Soluciones Ejercicios Matemática Financiera Nivel II

Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 1: Introducción a la Matemática Financiera -1PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL II TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA 1. Un capital de 5.000 euros se sustituye hoy por otro de 5.200 disponible dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual? €000.5C1 €200.5C2 0t1 1t2 año %404,0 000.5 000.5200.5 C CC r 1 12      %404,0 1 04,0 01 000.5 000.5200.5 tt C CC tt r i 12 1 12 12          r=4% i=4% 2. Si en el ejercicio 1, en lugar de durar un año la operación se pacta para que dure 5 años, calcule cuál será el rédito y cuál el tipo de interés que se aplica en esta operación. €000.5C1 €200.5C2 0t1 5t2 años %404,0 000.5 000.5200.5 C CC r 1 12      %8,0008,0 5 04,0 05 000.5 000.5200.5 tt C CC tt r i 12 1 12 12          r=4% i=0,8% 0 1 años 5.000 5.200 0 5 años 5.000 5.200 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -2PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL II TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1. ¿Cuánto tiempo tardará un capital invertido al 10% de interés simple anual en producir unos intereses iguales al doble del mismo? 0C 10%i 0n C2I  ?n Sabemos que: n0n ICC  000n C3C2CC  Ya que hemos puesto Cn en función de C0, podemos hallar el tiempo que estuvo invertida: i 1 C C n0 n  años 20 10,0 13 10,0 1 C C3 n0 0      n=20 años 2. Se coloca hoy un capital A durante 5 meses, produciendo unos intereses simples totales del 4% de A. ¿A qué tanto anual se ha colocado? ¿A qué tanto mensual? 0 AC  5n  A04,0I5 Si se quiere calcular el interés simple utilizamos su correspondiente fórmula: n 1 C C i0 n  Para ello su valor final Cn es igual a: n0n ICC  A04,1A04,0ACn Ya que hemos puesto Cn en función de C0, podemos calcular el tipo de interés anual: Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -3- %60,9096,0 416667,0 04,0 416667,0 104,1 12 5 1 A A04,1 i     Ya que n lo hemos expresado en años, i también viene expresada en años. Para pasar de i anual a i mensual basta con aplicar esta fórmula: k i ikii kk  %8,0008,0 12 096,0 i12  i=9,6% i12=0,8% 3. ¿A qué tanto simple anual habría que colocar un capital para que en 15 años se transforme en el triple del mismo? ?i años 15n 015 C3C  Si se quiere calcular el interés simple utilizamos su correspondiente fórmula: n 1 C C i0 n  %33,13133333,0 15 13 15 1 C C3 15 1 C C i0 0 0 15        i=13,33% 4. ¿A qué tipo de interés anual se prestó un capital de 2.811€, si ha producido unos intereses simples de 150€ desde el 8-3-2010 al 8-10-2010? ?i €811.2C0 meses 7n  €150I7 Si se quiere calcular el interés simple utilizamos su correspondiente fórmula: n 1 C C i0 n  Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -412 7 1 C C i0 7  Para ello su valor final Cn es igual a: n0n ICC  961.2150811.2ICC 707  Ya que calculado C7 podemos calcular el tipo de interés anual: %15,9091478,0 583333,0 1053362,1 12 7 1 811.2 961.2 i     i=9,15% 5. Un capital colocado al 10% simple anual durante un tiempo se transformó en 8.257,88€, pero si hubiera estado colocado al 15% durante el mismo período se hubiera transformado en 9.958,03€. Calcular el importe del capital y el tiempo que estuvo colocado. 8.257,88 C(10%) C 1n0  03,958.9 C(15%) C 2n0  ?C0 ?n Para hallar el efectivo de un capital en capitalización simple se utiliza la siguiente fórmula: )in1(CC 0n  Entonces se cumple que: n1,01 88,257.8 C)1,0n1(C88,257.8 00   n15,01 03,958.9 C)15,0n1(C03,958.9 00   Si igualamos las dos expresiones:     años 98,6 65,243 15,700.1 n15,700.1n65,24388,257.803,958.9n03,995n68,238.1 n80,99503,958.9n68,238.188,257.8 n1,0103,958.9n15,0188,257.8 n15,01 03,958.9 n1,01 88,257.8       Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -5Ahora ya podemos calcular el efectivo, que por cualquiera de las dos fórmulas anteriores nos tiene que dar lo mismo: 30,863.4 98,615,01 03,958.9 98,61,01 88,257.8 C0     n=6,98 años C0=4.863,30€ 6. Disponemos de un capital, colocamos la tercera parte del mismo en un banco que trabaja al 5% simple anual, y el resto en otro banco que opera al 6%. Al cabo de un año nos devuelven unos intereses totales de 335,4 euros. Determínese el capital. (5%) 3 C0 (6%) 3 C2 0 Los intereses generados el primer año por los dos capitales son: inCI 0n  0 0 1 1C016667,005,01 3 C I 0 0 2 1C04,006,01 3 C2 I 4,335II 2 1 1 1 82,918.5 0566667,0 4,335 C4,335C0566667,04,335C04,0C0166667,0 0000   C0=5.918,82€ 7. Un capital de cuantía C que ha estado colocado en un sistema de capitalización simple durante 3 meses ha producido un montante de 44.118’05€. Si se hubiera colocado durante 6 meses el montante habría sido de 44.662’71€. Calcular: a. El tanto anual al que ha estado colocado y el tanto trimestral equivalente. b. La cuantía C que se ha colocado. Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -6CC0 meses 3n  05,118.44C123 Si meses 6n  71,662.44C126 a. ?i , ?i4 Intentemos relacionar las dos hipótesis con el capital común C actualizando el capital en ambos supuestos: )in1( C C)in1(CC n 00n   )i25,01( 05,118.44 )i 12 3 1( C CC 123 0    )i5,01( 71,662.44 )i 12 6 1( C CC 126 0    Igualamos ambas expresiones: %5049999,0 35,893.10 66,544 ¡66,544i35,893.10 05,118.4471,662.44i68,165.11i03,059.22 i68,165.1171,662.44i03,059.2205,118.44 )i25,01(71,662.44)i5,01(05,118.44 )i5,01( 71,662.44 )i25,01( 05,118.44        Ahora calculemos el tanto trimestral i4 a partir de su fórmula: kii k %25,10125,0 4 05,0 k i i4 i=5% i4=1,25% b. ?C Sustituímos el tanto que nos ha dado con cualquiera de las expresiones anteriores: 39,573.43 )049999,05,01( 71,662.44 )049999,025,01( 05,118.44 C     C=43.573,39€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -78. Los intereses simples producidos por dos capitales diferentes fueron iguales. Si el tipo anual aplicado al primero fue de un 3,5% y al segundo de un 5,5%, ¿cuánto tiempo estuvo colocado cada uno si las cantidades iniciales fueron tales que la primera era el doble de la segunda y entre los dos estuvieron colocados un total de 10 años? 2n1n II  %5,3i1 %5,5i2 0201 C2C  años 10nn 21  Veamos qué le ocurre a los intereses del primer y del segundo capital: inCI 0n  035,0nCinCI 10111011n  055,0nCinCI 20222022n  Como sabemos que son iguales, y que: 010201020201 C5,0CC 2 1 CC2C  1221 n10n10nn  podemos sustituir la expresión correspondiente:     años 4,4 0625,0 275,0 n275,0n0625,0C275,0nC0625,0 C275,0nC0275,0nC035,0nC0275,0C275,0nC035,0 nC0275,0C275,0035,0nCn10C0275,0035,0nC 055,0n10C5,0035,0nC055,0nC035,0nC 1101101 010101101010101101 010101101101101 101101202101         años 6,54,410n10n12  n1=4,4 años n2=5,6 años 9. Una empresa emite obligaciones de 1.000€ nominales, que perciben unos intereses simples semestrales de 50€. Obtener: a. El tanto anual y el tanto semestral que proporcionan. b. El tanto anual de rentabilidad que obtiene un inversor que las adquiere ahora al 90% de su valor nominal. Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -8c. El tanto anual de rentabilidad que obtiene un inversor que las adquiere al 110% de su valor nominal. €000.1Cobligación la de alminNo 0 €50I5,0  a. ?i¿ ?,i¿ 2 En este caso el nominal de la obligación es lo que el particular ha despositado (efectivo), por lo que el nombre de nominal cuando se trata de calcular la rentabilidad de unas obligaciones no se puede confundir con el montante final. En realidad, sería un caso de descuento comercial por el que se reciben intereses calculados sobre el montante final, no sobre el inicial. Para calcular la rentabilidad obtenida en capitalización simple utilizaremos la fórmula básica que calcula el tipo de interés o retabilidad obtenida. Para calcular la rentabilidad de una obligación cuando está emitida a la par, es decir, el valor de emisión coincide con el nominal, se pueden aplicar las fórmulas de capitalización simple, ya que los intereses se generan sobre el valor nominal de la obligación (capital inicial). Así, comparamos lo que recibimos con lo que pagamos, mediante la fórmula básica: 12 1 12 12 tt C CC tt r i     %101,0 5,0 05,0 05,0 000.1 000.1050.1 i    Para hallar el tanto semestral equivalente: kii k %505,0 2 1,0 2 i i2ii 22  i=10% i2=5% b. ?i¿ Si E=C0=90% del Nominal 0,5 0 años I0,5=50 C0=1.000 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -9En este caso no podemos aplicar las fórmulas de capitalización simple, ya que hay que calcular la rentabilidad obtenida conciendo el valor que se invierte y el que se recibe, que no están vinculados por los intereses. Es decir, aunque se pagan 900€ se reciben intereses sobre 1.000€. Dibujemos lo que ocurre en este caso: Ahora tenemos que comparar lo que recibimos con lo que pagamos, mediante la fórmula básica: 12 1 12 12 tt C CC tt r i     %33,33333333,0 5,0 166667,0 05,0 900 900050.1 i    i=33,33% c. ?i¿ Si E=C0=110% del Nominal Este caso es idéntico al anterior, por lo que si dibujamos lo que ocurre en este caso: Ahora tenemos que comparar lo que recibimos con lo que pagamos, mediante la fórmula básica: 12 1 12 12 tt C CC tt r i     %09,909091,0 5,0 045455,0 05,0 100.1 100.1050.1 i      i=-9,09% 10. Cierta persona adquiere en Bolsa un pagaré de Telefónica de 1.000€ con vencimiento dentro de 6 meses, pagando por él 930€. Al cabo de 3 meses lo vende al precio de 975€. Calcúlense los tantos de descuento aplicados a las 0,5 0 años C0,5=1.000+I0,5=1.050 C0=900 0,5 0 años C0,5=1.000+I0,5=1.050 C0=1.100 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -16Primera operación: )in1(CC 0n  )08,0n1(500.12Cn Segunda operación: in1 C Cn 0  08,0n1 820.16 C0   Como sabemos que Cn=C’0: 3456,1)08,0n1( 500.12 820.16 )08,0n1( 820.16)08,0n1(500.12 08,0n1 820.16 )08,0n1(500.12 22 2     Aplicamos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad: años 2 08,0 16,0 n16,008,0n 116,108,0n16,108,0n13456,1)08,0n1( 2   Calculemos ahora el interés de la primera operación: inCI 0n  €000.208,02500.12I2 n=2 años; I2=2.000€ b. ¿n?, ¿i? Tenemos que operar de la misma forma que en el apartado anterior, pero con los nuevos datos. En primer lugar tenemos que calcular lo que sería el capital inicial de la segunda operación que coincidiría con el capital final de la primera, que coincide con el apartado anterior. Lo que ocurre es que como la duración de la primera operación es n y la de la segunda el doble, 2n, en la recta temporal C’n estaría en 3n (la suma de n+2n): Primera operación: C0=12.500€ 0 n Cn=C’0 3n C’n=16.820€ años 3n-n=2n 2n Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 2: Capitalización Simple -17- )in1(CC 0n  )08,0n1(500.12Cn Segunda operación: in1 C Cn 0  08,0n21 820.16 C0   Como sabemos que Cn=C’0: 3456,1n0128,0n24,01 3456,1n0128,0n08,0n16,01 500.12 820.16 )n16,01()n08,01( 820.16)08,0n21()08,0n1(500.12 08,0n21 820.16 )08,0n1(500.12 2 2      Ordenamos la expresión para convertirla en una ecuación de segundo grado:   años 343711,1n 0256,0 034399,0 n 0256,0 274399,024,0 0256,0 075295,024,0 0256,0 017695,00576,024,0 n 0128,02 3456,00128,0424,024.0 n03456,0n24,0n0128,0 03456,11n24,0n0128,03456,1n0128,0n24,01 2 2 22              Calculemos ahora el interés de la primera operación: inCI 0n  €71,343.108,0343711,1500.12I343711,1  n= 1,34 años; I1,34=1.343,71€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -18PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL II TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES 1. Determinar si son equivalentes dentro de 12 años 500.000 € que vencen dentro de 3 años y 650.000 € que vencen dentro de 7 años, si el tipo de interés al que se valora es el 12% simple anual. €000.500C1 años 3t1 €000.650C2 años 7t2 años 12t %12i ?esequivalent Para ver si son equivalentes tenemos que capitalizar todos los capitales a los 12 años. Gráficamente: )in1(CC 0n  €000.040.1)12,091(000.500C1n  €000.040.1)12,051(000.650C2n  Sí son equivalentes ya que a los 12 años, ambos capitales valen C12=1.040.000€ 2. En pago de diversas compras he firmado 3 letras: la primera de 800 euros, que vence dentro de 20 días; la segunda de 1.500 euros, pagadera dentro de 45 días; y la tercera de 3.200 euros, cuyo importe debo satisfacer dentro de 60 días. ¿Cuál debe ser el nominal de un efecto equivalente a esas letras, al plazo de 50 días, si la sustitución se ha acordado a un tanto de descuento comercial del 5% anual? (Realice el estudio para el momento 0 considerando el año comercial). 500.000 3 7 650.000 años 0 12 9 años 5 años Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -19- €800C1 días 20t1 €500.1C2 días 45t2 €200.3C  días 60t3 días 50t %5d  ?C Gráficamente: Primera forma: Capital por capital: )dn1(CC n0  €78,797)05,0 360 20 1(800C01  €63,490.1)05,0 360 45 1(500.1C02  €33,173.3)05,0 360 60 1(200.3C03  La suma de estos tres capitales actualizados es igual a: €74,461.533,173.363,490.178,797CCC 030201  Igualamos esta suma con el capital único actualizado y despejamos C: €93,499.5 993056,0 74,461.5 C74,461.5C993056,074,461.5)05,0 360 50 1(C  Segunda forma: A través de la fórmula de descuento comercial en el momento 0:   dt1 dt1C C n 1s ss     0 800 1.500 3.200 C? 20 45 60 50 d días Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -20-       €93,499.5C 993056,0 736111,461.5 05,0 360 50 1 05,0 360 60 1200.305,0 360 45 1500.105,0 360 20 1800 dt1 dt1C...dt1Cdt1C Cnn2211                           C=5.499,93€ 3. Dado un capital de 13.000€ que vence dentro de 3 años y otro de 15.000€ que vence dentro de 5 años, y un tipo de interés efectivo del 10% simple anual: a. Comprobar si son equivalentes en t=0. b. Comprobar si son equivalentes en t=1 año. €000.13C1 años 3t1 €000.15C2 años 5t2 %10i a. 0t  ?esequivalent Para ver si son equivalentes tenemos que actualizar todos los capitales al momento 0. Gráficamente: in1 C Cn 0  €000.10 1,031 000.13 C01    €000.10 1,051 000.15 C02    Sí, porque en t=0, C=10.000€ en ambos casos b. 1t  13.000 3 5 15.000 años 0 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -21- ?esequivalent Para ver si son equivalentes tenemos que actualizar todos los capitales al momento 0. Gráficamente: in1 C Cn 0  €33,833.10 1,021 000.13 C01    €30,714.10 1,041 000.15 C02    No, porque en t=1 año, C1=10.833,30€ y C2=10.714,30€ 4. Averiguar si dentro de 5 años son equivalentes 86.206,90€ que vencen dentro de 3 años y 140.000€ que vencen dentro de 10 años, supuesto un interés efectivo anual simple del 8%. €90,206.86C1 años 3t1 €000.140C2 años 10t2 años 5t  %8i  ?esequivalent Para ver si son equivalentes tenemos que llevar todos los capitales a los 5 años. Gráficamente: )in1(CC 0n  13.000 3 5 15.000 años 0 1 2 años 4 años 86.206,90 3 5 140.000 años 0 2 años 5 años 10 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -22- €000.100)08,021(90,206.86C1n  in1 C Cn 0  €000.100 08,051 000.140 C02    Sí son equivalentes, porque en t=5 años, C=100.000€ en ambos casos 5. Tres efectos cuyos valores nominales son 150, 200 y 225 euros vencen dentro de 45, 90 y 120 días, respectivamente. Si estos efectos se reemplazan por otro único de vencimiento dentro de 60 días, si el tanto de descuento comercial es del 10% anual simple y se considera el año comercial, se pide: a. ¿Cuál será el nominal de este último efecto comercial? (Realice el estudio para el momento 0). b. Si el capital sustituto fuese de 585 euros de cuantía, ¿cuál sería su vencimiento? c. Calcular también el vencimiento medio. €150C1 días 45t1 €200C2 días 90t2 €225C  días 120t3 días 60t %10d a. ?C Gráficamente: Primera forma: Capital por capital: )dn1(CC n0  0 150 225 C? 45 90 120 días d=10% 60 200 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -23- €13,148)1,0 360 45 1(150C01  €195)1,0 360 90 1(200C02  €5,217)1,0 360 120 1(225C03  La suma de estos tres capitales actualizados es igual a: €63,5605,21719513,148CCC 030201  Igualamos esta suma con el capital único actualizado y despejamos C: €13,570 983333,0 63,560 C63,560C983333,063,560)1,0 360 60 1(C  Segunda forma: A través de la fórmula de descuento comercial en el momento 0:   dt1 dt1C C n 1s ss           €13,570 983333.0 625,560 1,0 360 60 1 1,0 360 120 12251,0 360 90 12001,0 360 45 1150 dt1 dt1C...dt1Cdt1C Cnn2211                          C=570,13€ b. €585C ?t Primera forma: Capital por capital, sabiendo que la suma de los tres capitales actualizados es 560,63 y despejando t que es ahora la incógnita: 0 150 225 585 45 90 120 días d=10% t? 200 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -24días 85,149 000278,0 041658,0 tt000278,0041658,0 t000278,0958342,01958342,0t000278,01 585 63,560 t000278,01 63,560)t000278,01(58563,560)1,0 360 t 1(585    Segunda forma: A través de la fórmula del vencimiento común del descuento comercial en el momento 0:   años 416667,0 5,58 375,24 1,0585 360 120 225 360 90 200 360 45 1501,0225200150585 dC tCdCC t n 1S SS n 1S S               Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo anterior por 360 días que tiene un año: días 150360416667,0t  t=150 días c. Al pedirse el vencimiento medio, el capital único que sustituye a los de partida debe ser de importe igual a la suma de los tres capitales iniciales: €575225200150CCCC 321  Primera forma: Capital por capital, sabiendo que la suma de los tres capitales actualizados es 560,63 y despejando t que es ahora la incógnita: días 90,89 000278,0 024991,0 tt000278,0024991,0 t000278,0975009,01975009,0t000278,01 575 63,560 t000278,01 63,560)t000278,01(57563,560)1,0 360 t 1(575    Segunda forma: A través de la fórmula del vencimiento medio del descuento comercial en el momento 0: años 25,0t 575 75,143 575 360 120 225 360 90 200 360 45 150 C tC t S n 1S S        Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -25Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo anterior por 360 días que tiene un año: días 9036025,0t  t=90 días 6. Una empresa de servicios posee deudas con sus proveedores que pretende cancelar con un único pago dentro de 60 días. Las deudas que pretende cancelar con ese único pago son: deuda de 12.000€ a 120 días, deuda de 18.000€ a 250 días y deuda de 24.000€ a 30 días. Calcular la cuantía de pago único que tiene que hacer si el tipo de descuento es del 10% anual en descuento simple comercial. (Realice el estudio en los 60 días considerando el año comercial). €000.24C1 días 30t1 €000.12C2 días 120t2 €000.18C días 250t3 días 60t %10di  ?C Gráficamente: Primera forma: Capital por capital. Como no nos especifican un tipo de interés diferente al tipo de descuento, consideramos que son iguales: )in1(CC 0n    €200.24)1,0 360 3060 1(000.24C1n    0 12.000 24.000 18.000 C? 30 60 d días 120 250 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -32Primera forma: Capital por capital, pero ahora utilizando el año civil: in1 C Cn 0  €47,691 09,0 365 50 1 700 C01    €73,884 09,0 365 70 1 900 C02    La suma de estos dos capitales actualizados es igual a: €2,576.173,88447,691CC 0201  €07,615.12,576.1024658,1C 2,576.109,0 365 100 1C2,576.1 09,0 365 100 1 C               Segunda forma: A través de la fórmula del capital común del descuento racional con estudio en el momento 0:       n 1s s sit1 it1 C C   €07,615.1024658,12,576.1024658,173,88447,691 09,0 365 100 1 09,0 365 70 1 900 09,0 365 50 1 700 C                        C=1.615,07€ 10. Tres letras de 5.000, 6.000 y 7.000€ que vencen dentro de 3, 5 y 7 meses respectivamente se van a sustituir por otras dos, una de 10.000€ con vencimiento dentro de 4 meses y otra de cuantía a determinar con vencimiento dentro de 6 meses. Si el tanto de interés de negociación es el 6% simple anual, determinar la cuantía de dicho pago. (Realice el estudio para el momento t=6 meses). €000.5C1 meses 3t1 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -33- €000.6C2 meses 5t2 €000.7C3 meses 7t3 €000.10C1  meses 4t 1  meses 6t 2  ?C 2  %6i  Gráficamente: Como no se trata de sustituir un único capital, no se pueden aplicar las fórmulas. Se tiene que hacer capital por capital. Ahora se quieren sustituir tres letras no por una única, sino por dos: )in1(CC 0n    €075.5)06,0 12 36 1(000.5C 1n      €030.6)06,0 12 56 1(000.6C 2n    in1 C Cn 0    €17,965.6 06,0 12 67 1 000.7 C03      Si sumamos estas tres letras que se quieren sustituir: €17,070.1817,965.6030.6075.5CCC 3n0201  Ahora calculamos el valor de las otra letra de nominal conocido en el momento t=6 meses:   €100.10)06,0 12 46 1(000.10C1n     Se tiene que cumplir que: 0 5.000 C’2? meses i=6% 3 7.000 10.000 5 6 4 7 6.000 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -34- €17,970.7100.1017,070.18CC100.1017,070.18CCCCC 2n2n2n1n3n0201          C=7.970,17€ 11. Cierta empresa ha de pagar una letra de 1.000.000€ dentro de un año, y solicita fraccionar el pago canjeándola por tres letras, siendo la primera de 200.000€, y vencimiento dentro de 3 meses, y la segunda de 300.000€ con vencimiento dentro de 8 meses. Determinar, en el supuesto de que el tanto de descuento sea del 12% simple anual: a. La fecha de vencimiento de la tercera letra, si se considera vencimiento medio. b. La cuantía que tendría la tercera letra, si se fija su vencimiento a los 2 años. (Estudio en el momento 0) €000.000.1C  meses 12año 1t  €000.200C1 meses 3t2 €000.300C2 meses 8t3 %12d a. Como es vencimiento medio: €000.500000.300000.200000.000.1C3 ?t3 Si lo hacemos directamente por la fórmula del vencimiento medio y descuento comercial: C tC t s n 1s s     meses 18 000.500 000.000.9 t t000.500000.000.9t000.500000.000.3000.000.12 t000.500000.000.3000.000.12 0000.000.1 t000.500000.000.3 12 000.000.1 t000.5008000.3003000.200 12 C tCtCtC t 3 33 3 3 3332211           t=18 meses Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -35b. Podemos volver a aplicar la fórmula, pero en esta ocasión queremos hallar el capital común con el estudio en el momento 0 y con descuento comercial. Además, ahora la incógnita es la cuantía de la tercera letra:   dt1 dt1C C n 1s ss       €68,473.539 76,0 000.410 CC76,0000.410C88,0000.276000.194000.880 C76,0000.276000.194000.880 88,0 C76,0000.276000.194 000.000.1 12,011 12,021C12,0 12 8 1000.30012,0 12 3 1000.200 000.000.1 d 12 t 1 d 12 t 1Cd 12 t 1Cd 12 t 1C C 333 3 3 3 3 3 2 2 1 1                                          C3=539.473,68€ 12. Una persona debe entregar los siguientes capitales para saldar una deuda (1.000€; 2 meses), (8.000€; 4 meses), (7.000€; 6 meses) y (2.000€; 9 meses). Sin embargo, al cabo de 5 meses, tras realizar los dos primeros pagos recibe una herencia y decide cancelar sus deudas. Si en ese momento para cancelar las deudas negocia un tipo de interés cuatrimestral simple del 3,20% y se considera el año comercial se pide calcular la cuantía que debe entregar para la cancelación de la deuda en el momento de recibir la herencia. €000.1C1 meses 2t1 €000.8C2 meses 4t2 €000.7C3 meses 6t3 €000.2C4 meses 6t4 %20,3i3 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -36- ?C Gráficamente: Hay que tener en cuenta que los únicos capitales que hay que sustituir son los dos últimos, ya que los dos primeros ya se han hecho. Por eso, se recalculan las variables del problema de la siguiente forma: €000.7C1 meses 6t1 €000.2C2 meses 6t2 Y el tipo de interés cuatrimestral lo pasamos a anual para operar de forma más cómoda: kii k 096,03032,03ii 3 Primera forma: Capital por capital, llevando todos los capitales al mes 5 y que se trata de un descuento racional. Es decir: in1 C Cn 0  €44,944.6 008,1 000.7 096,0 12 1 1 000.7 C01    €98,937.1 032,1 000.2 096,0 12 4 1 000.2 C02    Si sumamos los dos capitales: €42,882.898,937.144,944.6CCC 0201  Segunda forma: A través de la fórmula del capital común del descuento racional, considerándolo en el momento t, ya que hacemos el estudio justo en el momento que queremos cancelar la deuda, que es el mes 5: 9 meses 0 2 4 6 1.000 8.000 7.000 2.000 5 C Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 3: Equivalencia Financiera de Capitales -37-      ttz,,qs ttp,,1s itt1 C itt1CC s s z qs s s p 1s ss            €42,882.898,937.144,944.6 032,1 000.2 008,1 000.7 096,0 12 59 1 C 096,0 12 56 1 C C21                    C=8.882,42€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -38PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL II TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Utilícese para todos los problemas siguientes el año comercial, excepto para los problemas de liquidación de cuentas corrientes que se considerarán los días correspondientes de cada mes. 1. Una letra librada de 2.000€ nominales, cuyo vencimiento fue el 25 de julio, es devuelta por impagada. • Comisión de devolución: 1,5% • Gastos de correo: 0,56€ €000.2N  %5,1C  0,56€OG  a. Calcular el adeudo en cuenta corriente. ?E €56,030.20,5600,015000.2000.2 OGprotesto Comisióndevolución misiónCoNE    E’=2.030,56€ b. Si la letra anterior se recibe acompañada del acta de protesto, por lo que el notario cobra el 2‰ de comisión de protesto y 2,5€ de gastos de protesto, calcule en este caso cuál será la liquidación. ?E €06,037.256,05,20,002000.2015,0000.20000.2 OGprotesto Comisióndevolución misiónCoNE    E’=2.037,06€ c. Si en el apartado anterior se llega al acuerdo con el librado de girarle otra letra nueva con vencimiento 30 días posteriores a la otra, ¿cuál será el valor nominal de la nueva letra considerando una tasa de descuento del 11%? Los gastos del valor del timbre son 7€ y la comisión es del 0,7% del valor nominal. días 30t Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -39- %11d 7€OG  7,0C  % ?N   €66,077.2 98383,0 06,044.2 NN98383,006,044.2 N98383,0706,037.27N007,0N00917,0N06,037.2 7N007,011,0 360 30 NN06,037.2OGCINEDNE          N’=2.077,66€ 2. Compramos un pagaré de empresa que vence dentro de 1 año, con un nominal de 1.000 euros, siendo el tipo de interés en el mercado en el momento de la compra el 9% anual y unos gastos de 3,5 euros. Cuando faltan 90 días para el vencimiento lo vendemos, sin gastos, por un importe de 970 euros. Calcular, utilizando el año comercial (360 días): €000.1N  días 360año 1t  %9i  3,5€OG  970€E0Gdías 90t      a. El importe realmente desembolsado por el primer comprador. ?E ¡OJO! No vamos a descontar efectos a un banco, AHORA SOMOS COMPRADORES DE UN EFECTO. Los efectos también se compran y se venden entre particulares y/o empresas, con lo que HAY QUE DIFERENCIAR entre DESCONTAR UN EFECTO y COMPRAR Y VENDER un efecto a cualquiera. N’ 30 0 días E=2.037,06€ N=1.000 360 270 0 días E=970 E? Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -40Lo que nosotros tendremos que pagar por el pagaré será el equivalente del valor nominal con vencimiento un año actualizado al tipo de mercado, es decir, UTILIZANDO UN DESCUENTO RACIONAL, más los gastos que se nos apliquen, es decir, se actualiza primero el valor nominal al momento 0 y se le añaden los gastos correspondientes: €43,917 09,01 000.1 i 360 t 1 N E      Si al efectivo le sumamos los gastos, tenemos el valor desembolsado en la compra: 920,93€3,5917,43OGEdodesembolsa ValorE    E=920,93€ b. La rentabilidad efectiva obtenida por el primer comprador. i? La rentabilidad será el tipo de interés que resulta de enfrentar el importe pagado en el origen con el importe obtenido en la venta. Por tanto, para calcular la rentabiliad efectiva obtenida comparamos lo que desembolsamos y lo que recibiríamos si hubiésemos conservado el efecto durante los 360 días completos, por la fórmula fundamental: 12 1 12 12 tt C CC tt r i     %10,7071044,0 75,0 053283,0 0 360 270 93,920 93,920970 i          i=7,10% c. La rentabilidad obtenida por el segundo comprador si en el momento de la compra no soporta gastos y en la amortización le deducen unos gastos de 2 euros. i? N=1.000 360 270 0 días E’’=970 E=920,93 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple: Letra de Cambio y Cuenta Corriente -41El segundo comprador es el que lo compra por 970 euros y 90 días después recibe los 1.000 euros de nominal de la letra menos 2€ de gastos. Gráficamente: Por lo demás, se procede exactamente igual que en el caso anterior. Es decir: 12 1 12 12 tt C CC tt r i     %55,11115464,0 25,0 028866,0 360 270360 970 970998 i    i=11,55% 3. El Sr. X dispone de una letra de cambio de 50.000€ con vencimiento a 6 meses vista. Necesitando efectivo de inmediato, procede a la negociación de la letra, incurriendo en unos gastos equivalentes al 2% del nominal de la letra como corretaje y a 500€ más de gastos varios. Si el tanto de descuento que se aplica a la letra es del 10%: €000.50N meses 6t  %2C  €500G %10d a. Determinar la tasa de descuento efectiva que se paga por el dinero recibido. ?E   €000.46000.4000.50500000.5002,010,0 12 6 000.50000.50 OGCd 12 t NNOGCINDNE               N=1.000 - 2 360 270 0 días E=970 E’=920,93 N=50.000€ 6 0 meses E? Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -48PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL II TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1. Se coloca un capital de 100 euros durante 5 años al 6% anual compuesto. Transcurridos 2 años la entidad financiera nos comunica una bajada de los tipos de interés en un punto porcentual. ¿Qué cantidad retiraremos al final de la operación? €100C0 años 5t  %6i  anual compuesto años 2t   %5i  anual compuesto ?C       €36,11206,011000,061CCi1CC 22 02 n 0n      €07,13005.0136,1120.051CC 33 25  C5=130,07€ 2. Dado un tanto de interés efectivo anual del 18% compuesto: %18i a. Calcular el tanto mensual equivalente. ?i12   1i1i k1 k   %39,1013888,01013888,1118,01i 121 12  i12=1,39% b. Calcular el tanto de interés efectivo anual del interés mensual calculado anteriormente. ?i   1i1i k k     %1818,0118,11138888,011i1i 1212 12  i=18% 3. Dado un tanto de nominal anual del 18% capitalizable por meses: C0=100€ 0 1 2 3 4 5 C5? i=6% i=5% C2 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -49- %18J12  a. Calcular el tanto mensual equivalente. ?i12 k J ikiJ k kkk  %5,1015,0 12 18,0 12 J i12 12  i12=1,5% b. Calcular el tanto de interés efectivo anual del interés mensual calculado anteriormente. ?i   1i1i k k     %56,19195618,01195618,11015,011i1i 1212 12  i=19,56% 4. Dado un tipo de interés nominal del 12%, determinar el interés anual efectivo (TAE) en los casos de que la capitalización compuesta sea anual, semestral, trimestral y mensual. %12Jk ?TAEi  Capitalización compuesta anual (k=1): %1212,0112,1112,11 1 12,0 11 k J 1i 1 1k k             i=12% Capitalización compuesta semestral (k=2): %36,121236,011236,1106,11 2 12,0 11 k J 1i 2 2k k             i=12,36% Capitalización compuesta trimestral (k=4): %5509,12125509,01125509,1103,11 4 12,0 11 k J 1i 4 4k k             i=12,551% Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -50Capitalización compuesta mensual (k=12): %6825,12126825,01126825,1101,11 12 12,0 11 k J 1i 12 12k k             i=12,682% 5. Calcular el capital final que obtendremos por la inversión de un capital de 50.000€, impuestos durante cinco años a un tanto de interés del 15% anual nominal capitalizable trimestralmente en los dos casos siguientes: %15J4 €000.50C0 años 5t  a. Con el tanto trimestral equivalente. Como 5 años son 20 trimestres (5x4) nuestra incógnita es C20 si nos piden que lo calculemos con el tranto trimestral equivalente: ?C20 k J ikiJ k kkk  %75,30375,0 4 15,0 4 J i4 4       €60,407.1040375,01000.500,03751CCi1CC 2045 045 kn k0kn      Cn=104.407,60€ b. Con el tanto de interés efectivo anual. ?C5 Previamente tenemos que calcular el tanto de interés efectivo anual, i, que podemos hacer de dos formas, a partir del tanto nominal que es un dato del problema, o a partir del tanto trimestral equivalente calculado en el apartado anterior. En ambos casos nos tiene que dar lo mismo: Forma 1. A partir del tanto nominal: 1 k J 1i k k         %87,15158650,01158650,110375,11 4 15,0 1i 4 4        Forma 2. A partir del tanto efectivo trimestral: Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -51-   1i1i k k     %87,15158650,01158650,110375,011i1i 44 4       €41,407.104158650,01000.500,1586501CCi1CC 55 05 n 0n  Cn=104.407,60€ 6. Calcular qué capital ha de imponerse, en régimen de capitalización compuesta, con acumulación trimestral de intereses, al 11% de interés nominal anual, durante 5 años, para obtener unos intereses de 714,64 euros. ?C0 Capitalización compuesta trimestral %11J4 nominal cuatrimestral años 5n  €64,714I5 0nn CCI  64,714CCICCCCI 05505055    n 0n i1CC  Como se capitaliza por trimestres y el tanto por ciento de interés que nos dan es el tanto por ciento de interés nominal anual (no efectivo), k J ik k %75,20275,0 4 11,0 4 J i4 4 Ahora ya se puede aplicar la fórmula anterior, teniendo en cuenta que 5 años tienen 20 trimestres   54  :       05 54 05 54 05 kn k0n C720428,1C0275,01CC0275,01CCi1CC     €89,991 72048,0 64,714 C64,714C72048,0 64,714C172048,164,714CC720428,164,714CC720428,1 00 00000   También se podría hacer pasándolo al tanto efectivo anual i o TAE y posteriormente capitalizándolo a ese tanto los 5 años: 1 k J 1i k k       Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -52114621,01114621,11 4 11,0 11 4 J 1i 44 4                 050 5 05 n 0n C720428,1CC720428,1114621,01CCi1CC    €89,991 72048,0 64,714 C64,714C72048,0 64,714C172048,164,714CC720428,164,714CC720428,1 00 00000   C0=991,89€ 7. Sabiendo que el nominal de un capital es de 100.000€ con vencimiento dentro de cinco años y su valor efectivo hoy es de 59.049€ calcular el tanto de interés que se ha aplicado. ¿Cuál es el tanto de descuento equivalente al tanto de interés anterior? Comprueba que son equivalentes. €000.100C5 años 5t  €049.59C0 ?i anual compuesto d equivalente? anual compuesto Se puede hacer de dos formas: 1ª forma: Despejando en la fórmula aplicada y operando:   n 0n i1CC            %111,11111111,0i1111111,1ii1111111,1i1693508,1 i1693508,1i1 049.59 000.100 i1 049.59 000.100 i1049.59000.100 55 5 5555   2ª forma: Aplicando directamente la fórmula: 1 C C in 0 n %111,11i111111,01111111,11693509,11 049.59 000.100 1 C C i5 55 0 5 i=11,111% d equivalente? También se puede hacer de dos formas: C0=59.049€ 0 5 C5=100.000€ i? años Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -531ª forma: Despejando en la fórmula aplicada y operando:   n n0 d1CC          %101,0d9,01dd19,0 d159049,0d159049,0d1 000.100 049.59 d1000.100049.59 55 5 555   2ª forma: Aplicando directamente la fórmula: i1 i d  %1010,0 111111,01 111111,0 d   d=10% 8. Una empresa posee a día de hoy un efecto comercial a cobrar de 10.000€, emitido por el tráfico normal de su actividad. Calcular el capital efectivo y el descuento que se obtiene al descontarlo en descuento compuesto racional en los tiempos y a los tipos de interés fijados: a. Tres años al 9% anual   n n 0 i1 C C      €83,721.7 09,01 000,10 i1 C C33 3 0     E=7.721,83€ Hay dos formas de calcular el descuento: 1ª forma: Por diferencia entre el capital final y el capital inicial: 0nr CCD  €17,278.283,721.7000.10CCD 03r  2ª forma: Por la fórmula directa: E=C0? 0 3 N=C3=10.000€ i=9% años Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -54-     n nr i11CD           €17,278.2227817,0000.109,0,011000.10i11CD 3n 3r   Dr=2.278,17€ b. 18 meses al 11% anual Para calcular el efectivo o capital inicial se puede hacer de dos formas: 1ª forma: Lo primero que hacemos es pasar el tanto de interés efectivo anual al tanto de interés efectivo mensual mediante la fórmula:   1i1i k1 k   008735,0111,01i 121 12  Ahora ya puedo calcular el capital incial o efectivo:   n n 0 i1 C C    k k n 0 i1 C C      €91,550.8 008735,01 000.10 i1 C C1818 12 18 0     2ª forma: También puedo caluclar el capital inicial o efectivo pasando los 18 meses a años y aplicando el tanto de interés efectivo anual:   n n 0 i1 C C    12t n 0 i1 C C        €97,550.8 11,01 000.10 11,01 000.10 i1 C C5,112181218 18 0       E=8.550,97€ También hay dos formas de calcular el descuento: E=C0? 0 18 N=C18=10.000€ i=11% meses Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -551ª forma: Por diferencia entre el capital final y el capital inicial: 0nr CCD  €03,449.197,550.8000.10CCD 018r 2ª forma: Por la fórmula directa:  Aplicando ik mensual (i12) y n=18     n knr i11CD           €08,449.1144909,0000.10 008735,011000.10008735,011CD 1818 18r     Aplicando i anual y pasar 18 meses a años ( 5,1 12 18  años)     n nr i11CD           €03,449.1144903,0000.10 11,011000.1011,011CD 5,11218 18r    Dr=1.449,03€ c. 7 semestres al 5% anual Para calcular el efectivo o capital inicial se puede hacer de dos formas: 1ª forma: Lo primero que hacemos es pasar el tanto de interés efectivo anual al tanto de interés efectivo semestral mediante la fórmula:   1i1i k1 k   024695,0105,01i 21 2 Ahora ya puedo calcular el capital incial o efectivo:   n n 0 i1 C C    k k n 0 i1 C C  E=C0? 0 7 N=C7=10.000€ i=5% semestres Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -56-     €20,430.8 024695,01 000.10 i1 C C77 2 7 0     2ª forma: También puedo caluclar el capital inicial o efectivo pasando los 7 semestres a años y aplicando el tanto de interés efectivo anual:   n n 0 i1 C C    2t n 0 i1 C C        €19,430.8 05,01 000.10 05,01 000.10 i1 C C5,32727 7 0       E=8.430,19€ También hay dos formas de calcular el descuento: 1ª forma: Por diferencia entre el capital final y el capital inicial: 0nr CCD  €81,569.119,430.8000.10CCD 07r  2ª forma: Por la fórmula directa:  Aplicando ik semestral (i2) y n=7     n knr i11CD           €80,569.1156980,0000.10 024695,011000.10024695,011CD 77 18r     Aplicando i anual y pasar 7 semestres a años ( 5,3 2 7 años)     n nr i11CD           €80,569.1156980,0000.10 05,011000.1005,011CD 5,327 7r    Dr=1.569,81€ d. 8 bimeses al 4% anual E=C0? 0 8 N=C8=10.000€ i=4% bimeses Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -57Para calcular el efectivo o capital inicial se puede hacer de dos formas: 1ª forma: Lo primero que hacemos es pasar el tanto de interés efectivo anual al tanto de interés efectivo bimensual mediante la fórmula:   1i1i k1 k   006558,0104,01i 61 6 Ahora ya puedo calcular el capital incial o efectivo:   n n 0 i1 C C    k k n 0 i1 C C      €51,490.9 006558,01 000.10 i1 C C88 6 8 0     2ª forma: También puedo caluclar el capital inicial o efectivo pasando los 8 bimeses a años y aplicando el tanto de interés efectivo anual:   n n 0 i1 C C    6t n 0 i1 C C        €50,490.9 04,01 000.10 04,01 000.10 i1 C C333333,16868 8 0       E=9.490,50€ También hay dos formas de calcular el descuento: 1ª forma: Por diferencia entre el capital final y el capital inicial: 0nr CCD  €50,50950,490.9000.10CCD 08r  2ª forma: Por la fórmula directa:  Aplicando ik bimensual (i6) y n=8 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -64- %6i  ?t Actualizamos los 4 capitales a sustituir por uno único. Para ello aplicamos la fórmula de actualización del descuento racional.   n n 0 i1 C C  Existen dos formas de resolver el problema. Para ello previamente hemos de pasar bien el tipo de interés anual a meses, bien la duración a años. 1ª forma: Pasando la i anual a i mensual:   1i1i k1 k     004868,0106,011i1i 121121 12      €38,291 004868,01 300 i1 C CE 66 k 1 11            €02,283 004868,01 300 i1 C CE 1212 k 2 22            €89,274 004868,01 300 i1 C CE 1818 k 3 33            €267 004868,01 300 i1 C CE 2424 k 4 44        €29,116.126789,27402,28338,291CCCCC 4321           Actualizamos ahora el capital único que vence dentro de n meses:     nn k004868,01 200.1 i1 200.1 CE       Sabemos que ese efectivo tiene que ser igual a la suma de los tres efectivos anteriores. Es decir:       074989,1004868,01 29,116.1 200.1 004868,01 004868,01 200.1 29,116.1 nn n   Si aplicamos logaritmos:             meses 890,14 002109,0 031404,0 004868,1 log 074989,1 log n 074989,1 log004868,1 logn074989,1 log004868,01 log n   Pasamos los meses a días multiplicando por 30: días 447días 7,4463089,14  Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -65Pasamos los días a años dividiendo entre 360: años 24,1 360 447  Para pasar los 0,24 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 88,21224,0  Para pasar los 0,88 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 27días 4,263088,0  Es decir, días 27y meses 2 año, 1t  2ª forma: Pasando todas las duraciones a años: años 5,0 12 6 meses 6n      €39,291 06,01 300 i1 C CE 5,0126 1 11        año 1 12 12 meses 12n     €02,283 06,01 300 i1 C CE 11212 2 22        años 5,1 12 18 meses 18n     €89,274 06,01 300 i1 C CE 5,11218 3 33        años 2 12 24 meses 24n     €267 06,01 300 i1 C CE 21224 4 44        €30,116.126789,27402,28339,291CCCCC 4321           Actualizamos ahora el capital único que vence dentro de n años:     nn 006,01 200.1 i1 200.1 CE       Sabemos que ese efectivo tiene que ser igual a la suma de los tres efectivos anteriores. Es decir:       074980,106,01 30,116.1 200.1 06,01 06,01 200.1 30,116.1 nn n   Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -66Si aplicamos logaritmos:             años 24,1 025306,0 031400,0 06,1 log 074980,1 log n 074980,1 log06,1 logn074980,1 log06,01 log n   Para pasar los 0,24 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 88,21224,0  Para pasar los 0,88 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 27días 4,263088,0  Es decir, días 27y meses 2 año, 1t  n=447 días= 1año, 2 meses y 27 días. 11. Se ofrecen a un comprador tres posibilidades para la compra de una maquinaria: a. Pago al contado de 350.000€ b. Pago dentro de cuatro años de 550.731,80€ c. Pago de 188.160€ dentro de dos años y 314.703,87€ dentro de cuatro años. Calcular cuál de las tres ofertas es más ventajosa para el comprador, si el tipo de interés aplicado es el 12% compuesto anual. Hay que comparar todas las opciones en el mismo momento del tiempo, por ejemplo, en el momento actual: a. C0=350.000€ b. C4=550.731,80€ Se actualiza la cantidad cuatro años:   n n 0i1 C C    €10,000.350 573519,1 80,731.550 12,01 80,731.550 C4 0   c. C2=188.160€ C4=314.703,87€ Se actualiza cantidad a cantidad:   n n 0i1 C C  Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -67-     €04,000.35004,000.200000.150 573519,1 87,703.314 2544,1 160.188 12,01 87,703.314 12,01 160.188 C42 0     Consideramos las diferencias de decimales despreciables, por lo que las tres cantidades resultan igual de ventajosas. Las tres cantidades son igual de ventajosas. 12. Una inversión de 150.000€ ha producido un rendimiento al final de primer semestre de 9.750€. Si los beneficios se acumulan cada semestre y la rentabilidad es constante, ¿cuál es el tanto efectivo anual de rentabilidad? C0=150.000€ I0,5=9.750€ i constante: ¿TAE? Sabemos que al medio año el capital que se obtiene es: n0n ICC  €750.159750.9000.150ICC 5,005,0  Por tanto podemos calcular el tanto anual efectivo mediante su correspondiente fórmula: 1 C C in 0 n %42,13134225,01134225,11065,11065,11 000.150 750.159 i5,05,0 5,0  i=13,42% 13. El Sr. Moreno recibe prestados 10.000€ que deberá devolver dentro de tres años con sus intereses al 10% anual compuesto anticipado. Calcular el valor de la devolución. C0=100.000 d=10% n=3 años Cn? Cuando se habla de interés anticipado, se trata de un interés que funciona como el descuento comercial. Por eso:     n 0 n n n0 d1 C Cd1CC   0 1 2 3 años C0=10.000€ Cn? Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -68-   €42,717.13 729,0 000.10 1,01 000.10 C3 n   Cn=13.717,42€ 14. Se sabe que los intereses producidos en diez años por un capital colocado al interés simple del 10% son iguales a los obtenidos por otro capital en siete años al 10% de interés compuesto y también son iguales a los anteriores los generados por otro capital en seis años al 12% de interés compuesto. Además, se sabe que la suma de las cuantías de los tres capitales es 308.093,60€. ¿A cuánto asciende la cuantía de cada capital? I10 (i1=10% simple)= I7 (i2=10% compuesto)= I6 (i3=12% compuesto) €60,093.308CCC 030201  C01? C02? C03? Simple: inC0n  0110010110 C1,010CinC  Compuesta: 0nnn0n CCIICC  n 0n )i1(CC  02 7 027C948717,1)1,01(CC  02702020277 C948717,0ICC948717,1CCI  03 6 026C973823,1)12,01(CC  03603030366 C973823,0ICC973823,1CCI  0102 01 020201 C054055,1C 948717,0 C CC948717,0C  0103 01 030301 C026882,1C 973823,0 C CC973823,0C  Conocemos la suma de los tres capitales iniciales: 60,093.308CCC 030201  Si sustituimos en la expresión anterior todas las variables en función de C01: Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -69- €000.100 60,093.308 080936,3 C 60,093.308C080936,360,093.308C026882,1C054055,1C 01 01010101   Ya podemos calcular el valor de C02: €50,405.105000.100054055,1C054055,1C 0102  Ya podemos calcular el valor de C03: €10,688.102000.100026881,1C026881,1C 0102  C1=100.000€ C2=105.405,50€ C3=102.688,10€ 15. Un individuo divide un capital en dos, invirtiendo el primero a un 10% anual compuesto y el segundo a un 12% anual, obteniendo un interés para el primer año de 108.000€. Si hubiera colocado cada una de las partes al otro tipo, el interés se vería incrementado en 4.000€. ¿Qué cantidad corresponde a cada parte del capital? Primer supuesto: 01C 10% anual compuesto 02C 12% anual compuesto €000.108II 11    Segundo supuesto: 01C 12% anual compuesto 02C 10% anual compuesto €000.112000.4000.108II 11    C01? C02? Se aplica en ambos casos la capitalización compuesta: Primer supuesto:   01 1 011C1,11,01CC  01101010111 C1,0ICC1,1CCI    02 1 022C12,112,01CC  02102020221 C12,0ICC12,1CCI     000.108C12,0C1,0000.108II 020111    Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -70Segundo supuesto:   01 1 011C12,11,01CC  01101010111 C12,0ICC12,1CCI    02 1 022C1,11,01CC  02102020221 C1,0ICC1,1CCI     000.112C1,0C12,0000.112II 020111    Sustituyendo C01 en la primera ecuación: 0201 C12,0000.108C1,0  0201 C2,1000.080.1C  Ahora:   €000.400 044,0 600.17 CC044,0600.17 C1,0C144,0000.112600.129 000.112C1,0C144,0600.129 000.112C1,0C2,1000.080.112,0 0202 0202 0202 0202     €000.600C 000.4002,1000.080.1C2,1000.080.1C 01 0201   C1=600.000€ C2=400.000€ 16. Calcular cuánto tiempo tardará un capital, a interés compuesto, para que se triplique a un tanto de interés del 6% semestral. n? 0n C3C  0,06isemestral %6 erésint 2 Pasamos en primer lugar el tanto semestral a tanto anual:   1i1i k k     1236,011236,1106,011i1i 22 2 Ahora ya podemos aplicar la fórmula de la capitalización compuesta y despejar n: n 0n )i1(CC  nn 00 1236,13)1236,01(CC3     Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -71Aplicando logaritmos:   años 43,9 050612,0 477121,0 1236,1log 3log n1236,1logn3log1236,1log3log n Para pasar los 0,43 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 16,51243,0  Para pasar los 0,16 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 5días 8,43016,0  n= 9,43 años=9 años, 5 meses y 5 días. 17. Un inversor deposita 400.000€ en un banco que capitaliza al 12% de interés compuesto. Al final de los primeros siete años retira la mitad de los intereses para comprar acciones de una determinada sociedad, que cotizan al 120% y su nominal es de 10€. Se pide: a. Saldo en el banco a los 14 años de realizada la imposición. b. Número de acciones compradas. C0=400.000€ i=12% Cuando n=7 años  retira la mitad de I7 VC=120% VN=10€ 0n C3C  a. C14? n 0n )i1(CC  €56,272.884)12,01(000.400C7 7 0nnn0n CCIICC  56,272.484000.40056,272.884CCI 077  Como retira la mitad de los intereses: €28,136.242 2 56,272.484 2 I7 El nuevo capital que deja en el banco durante los otros 7 años restantes son: €28,136.64228,136.24256,272.884 2 I CC 7 77   Ahora capitalizamos ese nuevo capital durante otros 7 años más: C0=400.000€ 0 7 14 C14? Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -72- €74,558.419.1)12,01(28,136.642C7 7  C’7=1.419.558,74€ b. Nº acciones? El precio de las acciones, que cotizan al 120% es: €122,110 100 120 VNVC  Dado que dispone de 242.136,28€ para comprar las acciones, puede adquirir: acciones 20.178acciones 02,178.20 12 28,136.242 .accºN  Nº acciones=20.178 18. Una sociedad anónima adquiere hoy inmovilizado por valor de 500.000€, que se tiene que renovar cada diez años. En el momento de la compra esta sociedad tiene un exceso de liquidez, y va a depositar en un banco la cuantía suficiente para renovar el inmovilizado durante tres períodos de diez años consecutivos. El banco en el que realiza el depósito capitaliza a interés compuesto del 10% anual. Calcule: a. El depósito a realizar suponiendo que el valor del inmovilizado permanezca constante en los próximos 30 años. b. El depósito a realizar suponiendo que el valor del inmovilizado tiene una subida anual acumulativa del 6%, partiendo de un precio en el momento actual de 500.000€. €000.500doInmoviliza Valor  %10i a. Valor del inmovilizado constante: 0 10 20 30 años C10=500.000 C20=500.000 C30=500.000 C0 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -73Tenemos que calcuar el depósito que hay que hacer según la suma de los tres valores del inmovilizado actualizados según sus respectivos años:   n n 0i1 C C    €68,771.192 593742,2 000.500 1,01 000.500 'C 10 0     €81,321.74 7275,6 000.500 1,01 000.500 ''C 20 0     €28,654.28 449402,17 000.500 1,01 000.500 '''C 30 0   €77,747.29528,654.2881,321.7468,771.192'''C''C'CC 0000  C0=295.747,77€ b. Valor del inmovilizado con subida anual acumulativa del 6%. Es decir: A los 10 años: €85,423.89506,1000.500C 10 10  A los 20 años: €74,567.603.106,1000.500C20 20  A los 30 años: €59,745.871.206,1000.500C 30 30  Tenemos que calcuar el depósito que hay que hacer según la suma de los tres valores del inmovilizado actualizados según sus respectivos años:   n n 0i1 C C    €72,224.345 593742,2 85,423.895 1,01 85,423.895 'C 10 0     €12,360.238 7275,6 74,567.603.1 1,01 74,567.603.1 ''C 20 0     €59,575.164 449402,17 59,745.871.2 1,01 59,745.871.2 '''C 30 0   €43,160.74859,575.16412,360.23872,224.345'''C''C'CC 0000  0 10 20 30 años C10=895.423,85 C20=1.603.567,74 C30=2.871.745,59 C0 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -80-   €49,496.115 212158,1 000.140 08,01 000.140 C5,2 5,0    C0,5=115.496,49€ 24. Calcular el tanto a interés compuesto y el tanto de descuento que se aplicó a una operación que duró cinco años y que supuso un descuento de 60.000€ sobre un montante de 160.000€. i?, d? n=5 años Descuento=60.000€ C5=160.000€ Calculemos el tanto de interés, habiendo calculando previamente el C0. No nos indica si se trata de un descuento racional o comercial, pero en ambos casos se cumple que: 0n CCD  000.100000.60000.160CCD 05  Ya podemos calcular el tipo de interés: 1 C C in 0 n %86,9098561,01098561,11 000.100 000.160 1 000.100 000.160 1 C C i555 0 5 Y si fuera descuento comercial, el tanto aplicado debería ser: i1 i d  %97,8089718,0 098561,1 098561,0 098561,01 098561,0 d   i=9,86% d=8,97% 25. Se tienen que pagar 500.000€ dentro de cinco años, pero se conviene con el acreedor en dividir este pago único en seis pagos semestrales, el primero a los tres años, de forma que cada uno de ellos sea el 20% superior al precedente. Determinar el importe de cada uno de los seis pagos semestrales si el tanto de descuento compuesto que se aplica en los cálculos es el 10%. Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -81Cn=500.000€ d=10% C1?, C2?, C3?, C4?, C5?, C6? No podemos aplicar las fórmulas del capital común porque no son pagos iguales, por lo que tendremos que realizar la equivalencia capital a capital y después igualar sabiendo que: 11 CC  12 C2,1C  1123 C44,1C2,12,1C2,1C  1134 C728,1C44,12,1C2,1C  1145 C0736,2C728,12,1C2,1C  1156 C48832,2C0736,22,1C2,1C  Ahora sí actualizamos capital a capital:   n n0 d1CC    245.29559049,0000.5001,01000.500C5 0   11 3 101 C729,0729,0C1,01CC    11 5,3 102 C829908,069159,0C2,11,01C2,1C    11 4 103 C944784,06561,0C44,11,01C44,1C    11 5,4 104 C075561,1622431,0C728,11,01C728,1C    11 5 105 C22444,159049,0C0736,21,01C0736,2C    11 5,5 106 C393927,1560188,0C48832,21,01C48832,2C  Igualando: 111111 C393927,1C22444,1C075561,1C944784,0C829908,0C729,0245.295  €45,638.47 19762,6 245.295 CC19762,6245.295 11  Y los demás capitales: C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 0 1 2 3 4 5 3,5 4,5 5,5 años C=500.000€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -82- €14,166.5745,638.472,1C2,1C 12  €37,599.6845,638.4744,1C44,1C 13  €24,319.8245,638.47728,1C728,1C 14  €09,783.9845,638.470736,2C0736,2C 15  €71,539.11845,638.4748832,2C48832,2C 16  C1=47.638,45€ C2=57.166,14€ C3=68.599,37€ C4=82.319,24€ C5=98.783,09€ C6=118.539,71€ 26. Tenemos tres capitales de 100.000€, 300.000€ y 500.000€, con vencimientos respectivos a los tres años, cinco años y nueve meses, y siete años y 45 días. Sustituimos los tres capitales por uno solo de cuantía 920.000€. Determinar el momento del vencimiento de este capital, teniendo en cuenta que el tanto de interés de la operación es el 10% compuesto y el año de 360 días. C=920.000€ C1=100.000€ t1=3 años C2=300.000€ t2=5 años y 9 meses C3=500.000€ t3=7 años y 45 días i=10% Se trata de un vencimiento común con descuento racional, por lo que se aplica la siguiente fórmula:     i1log i1ClogClog t st n 1s s       Pero lo primero que tenemos que hacer es pasar el tiempo a la misma unidad, por ejemplo, a años, sabiendo que un año tiene 360 días: 3t1 años Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -8375,5 12 9 5t2 años 125,7 360 45 7t3 años Ya podemos aplicar la fórmula:                                         años 35,6 041393,0 263,0 t 041393,0 700788,5963788,5 t 041393,0 5,097.502log954243,5 t 041393,0 5,540.2535,425.1735,131.75log963788,5 t 041393,0 507081,0000.500578085,0000.300751315,0000.100log963788,5 t 1,1log 1,1000.5001,1000.3001,1000.100log963788,5 t 1,01log 1,01000.5001,01000.3001,01000.100log000.920log t 125,775,53 125,775,53                     Para pasar los 0,35 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 2,41235,0  Para pasar los 0,2 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 6302,0  n= 6,35 años=6 años, 4 meses y 6 días. 27. Tenemos que realizar el pago de una deuda por importe de 200.000€ dentro de 2 años; convenimos con nuestro acreedor en efectuarle dos pagos, uno hoy de 50.000€ y el otro dentro de cuatro años por 160.000€. Calcule el tanto de interés compuesto a que se evaluó la operación sabiendo que fue menor que el 10%. C=200.000€ t=2 años C1=50.000€ t=0 C2=160.000€ t=4 i? Como la suma de los dos capitales por los que se quiere sustituir no es igual a la de la deuda, se trata de un capital común. Aplicamos entonces la fórmula correspondiente sabiendo que se trata de descuento racional: 0 1 2 3 4 C=200.000€ C1=50.000€ C2=160.000€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -84-         n 1s t t si1 i1 C Cs                                                                  4 4 242 2 40 t t 2 t 1 i1 000.160i1000.50 i1 000.200 i1 000.160 000.50 i1 000.200 i1 i1 000.160 i1 000.50 000.200i1 i1 C i1 C C21 Llamemos x=(1+ i)2:       0000.160x000.200x000.50000.160x000.50x000.200 x 000.160x000.50 000.200 x 000.160x000.50 x 000.200 x 000.160x000.50 x 000.200 i1 000.160i1000.50 i1 000.200 22 2 2 2 2 2 4 4 2                       105573,1x ;894427,2x 000.100 72,442.89000.200 000.100 000.000.000.8000.200 000.502 000.160000.504000.200000.200 x 21 2          Sustituyendo los valores:   0894427,1i2i 0894427,21i2iii21894427,2i1894427,2x 2 22 2 1     701302,0 2 402603,1 2 402603,32 2 577708,742 2 894427,11422 i 2         Esta solución no es posible porque es mayor al 10%.   0105573,0i2i 0105573,11i2iii21105573,1i1105573,1x 2 22 2 2     %15,5051463,0 2 102925,0 2 102925,22 2 422292,042 2 105573,01422 i 2         i=5,15% 28. Dos capitales, que vencen dentro de 12 y 15 años, está colocados respectivamente, en capitalización compuesta al 8% de interés el primero y al 12% el segundo. Si los montantes que generan son para el primero Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -85151.090,21€ y para el segundo 246.310,46€, determine los valores actuales de ambos capitales y el punto del tiempo en el cual tendrán igual valor. C0A? C0B? iA=8% iB=12% C12=151.090,21€ C15=246.310,46€ n? para que CnA y CnB sean iguales Calculemos el valor actual de los capitales:   n n 0i1 C C    €000.60 518170,2 21,090.151 08,01 C C12 12 A0      €000.45 473566,5 46,310.246 12,01 C C15 15 B0    Para saber cuánto tiempo tiene que pasar para que A y B sean iguales: n 0n )i1(CC  n nA )08,01(000.60C n n)12,01(000.45C     n n n n nn nBnA 037037,1333333,1 08,1 12,1 333333,1 08,1 12,1 000.45 000.60 12,1000.4508,1000.60CC          Si aplicamos logaritmos a los dos miembros: años 91,7n 015794,0 124939,0 037037,1log 124939,0 n037037,1logn124939,0037037,1log333333,1log n   Para pasar los 0,91 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año. Así: meses. 92,101291,0  Para pasar los 0,92 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes. Así: días 28días 6,273092,0  n= 7,91 años=7 años, 10 meses y 28 días. Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -8629. El día 1 de julio de 2013 se tienen que pagar 20.000€; el día 1 de abril de 2015, 200.000€, y el 1 de enero de 2017, 140.000€. Se desea efectuar un solo pago el día 1 de enero de 2013 computando intereses en régimen de capitalización compuesta al 5% semestral. Calcular el importe del pago. C1=20.000€ t1=6 meses=0,5 años C2=200.000€ t2=2 años y 3 meses=2,25 años C3=140.000€ t3=4 años i2=5% C? Lo primero que hacemos es calcular el tipo de interés anual:   1i1i k k     1025,0105,011i1i 22 2 Aplicamos la fórmula de capitalización compuesta, descuento racional:         n 1s t t si1 i1 C Cs         €66,357.26654,757.9412,575.160025.111 477455,1 000.140 245523,1 000.200 814059,1 000.20 1025,01 1025,01 000.140 1025,01 000.200 1025,01 000.20 C0 425,25,0                     C=266.357,66€ 30. El día 1 de abril de un determinado año el Sr. Moreno presta al Sr. Antolinos 60.000€ a pagar dentro de cinco años con los intereses acumulados al 8% nominal anual, capitalizable trimestralmente. Transcurridos dos años y tres meses, el Sr. Antolinos propone a su acreedor modificar el pago de la deuda, entregando en esta fecha 50.000€ y aceptando una letra con vencimiento dentro de un año de 26.000€ nominales. Se pide: 1/01/13 1/07/13 1/04/15 C? C1=20.000€ 1/01/17 C2=200.000€ C3=140.000€ 0 0,5 2,25 4 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -87a. Decidir si el Sr. Moreno debe aceptar la fórmula de pago propuesta, si el tipo de interés del mercado es del 10% compuesto efectivo anual. b. Calcular a qué tanto por ciento anual de interés le resultará al Sr. Moreno la operación de préstamo si acepta la propuesta del Sr. Antolinos. E=60.000€ t=5 años J4=8% 2 años y tres meses: E’=50.000€ y E’’=26.000€ a. imercado=10% anual ¿Acepta? Para que le interese aceptar la propuesta de pago tiene que comparar las condiciones primeras por lo que cuando ocurran los 5 años cobrará: n 0n )i1(CC  Pasamos el tanto nominal al tanto efectivo: 1 k J 1i k k       082432,01082432,11 4 08,0 11 4 J 1i 44 4             El capital equivalente a los cinco años sería: €76,156.89485946,1000.60)082432,01(000.60C5 5 En las nuevas condiciones veamos cuánto sería el capital que cobraría a los cinco años:   €983.64299660,1000.50)10,01(000.50)10,01(000.50'E 75,225,25     €23,719.30181509,1000.26)10,01(000.26)10,01(000.26''E 75,125,35   Si sumamos ambas cantidades: €23,702.9523,719.30983.64sustituir a Capital  0 1 2 3 4 5 E=60.000€ 2,25 años E’=50.000€ 3,25 E’’=26.000€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -88Dado que las últimas condiciones arrojan un capital que en el año 5 supera el que habría que pagar según las condiciones finales, el Sr. Moreno sí debería aceptar la propuesta. Sí debería aceptar la propuesta b. i? si acepta la propuesta. Si aceptara la propuesta habría que comparar lo que ha recibido por su préstamo inicial de 60.000€ durante los 5 años, aplicando la correspondiente fórmula. Es decir: 1 C C in 0 n %79,9097878,01097878,11595037,11 000.60 23,702.95 i5 5 i=9,79% 31. Una persona deposita 200.000€ en un banco que abona un 9% anual de interés compuesto, pero al final de cada año retira un tercio de los intereses para los estudios de su hijo hasta que éste termine su carrera. Si el hijo tardó seis años en concluir sus estudios, ¿de qué capital dispondrá en el banco a los diez años de tener efectuado el depósito? C0=200.000€ i=9% Al final de cada año: In-1/3In 6 años en terminar estudios C10? Veamos paso por paso: n 0n )i1(CC  Primer año: €000.218)09,01(000.200C1 1 €000.18000.200000.218CCI 011  Si retira un tercio de los intereses: €000.212000.18 3 2 000.200C 1  Segundo año: €080.231)09,01(000.212C1 2 €080.19000.212080.231CCI 122  Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 5: Capitalización Compuesta -89Si retira un tercio de los intereses: €720.224080.19 3 2 000.212C2  Tercer año: €80,944.244)09,01(720.224C1 3 €80,224.20720.22480,944.244CCI 233  Si retira un tercio de los intereses: €20,203.23880,224.20 3 2 720.224C3  Cuarto año: €49,641.259)09,01(20,203.238C1 4 €29,438.2120,203.23849,641.259CCI 344  Si retira un tercio de los intereses: €39,495.25229,438.21 3 2 20,203.238C4  Quinto año: €98,219.275)09,01(39,495.252C1 5 €59,724.2239,495.25298,219.275CCI 455  Si retira un tercio de los intereses: €12,645.26759,724.22 3 2 39,495.252C5  Sexto año: €18,733.291)09,01(12,645.267C1 6 €06,088.2412,645.26718,733.291CCI 566  Si retira un tercio de los intereses: €83,703.28306,088.24 3 2 12,645.267C6  El resto de los 4 años que quedan: €11,471.400)09,01(83,703.283C4 10  C10=400.471,11€ 32. Un capital de 170.000€, impuesto al 10% de interés anual compuesto, se convierten en n años en 273.786,70€. ¿A qué tanto por ciento de interés simple habrá de ponerse en igual tiempo para obtener el mismo capital final? C0=170.000€ i=10% anual compuesto n años Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -96-   912860,7 11,0 111,01 s 6 11,0 6    €90,692.118912860,7000.15S0,11 6  Sumando las dos cantidades obtenemos el saldo final: €96,862.24990,692.11806,170.131Saldo  Saldo=249.862,94€ 9. Un señor ingresa en un banco al final de cada año 200€. Se sabe que esa entidad abona intereses anualmente del 3% efectivo anual. Si el período de imposición dura 10 años, ¿qué cantidad puede retirar este individuo durante los 16 años siguientes? Se trata de una operación combinada. En virtud de la primera operación debemos calcular el valor final de una renta constante, inmediata, temporal, pospagable y entera, así: i ni n scS    i 1i1 s n i n     463879,11 03,0 103,01 s 10 03,0 10    €78,292.2463879,11200S0,105 4  La segunda operación consiste en calcular la cuantía de los términos de la segunda renta partiendo de que su valor inicial (2.292,78€) ha de ser equivalente al valor final de las imposiciones, es decir, al valor final de la renta anterior (2.292,78€): Esta segunda renta es una renta de las mismas características que la anterior. i ni n acA    i i11 a n i n    0 1 2 3 4 5 6 7 200 8 años 9 10 200 200 200 200 200 200 200 200 200 0 1 2 3 4 5 … años 15 16 c … c c c c c c Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -97-   561102,12 03,0 03,011 a 16 0,03 16     €53,182 561102,12 78,292.2 c561102,12c78,292.2  c=182,53€ 10. ¿Qué cantidad depositaremos en un banco que opera al 7% de interés compuesto anual, para recibir al final de cada año y durante 10 años una renta de 1.000€? Se trata de una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera: Hay que calcular el valor inicial: i ni n acA    i i11 a n i n      023582,7 07,0 07,011 a 10 0,07 10     €58,023.7023582,7000.1A 07,0 10  Imposición=7.023,58€ 11. Calcular la anualidad necesaria para amortizar en 10 años una deuda que en el momento actual asciende a 10.000€, si la operación ha sido estipulada al 6% de interés compuesto anual, y los pagos se realizan al final de cada año. Se trata de una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera: Hay que calcular la cuantía de los términos, conociendo el valor actual: i ni n acA    i i11 a n i n    0 1 2 3 4 5 6 7 10.000 8 años 9 10 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 0 1 2 3 4 5 6 7 c 8 años 9 10 c c c c c c c c c c 10.000 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -98-   360087,7 06,0 06,011 a 10 0,07 10     €68,358.1 360087,7 000.10 c360087,7c000.10  c=1.358,68€ 12. Para adquirir un piso el señor A ofrece 50.000€ al contado; el señor B 10.000€ en el acto de la firma del contrato y 4.000€ anuales durante 20 años; y el señor C 4.000€ anuales durante 30 años verificando el primer pago al concertar el contrato. Supuesto un tipo de interés del 6% ¿qué oferta es la más conveniente para el vendedor? Estudiemos cada una de las ofertas por separado: Oferta del Sr. A: €000.50Ai n  Oferta del Sr. B: 06,0 20i n A000.10A i ni n acA    i i11 a n i n      469921,11 06,0 06,011 a 20 06,0 20     €68,879.45469921,11000.4A 06,0 20  €68,879.5568,879.45000.10Ai n  Oferta del Sr. C: Esta renta se diferencia de la anterior en que es prepagable:   i ni n ai1cA   0 1 2 3 4 5 … años 19 20 … 4.000 10.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 0 1 2 3 4 5 … años 29 30 … 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -99-   i i11 a n i n      764831,13 06,0 06,011 a 30 0,06 30       €88,362.58764831,1306,01000.4A 0,06 30   La oferta que más le interesa es la del Señor C 13. Mediante la entrega de 500€ al término de cada año y durante 12, queremos constituir un capital que nos permita percibir durante los 20 años siguientes una renta. Calcular el término de la misma, si la operación se realiza al tanto de evaluación del 7%. Se trata de una operación combinada. En virtud de la primera operación debemos calcular el valor final de una renta constante, inmediata, temporal, pospagable y entera, así: i ni n scS    i 1i1 s n i n     888451,17 07,0 107,01 s 12 07,0 12    €23,944.8888451,17500S0,07 12  La segunda operación consiste en calcular la cuantía de los términos de la segunda renta partiendo de que su valor inicial (8.944,23€) ha de ser equivalente al valor final de las imposiciones, es decir, al valor final de la renta anterior (8.944,23€): Esta segunda renta es una renta de las mismas características que la anterior. i ni n acA    i i11 a n i n    0 1 2 3 4 5 … años 19 20 c … c c c c c c 0 1 2 3 4 5 … años 11 12 500 … 500 500 500 500 500 500 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -100-   594014,10 07,0 07,011 a 20 0,07 20     €27,844 594014,10 23,944.8 c594014,10c23,944.8  c= 844,27€ 14. El valor actual de una renta de 1.000€ anuales pospagable es de 9.818,15€. Si hubiese sido prepagable, el valor actual sería de 10.603,60€. Calcular el tanto y el tiempo. La relación entre el valor actual de una renta pospagable y un prepagable es que la segunda es igual a la primera multiplicada por (1+i), por tanto:   i1AA i ni n       108,1i08,1 15,818.9 60,603.10 i1i115,818.960,603.10  %808,0i  Para calcular el tiempo tenemos que utilizar la cuantía del término. Si utilizamos los valores de la renta pospagable, podemos proceder de la siguiente forma: i ni n acA    i i11 a n i n    81815,9 000.1 15,818.9 aa000.115,818.9 i ni n                        20 033423755,0 668455287,0 08,1log 214558,0log n08,1logn214558,0log 08,1log214558,0log08,1785452,01785452,008,11 08,081815,908,1181815,9 08,0 08,011 a nnn n n 08,0 n           años 20n i=8%; n=20 años 15. A un grupo financiero le ofrecen la explotación de una mina y, tras el estudio de la misma, se obtienen los siguientes datos: ▪ Tiempo de explotación hasta el agotamiento: 10 años. ▪ Beneficios netos anuales: 300.000€ ▪ Tipo de interés para el dinero invertido en la financiación: 14% Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -101Determinar el precio máximo que puede ofrecerse para su adquisición. Para determinar el precio máximo habrá que calcular el valor actual de esa inversión, con los datos propuestos. Se trata de una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. i ni n acA    i i11 a n i n      216116,5 14,0 14,011 a 10 0,14 10     €8,834,564.1216116,5000.300A14,0 10  P=1.564.834,68€ 16. Al señor Navarro, que pretende adquirir un apartamento en la costa, se le ofrecen por parte de la empresa vendedora las siguientes opciones: a. Pago al contado de 48.080,97€ b. Abono de 90.151,82€ dentro de 6 años. c. Ochenta pagos anuales de 1.202,02€, a partir de la firma del contrato, sabiendo que el interés del mercado es del 16% anual. Determinar cuál de las tres opciones le interesa al señor Navarro desde el punto de vista financiero. Estudiemos cada una de las ofertas por separado: Oferta A: €97,080.48Ai n  Oferta B:   n n 0 i1 C C  0 1 2 3 4 5 6 7 300.000 8 años 9 10 300.000 300.000 300.000 300.000 300.000 300.000 300.000 300.000 300.000 0 1 2 3 4 5 6 años 90.151,82 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -102-   €12,002.37 16,01 82,151.90 C6 0   €12,002.37C0 Oferta C: Se trata de una renta constante, temporal, inmediata, prepagable y entera:   i ni n ai1cA     i i11 a n i n      249956,6 16,0 16,011 a 80 0,16 80       €58,714.8249956,616,0102,202.1A 0,16 8   La oferta que más le interesa es la C 17. ¿Qué cantidad depositaremos en una institución financiera que opera al 9% de interés anual: a. para recibir al final de cada año 240€ durante los próximos 5 años? Se trata de una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. i ni n acA    i i11 a n i n      889651,3 09,0 09,011 a 5 0,09 5     €52,933889651,3240A09,0 5  Imposición=933,52€ 0 1 2 … años 79 80 … 1.202,02 1.202,02 1.202,02 0 1 2 3 4 5 años 240 240 240 240 240 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -103b. para recibir al principio de cada año 3.000€ durante los próximos 5 años? Se trata de una renta constante, temporal, prepagable, inmediata y entera.   i ni n ai1cA     i i11 a n i n      889651,3 09,0 09,011 a 5 0,09 5       €16,719.12889651,309,01000.3A 09,0 5   Imposición=12.719,16€ 18. Un inversor que durante 9 años y al final de cada uno venía depositando X€ en una cuenta bancaria decide con el capital constituido realizar una inversión que le produzca un beneficio anual a perpetuidad de la misma cuantía X. Se pide determinar el tanto de la inversión suponiendo que es el mismo en ambas operaciones financieras. Se trata de una operación combinada. En virtud de la primera operación debemos calcular el valor final de una renta constante, inmediata, temporal, pospagable y entera, así: i ni n scS    i 1i1 s n i n     i 1i1 s 9 i 9   i 9i 9 sXS  0 1 2 3 4 5 años 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 0 1 2 3 4 5 6 años 7 8 X X X X X X X X 9 X Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -104La segunda operación consiste en calcular la cuantía de los términos de la segunda renta partiendo de que su valor inicial ( i 9sX  ) ha de ser equivalente al valor final de las imposiciones, es decir, al valor final de la renta anterior ( i 9sX  ): Esta segunda renta es una renta constante, inmediata, perpetua, pospagable y entera, así i c Ai  i X Ai  Como los dos valores anteriores tienen que ser iguales, podemos despejar el valor del tanto de las rentas: i 1 s1is X X isXisX i X sX i 9i 9i 9i 9i 9  Sustituyendo:           0800660,010800660,1i0800660,1i1 2i12i111i111i1 i 1 i 1i1 s9 99999 9 i 9     %80800660,0i  i=8% 19. Una persona recibe una participación en una compañía de inversiones, recibiendo durante 10 años 1.000€ anuales como participación en los beneficios de la misma y un año después 15.000€. Se pide calcular el valor de la participación, siendo el tanto de valoración del 9% Hay que calcular el valor actual de una renta constante, pospagable, temporal, inmediata y entera, y después sumarle los 15.000€ del año 11 actualizados. i ni n acA  0 1 2 3 4 5 … … X X X X X 0 1 2 3 4 5 … años 10 11 1.000 … 15.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes -105-   i i11 a n i n      417658,6 09,0 09,011 a 10 0,09 10     €66,417.6417658,6000.1A 09,0 10  Actualizamos ahora los 15.000€ del año 11:   n n 0 i1 C C    99,812.5 09,01 000.15 C11 0   €65,230.1299,812.566,417.6iónParticipac  Valor Participación=12.230,65€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -112V10=22.889,47€ b. Suponiéndola diferida 4 semestres, prepagable y perpetua. Valor actual:   i )d;c( i )d;c( A d i1 A d      i )d;c( -d i )d;c( Ai1 A d  i 1 i d cA i )d;c(        €000.100 05,0 1 05,0 200 000.1A 05,0 )200;000.1(            €24,270.82000.10005,01A05,01 A d-4 05,0 )200;000.1( -4 05,0 )200;000.1(        €75,383.8624,270.8205,01 A d 05,01 A d 05,0 )200;000.1( 05,0 )200;000.1(     V0=86.383,75€ Valor final: Las rentas perpetuas no tienen valor final. No tiene 8. Calcular el capital constituido en 5 años en una cuenta que se retribuye al 10% de interés efectivo (TAE) si se imponen 250 euros mensuales durante los próximos 3 años, al final de cada mes. 1.000 1.000+200 ... 1 2 semestres ... 1.000+2·200 0 Período de diferimiento d=4 250 1/12 meses 0 2/12 ... 12/12 12/12 0 5 años 250 250 ... 3 4 Saldo? Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -113El capital constituído se calcula con el valor final de cualquier renta. Se trata de una renta constante, pospagable, temporal, anticipada y fraccionada, por lo que podemos resolverla por dos métodos: Calculamos el interés «i12» de frecuencia semestral a partir del tanto efectivo anual «i». Para ello utilizamos la fórmula que los relaciona y, posteriormente, la fórmula de una renta constante, anticipada dos meses, temporal, pospagable y entera (porque ya la habremos forzado a ser entera al hacer coincidir el período del término con el del tanto de capitalización), teniendo en cuenta que ahora trabajamos con «n•k» períodos, es decir con 12·3=36 períodos. Así:   1i1i k1 k   007974,0110,01i 121 12  El valor actual de este tipo de renta es: i ni n s h c S h   i n h i n si1 s h   i 1i1 s n i n     509070,41 007974,0 1007974,01 s 36 i 36        €225807,50509070,41007974,01s007974,01 s 224 007974,0 36 24 007974,0 63  €45,556.12225807,50250 s 2 250 S 2 007974,0 36007974,0 36  Saldo=12.556,45€ 9. Qué capital debemos imponer en un Banco que abona intereses del 4,5% para que éste sea suficiente para cubrir los gastos de cierto negocio durante 10 años, sabiendo que el año anterior ascendieron a 1.000€ y se prevé un aumento anual del 3%. Se supone que los gastos se abonan al final de cada año. 1.030 ... 1 2 años ... 1.030·1,03 3 4 10 0 5 1.030·1,032 1.030·1,033 1.030·1,034 1.030·1,039 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -114Debemos hacer notar que los gastos al final del primer año no son 1.000, sino que son 1000·1,03=1.030€, ya que los 1.000€ corresponden al año anterior. Que los gastos aumenten un 3% es lo mismo que multiplicar cada término por (1+0,03), es decir, que la razón de la progresión es q=1,03. Se trata de una renta variable en progresión geométrica pospagable, temporal, inmediata y entera. Como la razón de la progresión q=1,03 y el tanto de valoración i=0,045, no se cumple i1q  , por lo que se para calcular el valor actual se tiene que aplicar la siguiente fórmula:   qi1 i1q1 cA n n i n )q;c(       €57,243.9 03,1045,01 045,0103,11 030.1A 10 10 045,0 10 )03,1;000.1(      Imposición=9.243,57€ 10. Para formar un capital de 1.000.000€ se deposita durante 8 años, y al principio de cada uno de ellos una anualidad al 5% de interés compuesto, siendo cada año 307€ mayor que la del año anterior. Determinar el valor de la primera imposición. Se trata de una renta variable en progresión aritmética de razón d=307, prepagable, temporal, inmediata y entera, pero de la que conocemos el valor final pero no el primer término. Aplicaremos la fórmula correspondiente y despejaremos c:   i n )d;c( n i n )d;c( Ai1S      i n )d;c(i n )d;c( Ai1A   i nd and i d cA i ni n )d;c(          i i11 a n i n    c ... 1 2 años ... c+307 8 0 c+2·307 c+7·307 7 V8=1.000.000 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -115-   463213,6 05,0 05,011 a 8 05,0 8       78,437.6c463213,6120.4978,557.55c463213,6 120.49463213,6596.8c 05,0 3078 463213,63078 05,0 307 c 05,0 3078 a3078 05,0 307 cA 0,05 805,0 8 )307;c(                            67,759.6c786374,678,437.6c463213,605,1 78,437.6c463213,605,01A05,01A 05,0 8 )307;c(05,0 8 )307;c(            11,987.9c026565,1067,759.6c786374,6477455,1 67,759.6c786374,605,01A05,01S 8 05,0 8 )307;c( 8 05,0 8 )307;c(     Como se sabe que el valor final es 1.000.000€, igualamos y despejamos c: €99,738.98 026565,10 89,012.990 cc026565,1089,012.990 c026565,1011,987.9000.000.111,987.9c026565,10000.000.1   c=98.738,99€ 11. De un catálogo deducimos que la adquisición de una maquinaria puede hacerse abonando en el acto 1.000€ y al término de cada año una anualidad que supera a la anterior en 4%. Determinar el precio de la misma al contado, sabiendo que son en total diez los pagos a realizar, contando los primeros 1.000€ al contado, y que la operación se valora al 7% de interés compuesto anual. Que los pagos aumenten un 4% es lo mismo que multiplicar cada término por (1+0,04), es decir, que la razón de la progresión es q=1,04. Se trata de una renta variable en progresión geométrica, prepagable, inmediata, temporal y entera. Como la razón de la progresión q=1,04 y el tanto de valoración i=0,07, no se cumple i1q  , por lo que se para calcular el valor actual se tiene que aplicar la siguiente fórmula: 1.000 ... 1 2 años ... 1.000·1,04 3 4 10 0 5 1.000·1,042 1.000·1,043 1.000·1,044 1.000·1,049 9 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -116-   i n )q;c(i n )q;c( Ai1A     qi1 i1q1 cA n n i n )q;c(       €63,250.8 04,107,01 07,0104,11 000.1A 10 10 07,0 10 )04,1;000.1(          €17,828.863,250.807,01A07,01A 07,0 10 )04,1;000.1(07,0 10 )04,1;000.1(   Precio=8.828,17€ 12. El valor actual de una renta unitaria pospagable de cinco años de duración, cuyos términos varían en progresión geométrica es 4,49748. Si la renta fuera perpetua, en idénticas condiciones, su valor sería 33,333333. Calcular el tanto de interés y la razón de la progresión. Calcular el tanto de interés y la razón de la progresión sabiendo que la razón de la progresión es menor que 1+i. Vamos a analizar los dos casos: Renta variable en progresión geométrica, pospagable, temporal, inmediata y entera:   qi1 i1q1 cA n n i n )q;c(       49748,4 qi1 i1q1 1A 5 5 i 5 )q;1(      Renta variable en progresión geométrica, pospagable, perpetua, inmediata y entera: qi1 c A i )q;c(   1 2 años 1·q 3 4 0 5 1·q2 1·q3 1·q4 1·q5 V0=4,49748 1 2 años 1·q 3 4 0 ... 1·q2 1·q3 1·q4 ... V0=33,333333 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -117-       03,0qi1 33333,33 1 qi1qi133333,33133333,33 qi1 1 A i )q;1(     Ahora ya podemos sustituir en la primera expresión el denominador:         i1 q 971429,0 i1 q 865076,0 i1 q 865076,0134924,0i1q103,049748,4i1q1 49748,4 03,0 i1q1 49748,4 qi1 i1q1 1A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 i 5 )q;1(                      Si utilizamos además la primera expresión que conocemos: q03,0i103,0qi1    02,1 02857,0 029143,0 q q028571,0029143,0q971429,0q029143,0qq971429,0029143,0 qq03,0971429,0971429,0 q03,0 q 971429,0 i1 q       q=1,02 El tanto de interés será: %505,0102,103,01q03,0iq03,0i1  i=5% 13. Tras patentar un invento, el Sr. X cede la explotación de la patente en las siguientes condiciones: a. Al finalizar el primer año, el concesionario le entregará 1.000€. b. En cada uno de los siete años siguientes, la entrega será 200€ superior a la del año anterior. c. En los cuatro años siguientes, la entrega permanecerá constante e igual a la del octavo año. d. En los ocho años restantes, la entrega irá disminuyendo 100€ cada año. Estableciendo el contrato, el concesionario propone al Sr. X la transformación del mismo en otro, según el cual durante todos los años le entregue al final de cada año una cantidad constante. Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -118Determinar cuál será esta cantidad anual constante, si se computan intereses al 6%. En la primera parte del problema se trata de varias rentas diferentes entre sí de las que hallaremos su valor actual para poder sumarlas posteriormente: Renta 1: Se trata de una renta variable en progresión artimética de primer término c=1.000, de razón d=200, temporal de 8 términos, inmediata y entera, por lo que su valor actual será: i nd and i d cA i ni n )d;c(        06,0 2008 a2008 06,0 200 000.1A 0,06 806,0 8 )200;000.1(           i i11 a n i n      209794,6 06,0 06,011 a 8 06,0 8     €11,178.10 06,0 2008 209794,62008 06,0 200 000.1A 06,0 8 )200;000.1(          Renta 2: Se trata de una renta constante de cuantía c=1.000+7·200=2.400€, temporal de 4 términos, diferida 8 años y entera, por lo que su valor actual será: i ni n a d c A d   d i n i n i1 a a d    i i11 a n i n      465106,3 06,0 06,011 a 4 06,0 4     1.000 1.000+200 1.000+2·200 ... 0 1 2 3 ... 8 1.000+7·200 1.000+7·200 ... ... 12 1.000+7·200-100 1.000+7·200-7·100 ... ... 13 20 años Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -119-     174050,2 06,01 465106,3 06,01 a a 888 0,06 4 06,0 4      €72,217.5174050,2400.2 a 8 400.2 A 8 06,0 406,0 4  Renta 3: Se trata de una renta variable en progresión artimética de primer término c=1.000+7·200-100=2.300€, de razón negativa d=-100, temporal de 8 términos, diferida 12 años y entera, por lo que su valor actual será:   d i n )d;c( i n )d;c( i1 A A d   i nd and i d cA i ni n )d;c(          i i11 a n i n      209794,6 06,0 06,011 a 8 06,0 8         37,298.12 06,0 1008 209794,6)100(8 06,0 100 300.2 06,0 1008 a)100(8 06,0 100 300.2A 0,06 806,0 8 )100;300.2(                           €91,111.6 06,01 37,298.12 06,01 A A 12 1212 06,0 8 )100;300.2( 06,0 8 )100;300.2(       Si sumamos los tres valores actuales: €11,178.10A06,0 8 )200;000.1(  €72,217.5 A 8 06,0 4  €91,111.6 A 12 06,0 8 )100;300.2(   €74,507.2191,111.672,217.511,178.10V0 En la segunda parte del problema se propone cambiar el primer contrato por una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera, de la que haciéndolo coincidir con el valor actual de la rentas anteriores hay que calcular la cuantía constante c: Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -120i ni n acA    i i11 a n i n      469921,11 06,0 06,011 a 20 06,0 20     €14,875.1 469921,11 74,507.21 c469921,11c74,507.21acA 06,0 806,0 20  c=1.875,14€ 14. Hallar la razón de las anualidades de una renta perpetua pospagable que varía en progresión geométrica, siendo su primer término 50€, el tipo de interés 6% y habiendo pagado por ellas 2.500€ y sabiendo que q<1+i. Se trata de una renta variable en progresión geométrica de primer término c=50 y de razón desconocida q, pospagable, perpetua, inmediata y entera. Dado que conocemos su valor inicial, podemos despejar de la fórmula la razón q: qi1 c A i )q;c(     04,1 500.2 600.2 qq500.2600.2q500.250650.250q500.2650.2 50q06,1500.2 q06,01 50 500.2 q06,01 50 A 06,0 )q;50(       q=1,04 15. Cierta persona tiene dos opciones para pagar una deuda en 10 años: pagar al final de cada cuatrimestre 450€, o bien pagar el último día de cada mes c 0 1 2 3 ... 8 ... ... 12 ... 13 20 años c c c c c c ... ... i=6% V0=2.500€ 50 0 1 2 ... años ... 3 50·q 50·q2 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -121112€. Si el tanto de valoración de ambas es del 7%. ¿Cuál es la más ventajosa para el acreedor? Opción A: Para ambas rentas calcularemos su valor actual para poder compararlas. Esta primera es una renta constante, pospagable, temporal, inmediata y fraccionada, por lo que podemos resolverla por dos métodos: Calculamos el interés «i3» de frecuencia cuatrimestral partir del tanto efectivo anual «i». Para ello utilizamos la fórmula que los relaciona y, posteriormente, la fórmula de una renta constante, inmediata, temporal, pospagable y entera (porque ya la habremos forzado a ser entera al hacer coincidir el período del término con el del tanto de capitalización), teniendo en cuenta que ahora trabajamos con «n•k» períodos, es decir con 10·3=30 períodos. Así:   1i1i k1 k   022809,0107,01i 31 3 El valor actual de este tipo de renta es: i ni n acA    i i11 a n i n    Así: 022809,0 30022809,0 30 a450A   555039,21 022809,0 022809,011 a 30 0,022809 30     €77,699.9555039,21450A022809,0 30  Opción B: ... 1/3 cuatrimestres 450 0 2/3 3/3 3/3 0 1 10 ... años 450 450 450 ... 1/12 meses 112 0 2/12 12/12 12/12 0 1 10 ... años 112 112 ... ... 112 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -128i=11,12% 19. Dª Rosa de las Flores recibe en herencia una sala de espectáculos, por la que se perciben 1.500€ al principio de cada mes de alquiler, se pagan al final de cada mes 100€ en concepto de gastos de administración y 90€ al final de cada trimestre de impuestos. Se pide calcular el valor actual de dicho bien, siendo el tanto de valoración semestral del 5%. Se trata de tres rentas diferentes, para las que hay que hallar el valor actual y posteriormente sumamos el de la renta de los alquileres y restamos la de los gastos e impuestos, teniendo en cuenta que el tipo de interés que nos dan es semestral, es decir, i2=5%, siendo todas ellas perpetuas y siendo el tanto anual equivalente el siguiente:   1i1i k k     1025,0105,011i1i 22 2 Renta de los alquileres: Es una renta prepagable, constante, perpetua, inmediata y entera, porque vamos a calcular el tanto mensual a través del anual.   1i1i k1 k   008165,011025,01i 121 12  i i1 cA i    96,210.185 008165,0 008165,01 500.1A 0,008165     Renta de los gastos de administración: ... 100 0 1 1/12 2/12 ... ... meses años 3/12 12/12 ... ... 100 100 100 1.500 0 1 1/12 2/12 ... ... meses años 3/12 ... 1.500 1.500 12/12 1.500 1.500 ... ... ... Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 7: Rentas Variables -129Es una renta pospagable, constante, perpetua, inmediata y entera, porque vamos a calcular el tanto mensual a través del anual. 008165,0i12  i c Ai  €40,247.12 008165,0 100 A008165,0  Renta de los impuestos: Es una renta pospagable, constante, perpetua, inmediata y entera, porque vamos a calcular el tanto trimestral a través del anual.   1i1i k1 k   024695,011025,01i 41 4 i c Ai  €46,644.3 024695,0 90 A024695,0  Restando a los ingresos actualizados los gastos actualizados: €10,319.16946,644.340,247.1296,210.185V0 V0=169.319,10€ 90 0 1/4 2/4 ... ... trimestres años 3/4 ... 90 90 4/4 90 1 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -130PROBLEMAS CON SOLUCIÓN NIVEL II TEMA 8: PRÉSTAMOS 1. Considere un préstamo americano de duración 8 años, principal de 750.000€ y de interés anual compuesto del 9%. Determine el capital a devolver y el pago anual de intereses. Los intereses que se abonan al final de cada año son: iCI 0n  €500.6709,0000.750IIIIIIII 87654321  Además de los intereses, en el tercer año tiene que devolver los 750.000€. C8=750.000€ I=67.500€ 2. Calcule el capital a devolver en un préstamo de 10.000€ mediante reembolso único sin pago periódico de intereses si se debe amortizar a los 5 años con un interés del 10% anual compuesto. Tendrá que abonar el capital prestado más los intereses en régimen de capitalización compuesta. Es decir:   n 0n i1CC    €10,105.1610,01000.10C5 5 €10.105.16C5 C0=10.000 C5=? 0 5 años i=10% C0=750.000 C8 0 años i=15% I2 I4 I6 I8 I3 I5 I1 I7 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -131C10=16.105,10€ 3. Se pide, sin realizar el cuadro de amortización, calcular los siguientes conceptos para el caso de un préstamo de principal 50.000€, amortizable en 4 años al 6% anual, según el método lineal: a. El capital vivo al final del año 1. kACC 0k   1ACC 01  n C A0   €500.12 4 000.50 A €500.371500.12000.501ACC 01  C1=37.500€ b. Calcular la cuota de interés del segundo año. iCI 1kk    iCI 12  500.7C1 €250.206,0500.37iCI 12  I2=2.250€ c. El capital amortizado al final del año 2. €000.252500.12mkAm 2k  m2=25.000€ d. El término amortizativo del tercer año.     iA13aaiA1kaa 131k  11 IAa  €000.306,0000.50iCIiCI 011kk   €500.15000.3500.12IAa 11    €000.1406,0500.122500.15iA13aa 13  a3=14.000€ 4. Realice el cuadro de amortización del ejercicio anterior. Primero hay que hallar el término amortizativo: €500.12 4 000.50 n C A0 Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -132- (5) (4) (1) (2) (3) Años Térm. amor. Cuota de interés Cuota de amortización Total amortizado Capital vivo 0 - - - - 50.000 1 15.500 3.000 12.500 12.500 37.500 2 14.750 2.250 12.500 25.000 25.000 3 14.000 1.500 12.500 37.500 12.500 4 13.250 750 12.500 50.000 0 Total 57.500 7.500 50.000 50.000 0 A=12.500€ 5. Construir el cuadro de amortización de un préstamo que cumple las siguientes características: • Importe: 35.000€ • Duración: 5 años • Tipo de interés: 10% anual • Cuotas de amortización anuales constantes Primero hay que hallar la cuota de amortización: €000.7 5 000.35 n C A0 (5) (4) (1) (2) (3) Años Térm. amor. Cuota de interés Cuota de amortización Total amortizado Capital vivo 0 - - - - 35.000 1 10.500 3.500 7.000 7.000 28.000 2 9.800 2.800 7.000 14.000 21.000 3 9.100 2.100 7.000 21.000 14.000 4 8.400 1.400 7.000 28.000 7.000 5 7.700 700 7.000 35.000 0 Total 45.500 10.500 35.000 35.000 0 A=7.000€ 6. Sea el siguiente préstamo que se amortizará por el sistema de anualidades constantes: • Importe: 250.000€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -133- • Duración: 30 años • Tipo de interés: 7% anual Se pide, sin realizar el cuadro de amortización: a. Determinar la anualidad. En primer lugar tendremos que calcular el término amortizativo:   n0 i1-1 iC a       €60,146.20 07,01-1 07,0000.250 i1-1 iC a30-n0        a=20.146,60€ b. Capital amortizado después del pago de la undécima anualidad. 11010k0k CCmCCm      i 1i1 ACC i 1i1 ACC 11 1011 k 10k     €60,646.207,0000.25060,146.20iCaA 01      €13,227.208 07,0 107,01 60,646.2000.250 i 1i1 ACC 1111 1011      €87,772.4113,227.208000.250CCm 11011  m11=41.772,87€ c. Cuota de interés del año veintitrés. iCIiCI 22231kk     i 1i1 ACC 22 1022   €60,646.2A1     €41,301.120 07,0 107,01 60,646.2000.250 i 1i1 ACC 2222 1022      €10,421.807,041,301.120iCI 2223  I23=8.421,10€ d. Cuota de amortización del año catorce. Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -134-           13 1 114 114 1k 1k i1Ai1AAi1AA   €60,646.2A1   €90,377.607,0160,646.2A 13 14  A14=6.377,90€ e. Deuda pendiente al comienzo del año diez. Si nos pide la deuda pendiente al comienzo del año diez, eso es lo mismo que calcular la deuda pendiente al final del año 9, para que podamos aplicar la fórmula:     i 1i1 ACC i 1i1 ACC 9 10 k 10k      €60,646.2A1     €06,299.218 07,0 107,01 60,646.2000.250 i 1i1 ACC 99 109      C15=218.299,06€ 7. Se pide construir el cuadro de amortización de un préstamo que se amortiza por el sistema francés de 3.000€ sabiendo que se canceló mediante la entrega de cinco anualidades. El tipo de interés aplicado en un principio fue de un 4%. No obstante, al cabo de los 3 años el banco subió el tipo y aplicó un 5% para los dos últimos años. En primer lugar tendremos que calcular el término amortizativo suponiendo que el tipo de interés no ha variado y que sería del 4% para toda la vida del préstamo:   n0 i1-1 iC a       €88,673 04,01-1 04,0000.3 i1-1 iC a5-n0        Al finalizar el tercer año, hay que volver a calcular el término amortizativo para los dos últimos años en función de su capital vivo al finalizar el año 3 que es:     i 1i1 ACC i 1i1 ACC 3 103 k 10k     €88,55304,0000.388,673iCaA 01  Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -135-     €271.1 04,0 104,01 88,553000.3 i 1i1 ACC 33 103      Como es ése el nuevo capital vivo ahora habría que volver a calcular el término amortizativo que se aplicará durante los dos últimos años pero ahora la 5%:     €55,683 05,01-1 05,0271.1 i1-1 iC a2-n0          (1) (2) (3) (4) (5) Años Térm. amor. Cuota de interés Cuota de amortización Total amortizado Capital vivo 0 - - - - 3.000 1 673,88 120 553,88 553,88 2.446,12 2 673,88 97,84 576,04 1.129,92 1.870,08 3 673,88 74,80 599,08 1.729,00 1.271,00 4 683,55 63,55 620 2.349 651 5 683,55 32,55 651 3.000 0 Total 3.388,74 388,74 3.000 3.000 0 a=673,88€ a’=683,55€ 8. Una sociedad solicita un préstamo al banco de 15.000€ a reintegrar en 6 años mediante el método lineal al 4% de interés efectivo anual. Al llegar al cuarto pago no tiene liquidez suficiente y acuerda con el banco pagarle únicamente los intereses vencidos. Al año siguiente comienza a efectuar de nuevo los pagos anuales siguiendo con el método lineal al 6% de interés efectivo anual, hasta la cancelación definitiva del préstamo. Se pide: a. Cuota de amortización de los tres primeros años. €500.2 6 000.15 n C A0 A=2.500€ b. Intereses abonados en el cuarto año. iCiCIiCI 31441kk   Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -136Previamente necesitamos calcular el capital vivo al final del tercer período mediante su fórmula correspondiente: €500.73500.2000.153ACCkACC 030k  €30004,0500.7iCI 34  I4=300€ c. Capital vivo a principios del quinto año. El capital vivo a principios del quinto año es el mismo que a finales del cuarto año. Dado que en el cuarto año no realizó devolución de capital, únicamente pagó los intereses, el capital vivo a principios del quinto año (o a finales del cuarto año) coinciden con el que tenía a finales del tercer año. Es decir, C3, que ya hallamos su valor y era: €500.7CC 34   C’4=7.500€ d. Anualidad correspondiente a los dos últimos años. Para calcular la anualidad correspondiente a los dos últimos años tendremos que calcularla sobre capital pendiente a finales del cuarto año calculado en el apartado anterior, por lo que: €750.3 2 500.7 n C A0     A’=3.750€ e. Cuadro de amortización de la operación. (5) (4) (1) (2) (3) Años Térm. amor. Cuota de interés Cuota de amortización Total amortizado Capital vivo 0 - - - - 15.000 1 3.100 600 2.500 2.500 12.500 2 3.000 500 2.500 5.000 10.000 3 2.900 400 2.500 7.500 7.500 4 300 300 - 7.500 7.500 5 4.200 450 3.750 11.250 3.750 6 3.975 225 3.750 15.000 0 Total 17.475 2.475 15.000 15.000 0 A=2.500€ A’=3.750€ Matemáticas Financieras Prof.: Mª Mercedes Rojas de Gracia Problemas Tema 8: Préstamos -1379. Realice el ejercicio anterior pero en lugar de considerar el método lineal considere el método de términos amortizativos constantes. Es decir, se pide: a. Término amortizativo de los tres primeros años.     €43,861.2 04,011 04,0000.15 i11 iC a6n 0       a=2.861,43€ b. Intereses abonados en el cuarto año. iCiCIiCI 31441kk   Previamente necesitamos calcular el capital vivo al final del tercer período mediante su fórmula correspondiente:     i 1i1 ACC i 1i1 ACC 3 103 k 10k     €43,261.204,0000.1543,861.2iCaA 01      €71,940.7 04,0 104,01 43,261.2000.15 i 1i1 ACC 33 103      €63,31704,071,940.7iCI 34  I4=317,63€ c. Capital vivo a principios del quinto año. El capital vivo a principios del quinto año es el mismo que a finales del cuarto año. Dado que en el cuarto año no realizó devolución de capital, únicamente pagó los intereses, el capital vivo a principios del quinto año (o a finales del cuarto año) coinciden con el que tenía a finales del tercer año. Es decir, C3, que ya hallamos su valor y era: €71,940.7CC 34   C’4=7.940,71€ d. Anualidad correspondiente a los dos últimos años. Para calcular la anualidad correspondiente a los dos últimos años tendremos que calcularla sobre capital pendiente a finales del cuarto año calculado en el apartado anterior, por lo que:     €16,331.4 06,011 06,071,940.7 i11 iC a2n 0          