Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR DE GANDIA Master en Ingeniería Acústica Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas TESIS DE MASTER Autor: Nuria González Salido Director/es: D. Rubén Picó Vila D. Francisco Camarena Femenia GANDIA, 2012 Resumen El estudio numérico de la dispersión de ondas planas de sonido por diferentes geometrías finitas es presentado. La información contenida en los ecos (amplitud y fase) permite caracterizar ciertas propiedades de los dispersores como la forma, el tamaño o la orientación. Diferentes geometrías simples como esferas, cilindros y esferoides son a menudo empleadas en acústica submarina y medicina para modelar las distintas estructuras dispersoras, tales como las vejigas natatorias de los peces, las células sanguíneas o las fibras del corazón. En los distintos modelos teóricos los efectos de difracción, reflexión y transmisión deben ser considerados a la hora de estudiar la energía dispersada por un cuerpo solido. En particular existen soluciones analíticas para las geometrías más sencillas como la esfera. Para el resto de casos debe recurrirse a métodos numéricos u otros modelos complejos como el T-matrix En este trabajo, el método de elementos finitos es usado para estudiar la dispersión de objetos sumergidos en agua con distintas geometrías y condiciones de contorno. Se emplea el software COMSOL Multiphysics para la implementación de dicho método. Los resultados numéricos son comparados con modelos teóricos, numéricos y datos experimentales medidos en laboratorio . Abstract A numerical study of scattering of plane sound waves by different finite geometries is shown. The information contained in the echoes (amplitude and phase) allows the characterization of certain properties of the scatters as the shape, size or orientation. Simples geometries as spheres, cylinders and spheroids are often used in underwater acoustic and medical imaging to model the different scattering structures, such as fish swim bladders, blood cells, or the fibers of heart. Theoretical models include the effects of diffraction, reflection and transmission adapted to the shape, composition and size relative to the wavelength of the different objects. In particular, there are analytical solutions derived by Faran for simple geometries such as sphere and cylinder, but for the other cases, numerical methods like T-matrix, or approximate simple solutions must be used. In this work, the finite element method was used to model the scattering from submerged targets with these simple geometries and different boundary conditions. COMSOL Multiphysics are used for the implementation of the finite element method. Modeling results are compared with theoretical results and laboratory experimental data. Autor: Nuria González Salido, email: [email protected] Fecha de entrega: 13-01-2012 . Autor: Nuria González Salido Director1: Rubén Picó Vila Director2: Francisco Camarena Femenía ANÁLISIS NUMÉRICO MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS DE LA DISPERSIÓN ACÚSTICA PRODUCIDA POR CUERPOS ELÁSTICOS DE DIMENSIONES FINITAS 2 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Índice I. Introducción ............................................................................................................................................. 4 II. Dispersión ................................................................................................................................................. 5 II. 1. Definiciones. Generalidades ............................................................................................................. 5 II. 2. Tipos de dispersores ......................................................................................................................... 7 II. 3. Fenómenos que influyen en la dispersión del blanco ....................................................................... 7 II. 3. a. Reflexión especular y transmisión o refracción: ..................................................................... 8 II. 3. b. Difracción ................................................................................................................................ 9 II. 3. c. Interacción entre un dispersor sólido y un medio fluido: ........................................................ 9 II. 4. Dispersión en función de la frecuencia ........................................................................................... 10 II. 5. Dispersión De objetos elásticos curvados en el régimen de interferencia ...................................... 11 II. 5. a. Dispersión de cuerpos impenetrables .................................................................................... 11 II. 5. b. Dispersión de cuerpos elásticos ............................................................................................. 12 II. 6. Importancia de la fase en la identificación acústica del objeto ....................................................... 13 III. Modelos Teóricos para la dispersión acústica de objetos geométricos canónicos ............................. 14 III. 1. Método de Kirchoff: Reflexión especular ...................................................................................... 14 III. 2. Soluciones analíticas....................................................................................................................... 14 III. 2. a. Soluciones modales ................................................................................................................ 14 III. 2. b. Teoría de dispersión resonante .............................................................................................. 16 III. 2. c. Aproximaciones para geometrías complejas ......................................................................... 16 IV. Aplicaciones de la dispersión ................................................................................................................. 17 IV. 1. Aplicaciones submarinas ............................................................................................................ 17 IV. 1. a. Modelos de dispersión de los organismos marinos ............................................................... 17 IV. 1. b. Importancia de la orientación del blanco .............................................................................. 18 IV. 2. Aplicaciones médicas ................................................................................................................. 19 IV. 2. a. Modelos de dispersión de los tejidos humanos ...................................................................... 19 IV. 2. b. Aplicaciones de la caracterización de los tejidos .................................................................. 21 V. Elementos finitos .................................................................................................................................... 23 V. 1. Conceptos generales del método de elementos finitos.................................................................... 23 V. 2. Herramientas software .................................................................................................................... 24 VI. Modelos de simulación ........................................................................................................................... 26 VI. 1. Consideraciones generales ......................................................................................................... 26 VI. 2. Modelos 2D-Axisimétricos ........................................................................................................ 27 VI. 3. Modelos 3D ................................................................................................................................ 27 VI. 3. a. Elección del dominio 3D ........................................................................................................ 27 VI. 3. b. Cilindro finito ........................................................................................................................ 27 VI. 3. c. Esferoide elongado ................................................................................................................ 28 VI. 4. Modos de vibración .................................................................................................................... 28 VII. Resultados ............................................................................................................................................... 29 VII. 1. Dispersor esférico ....................................................................................................................... 29 VII. 1. a. Esfera rígida versus esfera de liberación de presión ............................................................. 29 VII. 1. b. Esfera elástica de Tungsteno ................................................................................................. 30 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 3 VII. 1. c. Esfera de poliuretano: Modelo de célula. ............................................................................. 33 VII. 1. d. Esfera fluida .......................................................................................................................... 35 VII. 2. Cilindro finito ............................................................................................................................ 40 VII. 2. a. Incidencia normal 𝜃= 0° ..................................................................................................... 41 VII. 2. b. Incidencia oblicua ................................................................................................................. 42 VII. 3. Esferoide elongado .................................................................................................................... 45 VII. 3. a. Respuesta elástica del esferoide elongado con relación 𝑎/𝑏= 4 ........................................ 45 VII. 4. Extracción de la fase de las señales elástica .............................................................................. 47 VIII. Conclusiones ..................................................................................................................................... 48 IX. Agradecimientos .................................................................................................................................... 48 X. Bibliografia............................................................................................................................................. 49 XI. Anexo s .................................................................................................................................................... 50 4 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas I. INTRODUCCIÓN La dispersión acústica producida por los cuerpos ha sido estudiada a lo largo de la historia por importantes investigadores, tales como Rayleigh, Helmholz, Kirchoff o Born. Sus técnicas analíticas y soluciones a los problemas forman parte del núcleo matemático de la física dedicada al estudio de la propagación de ondas. Sin embargo, los cuerpos no son siempre geometrías simples que puedan resolverse analíticamente, por lo que en ocasiones es necesario recurrir a técnicas numéricas basadas en las formulaciones clásicas. Además, ya que la presión sonora dispersada es medible, los resultados numéricos pueden ser empleados para contrastar los resultados experimentales en aquellas situaciones en las que no se dispone de soluciones analíticas. Estos métodos numéricos, permiten también obtener información adicional como el análisis modal o la respuesta de dispersores ideales que no es posible conocer a partir de la medición en el laboratorio. Por ello, se realiza este trabajo con el objetivo principal de implementar modelos acústicos mediante el método de elementos finitos para describir la respuesta de la dispersión de objetos con geometrías canónicas tales como esferas, cilindros finitos y esferoides. Estos dispersores pueden ser empleados como primera aproximación para algunos de los dispersores más comunes tanto en acústica submarina, como en el campo de la medicina, en particular en las técnicas de diagnóstico médico o imagen ultrasónica. Otro objetivo del proyecto consiste en analizar las diferencias que se produce entre la dispersión de blancos con propiedades acústicas distintas tales como dispersores fluidos o elásticos. Como último objetivo este trabajo pretende hacer también una recopilación de los distintos modelos teóricos empleados para la descripción de los organismos acuáticos y de los tejidos humanos. El proyecto se ha realizado en colaboración con la escuela de ingeniería electrónica, eléctrica y computacional de la universidad de Birmingham, y en concreto con el Dr Phil Atkins y el estudiante de doctorado Alan Islas Cital, cuyas investigaciones actuales [1] se centran en la extracción, a partir de medidas experimentales, de la fase de dispersión como parámetro complementario para la caracterización e identificación de blancos elásticos, en aplicaciones sonar. Nuestros resultados, para el caso de los dispersores elásticos estudiados, sirven por lo tanto como datos de contraste y validación para las mediciones experimentales. Estos resultados serán presentados en el 11 congreso francés de acústica de Nantes. El abstract presentado se adjunta en el Anexo XI.1 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 5 II. DISPERSIÓN II. 1. DEFINICIONES. GENERALIDADES Antes de introducir los modelos teóricos y de describir los distintos mecanismos que intervienen en la dispersión de los objetos, comenzaremos realizando una descripción de los parámetros fundamentales que habitualmente se emplean en formulaciones teóricas relacionadas con la dispersión de objetos. Asumiendo que la onda incidente es plana e ignorando la fase, se definen los siguientes términos: 1. Longitud de dispersión, que describe las propiedades de dispersión del objeto y depende tanto de la dirección de incidencia como de la de observación : ( ) ( )       =20 10f,, Rf inc scat R p p L α ϕθ (1) donde 𝑃𝑖𝑛𝑐 es la amplitud de la presión incidente y 𝑃𝑠𝑐𝑎𝑡 es la amplitud de presión dispersada en campo lejano, es decir en un punto situado a una distancia 𝑅, para el que se cumple que 𝑘𝑟≫1, siendo 𝑘 el número de onda. La presión dispersada se obtiene a partir de la eq.1 como: ( ) ( ) 20 10f,, Rf inc scat R p Lp α ϕθ = (2) donde la onda dispersada disminuye por la divergencia esférica con 1/𝑅, y por la atenuación del medio con 10−𝛼(𝑓)𝑅/20 , y depende de las características dispersivas del objeto a través de 𝐿(𝜃,𝜑,𝑓). 2. Longitud de dispersión en la dirección de vuelta: Es la longitud de dispersión en la dirección del emisor, 𝜃,𝜑= 0: ( ) f,0,0LL bs = (3) 3. Sección eficaz de dispersión diferencial (diferential scattering cross section): Es un concepto que viene de la física cuántica y que en acústica se define como el cuadrado de la longitud de dispersión: ( ) ( ) ( ) 10 2 2 2 210f,,f,, Rf inc scat sR p p L α ϕθϕθσ == (4) Esta magnitud representa la potencia dispersada en la dirección de observación en un ángulo sólido que abarca un área igual a 𝑅2, tal y como se muestra en la fig. 1. 6 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 1. Sección eficaz de dispersión diferencial 4. Sección eficaz de dispersión diferencial en la dirección de vuelta (differential backscattering cross section) que es la sección transversal de dispersión limitado a la dirección de vuelta ( ) 2 f,0,0 bssbs L== σσ (5) 5. Sección eficaz de dispersión total: Es la integral de 𝜎𝑠(𝜃,𝜑,𝑓) sobre 4π del ángulo sólido: ( ) ( ) inc scat st I dfdf π θθϕθσϕσ π π = ∫ ∫ =sin,, 2 0 0 (6) donde 𝜋𝑠𝑐𝑎𝑡 es la potencia dispersada por el objeto. 6. Función de forma: Es otra cantidad relacionada, normalizada a la dimensión característica del objeto dispersor, 𝑎, y medida en el campo lejano (región de Fraunhofer). Para objetos de dimensión finita como la esfera, el cilindro finito o el esferoide, 𝑎 se corresponde con el radio de la menor esfera que contenga al dispersor y la función de forma se obtiene como: ( ) ( ) inc scat bsbs p kaRp a R L a kaf ,, 22 , θ θ == (7) 7. Fuerza del blanco (Target strength): Es una medida logarítmica de la sección eficaz de dispersión, y describe la reflectividad acústica de un objeto, expresado como la proporción decibélica entre la intensidad o presión, incidente y reflejada a una distancia de 1m del objeto dispersor:         =         = i s i s p p I I TS log20log10 (8) Otras formas de escribir la fuerza del blanco, en función de la sección eficaz de dispersión, o de la sección eficaz de dispersión en la dirección del emisor son: ( ) ( ) ( ) ( )( ) mfLmffTS ss 1,,log201,,log10,, 2 ϕθϕθσϕθ == (9) Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 7 ( ) ( ) ( ) mLmfTS bsbs 1log201log10 2 == σ (10) II. 2. TIPOS DE DISPERSORES El estudio de la dispersión acústica puede realizarse en medios fluidos, sólidos o viscosos para dispersores cuya composición y características cambian notablemente de unos casos a otros. Por ejemplo, en el caso de los tejidos humanos la dispersión puede producirse por la inhomogeneidades de tejidos que a menudo se modelan como fluctuaciones de densidad y compresibilidad respecto a los valores constantes del medio circundante o por calcificaciones o acumulaciones de grasa que pueden modelarse como esferas homogéneas con unas determinadas propiedades acústicas. Por el contrario, en el océano, la dispersión acústica puede originarse por la presencia de diferentes blancos, como peces, algunos de ellos caracterizados por la vejiga natatoria cuyo modelo acústico se modela como un esferoide elongado relleno de gas, o también por la presencia de zooplancton o burbujas de aire. Los diferentes modelos de dispersión de los tejidos y de los blancos submarina se analizan con mas detalles en la secciones IV.1 y IV.2 En el caso de dispersores homogéneos, una forma sencilla de caracterizar la relación entre el medio y un dispersor [2] es definiendo la relación que existe entre sus densidades como dispersor medio ρ ρ ε = (11) En el caso de objetos sumergidos en agua, donde en la ec.11 la densidad del medio toma el valor de la del agua 𝜌𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =998 𝑘𝑔/𝑚3 se pueden identificar los siguientes tipos de blanco: • 1>> ε el dispersor tiene densidades menores que la del agua y se conoce como dispersor fluido. Este es el caso de dispersores gaseoso como las burbujas de aires sumergidas en el océano. En el caso extremo de que ∞→ ε el dispersor se describe como una condición de contorno de liberación de presión, es decir la presión acústica en el contorno es cero. • 1<< ε el dispersor tiene densidad mayor que la del agua y se conoce como dispersor duro. Es el caso de los cuerpos sólidos sumergidos en agua. En el caso extremo de que 0→ ε el dispersor se describe como una condición de contorno rígida, en el que la velocidad normal de partícula en el contorno es nula. • 1≈ ε el dispersor tiene densidades similares a la del agua. Es el caso de dispersores viscosos como la carne del pescado. II. 3. FENÓMENOS QUE INFLUYEN EN LA DISPERSIÓN DEL BLANCO Cuando una onda acústica, que se propaga por un medio fluido, interacciona con algún tipo de obstáculo se producen distintos fenómenos que deben ser considerados a la hora de estudiar la energía dispersada por un cuerpo solido. Estos fenómenos dependen de las propiedades del objeto, tales como su composición, forma y dimensiones en relación a longitud de onda incidente, y son 14 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas III. MODELOS TEÓRICOS PARA LA DISPERSIÓN ACÚSTICA DE OBJETOS GEOMÉTRICOS CANÓNICOS La dispersión de objetos se produce por la interacción de los diversos fenómenos descritos en la sección II.3. En el caso más general de un objeto elástico, tenemos los efectos geométricos de reflexión especular, transmisión y múltiples reflexiones, la difracción de las ondas alrededor del objeto y los efectos de resonancias producidos por las ondas superficiales. Además hay que tener en cuenta que algunos de estos efectos como las resonancias dependen en gran medida de la forma del objeto, por lo que la forma más sencilla de entender el proceso de formación de la dispersión es ceñirse al estudio de formas simples canónicas como esferas, y cilindros y esferoides elongados A continuación se presentan algunos de los modelos teóricos empleados en el estudio de la dispersión, y en los anexos XI.4;XI.5;XI.6, las soluciones particulares de las distintas geometrías III. 1. MÉTODO DE KIRCHOFF: REFLEXIÓN ESPECULAR Este método proporciona una primera aproximación basada en la óptica geométrica y resuelve la integral de Helmholtz-Kirchoff, ecuación particularizada para el caso de la presión dispersada [6] asumiendo que los cuerpos son perfectamente rígidos y homogéneos, y considerando que cada elemento diferencial del área insonificada actúa como un plano reflectante individual. Aunque es un método sencillo de implementar, plantea el inconveniente principal de que se basa únicamente en la geometría del objeto, sin tener en cuenta ni los efectos difractados, ni la estructura interna o la composición de los objetos insonificados. Por lo tanto, ignora las posibles resonancias que puedan ocurrir por las propiedades mecánicas o físicas de los objetos, de forma que sólo es útil en el régimen geométrico o como primera aproximación III. 2. SOLUCIONES ANALÍTICAS Para obtener soluciones analíticas que describan correctamente la dispersión total de los cuerpos es necesario recurrir a otro tipo de soluciones que tengan en cuenta tanto los efectos de la difracción como las ondas internas de los cuerpos penetrables. Para obtener dichas soluciones, se puede resolver la ecuación de ondas escalar en las coordenadas apropiadas aplicando en cada caso las condiciones de contorno necesarias. Para ello, tanto las ondas incidentes como la presión dispersada se expresa como una suma expandida de funciones de Bessel o funciones esferoidales, descritas en el anexo XI.3. Sin embargo, es necesario que las coordenadas escogidas permitan resolver la ecuación de ondas mediante separación de variables, lo que sólo es posible para geometrías simples como la esfera o el cilindro infinito o para casos especiales de geometrías más complejas como el cilindro finito o el esferoide elongado. III. 2. a. Soluciones modales Las soluciones modales o modos normales fueron introducidas inicialmente por Lord Rayleigh en 1877 [3], aunque debido a la complejidad de las soluciones matemáticas, su trabajó se orientó solo Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 15 a casos en los que el dispersor era mucho menor que la longitud de onda. Anderson [7] amplió el trabajo de Lord Rayleigh para objetos no necesariamente pequeños, e incluyó los efectos de las ondas de compresión que se forma en el interior de los dispersores fluidos. Posteriormente, Faran [8] comenzó a estudiar el fenómeno de las resonancias en la dispersión de cuerpos elásticos (esfera y cilindro infinito), incluyendo el efecto de las ondas transversales que se generan en el interior de los objetos sólidos. Señaló que la ubicación de las frecuencias de resonancia es muy similar a la ubicación de los modos normales de vibración libre, con pequeñas diferencias debidas al acoplamiento con el medio, y destacó el papel importante que tienen las ondas transversales, que relacionan las resonancias características de los objetos con los parámetros característicos del material, en particular con el módulo de elasticidad. Como estas soluciones no son suficientes para describir la dispersión de objetos más realistas que se encuentran en la naturaleza, es necesario investigar las respuestas de dispersión de otros dispersores más complejos como el esferoide elongado, sin embargo por la dificultad que conlleva la resolución de la ecuación de onda en coordenadas esferoidales solo se han encontrado soluciones analíticas [9] para casos particulares del esferoide, como la respuesta rígida o suave. En general, el procedimiento seguido para obtener las soluciones modales consiste en resolver la ecuación de onda en coordenadas esféricas, cilíndricas o esferoidales mediante una expansión en serie de funciones de Bessel con ciertos coeficientes desconocidos que se obtienen aplicando las condiciones de contorno adecuadas a cada caso: 1. Dispersores elásticos  Presión en el fluido (incidente más dispersada) igual a la componente normal del esfuerzo en la superficie de la interfaz:  Componente normal de los desplazamientos del fluido iguales a la componente normal de los desplazamientos en el sólido:  Componente tangencial de los esfuerzos transversales igual a cero en la superficie del sólido 2. Dispersores fluidos  continuidad de presión  continuidad de la componente normal de la velocidad de partícula 3. Dispersores rígidos Para un dispersor perfectamente rígido las condiciones de contorno aplicadas son las condiciones de Neumann o componente normal de la velocidad de partícula igual a cero 4. Dispersores con contorno de liberación de presión 16 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Las condiciones de contorno aplicadas para dispersores de liberación de presión son las condiciones de Dirichlet o presión en el contorno igual a cero III. 2. b. Teoría de dispersión resonante A partir de las soluciones modales propuestas por Faran [8] se han llevado a cabo numerosas investigaciones experimentales que han dado lugar a un marco teórico importante conocido como teoría de dispersión resonante (RST). Esta teoría fue introducida por Flax [10] [11] quien aplicó los formalismos de la teoría nuclear al problema de dispersión de objetos sumergidos con geometrías simples como la esfera o el cilindro infinito, aplicando la transformación de sommerfeld-watson a las soluciones modales obtenidas por Faran. Uberall et al [12], demostraron que el comportamiento fluctuante de la señal dispersada está causado por la superposición de las resonancias modales sobre la respuesta de dispersión de un objeto impenetrable, ya que entre dos frecuencias propias, el dispersor presenta un comportamiento similar al de un cuerpo impenetrable (suave o rígido). Esta teoría permite por lo tanto separar la amplitud de dispersión en sus dos componentes, la respuesta de fondo, que es suave y regular, y la respuesta o espectro resonante. De esta forma, las resonancias pueden ser aisladas mediante la sustracción de la respuesta de fondo, que es conocida en el caso de objetos con densidades muy diferentes a la del medio, es decir si ec.11 es mucho mayor que 1 o mucho menor. III. 2. c. Aproximaciones para geometrías complejas En el caso de otras geometrías complejas el uso de las soluciones modales no siempre es viable. Por ejemplo, en el caso del esferoide elongado el cálculo de la dispersión resulta muy complicado, ya que las funciones esferoidales convergen muy lentamente y por lo tanto se requiere un extenso cálculo computacional. De esta forma, para estas geometrías complejas, para las cuales no se han encontrado soluciones analíticas, suele recurrirse a métodos numéricos o a usar soluciones simples aproximadas obtenidas a partir de métodos matemáticos como T-matrix [13] que pueden ser usados para describir la presión dispersada por objetos de geometrías arbitrarias. Otros métodos numéricos que actualmente se emplean en los numerosos estudios realizados son el método elementos de contorno (BEM) [14] y el método de elementos finitos (FEM) [15] que puede ser fácilmente implementado mediante software como COMSOL multiphysics. Por esta razón, esta herramienta de cálculo es la que se emplea en este trabajo para predecir la dispersión de distintos elásticos, como esferas, cilindros y esferoides, ya que además de proporcionar la amplitud total de dispersión del cuerpo, permite realizar simultáneamente el análisis modal de las distintas geometrías y obtener la respuesta de fondo rígida o suave que es necesario conocer para determinar el espectro resonante. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 17 IV. APLICACIONES DE LA DISPERSIÓN IV. 1. APLICACIONES SUBMARINAS Los sonidos o ultrasonidos son una potente herramienta no invasiva muy extendida en el estudio de los fondos marinos debido principalmente a que el agua es uno de los medios más favorable para su propagación. Desde la aparición del Sonar, tras la segunda guerra mundial, su uso se ha extendido a numerosos campos, siendo actualmente la base de diversas aplicaciones científicas y comerciales como la pesca o las exploraciones geológicas. Aunque existen varias versiones de este dispositivo, el procedimiento general se basa en el análisis de la energía dispersada por el blanco en la dirección del receptor con el fin de conseguir la identificación del objeto dispersor. En el caso de la pesca y la oceanografía estos blancos son las distintas variedades de animales acuáticos y vegetaciones o las características geológicas y sedimentarias. Mediante los sondeos biológicos llevados a cabo con SONAR se puede obtener una amplia información acerca de las poblaciones marinas y de su comportamiento. Gracias a este sistema de comunicación marina es posible realizar un análisis de los fenómenos de transmisión, reflexión y dispersión del sonido debidos a los objetos presentes en el medio, extrayendo así información de la forma, tamaño o composición de los mismos y evaluando el hábitat en el que se encuentran. Sin embargo no es sencillo extraer dicha información, ya que las técnicas actuales no proporcionan niveles óptimos de certeza debido a la complejidad de los ambientes submarinos y a que se basan en el análisis del TS de un único organismo para caracterizar la densidad de población, lo que no es del todo fiable, especialmente para grandes volúmenes. Por esta razón, la mayoría de las investigaciones actuales [16] [17] están dirigidas a la interpretación de las señales recibidas. En este sentido, una fuente importante de información puede ser incluir la detección de fase del eco, que a menudo ignoran los sonares convencionales, ya que se ha demostrado que las características de la fase reflejada manifiestan muchas de las propiedades del blanco. Esto es especialmente importante a la hora de realizar la clasificación automática de los objetivos detectados y su uso ha sido probado como un parámetro clasificador factible por si mismo [14][18][19]. El estudio de la dispersión producida por geometrías finitas fundamentales como esferas y cilindros pueden proporcionar información clave en los mecanismos de formación de eco y en la conexión entre la fase y las características de blanco y servir como base para otras formas más complejas y reales. IV. 1. a. Modelos de dispersión de los organismos marinos Las propiedades acústicas de los organismos marinos varían considerablemente de unas especies a otras, en función de su forma, composición, y patrones de comportamiento. Aun en el caso de los peces que presentan todos una forma elongada similar, existen otras características biológicas como la presencia o no de vejiga natatoria que influyen notoriamente en el TS obtenido, (ver anexo XI.7) Por eso uno de los campos más importante de la investigación submarina es la determinación, 18 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas teórica y empírica, de las propiedades acústicas de los distintos organismos marinos y de sus partes constituyentes. Por las dificultades que conlleva la medición experimental in situ, muchas investigaciones se orientan a buscar modelos teóricos [6][20] que tengan en cuenta tanto las características biológicas como los procesos físicos subyacentes en la formación del eco. En ese sentido, los modelos desarrollados para estudiar la dispersión de los peces y el zooplancton teniendo en cuenta los distintos grados de complejidad que representan dichos objetivos, se basan a menudo en el estudio de formas geométricas básicas que pueden describirse bien matemáticamente [20]. Estos modelos, detallados en el anexo XI.7, han sido verificados experimentalmente y son fundamentales para logar la predicción e identificación de las especies submarinas y también para analizar la influencia de la variación de ciertos parámetros como la composición, el tamaño y la orientación. En general se suelen emplear esferas, cilindros y esferoides elongados, sólidos o llenos de aire ya que pueden representar ciertos variantes de zooplancton, peces o modelar algunas de sus partes constituyentes. El estudio de los efectos elásticos es también fundamental en estos modelos teóricos, ya que los contrastes de las densidades de los objetos en el agua no es tan grande como para considerarlos objetos perfectamente rígidos, y por lo tanto estos efectos afectan notablemente a la dispersión, especialmente en los rangos de frecuencias (kHz) en las que se trabaja en acústica submarina, en los que la longitud de onda es del orden de las dimensiones de los objetivos. IV. 1. b. Importancia de la orientación del blanco Uno de los parámetros que tiene mayor influencia sobre el TS, es la orientación del blanco, especialmente en el caso de objetos de dimensiones similares a la longitud de onda, donde es imprescindible incluir este parámetro para una correcta determinación del TS [20]. Además, poder identificar correctamente dicho parámetro nos da información valiosa sobre la dirección de nado de los peces o el rumbo de los submarinos. Fig.8 Efectos de la orientación sobre la fase: Interferencia constructiva (a) y destructiva (b) Como los peces y otros organismos marinos poseen formas alargadas, la orientación es especialmente importante y se debe incluir en los modelos de dispersión, ya que distintos ángulos de inclinación producen cambios en el tamaño aparente de la sección insonificada, y dependiendo de dicho ángulo las ondas dispersada pueden sumar constructiva o destructivamente produciendo Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 19 distintos patrones de dispersión (ver fig.8) .Experimentalmente, se puede identificar la orientación mediante un análisis de la longitud del pulso recibido, ya que a mayor inclinación se alarga el pulso IV. 2. APLICACIONES MÉDICAS En el campo médico, existen dos razones fundamentales que han propiciado la implementación de numerosas técnicas. En primer lugar está el hecho de que los tejidos biológicos, por su alto contenido en agua, son medios idóneos para la propagación de ultrasonidos, y en segundo lugar, que a diferencia de los rayos x, no producen energía ionizante y por lo tanto permiten técnicas no invasivas, que controladamente, pueden aplicarse sin riesgo para los pacientes tantas veces como sea necesario. En general, en función de la potencia aplicada, suele distinguirse dos campos de aplicación, terapia ultrasónica (alta potencia) y diagnóstico médico (baja potencia). En este último campo, el procedimiento seguido para obtener el diagnóstico es similar al que realiza el sonar. Mediante las distintas técnicas de imagen ultrasónica, como la ecografía o la elastografía, se consiguen producir imágenes del interior del organismo, a partir de la medición y mapeado de ciertos parámetros como la energía dispersada por las distintos elementos del cuerpo, la velocidad de las ondas generadas o los desplazamientos causados en las distintas partes organismo. IV. 2. a. Modelos de dispersión de los tejidos humanos Los tejidos humanos pueden ser tratados de forma simple como medios elásticos homogéneos con características acústicas como impedancia, absorción, velocidad del sonido y dispersión y modelados por formas simples como esferas y cilindros cuya dispersión es analizada mediante la teoría de Faran. Sin embargo, esto son sólo aproximaciones teóricas que no reflejan todas las características que tienen los tejidos vivos, que son estructuras en diferentes escalas que están continuamente auto-regulándose, creciendo, reproduciéndose e interactuando [22] Como se ha comentado en II.4, las propiedades acústicas de dispersión dependen de la relación entre el tamaño y la longitud de onda, por lo que es importante comenzar realizando una clasificación, propuesta en [23] en función del régimen de dispersión en el que se encuentre las distintas estructuras del organismo, cuyos efectos se muestran en fig. 9: • Clase 0: Asociada a los efectos moleculares, los cuales producen absorción y dispersión de la velocidad del sonido. La absorción es considerada como energía propagándose que se convierte en calor a través de mecanismos tales como los efectos de conducción térmica y viscosidad. Todos los tejidos incluyen dispersión clase 0. • Clase 1: Asociada a la concentración de células vivas cuyas dimensiones comparadas con la longitud de onda están en el rango de 𝑘𝑎≪1 por lo que producen una dispersión difusiva no distinguible de forma independiente que a menudo a produce en la imagen un efecto de moteado Una manera de determinar la cantidad de energía que se dispersa fuera del transductor receptor es 20 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas medir la dispersión en función del ángulo. Este enfoque también puede ayudar en la separación de las contribuciones debidas a los cambios en la densidad ( que presentan directividad dipolo) y a los cambios de los de la constante elástica y la compresibilidad (que presentan directividad monopolo), cada uno de los cuales tienen una dependencia angular de la dispersión distinta. Es decir, la dispersión de la clase 1, de una manera estadística, origina los diferentes patrones de dispersión. También pertenece a esta clase de dispersor la sangre, cuyos componentes son modeladas a menudo como esferas, cilindros o discos de tamaño menor que la longitud de onda. • Clase 2: Asociada a la dispersión de las microestructuras de tejidos con dimensiones similares a la longitud de onda. La dispersión de Clase 2 es independiente y distinguible a través de sus únicas características ofreciendo información dependiente de la frecuencia y del ángulo. Un ejemplo de un dispersor de la clase 2 son las microcalcificaciones aisladas de la mama. Anderson et al. (1998) utiliza un dispersor esférico como un modelo para este caso. Sus cálculos de esferas elásticas e inelásticas llegaron a la conclusión de que las microcalcificaciones se comportan como dispersores elásticos • Clase 3: se asocia con los órganos y los límites de las venas que producen una dispersión especular por encontrarse en el rango 𝑘𝑎≫1 • Clase 4: se aplica el tejido en movimiento, como la sangre. Fig. 9 Se muestra la imagen por ultrasonidos del hígado y los efectos de moteado (clase 1), vasos sanguíneos (clase 2) y contorno de los mismo (clase 3) Además de esta clasificación en función del tamaño, es también importante distinguir los tejidos en función de sus propiedades acústicas: • Tejidos homogéneos: Son aquellas regiones de tejido que pueden ser representadas por un único valor de un parámetro igual en todos los puntos espaciales. A través de estos tejidos, las ondas se propagan sin cambios acústicos, siendo sólo en los límites de la región cuando pueden experimentar los distintos efectos como reflexión, transmisión y cambios en la velocidad del sonido y la absorción, de acuerdo a las escalas de longitud apropiada definida anteriormente. • Tejidos inhomogéneos: Son aquellos tejidos que son en su mayoría son del mismo tipo pero que presenta pequeñas fluctuaciones alrededor de un valor medio. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 21 • Tejidos heterogéneos: Son regiones de tejidos en los que las propiedades varían con la posición espacial ya sea a través de pequeñas subregiones o de forma puntual • Tejidos isotrópicos: Se aplica a los tejidos cuyas propiedades no varían con la orientación angular • Tejidos anisotrópicos: Cuando las propiedades varían con el ángulo de insonificación. Generalmente este tipo de tejidos suelen tener una orientación estructural preferencial, como en el caso de las fibras musculares. En el anexo XI.8 pueden encontrarse algunos modelos más realistas que describen la propagación a través de los distintos tejidos. IV. 2. b. Aplicaciones de la caracterización de los tejidos 1. Aplicaciones cardiacas Los tejidos encargados de los movimientos dinámicos del corazón son una serie de fibras que están organizadas con una dirección preferencial, de modo que muestran propiedades acústicas anisotrópicas. Por ello, estos tejidos se modelan habitualmente como una distribución de cilindros finitos cuya dispersión se estudia mediante la aproximación de Born, descrita en el anexo XI.8.a. Este modelo muestra que la dirección de insonificación respecto a la disposición de las fibras miocárdicas es importante, ya que cuando las fibras están alineadas perpendicularmente a la dirección de incidencia, la reflexión es máxima, mientras que cuando son paralelas, es mínima. 2. Aplicaciones de alta frecuencia El empleo de ultrasonidos de alta frecuencia es también muy útil para caracterizar los tejidos ya que conllevan un aumento de la resolución y por lo tanto es capaz de identificar mejor las microestructuras frente a las imágenes convencionales, consiguiendo que dispersores como las células pertenecientes a la clase 0-1 (difusiva) en las imágenes convencionales pase a estar en la clase 1-2 (difractiva), lo que mejora considerablemente la identificación de sus patrones dispersivos. Estas células están constituidas por un núcleo y un citoplasma que por lo general, muestran formas irregulares y composición heterogéneas, para las cuales no hay soluciones analíticas que modelen la dispersión que producen. Algunos modelos [24] asumen que el principal dispersor es el núcleo de la célula, mucho más denso que el citoplasma, que puede ser modelado como una esfera con propiedades elásticas homogéneas, inmersa en un citoplasma fluido con alto contenido en agua y densidad similar a la del medio circundante. La velocidad del sonido en el núcleo está en torno a 2400 m/s y en el citoplasma, alrededor de 1527 m/s. La impedancia acústica del núcleo es por lo tanto mucho mayor que la del citoplasma por lo que puede ser considerado como el único dispersor. 22 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas En general, el núcleo elástico se representa como una esfera elástica de poliuretano según el modelo de Faran, lo que permite identificar las oscilaciones del núcleo a través de las resonancias que aparecen en la respuesta de dispersión, como se muestra en fig. 10. A partir de este modelo, se pueden incorporar diferentes patrones de células similares a los observados durante la apoptosis. Los resultados han sido validados mediante la comparación con medidas experimentales y muestran que la retrodispersión aumenta a medida que las células mueren. Fig. 10 Izq: Función de retrodispersión en campo lejano obtenidas para una micro esfera de poliuretano inmersa en una solución acuosa mediante Faran. Dcha: cinco primeros modos de vibración 3. Agentes de contraste Los agentes de contraste son microburbujas de gas que se inyectan en el organismo para mejorar las relación señal a ruido, y por lo tanto, el contraste de las imágenes obtenidas mediante ultrasonidos ya que en la mayoría de las situaciones se obtiene un pobre contraste en las imágenes debido a la similitud de las impedancias acústicas de los tejidos humanos. Estos agentes deben tener altas propiedades ecogénicas, ser no tóxicos, biodegradables, fácilmente administrables y capaces de circular a través de los capilares y de los tejido, por lo que las investigaciones actuales se orientan hacia el estudio de distintas composiciones y tamaños con el fin de obtener el agente ideal. Para el caso de agentes formados por estructuras rellenas de gas, puede aplicarse la teoría resonante del apartado III.2.b, que predice las frecuencias sonoras a las que se producen las resonancias, permitiendo así identificar el tamaño idóneo de la microburbuja para que resuene a la frecuencia empleada de forma que aumente la amplitud del eco y por lo tanto el contraste. Para agentes con estructuras rellenas de líquido, que presentan una gran durabilidad y estabilidad y un tamaño mucho menor que la longitud de onda es necesario emplear otros métodos que sean válido en el régimen de Rayleigh, como el descrito en [25] donde se presenta un análisis matemáticos usando que relaciona las propiedades acústicas de un agente de contraste fluido con las propiedades efectivas de un dispersor rígido dada por Rayleigh Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 23 V. ELEMENTOS FINITOS En general, la resolución de las ecuaciones diferenciales que formulan un problema físico es de gran complejidad, y solo es posible resolverla analíticamente en algunos casos, en los que se pueden realizar simplificaciones sobre las dimensiones o la geometría del problema, que conducen a ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles, por ejemplo, mediante la técnica de separación de variables. En la mayoría de los casos, sin embargo, no es posible realizar estas aproximaciones, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos que resuelven las ecuaciones diferenciales mediante procedimientos iterativos a partir de la discretización de la ecuación diferencial. Entre estos métodos se encuentran las diferencias finitas, el método de elementos finitos FEM o el método de elementos de contorno BEM. El método FEM plantea una serie de ventajas respecto a otros métodos como las diferencias entre las que se encuentran: • Sus fundamentos permiten que sea fácilmente implementable mediante software de uso general como COMSOL • No requiere discretizaciones estructuradas, sino que cada elemento de la discretización presenta una estructura independiente del resto • Permite realizar tratamiento de geometrías complejas • Las condiciones de contorno son generales e independientes de cada elemento de la discretización. V. 1. CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS El método de elementos finitos, FEM, es un método numérico para la solución de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales que transforma un problema diferencial en otro algebraico mediante la discretización o subdivisión de una región en formas geométricas simples denominadas elementos finitos que están interconectados por una serie de puntos llamados nodos [26]. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo con infinitos grados de libertad, que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a otro con un numero finito de grados libertad cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no. Para obtener la solución del problema, se realiza el siguiente procedimiento: 1. El dominio se discretiza mediante una serie de elementos adecuados que pueden ser puntos (caso lineal), líneas (caso bidimensional) o superficies (caso tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total se aproxima mediante este conjunto de elementos que están conectados a través de los nodos. Es importante definir adecuadamente el numero, tamaño, tipo (número de nodos y grado de las funciones de aproximación) y situación de los elementos. 30 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas donde 𝜆 es la longitud de onda de las ondas Franz, que se puede aproximar por la longitud de onda en el agua. A partir de la ec. 16 se obtiene que periodicidad en el eje frecuencial adimensional 𝑘𝑎 es n n ka 22.1 2 2= + =∆ π π (17) En nuestro caso, se obtiene en media ∆𝑘𝑎= 1.21 lo que concuerda con el valor esperado. 1. Patrones de dispersión Otro aspecto en la caracterización de la dispersión es el estudio de los diagramas polares de dispersión que representan la función de forma respecto al ángulo de dispersión. En fig. 15 se han representado dichos patrones para ambos tipos de dispersores en 𝑘𝑎= 0.178 (Régimen de Rayleigh), 𝑘𝑎= 2, y 𝑘𝑎=20, para una onda plana incidente por la derecha en la dirección 𝜃= 0°. Es importante señalar que estos patrones representan sólo la presión dispersada y no la presión total, ya que no tienen en cuenta la interferencia que se produce entre el campo dispersado y el campo incidente. Fig 15 Patrones de dispersión de las esferas rígida (azul) y de liberación de presión (rojo) en ka=0.178 (Régimen de Rayleigh), ka=2 y ka=20, identificadas de izquierda a derecha. La onda incide por 0º En el régimen de Rayleigh, fig. 15 izquierda, la esfera de liberación de presión (rojo) dispersa el sonido por igual en todas direcciones, es decir únicamente presenta radiación monopolo por la gran diferencia entre su compresibilidad y la del medio, que es de cuatro órdenes de magnitud, frente a la diferencia de densidades, que es de 1 orden de magnitud. En el caso de la esfera rígida no hay un efecto predominante por lo que el patrón de dispersión es la suma de la componente monopolo más la componente dipolo. Para ka=2, fig.15 centro, la esfera rígida dispersa el sonido de forma prácticamente isotrópica, mientras que para la esfera suave lo hace fundamentalmente en el semiplano posterior. A medida que aumenta la frecuencia, fig.15 derecha, aparecen lóbulos secundario en el patrón de dispersión rígido que no aparecen en el patrón de la esfera de liberación, aunque en ambos caso el sonido dispersado se concentra fundamentalmente detrás del dispersor, en la dirección opuesta a la fuente. Aunque no se observa en las imágenes, este lóbulo principal interfiere destructivamente con la onda incidente produciendo una zona de sombra tras el dispersor. VII. 1. b. Esfera elástica de Tungsteno Se muestran ahora los resultados obtenidos para una esfera de tungstenos con distintos diámetros. En fig.16 se ha representado la amplitud de la retrodispersión obtenida para los distintos diámetros Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 31 comparadas con los resultados obtenidos según el modelo de Faran. La concordancia entre el modelo teórico y el modelo implementado en Comsol es altamente satisfactoria. La respuesta de dispersión depende tanto de la composición como de las dimensiones del dispersor. En nuestro caso, las cuatro esferas tienen la misma composición, por lo que las diferencias en la repuesta de dispersión son debidas únicamente a la variación del radio. Se observa que a medida que aumenta el radio, la distancia frecuencial entre las resonancias disminuye y aumenta la amplitud de retrodispersión. Fig. 16 Variación de la función de forma con el radio de la esfera. Se representa la función de forma, mediante comsol y Faran para los diámetros d=30 (izq.sup.), 40(dcha.sup.), 75(izq.inf.), 84(dcha.inf.), mm Para eliminar la dependencia del radio de la esfera, en fig.17 se representa la amplitud de presión normalizada, o función de forma respecto al eje frecuencial normalizado 𝑘𝑎, para cada uno de los radios simulados. Las cuatro respuestas se superponen obteniéndose una representación de la dispersión independizada del radio del radio del dispersor, que es siempre igual para todos los dispersores esféricos que tengan igual composición. Las frecuencias de resonancia son etiquetadas en la fig.17, mediante los índices modales (𝑛,𝑙). Para obtener estos índices es necesario representar las distintas funciones de forma parciales 𝑓𝑛, lo que no es posible a partir de comsol, por lo que para identificar los distintos índices se ha recurrido a [2], donde se obtienen, a partir de la teoría de Faran, las frecuencias de resonancia de una esfera de tungsteno. 32 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 17 Amplitud de la función de norma frente al eje adimensional ka para las 4 esferas de tungstenos simuladas. Las etiquetas (n,l) identifican los modos resonantes. 1. Estudio de las resonancias La respuesta de dispersión de un objeto elástico se forma por la superposición de las resonancias que producen las ondas superficiales elásticas sobre la respuesta rígida. El espectro resonante se puede obtener a partir de la ecuación, como el valor absoluto de la diferencia entre la respuesta elástica y la respuesta rígida. Teóricamente, entre dos resonancias consecutivas la respuesta elástica coincide con la respuesta rígida, por lo que el espectro resonante será cero entre esas dos resonancias, Para comprobarlo en fig.18 se muestra, en la imagen superior, la amplitud de dispersión normalizada de la esfera elástica de tungsteno de diámetro d=84 mm, junto con la respuesta de la misma esfera pero perfectamente rígida, y en la imagen inferior el espectro resonante obtenido a partir de la ec. 64 del anexo XI.4.a.3 Fig.18 Amplitud de la función de forma frente al eje normalizado ka para la esfera rígida y de tungsteno con diámetro d=84mm (superior). Las etiquetas (n,l) identifican los modos resonantes. Espectro resonante (figura inferior) obtenida a partir de la diferencia de las ff rígida y elástica. Los círculos rojos marcan las frecuencias de resonancia obtenidas Aunque el espectro resonante no es exactamente cero entre dos resonancias si permite identificar fácilmente las frecuencias de resonancia excitadas por las ondas superficiales. En el Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 33 anexo XI.11.a, proporcionan las frecuencias de resonancia obtenidas a partir del espectro junto al modo natural de vibración asociado. Además se muestran la representación de los desplazamientos asociados a los seis primeros modos. 2. Patrones de dispersión En la fig. 19, se representan los patrones de dispersión de la esfera elástica junto a los de la esfera perfectamente rígida para 𝑘𝑎= 0.178, 𝑘𝑎=15, 𝑘𝑎=16,5 que se corresponden con el régimen de Rayleigh, una frecuencia no resonante y una resonante. En régimen de Rayleigh el patrón obtenido para ambos dispersores es idéntico salvo pequeñas diferencias de amplitud. Esto es debido a que en ese Régimen la esfera elástica presenta un comportamiento rígido, pero no perfectamente rígido (modelo ideal), por lo que es lógico esperar que haya diferencias de amplitud debido a que la esfera elástica es realmente un objeto penetrable y móvil. Para frecuencias no resonantes, el patrón de dispersión de la esfera elástica es similar al obtenido para la esfera rígida, presentando también un lóbulo principal posterior y una serie de lóbulos secundarios de menor amplitud. Para frecuencias resonantes, en cambio si aparecen diferencias en el semiplano derecho donde se sitúa la onda incidente (derecha) debidos a los efectos de los desplazamientos superficiales de la esfera característicos de la resonancia Fig. 19 Patrones de dispersión de las esferas rígida (rojo) y de elástica de tungsteno (azul) en ka=0.178 (Régimen de Rayleigh), ka=15 (frecuencia no resonante) y ka=16.5 (frecuencia resonante), identificadas de izquierda a derecha. La onda plana incide por la derecha. VII. 1. c. Esfera de poliuretano: Modelo de célula. Los parámetros elásticos del poliuretano se detallan en la tabla I del anexo XI.10. Aunque el diámetro de la esfera no se corresponde con diámetro del núcleo de una célula, tal y como se ha visto en VII.1.b, para un mismo material es posible obtener una respuesta de dispersión independiente del radio (función de forma frente a 𝑘𝑎). Por otro lado, al ser un elemento con densidad similar a la del agua, no puede ser considerado un dispersor duro, por lo que su respuesta de dispersión diferirá de la obtenida para la esfera metálica de tungsteno. En la fig.20 se muestra la función de forma de la esfera de poliuretano comparada con el modelo de Faran. 34 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Figura 20 Amplitud de la función de forma obtenida (rojo) para la esfera de poliuretano (d=20mm), comparada con el modelo de Faran (azulo). Las resonancias se indican en negro Como se aprecia en fig.20, en el caso de una esfera de poliuretano no sólida, el fondo de dispersión no se corresponde con el fondo perfectamente rígido y las resonancias no se superponen destructivamente sino constructivamente. Otra particularidad de este tipo de dispersores es que la distancia frecuencial entre las resonancias permanece prácticamente constante, siendo esta distancia aproximadamente [24] 𝑘𝑎≈0.7. De esta forma, es posible determinar el radio del dispersor a partir de la medida experimental de su respuesta de dispersión, lo que es muy útil en algunas aplicaciones médicas relacionadas con la evolución del tamaño de las células. En el anexo XI.11.b se indican los valores ka en los que aparece una resonancia según la fig. 20, junto con las frecuencias asociadas obtenidas a partir de la representación de los desplazamientos en la simulación. En algunos casos, debido supuestamente a la proximidad a la que se encuentran dos resonancias en la simulación, originan una única resonancia en la respuesta de dispersión. Hay que añadir también, que al no tratarse de una esfera dura, los modos naturales de vibración no están próximos a las frecuencias de resonancias de la función de forma. Por ejemplo el modo asociado a la primera frecuencia de resonancia situada en 40.9 kHz se en encuentra en la frecuencia propia 57.25 kHz. La separación frecuencial según la tabla es aproximadamente: 𝑓=17200 𝐻𝑧 A partir de esta expresión se deduce que el radio del dispersor es: 𝑎=0.7 · 1486 2𝜋·17200 = 0.0096 𝑚 por lo que, efectivamente, se obtiene una buena aproximación del radio de la esfera, que es de 0.01m. 1. Patrones de dispersión En fig.21, se representan los patrones de directividad para distintos valores de 𝑘𝑎, en concreto para 𝑘𝑎= 0.0042 (regimen de Rayleigh), 𝑘𝑎= 2.45; 𝑘𝑎= 8.15 correspondientes a dos frecuencias de resonancia. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 35 Fig. 21 Patrones de dispersión de la esfera de poliuretano en ka=0.0042 (Régimen de Rayleigh), ka=2.45 (frecuencia resonante) y ka=5 (frecuencia resonante), identificadas de izquierda a derecha. La onda plana incide por la derecha. En el caso de la esfera de poliuretano, como la densidad es similar a la del agua, la radiación en el régimen de Rayleigh está afectada por la diferencia de compresibilidad, por lo que la dispersión presenta un patrón monopolo. A medida que aumenta la frecuencia van apareciendo lóbulos laterales y un lóbulo principal que se extiende en la parte posterior del dispersor originando la región de sombra. En relación con el patrón de dispersión de la esfera metálica, se puede apreciar que, en el caso del poliuretano, aparece un lóbulo secundario en la dirección de incidencia, que en las frecuencias de resonancia, interfiere constructivamente con la onda incidente ocasionando un máximo en la respuesta de dispersión. VII. 1. d. Esfera fluida Estudiamos ahora la dispersión de esferas o cavidades fluidas que no soportan ondas transversales. Este modelo fue estudiado inicialmente por lord Rayleigh para dispersores muchos menores que la longitud de onda y por Anderson [7] para dispersores de cualquier dimensión. La dispersión de los cuerpos fluidos está determinada especialmente por la relación que existe entre la velocidad, la densidad y la compresibilidad del medio y el fluido definida como 𝜅= 1/𝜌𝑐2 1. Esfera de aire En la fig.22 se representa la amplitud normalizada de dispersión o función de forma obtenida para una esfera de aire de diámetro 𝑑=20𝑚𝑚 inmersa en el agua comparada con el modelo de Anderson. 36 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 22 Amplitud de la función de forma obtenida (negro) para la esfera de aire (d=20mm), comparada con el modelo de Anderson (negro). Se ha ampliado la zona entre ka=2 y ka=4 para observar mejor el comportamiento de las resonancias. Como observa en fig.22, salvo la amplitud en algunas resonancias ambos resultados concuerdan satisfactoriamente por lo que el modelo implementado en comsol es válido para representar la dispersión producida por la interacción entre dos fluidos, en nuestro caso esfera de aire y agua . a) Espectro resonante La función de forma de la fig.22 muestra una tendencia similar a la de la esfera de liberación de presión (ver fig.14), ya que se trata de un dispersor con densidad mucho menor que la del medio, por lo que su respuesta de dispersión puede aproximarse como la superposición de la respuesta de fondo de liberación y el espectro resonante de la cavidad gaseosa que se obtiene de forma análoga al caso elástico. De este forma, se puede obtener dicho espectro a partir de la diferencia entre ambas respuestas, fig.23 Una importante diferencia con el caso elástico, es que mientras que para la esfera elástica, las resonancias se corresponde con los modos naturales de vibración de la esfera con condiciones Dirichlet en el contorno, es decir, vibrando libre, en el caso de la esfera de aire, las resonancias se corresponde con los modos de vibración de la esfera con condiciones de contorno dura de Neuman, ya que en este caso el fluido, de mayor densidad, actúa como una pared para la esfera. En el anexo XI.11.c se muestran las seis primeras frecuencias de resonancia y los campos de presiones asociados Fig. 23 Amplitud de la función de forma frente al eje normalizado ka para la esfera de liberación o suave (azul) y de aire (rojo) con diámetro d=20mm (superior). Espectro resonante (figura inferior) obtenida a partir de la diferencia de ls ff de liberación y aire. Se ha ampliado la zona entre ka=50 y ka=100 para observar mejor el comportamiento de las resonancias. b) Patrón de dispersión En la fig.24 se muestran el patrón de dispersión de la esfera de aire junto con el de liberación de presión y de aire para 𝑘𝑎= 0.04, 𝑘𝑎=01.48 (frecuencia no resonante), 𝑘𝑎= 4.9 (frecuencia Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 37 resonante). En el régimen de Rayleigh, 𝑘𝑎= 0.04, ambas esferas radian el sonido de forma monopolo, por la marcada diferencia entre su compresibilidad y la del medio. En el régimen de interferencias, la comparación entre ambos patrones depende de la frecuencia mostrada. Si no coincide con una frecuencia de resonancia, ambos muestran el mismo patrón de dispersión, mientras que en las frecuencias de resonancia, la esfera muestra ciertas lobulaciones que no aparecen en la esfera de vacío, debido al igual que en el caso elástico y la respuesta rígida, a los efectos de las resonancias. Fig. 24 Patrones de dispersión de las esferas de aire (rojo) y liberación de presión o suave (azul) en ka=0.0423 (Régimen de Rayleigh), ka=1.4 (frecuencia no resonante) y ka=4.9 (frecuencia resonante), identificadas de izquierda a derecha. La onda plana incide por 0º 2. Caracterización de esferas fluidas La dispersión de las esferas fluidas se ve fuertemente afectada por la relación que existe entre las densidades �𝑔=𝜌𝑑𝑖𝑠𝑝 𝜌𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ⁄�, velocidades, �ℎ=𝑐𝑑𝑖𝑠𝑝 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ⁄�,y compresibilidades �𝐾= 𝜅𝑑𝑖𝑠𝑝 𝜅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ⁄), del medio y del dispersor (ver anexo XI.5.a). Por esta razón se han obtenidos las respuestas de dispersión para esferas fluidas que mantienen algunos de estos parámetros contantes, variando los otros dos. a) Dispersores esféricos con densidad igual a la del fluido Si consideramos un dispersor esférico con igual densidad 𝜌1 a la del medio pero distinta velocidad del sonido 𝑐1 , y por lo tanto distinta compresibilidad (𝜅= 1 (𝜌𝑐2)⁄) obtenemos las amplitudes de retrodispersión mostradas en la fig.25. En la imagen derecha se muestra la función de forma para esferas que tienen mayor velocidad del sonido (superior), con ℎ=𝑐1𝑐0 ⁄= 0.5; 0.8 y en la imagen inferior la respuesta de esferas con menor velocidad del sonido, ℎ= 1.2; 2 38 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 25 Izda.: Funciones de forma obtenidas para esferas fluidas con densidad igual a la del medio y relación de velocidades h=0.5 (negro) ,0.8(morado),1.2(azul),2(rojo). Dcha: Patrones de dispersión de las misma esferas en régimen de Rayleigh y ka=10. La onda plana incide por 0º A partir de los resultados mostrados en la fig.25 izquierda se puede comprobar que para pequeños valores de h aumenta el número de resonancias del dispersor y su amplitud. Al disminuir la velocidad del sonido en el dispersor manteniendo constante la densidad aumenta la compresibilidad de la esfera fluida y por lo tanto es más deformable dando lugar a más resonancias. A medida que aumenta la velocidad y disminuye la compresibilidad, las resonancias se distancian. Esto es evidente en todas las respuestas, tanto para velocidades inferiores como superiores a la del agua En relación con la amplitud, los diferentes niveles obtenidos pueden explicarse a partir de la relación de impedancias (𝑍=𝜌𝑐), ya que cuanto más próximas son, menor es el nivel del eco. Otro aspecto importante en la caracterización de la dispersión de la esfera fluida es la representación de los patrones de dispersión, mostrados en la fig.25 derecha. Para obtener una correcta visualización se han normalizado respecto a su máximo correspondiente, por lo que en las imágenes mostradas no se aprecian las diferencias de amplitud, solo el patrón. Como cabía esperar, en régimen de Rayleigh (𝑘𝑎= 0.1776) patrón de dispersión es de tipo monopolo, ya que la componente dipolo sólo aparece para valores distintos de densidad. Para frecuencias más elevadas (𝑘𝑎=10) se obtiene que en el caso de que la velocidad sea menor que la del agua aparecen lobulaciones en la dirección de la onda incidente (colores negro y morado), mientras que para velocidades mayores, la dispersión es más isotrópica. b) Dispersores esféricos con velocidad igual a la del fluido Si mantenemos contante la velocidad del sonido igual a la del medio y variamos tanto la densidad del sonido como la compresibilidad, obtenemos las respuestas de retrodispersión mostradas en la fig.26 Los cambios en la función de forma son menos apreciables con el cambio de densidad, ya que salvo las diferencias de nivel, todas las respuestas presentan las resonancias frecuencias iguales o Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 39 muy próximas. Quizás es el cambio más apreciable se produce en la primera frecuencia de resonancia que se localiza a mayor frecuencia cuanto más parecida es la densidad del dispersor a la del medio. El razonamiento para las diferencias de amplitud es análogo al realizado para la velocidad del sonido igual a la del medio. Fig. 26 Izda.: Funciones de forma obtenidas para esferas fluidas con velocidad igual a la del medio y relación de densidades g=0.5 (negro),0.8(morado),1.2(azul),2(rojo). Dcha: Patrones de dispersión de las misma esferas en régimen de Rayleigh y ka=10. La onda plana incide por 0º En relación con los patrones de dispersión, mostrados en la fig.26 derecha, se puede decir, que en régimen de Rayleigh, como la densidad y la compresibilidad son distintas a la del agua, el patrón de radiación tiene tanto componente monopolo como dipolo, siendo para bajas densidades y mayor compresibilidad (negro y morado) predominante la componente monopolo y para densidades altas, mayores que la del agua, predominante la componente dipolo. Para frecuencias más alta, se observa que el comportamiento angular de dispersión depende de la proximidad entre la densidad del medio y la del dispersor, obteniéndose patrones similares para las parejas 𝑔= (0.8; 1.2);𝑔=(0.5; 2) c) Dispersores esféricos con compresibilidad igual a la del fluido Estudiamos ahora el caso de dispersores esféricos que presentan igual compresibilidad que el agua. Por lo que tanto la densidad como la velocidad de las ondas longitudinales es modificada, siendo la relación entre ellas: 01 ρρ g= (18) 1 2 00 01 1 1 ρ ρ κρ c c== (19) De esta forma, si disminuimos la densidad aumenta la velocidad del sonido en el dispersor, lo que es consecuente con los resultados obtenidos, mostrados en la fig.27 izquierda. Para densidades 46 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 33 TS obtenido para el esferoide elongado en incidencia 0º (izquierda), 45º(centro), 90º(derecha), a partir de Comsol (azul), BEM (verde) y Experimental (negro). Estas respuestas se muestran en la fig.34. Los resultados de BEM se obtienen en un rango frecuencial demasiado bajo por lo que no llegan a mostrar ninguna resonancia. Los resultados obtenidos en este trabajo mediante COMSOL, si presentan unos niveles y forma similares a los resultados experimentales, a pesar de las limitaciones descritas anteriormente. En general todos los resultados muestran que el TS es dependiente tanto de la frecuencia como del ángulo de incidencia, y por lo tanto es posible identificar la orientación del dispersor a partir de la medición de su respuesta de dispersor. Fig.34 TS en función de la frecuencia y el ángulo para el esferoide elongado obtenido mediante Comsol (izquierda), experimental (Centro) y BEM (derecha) Por último en la fig. 35 se muestran las funciones de forma y el espectro resonante obtenido para los tres ángulos representados en la fig. 33. Fig. 35 Superior: Amplitud de la función de forma elástica (azul) y rígida (rojo) para las mismas incidencias de la fig. 33. Inferior: espectro resonante. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 47 Se puede comprobar que en incidencia axial de 90º, para el rango frecuencial estudiado, no se excita ninguna resonancia, ya que los niveles obtenidos en el espectro son prácticamente cero para todas las frecuencias. Las resonancias obtenidas se muestran en el anexo XI.11.e VII. 4. EXTRACCIÓN DE LA FASE DE LAS SEÑALES ELÁSTICA Para la comprensión de los mecanismos de formación de ecos es necesario el procesamiento total, en fase y amplitud de las señales recibidas. Sin embargo, la componente de fase es habitualmente ignorada por lo que la presentación de respuesta de fase de esferas, cilindros y esferoides elásticos resulta novedoso y constituye un paso temprano hacia el desarrollo de aplicaciones en situaciones más realistas, ya que el análisis para geometrías relativamente simples puede contribuir a una mejor interpretación para casos más reales. La información de la fase, puede extraerse de la misma manera que en el caso de la amplitud a partir de la respuesta acústica siguiendo el procedimiento detallado en los anexos XI.12. En nuestro caso se presenta esta información para el modelo de la esfera elástica de tungsteno, y los modelos del cilindro y del esferoide en incidencia axial. La validación se realiza comparando los resultados de comsol, en fig.36, con soluciones modales (Faran) en el caso de la esfera y mediciones efectuadas en [1]. Fig. 36 Fases obtenidas mediante comsol (azul) obtenidas para la esfera cilindro y esferoide comparadas con el modelo de Faran (esfera), y experimental (cilindro y esferoide) En general, las gráficas de fase muestran sensibilidad a las resonancias elásticas. En el caso de la esfera sólida de TC y 84mm de diámetro es posible notar un régimen de oscilaciones suaves a bajas frecuencias. Este comportamiento obedece al patrón de interferencia creado por la difracción de ondas de superficie Franz. Sin embargo, la completa interpretación de las curvas de fase va más allá de los objetivos de este trabajo. 48 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas VIII. CONCLUSIONES A la vista de los resultados mostrados en la sección, se concluye que en este trabajo se han desarrollado con éxito distintos modelos numéricos en elementos finitos para describir los procesos dispersivos que se producen diferentes objetos con distinta geometría y composición. En el caso de dispersores esféricos, los resultados han sido validados con los modelos analíticos de Faran, para el caso elástico, y Anderson, para el caso fluido encontrándose una perfecta concordancia entre los resultados numéricos y teóricos. Para este tipo de dispersores se ha obtenido también información de los patrones de dispersión que concuerdan con los modelos teóricos y describen correctamente la dispersión en los distintos regímenes estudiados. Es de particular interés el análisis en el régimen de Rayleigh de las esferas fluidas para el cual se observan distintos patrones de radiación de tipo monopolo y dipolo en función de la variación de densidad, compresibilidad y velocidad. En el caso de los dispersores cilíndrico y esferoidal estudiados, los resultados se han analizado para distintos ángulos de incidencia y comparado con las medidas experimentales realizadas en [1]. Se obtiene una gran concordancia entre los resultado numéricos y del laboratorio en todos los casos. Se ha verificado que es posible obtener mediante las simulaciones de Comsol información valida tanto de amplitud como de fase, hecho que resulta novedoso, ya que los trabajos en este campo suelen utilizar únicamente la información de la amplitud. Se muestra también el espectro resonante de los distintos dispersores elásticos y gaseosos, para varios ángulos de incidencia, que han sido validados mediante el análisis modal de Comsol. Se obtiene, tal y como predice la teoría resonante, que las frecuencias de resonancia ocurren a frecuencias cercanas a los modos naturales de vibración sólo en el caso de dispersores con densidades muy diferentes a las del medio. Por lo tanto, las respuestas de dispersión de objetos sólidos elásticos (o gaseosos) inmersos en agua se forman a partir de la superposición de las respuestas de dispersión correspondiente a dispersores ideales de tipo de rígido (o de liberación de presión) y dicho espectro resonante. En este sentido, una de las principales líneas futura de investigación, puede ir encaminada a extraer información adicional de la fase de estos dispersores ideales, que no pueden ser medidos experimentalmente, de forma que se obtenga un análisis similar al realizado para la amplitud. IX. AGRADECIMIENTOS El presente trabajo ha sido realizado en colaboración con los doctores Phil Atkins y Alan Islas de la Universidad de Birmingham, a quienes quiero agradecer todo el cariño mostrado durante mi estancia allí. Personalmente quiero dedicarle el trabajo a mi tutor Rubén Picó por animarme a hacer este proyecto y a Paco Camarena, por todo el apoyo que me ofrece siempre. A mi familia, a mi abuelo Joseto, a Ernest y especialmente a Jaime Jr, mi futuro sobrino y mi más preciada ilusión. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 49 X. BIBLIOGRAFIA 1 Islas-Cital A., “Amplitude and phase sonar calibration and the use of target phase for enhanced acoustic target characterization”, Thesis. University of Birmingham 2 Norris A. “Resonant acoustic scattering from solid targets”. J. Acoust. 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Acoust. Soc. Am.,1978 63: 3 11 Flax, L., Gaunaurd, G.C. and Uberall, H. "Theory of resonance scattering". In Mason, W.P. & Thurston, R.N. (Eds.) Physical Acoustics. London, Academic Press.- 1981. 191-294 12 Uberall, H., Dragonette, L.R. and Flax, L. “Relation between creeping waves and normal modes of vibration of a curved body.” J. Acoust. Soc. Am.-1 977:61: 3 13 Waterman P.C. “T-matrix methods in acoustic scattering” J. Acoust. Soc. of Am..-2008.125:6 14 Francis, D.T.I., Foote, K.G. and Atkins, P.R. "Robustness of target strength of an immersed, hollow ceramic flotation sphere of constant shell thickness". MTS/IEEE Oceans 2007. Vancouver, 15 Burnett. D.S “ Finite element modeling of acoustic scattering from 3D-elastic structures”COMSOL Multiphysics Conference.- 2005. 24 –25 16 Azimi-Sadjadi, M.R., Yao, D., Huang, Q., et al. “Underwater target classification using wavelet packets and neural networks”. IEEE Transactions on Neural Networks, 2000.11:3. 17 Lu, H.J. and Lee, K.T. “Species identification of fish shoals from echograms by an echosignal image processing system”. Fisheries Research, 1994. 24. 18 Barr, R. and Coombs, R.F. “Target phase: An extra dimension for fish and plankton target identification”. J. Acoust. Soc. Am., 118: 3. 19 Islas-Cital, A., Atkins, P.R., Foo, K.Y., et al. “Phase calibration of sonar systems using standard targets and dual-frequency transmission pulses”. J. Acoust. Soc. Am., 2011.130:4. 20 Simmonds, J. and MacLennan, D.N. “Fisheries acoustics”. 2nd.Oxford, UK: Blackwell Science.2005 21 Misund, O.A. “Underwater acoustics in marine fisheries and fisheries research”. Reviews in Fish Biology and Fisheries, 1977.1-34. 22 Szabo T. “Diagnostic Ultrasound imaging: inside out” Academic Press, Elsevier, 2004 23 Greenleaf, J. F. and Sehgal, C. 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Am.,2003. 1113:1 50 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas XI. ANEXOS ANEXOS Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 51 Índice XI. Anexo s .................................................................................................................................................... 52 XI. 1. Abstract del 11 Congreso de acústica de Nantes 2012 .............................................................. 52 XI. 2. Tipos de ondas en dispersores elásticos ..................................................................................... 52 XI. 3. Funciones de Bessel Y Funciones esferoidales ......................................................................... 53 XI. 3. a. Funciones de Bessel .............................................................................................................. 53 XI. 3. b. Funciones esferoidales .......................................................................................................... 55 XI. 4. Soluciones particulares para geometrías solidas ........................................................................ 56 XI. 4. a. Esfera .................................................................................................................................... 56 XI. 4. b. Cilindro infinito ..................................................................................................................... 64 XI. 4. c. Cilindro finito: ...................................................................................................................... 70 XI. 4. d. Esferoide ............................................................................................................................... 73 XI. 5. Soluciones particulares para geometrías simples fluidas ........................................................... 73 XI. 5. a. Esfera .................................................................................................................................... 73 XI. 5. b. Cilindro infinito ..................................................................................................................... 76 XI. 5. c. Cilindro finito (Incidencia normal) ....................................................................................... 77 XI. 6. T-MATRIX: Dispersión de objetos elongados .......................................................................... 77 XI. 6. a. Aplicación del método T-matrix al esferoide elongado ......................................................... 78 XI. 7. Modelos de dispersión para blancos marinos ............................................................................ 80 XI. 8. Dispersión en tejidos ................................................................................................................. 82 XI. 8. a. Dispersión tejidos inhomogeneos .......................................................................................... 82 XI. 8. b. Dispersión débil en tejidos aleatorios ................................................................................... 84 XI. 8. c. Dispersión en tejidos heterogéneos ....................................................................................... 85 XI. 9. COMSOL .......................................................................................................................................... 85 XI. 9. a. Módulo de acústica ............................................................................................................... 85 XI. 10. Parámetros de la simulación ...................................................................................................... 90 XI. 10. a. 2D-axisimétrico ..................................................................................................................... 90 XI. 10. b. Cilindro finito ........................................................................................................................ 90 XI. 10. c. Esferoide elongado ................................................................................................................ 90 XI. 11. Resonancias ............................................................................................................................... 90 XI. 11. a. Esfera elástica de tungsteno .................................................................................................. 91 XI. 11. b. Esfera de poliuretano ............................................................................................................ 92 XI. 11. c. Esfera fluida de aire .............................................................................................................. 93 XI. 11. d. Cilindro elástico .................................................................................................................... 93 XI. 11. e. Esferoide elongado ................................................................................................................ 97 XI. 12. Obtención de la fase .................................................................................................................. 97 XII. BIBLIOGRAFIA ANEXO S.................................................................................................................. 99 52 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas XI. ANEXOS XI. 1. ABSTRACT DEL 11 CONGRESO DE ACÚSTICA DE NANTES 2012 Scattering of complex geometries by Finite Element Method The back-scattering of complex finite geometries targets to plane incoming waves is investigated. The information obtained from the echoes (amplitude and phase) is used to characterize certain properties of the scatterers as the shape, size or orientation. Simple geometries as spheres, cylinders and spheroids are often used in underwater acoustic and medical imaging to model the different the scattering of structures, such as fish swim bladders, blood cells, or the fibbers of heart. Theoretical models include the effects of diffraction, reflection and transmission adapted to the shape, composition and size relative to the wavelength of the different objects. In particular, there are analytical solutions derived by Faran forsimple geometries such as sphere and cylinder, but for the other cases, numerical methods like T-matrix, or approximate simple solutions must be used. In this work, the finite element method was used to model the scattering from submerged targets with these simple geometries and elastic and rigid boundary conditions. A vibroacoustic model is used to couple the structure with the surrounding fluid medium. Numerical results show good agreement when compared with theoretical predictions and experimental data. XI. 2. TIPOS DE ONDAS EN DISPERSORES ELÁSTICOS a. Ondas compresivas: Son ondas longitudinales de la misma naturaleza que las que se propagan a través de los fluidos, que se propagan hacia el interior del cuerpo con velocidades mayores que en el fluido y con un movimiento de las partículas es paralelo a la dirección de propagación. b. Ondas transversales: Son ondas elásticas que se propagan hacia el interior del cuerpo con velocidad menor que las ondas compresivas y con un movimiento de las partículas perpendicular a la dirección de propagación. c. Ondas de Rayleigh: Son ondas elásticas que se propagan en la superficie del solido con una velocidad cercana a la velocidad de las ondas transversales que se producen en el interior del sólido. Tienen componentes tanto transversales como longitudinales, cuya composición da lugar a movimientos elípticos de las partículas similares a los de las olas de la superficie del mar, y que llegan a penetrar como mucho una profundidad de una longitud de onda en el objeto. Cuando el sólido está sumergido en agua, estas ondas pierden energía radiando hacia el fluido, por lo que se conocen como leaky Rayleigh. d. Ondas Whispering Gallery: Este tipo de ondas se propagan al igual que las ondas Rayleigh en la superficie del sólido con componentes transversales y longitudinales. Los desplazamientos transversales penetran en el cuerpo a mayores profundidades que los desplazamientos Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 53 longitudinales, con una velocidad que se encuentra entre la velocidad de las ondas longitudinales y transversales del sólido. e. Ondas guiadas axiales: Son ondas elásticas que se producen únicamente en determinados objetos con formas alargadas como el cilindro o el esferoide elongado cuando el vector de ondas incidente tiene componente no nula a lo largo del eje axial. Este tipo de ondas se propagan por la superficie del objeto a lo largo de trayectorias helicoidales. XI. 3. FUNCIONES DE BESSEL Y FUNCIONES ESFEROIDALES XI. 3. a. Funciones de Bessel Las funciones de Bessel, definidas por el matemático Daniel Bernouille y generalizadas por Friedrich Bessel, son las distintas soluciones canónicas de la ecuación diferencial de Bessel: 𝑥2𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥+(𝑥2−𝛼2)𝑦= 0 (20) donde 𝛼 es un número arbitrario real o complejo conocido como el orden de la función de Bessel, siendo las más comunes las obtenidas para un valor entero 𝑛, o semi-entero 𝑛+ 1/2. Como es una ecuación de segundo orden, tendrá dos soluciones linealmente independientes, conocidas como funciones de Bessel de primera clase o de segunda clase, o combinaciones lineales de ellas: • Función de Bessel de primera clase 𝐽𝛼 definida como: 𝐽𝛼(𝑥)=∑(−1)𝑚 𝑚!Γ(𝑚+𝛼+1)�1 2𝑥�2𝑚+1 ∞ 𝑚=0 (21) donde Γes la función gamma. • Funciones de Bessel de segunda clase o funciones de Neumann 𝑁𝛼: 𝑁𝛼(𝑥)= 𝐽𝛼(𝑥)cos(𝜋𝛼)−𝐽−𝛼 sin(𝜋𝛼) (22) • Funciones de Hankel 𝐻𝛼: Son combinaciones linearles de las funciones de Bessel de primera y segunda clase: 𝐻𝛼 (1)(𝑥)=𝐽𝛼(𝑥)+𝑖𝑁𝛼(𝑥) (23) 𝐻𝛼 (2)(𝑥)=𝐽𝛼(𝑥)−𝑖𝑁𝛼(𝑥) (24) Estas funciones tienen una especial importancia en los problemas de propagación de ondas, ya que aparecen como solución al resolver la ecuación de Helmholtz mediante la técnica de separación de variables, en coordenadas esféricas o cilíndricas. 54 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas (1) Coordenadas cilíndricas Cuando resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas (𝑟,𝜃,𝑧) fig.37, aparecen funciones de Bessel de orden entero 𝛼=𝑛. Estas funciones son: • Función de Bessel de primera clase 𝐽𝑛 definida como: 𝐽𝑛(𝑥)=𝑥𝑛∑(−1)𝑚 22𝑚+𝑛𝑚!(𝑛+𝑚)!𝑥2𝑚+𝑛∞ 𝑚=0 (25) 𝐽−𝑛(𝑥)=(−1)𝑛𝐽𝑛(𝑥) (26) • Funciones de Bessel de segunda clase o funciones de Neumann 𝑁𝑛: 𝑁𝑛(𝑥)=lim𝛼→𝑛𝐽𝛼(𝑥)cos(𝜋𝛼)−𝐽−𝛼 sin(𝜋𝛼)=1 𝜋𝜕𝐽𝛼(𝑥) 𝜕𝛼 �𝛼=𝑛 +(−1)𝑛 𝜋𝜕𝐽𝛼(𝑥) 𝜕𝛼 �𝛼=−𝑛 (27) 𝑁−𝑛(𝑥)=(−1)𝑛𝑁𝑛(𝑥) (28) • Funciones de Hankel 𝐻𝑛: Son combinaciones linearles de las funciones de Bessel de primera y segunda clase: 𝐻𝑛 (1)(𝑥)=𝐽𝑛(𝑥)+𝑖𝑁𝑛(𝑥) (29) 𝐻𝑛 (2)(𝑥)=𝐽𝑛(𝑥)−𝑖𝑁𝑛(𝑥) (30) Fig. 37 Esquema de coordenadas cilíndricas (2) Coordenadas esféricas Cuando se emplean coordenadas esféricas (𝑟,𝜃,𝜑), fig.38, aparecen funciones de Bessel de orden semi-entero 𝛼=𝑛+ 1/2, también llamadas funciones esféricas de Bessel: • Funciones esféricas de Bessel de primer orden 𝑗𝑛: 𝑗𝑛(𝑥)=�𝜋 2𝑥𝐽𝑛+1/2=(−𝑥)𝑛�1 𝑥𝑑 𝑑𝑥�𝑛sin𝑥 𝑥 (31) • Funciones esféricas de Bessel de segundo orden o funciones de Neuman 𝑛𝑛: Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 55 𝑛𝑛(𝑥)=�𝜋 2𝑥𝑁𝑛+1/2=−(−𝑥)𝑛�1 𝑥𝑑 𝑑𝑥�𝑛cos𝑥 𝑥 (32) • Funciones esféricas de Hankel ℎ𝑛: ℎ𝑛 (1)(𝑥)=𝑗𝑛(𝑥)+𝑖𝑛𝑛(𝑥) (33.a) ℎ𝑛 (2)(𝑥)=𝑗𝑛(𝑥)−𝑖𝑛𝑛(𝑥) (33.b) Fig. 38 Esquema de coordenadas esféricas XI. 3. b. Funciones esferoidales Las funciones esferoidales son las soluciones obtenidas al resolver la ecuación de Helmholtz mediante separación de variables en coordenadas esferoidales. En el caso de esferoides elongados, fig. 39, que son superficies de revolución de una elipse sobre su semi-eje mayor manteniendo así los dos puntos focales, las coordenadas esferoidales son (𝜉,𝜂,𝜙), siendo 𝜉,𝜂 las coordenadas angular y radial, y 𝜙 la coordenada acimutal definida como 𝜙=tan−1(𝑦/𝑥). Estas coordenadas están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante la transformación: 𝑥=𝑑�(1−𝜂2)(𝜉2−1)cos 𝜙 (34) 𝑦=𝑑�(1−𝜂2)(𝜉2−1)sin 𝜙 (35) 𝑧=𝑑𝜂𝜉 (36) siendo 𝑑 la semi-distancia focal. y los rangos de las variables: −1≤𝜂≤1; 1 ≤𝜉≤∞; 0 ≤𝜙< 2𝜋 (37) 62 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig44 Representación de las 6 primeras funciones parciales En la fig. 44 se pueden apreciar las distintas formas que pueden presentar las resonancias que pueden clasificarse como [10]  Tipo A o resonancia pura: Este tipo de resonancias se producen cerca de un nulo de la respuesta rígida (𝜉𝑛= 0), por lo que la contribución principal a la función de forma parcial correspondiente es la resonancia que aparece como un pico en la amplitud. A este tipo pertenecen las resonancias (2,3) o (4,2).  Tipo B: En este caso la resonancia coincide con un máximo de la respuesta rígida �𝜉𝑛=𝜋 2�, lo que produce una cancelación y un estrecho valle en la |𝑓𝑛(𝜋)| correspondiente. Un ejemplo de estas resonancias son la (1,3) o (3,2).  Tipo C: Para el resto de casos en los que la resonancia no coincide con ningún máximo o mínimo de la respuesta rígida. En este caso la resonancia exhibe un valle en un lado y un pico en el otro. Un ejemplo sería la resonancia (1,2) (4) Comportamiento dispersivo de la esfera en régimen de Rayleigh En el régimen de Rayleigh, donde la longitud de onda es mucho mayor que el radio 𝑎 de la esfera (𝑘𝑎≪1), la dispersión es debida principalmente a los efectos de difracción. En esta situación, la esfera puede ser modelada como una pequeña esfera incompresible y fija sin propagación en su interior [6]. La presión total en la esfera será, eliminando la dependencia temporal, la suma de la presión incidente más la presión dispersada: 𝑃=𝑃𝑖𝑛𝑐𝑒𝑖𝑘𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑃𝑑𝑖𝑠𝑝 (67) donde 𝜃 es el ángulo entra la dirección de incidente y la dirección dispersada y 𝑅 la distancia de la esfera al receptor. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 63 La condición de contorno rígido implica que la componente normal (radial) de los desplazamientos y de la velocidad de partícula igual a cero en cualquier instante. A partir de la ec. 67 tendremos que el gradiente de la presión total en el contorno es: 𝜕𝑃 𝜕𝑅�𝑅=𝑎 =𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃𝑃𝑖𝑛𝑐𝑒𝑖𝑘𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝜕𝑃𝑑𝑖𝑠𝑝 𝜕𝑅 = 0 (68) de donde se obtiene 𝜕𝑃𝑑𝑖𝑠𝑝 𝜕𝑅 �𝑅=𝑎 =−𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃𝑃𝑖𝑛𝑐𝑒𝑖𝑘𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 (69) A partir de las ecuaciones 68,69 la componente radial de la velocidad de partícula dispersada en 𝑅=𝑎, será: 𝑢𝑑𝑖𝑠𝑝�𝑅=𝑎 =𝑃𝑖𝑛𝑐 𝜌0𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑖𝑘𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 (70) Para valores pequeños de 𝑘𝑎, la exponencial se puede escribir como: 𝑒𝑖𝑘𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 + 𝑖𝑘𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 (71) Por lo que la velocidad radial de partícula dispersada necesaria para hacer cero la velocidad radial total de partícula es: 𝑢𝑑𝑖𝑠𝑝�𝑅=𝑎 =𝑃𝑖𝑛𝑐 𝜌0𝑐(𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑘𝑎cos2𝜃) (72) La ec. 72 muestra que la velocidad de partícula dispersada es equivalente a la radiación de una esfera compuesta por un monopolo y un dipolo, tal y como se ha comentado II.4 Para obtener la presión dispersada en campo lejano debida a cada componente se obtiene el flujo volumétrico 𝑉 (𝑚3/𝑠) a partir de la integral de 𝑢𝑑𝑖𝑠𝑝 sobre la superficie de la esfera. Integrando para ambas componentes y aproximando para (𝑘𝑅≫1) se obtiene que la presión dispersada en campo lejano es [6] 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑝 =𝑃𝑚+𝑃𝑑=(𝑘𝑎)2𝑎 3𝑃𝑖𝑛𝑐 𝑅𝑒−𝑖𝑘𝑅 +(𝑘𝑎)2𝑎 2cos 𝜃𝑃𝑖𝑛𝑐 𝑅𝑒−𝑖𝑘𝑅 (73) es decir 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑝 =�2(𝑘𝑎)2 3�1 + 3 2cos 𝜃�𝑎 2�𝑃𝑖𝑛𝑐 𝑅𝑒−𝑖𝑘𝑅 (74) y la longitud de dispersión |𝐿|=(𝑘𝑎)2𝑎 3�1 + 3 2cos 𝜃� (75) En fig. 45 se muestra el diagrama polar de la longitud de dispersión de la esfera referenciado a (𝜋𝑎2)1/2 en el Régimen de Rayleigh, para 𝑘𝑎= 0.1. Para el caso de retrodispersión tendremos 𝜃= 0 |𝐿𝑏𝑠|=5(𝑘𝑎)2𝑎 6 (76) 64 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 45 Diagrama polar de radiación en el régimen de Rayleigh para una esfera con densidad y velocidad distinta a la del medio. Se observa que el patrón se obtiene mediante la superposición de la componente monopolo y dipolo. XI. 4. b. Cilindro infinito El cilindro infinito es un modelo puramente teórico que ha sido ampliamente estudiado por Faran y otros autores [8][30]. Su importancia radica en que en algunos casos, las soluciones obtenidas para el cilindro infinito pueden ser adaptadas para los cilindros finitos, tal y como se verá en el anexo XI.4.c A diferencia de la esfera, la dispersión del cilindro si depende del ángulo de incidencia, por lo que es importante estudiar la respuesta de dispersión tanto para incidencia normal (perpendicular al eje axial del cilindro), como para incidencia oblicua. (1) Cilindro infinito (incidencia normal) Fig.46 Esquema del cilindro en incidencia normal a) Aproximación de Kirchoff : Reflexión especular Asumiendo ahora que la onda incide en la dirección –𝑥, es decir 𝑝𝑖𝑛𝑐 =𝑝0𝑒−𝑖𝑘𝑥, y empleando las coordenadas cilíndricas mostradas en la fig. 46 tendremos: 𝑘 �  =−𝑘𝑥� (77) 𝑛�=cos 𝜃𝑥�+sin 𝜃𝑦� (78) 𝑟′ �=𝑎cos 𝜃𝑥�+𝑎sin 𝜃𝑦�+𝑧𝑧 (79) 𝑑𝑆=𝑎𝑑𝜃𝑑𝜑 (80) Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 65 En estas coordenadas, la longitud de dispersión para el cilindro infinito puede obtenerse a partir de la integral de Kirchoff como 𝑙𝑏𝑠 =𝑖 𝜆∫cos 𝜃𝑒𝑖2𝑘𝑎cos𝜃𝑑𝑆 𝑠 (81) Para evaluar la ec 81 es necesario recurrir a evaluaciones numéricas mediante sumas finitas: 𝑙𝑏𝑠 =𝑖 𝜆∑cos 𝜃𝑒𝑖2𝑘𝑎cos𝜃Δ𝑆𝑚 𝑚 (82) b) Soluciones modales Las soluciones modales de un cilindro infinito fueron también propuestas por Faran [8] de forma análoga a como se ha explicado en XI.4.a.2 Empleando ahora coordenadas cilíndricas (𝑟,𝜃,𝑧), y teniendo en cuenta que la onda incidente plana se aproxima a lo largo del eje 𝑧, lo que elimina la dependencia de esta coordenada, tenemos que la presión incidente puede escribirse como: 𝑝𝑖=𝑃0∑𝜖𝑛(−𝑖)𝑛𝑗𝑛(𝑘𝑟) 𝑃𝑛cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 (83) donde 𝜖𝑛 es el número de Neumann, con 𝜖𝑛= 1 para 𝑛= 0 y 𝜖𝑛= 2 para 𝑛> 0 La presión dispersada para un cilindro infinito mediante su descomposición en armónicos se escribe como: 𝑝𝑠=∑𝑐𝑛𝐻𝑛 (1)(𝑘𝑟)cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 (84) donde 𝐻𝑛 (1) representan la correspondiente función de Hankel de primera clase y 𝑐𝑛 son nuevamente los coeficientes a evaluar, que se obtienen aplicando las condiciones de contorno descritas en III.2.a 𝑐𝑛=−𝑃0𝜖𝑛(−𝑖)𝑛+1ei𝛿𝑛sin 𝛿𝑛 (85) donde 𝛿𝑛es el desplazamiento de fase de la enésima componente de la onda dispersada. A partir de las ecuaciones 84,85 y teniendo en cuenta, que en campo lejano 𝐻𝑛 (1)(𝑘𝑟)→� 2 𝜋𝑖𝑘𝑟�1/2𝑖−𝑛𝑒𝑖𝑘𝑟 (86) se obtiene que la amplitud de la presión dispersada medida en campo lejano, puede escribirse en suma de términos modales como [10]: |𝑝𝑠|=𝑃0�2 𝜋𝑖𝑘𝑟�1/2�∑𝜖𝑛ei𝛿𝑛sin 𝛿𝑛cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 � (87) y la función de forma 𝑓(𝜃)=∑𝑓𝑛 ∞ 𝑛=0 (𝜃)=�1 𝜋𝑖𝑘𝑎�1/2∑𝜖𝑛𝑒𝑖𝛿𝑛sin 𝛿𝑛𝑃𝑛cos 𝜃 ∞ 𝑛=0 (88) • Cilindro rígido infinito Para un cilindro rígido fijo se obtiene 𝑐𝑛=−𝑃0𝜖𝑛(𝑖)𝑛�𝐽′𝑛(𝑘𝑎)𝐻𝑛 (1)′(𝑘𝑎)⁄� (89) 66 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas En campo lejano, teniendo en cuenta la ecuación 87, tendremos 𝑝𝑠=−𝑃0�2 𝜋𝑘𝑟�1/2𝑒𝑖(𝑘𝑟−𝜋/4)∑𝜖𝑛 ∞ 𝑛=0 �𝐽′𝑛(𝑘𝑎)𝐻𝑛 (1)′(𝑘𝑎)⁄�cos 𝑛𝜃 (90) c) Teoría resonante En general, todo lo comentado en XI.4.a.3 la esfera elástica es válido para el cilindro elástico infinito en incidencia normal, con algunas diferencias en la formulación que se comentan a continuación. La presión dispersada por el cilindro, empleando coordenadas cilíndricas, con la formulación resonante es 𝑝𝑠=1 2∑𝜖𝑛𝑖𝑛(𝑆𝑛−1)𝐻𝑛 (1)(𝑘𝑟)𝑃𝑛cos 𝜃 ∞ 𝑛=0 (91) y la función de forma parcial 𝑓𝑛(𝜃)= 2𝑖𝜖𝑛(𝜋𝑖𝑘𝑎)−1/2𝑒2𝑖𝜉𝑛�𝑒−𝑖𝜉𝑛sin 𝜉𝑛+1 2Γ𝑛𝑙 (𝑟) 𝑘𝑛𝑙 (𝑟)𝑎−𝑘𝑎−1 2𝑖Γ𝑛𝑙 (𝑟)�𝑃𝑛cos 𝜃 (92) donde todos los términos han sido definidos para la ec.63 Al igual que en XI.4.a.3, cada función parcial está compuesta por dos términos, uno referente al campo de fondo rígido y otro referente al campo resonante. En la fig.47 se representa la amplitud de la función de forma para los seis primeros modos. Se observa que en el caso del cilindro tampoco aparece ninguna resonancia en el modo 0. Fig.47 Funciones parciales para un cilindro de aluminio La función de forma total para el caso retrodispersión, representada en la fig.48 se obtiene nuevamente según la expresión. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 67 Fig.48 Amplitud de presión normalizada del cilindro infinito de aluminio (2) Cilindro infinito (incidencia oblicua) La energía dispersada por un blanco contiene información característica del dispersor que permite identificarlo y diferenciarlos de otros posibles blancos. Por ejemplo, las resonancias que aparecen en la amplitud de la retrodispersión, son una firma del objeto que permite determinar sus propiedades elásticas y geométricas. En el caso de objetos elongados, como el cilindro, la energía dispersada es función no sólo de la frecuencia, sino también del ángulo de incidencia de la onda plana. Por lo tanto, las características particulares que se pueden extraer de la respuesta en cada ángulo de incidencia es útil para identificar la orientación del blanco o las propiedades axiales del dispersor. En el caso del cilindro infinito, Flax el al [34] demostró que para incidencia oblicua, además de las dos clases de ondas observada en incidencia normal, aparecen un nuevo tipo de ondas llamadas ondas guiadas axiales, que surgen cuando el vector de onda incidente tiene componente no nula en el eje del cilindro. Esta clase de ondas, caracterizadas por seguir caminos helicoidales (fig 49), generan nuevos modos de resonancias cuya frecuencia depende del ángulo de incidencia, localizándose a más altas frecuencias a medida que aumenta el ángulo. fig.49 Esquema del cilindro infinito (Izquierda). Caminos helicoidales seguidos por las ondas superficiales en incidencia oblicua (derecha) El modelo matemático implementado por Flax es similar al descrito para el caso de incidencia normal. La fig.49 muestra un esquema de la orientación de las coordenadas cilíndricas y la 68 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas dirección de onda incidente. El eje del cilindro se corresponde con el eje z del sistema de coordenadas (𝑟,𝜃,𝑧), y vector incidente de propagación 𝑘, localizado en el plano 𝑥𝑧, forma un ángulo α con el eje 𝑥. La solución se obtiene en el punto (𝑟,𝜃) con 𝜃𝜖[0,2𝜋] radianes. Como la onda plana y el cilindro son infinitos en z, la solución es independiente de z. La presión incidente se expresa mediante su descomposición modal como: 𝑝𝑖=𝑃0𝑒𝑖𝑧𝑘𝑧∑𝜖𝑛(−𝑖)𝑛𝑗𝑛(𝑘⊥𝑟) 𝑃𝑛cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 (93) donde 𝑘⊥=𝑘cos 𝛼 y 𝑘𝑧=𝑘sin 𝛼 La presión dispersada será: 𝑝𝑠=𝑃0𝑒𝑖𝑧𝑘𝑧∑𝜖𝑛𝑐𝑛𝐻𝑛 (1)(𝑘⊥𝑟)cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 (94) donde 𝑐𝑛=𝐽𝑛(𝑘⊥𝑎)𝐿𝑛−𝑘⊥𝑎𝐽𝑛′(𝑘⊥𝑎) 𝐻𝑛 (1)(𝑘⊥𝑎)𝐿𝑛−𝑘⊥𝑎𝐻𝑛 (1)′(𝑘⊥𝑎) (95) con 𝐿𝑛=𝜌 𝜌𝑠𝐷𝑛 (1) 𝐷𝑛 (2) (96) 𝐿𝑛, definida también en la ec.59 es una función que contiene funciones de Bessel con argumentos 𝑘𝐿𝑎,𝑘𝑇𝑎 𝑦 𝑘𝑍𝑎 siendo 𝑘𝐿=𝑘2𝑐2 𝑐𝑙2−𝑘𝑍2; 𝑘𝑇=𝑘2𝑐2 𝑐𝑠 2−𝑘𝑍2 (97) donde 𝑐𝐿 ,𝑐𝑇 son respectivamente las velocidades de las ondas longitudinales y transversales del cilindro. La presión de dispersión en campo lejano será: 𝑝𝑠=𝑃0𝑒𝑖ℎ𝑘𝑧𝑒𝑖𝑘⊥𝑟2𝜋 𝑘𝑘⊥𝑒𝑖𝜋/4∑𝑐𝑛cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 (98) y la función de forma 𝑓𝑠=2 �𝑖𝜋𝑘⊥𝑎∑𝜖𝑛𝑐𝑛cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 =∑𝑓𝑛 ∞ 𝑛=0 (99) Al igual que para incidencia normal, la función de forma puede descomponerse mediante la teoría resonante en sus componentes, una que está presente aunque el cilindro sea impenetrable, y la otra que es el espectro resonante. De esta forma, se puede obtener el espectro de resonancia de cada modo como: 𝑓𝑛(𝑟𝑒𝑠)=2 √𝑖𝜋𝑘cos𝛼𝑎𝜖𝑛𝑐𝑛 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑−𝑐𝑛 1+2𝑐𝑛 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑cos 𝑛𝜃 (100) Las frecuencias de resonancias se pueden obtener haciendo cero el denominador de la ec.95. Estas resonancias, se produce por la coincidencia de fase de las distintas clases de ondas superficiales. Para las ondas circunferenciales, la coincidencia de fase se cumple cuando 𝑛𝜆𝑙 𝑐𝑖𝑟 = 2𝜋𝑎 (101) Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 69 Sin embargo, en el caso de las onda helicoidales, Conoir [35] demostró que la condición de coincidencia se da para 𝐿= 2𝜋𝑎cos 𝛾𝑙=𝑛𝜆𝑙=𝐾𝑙𝑎cos 𝛾𝑙 (102) siendo 𝜆𝑙,𝐾𝑙 la longitud de ondas y el número de ondas asiciado a la onda helicoidal,𝛾𝑙 su ángulo de refracción que se obtiene a partir de la ley de Snell 𝛾𝑙=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑘sin𝛼 𝐾𝑙 (103) En ambos casos, ondas circunferenciales y helicoidales, la condición de resonancia implica una intersección entre dos ondas coherentes cuyo vector de ondas mantiene el carácter axisimétrico del blanco. La ecuación 101 puede expresarte también como 𝑛=𝑥𝑛𝑙(𝛼)[𝑐/𝑐𝑙(𝛼)]cos 𝛾𝑙 (104) donde 𝑥𝑛𝑙 =2𝜋𝑓𝑛𝑙 𝑐𝑎 (105) con 𝑐 la velocidad del sonido en el fluido y 𝑓𝑛𝑙 la frecuencia de resonancia. En el caso de incidencia normal tendremos: 𝑛=𝑥𝑛𝑙(0)[𝑐/𝑐𝑙(0)] (106) lo que implica 𝑥𝑛𝑙(𝛼)=𝑥𝑛𝑙(0)𝑐𝑙(𝛼) 𝑐𝑙(0)cos𝛾𝑙 (107) Esta relación muestra que el desplazamiento de las resonancias es proporcional a 1/ cos 𝛾𝑙 y se incremente a medida que aumenta 𝛼. Por lo tanto cuando 𝛾𝑙 alcanza el valor 𝜋/2, es decir para el ángulo de incidencia de Rayleigh, 𝑥𝑛𝑙 la frecuencia de resonancia tiende a infinito. En la fig. 50 se representa la función de forma de un cilindro infinito para distintos ángulos de incidencias. Se puede apreciar que para ángulos cercanos al ángulo de Rayleigh, se produce una interferencia destructiva entre la onda de Rayleigh y la reflexión especular. A partir de ese ángulo ya no es posible aislar más resonancias y el dispersor vuelve a mostrar un comportamiento rígido. 70 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig.50 Función de forma del cilindro infinito para distintos ángulos de incidencia XI. 4. c. Cilindro finito: Los cilindros elásticos finitos son, al igual que las esferas, una de las geometrías simples más utilizadas en los estudios sobre la dispersión acústica. Esta geometría resulta útil ya que sirve como primera aproximación para otras figuras elongadas, y en el caso de la acústica submarina, representa un modelo simple de la forma de los peces. Sin embargo no es tan sencillo determinar la respuesta de dispersión como en el caso de la esfera, ya que además de depender de de la orientación del cilindro, hay que tener en cuenta que, al ser una geometría truncada, ocurren fuertes efectos de difracción en los bordes de las caras laterales que no pueden ser bien predichos por las soluciones modales ni por las aproximaciones de rayos acústicos. Estas soluciones sólo son aplicables en algunas situaciones concretas en las que se puede considerar al cilindro finito como infinito. En general, esta distinción entre cilindro finito e infinito depende la longitud del cilindro en relación con la longitud de onda incidente y se define en términos de las zonas Fresnel. Si el cilindro está suficientemente lejos del receptor y su longitud es menor que la primera zona Fresnel, 𝐿≪2√𝑅𝜆 , el cilindro debe considerarse finito. En caso contrario, cuando 𝐿≫2√𝑅𝜆, el cilindro puede considerarse infinito y pueden aplicarse los resultados obtenidos en XI.4.b Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 71 Fig.51 Esquema del cilindro finito (1) Incidencia normal a) Aproximación de Kirchoff: Reflexión especular La longitud de dispersión en la dirección de vuelta para un cilindro finto, empleando el método de Kirchoff resulta [33] 𝑙𝑏𝑠 =𝑖𝑘𝑎𝐿 2𝜋 �2−𝜋[𝐻1(2𝑘𝑎)+𝑖𝐽1(2𝑘𝑎)]� (108) b) Soluciones modales Las soluciones modales propuestas por Faran [8] para el cilindro infinito han sido adaptadas para el caso de cilindros finitos asumiendo que los efectos de borde son despreciables. Stanton [36] desarrolló un modelo, conocido como modelo de cilindro deformado basado en las soluciones modales (MB-DCM), en el que realiza cálculos aproximados del flujo volumétrico para secciones discretas a lo largo de la longitud del cilindro, asumiendo que este flujo volumétrico es equivalente al que produciría un cilindro infinito. Este modelo ha sido aplicado a tres casos concretos, cilindro fluido finito, cilindro elástico fluido y esferoides y cilindros deformados. Sin embargo, este método no es válido para todos los casos estando restringido a ángulos normales de incidencia o casinormales, y resultando insuficiente para ángulos de incidencia mayores que representan las situaciones más realistas. La presión dispersada por un cilindro elástico finito medida en campo lejano, puede escribirse en términos modales como: 𝑝𝑠𝑐𝑎𝑡 =𝑃0𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑟�−𝐿 𝜋�sin∆ ∆∑𝜖𝑛sin 𝛿𝑛𝑒−𝑖𝛿𝑛cos 𝑛𝜃 ∞ 𝑛=0 (109) donde 𝑟 es la distancia a la que se encuentra el receptor, 𝜃 el ángulo entre el receptor y el emisor, 𝛿𝑛 es el desplazamiento de fase del modo n, L es la longitud del cilindro, k la longitud de onda en el fluido, 𝜖𝑛= 1 para 𝑛= 0 y 𝜖𝑛= 2 para 𝑛> 0, y Δ=𝑘𝐿(𝑟𝑖−𝑟𝑟)𝑟𝑐 2 (110) 78 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas XI. 6. a. Aplicación del método T-matrix al esferoide elongado Este método ha sido usado satisfactoriamente para describir la dispersión de distintas geometrías demostrando su validez mediante con medidas experimentales o teóricas. En concreto, en [40] [41], se emplea la T matrix para estudiar la dispersión del esferoide elongado rígido y elástico, comparando los resultado con las predicciones hechas a partir de las consideraciones de la respuesta resonante. (1) Esferoide rígido Aunque la formulación de la solución para un esferoide rígido ha sido realizada mediante diversas técnicas, como la técnica de separación de variables, se han obtenido pocos resultados numéricos debido a las dificultades que conlleva el cálculo de funciones esferoidales.. Fig.54 Esquema del esferoide elongado En [40] se calcula la respuesta para un esferoide rígido a partir de la formulación T-matrix. Los resultados describen la respuesta de dispersión de un esferoide elongado rígido, fig. 54, con 𝑎/𝑏= 2 donde 𝑏 es la longitud del semieje menor y 𝑎 es la longitud del semieje mayor. En concreto se obtiene la función de forma para angulos de 0°, 45° 90° en un rango frecuencial 0 < 𝑘𝑎<10, representada en la fig. 55 Se puede observar que la función de forma de un esferoide rígido está constituida por una serie de ondulaciones suaves. Los mecanismos físicos que influyen en la formación de esta respuesta son las interferencias que se producen entre las reflexiones especulares y las ondas de Franz o creeping que circunvalan el esferoide. Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 79 Fig. 55 Función de forma del esferoide elongado para distintos ángulos de incidencia y configuraciones de emisor-receptor (2) Esferoide elástico La formulación T-matrix permite obtener la respuesta de dispersión de un esferoide elástico. En concreto, en [41] se desarrolla una solución para la dispersión de un esferoide elongado elástico sumergido en agua, comparando los resultados con las predicciones hechas a partir de las consideraciones resonantes. La geometría del problema es análoga a la mostrada en la Fig.54 El campo dispersado se puede definir a partir de la función de forma como: 𝑈𝑠=(𝑏/2)𝑒−(𝑖𝜔𝑡−𝑘𝑟)𝑓 (144) donde 𝑓 es la función de forma dada por 𝑓= 2 �𝑟 𝑎�𝑒𝑖𝑘𝑟∑∑(−𝑖)𝑛+1ℎ𝑛(𝑘𝑟)𝑃𝑛(cos 𝜃)𝜖𝑛𝑚𝑓𝑛𝑚 (145) Empleando las expresiones asintóticas para las funciones de Hankel, se obtiene la función e forma en campo lejano: 𝑓∞=�2 𝑘𝑎�∑∑𝑃𝑛(cos 𝜃)𝑓𝑛𝑚 (146) que describe las características reflectivas de un esferoide. Para el caso monoestático de retrodispersión, 𝑃𝑛(cos 𝜃)=(−1)𝑛 y 80 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 𝑓∞=−�2 𝑘𝑎�∑ ∑ (−1)𝑛 𝑛′𝑛 𝜖𝑛𝑚𝑓𝑛𝑚′ (147) donde 𝑓𝑛𝑚′ se obtiene a partir de la matriz T. Esta formulación en base a la matriz T puede ser relacionada con la teoría resonante. Como se ha visto en las distintas secciones de XI.4 y XI.5, la función de forma está constituida por la superposición de los distintos modos o funciones parciales 𝑓𝑛 𝑓∞=∑𝑓𝑛𝑛 (148) Con la formulación Tmatrix, cada función de forma parcial se obiene como 𝑓𝑛=∑𝑇𝑛𝑛′ 𝑛′ (149) Para el caso del esferoide rígido, se tiene que 𝑓𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑 =𝑇𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑, por lo que según la teoría resonante, como la función de forma del esferoide está compuesta, al igual que en el caso de cilindros y esferas, por la superposición de las resonancias sobre la respuesta rígida, el espectro resonante se puede obtener a partir de: 𝑓𝑛−𝑓𝑛𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑 =∑𝑇𝑛𝑛′−𝑇𝑛𝑛′ 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑 𝑛′ (150) XI. 7. MODELOS DE DISPERSIÓN PARA BLANCOS MARINOS (1) Modelos acústicos de los peces Cuando se trata de peces, el TS depende de diversos parámetros como el tamaño, la forma y la orientación, o de algunos componentes internos como el tener o non vejiga natatoria. Todo esto hace que resulte complicado obtener un modelo que proporcione una estimación teórica fiable de la dispersión de los peces. En general, los modelos acústicos de los peces se basan en formas alargadas que intentan imitar a grandes rasgos su anatomía. Las distintas geometrías usadas han evolucionado desde las esferas y cilindros hacia los esferoides elongados, que se asemejan más a la forma del pescado. En los últimos años, con el avance de las computadoras, se han llegado a desarrollar modelos digitalizados a partir de la forma real de los peces, en 2D y 3D, que incluyen su estructura interna y que pueden ser estudiados mediante métodos numéricos. En general, a la hora de modelar acústicamente los peces, se distingue entre los que tienen vejiga natatoria y los que no: a. Para los peces sin vejiga natatoria, el eco resultante es una contribución de los ecos de de los tejidos, lo huesos y el cráneo, por lo que se pueden emplear distintos modelos para representar la estructura interna. Así, partes como la carne del pescado, con densidad parecida a la del agua, puede ser modelada mediante usando la aproximación de onda distorsionada de Born (ver XI.8.a), mientras que partes como los huesos, con densidad mucho mayor que la del agua y formas cilíndricas, quedan correctamente modelado usando el análisis modal del cilindro deformado propuesto por Stanton [36] [39] . Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 81 b. En el caso de peces con vejiga natatoria, el modelado de dicha vejiga tiene una especial importancia, ya que esta característica anatómica, presente en muchas especies, tiene una influencia notoria en la dispersión a frecuencias bajas debido a su densidad y a las características resonantes. La existencia de esta resonancia a baja frecuencia sirve como diferenciador frente a los peces sin vejiga y el zooplancton. Además otra de las características fundamentales de la vejiga es que al estar llena de gas tiene una impedancia acústica inferior a la del agua, es decir actúa como un dispersor suave produciendo una inversión de fase en la energía dispersada que puede ser útil a la hora de la identificación. En el modelado de la vejiga natatoria, a menudo se emplean modelos híbridos, usándose el modelo del cilindro deformado de Stanton a bajas frecuencias y la aproximación de Kirchoff para la forma externa a frecuencias altas. (2) Modelo acústico del zooplancton Debido a la variedad de especies de zooplancton, existen diversos modelos acústicos para describirlos que permiten obtener los parámetros de dispersión, y por lo general se escogen en función de los mecanismos de dispersión y las características físicas del espécimen. El más simple, aunque bastante limitado a ciertas clases de zooplancton esféricos, es el de la esfera rellena de fluido de bajo contraste. Para los organismos con una densidad similar a la del medio que permite la penetración del sonido causando patrones de interferencia entre las fronteras de entrada y salida, se puede emplear un modelo simple de dispersión por rayos en dos direcciones, basado en una geometría de cilindro recto. Otro modelo más preciso para este caso dispersión débil, es la aproximación de onda distorsionada de Born (ver XI.8.a), llamada así por las perturbaciones de fase que sufre la onda debido a las variaciones de la velocidad del sonido en el dispersor. Este modelo es muy apropiado para el caso de cuerpos homogéneos con dimensiones y formas arbitrarias y no está restringido a ciertos ángulos de inclinación por lo que ha sido implementado para predecir in situ la dispersión de agregaciones de zooplancton con distribuciones aleatorias de forma y tamaño. Además, en los últimos años, se han realizado algunas mejoras como la inclusión de la variabilidad de la fase debida a causas estocásticas y de comportamiento, o los cambios de la composición a lo largo de los cuerpos de organismos más grandes como el krill. Aún así hay muchos investigadores que prefieren realizar aproximaciones empíricas para describir la dispersión del zooplancton, ya que consideran que los modelos teóricos de morfologías tan complicadas pueden fallar por el desconocimiento de alguno de los parámetros que afectan a la dispersión. 82 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas XI. 8. DISPERSIÓN EN TEJIDOS XI. 8. a. Dispersión tejidos inhomogeneos Las inhomogeneidades de los tejidos se pueden modelar como regiones cuyas propiedades acústicas, como densidad 𝜌𝑟 y compresibilidad 𝜅𝑟 difieren de los valores del resto del tejido 𝜅, 𝜌. En este caso, la ecuación de ondas para la presión acústica, omitiendo la atenuación del medio, puede escribirse como [42]: ∇2𝑝− 1 𝑐2𝜕2𝑝 𝜕𝑡2=1 𝑐2𝛾𝜅(𝑟,𝑡)𝜕2𝑝 𝜕𝑡2+∇�𝛾𝜌(𝑟,𝑡)∇(𝑝)� (151) con 𝑐2= 1/𝜌𝜅, y: 𝛾𝜅=𝜅𝑟−𝜅 𝜅𝑟,𝛾𝜌=𝜌𝑟−𝜌 𝜌𝑟 (152) La parte izquierda de la ec.151 describe la propagación a través del tejido homogéneo del entorno, y proporciona la propagación geométrica a través de grandes regiones de tejido homogéneo. El término de la derecha representa las perturbaciones de las propiedades acústicas respecto los valores promedios del medio. Empleando el teorema de Green, podemos convertir la ecuación anterior en una ecuación integral. Suponiendo el caso en el que tenemos una onda incidente plana de frecuencia 𝜔/2𝜋, y que el dispersor está situado en 𝑟0 incluido en un volumen 𝑉, tendremos, omitiendo la dependencia temporal por ser una fuente armónica: 𝑝(𝑟)=𝑝𝑖(𝑟)+∭�𝑘2𝛾𝑘𝑝(𝑟0)𝐺(𝑟|𝑟0)+𝛾𝜌∇0𝑝(𝑟0)·∇0𝐺(𝑟|𝑟0)� 𝑉𝑑𝑣 (153) siendo 𝑘= 2𝜋/𝜆 el número de onda, y 𝐺(𝑟|𝑟0) la función de Green: 𝐺(𝑟|𝑟0)=1 4𝜋|𝑟−𝑟0|𝑒𝑖𝑘|𝑟−𝑟0| (154) La integral volumétrica representa la presión dispersada producida por la interacción de la onda incidente y las irregularidades de 𝜅, 𝜌 de la región de volumen 𝑉. El primer término de la integral representa la dispersión debida a las fluctuaciones de compresibilidad que dan lugar a una distribución de fuente monopolo. El segundo término representa la componente dispersada por las fluctuaciones de densidad que tiene una distribución de fuente dipolo. Es importante señalar que ambas fuentes dependen del campo de presión actual en el interior del volumen, pero no de la presión incidente. Por lo tanto, conociendo el campo de presiones en el volumen, es decir resolviendo la ecuación integral, podemos determinar la presión dispersada a larga distancias. Esta ecuación puede resolverse mediante métodos variacionales o mediante aproximaciones sucesivas: 𝑝=𝑝𝑖(𝑟)+𝑝1(𝑟)+𝑝2(𝑟)+𝑝3(𝑟)+⋯ (155) 𝑝𝑛+1(𝑟)=∭�𝑘2𝛾𝑘𝑝𝑛(𝑟0)𝐺(𝑟|𝑟0)+𝛾𝜌∇0𝑝𝑛(𝑟0)·∇0𝐺(𝑟|𝑟0)� 𝑉𝑑𝑣 (156) Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 83 (1) Aproximación de Born En el caso de que las inhomogeneidades que causan la dispersión tengan valores de densidad y compresibilidad muy cercanas a los del resto del medio, produciendo una dispersión débil, y si ignoramos múltiple dispersión, es suficiente aproximar la ecuación integral únicamente con el primer término de la serie, lo que se conoce como aproximación de Born [38]: 𝑝=𝑝𝑖(𝑟)+𝑝𝑠(𝑟) (157) 𝑝𝑠(𝑟)≈∭�𝑘2𝛾𝑘𝑝𝑖(𝑟0)𝐺(𝑟|𝑟0)+𝛾𝜌∇0𝑝𝑖(𝑟0)·∇0𝐺(𝑟|𝑟0)� 𝑉𝑑𝑣 (158) Además, si calculamos la presión en campo lejano, es decir a una distancia grande de la región de dispersión (Región de fraunhoffer), podemos expresar la presión dispersada como: 𝑝𝑠(𝑟)=�𝑒−𝑖𝑘𝑟 𝑟�Φ(𝐾) (159) Φ(𝐾)≈𝑘2 4𝜋∭�𝛾𝑘𝑝𝑖(𝑟0)−𝑖𝛾𝜌𝑜 �  𝑘∇0𝑝𝑖(𝑟0)�𝑑𝑣 𝑉 (160) donde 𝐾=𝑘(𝚤−𝑜), siendo 𝚤 la dirección de incidencia y 𝑜 la de observación, formando un ángulo 𝜃 , cuya magnitud es |𝐾|= 2𝑘sin 𝜃/2 Φ(𝐾) es la función de distribución angular, que describe la dependencia frecuencial de la presión dispersada. En el caso de una onda plana de amplitud 1, esta función puede escribirse como: Φ(𝐾)≈𝑘2 4𝜋∭𝛾(𝑟0)𝑒(𝑖𝐾𝑟0)𝑑𝑣 𝑉 (161) donde 𝛾(𝑟0)=𝛾𝜅(𝑟0)+𝛾𝜌(𝑟0)cos 𝜃 (162) De la misma forma podemos obtener la presión dispersada en la dirección de retorno 𝑜=−𝚤, con 𝐾= 2𝑘𝚤, siendo ahora la función de distribución angular Φ(2𝑘)=𝑘2 4𝜋∭𝛾(𝑟0)𝑒−2𝑖𝑘𝑟0𝑑𝑣0 𝑉0,con 𝛾(𝑟)=𝛾𝜅(𝑟)−𝛾𝜌(𝑟) (163) La intensidad retrodispersada es por lo tanto: 𝐼𝑏𝑠 =𝐴𝑘4|Φ(2𝑘)|2 (164) donde A es una constante de proporcionalidad. Además, en este caso de dispersión de débil, la función 𝛾(𝑟) se aproxima por 𝛾(𝑟)=−2𝑧(𝑟)−𝑧0 𝑧(𝑟)=−2Δ𝑧 𝑧 (165) donde 𝑧=𝜌𝑐=�𝜌 𝜅 ⁄ es la impedancia acústica característica en el punto 𝑟, y 𝑧0 es la impedancia del medio (sin dispersores). Por lo tanto, la función 𝛾(𝑟) es proporcional al cambio relativo en la impedancia acústica característica. Combinando las ecuaciones anteriores tenemos: 𝐼𝑏𝑠 =𝐴′𝑘4𝑆(2𝑘) (166) con 84 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 𝑆(2𝑘)=�∭Δ𝑧 𝑧𝑒−2𝑖𝑘𝑟0𝑑𝑣0 𝑉0∭Δ𝑧 𝑧𝑑𝑣0 𝑉0�=𝑆′(2𝑘) 𝑆′(0) (167) 𝐴′ es una nueva constante de proporcionalidad, y 𝑆(2𝑘)esta normalizada de forma que 𝑆(0)= 1. La intensidad retrodispersada dividida por 𝑘4es proporcional a la magnitud cuadrada de la transformada de Fourier de la función relativa de impedancia. 𝑆′(2𝑘) y 𝑆(2𝑘) son las denominadas espectro de potencia, y espectro de potencia normalizado del medio. 𝑆′(2𝑘) se puede obtener experimentalmente como el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier del mapa de impedancias 3D obtenido tras el escaneado. XI. 8. b. Dispersión débil en tejidos aleatorios Existen algunos medios biológicos donde un conjunto de inhomogeneidades distribuidas de forma aleatoria actúan como principales dispersores del sonido .El campo dispersado en ese caso, será la suma de los campos de presión dispersado por cada uno de ellos [43] 𝑝𝑠(𝑟)=�𝑒−𝑖𝑘𝑟 𝑟�∑Φj(𝐾) N j=1 𝑒�𝑖𝐾𝑟𝑗�=〈𝑝𝑠(𝑟)〉+𝑝𝑠′(𝑟) (168) donde 𝑟𝑗es la posición de cada uno de los dispersores y N es el número total de dispersores. Este campo dispersado es una función aleatoria de la posición y puede escribirse como la suma de una presión dispersada promedio, 〈𝑝𝑠(𝑟)〉 llamado campo coherente, y una presión dispersada fluctuante 𝑝𝑠′(𝑟), llamado campo incoherente. La sección transversal de dispersión diferencial 𝜎𝑑 se puede obtener a partir de la ec. 186 como 𝜎𝑑=𝑘4𝑉𝑠 16𝜋2𝑛�𝛾0 2∫𝑏𝛾(∆𝑟)𝑒−𝑖𝐾∆𝑟𝑑3∆𝑟 ∞ −∞ = 4𝜋4𝑘4𝑛�Γ2(𝐾) (169) donde 𝑉𝑠es el volumen promedio de partícula, 𝑛� es el número promedio de partículas por unidad de volumen, 𝛾0 2 es el cuadrado de la variación media en impedancia acústica por partícula, 𝑏𝛾es un coeficiente de correlación y Γ2(𝐾) es la función densidad espectral de potencia para las fluctuaciones del medio 𝛾 que en esta situación es una función aleatoria que describe la distribución de los dispersores en el medio Γ2(𝐾)=𝑉𝑠 (2𝜋)6𝛾0 2∫𝑏𝛾(∆𝑟)𝑒𝑖𝐾∆𝑟𝑑3∆𝑟 ∞ −∞ (170) Esta función nos da la dependencia de la frecuencia espacial de 𝜎𝑑, al igual que describe las propiedades estructurales del medio como el tamaño promedio de la partícula, la forma, densidad y fuerza de dispersión por partícula. Es importante señalar también que, como se supone que el medio es aleatorio e isotrópico, 𝜎𝑑 es debido únicamente a la dispersión incoherente por lo que se puede considerar que cada inhomogeneidades dispersa el sonido independientemente de los otros. En el caso de que las inhomogeneidades sean esféricas, lo que concuerda bien por ejemplo con la forma de las concentraciones de grasa que se producen en los tejidos biológicos, la sección Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 85 transversal de dispersión diferencial en la dirección de vuelta 𝜎𝑏, también llamada coeficiente de retrodispersión, para dispersores esféricos es: 𝜎𝑏=𝑘3𝑉𝑠 8𝜋 𝑛�𝛾0 2∫𝑏𝛾(∆𝑟)sin(2𝑘Δ𝑟)𝑑∆𝑟 ∞ 0 (171) Variando el coeficiente de correlación 𝑏𝛾(∆𝑟) se pueden obtener distintos modelos que representan distintos tipos de inhomogeneidades. XI. 8. c. Dispersión en tejidos heterogéneos Existe poca información acerca de la dispersión real de los tejidos, debido principalmente a la dificultad que conlleva realizar las mediciones. La dispersión, en el rango de frecuencias comúnmente empleado para las imágenes médicas, depende de la frecuencia por lo que es importante tener en cuenta la influencia de ciertos efectos del sistema tales como las características espectrales o la directividad del transductor, que necesitan ser corregidos para obtener mediciones realistas que permitan inferir correctamente las propiedades de los tejidos. En general, [22] se puede decir que la dispersión del tejido real incluye principalmente tres aportaciones: frentes principales, ondas de menor nivel debidas a las estructuras de difracción, y moteado (ondas difusivas muchos menores que las longitud de onda debidas a las estructuras de los tejidos). XI. 9. COMSOL Comsol Multiphysics es una herramienta software de uso comercial que provee de una serie de modos de aplicación que contienen plantillas predefinidas e interfaces de usuario configuradas con las ecuaciones y variables especificas de las distintas áreas físicas, ente las que se encuentran la acústica, ingeniería química, radio frecuencia, mecánica estructural, etc. Para el propósito que nos ocupa en este trabajo, en el que se desea estudiar la dispersión de cuerpos elásticos y fluidos inmersos en agua bajo la acción de un campo acústico, se necesita el módulo de acústica, que incluye también modos de aplicación para análisis estructural. XI. 9. a. Módulo de acústica El módulo de acústica es modo de aplicación de COMSOL que estudia la propagación de ondas acústicas a través de fluidos y sólidos, a partir de distintos tipos de análisis. En el caso que nos ocupa, se empleará el análisis en el dominio frecuencial para estudiar la dispersión en función de la frecuencia y el análisis de frecuencias propias para determinar las resonancias o modos propios de los distintos dispersores simulados. Los distintos submódulos que conforman el módulo de acústica permiten realizar de forma sencilla la simulación de problemas estándares en acústica, como problemas de radiación de 86 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas fuentes, problemas de dispersión, distribución de sonido en el interior de un volumen finito, problemas aeroacusticos o acoplamiento entre fluidos y estructuras elásticas. (1) Consideraciones previas En general, en todos los estudios es importante tener en cuenta una serie de consideraciones previas necesarias para obtener soluciones aproximadas correctas:  Tamaño del mallado: Para reducir el error de la discretización es necesario que haya suficiente resolución. Esta resolución depende del tipo de elemento escogido, mostrados en la figura 56, y de la mayor frecuencia de trabajo, que proporciona la menor longitud de onda. Para elementos cuadráticos triangulares, el número de elementos de por longitud de onda debe ser entre 6 y 8. Fig.56 Tipos de elementos empleados en el mallado en Comsol  Campo cercano y lejano: En algunas situaciones, como es el caso del estudio de la dispersión, se requiere conocer el valor del campo de presiones en puntos suficientemente alejados de la fuente. Sin embargo, si el dominio es demasiado grande el coste computacional se hace inviable. Con el fin de evitar esto, comsol introduce la formulación de campo lejano que permite conocer el valor del campo de presiones en un punto lejano. La obtención de estos valores se puede hacer mediante dos procedimientos distintos: - Evaluando la integral de Helmholtz-Kirchoff: Este método proporciona el valor de la presión a una distancia finita de la fuente, pero tiene el inconveniente de que la integral numérica tienen a ser mas inexacta a largas distancias. -Mediante la aproximación integral a distancias que tienden a infinito: Este método evalúa la amplitud de la presión en campo lejano en una dirección determinada, sin tener en cuenta la distancia de medida.  Condiciones de contorno artificiales: Otra de las consecuencias que se derivan de la simulación de dominios grandes o espacios abiertos es la necesidad de imponer condiciones de Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 87 contorno artificiales que permitan acotar el dominio pero sin introducir reflexiones, es decir condiciones de contorno que emulen un espacio abierto. Estas condiciones pueden ser: - Condición de radiación: Esta condición permite que una onda que incide sobre este contorno se propague fuera del dominio sin apenas reflexiones. -PML: Estrictamente hablando la pml no es una condición de contorno artificial sino un dominio artificial que se añade en los contornos del dominio a estudio y que absorbe las radiaciones incidente sin producir reflexiones. La formulación pml introduce una transformación de coordenadas de valores complejos para que el dominio artificial absorba las ondas acústica incidente en la dirección 𝜉, con la condición de que no se altere el valor de la impedancia acústica. Esta transformación está dada por 𝜉′=𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜉−𝜉0)|𝜉−𝜉0|𝑛𝐿 𝛿𝜉𝑛(1−𝑖) (172) donde 𝜉0 son las coordenadas de los limites interiores de la pml, 𝛿𝜉𝑛 es el ancho real de la pml y 𝑛 es el exponente de escalado. Para que la pml sea adecuada a cualquier frecuencia se introduce un factor de escalado de forma 𝐿 de forma que el ancho de la pml siempre se corresponde con una (o más) longitud de onda independientemente del ancho real dibujado. La pml se pueden representar tanto en coordenadas cartesianas (cubo), cilíndricas o esféricas, o adaptarse a cualquier transformación de coordenadas definidas por el usuario, definiendo dominios que absorban en las coordenadas correspondientes. Los dominios pml típicos se muestran en la fig.57. Como se puede apreciar, para definir correctamente la pml es necesaria segmentarla en distintos subdominios de forma que cada uno absorba la onda en la dirección apropiada. Fig. 57 Dominios habituales para la implementación de pmls En los casos en los que se emplean pmls, se pueden poner condiciones de radiación en los contornos externos de la pml reduciendo aún más las reflexiones que pudieran ocurrir.  Formulación de campo disperso: Finalmente otra de las consideraciones a tener en cuenta es que para los problemas en los que la variable de interés es la presión dispersada conviene trabajar con la formulación de campo dispersado, siendo obligatorio en el caso de usar pml en los contornos externos del dominio. La idea principal de esta formulación consiste en escribir el campo de presiones como la suma de la presión incidente más la presión dispersada. Insertando esta suma en 94 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas Fig. 61 Desplazamientos de la superficie del cilindro en las frecuencias de resonancia de la tabla VII (2) Incidencia axial Espectro resonante [kHz] Resonancia en simulación [kHz] Modo [kHz] 60 61 60.681 80 80 80.019 98 99 98.246 115 114 114.569 128 128 128.079 138 138 138.465 143 143 140.864 Tabla VIII Frecuencias de resonancia del cilindro de acero en incidencia end-on obtenidas a partir del espectro de la fig 34. Se incluyen los modos de vibración asociados, obtenidos mediante el análisis de modos propios de comsol Fig. 62 Desplazamientos de la superficie del cilindro en las 3 primeras frecuencias de resonancia de la tabla VIII. Se observa que en incidencia end-on sólo se excitan modos radiales, con desplazamientos pulsantes alrededor del eje del cilindro Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 95 (3) 30º Espectro resonante [kHz] Resonancia en simulación [kHz] Modo [kHz] 61 60 61.791 73 74 74.125 85 84 85.498 93 94 - 95 95 94.552 102 103 104.987 115 116 115.610 127 127 127.523 136 136 135.945 139 138 137.459 145 146 146.134 Tabla IX Frecuencias de resonancia del cilindro de acero en incidencia 30º obtenidas a partir del espectro de la fig 35.A. Se incluyen los modos de vibración asociados, obtenidos mediante el análisis de modos propios de comsol Fig. 63 Desplazamientos de la superficie del cilindro en las 3 primeras frecuencias de resonancia de la tabla IX (4) 45º Espectro resonante [kHz] Resonancia en simulación [kHz] Modo [kHz] 61 60/62 61.791 73 74 74.125 81 80 - 87 86 85.498 94 93 93.724 104 103 104.987 115 116 115.610 127 127 126.567 136 137 137.459 142 140 141.150 96 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas - 146 146.134 Tabla X Frecuencias de resonancia del cilindro de acero en incidencia 45º obtenidas a partir del espectro de la fig 35.B. Se incluyen los modos de vibración asociados, obtenidos mediante el análisis de modos propios de comsol Fig. 64 Desplazamientos de la superficie del cilindro en las 3 primeras frecuencias de resonancia de la tabla X (5) 60º Espectro resonante [kHz] Resonancia en simulación [kHz] Modo [kHz] 60 60 60.681 73 73 74.125 80 80 80.019 85 86 85.498 94 94 94.552 101 102 104.987 105 105 104.986 114 116 115.611 128 127 127.523 136 136 135.945 142 146 146.134 Tabla XI Frecuencias de resonancia del cilindro de acero en incidencia 60º obtenidas a partir del espectro de la fig 35.C. Se incluyen los modos de vibración asociados, obtenidos mediante el análisis de modos propios de comsol Fig. 65 Desplazamientos de la superficie del cilindro en las 3 primeras frecuencias de resonancia de la tabla XI Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 97 XI. 11. e. Esferoide elongado Incidencia 𝜽=𝟎° Incidencia 𝜽=𝟒𝟓° Incidencia 𝜽=𝟗𝟎° 𝒇𝒓 [kHz] Modo [kHz] 𝑓𝑟 [kHz] Modo [kHz] 𝑓𝑟 [kHz] Modo [kHz] 67 67.381 50 49.056 78 78.797 61 62.014 82 81.685 87 88.009 99 - TablaXII Frecuencias de resonancia del esferoide de aluminio en incidencia 0º,45,90 obtenidas a partir del de la simulación. Se incluyen los modos de vibración asociados, obtenidos mediante el análisis de modos propios de comsol. Fig. 66 Desplazamientos de la superficie del cilindro en las 3 primeras frecuencias de resonancia de la tabla XII para incidencia 0º (superior) y 45º(inferior) XI. 12. OBTENCIÓN DE LA FASE El procesamiento de las señales de ecos medidos y calculados mediante métodos modales se efectúa en Matlab, por lo que los resultados obtenidos en Comsol han sido exportados también a Matlab a través de la variable FEMdata que contienen el eje de frecuencias, así como las partes real y compleja de la presión calculada en campo lejano, o ‘pFEM’. El ‘target strength’ TS es calculado a partir de esta presión, como se muestra en el extracto de Matlab presentado a continuación. FrequencyAxisFEM = FEMData(:,1); pFEM = FEMData(:,2) + 1i*FEMData(:,3); TSFEM = 20*log10(abs(pFEM)); Para eliminar la información de fase correspondiente a la distancia, el cálculo de la fase se obtiene como la diferencia entre dos componentes de frecuencia, separados por un factor fijo denominado μ. El algoritmo identifica dos componentes de presión pf1 y pf2, correspondientes a dos frecuencias 98 Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas f1 y f2 de tal manera que f2 = μ f 1. En términos prácticos, dado que el rango de frecuencias disponibles no siempre está completo u ordenado, se adopta un método de búsqueda generalizable., a partir de un bucle for que recorre los datos totales disponibles, construyendo los componentes inferior y superior, así como el eje restringido de frecuencias in = 0; for(index=1:length(FrequencyAxisFEM)) temporal = index; for(n=temporal:length(FrequencyAxisFEM)) if(mu*FrequencyAxisFEM(index)==FrequencyAxisFEM(n)) in = in + 1; pf1FEM(in) = pFEM(index); pf2FEM(in) = pFEM(n); PhaseFrequencyFEM(in) = FrequencyAxisFEM(index); end end A continuación la componente de baja frecuencia es elevada a la misma frecuencia que la de alta frecuencia y se calcula el conjugado de pf2 que se multiplica por pf1. Finalmente, el ángulo resultante se calcula, eliminando μ y la fase acumulada por la rotación fasorial, esto es, ejecutando un proceso de ‘unwrapping.’ La sección relevante de Matlab se presenta a continuación. Pscale = pf1FEM.^mu; P2conj = conj(pf2FEM); Pmult = Pscale.*P2conj; TargetPhaseDualFreq = (angle(Pmult)/(mu-1)); Análisis numérico mediante elementos finitos de la dispersión acústica producida por cuerpos elásticos de dimensiones finitas 99 TargetPhaseFEM = (180/pi)*unwrap(TargetPhaseDualFreq); La descripción anterior esta proporcionada principalmente desde un punto de vista de implementación. Un desarrollo matemático más detallado puede encontrarse en las referencias [14] y [19]. En general, el método de diferencias de fase entre componentes espectrales permite la visualización de la fase en función de la frecuencia, sin que la distancia entre receptor y objetivo sea un factor. Recientemente, esto ha sido utilizado para extender la calibración de sistemas de sonar por medio del método de objetivos estándar [19] XII. BIBLIOGRAFIA ANEXOS 31 Fallon. P, “Theory and Computation of Spheroidal Harmonics with General Arguments”, Thesis. University of Western, Australia 32 Foote, K.G., Knudsen, H.P., Vestnes, G., et al.“Calibration of acoustic instruments for fish density estimation: A practical guide”. Coop. Res. Rep. Const. Int. Explor. Mer.- 1997. 144: 69. 33 Dietzen G. “Acoustic Scattering from sand dollars: Modeling as high aspect ratio oblate objects and comparison to experiment.” Thesis. Universidad de Massachusetts 34 Flax L. “Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder”. J. Acoust. Soc. Am.-1980.68: 6 35 Conoir J. et all “Relation between surface helical waves and elastic resonances” J. Acoust. Soc. Am.- 1993.93: 3 36 Stanton T.K. “Sound scattering by cylinders of finite length. II. Elastic cylinders” J. Acoust.Soc. Am.- 1988.83:1 37 Silgiber A. “Scattering of Sound by an Elastic Prolate Spheroid” J. Acoust.Soc. Am.-1963.35:4 38 P. M. Morse, “Vibration and Sound” McGraw-Hill Book Co., 1948 39 Stanton T.K. “Sound scattering by cylinders of finite length. I. Fluid cylinders” J. Acoust.Soc. Am.- 1988.83:1 40 V. Varadan et all “Computation of rigid body scattering by prolate spheroids using the T-matrix approach” . J. Acoust.Soc. Am.-1982.71:1 41 V. Varadan et all. “ Analysis and computation of the acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation” J. Acoust.Soc. Am.-1982.71:5 42 Waag. C “A review of tissue characterization from ultrasonic scattering” IIEE transactions on biomedical engineering.-1984. 31:12 43 Insana M. et all “Describing small-scale structure in random media using pulse-echo ultrasound” J. Acoust.Soc. Am.-1990.87:1