Análisis comparativo de modelos Strip-Yield en crecimiento de grietas por fatiga aleatoria

Universidad de Málaga Tesis Doctoral Análisis Comparativo de Modelos Strip-Yield en Crecimiento de Grietas por Fatiga Aleatoria José Alberto Martín Romero Directora de Tesis Dra. Belén Moreno Morales Málaga, 2015 AUTOR: José Alberto Martín Romero http://orcid.org/0000-0002-1394-2414 EDITA: Publicaciones y Divulgación Científica. Universidad de Málaga Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercialSinObraDerivada 4.0 Internacional: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode Cualquier parte de esta obra se puede reproducir sin autorización pero con el reconocimiento y atribución de los autores. No se puede hacer uso comercial de la obra y no se puede alterar, transformar o hacer obras derivadas. Esta Tesis Doctoral está depositada en el Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga (RIUMA): riuma.uma.es Tesis Doctoral Análisis Comparativo de Modelos Strip-Yield en Crecimiento de Grietas por Fatiga Aleatoria ÁREA DE CIENCIA DE MATERIALES E INGENIERÍA METALÚRGICA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL, DE MATERIALES Y FABRICACIÓN UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Para la obtención del Grado de Doctor por la Universidad de Málaga Málaga, 2015 Dª Belén Moreno Morales, Profesora Titular de Universidad de la Universidad de Málaga, como Directora de la Tesis Doctoral Análisis Comparativo de Modelos Strip-Yield en Crecimiento de Grietas por Fatiga Aleatoria presentada por D. José Alberto Martín Romero en la ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES de la UNIVERSIDAD DE MÁLAGA para la obtención del Grado de Doctor, Hace constar que dicha tesis cumple las condiciones necesarias para su defensa ante el tribunal que designe la Comisión de Doctorado de la Universidad de Málaga. En Málaga, a 16 de Noviembre de 2015 Fdo Dra Belén Moreno Morales A Carmen , Alberto y Consuelo. Agradecimientos En mi primer lugar agradecer a mi directora Belén Moreno Morales que me brindara la oportunidad de realizar un trabajo sobre un tema que me había interesado hace años y el apoyo y la ayuda mostrados a lo largo de la realización de esta tesis. Es personal, no es trabajo. A D. José Zapatero por enseñarme este campo de trabajo en unos años que siempre recordaré. A mi familia, chica y grande, por el tiempo que les debo y que les pagaré con enorme placer. ii Fig. 2.6. Condiciones en las que se determina el K asociado a Smin en el vértice y que sirve de referencia para establecer el valor efectivo. _______________________ 56 Fig. 2.7. Acotación de la variable directora de Donald mediante los métodos 2/  y 2/  0 . 58 Fig. 2.8. Ensayo de Telesman de mecanización del recorrido de la grieta y sus efectos sobre los niveles de apertura. _______________________________________ 59 Fig. 2.11. Problemas elásticos resueltos en el modelo de Dugdale. __________ 76 Fig. 2.13. Discretización de la zona plástica en el frente de la grieta. _________ 77 Fig. 2.14. Discretización de estela plástica, y zona plástica de frente de grieta en elementos-barra. Comportamiento ante Smáx y Smín. _________________________ 78 Fig. 2.15. Secuencia de cargas en el cálculo de Sop entre una actualización y otra. 80 Fig. 2.16. Diagrama de flujo para el cálculo y actualización de las tensiones de cierre. 82 Fig. 3. 1. Modos de crecimiento . _______________________________________ 93 Fig. 3. 2. Zona de transición y variación del factor de constricción ____________ 94 Fig. 3. 3. Variación del factor de constricción en el modelo VCL . ______________ 95 Fig. 3. 4. Perfil de los ensayos de amplitud constante y variable simulados por Skorupa.[10]. 96 Fig. 3. 5. Ajuste de datos de crecimiento mediante la ecuación de Nasgro. Skorupa . 97 Fig. 3. 6. a)Valores efectivos de crecimiento obtenidos desde la expresión de Newman con α=2 para el aluminio D16. Skorupa.. ____________________________ 98 Fig. 3. 7. a) Ecuación por tramos lineales introducido para el aluminio D16, b) Inestabilidades en la simulación de A.C. con modelo CCL y c) Simulación de A.C. con modelo VCL. Skorupa.. ___________________________________________________ 99 Fig. 3. 8. a)Valores efectivos de crecimiento obtenidos desde la expresión de Newman con α=2 para Al 2024-T3 (espesor 2 mm), y b) Simulaciones de A.C. con datos de crecimiento desde tabla.. Skorupa.. _____________________________________ 100 Fig. 3. 9. Simulaciones para la selección de α en el modelo VCL para C.A. y R = - 0.67 en AL 2024-T3: a) Comparación de estimaciones de vida con las de ensayo, y b) Estimaciones de velocidades de crecimiento en función de α. Skorupa. ___________ 101 Fig. 3. 10. Predicciones de vida con Nasgro / Vida de ensayos a A.C. en aleación D16, con los modelos CCL y VCL. Velocidades definidas mediante ecuación. Skorupa . ___ 102 Fig. 3. 11. Comparación entre resultados de ensayos a A.C.y predicciones para D16 con velocidad de crecimiento definida mediante ecuación: a) velocidades de crecimiento, y b) curvas a / N. Skorupa.. ____________________________________ 102 Fig. 3. 12. Comparación entre curvas a / N de ensayos y de simulaciones con modelos CCL y VCL para los tres tipos de test de amplitud variable en D16. Velocidades de crecimiento definidas mediante ecuación. Skorupa.___________________________ 103 Fig. 3. 13. Comparación entre velocidades de crecimiento promediadas ensayadas y predichas bajo secuencia de cargas de miniFALSTAFF para aleación D 16 con definición de velocidades por ecuación. Skorupa.[10]. _________________________________ 103 Fig. 3. 14. Estimaciones de vida con Nasgro / Vida registrada ante secuencia miniFALSTAFF en aleación D16, modelos CCL y VCL. Velocidades definidas mediante ecuación. Skorupa _____________________________________________________ 104 Fig. 3. 15. Estimaciones de vida con Nasgro / Vida de ensayos a A.C. en aleación D16, modelos CCL y VCL. Velocidades definidas desde tabla. Skorupa [10]. ____________ 104 Fig. 3. 16. Estimaciones de vida con Nasgro / Vida de ensayos a A.C. en aleación 2024-T3, con los modelos CCL y VCL. Velocidades definidas mediante tabla. Skorupa . 105 Fig. 3. 17. Comparación frente a ensayos de A.V. tipo II de simulaciones con modelo VCL, tanto en vida final como en velocidades de crecimiento. Datos de velocidad aportados por tabla. AL 2024-T3. Skorupa __________________________________ 106 Fig. 3. 18. Comparación frente a ensayos de A.V. tipo II de simulaciones con modelo VCL, tanto en vida final como en velocidades de crecimiento. Datos de velocidad aportados por tabla. AL 2024-T3. Skorupa __________________________________ 107 Fig. 3. 19. Extracción de probeta C(T) desde probeta M(T) de aleación D16. Detalle de la entalla practicada sobre probeta M(T) en los ensayos originales. Ziegler [12].. ___ 110 Fig. 3. 20. Datos de crecimiento a A.C. para probetas C(T) y M(T) de aleación D16. Ziegler [12]. 111 Fig. 3. 21. Procedimiento para establecer el valor del factor de constricción preliminar. Probetas C(T) y M(T) de aleación D16. Ziegler _____________________ 112 Fig. 3. 22. Datos de crecimiento a A.C. en valores efectivos para probetas C(T) y M(T) de aleación D16. Ziegler . ________________________________________________ 113 Fig. 3. 23. Pruebas de sensibilidad a sobrecargas en probetas C(T) y M(T) para la determinación del factor de constricción. Aleación D16. Ziegler _________________ 114 iv Fig. 3. 24. Correcciones al factor de constricción de compresión “β” en el transitorio hasta la estabilización del crecimiento de grietas que emanan de entalla visible. Ziegler . 115 Fig. 3. 25. Comparación predicciones / ensayos de vidas a-N en probeta C(T) - D16: a) Cargas A.C., y b) Registro aleatorio miniFALSTAF+. Ziegler . ____________________ 116 Fig. 3. 26. Comparación predicciones / ensayos de vidas a-N en probeta C(T) - D16: a) Cargas A.C., y b) Cargas A.V. Yamada ______________________________________ 117 Fig. 3. 27. Comparación predicciones / ensayos con registro miniFALSTAFF. Vidas a-N en probeta C(T) - D16: a) Modelo original, y b) Modelo modificado. Yamada ______ 118 Fig. 3. 28. (a) Forma de las funciones de densidad espectral; (b) Secuencia de picos y valles del proceso AH; (c) Secuencia de picos y valles del proceso AL _____________ 120 Fig. 3. 29. Velocidades de crecimiento de los ensayos de amplitud constante ___ 122 Fig. 3. 30. (a) velocidades de crecimiento frente al factor de intensidad de tensiones, (b) velocidades de crecimiento frente al factor de intensidad de tensiones efectivo _ 125 Fig. 3. 31. Relación entre la vida estimada y la experimental ________________ 127 Fig. 3. 32. Curvas a-N obtenidas experimentalmente y por simulación para diferentes historias de carga en los procesos de alto nivel de carga. ______________________ 128 Fig. 3. 33. (a) Evolución de la velocidad de crecimiento en ensayo para dos historias de carga del proceso CH; (b) Detalle de las curvas da/dN-  Keff __________________ 129 Fig. 3. 34. Curvas a-N obtenidas experimentalmente y por simulación para diferentes historias de carga en los procesos de bajo nivel de carga. ______________________ 130 Fig. 3. 35. Relación entre desviación estándar de vida estimada y experimental 131 Fig. 3. 36. Vidas normalizadas _________________________________________ 134 Fig. 3. 37. Evolución de las velocidades de crecimiento obtenidas experimentalmente y por simulación en NASGRO para la historia de carga CH25-11. ________________ 135 Fig. 3. 38. Comparación de efectos en la curva a – N de ensayo y simulación de los efectos de una sobrecarga para α = 2.85. Skorupa [11]. _______________________ 137 Fig. 3. 39. Comparación de la evolución de ΔK normalizado con α para modelos CCL y VCL, y la ecuación de Newman. Skorupa [11].. _______________________________ 138 Fig. 4. 1. Desplazamiento en ΔKeff propuesto por Moreno para considerando mecanismos de cierre alternativos al PICC desde FASTRAN. ____________________ 144 Fig. 4. 2. Registros para R 0.1 y 0.5 en probetas CT, espesores 4 y 12 mm. y Al 2024T351. Zonas de inicio y fin de transición en T4R0.1. ___________________________ 145 Fig. 4. 3. Posibles evoluciones en el mecanismo de crecimiento partiendo de crecimiento plano: crecimiento con simple o doble labio de cortadura [23] . _______ 145 Fig. 4. 4. Curva de crecimiento de grieta a fatiga bajo A.C. de Al 2024-T351 [7]. 148 Fig. 4. 5. Registros para R 0.1 y 0.5 en probetas CT, espesores 4 y 12 mm y Al 2024T351. Zonas de inicio y fin de transición compartidas para T4. __________________ 149 Fig. 4. 6. ΔK frente a da/dN para CT y CCT en Al D16Cz [24] . ________________ 152 Fig. 4. 7. ΔKeff para Al 7075-T351 [18] __________________________________ 153 Fig. 4. 8. ΔKeff para Al 2024-T351 con espesores de 3, 6 y 14 mm. [20] . _______ 154 Fig. 4. 9. Uso de datos de crecimiento del Al 2024-T3 para completar la curva de crecimiento del Al D16 [25] . _____________________________________________ 154 Fig. 4. 10. Datos de partida de registros Al 2024-T351 ______________________ 159 Fig. 4. 11. Datos de partida de registros Al 2024-T3 ________________________ 159 Fig. 4. 12. Curva de crecimiento genérica para Al 2024-T351. ________________ 162 Fig. 4. 13. Ajuste de curva de crecimiento con factor de restricción constante, no considerando transición de estados [27] . ___________________________________ 163 Fig. 4. 14. Composición de la curva de crecimiento en valores efectivos. ________ 166 Fig. 4. 15. Ficha del registro 9.5mm R=0.1, CT Al 2024-T351 _________________ 168 Fig. 4. 16. Ficha del registro 4.57mm R=0.1, MT Al 2024-T351 ________________ 169 Fig. 4. 17. Posiciones de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. n=3.05. 2024-T351 ____________________________________________________ 174 Fig. 4. 18. Posiciones de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. n=3.05. (incluyendo corrección - método 2/π). 2024-T351. _____________________ 174 Fig. 4. 19. Posiciones de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. (n=3.05). 2024-T3 ______________________________________________________ 175 Fig. 4. 20. Posiciones de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. (n=3.05). (incluyendo corrección - método 2/π. 2024-T3 _______________________ 175 Fig. 4. 21. Posiciones Finales de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. (incluyendo corrección - método 2/π). CT 2024-T351 (n=2.906) _________ 177 Fig. 4. 22. Posiciones Finales de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. (incluyendo corrección - método 2/π). CCT 2024-T351 (n=2.906) ________ 177 Fig. 4. 23. Posiciones Finales de las rectas Paris propuestas desde el programa FASTRAN. (incluyendo corrección - método 2/π). CCT 2024-T3 (n=2.906) __________ 178 Fig. 4. 24. Diversas geometrías de probeta y ambos Aluminios con R=0.1 _______ 179 Fig. 4. 25. Diversas geometrías de probeta y ambos Aluminios con R=0.5 _______ 180 vi Fig. 4. 26. Relación da/dN –Espesor para el inicio de Paris-1 _________________ 181 Fig. 4. 27. Relación KMáx –Espesor para el inicio de Paris-1 ___________________ 181 Fig. 4. 28. Relación( da/dN) /(1-R)–Espesor para el inicio de Transición. ________ 182 Fig. 4. 29. Relación Kmáx - Espesor para el inicio de Transición. ______________ 183 Fig. 4. 30. Relación da/dN – Radio Plástico para el inicio de Transición _________ 183 Fig. 4. 31. Relación Radio Plástico – Espesor para el Inicio de Transición _______ 183 Fig. 4. 32. Relación da/dN – Log(Radio Plástico)/Log(Espesor) para Inicio de Transición. 183 Fig. 4. 33. Relación da/dN – Espesor para Inicio de Transición _______________ 184 Fig. 4. 34. Relación KmáxEspesor para Inicio de Paris-2 ____________________ 186 Fig. 4. 35. Relación da/dNEspesor para Inicio de Paris-2 ___________________ 187 Fig. 4. 36. Efectivos según deformación plana. 2024-T351. C(T). ______________ 188 Fig. 4. 37. Efectivos según deformación plana. 2024-T351. M(T). _____________ 189 Fig. 4. 38. Efectivos según deformación plana. 2024-T3. M(T). _______________ 189 Fig. 4. 39. Ficha de registro 6.35 R0.4 CT 2024-T351. _______________________ 190 Fig. 4. 40. Relación Kmáx -- Espesor para P.I. _____________________________ 191 Fig. 4. 41. Relación da/dNEspesor para P.I. ______________________________ 191 Fig. 4. 42. Relación da/dNR para P.I. ___________________________________ 192 Fig. 4. 43. Relación Pendiente P.I. - R ____________________________________ 192 Fig. 4. 44. Relación Kmax-R para P.I. ____________________________________ 193 Fig. 4. 45. Inicio de efectos de Kc en función del espesor. ___________________ 194 Fig. 4. 46. Evolución FCK según espesores y Parámetros de FKC 2024-T351 C(T) _ 196 Fig. 4. 47. Velocidades de crecimiento efectivas – desafectadas FKC. 2024-T351 C(T) 197 Fig. 4. 48. Evolución FCK según espesores y Parámetros de FKC 2024-T351 M(T) _ 197 Fig. 4. 49. Veloc. de crecimiento efectivas –desafectadas FKC.2024-T351.M(T) __ 198 Fig. 4. 50. Evolución FCK según espesores y Parámetros de FKC 2024-T3 M(T) ___ 198 Fig. 4. 51. Veloc. de crecimiento efectivas – desafectadas FKC.2024-T3 M(T) ____ 199 Fig. 5. 1. Desarrollo de simple o dobles labios de cortantes (shear-mode) desde crecimiento plano (tensile-mode) en la transición de tensión a deformación plana[5] 206 Fig. 5. 2. Capacidad de predicción a amplitud constante por parte de los modelos CCL y VCL. Skorupa [1]. _________________________________________________ 208 Fig. 5. 3. Valores efectivos-normalizados de K en función de R para los modelos CCL y VCL . Skorupa [1]. ____________________________________________________ 210 Fig. 5. 4. Valores efectivos-normalizados de K en función de R obtenido desde simulaciones FASTRAN para condiciones similares a las ensayadas por Skorupa. En negro los valores de FASTRAN, en rojo los transformados mediante el método 2/π _ 210 Índice de tablas Tabla 2.1. Comparativa de modelos de predicción de crecimiento de grieta a fatiga ______ 74 Tabla 3. 1. ________________________ 120 Tabla 3. 2. Parámetros estadísticos de la vida a fatiga en cada serie de ensayos. _ 121 Tabla 3. 3. Parámetros de la ecuación NASGRO ____________________________ 123 Tabla 3. 4. Ley de crecimiento da/dN - ∆Kef propuesta ______________________ 125 Tabla 3. 5. Parámetros estadísticos de los resultados experimentales y simulados 132 Tabla 3. 6. Varianzas de log NC, log NS y log NCS ____________________________ 133 Tabla 3. 7. Varianzas de log NS obtenidas de los resultados simulados __________ 134 Tabla 4. 1. Nomenclatura empleada para designar los registros. ______________ 158 Tabla 4. 2. Características básicas del conjunto de probetas tratadas. __________ 160 Tabla 4. 3. Sector de la tabla general de registros correspondiente a CT T351. ___ 167 Tabla 4. 4. Sector del cuadro de pendientes de probetas CT, Al 2024-T351. _____ 172 Tabla 4. 5. Valores del coeficiente “C1” para materiales y probetas. ___________ 178 Tabla 4. 6. Valores de K de inicio de efectos de Kc (MPa(mm)1/2). ______________ 194 Tabla 4. 7. Parámetros de FKC para 2024-T351 C(T) ________________________ 196 Tabla 4. 8. Parámetros de FKC para 2024-T3 M(T) __________________________ 198 i MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS DE LA TESIS Motivación La aplicación de acciones variables sobre elementos de sistemas mecánicos o estructurales puede dar lugar a la aparición de pequeñas grietas en el material, que muy frecuentemente progresan en su crecimiento a través de una, cada vez menor, sección resistente del elemento. El final de este proceso, denominado “fatiga de los materiales”, resulta evidente, la rotura del elemento, lo que no son tan claros son los motivos de la aparición de esas grietas, las circunstancias en las que progresan o no la microgrietas creadas, los distintos mecanismos de crecimiento que puedan presentarse a lo largo del proceso de crecimiento, etc. Son muchos los factores que contribuyen a que las dudas que rodean a la fatiga persistan; los efectos de una inevitable heterogeneidad del material en las primeras etapas de nacimiento y formación de las microgrietas, la acentuada sensibilidad del fenómeno a la elaboración, tratamientos y mecanizados del material, las características del régimen de cargas, la geometría del elemento, la temperatura, la humedad, etc. Igualmente son elevadísimos los costes que conlleva para la sociedad el fenómeno de fatiga, no ya por los daños de las roturas provocadas, sino por el sobredimensionado sistemático al que obligan en el diseño de elementos. Esto es lo que justifica los esfuerzos que vienen realizándose por avanzar en el conocimiento de los fundamentos y modelos explicativos de la fatiga, en la elaboración de programas y modelos de crecimiento que permitan estimar la evolución de las grietas en crecimiento, y en la caracterización del comportamiento de grieta. De los numerosos modelos numéricos desarrollados, debe ser destacado el “Strip Yield Model” de Newman [2] presentado en 1981 e implementado en el programa FASTRAN-II [3] que establece los fundamentos y algoritmos de cálculo de algunos de los modelos más extendidos en uso en la actualidad: los modelos de crecimiento del programa NASGRO [4] y las actualizaciones del FASTRAN-II. ii Motivación y objetivos de la tesis El programa NASGRO es desarrollado en 1986 en la NASA convirtiéndose en la década de los 90 en un esfuerzo conjunto de las agencias espaciales NASA y ESA. En 1998 se comercializa sin restricciones, incorporando dos modelos alternativos de crecimiento de grieta evolucionados desde el FASTRAN y que, aun manteniendo un núcleo común, se diferencian entre sí tanto en conceptos como en procedimientos, pudiendo dar lugar a sensibles variaciones en las predicciones. Cada modelo es predominantemente el empleado por una agencia espacial y sus contratistas en las sucesivas versiones hasta el actual NASGRO 7. Desde que fuera tomado como referencia básica para los modelos del programa NASGRO Newman ha incorporado ligeras actualizaciones al FASTRAN-II, siendo igualmente publicadas varias modificaciones de otros autores. Son muy numerosas las referencias sobre la aplicación y evaluación de estos modelos Strip Yield al haber sido las últimas dos décadas los más extensamente aplicados, algunas críticas, pero la mayor parte de ellas positivas; consistiendo en la aplicación de alguna de las opciones de simulación a una geometría y espesor concretos y bajo un determinado régimen de cargas. En 2007, Skorupa [64] lleva a cabo una evaluación de las utilidades que incluye el programa Nasgro, probando las distintas opciones que ofrece en la definición de los datos de entrada, con y sin uso de las bases de datos de materiales que incorpora, y muy completa en la simulación, sobre ambos modelos decrecimiento, de regímenes de cargas a amplitud constante (A.C.) y a amplitud variable (A.V.), pero limitada en la simulación de regímenes aleatorios. . En sus conclusiones es muy crítica en la valoración global que hace sobre la fiabilidad en las predicciones del programa Nasgro, especialmente con la capacidad de los modelos para reproducir los efectos de sobrecargas y con la ambigüedad en la definición del procedimiento para seleccionar los valores de los parámetros que quedando a elección del usuario, condicionan en gran medida los resultados. La respuesta al estudio de Skorupa la aportan Yamada [6] y Ziegler [7] desde el programa FASTRAN-II, al que se le podrían aplicar íntegramente las carencias expuestas por Skorupa al Nasgro. Yamada y Ziegler exponen argumentos que ponen en valor las capacidades de predicción del conjunto de modelos Strip Yield, aunque no simulan una de las dos probetas empleadas por Skorupa de muy iii Descripción de objetivos de esta tesis bajo espesor y comportamiento en crecimiento de difícil caracterización mediante el programa FASTRAN. También trazan un procedimiento para seleccionar los valores de los parámetros a elección del usuario, pero siguen dejando una parte relevante de las decisiones externas al programa sin referencias. En este contexto, puede resultar de interés la realización de un análisis conjunto de los trabajos de Skorupa y Yamada-Ziegler, completando la comparativa en prestaciones del trabajo original bajo régimen de cargas aleatorio. Quedan pendientes los estudios en los que apreciar en qué medida pueden ser más acertados los distintos criterios seguidos por ambos modelos. Los esfuerzos llevados a cabo en la caracterización del comportamiento de grieta han proporcionado una extensa base de datos correspondientes a ensayos de fatiga en distintos materiales, pero dada la sensibilidad del fenómeno a tan elevado número de factores, el número de registros de que se dispone sobre unas condiciones de ensayo concretas puede resultar insuficiente para la caracterización del material. La variabilidad que muestra en su comportamiento la grietas de fatiga hace aún más preciso un elevado número de ensayos para este propósito. En los últimos años, similitudes en el comportamiento de distintas geometrías de un mismo material han llevado a, puntualmente, emplear datos de distinto origen para completar la información de comportamiento referente a una geometría. En este sentido, las experiencias o análisis que muestren la posibilidad de cruzar datos correspondientes a distintos materiales, espesores y probetas sería de interés por el efecto multiplicador que tendría sobre la base de datos del comportamiento de materiales a fatiga. Descripción de Objetivos de esta Tesis. Bajo el título “Análisis comparativo de modelos Strip Yield en crecimiento de grietas por fatiga aleatoria” la presente tesis tiene sus objetivos definidos en dos bloques complementarios: - Evaluación de la aplicabilidad de los modelos Strip Yield a aleaciones de Aluminio 2024-T3 y T351 y comparativa de prestaciones en Introducción 4 En esos años fueron desarrollados modelos conceptuales y cuantitativos para obtener la resistencia de los materiales al crecimiento de grietas. Junto con estos estudios, creció el interés por comprender los efectos de secuencia o de interacción debido a la irregularidad de la carga. Diversos trabajos experimentales demostraron que la aplicación de una sobrecarga origina una velocidad de crecimiento en los ciclos posteriores a ella mucho menor que la que se produce si no se aplica. Entre los modelos analíticos propuestos para contemplar dicho efecto son destacables los aportados por Wheeler y Willemborg [[16],[17]]. Ya en 1970, los resultados experimentales de Elber [[14],[15]] mostraron que la grieta puede permanecer cerrada incluso estando sometida a tensiones cíclicas de tracción debido a la plastificación producida en el borde de la grieta. Esta observación implicaba que la velocidad de crecimiento de grieta debería venir determinada no por el valor nominal del rango del factor de intensidad de tensiones sino por un valor efectivo que tuviese en cuenta el cierre. Investigaciones adicionales sugieren que el cierre de grieta puede ser inducido por otros factores mecánicos, microestructurales y ambientales, actuando de manera aislada o combinada. Desde entonces, las innovaciones técnicas en las maquinarias y medios de detección y medición de grietas, el desarrollo de la Mecánica de Fractura elástica lineal y la elasto-plástica, el mejor conocimiento del gradiente de tensiones y deformaciones en el frente de grieta, y los medios informáticos disponibles, han permitido un gran desarrollo y aumento de la fiabilidad en los cálculo de la vida a fatiga de elementos mecánicos. 1.2. Métodos clásicos de diseño y filosofía actual. De las observaciones físicas sobre el proceso de daño que se produce en materiales expuestos a fatiga pueden distinguirse tres etapas: (a) iniciación o nucleación de grieta, (b) crecimiento estable e (c) inestabilidad estructural hasta el fallo catastrófico. De ellas únicamente se presta atención a las dos Métodos clásicos de diseño y filosofía actual 5 primeras dado que la última, crecimiento inestable hasta la rotura, generalmente implica un porcentaje insignificante sobre el total de vida de la pieza. La etapa de iniciación corresponde al crecimiento y coalescencia de microgrietas hasta formar grietas dominantes que, caso de seguir progresando en el crecimiento, pueden conducir al fallo catastrófico del componente. En el cálculo de la vida a fatiga durante la etapa de propagación de la grieta, como ya se ha mencionado, suele hacerse uso de los principios de la mecánica de fractura. Para que dichos principios sean aplicables se requiere un tamaño inicial de grieta conocido, de ahí que en componentes libres de defectos sólo sean aplicables para el cálculo de la etapa de propagación. Sin embargo, en componentes reales en los que existen imperfecciones o defectos previos (como la presencia de poros en las soldaduras, defectos de fundición, inclusiones, etc...) sí puede ser asumido un tamaño inicial de grieta. Es necesario hacer notar que uno de los mayores obstáculos para el desarrollo de los modelos de predicción de vida es definir la transición entre iniciación y propagación. Desde el punto de vista de los micromecanismos que originan el proceso tiende a adoptarse la nucleación de defectos de tamaño micrométrico, en bandas de deslizamiento o límites de grano, como la grieta del estado inicial de fallo por fatiga. Por otra parte, desde el punto de vista práctico en ingeniería tiende a relacionarse la nucleación, y el tamaño inicial de grieta usado para diseño, con el límite de resolución del equipo de detección de las mismas (generalmente del orden de fracciones de milímetro). La vida total a fatiga de un componente se define como la suma del número de ciclos necesarios para iniciar la grieta y el necesario para propagarla de forma estable hasta un tamaño final. En la Fig.1.1. se representa la variación típica de la amplitud de tensiones cíclicas frente al número de ciclos hasta rotura obtenidos con cargas de amplitud constante para un material que presenta límite de fatiga. Para amplitudes de tensión bajas, el 90 % de la vida del componente se debe a la etapa de iniciación, mientras que para amplitudes altas la mayor parte de la vida es agotada en la propagación de la grieta. Introducción 6 Los métodos clásicos de diseño a fatiga caracterizan la vida total en base al rango de tensiones o deformaciones (plásticas o totales) cíclicas. Los métodos basados en las curvas de Wöhler (curvas S-N) dan resultados aceptables para el cálculo a vida infinita o alto número de ciclos, situaciones donde los niveles de tensión son bajos y la deformación del material es principalmente elástica. En este caso la mayor parte de la vida corresponde al periodo de iniciación de la grieta. Los ensayos para la obtención de las curvas se realizan con probetas pequeñas sin entallar donde la mayor parte de la vida se consume en la etapa de iniciación de una grieta dominante. Debido a esto, los resultados obtenidos pueden conducir a predicciones de vida mucho mayores que las obtenidas en el caso de una estructura real, donde la etapa de iniciación de la grieta es a menudo muy corta debido a la existencia previa de defectos. Los métodos basados en los rangos de deformaciones tienen aplicación fundamentalmente al cálculo a bajo número de ciclos. Es importante señalar que dichos métodos no distinguen entre las etapas de nucleación y crecimiento. Los métodos más utilizados para estimar la vida a fatiga distinguiendo entre nucleación y crecimiento se basan en considerar las dos etapas con criterios distintos: la nucleación considerando las tensiones o deformaciones producidas en la zona de máxima solicitación del componente y el crecimiento haciendo uso de la mecánica de fractura. De esta forma se considera que los procesos son controlados por distintos parámetros. Un cálculo realizado en estas condiciones, se aproxima más a los fenómenos físicos que ocurren durante el proceso de fatiga, ofreciendo en principio mayor posibilidad de obtener predicciones más seguras. Métodos clásicos de diseño y filosofía actual 7 Fig. 1. 1. Variación de la amplitud de tensiones cíclicas frente al número de ciclos hasta rotura obtenidos con cargas de amplitud constante. De entre los métodos más utilizados para calcular la vida en la etapa de nucleación es de destacar el método de las deformaciones locales. Este método se basa en la determinación de los rangos de tensión y deformación que se producen en el fondo de la entalla, calculados estos a partir de las tensiones nominales. Se supone que estas condiciones locales se pueden relacionar con las curvas -N obtenidas con pequeñas probetas sin entallar mediante ensayos con cargas cíclicas de amplitud constante. Es decir, se estima que la vida de nucleación de un componente con entalla, es la misma que la vida total de una probeta lisa, sometida ésta a la misma historia de tensiones y deformaciones que las existentes en el fondo del concentrador. En el cálculo de la vida a fatiga durante la etapa de propagación de la grieta, como ya se ha mencionado, suele hacerse uso de los principios de la mecánica de fractura. Para que dichos principios sean aplicables se requiere un tamaño inicial de grieta conocido, de ahí que en componentes libres de defectos sólo sean aplicables para el cálculo de la etapa de propagación. Sin embargo, en componentes reales en los que existen imperfecciones o defectos previos (como la presencia de poros en las soldaduras, defectos de fundición, inclusiones, etc...) sí puede ser asumido un tamaño inicial de grieta. 8 Introducción Los métodos actuales de diseño que hacen uso de la mecánica de fractura se basan en una filosofía de tolerancia al daño. La premisa básica es que en todos los componentes ingenieriles se supone inherente la presencia de defectos, la vida útil a fatiga se define entonces como el número de ciclos necesarios para la propagación de una grieta dominante desde un tamaño inicial hasta una dimensión crítica. El diseño se basa pues, no en evitar la aparición de la grieta, sino en definir hasta cuando el defecto puede ser tolerado o por el contrario es necesario reemplazar el componente antes del fallo catastrófico. 1.3. Conceptos básicos de la mecánica de fractura El primer paso en la aplicación de la teoría de la mecánica de la fractura para la caracterización del crecimiento de grietas es el estudio del campo de tensiones alrededor del vértice de la grieta. 1.3.1. El campo de tensiones en las proximidades del vértice de grieta. El factor de intensidad de tensiones K. Los principios de la mecánica de la fractura elástica lineal (MFEL) son usados para relacionar la magnitud de las tensiones y su distribución cerca de la grieta con las tensiones remotas aplicadas al componente agrietado, el tamaño y forma de la grieta y las propiedades del material. El estudio se basa en la aplicación de la teoría de la elasticidad a cuerpos con grietas o defectos. Las hipótesis usadas en elasticidad son también inherentes en la MFEL: pequeños desplazamientos y linealidad entre tensiones y deformaciones. Pero la hipótesis principal que introduce intrínsecamente una restricción al tipo de grieta aplicable es la de homogeneidad del material. En efecto, para poder considerar que el medio en el que se propaga una grieta es continuo y homogéneo, el tamaño de dicha grieta debe ser varios órdenes de magnitud superior a la dimensión microestructural característica, lo que justifica la aplicación de la mecánica de la fractura sólo en el régimen de crecimiento de grietas. Generalmente en el estudio del sólido con comportamiento elástico y lineal se distinguen tres modos básicos de desplazamientos en la grieta, que dependen Conceptos básicos de la mecánica de fractura 9 de la dirección de aplicación de la carga con respecto al plano de ésta, denominados modo I, modo II y modo III y que se representan en la Fig. 1.6. Los casos de fracturas producidos por los modos cortantes (II y III) son relativamente poco frecuentes, siendo generalmente el caso I de tracción el modo por el que se producen la mayoría de las roturas, particularmente en fenómenos de fatiga. No obstante, algunas veces se presentan varios modos conjuntamente, generalmente el I y III. Fig. 1. 2. Modos de apertura de grieta: a) modo I, b) modo II y c) modo III. Para cualquiera de estos modos, el análisis elástico muestra que las tensiones locales en el entorno de la grieta responden de forma general a la expresión:   ... 2    ij I ij f r K (1.2) donde r y  son las coordenadas cilíndricas en un punto con respecto al borde de la grieta (ver Fig 1.3.) y KI es el factor de intensidad de tensiones en modo I, indicador de la la magnitud de las tensiones locales en el entorno del fondo de la grieta.. El factor de intensidad de tensiones, KI, depende del tipo de cargas, el tamaño y forma de la grieta y de las condiciones de contorno geométricas, que de forma general se suele expresar como: 10 Introducción aafKI  )( (1.3) donde  es la tensión remota aplicada al componente, a es la longitud de la grieta y f(a) es un factor de corrección que depende de la geometría de la probeta y de la grieta. Fig. 1. 3. Tensiones locales en el entorno de la grieta El factor de intensidad de tensiones ha sido obtenido para una amplia variedad de problemas y su valor está disponible en handbooks. La expresión del factor de intensidad de tensiones para la probeta tipo CT que se muestra en la Fig. 1.4. [18], es: )6.572.1432.1364.4886.0( )1( )2( 432 23       WB P KI (1.4) Donde W a   , expresión válida para 2.0 W a La singularidad para r = 0 existente en las tensiones locales en el entorno de la grieta conduce a tensiones infinitas a distancia nula. Dado que los materiales deforman plásticamente cuando el valor de tensión excede del límite elástico, se formará una zona plástica cerca del borde de grieta. Las hipótesis de la MFEL x xy y r y x z Conceptos básicos de la mecánica de fractura 11 seguirán siendo válidas sólo si el tamaño de la zona plástica es pequeño comparado con las dimensiones de la grieta y el resto del componente agrietado. Fig. 1. 4. Geometría de las probetas: a) CT, b) M(T) o CCT y c) SSCH. Siempre que pueda aceptarse que el anterior campo asintótico de tensiones domina alrededor del vértice de la grieta, en una región grande comparada con la dimensión microestructural característica del material, podrá considerarse que la distribución local de tensiones está unívocamente caracterizada por el factor de intensidad de tensiones K. La “zona dominada por K” es, según criterio de Schijve [23] [23] aquella donde K tiene pleno sentido como indicador o reflejo del campo de tensiones; es decir, a) b) c) 12 Introducción a distancias suficientemente próximas al borde de grieta para ser fuertemente afectadas por el efecto concentrador, y a una distancia suficientemente grande como para que sean marginales los efectos de la deformación plástica sobre la distribución de tensiones que describe K. Los principales motivos de la extensión de K en los estudios de fatiga son: el elevado grado de correlación con el crecimiento en un ciclo de carga y la relativa simplicidad de su formulación y determinación. Schijve [[23] [24] ] reconoce ambas virtudes pero siempre ha sido muy cauto indicando que K no explica el proceso pero es el mejor instrumento disponible para la predicción de crecimiento de grietas por fatiga aplicando el argumento de la aproximación por similitud: de unas mismas condiciones (K y Ambiente) actuando sobre un mismo sistema (mismo material en frente de grieta) provocará mismos efectos. 1.3.2. El tamaño de la zona plástica Una primera aproximación al tamaño de la zona plástica puede obtenerse, para una grieta solicitada en modo I si se analiza la tensión y en la línea de la grieta (=0), asumiendo que la zona plastificada estará determinada por  y =  e (límite elástico, Fig. 1.5.) Conceptos básicos de la mecánica de fractura 13 Fig. 1. 5. Plastificación en el frente de grieta Considerando un material con comportamiento elásto-plástico perfecto y en condiciones de tensión plana, se tendrá: r KI y   2 )0(  (1.5) el radio plástico, rp, vendrá dado por 2 2 1 2         e I p p I eK r K r    (1.6) Esta expresión ha sido obtenida considerando que la zona deformada plásticamente no influye en el resto del material. Sin embargo, esta fluencia produce una redistribución de las tensiones (Fig. 1.6.), aumentando como consecuencia el radio plástico. y r e p r frente de grieta 20 Introducción crecimiento del material, para el rango intermedio de valores de K. Para valores extremos de K, tanto por encima de ese rango intermedio como por debajo, la velocidad de crecimiento aumenta rápidamente con el valor de K. 1.4.1. Perfil de crecimiento genérico. Para la mayoría de los materiales, la variación de da/dN frente a K exhibe un comportamiento como el que se representa en la Fig.1.15 en escala logarítmica, en la que pueden identificarse tres zonas de crecimiento: la región I o de umbral, la región II o intermedia y la región III de rápida propagación. Zona I. La propagación de grieta en régimen I está relacionada principalmente con procesos de fractura no continuos, donde el incremento de longitud de grieta en un ciclo es inferior a 10-6 mm/ciclo. La velocidad de crecimiento aumenta muy rápidamente con K desde valores muy bajos, asociados con la existencia de un rango de factor de intensidad de tensiones umbral Kth por debajo del cual la grieta no crece o la velocidad de crecimiento es indetectable. Efectos de secuencia 21 Fig. 1. 11. Ritmo de crecimiento de grieta frente a  K Zona II. En la región II la variación es esencialmente lineal y corresponde a la zona que puede ser ajustada bastante bien por la ley de Paris. Dicha expresión, sin embargo, no tiene en cuenta el efecto de la tensión media, ni el comportamiento asintótico de las curvas para los valores extremos de K. En consecuencia dicha ley se ajusta bastante bien sólo en la zona de K medios, mostrando ciertas desviaciones en los extremos de la curva. Zona III. En la zona III correspondiente a altos valores de K la velocidad de crecimiento aumenta rápidamente causando la fractura total del componente. Esta se produce cuando el valor máximo del factor de intensidad de tensiones (Kmax) alcanza un cierto valor crítico KC. En deformación plana dicho valor crítico KIC, denominado tenacidad a fractura, es una característica del material y 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 100 1000 10000 da/dN (mm/ciclo) ΔK (MPa(mm)1/2 ) da/dN mm/c Límite Zonas I-II Límite Zonas II-III 22 Introducción representa el máximo factor de intensidad de tensiones que una grieta puede soportar bajo carga estática antes de propagarse inestablemente. Partiendo de la expresión de Paris surgen numerosos modelos que tratan de incorporar el comportamiento de la grieta en las regiones I y III. Probado el efecto de la tensión media sobre el crecimiento de grieta, dichas expresiones lo incluyen mediante la relación de cargas, R. Forman [20] considera tanto el efecto de las tensiones medias como el comportamiento asintótico de la curva para valores de K próximos a Kc:     KKR KC dN da c n   1 (1.16) Smith [21] refleja los resultados de ensayos en las regiones I y II de la curva de propagación de grieta teniendo en cuenta el comportamiento en la región próxima al umbral:   m th KKC dN da  (1.17) Combinando ambas, se plantean expresiones:     maxc m th KKR KK C dN da   1 (1.18) muy similares, en el perfil de crecimiento que desarrollan, a las recogidas en el programa Nasgro. 1.4.2. Perfil de crecimiento para aleaciones de aluminio Al 2024 T3 y T351. Son muchas las aleaciones de aluminio que presentan una senda en las velocidades de crecimiento en ensayos a amplitud constante con doble Efectos de secuencia 23 concavidad antes de alcanzar la zona de crecimiento que responde a la ley de Paris, a diferencia de la simple mostrada en la Fig. 1.11. El perfil que se comenta es el correspondiente a la Fig. 1.12. en la que un registro genérico ha sido artificialmente elaborado para comentar el comportamiento en velocidades de un ensayo desde la zona de umbrales hasta la zona de inestabilidad y rotura. Una explicación a este comportamiento, fundada en análisis fractográficos y que permite comentar la actividad de las variables directoras del crecimiento en cada etapa, la aporta Wanhill [55] en un estudio sobre aleaciones 2024-T3 y T351 que supone una referencia básica. Fig. 1. 12. Senda de velocidades de crecimiento de aleación de aluminio sobre la totalidad de la vida. (Registro artificialmente elaborado con fines descriptivos). Las características de cada zona de crecimiento son: Zona umbral – 1: Las bandas de deslizamiento que surgen en el vértice de grieta tienden a concentrarse en un plano dominante dando lugar a una fractura 24 Introducción localizada casi plana y que atraviesa el grano. La presencia de dispersoides constituyen fuertes barreras a la actividad de unas bandas de deslizamiento que ven impedido su crecimiento plano, justificando así que la velocidad de crecimiento presente una fuerte sensibilidad a ΔK en esta etapa. La apariencia de la superficie fracturada es polifacética, alternando zonas de caras corrugadas con otras caras planas. La topografía de la fractura muestra rugosidad y deflexiones en la senda de crecimiento de la grieta crecientes con el crecimiento. Zona 1 – 2: Tramo de aceleración constante (lineal en su representación logarítmica). Las dimensiones de la zona plástica cíclica superan las distancias medias en el plano entre dispersores con lo que se convierten en barreras salvables en su trayectoria de crecimiento mediante la activación de nuevas bandas de deslizamiento. El debilitamiento de estas barreras hace menos sensible al crecimiento a los valores de ΔK, justificándose así la menor pendiente en este tramo de la curva de crecimiento. Salvo aisladas caras planas predominan caras corrugadas en una topografía de fractura muy rugosa y con marcadas deflexiones en la senda de crecimiento de la grieta. Zona 2 – 4: Zona de muy acentuada aceleración en el crecimiento en la que las zonas plásticas cíclicas son significativamente mayores que el tamaño de subgrano y las celdas de dislocaciones. Las dislocaciones de acumulan sobre líneas de deslizamiento concretas, suficientemente intensas para penetrar en los bordes de subgrano y en las paredes de las celdas de deslizamiento. El vértice de grieta tiende a hacerse menos afilado, mostrando una mayor superficie frontal sobre la que desarrollar múltiples líneas de deslizamiento, provocando un paulatino cambio en la superficie fracturada que pasa de un predominio de caras corrugadas a las homogéneas estrías de fatiga, disminuyendo la rugosidad y la deflexión de grieta. Esta mayor homogeneidad en el mecanismo de crecimiento aumenta bruscamente la sensibilidad del crecimiento a ΔK. Efectos de secuencia 25 Fig. 1. 13. Aspecto de la superficie fractura en las distintas etapas de crecimiento. [55] . Zona 4 – rotura: La homogeneidad en el mecanismo de crecimiento se ha extendido por el frente de grieta y la superficie fracturada es marcadamente estriada. Hasta alcanzar el punto 4 es preciso un grupo de ciclos para provocar cada avance de grieta, a partir de ese punto pueden producirse avances cada ciclo. El inicio de esta zona coincide con el comportamiento lineal de Paris y el comportamiento en la senda de crecimiento lo entiende controlado por el valor efectivo de ΔK (concepto desarrollado en epígrafe 1.9.1.). En esta zona, y no tratado por Wanhill al estar orientado su trabajo a las etapas previas al comportamiento de Paris, se producen cambios relevantes en el crecimiento de grieta. El estado de tensiones en el vértice de grieta transita de un estado de deformación plana a tensión plana, y los efectos del cambio se reflejan en una desaceleración temporal en las velocidades de crecimiento y en la progresión desde las superficies laterales del frente de grieta hacia el interior Zona 4 - rotura Zona 2 - 4 Zona umbral - 1 Zona 1 - 2 26 Introducción de un cambio en el tipo de crecimiento, pasando de crecimiento plano a crecimiento inclinado definidos por labios de cortadura simple o doble. Tanto Yamada [63] como Kranenburg [64] reconocen que no necesariamente progresarán estos labios de cortadura a la par que cambia el estado de tensiones y el comportamiento en crecimiento, y aportan como factores adicionales que pueden condicionar su aparición las tensiones medias y las frecuencias de aplicación de cargas del ensayo respectivamente. 1.5. Efectos de secuencia Una revisión histórica muy completa sobre los efectos de secuencia son los artículos de Skorupa [[25] [26] ] que nos sirven de referencia básica para este epígrafe. El efecto de la secuencia de cargas sobre el crecimiento de grietas fue puesto de manifiesto en la década de los 60. Diversos trabajos experimentales demostraron que la aplicación de una sobrecarga origina una disminución de la velocidad de crecimiento en los ciclos posteriores, este fenómeno se conoce como retardo. En determinadas condiciones, la sobrecarga puede incluso llegar a detener la grieta parando completamente su crecimiento. La Fig.1.14. muestra esquemáticamente el comportamiento de una grieta después de una sobrecarga. La Fig.1.15. representa un esquema de la evolución de la velocidad de crecimiento después de una sobrecarga. Esta velocidad no alcanza el valor mínimo inmediatamente después de la sobrecarga sino que se modifica progresivamente a medida que la grieta sigue avanzando. La distancia, que la grieta crece a través de la zona plástica producida por la sobrecarga hasta alcanzar el mínimo, se denomina distancia de retardo. El valor de esta distancia está próximo al 25% del tamaño de la zona plástica producida por la sobrecarga. Una vez alcanzado el mínimo, la velocidad de crecimiento comienza a aumentar hasta estabilizarse en el valor previo a la sobrecarga. La distancia sobre la que se producen los efectos transitorios de la sobrecarga a*, hasta estabilizarse la velocidad de crecimiento, depende de diversos factores, entre los que se incluyen: estado de tensiones, K, R, rOL, microestructura del material y condiciones ambientales. Efectos de secuencia 27 La extensión de crecimiento sobre la que afecta la sobrecarga, a*, es mayor en los casos en que se desarrollan zonas plásticas grandes, tales como en materiales de bajo límite elástico o en probetas de pequeño espesor. Incluso, en una probeta de determinado espesor, dicha longitud puede ser menor en el centro, donde predominan condiciones de deformación plana que en la superficie, donde el estado es de tensión plana. Fig. 1. 14. Retardo en el crecimiento de grieta producido tras la sobrecarga. Fig. 1. 15. Evolución de la velocidad de crecimiento de la grieta tras la sobrecarga. 28 Introducción Cuando durante un proceso de carga de amplitud constante se aplica un ciclo de menor carga mínima, se produce el efecto contrario: la velocidad de crecimiento de la grieta aumenta. Este efecto de aceleración es menor que el de retardo producido por una sobrecarga, dependiendo su importancia del valor de la carga aplicada. Igualmente, se ha comprobado que la aplicación de una carga de este tipo inmediatamente después de una sobrecarga reduce el efecto de ésta, en mayor o menor medida dependiendo de los valores de cargas, mientras que inmediatamente antes de una sobrecarga puede no tener influencia o reducir el retardo que ésta produce. Estos efectos se representan en la Fig.1.16. Fig. 1. 16. Evolución de la velocidad de crecimiento de la grieta a) para cargas de amplitud constante, b) tras una sobrecarga, c) sobrecarga seguida de un ciclo de menor Kmin y d) tras la aplicación de un ciclo de menor Kmin. En secuencias de bloques de carga, si después de un bloque de ciclos de carga de amplitud constante se aplica otro de menor amplitud, se produce un efecto de retardo muy similar al generado por varias sobrecargas consecutivas. Cuando los bloques de carga tienen igual valor máximo pero distinto valor mínimo, el efecto de secuencia es menor que el producido cuando lo que varía es el máximo. Dependerá de los valores de K y de los mínimos de ambos bloques. Efectos de secuencia 29 Cuando las cargas del primer bloque son menores que las del segundo, el efecto es el contrario, produciéndose durante los primeros ciclos del segundo bloque una velocidad de crecimiento mayor de la que ocurre con las mismas cargas y amplitud constante. La aceleración del crecimiento de la grieta se estabiliza rápidamente en comparación con los casos de efecto de retardo, volviendo la velocidad de crecimiento a los valores correspondientes a cargas de amplitud constante. Aunque este planteamiento puede parecer cerrado, y la Fig. 1.16. suficientemente clarificadora, registros de carga tan simples como el ensayado por triplicado por Skorupa [62] sobre aleación de aluminio D16Cz (muy similar al 2024-T3), consistente en la aplicación periódica de una sobrecarga seguida de un valle que supone una infracarga, dentro de un registro de amplitud constante puede dar lugar a vidas mayores que una secuencia valle (infracarga) – pico (sobrecarga) en el mismo registro de amplitud constante, no pudieron ser explicados por Skorupa ni por Yamada [63] en el estudio de los mismos registros. 1.6. Mecanismos asociados con el comportamiento transitorio Desde que se observó la existencia del efecto de secuencia, se han propuesto diversos mecanismos como responsables del mismo. Su descripción y discusión sobre la importancia de cada uno de ellos en la producción del efecto de secuencia puede verse en la bibliografía [[25] [26] [15] ]. A continuación se describen brevemente los que más afectan en el caso de materiales metálicos. 1.6.1.Cierre de grieta inducido por plasticidad. Elber [15] introdujo el concepto de cierre de grieta para explicar ciertas anomalías en el comportamiento de una grieta sin carga. Una grieta ideal en el material (corte perfecto de espesor cero) permanece cerrada solamente con carga cero o cargas de compresión. Sin embargo, Elber observó experimentalmente que las grietas producidas por fatiga cierran durante la descarga antes de llegar a ser nula la tensión. Esta diferencia de comportamiento la explica considerando la plastificación que se produce delante del frente de grieta durante el proceso de fatiga. Cuando la grieta crece, el frente va dejando tras de sí una zona con deformaciones residuales, 36 Introducción - Ensayos de umbral. - Ensayos de Kc / KIC. - Experimentos con finalidad muy concreta: comprobaciones referentes a comportamiento, de efectos de secuencia, etc. - Experimentos de medición de Ko: valor del factor de intensidad de tensiones por encima del cual se produce crecimiento, su significado físico dependerá de a quien considere el modelo causa última del cierre (plasticidad, rugosidad, mixto,..). 1.1.2. Campo de estudio del proceso de crecimiento o del propio mecanismo de fatiga. En este campo se encuentran quienes estudian el propio proceso o mecanismo de propagación como quienes explican el comportamiento del crecimiento apoyándose en variables correlacionadas con el mecanismo real de propagación. * Estudios a nivel microestructural o cristalino: intentan afrontar el proceso real de formación y propagación de grietas por fatiga. Centrando su atención en el vértice de grieta, elaboran modelos / mecanismos explicativos del crecimiento, generalmente en términos estadísticos. * Mecánica de Fractura: estudia los campos de tensiones y deformaciones en el entorno de grietas y concentradores, la propagación inestable de grietas y el crecimiento de grietas en procesos de fatiga. En el crecimiento de grietas por fatiga centra su atención en explicar el comportamiento del crecimiento medido, su evolución, en términos de la variable indicadora, generalmente K (MFEL). De este variable indicadora suele extraerse una fuerza/variable directora del crecimiento (Kefectivo) en base a la cual caracterizar la velocidad de crecimiento, en primer lugar para amplitud constante y finalmente, exigiéndole capacidad explicativa de los efectos de secuencia, en amplitud variable. Campos de estudio en fatiga mecánica (Modo I) en materiales metálicos 37 1.1.3. Métodos numéricos de cálculo / predicción. Suelen emplearse como herramienta que confirme la validez o capacidad explicativa de una variable directora del crecimiento establecida sobre K o variables relacionadas (por ejemplo, radios plásticos). La validación del modelo y de la variable directora vendrá dada por la coherencia en los resultados parciales de simulación, la sensibilidad a actuación de sobrecargas, la calidad de predicción de vidas (parciales o de evolución y finales) y, finalmente las predicciones a amplitud variable o aleatoria. Ha venido siendo práctica común evaluarlos por la capacidad de colapsar en una banda estrecha todos los datos de distinto R, entendiéndose que, de conseguirlo, la variable directora es explicativa, en tanto que un valor de la variable tendría asociado un único valor de crecimiento. Entre los métodos numéricos encontramos métodos deterministas (ciclo a ciclo, o por bloques de carga) y métodos estadísticos (sobre todo el registro), aunque existen modelos con simulaciones ciclo a ciclo en los que se toman variables aleatorias en el comportamiento del material. Dentro de los deterministas, los basados en elementos finitos son los más extendidos. La identificación del modelo vendrá dada, en primer lugar, por la elección de la variable directora del crecimiento, ya sea esta cierre de grieta inducido por plasticidad (Kefectivo = KmaxKapertura), cierre de grieta inducido por rugosidad (Kefectivo = KmaxKmin_corregido), deformaciones y tensiones residuales en el frente de grieta (negando absolutamente efectos de cierre), etc. La complejidad del modelo dependerá de las simplificaciones de la realidad que adopte: modelo plano/3D, frente de grieta recto/curvo, comportamiento del material estático/cíclico, características de la superficie de secciones fracturadas en el vértice, etc. 38 Introducción Referencias bibliográficas [1]Albert W.A.J, Uber treibseile am harz. Archiv fur Mineralogie, Georgnosie Bergbau und Huttenkunde 10, pp. 215-234, 1837. [2]Rankine W. 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MODELOS DE CRECIMIENTO DE GRIETA En este capítulo se profundizará en los campos de la fatiga relacionados con el presente trabajo y que proporcionan las bases teóricas y experimentales sobre las que se fundamentan nuestras propuestas. Los distintos enfoques con los que se plantean las fuerzas directoras del crecimiento de grieta (variables que determinan el crecimiento) son comentados, centrando especialmente nuestra atención en aquellas relacionados con el cierre de grieta. A modo de revisión histórica y guiados por las exposiciones de Newman[25] y Shijve [26] , se trazan algunos de los modelos que permiten reproducir el comportamiento del material ante solicitaciones cíclicas y la aplicación de los mismos considerando el proceso de carga previsto. Esto último puede hacerse mediante la simulación ciclo a ciclo del proceso de fatiga, hasta que se produzca el fallo, o de una forma global, a partir de la definición estadística del proceso de carga, determinando la vida esperada del elemento y, dependiendo del modelo estadístico, su distribución. El modelo Strip Yield propuesto por Newman es desarrollado y comentado: sus características, simplificaciones de las que parte, prestaciones y diagrama de flujo del programa. 52 Modelos de crecimiento de grieta que en RICC permanece abierta. Esta diferencia es expresable en términos de distancia del vértice a la cual aparece la “cuña” de material. La presencia de material más allá de la línea ideal de superficie fracturada y que da lugar a grieta abierta a Smin se conoce como “crack tip shielding”, protección de frente de grieta o cierre parcial de grieta. Los primeros trabajos sistemáticos sobre el cierre parcial de grieta incluyendo la formulación de una variable directora son realizados por Chen [[8] [9] ]En la Fig. 2.3 se esquematiza el planteamiento de Chen; el gráfico viene dado en desplazamientos de apertura del vértice de grieta (CTOD) frente al nivel de carga expresado en forma de K para un proceso a amplitud constante. La curva de trazo grueso (marcada como “fatigue crack”) pone en relación K y CTOD siguiendo el ramal de carga del ciclo, pasando por el valor Kop-  op fruto de la aplicación del “compliance offset method” (ASTM E647: Standard test method for measurement of fatigue crack growth rates”), mostrando relación lineal tras él. Los rangos K y Kef (en la formulación de Elber: KmaxKop) son pues Variable/fuerza directora de crecimiento 53 conocidos. Fig. 2.3.Comparación de  K,  Kef, y  Kef-modificada por efecto “crack tip shielding” según Chen. Chen hace ver que el factor de intensidad de tensiones que a Kmin percibe el vértice de grieta no es Kmin ; al encontrarse a ese nivel abierta la grieta, el vértice está sufriendo unos desplazamientos CTOD de valor min que, para una grieta que no tuviese esa rugosidad protectora (y que experimentaría un comportamiento lineal desde el origen), requeriría un K de valor Kmin,tip . Desde ese valor equivalente para el vértice de grieta en la imposición de desplazamiento Chen formula su variable directora: ,mod max min,ef tip K K K   (2.2) Protección del frente de grieta ideal grieta k 0 max op min, tip min closed Grieta en Fatiga ef,mod ef CTOD Carga k k k k k k k min op max 54 Modelos de crecimiento de grieta Chen concluye que Kef,mod es mucho más apropiado como variable directora que la de Elber para la zona umbral, a la que considera muy expuesta a rugosidad superficial. Sugiere igualmente que sobre esta variable directora el umbral es único y característico del material (Kef,mod,th). Si se admite esta variable directora como explicativa también de efectos de secuencia es fácil justificar la diferencia de comportamiento que incluimos como crítica a PICC (Fig. 2.1); la sobrecarga activa RICC y, aunque el valor de cierre sea bien predicho, el rango efectivo de K es mayor que el de Elber y, por tanto, los efectos de secuencia son menos marcados. Con planteamiento muy parecido y admitiendo como único mecanismo el RICC, Donald y Paris [[10] [11] ]aportan varias expresiones de variables directrices que acotan el valor que ellos toman por “cierto” y que surgen del “modelo de cierre parcial de grieta” que es expuesto a continuación. En la Fig. 2.4 superior se ve la grieta parcialmente cerrada por causa de la rugosidad de las superficies fracturadas. Esta “realidad” la modelizan como una cuña rígida de semialtura “h” y activa a distancia “d” del vértice en la Fig. 2.4 intermedia; aquí la grieta está en condiciones exactas de apertura, dando lugar la S remota aplicada a un desplazamiento superficial a distancia “d” del vértice igual a la semialtura “h”. Si se supone apertura del vértice de tipo parabólico, el valor de K de apertura será: ** 2 2* op Eh Kd   (2.3) Variable/fuerza directora de crecimiento 55 Fig. 2.4.Modelo de contacto por rugosidad con vértice de grieta abierto Fig. 2.5. Kmax cuando se produce la apertura en el camino de grieta capaz de salvar la cuña que supone la rugosidad. contacto contacto apertura estela C.O.S Zona de máxima carga plástica Zona de carga plástica cíclica Apertura parabólica Kmax 56 Modelos de crecimiento de grieta Fig. 2.6.Condiciones en las que se determina el K asociado a Smin en el vértice y que sirve de referencia para establecer el valor efectivo. Más complejo es establecer el K que genera en el vértice la presencia de esa cuña rígida cuando la tensión es Smin (Fig. 2.4 inferior), resolviéndolo mediante superposición de dos problemas: K originado por la cuña como desplazamiento impuesto en la superficie a distancia “d”, y el K originado por la tensión remota Smin; el Kmin,ef o equivalente es: min, min ** *; 2 2* * ef no al E h d Kd     (2.4) Sustituyendo aquí la expresión de Kop: min, min 2* ** 2 ef op no al d KK     (2.5) y la variable directora queda: min 2* max * * 2 ef op no al d K K K        (2.6) esta variable directora la acota mediante variables de fácil obtención, como cota inferior define el método 2/0, y como superior el 2/. Para ambos métodos σnom Kmin-ef 2h d Variable/fuerza directora de crecimiento 57 se da la expresión original de Kef , y las derivadas de él: K0 (como factor de intensidad de tensiones a partir del cual se produce crecimiento) y “q” (relación K0/Kmax). Método 2/0 : 2/ 0 max 0 0(2/ 0) 0 0(2/ 0) 2*; 2*; 2* ef op op op K K K K K K K q q q              (2.7) Método 2/: ∆𝐾𝑒𝑓≥∆𝐾2 𝜋=𝐾𝑚𝑎𝑥−2 𝜋𝐾𝑜𝑝−(1−2 𝜋) 𝐾0≤𝐾0(2 𝜋)=2 𝜋𝐾𝑜𝑝+(1−2 𝜋)𝐾𝑚𝑖𝑛 𝑞≤𝑞0(2 𝜋)=2 𝜋𝑞𝑜𝑝+(1−2 𝜋)𝑅 (2.8) 58 Modelos de crecimiento de grieta Fig. 2.7.Acotación de la variable directora de Donald mediante los métodos 2/  y 2/  0 . Las principales críticas que recibe el PICC como mecanismo explicativo único son: Las conclusiones a extraer de los ensayos de Telesman son muy críticas con la idea de RICC como mecanismo único, especialmente para valores de Kmax y K elevados. La Fig. 2.2, que es empleada para la defensa del PICC en deformación plana, en los ensayos a alto K tendría una marcada y repentina dependencia del estado de tensiones, lo cual no parece razonable. Otro ensayo de Telesman consistió en la eliminación del camino recorrido por la grieta en su avance (Fig. 2.8.). Para bajos niveles de K, el mecanizado progresivo a distancias del vértice inferiores a 4mm da lugar a una sistemática bajada de los niveles de cierre, lo cual encaja perfectamente con las representaciones que se han expuesto del RICC (zona final de grieta abierta y 0 max open min k k k eff k k open k k 2/ 0 k 2/ k open open k min k open k min k min k 2 2 2 d 2 1 1 nom 2 Variable/fuerza directora de crecimiento 59 una zona ancha de contacto superficial). Sin embargo, para altos niveles de K, no se aprecian alteraciones de cierre aún llevando el mecanizado hasta 0.33mm del frente. Esta última situación sería propia del PICC, con una estela plástica activa en las proximidades del vértice que se ve suavizada con el crecimiento de la grieta. Fig. 2.8.Ensayo de Telesman de mecanización del recorrido de la grieta y sus efectos sobre los niveles de apertura. En el ensayo mostrado en la Fig. 2.1 de comparación entre predicciones de PICC y retardos reales, que servían para justificar el RICC, las mediciones que se realizaron sobre punto de contacto inicial entre superficies concluían en que este tenía lugar a distancias inferiores a 0.5mm, lo cual es más propio de un mecanismo PICC. Al igual que hemos comentado que experimentalmente se han podido comprobar los efectos de rugosidad (abrasión entre superficies), son muchos los casos y materiales en los que, ante fuertes sobrecargas y muy marcados retardos, no es apreciable lo que debiera ser evidente. El PICC, con una plastificación inversa mucho menos agresiva, si responde al análisis de superficies fracturadas. 60 Modelos de crecimiento de grieta 2.1.4. Variable directora sobre mecanismo mixto PICC-RICC. Las posturas extremas (mecanismo único explicativo) tienden ante las evidencias empíricas a suavizarse, llegándose parece que finalmente a un cierto consenso en la existencia de una variable directora (Kef) definida sobre un K0 controlado por un mecanismo RICC en situaciones de deformación plana y bajos K, y por un mecanismo PICC para zonas de evolución lineal en las velocidades (zona Paris) y K superiores. La comentada evolución de planteamientos de los defensores de mecanismo único puede quedar resumida: Paris y Donald, defensores del RICC plenamente explicativo ante la concordancia de sus planteamientos con las mediciones de valores efectivos de K mediante el método ACR (que veremos en próximo apartado), detectan que las mediciones del método ACR son incompletas. Por diseño, el ACR es plenamente capaz de recoger el RICC, pero muestra carencias para reflejar fielmente el PICC que les complete el modelo y haga posible el colapso de velocidades de crecimiento para distintas R (situación que consideran de validación del método). Proponen una variable directora mixta cruzando medición ACR y Kop. Requiere la introducción de un valor externo al que denominan Kbase que es el valor de Kmax en el que el cierre pasa a ser controlado por PICC. max max *( ); : ef ACR ACR op base base ef op K K K K K K para K K K K                (2.9) Kujawski [5] cruza método 2/ de Donald con Kop en forma parecida a la mixta de Paris, pero la transición entre mecanismos no es lineal sino exponencial e introduce como variable el valor de Kmax,th de cada R. Los resultados que obtiene (si el objetivo es el colapso de curvas) son realmente buenos para uno de los Variable/fuerza directora de crecimiento 61 aluminios empleados en esta tesis, si bien sólo trabaja con dos R; con otros materiales y un mayor número de registros a colapsar, empeoran. En el siguiente epígrafe se abundará sobre este trabajo. 2.1.5. Doble variable directora. Krenn y Morris contrastan similitudes y diferencias entre los modelos básicos de variable directora: los modelos basados en Kmax : modelos de dos variables directoras (Kmax y K). La dependencia que tiene el crecimiento respecto a Kmax la explican por las tensiones internas presentes delante del frente de grieta. los modelos basados en cierre de grieta: modelos de variable directora única (Kef). Demostrado que “q” (K0/Kmax) es función de R y Kmax [17] se asume que los efectos que tenga Kmax sobre el crecimiento ya son contemplados por la variable Kef. Es la aceptación de variable directora única en modelos de cierre de grieta el justificación de tomar el colapso de las distintas curvas de crecimiento (en representación da/dN - Kef ) como prueba de la calidad de un método o modelo al evaluar K0. Al comentar modelos basados en cierre de grieta, valoran muy positivamente lo que entienden como una manera de cruzar mecanismos RICC y PICC por parte de Paris-Donald [10] . Para salvar los defectos de colapso de las curvas de velocidades de crecimiento de distintas R, Paris-Donald incluyen una corrección en su variable directora: (1 ) (*) max *( ) *( ) nn ef ef K A K K     (2.10) donde “n” es el “exponente de sensibilidad a Kmax normalizado”, es característico del material y toma valores entre 0.1 y 0.25. En este análisis “A” 68 Modelos de crecimiento de grieta Calculando incremento de grieta que se produce en cada ciclo, suman los sucesivos incrementos obteniendo la evolución a –N. En estos modelos se pueden agrupar diferenciando según consideren o no efectos de secuencia. Los programas de análisis ciclo a ciclo incluyen una serie de pasos o módulos, respondiendo generalmente al siguiente esquema: 1.Definición de geometría del elemento y longitud inicial de grieta ao. 2.Determinación, para la geometría considerada, de la función f(a) que permitirá determinar K, en función de la longitud de grieta y de la tensión nominal S: aSf(a) = K  (1.2) Puede ser determinada por puntos ó analíticamente. Incluirá subrutinas de cálculo, librería de funciones para distintas geometrías ó permitirá acceso a método numérico – método de los elementos finitos, por ejemplopara el cálculo de distintos puntos de la función. 3.Definición de ley de crecimiento da = f( K,R,..) dN  (2.13)y modelo de retardo. 4.Definición de los parámetros del modelo de crecimiento, por ejemplo Kc, Kth, el exponente o constantes de la ecuación de crecimiento, etc, y los del modelo de retardo, si se aplica. 5.Obtención de la historia de tensiones. Incluirá en caso necesario una subrutina para contar ciclos a partir de historias de carga suministradas y para generación ciclo a ciclo de la señal a considerar en el análisis. La salida de esta subrutina serán los distintos valores de Smin y Smax a aplicar secuencialmente al modelo de crecimiento. 6.Determinación de Kmax y K a partir de f(a), la longitud de grieta, S y Smax. Variable/fuerza directora de crecimiento 69 7.Aplicación del modelo de retardo si este fuese necesario, incluyendo cálculo ciclo a ciclo de los parámetros del modelo propios a la ecuación de crecimiento. 8.Determinación del incremento de longitud producido en cada ciclo en función de los parámetros calculados. i idN da = a  (2.15) y cálculo de la nueva longitud: i iiii dN da aaaa   11 (2.16) 9.Comprobación de que ai < af y vuelta al punto 5 para continuar el proceso. Proceso que puede considerarse general para cualquier método de predicción. Los elementos diferenciadores entre métodos estarán en: el método adoptado para considerar los efectos de secuencia, las leyes de crecimiento empleadas (asociadas a veces directamente al método de consideración del efecto de secuencia), el método de contar ciclos (puede no incluirse ninguno admitiendo directamente una secuencia de picos y valles) o la determinación de f(a) (a veces obtenido directamente de una tabla de valores entre los que interpolar). 2.1.8. Predicciones de modelos sin consideración del efecto de secuencia De los métodos de análisis de crecimiento el más simple es el de acumulación lineal sin consideración del efecto de secuencia. En ese caso debe emplearse un método de contar ciclos, por ejemplo rain-flow, y organizada la secuencia de ciclos a aplicar, solo habrá que determinar ciclo a ciclo KMáx y KMín y el incremento de longitud producido en el ciclo (da/dN)i, en el orden mostrado en la Fig. 2.11. Estos métodos que no incluyen los efectos de interacción de las cargas tienden a producir resultados conservativos en general, con vidas de crecimiento menores 70 Modelos de crecimiento de grieta que las obtenidas experimentalmente. Cuando las historias de carga producen efectos de secuencia poco importantes, los resultados suelen ser suficientemente aproximados en comparación con los de modelos que si incluyen dichos efectos y normalmente, más conservativos. Si los efectos de secuencia producidos por la historia de carga son importantes, las duraciones predichas pueden ser bastante distintas a las reales: menores, si el efecto predominante es retardo, que es lo usual; y mayores, si existen sobrecargas importantes de compresión que produzcan un efecto de aceleración más acusado que el de retardo generado por las de tracción, lo que es mucho menos frecuente. 2.1.9. Predicciones de modelos basados en la plastificación del frente de grieta. Se basan en relacionar la velocidad de crecimiento de la grieta bajo cargas de amplitud variable con la interacción de las zonas plásticas desarrolladas en el frente de la grieta. Entre ellos destacan, por ser los más utilizados y base de otros muchos, los propuestos por Wheeler [18] y Willemborg [19] . A partir de ellos se han desarrollado otros más sofisticados. 2.1.10. Predicciones de modelos basados en el cierre de grieta Estos modelos consideran el concepto del cierre de grieta para determinar la magnitud del retardo producido por una sobrecarga. Proponen una ecuación de crecimiento del tipo: ) K f( = dN da ef  en la que la determinación de  Kef se basa en obtener las tensiones de cierre mediante ecuaciones empíricas basadas en valores experimentales, obtenidos a partir de ensayos de amplitud constante y de ensayos con una sobrecarga y con bloques de ellas, realizados para cada material. Un ejemplo de aproximación al valor de Sop producido por cargas de amplitud Variable/fuerza directora de crecimiento 71 constante es la propuesta por Elber [30] para aluminio 2024-T3 con coeficientes de asimetría R entre –0.1 y 0.7: maxop SRRS )4.01.05.0( 2  (2.19) o la propuesta por Schijve para este mismo material [24] maxop SRRRS )1.025.02.045.0( 32  (2.20) Existen diversos modelos que incluyen procedimientos numéricos más complicados para determinación de la tensión de cierre de grieta ciclo a ciclo, con cargas de amplitud variable [[11] [7] ]. Existen varios programas para el análisis del crecimiento de grietas mediante métodos basados en el concepto de cierre de grieta. Unos emplean modelos empíricos para determinar la tensión de apertura en cada ciclo, mientras otros hacen uso de alguna de las distintas variantes del Strip Yield Model (modelo que comentaremos detalladamente en el siguiente capítulo). Pueden ser programas más o menos completos de análisis del crecimiento, formados por los módulos indicados en la Fig. 2.11, incluyendo el tratamiento de las historias de carga con generación ciclo a ciclo de la historia de tensiones, o no lo incluyen y deben recibirla como dato ciclo a ciclo. El uso de estos métodos elimina la necesidad de aplicación de un método de contar ciclos. Además tienen la ventaja, respecto a los basados en tensiones residuales, de necesitar un número menor de parámetros a definir experimentalmente. Las leyes de crecimiento empleadas pueden ser de cualquier tipo, bien sea una relación da/dN definida por puntos en función de Keff, con interpolación lineal entre los puntos definidos, la propuesta por Elber [30] K C = dN da n eff  (2.21) o más complicada, como la propuesta por Newman: 72 Modelos de crecimiento de grieta                     C K - 1 K K 1 K C = dN da 5 2 eff C eff max 2 0 1 2 (2.22 donde         S S C - 1 C = Ko 43 omax (2.23) En los métodos basados en modelos empíricos, además de una expresión para la tensión de apertura del tipo de las propuestas por de Koning dependientes de las tensiones extremas producidas en cada ciclo y los precedentes, es necesario definir la evolución de la tensión cuando la grieta crece dentro de la zona plástica. Si la historia de carga tiende a producir una tensión de apertura aproximadamente constante durante el crecimiento de la grieta y el incremento de longitud entre sobrecargas es bastante menor que el tamaño de la zona plástica producida por la sobrecarga, la ley de evolución de la tensión de apertura con el avance de la grieta dentro de la zona plástica tiene poco efecto en el resultado. En ese caso, la precisión de la ley definida no es crítica. Las expresiones de las tensiones de apertura en función de los valores máximos y mínimos de los ciclos se obtienen normalmente a partir de ensayos con cargas de amplitud constante o de simulación algún método analítico o numérico, por ejemplo, el método de los elementos finitos. Comparación cualitativa de los modelos 73 2.2. Comparación cualitativa de los modelos de predicción de crecimiento de grieta a fatiga. Entre las evaluaciones en revisión histórica realizadas por diversos autores, como Newman [25] y Schijve [26] destacamos las aportadas por Machniewicz y Khan [27] . La revisión de Khan, que Schijve suscribe, incluye un cuadro comparativo sobre capacidades o prestaciones de los diversos modelos muy ilustrativo. No pretende en su exposición indicar cuál puede ser el más adecuado, si no de mostrar en una simple tabla cómo los distintos modelos presentados han ido completando las carencias de los anteriores. Así, desde el modelo estadístico de la “Raíz cuadrática media” (RMS) incapaz de contemplar efecto de secuencia alguno, llega a los modelos “Strip-Yield”. Resulta de especial interés para la exposición del presente trabajo resaltar la manera en que califica este tipo de modelos, dado que en el capítulo 3 se hará referencia a este análisis. Los únicos aspectos en los que detecta carencias en este tipo de modelos son: - Regímenes de cargas que incorporen múltiples sobrecargas. - Efectos del espesor, que considera no adecuadamente contemplados. En comentario posterior sobre este tipo de modelos critica la arbitrariedad en el uso del factor de constricción al que califica de “parámetro de ajuste”. No obstante, lo evalúa muy positivamente. 74 Modelos de crecimiento de grieta DESCRIPCIÓN [TIPO DE MODELO] FUNDAMENTO FÍSICO SOBRECARGA AISLADA SOBRECARGA MÚLTIPLE INTERACCIÓN DE SOBRECARGA INFRACARGA AISLADA INFRACARGA MÚLTIPLE RETARDO DESFASADO TRUNCADO DE CARGAS ALTAS ACELERACIÓN DE GRIETA FRENADO DE GRIETA TRANSICIÓN TENSIÓN PLANADEFORMACIÓN PLANA EFECTO DEL ESPESOR RETRASO MÁS ALLÁ DE LA ZONA ELÁSTICA Modelos de Análisis Global Modelo RMS - - - - - - - - - - - - - Modelos de acumulación de Daño Lineal - - - - - - - - - - - - - Modelos de zona elástica Modelo Wheeler - - - - - - - - - - - - Modelo Willenborg - - - - - - - - - + - - Modelos Willenborg modificados - + - - - - - - + + - - Modelos de cierre de grieta Modelo ONERA + + + + + - - + + + + + Modelo CORPUS + + + + + - - + + + + - Modelo PREFFAS + + - - + - - + + + - - Modelos SY + + + + + + - + + + + - + += SATISFACTORIO/BUENO -= NO CONSIDERADO/MALO Tabla 2.1.Comparativa de modelos de predicción de crecimiento de grieta a fatiga Strip yield model. Programa fastran-II/98 75 2.3. Strip yield model. Programa: fastran-II/98. Ficha técnica: programa para análisis de crecimiento de grietas. - modelo PICC / basado en modelo de grieta de Dugdale-modificado. - Ciclo a ciclo. (responde al diagrama de flujo de la Fig.2.12.). - Modelo plano simplificado que considera el espesor exclusivamente en sus efectos sobre estado de tensiones en vértice de grieta mediante el parámetro “”. - Discretización de entalla, grieta y zona plástica mediante elementosbarra rígido-plásticos perfectos. - el endurecimiento cíclico del material es simplificado y considerado. - Ley de crecimiento: Elber corregida por Kc y Kth, o tabla de datos. El modelo de cierre de grieta y predicción del crecimiento de grietas por fatiga en el que se ha basado este trabajo ha sido desarrollado por Newman [22] e implementado en el programa FASTRAN II A continuación se describe brevemente el procedimiento empleado por este método. El modelo de cierre se basa en el modelo de grieta de Dugdale modificado para tener en cuenta las deformaciones plásticas residuales a lo largo de los bordes de la grieta en la estela plástica creada en el avance de la misma. El tamaño de la zona plástica y el desplazamiento de las superficies de la grieta se obtiene numéricamente resolviendo dos problemas elásticos (Fig. 2.14): - una grieta ficticia de longitud a+, donde  es la longitud de la región plástica, sometida a la tensión nominal remota - una tensión uniforme -* aplicada a la superficie correspondiente a la zona plástica, es decir, a lo largo de la longitud  y que actuaría para mantener la grieta cerrada. 76 Modelos de crecimiento de grieta Fig. 2.11.Problemas elásticos resueltos en el modelo de Dugdale. Newman propone que el tamaño de zona plástica es:          0 8    max K (2.24.a) con 2 + = uys o   (2.24.b) donde ys es el límite elástico, u es la tensión de rotura, 0 es el límite elástico corregido por endurecimiento cíclico, y  es el “factor de constricción”, un coeficiente para diferenciar los estados de tensión. Para estados de tensión plana =1, =1.73 para la condición de deformación plana de Irwin y  = 3 para deformación plana. Considerando el comportamiento plástico del material y el estado de tensiones, Newman propone un valor para la tensión efectiva de fluencia, *:    o * = (2.25) Este modelo exige el conocimiento de una solución de KI y de los desplazamientos para la geometría y longitud de grieta objeto de estudio, ante las dos hipótesis de carga indicadas. Para algunas geometrías se Strip yield model. Programa fastran-II/98 77 conocen soluciones analíticas, en otro caso se usan soluciones aproximadas. Comparando la grieta real con la ideal del modelo de Dugdale, la longitud L(x) (Fig.2.15) se supone que corresponde al alargamiento total del material situado en la línea vertical correspondiente a la coordenada x. Cuando la grieta crece, el alargamiento residual total del material, a una distancia x<a, una vez que el borde de la grieta ha pasado, es Lc (xi). Fig. 2.12.Zonas elástica (A) y plástica (B) consideradas en el modelo.. Fig. 2.13.Discretización de la zona plástica en el frente de la grieta. El estudio numérico distingue dos zonas en el material: una de comportamiento elástico, fuera de la línea de la grieta de Dugdale (A en la Fig. 2.16.); y otra, de comportamiento rígido plástico perfecto (B). Ambas zonas se discretizan con elementos-barra que pueden alargarse o acortarse plásticamente en función de las tensiones producidas en cada ciclo. El ancho de los elementos-barra de la zona plastificada y no fracturada es creciente desde el borde según porcentajes respecto a la zona plástica tabulados. El ancho de los elementos correspondientes a zonas de entalla o zonas fracturadas suele ser creciente desde el borde de 84 Modelos de crecimiento de grieta Referencias bibliográficas [1] Bowles, C.Q., 1978, The role of environment, frecuency and shape during fatigue crack growth in aluminum alloys. Doctoral dissertation, Delf university, 1978. [2] Paris, P.C., Tada, H., Donald, J.K., 1999 Service load fatigue damagea historical perspective. International Journal of fatigue 21 (1999). S35-S46. [3] Vasudevan, A.K., Sadananda, K., Louat, N. A review of crack closure, fatigue crack threshold and related fenomena. Mater Sci Eng A 1994; A188: 1-22. [4] Newman, J.C., 1983. A non linear fracture mechanics approach to the growth of small cracs. In: Behaviour of short cracks in airframe materials, AGARD CP328; 1983, p. 6.1-6.26. 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Application of the strip-yield model from the NASGRO software to predict fatigue crack growth in 86 Modelos de crecimiento de grieta aluminium alloys under constant and variable amplitude loading. Engineering Fracture Mechanics 74 (2007) 291-313. [21] Newman J. C. Jr, FASTRAN II-A Fatigue Crack Growth Structural Analysis Program, NASA Tech. Memorandum 104159, NASA Langley Research Center, Hampton VA, 1992. [22]Newman J.C., A Crack Closure Model for Predicting Fatigue Crack Growth Under Random Loading, Methods and Models for Predicting Fatigue Crack Growth under Random Loading, J. B. Chang and C. M. Hudson (Eds.), ASTM STP 748, pp 53-84, 1981 [23] Lapetra, C., Mayo, J., Domínguez, J. The randomness of fatigue Crack Growth under Constant-amplitude loads. Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct., vol. 17, pp. 589-600, 1996. [24] Moreno, B., 2002, Tesis Doctoral: ”Variabilidad del crecimiento de grietas por fatiga bajo cargas aleatorias”, UMA 2002. [25] Newman J. C. 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Referencias bibliográficas 87 [30]Elber W., The significance of fatigue crack closure in damage tolerance in aircraft structures, Special Technical Publication 486, ASTM, Philadelphia, pp. 230-242, 1971. 89 3. ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS MODELOS STRIP-YIELD IMPLEMENTADOS EN NASGRO: PRESTACIONES. Los resultados que aquí se presentan incluyen la comunicación al congreso internacional: 3rd International Conference on Material and Component Performance under Variable Amplitude Loading [1] , y la publicación en la revista International Journal of Fatigue [2] ; en estos trabajos se contrasta la capacidad de los modelos de Nasgro para estimar la vida a fatiga, y la variabilidad, comparando los resultados obtenidos por simulación con datos experimentales de crecimiento de grieta por fatiga bajo diferentes cargas aleatorias, correspondientes a procesos estacionarios gaussianos sobre probetas tipo CT de la aleación Al2024-T351. _ _ _ _ _ _ _ _ De los numerosos modelos numéricos de cierre de grieta inducido por plasticidad para la determinación de las tensiones de apertura desarrollados debe ser destacado el “Strip Yield Model” de Newman [15] presentado en 1981 e implementado en los programas Fastran y Fastran-II [16] que establecen los fundamentos y algoritmos de cálculo de los modelos Strip Yield más extendidos en uso en la actualidad: los modelos de crecimiento del programa Nasgro [3] y las actualizaciones del Fastran-II. El programa Nasgro es desarrollado en 1986 en la NASA convirtiéndose en la década de los 90 en un esfuerzo conjunto de las agencias espaciales NASA y ESA. En 1998 se comercializa sin restricciones, incorporando dos modelos alternativos de crecimiento de grieta evolucionados desde el Fastran y que se diferencian entre sí tanto en la evaluación que hacen de los factores de constricción y su 90 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO evolución dentro de la zona plástica como en la determinación de la zona de transición de estados de deformación a tensión plana en el frente de grieta; dada la sensibilidad de los modelos Strip Yield al valor del factor de constricción estas diferencias pueden dar lugar a sensibles variaciones en las predicciones. Cada modelo es predominantemente el empleado por una agencia espacial y sus contratistas en las sucesivas versiones hasta el actual Nasgro 7. Son muy numerosas las referencias sobre la aplicación y evaluación de estos modelos Strip Yield al haber sido las últimas dos décadas los más extensamente aplicados, algunas críticas, pero la mayor parte de ellas positivas, consistiendo en la aplicación de alguna de las opciones de simulación a una geometría y espesor concretos y bajo regímenes de carga en amplitud variable o aleatoria; en estas aplicaciones los datos de crecimiento de amplitud constante en valores efectivos suelen ser aportados externamente, especialmente en los casos en los que no se dispone de registros correspondientes a esa probeta y espesor en la base de datos del Nasgro. La carencia de evaluaciones sistemáticas y completas sobre las capacidades predictivas del programa en sus dos modelos SYM animó a Skorupa [10] a diseñar y ejecutar un plan de ensayos y simulaciones que aportase una visión global del programa en su aplicación a crecimiento de grietas de Fatiga en Modo-I. El conjunto de test es exigente, analizando exhaustivamente las prestaciones de ambos modelos sobre dos materiales en probetas M(T), cada uno con un espesor, empleando las distintas opciones de introducción de las velocidades de crecimiento que ofrece el programa, simulando registros de amplitud constante desde valores efectivos obtenidos o desde los aportados por el programa, aplicando numerosos registros de amplitud variable a varios niveles de tensión y, finalmente, ensayando un único registro aleatorio standard (miniFALSTAFF) a varios niveles de tensión. Incorpora una comparativa entre las capacidades de predicción y comenta los valores que estima que precisa cada modelo de crecimiento del programa en las variables a definir por el usuario. En sus conclusiones es muy crítica en la valoración global que hace sobre la fiabilidad en las predicciones del programa Nasgro, especialmente con la capacidad de los modelos para reproducir los efectos de retardo por sobrecargas y con la ambigüedad en la definición del procedimiento para seleccionar los valores de referencia del factor de restricción para tensión y deformación planas. La respuesta al estudio de Skorupa la aportan Yamada [11] y Ziegler [12] desde el programa FASTRAN-II, al que se le podrían aplicar íntegramente las carencias Modelos de Strip-Yield implementados en NASGRO 91 expuestas por Skorupa. Yamada y Ziegler exponen argumentos que ponen en valor las capacidades de predicción del conjunto de modelos Strip Yield, pero no aportan soluciones a la carencia de un protocolo para el establecimiento del factor de restricción y evitan simular una probeta empleada por Skorupa de muy bajo espesor y comportamiento en crecimiento de difícil caracterización mediante el programa Fastran. En este capítulo son presentados y evaluados en sus prestaciones de cálculo los modelos Strip-Yield implementados en el programa Nasgro. El estudio comparativo realizado por Skorupa y replicado por Yamada y Ziegler, es completado con los trabajos realizados en la UMA sobre el comportamiento de ambos modelos ante cargas aleatorias. Desde una visión conjunta tanto de los distintos diseños de los ensayos que realizan para su posterior simulación, como de los procedimientos que emplean para determinar los parámetros a introducir en los modelos se extraerán conclusiones generales sobre sus prestaciones. Los dos SYM del programa Nasgro son presentados en el epígrafe 3.1. Los ensayos, simulaciones y conclusiones aportados por Skorupa, Yamada – Ziegler, y Moreno [2] se incluyen en los epígrafes 3.2., 3.3. y 3.4., respectivamente. En el epígrafe 3.5 se dedica a la valoración conjunta de los trabajos expuestos, así como a las conclusiones de la misma. 3.1. Modelos Strip-Yield implementados en NASGRO. Como se ha comentado en capítulos previos los modelos actuales SYM se basan en el modelo original de Dugdale pero modificado para dejar el material deformado plásticamente en la estela de la grieta. En estos modelos se asume que toda la deformación plástica está contenida en torno a la línea de la grieta en una estrecha región. El material dentro de esa región está representado por una serie de elementos de barra perfectamente rígidos de ancho finito. Fuera de esta franja, en el continuo elástico, el material es perfectamente elástico. Las tensiones y deformaciones de la franja se resuelven usando métodos numéricos, considerando las condiciones de compatibilidad a lo largo de la superficie de la grieta. La tensión de apertura de grieta (op) para un ciclo de carga dado se determina a partir de la distribución de tensiones de contacto. El 92 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO modelo original de Dugdale se definió sólo para láminas delgadas, es decir, en condiciones de tensión plana. Para dar cabida a un estado más general de tensiones, los modelos SYM utilizan el concepto de factores de constricción. Diferentes concepciones y variaciones de los factores de constricción han sido propuestas y el propio software Nasgro incluye dos de ellas, cuyos características específicas y diferencias se detallan a continuación. Para poder estimar el crecimiento de grietas es necesario obtener a partir de datos de ensayos con cargas de amplitud constante, de la base de datos del programa Nasgro o aportados por el propio usuario, la velocidad de crecimiento en función del factor de intensidad de tensiones efectivo, es decir, la relación da/dN -  Kef. La relación da/dN -  Kef puede describirse de dos maneras diferentes: como una ecuación o en una forma discreta como una tabla. La ventaja de utilizar la primera opción es que Nasgro incluye el módulo de software “Nasmat” para almacenar y ajustar los datos experimentales a una ecuación de velocidad de crecimiento de grieta llamada la ecuación Nasgro: q c p th n K K K K K R f C dN da                                max 1 1 1 1 (3.1) donde C, n, p y q, son los parámetros del material que es necesario ajustar, R es la relación de carga,  Kef y  Kth los rangos del factor de intensidad de tensiones efectivo y umbral, y Kmax, Kop y Kc son los factores de intensidad de tensiones máximo, de apertura de grieta y crítico, respectivamente. La función f es f=Kop/Kmax. Este módulo, Nasmat, permite ajustar la ecuación da/dN-  K a un grupo de datos de ensayo de amplitud constante. Para evaluar la función f en este módulo se utiliza la función de apertura de grieta definida por Newman [6] . Esta función depende del factor de constricción,  que es tratado como una constante en el ajuste de los datos de crecimiento. Modelos de Strip-Yield implementados en NASGRO 93 Modelo CCL. El primer modelo, denominado constant constraint-loss option model (CCL), es muy similar al modelo de Newman implementado en Fastran. En este modelo, el factor de constricción a tracción es constante en los elementos de la zona plástica y su valor depende del estado de tensiones, siendo sus valores extremos los correspondientes a deformación y tensión planas. Esta disminución del factor de constricción se basa en la observación de que las grietas inicialmente crecen en un plano normal pero progresan finalmente hacia un plano inclinado (Fig. 3.1). Newman propone que la transición de un modo de crecimiento a otro se produce cuando el tamaño de la zona plástica cíclica (calculado a partir de  Kef) alcanza un porcentaje del espesor de la probeta según la relación:   BK T ef 0   (3.2) Donde  es el coeficiente de proporcionalidad 0, es la tensión de fluencia (media entre límite elástico y resistencia a tracción), B es el espesor de la probeta y (  Kef)T es el factor de intensidad de tensiones efectivo en la transición. Newman encuentra que un valor de 0,5 para  es adecuado para una amplia gama de materiales dentro de una banda de dispersión de ± 20%. Fig. 3. 1. Modos de crecimiento [3] . 100 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Fig. 3. 8. a)Valores efectivos de crecimiento obtenidos desde la expresión de Newman con α=2 para Al 2024-T3 (espesor 2 mm), y b) Simulaciones de A.C. con datos de crecimiento desde tabla.. Skorupa.[10] . El valor del factor de constricción para las simulaciones en A.C. en el modelo CCL es 2, y desestima acometer pruebas de mejora en el ajuste dada la poca fiabilidad que encuentra en y tras la zona de transición. Para el modelo VCL, tanto para A.C. como para amplitud variable, prueba con distintos factores de constricción buscando un adecuado ajuste global; como referente de la calidad del ajuste toma las vidas (curvas a – N) y las velocidades de crecimiento (da/dN – a). Finalmente toma un valor de α = 1.5. (ver Fig. 3.9.). a) b) Ensayos y simulaciones realizados por Skorupa 101 Fig. 3. 9. Simulaciones para la selección de α en el modelo VCL para C.A. y R = - 0.67 en AL 2024-T3: a) Comparación de estimaciones de vida con las de ensayo, y b) Estimaciones de velocidades de crecimiento en función de α. Skorupa.[10] 3.2.3. Resultados. Las simulaciones sobre la aleación D16, en ensayos a A.C. con datos de crecimiento aportados mediante la ecuación de Nasgro son recogidos en la Fig. 3.10. y arrojan resultados no conservadores, especialmente en el modelo CCL. Esta tendencia la explica mediante las carencias en la caracterización del crecimiento en la zona inicial de ensayo (ver Fig. 3.11.). En ambos modelos se consiguen mejores resultados desde un factor de constricción 2.85. a) b) 102 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Fig. 3. 10. Predicciones de vida con Nasgro / Vida de ensayos a A.C. en aleación D16, con los modelos CCL y VCL. Velocidades definidas mediante ecuación. Skorupa [10] . Fig. 3. 11. Comparación entre resultados de ensayos a A.C.y predicciones para D16 con velocidad de crecimiento definida mediante ecuación: a) velocidades de crecimiento, y b) curvas a / N. Skorupa.[10] . La simulación de amplitud variable con definición de velocidades de crecimiento mediante la ecuación (3.1.) y coeficiente de constricción α = 2.85, proporciona resultados conservadores dentro de la horquilla de aceptación convencional, encontrándose la relación NNASGRO / NTEST en valores de 0.67 a 1 para el modelo CCL; el modelo VCL, también con predicciones conservativas muestra mejores resultados (Ver Fig. 3.12.). Finalmente, con definición de velocidades de crecimiento desde ecuación, simula la secuencia de cargas de miniFALSTAFF a tres niveles de SMáx. En la comparación gráfica entre predicciones y ensayos de velocidades de crecimiento de la Fig. 3.13., ya se anticipan resultados de estimación de vida conservadores (ver Fig. 3.14.), destacando Skorupa la capacidad del modelo VCL para considerar los efectos de SMáx, dada la estabilidad en las predicciones NNASGRO / NENSAYO para los distintos niveles de tensión. a) b) Ensayos y simulaciones realizados por Skorupa 103 Fig. 3. 12. Comparación entre curvas a / N de ensayos y de simulaciones con modelos CCL y VCL para los tres tipos de test de amplitud variable en D16. Velocidades de crecimiento definidas mediante ecuación. Skorupa.[10] Las simulaciones de A.C. de la aleación D16 con introducción de las velocidades de crecimiento mediante tabla han incluido como factores de constricción 2.85 para el modelo CCL y 2 para el VCL. Los datos de la tabla de velocidades son obtenidos en un ajuste sobre los datos de crecimiento de ensayo convertidos a valores efectivos mediante las expresiones de Newman y un factor de constricción α = 2. Los resultados se muestran en la Fig. 3.15. Mejorando las predicciones correspondientes a velocidades de crecimiento desde ecuación, Skorupa los valora positivamente, (Fig. 3.7.), Fig. 3. 13. Comparación entre velocidades de crecimiento promediadas ensayadas y predichas bajo secuencia de cargas de miniFALSTAFF para aleación D 16 con definición de velocidades por ecuación. Skorupa.[10]. 104 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Fig. 3. 14. Estimaciones de vida con Nasgro / Vida registrada ante secuencia miniFALSTAFF en aleación D16, modelos CCL y VCL. Velocidades definidas mediante ecuación. Skorupa [10] En la Fig. 3.15. expone las estimaciones de vida para A.C. Dada la mejor capacidad predictiva en el modelo VCL y el hecho de incorporar un factor de constricción más realista, decide simular amplitud variable sólo con VCL. Fig. 3. 15. Estimaciones de vida con Nasgro / Vida de ensayos a A.C. en aleación D16, modelos CCL y VCL. Velocidades definidas desde tabla. Skorupa [10]. Las simulaciones de A.V. y secuencia de cargas miniFALSTAFF con VCL y velocidades desde tabla aportan predicciones aún más conservativas que en el caso de velocidades dadas por ecuación, siendo esta tendencia más acusada en el registro miniFALSTAFF en el que la relación de predicción / ensayo se sitúa en 0.57. En la aleación AL 2024-T3 sólo simula con velocidades de crecimiento aportadas desde tabla, y emplea el modelo CCL únicamente en las simulaciones de A.C. con α = 2, mientras que el modelo VCL lo emplea tanto para A.C. como para A.V. con α = 1.5. Ensayos y simulaciones realizados por Skorupa 105 Los resultados de las simulaciones de ambos modelos en A.C., para un número de R (SMín / SMáx) superior al empleado con la aleación D16 y tres niveles de tensión son recogidos en la Fig. 3.16. Fig. 3. 16. Estimaciones de vida con Nasgro / Vida de ensayos a A.C. en aleación 2024-T3, con los modelos CCL y VCL. Velocidades definidas mediante tabla. Skorupa [10] . Las predicciones con el modelo CCL son claramente no conservadoras, mientras que las del modelo VCL son ligeramente conservadoras y acordes a lo esperado en base al perfil de velocidades de crecimiento reflejado en la Fig. 3.9.b. 106 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Fig. 3. 17. Comparación frente a ensayos de A.V. tipo II de simulaciones con modelo VCL, tanto en vida final como en velocidades de crecimiento. Datos de velocidad aportados por tabla. AL 2024-T3. Skorupa [10] En A.V. las simulaciones desde el modelo VCL exhiben muy limitada capacidad para reproducir el conjunto de ensayos; así en la Fig. 3.17. Skorupa selecciona varias comparativas simulación / ensayo de test de A.V. tipo II, en las que, además de encontrar predicciones muy conservadoras junto a otras no Ensayos y simulaciones realizados por Skorupa 107 conservadoras evaluando la vida total, tampoco los perfiles de velocidades de crecimiento predichos adaptan sus evoluciones a las de ensayos. Sobre la totalidad de las simulaciones de A.V. desde el modelo VCL con velocidades de crecimiento aportadas desde tabla, realiza una comparativa con otros modelos de predicción de crecimiento de grieta por fatiga: el modelo CORPUS y el modelo CORPUS-modificado. Los resultados son recogidos en la Fig. 3.18.; en cada ensayo se indica el periodo de retorno de la sobrecarga (“m”) y los niveles de la misma (SOL y SUL en MPa). Fig. 3. 18. Comparación frente a ensayos de A.V. tipo II de simulaciones con modelo VCL, tanto en vida final como en velocidades de crecimiento. Datos de velocidad aportados por tabla. AL 2024-T3. Skorupa [10] 3.2.4. Conclusiones que expone Skorupa. En una valoración global muy crítica con los modelos SYM del Nasgro, ante los que pone en valor modelos semi-empíricos como el CORPUS, realiza observaciones referentes al conjunto del programa y a diferencias entre modelos. 108 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Conclusiones referentes al conjunto del programa Nasgro: - Los efectos de sobrecargas aisladas son infravalorados, en sus efectos de retardo, por ambos modelos. Igualmente, cargas de A.V. con sobrecargas de periodo de retorno superior a 10 ciclos, ven infravalorados sus retardos, aumentando el carácter conservador de las predicciones conforme aumenta el periodo de retardo. - Asociado el punto anterior, la infravaloración que hace de los efectos de secuencia cuestiona su utilidad ante registros aleatorios de banda ancha en los que las escasas sobrecargas pueden verse seguidas de amplios periodos de ciclos de picos muy inferiores. - Las predicciones desde velocidades de crecimiento aportadas por tabla lleva a mejores predicciones que las generadas con velocidades de crecimiento por ecuación tanto para cargas A.C. como A.V., mientras que ante cargas aleatorias, las predicciones con velocidades desde tablas resultan demasiado conservadoras. - La falta de un protocolo cerrado para la determinación de los parámetros de la ecuación hace poco fiable la introducción de datos del material desde la propia base de datos del Nasgro. - Un aparentemente “óptimo” ajuste de los datos de velocidad de crecimiento en A.C. mediante el valor del factor de constricción, como recomienda el programa, no garantiza predicciones satisfactorias ante otros regímenes de carga y pueden llevar a seleccionar valores de factor de constricción muy alejados de los recomendados. Conclusiones referentes a comparación entre modelos: - Las simulaciones sobre registros aleatorios son conservadoras, especialmente para el modelo CCL. El modelo VCL parece contemplar mejor los efectos del nivel de tensión. - El modelo VCL proporciona mucha mayor capacidad para considerar los efectos de R en A.C. debido a una más apropiada concepción del factor de constricción. - El modelo VCL, al menos en el caso de velocidades dadas por ecuación, hacen mejores estimaciones que el modelo CCL al afrontar cargas da A.V. Ensayos y simulaciones realizados por Yamada/Ziegler 109 3.3. Ensayos y simulaciones realizados por Yamada / Ziegler. La respuesta al estudio de Skorupa la aportan Yamada [11] , Ziegler [12] y Newman en publicaciones conjuntas. Dado que las carencias que expone en su valoración sobre los modelos de Nasgro es extensible al programa FASTRAN-II, es desde este programa desde el cual dan la réplica a Skorupa y exponen argumentos que ponen en valor las capacidades de predicción del conjunto de modelos Strip Yield derivados del Fastran II. Limitan su estudio a la aleación D16Cz, no analizando el 2024-T3. Con objeto de acreditar las capacidades predictivas del programa Fastran II estructuran sus simulaciones en dos etapas: en una primera, partiendo de probetas C(T) procedentes de las mismas probetas ensayadas por Skorupa, someterán a situaciones de carga similares a estas probetas y contrastarán con las predicciones desde Fastran, en la segunda, simularán las probetas M(T) originales con las elecciones de factor de constricción y ecuaciones de crecimiento que estiman adecuadas para el ensayo, justificando y corrigiendo las deficiencias del modelo CCL en las predicciones ante cargas aleatorias. 3.3.1. Material y ensayos. Toman como datos de comportamiento en ensayos los obtenidos por Skorupa sobre probetas M(T) y, al disponer de restos de material de esos ensayos, elaboran probetas C(T) de 4 mm de espesor (Fig. 3.19.). Los ensayos y simulaciones que realiza sobre probetas C(T) son: A.C. con R = 0.1, 0.33 y 0.75, sobrecarga aislada y dos registros aleatorios miniFALSTAFF+ a niveles de carga de 1.8 y 2.8 KN. Las simulaciones que realiza sobre probetas M(T) son: A.C. con R = -0.5, 0.33, 0.75, dos ensayos a niveles de tensión distinta con R = 0, sobrecarga aislada, los tres tipos de registros de A.V. ensayados en el trabajo de referencia y registro aleatorio miniFALSTAFF. 116 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO En la Fig.3.25.a. Ziegler expone los resultados en A.C. para probetas C(T), las diferencias en la capacidad predictiva respecto al estudio de referencia las justifica en la selección del factor de constricción que, con un valor de 2.85 en el caso de Skorupa, hace insensible al modelo a los efectos de secuencia. El ajuste en las predicciones es muy aceptable, todas ellas en un margen del 25%. Las mayores discrepancias, encontradas en el registro con R = 0.33 lo justifica por la aparición de doble labio de cortadura en la superficie de la pieza fracturada, lo que introduciría mayores niveles de cierre de grieta. En la Fig. 3.25.b. Ziegler contrasta las simulaciones ante registro aleatorio miniFALSTAFF+ con los ensayos que realiza a dos niveles de tensión. La capacidad predictiva es realmente buena, encontrándose ambas simulaciones en un margen del 10% en vida final y con una destacable adecuación en la curva de vida. En las probetas M(T), junto a la simulación del ensayo de sobrecarga aislada que permite a Yamada fijar el factor de constricción en un valor α = 2, simula cargas de A.C. y de A.V. (ante los mismos tipos de bloques que incluía Skorupa en su estudio), y registros aleatorios miniFALSTAFF a tres niveles de tensión. Las simulaciones a A.C. son incluidas en la Fig. 3.26.a. en la que las curvas de vida han sido desplazadas para poder visualizar la evolución conjunta. Las simulaciones se encuentran en un margen de la vida final del 20%, no apreciándose irregularidades en las adecuaciones de las curvas de simulaciones respecto a las de ensayo. Las simulaciones a A.V., Fig. 3.26.b., cuyo registro de cargas se apoya en uno de A.C. con R = 0.33, exhiben un comportamiento bastante conservador al predecir vidas un 30 % inferiores a las de ensayo, lo que Yamada justifica haciendo referencia a los labios de cortadura que en el ya comentado ensayo con R = 0.33 encontró Ziegler sobre probetas C(T); el incremento en las tensiones de cierre que conllevan justificarían las mayores vidas en ensayo. Ensayos y simulaciones realizados por Yamada/Ziegler 117 Fig. 3. 26. Comparación predicciones / ensayos de vidas a-N en probeta C(T) - D16: a) Cargas A.C., y b) Cargas A.V. Yamada [11] Fig. 3. 27. Comparación predicciones / ensayos con registro miniFALSTAFF. Vidas a-N en probeta C(T) - D16: a) Modelo original, y b) Modelo modificado. Yamada [11] La Fig. 3.27. compara las predicciones sobre el registro aleatorio miniFALSTAFF, sin y con la inclusión en el modelo de la modificación que considera la a) b) a) b) 118 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO singularidad de grieta que nace desde entalla, con su inclusión las predicciones notables tanto en vida final como en evolución. 3.3.4. Conclusiones que exponen Yamada / Ziegler. - Debido al propio diseño de los ensayos un porcentaje muy representativo de la vida de las probetas acontece en el “régimen de pérdida de constricción” (zona de transición). - Los datos de crecimiento para las probetas C(T) y M(T) son prácticamente coincidentes en toda la vida de la probeta. - Para altas R, especialmente R = 0.33, aparece doble labio de cortadura en las probetas C(T), lo que puede justificar predicciones conservativas. - La adecuada selección de los factores de constricción convierte al SYM en una herramienta precisa para evaluar los efectos de secuencia muy presentes en test de sobrecargas y registros aleatorios. - Las predicciones sobre probetas C(T) lleva a horquillas del 10%, mientras que para la M(T) esta se eleva al 25%. - La geometría de la entalla puede afectar a las predicciones sobre las probetas M(T) sobre las que simuló Skorupa. Esta anomalía en el comportamiento, inducida externamente, es salvada en los registros de A.C. comenzando los ensayos con una dimensión ligeramente mayor de grieta, y en los aleatorios mediante una modificación al modelo incluyendo un transitorio en el que se corrigen tanto los factores de constricción de tracción como los de compresión. Ensayos y simulaciones realizados por Yamada/Ziegler 119 3.4. Ensayos y simulaciones realizados por Moreno. 3.4.1. Material y ensayos. Con el fin de evaluar los modelos implementados en Nasgro se han utilizado resultados experimentales de ensayos de crecimiento de grietas bajo cargas aleatorias obtenidos en probetas CT de aleación de aluminio 2024-T351, con 50 mm de ancho y 12 mm de espesor [5] . Todas las muestras fueron cortadas en la dirección TL de la misma placa y se fabricaron de acuerdo con la norma ASTM E-647. En todos los ensayos, la longitud de la grieta se monitorizó haciendo uso de la técnica de caída de potencial por corriente alterna (ACPD). Los ensayos se llevaron a cabo usando historias de carga correspondientes a cuatro procesos aleatorios gaussianos estacionarios que se caracterizaron por diferentes formas de la función de densidad espectral, S(), de las cargas. La Tabla 3.1 muestra los valores de los parámetros que definen las cuatro funciones, designadas A, B, C y D, así como, el parámetro irregularidad, que es una medida del ancho de banda del proceso aleatorio. La Fig. 3.28.a muestra la forma de las funciones de densidad espectral utilizadas. Type H/h      A 6.67 5 15 80 130 0.64 B 2 5 25 30 60 0.70 C 2 10 20 25 75 0.77 D - 7 27 - - 0.85 Tabla 3. 1. 120 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Fig. 3. 28. (a) Forma de las funciones de densidad espectral; (b) Secuencia de picos y valles del proceso AH; (c) Secuencia de picos y valles del proceso AL Así mismo, fueron elegidos dos niveles de carga diferentes, representados por la raíz media cuadrática de los procesos aleatorios (el área bajo la curva S ()). Los dos niveles de carga (designados L (nivel bajo) y H (nivel alto)) y las cuatro funciones de densidad espectral se utilizaron para definir siete procesos aleatorios gaussianos estacionarios con media cero, posteriormente, se añadió una carga constante (4.850 N) para evitar cargas de compresión. Para cada proceso aleatorio se generaron veinte historias de carga aleatoria diferentes de 25.000 ciclos. Las Fig. 3.28b y 3.28c muestra la secuencia de picos-valles para los procesos de AH y AL. Cada historia de carga generada se aplicó a una probeta diferente y se aplicó de forma repetida hasta alcanzar la longitud final de grieta establecida en 25.3 mm. Las curvas de crecimiento de grieta (a-N) se obtuvieron durante la realización de los ensayos. Cada historia de carga será de ahora en adelante designada por el código X-Y_Z, donde X será A, B, C o D, dependiendo del ancho de banda del proceso de carga aleatoria, Y representa el nivel de carga (L bajo o H alto) y Z representa el número de orden de la historia dentro del grupo de ensayos. Más detalles de los ensayos y el proceso de generación de las historias de carga se pueden encontrar en el presente documento [5] . La Tabla 3.2 muestra los parámetros estadísticos: media (), desviación estándar () y el coeficiente de variación (COV=) de la vida a fatiga en cada serie de ensayos. Ensayos y simulaciones realizados por Moreno 121 Serie Vida media (ciclos) desviación estándar (ciclos) COV A-H 277,151 13,377 0.048 B-H 197,114 7,686 0.039 C-H 168,287 5,124 0.030 D-H 146,981 5,363 0.036 A-L 1,163,986 35,447 0.030 C-L 690,667 17,715 0.026 D-L 589,569 24,525 0.042 Tabla 3. 2. Parámetros estadísticos de la vida a fatiga en cada serie de ensayos. 3.4.2. Leyes de crecimiento. Con el propósito de obtener datos de crecimiento a amplitud constante se realizaron ensayos con el mismo material y geometría de probetas a distintas relaciones de carga R = Smáx /Smín. Se realizaron tres ensayos para cada una de las cuatro relaciones de carga seleccionadas: R= 0.1, 0.3, 0.5 y 0.7. Se aplicó una carga senoidal de amplitud constante desde una longitud inicial de 10.6 mm, que corresponde a la profundidad de la entalla, hasta una longitud final anterior a la fractura. La longitud de grieta fue monitorizada desde los 12 mm para asegurar una grieta inicial generada por fatiga y durante el ensayo se obtuvieron las curvas a-N. Las velocidades de crecimiento de grieta se calcularon de acuerdo a la norma ASTM E647. La Fig. 3.29. muestra los valores de velocidad de crecimiento frente al rango del factor de intensidad de tensiones, da/dN versus K, obtenidos a partir de las curvas a-N como resultado de los ensayos. 122 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO Fig. 3. 29. Velocidades de crecimiento de los ensayos de amplitud constante En estudios previos, se realizaron diferentes ajustes con el módulo NASMAT con el fin de estudiar la influencia de todos los parámetros en la ley de velocidad de crecimiento y por lo tanto en las predicciones de vida [7] . Los ajustes se realizaron variando los exponentes p y q, el conjunto de ensayos de amplitud constante (para diferentes relaciones de carga, R) a los que se ajusta la ecuación Nasgro y los valores del factor de constricción La primera conclusión de ese análisis fue que, como cabía esperar, el parámetro de mayor influencia es el factor de constricción utilizado en el ajuste, por lo que la selección del valor apropiado es muy importante. También se concluyó que el uso del módulo NASMAT para seleccionar dicho valor no es fácil porque un aparentemente buen ajuste a un conjunto de datos de amplitud constante se puede obtener para un rango de valores de  y, sin embargo, no garantiza una buena estimación de vida. Además, el programa no proporciona ninguna herramienta para evaluar y por tanto discriminar el mejor ajuste. En segundo lugar, el ajuste de la ecuación a los diversos grupos de ensayo con diferentes relaciones de carga (R) da lugar a marcadas variaciones en los parámetros ajustados. A pesar de esto, se obtuvieron razonables predicciones de vida en el crecimiento de grietas bajo carga aleatoria para el proceso CH analizado y fue posible obtener diferentes conjuntos de parámetros (C, n, p y q) con los que la evaluación de crecimiento de la grieta era muy bueno. En base a estos resultados, en este análisis NASMAT se ha utilizado como una herramienta para buscar el conjunto de parámetros que proporcionan el mejor ajuste. Los resultados obtenidos corresponden a un valor del factor de constricción  en concordancia con el estado de deformación plana que se Ensayos y simulaciones realizados por Moreno 123 puede asumir para la geometría de la probeta. La eficiencia del ajuste se determina mediante la comparación de los datos experimentales con los resultados estimados (con la opción VCL) para las historias de carga del proceso CH con la vida a fatiga más corta y más larga, CH-09 y CH-11, respectivamente. Estas historias de carga son las que presentan el máximo y mínimo efecto de retardo debido a las sobrecargas que para el proceso CH corresponden de los registros de carga aleatoria 9 y 11. Una estimación precisa del crecimiento de la grieta o la vida fatiga, es decir, en definitiva de la curva a-N en estos dos casos garantizará buenas estimaciones en el resto de procesos e historias de carga. El conjunto de parámetros de la ecuación Nasgro obtenido con este procedimiento se muestra en la Tabla 3.3. Los resultados obtenidos por simulación con los parámetros de la Tabla 3.3 para los siete procesos de carga considerados y ambas opciones SYM en Nasgro (CCL y VCL) se presentan en la sección de resultados. C N p q K0 Cth+ CthRcl Alpha Smax/o 1.74E-11 2.824 0.5 0.5 124.86 2.5 0.10 0.70 2.00 0.30 Tabla 3. 3. Parámetros de la ecuación NASGRO Un punto débil, en la caracterización previa de las propiedades del material, es que los datos de amplitud constante utilizados corresponden a un estrecho rango de velocidades de crecimiento. Sin embargo, para hacer predicciones de vida, especialmente bajo cargas de amplitud variable o aleatorias, la relación da/dN -  Kef debe obtenerse en el máximo intervalo de velocidades, o rango de  Kef desde la región del umbral hasta la fractura. Con el fin de mejorar este punto, y por lo tanto, la caracterización del comportamiento de material, se han utilizado para generar una curva da/dN -  Kef los resultados obtenidos por Donald and James [17] para el mismo material, probetas tipo CT y espesor similar de probeta. Además de estos datos, también se ha considerado en este análisis la relación da/dN -  Kef para la aleación Al2024-T3 incluida en la base de datos de propiedades del propio software Nasgro. 124 Análisis comparativo de los modelos Strip-Yield implementados en NASGRO La Fig. 3.30.a muestra las curvas da/dN-K obtenidas por Donald and James para dos relaciones de carga R= 0.1 y R= 0.7. Dicha figura muestra también superpuestas las curvas de la Fig.3.29. para esos mismos valores de R y puede observarse que existe gran concordancia entre ambos conjuntos de datos. La forma de estas curvas muestra también una relación no lineal da/dN-K, y por lo tanto no puede ser correctamente representada por la ecuación Nasgro que no puede reproducir esta tendencia. Los datos de la Fig. 3.30.a se pueden convertir en curvas da/dN -Kef utilizando la función de apertura de grieta definida por Newman o función f. La Fig. 3.30b muestra los datos obtenidos asumiendo un factor de constricción  = 2 y Smax / 0 = 0.1. Esta figura muestra también la curva de la base de datos de material de Nasgro, poniendo de manifiesto que coincide con un ajuste a los datos de Donald and James. También se observa una buena correlación para los datos de velocidad de crecimiento de grietas por fatiga en un amplio rango de velocidades excepto cerca del régimen de umbral. En ese régimen, los resultados en probetas compactas se determinaron mediante el uso de un procedimiento de reducción de carga, se ha demostrado que el procedimiento de reducción de la carga puede inducir a umbrales más altos debido a un mayor efecto del cierre de grieta. Fig. 3. 30. (a) velocidades de crecimiento frente al factor de intensidad de tensiones, (b) velocidades de crecimiento frente al factor de intensidad de tensiones efectivo En este trabajo se propone una nueva relación da/dN Kef, listada en la tabla 3.4, que corresponde al ajuste de los datos de la Fig. 3.30.b., convertidos en da/dN -Kef , en el rango de velocidades disponible y coincidiendo fuera de ese a) b) Ensayos y simulaciones realizados por Moreno 125 rango con la curva de la base de datos Nasgro. Un detalle de ambas curvas se muestra en la siguiente sección. Kef (MPa m1/2) da/dN (mm/ciclo) Kef (MPa m1/2) da/dN (mm/ciclo) 25.30 1.00E-08 215.00 6.00E-05 33.20 1.00E-07 557.00 2.10E-03 64.83 2.00E-06 764.00 1.10E-02 110.00 8.00E-06 1170.00 1.00E-01 140.00 1.70E-05 2687.00 1.00E+01 Tabla 3. 4. Ley de crecimiento da/dN - ∆Kef propuesta 3.4.3. Resultados y discusión. Los modelos SYM, CCL y VCL, implementados en Nasgro se han utilizado para predecir el crecimiento de grietas de fatiga bajo cargas de amplitud constante y aleatoria. El cálculo realizado incluye dos descripciones de la ley de crecimiento de grietas: los parámetros de la ecuación Nasgro y la forma discreta como curva da/dN    Kef. Para la forma discreta se han utilizado dos curvas diferentes: la curva de la base de datos Nasgro y la propuesta en la Tabla 3.4. Se han realizado un número total de 840 simulaciones para obtener los resultados correspondientes a los procesos bajo carga aleatoria. Estos resultados corresponden a las veinte historias de carga para cada uno de los siete procesos aleatorios, con las opciones de ambos modelos SYM: el modelo CCL y VCL, y con las tres leyes de crecimiento descritas en la sección previa. Para la opción CCL, se ha establecido un factor de constricción a tracción = 2 correspondiente al estado de deformación plana que puede asumirse para este material y espesor de probeta. Este valor de  también es consistente con el