= (C1, C2) donde C1yC2tienen exactamente un v´ertice en 44 IDEALES T ´ ORICOS Cap´ıtulo 3 Escisi´on de ideales t´oricos En este cap´ıtulo se seguir´a el art´ıculo [6], cuyo prop´osito es estudiar cuando podemos dividir un ideal t´orico en suma de varios ideales t´oricos. El objetivo de hacer esta escisi´on es poder estudiar propiedades del ideal t´orico original (como, por ejemplo, los n´umeros de Betti) en funci´on de los ideales t´oricos de la descomposici´on, siendo estos m´as ‘sencillos’ que el original. En la secci´on 3.1 daremos unos casos particulares en los que podemos dividir un ideal t´orico en suma de otros ideales t´oricos. Tambi´en veremos un resultado que nos permitir´a calcular los n´umeros de Betti del ideal original en funci´on de los n´umeros de Betti de los ideales de la descomposici´on. En la secci´on 3.2 veremos una construcci´on en grafos que representa la situaci´on de los resultados vistos en la secci´on 3.1, obteniendo un caso en el que podemos dividir el ideal t´orico asociado a un grafo. Por ´ultimo, introduciremos el concepto de escisi´on y fusi´on de grafos, lo que nos dar´a otro caso en el que podemos dividir el ideal t´orico asociado a un grafo. 3.1. Primeros resultados generales Empezamos la secci´on con un resultado que posteriormente generalizaremos, siendo su generalizaci´on la que corresponder´a a una determinada construcci´on sobre grafos. Lema 3.1.1. Sean A1, . . . , Akmatrices con coeficientes enteros y de tama˜nos ni×sipara i= 1, . . . , k y sea R=K[x1,1, . . . , x1,s1, . . . , xk,1, . . . , xk,sk]. Sea 45 46 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Ala matriz definida por bloques A=   A10 ... 0Ak   . Entonces, IA=IA1+· · · +IAk⊆R, donde IAies el ideal t´orico de Aipero visto como ideal en R. Demostraci´on. Para cada 1 ≤i≤k, definimos Ri=K[xi,1, . . . , xi,si]. Recordamos que, dado b∈ker(Ai) = IAi, entonces los binomios fb=xb+−xb−∈ Rigeneran IAi. Entonces, si definimos a∈Zs1+...+skcomo a= (0,...,0, b1, . . . , bsi,0,...,0), se tiene que a∈ker(A) y, adem´as, fb=fa∈IA, vistos como binomios en R. Por tanto, IAi⊆IApara cada 1 ≤i≤k, visto como ideal en R. Lo que implica que IA1+· · · +IAk⊆IA. Rec´ıprocamente, haremos inducci´on sobre k. Para k= 2, dado a∈ ker(A)⊆Zs1+s2, lo separamos en a= (b,c) con b∈Zs1yc∈Zs2. Se tiene que fa=xa+−xa−=xb+xc+−xb−xc−=xc+(xb+−xb−) + xb−(xc+−xc−) = =xc+(fb) + xb−(fc). Por tanto, como b∈kerA1yc∈kerA2, se tiene que fb∈IA1yfb∈IA2, luego fa∈IA1+IA2. Lo que implica que IA⊆IA1+IA2. Ahora, supongamos k > 2 y que el resultado es cierto para k−1. Dado a∈ker(A)⊆Zs1+···+sk, lo separamos en a= (b,c) con b∈Zs1+···+sk−1y c∈Zsk. De la misma forma que antes, se tiene que fa=xc+(fb) + xb−(fc). Por inducci´on, fb∈IA1+· · · +IAk−1yfc∈IAk, lo que implica que IA⊆ IA1+· · · +IAk. Si tenemos una matriz Ade tama˜no d×ncon entradas en N(que ser´a el caso con el que trabajaremos en las siguientes secciones), podemos inducir en IAuna multigraduaci´on haciendo deg xi=ai, para 1 ≤i≤n, donde ai es la columna i-´esima de la matriz A. 3.1 Primeros resultados generales 47 Por tanto, tenemos una resoluci´on libre minimal multigraduada de IA, 0→M α∈Nn R(−α)βl,α φl −→ · · · φ1 −→ M α∈Nn R(−α)β0,α φ0 −→ IA→0. Adem´as, si suponemos que |ai|=tpara todas las columnas de la matriz A, tenemos una relaci´on entre esta graduaci´on con pesos y la graduaci´on est´andar, un monomio de grado spara la graduaci´on est´andar, es un monomio de grado t·spara esta nueva graduaci´on. Por tanto, se tiene la siguiente relaci´on entre los n´umeros de Betti, βij =X α∈Nn/|α|=t·j βiα.(3.1) Veamos ahora c´omo est´an relacionados los n´umeros de Betti de R/IAcon los de n´umeros de Betti de Ri/IAi. El siguiente lema nos ser´a de utilidad para poder demostrar el teorema 3.1.3. Lema 3.1.2. Sean R=K[x1, . . . , xm],S=K[y1, . . . , yn]y sean I⊆R, J⊆Sdos ideales homog´eneos. Sea T=R⊗KSy suponemos que CyD son resoluciones libres minimales graduadas de R/I yS/J respectivamente. Entonces, la resoluci´on (C⊗RT)⊗T(D⊗ST)es una resoluci´on libre graduada de T/(IT +JT). La demostraci´on de este lema se puede encontrar en [8, Lema 2.1]. Adem´as, este resultado se puede extender al caso multigraduado y, por inducci´on, al caso en el que tengamos kideales en kanillos de polinomios en diferentes variables. Teorema 3.1.3. Con las notaci´on del lema 3.1.1, si tambi´en suponemos que la matriz Ainduce una multigraduaci´on (Nn1+···+nkgraduaci´on) (haciendo deg xi=ai, donde aies la columna i-´esima de la matriz A) sobre R/IA. Entonces para todo i≥0yα∈Nn1+···+nk, βiα(R/IA) = X i1+···+ik=i βi1,α1(R/IA1)· · · βik,αk(R/IAk), donde cada αies αi= (0,...,0, αi,1, . . . , αi,ni,0,...,0), si α= (α1,1, . . . , α1,n1, . . . , αk,1, . . . , αk,nk)y donde los primeros ceros est´an en las primeras n1+· · ·+ni−1coordenadas y los ´ultimos en las ni+1 +· · ·+nk coordenadas. 48 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Demostraci´on. Como en la demostraci´on del lema 3.1.1, denotamos R= K[x1,1, . . . , x1,s1, . . . , xk,1, . . . , xk,sk] y Ri=K[xi,1, . . . , xi,si]. Daremos una Nn1+···+nk-graduaci´on a Riusando la matriz Ai, pero vi´endola como una matriz de tama˜no (n1+· · · +nk)×si, en lugar de una matriz de tama˜no ni×si, haciendo que las primeras n1+· · ·+ni−1y las ´ultimas ni+1 +. . . +nk filas sean nulas. Como consecuencia, si βk,δ(Ri/IAi)= 0, entonces supp (δ)⊆ {n1+· · · +ni−1+ 1, n1+· · · +ni−1+ 2, . . . , n1+. . . +ni}. Aplicando el lema 3.1.2 se tiene que la resoluci´on libre minimal multigraduada de R/IA=R/(IA1+· · · +IAk) es el producto tensorial de las resoluciones libres minimales multigraduadas de Ri/IAi. Por tanto, gracias a la f´ormula de K¨unneth ([9, Ch.5, Th.10.1]), se tiene que βiα(R/IA) = X i1+···+ik=i ij∈NX γ1+···+γk=α γj∈Nn1+···+nk βi1,γ1(R1/IA1)· · · βik,γk(Rk/IAk). Adem´as, por el comentario de antes, podemos suponer que cada γitiene soporte contenido en {n1+· · ·+ni−1+1, n1+· · ·+ni−1+2, . . . , n1+. . .+ni}, ya que si no, su correspondiente n´umero de Betti ser´a nulo. Ahora bien, la ´unica forma de que γi+· · · +γk=αes que cada γi=αi, donde αies el que se ha definido en el enunciado del teorema. Para concluir, notar que los n´umeros de Betti multigraduados (con la multigraduaci´on que hemos inducido) de Ri/IAicoindicen con los n´umeros de Betti de R/IApara cada i= 1, . . . , k ya que cada ideal IAisolo tiene las variables {xi,1, . . . , xi,si}. Antes de poder dar una generalizaci´on del lema 3.1.1 veamos dos lemas que necesitaremos. Lema 3.1.4. Sean a,b∈Zsdos vectores linealmente independientes con al menos un elemento positivo y otro negativo y tal que c=a+btambi´en tenga al menos un elemento positivo y otro negativo. Entonces, ni fani fbdividen afc. Demostraci´on. Veamos que fano divide a fc, para fbse hace de la misma manera gracias a que el papel de aybes sim´etrico. Razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que fas´ı divide a fc, es decir, existe f∈K[x1, . . . , xn] con fc=f·fa. Si denotamos por f=f1+· · · +fkel desarollo de fsiendo los filos t´erminos de fpara 1 ≤i≤k, entonces f·fa=f1xa++· · · +fkxa+−f1xa−− · · · − fkxa−.(3.2) 3.1 Primeros resultados generales 49 Si ffuese un solo t´ermino, digamos f=f1, tendr´ıamos que fc=xc+−xc−=f1xa+−f1xa−. Si suponemos que f1es de la forma λxα 1con λ∈Kpositivo, igualando los t´erminos positivos y negativos a ambos lados, se tiene que f1=xc+−a+y que f1=xc−−a−. Es decir, se tiene que c+−a+=c−−a−⇒c=c+−c−=a+−a−=a, y como c=a+b, tendr´ıamos que b=0, lo que no puede ser ya que por hip´otesis debe tener al menos un elemento positivo y otro negativo. Si en cambio λ < 0, repitiendo este proceso se tiene que c=−ay como c=a+b, tendr´ıamos que b= 2a, lo que contradice que aybsean linealmente independientes. En cambos casos llegamos a contradicci´on y, por tanto, fno es un solo t´ermino. Veamos que xc+es uno de los t´erminos fixa±en la expresi´on (3.2). Razonando por reducci´on al absurdo, si existiesen i, j con xc+=fixa+−fjxa−, entonces tanto el soporte de a+como el soporte de a−estar´ıan contenidos en el soporte de c+. Ahora, cada t´ermino en (3.2), contiene al soporte de a+ o al soporte de a−y, como el soporte de c−y el soporte de c+son disjuntos, ocurr´ıria que el t´ermino xc−no podr´ıa estar en la expresi´on (3.2), lo que es absurdo. Podr´ıa ocurrir que xc+=fixa++fjxa+(o xc+=fixa−−fjxa−) para alg´un i, j, pero esto implicar´ıa que el soporte de fifuese igual al soporte de fj, lo que es absurdo (son t´erminos diferentes del polinomio). Razonando de la misma manera, se demuestra que tambi´en xc−es uno de los t´erminos fixa±en (3.2). Sin perder generalidad y por ahorrar notaci´on, suponemos que xc+= f1xa+y que xc−=fkxa−(podr´ıa ocurrir que xc+=f1xa−y que xc−=fkxa+, pero el razonamiento es el mismo). En particular, se tiene que f1=xc+−a+ y que fk=xc−−a−. Por tanto, todos los t´erminos en la expresi´on (3.2), excepto el primero y el ´ultimo, deben cancelarse entre ellos. Luego existe alg´un t´ermino que cancele a f1xa−=xc+−a++a−, adem´as, el t´ermino que cancele a este debe de ser de la forma fixa+ya que los signos deben de ser diferentes para que haya cancelaci´on. Tras reordenar, podemos suponer que el t´ermino que cancela a f1xa−es f2xa+. Es decir, que f2=xc++a−−2a+. Repitiendo esto, debe existir alg´u t´ermino de la forma fixa+que cancele 50 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS af2xa−, reordenamos y suponemos que es f3xa+, lo que nos lleva a que f3= xc++2a−−3a+. Es decir, que para 1 ≤i≤k, tenemos que fi=xc++(i−1)a−−ia+. Llevando esta informaci´on a fk, tenemos que xc−−a−=xc++(k−1)a−−ka+, es decir, c=c+−c−=ka+−ka−=ka. Ahora, como ten´ıamos que c=a+b, significa que b= (k−1)a, lo que contradice que fuesen linealmente independientes, llegando a un absurdo y probando el lema. El siguiente lema nos dar´a un criterio para determinar cuando un binomio pertenece a un ideal binomial generado por dos elementos. Lema 3.1.5. Sean a,b∈Zsdos vectores linealmente independientes con al menos un elemento positivo y otro negativo y tal que c=a+btambi´en tenga al menos un elemento positivo y otro negativo. Entonces, fc∈ ⟨fa, fb⟩si y solo si supp (a+)∩supp (b−) = ∅osupp (a−)∩supp (b+) = ∅. Demostraci´on. Suponemos primero que fc∈ ⟨fa, fb⟩y razonamos por reducci´on al absurdo, es decir, suponemos que supp (a+)∩supp (b−)=∅y que supp (a−)∩supp (b+)=∅. Como fc∈ ⟨fa, fb⟩y gracias al lema anterior, existen dos polinomios no nulos fygen K[x1, . . . , xs] tales que fc=xc+−xc−=f·fa+g·fb=f(xa+−xa−) + g(xb+−xb−).(3.3) Adem´as, se tiene que alguno de los monomios xa+, xa−, xb+oxb−divide a xc+y, de la misma manera, a xc−. Para ver esto, lo primero es que alguno de esos monomios debe de tener su soporte contenido en el soporte de xc+ya que si no, no puede ocurrir que el t´ermino xc+aparezca en la expresi´on de la derecha. Ahora, de los monomios que tenga su soporte contenido en el de xc+, alguno de ellos debe tener cada variable con un exponente menor que el que tenga en xc+, si no tambi´en es imposible que dicho t´ermino aparezca en la expresi´on de la derecha. Veamos ahora que ni xa+ni xb+dividen a xc+. Para ver esto, sea j∈ supp (a+)∩supp (b−), es decir, la coordenada j-´esima de aes d= 0, con d > 0. De la misma manera, la coordenada j-´esima de bes −e= 0, con e > 0. Por tanto, como c=a+b, la coordenada j-´esima de ces d−e. Si d−e≥1, entonces xd−e japarece en el monomio xc+y, por tanto, xa+ ya no lo puede dividir. 3.1 Primeros resultados generales 51 Si d−e≤0, entonces la variable xjno aparece en xc+, luego xa+tampoco lo divide. Empezando con j∈supp (a−)∩supp (b+) y razonando de la misma manera se llega a que xb+tampoco divide a xa+. Como ten´ıamos que alguno de los monomios xa+, xa−, xb+oxb−divide a xc+y no es ni xa+ni xb+, debe de ser xa−oxb−. Vamos a suponer que es xb−, si no, el razonamiento es id´entico. Como xb−divide a xc+, se tiene que supp b−⊆supp c+⊆supp a+∪supp b+, donde la ´ultima contenci´on es debida a que c=a+b. Adem´as, como supp (b−) y supp (b+) son disjuntos, se tiene que supp (b−)⊆supp (a+). Como supp (c−)⊆supp (a−)∪supp (b−), supp (b−)⊆supp (c+) y supp (c+)∩ supp (c−) = ∅, adem´as se tiene que supp (c−)⊆supp (a−). De la misma manera que hemos hecho esto, se puede ver que ni xa− ni xb−dividen a xc−. Acabamos de ver que xa+tampoco lo divide ya que supp (c−)⊆supp (a−), por tanto, debe de ser xb+el que divida a xc−, es decir, tambi´en tenemos que supp (b+)⊆supp (c−). Veamos ahora que c+=a+−b−y que c−=a−−b+. Para probar la primera igualdad, vamos a estudiar las posibilidades de que ctenga un elemento positivo en la posici´on j-´esima: 1. Las coordenadas j-´esimas de aybson ambas mayores o iguales que cero y, al menos una de ellas mayor que 0. 2. La coordenada j-´esima de a,aj, es positiva y la coordenada j-´esima de b,bjes negativa pero aj+bj>0. 3. La coordenada j-´esima de a,aj, es negativa y la coordenada j-´esima de b,bjes positiva pero aj+bj>0. Como supp (b+)⊆supp (c−), se tiene que supp (b+)∩supp (c+) = ∅, luego el caso 1 solo se puede dar si la coordenada j-´esima de bes nula y el caso 3 no se puede dar nunca. Por tanto, la ´unica forma de que ctenga un elemento positivo en la coordenada j-´esima es que la coordenada j-´esima de asea positiva, la coordenada j-´esima de bsea menor o igual que cero y su suma 52 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS sea positiva, es decir, c+=a+−b−. De manera similar se prueba que c−= a−−b+. Como xa+no divide a xc+yxa−no divide a xc−yxb−divide a xc+yxb+ divide a xc−, volviendo a la expresi´on (3.3), necesariamente debe de ocurrir que exista g′∈K[x1, . . . , xs] con g=g′−xc+−b−−xc−−b+, para que haya cancelaci´on del t´ermino xc+−xc−en la expresi´on (3.3). Adem´as, g′es tal que −f(xa+−xa−) = g′(xb+−xb−)−xc+−b−+b+−xc−−b++b−.(3.4) Como hemos visto que a−=c−+b+y los soportes de b+yb−son disjuntos, se tiene que xa−no divide a xc−−b++b−. Si xa+tampoco divide a xc−−b++b−, entonces el t´ermino xc−−b++b−en (3.4) debe cancelarse con los t´erminos resultantes del producto g′xb+, es decir, existe g′′ ∈K[x1, . . . , xs] con g′=g′′ −xc−−2b++b−. Llevando esto a la ecuaci´on (3.4) tenemos que −f(xa+−xa−) = g′′(xb+−xb−) + xc−−2b++2b−−xc+−b−+b+. Por la misma raz´on que antes se tiene que xa−no divide a xc−−2b++2b−, si xa+tampoco lo divide, podemos repetir el mismo proceso. Este proceso debe terminar, es decir, existe k∈Ntal que xa+divide a xc−−kb++kb−. Si escribimos xc−−kb++kb−=xc−·xkb− xkb+, como el soporte de b+yb−son disjuntos, necesariamente xkb+divide a xc−, es decir, se tiene que kb+≤c−=a−−b+, donde ≤representa la desigualdad coordenada a coordenada. Adem´as, ya hab´ıamos visto que xa+no divide a xc−, luego necesariamente debe dividir a xkb−, por tanto, a+≤kb−. Volviendo a la ecuaci´on (3.4) y repitiendo este proceso pero con el monomio xc+−b−+b+, se llega a que existe un l∈Ntal que xa−divide a xc+−lb−+lb+ y se tienen las desigualdades lb−≤c+=a+−b−ya−≤lb+. Juntando las desigualdes obtenidas se tiene que (k+ 1)b+≤a−≤lb+, (l+ 1)b−≤a+≤kb−. 3.1 Primeros resultados generales 53 Esto implica que k+ 1 ≤ly que l+ 1 ≤k, lo que es absurdo. Para la implicaci´on contraria, supongamos que supp (a+)∩supp (b−) = ∅, el otro caso es similar. Sea d=b+−a−∈Zs, entonces xa++d+−xb−+d−=xd+(xa+−xa−) + xd−(xb+−xb−)∈ ⟨fa, fb⟩, donde la primera igualdad es gracias a que d=d+−d−=b+−a−y, entonces, d++a−=b++d−. Para concluir, veamos que xa++d+−xb−+d−=xc+−xc−=fc. Lo primero, se tiene que supp (a++d+)⊆supp (a+)∪supp (b+). Efectivamente, si j∈ supp (a++d+), si a+ j= 0, entonces j∈supp (a+). Si a+ j= 0, entonces debe ocurrir que d+ j= 0 y como d=b+−a−, entonces d+ j=b+ j−a− j= 0, luego j∈supp (b+). De la misma manera se prueba que supp (b−+d−)⊆ supp (b−)∪supp (a−). Como por hip´otesis supp (a+)∩supp (b−) = ∅, entonces supp (a+) es disjunto a supp (b−)∪supp (d−). Si se tuviese que j∈supp (a+)∩supp (d−), entonces a+ j= 0 y d− j= 0. Lo segundo implica que b+ j−a− j<0, es decir, b+ j< a− j= 0 porque a+ j= 0, lo que es absurdo. Veamos que supp (a++d+) y supp (b−+d−) son disjuntos. Por reducci´on al absurdo, sea j∈supp (a++d+)⊆supp (a+)∪supp (b+). Si j∈ supp (a+), entonces j /∈supp (b−)∪supp (a−), no puede ser. Necesariamente debe ocurrir que j∈supp (b+). Para que jpertenezca a supp (b−+d−) debe ocurrir que b− j+d− j= 0. Hay dos posibilidades: b− j= 0, lo que no puede ser por hip´otesis, o d− j= 0, que acabamos de probar que tampoco puede ser. Para concluir, basta darse cuenta que a++d+−(b−+d−) = a+b=c. Para terminar la secci´on damos el siguiente lema, que es una generalizaci´on del lema 3.1.1. Lema 3.1.6. Sean A1, . . . , Akmatrices de dimensiones ni×si,1≤i≤k, con coeficientes enteros y sean c1, . . . , cl∈ZN, donde N≥n1+· · · +nk. Sea la matriz Adada por A=         A10c11 · · · cl1 .... . .. . . 0Ak . . .. . . . . .. . . 0c1N· · · clN         . 60 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Si suponemos que Ges el cuadrado izquierdo y dado que IGest´a generado por los caminos cerrados pares primitivos se tiene que IG=⟨ac −bd⟩. De la misma manera, IH=⟨ac −bd, dg −ef, bef −gca⟩. El siguiente fragmento de c´odigo muestra como usar Singular [5] para calcular los n´umeros de Betti de R/IGy de R/IH. > ring A = 0, (a,b,c,d,e,f,g),Dp; > ideal G = ac-bd; > list resG = mres(G,0); > print(betti(resG), "betti"); 0 1 ------------------ 0: 1 - 1: - 1 ------------------ total: 1 1 > ideal H = ac-bd,dg-ef,bef-gca; > list resH = mres(H,0); > print(betti(resH), "betti"); 012 ------------------------ 0:1-- 1:-22:--1 ------------------------ total: 1 2 1 Por tanto, los n´umeros de Betti para R/IGson β0,0(R/IG) = 1, β0,1(R/IG)=0, β1,1(R/IG) = 0, β1,2(R/IG)=1. Los n´umeros de Betti para R/IHson β0,0(R/IH)=1, β0,1(R/IH) = 0, β0,2(R/IH)=0, β1,1(R/IH)=0, β1,2(R/IH) = 2, β1,3(R/IH)=0, β2,2(R/IH)=0, β2,3(R/IH) = 0, β2,4(R/IH)=1. Teniendo en cuenta que el ciclo tiene longitud 4, entonces d= 2, donde des el definido en el corolario anterior, se comprueba f´acilemente que la f´ormula del corolario se cumple. 3.2 Aplicaci´on a ideales t´oricos asociados a grafos 61 Teniendo presente la construcci´on que hemos hecho, vamos a dar una definici´on que representa el hecho de ‘pegar’ un grafo con otro (en la construcci´on previa, un grafo con un ciclo par), a lo que llamaremos el grafo fusi´on. Adem´as, daremos una definici´on inversa a la de fusi´on, a la que llamaremos escisi´on de un grafo. Definici´on 3.2.6. Dado un grafo G={V(G), E(G)}y dado W⊆V(G), el grafo inducido de Gen Wes el grafo Hque tiene como v´ertices V(H) = W y como aristas E(H) = {e∈E(G): e⊆W}. Definici´on 3.2.7. Dados dos grafos G1yG2, un isomorfismo de grafos es una aplicaci´on biyectiva f:V(G1)→V(G2) tal que si u, v son dos v´ertices adyacentes en G1, entonces f(u) y f(v) son dos v´ertices adyacentes en G2. Diremos que G1yG2son dos grafos isomorfos con respecto a f y lo denotaremos por G1≃fG2o solamente G1≃G2. Definici´on 3.2.8. Sean G1, G2dos grafos y H1⊆G1yH2⊆G2dos grafos inducidos isomorfos con respecto a una aplicaci´on f:V(H1)→V(H2). Definimos el grafo fusi´on de G1yG2a trav´es de f, al que denotaremos por G1∪fG2, como la uni´on disjunta de G1yG2en la que asociamos los v´ertices y las aristas mediante la aplicaci´on f. Ejemplo 3.2.9. Sean G1yG2los grafos azules y rojos respectivamente en la siguiente figura. Figura 3.4: Grafos G1yG2. Si H1es la hipotenusa de G1, es decir, el grafo inducido por {x2, x3} ⊆ V(G1) y H2es la hipotenusa de G2, podemos definir la aplicaci´on fcomo f(x3) = y3yf(x2) = y2. Luego el grafo fusi´on de G1yG2es 62 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Figura 3.5: Grafo fusi´on de G1yG2. Definici´on 3.2.10. Sea G={V(G), E(G)}un grafo simple finito. Suponemos que existen dos subconjuntos W1, W2⊆V(G) tal que W1∪W2=V(G). Denotamos por G1yG2los grafos inducidos que tienen como v´ertices W1y W2respectivamente. Sea Y=W1∩W2yHel grafo inducido que tiene como v´ertices Y. Diremos que G1yG2forman una escisi´on de Ga trav´es de Hsi el grafo que se obtiene al eliminar los v´ertices Yde Gtiene dos componentes no conexas. Ejemplo 3.2.11. En el ejemplo 3.2.9, si consideramos el grafo Gde la figura 3.5 y los conjuntos W1={e1, e2, e3}yW2={e2, e3, e4}, los grafos inducidos G1yG2son los grafos de la figura 3.4 y forman una escisi´on de Ga trav´es de H, donde Hes el grafo con V(H) = {x2, x3}yE(H) = {e2}. En este caso particular diremos que G1yG2forman una escisi´on de Ga trav´es de una arista. Como se ha dejado intuir en el ejemplo anterior, las operaciones de fusi´on y escisi´on que acabamos de definir son inversas la una de la otra en el sentido siguiente: si Ges el grafo fusi´on de G1yG2a trav´es de f, entonces G1y G2forman una escisi´on de Ga trav´es de H, donde Hes el grafo inducido de Gen H1≃H2. Rec´ıprocamente, si Ges un grafo simple finito y G1, G2 forman una escisi´on de Ga trav´es de un grafo inducido H⊆G1,H⊆G2, entonces Ges el grafo fusi´on de G1yG2a trav´es de la aplicaci´on identidad id: V(H) →V(H). Definici´on 3.2.12. Diremos que un grafo G={V(G), E(G)}es de tipo camino si V(G) = {x1, . . . , xn+1}yE(G) = {{x1, x2},...,{xn, xn+1}}. A los grafos de tipo camino los denotaremos por Pn, donde el sub´ındice indica el n´umero de aristas del grafo. Teorema 3.2.13. Sean G1yG2una escisi´on de un grafo Ga trav´es de H. Suponemos que H≃Pl, donde Ples un grafo de tipo camino. Tambi´en 3.2 Aplicaci´on a ideales t´oricos asociados a grafos 63 suponemos que todo v´ertice distinto de los v´ertices inicial y final de Htiene grado 2visto como v´ertice en G. Si G1es un grafo bipartito, entonces IG= (IG1+IG2): f∞={g∈R:∃n∈Ncon fmg∈(IG1+IG2)}, donde fdenota el monomio libre de cuadrados correspondiente a las aristas de Hcon ´ındice par. Demostraci´on. Para la contenci´on hacia la izquierda, como IG1eIG2est´an contenidos en IG(ver la definici´on 2.2.5 de ideal t´orico asociado a un grafo), entonces (IG1+IG2): f∞⊆IG:f∞. Ahora, como IGes un ideal primo por ser t´orico y f /∈IG, se tiene que IG:f∞=IG. Rec´ıprocamente, por el teorema 2.2.17 tenemos que IGest´a generado por binomios asociados a caminos cerrados primitivos pares ω∈G. Veamos que ωno puede contener un subcamino en G1que empiece y acabe en el punto final o inicial de H. Por reducci´on al absurdo, si este subcamino existe, como G1es bipartito y el subcamino empieza y acaba en el mismo punto, necesariamente el subcamino debe ser par, si no, la ´ultima arista del subcamino tendr´ıa ambos v´ertices en una de las particiones de G1, yendo en contradicci´on con que G1es bipartito. Entonces, como ωes par, es una concatenaci´on de caminos pares, lo que contradice que sea primitivo. Denotaremos las aristas en Hpor h1, . . . , hl; las aristas de G2que no est´an contenidas en Hpor hl+1, . . . , hn; por ´ultimo, las aristas de G1que no est´an contenidas en Hpor e1, . . . , em.Con esta notaci´on, podemos escribir cada camino cerrado primitivo par, ω, como ω= (p1, hj1,1, . . . , hj1,s1, p2, hj2,1, . . . , hj2,s2, . . . , pu, hju,1, . . . , hju,su),(3.7) donde para cada 1 ≤k≤u,pkes de la forma (ei1,1, . . . , ei1,ri) y es un subcamino cuyas aristas est´an solo en G1y empieza en el punto final de H y acaba en el punto inicial de H, o viceversa. Para probar la contenci´on hacemos inducci´on sobre u. Si u= 0, entonces ωes un camino que est´a contenido en G1o en G2, ya que ues “la cantidad de veces que el camino ωpasa de G1aG2”. Por tanto, fωest´a en IG1o en IG2, luego se da la contenci´on. Suponemos ahora u > 0 y que el resultado es cierto para u−1. Sea ωcomo en (3.7). Para simplicar notaciones escribimos p1= (e1, . . . , er) y escribimos ωcomo ω= (e1, . . . , er, er+1, . . . , e2m), donde (er+1, . . . , e2m)=(hj1,1, . . . , hj1,s1, p2, hj2,1, . . . , hj2,s2, . . . , pu, hju,1, . . . , hju,su). 64 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Denotamos por (h1, . . . , hl) las aristas de Hordenadas de forma que h1comparta un punto con er(y, por tanto, hlcomparte un punto con e1). Vamos a intentar descomponer el bimonomio fωcomo combinaci´on lineal de los binomios fαyfω′, correspondientes a los caminos cerrados α= (e1, . . . , er, h1, . . . , hl) yω′= (er+1, . . . , e2m, hl, . . . , h1). Notar que αes par ya que G1es bipartito y, por tanto, tambi´en lo ser´a ω′. Definimos E1=Y 1≤k≤r, k par ek, E2=Y r+1≤k≤2m, k par ek, O1=Y 1≤k≤r, k impar ek, O2=Y r+1≤k≤2m, k impar ek, F1=Y k impar hk, F2=Y k par hk. Si recordamos la f´ormula (2.3), tenemos que fω=O1O2−E1E2. Si les par (entonces rtambi´en lo es), se tiene que fα=O1F1−E1F2∈IG1 y que fω′=O2F2−E2F1. Tambi´en, como les par, entonces f=F1o f=F2, dependiendo de como se hayan ordenado para que coincidan con p1. Si suponemos que f=F1, escribimos f·fω=F1·fω=O2fα+E1fω′. Si en cambio f=F2, escribimos f·fω=F2·fω=E2fα+O1fω′. Si les impar (entonces rtambi´en lo es), se tiene que fα=O1F2−E1F1∈IG1 yfω′=E2F2−O2F1. Adem´as, f=F2da igual la ordenaci´on que hayamos elegido. Por tanto, podemos escribir f·fω=F2·fω=O2fα−E2fω′. Ahora, ω′es un camino cerrado par que admite una expresi´on como (3.7) pero con u−1 subcaminos p′ 1, . . . , p′ u−1(de hecho, son p2, . . . , pu). Por hip´otesis de inducci´on, fω′∈(IG1+IG2): f∞y en todos los casos fα∈IG1, luego acabamos de probar que fω∈(IG1+IG2): f∞. Veamos un ejemplo en el que si eliminamos la condici´on de que al menos un grafo sea bipartito, el resultado no es cierto. 3.2 Aplicaci´on a ideales t´oricos asociados a grafos 65 Ejemplo 3.2.14. Si tenemos un tri´angulo como en el ejemplo 2.2.3, recordamos que su matriz de indicencia es A=  1 0 1 1 1 0 0 1 1 . Se tiene que ker(A) = {0}y, por tanto, IGes el ideal nulo. Ahora, supongamos que fusionamos dos tri´angulos a lo largo de uno de sus lados como hicimos en el ejemplo 3.2.9. Esto nos permite encontrar un camino par cerrado en el grafo fusi´on, lo que nos da un generador no nulo del grafo fusi´on de dos tri´angulos. Por tanto, el ideal t´orico asociado no es nulo, no cumpli´endose la f´ormula del teorema 3.2.13. Como caso particular del teorema 3.2.13 tenemos el siguiente corolario. Corolario 3.2.15. Sea Gun grafo y suponemos que G1yG2forman una escisi´on de Ga trav´es de una arista. Si G1es bipartito, entonces IG= IG1+IG2. Veamos un ejemplo en el que si eliminamos la condici´on de que formen una escisi´on a traves de una sola arista, el corolario no es cierto. Ejemplo 3.2.16. Sea Gel grafo siguiente Figura 3.6: Grafo para el ejemplo. Los subconjuntos W1={x1, x2, x3, x4}yW2={x1, x2, x3, y4}de V(G) inducen unos grafos G1, G2que forman una escisi´on de Ga trav´es de la diagonal H≃P2. Como IG, IG1eIG2est´an generados por caminos pares cerrados primitivos, se tiene que IG=⟨e1e3−e2e4, e1e6−e2e5, e5e3−e6e4⟩, IG1=⟨e1e3−e2e4⟩, IG2=⟨e1e6−e2e5⟩. 66 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Por tanto, IG=IG1+IG2y no se cumple el corolario. En cambio, si se cumple el teorema 3.2.13. La ´unica arista de Hcon ´ındice par es e2yIG= (IG1+IG2): e∞ 2ya que e2(e5e3−e6e4) = e6(e1e3−e2e4)−e3(e1e6−e2e5). Teorema 3.2.17. Sea Gun grafo y suponemos que G1yG2forman una escisi´on de Ga trav´es de una arsta e. Si G1es bipartito, entonces para todos i, j ≥0, βi,j(K[EG]/IG) = X i1+i2=i j1+j2=j βi1,j1(K[E(G1)]/IG1)βi2,j2(K[E(G2)]/IG2). Demostraci´on. Ya hemos visto que las operaciones de fusi´on y escisi´on de grafos son operaciones inversas. Es decir, Gse puede obtener como la uni´on disjunta de G1yG2y despu´es identificando la arista correspondiente de G1 con la de G2. Siendo m´as precisos, para i= 1,2 sea G′ i= (V(G′ i), E(G′ i)) un grafo isomorfo a Giy tal que V(G′ 1)∩V(G′ 2) = ∅. Sea G′el grafo con v´ertices V(G′ 1)∪V(G′ 2) y aristas E(G′ 1)∪E(G′ 2). Sean e′ i∈E(G′ i) las aristas que vamos a pegar. Si consideramos la aplicaci´on K[E(G′)] →K[E(G)] e′→e, donde, si e′es una arista de G′, es decir, es una arista de G′ 1oG′ 2, entonces ees la arista que da el isomorfismo de grafos entre G′ iyGi(i= 1 o i= 2 en funci´on de si e′es una arista de G′ 1o de G′ 2). El n´ucleo de esta aplicaci´on es (e′ 1−e′ 2), lo que nos da el isomorfismo K[E(G′)]/(e′ 1−e′ 2)≃K[E(G)], es decir, algebraicamente, el proceso de pegado de e′ 1con e′ 2corresponde con el cociente K[E(G′)]/(e′ 1−e′ 2). Ahora, si consideramos la aplicaci´on K[E(G′)] →K[E(G)]/IG e′→e+IG, donde e′yetienen el mismo significado que antes, se tiene que, gracias al corolario 3.2.15, su n´ucleo es IG′+ (e′ 1−e′ 2). Por tanto, tambi´en tenemos el isomorfismo K[E(G′)]/(IG′+ (e′ 1−e′ 2)) ≃K[E(G)]/IG. 3.2 Aplicaci´on a ideales t´oricos asociados a grafos 67 Como IG′es un ideal primo por ser t´orico, se tiene que K[E(G′)]/IG′es un dominio y, por tanto, todos sus elementos son regulares. Como consecuencia de [12, Chap. 1, Coro. 20.4] se tiene que los n´umeros de Betti de K[E(G′)]/IG′ y de K[E(G′)]/(IG′+ (e′ 1−e′ 2)) son iguales. Ahora, como IG′=IG′ 1+IG′ 2y razonando de la misma manera que en el teorema 3.1.3 y aplicando el lema 3.1.2, tenemos que βi,j(K[EG]/IG) = βi,j(K[E(G′)]/(IG′+ (e′ 1−e′ 2))) = βi,j(K[E(G′)]/IG′) = =X i1+i2=i j1+j2=j βi1,j1(K[E(G′ 1)]/IG′ 1)βi2,j2(K[E(G′ 2)]/IG′ 2) = =X i1+i2=i j1+j2=j βi1,j1(K[E(G1)]/IG1)βi2,j2(K[E(G2)]/IG2). Donde la ´ultima igualdad se debe a que K[E(G′ i)]/IG′ i≃K[E(Gi)]/IGi. 68 ESCISI ´ ON DE IDEALES T ´ ORICOS Bibliograf´ıa [1] Biase, F. D., and Urbanke, R. An algorithm to calculate the kernel of certain polynomial ring homomorphisms. Experimental Mathematics 4, 3 (1995), 227–234. [2] Bigatti, A., La Scala, R., and Robbiano, L. Computing toric ideals. Journal of Symbolic Computation 27, 4 (1999), 351–365. [3] Bruns, Winfried, Herzog, and J¨ urgen, H. Cohen-Macaulay Rings, 2 ed. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, 1998. [4] Cox, D. A., Little, J., and O’Shea, D. Using Algebraic Geometry, 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics, 185. 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