Observador de alta ganancia con zona muerta ajustable para estimar la saturación de agua líquida en pilas de combustible tipo PEM

Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 www.revista-riai.org Observador de alta ganancia con zona muerta ajustable para estimar la saturaci´ on de agua l´ ıquida en pilas de combustible tipo PEM Cecilia, A.* , Costa-Castelló, R.∗ Institut de Robòtica i Informática Industrial, CSIC-UPC, Llorens i Artigas 4-6, 08028 Barcelona, Spain To cite this article: Cecilia, A., Costa-Castelló, R. 2020. High gain observer with dynamic deadzone to estimate liquid water saturation in PEM fuel cells. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17, 169-180. https://doi.org/10.4995/riai.2020.12689 Resumen En el campo de las pilas de combustible PEM, la gesti´on de agua l´ıquida es una de las problem´aticas m´as importantes que afectan a la eficiencia y vida ´util del sistema. Las t´ecnicas de control activo y supervisi´on del agua se ven limitadas por la ausencia de sensores que puedan medir la saturaci´on de agua l´ıquida en l´ınea. Por eso, en este trabajo se presenta el dise˜no de un observador de estado para la estimaci´on de la saturaci´on de agua l´ıquida en la capa catalizadora del c´atodo de una pila de combustible PEM de c´atodo abierto. El observador propuesto se basa en t´ecnicas de alta ganancia. Adem´as, se modifica con una funci´on de zona muerta autoajustable con el fin de reducir su sensibilidad al ruido en la medida. Los resultados se han validado mediante simulaci´on num´erica y experimentaci´on. Estos muestran que, en ausencia de ruido, el observador propuesto presenta unas prestaciones similares a las de su equivalente sin zona muerta. Adem´as, en presencia de ruido, la zona muerta disminuye significativamente el error de estimaci´on inducido por este. Palabras clave: Observadores de estados, ruido de medida, sistemas no lineales, sistemas de energ´ıa renovables High gain observer with dynamic deadzone to estimate liquid water saturation in PEM fuel cells Abstract In the area of PEM fuel cells, water management remains one of the most challenging issues affecting PEMFC efficiency and lifetime. Liquid water active control and supervision techniques are limited by the absence of online sensors that can estimate the liquid water saturation. For this reason, this work presents the design of a state observer to estimate the cathode catalyst layer’s liquid water saturation of an open-cathode PEM fuel cell. The proposed observer is based on High-Gain techniques, and is modified with a dynamic dead-zone which reduces the observer’s noise sensibility. The results have been validated through numerical simulation and experiments. It is shown that, in the absence of noise, the proposed observer presents a similar performance than its non dead-zone equivalent. Moreover, in the presence of noise, the dead-zone significantly reduces the estimation error induced by it. Keywords: State observers, measurement noise, nonlinear systems, renewable energy systems 1. Introducci´ on En los ´ ultimos a˜ nos, ha aumentado el inter´ es por el desarrollo de tecnolog´ ıas energ´ eticas renovables debido al constante crecimiento del consumo global de energ´ ıa, el cambio clim´ atico y el temor al agotamiento de las fuentes de energ´ ıa basadas en combustibles f´ osiles. En este contexto, las pilas de combustible de hidr´ ogeno se han establecido como una de las posibles tecnolog´ ıas para conseguir superar los retos energ´ eticos del futuro (Casteleiro-Roca et al., 2019). ∗Autores para correspondencia: [email protected] y [email protected] Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4,0 International (CC BY-NC-ND 4,0) Una pila de combustible es un dispositivo de tipo electroquímico que transforman la energía qu´ımica de su combustible en energía el´ectrica sin generar contaminantes, tales como CO2, NOx o S Ox. Entre las pilas de combustible, destacan las de membrana de intercambio protónico (PEM) debido a su fa-vorable densidad energética y sus bajas temperaturas de operaci´on. En virtud de estas características, las pilas de combustible PEM han demostrado ser un potencial sustituto de los moto-res de combustión interna en el sector del transporte (Alaswad et al., 2016). Las pilas de combustible PEM utilizan un polímero s´olido como electrolito que separa sus dos electrodos. El ánodo de la pila se alimenta constantemente con hidrógeno puro. Este hidrògeno se procesa en una capa catalizadora basada en platino, donde los electrones se separan de los protones. Mientras que los protones son transportados al c´átodo a trav´es del electrolito, los electrones se conducirían por un circuito externo, ge-nerando la potencia eléctrica del sistema. En el lado del cátodo, los protones y electrones se combinan con oxigeno para producir agua. Este oxigeno se puede alimentar a trav´es del electrodo en forma pura o extra´ıdo del aire. En la Figura 1 se puede observar un esquema del proceso descrito. Figura 1: Esquema operaci´ on de una pila de combustible de tipo PEM. Durante la operaci´ on de la pila de combustible PEM, se genera y se acumula agua. Este agua no es s´ olo un subproducto de las reacciones, sino, que es un elemento con un papel importante para la operaci´ on de la pila. El electr´ olito requiere de un m´ ınimo nivel de hidrataci´ on para facilitar la conducci´ on de los protones y reducir su degradaci´ on (Eikerling, 2006). Sin embargo un exceso de agua estar´ a producir´ a problemas tales como: p´ erdidas de voltaje a altas densidades de corriente, voltaje variante a bajas densidades de corriente y aceleraci´ on de la degradaci´ on del carbono del catalizador (Owejan et al., 2008) (Eikerling, 2006). Parece razonable pensar que una operaci´ on adecuada de la pila de combustible requiere de un control efectivo del agua. Sin embargo, no existen sensores para medir esta variable en l´ ınea. Por ello, se requiere de un sistema que sea capaz de estimar su valor. Una posible opci´ on ser´ ıa implementar un observador de estados. La hidrataci´ on de la pila est´ a altamente relacionada con su temperatura (Mench et al., 2011). Por eso, deber´ ıa ser posible dise˜ nar un observador que sea capaz de estimar la humidificaci´ on a partir de las lecturas de los sensores de temperatura, velocidad del aire y corriente de carga. Adem´ as, la implementaci´ on de observadores permitir´ ıa el desarrollo de nuevas t´ ecnicas de control y supervisi´ on del agua de la pila de combustible PEM. En la literatura, existen diversas propuestas de control activo de la hidrataci´ on en pilas PEM (Damour et al., 2015). Sin embargo, estas t´ ecnicas requieren del conocimiento de la humidificaci´ on del sistema o recurren a representaciones de caja negra. La implementaci´ on de observadores posibilitar´ ıa el dise˜ no de controladores que podr´ ıan mejorar las prestaciones del control de la hidrataci´ on (Aligia et al., 2017). Posibles t´ ecnicas incluyen, estrategias de estabilizaci´ on por realimentaci´ on de salida (Teel and Praly, 1994), t´ ecnicas de regulaci´ on con realimentaci´ on de salida (Byrnes and Isidori, 2004) y detecci´ on de fallos basado en observadores (Martinez-Guerra and Mata-Machuca, 2016). Sin embargo, los modelos de pilas de combustible suelen presentar estructuras no lineales (Kunusch et al., 2012). Por esta raz´ on, es necesario dise˜ nar un observador que sea capaz de tratar con ellas. En la literatura se pueden encontrar distintos dise˜ nos de observador para sistemas no lineales. Algunas t´ ecnicas se basan en linealizar el sistema a trav´ es de calcular una serie de Taylor de primer orden alrededor de un punto de operaci´ on (Atherton, 1992). No obstante, esta estrategia resulta en una soluci´ on local al problema de observaci´ on con poca robustez si el sistema es altamente no lineal. Otras t´ ecnicas se basan en linealizar las din´ amicas del error de estimaci´ on a trav´ es del dise˜ no de la realimentaci´ on del observador (Krener and Respondek, 1985) (Sassano and Astolfi, 2019). Estas t´ ecnicas presentan buenas prestaciones en presencia de ruido. No obstante, su implementaci´ on asume condiciones estructurales muy restrictivas que raramente se satisfacen en los modelos de pilas de combustible. Una tercera t´ ecnica son los observadores de modos deslizantes (Yan and Edwards, 2007). Esta t´ ecnica presenta la ventaja de ser insensible a cierto tipo de incertidumbre y ha demostrado ser realmente ´ util para ciertos sistemas de pilas de combustible (Liu et al., 2014) (Pisano et al., 2018). Uno de los principales conflictos de esta estrategia es que su dise˜ no requiere del conocimiento de l´ ımites superiores e inferiores de ciertas funciones no lineales y de sus derivadas. Adem´ as, se basa en una se˜ nal de control discontinua que suele inducir ruido en la estimaci´ on. Otra alternativa es el observador de alta ganancia (OAG) (Khalil, 2017a). Este tipo de observador presenta una gran robustez al mismo tipo de incertidumbre al que es insensible el observador en modos deslizantes. El observador presenta n+1 (donde n es orden del sistema) par´ ametros a sintonizar; y su sintonizaci´ on requiere de la estimaci´ on de la constante Lipschitz (este concepto se formaliza en la Definici´ on 4.1) de las funciones no lineales del sistema. Estas caracter´ ısticas lo denotan como una t´ ecnica de observaci´ on de gran potencial para las pilas de combustible PEM. No obstante, el OAG es altamente sensible al ruido de los sensores. En consecuencia, una peque˜ na cantidad de ruido en el sensor de temperatura podr´ ıa deteriorar significativamente la estimaci´ on. Una posible soluci´ on ser´ ıa filtrar la se˜ nal a trav´ es de un filtro paso bajo. Sin embargo, este a˜ nadir´ ıa din´ amicas en el sistema, cosa que puede ser contraproducente para ciertos problemas de control. Una alternativa desarrollada recientemente, ser´ ıa a˜ nadir una zona muerta artificial al lazo de realimentaci´ on que eliminar´ ıa la parte del ruido dentro de su amplitud (Cocetti et al., 2019). Esta modificaci´ on permitir´ ıa reducir la cantidad de ruido que se introduce en el observador, sin a˜ nadir din´ amicas a la respuesta del sistema. No 170 Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 obstante, la implementaci´ on de una zona muerta est´ atica puede afectar significativamente a las prestaciones del observador. Por eso, se dise˜ na un mecanismo que adapta din´ amicamente la amplitud de la zona muerta a la cantidad de ruido. Este trabajo propone la estimaci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida a trav´ es de un observador de alta ganancia con una zona muerta autoajustable. El trabajo se divide en las siguientes partes: en la secci´ on 2 se introduce el entorno experimental en el que se validar´ a el observador. En la secci´ on 3 se presenta la representaci´ on en espacio de estados del modelo de pila de combustible PEM de c´ atodo abierto en el que se basa el observador. En la secci´ on 4 se describe el dise˜ no de un observador de alta ganancia. En la secci´ on 5 se presenta los resultados de simulaci´ on del observador de alta ganancia. En la secci´ on 6 se modifica el observador con una zona muerta autoajustable. En la secci´ on 7 se presenta los beneficios de este nuevo observador a trav´ es de una simulaci´ on. En la secci´ on 8 se valida el observador con zona muerta experimentalmente. Finalmente, en la secci´ on 9 se presentan las conclusiones y trabajos futuros. 2. Descripci´ on Entorno Experimental El sistema considerado en este trabajo es la pila de combustible de tipo PEM modelo H-100 de Horizon Fuel Cell Technologies. Este modelo (comercialmente disponible) presenta 100 Wde potencia, 20 celdas y un c´ atodo abierto con 22,5 cm2de superficie activa. Este c´ atodo se humidifica de forma autom´ atica e incluye un ventilador que se encarga de refrigerar la pila y alimentar de ox´ ıgeno el c´ atodo. El ventilador se alimenta a trav´ es de una alimentaci´ on externa de 12 V. Adem´ as, un sistema de control proporciona el ciclo de trabajo de la modulaci´ on por ancho de pulsos (PWM) del ventilador que determina la velocidad de rotaci´ on de este, permitiendo controlar la velocidad del aire del c´ atodo (vair). Esta velocidad se mide a trav´ es de una sonda (tipo pel´ ıcula caliente) modelo EE75 de E+E Elektronik. En la entrada del ´ anodo se introduce hidr´ ogeno seco y en la salida del ´ anodo se incluye una v´ alvula electromagn´ etica que normalmente estar´ a cerrada. Esta v´ alvula permite realizar purgas peri´ odicas en el ´ anodo, para as´ ı reducir la acumulaci´ on de gases inertes o de agua. Sin embargo, estas purgas provocan una fluctuaci´ on de la presi´ on en el ´ anodo, y en consecuencia, una variaci´ on del voltaje de salida. La pila de combustible incorpora una serie de termopares tipo K para medir su temperatura (Tf c). Adem´ as, el voltaje total de la pila (V) se mide a trav´ es de un amplificador de aislamiento y la corriente de carga (I) se mide mediante un sensor de efecto hall con tecnolog´ ıa de lazo cerrado, modelo LTS 6NP, marca LEM. Finalmente, cabe remarcar que la pila de combustible est´ a instalada en el interior de una c´ amara clim´ atica que permite controlar las condiciones ambientales de temperatura, humedad y presi´ on. Las variables de humedad y temperatura ambiente en la salida del c´ atodo se miden a trav´ es de un sensor HMM211 de Vaisala. En la Figura 2 se puede observar un esquema del sistema de pila de combustible instalado en el laboratorio y en la Figura 3 se muestra una imagen del sistema real. Figura 2: Esquema de la pila de combustible PEM modelo H-100. Figura 3: Imagen del entorno experimental de la pila de combustible H-100. Como se ha explicado anteriormente, la velocidad del aire inducida por el ventilador afecta la temperatura de la pila de combustible, Tf c, y la estequiometr´ ıa del c´ atodo, λ, definida como λ=nO2 introducidos nO2 consumidos .(1) donde nO2 introducidos es el n´ umero de moles de ox´ ıgeno que se introducen en el c´ atodo y nO2 consumidos es el n´ umero de moles que consume la reacci´ on de reducci´ on. Te´ oricamente, la estequiometr´ ıa afecta a la corriente de carga de la pila, I. No obstante, ciertos experimentos muestran que valores m´ ınimos de velocidad de rotaci´ on del ventilador garantizan una estequiometr´ ıa de 20 en la potencia nominal de la pila (Strahl et al., 2014). Es decir, en los puntos de operaci´ on de la pila, el efecto de la velocidad del aire sobre la corriente de carga no es significativo. En consecuencia, la velocidad del aire en el c´ atodo, vair, se puede usar para controlar la temperatura de la pila, Tf c, y el caudal de hidr´ ogeno seco en el ´ anodo determina, independientemente de vair, la corriente de carga de la pila, I. Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 171 3. Modelo de la Pila de Combustible de C´ atodo Abierto Para la descripci´ on del comportamiento de la pila, se usa un modelo de pila PEM de c´ atodo abierto basado en ecuaciones diferenciales ordinarias sin resoluci´ on espacial (Strahl et al., 2014). En el ap´ endice A se incluye una descripci´ on detallada de las constantes y funciones del modelo. Las ecuaciones del sistema se dividen en tres partes: un submodelo t´ ermico, un submodelo del transporte de agua l´ ıquida y un submodelo electroqu´ ımico. En primer lugar, el submodelo t´ ermico describe la transferencia de calor del sistema a partir de restar el calor total generado por el sistema y la convecci´ on forzada por el ventilador. ˙ Tf c =K1(Vth −V)I+K2(Tamb −Tf c)vair (2) donde Tf c es la temperatura de la pila, Tamb es la temperatura ambiente y Vth,K1yK2son constantes que se especifican en el ap´ endice A. En segundo lugar, el modelo de transporte de agua l´ ıquida describe la variaci´ on del contenido de agua l´ ıquida en la capa catal´ ıtica del c´ atodo (CCL) a trav´ es de restar el agua generada por la reacci´ on de oxidaci´ on en el c´ atodo, el agua evaporada y el agua que abandona la CCL por difusi´ on. ˙s=K3I−K4fp(Tf c)s−fd(s) (3) donde ses la saturaci´ on de agua l´ ıquida en la capa catalizadora del c´ atodo, K3yK4son constantes y fpyfdson funciones no lineales (Strahl et al., 2014), especificadas en el ap´ endice A. En tercer lugar, el modelo electroqu´ ımico describe la ten- si´ on en bornes de la pila a partir de restar al potencial termodin´ amico reversible, Vth, las p´ erdidas de activaci´ on y ´ ohmicas (Barbir, 2012). V=Vth −K5fa(Tf c,s,I)Tf c −K6I(4) donde Ves la tensi´ on en bornes, K5,K6son constantes y faes una funci´ on no lineal, especificadas en el ap´ endice A. En t´ erminos de control, la din´ amica de la pila se describe a partir de dos variables de estado: la temperatura de la pila de combustible, Tf c, y la saturaci´ on de agua l´ ıquida en la capa catalizadora del c´ atodo, s. Las variables controlables del modelo son: la velocidad del aire en el c´ atodo vair, y la corriente de carga I. En este trabajo, se asume que el valor de la corriente de carga, I, y la temperatura ambiente, Tamb, var´ ıan lentamente. De esta forma, sus derivadas se pueden considerar nulas. Adem´ as, se puede comprobar que el modelo es af´ ın a la acci´ on del ventilador. Este hecho permite reescribir el sistema en el siguiente formato de estado no lineal: ˙ x=f(x) +g(x)vair;y=h(x) (5) donde el vector de estados, x, es, x="Tf c s#(6) y las funciones f,gyhson, f(x)="K1(Vth −V)I K3I−K4fp(Tf c)s−fd(s)#(7) g(x) ="K2(Tamb −Tf c) 0#(8) h(x)=Tf c (9) Esta formalizaci´ on, simplificar´ a la nomenclatura y facilitar´ a los desarrollos en las siguientes secciones. Finalmente, cabe destacar que el modelo de la pila de combustible se ha validado experimentalmente en trabajos previos a este (Strahl et al., 2014). 4. Observador de Alta Ganancia El objetivo del trabajo es dise˜ nar un observador de alta ganancia que pueda estimar las variables de estado, x, del modelo (5) a partir de las medidas de los termopares, y=Tf c. A continuaci´ on, se presentar´ an las nociones b´ asicas sobre la estructura y el dise˜ no de observadores de alta ganancia. En el dise˜ no del observador de alta ganancia, se asume que el modelo presenta cierta estructura triangular Lipschitz: ˙ ξ=Aξ+ Ψ(ξ,u),(10) y=Cξ(11) donde A= 0 1 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 . . .. . .0.... . . 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 0  ;C= 1 0 . . . 0  | (12) Ψ(ξ,u)= ψ1(ξ1,u) ψ2(ξ1, ξ2,u) . . . ψn(ξ,u)  (13) donde las funciones ψ1,...,ψnson lipschitzianas. Definici´ on 4.1. Una funci´on f (x,u)es lipschitz continua si existe una constante L tal que: kf(x,u)−f(z,u))k ≤ Lkx−zk ∀x,z(14) En concreto, esta desigualdad se cumplir´a si todos los elementos de la jacobiana, ∂f ∂x(x,u), presentan un valor finito (Khalil, 1995). De este forma, el vector Ψdefinido en (13) deber´ a cumplir: kΨ(ξ,u)−Ψ(z,u))k ≤ ckξ−zk.(15) En esta estructura, un observador de alta ganancia es una copia de la forma triangular m´ as un factor de realimentaci´ on de alta ganancia que depende del error de estimaci´ on de salida, y−ˆ ξ1(Khalil, 2017a). ˙ ˆ ξ=Aˆ ξ+ Ψ(ˆ ξ,u)+Eα(y−ˆ ξ1),(16) ˆy=Cˆ ξ(17) E= 1 ε0 0 ··· 01 ε20··· . . .. . ....0 0 0 ··· 1 εn  ;α= α1 . . . αn  (18) 172 Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 donde ˆ ξicorresponde a la estimaci´ on del estado ξi. Los par´ ametros a sintonizar en este observador son las constantes αiy la constante ε. En primer lugar, los par´ ametros αiinfluyen en el transitorio del error de estimaci´ on, i.e. ˜ ξi,ξi−ˆ ξi. En consecuencia, se deben sintonizar tal que todas las ra´ ıces del siguiente polinomio presenten parte real negativa, sn+α1sn−1+···+αn−1s+αn.(19) Asimismo, te´ oricamente, las ra´ ıces de (19) se pueden optimizar para mejorar el transitorio del observador. Sin embargo, no existe una metodolog´ ıa para obtener las “mejores“ ra´ ıces, aunque se pueden optimizar aplicando t´ ecnicas de ubicaci´ on de polos (Khalil, 2017a). En segundo lugar, el par´ ametro εdebe ser un valor positivo menor de 1 y suficientemente peque˜ no como para dominar la constante Lipschitz de las no linealidades. Adem´ as, valores peque˜ nos de εaseguran una convergencia r´ apida y robusta. No obstante, existen diversos factores que impiden que el valor de εsea arbitrariamente peque˜ no. Valores demasiado peque˜ nos fomentar´ an y aumentar´ an el efecto del fen´omeno de pico (Esfandiari and Khalil, 1992), que es un incremento significativo del error de estimaci´ on durante el transitorio del observador. Adem´ as, disminuir el valor de εaumenta significativamente la sensibilidad al ruido del observador (Astolfi et al., 2016), impidiendo la implantaci´ on del observador en bastantes casos pr´ acticos. Por este motivo, es de inter´ es encontrar el l´ ımite superior de εque asegura la convergencia del observador, para as´ ı, no dise˜ nar un valor de εinnecesariamente bajo. Ya que el polinomio (19) es Hurwitz por dise˜ no, existe una matriz sim´ etrica positiva Pen Rn×ntal que (Khalil, 2017a): F|P+PF =−I(20) donde F= −α11 0 ··· 0 −α20 1 ··· 0 . . .. . .0.... . . −αn−10··· 1 −αn0 0 ··· 0  .(21) Se puede demostrar que el error de estimaci´ on converger´ a a cero si el valor de εcumple con la siguiente desigualdad (Hassan Hammouri, 2007): ε < 1 2ckPk(22) donde ces la constante definida en (15). Con este l´ ımite, se tiene una idea clara del valor m´ aximo que debe tener el par´ ametro εpara asegurar estabilidad exponencial global del observador. Es recomendable que εpresente el mayor valor posible, para as´ ı reducir la sensibilidad al ruido y el fen´ omeno de pico. En concreto, si el sistema (10) presenta ruido en el sensor, es decir, y=Cξ+v(23) donde vrepresenta una se˜ nal tal que kvk ≤ γ, el error de estimaci´ on convergir´ a a la siguiente regi´ on (Khalil, 2017b) kξi−ˆ ξik ≤ γ εi−1kPαk(24) Se puede comprobar que disminuir el valor del par´ ametro ε, aumenta considerablemente el error en la estimaci´ on. No obstante, εdeber´ ıa ser dise˜ nado con cierto margen respecto al l´ ımite, 1 2ckPk, para asegurar la robustez del observador en presencia de incertidumbre. 5. Transformaci´ on del modelo El modelo de pila de combustible considerado (5) no presenta la forma triangular Lipschitz (10) considerada en la anterior secci´ on. Por eso, es necesario construir un difeomorfismo que relacione las dos estructuras. El modelo de la pila de combustible presenta las siguientes propiedades: El modelo es af´ ın al control. El modelo es uniformemente observable, en el sentido de ser observable para todas las acciones de control (Bornard et al., 1995). El modelo aut´ onomo, i.e. u=0, es observable diferencialmente fuerte de orden n (Gauthier and Kupka, 2001). Definici´ on 5.1. Un sistema aut´onomo, u=0, representado por la expresi´on (5) es observable diferencialmente fuerte de orden k si el mapa: x7→  h(x) Lfh(x) . . . Lk−1 fh(x)  ,Φ(x),(25) es inyectivo y presenta una jacobiana ∂Φ ∂x(x)de rango k. La operaci´on Lfh(x)denota la derivada de Lie de la funci´on h(x)a lo largo de f(x)y se calcula como Lfh(x)=∂h(x) ∂xf(x). Estas propiedades permiten que el mapa (25) sea un difeomorfismo entre el modelo del sistema de inter´ es y la forma triangular Lipschitz (10) (Gauthier et al., 1992). En concreto, en el sistema de la pila de combustible (5), el mapa que relaciona las dos estructuras ser´ a el siguiente: Φ(x)="Tf c LfTf c#.(26) En la forma triangular Lipschitz, teniendo en cuenta los detalles presentados en la anterior secci´ on, se pueden dise˜ nar los par´ ametros αiyεpara asegurar la convergencia del error de estimaci´ on en las nuevas coordenadas, ˜ ξi,ξi−ˆ ξi. Sin embargo, el objetivo es la estimaci´ on de los estados en las coordenadas originales x. Para eso, es necesario encontrar una inversi´ on del difeomorfismo Φ(x). En la pr´ actica, es dif´ ıcil encontrar una expresi´ on anal´ ıtica de esta inversi´ on, y se suele recurrir a la resoluci´ on de un problema de optimizaci´ on del tipo ˆ x=m´ ın x|Φ(x)−ˆ ξ|(27) donde la variable ˆ xrepresenta la estimaci´ on de la variable de estado x. Para evitar el alto coste computacional de esta optimizaci´ on, uno puede implementar el observador directamente en las coordenadas x. De esta forma, no es necesario calcular la inver- si´ on del mapa Φ(x). En concreto, el observador de alta ganancia Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 173 (16) se puede reescribir del siguiente modo (Astolfi and Praly, 2013): ˙ ˆ x=f(ˆ x)+g(ˆ x)vair +v(ˆ x,y) (28) donde v(ˆ x,y)=∂Φ ∂x(ˆ x)−1"α1 ε(y−ˆ Tf c) α2 ε2(y−ˆ Tf c)#. Este observador s´ olo necesita que la jacobiana de Φ(x) sea invertible. Espec´ ıficamente, en el caso bajo estudio, la jacobiana de este mapa presentar´ a la siguiente estructura ∂Φ ∂x(x) = 1 0 ∂LfTf c ∂Tf c (x)∂LfTf c ∂s(x)(29) Con det ∂Φ ∂x(x) =∂LfTf c ∂s(x).(30) Cabe remarcar que el determinante (30) s´ olo presenta un cero en los puntos Tf c =0, que equivalen a una temperatura de 0 K. Este punto es f´ ısicamente inalcanzable y los estados del observador raramente se acercaran. En consecuencia, la jacobiana ser´ a siempre invertible. Sin embargo, la funci´ on ∂LfTf c ∂s(x) es singular en los puntos s=0 y s=¯s, donde ¯srepresenta el valor ´ optimo alcanzable de la saturaci´ on de agua l´ ıquida (Ap´ endice A). Estas singularidades pueden inducir problemas num´ ericos e invalidar la condici´ on Lipschitz (15) cuando la estimaci´ on ˆs se acerque a ellas. Por eso, el valor de ˆsse ha saturado en los puntos fuera del dominio D:={x∈R2|0<s<¯s}. Notar que, al transformar el modelo, el error de estimaci´ on inducido por el ruido (24) define un l´ ımite en las nuevas coordenadas ξ. No obstante, el mapa Φ(x) presenta una inversa continua y diferenciable por definici´ on. En consecuencia, la funci´ on inversa x= Φ(ξ)−1y sus componentes Φ(x)−1 iser´ an localmente Lipschitz y existir´ an unas constantes Lξital que kxi−ˆ xik=kΦ(x)−1 i−Φ(ˆ x)−1 ik ≤Lξikξi−ˆ ξik ≤ Lξi 1 εi−1γkPαk.(31) En el ap´ endice B se han incluido las ecuaciones que componen la jacobiana (29). 6. Simulaci´ on del Observador de Alta Ganancia El comportamiento del observador de alta ganancia (28)- (29) se ha estudiado a trav´ es de una serie de simulaciones. En estas, el modelo de la pila de combustible (2)-(4) (Strahl et al., 2014) se usa para analizar los cambios introducidos por diferentes valores de corriente, Figura 4, que provocan una variaci´ on de la temperatura y de la saturaci´ on de agua l´ ıquida. Notar que el incremento de intensidad entre 2270 segundos y 8000 segundos es tan bajo, que la intensidad se puede considerar localmente constante. Adem´ as, el modelo incorpora un controlador PI con anti windup (Strahl and Costa-Castell´ o, 2016) que mediante la acci´ on del ventilador, vair, mantendr´ a la temperatura de la pila de combustible cerca de los 310 K. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Intensidad (A) Figura 4: Perfil de intensidad introducida al sistema. Durante la mayor parte de la simulaci´ on, el sensor de temperatura estar´ a libre de ruido. Sin embargo, en un cierto rango temporal, se simular´ a un fallo en el sensor que introducir´ a una cierta cantidad de ruido, Figura 5. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Tiempo (s) 309.4 309.6 309.8 310 310.2 310.4 310.6 Temperatura (K) Figura 5: Perfil de temperatura en el sensor del modelo. Se simula un fallo en el sensor que introduce ruido entre el segundo 3240 y el segundo 6715. En relaci´ on con el dise˜ no de los par´ ametros del observador, una sintonizaci´ on del par´ ametro εrequiere la constante lipschitz, c, de la funci´ on Ψ(ξ,u) (15). Esta constante se puede aproximar con el l´ ımite superior de la norma 2 de su jacobiana, es decir c≈argmax ξ ∂Ψ(ξ,u) ∂ξ2 (32) A trav´ es de an´ alisis num´ ericos en el rango de operaci´ on de la pila de combustible (es decir, Tf c ∈[298,338] Kys∈ [0,01,0,165] Kg m−2), se ha podido estimar la constante de Lipschitz como c=0,0286. A partir de este valor, se han dise˜ nado unos par´ ametros αital que, seg´ un (22), cualquier valor ε≤1,74 asegure la convergencia del observador. No obstante, el modelo del transporte del agua suele presentar una incertidumbre param´ etrica significativa. Por eso, el par´ ametro εse ha dise˜ nado con un margen significativo respecto al l´ ımite (22). As´ ı el observador de alta ganancia ser´ a robusto a la incertidumbre del modelo. En la Tabla 1 se puede observar el valor de los par´ ametros del observador simulado. En la Figura 6 se representa la evoluci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida, s, del modelo y la estimaci´ on del observador de alta ganancia. Por un lado, notar que, en ausencia de ruido, la estimaci´ on del observador converge r´ apidamente a los valores del modelo. Por otro lado, en presencia de ruido, el error de estimaci´ on aumenta de forma significativa. Este resultado es consecuencia del gran margen que se ha escogido en el l´ ımite 174 Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 (22), para asegurar la robustez del observador. Esta alta sensibilidad podr´ ıa impedir la implementaci´ on del observador en muchas aplicaciones pr´ acticas. Por eso, es de inter´ es modificar el observador para as´ ı reducir el efecto del ruido. Tabla 1: Par´ ametros del observador Par´ ametro Valor α10,1047 α20,0012 ε0,1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Tiempo (s) 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 Saturación de agua líquida a la CCL (Kg/m2) s OAG s modelo Figura 6: Evoluci´ on de la saturaci´ on de agua liquida del modelo (azul) y estimaci´ on del observador de alta ganancia (morado). 7. Observador de Alta Ganancia con Zona Muerta A trav´ es de simulaciones se ha mostrado que el observador de alta ganancia presenta alta sensibilidad al ruido de los sensores, el cual no desestabiliza el observador pero aumenta significativamente su error de estimaci´ on. Este es un problema bien conocido en los observadores de alta ganancia (Astolfi et al., 2016). En efecto, el difeomorfismo (25) se basa en diferenciar repetidamente la salida del sistema, h(x) y cada una de estas derivadas amplifica el efecto del ruido. Adem´ as, la sensibilidad del ruido aumenta al disminuir el par´ ametro ε(31). Un t´ ecnica interesante para reducir esta sensibilidad consiste en aplicar una zona muerta artificial en el error entre la salida de los sensores y su estimaci´ on (Cocetti et al., 2019). En otras palabras, el observador de alta ganancia se modificar´ ıa de la siguiente forma, ˙ ˆ x=f(ˆ x)+g(ˆ x)u+vdz(ˆ x,y) (33) donde vdz(ˆ x,y)=∂Φ ∂x(ˆ x)−1"α1 εdz√σ(y−ˆ Tf c) α2 ε2dz√σ(y−ˆ Tf c)#.(34) donde dz√σrepresenta la funci´ on zona muerta, la cual se calcula con la siguiente expresi´ on dz√σ(a)=             0si −√σ≤a≤√σ, a−√σsi a ≥√σ, a+√σsi a ≤ −√σ (35) El factor √σrepresenta la amplitud de la zona muerta. Una representaci´ on gr´ afica de la funci´ on de zona muerta, con σ=4, σ=9 y σ=16, se muestra en la Figura 7. Figura 7: Funci´ on zona muerta con σ=4, σ=9yσ=16. Esta zona muerta ofrece una correcci´ on nula en las trayectorias alrededor de y−h(ˆ x)=0. As´ ı, la parte del ruido (23) dentro de la amplitud de la zona muerta se elimina y no llega a introducirse al observador. No obstante, existe un compromiso entre la amplitud, √σ, de la zona muerta y las prestaciones del observador. Por un lado, una amplitud insuficiente no reducir´ ıa el ruido y el observador seguir´ ıa presentando una alta sensibilidad a este. Por otro, una amplitud demasiado grande, inducir´ ıa el observador a operar siempre en lazo abierto. Este compromiso complica el dise˜ no de la zona muerta, especialmente en problemas donde la cota superior del ruido puede variar. Una posible soluci´ on es ajustar la amplitud de la zona muerta a la cantidad de ruido seg´ un la siguiente din´ amica de primer orden con λε de constante de tiempo (Cocetti et al., 2019): 1 ε˙σ=−λσ +R(y−ˆ Tf c)2(36) La variable ˆ Tf c es la temperatura estimada por el observador de alta ganancia y los par´ ametros a sintonizar en esta din´ amica son λyR. De forma intuitiva, el par´ ametro λdetermina la velocidad de adaptaci´ on de la zona muerta y el par´ ametro Rest´ a relacionado con la cantidad de ruido que se eliminar´ a. En consecuencia, un valor grande de λjunto a un valor peque˜ no de R recuperar´ a el observador de alta ganancia sin zona muerta. Esta interpretaci´ on de los par´ ametros es ´ util para entender la din´ amica de primer orden (36). Sin embargo, se deber´ ıa sintonizar los par´ ametros, λyR, de manera que las siguientes condiciones se cumplan: En ausencia de ruido, el valor de σdeber´ ıa de converger r´ apidamente a cero. As´ ı, se recupera el observador de alta ganancia convencional. El observador deber´ ıa ser estable en presencia de ruido. Estas condiciones se pueden traducir en una inecuaci´ on lineal de matrices (LMI) (Cocetti et al., 2019): M+M|<0 (37) donde M,"PA +PαC+C|RC−Pα uC−u−λ#,(38) donde Pes la matriz definida en (20), las matrices AyCest´ an definidas en (12) y ues una constante positiva. Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 175 Notar que existen m´ ultiples soluciones que cumplen esta LMI. Por ello, es posible aprovechar este grado de libertad y optimizar los par´ ametros λyRen relaci´ on a alg´ un criterio. De forma directa, un valor grande de Rprovoca una mayor reducci´ on del efecto del ruido en el estacionario. En consecuencia, es de inter´ es implementar el m´ aximo de este par´ ametro. Adem´ as, es importante a˜ nadir un valor l´ ımite, λmax, de λ, para as´ ı impedir diferencias excesivas entre las escalas de tiempo del observador y la din´ amica de la zona muerta. Espec´ ıficamente, los par´ ametros λyRse pueden sintonizar a partir de la siguiente optimizaci´ on max λ,uR t. q. M+M|<0, 0< λ < λmax (39) Esta optimizaci´ on maximiza la cantidad de ruido eliminado y asegura la estabilidad y convergencia de la zona muerta. No obstante, despu´ es de computar la optimizaci´ on, es necesario comprobar que la din´ amica resultante de la zona muerta se adecua al ruido en el sensor (23). Por un lado, la amplitud de la zona muerta convergir´ a a una regi´ on definida por los par´ ametros R,λ(36) y el ruido en el sensor, v. Este hecho se puede comprobar estudiando la funci´ on de Lyapunov, V=cσ2, donde ces una constante positiva. Teniendo en cuenta la desigualdad (31), la derivada de esta funci´ on ser´ a ˙ V=2cσ˙σ=−2cελσ2+2cσεR(y−ˆ Tf c)2 =−2cελσ2+2cσεR(Tf c −ˆ Tf c +v)2 ≤ −2cελσ2+2cσεRL2 ξ1γ2kPαk2+2cσεRγ2 +4cσεRLξ1kPαkγ2.(40) La funci´ on ˙ Vser´ a negativa en la regi´ on definida por σ > Rγ2(L2 ξ1kPαk2+1+2Lξ1kPαk) λ.(41) En consecuencia, la amplitud de la zona muerta convergir´ a a una regi´ on definida por √σ≤csRγ2(L2 ξ1kPαk2+1+2Lξ1kPαk) λ.(42) En segundo lugar, la amplitud de la zona muerta deber´ ıa ser inferior al l´ ımite superior del ruido, es decir, √σ≤γ. Si no, se estar´ ıa ampliando innecesariamente la regi´ on en la que el observador trabaja en lazo abierto. En conclusi´ on, los par´ ametros λ yRobtenidos en la optimizaci´ on (39) se consideran adecuados al ruido del sensor si la siguiente desigualdad se cumple csR(L2 ξ1kPαk2+1+2Lξ1kPαk) λ≤1.(43) Notar que este l´ ımite es independiente del l´ ımite superior del ruido en el sensor, γ. 8. Simulaci´ on Observador de Alta Ganancia con Zona Muerta Para validar el observador de alta ganancia con zona muerta, se ha repetido la simulaci´ on introducida en la secci´ on 6. En este contexto, se comparar´ a el observador de alta ganancia con zona muerta con un observador de alta ganancia sin zona muerta pero con los mismos par´ ametros de αiyε. Los valores de los par´ ametros de ambos observadores se representa en la Tabla 2. Tabla 2: Par´ ametros del observador Nombre Valor α10,1047 α20,0012 ε0,1 λ10 R8,5678 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Tiempo (s) 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 Saturación de agua líquida a la CCL (Kg/m2) s OAG s OAG con ZM s modelo Figura 8: Perfil de saturaci´ on de agua l´ ıquida del modelo (azul), estimaci´ on del observador sin zona muerta (naranja) y estimaci´ on del observador con zona muerta (amarillo). En la Figura 8, se representa la evoluci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida del modelo y las respectivas estimaciones de los observadores. En primer lugar, se puede observar que, en ausencia de ruido, la estimaci´ on de ambos observadores converge r´ apidamente a los valores del modelo. Adem´ as, el comportamiento del observador con zona muerta es casi id´ entica a su equivalente sin zona muerta. De este punto se puede concluir que la presencia de la zona muerta no degrada significativamente el transitorio del observador. En segundo lugar, en presencia de ruido, el error de estimaci´ on inducido por el ruido es significativamente menor en el observador con zona muerta. Para presentar cuantitativamente esta reducci´ on se propone calcular la ra´ ız del error cuadr´ atico medio (RECM), RECM(t)=sPT 0(s(t)−ˆs(t))2 Tkg m2(44) donde Tes la duraci´ on de la simulaci´ on. En el observador de alta ganancia sin zona muerta se ha obtenido un RECM de 1,9×10−3kg/m2. En el observador de alta ganancia con zona muerta se ha obtenido un RECM de 7,9×10−4kg/m2. En conclusi´ on, la zona muerta ha reducido en un 58 % el RECM. 176 Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 9. Validaci´ on Experimental La secci´ on anterior ha mostrado la viabilidad y las ventajas del observador de alta ganancia con zona muerta para la estimaci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida mediante simulaci´ on. En este trabajo, adem´ as de validar el observador en entornos de simulaci´ on, el observador se ha validado con perfiles experimentales obtenidos en una pila de combustible modelo H-100. En los experimentos realizados, se ha mantenido constante la corriente de la pila de combustible y se han provocado cambios en la velocidad de rotaci´ on del ventilador, que han inducido cambios en la velocidad del aire del c´ atodo, Figura 9; esta ´ ultima es controlada a trav´ es de la velocidad de rotaci´ on del ventilador. En paralelo, los sensores miden los cambios inducidos en la temperatura y tensi´ on en bornes de la pila. Estos perfiles experimentales se han utilizado para validar el observador. En la Figura 10 se puede observar que la estimaci´ on de la temperatura converge a los valores del perfil experimental (error relativo de 0,1254 % a los 8000 segundos). En la Figura 11, se representa la estimaci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida por parte del observador. Sin embargo, esta estimaci´ on no se puede comparar con ning´ un perfil experimental, puesto que no existen sensores para medir en linea esta variable. Por eso, se ha usado los valores de tensi´ on en bornes para validar la estimaci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida. Figura 9: Evoluci´ on de la referencia de la velocidad del aire en el c´ atodo de la pila de combustible H-100. Figura 10: Perfil experimental de temperatura (morado) y estimaci´ on del observador de alta ganancia con zona muerta (naranja). Figura 11: Estimaci´ on de la saturaci´ on de agua l´ ıquida. El modelo considerado incluye una relaci´ on algebraica entre los estados del sistema y la tensi´ on en bornes de la pila (4). Por ello, es posible calcular una estimaci´ on de la tensi´ on a trav´ es de la estimaci´ on de los estados, ˆ Tf c y ˆs. En la Figura 12 se representa el perfil experimental de la tensi´ on en bornes de la pila y su estimaci´ on mediante la relaci´ on (4). Se puede comprobar que la estimaci´ on de la tensi´ on converge al perfil experimental (error relativo de 0,4433 % a los 8000 segundos). En consecuencia, ya que la estimaci´ on de la temperatura y la estimaci´ on de la tensi´ on en bornes converge a los valores experimentales, si asumimos que el modelo de la pila de combustible describe de forma adecuada la realidad, el observador de alta ganancia con zona muerta ser´ a capaz de estimar la saturaci´ on de agua l´ ıquida de forma adecuada. Cabe remarcar que las estimaciones de tensi´ on no converge exactamente al valor experimental medido en los sensores. Esta discrepancia es esperable en todo tipo de sistema de estimaci´ on basado en modelo, debido a la inevitable existencia de peque˜ nas perturbaciones, incertidumbre y ruido. Sin embargo, el error relativo de estimaci´ on de la tensi´ on es menor al 0,5 %. En consecuencia, se asume que la estimaci´ on de agua l´ ıquida es aceptable. Figura 12: Perfil experimental de tensi´ on en bornes (morado) y estimaci´ on de tensi´ on en bornes (naranja) 10. Conclusiones En este trabajo se ha dise˜ nado un observador de alta ganancia para estimar la saturaci´ on de agua l´ ıquida en la capa catal´ ıtica del c´ atodo de una pila de combustible PEM. La viabilidad de este observador se ha mostrado a trav´ es de simulaciones, donde se ha podido comprobar que presenta una alta sensibilidad Cecilia, A. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 17 (2020) 169-180 177