Estimaciones de promedios en análisis

La Gaceta de la RSME, Vol. 18 (2015), Núm. 1, Págs. 67–86 67 Estimaciones de promedios en Análisis∗ por Santiago Boza y Javier Soria Resumen. Existen en Análisis una serie de resultados clásicos en los que el cálculo de promedios juega un papel relevante, como los métodos generalizados de convergencia, el teorema fundamental del cálculo o el tratamiento digital de imágenes. Para entender mejor estas ideas, desarrollaremos brevemente algunas de las técnicas más útiles que permiten obtener buenas estimaciones de dichos promedios. En particular, mencionaremos las desigualdades de Hardy, propiedades de la convolución, operadores maximales, aproximaciones de la identidad, lemas de cubrimiento, reordenamientos decrecientes, etc. Al final del artículo presentaremos también algunos problemas interesantes, todavía sin resolver. 1. Introducción 1.1. Ejemplos de promedios Uno de los resultados más conocidos de Análisis Matemático en los que aparece la necesidad de estimar un promedio, y que nos encontramos en los primeros años de nuestros estudios universitarios, es el criterio de la convergencia en media de una sucesión (que también se suele conocer como convergencia Cesàro), que afirma que si {an}n∈N⊂Res una sucesión que converge a l∈R, y si definimos la sucesión de las medias aritméticas como σn=a1+···+an n, entonces l´ımn→∞ σn=l. Sabemos que, en general, la convergencia Cesàro es más débil que la convergencia usual. Por ejemplo, si an= (−1)n,entonces σn=(−1/n, si nes impar 0,si nes par n→∞ −−−−→ 0. Esta idea de extender la noción de convergencia tiene aplicaciones muy gratas en ámbitos muy diversos (¡ojalá todas las sucesiones fueran convergentes!). Por ejemplo, ∗En la realización de este trabajo, ambos autores han estado parcialmente financiados por el proyecto MTM2010-14946. 68 Estimaciones de promedios en Análisis usando el teorema de Hahn-Banach [7] es posible probar la existencia de un operador lineal y continuo LIM : `∞(N)−→ R, de manera que l´ım inf n→∞ an≤LIM({an}n)≤l´ım sup n→∞ an. En particular, si l´ımn→∞ an=l, entonces LIM({an}n∈N) = ly, por lo tanto, toda sucesión acotada es convergente, en sentido generalizado, sin que la convergencia usual quede alterada. El problema es que esta generalización abstracta del límite no es constructiva (ni única), por lo que a efectos prácticos concretos no es de gran utilidad. Sin embargo, en términos de la convergencia Cesàro, sí que podemos obtener resultados explícitos. Quizá el más conocido sea el teorema de Fejér aplicado a las sumas parciales de la serie de Fourier de una función f∈L1(T): si definimos Snf(x) = X |k|≤n ˆ f(k)eikx, donde ˆ f(k) = 1 2πZπ −π f(x)e−ikx dx son los coeficientes de Fourier de la función f, y calculamos sus medias de Cesàro σnf(x) = 1 n+ 1 n X j=0 Sjf(x), entonces σnf(x)n→∞ −−−−→ f(x),a.e. x∈T.(1) La trascendencia de este resultado viene dada por el hecho de que existe una función f∈L1(T)cuya serie de Fourier diverge en todo punto (teorema de Kolmogorov [27]). La figura 1 muestra el comportamiento de S80fyσ80fen un punto de discontinuidad de salto de una función f. Obsérvese cómo σnfpresenta un comportamiento más regular, menos oscilatorio (las oscilaciones que manifiesta Snfson lo que se denomina fenómeno de Gibbs). Otro ejemplo que ilustra cómo un buen control en los promedios 1 2hRx+h x−hf(t)dt de una función en un intervalo nos permite obtener buenas propiedades de diferenciación, es el teorema fundamental del cálculo: Teorema 1.1.Si f∈ C([a, b]) yF(x) = Rx af(t)dt,x∈[a, b], es la integral definida de f, entonces F∈ C1([a, b]) yF0≡f. Demostración. Usando las propiedades elementales de la integral, estimamos el cociente incremental, con h > 0, de la siguiente manera:  F(x+h)−F(x−h) 2h−f(x)= 1 2hZx+h x−h f(t)dt −f(x) ≤1 2hZx+h x−h|f(t)−f(x)|dt h→0 −−−→ 0. La Gaceta ?Artículos 69 �1.2 �1.0 �0.8 �0.6 �2 �1 1 2 Figura 1: S80f(trazo fino) y σ80f(trazo grueso). Así, F0(x) = l´ım h→0 F(x+h)−F(x−h) 2h=f(x). Un tercer ejemplo donde el empleo de promedios es un método práctico y sencillo para obtener mejoras en la calidad digital de señales o imágenes está basado en el cálculo del valor medio de las intensidades en píxeles de un entorno cercano (en concreto, esto es un caso particular del uso de los llamados filtros espaciales). En la figura 2 se muestra el filtrado de una señal y en la figura 3 el de una imagen. En ambos casos la mejora obtenida es evidente. Observamos que, en los ejemplos anteriores, al tomar promedios obtenemos una mejora en propiedades de regularidad, hay un mayor grado de suavidad en la sucesión, la función, la señal, la imagen, etc. Este hecho se puede formalizar usando la convolución de dos funciones fyg, definidas en un grupo abeliano localmente compacto G, con una medida invariante por traslaciones µ(la medida de Haar) [13]: (f∗g)(x) = ZG f(y)g(x−y)dµ(y). Algunos ejemplos clásicos de (G, µ)son: Caso discreto (Z,Z/NZ×Z/MZ) y la medida de contar. RnoT, con la medida de Lebesgue. (R+,∗), siendo ∗el producto usual y dt/t la medida invariante por dilataciones. La regularidad y propiedades de aproximación de la convolución que hemos mencionado se pueden resumir, en el caso euclídeo, en los siguientes apartados (recor- 70 Estimaciones de promedios en Análisis Señal original. Señal con ruido. Señal filtrada. Figura 2: Filtro espacial 1D. Imagen original. Imagen con ruido. Imagen filtrada. Figura 3: Filtro espacial 2D: promedios por filas y columnas. demos que χAdenota la función característica del conjunto A, y |A|su medida de Lebesgue): Si g(x) = 1 vnχB(0,1)(x)ygh(x) = 1 hngx h, donde vnes el volumen de la bola unidad de Rn, entonces (f∗gh)(x) = 1 |B(x, h)|ZB(x,h) f(y)dy. Así, si fes continua en x, se tiene que l´ımh→0(f∗gh)(x) = f(x), que es, tal como hemos visto, el resultado principal en la demostración del teorema 1.1. La Gaceta ?Artículos 71 Si f∈Lp(Rn)yg∈Lp0(Rn), con 1/p + 1/p0= 1, entonces (f∗g)∈ C0(Rn). En la figura 4 se muestra la gráfica (trazo grueso) de la convolución (f∗g)de las funciones escalonadas f=−χ(−2,−3/2) +2χ(−3/2,1) −χ(1,2) yg= 4χ(−1,−1/2) − 2χ(−1/2,3/2) +χ(3/2,3). Obsérvese que (f∗g)∈ C0(R), mientras que fygson discontinuas. Si f∈ Ck(Rn)tiene soporte compacto y g∈Lp(Rn), entonces (f∗g)∈Lp(Rn)∩Ck(Rn). 1.2. Operadores maximales La extensión del teorema 1.1 a funciones arbitrarias es conocida como teorema de diferenciación de Lebesgue [12]: Si f∈L1(Rn), entonces 1 |B(x, h)|ZB(x,h) f(y)dy h→0 −−−→ f(x),a.e. x∈Rn.(2) La prueba de este resultado es consecuencia de la acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood [14] Mf(x) = sup h>0 1 |B(x, h)|ZB(x,h)|f(y)|dy, (3) -4 -2 2 4 -8 -6 -4 -2 2 4 Figura 4: Gráfica de la convolución de dos funciones escalonadas. 72 Estimaciones de promedios en Análisis que nos da el «mayor promedio», sobre todas las bolas centradas en el punto x, de la función |f|. El operador Mes sublineal, positivo y acotado en Lp(Rn),1< p ≤ ∞ (véase (10)). Sin embargo, la acotación en L1(Rn)no es cierta: si |x|  0, MχB(0,1)(x)≈1 |x|n/∈L1(Rn). Es usual, en estos casos, sustituir la acotación en el extremo p= 1 por otra estimación más débil, mediante el control de la medida de los conjuntos de nivel de Mf (lo que se conoce como función de distribución de Mf): λMf (t) := x∈Rn:Mf(x)> t≤C tkfk1, que equivale a kMfk1,∞≤Ckfk1,(4) donde el espacio de tipo débil L1,∞se define por la condición L1,∞={f:kfk1,∞= sup t>0 tλ|f|(t)<∞}. Es fácil probar que L1⊂L1,∞(desigualdad de Chebyshev) y que, si p > 0, kfkp p=pZ∞ 0 tp−1λ|f|(t)dt. Si reemplazamos las bolas por una familia general de conjuntos B(como cubos, intervalos, rectángulos, dilataciones de un conjunto convexo fijo, etc.) y definimos el correspondiente operador maximal MBf(x) = sup x∈B∈B 1 |B|ZB|f(y)|dy, se puede probar que las siguientes propiedades son, esencialmente, equivalentes [12, Chapter 6]: Acotaciones de MB. Propiedades geométricas de recubrimientos de B. Diferenciación de integrales: l´ım B3B→x 1 |B|ZB f(y)dy =f(x),a.e. x. Por ejemplo, si Bes una base de diferenciación (véase [12, p. 104]) y 1<p<∞, entonces [12, Theorem 6.5.3] l´ım B3B→x 1 |B|ZB f(y)dy =f(x),a.e. x, para toda f∈Lp, La Gaceta ?Artículos 73 si, y solo si, para todo 0<|A|<∞, todo cubrimiento de Vitali Vde A(véase [12, p. 106]) formado por conjuntos de B, A⊂[ B∈V B, y todo ε > 0, existe una sucesión {Bk}k⊂ V tal que |A\SkBk|= 0; |SkBk\A|< ε; tiene solapamiento pequeño, es decir, ZRnX k χBk(x)−χ∪kBk(x)p0 dx < ε. Obsérvese que PkχBk(x)−χ∪kBk(x)=0si, y solo si, los elementos de {Bk}k son disjuntos dos a dos. Una última aplicación que nos gustaría mencionar del uso de estimaciones para operadores maximales, es la obtención de los resultados clásicos de aproximaciones de la identidad: Si Kes un núcleo positivo, con kKk1= 1 y con un buen decaimiento (en el infinito, o lejos del origen), entonces (f∗Kt)(x)→f(x),a.e. x. La idea es probar que el operador maximal asociado a K, MKf(x) = sup t|(f∗Kt)(x)|, está puntualmente acotado por el operador maximal de Hardy-Littlewood y, a partir de aquí, repetir la demostración del teorema de diferenciación de Lebesgue (2). Como aplicación podemos dar una idea de la prueba del teorema de Fejér (1). Si Snf(x) = X |k|≤n ˆ f(k)eikx yσnf(x) = 1 n+ 1 n X j=0 Sjf(x), entonces σnf(x) = (f∗Fn)(x), donde Fn(x) = 1−cos nx n(1 −cos x) es el núcleo de Fejér, que satisface todas las estimaciones de una «buena» aproximación de la identidad y, por lo tanto, σnf(x)=(f∗Fn)(x)n→∞ −−−−→ f(x),a.e. x∈T. Es interesante observar que Snf(x)=(f∗Dn)(x), donde Dn(x) = sen((n+ 1/2)x) sen(x/2) es el núcleo de Dirichlet, para el que se verifica que kDnk1≈log n. 74 Estimaciones de promedios en Análisis 2. Promedios y monotonía 2.1. ¿Por qué nos interesan las funciones decrecientes? Comenzamos con la siguiente cita extraída del libro [25]: Uno de los teoremas más conocidos de Hardy y Littlewood hace referencia a la felicidad de un jugador de críquet: si tiene un mal día, puede consolarse promediando los resultados obtenidos en días anteriores. Si, por ejemplo, hoy hizo un «duck» (ningún punto), pero el día anterior consiguió 100 puntos, siempre puede decir «¡Bah!, de momento llevo 50. . . ». Su felicidad en un día en concreto dependerá no solamente de sus últimos resultados, sino del máximo valor de una sucesión de puntuaciones promediadas. .. Y nos preguntamos, ¿en qué orden debería ordenar la Providencia dichas puntuaciones para darle al jugador la mayor felicidad posible? La respuesta que dieron Hardy-Littlewood es probable que no satisficiera al clérigo preocupado por cuestiones de índole moral, aunque seguro que fue del total agrado de Hardy. Lejos de lo que dicta el sentido común, de que hemos de ir mejorando día a día, la Providencia debería ordenar las puntuaciones en sentido decreciente (es decir, la felicidad máxima se alcanza cuanto peores nos volvamos con el paso del tiempo). La demostración de este hecho, quizá paradójico, es en realidad un ejercicio inmediato. Dados a={a1, . . . , aN} ⊂ R+, si reordenamos aen orden decreciente a={a∗ j}j=1,...,N , a∗ 1≥a∗ 2≥ ··· ≥ a∗ N, entonces, de manera inductiva, se prueba que a1+···+aj j≤a∗ 1+···+a∗ j j, j = 1, . . . , N. (5) En general, esta desigualdad se puede extender fácilmente a promedios integrales de funciones. Para tal fin, dada fconstruimos su reordenada decreciente f∗de la siguiente manera: aproximamos |f|mediante una sucesión creciente de funciones escalonadas fN↑ |f|, reordenamos fNcomo si fuera una sucesión numérica (véase la figura 5) y observamos que f∗ Nconverge, de manera creciente, a una función que denominamos f∗. Las siguientes propiedades de f∗son sencillas de probar: f∗es la «inversa» de la función de distribución λ|f|. Las funciones fyf∗son equimedibles: |{x:|f(x)|> s}| =|{t:f∗(t)> s}|. kfkp=kf∗kp. La Gaceta ?Artículos 75 La Gaceta �Art´ ıculos 9 Providencia dichas puntuaciones para darle al jugador la mayor felicidad posible? La respuesta que dieron Hardy-Littlewood es probable que no satisficiera al cl´erigo preocupado por cuestiones de ´ındole moral, aunque seguro que fue del total agrado de Hardy. Lejos de lo que dicta el sentido com´un, de que hemos de ir mejorando d´ıa a d´ıa, la Providencia deber´ıa ordenar las puntuaciones en sentido decreciente (es decir, la felicidad m´axima se alcanza cuanto peores nos volvamos con el paso del tiempo). La demostraci´on de este hecho, quiz´a parad´ojico, es en realidad un ejercicio inmediato. Dados a={a1,...,a N}⊂R+,sireordenamos aen orden decreciente a={a∗ j}j=1,...,N ,a ∗ 1≥a∗ 2≥···≥a∗ N, entonces, de manera inductiva, se prueba que a1+···+aj j≤a∗ 1+···+a∗ j j,j=1,...,N. (5) hlse En general, esta desigualdad se puede extender f´acilmente a promedios integrales de funciones. Para tal fin, dada fconstruimos su reordenada decreciente f∗de la siguiente manera: aproximamos |f|mediante una sucesi´on creciente de funciones escalonadas fN↑|f|, reordenamos fNcomo si fuera una sucesi´on num´erica (v´ease la figura 5) y observamos que f∗ N↑f∗. 3 1 2 23 4 Grafo de f 3 2 1 Grafo de f∗ 46 9 Figura 5: Reordenada decreciente de una funci´on escalonada. �rede� Figura 5: Reordenada decreciente de una función escalonada. La extensión de (5), de sucesiones a funciones, se conoce como desigualdad de Hardy-Littlewood: si E⊂Rny|E|=t, entonces 1 |E|ZE|f(x)|dx ≤1 tZt 0 f∗(s)ds. ¿Cómo se comporta la reordenación decreciente con respecto al promedio máximo? La respuesta la da el siguiente resultado fundamental, debido a F. Riesz, N. Wiener y C. Herz [3, Theorem III.3.8]: Mf∗(t)≈1 tZt 0 f∗(s)ds, t > 0.(6) Es decir, la reordenada del «mayor promedio» es el promedio de la reordenada. Obsérvese que de (6) se obtiene la siguiente equivalencia de «normas», de la que se deduce (4): kMfk1,∞= sup t>0 tMf∗(t)≈sup t>0Zt 0 f∗(s)ds =kfk1.(7) 2.2. Desigualdades de Hardy Si intentamos usar (6) para probar la acotación en Lpdel operador maximal, 1<p<∞, análogamente a lo que hemos hecho en (7), obtenemos kMfkp=k(Mf)∗kp≈    1 tZt 0 f∗(s)ds   p .(8) 82 Estimaciones de promedios en Análisis Ejemplos 3.5. Operadores de convolución: el operador TKf(x) = ZR K(x−y)f(y)dy, con K(x) = sen(2π2x) πx(2πx + 1) ∈L1(R), satisface que TK−Id es una isometría en L2(R). Esto también se puede probar usando el teorema de Plancherel y que b K(ξ) = (1 + eiξ)χ[−π,π](ξ). Así, |b K(ξ)−1|= 1,para todo ξ∈R. En particular, (14) nos da la identidad ZR sen(2π2(x−r)) (x−r)(2π(x−r) + 1) sen(2π2x) x(2πx + 1) dx =2πsen(2π2r) r(1 −(2πr)2). Consideramos ahora operadores TKasociados a funciones características; i.e., con núcleos de la forma K(x, y) = χE(x, y), siendo E⊂R+×R+un conjunto medible. En particular, fijado N∈N, si e ENestá generado por una unión de cuadrados unidad de la forma [j, j + 1] ×[k, k + 1], con j, k ∈ {0, . . . , N −1}, y EN= ∞ [ l=0 e EN+ (lN, lN), es decir, e ENse repite periódicamente a lo largo de la diagonal y=x, se puede probar que los ejemplos de las figuras 7 y 8 representan todos los casos posibles de los conjuntos EN, con N= 3 y4respectivamente, para los que TK−Id es una isometría en L2(R+). BRIEF ARTICLE THE AUTHOR 123 ··· 1 2 3 . . . 123 ··· 1 2 3 . . . ��� ��� E3,1E3,2 1 Figura 7: Conjuntos generados por un período 3×3. La Gaceta ?Artículos 83 2 THE AUTHOR 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . 24 ··· 2 4 . . . ��������� ��������� ��������� E4,1E4,2E4,3 E4,4E4,5E4,6 E4,7E4,8E4,9 Figura 8: Conjuntos generados por un período 4×4. 4. Problemas abiertos Terminamos enumerando una serie de preguntas que nos parecen interesantes y que recogen aspectos fundamentales de las diversas técnicas y principales resultados que hemos ido viendo en las secciones anteriores: (a) ¿Para qué núcleos Kel operador maximal MKf(x) = sup t|(f∗Kt)(x)| es de tipo débil (1,1)? Es decir, MK:L1→L1,∞. ¿Cuándo se verifica que (f∗Kt)(x)→f(x), a.e. x? Se conocen algunas condiciones necesarias o suficientes: Si Kes una función radial tal que K(x)|x|−αes decreciente, para algún α≥0, y kKk1= 1, entonces ambas propiedades son ciertas. Si K∈L1(R)es un núcleo continuo y MK:L1(R)→L1,∞(R), entonces |K(x)| ≤ C/|x|(véase [9]). Si K∈L1(Rn)∩L∞(Rn), con kKk1= 1, y (f∗Kt)(x)→f(x)en los 84 Estimaciones de promedios en Análisis puntos de Lebesgue de toda función f∈L1(Rn), entonces (véase [4]) e K(x) = sup |t|≤|x||K(t)| ∈ L1(Rn). (b) ¿Cuál es la mejor constante Cnen la desigualdad de tipo débil {x∈Rn:Mf(x)> t}≤Cn tkfk1, donde Mf es el operador maximal de Hardy-Littlewood definido en (3)? Se sabe que Cn=O(n)(véase [24]). Solo se conoce el valor para n= 1 (véase [19]): C1=11 + √61 12 . (c) ¿Cuál es la mejor constante C=kSkp Lp dec(w)en (11)? Se sabe que (1 + kwkBp)1/p ≤C1/p ≤1 + kwkBp (la desigualdad inferior sale de coger la característica del intervalo (0, r)y la superior, que no es inmediata, puede verse, explícitamente, en [20]). (d) Si 1<p<2yw∈Bpes un peso decreciente, ¿cuánto vale kS−Id kLp dec(w)? A diferencia de lo que se probó en el teorema 2.1, este resultado no se conoce ni siquiera para el caso de pesos potencias w(t) = tα,−1< α < 0. Las estimaciones que se pueden probar en este caso son kwk1/p Bp≤ kS−Id kLp dec(w)≤kwk1/p Bp (p−1)1/p0. (e) ¿Para qué espacios de medida (X, dµ)existen operadores TKque son promedios, es decir, ZX K(t, s)dµ(s)=1,a.e. t∈X, y tales que TK−Id es una isometría en L2(X, dµ)? Es inmediato probar que, si tal operador existe, necesariamente µ(X) = ∞. ¿Es cierto el recíproco? Es claro que, en Rn, extensiones radiales del operador de Hardy nos dan ejemplos válidos. Sin embargo, el mismo argumento en Nno funciona: el operador discreto de Hardy (que es un operador de promedio) Sd({am}m∈N)(n) = a1+···+an n no satisface dicha propiedad (basta considerar {am}m∈N={1,0,0, . . . }). La Gaceta ?Artículos 85 Referencias [1] M. A. Ariño y B. Muckenhoupt, Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy’s inequality with weights for nonincreasing functions, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 727–735. [2] C. Bennett, R. A. DeVore y R. Sharpley, Weak-L∞and BMO, Ann. of Math. (2) 113 (1981), 601–611. 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