Apuntes Matemática Financiera

Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -1TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS ................................................. 1 2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO ..................................................... 2 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS ......................................... 3 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA .......................................................................... 3 3.1.1. CONCEPTO ............................................................................................ 3 3.1.2. ELEMENTOS .......................................................................................... 4 3.1.3. CLASES .................................................................................................. 5 3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS ................................................................... 6 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo -satisfaciendo alguna necesidad-, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte suficiente. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -2Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas: • Por el riesgo que se asume. • Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo. • Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo. La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber: • La cuantía del capital invertido, • El tiempo que dura la operación, y • El tanto de interés al que se acuerda la operación. 2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO Cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t). Finalmente, en una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes. De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -3beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. Para que una operación financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras. 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Veamos ahora algunos conceptos matemáticos básicos que nos permitirán sentar las bases para poder entender los sucesivos temas. 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA 3.1.1. CONCEPTO Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone: ➢ Para el cliente: un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -4operación. ➢ Para el banco: la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos. La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos: 1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital (es) por otro(s). 2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación de una ley financiera. 3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses generados. 3.1.2. ELEMENTOS En toda operación financiera básica intervienen los siguientes elementos: ✓ PERSONALES: En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otro (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará, incrementados en el importe de los intereses. La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta actuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la operación financiera. En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -5supone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que considerar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas. Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo. ✓ TEMPORALES: Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se le denomina origen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de la operación financiera se le llama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la operación financiera, durante el cual se generan los intereses. ✓ OBJETIVOS: La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado. 3.1.3. CLASES Las operaciones financieras se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios: 1. Según la duración: ▪ A corto plazo: la duración de la operación es igual o inferior al año. ▪ A largo plazo: aquellas con una duración superior al año. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -62. Según la ley financiera que opera: A su vez este criterio se puede subdividir en otros dos criterios: 2.1. Según la generación de intereses: ▪ En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. ▪ En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro. 2.2. Según el sentido en el que se aplica la ley financiera: ▪ De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro. ▪ De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente. 3. Según el número de capitales de que consta: ▪ Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación. ▪ Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación. 3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS Se entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno. Si en el momento t1 disponemos de un capital C1 y éste se convierte en un capital C2 en un determinado momento t2, el rédito de la operación será: 1 12 CCC r  Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cuánto Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -7tiempo se ha generado ese rendimiento. Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de interés (i). Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, por eso también se le llama rendimiento unitario. Es decir: 12 1 12 12 tt CCC tt r i     Rédito y tipo de interés coincidirán cuando el intervalo de tiempo es la unidad. EJEMPLO 1 Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual? %101,0 000.1 000.1100.1 r   %101,0 01 000.1 000.1100.1 i    Pero si la operación dura 2 años: %101,0 000.1 000.1100.1 r   %505,0 02 000.1 000.1100.1 i    0 1 años 1.000 1.100 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -8Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operación. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -9TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE .............................................................. 1 1.1. CONCEPTO .................................................................................................. 2 1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN ............................................................. 2 1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN ..................................................... 2 1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN .............................................................. 3 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL ............................................................... 4 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES .................................................... 5 1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS ............................................................... 6 1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN ...................................................................... 7 2. TANTOS EQUIVALENTES ................................................................ 8 2.1. CONCEPTO .................................................................................................. 8 2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES .................................................... 9 3. DESCUENTO SIMPLE ....................................................................... 9 3.1. CONCEPTO .................................................................................................. 9 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN ................................................... 10 3.3. DESCUENTO RACIONAL ........................................................................... 11 3.4. DESCUENTO COMERCIAL ........................................................................ 12 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES .................. 14 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Las operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de interés vigente en cada período. Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (uno o Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -16- …/… €640.2)04,0n1(000.2  años 8 04,0 1 000.2 640.2 n   2. TANTOS EQUIVALENTES Normalmente los tipos de interés suelen venir expresados en términos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayoría de las ocasiones, la acumulación de los intereses al capital inicial se hace en períodos más pequeños (meses, trimestres, semestres,...). La cuestión es ¿por el hecho de modificar la frecuencia de cálculo de intereses me beneficiaré o, por el contrario, me veré perjudicado? En este sentido, lo lógico es pensar que cualquiera que sea el número de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operación no se vea afectado. En consecuencia, si se cambia la frecuencia de cálculo de los intereses habrá que cambiar el importe del tanto de interés aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes. 2.1. CONCEPTO Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. 0 n? años 2.000 2.640 i=4% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -172.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES Los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión: kii k donde «k» se denomina frecuencia de capitalización y se define como el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia (considerando como tal el año), pudiendo tomar los siguientes valores: semestral interés de tantoi semestre2k 2 ralcuatrimest interés de tantoi recuatrimest3k 3 trimestral interés de tantoi trimestre4k 4 mensual interés de tantoi mes12k12  EJEMPLO 8 Determinar el montante resultante de invertir 700 euros durante 3 años en las siguientes condiciones: a. Interés anual del 12% €952)12,031(700C3 b. Interés semestral del 6% 12,0206,0kii k €952)12,031(700C3 c. Interés mensual del 1% 12,01201,0kii k €952)12,031(700C3 3. DESCUENTO SIMPLE 3.1. CONCEPTO El descuento simple es la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -183.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses no son productivos, lo que significa que: ▪ A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto ▪ Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período. En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Gráficamente: 0 1 2 n-1 Inicio C0 Cn Fin n Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -19Elementos: D Descuento o rebaja nC Valor final o nominal 0C Valor actual, inicial o efectivo d ó i Tanto de la operación Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión: 0n CCD  Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple: TiempoTipoCapitalD  Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica: ✓ DESCUENTO RACIONAL, MATEMÁTICO O LÓGICO ✓ DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone. 3.3. DESCUENTO RACIONAL El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de interés efectivo (i). Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -20Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (C0). Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional: )in1(CC 0n   Cálculo del capital inicial (C0): in1 C Cn 0   Cálculo del ahorro de intereses (Dr): in1 inC in1 CinCC in1 C)in1(C in1 C CCCD n nnnnnn n0nr             in1 inC Dn r   3.4. DESCUENTO COMERCIAL Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d). En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0). Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta: dnCdC...dCdCD nnnnc  dnCD nc  n veces Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -21El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):   )dn1(CdnCCdnCCDCC nnnnncn0  )dn1(CC n0  EJEMPLO 9 Se pretende aniticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación: Caso 1: Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional): €92,76 1,031 100 in1 C Cn 0     €08,2392,76100CCD 0nr  o bien: €08,23 1,031 1,03100 in1 inC Dn r       o bien: €08,231,0392,76inCD 0r  Caso 2: Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial): …/… 0 3 años C0? 100 Dr? i=10% 0 3 años C0? 100 Dc? d=10% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -22- …/… €301,03100dnCD nc  €7030100DCCCCD cn00nc  o bien: €70)1,031(100)dn1(CC n0  4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuento racional (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo 1. No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc. Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente: cr DD  dnC in1 inC n n   Esta expresión la podemos simplificar dividiendo por )nC( n : d in1 i  Obteniéndose el tanto de descuento comercial «d» equivalente al tanto «i» in1 i d  Análogamente, conocido «d» se podrá calcular el tanto «i»: Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 2: Capitalización Simple -23-     i dn1 d dn1idindidiinddiin1d in1 i d       dn1 d i  La relación de equivalencia entre tipos de interés y descuento, en régimen de simple, es una función temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de interés como valores tome la duración (n) de la operación y al revés (no hay una relación de equivalencia única entre un «i» y un «d»). EJEMPLO 10 En el ejemplo 1 si consideramos que el tanto de interés es del 10% anual, ¿qué tipo de descuento anual deberá aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes? Si %10i , entonces se ha de cumplir: %6923,7076923,0 13,0 1,0 1,031 1,0 in1 i d     Comprobación Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de interés del 10% (descuento racional): €92,76 1,031 100 in1 C Cn 0     €08,2392,76100CCD 0nr  Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial): €08,23076923,03100dnCD nc  €92,7608,23100DCC cn0  o bien: €92,76)076923,031(100)dn1(CC n0  Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -24TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES ÍNDICE 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: CONCEPTO ......... 1 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES ........................................................ 2 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN .................................................. 3 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN ..................................... 5 2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO ......................................... 7 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: CONCEPTO Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesante desde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los demás). Para decidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantías, se tendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Además, la comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ahí efectuar la comparación. Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o más capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observar si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizará la capitalización o el descuento. Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo «t», tienen la misma cuantía. Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales que intervengan en la operación. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -25Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos. Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, no tiene por qué cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Consecuencia de esta circunstancia será que la elección de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectará y condicionará el resultado. 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES La sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A este momento de tiempo donde se realiza la valoración se le denomina época o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio. Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales: • Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos. • Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato varía el resultado del problema. • Tanto de valoración de la operación. • Decidir si se utiliza la capitalización o el descuento. Casos posibles: a. Determinación del capital común. b. Determinación del vencimiento común. c. Determinación del vencimiento medio. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -32En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmética ponderada de los vencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderación. EJEMPLO 3 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.000€. Se pide calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de descuento simple anual. La fecha de estudio es el momento cero. Tenemos que pasar los meses a años, para lo cual los dividiremos entre 12: años 712121,0 000.11 12 10 000.5 12 8 000.4 12 6 000.2 C tC t S n 1S S       Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo anterior por 12 meses que tiene un año: meses 55,812712121,0t  0 2.000 4.000 5.000 11.000 6 8 10 t? meses Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -33TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE ÍNDICE 1. DESCUENTO DE EFECTOS ............................................................... 1 1.1. CONCEPTO DE DESCUENTO DE EFECTOS ................................................. 1 1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS DESCUENTOS...................................................... 2 1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO ................................................. 2 1.4. LETRA DE VUELTA ...................................................................................... 3 1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN .......................................................... 4 1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS .............................................. 5 2. CUENTAS CORRIENTES .................................................................. 7 2.1. DEFINICIÓN DE CUENTA CORRIENTE ....................................................... 7 2.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES ........................................................... 8 2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES ................................................ 9 2.3.1. MÉTODO DIRECTO ............................................................................... 9 2.3.2. MÉTODO INDIRECTO ........................................................................... 9 2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS .............................................. 9 1. DESCUENTO DE EFECTOS 1.1. CONCEPTO DE DESCUENTO DE EFECTOS El descuento bancario es una operación financiera que consiste en la presentación de un título de crédito 1 en una entidad financiera para que ésta anticipe su importe y gestione su cobro. El tenedor 2 cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero, descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados. 1 Un título de crédito es un documento que expresa en su contenido, un derecho literal y autónomo, y que con solo poseer ese soporte material (el documento) puede ejecutarse, sin probar los hechos que determinaron su emisión. Son ejemplos de títulos de crédito, las acciones de sociedades anónimas, los pagarés y los cheques. 2 Es la persona que tiene en su poder el título de crédito. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -341.2. CLASIFICACIÓN DE LOS DESCUENTOS Según el título de crédito presentado a descuento, distinguimos: ➢ DESCUENTO BANCARIO, cuando el título es una letra de cambio. A su vez se puede distinguir entre:  Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestación de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente 3 .  Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de un préstamo concedido por el banco a su cliente. ➢ DESCUENTO NO CAMBIARIO, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro (pagarés 4 , certificaciones de obra, facturas, recibos,…). 1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o líquido, y se obtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costes originados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos). o Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula en función del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por la entidad financiera. d 360 t NIntereses  siendo: efecto del Nominal N  3 Cuando dice el cedente se refiere a la persona, empresa u otra institución que llevó la letra a la entidad de crédito para su descuento. 4 Aunque las diferencias entre una letra de cambio y un pagaré son mínimas, el descuento se considera bancario en el primer caso y no cambiario en el segundo. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -35dinero el anticipa banco el que días de Número t  uno por tanto en anual, descuento de Tipo d  o Comisiones: también denominado quebranto o daño, es la cantidad cobrada por la gestión del cobro de la letra que realiza el banco. Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades: ▪ Un porcentaje sobre el nominal. ▪ Una cantidad fija (mínimo). o Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes conceptos: el timbre 5 , correspondiente al Impuesto de Actos Jurídicos Documentados (IAJD) y el correo, según la tarifa postal. EJEMPLO 1 Se desea descontar una letra de 3.250 euros cuando aún faltan 60 días para su vencimiento en las siguientes condiciones: • Tipo de descuento: 14% anual • Comisión: 3‰ (mínimo 5 euros) • Otros gastos: 2 euros Se pide: Conocer el efectivo recibido por el cedente. Nominal…………….…………………………… 3.250,00 Intereses   3606014,0250.3  .......... 75,83 Comisiones   003,0250.3  ….……...... 9,75 Otros gastos……………………….…… 2,00 Total gastos…….………………………………… 87,58 Efectivo…….……………………………………. 3.162,42 1.4. LETRA DE VUELTA La letra de vuelta es aquella que se devuelve al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento por parte del librado 6 . 5 Sello emitido por el Estado para algunos documentos, como pago al fisco en concepto de derechos. 6 Es el deudor, quien debe pagar la letra de cambio cuando llegue la fecha indicada o de vencimiento. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -36Si la letra había sido descontada previamente, el banco se la cargará en cuenta del cliente, junto con los gastos originados por el impago.  Gastos de devolución: – Comisión de devolución. – Correo.  Gastos de protesto: – Comisión de protesto. – Coste del protesto.  Intereses: Los intereses se generan si el banco cobra con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letra devuelta por impagada. Se calcularán sobre la suma del nominal de la letra impagada más el importe de todos los gastos originados por el impago, por el período transcurrido entre vencimiento y cargo. EJEMPLO 2 Llegado el vencimiento de la letra del ejemplo 1, ésta es devuelta por impagada, cargándose en la cuenta del cedente por los siguientes conceptos: • Comisión de devolución: 1‰ • Comisión de protesto: 2‰ • Correo: 2,50 euros Se pide: Determinar el importe adeudado en la cuenta corriente del cedente. Nominal…………….……….……………………… 3.250,00 Comisión devolución   001,0250.3  ....... 3,25 Comisiones de protesto   002,0250.3  .... 6,50 Correo……...……...………………….…… 2,50 Total gastos…….…………………………………… 12,25 Efectivo…….………………………………….……. 3.262,25 1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN La letra de resaca o renovación es aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta, junto con los gastos que originó su devolución. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -37Se trata de determinar cuál ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos los gastos se le repercutan a quien los originó (el librado). Para su cálculo se tratará como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones normales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se desea recuperar –nominal impagado más los gastos de la devolución más los gastos del giro y descuento de la nueva letra) y el nominal es desconocido (que hay que calcular). EJEMPLO 3 Finalmente para recuperar la letra de vuelta por impagada del ejemplo 1 se llega al acuerdo de girar una nueva letra con vencimiento a 30 días, en las siguientes condiciones: • Tipo de descuento: 15% • Comisión: 3‰ • Otros gastos: 10 euros Se pide: Determinar el importe de la nueva letra.   GOCINE          10003,0N 360 30 15,0NN)10003,0N 360 30 15,0NN25,262.3                            003,0 360 30 15,01N1025,262.3 €77,323.3N 9845,0 75,272.3 NN9845,025,272.3        1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, 30 días 0 E’ = 3.262,25 N’? Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -38agrupados por períodos temporales, para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales. El documento en el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura de negociación. El proceso de liquidación que se sigue es el siguiente: ▪ Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa. ▪ Sumar cada una de los tres siguientes conceptos: – Importe nominal. – Importe intereses. – Importe comisiones. ▪ Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte. ▪ El importe líquido resultante de la negociación se obtendrá restando del nominal total de la remesa el montante de todos los gastos habidos. EJEMPLO 4 Se presenta al descuento la siguiente remesa de efectos: Efecto Nominal Días de descuento A 30.000 20 B 20.000 25 C 15.000 30 Las condiciones de descuento son: • Tipo de descuento: 12% • Comisión: 5‰ (mínimo 90 euros) • Correo: 6 euros/efecto Se pide: Descontar la remesa anterior. …/… Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -39- …/… Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión Correo A 30.000 20 12% 200,00 5‰ 150 6 B 20.000 25 12% 166,67 5‰ 100 6 C 15.000 30 12% 150,00 mínimo 90 6 65.000 516,67 340 18 Nominal…………….……….……………………… 65.000,00 Interés…………………………………....... 516,67 Comisión………………………………...... 340,00 Correo……...……...………………….…… 18,00 Total gastos…….…………………………………… 874,67 Efectivo…….………………………………….……. 64.125,33 2. CUENTAS CORRIENTES 2.1. DEFINICIÓN DE CUENTA CORRIENTE Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que señalen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde más se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes. Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depósito y de crédito. Una cuenta corriente de depósito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la cuenta corriente de crédito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener financiación hasta una cuantía establecida de antemano (límite del crédito). Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -40Nos dedicaremos al estudio de las primeras, que si bien es cierto que se trata más de un instrumento de gestión en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes al «servicio de caja», pueden llegar a convertirse en una fuente de financiación (descubierto bancario). 2.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES Las cuentas corrientes de depósito se pueden clasificar según diversos criterios: I. Según sus titulares: • Individual: abierta a nombre de un solo titular. • Conjunta: cuando hay dos o más titulares, exigiéndose que cualquier acto deba ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos. • Indistinta: cuando hay dos o más titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando únicamente su firma. II. Según el devengo de interés: • Cuentas corrientes sin interés: son aquellas en las que no se paga ningún tanto por el aplazamiento de los capitales. Para hallar la liquidación bastará calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta. • Cuentas corrientes con interés: en este caso los capitales producen interés por el período que media entre la fecha valor de la operación y la fecha de liquidación de la cuenta. En las cuentas corrientes con interés, éste puede ser: ✓ Recíproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de interés. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 4:Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -41- ✓ No recíproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismo que el aplicado a los capitales acreedores. Para liquidar estas cuentas no bastará con calcular la diferencia entre las sumas del Debe y del Haber sino que deberemos hallar también el interés. 2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES Conocidos los capitales y el tanto de interés, que se fija de antemano, sólo falta hallar el tiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tres métodos: directo, indirecto y hamburgués. A continuación se comentará brevemente el funcionamiento de los dos primeros y se estudiará con más detalle el método hamburgués, que es el sistema que actualmente se emplea. 2.3.1. MÉTODO DIRECTO Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidación. 2.3.2. MÉTODO INDIRECTO En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija denominada época. Ello supone un cálculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidación deben rectificarse. 2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS Este método recibe el nombre de hamburgués porque se usó por primera vez en Hamburgo. Y de saldos porque los números comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en función de los capitales). Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este método son los siguientes: 1. Se ordenan las operaciones según fecha-valor. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -48A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante. 1 . Finalmente, hay que tener en cuenta que n lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea). EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. €78,325)05,01(200C10 10  Si se hubiese calculado en simple: €300)1005,01(200C10  La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final. 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma: n 0n )i1(CC  despejando C0 resulta:   n n 0i1 C C  1 Para aplicar la fórmula fundamental de la capitalización compuesta es preciso que el tipo de interés esté expresado en tanto por uno. 0 10 años 200 C10? i = 5% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -49EJEMPLO 2 ¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comparme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?   €99,334.1 1236,1 500.1 06,01 500.1 C2 0   1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos: 0nn CCI  EJEMPLO 3 ¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?   €24,39307,01300C 4 4 €24,9330024,393In 1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.   n 0n i1CC  Los pasos a seguir son los siguientes: ▪ Pasar el C0 al primer miembro: 0 2 años C0? 1.500 i = 6% 0 4 años 300 C4 i = 7% I4? Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -50-   n 0 ni1 C C ▪ Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):   nn n 0 ni1 C C i1 C C n 0 n ▪ Despejar el tipo de interés: i1 C C n 0 n 1 C C in 0 n EJEMPLO 4 Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.   €03,601.1i1000.1 12  %404,0104,11 000.1 03,601.1 i12  1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida. ▪ Punto de partida:   n 0n i1CC  0 12 años 1.000 1.601,03 i? Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -51- ▪ Pasar el C0 al primer miembro:   n 0 ni1 C C ▪ Extraemos logaritmos a ambos miembros:   n 0 ni1 ogl C C log  ▪ Aplicamos propiedades a los logaritmos:   i1 oglnC logC log 0n  ▪ Despejar la duración:   i1 ogl C logC log n0n   EJEMPLO 5 Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.   €202.304,01000.2 n       años 12 01703,0 20439,0 0,041 ogl 2.000 log3.202 log 0,041 ogl 2.000 log3.202 log i1 ogl C logC log n0n           2. TANTOS EQUIVALENTES La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. 0 n? años 2.000 3.202 i=4% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -52Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión: kii k donde k se denominaba frecuencia de capitalización y se definía como el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia (considerando como tal el año). Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado. Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones: a. Interés anual del 12%:   €00,120.112,01000.1C 1 n b. Interés semestral del 6%:   €60,123.106,01000.1C 2 n c. Interés trimestral del 3%:   €51,125.103,01000.1C 4 n Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -53intereses se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados. Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos. 2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relación:   k ki1i1  donde k es la frecuencia de capitalización, que indica: • El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). • Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se acumulan los intereses, dentro del período, al capital para producir nuevos intereses. Esta relación se obtiene a partir de la definición de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado período de tiempo (n años) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulación de intereses (i o ik): Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido será:   n 0n i1CC  Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido será: 0 n años C0 Cn i 0 kn C0 Cn ik k-ésimos de año Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -54-   kn k0n i1CC   Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación es la misma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses–, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes:     kn k0 n 0i1Ci1C   Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n queda finalmente:     k ki1i1  Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes. El valor de i en función de ik será:   1i1i k k El valor de ik en función de i será:             k1 kk k1 kk k k k ki1i1i1i1i1i1i1i1    1i1i k1 k EJEMPLO 6 Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año a un tanto del 12% efectivo 2 anual,suponiendo: a. Devengo anual de intereses: 12,0i    €00,120.112,01000.1C 1 1 …/… 2 Cuando habla de tanto por ciento efectivo anual nos está indicando el problema que quiere que se utilicen tantos equivalentes para que el montante final (C1) sea igual al que resultaría de aplicar el 12% anual sea cual sea el devengo de los intereses. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -55- …/… b. Devengo semestral de intereses: Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de cálculo es semestral, habrá que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para después calcular el montante.   05830,0105830,1112,01i 21 2 €00,120.1)05830,01(000.1C 2 1 c. Devengo trimestral de inteseses: Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido.   02874,0102874,1112,01i 41 4 €01,120.1)02874,01(000.1C 4 1 Los resultados son los mismos, debido a la utilización de intereses equivalentes. Las pequeñas variaciones se deben al redondeo de los decimales. 2.2. TANTO NOMINAL Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unidad habitual (en años) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal (Jk). El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización k por el tanto k-esimal: kiJ kk  De ahí se deduce que: k J ik k Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -56Esta es una expresión pensada para pasar fácilmente de un tanto referido al año (el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional. Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (también conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de él se obtienen tantos efectivos con los que sí se harán los cálculos necesarios. A continuación se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales, conocidos como TAE. La fórmula de cálculo para pasar de tantos nominales a tantos efectivos anuales (TAE) es:   1i1i k k 3 1 k J 1i k k       Por otro lado, sabiendo que: kiJ kk    1i1i k1 k ya podemos calcular la fórmula de cálculo para pasar de tantos efectivos a tantos efectivos (TAE) a tantos nominales:     k1i1J k1 k EJEMPLO 7 Realiza las siguientes conversiones: a. Cálculo del TAE si el devengo de intereses es anual, semestral, trimestral y mensual siendo el tanto nominal del 8%: Anual: %808,0108,11 1 08,0 11 k J 1i 1k k             …/… 3 Recordemos que esta es la expresión que relaciona i en función de ik. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -57- …/… Semestral: %16,80816,00816,11 2 08,0 11 k J 1i 2k k             Trimestral: %243,808243,008243,11 4 08,0 11 k J 1i 4k k             Mensual: %300,808300,008300,11 12 08,0 11 k J 1i 12k k             El tipo de interés efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal está calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y sólo en ésa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habrá que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie. b. Cálculo del tanto nominal si el devengo de intereses es anual, semestral, trimestral y mensual siendo el TAE del 8%: Anual:           %808,01108,11108,01k1i1J 11k1 k Semestral:           %846,707846,02103923,12108,01k1i1J 21k1 k Trimestral:           %771,707771,04101943,14108,01k1i1J 41k1 k Mensual:           %721,707721,012100643,112108,01k1i1J 121k1 k El tipo de interés nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, éste deberá ser diferente en función de la frecuencia de capitalización para la cual se haya calculado. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -64Extrayendo raíz n a la ecuación, queda la relación de equivalencia buscada:     d1 i11 d1 i1 1nn nn    Finalmente, despejando d: i1i i1 1i1 i11 1d        El tanto de descuento comercial «d» equivalente al tanto «i» será: i1i d  Análogamente, conocido «d» se podrá calcular el tanto «i»:     d1d id1idididiiddii1d i1i d    d1d i  Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duración de la operación. Por tanto, se cumple que para un tanto de interés solamente habrá un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operación. EJEMPLO 10 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta…? 1º Caso: …a un tipo de interes del 5% anual compuesto (descuento racional):   n n 0 i1 C C    €10,732.20 05,01 000.24 C3 0   2º Caso: …a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial): …/… Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -65- …/…   n n0 d1CC    €577.2005,01000.24C3 0 Por tanto, aplicando un tipo de interés y de descuento idénticos los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipación. Para conseguir el mismo resultado habría que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de interés mediante la relación de equivalencia: %762,4d047619,0 05,01 05,0 i1 i d     Comprobación Actualizando comecialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado será:   €10,732.208638377,0000.24047619,01000.24C3 0 Se demuestra entonces que el tipo de descuento 4,762% es equivalente al tipo de interés del 5%. 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Para comprobar si dos o más capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales. El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o más capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos. Ya vimos en las operaciones en simple la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada porque en régimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operación, por tanto, si la equivalencia se Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -66cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca. La sustitución de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudiéndose plantear los siguientes casos posibles: a. Determinación del capital común. b. Determinación del vencimiento común. c. Determinación del vencimiento medio. 5.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN El capital común es la cuantía C de un capital único que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.. 4 5.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN El vencimiento común es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: n21 CCCC   5 5.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO El vencimiento medio es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: n21 CCCC   4 Para recordar cómo se determina el capital común en la capitalización compuesta habrá que remitirse al tema de la sustitución de capitales en capitalización simple. 5 Para recordar cómo se determina el capital común en la capitalización compuesta habrá que remitirse al tema de la sustitución de capitales en capitalización simple. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -67EJEMPLO 11 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 años, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 años. Se pide calcular el importe a pagar en ese momento si la operación se concierta al 8%de interés compuesto anual: 1er caso: fecha de estudio en 0: Actualizamos cada una de las deudas al momento 0, utilizando el descuento racional, ya que nos dan el tipo de interés:   n n 0 i1 C C          €05,469.11C38,737.5 999005,1 C 08,1 000.5 08,1 000.4 08,1 000.2 08,1 C 08,1 000.5 08,1 000.4 08,1 000.2 08,1 C i1 C ... i1 C i1 C i1 C 10869 10869tn n 2t 2 1t 1 t                            €05,469.11C 2º caso: fecha de estudio en 9 años: Capitalizamos los capitales que vencen antes de los 9 años y actualizamos el capital que vence posteriormente a los 9 años utilizando el descuento racional, ya que nos dan el tipo de interés: Para la capitalización de los capitales utilizamos la correspondiente fórmula:   n 0n i1CC  …/… 0 2.000 4.000 5.000 C? 6 8 10 9 I=8% años 0 2.000 4.000 5.000 C? 6 8 10 9 años Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -68- …/… y para la actualización:   n n 0 i1 C C  Por lo tanto:             €05,469.11C 08,1 000.5 08,1000.408,1000.2C 08,01 000.5 08,01000.408,01000.2C i1 C i1Ci1CC 1 13 910 8969 t3t 3 2tt 2 1tt 1            Se confirma la diferencia apuntada anteriormente con las leyes de capitalización simple, según la cual, en régimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operación. EJEMPLO 12 Un señor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5 años, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno solo, acordándose la operación a un tipo de interés del 6%, calcular el momento del cobro único en los siguientes supuestos: 1er caso: La cuantía a recibir fuera de 12.000€ Se trata de vencimiento común ya que la suma de 5.000 y 8.000 euros no coincide con los 12.000€. Actualizamos cada una de las dedas al momento 0, utilizando el descuento racional, ya que nos dan el tipo de interés,sabiendo que ahora la incógnita es la duración:   n n 0 i1 C C  …/… 0 5.000 8.000 12.000 3 5 t i=6% años Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -69- …/…         t tt t 53ttn n 2t 2 1t 1 t 06,1179227,1 06,1 16,176.10 000.12 000.1206,116,176.1016,176.10 06,1 000.12 06,1 000.8 06,1 000.5 06,1 000.12 i1 C ... i1 C i1 C i1 C                       Aplicamos logaritmos para despejar t: años 83,2t 025306,0 071597,0 t 06,1log 179227,1log t06,1logt179227,1log06,1log179227,1log t   Para pasar los 0,83 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 96,91283,0  Para pasar los 0,96 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 29días 8,283096,0  Es decir, días 29y meses 9 años, 2t  2º caso: : La cuantía a recibir fuera de 13.000€ Se trata de vencimiento medio ya que la suma de 5.000 y 8.000 euros coincide con los 13.000€. Actualizamos cada una de las dedas al momento 0, utilizando el descuento racional, ya que nos dan el tipo de interés,sabiendo que ahora la incógnita es la duración:   n n 0 i1 C C          t tt t 53ttn n 2t 2 1t 1 t 06,1277496,1 06,1 16,176.10 000.13 000.1206,116,176.1016,176.10 06,1 000.13 06,1 000.8 06,1 000.5 06,1 000.13 i1 C ... i1 C i1 C i1 C                       …/… 0 5.000 8.000 13.000 3 5 t i=6% años Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 5: Capitalización Compuesta -70- …/… Aplicamos logaritmos para despejar t: años 20,4t 025306,0 106360,0 t 06,1log 277496,1log t06,1logt277496,1log06,1log277496,1log t   años 20,4t  Para pasar los 0,20 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 4,21220,0  Para pasar los 0,4 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 12304,0  Es decir, días 12y meses 2 años, 4t  Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -71TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA .............................................. 2 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA ................................... 2 3. CLASES DE RENTAS ........................................................................ 3 3.1. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS ................................................... 3 3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS ........................................................... 3 3.3. SEGÚN EL VENCIMIENTO DEL TÉRMINO .................................................. 4 3.4. SEGÚN EL MOMENTO DE VALORACIÓN ................................................... 4 3.5. SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL VENCIMIENTO ........................................ 4 3.6. SEGÚN LA LEY FINANCIERA ...................................................................... 4 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA ......................... 5 5. RENTAS CONSTANTES ................................................................... 7 5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA ..................... 7 5.1.1. CÁLCULO DEL VALOR INICIAL ............................................................ 7 5.1.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL ............................................................. 11 5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA .................... 16 5.2.1. CÁLCULO DEL VALOR INICIAL .......................................................... 16 5.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL ............................................................. 19 5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS ..................................... 21 5.3.1. RENTAS POSPAGABLES ...................................................................... 22 5.3.2. RENTAS PREPAGABLES ...................................................................... 23 5.4. RENTAS DIFERIDAS .................................................................................. 24 5.4.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS .......................... 24 5.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS .......................... 27 5.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS ............................. 28 5.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS.............................. 29 5.5. RENTAS ANTICIPADAS ............................................................................ 31 5.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS .......................... 31 5.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS .......................... 34 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -721. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de un capital único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación 1 . Sin embargo, hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos,... En todas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora. Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea de desplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas «fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez. La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: Existencia de varios capitales, al menos dos. Periodicidad constante entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea). 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA Los elementos que componen una renta financiera son: • Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta. Por ejemplo, las sucesivas aportaciones a un plan de pensiones o el ingreso periódico de una nómina a lo largo del tiempo. • Origen: momento en el que comienza a devengarse 2 el primer capital. • Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. 1 Aquí la prestación y contraprestación se refiere tanto al dinero que se entrega para capitalizarlo como el que se recibe actualizado respectivamente. 2 Recordemos que “devengarse” lo podemos considerar equivalente a “producirse”. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -73- • Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta. • Término: cada uno de los capitales que componen la renta. • Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. • Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta. Gráficamente: 3. CLASES DE RENTAS Las rentas se pueden clasificar según diferentes criterios, entre los que vamos a destacar los que aparecen en los apartados siguientes. 3.1. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS  Constante: cuando todos los capitales son iguales.  Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir: o Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente. o Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden. ❖ En progresión geométrica ❖ En progresión aritmética 3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS  Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales.  Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales. t0 t1 t2 t3 tn-1 tn i … Duración=tn-t0 Origen Final C1 C2 C3 Cn Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -80EJEMPLO 2 Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos 6 de 100 euros cada una a un tanto de interés del 10% efectivo anual. Moviendo los capitales uno a uno:         n1n32 i n0 i1 c i1 c i1 c i1 c i1 c AV                 €69,248 1,01 100 1,01 100 1,01 100 AV 32 1,0 30        €69,248V0 Utilizando la fórmula de la renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera:   i i11 cacAV n i ni n0      €69,248 1,0 1,011 100a100AV 3 1,0 31,0 30     €69,248V0 EJEMPLO 3 Calcular el valor de la imposición que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de interés efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 euros al final de cada uno de los próximos 5 años. …/… 6 Vencidos significa que los capitales se devengan al final del año, es decir, se va a tratar de una renta pospagable. V0? 100 100 100 0 1 2 3 años i=10% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -81- …/… Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposición y los reintegros, aquélla debe coincidir con el valor actualizado de estos últimos. Así, la imposición inicial será el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operación. Calculamos el valor inicial de una renta temporal, pospagable, inmediata y entera:   i i11 cacAV n i ni n0      €52,095.72 12,0 12,011 000.20a000.20AV 5 12,0 512,0 50     €52,095.72V0 5.1.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal –n capitales–, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los términos de la renta en su final (momento n), quedando gráficamente así: Recordemos que la fórmula para capitalizar un capital en régimen V0? 20.000 0 1 2 5 años i=12% 3 4 20.000 20.000 20.000 20.000 Vn? 1 1 1 1 1 0 1 2 n-2 n-1 n i … … Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -82de capitalización compuesta es:   n 0n i1CC  Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se denota con la siguiente terminología: sn┐i donde: n  número de capitales i  tanto de valoración llegamos a la siguiente fórmula:       1n2 i nn i1i1i11sV    Para simplificar la expresión anterior, hemos de hacer notar que se trata de una progresión geométrica de razón: i1r  Como la razón es mayor que la unidad, la progresión es creciente, por lo que, tal y como recordamos en el tema anterior, la suma de los n términos de una progresión geométrica creciente es la siguiente: 1r ara S1n    Aplicando dicha fórmula a los términos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente:           i1i1 1i1 1i1 1i1 1i1i1 sn11n1n i n            i1i1 sn i n   Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -83valoración: Por tanto, el valor final de la renta será la capitalización de su valor actual, como se demuestra a continuación:               i1i1 ii11i1 ii11 i1ai1s nnnn n i n n i n          i1i1 sn i n   Esta es la expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí desde su origen hasta el momento n al tanto de interés i. Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos términos fueran de cuantía c, el valor final se representa por: Sn┐i y se obtendría de la siguiente forma:       1n2 i nn i1ci1ci1ccSV    sacando factor común el término c:         1n2 i nn i1i1i11cSV    Se puede observar que el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n términos, sn┐i, es decir:   i1i1 cscSV n i ni nn   Vn? 1 1 1 1 1 0 1 2 n-2 n-1 n i … … V0 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -84Del mismo modo, se puede llegar a esa expresión capitalizando el valor actual:   i n n i ni nn Ai1scSV  La expresión Sn┐i, indica, pues, que la renta es constante, temporal, pospagable, inmediata, entera y de cuantía c. EJEMPLO 4 Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cada una a un tanto de interés del 10% efectivo anual. Desplazando los capitales uno a uno:       1n2 i nn i1ci1ci1ccSV        €3311,011001,01100100SV 2 1,0 33  €331V3 Utilizando la fórmula de la renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera:   i 1i1 cscSV n i ni nn     €331 1,0 11,01 100s100SV 3 1,0 31,0 33    €331V3 Capitalizando el valor actual, calculado en el ejemplo 1: 69,248A 0,1 3    i n n i ni nn Ai1scSV    €33169,2481,1A1,01s100SV 3 0,1 3 3 1,0 31,0 33  €331V3 V3? 100 100 100 0 1 2 3 años i=10% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -85EJEMPLO 5 Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 años, si imponemos al final de cada uno de ellos 20.000 euros siendo el tipo de interés de la cuenta el 12% efectivo anual. El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de interés de la propia cuenta. Calculamos el valor final de una renta temporal, pospagable, inmediata y entera:   i 1i1 cscSV n i ni nn     €95,056.127 12,0 112,01 000.20s000.20SV 5 12,0 512,0 55    €95,056.127V5 EJEMPLO 6 Calcular el número de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de cada año para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual. En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones. …/… V5=Saldo? 20.000 0 1 2 5 años i=12% 3 4 20.000 20.000 20.000 20.000 Vn=209.845,94 25.000 0 1 2 n? años i=6% … 25.000 … 25.000 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -86- …/… Utilizamos la fórmula del valor final de la renta renta temporal, pospagable, inmediata y entera, teniendo como incógnita el número de términos, en este caso años, n:   i 1i1 cscSV n i ni nn     94,845.209 06,0 106,01 000.25s000.25SV n 06,0 n06,0 nn      503630256,106,11503630256,006,1 503630256,0106,106,03938376,8106,1 3938376,8 06,0 106,1 000.25 94,845.209 06,0 106,01 nn nn n n       Aplicamos logaritmos para poder despejar n: años 7 1,06 log 503630256,1 log n 503630256,1 log1,06 logn503630256,1 log06,1 log n   años 7n  5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un número determinado de capitales), prepagable (los términos vencen al principio del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tipo de interés están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta). 5.2.1. CÁLCULO DEL VALOR INICIAL Comenzaremos por la renta constante que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente: Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -87Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la siguiente terminología: än┐i llegamos a la siguiente fórmula:       1n32 i n0 i1 1 i1 1 i1 1 i11 1aV            Para simplificar la expresión anterior, hemos de hacer notar que se trata de una progresión geométrica de razón: i11 r  Como la razón es menor que la unidad, la progresión es decreciente, por lo que, tal y como recordamos en el tema anterior, la suma de los n términos de una progresión geométrica decreciente es la siguiente: r1 raa Sn1    Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificando posteriormente: V0? 1 1 1 1 1 0 1 2 3 n-1 n i … … Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -88-         i1ii11 i1ii1 1 1 i1 1i1 i1 1 1 i11 1 i11 i1 1 1 än n11n1n i n                        i1ii11 an i n      Si recordamos, la fórmula de una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera era:   ii11 an i n    Por lo que la fórmula anterior la podemos expresar también en función de an┐i de la siguiente forma:               i1 ii11 ii1i11 i1i 1i11 i1ii11 ann n n i n                  i1aa i ni n   Esta es la expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí hasta su origen, al tanto de interés i. Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por separado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto de capitales (n – 1) como renta pospagable inmediata: Es decir: i 1-ni n0 a1aV   1 1 1 1 1 0 1 2 n-2 n-1 n … … V0 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -89Para rentas constantes cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual se representa por: Än┐i y se obtendría de la siguiente forma:       1n32 i n0 i1 c i1 c i1 c i1c cAV            sacando factor común el término c:                     1n32 i n0 i1 1 i1 1 i1 1 i11 1cAV   Se puede observar que el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, prepagable, inmediata y entera de n términos, än┐i, es decir:     ii11 i1cacAV n i ni n0      La expresión Än┐i, indica, pues, que la renta es constante, temporal, pospagable, inmediata, entera y de cuantía c.   i ni n0 ai1cAV   NOTA: los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un período las rentas pospagables. 5.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL Dado que los valores finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1+i), podemos establecer las siguientes fórmulas: Valor final de una renta constante, temporal, prepagable, inmediata, entera y unitaria: Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -96compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería: Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la siguiente terminología: i na d donde: n  número de términos de la renta i  tanto de valoración d periodo de diferimiento Analíticamente quedaría así:         ii11 i1 1 i1 a i1 V a d Vn dd i n d 0 i n t          Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad (no unitaria), es decir, los términos fueran de cuantía c, el valor actual se representa por: i nA d Vt? t i 0 1 2 … n-1 n V0 Vn 1 1 1 1 … Periodo de diferimiento Momento de valoración (d) Origen Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -97En este caso, todo lo dicho seguiría siendo válido y bastaría con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuantía del término. Es decir:         ii11 i1 c i1 ac i1 A a d c A dn dd i n d i n i ni n           El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la definición de valor final se tratará como una renta inmediata, aunque también se podría obtener dicho valor final a partir del valor actual diferido: Analíticamente:     nd t n 0n i1Vi1VV   5.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Si la renta fuese constante, temporal, prepagable, diferida, unitaria y entera tendríamos que calcular: i na d Recordando que los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un período las rentas pospagables. Vt? t i 0 1 2 … n-1 n V0 Vn c c c c … Periodo de diferimiento (d) Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -98-           ii11 i1 1 i1 i1 a i1 a d Vn dd i n i n t             ii11 i1 1 a d Vn 1d i n t        De igual forma, si la renta fuese constante, temporal, prepagable, diferida, de cuantía c, y entera tendríamos que calcular: i nA d Multiplicando por (1 + i):           ii11 i1 1 i1c i1 A i1 A d Vn dd i n i n t             ii11 i1 1 c A d Vn 1d i n t        5.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS Si la renta fuese constante, perpetua, pospagable, diferida, unitaria y entera tendríamos que calcular: i a d Recordando que: i 1 ai  y que:   d i n i n i1 a a d  entonces:     dd i i ti1 1 i 1 i1 a a d V      Si la renta fuese constante, perpetua, pospagable, diferida, de cuantía c y entera tendríamos que calcular: Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -99i A d Recordando que: i c Ai  y que:   d i n i n i1 A A d  entonces:     dd i i ti1 1 i c i1 A A d V      5.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS Si la renta fuese constante, perpetua, prepagable, diferida, unitaria y entera tendríamos que calcular: i a d  Recordando que: ii1 ai    y que:   d i n i n i1 a a d   entonces:     dd i i ti1 1 ii1 i1 a a d V          Si la renta fuese constante, perpetua, prepagable, diferida, de cuantía c y entera tendríamos que calcular: i A d   Recordando que: ii1 cA i    Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -100y que:   d i n i n i1 A A d   entonces:     dd i i ti1 1 ii1 c i1 A A d V          EJEMPLO 9 Calcular el valor actual y final de una renta cuya duración es de 5 años, con términos anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 años. Tanto de valoración 11% efectivo anual. Se trata de una renta diferida 3 años, con términos prepagables y 5 términos. Valor actual:   d i n i n ti1 A A d V    Recordemos que:     i i11 i1cA n i n     Por lo que:                    i i11 i1ci1 i1 A A d V n d d i n i n t                  i i11 i1ci1V n d t       €12,099.8 11,0 11,011 11,01700.211,01V 5 3 t          …/… 3 años Vt 2.700 0 1 2 5 años i=11% 3 4 t 2.700 2.700 2.700 2.700 V0 Periodo de diferimiento Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -101- …/… €12,099.8Vt Valor final: El diferimiento no afecta al valor final, que se podía haber calculado como el de una renta inmediata de 5 términos prepagables:     i1 i 1i1 cSV n i nn         €72,664.1811,01 11,0 111,01 700.2SV 5 0,11 55     €72,664.18V5 5.5. RENTAS ANTICIPADAS Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoración se denomina período de anticipación de la renta. 5.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido. Gráficamente quedaría: Vn+h? n+h i 0 1 2 … n-1 n V0 Vn 1 1 1 1 … Periodo de anticipación Momento de valoración (h) Origen Fin Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -102Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:         1nh2h1hh hn i1i1i1i1V    Sacando factor común:   h i1 quedará:           1n2h hn i1i1i11i1V    El corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n términos), pospagable, inmediata y entera (sn┐i), que posteriormente se capitaliza como un capital único, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). Por tanto, si primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, se obtendría el mismo resultado. Gráficamente sería: Analíticamente quedaría así:     i n h n h hn si1Vi1V  Esta expresión puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: i ns h donde: Vn+h? n+h i 0 1 2 … n-1 n V0 Vn 1 1 1 1 … Periodo de anticipación Momento de valoración (h) Origen Fin Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -103n  número de términos de la renta i  tanto de valoración h periodo de anticipación Analíticamente quedaría así:         i1i1 i1si1Vi1 s h Vn h i n h n h i n hn   Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad (no unitaria), es decir, los términos fueran de cuantía c, el valor final se representa por: i nS h En este caso, todo lo dicho seguiría siendo válido y bastaría con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuantía del término. Es decir:       i1i1 i1csi1c s h c S h Vn h i n h i ni n hn   La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación entre diferentes valores de la renta: Vn+h? n+h i 0 1 2 … n-1 n V0 Vn Periodo de anticipación Momento de valoración (h) Origen Fin Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -104Analíticamente:     hn hn n n 0i1 V i1 V V      Como veremos a continuación, todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes prepagables y perpetuas. 5.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Si la renta fuese constante, temporal, prepagable, anticipada, unitaria y entera tendríamos que calcular: i ns h Recordando que los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un período las rentas pospagables.           i1i1 i1si1i1 s h i1 s h Vn 1h i n h i ni n hn         i 1i1 i1 s h Vn 1h i n hn     De igual forma, si la renta fuese constante, temporal, prepagable, anticipada, de cuantía c, y entera tendríamos que calcular: i nS h Multiplicando la renta unitaria por c:     i1i1 i1c s h c S h Vn 1h i n i n hn          i1i1 i1c S h Vn 1h i n hn     Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -105EJEMPLO 10 Calcular el valor actual y final de una renta de 3 términos anuales de 1.000 euros pagaderos por vencido si la valoración al 7% anual se efectúa a los 8 años de comenzada la renta. Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoración se realiza 5 años después de haberse hecho efectivo el último capital. No obstante, la anticipación no afecta al valor actual que se resolverá como una renta inmediata. Valor actual: Recordemos que el valor actual de una renta constante, temporal, pospagable, inmediata, entera y de cuantía c es:   i i11 cacAV n i ni n0      €32,624.2 07,0 07,011 000.1a000.1AV 3 07,0 307,0 30     €32,624.2V0 Valor final: Para calcular el valor final de una renta constante, temporal, pospagable, anticipada, de cuantía c y entera se utiliza la siguiente fórmula:     i 1i1 i1c S h V n h i n hn       €06,509.4 07,0 107,01 07,01000.1 S 5 V 3 5 07,0 3 8   €06,509.4V8 …/… V0? V3 V8? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 años 1.000 1.000 1.000 i=7% Origen Fin Valoración Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -112-   i n )q;c( n i n )q;c( Ai1S  Se hubiese llegado al mismo resultado si se hubiese capitalizado cada uno de los términos de la progresión hasta el momento n y posteriormente se hubiesen sumado los valores finales de cada uno de ellos. EJEMPLO 1 Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer año va a ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal de 4 años. a. Suponiendo una tasa de valoración del 7%. b. Suponiendo una tasa de valoración del 5%. a. Valorando al 7%. Como la razón de la progresión q=1,05 y el tanto de valoración i=0,07, no se cumple i1q  , por lo que se para calcular el valor actual se tiene que aplicar la siguiente fórmula:   qi1 i1q1 cA n n i n )q;c(       €10,696.72 05,107,01 07,0105,11 000.20A 4 4 07,0 4 )05,1 ;000.20(     €10,696.72A07,0 4 )05,1;000.20( El valor final se calcula con la siguiente fórmula:   i n )q;c( n i n )q;c( Ai1S    €76,289.9510,696.721,07 A07,01S 4 0,07 4 )05,1;000.20( 4 0,07 4 )05,1 ;000.20(   €76,289.95S0,07 4 )05,1 ;000.20( .../... i=7% i=5% V0? 20.000 20.000·1,05 0 1 2 3 años 4 20.000·1,052 20.000·1,053 V4? Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -113- .../... b. Valorando al 5%. Como la razón de la progresión q=1,05 y el tanto de valoración i=0,05, se cumple i1q  , por lo que se para calcular el valor actual se tiene que aplicar la siguiente fórmula: i1 cn Ai n )q;c(    €48,190.76 05,01 000.204 A05,0 4 )05,1;000.20(    €48,190.76A05,0 4 )05,1;000.20( El valor final se calcula con la misma fórmula que en el caso anterior:   i n )q;c( n i n )q;c( Ai1S    €00,610.9248,190.761,05 A05,01S 4 0,05 4 )05,1;000.20( 4 0,05 4 )05,1;000.20(   €00,610.92S0,05 4 )05,1;000.20( 1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Para una renta variable con términos en progresión geométrica, temporal (n capitales), prepagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representación gráfica queda de la siguiente forma: 1.2.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital, que ya está en el origen y el resto de capitales, n–1, como renta pospagable inmediata de n–1 términos: V0? c1=c 0 1 2 3 n-1 n i … … c2=c·q c3=c·q2 cn=c·qn-1 Vn? Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -114Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos.   i n )q;c(i n )q;c( Ai1A   1.2.2. CÁLCULO DEL VALOR FINAL Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta. La expresión a la que se llega es:   i n )q;c( n i n )q;c( Ai1S    1.3. RENTAS PERPETUAS El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como las demás rentas perpetuas, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. 1.3.1. RENTAS POSPAGABLES En primer lugar consideraremos que no se cumple: i1q  así que utilizamos la fórmula del valor actual de una renta variable en progresión geométrica, temporal, pospagable, inmediata y entera y le aplicamos los límites: V0? c1=c 0 1 2 3 n-1 n i … … c2=c·q c3=c·q2 cn=c·qn-1 V0 c1=c 0 1 2 3 n-1 n i … … c2=c·q c3=c·q2 cn=c·qn-1 Vn? Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -115-             qi1 i1q Lim1 c qi1 i1 q Lim1 c qi1 i1q Lim1 c qi1 i1q1 Limc qi1 i1q1 c LimA n n n n n n n n n n n n n n i )q;c(                                        Resulta que finalmente el límite, y por tanto el resultado del valor actual, está en función de la relación existente entre el valor de la razón de la progresión (q) y (1 + i), y sólo tendrá sentido financiero cuando: i1q  dado que de esa manera el corchete de la ecuación elevado a n es un número menor que 1, que elevado a un número excesivamente alto tiende a cero, quedando el siguiente valor actual:   qi1 1 c qi1 i1q Lim1 cA n n i )q;c(               qi1 c A i )q;c(   Como recordaremos del tema anterior, no tiene sentido calcular el valor final de una renta perpetua. 1.3.2. RENTAS PREPAGABLES Para calcular el valor actual de una renta perpetua, prepagable, inmediata y entera basta con multiplicar el valor actual de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i )q;c(i )q;c( Ai1A    1.4. RENTAS DIFERIDAS Se habla de rentas diferidas cuando se valoran con anterioridad a su origen. Al tiempo que transcurría entre el origen de la renta y el momento de valoración lo denominábamos período de diferimiento de la renta. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -1161.4.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS Para valorar la renta diferida, primero valoraremos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería: El resultado final quedaría así:     d i n )q;c( di n )q;c( i n )q;c( i1 A i1A A d  El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en una renta inmediata. 1.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Al igual que razonamos para las rentas perpetuas, prepagables, inmediatas y enteras, para calcular el valor actual de una renta temporal, prepagable, diferida y entera basta con multiplicar el valor actual de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i n )q;c( i n )q;c( A d i1 A d  1.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor actual de una renta perpetua, pospagable, diferida y entera basta con V0 c1=c 0 1 2 3 n i … … c2=c·q c3=c·q2 cn=c·qn-1 Vn? t Período de diferimiento (d) Momento de valoración Origen Vt Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -117aplicar límites cuando n tiende a infinito en el valor actual de una renta temporal, pospagable, diferida y entera. Así:       qi1 c i1 A Limi1i1A Lim A d Lim A d di n )q;c( n -d-d i n )q;c( n i n )q;c( n i )q;c(      Es decir:   i )q;c( -d i )q;c( Ai1 A d  Tal y como sucedía con las rentas inmediatas, hay que recordar dos cuestiones: ❖ El valor actual de la renta perpetua, pospagable, diferida y entera sólo tendrá sentido financiero cuando: i1q  ❖ No tiene sentido calcular el valor final de una renta perpetua. 1.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor actual de una renta perpetua, prepagable, diferida y entera basta con multiplicar el valor actual de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i )q;c( i )q;c( A d i1 A d   1.5. RENTAS ANTICIPADAS Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el período de anticipación de la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoración. 1.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). También se podrá valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -118t El resultado será:     i n )q;c( nh i n )q;c( h i n )q;c( hn Ai1Si1 S h V   Es decir:     i n )q;c( nh i n )q;c( h i n )q;c( Ai1Si1 S h  La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:     hn hn n n 0i1 V i1 V V      V0 c1=c 0 1 2 3 n i … … c2=c·q c3=c·q2 cn=c·qn-1 Vn+h? n+h Origen Vn Período de anticipación (h) Momento de valoración Fin V0 c1=c 0 1 2 3 n i … … c2=c·q c3=c·q2 cn=c·qn-1 Vn+h? Origen Vn Período de anticipación (h) Momento de valoración Fin n+h Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -1191.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor actual de una renta temporal, prepagable, anticipada y entera basta con multiplicar el valor final de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i n )q;c( i n )q;c( S h i1 S h  EJEMPLO 2 Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15 semestres si para el primer período ascienden a 500 euros y se estima un incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteniéndose constante a partir de entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo semestral. Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería aleatoria. Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros términos (renta en progresión geométrica, inmediata, pospagable, temporal y entera) y a continuación los 5 últimos (renta constante, pospagable, temporal, diferida y entera), podremos emplear fórmulas de rentas. Así,gráficamente: Fórmula del valor actual de la renta variable en progresión geométrica, temporal, pospagable, inmediata y entera, cuando no se cumple que q=1+i:   qi1 i1q1 cA n n i n )q;c(       €02,191.4 08,110,01 10,0108,11 500A 10 10 1,0 10 )08,1;500(     €02,191.4A 1,0 10 )08,1;500( .../... 0 1 2 3 … 10 11 12 13 14 15 semestres 500 500·1,08 500·1,082 500·1,089 500·1,089 … 500·1,089 i2=10% Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -120- .../... Fórmula del valor actual de la renta constante, pospagable, temporal, diferida y entera 2 :   d i n i n i1 A A d  i ni n acA    i i11 a n i n      790787,3 1,0 10,011 a 5 0,10 5     €90,788.3790787,308,1500a08,1500A9 0,10 5 9 0,10 5      €78,460.1 10,01 3.788,90 10,01 A A 10 1010 0,10 5 0,10 5      Ya podemos sumar los valores actuales de las dos rentas: €80,651.578,460.102,191.4 A 10 A0,10 5 1,0 10 )08,1;500( €80,651.5V0 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías van variando y lo hacen siguiendo una ley en progresión aritmética, esto es, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en una misma cuantía (que se denomina razón de la progresión aritmética) y que notaremos por «d», siempre expresada en unidades monetarias. Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos «c» y la razón de la progresión «d». 2 Este tipo de rentas las estudiamos en el tema anterior. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -1212.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL La representación gráfica de una renta variable en progresión aritmética, temporal, pospagable, inmediata y entera es la siguiente: Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen, obteniéndose el valor actual, que se denota con la siguiente terminología: A(c;d) n┐i donde: c  primer término de la progresión d  razón de la progresión n  número de capitales i  tanto de valoración llegamos a la siguiente fórmula:             n1n32 i n )d;c(0 i1 d1nc i1 d2nc i1 d2c i1 dc i1c AV                 Para facilitar la operatividad de la expresión superior, llamaremos:   1 i1v   con lo que la expresión queda de la forma:             n 1n32 i n )d;c( vd1nc vd2ncvd2cvdcvcA     V0? c1=c 0 1 2 3 n-1 n i … … c2=c+d c3=c+2d cn-1=c+(n-2)·d cn=c+(n-1)·d Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -128compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería: El resultado final quedaría así:     d i n )d;c( di n )d;c( i n )d;c( i1 A i1A A d  El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en una renta inmediata. 2.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Al igual que razonamos para las rentas perpetuas, prepagables, inmediatas y enteras, para calcular el valor actual de una renta temporal, prepagable, diferida y entera basta con multiplicar el valor actual de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i n )d;c( i n )d;c( A d i1 A d  2.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor actual de una renta perpetua, pospagable, diferida y entera basta con aplicar límites cuando n tiende a infinito en el valor actual de una renta temporal, pospagable, diferida y entera. Así:       i 1 i d ci1A Limi1 i1A Lim A d Lim A d di n )d;c( n d- -d i n )d;c( n i n )d;c( n i )d;c(            V0 c1=c 0 1 2 3 n i … … c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d Vn? t Período de diferimiento (d) Momento de valoración Origen Vt Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -129Es decir:   i )d;c( -d i )d;c( Ai1 A d  Tal y como sucedía con las rentas inmediatas, no tiene sentido calcular el valor final de una renta perpetua. 2.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor actual de una renta perpetua, prepagable, diferida y entera basta con multiplicar el valor actual de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i )d;c( i )d;c( A d i1 A d   2.5. RENTAS ANTICIPADAS 2.5.1. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). También se podrá valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado. El resultado será:     i n )d;c( nh i n )d;c( h i n )d;c( hn Ai1Si1 S h V   Es decir:     i n )d;c( nh i n )d;c( h i n )d;c( Ai1Si1 S h  V0 c1=c 0 1 2 3 n i … … c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d Vn+h? n+h Origen Vn Período de anticipación (h) Momento de valoración Fin Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -130La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:     hn hn n n 0i1 V i1 V V      2.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Al igual que hemos hecho anteriormente, para calcular el valor actual de una renta temporal, prepagable, anticipada y entera basta con multiplicar el valor final de una renta de las mismas características, pero pospagable por (1 + i). Así:   i n )d;c( i n )d;c( S h i1 S h  3. RENTAS FRACCIONADAS El valor de las rentas constantes y variables, estudiadas anteriormente, está determinado por el término de la renta, la duración y el tanto de interés; en las rentas variables en progresión de ley conocida, además de los parámetros anteriores aparece también la razón de la progresión. Cuando estudiamos la capitalización y el descuento, uno de los principios utilizados para efectuar la valoración, era que los parámetros que V0 c1=c 0 1 2 3 n i … … c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)d Vn+h? n+h Origen Vn Período de anticipación (h) Momento de valoración Fin Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -131determinan ésta, el tiempo y el tanto de interés, deben estar referidos a la misma unidad de tiempo, y en caso contrario realizar las oportunas transformaciones. Las rentas fraccionadas o de frecuencia distinta a la anual, son aquellas en las que el período de capitalización del tanto no coincide con el período del pago o cobro del término de la renta. Ante este planteamiento, pueden darse dos situaciones distintas que analizaremos en los siguientes epígrafes. 3.1. TÉRMINO ANUAL Y TANTO DE FRECUENCIA Que el término de la renta se perciba anualmente, mientras que el tanto de capitalización sea de frecuencia inferior al año, es decir, que nos den un interés ik de frecuencia y que el término c de la renta se perciba anualmente. En este caso, para convertir las rentas fraccionadas en rentas enteras y poder aplicar todo lo que hemos visto de rentas hasta ahora, calcularemos el tanto efectivo anual «i» a partir de la frecuencia «ik». Tal y como vimos en temas anteriores, el tanto efectivo se calcula a partir de la relación de equivalencia de tantos:   k ki1i1  de donde:   1i1i k k 3.2. TÉRMINO DE FRECUENCIA Y TANTO ANUAL En este caso el período de capitalización es superior al período en que se percibe la renta, es decir, nos dan el interés efectivo anual i, mientras que el término c de la renta se percibe k veces dentro del año. Para encontrar el valor de este tipo de rentas fraccionadas, tendremos también que referir ambos parámetros –término y tanto– a la misma unidad de tiempo. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -132Ahora, para convertir las rentas fraccionadas en enteras, calcularemos el tanto de frecuencia «ik» a partir del tanto efectivo anual «i», teniendo en cuenta que ahora la duración de la misma no debe expresarse en años, sino en «n·k» períodos. El tanto de frecuencia lo calculamos a través de la relación de equivalencia de tantos y será, como ya estudiamos en temas anteriores:   1i1i k1 k EJEMPLO 4 Calcular el valor actual de una renta de 40 términos pospagables y trimestrales, de 10 años de duración, valorada al 6% anual, siendo el término de cada trimestre 200€. Dado que los términos son trimestrales y el tanto de actualización es anual, estamos en el segundo caso que hemos visto. Gráficamente: Calculamos el interés «i4» de frecuencia trimestral a partir del tanto efectivo anual «i». Para ello utilizamos la fórmula que los relaciona y, posteriormente, la fórmula de una renta constante, inmediata, temporal, pospagable y entera (porque ya la habremos forzado a ser entera al hacer coincidir el período del término con el del tanto de capitalización). Así:   1i1i k1 k   014674,0106,01i 41 4 El valor actual de este tipo de renta es: i ni n acA    i i11 a n i n    Así: 014674,0 104014674,0 104a200A   …/… 200 200 200 200 1 0 200 200 200 200 2 200 … 10 … 1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4 años Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -133- .../...   094631,30 014674,0 014674,011 a 40 0,014674 104     €93,018.6094631,30200A014674,0 104 €93,018.6A 014674,0 104 EJEMPLO 5 Calcular los valores actual y final de una renta de 20 términos trimestrales pospagables, de primer término 100€ sabiendo que los pagos trimestrales crecen en 4€ al trimestre y siendo el tanto de valoración del 6% anual. Dado que los términos son trimestrales y el tanto de actualización es anual, estamos en el segundo caso que hemos visto. Gráficamente: Tendremos que convertir la renta fraccionada en entera. Es decir, ya que el término de la renta es trimestral, habrá que pasar del tanto anual al tanto trimestral. Así:   1i1i k1 k   014674,0106,01i 41 4 El valor actual de una renta variable en progresión arimética, temporal, pospagable, inmediata y entera (ya la hemos convertido en entera) es el siguiente: i nd and i d cA i ni n )d;c(          i i11 a n i n    014574,0 420 a420 014674,0 4 100A 0,014674 20014674,0 20 )4;100(        …/… 100 104 108 112 1 0 116 120 124 128 2 100+19·4=176 … 5 … 1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4 años Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -134- …/…   223940,17 014674,0 014674,011 a 20 014674,0 20     €58,343.2 014674,0 420 223940,71420 014674,0 4 100A 014674,0 20 )4;100(         €58,343.2A 014674,0 20 )4;100( El valor final de una renta variable en progresión arimética, temporal, pospagable, inmediata y entera (ya la hemos convertido en entera, conocido el valor incial lo podemos calcular capitalizando aquél 20 trimestres al 1,46764% trimestral o bien 5 años al 6% anual. Esto es:   n 0n i1VV      €25,136.306,0158,343.2V014674,0158,343.2V 5 6 20 20  €25,136.3S 014674,0 20 )4;100( EJEMPLO 6 Determinar los valores actual y final de una renta de 36 términos mensuales pospagables y variables en progresión geométrica de primer término 100€ y razón 1,04, siendo el tanto de valoración el 8% anual. Dado que los términos son mensuales y el tanto de actualización es anual, estamos en el segundo caso que hemos visto. Gráficamente: Ya que se trata de una renta variable, tendremos que resolver el problema por el único procedimiento de referir el tanto de capitalización al mismo período de tiempo al que está referido el término de la renta. Es decir, ya que el término de la renta es trimestral, habrá que pasar del tanto anual al tanto mensual. Así:   1i1i k1 k …/… 100 104 ... 153,95 1 0 246,47 2 100·1,0435=394,61 … 3 … 1/12 2/12 ... 12/12 2/12 12/12 años 160,10 ... ... Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -135- .../...   006434,0108,01i 121 12  El valor actual de una renta variable en progresión geométrica, temporal, pospagable, inmediata y entera (ya la hemos convertido en entera) es el siguiente:   qi1 i1q1 cA n n i n )q;c(     .../...   €56,726.6 04,1006434,01 006434,0104,11 100A 36 36 006434,0 36 )04,1 ;100(     €56,726.6A 006434,0 36 )04,1 ;100( El valor final de una renta variable en progresión geométrica, temporal, pospagable, inmediata y entera (ya la hemos convertido en entera, conocido el valor incial lo podemos calcular capitalizando aquél 36 meses al 0,6434% mensuall o bien 3 años al 8% anual. Esto es:   n 0n i1VV      €52,473.808,0156,726.6V006434,0156,726.6V 3 3 36 36  €52,473.8S 006434,0 36 )04,1 ;100( EJEMPLO 7 Determinar el valor actual de una renta perpetua, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850€ trimestrales prepagables. Dado que los términos son trimestrales y el tanto de actualización es anual, estamos en el segundo caso que hemos visto. Gráficamente: Calcularemos el interés «i4» de frecuencia trimestral a partir del tanto efectivo anual «i». Para ello utilizamos la fórmula que los relaciona y, posteriormente, la fórmula de una renta constante, inmediata, temporal, pospagable y entera (porque ya la …/… 850 850 850 850 1 0 850 850 850 850 2 … … 1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4 años 850 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 7: Rentas Variables -136- …/… habremos forzado a ser entera al hacer coincidir el período del término con el del tanto de capitalización). Así:   1i1i k1 k   017059,0107,01i 41 4 El valor actual de este tipo de renta es: i i1 cA i    Así: €07,677.50 017059,0 017059,01 850A0,17059     €07,677.50A0,17059   Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -137TEMA 8: PRÉSTAMOS ÍNDICE 1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS .................................................................................... 1 2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN FRACCIONADA ................................................................................ 3 3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL ....................................... 3 4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES ............................... 6 5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO AMERICANO .................................................................................... 7 6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL ........................ 8 7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS .............................................. 12 8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS ............................................................... 18 1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS El préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado) en los vencimientos señalados en el contrato. La operación de amortización consiste en distribuir con periodicidad la devolución del principal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del préstamo. Los pagos periódicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de reembolsar, extinguir o Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -144Los intereses que no se van acumulando al capital ya que se van pagando conforme se generan, se calculan de la siguiente forma: iCI 0n  Hay que tener en cuenta que tanto la i como la periodicidad de los pagos de intereses tienen que estar expresados en la misma unidad de tiempo. EJEMPLO 3 Se solicita el siguiente préstamo simple: ▪ Capital prestado: 100.000€ ▪ Duración: 3 años ▪ Interés anual del 12% compuesto Se pide: Determinar el capital a devolver mediante reembolso único y pago anual de intereses. Los intereses que se abonan al final de cada año son: iCI 0n  €000.1212,0000.100III 321  Además de los intereses, en el tercer año tiene que devolver los 100.000€. 6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL En este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos la misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (Ak) se mantiene constante durante todo el préstamo. Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés constante i, y amortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: n321 AAAAA   C0=100.000 C3 0 años i=12% I1 I2 I3 Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -145Se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de calcular, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos. En concreto, los pasos a seguir son: 1. Cálculo de la cuota de amortización (A): Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que éstas se mantienen constantes se debe cumplir: nAAAAAC n3210   de donde se obtiene: n C A0  2. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk): Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha será la suma aritmética de las cuotas ya practicadas. kAAAAm k21k   3. Cálculo del capital vivo a finales del período k (Ck): Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras). Nosotros calcularemos el capital vivo en función de las cuotas de amortización pasadas: 0 1 2 k n … A A A … mk 0 1 2 k k+1 … A A A … mk … … A n A Ck Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -146El capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas. Es decir:   kACAAACmCC 00k0k   4. Cálculo de la cuota de interés del período k (Ik): Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a fianales del período anterior, al tanto efectivo vigente durante el mismo. iCI 1kk   5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak): Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una ley matemática. Una forma de hallar los términos amortizativos consiste en calcular el primer término y obtener todos a través de la ley de recurrencia que estos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera: Período k-1: AiCAIa 2k1k1k   Período k+1: AiCAIa 1kkk    Por diferencia:   iCCaa 1k2kk1k   siendo: ACC 1k2k   , queda: iAaa k1k  , de donde se obtiene: iAaa 1kk   , lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón iA , por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos. Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -147Recordemos que para calcular cualquier término de una progresión aritmética se tiene que cumplir que:   d1naa 1n  Como hemos considerado que: kn  iAd  sustituimos en la fórmula anterior del cálculo de cualquier término según una progresión aritmética para poder obtener la expresión que nos permitirá hallar los cualquier término amortizativo en función del primero:   d1naa 1n      iA1kaa 1k    iA1kaa 1k   siendo: 11 IAa  EJEMPLO 4 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000€, al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con cuotas de amortización constantes: (5) (4) (1) (2) (3) Años Térm. amor. Cuota de interés Cuota de amortización Total amortizado Capital vivo 0 - - - - 300.000 1 130.000 30.000 100.000 100.000 200.000 2 120.000 20.000 100.000 200.000 100.000 3 110.000 10.000 100.000 300.000 0 Total 360.000 60.000 300.000 300.000 0 Descripción de los pasos a seguir para contruir el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe del préstamo en pagos iguales: …/… Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -148- …/… n C A0  €000.100 3 000.300 A (2) Se calcula el total amortizado por las sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (3) La deuda pendiente se obtedrá de restar al capital pendiente a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a finales del período anterior (3) y se pagan al final del mismo. (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS Este sistema de amortización se caracteriza porque: ▪ Los términos amortizativos permanecen constantes, y ▪ El tanto de valoración permanece constante. ambos durante toda la vida del préstamo. De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo. Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el préstamo es el siguiente: Prestación (cobro) Contraprestación (pagos) 0 1 2 3 … … a a a a C0 i n Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -149Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que se amortiza el préstamo, a el término amortizativo e i el tipo de interés de la operación. Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del préstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (Ak) y cuota de interés (Ik), así como otros datos como capitales vivos en cada momento (Ck) sobre los que calcular los intereses y el total amortizado (mk). En concreto, los pasos a seguir son: 1. Cálculo del término amortizativo (a): Los pagos constantes que se realizan durante la vida del préstamo incorporan, en parte el coste del aplazamiento (cuota de interés), en parte la devolución de una porción de la deuda (cuota de amortización). Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo. Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta formada por los términos amortizativos: i n0 aaC  de donde se despeja el término: i n 0 a C a Recordemos que:   ii11 an i n    por lo que:   n0 i1-1 iC a   Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -1502. Cálculo de las cuotas de amortización: ley de recurrencia (Ak): Al ser constante el término amortizativo las cuotas de amortización necesariamente tendrán que ir creciendo, mientras que las cuotas de intereses decrecerán (porque se van calculando sobre capitales vivos cada vez menores). Y además, lo hacen siguiendo una ley matemática (ley de recurrencia). La ley de recurrencia es la relación en la que se encuentran dos términos consecutivos, en este caso, las cuotas de amortización y para buscarla se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: Período k-1: 1k2k1k1k AiCAIa   Período k: k1kkk AiCAIa    Por diferencia:   k1k1k2k AAiCCaa   siendo: 1k1k2k ACC   queda: k1k1k AAiA0   , de donde se obtiene:   i1AA 1kk   Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1+i, por tanto, cualquier cuota se puede calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–. Recordemos que para calcular cualquier término de una progresión geométrica se tiene que cumplir que:   1n 1n raa   Como hemos considerado que: kn  i1r  Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -151sustituimos en la fórmula anterior del cálculo de cualquier término según una progresión geométrica para poder obtener la expresión que nos permitirá hallar los cualquier término amortizativo en función del primero:   1n 1n raa       1k 1k i1AA   Es por esto, que las cuotas de amortización van aumentando conforme una progresión geométrica, por lo que a este método se le conoce como método progresivo. Una vez calculada la primera cuota, todas las demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El cálculo de la primera cuota de amortización se puede realizar a través de la estructura del primer término amortizativo: 1011 AiCAIa  iCaA 01  3. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk): Para conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha: k 2 1 k AAAm   Además, todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de la primera de ellas, ya que recordemos que seguían una progresión geométrica de razón 1+i:       1k 1 2 1 1 1 k i1Ai1Ai1AAm    Simplificando la expresión:         1k2 1 k i1i1i11Am    donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de k términos al tanto del préstamo, por tanto: Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -152ik1k sAm  donde:   i1i1 sk i k   por lo que:   i1i1 Am k 1k   4. Cálculo del capital vivo a finales del período k (Ck): Se puede calcular a través de las cuotas de amortización. Por el método retrospectivo, según el cual el capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas. Es decir: k0k mCC  5. Cálculo de la cuota de interés del período k (Ik): Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a finales del período anterior, al tanto efectivo vigente durante el mismo. iCI 1kk   EJEMPLO 5 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: ▪ Importe: 100.000€ ▪ Duración: 3 años ▪ Tipo de interés: 10% anual ▪ Términos amortizativos anuales constantes …/… 0 1 2 k k+1 … A1 A2 Ak … mk … … An n Ak+1 Ck Matemáticas Financieras Facultad de Derecho Ciencias Económicas y Empresariales Tema 8: Préstamos -153- …/… (1) (2) (3) (4) (5) Años Térm. amor. Cuota de interés Cuota de amortización Total amortizado Capital vivo 0 - - - - 300.000 1 40.211,48 10.000 30.211,48 30.211,48 69.788,52 2 40.211,48 6.978,85 33.232,63 63.444,11 36.555,89 3 40.211,48 3.655,59 36.555,89 100.000 0 Total 120.634,44 20.634,44 100.000 100.000 0 Descripción de los pasos a seguir para contruir el cuadro: (1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula anterior:   n0 i1-1 iC a       €48,211.40 1,01-1 1,0000.100 i1-1 iC a3-n0        (2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a finales del período anterior (5) y se pagan al final del período anterior. (3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2). (4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital vivo a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado. 100.000 0 a a a 1 2 3 años i=10%