Selección de carteras: modelos y algoritmos

El problema de selección de carteras: modelos y algoritmos Enriqueta Vercher González Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universitat de València Facultad de CC. Económicas y Empresariales. Universidad de Málaga 4 de Noviembre de 2016 Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 El problema de selección de carteras Preliminares El problema de seleccionar una cartera de inversión tiene como objetivo determinar qué cantidad hemos de invertir en cada activo de manera satisfactoria para el inversor, teniendo en cuenta la incertidumbre asociada al comportamiento de los mercados financieros. La primera formulación matemática del problema de seleccionar una cartera se debe a Harry Markowitz, quien en 1952 estableció que: Selección de una cartera El proceso de seleccionar una cartera puede ser dividido en dos fases. La primera etapa comienza con la observación y la experiencia, y concluye con las estimaciones (convicciones) sobre el futuro comportamiento de los activos disponibles. La segunda etapa comienza con la información relevante de la primera etapa acerca del rendimiento futuro y finaliza con la elección de la cartera. Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Selección de carteras basadas en conjuntos fuzzy Incertidumbre del rendimiento de la inversión Números fuzzy y distribución de posibilidad Dada una cartera X= (x1,x2, ...xN), la lógica fuzzy permite también modelizar la incertidumbre del rendimiento mediante cantidades fuzzy o distribuciones de posibilidad/credibilidad. Alternativamente: La incertidumbre del rendimiento del activo j-ésimo puede modelarse, por ejemplo, mediante números fuzzy de tipo LR,˜ Rj= (alj ,auj ,cj,dj)LR para j=1,2, . . . , N, y el rendimiento total de la cartera como combinación de los rendimientos de los activos individuales: ˜ RP(x) = N X j=1 xj˜ Rj, La incertidumbre del rendimiento de la cartera Xpuede aproximarse directamente mediante una cantidad fuzzy, PX, que incorpore la relación contemporánea que guardan entre si los rendimientos de los Nactivos mediante una única función de pertenencia. Dado que un número fuzzy induce una distribución de posibilidad que coincide con su función de pertenencia (Zadeh’78), podemos estimar los valores esperados de rendimiento y riesgo de una cartera mediante los momentos posibilísticos de ˜ RP(x)o de PX, respectivamente. También podemos aproximar una distribución de credibilidad a los datos históricos. Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Selección de carteras basadas en conjuntos fuzzy Incertidumbre del rendimiento de la inversión Optimización lineal semi-infinita Para rendimientos fuzzy LR con funciones de referencia tipo potencia, ˜ Rj, y un nivel esperado de rendimiento trapezoidal ˜ Rf, el modelo (FMDR) tiene una estructura semi-infinita: Modelo de PSIL (FMDR)Min PN j=1(Bj−Aj+sAj pj pj+1+sBj qj qj+1)xj s.a.PN j=1(Aj−sAj (1−α) 1 pj)xj≥Rl−c0(1−α)α∈[h,1] PN j=1(Bj+sBj (1−α) 1 qj)xj≥Ru+d0(1−α)α∈[h,1] PN j=1xj=1 0≤xj≤uj El cumplimiento de la restricción fuzzy se controla mediante el valor de h∈[0,1], permitiendo la incorporación de la opinión del inversor. El conjunto factible de este problema es acotado y su resolución se alcanza aplicando condiciones de optimalidad KKT bajo la cualificación de restriccciones de Slater para programación semi-infinita lineal (Vercher’08). Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Modelos de selección con múltiples objetivos Rendimiento fuzzy de una cartera Rendimiento fuzzy de una cartera: PX Dada una cartera X= (x1,x2, ..., xN)se calculan los rendimientos históricos, {rt(X)}T t=1: rt(X) = N X j=1 rjt xj donde el rendimiento rjt del activo j-ésimo se calcula como rjt =pj(t+1)−pjt pjt , siendo pjt el precio del activo jen el periodo t. La incertidumbre sobre el rendimiento se modeliza mediante un número fuzzy de tipo LR: PX= (pl,pu,c,d)LπRρ. En lugar de agregar las incertidumbres individuales de los activos, aproximamos directamente la incertidumbre del rendimiento de la cartera. Los rendimientos rt(X)incorporan información implícita sobre las relaciones contemporáneas entre los diferentes activos (Bermúdez et al’07). Los valores de los momentos de la distribución de posibilidad no son parámetros conocidos en el problema de optimización, alternativamente se evalúan una vez conocidos las valores de la variable de decisión X. Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Modelos de selección con múltiples objetivos Modelos posibilísticos con múltiples objetivos Algoritmo genético para el modelo CCMDR El algoritmo genético trabaja con carteras factibles e incorpora un criterio de dominancia. Maneja dos poblaciones: la actual siempre del mismo tamaño M, y el conjunto de soluciones no-dominadas que puede tener diferentes tamaños. Cada nueva generación contiene todas las soluciones no dominadas de la generación anterior. Aplica una estrategia elitista, selecciona las carteras más cercanas a la frontera superior a las que aplica un operador mutación aleatorio (con pesos proporcionados por un procedimiento de aprendizaje). Operador de mutación aleatorio-ponderado. Para las carteras de la élite se modifican ligeramente las proporciones asociadas a dos activos, xi>0 y xj≥0. El activo ise selecciona aleatoriamente, la probabilidad de selección de j depende del número medio de veces en que haya sido seleccionado en la élite en generaciones anteriores. En el nuevo individuo, las proporciones son: x0 i=xi−p0yx0 j=xj+p0, con p0tal que se mantienen la cardinalidad y la factibilidad. Se aplica un número determinado de veces en cada cartera de la élite. El algoritmo para si la distancia entre dos fronteras superiores sucesivas es menor que una constante, o si llega al máximo de generaciones permitido. Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRS Modelo de media-riesgo lateral-asimetría (MDRS) Se incorpora un tercer objetivo (coeficiente de asimetría) cuando los rendimientos no están simétricamente distribuidos alrededor de la media. La formulación matemática del modelo es (Vercher|Bermúdez’13): (MDRS)max ˜ E(PX) = pu+pl 2+d 2 ρ ρ+1−c 2π π+1 min ˜ w(PX) = pu−pl+dρ ρ+1+cπ π+1 max S(PX) = µ3(PX) w(PX)3 s.a.PN j=1xj=1 0≤lj≤xj≤ujj=1, ...N Kl≤c(X)≤Ku Se ha resuelto parcialmente este problema mediante el genético anterior para dos problemas bi-objetivo (DRSM) y (MDRS), en donde el tercer objetivo se incorporaba al modelo como restricción con una cota inferior. Para aproximar el frente óptimo de Pareto del modelo MDRS se han utilizado tres algoritmos evolutivos: NSGA-II (Deb et al|02), MOEA/D (Zhang|Li’07) y Global WASF-GA (Ruiz|Saborido|Luque’16). Se han adaptado operadores de mutación, recombinación y reparación para mantener la factibilidad de las soluciones generadas por los algoritmos EMO (Saborido et al’16). Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRS Métrica C La comparación de los valores medios de la métrica C alcanzados entre las aproximaciones encontradas por las versiones clásicas de los métodos y las que utilizan los nuevos operadores, para las 50 ejecuciones, son: C(NSGA-IINuevo,NSGA-II)=100 C(GWASF-GANuevo,GWASF-GA)=100 C(MOEA/DNuevo, MOEA/D)=39.125 y C(MOEA/D, MOEA/DNuevo)=4.394 (test t: p-valor <10−10) Comparación de los valores medios de la métrica C alcanzados entre las aproximaciones encontradas por las nuevas versiones de los algoritmos: NSGAIINuevo, MOEA/DNuevo y GWASF-GANuevo. C(A,B) NSGAIINuevo MOEA/DNuevo GWASF-GANuevo NSGAIINuevo – 21.236 31.327 MOEA/DNuevo 25.999 – 28.571 GWASF-GANuevo 14.884 11.020 – Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016 Modelos de selección con múltiples objetivos Algoritmos evolutivos para el modelo MDRS Hipervolumen Diagrama de caja del hipervolumen (HV) alcanzado en las 50 ejecuciones de los tres procedimientos (NSGAII, MOEA/D y GWASF-GA), con los operadores clásicos y con los nuevos operadores propuestos. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 NSGAIINewOp NSGAII MOEA/DNewOp MOEA/D GWASF−GANewOp GWASF−GA Selección de carteras: modelos y algoritmos Málaga, Noviembre 2016