La ecuación de Legendre ax^2+by^2+cz^2=0 en los Enteros de Gauss y en el Anillo de los Polinomios Racionales

UNIVERSIDAD DE M´ ALAGA ESCUELA POLIT´ ECNICA SUPERIOR DEPARTAMENTO DE MATEM´ ATICA APLICADA La ecuaci´on de Legendre ax2+by2+cz2= 0 en los Enteros de Gauss y en el Anillo de Polinomios Racionales JOS´ E LUIS LEAL RUPERTO TESIS DOCTORAL Noviembre de 2015 AUTOR: José Luis Leal Ruperto http://orcid.org/0000-0002-9487-6016 EDITA: Publicaciones y Divulgación Científica. Universidad de Málaga Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercialSinObraDerivada 4.0 Internacional: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode Cualquier parte de esta obra se puede reproducir sin autorización pero con el reconocimiento y atribución de los autores. No se puede hacer uso comercial de la obra y no se puede alterar, transformar o hacer obras derivadas. Esta Tesis Doctoral está depositada en el Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga (RIUMA): riuma.uma.es Dr. Juan Jos´e Saame˜no Rodriguez, Titular de Universidad del Departamento de Matem´atica Aplicada de la Universidad de M´alaga, hace constar: Que D. Jos´e Luis Leal Ruperto, Licenciado en Ciencias Matem´aticas, ha realizado en el Departamento de Matem´atica Aplicada de la Universidad de M´alaga, bajo mi direcci´on, el trabajo de investigaci´on correspondiente a su Tesis Doctoral titulado: La ecuaci´on de Legendre en los Enteros de Gauss y en el Anillo de los Polinomios Racionales Revisado el presente trabajo, estimo que puede ser presentado al tribunal que lo ha de juzgar. Y para que conste a efectos de lo establecido en el Real Decreto 185/1985, autorizo la presentaci´on de este trabajo en la Universidad de M´alaga. M´alaga, de Octubre de 2015 Juan Jos´e Saame˜no Rodriguez A la memoria de mi hija Miranda 5 Agradezco a mi mujer Valeria por su paciencia estos tres a˜nos, tambi´en a los compa˜neros del departamento que con su ejemplo me han motivado en el deseo de investigar, Iv´an Atencia que me ha ayudado no solo con el ingl´es, Emilio Mu˜noz por su actitud siempre positiva, Inmaculada de las Pe˜nas por haberme picado hace ya muchos a˜nos a que le dedicara tiempo a una tesis, a Luis Lechuga su inter´es por escucharme estos a˜nos y hacerme observaciones, a Antonio Garv´ın por sus continuas preguntas acerca de como iba en mi investigaci´on, a Cristina Drapper y Francisco Palomo por darle valor a mi esfuerzo y a mi compa˜nero y director de Tesis Juan Jos´e Saame˜no. Quiero dedicar este trabajo a los profesores Francisco Luis Cardosa Urda, Inmaculada P´erez de Guzm´an Molina, Am´ın Kaidi y Florencio del Castillo Ab´anades, profesores que, de entre los que tuve, me ense˜naron Matem´aticas. 7 Prefacio La motivaci´on que ha dado lugar a esta tesis surgi´o en clase. Estos ´ultimos a˜nos hab´ıa tratado con m´as detalle la geometr´ıa anal´ıtica en R3, con objeto de que los alumnos de Ingenier´ıa de las especialidades de Dise˜no Industrial y Mec´anica tuvieran un mejor dominio del espacio. En particular explico con m´as detalle y m´as ejemplos las transformaciones ortogonales o isometr´ıas y los movimientos, que son importantes en cualquier modelo que ellos pudieran implementar en dos o tres dimensiones. Las matrices que representan estas transformaciones y movimientos son matrices ortogonales en las que tanto las filas como las columnas son vectores perpendiculares dos a dos y unitarios. Por ejemplo en R2lo es la siguiente matriz de valores racionales, 15 17 8 17 8 17 −15 17 . La dificultad al proponer ejercicios simples en clase sobre giros, reflexiones y otros movimientos est´a siempre en seleccionar bases ortonormales con entradas racionales. El proceso de Gram Schmidt no lo garantiza y cuando se efect´uan las operaciones de cambio de base para calcular la matriz de la transformaci´on respecto a la base can´onica, arrastramos n´umeros con raices cuadradas no exactas, n´umeros de expresi´on complicada para manejarlos por parte del alumno en un primer estudio. Para hallar una base ortonormal de valores racionales, primero hay que buscar vectores racionales que sean unitarios, en R2equivale a la b´usqueda de soluciones enteras de x2+y2=z2, ya que xo, yo, zoes soluci´on entera de la ecuaci´on anterior si y s´olo si (xo zo,yo zo) es vector unitario de R2. Las soluciones de esta ecuaci´on son conocidas como 9 16 ´ Indice 1 Introducci´on 19 2 La ecuaci´on de Legendre 33 2.1 La ecuaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 La ecuaci´on cuadr´atica ternaria homog´enea . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Formas normales de una ecuaci´on cuadr´atica ternaria 36 2.3 El teorema de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Demostraci´on del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Soluci´on general de la ecuaci´on de Legendre 47 3.1 Soluci´on de R´ealis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Soluci´on como intersecci´on de recta y elipse . . . . . . . . . . 52 3.3 Soluci´on mediante reflexi´on de vectores G-unitarios . . . . . . 53 3.4 Ecuaciones que satisfacen una soluci´on . . . . . . . . . . . . . 56 4 El teorema de Holzer 61 5 Los enteros de Gauss 67 5.1 El dominio eucl´ıdeo Z[i] ..................... 67 5.2 Los primos Gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3 Las clases residuales Z[i]a+bi ................... 70 5.4 Los m´ultiplos gausianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 La ecuaci´on de Legendre en Z[i]................. 75 6 El teorema de Holzer en Z[i]83 7 El teorema de Legendre en Q[t]91 8 El teorema de Holzer en Q[t]103 17 18 ´ Indice 9 Soluciones enteras de la ecuaci´on de legendre en Q[t]111 9.1 Ecuaciones de grados hasta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10 Conclusiones 117 1 Introducci´on Desde Lagrange [1], ya era conocido que el problema de la resolubilidad en los enteros de la ecuaci´on cuadr´atica homog´enea ternaria, ax2+bxy +cy2+dxz +eyz +fz2= 0,(1.1) con coeficientes enteros, era equivalente al de la resolubilidad de la ecuaci´on x2−By2=Az2,(1.2) en donde A,Bson ambos enteros positivos y sin factores que sean cuadrados. Esta ´ultima ecuaci´on se obten´ıa despu´es de que se hiciera en las indeterminadas de (1.1) una transformaci´on lineal o transformada 1. De ´estas, se sab´ıa que existen ecuaciones con soluci´on y otras sin soluci´on salvo la trivial (0,0,0) que siempre lo es. Al tratarse de una ecuaci´on homog´enea, si xo, yo, zoes soluci´on de (1.2) tambi´en lo es cualquier m´ultiplo. Una soluci´on es primitiva si el m´aximo com´un divisor (xo, yo, z0)=1. Con elementales argumentos sobre divisibilidad puede probarse que por ejemplo la ecuaci´on, x2−5y2= 3z2, no tiene soluciones: Supongamos que (xo, yo, zo) es soluci´on primitiva no trivial. Es evidente que ninguno de xo, yo, zopuede ser cero. Entonces como [−5]3= [1]3, se tiene [xo−5y2 o]3= [x2 o+y2 o]3= [0]3, 1Las indeterminadas ya transformadas de x2−By2=Az2est´an renombradas de nuevo con x, y, z. 19 20 1. Introducci´ on pero esto es s´olo posible si [xo]3= [yo]3= [0]3, que implica [x2 o]9= [y2 o]9= [0]9, y que [3z2 o]9= [0]9. Luego tambi´en z2 oy en consecuencia zoson m´ultiplos de 3 lo que es contradicci´on porque hemos supuesto que la soluci´on es primitiva. Para esta otra ecuaci´on, por ejemplo x2−7y2= 2z2, es f´acil ver que (3,1,1) es soluci´on, pero tambi´en lo ser´an las infinitas ternas, (3X2−14XY + 21Y2,−X2+ 6XY −7Y2, X2−7Y2) cualesquiera que sean X, Y enteros. Estas f´ormulas se obtienen con la ayuda de la soluci´on particular conocida, y todas ellas pueden ser parametrizadas con al menos dos par´ametros enteros, en el cap´ıtulo 3 veremos como. Lagrange observa que existen condiciones que son a priori necesarias para la resolubilidad de x2−By2=Az2. Supongamos que una ecuaci´on tiene soluci´on (xo, yo, zo), supongamosla primitiva. Tenemos entonces que siempre ser´a cierto, Lema 1.1 Si xo, yo, zoes soluci´on primitiva de x2−By2=Az2, con A,B libres de cuadrados, entonces yoes inversible en ZA. Observemos primero, que siempre, (xo, yo) = (xo, zo) = (yo, zo) = 1, ya que si fuese (xo, yo)6= 1 tendr´ıamos xo=px0,yo=py0con pprimo com´un con p2x02−Ap2y02=Bz2 o, y entonces [Bz2 o]p2= [p2]p2[x02−Ay02]p2= [0]p2, pero esto no es posible porque pno divide a zoyp2no divide a z2 o, y tampoco p2divide a Bque est´a libre de cuadrados. y tambi´en siempre, (yo, A) = 1, ya que si pfuera primo com´un tendr´ıamos yo=py0,A=pA0,x2 o=p(Bpy02+ A0z2 o) y pdividir´ıa tambi´en a xolo que no es posible por ser (xo, yo) = 1. Por tanto yoes inversible en ZA, el lema est´a probado. Siendo as´ı , podemos multiplicar entonces por el cuadrado del inverso de yoa [x2 o−By2 o]A= [0]A, y obtenemos [(xo/yo)2−B]A= [0]A, es decir, [(xo/yo)2]A= [B]A.(1.3) 21 Permutando AyBtambi´en es cierto que [(yo/xo)2]B= [A]B.(1.4) Cuando, como en este caso, un entero Bcoincide con un cuadrado m´odulo otro entero Ase dice que es residuo cuadr´atico: Definici´on 1.1 Bes residuo cuadr´atico m´odulo Asi existe un entero α tal que [α2]A= [B]A. Es decir α2−B=AM para cierto M. Por lo tanto, como concluimos en (1.3) y (1.4) que Bes residuo cuadr´atico m´odulo A, y que Aes res´ıduo cuadr´atico de Bpodemos afirmar: Lema 1.2 (Condicion necesaria para x2−By2=Az2,Lagrange) La ecuaci´on x2−By2=Az2, con A,Blibre de cuadrados, si tiene soluci´on, entonces es condici´on necesaria que Bsea residuo cuadr´atico m´odulo A, y que Asea residuo cuadr´atico m´odulo B. Partiendo de una ecuaci´on que satisface la condici´on necesaria, Lagrange idea un procedimiento para resolverla conocido como el m´etodo del descenso. Este m´etodo consiste en la realizaci´on de un n´umero finito de sucesivas transformadas2, con la progresiva reducci´on del m´odulo de los coeficientes de las ecuaciones transformadas, y con las soluciones de todas ellas en correspondencia uno a uno. La soluci´on general de la ecuaci´on x2−By2=Az2, se obtendr´ıa entonces a partir de la soluci´on de la ´ultima y de todas las transformadas que le preceden. Para hacer la primera transformada, y de la misma forma las que le siguen, Lagrange hace lo siguiente: Supone B < A. Como existe un entero αtal que [α2]A= [B]A,(1.5) elijamoslo de manera que |α| ≤ 1 2|A|. 2Transformaciones lineales en las variables. 22 1. Introducci´ on Si fuese mayor que la mitad, bastar´ıa tomar α−A, que en valor absoluto, si es menor que la mitad de A. Para cierto M, tendremos entonces α2−B=AM, |α| ≤ 1 2|A|.(1.6) Factorizemos, M=A0k2(1.7) siendo k2el mayor cuadrado que divide a M, y la primera transformada es, X2−BY 2=A0X2,(1.8) en la que A0est´a libre de cuadrados y el m´odulo |A0|se ha reducido respecto a|A|ya que, |A0| ≤ |M|= α2−B A≤ α2 A + B A≤1 4|A|+ 1 <|A|.(1.9) Siempre |A|puede considerarse que es mayor que 1, de otro modo la ecuaci´on inicial (1.2) ser´ıa x2−y2=z2que tiene soluci´on (1,1,0). En esta nueva ecuaci´on, si (Xo, Yo, Zo) es una soluci´on, lo es (xo, yo, zo) de x2−By2=Az2con xo=αXo+BYo yo=Xo+αYo zo=A0kZo, obtenida mediante transformaci´on lineal no singular. Volviendo a reducir esta ´ultima y las que resultan de forma sucesiva, obtenemos una sucesi´on de transformadas 3, x2−By2=Az2B < A (1.10) x2−By2=A0z2B < A0< A x2−By2=A0 1z2B < A0 1< A0 ··· =··· x2−By2=A0 nz2A0 n< B < A0 n−1 3Renombramos siempre las sucesivas indeterminadas con x, y, z para simplificar la notaci´on. 23 renombrando B1:= A0 nyA00 := B, x2−B1y2=A00z2 x2−B1y2=A00 1z2B1< A00 1< A00 x2−B1y2=A00 2z2B1< A00 2< A00 1 ··· =··· x2−B1y2=A00 mz2A00 m< B1< A00 m−1 renombrando B2:= A00 myA000 := B1, x2−B2y2=A000z2 ··· =··· ··· =··· que se reducen de manera que A>B1> B2>···, y que nos lleva, en un n´umero necesariamente finito de pasos, a una ecuaci´on reducida del tipo x2−y2=Dz2.(1.11) Y aunque podr´ıamos haber seguido hasta el final, hasta llegar a la ecuaci´on x2−y2=z2, de la que ya obviamente conocemos una soluci´on suya (1,0,1), no obstante la anterior x2−y2=Dz2ya era f´acilmente resoluble: Descompongamos D en dos factores αβ =D, que no podr´an tener cuadrados por no tenerlos Dy supongamos z= 2XY con X,Ypar´ametros enteros arbitrarios. Entonces, (x+y)(x−y)=4αβX2Y2 tomando x+y= 2αX2,x−y= 2βY 2, despejando x,yobtenemos una parametrizaci´on de infinitas soluciones, x=αX2+βY 2 y=αX2−βY 2(1.12) z= 2XY. Por tanto la soluci´on general de la ecuaci´on x2−By2=Az2, se obtiene a partir de las soluciones de x2−y2=Dz2y de todas las transformadas que le preceden. Este procedimiento no es r´apido ni da unas f´ormulas expl´ıcitas para encontrar una primera soluci´on. 24 1. Introducci´ on Esta condici´on necesaria, para que el procedimiento del descenso pueda iniciarse, que se cumpla que exista un entero αtal que α2−B A(1.13) sea entero, lo es a cada una de las dem´as ecuaciones de la sucesi´on para que el descenso no se interrumpa. Por lo tanto, si la ecuaci´on de partida no la satisface, la ecuaci´on no es resoluble, pero tampoco lo ser´a si en alg´un momento se interrumpe el descenso porque una de las ecuaciones que la siguen no la cumple. Hasta entonces no se sab´ıa procedimiento para conocer a priori si el proceso se interrumpir´ıa. Legendre en [2] estudia esta ecuaci´on y consigue establecer un criterio que permite conocer a priori su resolubilidad o no. Afirma que es necesario anadir una condici´on m´as que debe cumplir la primera ecuaci´on y tan solo otra m´as su primera transformada X2−BY 2=A0X2en (1.8), probando primero que, Lema 1.3 La ecuaci´on x2−By2=Az2con A,Blibre de cuadrados, es resoluble si y s´olo si existen los enteros α,β,γtales que α2−B A,β2−A Byγ2−A0 B(1.14) sean enteros. y seguidamente observa y prueba que esta tercera condici´on es sup´erflua si A, B son primos entre si, Teorema 1.1 (Suficiencia en x2−By2=Az2,Legendre) La ecuaci´on x2−By2=Az2 con, 1. A,Blibres de cuadrados, 2. A,Bprimos dos a dos, es resoluble si, (i) Aes residuo cuadr´atico a B, y Bes residuo cuadr´atico de A. 25 Como la dificultad parece venir del hecho de que los coeficientes de la ecuaci´on x2−By2=Az2no son primos dos a dos, Legendre considera entonces una ecuaci´on parecida en la que adem´as de ser libre de cuadrados, sus coeficientes son primos dos a dos. Para ello basta considerar, si a=(A, B) es el m´aximo com´un divisor de AyB, b=−B a, c =−A a, para obtener una nueva ecuaci´on, ax2+by2+cz2= 0,(1.15) que es resoluble si y s´olo lo es x2−By2=Az2, porque sus indeterminadas tambi´en est´an relacionadas linealmente: Si (xo, yo, zo) es soluci´on de x2−By2=Az2, entonces lo es (xo, ayo, azo) de ax2+by2+cz2= 0. Si (xo, yo, zo) es soluci´on de ax2+by2+cz2= 0, entonces lo es (axo, yo, zo) de x2−By2=Az2. Esta ecuaci´on es sobre la cual Legendre enuncia y prueba su famoso teorema: Teorema 1.2 (Teorema de Legendre) La ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0, con a, b, c libre de cuadrados y primos dos a dos, tiene soluci´on no trivial si y s´olo si, no todas a, b, c tienen el mismo signo y si existen tres enteros λ, µ, ν tales que aλ2+b c,cµ2+b a,cν2+a b(1.16) sean enteros. Gauss en [3] reformula el enunciado del teorema a otro equivalente, utilizando ya el concepto de res´ıduo cuadr´atico como se conoce ahora, a la vez que da otra demostraci´on a partir de su teor´ıa de formas cuadr´aticas ternarias en Z. 32 1. Introducci´ on 2 La ecuaci´on de Legendre La prueba del teorema de Legendre con sus argumentos no qued´o definitivamente clara hasta que Dirichlet [6] hiciera una elegante demostraci´on por inducci´on sobre el ´ındice de la ecuaci´on. Esta demostraci´on clave es la que permite abordar la generalizaci´on del teorema en los distintos dominios eucl´ıdeos. Pero antes sintetizamos algunas cosas que es necesario tener presente. Empezamos con la ecuaci´on lineal. 2.1 La ecuaci´on lineal Es conocido que la ecuaci´on, a1x1+a2x2···+anxn=b(2.1) tiene soluci´on en los enteros si y s´olo si el m´aximo com´un divisor dde los coeficientes divide a b. Encontrar una soluci´on de la ecuaci´on diof´antica m´as elemental en la teor´ıa de n´umeros, a1x1+a2x2= 1,(2.2) puede hacerse con cualquier programa de c´alculo simb´olico que incorpore una funci´on que la resuelva. Su c´alculo se basa en la aplicaci´on reiterada de la divisi´on eucl´ıdea entre los coeficientes y los sucesivos restos, no obstante los programas de c´alculo simb´olico hacen la divisi´on en los enteros y no nos servir´a cuando trabajemos por ejemplo en los enteros de Gauss u otro dominio eucl´ıdeo. Detallamos a continuaci´on un procedimiento general para resolverla. Las divisi´on reiterada puede ser interpretada matricialmente en sucesi33 34 2. La ecuaci´ on de Legendre vas transformaciones lineales en las variables. Una parametrizaci´on de la soluciones vendr´a dada a partir del producto de las matrices de esas transformaciones como sigue: Podemos suponer que |a2|<|a1|. Buscamos q1,r1, cociente y resto de la divisi´on de a1por a2, |a2q1+a1|=|r1|<|a2|. Consideramos la transformaci´on, x1=x11 x1 x2=1 0 q11 x11 x21  x2=q1x11 +x21 a1x11 +a2(q1x11 +x21) = r1x11 +a2x21 = 1. La nueva ecuaci´on transformada r1x11 +a2x21 = 1 tiene ahora el primer coeficiente m´as peque˜no que el segundo |r1|<|a2|, dividimos a2entre r1, |r1q2+a2|=|r2|<|r1|y consideramos de nuevo la transformaci´on, x11 =x12 +q2x22 x11 x21 =1q2 0 1  x12 x22  x21 =x22 r1(x12 +q2x22) + a2x22 =r1x12 +r2x22 = 1. Como r1> r2>···, repetimos el proceso las veces necesarias hasta que obtengamos, digamos en la k-´esima transformaci´on rk= 1 y la ´ultima transformaci´on nos dar´a que una de las variables es x1k= 1 o x2k= 1. En cualquier caso tendr´ıamos la parametrizaci´on de las soluciones en funci´on de los sucesivos cocientes q1,q2,··· , qky con un s´olo par´ametro, pongamos X, y como un producto de matrices. Podemos enunciar entonces, Proposici´on 2.1 Si q1, q2···qkrepresentan los sucesivos cocientes antes descritos, entonces la ecuaci´on a1x1+a2x2= 1 tiene soluci´on, x1 x2=1 0 q11 1q2 0 1  1 0 q31···1 0 qk1 X 1,(2.3) 2.2. La ecuaci´ on cuadr´ atica ternaria homog´ enea 35 si kes impar, y x1 x2=1 0 q11 1q2 0 1  1 0 q31···1qk 0 1  1 X,(2.4) si kes par. Este proceso puede generalizarse [20] para resolver con n−1 par´ametros las soluciones de la ecuaci´on a1x1+a2x2···+anxn=b. 2.2 La ecuaci´on cuadr´atica ternaria homog´enea La resoluci´on de las ecuaciones cuadr´aticas homog´eneas en una variable es trivial. En dos variables, la ecuaci´on ax2+bxy +cy2= 0,(2.5) es sencilla de resolver, Proposici´on 2.2 La ecuaci´on ax2+bxy +cy2= 0 tiene soluci´on si y s´olo si b2−4ac =k2es un cuadrado (incluido el 0), y su soluci´on es (k−b, 2a). Esto es porque la ecuaci´on puede ser expresada en forma diagonal mediante una transformaci´on lineal en las variables x, y. Para ello, procedemos con matrices elementales en las operaciones de fila y columna hasta tener, ax2+bxy +cy2= [x, y]ab 2 b 2c x y= = [X, Y ]1 0 −b 2a1 ab 2 b 2c 1−b 2a 0 1  X Y= = [X, Y ]a0 0−b2+4ac 4a X Y, y multiplicando por 4a, llegamos a la ecuaci´on transformada, 4a2X2−(b2−4ac)Y2= 0 con x= 2aX −bY y = 2aY, (2.6) que tiene soluci´on (k, 2a) si y s´olo si b2−4ac =k2es un cuadrado. A su vez ax2+bxy +cy2= 0 tiene entonces la soluci´on x= 2a(k−b), y = 4a2que prescindiendo del factor com´un es (k−b, 2a). 36 2. La ecuaci´ on de Legendre Con tres variables, la resolubilidad de la ecuaci´on general, ax2+bxy +cy2+dxz +eyz +fz2= 0 (2.7) se reduce a saber si su correspondiente ecuaci´on reducida del tipo de Lagrange x2 1+By2 1+Az2 1, lo es. Consideremos la ecuaci´on general, tambi´en expresada como una forma cuadr´atica XtGX = 0, [x, y, z]  ab 2 d 2 b 2ce 2 d 2 e 2f   x y z = 0. Podemos observar primero que, 1. Si a,c,fson todas cero la resoluci´on es trivial, ya que (1,0,0) es su soluci´on. 2. Tambi´en si b2−4ac =k2es un cuadrado, pudiendo ser tambi´en k= 0, entonces seg´un la anterior proposici´on (2c, k −b, 0) es soluci´on. Ygual ocurre con d2−4af y con e2−4cf, que tendr´ıa por soluciones respectivamente a (2f, 0, k −d) y (0,2f, k −e). 2.2.1 Formas normales de una ecuaci´on cuadr´atica ternaria Entonces para lo que nos interesa, podemos considerar que la ecuaci´on (2.7) tiene al menos uno de los coeficientes, a,c,fdistinto de cero y que b2−4ac, d2−4af,e2−4cf no son ninguno ni cero ni cuadrados. Reordenemos si es necesario las variables de manera que asea siempre distinto de cero y siendo as´ı diremos que es una ecuaci´on cuadr´atica ternaria no trivial. Definici´on 2.1 La ecuaci´on ax2+bxy+cy2+dxz +eyz +fz2= 0, es una forma cuadr´atica ternaria no trivial si tiene al menos uno de los coeficientes, a,c,fdistinto de cero y b2−4ac,d2−4af,e2−4cf no son ninguno ni cero ni cuadrados. Entonces tenemos, Teorema 2.3 La ecuaci´on ax2+bxy +cy2+dxz +eyz +fz2= 0, no 2.2. La ecuaci´ on cuadr´ atica ternaria homog´ enea 37 trivial, tiene soluci´on si y s´olo si la tiene x2 1+By2 1+Az2 1= 0, con B=−(b2−4ac) A=−(bd −2ae)2+ (b2−4ac)(d2−4af). Esta ecuaci´on no trivial, puede ser reducida mediante una transformada a otra del tipo, x2 1+By2 1+Az2 1= 0.(2.8) Para ello consideramos la transformaci´on lineal X1=TX,   x1 y1 z1 =  0b2−4ac bd −2ae 2a b d 0 0 1    x y z ,(2.9) que es no singular , |T|=−2a(b2−4ac)6= 0, y (2.7) se transforma en, XtGX =XtTt(Tt)−1GT−1T X =Xt 1[(Tt)−1GT−1]X1=Xt 1DX1 una forma racional Xt 1DX1con Ddiagonal, D=−1 4a(b2−4ac)  1 0 0 0−(b2−4ac) 0 0 0 −(bd −2ae)2+ (b2−4ac)(d2−4af) , en donde si quitamos el factor com´un −1 4a(b2−4ac)de los coeficientes para que la forma sea entera, tendremos que (2.7) es resoluble en los enteros si y s´olo si lo es x2 1+Ay2 1=Bz2 1con, B=−(b2−4ac) A=−(bd −2ae)2+ (b2−4ac)(d2−4af). donde las soluciones est´an relacionadas mediante (2.9). El problema se reduce entonces a la resoluci´on de una ecuaci´on que es del tipo, x2+By2+Az2= 0.(2.10) Como los factores que son cuadrados en los coeficientes de la ecuaci´on resultan irrelevantes para la resolubilidad , si AoBcontiene cuadrados, eliminemoslos: Si (2.10) es tal que contiene a α2,β2, x2+B0β2y2+A0α2z2= 0, 38 2. La ecuaci´ on de Legendre entonces con la transformaci´on, x0=x, y0=βy, z0=αz, (2.11) tenemos a x02+B0y02+A0z02= 0 que no los contiene. Una ecuaci´on de este tipo libre de cuadrados se dice que es una ecuaci´on reducida de Lagrange que est´a en su forma normal. Definici´on 2.2 La ecuaci´on x2+By2+Az2= 0 es una ecuaci´on reducida de Lagrange en su forma normal si A,Bno contienen cuadrados. Si aes el m´aximo com´un divisor de AyB, llamando b=B/a,c=A/a entonces ax2+by2+cz2= 0,(2.12) es el resultado de hacerle a x2+By2+Az2= 0 la transformaci´on x→x, y →ay, z →az, que adem´as de no tener cuadrados, tiene los coeficientes primos dos a dos. Si x,y,zes soluci´on de (2.10) entonces lo es x,ay,az de (2.12) y si x,y, zes soluci´on de (2.12) entonces lo es ax,y,zde (2.10). Esta ´ultima, que tiene los coeficientes libres de cuadrados y primos dos a dos se conoce como ecuaci´on de Legendre en su forma normal. Definici´on 2.3 La ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0 de Legendre, est´a en su forma normal si 1. a, b, c son libres de cuadrados. 2. a, b, c son primos dos a dos. No obstante podr´ıamos haber partido de una ecuaci´on cualquiera de legendre con factores cuadrados y factores comunes por pares y reducirla directamente a su forma nornal. Si partimos de la ecuaci´on cualquiera a1x2 1+b1y2 1+c1z2 1= 0 (2.13) en la que primero, a1,b1,c1fuesen a1=α2a,b1=β2b,c1=γ2ccon a, b,clibre de cuadrados, entonces la correspondencia entre las soluciones de (2.13) y las de 2.12 son de manera que si (x1, y1, z1) es soluci´on de (2.13) entonces lo es (αx1, βy1, γz1) de (2.12), y si (x, y, z) es soluci´on de (2.12) 2.3. El teorema de Legendre 39 entonces lo es (βγx, γαy, αβz) de (2.13). Segundo, si la ecuaci´on (2.12) es tal que pes un divisor primo com´un de byc, si (x, y, z) es soluci´on de (2.12) entonces (x, py, pz) lo es de pax2 1+b py2 1+c pz2 1= 0 (2.14) y rec´ıprocamente si (x1, y1, z1) es soluci´on de (2.13), entonces (x1, y1/p, z1/p) lo es de 2.12. Como |pa(b/p)(c/p)|=|abc/p|<|abc|, despu´es de repetir este proceso las veces necesarias llegaremos a una ecuaci´on con los coeficientes primos dos a dos. 2.3 El teorema de Legendre Antes de detallar la demostraci´on, conviene recordar estas propiedades acerca de los residuos cuadr´atricos en general que van a ser usadas en la demostraci´on, y con objeto de facilitar su lectura. Teorema 2.4 Sean a, b, c, α, elementos de cualquier anillo euc´ıdeo, se tiene (a) Si [a]c= [b]centonces ab es residuo cuadr´atico de c. (b) Si a, b son residuos cuadr´aticos de c, entonces ab es residuo cuadr´atico de c. (c) Si aes residuo cuadr´atico de ck, entonces aes residuo cuadr´atrico de c. (d) Si ak2es residuo cuadr´atico de c, y (k, c)=1, entonces aes residuo cudr´atico de c. La demostraci´on del lema es inmediata, no depende del dominio eucl´ıdeo en donde se trabaje: (a) Como [a]c= [b]c, entonces [a2]c= [b2]c= [ab]c. (b) Si [r2]c= [a]cy [s2]c= [b]c, entonces, [(rs)2]c= [ab]c. (c) Si [r2]ck = [a]ck, entonces [r2−a]ck = [0]ck, tambi´en [r2−a]c= [0]cy por tanto, [r2]c= [a]c. 40 2. La ecuaci´ on de Legendre (d) Si [r2]c= [ak2]centonces [k]ces inversible en Zcy se tiene que, [(r/k)2]c= [a]c. 2.3.1 Demostraci´on del teorema El teorema de Legendre enunciado como ahora se conoce es el siguiente: Teorema 2.5 (de Legendre) La ecuaci´on en Z, ax2+by2+cz2= 0,(2.15) es resoluble en Zsi y s´olo si, (i) no todas a, b, c tienen el mismo signo, (iii) −bc, −ca y−ab son residuos cuadr´aticos de a, b y c respectivamente. Es obvio que (i) es necesario para que tenga soluci´on, probamos que lo es (iii) con el lema que sigue, similar al lema (1.2) . Lema 2.1 (Lagrange. Necesidad de (iii)) Si la ecuaci´on ax2+by2+ cz2= 0, expresada en su forma normal, tiene soluci´on en Zentonces es necesario que, (iii) −bc, −ac, −ab sean residuos cuadr´aticos de a, b, ycrespectivamente. La demostraci´on de la necesidad de (iii) no depende del dominio eucl´ıdeo E en el que se defina la ecuaci´on. Para su demostraci´on, observamos primero que si xo, yo, zoes soluci´on primitiva, es decir con (xo, yo, zo)=1, entonces (xo, yo)=(xo, zo)=(yo, zo)=1,1 ya que si fuese (xo, yo)6=1 tendr´ıamos xo=px0,yo=py0con pprimo com´un con −cz2 o=a(px0)2+b(py0)2, y entonces [−cz2 o]p2= [p2]p2[ax02+by02]p2= [0]p2lo que no es posible ya que pno divide a zoyp2no o hace a z2 o, y tampoco p2divide a cque est´a libre de cuadrados. 1Si estamos en cualquier dominio E, entonces 1 es el representante del grupo de unidades. En Zes {1,−1}, en Z[i] es {1,−1, i, −i}y en Q[t] son todos los racionales exepto el 0. 2.3. El teorema de Legendre 41 Segundo, tambi´en es cierto que (xo, c) = 1, ya que si pfuera un primo com´un deber´ıa dividir a by2 o, no lo hace a bpor ser b,cprimos entre si, y no lo hace a y2 oni a yopor ser xoeyocomo hemos visto, primos entre si. Por tanto xoes siempre inversible en el anillo de las clases residuales Ec. Siendo as´ı, como ax2 o+by2 o=−cz2 oentonces [ax2 o+by2 o]c= [0]c, y multiplicando por [(1/xo)2b]cse tiene [ab +b2y2 o(1/xo)2]c= [0]c. Por tanto, [(byo/xo)2]c= [−ab]c(2.16) y−ab es entonces un residuo cuadr´atico de c. De forma semejante se prueba que −bc,−ac son tambi´en residuos cuadr´aticos de aybrespectivamente. Esto prueba la necesidad de (iii) en Ey en este caso en particular en Z. Lo m´as dif´ıcil es la suficiencia de (i) y (iii) en Z. Legendre da argumentos para justificar porqu´e estas condiciones son suficientes. Sus argumentos fueron criticados por Gauss [3] que hace una demostraci´on alternativa como una consecuencia de su teor´ıa de formas ternarias en Z. No obtante esta demostraci´on de Gauss no es generalizable a otros dominios eucl´ıdeos, que es lo que nos interesa. Dirichlet [6], adaptanto los argumentos de Lagrange y Legendre hace una demostraci´on de la suficiencia por inducci´on sobre el ´ındice (que definimos a continuaci´on) de la ecuaci´on. Esta demostraci´on, tambi´en en Dickson [10], si puede adaptarse como veremos m´as tarde a otros dominios eucl´ıdeos. La reproducimos a continuaci´on de la forma m´as fiel posible a la original. Teorema 2.6 (Dirichlet. Suficiencia de (i) y (iii)) Si a,b c son enteros, la ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0 tiene soluciones enteras de valores primos dos a dos si (i) a, b, c no son todas del mismo signo ni cero, (ii) a,b,c, son primos dos a dos, (iii) -bc, -ac, -ab son residuos cuadr´aticos de a, b, c, respectivamente, (iv) a,b,c, no tiene factores cuadrados >1. 48 3. Soluci´ on general de la ecuaci´ on de Legendre primitivas, es decir con (xo, yo, zo)=1, independientemente de los signos, que siempre podemos considerar positivos1. Definici´on 3.1 Una parametrizaci´on es soluci´on general, cuando parametriza todas las soluciones, salvo m´ultiplos, salvo cambio en los signos. Si consideraramos distintas una soluci´on y un m´ultiplo de ella, es obvio que por ejemplo la terna pitag´orica (5,4,3), soluci´on de x2−y2=z2no es ninguna de las parametrizadas en, x=X2+Y2 y=X2−Y2 z= 2XY. porque zes siempre par. Pero si consideramos iguales toda las soluciones y m´ultiplos de ellas con cualquier signo, la parametrizaci´on (3.2) si cubre todas las soluciones. Probamos esto ´ultimo. Consideremos la descomposici´on de D= 1 ·D, veamos que la correspondiente parametrizaci´on de las soluciones de x2−y2= Dz2es soluci´on general. Teorema 3.1 Cualquier soluci´on salvo m´ultiplos de x2−y2=Dz2,viene expresada mediante x=X2+DY 2(3.3) y=X2−DY 2 z= 2XY. para ciertos valores enteros de X,Y. Que (x, y, z) es soluci´on, es obvio. Para ver que lo son todas salvo m´ultiplos, consideremos una soluci´on cualquiera (xo, yo, zo) de (3.1). Si tomamos,2 X=xo+yo, Y =zo,(3.4) 1Existen otras investigaciones (ver [28] y su bibliograf´ıa) que tratan el problema acerca de cu´ando una parametrizaci´on cubre todas las soluciones, incluidas las no primitivas, y aquellas con distintos signos 2La elecci´on de estos valores para XeYse justificar´a en 3.3 3.1. Soluci´ on de R´ ealis 49 entonces sustituimos en (3.3) y obtenemos, x=X2+DY 2= (xo+yo)2+Dy2 o= 2xoyo+ 2xo= 2(xo+yo)xo y=X2−DY 2= (xo+yo)2−Dy2 o= 2xoyo+ 2yo= 2(xo+yo)yo z= 2XY = 2(xo+yo)zo con lo que, salvo m´ultiplos, la soluci´on (x, y, z) coincide con (xo, yo, zo). Por esta v´ıa la soluci´on general de la ecuaci´on de Legendre ax2+by2+ cz2= 0 se obtendr´ıa a partir de las soluciones de x2−y2=Dz2y de todas las que le preceden. Las f´ormulas que resultar´an ser´an siempre tres formas cuadr´aticas binarias en XeY, x= (X, Y )QxX Y, y = (X, Y )QyX Y, y = (X, Y )QzX Y. Este procedimiento para hallar las soluciones, o una f´ormula, no es r´apido. Sobre todo en los tiempos en los que no exist´ıan los ordenadores. Teniendo en cuenta que uno de los problemas siempre a resolver es conocer cu´al es la soluci´on m´as peque˜na, aunque partamos de una soluci´on de x2−y2=Dz2en magnitud peque˜na, nada tenemos asegurado acerca de la magnitud de la soluci´on obtenida finalmente para ax2+by2+cz2= 0. 3.1 Soluci´on de R´ealis La primera parametrizaci´on directa a partir de la ecuaci´on ax2+by2+ cz2= 0 la hace R´ealis en [7]. Presenta unas f´ormulas dependientes de tres par´ametros X,Y,Zobtenidas a partir de una soluci´on conocida (xo, yo, zo). Primero, encuentra una soluci´on a partir de (xo, yo, zo), (−a+b+c)xo−2(byo+czo) (a−b+c)yo−2(axo+czo) (a+b−c)zo−2(axo+byo) despu´es introduce tres par´ametros X,Y,Zy tras comprobar que funciona con ejemplos, enuncia sin probar el teorema, 50 3. Soluci´ on general de la ecuaci´ on de Legendre Teorema 3.2 (R´ealis) Si una soluci´on particular de ax2+by2+cz2= 0 viene dada por (xo, yo, zo), la soluci´on general ser´a dada por las f´ormulas (−aX2+bY 2+cZ2)xo−2X(byoY+czoZ) (aX2−bY 2+cZ2)yo−2Y(axoX+czoZ) (aX2+bY 2+cZ2)zo−2Z(axoX+byoY) con X,Y,Zenteros cualesquiera. Desconozco si R´ealis obvia la demostraci´on porque la considerara f´acil o porque no la encontrara, el caso es que las formulas son ciertas y parametrizan todas las soluciones por lo siguiente. Expresadas de diferente forma, estas f´ormulas son las mismas que estas otras xo(aX2+bY 2+cZ2)−2X(axoX+byoY+czoZ) yo(aX2+bY 2+cZ2)−2Y(axoX+byoY+czoZ) (3.5) zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ). R´ealis pudo haber deducido estas f´ormulas parametrizando las soluciones imponiendo que, (xo+tX, yo+tY, zo+tZ) (3.6) fuera una soluci´on en los racionales con X,Y,Zpar´ametros enteros y t racional, t6= 0. Sustituyendo se obtiene, 0 = a(xo+tX)2+b(yo+tY )2+c(zo+tZ)2= ax2 o+ 2axotX +at2X2+by2 o+ 2byotY +bt2Y2+cz2 o+ 2czotZ +ct2Z2= ax2 o+by2 o+cz2 o+ (aX2+bY 2+cZ2)t2+ 2t(axoX+byoY+czoZ) = t((aX2+bY 2+cZ2)t+ 2(axoX+byoY+czoZ)). Ya que t6= 0 obtengo, t=−2(axoX+byoY+czoZ) aX2+bY 2+cZ2 que sustituido en (3.6) nos da soluciones en los racionales de la ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0. Multiplicando por aX2+bY 2+cZ2obtengo las mismas soluciones enteras de R´ealis de (3.5). 3.1. Soluci´ on de R´ ealis 51 Si reordenamos la ecuaci´on de manera que podamos considerar siempre que a,bson positivos y cnegativo, no podr´a darse nunca una soluci´on (xo, yo, zo) con zo= 0. Siendo as´ı , con s´olo dos par´ametros X,Y, y prescindiendo de Z, haciendo ´este que valga 0 en las f´ormulas, las que resultan, representan todas las soluciones: Teorema 3.3 Si (xo, yo, zo)es soluci´on de ax2+by2+cz2= 0, con a, b > 0, c < 0, entonces cualquier soluci´on (x, y, z)salvo multiplos, viene expresada mediante x=xo(aX2+bY 2)−2X(axoX+byoY) = −axoX2−2byoXY +bxoY2 y=yo(aX2+bY 2)−2Y(axoX+byoY) = ayoX2−2axoXY −byoY2 z=zo(aX2+bY 2) (3.7) para ciertos valores enteros X,Y. Puede comprobarse operando, que si (x, y, z) es una soluci´on cualquiera, entonces tomando 3, X=b(yzo+yoz)Y=−a(xzo+xoz) (3.8) obtenemos la soluci´on, 2z2 o(axxo+byyo−czzo)x 2z2 o(axxo+byyo−czzo)y 2z2 o(axxo+byyo−czzo)z que es un m´ultiplo de la soluci´on (x, y, z). Las mismas f´ormulas que las del teorema, salvo alguna diferencia en los signos, son las que se obtienen mediante enfoques geom´etricos como vemos a continuaci´on. 3La elecci´on de estos valores para XeYse justifica en 3.3 52 3. Soluci´ on general de la ecuaci´ on de Legendre 3.2 Soluci´on como intersecci´on de recta y elipse Despu´es de cambiar el signo y reordenar los coeficientes si fuera necesario, expresemos la ecuaci´on de Legendre con a > 0, b > 0 y c > 0 de la forma ax2+by2=cz2. Dividiendo por cz2, la ecuaci´on 2.15 representa una elipse en el plano a cx z2+b cy z2= 1. Si disponemos de una soluci´on xo, yo, zode la ecuaci´on, tenemos un punto de la elipse de coordenadas racionales xo zo ,yo zo, y cualquier otra soluci´on de la ecuaci´on es otro punto de coordenadas racionales x z,y zque est´a sobre la elipse. Para hallarlos basta observar que el corte de una recta que pasa por xo zo,yo zode pendiente −Y Xcualquiera, X,Yenteros, con la elipse, es siempre un punto de coordenadas racionales: La recta en param´etricas es x z=xo zo +tX, y z=yo zo +tY. (3.9) Imponiendo a cxo zo +tX2 +b cyo zo +tY 2 = 1, y teniendo en cuenta que ax2 o+by2 o−cz2 o= 0, despejo t t=−2(axoX+byoY) azoX2+bzoY2 que sustituido en 3.9, y una vez eliminados denominadores nos dan las mismas parametrizaciones que las del teorema 3.3 3.3. Soluci´ on mediante reflexi´ on de vectores G-unitarios 53 3.3 Soluci´on mediante reflexi´on de vectores G-unitarios Consideremos Q2 G, el espacio eucl´ıdeo de los vectores racionales, pero, con el producto escalar definido como: ~v ·~w := ~v G ~wtcon G=a/c 0 0b/c . En este espacio la norma de un vector de cordenadas racionales (x z,y z) respecto a cualquier base, es rx z,y zGx z,y zt=ra cx z2+b cy z2 y entonces, Definici´on 3.2 (x z,y z)es G-unitario si y s´olo si sus coordenadas son soluciones racionales de la ecuaci´on a cx z2+b cy z2= 1. Todas las soluciones tienen en com´un ser coordenadas de vectores unitarios de Q2 G, de manera que ahora encontrar las soluciones de 2.15 se reduce a encontrar los vectores (x z,y z) unitarios en Q2 G. Conocida pues una soluci´on (xo, yozo), el vector soluci´on xo zo ,yo zo es unitario en Q2 G, y encontrar todos los dem´as puede hacerse mediante isometr´ıas. Las isometr´ıas preservan las distancias, y transforman vectores unitarios en vectores unitarios: Hacemos una reflexi´on del vector soluci´on respecto a la recta de direcci´on (X, Y ). El vector x z,y zreflejado de xo zo,yo zorespecto a la direcci´on (X, Y ) es dos veces la proyecci´on del vector sobre esa direcci´on menos el vector: x z,y z= 2P(X,Y )xo zo ,yo zo−xo zo ,yo zo(3.10) 54 3. Soluci´ on general de la ecuaci´ on de Legendre (xo zo,yo zo) (x z,y z)=2P(XY )(xo zo,yo zo)−(xo zo,yo zo) P(XY )(xo zo,yo zo) (X, Y ) De la ecuaci´on, x z,y z= 2xo zo,yo zoG(X, Y )t (X, Y )G(X, Y )t(X, Y )−xo zo ,yo zo operando y simplificando queda: axoX2+ 2byoXY −bxoY2 zo(aX2+bY 2),−ayoX2+ 2axoXY +byoY2 zo(aX2+bY 2)(3.11) de la que eliminando denominador nos da la misma soluci´on entera que en (3.7), aunque con un irrelevantemente cambio de signo en xey. Podemos enunciar, Teorema 3.4 Sea (xo, yo, zo)una soluci´on no trivial de ax2+by2+cz2= 0, con a, b > 0,c < 0. Sea G=a/c 0 0b/c . Entonces cualquier otra soluci´on (x, y, z)es tal que, x z,y z= 2xo zo,yo zoG(X, Y )t (X, Y )G(X, Y )t(X, Y )−xo zo ,yo zo. Queda por ver que todas las soluciones son ´estas. Es f´acil de verlo geom´etricamente si observamos que la suma de xo zo,yo zoy de su vector reflejado x z,y z, xo zo +x z,yo zo +y z(3.12) 3.3. Reflexi´ on de vectores G-unitarios 55 es la direcci´on (X, Y ) de la reflexi´on, por lo que que una vez sumados y eliminados los denominadores para obtener valores enteros, nos queda que los par´ametros que determian la direcci´on (X, Y ) a trav´es de la cual el vector unitario xo zo,yo zose refleja en x z,y zy rec´ıprocamente es X=xoz+xzo, Y =yoz+yzo.(3.13) Esto prueba que son todas. Esto ´ultimo fundament´o la elecci´on de (3.4). En cuanto la elecci´on de los valores de los par´ametros en (3.8), tenemos que la parametrizaci´on de (3.7) representa el vector −x z,y zde (3.11). Mediante la observaci´on geom´etrica de que la reflexi´on de un vector respecto a una direcci´on y la reflexi´on del mismo vector respecto a la direcci´on perpendicular, son los mismos de signo opuesto, s´olo tenemos que tomar el perpendicular. Con este producto escalar el vector perpendicular a (X, Y ) es, (bY, −aX),(3.14) porque (X, Y )G(bY, −ax)t= 0. Como tenemos, −R(X,Y )xo zo ,yo zo=R(bY,−aX)xo zo ,yo zo,(3.15) la elecci´on de (3.8) fue el vector perpendicular a (3.13), X=b(yzo+yoz)Y=−a(xzo+xoz).(3.16) La diferencia en el uso de dos o tres par´ametros es la siguiente. La parametrizaci´on con dos par´ametros XeYdel teorema 3.3 xo(aX2+bY 2)−2X(axoX+byoY) (3.17) yo(aX2+bY 2)−2Y(axoX+byoY) zo(aX2+bY 2) dan soluciones que son independientes de los par´ametros. Es decir, si hacemos una eliminaci´on de XeYen las formulas despejando Xen una, sustituyendo en las otras dos y volviendo a despejar Yy sustituir en la restante, s´olo obtenemos una intratable relaci´on entre las soluciones (x, y, z) 56 3. Soluci´ on general de la ecuaci´ on de Legendre y (xo, yo, zo)4. En realidad pueden sustituirse X,Ypor cualquier forma lineal en XeY. En cambio en la parametrizaci´on de R´ealis que usa Mordell con un par´amero Zm´as, xo(aX2+bY 2+cZ2)−2X(axoX+byoY+czoZ) (3.18) yo(aX2+bY 2+cZ2)−2Y(axoX+byoY+czoZ) zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ) las soluciones si dependen de los par´ametros. Esto nos permite seleccionar X, Y, Z con alg´un criterio para buscar una soluci´on que nos convenga, como haremos en la demostraci´on del teorema de Holzer. 3.4 Ecuaciones que satisfacen una soluci´on En el transcurso de mi investigaci´on necesit´e disponer de ejemplos de ecuaciones de Legendre resolubles. Ejemplos en distintos dominios eucl´ıdeos y con caracteristicas diferentes. La forma m´as r´apida es la de construir una ecuaci´on a partir de una soluci´on que debe satisfacer. El teorema que sigue resuelve el problema rec´ıproco de encontrar ecuaciones que satisfacen cierta soluci´on dada. Teorema 3.5 Sea xo,yo,zouna terna de valores en cualquier dominio eucl´ıdeo E, entonces la ecuaci´on general de las ecuaciones de Legendre que satisface ax2 o+by2 o+cz2 o= 0 vienen dadas por, a=y2 oX−z2 oY b=−x2 oX+z2 oZ c=x2 oY−y2 oZ. con X, Y, Z par´ametros en E. 4De hecho, seg´un WxMaxima despu´es de eliminar XeYla relaci´on que resulta es 256a10b4(b2y4 o+ 2abx2 oy2 o+a2x4 o)2(((4b3x2y2+ 4ab2x4)y4 o+x2 o(4ab2x2y2+ 4a2bx4)y2 o+ x4 o(ab2y4+2a2bx2y2+a3x4))z4 o+(x2 o(−4b3y3−4ab2x2y)y3 o+x4 o(−4ab2y3−4a2bx2y)yo)zz3 o+ (−4b3x2y6 o−8ab2x2x2 oy4 o+x4 o(−2ab2y2−6a2bx2)y2 o+x6 o(−2a2by2−2a3x2))z2z2 o+(4b3x2 oyy5 o+ 8ab2x4 oyy3 o+ 4a2bx6 oyyo)z3zo+ (ab2x4 oy4 o+ 2a2bx6 oy2 o+a3x8 o)z4)2= 0. 3.4. Ecuaciones que satisfacen una soluci´ on 57 Como, ax2 o+by2 o+cz2 o= = (y2 oX−z2 oY)x2 o+ (−x2 oX+z2 oZ)y2 o+ (x2 oY−y2 oZ)z2 o= 0, es evidente que ax2+by2+cz2= 0 es ecuaci´on que satisface xo, yo, zo. Veamos que son todas. Supongamos que ax2+by2+cz2= 0 es ecuaci´on de Legendre con soluci´on xo, yo, zoveamos que X, Y, X pueden ser elegidos para obtener a, b, c. Al ser (xo, yo) = 1 sean N, M tales que, c=x2 oN−y2 oM, (3.19) entonces ax2 o+by2 o=−cz2 o= (y2 oM−x2 oN)z2 oy obtenemos, x2 o(a+z2 oN) + y2 o(z2 oM−b)=0. Tambi´en, cualquiera que sea ren Ese tiene x2 o(a+z2 oN−y2 or) + y2 o(z2 oM−b+x2 or) = 0,(3.20) que al ser (xo, yo) = 1 s´olo es posible si, y2 o=a+z2 oN−y2 or, x2 o=−(b−z2 oM+x2 or). Llamamos R=r+ 1, despejamos a,by tenemos, a=y2 oR−z2 oN b=−x2 oR+x2 oM. Sean X, T tales que R=X−z2 oT, y las ecuaciones anteriores junto con (3.19) se transforman en, a=y2 o(X−z2 oT)−z2 oN=y2 oX−z2 o(N+y2 oT) b=−x2 o(X−z2 oT) + z2 oM=−x2 oX+z2 o(N+y2 oT) c=x2 oN−y2 oM=x2 o(N+y2 oT)−y2 o(M+x2 oT) 64 4. El teorema de Holzer De donde, dejando a un lado el denominador, tenemos una soluci´on entera, digamos (x, y, z), dada por δz =zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ), δx =xo(aX2+bY 2+cZ2)−2X(axoX+byoY+czoZ),(4.10) δy =yo(aX2+bY 2+cZ2)−2Y(axoX+byoY+czoZ), donde δes un divisor com´un de las tres expresiones de la derecha. Probamos que si δ/c,δ/(Xyo−Y xo), entonces x,y,zson enteros. De ax2 o+by2 o+cz2 o= 0, es f´acil llegar a que (δ, abxoyo) = 1. En (4.10) es suficiente probar que, [P]δ= [axoX+byoY]δ= [0]δ,[Q]δ= [aX2+bY 2]δ= [0]δ. Entonces [P]δ= [Y(ax2 o+by2 o)/yo]δ= [0]δ, ya que [X]δ= [xoY/yo]δ. Tambi´en [Q]δ= [(ax2 o+by2 o)Y2/y2 o]δ= [0]δ. De 4.10 obtengo, −δz czo =Z+axoX+byoY czo2 +ab c2z2 o (yoX−xoY)2.(4.11) Tomo X,Ycomo cualquier soluci´on de yoX−xoY=δ. Supongo que z2 o> ab. Primero sea cpar. Tomo δ=1 2c, yZtal que,  Z+axoX+byoY czo≤1 2. Entonces de (4.11), 1 2 z zo <1 4+1 4y|z|<|zo|. 65 Repitiendo este proceso tenemos una soluci´on con z2≤ab. Segundo, sea cimpar. Imponemos la condici´on [aX +bY +cZ]2= [0]2 Esto define la paridad de Z. Ya que δes impar, las tres expresiones de la parte derecha de (4.10) son divisibles por 2δ, y as´ı podemos considerar (4.11) con δsustituido por 2δ. Tomamos δ=c, yZcon tal paridad asignada y tenemos  Z+axoX+byoY czo≤1. Entonces en (4.11) tenemos 2 z zo <1 + 1 y |z|<|zo|. Esto completa la prueba. Existe otra demostraci´on que se basa en la geometr´ıa de n´umeros de Cochrane-Mitchel [23] pero, como en la demostraci´on del teroema de Legendre de Davenport y Hall [11] no es generalizable a otros dominios. 66 4. El teorema de Holzer 5 Los enteros de Gauss 5.1 El dominio eucl´ıdeo Z[i] Un dominio de integridad Aes un dominio eucl´ıdeo, si existe una aplicaci´on Nentre los elementos no nulos de Ay los naturales satisfaciendo que 1. Si a, b ∈A−{0}yadivide a bentonces N(a)≤N(b), 2. Divisi´on entera. Dados a, b ∈A,b6= 0, existen qyrtales que a=qb +ry con N(r)< N(b) si r6= 0. A esta aplicaci´on Nse le suele llamar norma eucl´ıdea, y no debemos confundirla con la norma en el sentido cl´asico vectorial ya que la norma eucl´ıdea no necesariamente cumple la desigualdad triangular. Es conocido que el anillo Z[i] = {a+bi :a, b ∈Z} es un dominio eucl´ıdeo con la norma el cuadrado del m´odulo N(a+bi) := a2+b2. (Equivalentemente N(z) := z¯z). Esta norma es adem´as multiplicativa N(z1z2) = N(z1)N(z2), las unidades de este anillo son {1,−1, i, −i}y tenemos que es unidad si y s´olo si N(z) = 1. 67 68 5. Los enteros de Gauss Un dominio eucl´ıdeo es un dominio de factorizaci´on ´unica y tendremos, gracias a la divisi´on con resto de norma reducida, la posibilidad de escribir cualquier entero de gauss de forma ´unica, salvo producto por una unidad, como un producto de factores gausianos primos. Los teoremas en Ztienen su versi´on correspondiente en Z[i] que tambi´en se cumplen. Existe relaci´on entre la divisibilidad en ZyZ[i]. Observamos que, Lema 5.1 Si z1divide a z2en Z[i], entonces N(z1)divide a N(z2)en Z. Porque si z2=zz1para alg´un z, entonces N(z2) = N(zz1) = N(z)N(z1) y N(z1) divide a N(z2). En los n´umeros primos, Definici´on 5.1 a+bi es primo en Z[i]si no tiene m´as divisores que ´el mismo y las unidades 1,−1, i, −i. sucede que son el mismo n´umero primo a+bi que (a+bi), con unidad. Tambi´en observamos que, Lema 5.2 Si a+bi es un primo gausiano cualquiera, tambi´en lo es su conjugado a−bi. Si zfuese divisor, a−bi =zz0para cierto z0, tendr´ıamos a+bi =a−bi = zz0= ¯z¯z0, y ¯zser´ıa divisor de a+bi. Veamos c´omo son los primos. 5.2 Los primos Gaussianos Antes tenemos que enunciar estos dos teoremas que son resultados cl´asicos de la teor´ıa de n´umeros y que son importantes en la teor´ıa de los enteros de Gauss, los vamos a usar. Teorema 5.1 pes un primo del tipo [p]4= [1]4si y s´olo si existen enteros u, v tales que de forma ´unica p=u2+v2. La unicidad y la existencia de esos enteros u,ves clave para clasificar los primos en Z[i]. 5.2. Los primos Gaussianos 69 Teorema 5.2 Sea pun primo impar. La ecuaci´on [x]2 p+ [1]p= [0]p tiene soluci´on si y s´olo si pes primo del tipo [p]4= [1]4. que viene a decir que s´olo es siempre −1 res´ıduo cuadr´atico m´odulo pcuando pes un primo de la forma 4k+ 1. En Zun entero pes primo si es: el 2, del tipo [p]4= [1]4, o del tipo [p]4= [3]4. El siguiente teorema resume esencialmente c´omo son, y cu´ales son los primos en Z[i]. Teorema 5.3 Sea el entero gausiano a+bi (a) Si aybson distintos de cero entonces a+bi es primo gausiano si y s´olo si a2+b2es primo en Z. (b) Si b= 0, entonces aes primo gausiano si y s´olo si y |a|es primo en Zy[|a|]4= [3]4. (c) Si a= 0, entonces bes primo gausiano si y s´olo si y |b|es primo en Zy[|b|]4= [3]4. (a) Si a+bi es primo, hemos visto que lo es a−bi. Si N(a+bi) no fuese primo en Ztiene entonces un divisor 1 < d < N(a+bi) el cual, dado que N(a+bi) = (a+bi)(a−bi) dividir´ıa a a+bi o a a−bi lo que no es posible por ser ambos primos. Rec´ıprocamente, sea N(a+bi) primo en Z, si a+bi no fuese primo se podr´ıa factorizar no trivialmente a+bi = (c+di)(e+fi) y entonces a2+b2=N(a+bi) = N((c+di)(e+fi)) = (c2+d2)(e2+f2) ser´ıa una factorizaci´on no trivial de a2+b2lo que es contradicci´on. 70 5. Los enteros de Gauss (b) Si |a|es entero primo sin divisores triviales en Z[i], tampoco los tiene ay tampoco los puede tener aen Z. Rec´ıprocamente si a, con [|a|]4= [3]4 primo en Z, no fuese primo en Z[i], se factorizar´ıa |a|= (c+di)(e+fi) y entonces N(|a|) = N(a) = a2=N((c+di)(e+fi)) = (c2+d2)(e2+f2) con lo que al tratarse de enteros, necesariamente a=c2+d2=e2+f2 lo que no puede ser posible por el teorema 5.1. (c) Es inmediato ya que en Z[i], aes primo si y s´olo si lo es ai. Del teorema se sigue que salvo producto por unidades y conjugados 1+i, 1+2i, 3, 2+3i, 7, 2+5i . . . son primos gausianos y 2,5,13,17 . . . no lo son. 5.3 Las clases residuales Z[i]a+bi En los enteros, el n´umero de clases m´odulo nes la cantidad de enteros no negativos con menor m´odulo que n, que son [0]n,[1]n,[2]n,··· ,[n−1]n. En los enteros de Gaus el n´umero de clases de a+bi no es la cantidad de gausianos con m´odulo menor. Dos de ellos con menor m´odulo pueden ser congruentes entre si. Por ejemplo [i]1+2i= [2]1+2iya que i−2 = i(1 + 2i). Veamos cu´antas clases hay y de qu´e forma podemos elegir una representaci´on de sus clases. Teorema 5.4 El n´umero de clases m´odulo un primo a+bi es a2+b2. Vamos que cualquier c+di es congruente m´odulo a+bi con algunos de los a2+b2enteros 0,1,2,··· , a2+b2−1. 5.3. Las clases residuales Z[i]a+bi 71 Supongamos que a+bi es primo del tipo descrito en el teorema 5.3 (a). Al ser gcd(b, a2+b2) = 1 existe el inverso [1/b]a2+b2. 1/b es entero m´ultiplo de a2+b2por tanto tambi´en lo es de a+bi. Existe pues siempre un representante entero del inverso de bm´odulo a+bi, [1/b]a2+b2= [1/b]a+bi puedo entonces de [a+bi]a+bi = [0]a+bi, despejar [i]a+bi = [−a/b]a+bi y sustituir en c+di [c+di]a+bi = [c−da b]a+bi con lo que c−da bes un representante de clase entero de c+di m´odulo a+bi. Como a lo sumo existen a2+b2valores distintos para c−da b, ya que a2+b2es m´ultiplo de a+bi, entonces cada c+di es congruente con alg´un entero 0,1,2,··· , a2+b2−1 m´odulo a+bi. Como adem´as estos n´umeros no son congruentes nunca entre si ya que si fuera [r]a+bi = [s]a+bi con 0 ≤r < s < a2+b2, entonces a+bi divide a r−s, tambi´en la norma N(a+bi) = a2+b2divide a N(r−s)2= (r−s)2y como a2+b2es primo, divide a r−slo que s´olo es posible si r=s. Por lo tanto, {[0]a+bi,[1]a+bi,[2]a+bi,··· ,[a2+b2−1]a+bi} es un conjunto completo de representantes de clase, con a2+b2representantes enteros, m´odulo a+bi. Por ´ultimo supongamos que a+bi es un primo del tipo descrito en el teorema 5.3 (b). Tenemos b= 0 y acon [a]4= [3]4. Veamos que el conjunto {r+si : 0 ≤r, s < a} que tiene a2elementos, es un conjunto completo de representantes de clase. Cualquiera que fuera c+di, se tiene que [c+di]a= [c]a+ [di]a= [r]a+ [si]a= [r+si]a para ciertos r,s, con 0 ≤r, s < a. Adem´as son todos incongruentes ya que si fuese [r+si]a= [t+ui]aentonces [(r−t) + (s−u)i]a= [0]ay como 0≤r, s, t, u < a, esto s´olo es poisible si r=tys=u. El teorema est´a probado. Consideremos la funci´on n, n(z) := n´umero de clases m´odulo z, 72 5. Los enteros de Gauss esta funci´on es multiplicativa: Teorema 5.5 Si x,yson gaussianos no nulos, entonces n(xy) = n(x)n(y). Sean x1, x2,··· , xi,···xn(x)y1, y2,··· , yj,···yn(y) dos conjuntos de representantes completos de clase de xey. Sea cualquier entero gausiano z. Entonces [z]x= [xi]xpara alg´un i, luego z−xi=xr para cierto gausiano r. A su vez [r]y= [yj]ypara alg´un j. Tenemos r−yj=sy para cierto gausiano s. Sustituimos y tenemos z=xi+xr =xi+x(yj+sy) = xi+xyj+sxy es decir que [z]xy = [xi+xyj]xy y entonces los xy gausianos xi+xyjson un conjunto de representantes de Z[i]xy. Veamos que es completo sin repeticiones. Para ello supongamos que tenemos [xi+xyj]xy = [xi0+xyj0]xy (5.1) y probemos que i=i0y que j=j0. Tomamos clases m´odulo xen (5.1) tenemos [xi]x= [xi+xyj]x= [xi0+xyj0]x= [xi0]x luego necesariamente i=i0=k. Restando ambos miembros de la igualdad (5.1) tenemos [xk+xyj]xy −[xk+xyj0]xy = [xyj−xyj0]xy = [0]xy que implica [yj−yj0]y= [0]y, luego j=j0. Teniendo en cuenta el teorema 5.4 y que todo entero gausiano puede ser descompuesto en producto de factores primos ya que Z[i] es un dominio de factorizaci´on ´unica, entonces tenemos, Teorema 5.6 El n´umero de clases m´odulo cualquier gausiano a+bi es a2+b2. 5.4. Los m´ ultiplos gausianos 73 5.4 Los m´ultiplos gausianos Si observamos que un m´ultiplo gaussiano de a+bi cualquiera, pongamos que sea (c+di)(a+bi), puede ser expresado como una combinaci´on c(a+bi) + d i(a+bi) de a+bi y de i(a+bi) siendo este segundo, justamente el primero girado noventa grados, entonces gr´aficamente ese m´ultiplo de a+bi es la suma de c veces a+bi con dveces i(a+bi) que est´a en direcci´on perpendicular. Todos los m´ultiplos estar´ıan as´ı dispuestos de manera que formar´ıan una cuadr´ıcula de arista √a2+b2, el m´odulo de a+bi, y de di´ametro √2√a2+b2. En la figura, 3 + 5i 7 + 6i 4 + i 5 + 7i tenemos a los m´ultiplos de 4+ien los v´ertices de dicha cuadr´ıcula. Podemos ver que 7 + 6ies un multiplo porque es dos veces 4 + im´as una vez 4 + i girado noventa grados, es decir 7 + 6i= (2 + i)(4 + i). 80 5. Los enteros de Gauss En el caso en que |a|≤|b|<|c|entonces |AB|=|ab|<|ac|=J, y cualquiera que sea el valor de |BC|el ´ındice de (5.7) es < J. Y en el caso en que |a|<|b|=|c|, entonces si el ´ındice no fuese < J, es que se tiene |AC|< J =|ab|=|AB|≤|BC|, es decir |A|≤|C|<|B| y volviendo a aplicar el proceso de reducci´on a la ecuaci´on AX2+CY 2+ BZ2= 0 que est´a en el caso anterior nos da una de ´ındice < J. Antes de aplicar la hip´otesis de inducci´on veamos que la ecuaci´on (5.7) satisface las condiciones del teorema. Es evidente que ninguno de A,B,Ces cero. Como a,bson primos relativos y libre de cuadrados; AB =ab implica que tambi´en AyBson primos relativos y libres de cuadrados. Como γ2es el mayor cuadrado que divide a q=Cγ2, C no tiene factores cuadrados. Y como los t´erminos de (5.6) son primos dos a dos, Ces primo aaAβ =AB. Estos prueba (i) y (ii). Teniendo en cuenta (5.6), cuyos t´erminos son primos dos a dos, aplicamos el teorema 2.4 y tenemos que, βcC es res´ıduo cuadr´atico de aA,acAC es res´ıduo cuadr´atico de β, y aAβ =AB es res´ıduo cuadr´atico de C. Por hip´otesis, bc =βAc es residuo cuadr´atico de a, y ac lo es de b=Aβ y por tanto de A. Ya que βcC yac son residuos cuadr´aticos de A, tambi´en el producto de los dos βcCac =BCc2y por tanto BC es res´ıduo cuadr´atico de A. Como ac yacAC son residuos cuadr´aticos de β, lo es el producto a2c2AC y lo es AC. Sea ucon [u2]β= [AC]β. Como βcC yβAc y su producto β2c2AC yAC son residuos cuadr´aticos de a, sea vcon [v2]a= [AC]a. Como los t´erminos de 5.6 son primos dos a dos tambi´en lo son ayβ. Por el teorema chino del resto existe una soluci´on wcom´un con [w]β= [u]β,[w]a= [v]a. Por tanto w2−AC es divisible por βyay por βa =B. Luego AC es residuo cuadr´atico de B. Esto prueba (iii). Aplicamos ahora la hip´otesis de induci´on. Sea (X, Y, Z) una soluci´on de (5.7), y pongamos x=AαX −iβY y=iX +aαY (5.9) z=CγZ 5.5. La ecuaci´ on de Legendre en Z[i] 81 por 5.5 y 5.6 y la definici´on de B=aβ, resulta ax2+by2+cz2=cCγ2(AX2+BY 2+CZ2)=0 por lo que (x, y, z) es soluci´on de 5.2. La soluci´on obtenida no es la trivial. Si fuera, x=y= 0, eliminando Xnos da (−β+Aaα2)Y= 0. Como el primer factor no es cero por 5.6 necesariamente Y= 0. Tambi´en lo ser´ıan X=1 iy= 0,yZ= 0, lo que es falso. Esto completa la demostraci´on. 82 5. Los enteros de Gauss 6 El teorema de Holzer en Z[i] Si consideramos en Z[i]3la norma definida mediante el m´odulo, ||(x, y, z)|| =p|ax2|+|by2|+|cz2|, que generaliza a la anteriormente dada || · ||2en el cap´ıtulo 4 en Z3, y definimos tambi´en como soluci´on peque˜na como aquella que satisface |ax2|+|by2|+|cz2| ≤ 2|abc|, no podemos asegurar que exista siempre una soluci´on peque˜na en la ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0 en Z[i]. El enunciado del teorema de Holzer en los enteros de Gauss, si sustitu´ımos el valor absoluto por el m´odulo del complejo no se cumple tampoco, es decir no tiene porqu´e existir siempre una soluci´on (x, y, z) que satisface simul´aneamente las tres desigualdades |x| ≤ p|bc|,|y| ≤ p|ac|,|z| ≤ p|ab|. Por ejemplo, la ecuaci´on ix2+ 7y2+z2= 0 tiene como soluci´on m´as peque˜na a (2 + 2i, 1,1) en donde |(2 + 2i)2|+|7|+|1|= 16, pero 2|abc|= 14. En cuanto a las tres desigualdades simult´aneas, no la 83 84 6. El teorema de Holzer en Z[i] cumple x, |x|=|2+2i|=√8>p|bc|=p|7|. Pero pueden modificarse las cotas de Holzer para enunciar el teorema en Z[i]. Adaptando la demostraci´on de Mordell [18] probamos que al menos se cumple el siguiente teorema: Teorema 6.1 La ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0 (6.1) en Z[i]expresada en su forma normal, si tiene soluciones, entonces tiene una (x, y, z)con |z| ≤ q(1 + √2)|ab|. La demostraci´on consistir´a tambi´en en probar que si existe una soluci´on (xo, yo, zo) con (xo, yo) = 1 y |zo|>q(1 + √2)|ab|, se puede encontrar a partir de ella otra (x, y, z) con |z|<|zo|. Parametrizamos las soluciones imponiendo que (xo+tX, yo+tY, zo+tZ) (6.2) sea una soluci´on en los racionales de Gauss con X,Y,Zpar´ametros enteros gausianos y tracional gausiano, t6= 0. Sustituimos en (6.1) y obtengo 0 = a(xo+tX)2+b(yo+tY )2+c(zo+tZ)2= ax2 o+ 2axotX +at2X2+by2 o+ 2byotY +bt2Y2+cz2 o+ 2czotZ +ct2Z2= ax2 o+by2 o+cz2 o+ (aX2+bY 2+cZ2)t2+ 2t(axoX+byoY+czoZ) = t((aX2+bY 2+cZ2)t+ 2(axoX+byoY+czoZ)). Ya que t6= 0, obtengo t=−2(axoX+byoY+czoZ) aX2+bY 2+cZ2 que sustituido en (8.4) nos da las soluciones en los racionales de Gaus de 85 6.1, multiplicando por aX2+bY 2+cZ2obtengo las soluciones enteras xo(aX2+bY 2+cZ2)−2X(axoX+byoY+czoZ) yo(aX2+bY 2+cZ2)−2Y(axoX+byoY+czoZ) (6.3) zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ) que podemos simplificar por un divisor com´un δde las tres expresiones de 8.5, no necesariamente el m´aximo com´un divisor, de manera que tendremos una soluci´on (x, y, z) dada por x=1 δ(xo(aX2+bY 2+cZ2)−2X(axoX+byoY+czoZ)) y=1 δ(yo(aX2+bY 2+cZ2)−2Y(axoX+byoY+czoZ)) z=1 δ(zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ)).(6.4) Probamos ahora que si δdivide a c, y divide a Xyo−Y xo, entonces divide a las tres expresiones de (6.3) y en consecuencia (x, y, z) son enteros. Para ello previamente veamos que a,b,xoyyoson inversibles en el anillo Z[i]δ. Ser´a suficiente ver que gcd(δ, abxoyo) = 1. Supongamos que existiese un primo pdivisor com´un de δy de abxoyo. Como δ|cya,b,cson primos entre si entonces ps´olo podr´ıa dividir a xoyo. Supongamos que lo hace a xo. Como ax2 o=−by2 o−cz2 oy como pno divide a b, debe hacerlo a y2 o y en consecuencia a yolo que es una contradicci´on porque gcd(xo, yo) = 1. Ahora, puesto que δdivide a Xyo−Y xo, entonces [Xyo−Y xo]δ= [0]δ. Si despejo [X]δ= [Y xo/yo]δ, y sustituyo en [aX2+bY 2+cZ2]δy en [axoX+byoY+czoZ]δ [a(Y xo/yo)2+bY 2+cZ2]δ=(ax2 oY2+byo2Y2+cy2 oZ2)/y2 oδ= =(−cz2 oY2+cy2 oZ2)/y2 oδ= [c]δ(−z2 oY2+y2 oZ2)/y2 oδ= [0]δ [(axo(Y xo/yo) + byoY+czoZ]δ=(ax2 oY+byo2Y+cy2 oZ)/yoδ= =(−cz2 oY+cy2 oZ)/yoδ= [c]δ(−z2 oY+y2 oZ)/yoδ= [0]δ, obtenemos m´ultiplos de δpor serlo c. Por tanto las expresiones de (6.3) tambi´en son m´ultiplos de δ, y (x, y, z) es soluci´on entera. 86 6. El teorema de Holzer en Z[i] Manipulamos la ecuaci´on (6.4) para poder comparar zcon zo: −δz czo =2Z(axoX+byoY+czoZ) czo−zo(aX2+bY 2+cZ2) czo =Z2+ 2Z(axoX+byoY czo )−aX2+bY 2 c = (Z+axoX+byoY czo )2−(axoX+byoY czo )2−aX2+bY 2 c = (Z+axoX+byoY czo )2 −1 c2z2 o (aX2cz2 o+bY 2cz2 o+a2x2 oX2+b2y2 oY2+ 2abxoyoXY ) como cz2 o=−ax2 o−by2 o, = (Z+axoX+byoY czo )2+ab c2z2 o (y2 oX2−2xoyoXY +x2 oY2) = (Z+axoX+byoY czo )2+ab c2z2 o (yoX−xoY)2 y obtenemos z=zo−c δ(Z+axoX+byoY czo )2+ab c2z2 o (yoX−xoY)2.(6.5) Como gcd(xo, yo) = 1 la ecuaci´on yoX−xoY=δsiempre tiene soluci´on. Para nuestro prop´osito escogeremos los valores de X,Y,Zseg´un si ces m´ultiplo o no de (1 + i) como sigue: Si ces m´ultiplo de 1 + i, podemos tomar δ=1 1 + ic, tomar los par´ametros X,Ycomo una soluci´on cualquiera de yoX−xoY=1 1 + ic y el valor de Zcomo el entero gausiano m´as pr´oximo al racional gausiano −axoX+byoY czo . 87 Siendo as´ı, se tiene  Z+axoX+byoY czo <√2 2. Esto es as´ı porque geom´etricamente los enteros gaussianos se encuentran situados en una cuadr´ıcula de arista igual a 1 y di´ametro √2. Cualquier racional de Gauss que se encuentre dentro de un cuadrado distar´ıa de un entero de Gauss a lo sumo la mitad del di´ametro. Supongamos que |zo|>q(1 + √2)|ab|, tomando m´odulos en (6.5) |z|=|zo||1 + i| (Z+axoX+byoY czo )2+(1 + √2)ab (1 + √2)(1 + i)2z2 o < <|zo|√2 (√2 2)2+1 (1 + √2)(√2)2!=|zo|√22 + √2 2+2√2=|zo|. Si cno es m´ultiplo de 1 + i, escogemos XeYcualquier soluci´on de yoX− xoY=c. Como Z[i]1+i={[0]1+i,[1]1+i}, si Zsatisfaciera la ecuaci´on [aX +bY +cZ]1+i= [0]1+i(6.6) entonces las expresiones (6.3) tambi´en son divisibles por 1 + i, ya que lo es aX2+bY 2+cZ2porque cualquiera que sea αen Z[i] se tiene [α2]1+i= [α]1+i, y entonces [aX2+bY 2+cZ2]1+i= [aX +bY +cZ]1+i= [0]1+i y adem´as tambi´en lo es 2 = (1 + i)(1 −i). De esta forma se establece la paridad de Zque es o bien m´ultiplo de 1 + io bien 1 m´as m´ultiplo de i+ 1. Escojamos pues Zcomo el entero gausiano con esa paridad que sea m´as pr´oximo a −axoX+byoY czoy tendremos que  Z+axoX+byoY czo <1 porque los m´ultiplos de 1 + iy los que no, se encuentran situados en una cuadr´ıcula de arista √2 y de di´ametro ((√2)2+ (√2)2)1/2= 2. 88 6. El teorema de Holzer en Z[i] Sustituimos en (6.5) el divisor δpor (1 + i)δy tomando m´odulos, |z|<|zo|1 √21 + 1 1 + √2=|zo|1 √2 2 + √2 1 + √2=|zo|. Repitiendo este proceso mientras |zo|2>(1 + √2)|ab|llegaremos a una soluci´on con |z2| ≤ (1 + √2)|ab|. Queda por ver que znunca puede ser 0, porque de ser as´ı, la soluci´on habr´ıa de ser necesariamente la trivial (0,0,0). Si zfuera 0, es decir zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ) = 0 (6.7) Despejando, resulta que Zs´olo podr´ıa valer Z=−2(axoX+byoY)±p4(axoX+byoY)2+ 4czo(azoX2+bzoY2) 2czo =−(axoX+byoY) czo±pab(yoX−xoY)2 czo Pero no puede haber ning´un entero Zobtenido as´ı, ya que pab(yoX−xoY)2 es seg´un los casos igual a qabc2 2io a √abc2, y en ambos con valores irracionales por ser a,b, libres de cuadrados. Esto completa la demostraci´on. Ejemplo 6.1 Con ayuda del teorema 3.5 Hemos generado un ejemplo de ecuaci´on que satisface la soluci´on 7−i, 2−5i, 1−2i con los parametros X= 1 + i,Y=−i,Z=−1. La ecuaci´on que resulta es: (−3 + 44i)x2+ (59 + 30i)y2+ (35 + 68i)z2= 0 Hemos parametrizado todas las soluciones de acuerdo con el teorema 3.3 y hemos hallado con X=−2,Y=−1otra m´as grande xo= 111 −97i, yo= 36 + 151i, zo= 73 −60i 89 donde zosatisface |73 −60i|= 94,4··· >q(1 + √2) |−3 + 44i||59 + 30i|= 83,9. . . Veamos que es posible encontrar una soluci´on x, y, z en la que zsatisfaga la cota del teorema. Debemos resolver la ecuaci´on yoX−xoY=c. Primero una soluci´on de (36 + 151i)−X(111 −97i)Y= 1 (6.8) De la divisi´on en los racionales xo yo=111−97i 36+151i=−0.440 ··· −0.842 ···i, de acuerdo con el teorema 5.7 hallo, q1=−i r1= (111 −97i)−(36 + 151i)(−i) = −61 + 40i volviendo a dividir yopor r1y repitiendo el proceso hasta que el resto sea 1 obtenemos, q2= 2 r2=−11 −17i q3= 4i r3= 7 −4i q4= 3i r4= 1 + 4i q5= 1 + 2i r5= 2i q6=−2r6= 1 q7=−2i de acuerdo con la ecuaci´on 2.4 tenemos todas las soluciones en param´etricas de la ecuaci´on con: X Y=1 0 −i1 1 2 0 1  1 0 4i1 1 3i 0 1 . .1 0 1+2i1 1−2 0 1  1 0 −2i1 T 1= =32 + 69i+ (11 −97i)T 80 + 4i−(36 + 151i)T Para T= 0 tenemos que una soluci´on de yoX−xoY= 1 es X= 32 + 69i, 96 7. El teorema de Legendre en Q[t] β2tenemos, a=A2α2, r1=A1α1h=A2β2, b =A1β1c2M1=c2AC1(7.6) Como Adivide en Z[t] a c2M1entonces c2C1∈Z[t]. Como c2es polinomio primitivo, por el lema de Gauss C1∈Z[t]. Sea k2el mayor cuadrado que divide a c1C1, definimos B=ab A=α2β1, C =c1C1 k2(7.7) y consideramos la ecuaci´on AX2+BY 2+CZ2= 0.(7.8) Es evidente que tal como est´an definidos, A,B,Cson polinomios con coeficientes enteros. Lema 7.2 La ecuaci´on AX2+BY 2+CZ2= 0 satisface (i)-(ii)-(iii)-(iv). Como los divisores comunes de ar2 1yh2blo son de c2M1,Aresulta ser el m´aximo com´un divisor de dos de los tres t´erminos. Si sustituyo las igualdades de (7.6) en (7.5) y divido por A, obtengo A1α2α2 1+A2β1β2 2=1 c1 c2Ck2=c2C1(7.9) donde los tres t´erminos son primos dos a dos. Como a,bson primos relativos y libre de cuadrados, AB =ab implica que tambi´en AyBson primos relativos y libres de cuadrados. C es libre de cuadrados por definici´on. Como los t´erminos de (7.9) son primos dos a dos, C1es primo al producto de los dos primeros t´erminos A1A2α2β1(α1β2)2=AB(α1β2)2y como C1es primo con α1β2lo es con con AB. Por hip´otesis c1no tiene divisores comunes con ab =AB entonces tambi´en c1C1=Ck2es primo con AB,Ces primo con AB y por tanto con Ay con B. Esto prueba (ii) y (iii). Si fes un polinomio, sea fo:= coeficiente de mayor grado def 97 De las igualdades (7.6) y (7.7) obtengo ao=A2αo 2, bo=Ao 1βo 1, co=c1co 2(7.10) Ao=A2Ao 1, Bo=aobo Ao=αo 2βo 1, Co=c1Co 1 (ko)2(7.11) Como |a|≤|b|≤|c|, en el caso en que |b|<|c|, como hes entero, entonces de la ecuaci´on (7.5) podemos deducir que (aro 1+h2b)o= (ar2 1)o= (c2M1)o y de la ecuaci´on (7.9) tenemos, Ao 1αo 2(αo 1)2=co 2Co 1.(7.12) Si (x, y, z) es soluci´on de aox2+boy2+coz2= 0 entonces tomando X=αo 1αo 2x Y =αo 1Ao 1y Z =co 2koz por (7.10), (7.11) y (7.12) tenemos que, AoX2+BoY2+CoZ2=Ao(αo 1αo 2)2x2+Bo(αo 1Ao 1)2y2+Co(c1co 2ko)2z2 =(Ao 1αo 2(αo 1)2)(A2αo 2)x2+ (Ao 1αo 2(αo 1)2)(Ao 1βo 1)y2+ + (co 2Co 1)(c1co 2)z2 =(co 2Co 1)(aox2+boy2+cox2) = 0 ya que co 2Co 1es distinto de 0. Entonces (X, Y, Z) es soluci´on de AoX2+BoY2+CoZ2= 0. Esto prueba (i) en este caso. En el caso en que |b|=|c|, tenemos (aro 1+h2b)o= (ar2 1)o+ (h2b)o= (c2M1)o y de la ecuaci´on (7.9) tenemos, Ao 1αo 2(αo 1)2+A2βo 1β2 2=co 2Co 1.(7.13) Si (x, y, z) es soluci´on de aox2+boy2+coz2= 0 entonces tomando X=αo 1αo 2x+β1βo 2y Y =−A2βo 2x+αo 1Ao 1y Z = (co 2ko)z 98 7. El teorema de Legendre en Q[t] por (7.10), (7.11) y (7.13) tenemos que, AoX2+BoY2+CoZ2=(A2 2Bo(βo 2)2+Ao(αo 1)2(αo 2)2)x2+ + (β2 2Ao(βo 1)2+Bo(Ao 1)2(αo 1)2)y2+ (co 2Co 1)(c1co 2)z2+ + (2β2Aoαo 1αo 2βo 1−2β2A2Ao 1Boαo 1)xy =(Ao 1αo 2(αo 1)2+A2βo 1β2 2)(aox2+boy2)+(co 2Co 1)coz2 =(co 2Co 1)(aox2+boy2+cox2) = 0 luego (X, Y, Z) es soluci´on de AoX2+BoY2+CoZ2= 0. Esto completa la prueba de (i). Multiplico en (7.9) por A1α2, (A1α2α1)2+A1A2α2β1β2 2=A1α2c2C1, y vemos que −A1A2α2β1β2 2=−ABβ2 2es res´ıduo cuadr´atico de C1y como (β2, C1)=1, −AB es res´ıduo cuadr´atico de C1y por tanto de C=c1 k2C1. Multiplico en (7.9) por c2C, (c2Ck)2−A2β1cCβ2 2=A1α2cCα2 1 y vemos que: A2β1cCβ2 2y por tanto A2β1cC son res´ıduos de A1y de α2, A1α2cCα2 1y por tanto A1α2cC son res´ıduos de A2y de β1. Adem´as por hip´otesis, −ac es res´ıduo de b=A1β1y lo es de A1y de β1 −bc es res´ıduo de a=A2α2y lo es de A2y de α2. Entonces al ser ambos A2β1cC y−ac res´ıduos cuadr´aticos de A1, tambi´en lo es el producto de los dos −aA2β1Cc2=−A2α2A2β1Cc2=−BCA2 2c2, por tanto −BC es res´ıduo cuadr´atico de A1y como A2es entero, lo es de A=A1A2. Por ´ultimo, como −ac yA1α2cC son res´ıduos cuadr´aticos de β1, lo es 99 el producto −acA1α2cC =−A1A2C(α2c)2=−AC(α2c)2 y lo es −AC de β1. Sea u1con [u2 1]β1= [−AC]β1. Como A2β1cC y−bc son res´ıduos cuadr´aticos de α2lo es su producto −bcA2β1cC =−A1A2C(β1c)2=−AC(β1c)2 y lo es −AC de α2. Sea u2con [u2 2]α2= [−AC]α2. Por el teorema chino del resto, como (α2, β1)=1,existe una soluci´on u com´un con [u]β1= [u1]β1y con [u]α2= [u2]α2. Por tanto u2+AC es divisible por β1yα2y por β1α2=B. Luego −AC es res´ıduo cuadr´atico de B. Esto prueba (iv). Veamos ahora que el ´ındice de (7.8) es menor que I. Por una parte |AB| ≤ Iya que |AB|=|ab| ≤ |ac|=I. Pero |AC|es siempre menor que I: Despejamos M=ar2+b cde (7.2), si |b|<|c|entonces |ar2+b|=|ar2|ya que de lo contrario M= 0, y as´ı, dado que |r|<|c|, |AC| ≤ |AC(k c1h)2|=|M|= ar2+b c = ar2 c < ac2 c =|ac|=I, y si |b|=|c|, o bien |ar2+b|=|ar2|, y como antes |AC|< I, o bien |ar2+b| ≤ |b|con lo que Mser´ıa un racional y el grado |AC|= 0 <|ac|=I. Cualquiera que sea |BC|, en todos los casos a continuaci´on vemos que el ´ındice de la ecuaci´on (7.8) es menor o igual que I. Cuando es igual, una misma nueva reducci´on sobre (7.8), nos dar´a otra de ´ındice siempre menor: Caso 1. |a|<|b|<|c|. Tenemos |ab|<|ac|<|bc|. Tanto |AC|como |AB| son menores que I. Cualquiera que sea el valor de |BC|, el ´ındice de (7.8) es < I. Caso 2. |a|=|b|<|c|. Tenemos |ab|<|ac|=|bc|. La ecuaci´on (7.8) tambi´en, como en el caso 1, satisface |AB|=|ab|<|ac|=I,|AC|<|ac|=I y tiene ´ındice menor que I. Caso 3. |a|<|b|=|c|. En este caso, |ab|=|ac|<|bc|. Tenemos |AB|= |ab|=Iy|AC|<|ac|=I. Si |BC|fuera menor que Ise habr´ıa obtenido la ecuaci´on reducida. Si |BC|fuera mayor que Ientonces la ecuaci´on obtenida 100 7. El teorema de Legendre en Q[t] tendr´ıa indice tambi´en Ipero con |AC|<|AB|<|BC|y estar´ıamos en el caso 1 y volver´ıamos a aplicar el mismo proceso a esta ´ultima ecuaci´on hasta obtener otra de indice m´as reducido. Si |BC|=Ila ecuaci´on obtenida tambi´en tiene ´ındice Ipero como |AC|<|AB|=|BC|estar´ıamos con una ecuaci´on como en el caso 2 a la que volvi´endole a aplicar el proceso llegar´ıamos a otra de ´ındice menor. Caso 4. |a|=|b|=|c|. Tenemos |ab|=|ac|=|bc|.|AB|=|ab|=Iy tambi´en |AC|<|ac|=Iy como en el caso anterior cualquiera que fuera |BC|, el ´ındice ser´ıa menor que I, o igual a Ien una nueva ecuaci´on que est´a en el caso 2. Supongamos que la ecuaci´on reducida (7.8) tiene ´ındice < I. Aplicamos la hip´otesis de inducci´on y sea (X, Y, Z) una soluci´on no trivial. Mediante la transformaci´on x=c1(A1α1X−β1β2Y), y =c1(A2β2X+α1α2Y), z =CkZ (7.14) se tiene que, ax2+by2+cz2=c2 1bβ2 2A2 2+aα2 1A2 1X2 +c2 1(2α1α2bβ2A2−2aα1β1β2A1)XY + +c2 1aβ2 1β2 2+α2 1α2 2bY2+ck2C2Z2, y por (7.6), (7.7) y (7.9) resulta =c2 1(A2β1β2 2+A1α2α2 1)A1A2X2+c2 1(A2β1β2 2+A1α2α2 1)α2β1Y2+cCk2CZ2 =c2 1c2C1(AX2+BY 2) + cCk2(CZ2) = c2 1c2C1(AX2+BY 2+CZ2)=0, y como c2 1c2C16= 0, (x, y, z) es soluci´on de (7.1). Si la ecuaci´on (7.8) tiene ´ındice = I, una nueva misma reduci´on nos garantiza una ecuaci´on A0X02+B0Y02+C0Z02= 0 de ´ındice < I que por hip´otesis tiene soluci´on (X0, Y 0, Z0), con lo que (7.8) tendr´a soluci´on X=c0 1(A0 1α0 1X0−β0 1β0 2Y0), X =c0 1(A0 2β0 2X0+α0 1α0 2Y0), Z =C0k0Z0 y (7.1) tendr´a a (x, y, z) de (7.14). S´olo queda comprobar que la soluci´on obtenida mediante esa transformaci´on (7.14) no es la trivial. Si lo fuera, x=y=z=0, la eliminaci´on de X de (7.14), nos da (A1α2α2 1+A2β1β2 2)Y= 0. El primer factor no es cero por (7.9), por tanto Y= 0, y tambi´en lo ser´ıan X=0, y Z=0 lo que es falso. 101 Esto completa la demostraci´on del teorema. La existencia de soluciones minimales de la ecuaci´on en Q[t] que generalizar´a el teorema de Holzer como se ha hecho en [29] con los enteros de Gauss tambi´en ser´a posible y lo desarrollamos en el pr´oximo cap´ıtulo. 102 7. El teorema de Legendre en Q[t] 8 El teorema de Holzer en Q[t] Las cotas de Holzer var´ıan dependiendo de la norma definida. En este caso, las cotas afectan al grado de los coeficientes. En el anterior cap´ıtulo probamos el teorema de Legendre en Q[t], Teorema. La ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0 en Q[t]con a,b,cpolinomios con coeficientes enteros, abc 6= 0, expresada en su forma normal en Q[t], tiene soluciones no triviales en Q[t]if y s´olo si, (i) aox2+boy2+coz2= 0 ecucaci´on con los coeficientes de mayor grado de a,b,ces resoluble en Z, (iv) −bc,−ac,−ab son res´ıduos cuadr´adricos de a,bycrespectivamente en Zsi a,b,cson enteros. Si a,b,cno son los tres enteros, −bc, −ac,−ab son res´ıduos cuadr´adricos de a,bycen Q[t]. De la necesidad de (i) se deduce que ao,bo,cono pueden tener todos el mismo signo. Al menos dos de los coeficientes de mayor grado son del mismo signo, podemos reordenar y cambiar el signo a la ecuaci´on si es necesario, y suponer siempre que los coeficientes de mayor grado son de signo positivo en ayby de signo negativo en c. Definici´on 8.1 La ecuaci´on resoluble ax2+by2+cz2= 0 en Q[t], expresada en su forma normal, est´a expresada en forma normal reordenada si adem´as, (v) Los coeficientes de mayor grado de a,bson positivos y el coeficiente de mayor grado de ces negativo En Z, el cociente Mde la divisi´on eucl´ıdea p=qM +r, |r| ≤ 1 2(|r|es el valor absoluto de r), entre p, q enteros, es el entero m´as pr´oximo a p q. La idea de polinomio m´as pr´oximo en Q[t] es similar a la de Z, 103 104 8. El teorema de Holzer en Q[t] Definici´on 8.2 Sean p,qpolinomios de Q[t],|p|>|q|. Si p=Mq +r, con |r|<|q| se dice que Mes el polinomio m´as pr´oximo ap q. El siguiente lema expone algunas propiedades sobre el grado que usar´e, cuya demostraci´on es evidente. Lema 8.1 Sean p,q,r,rpolinomios en Q[t] a) |pq|=|p|+|q|,|pn|=n|p|n > 0, n ∈Z. b) max{|p|,|q|} ≥ |p+q|. c) Si p q=r s, entonces |p|−|q|=|r|−|s|. Adapto de nuevo la demostraci´on de Mordell [18] del teorema de Holzer en los enteros para probar que el teorema que sigue con cotas en los grados de los coeficientes en Q[t] es cierto: Teorema 8.1 La ecuaci´on ax2+by2+cz2= 0 (8.1) con coeficientes a, b, c en los polinomios racionales Q[t], expresada en su forma normal en Q[t], si tiene una soluci´on en Q[t], entonces tiene una soluci´on (x, y, z)en donde |x| ≤ 1 2(|b|+|c|),|y| ≤ 1 2(|a|+|c|),|z| ≤ 1 2(|a|+|b|) (8.2) Si la ecuaci´on est´a expresada en su forma normal reordenada en Q[t], si |ab| es impar entonces las tres desigualdades son estrictas. La demostraci´on consistir´a en probar que si existe una soluci´on en Q[t] (xo, yo, zo) (8.3) que suponemos primitiva, es decir sin divisores comunes salvo unidades, tal que |zo|>1 2(|a|+|b|), entonces se puede encontrar a partir de ella otra (x, y, z) con |z|<|zo|. 105 Previamente para nuestro prop´osito, el lema que sigue nos asegura la existencia de inverso de yoen Q[t]cy la reslubilidad de la ecuaci´on yoX− xoY=c. Lema 8.2 Si xo, yo, zoes soluci´on primitiva de ecuaci´on (8.1), entonces (xo, yo)=(yo, c) = 1 en Q[t]. Si (xo, yo)6= 1, tendr´ıamos xo=px0,yo=py0con pprimo com´un, con −cz2 o=a(px0)2+b(py0)2, tomando clases residuales m´odulo p2, [−cz2 o]p2= [p2]p2[ax02+by02]p2= [0]p2 lo que no es posible ya que pno divide a zoyp2no o hace a z2 o, y tampoco p2divide a cque est´a libre de cuadrados. Si (yo, c)6= 1, existir´ıa un pdivisor com´un de cy de yo, como ax2 o= −by2 o−cz2 oy como pno divide a a, debe hacerlo a x2 oy en consecuencia a xolo que es una contradicci´on porque (xo, yo) = 1. El lema est´a probado. Parametrizo las soluciones de la ecuaci´on a partir de una soluci´on conocida (xo, yo, zo) con las f´ormulas de R´ealis [7] v´alidas en cualquier dominio eucl´ıdeo. En particular en Q[t], ´estas f´ormulas se obtienen imponiendo que (xo+tX, yo+tY, zo+tZ) (8.4) sea una soluci´on en el cuerpo Q(t) de fracciones de los polinomios racionales, con X,Y,Zpar´ametros ∈Q[t], t∈Q(t), t6= 0. Sustituimos en (8.1) y obtengo 0 = a(xo+tX)2+b(yo+tY )2+c(zo+tZ)2= ax2 o+by2 o+cz2 o+ (aX2+bY 2+cZ2)t2+ 2t(axoX+byoY+czoZ) = t((aX2+bY 2+cZ2)t+ 2(axoX+byoY+czoZ)). Como t6= 0, obtengo t=−2(axoX+byoY+czoZ) aX2+bY 2+cZ2que sustituido en (8.4) nos da una parametrizaci´on de las soluciones en Q(t) de (8.1), multiplicando por aX2+bY 2+cZ2obtengo soluciones en Q[t], xo(aX2+bY 2+cZ2)−2X(axoX+byoY+czoZ) yo(aX2+bY 2+cZ2)−2Y(axoX+byoY+czoZ) (8.5) zo(aX2+bY 2+cZ2)−2Z(axoX+byoY+czoZ) 112 9. Soluciones enteras de la ecuaci´ on en Q[t] De la misma forma se obtiene que [−a/c]b= [(zo/xo)2]b,(9.6) lo que prueba la condici´on necesaria del teorema. Supongamos que (9.2) es cierto, entonces [−a]c= [(byo/xo)2]ces decir, existe un polinomio Mtal que a+b(yo/xo)2=cM. (9.7) Como |a|≤|b| ≤ |c|, y yo/xoes racional entonces |a+b(yo/xo)2| ≤ |c|(9.8) con lo que |M|=|a+b(yo/xo)2 c| s´olo puede ser 0 si el grado en (9.8) es estrictamente menor, o un racional si es igual. En el primer caso si M= 0, entonces ax2 o+by2 o= 0, lo que es s´olo posible, puesto que −ab es libre de cuadrados y primos dos a dos en Z[t], si −ab = 1 y entonces (xo, yo,0) = (1,1,0) es soluci´on de (9.1). En el segundo caso si Mes racional, tomando clases residuales m´odulo btenemos, [a]b= [a+b(yo/xo)2]b= [cM]b,(9.9) de donde podemos despejar [−a/c]b= [−M]b.(9.10) Pero como Mes racional, necesariamente M=−(zo/xo)2. Por tanto por la ecuaci´on (9.7) tenemos a·12+b(yo/xo)2=−c(zo/xo)2(9.11) es decir, que (xo, yo, zo) es soluci´on de la ecuaci´on (9.1). Si (x1, y1, z1) es cualquier otra soluci´on entera de (9.1) se tiene ax2 1+by2 1+cz2 1= 0 (9.12) 9.1. Ecuaciones de grados hasta 1 113 y entonces [−a/b]c= [(y1/x1)2]c[−a/c]b= [(z1/x1)2]b(9.13) con lo que necesariamente (x1, y1, z1) es m´ultiplo de (xo, yo, zo) aunque quiz´a con otros signos. La condici´on es suficiente lo que prueba el teorema. El teorema resuelve el problema de encontrar las soluciones enteras de un sistema, Teorema 9.2 El sistema de ecuaciones en Z, aox2+boy2+coz2= 0 a1x2+b1y2+c1z2= 0 ··· anx2+bny2+cnz2= 0 con a=ao+a1t···+antn,b=bo+b1t··· +bntn,c=co+c1t··· +cntn primos dos a dos y libres de cuadrados en Z[t], tiene una ´unica soluci´on entera (xo, yo, zo), salvo m´ultiplos, si y s´olo si −(ao+a1t+···+antn) (bo+b1t+···+bntn)co+c1t+···+cntn = [(yo/x2 o]co+c1t+···+cntn(9.14) −(ao+a1t+···+antn) (co+c1t+···+cntn)bo+b1t+···+bntn = [(zo/xo)2]bo+b1t+···+bntn(9.15) 9.1 Ecuaciones de grados hasta 1 Las ecuaciones resolubles con coeficientes de grados hasta 1 admiten f´ormula. Ello se debe a que los representantes de clases residuales de polinomios de grado 1 son siempre racionales, en particular, un residuo cuadr´atico de un polinomio de grado 1 es siempre el cuadrado de un racional. La ecuaci´on aox2+boy2+ (co+c1t)z2= 0 es trivial ya que si tenemos que −aaboes residuo cuadr´atico de co+c1t, es decir −aobo=k2es un cuadrado con kracional, como aybson libres de 114 9. Soluciones enteras de la ecuaci´ on en Q[t] cuadrados necesariamente −aobo= 12= 1, ao=−bo= 1 y la ecuaci´on tiene soluci´on (1,1,0). Consideremos pues la ecuaci´on (ao+a1t)x2+ (bo+b1t)y2+ (co+c1t)z2= 0,(9.16) con b1, c16= 0. Las clases de a,bm´odulo c [a]c= [a1co−aoc1 c1 ]c,[b]c= [b1co−boc1 c1 ]c,(9.17) y del inverso de bm´odulo c [1/b]c= [ c1 b1co−boc1 ]c(9.18) est´an representados respectivamente por racionales, entonces [−a/b]c= [−a]c[1/b]c=−(a1co−aoc1) b1co−boc1c .(9.19) De igual manera obtenemos [−a/c]b= [−a]b[1/c]b=−(a1bo−aob1) c1bo−cob1b .(9.20) De acuerdo entonces con el teorema, (9.26) tiene soluci´on entera (xo, yo, zo) si y s´olo si a1co−aoc1 c1bo−cob1 = (yo/xo)2yb1ao−boa1 c1bo−cob1 = (zo/xo)2(9.21) son cuadrados. Pero esto cocurrir´a siempre si la ecuaci´on es resoluble. La ecuaci´on satisface la condici´on (iv) del teorema de Legendre, y existen dos polinomios de grado cero, es decir dos racionales Rc,Rbcon [R2 c]c= [−ab]c,[R2 b]b= [−ac]b.(9.22) 9.1. Ecuaciones de grados hasta 1 115 El c´alculo de los restos [−ab]c, [−ac]bda, [−(ao+a1t)(bo+b1t)]c= [(a1co−aoc1)(c1bo−cob1) c2 1 ]c= [R2 c]c [−(ao+a1t)(co+c1t)]b= [(b1ao−boa1)(c1bo−cob1) b2 1 ]b= [R2 b]b por lo que necesariamente ser´an cuadrados (a1co−aoc1)(c1bo−cob1) = (c1Rc)2(9.23) (b1ao−boa1)(c1bo−cob1) = (b1Rb)2, y entonces a1co−aoc1 c1bo−cob1 = ( c1Rc c1bo−cob1 )2(9.24) b1ao−boa1 c1bo−cob1 = ( b1Rb c1bo−cob1 )2(9.25) son cuadrados. Hemos probado Teorema 9.3 La ecuaci´on expresada en su forma normal, (ao+a1t)x2+ (bo+b1t)y2+ (co+c1t)z2= 0,(9.26) si tiene soluciones, tiene la soluci´on entera (c1bo−cob1, c1Rc, b1Rb) (9.27) ´unica salvo m´ultiplos. tambi´en podemos resumir, Teorema 9.4 La ecuaci´on (ao+a1t)x2+ (bo+b1t)y2+ (co+c1t)z2= 0 expresada en su forma normal, con c16= 0, tiene soluci´on si y s´olo si a1co−aoc1 c1bo−cob1 ,b1ao−boa1 c1bo−cob1 , 116 9. Soluciones enteras de la ecuaci´ on en Q[t] son cuadrados en Q. En ese caso una soluci´on en Qes x= 1, y =ra1co−aoc1 c1bo−cob1 , z =rb1ao−boa1 c1bo−cob1 y la obtenida en Ztras eliminar denominadores es la ´unica salvo m´ultiplos. Por ejemplo, la ecuaci´on (13 + 67t)x2−(57 + 72t)y2+ (20 −19t)z2= 0, es resoluble dado que a1co−aoc1 c1bo−cob1 = (23 29)2,b1ao−boa1 c1bo−cob1 = (31 29)2 y la ´unica soluci´on entera es 29, 23, 31. 10 Conclusiones He investigado y desarrollado en este trabajo lo que se sab´ıa acerca de la ecuaci´on de Legendre. Hemos podido comprobar que eran posibles generalizaciones. Se ha demostrado, 1. La generalizaci´on del teorema de Legendre en Q[t]. 2. La generalizaci´on del teorema de Holzer en Z[i]. 3. La generalizaci´on del teorema de Holzer en Q[t] 4. Las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuaci´on en Q[t] tenga soluci´on entera. Se establece adem´as una f´ormula para las soluciones de las ecuaciones de grado hasta 1. No obstante, en el transcurso de la investigaci´on he comprobado que al menos existen estos otros problemas relacionados a´un abiertos: a. No se han probado las tres desigualdades simult´aneas del teorema de Holzer en Z[i]. Lo he intentado sin ´exito. b. No se conocen cotas para los coeficientes enteros de las soluciones en Q[t]. c. Existen otros dominios eucl´ıdeos de caracter´ısticas parecidas a los enteros de Gauss, dominios cuadr´aticos imaginarios tales como Z[√−2], Z[√−3], Z[√−7], Z[√−11], para los cuales no se han generalizado cotas de Holzer. 117 118 10. Conclusiones d. No se han probado cotas del tipo de Holzer para las soluciones enteras de la ecuaci´on cuadr´atica general ax2+bxy +cy2+dxz +eyz +fz2= 0. Yo conjeturo que existe una soluci´on (x, y, z) que de forma simult´anea satisface |x|<p|e2−4cf|,|y|<p|d2−4af|,|z|<p|b2−4ac|, pero al intentar probarlo por los mismos procedimiento descritos en esta tesis, tropiezo con una dificultad que no he podido resolver. e. Tambi´en en los Cuaterniones, de caracter´ıstica distinta es el dominio eucl´ıdeo Hde los Cuaterniones de Hurtwitz, H={a+bi +cj +dk :a, b, c, d ∈Z´o a, b, c, d ∈Z+1 2} donde Z+1 2:= {n+1 2, n ∈Z} Este anillo es un anillo de divisi´on, no es conmutativo para el producto y se tendr´ıa que considerar ecuaciones de Legendre por la derecha y por la izquierda. f. En los Octoniones, un dominio mucho m´as complejo y no muy estudiado es el anillo eucl´ıdeo de los Octaviones . . . Bibliography [1] J. L. Lagrange, Sur la solution des probl`emes ind´etermin´es du second degr´e, Hist. 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