Aplicaciones de Estadística Avanzada para Finanzas

Aplicaciones de Estad´ıstica Avanzada para Finanzas Antonio Fern´andez Morales Departamento de Econom´ıa Aplicada (Estad´ıstica y Econometr´ıa) Universidad de M´alaga, 2016 Resumen En este trabajo se presenta una colecci´on de recursos did´acticos elaborados en formato de actividades cuyo objetivo es el apoyo a la docencia presencial de asignaturas relacionadas con la Estad´ıstica Avanzada para Finanzas. Palabras clave— Finanzas, modelos de probabilidad, valores extremos, procesos estoc´asticos. Clasificaci´on JEL— C12, C13, C46, G12, G14, G17. Aplicaciones de Estad´ıstica Avanzada para Finanzas por Antonio Fern´andez Morales se encuentra bajo una Licencia Creative Commons ReconocimientoNoComercial-SinObraDerivada. Puede copiar, distribuir y comunicar p´ublicamente la obra bajo las condiciones siguientes: •Reconocimiento: Debe reconocer los cr´editos de la obra citando al autor. •No comercial: No puede utilizar esta obra para fines comerciales. •Sin obras derivadas: No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra. 1. Introducci´on En este trabajo se presenta una colecci´on de actividades elaboradas como apoyo para la docencia presencial de asignaturas relacionadas con la Estad´ıstica Avanzada para Finanzas. La tem´atica seleccionada para la realizaci´on de estas actividades es variada e incluye t´opicos relacionados con el uso de m´etodos estad´ısticos en finanzas. De forma sint´etica se pueden agrupar en tres bloques: modelos de probabilidad de uso frecuente en finanzas, problemas de estimaci´on y verificaci´on de hip´otesis y procesos estoc´asticos Respecto de los modelos de probabilidad, se insiste en los modelos lognormal y de Pareto. Adem´as, se han incluido actividades relativas a modelos espec´ıficos para valores extremos, tales como los modelos generalizados de valores extremos y los modelos generalizados de Pareto. En cuanto a los problemas de estimaci´on y verificaci´on, se trabajan conceptos fundamentales como la potencia de los contrastes, as´ı como elementos m´as enfocados a problemas espec´ıficos de las finanzas, como los m´etodos de estimaci´on de Hill, block maxima opeak over threshold. Los procesos estoc´asticos se afrontan desde una perspectiva introductoria con una aproximaci´on eminentemente pr´actica. Por otra parte, se emplean diversas referencias que sirven de complemento para la realizaci´on de las actividades y la discusi´on de los resultados, con aplicaciones a tipos de inter´es ([1],[2]), tipos de cambio ([3]), ´ındices burs´atiles ([4]), riesgos ([5], [6], [7]), cr´edito hipotecario ([8]) o sector asegurador ([9], [10], [11], [12], [13]) y se ofrece bibliograf´ıa b´asica de consulta ([14], [15], [16], [17], [18]). Por ultimo, el formato de las actividades est´a dise˜nado para la realizaci´on individual, aunque pueden ser utilizadas en proyectos que demanden trabajos en grupo, facilitando la colaboraci´on entre estudiantes ([19], [20], [21]). 2. Actividades ! ! ! ! Denominamos St al precio de una acción en t. El cambio de precio de la acción entre t y t+1 puede consistir únicamente en un incremento de un 10% (con probabilidad 0,55) o en un decremento del 10% (con probabilidad 0,45). Definimos la variable aleatoria Yt+1 mediante la siguiente expresión St+1 = St · Yt+1 Después de 30 periodos sucesivos, independientes entre sí, llamamos X al número total de movimientos alcistas que ha tenido la acción. Conteste a las siguientes cuestiones: La variable aleatoria Yt+1 es una variable aleatoria Discreta Continua El modelo de probabilidad de la variable Yt+1 es La variable aleatoria X es una variable aleatoria Discreta Continua La variable aleatoria X sigue un modelo _____________ con parámetros ______, _____. El valor esperado del número de movimientos alcistas en los 30 periodos es ___________. La probabilidad de que en 30 periodos sucesivos e independientes no haya ningún movimiento a la baja del precio de la acción es ___________. Si el valor de la acción en t=0 es 10€, ¿qué valores puede tomar el valor de la acción en t+2, St+2, y con qué probabilidades? La variable aleatoria St+2 es una variable aleatoria Discreta Continua ¿Es la variable aleatoria St+2 una variable aleatoria binomial? Sí No E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ! 1 ACTIVIDAD 01 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: ! !! ! 2! ACTIVIDAD 01 Para conocer el riesgo de crédito de una cartera de 100 bonos de diferentes corporaciones emisoras, se ha decidido emplear el modelo de Poisson. Según estudios previos se conoce que el número esperado bonos que incurre en incumplimientos en el pago cada trimestre es tres. La variable X: Número de bonos que incurren en incumplimiento en un año es una variable aleatoria Discreta Continua Calcule el número esperado de bonos que incurren en incumplimientos en un año en esta cartera. Calcule la probabilidad de que en un año menos de cuatro bonos incurran en incumplimiento. El rendimiento diario de una determinada acción, definido como R = Pt+1/Pt - 1 , sigue un modelo normal con media 0 y desviación típica 0,4. La variable R es una variable aleatoria Discreta Continua Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera el precio de la acción supere el precio del día anterior al menos en un 1%. Suponiendo que los rendimientos diarios de los cinco días laborables de una semana son independientes, calcule la probabilidad de que en una semana la suma de los rendimientos diarios, Y, supere el valor 0,01. ¿Qué variable tiene mayor varianza? R Y ! !! ! ! ! ! ! Se ha elaborado un modelo simplificado que describe la evolución del precio diario de un activo, de forma que el ratio del precio en el día t, respecto al día anterior, t-1 es Pt / Pt-1 = eX Siendo X~N(µ=0, σ=0,1) La variable aleatoria X sigue un modelo de probabilidad log-normal Sí No La variable aleatoria (Pt / Pt-1) sigue un modelo de probabilidad log-normal Sí No La variable aleatoria Pt sigue un modelo de probabilidad log-normal Sí No Calcule la probabilidad de que el precio del activo, que vale 20 euros en t-1, supere los 25 euros en t. Calcule la esperanza matemática y la varianza de variable aleatoria (Pt / Pt-1) E(Pt / Pt-1): ____________, Var(Pt / Pt-1): _____________ ¿Cuál es el gráfico correspondiente a la función de densidad de la variable aleatoria (Pt / Pt-1)? A B E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 02 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c d e f !" !#$" %" %#$" &" &#$" !" !#&" !#'" !#(" !#)" %" %#&" %#'" %#(" %#)" &" *" +" ! !! ! ! ! ! ! Se ha estimado un modelo de probabilidad log-normal para los rendimientos mensuales del IBEX 35 en dos estados de la economía (i=1,2) Pt+1 / Pt = eRi Ri = µi+ σi z (i=1,2) z ~ N(0,1) µ1 = -0,00518 σ1 = 0,07954 µ2 = 0,01922 σ2 = 0,036951 La variable aleatoria Ri sigue un modelo de probabilidad log-normal Sí No La variable aleatoria eRi sigue un modelo de probabilidad log-normal Sí No La variable aleatoria eRi sigue un modelo de probabilidad normal Sí No Identifique en el gráfico la función de densidad log-normal correspondiente a la situación económica 1 y 2. A B Calcule la probabilidad de una rendimiento superior al 2% en las situaciones 1 y 2. SOLUCIÓN: Situación 1: ____________, Situación 2: _____________ E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS 0" 2" 4" 6" 8" 10" 12" 0,5" 0,6" 0,7" 0,8" 0,9" 1" 1,1" 1,2" 1,3" 1,4" 1,5" Α" Β" ACTIVIDAD 03 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c d e ! !! ! ! 1! ! ! ! ! Disponemos de la siguiente información de la distribución de las 84.000 hipotecas concedidas por bancos irlandeses en 2007 según la cuantía en miles de euros Hasta 100 Hasta 150 Hasta 200 Hasta 250 Hasta 300 Hasta 400 8% 20% 40% 59% 75% 91% Con una estimación de la media y de la desviación estándar de 267,9 y 70,9, respectivamente, ¿qué número de hipotecas de cuantía superior a 400.000 euros predice un modelo normal? ______________ y ¿qué número de hipotecas de cuantía superior a 500.000 euros predice un modelo normal? ______________ ¿Qué número de hipotecas de cuantía superior a 400.000 euros se estima mediante el modelo log-normal con parámetros µ = 5,63 y σ=0,25 ? ______________ ¿ Identifique el modelo normal y el modelo log-normal de las cuestiones a y b en la figura siguiente A B ___ 1 - - - 2 E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS 0" 100" 200" 300" 400" 500" 600" 700" 800" 900" 1000" ACTIVIDAD 07 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c ! !! ! 2! ACTIVIDAD 07 Se ha estimado un modelo de Pareto para la distribución del número de hipotecas de más de 300.000 euros, con parámetro α= 2,57. ¿Qué número de hipotecas de cuantía superior a 500.000 euros se estima mediante el modelo de Pareto? ______________ Identifique en el gráfico la función de densidad del modelo de Pareto estimado. A B C Calcule el valor medio de las hipotecas de cuantía superior a 400.00 euros estimado mediante el modelo de Pareto: _________________ Calcule el valor medio de las hipotecas de cuantía superior a 500.00 euros estimado mediante el modelo de Pareto: _________________ y el volumen total en miles de euros de dichas hipotecas 0" 0,005" 0,01" 0,015" 0,02" 0,025" 0,03" 0" 100" 200" 300" 400" 500" 600" 700" 800" 900" 1000" A" B" C" 2 a b c d ! 1! ! ! ! ! Con información diaria del periodo 1995-2003 de las series de tipos de cambio USD/PLN, EUR/PLN y EUR/USD se ha estimado los parámetros del modelo GEV, mediante block maxima anual, para la pérdida logarítmica diaria máxima de dichas series, YU/P, YE/P e YE/U. Los parámetros estimados son: Serie ξ μ σ YU/P 0,046 0,014 0,005 YE/P 0,384 0,015 0,005 YE/U -0,213 0,014 0,004 La variable YU/P sigue un modelo de Fréchet Weibull Gumbel (aprox.) La variable YE/P sigue un modelo de Fréchet Weibull Gumbel (aprox.) La variable YE/U sigue un modelo de Fréchet Weibull Gumbel (aprox.) La variable YU/P presenta una cola derecha exponencial Sí No La variable YE/P presenta una cola derecha potencial Sí No La variable YE/U presenta una cola derecha exponencial Sí No El modelo estimado prevé una probabilidad de una pérdida logarítmica diaria máxima del tipo USD/PLN superior al 3% de ______________ El modelo estimado prevé una probabilidad de una pérdida logarítmica diaria máxima del tipo EUR/USD superior al 3% de ______________ El modelo estimado prevé una probabilidad de una pérdida logarítmica diaria máxima del tipo EUR/PLN superior al 3% de ______________ E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 08 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c d e f g ! !! ! 2! ACTIVIDAD 08 Se desea estimar el valor más elevado que se espera podrá ser excedido por YE/P uno de cada veinte años , ¿qué percentil de la distribución debemos obtener? P20 P80 P90 P95 Estime el percentil especificado en h: ___________ ¿ Identifique la densidad de probabilidad del modelo ajustado a cada variable YU/P YE/P YE/U 1 2 3 ¿Comente las diferencias principales entre el modelo ajustado para la variable YE/P y el modelo ajustado para la variable YE/U h i j k !" !#!$" !#!%" !#!&" !#!'" !#!(" ! !! ! ! ! ! ! Se ha estimado para los extremos izquierdo y derecho de la distribución de probabilidad sendos modelos GEV con datos de los rendimientos diarios (diferencias logarítmicas) de los índices S&P500 y FTSE100. Se ha empleado el método block máxima con periodos anuales. Los parámetros estimados figuran en la tabla siguiente: S&P500 (right tail) S&P500 (left tail) FTSE100 (right tail) FTSE100 (left tail) ξ 0,100 0,530 0,309 0,679 µ 2.396 2.235 2.513 2.576 σ 1,024 0,964 0,919 0,705 El modelo estimado para los máximos de la distribución de ambos índices pertenece a la clase de modelos de Gumbel Frechet Weibull El modelo estimado para los mínimos de la distribución de ambos índices pertenece a la clase de modelos de Gumbel Frechet Weibull La distribución estimada para los máximos del índice FTSE100 presenta una mayor menor densidad de probabilidad en la cola derecha que la correspondiente al índice S&P500. Calcule la probabilidad de una ganancia máxima superior a 8 para ambos índices. S&P500: __________ FTSE100: _________ Calcule el percentil 90 de los mínimos de ambos índices y explique su significado. S&P500: __________ FTSE100: _________ Identifique las funciones de densidad Máximos: S&P500 FTSE100 Mínimos: S&P500 FTSE100 E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 09 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c d e f !" #" $" %" &" '!" A! B! !" #" $" %" &" '!" '#" C! D! ! !! ! ! 1! ! ! ! ! Se ha estimado un modelo generalizado de Pareto, mediante el método POT para los excesos sobre el umbral u, Yu=X-u, correspondientes a los extremos izquierdo y derecho de la distribución de los rendimientos diarios (diferencias logarítmicas en porcentaje) del índice DowJones en el periodo 2008-2009. Los parámetros estimados figuran en la tabla adjunta. Extremo ξ σ u Izquierdo Yu - = X-– u0,170 1,171 2 Derecho Yu + = X+ – u+ 0,497 0,942 3 Diga cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas La variable Yu – sigue un modelo de Pareto generalizado La variable X– sigue un modelo de Pareto generalizado La variable Yu + sólo toma valores mayores o iguales que 0 La variable Yu + sólo toma valores mayores o iguales que u+ La variable X+ sólo toma valores mayores o iguales que u+ La variable Yu + presenta varianza finita según el modelo estimado Sí No Identifique los modelos cuyas densidades están representadas en el gráfico Yu + Yu – E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 10 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c !" #" $" %" &" '!" '#" A! B! (" )" *" +" ''" A! B! ! !! ! 2! ACTIVIDAD 10 Calcule la probabilidad de un exceso sobre el umbral u– superior a 4 puntos: __________ Sabiendo que se ha estimado que el 25,58% de los rendimientos negativos superan el umbral, calcule la probabilidad de un rendimiento negativo superior al 6% usando el modelo GPD. ______________ Deseamos calcular el rendimiento negativo límite a partir del cual se genera el 1% de los rendimientos negativos de mayor magnitud. ¿Qué percentil debemos calcular de la distribución de Yu – ? P1 P25,58 P3,91 P0,2558 P99 P74,42 P96,09 P99,7442 Calcule el rendimiento negativo límite a partir del cual se genera el 1% de los rendimientos negativos de mayor magnitud ______________ d e f g ! 1! ! ! ! ! Disponemos de una muestra aleatoria de tamaño n de una población que sigue un modelo de Pareto. Obtenga el estimador máximo verosímil del parámetro α, tomando como conocido el parámetro β. ¿Cuál es la expresión de la función de verosimilitud? El estimador máximo verosímil de α es: Con datos del extremo inferior de la distribución de los rendimientos logarítmicos diarios del índice IBEX-35, se desea realizar una estimación del parámetro α para analizar el valor del tailindex de esta variable. Realice la estimación mediante el estimador de Hill, conociendo que los valores superiores a 0,02099 son los 300 datos de mayor magnitud y sus logaritmos suman en total -1044.40521. E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 11 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a b c ! !! ! 2! ACTIVIDAD 13 Un tercer test, alternativo a los anteriores, el test C, rechaza H0 cuando la media muestral está fuera del intervalo (3,617; 13,408). ¿Cuál es el nivel de significación del test C? ¿Cuál es la es la probabilidad de cometer error de tipo II con el test C si µ=12? Se ha representado gráficamente la función de potencia de los tres tests. Identifíquelos. Test A Test B Test C !! Para la pareja de hipótesis formulada el test uniformemente más potente es: Test A Test B Test C Ninguno de los tres !" !#$" !#%" !#&" !#'" (" (#$" !" $" %" &" '" (!" ($" (%" (&" ('" $!" (" $" )" µ! 2 a b c ! ! ! d ! ! ! ! !" !#!$" !#%" !#%$" !#&" !#&$" '" '#$" (" (#$" %!" %!#$" %%" %%#$" %&" µ! ! 1! ! ! ! ! La variable aleatoria X se distribuye según un modelo N(µ,σ=1). Tomamos una muestra aleatoria simple (X1,…,Xn) para verificar (con nivel de significación α) las hipótesis H0: µ = µ 0 H1: µ ≠ µ 0 Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: X~N(µ,σ=1) H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral Espacio paramétrico: ……………………………… ¿Existe una región crítica óptima para esta verificación? Sí No ¿Existe una región crítica uniformemente más potente para esta verificación? Sí No Construimos el test de la razón de verosimilitudes para realizar la verificación. € λ =L(ˆ Ω 0,x1,x2,...,xn) L(ˆ Ω ,x1,x2,..., xn)=... =e−n 2 x− µ 0 ( ) 2 ≤k,k>0 Operando se llega a la siguiente región crítica: € C={(x1,x2,..., xn) | x− µ 0 1/ n≥c} ¿Cuál es el estadístico de prueba y cómo se distribuye si H0 es cierta? ¿Qué condición debe cumplir la constante c? _________________________ Dibuje en el gráfico los valores del estadístico de prueba asociados a la región crítica del test y la probabilidad de cometer error de tipo I. E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 14 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a ! ! b ! ! c d e f ! !! ! ! 2! ACTIVIDAD 14 La variable aleatoria X se distribuye según un modelo N(µ,σ). Tomamos una muestra aleatoria simple (X1,…,Xn) para verificar (con nivel de significación α) las hipótesis H0: µ = µ 0 H1: µ ≠ µ 0 Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: X~N(µ,σ) H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral Espacio paramétrico: ……………………………… ¿Existe una región crítica óptima para esta verificación? Sí No ¿Existe una región crítica uniformemente más potente para esta verificación? Sí No Construimos el test de la razón de verosimilitudes para realizar la verificación. € λ =L(ˆ Ω 0,x1,x2,...,xn) L(ˆ Ω ,x1,x2,..., xn)=... = xi−x ( ) 2 i=1 n ∑ xi− µ 0 ( ) 2 i=1 n ∑ & ' ( ( ( ) * + + + n 2 ≤k,k>0 Operando se llega a la siguiente región crítica: ( ) } 1 )( |),...,,{( 0 21 c n s x xxxC n≥ − − = µ ¿Cuál es el estadístico de prueba y cómo se distribuye si H0 es cierta? ¿Qué condición debe cumplir la constante c? _______________________ Dibuje en el gráfico los valores del estadístico de prueba asociados a la región crítica del test y la probabilidad de cometer error de tipo I. 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a ! ! b ! ! c d e f ! 1! ! ! ! Para conocer los movimientos diarios del índice IBEX Small Cap (IBEXS), se ha tomado una muestra aleatoria simple de 20 días del año 2012. Se desea verificar si la media del rendimiento diario al cierre ( XC t = Ln( IBEXS(último)t / IBEXS(último)t-1 ) es la misma que la correspondiente al rendimiento diario cuantificado en la apertura ( XA t = Ln( IBEXS(apert.)t / IBEXS(apert.)t-1 ). Supondremos que ambas variables son normales, XCt~N(µC ,σC), XAt~N(µA ,σA) Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral ¿Cuál es el estadístico de prueba y cómo se distribuye si H0 es cierta? Identifique la función de densidad del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula A B C Calcule el(los) valor(es) crítico(s) del estadístico de prueba adecuado(s) para obtener un nivel de significación de 0,05: _____________ Calcule el estadístico muestral del contraste, sabiendo que XC XA XC-XA Media -0,0037110 -0,0020817 -0,0016292 Varianza muestral 0,0000710 0,0000964 0,0001136 Desv.típica muestral 0,0084276 0,0098208 0,0106585 E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS !2,5% !2% !1,5% !1% !0,5% 0% 0,5% 1% 1,5% 2% 2,5% A% B% C% ACTIVIDAD 15 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d e ! !! ! 2! ACTIVIDAD 15 En un estudio sobre la volatilidad del índice IBEX Small Cap (IBEXS) , se ha tomado una muestra aleatoria simple de 50 días del periodo 2009-2013. Se desea verificar si se ha producido una disminución de la volatilidad de los rendimientos diarios (Yt = Ln(IBEXSt/IBEXSt-1) respecto al periodo 2005-2008, en el que se registró una varianza de los mismos igual a 0,000151. Supondremos que la variable Yt~N(µ,σ) Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: Yt~N(µ,σ) H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral Espacio paramétrico: ……………………………… ¿Cuál es el estadístico de prueba y cómo se distribuye si H0 es cierta? Identifique la función de densidad del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula A B Calcule el(los) valor(es) crítico(s) del estadístico de prueba adecuado(s) para obtener un nivel de significación de 0,05: _____________ y dibuje la región crítica en la figura correspondiente de la pregunta (c) !" #!" $!" %!" &!" '!!" (" )" 2 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d ! !! ! 3! ACTIVIDAD 15 Identifique la función de potencia del contraste A B C La varianza muestral obtenida es yi−y ( ) 2 49 =0, 000127908 i=1 50 ∑ . Calcule el estadístico muestral del contraste: __________________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? Rechazamos la hipótesis nula porque hay suficiente evidencia empírica en su contra Queda demostrado que la varianza de la población es igual a 0,000151 Rechazamos la hipótesis nula porque no hay suficiente evidencia empírica en su contra Aceptamos la hipótesis de que la varianza muestral es igual a 0,000151 No podemos rechazar la hipótesis de que la varianza muestral es igual a 0,000151 Ninguna de las anteriores !" !#$" !#%" !#&" !#'" !#(" !#)" !#*" !#+" !#," $" !" !#!!!!(" !#!!!$" !#!!!$(" !#!!!%" !#!!!%(" !#!!!&" -" ." /" e f g ! !! ! 4! ACTIVIDAD 15 Con el objeto de conocer y diferenciar los comportamientos observados de los índices IBEX Medum Cap (IBEXM) e IBEX Small Cap (IBEXS), se ha tomado sendas muestras aleatorias simples e independientes de 50 días del periodo 2009-2013. Para conocer mejor la volatilidad de ambos índices, se desea verificar si los rendimientos diarios de los dos índices (YM t = Ln(IBEXMt/IBEMt-1, YS t = Ln(IBEXSt/IBEXSt-1) )tienen la misma varianza poblacional. Supondremos que ambas variables siguen modelos normales independientes, YMt~N(µM ,σM), YSt~N(µS ,σS). Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral ¿Cuál es el estadístico de prueba y cómo se distribuye si H0 es cierta? Identifique la función de densidad del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula A B Calcule el(los) valor(es) crítico(s) del estadístico de prueba adecuado(s) para obtener un nivel de significación de 0,05: _____________ y dibuje la región crítica en la figura correspondiente de la pregunta (c) Calcule el estadístico muestral del contraste, sabiendo que las varianzas muestrales obtenidas son yi M−yM ( ) 2 49 =0, 000166617 i=1 50 ∑ y yi S−yS ( ) 2 49 =0, 000127908 i=1 50 ∑ __________________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? 0" 0,2" 0,4" 0,6" 0,8" 1" 1,2" 1,4" 1,6" 1,8" 2" 0" 0,5" 1" 1,5" 2" 2,5" A" B" 3 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d e f ! 1! ! ! ! El camino o paseo aleatorio (random walk) es una de los modelos más importantes en el análisis empírico de las finanzas y se ha desarrollado diversos tests para detectar [ desviaciones respecto a | aplicaciones | deficiencias de ] este modelo. Uno de los [ parámetros | tests ] más populares en esta área está basado en el estadístico ratio de varianzas (VR), que consiste en la varianza muestral de las diferencias de k periodos (Xt – Xt-k) de la serie Xt [ menos | dividida por | más ] k veces la varianza muestral de la primera diferencia Xt – Xt-1. para [ cualquier | un ] entero k. Bajo la hipótesis nula consistente en que la serie sigue un camino aleatorio (RWH), el correspondiente ratio [ muestral | poblacional ] es igual a [ 0 | 1 ] para cualquier valor de k. Así, el estadístico VR se ha convertido en la herramienta primaria para verificar la hipótesis RWH para las series de baja frecuencia. El uso del estadístico VR puede ser ventajoso para verificar la hipótesis RWH frente a una serie de alternativas determinadas, habiéndose determinado que es un test óptimo frente a ellas. Con datos de los tipos de cambio euro/dólar diarios del periodo 1999 2008, se desea verificar la hipótesis RWH mediante el test de ratio de varianzas de Lo y MacKinlay. La variable Yt = Xt – Xt-1, siendo Xt= Ln(Xt) se utiliza para cuantificar el rendimiento diario asociado al tipo de cambio diario estudiado. Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral Diga cuál o cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas El estadístico del test de ratio de varianzas de Lo y MacKinlay sigue una distribución normal en muestras pequeñas El test de ratio de varianzas de Lo y MacKinlay sólo se puede aplicar asumiendo como cierta la hipótesis de heteroscedasticidad La hipótesis RWH implica que los tipos de cambio sucesivos no son serialmente independientes El test de ratio de varianzas de Lo y MacKinlay se basa en que bajo la hipótesis RWH la varianza de los incrementos de Xt es lineal en el intervalo temporal Ninguna de las anteriores E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 16 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 2 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b ! !! ! 2! ACTIVIDAD 16 El estadístico VR observado para k= 2 (asumiendo homoscedasticidad) es igual a 0,9945 (z=-0,2747) ¿Cuál es la conclusión de este contraste? c ! 1! ! ! ! Para analizar con detalle la volatilidad “inter-días” e “intra-días” del índice del Shanghai Composite Index del Shanghai Stock Exchange (SHSE), se ha tomado información de alta frecuencia con intervalos de cinco minutos del periodo 2000-2002 (716 días, 34638 observaciones). Con los datos obtenidos verifique si la volatilidad (en términos de varianza de las diferencias logarítmicas del índice) es mayor en el momento de apertura de las sesiones, open-to-open (media observada: - 0,0002, varianza observada: 2,535) que en los cierres, close-to-close (media observada: -0,0049, varianza observada: 2,056). Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral Identifique la función de densidad del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula A B C Calcule el(los) valor(es) crítico(s) del estadístico de prueba adecuado(s) para obtener un nivel de significación de 0,05: _____________ y dibuje la región crítica en la figura correspondiente de la pregunta (b) Calcule el estadístico muestral del contraste: __________________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS !" #" $" %" &" '" (" !" !)$" !)&" !)(" !)*" #" #)$" #)&" #)(" #)*" $" +" ," -" ACTIVIDAD 17 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d e ! ! !! ! 2! ACTIVIDAD 20 Identifique la función de densidad del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula y señale la región crítica A B C D Identifique el gráfico correspondiente a la función de distribución muestral A B C A B C Calcule el estadístico muestral del contraste : ___________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? Teniendo en cuenta la estimación kernel de la densidad de la variable, identifique el Q-Q plot de la muestra. A B C A B C ! !1# !0,5# 0# 0,5# 1# A# B# C# D# c ! ! ! ! d ! ! ! e f g ! ! ! !6# !4# !2# 0# 2# 4# 6# 8# 10# ! ! 1! ! ! ! Con los valores observados de los rendimientos mensuales del Barclay Hedge Fund Index verifique, mediante el test de normalidad de Jarque y Bera un nivel de significación α= 0,05 si esta variable sigue un modelo normal. Media muestral: 0,007805 Coeficiente de asimetría: -0,661281 Desv. Típica muestral: 0,021878 Coeficiente de curtosis: 5,937583 Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: _________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral Calcule el(los) valor(es) crítico(s) del estadístico de prueba adecuado(s) para obtener un nivel de significación de 0,05: _____________ Identifique la función de densidad del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula y señale la región crítica A B C E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS 0" 0.1" 0.2" 0.3" 0.4" 0.5" 0.6" 0" 1" 2" 3" 4" 5" 6" 7" 8" A" B" Serie3" ACTIVIDAD 21 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c ! ! ! ! ! !! ! 2! ACTIVIDAD 21 Calcule el estadístico muestral del contraste : ___________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? Calcule el p-value del estadístico observado: _____________ En el gráfico se presenta el histograma de la muestra. Identifique el Q-Q plot que le corresponde: A B C A B C El estadístico muestral de Shapiro y Wilk obtenido en la muestra es igual a 0.95465, cuyo pvalue correspondiente es 0,00001. ¿Confirma este test las conclusiones obtenidas con el test de asimetría y curtosis? 0 5 10 15 20 25 Density -.1 -.05 0 .05 .1 R Inverse Normal Inverse Normal Inverse Normal d e f g ! ! ! g ! ! 1! ! ! ! Para analizar si la evolución de los rendimientos mensuales de un activo sigue un comportamiento aleatorio se ha registrado los últimos 30 rendimientos observados. Realice una verificación de la aleatoriedad de la muestra con el test de rachas de Wald-Wolfowitz. 1,4; 1; 0,8; 1; 1,4; 1,3; 0,9; 0,9; 1,2; 1,1; 0,8; 1,2; 1,1; 1,3; 1,3; 1; 0,8; 0,9; 1; 1,3; 1,2; 1,2; 1,3; 1,1; 1,3; 1,3; 1,4; 1,2; 1,1; 0,8 Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: ___________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: ___________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral ¿Cuál es el estadístico de prueba y cómo se distribuye según la hipótesis nula? Calcule el valor observado del estadístico de prueba y su p-value: _________; _________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 22 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d ! ! !! ! ! 2! ACTIVIDAD 22 En un estudio sobre la hipótesis de eficiencia débil del mercado en mercados emergentes asiáticos, se desea verificar la ausencia de correlación serial con un test no paramétrico, usando los rendimientos diarios (1993-2003) de índices ponderados compuestos de Indonesia, Corea y Malaysia. Se ha calculado el número de rachas (R), correspondientes al test de rachas de WaldWolfowitz: n n_ R IND 4019 2064 1745 COR 4019 2171 1837 MAL 4019 2040 1763 ¿Cuál es la hipótesis nula y qué relación tiene con la hipótesis de eficiencia débil del mercado? Calcule el valor observado del estadístico de prueba en cada mercado y sus correspondientes p-values: IND: _________; _________ COR: _________; _________ MAL: _________; _________ ¿Cuál es la conclusión de los contrastes? 2 a b c ! ! !! ! ! ! ! En un estudio sobre el impacto de noticias adversas relativas al medio ambiente sobre los mercados de capital en Argentina, se ha estimado los valores de rendimientos anormales, ARt, mediante un modelo de retorno medio constante, para una ventana de 0-5 días desde el anuncio de cada noticia respecto a cada uno de los 16 eventos identificados en el periodo 1995-2001. Se desea verificar si existe un efecto significativo en cada uno de los días de la ventana estudiada, mediante tests no paramétricos. Complete el cuadro siguiente Tipo de hipótesis: H0: ___________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta H1: ___________ Paramétrica Simple No Paramétrica Compuesta Unilateral izquierda Unilateral derecha Bilateral ¿Cuáles son los estadísticos de prueba y cómo se distribuyen según la hipótesis nula? MEDIA 0,06 -1.06 -0,14 -1,26 0,50 -0,55 S+ 8 12 7 11 6 7 W 77 118 66 116 52 75 Calcule el valor observado del estadístico de prueba y su p-value: _________; _________ ¿Cuál es la conclusión del contraste? E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 23 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d ! ! !! ! ! ! 1! ! ! ! Para describir la evolución de la cotización diaria de un activo del IBEX Small Cap se ha estimado un proceso estocástico con tres estados: S1: Valor de cierre inferior al del día anterior, S2: Valor del cierre igual al del día anterior y S3: Valor del cierre superior al del día anterior. Conocemos los elementos siguientes de la matriz de transición estimada: P= 0, 0785 0, 5490 0, 4762 0,3810 0, 4077 0, 0769 ! " # # # $ % & & & Complete el cuadro siguiente Clasificación del proceso: Tipo de proceso: S: Discreto Cadena de Markov Continuo Proceso de Poisson Proceso Browniano T: Discreto Proceso GARCH Continuo Complete la matriz de transición Complete el diagrama de estados E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 24 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! b c S1! S2 ! S3 ! ! ! !! ! 2! ACTIVIDAD 24 ¿Tiene esta matriz de transición algún estado absorbente? Sí No ¿Tiene esta matiz de transición algún estado sin retorno? Sí No ¿Es una cadena homogénea? Sí No ¿Qué probabilidad se ha estimado de que tras un día con cierre al alza, el día siguiente vuelva a producirse un aumento de la cotización? _______________ ¿Qué probabilidad se ha estimado de que tras un día con cierre al alza, los dos días siguientes registren cierres al alza? _______________ ¿Qué probabilidad se ha estimado de que tras un día con cierre al alza, los dos días siguientes no se registren caídas de la cotización? _______________ Se ha obtenido que P2= 0,3999 0, 0827 0, 5174 0, 4007 0, 0871 0, 5122 0,3986 0, 0826 0, 5188 ! " # # # $ % & & & . ¿Qué significa el valor p33=0,5188? c ! ! d ! ! e ! ! f g h i ! ! 1! ! ! ! La evolución temporal del precio de un activo {S(t): t≥0} sigue un proceso estocástico con las siguientes características: • S(t)=S0e µ t+ σ B(t) , donde S(0)=S0>0 y {B(t): t≥0} es un proceso Browniano estándar. • B(t) es normal de media 0 y varianza t. • {B(t): t≥0} tiene incrementos independientes y estacionarios. • S(t) es log-normal, Ln S(t) ( ) ~N µ t+Ln S0 ( ) , σ t ( ) . • S(t)/S(u), donde 0≤u<t, es log-normal, Ln S(t) S(u) ! " #$ % &~N µ (t−u), σ t−u ( ) . • Para una secuencia 0=t0<t1<t2< … <tn=t, los cambios proporcionales S(ti)/S(ti-1), 1≤i≤n, son log-normales independientes. • Denominamos r ti al rendimiento logarítmico entre ti y ti-1: r ti=Ln(Sti/Sti−1) . • La unidad temporal de t es un año. • Los parámetros del proceso son µ= 0,10, σ= 0,20. Complete el cuadro siguiente Clasificación del proceso: Tipo de proceso: S: Discreto Cadena de Markov Continuo Proceso de Poisson Proceso Browniano Aritmético T: Discreto Proceso Browniano Geométrico Continuo Proceso GARCH ¿Cuál es el espacio de estados del proceso? ¿Cuál es el dominio del índice temporal? Para un precio inicial S0=50€ a principio de año ¿cuál es el modelo de probabilidad del precio S(t) en la semana 10 y en la semana 20? ! ! ! ¿Cuál es la probabilidad de que el activo tenga un precio superior a 55 euros en la semana 10? ¿y en la semana 20? E A F P ESTADÍSTICA AVANZADA PARA FINANZAS ACTIVIDAD 25 ALUMNO: APELLIDOS Y NOMBRE: 1 a ! ! ! ! ! ! ! ! ! b c d e