Composición de cartera réplica para la predicción del índice español IBEX 35

COMPOSICIÓN DE CARTERA RÉPLICA PARA LA PREDICCIÓN DEL ÍNDICE BURSÁTIL ESPAÑOL IBEX 35 Carla Moreno Navarro Máster en Dirección Financiera y Fiscal Facultad de Administración y Dirección de Empresas Universidad Politécnica de Valencia Septiembre, 2012 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 2 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 3 AGRADECIMIENTOS En primer lugar, quiero agradecer a mis profesores Ana María Debón y Juan Carlos Cortés por el tiempo dedicado y el constante apoyo a lo largo de la realización de esta tesina, sin los cuales no habría sido posible realizarla. Sus consejos, orientación y buena disposición para atender dudas y analizar resultados, me han permitido desarrollar este trabajo de investigación y han sido sumamente importantes en mi formación académica. De ellos he aprendido no sólo en lo profesional, sino en lo personal. Su afán de investigación, su profesionalidad y su compromiso, son cualidades que poseen y que pretendo llevar a la práctica en mi objetivo de ser docente. Quiero agradecerle también a mi amigo Pedro Eslava, del Departamento de Autorización y Registros de Entidades de la Comisión Nacional de Mercado de Valores (CNMV), por el asesoramiento proporcionado. Finalmente, quiero agradecer de forma muy especial a mis padres, Manuel y Vicenta, a mi hermana, María, y a mi pareja, Paco, quienes me han apoyado en todo momento y han estado conmigo dándome ánimo en momentos muy difíciles. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 4 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 5 ÍNDICE 1 RESUMEN DEL TRABAJO FINAL DE MASTER 9 2 OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL DE MASTER 11 3 ANTECEDENTES. SITUACIÓN ACTUAL 13 3.1 El IBEX 35 13 3.1.1 COMPOSICIÓN DEL IBEX 35 13 3.1.2 CÁLCULO DEL IBEX 35 15 3.1.3 NECESIDAD DE PREDICCIÓN DEL IBEX 35 18 3.2 METODOLOGÍA CLÁSICA APLICADA 19 3.2.1 ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES 19 3.2.1.1 Análisis de componentes principales sobre los residuos obtenidos mediante regresión simple 20 3.2.1.2 Rotación de componentes 22 3.2.1.3 Selección de acciones en la cartera réplica 23 3.2.2 INDEX TRACKING 23 3.2.2.1 Criterio Tracking Error Variance (TEV) para la réplica de carteras 24 25 3.2.3 EL MODELO LOG NORMAL 3.2.3.1 Movimiento Browniano 27 3.2.3.2 Motivación del modelo Log normal 28 3.2.3.3 Calibración de los parámetros del modelo Log normal 38 3.2.3.4 Estimación de los parámetros del modelo Log normal por el método de máxima verosimilitud 41 3.2.3.5 Predicción del IBEX 35 mediante el modelo Log normal 43 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 6 3.2.4 LA SIMULACIÓN MONTECARLO 44 3.2.4.1 Conceptos fundamentales para la aplicación práctica del método Monte Carlo 45 3.2.5 VALIDACIÓN DE LA METODOLOGIA PROPUESTA 47 3.2.5.1 Medidas de Bondad de Ajuste 47 3.2.5.2 Medidas de Bondad de Ajuste penalizadas 48 3.3 OTRAS TEÓRIAS CLÁSICAS PARA LA FORMACIÓN Y EVALUACIÓN DE CARTERAS DE INVERSIÓN Y PARA LA PREDICCIÓN DE ÍNDICES 48 4 APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA 53 4.1 APLICACIÓN DE COMPONENTES PRINCIPALES Y TRACKING ERROR PARA LA FORMACIÓN DE LA CARTERA RÉPLICA 53 4.1.1 COMPONENTES PRINCIPALES 54 4.1.2 TRACKING ERROR 58 4.2 APLICACIÓN DEL MODELO LOG NORMAL Y SIMULACIÓN MONTE CARLO PARA LA PREDICCIÓN DEL IBEX 35 62 4.2.1 PREDICCIÓN DEL IBEX 35 UTILIZANDO LOS TÍTULOS DE LA CARTERA RÉPLICA 62 4.2.2 PREDICCIÓN DEL IBEX 35 UTILIZANDO SUS 10 PRIMERAS EMPRESAS POR PONDERACIÓN 68 4.2.3 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD PARA LA CALIBRACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO LOG NORMAL 71 4.2.4 PREDICCIÓN DEL IBEX 35 PARA EL AÑO ANTERIOR (2011) 72 4.3 VALIDACIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA 78 4.3.1 MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE 78 4.3.2 MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE PENALIZADAS 82 5 CONCLUSIONES 85 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 7 6 BIBLIOGRAFÍA 91 Índice de Tablas 97 Índice de Gráficas 99 Índice de Figuras 99 Anexos 101 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 8 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 9 RESUMEN DEL TRABAJO El índice IBEX 35 es el principal índice de referencia de la bolsa española. La motivación de estudiar cómo se construye y cómo se predice radica en la importancia que tiene para la economía española, ya que su valor refleja la salud económica del país. Ello estimula la búsqueda de una metodología que replique el índice, en un entorno en que los mercados financieros se caracterizan por la gran cantidad de información que manejan. Se hace necesario conocer herramientas que sean capaces de procesar gran cantidad de información y que simplifiquen la toma de decisiones. El IBEX 35 es un índice ponderado por capitalización bursátil, lo cual significa que no todas las empresas que lo forman tienen el mismo peso. Por este motivo se pretende realizar una réplica parcial del índice, no sólo porque desde el punto de vista computacional resulta más barato, sino porque permite construir carteras de inversión. Con el propósito de obtener una cartera que replique el comportamiento del IBEX 35 utilizando un número reducido de títulos, se utilizará el análisis de regresión y el análisis de componentes principales. Para obtener los pesos de la cartera réplica seleccionada, se utilizará como medida del riesgo de carteras de inversión, el Tracking Error Variance. El periodo considerado para aplicar esta metodología será de 2 años (2010 y 2011). 1 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 16 que cuando Grupo Santander, Telefónica, BBVA, Iberdrola y Repsol YPF están en baja, el IBEX 35 tiene gran preocupación porque éstas influyen mucho sobre el índice general. La fórmula utilizada para el cálculo del valor del índice IBEX 35 es: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑- ∑ -35 1=i i 35 1=i i J+1tCap tCap ×1t35IBEX=t35IBEX , (3.1) siendo;  t = Instante del cálculo del índice.  ( ) tCapi = Capitalización de la compañía i incluida en el índice en el instante t, es decir, )t(P×)t(S .  ( ) tS = Nº de acciones computables para el cálculo del valor del índice.  ( ) tP = Precio de las acciones de la compañía incluida en el Índice en el instante (t).  ( ) tCap 35 1=i i ∑ = Suma de la capitalización de todas las compañías incluidas en el índice.  J = Cantidad utilizada para ajustar el valor del índice. El valor del coeficiente J representa la capitalización de ajuste para asegurar la continuidad del índice, introducida con motivo de determinadas operaciones financieras definidas de acuerdo a las Normas Técnicas de Composición y Cálculo del índice. El objetivo de los ajustes al índice es garantizar, en la medida de lo posible y de una forma sencilla, que el mismo refleje el comportamiento de una cartera compuesta por las mismas acciones que componen éste. En el caso en que se produjera una operación sobre uno o más valores del índice que requiriese la realización de ajustes no contemplados en las Normas Técnicas, o que el ajuste descrito en las mismas no cumpliera claramente con el objetivo del índice, el Gestor podrá proponer al Comité un nuevo ajuste o cualquier otro tipo de acción para cumplir con el objetivo del índice. Desde el punto de vista de sus ajustes, las operaciones financieras que afectan al índice, son:  Dividendos Ordinarios y otras retribuciones a los accionistas asimilables al pago de Dividendos Ordinarios. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 17  Ampliaciones de Capital.  Reducciones de Capital y otras cuentas de Fondos Propios.  Emisión de Instrumentos Financieros Convertibles o Canjeables.  Variación del Valor Nominal.  Fusiones y Absorciones.  Segregación Patrimonial o Escisión Societaria con retribución a los accionistas.  Dividendos Extraordinarios y otras retribuciones a los accionistas no asimilables al pago de Dividendos Ordinarios. Con carácter general, se toma como precio aquél al que se ha realizado la última transacción en el Sistema de Interconexión Bursátil. Sin embargo, si el Gestor lo considera oportuno podrá, en casos excepcionales, proponer al Comité una solución distinta de las anteriormente descritas atendiendo a las características de cada caso. Con carácter general, el número de acciones de cada compañía tomado para el cálculo del valor del índice dependerá de su Capital Flotante. Dicho número variará cuando se produzcan operaciones financieras sobre los valores incluidos en el índice. Para la realización de éstos ajustes al índice, se tomará el número de acciones que el Gestor objetivamente considere en cada momento. Dicho número será siempre público formando parte de los anuncios del índice. El número de acciones de cada compañía tomado para el cálculo del valor del índice, será corregido por un coeficiente en función de su tramo de Capital Flotante. Así mismo, y con el fin de lograr una eficiente réplica del Índice IBEX 35, el Comité Asesor Técnico podrá tomar para el cálculo del valor del índice un número inferior al nº de acciones emitidas, atendiendo a criterios de dispersión significativa de la contratación en más de un mercado, liquidez o cualquier otro criterio que considere oportuno, lo que será publicado con la antelación suficiente. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 18 3.1.3 Necesidad de predicción del IBEX 35 El papel que juega la predicción en la Economía es crucial. Todo proceso de decisión supone un posicionamiento sobre el futuro en el marco de un horizonte temporal determinado. Hay que reducir y acotar el campo de variación del comportamiento futuro de las variables que se analizan, lo que exige la intervención de métodos matemáticos, estadísticos y econométricos. Es imprescindible, por tanto, el conocimiento de técnicas y métodos concretos que faciliten el establecimiento de hipótesis o predicciones acerca de la evolución futura de determinadas variables. La forma de estas predicciones vendrá predeterminada por las necesidades requeridas en cada caso. En ocasiones, bastará con una aproximación cualitativa del futuro, mientras que en otras, se requerirá la utilización de sofisticadas técnicas estadísticas y matemáticas. Asimismo, en función de la longitud del horizonte temporal o del número de escenarios requeridos, se tendrá que discernir entre la utilización de alguno de los diversos métodos existentes en la actualidad. El contexto de la previsión, la pertinencia y disponibilidad de datos históricos, el grado de exactitud perseguido, el intervalo de tiempo que hay que cubrir con la previsión, la relación coste-beneficio de la previsión para la empresa, y el tiempo disponible para efectuar el análisis, son algunos de los factores determinantes a la hora de seleccionar el método de previsión adecuado. Las necesidades de predicción resultan obvias ya que la compra/venta de productos en un mercado de derivados depende de la evolución de determinadas magnitudes. El índice no puede negociarse en sí mismo (no se pueden comprar o vender acciones del IBEX 35), aunque sí pueden realizarse inversiones sobre su evolución a través de los contratos de derivados. En el caso de futuros sobre el IBEX 35 el valor del futuro depende de la volatilidad prevista para el IBEX 35. Por tanto, resulta ineludible un conocimiento del comportamiento que presentan las series temporales asociadas a las magnitudes analizadas, así como de los modelos estadísticos que se han mostrado eficaces en la tarea de predecir los valores futuros de esas magnitudes. La volatilidad es una característica fundamental de los mercados financieros modernos, cuya medida y previsión es de vital importancia para los que en ellos operan. El estudio de la volatilidad puede realizarse, bien desde un punto de vista estático, considerándola un parámetro, o bien desde un punto de vista dinámico, considerándola como un proceso que evoluciona a lo largo del tiempo de manera aleatoria, pero predecible. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 19 Si asumimos esta segunda acepción, dicha variable aleatoria sigue un proceso estocástico que es preciso modelizar para poder describir su comportamiento histórico y, a continuación, poder realizar predicciones para el futuro. Conseguir modelar la evolución del IBEX 35 nos proporcionaría una fuente muy importante de información sobre las perspectivas que tienen los inversores respecto a la actividad económica del país. 3.2 Metodología clásica aplicada 3.2.1 Análisis de componentes principales Karl Pearson (1857-1936), científico británico, fue inventor del contraste que lleva su nombre y uno de los fundadores de la Estadística en el siglo XIX. Sus trabajos sobre ajustes ortogonales precedieron el análisis de componentes principales. Esta técnica fue inicialmente desarrollada por Karl Pearson pero posteriormente fue estudiada por Hotelling en los años 30 del siglo XX. Sin embargo, hasta la aparición de los ordenadores no se empezaron a popularizar. El análisis de componentes principales, es una técnica multivariante que tiene como objetivo principal reducir la dimensión de una tabla de datos para pasar de “ p ” variables reales a “ k ” variables ficticias que aunque no observables, sean combinación de las reales y sinteticen la mayor parte de la información contenida en los datos, a costa de una pequeña perdida de información. Las nuevas variables se van construyendo según el orden de importancia en cuanto a la variabilidad total que recogen de la muestra. El primer componente principal se define como la combinación lineal de las variables originales que explica la máxima varianza. Cuando existe una alta correlación positiva entre todas las variables, el primer componente principal tiene todas sus coordenadas del mismo signo y puede interpretarse como un promedio ponderado de todas las variables o un factor global de “tamaño”. Los restantes componentes se interpretan como factores de “forma” y típicamente tienen coordenadas positivas y negativas, que implica que contraponen unos grupos de variables frente a otros. Estos factores de forma pueden frecuentemente escribirse como medias ponderadas de dos grupos de variables con distinto signo y contraponen las variables de un signo a las del otro. El trabajo de F. Guijarro e I. Moya (2008) titulado “Propuesta metodológica para la selección de acciones en la réplica de índices” presenta un algoritmo muy útil para la selección de acciones en la réplica de índices. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 20 La metodología se presenta como un algoritmo de tres etapas consecutivas. En primer lugar se determina el número de títulos a emplear en la cartera réplica haciendo uso de las técnicas de análisis de regresión y análisis de componentes principales. Posteriormente se identifican los títulos que formarán la cartera réplica entre el total de los disponibles, y finalmente se obtiene la ponderación de cada uno de ellos (apartado 3.2.2 Index Tracking). A continuación se detallan cada una de estas etapas. 3.2.1.1 Análisis de componentes principales sobre los residuos obtenidos mediante regresión simple Sea i y la rentabilidad del índice en un determinado instante de tiempo i , la rentabilidad obtenida durante un conjunto de T periodos consecutivos de tiempo puede representarse en forma de vector: [ ] T,21 ty,y,y=y  (3.2) siguiendo el análisis clásico de la varianza, la variabilidad de y puede descomponerse de la siguiente forma: )yy ˆ ()yy ˆ (+)y ˆ y()y ˆ y(=)yy()yy( j t jj t j t------ (3.3) donde y representa la media del vector y , esto es 1y T 1 =y t ; yr)rr(r=y ˆt j 1 j t jjj - es el vector de predicciones obtenido al realizar una regresión simple entre y , y la rentabilidad del jésimo título j r para el mismo periodo T . Utilizando la terminología habitual en el análisis de la varianza, la componente )yy ˆ ()yy ˆ (j t j-- representa la variabilidad de y explicada por j r , mientras que )y ˆ y()y ˆ y( j t j-- recoge la variabilidad no explicada o residual. Ambas componentes están incorreladas entre sí. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que todas las variables están centradas y normalizadas por su desviación estándar, teniendo en cuenta que 0=y ˆ =y , la expresión (3.3) se reduce a: 2 j 2 jj t jj t j tR)R1(y ˆ y ˆ )y ˆ y()y ˆ y(yy  --- (3.4) siendo 2 j R el coeficiente de determinación múltiple entre y y j r . Desarrollando este término podemos expresar 2 j R en función de los escalares yr=C t jj y 1 j t j 1 j)rr(=C -- : Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 21 j 1 jj t j 1 j t jj tt j 1 j t jj t j 1 j t jj tt j 1 j t jj t j 1 j t jjj t j 2 jcCc=yr)rr(ry=yr)rr(rr)rr(ry=)yr)rr(r()yr)rr(r(=y ˆ y ˆ =R ------ (3.5) En este primer paso se propone aplicar un análisis de componentes principales sobre la parte residual o no explicada (3.6). jj y ˆ yu - (3.6) La idea clave que subyace tras esta propuesta es la de obtener componentes principales que relacionen, bajo una misma componente principal, aquellos títulos que tienen en común lo siguiente: la variabilidad del índice y que no explican. Si el análisis de componentes principales se lleva a cabo sobre la rentabilidad de los N títulos, la agrupación de estos en componentes principales se obtendrá según la relación que exista entre sus rentabilidades: si las rentabilidades de dos títulos están muy correlacionadas entre sí, sus coeficientes dentro de cada componente principal serán muy similares; si estas dos variables están poco correlacionadas entre sí, sus coeficientes en las diferentes componentes principales no guardarán a priori relación. En este caso no interviene la relación que los títulos puedan tener con la rentabilidad del índice y . Sin embargo, si el análisis de componentes principales se realiza sobre los residuos u , cuando los coeficientes de dos títulos sean similares en las componentes principales implicará que existe una fuerte relación entre la parte que no explican de y , y al contrario, cuando los coeficientes de dos títulos no guarden relación, será resultado de que ambas explican partes significativamente distintas de la variabilidad de y . De esta forma, variables con elevado coeficiente en una misma componente deben ser entendidas como que comparten la explicación de la misma variabilidad de y , por lo que no pueden considerarse simultáneamente en la cartera réplica. De esta forma, en dicha cartera réplica solo se podrá considerar un título por componente principal. La varianza de j u será inversamente proporcional a la capacidad explicativa del título; esto es, cuanto mayor sea la capacidad explicativa del título sobre y , menor será la varianza de j u obtenido de la regresión entre ambas rentabilidades. Puesto que el análisis de componentes principales maximiza la varianza de las componentes, los títulos altamente explicativos tendrán poco peso en las componentes (coeficiente de valor absoluto comparativamente pequeño). Para superar esto, de forma que los títulos de mayor capacidad explicativa obtengan coeficientes elevados debe reformularse la fórmula (3.6) de la siguiente forma: Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 22 j 2/11 j t jj u)1)uu((v- -  (3.7) con lo que la varianza de la nueva variable j v coincide con el coeficiente de determinación 2 j R obtenido en la regresión entre y y j r . En efecto, considérese la varianza de j v : 2 1 1 j t j 2 1 1 j t j t jj t j)1)uu((1)uu((uvv -- --  j t j 1 j t jj uu)1)uu((u- -  Empleando (3.5) llegamos a que la varianza de j u resulta ser igual a 2 j R1- : -----  j t j t jj t j t j t jjj t jy ˆ y2)yy ˆ y(y ˆ 1y ˆ y2y ˆ y ˆ yy)y ˆ y)(y ˆ y(uu 2 jj t jj t jj t j tt jj t jR1C1yr)rr(ry1y ˆ y2yy ˆ uy ˆ 1-cc--- jj -1 -1  con lo que se demuestra que: 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 12 jj t jR)R1( R1 )R1(1 )R1)(1)R1((vv  - - -- --- - Para llevar a cabo el análisis de componentes principales sobre j v se deberá emplear la matriz de covarianzas 3 , y no la de correlaciones 4 , puesto que ahora las diferencias en el momento de segundo orden si son relevantes: indican la diferente capacidad explicativa de cada título sobre la rentabilidad del índice. Obsérvese como j u y j v siguen manteniendo la misma matriz de correlaciones. 3.2.1.2 Rotación de las componentes En la anterior etapa el número de componentes principales sólo determina el número de títulos a utilizar en la cartera réplica. Cuando las variables están significativamente correlacionadas entre sí, el análisis de componentes principales tiende a agruparlas en un componente. De esta forma, si consideramos que los títulos pueden seguir una evolución similar a largo plazo en cuanto a su rentabilidad, en consonancia por ejemplo con la marcha general de la economía, la primera componente principal será una combinación lineal positiva de todos los títulos, y con coeficientes próximos a la unidad. Esto implica que los coeficientes en el resto de componentes serán bajos, y se hará difícil la interpretación de los mismos (Jackson, 2003). 3 Mide dependencia de dos variables. Serán independientes si su covarianza es 0. 4 Mide fuerza y dirección de una relación lineal entre variables aleatorias. Dos variables estarán correlacionadas cuando los valores de una de ellas varíen sistemáticamente cuando lo haga la otra. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 23 Para superar esta dificultad se propone llevar a cabo una rotación Varimax sobre aquellas componentes principales obtenidas. Esta rotación maximiza la varianza de los coeficientes que definen los efectos de cada componente sobre las variables explicativas. El objetivo es mejorar la interpretación de estas componentes, de forma que las variables (3.7) correlacionadas con alguna componente no lo estén con otras. La rotación Varimax permite que las componentes sigan siendo ortogonales entre sí. En la rotación ortogonal, los ejes se rotan de forma que quede preservada la incorrelación entre las componentes. Dicho de otra forma, los nueves ejes, o ejes rotados son perpendiculares de igual forma que lo son las componentes sin rotar. 3.2.1.3 Selección de acciones en la cartera réplica Al haber transformado los residuos (3.6) de forma que su varianza sea proporcional a su capacidad explicativa (3.7), pueden seleccionarse como representantes de cada componente los títulos que mayor coeficiente en valor absoluto hayan obtenido en la componente después de la Rotación Varimax. Al incluir en la cartera réplica un solo título por componente principal, se está minimizando el grado de multicolinealidad dentro de la cartera. Esto es, sólo se incluyen títulos que aporten información incremental a la del resto de los títulos representantes de otras componentes. Si se incluyera más de un título por componente, la capacidad informativa de los mismos sería muy similar, puesto que por construcción del modelo, dos títulos en la misma componente explicarían una parte de la variabilidad muy afín. 3.2.2 Index Tracking El Index Tracking (réplica de un índice) consiste en componer una cartera que replique un índice (benchmark). La réplica puede ser completa o parcial, según se empleen todos los títulos del índice en la cartera réplica o no. La réplica completa consiste en invertir en cada activo constituyente del índice la proporción exacta en que se considera en éste, y otro enfoque alternativo incluye muestreo estratificado y estrategias de optimización de carteras, según las cuales se construyen carteras invirtiendo en un subconjunto de activos del índice, pero tratando de reproducir las características de riesgo y rendimiento del índice de forma lo más acertada posible. La réplica total presenta algunos inconvenientes: Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 24  Ciertos títulos tienen un peso cuantitativamente poco relevante en el índice, lo que puede ser ineficiente si se consideran las comisiones de gestión en que incurren para poder mantenerlos en la cartera.  Si la revisión periódica del índice origina un cambio paralelo en la composición de la cartera réplica, de nuevo las comisiones de gestión incidirán negativamente en la rentabilidad de la cartera. Además de estas revisiones, otras acciones como fusiones o adquisiciones entre empresas afectarán a la composición de la cartera réplica y las consiguientes comisiones a su rentabilidad.  Las rentabilidades de algunos títulos pueden estar positiva y altamente correlacionados entre sí. Estos motivos justifican el análisis de carteras réplica que limiten el número de títulos a un subconjunto de activos contemplados en el índice. 3.2.2.1 Criterio Tracking Error Variance (TEV) para la réplica de carteras El Tracking Error se define como el error cometido por la cartera réplica frente a la evolución de la rentabilidad del índice, esto es, la varianza de la diferencia entre la rentabilidad del índice a replicar y la rentabilidad de la cartera réplica. Vxx=)qq(V)qq(=TEV t bp t bp -- (3.8) donde V es la matriz (NxN) de covarianzas entre los títulos; q es un vector (Nx1) con los pesos de la cartera ( p q para la cartera réplica y b q para el índice), de forma que la entrada késima se corresponde con la proporción invertida en el activo k . El vector x , también de dimensión (Nx1), representa la variación en el peso de los N activos de la cartera réplica respecto del índice. La expresión (3.8) es minimizada bajo la restricción (3.9): 01xt (3.9) siendo 1 un vector (Nx1) compuesto por 1´s. Obviamente, si no se considera más restricciones que (3.9), el óptimo se alcanza con 0=x , y por tanto, bp q=q . Sin embargo, los gestores de fondos habitualmente incluyen una restricción sobre la rentabilidad en exceso: GRxt (3.10) Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 25 donde R es un vector (Nx1) de rentabilidades esperadas, y G es el objetivo de exceso de rentabilidad respecto del índice. Al variar G en el problema de minimizar (3.8), sujeto a (3.9) y (3.10) se obtiene una frontera que solo es eficiente si también lo es el índice. La función cuadrática que minimiza el Tracking error considerando únicamente el subconjunto de títulos referenciados es: 2 T 1i ii t)Rrw( ∑-  (3.11) sujeto a: 1=1wt (3.12) donde w es el vector incógnita de los pesos de los títulos en la cartera réplica; i r es el vector de rentabilidad de dichos títulos durante el periodo i ; y i R la rentabilidad del benchmark durante el mismo periodo i. La restricción (3.12) determina que la suma de los pesos ha de ser uno. Debe tenerse en cuenta que no siempre se obtendrá la cartera de menor tracking error con k títulos; o en otras palabras, la solución óptima del problema. Ninguno de los algoritmos propuestos en la literatura asegura su obtención, más bien, la competencia entre ellos está en esclarecer quién se aproxima más al ideal u óptimo, pero con un coste que sea computacionalmente aceptable. 3.2.3 El modelo Log normal El siguiente apartado tiene como objeto, motivar el uso del denominado modelo Log normal o Movimiento Browniano Geométrico, para la valoración de acciones y opciones sobre acciones. La justificación de su uso práctico está basado en el éxito del mismo, testeado en numerosos estudios empíricos (véase, Lamberton y Lapeyre 1996, y Øksendahl 1998), y sobretodo porque es una de las piedras angulares de modelo de Black-Scholes y Merton (véase, Black y Scholes, 1973 y Merton, 1976) para poner precio a un tipo de activo financiero llamado opción europea, cuyo valor se basa en el de una acción. Este último modelo fue galardonado en el año 1997 con el Premio Nobel de Economía. El modelo Log normal se basa en la ecuación diferencial estocástica: )t(dB)t(Sσ+dt)t(Sμ=)t(dS , (3.13) Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 32 donde 0 S es el precio o subyacente de la acción en el instante inicial;   Texp es la componente determinista del valor de la acción (ligado al valor  del tipo de interés); K W representa la introducción de la aleatoriedad en el modelo y   2/cKexp 2  es un término (determinista) de corrección. La modelización dada (3.27) tiene una gran ventaja frente a otro tipo de modelos como los basados en árboles binomiales (véase, Hull 2002), y es que permite que el valor de la acción no sólo tome dos valores posibles, sino cualquier valor positivo. Sin embargo, sigue conteniendo un defecto importante respecto de nuestros intereses; si fijamos T y vamos considerando subintervalos más pequeños (particiones más finas del intervalo   T,0 ), es decir, hacemos K ó equivalentemente 0t  , con T fijo, para la varianza del término que introduce la aleatoriedad en el modelo (3.27) se obtiene por (3.26) que      KcWVarccWVar 2 K 2 K , (3.28) esto es, la varianza de este término que forma parte del modelo de la acción aumentará cuantas más discretizaciones tomemos del intervalo objeto de análisis, con independencia del valor T que define su extremo superior, el cual está fijo. Esto carece de sentido desde el punto de vista financiero, ya que fijado un intervalo durante el cual se observa una acción, la volatilidad de la misma es un valor fijo que no debería cambiar aunque en lugar de observar la acción intra-semana lo hiciéramos intra-día. Para resolver esto, recordemos que la constante c introducida en (3.24) es libre y por tanto está a nuestro servicio. Tomemos entonces c de modo que TKc 22  , (3.29) siendo 2  un parámetro fijo identificativo del modelo particular que manejemos (y que en la práctica se calculará a partir de los datos reales observados). De esta forma,    TcWVar 2 K . (3.30) Obsérvese que esto nos indica algo coherente que se aprecia en la práctica: a mayor longitud T del intervalo   T,0 , tendremos mayor volatilidad, es decir, variabilidad de la acción. Vamos ahora a relacionar K W dada en (3.26) con el Movimiento Browniano. A continuación, probaremos que K dWt)T(B  , (3.31) Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 33 Siendo la igualdad anterior en distribución. Para ello observemos que ambos términos de (3.31) son gaussianos: el miembro de la izquierda por la propia definición de Movimiento Browniano, y el miembro de la derecha, por ser la transformación lineal de K W que es, como ya se ha señalado anteriormente normal o gaussiano. Además, como por la propiedad B4   0)T(BE  , se tiene     0WEtWtE KK  , ya que,   0WE K . Finalmente, por la propiedad B4 sabemos que   T)T(BVar  , y como,   KWVar K y TtK  , se obtiene     TtKWVartWtVar KK  . Por otra parte, con la elección (5.17) se tiene tc K T cTtK   , (3.32) y entonces, )T(BWtcW KK  , (3.33) donde en el último paso hemos utilizado la propiedad (3.31). Finalmente, sustituyendo (3.29) y (3.33) en (3.27) llegamos a;   )T(BexpT 2 expS)T(S 2 0                  , (3.34) Por lo que desde una motivación basada en la introducción de la aleatoriedad en el modelo determinista, hemos obtenido el modelo Log normal. Observemos además que de (3.34), la propiedad P3 y aplicando (3.22) para Tc  , ya que, )1;0(N~)1(B se tiene que: Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 34               TexpS 2 T expT 2 expS )1(BTexpET 2 expS )T(BexpET 2 expS)T(SE 0 2 2 0 2 0 2 0                                                               (3.35) En palabras: el modelo Log normal goza de la deseable propiedad de que el comportamiento medio del precio de la acción es el mismo que el valor en el caso determinista (véase (3.17) con Tt  ). Para saber cómo evoluciona la volatilidad del precio de la acción según el modelo Log normal observemos que, razonando como para el caso de la media, la varianza está dada por                                                     ,01TexpT2expS 1Texp 2 T4 expT2expS 1Texp)1(BT2expET2expS 1Texp)T(B2expET2expS T2expST 2 2)T(B2expSE )T(SE)T(SE)T(SVar 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 22                                                (3.36) la cual nos indica (como cabe esperar desde la experiencia bursátil) que la varianza crece a medida que lo hace el horizonte temporal T . Abordemos ahora la introducción del modelo Log normal mediante el segundo enfoque, el cual está basado, como ya se adelantó, en la aplicación del denominado lema de Itô que se presentará posteriormente. En ambiente de certidumbre, si )t(S ˆ es el valor resultante de invertir 1 € a un régimen de capitalización a interés compuesto continuo a una tasa constante  durante el intervalo de tiempo   t,0 , entonces como se vio en (3.16), )t(S es la solución del siguiente problema de valor inicial cuya ecuación diferencial ordinaria indica que el capital crece a una tasa de Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 35 crecimiento relativo constante e igual a  , y cuya condición inicial indica la inversión al principio del intervalo: 1)0(S ˆ ,)t(S ˆ dt )t(S ˆ d . (3.37) Sin embargo, cuando la inversión se realiza en un mercado bursátil, es más realista considerar que la tasa de crecimiento de la inversión contiene incertidumbre, y ésta es habitualmente modelizada en la forma )t(B   , siendo )t;0(N~)t(B , i.e., un proceso estocástico de tipo gaussiano o normal con media cero y varianza t , llamado Movimiento Browniano, y )t(B  su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones, ya que, las trayectorias de dicho proceso estocástico no son diferenciables en ningún punto). Por su parte, )t(B  es un proceso también gaussiano y estacionario, llamado ruido blanco. En este contexto, la ecuación diferencial dada en (3.37) se escribe en la forma )t(S))t(B( dt )t(dS   , o en su representación diferencial formal dada en (3.13), i.e., )t(dB)t(Sdt)t(S)t(dS  , La cual, recordemos se denomina ecuación diferencial estocástica. Cuando 0 , corresponde a un modelo determinista (o sin ruido o incertidumbre) cuya solución para la condición inicial 1)0(S  , es bien conocida: )texp()t(S  , pero si 0 , su solución es un proceso estocástico, y para su cálculo se precisa de un cálculo estocástico especial, denominado Cálculo de Itô. Este cálculo maneja ecuaciones diferenciales estocásticas en la forma   t 02 t 010 )s(dB)s(Acds)s(AX)t(X , (3.38) siendo )s(A1 y )s(A2 procesos estocásticos adaptados a la filtración ))ts:)s(B(()( t , donde )ts:)s(B(  es la  -álgebra generada por )s(B con ts  (véase, Lamberton 1996). En (3.38), la primera integral es una integral ordinaria de Riemann y la segunda es una integral estocástica tipo Itô. Aunque las hipótesis se pueden relajar sustancialmente (véase, Øksendahl 1998), si suponemos que )s(A1 y )s(A2 son continuos y que con probabilidad 1 (c.p. 1) se cumple que Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 36 1.p.c,ds))s(A( t 0 2 2  , las integrales que aparecen en (3.38) están bien definidas. La principal herramienta del cálculo de Itô, la cual desempeña un rol análogo a la regla de la cadena en el cálculo diferencial, está dada a través del siguiente resultado, denominado: Lema de Itô (versión adaptada al Movimiento Browniano). Dada una ecuación diferencial estocástica de la forma (3.13) y )x,t(f una función continua con derivada parcial de primer orden respecto de t continua y de segundo orden respecto de x continua, para ts  , se cumple:                           t s t s2 2 )u(dB x))u(B,u(f du x ))u(B,u(f 2 1 t))u(B,u(f ))s(B,s(f))t(B,t(f . (3.39) Para la aplicación de este resultado, escribamos primero la e.d.e. (3.13) con condición inicial 0 S)0(S  en forma integral   t 0 t 0 0)x(dB)x(Sdx)x(SS)t(S , (3.40) y supongamos que ))t(B,t(f)t(S  , entonces identificando coeficientes en (3.39) y (3.40), se tiene 2 2 x )x,t(f 2 1 t)x,t(f )x,t(f       , (3.41) x)x,t(f )x,t(f    , (3.42) derivando (3.42) respecto de la segunda variable, i.e., x , obtenemos 2 2 x )x,t(f x)x,t(f       , (3.43) y sustituyendo (5.30) en (5.31), se llega a 2 2 2 x )x,t(f )x,t(f    . (3.44) Simplificando (5.29)-(5.32), obtenemos las ecuaciones en derivadas parciales: Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 37 x)x,t(f )x,t(f; t)x,t(f )x,t(f 2 12             , (3.45) cuya solución buscamos -utilizando el método de separación de variables para ecuaciones en derivadas parciales-, en la forma )x(h)t(g)x,t(f  , con lo que según (3.45) se debe satisfacer )xexp()0(h)x(h;t 2 1 exp)0(g)t(g 2              , (3.46) por tanto,               xt 2 1 exp)0(h)0(g)x(h)t(g)x,t(f 2 , y como por definición del Movimiento Browniano (véase, propiedad B1), se cumple que 1)0(B  con probabilidad 1, se tiene que )0(h)0(g)0,0(f))0(B,0(f)0(S  , y por lo tanto sustituyendo esto en la última expresión                  xt 2 exp)0(S)x,t(f 2 . Finalmente, 0t,)t(Bt 2 1 exp)0(S))t(B,t(f)t(S 2               , (3.47) que es el proceso estocástico solución de la ecuación diferencial estocástica tipo Itô (3.13), el cual es denominado Movimiento Browniano Geométrico o proceso estocástico Log normal, ya que, para cada t es la exponencial de una variable aleatoria gaussiana ( )t(B ). Se finaliza este apartado, mostrando en la Figura 3.3, diferentes simulaciones del Movimiento Browniano Geométrico. Obsérvese que dicho proceso toma valores no negativos, tal y como es deseable. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 38 Figura 3.3. Fuente: Pozuelo Monfort (2004). Trayectorias muestrales del Movimiento Browniano Geométrico 3.2.3.3 Calibración de los parámetros del modelo Log normal Desde un punto de vista práctico, si )t(S dada en (3.47) pretende recoger el comportamiento de la trayectoria temporal de un activo bursátil, primero se deben calibrar los parámetros  y  . Para este propósito es más adecuado manejar (3.47) en la forma equivalente que resulta de tomar logaritmos:                           t;t 2 N~)t(Bt 2 ))0(Sln())t(Sln( 22 , (3.48) donde hemos utilizado que la distribución estadística es gaussiana por ser una transformación lineal de )t;0(N~)t(B . Consideremos ahora una colección de 1K  cotizaciones del activo, digamos: )0(S , )t(SS )1(  , )t2(SS )2(  , …, )tK(SS )K(  , en los instantes ttK,,t2,t,0   equiespaciados del intervalo   t,0 . En cada subperíodo   tj,t)1j(  con Kj1  consideremos los K incrementos: Kj1,))t)1j((Sln())tj(Sln(Uj . (3.49) Observemos que por (3.48) se tiene: )tj(B)tj( 2 ))0(Sln())tj(Sln( 2          , )t)1j((B)t)1j(( 2 ))0(Sln())t)1j((Sln( 2          , de donde restando la segunda expresión de la primera, podemos expresar (3.49) en la forma Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 39 ))t)1j((B)tj(B(t 2 U2 j          , (3.50) ahora bien, como por definición el Movimiento Browniano, )t(B cumple que tiene incrementos gaussianos e independientes de media cero y varianza la longitud del incremento sobre t , se tiene que Kj1,)t;0(N~)t)1j((B)tj(B  , por lo que las variables aleatorias j U son gaussianas e independientes con media   t 2 2  y varianza t 2 . A partir de una muestra de 1K  datos reales de las cotizaciones, podemos construir las K diferencias dadas en (3.49) y realizar una estimación de los parámetros  y  mediante el método de los momentos, que supone igualar la media y la varianza de las K variables aleatorias a la media muestral U y a la quasi-varianza muestral 2 S dadas por:        K 1j 2 j 2 K 1j jUU 1K1 S,U K 1 U , (3.51) lo que permite construir el siguiente sistema de ecuaciones algebraico para estimar los parámetros  y  : tS,t 2 U22 2          , (3.52) cuya solución nos da las estimaciones buscadas t S ˆ , 2 S U t 1 ˆ2             . (3.53) Resumiendo, para poner en práctica el modelo (3.47) se realizarán los siguientes pasos:  Paso 1: A partir de la serie de 1K  cotizaciones: )0(S , )tΔ(S=S )1( , )tΔ2(S=S )2( , …, )tΔK(S=S )K( , observadas en períodos de longitud t (por ejemplo, intra-día), formar la serie de K valores j U dada por (3.49).  Paso 2: Calcular la media muestral U y la 2 S quasi-varianza muestral, dadas en (3.51). Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 40  Paso 3: Estimar los parámetros μ y σ del modelo (3.47), mediante μ ˆ y σ ˆ , dadas en (3.53).  Paso 4: Simular el término )t;0(N~)t(B a través de cualquier de los métodos disponibles en la literatura (véase, Ross 1999).  Paso 5: La implementación de los pasos 3 y 4 en el modelo (3.47), permite obtener simulaciones de activo de la acción al día siguiente de las cotizaciones disponibles. En la práctica para calibrar el modelo sobre cotizaciones diarias del mercado bursátil español se toma 365/1=tΔ cuando el activo es sensible a los sucesos y acontecimientos que ocurren durante todos los días del año, y 252/1=tΔ , cuando el precio de la acción bursátil sólo depende de las decisiones que se toman por los inversores en horario de cotización durante los 252 días que, en media, opera el mercado continuo español. La decisión entre la elección entre una de las dos posibilidades se realiza en base a una opinión experta sobre el mercado, y el número de veces que, históricamente ha funcionado mejor un método frente otro, cuando se han comparado. En el primer caso, es decir, si se toma 365/1=tΔ y deseamos aplicar el modelo para predecir el valor de una acción al día siguiente de la serie histórica que dispongamos, por ejemplo, si ésta va desde el 1 de junio de 2012 al 15 de julio de 2012 (estos son 45 días, pues se deben incluir los fines de semana y festivos), tomaremos en el modelo (3.47), 365/46=t , quedando                           365 46 B ˆ 365 46 ˆ 2 1 ˆ exp)0(S 365 46 S2 , siendo )0(S el valor de la acción al principio de la serie histórica y,  ˆ y  ˆ , las estimaciones realizadas en el paso 3. Para simular el término ( ) 365/46B , y como muchas veces el software disponible sólo proporciona simulaciones de variables aleatorias normales tipificadas, puede utilizarse el siguiente resultado: )1;0(N~Z,Zt=)t(B)t;0(N~)t(B d ⇒ , con lo que el término ( ) 365/46B puede simularse, a partir de una variable normal de media 0 y desviación típica 1, como sigue )1;0(N~Z,Z 365 46 365 46 Bd        . Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 41 En las mismas condiciones del ejemplo anterior, pero con 252/1t  , deberíamos únicamente considerar los días de cotización de entre los 45 días naturales anteriores, pongamos 30 días (suponemos eliminados los fines de semana y festivos) y proceder como antes para realizar la estimación del valor de la acción al día siguiente:                           252 31 B ˆ 252 31 ˆ 2 1 ˆ exp)0(S 252 31 S2 . Para la calibración del modelo sobre cotizaciones semanales, se tomará 52/1=tΔ . Si deseamos aplicar el modelo para predecir el valor de una acción a la semana siguiente de la serie histórica que dispongamos, por ejemplo, si ésta va desde el 1 de junio de 2012 al 15 de julio de 2012, como en el ejemplo anterior, son 6 semanas, por lo que tomaremos en el modelo (3.47), 52/7t , quedando                           52 7 B ˆ 52 7 ˆ 2 1 ˆ exp)0(S 52 7 S2 . 3.2.3.4 Estimación de los parámetros del modelo Log normal por el método de máxima verosimilitud En este apartado detallaremos cómo se han calibrado a partir de los datos u observaciones de las cotizaciones de las empresas que han sido seleccionadas para predecir el IBEX 35, los parámetros del modelo Log normal, μ y σ . .)t(dB)t(Sσ+dt)t(Sμ=)t(dS Con objeto de hacer más general la exposición, observemos que la ecuación diferencial estocástica anterior es un caso particular del siguiente modelo abstracto. ( ) ( ) )t(dB)θ;tX,t(g+dt)θ;tX,t(f=)t(dX  (3.54) siendo, )t(X = )t(S , ( ) )tX,t(f = )t(S , ( ) )tX,t(g = )t(Sσ y donde n Rθ∈  es un vector de parámetros que en nuestro caso es ( ) n Rσ,μ=θ∈  , (3.55) y el cual deseamos estimar. Esta estimación se va a realizar mediante el método de máxima verosimilitud. Se calculará a partir de unas observaciones   N0ii )X,  i, (t de )t(X que en nuestro caso Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 48 cotización real (observación), se considera que la predicción es buena si se acerca al valor observado. 3.2.5.2 Medidas de Bondad de Ajuste penalizadas Se utiliza para evaluar el ajuste de un modelo de regresión que se ha estimado utilizando mínimos cuadrados ordinarios. Se aplica en el contexto de la selección del modelo, donde un número de variables predictoras están disponibles para predecir un resultado, y el objetivo es encontrar el mejor modelo que implica un subconjunto de estos predictores. El problema de la modelización requiere un equilibrio entre la mejora del modelo y el no deseable incremento de la complejidad de éste al ir añadiendo cada nuevo parámetro. El estadístico Cp de Mallow se utiliza para ello. Dicho estadístico está definido como Np2+ S RSS =Cp 2- (3.68) donde RSS es la suma de cuadrados residuales, 2 S es la varianza residual del modelo teniendo en cuenta el tamaño de la muestra , p es el número de variables predictoras del modelo (tamaño de la cartera) y N es el tamaño de la muestra o número de datos. El mejor modelo, es decir, el que más se ajusta, a la vez que el más sencillo, es al que le corresponde menor valor del estadístico Cp . El estadistico Cp de Mallow es un procedimiento adecuado y se utiliza como regla de parada en diversas regresiones por pasos si no hay muchas variables predictoras. Para evitar la multicolinealidad cuando existen muchas variables predictoras, se utilizan los procedientos backward o forward para seleccionar el mejor modelo, aplicando regresión stepwise (por pasos) para la selección de las variables más significativas. 3.3 Otras teorías clásicas para la formación y evaluación de carteras de inversión y para la predicción de índices Muchos autores han desarrollado modelos que relacionan el problema de Index Tracking con otras técnicas ampliamente utilizadas en la literatura financiera, como los modelos de cointegración (Alexander y Dimitriu, 2005). Otra cuestión importante tratada en la literatura es la referida a los costes de transacción ocasionados por la revisión en la composición de la cartera réplica. Adcock y Meade (1994) incluyen dichos costes en el Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 49 modelo de optimización a través de un factor de ponderación, asumiendo que dichos costes ocurren en cada ocasión en que la cartera es rebalanceada. Con respecto a la formación de carteras réplicas, y en comparación con la metodología utilizada en el presente trabajo, se destaca la metodología propuesta por Tabata y Takeda (1995), los cuales suponen determinados el número de títulos a emplear en la cartera réplica a través de un algoritmo iterativo. Se seleccionan los títulos de forma aleatoria. A partir de este conjunto de títulos, el algoritmo utiliza un criterio de minimización del Tracking Error para decidir qué título se elimina de la cartera réplica, y qué otro entra en su lugar. Por otro lado, muchos investigadores han propuesto numerosas medidas para establecer rankings de performance que permitan evaluar la gestión financiera de carteras o fondos. A continuación se detallan algunas de estas metodologías. A) Teoría de la función de utilidad esperada De acuerdo con esta teoría, el inversor representativo es un individuo racional, con una función de utilidad de inversión que le permite discriminar entre carteras en función del rendimiento de éstas y de su nivel de riesgo (Muñoz, 2005; Balaguer, 2006). De este modo, los inversores buscan maximizar su función de utilidad basando sus decisiones de inversión en una combinación de activos que consigan este objetivo en función de la rentabilidad y riesgo esperado de las carteras que estos forman. En consecuencia, las decisiones de inversión se realizan teniendo en cuenta que se prefieren aquellos activos o carteras que, para un mismo nivel de rentabilidad esperada, presentan un menor nivel de riesgo o que, para un mismo nivel de riesgo, ofrecen rentabilidades esperadas mayores. Diferentes modelos que emplean esta teoría para establecer las preferencias de los inversores a la hora de seleccionar sus carteras son: el modelo de media-varianza de Markowitz 6 , el modelo de mercado de Sharpe (1963) 7 y el modelo CAMP 8 . B) Teoría del arbitraje. El modelo APT 9 . Como consecuencia de las limitaciones conceptuales del CAPM, así como los resultados empíricos no satisfactorios obtenidos con este modelo, los investigadores en Economía Financiera han desarrollado modelos alternativos acerca del equilibrio en el mercado de capitales, y la consiguiente valoración de activos financieros. 6 Véase Freixas, 1997 y Suárez, 1986. 7 Véase Suarez, 1986. 8 Véase Marín, 1997; Gómez-Bezares, 2006. 9 Suárez, 1986; Alexander et al., 2003, Gómez-Bezares, 2006 , Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 50 Ross (1976) propone, como alternativa al modelo CAPM, un nuevo modelo de valoración de títulos o carteras que tiene en cuenta la existencia de varios factores de riesgo en la determinación de la rentabilidad de los activos (Gómez-Bezares, 2006). Este modelo, cuya formulación surge de la consideración de la existencia de no arbitraje en el mercado, se denomina Arbitrage Pricing Theory (APT). En el enfoque tradicional de series temporales usualmente se trabaja con un enfoque lineal basado en los procesos estocásticos en los que la introducción de perturbaciones aleatorias se hace necesaria para emular el comportamiento complejo observado en la realidad económica. Empíricamente existe evidencia a favor de la existencia de una estructura no lineal en los mercados financieros (Scheinkman y Le Baron, 1989, Hinich y Patterson, 1985; Hsieh, 1989 y1991; Bajo-Rubio et al., 1992; Brock et al., 1996; Guarda y Salmon, 1996; Brooks,1996; Cecen y Erkal, 1996, Abhyankar et al., 1997 y Pérez-Rodríguez et al., 2005, Bonilla et al., 2006). Además, existen trabajos en los que se proporciona una base teórica para estos resultados empíricos, principalmente mediante la descripción de la dinámica de precios en los mercados financieros como el resultado de la interacción entre grupos de agentes con información heterogénea (Cutler et al., 1990; De Long et al., 1990; Day and Huang, 1990; Chiarella, 1992; Lux, 1997 y 1998; Lux y Marchesi, 1999 y 1999; LeBaron, 2000; Chen, Lux y Marchesi, 2001). Centrándonos en la predicción de series temporales financieras, en los últimos años se ha pasado del ajuste de modelos no lineales paramétricos relativamente sencillos (como ejemplos pueden citarse trabajos que utilizan modelos de varianza condicional (Hsieh, 1997, Baillie y Bollerslev, 1991, Baillie et al., 2000, Balaban y Bayar, 2005), el modelo de Markov (Turner et al., 1989 y Kanas, 2003), el modelo no lineal por piezas (Oh y Kim, 2002) o el modelo umbral autorregresivo (Sarantis, 2001 y Bradley y Janse, 2004), a generalizaciones más complejas de estos modelos. Entre ellas pueden citarse diversas generalizaciones del modelo umbral, como la exponencial (McMillan, 2003 y Brooks, 2001) o la generalización a modelos GARCH (Marcucci, 2005), generalizaciones de modelos GARCH, como los modelos GARCH no lineales (Gokcan, 2000 y Wei, 2002) y los fraccionales (Beine et al., 2002 y Jin y Frechet, 2004). Dentro de esta misma tendencia, en los últimos años se han considerado distintos modelos no paramétricos, dentro de los cuales destacan por su potencia los modelos de redes neuronales. Con la utilización de estas técnicas no paramétricas se entra dentro de lo Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 51 que se denomina “econometría caótica o no lineal”. Estas técnicas presentan además la ventaja, como señalan Satchell y Timmermann (1996), de funcionar tanto para series caóticas como para series estocásticas. A continuación se muestra diferentes técnicas desarrolladas dentro de lo que se denomina Econometría Compleja No Lineal. A) Enfoque de Comprensión mediante la Reconstrucción del Espacio De Estados Casdagli (1989) trata el problema de la predicción no lineal como un “problema inverso” en la teoría de sistemas dinámicos. El problema usual en este campo es, conociendo el modelo, describir su evolución conforme pasa el tiempo; el problema inverso es el contrario, es decir, dada la evolución del sistema (que es lo que se manifiesta en la serie de datos recogida a lo largo del tiempo) construir un modelo que pueda haberla originado (modelo generador de datos). Si se localiza la función (necesariamente no lineal si estamos ante un sistema caótico) que puede dar origen a esta evolución, dispondremos de un posible modelo predictivo. Para conocer esta función se separan los datos en dos grupos; el primero se utiliza para llevar a cabo una interpolación o aproximación de la función desconocida (conjunto de entrenamiento) y el segundo (conjunto de verificación) para evaluar la bondad del ajuste mediante los errores de predicción. B) Redes neuronales Cuando el sistema no es suficientemente simple es más apropiado el enfoque del aprendizaje por medio de redes neuronales ya que, debido a su generalidad, es capaz de ajustar el comportamiento de cualquier función. Las redes neuronales (Nychka et al., 1992, Jungeilges, 1996 y White, 1989) son una clase de modelos no lineales inspirados en la arquitectura neuronal del cerebro. Al igual que la técnica anterior, las redes neuronales intentan resolver el problema inverso de ajustar una función no lineal utilizando los valores sucesivos de una serie temporal. Existe una amplia aplicación de las redes neuronales en el campo de la predicción de series temporales económicas. En concreto, se pueden citar ejemplos en mercados financieros (Trippi y Turban, 1993, Azoff, 1994, Refenes, 1995 y Gately, 1996), predicción en mercados bursátiles (White, 1988, Kimono et al., 1990, Schoneburg, 1990, Yoon y Swales, 1991, Grudnitsky y Osburn, 1993, Chen et al., 2003 y Jasic y Wood, 2004), predicción de bancarrotas y fallos de mercados ( Coleman et al., 1991, Salchenkerger et al., 1992, Tam y Kian, 1992, Fletcher y Goss, 1993, Wilson y Sharda, 1994 y O’Leary, 1998), predicción de Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 52 tipos de cambio (Weigend et al, 1992, Refenes, 1993, Kuan y Liu, 1995, Hann y Steurer, 1996, Zhang y Hu, 1998, Franses y Griensven, 1998 y Giles et al., 2001. Además también se están desarrollando aplicaciones macroeconómicas, como la predicción de recesiones (Qi, 2001) o del comportamiento de magnitudes macroeconómicas (GDP en Tkacz, 2001), e incluso existe alguna aplicación en el mercado de la vivienda (Caridad y Ceular, 2001). . Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 53 APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA Tal y como se ha señalado en el apartado 3.2, el objetivo de este análisis es la composición de una cartera que replique el comportamiento del IBEX 35. Mediante los títulos de la cartera réplica se pretende realizar una predicción del valor del IBEX 35. Nosotros realizaremos la estimación para la primera semana de 2012. 4.1 Aplicación de Componentes Principales y Tracking Error para la formación de la cartera réplica Para la aplicación práctica se han seleccionado los títulos pertenecientes al IBEX 35 que han formado parte de él durante los años 2010 y 2011 y principios de 2012 10 . Esto conlleva considerar 32 títulos, lo que implica que la réplica del comportamiento del IBEX 35 no será completa o con Tracking error nulo, puesto que no se han considerado títulos no indexados en la actualidad pero si en años anteriores. 11 10 Incluida primera revisión del Comité en 2012. 11 Este mismo problema aparece en el resto de aplicaciones encontradas en la literatura, cuando se quiere evaluar una metodología que hace uso de una ventana temporal de varios años. En estos casos, se argumenta que la metodología puede ser igualmente contrastada y, sobre todo, comparada con otras con independencia de que el tracking error sea o no nulo. 4 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 54 El algoritmo se ha aplicado sobre el bienio 2010-2011, mientras que la primera semana del año 2012 se ha utilizado para contrastar la predicción obtenida del IBEX 35. En primer lugar se han calculado las rentabilidades semanales 12 para los dos años en cuestión, calculándose su rentabilidad relativa y posteriormente tipificada 13 (estandarizada o normalizada), con el objetivo de poder comparar entre valores con distintas distribuciones. 4.1.1 Componentes principales A continuación se detallan y se analizan los resultados obtenidos en la implementación de la metodología de componentes principales. En primer lugar, para cada uno de los 32 títulos seleccionados y durante el periodo 2010-2011 se ha realizado una regresión lineal simple entre la rentabilidad tipificada de cada título (variable independiente) y la rentabilidad tipificada del índice IBEX 35 (variable dependiente). Los residuos de estas regresiones han sido transformados según la fórmula (3.7), para posteriormente aplicar el análisis de componentes principales sobre su matriz de covarianzas. El propósito del análisis es obtener un pequeño número de combinaciones lineales de las 32 variables que expliquen la mayoría de la variabilidad en los datos. En este caso, se han extraído 5 componentes, con autovalores mayores o iguales a 1. Juntos explican el 66,40% de la variabilidad en los datos originales. Como es habitual en este tipo de análisis, la primera componente recoge una combinación lineal positiva de todas las variables, la denominada componente de tamaño, mientras que en la segunda y siguientes se alternan los signos de las variables, por lo que se las denomina componentes de forma. Al aplicar la rotación Varimax sobre las anteriores componentes se ha obtenido una estructura que permite ser interpretada con mayor profundidad, y donde la asociación de los títulos en diferentes componentes o grupos resulta más sencilla. En la rotación Varimax se maximiza la varianza de los coeficientes de las variables, de esta forma, se puede identificar la variable que mayor coeficiente tiene en cada componente. En la Tabla 4.1 aparecen los coeficientes de los títulos en las 5 componentes rotadas, seleccionándose en cada una de ellas el título que tiene un coeficiente mayor. 12 La periocidad de los rendimientos más habitual es los trabajos académicos es la semanal, por lo que se ha decidido utilizar esta alternativa frente a otras. No obstante, la metodología propuesta es igualmente aplicable con independencia de esta elección. 13 Se dice que una variable está tipificada, normalizada o estandarizada cuando a sus valores se les resta su media aritmética y se les divide por su desviación estándar. El resultado de esta operación es otra variable que tiene media cero y varianza uno. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 55 RESIDUOS transformados Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4 Componente 5 U TELEFÓNICA 0,246165 0,062603 -0,149402 0,66120 0,05870 U SANTANDER -0,032822 0,00678743 0,719357 -0,34946 0,119929 U INDITEX 0,491903 0,384247 0,239162 0,0756552 0,404365 U IBERDROLA 0,010439 0,11257 0,0331805 0,706208 0,337386 U BBVA -0,036641 0,0217876 0,795816 -0,0066639 -0,210345 U REPSOL 0,752087 0,104521 -0,107388 0,0286674 0,0695159 U ENDESA 0,29424 0,282185 0,0216423 0,698061 0,149895 U GAS NATUR 0,29591 0,103568 0,318572 0,274647 0,620176 U ABERTIS 0,41275 0,372386 0,149521 0,156985 0,366506 U ACS CONST. 0,579577 0,0187758 0,194037 0,338582 0,0325531 U MAPFRE 0,132833 0,672804 0,197496 0,19647 0,139543 U FERROVIAL 0,371814 0,666329 0,039662 0,055099 0,176666 U POPULAR 0,087025 0,337014 0,75112 0,024702 0,100825 U RED ELECT. 0,322519 0,3562 -0,06467 0,420879 0,564682 U ACCIONA 0,215978 0,667468 0,217881 0,301937 0,0309041 U SABADELL 0,252122 0,33077 0,749682 0,065486 0,131505 U ENAGAS 0,341497 0,318551 -0,074085 0,446675 0,515108 U GRIFOL 0,435384 0,429895 0,209245 0,40545 0,177022 U FCC 0,460646 0,233662 0,371998 0,464622 -0,0775938 U ACERINOX 0,758345 0,255107 0,217059 0,24165 0,146046 U OHL 0,69906 0,330671 -0,064709 0,069286 0,213109 U INDRA 0,622135 0,277744 0,17773 0,423574 0,175884 U TELE5 0,533086 0,343465 0,088093 0,137338 0,38457 U BME 0,41297 0,468779 0,401948 0,312085 0,159386 U ABENGOA 0,308081 0,655677 0,262862 -0,004433 0,290938 U TRE 0,747674 0,387992 0,039282 0,168921 0,197268 U GAMESA 0,644912 0,357468 0,299924 0,165961 0,252101 U ARCELOR 0,809551 0,0798523 0,0314343 0,161932 0,348502 U BANKINTER 0,186091 0,129097 0,725787 0,210407 0,243898 U CAIXABANK 0,530642 0,474632 0,18319 0,319004 -0,113645 U EBRO PUL 0,636583 0,382263 0,316098 0,363896 0,268769 U SYV 0,615297 0,436971 0,280714 0,284221 -0,11091 Tabla 4.1. Fuente: Elaboración propia. 5 Componentes principales Los títulos escogidos como representativos de cada una de los componentes principales son:  Componente principal 1: ARCELOR. (coef. 0,809551).  Componente principal 2: MAPFRE (coef. 0,672804).  Componente principal 3: BBVA (coef. 0,795816).  Componente principal 4: IBERDROLA (coef. 0,706208). Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 56  Componente principal 5: GAS NATURAL (coef. 0,620176). Los títulos representativos en cada componente principal simbolizan 5 sectores de la economía española; sector bancario (BBVA), energético (GAS NATURAL), eléctrico (IBERDROLA), siderúrgico (ARCELOR) y asegurador (MAPFRE). Uno de los objetivos del cálculo de componentes principales es la identificación de los mismos, es decir, averiguar qué información de la muestra resumen. Sin embargo este es un problema difícil que a menudo resulta subjetivo. No obstante, el objetivo que se persigue en este trabajo con el análisis de componentes principales es obtener el número de títulos y el peso de cada uno para realizar la predicción del IBEX 35 en la primera semana de 2012. Apoyándonos en el criterio del porcentaje de la varianza 14 , tomaremos como número de componentes, el número mínimo necesario para que el porcentaje acumulado de la varianza explicado alcance el umbral del 75% o del 80%. Statgraphics permite extraer todas las componentes principales, esto es, tantas como variables. A continuación se vuelve a realizar el mismo análisis solicitando que se extraigan las componentes principales con valor propio mayor que 0,8. En este caso, se han extraído 8 componentes, con autovalores mayores o iguales a 0,8. Juntos explican el 74,86% de la variabilidad en los datos originales. En la Figura 4.2 aparecen los coeficientes de los títulos en las componentes rotadas, identificando el mayor coeficiente en cada una de las componentes. Los títulos escogidos como representativos de cada uno de los componentes principales son:  Componente principal 1: ARCELOR. (coef. 0,862025).  Componente principal 2: BBVA (coef. 0,809236).  Componente principal 3: IBERDROLA (coef. 0,706539).  Componente principal 4: ACCIONA (coef. 0,672729).  Componente principal 5: FERROVIAL (coef. 0,781505).  Componente principal 6: TELEFÓNICA (coef. 0,776049).  Componente principal 7: ABERTIS (coef. 0,748281).  Componente principal 8: ACS CONST. (coef. 0,681949). 14 En la práctica, nos quedaremos con un número suficiente de componentes que recoja un porcentaje amplio de la variabilidad. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 57 Estos títulos simbolizan nuevamente 5 sectores de la economía española. Del mismo modo que para la selección de 5 componentes principales, se encuentran el sector bancario (BBVA), eléctrico (IBERDROLA) y siderúrgico (ARCELOR). Además se incluye el sector de la construcción y el de telecomunicaciones: ACCIONA, FERROVIAL Y ACS (construcción), TELEFÓNICA (telecomunicaciones) y ABERTIS (construcción y explotación de infraestructuras de transporte y telecomunicaciones). RESIDUOS transformados Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4 Componente 5 U TELEFÓNICA 0,142785 -0,157748 0,24895 0,0666346 0,022448 U SANTANDER 0,051002 0,778184 -0,16227 -0,141603 -0,125638 U INDITEX 0,447172 0,276039 0,164155 -0,0678821 0,447919 U IBERDROLA 0,013538 -0,022131 0,706539 0,243286 -0,037833 U BBVA -0,016018 0,809236 -0,10307 0,18641 -0,063329 U REPSOL 0,733596 -0,126806 0,049469 0,163848 0,116362 U ENDESA 0,284115 -0,020462 0,52064 0,43772 0,024625 U GAS NATUR 0,397129 0,320374 0,643761 -0,0050566 0,058503 U ABERTIS 0,334659 0,106875 0,220926 0,184939 0,029671 U ACS CONST. 0,369287 0,11748 0,106508 0,105566 0,112845 U MAPFRE 0,154726 0,233887 0,130457 0,359174 0,349884 U FERROVIAL 0,343975 0,073825 0,115848 0,218728 0,781505 U POPULAR 0,037787 0,733829 0,131639 0,214181 0,349775 U RED ELECT. 0,380101 -0,06646 0,654727 0,134681 0,301858 U ACCIONA 0,197002 0,168495 0,26809 0,672729 0,270177 U SABADELL 0,166735 0,73881 0,072596 0,160044 0,286871 U ENAGAS 0,375396 -0,06803 0,617995 0,0776992 0,390639 U GRIFOL 0,397301 0,23492 0,229917 0,210841 0,351673 U FCC 0,366757 0,287621 0,253008 0,546697 -0,019741 U ACERINOX 0,749345 0,203314 0,195108 0,303523 0,087411 U OHL 0,700918 -0,055229 0,079399 0,184311 0,129946 U INDRA 0,583775 0,182076 0,259323 0,214158 0,198315 U TELE5 0,624682 0,133794 0,329684 0,0986681 0,335366 U BME 0,403618 0,405726 0,27417 0,348402 0,35414 U ABENGOA 0,294503 0,24902 0,176863 0,353218 0,353883 U TRE 0,669401 0,035046 0,089123 0,186445 0,296934 U GAMESA 0,664934 0,292075 0,253677 0,305657 0,153861 U ARCELOR 0,862025 0,050557 0,272513 0,0281666 0,059865 U BANKINTER 0,11293 0,671561 0,304155 0,155936 0,033601 U CAIXABANK 0,471934 0,136041 0,093671 0,615867 0,108985 U EBRO PUL 0,584029 0,310654 0,278831 0,243529 0,222834 U SYV 0,520978 0,249 0,034164 0,487795 0,258113 Tabla 4.2. Fuente: Elaboración propia. 8 Componentes principales (I) Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 64 Paso 3. Estimación de μ ˆ y σ ˆ Para calibrar el modelo sobre cotizaciones semanales del mercado bursátil español se ha utilizado en primer lugar el método de los momentos. Se ha tomado como incremento temporal el valor 52/1=tΔ y se han calculado las estimaciones del parámetro de la deriva o drift, μ ˆ , y de la volatilidad σ ˆ . Los resultados obtenidos son: μ ˆ = 0,095155 y σ ˆ = 0,393566 Paso 4. Simulación del proceso estocástico browniano Bt mediante la Simulación Monte Carlo. Para ello, se simula un valor z de una v.a.   1;0N~Z , de la forma siguiente: se genera un número aleatorio de una distribución uniforme )1,0( , con la función ALEATORIO( ) y posteriormente se le aplica la inversa de la función de distribución de una v.a.   1;0N , es decir, Z = DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(); 0;1). El resultado z es un posible valor de una variable aleatoria   1;0N , luego ponemos ztBt , la cual es una variable aleatoria gaussiana, con media 0 y varianza t . Este procedimiento se repite 1000 veces. Paso 5. Predicción puntual. Para cada una de las 1000 simulaciones conseguidas se calculan 1000 predicciones puntuales, mediante la fórmula (3.65). A continuación, con todas las predicciones obtenidas se consigue, mediante la función “promedio”, la predicción puntual que estimará el precio semanal que alcanzará la acción de BBVA la primera semana del año 2012, y es de 6,57. La cotización real (observación) la primera semana del 2012 para BBVA es de 6,56, por lo que existe una pequeña desviación de 0.01 puntos entre el valor real y la predicción. El resultado de aplicar el modelo Log normal y la Simulación Monte Carlo para cada una de las 5 empresas que componen la cartera que replica el IBEX 35 se muestra en la Tabla 4.7. EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 IBERDROLA 4,74 4,75 -0,01 0,001350 BBVA 6,56 6,57 -0,01 0,002978 GAS NAT 13,42 13,41 0,02 0,001120 MAPFRE 2,5 2,51 -0,01 0,001839 ARCELOR 14,924 14,86 0,06 0,006464 Tabla 4.7. Fuente: Elaboración propia. Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 5 títulos) Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 65 Según los datos que muestra la tabla anterior, en principio se puede afirmar que las predicciones difieren poco de las observaciones. No obstante habrá que esperar al diagnóstico del ajuste del modelo (apartado 4.3). En la Tabla 4.8 se muestra el cálculo de la Capitalización Bursátil en el instante t, “valor desconocido”, utilizando la estimación del precio de las compañías con la correspondiente ponderación obtenida por el método del Tracking Error Variance. Así mismo, mediante la sustitución en la fórmula del IBEX 35 de los valores tanto conocidos como desconocidos que han sido estimados, se obtiene la predicción del IBEX 35 para la primera semana del año 2012. EMPRESA Nº ACCIONES PREDICCIÓN CAPITALIZACIÓN Predicción IBEX35 IBERDROLA 5.822.196 4,75 4647537,07 8.503,44 BBVA 4.551.602 6,57 13432353,57 GAS NAT 572.093 13,41 766936,43 MAPFRE 1.235.755 2,51 405553,25 ARCELOR 312.182 14,86 704665,53 19.957.045,86 Tabla 4.8. Fuente: Elaboración propia. Predicción IBEX 35. (12 semanas. 5 títulos) La predicción del IBEX 35 para la primera semana del año 2012 es de 8.503,44. El dato real (observación) para la primera semana de 2012 es de 8.531,34, por tanto difiere en 27,90 puntos, lo que representa un 0,33 % sobre el valor real del IBEX 35. Con respecto a la predicción semanal del IBEX 35 utilizando en la cartera réplica los 8 títulos seleccionados por el método de componentes principales y el peso obtenido mediante el Tracking Error Variance, los resultados se muestran en las tablas 4.9 y 4.10. EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 IBERDROLA 4,74 4,75 -0,01 0,00135 BBVA 6,56 6,57 -0,01 0,00298 ARCELOR 14,92 14,86 0,06 0,00646 TELEFÓNICA 13,39 13,15 0,24 0,00136 FERROVIAL 9,45 9,45 0,00 0,00146 ACCIONA 65,57 66,28 -0,71 0,00113 ABERTIS 12,53 12,52 0,01 0,00174 ACS. CONST 22,89 22,60 0,29 0,00231 Tabla 4.9. Fuente: Elaboración propia. Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 8 títulos) En la Tabla 4.9 se observa como para Telefónica, Acciona y ACS las predicciones no se aproximan tanto a las observaciones, como es el caso de los restantes títulos. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 66 EMPRESA Nº ACCIONES PREDICCIÓN CAPITALIZACIÓN IBEX 35 IBERDROLA 5822196 4,75 3343790,814 8.480,0 BBVA 4551602 6,57 13291872,79 ARCELOR 312182 14,86 251898,2118 TELEFÓNICA 4563996 13,15 8993469,141 FERROVIAL 733510 9,45 585840,5028 ACCIONA 50840 66,28 19207,15703 ABERTIS 591230 12,52 564868,6296 ACS. CONST 251731 22,60 363568,3721 27.414.515,62 Tabla 4.10. Fuente: Elaboración propia. Predicción IBEX 35. (12 semanas. 8 títulos) La predicción del IBEX 35 para la primera semana del año 2012 utilizando 8 títulos en la cartera réplica y con un histórico de 12 semanas es de 8.480,00. El dato real (observación) para la primera semana de 2012 es de 8.531,34, por tanto difiere en 51,40 puntos, lo que representa un 0,60 % sobre el valor real del IBEX 35. Los resultados obtenidos utilizando 8 títulos en la cartera réplica, con un histórico de 12 semanas, son peores que en el caso de elegir 5 títulos en la cartera réplica ya que la predicción del IBEX 35 es más próxima al dato real (observación) utilizando 5 títulos. La predicción de Telefónica obtiene una diferencia de 0,24 puntos. Teniendo en cuenta que se le asigna un peso del 14,98% en la cartera réplica y que con la selección de 5 títulos esta compañía no ha sido tenida en cuenta, se puede intuir que el valor de su predicción haya influido negativamente en la predicción del IBEX 35 utilizando 8 títulos. Con respecto a la utilización de un histórico de 20 semanas (5 meses) para la aplicación del modelo Log Normal y simulación Monte Carlo, los resultados obtenidos han sido los que se muestran en la Tabla 4.11. EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 IBERDROLA 4,74 4,79 -0,04 0,001288914 BBVA 6,56 6,61 -0,05 0,002849119 GAS NAT 13,42 13,40 0,02 0,001092045 MAPFRE 2,5 2,51 -0,01 0,001468178 ARCELOR 14,924 14,95 -0,03 0,005835392 Tabla 4.11. Fuente: Elaboración propia. Predicciones títulos cartera réplica. (20 semanas. 5 títulos) En el caso de la elección en la cartera réplica de 5 componentes principales, se muestra en la tabla 4.12 como la predicción del IBEX 35 para la primera semana del año 2012 es de 8.555,99, por tanto difiere en 24,65 puntos, lo que representa un 0,29 % sobre el Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 67 valor real del IBEX 35, un resultado muy parecido a la aplicación del modelo teniendo en cuenta un histórico de 12 semanas. EMPRESA Nº ACCIONES PREDICCIÓN CAPITALIZACIÓN IBEX 35 IBERDROLA 5.822.196 4,79 4681081,005 8.555,99 BBVA 4.551.602 6,61 13517985,34 GAS NAT 572.093 13,40 766792,1837 MAPFRE 1.235.755 2,51 405421,2487 ARCELOR 312.182 14,95 709088,7669 20.080.368,55 Tabla 4.12. Fuente: Elaboración propia. Predicción IBEX 35. (20 semanas. 5 títulos) En el caso de la elección en la cartera réplica de 8 componentes principales, y con un histórico de 20 semanas, se muestra en las tablas 4.13 y 4.14 los resultados. EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 IBERDROLA 4,74 4,79 -0,04 0,00129 BBVA 6,56 6,61 -0,05 0,00285 ARCELOR 14,92 14,95 -0,03 0,00584 TELEFÓNICA 13,39 13,25 0,15 0,00130 FERROVIAL 9,45 9,59 -0,14 0,00182 ACCIONA 65,57 67,17 -1,61 0,00117 ABERTIS 12,53 12,52 0,01 0,00146 ACS. CONST 22,89 22,65 0,24 0,00203 Tabla 4.13. Fuente: Elaboración propia. Predicciones títulos cartera réplica. (20 semanas. 8 títulos) En este caso, la predicción de la compañía Telefónica obtiene un mejor resultado que en el caso de utilizar 12 semanas como serie histórica. La diferencia entre el valor observado y la predicción es de 0,15. Para el título BBVA, que obtiene un peso muy alto con respecto a los demás títulos, y por lo tanto adquiere mayor relevancia su resultado, se obtiene una diferencia de 0,05, frente al 0,01 que se obtenía con 12 semanas de histórico. No obstante, en principio es una diferencia bastante aceptable. En el caso de Acciona, que aparentemente parece que su predicción dista mucho de las demás predicciones para otros títulos, tiene un valor de sus acciones (observación= 65,57) muy superior al resto de los valores observados. En estos casos es importante tener en cuenta este detalle que posteriormente en las medidas de Bondad de Ajuste se analizarán con mayor detenimiento (apartado 4.3). Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 68 EMPRESA Nº ACCIONES PREDICCIÓN CAPITALIZACIÓN IBEX 35 IBERDROLA 5.822.196 4,79 3367924,869 8.536,41 BBVA 4.551.602 6,61 13376609 ARCELOR 312.182 14,95 253479,3946 TELEFÓNICA 4.563.996 13,25 9055654,095 FERROVIAL 733.510 9,59 594654,5508 ACCIONA 50.840 67,17 19465,78991 ABERTIS 591.230 12,52 564944,9403 ACS. CONST 251.731 22,65 364307,5005 27.597.040,14 Tabla 4.14. Fuente: Elaboración propia. Predicción IBEX 35. (20 semanas. 8 títulos) La predicción del IBEX 35 para la primera semana del año 2012 con la selección de 8 títulos y con un histórico de 20 semanas es de 8.536,41, por tanto difiere en 5,07 puntos, lo que representa un 0,06 % sobre el valor real del IBEX 35. El resultado obtenido en este escenario es el mejor empleando la metodología de componentes principales en cuanto a que la predicción del IBEX 35 se aproxima en mayor medida a la observación del IBEX 35 para la primera semana de 2012. Este hecho podría ser debido a que la predicción depende de un mayor número de empresas, por tanto, están más repartidos los pesos, o dicho de otra forma, el error en la predicción de los precios de una compañía sobre el total de empresas no tiene la misma repercusión cuando el total de compañías es de 8, en lugar de 5. No obstante, la predicción que se alcance para el título más representativo, BBVA, influye en mayor medida que para otros títulos con menor representación en la cartera réplica. Utilizando 12 semanas se obtenía una predicción más cercana al valor real. Aun así, para ambos escenarios sus predicciones se han aceptado como buenas. En contra, para la compañía Telefónica su predicción mejoraba en el caso de utilizar un espacio temporal de 20 semanas. Otra mejora a la hora de utilizar una serie temporal más amplia ha sido para la empresa Arcelor, pasando de una diferencia de 0,06 a 0,03. 4.2.2 Predicción del IBEX 35 utilizando sus 10 primeras empresas por ponderación En este apartado, la aplicación del modelo se realiza para las 10 primeras compañías del IBEX 35, las cuales representan un mayor peso dentro del índice. Del mismo modo que en el apartado 4.2.1, se calcula mediante el modelo Log normal y la Simulación Monte Carlo la predicción de las cotizaciones para la primera semana del 2012 para cada una de ellas. Los resultados obtenidos son los que indica la Tabla 4.15. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 69 EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 TELEFÓNICA 13,39 13,15 0,24 0,001363 SANTANDER 5,75 5,74 0,01 0,002278 BBVA 6,56 6,57 -0,01 0,002979 IBERDROLA 4,74 4,75 -0,01 0,001350 REPSOL YPF 23,77 23,79 -0,02 0,001981 INDITEX 63,64 62,90 0,74 0,000586 ABERTIS 12,53 12,52 0,01 0,001745 ACS. CONST 22,89 22,60 0,29 0,002311 CAIXABANK 3,82 3,95 -0,13 0,001425 GAS NAT. 13,42 13,41 0,02 0,001121 Tabla 4.15. Fuente: Elaboración propia. Estimaciones del precio de la acción para las 10 primeras compañías que componen el IBEX 35. (12 semanas) A continuación, en la Tabla 4.16, se muestra el cálculo de la Capitalización Bursátil utilizando la estimación del precio de las compañías, y la predicción del IBEX 35 para la primera semana del año 2012. EMPRESA Nº ACCIONES PREDICCIÓN CAPITALIZACIÓN IBEX 35 TELEFÓNICA 4.563.996 13,15 60036509,62 8.481,25 SANTANDER 8.440.275 5,74 48435780,97 BBVA 4.551.602 6,57 29889527,3 IBERDROLA 5.822.196 4,76 27724822,2 REPSOL YPF 1.220.863 23,79 29047899,55 INDITEX 373.998 62,90 23525709,24 ABERTIS 591.230 12,52 7403258,579 ACS. CONST 251.731 22,60 5689645,886 CAIXABANK 1.494.917 3,95 5899583,857 GAS NAT. 572.093 13,41 7669364,346 245.322.101,56 Tabla 4.16. Fuente: Elaboración propia. Predicción del IBEX 35 utilizando 10 primeras empresas del IBEX 35 (12 semanas) La predicción del IBEX 35 utilizando las 10 primeras empresas que componen el IBEX 35 es de 8.481,25. El dato real (observación) para la primera semana de 2012 es de 8.531,34, por tanto difiere en 50,09 puntos, lo que representa un 0,59 % sobre el valor real del IBEX 35. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 70 Del mismo modo que se hizo en el apartado 4.2.1, se comparará la predicción en el caso de utilizar 20 semanas (véase Tablas 4.17 y 4.18). EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 TELEFÓNICA 13,39 13,15 0,24 0,0014 SANTANDER 5,75 5,74 0,01 0,0023 BBVA 6,56 6,57 -0,01 0,0030 IBERDROLA 4,744 4,75 -0,01 0,0014 REPSOL YPF 23,77 23,79 -0,02 0,0020 INDITEX 63,64 62,90 0,74 0,0006 ABERTIS 12,53 12,52 0,01 0,0017 ACS. CONST 22,88 22,60 0,29 0,0023 CAIXABANK 3,82 3,95 -0,13 0,0014 GAS NAT. 13,42 13,41 0,02 0,0011 Tabla 4.17. Fuente: Elaboración propia. Estimaciones del precio de la acción para las 10 primeras compañías que componen el IBEX 35 (20 semanas) EMPRESA Nº ACCIONES PREDICCIÓN CAPITALIZACIÓN Predicción IBEX 35 TELEFÓNICA 4.563.996 13,245 60451629,47 8.552,84 SANTANDER 8.440.275 5,817 49101051,86 BBVA 4.551.602 6,609 30080074,2 IBERDROLA 5.822.196 4,789 27880172,75 REPSOL YPF 1.220.863 24,148 29481822,16 INDITEX 373.998 63,525 23758313,23 ABERTIS 591.230 12,523 7404258,72 ACS. CONST 251.731 22,648 5701212,84 CAIXABANK 1.494.917 3,924 5866310,645 GAS NAT. 572.093 13,403 7667921,837 247.392.767,71 Tabla 4.18. Fuente: Elaboración propia. Predicción del IBEX 35 utilizando 10 primeras empresas del IBEX 35 (20 semanas) La predicción del IBEX 35 utilizando las 10 primeras empresas que componen el IBEX 35 es de 8.552,84. El dato real (observación) para la primera semana de 2012 es de 8.531,34, por tanto difiere en 21,50 puntos, lo que representa un 0,25 % sobre el valor real del IBEX 35. En la siguiente tabla (4.19) quedan resumidos los resultados obtenidos en los diferentes escenarios analizados. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 71 Ponderación Comp. principales 20 semanas 5 comp. 8 comp. Difiere sobre valor IBEX 35 21,50 24,65 5,07 % sobre valor IBEX 35 0,25% 0,29% 0,06% 12 semanas 5 comp. 8 comp. Difiere sobre valor IBEX 35 -50,09 -27,90 -51,39 % sobre valor IBEX 35 -0,59% -0,33% -0,60% Tabla 4.19. Fuente: Elaboración propia. Resumen Predicción del IBEX 35 El escenario con mejores resultados para la predicción del IBEX 35 ha sido la utilización de la metodología de componentes principales seleccionando 8 títulos en la cartera réplica, con un histórico de datos de longitud 20 semanas. Además el análisis seleccionando 8 componentes, con valor propio > 0,8 ha ofrecido mejores resultados que seleccionando valores propios >1. Esto puede ser debido a que se consigue mayor explicación de la variabilidad de los datos originales. Concretamente el 74,86% en el caso de 8 componentes frente al 66,40 % en el caso de 5 componentes. No obstante, con la selección de 5 componentes principales los resultados son muy parecidos que seleccionando la cartera réplica por ponderación, siempre y cuando el histórico de datos utilizados sea de 20 semanas. Ya se ha comentado que la estrategia de componer la cartera réplica seleccionando los títulos de mayor peso dentro del IBEX 35, no es, en la mayoría de los casos, la mejor elección. Los datos analizados anteriormente lo confirman. 4.2.3 Aplicación del método de máxima verosimilitud para la calibración de los parámetros del modelo Log normal En el apartado anterior se ha aplicado el modelo Log normal calibrando sus parámetros mediante el método de los momentos. He incluido este punto que muestra la calibración de parámetros por ambos métodos. Para su implementación se ha utilizado el paquete de cálculo simbólico Mathemática (ver primer Anexo). Esta metodología ha sido aplicada para la cartera réplica formada por 8 títulos, resultado de utilizar el análisis de componentes principales, ya que ha sido la cartera que mejor predicción ha obtenido del valor del IBEX 35. En las tablas 4.20 y 4.21 se muestran los resultados de los diferentes métodos. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 72 Método de los momentos μ ˆ σ ˆ Predicción Observación Difiere ACS -0,387235 0,325226 22,65 22,89 -0,24 BBVA 0,177286 0,384908 6,61 6,56 0,05 Acciona 0,267353 0,246601 67,17 65,57 1,61 Abertis 0,354101 0,275417 12,52 12,53 -0,01 Telefónica -0,163511 0,260296 13,25 13,39 -0,15 Iberdrola -0,118420 0,258888 4,79 4,74 0,04 Arcelor -0,069763 0,550854 14,95 14,92 0,03 Ferrovial 0,427638 0,308028 9,59 9,45 0,14 Tabla 4.20. Fuente: Elaboración propia. Método de los momentos Método de máxima verosimilitud μ ˆ σ ˆ Predicción Observación Difiere ACS 0,006938 0,279594 26,60 22,89 3,71 BBVA 0,046843 0,346799 6,49 6,56 -0,07 Acciona 0,527324 0,222893 75,30 65,57 9,73 Abertis 0,356079 0,263215 12,55 12,53 0,02 Telefónica 0,302605 0,209709 15,77 13,39 2,38 Iberdrola -0,006318 0,239500 5,03 4,74 0,28 Arcelor -0,054858 0,488732 14,91 14,92 -0,02 Ferrovial 0,583500 0,327994 10,29 9,45 0,84 Tabla 4.21. Fuente: Elaboración propia. Método de máxima verosimilitud Las tablas anteriores muestran los resultados de μ ˆ y σ ˆ según la metodología utilizada (el método de los momentos corresponde a la Tabla 4.20 y el método de máxima verosimilitud a la Tabla 4.21). Se ha aplicado para cada una de los 8 títulos de la cartera réplica, y mediante el modelo Log normal y la Simulación Monte Carlo se han obtenido las predicciones de las cotizaciones semanales de cada una de las empresas para la primera semana de 2012. Se observa como en ambos casos las predicciones que más difieren de sus observaciones son ACS, Acciona y Telefónica, pero es en el método de máxima verosimilitud donde las predicciones difieren en mayor medida de las observaciones, por lo tanto, se acepta como mejor metodología para los datos seleccionados en el estudio, el método de los momentos. 4.2.4 Predicción del IBEX 35 para el año anterior (2011) A continuación se presentan los resultados obtenidos aplicando el algoritmo sobre el bienio 2009-2010. La primera semana de 2011 se ha utilizado para contrastar la predicción Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 73 obtenida del IBEX 35. Han sido analizados 27 títulos que han pertenecido al IBEX 35 durante todo el periodo considerado. Mediante el análisis de componentes principales se han obtenido dos carteras réplica del IBEX 35, compuestas por 4 y 6 títulos, dependiendo de si se han tomado valores propios mayores que 1 o 0,8. Operando de la misma forma que en el apartado anterior, los resultados obtenidos se muestran en las tablas 4.22 y 4.23. Títulos REPSOL RED ELECT. BBVA FCC Pesos 20,96% 13,71% 57,78% 7,55% Tabla 4.22. Fuente: Elaboración propia. Pesos cartera réplica (4 títulos). 2011 Títulos ENAGAS ACCIONA BBVA REPSOL ACS.CONST OHL Pesos 6,01% 8,25% 55,07% 18,38% 11,83% 0,46% Tabla 4.23. Fuente: Elaboración propia. Pesos cartera réplica (6 títulos). 2011 El valor de la función objetivo para el tracking error es de 0,04733, inferior a la cartera réplica formada por 4 títulos, que es de 0,05016. Al igual que ocurría en el apartado anterior, el título con mayor peso en la cartera réplica, a mucha distancia de los demás es BBVA. Para la aplicación práctica del modelo Log normal y la Simulación Monte Carlo también se han seleccionado las últimas 12 semanas del año 2010 (3 meses). El objetivo es predecir para la primera semana del 2011. Asimismo, también se ha realizado el estudio seleccionando las últimas 20 semanas del año 2010 (5 meses), con el objetivo de comparar los resultados según el espacio temporal utilizado. El resultado de aplicar el modelo Log normal y la Simulación Monte Carlo para cada una de las 4 empresas que componen la cartera que replica el IBEX 35 se muestra en la Tabla 4.24. EMPRESA OBSERVACIÓN PREDICCIÓN DIFIERE S2 FCC 18,384 19,26 -0,88 0,000779 BBVA 7,44 7,46 -0,02 0,001131 REPSOL 20,96 21,06 -0,10 0,000633 RED.ELECT 34,45 35,39 -0,94 0,000398 Tabla 4.24. Fuente: Elaboración propia. Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 4 títulos). 2011 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 80 Título Observación MSE MAPE(%) %MSE/Obs. ACS.CONST 22,89 4,12 12,91% 17,99% BBVA 6,56 0,81 9,77% 12,36% ACCIONA 65,57 6,29 7,40% 9,60% FERROVIAL 9,45 0,99 8,74% 10,42% IBERDROLA 4,74 0,51 8,60% 10,80% TELEFÓNICA 13,39 1,24 6,62% 9,25% ARCELOR 14,92 3,04 16,31% 20,34% ABERTIS 12,53 1,47 9,73% 11,70% Tabla 4.38. Fuente: Elaboración propia. Medidas de bondad de ajuste El MSE nos indica qué error cuadrático por término medio estamos cometiendo en la estimación. Los valores resultantes de calcular las medidas MSE y MAPE suelen analizarse sobre el valor real observado, teniendo en cuenta la magnitud de cada observación se puede concluir si nos encontramos ante un error aceptable o no. Se observa en la columna del MSE cómo lógicamente el error es mayor para las compañías con un valor de cotización “observación” más alto. El caso más llamativo es el de Acciona, por ello se ha calculado la columna %MSE/Obs, que nos da una idea más real sobre el error (desviación) que se está cometiendo en la predicción. Las compañías con unas medidas de bondad de ajuste más altas son Arcelor y ACS Const. Si analizamos las predicciones que más se ajustan a las observaciones nos encontramos con que Arcelor es una de las empresas que obtiene una predicción más ajustada (véase Tabla 4.13). Esto se explica porque se están calculando predicciones puntuales, generando 1000 simulaciones mediante el método Monte Carlo, para obtener 1000 predicciones en un instante determinado de tiempo. Por lo tanto, puede ocurrir que la serie de datos de una compañía no se ajuste tanto como otra, pero en un instante de tiempo determinado arroje una predicción más aceptable. Debido a que los resultados de las medidas de Bondad de Ajuste se sitúan alrededor del 10% se puede concluir que los resultados son aceptables pero no todo lo satisfactorios que se esperaban, ya que lo ideal hubiera sido que rondaran entre el 5%-10%. Además nos encontramos con algunas compañías que sitúan su error entre el 15-20%. Con respecto a las medidas de Bondad de Ajuste utilizadas para la predicción de la primera semana del año 2011, han sido analizadas para la cartera réplica compuesta por 6 títulos y con un histórico de 12 semanas, puesto que ha sido el escenario donde mejores resultados se han obtenido. La Tabla 4.39 muestra las estimaciones para el título BBVA. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 81 Semana Observaciones Estimaciones Simulaciones 93 9,8 9,8000 -1,1424 94 9,894 9,6534 0,2019 95 9,494 9,8696 0,9610 96 8,886 9,6607 0,8074 97 8,236 9,2327 0,4120 98 8,286 7,3757 -1,9461 99 7,714 10,1780 1,8385 100 7,564 8,0594 -0,3397 101 7,946 8,9424 0,8339 102 7,844 8,8872 0,9294 103 7,845 9,5640 1,6636 104 7,615 5,8225 -2,0772 105 ? Tabla 4.39. Fuente: Elaboración propia. Estimaciones semanas conocidas (2011) Para comprobar la robustez del modelo, de igual forma que se ha realizado anteriormente, se compara gráficamente las cotizaciones reales con las estimaciones proporcionadas por el modelo. Gráfica 4.4. Fuente: Elaboración propia. Gráfico de comparación de BBVA (predicción 2011) El MSE proporciona un resultado para BBVA de 0,41, lo que significa que en la estimación cometemos un error cuadrático por término medio de aproximadamente 0,41, el cual representa un valor pequeño comparado con el valor de la acción. Mediante el MAPE se obtiene como resultado un error porcentual de 3,65% Esto significa que en las estimaciones se comete aproximadamente un error del 3,65% lo que puede considerarse un porcentaje razonable de error. Siguiendo los mismos pasos que para el título BBVA se obtienen los resultados para cada una de las empresas que componen la cartera réplica (véase Tabla 4.40). 0,0000 2,0000 4,0000 6,0000 8,0000 10,0000 12,0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBVA Estimaciones Observaciones Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 82 Título Observación MSE MAPE(%) %MSE/Obs. ENAGAS 14,62 1,08 5,88% 7,39% ACCIONA 52,80 3,65 4,20% 7,66% BBVA 7,44 0,41 3,66% 5,53% REPSOL 20,96 1,45 5,38% 6,90% ACS.CONST 33,82 1,67 3,30% 4,93% OHL 21,92 1,18 4,39% 5,37% Tabla 4.40. Fuente: Elaboración propia. Medidas de bondad de ajuste (predicción 2011) Los títulos con unas medidas de bondad de ajuste más altas son Enagas y Acciona. Si analizamos las predicciones que más se ajustan a las observaciones (ver Tabla 4.26) nos encontramos con que Enagas es efectivamente una de las compañías que peor predicción obtiene, aunque no es de las peores. Por otro lado, ACS. CONST obtiene el menor MAPE del total de títulos, y su predicción es la que más difiere en valor absoluto con su observación, aunque como ya se ha comentado anteriormente, la desviación entre la observación y la predicción tiene que compararse con el valor de la cotización de la propia compañía, ya que si cotiza a un valor alto, la desviación real no es tan alta como la que se presupone en un principio. Y es esto efectivamente lo que ocurre con ACS. CONST. En el caso de BBVA, la compañía con mayor peso en la cartera del total de títulos, en la tabla se muestra como obtiene errores razonables, siendo de las más bajas, y su predicción es la que más se ajusta a la observación de la semana en concreto que estamos analizando. Además, para todas las compañías se obtienen unas medidas de bondad de ajuste que no superan el 8%, situándose en la mayoría de ellas en el 5%. Por lo tanto, se puede afirmar que el modelo se ajusta a los datos que han servido para su formulación. 4.3.2 Medidas de Bondad de Ajuste penalizadas Con el objetivo de evaluar el ajuste del modelo utilizado para predecir la primera semana del 2012 frente al utilizado para predecir la primera semana del 2011, se ha calculado el estadístico Cp de Mallow, y así poder seleccionar el mejor modelo. Los resultados se muestran en la Tabla 4.41. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 83 PREDICCIÓN 2012 PREDICCIÓN 2011 Título Cp Malow Título Cp Malow ACS.CONST 84,63 ACS.CONST 25,77 BBVA 120,98 BBVA 2,70 ACCIONA 87,74 ACCIONA 10,53 FERROVIAL 70,39 REPSOL 43,84 IBERDROLA 131,06 ENAGAS 162,65 TELEFÓNICA 55,72 OHL 19,42 ARCELOR 205,09 ABERTIS 118,43 Tabla 4.41. Fuente: Elaboración propia. Cp de Mallow. Para la predicción de la primera semana del año 2012, para cada uno de los títulos, se ha utilizado un tamaño de la muestra de 20 semanas, frente a 12 semanas que se han utilizado para predecir la primera semana del año 2011. La predicción que obtiene un ajuste mejor de sus datos, según el Cp de Malow, es la predicción para la primera semana del año 2011, ya que se obtiene un Cp menor en todos los títulos que han sido analizados en ambos años (BBVA, ACS. Const y Acciona). Además, la predicción del IBEX35 para la primera semana del año 2011 utilizando 6 parámetros es mejor que la predicción para la primera semana del año 2012, la cual utiliza 8 parámetros, por lo tanto, la elección del modelo es el que predice la primera semana del año 2011, con un número de parámetros p=6 y un tamaño de la muestra N=12. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 84 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 85 CONCLUSIONES Con el propósito de obtener una cartera que replique el comportamiento del IBEX 35 utilizando un número reducido de títulos, se ha realizado el análisis de componentes principales. En un segundo paso, se han obtenido los pesos de la cartera réplica mediante la técnica del Tracking Error Variance. El periodo considerado para aplicar la metodología ha sido de 2 años (2010-2011), considerando 32 títulos que han pertenecido al IBEX 35 en este periodo. Finalmente, mediante las cotizaciones semanales de las empresas que componen la cartera réplica se ha estimado el valor que alcanza el IBEX 35 para la primera semana del año 2012. Para poder contrastar los resultados anteriores, se ha realizado el mismo análisis para el periodo 2009-2010, con el objetivo de predecir el IBEX 35 para la primera semana de 2011. Se han considerado en este caso 27 títulos que formaron parte del IBEX 35 en ese periodo. El modelo utilizado para la predicción de acciones ha sido el modelo Log normal, en el cual siguiendo los pasos predeterminados para su cálculo y mediante la Simulación Monte Carlo se ha obtenido una predicción puntual de la cotización semanal de los títulos 5 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 86 seleccionados. Con ello ha podido estimarse el valor de la Capitalización Bursátil, y sustituyendo los valores en la fórmula del cálculo del IBEX 35, se ha obtenido la predicción para la primera semana del año 2012. A lo largo del trabajo han sido analizados diferentes escenarios. Por una parte, dentro del análisis de componentes principales se han comparado los resultados obtenidos según el número de componentes extraídos para formar la cartera réplica, teniendo en cuenta la explicación de la variabilidad de los datos originales. . Por otro lado, se han contrastado los resultados por el método de componentes principales frente a la formación de una cartera réplica seleccionando las 10 primeras empresas que pertenecen al IBEX 35 por ponderación. Además, se ha utilizado diferente longitud en el histórico de datos para realizar la predicción del IBEX 35, con el objetivo de evidenciar de forma práctica si el modelo Log normal y la Simulación Monte Carlo se ajusta mejor cuando sus datos históricos tienen una menor o mayor longitud. En la tabla 4.42 se muestran los resultados obtenidos, tanto para la predicción del año 2011 como para la del año 2012. Para cada caso ha sido calculada la diferencia entre el valor observado y el valor estimado del IBEX 35 y el porcentaje que la diferencia representa sobre la observación del IBEX 35 la semana de predicción. PREDICCIÓN AÑO 2012 Ponderación Comp. principales 20 semanas 5 comp. 8 comp. Difiere sobre valor IBEX 35 21,50 24,65 5,07 % sobre valor IBEX 35 0,25% 0,29% 0,06% 12 semanas 5 comp. 8 comp. Difiere sobre valor IBEX 35 -50,09 -27,90 -51,39 % sobre valor IBEX 35 -0,59% -0,33% -0,60% PREDICCIÓN AÑO 2011 20 semanas 4 comp. 6 comp. Difiere sobre valor IBEX 35 134,10 57,68 56,6 % sobre valor IBEX 35 1,37% 0,59% 0,58% 12 semanas 4 comp. 6 comp. Difiere sobre valor IBEX 35 58,30 11,86 2,3 % sobre valor IBEX 35 0,60% 0,12% 0,02% Tabla 4.42. Fuente: Elaboración propia. Conclusiones en la predicción del IBEX 35 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 87 En el caso de la predicción para el año 2012, la técnica que obtiene mejores resultados para la selección de los títulos que formaran la cartera réplica, es la de Componentes Principales, a excepción del escenario en el que se seleccionan 8 componentes, utilizando un histórico de 12 semanas, en el cual se obtiene una diferencia entre la predicción y la observación del IBEX 35 bastante elevada, un 0,60% respecto al valor real del índice. En la predicción utilizando las 10 primeras empresas que pertenecen al índice por ponderación, en el caso de utilizar un histórico de 20 semanas, y para la predicción de 2012, se obtiene un resultado muy parecido al que se obtiene por componentes principales cuando se seleccionan 5 títulos en la cartera réplica (valor propio >1). Por lo tanto, a pesar de que la técnica que más se ajusta es la de Componentes Principales, hay algunas excepciones en los resultados obtenidos para la predicción de la primera semana del año 2012. Con respecto a la predicción de la primera semana de 2011, existe un objetivo paralelo a poder contrastar resultados en varios periodos, y es evidenciar la mayor volatilidad que en los mercados financieros se está produciendo en los últimos años. Debido a los movimientos incontrolables que se presentan en las economías actuales, con movimientos bruscos de la oferta y la demanda, cada vez resulta más complicado definir los procesos que puedan controlar estos movimientos de manera clara y ordenada, y que contribuyan directamente en la correcta valoración de las actividades de compra y venta de los activos operados, así como establecer un adecuado modelo. Esta realidad se ve reflejada en los datos analizados, en cuanto a que las predicciones para el año 2011 se aproximan más a las observaciones, con una variabilidad en los datos menor, y con un ajuste del modelo más adecuado. Analizando los datos que se obtienen para la predicción de año 2011, se confirma como la técnica que obtiene mejores resultados para la composición de la cartera réplica es la de Componentes Principales, concretamente con la extracción de 6 componentes. De la misma forma que en la predicción de la primera semana del año 2012, la extracción de componentes principales obtiene mejores predicciones del IBEX 35 cuando los títulos seleccionados son elegidos a partir de seleccionar componentes principales con valores propios > 0,8. Con lo que respecta al histórico de datos utilizado para la predicción del IBEX 35, en la predicción de la primera semana del año 2011 se obtienen mejores resultados utilizando menor longitud menor (12 semanas) que para la predicción de la primera semana de año Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 88 2012 en la cual la mejor predicción del IBEX 35 se obtiene cuando el histórico de datos es de 20 semanas. En cuanto a la mayor variabilidad de los datos utilizados para la formulación del modelo (cotizaciones históricas) se puede comprobar mediante la Tabla 4.43 como en el año 2011 (predicción de 2012) existe mayor variabilidad que en el año 2010 (predicción de 2011). EMPRESAS PREDICCIÓN 2012 S2 EMPRESAS PREDICCIÓN 2011 S2 IBERDROLA 0,00129 ENAGAS 0,00047 BBVA 0,00285 ACCIONA 0,00090 ARCELOR 0,00584 BBVA 0,00113 TELEFÓNICA 0,00130 REPSOL 0,00063 FERROVIAL 0,00182 ACS.CONST 0,00039 ACCIONA 0,00117 OHL 0,00105 ABERTIS 0,00146 ACS. CONST 0,00203 Tabla 4.43. Fuente: Elaboración propia. Variabilidad de los datos Referente a las medidas de Bondad de Ajuste analizadas en ambos años, en las Tablas 4.36 y 4.38 se comprueba cómo para la predicción de la primera semana del año 2011 se obtiene un error en la predicción de los títulos que fluctúa entre el 5%-8%, mucho menor al que se obtiene para la predicción de la primera semana de 2012, que se sitúa alrededor del 15%. Por lo tanto, los datos del modelo utilizados para la predicción de 2011 se ajustan en mayor medida que los utilizados para la predicción de 2012. A partir de los resultados obtenidos a lo largo del trabajo se pueden realizar algunas afirmaciones. La primera de ellas es confirmar que la técnica más adecuada para la composición de la cartera réplica es la de Componentes Principales. La extracción de componentes funciona bastante bien cuando se extraen valores propios mayores que 0,8 con una variabilidad de los datos que se sitúa alrededor del 75%. La segunda de ellas es afirmar la menor efectividad que tienen los modelos matemáticos y econométricos cuando los mercados bursátiles se comportan con mayor incertidumbre en sus decisiones, y por lo tanto, los precios de los títulos están sometidos a mayor fluctuación, lo que supone obtener unas predicciones menos acertadas. Para finalizar, recordemos que se ha analizado qué longitud de cotizaciones históricas es la adecuada para aplicar el modelo Log normal y Simulación Monte Carlo. Así como en la predicción para la primera semana del año 2011 se muestra claramente que los resultados son mejores cuando la longitud de los datos es menor, no ocurre lo mismo para la predicción de la primera semana de 2012. Por lo tanto no podemos realizar ninguna afirmación en este Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 89 sentido. Una hipótesis que barajamos es pensar que cuanto mayor es la variabilidad de los datos, es decir, existen mayores fluctuaciones en el precio de las acciones, mejor funciona el modelo si se dispone de un mayor número de datos para su aplicación. No obstante, este es un aspecto que debería considerarse para futuros análisis. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 96 ZHANG, G.; HU, M.Y. (1998) Neural network forecasting of the British Pound/US Dollar exchange rate. Omega. International Journal of Management Science 26, nº 4, pp. 495-506. Documentos en línea: COMISIÓN NACIONAL DE MERCADO DE VALORES [en línea] [09/08/12] <www.cnmv.es>. JAIME POZUELO MONFORT (2004): “Un paseo aleatorio o la evolución temporal del precio de la acción” [en línea] [22/03/11]. SOCIEDAD DE BOLSAS: “10 preguntas clave sobre el IBEX 35”. Secretaria de gestión de los índices IBEX 35 [en línea] [05/04/11] <www.sbolsas.es>, <www.ibex35.com>. Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 97 ÍNDICE DE TABLAS 4.1 5 Componentes principales 55 4.2 8 Componentes principales (I) 57 4.3 8 Componentes principales (II) 58 4.4 Pesos cartera réplica (5 títulos) 60 4.5 Pesos cartera réplica (8 títulos) 61 4.6 Tabla de valores (µ) 63 4.7 Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 5 títulos) 64 4.8 Predicción IBEX 35. (12 semanas. 5 títulos) 65 4.9 Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 8 títulos) 65 4.10 Predicción IBEX 35. (12 semanas. 8 títulos) 66 4.11 Predicciones títulos cartera réplica. (20 semanas. 5 títulos) 66 4.12 Predicción IBEX 35. (20 semanas. 5 títulos) 67 4.13 Predicciones títulos cartera réplica. (20 semanas. 8 títulos) 67 4.14 Predicción IBEX 35. (20 semanas. 8 títulos) 68 4.15 Estimaciones del precio de la acción para las 10 primeras compañías que componen el IBEX 35. (12 semanas) 69 4.16 Predicción del IBEX 35 utilizando 10 primeras empresas del IBEX 35 (12 semanas) 69 4.17 Estimaciones del precio de la acción para las 10 primeras compañías que componen el IBEX 35 (20 semanas) 70 4.18 Predicción del IBEX 35 utilizando 10 primeras empresas del IBEX 35 (20 semanas) 70 4.19 Resumen Predicción del IBEX 35 71 4.20 Método de los momentos 72 4.21 Método de máxima verosimilitud 72 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 98 4.22 Pesos cartera réplica (4 títulos). 2011 73 4.23 Pesos cartera réplica (6 títulos). 2011 73 4.24 Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 4 títulos) 2011 73 4.25 Predicción IBEX 35. (12 semanas. 4 títulos). 2011 74 4.26 Predicciones títulos cartera réplica. (12 semanas. 6 títulos) 2011 74 4.27 Predicción IBEX 35. (12 semanas. 6 títulos). 2011 74 4.28 Predicciones títulos cartera réplica. (20 semanas. 4 títulos) 2011 75 4.29 Predicción IBEX 35. (20 semanas. 4 títulos). 2011 75 4.30 Predicciones títulos cartera réplica. (20 semanas. 6 títulos) 2011 75 4.31 Predicción IBEX 35. (20 semanas. 6 títulos). 2011 76 4.32 Estimaciones del precio de la acción para las 10 primeras compañías que componen el IBEX 35. (12 semanas). 2011 76 4.33 Predicción del IBEX 35 utilizando 10 primeras empresas del IBEX 35 (12 semanas). 2011 76 4.34 Estimaciones del precio de la acción para las 10 primeras compañías que componen el IBEX 35 (20 semanas). 2011 77 4.35 Predicción del IBEX 35 utilizando 10 primeras empresas del IBEX 35 (20 semanas). 2011 77 4.36 Resumen Predicción del IBEX 35. 2011 77 4.37 Estimaciones semanas conocidas 78 4.38 Medidas de bondad de ajuste 80 4.39 Estimaciones semanas conocidas (2011) 81 4.40 Medidas de bondad de ajuste (predicción 2011) 82 4.41 Cp de Mallow. 83 4.42 Conclusiones en la predicción del IBEX 35 86 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 99 4.43 Variabilidad de los datos 88 ÍNDICE DE GRÁFICAS 4.1 Rentabilidad cartera réplica y Rentabilidad IBEX 35 (5 títulos) 61 4.2 Rentabilidad cartera réplica y Rentabilidad IBEX 35 (8 títulos) 62 4.3 Gráfico de comparación de BBVA 79 4.4 Gráfico de comparación de BBVA (predicción 2011) 84 ÍNDICE DE FIGURAS 3.1 Algunas trayectorias muestrales del Movimiento Browniano 28 3.2 Capitalización a interés compuesto continuo 29 3.3 Trayectorias muestrales del Movimiento Browniano Geométrico 38 4.1 Introducción parámetros Solver 60 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 100 Composición de cartera réplica para la predicción del IBEX 35 101 ANEXOS Sociedad de Bolsas Informe Mensual 06/2012 69 Indices IBEX® Composición históricaIBEX 35® Composición inicial ACE ACX ALB ASL AZU BBV BKT BTO CEN CEP CRI CTG DRC ECR ELE FEC FOC HID HIS IBE MAP PMD POP PSG REP SAN SEV TAB TEF UNF URA URB VAL VDR VIS Revisión Inclusiones Exclusiones Nº fecha 1 02/01/1991 AGR CUB HHU AZU PSG PMD 2 01/07/1991 MVC CAN PMD ALB CRI ACX 3 01/10/1991 ALB CRI HID PMD 4 02/01/1992 SAR EXT AGS BCH ACX CEN HIS ECR ALB CRI 5 10/03/1992 FCC FOC 6 01/07/1992 PRY ARA ALB AUM EXT HHU AGS CEP 7 04/01/1993 CEP HHU AGS ZOT AGR ARA URB SAR 8 01/07/1993 ARG CEP 9 03/01/1994 EBA GES ASL ZOT 10 01/07/1994 CTE EBA 11 02/01/1995 ENC CTF HHU AGS 12 02/07/1995 AGS AMP AZC CTF GES VDR 13 02/01/1996 GES AZC 14 01/07/1996 — — 15 02/01/1997 SOL UNI ENC VIS 16 02/06/1997 ANA CUB 17 01/07/1997 AZC TUB VIS ANA GES MVC 18 01/10/1997 PUL UNI 19 02/01/1998 — — 20 02/04/1998 ACS BTO 21 01/07/1998 ACR TPZ ALB FEC 22 04/01/1999 ALB ANA NHH AZC SEV TUB 23 19/04/1999 SCH RAD BCH SAN 24 01/07/1999 FER IDR AMP RAD 25 03/01/2000 AMS SGC TPI ALT PUL URA VIS TAB 26 31/01/2000 BBVA TRR ARG BBV 27 03/07/2000 REE ZEL AUM MAP 28 02/10/2000 CRF PRS CTE PRY 29 02/01/2001 TEM GPP AGS VAL 30 10/04/2001 CAN 31 24/04/2001 GAM 32 01/05/2001 GAS CTG 33 02/07/2001 ITX GPP 34 01/11/2001 SAN SCH 35 02/01/2002 — — 36 09/02/2002 ACR 37 19/02/2002 LOR 38 01/07/2002 IBLA TPZ 39 30/12/2002 — CRF 40 02/01/2003 MVC VAL ALB SOL 41 10/01/2003 ENG 42 02/06/2003 ABE SYV ACE VAL 43 01/07/2003 MAP PRS 44 24/07/2003 TRR 45 04/08/2003 TRR Sociedad de Bolsas Informe Mensual 06/2012 66 Revisión Inclusiones Exclusiones Nº fecha 46 15/12/2003 DRC 47 02/01/2004 BTO PRS TRR 48 01/07/2004 SAB SYV 49 03/01/2005 SYV TL5 REE ZEL 50 28/06/2005 AMS 51 01/07/2005 REE CIN BTO NHH 52 08/07/2005 A3TV 53 02/01/2006 NHH MAP 54 03/07/2006 FAD NHH 55 06/07/2006 LOR 56 25/07/2006 MAP TEM TPI 57 01/08/2006 BTO 58 17/08/2006 NHH 59 02/01/2007 AGS PRS 60 09/03/2007 FAD 61 21/03/2007 CAR 62 10/05/2007 COL CAR 63 02/07/2007 BME MVC 64 02/01/2008 GRF ABG A3TV NHH 65 04/02/2008 IBR CRI ALT AGS 66 13/04/2008 TRE COL 67 12/05/2008 SGC 68 01/07/2008 OHL 69 02/01/2009 — — 70 15/04/2009 UNF 71 05/05/2009 MTS 72 01/07/2009 — — 73 07/12/2009 CIN 74 04/01/2010 EVA 75 01/07/2010 — — 76 26/07/2010 EBRO EVA 77 03/01/2011 AMS BTO 78 21/01/2011 IBLA 79 01/04/2011 IAG 80 01/07/2011 CABK CRI 81 01/07/2011 — — 82 11/07/2011 IBR 83 03/10/2011 BKIA 84 02/01/2012 DIA 85 02/05/2012 EBRO 86 02/07/2012 — — Clave color: Revisión extraordinaria Cambio de código Indices IBEX® Composición históricaIBEX 35®