E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado

Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno CONTENIDO: 1. In oducción ............................................................................................................................. 2 2. Compo amien o has a o u a de una pieza de HORMIGÓN a mado some ida a es ue zos co an es. .................................................................................................................................. 2 2.1 Es ado I. Elás ico ................................................................................................................. 3 2.2 Es ado II. De isu ación ....................................................................................................... 6 2.3 Es ado III. De p e o u a ...................................................................................................... 8 3. Analogía de la celosía de Ri e -Mö sch .................................................................................... 9 3.1 Co an e esis ido po la a madu a ans e sal .................................................................... 11 3.2 Co an e abso bido po el ho migón ................................................................................... 12 3.3 Comp esión oblicua del ho migón del alma ........................................................................ 13 3.4 Decalaje de la ley de es ue zos ........................................................................................... 14 4. Co an e según EHE. Elemen os lineales, placas y losas. ......................................................... 17 4.1 Ob ención de Vu1 ............................................................................................................... 18 4.2 Ob ención de Vu2. .............................................................................................................. 19 4.2.1 Piezas sin isu a ...................................................................................................... 19 4.2.2 Piezas sin a madu a de co e .................................................................................... 20 4.2.3 Piezas con a madu a de co an e ............................................................................... 20 4.2.3.1 Cálculo de Vcu ..................................................................................................... 20 4.2.3.2 Cálculo de Vsu ..................................................................................................... 21 4.3 In e acción co an e- lec o ................................................................................................ 21 4.4 Disposiciones ela i as de las a madu as. ........................................................................... 22 5. Sis emá ica de cálculo. ............................................................................................................ 25 Tema 11: E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 2 de 26 1. INTRODUCCIÓN En el capí ulo p eceden e ela i o al cálculo de secciones some idas a solici aciones no males, se analizan emas de ho migón a mado sob e los cuales nues os conocimien os pueden conside a se su icien emen e sa is ac o ios. La o ma de ac ua ue, p ime amen e, es udia el compo amien o cuali a i o, has a o u a, ía expe imen ación, de las piezas de ho migón a mado some idas a solici aciones no males. A pa i de es e es udio se es ableció un modelo, o malizado en un conjun o de hipó esis básicas, que nos pe mi ió esol e el p oblema del cálculo de secciones (dimensionamien o y comp obación) bajo solici aciones no males. Los esul ados de es e cálculo concue dan sa is ac o iamen e con los esul ados expe imen ales. Del ema que aho a se inicia, compo amien o de piezas de ho migón a mado en e a los es ue zos co an es, nues o conocimien o es mucho más impe ec o, debido a la ex ao dina ia complejidad del p oblema. La o ma de ac ua se á la misma: es udia emos el compo amien o has a o u a de una pieza de ho migón a mado some ida a es ue zos co an es y a pa i de es e es udio es ablece emos un modelo de cálculo. A di e encia del compo amien o de la pieza bajo solici aciones no males, el compo amien o bajo es ue zos co an es es mucho más complejo, dependiendo, en e o os condicionan es, de la geome ía de la sección, de su a iación a lo la go del eje de la ba a, la esbel ez de és a, la disposición de las a madu as, del ipo de ca gas, de la si uación de los apoyos, e c. Es a complejidad hace que no sea ácil inclui odas las a iables que in e ienen en una eo ía p ác ica y al mismo iempo sencilla. Po lo an o, es ablece emos un modelo simpli icado que nos pe mi a ob ene unos esul ados, que pos e io men e co egi emos pa a ajus a lo a los esul ados expe imen ales. 2. COMPORTAMIENTO HASTA ROTURA DE UNA PIEZA DE HORMIGÓN ARMADO SOMETIDA A ESFUERZOS CORTANTES. En una pieza lec ada, la a iación del momen o lec o a lo la go de su eje o igina la apa ición de una nue a solici ación denominada es ue zo co an e, que en una sección es la esul an e de las ensiones angenciales que en ella ac úan. Pa a ealiza el es udio del compo amien o de una pieza de ho migón a mado some ida a es ue zos co an es, amos a analiza las dis in as e apas po las que pasa una pieza, simplemen e apoyada y some ida a una ca ga uni o me p, has a alcanza la o u a ( e Fig. 2-1). La pieza es a á solici ada, po an o, a lexión y co an e. En conc e o, p e endemos de e mina la dis ibución de ensiones en la pieza de ho migón a mado. Al igual que en el caso de las solici aciones no males, conside a emos es es ados: p Momen os lec o es Co an es Fig. 2-1 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 3 de 26 2.1 Es ado I. Elás ico Pa a es ados de ca ga pequeños, donde las de o maciones de las ib as más accionadas son in e io es a la co espondien e a la de ago amien o po acción del ho migón, la pieza se encuen a sin isu a , y el compo amien o del ho migón puede conside a se elás ico y lineal. Además, debido a las pequeñas de o maciones que se p oducen, la con ibución de la a madu a longi udinal a la esis encia de la sección puede desp ecia se. Pa a una sección de la pieza, como la ep esen ada en la Fig. 2-2, some ida a unos es ue zos no males (nos encon amos en un p oblema de lexión simple, po lo que únicamen e exis e un momen o lec o M) 1 y un es ue zo co an e V, la dis ibución de ensiones no males se ía como la ep esen ada en la Fig. 2-3, donde se ha ep esen ado una ebanada del elemen o o mada po dos secciones sepa adas una dis ancia ds. Según las leyes de la esis encia de ma e iales (ecuaciones de NAVIER), las ensiones no males, a ambos lados de la ebanada, a una dis ancia de la línea neu a 2 , ienen dadas po : x M ( ) I  x M dM ' ( ) I   donde I es el momen o de ine cia de la sección según el eje Z. Pa a ob ene la dis ibución de ensiones angenciales sob e la sección damos un co e a una al u a y (el o igen de es e sis ema se encuen a sob e la línea neu a de la sección), y plan eamos el equilib io de dicha po ción de la ebanada. En la Fig. 2-4 se ep esen a la po ción de ebanada obje o de es udio, some ida a las ensiones que el es o de la pieza eje ce sob e ella, y los es ue zos esul an es de dichas ensiones. Del equilib io de la po ción de ebanada ob enemos que: ds dC RdCCdsRC  [2-1] donde R es la ue za asan e po unidad de longi ud, a una al u a y sob e la línea neu a de la sección. Las esul an es de las comp esiones a ambos lados de la po ción de ebanada se án: 1 En el caso de encon a nos en un p oblema de lexo-comp esión el azonamien o a segui se ía exac amen e el mismo, ob eniéndose los mismos esul ados. 2 Una sección some ida a un es ue zo de lexión simple end á su línea neu a si uada en el cen o de g a edad de la sección, ya que se ienen que equilib a la esul an e de las ensiones de comp esión con la de acción. y x C  R ds C dC ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-4 M M dM ds ds x  x ' Fig. 2-3 Fig. 2-2 b(y) y x h M V L.N. X Y 1 d Y Z E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 4 de 26 xx xx yy y xx x yy M C ( ) b d C b d dM IdC b d M dM I C dC ' ( ) b d C dC b d I                                 x y dM dM dC b d dC S(y) II        [2-2] donde S(y) es el momen o es á ico de la sección a una al u a y sob e la ib a neu a. Sus i uyendo [2-2] en [2-1] se ob iene: ()dM S y Rds I  y como del equilib io de la ebanada se iene que cumpli que: V ds dM  nos queda inalmen e: I )y(S VR  [2-3] La asan e máxima se p oduce donde es máximo el momen o es á ico, que sucede a la al u a de la línea neu a: máx S(0) RV I  [2-4] La ensión angencial  end á dada po : R S(y) V b(y) I b(y)       [2-5] po lo an o, la dis ibución de ensiones angenciales sob e la sección se á al que la ensión angencial es nula en las ib as ex emas y máxima donde sea máximo el cocien e S(y) b . En el caso pa icula de secciones ec angula es, donde el ancho b es cons an e, la ensión angencial máxima se p oduce, al igual que la ue za asan e, a la al u a de la línea neu a, y su alo es: máx S(0) VIb   . [2-6] Teniendo en cuen a que la esul an e de comp esiones ale: x x x x 0 0 0 M M M C b d b d b d S(0) I z I I I S(0) M C z                     los alo es máximos de la ue za asan e po unidad de longi ud y ensión angencial se pueden pone de la o ma: máx máx VV Rz z b      [2-7] En la Fig. 2-5 se ep esen a la dis ibución de ensiones angenciales pa a el caso pa icula de una sección ec angula . Po lo an o, dada una sección cualquie a some ida a es ue zos no males y un es ue zo co an e, conocemos la dis ibución de ensiones que se p oducen an o no males, x  , como angenciales,  . Es as ensiones son las que se ep esen an pa a un pun o cualquie a de la pieza en la Fig. 2-6.a). V  V zb L.N. Fig. 2-5 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 5 de 26 Es e es ado ensional o igina unas ensiones p incipales que ienen dadas po : 22 xx I22          22 xx II 22          x 2 an2    y que pa a el mismo pun o an e io , se han ep esen ado en la Fig. 2-6.b). Si ep esen amos las en ol en es de las ensiones p incipales se ob ienen unas cu as, denominadas líneas isos á icas, que son las que se indican en la Fig. 2-7. Se obse a que a ni el del eje neu o, las ensiones p incipales, al se x0 , ienen una inclinación de 45º espec o al eje de la pieza. Puede obse a se que el e ec o de las ensiones angenciales, c eadas po el co an e, es el de inclina las ensiones p incipales de acción espec o al eje de la pieza. En el Es ado I es as ensiones no supe an la esis encia a acción del ho migón, y la pieza no se isu a. El es ue zo I  I  II  II  45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º Comp esión T acción Fig. 2-7 Fig. 2-6 x  x    I  I  II  II   a) b) E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 6 de 26 co an e es esis ido únicamen e po el ho migón, pues aunque exis a a madu a ans e sal, p ác icamen e no en a á en ca ga debido a las pequeñas de o maciones que se p oducen. 2.2 Es ado II. De isu ación Al aumen a la ca ga se p oducen ensiones p incipales de acción supe io es a la esis encia del ho migón a acción. En es e ins an e comienza la isu ación del ho migón siguiendo las ayec o ias de las ensiones p incipales de comp esión. Si es amos aun su icien emen e alejados de la o u a, podemos segui admi iendo un compo amien o lineal ensión-de o mación. La dis ibución de ensiones no males se ía como la ep esen ada en la Fig. 2-7, pa a una ebanada del elemen o o mada po dos secciones sepa adas una dis ancia ds. Al igual que en la sección sin isu a , las ensiones no males, a ambos lados de la ebanada, a una dis ancia de la línea neu a, ienen dadas po : x M ( ) I  x M dM ' ( ) I   donde en es e caso I es el momen o de ine cia de la sección isu ada según el eje Z. Pa a ob ene la dis ibución de ensiones angenciales sob e la sección, ac uamos de igual o ma que en el caso de la sección sin isu a , es deci , damos un co e a un al u a y, y plan eamos el equilib io de dicha po ción de la ebanada. En la Fig. 2-8 se ep esen a la po ción de ebanada obje o de es udio, some ida a las ensiones que el es o de la pieza eje ce sob e ella, y los es ue zos esul an es de dichas ensiones. Del equilib io de la po ción de ebanada ob enemos de nue o que: ds dC RdCCdsRC  [2-8] donde, al igual que an es, R es la ue za asan e po unidad de longi ud, a una al u a y sob e la línea neu a de la sección. Las esul an es de las comp esiones a ambos lados de la po ción de ebanada se án: xx x yy x y xx x yy M C ( ) b d C b d IdM dC b d M dM I C dC ' ( ) b d C dC b d I                                 x y dM dM dC b d dC S (y) II        [2-9] donde S (y) es el momen o es á ico de la sección isu ada a una al u a y sob e la línea neu a. Pa a alo es de y0 se á: S (y) S(y) , y pa a y0 se á: S (y) S(0) , al encon a se la sección M M dM ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-7 y x C  R ds C dC ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-8 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 7 de 26 isu ada, y po lo an o x0 , has a alcanza la a madu a in e io , donde el momen o es á ico se anula. Sus i uyendo [2-9] en [2-8] se ob iene: S (y) S (y) dM R R V ds I I    [2-10] De nue o la asan e máxima se p oduce donde es máximo el momen o es á ico de la sección isu ada, que sucede a la al u a de la línea neu a: máx S (0) RV I  [2-11] Po debajo de la línea neu a, al no exis i ensiones no males y po lo an o pe manece el momen o es á ico cons an e, la ue za asan e se man iene ambién cons an e. La ensión angencial  end á dada po : S (y) RV b(y) I b(y)       [2-12] donde de nue o la ensión máxima se p oduce donde sea máximo el cocien e S(y) b(y) . En el caso pa icula de secciones ec angula es, donde el ancho b es cons an e, la ensión angencial máxima se p oduce a la al u a de la línea neu a, y su alo es: máx S (0) VIb   . [2-13] Los alo es máximos de la ue za asan e po unidad de longi ud y ensión angencial se pueden pone , al igual que en el caso de la sección sin isu a, de la o ma: máx máx VV Rz z b      [2-14] En la Fig. 2-9 se ep esen a la dis ibución de ensiones angenciales pa a el caso pa icula de una sección ec angula . En la Fig. 2-10 se han ep esen ado las líneas isos á icas, donde se obse a como po debajo de la línea neu a es as líneas se ans o man en ec as con inclinación de 45º espec o a la di ec iz de la pieza, al se las ensiones no males nulas y encon a nos en un es ado de co e pu o. V  V zb L.N. Fig. 2-9 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 8 de 26 2.3 Es ado III. De p e o u a Pa a es ados de ca ga ele ados la elación ensión de o mación deja de se lineal pa a p esen a una ue e plas i icación, como ya imos en el ema 7. La dis ibución de ensiones no males se ía como la ep esen ada en la Fig. 2-11, pa a una ebanada del elemen o o mada po dos secciones sepa adas una dis ancia ds. Con los conocimien os ac uales no podemos de e mina la dis ibución de ensiones angenciales po encima de la línea neu a, ya que pa a es e es ado, no se conoce un diag ama ensión- de o mación lo su icien emen e p eciso como pa a pode es a olúmenes de comp esiones, al como se ha ealizado en los dos casos an e io es. Lo que sí podemos de e mina son las ensiones angenciales po debajo de la línea neu a, pe o admi iendo la hipó esis de que el b azo mecánico se man iene cons an e. E ec i amen e, aislando una po ción de la ebanada an e io que incluya la línea neu a (Fig. 2-12), y plan eando el equilib io de la misma, ob enemos, como siemp e: ds dC RdCCdsRC  [2-15] Como a ni el de sección, admi iendo la conse ación del b azo mecánico, se e i ica: M C z dM dC z M dM (C dC) z           y po lo an o: M M dM ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-11 z x C  R ds C dC ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-12 I  I  II  II  45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º Comp esión T acción Fig. 2-10 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 9 de 26 dM dC z  [2-16] y sus i uyendo [2-16] en [2-15] se ob iene: dM V z RR ds z    [2-17] que se man iene cons an es po debajo de la línea neu a. Po úl imo las ensiones angenciales se án: V zb   que pa a secciones ec angula es, donde el ancho es cons an e, ambién se man ienen cons an es po debajo de la línea neu a. 3. ANALOGÍA DE LA CELOSÍA DE RITTER-MÖRSCH Como se ha is o en el apa ado an e io , la exis encia de un es ue zo co an e lle a consigo la inclinación de las ensiones p incipales, y po lo an o la inclinación de las isu as. Pa a que la pieza esis a es a solici ación 3 y limi a el ancho de es as isu as, es necesa io in oduci a madu a ans e sal. En p incipio, la o ma más lógica de in oduci es as a madu as ans e sales se ía en la di ección pe pendicula a las isu as, es deci , según la inclinación de las di ecciones p incipales de acción, que como hemos is o, en eo ía o ma ían un ángulo de 45º con la di ec iz de la pieza, al como se mues a en la Fig. 3-1. En la p ác ica es a disposición no suele se la más in e esan e, undamen almen e po las di icul ades cons uc i as que conlle a es e a mado, y po que esa inclinación sólo se ía álida pa a un de e minado signo del co an e, de al o ma que en las igas la inclinación se ía dis in a en cada uno de sus ex emos, con el consiguien e iesgo de in e i las inclinaciones en la ase de ejecución. Po lo an o, la disposición más adecuada en la p ác ica co esponde con la a madu a ans e sal a 90º, es deci , dispues a pe pendicula men e a la di ec iz de la pieza, al y como se mues a en la Fig. 3-2. 3 Como hemos is o en el apa ado an e io , una pieza sin a madu a ans e sal es capaz de abso be es ue zos co an es, aunque pequeños. A madu a ans e sal Fig. 3-1 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 16 de 26 Como consecuencia de es o, el cálculo de es a a madu a, que has a aho a ha sido unción únicamen e de las solici aciones no males ( lec o es y axiles), se hace ambién unción del es ue zo co an e. No obs an e, se puede comp oba que el es ue zo de acción en la sección A-A, Fs, es el mismo que el que iene la a madu a en la sección B-B, sepa ada de la an e io , en el sen ido en que aumen an los momen os lec o es, una dis ancia igual a: su dd V 1 co g (co g co g ) sz 2V        [3.4-5] cuando es e es ue zo se calcula únicamen e eniendo en cuen a las solici aciones no males. E ec i amen e, el momen o lec o que exis e en es a sección B-B es, omando momen os en el pun o Q ( e Fig. 3-9.a)): d s su Q d d d d V 1 co g (co g co g ) M 0 M M V z 0 2V                d s su d d d d V 1 co g (co g co g ) M M V z 2V           y po lo an o la acción que se p oduce en la a madu a en la sección B-B, conside ando únicamen e el e ec o del momen o lec o (en gene al las solici aciones no males) es: d s dd s s d su MM 1 F F V co g V (co g co g ) z z 2          que coincide con la deducida en [3.4-3]. Po lo an o, si las a madu as longi udinales las calculamos con los lec o es que exis en no en sus secciones sino en o as sepa adas de las an e io es una dis ancia igual sd, en el sen ido en que c ecen los momen os lec o es, podemos desacopla el cálculo de es a a madu a del es ue zo co an e. Es o es equi alen e a desplaza las leyes (en gene al en ol en es) de momen os lec o es una dis ancia igual a sd, en el sen ido más des a o able (Fig. 3-10). A es e desplazamien o de las leyes se le denomina decalaje de las leyes de es ue zos. d M z C' s F' A A B B C s F A A B B su d 1V co g (co g co g ) z2V         d V su d 1V co g (co g co g ) z2V         d S d M d S d V Q a) b) Fig. 3-9 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 17 de 26 El alo del desplazamien o de las leyes de momen os lec o es se puede pone , admi iendo que z 0,9 d , de la o ma: su dd d V 1 co g (co g co g ) s 0,9 d s k d 2V             donde el alo de k se ha abulado en la Tabla 3.4-2. Como puede obse a se la aslación es más impo an e cuan o meno es el co an e abso bido po la a madu a ans e sal, es deci , cuan o menos impo an e es es a a madu a en la esis encia a co an e de la pieza 5 , cuan o mayo sea el ángulo  de la a madu a ans e sal y cuan o meno sea la inclinación de las isu as. No obs an e pa a 45º la aslación siemp e es meno que el can o ú il de la pieza. su d V V  0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 30º 45º 1,56 1,25 0,94 0,64 0,33 60º 1,56 1,30 1,04 0,78 0,52 90º 1,56 1,36 1,17 0,97 0,78 45º 45º 0,90 0,68 0,45 0,23 0,00 60º 0,90 0,72 0,55 0,37 0,19 90º 0,90 0,79 0,68 0,56 0,45 Tabla 3.4-2 4. CORTANTE SEGÚN EHE. ELEMENTOS LINEALES, PLACAS Y LOSAS. El Es ado Lími e Úl imo de ago amien o po es ue zo co an e puede alcanza se, ya sea po ago a se la esis encia a comp esión oblicua del alma, o po ago a se su esis encia a acción. En consecuencia, es necesa io comp oba que se cumplen simul áneamen e: d u1 VV d u2 VV 5 el lími e su d V0 V , sucede cuando odo el co an e es abso bido po el ho migón ( d cu VV ) y el lími e su d V1 V cuando odo el co an e es abso bido po la a madu a ans e sal ( d su VV ) d M A B d s A B d s d M a) b) d M d s d M d s d M d s Fig. 3-10 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 18 de 26 donde: Vd Es ue zo co an e de cálculo. Vu1 Es ue zo co an e de ago amien o po comp esión oblicua en el alma. Vu2 Es ue zo co an e de ago amien o po acción en el alma. La comp obación del ago amien o po comp esión oblicua en el alma d u1 VV se e ec úa en el bo de del apoyo y no en su eje. Es a comp obación no es necesa ia hace la en las piezas sin a madu a de co an e. La comp obación co espondien e al ago amien o po acción en el alma d u2 VV se e ec úa pa a una sección si uada a una dis ancia de un can o ú il del apoyo di ec o. 4.1 Ob ención de Vu1 Del modelo de celosía ob u imos, en el apa ado 3.3, el co an e que p o ocaba una ensión c  en las bielas de comp esión: dc 2 co g co g V b z 1 co g        Si en es a exp esión in oducimos la máxima ensión de comp esión que es capaz de sopo a dichas bielas, 1cd, e in oducimos un é mino co ec o , K, pa a ene en cuen a la exis encia del es ue zo axil que no se ha sido conside ado en el modelo, ob enemos el co an e que p o oca el ago amien o po comp esión oblicua del alma: u1 1cd 0 2 co g co g V K b d 1 co g         donde:  K: Coe icien e de educción po e ec o del es ue zo axil: 6 K 1,00 Pa a es uc u as sin p e ensado o sin es ue zo axil de comp esión cd cd ' K1   pa a cd cd 0 ' 0,25    K 1,25 pa a cd cd cd 0,25 ' 0,50    cd cd ' K 2,5 1      pa a cd cd cd 0,50 ' 1,00    cd ' ensión e ec i a en la sección (posi i a si es de acción): d s' yd cd c N A 'A   Nd Es ue zo axil de cálculo (posi i o si es de acción). Ac Á ea o al de la sección de ho migón. As’: Á ea o al de a madu a comp imida 6 Es e coe icien e ha sido de e minado expe imen almen e. Pa a que sea in e io a la unidad, cd cd ' K 2,5 1 1        , el axil iene que se (desp eciando la in luencia de la a madu a comp imida): d c cd N3 A 5   d u1 Comp obación de V u2 Comp obación de V d E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 19 de 26 Pa a los pila es de edi icación con dimensiones y solici aciones habi uales puede adop a se un coe icien e de K1 .  1cd: Resis encia a comp esión del ho migón, de alo : 1cd = 0,60· cd 7 pa a ck ≤ 60 Mpa 1cd = (0,90- ck/200) cd ≥ 0,50· cd pa a ck > 60 MPa  b0: Anchu a ne a mínima (descon ando los huecos, si los hay) del elemen o, en una al u a igual a los es cua os del can o ú il con ados a pa i de la a madu a de acción. Fig. 4-1  d: Can o ú il de la sección  : Ángulo de inclinación de las a madu as ans e sales con el eje de la pieza. Cuando exis en a ios g upos de a madu as ans e sales con dis in a inclinación:  ii i A.co g co g A   donde Ai es la sección po unidad de longi ud de las a madu as que o man un ángulo  i con el eje de la pieza.  : Ángulo en e las bielas de comp esión de ho migón y el eje de la pieza. Se adop a un alo que cumpla: 0,5 co g 2,0   8 En ho migón a mado es usual oma 45º  Pa a el caso habi ual de que se adop en los alo es 90º  y 45º  , la exp esión del co an e de ago amien o po comp esión oblicua en el alma queda:     u1 cd 0 V 0,30 b d 4.2 Ob ención de Vu2. Pa a de e mina el es ue zo co an e de ago amien o po acción en el alma, pueden p esen a se dos si uaciones: 4.2.1 Piezas sin isu a La esis encia al ago amien o po acción en el alma iene dada po :   2 0 u2 c ,d l cd c ,d Ib V ' S      que pa a ho migón a mado se educe a: 0 u2 c ,d Ib V S   7 La disminución de la esis encia a comp esión del ho migón de las bielas po el coe icien e 0,6, es debida a la exis encia de acciones en di ección pe pendicula a las comp esiones, que son ansmi idas po las a madu as ans e sales, y que p o ocan un es ado biaxial de ensiones. 8 Es a condición es equi alen e a 27º 63º 45º 18º      E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 20 de 26 4.2.2 Piezas sin a madu a de co e Pa a placas y losas, sin a madu as ans e sales, el es ue zo de ago amien o po acción en el alma ale: 3 2 1 2 c c 13 u2 c cd 0 c 0,075 0,18 V (100 ) 0,15 ' b d                  9 donde además de las a iables comen adas en el apa ado an e io , se de ine:  200 1d    con d en mm.   : Cuan ía geomé ica de la a madu a longi udinal de acción anclada 10 a una dis ancia igual o mayo que d a pa i de la sección de es udio: s 0 A bd    0,02  c : esis encia e ec i a del ho migón a co an e en N/mm2 de alo c = ck con ck no mayo de 15 N/mm2 en el caso de con ol indi ec o de la esis encia del ho migón ( ck ≤ 60 N/mm2)  cd ' : Tensión axial media en el alma de la sección (comp esión posi i a) d cd cd c N ' 0,3 12MPa A     4.2.3 Piezas con a madu a de co an e En es e caso, el es ue zo co an e de ago amien o po acción en el alma se á: u2 cu su V V V donde: Vcu con ibución del ho migón a la esis encia a es ue zo co an e. Vsu con ibución de la a madu a ans e sal de alma a la esis encia a es ue zo co an e. 4.2.3.1 Cálculo de Vcu 1 3 2 3 1 2 u2 c cd 0 c cd 0 cc 0,15 0,075 V (100 ) 0,15 ' b d 0,15 ' b d                            11 donde odos los pa áme os son ya conocidos menos , cuyo alo es: e e 2 co g 1 si 0,5 co g co g 2 co g 1            e e co g 2 si co g co g 2,0 co g 2         9 Es e co an e co esponde a la con ibución del ho migón a la esis encia del es ue zo co an e, Vcu, y como se comen ó en el apa ado 3.2 su exp esión a sido deducida ía expe imen al, haciendo in e eni los ac o es comen ados en ese mismo apa ado. 10 Como e emos en el ema 18, donde a a emos el ema del anclaje, pa a ealiza és e enemos que p olonga la a madu a una longi ud, b,ne a , que en e o os ac o es es unción del ipo de anclaje. 11 De nue o es e co an e se ha deducido ía expe imen al. b,ne a b,ne a b,ne a b,ne a d d 45º 45º 45º 45º d d d d Fig. 4-2 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 21 de 26 e: Ángulo de e e encia de inclinación de las isu as deducido de la exp esión: 2 c ,m c ,m xd yd xd yd e c ,m yd ( ) co g            0.5 2.0    c ,m: Resis encia media a acción del ho migón conside ada como posi i a, cuyo alo es 2 3 c ,m ck 0,30  (ambas esis encias en 2 N/mm ). xd, yd: Tensiones no males de cálculo, a ni el del cen o de g a edad de la sección, pa alela a la di ec iz de la pieza y al es ue zo co an e Vd espec i amen e. És as se ob end án a pa i de las acciones de cálculo de acue do con la Teo ía de la Elas icidad y en el supues o de ho migón no isu ado y conside ando posi i as las ensiones de acción. En el caso habi ual de que  yd 0  , la exp esión de e co g  se á:  xd e c ,m co g 1   En ho migón a mado puede oma se 1  4.2.3.2 Cálculo de Vsu La exp esión del co an e abso bido po la a madu a ans e sal ue deducida en el modelo de celosía en el apa ado 3.1. La Ins ucción EHE gene aliza aquella exp esión pa a el caso de que exis an a ios g upos de a madu as ans e sales, cada uno con una inclinación :   su y ,d V z A sen co g co g          donde:  z: B azo mecánico, pa a el cual se pod á oma z 0,9 d  A: Á ea po unidad de longi ud de cada g upo de a madu as que o man un ángulo  con la di ec iz de la pieza: ama nA A Ass     donde:  A : La sección de ace o que se p oyec a en un mismo plano ans e sal inclinado  g ados con espec o a la di ec iz de la pieza y en el mismo sen ido que las ensiones p incipales de acción.  n: nº de amas del es ibo ó nume o de ba as que se le an an simul áneamen e  A ama: Á ea de una ama del es ibo o de una ba a le an ada.  s : Sepa ación de la a madu a ans e sal en la di ección de la di ec iz.  y,d: Resis encia de cálculo del ace o de la a madu a ans e sal con: y ,d 2 N 400 mm Pa a 45º  y 90º  queda:     su 90 y90,d V 0,9 d A 4.3 In e acción co an e- lec o Las a madu as longi udinales de acción debe án se capaces de sopo a un inc emen o de acción espec o a la p oducida po Md, igual a: su d V T V co g (co g co g ) 2         E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 22 de 26 Es a p esc ipción se cumple de o ma au omá ica decalando la ley de momen os de cálculo Md una magni ud igual a: su d d V 1 s z co g (co g co g ) 2V         en el sen ido más des a o able, al y como se mues a en la Fig. 4-3. Toma  d sd es á del lado de la segu idad pa a 45º  (ho migón a mado). 4.4 Disposiciones ela i as de las a madu as. La a madu a ans e sal puede es a o mada ( e Fig. 4-4) po ba as le an adas y po es ibos. En ambos casos es a a madu a a a iesa el alma de la pieza de ho migón a mado de o ma pa alela a las ca as la e ales de la misma y debe queda adecuadamen e ancladas en ambas cabezas. Es ibos Ba as le an adas Alzado Fig. 4-4. Disposición de la a madu a ans e sal d s I M I M D M D M V M V M decalaje d s d s d s leyes de cálculo leyes decaladas Fig. 4-3 E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 23 de 26 Fig. 4-5 A madu a ans e sal o mada po ce cos  Ba as le an adas Las ba as le an adas son aquellas longi udinales de acción, que a pa i de la sección en que dejan de se necesa ias, se le an an a 45º a a esando el alma de la pieza, colabo ando de es a o ma a esis i el es ue zo co an e. Es e le an amien o se e ec úa, a se posible, po pa ejas de ba as si uadas simé icamen e espec o del plano de sime ía de la pieza. Es e sis ema e a muy u ilizado an iguamen e debido a que la can idad de ace o en acción e a g ande, al emplea se ace os de meno es esis encias, y a que pe mi ía un co ec o anclaje en el caso de que las ba as uesen lisas. En la ac ualidad no se suelen u iliza debido a la di icul ad de ejecución y a la ue e concen ación de ensiones a que puede da luga el empleo de pocas ba as de g an diáme o.  Es ibos. Los es ibos son las a madu as que se disponen o mando planos independien es, con una inclinación  espec o a la di ec iz de la pieza (no malmen e 90º ). Se denomina núme o de amas de un es ibo, al núme o de ba as, en la di ección del co an e, que cons i uyen el es ibo. Las disposiciones ípicas, según el núme o de amas, son las que se indican en la Fig. 4-6. En odos los casos los es ibos deben odea las a madu as longi udinales, con obje o de ga an iza el anclaje de los mismos en ambas cabezas. Además, de es a o ma se e i a ambién el pandeo de las ba as longi udinales comp imidas. Si es as ba as uesen necesa ias po cálculo, los es ibos deben ce a se sob e odas las a madu as. E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 24 de 26 2 amas 2 amas 2 amas 6 amas 2 amas Es ibos ce ados o ce cos Es ibos abie os ho quillas Mallas elec osoldadas Fig. 4-6 El diáme o de los es ibos suele es a comp endido en e los 6 y los 10 mm, pues a pa i de ese diáme o esul a di ícil su elabo ación. Como no ma gene al, esul a p e e ible coloca es ibos inos y jun os que g uesos y sepa ados, pa a mejo a las condiciones de adhe encia y isu ación. Si esul an muy jun os, es p e e ible apa ea los, colocando dos en con ac o, a dispone uno solo de sección doble.  Es ibos ce ados o ce cos (Fig. 4-6-a). Su disposición es obliga o ia en sopo es con obje o de con ina el ho migón y e i a el pandeo de las a madu as, así como en odo aquel elemen o lineal some ido a o sión (como e emos en el ema siguien e el es ue zo o so equie e siemp e ce cos). Como se ha comen ado an e io men e deben dispone se po el ex e io de las a madu as longi udinales.  Es ibos abie os (Fig. 4-6-b y Fig. 4-6-c). En es e caso el anclaje en la cabeza de comp esión se consigue median e gancho (Fig. 4-6-b) o p olongación ec a (Fig. 4-6-c). Los es ibos de la Fig. 4-6-c se han u ilizado en igas de ca ga de o jados unidi eccionales.  Ho quillas de una o dos amas (Fig. 4-6-d). Son los es ibos que unen ba as comp imidas con accionadas, quedando las a madu as en o ma de cuchillos sepa ados.  Malla elec osoldada (Fig. 4-6-e). Se emplean en de e minados países po su sencillo mon aje y excelen e compo amien o. En es e caso el anclaje en la cabeza de comp esión se consigue median e las ba as longi udinales que cons i uyen la malla. La ins ucción EHE es ablece que se deben de cumpli las siguien es disposiciones:  La a madu a ans e sal de co an e debe o ma con el eje de la pieza un ángulo  comp endido en e 45º y 90º, inclinada en el mismo sen ido que la ensión p incipal de acción p oducida po las ca gas ex e io es, al ni el del cen o de g a edad de la sección de la pieza supues a no isu ada.  La cuan ía mínima de las a madu as ans e sales debe se al que cumpla la elación: y ,d c ,m 0 A b sen 7,5     Es a a madu a debe dispone se con es ibos e icales.  La sepa ación máxima en e es ibos debe cumpli la mínima de las condiciones siguien es: d u1 u1 d u1 u1 d 1 s 0,75 d (1 co g ) 600 mm si V V 5 12 s 0,6 d (1 co g ) 450 mm si V V V 53 2 s 0,3 d (1 co g ) 300 mm si V V 3                       donde d es el can o ú il de la pieza. E.L.U. de Ago amien o po es ue zo co an e en elemen os de ho migón a mado 11 Pág. 25 de 26 S ,I Apoyo I 5 cm Ø S ,C Apoyo D 5 cm S ,D h nDØ /S ,DnIØ /S ,I lI nCØ /S ,C lClD  La sepa ación ans e sal s , ans en e amas de a madu as ans e sales debe á cumpli la condición siguien e: , ans s d 500mm  Cuando las a madu as comp imidas se ob ienen po cálculo, se debe á cumpli la condición adicional: mín s 15 máx mín s 1 4 15     suje ando al menos una de cada dos ba as consecu i as de la misma ca a y oda aquellas que se dispongan a una dis ancia s 15cm .  En piezas comp imidas 30 cm sdimensión meno del elemen o     Dado que la esis encia al es ue zo co an e no se p oduce en una sección sino en una zona, los es ibos deben p olonga se una dis ancia h/2 más allá de la sección en la que dejan de se necesa ios po cálculo. En el caso de apoyos, los ce cos o es ibos se dispond án has a el bo de de los mismos.  Al menos 1/3 de la a madu a necesa ia po co an e, y en odo caso la cuan ía mínima, se dispond á en o ma de es ibos e icales. 5. SISTEMÁTICA DE CÁLCULO. Una ez o ganizadas las a madu as longi udinales y conocidas la sección en la que deja de se necesa ia cada ba a, hay que comp oba las dis in as secciones a es ue zo co an e y calcula los es ibos co espondien es. No malmen e debido a la al a esis encia del ho migón empleado y al diáme o de las ba as longi udinales, se p escinde de las ba as le an adas a 45º, aunque la sis emá ica que se expone puede se pe ec amen e aplicable a es as úl imas. El alo de Vu1 ha de compa a se con Vd, alo del es ue zo co an e de cálculo mayo ado, a pa i de la ca a del apoyo, p esen ándose los casos: a) Sí Vd > Vu1. Se deben aumen a las dimensiones de la sección pa a e i a el ago amien o po comp esión oblicua del alma 12 . b) Si Vd  Vu1. El ho migón sopo a las comp esiones que ac úan en el alma. En necesa io aho a comp oba que no se ago a la capacidad del alma a acción. Pa a es a nue a comp obación el alo del co an e de cálculo, Vd, se oma a pa i de una dis ancia igual al can o ú il de la ca a del apoyo: 12 O a al e na i a, aunque menos ap opiada po a ec a no solo al elemen o que es amos es udiando, sino a oda la es uc u a, se ía la de mejo a la esis encia del ho migón. , ans s , ans s , ans s