Segmentación de tumores cerebrales extra-axiales en imágenes de resonancia magnética usando contornos activos

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA DE LA SALUD Segmen ación de umo es ce eb ales ex a-axiales en imágenes de esonancia magné ica usando con o nos ac i os Segmen a ion o ex a-axial b ain umo s in magne ic esonance imaging using ac i e con ou s Realizado po Gemma U banos Ga cía Tu o izado po En ique Na a Ba o Depa amen o Depa amen o de Ingenie ía de Comunicaciones UNIVERSIDAD DE MÁLAGA MÁLAGA, Julio de 2018 Fecha de ensa: El Sec e a io del T ibunal Resumen Es e T abajo Fin de G ado consis e en la de ección de con o nos de umo es ce eb ales ex a-axiales en imágenes ob enidas po Resonancia Magné ica usando écnicas de con o nos ac i os. Los con o nos ac i os(Snakes) son écnicas so is icadas de de ección de o mas que se basan en el eajus e de una cu a inicial de o mable a pa i de la minimización de ene gías ex e nas e in e nas del con o no. En p ime luga , se ealiza una in oducción del p oblema desc ibiendo la pa e biológica sob e umo es ce eb ales y la ob ención de imágenes po Resonancia Magné ica, así como su p ocesamien o y segmen ación. Pos e io men e, se explica la base eó ica y ma emá ica de los con o nos ac i os, el conjun o de mé odos que son undamen ales pa a la comp ensión y desa ollo de la implemen ación del algo i mo lle ada a cabo en es e abajo. Finalmen e se p ocede a e alua el p oblema, la implemen ación del mé odo en Ma lab y los esul ados ob enidos de o ma que se puede obse a como el algo i mo o ece los esul ados deseados y se demues a la iabilidad del es udio a pa i de la cu a ROC. Palab as cla e: Segmen ación, conjun o de ni el, con o nos ac i os, umo , esonancia magné ica, ROC. Abs ac This Final Deg ee P ojec consis s in de ec ion o ex a-axial b ain umo s in Magne ic Resonance Imaging using ac i e con ou s. Ac i e con ou s (Snakes) a e sophis ica ed o ms de ec ion echniques ha a e based on he eadjus men o a de o mable ini ial cu e using ex e nal and in e nal ene gies. Fi s , he e will be an in oduc ion o he p oblem ha desc ibes he biological pa abou b ain umo s and he ob aining o images by magne ic esonance, as well as i s p ocessing and segmen a ion. Subsequen ly, i is explained he heo e ical and ma hema ical basis o he ac i e con ou s, he Le el se me hods ha a e undamen al o unde s and and de elop he implemen a ion o he algo i hm. Finally, he p oblema is e alua ed as well as he implemen a ion o he me hod in Ma lab and he esul s ob ained and p o e he eliabili y o he s udy om he ROC cu e. Keywo ds: Segmen a ion, Le el Se , ac i e con ou s, umo , magne ic esonance, ROC. Índice gene al Índice de igu as ................................................................................................. 7 Índice de ablas .................................................................................................. 8 1. In oducción ................................................................................................. 9 1.1. MOTIVACIÓN ....................................................................................... 9 1.2. OBJETIVOS .......................................................................................... 9 1.3. TECNOLOGÍAS UTILIZADAS ............................................................. 10 1.4. INTRODUCCIÓN BIOLÓGICA ............................................................ 11 1.4.1. Tipos de umo es ce eb ales ........................................................ 11 1.5. IMÁGENES POR RESONANCIA MAGNÉTICA(RM) ........................ 16 1.6. FORMATO DICOM ............................................................................. 18 1.7. SEGMENTACIÓN DE IMÁGENES ..................................................... 19 1.7.1 Mé odos de segmen ación ............................................................ 21 1.8. SNAKES O MÉTODO DE CONTORNOS ACTIVOS .......................... 25 1.8.1 Con o nos ac i os pa amé icos ................................................... 26 1.8.2 Con o nos ac i os geomé icos..................................................... 31 2. Teo ía de con o nos ac i os basados en Le el Se s ................................. 33 2.1. FUNDAMENTOS DE LEVEL SET....................................................... 36 2.2. MÉTODOS BÁSICOS ......................................................................... 37 2.2.1. El modelo de Mum o d y Shah...................................................... 37 2.2.2. Mé odos Numé icos: Ap oximaciones al p oblema de Mum o d y Shah 39 2.2.3. Modelo Chan-Vese ....................................................................... 44 2.2.4. Relación en e los modelos Mum o d-Shah y Chan-Vese ............ 46 2.2.5. Dis ancia de egula ización de la e olución del Le el Se (DRLSE) …………………………………………………………………………………….50 3. Desa ollo y análisis de esul ados ............................................................ 59 3.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA....................................................... 59 3.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO ................................................... 59 3.2.1. Es udio del pa áme o alpha. ........................................................ 69 3.2.1.1. Cu a ROC ............................................................................. 73 3.2.2. Cálculo del alo óp imo de alpha ................................................. 82 3.3. RESULTADOS OBTENIDOS .............................................................. 91 3.4. CONCLUSIONES................................................................................ 92 3.5. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ........................................... 93 Bibliog a ía ....................................................................................................... 95 Anexos ............................................................................................................. 99 ANEXO A. CÓDIGO EN MATLAB ................................................................ 99 ANEXO B. IMÁGENES DE REFERENCIA CON ROI ................................. 115 ANEXO C. REPRESENTACIÓN DE LA CURVA ROC ............................... 116 ANEXO D. VALORES DE AUC .................................................................. 117 ANEXO E. TABLAS OBTENIDAS CON LOS PARÁMETROS NECESARIOS PARA LA CURVA ROC .............................................................................. 118 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 7 Índice de igu as Figu a 1.Es uc u a o ma o DICOM ................................................................. 19 Figu a 2. E apas del p ocesamien o digi al de imágenes (Wainschenke & J. Massa, 2011) .................................................................................................... 20 Figu a 3. Lena con dis in os ni eles de umb alización ..................................... 22 Figu a 4. Segmen ación con Spli and Me ge................................................... 23 Figu a 5. (a) El con o no ac i o γ se de o ma en odo momen o y en cada pun o de con un ec o elocidad; (b) el con o no ac i o γ se di ide en dos cu as egula es, mien as que φ sigue como una unción .......................................... 34 Figu a 6. Valo es de φ en el in e io de la egión de in e és, la zona ex e na y en el bo de del con o no ................................................................................... 34 Figu a 7. E olución Le el Se (Nicogua o, 2018) ............................................. 35 Figu a 8. Casos posibles de localización de la cu a C. La ene gía de minimización (" i ing ene gy") se minimiza cuando la cu a es á en el con o no del obje o (Chan & Vese,2001) ........................................................................ 46 Figu a 9. Di e en es egula izaciones de la unción Hea iside(a iba) y la unción del a(abajo) (Chan y Vese, 2001) ........................................................ 50 Figu a 10. a) sigma=0.5 b) sigma=1.8 c) sigma=5 ........................................... 60 Figu a 11. a) hsize=2 b) hsize=20 c) hsize=50 ................................................. 61 Figu a 12. a) imes ep =-2 b) imes ep=1 c) imes ep=5 ................................... 61 Figu a 13. a) lambda=1 b) lambda=10 c) lambda=50 ...................................... 62 Figu a 14. a) alpha=-5 b) alpha=5 c) alpha=10 ................................................ 62 Figu a 15. a) epsilon=-5 b) epsilon=1 c) epsilon=5 .......................................... 63 Figu a 16. (a) I e _inne =2 (b) I e _inne =40 (c) I e _inne =100 ....................... 64 Figu a 17. (a) I e _ou e =0 (b) I e _ou e =10 (c) I e _ou e =50 ........................ 64 Figu a 18. Dibujo del Le el Se ce o al ededo del umo . a) Le el Se ce o inicial doble b) Le el Se ce o inicial único. ...................................................... 65 Figu a 19. Rep esen ación de la unción Le el Se inicial ................................ 66 Figu a 20. Con o no inal adap ado al obje o especí ico .................................. 66 Figu a 21. Rep esen ación de la unción Le el Se Final ................................. 67 Figu a 22. Le el Se iniciales no ajus ados ...................................................... 68 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 8 Figu a 23. Le el Se inales no ajus ados ......................................................... 68 Figu a 24. Le el se ce o .................................................................................. 70 Figu a 25.P og esión de la cu a del snake dependien e del pa áme o alpha 71 Figu a 26. a) Imagen ROI o iginal b) Canales RGB en el con o no c) Canales RGB ue a del con o no .................................................................................... 72 Figu a 27. a) Imagen ROI o iginal b) Con o no ob enido de la ROI o iginal c) Con o no de la ROI o iginal en bina io ......................................................... 72 Figu a 28. FN, TP, FP, TN de la supe posición de con o nos .......................... 74 Figu a 29. Supe posición de la egión deseada y el Snake pa a cada i e ación de alpha ........................................................................................................... 75 Figu a 30. Cu a ROC ...................................................................................... 77 Figu a 31. Mé odo pa a calcula el AUC .......................................................... 78 Figu a 32. Cu a ROC segundo caso .............................................................. 80 Figu a 33. Compa ación de con o nos segundo caso ...................................... 81 Figu a 34. Cu a ROC pa a alo es medios .................................................... 83 Figu a 35. Snake ob enido con alpha=-2 en cada caso ................................... 85 Figu a 36. Supe posición de la snake con alpha=-2 y el con o no deseado .... 86 Figu a 37. Supe posición de con o nos a) imagen o iginal b) alpha=-2 c) alpha=-1 ....................................................................................................... 87 Figu a 38. Supe posición de con o nos a) imagen o iginal b) alpha=-2 c) alpha=-1 ....................................................................................................... 87 Figu a 39. Snake ob enido con alpha=-1 pa a cada caso ................................ 89 Figu a 40. Supe posición de la snake con alpha=-1 y el con o no deseado .... 90 Figu a 41. Imágenes de e e encia con ROI .................................................. 115 Figu a 42. Cu as ROC ob enidas de cada imagen ....................................... 116 Índice de ablas Tabla 1. Clasi icación de los umo es según la OMS,2016. ............................. 12 Tabla 2. Cálculo de AUC .................................................................................. 79 Tabla 3. Valo es medios de sensibilidad y especi icidad po cada i e ación de alpha ................................................................................................................ 82 Tabla 4. Valo es de AUC ob enidos pa a cada imagen .................................. 117 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 9 1. In oducción 1.1. MOTIVACIÓN La p incipal mo i ación de es e abajo es consegui que a pa i del mé odo de con o nos ac i os gene a una cu a que se adap e co ec amen e al con o no de la zona que se quie e segmen a , en es e caso, el umo ce eb al ex a-axial de las imágenes de los casos clínicos dados. Ac ualmen e, el p o esional en medicina iene que selecciona la egión de in e és ( egion o in e es , ROI) manualmen e, y es o puede da luga a inexac i udes ya que la opología del umo puede se más o menos he e ogénea, mos ando más o menos p o ube ancias, lo cual complica que el dibujo sea exac o y se adap e bien a los bo des del umo . El mé odo de con o nos ac i os puede soluciona es e p oblema, ya que sólo se ía necesa io que el p o esional indica a al ededo del umo un ec ángulo ap oximado al mismo, y au omá icamen e, el p og ama ajus a es a cu a a los con o nos del umo . Es e es udio puede p opo ciona al p o esional en medicina una écnica que acili e su abajo, e i ando los e o es humanos y pudiendo ayuda al diagnós ico. 1.2. OBJETIVOS El p incipal obje i o de es e abajo es, p ecisamen e, la misma que la mo i ación al mismo, la de ección de con o nos en umo es ex a-axiales en imágenes de esonancia magné ica a pa i de con o nos ac i os. Se a a de u iliza un algo i mo conc e o basado en con o nos ac i os que ap oxime lo mejo y más e icien emen e posible el con o no del umo ce eb al. Pa a ello, se cuen a con unas imágenes dadas po un p o esional sani a io, en SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 16 1.5. IMÁGENES POR RESONANCIA MAGNÉTICA(RM) La imagen po esonancia magné ica es una écnica no in asi a que p oduce imágenes idimensionales de la pa e del cue po a es udia , usándose pa a el diagnós ico y seguimien o del pacien e. A di e encia de la omog a ía axial compu a izada(TC), no usa adiación ionizan e, sino campos magné icos, po lo que el pacien e no se expone a adiaciones dañinas. Pa a ob ene imágenes po RM se in oduce al pacien e en el seno de g an campo magné ico de o ma que los p o ones se alinean con el campo. Una ez magne izado, se en ía una se ie de pulsos en o ma de ondas de adio ecuencia a a és del pacien e, los p o ones se es imulan y luchan con a es e campo magné ico gi ando ue a del equilib io de mane a que es a ene gía es abso bida y pos e io men e de uel a y ecogida po unos senso es de imagen de esonancia magné ica y se econs uye la imagen, en planos sagi ales, axiales, co onales y cualquie ipo de plano oblicuo. Siendo más especí icos, la imagen po esonancia magné ica se basa en la ionización de á omos que ienen un núme o impa de elec ones en su núcleo, conc e amen e se habla de esonancia magné ica basada en hid ógeno. La imagen po RM se ob iene después de habe some ido a los núcleos de hid ógeno a un campo magné ico. Cuando el campo magné ico incide sob e es os á omos es os se o ien an pa alela o an ipa alelamen e y o ando sob e sí mismos en o ma de spin. Algo más de la mi ad de los p o ones se alinean pa alelos al campo, y se á es a p opo ción ex a de núcleos alineados pa alelamen e la esponsable de gene a momen os magné icos. Además del mo imien o del spin, los p o ones some idos al campo magné ico ealizan un gi o cónico, como una peonza. Al es a some ido a la g a edad, da luga a un mo imien o de p ecesión con una geome ía cónica de su mo imien o. La ecuencia de es e mo imien o de p ecesión depende del núcleo que se es é SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 17 es udiando y es di ec amen e p opo cional al campo magné ico al que se es á some iendo el núcleo. Es o se llama Ley de La mo : 𝑤=𝛾𝐵0 (1) Siendo w la ecuencia de p ecesión, B0 el campo magné ico y 𝛾 una cons an e llamada azón gi omagné ica. Si se le aplica una onda de adio ecuencia idén ica a la ecuencia de p ecesión, los núcleos en an en esonancia y abso ben la ene gía de es e pulso de adio ecuencia. Una ez que cesa la abso ción de ene gía los núcleos uel en a su es ado an e io y de uel en la ene gía siguien e una cu a de iempo de e minada po la elación de es os núcleos con o os campos magné icos del ex e io . Cabe des aca que, si se some e a un pacien e en un g an campo magné ico y se emi en ondas de adio ecuencia, odo el o ganismo en a á en esonancia, lo que se aduce en un mal esul ado de la p ueba. Es po ello po lo que se u iliza un g adien e den o del campo, pa a que sólo un plano enga la ecuencia de p ecesión adecuada. Las imágenes en RM se u ilizan ampliamen e en el diagnós ico y seguimien o de umo es ce eb ales debido a su al a sensibilidad y de alle. Sin emba go, las écnicas clásicas de RM no son del odo exac as y o ecen poca in o mación sob e el es ado isiológico del umo . Po ello, ac ualmen e se es án usando écnicas como la espec oscopia o la pe usión y di usión, pa a de e mina el g ado his ológico del umo , moni o ización a la ho a de a a lo y o as uncionalidades que es án aho a mismo en es udio. La in o mación que se ob iene po RM es p ocesada y ans o mada en imágenes. Es as imágenes suelen ene un o ma o es ánda DICOM y pueden se a adas y analizadas de dis in as o mas. En el caso de es e abajo, las imágenes son a adas con écnicas de segmen ación y de ección de o mas. A con inuación, se in oduci á en que consis e el o ma o DICOM y algunas SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 18 écnicas de segmen ación que se pueden ealiza en la imagen, des acando el mé odo de con o nos ac i os, que es en el que se basa es e abajo. 1.6. FORMATO DICOM DICOM (Digi al Imaging and Communica ion in Medicine) es un es ánda de comunicación en e sis emas de in o mación y a la ez un o ma o de almacenamien o de imágenes médicas que ha posibili ado el in e cambio de in o mación en e disposi i os debido a que se ha implan ado como un o ma o es ánda en las imágenes médicas y es mundialmen e conocido y acep ado. El o ma o DICOM ha sido impulsada po ACR y NEMA, que siguen siendo o ganizaciones p i adas y po ello no odos los hospi ales ienen po que a a con imágenes con o ma o DICOM (Mildenge , Eichelbe g, & Ma in, 2002). En la Figu a 1 se puede e la es uc u a del o ma o DICOM, el cual es como un con enedo . Posee dos pa es, la cabece a y los da os de la imagen (píxeles). La cabece a posee la in o mación sob e el pacien e, el sis ema de adquisición o modalidad, los pa áme os de la imagen, es deci , el conjun o de da os e e en e a la medicina. La cabece a iene un iden i icado único con sin axis de ans e encia UID y es á o mada po un p eámbulo de 128 by es que se usa pa a la compa ibilidad con o os iche os, seguido de un p e ijo de 4 by es. Po o o lado, es á o mado po el conjun o de da os, que con iene la imagen o imágenes especi icadas, las cuales ienen codi icadas y comp imidas en di e sos es ánda es como JPEG, JPEG 2000, JPEG y además iene la siguien e in o mación: una e ique a de iden i icación , un alo de ep esen ación que indica el ipo del da o almacenado, la longi ud del da o y el p opio da o cuyo con enido depende de la e ique a, pueden se los da os del pacien e, la p ueba ealizada… (Fo e o, Sa mien o, & Díaz, 2001) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 19 Figu a 1.Es uc u a o ma o DICOM 1.7. SEGMENTACIÓN DE IMÁGENES Una imagen puede se de inida como una unción en el espacio bidimensional (2D) de in ensidad de luz (x, y), donde x e y ep esen an las coo denadas espaciales y la unción es el ni el de g is co espondien e a ese pun o. Una imagen digi al puede conside a se como una ma iz cuyos índices de ila y de columna iden i ican un pun o en imagen y el alo del co espondien e elemen o de la ma iz indica el ni el de g is en ese pun o. Cada uno de es os elemen os se llama píxel (Palomino & Concha, 2009). Pa a pode ans o ma una imagen a imagen digi al, ob ene in o mación de es a imagen digi al o mejo a la, se necesi a su p ocesamien o. El p ocesamien o de imágenes digi ales pe mi e muchas unciones sob e las imágenes, algunos ejemplos de ello son los il os espaciales, ans o maciones de in ensidad, es au ación de imágenes, segmen ación, de ección de o mas… Es os dos úl imos ejemplos son en los se basa es e abajo. El p ocesamien o de imágenes iene a ias e apas, las cuales se mues an en la Figu a 2, SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 20 Figu a 2. E apas del p ocesamien o digi al de imágenes (Wainschenke & J.Massa, 2011) La p ime a e apa es la cap u a, donde se adquie en las imágenes, pa a lo cual se necesi an un senso y un digi alizado de o ma que el obje o pueda con e i se en una señal digi al. La e apa II es el p ep ocesamien o de la imagen, pa a de ec a allos y elimina los de dis in as o mas, ya sea eliminando uidos, sua izando con o nos, de ec a bo des…en es a e apa se incluye el p oceso y il ado pa a mejo a la imagen. La e ce a e apa es la segmen ación, en la que se di ide la imagen en egiones o segmen os de in e és con unas p opiedades conc e as. El paso siguien e es la ex acción de ca ac e ís icas, ambién conocido como ep esen ación y desc ipción, se basa en el es udio e iden i icación del obje o segmen ado. La úl ima e apa, en la que se iden i ican los obje os se basa en econocimien o e in e p e ación de es os con p ocesos au omá icos (Wainschenke & J. Massa, 2011). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 21 1.7.1 Mé odos de segmen ación La segmen ación de imágenes que se basa en di idi la imagen en a ias pa es u obje os, siendo es os g upos de píxeles el obje o de in e és y el es o el ondo. La di isión de es as egiones se ca ac e iza ya que cada egión p esen a unas ca ac e ís icas simila es ales como el ni el de g is, la in ensidad o la ex u a. Cada imagen iene unas ca ac e ís icas p opias y se án mejo segmen adas po mé odos de e minados. En el caso de las imágenes médicas, po ejemplo, una imagen del ce eb o end á unos eque imien os dis in os a una del co azón. Además, una imagen médica puede ene uido, olúmenes pa ciales, a e ac os… luego cada una end á un eque imien o de segmen ación. 1.7.1.1. Umb alización La umb alización ( h esolding) se basa en la segmen ación de imágenes a pa i de un alo de in ensidad llamado umb al( h esold), que sepa a obje os deseados. Es la écnica más básica de segmen ación. Lo más u ilizado es la bina ización po umb al, es deci , siendo la imagen o iginal (x,y), la imagen umb alizada g(x, y), se ija un umb al de la siguien e o ma (Palomino & Concha, 2009), { 𝑔(𝑥,𝑦)=255,𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦)>𝑈𝑚𝑏𝑟𝑎𝑙 𝑔(𝑥,𝑦)=0, 𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦)≤𝑈𝑚𝑏𝑟𝑎𝑙 De es a o ma se iene una imagen en blanco y neg o, sin onalidades de g ises de po medio, que pe mi e di e encia bien los obje os del ondo. Pa a elegi el umb al se u iliza el his og ama de la imagen, de o ma que se puede escoge el ni el de g is más con enien e pa a el obje o que se desea segmen a . Es una écnica e ec i a cuando el obje o a es udia iene unas onalidades homogéneas y di e enciables, pe o no es e icaz en imágenes idimensionales y no puede aplica se a imágenes mul icanal. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 22 Figu a 3. Lena con dis in os ni eles de umb alización 1.7.1.2. Segmen ación o ien ada a egiones La segmen ación de una imagen o ien ada a egiones se basa en un p oceso que di ide la imagen en n sub egiones, de o ma que es as egiones deben cumpli una se ie de p opiedades, que de inen el es de homogeneidad de una imagen: - Cada píxel debe se único po egión. - La unión de odas las sub egiones debe o ma la imagen comple a. - Los píxeles de cada egión deben es a conec ados. - Los píxeles de las egiones que no son la egión obje i o deben cumpli que las ca ac e ís icas de los píxeles de la egión a segmen a y, además, dos egiones adyacen es han de se dis in as. En es e ipo de segmen ación des acan dos mé odos p incipales: c ecimien o de egiones y di isión y usión de egiones (Gonzalez, 2016). 1.7.1.3. C ecimien o de egiones La écnica de c ecimien o de egiones consis e en ag upa píxeles que eúnen alguna ca ac e ís ica simila y o ma egiones. Pa iendo de un conjun o de píxeles en las dis in as egiones de la imagen, llamados semillas, las egiones se an expandiendo incluyendo aquellos píxeles que se de ec a que pe enecen a esa egión. Pa a cada píxel de ec ado, se comp ueba si cumple la egla de homogeneidad, es deci , si odos los píxeles de la nue a egión siguen eniendo p opiedades simila es, en cuyo caso se amplía la egión añadiéndole ese píxel. El p ocedimien o acaba cuando no queda ningún píxel que añadi . SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 23 Las semillas pueden se escogidas manualmen e o de o ma au omá ica, y la elección de es as semillas hace necesa ia la usión de algunas egiones, las cuales deben ene p opiedades simila es. 1.7.1.4. Di isión y usión de egiones (Spli and me ge) Es e mé odo consis e en la di isión de la imagen inicialmen e en un conjun o de egiones que se escogen a bi a iamen e, y aplicando el es de homogeneidad las egiones adyacen es se usiona án o no. Pa iendo de una imagen inicial I, se di ide la imagen en cua o egiones, cada subimagen que no sea homogénea se uel e a di idi en o as cua o subimágenes y así sucesi amen e has a que odas las egiones son homogéneas. Una ez ealizadas las pa iciones de las imágenes se ealizan las usiones en e las egiones que cumplan el es de homogeneidad. En la Figu a 4 se obse a en un ejemplo de cómo unciona el mé odo. Figu a 4. Segmen ación con Spli and Me ge SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 24 1.7.1.5. Wa e shed Una imagen en escala de g ises puede se is a como un elie e opog á ico, donde cada elie e se co esponde con el ni el de g is de un píxel. Los píxeles con mayo in ensidad o man los lími es de las egiones. El agua se encuen a en e las cuencas de los píxeles con dis in os ni eles de g is, y cuando el agua alcanza el bo de de la cuenca, las egiones adyacen es se usionan. 1.7.1.6. Ag upamien o(clus e ing) El “clus e ing algo i hm” o algo i mo de ag upación, a a de di idi un conjun o de da os de en ada en subconjun os (clus e s), de mane a que los elemen os de cada subconjun o compa an ca ac e ís icas simila es, y su ag upamien o sea lle ado a cabo según simili ud o ce canía. En e los mé odos de clus e ing des aca el mé odo k-means, que consis e en ija un núme o de clus e s y asigna un clus e a cada elemen o pa a después ecalcula los clus e s a pa i de los da os asignados has a que se consigue la con e gencia, po ejemplo, que los píxeles no cambien de clus e (Co o, 2003). 1.7.1.7. Redes Neu onales A i iciales Las Redes Neu ales A i iciales (A i icial Neu al Ne wo k- ANN) son edes pa alelas de p ocesamien o de elemen os o nodos que simulan el ap endizaje del ce eb o humano. Cada neu ona en la ed se co esponde a un píxel en una imagen de en ada. Es as neu onas su en es ímulos ex e nos (el colo del píxel) y es ímulos locales, que p oceden de la conexión de una neu ona con sus neu onas ecinas. Los es ímulos se acumulan has a que supe an el umb al y se p oducen impulsos en la salida. Es e mé odo es muy obus o en e al uido y a las a iaciones del pa áme o de en ada. El uso más ecuen e en segmen ación de imágenes es como clasi icado , con un conjun o de da os de en ada su icien es pa a que la ed neu onal pueda ap ende (Olabe, 1998). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 25 1.7.1.8. Modelos de o mables Los con o nos ac i os o modelos de o mables son écnicas basadas en la di e encia de ene gías ex e nas e in e nas de o ma que, ijada una cu a inicial, es a se a de o mando pa a acaba ajus ándose al con o no deseado. Es os mé odos se basan encon a el con o no del obje o que se quie e segmen a con la mayo minimización de ene gía posible. Su p incipal en aja es que gene a cu as ce adas di ec amen e, siendo muy obus o en e al uido, pe o se necesi a inse a manualmen e la cu a inicial ap oximada pa a que el modelo se adap e al con o no (Mi iche & Ben Ayed, 2011). Es e mé odo es en el que se a a basa es e abajo, y a con inuación se explica más de alladamen e. 1.8. SNAKES O MÉTODO DE CONTORNOS ACTIVOS Los con o nos ac i os o Snakes se de inen como una cu a de o mable in luenciada po ene gías ex e nas e in e nas. Al minimiza se la ene gía la cu a se mue e y se adap a al con o no que se quie e ex ae . Hay que ene en cuen a que un snake no encuen a de o ma au omá ica el con o no de una imagen, si no que mejo a una cu a que se ha c eado inicialmen e ce cana al con o no del obje o (Kass, Wi kin, & Te zopoulos, 1988). El modelo de Snakes ha sido modi icado y mejo ado po múl iples au o es ealizando dis in as o mas de minimización de la ene gía con mé odos como di e encias ini as, elemen os ini os, algo i mos o aces, p og amación dinámica, edes neu onales... (Vese & Guyade , 2015) Los con o nos ac i os pueden se con o nos ac i os pa amé icos y geomé icos. La di e encia en e uno y o o es que los pa amé icos se ep esen an únicamen e como cu as pa ame izadas y es a cu a e oluciona según los cambios de in ensidad en el ni el de g is en los bo des de la imagen. Po o o lado, los con o nos ac i os geomé icos es án basados en la e olución de la cu a a pa i de Le el Se s, y dibujan el con o no buscando la homogeneidad de dis in as ca ac e ís icas den o de una egión de la imagen. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 32 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 33 2. Teo ía de con o nos ac i os basados en Le el Se s El mé odo de conjun o de ni el (Le el Se Me hod, LSM) ue c eado como una écnica ma emá ica que pe mi e el econocimien o de o mas u ilizando una unción con signo. Se u iliza no malmen e pa a la segmen ación de imágenes en 2D o en 3D (Oshe & Se hian, 1988). Siendo γ una cu a ce ada en el dominio de imagen Ω, dicha cu a se de o ma y con e ge pa a delimi a las egiones de segmen ación deseadas. El conjun o de ni el ce o (Ze o Le el Se , Γ) es la cu a ac ual, es deci , un con o no ce ado que se a de iniendo dependiendo de la unción del Le el Se (LSF). La ecuación del mo imien o de Γ some ida a una elocidad , si e pa a de ini la e olución de la cu a. La elocidad a la que es á some ida iene la misma di ección de su no mal en cada pun o al y como se ep esen a en la Figu a 5. Es a elocidad puede depende de la posición, el iempo, la geome ía y las p opiedades ex e nas de la imagen (Mi iche & Ben Ayed, 2011). 𝑽=𝑉𝒏 (16) Las elocidades pueden se de es ipos. Tipo 1. V es una unción de cu a u a del Le el Se ce o. Tipo 2. V es de la o ma {F, n} donde F es un campo ec o ial que depende de la posición y posiblemen e del iempo, pe o no de la cu a. Tipo 3. V es una unción escala que depende de la posición y el iempo. El LSM u iliza la cu a de ni el ce o en la unción del Le el Se (Φ), de o ma que es a unción oma alo es posi i os den o del con o no Γ, alo es nega i os ue a y ce o en los lími es, al y como se ep esen a en la Figu a 6. Si se aplica una ecuación de mo imien o en el Le el Se ce o se ob iene un lujo que de e mina á SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 34 la e olución de la cu a y es a se ajus a á el con o no. Sus en ajas es que no depende de ningún pa áme o y pe mi e el cambio de opología. Figu a 5. (a) El con o no ac i o γ se de o ma en odo momen o y en cada pun o de con un ec o elocidad; (b) el con o no ac i o γ se di ide en dos cu as egula es, mien as que φ sigue como una unción (Mi iche & Ben Ayed, 2011) Figu a 6. Valo es de φ en el in e io de la egión de in e és, la zona ex e na y en el bo de del con o no SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 35 En la Figu a 7 se e cla o el compo amien o del modelo. Siendo el olumen ojo φ, la supe icie azul el plano xy, la igu a g is el conjun o de píxeles donde φ > 0 y el bo de de es a igu a el Le el Se ce o (φ=0). Si se quie e de ec a cuando el con o no que se ha di idido en dos, dejando ijo el plano xy, se a desplazando el obje o hacia abajo has a que se encuen a cuando se di ide. Figu a 7. E olución Le el Se (Nicogua o, 2018) Si se ealiza un mues eo de la cu a y su mo imien o se de ine con un algo i mo de descenso, las cu as ce adas que delimi an la egión segmen ada pueden di idi se o usiona se du an e su e olución. Es os cambios en la opología de cu a o ecen una g an en aja en casos de segmen ación di ícil. Los p incipales ipos de mé odos de conjun o de ni el se clasi ican en mé odos de banda es echa (na ow band) o de campo dispe so (spa se ield) (Lamas Rod íguez, Quesada Ba iuso, A güello, He as, & Bóo, 2012). -La idea del mé odo de banda es echa es c ea una banda delgada que se aya adap ando a los elemen os ecinos, y ealiza el cálculo solo en es os pun os. Se in oduce complejidad de p og amación, pe o se aho a compu acionalmen e. -El mé odo de campo dispe so ac ualiza los elemen os al ededo del con o no en cada i e ación del algo i mo. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 36 2.1. FUNDAMENTOS DE LEVEL SET Sea Γ el conjun o de cu as planas sua es ce adas, simples y egula es, y siendo γ una unción, donde γ: s ∈ [0,1] → γ (s) ∈ Ω. Un con o no ac i o γ se ep esen a como el Le el Se ce o de una unción φ : ℝ2 ×ℝ+ → ℝ: ∀s, φ (x (s, ),y(s, ), )=0 (2.41) (17) La de i ada de la ecuación 17 con espec o al iempo es, suponiendo que φ es su icien emen e sua e, 𝑑φ 𝑑𝑡=𝜕φ 𝜕𝑥 𝜕x 𝜕𝑡+𝜕φ 𝜕𝑦 𝜕y 𝜕𝑡+ 𝜕φ 𝜕𝑡=(∇𝜑,𝜕γ 𝜕𝑡)+𝜕φ 𝜕𝑡=0 (18) Debido a 𝜕φ 𝜕𝑡=𝑉𝒏 se iene, 𝜕φ 𝜕𝑡=−𝑉(∇𝜑,𝐧) (19) A la ez ambién se cuen a con, Ɐ𝑠∈[0,1] 𝑑φ 𝑑𝑠=𝜕φ 𝜕𝑥 𝜕x 𝜕𝑠+𝜕φ 𝜕𝑦 𝜕y 𝜕𝑠=(∇𝜑,𝜕γ 𝜕𝑡)=0 (20) Siendo 𝜕y 𝜕𝑠 la angen e a la cu a en s y ∇𝜑 la no mal de la cu a. Conside ando que n es á o ien ada hacia ue a y 𝜑 es posi i a den o del Le el Se ce o, se deduce la ecuación 21, 𝒏= ∇𝜑 ‖∇𝜑‖ (21) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 37 Sus i uyendo la ecuación 21 en 19 se ob iene en la ecuación 25 la e olución empo al de 𝜑, 𝜕φ 𝜕𝑡=𝑉‖∇𝜑‖ (22) Pa a las elocidades del p ime ipo, es deci , V es una unción de la cu a u a de la cu a e olu i a, la cu a u a se da en é minos de la unción de Le el Se median e: 𝒌=𝑑𝑖𝑣(𝐧 ‖𝐧‖)= −𝑑𝑖𝑣(∇𝜑 ‖∇𝜑‖)=𝜑𝑥𝑥𝜑𝑦2− 2𝜑𝑥𝜑𝑦𝜑𝑥𝑦+ 𝜑𝑦𝑦𝜑𝑥2 (𝜑𝑥2+𝜑𝑦2)32 (23) La e olución del con o no sólo se p oduce en los pun os donde LSF es igual a ce o. Pa a pode lle a a cabo es a e olución se de inen elocidades de ex ensión, implemen adas a a és de bandas es echas de o ma que la elocidad en un pun o sea la misma que la elocidad del pun o más ce cano a él pe enecien e al con o no ac i o. Pa a ello se necesi a que el con o no inicial se c uce con el con o no obje i o. Una en aja del LSM es que es ácil accede a la egión deseada de la segmen ación ya que el signo de φ de e mina qué pun os es án den o del con o no γ y cuáles es án ue a (Mi iche & Ben Ayed, 2011). 2.2. MÉTODOS BÁSICOS 2.2.1 El modelo de Mum o d y Shah Da id Mum o d y Jayan Shah, p opusie on un p oblema que pe mi e calcula ap oximaciones una imagen inicial I. Es as ap oximaciones se basan en di idi I en ozos. Su modelo a a de minimiza la ene gía pa a mejo a las ap oximaciones, sua izando de imágenes y de ección de lími es pa a su SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 38 segmen ación (Mum o d & Shah, Bounda y de ec ion by minimizing unc ionals, 1985). Su modelo ha sido es udiado en p o undidad, sob e odo en el análisis de imágenes y la isión po compu ado , an o es así que la mayo ía de las o as o mulaciones se pueden explica cómo a iaciones de es a. 2.2.1.1. De inición Siendo Ω ⊂ ℝd el dominio de la imagen, I: Ω → R es una imagen en una dos o es dimensiones en escala de g ises. Pa a pode segmen a la imagen se debe descompone Ω del dominio de la imagen I al que Ω= Ω1 ∪ Ω2 ∪… ∪Ω𝑛 Gene almen e, se supone que Ω es á abie o, limi ado y conec ado. Con ello se puede obse a que la imagen I a ía sua emen e y / o len amen e den o de cada Ωi o a ía de o ma discon inua y / o ápida a lo la go de la mayo pa e del lími e K en e di e en es Ωi (Ba , y o os, 2011). La o mulación de Mum o d-Shah busca una ap oximación sua e M: x = (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 → M (x) ∈ R de la imagen o iginal I: Ω ⊂ R2 → R y un conjun o K de discon inuidades, pa a ep esen a los lími es de la imagen, minimizando el uncional (Mi iche & Ben Ayed, 2011). 𝐹𝑀𝑆(𝑀,𝐾)= ∫(𝐼−𝑀)2𝑑𝒙 Ω+ 𝜌 ∫‖∇𝑀‖2𝑑𝒙+ Ω K𝜆𝜌𝑙(𝐾) (24) Donde 𝜌 y 𝜆 son cons an es posi i as, 𝑙 es la longi ud, y ∇𝑀=(𝑀𝑥+𝑀𝑦)= (𝜕𝑀 𝜕𝑥,𝜕𝑀 𝑑𝑦) es el g adien e espacial de M. El p ime é mino lle a la unción a una egión ce ca de la imagen o iginal. El segundo é mino se u iliza pa a aquellas imágenes que son muy he e ogéneas, pa a ello se le aplica una sua idad a a és de los bo des. El úl imo é mino se elaciona con la longi ud de los lími es egula es. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 39 Simpli icando el uncional pa a aquellas imágenes cons an es en odas sus pa es, siendo Rk la pa ición de e minada po K y Mk aquellos alo es de ap oximación de I den o de una egión. Se a a de ija una pa ición y un conjun o de alo es Mk. 𝑀(𝒙)=𝑀𝑘 ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑘 (25) 𝐹𝑀𝑆(𝑀,𝐾)=∑∫(𝐼−𝑀𝑘)2𝑑𝒙 𝑅𝑘+ 𝜆𝑙(𝐾) 𝑘 (26) 2.2.2 Mé odos Numé icos: Ap oximaciones al p oblema de Mum o d y Shah El mé odo de Mum o d y Shah es un p oblema bien o mulado, pe o p esen a un p oblema de egula ización en el é mino lib e, pa a soluciona lo se han ealizado muchos es udios que in en an ap oxima es e mé odo. En es e abajo se explican es de ellos, la in e p e ación Bayesiana, la implemen ación g aduada de no con exidad y el uncional de Amb osio y To o elli. 2.2.2.1. In e p e ación Bayesiana La segmen ación de una imagen puede es ablece se como una es imación Bayesiana máxima a pos e io i (MAP) que de e mina, en odas las pa iciones posibles del dominio de una imagen, una pa ición de una p obabilidad de MAP (Mi iche & Ben Ayed, 2011). Sea una imagen deg adada conocida y u la imagen o iginal, la es imación de MAP de u es el alo más p obable de u dada (ecuación 27). a gmax 𝑢𝑷(𝑢|𝑓) (27) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 40 Donde 𝑷(𝑢|𝑓) es la p obabilidad condicional de u dada . Aplicando el eo ema de Bayes, que liga la p obabilidad de dado u con la p obabilidad de u dado , se ob iene la ecuación 28, 𝑷(𝑢|𝑓)=𝑷(𝑓|𝑢)𝑷(𝑢) 𝑷(𝑓) (28) Siendo 𝑷(𝑓|𝑢) la unción de p obabilidad de dis ibución del uido (PDF). El é mino P(u) p opo ciona in o mación de la egión a segmen a . Es e é mino in oduce es icciones geomé icas en la solución, cuya longi ud se de ine en la ecuación 29, 𝑃(𝑢)∝𝑒−𝛼𝑙(𝐾) (29) donde α es una cons an e posi i a. Pa a simpli ica la ecuación 28, se aplica -log, esul ando la ecuación 30, max 𝑢𝑷(𝑢|𝑓)↔max 𝑢 {𝑷(𝑢)𝑷(𝑢|𝑓)} ↔min 𝑢{−𝑙𝑜𝑔 𝑷(𝑢)−𝑙𝑜𝑔 𝑷(𝑓|𝑢) (30) En es a exp esión, el p ime é mino - log P (u) ac úa como una egula ización. El segundo é mino - log P ( | u) se elaciona con el de e io o que p oduce en u (Vese & Guyade , 2015). Teniendo es o en cuen a, la es imación Bayesiana se con ie e en el siguien e p oblema de minimización (ecuación 31 y 32), del que la mayo ía de los algo i mos de segmen ación a iacional op imizan una a ian e. 𝐹𝑀𝑆(𝑀,𝐾)=∑∫(𝐼−𝑀𝑘)2𝑑𝒙 𝑅𝑘+ 𝜆𝑙(𝐾) 𝑘 (31) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 41 a g𝑚𝑖𝑛 𝑢∑∫ −log𝑃(𝑓| 𝑥 𝜖 𝑅𝑘 𝑘𝑹𝒌)𝑑𝒙−𝑙𝑜𝑔 𝑃(𝑢) (32) El p ime é mino es un é mino de da os que mide la p obabilidad de la imagen den o de las egiones de pa ición. Cada egión Rk se ca ac e iza po un conjun o de pa áme os que se han es imado al hace la pa ición. El modelo de egión que suele usa se es la dis ibución gaussiana (ecuación 33), 𝑃(𝑓|𝑹𝒌)=1 √2𝜋𝜎𝑘2 𝑒−(𝑓−𝜇𝑘)2 2𝜎𝑘2 (33) Donde el conjun o de pa áme os de la egión Rk es {μk, σk}, siendo, espec i amen e, μk y σk, la media y la des iación es ánda de los da os de la imagen den o de Rk. Teniendo en cuen a la in o mación que p opo ciona la ecuación 33 sob e las pa iciones deseadas, si se oma una misma σk en odas las egiones, es deci , σk = σ ∀k, y si se es ablece α = 𝜆σ, la es imación bayesiana educe la minimización de la unción po pa es cons an es de Mum o d-Shah (Mi iche & Ben Ayed, 2011). 2.2.2.2. Implemen ación g aduada de no con exidad La implemen ación g aduada de no con exidad es un mé odo de con inuación basado en i e aciones pa a esol e una se ie de p oblemas, p ime o esuel e un p oblema ácil u ilizando una e sión con exa con FMS u ilizando los mínimos globales de la unción ya que un mínimo global único si e como una ap oximación inicial. Pa a simpli ica , el mé odo es a menudo desc i o pa a imágenes unidimensionales. Es e mé odo in en a minimiza el uncional de Mum o d y Shah, cuyo p oblema con las imágenes unidimensionales es de e mina una ap oximación sua e h de una unción h0 de inida en un in e alo eal ω y un conjun o de discon inuidades K, siendo SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 48 𝐻(𝑧)={1,𝑠𝑖 𝑧≥0, 0,𝑠𝑖 𝑧<0 (48) 𝜕(𝑧)=𝑑 𝑑𝑡 𝐻(𝑧) (49) U ilizando es as unciones y se puede deduci las siguien es ecuaciones, 𝑙𝑜𝑛𝑔{𝜑=0}= ∫|∇𝐻(φ)|=∫𝜕(𝜑)|∇𝜑(𝑥,𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦 , Ω Ω (50) 𝑎𝑟𝑒𝑎{𝜑≥0}=∫𝐻(φ(x,y)) 𝑑𝑥𝑑𝑦, Ω (51) ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐1)2𝑑𝑥𝑑𝑦= ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐1)2𝐻(𝜑(𝑥,𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦, Ω 𝜑≥0 (52) ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐2)2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜑≥0 = ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐2)2(1−𝐻(𝜑(𝑥,𝑦))) 𝑑𝑥𝑑𝑦 , Ω (53) De o ma que sus i uyendo en la ecuación 47, se ob iene, 𝐽(φ,𝑐1,𝑐2)= µ∫𝜕(𝜑)|∇𝜑| Ω+ ∫𝐻(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ1 ∫(𝑢𝑜−𝑐1)2𝐻(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ2 (𝜑))𝑑𝑥∫(𝑢𝑜−𝑐2)2(1−𝐻 Ω(𝜑))𝑑𝑥 (54) Donde los alo es de c1 y c2 en unción de 𝜑 son, 𝑐1=∫𝑢𝑜𝐻(φ)dx Ω∫𝐻(φ)dx Ω, (55) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 49 𝑐2=∫𝑢𝑜(1−𝐻(φ))dx Ω∫(1−𝐻(φ))dx Ω, Es as cons an es c1 y c2 pueden in e p e a se como una media de uo en {𝜑≥0} y en {𝜑<0}, espec i amen e. A pa i de aquí, se debe minimiza la ene gía con espec o a 𝜑, pe o ijando c1 y c2. Debido a que la unción Hea iside es no di e enciable, se egula iza el p oblema cambiando H po Hε de al mane a que sea posible calcula la de i ada, de o ma que el p oblema egula izado es, 𝐽ε(φ)= µ∫𝜕ε(𝜑)|∇𝜑| Ω+ ∫𝐻ε(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ1 ∫(𝑢𝑜−𝑐1)2𝐻ε(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ2 (𝜑))𝑑𝑥∫(𝑢𝑜−𝑐2)2(1−𝐻ε Ω(𝜑))𝑑𝑥 (56) Hay di e sas o mas de egula ización, po ejemplo, la que p oponen Chan y Vese es de dos ipos, H1 y H2, que son egula izaciones C2(Ω)     y C∞(Ω)    . 𝐻1,ε(𝑧)= {1, 𝑠𝑖 𝑧>ε 12[1+𝑧ε+1𝜋 0,𝑠𝑖 𝑧<−εsin(𝜋𝑧 𝜀),𝑠𝑖 |𝑧|≤ε (57) 𝜕1,ε(𝑧)= {0, 𝑠𝑖 |𝑧|>ε 1 2ε[1+cos(𝜋𝑧 𝜀), 𝑠𝑖 |𝑧|≤ε (58) 𝐻2,ε(𝑧)=12(1+2𝜋a c an(𝑧ε)) (59) 𝜕2,ε(𝑧)=ε 𝜋(ε2+𝑧2) (60) Ambos ienden a H y a ẟ cuando ε  0. La di e encia se basa en que el in e alo de 𝜕1 es [-ε,ε] y el in e alo 𝜕2 no es nulo en odo el dominio. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 50 En la Figu a 9 se puede obse a las egula izaciones en la unción Hea iside y en la medida de Di ac. Figu a 9. Di e en es egula izaciones de la unción Hea iside(a iba) y la unción del a(abajo) (Chan y Vese, 2001) 2.2.5. Dis ancia de egula ización de la e olución del Le el Se (DRLSE) Los mé odos Le el Se geomé icos han sido muy u ilizados en la segmen ación y p ocesamien o de imágenes, ya que p esen a en ajas como que pueden ep esen a con o nos complejos y se adap an a cambios de opología complejas, pe o p esen a i egula idades que puede causa e o es numé icos y p o oca una e olución ines able. Pa a soluciona lo se u iliza la einicialización, de o ma que la unción de ajus e de ni el sea eemplazada pe iódicamen e y deg adada con una unción de signo, pe o a ec a a la p ecisión numé ica además de que se desconoce el cómo y cuándo se hace (Li, Xu, Gui, & Fox, 2010). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 51 C.Li, C.Xu, C.Gui y M.D.Fox p oponen una nue a o mulación de Le el Se a iacionales donde se man iene la egula idad de la unción de ajus e de ni eles du an e su e olución. La e olución del Le el Se se de i a como el lujo de g adien e con un é mino de egula ización que minimiza una ene gía uncional y una ene gía ex e na que impulsa el mo imien o del Le el Se ce o a la ubicación deseada. La idea básica de la p opues a de los au o es es ep esen a Le el Se ce o y o mula su mo imien o. El é mino de egula ización de dis ancia se de ine como una unción al que la de i ada de los Le el Se ienen un e ec o de di usión con un a ance y e oceso único siendo capaz de man ene la o ma deseada de la cu a de la unción de ajus e de ni el ce ca del Le el Se ce o. Es o p oduce un nue o ipo de e olución de Le el Se llamado dis ancia de egula ización. La dis ancia de egula ización elimina la necesidad de einicialización, y, po an o, e i a e o es numé icos y se deno a como DRSLE. 2.2.5.1. Desc ipción del mé odo Siendo el con o no pa amé ico dinámico C(s, ) : [0,1] x [0,∞]  ℝ2 la e olución de la cu a puede exp esa se como: 𝜕𝐶(𝑠,𝑡) 𝜕𝑡 =𝐹𝑁 (61) Donde F es la unción elocidad, que con ola el mo imien o del con o no, N es el ec o no mal hacia el in e io de la cu a y C(s, ) es el Le el Se ce o dependien e de 𝜑(𝑥,𝑦,𝑡). Suponiendo que la unción de ajus e de ni el oma alo es nega i os en el in e io del con o no del Le el Se ce o y alo es posi i os en el ex e io , el ec o no mal hacia el in e io se puede exp esa como −∇𝜑 |∇𝜑|, donde ∇ es el ope ado g adien e. La e olución de la cu a puede exp esa se en onces como, 𝜕𝜑 𝜕𝑡=𝐹|∇𝜑| (62) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 52 Como se ha mencionado an e io men e, la unción de ajus e de ni el p esen a i egula idades en su e olución que puede lle a a e o es numé icos e ines abilidad. Pa a es au a la es abilidad y man ene la e olución del Le el Se se u iliza la einicialización, que se basa en de ene pe iódicamen e la e olución y emodela la LSF como una unción de dis ancia. Una o ma de einicialización es, 𝜕𝛹 𝜕𝑡=𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛹)(1−|∇𝜑|) (63) Donde 𝜑 es la unción de ajus e de ni el pa a la einicialización y sign(·) es el signo de la unción. Aunque la einicialización man iene la egula idad, la unción de ajus e de ni el puede des ia se del ni el ce o, po lo an o, se debe e i a la einicialización an o como sea posible (Li, Xu, Gui, & Fox, 2010). 2.2.5.2. Fo mulación de la ene gía con la egula ización de dis ancia Pa a Φ: Ω  ℝ siendo Ω el dominio de la unción Le el Se , la ene gía uncional se de ine como, 𝜀(𝜑)=𝜇𝑅𝑝(𝜑)+ 𝜀𝑒𝑥𝑡(𝜑) (64) Donde Rp(𝜑) es el é mino de egula ización, 𝜇>0 es una cons an e y 𝜀𝑒𝑥𝑡(𝜑) es la ene gía ex e io que depende de los da os de in e és, es a ene gía es mínima cuando el Le el Se ce o de la unción Le el Se es á localizada en la egión deseada. El é mino de egula ización del Le el Se se de ine como, 𝑅𝑝(𝜑)≜ ∫𝑝|∇𝜑|𝑑𝑥 Ω (65) Donde p es una unción po encial p:[0,∞) ℝ. Es e po encial se puede de ini de o ma sencilla como SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 53 𝑝=𝑝1(𝑠)≜12(𝑠−1)2 (66) Donde s=1 es el único pun o mínimo. Con es e po encial p=p1(s), el é mino de egula ización del Le el Se puede exp esa se como, 𝑃(𝜑)=12∫(|∇𝜑|−1)2𝑑𝒙 Ω (67) Que ca ac e iza la des iación de 𝜑 con una unción de dis ancia de signo. Sin emba go, la e olución del Le el Se pa a la ene gía de minimización iene e ec os no deseados en la LSF en algunas ci cuns ancias, po ejemplo, cuando se iene |∇𝜑|=0 en el in e io del con o no la di usión aumen a demasiado y p oduce una oscilación en 𝜑, lo cual se mues a como picos y alles en la cu a que de ine el con o no y la LSF. Pa a e i a es o, se añade una nue a unción po encial en el é mino de dis ancia de egula ización Rp. Es a nue a unción po encial man iene la p opiedad |∇𝜑|=1 en los píxeles ecinos del Le el Se ce o, mien as que se man iene LSF como una cons an e, con |∇𝜑|=0 en localizaciones lejanas al Le el Se ce o. Pa a man ene es o, la unción po encial debe ene dos pun os mínimos, en s=1 y s=0, de o ma que soluciona los p oblemas que dejaba la ecuación 67 y además o ece o as p opiedades en la e olución del Le el Se , siendo la nue a unción po encial p2(s), 𝑝2(𝑠)={1 4𝜋2(1−cos(2𝜋𝑠)), 𝑠𝑖 𝑠≤1 12(𝑠−1)2, 𝑠𝑖 𝑠≥1 (68) 2.2.5.3. Aplicación a la segmen ación de imágenes La o mulación de dis ancia del Le el Se puede ene muchas aplicaciones con dis in as de iniciones de ene gía ex e na 𝜀𝑒𝑥𝑡. Pa a aplicaciones de segmen ación, una a iedad de la in o mación de la imagen, incluida la o mación de las egiones o la de los bo des, se puede usa pa a de ini es a ene gía. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 54 2.2.5.4. Fo mulación de dis ancia de egula ización de Le el Se basado en bo des de con o nos ac i os Siendo I una imagen en el dominio Ω, se de ine un indicado de bo des como una unción g, 𝑔≜ 1 1+|∇𝐺𝜎∗𝐼|2 (69) Donde Gσ es una unción Gaussiana con una des iación es ánda σ. La con olución con la imagen se usa pa a sua iza la y educi el uido. Es a unción g no malmen e oma alo es mejo es en los bo des del obje o que en o as localizaciones. Pa a una LSF Φ: Ω  ℝ , se de ine la ene gía uncional como, 𝜀(𝜑)=𝜇𝑅𝑝(𝜑)+ 𝜆𝐿𝑔(𝜑)+ 𝛼𝐴𝑔(𝜑) (70) Donde 𝜆 >0, 𝛼 ϵ ℝ son coe icien es de los uncionales de ene gía. El uncional de ene gía Lg(𝜑), co espondien e con la con la longi ud ponde ada de la cu a, queda de inido como, 𝐿𝑔(𝜑)≜∫𝑔𝛿(𝜑)|∇𝜑|𝑑𝒙 Ω (71) Donde 𝛿 es la unción del a de Di ac, con la que Lg se de ine como una in eg al de línea de la unción g a lo la go del con o no de Le el Se de 𝜑. Cabe des aca que se p opuso un modelo de con o nos ac i os geodésicos pa ame izando el ni el ce o de 𝜑 como un con o no C[0,1]  Ω, en el que la ene gía 𝐿𝑔(𝜑) puede exp esa se como en la ecuación 47 (Caselles, Kimmel, & Sapi o, 1997), 𝐿𝑔(𝜑)≜∫𝑔(𝐶(𝑠))|C′(s)|𝑑𝑠 1 0 (72) El úl imo uncional de ene gía Ag(𝜑) de la ecuación 70 se de ine como, SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 55 𝐴𝑔(𝜑)≜∫𝑔𝐻(−𝜑)𝑑𝒙 Ω (73) Donde H es la unción Hea iside. La unción 𝐴𝑔(𝜑) engloba un á ea ponde ada de la egión 𝛺𝜑 − ≜{𝑥: 𝜑(𝑥)<0}. En el caso de g=1, el á ea es exac amen e la egión 𝛺𝜑 −. La ene gía 𝐴𝑔(𝜑) acele a el mo imien o del con o no ni el ce o en el p oceso de e olución es ablecido, lo cual es necesa io cuando el con o no inicial se si úa lejano a los bo des deseados. Tomando los alo es nega i os den o del obje o y los alo es posi i os ue a del mismo, si el con o no inicial es á si uado ue a del obje o, el coe icien e α debe se posi i o, así que el con o no ni el ce o puede educi la e olución del Le el Se y, de la misma o ma, si el con o no inicial es á localizado den o del obje o, α es nega i o, po lo que el con o no iende a expandi se. A pa i de es o, se puede deci que la unción de g en Ag es alen iza la educción o ampliación del Le el Se ce o cuando llega al bo de del obje o, omando g alo es muy pequeños. En la p ác ica de los mé odos de Le el Se , la unción Di ac, 𝛿𝜀(𝑥) ,(ecuación 74) y Hea iside, 𝐻𝜀(𝑥), (ecuación 75) se ap oximan median e es as unciones sua izadas, sabiendo que la unción 𝛿𝜀 es la de i ada de la 𝐻𝜀, y el pa áme o 𝜀 no malmen e se ija con el alo 1.5. 𝛿𝜀(𝑥)={1 2𝜀[1+cos(𝜋𝑥 𝜀), |𝑥|≤𝜀 0, |𝑥|> 𝜀 (74) 𝐻𝜀(𝑥)={12[1+𝑥𝜀+1𝜋sin(𝜋𝑥 𝜀), |𝑥|≤𝜀 1, 𝑥> 𝜀 0, 𝑥<− 𝜀 (75) Sus i uyendo es as unciones en la ecuación 70 se ob iene, SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 56 𝜀(𝜑)=𝜇∫𝑝(|∇𝜑| Ω)𝑑𝒙+ 𝜆∫𝑔 Ω𝛿𝜀(𝜑)|∇𝜑|𝑑𝒙+ 𝛼∫𝑔 Ω𝐻𝜀(−𝜑)𝑑𝒙 (76) Es a ene gía uncional puede minimiza se esol iendo el siguien e lujo de g adien e cuya ecuación es una aplicación gene al de la o mulación DRSLE (ecuación 77). 𝜕𝜑 𝜕𝑡= 𝜇𝑑𝑖𝑣(𝑑𝑝(|∇𝜑|)|∇𝜑)+ 𝜆𝛿𝜀(𝜑)𝑑𝑖𝑣(𝑔∇𝜑 |∇𝜑|)+ 𝛼𝑔𝛿𝜀(𝜑) (77) Dada una unción inicial LSF 𝜑(𝑥,0)=𝜑𝑜(𝑥). El p ime é mino de la ecuación an e io 𝜕𝜑 𝜕𝑡, es á asociado con la dis ancia de egula ización Rp(𝜑), y el segundo y e ce é mino es án elacionados con Lg(𝜑) y Ag(𝜑), espec i amen e. 2.2.5.5. Implemen ación en banda es echa El cos e compu acional del mé odo Le el Se puede educi se a pa i de la implemen ación en banda es echa del Le el Se ce o. La aplicación de banda es echa equie e einicialización más ecuen e, po lo que su aplicación es más so is icada. La implemen ación de la banda es echa en DRSLE consis e en la ac ualización de la LSF pa a educi el núme o de i e aciones y el iempo de cómpu o. Siendo 𝜑(𝑖,𝑗) una LSF de inida en una cuad ícula, e (i,j) un pun o de la misma, si 𝜑𝑖−1,𝑗y 𝜑𝑖+1,𝑗, o 𝜑𝑖,𝑗−1y 𝜑𝑖,𝑗+1 ienen signos con a ios, se le llama pun o ce o de c uce. El conjun o de odos los pun os ce o de c uce del LSF se deno an como Z. Luego la banda es echa se de ine como, 𝐵𝑟= ⋃𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) (𝑖,𝑗)∈𝑍 (78) Donde 𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) es un bloque cuad ado cen ado en el pun o(i,j). Se ija con un alo mínimo de =1, en cuyo caso la banda es echa B es la unión 3x3 de los pun os ce o de c uce ecinos. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 57 La implemen ación del mé odo de banda es echa en DRSLE consis e en los siguien es pasos: 1. Inicialización. Se inicia 𝜑 como una unción 𝜑0. En onces, la banda es echa inicial es 𝐵𝑟0 (ecuación 79), 𝐵𝑟0= ⋃𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) (𝑖,𝑗)∈𝑍0 (79) donde Z0 es el conjun o de pun os ce o de c uce de 𝜑0. 2. Ac ualiza el LSF. Ac ualiza 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1= 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+𝜏𝐿(𝜑𝑖,𝑗 𝑘) en la banda es echa 𝐵𝑟𝑘. 3. Ac ualiza la banda es echa. De e mina el conjun o de odos los pun os ce o de c uce de 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1 en 𝐵𝑟𝑘 se deno a como Zk+1. En onces, se ac ualiza la banda es echa como, 𝐵𝑟𝑘= ⋃𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) (𝑖,𝑗)∈𝑍𝑘+1 (80) 4. Asigna alo es a los píxeles nue os de la banda es echa. Pa a cada pun o (i,j) en 𝐵𝑟𝑘+1 pe o no en 𝐵𝑟𝑘, se asigna 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1 a h, si 𝜑𝑖,𝑗 𝑘>0, o si no se asigna 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1 a -h, siendo h una cons an e, que puede ija se como un alo gené ico +1. 5. De e mina el inal de la i e ación. Si cualquie a de los pun os ce o de c uce dejan de a ia en m i e aciones consecu i as o k excede un núme o máximo de i e aciones, en onces se pa a la i e ación, en o o caso, se e oma el paso 2 (Li, Xu, Gui, & Fox, 2010). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 64 Figu a 16. (a) I e _inne =2 (b) I e _inne =40 (c)I e _inne =100 Figu a 17. (a) I e _ou e =0 (b) I e _ou e =10 (c) I e _ou e =50 - po en ialFunc ion: elección de la unción po encial en el é mino de dis ancia de egula ización.Se p opo cionan dos opciones: po en ialFunc ion = 'single-well' o po en ialFunc ion = 'double-well', que co esponde a las unciones po enciales p1 (po encial único) y p2 (doble po encial), espec i amen e. - phi: unción de Le el Se ac ualizada después de la e olución del Le el Se . Es la cu a que se ma ca inicialmen e y que a a de o ma se, siendo la única a iable de salida del p og ama. Pa a pode lle a a cabo un ajus e sensible de la cu a Le el Se ce o al con o no deseado, p ime o ha de de ini se una egión que se si úe ap oximadamen e en la misma localización del umo y de ini un ec ángulo de á ea ap oximada a la del umo . Pa a ello, se debe especi ica en el p og ama las coo denadas x e y SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 65 de los é ices del ec ángulo, es deci , desde donde has a donde se desea que se dibuje el mismo, an o en el eje x como el eje y. Si la zona a es udia es muy he e ogénea, se puede de ini más de un ec ángulo inicial de o ma que el á ea que engloben dichos ec ángulos se ajus e más al con o no que se quie e segmen a . Si es as egiones se si úan ce ca una de las o as, po las ca ac e ís icas de e olución Le el Se an a usiona se pa a dibuja el con o no deseado. En la Figu a 18 (a), se mues a un ejemplo con dos Le el Se iniciales y en la Figu a 20 (a), se mues a cómo e oluciona la cu a ob eniendo un Le el Se inal ajus ado al con o no donde se han usionado los dos Le el Se iniciales. Figu a 18. Dibujo del Le el Se ce o al ededo del umo . a) Le el Se ce o inicial doble b) Le el Se ce o inicial único. A con inuación, pa a pode mos a mejo el Le el Se , se ep esen a una g á ica en la que se mues a la zona seleccionada en la imagen, el plano de la base ep esen a la imagen, con longi ud 256x256, que es el amaño de la imagen en píxeles y la e ce a dimensión, la cual se ija una al u a máxima 2, en la se puede e la o ma que se ha escogido como Le el Se ce o inicial. Una ez el p ocedimien o se ha lle ado a cabo, compa ando la Figu a 18 y la Figu a 20 se puede obse a cómo ac úa el mé odo DRSLE, ajus ando la unción SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 66 Le el Se al con o no deseado. A pa i de un ec ángulo inicial ma cado al ededo del umo , la cu a se ha adap ado al con o no de es e. Pa a pode llega a es a solución el p og ama debe pasa una se ie de i e aciones, que, como ya se ha explicado an e io men e es la mul iplicación de las i e aciones de en ada po las de salida sumadas a las i e aciones de e inamien o. Figu a 19. Rep esen ación de la unción Le el Se inicial Figu a 20. Con o no inal adap ado al obje o especí ico SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 67 Se dibuja de nue o una g á ica que mues a de nue o, en un plano de 256x256 que ep esen a la imagen, un elie e que se co esponde con el con o no segmen ado y ajus ado po el snake. Figu a 21. Rep esen ación de la unción Le el Se Final Los ejemplos ep esen ados en las Figu as 18 y 20 se han ealizado con Le el Se inicial ajus ado a la zona del umo , sin emba go, los esul ados del snake inal a ían signi ica i amen e si se oma un Le el Se inicial que no se ajus e al con o no. En la Figu a 22 se mues an dos casos, el p ime o en el que se si úa el Le el Se inicial en una egión que comp ende el umo , pe o es el á ea es demasiado amplia, y en el segundo caso una egión den o del umo , pe o demasiado pequeña. En la Figu a 23 se obse a cómo e oluciona la cu a en es os dos casos, esul ando un snake que no se ajus a al con o no deseado. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 68 Figu a 22. Le el Se iniciales no ajus ados Figu a 23. Le el Se inales no ajus ados Las conclusiones a las que se pueden llega al ealiza es e es udio es que el esul ado de la segmen ación se e al amen e in luenciado po cómo se haya de inido el con o no inicial y, cuan o más ajus ado sea el con o no al umo a es udia , meno se á la p obabilidad de que la cu a e olucione a es uc u as e óneas. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 69 3.2.1. Es udio del pa áme o alpha. Pa a pode es udia el compo amien o del pa áme o alpha, se ha ealizado un p og ama que a a iando el alo de alpha en un ango de -10 has a 10 y mues a los esul ados del snake po cada alo de alpha. Como el es o de los pa áme os son menos in luyen es, se han de e minado unos alo es ijos de los mismos, siendo i e _inne =50; i e _ou e =20; lambda=5; epsilon=1.5; sigma=1.8; y el amaño de la unción gaussiana H=20. Pa a pode hace un es udio equi a i o, se ija un in e alo de i e aciones de alpha aumen ando su alo de uno en uno, de o ma que aya mos ando la solución pa a cada alo . Al ealiza es e desa ollo sis emá ico se puede e como en alo es de alpha excesi amen e pequeños, la cu a dibuja un con o no demasiado g ande que no se ajus a en ningún caso al Le el Se inicial que se había dibujado, pe o con o me alpha aumen a su alo , la cu a a e olucionando ápidamen e has a que se ajus a a los bo des de la egión de in e és. Una ez la cu a del snake es á encima de los bo des de in e és la e olución de la cu a se alen iza, y a ía mínimamen e, has a que llega un pun o que el alo de alpha es demasiado g ande y la cu a se deses abiliza. Un alpha dis in o de ce o p opo ciona una ue za ex e na adicional de o ma que e i a el mo imien o del con o no, pe o el con o no inal puede des ia se lige amen e de la e dade a on e a del obje o debido al e ec o de la con acción o ampliación de la egión que engloba. Pa a e i a al des iación, se puede e ina el con o no inal con algunas i e aciones más y ijando el pa áme o α=0. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 70 Pa a imágenes cuyos obje os a segmen a p esen en bo des débiles, un alo g ande de alpha puede causa la cu a se desbo de del con o no, es deci , es más ácil que el snake pueda a a esa la on e a del obje o. Po lo an o, en las imágenes con los bo des de los obje os poco de inidos, el alo de alpha debe se pequeño. En las Figu as 24 y 25 se mues a un ejemplo de ello. En la Figu a 24 se mues a la cu a inicial (Le el se ce o) que se ha ma cado al ededo del umo y en la Figu a 25 el esul ado de las dis in as i e aciones con alo es de alpha de -10 has a 10. Figu a 24. Le el se ce o En la Figu a 25 se ap ecia como la cu a a ajus ándose cada ez más has a que no de ec a bien el con o no llegando a colapsa en la úl ima i e ación. Es a in o mación si e pa a sabe que ango de pa áme os de al a p opo cionan un esul ado álido y hace una ap oximación p ecisa. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 71 Figu a 25. P og esión de la cu a del snake dependien e del pa áme o alpha Una ez se ha de ec ado el con o no del umo den o de la imagen, se quie e comp oba si se pa ece lo máximo posible al que ha ma cado el p o esional en las imágenes ROI. Pa a pode ealiza es a compa ación, se ha sepa ado el con o no ROI del es o de la imagen, pa a lo cual se hace uso de los canales RGB. Una imagen RGB iene es canales: ojo, e de y azul. En es e con ex o un canal es la imagen en escala de g ises del mismo amaño que la imagen en colo , hecha de uno de es os colo es p ima ios. Cada imagen RGB es á o mada a su ez po es imágenes co espondien es a cada uno de sus canales. Como el con o no ROI es á en colo ojo, di ie e en el alo de sus canales del es o de la imagen y es a exclusi idad de onalidad es la que se ap o echa pa a ob ene es e con o no y sepa a lo del ondo. En la Figu a 26 se mues a un ejemplo de es o con un caso clínico di e en e. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 72 Figu a 26. a) Imagen ROI o iginal b) Canales RGB en el con o no c) Canales RGB ue a del con o no Ma cando pun os en la imagen, en el con o no y en las egiones que no son el con o no y se puede ap ecia la di e encia en e canales. Los alo es de RGB p opios del con o no an a iando, pe o ue a del con o no los canales son siemp e R=255, G=255, B=255 (blanco). Obse ando la imagen, y compa ando los pun os señalados se obse a como en el p opio con o no el canal R puede oma el alo de 255, pe o los alo es G y B no lo oman nunca. Es a di e encia se ap o echa pa a es ablece como condición que cualquie píxel que enga en el canal B=255 sea 0 (neg o), y en caso con a io sea 1(blanco). De es a o ma se ob iene una imagen bina izada del con o no ROI de la imagen, como se obse a en la Figu a 27 pa a hace la ansición en e la imagen b y c. Figu a 27. a) Imagen ROI o iginal b) Con o no ob enido de la ROI o iginal c) Con o no de la ROI o iginal en bina io SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 73 Una ez se iene el con o no de la imagen con ROI, se oma es a imagen como e e encia y se p ocede a compa a lo con el snake ob enido del mismo caso clínico. Pa a el análisis de los esul ados del snake ob enido espec o a los omados como e e encia, se ealiza un es udio de iabilidad a pa i del análisis de la cu a ROC. 3.2.1.1. Cu a ROC La cu a ROC si e pa a decidi cómo de simila es son un conjun o de ins ancias, en es e caso, imágenes. Hay cua o posibles soluciones pa a el clasi icado bina io de la cu a ROC: e dade os posi i os, alsos posi i os, alsos nega i os y e dade os nega i os. Es os concep os se de inen conside ando el p oblema que se abo da en es e abajo. Las imágenes con las que se cons a son de ipo logical, es deci , el alo de cada píxel puede se 0 o 1 y las ope aciones ealizadas con las imágenes son ope aciones lógicas. - Ve dade os Posi i os(TP): Aquellos píxeles que coinciden en la egión del snake y en la egión de imagen con ROI. Se puede calcula como la in e sección en e las dos imágenes. - Falsos Posi i os(FP): Aquellos píxeles de la snake que no en an den o de la egión de la imagen con ROI. Se puede calcula como la es a lógica de la imagen de la snake y la ob enida de TP. - Falsos Nega i os(FN): Aquellos píxeles de la imagen con ROI que no es án comp endidos en la egión del snake. Se puede calcula como la es a lógica de la imagen con con o no ROI y la imagen TP. - Ve dade os Nega i os(TN): Aquellos píxeles que quedan ue a an o de la egión ob enida po la snake como de la imagen con ROI. Se puede calcula como la negación de la suma lógica de las imágenes ob enidas en TP, FP y FN. Supe poniendo el con o no de la ROI sob e el que se ha ob enido con el snake, se e cla amen e que egiones se co esponden a los TP, TN, FP y FN (Figu a 28). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 80 la can idad de FP disminuye. En la cu a ROC del caso, hay un pun o en el que el alo de la sensibilidad ha disminuido b uscamen e y la especi icidad no an o, sepa ándose de los ejes espec o al es o de los pun os, el mo i o se debe a que en la i e ación de alpha=-5 epen inamen e la can idad de FP disminuye, p edominando los TP y ajus ándose bas an e mejo al con o no. En el ango de alpha=1 has a alpha=5, el núme o de FN ha aumen ado conside ablemen e has a acaba ocupando el con o no o almen e, es deci , el snake ha colapsado. En la cu a ROC se ep esen a con los pun os con sensibilidad media y baja y especi icidad muy baja. Compa ando es e caso con el an e io (Figu a 30 y Figu a 32), se puede obse a que la cu a ROC del caso más des a o able (Figu a 32) iene más alo es de sensibilidad y especi icidad al os debido a que hay más i e aciones de alpha con al o ni el de FP. En ambos se ap ecia que con o me a aumen ando el alo de alpha, meno es la sensibilidad y especi icidad, has a que llega a un alo nulo de ambas, lo cual ocu e cuando oda la egión deseada es á comp endida po FN. Sin emba go, la conclusión más impo an e al compa a es os dos casos es que en el caso más a o able el ango de alo es de alpha que p opo cionaban un esul ado ap oximado al con o no deseado es aba comp endido en e -9 y 2, y en el caso menos a o able de -1 has a 5. Es deci , el ango de alo es admisibles de alpha ha disminuido conside ablemen e, y po ello es impo an e elegi un pa áme o alo óp imo de alpha. Figu a 32. Cu a ROC segundo caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 81 Figu a 33. Compa ación de con o nos segundo caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 82 3.2.2. Cálculo del alo óp imo de alpha La ob ención del alo óp imo de alpha es impo an e pa a ob ene unos buenos esul ados de segmen ación sin la necesidad de a ia es e pa áme o en odos los casos clínicos con los que se cuen a. Pa a ello, se ealiza una media ponde ada de la sensibilidad y la especi icidad ob enida pa a cada i e ación de alpha, dadas las ablas que se encuen an en el Anexo E, de o ma que se ob ienen los esul ados de la abla 3, Tabla 3. Valo es medios de sensibilidad y especi icidad po cada alo de alpha alpha sens espec2 -10 1 0,4480 -9 0,9996 0,4050 -8 0,9992 0,3696 -7 0,9988 0,3323 -6 0,9966 0,2769 -5 0,9879 0,2165 -4 0,9838 0,1386 -3 0,9737 0,0830 -2 0,9624 0,0219 -1 0,9394 0,0058 0 0,9250 0,0041 1 0,8083 0,0026 2 0,7164 0,0017 3 0,6256 0,0011 4 0,5274 0,0008 5 0,4138 0,0004 6 0,2457 0,0002 7 0,2083 0,0002 8 0,1548 0,0001 9 0,1016 0,0001 10 0,0739 0,0001 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 83 A pa i de es os da os se puede ep esen a la cu a ROC (Figu a 34), Figu a 34. Cu a ROC pa a alo es medios Con es a ep esen ación de la cu a ROC se puede calcula el á ea bajo la cu a (AUC), de o ma que se ha ob enido AUC= 0.9956, es deci , un alo excelen e en el ango de p ecisión de la cu a ROC. Pa a escoge el alo óp imo de alpha, se escoge una i e ación cuyo alo de sensibilidad sea al o y su especi icidad bajo, de o ma que se ob iene una asa de e o baja. Si se obse a la abla 3, se puede elegi alpha= -1 como el alo óp imo de alpha, con una sensibilidad de 0.9394 y especi icidad 0.0058, debido a que pa ece que la asa de e o de sensibilidad espec o a la especi icidad es la meno posible. Pa a pode analiza mejo la exac i ud del mé odo, p ime o se a a analiza los esul ados con una i e ación ce cana al pa áme o que se ha decidido como óp imo, po ejemplo, alpha= -2 con un alo de sensibilidad 0.9624 y de especi icidad 0.0219, que espec o con el alo alpha= -1 omado como óp imo aumen a lige amen e la sensibilidad pe o a la ez su especi icidad es mayo , lo cual p o oca una mayo asa de e o . SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 84 Se elige el alo alpha= -2 po se un alo ce cano al elegido como óp imo, y p opo ciona además unos buenos alo es de sensibilidad y especi icidad, de mane a que la compa ación de los esul ados ob enidos con ambos alo es p opo cione esul ados más obus os que jus i iquen la elección del pa áme o óp imo alpha= -1. En la Figu a 35, se ep esen a la cu a del Snake pa a cada caso con el pa áme o de alpha= -2, la cual se compa a con el con o no deseado en la Figu a 36. Se obse a que en algunos casos los esul ados son bas an e buenos, se ajus an bas an e al con o no obje i o, pe o en o os casos la can idad de alsos posi i os es bas an e g ande. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 85 Figu a 35. Snake ob enido con alpha=-2 en cada caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 86 Figu a 36. Supe posición de la snake con alpha=-2 y el con o no deseado SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 87 En un caso a o able, compa ando la i e ación de alpha= -2 con el alo elegido como óp imo, es deci , alpha= -1, se obse a que el con o no del snake apenas a ía (Figu a 37), debido la cu a ha e olucionado y ya se adap a co ec amen e al con o no deseado, y al y como se ha deducido eó icamen e, al llega a un con o no pa ecido al obje i o, el snake se alen iza. Figu a 37. Supe posición de con o nos a) imagen o iginal b) alpha=-2 c) alpha=-1 En un caso des a o able, compa ando la i e ación de alpha= -2 con el alo elegido como óp imo, es deci , alpha= -1, se obse a que el con o no del snake a ía conside ablemen e (Figu a 38), es o es debido la con aposición de lo an e io , es deci , como el snake es á lejos del con o no deseado, la cu a e oluciona ápidamen e. Figu a 38. Supe posición de con o nos a) imagen o iginal b) alpha=-2 c) alpha=-1 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 88 Los esul ados que se han ob enido con el alo óp imo de alpha=-1 se ep esen an en la Figu a 39 y 40. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 89 Figu a 39. Snake ob enido con alpha=-1 pa a cada caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 96 Lamas Rod íguez, J., Quesada Ba iuso, P., A güello, F., He as, D. B., & Bóo, M. (2012). P oyección del mé odo de segmen ación del conjun o de ni el en GPU. Li, C., Xu, C., Gui, C., & Fox, M. D. (2010). Dis ance Regula ized Le el Se E olu ion and I s. IEEE ansac ions on image p ocessing, 19(12), 3243- 3254. Ma hWo ks. (1994-2018). Ob enido de h ps://es.ma hwo ks.com/p oduc s/ma lab.h ml Mildenge , P., Eichelbe g, M., & Ma in, E. (2002). E. Eu Radiol. Ob enido de h ps://doi.o g/10.1007/s003300101100 Mi iche, A., & Ben Ayed, I. (2011). Va ia ional and Le el Se Me hods in Image Segmen a ion. Sp inge . Mum o d, D., & Shah, J. (1985). Bounda y de ec ion by minimizing unc ionals. P oceedings o IEEE con e ence on compu e ision and pa e n ecogni ion, 22-26. Mum o d, D., & Shah, J. (1989). Op imal app oxima ions by piecewise smoo h unc ions and associa ed a ia ional p oblems. Nicogua o. (2018). Wikimedia Commons. Ob enido de h ps://commons.wikimedia.o g/wiki/File:Le el_se _me hod.png#/media/F ile:Le el_se _me hod.png Olabe, X. B. (1998). Redes Neu onales A i iciales y sus Aplicaciones. Publicaciones de la Escuela de Ingenie os 101pp. Oshe , S., & Se hian, J. A. (1988). F on s p opaga ing wi h cu a u e dependen speed: Algo i hms based on hamil on-jacobi o mula ions. Jou nal o compu a ional physics, 12-49. Palomino, N. L., & Concha, U. R. (2009). Técnicas de segmen ación en p ocesamien o digi al de imágenes. Re is a de in es igación de Sis emas e In o má ica, 6(2),9-16. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 97 Pa k, S., & Goo, J. J. (2004). Recei e Ope a ing Cha ac e is ic (ROC) Cu e: P ac ical Re iew o Radiologis s. Ob enido de h ps://doi.o g/10.3348/kj .2004.5.1.11 Pé ez Segu a, P. (2017). SEOM. 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Selec ion o he Regula iza ion Pa ame e in he Amb osio-To o elli App oxima ion o he Mum o d-Shah Func ional o Image Segmen a ion. a Xi p ep in . a Xi :1706.06459. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 98 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 99 Anexos ANEXO A. CÓDIGO EN MATLAB Función DRSLE unc ion phi = d lse_edge(phi_0, g, lambda,mu, al a, epsilon, imes ep, i e , po en ialFunc ion) % Es e código MATLAB implemen a un modelo de con o nos ac i os como una % aplicación de DRSLE en el a ículo de los au o es C. Li, C. Xu, C. Gui, M. D. Fox, "Dis ance Regula ized Le el Se E olu ion and I s Applica ion o Image Segmen a ion", % IEEE T ans. Image P ocessing, ol. 19 (12), pp.3243-3254, 2010. % % Au ho : Chunming Li, all igh s ese ed % E-mail: [email p o ec ed] % [email p o ec ed] % URL: h p://www.imagecompu ing.o g/~cmli/ phi=phi_0; [ x, y]=g adien (g); %g adien e de la unción de bo des o k=1:i e phi=NeumannBoundCond(phi); [phi_x,phi_y]=g adien (phi); s=sq (phi_x.^2 + phi_y.^2); smallNumbe =1e-10; Nx=phi_x./(s+smallNumbe ); % añade un pequeño núme o posi i o pa a elimina la posibilidad de di isión en e ce o Ny=phi_y./(s+smallNumbe ); cu a u e=di (Nx,Ny); i s cmp(po en ialFunc ion,'single-well') SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 100 dis RegTe m = 4*del2(phi)-cu a u e; % compu a el é mino de dis ancia de egula ización con po encial simple p1 elsei s cmp(po en ialFunc ion,'double-well'); dis RegTe m=dis Reg_p2(phi); % compu a el é mino de dis ancia de egula ización con po encial doble p2 else disp('E o : W ong choice o po en ial unc ion. Please inpu he s ing "single-well" o "double-well" in he d lse_edge unc ion.'); end di acPhi=Di ac(phi,epsilon); %Función del a de Di ac a eaTe m=di acPhi.*g; % é mino de á ea ponde ada edgeTe m=di acPhi.*( x.*Nx+ y.*Ny) + di acPhi.*g.*cu a u e; %Té mino de longi ud ponde ada phi=phi + imes ep*(mu*dis RegTe m + lambda*edgeTe m + al a*a eaTe m); %Cálculo del uncional end unc ion = dis Reg_p2(phi) % compu a el é mino de dis ancia de egula ización con po encial doble [phi_x,phi_y]=g adien (phi); s=sq (phi_x.^2 + phi_y.^2); a=(s>=0) & (s<=1); b=(s>1); ps=a.*sin(2*pi*s)/(2*pi)+b.*(s-1); % compu a la de i ada de p ime o den del po encial doble dps=((ps~=0).*ps+(ps==0))./((s~=0).*s+(s==0)); d_p(s)=p'(s)/s. = di (dps.*phi_x - phi_x, dps.*phi_y - phi_y) + 4*del2(phi); unc ion = di (nx,ny) %Función g adien e [nxx,junk]=g adien (nx); [junk,nyy]=g adien (ny); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 101 =nxx+nyy; unc ion = Di ac(x, sigma) %Función del a de Di ac =(1/2/sigma)*(1+cos(pi*x/sigma)); b = (x<=sigma) & (x>=-sigma); = .*b; unc ion g = NeumannBoundCond( ) % Función que cumple las condiciones de con o no de Neumann [n ow,ncol] = size( ); g = ; g([1 n ow],[1 ncol]) = g([3 n ow-2],[3 ncol-2]); g([1 n ow],2:end-1) = g([3 n ow-2],2:end-1); g(2:end-1,[1 ncol]) = g(2:end-1,[3 ncol-2]); Sc ip ejecu able % Au ho : Chunming Li, all igh s ese ed % E-mail: [email p o ec ed] % [email p o ec ed] % URL: h p://www.imagecompu ing.o g/~cmli// %Se ha ealizado una adap ación del código de Chunming Li aumen ando las unciones de es e con a iaciones del alo del pa áme o alpha, ep esen ando la e olución del snake en cada caso. Además, se a an las imágenes dadas con ROI ob eniendo únicamen e su con o no y el con o no del snake pa a luego comp oba la iabilidad del mé odo ep esen ando un con o no sob e o o y dibujando la cu a ROC po cada i e ación de alpha. clea all; close all; %Lec u a de la imagen con ROI imagen=im ead('m5.png'); [m,n,p]=size(imagen); im =imagen(:,:,1:3); %De inición de los es canales de la imagen SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 102 imshow(im ); img=ze os(m,n); %C eación de una ma iz de ce os o i=1:m o j=1:n %Se asigna R,G,B a cada canal R=im (:,:,1); G=im (:,:,2); B=im (:,:,3); i (B(i,j)~=1 && B(i,j)~=255) %Condición de bina ización y segmen ación de con o no img(i,j)=1; else img(i,j)=0; end end end imshow(img); Img=dicom ead('m5'); %lec u a de la imagen Img=double(Img(:,:,1)); Img=im esize(Img, [256 256]) %% Con igu ación de pa áme os imes ep=1; % ime s ep mu=0.2/ imes ep; % coe icien e del é mino de la dis ancia egula ización, R(phi) i e _inne =50; %i e aciones in e nas i e _ou e =20; %i e aciones ex e nas lambda=5; % coe icien e de peso del é mino longi ud L(phi) i=1; o alpha=-10:10 %Va iación de los alo es de alpha, coe icien e de peso del é mino de á ea A(phi) al a=alpha+1; % inc emen o de alpha en cada i e ación epsilon=1.5; % pa áme o que especi ica el ancho de in eg al de línea de la unción del a de Di ac SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 103 sigma=1.8; % pa áme o de des iación es ánda en el il o Gaussiano H= special('gaussian',20,sigma); % Fil o Gaussiano Img_smoo h=con 2(Img,H,'same'); % Con olución de la imagen il ada sua izada [Ix,Iy]=g adien (Img_smoo h); %Fo mulación del g adien e =Ix.^2+Iy.^2; g=1./(1+ ); % Función indicado de bo des % Inicialización de LSF como una unción bina ia escalón c0=2; ini ialLSF = c0*ones(size(Img)); % Gene a la egión inicial R0 como ec ángulos ini ialLSF(124:158,94:122)=-c0; ini ialLSF(145:157,76:95)=-c0; phi=ini ialLSF; igu e(1); mesh(-phi); % Pa a pode e lo mejo , se ep esen a LSF g á icamen e hold on; con ou (phi, [0,0], ' ','LineWid h',2); i le('Ini ial le el se unc ion'); iew([-80 35]); igu e(2); %Rep esen ación en la imagen de los ec ángulos de inidos imagesc(Img,[0, 255]); axis o ; axis equal; colo map(g ay); hold on; con ou (phi, [0,0], ' '); i le('Ini ial ze o le el con ou '); pause(0.5); po en ial=2; i po en ial ==1 po en ialFunc ion = 'single-well'; % usa el po encial simple p1(s)=0.5*(s- 1)^2 elsei po en ial == 2 po en ialFunc ion = 'double-well'; % usa el po encial doble else po en ialFunc ion = 'double-well'; % po de ec o se usa el po encial doble SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 104 end % Inicio de la e olución del Le el Se o n=1:i e _ou e phi = d lse_edge(phi, g, lambda, mu, al a, epsilon, imes ep, i e _inne , po en ialFunc ion); i mod(n,2)==0 igu e(2); imagesc(Img,[0, 255]); axis o ; axis equal; colo map(g ay); hold on; con ou (phi, [0,0], ' '); end end % Re inamien o del con o no de Le el Se ce o a pa i de p omo e la e olución de la cu a con al a=0 al a=0; i e _ e ine = 10; phi = d lse_edge(phi, g, lambda, mu, al a, epsilon, imes ep, i e _inne , po en ialFunc ion); inalLSF=phi; igu e(2); imagesc(Img,[0, 255]); axis o ; axis equal; colo map(g ay); hold on; con ou (phi, [0,0], ' '); hold on; con ou (phi, [0,0], ' '); %Rep esen ación de la cu a del snake adap ada en la imagen, con el %núme o de i e aciones especi icadas s =['Final ze o le el con ou , ', num2s (i e _ou e *i e _inne +i e _ e ine), ' i e a ions']; i le(s ); igu e; mesh(- inalLSF); % Pa a pode e mejo la e olución del LSF, se dibuja en una g á ica, indicando ambién el núme o de i e aciones que han sido necesa ias hold on; con ou (phi, [0,0], ' ','LineWid h',2); iew([-80 35]); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 105 s =['Final le el se unc ion, ', num2s (i e _ou e *i e _inne +i e _ e ine), ' i e a ions']; i le(s ); axis on; [n ow, ncol]=size(Img); axis([1 ncol 1 n ow -5 5]); se (gca,'ZTick',[-3:1:3]); se (gca,'Fon Size',14) bwims=( inalLSF<0); %Decla ación de la imagen con el con o no LSF e olucionado im=logical(img); im2=bwp op il (im,'A ea',1); %Ex ae el á ea más g ande de la imagen con ca ac e ís icas comunes imb=bwmo ph(im2,' ill'); %Rellenado de huecos bwim2=im ill(imb,'holes');%Con o no deseado elleno de la imagen ROI %CURVA ROC imTP=bwim2 & bwims; %Cálculo lógico de los TP: in e sección imFN=bwim2>imTP; %Cálculo lógico de los FN: Res a lógica imagen ROI y los TP imshow(imFN); imshow(imTP); imFP=bwims>imTP; %Cálculo lógico de los FP: Res a lógica imagen snake ob enida y los TP imshow(imFP); imTN= ~(imTP | imFN | imFP);%Cálculo lógico de los TN imshow(imTN); IM= 1*imTP + 2*imFN + 3*imFP; %cyan TP, ojo FN, neg o FP, blanco TN map=[0 1 1;1 0 0;0 0 0]; cmap=colo map(map); IMcolo = label2 gb(IM, cmap, 'w'); imshow(IMcolo ); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 112 [m,n]= size( 13); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ 13(i,7); end [m,n]= size( 14); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ 14(i,7); end [m,n]= size( 15); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ 15(i,7); end [m,n]= size( 16); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ 16(i,7); end [m,n]= size( 17); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ 17(i,7); end [m,n]= size( m1); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ m1(i,7); end [m,n]= size( m2); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ m2(i,7); end [m,n]= size( m3); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ m3(i,7); end [m,n]= size( m4); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 113 i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ m4(i,7); end [m,n]= size( m5); i (m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+ m5(i,7); end media2(i,7)=suma2(i,7)/18; end media=media(:,6); media2=media2(:,7); plo (media2,media,'o-'); %Rep esen ación de la cu a ROC i le('Media a i mé ica pa a cada alpha'); ylabel('Sensibilidad'); xlabel('Especi icidad'); axis squa e; xlim([0 1]); %Pone la g a ica del mismo amaño ylim([0 1]); alpha=-10:10; alpha=alpha'; sens=media; espec2=media2; abla= able(alpha,sens,espec2); %Ob ención de la abla SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 114 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 115 ANEXO B. IMÁGENES DE REFERENCIA CON ROI Figu a 41. Imágenes de e e encia con ROI SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 116 ANEXO C. REPRESENTACIÓN DE LA CURVA ROC Figu a 42. Cu as ROC ob enidas de cada imagen SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 117 ANEXO D. VALORES DE AUC Tabla 4. Valo es de AUC ob enidos pa a cada imagen AUC= 0.9988 AUC = 0.9989 AUC = 0.9975 AUC = 0.9998 AUC = 0.9998 AUC= 0.9997 AUC = 0.9994 AUC = 0.9997 AUC = 1.0000 AUC = 0.9998 AUC =0.9993 AUC = 0.9998 AUC = 0.9997 AUC = 0.9960 AUC = 0.9997 AUC = 0.9995 AUC = 0.9990 AUC= 0.9998 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 118 ANEXO E. TABLAS OBTENIDAS CON LOS PARÁMETROS NECESARIOS PARA LA CURVA ROC alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 1014 30766 33756 0 1 0,52317039 -9 1014 34731 29791 0 1 0,46171848 -8 1014 36384 28138 0 1 0,43609931 -7 1014 37397 27125 0 1 0,42039924 -6 1014 39850 24672 0 1 0,3823812 -5 1014 46091 18431 0 1 0,28565451 -4 1014 60516 4006 0 1 0,06208735 -3 1014 61109 3413 0 1 0,05289669 -2 1014 63456 1066 0 1 0,0165215 -1 1014 63642 880 0 1 0,01363876 0 1014 63752 770 0 1 0,01193391 1 1004 64094 428 10 0,99013807 0,0066334 2 975 64166 356 39 0,96153846 0,0055175 3 857 64234 288 157 0,84516765 0,00446359 4 831 64312 210 183 0,81952663 0,0032547 5 277 64433 89 737 0,27317554 0,00137937 6 38 64506 16 976 0,03747535 0,00024798 7 4 64510 12 1010 0,00394477 0,00018598 8 4 64510 12 1010 0,00394477 0,00018598 9 4 64510 12 1010 0,00394477 0,00018598 10 0 64522 0 1014 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 1625 36061 27850 0 1 0,43576223 -9 1625 38012 25899 0 1 0,40523541 -8 1625 39464 24447 0 1 0,38251631 -7 1625 42020 21891 0 1 0,3425232 -6 1625 47060 16851 0 1 0,26366353 -5 1625 49824 14087 0 1 0,22041589 -4 1625 52732 11179 0 1 0,17491512 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 119 -3 1625 53181 10730 0 1 0,16788972 -2 1625 63210 701 0 1 0,01096838 -1 1619 63429 482 6 0,99630769 0,00754174 0 1617 63457 454 8 0,99507692 0,00710363 1 1604 63612 299 21 0,98707692 0,00467838 2 1559 63646 265 66 0,95938462 0,00414639 3 959 63743 168 666 0,59015385 0,00262866 4 338 63835 76 1287 0,208 0,00118915 5 91 63911 0 1534 0,056 0 6 0 63911 0 1625 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 1013 16648 47875 0 1 0,74198348 -9 1013 20611 43912 0 1 0,68056352 -8 1013 24386 40137 0 1 0,62205725 -7 1013 29936 34587 0 1 0,53604141 -6 1013 33778 30745 0 1 0,47649675 -5 1013 41473 23050 0 1 0,35723695 -4 1013 44831 19692 0 1 0,3051935 -3 1001 52669 11854 12 0,988154 0,18371743 -2 999 59882 4641 14 0,98617966 0,07192784 -1 984 63611 912 29 0,97137216 0,01413449 0 950 64060 463 63 0,93780849 0,00717574 1 878 64234 289 135 0,86673248 0,00447902 2 620 64357 166 393 0,61204344 0,00257273 3 0 64523 0 1013 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 518 41458 23560 0 1 0,36236119 -9 518 43409 21609 0 1 0,33235412 -8 518 44627 20391 0 1 0,31362084 -7 518 45619 19399 0 1 0,29836353 -6 518 48058 16960 0 1 0,26085084 -5 518 50246 14772 0 1 0,22719862 -4 518 62221 2797 0 1 0,04301886 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 120 -3 517 64623 395 1 0,9980695 0,00607524 -2 516 64666 352 2 0,996139 0,00541389 -1 514 64774 244 4 0,99227799 0,00375281 0 513 64851 167 5 0,99034749 0,00256852 1 509 64864 154 9 0,98262548 0,00236857 2 493 64957 61 25 0,95173745 0,0009382 3 487 64962 56 31 0,94015444 0,0008613 4 480 64964 54 38 0,92664093 0,00083054 5 474 64968 50 44 0,91505792 0,00076902 6 466 64973 45 52 0,8996139 0,00069212 7 460 64977 41 58 0,88803089 0,00063059 8 452 64981 37 66 0,87258687 0,00056907 9 156 65011 7 362 0,3011583 0,00010766 10 0 65018 0 518 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 829 36998 27709 0 1 0,4282226 -9 829 38795 25912 0 1 0,40045126 -8 829 41182 23525 0 1 0,3635619 -7 829 42762 21945 0 1 0,33914414 -6 829 45770 18937 0 1 0,29265767 -5 829 48880 15827 0 1 0,24459487 -4 829 49961 14746 0 1 0,22788879 -3 829 55173 9534 0 1 0,14734109 -2 829 64045 662 0 1 0,01023073 -1 829 64215 492 0 1 0,00760351 0 826 64314 393 3 0,99638118 0,00607353 1 825 64377 330 4 0,99517491 0,00509991 2 820 64400 307 9 0,98914355 0,00474446 3 811 64584 123 18 0,97828709 0,00190088 4 808 64595 112 21 0,97466828 0,00173088 5 640 64644 63 189 0,77201448 0,00097362 6 0 64707 0 829 0 0 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 121 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 169 31986 33381 0 1 0,51067052 -9 169 34232 31135 0 1 0,47631068 -8 169 36729 28638 0 1 0,43811097 -7 169 40026 25341 0 1 0,38767268 -6 169 43149 22218 0 1 0,33989628 -5 169 48468 16899 0 1 0,25852494 -4 169 55041 10326 0 1 0,15796962 -3 147 65191 176 22 0,86982249 0,00269249 -2 139 65297 70 30 0,82248521 0,00107088 -1 119 65337 30 50 0,70414201 0,00045895 0 114 65340 27 55 0,67455621 0,00041305 1 105 65343 24 64 0,62130178 0,00036716 2 105 65348 19 64 0,62130178 0,00029067 3 94 65353 14 75 0,55621302 0,00021418 4 88 65354 13 81 0,52071006 0,00019888 5 59 65360 7 110 0,34911243 0,00010709 6 19 65366 1 150 0,11242604 1,5298E-05 7 0 65367 0 169 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 423 44606 20507 0 1 0,31494479 -9 423 45180 19933 0 1 0,30612934 -8 423 45748 19365 0 1 0,29740605 -7 423 47678 17435 0 1 0,26776527 -6 423 51949 13164 0 1 0,20217161 -5 423 53547 11566 0 1 0,17762966 -4 423 55646 9467 0 1 0,14539339 -3 422 64571 542 1 0,99763593 0,00832399 -2 422 64680 433 1 0,99763593 0,00664998 -1 420 64786 327 3 0,9929078 0,00502204 0 420 64796 317 3 0,9929078 0,00486846 1 418 64827 286 5 0,98817967 0,00439236 2 397 64983 130 26 0,93853428 0,00199653 3 370 65011 102 53 0,87470449 0,00156651 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 128 -3 654 51684 13198 0 1 0,20341543 -2 654 57852 7030 0 1 0,10835054 -1 654 64262 620 0 1 0,00955581 0 654 64526 356 0 1 0,00548688 1 0 64882 0 654 0 0