Semigrupos numéricos y sus lagunas

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Semigrupos numéricos y sus lagunas. Autor: Sergio Martínez Durán Tutor: Philippe Gimenez ii ´ Indice general Introducci´on 1 1. Introducci´on a los semigrupos num´ericos 5 1.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Semigrupos num´ericos y sus lagunas . . . . . . . . . . 5 1.1.2. N´umero de Frobenius y profundidad . . . . . . . . . . 9 1.2. La conjetura de Mar´ıa Bras-Amor´os . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. El ´arbol de los semigrupos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Partici´on can´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Primeros acercamientos a la conjetura 25 2.1. Algunos resultados de combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Semigrupos ordinarios y no ordinarios . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Aportaci´on de Eliahou-Fromentin 35 3.1. Profundidad menor o igual que 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Profundidad menor o igual que 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1. Cota inferior (la conjetura) . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2. Cotasuperior ....................... 41 Bibliograf´ıa 47 iii iv ´ INDICE GENERAL Introducci´on El objetivo de este trabajo es estudiar los semigrupos num´ericos, que son una clase especial de semigrupos, y su conjunto de lagunas. Un semigrupo num´erico es un subconjunto de N0(el conjunto de los enteros positivos con el 0) cerrado por suma y de complemento finito. El complemento de un semigrupo num´erico es su conjunto de lagunas. La noci´on de semigrupo est´a relacionada con el problema de determinar los enteros positivos que pueden ser expresados como x1n1+x2n2+. . . +xrnrpara un conjunto dado {n1, n2, . . . , nr}de enteros positivos y para enteros no negativos arbitrarios x1, x2, . . . , xr. Este problema fue investigado por grandes matem´aticos como Frobenius o Sylvester a finales del siglo XIX. A mediados del siglo XX este problema resurgi´o por sus aplicaciones en Geometr´ıa Algebraica. Las curvas monomiales afines, que vienen definidas con una parametrizaci´on asociada a un semigrupo num´erico, forman una familia importante de variedades algebraicas y proporcionan una fuente inagotable de ejemplos donde muchos de los problemas ´algebro-geom´etricos pueden tener una soluci´on aritm´etica o combinatoria. Tambi´en tiene conexiones concretas para resolver problemas en campos a priori tan alejados como la m´usica. El problema concreto que nos interesar´a en este trabajo es el de contar el n´umero de semigrupos num´ericos con un n´umero de lagunas dado. En esta memoria hay tres cap´ıtulos. En el primero voy a introducir nociones b´asicas para entender el concepto de semigrupo num´erico, dando en particular distintas caracterizaciones e introduciendo diferentes caracter´ısticas importantes de estos semigrupos como su multiplicidad, su n´umero de Frobenius, su conductor, su g´enero (n´umero de lagunas) y su profundidad. Explicaremos de manera detallada como construir el ´arbol de los semigrupos num´ericos, una interesante herramienta para contar semigrupos num´ericos. Presentaremos distintas versiones de esta noci´on. Tambi´en en este cap´ıtulo presentaremos uno de los principales objetivos que es mostrar algunas de las numerosas conjeturas que hay en este ´ambito, en especial la que formul´o Mar´ıa Bras-Amor´os en 2008 y que es la motivaci´on central de este trabajo. Esta conjetura nos presenta la sucesi´on que cuenta el n´umero de 1 2INTRODUCCI ´ ON semigrupos de cada g´enero g, denotada (ng)g≥0, y nos dice que satisface que ng+2 ≥ng+1 +ngpara todo g≥0. Incluso la propiedad m´as d´ebil ng+1 ≥ng sigue siendo una conjetura. Adem´as introduciremos una partici´on del conjunto de lagunas y las nociones de extensi´on y filtraci´on que ayudar´an m´as adelante a contar los semigrupos num´ericos. Los libros que he tomado como referencia en este cap´ıtulo han sido [1] y [7]. Tambi´en he utilizado el art´ıculo [5] donde se introducen los conjuntos de lagunas y sus propiedades. En el segundo cap´ıtulo, daremos una cota superior y una cota inferior de ng, esta ´ultima m´as cercana a la conjetura de Mar´ıa Bras-Amor´os. Veremos que ngposee una cota inferior relacionada con la sucesi´on de Fibonacci, m´as concretamente que es mayor que 2agsiendo aiel i-´esimo t´ermino de la sucesi´on de Fibonacci y que tiene como cota superior 1 + 3 ·2g−3. Es decir, demostraremos que 2ag⩽ng⩽1+3·2g−3para todo g≥0. Para llegar a este resultado construiremos un sub´arbol y un super´arbol del ´arbol de semigrupos num´ericos introducido en el cap´ıtulo anterior. En este cap´ıtulo tambi´en introduciremos una divisi´on de los semigrupos num´ericos en ordinarios y no ordinarios y destacaremos su importancia en el conteo de semigrupos num´ericos. En el tercer y ´ultimo cap´ıtulo, se tratar´an resultados de Eliahou y Fromentin obtenidos recientemente en [5] entorno a la conjetura de Mar´ıa BrasAmor´os. Veremos primero que si nos fijamos ´unicamente en los semigrupos de profundidad menor o igual que 2, entonces la conjetura se cumple. Es m´as, en este caso se da la igualdad por lo que podemos afirmar que el n´umero de semigrupos de g´enero gy profundidad menor igual que 2 es exactamente igual al t´ermino g+ 1 de la sucesi´on de Fibonacci. Fij´andonos a continuaci´on s´olo en los semigrupos de profundidad menor o igual que 3, demostraremos que la conjetura tambi´en se cumple. Este caso es importante ya que, al tratarse de una condici´on m´as d´ebil que la anterior, el n´umero de semigrupos que abarca es mayor. Adem´as, veremos que casi todos los semigrupos num´ericos tienen profundidad menor o igual que 3 por lo que el avance en la resoluci´on de la conjetura presentado aqu´ı es significativo. Tambi´en se demostrar´a que para los semigrupos de profundidad menor o igual que 3, el g-´esimo t´ermino de la succesi´on que cuenta los semigrupos de g´enero dado no s´olo est´a acotado inferiormente por la suma de los dos t´erminos anteriores (conjetura de Mar´ıa Bras-Amor´os), sino que tambi´en est´a acotado superiormente por la suma de los tres t´erminos anteriores. Deduciremos con la ayuda de las cotas anteriores, una nueva cota inferior y otra superior para los mismos. La cota inferior es una restricci´on mayor a la cota deducida en el cap´ıtulo 2, acotando los semigrupos de profundidad menor o igual que 3 inferiormente por 2agy superiormente por el t´ermino g+ 1-´esimo de la sucesi´on de Tribonacci. En INTRODUCCI ´ ON 3 la demostraci´on de estos resultados, utilizaremos las nociones de filtraci´on y extensi´on as´ı como la partici´on del conjunto de lagunas introducidas en el primer cap´ıtulo. 4INTRODUCCI ´ ON Cap´ıtulo 1 Introducci´on a los semigrupos num´ericos En este cap´ıtulo comenzaremos dando unos conceptos previos relacionados con semigrupos num´ericos para entender bien el concepto. Daremos las propiedades b´asicas de los mismos e introduciremos la noci´on de conjunto de lagunas. Explicaremos algunas conjeturas relacionadas con estos t´erminos entre la que se encuentra la conjetura de Mar´ıa Bras-Amor´os. Introduciremos tambi´en los ´arboles de semigrupos num´ericos que necesitaremos en el cap´ıtulo 2. Veremos que existe una partici´on siempre para los conjuntos de lagunas y daremos una importante notaci´on para el cap´ıtulo 3. 1.1. Conceptos b´asicos 1.1.1. Semigrupos num´ericos y sus lagunas Vamos a comenzar dando unas definiciones previas: Notaci´on 1.1.1.Denotaremos a los n´umeros naturales N0={0,1,2,3, . . .} (incluyendo el 0), y al conjunto de los n´umeros naturales sin incluir el 0 como N={1,2,3, . . .}. Definici´on 1.1.2. Un semigrupo es un par (M, ∗) que es cerrado para la operaci´on ∗y para la misma operaci´on verifica la propiedad asociativa. Definici´on 1.1.3. Un monoide (M, ∗) es un semigrupo que adem´as posee elemento neutro. Un subconjunto Hde Msera un submonoide si es cerrado para la operaci´on ∗y adem´as el elemento neutro de Mest´a en H. 5 12 INTRODUCCI ´ ON A LOS SEMIGRUPOS NUM ´ ERICOS Para ver la relaci´on directa entre los conjuntos de Ap´ery con el g´enero y el n´umero de Frobenius vamos a necesitar la siguiente Proposici´on. Proposici´on 1.1.24. Sea Sun semigrupo num´erico de g´enero gy n´umero de Frobenius fy sea n∈S\{0}. Se verifican las dos siguientes igualdades conocidas como f´ormulas de Selmer: 1). f= m´ax(Ap(S, n)) −n. 2). g=1 n X w∈Ap(S,n) w −n−1 2. Demostraci´on. 1) Por la definici´on de los elementos del conjunto de Ap´ery se tiene que m´ax(Ap(S, n)) −n6∈ S. Para ver que es el n´umero de Frobenius falta ver que es el m´ax(Z\S). Sea x∈N0tal que x > m´ax(Ap(S, n)) −n. Entonces x+n > m´ax(Ap(S, n)). Denotamos como wal elemento de Ap(S, n) congruente con x+nm´odulo n. Puesto que x+n > w existe k∈Ntal que x+n=w+kn. Luego x=kn−n+wy como consecuencia x=n(k−1)+w∈S pues nywpertenecen a Spor definici´on. 2) Por el Lema 1.1.22, todo w∈Ap(S, n) se puede escribir como w=kin+ icon ki∈N0, para i∈ {0, . . . , n −1}. De donde, tenemos Ap(S, n) = {0, k1n+ 1, . . . , kn−1n+n−1}. Escogemos ahora un x∈N0de forma que x≡im´od n. Por definici´on, tenemos que, x∈Ss´ı y s´olo s´ı w(i)≤x. De hecho, si x=qin+ientonces x−w(i)=(qi−ki)n. Por lo tanto, w(i)≤xs´ı y s´olo s´ı ki≤qis´ı y s´olo s´ı x= (qi−ki)n+w(i)∈S. Lo que nos lleva a que x6∈ Ss´ı y s´olo s´ı x=qin+i con qi< kiy como consecuencia: g= n−1 X i=1 ki=1 n n−1 X i=1 (kin+i)!−n−1 2=1 n X w∈Ap(S,n) w −n−1 2. Vamos a ver ahora un ejemplo de un semigrupo num´erico en el que veamos como se aplican estas f´ormulas: Ejemplo 1.1.25. Sea Sel semigrupo num´erico generado por h5,9,21i= {0,5,9,10,14,15,18,19,20,21,23, . . .}(He utilizado la notaci´on . . . para indicar que a partir de ah´ı ya son todos los n´umeros naturales mayores). El conjunto de lagunas de este semigrupo ser´a G={1,2,3,4,6,7,8,11,12,13,16,17,22} 1.1 Conceptos b´asicos 13 d´onde podemos observar que el g´enero es g= 13 y el n´umero de Frobenius es f= 22. Veamos que se verifican las f´ormulas de Selmer. Vamos a calcular el conjunto de Ap´ery, con lo que vamos ha hacer uso del Lema 1.1.22. Llamaremos ma la multiplicidad que en este caso ser´a 5. Entonces Ap(S, m) = {0, w(1), w(2), w(3), w(4)}ser´a la base est´andar de S, con w(i)≡im´od 5 para i= 1,2,3,4 para el w(i)∈Sm´as peque˜no, y as´ı obtenemos Ap(S, m) = {0,21,27,18,9}. Luego el n´umero de Frobenius es f= m´ax(Ap(S, m)) −m= 27 −5 = 22 y el g´enero g=1 m X w∈Ap(S,m) w −m−1 2=21+27+18+9 5−5−1 2= 13. N´otese que se ha escogido mla multiplicidad para ver tambi´en la base est´andar pero para el c´alculo del g´enero y el n´umero de Frobenius tambi´en podr´ıamos aplicar las f´ormulas de Selmer para otro elemento n∈S\{0}que no sea la multiplicidad, por ejemplo n= 14. En este caso Ap(S, 14) = {0, w(1), . . . , w(14)}con w(i)≡im´od 14 para i= 1,...,14 y as´ı obtenemos Ap(S, 14) = {0,15,30,31,18,5,20,21,36,9,10,25,26,27}. Luego el n´umero de Frobenius es f= m´ax(Ap(S, 14)) −14 = 36 −14 = 22 y el g´enero g=1 14  X w∈Ape(S,14) w −14 −1 2 =15+30+31+18+5+20+21+36+9+10+25+26+27 14 −6,5 = 13. Definici´on 1.1.26. Sea Sun semigrupo num´erico y sean cymel conductor y la multiplicidad de Srespectivamente. Llamaremos profundidad de Sa q=dc me. El ´unico caso en el que q= 0 es en el caso que hemos descrito anteriormente, cuando S=N0. En este caso, tenemos que f=−1, c= 0, m= 1 y q= 0. En el resto de casos, c≥myq6= 0. Por otra parte, q= 1 s´ı y s´olo s´ı c=my esto solo pasa cuando S={0}∪ [m, ∞]. Y por la definici´on de n´umero de Frobenius tenemos que f=m−1 yc=m. Por tanto el primer caso interesante en el que no se conocen todos los elementos del semigrupo es q= 2. En las secciones 3.1 y 3.2 de esta memoria, nos centraremos en los caso q= 2 y q= 3 respectivamente. 14 INTRODUCCI ´ ON A LOS SEMIGRUPOS NUM ´ ERICOS 1.2. La conjetura de Mar´ıa Bras-Amor´os Definici´on 1.2.1. Definimos ngcomo el n´umero de semigrupos num´ericos con g´enero g. Con esta definici´on estamos en condiciones de presentar la conjetura que propuso Mar´ıa Bras-Amor´os en el art´ıculo [2]. Conjetura 1.2.2. ng≥ng−1+ng−2para todo g≥2. N´otese que la desigualdad m´as d´ebil ng≥ng−1tambi´en est´a a´un sin demostrar. Mar´ıa Bras-Amor´os tuvo la idea de la conjetura en 2006 cuando hizo la computaci´on de la secuencia (ng)g≥0para g= 0 hasta g= 50. Adem´as de esta conjetura, que es en la que nos vamos a centrar, formul´o otras conjeturas sobre el crecimiento de ngque siguen todav´ıa abiertas. l´ımg→∞ (ng−1+ng−2)/ng= 1, l´ımg→∞ ng/ng−1= (1 + √5)/2 (el n´umero de oro). Para intentar resolver la Conjetura 1.2.2, una buena estrategia es organizar bien los semigrupos num´ericos para poder contarlos f´acilmente. Una manera de organizarlos es como veremos en la siguiente secci´on mediente el ´arbol de semigrupos num´ericos. Ahora definiremos los ngque adem´as satisfacen que c≤3mya que en el cap´ıtulo 3 demostraremos que para ellos se cumple la Conjetura 1.2.2, y adem´as ofreceremos una cota superior. Notaci´on 1.2.3.Sea Sun semigrupo num´erico y sea G=N0\Ssu conjunto de lagunas. Llamaremos tambi´en multiplicidad, n´umero de Frobenius, conductor y profundidad de Ga los respectivos de S. Definici´on 1.2.4. Definimos n0 gcomo el n´umero de semigrupos num´ericos con g´enero gque cumplen adem´as que c≤3m, siendo cel conductor y mla multiplicidad del conjunto de lagunas. Los semigrupos num´ericos con esta condici´on son importantes para acercarnos a la Conjetura 1.2.2 porque abarcan casi todos los semigrupos. Esto lo observaremos a lo largo de la memoria. Adem´as Zhai mostr´o en [8] que l´ımg→∞ n0 g/ng= 1 que previamente hab´ıa sido conjeturado por Yusef Zhao en [9], esto nos indica que la densidad de n0 g6=ngtiende hacia 0. 1.3 El ´arbol de los semigrupos num´ericos 15 1.3. El ´arbol de los semigrupos num´ericos El conjunto de todos los semigrupos pueden ser organizados en un ´arbol. Este ´arbol lo organizaremos por niveles dependiendo del g´enero del semigrupo, de manera que en cada nivel est´an los semigrupos del g´enero gcorrespondiente al nivel g. Si descendemos de nivel iremos a los semigrupos de g´enero g+ 1 y si ascendemos llegaremos a los semigrupos de g´enero g−1 (porque en este ´arbol los descendientes poseen un elemento m´as en el conjunto de lagunas ). Entonces la ra´ız es el ´unico semigrupo de g´enero 0 que sabemos que es N0=h1iy denotaremos por S0. Vamos a explicar como construir el ´arbol de manera descendente primero pero lo normal es construirlo de manera ascendente. Si quitamos a este conjunto su ´unico generador minimal obtenemos el semigrupo num´erico S1={0} ∪ {i∈N0:i≥2}=h2,3ique es el ´unico semigrupo num´erico de g´enero 1 y este formara el nivel 1 del ´arbol. S1tiene como generadores minimales el 2 y el 3, si le quitamos el 2 obtenemos el semigrupo num´erico S2,1={0}∪{i∈N0:i≥3}=h3,4,5i, mientras que si quitamos el 3 obtenemos el semigrupo num´erico S2,2={0,2}∪{i∈N0: i≥4}=h2,5i. Y adem´as estos dos conjuntos ser´an todos los semigrupos de g´enero 2 y por tanto estos dos semigrupos formar´an el nivel 2 del ´arbol. Si seguimos as´ı de forma recursiva podr´ıamos generar el ´arbol. Aunque hay que tener en cuenta que no siempre quitando un generador vamos a obtener un semigrupo num´erico nuevo, porque podemos llegar al mismo semigrupo de varias maneras as´ı que no es inyectiva, por ejemplo si seguimos como antes y a S2,2le quitamos el generador 2 obtenemos el semigrupo {0}∪{i∈N0: i≥4}=h4,5,6,7ique ser´ıa el mismo semigrupo que si quitamos a S2,1 el generador 3. Obtendremos un nuevo semigrupo num´erico siempre que el generador sea mayor que el n´umero de Frobenius del semigrupo. Por lo tanto, el n´umero de descendientes de cada semigrupo num´erico ser´a el n´umero de generadores minimales mayores que su n´umero de Frobenius. Por ejemplo, en S2,1el n´umero de Frobenius es 2, y como los 3 generadores minimales son mayores que 2 tenemos 3 descendientes. Mientras que en S2,2el n´umero de Frobenius es 4 y solo el 5 es mayor, y por tanto tendremos un ´unico descendiente. Lema 1.3.1. Sea Sun semigrupo num´erico diferente de N0, sea fsu n´umero de Frobenius y gsu g´enero. Entonces S∪ {f}tambi´en ser´a un n´umero de Frobenius de g´enero g−1. Demostraci´on. Como Ses semigrupo num´erico, sabemos que N0\Ses finito y por tanto N0\(S∪ {f}) tambi´en ser´a finito. Tambi´en tenemos que 0 ∈ S⊂S∪{f}, solo queda ver que es cerrado para la suma. 16 INTRODUCCI ´ ON A LOS SEMIGRUPOS NUM ´ ERICOS Sean a, b ∈S∪{f}: 1) Si a=fob=f, vamos a suponer sin p´erdida de generalidad que a=f tenemos que a+b≥fy por tanto a+b∈S∪{f}. 2) Si a, b ∈S, y como Ses semigrupo num´erico tenemos que a+b∈S⊂ S∪{f}. El g´enero de este nuevo semigrupo ser´a g−1 dado que G=N0\Scontiene af, mientras que G0=N0\(S∪ {f}) y por tanto tendr´a exactamente un elemento menos. Gracias a este lema podemos construir el ´arbol de manera ascendente. Si tenemos un semigrupo num´erico y le a˜nadimos su n´umero de Frobenius llegamos a otro semigrupo num´erico con g´enero una unidad menor. Luego para ascender ´unicamente tenemos que a˜nadir su n´umero de Frobenius. El ´arbol de los semigrupos num´ericos (que dibujaremos boca abajo) con los niveles del 0 al 4 quedar´ıa de la siguiente manera: Vamos a ver ahora en el siguiente ´arbol los primeros 12 niveles del ´arbol, pero diferenciando en este caso los semigrupos con profundidad q≤3 (que se representan con un punto negro) y los semigrupos con profundiad q≥4 (que se representan con un punto gris). Como vemos en el ´arbol y ya hab´ıamos comentado previamente los semigrupos que no cumplen esta condici´on son una minor´ıa. 1.3 El ´arbol de los semigrupos num´ericos 17 En la ´ultima l´ınea tenemos que hay 343 semigrupos (ng= 343), de los cuales 287 tienen profundidad ≤3 (es decir, n0 g= 287). Podemos observar que como hab´ıamos avisado los semigrupos num´ericos con profundidad mayor que 3, es decir, los semigrupos num´ericos que cumplen ng6=n0 gson una minor´ıa. Veamos ahora otra manera de ver el mismo ´arbol, fij´andonos ahora en el conjunto de lagunas. En particular, por el Lema 1.3.1, si Ges un conjunto de lagunas no vac´ıo, entonces G\{m´ax G}es todav´ıa un conjunto de lagunas. En este caso, vamos a ver cada punto del ´arbol con los elementos de los conjunto de lagunas, en lugar de con los generadores de los semigrupos num´ericos. En este caso la ra´ız va a ser el conjunto vac´ıo, ya que son las lagunas de la ra´ız del primer ´arbol que era N0. Recordemos que antes para descender a˜nad´ıamos el n´umero de Frobenius del semigrupo (y no pod´ıamos predecir qui´en iban a ser los generadores del nuevo semigrupo). Pero como ahora estamos organizando el ´arbol para los conjuntos de lagunas correspondientes a estos ´arboles a˜nadir un elemento al semigrupo es eliminarlo de su conjunto de lagunas correspondiente. Entonces para ascender en ´arbol de conjunto de lagunas solo tenemos que eliminar el n´umero de Frobenius, es decir, quitar el elemento m´as grande en cada caso. Y quedar´ıa de la siguiente manera: 18 INTRODUCCI ´ ON A LOS SEMIGRUPOS NUM ´ ERICOS Este ´arbol se puede construir tambi´en de forma descendente aunque es m´as dif´ıcil ya que requiere saber como son los subconjuntos de Nque son conjuntos de lagunas acorde con la Definici´on 1.1.8. Por ejemplo, {1,3,4} no es un conjunto de lagunas ya que 4 = 2 + 2 y por eso no aparece en el ´arbol anterior. Sea Gun conjunto de lagunas de g´enero g, multiplicidad my conductor c. Un conjunto de lagunas que descienda de ´este ser´ıa de g´enero g+ 1, as´ı vamos a tomar un elemento a6∈ Gtal que a > m´ax Gy vamos a denotar G0=G∪{a}. Por como lo hemos definido, a≥cy para que G0siga siendo un conjunto de lagunas a≤m+c−1; si a≥m+c, tenemos que a=m+(a−m) y desde que c≤a−mtenemos que a−m6∈ Gpor definici´on de conductor de un conjunto de lagunas y por definici´on de multiplicidad de un conjunto de lagunas m6∈ Gy claramente a6=mya6=a−mdonde concluimos que G0en este caso no es un conjunto de lagunas. Entonces para nuestra construcci´on c≤a≤m+c−1. 1.4. Partici´on can´onica de un conjunto de lagunas Vamos a ver ahora que todo conjunto de lagunas tiene una partici´on a la que denominaremos can´onica y definiremos los conceptos de m-extensi´on y m-filtraci´on que utilizaremos en el Cap´ıtulo 3. Para ello necesitaremos unos lemas y una notaci´on previa. Lema 1.4.1. Todo segmento inicial de un conjunto de lagunas es un conjunto de lagunas. 1.4 Partici´on can´onica 19 Demostraci´on. Sea Gun conjunto de lagunas y sea k∈N. Veamos que G0= [1, k]∩Ges un conjunto de lagunas. Tanto Gcomo [1, k] son conjuntos finitos en N, luego G0tambi´en lo es. Sea ahora z=x+y∈G0, con x, y ∈N. Sabemos que ztambi´en debe pertenecer a Gy como es un conjunto de lagunas sabemos que o x∈Goy∈G. Supongamos sin p´erdida de generalidad que x∈G, como x≤zyz≤kdeducimos que x∈[1, k] y por tanto x∈G0. Y G0es un conjunto de lagunas. Lema 1.4.2. Sea Gun conjunto de lagunas de multiplicidad m. Entonces: [1, m −1] ⊂GyG∩mN=∅. Demostraci´on. De la definici´on de multiplicidad tenemos que mes el n´umero m´as peque˜no diferente de 0 que pertenece en S, por lo tanto tenemos que los n´umeros estrictamente menores no pueden pertenecer al conjunto. Por lo tanto deben estar en G=N0\Sy como resultado obtenemos [1, m−1] ⊂G. Como Ses cerrado para la suma y m∈Stenemos que mN⊂Sy en consecuencia G∩mN=∅. Notaci´on 1.4.3.Sea Gun conjunto de lagunas de multiplicidad m. Denotaremos G0= [1, m −1] y m´as generalmente Gi=G∩[im + 1,(i+ 1)m−1] para todo i≥0. Ahora estamos en condiciones de presentar la partici´on can´onica de un conjunto de lagunas. Proposici´on 1.4.4. Sea Gun conjunto de lagunas de multiplicidad my profundidad qy sea Gidefinido en la nota anterior. Entonces G=G0∪G1∪. . . ∪Gq−1 yGq−16=∅. Llamaremos a esta partici´on de Gla partici´on can´onica de G. Adem´as Gi+1 ⊂m+Gipara todo i≥0. Demostraci´on. Del Lema 1.4.2 tenemos que G∩mN=∅. Por lo tanto Gser´a uni´on disjunta de Gipara i≥0. Si i≥q, tenemos que si a∈[im + 1,(i+ 1)m−1], entonces a≥im + 1 > im ≥qm =mdc me ≥ c>fsiendo cel conductor y fel n´umero de Frobenius de G. Sabemos que todo n´umero mayor que fpertenece a Sluego no pertenece a G, y entonces Gi=G∩[im + 1,(i+ 1)m−1] = ∅. Es decir, si i≥qtenemos que Gi=∅. De lo anterior se deduce f´acilmente que G=G0∪G1∪... ∪Gq−1y tenemos que demostrar que Gq−16=∅. Para ello vamos a ver que el n´umero 20 INTRODUCCI ´ ON A LOS SEMIGRUPOS NUM ´ ERICOS de Frobenius fpertenece Gq−1. Por definici´on sabemos que f∈G, veamos que f∈[(q−1)m+ 1, qm −1]. Antes ya vimos que qm > f y por tanto qm −1≥f. Solo nos queda ver que f≥(q−1)m+ 1. Por la definici´on de parte entera superior de un n´umero, sabemos que dc me ≥ c m>dc me−1, ahora multiplicando por mobtenemos (q−1)m<c≤qm. De esta primera desigualdad y por estar trabajando con n´umeros enteros, deducimos que c≥ (q−1)m+ 1 y del hecho de que f=c−1 tenemos que f≥(q−1)m. Usando ahora de nuevo que G∩mN=∅y que f∈Gconcluimos que f > (q−1)m. Nos falta ver que Gi+1 ⊂m+Gipara todo i≥0. Sea x∈Gi+1 = [(i+ 1)m+ 1,(i+ 2)m−1] ∩G. Tenemos que x−m∈[im + 1,(i+ 1)m−1], falta solo ver que x−m∈G. Por definici´on de conjunto de lagunas si x= m+(x−m)∈Gentonces x−m∈Gom∈G, como mno puede pertenecer aGpor la propia definici´on de multiplicidad, x−mdebe pertenecer a Gy por tanto x−m∈Gi. Nota 1.4.5.Sea Gun conjunto de lagunas. De la partici´on can´onica podemos deducir la multiplicidad, el g´enero y la profundidad de Gde la siguiente manera: m=max(G0)+1, g= q−1 X i=0 |Gi|, q= n´umero de Gino vac´ıos. Definici´on 1.4.6. Sea m∈N. Definimos una m-extensi´on como un conjunto finito A⊂Nque admite la partici´on A=A0∪A1∪... ∪Atpara alg´un t≥0, donde A0= [1, m −1] y Ai+1 ⊂m+Ai,∀i≥0. Nota 1.4.7.En particular, podemos ver gracias a la Proposici´on 1.4.4 que todo conjunto de lagunas de multiplicidad mes una m-extensi´on. Sin embargo, no toda m-extensi´on es un conjunto de lagunas. Ejemplo 1.4.8. Veamos un caso de una m-extensi´on que no es un conjunto de lagunas. Sea A={1,2,4,5,6,11,14} ⊂ N. No es un conjunto de lagunas pues 14 = 7 + 7 ∈A, pero 7 6∈ A. Sin embargo, si es una 3-extensi´on ya que admite la partici´on A=A0∪A1∪A2∪A3∪A4con A0= [1,2], A1= [4,5], A2={8},A3={11}yA4={14}. En la que podemos observar que A4⊂A3+3 ⊂A2+2·3⊂A1+3·3⊂A0+4·3 con lo que efectivamente Aes una 3-extensi´on que no es un conjunto de lagunas. 1.4 Partici´on can´onica 21 Definici´on 1.4.9. Sea m∈N. Definimos una m-filtraci´on como una secuencia finita F= (F0, F1, ..., Ft) de subconjuntos no crecientes de Ntales que F0= [1, m −1] ⊃F1⊃. . . ⊃Ft. Vamos a ver ahora que existe una biyecci´on entre las m-extensiones y las m-filtraciones para cualquier m∈N. Proposici´on 1.4.10. Sea A=A0∪A1∪...∪Atuna m-extensi´on. Definimos ahora Fi=−im +Aipara cada i= 1, . . . , t. Entonces F= (F0, F1, ..., Ft)es una m-filtraci´on. Diremos que es la m-filtraci´on asociada a A. Reciprocamente, sea F= (F0, F1, ..., Ft)una m-filtraci´on. Definimos ahora Ai=im +Fipara cada i= 1, . . . , t yA=A0∪A1∪... ∪At. Entonces A es una m-extensi´on. Diremos que es la m-extensi´on asociada a F. Demostraci´on. Sea A=A0∪A1∪... ∪Atuna m-extensi´on. Definiendo Fi= −im +Aipara cada i= 1, . . . , t, veamos que Fies una m-filtraci´on. De la definici´on de m-extensi´on todos los Aison subconjuntos de Ny por tanto tambi´en lo ser´an los Fi. La secuencia que generan los Fitiene que ser finita porque lo es tde la definici´on de m-extensi´on. Adem´as F0=−0m+A0= [1, m −1]. Falta ver que es decreciente, como Fi=−im +Aientonces Ai= im +FiyAi+1 = (i+ 1)m+Fi+1. Sabemos, de nuevo por la definici´on de mextensi´on, que Ai+1 ⊂Ai+my si substituimos (i+1)m+Fi+1 ⊂im +Fi+m y despejamos podemos concluir que F= (F0, F1, ..., Ft) es una secuencia finita decreciente con F0= [1, m −1], y por lo tanto una m-filtraci´on. Sea ahora F= (F0, F1, ..., Ft) una m-filtraci´on. Definiendo Ai=im +Fi para cada i= 1, . . . , t, veamos que A=A0∪A1∪...∪Ates una m-extensi´on. De la definici´on de m-filtraci´on todos los Fison subconjuntos de N, de donde tambi´en lo ser´an los Ai. Al ser Funa secuencia finita se tiene t∈N. Adem´as A0= 0m+F0= [1, m −1]. Falta ver que Ai+1 ⊂Ai+m, como Ai=im +Fi entonces Fi=−im +AiyFi+1 =−(i+ 1)m+Ai+1. Sabemos, de nuevo por la definici´on de m-filtraci´on que Fi+1 ⊂Fipara todo i∈ {1, . . . , t}. Si substituimos −(i+ 1)m+Ai+1 ⊂ −im +Aiy despejando obtenemos la desigualdad buscada. Luego A=A0∪A1∪... ∪At⊂Npara alg´un t≥0 con Ai+1 ⊂Ai+mpara todo i≥0 y por tanto una m-extensi´on. Definici´on 1.4.11. Sea A=A0∪A1∪... ∪Atuna m-extensi´on. Vamos a denotar por F=ϕ(A) a su m-filtraci´on asociada. Si Aes un conjunto de lagunas, llamaremos a Funa filtraci´on de conjunto de lagunas. Sea F= (F0, F1, ..., Ft) una m-filtraci´on. Vamos a denotar por A=τ(F) a su m-extensi´on asociada. 28 PRIMEROS ACERCAMIENTOS A LA CONJETURA y por la hip´otesis de inducci´on tenemos que [ m∈Ag{0,1, . . . , m −1}=   2ag−3 z }| { {0,0,...,0}∪ 2ag−4 z }| { {0,0,...,0, 2ag−4 z }| { 1,1,...,1}∪ 2ag−5 z }| { {0,0,...,0, 2ag−4 z }| { 1,1,...,1 2ag−5 z }| { 2,2,...,2}∪···∪ { 2a2 z}|{ 0,0, 2a2 z}|{ 1,1, 2a2 z}|{ 2,2,..., 2a2 z }| { g−5, g −5}∪{ 2a1 z}|{ 0,0, 2a1 z}|{ 1,1, 2a1 z}|{ 2,2,..., 2a1 z }| { g−4, g −4} ∪ {0,1, . . . , g −1}∪{0,1, . . . , g + 1} Reordenando de manera conveniente y por ai= 1 + i−2 X j=1 ajobtenemos [ m∈Ag{0,1, . . . , m −1}=  2ag−1 z }| { {0,0,...,0}∪ 2ag−2 z }| { {1,1,...,1} ∪ 2ag−3 z }| { {2,2,...,2}∪···∪ 2a2 z }| { {g−3, g −3} ∪ 2a1 z }| { {g−2, g −2} ∪{g−1, g}. De aqu´ı deducimos que Ag+1 ={g+ 2}∪   2ag−1 z }| { {0,0,...,0}∪ 2ag−2 z }| { {1,1,...,1}∪ 2ag−3 z }| { {2,2,...,2}∪···∪ 2a2 z }| { {g−3, g −3} ∪ 2a1 z }| { {g−2, g −2}∪{g−1, g} \{g−1} y concluimos. Podemos deducir de (2.1) (que ya hemos demostrado) que |Ag|= 2ag−2+ 2ag−3+. . . + 2a1+ 2 = 2 1 + g−2 X j=1 aj!y de la prueba realizada en primer p´arrafo concluimos. 2.2 Semigrupos ordinarios y no ordinarios 29 Lema 2.1.2. Los conjuntos Bgpara g≥2se pueden ver tambi´en como Bg={0}∪  3·2g−4 z }| { {1,1,...,1}∪ 3·2g−5 z }| { {2,2,...,2}∪···∪ 3·20 z }| { {g−3, g −3, g −3}  ∪{g−2, g −1, g + 1} y adem´as |Bg|= 1 + 3 ·2g−3. Demostraci´on. Ambos resultados se pueden deducir por inducci´on. Son consecuencia del hecho que para i≥0, tenemos 2i= 1 + i−1 X j=0 2j. Este resultado tambi´en debemos probarlo mediante una inducci´on. En primer lugar la igualdad es cierta para i= 0, pues 20= 1 + 0 X j=0 2j= 1. Sea ahora un i≥0 para el que se cumple la hip´otesis 2i= 1 + i−1 X j=0 2j, veamos que tambi´en sera cierta para i+ 1. Sabemos que 2i+1 = 2i·2 y, por nuestra hip´otesis de inducci´on a 2i+1 = (1 + i−1 X j=0 2j)·2 = 2 + i−1 X j=0 2j+1 = 2 + i X j=1 2j= 1 + i X j=0 2jy concluimos. Para g= 3 tenemos que B3={1,3}={2−1,2 + 1}. Utilizando 2i= 1 + i−1 X j=0 2jse puede demostrar de manera an´aloga a la prueba del Lema 2.1.1. 2.2. Semigrupos num´ericos ordinarios y no ordinarios Vamos a diferenciar ahora 2 tipos de semigrupos num´ericos: los ordinarios y los no ordinarios que tendr´an especial utilidad a la hora de ver sus respectivos descendientes dentro del ´arbol estudiado en el primer cap´ıtulo y por tanto a la hora de contar el n´umero de semigrupos num´ericos. Como veremos m´as adelante los semigrupos num´ericos ordinarios est´an controlados, es decir, sabemos con certeza como van a ser sus descendientes, mientras que en el caso de los no ordinarios no. Definici´on 2.2.1. Sea Sun semigrupo num´erico. Diremos que Ses ordinario si es de la forma {0}∪{i∈N0:i⩾n}para alg´un n∈N. 30 PRIMEROS ACERCAMIENTOS A LA CONJETURA Lema 2.2.2. Sea Sun semigrupo num´erico no ordinario. Suponemos que los generadores mayores que el n´umero de Frobenius son {λi1< λi2< . . . < λik}. Entonces el n´umero generadores mayores que el n´umero de Frobenius del semigrupo num´erico S\{λij}es al menos k−jy como mucho k−j+ 1. Demostraci´on. Sabemos que el n´umero de Frobenius de S\{λij}es λijporque es mayor que el n´umero de Frobenius de Spor definici´on y obviamente no est´a en el conjunto. Adem´as todos los generadores de S\{λij}que son generadores minimales en Stambi´en lo tienen que ser en S\{λij}. Los elementos de S\{λij}que no son generadores minimales en Sy se convierten en generadores de S\{λij}deben de ser de la forma λij+λrpara alg´un λr∈S. Denotamos ma la multiplicidad de S. Si λr> m entonces λij +λr−m>λij y por lo tanto λij+λr=m+λspara alg´un λs∈S\{λij}. As´ı que el ´unico elemento que no es generador minimal en Sque puede serlo en S\{λij}es m+λij. Recordando como hab´ıamos creado el ´arbol de semigrupos num´ericos en el primer cap´ıtulo, si un semigrupo tiene kgeneradores minimales mayores que el n´umero de Frobenius entonces tendr´a kdescendientes y gracias al lema que acabamos de demostrar deducimos que cada uno de estos descendientes tendr´a al menos 0,1, . . . , k −1 y como mucho 1,2, . . . , k respectivamente. Vamos a ver ahora como se comportan los descendientes de los semigrupos num´ericos ordinarios. Estos descendientes tienen especial importancia porque est´an controlados. Es decir, su utilidad radica en que si estamos trabajando en el ´arbol de los semigrupos num´ericos y observamos un semigrupo num´erico ordinario sabemos como van a ser sus descendientes. Y por tanto podremos contar de una manera mucho m´as sencilla. Lema 2.2.3. Sea Sun semigrupo num´erico ordinario de la forma {0, m + 1, m + 2, . . .}. Entonces: Su conjunto de generadores minimales es {m+ 1, m + 2,...,2m+ 1}. El semigrupo num´erico S\{m+ 1}tiene m+ 2 generadores minimales mayores al n´umero de Frobenius. El semigrupo num´erico S\{m+2}tiene mgeneradores minimales mayores al n´umero de Frobenius. El semigrupo num´erico S\{m+r}, con r > 2, tiene m−r+ 1 generadores minimales mayores al n´umero de Frobenius. 2.2 Semigrupos ordinarios y no ordinarios 31 Demostraci´on. El primer punto se ve directamente de la definici´on de semigrupo num´erico ordinario, su primer generador es claramente m+1 y a partir de 2m+ 2 pueden ser generados con los anteriores. En el segundo punto el n´umero de Frobenius ser´a m+ 1 y los nuevos generadores ser´an {m+ 2, m + 3,...,2m+ 3}y por tanto m+ 2 generadores mayores que m+ 1. En el tercer punto el n´umero de Frobenius ser´a m+ 2 y los nuevos generadores ser´an {m+ 1, m + 3,...,2m+ 1,2m+ 3}y por tanto mgeneradores mayores que m+ 2. En el ´ultimo punto el n´umero de Frobenius ser´a m+r. Los generadores de Sser´an tambi´en generadores de S\{m+r}y por tanto m+r+1,...,2m+1 son los generadores de Smayores al n´umero de Frobenius. Solo tenemos que ver que no hay m´as generadores minimales, si existiera alg´un generador m´as tendr´ıa que ser de la forma m+r+spara alg´un s∈S\{m+r}. Entonces s debe ser diferente de 0 ni otro generador y por lo tanto m+r+s−(m+1) > m+r, entonces debe existir s0∈S\{m+r}tal que m+r+s=m+ 1 + s0 y por tanto no es un generador minimal de S\{m+r}. Y con esto estamos en condiciones de demostrar el Teorema principal del cap´ıtulo en el que veremos las dos cotas enunciadas anteriormente. Teorema 2.2.4. El n´umero de semigrupos de g´enero gsatisface ng≥2ag para todo g≥2yng≤1+3·2g−3para todo g≥3. Demostraci´on. Para la primera prueba vamos a crear un nuevo ´arbol definido por una ra´ız a la que definimos como 1 y que posee un solo descendiente que denotamos con 2. En cada nodo el n´umero de descendientes es igual al n´umero que hay en el nodo y definimos recursivamente denotando gcomo el nivel ykel n´umero que est´a en el nodo. De manera que los descendientes de un nodo kson 0,1,...k−1 excepto cuando k=g+1, cuyos descendientes ser´an 0, . . . , k −3, k −1, k + 1. As´ı generamos el siguiente ´arbol. 32 PRIMEROS ACERCAMIENTOS A LA CONJETURA Entonces en este ´arbol, vamos a recoger en un conjunto los nodos de cada nivel. As´ı podemos observar que en el nivel 0 obtenemos {1}, en el nivel 1 obtenemos {2}y si el nivel g≥2 obtenemos Ag. Adem´as gracias a los Lemas 2.2.2 y 2.2.3 podemos concluir que est´a contenido en el ´arbol de los semigrupos num´ericos y por tanto es un sub´arbol del mismo. Por tanto podemos deducir que ng(que recordemos que es el n´umero de semigrupos num´ericos de g´enero gy por tanto el n´umero de elementos del nivel gdel ´arbol de semigrupos) es mayor que |Ag|. Y gracias al Lema 2.1.1 deducimos que ng≥2agpara g≥2. Ahora para la segunda prueba crearemos un nuevo ´arbol definido de nuevo por una ra´ız a la que definimos como 1 y que posee un ´unico descendiente que definimos como 2 y recursivamente definimos denotando gcomo el nivel ykel n´umero que est´a en el nodo. De manera que los descendientes de un nodo kson 0,1,...k excepto cuando k=g+ 1, cuyos descendientes ser´an 0, . . . , k −3, k −1, k + 1. As´ı generamos el siguiente ´arbol. 2.2 Semigrupos ordinarios y no ordinarios 33 Entonces en este ´arbol, si recogemos de nuevo en un conjunto los nodos de cada nivel. Podremos observar que en el nivel 0 obtenemos {1}, en el nivel 1 obtenemos {2}y si el nivel g≥2 tenemos Bg. De nuevo, gracias a los Lemas 2.2.2 y 2.2.3 podemos concluir que el ´arbol de los semigrupos num´ericos est´a contenido en este ´arbol, y por este motivo lo denotaremos super´arbol. Por tanto podemos deducir que nges menor que |Bg|. Y gracias al Lema 2.1.2 se tiene que ng≤1+3·2g−3para todo g≥3. 34 PRIMEROS ACERCAMIENTOS A LA CONJETURA Cap´ıtulo 3 Aportaci´on de Eliahou-Fromentin a la conjetura En este cap´ıtulo vamos a estudiar los casos en que la profundidad es q≤2 yq≤3 para los que veremos que se cumple la Conjetura 1.2.2. Este segundo caso abarca pr´acticamente todos los ngpor lo que es un paso muy importante para aproximarnos a la prueba de la conjetura. En este cap´ıtulo he utilizado como gu´ıa resultados recientes de Eliahou y Fromentin que se encuentran en el art´ıculo [5]. 3.1. Profundidad menor o igual que 2 Vamos a ver primero el caso q≤2 en el que Zhao estableci´o que el n´umero de semigrupos de g´enero g≥0 y con q≤2 es el mismo n´umero que el t´ermino g+ 1 de la sucesi´on de Fibonacci. Es decir, si recordamos la notaci´on introducida en el cap´ıtulo 1, |Γ(g, q ≤2) |=ag+1. Para verlo vamos a precisar de un Lema y una Proposci´on previa. Lema 3.1.1. Sea m∈N. Toda m-filtraci´on F= (F0, F1)es una filtraci´on de conjunto de lagunas de multiplicidad my profundidad q≤2. Contrariamente toda filtraci´on de conjunto de lagunas de multiplicidad my profundidad q≤2 es una m-filtraci´on (F0, F1). Demostraci´on. Sea F= (F0, F1) una m-filtraci´on. Veamos que A=τ(F) es un conjunto de lagunas. Aes una m-extensi´on, luego A=A0∪A1con A0=F0= [1, m −1] y A1=F1+m. Sea ahora z∈A. Podemos suponer que z=x+ycon x, y ∈Nyx≤y. Si z∈A0entonces xeydeben 35 36 APORTACI ´ ON DE ELIAHOU-FROMENTIN pertenecer tambi´en a A0. Si z∈A1y sabiendo, por ser Funa m-filtraci´on, que F1⊂F0= [1, m−1] tenemos que z≤2m−1 y por como hemos definido xey x ≤m−1, luego x∈A0. Por lo tanto Aser´a un conjunto de lagunas. Una filtraci´on de conjunto de lagunas de multiplicidad my profundidad q≤2 por definici´on es una m-filtraci´on (F0, . . . , Fq−1) y en este caso (F0, F1). Proposici´on 3.1.2. Para todo g≥2tenemos |F(g, q ≤2) |=|F(g−1, q ≤2) |+|F(g−2, q ≤2) |. Demostraci´on. Sea F∈F(g, q ≤2) con multiplicidad m. Entonces por el Lema 3.1.1 F= (F0, F1), donde F0= [1, m −1] y F0⊂F1. Adem´as por la Nota 1.4.5 tenemos que g=|F0|+|F0|. Se distinguen los siguientes casos seg´un el g´enero. 1) Si g= 0, tenemos que el conjunto de lagunas asociado es G=∅, de donde G0=F0=∅yG1=F1=∅. Luego |F(0, q ≤2) |= 1. 2) Si g= 1, tenemos que el conjunto de lagunas asociado es G={1}. Como la multiplicidad es 2, tenemos que G0={1}=F0y que G1=G∩[2+1,4−1] = ∅=F1. Luego |F(1, q ≤2) |= 1. 3) Si g= 2, tenemos 2 posibles conjuntos de lagunas asociados que pueden ser G={1,2}oG0={1,3}. En el primer caso como la multiplicidad es 3 tenemos que G0=F0= [1,2] y G1= [4,5] ∩G=∅, luego F1=∅. En el segundo caso como la multiplicidad es 2 tenemos que G0 0=F0 0={1}y G0 1={3} ∩ G0={3}yF0 1=G0 1−2 = {1}. Luego |F|=|F0|= 2 y |F0|=|F0 0|+|F0 1|= 2. Como estas dos son las ´unicas opciones que hay, y por los dos casos anteriores se cumple la igualdad que queremos para g= 2. 4) Asumimos ahora que g≥3. Como g=|F0|+|F1|deducimos |F0|≥ 2 y como F0= [1, m−1] tenemos m≥3. Vamos a volver a distinguir en casos: •Si m´ax F1≤m−2, y denotamos ahora F0 0=F0\{m−1}= [1, m−2] y F0 1=F1.F0es una m−1-filtraci´on porque claramente es una secuencia finita de conjuntos de NyF0 1⊂F0 0. Y por el Lema 3.1.1 tenemos que F0= (F0 0, F0 1) es una m-filtraci´on de conjunto de lagunas que ser´a de g´enero g−1 porque se le ha quitado un elemento. Luego F0∈F(g−1, q ≤2). •Si m´ax F1=m−1, denotamos ahora F00 i=Fi\{m−1}para i= 1,2. De nuevo por el Lema 3.1.1 se tiene que F00 ∈F(g−2, q ≤2). Como las aplicaciones F7→ F0yF7→ F00 son inyectivas y sus respectivos dominios cubren el conjunto de F(g, q ≤2). De aqu´ı sigue que |F(g, q ≤2) |=|F(g−1, q ≤2) |+|F(g−2, q ≤2) |. 3.2 Profundidad menor o igual que 3 37 Inversamente, sea F= (F0, F1) una m-filtraci´on de conjunto de lagunas de profundidad q= 2 y g´enero g. Y, denotamos c F0=F0∪{m},c F1=F1∪{m}, b F= (c F0, F1) y bb F= (c F0,c F1). Entonces, por el Lema 3.1.1 tanto b Fcomo bb F son filtraciones de conjuntos de lagunas. Adem´as, tenemos que el g´enero de b Fes g+ 1 y el g´enero de bb Fes g+ 2. Finalmente, las aplicaciones F7→ F0 yF7→ F00 son inyectivas y tienen imagenes disjuntas en F(q≤2), desde que las filtraciones de conjuntos de lagunas de bb Fson caracterizadas por la propiedad de que tanto F0como F1tienen el mismo elemento maximal m mientras que en b Ftenemos que m= m´ax F0>m´ax F1=m−1. Por lo tanto, |F(g, q ≤2) |=|F(g−1, q ≤2) |+|F(g−2, q ≤2) |. Con esto llegamos al resultado m´as importante de esta secci´on en la que apreciamos que ngbajo la condici´on de profundidad menor o igual que 2 no solo cumple la cota inferior marcada por la Conjetura 1.2.2, sino que se da la igualdad. Corolario 3.1.3. Para todo g≥0tenemos que |F(g, q ≤2) |=ag+1. Demostraci´on. Sabemos que n0=a1= 1 que sucede cuando S=N0y G=∅y la profundidad es 0 ≤2. Y n1=a2= 1 se da cuando S=h2,3i= {0,2,3,4,5,6, . . .}yG={1}y la profundidad es 1 ≤2. De donde deducimos que se cumple para los dos primeros t´erminos y el resto sale de la Proposici´on 3.1.2. 3.2. Profundidad menor o igual que 3 Con esto hemos concluido con el caso de profundidad q≤2. Pasemos ahora al caso q≤3. No solo veremos que con esta condici´on cumple la Conjetura 1.2.2 sino que tambi´en ofreceremos una cota superior para estos n´umeros. Y como ya hemos comentado anteriormente, la importancia de este caso radica en que al abarcar casi todos los ngnos acerca a la prueba de dicha conjetura. 3.2.1. Cota inferior (la conjetura) Adem´as, gracias a la cota presentada en esta secci´on daremos m´as adelante una restricci´on de la cota inferior dada en el cap´ıtulo 2. M´as precisamente, ng≥n0 g≥2ag. 44 APORTACI ´ ON DE ELIAHOU-FROMENTIN Si suprimimos ahora el m´aximo de cada Ficomo en la Proposici´on 3.2.7, es decir, F0 i=Fi\{m´ax Fi}obtenemos la filtraci´on F0 i= (12)2,(1)4y veamos que el correspondiente conjunto asociado no es un conjunto de lagunas. Sea G0 i=F0 i+im para cada i= 0,...,5. Tenemos G0=τ(F0) = G0 0∪. . . ∪G0 5= {1,2,3,4,7,10,13,16}que no es un conjunto de lagunas porque 8+8 = 16 ∈ G0pero 8 6∈ G0. Corolario 3.2.9. Sea F= (F0, F1, F2)una filtraci´on de conjunto de lagunas de multiplicidad m+ 1 ≥2y profundidad 3tal que m´ax F0= m´ax F1= m´ax F2=m. Denotando ahora F0 i=Fi\ {m}. Entonces F0= (F0 0, F0 1, F0 2) ser´a una filtraci´on de conjunto de lagunas. Demostraci´on. Es un caso particular de la Proposici´on 3.2.7 en la que m= mi= m´ax Fipara i= 0,1,2 siendo muna unidad m´as baja que la multiplicidad. Estamos en condiciones de probar que se verifica la cota superior para n0 g. Teorema 3.2.10. Para todo g≥3se cumple n0 g≤n0 g−1+n0 g−2+n0 g−3. Demostraci´on. Los 5 primeros t´erminos de la secuencia de n0 gson 1,2,4,6 y 11, luego la desigualdad se mantiene para g= 3,4,5. Suponemos entonces que g≥6 y llamamos Xal conjunto F(g, q ≤3). Consideramos la partici´on X=X1∪X2∪X3, donde para F= (F0, F1, F2)∈Xtenemos: •F∈X1⇐⇒ m´ax F0>m´ax F1, •F∈X2⇐⇒ m´ax F0= m´ax F1>m´ax F2, •F∈X3⇐⇒ m´ax F0= m´ax F1= m´ax F2. De la Proposici´on 3.2.6 tenemos que F∈X1s´ı y s´olo s´ı F∈Im(α1), y F∈X2s´ı y s´olo s´ı F∈Im(α2). Por las Proposiciones 3.2.2 y 3.2.3 tenemos |X1|=n0 g−1y|X2|=n0 g−2y por el Corolario 3.2.9 deducimos que X3 puede ser incrustado en F(g−3, q ≤3), eliminando el m´aximo com´un de F0,F1yF2. As´ı obtenemos |X\(X1∪X2)| ≤ |F(g−3, q ≤3)|=n0 g−3y concluimos. Podemos resumir la Conjetura 1.2.2 y la cota superior para n0 gen el siguiente corolario, siendo as´ı el resultado m´as importante del cap´ıtulo. Corolario 3.2.11. Para todo g≥3se cumple n0 g−1+n0 g−2≤n0 g≤n0 g−1+ n0 g−2+n0 g−3. Demostraci´on. La cota inferior se ha demostrado en la Proposici´on 3.2.4 y la cota superior en el Teorema 3.2.10. 3.2 Profundidad menor o igual que 3 45 Vamos a a˜nadir ahora una ´ultima cota superior relacionada con la sucesi´on de Tribonacci y una cota inferior relacionada con la sucesi´on de Fibonacci. Notaci´on 3.2.12.Denotaremos ticomo el i-´esimo n´umero de la sucesi´on de Tribonacci (secuencia de Fibonacci de orden 3): (t0= 0, t1= 1, t2= 1 y an=an−1+an−2+an−3para n > 2). Corolario 3.2.13. Para todo g≥3se cumple 2ag≤n0 g≤tg+1. Demostraci´on. Vamos a realizar una primera inducci´on para ver la que se cumple la cota inferior. La igualdad es cierta para g= 3, pues n0 3= 4 = 2a3. Supongamos que la hip´otesis de inducci´on es v´alida hasta un cierto g+1 ≥3. Entonces tenemos por Proposici´on 3.2.4 n0 g≥n0 g−1+n0 g−2y por nuestra hip´otesis de inducci´on obtenemos que n0 g≥2ag+1+2ag= 2ag+2 y concluimos. Para la prueba de la cota superior vamos a realizar una segunda inducci´on. En primer lugar observamos que la cota es cierta para g= 1,2,3, y adem´as se da la igualdad. Pues (n0 1, n0 2, n0 3) = (1,2,4) = (t2, t3, t4). Supongamos que la cota superior es v´alida hasta g+ 2. Entonces tenemos por Teorema 3.2.10 n0 g+3 ≤n0 g+n0 g+1 +n0 g+2 y por nuestra hip´otesis de inducci´on obtenemos que n0 g+3 ≤tg+1 +tg+2 +tg+3 =tg+4 y concluimos. Nota 3.2.14.N´otese que 2ag≤n0 ges una cota m´as fuerte que 2ag≤ng demostrada en 2.2.4. 46 APORTACI ´ ON DE ELIAHOU-FROMENTIN Bibliograf´ıa [1] A.Assi, P.A.Garc´ıa-S´anchez Numerical Semigroups and Applications, RSME Springer Series 1, Springer (2016). [2] M. Bras-Amor´os, Fibonacci-like behavior of the number of numerical semigroups of a given genus, Semigroup Forum 76 (2008), 379–384. [3] M. Bras-Amor´os, Bounds on the number of numerical semigroups of a given genus, Journal of Pure and Applied Algebra 213 (2009), 997–1001. [4] M. Bras-Amor´os, Semigrupos num´ericos, Conferencia impartida en el ATENEO del imUVa (2019). [5] S. 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