La teoria de la informació aplicada a la marina
Abstract
El motiu principal d’aquest text és estudiar el principals senyals dels sistemes electrònics que es troben en un vaixell. Aquests senyals duen informació que traslladem d’un lloc a un altre. La importància de l’estudi dels senyals dels sistemes electrònics rau en del fet de el seu coneixement permet una millor utilització d’aquests sistemes. Primerament proposarem una definició de la quantitat d’informació d’un missatge. Els missatges que fem servir per comunicar estan formats per senyals analògics o per senyals digitals. Atès els senyals va d’un punt a un altre, agafen soroll i poden desfigurar el missatge. Aquest soroll el podem suposar com a soroll blanc (té igual amplitud per a totes les freqüències), el soroll blanc el trobem si treballem amb senyals analògics. Si treballem amb senyals digitals tenim soroll blanc i soroll de quantificació. El soroll de quantificació es genera en transmissió al fer un tractament digital del senyal. Per pogué fer una transmissió acceptable d’un senyal analògic, hem de modular, variant les característiques d’una portadora amb el senyal a transmetre amb una portadora. Compararem els diferents modes de modulació de del punt de vista de la seva eficiència per transferir informació. En aquest llibre posarem les bases del tractament dels senyals digitals. També, analitzarem el senyals de Radar, Sonar i el filtre “Chirp” que treballen amb uns nivells de senyal molt dèbils. Dins d’aquests senyals de nivells molt baixos, també estudiarem el senyal del GPS que fa sevir la modulació CDMA que és adequada per treballar amb senyals molt dèbils.
Full text
La Teoria de la Informació aplicada a la Marina Lluis Closas Torrente Pau Closas Gómez
Res és mesquí ni cap hora és isarda ni és fosca l’aventura de la nit però la Rosada és Clara. · · · · Jo tinc les meves opinions, sí em convences les canvio.
Queda prohibida la reproducció o la transmissió total o parcial d'aquesta obra per qualsevol mitjà o procediment, i la incorporació a qualsevol suport digital o electrònic sense l'autorització escrita dels titulars del copyright. Versió 2017 © Lluís Closas Torrente i Pau Closas Gómez ISBN 978-84-941070-2-3 D.L. T-226-2013 Disseny de la coberta © Montserrat Batllori NAUTICAL UNION editorial
Pròleg El motiu principal d’aquest text és estudiar el principals senyals dels sistemes electrònics que es troben en un vaixell. Aquests senyals duen informació que traslladem d’un lloc a un altre. La importància de l’estudi dels senyals dels sistemes electrònics rau en del fet de el seu coneixement permet una millor utilització d’aquests sistemes. Primerament proposarem una definició de la quantitat d’informació d’un missatge. Els missatges que fem servir per comunicar estan formats per senyals analògics o per senyals digitals. Atès els senyals va d’un punt a un altre, agafen soroll i poden desfigurar el missatge. Aquest soroll el podem suposar com a soroll blanc (té igual amplitud per a totes les freqüències), el soroll blanc el trobem si treballem amb senyals analògics. Si treballem amb senyals digitals tenim soroll blanc i soroll de quantificació. El soroll de quantificació es genera en transmissió al fer un tractament digital del senyal Per pogué fer una transmissió acceptable d’un senyal analògic, hem de modular, variant les característiques d’una portadora amb el senyal a transmetre amb una portadora. Compararem els diferents modes de modulació de del punt de vista de la seva eficiència per transferir informació. En aquest llibre posarem les bases del tractament dels senyals digitals. També, analitzarem el senyals de Radar, Sonar i el filtre “Chirp” que treballen amb uns nivells de senyal molt dèbils. Dins d’aquests senyals de nivells molt baixos, també estudiarem el senyal del GPS que fa sevir la modulació CDMA que és adequada per treballar amb senyals molt dèbils.
Índex i PRÒLEG 1 MESURA DE LA INFORMACIÓ.................................................................................................1 1 INTRODUCCIÓ........................................................................................................................................1 2 SENYALS ANALÒGICS, SENYALS DIGITALS I SENYALS DISCRETS............................................................2 3 MESURA DE LA INFORMACIÓ D’UNA FONT DISCRETA.............................................................................2 3.1 Mesura de la informació en fonts que generen símbols equiprobables........................................6 3.2 Mesura de la informació en fonts que generen símbols no equiprobables...................................8 4 CAPACITAT DEL CANAL.........................................................................................................................9 PREGUNTES............................................................................................................................................12 2 SOROLL BLANC I SOROLL TÈRMIC......................................................................................13 1 INTRODUCCIÓ......................................................................................................................................13 2 SOROLL, SOROLL BLANC DENSITAT ESPECTRAL DE POTÈNCIA I RELACIÓ SENYAL SOROLL..................13 3 TEMPERATURA DE SOROLL..................................................................................................................19 4 CIRCUIT AMPLIFICADOR DEL SENYAL DE RADIOFREQÜÈNCIA D’UNA ANTENA.....................................26 PREGUNTES............................................................................................................................................28 3 SISTEMES DE COMUNICACIÓ UTILITZANT SENYALS ANALÒGICS...............................29 1 INTRODUCCIÓ......................................................................................................................................29 2 EFECTE DEL SOROLL A LA MODULACIÓ AM........................................................................................30 3 EFECTE DEL SOROLL A LA MODULACIÓ SSB........................................................................................33 4 EFECTE DEL SOROLL A LA MODULACIÓ FM.........................................................................................35 PREGUNTES............................................................................................................................................40 4 SENYALS DIGITALS..................................................................................................................41 1 INTRODUCCIÓ......................................................................................................................................41 2 TEOREMA DEL MOSTREIG....................................................................................................................41 3 RECUPERACIÓ DEL SENYAL MOSTREJAT..............................................................................................45 4 EL SOROLL DE QUANTIFICACIÓ............................................................................................................48 5 FÓRMULA DE SHANNON DE LA CAPACITAT MÀXIMA DE TRANSMISSIÓ EN UN CANAL DIGITAL.............50 6 MESURA DE LA TRANSMISSIÓ D’INFORMACIÓ ANALÒGICA,CAPACITAT D’UN CANAL ANALÒGIC.........52 PREGUNTES............................................................................................................................................54
Índex ii 5 ESTRUCTURA DE LA TRANSMISSIÓ DE SENYALS PER ONES ELECTROMAGNÈTIQUES...........................................................................................................55 1 INTRODUCCIÓ......................................................................................................................................55 2 FRONT - END.......................................................................................................................................55 3 RECEPCIÓ DE DADES DIGITALS.............................................................................................................56 PREGUNTES............................................................................................................................................58 6 INTERCANVI DE LA RELACIÓ SENYAL SOROLL EN SENYALS MOLT DÈBILS.............59 1 INTRODUCCIÓ......................................................................................................................................59 2 TÈCNICA D’EIXAMPLAMENT DE L’ESPECTRE I DE CORRELACIÓ EN EMISSIÓ I RECEPCIÓ.......................60 3 EL GPS................................................................................................................................................61 3. 1 Eixamplament de l’espectre del senyal del GPS en transmissió................................................65 3. 2 Correlació del senyal del GPS en recepció, càlcul del Pseudorang..........................................69 3.3 Dades subministrades per un GPS..............................................................................................70 4 EL RADAR DE POLSOS..........................................................................................................................71 4. 1 Eixamplament de l’espectre del senyal del Radar i del Sonar en transmissió...........................75 4. 2 Compressió i correlació dels polsos del Radar o Sonar en recepció.........................................77 4.2.1 Funció de convolució d’un impuls de Ràdio modulat en amplitud i en FM........................................80 4. 3 El Sonar.....................................................................................................................................83 PREGUNTES............................................................................................................................................86 APÈNDIX........................................................................................................................................87 A. 1 VALOR MÀXIM DE L’ENTROPIA.......................................................................................................87 A. 2 VALOR QUADRÀTIC MIG D’UN SENYAL...........................................................................................88 A. 3 TEOREMA DE PARSEVAL.................................................................................................................89 A. 4 FUNCIONS PERIÒDIQUES REPRESENTADES PER SÈRIES DE FOURIER.................................................90 A. 5 FILTRE ADAPTAT DEL RECEPTOR DE RADAR I REALITZACIÓ PRÀCTICA...........................................92 A. 6 CONVOLUCIÓ D’UN SENYAL DE BANDA ESTRETA............................................................................95 BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................97 ÍNDEX ALFABÈTIC......................................................................................................................98
1 Mesura de la Informació 7 La informació promig amb les probabilitats de cada símbols Pi = 1/n iguals i amb i =1··n és n 1 log= n 1 log) n 1 ··+ n 1 + n 1 (= P 1 logP= P 1 logP P 1 =H 22 n 1=i i 2i n 1=i i 2i n 1=i i ∑∑ ∑ [bit/símbol] En els sistemes de comunicació és de molt interès la tassa de transmissió R, que està relacionada amb la tassa de símbols en bit/s i l’entropia H en bit/símbol de la següent forma Hr=R [símbols/s][bit/símbol] = [bits/s] (5) Per aclarir les idees bàsiques dels conceptes de la Teoria de la Informació exposats, analitzarem el cas pràctic de transmissió de la informació codificant els símbols a transmetre utilitzant senyals digitals (dos nivells), que encara que és un tipus de codificació particular és prou important en la transmissió de la informació. La codificació de cada símbol de la font s’ha de fer sempre de manera que si rebem una seqüència símbols codificats, es pugui deduir els símbols originals enviats de la seqüència digital rebuda. Suposeu que tenim una estació meteorològica que té quatre estats possibles i que els pot enviar en una determinada seqüència de l’estat del temps des del castell de Montjuic a un vaixell un cop cada dia. Aquests símbols de l’estat del temps a Montjuic són: Sol, Ennuvolat, Pluja i Boira (s1, s2, s3 i s4), cada símbol té la mateixa probabilitat de produir se i un codi binari associat que podeu veure la taula I. Taula I Estat del temps a Montjuic, amb estats del temps igualment probables. Missatge Probabilitats Codi A Sol ¼ 00 Ennuvolat ¼ 01 Pluja ¼ 10 Boira ¼ 11
1 Mesura de la Informació 8 L’entropia H o bit/símbol de la font per aquest codi és 2=4log4/1+4log4/1+4log4/1+4log4/1= P 1 logP=)S(H 2222 4 1=i i 2i ∑ A bits/símbol Així, utilitzant la codificació que anomenem A, la seqüència: Sol, Boira, Boira i Ennuvolat, es transmetrà de la forma 00111101 que és un seqüència única i de la que es pot deduir la seqüència original. 3.2 Mesura de la informació en fonts que generen símbols no equiprobables Hem vist una mesura de la quantitat d’informació pel cas especial de què tots els missatges són igualment probables. Generalitzant, definim una informació promig, anomenada entropia per a una font {s1, s2,···sn} amb q símbols amb probabilitats de succeir diferents ,{P1, P2, ··Pi} de la forma ∑∑ ∑ n 1=i i 2i n 1=i i 2i n 1=i i P 1 logP= P 1 logP P 1 =H=H [bit/símbol] (6) Així, a cada símbol o succés se l’hi assigna una informació promig, encara que la informació per cada succés en particular pot variar de forma considerable. Arribem a la màxima entropia de la font o la màxima generació per la font d’informació en bits/símbol quan la funció H és màxima, cosa que s’aconsegueix quan les probabilitats Pi són iguals i de valor 1/n apèndix. Per continuar aclarint dels conceptes, continuem amb la mateixa estació meteorològica que transmet l’estat del temps des del castell de Montjuic a un vaixell un cop cada dia. Però ara cada símbol té una probabilitat de realització i un codis binaris associats a cada símbol diferents, com podeu veure la taula II.
1 Mesura de la Informació 9 Taula II Estat del temps a Montjuic, amb estats del temps no igualment probables. Missatge Probabilitats Codi B Sol ¼ 10 Ennuvolat ⅛ 110 Pluja ⅛ 1110 Boira ½ 0 L’entropia H o bit/símbol de la font per aquest codi és 75,1=2log2/1+8log8/1+8log8/1+4log4/1= P 1 logP=)S(H 2222 4 1=i i 2i ∑ B bits/símbol En el cas de la codificació B, la seqüència: Sol, Boira, Boira i Ennuvolat, es transmet de la forma 1000110 que també és un seqüència única i de la que es pot deduir la seqüència original. El cas d’igual probabilitat dels nivells n possibles és molt improbable, un exemple d’aquesta afirmació el trobem en el cas de transmetre un missatge en anglès, a on no totes les lletres tenen la mateixa probabilitat de transmetre’s. Així hi ha lletres que es presenten amb més freqüència com les vocals a i e, altres lletres sempre les segueix una lletra u com és el cas de lletra q i també la lletra depèn del tipus de missatge, pel que per calcular la entropia Hav d’un missatge s’ha de modificar la fórmula (6) utilitzant probabilitats condicionals [1] de que arribi un símbol condicionat pels que han arribat abans. 4 Capacitat del canal
1 Mesura de la Informació 10 El canal és l’element que uneix el transmissor amb el receptor. La tassa límit de transmissió d’informació per un canal s’anomena capacitat C del canal. La gran importància d’aquest concepte es basa en el teorema demostrat i provat per C. E. Shannon1 i [apèndix], que diu que si la tassa d’entropia R en bits/s és igual o més petita o igual que la capacitat C del canal, aleshores existeix una tècnica de codificació dels símbols que permet la transmissió pel canal amb una freqüència d’errors arbitràriament petita. El preu que es paga és un augment en la complexitat de la codificació. Aquest teorema ens diu que el número mig de dígits (normalment binaris) L per a codificar un missatge de la font es pot fer tant petit com es vulgui, però no més petit que l’Entropia de la font. C ≤R Hem vist que per l’exemple de la codificació B, l’entropia HB val 1,75 bits/símbol i la longitud mitjana L (en bits) d’una paraula codi val 875,1≈)2/1(+)8/1(4+)8/1(3+)4/1(2=Pl=L ∑ 4 1=i ii bits/símbol Per a la codificació B de la taula II es compleix el teorema doncs 1.75 1,875. Sí modifiquem el codi que hem assignat a Pluja, 1110 pel codi 111, també es compleix en el límit L = H el teorema de Shannon. Doncs el nou valor de la longitud mitjana L da la paraula codi val 75,1≈)2/1(+)8/1(3+)8/1(3+)4/1(2=Pl=L ∑ 4 1=i ii bits/símbol 1A Mathematical Theory of Communication. Bell System Tech. J. Vol 27. 1948
1 Mesura de la Informació 11 Suposeu una font amb un alfabet d’n símbols discrets i a la que cada símbol enviat es pot identificar en el receptor, pel que aquest conjunt s’anomena com a “canal discret no sorollós”. La màxima entropia de la font és log2 n bits i si T és el temps per a transmetre cada missatge amb polsos de durada τ queda nlog τ 1 = T I =C 2av [bits/s] Per arribar aquest màxim, els missatges han de ser equiprobables i estadísticament independents. Els conceptes estudiats es poden ampliar al cas de senyals analògics, però en resulten expressions matemàtiques molt complexes. El que es fa per tractar la informació d’un senyal analògic és agafar mostres del senyal analògic i reduir els missatges analògics a missatges discrets, com veurem més endavant. Exemple: Un submarí per pogué enviar un missatge de veu per ones electromagnètiques a vaixells que estan fora de l’aigua, necessita per ser operatiu, freqüències d’operació molt baixes (efecte skin), d’uns 10 Hz per a fundaries sota l’aigua2 d’uns 20 m. (a) Quan temps trigarà en enviar se un missatge de veu de durada 1 segon? Suposeu que transmeti’m a 8 bits/mostra. (b) Per transmetre la informació digitalitzada (“1” i “0”) utilitzem dos tons de 10 Hz i 20 Hz. Quina és la velocitat de transmissió v? a) Al necessitar transmetre veu, l’ample de banda B necessari per a transmetre és de 4 kHz, la freqüència de mostreig fm és de 8 kHz (2 × 4 kHz) i si la transmissió és a 8 kbmostres/s la velocitat de transmissió és de 8000 kmostre/s 8 bits/mostra = 64.000 bits/s. En 1 segon tinc 64.000 mostres. Si les emmagatzemem, i les anem transmetent en diferit, modulant amb els dos tons que tenen un durada mínima de bit d’un cicle (1/10 Hz = 0,10 s) per transmetre tot el missatge trigarem un temps 64.000 bit × 0,1 segon/bit = 6400 segons = 1,7 hores b) 10= 1,0 1 =v bits/s 2Teoria Electromagnètica. W. Hayt i J. Buck. McGraw Hill 2012
1 Mesura de la Informació 12 Exemple: Compareu la quantitat de informació en una imatge de TV i amb 1000 paraules emeses per un locutor de ràdio. La imatge de TV les podeu suposar formada per 500 files 600 columnes, és a dir 300.000 punts que poden tenir cada un 10 nivells diferents. Suposeu que el locutor té un vocabulari de 100 paraules de les que n’ha escollit 1.000 a l’atzar. Sí els successos són igualment probables, la quantitat de informació d’una imatge de TV és 6300000 210≈10log=I bits Per calcular la quantitat d’informació generada pel locutor, també suposeu que els successos són igualment probables i que en una seqüència de 1.000 paraules, la quantitat d’informació és 3000.1 210≈100log=I [bits] Per tant, una imatge de TV equival a 1000 paraules emeses per la ràdio. Preguntes P. 1 Teniu tres boles, de les que una pesa més que les altres dues. Disposeu: (a) una balança que ens dona el pes exacte i (b) una romana que té 3 posicions. Quantes mesures com a màxim heu de fer de determinar la bola diferent en el cas (a) i (b) ? (a) log2 4 = 2 iblog331. P. 2 Determineu la informació promig (entropia) per símbol en els casos: (a) pels codi i la seva probabilitats següents A ½, B ¼, C ⅛ i D ⅛, (b) A = B = C = D = ½ i (c) digueu quin és el codi més eficient. (a) 1,75 bits/símbol i (b) 2 bits/símbol i (c) el primer codi. P. 3 Un codi binari eficient per la font de l’exercici 2 és: A = 0, B = 10, C = 110 i D = 111. Trobeu: (a) la probabilitat dels zeros i (b) la informació promig per paraula codi. (a) ½ i (b) ½log2 2 + ¼ log2 4 + ⅛ log2 8 + ⅛ log2 8 = 1,75 bits/símbol.
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 13 2 Soroll blanc i soroll tèrmic 1 Introducció El soroll en una transmissió d’un missatge és un senyal no desitjat que s’afegeix al missatge i pot arribar a desfigura’l. El problema bàsic en el disseny d’un canal de comunicació és el de rebre el senyal emès pel transmissor amb prou intensitat en el receptor perquè la relació senyal soroll sigui acceptable. Si el soroll del sistema és baix, el senyal rebut que porta la informació pot ser molt petit, però suficient per establir la comunicació. En aquest capítol estudiarem el soroll intrínsec als components electrònics, soroll tèrmic, i el soroll creat per causes físiques externes atmosfèriques. Per estudiar aquests sorolls, definirem els conceptes de temperatura de soroll i figura de soroll que són necessaris per a veure com afecta el soroll en els senyals tractats pels dispositius electrònics. El tipus de soroll més comú en els circuits electrònics és el soroll blanc, el soroll afecte per igual a totes les freqüències. El soroll blanc és present tant en circuits electrònics que tracten senyals analògics com en circuits electrònics que tracten senyals digitals. Encara que és el més important en els circuits electrònics analògics. Els circuits electrònics analògics són els que es fan servir per a generar ones electromagnètiques per a transmetre senyals a grans distàncies. 2 Soroll, soroll blanc densitat espectral de potència i relació senyal soroll Definim com soroll un seguit de fenòmens físics que modifiquen els senyals que porten la informació enviada i, si són molt intensos la poden desfigurar completament. El soroll generat per dispositius electrònics utilitzats per a comunicacions per ones electromagnètiques és soroll blanc. En la generació d’aquest tipus de soroll poden
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 14 intervenir dos tipus de fenòmens, el soroll tèrmic generat per causes internes al dispositiu i el soroll generat per causes externes principalment atmosfèriques. Per pogué comparar els diferents tipus de transmissions d’informació utilitzant senyals de radiofreqüència, definim el concepte de la densitat espectral de potència. Amb aquest objectiu aplicarem aquest concepte per veure quin efecte té sobre el senyal que volem transmetre el soroll blanc. El soroll blanc és aquell té un espectre pla amb totes les freqüències amb igual proporció de potència, per això es diu blanc amb analogia amb la llum blanca. Si tenim una densitat espectral de potència N0 watts/Hz mesurat només per a les freqüències positives, i n(t) amb valor mig zero, aleshores l’espectre del soroll blanc és [3] 2 N =)ω(S 0 (tant per a freqüències positives com negatives) Aquesta definició de la densitat espectral de potència del soroll blanc està definida per a freqüències entre -∞ i +∞. Com els dispositius electrònics reals que tracten els senyals electrònics tenen una banda de freqüències limitada, el soroll també serà de banda limitada. Per aquesta raó el soroll blanc que és el més important que actua en els dispositius electrònics és el soroll blanc de banda limitada. La potència Pn en Watts de soroll blanc de banda limitada B i el voltatge quadràtic de soroll n2(t) en volts2 sobre una resistència R estan relacionats (P = v2/R) per BN=df 2 N =ωd)ω(S π2 1 =P 0 B B- 0 Bπ2 Bπ2- n∫∫ ; BNR=PR=)t(n 0n 2 (1) El soroll tèrmic està generat pel moviment aleatori dels electrons en els dispositius (moviments tèrmics i de granalla) del circuit electrònic. El soroll tèrmic és el resultat del moviment caòtic dels electrons lliures que hi ha en un material conductor, per exemple en una resistència, excitats de manera tèrmica. La trajectòria de cada electró, per les col·lisions, s’orienta de manera aleatòria. L’efecte net és un corrent elèctric aleatori en la resistència amb valor mig zero. De consideracions termodinàmiques i de mecànica quàntica, la densitat espectral de potència S(ω) [3] del soroll tèrmic és ]1-)kTπ2/|ω|h([expπ |ω|h =)ω(S amb kT2= ]1-kTπ2/|ω|h+1[π |ω|h ≈ 2 N =)ω(S 0 [Watt/Hz] i |ω| << 2 π kT/h (2) A on T és la temperatura del mitjà conductor en graus Kelvin, k és la constant de Bolzmann que val 1,38 × 10-23 [Joule/K] i h és la constant de Planck que val 6,625 × 10-34 [Joule-s]. Observeu que l’espectre S(ω) per a freqüències baixes és constant i val N0/2= 2kT, el factor N0/2 és necessari per tenir en compte les freqüències positives i les negatives quan fem l’anàlisi de Fourier. Per a freqüències més altes de kT/h (≈ 6000 Ghz a T = 290 K) el soroll deixa ser blanc, encara que no s’hi arriba mai
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 15 perquè. Per tant, podem suposar que el soroll tèrmic és blanc. Un cas particular de component és el condensador ideal en el què no hi ha soroll perquè el dielèctric ideal d’un condensador no té electrons lliures. A la figura 2.1 podeu veure una fotografia de la representació d’un soroll blanc utilitzant un oscil·loscopi. Fig.2.1 Senyal d’un soroll blanc visualitzat utilitzant un oscil·loscopi. Aplicant les fórmules (1) i (2) per calcular el voltatge quadràtic mig del soroll n(t) en una resistència R podeu posar BRkT4=BNR=PR=)t(n 0n 2 [Watt] Així per a una resistència R, la potència mitjana generada és 4kTR, [Watt], i 4kT, [Watt/Hz] és la densitat espectral de potència per aquest tipus de soroll. Per tant, el soroll tèrmic és un soroll blanc que es caracteritza per un espectre de potència constant. A la figura 2.2 podeu veure el circuit equivalent de generador de voltatge d’una resistència R que genera un soroll tèrmic de banda limitada, connectada a una càrrega RL. Els problemes de soroll amb circuits només amb resistències, es poden tractar utilitzant aquest model. El procediment general és reemplaçar cada resistència sorollosa pel seu model equivalent de generador de voltatge. Fig.2.2 Model de circuit equivalent amb generador de voltatge de soroll tèrmic, adaptat perquè subministri la màxima potència de soroll a una resistència RL (RL =R).
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 16 Els circuits del receptor, que tracten els senyals molt dèbils que capta l’antena, han d’assegurar que l’antena subministra a l’amplificador d’entrada la potència màxima (Pmàx). Sí R és la impedància de radiació de l’antena, RL és la impedància d’entrada de l’amplificador i l’antena està adaptada (RL = R) podeu dir que la potència màxima entregada a RL és Pmàx = v2/(4 RL). Per una altra banda, la condició d’adaptació de impedàncies també influeix en el soroll. La màxima potència de soroll disponible Pn en una resistència RL es troba també quan la resistència R del generador de soroll és igual a la resistència RL de la càrrega val BkT= R4 )t(n =P 2 n (3) Exemple: Calculeu el voltatge rms de soroll generat, no el disponible (circuit adaptat), produït per efectes tèrmics en dues resistències de 100 Ω i 150 Ω a 300º K, per a un ample de banda d’1MHz, si les resistències es connecten en sèrie. -12623- 21 210×14,4=)250()300(10)10×38,1(4=)R+R(BTk4=)t(v Vμ03,2=)t(v2 Resumint, el soroll blanc és un senyal, n(t), no desitjat, que genera de forma aleatòria totes les freqüències (ω = 2π f). Pel cas de l’estudi del soroll en una antena receptora, podem suposar que al voltant d’una portadora de freqüència fC es generen totes les freqüències f, amb la mateixa amplitud. ( ) tω+ωcosA=)t(n Cn Una antena a més del senyal útil rep soroll atmosfèric. Aquest soroll és amplificat per un amplificador d’RF de baix soroll i introduït al mesclador. A efectes de pràctics de càlcul podeu que suposar que l’amplificador d’RF és molt bo i no introdueix soroll, vegeu la figura 2.3. Qualsevol senyal útil que capta l’antena, porta informació de la portadora de freqüència fC i de la freqüència màxima fm de la moduladora i compleixen sempre la condició fC >> fm. Per tant suposarem que a l’entrada barrejador tenim la portadora fC amb petites variacions produïdes per la moduladora de freqüència màxima fm.
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 23 Fig.2.5 Temperatura de soroll per a freqüències mitges i altes [4]. Quan treballem a freqüències de funcionament per sobre dels 1.000 MHz el soroll còsmic es fa negligible [5], quedant només la contribució al soroll per l’absorció de l’oxigen, que té un pic de ressonància de 60 GHz. En aquestes freqüències de funcionament les antenes són molt selectives. A la figura 2.6 podeu veure varies gràfiques de la temperatura de soroll, corresponents a varis angles de elevació sobre l’horitzó. Quan apuntem a la normal l’absorció de la capa atmosfèrica és petita i la temperatura de soroll també és petita. Quan apuntem a l’horitzó el gruix de la capa absorbent creix i la temperatura de soroll també és gran.
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 24 Fig.2.6 Temperatura de soroll per a freqüències de microones, en funció de l’angle Φ que forma terra amb la direcció del lòbul màxim [5]. Resumint, la temperatura de soroll d’una antena ideal (sense pèrdues) és una mesura de la potència de soroll que rep i no té cap relació amb la temperatura ambient de l’antena. Quan l’antena té una resistència de pèrdues RΩ i una resistència de radiació Rr, la situació és diferent. La resistència òhmica de l’antena està en sèrie amb la resistència de radiació de l’antena i té una contribució al soroll tèrmic total. A la figura 2.7 (a) podeu veure un esquema d’una antena receptora connectada a un amplificador d’entrada i a la figura 2.7 (b) el circuit equivalent.
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 25 Fig.2.7 (a) Antena receptora connectada a un amplificador amb impedància d’entrada Rr i (b) circuit equivalent. Analitzant el circuit de la figura 2.7 (b) podeu dir que el rendiment de conversió d’una antena receptora o emissora és Ωr r R+R R = entregadaPotència captadaPotencia =η (6) Sí una antena té una temperatura TA, la potència de soroll que entrega una antena a una càrrega adaptada tenint en compte la definició del rendiment és kTABη. Sí a més l’antena està a una temperatura ambient Tamb, la resistència de pèrdues RΩ afegeix un potència de soroll tèrmic kTAB(1-η). Per tot això resulta una potència total de soroll Pn )η-1(BkT+ηBkT=P ambAn (7) Si la temperatura de l’antena TA és igual o una mica més petita que la temperatura ambient Tamb, el rendiment o l’eficiència de radiació de l’antena η ha de ser a prop de la unitat per no fer baixar gaire la relació S/N. Si la temperatura de l’antena és molt més gran que la temperatura ambient, per poc eficient que sigui l’antena no empitjora la relació S/N.
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 26 4 Circuit amplificador del senyal de radiofreqüència d’una antena Per centrar idees, suposeu que teniu un circuit per tractar el senyal que ve d’una antena. Aquest circuit està format per un amplificador del senyal que ve de l’antena. L’antena per fer els càlculs més senzills té un rendiment de conversió η = 1 i fem un estudi dels nivells de soroll en cada etapa, vegeu la figura 2.8. Fig.2.8 Circuit de radiofreqüència amb una antena, preamplificador, línia de transmissió i amplificador En el punt 1 de la figura, trobem el soroll d’antena Na BTk=N Aa En el punt 2, trobem el soroll NP a la sortida del previ BT)1-F(kG+NG=N 0PPaPP En el punt 3, el soroll a la sortida de la línia NL, tenint en compte l’atenuació de la línia Te = (L-1)Tamb i G =1/L. BT) L 1 -1(+ L N =BT)1-L(k L 1 + L N =N amb P amb P L En el punt 4, el soroll a la sortida de l’amplificador és B)1-F(TkG+NG=N a0aLa Tot seguit suposem el cas, de l’exemple que passarem a estudiar, que el rendiment de conversió de l’antena no és del 100% i un angle Φ format per la vertical i la direcció del lòbul màxim de 0º. Veureu que les expressions es compliquen una mica respecte al cas de rendiment de l’antena del 100%, però tenen una certa semblança.
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 27 Exemple: Una ona de Ei = 19 μV/m i freqüència 2 GHz, incideix sobre una antena de directivitat D = 20 dB i eficiència η = 0,9. La temperatura d’antena és TA = 200º K, la temperatura ambient Tamb = 300º K i l’ample de banda B = 10 MHz. L’antena té un preamplificador de guany GP = 20 dB i factor de soroll FP = 6 dB i després té una línia de transmissió amb pèrdues de L = 3 dB i tot seguit un amplificador de guany Ga = 23 dB i factor de soroll Fa = 10dB. Calculeu la potència del senyal i del soroll a la sortida de l’amplificador, i la relació senyal soroll. La potència del senyal a la sortida queda determinat pel vector de Poynting S, l’àrea efectiva Aef i el guany de la cadena de recepció. P = η E2 i ; S = P× Aef η GP L 1Ga = 9,6×10-13×0,18×0,9×100×0,5×199,5= 1,5×10-9 W Com que l’antena té un rendiment més petit del 100 %, el soroll als borns de l’antena, punt 1 de la figura 2.8, és el que ens subministra la fórmula (7). Na = k TA B η+k Tamb B (1-η) = 1,38×10-23×200×107×0,9+1,38×10-23×300×107×0,1 = 2,9×10-14 W El soroll a la sortida del preamplificador, punt 2, és NP = [Na+k T0 (FP-1) B]GP = 2,9×10-14×100+1,38×10-23×290×(3,98-1)× 107 = 1,5×10-11 W A la sortida de la línia, punt 3, teniu NL = NP L 1+k Tamb (1- L 1) B = 1,5×10-11/1,99+1,38×10-23×300×(1-1/1,99)×107 = 7,4×10-12 W Per acabar el soroll a la sortida de l’amplificador, punt 4, és N = [NL+k T0 (Fa-1) B] Ga = 7,4×10-12×199,5+1,38×10-23×290×(10-1)× 107×199,5
2 Soroll blanc i soroll tèrmic 28 = 1,5 × 10-9 W Les potències de senyal i soroll a la sortida són iguals, és a dir la relació senyal soroll a la sortida és de 0 dB. Preguntes P.1 Un amplificador té un factor de soroll F = 4 dB (2,51), un ample de banda de soroll de 500 kHz i una resistència d’entrada de 50 Ω. Calculeu el senyal rms a l’entrada que ens proporciona una relació (S/N)o = 1 (a la Sortida), quan l’amplificador es connecta a una resistència d’entrada de 50 Ω a 290 K (Estàndard). (La potència de soroll disponible a l’entrada Pn = kT0B = 2 × 10-15 W, potència mitjana a l’entrada = Pn R = 1 × 10-13 V2, (S/N)i = F (S/N)o= F, Si = (2,51) (1 × 10-13) i √ Si = 0,51 μV) P.2 Una emissora emet a 1,5 MHz de freqüència una potència de 1 kW. El senyal té un ample de banda de 8 kHz. L’antena receptora té un rendiment η = 5 × 10-6. La temperatura ambient Tamb és de 290º K i la temperatura de soroll de l’antena TA és 10 º K. Trobeu la potència de soroll Pn en borns de l’antena. (Pn=kTABη+k TambB(1-η) = 5,8 × 10-16 W) P. 3 Volem dissenyar un amplificador d’alt guany amb etapes en cascada (un darrera l’altra). El guany de potència de les etapes utilitzades són de 20 dB (100) cada una d’elles. Quantes etapes heu de posar per generar a l’última etapa una potència de soroll de P0 igual a 20 miliwatts. Suposeu que Te = 600º K i B és igual 10 Mhz. (La potèn cia generada en la primera etapa P = k TeB = (1,38×10-23)×600×107= 8,28× 10-14 W. Amb 20 dB de guany, el soroll a la sortida de la primera etapa és 8,28× 10-12 W. A l’entrada de la segona etapa hi ha 8,28× 10-14+8,28× 10-12≈ 8,28× 10- 12W, el soroll generat a la segona etapa és molt més petit que el soroll de la primera etapa, el soroll en amplificadors en cascada depèn principalment del soroll de la primera etapa. El guany total G = P0/P = (20×10-3)/(8,28× 10-14) = 2,42×1011≈ 114 dB, necessitem 6 etapes.
3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 29 3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 1 Introducció Atès que la de la transmissió d’informació està molt condicionada pel senyal sinusoïdal i per les mides de l’antena (d = λ/10). Aquest senyal és el que millor es transmet/rep per una antena, per tant utilitzarem portadores sinusoïdals de freqüències molt grans modulades per la informació quan volem transmetre/rebre senyals per ones electromagnètiques. La modulació és la modificació sistemàtica d’una forma d’ona, anomenada portadora, pel missatge o moduladora. L’objectiu és generar una ona modulada de informació que s’adapta millor a la feina de transmetre la informació. Una de les aplicacions de la modulació és la comunicació efectiva a grans distàncies i es necessita una portadora sinusoïdal d’alta freqüència. Per examinar i comparar varis sistemes de modulació, el soroll el mesurarem de la mateixa forma, com soroll quadràtic mig i senyal quadràtic mig, i en el mateix punt del sistema. La comparació es fa entre el valor quadràtic mig del senyal i valor quadràtic mig del soroll, o el que és el mateix entre la potència de senyal i la potència de soroll en un punt del sistema. Aquest relació de potència de senyal a potència de soroll es representa S/N. A les comunicacions amb veu, la intel·ligibilitat i fidelitat exigeixen una relació S/N d’uns 30 dB a la sortida. A les comunicacions dels canals de TV està acceptada una relació S/N > 30 dB a la sortida. En general en aquest capítol analitzarem els sistemes de modulació d’ona continua (OC). En aquests sistemes, la portadora és un senyal sinusoïdal que és analògic, modulat per un senyal analògic. La ràdio en AM (Amplitude Modulation) i en FM (Frequency Modulation) són dos exemples de sistemes de modulació en OC ininterrompuda. També existeixen sistemes amb modulació OC interrompuda en què realment aquests sistemes estableixen una comunicació digital enviant diferents portadores per a “0” o “1”. Les modulacions en ona OC més comunes a la marina són les modulacions AM, FM i SSB (Single Side Modulation). De cada mètode de modulació interessa les formes d’ona, els espectres, els mètodes de modulació i relació S/N. Farem un estudi per pogué comparar els tres tipus de modulació OC agafant com a paràmetre la relació S/N a la sortida del detector. De l’anàlisi es dedueix que la modulació en FM té una alt grau d’immunitat al soroll. Aquesta immunitat és a canvi d’augmentar l’ample de banda del senyal transmès.
3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 30 2 Efecte del soroll a la modulació AM La modulació AM, va ser la primera en fer se perquè és més fàcil de realitzar electrònicament, encara que és menys immune al soroll que les altres modulacions com per exemple la FM. La principal aplicació de la modulació en AM és per pujar o baixar la banda del senyal transmès [7], per adapta’l a l’antena. Tot seguit mostrem l’equació w(t) d’una modulació AM [7]i la seva representació gràfica, a on x(t) és el senyal modulador, fC la freqüència de la portadora, x(t) el senyal modulador i m l’índex de modulació (0 ≤ m ≤ 1). Aquest senyal u(t) és el que s’envia a l’antena transmissora. )2(cos)(1)( tftxmAtw CC Fig. 3.1 Modulació AM d’una portadora per una sinusoide i un índex de modulació m = 1. Aquest senyal u(t) viatge per ones electromagnètiques i arriba a l’antena del receptor, a on passa per l’amplificador d’RF, barrejador (trasllada la freqüència X(f-fC)), amplificador de freqüència intermèdia IF i detector d’envolupant, figura 3.2.
3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 31 Fig.3.2 Amplificador d’RF, modulador per baixar la freqüència i amplificador d’IF d’un receptor Superheterodí. Suposeu concentrat tot el soroll a l’entrada del modulador, aquest soroll és un soroll blanc de banda estreta que es suma al senyal AM i que en el capítol 2 hem vist que té dos components en quadratura nC(t) i nS(t). El senyal més soroll u(t) té la forma )2(sin)(n-)2(cos)]()(1[)( StfttftntmxAtu CCCC L’envolupant del senyal u(t), y(t), es troba resolent el triangle rectangle format pels dos vectors en quadratura, amb senyal molt fort i nS << AC [(1+mx(t))+nC] i que traient el component continu val )()()]()(1[)( 222 tntmxAntntmxAty CCSCC El senyal útil aquí és x(t), mentre que el soroll és nC(t). El detector subministrada a la seva la sortida, figura 3.2, la potència de senyal S0 i la potència de soroll N0 següents [apèndix] )t(xm=S 22 o ; iCo NtnN )( 2 A més posant un filtre pas baix i recordant la fórmula de l’angle meitat (2cos2 x = 1+cos2x), la potència a l’entrada un component de la potència de la portadora PC = A2C/2 i un component de la moduladora )( 2 1 2 1 }cos)]({[ 2222 txmAttmxAS CCCi
3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 32 Per a una moduladora x(t) sinusoïdal podeu posar [apèndix] ) 2 m +1(P=}tωcos)]t(mx+A{[=S 2 C 2 CCi Combinant les tres equacions i i C i i i o i i o o o o N S txmA txm N S S S S S N S N S )( )(2 222 22 Pel cas en què la modulació és sinusoïdal, x(t) = AC cosωt i sí μ és la eficiència de conversió, l’equació queda i i i i 2 2 o o N S μ= N S m+2 m2 = N S De vegades, per fer comparacions, interessa la relació potència de portadora a potència de soroll a la sortida de l’amplificador d’IF. Noteu que en aquest cas, el valor quadràtic mig de la portadora és SC = AC2/2 i el valor quadràtic mig del soroll a la sortida de l’amplificador d’I és NC = No= Ni, aleshores podeu posar C C 2 C 22 o C C o C C o o o o N S A )t(xm2 = N S S S = S S N S = N S Pel cas en què la modulació és sinusoïdal, x(t) = AC cosωt, l’equació queda C C o o N S m N S2 Per tant, la màxima relació S/N a la sortida en un sistema AM és igual a la relació portadora a soroll a la sortida de l’amplificador d’IF. Exemple: Una estació de ràdio AM transmet una potència mitja de portadora de 40 kW amb un índex de modulació m = 0,707 per a una modulació amb senyal sinusoïdal Calculeu: (a) la potència mitjana total a la sortida, si li poseu un filtre pas baix; (b) l’eficiència de transmissió μ (a) La potència mitjana a la sortida és igual a
3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 39 C 2 0) N S (β3=) N S ( Observeu que la relació SC/NC a la sortida de l’amplificador d’IF, figura 3.5, correspon a la mateixa relació en un sistema AM amb la mateixa potència de portadora i la mateixa densitat espectral de soroll també a la sortida de l’amplificador d’IF. Aquestes quantitats es suposen a la sortida de l’amplificador d’FI, amb un senyal d’AM modulat al 100%. Aleshores aplicant la fórmula pel cas de β = 5, i posant el resultat en dB teniu C10C10100 ) N S (log10+7,15=) N S (log10+5,37log10=) N S ( És a dir la relació S/N és 15,7 dB millor que la relació S/N en banda base. A la figura 3.6 podeu veure, comparades, les relacions S/N a la sortida en funció del senyal a la sortida de l’amplificador d’RF, per a les modulacions FM i AM. Si augmenta β, augmenta l’ample de banda del senyal. Aleshores la relació senyal soroll a la sortida també augmenta. Fig. 3.6 Relació senyal soroll a la sortida del detector en funció de la relació S/N a la sortida de l’amplificador d’IF, per varis tipus de modulacions. Pel que fa a la relació S/N, la modulació de la portadora en FM és la millor de les tres modulacions estudiades, mentre que la modulació en SSB és millor que la modulació en AM. La modulació en FM és millor la modulació en AM des d’un llindar, sinó hi arribem pot ser la modulació AM sigui millor que la FM.
3 Sistemes de comunicació utilitzant senyals analògics 40 Preguntes P. 1 Un receptor d’FM té una temperatura de soroll de 210 K un ample de banda de 180 kHz. (a) Calculeu la potència mínima del senyal que necessiteu en el generador de prova per tenir un silenci complet, suposeu que el llindar de recepció és de 10 dB (10). La resistència d’entrada és de 300 Ω i el generador està a 290 K i adaptat al receptor. (b) Quina ha de ser la potència mínima del senyal per obtenir el silenci complet en aquestes condicions (tot a T0 = 290 K)? ((a) La potència de soroll disponible Pn = kTB = (1,38×10-23)(500)(180 000) = 1,24×10-15 W, PS = 10×1,24×10-15=1,24×10-14 W, 300)10×1,24(=RP=)t(e -14 S 2 S, Vμ93,1=)t(e 2 S,bPS = 10 k T0B = 720×10-15)
4 Senyals digitals 41 4 Senyals digitals 1 Introducció En una transmissió digital, a més del soroll blanc hi ha un altre tipus de soroll causat per la pròpia filosofia de transmissió de la informació en forma digital. En una transmissió digital, el soroll blanc que sempre és present en qualsevol comunicació, pot causar errors en el reconeixement dels símbols dels codis que estem transmetent. Però si els polsos de senyal sobrepassen uns llindars, la seva probabilitat d’error es pot reduir a valors molt petits. A part d’aquesta possibilitat de generar errors ocasionals, el soroll blanc no té cap altre efecte en els senyals de sortida. Això contrasta amb els sistemes analògics que no codifiquen la informació, AM, FM i SSB, en els que el soroll afecte al senyal d’una manera contínua. En una transmissió digital per a transmetre un senyal analògic, el primer que fem és codifica’l o quantifica’l. Un cop l’hem quantifica’t, és impossible de recuperar exactament el senyal original. Això crea variacions aleatòries de l’error que anomenem soroll de quantificació o soroll digital. Aquest soroll en coptes de ser inherent al sistema l’hem creat nosaltres en el procés de quantificació. No obstant, aquest soroll es pot fer tot el petit que es vulgui, fent els esglaons de quantificació em més petits possible. La relació S/N a la sortida serà funció del soroll de quantificació és a dir del nombre de nivells de quantificació. 2 Teorema del mostreig Per poder convertir senyals analògics a digitals seguirem dos passos. Primer, agafarem punts o mostres del senyal analògic en moments de temps determinats. Després, assignarem un codi digital a cada mostra. A la figura 4.1, podem veure com és tot el procés de conversió de senyal analògic a digital. Un cop el senyal analògic passat a digital és processat digitalment, el senyal analògic processat es pot tornar a recuperar per mitjà d’un convertidor de senyal digital a senyal analògic o DAC (Digital to Analog Converter) o un filtre. El tractament digital del senyal s’estudia a la Teoria del Senyal [2], que fa l’anàlisi de les mostres
4 Senyals digitals 42 digitalitzades sotmetent - les a amplificacions, filtrat, integració, etc., i tots els processos que calgui, per tal de poder tractar correctament la informació. Fig. 4.1 Procés de pas d’un senyal analògic a senyal digital, processat i retorn a senyal analògic. A la figura 4.2 mostrem el cas d’utilitzar un ADC de 3 bits, a cada valor mesurat o llegit d’amplitud de la mostra analògica, li correspon un codi de 3 bits o dígits binaris en sèrie o en paral·lel. Fig. 4.2 Mostreig d’un senyal analògic x(t) i els codis de les seves mostres en paral·lel o en sèrie. La funció que fa el mostrejador es pot quantificar per mitjà del conegut teorema de Nyquist [2]. Per aplicar el teorema a un circuit com el de la figura 4.1, suposeu que teniu un senyal x(t) analògic del que aneu agafant mostres de durada τ i freqüència de mostreig fS. Les mostres de sortida d’x(t) són Xa, i es poden posar com el producte d’un tren de polsos d’amplitud unitària S(t), durada τ segons per pols i freqüència fS per la funció x(t) [7] i [8].
4 Senyals digitals 43 )()( tStxX a Posant el desenvolupament en sèrie de Fourier del tren de polsos unitari [7], les mostres que formen el senyal Xa tenen la forma ]tfπ2ncos 2/πn 2/πnsin 2+1[)t(x 2 1 =)t(S×)t(x=V S ∞ 1=n 0∑ La sortida V0 porta tota la informació de l’entrada x(t) més les bandes laterals al voltant dels harmònics de la freqüència de mostreig fS modulats en amplitud pel producte x(t) Σsin (nπ/2)/(nπ/2), figura 4.3. Fig. 4.3 Espectre de freqüència del senyal (a) original i (b) espectre en freqüència del senyal mostrejat. El límit més baix de la freqüència de mostreig fS perquè es pugui recuperar el senyal original està imposat per la freqüència màxima fm del senyal sense mostrejar. La manera de recuperar el senyal original és posar un Filtre Pas Baix (FPB) d’ample de banda fm, un FPB ideal, és aquell que només deixa passar les freqüències baixes. De la figura 4.3 (b) deduïm que perquè no s’interfereixin els diferents harmònics s’ha de complir. mmS fff mS ff 2 Que és el molt important teorema de mostreig o de Nyquist. El teorema ens diu que si agafem mostres d’un senyal de freqüència màxima fm i les digitalitzem, es necessiten almenys 2fm mostres per segon per a recuperar el senyal original sense
4 Senyals digitals 44 distorsió. Per a un senyal x(t) de banda limitada, 2fmT’ elements o mostres d’informació (independents) són suficients per a especificar un senyal de T’ segons de durada. Si agafem mostres digitals del senyal a la freqüència fS de Nyquist i les guardem, com que les mostres digitalitzades tenen tota la informació del senyal x(t), podem fer les mateixes operacions que fem per a senyals continus però amb operadors digitals i utilitzant la matemàtica discreta. Com que 2fmT’ mostres ens especifiquen completament un senyal mostrejat en un temps T’, hem de pogué recuperar el senyal original amb aquestes mostres. La manera més senzilla de recuperar el senyal original, es fent passar els codis de sortida Xcodi per un Filtre Pas baix (FPB). Suposem que el senyal analògic x(t) a l’entrada és de banda limitada B = fm i que es mostrejada a intervals de temps TS = 1/2B. Primer veurem que podem reconstruir x(t) a partir de les mostres si utilitzem un FPB ideal. A la figura 4.4 podeu veure un exemple d’un FPB al que se l’hi posa un esglaó de voltatge a l’entrada. Podeu veure que és un filtre FPB, perquè aquest circuit té una funció de transferència que deixa passar millor les freqüències baixes (la seva funció de transferència és VC/Vg = 1/(RCωj + 1). Fig. 4.4 Circuit FPB amb un esglaó a l’entrada per a=1/RC=1/2ms i TS = 7,5 ms i l’equació diferencial que segueixen els senyals del circuit. Si substituïm la derivada pels seus increments finits VC(n)-VC(n-1)/TS i el voltatge en el condensador per VC(n), operant arribem al valor del voltatge en el condensador en funció de les mostres VC(n) = (VC(n-1)+aTSVg(n))/(1+aTS), hem resolt una equació diferencial amb l’aplicació de la matemàtica discreta i podem construir la solució amb electrònica digital per mitjà retards, sumes, multiplicacions i divisions digitals. A la figura 4.5 podeu veure l’aplicació d’aquesta fórmula per a 3 mostres o 300 mostres i un mateix període de temps de 20 ms, amb la condició inicial en el condensador VC = 0. Els valors per a 3 o 300 mostres porta a: VC(0) = 0 ; VC(1) = (0 + 18,75)/4,75=3,947 ; VC(2) = (3,947 + 18,75)/4,75 = 4,77.
4 Senyals digitals 45 Fig. 4.5 Circuit FPB amb un esglaó de voltatge Vg = 5 V a l’entrada per a=1/2ms per a 3 i 300 mostres. 3 Recuperació del senyal mostrejat Per a veure que el senyal mostrejat Xa pot reproduir el senyal original x(t), trobem la transformada de Fourier X(j) d’un senyal x(t) de banda limitada a 2B Hz , tingueu en compte que = 2 f. dtetxjX tj )()( B 2 0)( jX B 2 Sí repetim periòdicament l’espectre que hem posat de -2B fins a 2B, figura 4.6, podrem desenvolupar el senyal X(j) en sèrie de Fourier del mateix període T = 4 B. Fig. 4.6 Espectre de freqüència d’X(j) per a desenvolupar en sèrie de Fourier (fmàx = B). De l’expressió complexa de la sèrie de Fourier, vegeu l’apèndix i [7] per a L = 2 B teniu
4 Senyals digitals 46 ∑ ∞ ∞ - ω Bπ2 π nj nec Bπ4 1 =)ωj(X (1) i dejXc B B B nj n 2 2 2 1 )( Com que X(j) és la transformada de Fourier d’x(t) a on la variació d’ és continua, podem posar dejXdejXtx tj B B tj 2 2)( 2 1 )( 2 1 )( (2) En particular en els moments en què el paràmetre t val t = - n/2B 2 )( 2 1 ) 2 (2/ 2 2 n Bnj B B c dejX B n x (3) atès que de l’apèndix dejXc B B B nj n 2 2 2 1 )( Aquesta expressió ens diu, que si tenim el valor de les mostres en els moments t = -3/2B, -2/2B, -1/2B, 0, 1/2B etc, podeu trobar els coeficients cn de la sèrie Fourier de la fórmula (1). Un cop coneguts els cn podeu trobar per aplicació de la fórmula (1) la transformada de Fourier X(j), i després calculem x(t) en qualsevol moment del temps, fórmula (2). Per tant el conèixer x(t) en els instants de mostreig, n/2B, és suficient per a determinar la funció x(t) original en qualsevol temps com demostrarem més tard. És clar que podeu recuperar el senyal original x(t) sencer des de les seves mostres, sempre que es compleixen unes certes condicions. Per demostrar ho introduïm cn a dins de l’expressió de la transformada inversa de Fourier d’x(t) de la fórmula (2) el desenvolupament en sèrie de Fourier d’x(t) de la fórmula (1) i intercanviem la integral pel sumatori. deec B dejXtx tjBnj n B B tj B B] 4 1 [ 2 1 )( 2 1 )( 2/ 2 2 2 2 )B2/n+t(Bπ2 )B2/n+t(Bπ2sin π2 c =ωdec Bπ4 1 π2 1 =)t(x ∑ ∫ ∑∞ ∞ n Bπ2+ Bπ2 )B2/n+t(ωj ∞ ∞ n Tot seguit a la figura 4.7 podeu veure, per la seva gran importància, una representació gràfica de pols P(t) = sinc(t) = T1sin (t/T1)/(t) normalitzat que és el model triat per representar polsos reals amb temps de pujada i baixada diferents de zero.
4 Senyals digitals 47 Fig. 4.7 Pols sinc(t) normalitzat. A on ]e-e[ )B2/n+t(j 1 =|e )B2/n+t(j 1 =ωde )B2/n+t(Bπ2j-)B2/n+t(Bπ2jBπ2 Bπ2- )B2/n+t(ωj Bπ2+ Bπ2- )B2/n+t(ωj ∫ )B2/n+t(Bπ2sin )B2/n+t(Bπ2 1 =ωde Bπ4 1∫Bπ2+ Bπ2- )B2/n+t(ωj Atès que de la fórmula (3) sabem que cn/2 és igual v podeu posar que x(t) val )2/(2 )2/(2sin ) 2 ( )2/(2 )2/(2sin ) 2 ()( BntB BntB B n x BntB BntB B n xtx (4) Aquesta última fórmula ens diu que hem de ponderar cada mostra, multiplicant les per un factor de pes tipus sin x /x, centrat en el moment d’agafar la mostra. A més del teorema de Nyquist sabem que si la freqüència de mostreig fS és molt més gran que la freqüència màxima del senyal i feu passar les mostres per un FPB, podeu recuperar el senyal original x(t) per qualsevol instant de temps t. Tenint en compte la propietat de la funció δ [9] que diu que la se seva àrea és 1. Cada mostra f(n/2B) té la transformada de Fourier Xn(j) (espectre de freqüència) de B2/ωnj-tωj- ∞+ ∞- tωj- ∞+ ∞- ne) B2 n (x=dte)B2/n-t(δ) B2 n (x=dte)B2/n(x=)ωj(X ∫∫ (5) A on hem tingut en compte la propietat de la funció δ de Dirac [9] següent B2/ωnj-tωj- ∞+ ∞e=dte)B2/n-t(δ ∫ El filtre FPB limita la resposta a valors d’ entre -2B < < 2B, pel que la seva resposta a cada mostra x(n/2B) tenint en compte la fórmula (5) és deBnxdejXtg B B Bntjtj B Bnn 2 2 )2/( 2 22 1 )2/()( 2 1 )( )2/(2 )2/(2sin ) 2 (2)( BntB BntB B n xBtgn
4 Senyals digitals 48 La funció gn(t) té un valor màxim a t = n/2B i zero a tots els punts a on hem agafat les mostres, vegeu la figura 4.8. Fig. 4.8 Resposta d’un FPB a una entrada mostrejada. La sortida del FPB és la suma de les sortides individuals de cada mostra. Aquesta sortida és proporcional (un factor 2) al senyal original x(t) en qualsevol moment de temps, i no només en els punts de mostreig. Com que sabem les sortides gn(t) per a cada mostra i tenint en compte la fórmula (3), la sortida g(t) per a totes les mostres és )(2 )2/(2 )2/(2sin )2/(2)()( txB BtB BtB BnxBtgtg n (6) Aleshores hem demostrat que l’entrada x(t) es pot reproduir des de les mostres, si les fem passar per un FPB ideal i d’ample de banda B. La funció g(t) total representada per la fórmula (6) ens diu que podem representar la funció x(t) per mostres tipus sinc posades en els punts a on hem llegit la funció (mostra) separades una distància de τ/2 a on τ és la durada del lòbul principal de pols sinc. Si poseu els polsos amb els màxims separat una distància de τ/2 segons i com que hem agafat mostres a la freqüència de Nyquist fS, d’un senyal d’ample de banda B entre l’ample del pols de τ i fS, podem trobar la relació següent entre aquest paràmetres B2=fS ; B= τ 1 ⇒B2= 2/τ 1 = T 1 =f S S 4 El soroll de quantificació El soroll o error de quantificació s’introdueix quan assignem a tots els valors d’un interval de variació continu de la variable a un únic valor. Aquest error no es pot treure mai i és intrínsec al sistema. Per calcular el soroll de quantificació d’un senyal x(t), [7] i [8], per després pogué calcular la relació S/N a la sortida suposeu que els esglaons de quantificació tenen uns intervals de variació uniforme, tenim s nivells de quantificació i una variació
5Estructuradelatransmissiódesenyalsperoneselectromagnètiques 55 5 Estructura de la transmissió de senyals per ones electromagnètiques 1 Introducció Un cop hem analitzat les fonts que generen símbols en forma de senyals analògics i senyals digitals, analitzarem com fem la seva transmissió a gran distància utilitzant ones electromagnètiques. Tenint en compte que hem fer servir a antenes per a realitzar aquestes comunicacions entre punts molt allunyats, hem de tenir en compte que les dimensions d’una antena estan determinades per la freqüència de treball del transmissor o receptor. Un primer criteri de selecció es que una antena té unes dimensions d de l’ordre de /10 [4]. Aleshores per calcular les mides d’una antena que treballa a una freqüència f, heu d’utilitzar la fórmula de la teoria clàssica de les ones = c/f, a on c és la velocitat de la llum que a l’espai val 300 000 km/s 2 Front - End Tenint en compte que hi ha fonts que generen informació analògica i fonts que generen informació digital, abans convertir el senyal en ona electromagnètica se’ls hi pot aplicar una modulació digital, per exemple tipus PWM, tot seguit en el Front End es fa la conversió a senyal analògica que modula a la portadora de radiofreqüència. Després a la recepció es fa el procés invers, figura 5.1. Fig. 5.1 Diagrama de blocs d’un transmissor/receptor per ones electromagnètiques o Front – End.
5Estructuradelatransmissiódesenyalsperoneselectromagnètiques 56 3 Recepció de dades digitals El servei de recepció de dades (RTTY) i de mapes (FAX) meteorològics per ones electromagnètiques està molt estès a la marina, per aquest motiu en farem una breu descripció del seu funcionament. Observeu a la figura 5.2 un mapa rebut per un ràdio fax amb dades meteorològiques (Weather Fax) enviades per diferents estacions que estan distribuïdes per tot el planeta i que radien les dades que li envien petites estacions meteorològiques. La recepció de tot el mapa pot trigar de 8 a 19 minuts. Fig. 5.2 Mapa meteorològic rebut i guardat en paper per un Fax meteorològic o Weather Fax. Aquest serveis fan servir la modulació en FM, enviant una portadora de freqüència fC a la banda d’HF (1 – 30 MHz) més un to f1 de baixa freqüència o una portadora de freqüència fC més un to f2 també de baixa freqüència per indicar que transmetem un “1” o un “0”. El transmissor envia un senyal diferent, x1(t) i x0(t) per a cada to t)f+f(π2cosV=)t(x 1Cm1 i t)f+f(π2cosV=)t(x 2Cm0 L’obtenció d’un mapa meteorològic necessita una antena receptora en la banda HF adaptada a un aparell anomenat Weather Fax, que ens imprimeix en paper o visualitza en una pantalla el mapa. Una altra opció és utilitzar l’antena d’HF, un receptor de ràdio que permeti la desmodulació síncrona i un programa que ens gestioni tota l’operació. Aquests senyals amb la informació, viatgen per les ones i quan arriben al seu destí són detectades per l’antena del receptor (vin), i apart de possibles amplificacions
5Estructuradelatransmissiódesenyalsperoneselectromagnètiques 57 del senyal d’antena, li fem una detecció síncrona. La detecció síncrona, en realitat és una multiplicació del senyal que hem rebut amb un oscil·lador local del receptor que oscil·la a la freqüència de la portador fC, aplicant la funció trigonomètrica bàsica cos A cos B = ½ [cos (A-B) + cos (A+B)] podeu posar ]tfπ2cos+t)f+f2(π2[cos 2 A =tfπ2cos×t)f+f(π2cosA=)t(x 11CC1C1 ]tfπ2cos+t)f+f2(π2[cos 2 A =tfπ2cos×t)f+f(π2cosA=)t(x 22CC2C0 Per tant si tot seguit feu passar el senyal detectat per un filtre pas baix amb una freqüència de tall fC,que elimini la freqüència de la portadora (2 fC), per a cada u i zero els senyals rebuts queden tfπ2cos 2 A =)t(x 1R1 i tfπ2cos 2 A =)t(x 2R0 Tot aquest procés el podeu veure a la figura 5.3, a on generen dues freqüències fc + f1 i fc + f2, que les hi donem pas amb els interruptors MOSFET controlats per la font de dades digitals. Aquest senyal és enviat a l’antena i és emes. Quan arriba al receptor es fa un batut de freqüència amb l’oscil·lador local de freqüència fc del receptor. A la sortida del multiplicador s’ha generat la freqüència suma i la de freqüència diferència. En el nostre cas quan rebem un “1”, x1R, a la sortida del desmodulador teniu que x1 és ]tfπ2cos+t)f+f(π2[cos 2 A =tfπ2cos×tfπ2cosA=)t(x 11C C C1C1 D’aquí amb el filtre pas baix eliminem la freqüència fc + f1 i, trèiem el senyal x1R. Quan rebem un “0” fem el mateix, però els senyals ara són ]tfπ2cos+t)f+f(π2[cos 2 A =tfπ2cos×tfπ2cosA=)t(x 22C C C2C0 Fig. 5.3 Procés de modulació FM en transmissió i desmodulació del senyalen recepció
5Estructuradelatransmissiódesenyalsperoneselectromagnètiques 58 Tant els serveis de transmissió de dades per RTTY i NAVTEXT com la transmissió de dades per FAX és fan modulant una portadora en FM. Les dades és transmeten a 50 bps (servei RTTY) i els mapes a 2400 bps (servei de Fax). Per a transmissió de dades una portadora típica és de 10100 kHz i els tons típics són f1 = 1674 Hz i f2 = 2125 Hz. Per al servei de FAX, la freqüència d’una portadora típica és de 7880 kHz, mentre que els tons són de 1500 Hz i 2300 Hz. Preguntes P.1 En un servei de fax o en un servei RTTY que transmet dades meteorològiques a 50 bits/s (bauts) amb modulació FM, amb portadora de 7880 kHz. La informació s’envia amb dos tons f1 i f2 de 1500 Hz i 2300 Hz. (a) A quants bits/s transmetem? (b) Quina és la seva velocitat de transmissió màxima? (a) Després de fer la desmodulació síncrona del senyal SSB, rebem dos tipus de tons de 1500 Hz i 2300 Hz d’una durada τ de 20 ms (50 Hz) cada un d’ells. És a dir, transmetem una velocitat v en bits/s de 50= 10×20 1 = τ 1 =v 3Bits/s (b) Com que la màxima separació entre polsos τ = 1/B, la màxima velocitat la tenim quan una de les freqüències f1 o f2 és mínima és a dir quan en un temps τ ocupem un cicle. Ara, transmetem una velocitat màxima C en bits/s de 1500= 10×6,666 1 = τ 1 =C 6- Bits/s)
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 59 6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 1 Introducció Per pogué transmetre amb molt poca relació senyal soroll, és a dir amb senyals molt dèbils, es fan servir tècniques d’eixamplament de l’espectre del senyal a transmetre (Spread Spectrum). Així si mireu la fórmula de Shanonn de la velocitat màxima de transmissió (capacitat C) d’un canal digital (C = B log2 (1 +S/N)), es veu que, per una capacitat fixa de transmissió C, si augmentem l’ample de banda de transmissió B la relació S/N pot ser més petita. Aleshores es pot transmetre un senyal molt petit, que serà tapat pel soroll en el trajecte per anar d’un punt a un altre punt i després, en el receptor, quan aquest senyal amb molt soroll arriba al receptor el podem tornar a recuperar el senyal original. Aquesta tècnica d’eixamplament de l’espectre del senyal, es fa servir principalment per tractar senyals dels serveis de localització per satèl·lit GPS i de detecció de blancs per Radar, a on els senyals rebuts són molt dèbils. El senyal del satèl·lit a la superfície de la terra és més petita que el soroll blanc (soroll natural), la gran debilitat del senyal rebut en el vaixell és causada per l’eixamplament de l’espectre de la modulació del senyal, l’altura de l’òrbita del satèl·lit i la potència emesa pel satèl·lit. A més quan rebem el senyal d’un satèl·lit, els senyals captats als altres satèl·lits, i també captats per nosaltres, són vistos com soroll. Una condició necessària per a una comunicació correcte per GPS és que els satèl·lits de la constel·lació GPS han de transmetre amb potències de senyal semblants, sinó el satèl·lit que emetés amb més potència taparia el senyal dels altres satèl·lits. El senyal electromagnètic enviat pel Radar i que topa en el blanc i, de tornada és rebut pel Radar (Eco) també és un senyal molt dèbil. La potencia del senyal de l’Eco, depèn de la distància a que està el blanc i de les condicions atmosfèriques. En detecció de blancs en fons marins es fa servir senyals que viatgen per ones acústiques, aquesta tècnica s’anomena Sonar. En el Radar i en el Sonar, els senyals d’Eco rebuts són transformats de senyals electromagnètics a senyals elèctrics per l’antena del Radar i, de senyals acústics a senyals elèctrics per l’antena del Sonar. Els senyals elèctrics generats en aquestes dues tècniques de detecció de blancs són semblants i reben un tractament semblant.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 60 2 Tècnica d’eixamplament de l’espectre i de correlació en emissió i recepció Les tècniques d’eixamplament d’espectre de senyals enviats i de correlació de senyals rebuts es fan servir alhora. Així quan un transmissor envia un missatge, perquè el receptor pugui entendre’l, encara que aquest sigui molt dèbil, utilitza tècniques d’eixamplament d’espectre. Per una altra banda, quan el receptor ha de triar entre la recepció d’un soroll molt fort o un missatge molt dèbil, utilitza tècniques de detecció per correlació de senyals, a la figura 6.1 podeu veure una realització gràfica de tot el procés de transmissió/recepció. Fig. 6.1 Eixamplament de l’espectre al transmetre i correlació d’un senyal rebut d’espectre eixamplat en el receptor. Per generar l’eixamplament de l’espectre dels senyals de GPS a transmetre s’utilitza la modulació CDMA5 (Code Division Multiple Access). Per generar l’eixamplament de l’espectre dels senyals dels senyals de Radar i Sonar fem servir un tipus especial de modulació per eixamplar l’espectre anomenada Chirp. En apartats següents analitzarem primer la teoria de funcionament general i després els principis l’eixamplament d’espectre i detecció dels senyals dels senyals del GPS, Radar i Sonar. Per recuperar el senyal que arriba al receptor i que és molt dèbil, el receptor Radar o Sonar que rep senyals modulades en CDMA o Chirp fa servir tècniques de correlació de senyals. Un codi intern a l’usuari receptor, codi de replica del codi enviat pel transmissor, és generat i alineat en el receptor amb el codi del senyal més soroll rebut que té un valor molt dèbil. El receptor desplaça el codi de replica i en fa la correlació amb el codi que arriba del satèl·lit. Quan els codis coincideixen (estan en fase) la correlació es màxima. Llegint aquest màxim sabem que el codi enviat i el codi de replica són el mateix. Aquest criteri surt del fet de que per detectar un Eco, es fa la convolució (coincidència màxima de dos senyals) del pols transmès x(t) amb el pols rebut y(t) i es diu que el senyal rebut és vàlid quan la convolució és màxima, en realitat s’emmagatzemen els dos polsos i el pols rebut es va desplaçant davant del pols transmès i va acumulant el seu resultat. Quan els dos polsos tenen la màxima coincidència la 5Acceso Múltiple por División de Código. Wikipedia
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 61 convolució és màxima. L’expressió general de la convolució g(t) del senyal emmagatzemat x(t) amb el senyal rebut y(t) és t -)-()()( dtyxtg A les figures 6.2 (a) i (b) presentem els senyals que intervenen en la convolució de dos polsos ideals i no ideals de durada τ. Per fer la convolució, mantenim el pols transmès x(t) fix i anem desplaçant davant de l’Eco y(t - ), variant de forma contínua. En aquestes figures també podeu veure la convolució o àrea interceptada pels dos polsos, funció g(t), quan anem variant t. El valor de la convolució màxima és per a t = τ [7]. A la figura 6.2 (a) podeu veure la convolució dos polsos ideals d’ample τ segons i la convolució g(t) que té un valor màxim 1 i, a la figura 6.2 (b) la convolució de dos polsos no ideals (temps de pujada tr 0 i baixada tf 0). Noteu que els dos polsos no ideals, es tallen a ½ del valor de pic de cada pols. El valor de tall a ½, s’agafa com a nivell mínim per pogué distingir els dos polsos i, per tant la separació mínima entre els pics dels polsos perquè es puguin distingir és de τ segons. Fig.6.2 (a) Autocorrelació de dos polsos ideals(tr i tf =0)de durada τ i (b) dos polsos separats τ no ideals(tr i tf 0). 3 El GPS El GPS, Global Positioning System, és un sistema per determinar la posició en “temps real” d’un usuari situat al planeta terra [14]. Els seus camps d’aplicació són en el transports marítim, terrestre i aeri. El GPS ha estat desenvolupat pel Departament de Defensa dels Estats Units de Nord Amèrica, US Department of Defense, cap a l’any 1973. El sistema GPS, plenament operatiu des de l’any 1995, permet calcular la posició i el temps de qualsevol usuari situat a la Terra. Està basat en una xarxa de transmissors que pot arribar a tenir 40 satèl·lits artificials repartits de forma estratègica i girant al voltant del planeta Terra. Les òrbites dels satèl·lits són quasi circulars i estan situats a una altura de 20.200 km de la Terra. Cada Satèl·lit radia codis i missatges de navegació. Vegeu una imatge d’una configuració dels satèl·lits a la figura 6.3.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 62 Fig. 6.3 Constel·lació de 24 satèl·lits, a 4 satèl·lits per òrbita A la figura 6.4 podeu veure , per centrar idees, les coordenades respecte al centre de la terra dels elements que intervenen en una localització amb GPS utilitzant un únic satèl·lit de coordenades (x1, y1, z1), un antena emissora situada a Terra (x0, y0, z0) i un vaixell mòbil (x, y, z). Fig. 6.4 Visualització de les coordenades d’un únic satèl·lit (x1, y1, z1), una antena emissora situada Terra (x0, y0, z0) i un vaixell mòbil (x, y, z) respecte al centre de la Terra. Tot seguit expliquem com fa el Sistema GPS per calcular la posició (x, y, z) d’un vaixell mòbil. La distància del vaixell al satèl·lit j és j 0 , aquesta distància és bàsica per calcular la posició (x, y, z) del vaixell i val 2j2j2jj 0)z-z(+)y-y(+)x-x(=)z,y,x(ρ (1)
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 63 Tot seguit desenvolupem la distància 1 0 entre el vaixell i el satèl·lit 1 en sèrie de potències de Taylor6 [9] al voltant del punt conegut (x0, y0, z0) com pot ser l’antena de control i ens quedem només amb el primer terme. )z,y,x( 1 0 0 )z,y,x( 1 0 0 1 0 0000 1 0 1 0 000 000) 0 z, 0 y, 0 x( | z ∂ )z,y,x(ρ∂ )z-z( +| y ∂ )z,y,x(ρ∂ )y-y(+| x ∂ )z,y,x(ρ∂ )x-x(+)z,y,x(ρ≈)z,y,x(ρ Per aplicar l’expressió del desenvolupament en sèrie de Taylor d’una funció de tres variables al voltant d’un punt, calculem el diferencial de 1 0 per una coordenada i generalitzem per a les altres dues. dx)x-x( )z-z(+)y-y(+)x-x( 1 =ρd1 212121 1 0 generalitzant )y-y( ρ 1 = dy ρd1 1 0 1 0i dz)z-z( ρ 1 = dz ρd1 1 0 1 0 Finalment, la distància entre vaixell i el satèl·lit 1 en funció de les coordenades de l’antena de control és dz )z,y,x(ρ )y-z( +dy )z,y,x(ρ )y-y( +dx )z,y,x(ρ )x-x( +)z,y,x(ρ ≈)z,y,x(ρ 000 1 0 0 1 000 1 0 0 1 000 1 0 0 1 000 1 0 1 0 (2) El camí fet pel senyal enviat pel satèl·lit 1 fins al vaixell, l’anomenem Pseudorang 1 0 P i val la suma de la distància en línia recta )z,y,x(ρ1 0, fórmula (2), més els camins erràtics per la Ionosfera (I) i per la troposfera (T) més la diferencia de retards entre els rellotge a l’estació de la Terra menys el retard del senyal en el satèl·lit, vegeu la figura 6.5. Fig. 6.5 Senyals que intervenen en la definició de Pseudorang d’un satèl·lit 1, a on c és la velocitat de la llum. 6 f(x, y, z) = f(a, b, c)+fx(a, b, c)(x-a)+ fy(a, b, c)(y-b)+ fz(a, b, c)(z-c)+ ½ {(x-a)2fxx (a, b, c)..}....
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 64 El Pseudorang és mesurable i conegut, el Satèl·lit envia un codi i per tracking el receptor ens treu un temps, aquest temps és el temps que necessita l’ona electromagnètica per anar del Satèl·lit a al vaixell. Si multipliquem aquest temps per la velocitat de la llum c, teniu el Pseudorang en forma d’espai. ))lit·Satèlrellotgeretard(dt-)receptorrellotgeretard(dt(c+I+T+)z,y,x(ρ=P 11 0 1 0 El retard del temps del Satèl·lit és respecte al temps GPS, que és molt estable i està en una seu central i és una dada. El retard del temps del receptor és una incògnita, no s’envia perquè hi ha moltíssims receptors i per això es deixa que el calculi el receptor. Si passem a una banda de la igualtat els factors coneguts queda dtc+)z,y,x(ρ=cdt+I-T-P 1 0 11 0 Desenvolupant ρ01(x, y, z) en sèrie de potències de Taylor utilitzant la fórmula (2) i quedant nos amb la primera derivada. El desenvolupant el fem al voltant del punt de l’antena de control (x0, y0, z0), Tingueu en compte que com que el satèl·lit és molt llunyà (20.200 km), la distància del vaixell a l’antena de Terra es molt petita comparada amb la distància al satèl·lit i podeu posar que: dx = x-x0, dy = y-y0 i dz = z-z0, vegeu la figura 6.4. dtc+dz ρ )z-z( +dy ρ )y-y( +dx ρ )x-x( +)z,y,x(ρ≈cdt+I-T-P 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 000 1 0 11 0 (3) Passant totes les quantitats conegudes a l’esquerra dtc+dz ρ )z-z( +dy ρ )y-y( +dx ρ )x-x( =)z,y,x(ρ-cdt+I-T-P 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 000 1 0 11 0 Els valors de l’esquerra de la fórmula (3) són tots coneguts: el Pseudorang 1 0 P el mesurem per tracking, T i I són estimats i el retard c× dt1 és conegut. A l’esquerra teniu quatre incògnites: el retard a l’antena c × dt és bastant gran i és desconegut, els coeficients dels diferencials són coneguts i les incògnites (x, y, z) estan a la definició de dx = x-x0, dy = y-y0 i dz = z-z0. Necessitem com a mínim 4 Satèl·lits i com a màxim en podem tenir 40. La part esquerrà de a la que arribem és P01-T-I+cdt-ρ0j i és una matriu columna que anomenem matriu Y. Podeu posar la fórmula (3) en forma de matriu per a 40 Satèl·lits com dt×c dz dy dx 1 ρ )z-z( ρ )y-y( ρ )x-x( 1•A• 1 ρ )z-z( ρ )y-y( ρ )x-x( 1 ρ )z-z( ρ )y-y( ρ )x-x( =|Y| 40 0 0 40 40 0 0 40 40 0 0 40 2 0 0 2 2 0 0 2 .2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 dXA=Y (4)
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 71 La informació que es rep del satèl·lit consta d’una sèrie d’instruccions que es repeteixen periòdicament. Cada instrucció està formada com a màxim per 80 caràcters ASCII. Totes comencen pel caràcter ASCII $. Tot seguit presentem 5 caràcters alfanumèrics en aquest format. $GPLL, 4150.610,N,00138.521,E,205935, A*29 El caràcter primer, després del caràcter $, ens diuen a quin model de receptor va destinada la sentència i els tres següents són el nom propi de la sentència. Des d’aquesta informació i separats per comes ‘,’ es van omplint els camps que defineixen cada instrucció. Cada sentència és acabada amb un caràcter ASCII ‘*’ seguida de dos caràcters més de control que són el final de la instrucció. La instrucció proposada, vol dir Latitud 41 graus 50,61 minuts Nord, Longitud 001 graus 38,521 minuts Est. Punt agafat a les 20:59:35 UTC. Dades actives A. Final d’instrucció. 4 El Radar de polsos El Radar i el Sonar són dos sistemes electrònics molt complexes, que es fan servir per detectar objectes i naus en el món marí. Tant el Radar com el Sonar estan basats en el principi d’enviar un senyal i esperar rebre el rebot, Eco, produït per un blanc i així pogué saber la distància entre l’emissor i el blanc. La principal diferència entre el Radar i el Sonar és que el Radar calcula la distància utilitzant les propietats de les ones electromagnètiques, mentre que el Sonar calcula la distància utilitzant les propietats de les ones acústiques. D’ara endavant només parlarem del funcionament del Radar perquè el funcionament del Sonar és anàleg. Hi ha, bàsicament, dos tipus de radar. El radar emet sempre una freqüència continua i que al xocar amb l’obstacle canvia la freqüència, radar d’efecte Doppler. I el radar de polsos, el més utilitzat a la marina, en què s’envia un pols o paquet de portadora de radiofreqüència i espera l’eco en forma de pols, que rebota en l’obstacle. Mesurant el temps entre l’enviament del impuls i la seva recepció podem saber la distància a què es troba l’obstacle o blanc. Entotl’estudideradarsmarinsquenomés faremreferènciaalRadarde polsos,perquèéselmésutilitzat. El Radar d’impulsos o de polsos emet de forma continua, a una freqüència Fr =1/Tr, polsos molt estrets de durada d i molta potència. La lletra Fr es coneix com PRF (PulseRepetitionFrecuency, vegeu la figura 6.11. Fig. 6.11 Propagació d’un impuls i el seu Eco en el temps.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 72 Tenint en compte l’ona que emet el transmissor és electromagnètica i que es propagarà a una velocitat c igual a la de la llum en el buit, c = 300.000 km/s = 3·108 m/s. Podem posar la relació entre la distància R entre l’emissor i l’obstacle i el temps t què triga a arribar l’Eco. 2 t×c =R AnomenemResoluciód’unRadaraladistànciamínimaaquepodenestar dos obstacles en la direcció de propagaciódel’onaqueemetelradarperquè puguinserdistingits. Per tenir alta resolució en un radar o en un sonar calen polsos molt estrets. El grau de resolució per distingir varis objectius en el mateix rumb però a diferent distància depèn de l’ample del pols τ transmès, del tipus i mides dels objectius, i de l’eficiència del receptor i de la pantalla. Un sistema de radar ben dissenyat ha detenir l’habilitat de distingir blancs que estiguin separats una distància en temps de τ segons [12]. Aquest criteri està basat en el fet de que els polsos són reals, amb temps de pujada i baixada diferents de zero, vegeu la figura 6.2 (b). El criteri proposat, a l’apartat 2 d’aquest mateix tema, diu que considerem que hi ha pols si l’amplitud està per sobre de la meitat del voltatge màxim del pols. Pel que la cua del primer pols no interfereix amb el temps de pujada del rebot sí estan separats una distància en temps de τ segons. Si tenim dos blancs A i B en línia separats una distància d metres. Una part de la potència senyal enviat pel pols del Radar rebota en el blanc A i torna cap a l’emissor del senyal i una altra part passa cap al blanc B. El senyal que sobrepassa A viatja d metres abans d’arribar al blanc B. Un cop ha arribat al blanc B, rebota i inicia el camí en sentit contrari. El pols rebotat en el blanc B viatja d metres més abans de tocar el primer pols. Tot això hem dit que per distingir els dos polsos ho de fer en τ segons. Per tant es compleix que 2 d = c × τ, d’aquesta expressió podeu dir que la resolució per poder diferenciar dos polsos de durada τ en metres és de (c τ)/2 a on c és la velocitat de propagació de l’ona electromagnètica. Per tenir més resolució calen uns polsos més estrets. Atès que l’energia per pols i el nombre de polsos determinen la nitidesa de la detecció d’un blanc, considereu per exemple, un radar de polsos convencional amb un ample de pols τ = 1 µs i 1 MW (106) potència de pic, l’energia d’un únic pols és 1 Joule (1µs 106 W). Els polsos d’1 µs de durada tenen una resolució de 150 m (c×τ/2). Si necessitem una resolució de 150 cm, l’ample del pols es redueix a 1 ns i la potència de pic puja fins a 1 GW (109), si mantenim la mateixa energia d’1 Joule per pols (1/10-9). Noteu que el pic de potència és extraordinàriament alt, i per aquesta raó no es podrà propagar sense produir ruptures en la línies de transmissió utilitzades a les freqüències de radar (microones ). Però l’ús de polsos estrets és una limitació perquè augmenta l’ample de banda B del sistema, atès que l’ample de banda d’un pols, de durada τ segons, és inversament proporcional a la seva durada (1/τ). Un gran ample de banda incrementa la complexitat del sistema i la possibilitat d’interferències electromagnètiques. Una altra limitació dels polsos estrets, és que es necessiten grans pics de potència per tenir polsos l’energia necessària (molta) per la transmissió. La línia de transmissió que connecta l’emissor de polsos d’alta potència d’un radar amb l’antena està subjecte a voltatges de ruptura (Breakdowns) i a arcs (Arc Discharging), especialment a molt altes freqüències a on les mides de la guia d’ona són petites. Si el
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 73 pic de potència està limitat per ruptura, el pols pot ser que no tingui suficient energia per arribar a una determinada distància. El Radar d’impulsos té quatre parts molt diferents, el transmissor, el receptor, el duplexor i l’antena que és comuna tant per a transmissió com per a recepció. Vegeu a la figura 6.12, l’estructura d’un Radar de polsos clàssic sense compressió de polsos. Fig. 6.12 Diagrama de blocs d’una instal·lació de radar.(*Pols modulat en FM, Filtre Chirp. Un Radar emet polsos d’energia de durada molt curta. La recepció dels senyals rebotats en els blancs o Ecos ens donen la informació de la posició del blanc. La recepció dels polsos es fa durant el temps en què el transmissor no emet, és a dir quan resta inactiu. El duplexor fa possible que només utilitzem una única antena tant per a transmissió com per a recepció. El duplexor connecta de forma automàtica i en seqüència l’antena al magnetró en transmissió i en recepció l’antena al mesclador. El cicle d’operació comença quan el modulador aplica tren d’impulsos molt estrets al magnetró i de forma repetitiva. Aquests impulsos modulen el senyal que genera el magnetró o el Klystron9 i creen paquets de portadora de radiofreqüència, que tenen una amplada igual a la durada del pols modulador. A més es genera un senyal triangular periòdic anomenat base de temps que marca el temps d’inici de la representació a la pantalla i per a cada direcció de l’antena del Radar segueix una línia recta fins al fons de la pantalla. Elsenyalgenerattrobaelduplexorqueésundispositiudemicroonesqueté perfunciócommutarl’antenadelcircuitdetransmissióidelderecepcióde.La utilització del duplexor permet estalviar nos una antena i fer servir la mateixa antenaperatransmissióiperarecepció.Elduplexorestàformatperguiesd’ona demidesiformes moltdeterminadesi unsdispositiusanomenatscèllulesTRi ATR. Aquests impulsos de radiofreqüència creats pel magnetró o pel Klystron es propaguen per les guies d’ona trobant en el seu camí dues cel·les commutadores TR i 9 Foundations for microwave engineering . R..Collins. McGraw Hill 1966
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 74 ATR, a les figures 6.13 (a) i (b) podeu veure una realització pràctica d’un duplexor i l’esquema equivalent de les línies de transmissió que el formen. Aquestes cel·les són tubs que tenen gasos a baixa pressió que es ionitzen quan els hi arriben energia de radiofreqüència, el gas es ionitza i actua de curt circuit. L’energia electromagnètica fa que les cel·les actuïn com a commutadors. Exposarem algunes propietats de les línies de transmissió [11] amb allargades de λ/4 i λ/2 i acabades en circuit obert o curt circuit que ens serviran per explicar el duplexor. Una línia en λ/4 té una impedància d’entrada zero (Zi = 0), quan l’extrem està en circuit obert (ZL = ∞). La línia en λ/4 té en circuit obert (Zi = ∞) quan la càrrega està en curt circuit (ZL = 0). Sí la línia és en λ/2 a l’entrada tenim la mateixa impedància que a la sortida, és a dir sí ZL = ∞ aleshores Zi = ∞ i sí ZL = 0 aleshores Zi = 0. Fig. 6.13 (a) Aspecte físic d’un Duplexor i (b) Esquema equivalent fet amb línies de transmissió. La forma de funcionament és la següent. En transmissió quan el Magnetró o el Klystron envia senyal, aquest senyal té el camí lliure cap a l’antena i aïlla el mesclador. En el temps de recepció, quan el Magnetró o el Klystron no envien senyal, la impedància del magnetró esdevé infinita i el senyal que ve de l’antena només pot anar cap al mesclador. En el període d’emissió, l’energia subministrada pel Magnetró o pel Klystron com que és molt gran, ionitza les cèl·lules ATR i TR, provocant dos curt circuits que fan actuar a la guia d’entrada com dos curt circuit en sèrie amb el camí de l’ona. Els polsos transmesos “veuen” un camí de baixa impedància a la direcció de l’antena i no en la direcció de la cèl·lula ATR - mesclador. En el període de recepció totes dues cèl·lules estan desionitzades, perquè l’energia rebuda és molt petita. Pel que fa a la cèl·lula TR una part de l’energia passa per ella i no té prou energia per excitar la i va cap al mesclador. L’altra part de l’energia arriba a la cèl·lula ATR i tampoc no l’activa pel que el circuit obert es reflexa com un curt circuit a l’entrada del camí que va al mesclador. Per tant, el senyal rebut va cap al mesclador seguint un camí de més baixa impedància. El mesclador rep el senyal de l’Eco i el senyal generat per l’oscil·lador local (GHz), construït amb una vàlvula anomenada Klystron. El mesclador genera la diferència de freqüències entre la freqüència del senyal que ve de l’Eco de l’antena (coincideix freqüència del magnetró (GHz)), i la freqüència de l’oscil·lador local (GHz). La freqüència de l’oscil·lador local està una mica per sobre de la freqüència de l’Eco.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 75 Aquesta diferència de freqüències entre 20 MHz i 60 MHz i passa per l’amplificador de freqüència intermèdia IF. Els senyals de l’eco convertits a IF s’amplifiquen, es detecten i se’n extreuen senyals amb prou qualitat per alimentar visualitzadors tipus pantalla plana. Els amplificadors que hi ha entre l’etapa d’IF i el tub són amplificadors de vídeo. Actualment la presentació de la informació en un Radar naval es fa sempre sobre pantalles planes que permeten visualitzar els senyals dels ecos, en funció dels impulsos de sincronització i la informació de la posició de l’antena. La tècnica de la representació d’Ecos d’un Radar es coneix per les sigles PPI (Plan Position Indicator) o indicador de la posició en el pla. Històricament l’origen s’agafa al punt O de la figura 6.14 (a), i es genera una recta giratòria en sincronisme amb l’antena (pendent de la recta m) i al començament de la recta el pols dispara l’origen del temps fins a fons d’escala. Un cop hem engegat la base de temps en un temps t arriba l’Eco, aleshores es calcula les coordenades cartesianes (x, y). El temps és l’abscissa i l’ordenada és y = m t. Al sistema controlador de la pantalla plana li subministrem la informació de l’angle girat per l’antena m = tag , el temps t que triga en arribar l’Eco, pols en sincronisme amb el pols del magnetró que dispara la base de temps interna del controlador, vegeu tot això a la figura 6.14 (b). Fig. 6.14 (a) Rotació de l’escombra’t en la pantalla plana, (b) controlador de pantalla plana amb els senyals necessaris i (c) base de temps per varis angles girats per l’antena. 4. 1 Eixamplament de l’espectre del senyal del Radar i del Sonar en transmissió Un pols molt estret té un gran ample de banda (B = 1/ τ) i una resolució molt gran. Un pols més ample pot tenir, en detecció, el mateix ample de banda que un pols molt estret. Per aconseguir ho hem de modular el pols més ample en freqüència (FM) o fase (PM) [12] i [13]. Aquest pols modulat en freqüència, al ser més ample necessita menys potència de pic i té més resolució que el pols sense modular. Això s’aconsegueix amb la modulació FM i compressió del polsos de radar. En el procés de compressió, primer hem modulat en freqüència el polsos amples en el transmissor i desprès fem la compressió en el receptor augmentant molt el valor del pic del senyal rebut. En realitat enviem un pols de durada gran T i, en el receptor, resulta com sí la durada τ del pols rebut fos molt més petita, concentrant tota l’energia en el centre del pols.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 76 La teoria bàsica del radar de compressió de polsos amb polsos modulats en FM fou proposada per R. H. Dicke l’any 195310. El seu diagrama de blocs és semblant al del Radar de polsos convencional, excepte en què el transmissor envia els polsos modulats en freqüència FM i el receptor porta un filtre de compressió de polsos (filtre adaptat) que ens subministra la relació senyal soroll més gran pels Ecos rebuts. El pols a transmetre, figura 6.15, és un pols repetitiu rectangular d’amplitud constant i durada T. El pols és modulat en FM, amb una freqüència que s’incrementa linealment des d’f1 fins a f2 durant la durada del pols. Aquest pols es coneix com a pols Chirp (refilat d’un ocell). Tingueu en compte que les freqüències baixes, amb el tipus de modulació utilitzada, s’envien abans que les freqüències altes, vegeu el pols modulat en FM a la figura 6.15. Pel tipus de modulació triada, la freqüència instantània del pols comença amb una freqüència baixa i va augmentant la freqüència en direcció al final del pols, la modulació en FM,també pot ser al revés. La formulació de la variació de freqüència és tff C 2 o 2 Ct 2 β +tω=tω per 2/|| Tt Fig.6.15 Compressió lineal de polsos: pols a transmetre de durada T (modulat en FM). En un primer anàlisi podeu dir que l’energia del senyal emès no varia durant tot el pols de modulació Chirp. Si P i T són la potència de pic i durada del pols abans de la compressió i P’ i τ són la potència de pic i durada del pols després de la compressió, com que es conserva l’energia podeu posar l’energia abans i després de la compressió és 'PTP ; BTP T PP ' ; BT R v R v 22 ' ; BT×v='v (5) Si analitzeu la fórmula (5), veieu que es produeix un intercanvi entre ample de banda (B = 1/ τ) i potència de senyal rebut P’, per a un mateix nivell de potència de senyal emès P. El pic del senyal a l’entrada queda multiplicat pel factor √BT. Aquest efecte ens fa augmentar la relació S/N a la recepció. En un proper apartat farem un anàlisi amb més profunditat de la modulació Chirp. 10 R. H. Dicke Object Detection System US Patent nº 2.624.876 Jan 1953
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 77 El procés de compressió es pot veure com l’ús d’un pols de llarga durada T per obtenir la resolució d’un pols estret τ. Mitjançant la modulació en FM del pols llarg de durada T obtenim un ample de banda B >> 1/τ. És a dir, la compressió de polsos permet al radar tenir de forma simultània l’energia dels polsos llargs en el temps, amb la resolució dels polsos estrets en el temps i complint les especificacions d’alta potència de pic (ruptura) dels polsos estrets. 4. 2 Compressió i correlació dels polsos del Radar o Sonar en recepció L’amplitud del senyal en recepció, finalment, és la suma de les diferents ones electromagnètiques, això afavoreix que es detecti més bé el pols, perquè la seva amplitud màxima resulta reforçada. Aquest efecte fa que en recepció es comprimeixi el senyal i concentra el temps d’actuació τ, vegeu aquests aspectes a la figura 6.16. Amb la utilització de la tècnica de compressió de polsos aconseguim que la relació senyal soroll a la sortida del receptor sigui màxima. A l’apèndix veiem que la relació de la potència pic màxima del senyal a valor mig del soroll a la sortida d’un filtre adaptat només depèn de l’energia rebuda per unitat d’ample de banda i no de la forma del senyal, durada o ample de banda. N E 2= N |)t(s| 2 0sortida En el receptor, el senyal d’FM rebut és passat per un filtre compressor de polsos, que pot ser una línia de retard i que té la velocitat de propagació proporcional a la freqüència. La línia de retard dispersiva, canvia la velocitat de propagació en funció de quina és la freqüència instantània de l’Eco que arriba al receptor. Es pot utilitzar qualsevol circuit en el que el temps de retard depengui linealment de la freqüència en una certa gama, atès que el temps de retard es determina com la derivada de la fase. A la línia de transmissió li entrem el pols de l’Eco modulat en FM i en trèiem un pols que concentra l’energia La sortida d’un circuit que faci la convolució entre el senyal enviat i l’Eco rebut és equivalent a la sortida del filtre adaptat matemàticament al que li entrem només el senyal de l’Eco, vegeu l’apèndix. Qualsevol de les dues opcions, en funció de la què sigui fàcil de realitzar. Encara que casi sempre es tria l’opció del filtre adaptat tipus línia de transmissió, vegeu la figura 6.16.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 78 Fig.6.16 Compressió lineal de polsos: pols de sortida del filtre compressor equivalent a una convolució del senyal enviat i de l’Eco rebut. La durada del pols final τ és molt més petit que el temps inicial T >> τ. Per la forma com hem generat el senyal Chirp, en el filtre compressor situat en el receptor, primer es propaguen les freqüències més baixes, i desprès es propaguen les freqüències més altes. Les freqüències més altes viatgen més de pressa que les freqüències més baixes i acaben sortint juntes al final de la línia. Recordeu que = c /f pel que vd = f d, a on vd és la velocitat del senyal a la línia, f és la freqüència del senyal i d la llargada de la línia. El filtre compressor situat en el receptor, ha de tenir un retard en freqüència de sentit oposat a la modulació Chirp del transmissor. Durant molts anys es va fer servir una línia de transmissió per a comprimir el senyal d’FM rebut. La línia de transmissió utilitzada és una línia dispersiva que canvia les velocitats de propagació vp (freqüència × distància). Les freqüències altes que arriben més tard a la línia, figura 6.16, i es propaguen més ràpides. Primer entren les freqüències més baixes, també figura 6.16, que és propaguen més lentament i després arriben les freqüències altes que es propaguen més ràpidament i acaben sortint juntes amb la mateixa freqüència al final de la línia com demostrarem en el proper apartat. Al final les amplituds de les diferents freqüències es sumen, afavorint la detecció perquè el pic del senyal és més gran. El filtre de compressió, també s’anomena filtre adaptat amb una determinada funció de transferència que fa màxim el pols detectat i la seva sortida és l’autocorrelació amb l’eco rebut. Com també demostrarem en el proper apartat, la forma del pols comprimit és del tipus sinx/x. L’espai entre els dos primers zeros és 2/B, figura 6.16. La freqüència de la portadora del pols comprimit és constant. Actualment gràcies al avenços en tecnologia digital, hi ha Radars que fan els filtres molt complicats utilitzant processat del senyal MTI (Moving Target Indication) forma digital [12] i [13]. Aquest Radars digitalitzen el senyal analògic a la sortida del filtre d’IF. Hi ha convertidors de: 16 bits per mostrejar senyals fins als MHz, de 14 bits per mostrejar senyals fins als 50 MHz, de 12 bits per mostrejar senyals fins als 100 MHz, de 8 bits per mostrejar senyals fins a 1 GHz.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 79 A la figura 6.17 podeu un senyal de l’Eco més soroll a l’entrada del filtre adaptat i, a la figura 6.18 el senyal a la sortida del filtre adaptat, observeu que els ecos de sortida són molt estrets en el temps. Fig.6.17 Senyal amb el pols amb soroll abans de comprimir (b) senyal comprimit feta la convolució. Fig.6.18 Senyal comprimit un cop feta la convolució.
6 Intercanvi de la relació senyal soroll en senyals molt dèbils 80 L’avantatge d’aquesta tècnica és que permet l’ús de polsos de radar d’ample més gran T (fórmula (5)), representant un increment en la potència mitjana transmesa per una potència de pic enviada més petita. La modulació de freqüència associada transmesa porta la informació necessària per construir en el receptor el filtre el pols comprimit que té un pic efectiu de potència molt més gran. Amb aquesta tècnica es supera la limitació de la potència de pic en el transmissor del radar de polsos, fent possible al dissenyador del sistema obtenir tant l’energia per pols necessària per detectar polsos de molt poca energia i tenir una resolució molt gran perquè utilitzem polsos molt petits (τ). 4.2.1 Funció de convolució d’un impuls de Ràdio modulat en amplitud i en FM Suposeu que el senyal a transmetre és de banda estreta11 que podeu posar com s(t) = A(t) cosΘS(t), com és el cas del pols Chirp [12] i [13]. És a dir tots components espectrals del senyal s’agrupen al en una banda relativament estreta en comparació en amb una freqüència central ωC. Per detectar un blanc el Radar ha de calcular la funció de convolució ΨS(λ) [15] entre el pols enviat s(t) i el pols rebut que ha rebotat en el blanc i que és anomenat Eco “s”. Fem passar l’Eco “s” pel davant del pols enviat s(t-λ). Observeu que λ és un paràmetre d’integració que assignem al temps t. ∫ ∞ ∞-)-()()( dttsts S (6) A l’apèndix hem deduït l’expressió de la convolució de la fórmula (6) per a dos senyals de banda estreta del tipus s(t) = A(t) cosΘS(t). ∫ ∞ ∞-dt )-()(cos 2 1 )( tAtA CS (7) Observeu que la integral d‘aquesta expressió és la convolució de l’envolupant del senyal radioelèctric considerat. Apliquem això a dos tipus de modulació: d’amplitud pura i de freqüència. 11Una modulació AM o FM es pot posar com s(t) =A0(t) cosωt, en general si feu ω = ωC+Δω la podeu posar com: s(t) = A(t) cos(ωC+Δω)t igualant els dos valors d’s(t), A(t) = A0(t) cosωt/(cos(ωC+Δω)t). Pel que qualsevol senyal de banda estreta el podeu posar com: s(t) = A(t) cos ΘS(t).
Apèndix 87 Apèndix A. 1 Valor màxim de l’entropia L’entropia d’una font que genera símbols és màxima quan tots els successos són igualment probables [1]. Per demostrar veieu per mitjà de dibuixos quina relació hi ha entre la funció y = x - 1 i la funció ln x. Del dibuix de les dues funcions, figura A.1, es dedueix que sempre es compleix que Fig. A.1 Gràfiques y = x – 1 i y = lnx. 1-x≤xln ; x-1≥ x 1 ln (1)
Apèndix 88 Suposeu una font que emet símbols que no estan relacionats (memòria nul·la) definida pel seu alfabet {si}, i = 1, 2,... q i per les probabilitats P(si), i = 1, 2,... q (nombre de símbols de la fon). La entropia de la font H(S) val ∑ q 1=i i2i )s(Plog)s(P-=)S(H Tenint en compte el canvi de base de logaritmes de base 2 a base e, podeu calcular el valor de l’expressió log2 qP i2 Pqlog=x ; i xPq=2 i i Pqln=2lnx fent el mateix per calcular elog 1 =2ln 2 i2 Pqlnelog=x Tot seguit apliqueu el canvi de base de logaritmes a l’expressió log2q – H(S) ∑∑∑∑ q 1=i ii q 1=i i2i q 1=ii 2i q 1=i 2i2 PqlnPelog=PqlogP= P 1 logP-qlogP=)S(H-qlog (2) Posant la desigualtat de la fórmula (1) a la fórmula (2) 0=)q q 1 -1(elog= P P q 1 -Pelog=) Pq 1 -1(Pelog≥)S(H-qlog ∑∑∑q 1=i q 1=ii i i q 1=ii i2 Aleshores, H(S) sempre serà més petit o igual que log2 q. La igualtat es compleix només quan els successos són igualment probables Pi = 1/q. Anant a la fórmula (2) podeu posar que ln q/q = 0, pel que es compleix que H(S) = log2 q . Queda demostrat que en una font de informació de memòria nul·la amb un alfabet de q símbols, el valor màxim de l’entropia és log2 q, aquest valor s’hi arriba només si tots els símbols són igualment probables. A. 2 Valor quadràtic mig d’un senyal El valor quadràtic mig d’un senyal analògic x(t) periòdic és una mesura de la potència en una resistència d’1 (P = V2/R) i es defineix com ∫ T 0 22 dtx T 1 =x
Apèndix 89 Sí el senyal és x(t) = AC cos 2πf t el valor mig val 2 A =x 2 C 2. Per a calcula’l utilitzarem la fórmula de l’angle meitat 2 cos2 x = 1+cos2x, i arribem a 2 A =]π22sin 2 1 +T[ T2 A =]t T 1 π22sin 2 1 +t[ T2 A =dt)t T 1 π22cos+1( T2 A =x 2 C 2 C T 0 2 C T 0 2 C 2∫ Per a una modulació AM a on tenim portadora més moduladora Si = AC [1+mx(t)]cos Ct, la potència o valor quadràtic mig utilitzant la fórmula de l’angle meitat i posant un filtre pas baix és 2 C 2 C 2 CCi ]tω2cos+1[)]t(mx+A[ 2 1 =}tωcos)]t(mx+A{[=S tω2cos]mx+A[ 2 1 +]xm+A[ 2 1 =S C 2 C 222 Ci per la acció del filtre queda )( 2 1 2 1 }cos)]({[ 2222 txmAttmxAS CCCi Si la potència de la portadora és PC = A2C/2 podeu posar que la potència del senyal d’entrada Si per a una moduladora sinusoïdal és ) 2 m +1(P=}tωcos)]t(mx+A{[=S 2 C 2 CCi A. 3 Teorema de Parseval La energia E dissipada en una resistència unitària per un voltatge x(t) en un interval de temps (t1, t2) molt gran és dt)t(x*)t(x=dt|)t(x|=E ∫∫ ∞ ∞ - ∞ ∞ - 2 Utilitzant les transformada directe de Fourier X*(ω) i la transformada inversa de Fourier X(t) i intercanviant l’ordre de integració ωd]dte)t(x [)ω(*X π2 1 =dt]ωde)ω(*X π2 1 [)t(x=E ∫∫∫∫ ∞ ∞ - ∞ ∞ - tωj- ∞ ∞ - ∞ ∞ - tωjωd|)ωX(| π2 1 =dt|)t(x|=E ∫∫ ∞ ∞ - 2 ∞ ∞ - 2; ωd|)ωX(| π2 1 =dt|)t(x|=E ∫∫ ∞ ∞ - 2 ∞ ∞ - 2
Apèndix 90 A. 4 Funcions periòdiques representades per sèries de Fourier De l’anàlisi de Fourier [9],sabem que una funció f(x) periòdica en el temps i de període 2π es pot desenvolupar en una sèrie de sinus i cosinus de freqüències cada cop més grans i amplituds cada cop més petites que té la forma 1n nn 0nx)sinbnxcos(a 2 a f(x) 3 Per trobar els coeficients an i bn tingueu en compte que les integrals en un període de les funcions dels termes del segon membre de l’equació són zero [9] per les propietats de les funcions sinusoïdals 2π 0 n0dxnx cosa ; 2π 0 n0dxnxsin b El terme a0 el trobarem integrant f(x) en un període ∫∫ 2π 000 2π 0aπ=dxa 2 1 =dxf(x) ; ∫ 2π 0 0dxf(x) π 1 =a (4) Si multipliquem els dos membres de l’equació 3 per cos mx, i integrem des de 0 fins a 2π, Les integrals del segon terme són de fàcil càlcul [9]. 1n 2π 0 n 2π 0 n 2π 0 2π 0 0dx)·nxsinmxcosbdxnxcosmxcos(adxmxcos 2 a dxmxcosf(x) Per a m ≠ n 2π 0 00dxmx cos 2 a; 2π 0 n0dxnx cos ·mx cosa ; 2π 0 n0dxnxsin ·mx cosb Per a m = n ; 2π 00dxnxsin ·nx cos ;n 2π 0 2 naπ=nx cosa ∫ Només queda que el primer terme és igual a π an, calculant la integral sabem el coeficient an 2π 0nπadxmxcosf(x) ; 2π 0 nπdxmxcosf(x) 1 a (5) De manera semblant si multipliquem f(x) per sin mx podem calcular bn 2π 0nπbdxmxsinf(x) ; 2π 0 nπdxmxsinf(x) 1 b (6) De forma que la funció f(x) representada per la fórmula (3) queda completament determinada per les integrals de les fórmules (4), (5) i (6).
Apèndix 91 En determinats càlculs interessa que la sèrie de Fourier definida per la fórmula (3) tingui una expressió en el camp de la variable complexa. Per això utilitzarem l’equació de Moivre de la variable complexa [9], a on les unitats de la variable x són radians. xsinj+xcos=e xj Síposeul’expressióperalavariable–xisumeuiresteulesduesequacions tindreulesfuncionscosxisinxenvariablecomplexa ‐ 2 e+e =xcos jxt-xj , j2 e-e =xsin jx-xj I x(t) es pot posar com nxj- ∞ 1 n n xnj ∞ 1 n n ∞ 1 nn e) j b -a( 2 1 +e) j b +a( 2 1 =)xnsinb+xncosa(=)x(x ∑∑∑ I anomenant n n nc j b a )( 2 1 , n n nc j b a )( 2 1 i obligant que 2 a =c 0 0 Teniu ∑ ∞ ∞ - xnj nec=)x(x (7) Si multipliqueu la fórmula (7) per e–jmx, sabent que els cn són constants, integrant i tenint en compte el valor de les integrals que resulten trobareu cn 0=dx]x)n-msin(j+x)n-m[cos(=dxe=dxee ∫∫∫ π π π π )nx-xm(jxnjπ π xmj mn I si m = n π2=dx=dxee ∫∫ π π xnjπ π xnj n=m π π )nx-xm(j nn≠m π π )nx-xm(j ∞ ∞ - n π π xmj- |dxec+|dxec=dxe)t(x ∫∫ ∑ ∫ dxe)x(x π2 1 =c ∫ π πxnj- n (8)
Apèndix 92 Si x(t) està definida en (-L, +L) té un període 2L enlloc 2 i podeu posar unes altres expressions de les fórmules 7 i 8 que ens poden ser útils. ∑ ∞ ∞ - x L π nj nec=)x(x ; dxe)x(x L2 1 =c ∫ L L- x L π njn A. 5 Filtre adaptat del receptor de Radar i realització pràctica Un circuit de gran importància en el Radar és el filtre adaptat o filtre que fa màxima la relació senyal/soroll. El filtre adaptat és un circuit electrònic que fa màxima a la sortida d’un Radar Chirp la relació de pic de senyal/potència de soroll, i per tant maximitza la possibilitat de que un blanc es pugui detectar. En un Radar Chirp, s’emet un pols radiofreqüència modulat en freqüència que quan arriba al receptor és tractat per un filtre adaptat. El filtre adaptat accentua les freqüències altes en el receptor i el resultat de tot el procés és que les freqüències s’acumulen amb la mateixa fase al voltant de la freqüència de la portadora fC. Per accentuar les freqüències altes, primer es va fer servir una línia de retard dispersiva, encara que actualment és pot fer amb Processadors Digitals de Senyals (DSP). El soroll a l’entrada del filtre té un espectre energètic uniforme W (soroll blanc). El filtre adaptat, té la resposta en freqüència [12]i [13] següent 0 tωj- e)ω(*SG=)ω(H (9) A on G és la constant d’atenuació que podeu suposar 1, tm és la durada màxima del senyal d’entrada s(t). El senyal S*(ω)= a - jb és el complex conjugat de l’espectre del senyal rebut S(ω) = a + jb, el senyal S(ω) es troba calculant la transformada de Fourier del senyal s(t). Representant el senyal a l’entrada del filtre en forma d’integral de Fourier podeu posar ∫∫ ∞ ∞- tωj )ω(φj ∞ ∞- tωjωdee)ω(S π2 1 =ωde)ω(S π2 1 =)t(s S A on φS és la fase de l’espectre del senyal, i la funció de transferència incògnita és H(ω) = |H(ω)| e-jφk(ω). Podeu posar, en general, que el senyal a la sortida del filtre Ssortida és ∫∫ ∞ ∞- )]ω(φ+)ω(φ+tω[j ∞ ∞- tωj sortida ωde)ω(H)ω(S π2 1 =ωde)ω(H)ω(S π2 1 =)t(s kS El valor màxim del senyal s(t) és per a un temps t0 ∫∫ ∞ ∞- )]ω(φ+)ω(φ+tω[j ∞ ∞- tωj 0sortida ωde)ω(H)ω(S π2 1 =ωde)ω(H)ω(S π2 1 =)t(s kS00
Apèndix 93 La potència mitjana de soroll N a la sortida del filtre adaptat, tenint en compte la fórmula (9) (|H(ω)|=|S(ω)|), = 2f i que N0 és la potència de soroll per unitat d’ample de banda pot posar com ∫∫ ∞ ∞- 2 0 ∞ ∞- 2 0df|)f(H| 2 N =df|)f(H| 2 N ==N La potència de soroll per Hz d’ample de banda N0 és igual a k T0 Fn, a on k és la constant de Boltzmann, T0 és la temperatura de soroll estàndard (a 290 K i kT0 = 4 10-21 W/Hz) i Fn és la figura de soroll del receptor. El factor 2 és perquè els límits de integració van des de -∞ a ∞.Teniu en compte que la relació entre el valor màxim del senyal a la sortida i la potència mitjana de soroll és }df|)f(H| 2 N { |dfe)f(H)f(S| = N |)t(s| ∫ ∫ ∞ ∞- 2 0 2 ∞ ∞- tfπ2j 2 0sortida 0 Per trobar el valor màxim del segon terme aplicarem la desigualtat d’Schwartz [9] al numerador per a dos funcions complexes P, P* i Q, Q*, que adaptada al nostre problema podeu escriure de la següent forma ∫∫∫ ∞ ∞- ∞ ∞- 2 ∞ ∞-ωd*QQωd*PP≤|dxQ*P| ∫ ∫∫ ∞ ∞- 2 0 ∞ ∞- 2 ∞ ∞- 2 2 0sortida df|)f(H| 2 N }df|)f(H|}{df|)f(S|{ ≤ N |)t(s| D’aquí deduïm que la relació serà màxima quan la desigualtat es converteix en una igualtat. Aleshores el segon membre no depèn H(f).Tenint en compte el teorema de Parseval que ens relaciona l’energia en el domini de la freqüència amb l’energia en el domini del temps podeu podar E=dt|)t(s|=df|)f(S| ∫∫ ∞ ∞- 2 ∞ ∞- 2 i N E 2= N |)t(s| 2 0sortida Per justificar que el pic màxim de senyal és 2 E, suposeu que entren a un filtre adaptat un pols de radiofreqüència de durada τ i amplitud A. La potència del pols és A2/2 i la seva energia E =τ × A2/2. Pel que el màxim de senyal respecte a l’ample de banda B i recordant que B = 1/τ i que N0 (densitat espectral de potència de soroll) és 0000 2 màx 2 0sortida N E2 = τ/1Nτ E2 = BNτ E2 = BN A =) N |)t(s| (
Apèndix 94 Que especifica que la relació de pic de senyal a valor mig del soroll en un filtre adaptat només depèn de l’energia del senyal rebut i de la potència de soroll per unitat d’ample de banda. No depèn de la forma del senyal, durada o ample de banda. Perquè la relació dita sigui màxima s’ha de complir la relació ωt0+φS+φk= 0, φk= - [ωt0+φS], aleshores si en transmissió augmentem φS hem disminuir φk a la recepció. És el que fem modulant el pols en FM en el transmissor i fent passar el pols modulat per una línia retardi en sentit contrari les freqüències. També s’ha de complir: H(ω) = S(ω). D’on deduïm que la funció de transferència del filtre òptim té la forma 00S ktωj- * tωj-φi- φj òptim e)ω(S=ee)ω(S=e)ω(GS=)ω(H Un altre aspecte a tenir en compte en el filtre adaptat és que atès que el senyal S(ω) és de banda limitada pel que quan els components espectrals entren en un filtre adaptat (|S(ω)*| són irregularment tractes, amb un debilitament més gran com més gran és la pulsació ω. Aquest fet fa minvar molt el soroll a la sortida del filtre. Com a resultat d’aquesta baixada de la potència de soroll és un debilitament del soroll respecte al senyal. Que conjuntament a la compensació de fase (ωt0+φS+φk= 0) del senyal (aquesta compensació no influeix en la dispersió del soroll a la sortida), fa que la relació senyal/soroll sigui màxima a la sortida del filtre. El filtre òptim és el proposat per la fórmula (9), i la seva transformada inversa de Fourier és ∫∫ ∞ ∞- )t-t(ωj * ∞ ∞- tωj òptim ωde)ω(S π2 1 =ωde)ω(H π2 1 =)t(g 0 Atès que S(ω) = S(-ω)*, perquè S(ω) = a + jb = |S(ω)|ejωt i S(ω)* = a – jb = |S(ω)|e-jωt. )t-t(s=ωde)ω(S π2 1 =ωde)ω(S π2 1 =)t(g 0 ∞ ∞- )t-t(ωj ∞- ∞- )t-t(ωj- ∫∫ 00 (10) Per tant, si coneixem el senyal s(t), la resposta temporal del filtre adaptat és la funció s(t0-t). A on s(-t) és la imatge especular del senyal s(t) amb l’eix d’ordenades com a eix de simetria, figura A.2. És adir, al passar el senyal pel filtre fa la imatge, per aquest motiu fem servir la línia de transmissió per fer el filtre adaptat. Fig. A.2 Senyal s(t) i la seva imatge especular
Apèndix 95 Una altra propietat important del filtre adaptat és que la convolució del senyal enviat amb el senyal d’Eco rebut en el receptor i el resultat de passar el senyal d’Eco pel filtre adaptat són equivalents. De la teoria de filtres lineals [2], sabem que la resposta y0(t) d’un filtre és la convolució del senyal s(t) a l’entrada amb la resposta temporal del filtre h(t). ∫ ∞ ∞- 0λd)λ-t(h)λ(s=)t(y Com que la resposta temporal del filtre adaptat és h(t) = s(-t), fórmula (10), fent t0 = 0. Aleshores h(t-) = s(-t+) i posant ho a la integral de la convolució y0(t) val ∫ ∞ ∞- 0λd)t-λ(s)λ(s=)t(y Que és la convolució del senyal s(t). Tant si utilitzem el mètode de la convolució com si utilitzem el mètode del filtre adaptat per determinar y0(t), matemàticament són equivalents. A. 6 Convolució d’un senyal de banda estreta La convolució ΨS(λ) entre un senyal s(t) de banda estreta i ell mateix desplaçat s(t-λ) agafant λ com un paràmetre d’integració és ∫ ∞ ∞- Sdt)λ-t(s)t(s=)λ(ψ (11) Per simplificar els càlculs apliqueu la representació complexa del senyal (la funció analítica és z(t) i z*(t) és la funció complexa conjugada de z(t)). )t(z 2 1 +)t(z 2 1 =e)t(A 2 1 +e)t(A 2 1 =)t(ψcos)t(A=)t(s *)t(ψj-)t(ψj (12) Substituint la fórmula (12) a la fórmula (11) queda }dt)λ-t(z)t(z+dt)λ-t(z)t(z+dt)λ-t(z)t(z+dt)λ-t(z)t(z{ 4 1 =)λ(ψ∫∫∫∫ ∞ ∞- ** ∞ ∞- * ∞ ∞- * ∞ ∞- S Tenint en compte que podeu posar z = A(t) cos ΨS(t) en forma de fasor com z = A(t) ejΨs(t) = A(t) ej[ωct+θ(t)] = A(t) ejωct. Les funcions de la primera i quarta integral es poden posar tω2i]λω-)λ-(tθ+)t(θ[j )]λ-t(ψ+)t(ψ[j CC ee)λ-t(A)t(A=e)λ-t(A)t(A=)λ-t(z)t(z
Apèndix 96 tω2i-]λω-)λ-(tθ+)t(θ[j- )]λ-t(ψ+)t(ψ[j-** CC ee)λ-t(A)t(A=e)λ-t(A)t(A=)λ-t(z)t(z En aquestes expressions els factors ej2ωct i e-j2ωct són ràpidament oscil·lants en comparació amb A(t), A(t-λ), θ(t) i θ(t-λ). Les funcions a integrar de la segona i tercera integral no tenen factors que oscil·lin a la freqüència 2ωC. ]λω+)λ-(tθ-)t(θ[j- *C e)λ-t(A)t(A=)λ-t(z)t(z ]λω+)λ-(tθ-)t(θ[j *C e)λ-t(A)t(A=)λ-t(z)t(z Per aquest motiu podeu no tenir en compte la primera i quarta integral enfront a la segona i tercera, per tant }dt)λ-t(z)t(z+dt)λ-t(z)t(z{ 4 1 =)λ(ψ∫∫ ∞ ∞- * ∞ ∞- * S Atès que x = z*(t) z(t-λ) = a+jb i y = z(t) z*(t-λ) = c-jd, és fàcil comprovar que xy* =x*y. Pel que les funcions subintegrals que queden són complexes conjugats, si les sumen s’eliminen mútuament les seves parts imaginàries i la part real d’una d’elles queda multiplicada per dos. ∫∫ ∞ ∞-C ∞ ∞- * Sdt )]λ-(tθ-)t(θ+λω[cos)λ-t(A)t(A 2 1 =dt)λ-t(z)t(zRe 2 1 =)λ(ψ Aplicant aquesta expressió al pols Chirp del Radar de la figura 6.20, quan θ(t) i θ(t) són zero alhora queda ∫ ∞ ∞-dt )-()(cos 2 1 )( tAtA CS