Sistema de afinación musical de proporciones áureas

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE GANDÍA Máster en Ingeniería Acústica Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áurea. TRABAJO FINAL DE MÁSTER Autor: Jaime Barberá Saiz Director/es: Dr. D. Serafín Pazo Carracedo Dr. D. Joan Martínez Mora GANDIA, 2012 2 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas Autor: Jaime Barberá Saiz Director 1:Dr. D. Joan Martínez Mora Director 2: Dr. D. Serafín Pazo Carracedo Resumen: En este Trabajo Final de Máster se va a tratar de realizar un sistema de afinación basado en proporciones áureas. Para ello se van a realizar tres aproximaciones una con doble temperado, a la que se le denominará bilineal, una aproximación parabólica y otra exponencial. Para introducir el tema y justificar este TFM se van a explicar los distintos tipos de afinación y se van a comentar algunos tipos. Una vez generado el sistema de afinación se van a realizar una serie de cálculos para comprobar si los sistemas son compatibles con el sistema temperado igual de 12 notas. Para explicar estos cálculos, se va a hacer una introducción a la lógica borrosa. Abstract: In this Thesis we will to try create a tuning system based on aureus proportions. For this three approaches will adopted: double tempering, which will be called bilinear, a parabolic approximation and an exponential approximation. To introduce the topic and justify this TFM we will attempt to explain the different types of tuning and will elaborate on some types. Once we have created the tuning system we will perform a series of calculations to see if the systems are compatible with the 12note equal tempered system. To explain these calculations, we will make an introduction to fuzzy logic . "El conocimiento nos hace responsables." Ernesto Che Guevara. Agradecimientos. En primer lugar quiero dedicarle este TFM a mi padre, una persona que se ha volcado conmigo en todo lo que he necesitado y que hoy en día está atravesando y luchando contra un duro enemigo. Fuerza y siempre adelante. Cómo no, la mujer que siempre está detrás de él, de todos los demás, y quizás la persona que necesita más fuerza de todos aquellos cuantos me rodean, gracias por todo mamá. Y si mi madre está detrás de todos, detrás de mi está la personita que siempre me pone una sonrisa en la boca y que en los últimos tiempos me hace totalmente feliz, este TFM también es tuyo mi pequeña E´lir. No puedo olvidarme de mis compañeros y sin embargo amigos, que me han hecho mucho más fácil este año. No voy a ponerme a recitar los nombres uno a uno, pero se os quiere. Mención aparte de este grupo merece el núcleo duro, los que resistimos de la carrera. Sin más agradeceros a todos, los momentos que me habéis dedicado este año, por escasos o pequeños que hayan sido. “La humanidad, partiendo de la nada y con su sólo esfuerzo, ha llegado a alcanzar las más altas cotas de miseria.” Groucho Marx Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 1 Índice Índice de Figuras, Gráficas y Tablas. ..................................................................................... 2. 1 Número Áureo ...................................................................................................................... 4. 1.1 Introducción. .................................................................................................................. 4. 1.2 La razón áurea. ............................................................................................................... 5. 1.3 El número áureo en la música. ........................................................................................ 5. 2 Sistemas de afinación. .......................................................................................................... 6. 2.1 Conceptos previos. ......................................................................................................... 7. 2.2 Medición de la sensación de altura. ................................................................................. 8. 2.3 Afinaciones. ................................................................................................................. 10. 2.4 Temperamentos regulares cíclicos. ............................................................................... 14. 2.5 Un número adecuado de divisiones por octava. ............................................................. 17. 2.6 Sensibilidad de percepción. .......................................................................................... 18. 3 Compatibilidad de los sistemas de afinación. .................................................................... 19. 3.1 Introducción a la lógica borrosa. ................................................................................... 19. 3.2 Conjuntos borrosos. ...................................................................................................... 20. 3.3 Números borrosos. ....................................................................................................... 21. 3.4 Comparación de sistemas. ............................................................................................ 23. 3.5 Aproximación exponencial. .......................................................................................... 24. 4 Compatibilidad de los sistemas de afinación. .................................................................... 31. 4.1 Introducción a la lógica borrosa. ................................................................................... 31. 4.2 Conjuntos borrosos. ...................................................................................................... 31. 4.3 Números borrosos. ....................................................................................................... 32. 4.4 Sistemas temperado, bilineal, parabólico y exponencial. ............................................... 34. 5 Futuras investigaciones. ..................................................................................................... 41. 6 Referencias bibliográficas. ................................................................................................. 42. 2 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Índice de Fifguras, Gráficas y Tablas. Figura 1.- Área auditiva. ......................................................................................................... 8. Figura 2.- Intervalos consonantes pitagóricos. ..................................................................... 11. Figura 3.- Distribución de semitonos en la afinación pitagórica. ......................................... 11. Figura 4.- Posicionamiento en un pentagrama de un Tono y sus dos semitonos. ................ 11. Figura 5.- Círculo de quintas del sistema pitagórico. ........................................................... 12. Figura 6.- Intervalos consonantes para la afinación justa. .................................................. 12. Figura 7.- Situación de la quinta sintónica de Zarlino. ........................................................ 13. Figura 8.- Distribución de semitonos en la afinación de Zarlino. ........................................ 13. Figura 9.- Posicionamiento en un pentagrama de dos Tono y sus tres semitonos. .............. 14. Figura 10.- Partición del intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. ................................... 15. Figura 11.- Distribución de semitonos en el temperamento de 12 notas. ............................ 15. Figura 12.- Distribución de notas para el temperamento de Holder ................................... 16. Figura 13.- Representación de 70 notas de la afinación pitagórica. ..................................... 17. Gráfica 1.- Comparación en cents del sistema temperado con el sistema bilineal. ............. 26. Gráfica 2.- Comparación en cents del sistema temperado con el sistema parabólico. ........ 26. Gráfica 3.- Comparación en cents del sistema temperado con el sistema exponencial. ...... 26. Gráfica 4.- Comparación en cents del sistema bilineal nota a nota. .................................... .28 Gráfica 5.- Comparación en cents del sistema parabólico nota a nota. ............................... 28. Gráfica 6.- Comparación en cents del sistema exponencial nota a nota. ............................. 28. Gráfica 7.- Comparación en cents del sistema bilineal vs parabólico. ................................. 30. Gráfica 8.- Comparación en cents del sistema bilineal vs exponencial. ............................... 30. Gráfica 9.- Comparación en cents del sistema parabólico vs exponencial. ......................... 30. Gráfica 10.- Compatiblidad entre sistema bilineal y temperado. ........................................ 37. Gráfica 11.- Compatiblidad entre sistema parabólico y temperado. ................................... 37. Gráfica 12.- Compatiblidad entre sistema exponencial y temperado. ................................. 37. Tabla 1.- Progresión geométrica 8 notas. ............................................................................. 20. Tabla 2.- Progresión geométrica 12 notas. ........................................................................... 21. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 3 Tabla 3.- Aproximación parabólica. ..................................................................................... 23. Tabla 4.- Aproximación exponencial. ................................................................................... 24. Tabla 5.- Frecuencias y comparación en cents del sistema temperado con los demás. ....... 25. Tabla 6.- Frecuencias y comparación en cents entre las notas de cada uno de los sistemas. 27. Tabla 7.- Comparación en cents de los diferentes sistemas entre ellos dos a dos. ............... 29. Tabla 8.- Frecuencia de las 12 notas de los cuatro sistemas. ................................................ 34. Tabla 9.- Cents de los cuatro sistemas. ................................................................................. 35. Tabla 10.- Compatiblidad entre los distintos sistemas de afinación. ................................... 36. Tabla 11.- Compatibilidad entre Temperado y Bilineal. ..................................................... 38. Tabla 12.- Compatibilidad entre Temperado y Parabólico. ................................................ 39. Tabla 13.- Compatibilidad entre Temperado y Parabólico. ................................................ 39. 4 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas 1 El número Áureo 1.1 Introducción Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como "unidad" sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas, como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología. El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que se percibe a diario. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite, a quien lo observa, una sensación de belleza y armonía. El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas varias constantes que son definidas con una letra griega: Pi (π = 3,14159…), es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Phi (φ = 1,61803…), el número de oro. Matemáticamente hablando, se le puede definir como aquel número al que, tanto si se le suma uno como si se eleva al cuadrado, sale el mismo resultado. Tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales. Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo, la planta del Partenón es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es el número áureo. Esta misma proporción está presente en las tarjetas de crédito actuales, entre otras. Los griegos creían en la existencia de unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que buscaban aplicar en sus esculturas. Durante el renacimiento, dichas proporciones quedaron plasmadas en este famoso dibujo de Leonardo Da Vinci: el "Homo Vitrubio", que ilustra el libro "La Divina Proporción" de Luca Pacioli, editado en 1509. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 5 1.2 La razón áurea El valor numérico de esta razón, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" , es: La razón áurea también es posible encontrarla en otras figuras geométricas, por ejemplo el pentágono regular, en el que la razón entre la diagonal y el lado cumple la divina proporción. Pero lo que quizás pueda resultar más curioso es la presencia de la razón áurea en la naturaleza. Hay enigmáticas conexiones de la espiral de los nautilus (un tipo de caracola) y las espirales de los girasoles con la razón áurea. 1.3 El número áureo en la música Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Para la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo se realiza una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge. – Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea. – El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales). – El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo. 12 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Cuando se representan 11 quintas consecutivas de la afinación pitagórica y al resto se le llama quinta del lobo se obtiene el círculo de quintas para el sistema pitagórico (Fig. 5). Figura 5.- Círculo de quintas del sistema pitagórico. De todo este método no se puede extraer cual es el número idóneo de notas por octava, aunque este número no es arbitrario y suele extraerse de la sucesión 7, 12, 53, 665… 2.3.2 Afinación justa: Sistema de Zarlino Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que, en la práctica, añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar el intervalo de tercera (Fig. 6). Figura 6.- Intervalos consonantes para la afinación justa. La versión más antigua de la afinación justa se le atribuye a Aristoxenos de Tarento, sostenía que bastaba el oído y la experiencia para conseguir la afinación. Por estas afirmaciones sus discípulos eran considerados armonistas por oído mientras que los pitagóricos eran armonistas por cálculo. A partir de Aristoxenos y hasta los siglos XVI y XVII, la armonía que predominaba entre los teóricos era la pitagórica, mientras que los músicos combinaban la justa afinación y la pitagórica sin problemas. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 13 Fue en el s. XVI cuando Zarlino, mucho antes de que se conociesen los armónicos, observó que había una relación muy estrecha entre los sonidos que tenían frecuencias proporcionales a 1, 2, 3, 4… El objetivo de Zarlino fue el de conseguir hacer las terceras mayores y menores, justas. Aunque no fue como se va a relatar a continuación la forma en que se introdujeron los cambios para conseguir su objetivo, es una manera fácil de hacerlo y entenderlo. La mejora radica en aproxima el intervalo de quinta justa por un intervalo parecido que se denominará quinta sintónica . El error cometido es conocido como coma sintónica . A continuación, e igual que en la afinación pitagórica, se realiza una sucesión de quintas naturales con la salvedad que de vez en cuando en lugar de introducir una quinta natural se introduce la nueva quinta sintónica. En la siguiente figura (Fig. 7) se observa en qué lugares se sustituyen por una quinta sintónica, este lugar es muy importante pues indica que el sistema es el de Zarlino y no otros sistemas similares como el de Delezenne. Figura 7.- Situación de la quinta sintónica de Zarlino. La distribución en una escala de siete notas, con cinco sostenidos y cinco bemoles queda como se observa en la Figura 8. Figura 8.- Distribución de semitonos en la afinación de Zarlino. Obsérvese que en este sistema se diferencian dos tipos de tonos uno grande (9/8) y otro más pequeño (10/9), así como tres tipos de semitonos uno cromático (25/24) y dos diatónicos, uno grande (27/25) y otro pequeño (16/15) (Fig. 9). 14 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Figura 9.- Posicionamiento en un pentagrama de dos Tono y sus tres semitonos. Cabe destacar que con esta solución propuesta no se mejora ni soluciona el problema de la quinta del lobo, sino que esta es más grande que las justas a diferencia de lo que ocurría en el sistema pitagórico, además el hecho de que haya dos tonos y tres semitonos dificulta en gran medida el uso de la justa entonación en la música polifónica. 2.3.3 Ventajas e inconvenientes de las afinaciones. – Ventajas: en las afinaciones los intervalos que aparecen son naturales, es decir, las notas musicales se corresponden se corresponden con los armónicos de la serie natural. Esto es, en el pitagórico aparecen afinados los armónicos múltiplos de 2 y 3 siendo el primero el que no está afinado el 5, en cambio en la afinación justa el 5 sí está afinado y es el 7 el primero que no lo está. – Inconvenientes: están relacionados sobre todo con el problema que genera la quinta del lobo, ya que al no cerrarse, el número de notas debe fijarse siguiendo principios distintos. Otro problema que existe con las afinaciones es que al no estar distribuidas las notas uniformemente, la nota que se toma como origen es muy importante, algo que hace muy complicada la transposición. 2.4 Temperamentos regulares cíclicos El objetivo de los temperamentos regulares cíclicos no es otro que el de solucionar los problemas que tienen las afinaciones. Para ello tratan de disminuir las quintas de forma que se pueda cerrar el círculo de quintas y eliminar así la quinta del lobo. En este apartado se van a explicar los dos temperamentos más comunes: – El temperamento igual de 12 notas, que es un temperamento igual y regular. – El sistema Holder, temperamento regular mesotónico. Para obtener los temperamentos cíclicos de n notas basta con dividir el intervalo [1, 2] en n intervalos iguales, para ir obteniendo los valores de cada una de las notas basta con ir multiplicando por x la nota anterior. No es más que una progresión geométrica de razón x. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 15 Figura 10.- Partición del intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. De esta forma multiplicando n veces el 1 por x se obtiene 2: 2.4.1 Temperamento igual (de 12 notas) Este temperamento regular y cíclico divide la octava armónica en 12 intervalos iguales, cada intervalo equivale a un semitono. Así, se consigue el objetivo buscado eliminar la quinta del lobo y cerrar el círculo de quintas. El origen de este temperamento es anterior al s. XVII que fue cuando J. S. Bach logró su consagración a raíz de su obra “El Clave Bien Temperado”. A pesar de ser el sistema más pobre, armónicamente hablando, ya que elimina algunas notas naturales provenientes de la escala de armónicos, es el más utilizado dado que tiene unas ventajas teóricas y prácticas que compensan esas deficiencias armónicas. Haciendo la distribución de semitonos que se ha hecho en los sistemas anteriores queda la siguiente figura (Fig. 11). Figura 11.- Distribución de semitonos en el temperamento de 12 notas. 2.4.2 Sistema de Holder William Holder (1614-1697) hizo una división de 53 partes, llamadas comas, por octava, cada tono contiene 9 comas, el semitono cromático tiene 5 y el diatónico 4. Este temperamento no deja de ser una adaptación del sistema creado por Pitágoras. En este temperamento, si se hace la distribución de semitonos similar al del resto de sistemas, queda patente que es prácticamente la misma que en el sistema de afinación pitagórico, dado que tiene siete notas naturales, cinco notas con sostenido y cinco notas con bemol. 16 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Fig. 12.- Distribución de notas para el temperamento de Holder 2.4.3 Ventajas y desventajas de los temperamentos regulares cíclicos – El Temperamento de 12 notas: en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, de tal forma que las notas enarmónicas coinciden. En este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, desapareciendo así la quinta del lobo, estas características hacen que sea un temperamento con grandes ventajas: o Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables. o El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical. Sin embargo, este temperamento también tiene algunos inconvenientes: – No existen intervalos justos. Como los intervalos se han obtenido mediante números irracionales, no se corresponden con la serie armónica de ninguna nota. – Aunque las quintas son bastante buenas, algo más cortas que las justas, las terceras mayores están muy desviadas, más altas. La desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general. Sin embargo, hoy en día los músicos están tan acostumbrados a este temperamento que las terceras mayores originales les parecen demasiado apagadas. A la hora de valorar las propiedades de los temperamentos, se prefiere la perfección en las quintas que en las terceras. – El Temperamento de Holder: El sistema de Holder está considerado como un sistema de afinación muy bueno para trabajar con la afinación pitagórica. En el apartado de las ventajas, por un lado, las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comasHolder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 17 En cuanto a los inconvenientes, los intervalos que aparecen no se corresponden exactamente con los sonidos de la serie armónica. Además del gran número de notas por octava que tiene. 2.5 Un número adecuado de divisiones por octava Un problema que tienen en común tanto los musicólogos como todo aquel que se dedica a estudiar la acústica música es el de fijar el número adecuado de notas que deben aparecer por octava. Por regla general se decide en función de dos criterios. – Criterios estéticos: el número de notas debe ser tal que se pueda crear música y su elección debe hacerse de forma que las consonancias sean agradables al oído. – Criterios técnicos: la distribución debe ser coherente y estar bien distribuidas dentro de la octava. Además, el número fijado debe cerrar el círculo de quintas. En lo que a los criterios estéticos se refiere, está demostrado que con 12 notas no existe ningún problema a la hora de crear música y se consiguen muy buenos resultados. El problema real lo generan los criterios técnicos. En los temperamentos las notas están prefijadas con anterioridad, en el temperamento igual 12 y en sistema Holder 53, es en las afinaciones donde reside el problema realmente. La forma de comprobar la cantidad de notas es el adecuado para cerrar el círculo de quintas es representar una cantidad de notas en el intervalo [1, 2] y ver en qué número de notas representadas se acerca más al uno o al dos. A modo de ejemplo se va a representar un gráfico con 70 notas para la afinación pitagórica sin ahondar mucho más en el tema pues no es el objetivo final de esta investigación. Puede verse que las notas número 12 y número 53 son las que más se acercan al uno. Fig. 13.- Representación de 70 notas de la afinación pitagórica. 18 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas 2.6 Sensibilidad de percepción. Entre los musicólogos sigue habiendo varias escuelas respecto al tema de sensibilidad auditiva que se pueden resumir en las dos siguientes: – Aquellos que consideran que un oído privilegiado y educado puede distinguir una diferencia de 2 cents. – Los que fijan la distancia mínima de percepción en 4 -5 cents banda que se denomina banda de iso-afinación. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 19 3 Caso Práctico. En este capítulo se va a explicar, teniendo en cuenta todo lo anterior, y justificar el estudio objeto de este Trabajo Final de Máster. En este caso, se toma como origen y base de comparación el sistema temperado de 12 notas, dado que es el más utilizado y es el que se trata de variar para conseguir el objetivo; crear un sistema tal que el número áureo esté presente y ver si es factible realizar interpretaciones musicales con él. A lo largo de todo el capítulo se va a tomar como referencia, , La4 = 440 Hz. A lo largo de la historia la nota La4 ha sido tomada como la referencia en multitud de sistemas de afinaciones tomando diferentes frecuencias, desde los 446Hz del Renacimiento para los instrumentos de viento madera hasta los 440Hz que fijó la Organización Internacional de Estandarización en 1955 y posteriormente reafirmaría con la ISO 16 en 1975. 3.1 Intervalo entre notas. En el sistema con el que se va a crear, parte de la condición de contorno que la octava no es , sino . A esta octava se le denominará de aquí en adelante octava áurea, para diferenciar ambas. El primer paso es tratar de respetar la razón de la progresión geométrica del sistema temperado igual de 12 notas. Cómo se ha comentado más arriba esta razón, x, se calcula: Como en el sistema temperado igual de 12 notas los cálculos están hechos para el intervalo cerrado [1, 2] hay que variar ligeramente la expresión anterior para poder conseguir lo resultados deseados. En primer lugar se varía el intervalo que se somete a estudio siendo este nuevo intervalo . De esta manera la expresión anterior queda: Tomando , se sustituyen los valores en la expresión anterior y operando da el resultado de n = 8, de intervalos aproximadamente iguales a los de una escala diatónica de doce semitonos convencional. Para que fuese exactamente igual debería ser de 8,331 notas. La diferencia entre 20 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas En este caso la progresión que va a seguir el sistema tendrá la razón de 1,062 quedando la progresión de la siguiente manera. 8 notas l1 1,06 l2 1,13 l3 1,20 l4 1,27 l5 1,35 l6 1,43 l7 1,52 l8 1,62 Tabla 1.- Progresión geométrica 8 notas. 3.2 Adaptación a teclas de piano. Dado que los pianos están fabricados para tocar con 12 notas en lugar de con 8 y que la música convencional fija la octava en 2*(f0) en lugar de 1,6181*(f0), sacando la relación entre la octava armónica y la octava áurea y haciendo la raíz cuarta, ya que con el sistema de 8 intervalos faltarían 4 para poder ejecutarlos en un piano, se puede sacar la razón de la progresión con que se completan estos 12 intervalos. Quedando la progresión de la siguiente manera. 12 notas ref. f0 A4 (440 Hz) Intervalo Progresión l1 1,06 l2 1,13 l3 1,2 Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 21 Intervalo Progresión l4 1,27 l5 1,35 l6 1,43 l7 1,52 l8 1,62 l9 1,71 l10 1,8 l11 1,9 l12 2 Tabla 2.- Progresión geométrica 12 notas. 3.3 Aproximación parabólica. En los puntos anteriores se han descrito dos tipos de aproximaciones para describir los intervalos que van a componer la escala. – El primero, es una aproximación lineal, con la que se consigue una escala temperada de siete notas. – El segundo es una aproximación bilineal, en el que se realizan dos temperamentos diferentes; uno de ellos áureo, hasta la octava áurea (φ), y otro entre φ y la octava armónica. En este punto se propone otro tipo de aproximación, la parabólica, de esta forma será una aproximación continúa, a diferencia de la aproximación bilineal y, por otra parte, se soluciona el problema de la posible interpretación en instrumentos tales como el piano (12 teclas). Otra diferencia importante es que en las dos primeras aproximaciones, la razón de la progresión geométrica es la misma entre cada uno de los intervalos y en esta varía. 28 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Gráfica 4.- Comparación en cents del sistema bilineal nota a nota. Gráfica 5.- Comparación en cents del sistema parabólico nota a nota. Gráfica 6.- Comparación en cents del sistema exponencial nota a nota. 85 90 95 100 105 110 La La# - Sib Si Do Do# - Reb Re Re# - Mib Mi Fa Fa# - Solb Sol Sol# - Lab La Bilineal cents notas 85 90 95 100 105 110 115 La La# - Sib Si Do Do# - Reb Re Re# - Mib Mi Fa Fa# - Solb Sol Sol# - Lab La Parabólico cents notas 85 90 95 100 105 110 115 La La# - Sib Si Do Do# - Reb Re Re# - Mib Mi Fa Fa# - Solb Sol Sol# - Lab La Exponencial cents notas Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 29 – En este último punto se representan las diferencias en cents existentes entre las notas de los diferentes sistemas creados. Las gráficas se extraen de la tabla de valores mostrada a continuación (Tabla 7). Frecuencias Comparación en cents interno Notas Temperado Bilenal Parabólica Exponencial Bilineal vs Parabólica Bilineal vs Exponencial Parabólica vs Exponencial La 440 440 440 440 0,00 0,00 0,00 La# - Sib 466,16 467,28 469,31 469,89 7,51 9,66 2,15 Si 493,88 496,25 499,96 500,88 12,90 16,07 3,17 Do 523,25 527,02 531,95 532,98 16,12 19,50 3,38 Do# - Reb 554,37 559,69 565,27 566,26 17,17 20,22 3,04 Re 587,33 594,39 599,93 600,75 16,06 18,44 2,37 Re# - Mib 622,25 631,24 635,93 636,50 12,81 14,36 1,55 Mi 659,26 670,37 673,26 673,54 7,44 8,16 0,72 Fa 698,46 711,93 711,93 711,93 0,00 0,00 0,00 Fa# - Solb 739,99 750,67 751,95 751,73 2,93 2,43 -0,51 Sol 783,99 791,52 793,29 792,96 3,87 3,16 -0,72 Sol# - Lab 830,61 834,59 835,98 835,70 2,88 2,31 -0,57 La 880 880 880 880 0,00 0,00 0,00 Tabla 7.- Comparación en cents de los diferentes sistemas entre ellos dos a dos. 30 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Gráfica 7.- Comparación en cents del sistema bilineal vs parabólico. Gráfica 8.- Comparación en cents del sistema bilineal vs exponencial. Gráfica 9.- Comparación en cents del sistema parabólico vs exponencial. 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 La La# - Sib Si Do Do# - Reb Re Re# - Mib Mi Fa Fa# - Solb Sol Sol# - Lab La Bilineal vs Parabólico cents notas 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 La La# - Sib Si Do Do# - Reb Re Re# - Mib Mi Fa Fa# - Solb Sol Sol# - Lab La Bilineal vs Exponencial cents notas -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 La La# - Sib Si Do Do# - Reb Re Re# - Mib Mi Fa Fa# - Solb Sol Sol# - Lab La Parabólico vs Exponencial cents notas Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 31 4 Compatibilidad de los sistemas de afinación. En este apartado se va a tratar de hacer una comparación entre los distintos sistemas de afinación para ver si son compatibles entre sí. Para ello se va a hacer una pequeña introducción a la lógica borrosa y a los distintos conceptos que se derivan de ella para acabar realizando el anteriormente citado análisis de compatibilidad entre los sistemas creados y el sistema temperado a fin de evaluar si es posible o no la ejecución de música con estos sistemas. 4.1 Introducción a la lógica borrosa. Al tratar cualquier fenómeno humano desde el punto de vista matemático el modelo depende de los valores numéricos que se introduzcan. La validez de los estos resultados depende de las asignación que se le haga a las variables basándose en estimaciones. En ocasiones no hay ninguna base para suponer que el parámetro va a seguir una distribución de probabilidad concreta. Esto va a hacer que se pueda distinguir entre una incertidumbre estocástica o error aleatorio, y una incertidumbre borrosa. Se parte de la base de que no por disponer de más información se va a contar con un número mayor de hechos sino que la incertidumbre, la borrosidad está en los propios hechos. La música cuenta tanto con la incertidumbre borrosa de los propios conceptos y además esta borrosidad surge al manejar conceptos que son más importantes por su relación con otros que por sí mismos. Algunos ejemplos de estos conceptos son el tempo, matices, la afinación. 4.2 Conjuntos borrosos. La idea principal es que el pensamiento humano no se basa en números sino en etiquetas lingüísticas de forma que los objetos puedan pertenecer a varias clases de forma suave y flexible. La función característica de un conjunto se puede generalizar de forma que los valores asignados a los elementos de dicho conjunto indiquen un grado de pertenencia. Esta función se llama función de pertenencia y el conjunto definido por ella se llama conjunto borroso. Un grado de pertenencia nulo se interpreta como no pertenencia, el 1 como pertenencia en el sentido booleano y los números intermedios reflejan una pertenencia incierta, que será interpretada de diversos modos según cada aplicación. La potencia de esta teoría se debe a que a través de la pertenencia a un conjunto se puede modelizar cualquier situación. A continuación se van a dar algunas definiciones que resultarán útiles en el resto de la memoria: 32 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas – Variable lingüística: noción o concepto que se calificar de forma borrosa. Por ejemplo: la altura, la edad, el error, la variación del error... – Universo de discurso: rango de valores que pueden tomar los elementos que poseen la propiedad expresada por la variable lingüística. En el caso de la variable lingüística 'altura de una persona normal', podría ser el conjunto de valores comprendido entre 1.4 y 2.3 m. – Valor lingüístico: clasificación que se efectúa sobre la variable lingüística: en el caso de la altura, se puede dividir el universo de discurso en los diferentes valores lingüísticos: por ejemplo bajo, mediano y alto. Un conjunto borroso es un valor lingüístico junto a una función de pertenencia. El valor lingüístico es el “nombre” del conjunto, y la función de pertenencia se define como aquella aplicación que asocia a cada elemento del universo de discurso el grado con que pertenece al conjunto borroso. Dado un conjunto borroso , con función de pertenencia , se define como α – corte , al conjunto de elementos que pertenecen al conjunto borroso con grado mayor o igual que α, es decir: En este estudio el concepto de α – corte es muy útil ya que el parámetro α sirve para expresar el límite de tolerancia y a partir de él establecer los niveles de exigencia para que dos sistemas de afinación sean compatibles. 4.3 Números borrosos. Un número borroso es una secuencia finita o infinita de intervalos de confianza con las siguientes propiedades: – A cada nivel de presunción le corresponde un único intervalo de confianza. – Los elementos que pertenecen al nivel de presunción α, pertenecen a todos los niveles de presunción menor que α. – Existe un intervalo y sólo uno que puede reducirse a un número real único. 4.3.1 Números borrosos triangulares (NBT). Los números borrosos triangulares, NBT, son aquellos números borrosos cuyas funciones de pertenencia son lineales. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 33 Estos números quedan perfectamente determinados por tres números reales que marcan dónde se encuentran los vértices del triángulo. El valor “a” marca el nivel por debajo del cual no se aceptar que pertenezca al concepto que se trata, el valor “b” representa el valor cuya pertenencia es máxima y el valor “c” marca el máximo valor que aceptado como perteneciente al concepto. Cuando los NBT son simétricos, las tolerancias por exceso y defecto son la misma, la forma habitual de escribir el número es El valor “a” expresa el valor de mayor pertenencia y δ representa la desviación máxima permitida por exceso y por defecto. 4.3.2 Notas como conjuntos borrosos. Se puede considerar un sonido musical como un número borroso que refleja la sensación que produce una frecuencia f, es decir El valor expresa en cents la incertidumbre que se asume. 4.3.3 Compatibilidad entre sistemas de afinación Las condiciones que se buscan entre dos sistemas de afinación son las siguientes: – Que ambos sistemas tengan el mismo número de notas. – Que ambos sistemas posean el mismo grado de imprecisión – Que dada una nota de uno de los sistemas, exista una y sólo una nota del otro sistema que sea compatible con ella. Hay que fijar un nivel de exigencia α y evaluar si a ese nivel dos sistemas son equivalentes. Por ello a la compatibilidad entre sistemas se le va a llamar α – compatibilidad. Esta compatibilidad se puede evaluar mediante la fórmula: 34 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas 4.4 Sistemas temperado, bilineal, parabólico y exponencial. En este apartado se va a realizar la evaluación de compatibilidad de los distintos sistemas con el temperado con el fin de averiguar si podrían coexistir con él, además se va a evaluar si existe compatibilidad entre ellos también. Para ello se va a partir de las frecuencias de 12 notas de los distintos sistemas en la octava Do3 – Do4. Fijando el La4 = 440Hz, se obtienen las siguientes frecuencias. Frecuencias Notas Temperado Bilenal Parabólica Exponencial Do 261,62557 263,50754 265,97256 266,49244 Do# - Reb 277,18263 279,84432 282,63414 283,13141 Re 293,66477 297,19394 299,96443 300,37596 Re# - Mib 311,12698 315,61920 317,96341 318,24812 Mi 329,62756 335,18677 336,63110 336,77074 Fa 349,22823 355,96748 355,96748 355,96748 Fa# - Solb 369,99442 375,33660 375,97256 375,86288 Sol 391,99544 395,75964 396,64634 396,48237 Sol# - Lab 415,30470 417,29395 417,98882 417,85231 La 440 440 440 440 La# - Sib 466,16376 467,27886 469,31097 469,89378 Si 493,88330 496,24893 499,95935 500,87554 Tabla 8.- Frecuencia de las 12 notas de los cuatro sistemas. Una vez se tienen las frecuencias se pueden evaluar las distancias en cents de cada una de las notas con sus homólogas en el resto de sistemas sometidos a estudio (Tabla 9). Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 35 Cents Notas B. vs T. P. vs T. E. vs T. B. vs P. B. vs E. P. vs E. Do 12,4089 28,5287 31,9093 16,1198 19,5004 3,3806 Do# - Reb 16,5451 33,7187 36,7620 17,1735 20,2168 3,0433 Re 20,6814 36,7455 39,1190 16,0640 18,4376 2,3735 Re# - Mib 24,8177 37,6287 39,1782 12,8110 14,3605 1,5495 Mi 28,9540 36,3979 37,1159 7,4439 8,1619 0,7180 Fa 33,0903 33,0903 33,0903 0 0 0 Fa# - Solb 24,8177 27,7486 27,2435 2,9309 2,4258 0,5051 Sol 16,5451 20,4197 19,7038 3,8745 3,1587 0,7158 Sol# - Lab 8,2726 11,1530 10,5875 2,8804 2,3149 0,5655 La 0 0 0 0 0 0 La# - Sib 4,1363 11,6488 13,7974 7,5125 9,6611 2,1486 Si 8,2726 21,1687 24,3384 12,8961 16,0658 3,1697 Tabla 9.- Cents de los cuatro sistemas. Para poder realizar el análisis correctamente hay que puntualizar que las 12 notas de cada sistema son NBT en cuyo centro se encuentra la frecuencia indicada en la tabla 8 y con una tolerancia de: Para calcular la compatibilidad se aplica la expresión citada en el apartado anterior: 36 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas Compatiblidad Notas B.vs T P. vs T. E. vs T. B. vs P. B. vs E. P. vs E. Do 0,87591 0,71471 0,68091 0,83880 0,80500 0,96619 Do# - Reb 0,83455 0,66281 0,63238 0,82826 0,79783 0,96957 Re 0,79319 0,63255 0,60881 0,83936 0,81562 0,97626 Re# - Mib 0,75182 0,62371 0,60822 0,87189 0,85640 0,98451 Mi 0,71046 0,63602 0,62884 0,92556 0,91838 0,99282 Fa 0,66910 0,66910 0,66910 1 1 1 Fa# - Solb 0,75182 0,72251 0,72756 0,97069 0,97574 0,99495 Sol 0,83455 0,79580 0,80296 0,96125 0,96841 0,99284 Sol# - Lab 0,91727 0,88847 0,89412 0,97120 0,97685 0,99435 La 1 1 1 1 1 1 La# - Sib 0,95864 0,88351 0,86203 0,92487 0,90339 0,97851 Si 0,91727 0,78831 0,75662 0,87104 0,83934 0,96830 Tabla 10.- Compatiblidad entre los distintos sistemas de afinación. En las siguientes gráficas se va a poder observar mejor hasta qué nivel son compatibles cada uno de los sistemas. Únicamente se representan las comparaciones con el sistema temperado. Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 37 Gráfica 10.- Compatiblidad entre sistema bilineal y temperado Gráfica 11.- Compatiblidad entre sistema parabólico y temperado Gráfica 12.- Compatiblidad entre sistema exponencial y temperado 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Do Do# -… Re Re# -… Mi Fa Fa# -… Sol Sol# -… La La# -… Si Do Bilineal vs Temperado Compatibilida 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Do Do# -… Re Re# -… Mi Fa Fa# -… Sol Sol# -… La La# -… Si Do Parabólico vs Temperado Compatibilida 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Do Do# -… Re Re# -… Mi Fa Fa# -… Sol Sol# -… La La# -… Si Do Exponencial vs Temperado Compatibilida