Estudio del efecto de la rigidez de los aparatos de apoyo de carga concentrada en procesos de lanzamiento de puentes utilizando Kratos

Treball realitzat per: Ivan Jesús Cantero Sánchez Dirigit per: Pooyan Dadvand Rolando Antonio Chacón Flores Grau en: Enginyeria Civil Barcelona, juny de 2016 Departament d’Enginyeria Civil i Ambiental (ECA) TREBALL FINAL DE GRAU Estudio del efecto de la rigidez de los aparatos de apoyo de carga concentrada en procesos de lanzamiento de puentes utilizando Kratos 2 3 El nacimiento de un conjunto estructural, resultado de un proceso creador, fusión de técnica con arte, de ingenio con estudio, de imaginación con sensibilidad, escapa del puro dominio de la lógica para entrar en las secretas fronteras de la inspiración. Eduardo Torroja Miret 4 5 Agradecimientos A mi familia, no solo por su apoyo e interés durante los meses dedicados a elaborar el presente trabajo, sino a lo largo de los años que llevo como estudiante. Gracias por haber estado siempre ahí. A mis tutores, Pooyan Dadvand y Rolando Chacón, por su dedicación y tiempo, y la confianza que ha depositado en mí. Así como al equipo del CIMNE: Riccardo Rossi, Carlos Roig, Stefano Zaghi, etc. Sin su ayuda y consejos este trabajo no hubiera llegado a buen puerto. Muchas gracias! El autor 6 7 RESUMEN Durante el proceso de lanzamiento de un puente, cuando el vano está en voladizo, la superestructura recibe una elevada carga procedente del último pilar en el que se apoya. Esta reacción se transmite mediante el aparato de apoyo concentrándola sobre una pequeña superficie. En puentes metálicos esta carga concentrada puede provocar una tensión excesiva que plastifique el material. Los métodos de verificación de resistencia existentes se sitúan en la peor situación y consideran que el apoyo es completamente rígido, lo cual permite estar del lado de la seguridad. Sin embargo, es menos realista que considerar la rigidez real del apoyo. Está extendido y aceptado que los apoyos flexibles tienen un efecto más laxo sobre la estructura que los apoyos rígidos, pero sin tener una cuantificación al respecto. En el presente trabajo se evalúa la influencia que tiene la rigidez de los aparatos de apoyo en el comienzo de la plastificación. Para realizar el estudio se lleva a cabo la simulación de ensayos de carga concentrada sobre vigas-puente de acero teniendo en cuenta las no linealidades del problema físico. Dichas cargas se inducen mediante descensos de las secciones laterales de la viga ensayada considerando diferentes tipologías de apoyos. Asimismo, se plantean estas simulaciones para dos escenarios diferentes: uno en el que se reproducen las condiciones de un laboratorio de ensayos, y otro que reproduce las condiciones en las que se encuentra la viga durante el proceso de lanzamiento. La herramienta de cálculo utilizada es Kratos Multiphysics, un framework para el cálculo con elementos finitos desarrollado por CIMNE (International Center for Numerical Methods in Engineering). Los resultados obtenidos permiten cuantificar el inicio de la plastificación en la viga para una gamma de elasticidades del material del apoyo. Se demuestra que la plastificación comienza más tarde cuanto menor es la rigidez del apoyo y se obtienen los valores de descenso y reacción para los cuales plastifica. Además, se realiza la comparativa entre los resultados de la simulación con condiciones de laboratorio y con condiciones de lanzamiento, obteniéndose que estas últimas son más laxas. Palabras clave: Lanzamiento de puente, carga concentrada, plasticidad, Kratos, FEM 8 ABSTRACT During the launching process of a bridge there is a big transmission of load from the last pier to the superstructure when almost all the span is cantilever. This reaction is concentrated by the support on a small surface, which may cause excessive tension in the material. When launching a steel girder yield point can easily be reached. Current methods for resistance verification place the worst situation and consider a completely rigid support, which allows for being on the side of safety. However, this is more unrealistic than considering the actual stiffness of this support. It is widespread and accepted that flexible supports have a limper effect on structure than rigid ones, but without a tight quantification. In this study the influence of the stiffness of supports is evaluated to identify the beginning of plasticity. Concentrated load tests over steel girders are virtually simulated to carry out the study. That loads come from decreasing the side sections of the tested girder considering different types of supports. Nonlinearities of the physical problem are also taken into account. Moreover, two situations are reproduced: one with conditions of a testing laboratory and one that reproduces the conditions of girders during the launching process. The tool used is Kratos Multiphysics, a framework for finite element computing developed by CIMNE (International Center for Numerical Methods in Engineering). The results obtained quantify the beginning of plasticity for a range of elasticities of support materials. It is proved that as lower is the support stiffness later begins steel yielding, and the values of displacement and loads at these points are shown. In addition, the comparison between the results of the simulations performed under laboratory conditions and the simulations performed under launching conditions shows up that the second ones are less restrictive. Key words: Launching girder, concentrated load, plasticity, Kratos, FEM 9 ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS ........................................................................................ 15 1.1 Problema estructural ......................................................................................................... 15 1.2 Motivación ........................................................................................................................ 18 1.3 Objetivos ........................................................................................................................... 19 1.4 Limitaciones del estudio ................................................................................................... 19 2. ESTADO DEL ARTE ............................................................................................................. 21 2.1 Puentes construidos por empuje de dintel ......................................................................... 21 2.1.1 Breve historia del lanzamiento de puentes ................................................................ 21 2.1.2 Aplicabilidad del método .......................................................................................... 23 2.1.3 Elementos del sistema ............................................................................................... 24 2.1.4 Tipos de apoyo .......................................................................................................... 25 2.1.5 Proceso de cálculo ..................................................................................................... 27 2.2 Marco teórico del fenómeno de plastificación .................................................................. 27 2.2.1 Material acero ............................................................................................................ 27 2.2.2 Patch-loading ............................................................................................................. 29 2.2.3 Estados tensionales en el alma ................................................................................... 30 2.3 Resistencia del alma a cargas concentradas transversales ................................................ 31 2.4 Estudios previos ................................................................................................................ 33 3. PLANTEAMIENTO DEL CASO DE ESTUDIO .................................................................. 34 3.1 Geometría propuesta ......................................................................................................... 35 3.1.1 Imperfecciones geométricas ...................................................................................... 36 3.2 Acciones actuantes ............................................................................................................ 37 3.3 Respuesta de la estructura ................................................................................................. 38 3.3.1 Reacciones en los apoyos .......................................................................................... 39 3.3.2 Leyes de esfuerzos ..................................................................................................... 40 3.3.3 Desplazamientos y giros ............................................................................................ 40 3.4. Reducción del problema a un panel aislado ..................................................................... 41 4. MODELIZACIÓN CON KratosMultiphyisics ....................................................................... 43 4.1 Introducción al análisis con KratosMultiphysics .............................................................. 43 4.2 Modelo numérico .............................................................................................................. 46 4.2.1 Método de elementos finitos ...................................................................................... 46 4.2.2 Tipo de elemento ....................................................................................................... 47 4.2.3 Material y tipo de análisis .......................................................................................... 47 16 Figura 1.1: Representación esquemática de las etapas del empuje de dintel (Zorrilla, 2014) 17 La utilización de este método supone un ahorro de recursos y tiempo en determinados emplazamientos con una casuística compleja, pero también conlleva problemáticas. Por un lado, antes de alcanzar un pilar, todo el vano del puente está suspendido en voladizo y los esfuerzos que soportan las secciones apoyadas son elevados. Por otro lado, los esfuerzos que actúan en cada sección varían a lo largo del tiempo a medida que avanza el empuje, dado que el tablero cambia progresivamente de posición, cambiando de valor y alternando momentos de signo positivo y negativo. En el caso de puentes metálicos, estos factores tienen implicaciones importantes, como la posible plastificación del material –acero principalmentey consecuente aparición de deformación plástica irreversible que estarán presentes durante toda la vida útil del puente; y la posible aparición de abolladura, fenómeno de inestabilidad que afecta a elementos estructurales bidimensionales cuando están sometidos a tensiones de compresión según su plano medio. Cuando se diseñan estructuras metálicas, por ejemplo pórticos, es habitual colocar rigidizadores en aquellas zonas donde se vaya a producir una gran transmisión de carga cortante al elemento, para facilitar la distribución de la carga y evitar la abolladura. Un ejemplo de esto es una unión pilar-dintel, otro ejemplo son las vigas simplemente apoyadas, en que la sección sobre el apoyo es un punto típico donde se coloca un rigidizador transversal. Los puentes de viga metálicos no son una excepción y deben diseñarse de tal forma que la sección de viga sobre cada pilar tenga rigidización transversal que ayude a repartir adecuadamente la carga vertical –reacciónque transmite del pilar a la viga, evitando una concentración excesiva de tensiones en una región. Durante el proceso de empuje de una viga de acero para un puente va a haber muchos instantes en los cuales la sección de viga sobre el pilar no tenga rigidización transversal. Siendo que las longitudes de la parte de viga en voladizo alcanzan fácilmente las decenas de metros, estas secciones son susceptibles a plastificar y/o abollar. El comienzo de la plastificación no implica la pérdida inmediata de la resistencia de la sección, esta se va a ver mermada conforme el fenómeno progrese, pero sigue teniendo capacidad resistente. A todo ello hay que añadir el efecto que va a tener el tipo de apoyo. Si bien el rigidizador transversal facilita que la viga reciba la carga adecuadamente, un apoyo bien concebido facilita que estas mismas cargas se transmitan más adecuadamente. Se trata, por tanto, de enfocar el mismo problema desde su otro punto de vista. 18 1.2 Motivación Los códigos normativos existentes consideran que los apoyos de las vigas son rígidos, así como la mayoría de estudios que buscan analizar los fenómenos de plastificación y abolladura. Este escenario es el más desfavorable para la estructura, lo cual permite trabajar con un amplio margen de seguridad. Por contra, se pierde realismo al no tener en cuenta el efecto menos dañino que confiere la elasticidad del apoyo. Estos otros apoyos, los apoyos elásticos o los apoyos basculantes, tienen tendencia a deformarse o adaptarse según la propia deformación de la estructura, lo que hace que sean menos perniciosos. Esta idea está extendida en la comunidad científica, lo que pretende este trabajo es detectar cualitativamente estos efectos y cuantificar cuan más laxo es para la estructura considerar la elasticidad del apoyo. Enmarcar el estudio dentro del caso de un puente construido por empuje de dintel permite contextualizar el problema en un escenario realista, lo cual da pie a hipótesis y desarrollos con un sentido físico coherentes. Esta casuística se plantea en el capítulo 2 (Estado del Arte) y se trata en los capítulos sucesivos. Además, detrás del problema estructural planteado se esconde también el deseo tanto de aumentar la comprensión del comportamiento de las estructuras como de aprender más en el campo de la modelización y resolución numérica de problemas. En tal sentido, este trabajo brinda la oportunidad de profundizar en ambos campos, dentro, lógicamente, de las limitaciones que inexorablemente tiene un trabajo de fin de grado. El trabajo está estrechamente ligado a la aplicación del Método de Elementos Finitos para llevar a cabo los cálculos pertinentes y obtener resultados. Concretamente se va a utilizar la herramienta KratosMultiphysics, un entorno de trabajo desarrollado por CIMNE (International Center for Numerical Methods in Engineering) para el cálculo con elementos finitos. La elección de KratosMultiphysics viene marcada a raíz de un trabajo de curso de la asignatura Análisis de Estructuras [1], donde se utilizó Kratos para el estudio de placas cargadas en la dirección perpendicular a su plano. Allí se vio que Kratos es un software multidisciplinar y flexible, de licencia de uso gratuita y grandes prestaciones y posibilidades. Si bien presenta algunas dificultades, todas ellas van a ser tratadas a lo largo del presente trabajo. Concretamente, el análisis no lineal tiene un papel relevante dentro del presente trabajo, ya que es mediante este tipo de análisis como se pueden reproducir los fenómenos propios de plastificación e inestabilidad. 19 1.3 Objetivos Por lo expuesto anteriormente, el objeto del presente trabajo es evaluar de forma cualitativa y cuantitativa las implicaciones de utilizar apoyos elásticos en la fase de lanzamiento de vigas de acero para un puente. Para tal propósito se plantean los siguientes objetivos: 1) Realizar una vista al estado actual del método de lanzamiento de tablero, desde la casuística del propio método hasta las patologías derivadas. 2) Ver estudios previos realizados sobre la materia para conocer los problemas detectados y las conclusiones obtenidas. 3) Plantear un caso realista de viga-puente de acero ejecutada por empuje de dintel que sirva de base para este trabajo; reducir la dimensión del caso a un panel de viga aislado para poder discretizar el problema mediante elementos finitos de una forma eficiente. 4) Analizar críticamente los diferentes escenarios que aparecen fruto de enmarcar el estudio en el contexto del empuje de dintel; descartar aquellos casos sujetos a incertidumbre y abrir la vía para estudiar en profundidad aquellos que son consistentes. 5) Analizar dichos casos teniendo en cuenta la no linealidad del problema y evaluar el efecto de la elasticidad de los apoyos. Adicionalmente, se pretende que los resultados obtenidos sean extensibles, no solamente en el campo de los apoyos utilizados en el método de lanzamiento de tablero, sino en el campo de los apoyos de puentes de acero en general. Para ello, se plantea diseñar un test virtual de carga concentrada con Kratos que pueda aplicarse a tramos de viga con diferentes vinculaciones de contorno y diferentes materiales para la aplicación de la carga. 1.4 Limitaciones del estudio Dado el formato y dimensiones de un trabajo de final de grado, se plantean los siguientes límites para el presente trabajo: 1) El análisis se plantea en un contexto estático en el que no hay variación de las condiciones del problema de función del tiempo. Es decir, sin una progresión de la posición de la viga lanzada. Esto no quita que en el análisis no lineal que se lleva a cabo se utilice un pseudo-tiempo a título de funcionamiento interno del propio análisis, de tal forma que el análisis se en una situación cuasi-estática. 2) Se acota la dimensión del trabajo al estudio del tramo de viga sobre el apoyo que recibe la carga concentrada –la reacción. El modelo se reduce a dicho tramo, sin incluir toda la longitud de la viga lanzada. Esto va a permitir una mejor comprensión de los fenómenos sobre el panel y un mayor dominio de los casos estudiados. 20 3) En las situaciones donde en el apoyo de la viga hay levantamiento de uno de los lados, el contacto del modelo tiene que ser tal que la transmisión de tensiones entre el apoyo y la viga sea nulo. Códigos como ABAQUS permiten activar una opción que directamente tiene en cuenta esto. En Kratos, en cambio, hay que implementarlo adecuadamente, en caso contrario aparecen tracciones. Para el presente trabajo no se ha realizado esta implementación en el código de Kratos, por lo que únicamente se llevan a cabo simulaciones en las que todo el apoyo está comprimido en ambos lados. 4) No es objeto del presente trabajo crear modelos realistas de apoyos elásticos, por lo que se simplifican como volúmenes elásticos. Esto no permite saber de una forma realista qué sucede en el interior del apoyo, pero sí permite evaluar el efecto sobre la viga de tener un elemento elástico como apoyo Finalmente, a lo largo del presente trabajo se plantean diferentes hipótesis y simplificaciones adecuadamente justificadas. Estas hipótesis, lejos de limitar el estudio, permiten que avance. 21 2. ESTADO DEL ARTE 2.1 Puentes construidos por empuje de dintel 2.1.1 Breve historia del lanzamiento de puentes El método del empuje de dintel es relativamente nuevo comparado con los métodos tradicionales de construcción de puentes, como la construcción sobre cimbra. Los primeros procesos de lanzamiento se llevaron a cabo a principios de la década de los 60s, extendiéndose su utilización conforme avanzaba la segunda mitad del siglo XX. El primer lanzamiento de puente se realizó en el año 1959 para la construcción del puente sobre el río Ager (Austria). Consistió en fabricar dovelas cortas en un parque de prefabricación para posteriormente empujarlas una a una sobre un cimbrado provisional hasta su posición final, donde eran unidas. Si bien el resultado fue satisfactorio, se vio que no era necesaria la cimbra provisional, y podía lanzarse el dintel entero aprovechando su capacidad resistente a flexión [2]. Esto pudo aplicarse en el año 1964 para la construcción del puente sobre el río Caroní (Venezuela), donde se construyó la superestructura del puente en uno de los márgenes del río y se lanzó entera. Para ello se dispusieron pilas auxiliares que redujeran la luz a salvar, una nariz de lanzamiento que aligerara la parte en voladizo y un pretensado exterior centrado. Con la construcción de este segundo puente quedó patente que lanzar el tablero completo también puede acarrear problemas. A raíz de esto nace la idea del lanzamiento incremental, Incremental Launching Method (ILM). Esta variante del método consiste en construir tramos que sucesivamente se van lanzando para construir los tramos siguientes. Es decir, en el parque de fabricación se construye un primer segmento del puente y se empuja, se construye el siguiente segmento y se vuelve a empujar, en este caso, todos los segmentos ya fabricados, y se repite el proceso hasta que el puente se ha completado (figura 2.1). De esta forma, en cada etapa de empuje solamente un tramo del puente está sobre los estribos. Figura 2.1: Esquema del proceso de lanzamiento incremental. (Fuente: commons.wikimedia.org) Parque de fabricación 6 5 4 3 2 1 1 Nariz de lanzamiento Pulling Jack Dirección de lanzamiento Apoyos 22 Actualmente, el método también se ejecuta con el lanzamiento simultáneo desde ambos estribos. Este fue el caso de la construcción del puente de ferrocarril sobre el río Ebro de la línea MadridZaragoza-Barcelona-Frontera Francesa (figura 2.2) finalizado en 2002, con una luz en el vano central de 120 m; o el viaducto de Millau (Francia), finalizado en el año 2004 y con luces de 342 metros (figura 2.2 y 2.3). Figura 2.2: Lanzamiento simultaneo de puente de ferrocarril sobre el río Ebro [3] Figura 2.3: Construcción del viaducto de Millau, empuje de ambas partes del tablero. (Fuente: victoryepes.blogs.upv) 23 Figura 2.4: Construcción del viaducto de Millau, instantes previos a la unión del tablero. (Fuente: leviaducdemillau.com) El empuje simultáneo permite reducir el tiempo de construcción, ya que se puede trabajar al mismo tiempo desde ambos estribos, así como la longitud del tramo en voladizo y, en consecuencia, los esfuerzos máximos que soporta la sección apoyada. Dependiendo de las características del puente a lanzar (material, dimensiones, número de vanos, luz, etc) será más apropiado el lanzamiento completo o el lanzamiento incremental, tanto desde uno de los estribos como desde ambos. En las últimas décadas, además, también se han ejecutado con éxito lanzamientos de tableros de puentes curvos de radio constante. 2.1.2 Aplicabilidad del método El método de empuje está especialmente justificado para la construcción de puentes sobre obstáculos que dificulten o imposibiliten el acceso, tales como valles profundos, grandes ríos u otras construcciones, ya que no requieren cimbra [4]. La sección del puente debe ser constante y su trazado tal que todas las partes del puente pasen por los mismos puntos, esto es, un trazado en planta rectilíneo o circular, en caso contrario el lanzamiento se vuelve mucho más complejo. Asimismo, lo habitual es ejecutar el lanzamiento en puentes de inclinación nula o ascendente, aunque hoy en día existen sistemas de retención que también permiten el lanzamiento con inclinaciones descendentes. Durante el lanzamiento, antes de que el frente de avance alcance un pilar, todo el vano está en voladizo, por lo que los esfuerzos que tiene que soportar la sección apoyada son muy elevados. Por ello, se justifica el uso de este método en aquellos puentes que en fase de explotación tienen que soportar, además de su peso propio, cargas elevadas [4]. De esta forma, en fase de ejecución, cuando únicamente actúa el peso propio, se puede aprovechar la elevada capacidad resistente de la sección proyectada. En caso contrario se estaría sobredimensionando el puente. 24 Esta condición se da, por ejemplo, en puentes de ferrocarril –necesitan una elevada rigidez para que el tren pueda circular a altas velocidades de forma segura y confortable para los usuarioso en acueductos –tienen que soportar el peso del agua. Dado que la construcción de la superestructura del puente se lleva a cabo detrás de los estribos, el acceso de los trabajadores y de los materiales es rápido y sencillo. Si además se plantea un lanzamiento incremental, el proceso se puede industrializar e incrementar notablemente la eficiencia de la construcción. Adicionalmente, como las tareas de construcción de la superestructura tienen lugar a cota del terreno, la seguridad de la obra es mayor. 2.1.3 Elementos del sistema Se describen a continuación elementos que habitualmente se utilizan para llevar a cabo un lanzamiento: - Nariz de lanzamiento: elemento metálico ligero que se instala en el frente de lanzamiento para reducir el peso del tramo en voladizo (figura 2.5). Se utiliza especialmente en el lanzamiento de superestructuras pesadas de hormigón. En algunos casos su longitud puede llegar a ser próxima a la longitud del vano. - Apoyo frontal: mecanismo móvil que permite recuperar la flecha del extremo del voladizo para realizar el acoplamiento entre el frente de avance y el pilar. Este mecanismo consiste en un gato hidráulico que puede aplicar una carga vertical sobre el pilar (figura 2.6). - Pilares auxiliares: pilares provisionales que permiten reducir la luz del puente durante el lanzamiento del tablero para disminuir el valor de los esfuerzos (figura 2.3). - Torres provisionales: igual que con los pilares auxiliares, también se pueden instalar torres atirantadas para reducir los esfuerzos máximos sobre la sección apoyada adyacente al tramo en voladizo. - Sistema de empuje: también llamado Pulling Jack, es el conjunto de gatos, apoyos, barras de tiro y/o yugo trasero que aportan y transmiten la fuerza motriz que permite la translación de la superestructura (figura 2.7). El sistema básico consiste en un gato de empuje que carga sobre una gato de elevación sobre el que se apoya la viga (fricción elevada) y que desliza sobre una placa inferior (fricción reducida). - Apoyos: se trata en 2.1.4 25 Figura 2.5: Puente de hormigón con nariz de lanzamiento [3] Figura 2.6: Apoyo frontal [3] Figura 2.7: Sistema de empuje mediante gatos hidráulicos [3] 2.1.4 Tipos de apoyo Los sistemas de apoyo persiguen dos objetivos: no ser dañinos para la estructura y permitir que esta deslice fácilmente sobre ellos. Para lo primero existen apoyos de materiales elásticos que tienden a deformarse según la deformación de la estructura y apoyos con mecanismos basculantes que se adaptan a esta deformación. Para lo segundo existen apoyos dotados de materiales cuyo contacto tiene una fricción reducida y apoyos con mecanismos que no oponen resistencia al desplazamiento, tales como rodillos o cintas. Luego existen combinaciones entre las tipologías descritas. Placa de apoyo Placa de frenado Superficie deslizante Gato de elevación Gato de empuje 32 Fcr es la carga transversal crítica de abolladura local del alma frente a carga concentrada. De esta forma, el coeficiente de reducción de abolladura se calcula mediante una esbeltez relativa, entendida esta esbeltez relativa como la raíz de una capacidad resistente (ly·tw·fyw) entre una capacidad crítica (Fcr). El factor kF depende del modo de introducción de la carga, según la figura 35.6.a de la EAE 2012. Figura 2.16: Figura 35.6.a de EAE 2012. Coeficiente de abolladura para diferentes tipos de aplicación de la carga En cuanto a la longitud efectiva, ly, se obtiene mediante la siguiente expresión para los tipos de aplicación a) y b): (2.9) Siendo: m1 y m2 Parámetros adimensionales que dependen de la geometría de la sección (2.10) (2.11) Ss Longitud del ala sobre la cual se aplica directamente la carga. En la figura 35.6.b de la EAE 2012 quedan recogidos diferentes esquemas: Figura 2.17: Figura 35.6.b de EAE 2012. Longitud de ala sobre la cual se aplica la carga distribuida 33 Además está el caso presentado anteriormente: Figura 2.18: Caso de aplicación de carga tipo a), figura 35.6.a de EAE 2012 Para el cálculo de la longitud efectiva, ly, se utiliza directamente la longitud del elemento transmisor de la carga, Ss. Para el caso que compete al presente trabajo, este elemento es el apoyo, y Ss es la longitud del mismo. Cuanto menor es la longitud de apoyo, menor es la longitud efectiva y, por tanto, menor es la carga que puede resistir el alma. En este proceso se considera que el apoyo es rígido, independientemente de que en realidad lo sea o no, y no se tiene en cuenta que los apoyos elásticos tienen un efecto más laxo, permitiendo que la resistencia del alma frente a cargas concentradas pueda ser mayor. 2.4 Estudios previos Son múltiples los estudios, trabajos y tesis que abordan el fenómeno de patch loading bajo diferentes premisas ([10], [11], [13], etc), así como los que estudian el lanzamiento de puentes ([2], [5], [13], [14]). De estos hay dos que sirven de referencia para el siguiente trabajo: - La tesis doctoral del profesor Rolando Chacón, UPC 2009, [11], en la que se estudia la resistencia transversal de vigas armadas híbridas frente a cargas concentradas –las vigas híbridas son un tipo de viga armada en la que el acero de las alas y el alma tiene límites elásticos diferentes. Las conclusiones de su trabajo permitieron actualizar la formulación del Eurocódigo. Muchas de las explicaciones de esta tesis han sido utilizadas como referencia para el presente trabajo. - El trabajo de fin de grado desarrollado por Rubén Zorrilla, UPC 2014, [2], en el que crea un modelo de simulación numérica del proceso de lanzamiento de puentes metálicos. Llevó a cabo un estudio paramétrico para evaluar la influencia de ciertos parámetros en la aparición de abolladura. No obstante, una de las limitaciones que él mismo planteó fue la de considerar los apoyos como indeformables (rígido). El presente trabajo utiliza algunos de sus resultados a título comparativo y de validación. En ambos se utilizó ABAQUS para llevar a cabo los cálculos mediante elementos finitos. 34 3. PLANTEAMIENTO DEL CASO DE ESTUDIO Para llevar a cabo el estudio se plantea un escenario realista de viga-puente de acero ejecutada en obra mediante la técnica de lanzamiento. La figura 1.1 mostrada anteriormente esquematiza las diferentes etapas por las que pasa la viga hasta llegar a su posición definitiva. De todas ellas, aquella en que la sección apoyada de la viga está más solicitada a cortante y flector es justo antes de que el frente de lanzamiento alcance uno de los pilares, ya que prácticamente todo el vano está en voladizo. Por ello, se plantea estudiar una situación tal que la viga ya se apoya sobre el primer pilar y falta poco para que se apoye en el segundo (figura 3.1). Figura 3.1: Representación esquemática de las etapas del empuje de dintel (Zorrilla, 2014) Estas condiciones de viga pueden simplificarse considerando, por un lado, que el pilar se comporta como un apoyo simple. Por otro lado, las secciones del tramo de viga que aun está apoyado sobre el parque de fabricación no tienen ni giro ni desplazamiento vertical, por lo que se asimila a un empotramiento. Entonces, la viga atiende a un esquema estructural de viga continua empotrada en un extremo, con un apoyo intermedio y voladizo en el otro ( figura 3.2). Figura 3.2: Viga continua empotrada en un extremo, con 1 apoyo intermedio y voladizo en el otro Esto corresponde al escenario donde la viga está apoyada sobre un pilar (B), pero sin que se apoye aun en el pilar consecutivo (D), de tal forma que el tramo BC está en voladizo. Como simplificación, se considera que la viga que se está empujando no tiene nariz de lanzamiento, dado que el peso que podría aligerarse en una viga de acero con nariz es pequeño –siendo que la nariz también es de acero. L1 L2 A B C D x 35 3.1 Geometría propuesta Las vigas utilizadas en puentes requieren anchos de alma elevados. Dado que las series de perfiles comerciales laminados en caliente llegan a cantos de 600 mm [15], la forma de conseguir las dimensiones de viga deseadas es mediante vigas armadas. Por tanto, la geometría de la sección transversal responderá a la de una viga armada formada a partir de chapas de acero con el mismo límite elástico, S235. Figura 3.3: Sección transversal de una viga armada Se plantea el caso en el que el ala superior e inferior tienen el mismo espesor: tf,s = tf,i = tf. Los valores numéricos de las dimensiones de la sección transversal quedan recogidos en la tabla 3.1. h = 1580 mm tw = 8 mm b = 700 mm tf = 40 mm hi = 1500 mm Tabla 3.1: Dimensiones de la sección de la viga armada Se han escogido estos valores de tal forma que pertenecen al intervalo de valores entre los que varían los parámetros estudiados por Zorrilla [2] (estos parámetros variables son tw, Ss, e0, hw/tw y Ss/a; aparecen a lo largo de este capítulo). Se obtienen las características de la sección: A = 680,0 cm2 M = 52,35 kg/m Iy = 3.545.986,7 cm4 Iz = 228.673,1 cm4 Wy = 44.885,9 cm3 Wz = 6.533,5 cm3 iy = 72,21 cm iz = 18,34 cm It = 3.012,3 cm4 Iw = 1.355.802.810 cm6 Tabla 3.2: Características de la sección de la viga armada z b tf,s tw h hi y y tf,i z 36 Para el cálculo de los valores de la tabla 3.2 se ha asumido que el acero de la soldadura no interviene en la capacidad resistente de la sección transversal y no se ha tenido en cuenta esta fracción de material en el cálculo. Tampoco se incluyen las características plásticas de la sección, ya que la clase de sección de una viga armada no suele ser lo suficientemente elevada como para admitir cálculo plástico (concretamente, la sección propuesta es clase 4, según los cálculos del apartado 2 del anejo B), por lo que únicamente admite análisis elástico. En cuanto a las longitudes, la distancia entre el empotramiento y el apoyo simple es L1 = 30 m, y la longitud del tramo en voladizo es L2 = 25 m. Además, la viga armada dispone de rigidizadores transversales de ts = 40 mm de espesor equiespaciados una longitud a = 4,5 m. Figura 3.4: Disposición de los rigidizadores a lo largo de la viga 3.1.1 Imperfecciones geométricas Para alejar el estudio las configuraciones ideales de las vigas y acercarlo a una situación más próxima a la realidad se considera un cierto grado de imperfecciones en la geometría de la sección. Son estas imperfecciones las que condicionan el inicio de la abolladura y marcan la tendencia de su evolución cuando se realiza un cálculo no lineal. Las imperfecciones geométricas se deben a multitud de factores. El propio proceso de fabricación de la chapa en la acería conlleva inherentemente que el producto final vaya a tener tolerancias de fabricación. En la etapa de soldadura de las chapas para formar la viga armada también puede haber imprecisiones. E, incluso durante el transporte, la viga puede sufrir alteraciones. Estas imperfecciones son marginales y en un análisis de primer orden no influyen en los resultados obtenidos, pero en un análisis de segundo orden tienen repercusión. Se consideran las siguientes imperfecciones: - En el alma: Una desviación horizontal de valor e0 = hi/200 = 1500/200 = 7,5 mm del punto medio del alma con respecto al eje vertical teórico. - En el ala superior: un giro relativo θ0 = 1/50 rad del plano del alma entre la posición horizontal teórica y la real. Esto significa que el ala superior está ligeramente inclinada. a ts Rigidizador transversal 37 La siguiente figura esquematiza ambas imperfecciones: a) Sección sin imperfecciones b) Sección con imperfecciones a escala real c) Sección con imperfecciones (ampliado x5) Figura 3.5: Esquema de las imperfecciones geométricas Estas imperfecciones geométricas constituyen una situación inicial, es decir, están presentes en la viga desde el comienzo y no inducen tensiones en el acero. Además de las dos imperfecciones mencionadas, puede haber otras, como desplazamientos relativos de las alas en cualquier dirección (semejante a alabeos, por ejemplo), pero no se consideran en este estudio. 3.2 Acciones actuantes La situación estudiada ocurre en la fase de construcción del puente, cuando la única carga que actúa es el peso propio. El peso propio de la viga formada únicamente por el alma y las dos alas es de 5,338 kN/m. Además, hay que tener en cuenta el peso de los rigidizadores. La contribución de los rigidizadores al peso total de la viga es de 3,259 kN cada 4,5 metros. Esto supone el 12% del peso total de la viga. En rigor, debería considerarse como una distribución de cargas puntuales de 3,259 kN actuando cada 4,5 metros, pero llevar a cabo una resolución analítica de la estructura con este tipo de cargas actuando dificultaría sobremanera el proceso. Por ello, se admite la hipótesis de que el efecto del peso de los los rigidiadores es asimilable a los efectos que produce una carga uniformemente distribuida de 0,724 kN/m actuando sobre toda la longitud de la viga. Esta hipótesis no introduce incertidumbre en los resultados cuando se trata de calcular las reacciones en los apoyos y las leyes de esfuerzos, desplazamientos y giros. Por tanto, sobre la viga actúa una carga uniformemente distribuida de valor p = 6,062 kN/m. θ0 e0 38 Este valor se utiliza para la resolución de la estructura en el apartado 3.3. Pero, cuando en el apartado 3.4 se plantee la reducción del problema a un panel aislado y se modelice más adelante con Kratos, la carga acción actuante no será una uniformemente distribuida sobre el tramo de viga estudiado, sino que cada elemento (alma, alas superior e inferior y rigidizadores) estará sometido a su peso propio como carga sobre superficie allá donde corresponda. Además, se han obtenido los esfuerzos para un contexto de estudio, sin tener en cuenta casos de combinaciones de acciones, valores de cálculo de las mismas ni coeficientes de mayoración. 3.3 Respuesta de la estructura Con la geometría y las cargas planteadas en 3.1 y 3.2, la estructura consiste en una viga continua empotrada en un extremo, con un apoyo intermedio y voladizo en el otro bajo carga uniformemente distribuida en toda la longitud de la viga. Figura 3.6: Esquema del caso A continuación se aplican los razonamientos y metodologías propias de la resistencia de materiales y estructuras para resolver la estructura, obteniendo las reacciones, leyes de esfuerzos y desplazamientos y giros. Se trata de una estructura una vez hiperestática que se puede resolver aplicando las ecuaciones de la elástica. El esquema de cálculo pasa por liberar una de las coacciones hiperestáticas, introducir una incógnita hiperestática en su lugar y plantear una ecuación de compatibilidad. La longitud de la viga es suficientemente grande en relación al canto como para considerar que se rige por la teoría de Euler-Bernuilli: la deformación se debe fundamentalmente al esfuerzo flector y el efecto del cortante se puede despreciar. En el apartado 4.3 está planteada la validación del modelo con Kratos mediante dos casos de vigas cortas, relación longitud/canto pequeña, en la que el cortante es significativo y hay que considerar la teoría de Timoshenko. En el anejo A está detallada la resolución analítica del caso general mediante tablas de EulerBernuilli. En los siguientes subapartados se muestran los resultados de dicho anejo. L1 = 30 m L2 = 25 m p = 6,062 kN/m A B C x 39 3.3.1 Reacciones en los apoyos Se ha resuelto suponiendo apoyo rígido, con desplazamiento nulo de apoyo. La ecuación de compatibilidad aplicada es u3,B = 0, siendo u3,B: (3.1) Las reacciones en los apoyos son las siguientes: Reacción Expresión analítica Valor MA -265,2 kNm RA 18,9 kN RB 314,5 kN Tabla 3.3: Reacciones en los apoyos A parte de los valores obtenidos son relevantes las expresiones analíticas. Según la relación entre las longitudes L1 (tramo entre apoyos) y L2 (voladizo) puede suceder que la reacción vertical en A sea positiva (el suelo ejerce una fuerza normal hacia arriba) o negativa (la viga tiene tendencia a levantarse y el suelo no ejerce fuerza). Para que A se comporte como un empotramiento tiene que haber una cierta longitud de viga, Lv, completamente apoyada sobre el suelo para considerar que los desplazamientos y giros en esas secciones son nulos. Si la reacción en A es negativa (hay que ejercer una fuerza descendente para que la viga no se levante), la longitud Lv debe ser suficiente para que el peso de la viga apoyada evite que la viga se levante y pueda volcar: Y entonces: (3.2) La limitación a tal respecto no es solo la posibilidad de levantamiento, sino que la hipótesis del empotramiento podría no ser válida. Además, está la condición inmediata para que no haya vuelco tal que Lv > L2 - L1. Este tipo de premisas son las que deben tenerse en cuenta cuando se está predimensionando el lanzamiento a ejecutar. 40 3.3.2 Leyes de esfuerzos Los siguientes gráficos representan las leyes de esfuerzos en la viga: Figura 3.7: Ley de esfuerzos cortantes Figura 3.8: Ley de momentos flectores A nivel comparativo, el esfuerzo flector resistente de la sección, MRd, es de 9502 kNm, teniendo en cuenta la sección reducida por ser clase 4 (según EAE 2012). Estos cálculos están incluidos en el anejo B. Y el momento actuante es de 1895 kNm, 5 veces menor. Estos valores permiten ver la razón de ser del método de lanzamiento de puentes: una sección que es capaz de resistir 9502 kNm en fase de explotación bajo la combinación de acciones más exigente, se aprovecha en fase de ejecución para resistir el momento y peso de un voladizo de 25 metros sobre los que actúa únicamente su peso propio. 3.3.3 Desplazamientos y giros A partir de las expresiones A8 y A9 del anejo A es posible obtener los desplazamientos verticales de las secciones de la viga y representar su deformada. 41 Figura 3.9: Deformada de la viga Viendo la deformada se aprecia que, debido a la elevada longitud del voladizo, la parte de la viga entre apoyos tiende a levantarse, siendo fundamental que el peso del tramo en el parque de fabricación sea suficiente para impedirlo. Se procede de la misma forma con las ecuaciones A10 y A11 para representar la evolución del giro de las secciones a lo largo de la viga. Figura 3.10: Valor de los giros a lo largo de la viga 3.4. Reducción del problema a un panel aislado Partiendo del problema físico, se ha trasladado este al campo de la resistencia de materiales y estructuras, resolviendo la viga con la geometría y cargas planteadas. A continuación, se plantea la reducción del problema a un panel aislado que debe tener unas cargas y vinculaciones de contorno coherentes con los resultados obtenidos de la resolución de la estructura. 48 4.3 Validación del modelo numérico La validación de cualquier modelo es fundamental para estar seguro de que los resultados obtenidos van a reproducir correctamente el comportamiento real esperado. Una validación pasa por resolver un caso test cuya solución es conocida y comparar. Si el resultado obtenido para este caso test, cuyas características deben ser similares a las del modelo que se quiere analizar, se corresponde con el resultado teórico esperado; entonces se puede considerar que los resultados obtenidos para el modelo de estudio también son correctos. Para la validación de Kratos como herramienta utilizada en el estudio, se plantea el cálculo de dos vigas en voladizo –ménsula. Ambas vigas tienen la misma geometría de sección transversal planteada para la viga-puente del caso de estudio en el apartado 3.1. La única diferencia entre las dos ménsulas es su longitud: una de 4,5 metros y la otra de 15 metros. De esta forma, la relación canto/luz (h/L, altura de alma entre longitud de la viga) es igual a 1/3 para la primera viga e igual a 1/10 para la segunda. Lo que se pretende comprobar es si reproducen correctamente el desplazamiento vertical que tienen que tener estas ménsulas en su extremo y para qué tamaño de malla el resultado es suficientemente bueno. Dadas las relaciones canto/luz, en principio hay que tener en cuenta tanto la deformación por esfuerzo cortante como por esfuerzo flector, esto es, tanto la teoría de Timoshenko como la de Euler-Bernuilli. Sin entrar en detalle, en las vigas de Euler-Bernuilli la deformación se debe principalmente al esfuerzo flector, siendo el efecto del cortante despreciable; esto sucede en vigas de gran longitud en relación a su canto. En cambio, en vigas cortas (relación h/L elevada), la deformación por cortante es importante y no se puede despreciar, por lo que también aplica Timoshenko. Esto está relacionado con la forma como se deforma una rebanada de longitud diferencial: con deformación por cortante hay un desplazamiento relativo vertical entre ambas caras de la rebanada, mientras que con deformación por flexión hay un giro relativo entre las caras. La expresión analítica del desplazamiento del punto extremo se obtiene mediante el teorema de los trabajos virtuales [26]. Dicha expresión resulta ser: (4.1) Donde el primer término corresponde a la deformación por flector y el segundo a la deformación por cortante. El término k·A se puede aproximar al valor del área del alma. 49 Aplicando directamente la ecuación 4.1 se obtienen los valores teóricos del desplazamiento del extremo de la ménsula: Los desplazamientos esperados son de 0,0925 mm para la ménsula de 4,5 metros y de 5,15 mm para la ménsula de 15 metros. A todo esto, cabe comentar que para la viga corta la deformación por cortante supone más de la mitad de la deformación total, en tanto que para la viga más larga la deformación por cortante representa mucho menos, el 12%. Hay que decir también que relaciones canto/luz suponen la frontera por encima de la cual la teoría de resistencia de materiales comienza a dar errores. Se procede con la creación y cálculo de los dos modelos con Kratos. El proceso consiste en crear la geometría, propiedades, cargas y CC durante el pre-proceso con GiD. Tras esto se calcula con Kratos y, finalmente, se visualiza el resultado. Para estos tests sencillos no es necesario hacer ninguna modificación en el código de Kratos y se puede ejecutar el cálculo desde el mismo GiD (primer caso de la figura 4.2). Se realiza el mismo cálculo con diferentes tamaños de malla para ambas vigas y se calcula el error con respecto al último resultado. La siguiente tabla recoge los valores obtenidos: Tamaño de malla [m] L = 4,5 metros L = 15 metros v4,5 [mm] error relativo time V15 [mm] error relativo time 1,5 0,12578(1) 0,62 % very fast 5,1163 1,65 % very fast 1 0,095070 0,01 % (2) very fast 5,1012 1,35 % very fast 0,5 0,10826 0,27 % very fast 5,0547 0,43 % very fast 0,25 0,095499 0,02 % very fast 5,0484 0,30 % very fast 0,1 0,094231 0,01 % very fast 5,0311 0,04 % fast 0,05 0,094378 0,01 % fast 5,0333 - 8,5 min 0,025 0,094680 - 11,7 min - - - Tabla 4.1: Resultados de los test de validación según el tamaño de malla. (1) En el extremo de las alas hay desplazamientos ascendentes. (2) Para malla de 1,2 m y 0,5 m, los errores relativos están entre 0,62% y 0,27% El tamaño de 1,5 metros es desproporcionadamente elevado (hay apenas 6 a 20 elementos), pero permite partir de una cota superior y ver que, incluso con estos tamaños, el elemento Shell triangular da resultados plausibles. 50 En ambos casos los resultados son coherentes con el resultado analítico y se demuestra que el error relativo disminuye conforme se reduce el tamaño de la malla, de tal forma que los resultados para cada viga convergen hacia un mismo valor. La tolerancia absoluta en desplazamientos con la que Kratos ha calculado es 10-9 metros. Además, en la deformada de las ménsulas se observa que en la deformación de la ménsula de 4,5 metros predomina el efecto del cortante y en la de 15 metros predomina el efecto de la flexión (figura 4.3). a) L = 4,5 metros (ampliado x4000) b) L = 15 metros (ampliado x200) Figura 4.3: Deformada obtenida con Kratos para los casos test La forma de a) se debe a la elevada rigidez frente a deformación por axil –axil debido al momento flectorque presentan las alas en relación a la rigidez del alma frente a cargas transversales. Tras los desarrollos realizados en este apartado, Kratos se considera validado para el cálculo de los modelos del estudio y se obtiene qué tamaños de malla de décimas de metro dan lugar a resultados válidos en desplazamientos. 51 5. ANÁLISIS DE PRIMER ORDEN EN PANEL AISLADO En el presente capítulo se lleva a cabo el análisis del problema planteado, con cálculo lineal elástico. Esto significa que la ley constitutiva del material es lineal elástica –no plastifica por mucho que se deformey las CC de contorno se aplican en un único paso. Esto permite crear y verificar los modelos con tiempos de computación reducidos y obtener resultados que arrojen conclusiones preliminares. Además, esto va a permitir entender adecuadamente el funcionamiento de Kratos y desarrollar los scripts necesarios para aplicar las imperfecciones geométricas e imponer las CC, así como afianzar los conceptos sobre los cuales avanzar en el estudio. Tratar de realizar un análisis no lineal antes de dominar completamente el análisis lineal sería moverse en terreno pantanoso. 5.1 Creación del modelo con apoyo rígido Primeramente, se plantea la creación del tramo de viga con apoyo rígido. La geometría que se crea en el pre-proceso debe reproducir el esquema planteado en el apartado 3.4. En el espacio tridimensional, las alas y el alma de la viga son volúmenes, pero los elementos Shell son bidimensionales –superficies. Si bien estos elementos contienen la información del espesor, hay que ser riguroso cuando se introduce la geometría, especialmente la sección transversal, para que el modelo represente correctamente la realidad del problema. Esto significa que las superficies que representan las alas y el alma de la viga deben pasar por los planos medios de dichas entidades. a) Sección transversal real b) Sección del modelo Figura 5.1: Paso de geometría real a geometría del modelo A B C Coordenadas: A (x, 0, 1.54) B (x, 0.35, 1.54) C (x, 0.7, 1.54) D (x, 0, 0) E (x, 0.35 0) F (x, 0.7, 0) D E F b = 700 mm tf = 40 mm hi = 1500 mm tf = 40 mm 52 Tras este matiz, se muestra a continuación la geometría del tramo completo: Figura 5.2: Modelo del tramo de viga sobre el apoyo Se han creado 7 grupos, los cuales contienen todas las entidades relevantes del modelo: - upper_flange: contiene las 6 superficies que forman el ala superior - lower_flange: contiene las 10 superficies que forman el ala inferior - web: contiene las 3 superficies que forman el alma - stiffener: contiene las 4 superficies de los 4 rigidizadores transversales - BC_Dirichlet_left_boundary: contiene las 5 líneas de la sección-contorno izquierdo - BC_Dirichlet_right_boundary: contiene las 5 líneas de la sección-contorno derecho - BC_Dirichlet_simple_support: contiene las 2 superficies que están sobre el apoyo Figura 5.3: Grupos del modelo con apoyo rígido Estos grupos son lo que van a dar lugar a los SubModelPart que contendrá el ModelPart general. Desde GiD se definen las 4 partes, Part, del modelo donde se definen las propiedades del ala superior, el ala inferior, el alma y los rigidizadores: espesores de 40 mm u 8 mm, E = 210 GPa, υ = 0,3 y ρ = 7850 kg/m3. Se selecciona también el tipo de elemento: Thin Triangular Shell. left_boundary right_boundary rigid_support 53 Las CC en el apoyo son de desplazamiento nulo en las tres direcciones, de esta forma se asimila a un apoyo rígido. Las CC en los dos contornos (BC_Dirichlet_left_boundary y BC_Dirichlet_right_boundary) son, posiblemente, el aspecto más complejo de este capítulo y se explica detalladamente en los subapartados 5.2.4 y 5.2.5. Se menciona ahora únicamente que desde GiD hay que imponer el desplazamiento en las direcciones x y z. El valor de estos desplazamientos es indiferente, dado que se va a modificar desde Kratos, se puede introducir el valor 0 o cualquier otro. La figura 5.4 ilustra la imposición de las CC desde GiD: a) Contorno izquierdo b) Apoyo rígido c) Contorno derecho Figura 5.4: Imposición de CC en desplazamientos durante el Pre-Proceso No se imponen CC en las rotaciones de los nodos, estos grados de libertad quedan libres. Seguidamente, se aplican las cargas, que es el peso propio en los elementos de las 4 partes, Part, del modelo: grupos lower_flange, upper_flange, web y rigidizador. Aquí queda patente la diferencia entre las acciones actuantes obtenidas en 3.2 (carga uniformemente distribuida a lo largo de toda la viga) para obtener los valores de los esfuerzos y desplazamientos y giros, y las cargas que actúan en un modelo más reducido, donde se puede asignar a cada entidad su peso propio, en esencia, una carga distribuida a lo largo de una superficie. Se procede al mallado del modelo con una malla de tamaño de elemento 0,1 metros. A la vista de los resultados de 4.3.3 se considera suficiente para el primer cálculo. Tras obtener resultados se refinará la malla en las regiones donde sea necesario. Figura 5.5: Malla inicial de 0,1 metros 54 5.2 Aplicación de imperfecciones y CC con KratosMultiphysics Tras la creación del modelo preliminar en el pre-proceso, se procede a aplicar desde Kratos las imperfecciones geométricas y las CC en los contornos de corte izquierdo y derecho de la viga. Se enumeran a continuación: - En el alma: desviación horizontal de 7,5 mm del punto medio del alma con respecto su posición teórica en el eje vertical - En el ala superior: giro relativo de 1/50 rad del plano del alma entre la posición horizontal teórica y la real (el ala superior está inclinada 1/50 rad) - Giro de las secciones de los contornos izquierdo y derecho - Desplazamiento vertical de los contornos izquierdo y derecho Se dedica un subapartado a cada uno de estos temas para explicar detalladamente las hipótesis consideradas y cómo se aplican en Kratos. Previamente se comentan los aspectos relativos a los nodos de los elementos Shell que son comunes a los 4 casos. Tanto las imperfecciones geométricas y las CC se aplican sobre los nodos del modelo. En Kratos, cada nodo contiene la siguiente información básica: Identificador: node.Id Coordenadas: node.X, node.Y y node.Z Grados de libertad: DISPLACEMENT_X, DISPLACEMENT_Y, DISPLACEMENT_Z ROTATION_X, ROTATION_Y, ROTATION_Z Cuando se aplican las imperfecciones geométricas, éstas son un cambio de coordenadas de los nodos que únicamente modifican la geometría de partida y no generan tensiones. Por contra, cuando se imponen desplazamientos o rotaciones, estas sí que generaran tensiones. Asimismo, cada grado de libertad puede ser libre o ser fijo; para poder imponer un determinado valor es necesario que ese grado de libertad sea fijo, en caso contrario la condición no quedaría impuesta. 5.2.1 Imperfección geométrica en el alma La imperfección geométrica en el alma consiste en que el punto medio del alma está desviado de su eje teórico 7,5 mm. En consecuencia, el resto de puntos del alma también tienen una cierta desviación con respecto a su posición teórica. Concretamente, se asume la hipótesis que la forma que describe el alma, vista en la sección transversal, se asimila a una parábola. Responde, por tanto, a una ecuación de segundo grado: y(z) = az2 + bz + c (5.1) 55 Siendo: y(z) Desviación de un punto respecto al eje teórico del alma z Coordenada de punto a,b y c Los parámetros que definen la parábola Las tres condiciones que deben cumplirse son: y(0) = 0 y(0,77) = 0.0075 y(1,54) = 0 Esto se traduce en que la posición de los puntos de contacto del alma con las alas no varía y que el punto medio tiene un desplazamiento de valor 7,5 mm. La resolución de este sistema lleva a: a = 0,0075/[0,77(0,77-1,54)] b = -1,54 a c = 0 La cuestión radica en aplicar este campo de desplazamientos a los nodos del alma mediante Kratos. Para ello se crea una función que itere sobre los nodos del SubModelPart que contiene los nodos del alma. En cada iteración se modifica la coordenada y de un nodo en función de su coordenada z. Posteriormente, esta función se ejecuta con los parámetros del caso. ############################################################################# def ApplyWebImperfection(a,b,c): for node in main_model_part.GetSubModelPart("Parts_web").Nodes: node.Y += a*node.Z**2 + b*node.Z + c return web_imperfection = 0.0075 #[m] a_parameter = web_imperfection/(0.77*(0.77-1.54)) b_parameter = -1.54*a_parameter c_parameter = 0 ApplyWebImperfection(a_parameter, b_parameter, c_parameter) ############################################################################# Este procedimiento es el que se utiliza con la interfaz nueva de Kratos, donde existen SubModelPart que se pueden importar mediante GetSubModelPart("Parts_name"). En la interfaz antigua de Kratos no existía este concepto y el procedimiento consistía en crear primero un vector que contuviera los nodos para luego iterar sobre ellos de la misma forma: 56 ############################################################################# nodes_web = [] for node in model_part.Nodes: # Iteration over model_part if node.Y == 0.35: # Condition for node in web nodes_web.append(node) # Adding the node ############################################################################# Este hecho dificultaba la tarea cuando se trabajaba con geometrías complejas. Se ha considerado relevante incluir esta información referente a la interfaz antigua porque en el capítulo de cálculo no lineal es la que se utiliza. En la figura 5.6 se puede observar el resultado de aplicar esta imperfección en el alma. 5.2.2 Imperfección geométrica en el ala superior La imperfección en el ala superior consiste en que el ala está ligeramente inclinada con respecto a la horizontal. Aplicarla, por tanto, supone modificar la coordenada z de los nodos del ala. En rigor, todo giro en un plano implica la variación de dos coordenadas, pero dado que el giro es muy pequeño se asume que la tangente del ángulo es prácticamente igual al seno del ángulo, que es prácticamente igual al valor del propio ángulo; entonces, la variación en la dirección y se considera negligible. De esta forma, el descenso –o ascensoque experimenta un nodo es igual al producto del ángulo de rotación multiplicado por la distancia de éste al eje de giro. Se procede de una forma similar: se crea una función que aplique la imperfección a partir de los parámetros correspondientes, se definen los parámetros y se llama a la función. ############################################################################# def ApplyUpperFlangeImperfection(rotation, axis): for node in main_model_part.GetSubModelPart("Parts_upper_flange").Nodes: node.Z += rotation*(node.Y - axis.Y) return upper_flange_rotation = 1/50 #[rad] class flange_rotation_axis: Y = 0.35 Z = 1.54 ApplyUpperFlangeImperfection(upper_flange_rotation, flange_rotation_axis) ############################################################################# La creación de una clase para el eje de rotación permite dar a las partes añadidas a Kratos cierta coherencia con el código existente. De esta forma, se obtiene la coordenada y del eje de la misma forma que se obtiene la coordenada y del nodo. 57 Es importante definir correctamente la rotación, tanto dentro de la función como con el signo del parámetro. Si no se define cuidadosamente se estaría rotando el ala en el sentido contrario. Tal y como está planteado, una rotación de signo positivo es coherente con la imperfección impuesta en el alma. La siguiente figura muestra el resultado de aplicar ambas imperfecciones: a) Sección con imperfecciones b) Sección con imperfecciones (ampliado x5) c) Imperfecciones aplicadas incorrectamente Figura 5.6: Imperfecciones geométricas 5.2.3 Buena praxis y problemática derivada Otra forma de que el alma y las alas tengan las imperfecciones deseadas es mediante un programa de diseño asistido por ordenador (CAD). Esto consiste en crear la geometría en CAD y guardarla en un fichero que pueda importarse con GiD. Para la creación del modelo estudiado en el presente trabajo se ha considerado más conveniente la alternativa de aplicar las imperfecciones desde Kratos, programando en Python, tal y como se ha explicado en 5.2.1 y 5.2.2. Esto permite tener un mayor control sobre los parámetros del modelo y reducir la cantidad de programas informáticos empleados. En este caso las imperfecciones aplicadas no tienen gran complejidad, pero una vez establecida la metodología se puede aplicar cualquier campo de desplazamientos a cualquier conjunto de nodos, distorsionando de esta forma la geometría inicial a voluntad. Hay que ser precavido en un aspecto: cuando GiD genera la malla lo hace creando elementos Shell lo más regulares posibles, al cambiar después las coordenadas de nodos estamos variando la geometría de estos elementos. Esto hace que la malla pierda regularidad y puede acarrear problemas a posteriori, como dificultades de convergencia o pérdida de calidad en los resultados obtenidos –en tensiones, por ejemplo. Se plantean a continuación unos casos básicos: 64 en el plano del Shell entendida como una actuando linealmente, en lugar de ser una tensión sobre una superficie. Matemáticamente: S = σ · THICKNESS (5.2) GLOBAL hace referencia a que está en coordenadas globales. Existe también el output SHELL_FORCE para las tensiones en el sistema de coordenadas local de cada elemento, pero no se utiliza en el presente trabajo. Para el caso concreto de las alas: Sxx = THICKNESS · σx = 0,040 σx (5.3) A partir de los valores de los momentos obtenidos en el apartado 3.3 se puede obtener la distribución teórica de Sxx a lo largo del ala: Sxx,teórico = THICKNESS · σx,teórico = 0,040 · (5.4) donde Wy es en relación a la sección bruta: en cálculo lineal el material está en régimen elástico y no aparece plastificación ni abolladura que merme la sección resistente. De aplicar la ecuación (5.4) a los valores de los momentos que hay a lo largo del tramo estudiado se obtiene una distribución de tensiones proporcional a la ley de flectores: Figura 5.12: Distribución teórica de las tensiones en el ala superior. Para ala inferior es igual con signo negativo En rigor, dado que el apoyo no es puntual, en las secciones sobre el apoyo no se va a alcanzar el valor máximo del momento flector. En cuanto la viga empieza a estar apoyada se transmite cortante y la punta de momento flector queda suavizada. En cualquier caso, la forma de la distribución de tensiones obtenida de Kratos (figura 5.11) es claramente distinta a la teórica, por lo que este modelo con apoyo rígido no reproduce el comportamiento esperado: las tensiones de tracción en el ala superior fluctúan y en el ala inferior hay tanto tracción como compresión, debido a que el apoyo rígido (con desplazamiento impedido en x) no permite que se transmitan tensiones entre el lado derecho y el izquierdo. 65 A parte de lo mencionado, también se detecta desplazamiento en la dirección y: Figura 5.13: Desplazamiento en la dirección y, vista en planta A izquierda y derecha del apoyo los signos de los desplazamientos muestran la tendencia de la deformación de la viga. La siguiente vista en planta con escala ampliada permite observarlo: a) Contorno izquierdo b) Contorno derecho Figura 5.14: Desplazamiento en la dirección y, detalle de vista en planta. Deformación ampliada x100 A izquierda del apoyo el ala superior se desplaza hacia el sentido positivo del eje y, y a derecha del apoyo el ala superior se mueve en el sentido negativo y el ala inferior en el positivo. Uno de los problemas que plantea el lanzamiento de puentes es que el tramo en voladizo es susceptible a sufrir pandeo lateral. Esto es, un fenómeno de inestabilidad que se presenta en elementos sometidos a flexión, con insuficiente arriostramiento lateral, y flectando alrededor del eje principal de máxima inercia [8]. Cuando el momento flector máximo del elemento alcanza un determinado valor, denominado momento crítico de pandeo lateral, la pieza, que hasta entonces había flectado solo en el plano de actuación del momento, comienza a flectar en el plano normal al del momento. En el trabajo de Rubén Zorrilla [2] se planteó impedir la aparición de pandeo lateral arriostrando nodos en el centro y lado de cada uno de los paneles de la viga, lo cual permitió proseguir desarrollando la simulación del lanzamiento aceptando incertidumbre en cuanto al pandeo lateral. Imperfección en el alma 66 Para el caso que compete al presente trabajo, el desplazamiento ilustrado en las figuras 5.13 y 5.14 no se considera como un inicio de pandeo lateral. Al tratarse el pandeo de un fenómeno de inestabilidad es necesario un análisis de segundo orden para que se desarrolle. En este caso, se entiende que los desplazamientos en la dirección y de las alas son una consecuencia de las condiciones de vinculación que hay en el apoyo simple: cuando se levanta y gira el tramo de viga por el contorno izquierdo mientras se baja y gira por el derecho, siendo que el contacto en el apoyo es completo, se está induciendo el efecto de tratar de arrancar la viga haciendo palanca –sería como tratar de arrancar un yunque de la mesa en el que está anclado. Si la sección de la viga fuera simétrica posiblemente el modelo numérico no sería capaz de calcular una dirección preferente de desplazamiento, pero debido a las distorsiones en el alma y ala superior de la viga, en este caso si la hay. Reproducir el pandeo lateral requeriría un análisis no lineal en toda la longitud de la viga, hecho que queda fuera de los límites del presente trabajo y no es uno de los objetivos marcados. Aun así, en el capítulo 7 (Conclusiones), tras el capítulo de análisis no lineal, se explica cómo podría plantearse un modelo que permitiera reproducir y evaluar el pandeo lateral en una viga de acero. 5.3.2 Refinamiento del modelo A partir de los primeros resultados obtenidos se plantean dos mejoras: - Refinar más la malla cerca del apoyo - Liberar el desplazamiento en las direcciones x e y del apoyo De esta forma se permite el movimiento del ala inferior en el plano horizontal: los desplazamientos pueden acomodarse y el ala puede transmitir tensiones entre los lados del apoyo. Al ser la malla más fina los resultados en tensiones también serán más precisos. Una malla más fina da lugar a mejores resultados, pero incrementando coste de computación. Cuando las tensiones varían mucho en poco espacio es necesario que la malla sea muy fina para obtener buenos resultados, pero en las zonas donde no hay tanta variación de tensiones una malla muy fina incrementa la computación sin que el resultado obtenido aporte información nueva. Por ello, se va a generar una malla no estructurada (en Gid: Mesh > Unstructured) donde se asignan tamaños de elemento diferente a algunas de las entidades: a los nodos centrales y del apoyo se asigna un tamaño de elemento de 1 mm (0,001) y al panel central del alma de 5 mm (0,005). El resto de la malla se genera con 10 mm (0,1) de tamaño de elemento. 67 Es igualmente importante cómo se realiza la transición entre los tamaños de elemento pequeños y los grandes, esta transición puede ser lenta o rápida. En GiD se regula mediante Utilities > Preferences > Meshing > Unstructured. a) Perspectiva b) Vista frontal Figura 5.15: Malla cerca del nodo del apoyo El tiempo de computación con la nueva malla es de 91,7 segundos. Las tensiones en las alas cumplen el ser de tracción en el ala superior y de compresión en el ala inferior: Figura 5.16: Tensiones en las alas con desplazamiento horizontal liberado en el apoyo . . Ala superior Ala inferior [N/m] 68 Este resultado es más plausible, pero su distribución dista de ser realista. Además, en el alma siguen habiendo tracciones: Figura 5.17: Tensiones en el alma desplazamiento horizontal liberado en el apoyo Esto se debe a la tendencia de las secciones izquierdas a levantarse. Evitar que hubieran tracciones pasaría por definir adecuadamente el comportamiento de contacto en el apoyo entre el ala inferior de la viga y el propio apoyo. 5.3.3 Contacto en el apoyo El contacto en el apoyo debe ser de tal forma que las tensiones que se obtengan de tracción en los elementos del panel sobre el apoyo sean nulas y pueda haber desplazamiento vertical de los nodos de dichos elementos. Códigos como ABAQUS permiten activar esta opción –con un clickpara tener en cuenta esto. En Kratos, en cambio, hay que implementarlo adecuadamente, lo cual queda fuera de los límites establecidos para el trabajo. Asimismo, se comenta a continuación una línea posible de actuación para llevar a cabo esta implementación. El proceso que sigue Kratos para la resolución numérica del problema consiste en aplicar los valores de los DoF fijos –así como las cargasy calcular los estados tensionales para, con estas tensiones, calcular los valores de los DoF libres. Se puede modificar el Solver de Kratos añadiendo una función lógica que compruebe el valor de dichas tensiones cerca del apoyo y cambie su valor, al mismo tiempo que cambie las condiciones de vinculación de esos nodos. Y a partir de aquí, con estas modificaciones, iniciar nuevamente el cálculo y comparación de los valores de las tensiones. De esta forma se iniciaría un proceso iterativo, sujeto a las tolerancias pertinentes, hasta llegar a la convergencia del resultado. De una forma simple, dentro del Solver se impone que cuando una tensión cerca del apoyo sea positiva cambie de valor a 0 y los nodos colindantes pasen a tener un DISPLACEMENT_Z que sea Free. Tras estos cambios, iniciar el Solver de nuevo y comprobar las tensiones, pudiendo cambiar a positivas y pudiendo los nodos volver a tener un DISPLACEMENT_Z que sea Fixed. Repetir esto hasta que iteraciones sucesivas no aporten actualizaciones. 69 Con todo, este modelo con apoyo rígido no se ha podido validar. Dado que el interés del presente trabajo radica en los apoyos elásticos, la no validación de este modelo no supone un contratiempo y abre el camino para que en los siguientes aparatados se planteen las hipótesis que asienten las bases sobre las que proceder con el análisis no lineal. 5.4 Hipótesis de movimiento de sólido rígido del panel con apoyo basculante 5.4.1 Marco teórico y nuevas CC Se plantea la hipótesis de movimiento de sólido rígido del panel como una situación realista que permita validar los resultados obtenidos del análisis lineal. Esta hipótesis es coherente con los apoyos de tipo basculante que se utilizan en algunos lanzamientos de puente (subapartado 2.1.4) y reproduce de una forma realista, en escala reducida, el comportamiento de un apoyo simple en cuanto a libertad de giro de la sección apoyada. La hipótesis que se plantea consiste en que el panel sobre el apoyo, si fuera el único panel indeformable de la viga, experimentaría un movimiento de sólido rígido debido a que el tramo en voladizo desciende y el tramo entre apoyos también se desplaza. Este movimiento consistiría en un giro del panel con respecto a un punto apoyado. Aceptada esta premisa, como el panel en realidad es deformable, tras este movimiento de sólido rígido experimenta una deformación debida a los esfuerzos actuantes. Dicha deformación tiene que ser compatible con el resto de deformaciones de la viga (figura 5.18). Figura 5.18: Movimiento de sólido rígido del panel Leyenda: Negro: deformada real Azul: movimiento de sólido rígido Verde: valores de aplicar la elástica Discontinuo: líneas auxiliares (dirección ejes) ∆zA u3,A δA φc φc φB φA θA,sección 70 Lo que sucede es que de la elástica se obtienen unos valores de giros de las secciones en coordenadas globales para toda la viga, por eso el signo de los giros es el mismo en todo el panel. Cuando se observa únicamente el panel, y más concretamente se toma una rebanada de longitud diferencial, se ve que los momentos flectores son tales que inducen giro negativo en la cara derecha (horario) y giro positivo en la cara izquierda (antihorario). Esto equivale a referir los giros y desplazamientos a las coordenadas locales del panel, de ahí el sentido de la hipótesis de movimiento de sólido rígido. Esto da lugar a una serie de ecuaciones que permiten adaptar los giros y desplazamientos de las secciones a los de una deformada local para el tramo de estudio. Para ello se asumen también las hipótesis de la teoría de pequeñas deformaciones: ∆zA = φB · d (5.5) Siendo: ∆zA Desplazamiento vertical de un punto, A, debido al giro de sólido rígido φB Giro del panel como sólido rígido respecto a su centro, B d Distancia del centro de giro, B, al punto, A δA = ∆zA – u3,A (5.6) Siendo: δA Descenso de la sección respecto al apoyo –la CC adaptada que se aplica u3,A Desplazamiento vertical obtenido de las ecuaciones elásticas θA,sección = φB – φA (5.7) Siendo: θA,sección Giro de la sección debido al momento flector –la CC adaptada que se aplica φA Giro obtenido de las ecuaciones elásticas La aplicación de estas ecuaciones para ambos contornos lleva a los siguientes resultados: ############################################################################# left_boundary_displacement = -0.00203 #[m] right_boundary_displacement = -0.00205 #[m] left_boundary_rotation = 0.000894 #[rad] right_boundary_rotation = -0.000908 #[rad] ############################################################################# Se comprueba que tanto los giros como los desplazamientos tienen valores muy próximos en ambos contornos, lo cual es consistente con las hipótesis planteadas si se tiene en cuenta que el esfuerzo flector actuante en cada caras es también similar. 71 5.4.2 Resultados y validación La malla utilizada ha sido la misma que en 5.3.2 y el tiempo de computación ha sido de 89,9 segundos. Con el modelo de apoyo basculante la distribución de tensiones a lo largo de las alas coinciden con el resultado teórico, tanto en valores como en forma de la distribución: Figura 5.19: Tensiones en las alas con apoyo basculante El valor máximo teórico de Sxx es 1,65·106 N/m (figura 5.12), 41 MPa, lo cual demuestra que considerar el apoyo como no puntual reduce el valor de la tensión máxima en el ala –el máximo obtenido con Kratos es de 36 MPa . En los gráficos de la figura 5.19 se observan 4 picos de discontinuidad, esto se debe a que cuando se traza la línea en GiD para determinar el eje de nodos que se quiere representar, inevitablemente coge un nodo del interior del rigidizador, donde el valor Sxx es diferente a los del ala. Esto únicamente influye a nivel de representar gráficamente los resultados. También, cerca de los contornos los valores de Sxx aumentan, pero esto es debido al elemento Shell; justamente se ha aislado el tramo entre rigidizadores añadiendo un margen extra a cada lado para que estos efectos debidos al modelo numérico no distorsionen los resultados en el panel del alma sobre el apoyo, cuyo comportamiento interesa reproducir correctamente. En el ala inferir, sobre el apoyo, la distribución de tensiones cambia de forma y sus valores disminuyen, comportamiento que también se ha observado en otros trabajos [11]. Ala superior Ala inferior Discontinuidad por valor de Sxx en un nodo del rigidizador Convergencia del Shell [N/m] [N/m] 72 En el alma, junto al apoyo, las tensiones que aparecen son las siguientes: Figura 5.20: Tensiones en el alma con apoyo basculante, ampliación sobre el apoyo rígido Se concentra la compresión en ambos extremos del apoyo rígido. El valor de la tensión máxima se sitúa entre entre 33 y 39 MPa, estando lejos del límite elástico considerado, fy = 235 MPa. Este valor no es determinante para la plastificación ya que también intervienen el resto de tensiones sobre el elemento, de acuerdo al critério de Von Mises planteado en el subapartado 2.2.1. Además, Szz no representa las coordenadas principales del elemento, que son Si, Sii y Siii. A la vista de los resultados, se considera que bajo la hipótesis de movimiento de sólido rígido se reproduce adecuadamente la realidad del tramo de viga estudiado y el modelo queda validado. 5.5 Modelo con apoyo elástico Evaluar el efecto que tiene en la viga utilizar aparatos de apoyo elástico es el objeto del presente trabajo. Estas implicaciones se evalúan en detalle en el capítulo 6, pero para ello es necesario introducir primero los conceptos teóricos relativos al cálculo con apoyo elástico y los relativos al modelo con FEM y Kratos que se utilizan. Así como realizar una criba de los diferentes escenarios que aparecen, para descartar aquellos sujetos a incertidumbre y proseguir con los que son coherentes con los fenómenos estudiados. Estas primeras aproximaciones pueden realizarse mediante cálculo lineal elástico. Compresión Ss = 1,2 metros [N/m] 73 5.5.1 Marco teórico Una estructura tiene un apoyo elástico en un punto cuando la libertad de movimiento (translación o giro) de dicho punto en una dirección está ligada a la rigidez de un elemento externo, el apoyo. La aproximación inmediata del comportamiento de un apoyo elástico atiende a la ley de Hooke: (5.8) Siendo: F Fuerza aplicada sobre el apoyo (reacción) k Rigidez del apoyo ∆e Deformación que sufre el apoyo en la dirección de aplicación de la carga El parámetro que define el apoyo es su rigidez, k, que está estrechamente ligada al tipo de material y la geometría. Considerando el tramo elástico lineal, una forma de aproximarla es: Entonces: (5.9) Por tanto, la rigidez del apoyo es directamente proporcional a su módulo de elasticidad y área, e inversamente proporcional a su espesor. El inverso de la rigidez de un apoyo se conoce como elasticidad. Cuando se quiere resolver una estructura en la que hay apoyos elásticos aparece una incógnita adicional, pero también una ecuación adicional que permite resolver el sistema (la 5.8). Así, por ejemplo, resolver la estructura hiperestática planteada en la figura 3.2 (capítulo 3, Caso de Estudio) considerando que el apoyo es elástico en lugar de rígido llevaría a una ecuación de compatibilidad del tipo u3,B = -∆e = -RB/k. Entonces: (5.10) Y, por tanto: (5.11) De las ecuaciones 5.10 y 5.11 se desprende que cuanto mayor es la rigidez del apoyo (k más elevada) menor es su descenso. 80 6. ANÁLISIS NO LINEAL EN PANEL AISLADO Tras los desarrollos llevados a cabo en capítulos anteriores y a la vista de los resultados obtenidos, se está en condiciones de proceder con el análisis no lineal. En el presente capítulo se introducen los fundamentos de este análisis para plantear el cálculo paramétrico en base a las CC y su programación en Kratos. Finalmente, se discuten los resultados obtenidos. 6.1 Fundamento teórico La razón de ser del análisis no lineal es la de tener un método que permita actualizar las variaciones que sufre un modelo en un proceso de cálculo. Características como la geometría, cargas o comportamiento de los materiales no son invariantes, sino que cambian. El cálculo lineal pasa de un estado a otro directamente, sin tener en cuenta las variaciones que pueda haber entre ellos. Este cálculo puede hacerse sin que se pierda realismo cuando solamente cambian, por ejemplo, las cargas y/o desplazamientos aplicados, cuando no hay cambios notorios en la geometría del caso y el régimen del material no se vea alterado. La realidad es que, siempre que hay un cambio de estado, muchos condicionantes varían. La mera resolución del pórtico de una estructura, por ejemplo, da valores de reacciones y esfuerzos distintos si se calcula sobre la estructura deformada o sin deformar. Mediante un análisis no lineal se tienen en cuenta todos estos cambios que se producen entre un estado y otro. Para ello, lo que se hace es fraccionar el caso a resolver en muchos casos, da tal forma que cada vez que se resuelve un caso se tienen en cuenta los cambios que ha habido en el caso anterior. Esto es, por ejemplo, incrementar el valor de una carga y calcular como se deforma la geometría y, sobre esta geometría deformada, volver a aplicar un incremento de carga. Al final del proceso se ha pasado de una configuración inicial a una final, pero teniendo en cuenta los estados intermedios. Por tanto, se está fraccionando el intervalo que se recorre, yendo progresivamente del estado inicial al final en muchos pasos, steps (figura 6.1). Figura 6.1: Esquema conceptual del cálculo no lineal 81 La figura 6.1 recoge esta idea del cálculo no lineal de avanzar en la resolución de un problema mediante steps. En cada uno se está resolviendo el problema sobre una variación del problema anterior. Este análisis puede llevarse a cabo considerando el tiempo que transcurre entre un estado y otro, realizando de esta forma un análisis dinámico (por ejemplo, diferentes etapas durante el lanzamiento del tablero de un puente). Pero también se puede realizar para casos en los que no transcurre tiempo físico entre estados, en tal caso aparece el concepto de análisis cuasi-estático. En un problema estático se puede fraccionar la carga total que actúa (fuerzas y/o desplazamientos) e incrementar en cada step el valor de la carga aplicada. Aparece entonces un pseudo-tiempo entendido como el que transcurre entre el instante en que no hay carga aplicada y el instante en el que está toda aplicada. Esto es, el tiempo interno del análisis para fraccionar la sucesión de estados mediante lapsos de tiempo. Todos estos procesos están sistematizados mediante ordenadores. En este punto es donde se establece el equilibro fundamental de cálculo no lineal; equilibrio entre fraccionar mucho el intervalo, de tal forma que transcurren muchos subestados desde el estado inicial y el final, a cambio de un gran coste computacional, y fraccionar poco el intervalo, con un resultado menos acurado, pero con mayor rapidez de cálculo. Para el presente trabajo, el interés en el cálculo no lineal radica en reproducir la plastificación del acero. De acuerdo a lo descrito en el apartado 2.2.1, el acero trabaja en régimen lineal hasta que se alcanza el valor del límite elástico (con la tensión de comparación del criterio de Von Mises), tras este punto comienza el régimen plástico y la deformación deja de ser lineal con la tensión. Esto es, tener en cuenta la no linealidad del material. Para el análisis con Kratos se utiliza un material de plasticidad tipo J2, que es un material con endurecimiento isotrópico, isotropic hardening. Su diagrama tensión-deformación responde al siguiente esquema: Figura 6.2: Diagrama tensión-deformación estándar de un material J2. (Fuente: isr.umd.edu) 82 Se trata de un material que admite ciclos de histéresis. En Kratos, las variables que lo definen son las siguientes: DENSITY 7.85000E+003 YOUNG_MODULUS 2.10000E+011 POISSON_RATIO 2.90000E-001 YIELD_STRESS 2.35000E+008 YIELD_STRESS_INFINITY 2.35000E+008 ISOTROPIC_HARDENING 0.00000E+000 ISOTROPIC_HARDENING_EXPONENT 0.00000E+000 KINEMATIC_HARDENING 0.00000E+000 FRACTURE_ENERGY_T 1.00000E+100 THICKNESS 0.04 BODY_FORCE [3] (0.0, 0.0, 0.0) Estos son los parámetros que definen las propiedades de un elemento Shell con una ley constitutiva de material J2. Las tres primeras hacen referencia al material en sí mismo (acero) y sus características elásticas; un elemento sólido (tetraedro, por ejemplo) también las tiene. Las dos últimas hacen referencia al elemento Shell. Las que son propias del material J2 son de la 5º a la 9º: el límite elástico, el límite elástico en el infinito, los parámetros del endurecimiento y la energía de fractura. Los valores mostrados en negrita son los definidos para el material J2 utilizado en el presente trabajo. Se trata del caso básico, donde la tensión en el elemento no aumenta una vez alcanzado el límite elástico y nunca colapsa (tensión de fractura muy elevada). Esta configuración se representa en la figura 6.3: Figura 6.3: Diagrama tensión-deformación del material J2 utilizado. Los puntos representan los estados por los que se pasa durante el análisis Cuando se lleva a cabo el cálculo no lineal, hasta que se alcanza el límite elástico el material está en régimen elástico, por lo que se puede llegar hasta ese estado con pocos steps –incluso uno es suficiente. Tras esto, el material comienza a plastificar y es necesario aumentar el número de iteraciones, especialmente en la transición entre elástico y plástico, dónde se produce el cambio de pendiente en la curva. 83 El parámetro que permite identificar el comienzo de la plastificación es el valor de la deformación permanente o deformación plástica. Mientras este valor sea nulo el material no ha plastificado y en cuanto es diferente a 0 hay plastificación. En Kratos este parámetro recibe el nombre de EQUIVALENT_PLASTIC_STRAIN. Es importante mencionar que todo lo relativo al cálculo no lineal se realiza mediante la interfaz antigua de Kratos. Otros conceptos internos de Kratos que cabe comentar son, por un lado, que se utiliza el criterio del residuo como criterio de convergencia, con una tolerancia relativa de 10-5 y una tolerancia absoluta de 10-7. Por otro lado, que el tipo de solver utilizado es el Skyline LU factorization. Normalmente, el Skyline LU factorization converge más rápidamente cuando hay pocos DoF y el Super LU con muchos. Se planteó la resolución de un mismo caso ambos solver para escoger el más eficiente y, pese a tener una media de 500.000 DoF en cada modelo, el Skyline LU factorization fue más rápido. Además de considerar la no linealidad del material, también se pueden incluir en el análisis los efectos de la no linealidad geométrica. Para un estudio que busque reproducir la formación de abolladura, por ejemplo, tener en cuenta la no linealidad del material es fundamental, pero además hay que tener en cuenta la no linealidad geométrica. Software como ABAQUS incluyen la opción de activar o desactivar el cálculo con la no linealidad geométrica, en Kratos esto está incluido de por sí. 6.2 Validación del modelo Previamente a realizar el análisis no lineal sobre el tramo de viga conviene estar seguros de que el material J2 y los elementos Shell reproducen correctamente el inicio y propagación de la plastificación en un panel de acero. Para ello, se plantea un caso test a título de validación. Este caso consiste en una placa sometida a compresión. Sus dimensiones son de 0,5x0,008x1,5 metros y la compresión se induce mediante un desplazamiento de apoyo. Para ello se crea la geometría en 3D con GiD y se imponen con CC de Dirichlet en los dos contornos de 0,5 m (figura 6.4). Estos contornos tienen el desplazamiento fijo en la dirección z, pero pueden rotar libremente. 84 Figura 6.4: Geometría del caso test y CC de Dirichlet Conocidas las características del caso se puede determinar para qué valor del desplazamiento de los apoyos el material comienza a plastificar: La plastificación comienza cuando el acortamiento total de la placa llega a 1,68 mm. Se resuelve el mismo caso con dos mallas diferentes: una con elementos Shell triangulares y otra con elementos Shell cuadrangulares (figura 6.5). a) Shell thin element (triangular) b) Shell thick element (cuadrangular) Figura 6.5: Malla del modelo según geometría del elemento δleft = ∆e δright = 0 85 Plantear el mismo caso con dos mallas distintas permite la comparativa entre el elemento Shell thin (triangulo) y el Shell thick (cuadrilátero). La placa se ha dividido en tres superficies: la central es de material J2 y las laterales son de material elástico lineal. Esto mejora la convergencia del proceso y permite una malla más gruesa en los laterales. A cambio, el material de los bordes no plastifica y actúa como transmisor de la carga, lo cual arroja incertidumbre en relación al punto real de inicio de la plastificación. Como se trata de un test de validación este factor no tiene mayor trascendencia. Los resultados obtenidos se ilustran en la siguiente figura: a) Descenso = 0,00167, malla triangular b) Descenso = 0,00167, malla cuadrangular c) Descenso = 0,00168, malla triangular d) Descenso = 0,00168, malla cuadrangular e) Descenso = 0,00169, malla triangular f) Descenso = 0,00169, malla cuadrangular Figura 6.6: Inicios de la plastificación en el caso test ∆e 86 En los dos casos la plastificación comienza tras el mismo descenso, coincidiendo este con el descenso teórico, por lo que ambos elementos reproducen bien el fenómeno y el modelo queda validado. En adelante se va a utilizar el elemento cuadrangular, ya que al tratarse de un elemento de grandes desplazamientos, Large Displacement, permite reproducir mejor el mecanismo de plastificación y posterior abolladura. Además, este tipo de elemento es el utilizado en estudios previos [2], [11]. 6.3 Planteamiento del análisis paramétrico Fruto de acotar el estudio a un tramo asilado de viga, hay cuatro CC que aplican para obtener las tensiones en el alma y las alas. Son las vistas en el capítulo 5: desplazamiento y giro de los dos contornos. Para llevar a cabo el análisis no lineal se plantea aumentar en cada incremento de tiempo estas 4 condiciones simultáneamente. Se definen las siguientes variables: Desplazamiento vertical del contorno izquierdo: δ1 Desplazamiento vertical del contorno derecho: δ2 Giro contorno izquierdo: θ1 Giro contorno derecho: θ2 Se define un vector que las contenga: Φ = {δ1, δ2, θ1, θ2} De esta forma, en cada incremento de tiempo el vector incrementa ∆Φ = {∆δ1, ∆δ2, ∆θ1, ∆θ2} Estos incrementos son los que se van a aplicar en cada iteración del análisis no lineal. Para reducir la cantidad de variables del análisis se parametrizan estos incrementos en función de un número escalar adimensional ∆a. De esta forma ∆Φ = f(∆a), pasando así de cuatro variables a solamente una. A su vez, los incrementos aplicados van a ser proporcionales a unas determinadas CC obtenidas de forma realista fruto de aplicar alguna hipótesis estructural. Entonces se define Φprop = {δ1,prop, δ2, prop, θ1, prop, θ2, prop }. Por tanto: ∆Φ = = = Φlineal · ∆a (6.1) El parámetro a varía entre 0 y A, siendo A su valor máximo. Fijado el valor de ∆a, el número de iteraciones que se realizan es: 87 (6.2) De tal forma que aj = ∆a·j, con j ∈ . Entonces: Φj = ∆Φ · nj = Φprop·∆a· j = Φprop · aj (6.3) A todo esto hay que tener en cuenta que la iteración avanza a lo largo de un pseudo-tiempo. Este tiempo varía entre 0 y tend. En cada iteración su incremento es ∆t, análogamente: (6.4) Se define la velocidad a la que avanza el análisis no lineal, v, como: (6.5) E, igualmente, tj = ∆t·j. Entonces, como aj = v·tj, se puede calcular el valor de las CC que se imponen en cada iteración: Φj = Φprop · aj = Φprop · v · tj (6.6) Al final de la iteración se ha llegado a: Φend = Φprop · v · tend = Φprop · A (6.7) Además, existe algún instante de tiempo en el que se ha pasado por el estado Φj = Φprop, correspondiendo al estado que ha permitido determinar las CC del vector de proporcionalidad. Recapitulando, los inputs que se introducen son: A: valor máximo del parámetro a, último valor de a que se alcanza en el análisis ∆a: incremento de a en cada iteración tend: tiempo en el que acaba el análisis Φlineal: vector de proporcionalidad entre los pares de desplazamientos y giros En análisis se ha planteado como gobernado por el parámetro a, y con la presencia del parámetro tiempo. Se podría haber planteado igualmente un análisis no lineal en el que únicamente interviniera uno de los dos parámetros: - Solamente interviene el tiempo: guarda relación con los análisis no lineales estándar, variando el tiempo en cada iteración desde el estado inicial hasta el estado final. Habría que introducir el vector de CC finales Φend como input, así como tend y ∆t. Dado que 88 Φend = A·Φprop, el análisis es igual, pero perdiendo la capacidad de definir de forma inmediata la magnitud de los desplazamientos y giros aplicados. Es decir, A se puede entender cómo las veces de más que se están aplicando las CC del caso proporcional y ∆a como la fracción de estas CC que se están aumentando en cada iteración. - Solamente interviene a: es el caso inverso, el tiempo no forma parte del análisis. Este caso tiene sentido físico desde el punto de vista que en un contexto en el que no avanza el tiempo (estático), se incrementan progresivamente los desplazamientos y giros hasta llegar al estado final del análisis. Procediendo así se pierde, entre otros, el concepto de velocidad de avance del análisis no lineal. Además, un tema que no se ha tratado es el incremento progresivo de la carga: aparte de los desplazamientos y giros, en cada iteración también aumentan las cargas sobre la viga, dado que el tramo estudiado es pequeño estas cargas influyen poco en los resultados, por eso, se deja que el propio funcionamiento interno de Kratos (programado en base a incrementos de tiempo) se encargue del incremento de la carga. Si no se utilizara el tiempo en el análisis planteado también habría que adaptar el sript de Kratos para que incrementara la carga en función del parámetro a. A la formulación planteada se añade el hecho que, para mejorar la convergencia y el tiempo de computación, se pueden definir dos valores de incremento de a, ∆a, diferentes: uno más grande para cuando se está en régimen elástico y uno más pequeño para cuando se está en régimen plástico. Dado que en régimen elástico no suele haber problemas de convergencia, esta fase puede recorrerse en pocas iteraciones y, cuando el material comienza a plastificar, reducir los valores de desplazamientos y giros que se imponen utilizando un ∆a menor. Esto se realiza definiendo un ∆aelastico y un ∆aplastico. La velocidad del análisis es la misma, por lo que también hay un ∆telastico y un ∆tplastico diferentes y calculados como la relación entre la ∆a respectiva y la velocidad. Adicionalmente, hay que definir el valor de aplasticidad o tplasticidad a partir del cual comienza a plastificar el material. Definido este, con una función lógica se establece el valor de ∆t a utilizar en cada iteración: (6.8) Tras el desarrollo realizado se procede a programarlo en Kratos. 89 6.4 Programación del análisis en Kratos La programación que hay que efectuar es relativamente sencilla y compacta. Se comienzan definiendo los desplazamientos y giros del vector de proporcionalidad y los parámetros de control del análisis (valor final, A, y valor para el cambio entre iteraciones en régimen elástico o régimen plástico, aplasticidad), así como los valores de ∆aelastico y ∆aplastico. Con estos parámetros introducidos se calculan las conversiones para el tiempo: ############################################################################# #PROPORCIONALITY VALUES left_boundary_displacement = -0.002 #[m] right_boundary_displacement = -0.002 #[m] left_boundary_rotation = 0.0009 #[rad] right_boundary_rotation = -0.0009 #[rad] #ANALYSIS PARAMETERS #Control parameters (user) A_parameter_value = -0.0200/(-0.002) #Last A a_parameter_for_plasticity = -0.004/(-0.002) #Value of A such as plastification begins step_a_parameter_elastic = 0.002/0.002 step_a_parameter_plastic = 0.00025/0.002 #Intern analysis parameters velocity_a = A_parameter_value/general_variables.end_time #[s-1] ProjectParameters: end_time = 1.0 time_plasticity = A_parameter_for_plasticity/velocity_a time_step_elastic = a_parameter_elastic/velocity_a time_step_plastic = a_parameter_plastic/velocity_a ############################################################################# El solver está gobernado por un bucle while que itera hasta que se llega al tiempo final del análisis. Dentro de este solver se introduce el valor del incremento de tiempo según el régimen en el que se encuentra el material y se imponen las CC: ############################################################################# # solving the problem while(current_time < ending_time): . . . #setting time_step if current_time < time_plasticity: time_step = time_step_elastic elif (current_time + time_step) > time_plasticity: time_step = time_step_plastic #current_time current_time = current_time + time_step current_step = current_step + 1 #Applying Boundary Conditions 96 El último aspecto relevante es la forma de la deformada que se obtiene y la distribución de tensiones en el alma (figura 6.11): Figura 6.11: Deformada del tramo testado (ampliada x200) y tensiones en las alas. E = 27 GPa Se observa la alternancia entre tracciones y compresiones a lo largo del ala propia de una biga biempotrada, así como las forma de hogging & sagging –concavidad y convexidad. 6.5.2 Proporcionalidad entre desplazamientos y giros En un primer cálculo del escenario de descenso con giro, se considera la proporcionalidad entre descensos y giros utilizada en el cálculo lineal bajo la hipótesis de movimiento de sólido rígido del panel (apartado 5.4). Esto da lugar al siguiente vector de proporcionalidad: ############################################################################# left_boundary_displacement = -0.002 #[m] right_boundary_displacement = -0.002 #[m] left_boundary_rotation = 0.0009 #[rad] right_boundary_rotation = -0.0009 #[rad] ############################################################################# El resultado que se obtiene para el modelo con apoyo rígido es que la plastificación comienza cuando el descenso llega a los 6,6 mm, pero tras un descenso de 9,6 mm comienza a plastificar también el ala (figura 6.12 y 6.13). Figura 6.12: Inicio de la plastificación del ala de la viga. Vista general Rojizo: tracción Azulado: compresión 97 Figura 6.13: Inicio de la plastificación del ala de la viga. Vista detalle La plastificación del ala se puede deber a diferentes factores: - El ala se dobla debido a la flexión transversal, de tal forma que incrementa su tensión hasta que plastifica (figura 6.14a) - Cuando se ha completado el arco de plastificación y gran parte del panel del alma ha plastificado, el alma pierde capacidad resistente y cede –web folding. El ala se deforma perpendicularmente a su plano debido al movimiento solidario con el alma, que está cediendo. Aumenta las tensiones en el ala hasta que plastifica (figura 6.14b). - El ala se comprime hasta que llega un momento que plastifica. a) Flexión transversal en el ala superior debida a la flexibilidad de la chapa b) Plastificación del ala (arriba, vista en planta) tras la plastificación y cedencia del alma (abajo, vista frontal) Figura 6.14: Plastificación del ala de una viga armada sometida a carga concentrada (Chacón, 2009) Borde del apoyo rígido Inicio de la plastificación del ala Alma Ala 98 Para el caso estudiado, no se observa una deformación del ala como la descrita en a), al mismo tiempo que la plastificación comienza tanto en el elemento central como en el elemento lateral. Además, su espesor es elevado (40 mm). Por ello, se descarta la plastificación por flexión transversal. En cuanto a la plastificación por deformación perpendicular, dado que el mecanismo de plastificación solamente ha comenzado a formarse, el alma no cede aun, por lo que se descarta la opción del web folding. La tercera alternativa es que plastifica por compresión excesiva: Solamente por el acortamiento del panel del ala debido al giro impuesto se llega a una tensión de 191,4 MPa, que sumada al resto de efecto fácilmente puede alcanzar el límite elástico, por lo que la plastificación por compresión es la alternativa más verosímil. Este resultado sugiere que la proporción entre desplazamientos y giros utilizada es demasiado exigente y poco realista. Dicha proporción se obtiene tras adaptar los desplazamientos y giros obtenidos de la elástica mediante la hipótesis de movimiento de sólido rígido del panel. Considerar dicha hipótesis ha arrojado resultados realistas en el cálculo lineal, pero es posible que a partir de cierto descenso esta correlación entre desplazamientos y giros pierda precisión. Dada esta incertidumbre, se plantea un escenario alternativo que permita obtener una relación realista entre ambas magnitudes. Este escenario consiste en reproducir el momento durante el lanzamiento de la viga en el que el giro de la sección sobre el apoyo es nulo. Siendo el giro nulo, va a haber descenso de las secciones en los dos lados del apoyo y giros de signo diferente, por lo que directamente se obtienen CC aplicables al análisis no lineal. Para hallar la etapa del lanzamiento en la que la deformada de la viga es tal que el giro de la sección apoyada es nulo se impone directamente ∆φB=0 en la expresión del giro en la viga (ecuación A10 o A11, anejo A). La resolución de la ecuación lleva a la siguiente relación de longitudes: (6.9) El resultado es L2 = 12,25 m y una deformada como la mostrada en la figura 6.15: 99 Figura 6.15: Deformada de la estructura para L2 = 12,5 metros Las CC que se obtienen son las siguientes: ############################################################################# left_boundary_displacement = -0.00042 #[m] right_boundary_displacement = -0.00042 #[m] left_boundary_rotation = 0.00017 #[rad] right_boundary_rotation = -0.00017 #[rad] ############################################################################# La relación descenso/giro de las nuevas CC es igual a 2,47 m, siendo que anteriormente para una relación 2,22 m ha habido plastificación en el ala, estas nuevas CC siguen siendo exigentes. El hecho de estar considerando para un tramo corto de viga únicamente la teoría de EulerBernuilli –deformación debida a cortante despreciablepuede estar haciendo que se obtengan giros excesivos, por lo que conviene encontrar la proporción correcta teniendo en cuenta también el efecto del cortante. Una forma realista de hacerlo es mediante la creación de un modelo que, con cálculo lineal, permita obtener los giros y desplazamientos en los contornos del tramo estudiado. Esto se lleva a cabo mediante Kratos, teniendo en cuenta que en el apartado 4.3 se ha validado Kratos para el cálculo de desplazamientos en vigas de elementos Shell cuya deformación se debe a flexión y cortante. Se crea un modelo a escala real de la viga lanzada y con longitud L2 = 12,5 m: Figura 6.16: Modelo a escala real de la viga lanzada. L2 = 12,5 metros 100 El desplazamiento vertical se obtiene directamente, DISPLACEMENT_Z, y el giro se obtiene como la diferencia entre los desplazamientos en la dirección x de los nodos de las alas de una sección, DISPLACEMENT_X, dividida por la altura del alma. El descenso que resulta es 0,75 mm y el giro es 0,000141/0,77 = 0,18·10-3 rad. Su proporción es 4,1 metros, la cual prácticamente dobla el valor de las proporciones obtenidas anteriormente, lo cual demuestra que la deformación por cortante no es despreciable cuando se estudia un tramo reducido. 6.5.3 Descenso con giro El vector de proporcionalidad que se utiliza es el siguiente: ############################################################################# left_boundary_displacement = -0.002 #[m] right_boundary_displacement = -0.002 #[m] left_boundary_rotation = 0.00049 #[rad] right_boundary_rotation = -0.00049 #[rad] ############################################################################# Dado que solamente interesa la proporción entre desplazamientos y giros, se sigue utilizando el desplazamiento de 2 mm y se escala el giro mediante la correlación obtenida en 6.5.2. La tabla 6.2 recoge los resultados obtenidos del análisis no lineal: Descenso para plastificación Reacción [kN] Tipo de apoyo Total [mm] Efectivo [mm] Rígido 5,0 5,0 531,6 Hormigón E = 27 GPa 6,6 6,5 700,5 Teflón E = 0,5 GPa 13,6 11,4 997,0 Neopreno E = 0,0015 GPa - - - Tabla 6.2: Inicio de plastificación del alma con giro en los contornos Los resultados muestran la misma tendencia que en 6.5.1: a mayor elasticidad del apoyo mayor es la carga que puede resistir el alma y mayor el descenso al que puede llegar. Las figuras 6.17, 6.18 y 6.19 muestran la evolución de las magnitudes. 101 Figura 6.17: Gráfico εp,max–δtotal con giro en los contornos Figura 6.18: Gráfico εp,max–δefectiva con giro en los contornos Figura 6.19: Gráfico Reacción–δtotal con giro en los contornos. (1) IP = Inicio de la plastificación IP(1) IP(1) IP(1) 102 Comparativamente al caso de descenso sin giro, el hecho de que haya giro genera un estado tensional tal que la plastificación aparece más tarde. Desde el punto de vista de los descensos, los contornos llegan a un descenso un 60% mayor, en media, antes de que comience la plastificación. En cambio, las reacciones en los apoyos cuando el alma plastifica son menores en el escenario con giro cuando hay giro, tanto con apoyo rígido como con apoyo elástico. Esto tiene sentido estructural si se relaciona con el símil entre una viga biempotrada (no hay giro en los extremos) y una viga biapoyada (hay giro libre en los extremos), donde para conseguir el mismo descenso en centro luz es necesaria una carga 4 veces mayor en la viga biempotrada. A nivel operativo de Kratos la explicación radica en que los giros impuestos en los contornos inducen tracciones en el apoyo –tienden a levantar la viga-, que restan parte de las compresiones debidas al descenso. Finalmente, en el caso de apoyo de neopreno el ala plastifica a partir de un descenso de 22 mm. El hecho de que esto suceda se debe a que el alma apenas incrementa sus tensiones cuando hay descenso debido a la elevada elasticidad del material, pero en cambio, el ala sí que incrementa su tensión debido al giro. Si bien las proporciones entre descensos y giros utilizadas han demostrado ser más correctas, numéricamente es inevitablemente llegar al punto en que la compresión del ala por acortamiento de la chapa exceda el límite elástico. La realidad cuando hay un apoyo elástico en una viga lanzada es que el hecho de que la sección sobre este apoyo descienda hace que en cada iteración las proporciones reales entre desplazamientos y giros varíen, tanto en la simetría de desplazamientos y giros a lado y lado del apoyo, como en las dos relaciones entre ellos. Este efecto es mayor conforme aumenta la flexibilidad del apoyo. Todo esto deriva en que el escenario más realista sobre el que llevar a cabo el estudio con más detalle es sobre un modelo de viga entera con apoyo elástico. 103 7. CONCLUSIONES A lo largo de los capítulos que componen el presente documento se ha expuesto el trabajo llevado a cabo para la consecución de los objetivos marcados. Se han desarrollado los conceptos sobre los que se basa el estudio y se ha consultado bibliografía de referencia, tras esto se ha planteado una caso concreto de lanzamiento de puente que ha permitido llevar a cabo el estudio. Tras introducir la herramienta de cálculo Kratos y describir y validar el modelo numérico utilizado se ha procedido con una resolución del caso mediante cálculo lineal. Esto ha permitido esbozar distintos escenarios para asentar las bases del análisis no lineal sobre casos factibles y realistas. En la última etapa se han formulado los parámetros del análisis no lineal llevados a cabo y se han discutido los resultados obtenidos, dichos resultados se sintetizan en la tabla 7.1. Tipo de apoyo Descenso total [mm] Descenso efectivo [mm] Reacción [kN] Sin giro de los contornos Rígido 3,0 3,0 647,6 Hormigón E = 27 GPa 3,9 3,8 819,5 Teflón E = 0,5 GPa 7,9 5,5 1179,9 Neopreno E = 0,0015 GPa - - - Con giro de los contornos Rígido 5,0 5,0 531,6 Hormigón Hormigón 6,6 6,5 700,5 Teflón Teflón 13,6 11,4 997,0 Neopreno Neopreno - - - Tabla 7.1: Inicio de plastificación del alma Esto permite tener una cuantificación aproximada de cuan más laxos son los apoyos elásticos y el efecto de tener en cuenta la rigidez del apoyo cuando se diseña un proceso de lanzamiento de viga-puente de acero. En el presente documento se han descrito los fundamentos teóricos, desarrollos y resultados obtenidos relativos al lanzamiento de viga, ya que es el caso que compete al estudio. Todo esto se ha podido realizar gracias al trabajo previo y tiempo dedicado a aprender a programar en Python, aprender el funcionamiento de KratosMultyphysics y lidiar con ambas interfaces en una época en la que se ha actualizado el software para ofrecer al público una versión mejorada y con más capacidades. Todo esto, sumado a los aspectos relativos al caso de estudio (comportamiento del acero, análisis no lineal y método de elementos finitos), hace que el aprendizaje tras un año de trabajo haya sido cuantioso. Además, el hecho de haber estado en contacto con el equipo del CIMNE también ha aportado conocimiento a nivel profesional acerca de ver cómo se organiza un equipo de trabajo multidisciplinar y con presencia internacional. 104 A lo largo del trabajo son muchos los hándicaps que han surgido. Algunos, por quedar fuera de los límites del trabajo, no se han desarrollado de una forma rigurosa, explicando únicamente las líneas de actuación que debería seguirse para trabajar en esa dirección. Otros ha sido posible resolverlos aplicando los conocimientos adquiridos a lo largo de 4 años como estudiante de la Escuela de Caminos de Barcelona. Finalmente, algunos otros se han vislumbrado como costosos de tratar teniendo en cuenta la carga de trabajo esperada en un contexto de trabajo de fin de grado, por lo que se han asumido simplificaciones al respecto tratando de no perder realismo. Todos ellos arrojan luz sobre los planteamientos y líneas de actuación de un trabajo futuro para seguir incidiendo en el estudio del efecto de la rigidez de los aparatos de apoyo de carga concentrada en procesos de lanzamiento de puentes. 7.1 Trabajo futuro Los modelos evaluados en el presente trabajo han consistido en un tramo aislado de viga, para lo cual ha habido que validar sistemáticamente las CC aplicadas. Es necesario que un primer estudio se haga sobre un modelo reducido, para garantizar que éste funciona y reproduce adecuadamente los fenómenos. La forma natural de continuar es mediante el estudio a escala real considerando la viga entera que se está lanzando. Concretamente es de interés el análisis no lineal en la viga. Una primera etapa puede consistir en el análisis cuasi-estático en un modelo que reproduzca una de las etapas del lanzamiento –la crítica. Este análisis cuasi-estático puede programarse para que se aplique un incremento gradual del peso propio hasta llegar al peso propio de la viga o incluso más allá, si se buscara estudiar el comienzo de algún efecto en particular. Dos formas rápidas de proceder serían, bien variar el valor de la gravedad g en cada iteración, bien variar el valor de la componente Cz (habitualmente igual a -1.0) que indica la dirección y sentido de aplicación de la misma. Si bien no tiene sentido físico, es una estrategia numérica eficiente para incrementar la carga sobre la viga. El análisis en la viga entera también puede permitir reproducir otros fenómenos de inestabilidad como el de pandeo lateral. Este mismo modelo de viga entera puede analizarse mediante análisis dinámico, para simular el avance de la viga durante el proceso de lanzamiento. De esta forma la posición en la que se encuentra el apoyo –rígido o elástico-, bajo el panel varía, condicionando de esta forma los puntos de inicio de plastificación. 105 Para realizar un estudio en la viga entera es necesario definir y programar correctamente el contacto entre viga y apoyo para que no aparezcan tracciones en las zonas donde la viga se levanta. Asimismo, realizar un análisis no lineal hasta que se ha completado la formación del arco de plastificación y aparece abolladura –en caso de panel esbeltopermitiría obtener las curvas completas de reacción-descenso y determinar el valor de la carga máxima en el panel en función del tipo de apoyo. Para ello habría que programar métodos para la convergencia eficiente del resultado conforme se avanza en el cálculo. Finalmente, un muestreo mucho más extenso de los parámetros de estudio, comenzando por densificar el abanico de módulos de elasticidad considerados, puede dar pie a la calibración de ecuaciones que determinen el valor de la resistencia del alma frente a cargas concentradas transversales incluyendo la rigidez del apoyo como parámetro condicionante. 112 A.2 Leyes de esfuerzos Las leyes de esfuerzo cortante y momento flector a lo largo de la viga tienen las siguientes expresiones analíticas: Esfuerzo cortante, Q Momento flector, M (A6a, A7a) (A6b, A7b) Se puede comprobar que el valor del momento flector en el punto A (empotramiento) coincide en valor absoluto y tiene signo contrario al del momento reacción en ese punto. A.3 Desplazamientos y giros Los desplazamientos verticales se obtienen como suma del desplazamiento debido a la carga uniformemente distribuida y el desplazamiento debido a la fuerza vertical en B, de acuerdo al esquema planteado en el primer método (ménsula de longitud L1+L2). Los giros se obtienen derivando la expresión analítica de los desplazamientos verticales con respecto a x. Desplazamiento vertical, u3 (A8) (A9) Giro, φ (A10) (A11) 113 ANEJO B. Capacidad resistente de la sección transversal frente a esfuerzo flector (EAE 2012) Sección transversal bruta según la figura 3.3 y los valores de la tabla 3.1 Acero S235 ε = = 1 B.1 Clasificación de la sección (20.3-EAE 2012) Alma: Panel comprimido interior (Tabla 20.3.a del EAE 2012) Panel flectado = 187,5 > 124ε = 124 No clase 3 Clase 4 Ala: Panel comprimido en alas voladas (Tabla 20.3.b del EAE 2012) Panel comprimido = 8,65 < 9ε = 9 Clase 1 Sección Clase 4 La capacidad resistente viene dada por la resistencia de la sección reducida B.2 Determinación de la sección reducida (20.7-EAE 2012) La fibra neutra de la sección bruta pasa por el centro del panel, entonces: (tabla 20.7.a) Y la sección reducida resulta: br = ρbc = ρ·0,5b = 0,68·0,5·1500 = 510 mm Con: br1 = 0,4br = 0,4·510 = 204 mm br2 = 0,6br = 0,6·510 = 306 mm Figura B.1: Extracto de la tabla 20.7.a de EAE 2012. Coeficiente reductor ρ para paneles interiores 114 B.3 Características de la sección reducida La geometría de la sección reducida se muestra en la figura B.2: Figura B.2: Geometría de la sección reducida Las características geométricas para el cálculo del módulo resistente elástico son: Área = 660,8 cm2 A = 2·700·40+(750+510)·8 = 660,8 cm2 zG = 815,4 mm Iy = 3.478.233,0 cm4 = 34.782.329.981,4 mm4 z 700 mm 40 mm 8 mm 1056 mm y y 240 mm 204 mm 40 mm z 115 Finalmente, se obtienen los módulos resistentes correspondientes a las fibras más solicitadas a tracción (fibra superior) y a compresión (fibra inferior) considerando una distribución elástica de tensiones: B.4 ELU de Resistencia de la sección transvesal (34-EAE 2012) Resistencia frente a momento flector según el artículo 34.4 de la EAE 2012 se obtiene con el mínimo de los dos módulos resistentes: La sección resiste un momento flector de hasta 9502 kNm 116 ANEJO C. Resistencia del alma a cargas concentradas transversales (EAE 2012) Desarrollo según el artículo 35.6-EAE 2012. C.1 Longitud efectiva de carga, ly El valor de los parámetros m1 y m2 es: Y resulta: C.2 Coeficiente de reducción de abolladura frente a carga concentrada, χF El coeficiente de abolladura para una carga tipo a) según la figura 35.6.a de EAE 2012 es: La carga crítica tiene el valor: Y se obtiene: es mayor a 0,5; por tanto, se aceptan los valores calculados de m2 y longitud efectiva. El coeficiente de reducción de abolladura resulta valer: C.3 Resistencia del alma a cargas concentradas transversales Aplicando la ecuación 2.5: El alma resiste una carga concentrada de hasta 601,6 kN 117 ANEJO D. Código implementado en Kratos Este anejo recoge el código escrito para la resolución de los casos estudiados en panel aislado. A lo largo del trabajo han aparecido fragmentos y en este anejo se recoge de forma ordenada. Se muestra el código añadido en el fichero MainKratos.py que GiD copia desde el directorio donde está instalado el Kratos a la carpeta donde está guardado el proyecto que se está calculando. Este es el código compatible con la nueva interfaz de Kratos. Código de colores utilizado: En blanco: parte del código existente Sombreado en gris: código añadido para el estudio Puntos suspensivos: líneas del código de MainKratos.py que no se muestran para no alargar en demasía el anejo from __future__ import print_function, absolute_import, division ##BOUNDARY CONDITIONS left_boundary_displacement = 0.00413 #[m] right_boundary_displacement = -0.00821 #[m] left_boundary_rotation = -0.000556 #[rad] right_boundary_rotation = -0.00236 #[rad] ##### #### TIME MONITORING START #### # time control starts import time as timer . . . . gid_output.ExecuteInitialize() #### output settings end #### # IvanCantero's TFG implementations ################################################################################### ############################ TFG TFG TFG TFG TFG TFG TFG ############################# ################################################################################### print("\n\n#####_____STARTING IvanCantero TFG part_____#####") print(main_model_part) #####_1_____GEOMETRIC IMPERFECTION PART: WEB IMPERFECTION_____##### print("\n#####_1_____GEOMETRIC IMPERFECTION PART: WEB IMPERFECTION_____#####") # Defining the imperfection (it is defined trough a node.Y variation, y=az^2+bz+c) def ApplyWebImperfection(a,b,c): for node in main_model_part.GetSubModelPart("Parts_web").Nodes: node.Y += a*node.Z**2 + b*node.Z + c return 118 web_imperfection = 0.0075 #[m] a_parameter = web_imperfection/(0.77*(0.77-1.54)) b_parameter = -1.54*a_parameter c_parameter = 0 # Applying the imperfection print("--Applying web imperfection--") ApplyWebImperfection(a_parameter, b_parameter, c_parameter) print("--Web imperfection applied--") print("\n#####_1_____END OF GEOMETRIC IMPERFECTION PART: WEB IMPERFECTION_____#####") #####_1_____END OF GEOMETRIC IMPERFECTION PART: WEB IMPERFECTION_____##### #####_2_____GEOMETRIC IMPERFECTION PART: UPPER FLANGE ROTATION_____##### print("\n#####_2_____GEOMETRIC IMPERFECTION PART: UPPER FLANGE ROTATION_____#####") # Defining the imperfection def ApplyUpperFlangeImperfection(rotation, axis): for node in main_model_part.GetSubModelPart("Parts_upper_flange").Nodes: node.Z += rotation*(node.Y - axis.Y) return upper_flange_rotation = 1/50 #[rad] class flange_rotation_axis: Y = 0.35 Z = 1.54 # Applying the imperfection print("--Applying upper flange imperfection--") ApplyUpperFlangeImperfection(upper_flange_rotation, flange_rotation_axis) print("—Upper flange imperfection applied--") print("\n#####_2_____END OF GEOMETRIC IMPERFECTION PART: FLANGE IMPERFECTION____#####") #####_2_____END OF GEOMETRIC IMPERFECTION PART: UPPER FLANGE IMPERFECTION_____##### #####_3_____BOUNDARY ROTATION PART_____##### print("\n#####_3_____BOUNDARY ROTATION PART_____#####") #Center of rotation function (=Geometric Center) def ComputeGeometricCenter(node_list): #Center of rotation X_coordinate_sum = 0 Y_coordinate_sum = 0 Z_coordinate_sum = 0 for node in node_list: X_coordinate_sum += node.X Y_coordinate_sum += node.Y Z_coordinate_sum += node.Z X_coordinate = X_coordinate_sum/len(node_list) Y_coordinate = Y_coordinate_sum/len(node_list) Z_coordinate = Z_coordinate_sum/len(node_list) class center: X = X_coordinate Y = Y_coordinate 119 Z = Z_coordinate return center #Finding the nodes nodes_left_boundary = [] nodes_right_boundary = [] for node in main_model_part.GetSubModelPart("DISPLACEMENT_BC_Dirichlet_left_boundary").Nodes: nodes_left_boundary.append(node) for node in main_model_part.GetSubModelPart("DISPLACEMENT_BC_Dirichlet_right_boundary").Nodes: nodes_right_boundary.append(node) #Defining the BC function def ApplyBoundaryRotation(left_rotation, right_rotation): #Center of rotation left_rotation_center = ComputeGeometricCenter(nodes_left_boundary) right_rotation_center = ComputeGeometricCenter(nodes_left_boundary) #Setting DISPLACEMENT_X for node in nodes_left_boundary: node_displacement_x = left_rotation*(left_rotation_center.Z - node.Z) node.SetSolutionStepValue(DISPLACEMENT_X, 0, node_displacement_x) for node in nodes_right_boundary: node_displacement_x = right_rotation*(right_rotation_center.Z - node.Z) node.SetSolutionStepValue(DISPLACEMENT_X, 0, node_displacement_x) print("--Boundary rotation imposed") return #Imposing the BC ApplyBoundaryRotation(left_boundary_rotation, right_boundary_rotation) print ("\n#####_3_____END OF BOUNDARY ROTATION PART_____#####") #####_3_____END OF BOUNDARY ROTATION PART_____##### #####_4_____BOUNDARY DISPLACEMENT PART_____##### print("\n#####_4_____BOUNDARY DISPLACEMENT PART_____#####") #Defining the BC function def ApplyBoundaryDisplacement(left_displacement, right_displacement): #Setting DISPLACEMENT_Z for node in nodes_left_boundary: node.SetSolutionStepValue(DISPLACEMENT_Z, 0, left_displacement) for node in nodes_right_boundary: node.SetSolutionStepValue(DISPLACEMENT_Z, 0, right_displacement) print("--Boundary displacement imposed") return #Imposing the BC ApplyBoundaryDisplacement(left_boundary_displacement, right_boundary_displacement) print("\n#####_4_____END OF BOUNDARY DISPLACEMENT PART_____#####") #####_4_____END OF BOUNDARY DISPLACEMENT PART_____##### #####_END_________________________________##### print ('\n#####_____END of IvanCantero TFG part_____#####\n\n') ################################################################################### ############################ TFG TFG TFG TFG TFG TFG TFG ############################# 120 ################################################################################### ## Sets strategies, builders, linear solvers, schemes and solving info, and fills the buffer solver.Initialize() for process in list_of_processes: process.ExecuteBeforeSolutionLoop() . . . . print (timer.ctime()) La diferencia entre el código escrito en la interfaz nueva y el escrito en la interfaz antigua está en la forma de seleccionar los nodos. Por ejemplo: Interfaz nueva de Kratos #Finding the nodes nodes_left_boundary = [] nodes_right_boundary = [] for node in main_model_part.GetSubModelPart("DISPLACEMENT_BC_Dirichlet_left_boundary").Nodes: nodes_left_boundary.append(node) for node in main_model_part.GetSubModelPart("DISPLACEMENT_BC_Dirichlet_right_boundary").Nodes: nodes_right_boundary.append(node) Interfaz antigua de Kratos #Finding the nodes nodes_left_boundary = [] nodes_right_boundary = [] for node in model_part. Nodes: if node.X == 0: nodes_left_boundary.append(node) elif node.X == 0: nodes_right_boundary.append(node) Además, en la interfaz antigua se han añadido las líneas relativas al análisis no lineal que aparecen en el apartado 6.4.