Formulación algebraica de la mecánica cuántica. La Conjetura de Kadison-Singer
Abstract
Grado en Física
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Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Física Formulación algebraica de la mecánica cuántica. La Conjetura de Kadison-Singer. Autor: Álvaro Samperio Valdivieso Tutor/es: Fernando Gómez Cubillo
Índice Introducción. 1 1. Observables y estados. 3 2. Formulación usual de la mecánica cuántica. 14 3. Formulación algebraica de la mecánica cuántica. 22 4. La Conjetura de Kadison-Singer 28 Referencias. 45
Introducción El TFG estudia los formalismos matemáticos de la mecánica cuántica y detalla el planteamiento y la prueba de la conjetura de Kadison-Singer, de interés en este contexto. El signicado físico de los elementos fundamentales de los formalismos de la teoría cuántica se enmarca en una descripción probabilística, válida también para la teoría clásica. Los ingredientes básicos en esta descripción son estados y observables, los cuales se expresan matemáticamente mediante espacios de Hilbert y operadores lineales, en base a los postulados propuestos por Dirac y Von Neumann denidos en ellos, y la correspondiente teoría de C*-álgebras, introducida por Von Neumann y Murray y desarrollada posteriormente por autores como Gelfand, Naimark, Segal...entre otros. La conjetura de Kadison-Singer, formulada en 1959, arma (sucintamente) que cada estado puro denido en la C*-álgebra de operadores diagonales sobre un espacio de Hilbert separable tiene una única extensión a la C*-álgebra de todos los operadores de dicho espacio. Los especialistas siempre han creído que la conjetura no era cierta. Resultados previos de von Neumann permiten tratar el problema en tres casos diferentes denominados continuo, mixto y discreto. Kadison y Singer probaron que la respuesta es negativa en los dos primeros. El caso discreto ha sido resuelto positivamente por Marcus, Spielman y Srivastava en 2013 mediante técnicas algebraicas que involucran polinomios entrelazados. La reducción de la conjetura de Kadison-Singer a enunciados equivalentes en espacios de Hilbert de dimensión nita, como la Conjetura de Pavimentación de Anderson (1991) o la conjetura KS r de Weaver (2004), juega un papel fundamental en la demostración. El TFG centra su atención en este caso. El primer capítulo está dedicado al estudio la descripción probabilística de los formalismos de la mecánica cuántica, en particular a la introducción de los conceptos de estado y observable y sus propiedades. El segundo capítulo presenta la formulación usual de la mecánica cuántica en términos de espacios de Hilbert y operadores lineales denidos en ellos. El tercer capítulo introduce la formulación algebraica de la mecánica cuántica en términos de C*-álgebras y discute su conveniencia sobre la formulación anterior. Por último, el cuarto capítulo está dedicado al planteamiento de la Conjetura de Kadison-Singer y, en el caso discreto, se presenta su equivalencia con la Conjetura de Pavimentación de Anderson y la conjetura KS r de Weaver y las técnicas algebraicas utilizadas por Marcus, Spelman y Srivastava para probar que la conjetura es cierta en este caso. 1
1. Observables y estados. En este primer capítulo detallaremos una descripción de la mecánica cuántica, para lo cual empezaremos estableciendo propiedades de los estados y observables, conceptos físicos elementales que serán la base de las dos descripciones de la mecánica cuántica, que desarrollaremos en los capítulos siguientes. Siguiendo el criterio de Araki en [2], asumimos que en cualquier proceso de medida físico, están involucrados los siguientes cuatro elementos: 1. El sistema físico, la porción del universo, sobre el que estamos midiendo una determinada propiedad. 2. El instrumento de medida de la propiedad que queremos determinar. 3. El observador que realiza el experimento. 4. El entorno, la porción de universo que no está incluida en ninguno de los elementos anteriores. En nuestra descripción del sistema total nos restringiremos a un caso ideal en el que no tendremos en cuenta el efecto de los elementos 3 y 4. Denotamos los sistemas físicos con las etiquetas α1, α2 ,... , donde cada etiqueta distingue un sistema preparado de una manera especíca. Denotamos los instrumentos de medida con letras mayúsculas Q, Q0, Q1, Q2 ,... , donde cada etiqueta distingue un instrumento de medida con una preparación y una manera de medir especícas. Admitimos que podemos asignar un carácter numérico al resultado de cualquier medida. El resultado de una medida será un elemento de Rn . Lo denotamos con una letra minúscula: q, q', q 1 , q 2 ... En mecánica cuántica, una medida con un instrumento concreto Q en un sistema concreto α puede dar lugar a diferentes resultados. En cada caso, el conjunto de todos los resultados posibles ΩQ α es un conjunto nito o innito, con una probabilidad asociada discreta o continua de ocurrencia wQ α . En el caso de que el conjunto de resultados ΩQ α sea discreto, la probabilidad wQ α se determina con las probabilidades puntuales wQ α (q), donde wQ α es una función que asigna a cada resultado q un número real no negativo de tal manera que la suma de probabilidades de todos los resultados sea 1: X q wQ α(q) = 1 2
La probabilidad de obtener al medir un resultado q de un subconjunto de resultados S ⊂ΩQ α es la suma de las probabilidades puntuales de los resultados que pertenecen a S. Debido a que la suma de todas las probabilidades puntuales es 1, la probabilidad del conjunto total de resultados es 1 (obtener algún resultado en la medida es un suceso seguro). En el caso de que el conjunto de resultados ΩQ α sea continuo, la probabilidad asociada no se determina a partir de las probabilidades puntuales de cada resultado q. En su lugar, la probabilidad es una función denida sobre un conjunto determinado de subconjuntos de ΩQ α . La probabilidad de un subconjunto de resultados S es wQ α(S) = ZS f(q)dq donde f es la función densidad de la probabilidad continua. Al igual que en el caso discreto, la probabilidad de cualquier subconjunto debe ser no negativa, la probabilidad del conjunto total debe ser 1, y la probabilidad de una unión disjunta de subconjuntos debe ser igual a la suma de las probabilidades de cada subconjunto. En lo sucesivo, únicamente escribiremos los resultados y deniciones en el caso discreto. Los resultados y deniciones para el caso continuo son análogos y se pueden obtener reemplazando las sumas por integrales, y las probabilidades puntuales por probabilidades de subconjuntos. El caso de una medida en un sistema clásico concreto, en el que cada medida da como resultado un único valor posible q', se describe como caso un caso particular de una medida en un sistema cuántico en el que todas las probabilidades wQ α(q) son nulas, salvo en el caso q=q', que se tiene wQ α(q0) = 1. La asunción de la naturaleza probabilista de la medida tiene justicación experimental. Si realizamos N medidas en condiciones idénticas y obtenemos nq veces el valor q, vemos que el cociente entre nq y N tiende a un valor jo cuando el número de experimentos tiende a innito, el cual, por la Ley de los Grandes Números es igual a la probabilidad de obtener el valor q: l´ımN→∞ nq N=wQ α(q) Ahora, jando un conjunto de sistemas y un conjunto de instrumentos de medida, el concepto de ” estado ” surge al identicar entre sí los sistemas que son indistinguibles utilizando esos instrumentos. De manera formal, denimos en el conjunto de los sistemas físicos una relación de la siguiente manera: αi está relacionado con αj ( αiRαj ) si para cada instrumento de medida Q, el conjunto de resultados en ambos sistemas y su probabilidad asociada 3
son idénticos, es decir, si: ΩαQ i(q) = ΩαQ j(q) wαQ i(q) = wαQ j(q) para todo observable Q y resultado q. Es trivial ver que esta relación es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades: 1. Reexiva: αiRαi para todo i. Es decir, todo sistema está relacionado consigo mismo. 2. Simétrica: si αiRαj , entonces αjRαi . Es decir, si un sistema está relacionado con otro, este último también está relacionado con el primero. 3. Transitiva: si αiRαj y αjRαk , entonces αiRαk .Es decir, si un primer sistema está relacionado con un segundo sistema, y este segundo está relacionado con otro tercer sistema, el primer sistema está relacionado con el tercero. Esta relación, al ser de equivalencia, induce una partición del conjunto de sistemas en clases de equivalencia, que llamamos estados. Con esta denición, dos sistemas están en el mismo estado si pertenecen a la misma clase de equivalencia, es decir, si la medida de todos los instrumentos da el mismo conjunto de resultados con la misma probabilidad. Como cada estado α queda determinado unívocamente por las probabilidades puntuales wQ α(q) para todo Q y q, éstas pueden ser vistas como unas coordenadas del estado. Análogamente, denimos una relación de equivalencia en el conjunto de resultados que identique los instrumentos Qi, Qj , que al medir dan los mismos resultados con la misma probabilidad para todos los estados ( wαQ i(q) = wαQ j(q) para todo estado α y resultado q). Esta relación también es de equivalencia, y estas clases de equivalencia en el conjunto de los instrumentos son llamadas observables. Por otra parte, reexionemos sobre los resultados de una medida. Hemos admitido que el resultado de una medida siempre se puede expresar como un número real o un elemento de Rn y que al jar un observable, jamos la manera de etiquetar los resultados. Sin embargo, esto se puede hacer de diferentes maneras, a veces equivalentes, en el sentido de que hay un isomorsmo entre dos conjuntos de resultados y la probabilidad denida en uno de ellos es igual a la probabilidad denida en el otro compuesta con ese isomorsmo. 4
Un ejemplo hipotético de lo anterior es un termómetro de mercurio que mide la temperatura de un sistema en un estado que puede tener un valor de 0 o C con una probabilidad de 0.3 y un valor de 100 o C una probabilidad de 0.7 (que diferenciamos por la altura del mercurio) podría ser descrito equivalentemente como un que puede tener un valor de 273.15 K con una probabilidad de 0.3 y un valor de 373.15 K con una probabilidad de 0.7, con un isomorsmo entre las etiquetas de los resultados {0,100} y { 273.15, 373.15 . Esto motiva la denición de función de un observable. Sea α un estado y sea Q un observable, cuyo conjunto de resultados posibles es ΩQ α⊂Rn con una probabilidad asociada wQ α . Dada cualquier función medible f denida en un subconjunto de Rn que contenga a ΩQ α y con imagen en Rm , denimos la función del observable Q, f(Q), como el observable que tiene por resultados el conjunto imagen de ΩQ α , f( ΩQ α ), con una probabilidad wf(Q) α=wQ α◦f−1 Por función medible (con respecto a la medida dada por la probabilidad) entendemos una función tal que para cualquier subconjunto S ⊂Rm , su contraimagen por f, f−1 (S) tenga una probabilidad asociada. En la denición anterior, exigimos la medibilidad de f con la intención de excluir las funciones f que no hagan posible que la probabilidad en la imagen de f, wf(Q) α , se pueda denir correctamente. Esta condición es superua en el caso discreto, pues cualquier subconjunto de resultados tiene una probabilidad asociada. En el caso particular que discutíamos en el ejemplo anterior de que f sea un isomorsmo, es decir, una correspondencia uno a uno entre los resultados, f(Q) resulta ser el mismo observable con una re-etiqueta de los resultados. Conociendo la función f, las coordenadas de f(Q) quedan determinadas a partir de las de Q, de la siguiente manera: wf(Q) α(q0) = X q:f(q)=q0 wQ α(q) Un postulado de la mecánica cuántica es la transformación de cualquier estado en otro estado concreto al realizar una medida (es decir, con la actuación de un observable sobre un estado), lo cual lleva a la imposibilidad de medir simultáneamente ciertas parejas de observables, que llamamos incompatibles. Llamamos compatibles a los observables que sí se pueden medir simultáneamente. Un conjunto nito de observables Q1, Q2, ...Qr es compatible si todos son función de un único operador Q, es decir, si existen funciones f1, f2, ...fr tal que Qi=fi(Q) para todo i. El hecho de que sean funciones de un mismo observable Q garantiza que podemos medir los resultados y probabilidades de Q, y a partir de esto, podemos determinar 5
cerrado. Si, por ejemplo, σ es el conjunto de estados que forman un triángulo cerrado, sus estados puros son los vértices del triángulo, son sus tres puntos extremales. Además, cualquier punto del interior del triángulo o de sus bordes, puede ser escrito como combinación lineal convexa de esos tres puntos. El espacio de estados se divide de esta manera en tres estados puros y sus estados mezcla, que son las mezclas estadísticas de los tres. Ahora bien, la condición de ser σ un conjunto cerrado es fundamental. Si por ejemplo eliminamos los estados correspondientes al borde del triángulo, resulta que σ es un triángulo abierto y no tiene puntos extremales, luego el sistema físico no tendría estados puros en esta descripción. Nótese que esta última descripción del estado es más realista que la anterior, ya que los estados del borde del triángulo son aquellos cuyo porcentaje de alguno de los estados puros de la descripción anterior es exactamente nulo, y corresponden a casos ideales en los que se ha eliminado del todo la contaminación de uno de los estados. Sin embargo es más conveniente la inclusión de estos estados ideales en σ como en la descripción anterior, dado que permite expresar los estados no ideales como combinación de estados puros, que no existen en esta última descripción. 12
2. Formulación usual de la mecánica cuántica. En esta sección realizaremos una descripción de un sistema cuántico cualquiera, partiendo de los postulados de la mecánica cuántica de Paul Adrien Maurice Dirac y John Von Neumann que podemos encontrar en [3] y teniendo en cuenta las consideraciones con base experimental que hemos obtenido en el capítulo anterior. Utilizamos varios resultados que se pueden encontrar en [4] o [2]. Como establecimos en el apartado anterior, un sistema físico queda caracterizado por un conjunto de estados y un conjunto de observables que tienen un conjunto de posibles valores medidos por cada uno de ellos. Sólo tratamos el caso discreto, es decir, en el que el conjunto de medidas posibles valores medidos por cada operador es discreto. Consideramos una descripción en un instante de tiempo jo. Según los postulados de Dirac y Von Neumann, cada estado αΨ tiene asociado un vector Ψ de un espacio de Hilbert H que lo determina unívocamente. Además este vector tiene norma 1, || Ψ || = 1. Por otra parte, un observable Q es un operador en H, Q: H −→ H autoadjunto. El conjunto de sus posibles resultados de medida es el espectro de Q. Por último, el valor esperado de un observable Q en un estado αΨ viene dado por el producto escalar: <Q( Ψ ), Ψ >. Presentamos a continuación conceptos como norma y producto escalar para llegar a la denición de espacio de Hilbert, operadores autoadjuntos y espectro. Un espacio normado es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K con una norma, que es una aplicación || · ||: V −→ R que cumple: 1. ||x|| ≥ 0 para todo x ∈ V. 2. ||x|| = 0 si y solo si x = 0. 3. || λ x|| = | λ | ||x|| para todo x ∈ V, y para todo λ∈ K. 4. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| para todo x, y ∈ V (desigualdad triangular). Además, si V es completo con la métrica denida por la norma, como d(x, y) = ||x - y||, decimos que V es un espacio de Banach. Un producto escalar denido en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es una aplicación < · , · >: V x V −→ R que cumple: 1. <x + y, z >= <x, z >+ <y, z >para todo x, y, z ∈ V. 2. < λ x, y >= λ <x, y >para todo x, y ∈ V, para todo λ∈ K. 13
3. <x, y >= < y, x > para todo x, y ∈ V (donde la línea horizontal superior es la conjugación compleja). 4. <x, x > ≥ 0 para todo x ∈ ; y además <x, x >= 0 si y solo si x = 0. Además un producto escalar cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |<x, y >| 2 ≤ <x, x ><y, y >para todo x, y ∈ V. Decimos que un espacio H es de Hilbert si es un espacio con producto escalar que es espacio de Banach con la norma denida por ||x|| = <x, x > 1/2 . Si H es un espacio de Hilbert y T:H −→ H es un operador lineal y continuo, llamamos adjunto de T al único operador T ∗ tal que: < T(x), y >=< x, T∗(y)> para todo x, y ∈ H. Decimos que T es autoadjunto si T = T ∗ . Decimos que a ∈C es un autovalor de un operador Q si existe un elemento x ∈ H tal que T(x) = ax. Llamamos espectro de T al conjunto de todos sus autovalores. El postulado que arma que un observable debe ser un operador autoadjunto se basa en que un operador autoadjunto tiene sólo autovalores reales, y el resultado de una medida siempre se identica con un valor real. En efecto si a es autovalor de un operador autoadjunto T, a < x, x >=< T(x), x >=< x, T(x)>=< x, x > a para todo x ∈ H. Luego a es real. En la descripción establecemos que cualquier función f(Q) de un observable Q, (concepto denido en el capítulo anterior), es un observable del sistema. En particular, para todo observable Q, la función indicadora de un subconjunto de resultados de medida S ⊂R , χS(q) , que denimos en el capítulo anterior como χS(q) = 1si q ∈S 0si q /∈S da lugar al observable χS(Q) . Además, dado que χS(q)2 = χS(q) , se tiene χS(Q)2 = χS(Q) . Por tanto, si a es autovalor de χS(Q) para algún vector x ∈ H, a2 = a , ya que χS(Q) (x) = χS(Q)2 (x) = χS(Q)χS(Q) (x) = χS(Q) ( a x) = a2 (x). Por otra parte, en cualquier estado αΨ correspondiente a un vector Ψ del espacio de Hilbert H, la esperanza de estos observables χS(Q) es: αΨ(χS(Q)) =< χS(Q)(Ψ),Ψ>=wQ αΨ(S)≥0 14
De estas dos últimas armaciones, deducimos que los autovalores de χS(q) son 0 o 1. Decimos que este observable es una "pregunta", puesto que para todo estado correspondiente a un vector del espacio de Hilbert, la medida será 1 ó 0 (que identi- camos con una respuesta positiva o negativa, respectivamente). El conjunto de todas las preguntas es el mismo que el de todas las proyecciones ortogonales (operadores P tal que P = P 2 = P ∗ ). Llamamos a este conjunto P(H). La suma de dos elementos χS1(Q) y χS2(Q) de P(H) es un elemento de P(H) si y solo si la intersección de los conjuntos de estos resultados de Q, S 1 y S 2 , tiene intersección vacía. En este caso, el observable que resulta de la suma es la proyección sobre la unión de la imagen de las proyecciones χS1(Q) y χS2(Q) , que es igual a χS1∪S2(Q) . Esto puede verse a partir de la suma de las funciones a partir de las que se denen estos observables, χS1(q) + χS2(q) = χS1∪S2(q) . Esta condición de que dos elementos χS1(Q) y χS2(Q) de P(H) sean proyecciones sobre conjuntos disjuntos también es equivalente a que sean ortogonales entre sí. Es decir, χS1(Q)χS2(Q) = χS2(Q)χS1(Q) = 0. El resultado se puede ver teniendo en cuenta que, por ser la suma una proyección, (χS1(Q) + χS2(Q))2 = χS1(Q) + χS2(Q) . Ahora retomamos el punto de vista del capítulo 1 en el que un estado sobre un conjunto de observables queda determinado por las coordenadas consistentes en la esperanza matemática de estos en el estado. Dado que la esperanza de un observable χS(Q) de P(H) en un estado αΨ es la probabilidad αΨ(χS(Q)) = wQ αΨ(S) , la denición de estado en P(H) debe ser compatible con las propiedades de esta probabilidad sobre el conjunto de resultados de Q. Establecemos una primera denición de estado α en P(H) que se corresponde con una probabilidad con aditividad nita para conjuntos disjuntos S 1 ,..., S n de resultados de Q en α , wQ α(S1∪... ∪Sn) = PiwQ α(Si) , sin exigir por el momento la aditividad para una suma innita, que asumimos en la denición de wQ α en el capítulo 1. Denición 2.1 Un estado con aditividad nita en P(H) es una función α : P(H) −→ [0,1] tal que α (I) = 1 y tal que si para cualquier número nito de proyecciones P 1 ,..., P n∈ P(H) que sean otrogonales dos a dos (es decir, si P i P j = 0 para todo i, j = 1,..., n), se tiene: α( n X i Pi) = n X i α(Pi) A continuación nos preguntamos cómo podemos extender este concepto de estado a un conjunto de observables que contenga a P(H). La imagen por un estado de un observable debe ser la esperanza de éste en el estado. Por tanto, un estado debe ser un funcional lineal. Dado un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, decimos que una función f: V −→ 15
K es un funcional lineal en V si f( λ1 x + λ1 y) = λ1 f(x) + λ1 f(y) para todo x, y ∈ V, y para todo λ∈ K. Por otra parte, sólo extenderemos la denición de estado al conjunto B(H) de los operadores acotados en el espacio de Hilbert H. La norma que utilizamos para un operador lineal y continuo T entre los espacios normados V y W es ||T|| =sup{||T(x)||(W) tal que ||x||(V)≤1} = sup{||T(x)||(W) tal que ||x||(V)= 1} , donde con ||x||(V) nos referimos a la norma que se considera en V (x ∈ V) y con ||T(x)||(W) nos referimos a la norma que se considera en W (T(x) ∈ W). En el caso en el que V y/o W sea de dimensión nita, consideramos que la norma en ese espacio es la norma euclidea sin indicarlo explícitamente. La denición de un estado en B(H) es la siguiente. Denición 2.2 Dado un espacio de Hilbert H, un estado α en B(H) es un funcional lineal complejo en B(H) que cumple: 1. α (A) ≥ 0 para todo A ∈ B(H) positivo. 2. α (I) = 1. La primera condición se llama positividad de α . Decimos que un operador A ∈ B(H) es positivo si su espectro está contenido en [0, ∞ ), o equivalentemente, si existe un operador C ∈ B(H) tal que A = C ∗ C. Abusando de la notación, para A, B ∈ B(H), decimos que A ≥ B si A - B es positivo. La segunda condición da la normalización del estado, || α || = 1. A partir de esta denición es trivial ver que la restricción de cualquier estado en B(H) a P(H) ⊂ B(H) es un estado con aditividad nita. Ahora, decimos que un estado α0 en B(H) es una extensión de un estado con aditividad nita α0 en P(H) si α = α0 en P(H). El siguiente teorema es un resultado fundamental sobre la unicidad de este tipo de extensiones. Teorema 2.3 (de Gleason) [4] Si H es un espacio de Hilbert de dimensión mayor o igual que 3, para cada estado con aditividad nita α en P(H) existe un único estado en B(H) que es una extensión de α . A partir de este teorema llegamos a la conclusión de que, en un espacio de dimensión mayor o igual que 3, las deniciones 2.1 y 2.2 son equivalentes para determinar un estado, dado que hay una correspondencia uno a uno entre estados en P(H) y B(H). 16
Por otro lado, el estudio del caso particular de estados en P(H) que se corresponden con una probabilidad con aditividad numerable, nos lleva a conclusiones muy interesantes. Denición 2.4 Un estado α completamente aditivo en P(H) es un estado con aditividad nita en P(H) tal que si para cualquier conjunto de proyecciones {Pi}i∈I∈ P(H) que sean otrogonales dos a dos, se tiene: α(X i Pi) = X i α(Pi) Si un espacio de Hilbert H es separable, cualquier base ortonormal en H es numerable, por lo tanto, cualquier conjunto de proyecciones otrogonales dos a dos también es numerable. Una base ortonormal en un espacio de Hilbert es un conjunto de vectores ortonormales entre sí que cumple que al añadirle cualquier vector de H, no es posible que el conjunto resultante sea ortonormal. Entonces los estados en P(H) que se corresponden con una probabilidad con aditividad numerable son exactamente los estados completamente aditivos en P(H) si H es separable. La extensión de uno de estos estados a B(H) da lugar a un estado en B(H) con la siguiente propiedad: Denición 2.5 Decimos que un estado α en B(H) es un estado normal si para cualquier sucesión {An}∞ n=1 creciente y acotada de elementos positivos de B(H), se tiene: α(supAn) = sup α(An) La correspondencia entre estados completamente aditivos y estados normales hace que estas dos propiedades sean equivalentes a la hora de determinar un estado, en analogía con el teorema de Gleason para los estados de las deniciones 2.1 y 2.2. Teorema 2.6 Sea H un espacio de Hilbert separable. Si un estado es completamente aditivo en P(H), su extensión a un estado en B(H) es un estado normal. Si un estado en B(H) es normal, su restricción a P(H) es un estado completamente aditivo. Los estados normales en un álgebra B(H), con H un espacio de Hilbert separable, admiten una caracterización muy sencilla en términos de una "matriz densidad". Entendemos por matriz densidad a un operador en H positivo y de traza igual a 1. Se dene la traza de un operador en H como la siguiente generalización de la traza de una matriz (de dimensión nita): Tr(A) = ∞ X n=1 < Aen, en> 17
donde {en}∞ n=1 es cualquier base ortonormal de H. La suma que dene la traza es convergente y no depende de la elección de la base ortonormal de H. Teorema 2.7 Sea H un espacio de Hilbert separable. Entonces, si α es un estado normal en B(H), existe una única matriz densidad ρα de manera que, para todo operador A ∈ B(H), α(A) = Tr(ραA) Asimismo, para cualquier matriz densidad ρ , el funcional denido por ϕ(A) = Tr(ρA) , para todo operador A ∈ B(H), es un estado normal en B(H). Veamos ahora cómo encajan los estados que corresponden a un vector del espacio de Hilbert en esta descripción de los estados como funcionales en B(H). Por los postulados de la mecánica cuántica, si Ψ es un vector de H con norma 1, existe un estado αΨ tal que la esperanza matemática de cualquier observable Q en este estado es: αΨ(Q) =< QΨ,Ψ> . Ahora, la ecuación αΨ(A) =< AΨ,Ψ> para todo operador A ∈ B(H), dene un estado en B(H), luego la denición de estado establecida en 2.2 incluye en particular a los estados que corresponden a un vector del espacio de Hilbert. La condición de normalización del estado αΨ es consecuencia de que el vector esté normalizado Ψ , || Ψ || = 1 , y la positividad del estado es trivial de la denición. Además, si denimos la siguiente proyección: PΨ(x) =< x, Ψ>Ψ para todo x ∈ H, vemos que es la matriz densidad del estado αΨ Claramente, PΨ es una proyección de rango 1, es decir, cuya imagen tiene dimensión 1. Además, si tomamos una base ortonormal {en}∞ n=1 que contenga al vector Ψ , la traza de PΨ es igual a <Ψ,Ψ> = || Ψ || = 1. Calculando en esta base la traza de PΨ A, para todo operador A ∈ B(H): Tr(PΨA) = ∞ X n=1 < PΨen, en>=< AΨ,Ψ> vemos que, efectivamente, PΨ es la matriz densidad de αΨ . Luego los estados correspondientes a un vector de H son normales. Aún podemos decir más de este tipo de estados. Si tomamos un estado normal cualquiera, le corresponde una matriz densidad ρ . Por ser esta un operador positivo, 18
existe en H una base ortonormal de autovectores de H, correspondientes a autovalores positivos, ρen = λnen , con λn≥ 0. Además, por ser una matriz densidad, su traza es 1, y ésta es igual a la suma de sus autovalores. Ahora calculemos el valor del estado en un operador A: Tr(ρA) = ∞ X n=1 < ρAen, en>= ∞ X n=1 λn< Aen, en> (1) Dado que, para todo n, < Aen, en> es un estado correspondiente a un vector unitario del espacio de Hilbert H, y los λn son positivos y suman 1, deducimos que cualquier estado normal es límite de combinaciones convexas de estados correspondiente a un vector del espacio de Hilbert H. En particular, cualquier estado normal puro, admite una expresión como la de la ecuación (1). Por ser un elemento extremal, todos los coecientes λn son 0 menos uno, que es igual a 1, luego, cualquier estado normal puro es igual a un estado correspondiente a un vector unitario del espacio de Hilbert H. De hecho, es sencillo probar la implicación inversa. Teorema 2.8 Sea H un espacio de Hilbert separable. Los estados normales puros en B(H) son exactamente los que corresponden a un vector unitario del espacio de Hilbert H. Terminamos la sección con una reexión sobre la denición 2.2 de estado que hemos establecido. A primera vista podría parecer más conveniente considerar como denición de estado la denición 2.5 (de estado normal), dado que estos estados provienen de una probabilidad en el conjunto de los resultados que cumple los axiomas de Kolmogorov (especícamente, que es σ -aditiva), tienen una caracterización interesante en términos de matrices densidad, y una relación general con los estados correspondientes a un vector unitario del espacio de Hilbert H. Sin embargo, es posible dar una justicación para la elección de la denición 2.2 como denición de estado con un argumento topológico. Decimos que una sucesión de estados {αn}∞ n=1 , converge débilmente a un estado α si para cada operador A ∈ B(H), se tiene ϕ(A) = l´ım n→∞ ϕn(A) (2) La topología débil [5] (que es caracterizada por esta convergencia) es equivalente a la topología física que denimos en el capítulo 1 en el conjunto de estados. Además, el conjunto de todos los estados que cumplen la denición 2.2 es compacto en esta topología. (En particular, es cerrado, luego, si {αn}∞ n=1 es una sucesión de 19
estados, y el límite de la ecuación (2) existe para todo operador A ∈ B(H), este límite es un estado en B(H)). Por otra parte, con la topología débil, el conjunto de todos los estados normales es denso en el conjunto de todos los estados. Por tanto, los estados que no son normales pueden ser vistos como un caso límite de estados normales. Estamos en la situación que discutimos al nal del capítulo 1. Aunque los estados normales son aquellos cuya identicación con el estado de un sistema físico surge de una manera más natural, la inclusión en la denición de estado de los estados que no son normales, que pueden ser vistos como un caso ideal (debido que hay sucesiones de estados normales que convergen a ellos), hace que el conjunto de estados sea compacto y que podamos aplicar el Teorema de KreinMilman. Siguiendo los argumentos expuestos al nal del capítulo 1, es conveniente incluir estos estados en nuestra descripción, lo cuál justica la denición de estado dada en 2.2. 20
3. Formulación algebraica de la mecánica cuántica. En esta sección realizaremos una formulación de la mecánica cuántica alternativa a la anterior, que puede verse como una generalización de ésta, a la que llamamos formulación algebraica. Utilizamos varios resultados que se pueden encontrar en [5] y algún resultado de [2]. La formulación algebraica, a diferencia de la formulación usual, no parte de los postulados de la mecánica cuántica de Dirac y Von Neumann que establecen que los observables de un sistema son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, cuyos elementos se corresponden con estados. En su lugar, partiremos de que los observables en la descripción de un sistema son elementos autoadjuntos (en un sentido que precisaremos más adelante) de una C*-álgebra. La estructura de C*-álgebra permite realizar las operaciones habituales que involucran a los operadores de un conjunto B(H), como el producto, la suma, toma de límites, una involucion... Ahora pasamos a denir varios conceptos relacionados con álgebras. Denición 3.1 Un álgebra normada U es un álgebra sobre un cuerpo K con elemento unidad 1 que es también un espacio normado, y satisface las propiedades: ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| para todo A, B ∈ U; y ||1|| = 1. Si U es un espacio de Banach respecto de esta norma, decimos que es un álgebra de Banach. Denición 3.2 Una C*-algebra U es un álgebra compleja de Banach con una involución denotada por *, es decir, un automorsmo de álgebras de Banach en U cuyo cuadrado es la identidad: 1. (aS + bT)* = a S* + b T* 2. (ST)* = T*S* 3. (T*)* = T para todo S, T ∈ U y para todo a, b ∈C . Además debe cumplir la siguiente condición: 4. ||T*T|| = ||T|| 2 Con esta denición, vemos que, dado un espacio de Hilbert H, el conjunto B(H), con la involución consistente en tomar el operador adjunto, es un caso particular C*-álgebra. 21
En el caso discreto, que es el de interés en este texto, la identicación de un elemento a = (a(1), a(2), ...) ∈ l ∞ con un operador φa∈ B(l 2 ) es clara: el operador actúa multiplicando la componente enésima de un elemento x ∈ l 2 por a(n), es decir φa = a(1)x(1) + a(2)x(2) + ... Con esta identicación está claro que los elementos de l ∞ conmutan entre sí, por conmutar el producto componente a componente. A pesar de que no tratamos los casos continuo y mixto, la identicación es similar. Por ejemplo, a una función f acotada en (0,1) le corresponde un operador perteneciente a B(L 2 (0,1)) que multiplica a cada función g de cuadrado integrable, siendo el producto fg también de cuadrado integrable, ya que f es acotada. En 1959, Kadison y Singer [6] plantearon el siguiente problema: Conjetura 4.1 (de Kadison-Singer) ¾Cada estado puro denido en una C*-subálgebra abeliana maximal de la C*-algebra B(l 2 ) de operadores acotados en l 2 admite una única extensión a un estado puro en B(l 2 )? Este problema plantea la ambiguedad (o no) en la extensión de estados puros en el caso discreto. El problema análogo en los casos continuo y mixto fue resuelto con resultado negativo por Kadison y Singer. Sin embargo el problema en el caso discreto no fue resuelto hasta 2013 por Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava [7] con resultado positivo (a pesar de que Kadison y Singer creían que la respuesta sería negativa). Antes de su demostración, diferentes autores habían probado que el problema de Kadison-Singer es equivalente a varios resultados que abarcan numerosos campos. Weaver [10] introdujo la siguiente conjetura, llamada KS r , cuya veracidad para algún r entero mayor o igual que 2 es equivalente a la veracidad de Conjetura de Kadison-Singer. Conjetura 4.2 (KS r , r ≥ 2) Existen constantes universales η≥ 2 y θ >0 de manera que se tiene lo siguiente: Sea w 1 , ..., w m∈Cd cualquier elección de vectores cumpliendo ||w i || ≤ 1 para todo i y satisfaciendo m X i=1 |hu, wii|2=η para todo vector unitario u ∈ C d . Entonces existe una partición S 1 , S 2 , ... S r de {1, ...m} tal que X i∈Sj|hu, wii|2≤η−θ para todo j y para todo vector unitario u ∈ C d . 28
Nuestro objetivo es vericar el problema de Kadison-Singer demostrando la conjetura KS 2 de Weaver, como hicieron Spielman, Marcus y Srivastava en la prueba original [7]. Expondremos las principales ideas de la demostración de la conjetura KS 2 al nal de este capítulo. Por el momento supondremos cierta la conjetura KS r para algún r entero mayor o igual que dos y veremos que esto implica el Teorema de Kadison-Singer (en el caso discreto). Weaver [10] mostró que la veracidad de la conjetura KS r para algún r entero mayor o igual que dos es equivalente a la siguiente conjetura formulada por Anderson [1]. Nosotros sólo exponemos aquí la implicación hacia la derecha, como paso intermedio para llegar hasta la Conjetura de Kadison-Singer. Conjetura 4.3 (de Pavimentación) Para todo >0 existe un r ∈N tal que para toda matriz T compleja autoadjunta, con todos sus elementos diagonales nulos y de tamaño n x n, existen proyecciones diagonales P 1 ,...,P r cuya suma es la matriz identidad tal que k|PiTPi|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., r. A continuación exponemos cuatro consideraciones sobre la notación que aparece en el teorema, que será de uso común en lo sucesivo. La norma que utilizamos para un operador lineal y continuo T entre los espacios normados V y W es ||T|| =sup{||T(x)||(W) tal que ||x||(V)≤1} = sup{||T(x)||(W) tal que ||x||(V)= 1} , donde con ||x||(V) nos referimos a la norma que se considera en V (x ∈ V) y con ||T(x)||(W) nos referimos a la norma que se considera en W (T(x) ∈ W). En un caso como el anterior en el que V y/o W sea de dimensión nita, consideramos que la norma en ese espacio es la norma euclidea sin indicarlo explícitamente. Esta norma ya fue utilizada, en particular, para denir la estructura de álgebra de Banach de B(H) anteriormente. En dimensión nita, como es el caso de este teorema, una proyección ortogonal es una matriz P de tamaño n x n tal que P = P 2 = P ∗ . Una proyección diagonal es una proyección ortogonal cuyos elementos no diagonales son nulos y cuyos elementos diagonales son 0 ó 1. Daremos una demostración del Teorema de Pavimentación probando el siguiente teorema en términos de proyecciones ortogonales en lugar de matrices autoadjuntas. La equivalencia entre los dos resultados fue establecida por Anderson y Akemann [1]. Teorema 4.4 Existen constantes universales 0 ≤≤ 1 y δ >0 de manera que se tiene lo siguiente: Para toda proyección P = (p ij ) de tamaño n x n cumpliendo max i p ii 29
≤δ , existen proyecciones diagonales Q 1 , ..., Q r cuya suma es la matriz identidad tal que k|QiPQi|| ≤ 1− para todo i = 1, 2,..., r. Demostración: Suponemos que existen constantes r ≥ 2 entero, η≥ 2 y θ >0 de tal manera que cumplen la conjetura KS r . Veremos que el Teorema 2.4 se cumple entonces para las constantes =θ η , δ=1 η y r = r. Vemos que, por ser η≥ 0, también δ≥ 0, y además por ser η−θ≥ 0, y ser ambas constantes positivas, se tiene 0 ≤≤ 1 Sea P una proyección ortogonal con max i p ii ≤1 η . Queremos demostrar que existen proyecciones diagonales Q 1 , ..., Q r cuya suma es la matriz identidad tal que k|QiPQi|| ≤ 1−θ η Llamamos k al rango de P, es decir, k es la dimensión del subespacio vectorial imagen de P, P( Cn ) ⊂Cn . Para todo i = 1, ..., n denimos los vectores v i = √η P(e i ) ∈ P( Cn ), donde e i ∈Cn es el vector i-ésimo de la base canónica, es decir aquel cuyas componentes son igual 0 a excepción de la componente i-ésima, que es igual a 1. Estos vectores v i ; con i = 1, ..., n; cumplen las hipótesis de la conjetura KS r Por un lado, para todo i, ||vi||2=η||P(ei)||2=η < P(ei), ei>≤ηmaxipii ≤1 Y por otro lado, para todo vector unitario u ∈ P( Cn ), n X i=1 |hu, vii|2= n X i=1 |hu, √ηP(ei)i|2=η n X i=1 |hP(u), eii|2=η n X i=1 |hu, eii|2=η Para pasar de la segunda igualdad a la tercera utilizamos el hecho de que P es autoadjunta por ser una proyección. Además, obtenemos la siguiente igualdad debido a que u es un vector de la imagen de P, y por tanto P(u) = u. La última igualdad es debida a que los vectores canónicos forman una base ortonormal y u es unitario. Aplicando la Conjetura KS r , existe una partición S 1 , S 2 , ... S r de {1, ...n} tal que X i∈Sj|hu, vii|2≤η−θ para todo j = 1, ..., r; y para todo vector unitario u ∈ P( Cn ). 30
Para todo j = 1, ..., r, denimos la proyección diagonal Q j como: Qj(ei) = eisi i ∈Sj 0si i /∈Sj para todo i = 1, ..., n. Ahora buscamos una cota de ||QjPQj|| para todo j. Primero vemos que ||QjPQj|| =||QjPPQj|| =||QjP(QjP)∗|| =||QjP||2 Por otra parte, ||QjP(u)|| =sup{||QjP(u)|| tal que ||u|| ≤ 1}= =sup{||QjP(Pu)|| tal que ||u|| ≤ 1}= =sup{||QjP(Pu)|| tal que ||Pu|| ≤ 1} ya que por ser P y (1-P) proyecciones ortogonales, ||u|| =||Pu||+||(1 −P)u|| , entonces si ||u|| ≤ 1,||Pu|| ≤ 1||u|| ≤ 1 . De la última igualdad deducimos que podemos calcular la norma de QjP como: ||QjP(u)|| =sup{||QjP(u)|| tal que ||u|| = 1, u ∈P(Cn)} Sea u ∈ P( Cn ) unitario. Entonces, ||QjPQj(u)|| =||QjP(u)||2= n X i=1 |hQjP(u), eii|2= = n X i=1 |hu, PQj(ei)i|2=X i∈Sj|hu, P(ei)i|2=1 ηX i∈Sj|hu, vii|2≤1−θ η Por tanto, para todo j, ||QjPQj|| ≤ 1−θ η y queda probado el resultado. Nótese que, en el Teorema de Pavimentación, el número r de elementos de la partición es independiente de la dimensión n, lo que nos permitirá extender el resultado de matrices de tamaño n x n a operadores acotados en l 2 , de dimensión innita. A partir de esta información sobre elementos de B(l 2 ) y otras conclusiones generales sobre estados en C*-álgebras, probaremos la Conjetura de Kadison-Singer. Algunos de los resultados que exponemos se pueden encontar en [9]. Previamente, veamos que el Teorema de Pavimentación sigue siendo cierto eliminando la restricción de que la matriz T debe ser autoadjunta. 31
Teorema 4.5 Para todo >0 existe un l ∈N tal que para toda matriz T compleja, con todos sus elementos diagonales nulos y de tamaño n x n, existen proyecciones diagonales P 1 ,...,P r cuya suma es la matriz identidad tal que k|PiTPi|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., l. Demostración: Sea >0. Por el Teorema de Pavimentación, existe un r ∈N tal que para toda matriz T compleja autoadjunta, con todos sus elementos diagonales nulos, con ||T|| ≤ 1 y de tamaño n x n, existen proyecciones diagonales P 1 , ..., P r cuya suma es la matriz identidad tal que k|PiTPi|| ≤ para todo i = 1, 2,..., r. Veamos que el Teorema 2.5 se cumple para la constante l = r 2 . Sea T una matriz compleja, con todos sus elementos diagonales nulos y de tamaño n x n. El caso en que T sea la matriz es trivial, lleva a la desigualdad 0 ≤ 0 para cualquier elección de l proyecciones cuya suma sea la matriz identidad. Tratamos por lo tanto el caso T 6= 0. Denimos las siguientes matrices: A=T+T∗ 2 B=T−T∗ 2i Con esta denición, las matrices A y B son autoadjuntas, tienen todos sus elementos diagonales nulos y T = A + iB. De la desigualdad triangular tomando normas en la denición de A y B, obtenemos ||A|| ≤ ||T|| y ||A|| ≤ ||T||. Aplicando el Teorema de Pavimentación a las matrices A ||T|| y A ||T|| , de norma menor o igual que 1, tenemos que existen proyecciones diagonales R 1 ,...,R r cuya suma es la matriz identidad tal que k|Ri A ||T||Ri|| ≤ 2 para todo i = 1, 2,..., r. Y también existen proyecciones diagonales S 1 ,...,S r cuya suma es la matriz identidad tal que k|Ri B ||T||Ri|| ≤ 2 para todo i = 1, 2,..., r. 32
Ahora denimos para cada uno de los l = m 2 pares (i, j) ∈ { 1, ..., r } x { 1, ..., r } , la proyección diagonal P ij = R i S j = S j R i . Estas proyecciones diagonales están bien denidas, ya que las matrices diagonales conmutan entre sí, y además el producto será una matriz diagonal de tamaño n x n con con elementos diagonales iguales a 0 ó 1 (resultado del producto 0 x 0, 0 x 1 ó 1 x 1, en cada caso). Veamos que el teorema se cumple para estas proyecciones. La suma de las proyecciones P ij es la matriz identidad: X i,j Pij =X i,j RiSj= m X i=1 Ri m X j=1 Sj!= m X i=1 Ri= 1 Por otro lado, para todo par (i, j), se tiene la siguiente desigualdad: ||PiAPi|| =||SiRiARiSi|| ≤ ||RiARi|| ≤ 2||T|| donde la primera desigualdad es consecuencia de que la norma de una proyección ortogonal es menor o igual que 1, y obtuvimos la segunda desigualdad al aplicar el Teorema de Pavimentación a A ||T|| . Análogamente, obtenemos la desigualdad k|PiBPi|| ≤ 2||T|| . Por último, aplicando la desigualdad triangular a la expresión T = A + iB, obtenemos el resultado buscado: ||PiTPi|| ≤ ||PiAPi||+||PiBPi|| ≤ ||T|| A continuación exponemos el teorema que extiende el resultado del Teorema de Pavimentación a dimensión innita. Las matrices n x n (pertenecientes a M n ( C )), serán remplazadas por operadores acotados T ∈ B(l 2 ) y las proyecciones diagonales serán reemplazadas por elementos de la C*-subálgebra Maximal Abeliana de B(l 2 ), que se identican con los elementos de l ∞ , como vimos en la introducción, con la propiedad de que sus componentes (como elemento de l ∞ ) son 0 ó 1. la condición sobre los elementos diagonales de un operador se expresará en términos de la función diag: B(l 2 ) −→ l ∞ , denida como: diag(T)(i) = hT(ei), eii , donde e i es la sucesión con todos sus elementos nulos, salvo el elemento i-ésimo, que es igual a 1. Con estas modicaciones, el teorema nos proporcionará un resultado muy potente que involucra a elementos de B(l 2 ) y l ∞ , espacios en los que se formula la Conjetura de Kadison-Singer, de manera que su prueba se deducirá casi inmediatamente de éste. 33
Teorema 4.6 Para todo >0 existe un l ∈N tal que para todo T ∈ B(l 2 ) con diag(T) = 0, existen proyecciones diagonales P 1 ,...,P l con Pl i=1 Pi = 1 tal que ||PiTPi|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., l. Demostración: Sea >0. Por el Teorema 2.5, existe un l ∈N tal que para toda matriz A ∈ M n ( C ), con todos sus elementos diagonales nulos, existen proyecciones diagonales R 1 , ..., R l∈ M n ( C ) con Pl i=1 Ri = 1 tal que ||RiARi|| ≤ para todo i = 1, 2,..., l. Sea T ∈ B(l 2 ) con diag(T) = 0. Para cada n ∈N consideramos la función φn : B(l 2 ) −→ M n ( C ) que asigna a cada operador B ∈ B(l 2 ) la matriz formada por sus n x n primeros elementos de matriz en la base canónica ortonormal, es decir (φn (B)) ij = hB(ej), eii . Trivialmente, vemos que, para todo n, diag( φn (T)) = 0 y ||φn (T) || = 1. Por lo tanto, existen proyecciones diagonales R n,1 ,...,R n,l ∈N con Pl i=1 Ri = 1 tal que ||Rn,iφn(T)Rn,i|| ≤ ||φn(T)|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., l. Ahora veamos que existe una función estrictamente creciente f: N−→ N y l sucesiones cuyos elementos son 0 ó 1, {yi}l i=1⊂ { 0, 1 }N , de tal manera que para cada i jo, yi es el límite de la sucesión de sucesiones {xi,n}n∈N⊂ { 0, 1 }N , denida de la siguiente manera: xi,n(m) = Rf(n),i(em), emsi m ≤f(n) 0si m > f(n) para cada i = 1, ..., l. Estas sucesiones pertenecen a { 0, 1 }N , ya que los elementos de matriz diagonales de las proyecciones Rn,i son 0 ó 1, por ser proyecciones diagonales. Lo probamos para todo l ∈N por inducción. El caso l = 1 se cumple para y 1 = (1, 1, 1, ...) y para la función identidad f = Id, ya que R n,i = 1, y con esta elección de f, la sucesión n-ésima x i,n tiene sus primeros n elementos igual a 1 y los demás nulos, por lo que converge a y 1 . Ahora suponemos cierto el caso l-1. Existe, por tanto, una función estrictamente creciente g: N−→ N y l-1 sucesiones cuyos elementos son 0 ó 1, {yi}l−1 i=1⊂ { 0, 1 }N , de 34
tal manera que para cada i jo, yi es el límite de una sucesión {zi,n}n∈N⊂ { 0, 1 }N , denida de la siguiente manera: zi,n(m) = Rg(n),i(em), emsi m ≤g(n) 0si m > g(n) para cada i = 1, ..., l-1. Denimos {wn}n∈N⊂ { 0, 1 }N , como: wn(m) = Rg(n),l(em), emsi m ≤g(n) 0si m > g(n) Como { 0, 1 }N es producto del conjunto compacto { 0, 1 } , por el Teorema de Tychono es un espacio métrico compacto, luego la sucesión {wn}n∈N⊂ { 0, 1 }N admite una subsucesión convergente {wnk}k∈N , cuyo límite denominamos y l∈ { 0, 1 }N . Denimos la función h: N−→ N como h(k) = n k . Como h y g son estrictamente crecientes, su composición f = h ◦ g también lo es. Vemos que la propiedad que estamos probando se cumple para la función f = h ◦ g y el conjunto de sucesiones {yi}l i=1 . En efecto, si para i = 1, ..., l-1; denimos x i,n = z i,h(n) , {xi,n}n∈N es una subsucesión de {zi,h(n)}n∈N y por tanto converge su mismo límite y i . Además se tiene que: xi,n(m) = Rf(n),i(em), emsi m ≤f(n) 0si m > f(n) Para i=l, tomamos x l,n = w h(n) , que converge a y i y cumple: xl,n(m) = Rf(n),l(em), emsi m ≤f(n) 0si m > f(n) Hemos garantizado la existencia del conjunto {yi}l i=1⊂{ 0, 1 }N con las propiedades que hemos mencionado. Si vemos cada vector yi como un elemento de l ∞ , l proyecciones diagonales, {Pi}l i=1⊂ l ∞ , donde P i (m) = y i (m) para todo i y para todo m. Veamos que el teorema se cumple para estas proyecciones diagonales. Primeramente, comprobemos que Pl i=1 Pi = 1. Veamoslo para cada componente Pl i=1 Pi (m) con m ∈N . Tenemos que para cada i jo, x i,n (m) converge a y i (m). Al tomar valores x i,n (m) en el espacio discreto { 0, 1 } , esta convergencia exige que exista 35
un número natural N i tal que x i,n (m) = y i (m) para todo n ≥ N i . Llamando N = max i N i , se tiene: l X i=1 pi(m) = l X i=1 yi(m) = l X i=1 xi,N (m) = l X i=1 Rf(n),i(em), em= =* l X i=1 Rf(n),i!(em), em+=hem, emi= 1 Por último, veamos que ||PiTPi|| ≤ ||T|| . Para ello, utilizamos el siguiente resultado, que podemos encontrar en el Apéndice B.10 de [9]. Sea H un espacio de Hilbert con una base ortonormal {vi}i∈I . Sea A: H −→ H un operador acotado y α >0 tal que | hx, A(y)i | ≤α ||x|| ||y|| para todo x, y ∈ H con soporte nito (es decir, tal que { i ∈ I tal que hx, vii 6= 0 } y { i ∈ I tal que hy, vii 6= 0 } son conjuntos nitos). Entonces ||A|| ≤α . En nuestro caso, un vector en l 2 tiene soporte nito si tiene un número nito de componentes. Sean u, v ∈ l 2 con soporte nito, y sea M tal que u(n) = v(n) = 0 para todo n ≥ M. Busquemos una cota adecuada para | hPiTPi(u), vi | con la que poder aplicar el resultado anterior. Para todo m entero con 1 ≤ m ≤ M, existe un N m∈N tal que x i,n (m) = y i (m) = P i (m) para todo n ≥ N m , debido a la convergencia de los x i,n denidos anteriormente. Llamamos N = max ( M, max 1≤m≤M N m ). Denimos la función c N : l 2−→ N que asigna a cada vector h de l 2 el vector que está formado por sus n primeras componentes, es decir, c N (h)(n) = h(n). Para todo i = 1, 2, ..., l; se tiene: hPiTPi(u), vi=hTPi(u), Pi(v)i=hφn(T)cN(Pi(u)), cN(Pi(v))i dado que el soporte de P i (u) está contenido en el soporte de u (y se tiene la propiedad análoga para v). Ahora, por la elección que hemos hecho del índice N, tenemos que c N (P i (u)) = R N,i (c N (u)), y c N (P i (v)) = R N,i (c N (v)). Sustituyendo en el último término de la igualdad superior: hPiTPi(u), vi=hTPi(u), Pi(v)i= =hφn(T)RN,i(cN(u)), RN,i(cN(v))i=hRN,iφn(T)RN,i(cN(u)),(cN(v))i Ahora, tomando el módulo del producto escalar: |hPiTPi(u), vi| =|hRN,iφn(T)RN,i(cN(u)),(cN(v))i| ≤ ≤ ||RN,iφn(T)RN,i(cN(u))||||(cN(v))|| ≤ 36
≤ ||RN,iφn(T)RN,i||||(cN(u))||||(cN(v))|| ≤ ||T||||(cN(u))||||(cN(v))|| donde la primera desigualdad es la desigualdad de Cauchy-Schwarz de ese producto escalar, la segunda desigualdad es consecuencia de la denición de norma de un operador y la última desigualdad se obtiene aplicando la propiedad con la que denimos los R N,i al principio de la demostración del teorema. Ahora, utilizando la propiedad anterior, tenemos que para todo i = 1, 2, ..., l; ||P i TP i || ≤ ||T||, y el teorema queda probado. En la demostración de la Conjetura de Kadison-Singer utilizamos, además del teorema anterior, una propiedad general sobre los estados puros en una C*-álgebra, que exponemos en el Teorema 2.9. Para la demostración del Teorema 2.9, necesitamos los dos lemas siguientes, también de carácter general en la teoría de álgebra de operadores. Lema 4.7 Sea U una C*-álgebra. Todo elemento A ∈ U puede expresarse como la combinación de cuatro elementos positivos A 0 , A 1 , A 2 , A 3∈ U de la siguiente manera: A= 3 X k=0 ikAk Demostración: Sea A ∈ U. Es posible escribir A = B + iC, con B y C ∈ U autoadjuntos. En efecto, la ecuación se cumple para B = A+A∗ 2 yC= A−A∗ 2i , que son autoadjuntos. Cada elemento autoadjunto Q ∈ U se puede descomponer como diferencia de dos elementos positivos, Q = Q + - Q − , con Q + , Q −∈ U positivos. Una demostración precisa de este hecho se encuentra en la Proposición 4.2.3 de[5]. Sin entrar en detalles, el hecho de que Q sea autoadjunta permite denir su cálculo funcional, una herramienta que permite identicar las funciones continuas reales denidas en el espectro de Q con elementos de ∈ U. La descomposición de Q (cuyo espectro es real) en dos elementos positivos (con espectro real no negativo) es análoga a la la descomposición de una función f real como resta de su parte positiva y la opuesta de su parte negativa (f = f + - f − , con f + (t) = max {t, 0} y f − (t) = max {−t, 0} ). Si aplicamos esta descomposición a B y C, tenemos A = B + - B − + iC + - iC − , lo que demuestra el lema. Lema 4.8 Sea U una C*-álgebra con elemento unidad. Sea ϕ un estado puro en U. Entonces, para todo funcional lineal Ψ : U −→ N con 0 ≤Ψ≤ϕ , existe un t con 0 ≤ t ≤ 1 tal que se tiene Ψ = t ϕ . 37
Sea λ1 (f) > λ1 (g) (el caso contrario es análogo). Como ambos polinomios tienen coeciente principal positivo, deben ser positivos para x > λ1 (f), ya que tienden a + ∞ para x tendiendo a + ∞ . Por tanto S(x) >0 para x > λ1 (f). Como f y g tienen un entrelazado común, la siguiente raíz por orden de mayor a menor debe ser λ1 (g). En cada raíz, los polinomios cambian de signo, luego para x < λ1 (g), S(x) <0. Por el Teorema de Bolzano, S tiene que tener una raíz en (λ1 (f), λ1 (g)). Con la otra raíz se razona análogamente. El papel que juega la existencia de un entrelazado común en este resultado que da una localización muy precisa para las raíces de S es crucial, véase que sin un entrelazado común ni siquiera se podría garantizar que las raíces de S sean reales, como se puede ver en el siguiente ejemplo sencillo. Ejemplo 4.14 Los polinomios f 1 = x 2 + 3x, y f 2 = x 2 - 3x + 1 tienen todos sus coecientes y raíces reales, pero la combinación lineal convexa S = 1 2 f 1 + 1 2 f 2 = x 2 + 1 2 no tiene raíces reales. En la práctica, para la comprobación de la propiedad de entrelazado se utiliza una caracterización más sencilla que el orden de las raíces. Además el concepto de familia entrelazada permite aplicar este último teorema recursivamente únicamente exigiendo tan solo el entrelazado común de varios subconjuntos y de conjuntos de combinaciones de estos. La idea principal de esta demostración del Teorema 2.10 es sortear la dicultad de tener que buscar una cota para las raíces de alguno de los valores (polinomios) que puede tomar la variable χ(Pm i=1 viv∗ i) , de los cuales puede haber una cantidad nita, pero arbitrariamente grande. Para ello se reduce el problema a demostrar que la esperanza de esta variable es un polinomio con todas sus raíces reales, buscar una cota superior adecuada para estas raíces y demostrar que los posibles valores que puede tomar la variable forman una familia entrelazada. La esperanza matemática de la variable aleatoria χ(Pm i=1 viv∗ i) , al ser esta de soporte nito, es una combinación lineal convexa de los posibles valores que puede tomar la variable y, por tanto, después de encontrar que, bajo las hipótesis adecuadas, está acotada por (1+ √ ) 2 , podemos aplicar el Teorema 4.13 si el conjunto soporte de posibles valores del polinomio es una familia entrelazada. Así la raíz más grande de la esperanza está en [m1, M1] . Por tanto, debe existir un polinomio del conjunto cuya mayor raíz sea menor o igual que ésta y, por tanto, que sea menor o igual que (1+ √ ) 2 , lo que prueba el resultado. Un desarrollo completo de estas ideas puede encontrarse en el TFG del Grado en Matemáticas [8]. 44
Referencias [1] Akemann, C. A., and Anderson, J. Lyapunov theorems for operator algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 94 , 458 (1991), iv+88. [2] Araki, H. Mathematical theory of quantum elds , vol. 101 of International Series of Monographs on Physics . Oxford University Press, Oxford, 2009. Translated from the 1993 Japanese original by Ursula Carow-Watamura, Reprint of the 1999 edition [MR1799198]. [3] Cohen-Tannoudji C., Diu B., L. F. Quantum mechanics . 2005. [4] Gleason, A. M. Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. J. Math. Mech. 6 (1957), 885893. [5] Kadison, R. V., and Ringrose, J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I , vol. 15 of Graduate Studies in Mathematics . American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. Elementary theory, Reprint of the 1983 original. [6] Kadison, R. V., and Singer, I. M. Extensions of pure states. Amer. J. Math. 81 (1959), 383400. [7] Marcus, A. W., Spielman, D. A., and Srivastava, N. Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison-Singer problem. Ann. of Math. (2) 182 , 1 (2015), 327350. [8] Samperio Valdivieso, A. Familias de polinomios entrelazados. La Conjetura de Kadison-Singer . Universidad de Valladolid, 2019. [9] Stevens, M. The Kadison-Singer property , vol. 14 of SpringerBriefs in Mathematical Physics . Springer, Cham, 2016. With a foreword by Klaas Landsman. [10] Weaver, N. The Kadison-Singer problem in discrepancy theory. Discrete Math. 278 , 1-3 (2004), 227239. 45