Els jocs d’atzar ¿qüestió de sort o de matemàtiques?: una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària

Treball de fi de màster Títol: Els jocs d’atzar: ¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària Cognoms: Rodríguez Borrego Nom: Juan José Titulació: Màster en Formació del Professorat d’Educació Secundària Obligatòria i Batxillerat, Formació Professional i Ensenyament d’Idiomes Especialitat: Matemàtiques Director/a: Margarita Cabrera Bean Data de lectura: 27-06-2013 Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària ÍNDEX 1. INTRODUCCIÓ..................................................................................................... 2 2. DEFINICIÓ I CONTEXT DEL PROBLEMA ................................................. 3 2.1. Definició del problema ................................................................................ 3 2.1.1. La desafecció de l’alumnat i l’assignatura de matemàtiques .................. 3 2.2. Context del problema .................................................................................. 5 2.2.1. Els jocs d’atzar i la probabilitat ................................................................ 5 2.2.2. La importància de la probabilitat .............................................................. 7 2.2.3. La probabilitat en el currículum de l’educació secundària ....................... 8 3. DESCRIPCIÓ DE LA SOLUCIÓ ..................................................................... 13 3.1. Solució proposada ....................................................................................... 13 3.2. Classificació dels jocs d’atzar ................................................................... 14 3.3. Estudi dels jocs d’atzar i propostes per aplicar a l’aula .................... 15 3.3.1. Jocs d’atzar pur ........................................................................................ 15 − La ruleta ............................................................................................... 15 − Els daus ............................................................................................... 31 − Les loteries .......................................................................................... 36 3.3.2. Jocs on intervé l’atzar .............................................................................. 39 − El pòquer ............................................................................................. 39 − El set i mig ........................................................................................... 41 4. RESULTATS ......................................................................................................... 44 4.1. Implementació de la solució en un centre de secundària ................ 44 4.1.1. Sessió de probabilitat amb un grup de 2on d’ESO ................................. 44 4.1.2. Sessió de probabilitat amb dos grups de 4rt d’ESO ................................ 47 4.1.3. Valoració final de l’experiència a l’aula .................................................... 50 5. CONCLUSIONS ................................................................................................... 51 6. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................... 52 Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 2 1. INTRODUCCIÓ La manifesta desafecció dels estudiants de l’educació secundària pel que s’imparteix a l’aula, és el principal problema que afronta el món de l’ensenyament en l’actualitat. Malgrat que moltes de les múltiples i diverses causes que expliquen aquesta realitat, són alienes a la tasca docent, els professors, com a professionals que exerceixen la principal responsabilitat del procés educatiu, tenen el deure i l’obligació d’intentar combatre aquesta situació. És a dir, més enllà de la seva funció com a transmissors de coneixements, destreses i valors, els docents han d’esforçar-se per motivar i despertar l’interès dels alumnes, contribuint d’aquesta manera a mitigar el desencís que pateix el gruix de l’alumnat. Aquest treball té com a principal finalitat intentar lluitar contra aquesta desvinculació dels alumnes de l’educació secundària, mitjançant l’elaboració d’uns atractius materials i/o recursos docents adreçats a l’assignatura de matemàtiques. En concret, l’objectiu és aprofitar el caràcter engrescador i lúdic dels jocs d’atzar, tant per motivar i despertar l’interès dels alumnes per l’estudi de la probabilitat, com per estimular el seu pensament racional i esperit crític. En definitiva, es pretén que l’alumnat de secundària s’adoni que les matemàtiques (així com la resta de matèries) tenen una utilitat pràctica i estan connectades amb el mon real, malgrat que a vegades no ho sembli. En particular, la probabilitat ens ajuda a analitzar i entendre el funcionament d’una activitat tan inherent a la naturalesa humana com són els jocs d’atzar. Per tal d’aconseguir aquestes fites el treball està estructurat de la següent manera. En primer lloc es defineix i contextualitza el problema. En aquest apartat, es reflexiona breument sobre la desafecció de l’alumnat i la seva relació amb l’assignatura de matemàtiques. Es justifica la idoneïtat dels jocs d’atzar per explicar de forma propera i divertida la probabilitat i s’assenyala la importància i utilitat d’aquesta disciplina en la vida quotidiana. A més a més, s’analitza la situació de la probabilitat dins del currículum de matemàtiques de l’educació secundària, enumerant els conceptes que s’estudien en aquesta etapa educativa, que al capdavall són la base sobre la que s’elabora la resta del treball. En segon lloc, s’exposa la descripció de la solució. Primer s’estudia des d’un punt de vista probabilístic el funcionament de diferents jocs on intervé l’atzar, amb el propòsit d’extreure conclusions respecte les possibles estratègies a seguir pels jugadors i les corresponents expectatives de guany o pèrdua. Un cop realitzat aquest estudi, s’analitzen quins conceptes de la probabilitat de l’educació secundària són susceptibles de ser explicats mitjançant els diferents jocs d’atzar estudiats. L’objectiu d’aquest apartat no es altre, que generar materials o guies docents on es proposin maneres atractives i eficients d’explicar els diferents conceptes de la probabilitat mitjançant els jocs d’atzar, aconseguint així captar l’atenció dels estudiants i afavorint i facilitant llur aprenentatge significatiu. En el següent apartat i donat que els materials i/o recursos docents elaborats en aquest treball tenen una finalitat eminentment pràctica, com és l’ensenyament de la probabilitat a l’educació secundària, sembla lògic i necessari comprovar d’alguna manera l’eficàcia dels mateixos. Així, per tal de demostrar la utilitat real dels jocs d’atzar com a instrument d’aprenentatge de la probabilitat, es realitzen diferents sessions en diferents cursos d’ESO del centre de pràctiques, per tal de copsar si aquesta manera d’explicar la probabilitat aconsegueix despertar l’interès dels alumnes per aquesta disciplina. L’èxit de l’aplicació d’aquests materials a l’aula es mesurarà encomanant als alumnes, la realització de qüestionaris i fulls de treball abans i/o després de l’activitat. Per últim, es presentaran les conclusions del treball. Aquestes estaran basades tant en les reflexions sorgides durant la seva elaboració, com principalment en els resultats obtinguts en l’experiència a l’aula. Aquests últims seran fruit de l’anàlisi qualitatiu i quantitatiu dels qüestionaris i els fulls de treball per una banda i de la implicació dels alumnes i el funcionament de les sessions per l’altra. En definitiva, el present treball vol demostrar que els jocs d’atzar són sobretot qüestió de matemàtiques i no pas de sort i en conseqüència, són una bona eina per explicar la probabilitat a l’educació secundària, exemplificant així, que l’esforç i la innovació docent poden ajudar a pal·liar la indiferència que mostra actualment l’alumnat en aquesta etapa educativa. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 3 2. DEFINICIÓ I CONTEXT DEL PROBLEMA 2.1 Definició del problema 2.1.1 La desafecció de l’alumnat i l’assignatura de matemàtiques Com ja s’ha comentat en la introducció d’aquest treball, el principal problema al que s’enfronta el professorat de l’educació secundària, és la profunda desafecció que pateix l’alumnat pels continguts que s’imparteixen a l’aula. Encara que aquest problema es percep molt millor in situ, és a dir, exercint diàriament la tasca docent, les estadístiques també semblen reflectir aquesta realitat. Per exemple, segons informa el Ministeri d’Educació i Cultura en l’any 2012 [1], un de cada quatre alumnes d’ESO no aconsegueix finalment el títol GESO. A més a més, Espanya té la taxa d’abandonament escolar 1 més alta de la UE en l’any 2012, amb un 24,9% (Catalunya té un 24%), és a dir, el doble que la mitjana de la Unió, que es troba en el 12,8%, segons Eurostat [2]. Aquestes dades no fan altra cosa que confirmar l’existència d’un greu problema de fracàs escolar al nostre país. Les causes d’aquesta manifesta desvinculació de l’alumnat i del seu elevat fracàs escolar, no són objecte d’estudi en aquest treball, però es pot acordar que són múltiples i diverses. Com a mostra d’això, cal esmentar que l’educació és caracteritza per tenir un fort caràcter ideològic, fet que dificulta molt l’entesa i el consens a l’hora d’establir quins són els vertaders motius que originen el problema i quines són les millors solucions per intentar resoldre’l. En tot cas i malgrat que aquest debat sembli a vegades estèril, degut a la gran distància existent entre les diferents ideologies educatives i polítiques, sembla que tothom convé en la importància de la figura del docent, com a principal responsable del procés educatiu. Tant és així, que en funció de com d’encertada sigui la seva tasca docent, els professors poden esdevenir una causa més de la desmotivació i falta d’interès dels alumnes o pel contrari, poden contribuir d’una manera molt rellevant a mitigar el problema. És en aquest sentit en el que es centren les primeres línies d’aquest treball. Més enllà de la seva principal funció que consisteix en transmetre coneixements, destreses i valors [3], i independentment de la metodologia pedagògica emprada, els professors tenen el deure i l’obligació d’esforçar-se per motivar i despertar l’interès dels seus alumnes, per així facilitar i afavorir el seu aprenentatge significatiu 2 . Tanmateix, aconseguir captar l’atenció dels estudiants no és una feina gens fàcil avui en dia i encara ho és menys si es tracta d’ensenyar l’assignatura de matemàtiques a l’educació secundària, o més concretament el tema de probabilitat, que és l’objectiu d’aquest treball. No cal dir, que les matemàtiques constitueixen una de les matèries més temudes i que més suspenen els alumnes d’ESO i Batxillerat, juntament amb l’anglès. De fet, segons el Departament d’Ensenyament [4], el 24% de l’alumnat de 4t d’ESO de Catalunya no supera la prova de competència matemàtica (23,7% en el cas de l’anglès). Potser, un dels motius que explica aquests resultats, és que tant una assignatura com l’altra requereixen la utilització de llenguatges diferents (el matemàtic i l’anglès) als habituals. També cal tenir en compte, que el nivell d’abstracció i esforç intel·lectual necessaris per entendre i aprovar les matemàtiques, no semblen comparables al d’altres assignatures, molt més memorístiques i mecàniques. 1 Proporció de persones de 18 a 24 anys que només compten amb qualificacions d’ensenyament secundari inferior o menys i que ja no estan en el sistema educatiu. 2 Concepte introduït per D.Asubel. En contraposició amb l’aprenentatge memorístic, l’alumne relaciona la nova informació amb els seus coneixements previs, modificant i ajustant les seves estructures mentals, per entendre i trobar el sentit del que aprèn. És la base de nous aprenentatges significatius. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 4 En definitiva, aprendre matemàtiques no és una tasca fàcil ni trivial, ja que requereix moltes competències alhora: pensar, raonar, comprovar, experimentar, intuir, imaginar, deduir, induir, plantejar, relacionar, interpretar, representar..., i també molt esforç i constància, que sovint els alumnes no estan disposats a donar. Però sobretot, convé destacar un aspecte fonamental que pot explicar o fins i tot justificar, la desafecció de l’alumnat vers les matemàtiques. Els estudiants acostumen a no entendre per a què serveix, o quina utilitat té, el que se’ls ensenya a l’assignatura. Aquest és sense dubte, el gran repte al que s’enfronten els professors de matemàtiques en l’actualitat i no és ni molt menys un desafiament fàcil ni banal, perquè és cert (i així ho han de reconèixer els docents), que a vegades és realment difícil connectar els continguts del currículum de matemàtiques de l’educació secundària, amb el món real i amb els interessos i la vida quotidiana dels alumnes. Finalment, cal assenyalar que aquest treball no es posiciona a favor o en contra de cap metodologia docent en concret, sinó que advoca per una pràctica docent eclèctica, basada en el sentit comú, la tolerància i el rigor. Per tant, no és té ni molt menys la intenció, de culpabilitzar al professorat del despreniment de l’alumnat i dels seus mals resultats en matemàtiques. Més aviat, sembla coherent afirmar, que el responsable final de l’actitud i el rendiment acadèmic d’un alumne, és sempre en primer terme el propi alumne i subsidiàriament la seva família o el seu entorn. En qualsevol cas i tot i fer front en l’actualitat a una situació complexa, en aquest treball es vol incidir, en el deure que té el professorat de matemàtiques d’intentar aconseguir que els seus alumnes entenguin per a què serveix i quina utilitat té el que se’ls hi explica a classe, com a peça fonamental per assolir llur aprenentatge significatiu. Aquesta es justament la raó principal, tal i com s’exposarà més endavant, per la qual s’ha escollit els jocs d’atzar com a instrument o eina per explicar de forma atractiva la probabilitat. A continuació es mostra un quadre resum amb les idees més importants del subapartat 2.1. DEFINICIÓ DEL PROBLEMA. Quadre Resum Desafecció de l’alumnat  Principal problema al que s’enfronta el professorat a l’educació secundària.  Preocupants taxes d’abandonament i fracàs escolar a Espanya i Catalunya.  El caràcter ideològic de l’educació dificulta el consens i la solució.  Paper destacat del docent, com a principal responsable del procés educatiu.  Deure del docent: intentar motivar i despertar l’interès de l’alumnat. L’assignatura de matemàtiques  Genera temença en l’alumnat i és la més suspesa de tota la secundària.  Obté els pitjors resultats en les proves diagnòstiques i de competències.  Requereix el domini del llenguatge matemàtic i un alt esforç intel·lectual.  Necessari reconeixement del professorat de la dificultat de la matèria.  Els alumnes no entenen la seva utilitat, ni per a què serveix.  Gran repte del professorat: connectar la matèria tant com sigui possible amb el món real i la vida quotidiana dels alumnes, per captar la seva atenció. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 5 2.2 Context del problema 2.2.1 Els jocs d’atzar i la probabilitat La relació existent entre els jocs d’atzar i la teoria de la probabilitat, sembla a primera vista força evident, fins i tot per aquelles persones sense grans coneixements al respecte. Malgrat això, aquest punt va més enllà, ja que s’ocupa de justificar mitjançant diferents argumentacions, la idoneïtat dels jocs d’atzar per explicar de forma atractiva i propera la probabilitat a l’educació secundària. Els jocs d’atzar: l’origen de la probabilitat En primer lloc, s’ha de fer una mica d’història, per adonar-se que els jocs d’atzar sempre han fascinat a l’ésser humà. Tant es així, que el seu origen es remunta a les primeres civilitzacions de la història de la humanitat. Gràcies a les evidències arqueològiques i antropològiques trobades en excavacions, així com a escultures, pintures i escrits conservats fins als nostres dies, sabem per exemple que assiris, sumeris, indis, egipcis, babilonis, xinesos, grecs i romans entre d’altres, ja jugaven a jocs d’atzar 3 . Més enllà de ser una diversió, els jocs d’atzar que es practicaven a l’antiguitat tenien molt sovint una interpretació religiosa o mística. L’atzar s’associava a la voluntat divina i alguns jocs s’utilitzaven com a mètode per predir el futur (oracle), és a dir, tenien finalitats endevinatòries o profètiques. Durant el renaixement (s.XV i s.XVI), la poderosa Església i la Inquisició van perseguir el jocs d’atzar en públic i a tot aquell que estudies fenòmens fortuïts, aleatoris o incerts, ja que aquests eren considerats manifestacions exclusives de la Divina Providència. Es considerava pecaminós el seu estudi a través de les matemàtiques, perquè aquestes activitats es deia que portaven a la peresa. Malgrat aquesta difícil situació, els jocs d’atzar es van continuar practicant en privat o de forma clandestina, i no només això, sinó que va anar augmentant progressivament la complexitat de les seves regles i també les quantitats de diners que s’apostaven. És en aquest moment, quan els jugadors tenen la necessitat d’avançar en el coneixement de les “lleis de l’atzar” 4 , per la senzilla raó de que no volien perdre diners jugant, sinó guanyar-los. Sembla ser que la primera obra que formula explícitament aquestes “lleis de l’atzar”, és el Liber de ludo aleae, de G.Cardano, que no es va publicar fins al 1663, noranta anys després de la seva mort. Més tard, al s.XVII, matemàtics tant prestigiosos com Pascal, Fermat i Huygens presentaren les primeres teories sobre la probabilitat i degut al seu prestigi, van popularitzar encara més l’estudi d’aquesta disciplina. Al s.XVIII, Laplace formalitzà la teoria clàssica de la probabilitat i la seva famosa llei, que encara és molt útil en l’actualitat i que s’utilitzarà abastament en aquest treball. En síntesi, els jocs d’atzar són l’origen de la probabilitat 5 tal i com ara la coneixem. Aquest fet per tant, sembla ser una justificació força sòlida , per considerar-los una bona eina per explicar la probabilitat a l’educació secundària i aprofitar així l’atracció que exerceixen sobre els éssers humans des dels inicis de la humanitat, per captar l’atenció dels estudiants. A més, aquesta vessant històrica que acompanya als jocs d’atzar, pot ser també utilitzada a l’aula per desplegar altres competències bàsiques o fins i tot per plantejar i resoldre les preguntes que es varen fer els pioners de la probabilitat i que van permetre la seva evolució fins als nostres dies. 3 Molt ben documentat està per exemple l’ús de l’astràgal, que és un os que es troba per sobre del taló del be, el cérvol o qualsevol animal de mida semblant. Es pot considerar l’avantpassat del nostre dau, degut a que al llançar-lo, pot caure en quatre posicions diferents. Va ser utilitzat per moltes civilitzacions. Els romans eren per exemple uns àvids jugadors (joc de tabes). 4 Bertrand Russell : ”Com ens atrevim a parlar de les lleis de l’atzar? No és l’atzar l’antítesi de tota llei?”. 5 En paraules de Pascal: “La probabilitat va començar com un joc, però s’ha convertit en l’objecte més important del coneixement humà”. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 6 Els jocs d’atzar en l’actualitat Els jocs d’atzar han estat presents al llarg de tota la història de la humanitat fins a l’actualitat, fet que demostra que és una d’aquelles activitats consubstancials amb la naturalesa humana. Els motius d’aquesta fascinació poden ser diversos i varien en funció de l’època històrica a la que es fa referència. Si en l’antiguitat com hem vist, la seva funció tenia un fort caràcter místic i religiós, en l’actualitat, la principal motivació que tenen les persones per jugar-hi, és sense cap mena de dubte de tipus econòmic, ja que ofereixen la possibilitat de guanyar quantitats de diners molt superiors a les necessàries per participar-hi. La il·lusió i emoció que generen els jocs d’atzar, és certament difícil de trobar en altres activitats humanes i és potser aquest atractiu, el motiu fonamental pel qual no només han sobreviscut al pas del temps, sinó que també, s’han convertit en un negoci en constant creixement i que genera enormes beneficis arreu del món. En particular, Espanya es caracteritza per ser un país amb una forta tradició i afició pel joc, com així ho demostren les següents dades [5]: la quantitat mitjana jugada durant l’any 2011, va ser de 563 euros per habitant; el mercat espanyol del joc representa el 0,9% del PIB, molt per sobre de països com França i Regne Unit que no arriben al 0,5%. Si bé la crisi econòmica ha afectat al negoci en els darrers temps, l’entrada en vigor fa un any de la nova Llei del joc [6], que té per objectiu regular els jocs d’atzar online a Espanya, ha significat l’explosió d’aquest tipus de joc no presencial, passant en aquest període de tenir 200.000 jugadors habituals a aproximadament 1 milió. Amb tot, fins l’arribada de la nova normativa (l’anterior datava de 1977), el joc online a Espanya es trobava fora de la legalitat, però sense infringir-la. Amb la nova llei i com ja ha passat en altres països, el joc a Internet s’ha rellançat d’una manera espectacular i no cal dir que té un potencial de creixement enorme, basat sobretot en la comoditat que ofereix, ja que permet jugar des de casa, a qualsevol hora del dia i aprofitar molt millor el temps de joc, és a dir, jugar més partides per minut. Fins ara, el mercat del joc a Espanya estava integrat sobretot per les Loterias y Apuestas del Estado (LAE), les màquines i la ONCE, i en menor mesura pels bingos i els casinos. La quota de mercat del joc online era marginal, degut a la seva indefinida situació legal. La irrupció d’aquest últim canviarà aquesta configuració, però no té perquè perjudicar a la resta, sinó més aviat es preveu un reforçament mutu. La nova regulació comportarà una normalització de la controvertida imatge que té la societat del joc, ja que aquest tindrà una major difusió i estarà molt més present en el nostre dia a dia 6 . Sense anar més lluny, en els últims mesos s’han multiplicar tant els programes de TV on es juga a la ruleta, com la publicitat dels diferents operadors que ofereixen jocs d’atzar online. Així doncs, podem concloure que els jocs d’atzar estan de moda al nostre país, i per tant, sembla el moment idoni d’utilitzar la seva popularitat per connectar els conceptes de probabilitat amb el que passa en el món real, apropant-los als estudiants, captant el seu interès, i afavorint i facilitant llur aprenentatge significatiu. Altrament, cal afegir que les regles de la majoria dels jocs d’atzar són força senzilles i ràpides d’explicar, fet que afavoreix la seva implementació en la tasca docent al no tenir que invertir gaire temps en introduir-los a l’aula. Però més enllà d’aquest objectiu acadèmic, explicant la probabilitat dels jocs d’atzar, també es porta a terme una important i necessària tasca informativa i formativa, protegint als alumnes dels perills inherents al joc i contribuint així a desenvolupar el seu pensament racional i esperit crític vers el que succeeix al seu voltant. Com en altres àmbits de la vida, com poden ser el sexe, l’alcohol o les drogues, és molt millor educar als joves presentant les coses tal i com la ciència diu que són, que no pas ocultant una realitat amb la que tard o d’hora es trobaran, i que requereix una bona formació prèvia per entendre-la i per decidir si es vol o no participar-hi. 6 Aquesta major presència del joc en el nostre país té com a màxims exponents els projectes d’Eurovegas i BCNWorld. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 7 2.2.2 La importància de la probabilitat Un dels principals trets que caracteritza el canviant món actual, és el seu elevat grau d’incertesa. Aquest fet, fa que sigui molt difícil predir que succeirà a mig i llarg termini en àmbits tan diversos com l’economia, la ciència, la política o la tecnologia. Com que el concepte de probabilitat està fortament relacionat amb el grau d’incertesa dels esdeveniments, aquest s’utilitza amb molta assiduïtat en diferents contextos de la vida quotidiana i professional. A continuació, es mostren alguns exemples reals 7 , on s’utilitza la probabilitat en la presa de decisions en situacions d’incertesa, demostrant així la rellevància de conèixer les diferents aplicacions i significats d’aquest concepte per comprendre el món que ens envolta: − Els bancs abans de donar un crèdit, calculen mitjançant sofisticats mètodes estadístics la probabilitat d’impagament de la persona que el demana. Si aquesta probabilitat supera un cert límit establert pel departament de riscos de l’entitat, es denegarà el crèdit. − Les inversions en borsa, es porten a terme mitjançant models estadístics que informen de la probabilitat que hi ha de que la borsa pugi o baixi en un cert percentatge. − Quan un particular sol·licita una hipoteca a un entitat de crèdit, ha de decidir si vol un tipus d’interès fix o variable. Per prendre aquesta decisió, la persona ha de valorar quina es la probabilitat de que el tipus d’interès de referència pugi o baixi en un futur, per així saber quina de les dues opcions és la més convenient. − Un conductor que té que escollir entre una assegurança de cotxe a tot risc o a tercers, ha d’estimar quina és la probabilitat de tenir un accident o un problema amb el cotxe. − En qualsevol tipus d’operació quirúrgica existeix una determinada probabilitat de que sorgeixin complicacions durant la intervenció. Per tant, el pacient ha de valorar aquest risc en funció del benefici que rep, a l’hora de prendre la decisió de ser operat o no. − En la majoria dels exàmens d’oposicions els estudiants no poden estudiar-se tots els temes que entren a l’examen. El que fan doncs, és calcular el número de temes que s’han d’estudiar per tenir una bona probabilitat de que al menys un d’aquests, surti escollit en el sorteig aleatori previ a la realització de l’examen. Per exemple, en un examen on entren 25 temes i en el sorteig aleatori surten 5 temes escollits, si l’estudiant s’ha estudiat només 6 temes dels 25, té una probabilitat gairebé del 80% de que al menys un d’aquests 6 coincideixi amb un dels 5 del sorteig. Cal remarcar que la probabilitat és una disciplina poc intuïtiva, on les intuïcions amb freqüència enganyen i poden provocar decisions del tot errònies i equivocades. El següent exemple, anomenat la paradoxa dels aniversaris, així ho demostra. Es pregunta quina es la probabilitat de què en una classe de 23 alumnes, hi hagin al menys dos amb la mateixa data de naixement. S’acostuma a pensar que és força difícil que hi hagi alguna coincidència, ja que l’any té 365 dies i a la classe només hi ha 23 estudiants. Però com es comentava, aquesta percepció falla, ja que la probabilitat és sorprenentment alta (50,7%). Aquesta pobra intuïció per la probabilitat es dóna perquè el tipus de càlculs i raonaments que requereix l’atzar no es realitzen de manera espontània, atès que el nostre pensament està orientat cap a explicacions deterministes, degut a la influència de les tradicions culturals i educatives de la societat moderna. Per poder corregir aquest biaix no és suficient un aprenentatge formal de la probabilitat, sinó que es necessari una major grau d’experimentació. Així es pot concloure, que malgrat que la probabilitat té una forta presència en la nostra vida quotidiana, la societat encara no ha desenvolupat suficientment el raonament probabilístic. Per aquesta raó, en el següent punt s’estudia quina és la situació d’aquesta disciplina en el currículum de matemàtiques de l’educació secundària a Catalunya, per tal d’esbrinar quines poden ser les causes que originen aquesta manca d’aptituds vers la probabilitat. 7 Cal dir, que excepte en l’exemple de les oposicions, la probabilitat calculada en la resta, no prové exactament d’experiments aleatoris, que serà el cas del que s’ocuparà aquest treball al analitzar els jocs d’atzar. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 8 2.2.3 La probabilitat en el currículum de l’educació secundaria En aquest punt es pretén analitzar quina és la situació de la probabilitat en el currículum de l’educació secundària a Catalunya. Per fer-ho, es presentaran per un costat els conceptes d’atzar objecte d’estudi, i per l’altre els problemes amb els que s’enfronta aquesta branca de les matemàtiques, juntament amb algunes valoracions i conclusions al respecte. Les matemàtiques de l’educació secundària obligatòria: el paper de la probabilitat El currículum d’ESO [7] és el conjunt de competències bàsiques, objectius, continguts, mètodes pedagògics i criteris d’avaluació d’aquesta etapa. Per cadascuna de les matèries es descriuen aquests cinc conceptes, a excepció dels mètodes pedagògics que els decideixen els centres. Les competències bàsiques i els objectius de cada matèria es defineixen per tota l’etapa educativa, o sigui, pels quatre cursos. Per això, en el currículum mai es mencionen específicament les competències bàsiques i els objectius de la probabilitat o l’atzar, sinó que aquests conceptes es refereixen a l’assignatura de matemàtiques en general i no a les seves diferents parts. De tota manera, fent un anàlisi del decret podem assenyalar quina és la situació de l’atzar en aquests dos primers apartats del currículum. Amb relació a les vuit competències bàsiques, la probabilitat evidentment contribueix a aconseguir la competència matemàtica, tot i no fer-se cap al·lusió explícita a aquesta disciplina en cap dels set punts on s’enumeren les implicacions d’assolir aquesta competència. El que sí convé recalcar és que s’emfatitza (com ja s’ha apuntat en aquest treball), que la competència matemàtica s’ha d’adquirir a partir de “contextos que tinguin sentit per l’alumnat”, com podrien ser els jocs d’atzar [p.21927]. Sí es menciona explícitament a l’atzar en la seva contribució a assolir la competència en el tractament de la informació i competència digital, degut a la utilització d’ordinadors o calculadores [p.21927]. En la resta de competències, no hi apareix l’atzar, malgrat que segur hi té incidència [p.21927-21928]. Les matemàtiques de l’ESO tenen com a objectiu el desenvolupament de diferents capacitats, que en el decret es sintetitzen en onze punts, en els quals tampoc es fa cap referència a l’atzar, malgrat que en l’últim, curiosament, sí es parla de l’estadística [p.21929]. Els continguts i els criteris d’avaluació de cada matèria es descriuen curs per curs. En aquest treball, són d’especial interès aquests dos apartats del currículum de matemàtiques (sobretot els continguts), perquè són els que estableixen quins conceptes de probabilitat pertanyen a l’ESO i per tant són susceptibles de ser explicats mitjançant els jocs d’atzar. Els continguts de l’assignatura de matemàtiques estan estructurats en cinc grans blocs: numeració i càlcul, canvi i relacions, espai i forma, mesura, i estadística i atzar. És en aquest últim bloc on òbviament s’ubica la probabilitat. De nou, cal insistir que quan es defineix aquest bloc, en el decret es torna a donar més pes i rellevància a l’estadística que a l’atzar [p.21928]. Per acabar, val la pena dir com en el currículum es torna a realçar la rellevància dels contextos significatius a l’hora de treballar els continguts curriculars, esmentant que els jocs i la història són fonts per aprendre matemàtiques [p.21928], reforçant per tant la validesa dels jocs d’atzar i la seva història com a instruments per explicar la probabilitat. A continuació es mostren classificats per cursos, els continguts i els criteris d’avaluació de la probabilitat que en principi s’haurien de treballar al llarg de l’ESO 8 : 8 Evidentment aquesta classificació i temporització per cursos, no sempre s’aplica al peu de la lletra i és susceptible de ser modificada pels centres, que poden optar per una distribució dels continguts diferent. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 15 3.3 Estudi dels jocs d’atzar i propostes per aplicar a l’aula El punt que s’inicia tot seguit constitueix el nucli principal d’aquest treball i com bé indica el seu nom té dos objectius ben definits. El primer d’ells és la realització d’un breu estudi probabilístic del funcionament de diferents jocs d’atzar, amb la intenció d’extreure conclusions respecte les possibles estratègies a seguir pels jugadors i les corresponents expectatives de guany o pèrdua. Un cop realitzat aquest estudi i aprofitant els coneixements adquirits, el segon propòsit del punt, és analitzar quins conceptes de la probabilitat del currículum de l’educació secundària són susceptibles de ser explicats mitjançant els diferents jocs d’atzar estudiats. L’objectiu final no és cap altre, que elaborar materials docents on es proposin maneres atractives i eficients d’explicar els diferents continguts de la unitat didàctica de probabilitat, utilitzant com a instrument els jocs d’atzar, aconseguint així captar l’atenció dels estudiants i afavorint i facilitant llur aprenentatge significatiu. En cadascun dels materials proposats, s’indicarà l’etapa (principalment ESO) i el curs a qui va adreçat de manera preferent l’exercici o l’activitat. No obstant, en aquest sentit cal dir que els centres on s’imparteix l’educació secundària, acostumen a modificar força sovint l’ordre o fins i tot els cursos en els que s’imparteixen els continguts dels diferents blocs del currículum de matemàtiques. Per tant, és possible trobar centres que per exemple no ensenyin probabilitat a primer i segon d’ESO i que tot just comencin a tercer. En definitiva, el que es vol significar aquí, és que l’etapa i el nivell suggerit en cadascun dels materials, és tan sols orientatiu i pot variar en funció de quina sigui la planificació de l’assignatura de matemàtiques de cada centre. 3.3.1 Jocs d’atzar pur La ruleta Breu introducció històrica [12],[13] La paraula ruleta prové del terme francès “roulette” que significa roda petita. La referència més antiga que es té d’un joc similar, és l’anomenada “Roda de la fortuna” de la que hi ha noticies al llarg de tota la història. Tot sembla indicar però, que la creació del joc de la ruleta (així com les seves normes), es pot atribuir a Blaise Pascal, matemàtic francès del segle XVII, considerat un dels pares de la teoria de la probabilitat. Es torna a evidenciar doncs, el que ja s’ha comentat abastament en aquest treball, i és l’íntima relació existent entre els jocs d’atzar i la probabilitat. En tot cas, no és fins aproximadament l’any 1796, quan el joc comença a practicar-se gairebé igual que en l’actualitat. Aquesta concreció en la data, es deu a que la descripció coneguda més antiga de l’actual joc de la ruleta es troba en la novel·la francesa “La Roulette, ou le Jour”, de Jaques Lablee, publicada en 1801, on es descriu una ruleta en el Palau Reial de París. Més tard, en 1842 els germans François i Louis Blanc van modificar la ruleta original de Pascal, afegint el número 0 amb l’objectiu d’obtenir avantatge per la casa, concretament pel Casino de Montecarlo. Més endavant, es centrarà l’atenció en aquest fet. Aquest tipus de ruleta, anomenada europea o francesa, és la que es continua utilitzant en l’actualitat, juntament amb l’anomenada ruleta americana que es caracteritza per tenir a més a més del número 0, el “número” 00, fet que indirectament augmenta el benefici del casino. Així, des de la seva creació fas més de dos segles fins a l’actualitat, el joc de la ruleta s’ha convertit sense cap mena de dubte en un dels jocs d’atzar més populars en tot el món. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 16 Elements i funcionament LA RULETA Té forma cilíndrica i gira sobre el seu eix. Les ruletes europees tenen 37 ranures o caselles d’igual grandària, que representen els números del 1 al 36, més el 0. Les ruletes americanes en tenen 38, ja que com s’ha comentat, també incorporen el 00. En aquest treball es centrarà l’atenció en les ruletes europees (com la de la imatge). Les caselles són alternativament de color negre i vermell, la meitat negres i l’altra meitat vermelles, menys la del 0 que és de color verd. Cal remarcar, que la distribució dels números en la ruleta no és casual, ni aleatòria, sinó que està pensada per evitar que amb una sola fitxa es pugui apostar per números que són adjacents tant en la ruleta, com en la taula de joc, atès que en aquesta última els números sí estan ubicats en un ordre estrictament progressiu com es veurà a continuació. TAULA DE JOC La taula de joc o tapet, és on els jugadors realitzen les seves apostes dipositant les fitxes de joc sobre els números o conjunt de números que pensen que sortiran premiats. La finalitat del jugador és doncs, predir el número guanyador o les propietats d’aquest (color, paritat, grandària o situació a la taula). El número premiat es genera a l’atzar quan el crupier llença una bola de tefló dins la ruleta quan aquesta està girant. D’aquesta manera passats un segons la bola perd velocitat i es diposita en una de les caselles, determinant així el número guanyador. Un dels grans atractius de la ruleta francesa o europea, és que ofereix als jugadors una gran quantitat de modalitats d’apostes i premis diferents. A continuació es mostra un esquema de les possibles apostes a realitzar a la taula de joc, indicant a quants números diferents s’està apostant (i quins són en l’exemple), el nom de l’aposta i les fitxes rebudes per una fitxa apostada en cas de guanyar. 1. Aposta a 1 número (3). Ple. 35 a 1. 2. Aposta a 2 números (8 i 9). Cavall. 17 a 1. 3. Aposta a 3 números (10, 11 i 12). Carrer o línia. 11 a 1. 4. Aposta a 4 números (20, 21, 23, 24). Quadre. 8 a 1. 5. Aposta a 6 números (25,26,27,28,29,30). Sisena. 5 a 1. 6. Aposta a 12 números (segona columna: 2, 5, 8,...,29,32,35). Columna. 2 a 1. 7. Aposta a 12 números (primera dotzena: 1,2,3,...,10,11,12). Dotzena. 2 a 1. 8. Aposta a 24 números (segona i tercera columna). Columna a cavall. 1/2 a 1. 9. Aposta a 24 números (segona i tercera dotzena). Dotzena a cavall. 1/2 a 1. 10. Aposta a 18 números . Vermell o negre, par o impar, falta o passa. 1 a 1. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 17 Estudi probabilístic [14] Coneguts els elements, el funcionament i el tipus d’apostes del joc de la ruleta, arriba el moment de realitzar un breu anàlisi probabilístic per intentar esbrinar quina és l’expectativa de guany o pèrdua que tenen els jugadors al posar en pràctica les diferents modalitats d’apostes. Per fer-ho s’utilitzarà el valor esperat o esperança matemàtica. Aquest concepte no apareix explícitament al currículum de l’educació secundària, però pot ser molt útil introduir-lo degut a la seva gran utilitat i senzillesa. Quan la variable aleatòria (X) és discreta, com en el cas de la ruleta, l’esperança matemàtica es defineix com el sumatori de la probabilitat (P) de cada succés aleatori multiplicat pel resultat (X) de cadascun d’ells. És a dir, analíticament s’expressa de la següent manera: E(X) = ∑ Es començarà analitzant quina és l’expectativa de guany quan es realitza una aposta a un sol número, que com ja s’ha dit, s’anomena ple. L’aposta realitzada serà per exemple d’1 euro. Com en la ruleta francesa o europea hi ha un total de 37 números, i la probabilitat de que la bola caigui en qualsevol d’ells és la mateixa (equiprobabilitat 9 ), per la llei de Laplace (número de casos favorables dividit entre número de casos possibles) la probabilitat d’encertar el número guanyador quan s’aposta a un sol número és de 1/37. Com també s’ha esmentat abans, el benefici que s’obté si es guanya al apostar a un sol número, és de 35 a 1. És a dir, si s’aposta un 1€ a un número i aquest resulta guanyador, es recupera aquest euro, i es reben 35€, que són el benefici net (o resultat). Amb aquestes dades ja es pot calcular l’esperança matemàtica d’apostar a un sol número. Tenim dos successos possibles. D’una banda, la probabilitat de guanyar és de 1/37 i el benefici corresponent és de 35€. Per l’altra, la probabilitat de perdre és de 36/37 i la pèrdua és d’1€. Per tant, l’esperança matemàtica d’un ple és: E( ple ) = ( ) = - = - 0,02703 Com l’esperança matemàtica resulta ser negativa, això vol dir que a llarg termini, apostar a un sol número té una expectativa també negativa i consegüentment no serà profitós fer-ho, perquè es perdran diners. A tall d’exemple, el resultat matemàtic obtingut es pot traduir dient que en cada llançament de la bola en el que s’aposti 1€ a un sol número, es perdran de mitjana 2,7 cèntims aproximadament. Una altra manera d’expressar-ho seria dir, que si un jugador aposta 1€ a un mateix número durant 37 llançaments, i el joc tendeix a la regularitat estadística, és a dir, tots els números de la ruleta surten un cop (és molt difícil que això passi realment, però ho suposem), el jugador perdrà en 36 ocasions 1€, o sigui, 36€, i guanyarà una vegada, 35€. Per tant, al final dels 37 llançaments el jugador haurà perdut 1€. Aquest resultat concorda amb la interpretació anterior. Si en mitjana es perden 2,7 cèntims en cada llançament de la bola, en 37 llançaments es perdrà de mitjana 1€ (2,7 cèntims x 37 llançaments), sempre assumint que es compleix la regularitat estadística, és a dir, que tots els números tenen la mateixa probabilitat de sortir guanyadors en cadascun dels llançaments de la bola en la ruleta. 9 L’equiprobabilitat de les ruletes és imprescindible per garantir la regularitat estadística del joc. És a dir, s’espera que si la ruleta està perfectament equilibrada, tots els números tendeixin a sortir el mateix nombre de vegades (igualació de les freqüències relatives de cada número) conforme es vagi augmentant el número de llançaments de la bola. A principis dels anys 90, la família García-Pelayo va guanyar grans quantitats de diners als casinos de tot el món, tot detectant ruletes que no complien l’equiprobabilitat degut a algun defecte físic. D’aquesta manera, coneixien quins números sortien més i quins menys i per tant podien utilitzar aquesta informació per realitzar les seves apostes, amb el decisiu avantatge que això significa. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 18 Utilitzant el mateix procediment basat en el concepte d’esperança matemàtica, es poden calcular les expectatives de guany o pèrdua de la resta d’apostes disponibles en el joc de la ruleta. A continuació es mostren els càlculs, sempre suposant que per exemple el jugador decideix apostar 1€. - Aposta a 2 números, anomenada cavall: E( cavall ) = ( ) = - = - 0,02703 - Aposta a 3 números, anomenada carrer o línia: E( carrer ) = ( ) = - = - 0,02703 - Aposta a 4 números, anomenada quadre: E( quadre ) = ( ) = - = - 0,02703 - Aposta a 6 números, anomenada sisena: E( sisena ) = ( ) = - = - 0,02703 - Aposta a 12 números, hi ha de dos tipus, columna o dotzena: E(columna) = E(dotzena) = ( ) = - = - 0,02703 - Aposta a 18 números, hi ha de tres tipus: vermell o negre, par o impar i falta o passa: E( vermell ) = E( par ) = E( falta ) = ( ) = - = - 0,02703 E( negre ) = E( impar ) = E( passa ) = ( ) = - = - 0,02703 - Aposta a 24 números, hi ha de dos tipus: columna a cavall o dotzena a cavall E( columna a cavall ) = ( ) = - = - 0,02703 E( dotzena a cavall ) = ( ) = - = - 0,02703 Per tant, encara que pugui semblar que el joc de la ruleta ofereix una gran varietat de modalitats d’apostes, amb diferents premis cadascuna, en realitat totes tenen la mateixa expectativa negativa. Dit d’una altra manera, totes les apostes són igualment desfavorables pels jugadors. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 19 De fet, això significa que si es llença a l’atzar una fitxa d’1 euro a la taula de joc, veritablement no importa en quin tipus d’aposta caigui (ple, cavall, dotzena, vermell,....), ja que totes garanteixen a llarg termini la mateixa pèrdua. En altres paraules, no es pot decidir des d’un punt de vista matemàtic quin és el tipus d’aposta més beneficiós, perquè totes són perdedores en la mateixa proporció. A més, s’ha vist que la pèrdua mitjana en cada llançament de la bola, és en qualsevol modalitat d’aposta la mateixa i igual a aproximadament 2,7 cèntims per euro apostat. Aquesta constant, té una lectura una mica més general. Significa que sigui quina sigui la quantitat apostada, i sigui quina sigui la varietat d’aposta implementada, el jugador sempre estarà perdent de mitjana en cada llançament, un 2,7% de la quantitat apostada. Aquest percentatge acostuma a anomenar-se marge del casino, de la casa o de la banca, ja que no cal oblidar que els diners que perden els jugadors, representen guanys pel casino. Arribats a aquest punt, cal fer-se la següent pregunta: ¿per què existeix aquest marge o avantatge matemàtic del casino? En el joc de la ruleta els jugadors juguen contra el casino. Si ells guanyen el casino perd, si ells perden el casino guanya. El casino no deixa de ser una empresa que vol generar beneficis de manera constant i per tant no pot deixar el negoci en mans de l’atzar, sinó que ha d’assegurar-se que a llarg termini guanyarà i per aconseguir-ho aplica el concepte d’esperança matemàtica. S’acostuma a dir que l’avantatge matemàtic existent a favor del casino en el joc de la ruleta radica en la introducció del número 0, però això no és cert. La raó fonamental per la qual el casino disposa d’aquest marge, tampoc radica en els elements físics de la ruleta, ni en com estan distribuïts els números, ni en com es llença la bola. Realment, el funcionament del joc és en tot moment perfectament aleatori i per tant imprevisible tant pel casino com pels jugadors. El motiu fonamental d’aquest marge són les regles especials del joc, referents als pagaments corresponents a cadascuna de les modalitats d’aposta. Simplement el que passa, és que existeix una desproporció entre les probabilitats de guanyar que té cada tipus d’aposta i el premi ofert si això succeeix. En altres paraules, el joc de la ruleta no és equitatiu, ja que l’esperança matemàtica, com s’ha vist, no és zero en cap moment. Per a què fos un joc just o equilibrat, l’estructura de pagaments de la ruleta tindria que canviar. Per posar un exemple, una aposta a un sol número, tindria que pagar-se 36 a 1 i no 35 a 1, d’aquesta manera el valor esperat seria 0 i el joc no estaria esbiaixat. En aquest sentit, una bona mostra de l’existència d’aquest desajust que afavoreix al casino, és el cas en el que un jugador apostés 1€ a tots els números de la taula de joc, del 1 al 36 i el 0. El que passaria és que guanyaria 35€ pel número premiat, però perdria 1€ per l’aposta feta en els 36 restants. El resultat final seria molt revelador, el jugador acabaria perdent 1€. Conclusions El joc de la ruleta és un joc d’atzar pur perquè l’habilitat o destresa dels jugadors no té cap tipus d’influència en la casella de la ruleta on es diposita la bola després de ser llançada, fet que determina el número guanyador. A més a més, es caracteritza per ser un joc no equitatiu. És a dir, l’esperança matemàtica dels jugadors és en tot moment negativa, fet que impossibilita completament la generació d’estratègies guanyadores a llarg termini. Curiosament, tot i tenir aquestes propietats tan desfavorables pels jugadors i tan beneficioses pels casinos, continua sent un joc molt popular a tot el món, tant a nivell presencial, com en el joc online. Fins i tot, i malgrat que està matemàticament demostrat, que en condicions ideals d’aleatorietat no és possible obtenir beneficis a llarg termini, existeix una gran quantitat de literatura i de materials audiovisuals, que si bé reconeixen aquest fet, intenten aportar contínuament nous enfocaments i noves visions sobre el joc. D’altres però, són clarament fraudulents, al anunciar i aconsellar l’ús de suposats sistemes infal·libles d’apostes que realment són tan o més perdedors que la resta. En resum, el joc de la ruleta pot semblar a curt termini qüestió de sort, però a llarg termini està totalment dominat per l’aplicació que fan els casinos de les matemàtiques en benefici propi. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 20 Materials per implementar a les classes de probabilitat En les pròximes pàgines, l’objectiu és aprofitar el coneixement adquirit en l’estudi del joc de la ruleta, per presentar tot un seguit de materials docents, on s’utilitza aquest joc d’atzar com a instrument per introduir, il·lustrar, experimentar, explicar, presentar o exemplificar diferents conceptes de la probabilitat de l’educació secundària [15],[16],[17]. D’ara en endavant es suposarà que el joc ha estat introduït pel professor al grup classe i que per tant els alumnes coneixen al menys, els seus elements més bàsics i el funcionament general del mateix. PROPOSTA 1: QUÈ ÉS L’ATZAR? Adreçada a tots els alumnes de l’educació secundària. És molt probable que si es demana a l’alumnat de secundària una definició mínimament acurada del terme atzar, la gran majoria tindria molts problemes per respondre amb solvència a aquesta pregunta. Un intent de definició pot ser el següent: causa assignada als fets de què hom desconeix la causa real. En tot cas, és més important entendre el concepte que no pas saber definir-ho. El que l’alumne ha de conèixer és que l’atzar regeix els experiments aleatoris, que són aquells on no és pot predir el resultat, justament perquè aquest depèn de l’atzar. En aquest sentit, pot ser útil introduir el joc de la ruleta per exemplificar i il·lustrar d’una manera força gràfica, que és un experiment aleatori i què és l’atzar. Existeixen diversos vídeos a YouTube 10 que expliquen quin és el procediment per llançar la bola en el joc de la ruleta. Es pot utilitzar el vídeo o també és pot explicar el procediment de viva veu al grup classe. Quan tots els jugadors ja han fet les seves apostes, el crupier fa girar la ruleta i llença la bola just en sentit contrari a través d’un petit carril o canal que es troba en el perímetre interior del cilindre que envolta la ruleta. Per tant, que la bola caigui en un número o en un altre depèn de múltiples factors, com la velocitat amb la que llença la bola el crupier, la velocitat amb la que ha fet girar la ruleta, la posició d’aquesta en el moment de llençar la bola, la manera en la que la bola cau en la ruleta i rebota per les caselles,... La pregunta a fer seria: creieu que els jugadors poden predir en quin número caurà la bola? La resposta esperada seria que no. Així, amb aquesta explicació es pot ajudar als alumnes ha entendre que el llançament de la bola en el joc de la ruleta és un experiment aleatori, perquè que la bola caigui en un número o en un altre depèn de l’atzar. És a dir, el resultat de l’experiment depèn d’un conjunt de condicions massa complexes per poder ser estudiades i a aquesta impossibilitat de determinar amb total certesa quin serà el número guanyador, se li diu atzar. PROPOSTA 2: DISCUSSIÓ DEL GRAU DE PROBABILITAT QUALITATIU D’UN SUCCÉS Adreçada preferentment a alumnes de 1er i 2on d’ESO. Amb la finalitat de reforçar la utilització de diferents expressions referents a la probabilitat d’un succés o esdeveniment, es podria posar el següent exercici relacionat amb el joc de la ruleta: Estàs jugant al casino de Barcelona, assigna a cadascun dels successos següents una d’aquestes expressions: segur, probable, improbable o impossible. a) Apostes al número 5 i aquest surt guanyador en el primer intent. b) Que el número guanyador sigui vermell, negre o verd. c) Apostes a un número parell durant 3 llançaments seguits i al menys guanyes un cop. d) Que el número guanyador sigui el 38. Solució: a) improbable, b) segur, c) probable, d) impossible. 10 <https://www.youtube.com/watch?v=W2Lv7n98g9A> 1’47”. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 21 PROPOSTA 3: IDENTIFICACIÓ DE LA PROBABILITAT D’UN SUCCÉS ENTRE 0 I 1 Adreçada preferentment a alumnes de 1er i 2on d’ESO. La probabilitat d’un succés és un número comprés entre 0 i 1, que indica les possibilitats que té de verificar-se quan es realitza un experiment aleatori. Per tant, els alumnes han de saber identificar la probabilitat d’un esdeveniment, no només verbalment com en l’exercici anterior, sinó també mitjançant l’interval [0,1]. Assigna a cadascun dels esdeveniments de l’exercici anterior un dels següents nombres, que expressen la probabilitat de que el succés es verifiqui: 1; 0,88; 0,027 o 0. a) Apostes al número 5 i aquest surt guanyador en el primer intent. b) Que el número guanyador sigui vermell, negre o verd. c) Apostes a un número parell durant 3 llançaments seguits i al menys guanyes un cop. d) Que el número guanyador sigui el 38. Solució: a) 0,027, b) 1, c) 0,88, d) 0. D’aquesta manera també es treballen indirectament els conceptes d’esdeveniment segur i impossible que apareixeran més endavant en el temari. PROPOSTA 4: ESPAI MOSTRAL I SUCCESSOS ELEMENTALS Adreçada preferentment a alumnes de 3er i 4rt d’ESO. L’espai mostral (anomenat E) és el conjunt de tots els possibles resultats d’un experiment aleatori i cada un d’aquests possibles resultats és un succés o esdeveniment elemental. Aquests conceptes són fonamentals per entendre la probabilitat i per tant han de quedar clars des d’un bon inici. El joc de la ruleta pot ajudar a exemplificar aquests conceptes: Estàs aprenent el funcionament del joc de la ruleta, per tant has de ser capaç de respondre a les següents preguntes: a) Descriu què és un esdeveniment elemental en aquest joc? Posar un exemple. b) Coneixes tots els esdeveniments elementals possibles d’aquest joc? Escriu-los. c) Com s’anomena el conjunt de tots els esdeveniments elementals d’un experiment aleatori, com per exemple, el de llançar una bola en el joc de la ruleta? Solució: a) Un succés elemental és qualsevol dels números de la ruleta en els que cau la bola després de ser llançada pel crupier, com per exemple el número 13. b) Sí, són els següents: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25, 26,27,28,29,30,31,32,33,34,35 i 36. c) El conjunt d’aquests números s’anomena espai mostral (E). PROPOSTA 5: DIFERENCIACIÓ ENTRE SUCCÉS ELEMENTAL I SUCCÉS COMPOST Adreçada preferentment a alumnes de 3er i 4rt d’ESO. És important que els alumnes entenguin la subtil diferència existent entre aquests dos conceptes. L’esdeveniment elemental és cadascun dels elements que conformen l’espai mostral, o sigui, és un sol element, indivisible. Per contra, un esdeveniment compost és qualsevol subconjunt de l’espai mostral, podent estar format per més d’un element elemental. És a dir, un succés compost és la unió de diferents successos elementals. El joc de la ruleta ens ofereix la possibilitat d’explicitar la diferència entre aquests dos conceptes degut a que totes les modalitats d’aposta (excepte el ple), van dirigides a més d’un esdeveniment elemental. Per tant, podríem fer preguntes del tipus: a) Dóna exemples de tipus d’apostes que es poden fer en el joc de la ruleta i que continguin esdeveniments compostos i indica quants successos elementals inclouen. b) El subconjunt de números 1, 8, 21 i 35, és un succés compost? És un tipus d’aposta? Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 22 Solució: a) les apostes a cavall (2 elements), carrer (3 elements), quadre (4 elements), sisena (6 elements), dotzena o columna (12 elements), vermell o negre (18 elements), són successos compostos perquè incorporen més d’un esdeveniment elemental de l’espai mostral. b) Malgrat que aquests números no conformen cap aposta concreta en el joc de la ruleta, els alumnes han d’entendre que aquest fet no impedeix que aquest subconjunt sigui efectivament un esdeveniment compost. PROPOSTA 6: UNIÓ I INTERSECCIÓ DE SUCCESSOS Adreçada preferentment a alumnes de 3er i 4rt d’ESO. La unió ( ) de dos esdeveniments, és el succés format per tots els esdeveniments elementals d’un i de l’altre. Ocorre quan succeeix el primer, el segon o ambdós. La intersecció ( ) de dos esdeveniments és el succés format pels esdeveniments elementals comuns a un i l’altre. Es verifica quan ocorren els dos alhora. Estàs jugant al joc de la ruleta i has fet dues apostes, una a la primera dotzena i l’altra a un quadre, en concret el 10,11,13,14. Representa els dos esdeveniments i indica quina és la seva unió i la seva intersecció. Explica el sentit que tenen la unió i la intersecció en aquest exemple. Solució: La primera aposta es representa amb l’esdeveniment A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} i la segona amb l’esdeveniment B = {10,11,13,14}. La unió dels dos successos serà A B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}. El jugador guanyarà en al menys una de les dues apostes si algun número de la unió surt com a guanyador. La intersecció dels dos esdeveniments serà A B = {10,11} i això vol dir que només quan el número premiat sigui el 10 o l’11, el jugador guanyarà simultàniament en les dues apostes. Els conceptes d’unió i intersecció són molt importants en probabilitat i per tant és necessari insistir en la seva assimilació. PROPOSTA 7: SUCCESSOS COMPATIBLES I INCOMPATIBLES Adreçada preferentment a alumnes de 3er i 4rt d’ESO. En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que poden ocórrer alhora i altres que no. Dos esdeveniments es diuen compatibles si tenen algun esdeveniment elemental en comú, és a dir, la seva intersecció no és el conjunt buit. Pel contrari, dos esdeveniments són incompatibles si no tenen cap esdeveniment elemental en comú, sent la seva intersecció el conjunt buit. Observa el tapet del joc de la ruleta i digues si les següents parelles d’esdeveniments (A i B) són compatibles o incompatibles. Justifica la resposta. a) Apostar a vermell (A) i a la primera columna (B)? b) Apostar a passa (A) i a la primera dotzena (B)? c) Apostar a impar (A) i a qualsevol carrer (B)? Solució: a) Succés compatible perquè A B = {1,7,16,19,25,34}. b) Succés incompatible perquè A B = . c) Succés compatible perquè tots els carrers tenen nombres imparells. PROPOSTA 8: SUCCÉS CONTRARI Adreçada preferentment a alumnes de 3er i 4rt d’ESO. L’esdeveniment contrari a un altre donat, A per exemple, està format per tots els esdeveniments de l’espai mostral que no hi ha a A i s’expressa Ā. En el càlcul de probabilitats aquest concepte és molt important, perquè sovint és més fàcil calcular la probabilitat de l’esdeveniment contrari al que volem calcular, per després només restar aquesta probabilitat a 1, utilitzant l’expressió: P(A) = 1 – P(Ā). Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 23 Si l’esdeveniment A consisteix en que surti un número vermell en el joc de la ruleta, és cert doncs que el seu succés contrari és que surti negre? Solució: No és cert. A = “número vermell”, per tant: Ā = E – A = “número negre o verd (el 0)”. Cal assenyalar que un esdeveniment i el seu contrari són sempre incompatibles, però dos esdeveniments incompatibles no sempre són contraris. Creus que els següents esdeveniments són incompatibles: A = “número de la primera dotzena” i B = “número passa”? Són també contraris? Solució: A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} i B = {19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33, 34,35,36}. Per tant, com A B = , es pot assegurar que són esdeveniments incompatibles, però això no vol dir que siguin contraris, perquè A B E. PROPOSTA 9: SUCCESSOS INDEPENDENTS Adreçada preferentment a alumnes de 3r i 4t d’ESO i 1er de batx. Dos esdeveniments són independents quan la probabilitat de que succeeixi un no es veu afectada perquè hagi succeït o no l’altre. En el cas del joc de la ruleta, sembla força evident que cada llançament de la bola és independent de l’anterior. Possiblement si es preguntés als alumnes al respecte, la majoria hi estaria d’acord i trobaria que la qüestió és molt òbvia. Tanmateix, poden haver-hi situacions on aquest concepte pot quedar amagat i oblidar-se amb molta facilitat, com per exemple en el següent cas: Imagina que estàs de vacances a Mònaco i acabes d’arribar a la taula de joc de la ruleta del Casino de Montecarlo. Abans de començar a apostar et fixes en les estadístiques que apareixen en les pantalles. Quedes força sorprès quan veus que el color negre ha sortit en els últims 9 llançaments. Escoltes com hi ha jugadors que diuen que ara és el moment idoni per apostar a negre i d’altres que és hora d’apostar a vermell. Posa en pràctica els teus coneixements de probabilitat i digues quina creus que és la millor opció tenint en compte la situació actual. Apostaries a negre, a vermell o al 0 (verd)? Es pot esperar que alguns alumnes diguin que la millor opció es jugar a negre perquè potser pensen que la ruleta està desequilibrada i esbiaixada cap el color negre i a això és deu la ratxa tan poc probable de números negres consecutius. Però en realitat, no és gaire lògic pensar així, per la senzilla raó de que els colors negre i vermell estan simètricament distribuïts en la ruleta, o sigui, els números són alternativament negres i vermells. D’aquesta manera no té cap sentit pensar que un desequilibri físic de la ruleta pugui beneficiar més a un color que a l’altre. L’error més habitual que es produirà en respondre aquesta pregunta, és l’anomenada fal·làcia del jugador, que consisteix en considerar que un succés aleatori té més probabilitat d’ocórrer quan no ha ocorregut des de fa temps. En aquest cas concret, els alumnes poden argumentar que com a llarg termini tenen que sortir la mateixa quantitat de números negres i vermells, els 9 negres seguits s’han de compensar i per aquest fet és més probable que surti un número vermell. Una altra justificació errònia que pot aparèixer és la següent. Algun estudiant pot defensar que la probabilitat de que surtin 10 números negres consecutivament és de (18/37)10 = 0,00074. Evidentment això es cert, però només abans de realitzar els 10 llançaments i no després d’haver-se’n fet 9. Així en la present situació, la probabilitat de que surtin 9 negres consecutius és 1, perquè ja s’ha produït i per tant la probabilitat de que en el pròxim llançament surti negre o vermell és la mateixa atès que no depèn del que hagi succeït en el passat. En altres paraules, ni la ruleta, ni la bola tenen memòria i en conclusió cada llançament és independent. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 24 PROPOSTA 10: SIMULACIÓ, UN ENFOCAMENT FREQÜENCIAL Adreçada preferentment a alumnes de 3r i 4t d’ESO i 1er de batx. Si la ruleta està ben equilibrada i no te cap defecte físic, que és el que acostuma a passar la immensa majoria de les vegades, els alumnes saben que tots els números de la ruleta tenen la mateixa probabilitat de sortir guanyadors. És a dir, els esdeveniments elementals del joc són equiprobables i en conseqüència es pot calcular la seva probabilitat utilitzant la regla de Laplace, que cal recordar, només és aplicable en aquest tipus concret d’experiments aleatoris. Per tant, com hi ha 37 números a la ruleta, la probabilitat de que qualsevol d’ells surti premiat en qualsevol llançament és de 1/37. En relació a aquest fet, es pot fer la següent pregunta: Si la probabilitat dels 37 números de la ruleta és la mateixa (1/37), vol dir això que si es fan 37 llançaments cal esperar que surtin una sola vegada tots i cadascun dels números? És molt probable que la majoria dels alumnes entenguin o intueixin que aquesta afirmació és del tot incorrecta i responguin que no té perquè passar això (de fet és terriblement improbable!), atès que serà força normal que hi hagi repeticions de números. També argumentaran que 37 llançaments és una quantitat de realitzacions massa petita, com per aconseguir reflectir experimentalment el fet de que els esdeveniments són equiprobables. Per tant, la següent pregunta que es podria fer és aquesta: Quants llançaments penseu que es necessiten per començar a observar que tots els números surten aproximadament amb la mateixa freqüència, demostrant així que són equiprobables? Per poder respondre a aquesta pregunta s’han d’utilitzar les eines TIC, degut a que els successos elementals d’una ruleta són 37 i per tant, és un experiment aleatori que requereix moltes més repeticions que no pas el llançament d’una moneda o un dau (que sí es podrien fer a mà). Així, es farà una simulació utilitzant per exemple el programa Excel, tal i com es mostra i s’explica en la següent imatge: No es necessari fer la simulació analitzant tots i cadascun dels 37 números de la ruleta, sinó que és suficient analitzar-ne només uns quants. Per exemple en la imatge, es mostra quin és el mecanisme utilitzat per comptabilitzar quantes vegades surt guanyador el 0, en un determinat nombre de realitzacions, que simulen els llançaments de la bola en la ruleta. L’objectiu d’aquesta simulació és doncs, que els alumnes se n’adonin que al augmentar el nombre de realitzacions d’un experiment aleatori, la freqüència relativa dels esdeveniments tendeix a estabilitzar-se cap al valor de la seva probabilitat teòrica. Aquest resultat és conegut com la Llei dels grans nombres En el cas concret de la imatge, es pot observar que per 10000 repeticions (cel·la D3), el 0 ha sortit guanyador 273 vegades (cel·la D1). Això comporta que com es preveia, la freqüència relativa resultant (2,73%, cel·la E1), s’ha estabilitzat al voltant de la freqüència esperada o teòrica (la probabilitat), que és de 2,70% (1/37 x 100). Finalment cal tornar a esmentar, el important paper que tenen aquest tipus de simulacions en el nou enfocament que es vol donar a l’ensenyament de la probabilitat, molt més freqüencial i exploratori, que no pas teòric i formal. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 31 Conclusions Amb tot aquest seguit de propostes s’ha volgut demostrar amb quina facilitat i naturalitat es poden utilitzar els jocs d’atzar i en concret en aquest cas la ruleta, per explicar, exemplificar o il·lustrar la majoria dels conceptes del currículum i també d’altres, que sense aparèixer de manera explícita, són imprescindibles per poder millorar el raonament probabilístic i tenir així una visió molt més acurada i encertada de l’atzar i dels experiments aleatoris. Òbviament algunes de les propostes són més atractives que d’altres. En aquest sentit, cal fer esment específic en la importància de la redacció dels enunciats, on segurament aquest treball té marge de millora. No és el mateix un enunciat amb una història darrere, per lleu que sigui, que un enunciat fred i sense gràcia. En qualsevol cas, els problemes han de ser treballats amb tot el grup classe i és en aquell moment on el professor ha d’intentar motivar i captar l’interès dels alumnes mitjançant la seva oratòria i sobretot fent participar als alumnes perquè discuteixin i manifestin les seves opinions i punts de vista. Degut a l’extensió utilitzada en aquest primer joc i degut a que ha quedat clarament demostrada l’íntima relació entre els jocs d’atzar i la probabilitat del currículum de secundària, en els següents jocs s’inclouran menys propostes i aquestes seran més concretes. Els daus Breu introducció històrica [20],[21] El jocs dels daus és l’exemple paradigmàtic, que mostra com els jocs d’atzar han estat presents al llarg de tota la història de la humanitat. Com ja s’ha dit en aquest treball, hi ha nombroses evidències arqueològiques que confirmen que les civilitzacions més antigues, com per exemple els sumeris, ja jugaven amb “daus”. Per fer-ho utilitzaven l’astràgal, que és un ós que es troba per sobre del taló del be, el cérvol o qualsevol animal de mida semblant. Aquest joc de daus utilitzant l’astràgal, s’anomena genèricament joc de tabes 12 . La gran peculiaritat d’aquest avantpassat del dau actual, és que quan es llançava podia caure en quatre posicions diferents, que òbviament no eren equiprobables. Malgrat això, sí que era possible adonar-se mitjançant l’observació i l’experimentació, quines cares sortien amb una major i menor assiduïtat. S’utilitzava així una visió freqüencial de la probabilitat. Es té constància que gairebé totes les civilitzacions han jugat amb “daus”. En l’antiguitat, no només tenien un caràcter ociós i lúdic, sinó que també s’utilitzaven per pràctiques endevinatòries, és a dir, com oracle. En aquest sentit, es conserva molta informació de la civilització grega on aquestes pràctiques rebien el nom d’astragalomància. Els daus s’usaven tan en cerimònies religioses, com per pronosticar el temps. Els romans (sobretot els plebs), van ser uns àvids jugadors. Existien dues modalitats del joc. La primera era d’habilitat i destresa, i consistia en llançar una taba a l’aire i abans de que aquesta toques el terra, es tenien que col·locar les altres en les seves diferents posicions. La segona modalitat, era molt similar al joc dels daus actual. Es llençaven les quatre tabes i es comparaven les combinacions aconseguides pels diferents jugadors. Fins i tot, a vegades cadascuna de les cares de la taba, portava inscrit (com els daus actuals) el número al que representava. Les puntuacions de les quatres cares, eren 1, 3, 4 i 6. Des de llavors, el joc dels daus ha anat evolucionant al llarg dels segles, però mai ha deixat de practicar-se fins l’actualitat, on existeixen moltes variants i modalitats arreu del món, força complexes algunes d’elles. De totes elles, potser la més popular i famosa (sobretot als Estats Units), és el craps, que serà la modalitat que s’analitzarà breument en les següents pàgines. 12 De fet, l’origen etimològic de la paraula atzar deriva del joc de tabes. Originàriament ‘az-zahr’ en àrab significava dau (o una de les cares del dau), més tard degut a que en el joc de tabes, les quatre cares es distingien mitjançant dibuixos i possiblement la més valuosa tenia una flor pintada, la paraula az-zahr va adquirir el significat de flor. Finalment, més tard, la paraula evolucionà fins al seu significat actual, que és sort. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 32 Elements i funcionament [14] El craps bàsicament consisteix en apostar pel resultat del llançament de dos daus de sis cares cadascun. S’entén per resultat, la suma dels números de les cares que queden mirant cap amunt, després de llançar els dos daus. Els jugadors, que en teoria poden ser il·limitats, poden apostar quan ells són els llançadors dels daus i també quan no ho són. Com passava en el joc de la ruleta, les apostes es fan contra el casino o la banca, fet que marcarà de nou l’expectativa negativa de les mateixes. Els daus es llencen sobre una taula de joc on també es fan les apostes. Per a què el llançament sigui vàlid, els daus s’han de llançar simultàniament amb una sola mà i han de rebotar contra una banda de cautxú que es troba al final de la taula. Les regles, el funcionament del joc i les diferents modalitats d’apostes són força complexes. Per aquest motiu, només es farà l’anàlisi de les apostes més representatives, que seran suficients per reflectir la idiosincràsia del joc. Estudi probabilístic [14] Per començar l’estudi és essencial conèixer les combinacions existents quan es llencen dos daus. En efecte, l’espai mostral està format per 36 (62) esdeveniments elementals. Pel que fa al joc de craps, el que interessa saber és la probabilitat de cadascun dels onze possibles resultats. Els menys probables són: 2 i 12, amb probabilitat 1/36; 3 i 11 tenen probabilitat 2/36; 4 i 10, 3/36; 5 i 9, 4/36. Finalment, la probabilitat de que la suma de les cares dels daus doni 6 o 8, és de 5/36; i per últim, el resultat més probable és 7, amb una probabilitat de 6/36. Les apostes més senzilles en aquest joc, són les que es poden fer en qualsevol moment i només operen durant un sol llançament, entre aquestes destaquen les anomenades One Roll Bets. Tot seguit s’analitzarà mitjançant l’esperança matemàtica, les expectatives que ofereixen algunes d’aquestes apostes: Any craps: s’aposta a que surti 2, 3 o 12. La probabilitat de que això succeeixi és igual a: 1/36 + 2/36 + 1/36 = 4/36. Es paga 7 a 1. Per tant, si s’aposta 1€, l’esperança matemàtica és: E( Anycraps ) = 7 ( ) = - = - 0,1111 Any seven: s’aposta a que surti un 7. La probabilitat és 6/36. Es paga 4 a 1. Aposta d’1€: E(A nyseven ) = 4 ( ) = - = - 0,1667 Two (snake eyes) / Twelve (Boxcar) : s’aposta a que surti un 2 / s’aposta a que surti un 12. La probabilitat per aquestes apostes és de 1/36. Es paguen 30 a 1. Aposta d’1€: E(T wo ) = E(Twelve) = 30 ( ) = - = - 0,1389 Horn Bets: s’aposta a que surti 2,3,11 o 12. Si surt 2 o 12, es paga 6,75 a 1. Si surt 3 o 11, es paga 3 a 1. Si l’aposta és d’1€: E( Horn Bets ) = 6,75 ( ) = - = - 0,125 Per tant, com es pot veure, totes les One Roll Bets tenen una expectativa negativa molt clara, perdent de mitjana en el millor dels casos, aproximadament 11,1 cèntims per euro apostat. Existeixen altres apostes com les Hard Way Bets, que també es poden fer en qualsevol moment, però que operen fins que es guanya o es perd. Com el seu nom indica tenen un caràcter molt especial, perquè no aposten a resultats (suma de les puntuacions dels dos daus), sinó que aposten a combinacions, o sigui, a esdeveniments elementals de l’experiment aleatori. Tot seguit es mostren alguns exemples i es calculen les seves esperances matemàtiques: Hard Way 8: s’aposta a que surti la combinació 4-4 (que suma 8), abans de que en qualsevol llançament els daus sumin 7 o sumin 8 (easy way), o sigui, (3-5,5-3,2-6,6-2). Es paga 9 a 1. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 33 La probabilitat de que surti 4-4 és de 1/36, mentre que la probabilitat de que surti 7 o 8 (easy way) és de: 6/36 + 4/36 = 10/36. Amb la resta de resultats, ni es perd ni es guanya sinó que l’aposta continua vigent pel següent llançament. Per tant, hi ha només 11 resultats diferents dels daus que afecten a aquesta aposta, i és per això que les probabilitats reals de guanyar són de 10 a 1 en contra del jugador. Així, si s’aposta 1€, l’esperança matemàtica és de: E( Hard Way 8 ) = 9 ( ) = - = - 0,0909 Aquesta esperança també és vàlida per l’aposta Hard Way 6, ja que en certa manera és simètrica a l’anterior, és a dir, té les mateixes probabilitats i el mateix pagament. Hard Way 10: s’aposta a que surti la combinació 5-5 (que suma 10). Es perd si abans surt 7 o 10 (easy way), o sigui (4-6 o 6-4). Es paga 7 a 1. La probabilitat de que surti 5-5, és de 1/36. La probabilitat de que surti 7 o 10 (easy way) és: 6/36 + 2/36 = 8/36. Per tant, en aquest cas, només hi ha 9 resultats que decideixen l’aposta. D’aquesta manera si s’aposta 1€: E( Hard Way 10 ) = 7 ( ) = - = - 0,1111 L’aposta Hard Way 4 és anàloga a aquesta. Per acabar, s’ha de parlar de les General Bets. Aquestes apostes són força més complexes, requereixen més càlculs i sobretot un coneixement avançat de les regles. Com tampoc és aquest el principal propòsit del treball, simplement es comentarà, que aquestes apostes tenen un esperança matemàtica menys negativa que les analitzades anteriorment, però tot i així, tenen també doncs una expectativa desfavorable. Conclusions El craps també pot ser considerat, com la ruleta, un joc d’atzar pur. Primerament, perquè la destresa dels jugadors al llançar els daus no te cap tipus d’influència en el resultat final, és a dir, en la suma de les seves puntuacions. Per evitar qualsevol dubte al respecte, existeix la regla que obliga a llançar els daus, de manera que rebotin contra la banda que es troba al final de la taula. Aquesta norma assegura que sigui l’atzar qui determini les puntuacions dels daus. En segon lloc, el craps és un joc d’atzar pur perquè els jugadors no poden desenvolupar estratègies basades en el càlcul de probabilitats per intentar guanyar. Les esperances matemàtiques negatives associades a cadascuna de les apostes, impossibiliten que a llarg termini el joc pugui reportar beneficis als jugadors. Així doncs, és un joc no equitatiu, perquè el casino té un avantatge matemàtic en totes i cadascuna de les modalitats d’apostes. Així com en la ruleta totes les apostes tenen la mateixa expectativa negativa, és a dir, és indiferent apostar a una modalitat o a una altra, perquè la pèrdua mitjana és aproximadament en totes elles de 2,7 cèntims per euro apostat, cal destacar que en el craps això no passa. Totes les apostes tenen expectativa negativa, però no la mateixa, en veritat, hi ha importants diferències entre elles. Per aquest fet, el jugador experimentat, escollirà aquelles que tenen un menor avantatge matemàtic per la banca, minimitzant així les seves pèrdues. Una altra diferència notable entre el craps i la ruleta, és el nivell de complexitat. En el primer, entendre les regles, i el funcionament del joc i de les apostes és sensiblement més difícil que en el segon. Fins i tot a vegades, el craps pot arribar a ser un joc força confús, fet que possiblement expliqui perquè la ruleta gaudeix d’una major popularitat. En resum, de nou es torna a comprovar que la sort només pot tenir un impacte passatger en els resultats d’aquests tipus de jocs. El control que exerceixen els casinos sobre les esperances matemàtiques de les apostes, fa que a llarg termini no puguin perdre. Per ells la ruleta o el craps, no són realment jocs d’atzar, sinó més aviat jocs on l’única incertesa consisteix en saber la quantia dels guanys que aconseguiran. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 34 Materials per implementar a les classes de probabilitat Els daus proporcionen un gran ventall de possibilitats a l’hora d’explicar la probabilitat a la secundària. Com ja s’ha demostrat amb el joc de la ruleta, la gran majoria dels continguts del currículum poden il·lustrar-se mitjançant experiments aleatoris propis dels jocs d’atzar. No obstant i per raons d’espai, a continuació es presenta només un breu recull de propostes on s’utilitzen els daus, parant especial atenció a la introducció de contextos històrics (com demana el currículum) i particular, a la resolució de problemes plantejats durant el naixement de la probabilitat, que van ser el trampolí per l’arribada de la teoria moderna. PROPOSTA 1: SIMULACIÓ I/O EXPERIMENTACIÓ Adreçada a tots els alumnes de l’educació secundària. Com ja es va fer amb la ruleta, és important treballar la visió freqüencial de la probabilitat, tot demostrant que la freqüència relativa dels esdeveniments s’estabilitza i tendeix a la probabilitat teòrica quan el nombre de repeticions de l’experiment aleatori augmenta i les condicions són les mateixes. Això es pot fer, primer amb el llançament d’un sol dau (en els primer cursos de l’ESO), amb l’objectiu d’observar com les freqüències relatives de les 6 cares, tendeixen a la probabilitat teòrica (1/6). Els alumnes han de veure que en les primeres realitzacions de l’experiment les freqüències relatives poden allunyar-se de la probabilitat esperada, distància que va disminuint conforme augmenten les repeticions. Més endavant, en cursos posteriors, es pot repetir la mateixa simulació però amb dos daus. La finalitat és observar que el resultat més probable de la suma de dos daus és 7, després 6 o 8, després 5 o 9, i així successivament. Com en el cas anterior, els estudiants han d’observar com les freqüències relatives tendiran, al repetir l’experiment molts cops, cap a les probabilitats esperades prèviament calculades. Aquesta visió freqüencial pot implementar-se fent els experiments físicament a l’aula o mitjançant simulacions per ordinador, per exemple utilitzant el programa Excel. Es poden utilitzar aplicacions ja creades [22] o fer-les amb la tutela del professor a l’aula d’informàtica, formant aquestes part del procés d’aprenentatge. En darrer terme, com a context històric, es pot introduir el joc de tabes. Després d’una breu explicació al respecte, es pot preguntar quina és la probabilitat de cadascuna de les quatre cares d’una taba. Els alumnes han de raonar que les cares no són equiprobables i han de pensar que una bona manera de calcular-la podria ser fer molts llançaments, de manera que la freqüència relativa pugui finalment considerar-se una bona aproximació de la probabilitat real. PROPOSTA 2: SUMA I RESTA DE LES CARES DE DOS DAUS Adreçada a tots els alumnes de l’educació secundària. Es interessant que els alumnes sàpiguen calcular els espais mostrals de la suma i la resta de les cares de dos daus i al mateix temps calculin la probabilitat de cadascun dels esdeveniments d’aquest espai mostral, adonant-se que ni molt menys hi ha equiprobabilitat. A tall d’exemple: Llençarem dos daus i restarem els valors obtinguts (el més gran o igual, menys el més petit o igual). Quins són els valors possibles d’aquesta resta (E)? Cada cop que surti un d’aquests valors les persones que l’hagin escollit rebran un positiu per l’assignatura. Si vols aconseguir el màxim nombre de positius, quin valor escolliràs? L’espai mostral de la resta de les cares de dos daus és: E = {0,1,2,3,4,5}. Els alumnes han de fer un recompte i veure quins elements de l’espai mostral poden ser fruit de més combinacions. És a dir, han de calcular quins resultats de la resta, ocorren amb major probabilitat. En concret: P(1) = 10/36 , P(2) = 8/36, P(0) = P(3) = 6/36, P(4) = 4/36, P(5) = 2/36. Així, per guanyar el major nombre de positius, la millor opció és apostar pel valor 1. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 35 PROPOSTA 3: PROBLEMA DEL 9 I EL 10 DE GALILEU [20],[23] Adreçada a tots els alumnes de l’educació secundària. En el segle XV, el gran duc de Toscana, va plantejar a Galileu el següent problema: Per què quan es llencen tres daus i es sumen els valors de les seves cares, s’obté amb més freqüència el resultat 10 que el 9, si tots dos es poden obtenir de sis maneres diferents? És a dir, el 9 es pot obtenir d’aquestes sis formes: (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3) i el 10 es pot obtenir igualment de sis formes: (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4). L’errada que cometia el duc era considerar que les sis formes eren equiprobables. Les formes que tenen tres valors diferents com per exemple (1,2,6), es poden aconseguir de sis maneres diferents, sis permutacions, (3!): (1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2) i (6,2,1). En canvi, quan la forma té dos valors repetits, les maneres només són 3. Per exemple: (1,4,4) pot aparèixer com (1,4,4), (4,1,4), (4,4,1). Finalment, quan els valors de les cares són tots iguals, com per exemple (3,3,3), només hi ha òbviament una manera d’obtenir-los. Així, tenim que al llançar tres daus, la probabilitat de que la suma sigui 9, és la suma dels casos favorables de l’espai mostral dividida entre els 216 (63) esdeveniments elementals possibles: P (suma igual a 9) = Es procedeix de la mateixa manera per calcular la probabilitat de que la suma doni 10: P (suma igual a 10) = La mateixa idea es pot utilitzar amb dos daus, preguntant: Per què quan al llançar dos daus, la suma de les seves cares dona amb més assiduïtat 9 que 10, si ambdós resultats es poden obtenir de dues formes diferents? La suma és 9 quan: (3,6), (4,5). La suma és 10 quan: (4,6), (5,5). De nou, tenim que aquestes formes no són equiprobables, (5,5), és un únic esdeveniment elemental, mentre que les altres formes representen a dos. Per aquest motiu: P(suma igual a 9) = 4/36 i P(suma igual a 10) = 3/36. PROPOSTA 4: L’APOSTA AVANTATJOSA DEL CAVALLER DE MÉRÉ [23],[24] Adreçada preferentment a alumnes de 4rt d’ESO i 1er de batxillerat. El cavaller de Méré (s.XVII), va ser filòsof, escriptor i també un expert jugador professional. Utilitzava els seus bons coneixements matemàtics per plantejar apostes avantatjoses amb les que guanyar diners. No obstant, no entenia com podia ser profitós apostar a treure al menys un 6 en 4 llançaments d’un dau, i no ho era apostar a treure un doble 6 en 24 llançaments de dos daus. El seu raonament era que, 6 (espai mostral de la primera aposta al llançar un dau) és a 4 (número de llançaments en la primera aposta), el mateix que 36 (espai mostral de llançar dos daus en la segona aposta) a 24 (número de llançaments de la segona aposta). Aquesta proporció no funcionava com va demostrar Pascal, resolent el problema: Primera aposta: P(aconseguir al menys un 6) = 1 – P(no aconseguir cap 6) = 1 – ( )4 = 1 - = = 0,518, aposta avantatjosa (671 casos a favor, 652 en contra). Segona aposta: P(aconseguir al menys un doble 6) = 1 – P(no aconseguir cap doble 6) = 1 - ( )24 = 0,491, aposta desavantatjosa. La introducció d’aquests contextos històrics és important, per a què els alumnes se n’adonin que l’evolució de la probabilitat es deu al plantejament i resolució de problemes tan naturals com els mostrats en aquestes dues últimes propostes. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 36 Les loteries Les Loterias y Apuestas del Estado van representar a l’any 2011 el 36,6% de les quantitats jugades en el mercat del joc espanyol [5]. Aquesta dada assenyala la importància i popularitat que tenen aquest tipus de jocs d’atzar, tal i com també succeeix en molts altres països del món. Sense cap mena de dubte les loteries pertanyen a la categoria de jocs d’atzar pur, ja que guanyar o perdre, és a dir, encertar o no el número, o la combinació guanyadora, no depèn de les habilitats del jugador, i sí exclusivament de l’atzar. Per exemple, la travessa de futbol no hauria de ser considerada un joc d’atzar pur, perquè en aquest cas els coneixements que tenen els apostadors sobre els diferents equips, sí que poden influir objectivament en els seus pronòstics d’una manera beneficiosa. A més, en la majoria d’ocasions totes les loteries tenen una esperança matemàtica negativa amb independència del nombre d’apostes o la modalitat escollida. D’aquesta manera no existeixen estratègies guanyadores mitjançant les quals els jugadors puguin treure profit del seu enginy probabilístic. A vegades però, i de manera excepcional, hi ha sorteigs on l’expectativa pot ser positiva degut a l’existència d’un pot acumulat. Generalment, en les loteries el que es reparteix en premis és un determinat percentatge de la quantitat total apostada pels jugadors, sent aquest fet el responsable de que aquests tipus de jocs tinguin expectativa negativa. És a saber, tal i com passava amb la ruleta i els daus, els pagaments del joc no són suficientment alts per compensar la baixa probabilitat d’èxit. Malgrat això, un pot acumulat de certa envergadura, pot fer que els premis siguin superiors a les quantitats apostades, i en conseqüència que l’esperança matemàtica sigui positiva, moment en el qual sí que seria avantatjós jugar. No obstant, i com assenyala [10], moltes vegades la utilitat d’una decisió, no coincideix amb la seva esperança matemàtica. Les loteries són un clara mostra d’aquest fet. Les persones poden donar una major utilitat a un enorme guany (premi) per improbable que sigui, que no pas a una molt probable però molt petita pèrdua (cost de l’aposta). Així, des d’aquest punt de vista utilitarista sembla tenir més sentit jugar a les loteries que no pas a jocs de casino com la ruleta o els daus, malgrat que tots ells es caracteritzin per tenir una esperança negativa. En les loteries un cop de sort, pot solucionar-te la vida, mentre que en la ruleta o els daus un cop de sort rarament comportarà un gran premi i tan sols allargarà el temps de joc, abans de que el llarg termini dicti sentència. De manera paral·lela, un altre factor que diferencia a les loteries dels jocs de casino, és la periodicitat. Un jugador de ruleta online pot jugar en poques setmanes milers i desenes de milers de partides (llançaments de la bola), mentre que les loteries acostumen a jugar-se nomes un cop o dos per setmana. Per tant, la utilització de l’esperança matemàtica resulta molt més adient en el primer cas, on els jugadors han de jugar moltes vegades per intentar obtenir guanys, i justament l’esperança els hi diu, que quan més juguin més perdran. En canvi, les loteries es juguen amb molta menys freqüència i la idoneïtat del concepte d’esperança matemàtica, associat al llarg termini, sembla diluir-se i tenir una aplicació menys adequada. En tot cas, aquest treball no recomana ni molt menys jugar a les loteries i està força d’acord amb la famosa frase de Robert A.Heinlein que diu: “la loteria és un impost que grava a les persones que no coneixen les matemàtiques”. Malgrat això, des d’un punt de vista d’utilitat i psicològic, sembla més comprensible que la gent prefereixi perdre alguns euros amb quasi total seguretat a canvi d’una remota opció de convertir-se en milionaris (cas de les loteries); que no pas invertir uns pocs euros i molt temps, en un joc com la ruleta que a llarg termini es perdedor, però que al mateix temps, necessita el llarg termini per intentar aconseguir uns beneficis similars als de les loteries, resultant doncs aquesta opció, un complet contrasentit. Així, en el cas de les loteries, el que es farà a continuació és presentar conjuntament l’estudi probabilístic i les propostes d’implementació a l’aula, ja que l’interès dels dos apartats recau sobretot en la utilització de la combinatòria, com a principal instrument a l’hora de calcular les probabilitats de cadascuna de les loteries analitzades. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 37 Estudi probabilístic i implementació a l’aula PROPOSTA 1: LOTERIA PRIMITIVA I BONO LOTO [25] Adreçada preferentment a alumnes de 4rt d’ESO i 1er de batxillerat. Quina es la probabilitat de guanyar el premi màxim en la Loteria Primitiva? La Primitiva consisteix en escollir 6 números del 1 al 49. Per guanyar el premi màxim, s’han d’encertar els 6. La probabilitat es pot calcular de dues maneres (1) i (2): P(6 encerts) = = = 7,15·10-8 (1) Mitjançant combinatòria, calculem les combinacions possibles: C49,6 = ( ) = = 13.983.816 (2) Per tant, la probabilitat de guanyar és òbviament la mateixa que en (1), una entre gairebé 14 milions. Una manera molt gràfica d’explicar la dificultat d’aconseguir encertar els 6 números seria la següent. Ens trobem davant de 49 portes i hem d’escollir una de les 6 que ens permeten passar a la següent fase. Si ho aconseguim ens trobem 48 portes i hem d’escollir una de les 5 que s’obra. Si tornem a encertar, ens trobem amb 47, tenint que seleccionar una de les 4 guanyadores, etc. D’aquesta manera l’estudiant es pot fer una millor idea del que significa una probabilitat tan extremadament baixa. Quina és la probabilitat de no encertar cap número? De nou es pot fer de dues formes (1) i (2): P (0 encerts) = = = 0,436 (1) Utilitzant la combinatòria, calculant primer les combinacions favorables: C43,6 = ( ) = = 6.096.454 (2) Per Laplace: C43,6 / C49,6 = 0,436 Quina és la probabilitat de que al menys 2 dels números guanyadors siguin consecutius? Aquesta pregunta ja té un nivell de dificultat força més elevat, es solucionaria calculant la probabilitat de que no hi hagi cap número consecutiu i després es restaria aquesta a 1: P(cap número consecutiu)= C44,6 / C49,6 = (44!/(6!38!))/(49!/(6!43!)) = 0,5048 P(al menys dos números consecutius) = 1 - 0,5048 = 0,4952 Quina d’aquestes combinacions: (1,2,3,4,5,6) o (3,7,14,29,38,42), és més probable? Les dues són igualment probables, perquè cadascuna d’elles és una de les gairebé 14 milions de combinacions possibles. Per tant, la seva probabilitat és aproximadament de 1/14 milions. Ben diferent és saber, que és molt més probable que surti una combinació de números no consecutius (com la segona), que no pas de números consecutius (com la primera). Un cas anàleg, seria per exemple el del llançar una moneda dos cops. La combinació cara-cara és igual de probable que cara-creu (p=0,25), però la probabilitat de que surti una cara i una creu (p= 0,5) és superior a que surtin dues cares o dues creus (p=0,25). Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 38 PROPOSTA 2: EURO MILIONS [25] Adreçada preferentment a alumnes de 4rt d’ESO i 1er de batxillerat. Quina és la probabilitat de guanyar el premi màxim en el sorteig Euro milions? El joc consisteix en escollir cinc números del 1 al 50, i dos del 1 al 11. Es calculen el total de combinacions possibles: C50,5 · C11,2= ( ) · ( ) = = 116.531.800 La probabilitat de guanyar el premi màxim és d’una entre 116 milions!. PROPOSTA 3: LA LOTERIA DE NADAL Adreçada a tots els alumnes de la secundària. Ordena aquests números: 12345, 43434, 88888, 59206, en funció de la probabilitat que tenen de sortir com a guanyadors del primer premi “La Grossa” del Sorteig Extraordinari de Nadal de la Loteria Nacional? Hi ha moltes persones que pensen que números “estranys” com els tres primers de l’enunciat, tenen menys probabilitat de ser els guanyadors. Els alumnes han d’adonar-se que la probabilitat de tots ells és la mateixa (són equiprobables), perquè són esdeveniments elementals de l’espai mostral, que està composat pels números que van del 00000 fins al 99999. Així, la probabilitat de tots ells és la mateixa i és igual a 1/100.000. Per què creus que toquen tants premis a l’administració de loteria de la Bruixa d’Or? Es tracta de sort o d’algun fenomen inexplicable? O en canvi penses que té una explicació matemàtica? Els alumnes han d’imaginar, si encara no ho saben, que la Bruixa d’Or és l’administració de loteria que més números compra en tot l’estat. Això explica el seu èxit a l’hora d’acaparar els grans premis en els diferents Sorteigs de Nadal celebrats durant els últims 25 anys. Quan s’apropa el Nadal, molta gent es desplaça cap al municipi de Sort (que és on es troba l’administració de la Bruixa d’Or), amb l’esperança d’augmentar així la seva probabilitat de guanyar algun premi en el Sorteig de Nadal. Des d’un punt de vista probabilístic, quin comentari podries fer al respecte? En aquesta pregunta els alumnes han de saber distingir entre la probabilitat de guanyar que té l’administració i la de les persones que hi compren. Aquestes dues probabilitats no estan correlacionades. La probabilitat de que la Bruixa d’Or reparteixi “La Grossa”, augmenta conforme compra més números, però la probabilitat dels seus clients no varia, ja que només depèn dels números que hagin comprat i a més a més no importa on ho hagin fet. És el mateix haver comprat un dècim en una petita administració on mai ha tocat res, que fer-ho en la Bruixa d’Or, la probabilitat d’un número sempre serà la mateixa, 1/100.000. Per entendre millor l’idea, es útil analitzar aquesta situació portada al extrem. Si hi haguessin tantes administracions com números, és a dir, si cada administració vengués només un número, la probabilitat de l’administració seria la mateixa que la de la persona que compra un dècim, 1/100.000. Si per altra banda, tots els números els vengués una sola administració, aquesta tindria un 100% de probabilitats de repartir “La Grossa”, mentre que la persona continuaria tenint la mateixa probabilitat que en el primer cas, 1/100.000. Així, l’alumnat veu com la gent s’equivoca pensant que la probabilitat de guanyar augmenta quan compra els dècims en aquelles administracions, on més sovint toquen els premis, demostrant així un deficient raonament probabilístic. A més, treballant aquests casos a l’aula, l’estudiant entén millor la rellevància de la probabilitat i la seva connexió amb el món real. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 39 3.3.2 Jocs on intervé l’atzar El pòquer De tots els jocs de cartes, el pòquer és sense cap mena de dubte un dels més famosos i universals. En l’actualitat, la modalitat més jugada és l’anomenat Texas Holdem, que compta amb milions de jugadors en tot el món. La veritable febre per aquesta modalitat es va iniciar a principis d’aquest segle i s’ha propagat gràcies a l’arribada del joc online. Al nostre país el procés ha estat similar i amb la nova regulació s’espera que cada cop més persones hi juguin. La característica fonamental d’aquest joc és que els jugadors no juguen contra el casino, sinó que juguen contra altres jugadors. El benefici que obté la casa per oferir el joc, prové de la petita comissió que cobra del pot en cada mà jugada. Així, al casino no l’importa qui guanya o qui perd, el seu interès es centra en que es juguin el màxim nombre de mans i que es generin bons pots que augmentin el valor de la comissió percebuda. Per tant, la gran diferència del pòquer amb els jocs analitzats fins ara, radica en que aquest no està controlat matemàticament per a què el casino guanyi. Aquest fet permet que els jugadors implementin estratègies amb l’objectiu de guanyar als seus adversaris. Com és evident, la sort juga un paper important, però només a curt termini. Està demostrat que els millors jugadors guanyen a llarg termini. En particular, una de les característiques imprescindibles de tot bon jugador és el seu coneixement i ús del càlcul de probabilitats, com es veurà més endavant en un exemple. Així, el Texas Holdem no és doncs un joc d’atzar pur, perquè els resultats depenen molt més de les habilitats dels jugadors que no pas de l’atzar. Regles i funcionament del joc El Texas Holdem es juga amb una baralla francesa. Aquesta té 52 cartes, repartides en quatre colls: cors, diamants, trebols i piques. Cada coll té 13 cartes: A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2, la més valuosa de cada coll és el A(as) i la menys el 2. Al joc hi poden jugar fins a 9 jugadors en una mateixa taula i un mínim de dos. Cada jugador rep dues cartes inicialment i es produeix una ronda d’apostes. Els jugadors sempre poden fer fold (deixar la mà), call (pagar l’aposta i continuar) i raise (pujar l’aposta). Un cop tots els jugadors han parlat, el crupier posa sobre la taula 3 cartes que tothom pot veure (l’anomenat flop). Els jugadors poden combinar les seves dues cartes (que només ells veuen) amb aquestes tres. En aquest moment es torna a produir una ronda d’apostes i de nou els jugadors poden optar per les tres opcions esmentades. Val a dir, que si el primer jugador que ha de parlar, no vol apostar (bet), pot fer check (passar), per veure que fan la resta. Si la mà encara continua, el crupier mostra una quarta carta (anomenada turn). De nou els jugadors poden utilitzar aquesta carta per combinar-la amb les seves dues. En aquest moment, es produeix una nova ronda d’apostes i si encara com a mínim dos jugadors continuen, el crupier mostra la cinquena i última carta comuna (anomenada river). Els jugadors poden combinar les seves dues cartes (una o les dues), amb qualsevol de les 5 que estan a la taula i com a màxim amb 3 d’elles, ja que les jugades en Texas Holdem es formen com a màxim amb 5 cartes. Finalment es produeix una nova ronda d’apostes. Si dos jugadors o més veuen aquestes apostes, han de mostrar les seves dues cartes, guanyant el que tingui una millor jugada combinant aquestes amb les comunes de la taula. Valoració de les jugades: de la més a la menys valuosa. Escala de color: 5 cartes del mateix coll, ordenades numèricament, exemple: AKQJ10 de cors. 2) Pòquer: 4 cartes del mateix valor, exemple: AAAA. 3) Full: 3 cartes del mateix valor i dos cartes del mateix valor, exemple: 33322. 4) Color: 5 cartes del mateix coll desordenades, exemple: AJ872 de cors. 5) Escala: 5 cartes que no són del mateix coll, ordenades numèricament, exemple: J10987. 6) Trio: 3 cartes del mateix valor, exemple: 888. 7) Dobles parelles: dos parells de cartes del mateix valor, exemple: KK99. 8) Parella: dues cartes del mateix valor, exemple: 55. I finalment, 9) Carta Alta: guanya la carta més valuosa. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 40 Estudi probabilístic i implementació a l’aula Adreçat a tots els alumnes de l’educació secundària. A continuació es mostra un senzill exemple, que il·lustra el crucial paper que juga el càlcul de probabilitats a l’hora de prendre decisions rentables a llarg termini, en el joc del Texas Holdem. Estàs jugant una mà de pòquer i arribes a la següent situació. Un cop vist el flop i el turn, i amb un pot acumulat de 28 euros, el teu adversari (Jugador 2) aposta 12 euros. Què creus que has de fer, fold (no veure) o call (veure)? El Jugador 1 (l’alumne) té el que s’anomena un projecte de color, és a dir, combinant les seves dues cartes amb les dues de cors del flop, té quatre cartes de cors (AQJ2). Amb una carta de cors més en el river, aconseguiria color, i a més a més el color màxim al tenir l’as de cors. Primer s’ha de calcular quina és la probabilitat de que l’última carta (river) sigui de cors. Per ferho s’utilitza la regla de Laplace. Com a la taula hi ha 4 cartes de cors, a la baralla només en queden 9 (13–4). Per altra banda, com les cartes visibles són 6, les possibles cartes que poden sortir són 46 (52-6). Així, es té que: P(carta de cors en el river) = 9/46 ≈ 1/5. Ara es fa un raonament, que és equivalent al càlcul de l’esperança matemàtica, però que és més còmode de fer pels jugadors a l’hora de prendre decisions ràpides a la taula de joc. El Jugador 1 guanyarà la mà un cop de cada cinc, i quan ho fa guanya com a mínim (ja que encara quedaria una ronda d’apostes): 28 + 12 + 12 = 52 euros. En canvi, en quatre de cada cinc cops el Jugador 1 perdrà 12 euros, és a dir, 12·4 = 48 euros. Així, com 52 > 48, és rentable fer call i veure el river, ja que a llarg termini l’expectativa és positiva. Tot i així, la decisió podria canviar si el Jugador 1 creu que el Jugador 2, té un trio fet. Per exemple, si pensa que les seves dues cartes són Q de trebols i Q de diamants. Aquí apareix el concepte de probabilitat condicionada, ja que ara la probabilitat de tenir la millor mà en el river no és la mateixa que abans. Hi ha dues cartes de cors (el 6 i el 8) que encara que surtin, no fan guanyar al Jugador 1, ja que el Jugador 2 tindria un full (QQQ66 o QQQ88) que guanya al color. Per tant, el Jugador 1 ha de modificar la probabilitat, que ara serà de 7/46 ≈ 1/6. Per tant, ara ja no és rentable veure l’aposta, ja que en un cop de cada sis el Jugador 1 guanyaria 52 euros, però en els cinc restants perdria 60 (12·5), l’expectativa és negativa. Conclusions Aquest exemple només és una petita mostra de l’estreta relació existent entre el Texas Holdem i el càlcul de probabilitats. Queda clar doncs, que és impossible jugar a aquest joc de manera rentable, sense tenir en compte certs conceptes bàsics de probabilitat, imprescindibles a l’hora de prendre tot tipus de decisions a la taula de joc. No obstant i malgrat l’enorme volum de literatura al respecte, també cal assenyalar que no totes les situacions es poden analitzar amb tanta claredat. A vegades la incertesa és tan gran, que els jugadors han d’utilitzar habilitats molt més personals com l’experiència o recursos com per exemple l’estadística. En el pòquer online, existeixen programes informàtics molt sofisticats que serveixen per analitzar el joc dels adversaris i pogué així actuar en conseqüència. En resum, el pòquer és un altre joc d’atzar molt vàlid per explicar probabilitat a l’aula. Pot acumulat: 28€ Aposta del Jugador 2: 12 € Què creus que has de fer: fold o call? Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 47 Implementació feta a l’aula Gens Poc Força Molt 27.Aquesta classe de probabilitat m’ha agradat, ha estat interessant. 4% 18% 50% 29% 28.He trobat diferències entre aquesta classe i les habituals. 7% 29% 36% 29% 29.Em resulta engrescador resoldre problemes de probabilitat. 21% 43% 25% 11% 30.El professor ha aconseguit captar la meva atenció durant la classe. 7% 14% 54% 25% 31.El Juanjo explica bé, espero que trobi feina de professor ben aviat. 0% 0% 14% 86% Convergència: sessions de probabilitat interessants. Notables diferències amb les classes habituals (més formals i menys atractives). Total captació de l’atenció de l’alumnat. Divergència: la resolució de problemes de probabilitat no resulta especialment atractiva. 4.1.2 Sessió de probabilitat amb dos grups de 4rt d’ESO Es va portar a terme la mateixa sessió amb dos grups de 4rt d’ESO que ja coneixia. El primer grup (al que anomenarem A) és força entremaliat i conflictiu, de fet, el dia de la sessió només eren 18 alumnes a classe, perquè 8 dels seus companys estaven castigats. Sense cap mena de dubte, aquest fet va contribuir i ajudar a la bona marxa de la classe. El segon grup (al que anomenarem B) és força més dòcil, però està composat per 30 alumnes, el que implica una major dificultat tant per controlar-lo, com per moderar el debat i els torns de paraula. Tot i així, és força rellevant esmentar que ambdues sessions van funcionar igual de bé. Els alumnes van mostrar una gran implicació en cadascuna de les tasques que els hi proposava i per tant, en aquest sentit, les classes van resultar ser un èxit (m’ho vaig passar molt bé). Cal recordar que aquests grups no feien probabilitat des de principi de curs i per tant es va notar que tenien els coneixements una mica rovellats. A continuació es fa un resum de com van anar les classes, sense fer gaires diferencies entre els dos grups, ja que la dinàmica de les dues sessions va ser molt similar. En primer lloc, es va explicar com seria la dinàmica de la classe i es va procedir a introduir el concepte d’atzar mitjançant la proposta 1: què és l’atzar? (p.20). Aquesta proposta, servia al mateix temps per introduir el joc de la ruleta, que seria el fil conductor de totes les qüestions treballades a la sessió. La primera d’aquestes qüestions va ser la següent: 1era qüestió: proposta 9: successos independents (p.23) Sorprenentment, aquesta pregunta va generar molts dubtes en els dos grups. Aproximadament un terç de la classe pensava que era més probable que tornés a sortir negre i van justificar aquesta resposta amb comentaris com aquests: “...si el negro ha tocado nueve veces seguidas, por qué no otra vez?”; “Negro, porque han salido 9 negros y seguramente volverá a salir”; “...apostaria pel negre perquè la ruleta podria estar inclinada i podria fer que toqués sempre negre”; “...la tendència es que surti de nou negre”; “...pels antecedents escolliria el negre”. Una altra part de la classe, potser una mica més nombrosa era partidària d’apostar per vermell i ho justificava així: “Apostaria por rojo, porque es poco probable que salga el mismo color tantas veces”; “Apostaria por rojo simplemente por cambiar un poco”; “ Apostaria al vermell... perquè li toca”; “ Apostaria pel vermell ja que tard o d’hora haurà de deixar de sortir negre”. Finalment, una petita part de la classe va respondre de manera correcta a la pregunta argumentant que: “...la probabilitat de que surti negre és la mateixa de que surti vermell, per tant és igual per quin color apostem”. Com s’observa en les respostes, cal destacar que en les dues classes i en la majoria de les preguntes els alumnes van tenir seriosos problemes, per justificar les seves respostes en termes de probabilitat. Fins i tot alguns així ho reconeixien al full de treball: “...m’ha costat raonar les explicacions a les meves respostes”; “...m’ha costat justificar les coses”. Un cop explicat el concepte de successos independents, que crec que va ser el que més clar va quedar de tota la sessió, es va continuar amb la segona qüestió. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 48 2ona qüestió: proposta 13: probabilitat de successos compostos. Diagrama d’arbre (p.25). En aquest pregunta és va produir un fet curiós. En els dos grups, gran part de la classe va respondre correctament a la primera part de la pregunta, dient que totes les seqüències són igualment probables, quan era d’esperar una major dificultat en aquest sentit. Això sí, de nou la justificació de les respostes no va ser massa acurada: Totes tenen la mateixa probabilitat perquè: “...depenen de l’atzar”;“...cada tirada és independent i diferent”; “...no saps que sortirà”; ”...en la ruleta et pot tocar qualsevol cosa”. D’altres estudiants però, sí van respondre més encertadament: “...perquè en cada tirada hi ha un 50% de probabilitats que surti negre o vermell”. El problema però, va venir a la segona part de la pregunta. En general, en les dues classes els estudiants no van saber diferenciar les dues parts de la qüestió i per tant, van tornar a respondre que totes les opcions donades tenien la mateixa probabilitat. Alguns recordaven vagament l’eina del diagrama d’arbre, però no van saber aplicar-la. Això sí, un cop fet el diagrama a la pissarra els alumnes es van adonar que les dues preguntes eren força diferents. 3era qüestió: proposta 15: La Martingala (p.29) Aquesta última qüestió potser va ser la que més expectació i debat va crear i també la menys assequible pels alumnes. Per poder començar a esbrinar si el mètode funcionava o no, els grups van necessitar certes indicacions per tal d’anar descobrint quines eren les claus per resoldre la pregunta. En un principi, la majoria dels estudiants no van ser capaços de veure els problemes que té el mètode i així ho van escriure: “No falla porqué alguna vez saldrá el otro color”; “Lo veo infalible”; “Yo si que lo jugaria”; “A mi em sembla un bon mètode, perquè en quan guanyes recuperes tots els diners perduts més 1 euro”; “A mi em sembla bé l’aposta. Si es tracta de jocs online, mai toca el mateix color moltes vegades seguides”. Després de fer l’explicació a la pissarra i argumentar els motius pels quals el mètode falla, la majoria dels alumnes van entendre que no és un sistema robust: “Guanyaràs 1euro a curt termini, però a llarg termini podries perdre molts diners”; “És una tonteria ja que perds més del que guanyes”; “No apostis, perdràs pasta”. Fins i tot un alumne, va anar més lluny i pensava que l’euro que es guanyava en cada ronda, era el que s’invertia en la següent i per tant mai hi havia benefici real. Aquest fet si que no es cert i així es va dir. Per últim, al acabar les qüestions, els alumnes varen fer en primer lloc la pràctica reflexiva de la sessió. De nou els grups varen mostrar una gran implicació a l’hora de descriure les seves impressions i van fer una valoració molt positiva de la sessió. Tot i així, cal esmentar que alguns dels comentaris, eren des d’un punt de vista conceptual erronis o incorrectes. Aquest fet es pot justificar degut a que ambdós grups portaven molts mesos sense fer probabilitat i en una classe aïllada és difícil assolir i interrelacionar idees, que ja per si mateixes tenen un cert grau de complexitat i que són a més a més força difícils de descriure amb precisió. 1. Explica en unes línies, què creus que has aprés en aquesta classe?, què t’ha agradat més?, que t’ha semblat més interessant o curiós? i quines conclusions extreus?. Tot seguit es mostren els comentaris més representatius o interessants, i també d’altres no tan encertats o acurats, escrits pels alumnes: He aprés: “...que amb l’atzar no es pot jugar, ja que sempre acabaràs guanyant o perdent”; “...no et pots guiar pels teus instints”; “...que la probabilitat en els jocs d’atzar no funciona gaire”; “...que els jocs d’atzar també tenen una part de matemàtiques”; “...que cada tirada no depèn de l’anterior”; “...que no és el mateix una seqüència, que quan comptem les vegades que surt un color”; “...més sobre probabilitat”; “...que l’atzar és un seguit de situacions aleatòries, tot i que de vegades es poden preveure”; “...que les mates estan connectades amb el món real”. M’ha agradat: “...perquè et fa pensar i veure com són les coses en realitat”; “...la classe perquè ha sigut didàctica i tots hem participat”; “...buscar la lògica de l’atzar, encara que no en té gaire”; “...perquè ha captat la meva atenció amb exemples quotidians”; “ ...la forma com el Juanjo explicava la classe”; “...la classe, perquè tots hem pogut compartir les nostres respostes de forma divertida”; “...perquè la classe ha estat entretinguda, per a mi és molt avorrit estar calculant, equacions, sistemes, ... la probabilitat és més interessant”; “...fer debat i reflexionar sobre la probabilitat”; “...el diagrama d’arbre dibuixat pel Juanjo”. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 49 M’ha semblat interessant o curiós: “...perquè jo havia vist el mètode de la Martingala i me’l creia”; “...perquè hi ha coses que no t’esperes”; “... el mètode de duplicar l’aposta”; “...aprendre probabilitat mitjançant els jocs d’atzar, ja que crida l’atenció i aconsegueix fer les classes més amenes i divertides, per tant aconsegueix que aprenguem més”. Conclusions: “No es pot calcular l’atzar”; “M’ho he passat bé aprenent”; “Els mètodes per fer-te ric són útils a curt termini, però a la llarga no són eficients”; “S’ha de jugar amb precaució perquè es pot perdre molt”; “Hi hauria d’haver més classes així durant l’ESO”; “ ... per jugar als jocs d’atzar has de saber bé que fas”; “No apostis o juguis a la ruleta”; “Els jocs d’atzar tenen bastants components matemàtics”;“No m’he avorrit gens, el tema i l’enfocament han aconseguit mantenir el meu interès”. La segona pregunta de la pràctica reflexiva era: 2. Escull algun dels exercicis que no has fet bé durant la classe, explica on i perquè t’has equivocat i torna a resoldre’l, aquest cop de manera correcta. Els errors es van produir sobretot en la primera qüestió i en la segona part de la qüestió número dos, que són les preguntes que tracten conceptes més teòrics. La tercera qüestió era una mica més particular i molts estudiants van quedar un pel desconcertats al intentar trobar si la Martingala era o no un bon mètode. Així, després de llegir les pràctiques reflexives i les explicacions de les seves errades, estic força convençut que el concepte d’independència dels esdeveniments i l’eina del diagrama en arbre, van quedar ben assimilats pels alumnes. Per acabar, s’analitzen els resultats del qüestionari. En aquest cas, les respostes dels dos grups es presenten desglossades malgrat no haver-hi excessives diferències. Les dades estan en percentatges; les de l’esquerra de cada columna, són les del grup A (grup més conflictiu), les de la dreta, són del grup B (grup més dòcil). Desafecció de l’alumnat i deure del professor Gens Poc Força Molt 1.Encara que l’ESO no fos obligatòria, l’estudiaria perquè m’agrada. 6/0 6/30 72/40 17/30 2.Els continguts que m’ensenyen a l’escola em semblen interessants. 0/0 28/30 61/67 11/3 3.El que estudio a l’escola té una utilitat pràctica a la vida quotidiana. 0/0 28/37 61/50 11/13 4.Amb el títol d’ESO tindré més sortides laborals. 0/3 6/10 22/33 72/53 5.Tinc clar el que vull estudiar o fer després de l’ESO. 6/0 28/10 22/27 44/63 6.M’esforço per treure bones notes, estic força motivat. 0/3 17/33 56/33 28/30 7.El deure d’un bon professor és motivar i despertar el meu interès. 0/0 11/3 33/27 56/70 8.Crec que en part, el fracàs escolar es per culpa dels mals professors. 22/7 50/40 17/37 11/17 Divergència: no es manifesta la desafecció de l’alumnat en cap dels dos grups. Curiosament sent el grup B el “bo”, aquest mostra menor motivació que el grup A. Convergència: ambdós grups estan molt d’acord amb que el deure del professor és motivar i despertar l’interès, però no el culpen (sobretot el grup A), del fracàs escolar. L’assignatura de matemàtiques Gens Poc Força Molt 9.L’assignatura de matemàtiques m’agrada, la trobo interessant. 6/13 61/27 28/30 6/30 10.Les matemàtiques és una de les assignatures més difícils de l’ESO. 0/13 22/30 39/43 39/13 11.Acostumo a suspendre les matemàtiques, em costen. 17/50 56/23 6/23 22/3 12.Les matemàtiques són útils i entenc per a què serveixen. 6/3 22/23 61/60 11/13 13.Les matemàtiques que estudio estan connectades amb el món real. 17/3 44/47 33/37 6/13 14.Els professors de matemàtiques em motiven per aprendre. 0/7 61/33 22/47 17/13 15.Encara que el professor em motives, les mates no m’agradarien. 11/43 28/33 44/23 17/0 16.Les mates són per aquells, que tenen una capacitat innata per elles. 28/30 44/47 28/20 0/3 Convergència: dificultat de les matemàtiques (sobretot els alumnes del grup A, ja que no els hi agrada l’assignatura). Els dos grups opinen que les matemàtiques no estan gaire connectades amb el món real. Bon treball de motivació dels professors del centre amb el grup B. Divergència: els grups no acostumen a suspendre les matemàtiques i entenen per a què serveixen. El grup A pensa que els professors no els motiven. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 50 Els jocs d’atzar Gens Poc Força Molt 17.Els jocs d’atzar m’agraden, em criden l’atenció, són divertits. 11/27 22/37 50/33 17/3 18.Jugo o m’agradaria jugar de forma habitual a jocs d’atzar. 11/57 56/37 28/7 6/0 19.Els jocs d’atzar són qüestió de sort, no de matemàtiques. 0/7 17/23 33/53 50/17 20.Veig una relació clara entre els jocs d’atzar i la probabilitat. 6/0 33/17 28/63 33/20 21.En els jocs d’atzar és fàcil perdre i molt difícil guanyar. 11/3 44/27 28/60 17/10 Divergència: els jocs d’atzar no criden excessivament l’atenció al grup B. Els dos grups pensen que els jocs d’atzar són qüestió de sort (força estrany pensar així després de la sessió). Convergència: els alumnes veuen clarament la relació existent entre els jocs d’atzar i la probabilitat (sobretot el grup B). La probabilitat Gens Poc Força Molt 22.La probabilitat és una important branca de les matemàtiques. 6/0 22/13 61/63 11/23 23.Recordo haver estudiat probabilitat en l’assignatura de mates. 0/0 22/3 56/27 22/70 24.Crec que tinc uns bons coneixements de probabilitat. 0/0 33/37 50/53 17/10 25.Acostumo a pensar en termes de probabilitat quan prenc decisions. 11/20 33/27 44/50 11/3 26.Seria divertit estudiar la probabilitat de guanyar en els jocs d’atzar. 6/17 22/23 44/37 28/23 Convergència: la probabilitat es percebuda pels alumnes com una disciplina important de les matemàtiques. Trobarien divertit estudiar probabilitat mitjançant els jocs d’atzar. Divergència: recorden haver-la estudiat. Creuen que tenen bons coneixements. Acostumen a pensar en termes de probabilitat. Implementació feta a l’aula Gens Poc Força Molt 27.Aquesta classe de probabilitat m’ha agradat, ha estat interessant. 0/0 17/13 33/43 50/43 28.He trobat diferències entre aquesta classe i les habituals. 11/7 17/20 39/30 33/43 29.Em resulta engrescador resoldre problemes de probabilitat. 17/7 33/37 44/47 6/10 30.El professor ha aconseguit captar la meva atenció durant la classe. 0/0 6/3 39/50 56/47 31.El Juanjo explica bé, espero que trobi feina de professor ben aviat. 0/0 6/0 17/23 78/77 Convergència: sessió de probabilitat interessant, els hi agrada. Classe força diferent a les que habitualment tenen en l’assignatura de matemàtiques. Els problemes de probabilitat resulten moderadament engrescadors. S’aconsegueix captar totalment l’atenció de l’alumnat. 4.1.3 Valoració final de l’experiència a l’aula A continuació es mostra un quadre resum dels subapartats 4.1.1 i 4.1.2. RESULTATS. Quadre resum. CONVERGÈNCIES I DIVERGÈNCIES DEL TREBALL RESPECTE DE L’OPINIÓ MANIFESTADA PELS ALUMNES Convergències  El deure d’un bon professor és motivar i despertar l’interès dels alumnes.  L’assignatura de matemàtiques és una de les més difícils de l’educació secundària.  Es percep una clara relació entre la probabilitat i els jocs d’atzar.  La probabilitat és una part important de les matemàtiques.  Seria divertit estudiar la probabilitat mitjançant els jocs d’atzar.  El professor ha captat totalment la nostre atenció, durant la sessió de probabilitat i jocs d’atzar.  Molt bona implicació i participació de l’alumnat al llarg de tota la sessió.  Ambient de debat i discussió. L’alumne gaudeix sentint-se protagonista de la classe. Divergències  No es manifesta la desafecció de l’alumnat.  La majoria dels alumnes no suspenen habitualment l’assignatura de matemàtiques.  Els alumnes entenen la utilitat i per a què serveixen les matemàtiques.  Els jocs d’atzar no criden en excés l’atenció de l’alumnat, que pensa que són qüestió de sort .  Els alumnes creuen que tenen uns bons coneixements de probabilitat. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 51 5. CONCLUSIONS En aquest apartat es presenten d’una banda, les reflexions sorgides durant la preparació i elaboració dels materials docents de probabilitat i jocs d’atzar, que han constituït el nucli central d’aquest treball. Convé recordar que aquests recursos docents es proposaven com a solució del problema plantejat inicialment, és a dir, la manifesta desvinculació de l’alumnat pel que s’imparteix a l’educació secundària i la percepció d’inutilitat dels estudiants respecte de l’assignatura de matemàtiques. D’altra banda, s’exposen les valoracions sobre els resultats obtinguts en la implementació feta a l’aula, i més concretament en diferents grups d’ESO, d’algunes de les propostes que formen part dels materials i/o recursos docents presentats. Pel que fa a les reflexions, la primera pregunta que es pretenia respondre és la que s’indica en el títol: són els jocs d’atzar qüestió de sort o de matemàtiques? En aquest treball s’ha classificat a aquest tipus de jocs en dos grups: jocs d’atzar pur i jocs on intervé l’atzar. Amb relació als primers, tant l’anàlisi probabilístic de la ruleta, com del craps, com de les loteries, varen demostrar que si bé a curt termini la sort pot tenir certa incidència, a llarg termini són les matemàtiques les que regeixen aquesta mena de jocs. En particular, l’esperança matemàtica negativa de tots ells, que indica unes expectatives de guany desfavorables, impedeix la creació d’estratègies guanyadores per part dels jugadors. Això és degut a que hi ha un desequilibri entre la quantia dels premis i la seva probabilitat, minuciosament calculat per qui promou i ofereix aquests jocs (casinos i altres organismes), amb el clar propòsit d’assegurar-se beneficis. Amb referència als jocs on intervé l’atzar, els resultats sí que depenen de les habilitats dels jugadors, entre les quals resulta imprescindible el càlcul de probabilitats, tal i com es va pogué observar en l’anàlisi del pòquer Texas Holdem o del set i mig. En definitiva, per participar racionalment en qualsevol joc d’atzar, es necessita conèixer mínimament la teoria de la probabilitat, ja sigui per intentar jugar de la manera més rentable possible o bé simplement per decidir que fer-ho és matemàticament desfavorable. Un cop confirmada l’estreta relació entre els jocs d’atzar i la probabilitat, en aquest treball es plantejava la següent qüestió: poden ser els jocs d’atzar un bon recurs per explicar la probabilitat a la secundària? Diversos factors recolzaven aquesta idea. Els jocs d’atzar són l’origen de la probabilitat i per tant permeten introduir contextos històrics significatius com demana el currículum. Porten fascinant i atraient a les persones des dels inicis de la humanitat, i en conseqüència poden contribuir a motivar i despertar l’interès dels alumnes. A més, faciliten la connexió de les matemàtiques amb el món real i la vida quotidiana, fet que pot conduir als alumnes a apreciar la seva utilitat i a comprendre per a què serveixen. En última instància, desenvolupen el pensament racional i l’esperit crític dels estudiants. D’aquesta manera, bona part del treball s’ha dedicat a la preparació de materials docents, amb el principal propòsit d’aprofitar aquesta suposada idoneïtat dels jocs d’atzar per explicar la probabilitat a la secundària. El que es volia comprovar és si la innovació docent, entesa com el deure del docent per intentar captar l’atenció de l’alumnat, permet mitigar el seu actual despreniment pel que s’imparteix a l’aula. Finalment, la única manera de jutjar la validesa dels materials docents elaborats, era la seva posada en pràctica en una situació educativa real. Així, s’han portat a terme diferents sessions de probabilitat amb grups de l’ESO en un centre de secundària i els resultats no poden haver estat més esperançadors. La implicació, participació i atenció de l’alumnat han superat les expectatives. Tot i no utilitzar les TIC en cap de les sessions, l’inherent caràcter engrescador dels jocs d’atzar ha sorgit efecte, generant un clima de debat, discussió i interacció a l’aula molt profitós, tant per aconseguir el desitjat aprenentatge significatiu dels continguts, com també per suscitar l’interès de l’alumnat per l’atzar i la probabilitat, tal i com ells mateixos varen expressar. En definitiva, la conclusió que s’extreu d’aquest treball és que la solució proposada pot tenir un alt grau d’efectivitat. Els jocs d’atzar són un valuós instrument o recurs per treballar gairebé qualsevol concepte de la probabilitat del currículum de l’educació secundària, d’una manera força més atractiva i connectada amb la realitat que la habitual. L’aprenentatge no ha d’estar renyit amb l’entreteniment. No hi ha millor manera d’aprendre que passar-s’ho bé fent-ho. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 52 6. BIBLIOGRAFIA [1] Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Sistema estatal de indicadores de la educación. Edición 2012 [en línia]. [Consulta 15 abril 2013]. Disponible a: <http://www.mecd.gob.es/inee/sistema-indicadores/Edicion-2012.html>. p.53. [2] Eurostat. Statistics. General and regional statistics. Database [en línia]. [Consulta: 15 abril 2013]. Disponible a: <http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/portal /region_ cities/regional_statistics/data/database>. [3] Catalunya. Llei 12/2009, del 10 de juliol, d’educació. Diari oficial de la Generalitat de Catalunya, 16 de juliol 2009, núm.5422, p.56604. [4] Departament d’Ensenyament. Quaderns d’avaluació. 22. La prova d’avaluació de quart d’ESO. [en línia]. [Consulta: 15 abril 2013]. Disponible a: <www20.gencat.cat/portal/site/ ensenyament>. p.17. [5] Dirección General de Ordenación del Juego. Estudios. Memoria anual 2011 [en línia]. [Consulta: 18 abril 2013]. Disponible a: <http://www.dgojuego.minhap.gob.es/es/estudiosinformes>. p.34,41,63,64; p.7. [6] España. Ley 13/2011, de 27 de mayo, de regulación del juego. Boletín Oficial del Estado, 28 de maig 2011, núm 127,sec.I,p.52976-53022. [7] Catalunya. Decret 143/2007, de 26 de juny, pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundaria obligatòria. Diari oficial de la Generalitat de Catalunya, 29 de juny de 2007, núm.4915, p.21927-21935. [8] Catalunya. Decret 142/2008, de 15 de juliol, pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments del batxillerat. Diari oficial de la Generalitat de Catalunya, 29 de juliol de 2008, núm.5183. [9] Pajares, A.; Tomeo, B. Didàctica de la Estadística y la Probabilidad en Secundaria: Experimentos motivadores [en línia]. Cuadernos de trabajo, 03/2009. Escuela Universitaria de Estadística. Universidad Complutense de Madrid. [Consulta: 23 de abril 2013]. Disponible a: <www.ucm.es/BUCM/est/> ISSN: 1989-0567. [10] Batanero, C. Razonamiento probabilístico en la vida cotidiana: un desafío educativo [en línia]. Universidad de Granada. 2006. [Consulta:23 de abril 2013]. Disponible a: < http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones%20index.htm >. [11] Real Academia Española. Diccionario de la Lengua Española [en línia]. 22ª edición. [Consulta: 3 de maig 2013]. Disponible a: <http://lema.rae.es/drae/?val=azar>. [12] Teresano, Mario. Vencer en la ruleta, curso online. Winning at Roulette, online course [en línia]. Librosenred, 2006. [Consulta: 5 de maig 2013]. Disponible a: <books.google.es/books>. [13] Barboianu, Catalin.; Guerrero, Raúl. Probabilidades y utilidades en la ruleta [en línia]: las matemáticas de las apuestas complejas. Infarom, 2008. [Consulta: 5 de maig 2013]. Disponible a: <books.google.es/books>. [14] García, Nelson. Eye in the sky Group. La verdad científica sobre los juegos de azar [en línia]. 2005-2013. [Consulta: 6 de maig 2013]. Disponible a: <http://www.eyeintheskygroup.com>. [15] Fernández Gordillo, Juan Carlos. Vitutor. Contenidos de matemáticas [en línia]. 2012 . [Consulta: 12 de maig 2013]. Disponible a: <http://www.vitutor.com>. Els jocs d’atzar:¿qüestió de sort o de matemàtiques? Una manera atractiva d’explicar la probabilitat a l’educació secundària 53 [16] Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Instituto Nacional de Tecnologias Educativas y de Formación del Professorado, Centro para la innovación de la Educación a distancia (Intef.Cidead). Recursostic.Educación.es . [en línia]. 2011. [Consulta: 12 de maig 2013]. Disponible a: <http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/> i <http://recursostic. educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/index.htm>. [17] Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. Proyecto Thales-CICA.1997-2000. Seda, Joaquín. Probabilidad. [Consulta: 13 de maig 2013]. Disponible a: <http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html>. [18] Serrano, Luís.; Batanero, Carmen.; Ortíz, J.Jesús.; Cañizares,M.Jesús. Heurísticas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los estudiantes de secundaria [en línia]. 1998. Educación Matemática,10(1),7-25. [Consulta: 13 de maig 2013]. Disponible a: <http://www.ugr.es/~batanero/estudios%20sobre%20didactica%20de%20la%20probabili dad.htm>. [19] Batanero, C.; Godino, J. D.; Roa, R. Training teachers to teach probability [en línia]. Journal of Statistics Education. Volume 12, Number 1, 2004. www.amstat.org/ publications/jse/v12n1/batanero.html. [Consulta: 17 de maig 2013]. Disponible a: <http://www.ugr.es/~batanero/formacion%20para%20profesores.htm>. [20] Departament d’Ensenyament. Xarxa Telemàtica Educativa de Catalunya. Societat Catalana d’Història de la Ciència i la Tècnica. Cabeceran,A.; de la Fuente, P.; Vilumara, P.; Monforte, G.; Massa, M.R.; Rosell, A.; Romero, F.; Lladó, M.; Riera, M. Ciència i tècnica a través de la història. [Consulta 21 de maig 2013]. Disponible a: <http://www.xtec.cat/formaciotic/dvdformacio/materials/tdcdec/bloc_ma/modul_2_ma/pra ctica_2.html>. [21] Toledano, R. Probabilidad en los juegos de azar [en línia]. Montardit,F. 2012. [Consulta: 21 de maig 2013].Disponible a:<http://secundaria.uvic.cat/inici.php?ref=995&id=treballs>. [22] IES Arquitecte Manuel Raspall. Departament de matemàtiques. Dossiers de treball. Dossiers ESO. Probabilitat i estadística. Fitxers Excel. 2012-2013. [Consulta 25 de maig 2013]. Disponible a:< http://www.xtec.cat/centres/a8036391/inici/marc3.htm>. [23] Llinàs,B.; Perelló,E. Probabilitats [en línia]. 2010. Miró, Joe. Curs 2010-2011. [Consulta 26 de maig 2013]. Disponible a: < http://bioinfo.uib.es/~joemiro/teach/DocAlumnos>. [24] Basulto, J.; Camúñez,J.A. El problema de los dados del caballero de Méré: soluciones publicadas en el siglo XVII. Revista Suma [en línia]. 2007, 56, p.43-54. [Consulta: 28 de maig 2013]. Disponible a:<http://revistasuma.es/revistas/56-noviembre-2007/el-problema- de-los-dados-del.html>. [25] Estadística para todos [en línia]. 2008. [Consulta: 29 de maig 2013]. Disponible a: <http://www.estadisticaparatodos.es/>. [26] Lagares, P.; Perea,F.; Puerto, J. Un juego de cartas: “Las siete y media” [en línia]. MaMaEuSch. Managment Mathematics for European Schools. 2001. [Consulta: 29 d’abril 2013]. Disponible a: <http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/ veroeffentlichungen/ver_texte/siete_media_s.pdf>.