Generació, transport i distribució d'energia : problemes

Generació, transport i distribució d’energia. Problemes Santiago Bogarra Rodríguez www.upc.edu/idp Generació, transport i distribució d’energia Problemes Enginyer Industrial per l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona (ETSEIB, 1993). Doctor Enginyer Industrial per la UPC (2002). Professor de l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa (ETSEIAT) des de 1997. Professor coordinador de les assignatures Tecnologia Elèctrica i Xarxes Elèctriques (Enginyeria Industrial), Circuits Elèctrics i Instal·lacions Aeroportuàries (Enginyeria Aeronàutica). Ha impartit cursos de doctorat a la UPC i actualment participa en l’assignatura Operació i Gestió dels Sistemes Elèctrics de Potència en un Entorn Distribuït, del Màster en Enginyeria en Energia de la UPC. També ha participat en cursos de formació i reciclatge per a diverses empreses. És autor dels llibres Problemas de líneas eléctricas (2003) i Prácticas de tecnología eléctrica (2004), i de diversos articles sobre l’àrea de l’enginyeria elèctrica. La tasca investigadora que ha desenvolupat inclou temes d’operació i control de sistemes de potència, qualitat de l’energia i energies renovables. Aquest llibre és presenta, en deu temes, problemes resolts dels principals elements dels sistemes elèctrics, i analitza les instal·lacions elèctriques en què hi ha diferents components connectats. La segona part del llibre recull, en nou annexos, problemes bàsics dels sistemes trifàsics i del mètode per unitat, i inclou una recopilació de taules, de manera que l’estudiant pot treballar amb les dades obtingudes de les taules per tal d’analitzar amb més profunditat el funcionament dels sistemes elèctrics. Moltes vegades, els càlculs matemàtics dificulten que l’estudiant pugui assolir la capacitació adequada per afrontar l’anàlisi i el disseny de sistemes d’energia elèctrica. Per aquest motiu, en aquest llibre, a més de presentar un conjunt de problemes completament resolts, es proporcionen dues eines matemàtiques –el MATLAB i l’Excel– per tal de facilitar-ne els càlculs als estudiants i ajudar-los a centrar-se en els coneixements dels sistemes d’energia elèctrica. ENGINYERIES INDUSTRIALS UPCPOSTGRAU ENGINYERIES INDUSTRIALS UPCPOSTGRAU Santiago Bogarra Rodríguez Generació, transport i distribució d’energia. Problemes ENGINYERIES INDUSTRIALS Generació, transport i distribució d’energia. Problemes Santiago Bogarra Rodríguez UPCPOSTGRAU Primera edició: gener de 2012 Disseny i dibuix de la coberta: Jordi Soldevila Disseny maqueta interior: Jordi Soldevila © Santiago Bogarra Rodríguez, 2012 © Iniciativa Digital Politècnica, 2012 Oficina de Publicacions Acadèmiques Digitals de la UPC Jordi Girona Salgado 31, Edifici Torre Girona, D-203, 08034 Barcelona Tel.: 934 015 885 Fax: 934 054 101 www.upc.edu/idp E-mail: [email protected] ISBN: 978-84-7653-894-4 Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només es pot fer amb l’autorització dels seus titulars, llevat de l’excepció prevista a la llei. Amb el suport de la Factoria de Recursos Docents de la UPC 5 Pròleg El llibre que es presenta és un compendi de problemes resolts dels principals elements dels sistemes elèctrics, com ara el transformador i la màquina síncrona, i l’anàlisi d’instal·lacions elèctriques en què hi ha diferents components connectats. La resolució de problemes és fonamental en l’ensenyament d’una disciplina cientificotècnica. Els càlculs matemàtics dificulten molt sovint que l’estudiant pugui assolir la capacitació adequada per afrontar l’anàlisi i el disseny de sistemes d’energia elèctrica. Per aquest motiu, en aquest treball, a part d’oferir un conjunt de problemes completament resolts, es proporcionen dues eines matemàtiques —MATLAB i Excel— per tal de facilitar el càlcul i ajudar l’estudiant a centrar-se en els coneixements dels sistemes d’energia elèctrica. Aquest treball té per objectiu principal donar a conèixer als estudiants i familiaritzarlos en aquells conceptes de sistemes d’energia elèctrica que es trobaran en l’anàlisi i el disseny d’instal·lacions elèctriques. La presentació es fa mitjançant una col·lecció extensa de problemes, que fomenten l’autoaprenentatge dels fonaments i dels principis bàsics dels sistemes elèctrics. Els problemes estan completament resolts i igualment se’n pot obtenir la resolució a través de MATLAB i, en alguns casos, també d’Excel. El llibre s’ha estructurat en deu temes en els quals s’analitzen els elements principals dels sistemes elèctrics individualment i també com a part de sistemes elèctrics de potència i instal·lacions elèctriques de baixa tensió. La segona part del llibre tracta, en nou annexos, problemes bàsics dels sistemes trifàsics i el mètode per unitat, i inclou una recopilació de taules dels elements dels sistemes elèctrics i d’instal·lacions elèctriques, de manera que l’estudiant pugui treballar amb dades obtingudes de les taules per tal d’analitzar amb més profunditat el funcionament del sistemes elèctrics. La participació de Xavier Rubión i Antoni Font ha facilitat l’assoliment dels objectius proposats. Santiago Bogarra Rodríguez Professor del Departament d’Enginyeria Elèctrica de la UPC 7 Índex Pròleg .............................................................................................................................. 5 Índex ............................................................................................................................... 7 1. Centrals elèctriques ................................................................................................. 11 Problema 1 ................................................................................................................ 11 Problema 2 ................................................................................................................ 12 Problema 3 ................................................................................................................ 13 Problema 4 ................................................................................................................ 13 2. Transformadors de potència................................................................................... 17 Problema 1 ................................................................................................................ 17 Problema 2 ................................................................................................................ 20 Problema 3 ................................................................................................................ 22 Problema 4 ................................................................................................................ 26 Problema 5 ................................................................................................................ 27 3. Màquines asíncrones ............................................................................................... 33 Problema 1 ................................................................................................................ 33 Problema 2 ................................................................................................................ 36 4. Màquines síncrones ................................................................................................. 43 Problema 1 ................................................................................................................ 43 Problema 2 ................................................................................................................ 44 Problema 3 ................................................................................................................ 46 Problema 4 ................................................................................................................ 48 Problema 5 ................................................................................................................ 51 Problema 6 ................................................................................................................ 54 Problema 7 ................................................................................................................ 58 Problema 8 ................................................................................................................ 60 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 8 5. Línies ........................................................................................................................ 67 Problema 1 ................................................................................................................ 67 Problema 2 ................................................................................................................ 68 Problema 3 ................................................................................................................ 70 Problema 4 ................................................................................................................ 71 Problema 5 ................................................................................................................ 74 Problema 6 ................................................................................................................ 77 Problema 7 ................................................................................................................ 81 6. Sistemes elèctrics ..................................................................................................... 85 Problema 1 ................................................................................................................ 85 Problema 2 ................................................................................................................ 87 Problema 3 ................................................................................................................ 89 Problema 4 ................................................................................................................ 91 Problema 5 ................................................................................................................ 94 Problema 6 ................................................................................................................ 97 Problema 7 .............................................................................................................. 100 Problema 8 .............................................................................................................. 104 Problema 9 .............................................................................................................. 110 7. Instal·lacions elèctriques ...................................................................................... 115 Problema 1 .............................................................................................................. 115 Problema 2 .............................................................................................................. 116 Problema 3 .............................................................................................................. 117 Problema 4 .............................................................................................................. 121 Problema 5 .............................................................................................................. 123 Problema 6 .............................................................................................................. 125 Problema 7 .............................................................................................................. 127 Problema 8 .............................................................................................................. 131 Problema 9 .............................................................................................................. 133 8. Curtcircuits ........................................................................................................... 137 Problema 1 .............................................................................................................. 137 Problema 2 .............................................................................................................. 140 Problema 3 .............................................................................................................. 146 9. Aparellatge ............................................................................................................ 157 Problema 1 .............................................................................................................. 157 Problema 2 .............................................................................................................. 165 10. Ampliació de sistemes elèctrics .......................................................................... 175 Problema 1 .............................................................................................................. 175 Problema 2 .............................................................................................................. 182 Problema 3 .............................................................................................................. 187 Annex I: Sistemes trifàsics ....................................................................................... 193 Problema 1 .............................................................................................................. 193 Problema 2 .............................................................................................................. 196 Problema 3 .............................................................................................................. 198 Problema 4 .............................................................................................................. 201 Índex 9 Annex II: Mètode per unitat ..................................................................................... 207 Problema 1 .............................................................................................................. 207 Annex III: Taules de centrals elèctriques ................................................................ 209 Annex IV: Taules de transformadors ...................................................................... 215 Annex V: Taules de màquines asíncrones ............................................................... 219 Annex VI: Taules de màquines síncrones ................................................................ 223 Annex VII: Taules de línies ...................................................................................... 225 Annex VIII: Taules d’instal·lacions elèctriques ...................................................... 229 Annex IX: Taules d’aparellatge ............................................................................... 237 Bibliografia ................................................................................................................ 239 17 Transformadors de potència Problema 1 Un transformador monofàsic té les característiques següents: - Tensió nominal de primari: 230 V - Tensió nominal de secundari: 24 V - Potència nominal: 1.000 VA - Corrent de buit en valor relatiu: 5 % - Pèrdues de buit: 16 W A partir dels mesuraments realitzats, se sap que, si el transformador alimenta una càrrega de 521 VA amb factor de potència 0,96 inductiu a 23 V, aquest absorbeix 521 W i 208 var de la xarxa. Calculeu: a) La resistència i la reactància de curtcircuit relatives. b) La tensió d’alimentació del primari del transformador. Solució DADES Transformador monofàsic Vn1 (V) 230 Càrrega S2 (VA) 521 Vn2 (V) 24 cos φ2 0,96 (i) Sn (VA) 1.000 V2 (V) 23 i0 (%) 5 P0 (W) 16 P1 (W) 521 Q1 (VAr) 208 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 18 Primer s’ha realitzat el càlcul dels valors de base: 12 1.000 VA 230 V 24 V b bb S VV= = = 12 12 4,35 A 41,67 A bb bb bb SS II VV = = = = A l’assaig de buit, la tensió nominal s’aplica a un debanat del transformador i l’altre debanat es troba en circuit obert. Com que, a l’assaig de buit, les pèrdues en els debanats són negligibles respecte a la potència absorbida, que pràcticament coincideix amb les pèrdues en el ferro, s’ha utilitzat el circuit equivalent, aproximat amb la branca en paral·lel traslladada als borns del secundari. Per tant, a partir de les dades de l’assaig de buit, s’ha realitzat el càlcul de la resistència de pèrdues en el ferro i de la reactància de magnetització. Una vegada s’han obtingut els paràmetres de la branca en paral·lel del circuit equivalent, s’ha calculat el corrent entregat a la càrrega a partir de les dades de voltatge i consum de potència al secundari del transformador en aquestes noves condicions. Per realitzar els càlculs, s’ha fixat el voltatge en borns de la càrrega com a origen d’arguments. 02 0 22 n bb VV vVV = = = 1 0 0 b P pS = = 0,0160 2 0 0Fe Fe v pp r ≈=⇒ 2 0 0 Fe v rp = = 62,5 0 0 Fe R Fe v ir = = 0,0160 22 00 m Fe XR i ii=−= 0,0474 0m mm v v ix≈=⋅⇒ 0 m m v xi == 21,11 Figura 2.1 Circuit equivalent del transformador per l’assaig de buit, en per unitat x cc r cc v 2 = v 2n = 1 x m i 2 = i 20 i xm i Fe r Fe i 1 = 0 v 1 = v 1n = 1 Centrals elèctriques 19 0,0188 0,0568 CC CC RX= = b) Càlcul del voltatge al primari del transformador en càrrega: 2 2 2b V vV = = 0,9583 0º∠ ( ) 22 2 2 cos j sin arccos(cos ) b S sS ϕϕ +⋅   = = 0,5002 + j·0,1459 * 2 2 2 s iv  = =    0,5219 j 0,1522−⋅ 2 j m X m v ix = = ⋅ - j· 0,0454 2 Fe R Fe v ir = = 0,0153 m Fe mX R ii i=+= 0,0153 - j · 0,0454 12m iii=+= 0,5372 - j · 0,1976 111 1** 11 j b sPQ vi Si +⋅ = = = ⋅ 0,9796 j 0,0268+⋅ 12 1 cc cc vv zi ε − = = = 0,0188 j 0,0568+⋅ 1 11b V vV=⋅= 225,4 V Figura 2.2 Circuit equivalent del transformador amb càrrega, en per unitat v1 i1 zcc i zm z m i2 v2 s2 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 20 Problema 2 Un transformador trifàsic amb grup de connexió Yy0 té una relació entre la impedància primària i secundària de 20. S’ha sotmès als assaigs següents: 1. Assaig de buit: alimentant el transformador pel primari, s’obté una relació de tensions de 20.000/400 V, un corrent de 0,4 A i una potència absorbida de 1.500 W. 2. Assaig de curtcircuit: alimentant el transformador pel primari a 1.200 V, el corrent al primari és de 14,4 A i la potència absorbida és de 7.000 W. Trobeu el circuit equivalent del transformador en per unitat. Solució DADES Transformador trifàsic Z1 /Z2 20 rt 20.000/400 I0 (A) 0,4 P0 (W) 1.500 Vcc (V) 1.200 In1 (A) 14,4 Pcc (W) 7.000 Càlcul dels valors de base: Càlcul de la resistència de pèrdues en el ferro i la reactància de magnetització a partir de les dades de l’assaig de buit: 0 01 0 01 11 0,0278 0,0030 1,00 n b nb I PV i pv I SV = = = = = = 1b V= 20.000 V 2b V= 400 V 11bn II= = 14,4 A 11 3 b bb S VI= ⋅⋅= 500·103 VA = 520 kVA 2 1 0Fe Fe v pp r ≈=⇒ 2 1 0 Fe v rp = = 332,55 Centrals elèctriques 21 Càlcul de les resistències i de les reactàncies de dispersió dels debanats a partir de les dades de l’assaig de curtcircuit: 1 1m Fe Fe Fe Fe v v v ri i r ≈=⋅⇒= = 0,0030 22 0m Fe i ii= −= 0,0276 1m mm v v ix≈=⋅⇒ 1 m m v xi = = 36,21 1 cc cc b I iI = = 1 cc cc b P pS = = 0,0140 1 1 1 cc cc b V vV = = 0,06 2 cc cc cc p ri=⋅⇒ 2 cc cc cc p ri = = 0,0140 21 222 12 1 ' tt rr rZZ rr = = 12 ' cc r rr=+⇒ ( ) 1 12 11 / cc r rZZ = = + 0,0134 1 2 12 'r rZZ = = 4 6,68 10− ⋅ cc cc cc v zi = = 0,06 22 cc cc cc x zr= −= 0,0583 12 ' cc x xx=+⇒ ( ) 1 12 11 / cc x xZZ = = + 0,0556 1 2 12 'x xZZ = = 0,0028 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 22 Problema 3 El transformador elevador d’una central hidroelèctrica té les característiques següents: - Potència nominal: 18 MVA - Voltatges nominals: 13,2/110 kV - Corrent de buit en valor relatiu: 0,9 % - Pèrdues de buit: 18 kW - Tensió relativa de curtcircuit: 9 % - Pèrdues de curtcircuit: 54 kW Determineu: a) El model en per unitat del transformador. b) La caiguda de tensió al transformador i el rendiment d’aquest quan subministra 18 MW a 110 kV amb factor de potència la unitat. Solució a) DADES Transformador trifàsic Sn (VA) 18·106 V n1 (V) 13,2·103 Vn2 (V) 110·103 i0 (%) 0,9 P0 (W) 18·103 εcc (%) 9 Pcc (W) 54·10 3 A continuació, es mostra el circuit equivalent del transformador en per unitat: Figura 2.3 Circuit equivalent del transformador en per unitat v1 i1 rFe iFe ixm xm i2 v2 r1 x1 x2 r2 Centrals elèctriques 23 Càlcul dels valors de base: 11bn VV= 13,2·103 V 22bn VV= 110·103 V bn SS= 18·106 VA 11 1 3 b bn b S II V = = = ⋅ 787,3 A 22 2 3 b bn b S II V = = = ⋅ 94,5 A Figura 2.4 Circuit equivalent aproximat del transformador en per unitat v1 i1 rFe iFe ixm xm r1 x1 i2 x2 r2 v2 v1 i 1 zm i zm z cc i 2 v 2 v 1 r Fe i 1 i Fe ixm x m r cc i 2 x cc v 2 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 24 Càlcul de la resistència de pèrdues en el ferro i la reactància de magnetització a partir de les dades de l’assaig de buit: 33 0 00 1 10 9 10 b P pi S −− ==⋅=⋅ 22 11 0 0 1.000 Fe Fe Fe vv pp r rp ≈=⇒ = = 3 1 1 1 10 m Fe Fe Fe Fe v v v ri i r − ≈=⋅⇒= =⋅ 22 3 08,9 10 m X Fe i ii − = −=⋅ 1 1111,80 m m mX m m X v vv i x x i ≈= ⋅⇒= = 11 1 12,35 j·110,42 j mm Fe m m yz rx y =+ ⇒== + ⋅ Càlcul de la resistència i de la reactància de curtcircuit a partir de les dades de l’assaig de curtcircuit amb el circuit aproximat, negligint el corrent que circula per la branca en paral·lel: Figura 2.5 Circuit equivalent del transformador per l’assaig de buit, en per unitat v1 = vn1=1 rFe i1 = i0 iFe ixm xm rcc i2= 0 xcc v2 = vn2=1 Figura 2.6 Circuit equivalent del transformador per l’assaig de curtcircuit, en per unitat v1= vcc i1 = in1=1 rFe iFe ≈ 0 ixm ≈ 0 xm i2 ≈ in2=1 rcc xcc Centrals elèctriques 25 b) DADES Transformador trifàsic Sn (VA) 18·106 Vn1 (V) 13,2·103 Vn2 (V) 110·103 i0 (%) 0,9 P0 (W) 18·103 εcc (%) 9 Pcc (W) 54·103 Càrrega Pq (W) 18·10 6 cos φq 1,00 V q (V) 110·10 3 1 cc cc b I iI = = 1 cc cc n P pS = = 3 3 10 − ⋅ 1 1 cc cc cc b V vv V ε = = = = 0,09 2 cc cc cc p ri=⋅⇒ 2 cc cc cc p ri = = 3 3 10− ⋅ 0,09 cc cc cc v zi = = 22 cc cc cc x zr= −= 3 89,9 10 − ⋅ j cc cc cc zr x= +⋅ = -3 -3 3 10 + j 89,9 10 = 0,09 88,09º⋅ ⋅⋅ ∠ 2 2 2b V vV = = 1 0º∠ 2 2 b S sS = = 1 0º∠ * 2 2 2 s iv  ==    1 0º∠ Figura 2.7 Circuit equivalent del transformador amb càrrega, en per unitat v1 i1 z m i zm zcc i2 v2 s2 33 Màquines asíncrones Problema 1 Un motor d’inducció amb els debanats connectats en estrella té les característiques següents: - Potència: 5,5 kW - Voltatges: 230/400 V - Velocitat: 1.440 rpm - Factor de potència: 0,75 - Corrents: 21,2/12,2 A - Rendiment: 86,5 % - Freqüència: 50 Hz Determineu: a) El parell mecànic desenvolupat funcionant com a motor. b) Si el voltatge de la xarxa és de 420 V, suposant que el parell mecànic, la velocitat, el factor de potència i el rendiment són els nominals, quin serà el corrent al motor? c) Si es volen generar 4,5 kW aplicant-hi un parell mecànic de 32 N·m, connectat a la xarxa amb un voltatge de 420 V, suposant que el factor de potència i el rendiment són els nominals, quina serà la velocitat de gir? Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 34 Solució a) DADES Motor d’inducció Pm (W) 5,5·10 3 nm (rpm) 1.440 La conversió d’unitats de les dades a unitats del sistema internacional és la següent: El parell mecànic que desenvolupa el motor en condicions nominals és el següent: b) DADES Motor d’inducció V (V) 420 nm (rpm) 1.440 f (Hz) 50 η (%) 86,5 cos φ 0,75 (i) A partir de la velocitat mecànica en condicions nominals nm, es dedueixen el nombre de parells de pols p i la velocitat de sincronisme ns. La velocitat de sincronisme es determina amb l’expressió següent: Per a diferents valors de p, s’obté: ,1 ,2 ,3 3.000 rpm 1.500 rpm 1.000 rpm sp sp sp n n n = = = = = = 2 rad 1min 1revolució 60s mm n π ω =⋅= 150,80 rad/s m m m P M ω = = 36,47 N·m 60 3.000 s f npp ⋅ = = , essent p = 1, 2, 3, ... Màquines asíncrones 35 En condicions nominals de càrrega, es té nm = 1.440 rpm. El valor que s’hi acosta més és ns = 1.500 rpm, és a dir, p = 2. A continuació, es calcula el lliscament (si la màquina es comporta com a motor, el lliscament és positiu). Es considera que el parell mecànic, la velocitat angular, el factor de potència i el rendiment són els mateixos que en condicions nominals; per tant, la potència mecànica, la velocitat angular i el parell mecànic són els que s’han obtingut a l’apartat anterior. Llavors, la potència elèctrica consumida en aquestes condicions és: Segons els voltatges nominals del motor (230/400 V), cada debanat pot suportar 230 V (o voltatges lleugerament superiors). Si la xarxa és de 230 V, el motor es connectarà en triangle, mentre que, si la xarxa és de 400 V, el motor es connectarà en estrella. Com que el motor es connecta a una xarxa de 400 V de voltatge monimal, que opera a un voltatge de 420 V, la connexió dels debanats ha de ser en estrella (v, figures 3.1 i 3.2). Per tant, operant en aquestes condicions, el corrent al motor és: sm s nn sn − = = 0,04 (4 %) m P= 5.500 W m ω = 150,80 rad/s m M= 36,47 N·m m P P η = = 6.358,4 W R Z Y U V W S T X Figura 3.1 Caixa de borns amb els debanats connectats en estrella X=Y=Z R S T VL VS U V W Figura 3.2 Tensió aplicada als debanats del motor Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 36 c) DADES Motor d’inducció V (V) 420 Pg (W) 4,5·103 Nm (N·m) 32 η (%) 86,5 cos φ 0,75 (i) La potència mecànica subministrada a l’eix de la màquina és: Per tant, la velocitat del rotor és: A continuació, se’n calcula el lliscament (si la màquina es comporta com a generador, el lliscament és negatiu): Problema 2 Una màquina d’inducció de rotor bobinat té les característiques següents: - Voltatge nominal: 400 V - Freqüència: 50 Hz - Nombre de pols: 4 - Resistència del debanat de l’estator: 0,10 Ω 3 cos P IV ϕ = = ⋅⋅ 11,65 A g m P P η = = 5.202,3 W m m m P M ω = = 162,57 rad/s 1revolució 60s 2 rad 1min mm n ωπ =⋅= 1.552,5 rpm sm s nn sn − = = - 0,035 (-3,5 %) Màquines asíncrones 37 - Resistència del debanat del rotor: 0,12 Ω - Reactància de dispersió de l’estator: 0,29 Ω - Reactància de dispersió del rotor: 0,32 Ω - Reactància de magnetització: 12,70 Ω Si s’alimenta l’estator a voltatge i freqüència nominal, el voltatge entre anells a circuit obert és de 452 V. Es pretén recuperar energia d’un procés industrial acoblant una turbina de vapor a l’eix de la màquina d’inducció. Aquesta arrossega la màquina d’inducció dintre del rang de velocitats 1.532-1.548 rpm. Les pèrdues mecàniques en aquestes condicions són 440 W. Es demana: a) Potències actives i reactives en borns de la màquina per als dos règims de velocitats límit. b) Parell de sortida de la turbina en ambdós casos. c) Capacitat per fase de la bateria de condensadors col·locada en triangle per tal d’aconseguir un factor de potència de 0,95. Solució a) DADES Motor d’inducció Ve (V) 400 Vr (V) 452 f (Hz) 50 2p 4 Re (Ω) 0,10 R r (Ω) 0,12 Xe (Ω) 0,29 Xr (Ω) 0,32 X m (Ω) 12,70 n1 (rpm) 1.532 n2 (rpm) 1.548 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 38 En primer lloc, s’ha calculat la relació de transformació entre les forces electromotrius de l’estator i del rotor. Per tal de simplificar els càlculs, igual com s’ha fet per al cas dels transformadors, s’ha traslladat la branca en paral·lel als borns de l’estator de la màquina (v. figura 3.3). Per tal de treballar amb el circuit equivalent per fase de la màquina, s’han referit a l’estator les impedàncies del rotor. El càlcul de la resistència de càrrega Rc’ per als dos règims de velocitats donats es realitza a partir de l’expressió següent: on s és el lliscament, que s’obté a partir de l’expressió següent: nm és la velocitat de gir del rotor i ns és la velocitat de sincronisme. 60 1.500 rpm s f np ⋅ = = Per tant: ee rr EV rEV =≈= 0,8850 2 ' rr R Rr=⋅= 0,0940 Ω 2 ' rr X Xr= ⋅= 0,2506 Ω 11 cr RRs  ′′ =⋅−   sm s nn sn − = Ves Re Rr ’ Xr ’ Rc ’ Ir ’ Xe IXm ≈ Im Xm IFe ≈ 0 RFe ≈ ∞ Ie Figura 3.3 Circuit equivalent per fase d’un motor d’inducció Màquines asíncrones 39 2 2 s s nn sn − = = - 0,0320 ⇒ 2 2 11 cr RR s  ′′ =⋅ −=   -3,0308 Ω Els valors negatius de resistència de càrrega indiquen que, en comptes de consumir potència, se’n genera. A continuació, es calculen les impedàncies equivalents referides a l’estator per als dos règims de velocitat: S’ha fixat com a origen d’arguments el voltatge de fase en borns de l’estator. La intensitat que circula pels debanats del rotor referida a l’estator per a cada règim de velocitat és: 1 1 es r V IZ ′= = -52,81 - j·6,63 A = 53,22 172,84º∠− A 2 2 es r V IZ ′= = - 78,56 - j·14,97 A = 79,97 169,21º∠− A El corrent de magnetització és: j es m m V IX = = ⋅ - j· 18,18 A = 18,18 90,00º∠− A Per tant, el corrent a la màquina per a cada règim de velocitats és: 11e rm III ′ =+= - 52,81 – j·24,82 A = 58,35 154,83º∠− A 22e rm III ′ =+= -78,56 - j·33,15 A = 85,27 157,12º∠− A 1 1 s s nn sn − = = - 0,0213 ⇒ 1 1 11 cr RR s  ′′ =⋅ −=   -4,4992 Ω ( ) ( ) 11 j erc e r Z RRR X X ′′ ′ = + + +⋅ + = - 4,3052 + j· 0,5406 Ω = 4,3390 172,84º∠ Ω ( ) ( ) 22 j erc e r Z RRR X X ′′ ′ = + + +⋅ + = - 2,8368 + j· 0,5406 Ω = 2,8879 169,21º∠ Ω 3 e es V V= = 230,94 0,00º∠ V Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 40 Càlcul de les potències actives i reactives en borns de la màquina per als dos règims de velocitats límit. b) DADES Motor d’inducció Ppm (W) 440 n1 (rpm) 1.532 n2 (rpm) 1.548 Primer, es calcula la potència mecànica interna Pmi de la màquina per a cada règim de funcionament. La potència mecànica a l’eix Pm s’obté a partir de la potència mecànica interna Pmi i de les pèrdues mecàniques per fregament i ventilació Ppm. El parell que ha de subministrar la turbina al generador per als dos règims de velocitat és el següent: c) DADES Motor d’inducció Ve (V) 400 f (Hz) 50 cos φ 0,95 (i) 1 11 3 cos es e P VI ϕ =⋅⋅⋅ = - 36,59 ·10 3 W = -36,59 kW 2 22 3 cos es e P VI ϕ =⋅⋅⋅ = -54,42·103 W = -54,42 kW 1 11 3 sin es e Q VI ϕ =⋅⋅⋅ = 17,19·10 3 var = 17,19 kvar 2 22 3 sin es e Q VI ϕ =⋅⋅⋅ = 22,97·10 3 var = 22.97 kvar 2 1 11 3 mi c r P RI ′′ =⋅⋅= -38,24·10 3 W = -38,24 kW 2 2 22 3 mi c r P RI ′′ =⋅⋅= -747,95·103 W = -58,15 kW 11m mi pm PPP=−= -38,68·103 W = -38,68 kW 22m mi pm PPP=−= -58,59·103 W = -58,59 kW 11 1 11 2 60 mm PP Mn ωπ = = = - 241,08 N·m 22 2 22 2 60 mm PP Mn ωπ = = = -361,41 N·m Màquines asíncrones 41 S’ha dimensionat la bateria de condensadors per al segon cas de règim de velocitat, perquè és el cas que necessita més potència reactiva. Abans de començar a calcular, cal recordar que el circuit equivalent de la màquina d’inducció es determina considerant aquesta com a motor, tot i que, en el cas sotmès a estudi, la màquina opera com a generador. El criteri de signes considerat per un receptor fa que les potències activa i reactiva siguin: - P > 0 quan la potència activa és absorbida, mentre que P < 0 si és generada. - Q > 0 quan la potència reactiva és absorbida, mentre que Q < 0 si és generada. En afegir una bateria de condensadors en paral·lel, la potència reactiva del conjunt Q2’ ve determinada per l’expressió següent: 22c QQQ ′= + on Qc és la potència reactiva de compensació. Llavors, la potència reactiva de compensació és: Com abans, s’ha pres Ves com a origen de fases (φVes = 0). Com que el criteri de signes aplicat és el del receptor, Qc < 0 indica que la potència reactiva de compensació és de naturalesa capacitiva. Com que la bateria de condensadors s’ha de connectar en triangle, la capacitat de cada condensador és: ( ) ( ) 22 222 2 tan tan es e es e c VI VI QQQ P P ϕϕ ϕϕ ′′ =−= − − − ( ) ( ) ( ) 22 2 tan tan ee c II QP ϕϕ ′ = −−− = -5,08·103 var 2 3 c e Q CV ω ∆= = ⋅⋅ 33,70·10-6 F = 33,70 µF P Q Q 2 Q c Q 2 ’ P 2 S 2 ’ φ Figura 3.4 Triangle de potències pe r al cas del generador seguint el criteri de signes d’un receptor Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 48 b) DADES Alternador trifàsic V (V) 13,8·103 Ri (Ω) 0 Xs (Ω) 12 Q (var) 0 δ (º) 36 En aquest cas, s’imposa que la potència reactiva sigui 0 i, posteriorment, s’aïlla la potència activa entregada a la xarxa. Problema 4 El sistema de la figura 4.4 presenta les característiques següents: - Generador síncron: - Reactància síncrona: 1,60 p.u. - Xarxa de potència infinita: - Voltatge: 1,00 p.u. Calculeu: ( ) 3cos cos cos 0 s Vs s sV sV V QE V V XE VE Q δδδ ⋅ = ⋅− ⇒⋅ =⇒=   = 2 33 sin tan ss V ss VV PE XX δδ ⋅⋅ = ⋅= = 11,53·106 W = 11,53 MW 1 Generador síncron Interruptor Xarxa de potència infinita Figura 4.4 Sistema elèctric Màquines síncrones 49 e v x s i v 1 a) El corrent d’induït si la potència activa generada s’ajusta a 0,5 p.u. i el corrent d’excitació s’ha mantingut al mateix valor que en la sincronització del generador (interruptor obert i voltatge nominal en borns). b) El corrent d’induït si la potència activa generada es manté constant i el corrent d’excitació s’augmenta un 50%. Solució a) DADES Alternador trifàsic v1 (p.u.) 1,00 ev (p.u.) 1,00 xs (p.u.) 1,60 pg (p.u.) 0,5 De l’expressió de la potència activa del generador síncron en per unitat, s’obté l’angle de parell δ quan el generador entrega una potència activa de 0,5 p.u. Llavors: 1 sin gv s v pe x δ =⋅⇒ 1 arcsin gs v px ve δ ⋅  = =  ⋅  53,13º 1 v= 1,00 0,00º∠ v e= 1,00 53,13º∠ Figura 4.5 Circuit equivalent del generador síncron en per unitat Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 50 Per tant, es pot calcular la intensitat que circula per l’induït del generador, que és la mateixa que el generador aporta al sistema elèctric de potència. b) DADES Alternador trifàsic v1 (p.u.) 1,00 Δie (%) 50 xs (p.u.) 1,60 pg (p.u.) 0,5 En aquest cas, com que el corrent d’excitació s’augmenta un 50%, això implica que, considerant que no hi ha saturació, la força electromotriu augmentarà també en la mateixa proporció; per tant, ev = 1,50. De l’expressió de la potència activa del generador síncron s’obté l’angle de parell δ. Llavors: Per tant, el corrent d’induït és: 1 j v s ev ix − = = ⋅ 0,50 j 0,25 0,559 26,57º+⋅ = ∠ 1 sin gv s v pe x δ =⋅⇒ 1 arcsin gs v px ve δ ⋅  = =  ⋅  32,23º 1 v= 1,00 0,00º∠ v e= 1,50 32,23º∠ 1 j v s ev ix − = = ⋅ 0,5000 j 0,1680 0,5275 18,58º− ⋅ = ∠− Figura 4.6 Circuit equivalent del generador síncron en per unitat ev xs i v1 Màquines síncrones 51 Problema 5 El sistema de la figura 4.7 té les característiques següents: Generador síncron: - Potència nominal: 12,5 MVA - Voltatge nominal: 13,8 kV - Reactància síncrona: 12 Ω Càrrega resistiva: - Potència nominal: 10 MW - Voltatge nominal: 13,8 kV Xarxa de potència infinita: - Tensió al punt de connexió: 13,8 kV Calculeu: a) El corrent d’induït i el voltatge en borns de la màquina si el generador que gira en buit amb una tensió de 13,8 kV es connecta a la càrrega. b) El corrent d’induït i la força electromotriu si el generador es connecta a la càrrega resistiva i es regula la força electromotriu per aconseguir que el voltatge en borns de la màquina sigui el nominal. c) El corrent d’induït si el generador que gira en buit amb una tensió de 13,8 kV es connecta a una xarxa de potència infinita i la potència generada és 10 MW. Solució a) DADES Generador síncron Sn (VA) 12,5·106 Vn (V) 13,8·103 Xs (Ω) 12 Figura 4.7 Sistema elèctric Generador Interruptor Càrrega Generador Interruptor Xarxa de potència infinita Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 52 DADES Ev (V) 13,8·103 Càrrega permanent resistiva Vnc (V) 13,8·103 Pnc (W) 10·106 Càlcul dels valors de base: 63 2 12,5 10 VA 13,8 10 V 15,24 905,80A bb bb bb bb SV VV ZI SZ =⋅=⋅ ==Ω== Càlcul de la resistència equivalent de la càrrega: Conversió dels paràmetres a valors p.u.: El corrent d’induït en per unitat és el següent: El voltatge en borns de la màquina en per unitat és: El corrent d’induït i el voltatge en borns de la màquina en unitats del sistema internacional: 2 nc c nc V RP = = 19,04 Ω s s b X xZ = = 0,7876 c c b R rZ = = 1,2500 v v b E eV = = 1,0000 j v i sc e ixr = = ⋅+ 0,5726 – j·0,3608 = 0,6768 ∠ -32,22º 1ci v ri=⋅= 0,7158 – j·0,4510 = 0,8460 ∠ -32,22º i ib I iI=⋅= 613,08 ∠ -32,22º A 11b V vV=⋅= 11,68 ∠ -32,22º kV Màquines síncrones 53 b) DADES Generador síncron Sn (VA) 12,5·106 Vn (V) 13,8·10 3 Xs (Ω) 12 V1 (V) 13,8·10 3 Càrrega permanent resistiva Vnc (V) 13,8·10 3 Pnc (W) 10·10 6 Conversió dels paràmetres a p.u.: El corrent d’induït en per unitat és el següent: La força electromotriu en per unitat és: El corrent d’induït i la força electromotriu en unitats del sistema internacional: c) DADES Generador síncron Ev (V) 13,8·10 3 Pg (W) 10·10 6 Xarxa de potència infinita V1 (V) 13,8·10 3 Conversió dels paràmetres a valors p.u.: 1 11, 00 b V vV = = 1, 00 v v b E eV = = 0,80 g g b P pS = = 1 1 b V vV = = 1,00 1 i c v ir = = 0,80 ∠ 0º 1j v si e v xi= +⋅ ⋅ = 1,0000 + j· 0,6301 = 1,1820 ∠ 32,22º i ib I iI=⋅= 724,64 ∠ 0º A v vb E eV=⋅= 16,31 ∠ 32,22º kV Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 54 L’expressió de la potència activa generada és: Per tant, l’angle de parell és: El valor de la potència reactiva generada en per unitat és: El corrent d’induït en per unitat és: El corrent d’induït en unitats del sistema internacional és: Problema 6 Una central hidroelèctrica de bombeig té instal·lada una màquina síncrona, connectada en estrella, amb les característiques següents: - Voltatge nominal: 6 kV - Reactància síncrona: 10 Ω - Resistència d’induït: negligible - Característica d’excitació: 150 V/A Si es connecta a una xarxa de potència infinita de 6 kV a través d’un conductor amb una resistència negligible i amb una inductància de 2 Ω, determineu: 1 sin v g s ve px δ ⋅ = ⋅ 1 asin gs v px ev δ ⋅  = =  ⋅  39,06º [ ] cos gv s v qe v x δ = ⋅ ⋅ −= - 0,2838 * 1 j gg i pq iv +⋅  = =   0,8000 + j 0,2838 0,8488 19,53º⋅=∠ i ib I iI=⋅= 768,87 ∠ 19,53 º A Màquines síncrones 55 a) El corrent estatòric, la força electromotriu i el corrent d’excitació si la consigna de generació és de 5 MW i 2 Mvar. b) La potència reactiva i el corrent d’excitació quan la màquina treballa de nit de forma que en el bombeig s’absorbeix una potència de 5 MW, el corrent estatòric és de 500 A i la màquina es troba sobreexcitada. Solució a) DADES Màquina síncrona V (V) 6·103 Ri (Ω) 0 Xs (Ω) 10 k (V/A) 150 Conductor Rl (Ω) 0 Xl (Ω) 2 Consigna de generació P (W) 5·106 Q (var) 2·106 El corrent estatòric del generador es determina mitjançant l’expressió següent: on: Càlcul de l’angle de desfasament entre el corrent i la tensió φ a partir de les dades de potència activa i reactiva. 3 cos s P IV ϕ =⋅⋅ 3 s V V= Figura 4.8 Circuit equivalent per fase E v V s I Xarxa de potència infinita X s X l Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 56 Per tant: Llavors, el corrent estatòric del generador és: El càlcul de la força electromotriu es fa a partir de la suma vectorial del voltatge en borns del generador i de la caiguda de voltatge interna (figura 4.9), prenent Vs com a origen d’arguments. Mitjançant la característica d’excitació, s’obté el corrent d’excitació: b) DADES Màquina síncrona V (V) 6·103 Ri (Ω) 0 Xs (Ω) 10 k (V/A) 150 Conductor Rl (Ω) 0 Xl (Ω) 2 Funcionament com a bomba Pm (W) 5·106 Im (A) 500 3 cos s P VI ϕ =⋅ ⋅⋅ 3 sin s Q VI ϕ =⋅ ⋅⋅ sin tan arctan cos QQ PP ϕϕϕ ϕ  = = ⇒= =   21,80º 3 cos s P IV ϕ = = ⋅⋅ 518,19 A ( ) j vs sl EV XXI= +⋅ + ⋅ = 8,165 ∠ 45,00º kV ve E kI=⋅⇒ v e E Ik = = 54,43 A E v V s I j·(X s +X l )·I δ φ Màquines síncrones 57 Com que es tracta d’un motor sobreexcitat, aquest cedeix potència reactiva a la xarxa. Per tant: on: L’angle de desfasament entre la tensió i el corrent φm és: Substituint φm a l’expressió de la potència reactiva, s’obté: La força electromotriu és: Mitjançant la característica d’excitació, s’obté el corrent de excitació: 51.34 A v v ee E E kI I k =⋅⇒= = 3 sin m sm m Q VI ϕ =⋅⋅⋅ 3 s V V= 3 cos cos arccos 33 mm m sm m m m sm sm PP P VI VI VI ϕϕ ϕ  =⋅⋅⋅ ⇒ = ⇒ = =  ⋅⋅ ⋅⋅  15,79º 3 sin m sm m Q VI ϕ =⋅⋅⋅ = 1,414 Mvar ( ) j v s s lm EV XXI= −⋅ + ⋅ = 7.702 ∠ -48,56º V E v V s I m Xarxa de potència infinita X s X l Figura 4.10 Circuit equivalent per fase Ev j·(Xs+Xl)·Im V s Im δm φm Figura 4.11 Diagrama fasorial Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 64 El punt d’operació E es determina a partir de la potència activa mínima i l’angle de parell màxim. [ ] cos D vD D s v qe v x δ = ⋅ ⋅ −= -0,524 mínE pp= = 0,250 màxE δδ = = 70º mín sin vE EE s ve pp x δ ⋅ ==⋅⇒ sin Es vE E px ev δ ⋅ = = ⋅ 0,319 < evmàx [ ] cos E vE E s v qe v x δ = ⋅ ⋅ −= -0,742 67 Línies Problema 1 Calculeu la resistència i la inductància unitària per fase de les línies que es descriuen a continuació: a) Línia L1. Les tres fases es distribueixen en un mateix pla horitzontal, amb una distància entre fases contigües d’1,5 m. Cada fase de la línia es troba formada per un conductor 47-AL1/8-ST1A (LA-56). b) Línia L2. Les tres fases es distribueixen en un mateix pla horitzontal, amb una distància entre fases contigües de 2,5 m. Cada fase de la línia es troba formada per un conductor 337-AL1/44-ST1A (LA-380). Solució a) DADES Línia L1 di,i+1 (m) 1,5 D (mm) 9,45 Fils d’alumini 6 Fils d’acer 1 kg 0,811 RL1 (Ω/km) 0,6136 Càlcul de la resistència de la línia L1 per fase i unitat de longitud: 1L R= 0,6136 Ω/km Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 68 Càlcul de la inductància de la línia L1 per fase i unitat de longitud: b) DADES Línia L2 di,i+1 (m) 2,5 D (mm) 25,38 Fils d’alumini 54 Fils d’acer 7 kg 0,809 RL2 (Ω/km) 0,0857 Càlcul de la resistència de la línia L2 per fase i unitat de longitud: Càlcul de la inductància de la línia L2 per fase i unitat de longitud: Problema 2 Calculeu els paràmetres elèctrics d’una línia aèria trifàsica de 220 kV i una longitud de 80 km, amb els conductors col·locats paral·lelament en el mateix pla horitzontal i amb els conductors contigus separats 4,5 m entre si. El conductor utilitzat és 242-AL1/39ST1A. Solució DADES Línia aèria Vn (kV) 220 l (km) 80 312 23 31 13 0,2 ln 10 2 L g ddd LD k −   ⋅⋅ =⋅=   ⋅⋅   1,240 mH/km 2L R= 0,0857 Ω/km 312 23 31 23 0,2 ln 10 2 L g ddd LD k −   ⋅⋅ =⋅=   ⋅⋅   1,145 mH/km Línies 69 DADES di,i+1 (m) 4,5 Fils d’alumini 26 Fils d’acer 7 D (mm) 21,8 R (Ω/km) 0,1195 A continuació, es mostra la distribució dels diferents conductors: Càlcul de la resistència de la línia per fase i unitat de longitud: En tractar-se d’un conductor amb 26 fils d’alumini i 7 fils d’acer, el factor de cablatge és kg = 0,811. Càlcul de la inductància de la línia per fase i unitat de longitud: Càlcul de la capacitat de la línia per fase i unitat de longitud: R= 0,1195 Ω/km 312 23 31 3 0,2 ln 10 2 g ddd LD k−   ⋅⋅ =⋅=   ⋅⋅   1,293 mH/km 312 23 31 3 1.000 1.000 18 ln 18 ln 10 2 CDMG ddd r D − = = =    ⋅  ⋅⋅  ⋅  ⋅  8,883 nF/km d 13 d 12 d 23 1 2 3 Figura 5.1 Distribució dels conductors Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 70 Problema 3 Calculeu la secció mínima que han d’adoptar els conductors d’una línia aèria trifàsica de 20 kV de voltatge nominal i 1 km de longitud perquè el rendiment de la transmissió no sigui inferior al 97%. Aquesta línia alimenta, en el seu extrem final, una càrrega de 10 MVA, amb un factor de potència de 0,8 inductiu. La conductivitat del conductor d’alumini-acer és de 27,6 m/( Ω ·mm2). Solució DADES Línia aèria Vn (V) 20·10 3 Càrrega S (VA) 10·10 6 l (m) 1·10 3 cos φ (i) 0,8 σ (m/Ω/mm 2 ) 27,6 η% (%) 97 Càlcul de la pèrdua de potència activa a la línia: Càlcul del corrent que circula per la línia: Càlcul de la resistència total per fase: Càlcul de la secció mínima del conductor: El conductor seleccionat per complir amb el rendiment especificat seria el 47-AL1/8ST1A (LA-56); no obstant això, el corrent admissible és inferior al corrent a la càrrega, per la qual cosa seria necessari el conductor 94-AL1/22-ST1A (LA-110), amb un corrent màxim admissible de 316 A, que és superior al corrent a la càrrega de 288,7 A. ( ) cos 1 cos cos 1 if S PPP S S ϕϕ ϕη ηη ⋅ ∆= − = −⋅ = ⋅ ⋅− = 0,2474 MW 3 n S IV = = ⋅ 288,68 A 2 3 t P RI ∆ = = ⋅ 0,9897 Ω 1 t l AR σ = = 36,61 mm2 Línies 71 Problema 4 Una línia trifàsica tríplex, amb una longitud de 100 km i la distribució de fases que es mostra a la figura 5.2, es troba formada per conductors 402-AL1/52-ST1A (LA-455 Condor). La distància entre fases contigües és de 5,5 m i la distància entre conductors d’una mateixa fase és de 30 cm. Es demana: d) Els paràmetres elèctrics de la línia, considerant que la conductància és negligible. e) La impedància i l’admitància de la línia per fase i unitat de longitud. f) La impedància i l’admitància total de la línia per fase. g) La constant de propagació, la impedància característica i l’angle característic de la línia. h) Els coeficients de transmissió. Solució DADES Línia di,i+1 (m) 5,5 D (mm) 27,72 l (km) 100 Fils d’alumini 54 Fils d’acer 7 kg 0,809 RL (Ω/km) 0,0719 dh (cm) 30 n 3 d 13 D d h d 12 d 23 3 1 2 Figura 5.2 Distribució dels conductors Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 72 a) Per fer el càlcul dels paràmetres elèctrics de la línia, primer es determinen una sèrie de paràmetres geomètrics. Càlcul del radi del feix: Càlcul de la distància mitjana geomètrica: Càlcul del radi mitjà geomètric modificat: A continuació, es calculen els paràmetres elèctrics de la línia per fase i unitat de longitud: Càlcul de la resistència unitària de la línia per fase: Càlcul de la inductància unitària de la línia per fase: Càlcul de la capacitat unitària de la línia per fase: La conductància s’ha considerat negligible: 2 sin h h d r n π = =  ⋅  173,21 mm 312 23 31 DMG d d d= ⋅⋅= 6.929,6 mm 1n ngh RMGm n k r r − = ⋅ ⋅⋅ = 100,3 mm 1n n h RMG n r r − = ⋅⋅ = 107,6 mm cond R Rn = = 0,0240 Ω/km 0,2 ln DMG LRMGm  =⋅=   0,8471 mH/km 1.000 18 ln CDMG RMG = =  ⋅  13,34 nF/km Línies 73 b) Es considera la freqüència f = 50 Hz; per tant, la impedància i l’admitància de la línia per fase i unitat de longitud són: c) La impedància i l’admitància total de la línia per fase són: d) Càlcul de la constant de propagació: Càlcul de l’angle característic: Càlcul de la impedància característica: e) A continuació, es calculen els coeficients de transmissió de la línia: G≈ 0 S/km 3 j 2 10Z R fL π − = +⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0,0240 + j· 0,2661 Ω/km 9 j 2 10Y G fC π − = +⋅⋅⋅⋅⋅ = j· 4,191 ·10-6 S/km t Z Zl= ⋅= 2,40 + j· 26,61 Ω t Y Yl= ⋅= j· 4,191 ·10-4 S ZY β = ⋅= 4,751·10-5 + j·1,057·10-3 km-1 l θβ = ⋅= 4,751·10-3 + j·1,057·10-1 rad c Z ZY= = 252,25 - j·11,34 Ω 11 coshA θ = = 0,9944 + j·0,0005 22 11 AA= = 0,9944 + j·0,0005 12 sinh c AZ θ = = 2,39 + j·26,56 21 sinh c AZ θ = = - 7,01·10-8 + j·4,18·10-4 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 80 Com que el voltatge crític disruptiu Vc és més gran que el voltatge de fase de la línia Vs, no es produeix efecte corona i, per tant, no hi ha conductància per efecte corona. Es considera negligible la conductància deguda als corrents de fuita als aïlladors. Considerant una freqüència f = 50 Hz, es calculen la impedància i l’admitància de la línia per fase i unitat de longitud: La impedància i l’admitància total de la línia per fase són: L’admitància total, en tractar-se d’una línia curta (l ≤ 100 km), és negligible. A continuació, es calculen els coeficients de transmissió de la línia fent aquesta aproximació: Càlcul del voltatge de fase a l’origen de la línia (extrem emissor): Càlcul de la caiguda de voltatge a la línia: Com que la caiguda de voltatge és inferior a la màxima admissible, el conductor 94AL1/22-ST1A (LA-110) és adequat per a aquesta línia trifàsica i es compleixen els criteris de corrent màxim admissible i caiguda del voltatge màxim admissible. G= 0 S/km 3 j 2 10Z R fL π − = +⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0,3067 + j· 0,3638 Ω/km 9 j 2 10Y G fC π − = +⋅⋅⋅⋅⋅ = j·3,12·10 -6 S/km t Z Zl= ⋅= 0,3067 + j· 0,3638 Ω t Y Yl= ⋅= j·3,12·10 -6 S 11 A= 1 22 11 AA= = 1 12 t AZ= = 0,3067 + j· 0,3638 Ω 21 A= 0 0 11 12s sf f V AV A I=⋅+⋅= 11.654 + j·24,7 V = 11,65 ∠ 0,12º kV 0 0 100 s sf s VV VV − ∆= ⋅ = 0,92 % màx < VV⇒∆ ∆ = 5% Línies 81 Problema 7 La línia trifàsica doble analitzada presenta la disposició geomètrica dels conductors que es mostra a la figura 5.5, de la qual es coneixen les distàncies següents de separació entre conductors: - dH13’: 2,0 m - dH22’: 2,5 m - dH31’: 2,0 m - dV12: 2,4 m - dV23: 2,4 m Els conductors seleccionats són 147-AL1/34-ST1A (LA-180). Calculeu els paràmetres elèctrics unitaris de la línia per fase considerant que la conductància és negligible. Solució DADES Línia aèria D (mm) 17,5 Fils d’alumini 30 Fils d’acer 7 kg 0,826 Figura 5.5 Distribució dels conductors 1’ 3 dH31’ 2’ 2 d V23 dV12 dH13’ 1 3’ dH22’ Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 82 DADES RL (Ω/km) 0,1963 dH13’ (m) 2,0 dH22’ (m) 2,5 dH31’ (m) 2,0 d V12 (m) 2,4 dV23 (m) 2,4 n 2 Càlcul de la resistència unitària per fase: La inductància de la línia unitària per fase es determina mitjançant l’expressió següent: Per calcular la inductància de línia, abans s’han de determinar la distància mitjana geomètrica (DMG) i el radi mitjà geomètric modificat (RMGm). on: Substituint, s’obté: cond R Rn = = 0,0982 Ω/km 0,2 ln DMG LRMGm  = ⋅   312 23 31 DMG DMG DMG DMG= ⋅⋅ 3123 RMGm RMGm RMGm RMGm= ⋅⋅ 4 12 12 12 1 2 1 2 DMG d d d d ′ ′ ′′ = ⋅⋅⋅ = 2,817 m 4 23 23 23 2 3 2 3 DMG d d d d ′ ′ ′′ = ⋅⋅⋅ = 2,817 m 4 31 31 31 3 1 3 1 DMG d d d d ′ ′ ′′ = ⋅⋅⋅ = 3,098 m 1 11 2 g D RMGm k d ′ = ⋅⋅ = 0,194 m 2 22 2 g D RMGm k d ′ = ⋅⋅ = 0,134 m 3 33 2 g D RMGm k d ′ = ⋅⋅ = 0,194 m Línies 83 La capacitat de la línia unitària per fase es determina mitjançant l’expressió següent: Per calcular la capacitat de línia, abans s’ha de determinar el radi mitjà geomètric (RMG). on: Substituint, s’obté: 312 23 31 DMG DMG DMG DMG= ⋅⋅= 2,908 m 3123 RMGm RMGm RMGm RMGm= ⋅⋅= 0,172 m 0,2 ln DMG LRMGm  =⋅=   0,566 mH/km 1.000 18 ln CDMG RMG = ⋅  3123 RMG RMG RMG RMG= ⋅⋅ 1 11 2 D RMG d ′ = ⋅= 0,213 m 2 22 2 D RMG d ′ =⋅= 0,148 m 3 33 2 D RMG d ′ =⋅= 0,213 m 3123 RMG RMG RMG RMG= ⋅⋅= 0,189 m 1.000 18 ln CDMG RMG = =  ⋅  20,32 nF/km 85 Sistemes elèctrics Problema 1 Del sistema elèctric de la figura 6.1, es disposa de les dades següents: - Impedància total de la línia: 4,605 + j·5,773 Ω - Voltatge mesurat al final de la línia: 20 kV - Potència aparent entregada al final de la línia: 2,0 + j·1,5 MVA Considerant que la línia trifàsica és una línia curta, es demana: a) El corrent entregat al final de la línia. b) Els coeficients de transmissió de la línia en per unitat. c) El voltatge a l’origen de la línia i la caiguda relativa de voltatge de la línia. d) El corrent i la potència aparent a l’origen de la línia. I f V0 I0 Línia V f S f Figura 6.1 Sistema elèctric Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 86 Solució DADES Línia trifàsica curta Vf (V) 20·103 Zt (Ω) 4,605 + j·5,773 Càrrega Sf (VA) (2,0 + j·1,5) ·106 a) Càlcul dels valors de base: Conversió dels paràmetres a valors per unitat fixant el voltatge al final de la línia com a origen d’arguments: Càlcul del corrent al final de la línia: b) Càlcul dels coeficients de transmissió de la línia en per unitat, tenint en compte que es tracta d’una línia curta: 11 22 11 1, 00 1, 00a aa= = = bf VV= = 20·103 V bf SS= = 2,5·106 VA b b b V IZ == 72,17 A 2 b b b V ZS = = 160 Ω t t b Z zZ = = 0,0288 + j·0,0361 f f b V vV = = 1,00 ∠ 0,00º f f b S sS = = 0,80 + j·0,60 = 1,00 ∠ 36,87º * f f f s iv  = =    0,80 - j·0,60 = 1,00 ∠ -36,87º f fb I iI= ⋅= 57,74 – j·43,30 A = 72,17 ∠ -36,87º A Instal·lacions elèctriquestrics 87 c ) Càlcul del voltatge a l’origen de la línia: Càlcul de la caiguda relativa de voltatge a la línia: d) Càlcul del corrent a l’origen de la línia: S’observa que el corrent a l’origen i al final de la línia coincideixen exactament, ja que el model amb paràmetres concentrats de línia curta negligeix els paràmetres transversals. Càlcul de la potència aparent a l’origen de la línia: Problema 2 Del sistema elèctric de la figura 6.2, es disposa de les dades següents: - Impedància de la línia: 4,605 + j·5,773 Ω - Voltatge mesurat a l’origen de la línia: 20 kV - Potència aparent entregada al final de la línia: 2,0 + j·1,5 MVA 12 t az= = 0,0288 + j·0,0361 21 a= 0,00 0 11 12ff v av ai= ⋅+ ⋅= 1,045 + j·0,012 = 1,045 ∠ 0,64º 00b V vV=⋅= 20,895 ∠ 0,64º kV 0 100 f vv v∆= − ⋅ = 4,47 % 0 21 22ff i av ai= ⋅+ ⋅= 0,80 - j·0,60 = 1,00 ∠ -36,87º 00b I iI= ⋅= 57,74 – j·43,30 A= 72,17 ∠ -36,87º A * 0 00 s vi=⋅= 0,829 + j·0,636 = 1,045 ∠ 37,51º 00b S sS=⋅= 2,072·106 +j·1,590·106 VA= 2,612 ∠ 37,51º MVA Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 88 Considerant que la línia trifàsica és una línia curta, calculeu el voltatge a l’origen i la caiguda relativa de voltatge a la línia. Solució DADES Línia trifàsica curta Vf (V) 20·10 3 Zt (Ω) 4,605 + j·5,773 Càrrega Sf (VA) (2,0 + j·1,5) ·10 6 Càlcul dels valors de base: Conversió dels paràmetres a valors en per unitat: Com que es tracta d’una línia curta de la qual es coneix el voltatge a l’origen i la potència aparent consumida al final, per calcular el voltatge al final de la línia s’ha utilitzat l’expressió biquadràtica següent: bf SS= = 2,5·106 VA 0b VV= = 20·10 3 V 2 b b b V ZS = = 160 Ω b b b V IZ = = 72,17 A 0 0 b V vV = = 1,00 j t t tt b Z z rx Z = = +⋅ = 0,0288 + j· 0,0361 j f f ff b S s pq S = = +⋅ = 0,80 + j·0,60 = 1,00 ∠ 36,87º I f V0 I0 Línia V f S f Figura 6.2 Sistema elèctric Instal·lacions elèctriquestrics 89 Si se substitueixen els paràmetres i es resol l’equació, s’obté: Es descarten les solucions negatives, atès que no tenen significat físic perquè es tracta del mòdul d’un voltatge, i s’adopta la solució que té el valor més proper al del voltatge a l’origen de la línia. El voltatge al final de la línia en unitats del sistema internacional és: Càlcul de la caiguda relativa de voltatge a la línia: Problema 3 Del sistema elèctric de la figura 6.3, es disposa de les dades següents: - Impedància de la línia: 4,605 + j·5,773 Ω - Voltatge mesurat a l’origen de la línia: 20,6 kV - Voltatge mesurat al final de la línia: 20 kV - Potència aparent entregada al final de la línia: 2,0 + j·1,5 MVA ( ) ( ) 2 4 42 0 20 f t t t t f tt v rp xq v v zs  +⋅⋅+⋅ − ⋅+ ⋅ =  f v= -0,9531 0,9531 -0,0484 0,0484        f v= 0,9531 f fb V vV=⋅= 19,06 kV 0 100 f vv v∆= − ⋅ = 4,69 % I f V0 I0 Línia V f S c Figura 6.3 Si stema elèctric Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 96 S’ha fixat el voltatge al nus 3 com a origen d’arguments: Càlcul de la potència aparent en per unitat consumida per les càrregues connectades als nusos 2 i 3: Càlcul del corrent que circula per la línia 2-3: Càlcul del voltatge al nus 2: Càlcul del corrent a la càrrega 2: Càlcul del corrent que circula per la línia 1-2: Càlcul del voltatge al nus 1: ( ) 12 12 12 12 12 12 j j b R Xl zr x Z +⋅ ⋅ = +⋅ = = 0,0046 + j· 0,0055 ( ) 23 23 23 23 23 23 j j b R Xl zr x Z +⋅ ⋅ = +⋅ = = 0,0023 + j· 0,0028 3 3 b V vV = = 1 ∠ 0º ( ) 2 2 22 cos j sin b S sS ϕϕ = ⋅ +⋅ = 0,400 + j·0,300 = 0,500 ∠ 36,87º ( ) 3 3 33 cos j sin b S sS ϕϕ = ⋅ +⋅ = 0,800 + j·0,600 = 1,000 ∠ 36,87º * 3 23 3 s iv  = =    0,800 - j·0,600 = 1,000 ∠ -36,87º 2 3 23 23 v vzi=+⋅= 1,0035 + j· 0,0008 = 1,0035 ∠ 0,047º * 2 2 2 s iv  = =    0,3988 - j· 0,2986 = 0,4982 ∠ -36,82º 12 2 23 i ii=+= 1,1988 - j· 0,8986 = 1,4982 ∠ -36,85º 1 2 12 12 vvzi=+⋅= 1,0141 + j· 0,0033 = 1,0141 ∠ 0,19º 11b V vV=⋅= 20,28 kV Instal·lacions elèctriquestrics 97 Problema 6 Del sistema elèctric de la figura 6.8, es disposa de les dades següents: Voltatge mesurat al nus 1: 20 kV Línia 1-2: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 3 km Línia 2-3: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 1,5 km Línia 1-3: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 1,5 km Càrrega connectada al nus 2: - Potència consumida: 1 MVA - Factor de potència: 0,8 (i) Càrrega connectada al nus 3: - Potència consumida: 2 MVA - Factor de potència: 0,8 (i) Considerant que les línies trifàsiques són línies curtes, calculeu el voltatge als nusos 2 i 3. Figura 6.8 Sistema elèctric 3 2 1 L13 L12 L23 s3 s2 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 98 Solució DADES Nus 1 V1 (kV) 20 Línia 1-2 R12 (Ω/km) 0,31 X12 (Ω/km) 0,37 l12 (km) 3 Línia 2-3 R23 (Ω/km) 0,31 X23 (Ω/km) 0,37 l23 (km) 1,5 Línia 1-3 R13 (Ω/km) 0,31 X13 (Ω/km) 0,37 l13 (km) 1,5 Càrrega connectada al nus 2 cos φ2 0,8 (i) S2 (MVA) 1 Càrrega connectada al nus 3 cos φ3 0,8 (i) S3 (MVA) 2 Càlcul dels valors de base: A la figura 6.9, es representa el circuit equivalent en per unitat. Càlcul dels paràmetres del circuit equivalent en per unitat: 1b VV= = 20 kV 3b SS= = 2 MVA 2 b b b V ZS = = 200 Ω 3 b b b S IV = = ⋅ 57,74 A ( ) 12 12 12 12 12 12 j j b R Xl zr x Z +⋅ ⋅ = +⋅ = = 0,0046 + j· 0,0055 Figura 6.9 Circuit equivalent en per un itat 3 2 1 r12 r23 x12 x23 s3 s2 r13 x13 Instal·lacions elèctriquestrics 99 Es fixa el voltatge al nus 1 com a origen d’arguments: Càlcul de la potència aparent en per unitat consumida per les càrregues connectades als nusos 2 i 3: El càlcul dels voltatges als nusos 2 i 3 es farà mitjançant un procés iteratiu (v. taula 6.1), utilitzant les expressions següents: El càlcul s’inicia suposant v2 = v3 = 1 i es finalitza quan la diferència entre dos resultats consecutius és menor que 1·10-4 en per unitat. Iteració i2 i3 i 12 0 - - - 1 0,4000 – j·0,3000 0,8000 – j·0,6000 0,4000 – j·0,3000 2 0,4012 – j·0,3014 0,8023 – j·0,6028 0,4012 – j·0,3014 3 0,4012 – j·0,3014 0,8023 – j·0,6028 0,4012 – j·0,3014 ( ) 23 23 23 23 23 23 j j b R Xl zr x Z +⋅ ⋅ = +⋅ = = 0,0023 + j· 0,0028 ( ) 13 13 13 13 13 13 j j b R Xl zr x Z +⋅ ⋅ = +⋅ = = 0,0023 + j· 0,0028 1 1 b V vV = = 1 ∠ 0º ( ) 2 2 22 cos j sin b S sS ϕϕ = ⋅ +⋅ = 0,400 + j·0,300 = 0,500 ∠ 36,87º ( ) 3 3 33 cos j sin b S sS ϕϕ = ⋅ +⋅ = 0,800 + j·0,600 = 1,000 ∠ 36,87º ** 23 23 23 ss ii vv   = =       ( ) 2 23 13 3 13 12 12 23 13 i z z iz izzz ⋅ + +⋅ =++ 2 1 12 12 v vzi=−⋅ ( ) 3 2 23 12 2 vvz i i=−⋅ − Taula 6.1 Procés iteratiu de càlcul Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 100 Iteració v2 v3 0 1 1 1 0,9965 – j·0,0008 0,9965 – j·0,0008 2 0,9965 – j·0,0008 0,9965 – j·0,0008 3 0,9965 – j·0,0008 0,9965 – j·0,0008 Llavors: Càlcul del voltatge als nusos 2 i 3 en unitats del sistema internacional: Problema 7 Del sistema elèctric de la figura 6.10, es disposa de les dades següents: Transformador TR1: - Voltatges nominals: 220/20 kV - Potència nominal: 20 MVA - Voltatge de curtcircuit: 8 % - Pèrdues de potència negligibles. Línia 1-2: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 3 km 2 i= 0,4012 – j·0,3014 3 i= 0,8023 – j·0,6028 12 i= 0,4012 – j·0,3014 2 v= 0,9965 – j·0,0008 3 v= 0,9965 – j·0,0008 22b V vV=⋅= 19,93 kV 33b V vV=⋅= 19,93 kV Instal·lacions elèctriquestrics 101 Línia 2-3: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 2 km Càrrega connectada al nus 2: - Potència consumida: 2 MVA - Factor de potència: 0,8 (i) Càrrega connectada al nus 3: - Potència consumida: 4 MVA - Factor de potència: 0,8 (i) - Voltatge mesurat al nus 3: 20 kV Considerant que les línies trifàsiques són línies curtes, calculeu el voltatge als nusos 0, 1 i 2. Solució DADES Transformador TR1 Vnp (kV) 220 Vns (kV) 20 Sn (MVA) 20 εcc (%) 8 Línia 1-2 R12 (Ω/km) 0,31 X12 (Ω/km) 0,37 l12 (km) 3 Línia 2-3 R23 (Ω/km) 0,31 X23 (Ω/km) 0,37 l23 (km) 2 Càrrega connectada al nus 2 cos φ2 0,8 (i) S2 (MVA) 2 Càrrega connectada al nus 3 cos φ3 0,8 (i) S3 (MVA) 4 Nus 3 V3 (kV) 20 Figura 6.10 Sistema elèctric 3 2 1 0 TR1 L12 S 3 L23 S2 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 102 Càlcul dels valors de base: A la figura 6.11, es representa el circuit equivalent en per unitat. Càlcul dels paràmetres del circuit equivalent en per unitat: Com que les pèrdues de potència al transfomador es consideren negligibles, la caiguda de voltatge relativa de curtcircuit és: Càlcul de la impedància de curtcircuit del transformador a la base de càlcul fixada: bn SS 20 MVA 1bnp VV  220 kV 2 1 1 b b b V ZS  2.420 Ω 1 13 b b b S IV   52,49 A 2bns VV 20 kV 2 2 2 b b b V ZS  20 Ω 2 23 b b b S IV   577,35 A   12 12 12 12 12 12 2 j j b RXl zr x Z       0,0465 + j· 0,0555  23 23 23 23 23 23 2 j j b RXl zr x Z       0,0310 + j· 0,0370 j cc cc cc R X    j·0,04 Figura 6.11 Circuit equivalen t per unita t 3 2 1 0 r c r 12 s 3 r 23 s 2 x c x 12 x 23 Instal·lacions elèctriquestrics 103 Es fixa el voltatge al nus 3 com a origen d’arguments: Càlcul de la potència aparent en per unitat consumida per les càrregues connectades als nusos 2 i 3: Càlcul del corrent que circula per la línia 2-3: Càlcul del voltatge al nus 2: Càlcul del corrent a la càrrega 2: Càlcul del corrent que circula per la línia 1-2: 2 2 ns n cc cc b V S zZ ε    =⋅=    j·0,04 3 3 2b V vV = = 1 ∠ 0º ( ) 2 2 22 cos j sin b S sS ϕϕ = ⋅ +⋅ = 0,0800 + j· 0,0600 = 0,1000 ∠ 36,87º ( ) 3 3 33 cos j sin b S sS ϕϕ = ⋅ +⋅ = 0,1600 + j· 0,1200 = 0,2000 ∠ 36,87º * 3 23 3 s iv  = =    0,1600 + j· 0,1200 = 0,2000 ∠ 36,87º 2 3 23 23 v vzi=+⋅= 1,0094 + j·0,0022 = 1,0094 ∠ 0,12º 2 22b V vV=⋅= 20, 19 kV * 2 2 2 s iv  = =    0,0794 - j·0,0593 = 0,0991 ∠ -36,75º 12 2 23 i ii=+= 0,2394 - j·0,1793 = 0,2991 ∠ -36,83º Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 104 Càlcul del voltatge al nus 1: Càlcul del voltatge al nus 0: Problema 8 Del sistema elèctric de la figura 6.12, es disposa de les dades següents: Transformador TR1: - Voltatges nominals: 220/20 kV - Potència nominal: 20 MVA - Voltatge de curtcircuit: 8 % - Pèrdues de potència negligibles. Transformadors TR2 i TR3: - Voltatges nominals: 20/0,4 kV - Potència nominal: 2,5 MVA - Voltatge de curtcircuit: 6 % - Potència activa de curtcircuit relativa: 0,2 % Línia 2-3: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 3 km Línia 3-4: - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 1,5 km Línia 3-6: 1 2 12 12 vvzi=+⋅= 1,0305 + j·0,0071 = 1,0305 ∠ 0,40º 112b V vV=⋅= 20,61 kV 0 1 12cc v vzi=+⋅= 1,0448 + j·0,0263 = 1,0452 ∠ 1,44º 0 01b V vV=⋅= 22,99 kV Instal·lacions elèctriquestrics 105 - Resistència unitària: 0,31 Ω/km - Reactància unitària: 0,37 Ω/km - Longitud: 1,5 km Càrrega connectada al nus 5: - Potència consumida: 2,5 MVA - Factor de potència: 0,8 (i) Càrrega connectada al nus 7: - Potència consumida: 2 MVA - Factor de potència: 0,8 (i) Voltatge mesurat al nus 5: 400 V Considerant que les línies trifàsiques són línies curtes, calculeu el voltatge a tots els nusos. Solució DADES Transformador TR1 Vnp1 (kV) 220 Vns1 (kV) 20 Sn1 (MVA) 20 εcc1 (%) 8 εRcc1 (%) 0 Transformador TR2 Vnp2 (kV) 20 Vns2 (kV) 0,4 Sn2 (MVA) 2,5 εcc2 (%) 6 εRcc2 (%) 0,2 Transformador TR3 Vnp3 (kV) 20 Vns3 (kV) 0,4 Sn3 (MVA) 2,5 εcc3 (%) 6 εRcc3 (%) 0,2 5 4 3 1 TR1 L23 S 5 2 6 7 L34 L36 TR2 TR3 S7 Figura 6.12 Esquema del sistema elèctric Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 112 Càlcul de la potència aparent en per unitat consumida per la càrrega: Es fixa el voltatge en borns de la càrrega com a origen d’arguments: Càlcul del corrent a la càrrega: Càlcul de la força electromotriu: Càlcul del voltatge en borns de la màquina: Càlcul de la potència generada per la màquina síncrona: 2 j jll ll l b RX zr x Z +⋅ = +⋅ = = 5,56·10-4 + j·11,11·10-4 ( ) 1 j tan c cc b P sS ϕ = ⋅ +⋅ = 0,80 + j·0,60 = 1,00 ∠ 36,87º 2 c c b V vV = = 1 ∠ 0º * c c c s iv  = =    0,80 - j·0,60 = 1,00 ∠ -36,87º ( ) 0c gtlc e v z zzi=+ ++ ⋅= 1,469 + j·0,624 = 1,596 ∠ 23,02º 1 00 3 b s V Ee=⋅= 5,527 kV ( ) g c tlc v v zzi=+ + ⋅= 1,031 + j·4,056·10-2 = 1,032 ∠ 2,25º * g gc s vi= ⋅= 0,801 + j·0,651 = 1,032 ∠ 39,12º g gb S sS=⋅= 2,001·106 + j·1,628·106 VA = 2,580 ∠ 39,12º MVA 115 Instal·lacions elèctriques Problema 1 Un edifici d’habitatges disposa d’una centralització de comptadors a la planta baixa amb les característiques que es descriuen a continuació: - Potència en la centralització dels comptadors: 30 kW - Voltatge de subministrament: 400 V - Longitud de la línia general d’alimentació: 15 m - Conductors de coure (conductivitat: 44 m/Ω mm2) - Factor de potència: 0,90 (i) - Conductors RZ1-K instal·lats en un tub encastat a la paret d’obra Calculeu la mínima secció normalitzada de la línia general d’alimentació. Solució DADES Instal·lació P (W) 30·103 V (V) 400 l (m) 15 σCu (m/Ω mm 2 ) 44 cos φ 0,9 (i) Δvmàx (%) 0,5 Càlcul de la mínima secció aplicant el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible: Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 116 La secció mínima normalitzada adoptada aplicant el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible és: v A ∆ = 16 mm 2 A continuació, s’avalua el criteri de la intensitat màxima admissible. Per un conductor amb una secció nominal de 16 mm2, el corrent màxim admissible és: El corrent que circula per la línia general d’alimentació: Com que el corrent que circula per la línia general d’alimentació és inferior al corrent màxim admissible, la secció mínima normalitzada del conductor de la línia general d’alimentació és: Problema 2 Un edifici d’habitatges disposa d’una centralització dels comptadors a la planta baixa. Una derivació individual instal·lada en un tub de 24 m de longitud alimenta una potència de 4,4 kW a un voltatge de 230 V. Els conductors RZ1-K són de coure i el valor de la conductivitat és de 44 m/Ω·mm2. Considerant el factor de potència la unitat, calculeu-ne la secció mínima normalitzada. Solució DADES Instal·lació P (W) 4.400 V (V) 230 l (m) 24 σCu (m/Ω mm2) 44 cos φ 1,00 Δvmàx (%) 1 2 màx 100 v Cu lP AvV σ ∆ ⋅ ′= ⋅= ⋅∆ ⋅ 12,78 mm2 adm,16 I= 80 A 3 cos P IV ϕ = = ⋅⋅ 48,11 A A= 16 mm2 Instal·lacions elèctriques 117 Càlcul de la mínima secció aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible: 2 màx 2100 v Cu lP AvV σ ∆ ⋅⋅ ′= ⋅= ⋅∆ ⋅ 9,07 mm2 La secció mínima normalitzada adoptada, aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge, és: v A∆= 10 mm 2 A continuació, s’avalua el criteri de la intensitat màxima admissible. Per un conductor amb una secció nominal de 10 mm2, el corrent màxim admissible és: El corrent que circula per la derivació individual: Com que el corrent que circula per la derivació individual és inferior al corrent màxim admissible, la secció mínima normalitzada del conductor de la línia general d’alimentació és: A= 10 mm2 Problema 3 Una línia trifàsica de baixa tensió, amb voltatge nominal de 400 V, alimenta un consum de 48,5 kVA. Calculeu-ne la secció mínima normalitzada considerant que els conductors són de coure, per als casos següents: a) Línia aèria amb el conductor sense aïllar. b) Línia aèria amb el conductor amb aïllament XLPE i posada sobre la façana. adm,10 I= 68 A cos P IV ϕ = = ⋅ 19,13 A Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 118 c) Línia aèria tenint en compte que el conductor opera a una temperatura ambient de 30ºC i que hi ha un agrupament en feix de tres línies. d) La línia té una longitud de 20 m i es vol alimentar una instal·lació amb un factor de potència de 0,8 inductiu, amb una màxima caiguda de voltatge de l’1 %. La conductivitat del coure a 90ºC és de 44 m/Ω·mm2. Solució DADES Línia trifàsica de baixa tensió V (V) 400 S (VA) 48,5·10 3 Càlcul del corrent que circula per la instal·lació: a) A partir de la taula 7.1 (taula 10 de l’ITC-BT-06), s’obté que, per a un conductor de coure i una secció A de 10 mm2, la densitat de corrent admissible Jadm en règim permanent és de 8,75 A/mm2. Per tant, el corrent admissible en règim permanent per a aquesta secció és: Secció nominal [mm2] Densitat de corrent [A/mm 2 ] Coure Alumini 10 8,75 - 16 7,60 6,00 25 6,35 5,00 35 5,75 4,55 50 5,10 4,00 70 4,50 3,55 95 4,05 3,20 120 - 2,90 150 - 2,70 Com que el corrent admissible és superior al corrent que circula per la instal·lació, la secció mínima normalitzada d’aquest conductor és: 3 S IV = = ⋅ 70,00 A adm adm I JA= = 87,50 A Taula 7.1 Densitat de corrent en A/mm2 per a conductors nus (taula 10 de l’ITC-BT06) Instal·lacions elèctriques 119 b) Nombre de conductors per secció [mm 2 ] Intensitat màxima [A] Posada sobre façana Estesa amb fiador d’acer 2 x 10 Cu 77 85 4 x 10 Cu 65 72 4 x 16 Cu 86 95 A partir de la taula 7.2 (taula 5 de l’ITC-BT-06), s’opta per instal·lar quatre conductors de coure amb una secció A de 16 mm2 i aïllament XLPE en feix, a espiral visible, posats sobre la façana. Com que el corrent admissible Iadm en règim permanent és de 86 A i és superior al corrent I que circula per la instal·lació en règim permanent, la secció normalitzada del conductor és: c) DADES Línia trifàsica de baixa tensió V (V) 400 S (VA) 48,5·10 3 T (ºC) 30 Nº línies 3 Segons la taula 7.3 (taula 7 de l’ITC-BT-06), per a una temperatura ambient de 30ºC s’aplica el següent factor de correcció del corrent màxim admissible: Temperatura [ºC] 20 25 30 35 40 45 50 Aïllats amb polietilè reticulat 1,18 1,14 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 Segons la taula 7.5 (taula 6 de l’ITC-BT-06), per a l’agrupació de tres línies s’aplica el següent factor de correcció del corrent màxim admissible: Nombre de cables 1 2 3 més de 3 Factor de correcció 1,00 0,89 0,80 0,75 A= 10 mm2 A= 16 mm2 t F= 1,10 a F= 0,80 Taula 7.2 Intensitat màxima admissible, en amperis, a temperatura ambient de 40ºC (taula 5 de l’ITC-BT-06) Taula 7.3 Factors de correcció del corrent màxim admissible per a cables aïllats en feix, en funció de la temperatura ambient (taula 7 de l’ITC -BT-06) Taula 7.4 Factors de correcció del co rrent màxim admissible en cas d’agrupació de cables aïllats en feix, instal·lats a l’aire (taula 6 de l’ITC -BT-06) Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 120 Aplicant els factors correctors del corrent màxim admissible a la Taula 7.2 (taula 5 de l’ITC-BT-06), s’obté la taula següent, en què la intensitat màxima es troba corregida: Nombre de conductors per secció [mm2] Intensitat màxima corregida [A] Posada sobre la façana Estesa amb fiador d’acer 2 x 10 Cu 67,76 74,80 4 x 10 Cu 57,20 63,36 4 x 16 Cu 75,68 83,60 A partir de la taula 7.5, s’opta per instal·lar quatre conductors de coure amb una secció A de 16 mm2 i aïllament XLPE en feix, a espiral visible, posats sobre la façana. Com que el corrent admissible Iadm en règim permanent és 75,68 A i és superior al corrent I a la instal·lació en règim permanent, la secció normalitzada del conductor és: d) DADES Línia trifàsica de baixa tensió V (V) 400 S (VA) 48,5·10 3 cos φ 0,8 (i) l (m) 20 Δvmàx (%) 1 Càlcul de la potència activa consumida: Càlcul de la secció mínima del conductor de la línia aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible: on ρCu és la resistivitat del coure a 90ºC (1/44 Ω·mm2/m). Per tant, la secció mínima normalitzada del conductor que compleix els criteris de corrent màxim admissible i màxima caiguda de voltatge admissible és: A= 16 mm2 cosPS ϕ =⋅= 38.800 W 2 màx 100 Cu v lP AvV ρ ∆ ⋅⋅ = ⋅= ∆⋅ 11,02 mm2 A= 16 mm2 Taula 7.5. Intensitat màxima admissible, en amperis, a temperatura ambient de 30ºC i tres línies agrupades en feix Instal·lacions elèctriques 121 Problema 4 Una línia trifàsica soterrada de baixa tensió, amb voltatge nominal de 400 V, alimenta un consum de 48,5 kVA. Calculeu-ne la secció mínima normalitzada, considerant que els conductors són tripolars d’alumini, amb aïllament XLPE, per als casos següents: a) Línia que opera en condicions de referència. b) Línia que opera a una temperatura del terreny de 30ºC i amb una resistivitat tèrmica del terreny d’1,4 ºC·m/W. c) La línia té una longitud de 20 m i es vol alimentar una instal·lació amb un factor de potència de 0,8 inductiu amb una màxima caiguda de voltatge de l’1 %. La conductivitat de l’alumini a 90ºC és de 28 m/Ω·mm2. Solució DADES Línia trifàsica de baixa tensió V (V) 400 S (VA) 48,5·103 Càlcul del corrent que circula per la instal·lació: a) A partir de la taula 7.6 (fragment de la taula 4 de l’ITC-BT-07), s’obté que, per a cables tripolars i tetrapolars amb conductors d’alumini de secció A de 16 mm2, el corrent admissible Iadm,16 en règim permanent és de 90 A. Secció nominal [mm2] Tipus d’aïllament XLPE EPR PVC 16 90 86 76 25 115 110 98 35 140 135 120 50 165 160 140 Com que el corrent admissible és superior al corrent que circula per la instal·lació, la secció mínima normalitzada d’aquest conductor és: 3 S IV = = ⋅ 70,00 A A= 16 mm2 Taula 7.6 Corrent màxim admissible, en amperis, per a cables tripolars o tetrapolars amb conductors d’alumini en una instal·lació soterrada (fragment de la taula 4 de l’ITC -BT-07) Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 128 - màxima caiguda de voltatge al tram AD: 3,5 % - màxima caiguda de voltatge al tram DF: 1,5 % - màxima caiguda de voltatge al tram DH: 1,5 % Considereu que cada tram de la línia es pot representar mitjançant una resistència equivalent i que el factor de potència de les sis càrregues és de 0,82 inductiu. Calculeune la mínima secció normalitzada considerant que aquesta és uniforme al tram AD, al DF i al DH. Solució DADES Dades generals V (V) 400 σCu (m/Ω·mm2) 44 Màximes caigudes de voltatge ΔvAD,màx (%) 3,5 ΔvDF,màx (%) 1,5 ΔvDH,màx (%) 1,5 Trams de línia lAB (m) 8 lBC (m) 12 lCD (m) 15 lDE (m) 20 lEF (m) 20 lDG (m) 15 lGH (m) 5 Consums cos φ 0,82 (i) PB (W) 5,5·103 PC (W) 11·103 PE (W) 2,2·103 PF (W) 11·103 PG (W) 5,5·103 PH (W) 5,5·103 D C B A G lCD lAB lBC PB lDG lGH H E F PC PG PH PE PF lDE lEF Figura 7.3 Instal·lació elèctrica d’interior Instal·lacions elèctriques 129 Càlcul de la secció mínima del conductor del tram AD de la línia aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 ,màx 2 ,màx 2 2 ,màx 100 100 4,51 mm Cu AD v AD AB B C E F G H BC C E F G H Cu AD CD E F G H Cu AD lP AvV l PPPPPP l PPPPP vV l PPPP vV ρ ρ ρ ∆ ⋅⋅ = ⋅= ∆⋅ ⋅ +++++ +⋅ ++++ =∆⋅ ⋅ +++ + ⋅= ∆⋅ ∑ on ρCu és la resistivitat del coure (1/44 Ω·mm2/m). Càlcul de la potència total consumida: El corrent màxim que circula pel tram AD és el corrent que circula pel tram AB. Tenint en compte que el factor de potència és el mateix per a tots els consums, el corrent màxim que circula pel tram AB és: Secció [mm2] Intensitat máxima [A] 1,5 15 2,5 21 4 27 6 36 10 50 16 66 25 84 35 104 50 125 A partir de la taula 7.10 (fragment de la taula 1 de l’ITC-BT-19) i dels resultats obtinguts en el càlcul de la secció mínima aplicant-hi el criteri de la màxima caiguda de voltatge, la secció mínima normalitzada del tram AD és 25 mm2. Per aquesta secció, el corrent màxim admissible és de 84 A, superior al corrent màxim que circula pel tram AD de 71,64 A; a més, aquesta secció és superior a la secció mínima que s’obté d’aplicar el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible, de 4,51 mm2. Per tant, la secció mínima normalitzada del tram AD és: T BCEFGH PPPPPPP=+++++ = 40.700 W 3 cos T AB P IV ϕ = = ⋅⋅ 71,64 A Taula 7.10 Intensitat màxima admissible, en amperis , en instal·lacions interiors trifàsiques, conductors de coure amb aïllament XLPE, temperatura ambient de 40ºC i mètode A1 (fragment de la taula 1 de l’ITC -BT-19) Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 130 Càlcul de la secció mínima del conductor del tram DF de la línia aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge: El corrent màxim que circula pel tram DF és el corrent que circula pel tram DE. Tenint en compte que el factor de potència és el mateix per a tots els consums, el corrent màxim que circula pel tram DE és: A partir de la taula 7.10 (fragment de la taula 1 de l’ITC-BT-19) i dels resultats obtinguts en el càlcul de la secció mínima aplicant-hi el criteri de la màxima caiguda de voltatge, la secció mínima normalitzada del tram DF és 6 mm2. Per aquesta secció, el corrent màxim admissible és de 36 A, superior al corrent màxim que circula pel tram DE de 23,23 A; a més, aquesta secció és superior a la secció mínima que s’obté d’aplicar el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible, de 4,58 mm2. Per tant, la secció mínima normalitzada del tram DF és: Càlcul de la secció mínima del conductor del tram DH de la línia aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge: El corrent màxim que circula pel tram DH és el corrent que circula pel tram DG. Tenint en compte que el factor de potència és el mateix per a tots els consums, el corrent màxim que circula pel tram DG és: A partir de la taula 7.10 (fragment de la taula 1 de l’ITC-BT-19) i dels resultats obtinguts en el càlcul de la secció mínima aplicant-hi el criteri de la màxima caiguda de voltatge, la secció mínima normalitzada del tram DH és de 2,5 mm2. Per aquesta secció, el corrent màxim admissible és de 21 A, superior al corrent màxim que circula pel tram DG, de 19,36 A; a més, aquesta secció és superior a la secció mínima que AD A= 25 mm 2 ( ) ( ) ( ) ,22 ,màx ,màx 100 100 Cu DE E F EF F Cu DF v DF DF l PP l P lP AvV vV ρ ρ ∆ ⋅ ⋅ + +⋅ ⋅⋅ = ⋅= ⋅= ∆⋅ ∆⋅ ∑ 4,58 mm2 3 cos EF DE PP IV ϕ + = = ⋅⋅ 23,23 A DF A= 6 mm 2 ( ) ( ) ( ) ,22 ,màx ,màx 100 100 Cu DG G H GH H Cu DH v DH DH l PP l P lP AvV vV ρ ρ ∆ ⋅ ⋅ + +⋅ ⋅⋅ = ⋅= ⋅= ∆⋅ ∆⋅ ∑ 1,82 mm2 3 cos GH DG PP IV ϕ + = = ⋅⋅ 19,36 A Instal·lacions elèctriques 131 s’obté d’aplicar el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible, de 1,82 mm2. Per tant, la secció mínima normalitzada del tram DH és: Problema 8 Una línia aèria trifàsica de baixa tensió, amb voltatge nominal de 400 V, alimenta quatre càrregues distribuïdes al llarg de la línia, de les quals es coneixen les potències consumides i els factors de potència: - potència consumida al nus B: 5.750 W - factor de potència de la càrrega connectada al nus B: 1,0 - potència consumida al nus C: 7.360 W - factor de potència de la càrrega connectada al nus C: 1,0 - potència consumida al nus D: 14.490 W - factor de potència de la càrrega connectada al nus D: 0,95 (i) - potència consumida al nus E: 11.500 W - factor de potència de la càrrega connectada al nus E: 0,95 (i) Les longituds dels diferents trams de la línia de la figura 7.4 són les següents: - longitud del tram AB: 10 m - longitud del tram BC: 20 m - longitud del tram CD: 10 m - longitud del tram DE: 20 m Calculeu la secció mínima normalitzada considerant que els conductors són d’alumini amb neutre fiador d’almelec i aïllament XLPE. La secció és uniforme a tots els trams i la màxima caiguda de voltatge és de l’1 %. Considereu que cada tram de la línia es pot representar mitjançant una resistència equivalent. DH A= 2,5 mm 2 D C B A lCD lAB lBC PB, cos φB E lDE PC, cos φC PD, cos φD PE, cos φE Figura 7.4 Línia aèria trifàsica de baixa tensió Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 132 Solució DADES Dades generals V (V) 400 σAl (m/Ω·mm2) 28 Màxima caiguda de voltatge Δvmàx (%) 1,0 Trams de línia lAB (m) 10 lBC (m) 20 lCD (m) 10 lDE (m) 20 Consums PB (W) 5.750 cos φ B 1 PC (W) 7.360 cos φ C 1 PD (W) 14.490 cos φ D 0,95 PE (W) 11.500 cos φ E 0,95 Càlcul de la secció mínima del conductor de la línia mitjançant el criteri de màxima caiguda de voltatge en funció de la potència: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 màx 2 max 2 100 100 34,55 mm Al v Al AB B AB BC C AB BC CD D AB BC CD DE E lP AvV lPllPlllPllllP vV ρ ρ ∆ ⋅⋅ = ⋅ ∆⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅+ ++ ⋅+ +++ ⋅ = ⋅= ∆⋅ = ∑ on ρAl és la resistivitat de l’alumini (1/28 Ω·mm2/m). Càlcul del corrent a les càrregues distribuïdes als diferents punts de la línia: 3 cos B B B P IV ϕ = = ⋅⋅ 8,30 A 3 cos C C C P IV ϕ = = ⋅⋅ 10,62 A 3 cos D D D P IV ϕ = = ⋅⋅ 22,02 A 3 cos E E E P IV ϕ = = ⋅⋅ 17,47 A Instal·lacions elèctriques 133 Càlcul del corrent que circula pel tram AB: Nombre de conductors per secció [mm 2 ] Intensitat máxima [A] 3 × 25 Al/54,6 Alm 100 3 × 50 Al/54,6 Alm 150 3 × 95 Al/54,6 Alm 230 3 × 150 Al/80 Alm 305 A partir de la taula 7.11 (taula 3 de l’ITC-BT-06) i dels resultats obtinguts en el càlcul de la secció mínima aplicant-hi el criteri de la màxima caiguda de voltatge, se selecciona una línia amb tres conductors d’alumini, amb una secció A de 50 mm2 i un neutre fiador d’aliatge d’alumini-magnesi-silici (almelec) de 54,6 mm2. Per aquesta opció, el corrent màxim admissible és de 150 A, superior al corrent màxim que circula pel tram AB, de 57,77 A; a més, aquesta secció és superior a la secció mínima que s’obté d’aplicar el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible, de 34,55 mm2. Per tant, la secció mínima normalitzada és: Problema 9 La instal·lació elèctrica interior de la figura 7.5 està formada per una línia trifàsica amb una ramificació. Els conductors són de coure amb aïllament XLPE, instal·lats en tubs encastats a l’obra. La instal·lació té cinc càrregues distribuïdes al llarg de la línia, de les quals es coneixen les potències consumides: - potència consumida al nus B: 11 kW - potència consumida al nus C: 5,5 kW - potència consumida al nus D: 11 kW - potència consumida al nus E: 5,5 kW - potència consumida al nus F: 11 kW Les longituds dels diferents trams de la línia són les següents: - longitud del tram AB: 30 m - longitud del tram BC: 20 m ( ) ( ) ( ) ( ) cos j sin cos j sin cos j sin cos j sin AB B C D E B B BC C C D D DE E E I IIII II II ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ =+++= = −⋅ + −⋅ + −⋅ + −⋅ = 56,44 – j·12,33 A = 57,77 ∠ -12,32º A A= 50 mm2 Taula 7.11 Intensitat màxima admissible, en amperis, a temperatura ambient de 40ºC (taula 3 de l’ITC -BT-06) Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 134 - longitud del tram CD: 20 m - longitud del tram DE: 10 m - longitud del tram EF: 20 m El voltatge d’alimentació és de 400 V i la màxima caiguda de voltatge admissible, del 5 %. Considereu que cada tram de la línia es pot representar mitjançant una resistència equivalent i que el factor de potència de les sis càrregues és de 0,84 inductiu. Calculeu la mínima secció normalitzada considerant que aquesta és uniforme a tots els trams. Solució DADES Dades generals V (V) 400 Consums PB (W) 11·10 3 σCu (m/Ω·mm 2 ) 44 PC (W) 5,5·10 3 Màxima caiguda de voltatge Δvmàx (%) 5,0 PD (W) 11·10 3 Trams de línia lAB (m) 30 PE (W) 5,5·10 3 lBC (m) 20 PF (W) 11·10 3 lCD (m) 20 cos φ 0,84 lCE (m) 10 lEF (m) 20 Càlcul de la secció mínima del conductor del tram AD de la línia aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible: ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 màx 2 2 màx 100 100 3,91 mm Cu AD v Cu AB B AB BC C AB BC CD D lP AvV lPllPlllP vV ρ ρ ∆ ⋅⋅ = ⋅ ∆⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅+ + + ⋅ = ⋅= ∆⋅ ∑ on ρCu és la resistivitat del coure (1/44 Ω mm2/m). D C B A lAB lBC PB, cos φB lCD E F lCE PF, cos φF PE, cos φE PC, cos φC PD, cos φD lEF Figura 7.5 Instal·lació elèctrica interior Instal·lacions elèctriques 135 Càlcul de la secció mínima del conductor del tram AF de la línia aplicant-hi el criteri de màxima caiguda del voltatge admissible: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 màx 2 màx 2 100 100 5,16 mm Cu AF v Cu AB B AB BC C AB BC CE E AB BC CE EF F lP AvV lPllPlllPllllP vV ρ ρ ∆ ⋅⋅ = ⋅ ∆⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅+ ++ ⋅+ +++ ⋅ = ⋅ ∆⋅ = ∑ La secció mínima del conductor aplicant-hi el criteri de màxima caiguda de voltatge admissible serà el valor nomalitzat superior al màxim dels dos valors calculats (3,91 i 5,16 mm2): Càlcul de la potència total consumida: El corrent màxim que circula per la línia és el del tram AB. Tenint en compte que el factor de potència és el mateix per a tots els consums, el corrent màxim que circula pel tram AB és: Secció [mm2] Intensitat máxima [A] 1,5 18 2,5 25 4 34 6 44 10 60 16 80 25 106 35 131 50 159 A partir de la taula 7.12 (fragment de la taula 1 de l’ITC-BT-19) i dels resultats obtinguts en el càlcul de la secció mínima aplicant-hi el criteri de la caiguda del voltatge màxim, se selecciona una secció A de 16 mm2. Per aquesta opció, el corrent màxim admissible és de 80 A, superior al corrent màxim que circula pel tram AB, de 75,61 A; a més aquesta secció és superior a la secció mínima que s’obté aplicant-hi el criteri de caiguda del voltatge màxim admissible, de 6 mm2. Per tant, la secció mínima normalitzada és: A= 6 mm2 T BCDEF PPPPPP=++++= 44.000 W 3 cos T AB P IV ϕ = = ⋅⋅ 75,61 A A= 16 mm2 Taula 7.12 Intensitat màxima admissible, en amperis, en instal·lacions interiors trifàsiques, conductors de coure amb aïllament XLPE, temperatura ambient de 40ºC i mètode B (fragment de la taula 1 de l’ITC -BT-19) 137 Curtcircuits Problema 1 Una línia soterrada de 20 kV i 1.000 m derivarà de la xarxa de mitja tensió. Al punt de connexió, la potència de curtcircuit és de 350 MVA. Els conductors seran d’alumini RHZ1 amb una secció de 150 mm2. Calculeu: a) El corrent de curtcircuit simètric al punt de connexió. b) El corrent de curtcircuit simètric si aquest es produeix al final de la línia derivada. c) El corrent de xoc si el curtcircuit es produeix al final de la línia derivada. Solució a) DADES Xarxa MT Scc (VA) 350·10 6 V n (V) 20·10 3 El circuit equivalent per fase es representa a la figura 8.1. Figura 8.1 Circuit equivalent per fase V s X eq I cc Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 144 El corrent que circula per la línia és: b) En aquest cas, es negligeixen els corrents prefalta; per tant, les forces electromotrius dels generadors es consideren iguals als voltatges nominals en borns de la màquina: La impedància de Thevénin, considerant l’efecte de la càrrega, vista des del nus 3 és: En no considerar els corrents prefalta, el voltatge de Thevénin vist des del nus 3 és: El circuit equivalent en p. u. es mostra a la figura 8.7. El corrent de falta al nus 3 en p. u. és: El corrent de curtcircuit en el nus 3 en unitats del sistema internacional és: 1 11ccg ccg b I iI= ⋅= -j·8,716 kA = 8,716 ∠ -90, 00º kA 2 21ccg ccg b I iI= ⋅= -j·5,978 kA = 5,978 ∠ -90,00º kA 2l ccg ii= = -j·2,858 = 2,858 ∠ -90,00º 2l lb I iI=⋅= -j·0,750 kA = 0,750 ∠ -90,00º kA 12 1 ng vv b V ee V = = = 1,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 11 22 3 22 11 22 C ct g tg l ctg th ct g tg l ctg rz z zz z rzz z rz z zz z rzz  ⋅+  + ⋅+  ++  = =  ⋅+  + ++  ++  0,0057 + j· 0,1419 = 0,1420 ∠ 87, 69º 3 2 ns th b V vV = = 1,00 ∠ 0,00º 3 3 3 C C th cc th v iz = = 0,284 - j· 7,037 = 7,043 ∠ - 87,69º Curtcircuits 145 El corrent que aporta cada generador és: Mitjançant un divisor d’intensitat, es determinen els corrents que circulen per la línia i per la càrrega: 3 32 CC cc cc b I iI= ⋅= 0,075 - j· 1,847 kA = 1,848 ∠ -87,69º kA 1 1 11 C v ccg tg e izz = = + -j· 4,167 = 4,167 ∠ -90, 00º 2 2 22 C v ccg lc tg lc e izr zz zr = = ⋅ ++ + 0,060 - j· 2,861 = 2 ,861 ∠ - 88, 81 º 1 11 CC ccg ccg b I iI= ⋅= -j· 8,716 kA = 8,716 ∠ -90, 00º kA 2 21 CC ccg ccg b I iI= ⋅= 0,125 - j· 5,984 kA = 5,985 ∠ - 88,81º kA 2 CC c l ccg cl r iirz = = + - 0,130 -j· 2,852 = 2,855 ∠ -92, 61º 2 CC l lb I iI=⋅= - 0,034 - j· 0,748 kA = 0,749 ∠ -92,61º kA e v1 z g1 2 1 3 4 z t1 z g2 z t2 z l i ccg1C i ccg2C e v2 r c Figura 8.7 Circuit equivalent en p. u. Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 146 Els resultats obtinguts mostren que l’efecte de la càrrega en el càlcul dels corrents quan s’origina un defecte és poc significatiu. Problema 3 Del sistema elèctric de la figura 8.8, es disposa de les dades següents: Xarxa de connexió MT: - Voltatge nominal: 20 kV - Potència de curtcircuit: 500 MVA Línia L1: - Longitud: 1 km - Resistència unitària: 0,320 Ω/km - Reactància unitària: 0,119 Ω/km - Transformador TR1 MT - BT: - Voltatges nominals: 20/0,4 kV - Potència nominal: 400 kVA - Voltatge de curtcircuit: 4 % - Potència de curtcircuit: 1,2 % Línia L2: - Conductor: coure - Aïllament: XLPE - Longitud: 0,02 km - Secció: 300 mm2 - Resistència unitària: 1,212 mΩ/km 2 CC l R ccg l c z ii z r = = + 0,190 - j·0,009 = 0,190 ∠ -2,61º 2 CC R Rb I iI= ⋅= 0,050 - j·0,002 kA = 0,050 ∠ -2,61º kA Curtcircuits 147 - Reactància unitària: 1,460 mΩ/km - Corrent admissible: 396,5 A Línies L3a fins L3f: - Cables multiconductors amb: - Conductor: coure - Aïllament: PVC - Muntatge: en tub, en muntatge superficial - Longitud: 0,02 km - Resistivitat: 1/48 Ω·mm2/m Motors asíncrons trifàsics M (6 connectats als nusos de 5a fins a 5f): - Voltatge nominal: 400 V - Potència nominal: 30 kW - Rendiment nominal: 91,8% - Factor de potència nominal: 0,88 (i) - Resistència rotòrica: 3,5 % - Reactància rotòrica: 5,0 % - Resistència estatòrica: 4,0 % - Reactància estatòrica: 8,0 % - Lliscament nominal: 3,3 % Línia L4: - Conductor: coure - Aïllant: PVC - Longitud: 0,02 km - Secció: 95 mm2 - Resistència: 4,413 m·Ω/km - Reactància: 1,500 m·Ω/km - Generador síncron G: - Voltatge nominal: 400 V - Potència nominal: 150 kVA - Factor de potència nominal: 0,80 (i) Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 148 - Reactància subtransitòria: 12,5 % - - - Es demana: a) Calculeu la secció dels conductors de cada línia L3. b) Calculeu la intensitat que aporta el generador i la intensitat que aporta la xarxa de connexió si el generador opera en condicions nominals. c) Calculeu el component de corrent altern del corrent de curtcircuit subtransitori si s’origina una falta trifàsica al nus 3. Negligiu els corrents prefalta i considereu que la impedància del motor quan es produeix el curtcircuit és una setena part de la que es té en règim permanent. d) Calculeu el component de corrent altern del corrent de curtcircuit subtransitori si s’origina una falta trifàsica al nus 5a. Negligiu els corrents prefalta i considereu que la impedància del motor quan es produeix el curtcircuit és una setena part de la que es té en règim permanent. Solució DADES Xarxa de connexió MT Vn (kV) 20 Scc (MVA) 500 Transformador TR1 MT - BT Vnp (kV) 20 Vns (kV) 0,4 Snt (kVA) 400 εcc (%) 4 pcc (%) 1,2 Línia L1 (MT) lL1 (km) 1 RL1 (Ω/km) 0,320 Figura 8.8 Esquema unifilar del sistema elèctric G3 2 1 TR1 3 4 5a 5 5f M3 M3 M3 6 L1 L2 L3a L3b L3f L4 Curtcircuits 149 DADES XL1 (Ω/km) 0,119 Línia L2 (BT) lL2 (km) 0,02 AL2 (mm2) 300 RL2 (mΩ /km) 1,212 XL2 (mΩ /km) 1,460 I zL2 (A) 396,5 Línies L3a fins a L3f (BT) lL3 (km) 0,02 σCu (m/Ω·mm 2 ) 48 Línia L4 (BT) lL4 (km) 0,02 AL4 (mm2) 95 RL4 (mΩ /km) 4,413 XL4 (mΩ /km) 1,500 Motor asíncron trifàsic M (×6) Vnm (V) 400 P nm (kW) 30 η (%) 91,8 cos φm 0,88 (i) Rr (%) 3,5 X r (%) 5,0 Re (%) 4,0 Xe (%) 8,0 s (%) 3,3 Generador síncron G Vng (V) 400 Sng (kVA) 150 cos φg 0,80 (i) X’’g (%) 12,5 a) En primer lloc, es calcula la secció mínima del conductor de les línies que alimenten els motors (línies L3) aplicant el criteri de la màxima caiguda de voltatge admissible. En tractar-se d’una línia trifàsica de força d’una instal·lació interior (indústria o comerç), segons la ITC-BT-19 del REBT, la màxima caiguda de voltatge admissible és del 5 %. A continuació, s’avalua el criteri de la intensitat màxima admissible. El corrent nominal de cada motor és: 3 3, 2 màx 100 Cu nm v nm lP SvV ρ ∆ ⋅⋅ = ⋅= ∆⋅ 1,56 mm2 Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 150 Cada línia L3 està formada per cables multiconductors en tub en muntatge superficial, amb una instal·lació de tipus B2, que són de coure amb aïllament PVC. Per tant, la primera secció a la qual correspon un corrent màxim admissible superior al corrent nominal del motor és: La secció mínima normalitzada que compleix el criteri de la màxima caiguda de voltatge admissible és: Per tant, la secció mínima que compleix el criteri de la màxima caiguda de voltatge admissible i el criteri del corrent màxim admissible és: b) Càlcul dels valors de base: 12 400 kVA 20 kV 400 V b nt b np b ns SS VV V V= = = = = = 22 12 12 1.000 0,400 bb bb bb VV ZZ SS ==Ω==Ω 12 12 11,55 A 577,35 A 33 bb bb bb SS II VV = = = = Càlcul dels paràmetres del circuit equivalent en p. u.: 3 cos nm nm nm m P IV ϕ = = ⋅⋅ 53,60 A màx 3,I S= 16 mm2 3,, v S∆= 2,5 mm2 3 S= 16 mm 2 ( ) 1 11 1 1 j L LL L b R Xl zZ +⋅ ⋅ = = 3,20·10-4 + j·1,19·10-4 Rcc cc p ε = = 1,20·10-2 22 Xcc cc Rcc ε εε = −= 3,82·10-2 Curtcircuits 151 on: El circuit equivalent en p. u. es representa a la figura 8.9. En borns del generador (nus 6), el voltatge és el nominal i es fixa com a origen d’arguments: j t Rcc Xcc z εε = +⋅ = 1,20·10-2 + j·3,82·10-2 ( ) 2 22 2 2 j L LL L b R Xl zZ +⋅ ⋅ = = 6,06·10-5 + j·7,30·10-5 3 3 32 1.000 Cu L L b l rSZ ρ ⋅⋅ = = ⋅ 6,51·10-2 ( ) 2 1 + 1 +j r e r r e bm m b R RR X X Z s zZ   + ⋅− ⋅ + ⋅     = = 11,85 + j·1,40 44 4 2 j LL L b RX zZ +⋅ = = 1,10·10-2 + j·3,75·10-3 2 cos nm bm nm m V ZP ηϕ = =   ⋅  4,31 Ω 6 6 22 ng bb VV vVV = = = 1,00 ∠ 0,00º Figura 8.9 Circuit equivalent en p. u. + + 2 1 3 4 5a 5b 5f 6 z L1 z t z L2 rL3a r L3b rL3f zL4 z m z m z m Generació, transport i distribució d’energia. Problemes 152 Càlcul de la potència i el corrent subministrats pel generador en p. u.: Càlcul del voltatge al nus 4: Càlcul del corrent que circula per cada línia L3: on el subíndex i pren els valors: a , b, c, d, e, f. Càlcul del corrent als sis motors: Càlcul del corrent que aporta la xarxa de connexió: c) En primer lloc, es calculen els paràmetres elèctrics del circuit equivalent en p. u. que manquen. ( ) cos j sin ng g g g b S sS ϕϕ +⋅ = = 0,300 + j· 0,225 = 0,375 ∠ 36,87º 4 6 g Lg s ii v ∗  = = =    0,300 - j· 0,225 = 0,375 ∠ -36,87º 2g gb I iI=⋅= 173,21 - j·129,90 A = 216,51 ∠ -36,87º A 46 44LL vvzi=−⋅= 0,9958 + j·0,0014 = 0,99581 ∠ 0,08º 4 3 3 Li Lm v irz = = + 0,0824 - j·0,0096 = 0,0830 ∠ -6,62º 33 6 Lt Li ii=⋅= 0,4945 - j·0,0574 = 0,4978 ∠ -6,62º 13L Lt g ii i= −= 0,1945 + j·0,1676 = 0,2568 ∠ 40,75º 1 11L Lb I iI= ⋅= 2,246 + j·1,935 A = 2,96 ∠ 40,75º A 2 1 n cc eq b V S xZ    = = 8,00·10-4 Curtcircuits 153 Abans de determinar la impedància de Thevénin, vista des del nus 3, per simplificar els càlculs, s’ha trobat una impedància equivalent dels sis motors i les seves línies d’alimentació respectives (figura 8.10). La impedància de Thevénin, vista des del nus, 3 és: ( ) ( ) ( ) ,3 4 g 12 ,3 4 3 ,3 4 12 ,3 4 2 22 +j j+ +j +j j+ +j =1,31·10 j 3,23·10 3,48·10 67,91º mL L eq L t L mL L g th mL L g eq L t L mL L g z zx xzz z z zx zz zx x z zz z zx − −−  ′′ ⋅⋅  ⋅++⋅  ′′ +⋅  = = ′′ ⋅⋅ ⋅ + ++ ′′ +⋅ +⋅ = ∠ Com que no es consideren els corrents prefalta, el voltatge de Thevénin, vist des del nus, 3 és: 3 3 22 ng th bb VV vVV = = = 1,00 ∠ 0,00º El corrent de curtcircuit en p. u., si s’origina una falta trifàsica al nus, 3 és: 1 g g b X xZ ′′ ′′ = = 3,33·10-1 3 ,3 7 6 Lm mL rz z+ = = 2,93·10-1 + j·3,33·10-2 = 2,95·10-1 ∠ 6,49º 3 3 3 th cc th v iz = = 10,80 - j·26,62 = 28,73 ∠ -67,91º Figura 8.10 Circuit equivalent en p. u. passivat 2 1 3 4 zL1 zt zL2 x'' g zL4 z m,L3 + x eq 6 +