De Grecia a Japón: una propuesta didáctica de geometría para enseñanza secundaria

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Dpto. Didáctica de las Ciencias Experimentales, Sociales y de la Matemática De Grecia a Japón: una propuesta didáctica de geometría para enseñanza secundaria Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Andrés Hombría Cornejo Tutor: Edgar Martínez Moro Valladolid, junio de 2022 1 Resumen Esta propuesta didáctica de geometría se ha diseñado desde un enfoque científico, interdisciplinar y teniendo en cuenta la diversidad humana. La mayor virtud de esta propuesta es su flexibilidad: el contenido se presenta en módulos, cada uno con varias actividades y metodologías propuestas, que pueden combinarse para adaptarlos a distintos currículos, niveles y grupos. Los proyectos interdisciplinares proveen marcos narrativos e ideas para conectar la geometría con otros ámbitos. El trabajo se organiza en tres partes: 1-marco teórico basado en la psicología cognitiva, 2-diseño docente con las metodologías y principios usados, y 3propuesta didáctica, con módulos de contenidos y proyectos interdisciplinares. Palabras Clave: Propuesta Didáctica, Geometría, Interdisciplinariedad, ABP, Proyectos Educativos, Educación Secundaria, Educación Matemática, Didáctica Matemáticas Abstract This didactic proposal on geometry has been designed from a scientific, interdisciplinary approach that takes into account human diversity. The biggest virtue of this proposal is its flexibility: the content is structured into modules, each with several proposed activities and methodologies, which can be combined to adapt to different curricula, levels and class groups. The interdisciplinary projects provide narrative frameworks and ideas to connect geometry to other areas. The work is divided into three parts: 1-theoretical framework based on cognitive psychology 2teaching design with the methodologies and principles and 3-didactic proposal, with the content modules and interdisciplinary projects Keywords: Didactic proposal, Geometry, Interdisciplinary, PBL, Teaching projects, Secondary Education, Mathematics Teaching 2 наука для мира и для народов ! Dedicado a Alexandra Elbakyan, una heroína, a Julián , una inspiración y, sobre todo, a Olga, una vida 3 Indice 0-Introducción................................................................................................................5 1-Marco teórico: la psicología cognitiva........................................................................7 a) Aprendizaje general..............................................................................................8 b) Aprendizaje de las matemáticas.........................................................................19 2-Diseño Docente........................................................................................................31 a) Selección de contenidos.....................................................................................31 b) Metodología y Evaluación...................................................................................36 c) Materiales............................................................................................................40 3-Propuesta didáctica..................................................................................................41 a) Módulos de medida.............................................................................................43 b) Módulos de proporcionalidad geométrica...........................................................57 c) Módulos de axiomática y demostración..............................................................66 d) Proyectos interdisciplinares................................................................................69 4Conclusiones...........................................................................................................78 5-Referencias..............................................................................................................80 4 0-Introducción ¿De dónde venimos? Medir es una necesidad del ser humano desde, al menos, la invención de la agricultura: cuánto ha producido la cosecha, cuánta extensión tiene cada cultivo… La agrimensura es la medida de la tierra, dicho en griego, geo-metría. Hoy en día es una rama de las matemáticas lo que, en origen, fue una disciplina práctica. Medir la tierra resulta necesario para los agricultores, pero también para los comerciantes y los soldados. De la riqueza producida por la agricultura nacieron el comercio y la guerra, dos facetas de la civilización que demandan mapas. Mapas, y con ellos técnicas para orientarse y posicionarse, que van desde las brújulas hasta los sistemas de posicionamiento por satélite. Pero antes de colocar satélites en órbita, el ser humano usaba las estrellas y el sol para averiguar su posición. De todos estos problemas prácticos se abstrae y desarrolla un estudio teórico de las formas, las proporciones, las relaciones métricas, las semejanzas… y a partir de la época moderna, se desarrollan la geometría analítica, la diferencial como herramientas para el estudio del movimiento, y posteriormente una miríada de geometrías (proyectiva, algebraica, no euclídea, computacional...) que se nutren del desarrollo de la matemática, la ciencia y la técnica modernas. Esta historia sucinta de la geometría muestra cómo el ser humano ha generado esta rama abstracta de las matemáticas a partir de problemas prácticos y científicos. Un problema común a la hora de enseñar matemáticas es que resultan demasiado artificiales y poco intuitivas a los alumnos; esta génesis histórica muestra caminos por los que los alumnos pueden transitar de problemas reales hacia la abstracción. De hecho, son los caminos que siguió la humanidad en su desarrollo cultural: no hubo un Pitágoras antes de que hubiera agrimensores; un Al-Biruni antes que comerciantes ni un Descartes antes que navegantes. No se trata de repetir los pasos que dieron forma a una teoría, porque probablemente sería un camino muy poco didáctico. Pero sí se pueden tomar los problemas que llevaron a acuñar los conceptos y los contextos en los que se dieron como narrativas para hilar la 5 enseñanza. Situar los conceptos matemáticos en los contextos históricos en los que se han usado permite relacionarlas con la tecnología y la cultura, y mostrar las matemáticas como el producto cultural que son, como una obra de la razón y de los distintos pueblos y civilizaciones que conforman la raza humana. ¿Adónde vamos? Este trabajo pretende ofrecer una propuesta didáctica de geometría diseñada en base a los siguientes principios: Promover el desarrollo cognitivo y cultural del alumnado a través de una enseñanza significativa y de calidad. Esto implica seleccionar contenidos enriquecedores en un sentido práctico, intelectual o cultural. Diseño lo más universal posible, en forma no de propuesta única, sino de una diversidad de actividades y niveles de profundización que permitan cubrir la diversidad de capacidades de los alumnos a nivel individual1. Diseño por módulos, esto es, no dar unidades didácticas cerradas, sino un repertorio de actividades estructuradas que puedan combinarse de forma flexible para adaptarse a las necesidades de cada aula. Enseñanza basada en la evidencia: apoyarse en la ciencia para hacer una elegir escoger las técnicas, diseños o estrategias2 docentes más efectivos. En la primera parte del trabajo se hará una revisión bibliográfica sobre las técnicas y principios docentes a la luz de la evidencia empírica, primero para la didáctica general y después para la enseñanza de las matemáticas. En la segunda parte se 1 En ese sentido, no se organizarán actividades por cursos, sino por niveles, entendiendo que los niveles de conocimiento pueden ser alcanzados a distintas edades dependiendo del contexto social y familiar,las aptidudes y ritmo madurativo del alumno o alumna concreta. 2 A lo largo de este trabajo, se usarán las expresiones “técnica docente”, “estrategia docente” y “diseño docente” de forma intercambiable. A efectos prácticos, la única distinción entre ellas es el nivel de aplicación, y buena parte de las técnicas pueden aplicarse a distintos niveles, incluso de forma simultánea. La técnica de repetición espaciada, por ejemplo, pueden usarse tanto dentro de una misma sesión lectiva, como a lo largo de una unidad didáctica o de todo el curso, por lo que no tiene sentido distinguir 6 explica cómo se ha diseñado la propuesta didáctica, y en la tercera se presenta la propuesta en sí. Atendiendo Como se ha indicado arriba, se busca hacer una propuesta didáctica enriquecedora, efectiva y que sirva para el mayor número de casuísticas, tanto a nivel individual como de grupo. Por ello, no se presentan unas unidades ni secuencias didácticas cerradas, ni se pretende hacer una propuesta exhaustiva o adaptada a un curso o currículo en particular. Esta propuesta didáctica se plantea como un repositorio de recursos del que cada docente pueda extraer actividades e implementarlas en la medida que se ajusten a las necesidades de su grupo. 1-Marco teórico: la psicología cognitiva En esta sección se revisa la literatura científica disponible que sobre la didáctica de las matemáticas. Primero se hará una introducción general sobre psicología del aprendizaje, para después pasar a cuestiones muy concretas sobre didáctica de las matemáticas. En esta sección se ha considerado a un alumno individual neurotípico3 sin considerar sus condicionantes socioeconómicos. Dada la inmensa cantidad de casuísticas posibles, no resulta factible abarcarlas en la extensión de este trabajo. La atención a la diversidad neurológica y social, y la adecuación de la enseñanza al contexto cultural, económico y social. El marco teórico se centrará en estudiar el aprendizaje como proceso realizado por un cerebro individual4, y como por tanto el marco será el de la psicología cognitiva. Filósofos como Platón, Descartes, Locke o Kant habían reflexionado sobre los procesos del conocimiento, pero el estudio propiamente científico de los mismos despega con la neurología de Broca y Wernicke en el siglo XIX. A comienzos del siglo XX se desarrolla bajo el conductismo de Pavlov y Skinner, y de forma complementaria, con Vygotsky y Piaget. El desarrollo científico-técnico desde la 3 Este neologismo designa a personas sin trastornos del desarrollo neurológico u otras “anomalías”. 4 Para una explicación teórica de los de sobra conocidos efectos y mecanismos de la reproducción social sobre el sistema educativo, consúltese la ya clásica obra “La reproducción” (Bourdieu & Passeron, 2022), o (Enguita, 2001). 7 posguerra mundial multiplica las investigaciones y los enfoques, hasta llegar a la neurociencia moderna del siglo XXI. a) Aprendizaje general Arquitectura del conocimiento La psicología cognitiva estudia los procesos mediante los que el ser humano percibe y procesa la información. Analiza y esclarece los mecanismos fisiológicos y mentales mediante los que se produce el conocimiento, tales como la percepción, la atención, la memoria o el razonamiento. Las teorías y evidencias que acumula la psicología cognitiva son la fuente más solida para poder elaborar técnicas docentes efectivas. La capacidad cognitiva del ser humano está limitada por su arquitectura cerebral. Por ejemplo, la memoria de trabajo (también llamada memoria a corto plazo, primaria o activa) es el conjunto de elementos accesibles a la consciencia. Es un hecho empíricamente asentado que que la memoria de trabajo sólo es capaz de retener unos siete elementos de información a la vez. Si trata de procesarlos o compararlos, la misma relación ocupa por sí misma un espacio de trabajo, por lo que puede el cerebro puede procesar aún menos elementos (Sweller et al., 1998). La memoria de trabajo explica por qué un ser humano no puede hacer demasiadas cosas a la vez, o por qué un ruido o un pensamiento intrusivo interfieren con el aprendizaje. O por qué la aritmética escrita es más sencilla que la aritmética mental, en la que debemos destinar recursos a almacenar mentalmente los resultados. De cara al aprendizaje, se sigue que sólo podemos procesar una cantidad limitada de información de una vez. O, lo que es lo mismo, sólo podemos procesar una complejidad limitada, porque las relaciones entre elementos requieren por sí mismas recursos mentales. Algunas teorías apuntan a que la memoria de trabajo consta de varios procesadores parcialmente independientes (visual, auditivo…), por lo que se se podría aumentar su capacidad empleando varios canales de información a la vez. 8 El aprendizaje consisten en la transferencia de información de la memoria de trabajo a la memoria a largo plazo (memoria secundaria o pasiva). Esta memoria se considera prácticamente ilimitada; un estudio con grandes maestros ajedrecistas mostró que podían aprender hasta 100.000 configuraciones del tablero distintas. En la memoria a largo plazo es donde se almacenan los conocimientos. No es accesible a la consciencia de forma directa, sino que sus contenidos deben ser primero transferidos a la memoria de trabajo (Sweller et al., 1998). Las dos memorias dialogan a través de los procesos de codificación y recuperación; cuanto mejor codificada haya sido una información en la memoria a largo plazo, más fácil será que se mantenga y que sea recuperada por la memoria a corto plazo. La nemotecnia (o mnemotecnia) es el arte de la memoria; un conjunto de técnicas que se remontan a la antigüedad para facilitar la retención y recuperación de información. En esencia, consiste en asociar ideas o palabras a imágenes, sonidos, lugares, o encadenarlas en historias5. Son técnicas sencillas y muy accesibles6, para una muestra véase el “Breve Manual de Mnemotecnia” que se incluye en las referencias (Pascual, 2014)). La nemotecnia se basa en dos mecanismos: volver la información más llamativa, y relacionarla. La información pasa a la memoria a largo plazo mediante la codificación. Esta codificación está modulada por la atención, la emoción, la estructuración de esta información y por cómo se relaciona con nuestras informaciones previas. Se recuerda mejor algo a lo que se ha prestado atención que algo que estaba fuera del foco; se recuerda mejor un hecho emocionalmente intenso (como un beso o un accidente) que uno emocionalmente neutro (como una lista de la compra). En cuanto a la estructuración, es más sencillo recordar unidades de información pequeñas que grandes, por ejemplo, es más sencillo memorizar un número de teléfono como 5 Algunos ejemplos de nemotecnia: para aprender la palabra “árbol” en inglés, ”tree” se visualizan tres árboles que evoquen el número 3; para aprender números de teléfono se pueden asocia cada cifra a una consonante se hace una frase; para aprender listas de palabras, se puede construye una historia o canción con ellas; para memorizar objetos, se los puede visualizar en las habitaciones del hogar. 6 Podría resultar muy beneficioso trabajarla la nemotecnia con los alumnos, para facilitarles la memorización, y que puedan destinar más tiempo al razonamiento. Además, las técnicas obligan a elaborar la información y a usar la creatividad, por lo que hasta memorizar una lista de palabras aleatorias resulta positivo para el desarrollo del alumno y su ejercitación mental. 9 En síntesis, un buen diseño docente trata de reducir la carga cognitiva extrínseca y de aumentar la carga esencial dentro de la capacidad de la memoria de trabajo. Dicho de manera más sencilla: un buen diseño docente presenta los contenidos de la forma más sencilla posible, evitando florituras y distracciones de lo esencial, y a la vez fomenta que el alumno conecte y elabore el contenido del aprendizaje. Síntesis La psicología cognitiva y la teoría de la carga cognitiva dan un marco teórico riguroso de cómo se procesa y almacena la información en el cerebro. En esencia, la capacidad de procesamiento consciente del ser humano es muy limitada, por lo que el cerebro organiza la información en esquemas orientados a una funcionalidad. Esta compactación permite manejar mayor cantidad de información, construir esquemas de orden superior y razonar con ellos. La automatización de esquemas permite procesarlos de forma inconsciente, y así libera memoria de trabajo. Los esquemas permiten elevar la capacidad de pensamiento humano a nuevos niveles, por lo que la enseñanza debe centrarse en fomentar la construcción y automatización de esquemas cognitivos. Schneider y Stern sintetizan en diez puntos (Schneider & Stern, 2010) las principales aportaciones de la psicología cognitiva a la teoría del aprendizaje. Se recogen en la Tabla 1: 16 RESULTADO TEÓRICO PRINCIPIO DOCENTE El aprendizaje... 1 … lo realiza el estudiante, no el docente Conocer la forma que cada estudiante construye su conocimiento y lograr que esté mentalmente activo. 2… requiere la integración de estructuras de conocimiento Conectar la nueva información con los conocimientos previos, mostrarla desde otros puntos de vista y relacionarla con otras asignaturas. 3 ...está limitado por la arquitectura y capacidad de las estructuras cerebrales de procesamiento de la información Presentar información significativa, dosificada y de manera que ni el orden ni la forma supongan una dificultad añadida. 4 … se produce como interacción entre emoción, motivación y cognición El estado emocional, la motivación y el rendimiento académico están conectados como engranajes; no se cambia uno sin cambiar los otros. 5 … requiere tiempo y esfuerzo “Aprender puede y debe ser divertido, pero es el tipo de diversión que tiene escalar una montaña, no el tipo de diversión que es sentarse en la cima a disfrutar las vistas” (Schneider & Stern, 2010) 17 RESULTADO TEÓRICO PRINCIPIO DOCENTE El aprendizaje óptimo... 6 ...construye en base a los conocimientos previos La evaluación deben darse durante todo el proceso de enseñanza, no sólo al acabar, para conocer el punto de partida y los errores de aprendizaje 7 …equilibra conceptos, habilidades y herramientas metacognitivas Las habilidades metacognitivas permiten conectar conceptos y procedimientos. Los primeros se aplican en los segundos, y los explican 8 ...organiza pequeñas unidades de conocimiento de forma jerárquica para forma estructuras de conocimiento mayores La información se debe presentar dosificada, relacionada y en orden de complejidad creciente. 9 ...usa estructuras del mundo externo para organizar el conocimiento en la mente La secuenciación temporal, el diseño visual, los diagramas, los materiales… deben ser acordes a la organización de la información. 10 … construye estructuras de conocimiento transferibles Centrar la atención en las estructuras y no en lo superficial, fomentar la reflexión, la analogía y relacionar los problema con situaciones cotidianas Tabla 1: Principales conclusiones de la psicología cognitiva para el aprendizaje, según Schneider y Stern (Schneider y Stern, 2010) 18 b) Aprendizaje de las matemáticas En este apartado se revisará la literatura científica sobre técnicas de enseñanza específicamente enfocadas a las matemáticas. Existen clasificaciones y revisiones diversas, pero el presente trabajo se fundamenta en dos, principalmente. Una es el capítulo “Evidence for Cognitive Science Principles that Impact Learning in Mathematics” del libro “Acquisition of Complex Arithmetic Skills and Higher-Order Mathematics Concepts” (Booth et al., 2017) , y otra es el número 42 (2) de la revista Zentralblatt für Didaktik der Mathematik (ZDM) de Agosto de 2017, dedicado en exclusiva a repasar la eficacia de distintas técnicas y principios docentes a la luz de la evidencia empírica, desde el punto de vista de la psicología cognitiva; un buen resumen de este número de ZDM es su introducción (Verschaffel et al., 2017). Categoría Técnica Docente I Memoria y Soltura 1. Repetición Espaciada e Intercalación 2. Personalización del contexto 3. Retroalimentación 4. Andamiaje II Inducción y Perfeccionamiento 5. Representaciones múltiples 6. Ejemplos resueltos. III Comprensión y dotación de sentido 7. Analogías 8. Comparación de estrategias 9. Textos refutatorios Tabla 2: Resumen y clasificación de las técnicas docentes revisadas Booth et al. clasifican las técnicas docentes en tres apartados, usando el tipo de capacidad que se fomenta: Imemoria y soltura, IIinducción y perfeccionamiento y IIIcomprensión y dotación de sentido (Booth et al., 2017). La primera categoría es la más general, son técnicas que pueden aplicarse a la asimilación de los elementos más sencillos, sean contenidos (memoria) o procedimientos (soltura). La segunda categoría abarca técnicas destinadas a establecer puentes entre elementos concretos y aprendizaje más abstractos, a la sofisticación conceptual (inducción) y procedimental (perfeccionamiento). Por último, la tercera categoría se ocupa de la 19 comprensión y dotación de sentido, es decir del máximo nivel de elaboración, y buena parte de sus técnicas podrían calificarse de metacognitivas. En la Tabla 2 siguiente recogemos las técnicas que se repasarán, y que serán desarrolladas más adelante, en la sección de diseño docente. I Memoria y soltura 1-Repetición Espaciada e Intercalación La repetición espaciada12 busca optimizar la frecuencia con la que se evoca o practica un aprendizaje. Es una de las técnicas más estudiadas y mejor conocidas, y en ella se basa una gran cantidad de programas informáticos de aprendizaje autodidacta, como Anki, Duolingo, EdApp, Mochi, Memrise… Se puede implementar de forma física con unas tarjetas con los elementos de aprendizaje, un separador y un calendario que planifique los repasos. La investigación concluye que separar las repeticiones es más beneficioso que concentrarla (efecto espaciado), por ejemplo el mero hecho de repartir una lección entre dos días en vez de impartirla en uno solo mejora sustancialmente la retención de conceptos (Cepeda et al., 2006). También, que es más beneficioso aumentar los intervalos de repetición progresivamente (efecto demora): 2 min, 15 min, 24h, 3 días… se han calculado las curvas de olvido (porcentaje de retención vs. tiempo) y establecido el momento óptimo para los recuerdos en diversos contextos. De cara a la docencia en el aula, quizás resulte excesivo establecer repeticiones perfectamente calendarizadas de todo el contenido, aunque sí se puede realizar un mazo de tarjetas con los conceptos más importantes para que los alumnos las repasen con un software de repetición espaciada. Una forma muy sencilla de aplicar esta técnica es realizar repasos de todo el temario cada cierto tiempo, por ejemplo mediante cuestionarios en vivo (Plickers, Kahoot!, Toohak!)..., y un posterior refuerzo de los conceptos en los que hayan fallado. 12 Spaced repetition o distributed practice en inglés, según los autores; el primero suele utilizarse más para aprendizajes conceptuales, y el segundo para aprendizajes procedimentales. 20 Por otra parte, cuando se realizan problemas o se repasan conceptos, pueden ordenarse de dos formas: por bloques, o intercalada, es decir mezclando conceptos de distintos bloques o problemas de distintos tipos, para que no se sepa cuál. La docencia habitual suele practicar un tipo de problema inmediatamente después de haber explicado el método, o dentro de la misma unidad didáctica, por lo que el alumno sabe qué método debe utilizar dentro de un repertorio muy pequeño. Aunque este diseño parece ser el adecuado para afianzar el aprendizaje inmediato, los estudios empíricos muestran que la intercalación mejora el aprendizaje tanto en la resolución de problemas como en la retención de conceptos (Rohrer et al., 2015) . En conclusión, el estudio por bloques (para establecer un aprendizaje) debe complementarse con el estudio intercalado para asentar el aprendizaje. Esta estrategia es muy sencilla de implementar. 2Personalización del Contexto La personalización del contexto consiste en presentar un contenido dentro de un contexto que le resulte familiar o de interés. Existen distintos grados de personalización, desde cambiar los nombres o contextos de un problema-tipo a preparar problemas totalmente distintos para cada alumno, o incluso establecer proyectos distintos acordes a los intereses. La personalización varía en la profundidad, la finura (si se personaliza por grupos o de forma totalmente individual), y el grado de control que sienten los alumnos sobre la tarea que se les encomienda. La revisión bibliográfica heca por Walkington y Hayata (Walkington & Hayata, 2017) no muestra evidencias concluyentes sobre el efecto de la personalización sobre el aprendizaje ; en unos estudios se muestran efectos positivos, en otros neutros, y en algunos incluso aparecen ligeros efectos negativos. Esto se puede deber a la diversidad de diseños didácticos y experimentales que fomentan uno u otro de los dos efectos asociados a la personalización de contexto. Por una parte, personalizar aumenta la motivación del alumnado y mejora su predisposición ante la materia; los alumnos tienden a disociar las matemáticas de la 21 escuela de la vida cotidiana, y los ejemplos de sus áreas de interés establecen un puente entre ambos “mundos”. También, si ya conocen datos del contexto en el que se les presenta el contenido, se les reduce la carga cognitiva necesaria para asimilarlo. Por otra parte, la personalización añade elementos distractivos que pueden aumentar la carga cognitiva del aprendizaje, y desviar la atención del alumnado de los conceptos matemáticos a otros aspectos de su área de interés. Cuanto más fina y profunda sea la personalización, más trabajo requiere para el docente, mientras que la personalización superficial (problemas tipo en los que se cambian detalles de forma automatizada) no ha mostrado efectos significativos sobre el aprendizaje (Walkington & Hayata, 2017). Resumiendo, el profesor debe ponderar la distracción que pueda suponer la personalización frente a la implicación que genere en los alumnos, y priorizar la claridad conceptual y adecuación del contenido a un mayor atractivo superficial,. 3Retroalimentación Retroalimentación es cualquier comunicación del docente con el alumno que pretende evaluar, orientar o dirigir su aprendizaje. Al ser un proceso comunicativo básico, es enormemente variada en sus formas y enfoques, por lo que la literatura científica que se ha podido revisar no cubre todos los formatos y situaciones posibles. Siendo rigurosos, las conclusiones que se presentan a continuación sólo se han comprobado en unos contextos muy particulares13 (Booth et al., 2017), por lo que no está garantizado que se puedan generalizar. No obstante, se basan en principios que es razonable pensar que se pueden aplicar de forma más amplia. Primera conclusión: es más efectiva la retroalimentación enfocada a procesos (la motivación del alumno, sus fortalezas y debilidades, los procedimientos de resolución…) que la enfocada a calificaciones (numéricas o del tipo que sea). La calificación es una forma de refuerzo conductual que tiene mayor o menor impacto según la disposición del alumno y su entorno. En cualquier caso, la calificación puede motivar, pero no proporciona guía sobre cómo debe enfocarse el aprendizaje 13 Para más detalles, consultar los artículos citados en las páginas 303 y 304 de la referencia. 22 (la nota me dice que no sé resolver sistemas lineales, pero me dice por qué ni cómo puedo remediarlo). Por contra, la retroalimentación enfocada a procesos permite averiguar dónde están los problemas de forma más precisa (motivación, conocimientos previos, comprensión del enunciado, operaciones con enteros, manipulación algebraica, dislexia, déficit de atención…), y ponerles un remedio ajustado a las dificultades, de aprendizaje o del tipo que sean. Segunda conclusión: los alumnos rezagados se benefician de la retroalimentación más que los alumnos aventajados. Un alumno con más conocimientos previos, más destreza o unos conceptos y procedimientos asentados puede ser más autónomo, mientras que aquel que tiene mayores dificultades puede recibir más apoyo. Es una obviedad y, además, una obviedad con respaldo científico. Tercera conclusión: la retroalimentación inmediata es mejor que la demorada, porque la inmediatez facilita la asociación entre el error y su solución. En la revisión de Booth se extrae una cuarta conclusión: la retroalimentación usando vídeo es más efectiva que por escrito. Se explica porque el video atrae más la atención del alumno, porque es comunicación multicanal (visual + auditivo) y porque ralentiza el ritmo del alumno y le da más tiempo para asimilar (y además puede rebobinar el video tantas veces como quiera). La forma de retroalimentación más simple y antigua es la conversación cara a cara, una comunicación bidireccional que permite obtener mucha información si sabe encauzar. El diálogo socrático, por ejemplo, es una planteamiento utilizado en educación, psicología terapéutica, filosofía y otros ámbitos para canalizar las conversaciones(Knezic et al., 2010). Sus propuestas son: escuchar activamente, formular y reformular explícitamente las cuestiones, pedir aclaraciones, confirmar la comprensión, deducir a partir de cada conclusión, rastrear las asunciones, explicarlas, abstraer, concretizar… son habilidades sencillas de aplicar si se parte de una actitud de comunicación sincera y abierta14. 14 Parece una obviedad que los docentes deban tener esta actitud, pero en el citado artículo de Knezic et al se menciona el sorprendente número de veces en las que los profesores dan explicaciones sin saber exactamente qué les está preguntando un alumno, véase la página 1. 23 También hay que tener en cuenta que una excesiva retroalimentación puede dificultar el desarrollo de los alumnos. Por ejemplo, en el análisis de ejemplos resueltos, un exceso de asistencia impide que los alumnos elaboren sus propias explicaciones (Renkl, 2017), con lo cual se pierde la efectividad de la técnica. Por qué es necesario ir retirando el apoyo a los alumnos se explica con la siguiente técnica docente. 4-Andamiaje Andamiaje15 comprende cualquier diseño docente que cree unos modelos o comportamientos temporales para al alumno a alcanzar un nivel de conocimientos, y que posteriormente serán eliminados16. El andamiaje se basa en la teoría del desarrollo proximal de Vygotsky, según la cual, grosso modo, se desarrolla la capacidad de realizar una actividad de forma autónoma realizando esa actividad con apoyos externos primero. Existe una gran variedad de conceptualizaciones del andamiaje en la literatura, lo cual dificulta establecer comparaciones unificadas, pero hay cierto consenso sobre dos requisitos que debe cumplir el andamiaje. El primero es que debe adecuarse al nivel de partida del estudiante: realizar un mismo andamiaje para todos los alumnos se demostró perjudicial en comparación con no proveer ningún andamiaje, porque demoraba el aprendizaje de algunos alumnos(Booth et al., 2017). Y también hay que tener en cuenta que el andamiaje, en tanto que pretende ser temporal, puede interferir con los aprendizajes ulteriores. Véase el sesgo de los números naturales: es fruto de la concepción de los números como recuentos, necesaria para introducir los números a los niños, pero que luego entorpece la generalización del concepto de número. Por ello introducir un andamiaje a un alumno que no lo necesita puede llegar a ser contraproducente. El segundo requisito del andamiaje es que el apoyo debe retirarse de forma progresiva, o de lo contrario el aprendizaje se estancará. Dicho con otras palabras, debe transferirse gradualmente la responsabilidad del profesor al alumno. 15 Scaffolding en inglés. 16 Una metáfora del andamiaje son los “ruedines” que se usan para aprender a a anda en bicicleta: están pensados para ser quitados en algún momento, pero son un estadío necesario. 24 Una técnica general de andamiaje en matemáticas es proveer a los alumnos de ejercicios resueltos en los que primero falta un paso, en el siguiente ejemplo faltan dos… hasta que los alumnos consigan resolver el problema de forma totalmente autónoma. Esta transición se puede acompañar de preguntas o indicaciones sobre cuál es el objetivo del paso, qué falta por hacer, cómo se ha llegado hasta ese paso… entonces se está introduciendo una actividad metacognitiva que refuerza la comprensión del proceso de resolución. El grado de concreción de las preguntas también puede irse reduciendo para dar más autonomía. Esta forma de andamiaje se ha demostrado efectiva no sólo en la resolución de problemas-tipo muy estructurados , también en el aprendizaje de la demostración y el razonamiento matemático, usando problemas que enseñan heurísticos en vez de procedimientos cerrados (Reiss et al., 2008). Un ejemplo más concreto de andamiaje sería enseñar a modelar problemas con ecuaciones lineales a los alumnos, y al principio permitirles resolver las ecuaciones de forma automática con software, para que se centren en la modelización sin tener que destinar esfuerzos cognitivos a la manipulación algebraica. Así, incluso se podría enseñar a modelizar con ecuaciones antes de enseñar a resolverlas, con lo cual se mostraría su utilidad e interés, y se podría motivar mejor su estudio. II Inducción y perfeccionamiento 5-Representaciones múltiples Las matemáticas estudian objetos abstractos que sólo nos son accesibles a través de distintas representaciones algebraicas, geométricas, gráficas, simbólicas, materiales…. La riqueza de las matemáticas estriba en su capacidad para obtener unas propiedades en una representación y traducirlas a otra representación cualquiera17. Por ejemplo, saber manejar la notación algebraica 3 x + 5 = 20 permite resolver un problema (Cuántos kilos de manzanas a 3€/kg he comprado si he 17 por ejemplo, la multiplicación de números complejos como escalados y rotaciones en el plano, o los teoremas de isomorfía de aplicaciones lineales como rangos de matrices. 25 ayuda a elucidar la idea que subyace en un problema, y por tanto a entender las similitudes estructurales entre los distintos procedimientos. Se recomienda utilizar esta estrategia en combinación con representaciones múltiples del problema y una vez los estudiantes hayan adquirido soltura en los procedimientos por separado. Se puede implementar con la discusión en el grupo completo, planteando la resolución por grupos que discutan de forma guiada sus estrategias (Mevarech, 1999), o de forma individual. Una forma individual de trabajar la comparación de estrategias es plantear un problema en un folio dividido por la mitad, para que en cada parte se resuelva por un método distinto, e incluyendo preguntas que fomenten y guíen comparación, ya que los alumnos no siempre son capaces de plantear adecuadamente este tipo de actividades metacognitivas (Renkl, 2017). 9-Textos refutatorios Durante el proceso de aprendizaje pueden asimilarse mal los conceptos, dando lugar a ideas erróneas que interfieren en el aprendizaje. También puede haber preconcepciones procedentes dela vida cotidiana, o intuiciones erróneas. Un ejemplo es la interpretación del área de los diagramas de caja y bigote como una proporción de datos. Los textos refutatorios son una herramienta didáctica que enuncia explícitamente una idea errónea, la refuta y construye en su lugar una idea correcta. Son una forma de inducir un conflicto cognitivo, es decir forzar al cerebro a identificar una contradicción y readaptar los esquemas mentales para resolverla. Son adecuadas para abordar errores comunes del aprendizaje, o pueden utilizarse ad hoc para alumnos concretos que manifiesten una dificultad persistente. Una revisión de la bibliografía disponible (Lem et al., 2017) sobre textos refutatorios arroja tres conclusiones: primera, que son una herramienta más eficaz para promover el cambio conceptual que un texto estándar en el que no se expliciten ni refuten las ideas erróneas. Segunda, los textos refutatorios no son una panacea: algunos estudios muestran efecto positivo, otros neutro, y no se muestran efectos para todos los alumnos. Esto puede deberse a que unas concepciones estén más 32 arraigadas que otras, por su naturaleza o por la trayectoria del alumno, bien a la calidad del texto refutatorio o a que éste se adapte mejor o peor al estilo de aprendizaje de cada alumno; aún no se conocen las condiciones óptimas para aplicarlos. Tercera conclusión: las intuiciones incorrectas siguen apareciendo tras el uso de textos refutatorios, pero su uso sí ayuda a superar las intuiciones erróneas mediante razonamientos conscientes. En síntesis: es una técnica positiva para lograr el cambio conceptual si se diseña de forma adecuada y si se complementa con seguimiento y otras técnicas para lograr que ese cambio conceptual se complete y se dé en todos los alumnos. 2-Diseño Docente En esta sección indicaremos los criterios utilizados para la selección de contenidos, las metodologías y materiales escogidos, y la forma en la que se combinarán en la propuesta didáctica a) Selección de contenidos La primera cuestión a la hora de realizar una propuesta didáctica es ¿Qué se quiere impartir? Para lo cual es necesario primero encontrar justificar el contenido que se elige a las necesidades del alumnado y a sus capacidades. Esto es, no hay que caer en la inercia de enseñar, por ejemplo, la clasificación de los cuadriláteros, simplemente porque estén en todos los temarios, sino pensar para qué niveles, grupos o incluso tipos de alumnos es de provecho ese aprendizaje. También, el contenido debe estar adaptado a las capacidades del alumnado según su nivel de desarrollo cognitivo, sus capacidades innatas, sus conocimientos previos y su orientación vital. 33 Respecto a qué contenido enseñar al alumnado: la enseñanza de las matemáticas no debería20 tener un fin puramente utilitario (para aplicarla), también cultural e instrumental. En tanto las matemáticas son un fruto de la creatividad y la razón humana, y juegan un papel fundamental en la ciencia y economía modernas, una persona culta tiene que conocerlas al menos a un nivel divulgativo. Y e fin instrumental del aprendizaje de las matemáticas es el desarrollo de la capacidad de abstracción y razonamiento lógico que, si bien no son exclusivas de esta materia, sí que se trabajan con especial intensidad. Por tanto, no hay que limitar el temario a lo que un alumno vaya a aplicar en su futura vida profesional, pero tampoco obcecarse en enseñar sobre todas las áreas de las matemáticas ni al mismo nivel de profundidad a todos los alumnos. Por ejemplo, el análisis, que entraña especial dificultad, podría enseñarse en detalle tan sólo a los alumnos que vayan a cursar carreras científico-técnicas, y a nivel divulgativo al resto. En cambio, se podría argumentar que la estadística y probabilidad son más útiles al público general, y por tanto se les debe dedicar más tiempo en la programación. Se puede abogar por introducir la teoría de grafos en el temario, por ser un contenido muy intuitivo y a la vez permitir razonamientos y demostraciones sencillas, o por incluir rudimentos de teoría de grupos, por ser una introducción asequible al álgebra abstracta. En cuanto a qué contenido es capaz de aprender el alumnado, es preciso considerar la distancia entre el nivel de conocimientos y capacidades actuales y los que se pretenden conseguir. Formulado en otros términos, debe evaluarse la carga cognitiva que supone un aprendizaje dado, tanto en sus componentes intrínseca (para el nivel de desarrollo madurativo) y esencial (el coste de su encaje en los esquemas actuales del alumno). Un aprendizaje puede resultar muy valioso, pero suponer un esfuerzo excesivo y suponga que se deban sacrificar otros aprendizajes importantes. Además, un currículo que priorice la cantidad a la calidad del aprendizaje se arriesga a conseguir aprendizajes superficiales y frágiles, que sean olvidados pronto y tengan que ser reconstruidos de un curso para otro. 20 A juicio del autor. 34 La carga cognitiva es un concepto difícil de cuantificar de forma exacta21, así que en este trabajo se utilizará la clasificación de actividades que realizaron Stein y Lane (ver página siguiente) a modo orientativo, junto con el buen entender del autor22, en tanto que persona formada en matemáticas, para graduar la dificultad de los aprendizajes y actividades asociadas a los mismos. La dificultad de un aprendizaje puede valorarse en función de su extensión, de la interactividad de sus elementos (versección 1-a , apartado “Carga Cognitiva y Diseño Docente”), de los conocimientos previos que requiere y de lo familiar o intuitivo que resulte al alumnado. El contexto histórico en el que fue acuñado un concepto o inventado un procedimiento puede servir de indicativo de su dificultad; algunas de las ideas que se enseñan en el aula tardaron milenios desarrollarse, y son obras de genios; no puede esperarse que los alumnos los adquieran en su vida cotidiana ni de forma intuitiva, sino a través de oportunidades de aprendizaje diseñadas de forma profesional que guíen su proceso de construcción del conocimiento. Por supuesto, a la hora de diseñar la enseñanza para un aula concreta, debe ser el docente particular el que evalúe los conocimientos previos y las necesidades específicas de su grupo de alumnados concreto y, en función del mismo, module lo aquí expuesto, y diseñe la docencia según su buen entender profesional. Procedemos a exponer la clasificación de actividades según su complejidad. Stein y Lane (Stein & Lane, 1996) establecen seis tipos de actividades cognitivas que pueden darse en el aula de matemáticas. Las dos primeras son Actividades no matemáticas Exploración asistemática o improductiva Que, lógicamente, deben evitarse en el aula de matemáticas, a menos que formen parte de un proyecto interdisciplinar (por ejemplo, el estudio de fénomenos físicos para un proyecto sobre mecánica) o sirvan a la educación en otros aspectos, como 21 Para más detalles, véanse las páginas 266 a 268 de *Sweller et al, 1998) 22 No debe entenderse este criterio como una defensa de la subjetividad o una vanidad por parte del autor, sino como una respuesta práctica a la ausencia de (o al menos extrema dificultad para encontrar) tablas de cargas cognitivas detalladas y adaptadas al contenido de este trabajo. 35 puedan ser el sanitario, el afectivo-sexual o la educación en valores cívicos (por ejemplo, el estudio de datos históricos, epidemiológicos u otro tipo de estadísticas o fenómenos para la concienciación social). Por tanto, quedan cuatro actividades cognitivas propiamente matemáticas que se pueden realizar en el aula, que se enumeran en orden creciente de demanda cognitiva e interés didáctico: I. Memorización II. Procedimientos algorítmicos III. Procedimientos conceptuales IV. Pensamiento no algorítmico (“hacer matemáticas”) Tabla 3: Tipos de cognitivos matemáticos en el aula de matemáticas, según el marco conceptual de Stein y Lane (Stein y Lane, 1996) Las dos primeras son de alta demanda cognitiva y las dos últimas, de baja demanda cognitiva. Las actividades de baja demanda cognitiva son Ila memorización de contenidos y IIlos procedimientos algorítmicos, esto es, sin conexiones conceptuales. Las actividades de alta demanda cognitiva son IIIla ejecución de procedimientos con conexiones conceptuales y IVel pensamiento no algorítmico. El nivel I es la memorización de conceptos, por ejemplo la definición de triángulo isósceles o la fórmula para la resolución de ecuaciones cuadráticas, el nivel más básico, y puede fomentarse mediante una presentación llamativa y significativa del contenido, la repetición espaciada, la nemotecnia y la conexión con otros conocimientos, sean previos o sean parte de la nueva unidad. Esto es, los conceptos se afianzarán mejor cuando se apliquen, se muestre su utilidad y se relacionen dentro de la unidad didáctica, esto es se incluyan en esquemas cognitivos de orden 36 superior. Pero las actividades de nivel I consisten en la adquisición de los esquemas básicos, antes de su integración en esquemas mayores. El nivel II comprende procedimientos que se ejecutan sin realizar conexiones conceptuales ni reflexionar sobre los mismos. Es decir, son esquemas de nivel básico, pero esquemas de tipo ejecutivo, o sea secuencias de instrucciones en vez de conjuntos de contenidos. Algunos ejemplos seríam la resolución automática de una regla de 3, la resolución de una ecuación lineal o la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular una hipotenusa directamente a partir de los catetos. Automatizar estos procedimientos permite liberar recursos cognitivos para que puedan destinarse a la modelización de problemas e interpretación de soluciones. Una actividad puede ser de nivel II porque se haya aprendido sin una explicación de su funcionamiento, o porque ya se conoce esta explicación, pero se posee la suficiente destreza para poder ejecutarla de forma automática. El nivel III abarca los procedimientos que requieren una interpretación para poder ser ejecutados, o que son razonados de forma consciente para dotarlos de un sentido. Es decir, estas actividades no se realizan de forma automática, sino que suponen un esfuerzo consciente de conexión entre conceptos y procedimientos. Ejemplos serían la resolución de un problema verbal de aritmética o álgebra, en los que hay que conectar los enunciados con las operaciones matemáticas asociadas. Cualquier procedimiento de nivel II se convierte en una de nivel III en el momento que el alumno se detenga a justificar los pasos de resolución, y una actividad de nivel III lo suficientemente practicada pasará a convertirse en una de nivel II. Por ejemplo, al resolución de un triángulo por trigonometría supone un esfuerzo para el novel, que debe decidir qué razón trigonométrica utilizar, mientras que para el experimentado esta elección se da de forma automática. Por último, el nivel IV comprende las tareas abiertas para las cuales el alumno apenas dispone de guía, bien porque no conoce aún un método estándar para resolverlo, bien porque no existe tal método. Este tipo de actividades requieren una planificación, elección y evaluación de procedimientos y estrategias. Son el nivel más abstracto y elaborado de actividad matemática, y no puede lograrse hasta que 37 no se disponga un mínimo repertorio de conocimientos y herramientas matemáticas para abordar la tarea. No es posible abordar problemas de estática si no se conoce el cálculo diferencial y no se han trabajado ejemplos, pero con todo los ejemplos que se pueden abarcar de este tipo de problemas nunca abarcarán la variabilidad y complejidad que pueden alcanzar. Un ejemplo de actividad de tipo IV serían problemas de tipo Olimpiada Matemática. Otro ejemplo interesante sería presentar a los alumnos un problema sin darles todas las herramientas necesarias, y que sean ellos los que tengan que elaborar los conceptos necesarios. Por ejemplo, pueden enseñarse los puntos y rectas notables de un triángulo sin dar las definiciones, sino planteando a los alumnos problemas que los conduzcan a acuñar los conceptos de bisectriz o circuncentro por sí mismos; éste sería un enfoque constructivista del aprendizaje. Los contenidos se han estructurado y agrupado por módulos. Estos módulos son menores que lo que podría considerarse una unidad didáctica. De hecho, están concebidos para combinarse en unidades didácticas variables que se ajusten a las necesidades del curso y grupo al que se quiera impartir. También pueden fragmentarse, aunque se han intentado agrupar de la forma más cohesionada y lógica posible, y con el mínimo número de redundancias. En principio, no están limitadas a las asignaturas de matemáticas, sin oque algún módulo podría impartirse como refuerzo en asignaturas de física, de otros ámbitos científicos o en formas menos compartimentadas de impartir la enseñanza, allá donde se apliquen. Se recalca que no pretende ser un programa exhaustivo ni abarcar toda la geometría que se podría impartir; se ha limitado a la geometría clásica, esto es sin incluir las geometrías analítica, diferencial o proyectiva, es decir sin incluir las aportaciones del cálculo diferencial e integral o la topología. Sí que se han considerado introducciones a otras áreas de las matemáticas que se puedan abordar sin introducir demasiados conceptos nuevos. 38 b) Metodología y Evaluación Cada metodología didáctica sirve a unos fines y tiene unas fortalezas y desventajas, como se ha visto en el marco teórico. Por tanto, la mejor forma de impartir docencia es combinando metodologías que se adecúen a la naturaleza del contenido concreto, y que, en conjunción, permitan llegar a todos los alumnos. En cuanto a la evaluación, resulta positivo realizarla en todas las etapas del aprendizaje a nivel informativo para el docente: al principio, para medir los conocimientos previos, durante el aprendizaje para diagnosticar los posibles errores y realizar un seguimiento, y al final, para comprobar el grado de éxito. En ese sentido, la evaluación formativa abarca cualquier proceso o producto del trabajo en el aula (o para el aula, en caso de deberes) del que el profesor reciba una retroalimentación, sea en forma de entrega, sea por observación. Cómo debe traducirse esa evaluación en calificaciones (por resultados, por procedimientos, por competencias, autoevaluación, coevaluación, con rúbrica, con examen, ponderaciones…), cómo debe registrarse (portafolio, diario de clase, cuaderno…) o cómo comunicarse a los alumnos y sus familias son asuntos que dependen mucho de la política del centro, del departamento didáctico y del profesor concreto por lo que este apartado se limitará a exponer los aspectos evaluativos de cada tipo de actividad y metodología incluida en esta propuesta didáctica. Explicaciones magistrales: la exposición de unos contenidos conceptuales o procedimentales en vivo, normalmente con el apoyo de una pizarra y medios audiovisuales. Se aconseja que no dure más de 20-30 minutos, pues al ser una metodología pasiva es fácil que los alumnos dejen de prestar atención si no se cambia de actividad pasado ese tiempo. Pueden intercalarse preguntas al alumnado para favorecer la atención e implicar al alumnado, pero es una metodología prácticamente unidireccional, por lo que no tiene aspectos evaluativos. 39 Explicaciones asíncronas: exposición de unos contenidos por escrito o en vídeo. Otorga mucha autonomía al alumno, por lo que no es aconsejable usarla si el alumno no está en condiciones de ejercerla de forma constructiva. Puede resultar útil para reforzar a alumnos rezagados o permitir profundizar a alumnos aventajados sin tener que alterar el ritmo del grueso de la clase Ejemplos resueltos o incompletos: puede tratarse de la exposición por escrito de un ejercicio resuelto para que el alumno lo tome como referencia para seguirlo, o puede ser un ejemplo con indicaciones para ser completado y analizado; esta segunda variante es una actividad metacognitiva que estimula o encauza la reflexión del alumno. Un ejemplo es realizar un “Matecómic” con pasos de un procedimiento dibujados y escritos, y que el alumno deba completar o las explicaciones o las viñetas, o una mezcla de ambas23. Este cómic metacognitivo puede usarse para evaluar el grado en el que se ha interiorizado o comprendido un procedimiento. Práctica semiautónoma: la realización de problemas o ejercicios en el aula, sea por escrito, en digital o con material, en la que esté permitido en distintos grados consultar al profesor o a compañeros. Por ejemplo, una batería de ejercicios con soluciones para realizar individualmente para coger soltura con un procedimiento, mientras la profesora mientras se pasea atendiendo dudas. Otro ejemplos: dar ejercicios conceptuales sin soluciones a resolver en parejas, para fomentar las explicaciones entre iguales y el aprendizaje cooperativo. Estos dos procedimientos pueden ser autoevaluativos o heteroevaluativos. Un examen tradicional sería un caso de práctica totalmente autónoma con fin expresamente evaluativo24. Experimentación guiada: con dibujos, papiroflexia, materiales, programas informáticos o cualquier otro soporte con el que los alumnos puedan seguir unas instrucciones abiertas para comprobar propiedades, demostrar teoremas o formular hipótesis. Los experimentos pueden ser realizados por el profesor 23 Algunas fuentes, llaman a variantes a esta técnica “base de orientación” 24 La única diferencia entre un examen tradicional y cualquier otra entrega individual es la forma en la que se presenta a los alumnos y el peso que se le da en la nota. 40 y discutidos por el grupo, pero resulta más motivador si cada alumno lo realiza de forma individual. Puede evaluarse el grado de implicación, capacidad de seguir instrucciones, creatividad o ingenio, pero en principio no la adquisición de contenidos. Es una metodología muy constructivista. Cuestionarios en vivo: existen distintas aplicaciones informáticas (Kahoot!, Plickers, Socrative, Toohak…) que permiten crear cuestionarios para que sean respondidos en el momento con los alumnos. Es una herramienta que bien usada implica mucho a los alumnos, aún si se etiqueta como un examen. Pueden utilizarse para evaluar los conocimientos previos (y/o activarlos). El software está diseñado para facilitar la recogida de resultados, por lo que es una herramienta evaluativa muy práctica para el docente. Problemas o investigaciones abiertas: dan libertad al alumnado para explorar sus intereses y capacidades. Pueden usarse para que los alumnos avanzados profundicen, o para conectar la asignatura con otros ámbitos. Sus resultados en forma de entrega o presentación pueden usarse para evaluar la creatividad, motivación y esfuerzo de los alumnos. También puede plantearse la resolución de un tipo de problemas sin haber explicado el método, con un enfoque constructivista. El peligro que entraña es que los métodos tentativos erróneos interfieran después con el aprendizaje del método correcto. Exposiciones guiadas de los alumnos: puede tratarse de la exposición de un problema, un trabajo guiado o una investigación . Fomenta la elaboración del conocimiento adquirido (organización, autoexplicaciones… ) como paso previo a exponer, y también fomenta las habilidades comunicativas. Proyectos didácticos: un proyecto didáctico es un problema o narrativa que sirve de hilo conductor para plantear actividades en una o varias asignaturas a la vez, y en el que se da un grado de autonomía al alumno. Por ejemplo, la Antigua Roma puede conectar hacer arte romano en la artes, un herbolario a la romana en biología, además de estudiar su historia y mitología en la asignatura de Cultura Clásica. 41 Justificación: Los espacios métricos son fundamentales en el análisis matemático avanzado, y pueden introducirse a nivel muy divulgativo mediante distancias discretas en grafos, como las cuadrículas de un cuaderno o los tableros del ajedrez. Este contenido podría impartirse a modo de divertimento en niveles bajos, y la parte de distancias euclídeas y abstractas, en un bachillerato orientado a enseñanzas de ingeniería, física o matemáticas Niveles: I conceptos y II pequeños cálculos, ya que es a nivel divulgativo Metodología: Explicaciones cortas con fuerte apoyo audiovisual intercaladas con breves experimentos sobre el cuaderno. Evaluación: No se aplica, por ser divulgación Temporalización: 2 sesiones para la parte discreta + 1 para la abstracta Áreas elementales (I) Conceptos Procedimientos Actividades Notas Definición del rectángulo y el paralelogramo Cálculo de áreas de rectángulos Aproximación de áreas por cuadrados Dibujo: medidas con cuadrícula Material: medidas con cuadrados recortados Rectángulo como segmento en 2D Puede introducirse el paralelogramo como un rectángulo “inclinado” Área para rectángulos. Medida bidimensional Área de un paralelogramo Demostración por recorte Geogebra: deformar a paralelogramo Papiroflexia: demostración Área del triángulo Deducción por papiroflexia y dibujo Área del rombo Área del Círculo Pi como ciente, valor aproximado Método Monte Carlo para áreas Cálculo directo de área de círculos Pseudodemostración de la fórmula del área del círculo como triángulo Material: cálculo de pi por peso cartón o legumbres Geogebra: cálculo experimental de pi Geogebra: cálculo de Pi y otras áreas por Monte Carlo Se pueden hacer regresiones para estimar Pi. Método Monte Carlo como dardos aleatorios en diana. Se puede enlazar con probabilidad 48 Áreas elementales (II) Conceptos Procedimientos Actividades Notas Áreas y perímetros por descomposición (sin Pitágoras) Cálculo de áreas de figuras planas compuestas Material: cálculo por dibujo y recorte Dibujo: figuras con igual área a un paralelogramo Demostraciones del Tma Pitágoras por reordenación Reproducir y explicar la demostración Material: Dibujo / papiroflexia Comics metacognitivos Demostraciones n.º 2, 9, 15 y 24 en Cut the knot Ídem por deformación Demostraciones n.º 1, 12 y 16 en Cut the knot Demostración de Tales por áreas Justificación: El área es la medida en dos dimensiones. Estableciendo conexiones entre longitud, área y superficie, entre segmento, rectángulo y cubo, entre círculo y esfera, se contribuye a reforzar la idea de que unas son generalizaciones de otras, o que más bien son la concreción de la idea de medida aplicada en distintos ámbitos. La deducción de las áreas del paralelogramo y el triángulo permiten introducir la demostración de forma muy intuitiva. A su vez, el método Monte Carlo refuerza la idea de Pi como razón “circular”, y da una explicación no dogmática sobre cómo se conoce su valor con tanta precisión28. Otra forma de organizar los contenidos sería presentar segmento, cuadrado , paralelogramo, cubo y paralelepípedo en un modulo (“figuras rectas”), y círculo y esfera en otro (“figuras curvas”), que incluyera más métodos de aproximación de Pi (ej: por octógonos en el Antiguo Egipto). Niveles: Iconceptos II aplicación de fórmulas III razonar las fórmulas, establecer conexiones entre los experimentos y las fórmulas, entender la aproximación a pi por Monte Carlo IVdemostraciones 28 Aunque haya métodos mucho más eficientes para el cálculo de Pi 49 Metodología: En grupos pequeños, niveles bajos o ACNEEs se pueden realizar los experimentos físicos o virtuales de forma individual. En niveles bajos pero grupos numerosos, los experimentos los puede realizar el profesor para toda la clase con una única balanza / pestaña de geogebra. Las demostraciones de papiroflexia o regla y compás pueden ser guiadas oralmente por el profesor, o pueden presentarse como un “Matecómic” junto a una serie de preguntas que inciten a la interpretación y la autoexplicación. Evaluación: Cuestionarios en vivo. Control oral o escrito de cálculos de áreas. Se les puede pedir que aproximen áreas usando una cuadrícula, y con ejemplos dados del método de Monte Carlo (con pocos puntos, o dándoles el conteo de puntos). Se puede usar un cómic con la demostración de las áreas del paralelogramo y el triángulo a las que tengan que poner título y etiquetas, como forma de fomentar la autoexplicación. También se les puede pedir identificar los elementos de las fórmulas antes de aplicarlas a casos concretos. Temporalización: ◦niveles bajos: 8 sesiones (5 teórico-prácticas +1 experimentos+ 2 síntesis) ◦niveles altos: 6 sesiones (3 sesiones teoría-práctica sin experimentación y 3 para demostraciones Recursos: Cut the Knot: demostraciones Tales y Pitágoras https://www.cut-theknot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/ThalesTheorem.shtml ◦http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Geogebra:Monte Carlo https://www.geogebra.org/m/cF7RwK3H Youtube: Formas de calcular Pi: https://youtu.be/DQ5qqHukkAc 50 Pitágoras en poliedros y áreas Conceptos Procedimientos Actividades Notas Prismas, pirámides y sólidos platónicos Identificarlos Construcción de desarrollos planos Construcción con pajitas y plastilina Visualización física o digital Áreas y perímetros por descomposición (con Pitágoras) Deducción del área de un trapecio, una corona circular y un segmento circular Dibujo y recorte En formato numérico para niveles bajos y algebraico para niveles altos Aproximación del círculo por polígonos regulares Cálculo de perímetro y área aproximados Desarrollo plano y áreas lateral Cálculo del área lateral de prismas, cilindros, conos, troncos de cono, icosaedros y otros poliedros regulares Construcción de desarrollos planos Superficie lateral de la esfera Cálculo directo (Comprobación experimental con papel maché) Pentágono y razón áurea Cálculo de la apotema, Permite calcular las razones trigonométricas de 72º Demostración del Tma Pitágoras por áreas con álgebra Reproducir y explicar la demostración Dibujo técnico matecómics Demostraciones n.º 3, 4, 5 8 , y 10 en Cut the knot Justificación: este módulo pretende sustituir al de áreas elementales en los niveles superiores, cuando ya se conoce el teorema de Pitágoras y el alumno tiene cierta familiaridad y soltura con las fórmulas básicas. Prácticamente no introduce conceptos nuevos, sino que se trata de ejercitación Niveles: II aplicación de fórmulas y III descomposición y razonamiento de áreas y perímetros IV cálculo de la razón áurea y demostración 51 Metodología: Clase magistral para explicar la clasificación, problemas abiertos o ejercicios guiados para el cálculo de superficies laterales. Las superficies laterales pueden comprobarse dibujando los desarrollos planos. Evaluación: exposición oral o escrita de las deducciones de áreas y perímetros laterales. Temporalización: 3-4 sesiones(1 teórica, 2 de ejercicios +1 de construcción) Recursos: Geogebra: ◦ Sólidos platónicos https://www.geogebra.org/m/RaRhydyP ◦Aproximación del círculo https://www.geogebra.org/m/vgcv6vxx Cut the Knot: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Volúmenes elementales (I) Conceptos Procedimientos Actividades Notas Cubo como cuadrado en 3D Paralelepípedo como “cubo” hecho de paralelogramos Identificar correctamente las distintas figuras; distinguir las superficies laterales de los sólidos Inclinar cajas de cartón para conseguir cuboides Cubo = “amontonar” cuadrados, y paralelepípedo = estirar e inclinar un cubo Superficie esférica como puntos a una distancia Esfera como su interior, o rotación de un círculo Cono y cilindro como rotaciones de cuadrado y triángulo Experimentar con distintos ejes de rotación para el cuadrado y el triángulo: con cartulinas y palillos o con Geogebra 3D 52 Volúmenes elementales (II) Conceptos Procedimientos Actividades Notas Volumen de un cubo y un cuboide Deducción por Cavalieri y cálculo Aproximación de volumen por cubos Geogebra: experimentar con deformaciones Cuboide= paralelepípedo ortogonal/formado por rectángulos Volumen de una pirámide Cálculo directo Material: comprobar experimentalmente con legumbres Volumen de un cilindro Deducción por Cavalieri y cálculo Material: comprobación con legumbres de los volúmenes del cono, la esfera y ell cilindro Volumen del cono Cálculo directo Volumen de esfera Cálculo directo Volúmenes por descomposición Cálculo y aproximación de volúmenes compuestos Justificación:El volumen es la medida en tres dimensiones, una generalización del área como es el área a la propia longitud. El experimento de generar manualmente sólidos de rotación ayuda a comprender las simetrías de las figuras. Dado que las fórmulas de volúmenes para conos y esferas sólo son deducibles con el uso de cálculo, comprobarlos experimentalmente puede evitar que se perciban como un dogma. Niveles: I-conceptos IIcálculos con fórmulas dadas III-deducciónes Metodología: Lección magistral para las explicaciones conceptuales o las fórmulas cerradas, acompañadas de experimentación con legumbres o geogebra. Fichas de problemas guiados para las deducciones, previa explicación de ejemplos Evaluación: Exposición oral o escrita de las deducciones Temporalización: 4 sesiones 53 Medida de Ángulos Conceptos Procedimientos Actividades Notas Definiciones Ejemplos y motivación Se puede ilustrar con la apertura de un abanico Ángulos completo, plano y recto Clasificación de ángulos a simple vista Experimentación con palillos o bolígrafos Ángulo recto como caso en el que las rectas que se cruzan forman cuatro ángulos idénticos Ángulos agudos, rectos y obtusos Ángulos cóncavos, planos y convexos Medida Medida con goniómetro29 Construcción del goniómetro Tabla conversiones vueltas / sexagesimal / (radianes) Sistema Sexagesimal Conversiones sexagesimales Radianes: medida del arco Cálculo del arco a partir del ángulo y viceversa Conversión radianes – grados Cálculo de longitud de arco a partir de medida angular Material: medida experimental con cuerdas/ metros Puede omitirse en niveles bajos Velocidad angular Medición Conversión entre velocidades lineal y angular Enlaza con las funciones trigonométricas Se puede ilustrar con un molinillo de viento, o con sistemas de engranajes y motores, y una célula fotoeléctrica 29 Ver en anexos 54 Justificación: El ángulo es la medida del giro o rotación. No debe permitirse que esta definición intuitiva quede sepultada por las conversiones entre sus unidades de medida. ُLas clasificaciones de ángulos resulta sencillas, pero el concepto de radián es el más complicado de este bloque, con diferencia. Niveles: I-conceptos IIconversiones Metodología: En niveles superiores puede preguntarse omitirse todo este bloque,o presentarlo como cuestionario en vivo para activar conocimientos previos. La parte de velocidad angular se puede hilar con la asignatura de física o la de tecnología, aparte de con funciones trigonométricas Evaluación: cuestionario en vivo , fichas de ejercicios conceptuales. Temporalización: 1-2 sesiones Relaciones entre ángulos (I) Conceptos Procedimientos Actividades Notas Ángulos congruentes opuestos y formados por paralelas y secante Congruencias básicas de ángulos Demostraciones por papiroflexia Ángulos complementarios, suplementarios y conjugados Cálculo del complementario, suplementario y conjugado. Cálculo de ángulos restantes Demostraciones algebraicas de ángulos congruentes Dibujo técnico matecómics Suma de ángulos en un triángulo Cálculo del ángulo restante en un triángulo Demostraciones por papiroflexia Cómics Metacognitivos 55 Relaciones entre ángulos (II) Conceptos Procedimientos Actividades Notas Suma de ángulos en un polígono Cálculo Derivar la fórmula general Arco capaz y ángulo inscrito Segundo teorema de tales Resolver congruencias de ángulos combinando propiedades Reproducir y entender las demostraciones Demostración por papiroflexia Cómics Metacognitivos Demostración por congruencias Igualdad de ángulos en triángulos isósceles Justificación: las congruencias entre ángulos son una de las primeras formas de razonamiento matemático por simetrías. Niveles: I-conceptos II-cálculos y demostraciones sencillas III-congruencias en triángulos IV-demostración de los teoremas de arco capaz e inscrito Metodología: explicaciones magistrales, ejercicios Evaluación: cuestionario en vivo , fichas de ejercicios conceptuales. Temporalización: 3 sesiones 56 b) Módulos de proporcionalidad geométrica Pitágoras Conceptos Procedimientos Actividades Notas Enunciado e interpretación Cálculo de lados de un triángulo rectángulo Clasificacion de triángulos según c² vs a²+b² Material: comprobación con cartón/ legumbres Geogebra: comprobación Indicar que fue descubierto de forma independiente por muchas culturas y es anterior a Pitágoras Generalización a figuras semejantes Dibujo de figuras en posición pitagórica Demostraciones elementales del Teorema Reproducir las demostraciones Dibujo y papiroflexia Geogebra: construir la demostración Matecómics Ver demostraciones en los enlaces mas abajo Perímetros de figuras compuestas Cálculo de perímetros, áreas y superficies laterales de Hojas de actividades Superficies laterales de pirámides, paralelogramos, troncos de cono Construcción de desarrollos planos Material: comprobación con papel maché Justificación: la relación más famosa de las matemáticas se emplea para hallar distancias, pero en realidad es una como relación entre áreas. Dado que toda área de geometría clásica (no fractal) depende de un factor cuadrático, puede reforzarse esta idea Niveles: I conceptos II cálculos y demostraciones sencillas III congruencias en triángulos IV demostración de los teoremas de arco capaz e inscrito Metodología: explicaciones magistrales, ejercicios Evaluación: cuestionario en vivo , fichas de ejercicios conceptuales. 57 Justificación: el triángulo es la forma más sencilla de la geometría plana. Usando líneas rectas, es la figura con área más elemental que se puede construir. El resto de polígonos pueden triangularse, esto es, descomponerse en triángulos, y los polígonos pueden aproximar cualquier forma plana: campos de cultivo, edificios, sistemas de fuerzas…. El verbo “triangular” tiene una acepción más general, que es la de localizar un punto a partir de otros dos: los sistemas GPS triangulan nuestra posición, como los barcos se triangulaban mediante los faros, o incluso mediante las estrellas. Dado que nuestro planeta es esférico, los triángulos planos dejan de ser buenas aproximaciones cuando aumentan las distancias. Niveles: Iclasificaciones y fórmulas IIcálculos directos IIIcálculo de perímetros de triángulos Metodología: explicación magistral y aprendizaje basado en ejemplos, se recomienda abundar mucho en la importancia del triángulo como base de la geometría plana, y en la triangulación como aplicación práctica. La fórmula de Herón y el cálculo de perímetros pueden omitirse en los niveles inferiores. Evaluación: cuestionarios en vivo y fichas de ejercicios cortos Temporalización: 5 sesiones (3 teórico-prácticas +2 triangulación) 64 Resolución de triángulos Conceptos Procedimientos Actividades Notas Qué es resolver un triángulo Aplicaciones a la topografía, la navegación y la geografía Resolución de triángulos rectángulos Catetos a partir de la hipotenusa y un ángulo. Ejemplos incompletos Fichas de ejercicios Problemas verbales Hipotenusa a partir de un cateto y su ángulo adyacente Hipotenusa a partir de un cateto y su ángulo opuesto Ángulos de un triángulo rectángulo a partir de los lados Resolución de triángulos oblicuángulos Oblicuángulo a partir de dos lados y sus ángulos opuestos Ejemplos incompletos Fichas de ejercicios Problemas verbales Oblicuángulo a partir de dos ángulos y el lado común a ellos. 2º ciclo Requiere ecuaciones lineales Autosemejanza en el triángulo rectángulo Aplicación Demostraciones Dibujo técnico matecómics Problema Tell Harman Tma. de Al-Kashi (Ley del Coseno) Presentar como generalización del Tma. de Pitágoras Ley del Seno Demotración por áreas y alturas o por ángulo inscrito Mediatrices y circuncentro Cálculo del circunradio y del inradio Construcción con regla y compás Construcción con papiroflexia Dibujo técnico y papiroflexia Bisectrices e incentro Alturas y Ortocentro Medianas y baricentro Centro de gravedad Centro de gravedad en cartón 65 Justificación: la resolución de triángulos es la aplicación que da sentido práctico a la construcción original de la trigonometría. La semejanza en el triángulo rectángulo es conocido desde Babilonia. El resto del módulo no es tan importante que se memoricen (las partes notables del triángulo o las leyes) como que se sepan construir y demostrar sus propiedades. Niveles: Idefiniciones II-resolución de triángulos rectángulos IIIresolución de triángulos oblicuángulos IVdemostración teoremas Metodología: Para la resolución de triángulos, se recomienda un aprendizaje basado en ejemplos, empezando por ejemplos totalmente resueltos e ir retirando pasos, como forma de andamiaje. Las partes notables de un triángulo y las leyes se recomienda enfocarlas desde un el constructivismo, mediante fichas con indicaciones para deducirlas o conocer sus propiedades Evaluación: la resolución de un triángulo oblicuángulo es un ejercicio muy completo para la resolución de triángulos. A un nivel superior, se pueden plantear la resolución de triángulos construidos a partir de los puntos notables de un triángulo mayo Temporalización: ◦Niveles bajos: 8 sesiones ejemplos y práctica de resolución de triángulos ◦Niveles altos: 10 sesiones (4 resolución triángulos + 3 teoremas + 3 sesiones partes notables ) Recursos: Arte: el Tamiz de Apolonio https://fineartamerica.com/art/apollonian+gasket Matemáticas Visuales: http://www.matematicasvisuales.com/ 66 d) Proyectos interdisciplinares Los proyectos que se presentan a continuación tienen una duración y alcance variables: algunos abarcan unas pocas asignaturas y duran un mes o un trimestre, otros pueden ser implementados a nivel de centro en todas las materias. Dependiendo de la disposición de los departamentos docentes y el equipo directivo, puede modularse el grado de implicación y coordinación de los proyectos. Arquitectura (Física, Historia, Arte, y Tecnología) La arquitectura es una disciplina a caballo entre la técnica y la estética, por lo que puede ser abordada desde la física y sus matemáticas subyacentes, desde la Historia y desde el Arte . Los distintos estilos arquitectónicos responden a cambios tecnológicos además de a modas estéticas, por lo que son una confluencia de disciplinas de mucho provecho. No se tiene por qué seguir un orden cronológico, y se pueden incluir distintas civilizaciones de todo el globo: zigurats babilónicos, pirámides amerindias o egipcias, mezquitas otomanas, iglesias católicas, ortodoxas, arquitectura tradicional sudanesa, japonesa, griega, túrquica, escandinava, la arquitectura totalitaria soviética o la fascista, vanguardias europeas, el Bauhaus, el Art Déco, el posmodernismo arquitectónico… Esta variedad puede aprovecharse para inculcar el valor de la diversidad cultural, y el respeto a otra culturas. Matemáticas: La arquitectura da pie al estudio de las simetrías en la ornamentación y los teselados. También al estudio de las proporciones en la construcción, el cálculo de volúmenes y áreas de edificios asociados la cuantificación de costes de materiales. A niveles superiores, se pueden parametrizar las curvas de edificios y detallar las propiedades geométricas de las cónicas con edificios modernos que las utilizan.  67 Física: en niveles altos se pueden realizar diagramas de fuerzas. En niveles bajos pueden realizarse explicaciones gráficas o experimentos sencillos sobre equilibrios de fuerzas. Si dispusieran de un laboratorio con instrumentos de medición sencillos, podrían usarse para realizar las mediciones experimentales de áreas y volúmenes, en caso de que el departamento de matemáticas no dispusiera de ese instrumental. Historia: entender cómo nace y se propaga un estilo arquitectónico, es entender las rutas comerciales, hegemonías políticas y modas artísticas de una época. Se pueden realizar rutas por una ciudad y leer en sus edificios la historia. Los estilos más abundantes suelen corresponder a las épocas doradas de cada ciudad; por ejemplo Sevilla está cubierta de barroco y el Barcelona de Modernismo. También pueden realizarse rutas virtuales con aplicaciones como Street View o similares. Arte: más allá de profundizar en la historia de las corrientes arquitectónicas, puede ser enriquecedor que los alumnos imiten los estilos de ornamentación de cada época en dibujos, o que construyan miniaturas de zigurats a pequeñas catedrales, sea en papel maché, con cartón plegado. Tecnología: pueden construirse puentes que usen distintos tipos de arcos y cuerdas para repartir las cargas; también se pueden construir polígonos y poliedros en madera u otro material sobre los que luego estudiar propiedades en matemáticas. También se pueden reconstruir grúas romanas, medievales y modernas, andamios, polipastos, chorobates, bombas hidráulicas y todos los mecanismos que se han utilizado en la construcción. También se podría tratar la química de los materiales de construcción. Recursos: Gaudí: https://apuntesdearquitecturadigital.blogspot.com/2019/10/elarquitecto-gaudi-y-la-catenaria-las.html Más Gaudí: https://www.xataka.com/otros/secretos-geometricos-gaudicatenarias-hiperboloides-profunda-simbologia-numero-12 68 Astronomía (Física, Arte, Tecnología, Cultura Clásica, Literatura, Historia y Filosofía ) Este proyecto puede ser juntado con el de Navegación y Comercio, o con el de la Odisea. La observación del cosmos ha generado abundante técnicas e instrumentos de medición, además de muchos problemas científicos y matemáticos, sobre todo desde la carrera espacial. Los astros aparecen en todas las religiones y sistemas de creencias, y en la literatura y el arte, siempre han seducido a la curiosidad y la imaginación humanas. De este proyecto se puede sacar primero un fomento de la visión científica y racional a través de una historia del pensamiento, y a la vez mostrar el hermanamiento entre la ciencia y las humanidades en toda la producción artística que hay en torno al cosmos. Matemáticas: También ha motivado estudios científicos abstractos: la trigonometría india y la islámica se desarrollaron en gran medida para estudiar la posición de las estrellas; la teoría de la gravitación, las cónicas y el cálculo diferencial se desarrollan para comprender las órbitas. Y a nivel más abstracto, el problema de los tres cuerpos se encuentra en los inicios de la teoría del caos, que conecta muchas ramas de la matemática moderna. Física: la evolución del universo y de los cuerpos celestes es un marco narrativo excelente para despertar la curiosidad científica de lo alumnos. Arte: el espacio muestra imágenes asombrosas de una belleza increíble: nebulosas, galaxias, agujeros negros y otros cuerpos celestes pueden ser de una belleza increíble. Pueden imitarse sus formas y colores con técnicas de acuarela, puntillismo, o construirse esculturas o móviles que imiten los sistemas astronómicos. Resulta interesante la cartelería asociada a la carrera espacial, (principalmente estadounidense y soviética, y las obras cinematográficas de ciencia ficción (que deben filtrarse para incluir sólo aquellas que tengan un valor filosófico, estético o científico). 69 Tecnología: la óptica se ha desarrollado en gran medida parala observación del espacio, desde el primer telescopio de Galileo hasta el moderno telescopio espacial Hubble. La carrera espacial moderna ha fabricado tecnologías punteras que después se han trasladado a la vida cotidiana. Como actividades, pueden construirse astrolabios, dioptras esferas armilares, telescopios e incluso cohetes y los dispositivos electrónicos asociados a ellos. Cultura Clásica: las constelaciones y los cuerpos astronómicos tienen muchas referencias de la mitología grecorromana, y da pie a explicar el pensamiento mitológico y científico en la Antigua Grecia. Literatura: buena parte de la ciencia ficción se ha ambientado en el espacio, y la ciencia ficción de calidad es un género que permite planteamientos filosóficos y estéticos muy elaborados. Además, muestra la continuidad de la cultura, en el sentido de que las humanidades y las ciencias dialogan y no tienen que estar enfrentadas. Resultan muy interesantes en este sentido las obras de Isaac Asimov o Philipp K. Dick. Historia: más allá de la historia de la ciencia y de la navegación (que se aborda en otro proyecto), la carrera espacial es un marco muy cautivador para explicar la guerra fría, y mostrar cómo el desarrollo científico, técnico y las condiciones políticas e ideológicas están conectadas. Filosofía: El cosmos es un ejemplo ideal para mostrar la transición de las explicaciones mitológicas a las explicaciones científicas, y para explicar el refinamiento del pensamiento científico a través de los cambios de modelos de Aristóteles a Eratóstenes, Aristarco de Samos… También sirve para mostrar la lucha histórica entre el pensamiento científico y el pensamiento mítico o religioso es un buen marco para fomentar el pensamiento crítico, desmontar la astrología y otras supersticiones relacionadas con el cosmos. 70 Recursos: ¿Qué vio el telescopio espacial Hubble el día de tu cumpleaños ? https://www.nasa.gov/content/goddard/what-did-hubble-see-on-your-birthday Instagram: cuentas que recopilan fotografías astronómicas @thecosmologicalvoyager @interstellar views @astronomybasics @europeanspaceagency @nasa_es Artículo: (Sriraman, 2009) Un repaso histórico de la interacción de la teología y la filosofía en las artes, las matemáticas y las ciencias (en inglés) Cartografía (Historia, Geografía, Tecnología, Literatura) Este proyecto puede fusionarse con el de Navegación y Comercio. La representación de la tierra ha sido un problema práctico para comerciantes, exploradores y soldados. ➢Historia: la guerra, el comercio y la exploración son tres grandes formas por las que se han relacionado las distintas civilizaciones históricamente. Los mapas permiten sintetizar visualmente los ámbitos políticos, económicos, culturales y religiosos, las rutas de intercambio, la distribución de la población y las migraciones. Los catastros son un ejemplo de registro geográfico que supuso una revolución en el sistema fiscal y político32. Puede plantearse una enseñanza de la Historia que se apoye fuertemente en los mapas. Existen aplicaciones educativas como MathCityMap que trabajan directamente con la fusión de mapas y matemáticas (https://youtu.be/onTbSc8JfEw) Geografía: la geografía física (de la humana ya se ha hablado) también usa los mapas en abundancia para explicar los procesos de formación y transformación del paisaje, los fenómenos climáticos, los distintos biomas… y se puede destacar la importancia de las expediciones topográficas 32 En la obra Capital e Ideología, de Thomas Piketty, se analiza cómo la creación de registros de la propiedad primero agraria y después inmobiliaria contribuyen a conformar el estado moderno y el régimen de propiedad de las primeras sociedades capitalistas. 71 Tecnología: se pueden construir y explicar los distintos instrumentos usados en la agrimensura (como las cuerdas egipcias o la groma romana), la topografía civil (telémetros, teodolitos) y explicar o mostrar las técnicas modernas con imágenes de satélite y drones. Literatura: los libros sirven para viajar mentalmente a otros países y épocas, reales o imaginarios. Muchas novelas se leen mejor con ayuda de un mapa, como las de viajes de Miguel Strogoff, y toda la literatura de Jules Verne y de la época en la que el mundo aún estaba siendo descubierta. La literatura fantástica también crea sus propios mundo y mapas, como los de la Tierra Meida de J.R.R. Tolkien o el amplio mundo de la saga Canción de Hielo y Fuego. Novelas históricas como León, el Africano de Amin Maalouf, o que simplemente estén ambientadas en otros países , como Las Uvas de la Ira de John Steinbeck. Pero también se han hecho recorridos literarios urbanos por el Dublín del Ulyses de James Joyce o por el Madrid de Luces de Bohemia, de Valle Inclán. La idea fundamental es que cualquier género literario tiene alguna obra a partir de la que se pueden dibujar o recorrer mapas, con los que organizar excursiones, o plantear actividades con ellos. Japón (Arte e Historia) La cultura japonesa ha resultado atractiva a los occidentales desde al menos el siglo XIX. Hoy en día vive un auge con la popularización del manga y el anime, por lo que puede resultar muy atrayente a una buena parte de los alumnos. En el plano matemático, Japón vivió un auge durante el periodo EdoEn el siglo XVII destaca la figura de Seki, “el leibniz japonés”, apodado así porque desarrolló técnicas de exhaución muy similares a las del análisis que se fundó en Europa. Además, desarrolló una teoría de determinantes y un método similar al de Cramer dos siglos antes que éste. Son particularmente conocidos los Sangakus, unos problemas geométricos que se observan como ofrendas en templos religiosos y se cree que eran un pasatiempo popular entre las clases nobles. 72 Matemáticas: Los Sangakus y su contexto pueden usarse como hilo narrativo para plantear problemas con el Teorema de Pitágoras. O, en niveles superiores, la demostración de teoremas clásicos de geometría plana. Arte: el origami o papiroflexia cuenta con una larga tradición en japón, y se ha desarrollado no solo un origami artístico, sino uno matemático que plantea problemas análogos a los de constructibilidad con regla y compás. Aparte del origami, la cultura japonesa tiene una estética muy rica y seductora, por lo que puede trabajars Historia: Japón aparece mucho en la divulgación histórica sobre la guerra mundial. Como forma de enseñar una historia menos eurocéntrica, puede resultar enriquecedor explicar la historia del Japón feudal (y comparar sus diferencias con el feudalismo europeo), de su proceso de industrialización y su creación de un imperio, que es en gran medida análoga al desarrollo del imperialismo europeo y el totalitarismo alemán. Recursos: Estrategias de enseñanza con sangakus: https://youtu.be/05882h1AclQ Sangakus: https://www.enriquegracian.com/sangaku/ Más sangakus: http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/html/sangaku.htm Navegación y Comercio (Historia, Geografía, Tecnología Economía) Este proyecto se puede juntar con el de Astronomía, el de Cartografía o el de La Odisea. El comercio ha sido una de las principales fuentes de desarrollo técnico e intercambio cultural. Pueden tomarse como contextos particulares la Antigua Ruta de la Seda, el comercio Mediterráneo en el auge de Fenicia, Grecia, Venecia o del Imperio Otomano, los canales de Suez o Panamá, el comercio triangular de los Imperios Europeos, la actual Nueva Ruta de la Seda… o ejemplos a más pequeña escala, como la ruta que seguía la lana castellana hasta el puerto de Santander. Lo importante es que hay una gran variedad de contextos narrativos para mostrar dinámicas históricas y económicas. 73 Knezic, D., Wubbels, T., Elbers, E., & Hajer, M. (2010). The Socratic Dialogue and teacher education. Teaching and Teacher Education, 26(4), 1104-1111. https://doi.org/10.1016/j.tate.2009.11.006 Kotovsky, K., Hayes, J. R., & Simon, H. A. (1985). Why are some problems hard? Evidence from Tower of Hanoi. Cognitive Psychology, 17(2), 248-294. https://doi.org/10.1016/0010-0285(85)90009-X Lem, S., Onghena, P., Verschaffel, L., & Van Dooren, W. (2017). Using refutational text in mathematics education. ZDM, 49(4), 509-518. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0843-y Mevarech, Z. R. (1999). Effects of Metacognitive Training Embedded in Cooperative Settings on Mathematical Problem Solving. The Journal of Educational Research, 92(4), 195-205. https://doi.org/10.1080/00220679909597597 Pascual, L. S. (2014). Breve manual de mnemotecnia. https://www.mnemotecnia.es/documentos/Mnemotecnia_CC.pdf Rau, M. A., & Matthews, P. G. (2017). How to make ‘more’ better? Principles for effective use of multiple representations to enhance students’ learning about fractions. ZDM, 49(4), 531-544. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0846-8 Reiss, K. M., Heinze, A., Renkl, A., & Groß, C. (2008). Reasoning and proof in geometry: Effects of a learning environment based on heuristic worked-out examples. ZDM, 40(3), 455-467. https://doi.org/10.1007/s11858-008-0105-0 Renkl, A. (2017). Learning from worked-examples in mathematics: Students relate procedures to principles. ZDM, 49(4), 571-584. https://doi.org/10.1007/s11858017-0859-3 Rohrer, D., Dedrick, R. F., & Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900-908. https://doi.org/10.1037/edu0000001 80 Schneider, M., & Stern, E. (2010). The cognitive perspective on learning: Ten cornerstone findings. Organisation for Economic CoOperation and Development (OECD, 17. Sriraman, B. (2009). A historic overview of the interplay of theology and philosophy in the arts, mathematics and sciences. ZDM, 41(1-2), 75-86. https://doi.org/10.1007/s11858-008-0100-5 Sweller, J., & Cooper, G. A. (1985). The Use of Worked Examples as a Substitute for Problem Solving in Learning Algebra. Cognition and Instruction, 2(1), 59-89. https://doi.org/10.1207/s1532690xci0201_3 Sweller, J., van Merrienboer, J. J. G., & Paas, F. G. W. C. (1998). Cognitive Architecture and Instructional Design. Educational Psychology Review, 10 (3), 251-296. https://doi.org/10.1023/A:1022193728205 Vamvakoussi, X. (2017). Using analogies to facilitate conceptual change in mathematics learning. ZDM, 49(4), 497-507. https://doi.org/10.1007/s11858017-0857-5 Verschaffel, L., Van Dooren, W., & Star, J. (2017). Applying cognitive psychology based instructional design principles in mathematics teaching and learning: Introduction. ZDM, 49(4), 491-496. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0861-9 Walkington, C., & Hayata, C. A. 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