Grupos de simetría en la enseñanza secundaria

Departamento de Matemática Aplicada GRUPOS DE SIMETRÍA EN LA ENSEÑANZA SECUNDARIA. Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Francisco Marcos Lomo. Tutor: Alfonso J. Población Sáez. Valladolid, junio 2022 2 ÍNDICE. Presentación 5 1. Contexto. 9 Competencias clave. 10 Teorías de aprendizaje. 20 Metodologías. 22 2. Contenidos matemáticos. 27 Isometrías del plano. 27 Grupos de simetría. 30 Grupos de frisos. 31 Clasificación de frisos 32 Uso de los frisos 36 Grupos cristalográficos. 40 Clasificación de mosaicos 41 Uso de los mosaicos. 50 Grupos puntuales. 52 Uso de los grupos puntuales. 56 3. Desarrollo de simetrías en secundaria. 57 Simetrías en el currículo. 57 Simetrías en los libros de texto. 59 Competencias y grupos de simetría. 59 4. Actividades académicas para la enseñanza de grupos de simetría. 61 Conclusiones. 77 Bibliografía 79 3 4 Presentación El presente Trabajo de Fin de Máster, en adelante TFM, tiene el objetivo de completar la formación necesaria para ser docente. Es el final del Máster Universitario de Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, que tiene carácter habilitante , es decir, permite a los alumnos que lo superan ejercer la docencia profesionalmente. Según la guía docente, el TFM es un trabajo de reflexión final en el cual el estudiante deberá mostrar, mediante dicho trabajo escrito y una presentación oral pública ante un tribunal, que ha adquirido el conjunto de competencias del máster y que le capacitan para iniciar su actuación como docente de su especialidad en un centro de educación secundaria. Descripción. La descripción de lo que se va a desarrollar en este TFM es la siguiente. Tras un análisis de los contenidos que aparecen en los actuales currículos de Enseñanza Secundaria respecto al concepto de simetría, se pretende desarrollar una serie de actividades prácticas orientadas a la comprensión y reconocimiento de los distintos grupos de simetría de las figuras planas, así como la descripción de la metodología de su implementación en el aula y los mecanismos pertinentes para la posterior evaluación de la actividad. El objetivo principal de este TFM es realizar una reflexión acerca del concepto de simetría, presente en el currículo de matemáticas en secundaria. Para ello, se trazará un resumen de los diferentes grupos de simetría existentes, analizando las matemáticas subyacentes de dichos grupos y valorando la posibilidad de llevarlo al aula. Estructura del trabajo. El TFM consta de cinco apartados: contexto, contenidos matemáticos, ubicación en la enseñanza secundaria, actividades para desarrollar en secundaria y conclusiones. El contexto pretende establecer un marco teórico de trabajo, centrado en las competencias clave que establece la ley vigente al comienzo del curso académico. Además se enmarcará el TFM dentro de los conocimientos adquiridos en el Máster y se introducirán diferentes teorías de aprendizaje y metodologías que pueden ser aplicadas en el desarrollo de los contenidos matemáticos que van a ser expuestos. 5 El apartado de contenidos matemáticos presenta un desarrollo de los movimientos en el plano y los grupos de simetría que se generan a partir de ellos. Es un apartado donde se sintetizan los contenidos matemáticos que contiene el TFM. El tercer apartado, pretende situar los contenidos de simetría expuestos en el segundo apartado dentro del currículo establecido por la ley vigente y los libros de texto, así como dar y fundamentar razones para su desarrollo en la educación secundaria. El cuarto apartado propone diferentes actividades para enseñar los grupos de simetría dentro de la enseñanza secundaria, lo que incluye su fundamentación y desarrollo. Por último se tiene un apartado de conclusiones que cierra el TFM. Vocación docente. Aunque no se trata de un requisito necesario dentro de los objetivos de un TFM, he considerado relevante y adecuado esbozar un resumen de mi historia personal y su relación con la vocación a ser profesor, en particular, profesor de matemáticas. Mi relación con la docencia parte, como en todos los casos, del otro lado, el lado del alumno. Cuando uno es alumno inevitablemente realiza una continua evaluación de sus profesores y los clasifica en buenos y no tan buenos, aunque sea en base a criterios subjetivos. Yo destacaba en matemáticas y tuve la suerte de participar en proyectos, como ESTALMAT, y concursos matemáticos, como la Olimpiada Matemática o el Canguro Matemático. En estos lugares tuve contacto con muy buenos docentes que se mueven por el aprendizaje y la transmisión de las matemáticas. También tuve la suerte de tener una gran profesora, exigente, pero muy dedicada a su labor docente, durante cinco años en el instituto, desde 2º de ESO hasta 2º de Bachillerato. Estos buenos docentes ayudaron a hacer crecer en mí el gusto por las matemáticas y, posteriormente, realicé el grado en Matemáticas en la Universidad de Valladolid. Entre los buenos docentes me gustaría incluir al que ha sido mi tutor durante el periodo de prácticas, que me ha mostrado mucha dedicación por los alumnos, más allá de los contenidos matemáticos. Hasta aquí hemos respondido a la pregunta ¿Por qué matemáticas? Falta responder a la pregunta ¿Por qué profesor? Porque considero que compartir los conocimientos que tengo sobre matemáticas es un buen objetivo para dedicar la vida. Esto también se nutre de los docentes que he mencionado anteriormente. 6 Si obviamos el explicar a mis compañeros de clase las dudas de matemáticas que les surgían, mi primer contacto con el lado del docente se remonta a mis 17 años, cuando empecé a dar clases particulares de matemáticas y no he parado de darlas hasta este año. He dado clases particulares de todos los cursos del instituto a una gran variedad de alumnos, pero esas clases particulares siempre tenían un único receptor. El hecho de dar clases particulares hizo que aumentara en mí el gusto por enseñar matemáticas, aunque hay que apuntar que no es lo mismo enseñar a un solo alumno que a un grupo, lo cual siempre me ha sugerido mayor respeto. Con las prácticas docentes, realizadas en este Máster, he tenido la oportunidad de ejercer la docencia de matemáticas en un aula por primera vez y la experiencia ha sido muy gratificante. No ha estado exenta de complicaciones ni de errores que como novato y como humano he podido cometer, pero cuando el docente pone entrega en lo que hace, los alumnos lo notan. Además los alumnos enseñan más de lo que parece. El deseo con el que parto tras realizar este Máster es el de poder dedicar mi vida para enseñar matemáticas a los que no las conocen y ayudar al crecimiento formativo de los alumnos de secundaria. 7 8 1. Contexto. Uno de los objetivos del trabajo es situar los conocimientos adquiridos en el Máster y aplicarlos dentro del trabajo. En cada asignatura se han obtenido los siguientes conocimientos: Procesos y contextos educativos: Conocer las cuestiones fundamentales del sistema educativo y comprender los procesos educativos en la sociedad actual. Aprendizaje y desarrollo de la personalidad: Conocer las características psicológicas de la adolescencia e identificar los diferentes enfoques de aprendizaje. Sociedad, familia y educación: Conocer y hacer propios los conceptos y problemática de la educación, familia y sociedad. Complementos de matemáticas: Dominar los contenidos teórico-prácticos de Matemáticas que se cursan en ESO y Bachillerato desde una perspectiva superior para que puedan desarrollar una docencia que no esté sesgada. Profundizar y desarrollar temas de matemáticas en el ámbito de la Educación Secundaria. Diseño curricular en matemáticas: Analizar contextos educativos y realizar planificaciones didácticas. Didáctica de las matemáticas: Conocer los desarrollos teórico-prácticos propios de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Metodología y evaluación en matemáticas: Conocer y saber aplicar metodologías, técnicas básicas de investigación educativa y procesos de evaluación en Matemáticas. Innovación docente en matemáticas: Aplicar propuestas docentes innovadoras en el ámbito de Didáctica de la Matemática. Iniciación a la investigación educativa en matemáticas: Identificar los principales problemas y líneas de investigación en Didáctica de la Matemática relacionadas con la educación matemática en Secundaria y Bachillerato. Modelos matemáticos en educación secundaria: Conocer y desarrollar diferentes modelos matemáticos y poder llevarlos al aula. 9 4. Aprender a aprender. La competencia de aprender a aprender es la capacidad de iniciar y persistir en el aprendizaje individualmente o en grupos, organizar el propio aprendizaje y administrar eficazmente el tiempo y la información. Es fundamental para el aprendizaje permanente que se produce a lo largo de la vida. Esta competencia requiere, principalmente, la capacidad para motivarse por aprender. Esta motivación depende de que se genere la curiosidad y la necesidad de aprender, de que el estudiante se sienta protagonista del proceso y del resultado de su aprendizaje y, finalmente, de que llegue a alcanzar las metas de aprendizaje propuestas y, con ello, que se produzca en él una percepción de autonomía. Todo lo anterior contribuye a motivarle para abordar futuras tareas de aprendizaje. La competencia de aprender a aprender también requiere conocer y controlar los propios procesos de aprendizaje para ajustarlos a los tiempos y las demandas de las tareas y actividades que conducen al aprendizaje. La competencia de aprender a aprender desemboca en un aprendizaje cada vez más eficaz y autónomo. Esta competencia incluye una serie de conocimientos y destrezas que requieren la reflexión y la toma de conciencia de los propios procesos de aprendizaje. Así, los procesos de conocimiento se convierten en objeto del conocimiento y, además, hay que aprender a ejecutarlos adecuadamente. Para el desarrollo de la competencia de aprender a aprender vamos a tener en cuenta los siguientes indicadores: ●Desarrollar un hábito de estudio. ●Conocer las propias capacidades para trabajar de forma eficiente. ●Tener curiosidad y motivación por el aprendizaje. ●Participar activamente en las actividades del aula siendo protagonistas del aprendizaje propio. ●Utilizar diferentes y adecuadas estrategias de aprendizaje, teniendo en cuenta los objetivos. ●Tener la capacidad de aprender de los propios errores, sin considerarlos un fracaso irreparable. ●Saber aplicar los conocimientos adquiridos en diferentes contextos. ●Evaluar el aprendizaje adquirido, capacidad de autoevaluación. 16 5. Competencias sociales y cívicas. Las competencias sociales y cívicas implican la habilidad y capacidad para utilizar los conocimientos y actitudes sobre la sociedad, entendida desde las diferentes perspectivas, en su concepción dinámica, cambiante y compleja, para interpretar fenómenos y problemas sociales en contextos cada vez más diversificados; para elaborar respuestas, tomar decisiones y resolver conflictos, así como para interactuar con otras personas y grupos conforme a normas basadas en el respeto mutuo y en convicciones democráticas. Además de incluir acciones a un nivel más cercano y mediato al individuo como parte de una implicación cívica y social. Esta competencia se divide en social y cívica La competencia social se relaciona con el bienestar personal y colectivo. Exige entender el modo en que las personas pueden procurarse un estado de salud física y mental óptimo, tanto para ellas mismas como para sus familias y para su entorno social próximo, y saber cómo un estilo de vida saludable puede contribuir a ello. Los elementos fundamentales de esta competencia incluyen el desarrollo de ciertas destrezas como la capacidad de comunicarse de una manera constructiva en distintos entornos sociales y culturales, mostrar tolerancia, expresar y comprender puntos de vista diferentes, negociar sabiendo inspirar confianza y sentir empatía. Las personas deben ser capaces de gestionar un comportamiento de respeto a las diferencias expresado de manera constructiva. La competencia cívica se basa en el conocimiento crítico de los conceptos de democracia, justicia, igualdad, ciudadanía y derechos humanos y civiles. Las destrezas de esta competencia están relacionadas con la habilidad para interactuar eficazmente en el ámbito público y para manifestar solidaridad e interés por resolver los problemas que afecten al entorno escolar y a la comunidad, ya sea local o más amplia. Para desarrollar las competencias sociales y cívicas se tendrán en cuenta los siguientes indicadores: ●Tener un correcto comportamiento en el aula y su entorno, siempre con un clima de respeto. ●Ayudar a resolver conflictos que surjan. ●Mostrar interés en la participación y en el derecho a aprender de los compañeros. ●Comprender la historia y la realidad social del mundo. ●Poder analizar hechos y problemas sociales e históricos y pensar críticamente. ●Responsabilizarse de las consecuencias de las propias decisiones, tomadas en libertad. 17 ●Comprender las contribuciones a la sociedad de diferentes culturas ●Respetar los principios y valores establecidos. ●Entender la postura de los demás, sobre todo cuando sea diferente. ●Ser asertivo en las relaciones sociales. ●Tener capacidad para trabajar en grupo. 6. Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. La competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor implica la capacidad de transformar las ideas en actos. Ello significa adquirir conciencia de la situación a intervenir o resolver, y saber elegir, planificar y gestionar los conocimientos, destrezas o habilidades y actitudes necesarios con criterio propio, con el fin de alcanzar el objetivo previsto. La adquisición de esta competencia es determinante en la formación de futuros ciudadanos emprendedores, contribuyendo así a la cultura del emprendimiento. Esta competencia requiere de las siguientes destrezas o habilidades esenciales: capacidad de análisis; capacidades de planificación, organización, gestión y toma de decisiones; capacidad de adaptación al cambio y resolución de problemas; comunicación, presentación, representación y negociación efectivas; habilidad para trabajar, tanto individualmente como dentro de un equipo; participación, capacidad de liderazgo y delegación; pensamiento crítico y sentido de la responsabilidad; autoconfianza, evaluación y autoevaluación, ya que es esencial determinar los puntos fuertes y débiles de uno mismo y de un proyecto, así como evaluar y asumir riesgos cuando esté justificado. Para el adecuado desarrollo de la competencia sentido de la iniciativa y espíritu emprendedor resulta necesario abordar lo siguiente: ●Manejar la incertidumbre, asumir y gestionar el riesgo. ●Desarrollar la creatividad. ●Tener capacidad para resolver problemas. ●Tener capacidad crítica para evaluar las posibles soluciones de problemas. ●Establecer metas reales. ●Ser activo en la toma de decisiones. 18 7. Conciencia y expresiones culturales. La competencia en conciencia y expresión cultural implica conocer, comprender, apreciar y valorar con espíritu crítico, con una actitud abierta y respetuosa, las diferentes manifestaciones culturales y artísticas, utilizarlas como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y considerarlas como parte de la riqueza y patrimonio de los pueblos. La competencia para la conciencia y expresión cultural requiere de conocimientos que permitan acceder a las distintas manifestaciones sobre la herencia cultural a escala local, nacional y europea y su lugar en el mundo. La expresión cultural y artística exige también desarrollar la iniciativa, la imaginación y la creatividad expresadas a través de códigos artísticos, así como la capacidad de emplear distintos materiales y técnicas en el diseño de proyectos. Además, en la medida en que las actividades culturales y artísticas suponen con frecuencia un trabajo colectivo, es preciso disponer de habilidades de cooperación y tener conciencia de la importancia de apoyar y apreciar las contribuciones ajenas. El desarrollo de esta competencia supone actitudes y valores personales de interés, reconocimiento y respeto por las diferentes manifestaciones artísticas y culturales, y por la conservación del patrimonio. Para el adecuado desarrollo de la competencia para la conciencia y expresión cultural resulta necesario abordar los siguientes indicadores: ●Conocer, respetar y valorar las diferentes expresiones culturales. ●Conocer el origen de la propia cultura. ●Descubrir la belleza en la diversidad de las culturas. ●Aprender diferentes lenguajes de expresión culturales. ●Tener capacidad de comunicar emociones e ideas. ●Participar en la vida y actividad cultural del lugar en que se vive. ●Valorar la libertad de expresión. ●Desarrollar la capacidad de esfuerzo, constancia y disciplina. ●Tener capacidad de trabajar en equipo. 19 Teorías de aprendizaje. En el presente TFM se va a trabajar teniendo en mente dos teorías de aprendizaje estudiadas en la asignatura de Aprendizaje y desarrollo de la personalidad. Estas teorías son la del aprendizaje por descubrimiento de Bruner y la del aprendizaje significativo de Ausubel, ambas se enmarcan dentro del constructivismo. La teoría del aprendizaje por descubrimiento fue desarrollada por el psicólogo y pedagogo estadounidense Jerome Bruner en la década de los 60. La principal característica de esta teoría es la pretensión de que el alumno obtenga (descubra) los conocimientos por sí mismo. Entre el resto de características destacan: ●Parte de la necesidad de la participación activa por parte del alumno en el aprendizaje. Requiere de despertar la curiosidad del alumno por el aprendizaje de contenidos nuevos. ●El aprendizaje se presenta en situaciones que desafían la inteligencia, impulsando la resolución de problemas. ●Para que se produzca aprendizaje se deben presentar alternativas para que se perciban relaciones y similitudes entre los contenidos a aprender. ●El descubrimiento consiste en transformar o reorganizar la experiencia que se tiene de la realidad, de manera que se puedan observar nuevos elementos de ella. ●El descubrimiento favorece el desarrollo mental, lo que se descubre por sí mismo se adhiere mejor al conocimiento personal. ●Importancia de los conflictos cognitivos que permitan contrastar al alumno los conocimientos. En matemáticas esta teoría se puede poner en práctica mediante resolución de problemas o planteando los propios contenidos matemáticos como herramientas que son descubiertas para afrontar un determinado problema. La teoría del aprendizaje significativo fue desarrollada por el psicólogo y pedagogo estadounidense David Paul Ausubel en la década de los 70. Esta teoría se presenta como oposición al aprendizaje memorístico, criticando de este la ausencia de relaciones que se establecen entre los diferentes contenidos. Como principales características se encuentran las siguientes. 20 ●Un contenido es significativo cuando tiene una estructuración lógica propia o puede establecerse por el que lo aprende. ●Construye los contenidos sobre los conocimientos previos, que son el conjunto organizado de ideas que preexisten al nuevo aprendizaje que se quiere instaurar. ●Para construir el conocimiento se hace uso de los organizadores avanzados, que son conceptos previos, que presentan un nivel superior de abstracción y establecen una conexión entre lo que ya conoce y lo que necesita conocer. ●El aprendizaje significativo se da cuando una nueva información se relaciona con un concepto ya existente; por lo que la nueva idea podrá ser aprendida si la idea precedente se ha entendido de manera clara. ●El docente debe identificar los conceptos básicos de la disciplina, organizarlos y jerarquizarlos ●Los contenidos, para ser significativos, deben: tener sentido lógico, por su organización y estructuración; integrarse en los conocimientos previos del alumno; despertar el interés del alumno por aprender. En la disciplina de matemáticas, todos los contenidos se van construyendo sobre los contenidos anteriores. Por ejemplo, la división se construye sobre el concepto de multiplicación, que a su vez ha sido desarrollado a partir del concepto de suma. Por esta razón se considera que el aprendizaje significativo debe tener mayor importancia que el aprendizaje memorístico en el aprendizaje de las matemáticas. A lo largo de TFM también se va a hacer uso de los cuatro principios básicos de Z. P. Dienes, matemático húngaro, para la comprensión de los conceptos matemáticos por parte del alumno. Estos principios se han visto en la asignatura de Innovación docente en matemáticas y son: ●Principio dinámico: la construcción de conceptos exige que el alumno realice experiencias concretas con material adecuado y en forma de juego. De esta forma se establecen ideas preliminares que facilitan la capacidad de abstracción. ●Principio de constructividad: los alumnos deben tener un primer contacto con las realidades matemáticas de forma manipulativa. Esto permite a los alumnos construir personalmente los conceptos. Un ejemplo de material manipulativo es Geogebra, donde se pueden modificar variables y observar los resultados de manera inmediata. ●Principio de variabilidad perceptiva: implica presentar un concepto matemático a través de distintas situaciones. Esto se hace para evitar la reducción de un concepto a una situación 21 concreta. Por ejemplo, presentar un cuadrado con los horizontales y verticales y también con los lados oblicuos. ●Principio de variabilidad matemática: un concepto matemático comprende un cierto número de variables esenciales, así como de elementos constantes. Este principio consiste en proponer experiencias que supongan hacer variar lo más ampliamente posible dichas variables para remarcar lo que hay de constante. Cuanto más diversas sean las experiencias que se propongan para las distintas manifestaciones de un concepto, mejor será la comprensión de éste por parte del alumno. Metodologías. A lo largo del TFM se van a proponer varias metodologías que puedan emplearse para el aprendizaje de los contenidos expuestos. Estas metodologías han sido estudiadas en la asignatura de “Metodología y evaluación en matemáticas” Lección magistral participativa. En la lección magistral o método expositivo el profesor explica de forma oral, ayudándose de una pizarra o una presentación, unos contenidos que los alumnos deben aprender. Mientras el docente expone ordenadamente los conceptos, los alumnos prestan atención a la explicación y toman apuntes para poder repasar posteriormente las explicaciones y así poder asimilar el conocimiento. Se trata de una metodología usada desde muy antiguo, ya los filósofos griegos sofistas la usaban y ha continuado usándose como metodología principal a lo largo de toda la historia de la educación hasta la actualidad. En las últimas décadas, esta metodología ha sido criticada porque no fomenta la participación directa del alumnado en el aprendizaje, siendo considerado un espectador, no obstante sigue siendo la metodología más usada. Para contrarrestar esta crítica se emplea una modalidad que se denomina lección magistral participativa. El apellido de participativa implica que el docente introduce preguntas hacia el alumnado para captar su atención, fomentar su participación en la propia explicación y provocar que afloren las dudas existentes para poder afrontarlas. Las preguntas deben invitar a que los alumnos expongan lo que han entendido sobre las lecciones explicadas. Entre las actitudes que debe tener el profesor para una adecuada lección magistral participativa destacan las siguientes: 22 ●Hacer que la lección sea atractiva para los alumnos, buscando conectar con realidades cotidianas de los mismos. ●Llevar preparada la exposición para tenerla bien organizada, de modo que sea fluida y fácil de seguir por los alumnos. ●Ejemplificar rápidamente la nueva información para que los alumnos puedan relacionar los distintos conceptos. ●Repetir la información expuesta, especialmente la de mayor importancia para que los alumnos que no lo han captado a la primera puedan asimilar el aprendizaje. ●Realizar preguntas para que los alumnos puedan evaluar su propio aprendizaje con frecuencia. ●Captar la atención de los estudiantes empleando varios registros de volumen en la voz. ●Conectar los conceptos explicados para que los alumnos tengan referencias. Se trata de una metodología de sencilla ejecución y práctica a la que los alumnos están habituados. Es, junto con la resolución de ejercicios y problemas, la metodología que mayormente fue empleada durante el desarrollo de las prácticas docentes, obteniendo buenos resultados. Resolución de ejercicios y problemas. Esta metodología, de uso frecuente en la enseñanza de matemáticas, consiste en resolver diferentes ejercicios y problemas, para adquirir técnicas que se puedan emplear para resolver situaciones similares a las que se han resuelto. Con esta metodología se pretende un aprendizaje por repetición. Es necesario diferenciar entre ejercicios y problemas. Un ejercicio consiste en reproducir un algoritmo sistemáticamente para obtener un resultado, por ejemplo, la resolución de una ecuación de primer grado. Por otro lado, un problema requiere de realizar un razonamiento previo para establecer la vía de resolución, tiene mayor grado de abstracción. Cuando se repite un problema resuelto se convierte en un ejercicio. Para poner en práctica esta metodología es necesario utilizar previamente otra metodología que introduzca los conceptos necesarios para afrontar los ejercicios y los problemas. En particular casa muy bien con la lección magistral en la que además se puede exponer la resolución de ejercicios. Las principales actitudes que debe tener el docente en el uso de esta metodología son: ●Realizar muchos ejercicios para sistematizar la resolución de los mismos. ●Permitir que los alumnos se enfrenten con los problemas antes de proceder a su resolución. 23 ●Promover el razonamiento sobre los algoritmos para prevenir de un aprendizaje puramente algorítmico que se bloquee ante ejercicios y problemas nuevos. ●Seleccionar los problemas adecuadamente para el nivel de los alumnos Aprendizaje cooperativo. El aprendizaje cooperativo es un enfoque de la enseñanza que pretende organizar las actividades dentro del aula en grupos de trabajo para realizar las tareas de manera colectiva. De este modo se fomentan entre los alumnos las relaciones sociales y el trabajo en equipo. Con este enfoque, el aprendizaje va a depender de la información que comparten los alumnos en el desarrollo de las actividades educativas. Entre las actitudes para el buen uso de esta metodología se encuentran: ●Formar grupos de trabajo de aproximadamente cuatro alumnos atendiendo a las capacidades de los miembros y la posibilidad de que se complementen. ●Promover comunicación adecuada dentro de los grupos. ●Deben participar todos los miembros del grupo en el desarrollo de los trabajos teniendo en cuenta las condiciones de cada alumno. Aprendizaje basado en problemas. Esta metodología es similar a la expuesta anteriormente de resolución de problemas, pero tiene matices que la hacen distinta. Mientras que en la resolución de problemas se plantean primero los conceptos que permiten resolver los problemas, en el aprendizaje basado en problemas se plantea el problema sobre el que se introducen los conceptos durante su resolución. Además en esta metodología se suelen realizar los problemas en grupo, incluyendo la metodología de aprendizaje cooperativo. El objetivo es que los alumnos aprendan por descubrimiento, al ir encontrando las herramientas que les permitan resolver los problemas. El aprendizaje basado en problemas refuerza el razonamiento abstracto y la intuición y ayuda a los alumnos a enfrentarse a problemas de diferentes características. Los problemas empleados en esta metodología consisten en una descripción, en lenguaje sencillo, de conjuntos de fenómenos observables que requieren explicación. La tarea de los estudiantes es discutir acerca de estos problemas y aportar explicaciones necesarias que permitan afrontar los objetivos del problema. Se concede la misma importancia al proceso de aprendizaje que a los conocimientos que se pretenden adquirir. 24 Entre las principales actitudes para la correcta aplicación de esta metodología cabe destacar: ●Preparar adecuadamente los problemas para presentar los conceptos que se pretenden enseñar. ●Permitir a los alumnos trabajar en grupo. ●Dejar que los alumnos se enfrenten con los problemas sin dárselos resueltos. ●Proponer pistas adecuadas si los alumnos se bloquean, que permitan deshacer el bloqueo sin resolver el problema. ●Centrar el aprendizaje en los propios alumnos, siendo el docente un facilitador del aprendizaje. Aprendizaje basado en experiencias. Esta metodología sostiene que el alumno aprenda mediante la realización de experiencias, tratando los conceptos de forma directa y personal y pudiendo experimentar con ellos. Se trata de una metodología que intenta conducir, de forma natural, a la visión e interpretación de las cosas de una nueva manera. Su objetivo es poner al alumno en contacto con un fenómeno, bien sea conocido o parcialmente conocido, que lo motive y lo induzca a reproducirlo, con el fin de conocerlo mejor, dominarlo y utilizarlo. Pretende desarrollar la capacidad de las personas para aprender de su propia experiencia, siempre dentro de un marco conceptual concreto y bien desarrollado. Entre las características más importantes cabe destacar: ●El alumno debe ser un participante protagonista en el proceso de aprendizaje y no un mero espectador. ●El aprendizaje experiencial sucede cuando las experiencias se apoyan en la reflexión, el análisis crítico y la síntesis. ●El alumno debe tomar la iniciativa y se le debe tomar en cuenta para los resultados. ●El alumno, a través del proceso experiencial, se encuentra comprometido a realizarse preguntas, investigar, experimentar, resolver problemas, ser creativo. ●Las relaciones se desarrollan y alimentan: tanto las interpersonales como las intrapersonales. ●El resultado de las experiencias no es predecible, lo que permite que el profesor y el alumno puedan experimentar el éxito y el fracaso, y se abre la posibilidad de hacer pedagogía del fracaso, viéndolo como oportunidad de aprendizaje. 25 Clasificación de frisos Para clasificar los grupos de frisos vamos a emplear dos notaciones que se pueden encontrar en [1]. La notación cristalográfica,estandarizada por la Unión Internacional de Cristalografía, consiste en cuatro símbolos . El primer símbolo, , es común a todos los grupos de frisos, proviene de la 𝑝𝑥𝑦𝑧 𝑝 palabra primitiva y se refiere a que el eje pasa por uno de los lados del motivo que se repite. El segundo símbolo toma los valores si existen simetrías de ejes perpendiculares a la dirección del 𝑚 vector generador y si no existen. El tercer símbolo toma los valores si existe una simetría de eje 1 𝑚 paralelo al vector generador, si existe una simetría deslizante y en otro caso. El cuarto símbolo 𝑎 1 toma los valores si existe un giro de 180º y si no existe. 2 1 La notación de Fejes Toth utiliza el formato Fnm, donde indica el orden mayor de rotación y vale 𝑛 𝑚 1 si el friso tiene simetría de eje paralelo a la dirección de traslación, 2 si tiene simetrías de ejes perpendiculares a la dirección de traslación y 3 si tiene simetrías con deslizamiento, tomando el mínimo cuando tiene varias de las opciones. Existen siete grupos de frisos: Grupo 1: p111 oF1. Solo es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador o múltiplos enteros de este. 32 Grupo 2: p112 oF2. El friso es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador y múltiplos enteros de este y además, es invariante por giros de 180º. Grupo 3: p1a1 oF13. El friso es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador y múltiplos enteros de este y, además, es invariante por determinadas simetrías (transversales) con deslizamiento, cuyos ejes de simetría son paralelos al vector generador. 33 Grupo 4: pm11 oF12. El friso es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador y múltiplos enteros de este y, además, el friso es invariante frente a determinadas simetrías cuyos ejes son perpendiculares al vector generador. Grupo 5: pma2 oF22. El friso es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador y múltiplos enteros de este y, además, es invariante frente a determinadas simetrías con deslizamiento, cuyos ejes son paralelos al vector generador, y también es invariante por determinadas simetrías con ejes perpendiculares al vector generador. El friso tiene una simetría longitudinal y una transversal con desplazamiento. 34 Grupo 6: p1m1 oF11. El friso es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador y múltiplos enteros de este y además, resulta invariante por una simetría cuyo eje es paralelo al vector generador. Grupo 7: pmm2 oF21. El friso es invariante por las traslaciones generadas por el vector generador y múltiplos enteros de este y, además, es invariante por una simetría cuyo eje es paralelo al vector generador y determinadas simetrías con ejes perpendiculares al vector generador. 35 Uso de los frisos Los frisos, matemáticamente, son objetos de longitud infinita, por lo que no se pueden construir; pero si se pueden construir partes finitas de un friso, es decir, secciones de frisos. Se han utilizado a lo largo de la historia en la arquitectura, con fines decorativos, en lugares como la Alhambra de Granada. Sin embargo, los frisos se pueden encontrar en multitud de lugares, tales como los tramos rectos de carreteras o la pavimentación de las calles. Lo habitual es que se encuentren en elementos que se alargan en una única dirección, como caminos, columnas o bandas de una pared. La imagen (sacada de [6]) muestra frisos situados en la Alhambra de Granada. 36 Friso del tipo pm11 localizado en la capilla mayor del convento de las Carmelitas Descalzas de Valladolid. (Fotografía realizada por Francisco Marcos Lomo). Calle Claudio Moyano, Valladolid. (Hecha con google maps por Francisco Marcos Lomo) Friso del tipo pm11. 37 Autovía A-62. (Hecha con google maps por Francisco Marcos Lomo) friso del tipo pm11. Por otro lado, pueden considerarse frisos las funciones periódicas, en particular, las funciones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente. Seno, friso del tipo pma2. 38 Coseno, friso del tipo pma2. Tangente, friso del tipo p112. Imágenes realizadas con Geogebra. 39 Grupos cristalográficos. Al igual que los frisos, los grupos cristalográficos, o grupos de mosaicos, son infinitos en cuanto a tamaño. Los grupos cristalográficos son recubrimientos del plano que consisten en la repetición de una loseta a lo largo y ancho de todo el plano. Mientras que en los frisos solamente se trasladaba en una dirección, en los mosaicos el motivo que se repite se traslada en dos direcciones. Todos los grupos cristalográficos son globalmente invariantes para las traslaciones generadas por dos vectores, y , que son linealmente independientes entre sí, además de para las traslaciones 𝑢 𝑣 generadas por cualquier combinación lineal con coeficientes enteros de dichos vectores, , 𝑎𝑢+𝑏𝑣 con . Cuando dos vectores cumplen esta condición, siendo los de menor módulo en sus 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 direcciones, diremos que son vectores generadores del mosaico. Formalmente, sea un mosaico y vectores linealmente independientes. Entonces y son 𝑀 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 vectores generadores del mosaico si se cumple lo siguiente: si, y sólo si, , con . 𝑥∈𝑀 𝑥+𝑎𝑢+𝑏𝑣∈𝑀 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 Todos los mosaicos tienen, por definición al menos un par de vectores generadores, pero este par no es único. Del mismo modo del que se ha considerado para los frisos, si consideramos el conjunto de todas las traslaciones generadas por combinaciones enteras de dos vectores generadores, obtenemos un grupo isomorfo a , considerando como operación la composición. 𝑍2 Al paralelogramo que se forma con dos vectores generadores de un mosaico se lo denomina paralelogramo fundamental oregión fundamental. A la mínima figura de la cual se puede obtener el rectángulo fundamental mediante movimientos se la denomina motivo inicial. Con este paralelogramo se puede teselar todo el plano realizando traslaciones generadas por una combinación lineal de los vectores con coeficientes enteros. Los mosaicos guardan relación con los frisos, pero con la diferencia de que los frisos sólo tienen una dirección de traslación. Por esta razón, si restringimos un mosaico a una banda encontrada entre dos rectas paralelas, cuya dirección se puede generar como combinaciones enteras de vectores generadores del mosaico, la figura resultante resulta ser un friso. 40 Clasificación de mosaicos Hay 17 grupos cristalográficos. El hecho de que sean solamente 17 grupos fue establecido por Yevgraf Fedorov en 1891. Puede encontrarse una demostración de este resultado en [3], pero no se desarrollará en este trabajo ya que no entra dentro de los objetivos del mismo. En cuanto a la notación se van a utilizar las mismas que se usaron con los frisos, la notación de Fejes Toth y la notación cristalográfica. La notación cristalográfica,estandarizada por la Unión Internacional de Cristalografía, consiste en cuatro símbolos . El primer símbolo, , toma los valores si el eje pasa por uno de los lados del 𝑙𝑥𝑦𝑧 𝑙 𝑝 motivo que se repite o si pasa por el centro. El segundo símbolo, , toma los valores en 𝑐 𝑥 1, 2, 3,4 ,6 función del menor ángulo de giro que se puede encontrar en el mosaico, que coincide con . El 360 𝑥 tercer símbolo toma los valores si existe una simetría de eje perpendicular a uno de los lados del 𝑚 motivo inicial, si existe una simetría deslizante y en otro caso. El cuarto símbolo toma los valores 𝑔 1 si el mosaico tiene una simetría eje forma un ángulo de 90º con la dirección y o si el eje de 𝑚 𝑥=2 reflexión forma un ángulo de 45º con la dirección ó el eje de reflexión forma un ángulo de 30º 𝑥=4 con la dirección y o ; si en los casos anteriores hay simetría con deslizamiento en 𝑥=3 𝑥=6 𝑔 lugar de simetría y en el resto de los casos. 1 Esta notación puede aparecer simplificada, eliminando los símbolos repetidos. La notación de Fejes Toth emplea en este caso el formato Wnm, donde n toma los valores 1, 2, 3,4 ,6 en función del menor ángulo de giro que se puede encontrar en el mosaico, que coincide con . Por 360 𝑛 otro lado toma los valores si el mosaico tiene simetrías de ejes paralelos a la dirección de 𝑚 1 traslación, 2 si tiene simetrías de ejes perpendiculares a la dirección de traslación, 3 si tiene simetrías con deslizamiento, y si tiene simetrías con deslizamiento en dos direcciones. 4 Para la clasificación de los mosaicos se puede seguir el siguiente algoritmo que se puede encontrar en [6]. También se puede utilizar un algoritmo que se puede encontrar en [2]. 41 Grupo 12: p4g oW42. El mosaico se obtiene realizando una simetría y un giro de 90º. p4g Grupo 13: p4m oW41. El mosaico se obtiene realizando tres simetrías con ejes que forman ángulos de 45º, 45º y 90º. p4m 48 Grupo 14: p6m oW61. El mosaico se obtiene realizando tres simetrías cuyos ejes forman ángulos de 30º, 60º y 90º. Grupo 15: cm oW11. El mosaico se obtiene realizando una simetría y una simetría con deslizamiento de eje perpendicular. 49 Grupo 16: pg oW13. El mosaico se obtiene realizando dos simetrías con deslizamiento de ejes paralelos. Grupo 17: pgg oW24. El mosaico se obtiene realizando dos simetrías con deslizamiento de ejes perpendiculares. Uso de los mosaicos. Los mosaicos, como los frisos, están asociados a figuras planas de longitud infinita, por lo que solo se pueden construir fragmentos de mosaicos. A diferencia de los frisos, los mosaicos aparecen en elementos que se alargan con repetición en dos direcciones distintas. Se pueden encontrar mosaicos en las plantas de habitaciones, en paredes o en plazas. 50 Las siguientes imágenes (sacadas de [6]) muestran grupos de mosaicos situados en diferentes lugares de la Alhambra. 51 Grupos puntuales. Se denominan grupos puntuales ya que existe un punto, llamado centro, que es invariante para todos los movimientos del grupo. A diferencia de los grupos de frisos y de los grupos cristalográficos, los grupos puntuales son finitos, a excepción del grupo de una figura formada por la unión de circunferencias concéntricas; sin embargo, existen infinitos tipos Estos grupos también se denominan grupos de Leonardo en honor a Leonardo da Vinci ya que utilizó estos grupos con el fin de que al añadir capillas a un núcleo central se conservara la simetría original.. Otra denominación que tienen es la de rosetones o rosáceas, por ser lugares donde se presentan estos grupos de simetría. Como los movimientos de un grupo puntual tienen un punto invariante, no pueden estar dentro de estos grupos ni traslaciones, ni simetrías con deslizamiento, ya que la variedad invariante de estos movimientos es el conjunto vacío. Dentro de los grupos puntuales existen dos tipos: los grupos cíclicos y los grupos diédricos o diedrales. Los grupos cíclicos están compuestos por la identidad y un número finito de giros. Todos los giros de un grupo cíclico tienen el mismo centro. Se denota por Cnal grupo formado por giros de 𝑛−1 𝑘360 𝑛 grados con 𝑘=1, 2,... 𝑛−1. El grupo C1es el grupo trivial cuyo único elemento es la identidad, es decir, no existe en la figura ningún movimiento que la mantenga invariante. A continuación se muestran los grupos de simetría cíclicos desde C2hasta C6. C2C3 52 C4C5 C6 Los grupos diedrales están compuestos por la identidad, simetrías y giros. Se denota por Dnal grupo diédrico que está formado por simetrías cuyos ejes van formando ángulos de grados y 𝑛360 2𝑛 𝑛−1 giros de grados con 𝑘360 𝑛𝑘=1, 2,... 𝑛−1. A continuación se muestran los grupos de simetría diedrales desde D1hasta D6. 53 D1D2 D3D4 D5D6 54 El grupo de simetría de un polígono regular de lados es el grupo diedral Dn, como se puede observar 𝑛 en las siguientes figuras. D3D4 D5D6 D7D8 Las imágenes se han elaborado con Geogebra. 55 Se observa, tanto en los grupos cíclicos como en los diedrales cómo, a medida que aumentamos el número de giros, la figura adquiere una forma más circular, lo que nos permite también introducir la idea de límite utilizando estos grupos de simetría. Esto es algo que se puede emplear en la docencia, para abordar el concepto matemático de límite desde distintos puntos de vista, atendiendo al principio de variabilidad perceptiva de Dienes. Uso de los grupos puntuales. Los grupos puntuales se emplean habitualmente en elementos arquitectónicos que tienen una forma circular, como por ejemplo los rosetones de las iglesias. La Catedral de Burgos tiene un rosetón con grupo de simetría D6en la fachada occidental y otro con grupo de simetría D10 en la fachada del Sarmental; el rosetón de la Catedral de León se corresponde con un D12. Por otro lado, en un ámbito mucho más cotidiano, los grupos de simetría diédricos aparecen con frecuencia en los juegos competitivos. Esto se debe a que la simetría permite comenzar los juegos en equilibrio o igualdad de condiciones, que se puede entender como un juego justo. Así pues se pueden observar grupos diedrales D2en el campo de juego de varios deportes como el fútbol, el baloncesto o el tenis. También se pueden encontrar grupos diedrales en los tableros de juegos de mesa tradicionales como el parchís para cuatro jugadores, D4, o el de seis jugadores, D6o en la distribución de las piezas de ajedrez, D1, en un tablero que tiene un grupo de simetría C2. Como ocurría con los frisos, que aparecen en las funciones periódicas, el grupo D1se observa en las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas y el grupo C2en las funciones simétricas respecto del origen. También la propia forma humana y la de muchos animales tienen una configuración simétrica que se corresponde con grupos D1. Tableros de ajedrez y parchís. (Imagenes realizadas por Francisco Marcos Lomo) 56 3. Desarrollo de simetrías en secundaria. Simetrías en el currículo. Dentro del currículo establecido por la ley en [12] para los cursos de secundaria, se tiene, en relación con la simetría y los grupos de simetría presentados en este trabajo, lo siguiente en cada curso. Primer y segundo curso En el bloque de geometría aparece lo siguiente: Contenidos. -Figuras planas elementales: triángulo, cuadrado, figuras poligonales. Criterios de evaluación. -Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características que permiten clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico y abordar problemas de la vida cotidiana. Estándares de aprendizaje. -Reconoce y describe las propiedades características de los polígonos regulares: ángulos interiores, ángulos centrales, diagonales, apotema, simetrías, etc. -Los dos cursos incluyen los mismos contenidos en lo referente a simetrías. Esto es una muestra del carácter cíclico que presenta el currículo de matemáticas para el aprendizaje, repitiendo los contenidos curso tras curso, ampliando levemente la materia. Tercer curso académicas y aplicadas. Contenidos. -Movimientos del Plano: Traslaciones, giros y simetrías en el plano. Elementos dobles o invariantes. Reconocimiento de los movimientos y valoración de su belleza en el arte y la naturaleza. 57 Este sería el recorrido propuesto para la actividad, aunque probablemente haya muchos más grupos de simetría que los mencionados. Se trata de una colección muy rica de grupos de simetría de diferentes tipos, con los que los alumnos pueden aprender adecuadamente. Los alumnos dispondrán de un cuaderno de trabajo, con algunas de las fotografías de los motivos con simetrías señalados. Es aconsejable que, previo a la visita, los alumnos constaten a partir de las definiciones correspondientes, que esas imágenes representan esos grupos, y su justificación. En el aula se pueden trabajar traslaciones, giros, simetrías, etc., a partir de motivos recortados en cartulina, y observar cómo van disponiéndose bien en frisos, bien en mosaicos, bien en grupos puntuales. Asimismo se incluirá, dadas las facilidades que los móviles proporcionan, la elaboración de un libro digital de imágenes, realizadas por ellos mismos, y explicadas y comentadas matemáticamente. Evaluación. Para evaluar esta actividad se atenderá a los siguientes factores sobre los alumnos: ●Participación activa en la búsqueda de grupos de simetría. ●Atención prestada a las explicaciones de los guías. ●Motivación ante los objetivos de la actividad y curiosidad por aprender. ●Adquisición de nuevos conocimientos. ●Valoración positiva de la actividad. Actividad 2. Grupos de simetría por las calles de Valladolid. Resumen. Esta actividad consistirá en realizar un paseo con los alumnos recorriendo las calles de Valladolid identificando grupos de simetría en diferentes lugares de la ciudad. Es una actividad cultural que podría realizarse dentro de la semana cultural que está asentada en varios institutos de la ciudad y que ocuparía media mañana. Objetivos y competencias. El objetivo de esta actividad es similar al planteado en la actividad anterior, pero en este caso quedarían solventadas las dificultades de desplazamiento si se plantea en un instituto que esté situado en la propia ciudad de Valladolid, especialmente si el instituto está localizado cerca de la zona central 64 de la ciudad. Aunque en el TFM será planteada para la ciudad de Valladolid, se podría adaptar a cualquier otro lugar, ya que los grupos de simetría son empleados en multitud de lugares. Las competencias clave se desarrollan de forma similar a la anterior actividad: la matemática observando los modelos matemáticos que modelizan los grupos de simetría que se encuentran en la ciudad de Valladolid; la lingüística en las comunicaciones que se realizan entre los alumnos buscando distintos grupos de simetría; la digital en el uso de dispositivos móviles para realizar fotografías; la de aprender a aprender al abordar un enfoque de la información diferente del habitual del aula, lo que promueve que los alumnos generen nuevos modos de aprendizaje; la competencia cívica y social se ve reforzada por la convivencia entre los alumnos durante todo el paseo, buscando juntos elementos matemáticos; la de iniciativa emprendedora en la toma de decisiones sobre dónde buscar los grupos de simetría; la competencia cultural se ve enriquecida por el conocimiento de expresiones culturales que se encuentran en el entorno habitual de residencia de los alumnos. Metodología. La metodología empleada para el desarrollo de esta actividad es la del aprendizaje basado en experiencias, ya que los alumnos son los protagonistas para buscar por sí mismos grupos de simetría en la ciudad. Desarrollo. Por las calles de Valladolid se pueden encontrar multitud de elementos que contienen grupos de simetría, desde las aceras de las calles, el piso de los carriles bici, las rejas de los balcones o elementos decorativos de algunos edificios. Ayudado de la referencia [1], se ha realizado una guía con lugares de Valladolid que contienen grupos de simetría destacados. Un posible recorrido para realizar la actividad es el siguiente: ●Monasterio de Santa Isabel: se observan multitud de grupos puntuales dentro del claustro como D4,D6,C4,C5yC6. También se pueden ver frisos del tipo p111 en la capilla del monasterio. ●Iglesia de San Pablo: se pueden ver grupos diedrales D3yD6, en una capilla interior, y D12, en la fachada lateral, visible desde el patio que da acceso a la Capilla del Colegio de San Gregorio. ●Museo Nacional de Escultura: en la fachada se puede ver un mosaico del grupo p4g. ●Teatro Calderón: en parte de las fachadas laterales se encuentra un mosaico cmm. 65 ●Calle Macías Picavea: en el balcón de la casa número 7, se puede ver un D16. ●Iglesia de Santa María la Antigua: frisos del tipo pmm2 ypm11. Grupos diedrales D4, en los propios frisos, y D8en los rosetones y en el jardín de la plaza. ●Ruinas de la Colegiata románica: se pueden ver grupos diédricos D4yfrisos pma2. ●Plaza de la Universidad: friso p111, en la verja hacia López Gómez y en la planta del patio de los cipreses, donde estaban las antiguas colegiatas, se puede encontrar un mosaico del tipo pmm. ●Catedral: hay un grupo diedral D3dentro del museo y frisos del tipo pm11 en la fachada este. ●Calle López Gómez: en el número 24 se puede ver una fachada con un mosaico del tipo p6m. ●Calle Castelar: en el óculo de la entrada al Pasaje Gutiérrez se puede encontrar un grupo diédrico D16. ●Calle Teresa Gil: en el cruce con la calle San Felipe Neri hay un pavimento que corresponde a un mosaico p3m1. ●Colegio García Quintana: situado en Plaza España tiene un friso pma2. ●Calle Jose María Lacort: número 2 friso del tipo pm11. ●Calle Mantería: número 27 hay un friso del tipo pm11 y en el número 32 uno del tipo pmm2 en la reja del balcón. ●Calle Muro: en el número 20 se encuentra friso del tipo pm11. ●Plaza Madrid: en los balcones del edificio número 2 hay un friso del tipo p1m1. ●Calle Perú: en el número 17 se localiza un mosaico p6m. ●Calle Santiago: a la altura del número 19, adornando las rejas de varios balcones, se puede encontrar un D5y un friso p111. ●Patio de las Tabas: Grupos puntuales D4yC4además se pueden ver varios frisos. ●Plaza Martí y Monso: el pavimento de la plaza presenta un grupo cristalográfico del tipo pgg. En la referencia [1] se muestran grupos puntuales, frisos y mosaicos en diferentes lugares de la ciudad. Las siguientes imágenes están extraídas de [1]. 66 67 68 Los alumnos dispondrán de un cuaderno de trabajo, con algunas de las fotografías de los motivos con simetrías señalados. Es aconsejable que, previo al paseo, los alumnos constaten a partir de las definiciones correspondientes, que esas imágenes representan esos grupos, y su justificación. En el aula se pueden trabajar traslaciones, giros, simetrías, etc., a partir de motivos recortados en cartulina, y observar cómo van disponiéndose bien en frisos, bien en mosaicos, bien en grupos puntuales. Asimismo se incluirá, dadas las facilidades que los móviles proporcionan, la elaboración de un libro digital de imágenes, realizadas por ellos mismos, y explicadas y comentadas matemáticamente. Evaluación. Para evaluar esta actividad se atenderá a los siguientes factores sobre los alumnos: ●Participación activa en la búsqueda de grupos de simetría. ●Descubrimiento personal de grupos de simetría. ●Motivación ante los objetivos de la actividad y curiosidad por aprender. ●Adquisición de nuevos conocimientos. ●Valoración positiva de la actividad. Actividad 3. Movimientos y elaboración de grupos de simetría usando el ordenador. Resumen. Esta actividad consistirá en utilizar Geogebra para manejar los movimientos que están integrados en el programa, experimentando con su funcionamiento. Posteriormente se emplearán los movimientos para generar figuras con diferentes grupos de simetría. Para los grupos cristalográficos se empleará el programa Morenaments. El tiempo estimado para realizar esta actividad será de dos sesiones de 50 minutos. Objetivos y competencias. El objetivo de esta actividad es que los alumnos adquieran destreza en el manejo y entendimiento tanto de las isometrías, como de los grupos de simetría, al mismo tiempo que utilizan las nuevas tecnologías. Los programas sugeridos permiten al usuario realizar representaciones donde se visualizan muy bien los conceptos que los alumnos deben adquirir. Por otro lado, se pretende fomentar la creatividad. La facilidad con la que se realizan los mosaicos con el programa Morenaments permite fabricar una gran cantidad de diseños con los que los alumnos 69 pueden experimentar. El programa Geogebra también permite la experimentación sencilla para diseñar toda clase de diseños creativos. Las competencias clave se desarrollan de diversas maneras, destacando la matemática y la digital: la matemática trabajando con los conceptos geométricos de movimientos y manipulándolos con el ordenador; la lingüística en las comunicaciones necesarias para comprender el modo de emplear los programas y los objetivos de la actividad; la digital en el uso de programas informáticos durante todo el transcurso de la actividad; la de aprender a aprender eligiendo las representaciones de los movimientos que mejor ayuden al propio alumno a asimilarlo; la competencia cívica y social se ve reforzada en el comportamiento adecuado de los alumnos durante la actividad y en el cuidado del material informático del centro; la de iniciativa emprendedora en la toma de decisiones sobre cómo generar los propios grupos de simetría; la competencia cultural se ve fortalecida al realizar diseños artísticos mediante matemáticas que además pueden estar inspirados en las culturas que los alumnos conocen. Metodología. Las metodologías empleadas en esta actividad son: resolución de ejercicios y problemas, al realizar los diferentes apartados de la actividad, y aprendizaje basado en experiencias, al promover la experimentación de los alumnos con los conceptos matemáticos pudiendo manipular las variables que estos poseen. Desarrollo. La actividad se desarrollará en un aula con ordenadores, siendo óptimo que haya un alumno por cada ordenador, pero se podrían distribuir por parejas si los recursos materiales no son suficientes. La actividad consta de dos sesiones en las que se trabajará principalmente con el programa Geogebra, siendo la primera para la familiarización con el programa y los movimientos y la segunda para la creación de los grupos de simetría. Si los alumnos no han usado Geogebra anteriormente podría ser recomendable realizar una sesión previa. 70 La interfaz de Geogebra se muestra en la siguiente imagen: En la parte superior hay una barra con diferentes herramientas para representar puntos, segmentos, polígonos, lugares geométricos, etc. A la izquierda se muestran todas las variables que se han empleado en el dibujo que se muestra en el espacio que queda a la derecha. Si se pulsa en el cuadro marcado en azul, se despliega una lista que se muestra en la siguiente imagen donde están todos los movimientos del plano para ser usados. 71 Los ejercicios que se plantean para la primera sesión serán expuestos por el profesor y repetidos por los alumnos. Tienen los siguientes enunciados: ●Dibuja un punto y un vector. Realiza la traslación del punto por el vector. Dibuja un segmento y realiza la traslación del segmento por el vector. Dibuja una figura y realiza la traslación por el vector. Prueba con otros vectores y figuras. ●Dibuja un punto y una recta. Realiza la simetría del punto sobre la recta. Dibuja un segmento y realiza la simetría del segmento sobre la recta. Dibuja una figura y realiza la simetría sobre la recta. Prueba con otros ejes de simetría y figuras. ●Dibuja dos puntos. Realiza los giros de ángulos 30º y 90º con uno de los puntos como centro. Dibuja una figura y realiza los mismos giros en torno al punto. Prueba con otros ángulos de giro y figuras. ●Dibuja una recta y un vector paralelo. Realiza simetrías con deslizamiento de figuras con la recta de eje y el vector de deslizamiento. En la segunda sesión los ejercicios están destinados a que los alumnos creen grupos de simetría. ●Realiza figuras que tengan grupos de simetría cíclicos. ●Realiza figuras que tengan grupos de simetría diedrales. ●Realiza figuras que tengan grupos de simetría de frisos. ●Realiza figuras que tengan grupos de simetría cristalográficos. Para el último ejercicio se puede usar el programa Morenaments. 72 Evaluación. Para evaluar esta actividad se atenderá a los siguientes factores sobre los alumnos: ●Buen manejo de las herramientas de los programas. ●Motivación ante los objetivos de la actividad y curiosidad por aprender. ●Adquisición de nuevos conocimientos. ●Creatividad en los diseños. ●Valoración positiva de la actividad. Actividad 4. Desarrollo de grupos de simetría con aprendizaje basado en problemas. Resumen. Esta actividad plantea un problema matemático, que sirve para poner en práctica la metodología de aprendizaje basado en problemas y trabajar los contenidos de los grupos de simetría. La duración estimada es de una sesión. Objetivos y competencias. El objetivo de la actividad es promover que los alumnos aprendan sobre los grupos de simetría por descubrimiento, enfrentándose a un problema que requiere de su uso en el ámbito de una situación de la vida real. El problema se plantea en términos que se pueden comprender sin conocer los grupos de simetría, que irán descubriendo conforme avanzan en el problema. El desarrollo de las competencias clave se aborda de la siguiente manera: la matemática en el uso de ideas matemáticas, del área de la geometría, para elaborar la resolución del problema; la lingüística en las comunicaciones realizadas entre los alumnos de cada grupo, en la comprensión del enunciado y en la redacción de la solución propuesta; la digital en el diseño digital de la solución propuesta; la de aprender a aprender en la búsqueda de información útil para solucionar el problema; la competencia cívica y social se ve reforzada en el intercambio de propuestas para afrontar el problema; la de iniciativa emprendedora se trabaja en la toma de decisiones sobre cómo avanzar en la solución y en la evaluación de la misma; la competencia cultural se ve fortalecida en la creación de diseños artísticos mediante el uso de matemáticas. 73 Leyes: [11] BOE, Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, págs 6986-7003. [12] BOCYL, Viernes, 8 de mayo de 2015, Núm. 86, Págs. 32191-32231. Repositorio Uva (Consultados para ver la estructura y el planteamiento): [13] N. Díaz Cuadrado, Desarrollo de la metodología y didáctica empleada para el diseño de una programación dinámica para impartir matemáticas. Trabajo Fin de Máster, Universidad de Valladolid, 2019. [14] I. Martín Alfonso, Diseño de una programación didáctica para impartir Matemáticas con especial atención a la metodología. Trabajo Fin de Máster, Universidad de Valladolid, 2019. 80