Diseño de una programación dinámica en orden a impartir Matemáticas en Bachillerato

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Departamento Matemática Aplicada Diseño de una programación dinámica en orden a impartir Matemáticas en Bachillerato Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Ángel Gumiel Correa Tutor/: Cesáreo Jesús González Fernández Valladolid, Julio 2022 3 Contenido: 1. Introducción ............................................................................................................... 7 2. Programación didáctica ........................................................................................... 11 2.1. Marco legal ....................................................................................................... 11 2.2. Introducción contextual ..................................................................................... 11 2.3. Competencias básicas ...................................................................................... 14 2.4. Objetivos ........................................................................................................... 16 2.5. Contenidos ........................................................................................................ 18 2.7. Recursos ........................................................................................................... 24 2.8. Metodología ...................................................................................................... 25 2.9. Evaluación ........................................................................................................ 27 2.9.1. Sistema de recuperación ................................................................................. 28 2.9.2. Sistema de subida de nota ............................................................................... 28 2.9.3. Nota final ...................................................................................................... 29 2.9.4. Nota de la convocatoria extraordinaria.............................................................. 29 2.10. Atención a la diversidad .................................................................................. 29 2.10.1. Alumnos con trastorno por déficit de atención e hiperactividad (TDAH): .......... 29 2.10.2. Alumnos repetidores: .................................................................................... 30 2.10.3. Alumnos con altas capacidades: ..................................................................... 30 2.11. Plan de fomento a la lectura ........................................................................... 30 2.12. Actividades extraescolares y complementarias ............................................... 31 2.13. Evaluación de la programación didáctica ........................................................ 32 2.14. Conclusiones .................................................................................................. 35 3. Unidades didácticas ................................................................................................ 39 3.1. Unidad 10. Análisis y representación de funciones ........................................... 39 3.1.1. Justificación teórica ........................................................................................ 39 3.1.2. Contribución a las competencias básicas ........................................................... 40 3.1.3. Objetivos ...................................................................................................... 46 3.1.4. Contenidos y temporalización.......................................................................... 46 3.2. Unidad 11. La integral indefinida ....................................................................... 55 3.2.1. Justificación teórica ........................................................................................ 55 3.2.2. Contribución a las competencias básicas ........................................................... 56 3.2.3. Objetivos ...................................................................................................... 59 3.2.4. Contenidos y temporalización.......................................................................... 59 4 4. Conclusiones ........................................................................................................... 75 Bibliografía .................................................................................................................. 77 SECCIÓN 1: INTRODUCCIÓN 7 1. Introducción En el artículo 6 de la Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa, se define el currículo como la regulación de los elementos que determinan los procesos de enseñanza y aprendizaje de cada una de las enseñanzas y etapas educativas. Dichos elementos son los siguientes: a) Los objetivos que pretenden alcanzarse en cada etapa educativa. b) Las competencias, capacidades para aplicar de forma integrada los contenidos propios de cada enseñanza y etapa educativa, con el fin de lograr la realización adecuada de actividades y la resolución eficaz de problemas complejos. c) Los contenidos, conjunto de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes que contribuyen al logro de los objetivos de cada enseñanza y etapa educativa y a la adquisición de competencias. Los contenidos se ordenan en asignaturas, que se clasifican en materias y ámbitos, en función de las etapas educativas o los programas en que participe el alumnado. d) Los estándares de aprendizaje evaluables, que concretan lo que el estudiante debe saber, comprender y saber hacer en cada asignatura. e) Los criterios de evaluación, responden a lo que se pretende conseguir en cada asignatura. f) La metodología didáctica, conjunto de estrategias, procedimientos y acciones organizadas y planificadas por el profesorado con la finalidad de posibilitar el aprendizaje del alumnado. En esta misma ley se establecen las competencias que corresponden al Gobierno, al Ministerio de Educación y las Administraciones Educativas respectivamente. Los distintos niveles de concreción curricular que se nos presentan son: Primer Nivel: El correspondiente al diseño curricular dado por el ministerio de educación. Plantea los elementos curriculares, los objetivos generales de las distintas etapas, las definiciones de las diferentes áreas y los objetivos y bloques de estas mismas. Una vez establecido el currículo básico, es competencia de la Comunidad Autónoma de Castilla y León el completar el currículo para ser aplicado a los centros. 8 Segundo Nivel: El desarrollo curricular en este nivel es competencia de los centros educativos. Corresponde al equipo docente de cada centro el adecuar la normativa establecida en el primer nivel atendiendo a las características particulares del centro. Con este fin los centros elaboran un Proyecto Curricular de Centro, en el que se recogen los proyectos de cada Etapa, y dentro de éstos las programaciones didácticas de cada una de las enseñanzas impartidas. Tercer Nivel: Es el último nivel de concreción curricular, en el cual se deben adecuar los proyectos anteriores al aula. Para lograr esto cada docente elabora una programación de aula, concretando así la programación de departamento del nivel anterior. Esta programación va ya dirigida a un grupo concreto de alumnos con sus características particulares. Como podemos ver con esta breve introducción, la programación didáctica es parte de un conjunto de documentos sin cuyo contexto no tendría sentido. El objetivo que busco en este TFM es elaborar una programación didáctica para un curso de segundo de Bachillerato, así como dos de las unidades didácticas de dicha programación a modo de ejemplo. Como contexto en el cual elaborar esta programación he elegido el I.E.S. Hoces del Duratón, centro en el que he realizado las prácticas, de modo que pueda enmarcar la programación didáctica a elaborar dentro del Proyecto Educativo de Centro al que mi tutor me ha facilitado el acceso. Así mismo, he decidido desarrollar la programación enmarcada dentro de la LOMCE, ya que pese a estar ya derogada, durante el curso 2021-2022 en el que realicé las prácticas el currículo aún se encuentra marcado por la LOMCE. SECCIÓN 2: PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA 16 plenamente en la vida cívica y social, gracias al conocimiento de conceptos y estructuras sociales y cívicas. • Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEE): Para el desarrollo de esta competencia fomentaremos durante las clases la participación de los alumnos, siempre de forma respetuosa, así como el trabajo en equipo. Estudiando la matemática, una ciencia aplicada al estudio y análisis de resultados, podremos trabajar de forma directa esta competencia, puesto que dado un problema matemático podemos resolverlo mediante distintos métodos e interpretar el resultado obtenido desde distintos puntos de vista. Por esta razón, es importante que los alumnos desarrollen la capacidad de elegir que método de resolución e interpretación son los más adecuados en función del problema inicial. También deben ser capaces de analizar si el resultado obtenido es válido o no, trabajando de este modo el espíritu crítico. • Conciencia y expresiones culturales (CEC): La competencia en conciencia y expresión cultural implica conocer, comprender, apreciar y valorar con espíritu crítico, con una actitud abierta y respetuosa, las diferentes manifestaciones culturales y artísticas, utilizarlas como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y considerarlas como parte de la riqueza y patrimonio de los pueblos. Trabajaremos esta competencia llevando a cabo actividades dentro de un contexto cultural, relacionando de este modo nuestra unidad con problemas y situaciones del mundo real. Los resultados y teoremas teóricos se contextualizaran en su periodo histórico, de modo que el alumnado pueda comprender lo que supusieron para el desarrollo de la ciencia y la cultura en su momento. 2.4. Objetivos Los objetivos que deberemos alcanzar vienen fijados en el artículo 25 del Real Decreto 1105/2014 por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. 17 Artículo 25. Objetivos. El Bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que les permitan: a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa. b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales. c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades y discriminaciones existentes, y en particular la violencia contra la mujer e impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas por cualquier condición o circunstancia personal o social, con atención especial a las personas con discapacidad. d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal. e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma. f) Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras. g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación. h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus antecedentes históricos y los principales factores de su evolución. Participar de forma solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social. i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida. j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución 18 de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente. k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico. l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural. m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social. n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial. Además de estos objetivos generales, en cada unidad presentaremos objetivos específicos que se pretenden lograr mediante esa unidad. 2.5. Contenidos Los contenidos básicos a impartir son los establecidos por la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo. Estructuraremos dichos contenidos en distintas unidades didácticas de forma coherente y progresiva. Para realizar dicha distribución tenemos en cuenta que la metodología utilizada a la hora de explicar la base teórica de la materia será mayoritariamente deductiva. De este modo, organizamos los contenidos “de lo general a lo particular”. Por ejemplo, en el bloque de álgebra empezaremos con el estudio de las matrices y finalizaremos con el estudio de sistemas, de modo que tendremos que utilizar los conocimientos adquiridos en los temas anteriores y aplicarlos a los posteriores. BLOQUE I Unidad 1: Matrices • Definición de matriz. • Operaciones con matrices. • Potencias de una matriz cuadrada. • Matriz inversa. • Dependencia e independencia lineal. • Rango de una matriz. • Ecuaciones matriciales. 19 • Aplicaciones de las matrices. Unidad 2: Determinantes • Determinante de una matriz. • Menor complementario y adjunto de una matriz • Desarrollo de un determinante por una fila o columna. • Propiedades de los determinantes. • Rango de una matriz por menores. • Matriz inversa por menores. Unidad 3: Sistemas de ecuaciones • Sistemas de ecuaciones lineales. • Sistemas de ecuaciones equivalentes. • Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. • Resolución de sistemas por matriz inversa. • Resolución de sistemas por el método de Gauss. • Expresión por columnas de un sistema de ecuaciones lineales. • Teorema de Rouché. • Regla de Cramer. • Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. • Sistemas dependientes con parámetros. BLOQUE II Unidad 4: Vectores en el espacio • Vectores fijos y vectores libres. • Espacios vectoriales reales. • Combinación lineal de vectores. Base. • Producto escalar. • Producto vectorial. • Producto mixto. Unidad 5: Puntos, rectas y planos en el espacio • Sistemas de referencia en el espacio afín. 20 • Rectas en el espacio. • Planos en el espacio. • Posición relativa de dos planos. • Posición relativa de tres planos. • Posición relativa de dos rectas. • Posición relativa de una recta y un plano. • Haces y radiaciones de rectas y planos. Unidad 6: Problemas métricos en el espacio • Ángulo entre dos rectas. • Ángulo entre dos planos. • Ángulo entre recta y plano. • Proyecciones ortogonales. • Perpendicular común a dos rectas que se cruzan. • Distancia entre dos puntos. • Distancia entre un punto y una recta. • Distancia entre un punto y un plano. • Distancia entre dos rectas. • Distancia entre dos planos. • Lugares geométricos en el espacio. BLOQUE III Unidad 7: Límites y continuidad • Funciones reales de una variable real. • Límite de una función en un punto. • Límite de una función en el infinito. • Cálculo de límites. • Resolución de indeterminaciones. • Límites de funciones trigonométricas. • Continuidad de una función. • Clasificación de discontinuidades. • Operaciones con funciones continuas. 21 • Teoremas de continuidad. • Asíntotas de una función. Unidad 8: Derivadas • Derivada de una función. • Derivada de una función en un punto. • Tabla de derivadas. • Interpretación geométrica de la derivada. • Rectas tangente y perpendicular a una función en un punto. • Teorema de Rolle. • Teorema de Lagrange. Unidad 9: Aplicaciones de la derivada • Puntos críticos y monotonía. • Extremos relativos. • Puntos de inflexión y curvatura. • Regla de L’Hôpital. • Problemas de optimización. Unidad 10: Análisis y representación de funciones • Funciones polinómicas. • Funciones racionales. • Funciones radicales. • Funciones a trozos. • Funciones exponenciales. • Funciones logarítmicas. • Funciones trigonométricas. Unidad 11: Integral indefinida • Función primitiva. • Integrales inmediatas. • Propiedades de la integral indefinida. • Integrales de funciones derivadas de una función compuesta. 22 • Método de integración por sustitución. • Método de integración por partes. • Integración de funciones racionales. • Integrales trigonométricas. Unidad 12: Integral definida • Área bajo una curva. • Concepto de integral definida. • Propiedades de la integral definida. • Teorema del valor medio del cálculo integral. • La función integral y su derivada. • Regla de Barrow. • Área de una figura plana y longitud de un arco de curva. • Volumen de un cuerpo de revolución. BLOQUE IV Unidad 13: Probabilidad • Experimentos aleatorios. Espacio muestral. • Operaciones con sucesos. • Espacio de sucesos. • Probabilidad. Regla de Laplace. • Propiedades. • Probabilidad condicionada. • Sucesos dependientes e independientes. • Teorema de la probabilidad total. • Teorema de Bayes. Unidad 14: Distribuciones de probabilidad • Variables aleatorias. • Distribuciones de probabilidad discretas. • Distribución binomial. • Distribuciones de probabilidad continuas. 23 • Distribución normal. • Distribución normal tipificada. • Aproximación de una distribución binomial por una normal. 2.6. Temporalización A la hora de realizar la temporalización de la asignatura debemos tener en cuenta que nuestro sistema educativo divide el curso en tres evaluaciones. Pese a que pueda parecer lógico hacer coincidir los distintos bloques con las evaluaciones, considero que no es conveniente, dado que de este modo se da a entender a los alumnos que los distintos bloques son independientes entre sí. Creo que como docentes no debemos fomentar el estudio de la materia como una serie de compartimentos estancos y sin relación, si no que debemos propiciar que los propios alumnos relacionen los distintos bloques entre sí, desarrollando de este modo su espíritu crítico. Por esta razón decidimos realizar la temporalización atendiendo a que los contenidos impartidos en cada evaluación sean similares en dificultad y extensión a lo largo de las tres evaluaciones, y no a que la delimitación de los bloques coincida con las evaluaciones. Pese a ello, en la temporalización procuraremos que los contenidos de la tercera evaluación sean menos extensos y con menor dificultad a la hora de interiorizarlos y comprenderlos. De este modo dejamos tiempo para realizar un repaso sistemático de todo el curso de cara a la EBAU, para que los alumnos puedan recordar los contenidos anteriores y preguntar posibles dudas al docente. Tomando como referencia el calendario escolar del curso escolar 2021/2022 realizamos la siguiente distribución: EVALUACIÓN UNIDADES TEMPORALIZACIÓN Primera evaluación Unidades 1 a 4 15/09/2021 – 09/12/2021 Segunda evaluación Unidades 5 a 10 10/12/2021 – 10/03/2022 Tercera evaluación Unidades 11 a 14 11/03/2022 – 25/05/2022 Extraordinaria 27/06/2022 24 La temporalización de las unidades será la siguiente: BLOQUE UNIDAD DIDÁCTICA SESIONES I 1. Matrices 7 1ª Evaluación 2. Determinantes 7 3. Sistemas de ecuaciones 8 II 4. Vectores en el espacio 6 5. Puntos, rectas y planos en el espacio 7 2ª Evaluación 6. Problemas métricos en el espacio 5 III 7. Límites y continuidad 7 8. Derivadas 7 9. Aplicaciones de la derivada 8 10. Análisis y representación de funciones 6 11. Integral indefinida 11 3ª Evaluación 12. Integral definida 7 IV 13. Probabilidad 5 14. Distribuciones de probabilidad 6 2.7. Recursos Los recursos que utilizaremos serán de distintos tipos. Los alumnos dispondrán de textos de consulta tanto para reforzar como para ampliar a los que podrán acceder mediante un sistema de préstamo del propio departamento de matemáticas. Además de estos libros, los alumnos deberán comprar el libro de texto decidido por el departamento, que nombraremos más adelante. Los recursos informáticos serán fundamentales durante el curso. Dichos materiales tienen dos objetivos principales. El primero, utilizaremos recursos informáticos para comunicarnos de manera fluida con los alumnos, tanto para facilitarles el material necesario como para realizar un seguimiento más individualizado. Nuestro segundo objetivo será proporcionar a los alumnos aplicaciones y recursos informáticos que puedan utilizar para realizar un estudio autónomo de la materia. 25  Libro de texto: (MT 2 (MATEMATICAS TECNOLOGICAS) BACH AULA 3D; L. PANCORBO PALENZUELA, G. RUIZ BUENO; ED. VICENS VIVES; ISBN13 9788468235844)  Pizarra en la que tanto profesor como alumnos pueden resolver ejercicios.  Tablet y cañón proyector. En ocasiones utilizaremos este soporte para el desarrollo de los contenidos aprovechando así el potencial gráfico que este recurso nos ofrece.  Aplicación Microsoft Teams. Utilizaremos este recurso para comunicarnos con el alumnado y facilitar materiales, así como para realizar seguimiento y apoyo a alumnos indispuestos.  Calculadora científica. Será fundamental el uso de esta herramienta puesto que en la prueba de EBAU su uso está permitido y es conveniente que los alumnos se familiaricen con su uso. En este sentido, enseñaremos al alumno a manejarla de manera adecuada.  Otras aplicaciones informáticas (Wolfram Alpha, geogebra, Derive…). Utilizaremos distintas aplicaciones informáticas en las que nos apoyaremos para ilustrar nuestras explicaciones, y a su vez introduciremos a los alumnos en su funcionamiento para que puedan utilizarlas de manera autónoma. 2.8. Metodología Podemos definir la metodología como el conjunto de estrategias, procedimientos y acciones organizadas y planificadas por los docentes, de manera consciente y reflexiva, con la finalidad de posibilitar el aprendizaje del alumnado y el logro de los objetivos planteados. Debemos definir para ello los papeles que toman profesores y alumnos en cada metodología concreta. En términos absolutos, no podemos afirmar que haya metodologías mejores o peores, si no que debemos escoger la metodología adecuada atendiendo a las características y necesidades concretas de cada curso. De este modo, considero que es adecuado 32 2.13. Evaluación de la programación didáctica Es de vital importancia evaluar la propia programación para poder mejorar cada uno de los distintos aspectos didácticos que intervienen en el proceso de enseñanza aprendizaje. De acuerdo al artículo 21 de la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, para evaluar nuestra programación debemos tener en cuenta indicadores de logro que nos permitirán comprobar el correcto funcionamiento de nuestra programación y valorar nuestro propio desempeño como docentes. Estos indicadores tendrán la forma de una serie de cuestiones que nos servirán para reflexionar sobre los distintos aspectos reflejados en esta programación. Como principal herramienta de recogida de datos para esta evaluación utilizaremos una rúbrica de autoevaluación, que presentaremos a nuestros alumnos y nos permitirá conocer sus opiniones y cuantificar el grado de consecución de los distintos aspectos de la programación. La rúbrica que utilizaremos es la siguiente: 33 MATEMÁTICAS II Valora los siguientes aspectos con una puntuación del 0 al 10, siendo 10 muy positivo y 0 muy negativo. Material 1. ¿Consideras que el material ha sido el adecuado? 2. ¿Crees que se ha hecho buen uso del material? 3. ¿Qué te ha parecido el material de apoyo proporcionado? Contenidos 4. ¿Te han parecido los contenidos difíciles de asimilar? 5. ¿Te ha parecido adecuado el orden en el que se han impartido las unidades? Fomento a la lectura 6. ¿Consideras que se ha despertado el interés por la lectura en la asignatura? 7. ¿Las lecturas propuestas han sido de tu agrado? Evaluación 8. ¿Consideras justo el sistema de evaluación? 9. ¿El nivel de los exámenes te ha parecido el adecuado? Evaluación personal 10. ¿Consideras que has trabajado lo suficiente? 11. ¿Has prestado atención en clase? 12. ¿Consideras correcta tu actitud en el aula? 13. ¿El ritmo de la clase es el adecuado? 14. ¿Has comprendido bien las explicaciones del profesor? 15. ¿Los ejercicios realizados en clase te han servido para preparar el examen? 16. ¿Ha resuelto el profesor las dudas planteadas? Ambiente 17. ¿Ha sido el ambiente de la clase el adecuado para dar clase? 18. ¿Te sientes cómodo para preguntar dudas en clase? 34 Observaciones En este apartado puedes dar tu opinión sobre aspectos concretos. En caso de hacer referencia a alguna de las preguntas anteriores, procura especificar el número (por ejemplo, “5. Creo que sería mejor que la unidad X se impartiera antes.”) Nota Global Asigna a la materia una nota global entre 0 y 10 35 2.14. Conclusiones La programación didáctica representa los objetivos alcanzados en multitud de aspectos didácticos tales como la práctica docente o la coordinación interna de Departamento de Matemáticas. La programación es el instrumento específico para la planificación, desarrollo y evaluación de la materia, y en ella se recogen los distintos elementos del currículo necesarios para el desarrollo de la actividad docente. Es importante que el docente, tanto de manera propia como en coordinación con el departamento lleve a cabo su labor docente dentro del contexto de este documento, con el objetivo de que el alumno lleve consiga el mejor proceso de aprendizaje posible, y que mediante la evaluación de la propia programación este proceso vaya mejorando. SECCIÓN 3: UNIDADES DIDÁCTICAS 39 3. Unidades didácticas En esta sección desarrollaremos dos unidades didácticas parte del programa del aula. Las dos unidades a desarrollar serán las unidades 10 y 11, “Análisis y representación de funciones” y “La integral indefinida” respectivamente. La razón por la que escojo estas dos unidades para reflejarlas en este trabajo es que son las dos unidades que más trabaje durante mis prácticas en instituto. Como ya hemos expuesto anteriormente, utilizaremos mayoritariamente una metodología expositiva, tanto deductiva como inductiva, atendiendo al contexto en el que nos encontremos. 3.1. Unidad 10. Análisis y representación de funciones 3.1.1. Justificación teórica En este apartado realizaremos la unidad didáctica correspondiente al tema del Análisis y representación de funciones, incluido dentro del bloque III de Análisis del 2º curso de bachillerato. La legislación en la que nos basamos es la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, en la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y León. Para tener en cuenta los conocimientos que el alumno ha adquirido previamente en este bloque y contextualizar mejor nuestra unidad didáctica, expondremos los contenidos que se imparten en el bloque III de 2º bachillerato: • III.1. Límites, continuidad y asíntotas. • III.2. Cálculo de derivadas. • III.3. Aplicaciones de las derivadas. • III.4. Análisis de funciones y representación de curvas. • III.5. Integral indefinida. • III.6. Integral definida. 40 Antes de empezar con esta unidad, hemos estudiado el concepto de función con sus características, la derivada de una función en un punto y la correspondiente interpretación geométrica. Nos encontramos pues con alumnos que deberían tener las herramientas necesarias para analizar y representar funciones, aplicando conocimientos previos ya adquiridos. A estas alturas los alumnos son capaces de calcular puntos críticos, puntos de inflexión y los máximos y mínimos relativos de una función. Tenemos en cuenta que esta opción va dirigida a alumnos que han elegido la rama científico-tecnológica de bachillerato, lo cual dota a esta unidad de un fuerte carácter preparatorio, ya que en la mayoría de grados de dicha rama se trabaja el concepto de función, siendo por tanto importante comprender lo que es y ser capaz de estudiar sus propiedades. 3.1.2. Contribución a las competencias básicas En este apartado relacionaremos las competencias básicas con los contenidos que impartiremos. Las competencias básicas son:  Competencia en comunicación lingüística: CCL  Competencia matemática: CM  Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: CCI  Tratamiento de la información y competencia digital: TIG  Competencia social y ciudadana: CSC  Competencia cultural y artística: CCA  Competencia para aprender a aprender: CAA  Autonomía e iniciativa personal: AIP En la siguiente tabla relacionamos los contenidos con las competencias. Como es lógico se trabajará la competencia matemática, estando todos los contenidos de esta materia relacionados con ella. Respecto a la competencia en autonomía e iniciativa personal, siendo un curso de segundo de bachillerato, el alumno debe trabajar de forma autónoma para practicar lo visto en clase y afianzar dichos conocimientos. La 41 competencia en comunicación lingüística será fomentada por el profesor, que pedirá a los alumnos que sean capaces de explicar los razonamientos seguidos, tanto en lenguaje coloquial como mediante el uso del lenguaje matemático. Por último, se trabajará la competencia digital, tanto al hacer un uso adecuado de la calculadora para realizar los cálculos, como al poder utilizar programas digitales de representación gráfica tales como Geogebra o Wolfram Alpha para comprobar los resultados obtenidos. 48 Asíntotas oblicuas: Como la función no tiene asíntotas horizontales, estudiamos los límites 𝑝+=lim 𝑥→∞𝑓(𝑥) 𝑥=1 y p−=lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑥=1. Dado que 𝑝+𝑦 𝑝− son finitos y distintos de 0, calculamos 𝑞+=lim 𝑥→∞𝑓(𝑥)−𝑝+𝑥=2=𝑞−= lim 𝑥→−∞𝑓(𝑥)− 𝑝−𝑥=𝑞−. La función presenta asíntotas oblicuas siguiendo la recta de ecuación 𝑦=𝑝𝑥+𝑞. 5. Puntos críticos: Para calcular los puntos críticos calculamos la derivada y la igualamos a 0. Obtenemos que los puntos críticos son (2−√3,4−2√3)𝑦 (2+√3,4+2√3). 6. Monotonía. Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos determinados por los puntos críticos y los puntos que no están en el dominio. 2−√3 2 2+√3 + - - + ↗ ↘ ↘ ↗ Tenemos por tanto que la función crece en (−∞,2−√3)⋃(2+ √3,∞) y decrece en (2−√3,2+√3). Además podemos ver que alcanza extremos relativos en 2−√3 y 2+√3, siendo un máximo y un mínimo respectivamente. 7. Puntos de inflexión. Para calcular los puntos de inflexión calculamos la segunda derivada y la igualamos a 0. No obtenemos ningún punto de inflexión. 8. Curvatura. Estudiamos el signo de la segunda derivada en los intervalos determinados por los puntos de inflexión y los puntos que no están en el dominio. 49 2 - + ⋂ ⋃ Tenemos por tanto que la función es convexa en (−∞,2) y cóncava en (2,∞). Una vez tenemos toda esta información, podemos colocar los puntos que conocemos en unos ejes y completar el dibujo con la información que tenemos respecto a asíntotas, monotonía y curvatura. Otendremos algo similar a esto: -Realizamos el mismo procedimiento con la función 𝑓(𝑥)= {𝑥^3 𝑥2−8,𝑥≥2 𝑥 1−𝑥2,𝑥≤2. Antes de resolverlo en la pizarra dejaremos tiempo a los alumnos para que intenten resolverlo por sí mismos. Es importante que noten que cada trozo de la función sólo tienen que estudiarlo en su dominio, por ejemplo, no importa que 𝑥^3 𝑥2−8 se anule en 𝑥=−√8, dado que en ese punto 𝑓(√8)= √8 1−√82. Para casa: Mandaremos representar las siguientes funciones: 1. 𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑥+5) 2. 𝑓(𝑥)=𝑥 (𝑥+1)(𝑥−1) 3. 𝑓(𝑥)=𝑥^2 𝑥−2𝑥+2 50 • SESIÓN 2: Funciones radicales. o Contenidos:  Funciones radicales. o Actividades: En el aula: Procederemos como en la sesión anterior, resolviendo ejemplos de modo que los alumnos noten las diferencias entre las funciones anteriores y las radicales. El punto más importante es que asimilen que el dominio de las funciones radicales son los puntos en los que el radicando es positivo. Realizaremos los siguientes ejemplos:  𝑓(𝑥)=−√−𝑥−2  𝑓(𝑥)=√𝑥2−𝑥 Para casa: Mandaremos representar las siguientes funciones:  𝑓(𝑥)=√𝑥, 𝑓(𝑥)=−√𝑥, 𝑓(𝑥)=√−𝑥, 𝑓(𝑥)=−√−𝑥, Este ejercicio me parece especialmente interesante para fomentar que los alumnos desarrollen la intuición a la hora de representar funciones, siendo capaces de predecir lo que esperan encontrar antes de realizar los cálculos.  𝑓(𝑥)=1 √𝑥2−9  𝑓(𝑥)=√𝑥2+2𝑥+3 51 • SESIÓN 3: Funciones exponenciales. o Contenidos:  Funciones exponenciales. o Actividades En el aula: Del mismo modo que en las sesiones anteriores, realizaremos ejemplos de representación de funciones exponenciales. Comenzaremos representando el ejemplo 𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥−𝑒𝑥. En el caso de las funciones exponenciales no se presentan problemas específicos, pero es importante que los alumnos noten que aunque las funciones exponenciales tienen todos los reales como dominio, esto no siempre es así si las componemos con otras funciones. Con este fin realizaremos el ejemplo 𝑓(𝑥)=𝑒−1 𝑥, dejando que los alumnos lo intenten por su cuenta antes de resolverlo en la pizarra. Para casa: Mandaremos representar las siguientes funciones:  𝑓(𝑥)=1 2𝑥+(1 2)−𝑥  𝑓(𝑥)=1 𝑒𝑥−2  𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥  𝑓(𝑥)=𝑥^2𝑒𝑥 • SESIÓN 4: Funciones logarítmicas. o Contenidos:  Funciones logarítmicas. o Actividades: 52 En el aula: Al igual que en las sesiones anteriores, resolveremos en la pizarra varios ejemplos de representación de funciones logarítmicas. Para ello representaremos la función 𝑓(𝑥)=ln (𝑥2+1). Una vez resuelto este ejemplo, pondremos la función 𝑓(𝑥)= log1 2(𝑥+ 1) y dejaremos que los alumnos intenten resolverla. El objetivo principal de este ejemplo es que reflexionen sobre el dominio del logaritmo, es decir, los puntos para los cuales la expresión en el interior del logaritmo es estrictamente positiva. Además, aunque no es necesario que se den cuenta de ello, pueden plantearse el crecimiento o decrecimiento del logaritmo en función de la base, llegando a la conclusión de que el logaritmo crece para 𝑎>1 y decrece para 0<𝑎< 1. Para casa: Mandaremos representar las siguientes funciones:  𝑓(𝑥)=log(5𝑥)  𝑓(𝑥)=ln(𝑥) 𝑥  𝑓(𝑥)=ln(4−𝑥2)  𝑓(𝑥)=1+ln (𝑥) 1−ln (𝑥)  𝑓(𝑥)=1 1+ln(𝑥)  SESIÓN 5: Funciones trigonométricas. o Contenidos:  Funciones trigonométricas.  Periodicidad: Decimos que una función 𝑓(𝑥) es periódica de periodo ℎ cuando existe ℎ∈ℝ de modo que𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ), para todo 𝑥∈ℝ. Como ya sabemos, las funciones trigonométricas son periódicas 53 de periodo 2\𝑝𝑖 en el caso del seno y el coseno y de periodo 𝜋 en el caso del al tangente. De este modo, en el caso de la representación de funciones trigonométricas periódicas, basta con estudiar el comportamiento de la función en un periodo, puesto que dicho comportamiento se repetirá en el resto de puntos. o Actividades: En el aula: Realizaremos la representación del seno, coseno y tangente de manera rápida y clara. Después propondremos a los alumnos representar las funciones 𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥)=cos(𝑥 2). Con esto pretendemos tanto que cojan soltura a la hora de calcular periodos de funciones, como que puedan adquirir una idea intuitiva del efecto sobre el periodo de multiplicar el interior de una función trigonométrica por un escalar. Para casa: Mandaremos las siguientes funciones:  𝑓(𝑥)=|𝑠𝑒𝑛(𝑥)|  𝑓(𝑥)=2 − cos (x)  𝑓(𝑥)=2𝑡𝑎𝑛(3𝑥)  𝑓(𝑥)=𝑠𝑒𝑛(𝑥+𝜋)  𝑓(𝑥)=cos (𝑥+ 2𝜋)  SESIÓN 6: Repaso. En el aula: En esta sesión repasaremos todos los métodos expuesto a lo largo de la unidad, prestando especial atención a los casos básicos de cada tipo. Utilizaremos en esta sesión una metodología colaborativa. Para ello 54 preguntaremos a los alumnos si tienen algún ejercicio que no sepan resolver, dejaremos un corto periodo de tiempo para que lo intenten resolver en pequeños grupos de 2-3 personas, y acto seguido pediremos voluntarios para salir a la pizarra a resolver el ejercicio, o plantear cómo lo han intentado resolver. En caso de que no haya ningún ejercicio que plantee dificultades, plantearemos nosotros mismos un ejercicio para llevar a cabo el mismo proceso. Para casa: Confeccionaremos una lista de ejercicios tipo examen que permitan al alumnado estudiar y practicar de forma autónoma. 55 3.2. Unidad 11. La integral indefinida 3.2.1. Justificación teórica En este apartado realizaremos la unidad didáctica correspondiente al tema de las integrales indefinidas incluido dentro del bloque III de Análisis del 2º curso de bachillerato. La legislación en la que nos basamos es la ORDEN EDU/363/2015, de 4 de mayo, en la que se establece el currículo y se regula la implantación, evaluación y desarrollo del bachillerato en la Comunidad de Castilla y León. Para tener en cuenta los conocimientos que el alumno ha adquirido previamente en este bloque y contextualizar mejor nuestra unidad didáctica, expondremos los contenidos que se imparten en el bloque III de 2º bachillerato: • III.1. Límites, continuidad y asíntotas. • III.2. Cálculo de derivadas. • III.3. Aplicaciones de las derivadas. • III.4. Análisis de funciones y representación de curvas. • III.5. Integral indefinida. • III.6. Integral definida. Antes de empezar con esta unidad, hemos estudiado el concepto de función con sus características, la derivada de una función en un punto y la correspondiente interpretación geométrica. Hemos aplicado también estos conceptos para realizar estudios gráficos de funciones y aplicaciones al campo de la optimización de recursos. Nos encontramos pues con que nuestros alumnos han comprendido estos conceptos previos que les permiten entender el concepto de primitiva de una función. Esta unidad tiene una importancia central dentro del cálculo, dadas sus múltiples aplicaciones en el cálculo de áreas y volúmenes. Tenemos en cuenta que esta opción va dirigida a alumnos que han elegido la rama científico-tecnológica de bachillerato, lo cual dota a esta unidad de un fuerte carácter preparatorio, ya que la mayoría de grados de dicha rama utilizan el concepto de primitiva como herramienta básica dentro de las matemáticas. 56 3.2.2. Contribución a las competencias básicas En este apartado relacionaremos las competencias básicas con los contenidos que impartiremos. Las competencias básicas son:  Competencia en comunicación lingüística: CCL  Competencia matemática: CM  Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: CCI  Tratamiento de la información y competencia digital: TIG  Competencia social y ciudadana: CSC  Competencia cultural y artística: CCA  Competencia para aprender a aprender: CAA  Autonomía e iniciativa personal: AIP En la siguiente tabla relacionamos los contenidos con las competencias. Nótese que los contenidos numerados 6 y 7 se salen de los contenidos mínimos establecidos por el BOCYL, siendo estos un añadido del profesor (en consenso con el departamento) y por tanto no determinan significativamente los resultados de la evaluación. Como es lógico se trabajará la competencia matemática, estando todos los contenidos de esta materia relacionados con ella. Respecto a la competencia en autonomía e iniciativa personal, siendo un curso de segundo de bachillerato, el alumno debe trabajar de forma autónoma para practicar lo visto en clase y afianzar dichos conocimientos. Por último, la competencia en comunicación lingüística será fomentada por el profesor, que pedirá a los alumnos que sean capaces de explicar los razonamientos seguidos, tanto en lenguaje coloquial como mediante el uso del lenguaje matemático. 57 Contenidos Criterios de Evaluación. Estándares Competencias 1-Primitiva de una función 3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. 3.1. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. CM, CCL 2-La integral indefinida 3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. 3.1. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. CM, CCL 3-Integración por partes 3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. 3.1. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. CM, AIP, CCL 4-Cambio de variables 3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. 3.1. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. CM, AIP, CCL 5-Descomposición en fracciones simples de fracciones racionales cuyo denominador tenga sus raíces reales. 3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. 3.1. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. CM, AIP, CCL 64  Explicación del método de cambio de variable general. Supongamos que la integral tiene la forma: ∫𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 El método de cambio de variable consiste en tomar: 1. 𝑢=𝑔(𝑥) 2. 𝑑𝑢=𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 Entonces tenemos que ∫𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢= 𝐹(𝑢)+𝑘=𝐹(𝑔(𝑥))+𝑘. o Actividades: En el aula: Ejemplos con la tabla de primitivas delante. -Por ejemplo: a. ∫(2𝑥2+4)3𝑥𝑑𝑥=1 16(2𝑥2+3)4+𝑘. b. ∫𝑥 1+𝑥4𝑑𝑥=1 2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥2))+𝑘. Para casa: Ejemplos similares a los realizados en el aula. • SESIoNES 4 y 5: Técnicas elementales para el cálculo de primitivas: Integración por partes. o Contenidos:  Integración por partes: Sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones derivables, sabemos que: (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥), Y por tanto, 65 ∫(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′𝑑𝑥=∫𝑣(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑑𝑥+∫𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 Como consecuencia: ∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢 Llamamos a esta fórmula “fórmula de integración por partes”. Un truco para recordar la fórmula es la siguiente frase ‘Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme’  Integración por partes: Casos particulares. Explicaremos casos particulares de integrales en los cuales la integración por partes es especialmente eficaz:  Polinomio por exponencial.  Polinomio por trigonométrica.  Circulares: exponencial por trigonométrica o producto de trigonométricas.  Polinomio por logaritmo.  Otros tipos, logaritmo, arctang… o Actividades: En el aula: Se realizarán los siguientes ejemplos: a. ∫ln |𝑥|𝑑𝑥, tomando 𝑑𝑣=𝑑𝑥 y 𝑢=ln |𝑥|, se obtiene que la integral vale 𝑥ln|𝑥|−𝑥+𝑘. b. ∫sen2(𝑥)𝑑𝑥, en la cual tomamos 𝑑𝑣=𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 y 𝑢=𝑠𝑒𝑛(𝑥), y obtenemos que ∫sen2(𝑥)𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥)+∫cos2(𝑥)𝑑𝑥. Tomando ahora 𝑑𝑣=cos (x)𝑑𝑥 y 𝑢=𝑐𝑜𝑠(𝑥) en la integral que hemos obtenido, tenemos que: ∫sen2(𝑥)𝑑𝑥=2𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥)+∫sen2(𝑥)𝑑𝑥. Despejando en esta última fórmula obtenemos: ∫sen2(𝑥)𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥)+𝑘. 66 c. ∫𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Tomamos 𝑑𝑣=𝑑𝑥 y 𝑢=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) y obtenemos: ∫𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥=𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)−12(ln|𝑥+1|)+𝑘. Para casa: Mandaremos las siguientes integrales: a. ∫(𝑥+2)cossen(𝑥)𝑑𝑥 b. ∫𝑥2ln|𝑥|𝑑𝑥 c. ∫ln |𝑥+ 5|𝑑𝑥 Y otros ejemplos para practicar lo explicado en la sesión.  SESIÓN 6: Descomposición en fracciones simples de fracciones racionales cuyo denominador con raíces reales simples. o Contenidos:  Comenzaremos repasando la división de polinomios.  Integrales racionales donde el numerado exceda en grado al denominador. Dados dos polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) con deg(𝑃(𝑥))> deg(𝑄(𝑥)) podemos realizar la división de polinomios y obtenemos dos polinomios 𝐶(𝑥) y 𝑅(𝑥) tales que 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)=𝐶(𝑥)+ 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) y deg(𝑅(𝑥))<deg(𝑄(𝑥)). Por tanto: ∫𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥=∫(𝐶(𝑥)+𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥))𝑑𝑥= ∫𝐶(𝑥)𝑑𝑥+∫𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥, siendo la primera integral una integral sencilla. Para calcular la segunda utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples. 67  El método de descomposición en fracciones simples. Dada una integral de la forma ∫𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 con deg(𝑃(𝑥))< deg(𝑄(𝑥)), podemos aplicar el siguiente método de integración, conocido como descomposición en fracciones simples. El método se basa en que una fracción de la forma 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) puede descomponerse en suma de fracciones donde el denominador de cada una sea un factor (𝑥−𝑎), siendo 𝑎 una raíz de 𝑄(𝑥).El numerador de cada una de estas fracciones será una constante. En consecuencia, si 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)=∑𝑁𝑖 𝑥−𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 , para ciertos 𝑛 y 𝑎𝑖,𝑖= 1,…,𝑛, la integral correspondiente se calculará como ∫𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥=∫(∑𝑁𝑖 𝑥−𝑎𝑖)𝑑𝑥 𝑛 𝑖=1 =∑∫( 𝑁𝑖 𝑥−𝑎𝑖)𝑑𝑥 𝑛 𝑖=1 Siendo las integrales resultantes sencillas, luego: ∫𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥=∑Niln |𝑥− 𝑎𝑖| 𝑛 𝑖=1 +𝑘 o Actividades: En el aula: -Realizaremos integrales que se resuelvan mediante el método de descomposición, ya sea de manera directa o tras dividir los polinomios. Para casa: -Mandaremos ejercicios similares a los resueltos en clase, haciendo especial hincapié en los casos en los que el grado del numerador sea mayor que el del denominador • SESIÓN 7: Descomposición en fracciones simples de fracciones racionales cuyo denominador tenga raíces reales múltiples. 68 o Contenidos:  Diferencia de los denominadores que tenemos que considerar respecto al caso de las raíces reales simples. Cuando queremos descomponer 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) en fracciones simples y denominador tiene raíces reales múltiples ya no podemos poner la descomposición del mismo modo en el que lo hacíamos para raíces simples, pues al hacer el m.c.m. de los denominadores, el polinomio resultante tendrá un grado menor que 𝑄(𝑥). En este caso la descomposición se hace de la siguiente manera: Si 𝑎𝑖 son las raíces de multiplicidad 𝛼𝑖 del polinomio 𝑄(𝑥), entonces 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)=∑∑ 𝑁𝑖 (𝑥−𝑎𝑗)𝑖 𝛼𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 y en consecuencia ∫𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥=∫(∑∑ 𝑁𝑖 (𝑥−𝑎𝑗)𝑖 𝛼𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 )𝑑𝑥=∑∑∫𝑁𝑖 (𝑥−𝑎𝑗)𝑖𝑑𝑥 𝛼𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 Las integrales que aparecen en el término de la derecha son logarítmicas y exponenciales que sabemos calcular. o Actividades: En el aula:  Realizaremos integrales que se resuelvan mediante el método de descomposición, ya sea de manera directa o tras dividir los polinomios. Para casa: 69  Mandaremos ejercicios similares a los resueltos en clase, haciendo especial hincapié en los casos en los que el grado del numerador sea mayor que el del denominador • SESIÓN 8: Integrales irracionales. o Contenidos:  Cambios de variable de la forma t=m.c.d. (exponente de las variables). Lo veremos con un ejemplo: ∫√𝑥 3+√𝑥 2𝑑𝑥 Para resolver la integral realizamos el cambio el cambio 𝑡𝑚.𝑐.𝑚.(3,2)=𝑡6=𝑥 y obtenemos la integral ∫𝑡2+𝑡3𝑑𝑡 , que podemos resolver. Tras resolver la integral, debemos deshacer el cambio de variable. De manera más general, si el integrando es de la forma 𝑅((𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑)𝑛1 𝑚1,…,(𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑)𝑛𝑡 𝑚𝑡), el cambio a realizar es de la forma 𝑡𝑠=(𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑) , lo que la reduce a una integral racional.  Reducción a racionales, aquellas cuyo integrando es de la forma 𝑅(𝑥,𝑒𝑥). Para reducirlas a una integral racional podemos hacer el cambio 𝑡=𝑒𝑥, ya que en ese caso 𝑑𝑡=𝑒𝑥𝑑𝑥 y obtendremos una integral racional. Veamos un ejemplo: ∫2 𝑒𝑥+1𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑡+1𝑑𝑡=2ln|𝑒𝑥+1|+𝑘 o Actividades: En el aula:  Resolución de integrales irracionales. Para casa: 70  Mandaremos una lista de integrales, haciendo especial hincapié en las integrales irracionales, pero incluyendo casos anteriores. • SESIONES 9 y 10: Trigonométricas. o Contenidos:  Repaso de las formulas trigonométricas elementales y como deducirlas.  Cambios de variables en integrandos trigonométricos: Se tienen los siguientes casos dependiendo de la forma del integrando: a. 𝑅(cos(𝑥),𝑠𝑒𝑛(𝑥)) impar respecto a 𝑐𝑜𝑠(𝑥), cambio 𝑡= 𝑠𝑒𝑛(𝑥). b. 𝑅(cos(𝑥),𝑠𝑒𝑛(𝑥)) impar respecto a 𝑠𝑒𝑛(𝑥), cambio 𝑡= 𝑐𝑜𝑠(𝑥). c. 𝑅(cos(𝑥),𝑠𝑒𝑛(𝑥)) par, cambio 𝑡=𝑡𝑔(𝑥)  Cambio general 𝑡=𝑡𝑔(𝑥 2) para cualquier integrando. Dicho cambio de variable reduce el problema a una integral, resolviendo el problema.  Reducción a trigonométricas, para integrales donde el integrando es de la forma 𝑅(𝑥,√𝑏−𝑎𝑥2). Para resolver este tipo de integrales realizamos el cambio de variable 𝑡=√𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑥) √𝑎. Con dicho cambio obtenemos √𝑏−𝑎𝑥2=√𝑏cos (𝑥) y hemos conseguido reducir la integral a una integral trigonométrica que sabemos resolver. o Actividades En el aula: 71  Resolución de integrales trigonométricas. Para casa:  Mandaremos una lista de integrales, con especial hincapié en las trigonométricas, pero incluyendo casos anteriores. • SESION 11: Repaso. o Actividades En el aula:  En esta sesión repasaremos todos los métodos expuesto a lo largo de la unidad, prestando especial atención a los casos básicos de cada tipo. Utilizaremos en esta sesión una metodología colaborativa. Para ello preguntaremos a los alumnos si tienen algún ejercicio que no sepan resolver, dejaremos un corto periodo de tiempo para que lo intenten resolver en pequeños grupos de 2-3 personas, y acto seguido pediremos voluntarios para salir a la pizarra a resolver el ejercicio, o plantear cómo lo han intentado resolver. En caso de que no haya ningún ejercicio que plantee dificultades, plantearemos nosotros mismos un ejercicio para llevar a cabo el mismo proceso. Para casa:  Para esta última sesión confeccionaremos una lista de ejercicios tipo examen para que los alumnos puedan practicar. SECCIÓN 4: CONCLUSIONES