El Movimiento Browniano en la modelización del par EUR/USD
Abstract
[ES] En el presente trabajo introduciremos el modelo del Movimiento Browniano Geométrico (MBG) para tratar de modelizar el comportamiento del valor de cotización de un activo financiero en el mercado de divisas o mercado FOREX, y poder así hacer predicciones de dicho valor. El activo financiero elegido es el par Euro Dólar americano (EUR/USD). Para llevar a cabo la modelización deberemos calibrar dos parámetros de los que dependerá nuestro modelo, y para ello utilizaremos la técnica de maximización de la función de verosimilitud. Una vez calibrado el modelo, llevaremos a cabo una docena de estimaciones del valor de cotización futuro del mencionado activo y las contrastaremos con las cotizaciones para ver en qué medida el modelo se ajusta a la realidad. Para ello utilizaremos diferentes medidas de bondad de ajuste como el Error Cuadrático Medio. Para la estimación utilizaremos los valores de cotización intradía del par EUR/USD desde el 30/06/2011 hasta el 15/06/2012, considerando solo los días transaccionales, es decir aquellos en los que opera el mercado FOREX. De este modo obtenemos una muestra de alrededor de 300 valores de cotización que nos permitirán estimar los valores de cotización para las fechas del 17 al 29 de junio de 2012. Las estimaciones las llevaremos a cabo siguiendo tres metodologías, estimación a corto plazo, estimación paso a paso y estimación paso a paso mediante simulación. Y en los tres casos haremos estimaciones puntuales y estimaciones por intervalos de confianza. Cuando hayamos obtenido las estimaciones por las tres metodologías compararemos sus resultados y plantearemos estrategias de compra o venta del activo. Finalmente concluiremos el trabajo poniendo de manifiesto algunas limitaciones de este modelo a la hora de plantear dichas estrategias.
Full text
MÁSTER UNIVERSITARIO EN DIRECCIÓN FINANCIERA Y FISCAL TESINA FIN DE MÁSTER El Movimiento Browniano en la modelización del par EUR/USD Autor: José Vicente González Cervera Directores: Dr. Juan Carlos Cortés López Dr. Francisco Guijarro Martínez 1
Índice de la presentación 1. Datos y elección del modelo 2. El movimiento browniano 3. Transformaciones del modelo 4. Distribución estadística de las log-cotizaciones 5. Estimación de los parámetros del modelo 6. Metodologías de predicción 7. Resultados 8. Medidas de bondad de ajuste 9. Conclusiones 2
1.Datos y elección de modelo Situados en el 15/06/2012,trataremos de predecir la log-cotización del par EUR/USD para los días 17,18,19,20,21,22,24,25,26,27,28,29 de junio de 2012. Para ello utilizaremos una muestra de log-cotizaciones diarias desde el 30/06/2011al 15/06/2012. Un año aproximadamente. Aplicaremos un modelo de predicción basado en el Movimiento Browniano, cuya modelización se asemeja a la de los precios de los activos financieros. 3
El tipo de cambio depende de multitud de factores muy difíciles de cuantificar. Esto motiva la introducción de modelos estocásticos para su estudio. En nuestro modelo se basa en la siguiente ecuación diferencial estocástica de tipo Itô que introduce la aleatoriedad a través de un proceso estocástico (p.e.) llamando Movimiento Browniano (M.B.) 𝐵 𝑡 : 𝑑𝑆 𝑡 = µ 𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆(𝑡)𝑑𝑩(𝒕) Determinista Aleatorio • 𝑆(𝑡) denota el valor del par EUR/USD en el instante 𝑡. • µ denota la tendencia, deriva o drift. • 𝜎 de nota la volatilidad (luego es positiva). • 𝐵(𝑡) denota el p.e. Movimiento Browniano (o proceso de Wiener). • 𝑑𝑆 𝑡 denota la variación del subyacente en [𝑡,𝑡 + 𝑑𝑡]. • 𝑑𝐵(𝑡) denota la variación del MB en [𝑡,𝑡 + 𝑑𝑡]. 2.El movimiento Browniano 4
2.1.Propiedades del Modelo. Definición Empieza en el origen con probabilidad 1: 𝑃 𝐵 0 =0 =1 Sus incrementos son: Estacionarios 𝐵 𝑡+∆𝑡 −𝐵 𝑡 = 𝐵 𝑠+∆𝑡 −𝐵 𝑠 , 𝑠,𝑡,∈ 0,∞ Independientes 𝐵 𝑡2)−𝐵(𝑡1,𝐵 𝑡3)−𝐵(𝑡2,…,𝐵 𝑡𝑛+1 −𝐵(𝑡𝑛, 0<𝑡1<𝑡2< ⋯<𝑡𝑛< 𝑡𝑛+1 <∞ Distribución 𝐵(𝑡)−𝐵(𝑠) 𝑁(0; 𝑡−𝑠). El movimiento presenta trayectorias continuas no diferenciables. 5
2.2.Propiedades fundamentales del modelo. Función media igual a cero: 𝐸[𝐵(𝑡)] = 0 La covarianza es el mínimo entre “s” y “t”: 𝐶𝑜𝑣 [𝐵(𝑡),𝐵(𝑠)] = s, si 0 < 𝑠 < 𝑡 Es ½ autosemejante: 𝐵 𝑇 𝑡 = 𝑇 𝐵(𝑡) 6
2.3.Solución del modelo MBG. La solución del Proceso estocástico da como resultado el Movimiento Browniano Geométrico (MBG) o Modelo Lognormal: 𝑑𝑆 𝑡 = µ 𝑆 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆 𝑡 𝑑𝐵 𝑡 𝑆 𝑡 =𝑆 0 𝑒 µ−1 2𝜎2𝑡+𝐵(𝑡) ,𝑡 ≥0 MBG El comportamiento medio del precio del par EUR/USD es el mismo que el que se obtendría en el caso determinista: 𝑆0𝑒µ𝑡 La varianza es positiva y crece a medida que lo hace el horizonte temporal T: 𝑉𝑎𝑟 𝑆 𝑇 = 𝑆02𝑒2µ𝑇 𝑒𝜎2𝑇−1 >0 Cálculo de Itô 7
3.Transformaciones para trabajar Por conveniencia hacemos las transformaciones: Trabajamos con el logaritmo neperiano de las cotizaciones: 𝑌(𝑡)= 𝑙𝑛(𝑆(𝑡)) Transformamos los parámetros: 𝑅 = µ− 𝜎2 2, 𝑉 = 𝜎2 Discretizamos el modelo en k periodos: 𝑌(𝑡𝑘)= 𝑌𝑘 con 𝑡𝐾= 𝐾, 𝐾 = 0,1,2…𝑛 Así nuestro modelo queda: 𝑆 𝑡 =𝑆 0 𝑒 µ−1 2𝜎2𝑡+𝐵(𝑡) 𝒀𝑲=𝒀𝟎+𝑹 𝑲 + 𝑽𝑩(𝑲) 8
4.Distribución estadística de las log-cotizaciones Conocida la expresión que determina 𝑌𝐾 podemos deducir la expresión de 𝑌𝐾−1 (1) 𝑌𝐾=𝑌0+𝑅 𝐾 + 𝑉𝐵(𝐾) (2) 𝑌𝐾−1 =𝑌0+𝑅 (𝐾−1) + 𝑉𝐵(𝐾−1) (1)-(2) 𝑌𝐾=𝑌𝐾−1 +𝑅+ 𝑉 𝐵 𝐾 −𝐵(𝐾−1) 𝐸 𝑌𝐾= 𝑌𝐾−1 +𝑅 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝐾= 𝑉 9 𝑌𝐾 𝑌𝐾−1~N 𝑌𝐾−1 +𝑅 ; 𝑉
6.4.Estimación a paso a paso. Estimadores por intervalos de confianza. Procediendo del mismo modo que en la estimación a corto plazo pero sustituyendo t=m+1=n+1 obtenemos las estimaciones por intervalos de confianza: 16
6.5.Estimación por simulación Se trata de una estimación paso a paso, pero utilizando como predicción el valor de 𝑌𝑡 estimado y no su esperanza. Sabemos que: Ỹ𝑡= 𝑌𝑛+ 𝑡−𝑛 𝑅 + 𝑉 𝐵 𝑡 −𝐵(𝑛) Como 𝐵 𝑛 −𝐵(𝑛−1) sigue una normal de media 0 y desviación típica la longitud del intervalo (1), podemos calcular el valor de Ỹ𝑡 simulando dicha diferencia mediante una generación de números aleatorios normales (0;1). El valor que utilizaremos como estimación será el promedio de los distintos Ỹ𝑡 calculados (uno para cada número aleatorio). Los resultados obtenidos son casi exactos a los hallados por la metodología paso a paso sin simulación. 17
7.1. Resultados estimaciones paso a paso mediante simulación Monte Carlo Resultados muy similares a los obtenidos tomando esperanzas Podemos evitar simular el browniano para calcular estimaciones 18 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Log cotización €/$ Estimaciones Estimaciones con y sin simulación Predicción sin Simul. Predicción Simul.
7.2. Resultados estimación corto plazo 19 Las estimaciones de R y V permanecen constantes. La amplitud de las predicciones por intervalos se multiplica por 10 de la primera a la última predicción. Predicción por intervalos Fechas Predicción puntual Intervalo Inferior Intervalo superior Yt 17.06.2012 0,2338 0,2203 0,2472 0,2394 18.06.2012 0,2333 0,2139 0,2527 0,2308 19.06.2012 0,2328 0,2086 0,2571 0,2374 20.06.2012 0,2324 0,2040 0,2607 0,2375 21.06.2012 0,2319 0,1999 0,2640 0,2271 22.06.2012 0,2315 0,1960 0,2670 0,2287 24.06.2012 0,2310 0,1923 0,2698 0,2262 25.06.2012 0,2306 0,1888 0,2724 0,2234 26.06.2012 0,2301 0,1854 0,2749 0,2220 27.06.2012 0,2297 0,1822 0,2772 0,2207 28.06.2012 0,2292 0,1790 0,2795 0,2185 29.06.2012 0,2288 0,1759 0,2816 0,2360 Rest= -0,000452119 Vest= 4,20476E-05
7.2. Resultados de estimación a corto plazo 20 0,1500 0,1700 0,1900 0,2100 0,2300 0,2500 0,2700 0,2900 012345678910 11 12 Log cotización €/$ Estimaciones Amplitud de 300 pips Amplitud de 3000 pips Ln cotiz. Predicción puntual Int. Inferior Int Superior
21 7.3.Resultados estimación paso a paso Estimaciones por intervalos al 95% de confianza demasiado amplias. Estimaciones puntuales aceptables. Estimaciones de R y V variables. Los recalculamos periodo a periodo. Fechas R est hasta la fecha V est hasta la fecha Predicción puntual Intervalos al 95% Yt 15.06.2012 -0,0004521 4,20476E-05 Intervalo Inferior Intervalo superior 0,2342 17.06.2012 -0,0004333 4,20140E-05 0,2338 0,2203 0,2472 0,2394 18.06.2012 -0,0004604 4,20958E-05 0,2390 0,2255 0,2524 0,2308 19.06.2012 -0,0004372 4,21194E-05 0,2303 0,2169 0,2438 0,2374 20.06.2012 -0,0004353 4,19820E-05 0,2369 0,2235 0,2504 0,2375 21.06.2012 -0,0004679 4,21678E-05 0,2371 0,2237 0,2505 0,2271 22.06.2012 -0,0004611 4,20438E-05 0,2267 0,2132 0,2401 0,2287 24.06.2012 -0,0004679 4,19210E-05 0,2283 0,2148 0,2417 0,2262 25.06.2012 -0,0004755 4,18025E-05 0,2257 0,2123 0,2391 0,2234 26.06.2012 -0,0004784 4,16697E-05 0,2229 0,2095 0,2363 0,2220 27.06.2012 -0,0004810 4,15374E-05 0,2215 0,2082 0,2349 0,2207 28.06.2012 -0,0004866 4,14138E-05 0,2203 0,2069 0,2336 0,2185 29.06.2012 - - 0,2180 0,2047 0,2313 0,2360
7.3. Resultados estimación paso a paso 22 Se pueden dar eventos económicos que escapen a nuestro intervalo de predicción 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Log cotización €/$ Estimaciones Reunión del consejo europeo (29/06/2012) Ln cotiz. Predicción puntual Intervalo Inferior Intervalo superior Comportamiento similar al de las medias móviles.
7.4. Resumen de predicciones 23 Fechas Yt Est. Corto plazo Est. Paso a paso Est. Simulación 17.06.2012 0,2394 0,2338 0,2338 0,2337 18.06.2012 0,2308 0,2333 0,2390 0,2338 19.06.2012 0,2374 0,2328 0,2303 0,2306 20.06.2012 0,2375 0,2324 0,2369 0,2304 21.06.2012 0,2271 0,2319 0,2371 0,2373 22.06.2012 0,2287 0,2315 0,2267 0,2267 24.06.2012 0,2262 0,2310 0,2283 0,2286 25.06.2012 0,2234 0,2306 0,2257 0,2258 26.06.2012 0,2220 0,2301 0,2229 0,2231 27.06.2012 0,2207 0,2297 0,2215 0,2217 28.06.2012 0,2185 0,2292 0,2203 0,2205 29.06.2012 0,2360 0,2288 0,2180 0,2180 0,2150 0,2200 0,2250 0,2300 0,2350 0,2400 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Log cotización €/$ Ln cotiz. Predicción a corto plazo Predicción paso a paso
8.Medidas de bondad de ajuste Error cuadrático medio (M.S.E) Mide la distancia media entre los valores estimados y los reales. Mejor estimación cuanto menos M.S.E presente. Error porcentual absoluto medio (MAPE) Media de valores absolutos ponderados. Reduce el efecto de los errores asociados a los valores más altos. Mejor estimación cuanto menos M.A.P.E. 24
8.1 Error Cuadrático Medio Fechas Yt Est. Corto plazo Estimación Paso a paso (Errores) 2 Corto plazo (Errores) 2 Paso a paso 17.06.2012 0,2394 0,2338 0,2338 3,2041E-05 3,2041E-05 18.06.2012 0,2308 0,2333 0,2390 6,2687E-06 6,6961E-05 19.06.2012 0,2374 0,2328 0,2303 2,0396E-05 4,9395E-05 20.06.2012 0,2375 0,2324 0,2369 2,6276E-05 3,5396E-07 21.06.2012 0,2271 0,2319 0,2371 2,3098E-05 9,8980E-05 22.06.2012 0,2287 0,2315 0,2267 7,6261E-06 4,2446E-06 24.06.2012 0,2262 0,2310 0,2283 2,3604E-05 4,3591E-06 25.06.2012 0,2234 0,2306 0,2257 5,1865E-05 5,4171E-06 26.06.2012 0,2220 0,2301 0,2229 6,5775E-05 7,8340E-07 27.06.2012 0,2207 0,2297 0,2215 7,9929E-05 6,4624E-07 28.06.2012 0,2185 0,2292 0,2203 1,1526E-04 3,1221E-06 29.06.2012 0,2360 0,2288 0,2180 5,2469E-05 3,2451E-04 Suma de (errores)2 4,2051E-05 4,9235E-05 Error Cuadrático Medio 6,4847E-03 7,0167E-03 25 La estimación a corto plazo presenta menor M.S.E.