Análisis y simulación del comportamiento de una tubería para el transporte de fluidos mediante un modelo de elementos finitos

An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 1 Resumen El presente proyecto surge del inter´es por analizar la estabilidad de una tuber´ıa para el transporte de fluidos desde su enfoque matem´atico y estructural. Se pretende analizar la afectaci´on de las condiciones de contorno y de los materiales utilizados en la fabricaci´on de tuber´ıas sobre la estabilidad. Para ello en la primera parte del proyecto se realizar´a una modelizaci´on matem´atica mediante un modelo de elementos finitos y se calcular´an las zonas de estabilidad del sistema. El resultado del an´alisis matem´atico ser´a utilizado para aplicarlo al estudio de un problema fluido-estructural, concretamente al estudio de la estabilidad y la vibraci´on de una tuber´ıa. La segunda parte del proyecto se basar´a en la simulaci´on num´erica de los diferentes tipos de tuber´ıa, utilizando para ello el programa ANSYS que se basa en el m´etodo de los elementos finitos. Con los c´alculos realizados en la primera parte de este estudio se podr´a verificar si la simulaci´on del comportamiento de la tuber´ıa es fiable y se aproxima a la realidad. A partir de los datos obtenidos se podr´an conocer las zonas de estabilidad del sistema analizado, as´ı como los materiales para tuber´ıas que tienen un mejor comportamiento frente a vibraciones estructurales. De manera que el proyecto se concluye con una propuesta de un rango de materiales ´optimos para el caso de estudio. P´ag. 2 Memoria An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 3 ´ Indice general Resumen 1 ´ Indice general 4 ´ Indice de figuras 5 1. Introducci´on 7 2. Modelizaci´on matem´atica 9 1. Elementosfinitos ................................ 9 2. Descripci´on del m´etodo aproximado de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Modelo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1. Primer paso. Tratamiento espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Segundo paso. Tratamiento temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Extrapolaci´on del modelo matem´atico a un ejemplo de estructuras 19 1. Representaci´on del paso de un fluido por una tuber´ıa . . . . . . . . . . . . 19 1.1. Primer caso: Empotrado en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . 26 1.2. Segundo caso: Empotrado en un extremo y apoyado en el opuesto . 26 4. Estudio de la estabilidad 29 1. Definici´on de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1. Puntos de equilibrio y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Estudio de la estabilidad del paso de un fluido por una tuber´ıa . . . . . . . 31 5. Simulaci´on num´erica 39 6. Presupuesto 47 P´ag. 4 Memoria 7. Estudio del impacto ambiental 49 Conclusiones 51 Agradecimientos 53 Bibliograf´ıa 55 Ap´endice A. Definici´on de espacio de Hilbert 57 Ap´endice B. Pasos seguidos para la realizaci´on de la simulaci´on con ANSYS 61 An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 5 ´ Indice de figuras 3.1. Tuber´ıa ..................................... 20 3.2. Condiciones de contorno del primer caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3. Condiciones de contorno del segundo caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1. Valores propios de las diferentes tuber´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2. Representaci´on para Emenores que 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3. Representaci´on para Emayores que 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.1. Caso 1: Primer y segundo modo del PVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2. Caso 1: Primer y segundo modo del PE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3. Caso 1: Primer y segundo modo del hormig´on . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4. Caso 1: Primer y segundo modo del acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.5. Caso 1: Primer y segundo modo del aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.6. Caso 2: Primer y segundo modo del PVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.7. Caso 2: Primer y segundo modo del PE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.8. Caso 2: Primer y segundo modo del hormig´on . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.9. Caso 2: Primer y segundo modo del acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.10. Caso 2: Primer y segundo modo del aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.11. Caso 1: Primer y segundo modo del PVC del an´alisis de pandeo . . . . . . 45 5.12. Caso 2: Primer y segundo modo del PVC del an´alisis de pandeo . . . . . . 45 B.1.Tuber´ıaenANSYS............................... 62 B.2. Mallado de la tuber´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B.3. Condiciones de contorno y presi´on ejercidas sobre la tuber´ıa . . . . . . . . 64 P´ag. 6 Memoria An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 7 Cap´ıtulo 1 Introducci´on La din´amica y la estabilidad de las tuber´ıas de transporte de l´ıquido son temas que se han estudiado a fondo en las ´ultimas d´ecadas, como puede verse en los trabajos realizados por A. K. Misra, S. S. T. Wong, y M. P. Pa¨ıdoussis en [12], G.L. Kuiper y A.V. Metrikine en [8] y M. P. Pa¨ıdoussis, B.Tian y A.K. Misra en [15], por ejemplo. Para tuber´ıas de longitud finita, el comportamiento din´amico depende en gran medida del tipo de condiciones de contorno en ambos extremos, del tipo de material y fundamentalmente de la velocidad del fluido. Este proyecto surgi´o de los trabajos realizados por A.P. Seyranian y A.A. Mailybaev [17] sobre Teor´ıa de estabilidad de sistemas dependientes de param´etros y sus aplicaciones a problemas mec´anicos donde se estudian entre otros problemas la estabilidad y la din´amica de sistemas Hamiltonianos. Es importante notar que para algunas condiciones de contorno aparecen fuerzas de Coriolis en tuber´ıas que transportan fluidos. ´ Estas tienen naturaleza girosc´opica y es bien sabido que cuando se aproximan las soluciones de la ecuaci´on en derivadas parciales, que describe la mec´anica de la tuber´ıa por el m´etodo de Galerkin, se obtiene un sistema girosc´opico (ver J. M. T. Thompson [18]), cuya linealizaci´on proporciona un sistema Hamiltoniano. En estos ´ultimos a˜nos la simulaci´on num´erica de todo tipo de fen´omenos f´ısicos se debe por una parte al avance del c´alculo num´erico y por otra, a los avances tecnol´ogicos que han incrementado la capacidad de los nuevos ordenadores, permitiendo realizar algoritmos m´as complejos en tiempos de c´alculo considerados razonables. Las simulaciones por ordenador del comportamiento de s´olidos o fluidos, mediante la oportuna formulaci´on matem´atica de las leyes f´ısicas que los rigen, permiten obtener P´ag. 8 Memoria resultados cuantitativos y cualitativos en procesos de gran complejidad. Con este proyecto se pretende analizar matem´aticamente la influencia que ejerce el paso de un l´ıquido por una tuber´ıa cuyo modelo matem´atico viene gobernado por ecuaciones en derivadas parciales. El m´etodo num´erico que se utilizar´a para la obtenci´on de una soluci´on aproximada es el m´etodo de los Elementos Finitos. Este m´etodo es el m´as utilizado y proporciona resultados razonables en su aplicaci´on a problemas de muy dif´ıcil tratamiento. La presente memoria est´a estructurada de la siguiente manera: En el cap´ıtulo 1 se hace una revisi´on de los conceptos matem´aticos necesarios para el desarrollo y estudio del modelo a tratar. Para este estudio ha sido b´asico el texto de J. Masdemont [10] as´ı como [4], [13] y [16]. Una introducci´on a la teor´ıa de los espacios de Hilbert se ha incluido en el ap´endice A para hacer m´as autocontenida la memoria. En el cap´ıtulo 2 se realiza la descripci´on matem´atica de la din´amica y estabilidad de una tuber´ıa cuando por ella pasa un fluido. En el cap´ıtulo 3 bas´andonos en la teor´ıa de la estabilidad de Lyapunov, se hace el estudio de la estabilidad de la soluci´on de la ecuaci´on del sistema Hamiltoniano que obtenemos en el cap´ıtulo 2. En el cap´ıtulo 4 se desarrolla la simulaci´on num´erica con el programario ANSYS a la vez que se analizan los resultados obtenidos y se comparan con el cap´ıtulo 2. Adem´as se ha realizado un ap´endice, ap´endice B donde se explican todos los pasos que se deben realizar para reproducir el modelo en el programa. En el cap´ıtulo 5 se realiza el c´alculo del presupuesto que se efect´ua al realizar los diferentes estudios explicados anteriormente. En el cap´ıtulo 6 se describe el estudio de impacto ambiental que se produce debido al desarrollo de la presente memoria. Se concluye con la citaci´on de la bibliograf´ıa consultada para la realizaci´on de dicha memoria. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 9 Cap´ıtulo 2 Modelizaci´on matem´atica 1. Elementos finitos El m´etodo de los elementos finitos empez´o a desarrollarse hacia mediados de los a˜nos cincuenta para el an´alisis estructural de aviones, y desde entonces se ha consolidado como una herramienta de c´alculo para problemas de ciencia e ingenier´ıa ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran pr´acticamente irresolubles por m´etodos matem´aticos tradicionales. Aunque el nombre del M´etodo de Elementos Finitos se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de m´etodos de discretizado espacial y temporal y la aproximaci´on num´erica para encontrar soluciones a problemas de ingenier´ıa o f´ısicos es conocido desde antiguo. El concepto de “elementos finitos”parte de esa idea. Para encontrar vestigios de este tipo de c´alculos nos podemos remontar a la ´epoca de la construcci´on de las pir´amides de Egipto en las que se empleaban m´etodos de discretizado para determinar el volumen de las pir´amides. Arqu´ımedes empleaba el mismo m´etodo para calcular el volumen de todo tipo de s´olidos o el de ´areas. Ya en los a˜nos 40, Courant [5] propone la utilizaci´on de funciones polin´omicas para la formulaci´on de problemas el´asticos en subregiones triangulares, como un m´etodo especial del m´etodo variacional de Rayleigh-Ritz para aproximar soluciones. Fueron Turner, Clough, Martin y Topp [19], quienes presentaron el M´etodo de Elementos Finitos en la forma que la conocemos hoy en d´ıa. Actualmente el m´etodo se encuentra en una fase de gran expansi´on y es ampliamente utilizado en la industria y contin´uan apareciendo muchos trabajos de investigaci´on en este P´ag. 16 Memoria yγ, que en un principio se pueden escoger libremente dentro de un intervalo, pero para el m´etodo de Newmark es recomendable tomar el valor de α=1 2, ya que es el ´unico caso donde los sistemas tienen un orden de precisi´on O(∆t2 s). Entre los m´etodos m´as comunes se pueden encontrar: α=1 2,γ=1 2. M´etodo de aceleraci´on media constante. Es impl´ıcito y estable. α=1 2,γ=1 3. M´etodo de aceleraci´on lineal. Es impl´ıcito y condicionalmente estable. α=1 2,γ=1 6. M´etodo de Fox-Goodwin. Es impl´ıcito y condicionalmente estable. α=1 2,γ= 0. M´etodo de diferencias centradas. Es condicionalmente estable y si [M] y [C] son diagonales, es expl´ıcito. De todos estos m´etodos se utilizar´a el de la aceleraci´on media constante. Como en el instante inicial s´olo son conocidas uk 0y ˙uk 0, la aceleraci´on inicial se determina a partir de la evaluaci´on de (2.9) para t=t0: [Mk]¨uk 0=Fk(t0) + Qk(t0)−[Kk]uk 0−[Ck] ˙uk 0(2.15) Se suponen ahora conocidos los valores uk s, ˙uk sy ¨uk s. Para obtener uk s+1, ˙uk s+1 y ¨uk s+1, en primer lugar se calculan: rk s=uk s+ ∆ts˙uk s+∆t2 s 2(1 −γ)¨uk svk s= ˙uk s+ (1 −α)∆ts¨uk s(2.16) Si se sustituyen las ecuaciones anteriores en las dos ´ultimas del sistema (2.14), se obtiene: uk s+1 =rk s+γ 2∆t2 s¨uk s+1 ˙uk s+1 =vk s+α∆ts¨uk s+1 (2.17) Finalmente, se substituyen estas ecuaciones en la ecuaci´on (2.9) y se obtiene el sistema que nos permite calcular ¨uk s+1: ([M] + α∆ts[C] + [K]) ¨uk s+1 =Fk(ts+1) + Qk(ts+1)−[C]vk s−[K]rk s(2.18) Una vez encontrado ¨uk s+1, se utiliza (2.14) para calcular uk s+1 y ˙uk s+1. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 17 Obtenci´on del m´etodo mediante la f´ormula variacional en t Este m´etodo se basa en la implementaci´on del m´etodo de Newmark del c´alculo de residuos ponderados. Se considera el residuo ponderado de (2.9) en un intervalo de tiempo [ts, ts+2]: Zts+2 ts[Kk]uk+ [Ck] ˙uk+ [Mk]¨uk−Fk−Qkωsdt = 0 (2.19) Se aproxima la funci´on uk(t) al intervalo [ts, ts+2] usando la interpolaci´on de Lagrange con base a las aproximaciones que se tendr´an en los puntos ts,ts+1 yts+2. De forma que: uk(t)≃uk sLs 1(t) + uk s+1Ls 2(t) + uk s+2Ls 3(t) (2.20) donde Ls ison polinomios de segundo grado en t que cumplen Ls 1(ts) = 1, Ls 1(ts+1) = 0, Ls 1(ts+2) = 0 y an´alogamente para Ls 2yLs 3, aplicando los polinomios de interpolaci´on de Lagrange. Si a continuaci´on se considera el cambio de variable de taτdada por, t−ts+1 =τ∆t, la aproximaci´on de ukes: uk(τ)≃uk sLs 1(τ) + uk s+1Ls 2(τ) + uk s+2Ls 3(τ) (2.21) donde: Ls 1(τ) = 1 2τ(τ−1), Ls 2(τ) = 1 2(1 + τ)(1 −τ), Ls 3(τ) = 1 2τ(1 + τ) (2.22) Realizando este cambio de variable a la integral de residuos ponderados, substituyendo ukpor su aproximaci´on polin´omica y suponiendo que las matrices [Mk], [Ck] y [Kk] son constantes, obtenemos: [M] + (α∆t[C] + γ 2∆t2[K]uk s+2+ +−2[M] + (1 −2α)∆t[C] + (1 2−γ+α)∆t2[K]uk s+1+ +[M]−(1 −α)∆t[C] + (1 2−γ 2−α)∆t2[K]uk s= ∆t2(Fk s+Qk s) (2.23) siendo: α=Z1 −1τ+1 2ωsdτ, γ =R1 −1 1 2τ(1 + τ)ωsdτ 2R1 −1ωsdτ , gk s=R1 −1ωsg(ts+1 +τ∆t)dτ R1 −1ωsdτ (2.24) P´ag. 18 Memoria en la que la grepresenta FoQ. En el caso de interpolar la Fky la Qkdel mismo modo que ukse obtiene: Fk s=γ 2Fk s+2 + (1 2−γ+α)Fk s+1 + (1 2+γ 2−α)Fk s Qk s=γ 2Qk s+2 + (1 2−γ+α)Qk s+1 + (1 2+γ 2−α)Qk s (2.25) Los valores de αyγcorresponden a los vistos en el apartado anterior. Para resolver la ecuaci´on (2.23) se necesitan uk 0yuk 1, mientras que las condiciones iniciales que se tienen son uk 0y ˙uk 0. Es decir que para poder resolver este sistema primero se deber´ıa usar otro tipo de m´etodo, por ejemplo el de Taylor explicado en la anterior secci´on, con el fin de obtener uk 1a partir de uk 0, ˙uk 0y ¨uk 0. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 19 Cap´ıtulo 3 Extrapolaci´on del modelo matem´atico a un ejemplo de estructuras 1. Representaci´on del paso de un fluido por una tuber´ıa Se considera un sistema que consiste en una tuber´ıa recta, tensada y de longitud finita por la que pasa un fluido. Los siguientes supuestos se tienen en cuenta en el an´alisis del sistema: 1. Se omiten los efectos de la gravedad, del coeficiente de amortiguamiento del material, de la deformaci´on cortante y de la inercia rotacional. 2. La tuber´ıa se considera horizontal. 3. La tuber´ıa es inextensible. 4. El movimiento lateral de y(x, t) es peque˜no y de gran longitud de onda comparado con el di´ametro de la tuber´ıa de manera que la teor´ıa de Euler-Bernoulli es aplicable para la descripci´on de la vibraci´on por flexi´on de la tuber´ıa. 5. Se omite la distribuci´on de velocidad en el corte transversal de la tuber´ıa. P´ag. 20 Memoria Figura 3.1: Tuber´ıa La ecuaci´on que representa la tuber´ıa pretensada de un solo tramo por la que se transporta un fluido, es funci´on de la distancia xy del tiempo ty se basa en la teor´ıa de la viga (beam theory) [2] y [14]: EI ∂4y ∂x4+mp ∂2y ∂x2=fint(x, t) (3.1) donde EI es la rigidez a flexi´on de la tuber´ıa medido en Nm,mpes la masa de la tuber´ıa por unidad de longitud medido en kg myfint(x, t) es la fuerza del fluido sobre la tuber´ıa medido en N. El flujo interno del fluido se puede aproximar a un flujo de pist´on, como si existiera una barra flexible e infinita atravesando la tuber´ıa, de este modo todos los puntos del fluido tienen la misma velocidad Urelativa a la tuber´ıa. ´ Esta es una aproximaci´on razonable para un flujo turbulento. La fuerza puede escribirse como: fint =−mf d2y dt2x=Ut (3.2) donde mfes la masa del fluido por unidad de longitud (kg m) y Ues la velocidad del fluido (m s). La aceleraci´on total se puede descomponer en aceleraci´on local, coriolis y centr´ıfuga. mf d2y dt2x=Ut =mfd dt ∂y ∂t +∂y ∂x dx dt x=Ut=mfd dt ∂y ∂t +U∂y ∂xx=Ut= =mf∂2y ∂t2+ 2U∂2y ∂x∂t +U2∂2y ∂x2(3.3) El paso del fluido causa una presi´on hidrost´atica en la pared de la tuber´ıa. T=−AiPi(3.4) An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 21 donde Aies la ´area interna transversal de la tuber´ıa medido en m2yPies la presi´on hidrost´atica dentro de la tuber´ıa medido en P a. La ecuaci´on resultante se puede escribir como: EI ∂4y ∂x4+ (mfU2−T)∂2y ∂x2+ 2mfU∂2y ∂x∂t + (mp+mf)∂2y ∂t2= 0 (3.5) Aplicando el m´etodo de Galerkin y considerando la colecci´on de funciones {sen iπ Lx}i=1,2,... base del espacio vectorial de funciones infinitamente diferenciables definidas sobre un abierto Ω de Rny con soporte compacto en Ω, sobre el que se tiene definido el siguiente producto escalar: < f, g >=ZL 0 fg. Tomando n= 2, la soluci´on aproximada ser´a: y(x, t) = q1(t)sen π Lx+q2(t)sen 2π Lx Sustituyendo la soluci´on en la ecuaci´on: EI ∂4y ∂x4+ (mfU2−T)∂2y ∂x2+ 2mfU∂2y ∂x∂t + (mp+mf)∂2y ∂t2= 0.(3.6) Para ello se debe calcular: ∂y ∂t = ˙q1(t)sen π Lx+ ˙q2(t)sen 2π Lx ∂2y ∂t2= ¨q1(t)sen π Lx+ ¨q2(t)sen 2π Lx ∂2y ∂x∂t = ˙q1(t)π Lcos π Lx+ ˙q2(t)2π Lcos 2π Lx ∂y ∂x =q1(t)π Lcos π Lx+q2(t)2π Lcos 2π Lx ∂2y ∂x2=−q1(t)π2 L2sen π Lx−q2(t)4π2 L2sen 2π Lx ∂3y ∂x3=−q1(t)π3 L3cos π Lx−q2(t)8π3 L3cos 2π Lx ∂4y ∂x4=q1(t)π4 L4sen π Lx+q2(t)16π4 L4sen 2π Lx y se obtiene: P´ag. 22 Memoria EIq1(t)π4 L4sen π Lx+q2(t)16π4 L4sen 2π Lx+ (mfU2−T)−q1(t)π2 L2sen π Lx−q2(t)4π2 L2sen 2π Lx+ 2mfU˙q1(t)π Lcos π Lx+ ˙q2(t)2π Lcos 2π Lx+ (mp+mf)¨q1(t)sen π Lx+ ¨q2(t)sen 2π Lx= 0 (3.7) Ahora se multiplica escalarmente la ecuaci´on por sen π Lxy sen 2π Lx. Previamente se calcula el producto escalar de estas funciones por las funciones sen π Lx, sen 2π Lx, cos nπ Lxy cos 2π Lxy utilizando a continuaci´on la bilinealidad. RL 0sen2π Lx=RL 0 1 2(1 −cos 2π Lx) = 1 2(x−L 2πsen 2π Lx)|L 0=L 2 RL 0sen22π Lx=RL 0 1 2(1 −cos 4π Lx) = 1 2(x−L 4πsen 4π Lx)|L 0=L 2 RL 0sen π Lxsen 2π Lx=1 2RL 0(cos −π Lx−cos 3π Lx) = 1 2(−L πsen−π Lx−L 3πsen 3π Lx)|L 0= 0 RL 0sen π Lxcos π Lx=RL 0 1 2sen 2π Lx=−1 2 L 2πcos 2π Lx|L 0= 0 RL 0sen π Lxcos 2π Lx=RL 0 1 2(sen 3π Lx+ sen −π Lx) = −1 2(−L 3πcos 3π Lx+L πcos −π Lx)|L 0=−2L 3π RL 0sen 2π Lxcos π Lx=RL 0 1 2(sen 3π Lx+ sen π Lx) = −1 2(L 3πcos 3π Lx+L πcos π Lx)|L 0=4L 3π RL 0sen 2π Lxcos 2π Lx=RL 0 1 2sen 4π Lx=−1 2 L 4πcos 4π Lx|L 0= 0 Multiplicando la ecuaci´on por sen π Lxse obtiene: L 2(mp+mf)¨q1(t)−8 3mfU˙q2(t) + EI π4 2L3−(mfU2−T)π2 2Lq1(t) = 0 (3.8) Multiplicando ahora la ecuaci´on por sen 2π Lxse obtiene: L 2(mp+mf)¨q2(t)−8 3mfU˙q1(t) + EI 8π4 L3−(mfU2−T)4π2 L2q2(t) = 0 (3.9) El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (3.8),(3.9) se puede escribir de forma matricial: M¨q+B˙q+Cq = 0 An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 23 donde: M= L 2(mp+mf) 0 0L 2(mp+mf)!(3.10) B= 0−8 3mfU 8 3mfU0! C= EI π4 2L3−(mfU2−T)π2 2L0 0EI 8π4 L3−(mfU2−T)4π2 L2! q= q1(t) q2(t)! Haciendo el cambio x=M1/2qy premultiplicando la ecuaci´on por M−1/2se obtiene el sistema girosc´opico lineal: ¨x+G˙x+Kx = 0 donde: G=M−1/2BM−1/2, K =M−1/2CM−1/2, que aplicado a dicho caso particular esto es, aplicado a la ecuaci´on (3.10) y despu´es de calcular: M−1/2=1 qL 2(mp+mf) 1 0 0 1! queda: G=16mf L(mf+mp) 0−1 1 0 ! K=2 L(mf+mp) EI π4 2L3−(mfU2−T)π2 2L0 0EI 8π4 L3−(mfU2−T)4π2 L2! Introduciendo ahora el vector: x y!= x ˙x+Gx/2! P´ag. 24 Memoria y calculando las derivadas de xeyse tiene ˙x=y−Gx/2, ˙y= ¨x+G˙x/2 y teniendo en cuenta que ¨x=−G˙x−Kx se linealiza el sistema obteniendo: ˙x ˙y!= −G/2I2 G2/4−K−G/2! x y! La matriz Ade dicho sistema es Hamiltoniana ya que QA es sim´etrica, donde Qes la matriz antisim´etrica: Q=      0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0−100       Para simplificar notaciones se consideran los siguientes par´ametros: Λ = EIπ4 L3, δ = (mfU2−T)π2 L, β =1 L(mf+mp)(3.11) las matrices GyKse escriben como: G= 16mfβ 0−1 1 0 ! K= 2β 1 2Λ−1 2δ0 0 8Λ −4 Lδ!(3.12) Y por lo tanto, la matriz Aes: A=      0 8mfβ1 0 −8mfβ0 0 1 −64m2 fβ2−βΛ + βδ 0 0 8mfβ 0−64m2 fβ2−16βΛ + 8 Lβδ −8mfβ0       Esta matriz Ase puede escribir como: A=      0a1 0 −a001 b0 0 a 0c−a0       , con a= 8mfβ,b=−64m2 fβ2−βΛ + βδ yc=−64m2 fβ2−16βΛ + 8 Lβδ. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 25 La ecuaci´on caracter´ıstica de la matriz es: λ4+ (2a2−b−c)λ2+ (a2+c)(a2+b) = 0 (3.13) que es una ecuaci´on bicuadrada, de donde se hallan los valores propios del sistema: λ=±s−2a2+b+c±√−8a2b−8a2c−2bc +b2+c2 2(3.14) Si se substituye por los valores se obtiene: λ4+256m2 fβ2+ 17βΛ−1 + 8 Lβδλ2+ 16β2Λ2−16 + 8 Lβ2Λδ+8 Lβ2δ2= 0 (3.15) λ=±sλ1±β√λ2 2(3.16) con: λ1=−256m2 fβ2−17βΛ + 1 + 8 Lβδ λ2= 65536m4 fβ2+ 8704m2 fβΛ−512 + 4096 Lm2 fβδ+ 225Λ2+1 + 64 L2−16 Lδ2+30 −240 LΛδ (3.17) La simulaci´on del problema var´ıa seg´un las condiciones de contorno que se planteen. En este estudio se van a realizar dos casos utilizados en la construcci´on: Primer caso: Empotrado en ambos extremos Segundo caso: Empotrado en un extremo y apoyado en el opuesto P´ag. 32 Memoria es:       0100 0010 0001 0000       Basta observar que en ambos casos (b= 3a2,c=−a2ob=−a2,c= 3a2) el rango de la matriz es 3. Para a= 0 la forma reducida de Jordan es:       0100 0010 0000 0000       Para estos puntos se tienen singularidades del tipo 04y 03en los l´ımites de estabilidad. Tambi´en se obtiene el valor propio 0 para los puntos (a, b, c) tales que: (a2+c)(a2+b) = 0 2a2−b−c6= 0 ) Esto es, para los valores (a, b, −a2) con b6=−3co (a, −a2, c) con c6=−3b. En los puntos (a, b, −a2) se tienen dos casos seg´un bsea o no igual a −a2. Para b6=−a2la forma de Jordan es:       0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 √3a2−b0 0 0 0 −√3a2−b       Para b=−a2la forma de Jordan es:       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 √3a2−b0 0 0 0 −√3a2−b       en este caso la matriz es semisimple. En los puntos (a, −a2, c) se tienen dos casos seg´un csea o no igual a −a2. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 33 Para c6=−a2la forma de Jordan es:       0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 √3a2−c0 0 0 0 −√3a2−c       Para b=−a2la forma de Jordan es:       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 √3a2−c0 0 0 0 −√3a2−c       en este caso la matriz es semisimple. Para los puntos en los que b6=−a2yc6=−a2se tienen singularidades del tipo 02en los l´ımites de estabilidad. Queda por estudiar el caso en que ning´un valor propio es nulo. Las ra´ıces de la ecuaci´on µ2+(2a2−b−c)µ+(a2+c)(a2+b) = 0, son reales y negativas cuando los coeficientes de la ecuaci´on son positivos y el discriminante de la ecuaci´on es positivo o nulo. Esto es: 2a2−b−c > 0 (a2+c)(a2+b)>0 (2a2−b−c)2≥4(a2+c)(a2+b)        En el caso en que (2a2−b−c)2= 4(a2+c)(a2+b) los valores propios ser´an ±iω dobles µ=−(2a2−b−c)<0 doble, por lo que λ=±i√2a2−b−c=±iω dobles. Aplicando estas condiciones a nuestro caso particular se tiene: 265m2 f 1 L2(mf+mp)2+1 L(mf+mp)(17EIπ4 L3−(mfU2−T)π2 L(1 −8 L)) >0 16 E2I2π8 L8(mf+mp)2−(mfU2−T)EIπ6 L6 1 (mf+mp)+8 L5 (mfU2−T)2π4 (mf+mp)2>0 (265m2 f 1 L2(mf+mp)2+1 L(mf+mp)(17EIπ4 L3−(mfU2−T)π2 L(1 −8 L)))2≥ 64 E2I2π8 L8(mf+mp)2−4(mfU2−T)EIπ6 L6 1 (mf+mp)+32 L5 (mfU2−T)2π4 (mf+mp)2 P´ag. 34 Memoria Tomando como par´ametros constantes L= 1000mm,I= 2,185 ·106,Ai= 2500π debidos a la geometr´ıa de la tuber´ıa y mf= 2,5π·10−6T n mm teniendo en cuenta que el fluido es agua. Tambi´en se supone que el estudio est´a aplicado sobre la pared interna de la tuber´ıa por lo tanto Uen todos los puntos es cero [21]. Por lo tanto los valores a, b ycson: a=2π·10−8 (2,5π·10−6+mp) b=−4·10−16π2 (2,5π·10−6+mp)2−2,185 ·10−6Eπ4 (2,5π·10−6+mp)+2,5·10−3Piπ3 (2,5π·10−6+mp) c=−4·10−16π2 (2,5π·10−6+mp)2−34,96 ·10−6Eπ4 (2,5π·10−6+mp)+2·10−5Piπ3 (2,5π·10−6+mp) Esto permite obtener las siguientes relaciones dependiendo s´olo de mp,EyPi: 16 ·10−3 2,5·10−6π+mp + 37,145 ·10−3π2E−2,52πPi>0 5P2 i−8,74437EPiπ+ 7,63876 ·10−3E2π2>0 16 ·10−13 2,5·10−6π+mp + 3,7145 ·10−4Eπ2−2,52Piπ2 > 0,2P2 i−0,3497748EPiπ+ 3,055504 ·10−4E2π2 (4.1) Se han elegido 5 tipos de materiales utilizados actualmente en la fabricaci´on de tuber´ıas para poder comparar el cambio de estabilidad que se produce debido al material [11]. Para ello se ha supuesto que la geometr´ıa en todos los tipos de tuber´ıa es igual, aunque realmente los proveedores no fabriquen las mismas medidas para diferentes materiales. Los valores que se utilizan son el di´ametro interior de la tuber´ıa que es de 50 mm y el An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 35 grosor que es de 6 mm, adem´as se supone que el fluido ejerce una presi´on constante en la pared de la tuber´ıa de 4 bares. Los materiales que se han elegido son el policloruro de vinilo (PVC), el polietileno (PE), el hormig´on, el acero y el aluminio. Los c´alculos num´ericos de los valores propios as´ı como las gr´aficas que aparecen a continuaci´on de cada zona de estabilidad han sido realizadas mediante Matlab [7]. Los valores del m´odulo de elasticidad Ey de la masa por unidad de longitud mpde la tuber´ıa de PVC son: E= 30,581 N mm2 mp= 2,76 ·10−6Tn mm Aplicando las inecuaciones (4.1) se obtiene que la soluci´on es inestable y los valores propios para este material son: λ1=−48,042 λ2= 48,042 λ3= 98,936i λ4=−98,936i Los valores del m´odulo de elasticidad Ey de la masa por unidad de longitud mpde la tuber´ıa de PE son: E= 9,174 N mm2 mp= 1,91 ·10−6Tn mm Aplicando las inecuaciones (4.1) se obtiene que la soluci´on es inestable y los valores propios para este material son: λ1= 54,549 λ2=−54,549 λ3= 56,341i λ4=−56,341i P´ag. 36 Memoria Los valores del m´odulo de elasticidad Ey de la masa por unidad de longitud mpde la tuber´ıa de Hormig´on son: E= 221,203 N mm2 mp= 4,40 ·10−6Tn mm Aplicando las inecuaciones (4.1) se obtiene que la soluci´on es estable y los valores propios para este material son: λ1= 0,362i λ2=−0,362i λ3= 2,479i λ4=−2,479i Los valores del m´odulo de elasticidad Ey de la masa por unidad de longitud mpde la tuber´ıa de Acero son: E= 210000 N mm2 mp= 15,7·10−6Tn mm Aplicando las inecuaciones (4.1) se obtiene que la soluci´on es estable y los valores propios para este material son: λ1= 1,377i λ2=−1,377i λ3= 5,51i λ4=−5,51i Los valores del m´odulo de elasticidad Ey de la masa por unidad de longitud mpde la tuber´ıa de Alumino son: E= 70000 N mm2 mp= 5,4·10−6Tn mm Aplicando las inecuaciones (4.1) se obtiene que la soluci´on es estable y los valores propios para este material son: An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 37 λ1= 1,059i λ2=−1,059i λ3= 4,241i λ4=−4,241i Se pueden representar los valores propios de las diferentes tuber´ıas analizadas de la siguiente manera: −60 −40 −20 0 20 40 60 −6000 −4000 −2000 0 2000 4000 6000 Valores Propios de los Materiales Parte Real Parte Imaginaria PVC PE Hormigón Acero Aluminio Figura 4.1: Valores propios de las diferentes tuber´ıas La zona estable es aquella en que la parte real de los valores propios es menor o igual que cero para cualquier valor de la parte imaginaria. Por lo tanto, se observa que las tuber´ıas de PVC y de PE son inestables ya que uno de los valores propios tiene parte real positiva. Si se representan las inecuaciones halladas anteriormente sobre un rango de valores de presi´on Picomprendidos entre 2 y 5 bares seg´un la f´ormula de Mougnie [20] y de masa por unidad de longitud mpde 0 a 1·10−8T n mm , se encuentra que el rango ´optimo de estabilidad es aquel en el que el m´odulo de elasticidad Ees mayor que 200 N mm2. P´ag. 38 Memoria 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10−8 Figura 4.2: Representaci´on para Emenores que 250 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 200 250 300 350 400 450 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10−8 Figura 4.3: Representaci´on para Emayores que 200 An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 39 Cap´ıtulo 5 Simulaci´on num´erica Para evaluar las estabilidades que se han hallado en el cap´ıtulo anterior se utiliza un programario de elementos finitos llamado ANSYS [13]. Este programario puede determinar las vibraciones caracter´ısticas utilizando un an´alisis modal, de manera que se obtienen las frecuencias naturales y los modos de vibraci´on que son par´ametros importantes para el dise˜no de estructuras en estudios din´amicos. As´ı mismo, puede realizar un estudio de pandeo en el cual se obtienen las frecuencias que definen la estabilidad de la estructura. Este segundo an´alisis sirve para comparar los resultados de los c´alculos realizados anteriormente, mientras que el primer an´alisis es ´util para visualizar la respuesta del sistema ante las condiciones de contorno y de presi´on. Las siguientes im´agenes muestran los dos primeros modos de vibraci´on de la tuber´ıa estudiada para el primer caso, as´ı como las frecuencias naturales de ambos modos: P´ag. 40 Memoria (a) Primer modo (b) Segundo modo Figura 5.1: Caso 1: Primer y segundo modo del PVC (a) Primer modo (b) Segundo modo Figura 5.2: Caso 1: Primer y segundo modo del PE (a) Primer modo (b) Segundo modo Figura 5.3: Caso 1: Primer y segundo modo del hormig´on An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 41 (a) Primer modo (b) Segundo modo Figura 5.4: Caso 1: Primer y segundo modo del acero (a) Primer modo (b) Segundo modo Figura 5.5: Caso 1: Primer y segundo modo del aluminio Las siguientes im´agenes muestran los dos primeros modos de vibraci´on de la tuber´ıa estudiada para el segundo caso, as´ı como las frecuencias naturales de ambos modos: P´ag. 48 Memoria RECURSOS HUMANOS Precio por hora (e/h) Tiempo(h) Total(e) Honorarios ingeniero 20 360 7200 Desplazamientos y dietas 195 7395 Total recursos humanos (e) 7395 RECURSOS MATERIALES Software empleado Total(e) Licencia Ansys ED 10 s/c Licencia AutoCad2010 3500 Licencia Matlab R2009a 4000 Licencia Winedit 6.0 25 7525 Equipos utilizados Total(e) Amortizaci´on ordenador 120 Amortizaci´on impresora 15 135 Material fungible Total(e) Impresi´on definitiva y encuadernaci´on 120 Fotocopias 45 Otros 10 175 Otros Total(e) Internet 198 Electricidad 96 294 Total recursos materiales (e) 8129 Total presupuesto (e) 15524 IVA (18 %) 2794,32 Presupuesto (e) 18318,32 Cuadro 6.1: Presupuesto El presupuesto de este proyecto asciende a dieciocho mil tres cientos dieciocho euros con treinta y dos c´entimos. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 49 Cap´ıtulo 7 Estudio del impacto ambiental La sostenibilidad articula una visi´on alternativa sobre la utilizaci´on de nuestro entorno y garantiza las condiciones esenciales para alcanzar una calidad de vida aceptable, tanto para la poblaci´on actual como para la futura. El objetivo final de la sostenibilidad es mejorar la calidad de vida a largo plazo. Para evaluar la sostenibilidad se han de tener en cuenta una serie de criterios que deben ser v´alidos a lo largo del tiempo. Los distintos aspectos a tener en cuenta son el ecol´ogico, el econ´omico as´ı como el social. De esta manera se debe asegurar que la obtenci´on de recursos se hace de forma duradera en el tiempo, por lo que se mantendr´a o aumentar´a la capacidad de los ecosistemas, asegurando adem´as una distribuci´on equitativa de la actividad econ´omica para aumentar el bienestar de la poblaci´on. En este cap´ıtulo se analizan los impactos que este proyecto, modelizaci´on matem´atica del paso de un fluido por una tuber´ıa, ejerce sobre el medio ambiente. Se considera que la naturaleza del proyecto es de no generaci´on de impacto ambiental. Ya que el efecto sobre el medio ambiente es pr´acticamente imperceptible (y es debido a los recursos materiales empleados y a la energ´ıa el´ectrica consumida). Adem´as la simulaci´on num´erica permite reducir el n´umero de ensayos o experimentos a realizar, sin eliminarlos por completo, de manera que los recursos materiales y energ´eticos a poner en juego son m´ınimos y la repercusi´on considerable sobre el medio ambiente se limita considerablemente. P´ag. 50 Memoria Si se realizasen obras para mejorar los circuitos de tuber´ıas existentes tanto en construcci´on civil como en rehabilitaci´on de edificios, y se aplicasen los materiales que se consideran mejores, a nivel de vibraci´on estructural, se producir´ıa un impacto ambiental importante y se deber´ıa realizar un estudio exhaustivo (como ya se hace actualmente para la ejecuci´on de obras) para prever y calcular el impacto ambiental del proyecto de obra, tanto econ´omica como socialmente e intentar reducirlo lo m´aximo posible. La aplicaci´on de los resultados obtenidos en este proyecto permite realizar dicha reducci´on. An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 51 Conclusiones Las conclusiones a las que se llega una vez analizados y comparados los resultados de la modelizaci´on matem´atica y de la simulaci´on num´erica son: •Se han alcanzado los objetivos fijados al inicio del proyecto. •Con la realizaci´on del proyecto se ha conseguido obtener un modelo para calcular la estabilidad de todo tipo de tuber´ıas as´ı como su simulaci´on con el programa ANSYS. •Se ha demostrado que los resultados obtenidos tanto con la modelizaci´on como con la simulaci´on, a pesar de ser aproximados, reflejan el comportamiento real de la tuber´ıa. •Queda demostrado que para realizar una buena modelizaci´on y simulaci´on basada en elementos finitos se deben conocer los fundamentos matem´aticos y f´ısicos que afectan al sistema a estudiar. •Se debe tener en cuenta que a pesar de que la simulaci´on es una herramienta fundamental para el estudio de la vibraci´on estructural, adem´as de aportar una reducci´on de tiempo y de coste, nunca se debe dejar de lado la experimentaci´on para poder corroborar los resultados. Por lo tanto, una posible continuidad de este proyecto ser´ıa la implementaci´on y experimentaci´on de las soluciones de estabilidad halladas en los cap´ıtulos del documento. P´ag. 52 Memoria An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 53 Agradecimientos Quisiera agradecer a todas aquellas personas que han hecho posible este proyecto: A Maria Isabel Garc´ıa Planas, por su confianza y apoyo durante los ´ultimos seis a˜nos y sus consejos y ayuda para la realizaci´on de este proyecto. A Paqui Riverola y Maria Dolors Magret por la esmerada lectura que han hecho del redactado final. A mis amigos de la universidad, sin ellos hubiese sido muy diferente el d´ıa a d´ıa en la ETSEIB. A la gente que he conocido realizando pr´acticas por todo lo que me han ense˜nado y ayudado. Muy especialmente a mis padres y a mi hermana, y como no, al resto de la familia, por su esfuerzo, apoyo incondicional y ternura durante toda mi vida. A mi marido por estar a mi lado durante estos ´ultimos seis a˜nos y apoyarme siempre. Y a todas las personas que de una manera u otra han ayudado a que este proyecto saliera adelante. Muchas gracias. P´ag. 54 Memoria An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 55 Bibliograf´ıa [1] Abellanas, L., Galindo, A. Espacios de Hilbert. Madrid, Ed. Eudema, 1987. [2] Abid-Al-Sahib, N.K., Jameel, A.N., Abdlateef, O.F. Investigation into the vibration Characteristics and Stability of a Welded Pipe Conveying Fluid. Jordan Journal of Mechanical and Industrial Engineering. Vol. 4(3), 2010, p. 378-387. [3] Arnold, V.I. Chapitres suppl´ementaires de la th´eorie des ´equations diff´erentielles ordinaires. Ed. Mir, 1984. (Traducido del ruso). [4] Bathe, K. Finite element procedures in engineering analysis. New Jersey, Prentice- Hall, 1982. [5] Courant, R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. 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Un espacio vectorial dotado de un producto escalar se dice espacio pre-Hilbert o eucl´ıdeo. Definici´on 1.2. Dada una sucesi´on de funciones de un espacio pre-Hilbert, se dice que es de Cauchy si cumple que l´ım n,m→∞ kun−umk= 0 Definici´on 1.3. Un espacio vectorial Hdotado de un producto escalar se dice espacio de Hilbert si es completo para la norma asociada, es decir, si toda sucesi´on de Cauchy del espacio Hes convergente. P´ag. 64 Memoria SFA,6,,PRES,-0.4 Figura B.3: Condiciones de contorno y presi´on ejercidas sobre la tuber´ıa Aplicaci´on de un primer an´alisis est´atico para calcular las tensiones iniciales: ANTYPE,0 PSTRES,1 SOLVE FINSIH /SOLU Aplicaci´on de un segundo an´alisis modal para conocer el movimiento real de la tuber´ıa y las frecuencias naturales de vibraci´on teniendo en cuenta las tensiones iniciales: ANTYPE,MODAL MODOPT,LANB,2,0,0,,OFF PSTRES,1 SOLVE FINISH Visualizaci´on de los resultados: An´alisis y simulaci´on del comportamiento de una tuber´ıa mediante MEF P´ag. 65 /POST1 SET,LIST SET,1,1 PLDI,1 ANMODE,10,0.05,,1 SET,1,2 PLDI,1 ANMODE,10,0.05,,1 Despu´es del an´alisis est´atico tambi´en se puede realizar un an´alisis de pandeo para conocer las frecuencias y los valores propios de pandeo teniendo en cuenta las tensiones iniciales, estos valores son los calculados en el cap´ıtulo estudio de la estabilidad: ANTYPE,BUCKLE BUCOPT,SUBSP,2 SOLVE FINISH Visualizaci´on de los resultados: /POST1 SET,LIST SET,1,1 PLDI,1 ANMODE,10,0.05,,1 SET,1,2 PLDI,1 ANMODE,10,0.05,,1