Aportación al modelado del motor trifásico de inducción con consideración de la saturación y el efecto de doble jaula

3. CONSIDERACIÓN DE LA SATURACIÓN MAGNÉTICA EN EL MODELO DEL MOTOR TRIFÁSICO DE INDUCCIÓN. 3.1. JUSTIFICACIÓN. En el modelado de la máquina asíncrona habitualmente se adopta la hipótesis de comportamiento magnético lineal, premisa que para un buen número de aplicaciones proporciona resultados satisfactorios. Sin embargo, también existen otros regímenes de operación en los que esta hipótesis pierde su validez, bien porque deliberadamente se pretende trabajar con niveles de flujo inferiores o superiores al nominal, o bien porque la saturación se manifiesta como parte inherente de determinados procesos transitorios. Se hallan en la literatura especializada numerosos ejemplos de aplicación en los que la inclusión del fenómeno de la saturación 1 redunda en resultados más ajustados a los datos experimentales, o incluso casos determinados en que al modelo con característica magnética lineal le resulta imposible representar el comportamiento real de la máquina, siendo, en consecuencia, obligada la consideración de la saturación. Así sucede, por ejemplo, en el caso del alternador asíncrono funcionando en isla: la no linealidad de la característica magnética juega un papel vital en el proceso de autoexcitación a partir de un banco de condensadores. En esta aplicación, el uso del modelo con característica magnética lineal no conduce a ninguna solución estable [26], [27]. En regímenes transitorios severos en los que hay envueltas grandes corrientes, como puede ser el arranque directo o la reconexión a la red tras una falta en la tensión de alimentación, la inclusión de la saturación en el modelo conduce a resultados más ajustados a los observados experimentalmente. 1 Constituye una práctica habitual el considerar independientemente la saturación del flujo magnetizante de la saturación de los flujos de dispersión. La saturación del flujo magnetizante es la más ampliamente tratada en la literatura especializada, y a menos que se explicite lo contrario, es a la que aluden las referencias que se citan en esta sección. 137 En estas situaciones, el modelo con característica magnética lineal predice picos transitorios de par superiores a los observados, mientras que el modelo saturado, por su menor inductancia magnetizante proporciona valores más reducidos para esta magnitud, que resultan más ajustados a los valores medidos [28]-[30]. Tras una falta en la tensión de alimentación, el modelo lineal también predice un ritmo inferior de disminución para la fuerza contraelectromotriz en el motor que el modelo con inclusión de la saturación, luego si la reconexión se produjese con la f.c.e.m. en oposición de fase respecto al voltaje en la red, la tensión resultante en bornes de la máquina calculada a partir del modelo lineal sería mayor, prediciendo transitorios más severos [31]. En relación a los transitorios que implican grandes corrientes, [13] señala a la saturación de los flujos de dispersión, concretamente los flujos de dispersión de ranura, como factor importante a tener en cuenta para el correcto cálculo de las intensidades. Otra aplicación que requiere de la inclusión de la saturación en el modelo del motor es su frenado por desconexión de la red y conexión a un banco de condensadores. La velocidad calculada con el modelo lineal decrece más rápidamente que la observada experimentalmente, debido a que el par de frenado determinado a partir de este modelo es superior al real [32]. Se observa, pues, en los diversos casos de aplicación sobre los que se informa en las publicaciones especializadas, que la saturación tiene un efecto amortiguador sobre los transitorios eléctricos, aumentando la región estable de operación de la máquina [33], [26], [28]. Otro campo donde la inclusión del fenómeno de la saturación puede resultar determinante son los accionamientos a velocidad variable. Así, en [34] se señala la conveniencia de modelar adecuadamente este fenómeno para el correcto diseño del inversor, en lo tocante a la impedancia que presenta el motor saturado a los distintos armónicos presentes en la alimentación. En [35] se destaca la importancia del correcto valor de la inductancia magnetizante en el análisis de la estabilidad de los accionamientos de corriente alterna. 138 En [36] se manifiesta que en técnicas de control vectorial, el uso del modelo convencional del motor de inducción únicamente se justifica con flujo constante e igual al nominal. Cuando se requieren cambios en el nivel de flujo, el modelo lineal no proporciona resultados satisfactorios. El trabajo en la zona de debilitamiento de campo, o la optimización de determinadas magnitudes como el factor de potencia o el rendimiento, implican cambios en el nivel de flujo y demandan de una adecuada caracterización del comportamiento magnético de la máquina. También, el nivel de saturación es, junto a otros factores, responsable de las variaciones en la constante de tiempo rotórica, que si no son compensadas pueden degradar el funcionamiento del control vectorial [37]. En aplicaciones de tracción eléctrica, operando en saturación pueden conseguirse puntas de par destinadas a salvar pendientes pronunciadas o a posibilitar rápidas aceleraciones y frenadas, mientras que la máquina estará dimensionada para las condiciones normales de conducción. Esto es, puede recurrirse a motores de menor tamaño (y potencia) si su sistema de control está correctamente diseñado para operar puntualmente en saturación [38]. Mostrada la conveniencia de incluir el fenómeno de la saturación magnética en determinadas aplicaciones, en la siguiente sección se considerarán los diferentes enfoques con que esta tarea ha sido abordada. 139 3.2. MODELADO DE LA SATURACIÓN MAGNÉTICA EN EL MOTOR TRIFÁSICO DE INDUCCIÓN: DIFERENTES ENFOQUES. El modo en que tradicionalmente se ha tomado en consideración el fenómeno de la saturación magnética en la máquina de inducción ha consistido sencillamente en ajustar los valores de las distintas inductancias susceptibles de experimentar saturación en las ecuaciones propias del modelo convencional. Dicho ajuste puede efectuarse simplemente utilizando dos valores distintos para estas inductancias, según se trabaje en la zona lineal o en la zona saturada de la característica magnética, o bien puede recurrirse a una expresión analítica que muestre como varían continuamente en función de las corrientes o los flujos en la máquina. Este método para considerar la saturación resulta intuitivo y conserva la estructura de las ecuaciones propias del modelo convencional, esto es, no supone la aparición de nuevos términos para dar cuenta del trabajo en saturación. Debe decirse, no obstante, que –pese a que esta práctica genera resultados más ajustados a la realidad que los ofrecidos por el modelo con comportamiento magnético lineal-, matemáticamente no se halla bien fundamentada, dado que asume inductancias variables pero después las supone constantes a la hora de calcular las derivadas de los distintos flujos presentes en las ecuaciones del modelo. Esto es: () dt di Li dt dL Li dt d dt dΨ LiΨ+==⇒= (3.1) mientras que en la técnica referida se parte de las ecuaciones del modelo convencional con comportamiento magnético lineal, donde las inductancias son constantes, y por tanto la derivada del flujo se reduce a: () dt di LLi dt d dt dΨ cteLLiΨ==⇒=∧= (3.2) para luego substituir en esta última expresión valores variables para las inductancias. 140 El tratamiento riguroso de las derivadas de los distintos flujos susceptibles de saturación presentes en las ecuaciones del motor, provoca la aparición de nuevos términos en estas expresiones que modifican la estructura del modelo convencional con comportamiento magnético lineal, aumentando significativamente su complejidad. La complicación añadida dependerá grandemente de la selección de las variables a emplear en el modelo. Así, la formulación en función de flujos elimina la necesidad de desarrollar sus derivadas, por lo que se previene la aparición de nuevos términos en las ecuaciones; en el polo opuesto, la utilización de las corrientes de estator y rotor como variables da lugar a la formulación de mayor complejidad. La naturaleza de los términos de nueva aparición introduce en el modelo el fenómeno conocido como “intersaturación”, que no se evidencia en los modelos que sencillamente substituyen inductancias variables en las ecuaciones convencionales de la máquina. En esencia, dado un sistema bifásico de referencia, la intersaturación alude a la capacidad de la corriente según un eje de provocar variaciones en el flujo según el eje que se halla en cuadratura. Una revisión de la literatura especializada permite clasificar las diferentes aproximaciones con que el tratamiento de la saturación magnética ha sido abordado, según las dos metodologías antes expuestas, a saber: - modelos que usan inductancias variables en las ecuaciones convencionales del motor - modelos con intersaturación A continuación se pasará a reseñar las referencias más significativas correspondientes a la clasificación anterior. Como se indicó en la sección precedente, la saturación tratada mayoritariamente en las publicaciones especializadas es la del flujo magnetizante, y es a la que fundamentalmente se hará referencia en lo que seguirá, a menos que expresamente se indique que se considera la saturación del flujo de dispersión. Así, perteneciente a la primera de las metodologías, [29] utiliza el clásico esquema equivalente en T para régimen dinámico, en el que introduce inductancias magnetizantes distintas para los ejes directo y en cuadratura, Lmx y Lmy. En el trabajo en zona lineal se 141 impone la condición de que ambas inductancias magnetizantes sean constantes e iguales entre sí (Lmx = Lmy = Lm), mientras que en saturación se hace que cada inductancia magnetizante dependa en exclusiva de la corriente magnetizante de su propio eje, es decir, Lmx = f(imx) y Lmy = f(imy). En [39] se presenta un enfoque similar, con el añadido de que se subdivide las inductancias de dispersión de estator y rotor en una parte lineal, que da cuenta de la dispersión en las cabezas de bobina, y en una parte saturable, representativa mayormente de la dispersión de ranura. Para todas las inductancias saturables, tanto la magnetizante como las de dispersión, se emplean valores distintos para los ejes directo y en cuadratura, y cada una de ellas depende únicamente de la corriente de excitación de su propio eje. En [23] se propone una alternativa al esquema equivalente en T clásico con inductancia magnetizante variable. Se introduce un circuito con sendas inductancias no lineales Lsi y Lri en disposición paralelo, para dar cuenta de la saturación en el yugo y dientes estatóricos, por una parte, y en los dientes y el núcleo retórico, por otra, mientras que se considera constante la inductancia Lm de la rama central, representativa del entrehierro. El esquema equivalente propuesto (para el sistema estacionario) se muestra en la figura 3.1. Figura 3.1. Esquema equivalente para el régimen dinámico del motor de inducción en el sistema estacionario, con consideración de la saturación. Como utilidad, se introduce una simplificación en el esquema propuesto fundamentada en que en la mayoría de las máquinas y de las condiciones de carga puede ignorarse el efecto de la saturación rotórica, pudiendo representarse la saturación efectiva únicamente mediante la 142 inductancia no lineal Lsi, siendo esta afirmación tanto más cierta con cargas crecientes, que disminuyen la densidad del flujo rotórico. Esta simplificación, junto a la posibilidad de eliminar una de las inductancias de dispersión mediante el uso de factores de referencia adecuadamente seleccionados, conduce a la transformación del esquema original en dos posibles esquemas equivalentes, mostrados en la figura 3.2: Figura 3.2. Esquemas equivalentes resultantes al despreciar la saturación rotórica en el esquema de la fig. 3.1, y eliminando la inductancia de dispersión a) estatórica, b) rotórica. El esquema mostrado en el apartado a) de la figura 3.2 permitiría la simplificación adicional de combinar en paralelo la inductancia Lsi no lineal con la inductancia constante Lm ref de la rama central, en cuyo caso se llega al esquema convencional en T con la inductancia estatórica de dispersión eliminada. Extendiendo este enfoque, en [28] se propone un esquema equivalente como el mostrado en la figura 3.3, donde mediante las inductancias en disposición paralelo Lsc, Lm, Lrc se considera de forma independiente la saturación en el yugo estatórico (Lsc), en la rama magnetizante (con Lm representativa en este caso no solo del entrehierro sino también de los dientes de estator y rotor), y en el núcleo rotórico (Lrc). Tanto en el estator como en el rotor se segregan los flujos de dispersión de cabeza de bobina y de ranura, representados a través de las inductancias lineales Lsa, Lsb en el estator, y Lra, Lrb en el rotor. Cualquier posible saturación de los flujos de dispersión de ranura se supone incorporada en las inductancias no lineales Lsc y Lrc representativas del yugo y el núcleo rotórico. Para la determinación de las distintas 143 inductancias presentes en el modelo se recurre tanto a sensores de flujo como a técnicas de elementos finitos. Figura 3.3. Esquema equivalente en el sistema genérico de referencia con tres inductancias saturables y con segregación de los flujos de dispersión, considerados lineales. En [38] se presenta un esquema equivalente en π no lineal para modelar la saturación en el motor de inducción. Partiendo del modelo del circuito magnético de un par de dientes de estator y rotor, tras diversas transformaciones se obtiene su equivalente eléctrico, mostrado en la figura 3.4: Figura 3.4. Circuito eléctrico equivalente de un par de dientes de estator y rotor. En el circuito mostrado en la figura 3.4, Rst, Rrt, fst(.), frt(.) representan los valores de las resistencias eléctricas de los devanados de estator y rotor y las inductancias no lineales que están asociados a un par de dientes, respectivamente. Respecto a los parámetros Lst, Lrt, Llt, simbolizan inductancias de dispersión que, durante el transcurso de las diversas 144 transformaciones efectuadas conducentes a la obtención del modelo eléctrico del par de dientes, han perdido su identidad física. Finalmente, el modelo descrito para un par de dientes se extiende a toda la máquina asumiendo un número infinito de dientes infinitesimales. En [40], argumentando que la saturación introduce componentes armónicas de flujo, con el tercer armónico como el más significativo, se representa la modulación producida por esta componente sobre la onda fundamental de flujo asumiendo un entrehierro ficticio de longitud variable en función del nivel de flujo y de su posición espacial. La saturación modelada siguiendo este enfoque es la producida en los dientes de estator y rotor, que se alcanza más fácilmente que la del yugo y el núcleo rotórico, donde típicamente existen menores densidades de flujo. La caracterización del modelo propuesto se efectúa a partir de los ensayos de vacío y de cortocircuito, aunque también se requiere del conocimiento de determinadas variables del diseño constructivo del motor. En cuanto a las referencias que introducen la intersaturación en el modelo del motor cabe citar [41], donde se incorpora la saturación del flujo magnetizante en las ecuaciones generalizadas de la máquina de corriente alterna, expresadas en el sistema genérico de referencia y en términos de fasores espaciales de corriente de estator y rotor. El tratamiento formalmente correcto de las derivadas de flujo presentes en las ecuaciones del modelo pone de manifiesto la aparición de nuevos términos, a los que se dota de interpretación física con el fenómeno de la intersaturación. En [42] se introduce la saturación del flujo magnetizante y de los flujos de dispersión de estator y rotor en las ecuaciones que modelan el motor. La selección de las componentes de los fasores espaciales de flujo de estator y rotor como variables elimina la necesidad de desarrollar las derivadas de flujo, con lo que se previene la aparición de nuevos términos en las ecuaciones del motor, que no obstante, permanecen implícitos. En lo que toca al tratamiento de los flujos de dispersión, los separa en una parte lineal, asociada a la dispersión en las cabezas de bobina, y en una parte saturable, básicamente ligada a la dispersión de ranura. En [43] se analiza el fundamento físico del fenómeno de la intersaturación, poniéndose de manifiesto la analogía que guarda con la reacción de inducido en la máquina de corriente continua. 145 () () () ( ) ( ) () () ( ) () () ( ) ( ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++ + ++ +++ ++ +++ + + +++ ++ +++ ++ +++ + ++ +++ ++ +++ + + +++ + + +++ ++ +++ + ++ + ++ ++ +++ ++ +++ + + +++ ++ +++ + ++ + ry rx sy sx 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m mrl 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m m 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m mrl 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m m 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m m 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m msl 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m m 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m msl i i i i dt d iiii ii id dL LL iiii iiii id dL iiii ii id dL L iiii iiii id dL iiii iiii id dL iiii ii id dL LL iiii iiii id dL iiii ii id dL L iiii ii id dL L iiii iiii id dL iiii ii id dL LL iiii iiii id dL iiii iiii id dL iiii ii id dL L iiii iiii id dL iiii ii id dL LL (3.11) () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− +−−−− + −+− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx sy sx rmrlgmg mrlgrmg mgsmslg mgmslgs sy sx i i i i RLLωω0Lωω LLωωRLωω0 0LωRLLω Lω0LLωR 0 0 u u 152 La comparación entre las expresiones de ambos modelos, el que trata la inductancia magnetizante como constante (aunque posteriormente se le asignen valores variables) en (3.8) y el que trata como a una función de las variables de estado recogido en (3.11), evidencia que las diferencias entre ambos se concentran en la matriz de inductancias que premultiplica a la derivada temporal del vector de corrientes. Concretamente, se observa lo siguiente: 1) Todos los elementos nulos en la matriz de inductancias de (3.8) han sido substituidos en (3.11) por: () ( ) () () 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m iiii iiii id dL +++ + + (3.12) Para abreviar la notación, en numerosas referencias se denomina a este término Lmxy. 2) A todos los elementos no nulos en la matriz de inductancias de (3.8), según pertenezcan a las filas que corresponden bien a las componentes directas o bien a las componentes en cuadratura de las corrientes, respectivamente, se les suma en (3.11) los siguientes términos: ( ) () () 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m iiii ii id dL +++ +, en las filas asociadas a las componentes directas ( ) () () 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m iiii ii id dL +++ +, las filas asociadas a las componentes en cuadratura En la misma línea de simplificación de la notación, a la suma de la inductancia magnetizante Lm con cada uno de los términos anteriores se denomina comúnmente Lmx y Lmy; esto es: () () () 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m mmx iiii ii id dL LL +++ + += () () () 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m mmy iiii ii id dL LL +++ + += (3.13) 153 Por otra parte, por simple observación del modelo recogido en (3.11) se hace patente que se este se reduce al caso con comportamiento magnético lineal mostrado en (3.8) con solo imponer la condición: 0 id dL cteL m m m=⇒= . Para una mejor comprensión de las diferencias entre el modelo con comportamiento magnético lineal en (3.8) y el modelo con saturación en (3.11) resulta ilustrativo comparar sus respectivas expresiones para la derivada temporal del flujo magnetizante. Nótese que para ambos modelos es válida la relación: ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒= mymmy mxmmx m m miLΨ iLΨ iLΨ (3.14) Pero en cambio, mientras que para el modelo representativo del trabajo en zona lineal (3.8) se tiene: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒= mymmy mxmmx m m m i dt d LΨ dt d i dt d LΨ dt d i dt d LΨ dt d (3.15) esto es, la variación del flujo magnetizante según un eje depende en exclusiva de la variación de la corriente magnetizante según ese mismo eje, para el modelo con saturación se da: mymymxmxymy mymxymxmxmx i dt d Li dt d LΨ dt d i dt d Li dt d LΨ dt d += += (3.16) Obsérvense en (3.16) las dos diferencias comentadas anteriormente: 1) La variación del flujo magnetizante según un eje no depende tan solo de la variación de la corriente magnetizante según ese mismo eje, también recibe la influencia de la variación de la corriente según el eje dispuesto en cuadratura mediante la inductancia Lmxy; es decir se produce el fenómeno de la intersaturación magnética, 154 155 2) La influencia de la variación de la corriente magnetizante según un eje sobre la variación del flujo magnetizante según ese mismo eje se da mediante las inductancias Lmx o Lmy, dependiendo del eje considerado, y que son distintas de la inductancia magnetizante Lm, responsable de la interacción entre corrientes y flujos en el modelo con comportamiento magnético lineal. En resumidas cuentas, no solo aparecen nuevos términos en el modelo debidos a la intersaturación magnética (relativos a Lmxy), sino que los términos que se mantienen utilizan inductancias distintas a la del modelo con comportamiento magnético lineal (Lmx ≠ Lmy ≠ Lm). La utilización de diagramas fasoriales permite visualizar en forma gráfica el efecto de acoplamiento entre ejes propio de la intersaturación magnética. Para una mejor comprensión del fenómeno, resulta conveniente representar en primer lugar el trabajo en zona lineal de la característica magnética reflejado en (3.15). Considérese para ello inicialmente el caso en que únicamente el eje directo de la máquina esté excitado. En la figura 3.6 a) se representa el fasor de corriente magnetizante imx y su correspondiente fasor de flujo magnetizante Ψmx, obtenido a partir de una hipotética característica magnética. Provóquese ahora una variación en la corriente magnetizante del eje en cuadratura, que inicialmente no se hallaba excitado. La figura 3.6 en su apartado b) refleja la nueva situación, mostrando que el cambio en la corriente magnetizante del eje en cuadratura no provoca ninguna variación en la componente directa del flujo magnetizante, que mantiene su valor inicial, como se desprende de (3.15). Repítase de nuevo el proceso trabajando ahora en la zona saturada de la característica magnética. La figura 3.6 muestra en su apartado c) el fasor de flujo magnetizante resultante cuando el eje directo es el único excitado; en el apartado d) se advierte cómo ante la aparición de corriente magnetizante según el eje en cuadratura la componente del flujo magnetizante según el eje directo adopta un valor Ψ’mx distinto del inicial. Figura 3.6. Diagramas fasoriales de corriente y flujo magnetizante en la zona lineal de la característica magnética, a) con excitación del eje directo, b) con excitación en ambos ejes, y en la zona saturada c) con excitación del eje directo, d) con excitación en ambos ejes. 156 Aunque en la formulación del modelo con saturación expuesto en (3.11) se hallan seleccionado las corrientes de estator y rotor como variables, haciendo uso del flujo y la corriente magnetizantes como variables intermedias se obtienen en la bibliografía [43] otras expresiones alternativas equivalentes para las inductancias Lmx, Lmy y Lmxy. Así, volviendo a las expresiones para las derivadas de los flujos de estator y rotor recogidas en (3.9), estas pueden reformularse como: () dt Ψd i dt d LΨΨ dt d dt Ψdm s sl msl s+=+= () dt Ψd i dt d LΨΨ dt d dt Ψdm r rl mrl r+=+= (3.17) Centrándose en la derivada del flujo magnetizante:5 () () () () () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++== dt di µcosLµsinL dt di µcosµsinLLj dt di µcosµsinLL dt di µsinLµcosLeΨ dt d dt Ψd my 2 m 2 mx m my m mx 2 m 2jµ m m (3.18) Donde mx my i i atanµ = es el argumento de los fasores espaciales de flujo y corriente magnetizantes, que estarán en fase bajo la hipótesis adoptada de ausencia de pérdidas en el hierro. Por otra parte, m m id Ψd L=es una inductancia magnetizante dinámica, por contraposición a la inductancia magnetizante estática m m mi Ψ L=. En la figura 3.7 se muestra la interpretación geométrica de estas inductancias sobre la característica magnética. 5 El desarrollo detallado de la derivada temporal del fasor espacial de flujo magnetizante se recoge en el apéndice C. 157 Figura 3.7. Interpretación geométrica sobre la característica magnética de las inductancias magnetizantes estática Lm y dinámica. Como se desprende de la definición dada para cada inductancia, la inductancia magnetizante estática Lm se corresponde con la pendiente del segmento que une el origen de coordenadas con un punto cualquiera perteneciente a la característica magnética, mientras que la inductancia magnetizante dinámica equivale a la pendiente de la recta tangente a este punto de la característica. Nótese que en la zonal lineal de la característica (punto A de la figura 3.8) ambas inductancias son idénticas, no siendo así en la zona saturada (punto B). Zona lineal (punto A): A m m A m A m mid Ψd L i Ψ L=== Zona saturada (punto B): B m m B m B m mid Ψd L i Ψ L=>= 158 Así, por comparación entre las ecuaciones (3.16) y (3.18) se determinan las expresiones alternativas equivalentes antes mencionadas para las inductancias Lmx, Lmy y Lmxy: () µcosµsinLLL µcosLµsinLL µsinLµcosLL mmxy 2 m 2 my 2 m 2 mx −= += += (3.19) La estructura de estas expresiones alternativas para las inductancias Lmx, Lmy y Lmxy recogidas en (3.19) también permite constatar rápidamente que en la zona lineal de la característica magnética se cumplirá: ⎩ ⎨ ⎧ = == ⇒=⇒= 0L LLL LLcteL mxy mmymx mm (3.20) También, las expresiones en (3.19) permiten visualizar más intuitivamente posibles simplificaciones a efectuar en el modelo. Así, eligiendo un sistema de referencia bien alineado o bien en cuadratura con el fasor espacial de flujo magnetizante (lo que implica µ=0 o bien µ=π/2, respectivamente), se consigue anular la inductancia Lmxy envuelta en el acoplamiento entre ejes, además de simplificar las expresiones para las inductancias Lmx y Lmy. Concretamente: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇒= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇒= 0L LL LL 2 π µ 0L LL LL 0µ mxy my mmx mxy mmy mx (3.21) Así, con una adecuada orientación de ejes se consigue una notable simplificación en el modelo, obteniéndose un conjunto de expresiones similar a las válidas para el trabajo en la zona lineal de la característica magnética, sin presencia de intersaturación pero con el empleo de inductancias magnetizantes distintas para cada eje. 159 Para conseguir la misma simplificación expuesta en (3.21) partiendo de las expresiones inicialmente presentadas para las inductancias Lmx, Lmy y Lmxy en (3.12), (3.13) las condiciones a imponer son, o bien: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = =+=+= ⇒=+= 0)µcasoalde(correspon 0L LL Li id dL Li id dL LL 0iii mxy mmy m m m mmx m m mmx rysymy (3.22) o bien: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =+=+= = ⇒=+= ) 2 π µcasoalde(correspon 0L Li id dL Li id dL LL LL 0iii mxy m m m mmy m m mmy mmx rxsxmx (3.23) La identidad m m m mi id dL LL += empleada en (3.22) y (3.23) queda inmediatamente justificada recordando la definición de la inductancia magnetizante dinámica: () m m m m m m mm mLi id dL iL id d id Ψd L+=== (3.24) Como observación práctica, nótese que en las expresiones (3.12), (3.13) para las inductancias Lmx, Lmy y Lmxy se utiliza la función m m id dL , mientras que en las formulaciones alternativas recogidas en (3.19) se emplea la inductancia magnetizante dinámica m m id Ψd L=. A partir del ensayo de vacío puede obtenerse la función: 160 ( ) mm ifΨ= (3.25) y de esta: ( ) ( m * m m m m mif i if i Ψ L=== ) (3.26) A partir de aquí, según la formulación elegida deberá optarse por el cálculo bien de: m m 2 m mm m m m m mm m i LL i Ψi id Ψd i Ψ id d id dL − = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (3.27) para su uso con (3.12), (3.13), o bien de: ( ) ( ) m m m m id ifd id Ψd L== (3.28) para su uso con (3.19). La división adicional a realizar para la obtención de la función m m id dL podría comportar un mayor error añadido al modelo. No debe olvidarse que los datos de partida m m miLΨ=ya provienen además del ajuste – con mayor o menor precisiónde una determinada función a datos experimentales. Como añadido a la cuestión de las diversas formulaciones halladas en la literatura para las inductancias Lmx, Lmy y Lmxy, en [41] se propone: 2µsinLL 2µcosLLL 2µcosLLL 2mxy 20my 20mx = −= += (3.29) 161 equivalentes entre sí, esto es, aquellas en las que para cada ecuación se encuentran ausentes exactamente los mismos términos. Nótese que las diversas selecciones de variables de estado dan lugar a conjuntos diferentes de términos presentes en el modelo con intersaturación y ausentes en el modelo que no la considera. Así, en un extremo se tiene el modelo formulado en función de los flujos de estator y rotor, que por ser las magnitudes que naturalmente aparecen derivadas en las ecuaciones del motor, permite eludir la cuestión del tratamiento como constante o como variable de la inductancia magnetizante. En el polo opuesto se hallan los modelos formulados exclusivamente en términos de corrientes, que requieren el desarrollo completo de las derivadas de los flujos hasta quedar expresadas en función de las corrientes. El examen de la estructura de los términos ignorados por los modelos sin intersaturación permite constatar que estos son proporcionales a la derivada de la inductancia magnetizante cuando las variables de estado son corrientes o la combinación de la corriente magnetizante y un flujo, mientras que para el resto de formulaciones estos términos resultan ser directamente proporcionales a la derivada de la inversa de la corriente magnetizante. Para poder evaluar mejor el impacto relativo de los términos ausentes en una determinada formulación, se ha considerado conveniente reescribirlos utilizando una variable común: la corriente magnetizante. De este modo, para todas las formulaciones los términos ausentes resultan ser múltiplos de la corriente magnetizante por la derivada temporal de la inductancia magnetizante. La ponderación de los diversos factores de multiplicidad que acompañan a esta cantidad básica ausente en todas las formulaciones sin intersaturación permite establecer una gradación del error implícito. 168 Tabla 3.1. Términos ausentes en los modelos sin intersaturación del motor trifásico de inducción con una jaula, en función del conjunto seleccionado de variables de estado. TÉRMINOS AUSENTES VARIABLES DE ESTADO En ecuación de estator Expresión equivalente En ecuación de rotor Expresión equivalente rs i,i ( ) dt dL ii m rs + dt dL im m ( ) dt dL ii m rs + dt dL im m ms i,i dt dL im m dt dL im m dt dL im m dt dL im m rm i,i dt dL im m dt dL im m dt dL im m dt dL im m m si,ψ __ __ dt dL i L L 1m m sl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ dt dL i L L 1m m sl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ r mψ,i dt dL i L L 1m m rl sl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ dt dL i L L 1m m rl sl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ __ __ ms ψ,ψ __ __ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m rl L 1 dt d ψL dt dL i L Lm m m rl − s si,ψ __ __ () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m s sl s rl L 1 dt d iLψL dt dL i L Lm m m rl − s mi,ψ __ __ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m rl L 1 dt d ψL dt dL i L Lm m m rl − rm ψ,ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m sl L 1 dt d ψL dt dL i L Lm m m sl − __ __ r ri,ψ () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m r rl r sl L 1 dt d iLψL dt dL i L Lm m m sl − __ __ r mi,ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m sl L 1 dt d ψL dt dL i L Lm m m sl − __ __ r sψ,i () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + mrl rl r s rl LL L dt d ψiL dt dL i LL Lm m mrl rl + __ __ r si,ψ __ __ () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + msl sl s r sl LL L dt d ψiL dt dL i LL Lm m msl sl + rs ψ,ψ __ __ __ __ 169 Así, cualquiera que sea el mecanismo de interacción en las ecuaciones del modelo de la cantidad básica ausente dt dL im m, este tendrá su máximo efecto cuando los factores de multiplicidad sean la unidad (corrientes como variables de estado) o bien ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ rl sl sl rl L L 1, L L 1 (corriente magnetizante combinada con un flujo), mientras que para resto de combinaciones de variables, los factores de multiplicidad inversamente proporcionales a la inductancia magnetizante reducirán el peso de los términos ausentes al menos en un orden de magnitud. Para ilustrar lo expuesto se presentan a continuación resultados procedentes de la simulación de un mismo motor (de características listadas en el apéndice B) utilizando las 14 posibles combinaciones de variables de estado. El motor arranca descargado sometido a una tensión un 50% superior a la nominal. Obviamente, se obtienen respuestas idénticas para el modelo con intersaturación independientemente de la selección de variables efectuada, debido a su tratamiento formalmente correcto de las derivadas de flujo. Lo mismo sucede con el modelo válido para el trabajo en la zona lineal, en el que de las derivadas de flujo se computan tomando como constante a una inductancia magnetizante que realmente lo es. En lo tocante a los resultados predichos por los modelos sin intersaturación, se obtiene una gama de posibles respuestas condicionada por el peso relativo de los términos despreciados, tal como se recogen en la tabla 3.1. La figura 3.10 muestra el par electromagnético predicho por los modelos con intersaturación (en color azul) y sin intersaturación (en color rojo), formulados utilizando la corriente magnetizante y el flujo de rotor como variables de estado, así como por el modelo para zona lineal de la característica magnética (en negro). Puede observarse cómo el modelo para la zona lineal predice mayores picos transitorios de par que el modelo con intersaturación; reduciéndose prácticamente las diferencias entre ambas respuestas a una cuestión de escala. Por otra parte, el desarrollo del par calculado a partir del modelo sin intersaturación predice picos que inicialmente son de menor amplitud pero que decrecen a menor ritmo que los calculados por el modelo con intersaturación y el modelo para 170 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 t (s) te (Nm) Figura 3.10. Par electromagnético predicho por los modelos (azul) con y (rojo) sin intersaturación, y por el modelo para zona lineal de la característica electromagnética (negro), con corriente magnetizante y flujo de rotor como variables de estado. 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 t (s) te (Nm) Figura 3.11. Par electromagnético predicho por los modelos (azul) con y (rojo) sin intersaturación, y por el modelo para zona lineal de la característica electromagnética (negro), con flujo de estator y corriente de rotor como variables de estado. 171 zonal lineal, por lo que acaban superando a los predichos por estos últimos. También, el trazado transitorio del par se revela en determinados tramos hasta en oposición de fase con el calculado a partir de los modelos con intersaturación y para el trabajo en zona lineal. Como se ha comentado, el conjunto de variables de estado seleccionado para los modelos ha sido el compuesto por la corriente magnetizante y el flujo rotórico, que según se muestra en la tabla 3.1. premultiplica a la cantidad básica d t dL im m ausente en todas las formulaciones del método aproximado por el factor de peso ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ rl sl L L 1, uno de los más desfavorables. Si por otra parte, se selecciona un juego de variables para las que, según se recoge en la tabla 3.1, la cantidad básica d t dL im mdespreciada en el modelo es modulada por un factor de peso significativamente menor, se obtienen resultados prácticamente idénticos con ambas metodologías para el modelado de la saturación, como puede apreciarse en la figura 3.11. El examen de la tabla 3.1 revela que existirán un total de siete posibles tipos de respuestas proporcionadas por el método aproximado para el modelado de la saturación, pero agrupadas en dos grandes familias, a saber, las que conducen a resultados semejantes a los del modelo con intersaturación, en las que el peso relativo de los términos despreciados es bajo, y las que predicen resultados más discrepantes, a saber, las que corresponden al uso exclusivo de corrientes o de corriente magnetizante y flujo como variables de estado. En las figuras que siguen se muestra la comparación entre las respuestas de par, velocidad y corriente generadas por los modelos con intersaturación y para zona lineal con cada una de las posibles respuestas tipo que es posible obtener a partir del modelo aproximado para el modelado de la saturación. Para mayor claridad, se comparan separadamente las dos familias que manifiestan un comportamiento más diferenciado, esto es, por una parte los modelos formulados exclusivamente en corrientes o en corriente magnetizante y un flujo, y por otra el correspondiente al resto de combinaciones de variables de estado. Puede observarse en las figuras 3.12 a 3.17 cómo el par electromagnético y la velocidad evidencian de modo más acusado los dos distintos comportamientos mencionados, mientras que en el caso de la corriente las diferencias son más discretas. 172 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 t (s) te (Nm) Figura 3.12. Par electromagnético predicho por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con rs i,i (azul ciano), con (verde) y con r mψ,i (rojo). m si,ψ 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 t (s) te (Nm) Figura 3.13. Par electromagnético predicho por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con ms ψ,ψ(rojo), con (magenta), con r sψ,i (amarillo) y con r si,ψ(verde). rm ψ,ψ 173 Figura 3.14. Velocidad predicha por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con rs i,i (azul ciano), con (verde) y con r mψ,i (rojo). 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 50 100 150 200 250 300 350 t (s) w ( ra d/ s ) Figura 3.15. Velocidad predicha por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con ms ψ,ψ(rojo), con rm ψ,ψ (magenta), con r sψ,i (amarillo) y con r si,ψ(verde). 350 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 50 100 150 200 250 300 w (rad/s) t (s) si,ψm 174 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t (s) isa (A) Figura 3.16. Corriente en la fase a predicha por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con rs i,i (azul ciano), con (verde) y con r mψ,i (rojo). m si,ψ 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t (s) isa (A) Figura 3.17. Corriente en la fase a predicha por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con ms ψ,ψ(rojo), con rm ψ,ψ (magenta), con r sψ,i (amarillo) y con r si,ψ(verde). 175 3.4.2. Modelo con dos jaulas rotóricas. La complejidad añadida que aporta al modelo del motor la adición de una ecuación fasorial rotórica adicional para dar cuenta del efecto de ranura profunda recomienda aún más si cabe la extensión de los resultados obtenidos en el apartado anterior al caso de la doble jaula. Así, repitiendo el proceso ya expuesto, se han recogido en la tabla 3.2 los distintos términos ignorados en el método aproximado para el modelado de la saturación según el conjunto elegido de variables de estado, que han sido reescritos todos ellos en función de la corriente magnetizante para facilitar la comparación de la importancia relativa que comporta su ausencia. Del análisis de los datos consignados, se desprende que al igual que en el caso del modelo con jaula única, aquellas selecciones de variables que requieren del cálculo de la derivada temporal de la inductancia magnetizante (exclusivamente corrientes o la combinación de la corriente magnetizante con dos variables más) exhiben resultados más discrepantes con los predichos por el modelo con intersaturación. Dentro de la tabla 3.2 se han delimitado mediante trazo grueso aquellos modelos equivalentes, esto es, que carecen exactamente de los mismos términos en las mismas ecuaciones, y que lógicamente generan respuestas idénticas. Del total de 48 combinaciones posibles de variables resultan 26 tipos formalmente distintos de modelos sin intersaturación, en vista de los diferentes factores de peso que premultiplican a la cantidad básica ausente en todos los casos dt dL im m. Considerando el caso del arranque en vacío con una tensión un 50% superior a la nominal del motor de doble jaula de características listadas en el apéndice B, se muestra en las figuras 3.18 a 3.20 el desarrollo del par electromagnético, la velocidad y la corriente en la fase a tal como son generados a partir del modelo con intersaturación, del válido para el trabajo en la zona lineal de la característica electromagnética, y uno de los modelos sin intersaturación perteneciente a cada una de las dos grandes familias en que estos pueden agruparse según la similitud de sus resultados; concretamente se consideran las selecciones de variables de estado 21s i,i,i y 21 sψ,ψ,i . 176 En lo que respecta al par electromagnético, puede observarse en este caso cómo el predicho por los modelos con intersaturación, para zona lineal y el correspondiente al método aproximado en base a los estados 21 sψ,ψ,i resulta prácticamente indistinguible, en tanto que el que utiliza 21s i,i,i como variables exhibe una gran discrepancia. Respecto a la velocidad, de nuevo el modelo sin intersaturación formulado en términos de 21 sψ,ψ,i , presenta un comportamiento diferenciado respecto a los otros modelos considerados, dando lugar a una respuesta más lenta. En lo tocante a la corriente en la fase a, las diferencias entre ambos modelos aproximados son mínimas, de modo que se aprecian prácticamente superpuestos, y también es pequeña la diferencia entre estos y el modelo con intersaturación. En definitiva, el análisis efectuado sobre el peso relativo de los distintos términos ignorados en los modelos aproximados para la consideración de la saturación del flujo magnetizante, muestra cómo la opción por esta técnica simplificada, extremadamente ventajosa en el caso de la doble jaula, puede ser adoptada con suficientes garantías cuando la selección de variables de estado es la adecuada, basándose en la información presentada en las tablas 3.1 y 3.2 del presente capítulo. 177 Tabla 3.2. (Continuación) ESTADOS TÉRMINOS AUSENTES EXPRESIÓN EQUIVALENTE En ecuación de estator __ __ En ecuación de jaula interna ()() ()() ()() () ()() ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ msl2l12lmsl msl12lmsl 2 msl2l12lmsl msl2lmsl12lmsl12l 1 msl2l12lmsl m s 2l LLLLLL LLLLL dt d ψ LLLLLL LLLLLLLLLdt d i LLLLLL L dt d ψL ()() dt dL i LLLLLL LL m m msl2l12lmsl 2lsl +++ 2 1 sψ,i,ψ En ecuación de jaula externa __ __ En ecuación de estator __ __ En ecuación de jaula interna __ __ 1 2 sψ,i,ψ En ecuación de jaula externa ()() ()() ()() () ()() ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ msl1l12lmsl msl12lmsl 1 msl1l12lmsl msl1lmsl12lmsl12l 2 msl1l12lmsl m s 1l LLLLLL LLLLL dt d ψ LLLLLL LLLLLLLLLdt d i LLLLLL L dt d ψL ()() dt dL i LLLLLL LL m m msl1l12lmsl 1lsl +++ En ecuación de estator __ __ En ecuación de jaula interna __ __ 21s ψ,ψ,ψ En ecuación de jaula externa __ __ 184 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -50 0 50 100 150 200 250 300 t (s) te (Nm) Figura 3.18. Par electromagnético predicho por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con 21s i,i,i (azul ciano) y con 21 sψ,ψ,i (rojo). 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 50 100 150 200 250 300 350 t (s) w (rad/s) Figura 3.19. Velocidad predicha por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con 21s i,i,i (azul ciano) y con 21 sψ,ψ,i (rojo). 185 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -150 -100 -50 0 50 100 150 t (s) isa (A) Figura 3.20. Corriente en la fase a predicha por los modelos con intersaturación (azul), para zona lineal (negro) y por el modelo aproximado formulado con 21s i,i,i (azul ciano) y con 21 sψ,ψ,i (rojo). 186 3.5. SOBRE LA ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS EN LOS MODELOS DEL MOTOR TRIFÁSICO DE INDUCCIÓN CON SATURACIÓN. En el capítulo 1 se hizo alusión a la utilización de esquemas equivalentes con un número reducido de parámetros, como método práctico para aliviar la complejidad que supone la adición de una nueva ecuación rotórica para modelar el efecto de ranura profunda en el motor trifásico de inducción. En primera instancia, parecería indicado recurrir a esta misma técnica para reducir el fuerte incremento en la complejidad de los modelos del motor que implica la consideración del fenómeno de la saturación. Un análisis detallado del asunto revela, no obstante, que obtener modelos exactamente equivalentes con un número inferior de parámetros conduce a formulaciones mucho más complicadas que las de partida, debido esencialmente a la naturaleza no lineal de la inductancia magnetizante. Para ilustrar lo expuesto, considérense las ecuaciones del modelo con una sola jaula del motor trifásico de inducción, expresadas en el sistema genérico de referencia: s g ss s sΨjωΨ d t d iRu ++= () r g r1 rΨωωjΨ dt d iR0 −++= (3.32) ω P ρ d t dω P J tt le +=− Con: ( ) rs m s sl siiLiLΨ++= ( ) rs m 1 rl riiLiLΨ++= (3.33) ss eiΨP 2 3 t∧−= 187 Haciendo uso de un factor de referencia “α” para las cantidades rotóricas, asimilable a una relación de número de espiras ficticia, se obtiene el siguiente conjunto de magnitudes referidas: α i ir refr = rrefr ΨαΨ = (3.34) rrefr uαu= Que necesariamente implica, para no alterar el modelo: mslrefsl α)L-(1LL += mrefm αLL = ( ) m 2 mr1refr1 αL-αLLL += (3.35) r 2 refr RαR= Establecida la relación entre magnitudes originales y referidas, manténgase sin cambios la ecuación estatórica, pero multiplíquense ambos miembros de la ecuación rotórica por el factor de referencia α, con lo que se obtendrá el sistema equivalente: s g ss s sΨjωΨ d t d iRu ++= () refr g rrefr refr ΨωωjΨ dt d αiR0 −++= (3.36) ω P ρ d t dω P J tt le +=− con: ( ) refrs refm s refsl siiLiLΨ++= ( ) refrs refm refr refrl refr iiLiLΨ++= (3.37) ss eiΨP 2 3 t∧−= 188 Nótese que automáticamente todos los miembros de la ecuación rotórica han quedado expresados en función de magnitudes referidas, a excepción del correspondiente a la derivada temporal del fasor de flujo rotórico, que queda de la forma: dt Ψd αr. El interés del empleo de magnitudes referidas radica en el hecho de que con una adecuada selección de la relación de número de espiras α, pueden anularse los parámetros Lsl ref o Lrl ref (Lsl ref o L12l ref para el motor doble jaula, véase la sección 1.5), para lo cual se requiere: mrefrl m refrl m mrefsl refsl LL L α0L L LL α0L + =⇒= + =⇒= (3.38) En la zona lineal de la característica magnética, donde la inductancia magnetizante se mantiene constante, el factor de referencia α también será, lógicamente, constante. En este supuesto se tendrá: ( ) ( ) dt Ψd dt Ψαd dt Ψd αcteαcteL refrrr m==⇒=⇒= (3.39) Con lo que la ecuación rotórica, expresada en términos de magnitudes referidas toma la forma: () refr g refrrefr refr ΨωωjΨ dt d iR0 −++= (3.40) Nótese que la estructura formal de las ecuaciones de estator y rotor se conserva (con la salvedad de los términos afectados por el parámetro Lsl ref o Lrl ref a eliminar). Es decir, si en las ecuaciones de partida mostradas en (3.32), (3.33), en lugar de utilizar los parámetros originales se recurre a parámetros referidos, las magnitudes estatóricas, la velocidad y el par resultan inalterados, mientras que las variables rotóricas se entenderán referidas (siendo las cantidades originales recuperables a partir de (3.34)). 189 No sucede lo mismo en el trabajo en la zona saturada de la característica magnética; en esta región, para lograr la exacta cancelación de los parámetros referidos Lsl ref o Lrl ref, la relación de número de espiras α debe variar como una función de la inductancia magnetizante, por lo que se tendrá: ( ) dt Ψd dt Ψαd dt Ψd αcteαcteL refrrr m=≠⇒≠⇒≠ (3.41) más bien: dt dα Ψ α 1 dt Ψd α dt dα Ψ-α dt Ψd α α Ψ dt d α dt Ψd αrefr refr 2 refr refr refrr −== ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (3.42) siendo: dt dL dL dα dt dαm m = (3.43) con lo que finalmente resulta: dt dL dL dα Ψ α 1 dt Ψd dt Ψd αm m refr refrr −= (3.44) Es decir, para lograr la cancelación exacta de un parámetro manteniendo el sistema inalterado, no basta con actualizar continuamente el valor del factor de referencia α acorde con la variación de la inductancia magnetizante, sino que debe modificarse la estructura de la ecuación rotórica, quedando el sistema definitivo de la forma: s g ss s sΨjωΨ d t d iRu ++= () refr g m m refr refr refr refr Ψωωj dt dL dL dα Ψ α 1 dt Ψd iR0 −+−+= (3.45) ω P ρ d t dω P J tt le +=− 190 con: ( ) refrs refm s refsl siiLiLΨ++= ( ) refrs refm refr refrl refr iiLiLΨ++= (3.46) ss eiΨP 2 3 t∧−= El error cometido al no incluir el término dt dL dL dα Ψ α 1m m refr −en la ecuación rotórica se ve todavía aumentado con el uso de determinados conjuntos de variables de estado. Así, expresando los fasores de flujo en función de los fasores de corriente, se tendrá: ()() dt dL i dt dL i dt id L dt id L dt dL i dt id LiiLiL dt d dt Ψdrefm refr refm s refr refm s refm refsl s s refsl refrs refm s refsl s+++++=++= ()() d t dL i d t dL i d t id L d t id L d t dL i d t id LiiLiL d t d d t Ψdrefm refr refm s refr refm s refm refrl refr refrl refrs refmrefrl refr refr refr +++++=++= (3.47) Nótese la aparición de dos nuevos términos en (3.47), a saber: () dt dL L dL dα -α-1i dt dL α)-(1 dt dα L-iα)L-(1L dt d i dt dL im m m s m m s msl s refsl s⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+=+= ()() ()() ()() dt dL LLL2α dL dα 1)-α(αi dt dα LLL2α dt dL 1)-α(αiαL-αLL dt d i dt dL i m mmr1 m refr mmr1 m refr m 2 mr1 refr refrl refr ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−++=+= (3.48) El empleo de las diversas combinaciones de variables de estado existentes da lugar a una colección de términos de nueva aparición. En la tabla 3.3 se recogen, para los distintos juegos de variables de estado, los términos a incluir en las ecuaciones de partida en (3.32), (3.33) cuando en estas se substituyan parámetros afectados por un factor de referencia variable, si se pretende mantener exactamente la identidad del sistema. De no incluir estos términos en las ecuaciones referidas, el sistema resultante diferirá del primitivo en los términos mostrados en la tabla 3.3. 191 Tabla 3.3. Términos a añadir a las ecuaciones referidas para preservar la identidad del modelo del motor con el uso de factores de referencia α variable. ESTADOS TÉRMINOS A INCLUIR EN LAS ECUACIONES PARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref __ Estator __ Lrl ref __ Lsl ref () dt dL Ψ L Lm r 2 m sl refrs ψ,ψ Rotor dt dL dL dα Ψ α 1m m refr − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator dt dL irefsl s Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ refrs i,i Rotor () () dt dL dL dα iLLiL α 1 dt dL i m m refr refmrefrl s refm refrl refr ++− Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator dt dL irefsl s Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ refms i,i Rotor () () () dt dL dL dα iLLiLα 1 dt dL ii m m refm refmrefrl s refrl refrl refms ++− − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + 192 Tabla 3.3. (Continuación). ESTADOS TÉRMINOS A INCLUIR EN LAS ECUACIONES PARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref __ Estator () dt dL ii refsl refrrefm − Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ refrrefm i,i Rotor () dt dL dL dα iLiL α 1 dt dL i m m refm refm refr refrl refrl refr +− Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator dt dL irefsl s Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ refm sψ,i Rotor dt dL dL dα Ψ L L 1iLα 1 dt dL L ψ i m m refm refm refrl s refrl refrl refm refm s ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator dt dL i L Ψrefsl refr refm refm ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ refr refm i,ψ Rotor () dt dL dL dα ΨiL α 1 dt dL i m m refmrefr refrl refrl refr +− Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + 193 ( ) () () () () () () () () () () () () () () () () ()() ()()() refrsm refrysyrefryrefrxsxrefrx m 2 refrysy 2 refrxsx m m refry refmrefrl m 2 syrefrysyyyrefry refm m syrefrysyyy refrx refmrefrl m 2 sxrefrysyyxrefrx refm m sxrefrysyyx refry refmrefrl m 2 syrefrxsxxyrefry refm m syrefrxsxxy refrx refmrefrl m 2 sxrefrxsxxxrefrx refm m sxrefrxsxxx le refrysxrefrxsyrefme refry refrx sy sx yyrefmrefrlxyyyrefmxy yxxxrefmrefrlyxxxrefm yyrefmxyyyrefmrefslxy yxxxrefmyxxxrefmrefsl refry refrx sy sx refrrefmrefrlgrefmg refmreflrgrefrrefmg refm gsrefmrefslg refmgrefmrefslgs sy sx iαii; αiiiαiii dL dα αiiαii id dL C i α LL dL dα ααiαiiCL';i α L dL dα αiαiiCL i α LL dL dα ααiαiiCL';i α L dL dα αiαiiCL i α LL dL dα ααiαiiCL';i α L dL dα αiαiiCL i α LL dL dα ααiαiiCL';i α L dL dα αiαiiCL ω P B dt dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d αL'LLαL'L'LL' αL'αL'LLL'L'L αLLαLLLLL αLαLLLLLL i i i i RLLωω0Lωω LLωωRLωω0 0LωRLLω Lω0LLωR 0 0 u u += +++−+++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ +++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ +++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ +++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ +++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++= +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++ +++ +++ +++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− +−−−− + −+− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ (3.50) 200 Como se ha afirmado, basta con añadir los correspondientes términos correctores mostrados en la tabla 3.3 a las diversas formulaciones de los modelos recogidos en el apéndice D, para disponer de sistemas perfectamente equivalentes con un parámetro menos. Puede entonces plantearse la cuestión de si acaso la inclusión de estos términos es la responsable del incremento de la complejidad de los modelos resultantes, y de ser así, -aunque a expensas de cometer un cierto error todavía por evaluar-, determinar si no sería preferible ignorarlos para ganar en simplicidad mientras aún conseguimos trabajar con un modelo aproximadamente equivalente al original, pero que cuenta con un parámetro menos. Es decir, se plantea la posibilidad de utilizar tal cual las ecuaciones de partida en (3.32), (3.33), anulando los términos afectados por el parámetro Lsl ref o Lrl ref que se prefiera eliminar, y afectando al resto de parámetros por una relación de referencia α variable que se actualice de continuo según los valores que tome la inductancia magnetizante, sin añadir ningún término corrector. (Debe notarse que la no inclusión de los términos correctores no impide la perfecta cancelación de los términos afectados por los parámetros Lsl ref o Lrl ref ; mientras al factor de referencia se le asignen los valores adecuados mostrados en (3.38) la cancelación se produce de forma automática. El efecto de despreciar los términos correctores es que no se mantiene la identidad con el sistema original; se obtienen respuestas distintas a las del sistema primitivo). Cómo muestra la tabla 3.3, todos los diferentes tipos de términos correctores dependen del factor dt dLm. Analícese su proceso de cálculo: dt id id dL dt dL m m mm = (3.51) con: refrsrsm iαiiii +=+= (3.52) La verdadera dificultad del asunto radica en la determinación de la derivada temporal del módulo de una corriente magnetizante para cuyo cálculo no se dispone de la corriente rotórica original, sino de la corriente rotórica referida, esto es refr i. En consecuencia, para recuperar la 201 corriente original debe recurrirse al factor de referencia α, utilizando la relación refrr iαi=. A la hora de calcular la derivada temporal del módulo de esta corriente magnetizante ahora dependiente del factor de referencia α variable, se tiene: () () () () () () () () () () () () () 2 1 2 rysy 2 rxsx ry ry m m m m sy rysy rx rx m m m m sx rxsx 2 1 2 rysy 2 rxsx ry ry sy rysy rx rx sx rxsx 2 1 2 rysy 2 rxsx refrsm αiiαii dt di αi dt id id dL dL dα dt di αii dt di αi dt id id dL dL dα dt di αii αiiαii dt di αi dt dα dt di αii dt di αi dt dα dt di αii dt αiiαiid dt iαid dt id +++ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++++ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ = +++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+++ = +++ = + = (3.53) Aislando finalmente la derivada temporal del módulo de la corriente magnetizante, esta queda de la forma: () () () () () () ()() () () () () () 2 1 2 rysy 2 rxsx ry ry m m m m sy rysy rx rx m m m m sx rxsx rysyryrxsxrx m m m 2 1 2 rysy 2 rxsx rysy rysy rx sx rxsx m αiiαii dt di αi dt id id dL dL dα dt di αii dt di αi dt id id dL dL dα dt di αii αiiiαiii id dL dL dα αiiαii dt di α dt di αii dt di α dt di αii dt id +++ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++++ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ = +++−+++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛++ = (3.54) Así, en virtud de (3.51), el factor dt dLm que forma parte de todos los términos correctores, quedará expresado como: 202 () () () () () () ()() () () () () () 2 1 2 rysy 2 rxsx ry ry m m m m sy rysy rx rx m m m m sx rxsx rysyryrxsxrx m m m 2 1 2 rysy 2 rxsx rysy rysy rx sx rxsx m mm αiiαii dt di αi dt id id dL dL dα dt di αii dt di αi dt id id dL dL dα dt di αii αiiiαiii id dL dL dα αiiαii dt di α dt di αii dt di α dt di αii id dL dt dL +++ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++++ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ = +++−+++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛++ = (3.55) (Si en lugar de corriente magnetizante se trabaja con flujo magnetizante, se obtiene una expresión con una estructura semejante). Queda manifiesto pues, que la inclusión de los términos correctores garantes de la equivalencia exacta entre el modelo primitivo y los modelos con parámetros referidos contribuyen a aumentar la complejidad del sistema. Sin embargo, no son los únicos responsables de este fenómeno; nótese que dentro del propio sistema de partida, los términos que surgen cuando se efectúa un desarrollo riguroso de las derivadas de flujo también dependen, como se recoge en la tabla 3.1, del factor dt dLm. Lógicamente, estos términos encuentran su reflejo en el sistema referido, como se evidencia a partir de (3.47), mostrándose bajo la forma: () () () () () dt dL αL dL dα ii dt dL αL dt dα ii dt αLd ii dt dL ii m m m refrs m m refrs m refrs refm refrs ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛++=+=+ (3.56) En consecuencia, aún despreciando los términos correctores, el sistema resultante -que ya no mantiene su perfecta identidad con el original-, paga un precio elevado por el uso de factores de referencia variables, cuya finalidad era lograr mediante la cancelación de un parámetro alguna simplificación en el modelo. 203 Por tanto, a menos que además de los términos correctores también se desprecien el resto de términos que dentro del modelo con parámetros referidos dependen del factor dt dLm, el nivel de complejidad de las expresiones se mantiene prácticamente inalterado. No obstante, esta decisión deberá venir avalada por la constatación de que el error cometido, que en este caso será mayor, se halla dentro de límites tolerables para la aplicación que se considere. En la tabla 3.4 se recogen todos los términos que dentro de los modelos con parámetros referidos resultan afectados por el factor dt dLm; resultantes de la suma de los términos correctores mostrados en la tabla 3.3 y de todos aquellos que dependen de dt dL refm (que a su vez es función de dt dLm). Como se hizo en la tabla 3.3, se agrupan por secciones delimitadas por trazo grueso aquellos modelos que, tras despreciar todos los términos afectados por la cantidad dt dLmresultan equivalentes entre sí, es decir, carecen exactamente de los mismos términos en las mismas ecuaciones. De nuevo, únicamente los modelos expresados exclusivamente en términos de corrientes son idénticos, por lo que se obtiene un total de 12 modelos distintos. Para facilitar la intercomparación del peso relativo de los respectivos términos ausentes, estos han sido reformulados en función de dos variables comunes, la corriente magnetizante y el flujo rotórico. Como ya se apreció al efectuar el análisis de los términos correctores recogidos en la tabla 3.3, es de esperar que cuando en los términos ahora considerados la corriente magnetizante se presente afectada por un factor inversamente proporcional a la inductancia magnetizante, su peso relativo sea bajo, al igual que cuando el flujo rotórico venga modulado por la inversa del cuadrado de la inductancia magnetizante. 204 Tabla 3.4. Términos dependientes del factor dt dLmen los modelos con parámetros referidos. ESTADOS TÉRMINOS DEPENDIENTES DEL FACTOR dt dLm PARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref __ Estator __ Lrl ref __ Lsl ref () dt dL Ψ L Lm r 2 m sl refrs ψ,ψ Rotor dt dL dL dα Ψ α 1m m refr − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref ()() () () dt dL Ψ LLL L i LLL LLLLL m r mslrl sl m mslrl rlslmrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ Estator ( ) d t dL ii d t dL irefm refrs refsl s++ Lrl ref dt dL Ψ LL 1 i LL Lm r mrl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + Lsl ref ()() ( ) () dt dL Ψ LL LLL i LL LLLLLL m r 2 mrl mrlsl m mrl mrlmslrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ refrs i,i Rotor () () () dt dL ii dt dL dL dα iLLiL α 1 dt dL i refm refrs m m refr refmrefrl s refm refrl refr ++ ++− Lrl ref dt dL Ψ LL 1m r mrl + Lsl ref ()() () () dt dL Ψ LLL L i LLL LLLLL m r mslrl sl m mslrl rlslmrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ Estator d t dL i d t dL irefm refm refsl s+ Lrl ref dt dL Ψ LL 1 i LL Lm r mrl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + Lsl ref ()() ( ) () dt dL Ψ LL LLL i LL LLLLLL m r 2 mrl mrlsl m mrl mrlmslrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ refms i,i Rotor () () () dt dL i dt dL dL dα iLLiLα 1 dt dL ii refm refm m m refm refmrefrl s refrl refrl refms + ++− − Lrl ref dt dL Ψ LL 1m r mrl + 205 Tabla 3.4. (Continuación). ESTADOS TÉRMINOS DEPENDIENTES DEL FACTOR dt dLmPARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref () ( ) () () dt dL Ψ LLL L i LLL LLLLL m r mslrl sl m mslrl rlslmrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ Estator () d t dL i d t dL ii refm refm refsl refrrefm +− Lrl ref dt dL Ψ LL 1 i LL Lm r mrl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + Lsl ref ( )( ) ( ) () dt dL Ψ LL LLL i LL LLLLLL m r 2 mrl mrlsl m mrl mrlmslrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ refrrefm i,i Rotor () dt dL i dt dL dL dα iLiL α 1 dt dL i refm refm m m refm refm refr refrl refrl refr + +− Lrl ref dt dL Ψ LL 1m r mrl + Lsl ref __ Estator dt dL irefsl s Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref ( ) dt dL i L LLLm m 2 m mslrl + refm sψ,i Rotor ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− refm refrl refm m m refm refm refrl s refrl refrl refm refm s L 1 dt d Lψ dt dL dL dα Ψ L L 1iLα 1 dt dL L ψ i Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− refm refsl refm refsl refr refm refm L 1 dt d Lψ dt dL i L Ψ Lrl ref ()() () dt dL Ψ LLL L2LLL2L i LL L m r 2 mrl 2 m rlslmrlsl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ refr refm i,ψ Rotor () dt dL dL dα ΨiL α 1 dt dL i m m refmrefr refrl refrl refr +− Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + 206 Tabla 3.4. (Continuación). ESTADOS TÉRMINOS DEPENDIENTES DEL FACTOR dt dLm PARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref __ Estator __ Lrl ref __ Lsl ref (División por cero) refms ψ,ψ Rotor () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ refm refrl refm m mrefslrefm refrl refm s refsl refrl refrl refm refm refms refsl refrl L 1 dt d Lψ dt dL dL dα L 1 L 1 L1Ψ Ψ L Lα 1 dt dL L Ψ ΨΨ L L dt d Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator __ Lrl ref __ Lsl ref (División por cero) refm si,ψ Rotor () dt dL L L 1i dt dL dL dα L L 1LLi Ψ L Lα 1 dt dL iiLΨ L L dt d refm refsl refrl refm m mrefsl refrl refmrefrl refm s refsl refrl refrl refmrefm refm s refsl refrl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+++ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Lrl ref dt dL Ψ LL 1m r mrl + Lsl ref __ Estator () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ refm refsl refm refsl refm refm refrrefm refrl refsl L 1 dt d Lψ dt dL L Ψ ΨΨ L L dt d Lrl ref (División por cero) Lsl ref () dt dL Ψ L Lm r 2 m sl refrrefm ψ,ψ Rotor dt dL dL dα Ψ α 1m m refr − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + 207 Tabla 3.4. (Continuación). ESTADOS TÉRMINOS DEPENDIENTES DEL FACTOR dt dLmPARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref () ( ) () () dt dL Ψ LLL L i LLL LLLLL m r mslrl sl m mslrl rlslmrlsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ Estator () dt dL L L 1i dt dL iΨiL L L dt d refm refrl refsl refm refsl refmrefrrefm refm refrl refsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ +− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Lrl ref (División por cero) Lsl ref () dt dL Ψ L Lm r 2 m sl refr refm ψ,i Rotor dt dL dL dα Ψ α 1m m refr − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref __ Estator __ Lrl ref __ Lsl ref ( ) dt dL i L LLLm m 2 m mslrl + s si,ψ Rotor () () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++− ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− − +− refm refrl refm m mrefm refrl refslrefrl s s refm refrl refrlrefsl refm s refrlrefsl s refrl refm s L 1 dt d Lψ dt dL dL dα L L 1LLi Ψ L L 1 α 1 LL dt d L i LL dt d i dt dL L Ψ Lrl ref dt dL i LL -L m m mrl rl + Lsl ref __ Estator __ Lrl ref __ Lsl ref () ( ) () ()() () dt dL Ψ LLLL LLLLLL i LLLL L2LLL2LL m r mslrl m 2 rlslmrlslsl m mslrlm rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ () () dt dL iLΨ LL L dt dL dL dα i LL LL L Ψ LL L α 1 dt dL L Ψ i LL L dt dL i refm refsl s 2 refmrefsl refsl m mrefmrefsl refmrefsl refrl s refmrefsl refm refsl refm s 2 refmrefsl refm refrl refr refr refr refr + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + refr si,ψ Rotor Lrl ref ()() ( ( ()()()) ()() ()() ) dt dL ΨLLLLL LLLL iL3LLLLLL LLLLLLL 1 m r rlslmrlsl mrlmsl m mrlrlslmrlsl m 2 rl m 2 2 msl 3 mrl ++⋅ +++ ++++ ++ 208 Tabla 3.4. (Continuación). ESTADOS TÉRMINOS DEPENDIENTES DEL FACTOR dt dLmPARÁM. ANULADO EXPRESIÓN EQUIVALENTE Lsl ref () ( ) ()() dt dL Ψ LL LLLLLL i LL L2LLL2LLm r rl m 3 rlslmrlslsl m rl 2 m rlslmrlslsl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ++ + ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ Estator () () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − +− refm refsl refm refrlrefsl refm refr refrlrefsl refr refsl refm refr L 1 dt d Lψ LL dt d L i LL dt d i dt dL L Ψ Lrl ref ()() () dt dL Ψ LLL 2LLLL2L i LL L m r 2 mmrl rlslmrlsl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ++ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Lsl ref () dt dL Ψ L Lm r 2 m sl refr refr i,ψ Rotor dt dL dL dα Ψ α 1m m refr − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + Lsl ref ()() ()() dt dL L Ψ i LLLLL L2LLL2LLLm m r m mrl 2 mslrl rlslmrlslslm ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−⋅ ++ ++ Estator dt dL L Ψ i LL L dt dL i refrl refm refr s 2 refmrefrl refm refsl s ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + Lrl ref () dt dL Ψ LL L i LL Lm r 2 mrl rl m mrl rl ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Lsl ref () dt dL Ψ L Lm r 2 m sl refr sψ,i Rotor dt dL dL dα Ψ α 1m m refr − Lrl ref () dt dL Ψ LL -L m r 2 mrl rl + El examen de la tabla 3.4 manifiesta que estas condiciones no se cumplen para los modelos formulados exclusivamente en función de corrientes, ni para aquellos en los que la corriente magnetizante es una de las variables de estado, análogamente a lo que ya se observó al estudiar el efecto de no considerar los términos dependientes del factor dt dLmen los modelos expresados en magnitudes primitivas, o no referidas. Se espera, en consecuencia, que estos modelos ofrezcan los resultados más discrepantes respecto de los modelos primitivos recogidos en el apéndice D. 209 40 Figura 3.26. Respuestas de par, velocidad y corriente en la fase a de los modelos formulados en m si,ψ a) primitivo (azul), b) referido con Lrl ref=0 (verde). 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 50 100 150 200 250 300 350 t (s) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -30 -20 -10 0 10 20 30 te (Nm) t (s) w (rad/s) 20 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 is a (A) t (s) 216 Figura 3.27. Respuestas de par, velocidad y corriente en la fase a de los modelos formulados en rm ψ,ψ a) primitivo (azul), b) referido con Lsl ref=0 (rojo). 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -10 -5 25 30 20 15 10 5 0 t (s) te (Nm) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 250 200 150 100 50 300 350 t (s) w (rad/s) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t (s) isa (A) 217 30 Figura 3.28. Respuestas de par, velocida cor te en fase e los delo rmul os en d y rien la a d mo s fo ad a) primitivo (azul), b) referido con Lsl ref=0 (rojo). r mψ,i 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -5 0 5 10 15 20 25 te (Nm) t (s) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 50 100 150 200 250 300 350 t (s) w (rad/s) 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -20 -5 -10 -15 0 5 10 15 2 t (s) is a (A) 0 218 0.05 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 Figura 3.29. Respuestas de par, velocidad y corriente en la fase a de los modelos formulados en s si,ψ a) primitivo (azul), b) referido con Lsl ref=0 (rojo), c) referido con Lrl ref=0 (verde). 00.1 0.35 0.45 0.5 -5 0 5 10 15 20 25 30 te ( Nm) t (s) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 300 350 250 200 150 100 50 0 t (s) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t (s) is a (A) w (rad/s) 219 00 -5 0 5 10 15 20 25 30 ) te (Nm Figura 3.30. Respuestas de par, velocidad y corriente en la fase a de los modelos formulados en r si,ψ a) primitivo (azul), b) referido con Lsl ref=0 (rojo), c) referido con Lrl ref=0 (verde). 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 .45 .5 -10 t (s) 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 50 100 150 2 350 300 250 00 t (s) w (rad/s) 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t (s) is a (A) 220 Figura 3.31. Respuestas de par, velocidad y corriente en la fase a de los modelos formulados en r ri,ψ a) primitivo (azul), b) referido con Lsl ref=0 (rojo), c) referido con Lrl ref=0 (verde). 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 30 25 0.5 -10 -5 0 5 10 15 20 te ( Nm) t (s) 00 .05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 250 150 2 0.45 0.5 0 50 1 00 00 300 350 t (s) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -2 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t (s) w (rad/s) is a (A) 221 30 Figura 3.32. Respuestas de par, velocidad y corriente en la fase a de los modelos formulados en r sψ,i a) primitivo (azul), b) referido con Lsl ref=0 (rojo), c) referido con Lrl ref=0 (verde). 000.00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 .35 .4 45 0.5 -10 -5 0 5 10 15 20 25 )te (Nm t (s) 350 000.00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 .35 .4 45 0.5 0 50 100 150 200 250 300 t (s) w (rad/s) 20 0 0 0. 15 00.1 0.2 .3 .4 5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 is a (A) t (s) 222 Debe hacerse notar, no obstante, que despreciar los términos dependientes de la cantida dt dLm ddentro de los modelos afectados por un factor de referencia variable, no implica que el modelo primitivo equivalente carezca de términos dependientes de este factor. Es decir, si se toman los modelos primitivos en los que se han eliminado los términos dependientes de dt dLm referidos afectados por un factor de referencia ntienen la e (recogidos en el apéndice F), y en ellos se substituyen parámetros variable, se obtienen modelos referidos que no solo no ma quivalencia con el modelo primitivo sin términos dependientes de dt dLmdel cual parten, sino que al devolverlos a magnitudes originales, surgen términos dependientes del factor dt dLm. Para ilustrar lo expuesto, considérese la expresión de las derivadas temporales de los fasores de flujo estatórico y rotórico, expresada en términos de corrientes de estator y rotor: ()() dt dL i dt dL i dt id L dt id L dt dL i dt id LiiLiL dt d dt Ψdm r m s r m s m sl s s sl rs m s sl s+++++=++= ()() dt dL i d dL i id L dt id L dt dL i dt id LiiLiL d d dt Ψdm r m s r m s m rl r r rs m r rl r+++++=++= (3.57) rl t dt t Supóngase que, por simplicidad, se decide prescindir de los términos dependientes del factor dt dLm, modelando la saturación sencillamente mediante el empleo de una inductancia Lm variable en (3.57), obteniéndose las expresiones simplificadas: ()() dt id L dt id L dt id LiiLiL d dtdt Ψdr m s m s sl rs m s sl s++≈++= ()() dt id L dt id L dt id LiiLiL dt d dt Ψdr m s m r rl rs m r rl r++≈++= (3.58) 223 Ahora, por tal de eliminar un parámetro, se substituyen directamente en (3.58) parámetros referidos afectados por un factor de referencia α variable, asumiendo erróneamente que las cantidades rotóricas automáticamente quedan referidas cumpliendo las relaciones en (3.34): ()() dt id dt id dt id dt d dt Ψd refmrefmrefslrefmrefsl L L LiiLiL refrss refrss s++≈++= ()() dt id L dt id L dt id LiiLiL dt d dt Ψdrefr refm s refm refr refrl refrs refmrefrl refr refr ++≈++= (3.59) El sistema en (3.59) no solo no mantiene ya su perfecta equivalencia con las ecuaciones (ya de por si simplificadas) en (3.58) a partir de las que se formuló (sólo será cierto para α=1), sino que, a pesar de carecer de términos en apariencia dependientes de dt dLm, cuando es lto a magnitudes primitivas da lugar al surgimiento de términos dependientes de devue dt dLm: () dt dL dL dα iL α 1 dt id L dt id L dt id L αdt dt dt dt dt dt dt m r m r m s m s sl −++= ⎠ ⎝ id αL id αL id α)L-(1L id L id L id L Ψ m r m s m s msl refr refm s refm s refsl s⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ +++=++≈ d () ()() () () () () dtdL αdt dt dt m mrlmmmrl (3.60) En definitiva, la utilización de parámetros referidos dentro de las ec dLdα iLL2iL 1id L id L id L dt dL dL dα ΨiLL α 1 dt id L dt id L dt id L dt Ψd α i dt d αL dt id αL α i dt d αL-αLL dt id L dt id L dt id L dt Ψαd dt Ψd m rs rsr m m rr mrl r m s m r rl rr m s m r m 2 mr1 refr refm s refm refr refrl rrefr ++−++ ++−++≈⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +=++≈= uaciones primitivas arentes de términos dependientes de la cantidad = dt dLm cpuede resultar atractiva, siempre que la simplificación conseguida con la desaparición de los términos afectados por el parámetro eliminado, compense el esfuerzo de cálculo requerido para la continua actualización de los parámetros referidos variables. 224 El análisis de los términos despreciados con este enfoque (respecto del modelo patrón original con intersaturación) muestra que, a excepción de las formulaciones exclusivamente en términos de corrientes o de aquellas en las que la corriente magnetizante es una de las ariables de estado seleccionadas, el resto de modelos proporciona resultados suficientemente buenos para un gran número de aplicaciones. v 225 BIBLIOGRAFIA [1] Alger, P.L. “Induction Machines. 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() () () () () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − + − − − − − − + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −− −− − − − − − − − − − − −−− −− − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x 1y 1x sy sx 12 2 21 121m 12 2 21 122m 12 2 21 2112 m 2 s 12 2 21 121m 12 2 21 122m 12 2 21 2112 m 2 s 2y 2x 1y 1x sy sx 12 2 21 12 g 12 2 21 122 12 2 21 112m2 g 12 2 21 12 12 2 21 122 12 2 21 112m 2 12 2 21 121 12 2 21 21 g 12 2 21 212m1 12 2 21 121 g 12 2 21 21 12 2 21 212m1 12 2 21 121m g 12 2 21 122m gs 12 2 21 2112 m 2 sg 12 2 21 121m g 12 2 21 122m g 12 2 21 2112 m 2 sgs sy sx Ψ Ψ Ψ Ψ i i dt d 100000 010000 001000 000100 LLL LLL 0 LLL LLL 0 LLL LL-2L LL0 0 LLL LLL 0 LLL LLL 0 LLL LL-2L LL Ψ Ψ Ψ Ψ i i LLL LR ωω LLL LR 0 LL L LLLR 0 ωω LLL LR 0 LLL LR 0 LLL LLLR LLL LR 0 LLL LR ωω LLL LLLR 0 0 LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 LLL LLL ω0 LLL LLL ωR LLL LL-2L LLω LLL LL L ω0 LLL LLL ω0 LLL LL-2L LLωR 0 0 0 0 u u () () () ()() sx2ysy2x121sx1ysy1x122 12 2 21 m eiΨiΨLLiΨiΨLL LLL L 1,5Pt −−+−− − = ω P B dt dω P J tt le +=− A.1 A.2. Modelo de doble jaula de 5º orden, con supresión de los transitorios estatóricos. () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −− −− − − − − − − − − − − −−− −− − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x 1y 1x sy sx 2y 2x 1y 1x sy sx 12 2 21 12 g 12 2 21 122 12 2 21 112m2 g 12 2 21 12 12 2 21 122 12 2 21 112m2 12 2 21 121 12 2 21 21 g 12 2 21 212m1 12 2 21 121 g 12 2 21 21 12 2 21 212m1 12 2 21 12 1m g 12 2 21 122m gs 12 2 21 2112 m 2 sg 12 2 21 121m g 12 2 21 122m g 12 2 21 2112 m 2 sgs sy sx Ψ Ψ Ψ Ψ i i dt d 100000 010000 001000 000100 000000 000000 Ψ Ψ Ψ Ψ i i LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 ωω LLL LR 0 LLL LR 0 LLL LLLR LLL LR 0 LLL LR ωω LLL LLLR 0 0 LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 LLL LLL ω0 LLL LLL ωR LLL LL-2L LLω LLL LLL ω0 LLL LLL ω0 LLL LL-2L LLωR 0 0 0 0 u u () () () ()() sx2ysy2x121sx1ysy1x122 12 2 21 m eiΨiΨLLiΨiΨLL LLL L 1,5Pt −−+−− − = ω P B dt dω P J tt le +=− A.2 A.3. Modelo de doble jaula de 3er orden, con supresión de los transitorios estatóricos y de la jaula externa. () ( ) () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −− −− − − − − − − − − − − −−− −− − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x 1y 1x sy sx 2y 2x 1y 1x sy sx 12 2 21 12 g 12 2 21 122 12 2 21 112m2 g 12 2 21 12 12 2 21 122 12 2 21 112m2 12 2 21 121 12 2 21 21 g 12 2 21 212m1 12 2 21 121 g 12 2 21 21 12 2 21 212m1 12 2 21 12 1m g 12 2 21 122m gs 12 2 21 2112 m 2 sg 12 2 21 121m g 12 2 21 122m g 12 2 21 2112 m 2 sgs sy sx Ψ Ψ Ψ Ψ i i dt d 000000 000000 001000 000100 000000 000000 Ψ Ψ Ψ Ψ i i LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 ωω LLL LR 0 LLL LR 0 LLL LLLR LLL LR 0 LLL LR ωω LLL LLLR 0 0 LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 LLL LLL ω0 LLL LLL ωR LLL LL-2L LLω LLL LLL ω0 LLL LLL ω0 LLL LL-2L LLωR 0 0 0 0 u u () () () ()() sx2ysy2x121sx1ysy1x122 12 2 21 m eiΨiΨLLiΨiΨLL LLL L 1,5Pt −−+−− − = ω P B dt dω P J tt le +=− A.3 A.4. Modelo de doble jaula de 1er orden, con supresión de los transitorios estatóricos y de las jaulas interna y externa. () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −− −− − − − − − − − − − − −−− −− − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x 1y 1x sy sx 12 2 21 12 g 12 2 21 122 12 2 21 112m2 g 12 2 21 12 12 2 21 122 12 2 21 112m2 12 2 21 121 12 2 21 21 g 12 2 21 212m1 12 2 21 121 g 12 2 21 21 12 2 21 212m1 12 2 21 121m g 12 2 2 1 122m gs 12 2 21 2112 m 2 sg 12 2 21 121m g 12 2 21 122m g 12 2 21 2112 m 2 sgs sy sx Ψ Ψ Ψ Ψ i i LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 ωω LLL LR 0 LLL LR 0 LLL LLLR LLL LR 0 LLL LR ωω LLL LLLR 0 0 LLL LR ωω LLL LR 0 LLL LLLR 0 LLL LLL ω0 LL L LLL ωR LLL LL-2L LLω LLL LLL ω0 LLL LLL ω0 LLL LL-2L LLωR 0 0 0 0 u u () () () ()() sx2ysy2x121sx1ysy1x122 12 2 21 m eiΨiΨLLiΨiΨLL LLL L 1,5Pt −−+−− − = ω P B dt dω P J tt le +=− A.4 A.5. Modelo de jaula sencilla y orden completo. () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx sy sx r m r m 2 s r m r m 2 s ry rx sy sx r r g r m r g r r r m r r m gs r m 2 sg r m g r m 2 sgs sy sx ψ ψ i i dt d 1000 0100 L L 0 L L L0 0 L L 0 L L L ψ ψ i i L R ωω L L R-0 ωω L R 0 L L R0 L L ωR L L Lω L L ω-0 L L LωR 0 0 u u () ω P B dt dω P J tt ψiψi L L 1,5Pt le rysyrxsy r m e +=− −= A.5 A.6. Modelo de jaula sencilla de 3er orden, con supresión de los transitorios estatóricos. () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx sy sx ry rx sy sx r r g r m r g r r r m r r m gs r m 2 sg r m g r m 2 sgs sy sx ψ ψ i i dt d 1000 0100 0000 0000 ψ ψ i i L R ωω L L R-0 ωω L R 0 L L R0 L L ωR L L Lω L L ω-0 L L LωR 0 0 u u () ω P B dt dω P J tt ψiψi L L 1,5Pt le rysyrxsy r m e +=− −= A.6 APÉNDICE C. Desarrollo de la derivada temporal del fasor espacial de flujo magnetizante. () () () () () () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++= + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = +=+== dt di µcosLµsinL dt di µcosµsinLLj dt di µcosµsinLL dt di µsinLµcosL µsinjµcos dt di µsin dt di µcosjL dt di µsin dt di µcosL e dt di i i dt di i i jL dt di i i dt di i i L dt di i dt di i i 1 i i 1 1 jeiL e dt di i dt di i ii 1 L i i atan dt d jeiLe dt iid L dt dµ jeiLe dt id id Ψd dt de Ψe dt Ψd eΨ dt d dt Ψd my 2 m 2 mx m my m mx 2 m 2 mx my m my mx jµ mx m mymy m mx m my m my mx m mx mx my my mx 2 mx 2 mx my jµ m m jµ my my mx mx 2 my 2 mx mx my jµ m m jµ 2 my 2 mx jµ m m jµ m m m jµ m jµ m jµ m m Siendo: mx my i i atanµ =, argumento del fasor espacial de flujo magnetizante (y también del fasor espacial de corriente magnetizante, bajo la hipótesis adoptada de ausencia de pérdidas en el hierro), m m id Ψd L=, inductancia magnetizante dinámica m m i Ψ L=, inductancia magnetizante estática C.1 C.2 APÉNDICE D. MODELOS DEL MOTOR TRIFÁSICO DE INDUCCIÓN CON UNA JAULA ROTÓRICA (O ROTOR BOBINADO) EN EL SISTEMA GENÉRICO DE REFERENCIA. D.1. Modelo en términos de flujos de estator y rotor. () () () () () () () () () () () () ω P B dt dω P J tt ψψψψ LLLLL L 1,5Pt ψ ψ ψ ψ dt d ψ ψ ψ ψ LLLLL LL Rωω LLLLL L R0 ωω LLLLL LL R0 LLLLL L R LLLLL L R0 LLLLL LL Rω 0 LLLLL L Rω LLLLL LL R 0 0 u u le rysxrxsy rlslmrlsl m e ry rx sy sx ry rx sy sx rlslmrlsl msl rg rlslmrlsl m r g rlslmrlsl msl r rlslmrlsl m r rlslmrlsl m s rlslmrlsl mrl sg rlslmrlsl m sg rlslmrlsl mrl s sy sx +=− − ++ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + − ++ − −− ++ + ++ − ++ − ++ + ++ −− ++ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ D.1 D.2. Modelo en términos de corrientes de estator y rotor. () () () () () () () () () ω P B d t dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d LLLLL LLLLL LLLLL LLLLL i i i i RLLωω0Lωω LLωωRLωω0 0LωRLLω Lω0LLωR 0 0 u u le rysxrxsyme ry rx sy sx myrlmxymymxy mxymxrlmxymx mymxymyslmxy mxymxmxymxsl ry rx sy sx rmrlgmg mrlgrmg mgsmslg mgmslgs sy sx +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− +−−−− + −+− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Siendo: () () () () () () () () () () 2 rysy 2 rxsx rysyrxsx m m mxy 2 rysy 2 rxsx 2 rysy m m mmy 2 rysy 2 rxsx 2 rxsx m m mmx iiii iiii id dL L iiii ii id dL LL iiii ii id dL LL +++ ++ = +++ + += +++ + += D.2 D.3. Modelo en términos de corrientes de estator y magnetizante. () () () () () () () ω P B d t dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d LLLL-0 LLL0LLLL0 LL0L i i i i RLLωωR-Lωω LLωωRLωωR0LωRLω Lω0LωR 0 0 u u le mysxmxsyme my mx sy sx myrlmxyrl mxymxrlrl mymxysl mxymxsl my mx sy sx rmrlgrrlg mrlgrrlgr mgsslg mgslgs sy sx +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− +−−− −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += D.3 D.4. Modelo en términos de corrientes magnetizante y de rotor. () () () () () () () ω P B d t dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d L0LL 0LLL L-0LLL 0L-LLL i i i i RLωω0Lωω LωωRLωω0 R-Lω-RLLω LωR-LLωR 0 0 u u le rymxrxmyme ry rx my mx rlmymxy rlmxymx slmyslmxy slmxymxsl ry rx my mx rrlgmg rlgrmg sslgsmslg slgsmslgs sy sx +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−−− + +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += D.4 D.5. Modelo en términos de flujo de estator y corriente magnetizante. () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− − −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ my mx sy sx my sl rl rlmxy sl rl sl rl mxy sl rl mx sl rl rl sl rl my mx sy sx sl m r sl rl mrlg sl r sl rl g sl rl mrlg sl m r sl rl g sl r m sl s sl s g m sl s g sl s sy sx i i ψ ψ dt d L L L 1LL L L 1 L L -0 L L L 1L L L 1L0 L L - 0010 0001 i i ψ ψ L L 1R L L 1LLωω L R - L L ωω L L 1LLωω L L 1R L L ωω L R - L L R 0 L R ω 0L L R ω L R 0 0 u u () ω P B d t dω P J tt iψiψ L L 1,5Pt le mysxmxsy sl m e +=− −= Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += D.5 D.6. Modelo en términos de corriente magnetizante y flujo de rotor. () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx my mx rl sl my rl sl slmxy rl sl rl sl mxy rl sl mx rl sl sl ry rx my mx rl r gm rl r g rl r m rl r rl s rl sl g rl m s rl sl mslg rl sl g rl s rl sl mslg rl m s sy sx ψ ψ i i dt d 1000 0100 L L 0L L L 1LL L L 1 0 L L L L L 1L L L 1L ψ ψ i i L R ωωL L R -0 ωω L R 0L L R - L R L L ωL L 1R L L 1LLω L L ω L R L L 1LLω L L 1R 0 0 u u () ω P B d t dω P J tt ψiψi L L 1,5Pt le rymxrxmy rl m e +=− −= Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += D.6 D.7. Modelo en términos de flujo y corriente de estator. () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++−−+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++−−−+ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+−− − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ sy sx sy sx y m rl slrlxy m rl y m rl xy m rl xy m rl x m rl slrlxy m rl x m rl sy sx sy sx m sl r m rl slrlg m r m rl g m rl slrlg m sl r m rl g m r sg sg sy sx i i ψ ψ dt d α1 L L 1LLα L L α1 L L 1α L L α L L α1 L L 1LLα L L α1 L L 1 0010 0001 i i ψ ψ L L 1R L L 1LLωω L R L L 1ωω L L 1LLωω L L 1R L L 1ωω L R R00ω 0Rω0 0 0 u u ( ) ω P B dt dω P J tt iψiψ1,5Pt le mysxmxsye +=− −= Siendo: ( ) () () () () () () () () () 2 syslsy 2 sxslsx syslsysxslsx m m m xy 2 syslsy 2 sxslsx 2 syslsy m m m y 2 syslsy 2 sxslsx 2 sxslsx m m m x iLψiLψ iLψiLψ ψd dL L 1 α iLψiLψ iLψ ψd dL L 1 α iLψiLψ iLψ ψd dL L 1 α −+− −− = −+− − = −+− − = D.7 D.8. Modelo en términos de flujos de estator y magnetizante. () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−++− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−−− − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+−− − −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ my mx sy sx x msl rlxy m rl sl rl xy m rl x msl rl sl rl my mx sy sx msl r msl rlg sl r sl rl g msl rlg msl r sl rl g sl r sl s sl s g sl s g sl s sy sx ψ ψ ψ ψ dt d α1 L 1 L 1 L1α L L - L L 0 α L L -α1 L 1 L 1 L10 L L 0010 0001 ψ ψ ψ ψ L 1 L 1 R L 1 L 1 L1ωω L R L L ωω L 1 L 1 L1ωω L 1 L 1 R L L ωω L R L R 0 L R ω 0 L R ω L R 0 0 u u ( ) ω P B d t dω P J tt ψψψψ L 1 1,5Pt le mysxmxsy sl e +=− −= Siendo: 2 my 2 mx mymx m m m xy 2 my 2 mx 2 my m m m y 2 my 2 mx 2 mx m m m x ψψ ψψ ψd dL L 1 α ψψ ψ ψd dL L 1 α ψψ ψ ψd dL L 1 α + = + = + = D.8 APÉNDICE E. MODELOS DE DOBLE JAULA PARA EL MOTOR TRIFÁSICO DE INDUCCIÓN EN EL SISTEMA GENÉRICO DE REFERENCIA. E.1. Modelo formulado en términos de flujo de estator y flujos asociados a las jaulas rotóricas interna y externa. ( )( )() ()()() ()()() () ()() () ()()() ()() ()()() ()() () ()() () ()()() ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++ − ++ −++ +++++ +++− ++−+++ +++ −+++ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y ψ 2x ψ 1y ψ 1x ψ sy ψ sx ψ dt d 2y ψ 2x ψ 1y ψ 1x ψ sy ψ sx ψ m L sl L 12l L 1l L m L sl L 2 R Dω g ωm L sl L 12l L m L sl L 1 R0 m L 1l L s R0 Dω g ω m L sl L 12l L m L sl L 2 R-0 m L 1l L 2 R-0 m L sl L 12l L 1l L m L sl L 2 R0 m L sl L 12l L m L sl L 2 R-0 m L 1l L 2 R0 m L sl L 12l L 2l L m L sl L 1 RDω g ω m L 2l L 1 R-0 m L sl L 12l L m L sl L 1 R-Dω g ωm L sl L 12l L 2l L m L sl L 1 R0 m L 2l L 1 R0 m L 2l L s R-0 2l L 1l L m L 12l L 2l L 1l L s R D g ω m L 1l L s -R0 m L 2l L s -RD g ω 2l L 1l L m L 12l L 2l L 1l L s R D 1 0 0 0 0 sy u sx u () ()() ω P B dt dω P J tt ψLψLψψLψLψ D L 1,5Pt le 2y1l1y2lsx2x1l1x2lsy m e +=− +−+= Siendo: () () ( ) ( ) 2l1lmsl2l1l12l2l1lmsl LLLLLLLLLLLD + + +++= E.1 E.2. Modelo formulado en términos de corrientes de estator y de las jaulas rotóricas interna y externa. () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++ +++ +++ +++ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++−+−− ++−−+−−−− +−++−− +−−++−−−− + −−+− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x 1y 1x sy sx my12l2lmxymy12lmxymymxy mxymx12l2lmxymx12lmxymx my12lmxymy12l1lmxymymxy mxymx12lmxymx12l1lmxymx mymxymymxymyslmxy mxymxmxymxmxymxsl 2y 2x 1y 1x sy sx 2m12l2lgm12lgmg m12l2lg2m12lgmg m12lg1m12l1lgmg m12lgm12l1lg1m g mgmgsmslg mgmgmslgs sy sx i i i i i i dt d LLLLLLLLL LLLLLLLLL LLLLLLLLL LLLLLLLLL LLLLLLL LLLLLLL i i i i i i RLLLωω0LLωω0Lωω LLLωωRLLωω0Lωω0 0LLωωRL LLωω0Lωω LLωω0LLLωωRLωω0 0Lω0LωRLLω Lω0Lω0LLωR 0 0 0 0 u u ( ) ( ) ( ) ω P B dt dω P J tt iiiiii1,5PLt le 2y1ysx2x1xsyme +=− +− + = Siendo: () () () () () () () () () () 2 2y1ysy 2 2x1xsx 2y1ysy2x1xsx m m mxy 2 2y1ysy 2 2x1xsx 2 2y1ysy m m mmy 2 2y1ysy 2 2x1xsx 2 2x1xsx m m mmx iiiiii iiiiii id dL L iiiiii iii id dL LL iiiiii iii id dL LL +++++ ++++ = +++++ ++ += +++++ ++ += E.2 E.3. Modelo formulado en términos de corrientes de estator, magnetizante y de la jaula rotórica interna. () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + +++ +++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+−−− −−+−−− −−++−+−− −++−−+− −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1y 1x my mx sy sx 1lmy12lmxy12l 1lmxymx12l12l 2lmy12l2lmxy12l2l 2lmxymx12l2l12l2l mymxysl mxymxsl 1y 1x my mx sy sx 11lgm12lg12lg 1lg1m12lg12lg 22lg2m12l2lg212l2lg 2lg2m12l2lg212l2lg2 mgsslg mgslgs sy sx i i i i i i dt d L0LLLL-0 0LLLL0LL-0LLLLLL-0 0L-LLLL0LL00LLL0 00LL0L i i i i i i RLωω0LLωω0Lωω LωωRLLωω0Lωω0 R-LωωRLLLωω R-LLωω LωωR-LLLωωRLLωωR000LωRLω 00Lω0LωR 0 0 0 0 u u ( ) ω P B dt dω P J tt iiii1,5PLt le mysxmxsyme +=− − = Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += E.3 E.4. Modelo formulado en términos de corrientes de estator, magnetizante y de la jaula rotórica externa. () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + +++ +++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+−−− −−+−−− −−++−+−− −++−−+− −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x my mx sy sx 2lmy12lmxy12l 2lmxymx12l12l 1lmy12l1lmxy12l1l 1lmxymx12l1l12l1l mymxysl mxymxsl 2y 2x my mx sy sx 22lgm12lg12lg 2lg2m12lg12lg 11lg1m12l1lg112l1lg 1lg1m12l1lg112l1lg1 mgsslg mgslgs sy sx i i i i i i dt d L0LLLL-0 0LLLL0LL-0LLLLLL-0 0L-LLLL0LL00LLL0 00LL0L i i i i i i RLωω0LLωω0Lωω LωωRLLωω0Lωω0 R-LωωRLLLωω R-LLωω LωωR-LLLωωRLLωωR000LωRLω 00Lω0LωR 0 0 0 0 u u ( ) ω P B dt dω P J tt iiii1,5PLt le mysxmxsyme +=− − = Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += E.4 E.5. Modelo formulado en términos de corrientes magnetizante, y de las jaulas rotóricas interna y externa. () () () () () () () () () () () () () () () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− +−−−−−− −+−− −−+−−−− + +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2y 2x 1y 1x my mx 12l2l12lmymxy 12l2l12lmxymx 12l12l1lmymxy 12l12l1lmxymx slslmyslmxy slslmxymxsl 2y 2x 1y 1x my mx 212l2lg12lgmg 12l2lg212lgmg 12lg112l1lgmg 12lg12l1lg1mg sslgsslgsmslg slgsslgsmslgs sy sx i i i i i i dt d LL0L0LL 0LL0LLL L0LL0LL 0L0LLLL L-0L-0LLL 0L-0L-LLL i i i i i i RLLωω0Lωω0Lωω LLωωRLωω0Lωω0 0LωωRLLωω0Lωω Lω ω0LLωωRLωω0 R-Lω-R-Lω-RLLω LωR-LωR-LLωR 0 0 0 0 u u ( ) ( ) ( ) ω P B dt dω P J tt iiiiii1,5PLt le 2y1ymx2x1xmyme +=− +− + = Siendo: 2 my 2 mx mymx m m mxy 2 my 2 mx 2 my m m mmy 2 my 2 mx 2 mx m m mmx ii ii id dL L ii i id dL LL ii i id dL LL + = + += + += E.5 E.6 APÉNDICE F. MODELOS CON CONSIDERACIÓN APROXIMADA DEL FENÓMENO DE LA SATURACIÓN MAGNÉTICA PARA EL MOTOR TRIFÁSICO DE INDUCCIÓN CON UNA JAULA ROTÓRICA (O ROTOR BOBINADO) EN EL SISTEMA GENÉRICO DE REFERENCIA. F.1. Modelo en términos de flujos de estator y rotor.1 () () () () () () () () () () () () ω P B dt dω P J tt ψψψψ LLLLL L 1,5Pt ψ ψ ψ ψ dt d ψ ψ ψ ψ LLLLL LL Rωω LLLLL L R0 ωω LLLLL LL R0 LLLLL L R LLLLL L R0 LLLLL LL Rω 0 LLLLL L Rω LLLLL LL R 0 0 u u le rysxrxsy rlslmrlsl m e ry rx sy sx ry rx sy sx rlslmrlsl msl rg rlslmrlsl m r g rlslmrlsl msl r rlslmrlsl m r rlslmrlsl m s rlslmrlsl mrl sg rlslmrlsl m sg rlslmrlsl mrl s sy sx +=− − ++ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + − ++ − −− ++ + ++ − ++ − ++ + ++ −− ++ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 Con la formulación en términos de flujos de estator y rotor se obtiene un modelo exacto, no aproximado. Se incluye en este apéndice por considerar todos los conjuntos posibles de variables de estado. F.1 F.2. Modelo en términos de corrientes de estator y rotor. () () () () () () () () () ω P B dt dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d LL0L0 0LL0L L0LL0 0L0LL i i i i RLLωω0Lωω LLωωRLωω0 0LωRLLω Lω0LLωR 0 0 u u le rysxrxsyme ry rx sy sx mrlm mrlm mmsl mmsl ry rx sy sx rmrlgmg mrlgrmg mgsmslg mgmslgs sy sx +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− +−−−− + −+− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ F.2 F.3. Modelo en términos de corrientes de estator y magnetizante. () () () () () () () ω P B dt dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d LL0L-0 0LL0LL0L0 0L0L i i i i RLLωωR-Lωω LLωωRLωωR0LωRLω Lω0LωR 0 0 u u le mysxmxsyme my mx sy sx mrlrl mrlrl msl msl my mx sy sx rmrlgrrlg mrlgrrlgr mgsslg mgslgs sy sx +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− +−−− −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ F.3 F.4. Modelo en términos de corrientes magnetizante y de rotor. () () () () () () () ω P B dt dω P J tt iiii1,5PLt i i i i dt d L0L0 0L0L L-0LL0 0L-0LL i i i i RLωω0Lωω LωωRLωω0 R-Lω-RLLω LωR-LLωR 0 0 u u le rymxrxmyme ry rx my mx rlm rlm slmsl slmsl ry rx my mx rrlgmg rlgrmg sslgsmslg slgsmslgs sy sx +=− −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−−− + +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ F.4 F.11. Modelo en términos de flujos magnetizante y de rotor. () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx my mx rl sl mrl sl sl mrl sl ry rx my mx rl r g rl r g rl r rl r rl s rl sl g mrl s mrl slg rl sl g rl s mrl slg mrl s sy sx ψ ψ ψ ψ dt d 1000 0100 L L -0 L 1 L 1 L10 0 L L -0 L 1 L 1 L1 ψ ψ ψ ψ L R ωω L R 0 ωω L R 0 L R L R L L ωL 1 L 1 R L 1 L 1 L1ω L L ω L R L 1 L 1 L1ω L 1 L 1 R 0 0 u url () ω P B dt dω P J tt ψψψψ L 1 1,5Pt le mxryrxmy rl e +=− −= F.11 F.12. Modelo en términos de corriente de rotor y flujo magnetizante. () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx my mx rl rl sl m sl sl m sl ry rx my mx rrlgg rlgrg sslg m s m sl g slgs m sl g m s sy sx i i ψ ψ dt d L010 0L01 L0 L L 10 0L0 L L 1 i i ψ ψ RLωω0ωω LωωRωω0 R-LωL R L L 1ω LωRL L 1ω L R 0 0 u u ( ) ω P B dt dω P J tt iψiψ1,5Pt le rymxrxmye +=− − = F.12 F.13. Modelo en términos de corriente de estator y flujo de rotor. () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + ++ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + −− ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx sy sx m mrl m mrl rl sl m mrl m mrl rl sl ry rx sy sx mrl r g mrl m r g mrl r mrl m r mrl m gsm mrl rl slg mrl m gm mrl rl slgs sy sx ψ ψ i i dt d 1000 0100 L LL 1 0L LL L L0 0L LL 1 0L LL L L ψ ψ i i LL R ωω LL L R-0 ωω LL R 0 LL L R0 LL L ωRL LL L Lω LL L ω-0L LL L LωR 0 0 u u () ω P B dt dω P J tt ψiψi LL L 1,5Pt le rysyrxsy mrl m e +=− − + = F.13 F.14. Modelo en términos de flujo de estator y corriente de rotor. () () () () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +− + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +−− + −− ++ + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ry rx sy sx m msl sl rlm msl m msl sl rlm msl ry rx sy sx rm msl sl rlg msl m g m msl sl rlgr msl m g msl m s msl s g msl m sg msl s sy sx i i ψ ψ dt d L LL L L0L LL 1 0 0L LL L L0L LL 10010 0001 i i ψ ψ RL LL L Lωω0 LL L ωω L LL L LωωR LL L ωω0 LL L R-0 LL R ω 0LL L R-ω LL R 0 0 u u () ω P B dt dω P J tt iψiψ LL L 1,5Pt le rysyrxsy msl m e +=− − + = F.14